Ñ ISO/IEC GUIDE 98-3:2008, Guide to the Expression of ...

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신광사

G K

신광사

G K

측정불확도표현지침ISO/IEC GUIDE 98-3:2008,Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement(GUM:1995)

2010

KRISS/SP--2010-105

측정불확도표현지침

()

2010

GUM

GUIDE 98-3

측정불확도

제3부:측정불확도 표현 지침(GUM:1995)

Uncertainty of measurement -

Part 3:Guide to the expression ofuncertainty in measurement(GUM:1995)

ISO/IEC GUIDE 98-3:2008 측정불확도 표현 지침

iii

발 간 사

측정불확도란 측정결과의 신뢰도를 나타내는 정량적 지표로서 불확도가 표시되지 않은 측정결과는 신뢰할 수 없기

때문에 완전한 측정결과라고 할 수 없음도 이제는 널리 인식되고 있습니다.

아시다시피 측정불확도의 중요성에 대한 인식이 확산되면서 측정불확도를 평가하고 표현하는 방법을 전세계적으로

통일시키기 위해 국제도량형국(BIPM)이 측정학 관련 국제기구와 합동으로 “측정불확도 표현 지침(GUM: Guide to the

Expression of Uncertainty in Measurement)”을 1993년도(1995년도에 수정본)에 발간한 바 있습니다. 이 지침서는

1981년 국제도량형위원회(CIPM)가 승인한 “실험불확도의 표현”을 산업이나 상업적 분야에까지 확대하여 적용시키기

위한 것으로, 현재는 불확도 평가의 가장 적절한 접근방법으로 평가받고 있기 때문에 세계적으로 널리 채택되어 모든

나라가 이에 따르고 있는 것이 현실입니다. 이를 기반으로 이 지침서는 ISO/IEC 국제문서(ISO/IEC Guide 98-3:2008)

로 같은 내용으로 다시 발간되게 되었습니다.

본 지침서는 1998년에 KRISS에서 한국어판으로 제공한 바 있지만, 이는 완역하기보다는 일부 내용에 대해서는 번

역이 생략되고 일부 사례가 추가된 번안본이었습니다.

그러나 이 지침서는 원론적인 부분이 많고 이해하기 쉽지 않아 그 동안 측정현장에서 폭넓게 사용되지 못한 것이

사실이어서, 지침서의 번역본에 기초하여 측정분야별로 알기 쉽게 실무에 바로 적용할 수 있는 사례개발 등이 이루어

져 보급되기도 하였습니다.

이제 측정불확도 평가에 대한 이해의 폭이 어느 정도 넓어지게 되고, 국제문서로 재발간된 지침서(ISO/IEC Guide

98-3:2008)에 대해 완전한 내용의 한국어판으로 제공할 필요가 있다고 판단되어, 우리 연구원의 불확도위원회가 중심

이 되어 한국어판으로 내놓게 되었습니다.

본 지침서는 KS로 부합화되어 발간될 예정이므로 KRISS 구성원들만이 참고하는데 한정할 것입니다. 측정분야 전문

가인 여러분들에게 도움이 되기를 기대하며, 그 동안 수고하여 주신 KRISS 불확도위원회 위원들에게 감사드립니다.

2011년 1월

한국표준과학연구원장

김 명 수


iv

목 차

발간사 ··············································································································································································· iii

서 언 ················································································································································································· vi

머리말 ·············································································································································································· vii

0 서문 ····································································································································································· viii

1 범위 ····································································································································································· 1

2 정의 ····································································································································································· 2

2.1 일반 측정학 용어 ··············································································································································· 2

2.2 “불확도”라는 용어 ··············································································································································· 2

2.3 본 지침서에 한정된 용어 ··································································································································· 3

3 기본 개념 ···························································································································································· 4

3.1 측정 ····································································································································································· 4

3.2 오차, 효과 및 보정 ············································································································································ 5

3.3 불확도 ·································································································································································· 5

3.4 실제 고려사항 ····················································································································································· 7

4 표준불확도 평가 ················································································································································· 8

4.1 측정모델의 설정 ················································································································································· 8

4.2 표준불확도의 A형 평가 ······································································································································ 9

4.3 표준불확도의 B형 평가 ····································································································································· 11

4.4 표준불확도 평가의 그림 설명 ··························································································································· 14

5 합성표준불확도 결정 ·········································································································································· 18

