CARLOS RAMIREZ MOLINARES

MILTON GARCIA BARBOZA

CRISTO PANTOJA ALGARIN

ARIEL ZAMBRANO MEZA

FUNDAMENTOS DEMATEMTICAS FINANCIERAS

2Fundamentos de matemticas financieras

UNIVERSIDAD LIBRE SEDE CARTAGENACENTRO DE INVESTIGACIONES

Producto del Grupo de Investigacin GNSIS

CARLOS VICENTE RAMIREZ MOLINARESIngeniero Industrial. Universidad Tecnolgica de Bolvar

Contador Pblico de la Universidad de CartagenaMagister en Administracin. ISTEM (Mxico- UNAB- UTB)

Especialista en Docencia Universitaria. Universidad del BosqueEspecialista en Finanzas y Negocios Internacionales. Universidad Autonma del Caribe

Docente Asistente Universidad de Cartagena. Facultad de Ciencias EconmicasDocente Catedrtico Universidad Libre Seccional Cartagena. Facultad de Ciencias

Econmicas.Miembro del Grupo de Investigacin GNOSIS de la Universidad Libre Seccional

Cartagena.

MILTON GARCIA BARBOSAContador Pblico. Universidad de Cartagena

Especialista en Gestin Gerencial. Universidad de CartagenaDocente Asociado Universidad de Cartagena.

CRISTO PANTOJA ALGARINContador Pblico. Universidad de Cartagena

Especialista en Administracin Financiera Universidad de CartagenaMagister en Ciencias Financieras y de Sistemas de la Universidad Central

Docente Asistente Universidad de Cartagena

ARIEL ZAMBRANO MEZAContador Pblico de la Universidad Libre Seccional Cartagena

Monitor Matemticas Financieras y Finanzas. Universidad Libre

3UNIVERSIDAD LIBRE

DIRECTIVOS NACIONALES 2009PresidenteLuis Francisco Sierra ReyesRectorNicols Enrique Zuleta HincapiCensorEdgar Sandoval RomeroDecano Facultad de DerechoJess Hernando Alvarez MoraDecano Facultad de ContaduraClara Ins Camacho

DIRECTIVOS SECCIONALES 2009Presidente Delegado RectorRafael Ballestas MoralesVicerrector AcadmicoCarlos Gustavo Mndez RodrguezSecretario GeneralLuis Mara Rangel SeplvedaDirector Administrativo y FinancieroLucy Castilla BravoDirectora de la Facultad de Ciencias Econmicas, Administrativas yContablesMara Cristina Bustillo CastillejoDecano de Extensin de DerechoNarciso Castro YanesDecano de Extensin de Contadura PblicaGustavo Arrieta VsquezDirectora Consultorio Jurdico y Centro de ConciliacinTulia del Carmen Barrozo OsorioCoordinadora de PostgradosBeatriz Tovar CarrasquillaDirectora Centro de InvestigacionesTatiana Daz RicardoSecretaria AcadmicaEline Palomino Riher

La publicacin de los artculos est sujeta a los criterios del Comit editorial yla evaluacin de los pares cientficos. Las opiniones expresadas por los autoresson independientes y no comprometen a la Universidad Libre Sede Cartagena.Se respeta la libertad de expresin.

Universidad LibrePie de la Popa Calle. Real No. 20-177Cartagena de Indias. ColombiaAmrica del SurTelfonos: 6661147- 6561379

4ISBN: 978-958-8621-03-6

Editorial Universidad Libre Sede Cartagena

Comit editorialAdolfo Carbal HerreraCarlos Corts MattosTatiana Daz RicardoZilath Romero Gonzlez

Correos electrnicos:investigaciones.unilibre.gmail.comEditora: tatianadiazr@gmail.comCartagena de Indias, ColombiaAo 2009

Se permite la reproduccin total y parcial por cualquier medio siempre y cuandose citen debidamente la fuente, los autores y las instituciones. La UniversidadLibre Sede Cartagena no se hace responsable por los contenidos, posibleserrores u omisiones. Los contenidos son responsabilidad exclusiva de susautores.

5ACERCA DE LOS AUTORES

Carlos Vicente Ramrez Molinares. Es ingeniero Industrial de la UniversidadTecnolgica de Bolvar, Contador Pblico de la Universidad de Cartagena, Magister enAdministracin en convenio con el Instituto Tecnolgico de Monterrey (ISTEM Mxico), Universidad Autnoma de Bucaramanga y la Universidad Tecnolgica deBolvar, Especialista en Finanzas y Negocios Internacionales de la UniversidadAutnoma del Caribe y Especialista en Docencia Universitaria de la Universidad delBosque. Este trabajo es fruto de su experiencia como Docente Asistente de laUniversidad de Cartagena, en las reas de Matemticas Financieras, FinanzasPrivadas, Formulacin y Evaluacin de Proyectos en la Facultad de CienciasEconmicas, y en Proyectos de Desarrollo e Ingeniera Econmica, en la Facultad deIngenieras de la Universidad de Cartagena. Docente catedrtico de la Universidadlibre Seccional Cartagena, en las ctedras de Matemticas Financieras yAdministracin Financiera y Docente Catedrtico de la Universidad Tecnolgica deBolvar, en las reas de Ingeniera Econmica y Emprendimiento (CtedrasEmpresariales I, II y III).

Tambin, se ha desempeado como docente en las especializaciones en GestinEmpresarial, Finanzas, Gerencia Financieras, Gerencia de Proyectos, en laUniversidad de Cartagena, Universidad Jorge Tadeo Lozano Seccional Cartagena,Universidad de la Guajira en el campo de las Matemticas Financieras, Desarrollo demodelos financieros empresariales y en Formulacin y Evaluacin de Proyectos.

Es miembro del grupo de investigacin GNOSIS de la Universidad Libre SeccionalCartagena y del grupo de Investigacin GRICOF de la Universidad de Cartagena.

Milton Garca Barbosa. Contador Pblico de la Universidad de Cartagena.Especialista en Gestin Gerencial de la Universidad de Cartagena. Docente Asociadode la Universidad de Cartagena. Se ha desempeado como docente de pregrado enlas reas de Contabilidad de Activos, Contabilidad de Pasivos, Epistemologa eInvestigacin Contable, en el Programa de Contadura Pblica de la Universidad deCartagena. Adems, ha sido docente en las especializaciones de Gestin Empresarialy Finanzas, en las reas de Contabilidad. Actualmente, se desempea como Directordel Programa de Contadura Pblica de la Universidad de Cartagena. Es miembro delgrupo de investigacin GRICOF de la Universidad de Cartagena.

Cristo Pantoja Algarn. Contador Pblico. Universidad de Cartagena. Especialista enAdministracin Financiera Universidad De Cartagena. Magister en CienciasFinancieras y de Sistemas de la Universidad Central. Docente Asistente Universidad deCartagena en el Programa de Contadura Pblica.

Ariel Zambrano Meza. Contador Pblico de la Universidad Libre Seccional Cartagena.Monitor de las ctedras de Matemticas Financieras y de Finanzas. En la actualidad se

6encuentra adelantando estudios de pregrado en el Programa De Administracin de laUniversidad Libre Seccional Cartagena.

7CONTENIDO

PagCAPITULO No 1. CONCEPTOS GENERALES

1.1 Introduccin 131.2 Importancia de las matemticas financieras 131.3 Definiciones de las matemticas financieras 131.4 Definiciones de proyecto 141.5 Inversiones 151.6 Proceso de toma de decisiones 161.7 Aspectos bsicos de un anlisis de inversiones 191.8 Valor del dinero en el tiempo 201.9 Inters 211.10 Tasa de inters 221.11 Equivalencia 231.12 Diagrama de tiempo o flujo de caja 24

CAPITULO No 2. INTERES SIMPLE

2.1 Introduccin 302.2 Definicin del inters simple 302.3 Clases de intereses Simple 312.4 Desventajas del inters simple 322.5 Tablas de Das 332.6 Monto o valor futuro a inters simple 352.7 Valor presente o actual a inters simple 352.8 Clculo de la tasa de inters simple 372.9 Clculo del tiempo 372.10 Descuentos 382.10.1 Descuento comercial o bancario 392.10.2 Descuento real o justo 412.10.3 Descuento racional o matemtico 422.11 Ecuaciones de valor 44

CAPITULO No 3. INTERES COMPUESTO.

3.1 Introduccin 523.2 Definicin del inters compuesto 523.3 Subdivisin del inters compuesto 533.4 Comparacin entre el inters simple y compuesto 533.5 Periodo 543.6 Valor futuro equivalente a un presente dado 553.7 Clculo del valor presente equivalente de un valor futuro 573.8 Clculo del nmero de perodos 603.9 Calculo del Inters 613.10 Interpolacin lineal 623.11 Descuento compuesto 64

8CAPITULO No 4. TASAS DE INTERES Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS

4.1 Introduccin 724.2 Tasa de inters peridica 724.3 Tasa de inters nominal 724.4 Tasa de inters efectivo 744.5 Tasa de inters anticipada 764.6 Tasas equivalentes 804.7 Tasa de inters continuo 914.8 Clculo del valor futuro dado un valor presente 924.9 Clculo del valor presente dado un valor futuro 934.10 Clculo del tiempo (n) 944.11 Tasas combinadas o compuesta 954.11.1 Prstamo e inversin en moneda extranjera 954.11.1.1 Devaluacin 964.11.1.2 Tasa de cambio 974.11.1.2.1 Tasa de cambio fija 974.11.1.2.2 Tasa de cambio variable (flotante) 974.11.1.3 Tasa de devaluacin 984.11.1.4 Revaluacin 994.11.1.4.1 Tasa de revaluacin 994.11.2 Inflacin 1064.11.3 Unidad de valor real (UVR) 1104.11.3.1 Metodologa para el clculo de la UVR 1104.12 Aplicacin de las ecuaciones de valor con inters compuesto 112

CAPITULO 5. SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES

5.1 Introduccin 1265.2 Definicin de anualidad 1265.2.1 Renta o pago 1265.2.2 Periodo de renta 1265.2.3 Plazo de una anualidad 1265.3 Requisitos para que exista una anualidad 1275.4 Clasificacin de las anualidades segn el tiempo 1275.4.1 Anualidades ciertas 1275.4.2 Anualidades contingentes 1275.4.3 Clasificacin de las anualidades segn los intereses 1275.4.3.1 Anualidades simples 1275.4.3.2 Anualidades generales 1285.4.4 Clasificacin de las anualidades segn el momento de iniciacin 1285.4.4.1 Anualidades diferidas 1285.4.4.2 Anualidades inmediatas 1285.4.5 Clasificacin de las anualidades segn los pagos 1285.4.5.1 Anualidades vencidas 1285.4.5.2 Anualidades anticipadas 1295.5 Valor presente de una anualidad vencida 1295.6 Clculo de la anualidad en funcin del valor presente 1325.7 Valor futuro de una anualidad vencida 136

