คณิตศาสตร์ ม -...

คณติศาสตร์ ม.5

เมตริกซ์และดเีทอร์มิแนนท์

(Matrix and Determinant)

รองศาสตราจารย์ ดร.ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท์

2

เมตริกซ์และดเีทอร์มแินนท์ เมตริกซ์ (Matrix) สัญลกัษณ์ของเมตริกซ์ การน าเอาตวัเลขท่ีเป็นจ านวนจริงมาเขียนเป็นแถวในแนวนอน และเป็นหลกัในแนวตั้งภายในเคร่ืองหมาย หรือ ซ่ึงเรียกวา่เมตริกซ์ ช่ือของเมตริกซ์นิยมใชต้วัอกัษรภาษาองักฤษตวัพิมพ์ใหญ่ เช่น

384

765A หรือ

384

765A

จะไดว้า่ A เป็นเมตริกซ์ท่ีมี 2 แถว 3 หลกั เรียกวา่ “ 32 เมตริกซ์” หรือ “เมตริกซ์มิติ 32 ”

ถา้

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...

...

321

223 2221

1131211

อาจเขียนเป็น

nm

ijaA

ทรานสโพสของเมตริกซ์ (Transpose of Matrix)

นิยาม ถา้ nm

ijaA

แลว้ทรานสโพสของเมตริกซ์ A เขียนแทนดว้ย tA คือเมตริกซ์ท่ีเปล่ียน

สมาชิกจากแถวท่ี i ของเมตริกซ์ A เป็นสมาชิกหลกัท่ี i ของ tA

ตัวอย่าง 1 ก าหนดให ้

9 8

7 6

5 2

A จงหา tttttt AAA ,,

3

การเท่ากนัของเมทริกซ์

นิยาม ให ้ nm

ijaA

และ

nm

ijbB

BA ก็ต่อเม่ือ ijij ba ทุก ๆ ค่าของ i และ j

นัน่คือ ทั้งสองเมตริกซ์ตอ้งมีมิติท่ีเท่ากนัและสมาชิกในต าแหน่งเดียวกนัเท่ากนั

ตัวอย่าง 2 จงหาค่าของ x และ y จากสมการเมติรกซ์

y

y

x

x

26

43

356

42

ตัวอย่าง 3 จงหาค่าของ x และ y จากสมการเมติรกซ์

x

x

yx

yx

34

32

32

45

4

การบวกและลบเมตริกซ์

นิยาม ให้ nm

ijaA

และ

nm

ijbB

แล้ว

nm

ijij baBA

นั่น คือการน า

สมาชิกในต าแหน่งเดียวกนับวกหรือลบกนั และเมตริกซ์จะบวกหรือลบกนัไดจ้ะตอ้งมีมิติเท่ากนัเสมอ


04

31A และ

021

432B จงหาค่าของ

ก. tAA ข. BBt

ตัวอย่าง 5 ก าหนดให ้ ,0 4 3

3 12

A

15 14 13

12 11 10B และ

3 2 1

10 5 0C

จงหาค่าของ CBA ตัวอย่าง 6 จงหาค่า x และ y เม่ือก าหนดสมการเมตริกซ์

1 3

2

2

3 2

2 5

4

3

y

x

y

x

yx

yx

yx

yx

5

เมตริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) นิยาม เมตริกซ์ศูนย ์ หมายถึง เมตริกซ์ท่ีมีสมาชิกทุกตวัเป็น 0 และใช ้ 0 เป็นสัญลกัษณ์แทนเมตริกซ์ศูนยไ์ม่วา่เมตริกซ์ศูนยน์ั้นจะมีมิติใดๆ ก็ตาม และเมตริกซ์ศูนยเ์ป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์ส าหรับการบวก

