1. เขี�ยนความสั�มพั�นธ์�แบบแจกแจงหรื�อแบบบอกเง��อนไขีได้� 2. หาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�ได้� 3. เขี�ยนกรืาฟขีองความสั�มพั�นธ์�ที่��ก"าหนด้ให�ได้� 4. หาอ$นเวอรื�ขีองความสั�มพั�นธ์�ที่��ก"าหนด้ให�ได้�พัรื�อมที่�%งหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�ได้� 5. เขี�ยนกรืาฟขีองอ$นเวอรื�ขีองความสั�มพั�นธ์�ที่��ก"าหนด้ให�ได้�

41. ค&'อ�นด้�บ ม('งให�ผู้&�เรื�ยนสัามารืถบอกได้�ว'า ค&'

อ�นด้�บ 2 ค&'ที่��ก"าหนด้ให�เที่'าก�นหรื�อ ไม' และน"าความรื&�ในเรื��องน�%ไปใช้�ได้�

เรื��องขีองความสั�มพั�นธ์�จะเก��ยวขี�องก�บเรื��อง ขีองค&'ล"าด้�บ

และผู้ลค&ณคารื�ที่�เช้�ยน ด้�งน�% ค&'ล"าด้�บ (Ordered pairs)

ค&'ล"าด้�บ (a, b) ค�อค&'สัมาช้$กที่��ม� a เป.นสัมาช้$กตั�วหน�า หรื�อพั$ก�ด้ x b เป.นสัมาช้$กตั�วหล�ง หรื�อพั$ก�ด้ y (a, b) = (c, d) ก0ตั'อเม��อ a = c และ b = c

(a, b) = (b, a) เม��อ a = b

ตั�วอย่�าง จงหาค่�าของ X และY ในแตั�ละข�อตั�อไปน��1 . ( x , x + 2 ) = ( 7 , y )

ตั�วอย่�าง จงหาค่�าของ X และY ในแตั�ละข�อตั�อไปน��2 . ( x - 1 , y + 2 ) ≠ ( 5 , 3 )

ตั�วอย่�าง จงหาค่�าของ X และY ในแตั�ละข�อตั�อไปน��3 . ( , 3 ) = ( 4 , y – 1 )

y

x 2

ตั�วอย่�าง จงหาค่�าของ X และY ในแตั�ละข�อตั�อไปน��4 . ( 3x + y , – 13 ) = ( 3 , x – 2y )

4 2. ผู้ลค&ณคารื�ที่�เซี�ยน มุ่��งให�ผู้��เรี�ย่นสามุ่ารีถ

1. เข�ย่นผู้ลค่�ณค่ารี!ที�เชี�ย่ลของเซตั 2 เซตัที�%กำ'าหนดให�ได�

2. บอกำจ'านวนสมุ่าชี*กำของผู้ลค่�ณค่ารี!ที�เชี�ย่ลของเซตัจ'ากำ�ด 2 เซตัที�%กำ'าหนดให�ได�

ผู้ลค&ณคารื�ที่�เซี�ยน (Cartesian Product)บที่น$ยาม

ผู้ลค&ณคารื�ที่�เซี�ยนขีองเซีตั A และ B ค�อ เซีตัขีองค&'อ�นด้�บ (a,b) ที่�%งหมด้ โด้ยที่�� a เป.นสัมาช้$กขีองเซีตั A

และ b เป.นสัมาช้$กขีองเซีตั B ผู้ลค&ณคารื�ที่�เซี�ยนขีองเซีตั A และ B เขี�ยนแที่นด้�วย A x B

เขี�ยน A x B ในรื&ปแบบบอกเง��อนไขีได้�ด้�งน�%A x B = {( a ,b ) | a A และ b B }

ตั�วอย'าง ก"าหนด้ A = {2,4,6} , B = {a,b}

จะได้� A x B =

2{ ( ,a), 2( ,b) , (4 , ) ,a 4( ,b) , (6 , ) ,a }6 ( ) =6

} } } = 2{ (a, ), 4(a, ) , 6(a, ) , 2(b, ) , 4(b, ) , 6(b, ) }

n(B x A) =6

} } }= { (,) , (a,b) , (b,a) , (b,b) }

n(B x B) =4

สัรื(ป ถ�า n(A) = m , n(B) = n จะได้� n( A x B) = mn

ตั�วอย'าง ก"าหนด้ A = {1,2,3} , B = {2,3} , C = {3,5}

จงหา )( CBA

ว$ธ์�ที่"า ห า

CB

จะได้� CB = { 3 }

ด้�งน�%น )( CBA = { (1 ,3 ) , (3,3) } 23( , ) ,

ตั�วอย'าง

ก"าหนด้ A = { 1 , 3, 4 } , }={ } จงหา A x B

ว$ธ์�ที่"า จะได้� A x B = { }

ตั�วอย'าง ก"าหนด้ A = {1,2,3} , B = {2,3} , C = {3,5}

จงหา )()( CABA

ว$ธ์�ที่"า จะได้� BA

ด้�งน�%น

= 12{ ( , ) , 13( , ) , 22( , ) ,23( , ) , 32( , ) , (3,3) }

CA = { 13( , ) , 15( , ) ,23( , ) , 25( , ) , (3,3) , 35( , ) }

= 13{ ( , ), 23( , ) , (3,3) })()( CABA

สัมบ�ตั$ที่��สั"าค�ญ

1 )()( CABA )( CBA =

2. )( CBA = )()( CABA

3. )( CBA = )()( CABA

ความสั�มพั�นธ์� (relation)น$ยาม

r เป.นความสั�มพั�นธ์� จาก A ไป B ก0ตั'อเม��อr เป.นสั�บเซีตัขีอง A x B

ตั�วอย'าง ก"าหนด้ให� A = { 1, 2 ,3 ,4 } , B = { 0, 2 ,4 ,6 }

ให� r แที่นความสั�มพั�นธ์� “ มากกว'า” จาก A ไป B

จะได้� r = { (1,0) ,(2,0) ,(3,0) ,(3,2) ,(4,0) ,(4,2) }

หรื�อr = { (x,y) A x B | a > b }

ตั�วอย'าง ก"าหนด้ A = { x | x เป.น จ"านวนเตั0ม }

} } } = { | เป.น จ"านวนเตั0มบวก }

ถ�า r1 = { (x,y) A x B | y = x2 } เขี�ยน r1 แบบแจกแจงสัมาช้$กได้�ด้�งน�%

r1 = { (1,1) ,(-1,1) ,(2,4) ,(-2,4) ,(3,9) ,(-3,9) , . . . }

ตั�วอย'าง ก"าหนด้ A = { 2,3,4 } B = { 2,4,6 }จงหาความสั�มพั�นธ์�ตั'อไปน�%แบบแจกแจงและแบบบอกเง��อนไขี 1. r1 “ ” เป.นความสั�มพั�นธ์� หารืลงตั�ว จากเซีตั A ไปเซีตั B

r1 = --------------------------------------------------

r1 = --------------------------------------------------

2. r2 “ เป.นความสั�มพั�นธ์� น�อยกว'าอย&' 2 ” จากเซีตั A ไปเซีตั B

r2 = --------------------------------------------------

r2 = --------------------------------------------------

ตั�วอย'าง ก"าหนด้ A = { 2,3,4 } B = { 2,4,6 }จงหาความสั�มพั�นธ์�ตั'อไปน�%แบบแจกแจงและแบบบอกเง��อนไขี