95.8 Clculo de la anualidad en funcin del valor futuro 1395.9 Calculo del tiempo en una anualidad vencida 1425.10 Clculo de la tasa de inters de una anualidad vencida 1465.11 Anualidades anticipadas 1485.11.1 Valor presente de una anualidad anticipada 1485.11.2 Clculo de una anualidad anticipada en funcin del valor presente 1515.11.3 Valor futuro de una anualidad anticipada 1525.12 Clculo del tiempo en una anualidad anticipada 1555.13 Clculo de la tasa de inters de una anualidad anticipada 1585.14 Anualidades diferidas 1625.15 Anualidades perpetas 1645.16 Anualidades generales 166

CAPITULO 6. GRADIENTES O SERIES VARIABLES

6.1 Introduccin 1766.2 Definicin 1766.3 Gradiente Aritmtico o lineal 1766.3.1 Valor presente de un gradiente aritmtico o lineal creciente 1776.3.2 Valor futuro de un gradiente aritmtico o lineal creciente 1866.4 Gradiente lineal decreciente 1956.4.1 Valor presente de un gradiente lineal decreciente 1956.4.2 Valor futuro de un gradiente lineal decreciente 1976.5 Gradiente geomtrico o exponencial 1996.5.1 Valor presente de un gradiente geomtrico creciente 1996.5.2 Valor futuro de un gradiente geomtrico creciente 2016.6 Gradiente geomtrico decreciente 2056.6.1 Valor presente de un gradiente geomtrico decreciente 2056.6.2 Valor futuro de un gradiente geomtrico decreciente 2076.7 Gradiente aritmtico perpetuo 2096.8 Gradiente aritmtico perpetuo 211

CAPITULO 7. AMORTIZACION

7.1 Introduccin 2227.2 Definicin de amortizacin 2227.3 Amortizacin con cuotas uniformes y cuotas extras pactadas. 2227.3.1 Amortizacin con cuotas uniformes 2227.3.2 Amortizacin con cuotas extras pactadas 2237.4 Amortizacin con cuotas extras no pactadas 2247.5 Amortizacin con perodo de gracia 2277.6 Distribucin de un pago 2307.7 Amortizacin con abono constante a capital e intereses vencidos 2327.8 Amortizacin con abono constante a capital e intereses anticipados 2337.9 Amortizacin en moneda extranjera 234

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PRESENTACION

Desde su aparicin el dinero es parte importante de la vida del hombre y ha tratado deutilizarlo de la manera ms ptima y adecuada; pero hoy por la globalizacin de laeconoma ha adquirido una importancia relevante, ya que todas las transacciones serealiza a travs del uso del dinero, por eso es conveniente que se sepa manejar paraque genere los mximos beneficios y se aproveche a su mxima utilidad; por lo que esimportante comprender de manera clara cmo el dinero puede ganar o perder ocambiar de valor en el tiempo, debido a fenmenos econmicos como la inflacin ydevaluacin, por lo cual es relevante usar y empleo con claridad y precisin losconceptos de las matemticas financieras.

Adems, es importante el manejo de las matemticas financieras ya que la economade un pas, se basa en diferentes operaciones financieras y que para tomar unadecisin acertada, es necesario e indispensable tener en cuenta que a travs deltiempo el valor del dinero puede tener variaciones.

Se ha tratado de exponer cada una de las unidades de una manera clara y sencilla yusando un lenguaje simple para que el lector encuentre interesante el campo de lasmatemticas financieras; pero es conveniente aclarar que esta disciplina, como todaslas que tienen que ver con las matemticas, exigen un trabajo prctico dedicado, por loque se recomienda realizar los ejercicios resueltos y propuestos. EL libro contienesuficientes ejemplos resueltos paso a paso que le proporciona al lector la destrezanecesaria para resolver los ejercicios propuestos con sus respectivas respuestas, loscuales servirn para afianzar los conocimientos adquiridos a travs de los captulos.

Teniendo en cuenta que la intencin u objetivo del presente libro, es que el lectorconozca los conceptos fundamentales de las matemticas financieras para que puedaaplicarlos en el mundo financiero, para lo cual se han estructurado los siguientescaptulos:

Capitulo1. Se trata lo concerniente a la definicin e importancia de las matemticasfinancieras, qu es un proyecto y una breve descripcin de las etapas que se tienen encuentan para estudiarlos, se detalla el proceso de toma de decisiones, como elementode planeacin para el anlisis de los proyectos e inversiones, a stas ltimas se lespresenta las clasificaciones ms importantes, de la misma manera se explica elconcepto del valor del dinero en el tiempo, as como el principio de equivalencia, elinters y la tasa de inters, por ltimo se explica de manera concreta el diagramaeconmico, como herramienta clave para la solucin de los problemas de lasmatemticas financieras.

Capitulo 2. Se analiza el inters simple, y se muestra como se calcula el valor presente,valor futuro, el tiempo y la tasa de inters bajo el concepto del inters simple, de lamisma se explican y detallan ejercicios que tratan sobre el descuento comercial, real, elracional y las ecuaciones de valor.

Capitulo 3. Se desarrollan los aspectos ms importantes del inters compuestos, en loreferente al clculo del valor presente, valor futuro, el tiempo y la tasa de inters, seexplica de manera detallada la interpolacin lineal, como herramienta para determinar

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el nmero de perodos y la tasa de inters. Se trata el descuento bajo la modalidad delinters compuesto.

Captulo 4. Se explican y analizan las tasas de inters peridica, nominal, intersefectivo e inters continuo. Respecto al concepto de tasas equivales, se realizan unnmero importante de ejemplos, para que el lector se familiarice con la conversin delas tasas de inters, ya que le experiencia ha demostrado que es un tema donde losestudiantes tienen bastante problemas cuando tratan de realizar las conversiones. Dela misma manera, se detalla la metodologa para el clculo de la UVR (Unidad de valorreal), y se explica detalladamente los conceptos sobre moneda extranjera y quedifcilmente se pueden encontrar en otros textos de las matemticas financieras.Tambin se hacen aplicaciones de ecuaciones de valor bajo el concepto del interscompuesto.

Captulo 5. Se estudian las anualidades vencidas, anticipadas, diferidas y perpetuas oindefinidas; adems se hacen ejemplos para el clculo del valor, valor futuro, el tiempoy la tasa de inters, en estos dos ltimos temas, se explica detalladamente el mtodode tanteo o ensayo y error.

Captulo 6. Se realiza un anlisis detallado de las series gradientes aritmticas ygeomtricas, desde lo creciente y decrecientes, as como desde la ptica de lo vencidoe indefinido. Adems, se explica el manejo de series gradientes anticipadas y diferidas.

Capitulo 7. Se estudian los diferentes sistemas de amortizacin en moneda nacional,tambin se explican de manera detallada la amortizacin de deudas en monedaextranjera cancelando las cuotas en pesos.En este texto no se utilizan las tablas financieras que se aplicaban anteriormente en losdiferentes textos de las matemticas financieras, sino que se procura que el lectoranalice y haga uso de las frmulas matemticas, con la seguridad que le van a permitirun mayor dominio de la disciplina.

Este texto puede servir de gua en las carreras de pregrado como: Contadura Pblica,Administracin de Empresas, Economa, Ingeniera Industrial y carreras afines, ascomo en las especializaciones donde se traten temas relacionados con lasMatemticas Financieras.

Los Autores

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CAPITULO No 1. CONCEPTOS GENERALES

OBJETIVOS

Al finalizar el estudio del captulo, el lector ser capaz de:

1) Explicar y definir las matemticas financieras y conceptuar sobre su importancia2) Explicar y definir proyecto e inversiones y los tipos de inversiones3) Explicar el proceso de toma de decisiones4) Distinguir y explicar los aspectos bsicos para la realizacin de inversiones o de

proyectos5) Definir y conceptualizar sobre el inters y la tasa de inters6) Explicar el concepto de equivalencia7) Distinguir y explicar el diagrama econmico o flujo de caja

TEMARIO

1.1 Introduccin1.2 Importancia de las matemticas financieras1.3 Definiciones de las matemticas financieras1.4 Definiciones de proyecto1.5 Inversiones1.6 Proceso de toma de decisiones1.7 Aspectos bsicos de un anlisis de inversiones1.8 Valor del dinero en el tiempo1.9 Inters1.10 Tasa de inters1.11 Equivalencia1.12 Diagrama de tiempo o flujo de caja

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1.1 INTRODUCCION

Las matemticas financieras son fundamentales para tomar la mejor decisin, cuandose invierte dinero en proyectos o en inversiones, por eso es conveniente que el lectordefina y explique los conceptos bsicos sobre proyectos y las diferentes inversionesque se pueden llevar a cabo en la vida cotidiana y empresarial. Tambin, esimportante, que se conozca la importancia del concepto del valor del dinero a travs deltiempo, como elemento fundamental de las matemticas financieras, as como delprincipio de equivalencia y el principio de visin econmica, que se aplican en eldiagrama econmico, para efecto de trasladar los flujos de caja al presente o al futuro.

1.2 IMPORTANCIA DE LA MATEMATICAS FINANCIERAS.

Las organizaciones y la personas toman decisiones diariamente que afectan su futuroeconmico, por lo cual, deben analizar tcnicamente los factores econmicos y noeconmicos, as como tambin los factores tangibles e intangibles, inmersos en cadauna de las decisiones que se toman para invertir el dinero en las diferentes opcionesque se puedan presentar, de all, la importancia de las tcnicas y modelos de lamatemticas financieras en la toma de las decisiones, ya que cada una de ellasafectar lo que se realizar en un tiempo futuro, por eso, las cantidades usadas en lamatemticas financieras son las mejores predicciones de lo que se espera que suceda.

No hay que olvidar que en todo proceso de toma de decisin siempre aparece elinterrogante de tipo econmico, debido a lo que espera toda organizacin o persona esla optimizacin de los recursos con que se cuenta.

Cuando se busca la solucin que optimice los recursos con que se cuentangeneralmente hay que abordar las siguientes preguntas claves:

Se justifica la realizacin del proyecto o la inversin?Se puede usar la actual infraestructura de produccin para alcanzar el nuevo nivel deproduccin?El tiempo estipulado para la realizacin del proyecto es el adecuado?Es recomendable o favorable la inversin econmica o socialmente?Cul de las alternativas planteadas es la mejor para la organizacin o inversionistas?.

Las respuestas a las preguntas sealadas ayudan a la organizacin o inversionista aeliminar proyectos que no son factibles de realizar por no contar con los recursosnecesarios. De all, la importancia de desarrollar todo el proceso de toma de decisionespara plantear soluciones o alternativas para el problema que se est enfrentando.

Lo expuesto anteriormente, muestra la dimensin e importancia de las MATEMATICASFINANCIERAS como herramienta de anlisis y evaluacin en el proceso de toma dedecisiones.

1.3 DEFINICIONES DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS

Las matemticas financieras pueden tener varias definiciones, pero todas presentan elmismo objetivo final.

