НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ

імені Ігоря Сікорського»

Факультет менеджменту та маркетингу

Кафедра математичного моделювання економічних систем

ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНО:

Завідувач кафедри ММЕС

__________ В. О. Капустян (підпис) (ініціали, прізвище)

«___»_____________2018 р.

Дипломна робота

на здобуття ступеня бакалавра

з напряму підготовки 6.030502 «Економічна кібернетика»

на тему: «Управління портфелем цінних паперів»

Виконала:

студентка 4 курсу, групи УК-41

Латоніна Марія Володимирівна (підпис)

Керівник:

доц., к.е.н., доц. Тадеєв Ю.П. (підпис)

Рецензент:

проф., к.е.н., проф. Довгань Л.Ю. (підпис)

Засвідчую, що у цій

дипломній роботі немає

запозичень з праць інших

авторів без відповідних

посилань

Студент _____________ (підпис)

Київ – 2018 року

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»

Факультет менеджменту та маркетингу

Кафедра математичного моделювання економічних систем

Рівень вищої освіти – перший (бакалаврський)

Напрям підготовки 6.030502 «Економічна кібернетика»

ЗАТВЕРДЖУЮ:

Завідувач кафедри ММЕС

__________В. О. Капустян (підпис) (ініціали, прізвище)

«___»_____________2018 р.

ЗАВДАННЯ

на дипломну роботу студенту

Латоніної Марії Володимирівни

1. Тема роботи «Управління портфелем цінних паперів», керівник роботи

Тадеєв Юрій Петрович, доцент, кандидат економічних наук, затверджені

наказом по університету від «11» січня 2018 р. № 25-С.

2. Термін подання студентом роботи 11 червня 2018 року.

3. Вихідні дані до роботи: теоретичні та практичні розробки вітчизняних і

зарубіжних авторів, законодавство України, періодичні видання, статистичні

дані, внутрішня документація.

4. Зміст роботи: побудова статичної та динамічної моделей керування

портфелем цінних паперів, використання моделі на фондовому ринку

України, визначення ефективності розробленої моделі у порівнянні з

класичними моделями.

5. Перелік ілюстративного матеріалу (із зазначенням плакатів, презентацій

тощо): презентація роботи.

6. Дата видачі завдання11 січня 2018 року.

Календарний план

№

з/п

Назва етапів виконання

дипломної роботи

Термін виконання

етапів роботи Примітка

1. Вступ, пошук первинних матеріалів. 06.02.2018 –

15.02.2018

2. Дослідження основних принципів

функціонування ринку цінних паперів.

16.02.2018 –

28.02.2018

3. Вивчення основних моделей управління

портфелем цінних паперів.

01.03.2018 –

24.03.2018

4. Аналіз стану українського фондового

ринку.

25.03.2018 –

31.03.2018

5. Побудова економіко-математичної

моделі керування портфелем цінних

паперів.

01.04.2018 –

10.04.2018

6. Програмна реалізація прогнозної моделі

в Excel

11.04.2018 –

18.04.2018

7. Перевірка дієздатності моделі за

допомогою статистичних даних

української фондової біржі.

19.04.2018 –

01.05.2018

8. Порівняння досліджуваної моделі з

класичними.

02.05.2018 –

31.05.2018

9. Формулювання висновків для

проведеного дослідження

01.06.2018 –

17.06.2018

Студент ____________ М.В. Латоніна (підпис)

Керівник роботи ____________ Ю.П. Тадеєв (підпис)

РЕФЕРАТ

Дипломна робота складається зі вступу, 2 розділів, висновків та

додатків. Робота виконана в обсязі 61сторінки, містить 13 рисунків, 5

таблиць та 1 додаток. Метою роботи є розвиток математичного апарату

динамічного управління портфелем цінних паперів в нестабільній

економічній ситуації українського фондового ринку. У роботі розроблені

пасивна та активна стратегії управління портфелем інвестора. Для

досягнення поставленої мети використані статистичні дані української

фондової біржі. Результатом дослідження є побудована економіко-

математична модель управління портфелем інвестора. Ефективність моделі

порівнюється з класичними моделями, модель є доцільною для

використання.

Ключові слова: інвестиційний портфель, акція, облігація, фондова

біржа, модель Марковіца.

ABSTRACT

The thesis consists of introduction, 2 chapters, conclusions and appendices.

The work includes 61 pages, contains 13 pictures, 5 tables and 1 appendice. The

purpose of the work is to develop the mathematical apparatus of dynamic portfolio

management in the unstable economic situation of the Ukrainian stock

market.Inthiswork,

passiveandactivestrategiesformanagingtheportfoliooftheinvestoraredeveloped. To

achieve this goal, the statistics of the Ukrainian stock exchange were used. The

result of the research is the construction of an economic and mathematical model

of investor portfolio management.

Key words: investment portfolio, bond, stock exchange, Markovitz model.

ЗМІСТ

Вступ ......................................................................................................................... 7

1 Теоретичні засади управління портфелем цінних паперів ............................ 10

1.1 Теоретичні поняття, стратегії, принципи інвестиційної діяльності .......... 10

1.2 Економіко-математичні моделі формування портфелю ............................. 17

1.3 Динамічне керування портфелем цінних паперів ........................................ 27

1.4 Аналіз фондового ринку України .................................................................. 33

1.5 Висновки .......................................................................................................... 35

2 Побудова економіко-математичної моделі управління портфелем цінних

паперів .................................................................................................................... 37

2.1 Створення вдосконаленої моделі на основі класичної моделі Марковіца 37

2.2 Використання вдосконаленої моделі в умовах фондового ринку України

................................................................................................................................. 45

2.3 Динамічна модель керування портфелем у дискретному часі ................... 54

2.4 Динамічна модель в умовах фондового ринку України. ............................ 59

2.5 Висновки .......................................................................................................... 65

Висновки ................................................................................................................ 67

Перелік джерел посилання ................................................................................... 69

Додаток А Котирування акцій української біржі у 2017 році .......................... 74

7

ВСТУП

Проблема управління портфелем акцій бере початок з появи

фондового ринку на його офіційній батьківщині – у бельгійському місті

Антверпені. Найважливішим поняттям у теорії портфельних інвестицій є

поняття ефективного портфелю акцій, під яким мається на увазі сукупність

цінних бумаг та активів, що забезпечують максимальний рівень доходу за

зазначеного рівню ризику чи мінімальний ризик за умови досягнення

зазначеного рівню доходу. Створення оптимального портфелю можна

вважати багатокритеріальною задачею, адже неможливо обирати акції, які

поєднували б у собі якості високодохідності ( великого прибутку від

вкладення у цінні папери), високонадійності ( низької ймовірності зазнати

збитки) та високоліквідності (можливості оперативної реалізації цінних

паперів на ринку). Залежно від обраної інвестиційної політики підприємства

розробляється система специфічних цілей, серед яких можна виділити

максимізацію росту капіталу, максимізацію росту доходу, мінімізацію

інвестиційних ризиків та забезпечення необхідного рівня ліквідності

інвестиційного портфелю.

Слід зазначити, що, незважаючи на широкий спектр досліджень

вітчизняних та зарубіжних вчених у цій області, універсальна модель

управління портфелем акцій досі не була розроблена, і ця тема лишається

актуальною для дослідження.

Метою дослідження даної дипломної роботи є розвиток

математичного апарату динамічного управління портфелем цінних паперів в

нестабільній економічній ситуації українського фондового ринку.

Для досягнення мети слід поетапно виконати такі завдання:

– розгляд основ керування інвестиційним портфелем;

– дослідження основних стратегій типів інвестиційних портфелів;

8

– ознайомлення з існуючими економіко-математичними моделями

управління інвестиційним портфелем;

–розробка власної економіко-математичної моделі управління

портфелем акцій;

–збір необхідних вхідних даних для використання запропонованої

моделі;

– практичне використання моделі у сучасних реаліях;

Об’єктом даного дослідження є ринок акцій України.

Предметом дослідження - математичний апарат для моніторингу

ринкової кон'юнктури і формування портфеля цінних паперів.

Під час написання даної дипломної роботи були використані декілька

методів дослідження.

В першу чергу був необхідний порівняльний метод для зіставлення

вже існуючих стратегій управління портфелем та економіко-математичних

моделей створення ефективного портфелю. Надалі за допомогою гіпотеко-

дедуктивного методу були визначені шляхи можливого покращення раніше

розроблених моделей. Була запропонована гіпотеза, яка була перевірена на

актуальність у даній курсовій роботі, і на якій було засновано подальше

дослідження. За допомогою методу формалізації була визначена

послідовність виконання курсової роботи за допомогою формальних

символів. Метод моделювання, як удосконалений метод дослідження у

курсовій роботі, включає в себе практичну складову, проведення дослідів та

експериментів.

Розробка математичної моделі відбувається у декілька етапів. В першу

чергу була запропонована модель початкового формування портфелю

інвестора за удосконаленою моделлю Марковіца. Інвестор, що дотримується

пасивної стратегії та вкладає грошові засоби у цінні папери з метою

подолання інфляції чи отримання прибутку у далекій перспективі, може

зупинитись у використанні даної моделі на першому етапі. Результати,

отримані за запропонованою моделлю, були порівняні з результатами, які

9

можна отримати за допомогою класичної моделі Марковіца. Удосконалена

модель є значно вигіднішою.

Наступним етапом стало перетворення статичної економіко-

математичної моделі у динамічну. За допомогою даної моделі інвестор

здатен ефективно керувати власним портфелем інвестицій с метою

отримання максимального прибутку. Результати, що були отримані за

допомогою динамічної моделі, були порівняні з результатами, які потенційно

міг би отримати інвестор, керуючись стратегією ковзних середніх, які наразі

є найрозповсюдженішим інструментом на ринку цінних паперів. Модель

виявилась точнішою.

Використовуючи відомі параметри та характеристики, була

запропонована покращена модель об’єкту дослідження, удосконалений

кінцевий результат, підтверджені його актуальність та можливість

використання.

10

1 ТЕОРЕТИЧНІ ЗАСАДИ УПРАВЛІННЯ ПОРТФЕЛЕМ

ЦІННИХ ПАПЕРІВ

1.1 Теоретичні поняття, стратегії, принципи інвестиційної

діяльності

Ринок цінних паперів – це сукупність ринкових відносин щодо купівлі

та продажу, випуску цінних паперів та встановлення ціни на них. За

допомогою ринку цінних паперів фізичні та юридичні особи, що мають

бажання інвестувати у розвиток організацій з метою отримання прибутку,

реалізовують право на побудову економічно-правових відносин. Фондовий

ринок перенаправляє вільні інвестиційні ресурси у забезпечення сталого

розвитку економічної діяльності.

Згідно Закону України «Про цінні папери та фондовий ринок» [1]

ринок цінних паперів (аналогічно фондовому ринку) визначається як

взаємодія учасників фондового ринку та правовідносин між ними щодо обігу,

розміщення та обліку цінних паперів і їх похідних (деривативів).

Фондова біржа – це ринкова структура, що робить можливим

укладення угод між суб’єктами економічної діяльності щодо купівлі та

продажу акцій. Фондова біржа є спеціалізованою установою, на якій

встановлюється попит та пропозиція на цінні папери, надається місце та

інструменти для обігу акцій та облігацій.

Фондова біржа виконує певні завдання, серед яких організація місця

та умов для укладення угод, гарантування гласності та законності біржового

торгу, встановлення рівноважної ціни акцій, забезпечення виконання угод,

визначення умов угод, що укладаються, тощо [21] .

Інвестор у цінні папери – це фізична чи юридична особа, що стає

власником цінних паперів певної компанії з метою отримання доходу від

11

інвестицій чи привілеїв та прав, що надаються разом с правом володіння

цінним папером.

Інвестором може бути індивідуальний інвестор (фізична особа, що

отримає пасивний дохід від володіння цінними паперами), корпоративний

інвестор (юридична особа, що вкладає грошові кошти у інвестиції) та

інституційний інвестор (інституції та установи, що здійснюють операції з

управління портфелями цінних паперів в інтересах інвестора) [9] .

Інвестиційний портфель – це заздалегідь сформована сукупність

цінних паперів як об’єктів інвестування, що є результатом діяльності

інвестора у підборі найбільш дохідних та неризикованих цінних паперів для

вкладення матеріальних ресурсів. Інвестор зазвичай керується метою

забезпечення високих темпів зростання капіталу у довгостроковій

перспективі та підвищення рівня доходу у поточному періоді [18] .

До основних типів капітальних цінних паперів належать акції та

облігації.

Облігації – це цінні папери, дохід за якими є фіксованим. Емітент

облігації зобов’язується виплачувати власнику вищезгаданої заздалегідь

визначений відсоток, а також повний номінал облігації у день погашення.

Зазвичай строк погашення облігації складає більше одного року, а ціна

продажу дорівнює номінальній ціні паперу [17].

Дохід власників акцій залежить від чистого прибутку акціонерного

товариства. Він може зростати, зменшуватись чи не виплачуватись, якщо

компанія потерпає від збитків. Зазвичай акції не мають встановленого строку

погашення.

Акції поділяють на дві основні категорії: звичайні та привілейовані

акції. Привілейовані акції, на відміну від звичайних, надають право на

фіксовану річну ставку (аналогічно облігаціям), а також на певний відсоток

від прибутку.

Якість цінного паперу втілюється у трьох основних характеристиках,

а саме дохідності, ліквідності та ризику цінного паперу.

