ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

Министерство образования и науки

Республики Казахстан

Павлодарский государственный университет

им. С. Торайгырова

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО ТЕОРИИ И МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Учебное пособие по дисциплине «Методика преподавания математики» для индивидуальной и самостоятельной работы

студентов математических и физико-математических специальностей

(для внутривузовского пользования)

Павлодар

УДК 373:51

ББК 22.1я72

М 89

Рекомендовано к изданию ученым советом ПГУ

им. С.Торайгырова

Рецензенты:

М.Х.Хамитов – кандидат физико-математических наук, профессор;

С.Э. Шрамек – зав. кафедрой математики и информатики многопрофильной школы-лицея при ПГУ.

ISBN

Мубараков А.М., Захарова О.А., Абдрахманова А.М.

М89 Практические работы по теории и методике обучения математике: Учебное пособие. – Павлодар: ПГУ им. С. Торайгырова, 2002. 69 стр.

Данное пособие предназначено для студентов математических и физико-математических специальностей университетов, оно поможет им определить уровень своей педагогической и профессиональной подготовки, окажет большую помощь студентам–заочникам, которые смогут самостоятельно проработать темы занятий, оформить и подготовить к написанию курсовые работы.

ББК 22.151.5я7

ISBN

( Мубараков А.М., Захарова О.А., Абдрахманова А.М.

( Павлодарский государственный университет имени С.Торайгырова

Введение

Одна из задач курса теории обучения математики в вузе связана с формированием у студентов практических умений и навыков, составляющих основу технологии учительского труда. Эта работа требует творческого осмысления теоретических знаний по общей и частной методике преподавания математики и вызывает определенные трудности содержательного и организационного характера.

Настоящее учебное пособие предназначено, прежде всего, для студентов математических и физико-математических специальностей университетов, оно поможет им определить уровень своей педагогической и профессиональной подготовки.

Пособие написано в соответствии с программой обучения в вузе.Данное пособие отличается от других известных методических пособий тем, что в нем рассматривается опыт работы учителей-практиков и большое количество развивающих заданий для студентов.

В пособии разработано 13 практических занятий по основным темам курса «Теоретические основы обучения математике». К каждому занятию приведено около 10 заданий, многие из которых могут использоваться в качестве индивидуальных. Работа с пособием предназначена также для студентов-заочников, самостоятельно работающих над изучением предложенных тем.

Цель практических занятий по курсу «Теоретические основы обучения математике» состоит в формировании у студентов следующих умений и навыков: проводить анализ учебно-методической литературы по математике, анализировать отдельные темы школьного курса математики, планировать учебную работу и учебный материал по математике, правильно выбирать методы, формы и средства обучения для каждой конкретной темы с учетом индивидуальных особенностей учащихся с целью активизации их познавательной деятельности, знакомиться с основными методами решения задач, составлять варианты самостоятельных работ, оценивать работы учащихся, анализировать урок, планировать и проводить внеклассные мероприятия по математике в школе. Учитывая некоторые трудности в проведении внеклассной работы студентами-практикантами, в пособии приведен нестандартный урок-викторина и разработка «Заседания клуба «Знатоков».

Для работы с данным пособием предполагается, что студенты знакомы с общими понятиями и идеями современной математики; также имеют знания по педагогике и психологии школьников. Рекомендуем также ознакомиться с литературой, список которой приведен в конце пособия.

Представленная тематика практических занятий может быть использована как на занятиях по общим теоретическим вопросам обучения математики (№ 1–8), так и по вопросам частной методики математики (№ 9–13).

Приведенные в конце пособия методические рекомендации к написанию курсовых и дипломных работ по методике преподавания математики могут послужить ориентиром для студентов по выбору тем, организации и проведении исследовательской работы, по оформлению курсовых и дипломных работ по данной дисциплине.

Практические занятия

1.1 Практическое занятие №1

Тема Планирование учебного процесса по математике в средней школе.

Цель Ознакомиться с основными идеями школьного курса математики, со структурой программ по математике для общеобразовательных школ, с принципами построения учебников, с приемами организации классной и внеклассной работы с учащимися.

Методические особенности работы

Важным условием правильной организации учебного процесса является выбор учителем рациональной системы методов и приемов обучения, ее оптимизация с учетом возраста учащихся, уровня их математической подготовки, специфики решаемых образовательных задач.

Деятельность учителя должна быть направлена на достижение основной цели обучения: овладение всеми учениками программным материалом, поэтому для учителя важно прежде всего ознакомиться с основными идеями, заложенными в школьном курсе математики, тщательно изучить все разделы программы.

Опыт показывает, что применение разнообразных средств обучения повышает эффективность коллективной и индивидуальной деятельности учащихся, важно ознакомиться с основными требованиями, предъявляемыми к современному кабинету математики, ролью ТСО на каждом этапе учебно-познавательной деятельности, применением и изготовлением некоторых видов наглядных пособий и ТСО.

При выполнении заданий особое внимание уделите различным системам построения учебного материала (теоретического и практического), наличию мотивации излагаемого материала, реализации функций наглядности и методам работы с учебником. Отдельно следует проанализировать систему упражнений: соответствие фабулы задач возрастным особенностям учащихся, постепенное нарастание сложности упражнений; показать реализацию требований, предъявляемых к построению учебного материала и к составлению системы упражнений и другие.

Задания

Раскрыть практическую значимость основных целей обучения. Показать прикладное значение математики и необходимость реализации межпредметных связей при ее изучении.