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Estudia el conjunto de conceptos y tcnicas cuantitativas de anlisis tiles para laevaluacin y comparacin econmica de las diferentes alternativas que uninversionista, o una organizacin pueden llevar a cabo y que normalmente estnrelacionadas con proyectos o inversiones en: sistemas, productos, servicios, recursos,inversiones, equipos, etc., para tomar decisiones que permitan seleccionar la mejor olas mejores posibilidades entre las que se tienen en consideracin.

Es una herramienta de trabajo que permite el anlisis de diferentes alternativasplanteadas para la solucin de un mismo problema.

Es el estudio de todas las formas posibles para desarrollar nuevos productos (oresolver un problema), que ejecutarn funciones necesarias y definidas a un costomnimo.

Es un conjunto de conceptos y tcnicas de anlisis, tiles para la comparacin yevaluacin econmica de alternativas.

En general el objetivo bsico de las matemticas financieras es seleccionar laalternativa ms conveniente desde el punto de vista econmico.

1.4 DEFINICIONES DE PROYECTO

Existen varias definiciones al trmino proyectos, entre las cuales se pueden enumerarlas siguientes:

Las Naciones Unidas, en su Manual de Proyectos de Desarrollo Econmico, expresa:

Un proyecto es el conjunto de antecedentes que permite estimas las ventajas ydesventajas econmicas que se derivan de asignar ciertos recursos de un paspara la produccin de determinados bienes o servicios

La definicin indica que si los resultados econmicos esperados son favorables elproyecto debe llevarse hasta finalizarlo, dando especial consideracin a las diferentesetapas que lo conforman.

El Banco Mundial define proyecto de la siguiente manera:

El proyecto es, en un caso ideal, una serie ptima de actividades orientadashacia la inversin fundadas en una planificacin sectorial completa y coherente,mediante la cual se espera que un conjunto especfico de recursos humanos ymateriales produzca un grado determinado de desarrollo econmico y social.

El Instituto Latinoamericano y del Caribe de Planificacin Econmica y Social, Ilpes, ensu documento Gua para la presentacin de proyectos proporciona la siguientedefinicin:

En su significado bsico, el proyecto es el plan prospectivo de una unidad deaccin capaz de materializar algn aspecto del desarrollo econmico o social.

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Esto implica, desde el punto de vista econmico. Proponer la produccin dealgn bien o la prestacin de algn servicio, con el empleo de una cierta tcnicay con miras a obtener u determinado resultado o ventaja, econmico o social.Como plan de accin, el proyecto supone tambin la indicacin de los mediosnecesarios para su realizacin y la adecuacin de esos medios a los resultadosque se persiguen. El anlisis de estas cuestiones se hace en los proyectos noslo del punto de vista econmico sino tambin tcnico y financiero,administrativo e institucional.

En la forma ms simple un proyecto se puede definir como la bsqueda de unasolucin inteligente al planteamiento de un problema para resolver, entre muchas, unanecesidad humana.

Un proyecto de inversin es un plan, que si se le asigna determinado monto de capitaly se le proporciona insumos de diferentes tipos, podr producir un bien o un servicio,til al ser humano o a la sociedad en general.

1.5 INVERSIONES

Las inversiones son la asignacin de recursos en los diferentes departamentos de unaorganizacin, con las cuales se logran los objetivos trazados en cada uno de ellos. Lasinversiones deben ser evaluadas cuidadosamente a fin de determinar su aceptacin orechazo y establecer su grado de prioridad dentro de los planes estratgicos de laempresa. Los errores cometidos en las decisiones de inversin no slo tienenconsecuencias negativas en los resultados de las operaciones, sino que tambinimpactan las estrategias de la empresa. Las inversiones pueden clasificarse deacuerdo con varios criterios y desde diferentes puntos de vista. En este libro en primerainstancia, se clasificaran por el tipo de funcin que desempean dentro de la empresa:

a) Inversiones de renovacin: Se realizan cuando se van a sustituir equipos,instalaciones o edificaciones obsoletas o desgastadas fsicamente por nuevoselementos productivos. Se invierte en renovar las operaciones existentes.

b) Inversiones de modernizacin: Comprenden todas las inversiones que seefectan para mejorar la eficiencia de la empresa tanto en la fase productiva comoen la comercializacin de los productos. Se invierte para mejorar la eficienciaoperacional.

c) Inversiones de expansin: Son las inversiones que se realizan para satisfacer unademanda creciente de los productos de la empresa.

d) Inversiones estratgicas: Son las que afectan la esencia misma de la empresa, yaque tomadas en conjunto definen el sistema de actividades de la misma. Estasinversiones se derivan del anlisis de la estrategia de la empresa y su impacto en elsistema de actividades es contundente. Los casos ms tpicos son las inversionespara diversificacin, la cobertura de nuevos mercados, las inversiones asociadascon nuevos desarrollos tecnolgicos y las derivadas de las decisiones deintegracin vertical u horizontal en la empresa.

Atendiendo a la relacin de dependencia o independencia econmica de lasinversiones, stas se pueden clasificar en mutuamente excluyentes, independientes ycomplementarias.

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a) Mutuamente excluyentes: Cuando por su naturaleza solo se puede ejecutar unade ellas, pues sera redundante o contrara la poltica de la organizacin, hay quetener en cuenta, que las inversiones mutuamente excluyentes estn vinculadas a lasolucin de un mismo problema, por eso, hay que seleccionar la mejor de todas.

b) Inversiones Independientes: Son aquellas que no guardan relacin o dependenciaeconmica entre s, por tal motivo, la realizacin de una de ellas no impide laejecucin de otra u otras inversiones. La nica limitante para la organizacin, es ladisponibilidad de los recursos para cada una de las inversiones.El proceso decisorio se orienta a identificar una combinacin de inversiones,factibles de ejecutar en funcin de la disponibilidad de recursos, que es la quegenera los mejores resultados.

c) Inversiones Complementarias: Son las inversiones que tienen un alto grado dedependencia econmica entre s, que en algunos de los casos al realizarsesimultneamente, interactan reforzando o atenuando las caractersticas de ellas.Esto da como resultado que, en algunas combinaciones se presente el fenmenode sinergismo y que en tal sentido, haya que determinar el efecto sinergtico de lacombinacin. El proceso decisorio est orientado a identificar una mezcla decombinaciones o alternativas individuales, factibles de realizar en funcin de ladisponibilidad de recursos, y que es la que produce los mejores resultados.

Las inversiones tambin, se clasifican en funcin del sector de la economa en que seejecutan, por lo tanto, habrn inversiones en empresas del sector privado y en el sectorpblico.

a) Inversiones en el sector privado: Son inversiones preparados y ejecutados porpersonas naturales y jurdicas, con recursos privados y de crdito, se deben aceptarcuando se esperan incrementos en los beneficios de las empresas (crean valor) ypor consiguiente se espera que aumente el patrimonio de los accionistas. Noobstante, en algunas ocasiones hay inversiones de carcter estratgico que nogeneran los rendimientos mnimos exigidos por la empresa, pero que se aceptanpor completar el sistema de actividades escogido por la estrategia de la empresa.

b) Inversiones en el sector pblico: Son inversiones desarrolladas por entidades delgobierno y con presupuestos de inversin pblica. Generalmente apuntan almejoramiento de la salud, la educacin, la vivienda, el transporte, la seguridad, etc.Estas inversiones se realizan con base en los planes y programas de desarrolloeconmico y social que se preparan en los diferentes niveles de la administracinpblicaEn las inversiones del sector pblico se deben valor aspectos cuantitativos ycualitativos de beneficio econmico y social, y su objetivo primordial es aumentar elbienestar social.

1.6 PROCESO DE TOMA DE DECISIONES

La toma de decisiones es la seleccin de un curso de accin entre varias alternativasplanteadas en una organizacin y el ncleo de la planeacin, tambin, es una actividadcotidiana en las organizaciones, cada problema o situacin se tiene que resolver, por locual surgir la necesidad de tomar una decisin. Por lo tanto, es recomendable

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disponer de un procedimiento sistmico para la solucin de los problemas, que sepuede sealar de la siguiente manera:

1) Definir el problema: Se trata de identificar en forma clara el problema y realizar suformulacin de manera concreta y precisa, definiendo los objetivos buscados. Laimportancia de ste punto es vital en el proceso de toma de decisiones, y esrecomendable dedicarle todo el tiempo que se necesite, para lograr una clara yadecuada definicin del problema, porque de lo contrario se corre el riesgo de darsolucin a un problema inexistente. Debe quedar claro que los problemas en la vidacotidiana o real, estn enunciados de manera muy general, por lo cual, esindispensable identificarlos y definirlos exactamente, en relacin con sus objetivoscomo en los mtodos de anlisis que se seguirn.

La importancia de definir con claridad y precisin el problema radica en el hechoconocido de que es preferible no resolver el problema, antes que resolver elproblema que no es, por eso, se dice que la definicin del problema es la parte mscrtica de todo proceso de toma de decisiones, debido a que una equivocadaidentificacin traer como consecuencia la toma de una decisin igualmente errada.De una premisa equivocada siempre la conclusin ser equivocada.

La importancia del proceso de identificacin del problema, se traduce en elpensamiento de Albert Einstein: Si se me concediese slo una hora para resolverun problema del que dependiese m propia vida, yo dedicara 40 minutos aestudiarlo, 15 minutos a revisarlo y 5 minutos a solucionarlo.

En este sentido, se recomienda agotar los mejores esfuerzos y recursos de laorganizacin en la identificacin de la problemtica. Deben realizarse reuniones,tormentas de ideas y trabajos de grupo para la consecucin de una visin clara yprecisa de la situacin que se deber enfrentar.

2) Analizar el problema: Una vez se haya definido en forma concreta el problema, seprocede a discriminar todos los hechos que lo han originado o tienen relacin conl. Es indispensable que dentro del anlisis, se realice una resea de las decisionestomadas en el pasado, en relacin con el problema definido; porque muchas vecesel problema surgido, tiene que ver con las decisiones que se han tomado conanterioridad en el tiempo. Tambin, es conveniente y necesario analizar lasrestricciones que se presentan al momento de dar solucin a los problemas, y ellaspueden ser reales y ficticias.

Las restricciones reales son las que verdaderamente existen al momento deformular el problema, pueden ser: tecnolgicas, de recursos, de tiempo,sociopolticas, de seguridad, administrativas, etc. Estas restricciones, sonnecesarias tenerlas en cuenta al momento de seleccionar la solucin al problema.

Las restricciones ficticias son las que no estn o no existen contenidas en elproblema que se ha definido; generalmente surgen de manera inconscientementepor el criterio de la persona que est realizando el anlisis, y pueden ser: hbitos,temores, inhibiciones, timidez. Hay que tener en cuenta, que hay personas que serestringen ficticiamente ms que otras, afectando en forma negativa la creatividad y

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dificultad la solucin de los problemas o los convierte en imposibles desolucionarlos.