5.1 상관관계가 없는 입력량 ···································································································································· 18

5.2 상관관계가 있는 입력량 ···································································································································· 20

6 확장불확도의 결정 ·············································································································································· 23

6.1 서론 ····································································································································································· 23

6.2 확장불확도 ·························································································································································· 23

6.3 포함인자 선택 ····················································································································································· 23

7 불확도 보고 ························································································································································ 24

7.1 일반지침 ······························································································································································ 24

7.2 특별지침 ······························································································································································ 25

8 불확도 평가와 표현 절차의 요약 ······················································································································ 27

부록 A WG과 CIPM의 권고사항 ··································································································································· 28

A.1 권고사항 INC-1(1980) ········································································································································ 28

A.2 권고사항 1(CI-1981) ·········································································································································· 29

A.3 권고사항 2(CI-1986) ·········································································································································· 29


v

부록 B 일반 측정학 용어 ············································································································································· 31

B.1 정의의 근거 ······················································································································································ 31

B.2 정의 ··································································································································································· 31

부록 C 기초 통계용어와 개념 ······································································································································ 38

C.1 정의의 근거 ······················································································································································ 38

C.2 정의 ··································································································································································· 38

C.3 용어와 개념에 대한 상세설명 ························································································································· 44

부록 D “참값”, 오차 및 불확도 ···································································································································· 48

D.1 측정량 ································································································································································ 48

D.2 구현량 ································································································································································ 48

D.3 참값과 보정값 ··················································································································································· 48

D.4 오차 ··································································································································································· 49

D.5 불확도 ································································································································································ 49

D.6 도해 설명 ·························································································································································· 50

부록 E 권고사항 INC-1(1980)의 동기와 근거 ············································································································ 53

E.1 “안전”, “우연” 및 “계통” ·································································································································· 53

E.2 현실성 있는 불확도 평가의 타당성 ················································································································ 53

E.3 모든 불확도 성분을 동일하게 취급하기 위한 타당성 ··················································································· 54

E.4 불확도 척도로서의 표준편차 ··························································································································· 57

E.5 불확도에 대한 두 가지 관점의 비교 ·············································································································· 58

부록 F 불확도 성분 평가에 대한 실무 지침 ·············································································································· 60

F.1 반복관측으로 평가되는 성분: 표준불확도의 A형 평가 ················································································· 60

F.2 다른 방법으로 평가되는 성분: 표준불확도의 B형 평가 ··············································································· 63

부록 G 자유도와 신뢰의 수준 ······································································································································ 69

G.1 서론 ··································································································································································· 69

G.2 중심극한정리 ····················································································································································· 70

G.3 분포와 자유도 ················································································································································· 70

G.4 유효자유도 ························································································································································ 72

G.5 기타 고려사항 ··················································································································································· 74

G.6 요약 및 결론 ···················································································································································· 75

부록 H 평가 예제 ·························································································································································· 78

H.1 게이지 블록의 교정 ·········································································································································· 78

H.2 전기저항과 리액턴스의 동시측정 ···················································································································· 84

H.3 온도계 교정 ······················································································································································ 88

H.4 방사능 측정 ······················································································································································ 92

H.5 분산분석 ···························································································································································· 97

H.6 기준 스케일에 의한 측정: 경도 ······················································································································ 102

부록 J 주요 기호 해설 ················································································································································· 107

참고문헌 ·········································································································································································· 111

색인 ················································································································································································· 113


vi

본 지침서는 대부분의 측정에 적용될 수 있는 측정불확도 평가와 표현을 위한 일반원칙을 확립한다. 본 지침서 제정의

토대가 된 것은 국제도량형위원회(CIPM)의 권고사항 1(CI-1981)과 불확도 표현법에 관한 작업반(WG)의 권고사항

INC-1(1980)이다. 작업반은 CIPM의 요청에 따라 국제도량형국(BIPM)이 소집하였다. CIPM의 권고사항은 측정의 불확

도 표현과 관련하여 정부간 기구가 채택한 유일한 권고사항이다.

본 지침서는 BIPM, IEC, ISO 및 OIML이 지명한 전문가로 구성된 합동작업반이 마련하였다.

다음 7개 기구**는 본 지침서의 개발을 지원하였으며 본 지침서는 이 기구들의 이름으로 발행되었다.