3. r3 “ ” เป.นความสั�มพั�นธ์� ก"าล�งสัอง จากเซีตั B ไปเซีตั A

r3 = --------------------------------------------------

r3 = --------------------------------------------------

4. r4 “ ” เป.นความสั�มพั�นธ์� มากกว'าสัองเที่'าอย&'หน4�ง จากเซีตั A ไปเซีตั B

r4 = --------------------------------------------------

r4 = --------------------------------------------------

ตั�วอย่�างที�%3 ให� A = { 0 , 1 , 2 , 3 } , B = { 0 , 2 , 4 ,6 , 9 } จงเข�ย่นค่วามุ่ส�มุ่พั�นธ์! ตั�อไปน��แบบบอกำเง-%อนไข

1. { ( 0 , 0 ) , ( 2 , 2 ) } …………………………………………………………….

2 . { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 )} ………………………………………….

3 . { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6 )} ………………………………………….

4 . { ( 0 , 0 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 9 )} …………………………………………………..

5 . { ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 3 , 0 ) , ( 3 , 2 )} ………………………………………….

4 .โด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

มุ่��งให�ผู้��เรี�ย่นสามุ่ารีถ1. หาโดเมุ่นของค่วามุ่ส�มุ่พั�นธ์!ที�%

กำ'าหนดให�ได�2. หาเรีนจ!ของค่วามุ่ส�มุ่พั�นธ์!ที�%

กำ'าหนดให�ได�

โด้เมนและเรืนจ� โด้เมนและเรืนจ�บที่น$ยาม

ให� r แที่นความสั�มพั�นธ์�จาก A ไป B โด้เมนขีอง r ค�อสัมาช้$กตั�วหน�าขีองค&'อ�นด้�บใน r

เขี�ยนแที่นโด้เมนขีอง r ด้�วย Dr

เรืนจ�ขีอง r ค�อสัมาช้$กตั�วหล�งขีองค&'อ�นด้�บใน r เขี�ยนแที่นเรืนจ�ขีอง r ด้�วย Rr

ตั�วอย'าง ก"าหนด้ r1 = { (1,2) ,(2,3) ,(3,4) ,(4,5) }

จะได้� D = r1

1 2 3 4{ , , , } = { 2 , 3, 4, 5 }r1

,

ก"าหนด้ r = { (x,y) I+x I+ | y = 2x }

เขี�ยน r แบบแจกแจงได้�r = 1{ ( , 2) , 24 36 48( , ) , ( , ) ,( , ) , . . . }

1 2 3{ , , , …} = { x | x เป.นจ"านวนเตั0มบวก }} r = 2 4 6{ , , ,…} = { x | x เป.นจ"านวนเตั0มบวกค&' }

ด้�งน�%น Dr =

ตั�วอย'าง1. ก"าหนด้ r1 = { (3,5) ,(-2,3) ,(4,0) ,(-5,-3) }

จะได้� D = r1

R =r1

,

2. ก"าหนด้ r = { (x,y) Nx N | 2x-y ≥ 7 และ x ≤ 5 }

เขี�ยน r แบบแจกแจงได้�r =

} r =

ด้�งน�%น Dr =

4.การืหาโด้เมนและเรืนจ�จากกรืาฟ4.การืหาโด้เมนและเรืนจ�จากกรืาฟ

การืหาโด้เมน ให�ด้&เสั�นกรืาฟตัามแนวแกน X ว'าเรื$�มตั�นและ สั$%นสั(ด้ที่��ใด้ ก0จะได้�ค'าโด้เมน

การืหาเรืนจ� ให�ด้&เสั�นกรืาฟตัามแนวแกน Y ว'าเรื$�มตั�นและสั$%นสั(ด้ที่��ใด้ ก0จะได้�ค'าเรืนจ�

ตั�วอย'าง ก"าหนด้กรืาฟ r ด้�งรื&ป จงหาโด้เมน และเรืนจ�ขีอง r

O 9

3

โด้เมนขีอง r ค�อ เรืนจ�ขีอง r ค�อ

( เงากำรีาฟที�%แกำน X )

( เงากำรีาฟที�%แกำน Y )

09[ , ]

[0,3]

กำารีหาโดเมุ่นและเรีนน!จากำกำรีาฟ

1. 2.

3. 4.

................................................ rr RD

................................................ rr RD ................................................ rr RD

................................................ rr RD ................................................ rr RD

ตั�วอย่�าง จงหา และ ของค่วามุ่ส�มุ่พั�นธ์!ตั�อไปน�� 1. r = { ( x , y ) R × R / 3x – 5y – 2 = 0 }

กำารีหาโดเมุ่นและเรีนน!รี�ปตั�างๆ

1. r = { ( x , y ) / } dcx

baxy

ส�ตัรี

}{..}.........{c

aRR

c

dRD rr

rDrD

rD rR

2. r = { ( x , y ) R × R / }

x

xy

54

32

ว$ธ์�ค$ด้ 1. จ�ด้รื&ปให�เป.นก"าล�งสัองสัมบ&รืณ�

2. ใช้�ค(ณสัมบ�ตั$การืเที่'าก�น

2 . r = { ( x , y ) / = ( ) }

กำารีหาโดเมุ่นและเรีนน!รี�ปแบบกำ'าล�งสอง ( )

2

ตั�วอย่�าง r = { ( x , y ) R × R / }

222 xxy

ว$ธ์�ค$ด้ 1. จ�ด้รื&ปให� ขี�างใด้ขี�างหน4�งม�ค'าสัมบ&รืณ�

อย'างเด้�ยว 2. ใช้�ค(ณสัมบ�ตั$การืเที่'าก�น

3. r = { ( x , y ) / = }

กำารีหาโดเมุ่นและเรีนน!รี�ปแบบค่�าสมุ่บ�รีณ! ( )