Сформулировать основные требования к математической подготовке учащихся 5-6 классов. Перечислить основные знания, умения и навыки учащихся по математике к окончанию неполной средней школы.

Ознакомиться с содержанием календарного плана по математике 5 класса. Сопоставить его с последовательностью изложения тем в учебнике.

Проанализировать предъявляемые к учебникам по математике требования и способы их реализации в учебниках для 7-9 и 10-11 классов.

Изучить структуру учебников по математике 5-7 классов. Отметить их методические особенности. Сформулировать требования, предъявляемые к системе упражнений подготовительного курса математики, рассмотреть их реализацию в учебниках.

Изучить структуру учебников по алгебре для 7-9 классов. Отметить их методические особенности. Сформулировать требования, предъявляемые к системе упражнений данного курса. Рассмотреть их реализацию в действующих учебниках.

Изучить структуру учебника по геометрии для 7-11 классов. Отметить его методические особенности. Сформулировать требования, предъявляемые к системе геометрических упражнений в неполной средней школе. Рассмотреть их реализацию в данном учебнике.

Ознакомиться со структурой дидактических материалов и методических пособий для неполной средней школы. Проанализировать их соответствие действующим учебникам.

Ознакомиться с требованиями по оформлению кабинета математики, с "Типовым перечнем учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ", планированием работы кабинета с учетом особенностей обучения математике в 5-6 классах.

Разработать примерный план внеклассной работы по курсу математики 5-6 классов.

Перечислить виды и формы внеклассной работы. Сформулировать цели и задачи проведения внеклассной работы по математике в школе. Подготовить беседу: "История развития понятия числа"

Сопоставить классные и внеклассные формы работы с учащимися.

Изучить особенности внеклассной работы в 5-6 классах и в 7-9 классах. Каково влияние возрастных особенностей учащихся на подбор видов и форм внеклассной работы?

Дополнительные вопросы и задания

Перечислить учебные заведения, дающие среднее образование.

Каково содержание календарного плана по математике по классам?

Сравнить структуру действующей программы по математике для средней общеобразовательной школы и программы для школ (классов) с углубленным изучением математики.

Каковы воспитательные возможности урока математики?

Продумать возможные методы и формы работы при изучении темы "Построение перпендикуляра к прямой" (6 класс).

Из каких основных разделов состоит курс школьной математики?

Как происходит расширение понятия числа?

Какие геометрические величины изучаются в школьном курсе математики?

Какие виды функций изучаются в средней школе?

Какие виды уравнений и неравенств изучаются в средней школе?

Охарактеризовать методические особенности изучения содержания геометрического материала на каждом этапе обучения геометрии (5-6, 7-9, 10-11кл.).

Какие, с вашей точки зрения, умения и навыки, формируемые программой школьного курса математики, имеют наибольшее общеобразовательное и практическое значение?

Каково назначение факультативов?

Ознакомиться с методикой проведения домашних сочинений по математике как одной из форм итоговых и обзорных работ. В каких классах целесообразно использовать эту форму заданий?

Подготовить беседу "О возникновении дробей".

В чем заключается использование элемента игры при обучении математике? Продумать возможные варианты использования этого метода при изучении темы "Применение переместительного и сочетательного законов сложения" (6 класс).

1.2 Практическое занятие № 2

Тема Подготовка учителя к работе над темой.

Цель Ознакомиться с основными требованиями к уроку, с его структурой, рассмотреть различные формы деятельности учителя при подготовке к уроку.

Методические особенности изучения работы

Организующим моментом в деятельности учителя является планирование им учебного процесса. Тщательно продуманное тематическое планирование нормализует нагрузку учащихся, дает учителю перспективу, полное представление о материале всего годового курса.

Органической частью тематического планирования является выделение времени на систематизацию и закрепление знаний по всему курсу. Нельзя допускать, чтобы повторение учебного материала большого объема сосредоточилось в конце учебного года и проводилось в ущерб изучению нового. Значительная часть материала должна быть повторена в течение учебного года одновременно с овладением новым и при его обобщении по завершении изучения определенного раздела курса.

Продумывая план проведения уроков по той или иной теме, необходимо предусмотреть объем и содержание заданий на повторение, используемых при введении нового и составляющих прочную базу для усвоения последующего материала; точно спланировать содержание работы на уроке и домашнего задания.

При разработке содержания каждого урока темы необходимо тщательно продумывать методы изучения учебного материала и форму организации работы учащихся на уроке.

Работая над тематическим планом, целесообразно ставить перед собой и решать специальные задачи - использовать изучаемый материал для развития прикладных умений учащихся, показать взаимное проникновение и использование знаний, полученных при изучении смежных предметов. Это надо делать постепенно и систематически в течение всех лет обучения, чтобы у учащихся не создалось впечатление разобщенности знаний.

По окончании изучения темы учитель подводит итог, анализирует полученные результаты, выявляет затруднения, типичные ошибки, намечает пути их устранения при проведении итоговых повторений.

Задания

Конкретизировать цели изучения определенной темы курса математики неполной средней школы.

Сформулируйте цели изучения темы "Обыкновенные дроби" или "Единицы измерения" (5 класс) - по выбору.

Рассмотреть возможные методы сообщения новых заданий. Какие из перечисленных методов целесообразно использовать при изучении темы "Столбчатые диаграммы" (6 класс)? В соответствии с выбранным методом подобрать необходимые модели, таблицы и ТСО.

Продумать различные формы организации самостоятельной работы на уроке по теме "Графики" (6 класс). Составить самостоятельную работу с использованием индивидуальных карточек-заданий. Продумайте различные варианты использования ТСО и других средств наглядности.