3) Generacin de alternativas de soluciones: Una vez que el problema se hadefinido y analizado, se debe proceder a generar posibles soluciones y/oalternativas para ser aplicadas. Un brainstorning (tormenta de ideas) , es un buencomienzo para la generacin de soluciones. En el proceso de generacin desoluciones, se recomienda reunir todas aquellas personas que tengan que ver oconozcan el problema e inducirlas al planteamiento de soluciones, no sin antestener en cuenta los siguientes elementos:

a) Evitar resaltar las diferencias jerrquicas de los asistentes.b) Buscar la participacin del directivo ms importante hasta el obrero ms humilde

de la organizacin.c) No subestimar ninguna solucin sugerida.d) No permitir burlas a las soluciones planteadas.e) No hacer comentarios negativos sobre las soluciones sugeridas.f) Motivar e inducir permanentemente a las personas para que sugieran

soluciones.

En caso que la decisin competa a una sola persona y sta no tenga los mediospara consultar con otros, es indispensable que se presenten distintas alternativaspara que cada una sea evaluada individualmente.

4) Evaluacin de alternativas: El proceso de generacin de alternativas desoluciones tendra poca importancia si las mismas no son analizadas y comparadasentre s, de manera tal que se pueda determinar cul es la ms conveniente.Mediante la evaluacin de las alternativas se conocer, cul de ellas es la msrentable, cul tendr ms posibilidad de realizacin, cul apoyar los interesesgenerales de la compaa, as como tambin cul de las posibles soluciones serms acorde con la visin y misin de la organizacin. Igualmente se considerarnlas estrategias de la organizacin a corto, mediano y largo plazo.Cuando se estima la conveniencia de una solucin debe tomarse en cuenta larentabilidad que produce, asociada al riesgo que conlleva. Adicionalmente, debeconsiderarse que el beneficio econmico a corto plazo puede quedar relegado enaras de una estrategia superior de la empresa.Es necesario que una vez se seleccione la alternativa que dar solucin alproblema, se le comunique a las personas de la organizacin encargadas de dar laaprobacin final. De la presentacin de la solucin depende que se lleve a laprctica, por ello es importante estar seguros de los beneficios de dicha solucin yllevar a cabo la sustentacin con seguridad, demostrando clara y concretamentecuales son las ventajas de la solucin propuesta. Es conveniente presentarsoluciones a corto, mediano y largo plazo.

5) Implementar la solucin: La seleccin de la decisin no hace finalizar el procesode toma de decisiones; por el contrario, una vez seleccionada la alternativa, se debebuscar su implementacin, teniendo en factores tales como tiempo, recursoshumanos, tecnolgicos, financieros, etc. Tambin es de suma importancia

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considerar la capacidad de entendimiento de la decisin por parte de la personaresponsable de ejecutarle, as como su grado de compromiso.

En muchas ocasiones una determinada decisin pasar por diferentes reas de laorganizacin y probablemente el compromiso no sea el mismo en cada una deellas. Por otro lado, es probable que el entendimiento de la decisin no seacompartido por igual, por lo cual se debern tomar en cuenta estas consideracionesal momento de implementar la decisin.

Implementar una decisin exige en muchos casos todo un proceso de planificaciny de distribucin de recursos que garanticen su xito. Una decisin podra fracasarpor no contar con los recursos adecuados o con el compromiso y entendimiento delos miembros de la organizacin.

6) Evaluar los resultados de la decisin: A travs de un anlisis de los resultadosobtenidos por la puesta en prctica de una decisin tomada, se podrn tomarmedidas para asegurar la optimizacin de los resultados. Es as como mediante laevaluacin de stos se pueden tomar las acciones necesarias para corregircualquier desviacin en los resultados inicialmente planificados. Adicionalmente, sepuede descubrir la necesidad de incluir nuevos recursos en el proceso: humanos,financiero o de otra clase. Tambin, se puede llegar a la conclusin de que ladecisin tomada no fue la correcta y as adoptar las medidas necesarias paraenmendar esa equivocacin.

1.7 ASPECTOS BASICOS DE UN ANALISIS DE INVERSIONES.

Para la correcta realizacin de un estudio de las matemticas financieras, se requierenbsicamente analizar las siguientes etapas:

a) Anlisis tcnicob) Anlisis econmicoc) Anlisis financierod) Anlisis de intangiblese) Anlisis del mercadof) Anlisis Administrativog) Anlisis Socialh) Anlisis sensorial

Anlisis tcnico: Se refiere a la factibilidad operacional del proyecto o alternativa, esdecir, se define la viabilidad tcnica del proyecto. En este anlisis, se definir lasespecificaciones tcnicas de los insumos necesarios para ejecutar el proyecto enrelacin con: tipo y cantidad de materia prima e insumos, nivel de calificacin delrecurso humano requerido, la maquinaria y los equipos necesarios para el proyecto yun programa de las inversiones inciales y de reposicin, as como tambin, loscalendarios de mantenimiento.

Anlisis econmico: Se refiere a la factibilidad econmica de la alternativa o proyecto(Si es rentable o no). Es importante, pues es la que al final permite decidir laimplantacin del proyecto.

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Anlisis financiero: Se refiere a la disponibilidad y origen de los fondos necesariospara realizar el proyecto. En otras palabras, se refiere a la identificacin de las fuentesde financiacin del proyecto internas y externas, permite adicionalmente establecercriterios para el manejo de excedentes e identificar las necesidades de liquidez, paraconstruir y negociar el plan de financiamiento del proyecto.

Anlisis de intangibles: Se refiere a considerar los efectos no cuantificables de unproyecto: Aspectos como: imagen corporativa, opinin pblica, nombre, factoresecolgicos y ambientales, leyes cambiantes, situacin poltica, etc. El estudio de lasleyes, debe llevarse a cabo en las etapas inciales de la formulacin y preparacin, yaque un proyecto supremamente rentable, puede resultar no factible por una normalegal. En anlisis de los factores ecolgicos y ambientales, es necesario determinar elimpacto del proyecto sobre el medio ambiente en el corto, mediano y largo plazo y elefecto del entorno sobre el proyecto.

Anlisis del mercado: En el cual se determinan ventas y clientes potenciales para losbienes y servicios que van a producirse. Adems, de estudiar la demanda, es necesariotener en cuenta la oferta y precios, tanto de los productos como de los insumos de unproyecto. En la demanda de los productos, se analiza el volumen presente y futuro ylas variables relevantes para su proyeccin como: poblacin objetivo o segmento demercado, niveles de ingresos esperados, productos complementarios y sustitutos queya estn o que en el futuro entraran al mercado. Es importante tener en cuenta elmercado local, regional, nacional y el internacional.

Anlisis Administrativo: Es un diseo que muestra la estructura organizacional ydefine la necesidades de personal del proyecto, adems; genera la informacin sobrelas necesidades de infraestructura para el normal desarrollo de las actividades de lasdiferentes reas que conforman el proyecto como son: planeacin, personal, finanzas,cobranzas, etc. En este anlisis, tambin se seala los equipos y dotacin de insumosrequeridos para el adecuado funcionamiento administrativo.

Anlisis Social: Determina la incidencia que el proyecto tiene en la comunidad y lamanera de evitar las incidencias negativas del proyecto. En concreto el anlisis estdirigido a identificar y caracterizar con precisin los diferentes grupos de la poblacinimplicados por el proyecto, desde el punto de vista de los beneficios y los costos.

Anlisis Sensorial: Trata de fijar la posicin personal del empresario en aspectoslegales, ticos, morales y de gusto personal, con relacin a la actividad en s misma o alas condiciones que el proyecto exige.

1.8 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Es el concepto ms importante en las matemticas financieras. El dinero, comocualquier otro bien, tiene un valor intrnseco, es decir, su uso no es gratuito, hay quepagar para usarlo. El dinero cambia de valor con el tiempo por el fenmeno de lainflacin y por el proceso de devaluacin. El concepto del valor del dinero dio origen alinters. Adems, el concepto del valor del dinero en el tiempo, significa que sumas

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iguales de dinero no tendrn el mismo valor si se encuentran ubicadas en diferentestiempos, siempre y cuando la tasa de inters que las afecta sea diferente a cero

La inflacin es el fenmeno econmico que hace que el dinero todos los das pierdapoder adquisitivo o que se desvalorice. Por ejemplo, dentro de un ao se recibir losmismo $ 1.000 pero con un poder de compra menor de bienes y servicios. Desde unpunto de vista ms sencillo, con los $ 1.000 que se recibir dentro de un ao seadquirir una cantidad menor de bienes y servicios que la que se puede comprar hoy,porque la inflacin le ha quitado poder de compra al dinero.

1.9 INTERES

Cuando una persona utiliza un bien que no es de su propiedad; generalmente debapagar un dinero por el uso de ese bien; por ejemplo se paga un alquiler al habitar unapartamento o vivienda que no es de nuestra propiedad. De la misma manera cuandose pide prestado dinero se paga una renta por la utilizacin de eses dinero, En estecaso la renta recibe el nombre de inters o intereses.

En otras palabras se podra definir el inters, como la renta o los rditos que hay quepagar por el uso del dinero prestado. Tambin se puede decir que el inters es elrendimiento que se tiene al invertir en forma productiva el dinero, el inters tiene comosmbolo I. En concreto, el inters se puede mirar desde dos puntos de vista.

Como costo de capital: cuando se refiere al inters que se paga por el uso deldinero prestado.

Como rentabilidad o tasa de retorno: cuando se refiere al inters obtenido en unainversin.

Usualmente el inters se mide por el incremento entre la suma original invertida otomada en prstamo (P) y el monto o valor final acumulado o pagado.

De lo anterior se desprende que si hacemos un prstamo o una inversin de un capitalde $P, despus de un tiempo n se tendra una cantidad acumulada de $F, entonces sepuede representar el inters pagado u obtenido, mediante la expresin siguiente:

I = F P (1.1)

Pero tambin: PinI= (1.2)

Analizando la anterior frmula, se establece que el inters es una funcin directa detres variables: El capital inicial (P), la tasa de inters (i) y el tiempo (n). Entre mayor seaalguno de los tres, mayor sern los intereses.

Las razones a la existencia del inters se deben a:

El dueo del dinero (prestamista) al cederlo se descapitaliza perdiendo laoportunidad de realizar otras inversiones atractivas.

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Cuando se presta el dinero se corre el riesgo de no recuperarlo o perderlo, por lotanto, el riesgo se toma si existe una compensacin atractiva.

El dinero est sujeto a procesos inflacionarios y devaluatorios en cualquiereconoma, implicando prdida en el poder adquisitivo de compra.

Quien recibe el dinero en prstamo (prestatario) normalmente obtiene beneficios,por lo cual, es lgico que el propietario del dinero, participe de esas utilidades.

Existen dos tipos de inters, simple y compuesto, los cuales se estudiarnposteriormente.

Ejemplo 1.1

Se depositan en una institucin financiera la suma de $ 1.200.000 al cabo de 8 mesesse tiene un acumulado de $ 200.000, calcular el valor de los intereses.