ตั�วอย่�าง r = { ( x , y ) R × R / }

563 xy

ว$ธ์�ค$ด้ 1. ใช้�กรืาฟซี4�งจ(ด้เรื$�มตั�นที่�� ( h , k ) ขีนาด้

C 2. โด้เมนด้&ที่��แกน x เรืนน�ด้&ที่�� แกน y

5. r = { ( x , y ) / x-h + y-k = C }

กำารีหาโดเมุ่นและเรีนน!รี�ปแบบ

ตั�วอย่�าง r = { ( x , y ) R × R / }

41 yx

4. r = { ( x , y ) / (x-h ) + ( y-k ) = C }

2 2

ว$ธ์�ค$ด้ 1. จ�ด้รื&ปให� ขี�างใด้ขี�างหน4�งม� อย'าง

เด้�ยว 2. ใช้�ค(ณสัมบ�ตั$การืเที่'าก�น

6. r = { ( x , y ) / = }

กำารีหาโดเมุ่นและเรีนน!รี�ปแบบค่�าสมุ่บ�รีณ! ( )

ตั�วอย่�าง r = { ( x , y ) R × R / }

125 xy

ความสั�มพั�นธ์�อย&'ในเครื��องหมาย root หาโด้เมน จ"านวนที่��อย&'ใน root ตั�องม�ค'า

มากกว'า หรื�อ เที่'าก�บ 0 แล�วแก�สัมการืหาค'า x เรืนจ� ค�อค'าขีอง y ตั�องม�ค'ามากกว'า หรื�อ

เที่'าก�บ 0 เสัมอ

baxy

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์� }3/),{( xyyxr

}3/{ xxDr}0/{ yyRr

ค$ด้แบบน�%ครื�บ

3x03x ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์� }25/),{( xyyxr

}/{ 52 xxDr}0/{ yyRr

ค$ด้แบบน�%ครื�บ

025 x

5

2x ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�xy 34

}3

4/{ xxDr

}0/{ yyRr

ค$ด้แบบน�%ครื�บ

034 x43 x

3

4x

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

ค$ด้แบบน�%ครื�บ

42 xy

042 x

0)2)(2( xx

}22/{ xxxDr หรี-อ}0/{ yyRr

- 2 2-

2 x หรี-อ -2x

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

ค$ด้แบบน�%ครื�บ

52 xy

052 x

0)5)(5( xx

}55/{ xxxDr หรี-อ}0/{ yyRr

- 5 5-

5 x หรี-อ 5-x

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

94 2 xy

094 2 x

0)32)(32( xx

}2

3

2

3/{ xxxDr หรี-อ

}0/{ yyRr

-

23

23

-

23 x หรี-อ

23

x

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

24 xy 04 2 x

0)2)(2( xx}22/{ xxDr

}20/{ yyRr

- 2 2-

22 x

042 x042 x ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

225 xy 025 2 x

0)5)(5( xx}55/{ xxDr

}50/{ yyRr

- 5 5-

55 x

0252 x0252 x ตัอบ

ตั�วอย'าง จงหา โด้เมนและเรืนจ� ขีอง r เม��อก"าหนด้r = { (x,y) | }92 xy

ว$ธ์�ที่"าหาโดเมุ่น จากำ 92 xy

จะหาค่�า y ได�กำ1ตั�อเมุ่-%อ x2 - 9 0

-3 3(x )(x+ ) 0

ด�งน��น x -3หรี-อ x 3

ด้�งน�%นโด้เมน r = }33|{ xxRx

หาเรีนจ! จากำ x2 - 9 0

จะได� 092 x

ด�งน��นเรีนจ! r = }0|{ yRy

สัรื(ป 1. ความสั�มพั�นธ์�ในรื&ป

baxy

}0/{ baxxDr }0/{ yyRr

a 2x yธ์!ในรี�ปค่วามุ่ส�มุ่พั�น 2.

}/{ axaxxDr หรี-อ

}0/{ yyRr

สัรื(ป 3. ความสั�มพั�นธ์�ในรื&ป

2xay

}/{ axaxDr

}0/{ ayyRr

ความสั�มพั�นธ์�อย&'รื&ปเศษสั'วนหาโด้เมน เศษสั'วนที่(กจ"านวนสั'วนตั�องไม'

เที่'าก�บ 0 แล�วแก�อสัมการืเรืนจ� ค�อค'าขีอง y ; y ไม'ม�โอกาสั

เป.น 0

cbxa

y

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

52

3

xy 052 x

2

5x

}2

5/{ xxDr

}0/{ yyRr

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

73

1

xy

073 x

3

7x

}3

7/{ xxDr

}0/{ yyRr

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

xy

72

4

072 x

27 x

}7

2/{ xxDr

}0/{ yyRr

7

2x

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

6

3

xx

y

xxy 3)6( xyxy 36

}6/{ xxDr

}3/{ yyRr

yxxy 63 yyx 6)3(

3

6

yy

x

03y3y

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

43

2

xx

y

xxy )43(xyxy 243

}3

4/{ xxDr

}3

2/{ yyRr

yxxy 423 yyx 4)23(

23

4

yy

x

023 y

3

2y

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

xx

y52

xxy )52(xxyy 52

}5

2/{ xxDr

}5

1/{ yyRr

yxxy 25 yxxy 25 yyx 2)15(

15

2

yy

x

015 y5

1y

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

xx

y

2

3

14

5

xx

y

}2/{ xxDr

}3/{ yyRr

}4

1/{ xxDr

}4

5/{ yyRr

ตัอบ ตัอบ

สัรื(ป ความสั�มพั�นธ์�อย&'รื&ปเศษสั'วน 1. ความสั�มพั�นธ์�ในรื&ป

cbxa

y

}0/{ cbxxDr }0/{ yyRr

cbxax

y

ธ์!ในรี�ปค่วามุ่ส�มุ่พั�น 2.