Выбрать оптимальное сочетание форм организации работы учащихся на уроке при изучении темы "Сравнение дробей" (6 класс). Составьте фрагмент урока с использованием групповой, фронтальной и индивидуальной работы учащихся. Охарактеризуйте роль учителя в каждом случае.

Разработать несколько карточек-заданий творческого характера для учащихся различных групп (по заданию 4). Следует помнить, что задания должны быть творческими для каждой группы учащихся; необходимо продумать организацию помощи слабым учащимся для выполнения задания.

Составить фрагмент урока на закрепленные темы "Умножение и деление десятичных дробей" (5 класс) с использованием элемента игры. Рассмотреть возможные варианты использования этого метода, рассмотрев различные варианты использования элемента игры на уроке по данной теме, выберите наиболее оптимальный из них сточки зрения привития интереса к предмету, развития творческой активности учащихся, навыка работать в коллективе. Отдельно обсудите формы устной и письменной работы учащихся.

Выявить знания, умения и навыки, приобретенные учащимися на уроках географии, рисования и труда, необходимые для изучения темы "Графики" в 6 классе. Для выполнения заданий сопоставьте программы по указанным предметам, по возможности с соответствующими учебниками. Составьте тематический план по теме " Умножение и деление" ("Действия с рациональными числами", 6 класс).

Привести различные варианты подведения итога урока по теме "Модуль числа" (6 класс) или "Основное свойство дроби" (6 класс). Выясните цель подведения итога урока, его значение для выяснения глубины усвоения учебного материала, изложенного на уроке.

Методический обзор

Системы уроков по теме

Основные разделы

1 Цели изучения темы.

2 Используемая литература.

3 Оборудование.

4 Тематический план.

Графы тематического плана могут быть следующие: номер урока, тема урока, задание на уроке, задание на повторение, домашнее задание, задания на углубление знаний, метод обучения, тип урока, использование ТСО и наглядных пособий, задания для реализации межпредметных связей, знания и умения.

Планирование обязательных результатов обучения, примерные варианты контрольной работы, примерные вопросы итогового устного опроса, анализ результатов обучения.

Выявление типичных ошибок учащихся, их затруднений при изучении темы, рекомендации к их устранению с целью повышения уровня успеваемости учащихся.

Дополнительные вопросы и задания

Сформулировать цели и задачи (образовательные, развивающие, воспитательные) изучения темы "Отрицательные числа".

Какие новые понятия вводятся при изучении темы "Положительные и отрицательные числа"?

Каким методом вводятся новые понятия в курсе математики 5-6 классов?

Какие требования предъявляются к объему и содержанию домашнего задания?

Какие из форм проверки домашнего задания являются наиболее эффективными в соответствии с целями урока: опрос с места, опрос у доски, общий письменный опрос?

Конкретизировать объем работы на уроке по теме "Противоположные числа" (6 кл.).

Определить содержание заданий на повторение при изучении темы "Применение распределительного закона умножения", "Действия с рациональными числами", 6 кл..

Разработать содержание заданий на углубление знаний по теме "Умножение и деление", "Действия с рациональными числами", 6 кл..

Продумать метод и тип урока на тему "Пропорции" (6 кл.).

Какую помощь оказывает использование средств наглядности и ТСО в работе учителя? Всегда ли их следует применять на уроке?

Продумать систему использования наглядных пособий и дополнительной информации на каждом уроке по теме "Основное свойство дроби".

Разработать систему практических и лабораторных работ в соответствии с требованиями программ по математике на тему "Умножение дробей", "Действия с рациональными числами", 6 кл..

Сравнить психолого-педагогические особенности применения наглядных пособий и ТСО в 5-6 и 7-9 классах.

Обосновать преемственность в изучении геометрического материала в 5-6 и 7-9 классах.

Перечислить основные знания, умения и навыки, которыми должны обладать учащиеся по геометрическому материалу к окончанию 5-го класса.

Определить последовательность действий в работе учителя над составлением тематического плана.

1.3 Практические занятие №3

Тема Подготовка учителя к уроку

Цель Ознакомиться с основными требованиями к уроку, с понятием "дидактическая структура урока"; рассмотреть различные формы деятельности учителя при подготовке к уроку; при его проведении ознакомиться с различными видами конспектов урока.

Методические особенности изучения работы

Понятие урока трактуется как важнейшая категория дидактики. Урок рассматривается как система, все элементы которой отражают основные положения дидактики и направлены на воспитание учащихся и формирование их познавательной самостоятельности. Знание преподавателем общих закономерностей, принципов и правил дидактики, содержания и сущности урока как формы организации учебно-познавательного процесса может быть гарантией достижения необходимого качества и эффективности обучения и воспитания.

Прежде всего, должны быть четко определены конкретные цели обучения на каждом уроке, которые непосредственно следуют из программных требований. Решение любой задачи, любой вопрос учителя, любые его действия должны отвечать достижению этих целей.

При составлении плана урока, кроме его цели, определяются методы, соответствующая литература, типы самостоятельных работ, возможности использования межпредметных связей, ТСО. Все это вписывается в структуру урока. Понятие структуры урока включает в себя следующие компоненты: актуализацию прежних знаний и способов действий, формирование новых знаний, их применение, формирование умений и навыков.

Дидактическая наука требует комплексного подхода к анализу урока с точки зрения и результата и самого процесса. С одной стороны, определяется уровень актуализации, формирование новых понятий и способов действий, с другой стороны, соответствие урока требованиям дидактических целей урока, осуществление связи обучения с жизнью.