12

Ліквідність характеризує можливість втілення права на передачу

цінного паперу від одного власника до іншого. Ліквідність втілена у всіх

допустимих формах передачі цінного паперу (інколи ліквідність зменшується

обмеженням на право купівлі-продажу цінного паперу тощо), в допустимих

об’ємах та максимальних чи мінімальних строках втілення угоди тощо [12] .

Дохідність цінного паперу – це грошова сума (матеріальна цінність),

що приносить цінний папір в абсолютній чи відносній мірі за певний

проміжок часу. Максимізація дохідності портфелю є основоположною метою

управління портфелем інвестора. Ставка дохідності по цінному паперу

визначається як річний дохід до ринкової ціни активу (у відсотковому

відношенні).

Ризик цінного паперу є мірою можливості часткового чи повного

невдалого втілення мети, що була покладена власником до здійснення

інвестицій. Ризики ринку цінних паперів пов’язані з впливом на них великої

кількості випадкових факторів мікро- та макроекономічного середовищ, що

важко піддаються прогнозуванню[7] .

Серед основних ризиків слід виділити: валютний (ризик втрати

відсотків доходу через зміну валютних курсів), інфляційний (ризик, що

пов’язаний з перекривання доходу по цінному паперу знеціненням валюти),

законодавчих змін (ризик, що виникає через еластичність ринкових цін

цінних паперів до змін в законодавстві країни), ризики країни, галузі чи

регіону (виникають через можливість інвестування у компанії, що належать

до кризових чи депресійних галузей чи територій) [4].

При керуванні портфелем цінних паперів інвестор має за мету в

першу чергу зберегти засоби, що початково були інвестовані, та досягти

максимального доходу за обмежених ресурсів. Під час керування інвестор

користується попередньо розробленими економіко - математичними

методами та технологічним апаратом.

Існують два основні типи моделей управління портфелем

інвестиційних паперів – активна та пасивна.

13

Інвестор, що активно керує портфелем, досліджує ринок цінних

паперів та користується інструментами аналізу для прийняття швидких

рішень щодо придбання та продажу певних цінних паперів, спираючись на

прогнози ринкових цін. Оцінюючи майбутні коливання ринкової ціни на

цінні папери, менеджер намагається забезпечити зростання вартості

портфелю за допустимого ризику та ліквідності. Активна стратегія

управління портфелем потребує значних капіталовкладень, технічної

оснащеності та високого рівня підготовки спеціалістів.

Виділяють декілька підтипів активного управління портфелем [8] .

Інвестор, що керується стратегією акцій зростання, припускає, що

компанія, прибуток якої зростає швидкими темпами, є більш перспективною

для інвестицій. Він розуміє, що ризик такого портфеля буде більшим.

За стратегії недооцінених акцій інвестор включає до портфелю акції,

дивіденди за які вище за інші, чи акції, ринкова вартість яких значно вища за

балансову. Таким чином інвестор підбирає акції, які недооцінені на даний

момент та вартість яких зросте в найближчому майбутньому.

За стратегії низької капіталізації інвестор вкладає більший відсоток

коштів у невеликі компанії, так як вони характеризуються більшою віддачою.

За пасивної стратегії управління портфелем інвестор розраховує

диференційований портфель за заданого максимально допустимого рівня

ризику та здійснює капіталовкладення у довгостроковій перспективі.

Пасивна модель керування включає передачу фінансових активів

спеціалізованій установі, яка має повноваження та технології для того, щоб

адекватно прогнозувати стан ринку та вкладати гроші у цінні папери від

імені приватного інвестора з метою отримання прибутку та комісійних [19] .

За пасивного стилю керування також виділяються декілька стратегій.

Деякі інвестори купують акції та тримають їх повний строк дохідності

до погашення. Інвестор не намагається швидко реагувати на зміни ринкових

цін акцій. Мета цього підходу – в компенсації інфляції доходами від цінних

14

паперів. Інші інвестори обирають стратегію керування індексним фондом

облігацій [16] .

Основною перевагою портфельного інвестування є те, що інвестор

має можливість планувати кінцеві результати своєї діяльності, балансувати

дохідність, ліквідність та ризик портфелю у різних секторах фондового

ринку. Портфель може складатись з цінних паперів одного або кількох видів,

співвідношення та сумарна вартість акцій може змінюватись у динаміці.

Складаючи портфель цінних паперів інвестор зазвичай намагається

максимізувати свій дохід за заданого максимального рівня ризику.

Залежно від завдань, що стають перед інвестором, він може обрати

різні типи портфелів, що відрізняються у залежності від таких характеристик,

як дохідність та ліквідність [2].

Портфель зростання створюється з акцій емітентів, ринкова вартість

яких стабільно зростає. Інвестор намагається отримати портфель

максимальної ринкової вартості за обмежених вкладень грошових засобів.

Дивіденди, що отримують за такої портфельної стратегії, не є дуже

великими. У залежності від темпів зростання виділяються декілька підтипів

портфеля зростання [20] .

Максимальний приріст ринкової вартості досягається за стратегії

портфелю агресивного зростання. До складу такого портфеля входять акції

компаній, що нещодавно вступили на ринок та швидко зростають. Разом з

найвищим рівнем дохідності такі портфелі мають найвищий рівень ризику.

Портфель консервативного зростання забезпечує гарантоване

збереження капіталу. Такий портфель складається з акцій стабільних, добре

відомих компаній з майже гарантовано зростаючою ринковою вартістю

акцій. Склад портфеля майже не змінюється у динаміці.

Портфель середнього зростання є поєднанням портфелів

консервативного та агресивного зростання. Такий портфель включає як

ризиковані активи зі швидкозростаючою ринковою вартістю, так і більш

15

надійні, але менш надійні цінні папери. Така портфельна стратегія більш

притаманна інвесторам, що не дуже схильні до ризику.

Портфель доходу є ще одним поширеним типом портфельних

стратегій. Основна мета даної стратегії – отримання високого доходу у

поточному періоді. Інвестор намагається отримати максимальний дохід від

поточних дивідендів за максимального допустимого для нього ризику.

Інвестор обирає цінні папери с високими відсотками, що виплачуються

стабільно.

Серед портфелів доходу виділяються портфель регулярного доходу,

портфель дохідних паперів та портфель зростання і доходу.

За обирання стратегії портфелю регулярного доходу інвестор отримує

мінімальний рівень ризику за середнього доходу.

Створюючи портфель дохідних паперів, інвестор максимізує свій

дохід, не перевищуючи середній рівень ризику.

Керуючись стратегією портфелю зростання та доходу, інвестор

намагається уникнути можливих ризиків від падіння ринкової вартості

цінних паперів чи зменшення відсоткових виплат. Одна частина портфелю

формується за принципом портфелю доходу, а інша – за принципом

портфелю зростання. Інвестор одночасно отримує дохід та отримує приріст

ринкової вартості портфелю.

Під час формування портфелю цінних паперів інвестор проходить

п’ять етапів [22] .

Під час першого етапу інвестор визначає мету та цілі своєї

інвестиційної діяльності. Найбільш поширеними є такі варіанти, як

підвищення безпеки грошових вкладень (інвестиції лише у стабільні

компанії з гарантованими виплатами), підвищення свого прибутку у

поточному періоді, зростання вартості порфелю. Інвестор, що прагне

надійності, обиратиме акції державних компаній – емітентів. Інвестор, що є

більш схильним до ризику та прагне отримати значні прибутки у обмежений

пробіжок часу, обирає акції молодих компаній, вартість яких швидко зростає

16

та які не є надійними. Таким чином, схильність інвестора до ризикових

капіталовкладень визначає структуру його портфелю.

Під час другого етапу інвестор здійснює аналіз акцій та облігацій, що

на даний момент доступні до продажу на фондовому ринку. Інвестор може

вдаватись до алгоритмів фундаментального та технічного аналізу. Технічний

аналіз зазвичай доповнює фундаментальний. Здійснюючи фундаментальний

аналіз, інвестор визначає тренди вартості акцій та приймає рішення щодо

долі певного емітента в портфелі. Технічний аналіз допомагає визначити

оптимальний момент для заключення угоди купівля-продаж [3].

На третьому етапі створення портфелю цінних паперів інвестор

обирає компанії емітенти, цінні папери яких у подальшому увійдуть до його

портфелю.

На четвертому етапі інвестор досліджує розраховані характеристики

портфелю (дохідність, ліквідність, ризик тощо). Він визначає, чи відповідає

портфель попередньо сформульованим стратегії та завданням.

На заключному етапі інвестор проводить аналіз ефективності власної

інвестиційної діяльності. Він робить висновки щодо прибутків та збитків,

отриманих від портфелю цінних паперів, аналізує свою стратегію та

переглядає її в разі потреби [13] .

Дохідність та ризик портфелю в першу чергу визначаються

розподілом грошових засобів між акціями та облігаціями. Так як під час

формування портфелю цінних паперів інвестор вимушен обирати між

дохідністю та ризикованістю вкладень, виділяють декілька принципів

формування портфелю, що допомагають знайти оптимальне співвідношення

між кількістю цінних паперів різних емітентів.

Принцип консервативності визначає співвідношення між

ризикованими, проте високодохідними цінними паперами, та надійними, але

менш дохідними паперами таким чином, щоб потенційні втрати від

ризикованих паперів могли компенсуватись доходами від більш надійних.

17

Згідно принципу диверсифікації, грошові засоби інвестора мають

розподілятись між цінними паперами декількох компаній [23] . Таким чином

інвестор мінімізує ризик портфелю – можливі збитки від зниження ціни акцій

одного емітента мають бути компенсовані доходом від цінних паперів

іншого. Принцип диверсифікації вважається провідним принципом

мінімізації ризику.

Принцип ліквідності вимагає того, щоб певна кількість

високоліквідних активів завжди містилась у портфелі інвестора, роблячи

можливим швидке виведення грошових засобів у разі потреби.

1.2 Економіко-математичні моделі формування портфелю

Існує значна кількість економіко-математичних моделей формування

інвестиційного портфеля. У даній дипломній роботі розглядатимуться такі

моделі, як модель Марковіца, Тобіна, Шарпа і багатокрокова модель

динамічного управління портфелем цінних паперів CALM.

Модель видатного американського економіста Гаррі Марковіца[41] є

однією з найширше використовуваних моделей управління портфелем

цінних паперів.

Марковіц розглядав значення дохідностей цінних паперів як

випадкові величини, що розподілені за нормальним (Гауссівським

розподілом). За його моделлю приватний інвестор здатен розраховувати

потенційну дохідність та ризик створюваного портфеля.

Модель Марковіца функціонує на основі таких припущень:

Математичне очікування дохідності цінних паперів прирівнюється до

дохідності;

Середнє квадратичне відхилення дохідності цінних паперів (дисперсія

дохідності паперів) розглядається як ризик портфелю;

18

Для визначення взаємозв’язку між ринковими вартостями цінних

паперів використовується коефіцієнт кореляції;

Для визначення майбутніх значень дохідності та ризику спираються

на відомі значення минулих періодів.

Портфель інвестора складається з певної кількості видів цінних

паперів. Кожен цінний папір характеризується певною очікуваною

прибутковістю (𝑟𝑖) (1.1) за період (𝑛) [42] :

C

CCr

i

iin

i

0

0

, (1.1)

де C i0 –вартість цінного паперу у початковий період часу;

C in – вартість цього паперу у певний період.

Очікувана дохідність цінного паперу розраховується за формулою

(1.2):

n

i

i

n

rr

1

. (1.2)

Мірою ризику є дисперсія (середнє квадратичне відхилення)

дохідності цінного паперу (1.3):

n

iiii

rrn

r1

22 )(1

1)var( , (1.3)

де 𝑟 – середнє арифметичне ринкової ціни цінного паперу.

Коефіцієнт коваріації використовується для визначення залежності

дохідності цінних паперів одна від одної попарно (1.4):

n

iji

m

jiiijji

rrrrn

rr1 1

)()(1

1),cov( . (1.4)

19

Поставимо задачу оптимізації. Нехай портфель складається з ni ...1

типів цінних паперів різних емітентів, а i

x позначає долю i -го цінного паперу

у портфелі, тоді можна сформулювати задачу з цільовою функцією(1.5)

(максимізація дохідності портфелю):

n

iiip

rwr1

max* , (1.5)

де 𝑤𝑖 – доля цінного паперу у портфелі інвестора.

Задача містить обмеження (1.6) :

11

n

iix . (1.6)

У задачі передбачається, що заздалегідь відомі очікувані доходності

акцій–i

r , і їх парні коваріації–ij

. Вони знаходяться на підставі статистичних

даних щодо минулих катувань цінних паперів.

У класичній теорії не встановлені обмеження щодо неможливості

набування частки акцій від’ємного значення. Слід зазначити трактування

негативних часток. Прикладом такої ситуації можуть бути операції типу short

sale, коли цінні папери купуються «короткими продажами» в борг за

визначеною ціною, продаються, потім їх ринкова вартість падає, і через

деякий час папери купуються у необхідній кількості, але вже за нижчою

ціною. Подібні ситуації дають можливість заробляти не лише на підвищенні

курсової вартості активу, а й на її зменшенні [43] .

Якщо на частки цінних паперів накладено умова невід’ємності

(неможливо брати в борг цінні папери), то вихідна задача ускладнюється та

потребую новітніх обчислювальних методів [5].

Основними недоліками класичної моделі Марковіца є необхідність

підпорядкування значень дохідностей цінних паперів нормальному

20

розподілу, необхідність спиратись на дані дохідностей отримані статистично,

необхідність визначення ймовірності досягнення певної ринкової ціни акції.

