МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

Математика

8 класс

Многочлены

Новосибирск

2

Многочлены.

Рациональными называются выражения, составленные из чисел и

переменных с помощью знаков арифметических действий

(сложения, вычитания, умножения, деления).

Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит

деления на выражение с переменными.

Примерами целых рациональных выражений являются одночлены

и многочлены.

Одночленами называют числа, произведения чисел, произведения

чисел и натуральных степеней переменных.

Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все

входящие в одночлен числовые множители, а произведения

одинаковых переменных заменяют степенью этой переменной.

Числовой множитель называют коэффициентом одночлена, а

сумму показателей степеней переменных степенью одночлена.

Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов.

Говорят, что многочлен приведен к стандартному виду, если

каждый его член является одночленом стандартного вида и

приведены все подобные члены.

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней

одночленов, составляющих многочлен после приведения его к

стандартному виду.

Например, стандартным видом многочлена

yxxaxyxa2

1623 22 является многочлен xyxa22 , его

степень равна 3.

Сумма разность и произведение многочленов так же являются

многочленами.

Основной задачей теории многочленов является разложение

многочлена на множители.

Преобразование многочлена в произведение двух или нескольких

многочленов (среди которых могут быть и одночлены) называется

разложением многочлена на множители.

3

Задача разложения на множители считается решенной до конца,

если ни один из сомножителей, полученных в результате

преобразования, не допускает дальнейшего разложения.

Способы разложения многочлена на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

2. Использование формул сокращенного умножения.

3. Способ группировки.

4. Комбинирование методов разложения на множители.

Рассмотрим подробно каждый из этих способов.

1. Вынесение общего множителя за скобки(ВОМ).

Этот способ заключается в том, что каждый член многочлена

представляют в виде произведения, в котором один из

множителей является общим(одинаковым для всех одночленов).

Именно его и выносят за скобки на основе распределительного

закона умножения: )( bacbcac .

Приведем примеры.

Задача 1.

Разложить на множители:

а) 43323532 154510 bcacbacba ;

б) )2()4()2()3()2()1( yyyyyy

)2()10( yy .

Решение.

а) )392(5154510 223243323532 acabcbbcabcacbacba ;

б) Нетрудно заметить, что все произведения, входящие в сумму,

содержат общий множитель )2( y . Вынесем этот общий

двучлен и выполним преобразования:

)2()4()2()3()2()1( yyyyyy

)2()10( yy ))10()4()3()1)((2( yyyyy

)10431)(2( yyyyy

)2(22)2( yy .

Ответ: а) )392(5 2232 acabcbbca ; б) )2(2 y .

4

Вынесение общего множителя за скобки зачастую облегчает

поиск рационального способа решения многих задач. Приведем

пример.

Задача 2.

Найдите значение выражения xx 22 при 998x .

Решение.

Если начать с подстановки, то дальнейшие вычисления

( 99829982 ) являются трудоемким процессом. Если же

начать с вынесения общего множителя за скобки, то получим

«красивое» решение:

9980001000998)2998(998)2(22 xxxx .

Ответ: 998000.

2. Формулы сокращенного умножения (ФСУ).

Для того, чтобы применять ФСУ к разложению многочленов на

множители, надо уметь читать эти формулы не только слева

направо, но и справа налево. Например: если 222 2)( bababa , то и 222 )(2 bababa .

Напомним ФСУ(записанные справа налево):

1) 222 )(2 bababa ,

2) 222 )(2 bababa ,

3) 33223 )(33 bababbaa ,

4) 33223 )(33 bababbaa ,

5) ))((22 bababa ,

6) ))(( 2233 babababa ,

7) ))(( 2233 babababa .

Доказательство этих формул не представляет особого труда

(достаточно раскрыть скобки в правой части данных равенств).

Прежде чем разложить многочлен на множители, его пытаются

преобразовать так, чтобы можно было использовать одну из

этих формул.

Рассмотрим подробно тождественное преобразование, которое

называется выделением квадрата суммы (разности).

5

Задача 3.

В многочлене 22 449 yxyx выделить:

а)квадрат разности, содержащий первый и третий одночлены

б)квадрат суммы, содержащий первый и второй одночлены.

Решение.

а)Очевидно, что 22 )3(9 xx - квадрат первого члена в искомом

квадрате разности, а 22 )2(4 yy - квадрат второго члена. Недостающим слагаемым

является удвоенное произведение этих членов, т.е.

xyyx 12232 . Отнимем его и прибавим в исходном

многочлене и «свернем» квадрат разности по формуле:

xyxyyxyxyxyx 412)4129(449 2222

xyyx 16)23( 2 .