Основным критерием анализа урока считается конечный результат: достижение цели урока, т.е. что и как усвоили учащиеся.

Учитель должен четко следовать замыслу плана урока и одновременно быть в постоянной готовности гибко перестраивать его ход при изменении учебных ситуаций, переходить к реализации запасных методических вариантов – в этом сущность подготовки учителя к уроку.

Требования к современному уроку

Четкость определения учебных задач.

Единство образовательных и воспитательных задач.

Определение оптимального содержания и отбор учебного материала в соответствии с уровнем подготовки учащихся.

Выбор соответствующих методов и приемов обучения.

Установление связей с предыдущим последующим материалом, с другими предметами, с жизнью и практической деятельностью людей.

Организационная четкость урока.

Формы деятельности учителя при подготовке к уроку

и его проведении

1 Творчески подходить к выполнению программно-методических требований к уроку, видеть особенности каждого урока, его место в теме.

2 Учитывать реальные учебные возможности учащихся различных возрастов, уровень сформированности классного коллектива, принимать во внимание интересы и потребности учащихся.

3 Продумывать и решать в единстве задачи образования, воспитания и развития. Выделять важнейшие задачи урока, конкретизировать их с учетов особенностей и возможностей классного коллектива.

4 Выбирать рациональную структуру и темп урока.

5 Обеспечивать практическую направленность учебного процесса, создавать возможности применения учащимися полученных знаний, умений и навыков, не допуская формального усвоения теоретических сведений.

6 Использовать на уроке оптимальное сочетание словесных, наглядных и практических методов обучения, в наибольшей степени активизировать познавательную деятельность учащихся.

7 Рационально использовать различные средства обучения (учебники, наглядные пособия, ТСО, средства информатики).

8 Сочетать общеклассные, групповые и индивидуальные формы работы на уроке, добиваясь организации учебного труда как коллективной деятельности.

9 Стремиться к тому, чтобы обучение осуществлялось преимущественно на уроке, а объем домашнего задания там, где это возможно, сокращался.

10 Четко следовать замыслу плана урока и одновременно быть готовыми перестроить его ход при изменении учебных ситуаций.

11 В ходе самоанализа урока выявлять полученные на уроке результаты образования, воспитания, развития; находить важнейшие причины недостатков, учитывать результаты самоанализа при планировании следующих уроков.

Основные требования к конспекту урока

Основные разделы

Тема урока. Дата проведения урока.

Цель урока. Основные задачи.

Оборудование урока.

Структура урока (последовательность приемов и форм работы на уроке, ориентировочное время, отводимое на каждый этап урока).

Подробный ход урока по форме (табл. 1)

Таблица №1

Этап урока

Деятельность

учителя

Деятель-ность учащихся

Использование ТСО и других средств наглядности

Вид доски

Примеча-ния

Используемая литература.

Замечания к проведенному уроку.

В изложении хода урока должно быть показано

Каким методом учитель подводит к начинающейся новой теме?

Каким методом будет сообщен новый материал?

Как будет сообщена учащимся цель урока и как проведен с ними итог урока?

Кто будет опрошен и по каким вопросам?

Сочетание индивидуальной, групповой, фронтальной форм работы на уроке (при изучении нового материала, при его закреплении)?

Как осуществляется дифференцированный подход к обучению?

Какие пояснения будут сделаны к домашнему заданию?

Какие оценки поставлены учащимся на уроке (оценки должны быть прокомментированы учителем)?

Задания

Проанализировать различные методы подготовки учащихся к восприятию нового учебного материала (задание выполняется по теме "Сравнение чисел", 6 класс).

Разработать методику изложения нового материала по теме задания 1.

Выявить наиболее эффективные методы закрепления и применения полученных знаний по теме задания 1.

Разработать методику постановки и проверки домашнего задания на уроке. Определите оптимальный объем и продумайте сложность домашнего задания к уроку по теме "Сравнение чисел".

Определить формы организации проверки и контроля знаний, полученных учащимися на уроке по теме "Направления и числа" (6 класс). При выполнении задания желательно предусмотреть ознакомление с различными формами устного контроля на уроке (с использованием графопроектора, диапроектора, магнитофона и т.д.), математическими диктантами, решением задач по готовым чертежам и т.д., письменным контролем.

Рассмотрите различные виды самостоятельных и контрольных работ и форму их проведения.

Составьте примерное содержание проверочных работ по теме. Разработайте содержание индивидуальных карточек-заданий (информационных, контролирующих, по работе с книгой и т.д.).

Рассмотрите различные варианты написания конспекта урока. Проанализируйте различные варианты написания конспекта с точки зрения основных требований, предъявляемых к конспекту урока.

1.4 Практическое занятие №4

Тема Научные методы в преподавании математики.

Цель Научиться в ходе выполнения работы аналитическому и синтетическому методам в математике, применять в преподавании индукцию и дедукцию, использовать аналогию при решении задач.

Методические особенности изучения темы

Математические понятия, суждения и умозаключения составляют основное содержание науки математики, ее фактический материал. Необходимо также понимать, как и откуда эти факты взялись, как следует получать их впредь, как облегчить их постижение обучаемыми; для этого нужно знать не только формально-логические принципы построения математики, но и владеть методами познания, основа которых заложена в философии.