Джеймс Тобін удосконалив класичну модель Марковіца,

запропонувавши додати до моделі безризикові активи. Вчений дотримувався

макроекономічного підходу, досліджуючи розподіл капіталу на дві форми :

готівкову та безготівкову.

У моделі Тобіна [44] кожен портфель інвестора являю собою точку з

певним математичним очікуванням дохідності (p

R ) і зі

середньоквадратичним відхиленням (ступінь ризикованості) дохідності

портфеля p

y . Множина портфелів з мінімальним допустимим ризиком (при

визначеній заздалегідь прибутковості) або з максимальною прибутковістю

(при заданому максимально допустимому ризику) утворює увігнуту криву.

Ця крива являє собою лінію ефективних портфелів.

Розглянемо цінний папір з фіксованим доходом p

R і відсутністю

ризику (прикладом такого паперу можуть слугувати державні цінні папери).

Метою інвестора є отримання портфелю максимальної дохідності за заданого

допустимого ризику.

Портфель, що містить лише один безризиковий актив, може бути

представлений, як точкаp

R . Крива ефективних портфелів включає собою

портфелі, що складаються з ризикових активів. Інвестор намагається

максимізувати майбутню дохідність портфелю знаходить допустиму точку

на множині А, яку він вважає прийнятним для себе співвідношенням ризику

та дохідності. Вибір інвестора вважається оптимальною структурою

портфеля.

За моделлю Тобіна [45] портфель виражається за допомогою N-

мірного вектору (1.7) :

𝑦 = 𝑦0

𝑦 , (1.7)

21

де 𝑦0 – доля капіталу, що вкладається у безризикові активи;

𝑦 – доля капіталу, що вкладається у ризикові активи.

Очікувана дохідність такого портфелю має вигляд (1.8):

𝑥𝑝 = 𝑦0𝑟0 + 𝑦𝑖𝑥𝑖𝑁𝑖=1 , (1.8)

де 𝑟0 – очікувана ставка дохідності ризикових активів;

𝑁 – кількість ризикових активів.

А рівняння ризику (1.9) формально не змінюється:

n

iiii

rrn

r1

22 )(1

1)var( . (1.9)

Задача на пошук портфелю з мінімальним ризиком за фіксованої

очікуваної дохідності формулюється аналогічно моделі Марковіца з

необхідними змінами через нову функцію дохідності портфелю.

Введення безризикового активу не ускладнює розв’язок задачі.

Залежність ризику портфелю від дохідності можна визначити

рівнянням (1.10):

𝜎 =𝜇−𝑟0

𝑔 , (1.10)

де 𝜇 – мінімально допустимий рівень ризику;

𝑔 – константа, що розраховується як (1.11):

𝑔 = 𝑥 − 𝑟0𝑒 𝑇𝑉−1(𝑥 − 𝑟0𝑒), (1.11)

де 𝑥 – вектор дохідності ризикових цінних паперів;

22

𝑒 – одиничний вектор;

𝑉 – матриця коваріації.

Для визначення ефективного портфелю за Тобіном визначена рівність

(1.12):

𝑦∗ =𝜇−𝑟0

𝑔2𝑉−1(𝑥 − 𝑟0𝑒). (1.12)

Для ефективних портфелів є характерним лінійний зв’язок між

ризиком портфеля та його дохідністю. Також всі ефективні портфелі мають

однакову структуру ризикової частини. Різницю між різними портфелями

визначає множник (𝜇 − 𝑟0) – саме він відображає схильність інвестора до

ризику. Чим більше значення множника, тим більша дохідність портфелю та

його ризик відповідно.

Очевидно, що один з розв’зків моделі Тобіна в свою чергу є

розв’язком моделі Марковіца. Так, це портфель, безризикова частина якого

дорівнює нулю. Таким чином, пряма, що відображає на площині розв’язок

задачі Тобіна має одну спільну точку з гіперболою оптимальних повністю

ризикових портфелів.

Премія за ризик розраховується як різниця між гарантованою

дохідністю цінних паперів та дохідністю ризикових цінних паперів. Інша

назва – додаткова дохідність [14] .

Коефіцієнт Шарпа моделі (інша назва – питома премія за ризик)

розраховується на основі абсолютної премії за ризик за формулою (1.13):

𝛾𝑝 =𝑥𝑝−𝑟0

𝜎𝑝, (1.13)

де (𝑥𝑝 − 𝑟0) – премія за ризик.

23

Портфель, оптимальний за Марковіцем, має максимальний коефіцієнт

Шарпа з портфелів, оптимальних за Тобіном. Оптимальне співвідношення

цінних паперів у такому портфелі можна знайти за формулою (1.14):

𝛾0 = max 𝛾𝑝 𝑝}, (1.14)

де 𝑝 – всі можливі портфелі, оптимальні за Тобіном.

Нехай 𝜎0 та 𝜇0 – розраховані ризик та дохідність портфеля відповідно.

У цьому випадку (1.15):

𝛾0 =𝜇0−𝑟0

𝜎0 (1.15)

та (1.16)

𝜇0 = 𝑟0 + 𝛾0𝜎0. (1.16)

Оптимальним портфелем називається портфель, у якого коефіцієнт

Шарпа є максимальним. Оптимальність полягає у максимально можливій

ставці дохідності, що компенсує ризики нестабільної частини портфелю.

Під час розробки моделі Шарпа [46] економіст висловив припущення,

що абсолютно надійних цінних паперів, що розглядаються у моделі Тобіна,

існувати не може.

Так звані «індексні» моделі дозволяють прогнозувати очікувану

дохідність фінансового інструменту. Такі моделі дозволяють прогнозувати

ринкову вартість акції залежно від певних показників (індексів).

Найпростіша індексна модель була запропонована економістом У.

Шарпом. ЇЇ інша назва – ринкова модель [47]. Модель допомагає виокремити

залежність між очікуваною дохідністю актива та очікуваною дохідністю

певного фондового ринку в цілому. Модель Шарпа є лінійною.

24

Рівняння динаміки моделі (1.17) має наступний вигляд:

𝐸 𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 + 𝛽𝑖𝐸 𝑟𝑚 + 𝑒𝑖 , (1.17)

де 𝐸 𝑟𝑖 – очікувана дохідність певного цінного паперу;

𝑦𝑖 – дохідність паперу за умов відсутності впливу на нього факторів

зовнішнього середовища;

𝛽𝑖 – попередньо розрахований коефіцієнт актива;

𝐸 𝑟𝑚 – очікувана ринкова дохідність портфеля інвестора;

𝑒𝑖 – випадкова похибка.

Випадкова похибка виокремлюється, так як існують певні коливання

ринкових цін цінних паперів, які неможливо пояснити впливом жодних

факторів. Її математичне очікування прагне до нуля. Значення коефіцієнта

кореляції цієї величини з дохідністю ринку та неринковим впливом на інші

фінансові активи дорівнює нулю.

Приведена вище модель є моделлю лінійної регресії. При

використанні моделі з широко диференційованим портфелем, значення

випадкової складової компенсують одне одного, та випадкова складового

усього портфелю цінних паперів також прагне до нуля. Отже, для достатньо

диверсифікованого портфелю інвестор може знехтувати ризиком.

Таким чином модель набуває вигляду (1.18):

𝐸 𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 + 𝛽𝑖𝐸 𝑟𝑚 . (1.18)

Модель оцінки капітальних активів, вона ж модель CAPM, була

створена з метою нейтралізації недоліків попередніх економіко-

математичних моделей.

Економісти Г. Александер, Дж. Бейлі та інші виступають за

підвищення ступеню диверсифікації портфеля цінних паперів [33]. Вони

25

вважають, що розподіл коштів між акціями різних емітентів є найкращим

гарантом зменшення ризику портфеля. Таким чином зменшується ринковий

ризик портфеля.

Наразі модель Марковіца використовується в першу чергу на

першому етапі формування інвестиційного портфелю. Модель Шарпа

використовується на етапі розподілу грошових засобів інвестора між

компаніями всередині одного етапу. Отже, CAPMможна вважати

продовженням та узагальненням моделі Марковіца.

Основним припущенням моделі CAPMє те, що ризик портфелю

поділяється на систематичний та несистематичний (диверсифікований)

ризик. Саме мінімізація диверсифікованого ризику має бути основною

задачею приватного інвестора. Уникнути систематичного ризику неможливо

– для кожного фінансового активу розраховуються так звані коефіцієнти

ризику «бета», що розраховані спеціалістами з трейдингу та знаходяться у

вільному доступі на інформаційних ресурсах.

Модель CAPMґрунтується на таких припущеннях [22]:

–кожен інвестор намагається максимізувати власний прибуток через певний

проміжок часу.

–не накладаються обмеження на короткі продажі; всі інвестори мають право

давати та брати позики;

–всі інвестори на відкритому ринку мають однаковий доступ до

статистичних даних та ідентично розраховують дохідність та ризик цінних

паперів;

–активи завжди можуть бути продані, у тому числі частково – надається

можливість спліта акції.

–витрати на укладення угод та державні податки не враховуються;

–діяльність інвесторів на фондовому ринку формально не чинить впливу на

встановлення ринкової ціни акції.

–існує певна кількість цінних паперів у вільному продажу.

26

Інвестор має максимально точно передбачити ринкову вартість акцій

у майбутніх періодах. Для цього проводиться дослідження ринку,

виокремлюється тренд у ринкових цінах паперів різних емітентів [21].

На діяльність інвестора накладаються певні обмеження. В першу

чергу, інвестор має обмежений обсяг початкового капіталу, що може бути

вкладеним у портфель цінних паперів. Визначається мінімальний період часу

укладення угоди купівлі-продажу. Віднімається комісія брокеру з кожної

торгової операції. Інвестор має сплачувати державні податки. Інвестор

володіє інформацією щодо ціни купівлі та продажу цінних паперів.

Основним недоліком моделі CAPMє неможливість перевірки методом

експертних оцінок. Доповненням до моделі CAPMє удосконалена модель

APM, що була розроблена економістом Р. Росом та отримала назву «модель

арбітражної оцінки».

Згідно арбітражної моделі, серед двох портфелів з однаковою мірою

ризику та різною очікуваною дохідністю інвестор завжди обиратиме

портфель з максимальним рівнем дохідності. Можливість безризикових

інвестицій отримала назву арбітражу. Кожен інвестор в першу чергу

користується можливістю арбітражу [13].

У моделі арбітражної оцінки виділяють два типи ризику портфелю

інвестора. Специфічний ризик визначається факторами ринкового мікро- та

макроекономічного середовища, що впливає безпосередньо на емітента

цінного паперу. Ринковий ризик може впливати на всі компанії у рівній мірі.

До такого ризику належить можливість інфляції, зміни законодавства,

політичної ситуації тощо.

Модель арбітражної оцінки дозволяє виміряти ступінь впливу

кожного з джерел ринкового ризику та більш ефективно передбачити

динаміку вартості портфелю. В свою чергу багатокрокові моделі управління

портфелем цінних паперів виокремлюють статистичні цінники ринкового

ризику та замінюють їх на економічні, дозволяючи отримати більш точний

прогноз.

27

Серед недоліків вищезгаданих моделей управління портфелем цінних

паперів виділяється те, що жодна з них не враховує термін дії акцій та

облігацій. На той час більшість моделей, що враховують різні терміни

отримання дивідендів з акцій, не вирізняють різні типи ризику, не поділяють

активи на ризикові та безризикові [6].

Перед тим, як обирати яку модель управління портфелем цінних

паперів використовувати у інвестиційній діяльності, інвестор має детально

дослідити інвестиційний макро- та мікроклімат, умови функціонування

фондового ринку країни, де він намагається торгувати акціями, визначити

свою мету, власну схильність до ризику, тип управління портфелем.

На першому етапі вибору оптимальної кількості акцій різних

емітентів в портфелі інвестор користується моделлю Марковіца. Надалі під

час розподілу портфелю на ризикові та безризикові активи він може

використовувати модель Тобіна. Модель Шарпа необхідна для визначення

ризику портфелю та його складових. Таким чином, усі розроблені моделі

управління портфелем цінних паперів не суперечать, а доповнюють одна

одну.

1.3Динамічне керування портфелем цінних паперів

Динамічне керування портфелем цінних паперів є наступним етапом

управління портфелем після його формування [33] .

Стратегія ковзного середнього є одним з найрозповсюдженіших

методів керування портфелем цінних паперів.

Ковзне середнє – це інструмент, що використовується зазвичай при

побудові математичних моделей випадкових процесів та розраховується як

середнє арифметичне певної підмножини значень часового ряду. Ковзне

середнє вважається випадковим процесом. Розмір підмножини для

розрахунку ковзного середнього може змінюватись покроково чи бути

28

сталим. З метою підвищення ступеню важливості одних даних порівняно з

іншими може використовуватись ваговий коефіцієнт.

Основна функція ковзного середнього – згладжування випадкових

викидів значень часового ряду та виокремлення коротко- , середньо- та

довготермінових циклів та трендів. Ковзне середнє слугує своєрідним

фільтром для обробки частотних сигналів.

Найпростішою моделлю ковзних середніх є модель розрахунку, за

якої сума математичних показників (у даному випадку ринкових цін акцій)

ділиться на кількість значень, що приймають участь у виборці. Таке ковзне

середнє називається «простим ковзним середнім», SMA, що розраховується

як (1.19):

𝑆𝑀𝐴 = 𝑃𝑖 :𝑁, (1.19)

де 𝑃𝑖– сума цін за період 𝑁;

𝑁 – кількість днів у періоді.