หมายเหตุ ถา้ nm

ijaA

แลว้อินเวอร์สการบวกของ A คือ A โดยท่ี

nm

ijaA

นัน่คือ nmnm

ijij

nm

ij

nm

ij aaaa

0

nmnm

ijij

nm

ij

nm

ij aaaa

0

ตัวอย่าง 7 จงหาค่า x และ y เม่ือก าหนดให ้

53

4 3

y

xA และอินเวอร์สการบวกของ A

คือ B โดยท่ี

5 3 2

4 1 2

x

yB

การคูณเมตริกซ์ด้วยจ านวนจริง

นิยาม เม่ือ c เป็นจ านวนจริง และ nm

ijaA

จะไดว้า่

nm

ijcacA

นัน่คือ การน า c ซ่ึง

เป็นจ านวนจริงคูณสมาชิกทุกตวัของ A

ตัวอย่าง 8 ก าหนด

69

153A จงหาค่าของ AAA

3

1,5,2

6

การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์

นิยาม ถ้า nm

ijaA

และ

rn

ijbB

ผลคูณ ABหรือ BA จะเป็นเมตริกซ์ท่ีมีมิติ

เท่ากบั rm สมมติให ้ rm

ijcCAB

โดยท่ี

njinjijijiij babababac ...332211

นัน่คือการน าสมาชิกในแนวแต่ละแถวของเมตริกซ์ตวัตั้งคูณกบัสมาชิกในแนวแต่ละหลกัของเมตริกซ์ตวัตั้งแบบตวัต่อตวั แลว้น าผลคูณแบบตวัต่อตวัท่ีไดท้ั้งหมดน ามาบวกกนั ดงันั้นจะไดว้า่

การคูณเมตริกซ์ดว้ยเมตริกซ์จะคูณกนัไดก้็ต่อเม่ือ

1. จ านวนหลกัของเมตริกซ์ตวัตั้งตอ้งเท่ากบัจ านวนหลกัของเมตริกซ์ตวัคูณ

2. เมตริกซ์ผลลพัธ์การคูณจะมีมิติเท่ากบั จ านวนแถวของเมตริกซ์ตวัตั้ ง จ านวนหลักของเมตริกซ์ตวัคูณ

เช่น 22

23

32

x

x

xfvewdyfuezdx

cvbwaycbzax

vu

wz

yx

fed

cba


1

3

2

,6 5 4 BA จงหา

ก. AB ข. BA ค. tAA ง. tBB

7

ตัวอย่าง 10 ก าหนดให ้ BA , และ C เป็นเมตริกซ์โดยท่ี

0 4

2 2A

2 3

2 4, B และ

3 1

6 2C จงหาค่าของ

1. AB 2. BA 3. CAB 4. BCA 5. 2BA 6. 22 2 BABA

8

ข้อสังเกต 1. เมตริกซ์จตุัรัส หมายถึง เมตริกซ์ท่ีมีจ านวนแถวและจ านวนหลกัเท่ากนั

2. เม่ือ nn

ijaA


n

n AAAAA ... เม่ือ In

3. เม่ือ BA , และ C เป็นเมตริกซ์จตุัรัสใดๆ ท่ีมีมิติเท่ากนั ประโยคต่อไปน้ีเป็นเทจ็

1. BAAB (เทจ็) 2. 2222 BABABA (เทจ็)

3. 2222 BABABA (เทจ็) 4. 22 BABABA (เทจ็)

5. ถา้ BCAC และ 0C แลว้ BA (เทจ็) เช่น

3 1

6 2 ,

2 3

2 4 ,

0 4

2 2CBA ท าใหเ้ป็นเทจ็

6. ถา้ 0AB แลว้ 0A หรือ 0B (เทจ็) เช่น

1 1

2 2 ,

6 3

4 2BA ท าใหเ้ป็นเทจ็

7. เม่ือ BA, และ C เป็นเมตริกซ์จตุัรัสใดๆ ท่ีมีมิติเท่ากนั ประโยคต่อไปน้ีเป็นจริง

1. BCACAB (จริง) 2. ACABCBA (จริง)

3. CABAACB (จริง)

ตัวอย่าง 11 ถา้

1 1 0

0 5 2

3 0 1

,

11 0

0 8 2

7 0 1

BA จงหาค่าของ

1. tAB 2. ttBA 3. tt AB

9

สมบัติของทรานสโพส

เม่ือ nm

ijaA

rn

ij

nm

ij cCbB

,, และ c เป็นจ านวนจริง จะได ้

1. AAtt 2. tt AA

2. ttcAcA 4. ttttt

ABBABA 5. ttt

BABA 6. tttACAC

ตัวอย่าง 12 ถา้

100

010

001

I และ

181614

12108

642

A จงหา 2,, IAIIA

เมตริกซ์เอกลกัษณ์

นิยาม nn

ijiI

เป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์หรือเอกลกัษณ์ของการคูณเมตริกซ์ nn