Индукция (лат. - наведение)- способ рассуждения от частного к общему, от фактов к обобщениям. Например, 2, 4, 6, 8,…делятся на 2 без остатка, следовательно, существуют числа, делящиеся на 2 без остатка. Индукция бывает полная и неполная. Полная индукция- умозаключение обо всех частных случаях. Например, теорема о вписанном угле в окружность доказывается отдельно для угла с центром на стороне, затем - внутри угла и, наконец, вне угла и на этом основании заключаем, что вписанный угол в любом случае измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Неполная индукция – это умозаключение не для всех, а лишь для нескольких частных случаев. Например, вывод формулы n-ого члена арифметической прогрессии основан на неполной индукции.

Дедукция (лат. - выведение) – способ рассуждения от общего к частному. Например, если 3 стороны треугольника равны, то треугольники равны.(большая посылка). В треугольниках ABC и А1В1С1: АВ=А1В1, ВС=В1С1, АС=А1С1 (малая или подводящая посылка). Следовательно, ∆АВС =∆А1В1С1 (заключение).

Анализ (лат. - расчленение) – процесс мышления, направленный на расчленение целого на части.

Синтез (лат. - объединение) – процесс мышления, направленный на установление связей между отдельными частями.

При решении задач и доказательстве, аналитический метод применяется в форме движения мысли оттого, что надо найти (доказать) к тому, что дано. Синтетический метод – в форме движения мысли оттого, что известно к тому, что требуется найти и доказать.

Аналогия – умозаключение по сходству. Например, свойства ромба выясняются по аналогии свойствам параллелограмма.

В дальнейшем будем говорить лишь о применении указанных методов в преподавании математики, а не о самих методах.

Общие методы обучения решению задач

1 Анализ и синтез

Анализ (метод рассуждения от искомых к данным) и синтез (метод рассуждения от данных к искомым) применяются во взаимосвязи. Оба метода находят применение при решении каждой задачи, в том числе при решении текстовых задач. При составлении уравнения идут от искомых (введению переменных) к данным, т.е. применяют анализ. Решение уравнения (системы уравнений) выполняют методом синтеза.

Задача

S

O

3

O

1

O

2

B

A

D E

C

Теплоход прошел за 15 часов против течения некоторое расстояние.

Какое расстояние он проходит за 13 часов по течению? Найти скорость течения реки, если скорость теплохода Vт = 70 км/час.

Анализ

Для вычисления скорости течения реки Vр достаточно знать собственную скорость теплохода (70 км/час) и скорость движения его по течению или против течения. Если Vр - скорость течения реки, то (70 + Vр) км/ч - скорость движения теплохода по течению, а (70 – Vр) - скорость движения против течения. Выразив с учетом времени движения пройденное расстояние, составим уравнение равенства расстояний (т.е. придем к данным).

Синтез

C

B

A

(70 + Vр)13 = (70 – Vр)15 Распространенный закон переноса членов уравнения,

13·70 +13·Vр = 15·70 – 15·Vр вычисление,

28·Vр = (15 – 13)·70

28·Vр = 2·70

деление обеих частей на 28 ≠ 0.

Vр = 5

При решении задач на доказательство

Задача

Шар касается трех боковых граней треугольной пирамиды в точке пересечение биссектрис. Доказать, что пирамида правильная.

Анализ

Чтобы доказать, что пирамида правильная надо доказать, что в основании лежит правильный треугольник, боковые грани - равнобедренные треугольники.

î

í

ì

=

=

5

0

2

1

х

х

Для доказательства первого, достаточно доказать, что АС = ВС =АВ. Это необходимое условие того, что ∆ASC = ∆CSB= ∆ASB (по боковому ребру и двум прилежащим углам), чтобы это доказать, нужно доказать, что ∆О1SC = ∆О2SС, ∆О2SВ = ∆О3SВ. Это верно, так как О1S = О2S = О3S, О1C = О2С = О3С, как отрезки касательных. Анализ выполнен.

Если установить достаточность каждого из последних предложений доказательство будет выполненным.

Синтез

Пусть О1 и О2 - точки пересечения биссектрис ∆ASC и ∆CSB. Имеем: плоскость SDE пересекает шар по кругу, СО1О2 по другому кругу.

1) О1S = O2S; О1С = О2С отрезки касательных, проведенных из общей точки к окружности равны по трем сторонам. SС - общая сторона этих треугольников в равных треугольниках лежащие против их равных сторон равны из 3) О1S = O2S О1С = О2С - биссектриса (ASC (BSC (ACS (BCS по стороне SC и углам см. 4) В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Аналогично, из предложения ∆BSC = ∆ASB (или ∆ASC = ∆ASB) следует, что ВС = АВ по транзитивности АС = ВС = АВ, т.е. ∆АВС - правильный. ∆ASC = ∆АSB = ∆ВSC, AS = BS = CS, т.е. боковые грани - равнобедренные треугольники, таким образом, пирамида прямая.

Задачи

Является ли данное высказывание по индукции верным:

Ученик 5 класса, проверив все пятые степени чисел от 1 до 9, пришёл к выводу, что всякое натуральное число в пятой степени заканчивается той же цифрой, что и само число: например 25=32, 35=243, 175=…7

Верен ли вывод?

Одним из методов доказательства теорем в школьном курсе математики является метод полной индукции (совершенной или Аристотелевой). Покажите, как используется полная индукция при доказательстве теоремы об объеме прямоугольного параллелепипеда, при выводе признаков делимости чисел на 2, на 5, на 3; при доказательстве возрастания показательной функции y=ax, для а

³

1

Большинство теорем в учебниках геометрии доказывается синтетическим методом. Докажите две теоремы из программы какого-либо класса средней школы аналитическим методом; одну теорему возьмите из курса планиметрии, вторую – из курса стереометрии.