б) Ясно, что одночлен xy4 выступает в роли удвоенного

произведения, значит, нашу проблему в задаче можно

обозначить так: 222222 4)32)3((449 ymmmxxyxyx .

Найдем m . Так как mxxy 324 , то 3

2

6

4 y

x

xym .

Прибавим и отнимем недостающий в многочлене квадрат

второго члена и упростим выражение.

Получим:

2

22

222 43

2

3

2

3

232)3(449 y

yyyxxyxyx

2

2

9

32

3

23 y

yx .

Ответ: а) xyyx 16)23( 2 ; б) 2

2

9

32

3

23 y

yx .

Задача 4. Выделить квадрат суммы в многочлене:

884 2 xx

6

Решение.

21124224884 222 xxxxxx

121431422

xx .

Ответ: 12142

x

Задача 5.

Разложите на множители многочлен: а) 4

32 xx ; б) 44a ;

Решение.

а) 4

3

2

1

2

1

2

12

4

322

22 xxxx

12

12

x2

2

12

1x

2

3

2

11

2

11

2

1xxxx .

б) 222222224 424222)(4 aaaaaa

aaaaaa 2222)2(2 22222

2222 22 aaaa .

Ответ: а)2

3

2

1xx ; б) 2222 22 aaaa .

Выделение полного куба суммы (разности) осуществляется

аналогично, но немного сложнее. Разберем это преобразование

на конкретном примере.

Задача 6.

Выделить куб суммы в многочлене: 3223 868 yxyyxx .

Решение.

В данном многочлене есть слагаемые, которые являются

кубами:

куб первого члена - 3x , куб второго члена - 33 28 yy .

7

Тогда для полного куба суммы необходимо иметь два

утроенных произведения (утроенное произведение квадрата

первого члена на второй и утроенное произведение первого

члена на квадрат второго): yx 23 2 и 2)2(3 yx , т.е. yx26 и 212xy .

Прибавим и отнимем в данном многочлене недостающие

утроенные произведения, после чего «свернем» куб суммы по

формуле и приведем подобные слагаемые за скобками.

Получим: 22333223 68)8(868 xyyxyxyxyyxx 22223223 68126)8126( xyyxxyyxyxyyxx

223 182)2( xyyxyx .

Ответ: 223 182)2( xyyxyx .

Выделение других ФСУ особого труда не представляет.

3. Способ группировки.

Суть этого способа заключается в следующем: в данном

многочлене надо объединить в группы(сгруппировать) те

члены, которые имеют общие множители, и вынести за скобки

общий множитель каждой группы; если после этого у всех

получившихся групп окажется общий множитель в виде

многочлена, то его выносят за скобки.

Рассмотрим это преобразование на конкретных примерах.

Задача 7.

Разложите на множители многочлен: а) ababab 22 55 ;

б) aycycaacaycya 263612 2222 ; в) 22 2yxyx .

Решение.

a) Объединим первый и третий члены в одну группу, а

остальные – в другую. Выполняем преобразования так:

)()55(55 2222 abbaabababab

)()(5 abbaba )5)(( baab .

8

После вынесения общих множителей ( a5 из первой группы

и b из второй), обнаруживаем общий множитель )( ab ,

вынесение за скобки которого и завершает разложение.

б) 1 способ.

Объединим попарно слагаемые в три группы и применим

способ группировки:

aycycaacaycya 263612 2222

)2()63()612( 2222 aycycaacaycya

)2(1)2(3)2(6 caycayaccayay

)136)(2( acaycay .

2 способ.

Разложение можно выполнить этим же способом

группировки, но сгруппировать члены по другому: разбить

данный шестичлен на две группы по три слагаемых (для

отбора слагаемых в группы в качестве подсказки выступают

коэффициенты).

aycycaacaycya 263612 2222

)36()2612( 2222 cacaycayycaya

)136()136(2 acaccacayay

)2)(136( cayacay .

в) Очевидно, что сразу применить способ группировки

невозможно хотя бы потому, что количество слагаемых

нечетно. Попробуем преобразовать этот многочлен так,

чтобы получить четырехчлен. Оказывается, что это можно

сделать далеко не единственным способом:

1 способ (распишем 22y в виде 22 yy ).

)()(2 22222222 yxyyxyyxyxyxyx

)2)(()())(( yxyxyxyyxyx .