200.000$1.200.0001.400.000PFI =-=-=

La variacin del dinero en $ 200.000 en los 8 meses, se llama valor del dinero en eltiempo y su medida, son los intereses producidos.

1.10 TASA DE INTERES

La tasa de inters mide el valor de los intereses en porcentaje para un perodo detiempo determinado. Es el valor que se fija en la unidad de tiempo a cada cienunidades monetarias ($100) que se invierten o se toman en calidad de prstamo, porejemplo, se dice.: 25% anual, 15% semestral, 9 % trimestral, 3% mensual.

Cuando se fija el 25% anual, significa que por cada cien pesos que se inviertan o seprestan se generaran de intereses $ 25 cada ao, si tasa de inters es 15% semestral,entones por cada cien pesos se recibirn o se pagaran $ 15 cada seis meses, si la tasaes 9% trimestral se recibirn o se pagaran $ 9 de manera trimestral, y si la tasa es del3% mensual, se recibirn o se pagaran $ 3 cada mes.

La tasa de inters puede depender de la oferta monetaria, las necesidades, la inflacin,las polticas del gobierno, etc. Es un indicador muy importante en la economa de unpas, porque le coloca valor al dinero en el tiempo.

Matemticamente la tasa de inters, se puede expresar como la relacin que se daentre lo que se recibe de inters (I) y la cantidad invertida o prestada, de la ecuacin(1.1), se obtiene:

PIi = (1.3)

La tasa de inters siempre se presenta en forma porcentual, as: 3% mensual, 15%semestral, 25% anual, pero cuando se usa en cualquier ecuacin matemtica se hacenecesario convertirla en nmero decimal, por ejemplo: 0,03, 0,15 y 0,25

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La unidad de tiempo generalmente usada para expresar las tasas de inters es el ao.Sin embargo, las tasas de inters se expresan tambin en unidades de tiempo menoresde un ao. Si a la tasa de inters, no se le especifica la unidad de tiempo, se suponeque se trata de una tasa anual.

Ejemplo 1.2

Una entidad le presta a una persona la suma de $ 2.000.000 y al cabo de un mes paga$ 2.050.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de inters pagada.

50.000$2.000.0002.050.000PFI =-=-=m2,5%m0.0252.000.000

50.000PIi ====

1.11 EQUIVALENCIA.

El concepto de equivalencia juega un papel importante en las matemticas financieras,ya que en la totalidad de los problemas financieros, lo que se busca es la equivalenciafinanciera o equilibrio los ingresos y egresos, cuando stos se dan en perodosdiferentes de tiempo. El problema fundamental, se traduce en la realizacin decomparaciones significativas y valederas entre varias alternativas de inversin, conrecursos econmicos diferentes distribuidos en distintos perodos, y es necesarioreducirlas a una misma ubicacin en el tiempo, lo cual slo se puede realizarcorrectamente con el buen uso del concepto de equivalencia, proveniente del valor deldinero en el tiempo.

El proceso de reduccin a una misma ubicacin en el tiempo, se denominatransformacin del dinero en el tiempo. Adems, la conjugacin del valor de dinero enel tiempo y la tasa de inters permite desarrollar el concepto de equivalencia, el cual,significa que diferentes sumas de dinero en tiempos diferentes pueden tener igual valoreconmico, es decir, el mismo valor adquisitivo.

Ejemplo 1.3

Si la tasa de inters es del 15%, $ 1.000 hoy es equivalente a $1.150 dentro de un ao,o a $ 869,56 un ao antes (1000/1.15).

El concepto de equivalencia, tambin se puede definir, como el proceso mediante elcual los dineros ubicados en diferentes periodos se trasladan a una fecha o periodocomn para poder compararlos.

Partiendo de la base que el dinero tiene valor en el tiempo, por consiguiente, esindispensable analizar la modalidad de inters aplicable y la ubicacin de los flujos decaja en el tiempo, por lo tanto, sin importar que existen mltiples desarrollos referente ala ubicacin, en este libro se tendr en cuenta la ubicacin puntual, la cual considerael dinero ubicado en posiciones de tiempo especifica; tiene dos modalidades.

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Convencin de fin periodo: valora los flujos de caja (ingresos y/o egresos) comoocurridos al final del periodo. Por ejemplo: Si durante el ao 2003, se obtuvieron $1.500 millones de ingresos y el periodo analizado es enero 1 de 2007 a diciembre 31de 2007, entonces, los ingresos se consideraran obtenidos el 31 de diciembre de2007.

Convencin de inicio de periodo: valora los flujos de caja (ingresos y/o egresos)como ocurridos al principio del periodo. En el ejemplo anterior los $ 1.500 millones deingresos se consideraran obtenidos el 1 de enero de 2007.

En este libro mientras no se indique lo contrario, siempre se trabajar con convencinde fin de periodo.

1.12 DIAGRAMA DE TIEMPO O FLUJO DE CAJA

El diagrama de tiempo, tambin es conocido con los nombres de diagrama econmicoo diagrama de flujo de caja. Es una de las herramientas ms tiles para la definicin,interpretacin y anlisis de los problemas financieros. Un diagrama de tiempo, es uneje horizontal que permite visualizar el comportamiento del dinero a medida quetranscurren los periodos de tiempo, perpendicular al eje horizontal se colocan flechasque representan las cantidades monetarias, que se han recibido o desembolsado(FLUJO DE FONDOS O DE EFECTIVO). Por convencin los ingresos se representancon flechas hacia arriba ( ) y los egresos con flechas hacia abajo ( ).

Al diagrama econmico o de tiempo, hay que indicarle la tasa de inters (efectiva operidica) que afecta los flujos de caja, la cual; debe ser concordante u homogneacon los periodos de tiempo que se estn manejando, es decir; si los periodos detiempos son mensuales, la tasa de inters debe ser mensual, si los periodos detiempos son trimestrales, la tasa de inters que se maneja debe ser trimestral; si losperiodos de tiempos son semestrales, la tasa de inters debe ser semestrales, y assucesivamente.

Un diagrama de tiempo tiene un principio y un fin, el principio es conocido como el hoy(ubicado en el cero del diagrama), y all se encontrar el presente del diagrama (PD),mientras que en el fin, se ubicar el futuro del diagrama econmico (FD) y laterminacin de la obligacin financiera. Hay que tener en cuenta, que un diagramaeconmico, contempla presentes y futuros intermedios, es decir, un periodo de tiempopuede ser el presente de uno o varios flujos de caja, o un periodo de tiempo podr serun futuro de uno o varios flujos de caja, todo depende entonces de la ubicacin delperiodo de tiempo versus la ubicacin de los flujos de caja.

Es importante anotar que en las matemticas financieras: Slo se permiten sumar,restar o comparar flujos de caja (ingresos y/o egresos) ubicados en los mismosperiodos del diagrama econmico.

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FD (MAANA)

0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

PD (HOY)

El diagrama de tiempo que se construya para un prestamista ser inverso al que seconstruya para el prestatario.

Ejemplo 1.4

Una persona recibe un prstamo el 1 de enero de 2006 de $ 2.000.000 y cancela el 31de diciembre del mismo ao la suma de $ 2.500.000. Construir el diagrama econmico.

a) Diagrama econmico - prestamista $ 2.500.000

Enero 1/2006 Diciembre 31/2006

$ 2.000.000

c) Diagrama econmico prestatario

$ 2.000.000

Enero 1/2006 Diciembre 31/2006

$ 2.500.000

Consideraciones

1) El momento en que el prestamista entrega el dinero, y el prestatario lo recibe seconoce con el nombre de presente o momento cero

2) El valor entregado inicialmente se denomina valor presente o simplemente P.3) El segmento de recta representa el tiempo de la operacin financiera (n)4) La suma entregada al final recibe el nombre de valor futuro o simplemente F.

Cuando una persona ahorra o deposita dinero en una institucin financiera quereconoce una tasa de inters, la relacin entre las partes se asimila al escenarioprestamista prestatario. Para este caso, el ahorrador o depositante asume el papel deprestamista y la institucin financiera ser el prestatario.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Una inversin realizada hoy por $ 1.200.000 genera al final de un ao la suma de $1.536.000. Se pide:a) La suma ganada por intereses. R/. $ 336.000b) La tasa de inters de la operacin financiera. R/. 28% anual

2) Cunto se debe invertir hoy para tener de un semestre la suma de $ 8.500.000 y seganen unos intereses de $ 480.000. Cul es la tasa de inters. R/. $ 8.020.000,5,985% semestral

3) Calcular el valor de los intereses generado por una inversin hoy de $ 10.000.000 alas siguientes tasas:a) 1.2% quincenal. R/. $ 120.000 quincenalesb) 2,5% mensual. R/. $ 250.000 mensualesc) 7% trimestral. R/. $ 700.000 trimestralesd) 10% cuatrimestral. R/. $ 1.000.000 cuatrimestrale) 15% semestral. R/. $ 1.500.000 semestral

4) Si usted invirti $ 1.500.000 durante un ao, al final del cual le entregaron $2.000.000. Cul fue su rentabilidad?. R/. 33,33% anual

5) A usted le concedieron un prstamo por la suma de $ 5.000.000 durante untrimestre, al final del cual debe pagar $ 5.600.000. Cul fue el costo del crdito?. R/12% trimestral

6) Una persona adquiere un equipo de sonido por la suma de $ 1.800.000 y lo cancelade la siguiente manera: 20% de cuota inicial y el resto en 4 cuotas trimestralesiguales de $ 420.000. Teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo, se puededecir que se pag por el equipo de sonido la suma de $ 2.040.000, si se cobra unatasa de inters del 6,5% trimestral?. R/. No, hay que considerar la tasa deinters que se aplic, elemento fundamental en el valor del dinero en eltiempo. Realmente el equipo de sonido a crdito sale por $ 2.174.400.

7) Un apartamento por valor de $ 60.000.000 se adquiere a crdito, y se deseacancelar en un ao con cuotas bimestrales iguales de $ 11.000.000. Construya eldiagrama econmico desde el punto de vista del comprador y del vendedor.

8) Se recibe un prstamo en una institucin bancaria por valor de $ 25.000.000 paracancelar dentro de dos aos, a una tasa de 10% cuatrimestral anticipada. Construyael diagrama econmico.

9) Un prstamo por $ 15.000.000 se paga con 4 cuotas trimestrales iguales mas losintereses. Si la tasa de inters es del 7% trimestral. Construya el diagramaeconmico.

10) Construya el diagrama econmico del ejercicio anterior, suponiendo que losintereses se cancelan de manera anticipada.

11) Roberto solicito prestado $ 6.300.000 para pagar en 4 meses. Si la tasa de interses del 30% anual simple, Qu cantidad debe pagar por concepto de intereses?.R/. $ 630.000

12) Pedro posee un capital de $ 3.200.000. Invierte 70% de su capital al 6,3% trimestraly el resto al 11,6% semestral. Cunto recibe cada mes de inters total?. R/. $65.600.