}0/{ cbxxDr }/{ba

yyRr

สัรื(ป การืหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• การืหาโด้เมน จ�ด้รื&ป y = f(x) แล�วพั$จารืณาด้&ว'า x เป.นอะไรืได้�บ�าง

• การืหาเรืนจ� จ�ด้รื&ป x = f(y) แล�วพั$จารืณาด้&ว'า y เป.นอะไรืได้�

บ�าง

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ5)3( 2 xy

5)3( 2 yx

}/{ RxxDr

}5/{ yyRr

5)3( yx

35 yx

05y

5)3( 2 xy

5y

ตัอบ

จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองความสั�มพั�นธ์�

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

}1/{ xxDr

}1/{ yyRr

1

1

xx

y

1)1( xxy

1 xyxy1 yxxy

1)1( yyx

1

1

yy

x

ตัอบ

ตั�วอย'าง ก"าหนด้ให� r1 = {(x,y) I x I / y = 7 + 4x}

Dr = {x / x I} ; Rr = {x / x I}

r2 = {(x,y) R x R / y = 5 - 2x}

Dr = {x / x R} ; Rr = {x / x R}

r3 = {(x,y) / y = 9x - 5}

Dr = {x / x R} ; Rr = {x / x R}

5.กรืาฟขีองความสั�มพั�นธ์�

กรืาฟความสั�มพั�นธ์� กรืาฟความสั�มพั�นธ์�บที่น$ยาม ให� R เป.นเซีตัจ"านวนจรื$ง r เป.นสั�บเซีตัขีอง R x R

กรืาฟขีองความสั�มพั�นธ์� r ค�อ เซีตัขีองจ(ด้ในรืะนาบ โด้ยที่��แตั'ละจ(ด้แที่นสัมาช้$กขีองความสั�มพันธ์� r

ล�กษณะกรืาฟขีองรื&ปสัมการืและอสัมการืตั'างๆล�กษณะกรืาฟขีองรื&ปสัมการืและอสัมการืตั'างๆ

1 . aX + bY + c = 0

2. y = x2

3. x2 + y2

= r2

x = y2

ล�กษณะกรืาฟขีองรื&ปสัมการืและอสัมการืตั'างๆล�กษณะกรืาฟขีองรื&ปสัมการืและอสัมการืตั'างๆ

4. y = x

xy .5

yx .6

x = | y |

yx

ล�กษณะกรืาฟขีองรื&ปสัมการืและอสัมการืตั'างๆล�กษณะกรืาฟขีองรื&ปสัมการืและอสัมการืตั'างๆ

cyx .7

cyx .8

cyx .9

ล�กษณะกรืาฟขีองรื&ปสัมการืและอสัมการืตั'างๆล�กษณะกรืาฟขีองรื&ปสัมการืและอสัมการืตั'างๆ3.10 xy 3yx

ตั�วอย'าง จงเขี�ยนกรืาฟความสั�มพั�นธ์� r = }|),{( 2xyIIyx

(1,1)

(0,0)

(2,4)

-( 1,1)

-( 2,4)

( กำรีาฟมุ่�ล�กำษณะเป4นจ�ด )

ตั�วอย'าง จงเขี�ยนกรืาฟความสั�มพั�นธ์� r = }|),{( 2xyRRyx

(1,1)

(0,0)

(2,4)

-( 1,1)

-( 2,4)

( กำรีาฟมุ่�ล�กำษณะเป4นเส�น เน-%องจากำโดเมุ่นค่-อ R )

ตั�วอย'าง จงเขี�ยนกรืาฟความสั�มพั�นธ์� r = }31|),{( xRRyx

(กำรีาฟมุ่�ล�กำษณะเป4นพั-�นที�%)

7.กรืาฟอ$นเวอรื�สัขีองความสั�มพั�นธ์�6.อ$นเวอรื�สัขีองความสั�มพั�นธ์�

อ$นเวอรื�สัขีองความสั�มพั�นธ์� ม('งให�ผู้&�เรื�ยนสัามารืถ1. หาอ$นเวอรื�สัขีองความสั�มพั�นธ์�ที่��ก"าหนด้ให�

ได้�2. บอกโด้เมนและเรืนจ�ขีองอ$นเวอรื�สัความ

สั�มพั�นธ์�ที่��ก"าหนด้ให�ได้�3. เขี�ยนกรืาฟขีองอ$นเวอรื�ขีองความสั�มพั�นธ์

น�%นเม��อก"าหนด้ความสั�มพั�นธ์�ให�ได้�

น$ยาม อ$นเวอรื�สัขีองความสั�มพั�นธ์� r ค�อความสั�มพั�นธ์�ที่��เก$ด้จากการืสัล�บที่��ขีอง

สัมาช้$ก ตั�วหน�าและสัมาช้$กตั�วหล�งขีองความสั�มพั�นธ์� r เขี�ยนแที่นด้�วย r-1 รื&ปแบบ r = { ( x , y )R×R / = }

r = { ( y , x )R×R / = } หรื�อ r = { ( x , y ) R×R / = }

y x1

y x1 x y

ก"าหนด้ให� r = {(0,5), (4,x), (1,y),(-2,4)} จงหา r-1

และ Dr , Rr

r-1 = {(5,0), (x,4), (y,1), (4,-2)}

สั�งเกตั( rrRyxD },,5,4{1

rrDR }4,1,0,2{1

ตั�วอย'าง จงหาอ$นเวอรื�สัขีองความสั�มพั�นธ์� r = {(x,y) | y = 2x + 1 }

ว$ธ์�ที่"า จะได้� r-1 = {(y,x) | y = 2x + 1 }

หรื�อr-1 = {(x,y) | x = 2y + 1 }

หรื�อ }2

1|),{(1

xyyxr

( น*ย่มุ่เข�ย่นในรี�ป y = f(x) )

ให� r = {(x,y) / y = 2x+7} จงหา r-

1

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

}72/),{(1 xyxyr

}2

7/),{(1

yxxyr

}2

7/),{(1

xyyxr

72 xy

72 yx

2

7y

x

ให� จงหา r-1

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

}14/),{(1 xyxyr

}04

1/),{(

21

yy

xxyr และ

14 xy

142 xy

14 2 yx

}14/),{( xyyxr

}04

1/),{(

21

xx

yyxr และ 4

12 y

x

ให� r = {(x,y) / y = x 2 3+ }

จงหา r-1

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

}3/),{( 21 xyxyr

}33/),{(1 yyxxyr และ

32 xy

32 yx

3 yx

}33/),{(1 xxyyxr และ

ให� จงหา r-1

• ค$ด้แบบน�%ครื�บ

}35

7/),{(1

xyxyr

}5

37/),{(1

yy

xxyr

35

7

xy

7)35( xy

yx

735

}35

7/),{(

xyyxr

}5

37/),{(1

xx

yyxr

37

5 y

x

yy

x5

37

}12

53/),{(.1

x

xyyxr

ตั�วอย'าง จงหา r พัรื�อมที่�%งหา D และ R ขีองความสั�มพั�นธ์� r 1

1r 1r

}2/),{(.2 2 xyRRyxr

}3/),{(.3 xyRRyxr

}16/),{(.4 2 xyRRyxr

ที่"าแบบฝึ9กห�ด้ช้(ด้ ที่�� 6

7.กรืาฟอ$นเวอรื�สัขีองความสั�มพั�นธ์�

7. กรืาฟอ$นเวอรื�สัขีองความสั�มพั�นธ์�7. กรืาฟอ$นเวอรื�สัขีองความสั�มพั�นธ์�

กรืาฟที่��เป.นอ$นเวอรื�สัก�น ค�อ กรืาฟที่��สัมมาตัรืก�น โด้ยม� เสั�นตัรืง y = x เป.นแกนสัมมาตัรื

