Математика класс Медиана и биссектриса...
Transcript of Математика класс Медиана и биссектриса...
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
Математика
8 класс
Медиана и биссектриса треугольника
Новосибирск
2
Медиана и биссектриса треугольника.
Многие задачи по планиметрии содержат такие понятия, как
биссектриса и медиана. В этом задании рассмотрим некоторые
теоремы и свойства, связанные с ними.
Для начала вспомним основные определения.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка
пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в
отношении 1:2 (считая от вершины).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к
гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы
угла этого треугольника от вершины до точки пересечения с
противоположной стороной.
Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Рассмотрим одно дополнительное построение, которое помогает
при решении многих задач. Пусть дан треугольник АВС и точка М
находится на стороне ВС. Допустим дано, что АС = 20, АМ = 12 и
ВМ : МС = 1 : 4, т.е. условия
соответствуют следующему
рисунку (рис.1).
Построим прямую l ,
проходящую через вершину
В параллельно стороне АС и
продолжим АМ до
пересечения с прямой l в
точке F. Ясно, что
треугольники АМС и ВМF
Рис. 1
M
3
подобны (коэффициент подобия равен 4). Получаем, что BF = 5,
MF = 3, т.е. появились новые данные, которые помогут решить
задачу.
Обратим внимание на два
частных случая для прямой
l .
Если АМ – медиана (ВМ :
МС = 1 : 1), то BF = AC и
MF = AM(происходит
продолжение медианы на
свою длину) (рис.2).
Если АМ – биссектриса, то
треугольник АBF –
равнобедренный(по углам).
И «новый» отрезок ВF равен
стороне AВ. Продолжение
биссектрисы – отрезок MF
равен AMAC
AB (рис.3).
Прямую l будем называть
«суперпрямой».
Задача 1. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы
двух сторон, между которыми она заключена.
Решение. Пусть cAB (рис.4),
bAC , aBC и cmCM .
Пусть F – точка пересечения
прямой СМ и прямой,
проходящей через А
параллельно прямой ВС.
Ясно, что MBCMAF (по
стороне 2
c и двум
прилежащим углам).
Получили, что cmMCMF и aBCAF .
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
4
По неравенству треугольника для AFC имеем: cmba 2 или
2
bamc .
Теорема 1. (формула длины медианы). Длина медианы cm
треугольника со сторонами cba ,, , проведенной к стороне c ,
вычисляется по формуле: 2
22 222 cbamc .
Доказательство.
Продолжим медиану до
пересечения с прямой,
проходящей через А и
параллельной ВС(рис.5).
Ясно, что AFMBCM .
Откуда cmMF и aAF .
Пусть ACB . Тогда
180CAF .
Применим теорему
косинусов для треугольников АВС и AFC и получим систему
уравнений:
.180cos22
,cos2
222
222
abbam
abbac
c
Заметим, что cos180cos . Сложим эти уравнения в
системе и получим: 2222
222 bacmc .
Формула 22 22
2
1cbam a
c доказана.
Задача 2.Найти отношение суммы квадратов медиан треугольника
к сумме квадратов всех его сторон.
Рис. 5
5
Решение. Пусть a , b , c – стороны треугольника и am , bm , cm –
соответствующие им медианы. Применим формулу длины медианы
три раза и получим следующую систему:
.222
1
,222
1
,222
1
222
222
222
acbm
bcam
cbam
a
b
c
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим. Получим
равенство:
222222
4
3cbammm cba .
И искомое соотношение 4:3 .
Ответ: 4:3 .
Теорема 2(Свойство биссектрисы внутреннего угла
треугольника). Биссектриса угла треугольника делит
противоположную сторону на отрезки, пропорциональные
прилежащим сторонам.
Доказательство. Пусть a
и b - стороны
треугольника, f и g -
отрезки третьей стороны
(соответственно), на
которые её делит
биссектриса l . Тогда надо
доказать равенство g
f
b
a.