13) El seor Ricaurte compro un televisor en el almacn muebles para el hogar. Eltelevisor tena un valor de contado de $ 2.650.000, se dio una cuota inicial de $530.000 y firm un pagar a 31 das por la suma $ 2.247.800. Calcule la tasa de

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inters anual aplicada (Tome el ao de 360 das). R/. 0,19446% diario y 70,01%anual.

14) Una inversin de $ 14.400.000 gana $ 2.092.800 de inters en 8 meses. Calcule: a)La tasa de inters simple anual, b) La tasa efectiva del periodo. R/. 21,8 % anual,14,533% en 8 meses.

15) Cunto tiempo tardar un prstamo de $ 4.500.000 para producir $ 253.130 deinters simple, si la tasa de inters es de 45%?. R/. 0,1250025 aos.

16) En cunto tiempo se duplicar una cierta cantidad de dinero si se invierte al 40% deinters simple. R/. 2,5 aos.

17) Abigail invirti un total de $ 65.000.000 en dos bancos diferentes, En el BancoPopular invirti una parte de los $ 65.000.000 en una cuenta de ahorros que pagarendimientos liquidables al vencimiento a plazo de 91 das y a una tasa de intersdel 19,35%. En Davivienda invirti el resto con rendimientos liquidables alvencimiento de 91 das y una tasa de inters del 21,8%. Si al final del plazo, elinters total fue de $ 3.458.000, Cul fue la cantidad invertida en cada uno de losbancos?. Tome ao de 360 das. R/. $ 20.000.000 en el Banco Popular y $45.000.000 en Davivienda.

18) Cunto pagar un comerciante por un crdito que le concedi una fbrica dedulces y chocolates, al comprar por $ 3.500.000 a 25 das de plazo, si le cargan unatasa de inters del 3% mensual?. R/. $3.587.500

19) Un empleado obtiene un prstamo de su empresa por $ 4.200.000 para comprarelectrodomsticos y aceptar liquidar el prstamo dos aos despus. Existe elacuerdo que mientras exista la deuda, pagar intereses mensuales de 2,5%mensual. Cunto deber pagar de intereses cada mes?. R/. $ 105.000

20) Una persona compra a crdito una estufa que tiene un precio de contado de $1.765.000. Queda de acuerdo en dar una cuota inicial de $ 500.000 y pago final 3meses ms tarde. Si acepta pagar una tasa de inters del 42% sobre el saldo,Cunto deber pagar dentro de 3 meses?. R/. $ 1.397.825.

21) Una persona firma un pagar por una deuda que tiene por $ 7.498.000 a 4 mesesde plazo. Si la tasa de inters normal es de 2,8% mensual y la tasa de intersmoratorio es del 65%, calcule la cantidad total a pagar si el documento se cancelo25 das del vencimiento. R/. $ 8.676.227,39.

22) El seor Milton Garca firma un pagar por un prstamo de $ 7.000.000 a una tasade 45% a 90 das de plazo. Queda de acuerdo en pagar una tasa de intersmoratorio igual a 25% ms de la tasa normal. Calcule el inters moratorio y lacantidad total por pagar si el documento es liquidado 12 das despus de la fechade vencimiento. R/ $ 131.250 y $ 7.918.750.

23) Isabel invirti $ 5.500.000 en una institucin financiera a plazo de 28 das. Si alvencimiento recibi $ 5.620.000, a) qu rendimiento obtuvo?, b)qu tasa deinters anual gan?. R/ $ 120.000 y 31.42%.

24) Una computadora cuesta $ 3.250.000 de contado. Un estudiante est de acuerdode dar una cuota inicial del 25% del precio de contado y el resto a 90 das, con unrecargo del 15% sobre el precio de contado. Qu tasa de inters simple anualpaga el estudiante?. R/. 80% anual.

25) Luis consigue un prstamo por la suma de $ 7.500.000 a dos aos y medio de plazoy una tasa de inters simple de 2,6% mensual. Cunto pagar por concepto deintereses?Cunto pagar al final del plazo por el prstamo recibido?. R/. $5.850.000 y $ 13.350.000.

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26) Se solicita un prstamo por $ 7.000.000 al 9,5% trimestral de inters simple,cunto debe pagar por concepto de intereses al termino de 9 meses?Cul es elvalor del monto?. R/ $ 1.995.000 y $ 8.995.000.

27) Una persona obtiene un prstamo por $ 2.890.000 el 3 de febrero de 2007 ycancela el capital principal ms los intereses el 3 de julio de 2007. Obtenga losintereses y el monto, si la tasa de inters fue del 3% mensual. R/ $ 433.500 y $3.323.500

28) El inters ganado por un prstamo de $ 8.000.000, en un plazo de 7 meses, fue de$ 350.000. Calcule la tasa efectiva del periodo y la tasa de inters anual. R/. 4.38%y 7.5%.

29) Cristina solicita un prstamo por $ 6.000.000 para la compra de una impresora.Acuerda pagar $ 210.000 de intereses al cabo de 36 das. Qu tasa efectiva porperiodo paga por el prstamo?. R/. 3.5%.

30) Se puede comprar un computador porttil en $ 1.475.000 de contado o bien, en $1.567.187,5 a crdito con 5 meses de plazo. Si el dinero se puede invertir al 15%anual, Qu alternativa de pago resulta ms ventajosa para el comprador?. R/. Esindiferente comprar de comprado o a crdito.

31) Un horno de microondas cuesta $ 520.000 si se paga de contado y $ 560.000 si sepaga a los 4 meses. Si la persona un prstamo de $ 520.000 por 4 meses al 9%anual para comprar el horno y pagar de contado, le conviene?. R/. Si le convienesolicitar el prstamo.

32) Gloria desea invertir $ 20.000.000 en dos bancos, de manera que sus ingresostotales por concepto de intereses sean de $ 120.000 al mes. Un banco paga 7,32%y el otro ofrece 2,32% cuatrimestral. Cunto debe invertir en cada banco? R/. $13.333.333 y $ 6.666.667.

33) Un empresario tomo prestados a $ 20.000.000 a cuatro meses con un inters del2,5% mensual, pagaderos al vencimiento. En el contrato se estipula que en caso demora debe pagar el 3,2% mensual, sobre el saldo ya vencido. Qu suma tendr quepagar si cancela a los cuatro meses y 25 das?. R/. $ 22.586.666,67.

34) Un prstamo de $ 6.700.000 a un ao tiene un inters del 2,3% mensual los 6primeros meses y el 2,8% mensual los ltimos 6 meses; todos estos intereses serncancelados al vencimiento de la obligacin principal y no habr inters sobreintereses. Cul ser el total a pagar al ao. R/. $ 8.750.200.

35) Una persona tom prestados $ X al 25% anual y luego los invirti al 30% anual. Silas ganancias que obtuvo, en esta operacin fueron de $ 650.000 anuales, cuntohaba recibido en prstamo?. R/. $ 13.000.000.

36) Dos capitales, uno de $ 5.000.000 y otro de $ 2.500.000 rentan anualmente $1.500.000. Hallar los intereses anuales y las tasas de inters sabiendo que estas seencuentran en relacin de 2/4?. R/ $ 600.000, 12% anual y 24% anual.

37) Carmen y Roberto tienen entre los dos $ 22.000.000; Carmen tiene su capitalinvertido al 20% anual simple y Roberto lo tiene al 2,5% mensual simple. Si altrmino de cuatro aos, Roberto tiene $ 2.600.000 ms que Carmen, cul era elcapital inicial de cada uno. R/. Carmen: $ 11.450.000 y Roberto: $ 10.550.000.

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CAPITULO No 2. INTERES SIMPLE

OBJETIVOS

Al finalizar el estudio del presente captulo, el lector ser capaz de:

1) Explicar los conceptos de inters simple, monto o valor futuro, valor presenteo valor actual, tiempo.

2) Explicar y distinguir la diferencia entre descuento comercial o bancario,descuento racional o matemtico.

3) Plantear y resolver ejercicios relacionados con el clculo del valor futuro,valor presente, tiempo tasa de inters y los diferentes tipos de descuento.

4) Plantear y resolver ejercicios relacionados con las ecuaciones de valor ainters simple.

TEMARIO

2.1 Introduccin2.2 Definicin del inters simple2.3 Clases de intereses Simple2.4 Desventajas del inters simple2.5 Tablas de Das2.6 Monto o valor futuro a inters simple2.7 Valor presente o actual a inters simple2.8 Clculo de la tasa de inters simple2.9 Clculo del tiempo2.10 Descuentos2.10.1 Descuento comercial o bancario2.10.2 Descuento real o justo2.10.3 Descuento racional o matemtico2.11 Ecuaciones de valor

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2.1 INTRODUCCION

Es importante anotar que en realidad, desde el punto de vista terico existen dos tiposde inters el Simple y el compuesto. Pero dentro del contexto prctico el interscompuesto, es el que se usa en todas las actividades econmicas, comerciales yfinancieras. El inters simple, por no capitalizar intereses resulta siempre menor alinters compuesto, puesto que la base para su clculo permanece constante en eltiempo, a diferencia del inters compuesto. El inters simple es utilizado por el sistemafinanciero informal, por los prestamistas particulares y prendarios. En este captulo, sedesarrollaran los conceptos bsicos del inters simple.

2.2 DEFINICION DEL INTERES SIMPLE

Es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado oinvertido no vara y por la misma razn la cantidad recibida por inters siempre va a serla misma, es decir, no hay capitalizacin de los intereses.

La falta de capitalizacin de los intereses implica que con el tiempo se perdera poderadquisitivo y al final de la operacin financiera se obtendra una suma total noequivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no ser representativo delcapital principal o inicial. El inters a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar deuna inversin, depende de la cantidad tomada en prstamo o invertida y del tiempo quedure el prstamo o la inversin, el inters simple vara en forma proporcional al capital(P) y al tiempo (n). El inters simple, se puede calcular con la siguiente relacin:

I = P*i*n (2.1)

En concreto, de la expresin se deduce que el inters depende de tres elementosbsicos: El capital inicial (P), la tasa de inters (i) y el tiempo (n).

En la ecuacin (2.1) se deben tener en cuenta dos aspectos bsicos:

a) La tasa de inters se debe usar en tanto por uno y/o en forma decimal; es decir,sin el smbolo de porcentaje.

b) La tasa de inters y el tiempo se deben expresar en las mismas unidades detiempo. Si la unidad de tiempo de la tasa de inters no coincide con la unidad detiempo del plazo, entonces la tasa de inters, o el plazo, tiene que ser convertidopara que su unidad de tiempo coincida con la del otro. Por ejemplo, si en unproblema especfico el tiempo se expresa en trimestres, la tasa de intersdeber usarse en forma trimestral. Recuerde que si en la tasa de inters no seespecfica la unidad de tiempo, entonces se trata de una tasa de inters anual.

Ejemplo 2.1

Si se depositan en una cuenta de ahorros $ 5.000.000 y la corporacin paga el 3%mensual. Cul es el pago mensual por inters?