국제도량형국(BIPM): Bureau International des Poids et Mesures

국제전기기술위원회(IEC): International Electrotechnical Commission

국제임상화학진단검사의학연합(IFCC): International Federation of Clinical Chemistry****

국제표준화기구(ISO): International Organization for Standardization

국제순수응용화학연맹(IUPAC): International Union of Pure and Applied Chemistry****

국제순수응용물리연맹(IUPAP): International Union of Pure and Applied Physics****

국제법정계량기구(OIML): International Organization of Legal Metrology

본 지침서의 사용자는 설명요청이나 의견을 7개의 기구 중 어디에나 보낼 수 있으며, 7개 기구의 주소는 표지 안쪽에

명기되어 있다***.***

주 본 지침서에서 사용된 측정학 용어는 국제 측정학 용어집(VIM) 제2판에 기준하고 있으므로, VIM 제3판의 측정학 용어가 반영

되지 않았음을 밝혀둔다.

* 2008년판의 각주

최초 7개 국제기구에서 2005년에 국제시험소인정협의체(ILAC)가 공식적으로 추가 가입하였다.

** 2008년판의 각주

이 3개 기구의 명칭이 1995년에 다음과 같이 변경되었다.IFCC: International Federation for Clinical Chemistry and Laboratory MedicineIUPAC: International Organization for Pure and Applied ChemistryIUPAP: International Organization for Pure and Applied Physics.

*** 2008년판의 각주

측정학지침합동위원회(Joint Committee for Guides in Metrology)의 인터넷 주소는 http://www.bipm.org/en/committees/jc/jcgm이며, 현재는 8개 회원기구의 주소와 연결되어 있다.


vii

머리말

1977년 세계에서 가장 권위있는 측정학기구인 국제도량형위원회(CIPM)는 측정불확도 표현에 대해 국제적 합의가 이

루어지고 있지 않음을 인식하여 국제도량형국(BIPM)이 국가측정과학연구기관(NMI)들과 협력하여 이 문제를 다루고 권

고사항을 작성해 줄 것을 요청하였다.

BIPM은 문제항목들을 망라한 설문서를 작성하여 본 주제에 관심이 있는 것으로 알려진 32개 국가측정과학연구기관

(그리고 참고용으로 5개의 국제기구들)에게 배포하였다. 1979년 초까지 21개 기관으로부터 회신이 있었다[1].1)* 거의

대부분의 기관들이 국제적으로 합의된 측정불확도 표현절차와 개개 불확도 요소들을 하나의 전체 불확도로 합성할 수

있는 절차를 도출함이 매우 중요하다고 인식하고 있었다. 그러나 사용되는 방법에 대한 명확한 합의는 없었다. BIPM

은 불확도를 명시하는 일관되고 널리 합의될 수 있는 절차를 마련하기 위한 회의를 소집하였다. 그 회의에는 11개 국

가측정과학연구기관들의 전문가들이 참석하였다. 불확도 표현법에 관한 이 작업반(WG)은 권고사항 INC-1(1980) “실험

불확도의 표현[2]”을 개발하였다. CIPM은 1981년 권고사항을 승인하였으며[3] 1986년 재확인 하였다[4].

CIPM은 작업반의 권고사항(간략한 개요이며 상세한 처방이 아님)에 기초한 상세 지침서를 개발하는 업무를 국제표준

화기구(ISO)에 의뢰하였는데, 그 이유는 ISO가 산업이나 상업의 여러 이해관계자로부터 발생하는 요구를 더 잘 반영할

수 있기 때문이었다.

그 임무는 ISO의 측정학기술자문그룹(TAG 4)에 할당되었는데 그 이유는 TAG 4의 업무 중 하나가 ISO와 TAG 4 작업

에 참여하는 6개 국제기구의 공통 관심사가 되는 측정관련 논제에 대한 지침을 개발하는 것이기 때문이다. 여기서 6개

기구는 국제표준화에서 ISO의 파트너인 IEC, 2개의 국제측정학기구인 CIPM과 OIML, 화학과 물리를 대표하는 2개의

국제연맹인 IUPAC과 IUPAP 그리고 IFCC 등이다.

TAG 4는 이어서 BIPM, IEC, ISO 및 OIML과 TAG 4의 의장이 지명한 전문가로 구성된 WG 3(ISO/TAG 4/WG 3)을

설치하였다. WG 3에는 다음 사항이 할당되었다.