Даний метод не надає переваги новішим даним перед старішими, що не

є коректним. Кожен інвестор в першу чергу бере до уваги дані, отримані

вчора чи декілька днів тому. Ще одним недоліком є підвищений вплив

крайових значень (першого та останнього у підмножині), так як при зсуві

вікна фільтрації в сумі перестає враховуватись перша за хронологією ціна,

поступаючись місцем останній. Це спричиняє значні коливання значень

ковзних середніх [7] .

Альтернативою можуть слугувати виважене та експоненціальне ковзні

середні, зображені на рис. 1.1.

При розрахунку виваженего ковзного середнього кожному дню, що

входить до вікна фільтру, присвоюють порядковий номер від одного до n.

Після цього знаходиться середнє арифметичне добутків ціни цінного паперу

на порядковий номер дня за формулою (1.20):

29

𝑊𝑀𝐴 = 𝑃𝑖𝑛𝑖 : 𝑛𝑖 , (1.20)

де 𝑃𝑖𝑛𝑖– сума добутків ринкової ціни цінного паперу на призначені

порядкові номери днів;

𝑛𝑖– сума номерів днів у вікні ковзного середнього.

.

Рисунок 1.1 –Просте, експоненціальне, зважене ковзні середні з

сімнадцяти денним розміром вікна на графіку акцій ВАТ "Сбербанк Росії"

Інвестори використовують спеціальні фільтри з метою підвищення

точності сигналів, що розраховуються з використанням ковзних середніх [8] .

Серед них виділяється тимчасовий фільтр, процентний фільтр, перетин ціною

встановленої межі згори або знизу, процентні конверти, смуга максимумів та

мінімумів.

Тимчасовий фільтр використовується для фільтрації помилкових

викидів на короткострокових та середньострокових трендах. Після того, як

інвестор отримує сигнал про укладення угоди, він очікує декілька днів, що

переконатись, що найближчим часом тренд не зміниться.

30

За допомогою процентного фільтра інвестор встановлює мінімальний

відсоток, на який ціна має відхилитись від тренду, за якого він укладатиме

угоду купівлі - продажу.

Якщо інвестор користується фільтром перетину ціною встановленої

межі згори та знизу, він встановлює певний рівень ціни, якого вона має

досягнути після перетину лінії ковзної середньої. Лише після цього

схвалюється рішення про вхід до ринку чи вихід з нього.

За використання процентних конвертів на графіку ціни та ковзної

середньої будуються дві допоміжні лінії, що знаходяться згори та знизу від

лінії середньої на певній відстані. Сигналом до укладення угоди вважається

перетин ціною всі три лінії протягом короткого періоду, як показано на рис.

1.2. Відсоток відхилення лінії процентного конверту може корегуватись

інвестором [9] .

Рисунок 1.2 –Приклад використання процентного конверту на графіку

звичайних акцій ВАТ "ГМК Норільський нікель"

Фільтр за допомогою смуги максимумів – мінімумів, що зображений на

рис.1.3, вимагає побудови трьох ліній ковзних середніх. Перша будується на

мінімальних денних цінах, друга – на максимальних, третя – на цінах

31

закриття. Інвестор укладає угоду про купівлю та продаж лише в тому

випадку, коли ціна перетинає всі три лінії.

Рисунок 1.3 –Приклад побудови смуги максимумів-мінімумів на

графіку цін акцій ВАТ «АвтоВАЗ»

Фільтри допомагають уникнути зайвих витрат на укладення угод,

позбавляючи інвестора від сигналів, що можуть вважатись шумами. За

допомогою фільтрів інвестор може виокремити точку прийняття рішення. В

свою чергу, рішення щодо купівлі та продажу цінних паперів приймаються

інвестором за допомогою певних методів, що зазвичай включені до

математичного апарату трейдера. Одним з найрозповсюдженіших є метод

подвійного перетину, зображений на рис. 1.4.

Під час використання методу подвійного перетину інвестор розглядає

два графіка ковзних середніх з більшим та меншим розміром вікна. Сигналом

до укладення угод слугує їх перетин між собою та прорив ціни крізь них

згори чи знизу [15].

Зазвичай використовуються дві криві з періодами 7 та 13 днів (для

короткострокових угод). Сигналом до угоди слугує така послідовність подій:

перетин кривою ціни лінії 7-денного ковзного середнього, перетин кривою

ціни 13-денного ковзного середнього, перетин 7-денного та 13-денного

32

ковзних середніх між собою. Останній крок є гарантією того, що трейдеру

слід укладати угоду. Слід звертати увагу на період ковзних середніх, що

використовується потенційним інвестором. За занадто широкого вікна можна

не встигнути вчасно відреагувати на сигнали ринку, а занадто вузького хибні

шуми будуть погано фільтруватись та можуть ввести інвестора в оману.

Рисунок 1.4–Приклад використання методу подвійного перетину на

графіку акцій ВАТ «Сургутнафтогаз»

Наступним етапом у розвитку динамічних моделей з використанням

ковзних середніх є розробка методу потрійного перетину, що зображений на

рис. 1.5. На відміну від методу подвійного перетину цей метод потребує

побудови трьох ковзних середніх з різними розмірами вікон.

Сигналом до угоди за методом потрійного перетину є така

послідовність подій: перетин ковзного середнього з найвужчим вікном лінії

ковзного середнього з середнім за розміром вікном; перетин ковзного

середнього з найвужчим за розміром вікном з ковзним середнім з

найбільшим за розміром вікном; перетин між собою ковзних середніх із

середнім та великим за розміром розмірами вікон. Крива ціни у даному

інструменті не використовується.

33

Рисунок 1.5–Приклад використання методу потрійного перетину та

виваженого ковзного середнього на графіку цін акцій ВАТ «Сургутнафтогаз»

1.4 Аналіз фондового ринку України

В даній роботі розглядається ефективне управління портфелем

інвестора в умовах українського фондового ринку, що наразі

характеризується певними негативними особливостями, які стримують його

розвиток. По-перше, повна та коректна статистика з динаміки основних

фінансових інструментів не є доступною для широкого кола потенційних

інвесторів. Це унеможливлює використання більшості класичних кількісних

економіко-математичних методів, розроблених західними економістами.

По-друге, процес керування портфелем цінних паперів викликає

значні проблеми, пов’язані з моделюванням та використанням

математичного апарату. Адекватний математичний апарат досі не

розроблений через невеликий проміжок часу, протягом якого функціонує

український фондовий ринок, та високу складність обчислень.

По-третє, існує проблема визначення критерія оптимізації під час

формування портфелю. Так як декілька параметрів портфелю можуть

розглядатись як цільові функції (ризик, ліквідність, дохідність та інші), ми

34

маємо справу з задачею багатокритеріальної оптимізації. При переході від

статичної моделі формування інвестиційного портфелю до динамічної моделі

керування виникають ще більші складнощі у реалізації математичного

апарата.

Наразі фондовий ринок України зазнає бурхливого розвитку. Так як

торгівля цінними паперами стала доступна для приватних інвесторів лише з

2009, відбувається значний приплив коштів на українську біржу. Зростає як

обсяг торгів, так і кількість гравців на ринку.

На українській фондовій біржі переважає складова первинного ринку

цінних паперів. Папери, що щойно емітовані, потрапляють на фондовий

ринок. За поточної економічної ситуації інвестори не бажають укладати

угоди на продаж цінних паперів. Отже, процеси перерозподілу акцій між

інвесторами відбуваються не так активно, як на західних ринках. Рівень

обертання цінних паперів низький.

Процес приватизації на фондовому ринку в Україні відбувався досить

довго. Це обумовлює низьку диференційованість цінних паперів на ринку. У

вільному доступі до угод купівлі – продажу зазвичай знаходяться облігації,

акції та сертифікати інвестицій. Інші фінансові інструменти представлені

вузько. Через цю особливість грошовий обсяг фондового ринку України є

обмеженим.

Організація торгівлі на фондовому ринку України також не є

досконалою. Біржовий ринок не завжди має можливість контролювати

наявність справедливої ціни для угод. На фондових ринках держава виступає

домінуючим продавцем цінних паперів. Кількість потенційних покупців

лімітована. Більшість акцій належать великим емітентам.

Фондовий ринок України перебуває у залежності від іноземних

інвесторів. Вони здійснюють спекулятивні короткосрочні вкладення, не

виконуючи основних потреб компаній-емітентів.

Вітчизняний фондовий ринок України знаходиться на етапі

формування та становлення. Законодавство України, що регулює

35

функціонування фондового ринку, не є досконалим та потребує подальшого

розвитку. Наразі воно не відповідає міжнародним стандартам.

Згідно з Програмою розвитку фондового ринку України, що була

укладена у 2010 році, подальша політика держави має бути спрямована на

вирішення списку проблем, до яких входить неврегульований механізм

реалізації прав емітентів та інвесторів, недостатній ступінь капіталізації та

ліквідності фондового ринку, недосконалий апарат державного регулювання

функціонування фондового ринку.

Важливість розвитку фондового ринку України важко переоцінити.

Необхідно залучати максимальну кількість ресурсів з метою відновлення та

зростання економіки держави.

1.5 Висновки

Кожен інвестор, що формує власний портфель цінних паперів,

керується певними принципами, обмеженнями та стратегіями, що залежать

від його особистої схильності до ризику, мети, що він переслідує, та

середовища, у якому він здійснює інвестиційну діяльність. Методи та моделі,

що використовуються професійними трейдерами, досить різноманітні.

Проблема формування оптимальної структури портфелю інвестора

досліджувалась видатними економістами (Марковіцем, Тобіном, Шарпом та

іншими). Існуючі економіко-математичні моделі управління портфелем

цінних паперів не дають остаточної відповіді щодо найвигіднішої стратегії

управління портфелем цінних паперів. Більшість класичних моделей не

суперечать одна одній, а є доповненням чи наступним етапом у

дослідженнях з приводу попередньої моделі.

Створення динамічної моделі переводить економіко-математичне

моделювання керування портфелем цінних паперів на наступний рівень:

дослідження поведінки вартостей цінних паперів потребує розвинутого

36

математичного апарату, точних статистичних даних та високих

обчислювальних потужностей.

Український фондовий ринок наразі знаходиться на першому етапі

свого розвитку. Не зважаючи на недосконалу організацію торгів та

недостатню диференційованість, український ринок продовжує бурхливо

розвиватись. Математичний апарат, що потенційно міг би використовуватись

інвесторами на вітчизняному ринку, ще недостатньо розроблений та

протестований. Таким чином, галузь є перспективною для подальших

досліджень.

37

2 ПОБУДОВА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ

УПРАВЛІННЯ ПОРТФЕЛЕМ ЦІННИХ ПАПЕРІВ

2.1 Створення вдосконаленої моделі на основі класичної моделі

Марковіца

У процесі формування портфеля головною метою інвестора є

максимізація очікуваної прибутковості своїх інвестицій при даному рівні

ризику. Портфелі, що задовольняють цю вимогу, є оптимальними. У цій

дипломній роботі пропонується підхід, який використовує деякі модифікації

моделі Марковіца. При цьому враховуються фінансові умови, що можуть

виникати і задаватися у конкретних задачах, обмежуючи вибір типу

портфеля. Практика створення портфелів висунула низку таких додаткових

умов. Наприклад, це можуть бути умови виключення коротких позицій,

обмеження зверху чи знизу обсягу окремої позиції, обмежена подільність

(подрібнення) активів тощо. Вони відображаються як відповідні поєднання

характеристик інвестиційного портфеля комерційного банку [39].

Розглянемо детально класичну модель Марковіца. Завдання є

прикладом розв’язку задачі нелінійного програмування і оптимальний

вектор структури портфеля - X знаходиться за допомогою лагранжіана. У

цьому завданні критерій оптимальності –максимізація доходу. Можна

сформулювати двоїсту задачу, де критерій оптимізації –мінімізація ризику

при деякому обмеженні рівня прибутку [26] .

Загальна прибутковість портфеля (2.1) будуть являти собою зважену

суму дохідностей кожного окремого фінансового інструмента (активу):

n

iiip

rwr1

* : (2.1)

38

деp

r – дохідність інвестиційного портфеля;

iw – доля і-го інструмента в портфелі;

ir – дохідність і-го фінансового інструмента (2.2), що розраховується

як:

C

CCr

i

iin

i

0

0

, (2.2)

де C i0 –вартість цінного паперу у початковий період часу;

C in – вартість цього паперу у період (n).

У моделі Г. Марковіца ризик окремо взятого фінансового інструменту

розраховується як стандартне відхилення дохідностей [22]. Для розрахунку

загального ризику портфеля необхідно прийняти до уваги їх сукупну зміну і

взаємний вплив (через коваріацію), для цього скористаємося наступною

формулою (2.3):

n

i

n

i

n

ijjiijjiiiijjip

kwwwVww1

1

1 1

22 ****2*** , (2.3)

деp

– ризик інвестиційного портфелю;

i – стандартне відхилення дохідностей і-го фінансового

інструмента, що розраховується за формулою (2.4):

n

iii

rrni

1

22 )(1

1 , (2.4)

де ij

k –коефіцієнт кореляції між i,j –м фінансовим інструментом, що

розраховується за формулою (2.5):

39

yx

ij

yxyxk

*

* , (2.5)

де i

w –доля і-го інструмента в портфелі;

ijV –коваріаціядохідностей i-го та j-го фінансових інструментів;

n –кількість фінансових інструментів.