Доказательство теоремы проведем с помощью приведенного
дополнительного построения. Проведем «суперпрямую»,
параллельную АС, и продолжим биссектрису до пересечения в
Рис. 6
6
точке F. Ясно, что bBF (рис.6).Из подобия треугольников АМС и
FМВ (по углам) следует требуемое равенство: g
f
b
a.
Теорема 3. Длина биссектрисы cl треугольника со сторонами
cba ,, , проведенной к стороне c из угла , вычисляется по
формуле: ba
ab
lc2
cos2
.
Доказательство. Рассмотрим чертеж(рис.7). Запишем сумму
площадей треугольников АВМ и АМС:
2sin
22sin
2
lalb и
приравняем эту сумму площади
треугольника АВС.
sin22
sin22
sin2
balalb.
2cos
2sin2)(
2sin abbal .
В итоге получаем, что ba
ab
l 2cos2
и теорема доказана.
Задача 3. Доказать, что длина биссектрисы ( l ) треугольника,
заключенная между сторонами 10 и 15, меньше 12.
Решение. Используем формулу
ba
ab
l 2cos2
. Имеем, что
2cos12
2cos
1510
15102l
( BAC ). Так как
Рис. 8
Рис. 7
7
00 < < 0180 , то 00 <2
< 090 и 12
cos0 . Следовательно,
12l (рис.8).
Замечание. Данное утверждение ( 12l ) докажем с помощью
дополнительного построения - построение «суперпрямой».
Из подобия следует, что продолжение биссектрисы lMF3
2.
Тогда можно записать неравенство треугольника: ll3
21010 ,
из которого и получаем, что 12l .
Задача 4.
В равнобедренном треугольнике АВС ( BCAB ) биссектрисы AL
и ВН пересекаются в точке F. Известно, что 4:7: FLAF . Найти
отношение FHBF : .
Решение. Пусть xBF , yFH и fAF 7 (рис.9). Тогда
fFL 4 .
По свойству биссектрисы в
ABL верно равенство
BL
AB
f
f
4
7.
Пусть aAB 7 . Тогда aBL 4 .
По условию BCAB , тогда
aLC 3 .
Применим свойство биссектрисы
для треугольника АВС:
a
AC
a
a
74
3 и
4
21aAC .
В равнобедренном треугольнике биссектриса ВН является и
медианой, т.е.
aAC
AH8
21
2.
Отрезок AF – биссектриса в треугольнике АВН. Следовательно,
имеем равенство:
Рис. 9
8
a
a
y
x
821
7.
В итоге, 3
8
y
x.
Ответ: 3:8 .
Теорема 4. Справедливо следующее равенство: fgabl 2 , где a ,
b – стороны треугольника, l – биссектриса угла, образованного
сторонами a и b , f , g – отрезки третьей стороны, на которые ее
делит биссектриса l .
Доказательство. Пусть l – длина
биссектрисы, f , g – длины
отрезков, на которые она делит
сторону(рис.10).
По теореме косинусов:
cos2222 lffla .
cos2222 lgglb .
Умножив первое из этих равенств на g , второе на f и сложив,
получим: 222222 fgflgfglfbga .
))(( 222 gffglfbga (1).
По свойству биссектрисы имеем g
f
b
a.
Следовательно bg
fa , a
f
gb .
Тогда af
gfbb
g
fgafbga 22
(2).
Приравняем правые части уравнений (1) и
(2): abgabfgffgl ))(( 2 .
abfgl 2 .
fgabl 2 .
Теорема доказана.
Рис. 10
Рис. 11
9
Рассмотрим ещё несколько задач.
Задача 5. В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ равен 18 и
катет АС равен 24. Найти длину биссектрисы CL.
Решение. По теореме Пифагора имеем 222 2418BC , т.е.
30BC (рис.11).
По свойству биссектрисы 30
24
LB
AL, т.е.
5
4
LB
AL или ABAL
9
4.
Получили, что 8AL . Тогда 222 824CL . В итоге, 108CL .
Замечание.
Получив 8AL и 10LB , длину биссектрисы можно найти,
применив теорему 4, т.е. 10830242CL . Итак, 108CL .