P = $ 5.000.000n = 1 mes

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i = 3%/mes

I = P*i*n ; I = 5.000.000 * 1 * 0.03 = $ 150.000/ mes

El depositante recibir cada mes $ 150.000 por inters.

2.3 CLASES DE INTERES SIMPLE

El inters se llama ordinario cuando se usa para su clculo 360 das al ao, mientrasque ser exacto si se emplean 365 o 366 das. En realidad, se puede afirmar queexisten cuatro clases de inters simple, dependiendo si para el clculo se usen 30 dasal mes, o los das que seale el calendario. Con el siguiente ejemplo, se da claridad alo expuesto con anterioridad.

Ejemplo 2.2

Una persona recibe un prstamo por la suma de $ 200.000 para el mes de marzo, secobra una tasa de inters de 20% anual simple. Calcular el inters (I), para cada unade las clases de inters simple.

Solucin:

a) Inters ordinario con tiempo exacto. En este caso se supone un ao de 360 dasy se toman los das que realmente tiene el mes segn el calendario. Este inters, seconoce con el nombre de inters bancario; es un inters ms costoso y el que msse utiliza.

$3.444.4436031x0.20200.000xpinI ===

b) Inters ordinario con tiempo aproximado. En este caso se supone un ao de 360das y 30 das al mes. Se conoce con el nombre de inters comercial, se usa confrecuencia por facilitarse los clculos manuales por la posibilidad de hacersimplificaciones

3.333,33$36030x0.20x200.000pinI ===

c) Inters exacto con tiempo exacto. En este caso se utilizan 365 o 366 das al aoy mes segn calendario. Este inters, se conoce comnmente con el nombre deinters racional, exacto o real, mientras que las otras clases de inters producen unerror debido a las aproximaciones; el inters racional arroja un resultado exacto, locual es importante, cuando se hacen clculos sobre capitales grandes, porque lasdiferencias sern significativas cuando se usa otra clase de inters diferente alracional. Lo importante, es realizar clculos de intereses que no perjudiquen alprestamista o al prestatario.

3.397,26$36531x0.20x200.000pinI ===

32

d) Inters exacto con tiempo aproximado. Para el clculo de ste inters se usa 365o 366 das al ao y 30 das al mes. No se le conoce nombre, existe tericamente,no tiene utilizacin y es el ms barato de todos.

13.287,7$36530x0.20x200.000pinI ===

Ejemplo 2.3

Calcular el inters comercial y real de un prstamo por $ 150.000 al 30% por 70das

Solucin

a) Inters comercial. 8.750$36070x0.30x150.000pinI ===

b) Inters real o exacto

8.630,14$36570x0.30x150.000pinI ===

Se observa que el inters comercial resulta ms elevado que el inters real para elmismo capital, tasa de inters y tiempo. Esta ganancia adicional hace que el aocomercial sea muy utilizado en el sector financiero y en el sector comercial que vende acrdito. Hay que recordar y dejar claro, que cuando el tiempo en un prstamo estadado en das, es indispensable convertir la tasa de inters anual a una tasa de interspor da. Cuando la tasa anual se convierte a tasa diaria usando el ao de 365 das o366 si es bisiesto como divisor en la frmula del inters simple o del monto, el intersobtenido se llama inters real o inters exacto. El ao de 365 das o 366 se conocecomo ao natural.

Cuando se lleva a cabo la conversin usando como divisor 360 das, se dice que seest usando el ao comercial. En este caso, el inters obtenido se llama interscomercial o inters ordinario.

Si un problema no menciona de forma explcita cul tipo de inters debe calcularse,entonces se supone que se trata del clculo de un inters comercial.

2.4 DESVENTAJAS DEL INTERES SIMPLE

Se puede sealar tres desventajas bsicas del inters simple:

a) Su aplicacin en el mundo de las finanzas es limitadob) No tiene o no considera el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente el valor

final no es representativo del valor inicial.c) No capitaliza los intereses no pagados en los perodos anteriores y, por

consiguiente, pierden poder adquisitivo.

33

2.5 TABLA DE DIAS

Para realizar los clculos de manera correcta, es necesario conocer el manejo de latabla de das, para determinar en forma exacta los das que transcurren entre unafecha y otra, lo cual, es importante para el inters bancario y el racional La construccinde la tabla consiste en asignarle a cada da del ao un nmero en forma consecutiva;esta asignacin va desde el nmero 1, que corresponde al primero de enero, hasta elnmero 365, que corresponde al 31 de diciembre. Cuando el ao es bisiesto, hay queadicionar un da, a partir del primero de marzo, por lo cual, el 31 de diciembre sera elda 366. Para facilitar la identificacin de las fechas, se seguir el siguiente formato: losprimeros dos dgitos indicaran los das, y variaran entre 01 y 31, los dos dgitossiguientes indicaran el mes, y variaran entre 01 y 12, y los ltimos cuatros dgitosindicaran el ao. Por ejemplo, el 14 de abril de 2004, se podr expresar de la siguientemanera: 14-04-2004. La tabla de das se muestra a continuacin:

DIA ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC DIA 1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9 10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12 13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13 14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14 15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15 16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16 17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17 18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18 19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19 20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20 21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21 22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22 23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23 24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24 25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25 26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26 27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27 28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28 29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29 30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30 31 31 90 151 212 243 304 365 31Nota: Cuando el ao es bisiesto, a partir del primero de marzo se adiciona un da.

34

Ejemplo 2.4

Calcule los das transcurridos entre el 5 de abril de 2003 y 28 de diciembre del mismoao.

Solucin

Segn la tabla, los das transcurridos entre el inicio del ao y el 5 de abril son 95,mientras; los das entre el inicio del ao y el 28 de diciembre son 362, por lo tanto, pordiferencia 362 95 = 267 das.

0 04-05 12-28

El clculo realizado anteriormente, se refiere al ao real o exacto, si desea calcular losdas con base al ao comercial (360 das, es decir, meses de 30 das), siga el siguienteprocedimiento.

Ao Mes Da

Fecha actual: 2003 12 28 (-) Fecha inicial : 2003 04 05

0 8 23

Son 8 meses y 23 das: 8x30 + 23 = 263 das

Ejemplo 2.5

Hallar los das transcurridos, entre el 20 mayo de 2001 y 25 de noviembre de 2002.

Solucin

Teniendo en cuenta que la tabla est diseada para un ao, se debe calcular, porseparado los das que hay en cada ao y luego sumarlos. Los das transcurridos entreel inicio del ao 2001 y el 20 de mayo de 2001, son 140, por lo tanto, los das que hayentre el 20 de mayo de 2001 y el 31 de diciembre del mismo son: 365-140 = 225,mientras los das transcurridos entre el inicio del ao 2002 y el 25 de noviembre de2002, segn la tabla son 329. Entonces, los das transcurridos entre el 20 mayo de2001 y 25 de noviembre de 2002, son: 225 + 329 = 554 das

20-05-2001 31-12-2001 25-11-2002

Ahora si el ao se toma de 360 das, se obtendr como respuesta 545 das.

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Ao Mes Da

Fecha actual: 2002 11 25 (-) Fecha inicial: 2001 05 20

1 6 5

Son 1 ao, 6 meses y 5 das: 1x360 + 6x30 + 5 = 545 das

2.6 MONTO O VALOR FUTURO A INTERES SIMPLE

A la suma del capital inicial, ms el inters simple ganado se le llama monto o valorfuturo simple, y se simboliza mediante la letra F. Por consiguiente,

IPF += (2.2) Al reemplazar la ecuacin (2.1) en la (2.2), se tiene, ( )in1PPinPF +=+= (2.3)Las ecuaciones (2.2) y (2.3) indican que si un capital se presta o invierte durante untiempo n, a una tasa de simple i% por unidad de tiempo, entonces el capital P setransforma en una cantidad F al final del tiempo n. Debido a esto, se dice que el dinerotiene un valor que depende del tiempo.

El uso de la ecuacin (2.3), requiere que la tasa de inters (i) y el nmero de perodos(n) se expresen en la misma unidad de tiempo, es decir; que al plantearse el problema

Ejemplo 2.6

Hallar el monto de una inversin de $ 200.000, en 5 aos, al 25% EA.

Solucin F = ?

i = 25% 0 5 aos

$ 200.000

( ) ( ) 450.000$5x0,251200.000in1PF =+=+=2.7 VALOR PRESENTE O ACTUAL A INTERES SIMPLE

Se sabe que: ( )in1PF += , y multiplicando a ambos lados por el inverso de (1 + in),se tiene que

( )in1FP += (2.4)

36

Ejemplo 2.7

Dentro de dos aos y medio se desean acumular la suma de $ 3.500.000 a una tasadel 2.8% mensual, Cul es el valor inicial de la inversin?

Solucin:F = $ 3.500.000

0 i = 2,8% m 30 meses

P = ?

911.902.173,$30)x0,028(13.500.000

in)(1FP =+=+=

De acuerdo al clculo anterior, el valor presente, simbolizado por P, de un monto ovalor futuro F que vence en una fecha futura, es la cantidad de dinero que, invertidahoy a una tasa de inters dada producir el monto F. Encontrar el valor presenteequivale a responder la pregunta: Qu capital, invertido hoy a una tasa dada, por unperodo determinado, producir un monto dado?. En caso de una obligacin elcontexto, es exactamente el mismo, la pregunta sera: Qu capital, prestado hoy auna tasa dada, por un perodo determinado, producir un monto futuro a pagar?

Ejemplo 2.8

Hallar el valor presente de $ 800.000 en 4 aos y medio, al 3% mensual.

Solucin:

a) De forma mensual

n = 4.5x12 = 54 meses F = $ 800.000

i = 3% m 0 54 meses

P = ?

305.343.510,03x54)(1800.000

in)(1FP =+=+=

b) De forma anual

i = 0,03 x 12 = 36% anual

37

F = $ 800.000 i = 36% anual

0 4,5 aos

P = ?

305.343.510,36x4,5)(1800.000

in)(1FP =+=+=

2.8 CALCULO DE LA TASA DE INTERES SIMPLE

Partiendo que: in)P(1F += , multiplicando a ambos lados por el inverso de P yrestando uno a ambos lado de la ecuacin se obtiene: in1P

F =- , si luego se multiplicalos dos trminos de la ecuacin por el inverso de n, resulta:

n

1PF

i

-

= (2.5)

Ejemplo 2.9

Una persona le prest a un amigo la suma de $ 2.000.000 y paga despus de 8 mesesla suma de $ 2.400.000 Qu tasa de inters mensual simple le cobraron?.

Solucin $ 2.400.000

i = ? m 0 8 meses

$ 2.000.000

m2,5%m0.0258

12.000.0002.400.000

n

1PF

i ==-

=-

=

2.9 CALCULO DEL TIEMPO (n)

Partiendo que: in)P(1F += , multiplicando a ambos lados por el inverso de P yrestando uno a ambos lado de la ecuacin se obtiene: in1P

F =- , si luego se multiplicalos dos trminos de la ecuacin por el inverso de i, resulta:

38

i

1PF

n

-

= (2.6)

Ejemplo 2.10

En cunto tiempo se duplica un capital invertido al 20% de inters anual simple?.