Для того щоб сформувати інвестиційний портфель необхідно

вирішити оптимізаційних задач. Існує два види завдань: пошук часткою

акцій в портфелі для досягнення максимальної ефективності при заданому

рівні ризику (p

) і мінімізація ризику при заданому рівні прибутковості

портфеля (p

r ). Крім цього на рівняння накладаються додаткові очевидні

обмеження: сума часткою активів повинна дорівнювати 1 і самі частки

активів повинні бути позитивними. Для зниження ризиків портфелю

визначимо максимально допустиму долю одного емітенту у портфелі та

мінімальну загальну кількість емітентів [24].

Сформулюємо задачу побудови портфелю Марковіца максимальної

ефективності.

Цільовою функцією є максимізація дохідності портфелю (2.6):

n

iiip

rwr1

max* (2.6)

за обмежень (2.7):

40

bn

w

w

w

kwww

i

i

n

ii

p

n

i

n

i

n

ijjiijjiii

0

1

****2*

1

1

1

1 1

22

(2.7)

деp

– попередньо заданий допустимий ризик портфелю;

– максимально допустима доля одного емітенту у портфелі;

b – максимальна кількість емітентів.

Серед недоліків класичної моделі можна виділити те, що вона

розглядає дві з основних характеристик цінних паперів (дохідність та

ризикованість), проте оминає третю, не менш значну характеристику –

ліквідність. Ліквідність – це можливість власника цінного паперу

перетворити його у грошову форму, компенсувавши суму, витрачену при

купівлі або розраховану з урахуванням неотриманих доходів, дивідендів [22].

В цілому ступінь ліквідності портфелю позначається наступними

характеристиками [15].

Якщо на ринку неможливо здійснювати угоди купівлі – продажу,

торгівля не відбувається та ринок не є ліквідним. Для здійснення керування

портфелем необхідно, щоб існували пропозиції до укладення угод.

На ринку має існувати можливість впливати на ринкову ціну акції

шляхом укладення угоди. Якщо коливання в ціні незначні, ліквідність ринку

низька.

На ринку має існувати можливість укладати угоди з продажу та

купівлі цінних паперів без коливань ціни. Коли ринок досягає певного рівня

ліквідності, ціна акцій більше не змінюється під час укладення угод [37] .

У перерізі часу цінні папери мають продаватись за однаковою ціною.

Угоди мають укладатись миттєво, ціна не має підлягати змінам.

41

Проміжок часу між прийняттям запиту на угоду та виконанням угоди

не має бути суттєвим.

Максимальна кількість угод, що можуть бути укладені без

безпосереднього впливу на ціну має бути якомога більшою.

За наявності дисбалансу на ринку ціни мають швидко повертатись до

першопочаткових рівноважних значень.

Вищезазначені показники дозволяють оцінити як ліквідність

фондового ринку в цілому, так і ліквідність акцій та облігацій окремих

емітентів. Серед показників є одномірні (які досить легко порахувати,

користуючись статистичними даними), та багатомірні, визначення яких

потребує складних розрахунків [35].

Розглянемо можливі показники ліквідності, які можна використати в

моделі..

Перша група показників кількісного вимірювання ліквідності

пропорційна обсягу торгів цінних паперів. Першим показником є обсяг

торгів цінних паперів (𝑄𝑡) (чим вище, тим ліквіднішим є цінний папір) , що

розраховується за формулою (2.8):

𝑄𝑡 = 𝑞𝑖𝑁𝑡𝑖=1 , (2.8)

де 𝑁𝑡 – кількість торгів за період 𝑡;

𝑞𝑖 – кількість цінних паперів, на які укладається угода (у штуках).

Високий середній обсяг угоди 𝑁𝑡 також свідчить про ліквідність

цінного паперу та обчислюється за формулою (2.9):

𝑁𝑡 =

𝑉𝑡

𝑁𝑡. (2.9)

Висока оборотність активу (𝑉𝑡)[38] також свідчить про високу

ліквідність та розраховується за формулою (2.10):

42

𝑃𝑡 = 𝑞𝑖𝑁𝑡𝑖=1 𝑝𝑖 , (2.10)

де 𝑝𝑖 – ринкова ціна цінного паперу.

Висока глибина торгів цінних паперів (𝐷𝑡) також свідчить про його

ліквідність та розраховується за формулою (2.11):

𝐷𝑡 = 𝑞𝑡𝐴 + 𝑞𝑡

𝐵 , (2.11)

де 𝑞𝑡𝐴 – найбільший обсяг торгів за ціною «аск»;

𝑞𝑡𝐵 – найбільший обсяг торгів за ціною «бід».

Похідними показниками є логарифмована глибина (𝐷𝑙𝑜𝑔𝑡), що

розраховується за формулою (2.12):

𝐷𝑙𝑜𝑔𝑡 = 𝑙𝑛(𝑞𝑡𝐴) + ln(𝑞𝑡

𝐵), (2.12)

та глибина у грошовому виразі (𝐷$𝑡), що розраховується за формулою

(2.13):

𝐷$𝑡 = (𝑞𝑡𝐴 ∗ 𝑝𝑡

𝐴 + 𝑞𝑡𝐵 ∗ 𝑝𝑡

𝐵)/2, (2.13)

де 𝑝𝑡𝐴 – найвища ціна «аск»;

𝑝𝑡𝐵 – найвища ціна «бід».

Ще одною групою показників ліквідності є показники, що засновані

на ціновому спреді – різниці між цінами купівлі чи продажу акцій та

облігацій [25] .

43

Усі показники нижче зменшуються зі зростанням ліквідності. До них

належить абсолютний спред (𝑆𝑃𝑅(𝑎𝑏𝑠)𝑡), що розраховується за формулою

(2.14):

𝑆𝑃𝑅(𝑎𝑏𝑠)𝑡 = 𝑝𝑡𝐴 − 𝑝𝑡

𝐵 , (2.14)

логарифмований абсолютний спред (𝐿𝑜𝑔𝑆𝑃𝑅(𝑎𝑏𝑠)𝑡) що розраховується за

формулою (2.15):

𝐿𝑜𝑔𝑆𝑃𝑅(𝑎𝑏𝑠)𝑡 = ln(𝑆𝑃𝑅 𝑎𝑏𝑠 𝑡), (2.15)

та відносний спред 𝑆𝑃𝑅𝑡 , що розраховується за формулою (2.16):

𝑆𝑃𝑅𝑡 =𝑝𝑡𝐴− 𝑝𝑡

𝐵

𝑝𝑡𝐵 . (2.16)

Багатовимірні показники ліквідності точніші за одномірні, проте

набагато складніші у обчисленнях. Багатовимірний показник може

поєднувати у собі значення декількох одномірних [33] .

Показник ліквідності, що називається активним коефіцієнтом

ліквідності, розраховується як відношення обсягу торгів за період часу до

зміни ринкової ціни активу за той самий період. Показник позначається

(𝐿𝑅1𝑡) та розраховується за формулою (2.17) :

𝐿𝑅1𝑡 =𝑉𝑡

𝑟𝑡=

𝑞𝑖𝑁𝑡𝑖=1 𝑝𝑖

𝑟𝑡, (2.17)

де 𝑟𝑡 – дохідність цінного паперу;

𝑉𝑡 – значення оборотності.

44

Похідним від активного показника ліквідності є показник ліквідності,

що враховує кількість паперів, що знаходяться у вільному доступі (𝐿𝑅2𝑡 .) та

розраховується за формулою (2.18):

𝐿𝑅2𝑡 =𝐿𝑅1𝑡

(𝑓𝑓), (2.18)

де 𝑓𝑓 – цінні папери, що знаходяться на фондовому ринку у вільному обігу.

Іншим показником ліквідності, що компенсує вплив абсолютної ціни

цінного паперу на його ліквідність є (𝐿𝑅3𝑡 .), що обчислюється за формулою

(2.19):

𝐿𝑅3𝑡 = |𝑟𝑡 |𝑁𝑡𝑖=1

𝑁𝑡, (2.19)

де |𝑟𝑡 |–зміна ринкової ціни цінного паперу.

Ще одним показником, який дозволяє визначити співвідношення

обсягів угод та їх кількості, є індекс швидкості (𝐹𝑅𝑡) [37] , який

обчислюється за формулою (2.20):

𝐹𝑅𝑡 = 𝑁𝑡 + 𝑉𝑡 . (2.20)

Як показник ліквідності акцій використаємо біржовий показник

«відносний спред», що розраховується як різниця між курсами продажу та

купівлі акцій, виражена у відсотках до ціни купівлі (2.21):

𝑆𝑃𝑅𝑡 =𝑝𝑡𝐴− 𝑝𝑡

𝐵

𝑝𝑡𝐵 . (2.20)

Модернізуємо класичну модель Марковіца [35] , обравши цільовою

функцією ліквідність портфелю. Переформулюємо попередню цільову

45

функцію дохідності портфеля у обмеження та збережемо обмеження

попередньої задачі. Тоді модель матиме вигляд (2.21) за обмежень (2.22):

𝑆𝑃𝑅𝑝 = 𝑤𝑖 ∗𝑛𝑖=1 𝑆𝑃𝑅𝑖 → 𝑚𝑖𝑛 (2.21)

bn

w

w

w

rrw

kwww

i

i

n

ii

n

ipii

p

n

i

n

i

n

ijjiijjiii

0

1

*

****2*

1

1

1

1

1 1

22

(2.22)

де pr

– попередньо заданий мінімальний рівень дохідності портфелю.

2.2 Використання вдосконаленої моделі в умовах фондового ринку

України

Розглянемо роботу модернізованої моделі портфелю акцій на прикладі

українського фондового ринку. Для цього скористаємось даними щодо

котирувань акцій українських компаній з сайту української фондової біржі

[40] .

На фондовому ринку України представлені наступні компанії-

емітенти (як було раніше зазначено, ринок не є достатньо

диференційованим). У даній курсовій роботі розглядаються чотири

найбільших емітенти.

ФАРМАК – публічне акціонерне товариство. Компанія є лідером

серед фармакологічної галузі в Україні. Представлена закордоном (в

Узбекистані, Казахстані, Киргизстані, Росії, Білорусі). Станом на квітень

46

2018 загальна кількість акцій складає 7 273 200 простих іменних акцій, 7 196

066 простих іменних акцій.

Райффайзен Банк Аваль – публічне акціонерне товариство.

Найкращий банк України в 2017 році за версією журнала Euromoney,

світового рейтингу банків видавництва EMEAFinance. Надає послуги

приватним особам, малому та мікробізнесу, корпоративним клієнтам та

іншим банкам. Вважається одним з системостворюючих банків України.

Акції належать до так званих «голубих фішок», акцій найнадійніших,

найприбутковіших компаній.

Центренерго – публічне акціонерне товариство. Є провідним

виробником електроенергії в Україні, вводить до найбільших підприєхмств

країни. Функціонує яке акціонерне товариство з 1995 року. Загальна кількість

складає 369 407 108 простих іменних акцій. Торгівля відбувається на

біржовому та позабіржовому фондовому ринках України.

Мотор Січ – публічне акціонерне товариство. Є лідером з підприємств

Європи з випуску авіаційних двигунів для гелікоптерів та літаків,

промислових газотурбінних установок. Наразі загальна кількість акцій

складає 2 077 990 простих акцій у бездокументарній формі.

Днепробленерго – публічне акціонерне товариство. Є одною з

найкрупніших компаній енергетичної галузі. Займається двома видами

ліцензійної діяльності : передачею та постачанням енергії. Компанія має

найбільший випуск в країні, передаючи 20% електроенергії, що споживається

в Україні. Загальна кількість акцій на 2018 рік складає 5 999 617 простих

іменних акцій ( 5 961 943 голосуючих акцій).

Турбоатом - публічне акціонерне товариство. Є лідером у сфері

будування парових турбін, також надає послуги з металургійного,

зварювального та механоскладального виробництва. Статутний капітал

товариства поділений на 422 496 520 простих акцій (кількість

привілейованих акцій – нуль). 75 % акцій належить державі. Інша частина

перебувають у вільному обігу.

47

Укртелеком - публічне акціонерне товариство. Одна з найбільших

компаній України, яка надає в усіх регіонах України широкий спектр

телекомунікаційних послуг, зокрема послуги фіксованої телефонії та доступу

до мережи Інтернет. Загальна кількість акцій складає 18 726 248 000 простих

іменних акцій, 18 507 311 725 голосуючих акцій.

Укрбіржа – приватне акціонерне товариство. Є центром ліквідності

ринку акцій України. Надає послуги з торгів цінними паперами українських

компаній емітентів з 2009 року. Загальна кількість акцій складає 16 127

простих іменних акцій.

Укрнафта – публічне акціонерне товариство. Є найбільшою

нафтовидобувною компанією в Україні. Видобуває близько 65% загального

видобутку нафти та 5% загального видобутку газу. Володіє найбільшою

мережею заправних станцій в Україні. Загальна кількість акцій складає

7377784 простих іменних акцій. Більша частина акцій належить державі,

аналогічно Турбоатом.

Миронівський хлібпродукт –публічне акціонерне товариство. Є

лідером у галузі харчової промисловості (переробці масла, м’яса,

виготовленню комбікорма, посіві та збору врожаю). Компанія функціонує у

сільському господарстві з 1998 року. Характеризується унікальною

вертикальною бізнес – моделлю.

Українська фондова біржа містить усю необхідну інформацію щодо

цін купівлі та продажу акцій та об’ємів торгів.

Скористаймося статистичною інформацією за 2017 рік. Необхідно

змоделювати управління портфелем інвестора, а потім порівняти його з

заздалегідь відомими даними у майбутніх періодах. Таким чином можна

визначити, чи є ефективною розроблена модель.

Візьмемо переріз цін акцій на 22.09.2017, та розрахуємо показники

дохідності, ліквідності та дисперсії (табл.2.1).