Составьте к каждой из доказанных теорем по одной задаче: одну на вычисление, вторую – на построение.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 1:2, Докажите аналогичную теорему для тетраэдра, если под медианой тетраэдра понимать отрезок прямой, соединяющий его вершину с центром тяжести противоположной грани.

Если треугольник пересечь прямыми, параллельными основанию, то мы получим ряд подобных треугольников. Сформулируйте аналогичную теорему для пирамиды. Сравните периметры, площади и объемы полученных при этом фигур. Сделайте соответствующие чертежи. От треугольника прямой, не параллельной основанию, можно отсечь треугольник, подобный данному. Будет ли верно аналогичное предложение для тетраэдра?

Рассмотрите аналогичные свойства на плоскости и в пространстве: параллелограмма и параллелепипеда, окружности и сферы, круга и шара.

Привести примеры межпредметных аналогий.

Рассмотрите несколько примеров метода математической индукции из алгебры и геометрии.

1.5 Практическое занятие № 5

Тема Оценка знаний и умений учащихся учителем.

Цель Научить студентов определять уровень сложности задания, время и место проведения, единообразно и объективно оценивать знания и умения учащихся.

Методические особенности работы

В задания для проверки включаются основные типичные, различной сложности вопросы, соответствующие проверяемому разделу. При этом оценка «1» ставится, если ученик обнаруживает полное незнание программного материала, не умеет устно изложить, а в письменных работах подает или совсем неначатую, или только начатую работу. В письменных работах «1» ставится, если допущено свыше 6 ошибок. Оценка «2» ставится в том случае, если ученик обнаруживает незнание большей части программного материала, слабо понимает и плохо заучивает, не умеет применять правила в решении самых простых задач, отвечает с наводящими вопросами учителя. В письменных работах «2» ставится в том случае, если допущено от 3 до 6 ошибок, причем 3 из них не грубые (недочеты). Оценка «3» ставится в том случае, если ученик обнаруживает знание основного материала в такой мере, что может усвоить последующий материал, применить имеющиеся знания в несложных примерах, «3» ставится в письменных работах, если допущено от 2 до 4 ошибок (из них не более 2-х грубых). Оценка «4» ставится, если ученик знает весь программный материал, в большинстве случаев может применить ранее полученные знания к решению задач и примеров. В письменных работах «4» ставится в том случае, если допущено 1-2 ошибки, из них 1 – не грубая. «5» ставится, если примеры и задачи выполнены правильно, решения и вычисления рациональны, записи аккуратны и последовательны, действия обоснованы.

К ошибкам (грубым) относят:

незнание основных формул, правил, теорем и неумения применять их к решению задач;

ошибки в порядке действий, в основных тождественных преобразованиях;

ошибки в составлении уравнений, решении геометрических задач.

К недочетам относят:

не рациональный ход преобразований;

ошибки по рассеянности, недосмотру.

К мелким недочетам относят:

недостаточная аккуратность в записях, чертежах;

ошибки в написании математических терминов.

Если ошибка в одном случае допущена, а в аналогичном случае – нет, то ее можно отнести к недочету.

Требования к учителю, проверяющему контрольную работу по математике

1 Записи красными чернилами в ученических тетрадях делаются четко и аккуратно.

2 В 4-6 классах ошибки в рабочих тетрадях учащихся надо обязательно исправлять. В 7 – 10 классах ошибки в контрольных работах можно только подчеркнуть, а исправлять их необходимо в тетрадях слабо успевающих по математике учащихся.

3 В конце работы полезно указать учащимся номер параграфа в учебниках для повторения материала, незнание которого привело к ошибке.

4 Полезно в тетради учащегося (особенно в 4–5 классах) выразить свое отношение к выполненной им работе. Можно написать: «Молодец!», «Отличный рисунок (чертеж)!», «Работа выполнена красиво», «Найди второй способ решения» или «Неверно», «Не рационально», «Чертеж не соответствует данным условиям задачи», «Небрежно».

5 Грамматические ошибки нужно исправлять, не снижая за них оценки, так как оцениваются знания по математике. В математических терминах ошибка считается недочетом и снижается на

3

1

балла.

Задачи

На сколько минут и в каком классе вы предложите контрольную работу такого содержания:

а) найти острый угол (, если известно, что

1345

,

0

sin

»

a

.

Найти

a

cos

и

a

tg

.

б) найти острый угол при основании равнобедренной трапеции, если известно, что диагонали ее взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся на части в отношении 3:4?

В каком классе вы дадите контрольную работу следующего содержания:

а) в трапеции ABCD (BC((AD) проведена средняя линия МК. Будут ли трапеции МВСК и AMKD подобны? Почему?

б) прямая МК пересекает сторону АВ треугольника АВС в точке М, а сторону АС – в точке К и так, что угол В равен углу АКМ. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника АКМ, если АК=5, а АВ=10?

в) вычислите длину дуг окружностей, если они относятся как

5

2

:

2

3

Какую вы поставите оценку ученице, если в задаче она вычислила длину радиуса вписанной окружности вместо радиуса описанной окружности?

Задачу (б) она решила верно, рационально;

Задачу (в) она решила верно, но не рационально (не заменяла отношение дробных чисел отношением целых чисел).

Важен ли порядок расположения задач в контрольной работе? Надо ли задачи в контрольной работе располагать в порядке их возрастающей трудности?

Какую вы поставите оценку ученику, выполнившему контрольную работу по геометрии следующим образом:

а) Стороны параллелограмма 4,5 и 12 см. Из вершины острого угла проведена биссектриса. На какие части она делит большую сторону?