불확도 표현법에 대한 BIPM 작업반의 권고사항에 근거하여 표준화, 교정, 시험소인정 및 측정서비스에 사용되는

측정불확도 표현에 대한 규칙을 제공하는 지침서를 개발할 것;

그 지침의 목적은

－ 불확도 표현법이 작성된 경위에 대한 모든 정보의 제공

－ 측정결과의 국제비교에 대한 근거 마련

이다.

BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAP, OIML 등의 국제기구에 의해 1993년에 제정되고 1995년에 수정 발간된 ‘측정불확도

표현 지침(GUM)’은 무효화되며 ISO/IEC GUIDE 98-3의 초판으로 대체된다.

1) 참고문헌(Bibliography) 참조


GUM의 2008년판을 발간하면서 1995년 인쇄본에 대해서 JCGM/WG 1이 꼭 필요한 수정만 하였다. 4.2.2, 4.2.4, 5.1.2, B.2.17, C.3.2, C.3.4, E.4.3, H.4.3, H.5.2.5 및 H.6.2에 대해 수정이 이루어졌다.


viii

0 서문

0.1 물리량에 대한 측정결과를 보고할 때에는 그 측정결과를 사용하는 사람들이 그 신뢰도를 평가할 수 있도록 그

결과의 품질에 대한 정량적 지표를 함께 보고하여야 한다. 그러한 지표가 없다면 측정결과는 다른 측정결과나 규격에

서 정한 기준값 또는 표준과 비교될 수 없다. 따라서 즉시 실행가능하고 쉽게 이해할 수 있으며 보편적으로 받아들일

수 있는 측정결과의 품질 특성화, 다시 말해 측정불확도 평가와 표현에 대한 절차가 있어야 한다.

0.2 오차나 오차분석방법이 측정과학 또는 측정학의 실무의 한 부분으로 오랫동안 사용되어 왔음에도 불구하고 정

량적 속성으로서의 불확도 개념은 측정의 역사에 있어서 비교적 새로운 것이다. 오차의 성분은 그것이 확실한 것이든

의심스러운 것이든 모두 평가되어 적절한 보정이 이루어진다고 하여도 명시된 결과에 대한 불확도, 즉 측정의 결과가

측정 대상이 되는 양의 값을 얼마나 잘 나타내고 있는 가에 대한 의심은 여전히 남게 된다는 것은 이제는 널리 알려진

사실이다.

0.3 대부분의 나라가 국제단위계(SI)를 사용하게 됨에 따라 모든 과학기술분야의 측정이 일관성을 갖게 된 것과 같

이, 측정불확도의 평가와 표현에 대한 국제적 합의가 이루어지면 과학, 공학, 상업, 산업 및 규정에서 나타나는 다양한

측정결과를 쉽게 이해하고 올바르게 해석할 수 있을 것이다. 시장이 글로벌화됨에 따라 다른 나라에서 측정된 결과들

을 서로 쉽게 비교하기 위해서는 불확도의 평가와 표현 방법이 세계적으로 통일되어야 한다는 것은 불가피한 일이다.

0.4 측정결과의 이상적인 불확도 평가와 표현 방법은 다음과 같아야 한다.

－ 보편적: 방법은 모든 종류의 측정과 측정에 사용된 모든 형태의 입력 데이터에 적용가능하여야 한다.

불확도 표현에 사용된 실제양은 다음과 같아야 한다.

－ 내적 일관성: 실제양은 그에 영향을 주는 요소들이 그룹으로 통합되어지는 방식이나 세부요소들로 분해되는 방식

과 관련성이 없어야 할 뿐 아니라 그에 영향을 주는 요소들로부터 직접 도출될 수 있어야 한다.

－ 전이성: 하나의 결과를 평가하여 얻은 불확도는 그 결과를 사용하는 다른 측정의 불확도를 평가하는 요소로서 직

접 사용할 수 있어야 한다.

그 외에도 보건안전분야 뿐 아니라 산업이나 상업의 많은 응용분야에서, 측정대상이 되는 양에 기인하여 발생하는 값

의 분포의 대부분을 차지할 것으로 기대되는 측정결과의 구간을 나타내는 것이 필요할 경우가 많다. 따라서 측정불확

도 평가와 표현의 이상적인 방법은 그러한 구간, 특히, 그러한 요구에 실질적으로 상응하는 포함확률 또는 신뢰의 수

준을 갖는 구간을 즉시 산출할 수 있어야 한다.