2 способ (используем метод «прибавить - вычесть»: xy ). 2222 22 yxyxyxyxyxyx

)2()2( 22 yxyxyx

))(2()2()2( yxyxyxyyxx .

3способ ( 22y ).

9

222222 2222 yyyxyxyxyx

)2()4( 222 yxyyx )2()2)(2( yxyyxyx

))(2()2)(2( yxyxyyxyx .

4способ ( 2x ).

)()22(22 222222222 xyxyxyxyxxxyxyx

)2)(()())((2 yxyxyxxyxyx .

Ответ: а) )5)(( baab ; б) )2)(136( cayacay ;

в) ))(2( yxyx .

4. Комбинирование методов разложения на множители.

В более сложных случаях разложение многочлена на

множители приходится осуществлять в несколько приемов.

Общего алгоритма разложения на множители нет, однако

можно рекомендовать придерживаться того же порядка, в

котором было построено наше объяснение.

Приведем несколько примеров.

Задача 8. Разложите на множители многочлен: а) 16x ;

б) 22233223 401538 cbabacbaabc ; в) 125 24 xx .

Решение.

а) 1111 332236 xxxx

1111 22 xxxxxx .

Разложение можно выполнить другим способом:

1111111 242423326 xxxxxxxxx

2222222 1)1)(1(12)(11 xxxxxxxxx

1111 22 xxxxxx .

Замечание. После применения формулы разности кубов исходный

многочлен уже разложен на множители: 111 24 xxxx .

Однако разложение нельзя считать законченным, т.к. 124 xx

раскладывается на множители, что мы и сделали.

Следовательно, любой многочлен выше первой степени надо

попытаться разложить на множители.

10

б) 22233223 401538 cbabacbaabc

)401538( 2223 abcbaabccab

))153()408(( 2223 baabcabccab

))5(3)5(8( 2 abcababccab

)38)(5( 2 abcabcab ;

в) 222222224 )3(1591105125 xxxxxxx

135135 22 xxxx .

Ответ: а) 1111 22 xxxxxx ;

б) )38)(5( 2 abcabcab ;

в) 135135 22 xxxx .

Многочлен n–ой степени и его корни.

Многочленом степени n от переменной x называется выражение

вида nnn

nnn axaxaxaxaxa 1

2

2

2

2

1

10 ... (1), где 0a , 1a , …,

na - некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена, а

x - переменная, причем 00a . Запись вида (1) называется

канонической. В ней приведены подобные среди одночленов и все

одночлены расположены в порядке убывания степеней переменной

x . Коэффициент na в выражении (1) называется свободным

членом. Слагаемое nxa0 называется старшим членом многочлена.

Для сокращения записи часто используют функциональную

символику для обозначения многочленов, например, многочлен (1)

обозначим символом )(xf :

nnn

nnn axaxaxaxaxaxf 1

2

2

2

2

1

10 ...)( .

Очевидно, что при 0x многочлен (1) принимает значение,

равное na , т.е. naf )0( . Таким образом, значение произвольного

многочлена при 0x равно свободному члену этого многочлена.

При 1x многочлен (1) принимает значение

nnn aaaaaaf 12210 ...)1( . Таким образом, значение

произвольного многочлена при 1x равно сумме всех

11

коэффициентов этого многочлена. Эти два замечания часто

используются при решении задач.

Многочленами называются не только выражения вида (1), но и

выражения, приводимые к этому виду с помощью раскрытия

скобок, приведения подобных членов, перестановки слагаемых.

Например, алгебраическое выражение )5)(2(3 22 xx есть

многочлен. После выполнения тождественных преобразований он

легко приводится к виду 73 24 xx или к канонической форме

записи: 7030 234 xxxx .

Рассмотрим операцию деления многочленов.

Определение. Разделить многочлен )(xf на многочлен )(xg с

остатком означает, найти такие многочлены )(xp и )(xr , что

)()()()( xrxpxgxf , где )(xr либо равен нулю, либо имеет

меньшую степень, чем многочлен )(xg . )(xf называется делимым,

)(xg - делителем, )(xp - неполным частным и )(xr - остатком от

деления )(xf на )(xg .

В курсе математики доказывается теорема о том, что деление

многочлена )(xf на многочлен )(xg с остатком всегда выполнимо

(при 0)(xg ), причем многочлены )(xp и )(xr определяются

однозначно.

В данной теме мы будем рассматривать деление без остатка. Итак,

если 0)(xr , то )()()( xpxgxf и тогда говорят, что )(xf

делится на )(xg . Например, равенство )1)(1(1 23 xxxx

показывает, что многочлен 1)( 3xxf делится на многочлен

1)( xxg и в частном получается многочлен 1)( 2 xxxp .