48

Таблиця 2.1 – Розрахунок дохідності, ліквідності та дисперсій для

акцій українських компаній

Компанія-емітент

Дохідність,

%

Ліквідність,

%

Дисперсія

ФАРМАК (1) 35,483 50,000 66,706

Райффайзен Банк Аваль (2) 12,000 0,000 0,048

Центренерго (3) 0,930 0,930 1,431

Моторсіч (4) 5,393 0,932 330,476

Днепробленерго (5) 205,550 44,734 44,842

Турбоатом (6) 1,403 1,671 1,645

Укртелеком (7) 14,285 14,285 0,0208

Укрбіржа (8) 2,631 77,272 256,655

Укрнафта (9) 2,096 2,096 18,656

Миронівскийхлібпродукт(10) 11,111 16,279 41,612

Також розрахуємо коефіцієнти кореляції між цінами акцій компаній

емітентів, які пізніше знадобляться при розрахунках мір ризику (табл. 2.2).

Таблиця 2.2 – Коефіцієнти кореляції між цінами акцій компаній

емітентів

Коефіцієнт

кореляції 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1,00 0,31 -0,03 0,10 0,24 0,00 -0,01 -0,01 -0,02 0,16

2 0,31 1,00 0,42 0,74 0,63 0,62 0,28 -0,14 0,38 0,80

3 -0,03 0,42 1,00 0,80 0,19 0,80 0,87 0,03 0,87 0,74

4 0,10 0,74 0,80 1,00 0,51 0,81 0,60 -0,14 0,79 0,94

5 0,24 0,63 0,19 0,51 1,00 0,29 0,17 -0,18 0,17 0,65

49

Кінець таблиці 2.2

6 0,00 0,62 0,80 0,81 0,29 1,00 0,64 -0,06 0,71 0,81

7 -0,01 0,28 0,87 0,60 0,17 0,64 1,00 0,08 0,66 0,61

8 -0,01 -0,14 0,03 -0,14 -0,18 -0,06 0,08 1,00 0,12 -0,16

9 -0,02 0,38 0,87 0,79 0,17 0,71 0,66 0,12 1,00 0,69

10 0,16 0,80 0,74 0,94 0,65 0,81 0,61 -0,16 0,69 1,00

Після попередніх розрахунків поставимо задачу оптимізації.

Визначимо максимальний ризик (500) та мінімальний допустимий рівень

дохідності (0,2). Задамо додаткові обмеження, визначивши максимально

допустиму долю одного емітенту у портфелі (0,3) та мінімальну загальну

кількість емітентів (5). Наразі портфель задовольняє обов’язкові умови

принципу диференційованості, та ризик буде мінімізовано. Отже задача

матиме вигляд (2.23):

n

iiip

SPRwSPR1

max*

5

3,0

0

1

2,0*

500****2*

1

1

1

1

1 1

22

n

w

w

w

rw

kwww

i

i

n

ii

n

iii

n

i

n

i

n

ijjiijjiii

(2.23)

Знайдемо розв’язок оптимізації та визначимо оптимальні долі акцій

компаній – емітентів в портфелі (табл. 2.3).

50

Таблиця 2.3 – Оптимальний портфель акцій за новоствореною

моделлю

Доля акцій в

портфелі, %

ФАРМАК 20,68

Райффайзен Банк Аваль 0,00

Центренерго 15,63

Моторсіч 0,00

Днепробленерго 30,00

Турбоатом 0,00

Укртелеком 30,00

Укрбіржа 3,67

Укрнафта 0,00

Миронівский хлібопродукт 0,00

Також знайдемо оптимальний розв’язок за класичною моделлю

Марковіца з максимізацією доходу за заданого рівня ризику, підставивши

попередньо визначені граничні значення (2.24):

n

iiip

rwr1

max*

5

3,0

0

1

500****2*

1

1

1

1 1

22

n

w

w

w

kwww

i

i

n

ii

n

i

n

i

n

ijjiijjiii

(2.24)

Знайдемо розв’язок задачі оптимізації та визначимо оптимальні долі

акцій компаній-емітентів в портфелі приватного інвестора (табл. 2.4).

51

Таблиця 2.4 – Оптимальний портфель акцій за класичною моделлю

Марковіца (максимізація доходу).

Доля акцій в

портфелі, %

ФАРМАК 22,65

Райффайзен Банк Аваль 0,00

Центренерго 16,21

Моторсіч 0,00

Днепробленерго 30,00

Турбоатом 0,00

Укртелеком 30,00

Укрбіржа 1,13

Укрнафта 0,00

Миронівский хлібопродукт 0,00

Припустимо, що потенційний інвестор володіє капіталом у розмірі

100000 грн, та хоче придбати акції вищезгаданих 10 українських компаній.

Розрахуємо долі капіталу, які інвестор може витратити на придбання

акцій.

Відповідно до долей та ціни закупівлі визначимо кількість акцій

кожної компанії емітента (з округленням до цілих), які може придбати

інвестор. Здійснимо розрахунки як за класичною моделлю Марковіца, так і за

покращеною моделлю з використанням ліквідності.

Порівняємо оптимальний портфель акцій за класичною та

вдосконаленою моделлю оптимізації портфелю акцій згідно з цінами купівлі

акцій на 22.09.1997 (табл2.5).

52

Таблиця 2.5 – Порівняння оптимального портфелю акцій за двома

моделями.

Компанія - емітент

Оптимізована

модель (кількість

акцій)

Класична модель

(кількість акцій)

ФАРМАК 37 81

Райффайзен БанкАваль 0 0

Центренерго 1455 1508

Моторсіч 0 0

Днепробленерго 79 79

Турбоатом 0 0

Укртелеком 214286 214286

Укрбіржа 3 1

Укрнафта 0 0

Миронівский хлібопродукт 0 0

Для перевірки переваг модернізованої моделі над класичною

скористаємося даними за курсами акцій з 22.09.2017 по 22.12.2017.

Розрахуємо ринкову вартість обох попередньо обрахованих портфелів та

продемонструємо динаміку на графіках (рис. 2.1).

53

Рисунок 2.1 –Вартість портфелю акцій, сформованого за класичною та

удосконаленою моделлю

Як можна побачити на графіку, ринкова вартість удосконаленої

моделі вище у кінцевій точці (як і на піках графіку).

Це свідчить про те, що модифікований метод Марковіца є більш

доцільним у сучасних умовах українського фондового ринку, ніж класична

модель.

У даній роботі розглядається система керування портфелем акцій

інвестора в динаміці, що включає лише ризикові активи (створення

портфелю інвестора в умовах українського фондового ринку). На відміну від

згаданих вище робіт ми будемо використовувати лінійний критерій якості в

задачі спостереження за еталонним портфелем, що дозволяє отримати

лінійну динамічну модель, яку вдається перетворити в модель лінійного

програмування. Модель дозволяє враховувати обмеження, як на стан

системи, так і на управління [7].

54

2.3 Динамічна модель керування портфелем у дискретному часі

Розглянемо портфель, що складається з 𝑁ризикових активів.

Позначимо обсяги вкладень на момент часу 𝑡у ризикові активи𝑉𝑖′(𝑡)(𝑖 =

1,…𝑁)

Задача управління полягає у перерозподілі капіталу між активами, що

включені до портфелю, таким чином, щоб сформований портфель відповідав

капіталу еталонного інвестиційного портфелю на горизонті керування𝑇 [13].

Вартість інвестиційного портфелю𝑉(𝑡) на момент часу 𝑡дорівнює

(2.25):

𝑉 𝑡 = 𝑉𝑖′(𝑡)𝑁

𝑖=1 . (2.25)

Відзначено, що доля вкладень у𝑖-ий ризиковий актив на момент часу 𝑡

дорівнює (2.26) :

𝑥𝑖′ 𝑡 = 𝑉𝑖

′ 𝑡 /𝑉(𝑡). (2.26)

Динаміку капітала інвестиційного портфеля у дискретному часі слід

описати рівнянням (2.27):

𝑉𝑖′ 𝑡 + 1 = 1 + 𝜇𝑖 𝑡 𝑉𝑖

′ 𝑡 + 𝑢𝑖 𝑡 , 𝑖 = 1,… . ,𝑁, (2.27)

де 𝜇𝑖 𝑡 –cереднє значення ставки ризикового 𝑖-го цінного паперу;

𝑢𝑖 𝑡 – капітал, що вкладається у купівлю ризикового активу (𝑢𝑖 𝑡 >

0) або отриманий від продажу ризикового активу(𝑢𝑖 𝑡 < 0).

Рівняння еталонного портфелю визначимо рівнянням (2.28):

𝑉0(𝑡 + 1) = 1 + 𝜇0 𝑡 )𝑉0(𝑡) , (2.28)

55

де𝜇0 𝑡 – задана ставка еталонного портфеля;

𝑉0(𝑡)– ринкова вартість портфелю інвестора.

Початкова умова (2.29):

𝑉0(0) = 𝑉(0). (2.29)

Це очевидно, адже на початковий період часу капітал еталонного

портфелю співпадає с капіталом реального інвестиційного портфелю[33].

Введемо вектор (2.30):

𝑦(𝑡) = (𝑉1′ 𝑡 ,𝑉2

′ 𝑡 ,… ,𝑉𝑛′ 𝑡 )𝑇 (2.30)

та вектор (2.31):

𝑧 𝑡 = 𝑦 𝑡 ,𝑉0 𝑡 𝑇. (2.31)

Тоді рівняння (2.28) можна переписати у вигляді (2.32):

𝑧 𝑡 + 1 = 𝐴 𝑡 𝑧 𝑡 + 𝐵 𝑡 𝑢(𝑡), (2.32)

де – A t = A1 t + A2 t ;

A1 t , A2(t) - діагональні матриці розмірності N + 1 × (N + 1)з

елементами (2.33):

𝐴1𝑖𝑖 𝑡 = 1 + 𝜇𝑖 𝑡 , 𝑖 = 1,… ,𝑁;

𝐴1𝑁+1,𝑁+1 𝑡 = 1 + 𝜇0 𝑡 ;

𝐴2𝑖𝑖 𝑡 = 0, 𝑖 = 1,… ,𝑁; (2.33)

𝐴2𝑁+1,𝑁+1 𝑡 = 0;

56

B t – матриця розмірності N + 1 × (N), що має наступну структуру

(2.34):

𝐵 𝑡 =

𝐴11(𝑡) 0 … 00 𝐴22(𝑡) … 0… … … …0 0 … 𝐴𝑁(𝑡)0 0 … 0

; (2.34)

𝑢 𝑡 – вектор керування.

У якості цільової функції оберемо лінійний функціонал (2.35):

𝐽 = 𝑀{ 𝑉 𝑡 − 𝑉0 𝑡 𝑇−1𝑡=1 − 𝑏𝑇 𝑡 𝑢 𝑡 + (𝑇−1

𝑡=1 𝑉 𝑇 −

𝑉0 𝑇 )};(2.35)

де 𝑏 𝑡 = (𝜇1 𝑡 ,… ,𝜇𝑁 𝑡 )𝑇;

M – оператор математичного очікування.

Другий доданок у функціоналі позначає дохідність, та його

мінімізація позначає максимізацію дохідності.

Використовуючи z t , представимо V t − V0 t у формі V t −

V0t=Cz(t), де С= 1,1,…1,−1 . Критерій якості J прийме вигляд (2.36):

𝐽 = 𝑀{ 𝐶 ∗ 𝑧(𝑡) 𝑇−1𝑡=1 − 𝑏𝑇 𝑡 𝑢 𝑡 + (𝑇−1

𝑡=1 𝐶 ∗ 𝑧(𝑡))} → 𝑚𝑖𝑛. (2.36)

Отже маємо задачу оптимального керування [21], у якій рівняння

стану описується багатокроковим процесом, а функціонал якості – виразом.

Керування задається вектором u t

Задача розв’язується за обмежень V t ≥ V0 t .

У загальному вигляді обмеження, що пов’язані з формуванням

портфеля, у тому числі іммунізованого безризикованого портфеля,

записуються у виді (2.37):

57

P ∗ z t ≤ Г T , T = 0,1,…T ; (2.37)

де 𝑃–матриця, розмірність якої визначається кількістю обмежень задачі та

розмірністю вектора 𝑧 𝑡 ;

Г 𝑇 –вектор відповідної розмірності.

Збережемо обмеження класичної моделі Марковіца (2.7).

Для вирішення задачі необхідно задати початковий стан системи

(2.38):

𝑧 0 = (𝑦 0 ,𝑉0 0 ), (2.38)

де 𝑦 0 − початковий розподіл капіталу.

Вартість еталонного портфеля на початковий момент часу

вважатимемо відомою[22].

Отже, сформулюємо фінальну задачу динамічного управління

портфелем (2.39):

𝐽 = 𝑀{ 𝐶 ∗ 𝑧(𝑡)

𝑇−1

𝑡=1

− 𝑏𝑇 𝑡 𝑢 𝑡 + (

𝑇−1

𝑡=1

𝐶 ∗ 𝑧(𝑡))} → 𝑚𝑖𝑛

𝑧 𝑡 + 1 = 𝐴 𝑡 𝑧 𝑡 + 𝐵 𝑡 𝑢(𝑡)

bn

w

w

w

kwww

i

i

n

ii

p

n

i

n

i

n

ijjiijjiii

0

1

****2*

1

1

1

1 1

22

(2.39)

Зазначимо, що:

−задача не розв’язується у цілих числах (надається можливість

спліту);

58

−обмеження на короткострокові угоди не накладається.