โดยท่ี

ji

jiiij

,0

,1 เช่น 33

2211 100

010

001

,10

01,1

III

จะไดว้า่ AIAAI

10

อนิเวอร์สการคูณของเมตริกซ์

นิยาม เม่ือ nn

ijaA

และ

nn

ijbB

B เป็นอินเวอร์สการคูณของ A ก็ต่อเม่ือ

IBAAB เม่ือ I เป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์มิติ nn และแทน B ดว้ย 1A


34

12A และ

42

21B จงหา 1A และ 1B

สมบัติทีส่ าคัญ 1. เมตริกซ์จตุัรัสท่ีหาอินเวอร์สการคูณไม่ไดจ้ะเรียกวา่ เมตริกซ์เอกฐาน (singular matrix) และ เมตริกซ์จตุัรัสท่ีหาอินเวอร์สการคูณไดจ้ะเรียกวา่เมตริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix)

2. ถา้ 22

ijaA ให ้

dc

baA จะไดว้า่

2.1 ถา้ 0 cbad จะหา 1A ไม่ได ้และจะเรียก A วา่ เมตริกซ์เอกฐาน 2.2 ถา้ 0 cbad จะหา 1A ได ้และจะเรียก A วา่ เมตริกซ์ไม่เอกฐาน

3. ถา้ 22

ijaA ให ้

dc

baA และ 0 cbad จะไดว้า่

ac

bd

cbadA

11

4. ถา้ 22

ijaA จะได ้ AA

11

5. ถา้ 22

ijaA และ

nn

ijbB

จะได ้ 111

ABAB

11

ดเีทอร์มิแนนท์ (Determinant)

เม่ือ A เป็น nn เมตริกซ์ซ่ึงเป็นเมตริกซ์จตุัรัส ดีเทอร์มิแนนทข์อง A จะเขียนแทนดว้ย Adet หรือ A มีสมบติัดงัน้ี

1. ถา้ aA ซ่ึงเป็นเมตริกซ์มิติ 11 จะไดว้า่ aaA det

เช่น 2020det20 AAA

1515det15 BBB

2. ถา้

dc

baA ซ่ึงเป็นเมตริกซ์มิติ 22 จะไดว้า่

cbaddc

baAA det

สรุปอยา่งง่ายคือ คูณลงลบคูณขึน้

(วธีิน้ีใชไ้ดเ้ฉพาะ เมตริกซ์มิติ 22 เท่านั้น ใชก้บัเมตริกซ์มิติอ่ืนๆ ไม่ได)้

3. ถา้

khg

fed

cba

A ซ่ึงเป็นเมตริกซ์มิติ 33 จะไดว้า่

hg

ed

ba

khg

fed

cba

khg

fed

cba

AA det

hg

ed

ba

khg

fed

cba

aek bfg cdh

kdbhfageccdhbfgaek โดยน าสมาชิกหลกัท่ี 1 และ 2 ของเมตริกซ์มาเขียนเพิ่มต่อ แลว้คูณทแยงลงจากสมาชิกแถวท่ี 1 น ามารวมกนัทั้งหมด ลบดว้ยคูณทแยงข้ึนจากสมาชิกแถวท่ี 3น ามารวมกนัทั้งหมด

สรุปอยา่งง่ายคือ ผลบวกของผลคูณลงทั้งหมดลบด้วยผลบวกของผลคูณขึน้ทั้งหมด

(วธีิน้ีใชไ้ดเ้ฉพาะ เมตริกซ์มิติ 33 เท่านั้น ใชก้บัเมตริกซ์มิติอ่ืนๆ ไม่ได)้

gec hfa kdb

12

ตัวอย่าง 1 ถา้ A และ B เป็นเมตริกซ์ โดยท่ี

54

32A และ

24

31B

จงหา 1. ABdet 2. BA detdet 3. BAdet 4. BA detdet 5. 2det A 6. 2det A


2 5 4

1 2 3

4 6 5

A จงหา Adet และ tAdet

13

การหาดีเทอร์มิแนนท์โดยการกระจายโคเฟกเตอร์ การหาดิเทอร์มิแนนทด์ว้ยวธีิน้ีใชไ้ดก้บัเมตริกซ์มิติ 22 ข้ึนไป