5

,

4

BC

AD

=

=

,

12

DC

AB

=

=

,

12

QB

AQ

=

+

,

5

,

4

AQ

=

,

5

,

7

5

,

4

12

QB

=

-

=

, т.к. при проведении биссектрисы будет делиться угол пополам, то ∠1=∠3, значит, ∆ADQ – равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике две стороны равны.

AQ

AD

=

, т.е.

5

,

4

AQ

=

; следовательно,

5

,

4

AD

=

, а

5

,

7

QB

=

, т.к. вся сторона 12 см. нужно

12-4,5=7,5

б) Вычислите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине в 3 раза больше угла при основании.

Пусть угол при основании х, тогда угол при вершине 3х, составим уравнение:

х+х+3х=1800, 5х=1800 , х=360, 36*3=1080.

Ответ: углы при основании по 360, а при вершине 1080.

Дать определение параллелограмма. Можно ли квадрат назвать параллелограммом и наоборот, любой ли параллелограмм есть квадрат?

Параллелограммом называется четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон. Любой квадрат есть параллелограмм. Любой параллелограмм есть квадрат.

Верно ли ученик решил первую задачу? Достаточно ли основательно он объяснил, что ∆ADQ-равнобедренный? Какую ошибку допустил в 3-ем задании. В каком классе учится ученик? Составьте один вариант контрольной работы для 7 класса.

В каком классе вы предложите такую контрольную работу:

а) определить объем куба, если площадь его полной поверхности равна 96 см2.

б) основанием прямой треугольной призмы служит равносторонний треугольник со стороной а. Найдите высоту призмы, если площадь ее боковой поверхности равна площади полной боковой поверхности куба с ребром а.

в) найдите ребро прямой четырехугольной призмы, основанием которой служит квадрат со стороной а, если известно, что площадь ее поверхности численно равна объему этой призмы?

Какую оценку вы поставите ученице, если она две первые задачи решила верно, а последнюю совсем не решила (очевидно, не успела)?

Какую оценку вы поставите ученику, если он две первые задачи решил верно, а на третью задачу ответил так: «Такой призмы быть не может, т.к. объем, выраженный в кубических единицах, не может быть равен площади поверхности, выраженный в квадратных единицах?». Есть ли элемент здравого смысла в его неверном ответе?

Ученица решила все задачи верно и рационально, но в одном из 3-х случаев вместо слова «площадь» написала «плоскость». Какую оценку вы поставите этой ученице?

Ученица по болезни пропустила предыдущие уроки математики, не смогла решить ни одной задачи и сдала чистый листок. Будете ли вы ставить ей «1» или «2» за невыполнение работы? Может быть, вместо контрольной работы вы ей дадите самостоятельную предварительную работу на уроке?

Составьте для 6 класса два варианта контрольных работ по геометрии и алгебре, рассчитанных:

а) на 15-20 минут,

б) на 45 минут.

Рекомендации при проверке письменной работы

Содержание и объем материала, подлежащего проверке, определяется программой. При проверке усвоения материала нужно выявлять полноту, прочность усвоения учащимися теории и умения применять ее на практике.

Основными формами проверки знаний и умений учащихся по математике являются письменная контрольная работа и устный опрос. При оценке ответов учитель учитывает показанные учащимися знания и умения. Оценка зависит от наличия и характера погрешностей, допущенных учащимися.

Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты. Погрешность считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что ученик не овладел основными знаниями, умениями, указанными в программе. К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся в программе основными. Недочетами также считаются: погрешности, которые не привели к искажению смысла полученного учеником задания или способа его выполнения (неаккуратная запись; небрежное выполнение чертежа).

Задания для устного и письменного опроса учащихся состоят из теоретических вопросов и задач.

Оценка ответа учащегося при устном и письменном опросе проводится по пятибалльной системе, т.е. за ответ выставляется одна из отметок: 1 (плохо), 2 (неудовлетворительно), 3 (удовлетворительно), 4 (хорошо), 5 (отлично).

Учитель может повысить оценку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии учащегося; за решение более сложной задачи или за ответ на более сложный вопрос, предложенные учащемуся дополнительно после выполнения им заданий.

Оценка письменных контрольных работ учащихся

Отметка «5» ставится, если:

работа выполнена полностью;

в рассуждениях и обоснованиях решения нет пробелов и ошибок;

в решениях нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

допущена одна ошибка или два - три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

· допущены более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

· допущены существенные ошибки, показавшие, что ученик не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если:

· работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

1.6 Практическое занятие №6

Тема Определение математических понятий. Виды теорем и мето-дика их доказательства.

Цель Научиться выделять существенные признаки определяемого понятия; отличать определения понятий от других математических предложений; ознакомиться с необходимыми и достаточными условиями и их связью с прямой и обратной теоремами.

Методические особенности работы

Совокупность общих существенных признаков математических объектов, отражающихся в сознании, составляет математическое понятие. В каждом понятии логика различает содержание и объем. Например, содержание понятия параллелограмм составляют следующие существенные признаки: выпуклый плоский 4-х угольник, стороны которого параллельны, или выпуклый плоский 4-х угольник, две противоположные стороны которого равны и параллельны, или выпуклый плоский 4-х угольник, диагонали которого делятся пополам. Объем понятия параллелограмм составляют те фигуры, которые обладают существенными признаками параллелограмма. Это – параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник.