59

2.4Динамічна модель в умовах фондового ринку України.

Розглянемо роботу модернізованої моделі портфелю акцій на прикладі

українського фондового ринку.

Портфель інвестора вважатимемо попередньо сформованим за

вдосконаленою моделлю Марковіца (див. табл. 2.4).

Для визначення ефективності моделі порівняймо її з класичним

фінансовим інструментом – торгівлею за ковзними середніми:

Процес торгівлі з використанням ковзної середньої досить простий

[29] :

На графік ціни наносимо ковзну середню з періодом 21 день. При

прориві ціни через лінію середньої ковзної знизу догори і закріпленні нової

свічки вище лінії ковзної відкриваємо угоду на купівлю.

При прориві ціни через криву середньої ковзної зверху вниз і

закріпленні нової свічки нижче лінії ковзної відкриваємо угоду на продаж.

На прикладі акцій «Формак»:

Підрахуємо в окремому стовпці різницю між ціною акції та значенням

ковзної середньої (рис. 2.2). Якщо після інтервалу від’ємних чисел значення

переходить до додатнього (рис. 2.3) прорив ціни через лінію середньої

ковзної знизу догори) купуємо акції даної компанії.

Якщо після інтервалу додатніх чисел значення переходить до

від’ємного (прорив ціни через лінію середньої ковзної знизу догори) купуємо

акції даної компанії.

60

Рисунок 2.2 –Управління акціями «Фармак» з використанням ковзної

середньої

Рисунок 2.3 –Графік акцій «Фармак» за 2017 рік

Розглянемо динаміку вартості акцій «Фармак»(рис. 2.4).

0

100

200

300

400

500

600

0 50 100 150 200 250

Ціна акцій

Ковзна середня

61

Рисунок 2.4 – Динаміка вартості акцій «Фармак» у портфелі інвестора

Проведемо аналогічні розрахунки для інших компаній

(«Центренерго», «Днепробленерго», «Укртелеком», Укрбіржа»).

Розглянемо динаміку портфелю інвестора (рис. 2.5) при управлінні за

допомогою ковзних середніх.

Рисунок 2.5 – Динаміка вартості портфеля

Використаймо для розрахунку динаміки портфеля попередньо

розроблену динамічну модель (2.39).

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

0 50 100 150 200 250

Вартість акцій "Фармак"

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

0 50 100 150 200 250

Вартість портфеля

62

Розрахуємо динаміку портфеля інвестора за 2017 рік (табл. 2.5.). На

кожному кроці (оберемо стандартним кроком перегляду портфеля 30 днів)

здійснюватимемо моделювання вектора керування𝑢(𝑡) за допомогою пошуку

рішення в Excel (рис. 2.6) [24].

Таблиця 2.4 – Розрахунок вартості портфеля на (𝑡 + 1)-му кроці

ФАРМАК

Центренер

го

Днепробл

енерго

Укртелеко

м Укрбіржа

Ціна купівлі,

грн. 235,00 10,70 130,01 0,12 1100,00

Ціна продажу,

грн. 300,00 10,82 265,00 0,14 1950,00

Сума,

грн. 33195,80 20493,52 35004,27 1t3377,01 14610,27

Доля у новому

портфелі,% 28,45 17,56 30,00 11,46 12,52

Мінімальна для

угоди, шт. 59,58 1894,04 121,41 95550,12 4,05

МАКС к-ть для

угоди, шт. 110,65 3517,50 225,63 177450,23 7,49

Акцій на кроці

t, шт. 85,11 2705,77 173,56 136500,18 5,76

Вектор

керування, шт. 25,53 -811,73 -41,44 -40950,05 1,72

Акцій на кроці

t+1, шт. 110,65 1894,04 132,09 95550,12 7,49

Очікувана

дохідність, % 20,00 3,00 39,00 0,00 14,00

Дохідність

кроку( t+1) 19,00 – – – –

Вартість

(ціникупівлі),

грн. 141154,6 – – – –

Вартість (ціни

продажу), грн. 83150,57 – – – –

Вільні активи,

грн. 58004,03 – – – –

Ризик

портфелю, % 15,00 – – – –

63

Для розрахунку очікуваної дохідності припустимо, що дохідність

акції на кроці t+1 дорівнюватиме доходності акції на попередньому інтервалі

t.

Введемо обмеження для визначення максимальної дохідності

портфеля на кроці (t+1)

−мінімальна та максимальна кількість акцій, на які може заключатись

угода (не більш як 15% від кількості акцій даного емітента у портфелі);

−максимальна доля акцій одного емітента в портфелі (30%);

−розрахунок ризиків портфелю за класичними формулами моделі

Марковіца (з використанням дисперсії акцій та матриці коваріації).

Зазначимо додатково, що вартість портфеля у цінах купівлі на кроці

(t+1) не може перевищувати вартість портфелю у цінах продажу на кроці t.

Рис. 2.6 – Розрахунок вектору керування за допомогою «Пошуку

рішення» в Excel

64

Визначимо динаміку портфеля протягом 2017 року, розраховуючи

вектор керування кожні 10 днів (рис. 2.7).

Рис. 2.7 – Управління портфелем інвестора з використанням

динамічної моделі

Виведемо на одному графіку вартість портфелю, розрахованому за

моделлю ковзних середніх та динамічною лінійною моделлю (рис. 2.8).

Рис. 2.8 – Порівняльний графік вартості портфеля інвестора за

моделлю ковзних середніх та динамічною моделлю

65

Як можна побачити на графіку, ринкова вартість удосконаленої

моделі стабільно є вищою.

Це свідчить про те, що модифікований динамічний метод є більш

доцільним у сучасних умовах українського фондового ринку, ніж класична

модель ковзної середньої та краще виконує функцію керування портфелем

цінних паперів.

Модель підтверджує свою ефективність.

2.5 Висновки

У другому розділі даної дипломній роботі розроблені практичні

рекомендації щодо керування портфелем цінних паперів.

При створенні початкового портфелю використовується класична

модель Марковіца. З метою підвищення точності, до моделі додається

характеристика ліквідності. Попередні характеристики (дохідність та

ліквідність) також зберігаються.

Ефективність моделі підтверджується перевіркою її на статистичних

даних щодо цін на цінні папери на українському фондовому ринку протягом

2017 року. Були обрані акції провідних компаній-емітентів українського

фондового ринку. Були розраховані основні характеристики акцій провідних

компаній (дохідність, ліквідність та ризик).

Модель була порівняна за ефективністю з класичним методом

Марковіца. Новостворена модель виявляється більш ефективною.

Для керування портфелем цінних паперів у динаміці також

використовується модифікований метод Марковіца. Для визначення

ефективності моделі використовується порівняння її з класичним методом

ковзних середніх. Модель знову підтверджує свою ефективність. Як

початковий портфель для керування у динаміці був обраний портфель акцій,

створений на попередньому кроці.

66

Таким чином, обидва компоненти моделі (побудова моделі

формування портфеля акцій (пасивна стратегія) та створення динамічної

моделі керування портфелем інвестора) підтверджують свою ефективність.

Дана дипломна робота придатна до практичного використання в умовах

українського фондового ринку.

67

ВИСНОВКИ

У роботі висвітлено проблему формування інвестиційного портфеля в

умовах нестабільного фондового ринку (на прикладі українського фондового

ринку). Метод на основі модифікованої моделі Марковіца розглянуто як

можливий спосіб розв’язання цієї проблеми. На відміну від існуючих

методів, які формують інвестиційний портфель на основі усередненої

дохідності кожного цінного паперу за минулий період, що не дозволяє їх

ефективно використовувати для нестабільного ринку і в умовах кризових

явищ, цей метод ґрунтується на визначенні важкості досягнення мети як міри

ризику на основі встановлення максимальної та мінімальної швидкості

приросту дохідності портфеля (ці оцінки встановлюються за значно менший

період часу).

Метод управління інвестиційним портфелем на модифікованої моделі

Марковіца можна використовувати як для короткострокового інвестування,

так і для довгострокового. Особливостям впровадження цього методу для

довгострокового інвестування присвячена особлива увага. Використано

оцінку важкості, що збільшується до нескінченності, коли поточний стан

системи наближається до деякого критичного поточного рівня.

У даній роботі розглядається модель як для пасивної стратегії

інвестицій у цінні папери, так і для активної . Таким чином, вона є однаково

корисною для інвесторів з різною схильністю до ризику та різною метою.

Наукова новизна роботи полягає в тому, що в ній запропоновано

модифікований метод управління інвестиційним портфелем на основі

класичної моделі Марковіча, який на відміну від існуючого, враховує

ліквідність цінних паперів, розглядаючи нестандартні варіанти розподілу

капіталу інвестиційного портфеля, і отримує в результаті портфель з

більшою дохідністю, ефективно управляючи інвестиціями в

68

короткостроковому та довгостроковому періодах на нестабільному

фондовому ринку.

Діяльність на українському фондовому ринку наразі стрімко

розвивається. Математичний та дослідницький апарат у специфічних умовах

української біржі досі не був достатньо розроблений. Це надає подальше

поле для розвитку у дослідженнях з побудови економіко-математичних

моделей фондового ринку.

Ефективність та актуальність моделі підтверджені використанням її на

практиці в умовах українського фондового ринку. Статистичні дані

підтверджують наявність покращених результатів у запропонованій моделі у

порівнянні з класичною.

У процесі подальшого дослідження необхідно розробити програмний

комплекс для формування інвестиційного портфеля на основі результатів

проведеного дослідження.

69

ПЕРЕЛІК ДЖЕРЕЛ ПОСИЛАННЯ

1. Закон України «Про цінні папери та фондовий ринок» від 23 лютого

2006 року, №2480-IV.

2. Проект розпорядження Кабінету Міністрів України "Про схвалення

Програми розвитку фондового ринку на 2011-2015 роки" від 21.09.2010

р. № 1478.

3. Аксьонова О.О. Інформаційне забезпечення як основа продуктивного

функціонування фондового ринку // Фінанси України.

4. - 2000. - №8. - С. 138-143.

5. Андрущенко І.Г. Проблеми організації та перспективи розвитку

державного контролю вітчизняного фондового ринку // Актуальні

Проблеми Економіки. - 2002. - № 1. - С. 11-13.

6. ДомбровскийВ.В. Линейно-квадратичное управление дискретными

системами со случайными параметрами и мультипликативными

шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля /

В.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко // Автоматика и телемеханика. – 2003.

– № 10. – С. 50–65.

7. Домбровский В.В. Динамическая модель управления инвестиционным

портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью /

В.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко // Автоматика и телемеханика. – 2003.

– №5. – С. 12–21.

8. Домбровский В.В. Управление с прогнозированием системами со

случайными параметра- ми и мультипликативными шумами и

применение к оптимизации инвестиционного портфеля / В.В.

Домбровский, Д.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко // Автоматика и

телемеханика. – 2005. – № 4. – С. 84–97.

9. Герасимов Е.С. Динамическая сетевая модель управления

инвестициями при квадратичной функции риска / Е.С. Герасимов, В.В.

70

Домбровский // Автоматика и телемеханика. – 2002. – № 2. – С. 119–

128.

10. Домбровский В.В. Модель управления инвестиционным портфелем в

пространстве состояний на нестационарном диффузионно-

скачкообразном финансовом рынке / В.В. Домбровский, Е.Н. Федосов //

Автоматика и вычислительная техника. – 2002. – № 6. – С. 13–24.

11. Домбровский В.И. Динамическая модель управления инвестиционным

портфелем при квадратической функции риска / В.В. Домбровский,

В.А. Гальперин // Вестник ТГУ. – 2000. – № 269. – С. 75–77.

12. Гальперин В.А. Динамическое управление самофинансируемым

инвестиционным портфелем при квадратической функции риска в

дискретном времени / В.А. Гальперин, В.В. Домбровский // Вестник

ТГУ. Приложение. – 2002. – №1(I). – C. 141–146.

13. Гальперин В.А. Управление инвестиционным портфелем в

непрерывном времени при квадратической функции риска / В.А.

Гальперин, В.В. Домбровский // Труды Десятого юбилейного симп. по

непараметрическим и робастным статистическим методам в

кибернетике. – Томск: ТГУ, 2003. – С. 201–207.

14. Гальперин В.А. Динамическое управление инвестиционным портфелем

с учетом скачкообразного изменения цен финансовых активов / В.А.

Гальперин, В.В. Домбровский // Вестник ТГУ. – 2003. – № 280. – С.

112–117.

15. Ганієв А. Саморегулівні організації на фондовому ринку // Ринок

цінних паперів. - 2002. - №1-2. - С. 73-83.

16. Глущенко С.В. Пріоритети розвитку вторинного ринку корпоративних

цінних паперів // Фінанси України. - 2001. - №1. - С. 124-130.

17. Іваницька О.М. Фінансові ринки: Навч. посібник. - К.: Вид-во УАДУ,

1999. - 96 с.

18. Івасів Б.С. Банківські операції з векселями: Навч. посібник. - Тернопіль:

ТАНГ, 1995. - 40 с.

71

19. Клименко В.В. Державне регулювання фондового ринку // Фінанси

України. - 2000. - №10. - С. 57-62.

20. Комаринський Я., Яремчук І., Фінансово-інвестиційний аналіз: Навч.

посіб. - К., 1996. - 105 с.

21. Костіна Н.І., Марахов К.С. Проблеми формування фондового ринку в

Україні // Фінанси України. - 2002. - №2. - С. 30-36.

22. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции: Учебник для вузов. Пер. с

нем. - Спб.: Изд-тво "Питер", 2000. - 400 с.