ไมเนอร์ (Minor) ของ ija ของเมตริกซ์ A

นิยาม ก าหนดให ้ nn

ijaA

ไมเนอร์ของ ija ของ A เขียนแทนดว้ย AMij หมายถึง

ดีเทอร์มิแนนทข์องเมตริกซ์ท่ีไดจ้ากการตดัสมาชิกแถวท่ี i และหลกัท่ี j ของเมตริกซ์ A ออกไป

เช่น

khg

fed

cba

A หา AM12 โดยการตดัสมาชิกแถวท่ี 1 และหลกัท่ี 2 ดงัน้ี

khg

fed

cba

A จะได ้ gfdkkg

fdAM 12

ตัวอย่าง 3 จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตวัของ

4 3

2 1 A

ตัวอย่าง 4 จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตวัของ

254

123

465

A

14

โคแฟกเตอร์ (Cofactor) ของ ija ของเมตริกซ์ A

นิยาม ก าหนดให ้ nn

ijaA

โคแฟกตอร์ของ ija ของ A เขียนแทนดว้ย ACij

หมายถึง ผลคูณของ ji1 กบั AMij นัน่คือ

AMAC ij

ji

ij

1

ตัวอย่าง 5 จงหาโคแฟกเตอร์ของสมาชิกทุกตวัของ

254

123

465

A

การหาค่า Adet โดยการกระจายโคแฟกเตอร์

นิยาม ให ้

nnnn

n

n

nn

ij

aaa

aaa

aaa

aA

...

...

....

21

22221

11211

หาค่า Adet โดยการกระจายโคแฟกเตอร์ไดด้งัน้ี

ACaACaACaA nn 1112121111 ...det (การกระจายโคแฟกเตอร์แถวท่ี 1)

ACaACaACaA nn 1121211111 ...det (การกระจายโคแฟกเตอร์หลกัท่ี 1)

การกระจายโคแฟกเตอร์สามารถเลือกกระจายในแถวใดแถวหน่ึงหรือหลกัใดหลกัหน่ึงก็ได ้


254

123

465

A จงหา Adet โดยการกระจายโคแฟกเตอร์

15

ตัวอย่าง 7 จงหาค่าของ

1012

2213

4101

2023


00

00

00

00

ba

ab

ba

ba

ตอบ 44 ba

16

สมบัติทีส่ าคัญของดีเทอร์มิแนนท์ ก าหนดให ้ A เป็นเมตริกซ์จตุัรัสใด ๆ ท่ีมีมิติ nn 1. tAA detdet 2. ถา้ B เป็นเมตริกซ์จตุัรัส และ A สามารถคูณกบั B จะได ้ BAAB detdetdet 3. nn AA detdet 4. 1det I และ 00det

5. ถา้ 0det A จะได ้ 1detdet 1 AA หรือ A

Adet

1det 1

6. ถา้ B เป็นเมตริกซ์ท่ีเกิดจากการสลบัท่ีของสมาชิกในแถวคู่ใดคู่หน่ึงหรือในหลกัคู่ใดคู่หน่ึง ของ Aแลว้ AB detdet 7. ถา้ A เป็นเมตริกซ์สามเหล่ียมแลว้ Adet คือผลคูณของสมาชิกในเส้นทแยงมุมหลกั 8. ถา้สมาชิกทุกตวัของแถวใดแถวหน่ึง หรือหลกัใดหลกัหน่ึงเป็น 0 จะได ้ 0det A 9. ถา้สมาชิก 2 แถวใดหรือ 2 หลกัใดเป็นสัดส่วนกนั จะได ้ 0det A 10. ถา้คูณสมาชิกทุกตวัในแถวใดแถวหน่ึงเพียงแถวเดียวหรือดว้ยค่าคงตวั k จะไดค้่าของ ดีเทอร์มิแนนทข์องเมตริกซ์ใหม่เท่ากบัผลคูณของ k กบัค่าดีเทอร์มิแนนทข์องเมตริกซ์เดิม 11. c เป็นค่าคงตวัแลว้ AccA n detdet