ตั�วอย'าง

O

r

r-1

X

Y

)}0,1(),5,3(),4,2(),2,1{( r ตั�วอย'าง จงเขี�ยนกรืาฟขีอง r และ บนแกนค&'เด้�ยวก�น1r

}23/),{(.1 xyRRyxr

ตั�วอย'าง จงเขี�ยนกรืาฟขีอง r และ บนแกนค&'เด้�ยวก�น1r

}01/),{(.2 2 xyRRyxr

ตั�วอย'าง จงเขี�ยนกรืาฟขีอง r และ บนแกนค&'เด้�ยวก�น1r

ที่"าแบบฝึ9กห�ด้ช้(ด้ที่�� 7

น$ยาม ถ�า r เป.นความ สั�มพั�นธ์�จาก A ไป B

แล�ว r จะเป.นฟ;งก�ช้�น เม��อ• สัมาช้$กใน A ถ&กใช้�หมด้ที่(ก

ตั�ว และ• สัมาช้$กตั�วหน�าขีอง r ตั�อง

ไม'ซี"%าก�น (ถ�าสัมาช้$กตั�วหน�า ช้"%าก�น สัมาช้$กตั�วหล�งตั�อง

เหม�อนก�น)

0

2

1

6

5

4

)}6,0(),5,2(),4,1{(1 r

ความสั�มพั�นธ์�ที่��เป.นฟ;งก�ช้�น

0

2

1

6

4 )}6,0(),4,2(),4,1{(2 r

0

2

1

6

5

4 )}5,0(),5,2(),5,1{(3 r

ความสั�มพั�นธ์�ที่��ไม'เป.นฟ;งก�ช้�น

0

2

1

6

4 )}6,2(),4,1{(4 r

0

1

6

5

4 )}6,0(),5,0(),4,1{(2 r

จงพั$จารืณาความสั�มพั�นธ์�ใด้เป.นฟ;งก�ช้�น r1 = {(1,x), (2,y), (3,z)}

r2 = {(1,x), (2,x), (3,x)}

r3 = {(1,x), (2,y), (2,z)}

r4 = {(x,y) / y = 2x + 9}

r5 = {(x,y) / y = x 2}

r6 = {(x,y) / x = y 2}

สั�ญล�กษณ�แที่นฟ;งก�ช้�น น$ยมใช้� f , g, h แที่นฟ;งก�ช้�น f = {(1,a), (2,b), (3,c)} g = {(x,y) / y = x 2+ 5} ถ�า (x,y) ฮ f จะใช้� y = f(x)

หมายความว'า y เป.นค'าขีองฟ;งก�ช้�น f ที่�� x น��นค�อ f = {(x,y) / y = f(x)} และ

(x,y) = (x, f(x))

ก"าหนด้ y = 4x + 5 อาจเขี�ยน f(x) = 4x + 5

ตั�วอย'าง ถ�า y 3= x2 - 4 จงหา - ( 2 ), (1 ), (), (0 ), (+1

- -2 3 2f( ) = ( )2 - -4 3 4=( x ) - }4 12 48

1f( ) =

14)1(3 2

)0(f 44)0(3 2

)(af 43 2 a

)1( xf 4)1(3 2 x

4363 2 xx

4)12(3 2 xx

163 2 xx

น$ยาม A และ B เป.นเซีตัใด้ ๆ f เป.นฟ;งก�ช้�น จาก A ไป B

จะได้� เซีตั A เป.นโด้เมนขีองฟ;งก�ช้�น

โด้ยที่��สัมาช้$กขีอง A ถ&กใช้�หมด้ที่(กตั�ว และ เรืนจ�ขีองฟ;งก�ช้�นค�อสั�บเซีตัขีอง B

ตั�วอย'าง ให� A = {1, 2, 3} ; B = {0, -1, 4, 5}3

2

1

5

4

1

0

A Bf BAf :)}4,3(),1,2(),0,1{( f

ADf }3,2,1{

}4,1,0{ fR BRf

ตั�วอย'าง จงหาโด้เมนและเรืนจ�ขีองฟ;งก�ช้�นที่��ก"าหนด้ให�

f1(x) = 3 - 2x }/{; RxxDf }/{; RyyRf

2)( 22 xxf }/{; RxxDf }2/{; yyRf

9)( 23 xxf }33/{ xxxDf หรี-อ ; }0/{ yyRf ;

24 5)( xxf }55/{ xxDf ; }50/{ yyRf ;

5)(5 xxf }/{ RxxDf ; }0/{ yyRf ;

ฟ;งก�ช้�น ค�อ ความสั�มพั�นธ์� ซี4�งจะไม'ม�ค&'อ�นด้�บสัองค&'อ�นด้�บใด้ในความสั�มพั�นธ์�ที่��ม�สัมาช้$กตั�วหน�าเหม�อนก�น แตั'สัมาช้$กตั�วหล�งตั'างก�น ตั�วอย'างr = { ( 1,1),( -1,1 ),( 2, 2 ) ,

( -2, 2 ),(3, 3 ),( -3, 3 ) }f = { ( 1,2),( -1,2 ),( 2, 2 ) ,( -2, 2 ),(3, 2 ),( 3, 2 ) }

ตั�วอย'างที่��ไม'เป.นฟ;งก�ช้�น

r = { ( 1,1),( 1,4 ),( 2, 2 ) ,( -2, 2 ),(3, 3 ),( -3, 3 ) }f = { ( 1,2),( -1,3 ),( 2, 4 ) ,( -2, 5 ),(2, 6 ),( 3, 7 ) }

ตั�วหน�าซ'�ากำ�น

ตั�วหน�าซ'�ากำ�น

ก"าหนด้ r = { ( x, y ) | 2x + y = 1 } r เป.นฟ;งก�ช้�นหรื�อไม'ว$ธ์�ที่"า เง��อนไขี r ค�อ 2 x + y = 1 เขี�ยน y ในรื&ปขีอง x จะได้� y = 1 - 2x จะพับว'าแตั'ละค'าขีอง x จะให�ค'า y เพั�ยงค'า เด้�ยวเที่'าน�%น แสัด้งว'า r เป.นฟ;งก�ช้�น ###

กำ'าหนด r = {(x,y) | x2

+ y2 = 4 }r เป4นฟ5งกำ!ชี�นหรี-อไมุ่�ไม'เป.นฟ;งก�ช้�น

เน��องจาก

-0( ,2

สมุ่าชี*กำ ของ r

ม�ค&'อ�นด้�บ(0,2) และ

ตั�วหน�าซ'�ากำ�น

กรืณ�ความสั�มพั�นธ์�ที่��เป.นกรืาฟเป.น

ฟ;งก�ช้�นเม��อ

ลากเสั�นตัรืงที่��ขีนานก�บแกน Y ตั�ด้กรืาฟเพั�ยงจ(ด้เด้�ยวตั�วอย'

าง

O O

เส�นตัรีงขนานกำ�บแกำน Y ตั�ดกำรีาฟเพั�ย่งจ�ดเด�ย่ว เส�นตัรีงขนานกำ�บแกำน Y ตั�ดกำรีาฟ

มุ่ากำกำว�าหน6%งจ�ด ( กำรีาฟน��เป4น

ฟ5งกำ!ชี�น ) ( กำรีาฟน��ไมุ่�เป4น ฟ5งกำ!ชี�น )

ตั�วหน�าซ'�ากำ�น

ชีน*ดฟ5งกำ!ชี�น1. BAf :

2.