Запись )()()( xpxgxf означает, что многочлен разложен на

множители.

Деление многочлена на многочлен можно выполнять

«уголком»(аналогично делению чисел). Покажем это на примере

деления многочлена 1232176 234 xxxx на многочлен

482 xx . Делим старший член делимого на старший член

делителя, т.е. 4x на 2x , получаем 2x и записываем в начале

частного. Затем умножаем его на делитель и записываем результат

12

по степеням под делимым. Вычитаем и результат записываем под

горизонтальной чертой.

23

2234

2234

132

48

48|1232176

xx

xxxx

xxxxxx

(Обратите внимание: 222 13)4(17 xxx ).

Далее приписываем(сносим) следующий одночлен делимого, т.е.

x32 , и продолжаем деление. Делим 32x на 2x , получаем x2 .

Значит, в строку для частного приписываем x2 , затем

соответственно умножаем многочлен 482 xx на x2 и

продолжаем преобразование аналогично. В результате получаем

0

12243

12243

8162

32132

3248

48|1232176

2

2

23

23

2234

2234

xx

xx

xxx

xxx

xxxxx

xxxxxx

Разложение многочлена )(xf на множители позволяет понизить

степень уравнения, т.е. уравнение большой степени свести к

одному или нескольким уравнениям меньшей степени. Для

разложения многочлена n -й степени на множители и для

нахождения целых корней алгебраических уравнений n -й степени

полезно использовать следующие теоремы.

Теорема Безу.

Остаток от деления многочлена )(xf на ax равен значению

этого многочлена при ax , т.е. )(af .

Следствие из теоремы Безу.

Если a - корень многочлена )(xf , то этот многочлен делится на

ax .

13

Доказательство.

Произведем деление с остатком многочлена )(xf на ax ,

получим )(xf )()()( xrxgax , где )(xr - многочлен, степень

которого меньше степени делителя ax , т.е. степень )(xr равна 0.

Поэтому rxr )( - число. Значит, )(xf rxgax )()( (1).

Так как a является корнем )(xf , то 0)(af . И поэтому из (1)

получаем 0)()( ragaa . Отсюда 0r , а это и означает, что

многочлен )(xf делится на ax без остатка. Теорема доказана.

Теорема.

Если все коэффициенты многочлена

nnn

nnn axaxaxaxaxaxf 1

2

2

2

2

1

10 ...)(

являются целыми числами, то всякий целый корень этого

многочлена является делителем свободного члена na .

Доказательство.

Пусть c - целый корень многочлена )(xf , т.е.

0...)( 1

2

2

2

2

1

10 nnn

nnn acacacacacacf .

Тогда )...( 1

1

2

3

2

2

1

1

0 nn

nnn

n acacacacaca .

Так как число, стоящее в скобках, является целым (ибо все

коэффициенты 110 ,...,, naaa так же как и число c , - целые), то na

делится на c . Теорема доказана.

Последние две теоремы значительно облегчают отыскание целых

корней многочленов с целыми коэффициентами. Для этого

необходимо взять свободный член многочлена )(xf и выписать

все его делители (как положительные, так и отрицательные). После

этого надо найти один из корней многочлена )(xf (подставить

поочередно эти делители в данный многочлен и выяснить, какой из

них обращает многочлен в нуль). Согласно следствию из теоремы

Безу многочлен )(xf делим на двучлен ax , где a - найденный

корень, получаем )()()( xgaxxf .

Ясно, что степень многочлена )(xg на единицу меньше степени

многочлена )(xf . Затем аналогично находим один из корней

14

многочлена )(xg - 1a и делим его на соответствующий двучлен

1ax и т.д..

Продолжаем эту операцию до тех пор, пока не получим квадратный

трехчлен, корни которого найдем по известной формуле.

Применение разложения на множители. Итак, с помощью описанного способа можно решать многие

задачи.

разложение многочлена n -й степени на множители;

сокращение дробей;

задачи на делимость;

нахождение целых корней алгебраических уравнений n -й

степени.

Проиллюстрируем это на конкретных примерах.

Задача 9.

Разложите на множители многочлен 613272 234 xxxx .

Решение.

Обозначим данный многочлен - )(xf .

Целые корни многочлена следует искать среди делителей

свободного члена 6: 6,3,2,1 . Легко заметить, что 0)1(f ,

значит, 1x является корнем многочлена и поэтому )(xf

делится на 1x .