Solucin:

$ 2 i = 20% anual 0 n aos

$ 1

aos50,20

112

i

1PF

n =-

=-

=

Ejemplo 2.11

En cunto tiempo se acumularan $ 8.000.000 si se depositan hoy $ 2.500.000 en unfondo que paga al 3% simple mensual?.

Solucin:

$ 8.000.000i = 3% m

0 n meses

$ 2.500.000

meses73,30,03

12.500.0008.000.000

i

1PF

n =-

=-

=

2.10 DESCUENTO

El descuento es una operacin de crdito que se realiza normalmente en el sectorbancario, y consiste en que los bancos reciben documentos negociables comocheques, letras de cambio, pagares, de cuyo valor nominal descuentan una cantidadequivalente a los intereses que devengara el documento entre la fecha en que se

39

recibe y la fecha del vencimiento. Con este procedimiento se anticipa el valor actual deldocumento. Existen dos tipos de descuento en el inters simple:a) El descuento comercial o bancariob) El descuento real o justoc) El descuento racional o matemtico

En el inters compuesto, existe el descuento compuesto

2.10.1 Descuento comercial o bancario

Es el que se aplica sobre el valor nominal del documento (F). Puede decirse que es elinters simple del valor nominal. En el descuento comercial o bancario, el inters secobra por adelantado, en lugar de cobrarlo hasta la fecha de vencimiento. Los interesescobrados anticipadamente se llaman descuento. Por definicin se tiene:

dnnVinnVD == (2.7)

D = Descuento comercial o intereses cobrados anticipadamente (Es la cantidaddesconocida)

nV = Es el valor que se encuentra escrito en el documento (valor nominal) y queslo es exigible al vencimiento; si el documento gana intereses, el valor nominalser el monto o valor futuro.d = Es el tipo de inters que se aplica para descontar un documento (tasa dedescuento).n = Es el nmero de perodos que an le falta al documento para vencer, es decir, eltiempo que transcurre, entre la fecha de negociacin (venta) y la fecha de vencimiento.

El valor presente o valor de la transaccin, siempre ser igual a la diferencia del valornominal ( nV ) y el descuento (D), y es la cantidad de dinero que recibe realmente lapersona que negocia el documento.

dn)(1nVdnnVnVDnVTV -=-=-= (2.8)

TV , se conoce como valor efectivo del documento

Ejemplo 2.12

El descuento comercial simple al 7% anual durante 6 meses alcanza la suma de $350.000. Calcular el valor efectivo y nominal de la operacin.

Solucin:

Tenga en cuenta que seis (6) meses, equivalen a 0,5 aos.

40

El valor nominal se determina as: 10.000.000$0,5)*(0,07350.000

dnD

nV ===

El valor efectivo se calcula de la siguiente manera:

9.650.000$0,5)*0,07-(110.000.000dn)(1nVTV ==-=

Ejemplo 2.13

Calcular el valor presente o de la transaccin de un documento de $ 80.000 que esfechado el 25 de noviembre de 2002, con un plazo de 90 das e intereses del 20% yque va ser descontado el 6 de enero del siguiente ao, al 30%.

Solucin:

Mediante la frmula ( )in1PF += , se calcular el valor final del documento84.000$)360

900.20x(180.000nVF =+==

Enseguida se procede al clculo del descuento:

3.360$360480x84.000x0.3dnnVD ===

Finalmente el valor de la transaccin o presente ser:

80.640$3.36084.000DnVTV =-=-=

Ejemplo 2.14

Una letra de $ 500.000 es cancelada 4 meses antes de vencerse. Si el descuento esdel 2,5% mensual, en forma comercial, con cunto se paga?

Solucin:

450.000$0,025x4)(1500.000dn)(1nVTV =-=-=

Ejemplo 2.15

Una letra de $ 250.000 se descont al 3% mensual, en forma comercial, arrojando unvalor efectivo de $ 190.000, cunto le faltaba para vencerse?.

41

Solucin:

dn)(1nVTV -= ; 0,03n)(1250.000190.000 -=

0,03n1250.000190.000 -= ; 0,03n10,76 -= ; meses8n=

Ejemplo 2.16

Una letra de $ 250.000 ganaba una tasa de inters i mensual simple por un ao; seismeses antes de vencerse fue descontada en una institucin financiera a una dmensual, en forma comercial, y se recibi por ella $ 247.210, habiendo cobrado elbanco $ 47.790 por el descuento. Se pide: Qu tasa de inters ganaba la letra y a qutasa fue descontada por el banco?.

Solucin:

a) Determinacin del valor de vencimiento o nominal del documento

DnVTV -= ; Por consiguiente:295.000$47.790247.210DTVnV =+=+=

Entonces $ 295.000 es el monto de $ 250.000 a una tasa i mensual por 12meses

b) Clculo de la tasa de inters que ganaba la letra

in)(1PF += ; 12i)(1250.000295.000 += ; 12i1250.000295.000 +=

Donde: 1,5%i= mensual simple

c) La tasa de descuento, aplicada por la institucin financiera se calcula as:

dnnVD= ; Entonces: (6d)295.00047.790 = ; donde: 295000x647.790d=

Por consiguiente: 2,7%d= mensual simple

Es importante anotar que este tipo de descuento se puede aplicar en operacionescomerciales a corto plazo, porque si ste es muy extenso el descuento puede alcanzartodo el valor del documento y entones no tendra sentido la operacin de descuento

2.10.2 Descuento real o justo

A diferencia del descuento comercial, el descuento real o justo se calcula sobre el valorreal que se anticipa, y no sobre el valor nominal. Se simboliza con Dr.

42

El descuento real, se puede determinar con la siguiente expresin: PnVrD -= (2.9); donde: ( )in1

FP +=

Ejemplo 2.17

El valor nominal de un documento es $ 2.185.000, si se descuenta 2 meses antes desu vencimiento a una tasa del 20%, encontrar el descuento comercial y el real.

Solucin:

El descuento comercial seria:

72.833,33$(2/12)*0,20*2.185.000dnnVD ===

El valor comercial del documento es:

672.112.177,$72.833,332.185.000DnVTV =-=-=

Para determinar el descuento real, se calcula el valor que se anticipa, es decir, seencuentra el valor presente a partir del valor nominal del documento, por lo cual, seutiliza la siguiente frmula:

132.114.516,$)

122x0,2(1

2.185.000in)(1

FP =+

=+=

El descuento real seria: 70.483,87$132.114.516,2.185.000PnVrD =-=-= ,es inferior al descuento comercial.

2.10. 3 Descuento Racional o matemtico

El descuento racional, es aquel que se determina sobre el valor efectivo de undocumento.

dnTVracionalDescuentorD == (2.10)

Se tiene que: dnTVnVrDnVTV -=-= ; por consiguiente :dn)(1TVdnTVTVnV +=+= ; de donde

dn)(1nV

TV += (2.11) ; al reemplazar (2.11) en (2.10) se tendr:

43

dndn)(1nV

rD

+= (2.12)

Como dnnVD= ; se obtiene : dn)(1D

rD

+= (2.13)

Ejemplo 2.18

El descuento racional al 7% anual durante 6 meses alcanza la suma de $ 350.000.Calcular el valor efectivo y nominal de la operacin.

Solucin:

Se debe tener en cuenta que seis (6) meses, equivalen a 0,5 aos.

dnTVracionalDescuentorD == , por consiguiente:

10.000.0000,5)*(0,07

350.000dn

rDTV ===

El valor efectivo de la operacin es $ 10.000.000

El valor nominal se determina as:

10.350.000$0,5)*0,07(110.000.000dn)(1TVnV =+=+=

Ejemplo 2.19

Si el descuento racional alcanza la suma de $ 350.000 y la diferencia con el descuentocomercial es de 12.500, calcular la duracin de la operacin, si el descuento es del 7%.

Solucin:

Se tiene que:dn)(1

DrD

+= : por consiguiente : Ddn)(1rD =+ ; de donde :

aos0,50,07*350.000

350.000362.250drD

rD-Dn =-==

Ejemplo 2.20

Encontrar el descuento comercial que corresponde a un descuento racional 350.000,con una duracin de seis (6) meses y un descuento de 7%.

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Solucin:

Hay que tener en cuenta que seis (6) meses, equivalen a 0,5 aos, por lo tanto, setiene:

362.250$0,5)*0,07350.000(1dn)(1rDD =+=+=

2.11 ECUACIONES DE VALOR

En el contexto financiero, frecuentemente una obligacin financiera que se pactinicialmente cancelar de una manera especfica o determinada, se procede medianteacuerdo entre las partes (prestamistas y prestatarios), a cambiar la forma decancelacin mediante el pago de una o varias cuotas, operacin que recibe el nombrede refinanciacin de deudas, pero teniendo en cuenta que en una economa en dondeel poder adquisitivo de la moneda cambia a travs del tiempo, es necesario para darsolucin a ste problema, utilizar las ecuaciones de valor.

Las ecuaciones de valor son tambin conocidas con el nombre de teoremafundamental de las matemticas financieras, por lo cual, permiten resolver de manerafcil cualquier problema de las matemticas financieras.

Las ecuaciones de valor, no son ms que igualdades de valor referenciadas a unafecha determinada o especfica, denominada fecha focal y se simboliza por ff y en eldiagrama econmico se representa a travs de una lnea de trazos. En la fecha focal seigualan los flujos de caja para hacer la comparacin y en ella, se comparan losingresos con los egresos, las deudas con los pagos, los activos con los pasivos y elpatrimonio, los flujos de caja que estn arriba del diagrama con los que estn abajo.Por lo tanto, se podra expresar de la siguiente manera:

(1) S Ingresos = S Egresos [en la ff](2) S Deudas = S Pagos [en la ff](3) S Activos = S (Pasivo + capital) [en la ff](4) S Arriba = S Abajo [en la ff]

Hay que anotar que la convencin que se adopta para llevar al diagrama econmico losingresos, deudas y activos son flechas hacia arriba ( ), mientras; mientras que losegresos, pagos, pasivos y capital, se representan con flechas hacia abajo ( ). Laanterior convencin, es importante porque le permite al lector leer y comprender msfcilmente el diagrama econmico.Para resolver los problemas lo primero que debe hacerse es determinar la fecha focalen la cual se van a comparar los flujos de caja, y adems, hay que tener en cuenta queen el caso del inters compuesto, dos flujos de caja equivalente en una fecha lo sernen cualquier otra y, por lo tanto, se puede seleccionar cualquier fecha para llevar acabo la comparacin y encontrar lo que se est preguntando.

El traslado de los flujos de caja (ingresos o desembolsos) a la fecha focal, se harusando las frmulas del valor presente o val