3.

4.

BAf :

BAf :

BAf :

บที่น$ยามf เป.นฟ;งก�ช้�นจาก A ไปB (function from A to B) ก0ตั'อเม��อ 1. f เป.น

ฟ;งก�ช้�น 2. Df = A }3 f B

ตั�วอย'าง

ก"าหนด้ A = { 1 , 2 , 3 , 4 ,5 } ,

}}= { , b, c, d }

r = { (1,a) , (2,b) ,(3, 4 5c) , ( ,d) ,( c) } r เป.นฟ;งก�ช้�น

จาก A ไป Bเน��องจาก 1. r เป.นฟ;งก�ช้�น 2. Dr = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } = A

3. Rr B

ตั�วอย'าง

ก"าหนด้ A = { 1 , 2 , 3 , 4 ,5 } ,

}}= { , b, c, d } r = { (2,a) , (3,b) ,(4,

5c) , ( ,d) } r ไม'เป.นฟ;งก�ช้�นจาก A ไป B

Dr = { 2 ,3 ,4 ,5 } A

เน-%องจากำ

บที่น$ยาม f จะเป.นฟ;งก�ช้�นจาก A ไปที่��วถ4ง B ( function from A onto B ) ก0ตั'อเม��อ 1. f เป4นฟ5งกำ!ชี�น

2. Df = A 3. Rf

= B

น$ยาม

ก"าหนด้

f : A B f เป.นฟ;งก�ช้�นหน4�งตั'อหน4�ง (one-

to-one function) จาก A ไป B ก0ตั'อเม��อถ�า y R f แล�ว จะม�

x A เพั�ยงตั�วเด้�ยวซี4�งที่"าให� ( x, y ) f

f : A B1

-1

ฟ5งกำ!ชี�นหน6%งตั�อหน6%งจากำ A ไป B เข�ย่นแทีนด�วย่ส�ญล�กำษณ!

ตั�วอย'าง

ก"าหนด้ฟ;งก�ช้�น

f = { (0,1) , (1,2) ,(-2,4) }

Rf 1= { , 2 , 4 } แตั'ละสัมาช้$กขีอง Rf ถ&กจ�บค&'เพั�ยง

ครื�%งเด้�ยว ด้�งน�%น f เป.นฟ;งก�ช้�นหน4�งตั'อ

หน4�ง

ตั�วอย'าง

ก"าหนด้ฟ;งก�ช้�น

f = { (0,1) , (1,2) ,(-2,4) ,(3,2) }Rf 1= { ,

2 , 4 } เน��องจาก Rf บางตั�วถ&กจ�บค&' มากกว'าหน4�งครื�%ง ค�อ

ด้�งน�%น f ไม'เป.นฟ;งก�ช้�นหน4�งตั'อหน4�ง

(1,2) f

และ (3,2) f

ฟ;งก�ช้�นที่��เป.นกรืาฟ จะเป4นฟ5งกำ!ชี�นหน6%งตั�อหน6%ง

กำ1ตั�อเมุ่-%อ เส�นตัรีงที�%ขนานแกำน X ตั�ดกำรีาฟเพั�ย่งจ�ดเด�ย่วตั�วอย'าง

O

เป4นฟ5งกำ!ชี�นหน6%งตั�อหน6%ง เพัรีาะว�า เส�นตัรีงขนานกำ�บ

แกำน X ตั�ดกำรีาฟเพั�ย่งจ�ดเด�ย่ว

ตั�วอย'างที่��ไม'ใช้'ฟ;งก�ช้�นหน4�งตั'อหน4�ง

O O

เส�นตัรีงขนานกำ�บ แกำน X

ตั�ดกำรีาฟมุ่ากำกำว�าหน6%งจ�ด

ไมุ่�เป4นฟ5งกำ!ชี�นเน-%องจากำเส�นตัรีงที�%ขนานกำ�บ

แกำน Y ตั�ดกำรีาฟมุ่ากำกำว�าหน6%งจ�ด

ฟ;งก�ช้�นอ$นเวอรื�สั

ตั�วอย'างก"าหนด้

f = { (1,-1), (2,0), (3,2), (4,1), (5, 3) }g = { (-4,4), (-2,2), (0, 0) ,(2, 2) ,(4, -4) }

จะได้� f -1 =

{ (-1,1), (0,2), (2,3), (1,4), (3,5) }g -1

={ (4,-4), (2,-2), (0, 0) ,(2, 2) ,(-4, 4) }

จะเห0นว'า อ$นเวอรื�สัฟ;งก�ช้�นอาจไม'เป.นฟ;งก�ช้�นก0ได้�

ตั�วอย'าง กำ'าหนด f = { (x,y) | y = 2x + 4 } จงหา f-1RR

ว$ธ์�ที่"าf -1 = { (x,y) | x = 2y + 4 }RR

หรี-อf -1 = { (x,y) | y = }RR 24x

สล�บตั�วแปรี x และ y

น*ย่มุ่จ�ดเทีอมุ่รี�ปy = f(x)

ตั�วอย'าง กำ'าหนด f = { (x,y) | y = 2x + 4 } จงหา f -1(2) , f -1(0)

RR

ว$ธ์�ที่"า จากำ f(x) = 2x + 4

ด�งน��น f-1(2x+4) = x ให� 2 x + 4

= 2 x =242 -= 1

ด้�งน�%น f-1(2) = -1

หา f-1(0)

ให� 2x + 4 = 0 -x = 2

ด้�งน�%น f-1(0) = -2

โดเมุ่น เรีนจ!

โดเมุ่นเรีนจ!

ตั�วอย'าง กำ'าหนดฟ5งกำ!ชี�น f(3x-4) = 4x + 3 จงหา f-1(x)

โดเมุ่น เรีนจ!