ก. 6 5 4

0 0 0

4 3 2

ข. 2 5 2

3 0 3

4 1 4

ค. 1 0 2

12 4 4

3 1 1

ง. 2 0 0

3 6 0

4 1 4

จ. 0 1 2

0 4 4

0 0 3

ฉ. 2 0 0

0 6 0

0 0 5

ช. 12 0 0

0 1 0

0 0 12

x

x

17

การหาอนิเวอร์สการคูณของเมตริกซ์

นิยาม ถา้ nn

ijaA


1. A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน (singular matrix) หรือหา 1A ไม่ไดก้็ต่อเม่ือ 0det A

2. A เป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน (non singular matrix) หรือหา 1A ไดก้็ต่อเม่ือ 0det A

เมตริกซ์ผูกพนั (Adjoint matrix)

นิยาม ถ้า nn

ijaA

แล้วเมตริกซ์ผูกพนัของ A เขียนแทนด้วย adjA หมายถึง ทรานสโพส

ของเมตริกซ์ ท่ีเกิดจากแทนสมาชิกแต่ละตวัของ A ดว้ยโคแฟกเตอร์ของสมาชิกตวันั้นของเมตริกซ์ A

นัน่คือ t

nnij ACadjA


54

32A จงหา adjA


510

301

112

A จงหา adjA

18

รหาอนิเวอร์สการคูณของเมตริกซ์มิติ nn

ถา้ nn

ijaA

และ 0det A แลว้

adjA

AA

det

11

และจะไดว้า่ IAAadjAadjAA det

1

detdet

n

AadjA


5 4

3 2A จงหา 1A


5 1 0

3 0 1

1 1 2

B จงหา 1B

19

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมตริกซ์

ระบบสมการเชิงเส้นเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์ ระบบสมการเชิงเส้นท่ีมีจ านวนสมการในระบบเท่ากบัจ านวนตวัแปร เขียนในรูป 11313212111 .... bxaxaxaxa nn 1..........

22323222121 .... bxaxaxaxa nn 2..........

nnnnnnn bxaxaxaxa 3332211 .... n..........

โดยท่ี iiij xRbRa ,, เป็นตวัแปร (ในท่ีน้ีเป็น n สมการ n ตวัแปร)

สามารถเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์ไดเ้ป็น BAX โดยท่ี

nnnnn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...

...

321

223 2221

1131211

n

2

1

n

2

1

b

,

x

,

b

b

Bx

x

X

A คือ เมตริกซ์สัมประสิทธ์ของตวัแปร X คือ เมตริกซ์ตวัแปร B คือ เมตริกซ์ค่าคงตวั

เขียนในรูป BAX ไดด้งัน้ี

n

2

1

n

2

1

321

223 2221

1131211

b

x

...

...

...

b

b

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

nnnnn

n

n

ตัวอย่าง 14 ก าหนดระบบสมการเชิงเส้น 2.........2

1.........532

yx

yx จงเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์

ตัวอย่าง 15 ก าหนดระบบสมการเชิงเส้น 3.........0

2.........2

1.........6

zyx

zyx

zyx

จงเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์

20

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้อนิเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ จากระบบสมการเชิงเส้นเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์ BAX ถา้เมตริกซ์ A มีอินเวอร์สการคูณ น า 1A คูณดา้นหนา้ทั้งสองขา้งของ BAX จะได ้ BAXBAIXBAAXA 1111 เป็นค าตอบของระบบสมการเชิงเส้น สรุป โดยการหา 1A แลว้น าคูณทางดา้นหนา้ของเมตริกซ์ B แลว้คูณ BA 1 เป็นค าตอบ

ตัวอย่าง 16 จงแกร้ะบบสมการเชิงเส้น 2.........2

1.........532

yx

yx โดยใชอิ้นเวอร์สการคูณของเมตริกซ์

วธีิท า รูปผลคูณเมตริกซ์ BAX คือ

2

5

11

32

y

x

1A

จะได ้ BAX 1 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของคราเมอร์ (Cramer’s rule) จากระบบสมการเชิงเส้นเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์ BAX โดยท่ี 0det A จะไดค้ าตอบของระบบสมการเชิงเส้นดงัน้ี

A

Ax

A

Ax

A

Ax

A

Ax n

ndet

det,....,

det

det,

det

det,

det

det 33

22

11

เม่ือ iA เป็นเมตริกซ์ท่ีไดจ้ากการแทนสมาชิกในหลกัท่ี i ของ A ดว้ยหลกัของเมตริกซ์ B


1.........532

yx

yx โดยใชก้ฎของคราเมอร์

21

สรุปกฎของคราเมอร์ (Cramer’s rule) ระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการ และ 3 สมการ

)2.........(

)1.(..........