23. Кузнєцова Н.С., Назарчук І.Р. Ринок цінних паперів в Україні: правові

основи формування та функціонування. - К.: Юрінком Інтер, 1998. - 528

с.

24. Куліш Г. Емісійна політика акціонерного товариства // Ринок цінних

паперів. - 2002. - №1-2. - С. 19-28.

25. ЛеБо, Ч. Компьютерный анализ фьючерсных рынков [Текст] / Ч. ЛеБо,

Д. Лукас ; пер. с англ. В. Д. Гибенко. – М. : Изд. дом «Альпина», 2000. –

304 с. 29 . Колби, Р. В. Энциклопедия Технических индикаторов рынка

[Текст] / Р. В. Колби, Т. А. М

26. Мамічева Л. Акціонерні товариства в Україні: зародження та сучасний

стан // Економіка. Фінанси. Право. - 1998. - № 9. - С. 7-9.

27. Мендрул О.Г., Павленко І.А. Фондовий ринок: операції з цінними

паперами: Навч. посібник. Вид. 2-ге, допов. та перероб. - К.: КНЕУ,

2000. - 156 с.

28. Плаксов В.А. Фінансове управління підприємством. - К.: ВІПОЛ, 1998.

- 40 с.

29. Плаксов В.А., Пальчевич Г.Т. Економічний аналіз показників праці та

фінансового стану підприємства. Навч. посіб. - Кіровоград: ДКП

"Поліграфія", 2002. - 182 с.

30. Ромашко О.Ю., Бурмака М.О. Система підготовки фахівців фондового

ринку // Фінанси України. - 2002. - №1. - С. 102-111.

72

31. Румянцев С. Основні тенденції розвитку фондового ринку// Цінні

папери України. - 2001. - № 12 (152). - С. 24-25.

32. Свердан М. Прибуток акціонерних товариств // Економіка України. -

2000. - № 2. - С. 81-83.

33. Сохацька О.М. Інструменти фондового ринку: зарубіжний досвід та

практика України. - Тернопіль: Економічна думка, 1999. - 46 с.

34. Федоренко В.І. Інвестиційний менеджмент: Навч. посібник.- К.: МАУП,

1999. - 184 с.

35. Ценные бумаги: Учебник / Под. ред. В.И. Колесникова, В.С.

Торкановского. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 416 с.

36. Червова Л., Бєлікова О. Проблеми інформаційного забезпечення ринку

цінних паперів в Україні // Економіка. Фінанси. Право. - 1999. - № 6. -

С. 14-17.

37. Шевчук О. Проблеми та нюанси розрахунків з акціонерами при виплаті

дивідендів // Економіка. Фінанси. Право. - 2002. - № 2. - С. 16-19.

38. Шуляк П., Дубас О., Мєєчко Р. Діяльність інвестиційних фондів та

інвестиційних компаній має негативні наслідки // Економіка. Фінанси.

Право. - 2000. - № 3. - С. 16-18.

39. Яковенко Л. Місцеві позики в Україні // Економіка. Фінанси. Право. -

2000. - № 3. - С. 16-18.

40. Investfunds.ua [Електронний ресурс] – Режим доступу до ресурсу:

http://investfunds.ua.

41. Markowitz H.M. Portfolio Selection / H.M. Markowitz // Journal of

Finance.– 1952.– Vol. 7, №1. – Pp. 77-91.

42. Markowitz H.M. Mean-variance Analysis in Portfolio Choice and Capital

Market / H.M. Markowitz. – Oxford; N.Y.: Blackwell, 1987. – 387 p.

43. Sharpe W.F. A Simplified Model for Portfolio Analysis / W.F. Sharpe //

Man- agement Science. – 1963. – Vol. 9, №2. – Pp. 277-293.

73

44. Sharpe W.F. Capital Asset Price: A Theory of Market Equilibrium Under

Conditions of Risk / W.F. Sharpe // Journal of Finance – 1964. – Vol. 19,

№3.

45. D.A.Rand L.S.Young. Heidelberg: Springer-Verlag, 366-381 (1981).

46. Tobin J. Liquidity Preferences as a Behavior Toward Risk / J. Tobin //

Review Economic Studies. – 1958. – Vol. 25, №6. – Pp. 65-68.

47. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection / J. Tobin // Theory of Interest

Rates / Ed. by F.H. Hahn, F.P.R. Brechling. – London: MacMillan, 1965. –

Pp. 3-51.

74

ДОДАТОК А

Котирування акцій української біржі у 2017 році

Таблиця А.1 – Котирування акцій (25.01.2017 – 16.05.2017)

ФАРМАК Центренерго Днепробленерго Укртелеком Укрбіржа

Купівля Продаж Купівля Продаж Купівля Продаж Купівля Продаж Купівля Продаж

25.01.2017 225,00 250,00 11,14 11,25 53,70 82,00 0,15 0,17 1200,00 2000,00

26.01.2017 225,00 240,00 11,15 11,28 53,70 82,00 0,15 0,18 1200,00 2100,00

27.01.2017 225,00 250,00 11,19 11,30 55,10 82,50 0,15 0,16 1200,00 2000,00

30.01.2017 225,00 250,00 11,22 11,30 55,11 100,00 0,14 0,17 1200,00 2100,00

31.01.2017 225,00 240,00 11,09 11,22 55,11 95,00 0,15 0,18 1200,00 2010,00

01.02.2017 225,00 250,00 10,99 11,09 55,10 100,00 0,14 0,16 1200,00 1900,00

02.02.2017 225,00 230,00 10,91 10,96 55,10 95,00 0,14 0,16 1200,00 2100,00

03.02.2017 225,00 230,00 11,03 11,14 55,11 100,00 0,14 0,16 1200,00 2100,00

06.02.2017 225,00 250,00 11,00 11,09 55,10 100,00 0,14 0,16 1200,00 2100,00

07.02.2017 230,00 275,00 11,00 11,05 55,10 100,00 0,14 0,16 1200,00 2100,00

08.02.2017 230,00 275,00 11,10 11,18 55,10 100,00 0,13 0,16 1200,00 2100,00

09.02.2017 230,00 275,00 11,22 11,35 55,10 99,99 0,14 0,16 1200,00 2100,00

10.02.2017 230,00 275,00 11,16 11,23 55,10 99,99 0,14 0,16 1200,00 2100,00

13.02.2017 230,00 275,00 11,50 11,50 55,10 99,99 0,14 0,16 1200,00 2100,00

14.02.2017 230,00 275,00 11,38 11,47 55,10 99,99 0,14 0,16 1200,00 2100,00

15.02.2017 230,00 275,00 11,38 11,50 55,10 99,98 0,14 0,16 1200,00 2100,00

16.02.2017 230,00 275,00 11,15 11,25 55,11 99,99 0,14 0,16 1200,00 2100,00

17.02.2017 230,00 275,00 11,13 11,20 55,50 99,94 0,13 0,14 1200,00 2100,00

20.02.2017 230,00 275,00 11,10 11,17 55,11 99,94 0,13 0,14 1200,00 2100,00

21.02.2017 230,00 275,00 11,19 11,29 56,10 99,90 0,13 0,14 1200,00 2100,00

75

Кінець таблиці А.1.

23.02.2017 230,00 275,00 11,17 11,25 56,10 99,90 0,12 0,14 1200,00 1400,00

24.02.2017 230,00 275,00 11,34 11,41 56,10 99,00 0,12 0,14 1200,00 1450,00

27.02.2017 230,00 275,00 11,20 11,29 56,10 99,88 0,12 0,14 1200,00 2100,00

28.02.2017 230,00 275,00 11,31 11,40 56,10 99,88 0,13 0,14 1200,00 2100,00

01.03.2017 230,00 275,00 11,38 11,48 56,10 98,99 0,13 0,13 1200,00 2100,00

02.03.2017 230,00 275,00 11,28 11,39 56,10 98,99 0,13 0,13 1200,00 2100,00

03.03.2017 230,00 275,00 11,35 11,43 56,11 98,99 0,13 0,15 1200,00 2100,00

06.03.2017 230,00 275,00 11,43 11,52 56,11 98,99 0,13 0,14 1200,00 2100,00

07.03.2017 230,00 275,00 11,28 11,39 56,11 98,99 0,13 0,14 1200,00 2100,00

09.03.2017 230,00 275,00 11,16 11,31 50,20 97,99 0,13 0,13 1200,00 1900,00

10.03.2017 230,00 270,00 11,14 11,31 50,15 99,00 0,12 0,13 1200,00 1900,00

13.03.2017 230,00 270,00 10,90 11,04 50,60 98,99 0,12 0,13 1100,00 1900,00

14.03.2017 230,00 265,00 10,96 11,11 50,60 97,99 0,12 0,13 1100,00 1900,00

15.03.2017 230,00 265,00 10,81 10,85 50,61 96,99 0,11 0,13 1100,00 1900,00

16.03.2017 230,00 260,00 10,98 11,00 50,60 90,00 0,12 0,13 1100,00 1900,00

17.03.2017 230,00 260,00 10,95 11,08 50,61 90,99 0,12 0,13 1100,00 1900,00

20.03.2017 230,00 260,00 10,81 11,05 50,60 99,99 0,12 0,13 1100,00 1990,00

21.03.2017 230,00 260,00 10,73 10,99 50,60 99,00 0,12 0,13 1100,00 1990,00

22.03.2017 230,00 260,00 10,62 10,75 90,00 99,99 0,12 0,13 1100,00 2500,00

23.03.2017 240,00 260,00 10,51 10,59 108,00 134,99 0,12 0,14 1100,00 2500,00

24.03.2017 240,00 300,00 10,71 10,80 112,00 120,00 0,12 0,14 1100,00 2500,00

27.03.2017 240,00 300,00 10,61 10,70 110,30 125,00 0,12 0,14 1100,00 2500,00

28.03.2017 240,00 300,00 10,61 10,70 115,00 139,99 0,12 0,14 1100,00 2500,00

29.03.2017 250,00 300,00 10,51 10,64 111,10 140,00 0,13 0,14 1100,00 2495,00

30.03.2017 240,00 300,00 10,59 10,65 110,10 140,00 0,13 0,14 1100,00 2500,00

31.03.2017 240,00 300,00 10,56 10,65 110,10 140,00 0,13 0,14 1100,00 2500,00

03.04.2017 240,00 300,00 10,59 10,63 101,00 134,99 0,13 0,14 1100,00 2500,00

76

Кінець таблиці А.1.

04.04.2017 240,00 300,00 10,67 10,73 100,10 140,98 0,13 0,13 1100,00 2500,00

05.04.2017 250,00 300,00 10,54 10,63 110,10 140,98 0,13 0,14 1100,00 2500,00

06.04.2017 240,00 300,00 10,59 10,65 111,10 138,00 0,13 0,14 1100,01 1400,00

07.04.2017 240,00 300,00 10,60 10,68 111,00 138,00 0,13 0,14 1100,00 2340,00

10.04.2017 240,00 300,00 10,48 10,59 120,00 135,00 0,12 0,14 1100,00 2500,00

11.04.2017 240,00 300,00 10,35 10,47 115,10 135,00 0,12 0,14 1100,00 2500,00

12.04.2017 240,00 300,00 10,30 10,35 118,00 138,00 0,13 0,14 1100,03 1300,00

13.04.2017 240,00 300,00 10,46 10,55 118,00 137,99 0,12 0,14 1100,00 1900,00

14.04.2017 240,00 300,00 10,60 10,65 119,01 138,00 0,13 0,14 1100,00 1900,00

18.04.2017 240,00 300,00 10,60 10,73 103,01 139,00 0,12 0,14 1100,00 1950,00

19.04.2017 240,00 300,00 10,61 10,69 102,03 139,00 0,12 0,14 1100,00 1950,00

20.04.2017 240,00 300,00 10,61 10,70 105,01 139,00 0,12 0,14 1310,00 1950,00

21.04.2017 240,00 300,00 10,56 10,63 110,10 150,00 0,12 0,14 1100,00 1950,00

24.04.2017 240,00 300,00 10,55 10,67 104,02 169,98 0,12 0,14 1100,00 1950,00

25.04.2017 240,00 300,00 10,34 10,54 102,00 150,00 0,12 0,14 1100,00 1950,00

26.04.2017 240,00 300,00 10,12 10,30 106,00 150,00 0,12 0,14 1100,00 1945,95

27.04.2017 240,00 300,00 10,56 10,69 106,00 150,00 0,12 0,14 1100,00 1950,00

28.04.2017 240,00 300,00 10,65 10,72 139,10 148,00 0,12 0,14 1100,00 1950,00

03.05.2017 240,00 300,00 10,55 10,70 120,00 165,00 0,12 0,14 1100,00 1949,99

04.05.2017 240,00 250,00 10,56 10,68 150,00 188,00 0,12 0,14 1100,00 1950,00

05.05.2017 240,00 250,00 10,50 10,57 145,00 190,00 0,12 0,14 1100,00 1900,00

10.05.2017 230,00 250,00 10,25 10,37 140,00 189,00 0,12 0,14 1100,00 1950,00

11.05.2017 235,00 300,00 10,30 10,36 140,00 190,00 0,12 0,14 1100,00 1777,00

12.05.2017 235,00 250,00 10,34 10,50 130,00 184,99 0,12 0,14 1100,00 1950,00

15.05.2017 235,00 250,00 10,20 10,49 140,00 190,00 0,12 0,14 1100,00 1700,00

16.05.2017 235,00 240,00 10,40 10,51 175,00 190,00 0,12 0,14 1100,00 1950,00