0.5 본 지침서는 CIPM 요청에 따라 BIPM이 소집한(서문 참조) 불확도 표현법에 관한 작업반(WG)이 작성한 권고사

항 INC-1(1980)[2]의 개요를 근거로 하여 작성되었다. 본 지침서의 접근방법은 (그 타당성은 부록 E에 설명되어 있음)

위에서 설명한 모든 요건을 충족시키고 있다. 현재 사용하고 있는 대부분의 다른 방법들은 그렇지 못하다. 권고사항

INC-1(1980)은 CIPM이 CIPM 권고사항 1(CI-1981)[3]로 승인하고, 권고사항 1(CI-1986)[4]로 재확인하였다. 이 CIPM

의 권고사항들은 영어로 부록 A(A.2와 A.3 각각 참조)에 번역 수록되었다. 권고사항 INC-1(1980)은 본 문서의 기초가

되는 것이기 때문에 영어 번역은 0.7에 그리고 불어 원문은 A.1에 수록되어 있다.

0.6 측정불확도의 평가와 표현에 대해 본 지침서에서 규정한 절차의 요점은 8장에 수록되어 있으며, 부록 H에 몇

개의 예제가 수록되어 있다. 그 외의 다른 부록들은 측정학 일반용어(부록 B); 기초 통계용어와 개념(부록 C); “참” 값,

오차 및 불확도(부록 D); 불확도 성분 평가에 대한 실무 지침(부록 E); 자유도와 신뢰의 수준(부록 G); 문서에서 사용


ix

된 주요 수학기호(부록 J); 및 참고문헌(참고문헌) 등이다. 맨 마지막 부분에 색인이 수록되어 있다.

0.7 권고사항 INC-1(1980) 실험불확도의 표현

1) 측정결과의 불확도는 일반적으로 몇 개의 성분으로 구성되는데 그 성분들의 수치를 추정하는 방법에 따라 다

음의 2개의 범주로 분류될 수 있다.

A. 통계적 방법으로 평가된 것

B. 다른 방법으로 평가된 것

범주 A와 B로 분류하는 방식과 종전에 사용되던 “우연”과 “계통” 불확도로 분류하는 방식이 항상 일치하는

것은 아니다. “계통 불확도”라는 용어는 오해의 소지가 있기 때문에 사용해서는 안 된다.

불확도 상세보고는 불확도 성분을 모두 포함하여야 하며 각 성분별로 수치를 구한 방법을 상세히 기술하여야

한다.

2) 범주 A에 속하는 성분들은 추정분산 (또는 추정 “표준편차” )와 자유도 로 나타낼 수 있다. 필요할 경우

공분산도 포함되어야 한다.

3) 범주 B에 속하는 성분들은 가상의 해당분산 근삿값으로 간주될 수 있는 양 으로 나타낼 수 있다. 양

은

분산으로, 양 는 표준편차로 취급할 수 있다. 필요할 경우 공분산도 같은 방법으로 취급하여야 한다.

4) 합성불확도는 통상의 불확도 합성 방법을 적용하여 얻은 수치로 나타낼 수 있다. 합성불확도와 그 성분들은

“표준편차”의 형태로 표현되어야 한다.

5) 만일 특수한 용도로 총 불확도를 구하기 위해 합성불확도에 어떤 인자를 곱할 필요가 있다면 그 곱한 인자는

항상 명시되어야 한다.


1

측정불확도 -

제3부:측정불확도 표현 지침(GUM:1995)

1 범위

1.1 본 지침서는 다양한 정확도 수준과 여러 분야(공장의 작업 현장에서 기초연구에 이르기까지)에서 이루어지는 측

정의 불확도 평가와 표현에 대한 일반적인 규칙을 정한다. 따라서 본 지침서는 아래와 같은 분야에서 필요로 하는 측

정을 포함한 광범위한 종류의 측정에 적용될 수 있도록 만들어졌다.