222

111

cybxa

cybxa

จะได ้

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x และ

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

อาจจะหาเฉพาะค่าตวัแปรใดตวัแปรหน่ึง แลว้น าไปแทนในสมการใดสมการหน่ึง เพื่อหาค่าตวัแปรท่ีเหลือได ้

3..........

2..........

)1(..........

3333

2222

1111

kzcybxa

kzcybxa

kzcybxa

จะได ้

333

222

111

333

222

111

cba

cba

cba

cbk

cbk

cbk

x

333

222

111

333

222

111

,

cba

cba

cba

cka

cka

cka

y

333

222

111

333

222

111

,

cba

cba

cba

kba

kba

kba

z

อาจจะหาเฉพาะค่าตวัแปรใดตวัแปรหน่ึง แลว้น าไปแทนในสมการใดสมการหน่ึง แลว้จะเหลือระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการ หรือหาค่า 2 ตวัแปรใดๆ แลว้น าไปแทน ในสมการใดสมการหน่ึงเพื่อหาค่าตวัแปรอีกหน่ึงตวัแปรท่ีเหลือได ้


2.........2

1.........6

zyx

zyx

zyx

โดยใชก้ฎของคราเมอร์

22

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้การด าเนินการตามแถว (Row Operation)

1. จากระบบสมการเชิงเส้นเขียนเมตริกซ์ในรูป

BA เรียกวา่ เมตริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix)

เม่ือ A คือ เมตริกซ์สัมประสิทธ์ของตวัแปร แลว้ต่อดว้ย B คือ เมตริกซ์ค่าคงตวั ไดด้งัน้ี

nnnnnn

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

...

...

...

321

2223 2221

11131211

2. เปล่ียนเมตริกซ์สัมประสิทธ์ของตวัแปรในเมตริกซ์แต่งเติมใหเ้ป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์ โดยใชว้ธีิการด าเนินการตามแถว ดว้ยกระบวนการขอ้ใดขอ้หน่ึงหรือหลายขอ้ต่อไปน้ี 2.1 สลบัท่ีระหวา่งสองแถวใดๆ ของเมตริกซ์แต่งเติม

2.2 ใชค้่าคงตวัท่ีไม่ใช่ศูนยคู์ณกบัสมาชิกทุกตวัของแถวใดแถวหน่ึง

2.3 เปล่ียนสมาชิกในแถวใดแถวหน่ึง โดยใชค้่าคงตวัท่ีไม่ใช่ศูนยคู์ณสมาชิกทุกตวัในแถวอ่ืน แลว้น าผลคูณท่ีไดม้าบวกกบัสมาชิกในต าแหน่งเดียวกนัในแถวท่ีจะเปล่ียน แลว้น าผลบวกท่ีได ้ แทนท่ีสมาชิกในแถวท่ีจะเปล่ียน

นัน่คือด าเนินการจาก

BA เป็น

CI ดงัน้ี

nnnnnn

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

...

...

...

321

2223 2221

11131211

operationRow

nc

c

c

1...0 0 0

0 ... 01 0

0 ... 0 0 1

2

1

3. เม่ือเมตริกซ์สัมประสิทธ์ของตวัแปรในเมตริกซ์แต่งเติมใหเ้ป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์แลว้ จะไดค้ าตอบเดียวกนักบัเมตริกซ์แต่งเติม ซ่ึงเป็นเมตริกซ์ท่ีสมมูลกนับนแถว นัน่คือค าตอบของระบบสมการเป็น

ncccc ,...,,, 321 ตามล าดบั นัน่คือ nn cbcbcbcb ,...,,, 332211

23

ตัวอย่าง 19 จงแกร้ะบบสมการเชิงเส้น 3..............95

2.........994

1..........775

zyx

zyx

zyx

โดยใชก้ารด าเนินการตามแถว

24

การหาอนิเวอร์สการคูณของเมตริกซ์จัตุรัสมิติ nn โดยใช้การด าเนินการตามแถว (Row Operation) การด าเนินการตามแถวสามารถน ามาหาอินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A ใดๆ ท่ีไม่ใช่เมตริกซ์ เอกฐานได ้ มีขั้นตอนดงัน้ี