Определить понятие – значит, свести его к ранее установленным понятиям. Одним из способов построения понятия является построение путем указания рода и признака видового отличия. Например, трапецией называется выпуклый четырехугольник, две стороны которого параллельны. Здесь «выпуклый четырехугольник» - ближайший род для трапеции. Выражение «две стороны которого параллельны» - видовое отличие трапеции.

Существуют также определения: генетические, которые указывают на способ образования определяемого объекта; через абстракцию (множество, число, конгруэнтность, геометрическое тело и др.); аксиоматическое (понятие вектора в геометрии, скалярного произведения в линейной алгебре).

К формулировке определения предъявляются требования - определение должно быть:

содержательным, т.е. определяя понятие, учащийся должен представлять конкретные объекты, охватываемые этим определением;

соразмерным, т.е. содержать только существенные, независимые признаки,

сформулировано ясно, четко,

не должно содержать порочного круга, – например, нельзя определять радиус через половину диаметра, а диаметр через удвоенный радиус.

Предложения, истинность которых доказывается на основе ранее рассмотренных истин, называется теоремой. Для любой теоремы существует еще три: обратная, противоположная ей и противоположная обратной. Первую, исходную, называют прямой.

1 Прямая теорема (А

®

В): если есть А, то есть В.

2 Обратная теорема (В

®

А): если есть В, то есть А.

3 Теорема, противоположная обратной (

A

B

®

): если нет В, то нет А.

4 Теорема, противоположная прямой (

B

A

®

): если нет А, то нет В.

Условие А достаточно для В, если из А

®

В. (например, если углы вертикальные, то они равны (здесь вертикальность углов – достаточное условие для их равенства).

Условие А необходимо для В, если (

B

A

®

), т.е. выполняется теорема противоположная прямой или обратная теорема. (например, если число четное, то оно делится на 2, здесь

B

A

®

, т.е. истинна теорема противоположная прямой, следовательно, четность числа – необходимый признак делимости на 2).

Признак А необходим и достаточен для В, если выполняется условие: из А

®

В и обратно: из В

®

А, т.е. А

«

В. Здесь истинны обе теоремы: прямая и противоположная прямой или обратная. Если четырехугольник параллелограмм, то, пересекаясь, диагонали делятся пополам. Эта теорема – истинная, обратная – также истинная, следовательно, деление диагоналей пополам в точке пересечения – необходимый и достаточный признак того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.

Задачи

Определение какого-либо понятия в математике дается не только через указания ближайшего рода и видового отличия. Иногда определение понятия дают гипотетически: с указанием способа образования определенного понятия, например:

а) сфера есть поверхность, образованная вращением полуокружности (окружности) вокруг своего диаметра,

б) равнобедренный треугольник – это треугольник, полученный из прямоугольного треугольника путем поворота его вокруг катета на 1800 (или путем симметрии относительно катета).

Приведите примеры двух – трех известных вам генетических определений или придумайте сами генетическое определение каких – либо понятий в математике.

В математике часто используют условные соглашения, которые также являются определениями и которые записываются в виде равенств, формул (выражений). Например:

а0=1, если а

¹

0;

n!= 1

*

*

*

3

2

….n, 0!=1;

а-n=

n

a

1

, а

¹

0;

1

0

=

n

C

.

Говорить о доказательстве этих равенств не имеет смысла, так как эти равенства суть определения, можно лишь говорить о целесообразности введенных определений.

Приведите примеры других определений, записанных в виде формул. Используйте понятие степени с дробным показателем, понятие четного, рационального числа.

Каким способом вы установите, что больше: sin 200 или sin 180 + sin 20?

Указание. Используйте формулы sin(

b

a

+

), sin

a

+sin

b

, sin2

a

.

î

í

ì

=

-

=

0

5

0

4

х

х

На четыре делятся те и только те числа, две последние цифры которых образуют число, делящееся на четыре. Сформулируйте это предложение в терминах «необходимо и достаточно».

Теорему о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника ученик доказал так:

yh

xh

CD

b

CD

a

S

S

ACD

BCD

5

,

0

5

,

0

sin

5

,

0

sin

5

,

0

=

a

×

×

a

×

×

=

или

y

x

b

a

=

и т.д.

B

K

C

K

0

L

0

L

A

D

Учительница же дала классу другое доказательство этой теоремы и снизила этому ученику отметку за то, что он отступил от стандартного способа доказательства. Права ли учительница? В каком классе, по вашему мнению, учится ученик?

Докажите самостоятельно теорему о биссектрисе треугольника, воспользовавшись теоремой синусов.

Решите эту задачу с использованием метода симметрии, отразив зеркально данный треугольник АВС относительно биссектрисы СD (А перейдет в

А

¢

’, В – в

В

¢

) и проводя

А

А

¢

и

В

В

¢

, мы получим пары подобных треугольников

А

АD

¢

и

C

В

В

¢

.

1.7 Практическое занятие № 7

Тема Обучение решению математических задач

Цель Изучить основные этапы решения задач, ознакомиться с задачами на составление уравнений и методами их решений.

Методические особенности работы

Решение каждой математической задачи осуществляется по четырем основным этапам: понимание условия и требования задачи; усвоение отдельных элементов условия, составление плана решения, реализация плана, окончательное рассмотрение задачи и ее решения с целью усвоения моментов, которые могут быть полезными для решения.

При реализации каждого этапа необходимы общие советы, годные для решения различных задач, иначе ученики не научатся решать многие задачи, а будут учиться решать каждую конкретную задачу.

Эти вопросы и советы в соответствии с этапами решения можно разделить на четыре группы:

Этап первый. Вопросы и