－ 생산에 있어서 지속적 품질관리와 품질보증의 유지

－ 법이나 규정의 요건에 부합

－ 과학 및 공학에서 기초연구와 연구개발의 수행

－ 국가표준에 대한 소급성을 확립하기 위해 국가측정시스템 전반에서 이루어지는 표준기나 측정기기의 교정과 시험

－ 표준물질을 포함한 국제 및 국가물리기준표준의 개발, 유지 및 비교

1.2 본 지침서는 본질적으로 단일값으로 나타낼 수 있는 잘 정의된 물리량 - 측정량 - 의 측정불확도 표현에 우선

적으로 관련된다. 만일 측정하고자 하는 현상이 어떤 값들의 분포로 밖에 나타낼 수 없거나 시간과 같이 하나 또는

그 이상의 파라미터에 종속된다면 그 현상을 기술하기 위해 필요한 측정량은 그 분포 또는 그 종속성을 묘사하는 양들

의 집합이 된다.

1.3 본 지침서는 또한 실험의 개념설계와 이론분석, 측정방법 그리고 복잡한 구성요소 및 시스템과 연관된 불확도

의 평가와 표현에도 적용될 수 있다. 여기서의 측정결과와 그 불확도는 개념적이며 전적으로 가상의 데이터에만 근거

를 둘 수 있기 때문에 본 지침서에서 사용된 “측정결과”라는 용어는 이와 같이 광범위한 의미로 해석하여야 한다.

1.4 본 지침서는 측정불확도 평가와 표현에 대한, 상세하고 기술에 한정된 지침이 아닌 일반적인 규칙을 제공한다.

나아가서 본 지침서는 특정 측정결과의 불확도가 한번 평가된 후 어떻게 다른 목적으로 사용될 수 있는지-예로써 다른

비슷한 측정결과와의 호환성에 대한 결론을 끌어낸다든지, 제조공정에서 허용한계를 설정한다든지, 또는 어떤 행위과

정이 안전하게 수행되었는지 결정한다든지-에 대해서는 다루지 않는다. 따라서 본 지침서에 근거하여 특정 측정분야의

특수한 문제나 또는 불확도의 정량적 표현의 다양한 용도를 다루는 특정 표준문서들을 개발하는 것이 필요할 수도 있

다.** 이러한 표준문서들은 본 지침서의 요약본이 될 수도 있으나 측정의 정확도 수준과 복잡성 및 의도하는 용도에

맞도록 상세한 내용을 포함하여야 한다.

주 시험방법의 정 도를 결정할 때와 같이 측정불확도 개념이 완전히 적용될 수 없다고 인식되는 경우도 있을 수 있다(예로써

참고문헌 [5] 참조).


몇 개의 파생된 일반 문서와 특정 응용문서가 발간된 바 있다. 이 문서들의 일부 편집 목록을http://www.bipm.org/en/committees/jc/jcgm/wg1_bibliography.html에서 찾아볼 수 있다. 그 외에 측정불확도의 표현 지침(GUM)을 인용한 문서들의 최신 목록을 http:// www.iso.org/ 및 http://www.iec.ch/에서 원문 검색 옵션을 사용하여 찾아볼 수 있다.


2

2 정의

2.1 일반 측정학 용어

“측정 가능한 양”, “측정량” 및 “측정의 오차”와 같이 본 지침서와 관련된 몇 개의 일반 측정학 용어의 정의는 부록 B

에 나와 있다. 이들 정의들은 국제측정학용어집(약어 VIM)으로부터 발췌한 것이다**[6]. 그 외 부록 C에는 국제규격

ISO 3534-1[7]에서 발췌한 몇 개의 기초통계용어의 정의가 나와 있다. 제3절부터 시작되는 원문에서 이들 측정학 또

는 통계용어(또는 접히 관련된 용어) 중 하나를 처음 사용할 때에는 굵은 활자체로 인쇄하고 용어가 정의된 소절번

호를 괄호 안에 표시하였다.

일반 측정학 용어 중 “측정불확도”의 정의는 본 지침서에서 매우 중요한 의미를 갖기 때문에 부록 B와 2.2.3에 같이

수록하였다. 본 지침서에서 특히 중요한 용어의 정의는 2.3.1에서 2.3.6에 수록하였다. 이들 소절과 부록 B와 C에서

몇몇 용어의 단어 양쪽에 괄호를 친 것은 이들 단어들이 본의 아니게 혼동의 원인이 될 경우 생략하여도 좋다는 것을

의미한다.

2.2 "불확도"라는 용어

불확도의 개념은 3절과 부록 D에서 좀 더 자세히 논의된다.