ว$ธ์�ที่"า จะได� f -1(4x + 3) = 3x - 4

โดเมุ่น เรีนจ!

ให� 4 x + 3 = k x =

43k

แทีนค่�า x = ใน 3 x - 4 43k จะได�

44

)3k(3

=

425k3

จะได�f -1(k) = 4

25k3 ด้�งน�%นf -1(x) = 4

25x3

ตั�วอย'าง กำ'าหนดฟ5งกำ!ชี�น f(3x-4) = 4x + 3 จงหา f -1(-5)

โดเมุ่น เรีนจ!

ว$ธ์�ที่"า จะได� f -1(4x + 3) = 3x - 4

โดเมุ่น เรีนจ!

ให� 4 3x + = -5 x =

435

แทีนค่�า x = - 2 ใน 3 x - 4 จะได�

=

ด้�งน�%นf -1(-5) = -10

=-2

3 -2( ) - 4-10

f ( 3x-4 , 4x+3 )

f -1 ( 4x+3 , 3x-4 )

f -1 ( -5 , ? )

ถ�า f เป.นฟ;งก�ช้�น อ$นเวอรื�สัขีอง } เขี�ยนแที่นด้�วย f -1

อ$นเวอรื�สัขีองฟ;งก�ช้�นไม'จ"าเป.นตั�องเป.นฟ;งก�ช้�น

)}0,3(),5,2(),0,1{(1 f )}3,0(),2,5(),1,0{(11 f

}34/),{(2 xyyxf }34/),{(12 xyxyf

}4

3/),{(1

2

y

xxyf

}4

3/),{(1

2

x

yyxf

}5/),{( 23 xyyxf }5/),{( 21

3 xyxyf

}5/),{(13 yxxyf

}5/),{(13 xyyxf

}2/),{(4 xyyxf }2/),{(14 xyxyf

}2/),{( 214 yxxyf

}2/),{( 214 xyyxf

2 2=2 4+

2

4x

y

กรืาฟฟ;งก�ช้�นอ$นเวอรื�สั

ตั�วอย'าง

ก"าหนด้กรืาฟ f ด้�งรื&ป จง หากรืาฟ f -1

f

f -1

x

y

o

แกำนสมุ่มุ่าตัรี

ตั�วอย'าง

ก"าหนด้กรืาฟ f ด้�งรื&ป จง หากรืาฟ f -1

f

f -1

x

y

o

แกำนสมุ่มุ่าตัรี

ฟ;งก�ช้�นคอมโพัสั$ที่ ค�อฟ;งก�ช้�นใหม'ที่��เก$ด้จากฟ;งก�ช้�น 2 ฟ;งก�ช้�นมาผู้สัมก�นภายใตั�เง��อนไขีว'า

“ ถ�า (a, b) c f และ (b, c) C g แล�ว (a, c) จะอย&'ในฟ;งก�ช้�นใหม' เรื�ยกฟ;งก�ช้�นใหม'น�%ว'า ฟ;งก�ช้�นคอมโพั

สั$ที่ขีอง f และ g ”

ใช้�สั�ญล�กษณ� gof แที่น ฟ;งก�ช้�นคอมโพัสั$ที่ขีอง f และ g ”

fog แที่น ฟ;งก�ช้�นคอมโพัสั$ที่ขีอง g และ f ”

fof แที่น ฟ;งก�ช้�นคอมโพัสั$ที่ขีอง f และ f ”โด้ยที่�� gof(x) = g(f(x)) เม��อ Rf ว Dg น ฦ

fog(x) = f(g(x)) เม��อ Rg ว Df น ฦ

ฟ;งก�ช้�นคอมโพัสั$ที่บที่

น$ยาม ให� f และ g เป4นฟ5งกำ!ชี�น โดย่ที�% Rf Dg

ฟ;งก�ช้�นคอมโพัสั$ที่ f และ g เขี�ยนแที่น ด้�วย gof ซี4งเป.นฟ;งก�ช้�นจาก Df | g ไป

ย�ง Rg ที่��น$ยามด้�งน�% ถ�า x Df | g

แล�ว

(gof)(x) = g(f(x))

ตั�วอย'างก"าหนด้ f = { (1,a) ,(2,a) , (3,b) ,(4,c) ,(5,d) } = { ( ,2 ) ,(,4 )

6 8,(c, ) ,(e, ) }จงหา gof และ fogว$ธ์�ที่"า หา gof

เน��องจาก Rf = {a ,b ,c ,d } ,

Dg = { a ,b , c ,e }จะได้� Rf Dg = { a ,b ,c }

ด้�งน�%น Dgof = Df | g = {1 ,2 ,3 ,4 }

f g1

2

3

4

ab

e

c

2

4

8

6

gof

ด�งน� �น gof = {(1,2_),

(2,2),(3,4),(4

,6)}

5d

f = { (1, a) , (2, a) , (3, b) , (4, c) , (5, d) }

g = { (a , 2 ) , (b ,4 ) , ( , 6 ) , ( , 8 )}

หา fog

จะได้� fog =

{ ( , ),

(b ,c) }

ควรืจ"า หา gof ไล'จาก f g fog ไล'จาก g f

ตั�วอย'างก"าหน

ด้f = { (1,2) , (2,3) , (3,4) , (4,4) } g = { ( 0,- 1) , (1,0

) , ( 2,1) , (3,2) , (4,3) } h = { ( -3,0 ),( -2, 0) ,(-1, 0) , (1,1), (2,1),(3,1) , (0,0)}

จงหา fog ,hogof , fogohตัอบ

fog =

2{ ( , 2) , ,(3 ,

3) ,

(4 ,

}4fo}o

h(ไม'ม�)

{ (1,1),

2

1),

(3 ,1

),

4( , 1)

}

ho}o

f =

สัรื(ปแผู้นภาพัฟ;งก�ช้�นคอมโพัสั$ที่

f g

gof

Rf Dg

(g)

(f)

(fog)

}}g Df)

} y z

(x,)

f =}}}}}}

} ,

g ={(y,z)}

go f = {(x,z)}

ก"าหนด้ฟ;งก�ช้�น f(x) = 3x + 1 และ g(x) = ถ�าม�จงหา gof(x) , fog(x)

x

ตั�วอย'าง

ว$ธ์�ที่"าจะได้� Df = R,

}f = R ,

Dg = 0[ , )

} }g = 0[ , )

ด้�งน�%นRf Dg = [0, ) ม� gof(x)Rg Df = [ 0, ) ม� fog(x)จาก gof(x)

= g(f(x)) =3g( x

+ 1 )

= 13 x

จาก fog(x)

=f(g(x) )

= f( )x = 13 x

ก"าหนด้ให� A = {1, 2, 3} ; B = {4, 5, 6} 789; C= { , , }ซี4�ง 14 25 36f = {( , ), ( , ), ( ,)}