Ответ: 108 .
Задача 6. В треугольнике АВС медиана ВМ, высота АH и биссектриса СЕ
пересекаются в одной точке Р. Известно, что 6AC , 8BC .
Найти высоту АН.
Решение. Через вершину А проведем параллельную ВС прямую и
продолжим отрезки ВМ
и СЕ до пересечения с
этой прямой в точках F
и L соответственно
(рис.12).
Заметим, что
8BCAF и
6ACLA ( CAL –
равнобедренный).
Пусть xCH и
xBH 8 .
Ясно, что CPH ~ LPA и BPH ~ FPA . Из этих подобий имеем
равенство:
Рис. 12
10
8
8
6
x
PA
PHx, откуда
7
24x .
По теореме Пифагора получаем:
49
6618
49
2442
7
246
222
22AH .
В итоге 7
336AH .
Ответ: 337
6.
Задача 7. В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону ВС в
отношении 1:2: CDBD . В каком отношении медиана СМ делит
эту биссектрису?
Решение. Пусть Р – точка пересечения биссектрисы AD и медианы
СМ. Пусть aMCAM (рис.13). Из условия, что 1:2: DCBD ,
следует, что aAC (по свойству биссектрисы BD).
Продолжим биссектрису AD до
пересечения с прямой,
проходящей через точку С
параллельно АВ. Рассмотрим
ACF . Так как ABCF || и AD
– биссектриса, то ACF -
равнобедренный треугольник,
и aCFAC .
Пусть xAP и yPD . Тогда
из подобия треугольников ADB и FDC получаем, что 2
yxDF .
Из равенства APM CPF следует равенство: PFAP , т.е.
2
yxyx . В итоге имеем 1:3: yx .
Ответ: 1:3 .
Рис. 13
11
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса
острого угла; отрезок, соединяющий ее основание с точкой
пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти острые углы
треугольника.
Задача 2. Найти площадь такого треугольника, сторонами которого
служат медианы треугольника с площадью, равной S.
Задача 3. Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы,
проведенные к серединам этих сторон, пересекаются под прямым
углом. Найти третью сторону треугольника.
Задача 4. В прямоугольном треугольнике АВС (АС – гипотенуза)
проведены высота BD и медиана ВМ. Отрезок BF делит DBM
пополам. Доказать, что BF – биссектриса и ABC .
Задача 5. Периметр равнобедренного треугольника равен 16.
Медиана, проведенная к боковой стороне, равна 17 . Найти
стороны треугольника.
Задача 6. В треугольнике АВС точка К – середина медианы ВМ.
Известно, что 7AB , 5BC , 6AK . Найти СК.
Задача 7. Построить биссектрис угла, вершина которого
недоступна, т.е. расположена за пределами листа бумаги.
Задача 8. Построить треугольник, если даны две стороны и
медиана, выходящие из общей вершины.
Задача 9. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов А и D
пересекают сторону ВС в точках М и К соответственно, а отрезки
АМ и DК пересекаются в точке Р. Найти длину стороны ВС, если
известно, что АВ = 15 и АР : РМ = 3 : 2.
Задача 10. В треугольнике АВС биссектриса AF и медиана BM
перпендикулярны. Найти площадь треугольника АВС, если длина
медианы равна m , а длина биссектрисы равна l .
Задача 11. В прямоугольном треугольнике медианы к катетам
равны 52 и 73 . Найти гипотенузу треугольника.
Задача 12. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника
АВС, если АВ = 12, АС = 15, ВС = 18.
Задача 13. Биссектриса угла при основании равнобедренного
треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок,
12
прилежащий к вершине треугольника, равен основанию. Доказать,
что и биссектриса равна основанию.
Задача 14. В равнобедренном треугольнике угол при вершине
содержит 036 , а биссектриса угла при основании равна 20 .
Найти длины сторон треугольника.
Задача 15. С помощью циркуля и линейки построить треугольник
по двум сторонам и биссектрисе угла, который образуют заданные
стороны.
© Специализированный учебно-научный центр НГУ, 2012