1. สร้างเมตริกซ์ใหม่ในรูป

IA เม่ือ A คือ เมตริกซ์ท่ีก าหนดให ้ แลว้เขียนต่อดว้ยเมตริกซ์

เอกลกัษณ์ท่ีมีมิติเท่ากบัเมตริกซ์ A 2. ใชว้ธีิการด าเนินการตามแถวเปล่ียนเมตริกซ์ A ใหเ้ป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์ อยูใ่นรูปดงัน้ี

IA เป็น

DI

3. เมตริกซ์ D ท่ีไดคื้อ อินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A


5 4

3 2A จงหา 1A โดยใชก้ารด าเนินการตามแถว

25


1 11

212

21 1

B จงหา 1B โดยใชก้ารด าเนินการตามแถว

26

แนวข้อสอบเมตริกซ์และดีเทอร์มิแนนท์ 1. ก ำหนดให ้ A =

2

3

3

4 . B =

1

1

3

2 , X =

c

a

d

b

ถำ้ AX + B = A แลว้ b + c มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 7 2. 9 3. 10 4. 11 2. ให ้ A เป็นเมตริกซ์มิติ 3 x 3

ถำ้ M 13 =

1

1

2

3 , M 21 =

2

1

4

1 และ M 32 =

1

2

0

1

แลว้ det (A) มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด 1. 10 2. 12 3. 15 4. 18

3. ก ำหนดให ้

924

752

61

y

x

A

ถำ้ไมเนอร์ของ a 32 เท่ำกบั 23 และโคแฟคเตอร์ของ a 23 = -44 แลว้ x+y มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใดต่อไปน้ี 1. –9 2. –7 3. 7 4. 9


021

702

645

A และ B =

3

)(13 AC

2

)(23 AC แลว้ det ( B 1 ) มีค่ำเท่ำใด

5. ถำ้ 5

3sin x และ

4

3tan x แลว้

x

xecx

cos1

seccos

2det เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 6

1 2.

3

1 3.

3

2 4. –1

6. ก ำหนดให ้ A และ B เป็นเมตริกซ์ขนำด 2 x 2

ถำ้ A + 2B =

168

45 และ A - B =

51

12 แลว้ det BA 12 มีค่ำเท่ำใด


x

x

A

00

240

15

โดยท่ี det (A) = -1 และ x เป็นจ ำนวนจริง

ถำ้ เป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์ขนำด 3 x 3 แลว้ det ( 2 ( - A ) A t ) มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4 2. 8 3. 12 4. 18

27

8. ก ำหนดให ้A = [ ija ] 33 โดยท่ี ija =

ji

jii

;2

;2 1

แลว้

A

Aadj t

det4det เท่ำกบัขอ้ใด

1. –16 2. –4 3. 4 4. 16 9. ก ำหนดให ้

A =

32

1;

11

10

12

x

xxB

xx

xx

xxx

ถำ้ X เป็นจ ำนวนจริงท่ีท ำให ้det (A) = 0 แลว้ adj B คือเมตริกซ์ในขอ้ใดต่อไปน้ี

1.

12

23 2.

12

03 3.

24

33 4.

24

13

10. ก ำหนดให ้A =

2

1

1

1 ถำ้ B เป็นเมตริกซ์ท่ี B = 2A 1 แลว้ จงหำค่ำของ adjB3det

1. 6 2. 9 3. 12 4. 18 11. ถำ้ ix สอดคลอ้งกบัระบบสมกำร x 1 + 2x 2 + x 3 = 0 3x 1 + x 2 – 2x 3 = 5 2x 1 – 3x 2 – 3x 3 = 9

และA =

3

1 yx

y

x12 แลว้ผลบวกของ y ทั้งหมดท่ีท ำให ้A เป็นเมตริกซ์เอกฐำนเท่ำกบัขอ้ใด

1. 0 2. –1 3. –2 4. -3


1

083

4

yx

yx

A โดยท่ีโคแฟคเตอร์ของ a 21 = -6 และโคแฟคเตอร์ของ

a 23 = 4 แลว้โคแฟคเตอร์ของ a 33 มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใดต่อไปน้ี 1. –14 2. –13 3. 13 4. 14

คณิตศาสตร์ ม -...

Documents

Transcript of คณิตศาสตร์ ม -...