={ (4,7), (5,8), (6,9)} จงหา gof และ fog

C B A

g f3

2

1

6

5

4

9

8

7

(3,9)} (2,8), {(1,7), gof} { fog

ก"าหนด้ให� 13 26f = {( , ), ( , ), ( 37 48, ), ( , )}

={ (0,1), (3,9), (4,2), (6,10), (7, 11)} จงหา gof

จาก gof(x) = g(f(x)) และ Rf ฮ Dg ฮฮ

gof(1) = g(f(1)) = g(3) = 9

(3,11)} (2,10), {(1,9), gof

)9,1(

g(f(2)) gof(2) g(6) 10 )10,2(

g(f(3)) gof(3) g(7) 11 )11,3(

ก"าหนด้ให� 3 7f(x) = x + ; g( x) = x 2 }4

จงหา gof(x) , fog(x)

จาก gof(x) = g(f(x)) = 7)g(3x 47)(3x 244942x9x2

f(g(x))fog(x) 4)f(x2 74)3(x2 7123x2 213x2

5342x9x2

ให� f(x) = 4x2 - 5 ; g(x) =

fof(x) = f(f(x)) = f(4x2 - 5 ) = 4(4x2 - 5

- ) 5 = 16x2 - 20

- 5 = 16x2 -

25

gof(x) = g(f(x) )

= g(4x2 - 5 )

=

1-3x

1-5)-3(4x2

1-15-12x2

16-12x2

ให� f(x) = 2x 2 + x + 6 ; g(x) =

จงหา fog(3) , gog(1)

fog(x) = f(g(x ) )

gog(x) = g(g() )

3x 2

g(2)

322

)( 2 3xf )( 2 33ffog(3)

)( 12f612)122( 2 61212)2 (

1230

)( 2 3x g

)( 2 31 ggog(1)

7

ให� f(x) = ; g(x) =

จงหา fog(4) , fof(1)

fog(x) = f( g(x))

fof(x) = f(f() )

1x

)2f(

)x3x4f(

(0)ffog(4)

1

)1xf(

)11f(fof(1)

x3x4

12

พั�ช้คณ$ตัฟ;งก�ช้�นน$ยามf+g = {(x,y) | y = (f+g)(x) = f(x) + g(x) เมุ่-%อ }

RR gf DDx

f-g = {(x,y) | y = (f-g)(x) = f(x) - g(x) เมุ่-%อ }

RR gf DDx

f .g = {(x,y) | y = (f .g)(x) = f(x) . g(x) เมุ่-%อ }

RR gf DDx

= {(x,y) | y = (x) = เมุ่-%อ }

RR gf DDx gf

gf

)x(g)x(f

0)x(g

การืด้"าเน$นการืบนฟ;งก�ช้�น เป.นการืสัรื�างฟ;งก�ช้�นใหม' โด้ยน"าฟ;งก�ช้�นเด้$มมา บวก ลบ ค&ณ และหารืก�น โด้ยที่�� Df Dg ≠

( โด้เมนขีองฟ;งก�ช้�นที่��ได้�ใหม'เที่'าก�บ Df Dg )

(f+g)(x) = f(x) + g(x) สั"าหรื�บที่(ก x Df Dg

(f-g)(x) = f(x) - g(x) สั"าหรื�บที่(ก x Df

Dg

(f.g)(x) = f(x) . g(x) สั"าหรื�บที่(ก x Df

Dg 0g(x) และ ส'าหรี�บที�กำ

gf DDx

xgxf

xgf

)(

)()(

ก"าหนด้ให� f = {(1,3), (2,5), (3, 7), (4, 0)} g= {(0,-2), (1,7), (2,-4), (4, -

5), (5, 0)} จงหา f+g , f - g , f.g ,

g

f

{1,2,4}DD; gf {1,2,3,4}Df }{0,1,2,4,5D; g 5)}(4,(2,1),{(1,10),gf

(4,5)}(2,9),4),{(1,gf (4,0)}20),(2,{(1,21),f.g

(4,0)}),45

(2,),73

{(1,gf

ก"าหนด้ให� f(x) = 2x + 3 ; g(x) = x 2 - 5 จงหา

(f+g)(x) = (2x + 3) + (x 2 - 5) = x 2 + 2x - 2

(f-g)(x) = (2x + 3) - (x 2 - 5) = - x 2 + 2x + 8

(f.g)(x) = (2x + 3) . (x 2 - 5) =

5 x, 5x32x

(x)gf

2

5)3)((2x3)x(2x 2 1510x3x2x 23

ก"าหนด้ให� f(x) = 3x2 - 2x + 4 ; g(x) = 3x - 7 จงหา

(f+g)(x) = 3x2 - 2x + 4 + 3x - 7 = 3x2 + x - 3(f-g)(x) = (3x2 - 2x + 4) - (3x

- 7) = 3x2 - 5x + 11 (f.g)(x) = (3x2 - 2x + 4) (3x -

7) 3

7

73

423)(

2

x

x

xxx

g

f ,

ก"าหนด้ให� f(x) = (4x+1)2 ; g(x) =

(f+g)(x) =

2

7

72

)14()(

2

x

x

xx

g

f ,

72 x

72)14( 2 xx

72)14())(( 2 xxxgf

72.)14())(.( 2 xxxgf

ตั�วอย'าง กำ'าหนด f = { (0,0) , (1,1) , (2,-1) , (3,2) , (4,-2) ,(5,3) , (6,-3) }g = { (0,1) , (2,3) , (4,5) ,

(6,6) , (8,9) ,(10,10) }จงหา f + g , f -g , f.g , g

fว$ธ์�ที่"า จะได� gf DD = { 0 , 2 , 4 , 6 }

ด�งน��น

f + g =

{ (0, 01+ ) ,(2 - 1 3, + ) ,(4 - 2 5, + ) ,(6 - , 3 +6 ) }

f - g =

-{ (0, 1) ,

-2( , 4) ,

-4( , 7 ) ,

-6( , 9 )

}

f + g =

{ (0,1) , 22( , ) , 43( , ) , 63( , ) }

-. = { (0 ,0 ) , (2 , - -3 ) , (4 , 1 0 ) , (6 ,

18) }gf = })2

1,6(),52,4(),3

1,2(),1,0({

ตั�วอย'าง

ก"าหนด้ f (x) = , g(x) = 2x + 1

x

จงหา (f - g)(x) ,

)x)(gf(

ว$ธ์�ที่"า จะได� gf DD 0[ , )

ด�งน��น (f - g)(x) = x - - 2x

1

, x [ 0, )

)x)(gf( =

21x,1x2

x , x [

0, )

2