0

66

66

77

137

99

29

679222

1|613272

2

2

23

23

2334

234

x

x

xx

xx

xx

xx

xxxxx

xxxxx

15

Тогда )6792)(1()( 23 xxxxxf .

Разложим на множители многочлен 6792)( 23 xxxxg .

Свободный член -6 имеет делители: 6,3,2,1 . Подставляем

эти числа в многочлен )(xg поочередно.

06792)1(g ,

06792)1(g ,

06272922)2( 23g ,

061436166)2(7)2(9)2(2)2( 23g

Итак, один корень найден 2x . Делим многочлен )(xg на

двучлен 2x .

0

63

63

105

75

35242

2|6792

2

2

223

23

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

Имеем: )352)(2()( 2 xxxxg .

Для разложения квадратного трехчлена на множители решаем

соответствующее квадратное уравнение 0352 2 xx .

Получаем корни 2

11x , 32x . И тогда разложение

принимает вид : )3)(12()3)(2

1(2352 2 xxxxxx .

Итак, данный многочлен разложен на множители:

613272 234 xxxx )3)(12)(2)(1( xxxx .

Ответ: )3)(12)(2)(1( xxxx .

Задача 10.

Решите уравнение 0152162 234 xxxx (1).

16

Решение.

Целые корни данного уравнения нужно искать среди делителей

свободного члена 15: 15,5,3,1 . Легко заметить, что 1x

является одним из его корней(сумма коэффициентов

многочлена, стоящего в левой части уравнения, равна нулю).

Значит, многочлен, стоящий в левой части уравнения (1)

делится на двучлен )1(x .

0

1515

1515

1313

213

33

163

15133

1|152162

2

2

23

23

2334

234

x

x

xx

xx

xx

xx

xxxxx

xxxxx

Получаем уравнение 0151331 23 xxxx ,

равносильное уравнению (1).

Для нахождения остальных корней исходного уравнения нужно

решить уравнение третьей степени 015133 23 xxx (2),

аналогично подбирая один из его корней среди делителей

свободного члена (-15).

Подстановкой находим корень 1x .

Делим «уголком» многочлен 015133 23 xxx на двучлен

)1(x .

17

0

1515

1515

22

132

152

1|15133

2

2

223

23

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

Значит, для нахождения оставшихся корней нужно решить

квадратное уравнение 01522 xx . Это дает два корня 3 и

5 .

Таким образом, исходное уравнение четвертой степени имеет

четыре корня: 3;1;1;5 .

Ответ: 3;1;1;5 .

Задача 11.

Решите уравнение 02024 xx (1).

Решение.

1 способ.

Решим данное уравнение(1), разложив многочлен, стоящий в

его левой части, на множители способом группировки.

41641620 242424 xxxxxx

52254444 222222 xxxxxxxx .

В итоге получили уравнение, равносильное данному.

0522 2xxx .

Отсюда 02x или 02x или 052x .

Так как многочлен 52x принимает только положительные

значения при любом x , то уравнение 052x корней не

имеет.

Следовательно, корнями исходного уравнения(1) являются

числа: 2 и -2.

18

2 способ.

Целые корни уравнения нужно искать среди делителей

свободного члена (-20): 20,10,5,4,2,1 .

Легко проверить, что 2x , является одним из корней данного

уравнения(1).

Делим многочлен, стоящий в левой части уравнения, на

двучлен 2x . Заметим, что делимое удобнее представить в

каноническом виде: 2000 234 xxxx .

0

2010

2010

105

05

42

2

10522

2|2000

2

2

23

23

2334

234

x

x

xx

xx

xx

xx

xxxxx

xxxxx

Аналогично подбором среди делителей свободного члена

многочлена 1052 23 xxx находим корень 2x .

Делим многочлен 1052 23 xxx на двучлен 2x .

0

105

105

52

2|1052

223

23

x

x

xxx

xxxx

Итак, разложением левой части на множители, получили

уравнение, равносильное данному (1): 0522 2xxx ,

корни которого уже найдены.

Ответ: 2 .

19

Задача 12.

Сократите дробь 233

5523

3

xxx

x.

Решение.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби

отдельно.

)1)(1(5)1(555 233 xxxxx ,

233 23 xxx 222 223 xxxxx

)2()2()2()2()2()2( 2223 xxxxxxxxxx

)1)(2( 2 xxx .

Сокращаем дробь:

)1)(2(

)1)(1(5

233

552

2

23

3

xxx

xxx

xxx

x

)2(

)1(5

x

x.

Ответ: )2(

)1(5

x

x.

Задача 13.

Сократите дробь: 13175

265223

23

aaa

aaa.

Решение.

1 способ.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби

отдельно.

)1852()8(2652 2323 aaaaaa

)2)(92()42)(2( 2 aaaaa

)9242)(2( 2 aaaa )134)(2( 2 aaa .

Квадратный трехчлен 1342 aa на множители не

раскладывается ( D <0).

13175 23 aaa )12175()1( 23 aaa

)134)(1()1)(125()1)(1( 22 aaaaaaaa .

Сокращаем дробь:

1

2

)134)(1(

)134)(2(

13175

26522

2

23

23

a

a

aaa

aaa

aaa

aaa.

20

2 способ. Разложим многочлен, стоящий в числителе,

2652 23 aaa (1) на множители. Найдем один из корней

многочлена среди делителей его свободного члена 26:

26,13,2,1 . Подбором выясняем, что 2a является

корнем многочлена. Делим многочлен(1) на двучлен 2a .

0

2613

2613

84

54

1342

2|2652

2

2

223

23

a

a

aa

aa

aaaa

aaaa

Итак, получаем разложение числителя дроби на множители.

)134)(2(2652 223 aaaaaa .

Квадратный трехчлен 1342 aa разложить на множители

невозможно( D <0).

Выполняем аналогичные действия с многочленом, стоящим в

знаменателе данной дроби 13175 23 aaa (2).

Легко видеть, что 1a , является корнем многочлена

13175 23 aaa (сумма его коэффициентов равна 0).

Делим многочлен (2) на двучлен 1a .

0

1313

1313

44

174

134

1|13175

2

2

223

23

a

a

aa

aa

aaaa

aaaa

Получили разложение многочлена (2) на множители:

13175 23 aaa )134)(1( 2 aaa .

21

Сокращаем дробь:

1

2

)134)(1(

)134)(2(

13175

26522

2

23

23

a

a

aaa

aaa

aaa

aaa.

Ответ: 1

2

a

a.

Задача 14.

Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена

33 23 nnn кратно 48.

Решение.

Разложим многочлен на множители способом группировки:

133333 2223 nnnnnnnn

113 nnn .

Т.к. n нечетное число, то 12kn , где k .

Подставив вместо n выражение 12k в полученное

произведение, имеем:

12822242113 kkkkkknnn

218 kkk .

Произведение 21 kkk есть произведение трех

последовательных целых чисел, значит оно кратно и 2, и 3,

следовательно, оно кратно 6.

Поэтому 218 kkk кратно 48.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Разложите на множители многочлен:

а) 1629

1 2 xx ;

б) 644y ;

в) 1449 22 xxa ;

г) 8365427 23 xxx ;

д) 642 100

9

1cba ;

е) yxyx 542 243 .

22

2. Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена nn3

делится на 24.

3. Докажите, что выражение

2

2

4

16238 babbaa тождественно

равно кубу двучлена.

4. В многочлене 2342 41025 yayya выделите полный квадрат

суммы, содержащий: а) первый и второй одночлены; б) первый и третий одночлены; в) второй и третий одночлены.

5. Разложите на множители многочлен способом группировки:

а) xxyyx 63404556 2;

б) ababbaa 625821 223;

в) 222222 baxaxbxba .

6. Докажите, что значение многочлена nnn 45 35 при любом

натуральном n делится на 60.

7. Докажите, что для любых чисел m и n верно неравенство

0234

5 22 nmnm .

8. Известно, что при некоторых значениях x и y значение разности

yx равно 9. Найдите при тех же значениях x и y значение

выражения 1311 22 yxxyxyyyxx .

9. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, увеличенное на 1, является квадратом целого числа.

10. Разложите на множители многочлен:

а) 1232159 23 xxx ;

б) 51392 234 xxxx .

11. Решите уравнение:

а) 021119 23 xxx ;

б) 032532034 2 ccccc .

12. Сократите дробь:

а) 31092

1520523

2

xxx

xx;

б) nnnn

nnnn

132210

139129234

234

.

23

13. Докажите, что алгебраическое выражение

2232

62 2

24

248

xxx

xxx тождественно равно одночлену.

14. Решите уравнение 024503510 234 xxxx двумя

способами. 15. Применяя способы разложения на множители, найдите значение

выражения: 6336

636

3366

326.

16. Разложите на множители выражение: 333 )()()( axbbxaxba .

© Специализированный учебно-научный центр НГУ, 2012