2.2.1 “불확도”라는 단어는 의심을 의미하며, 따라서 “측정불확도”는 가장 넓은 의미로 측정결과의 타당성에 대한

의심을 나타낸다. 이러한 불확도의 일반적 개념과 표준편차와 같이 그 개념의 정량적 척도를 나타내는 특정량에 대한

다른 적절한 단어가 없기 때문에 서로 다른 이 두개의 의미에 “불확도”라는 용어를 함께 사용할 수밖에 없다.

2.2.2 본 지침서에서 형용사가 없는 “불확도”라는 단어는 불확도의 일반적 개념과 그 개념에 대한 정량적 척도 모

두를 나타낸다. 어느 특정척도를 의도한다면 적절한 형용사를 사용하여야 한다.

2.2.3 본 지침서와 VIM[6](VIM:1993, 정의 3.9)에서 사용될 수 있도록 개발된 “측정불확도”의 공식적인 정의는 다음

과 같다.

(측정)불확도측정결과와 관련하여, 측정량을 합리적으로 추정한 값의 산포특성을 나타내는 파라미터

주 1 위의 파라미터는 예로서, 표준편차(또는 그의 배수), 또는 명시된 신뢰구간을 갖는 한 구간의 반너비 등이 될 수 있다.

주 2 측정불확도는 일반적으로 여러 성분으로 구성되어 있으며, 크게 두 범주로 나눌 수 있다. 한 범주는 여러 번 측정한 결과의

통계적인 분포로부터 값이 결정되는 것으로서 실험표준편차로 나타낼 수 있고, 다른 범주는 마찬가지로 표준편차로 나타낼 수 있지

만, 경험이나 다른 정보에 근거하여 가정한 확률분포로부터 그 값이 결정되는 것이다.

주 3 측정결과는 측정량의 값에 대한 최량(最良)추정값(best estimate)이며, 보정과 기준표준(reference standard)에 관련된 성분

처럼 계통효과에서 기인하는 성분을 포함하는 다양한 불확도 성분이 모두 산포에 기여한다.

2.2.4 2.2.3에서 명시한 측정불확도의 정의는 측정결과와 그 측정결과를 평가한 불확도에 초점을 맞춘 실용적 정의

이다. 그렇지만 다음과 같은 측정불확도의 또 다른 개념과 상반되는 개념은 아니다.

－ 측정의 결과로 주어진 측정량의 추정값이 가질 수 있는 오차의 척도


용어집 3판은 ISO/IEC 지침서 99, International vocabulary of metrology - Basic and general concepts and associated terms (VIM)이라는 제목으로 2007년 발간되었다.


3

－ 측정량의 참값이 존재할 수 있는 값의 범위를 나타내는 추정값(VIM:1984, 정의 3.09)

이 두 개의 전통적 개념은 비록 이상적으로는 타당하다고 할 수 있으나 각각 알 수 없는 양인 측정결과의 “오차”와

측정량의 “참값”(측정량의 추정값이 아닌)에 초점을 두고 있다. 그럼에도 불구하고 불확도의 어떤 개념이 적용되든지

불확도 성분은 항상 같은 데이터와 관련된 정보를 사용하여 평가된다(E.5 참조).

2.3 본 지침서에 한정된 용어

본 지침서의 주요 용어는 일반적으로 처음 사용될 때 본문에서 정의된다. 그러나 이들 용어 중 아주 중요한 것들은

참고하기 쉽도록 여기서 정의한다.

주 이들 용어와 관련된 추가정보는 다음에 수록되어 있다. 2.3.2에 대해서는 3.3.3과 4.2에, 2.3.3에 대해서는 3.3.3과 4.3에,

2.3.4에 대해서는 5절과 식 (10)과 (13), 그리고 2.3.5와 2.3.6에 대해서는 6절을 참조.

2.3.1표준불확도(standard uncertainty)표준편차로 표현된 측정결과의 불확도

2.3.2(불확도의) A형 평가(Type A evaluation (of uncertainty))일련의 관측값을 통계적으로 분석하여 불확도를 평가하는 방법

2.3.3(불확도의) B형 평가(Type B evaluation (of uncertainty))일련의 관측값의 통계적인 분석이 아닌 다른 방법으로 불확도를 평가하는 방법

2.3.4합성표준불확도(combined standard uncertainty)측정결과가 여러 개의 다른 입력량으로부터 구해질 때 이 측정결과의 표준불확도를 합성표준불확도라 한다. 합성표준

불확도는 각 입력량의 변화가 측정결과에 미치는 영향에 따라 가중된 분산과 공분산의 합의 양(+)의 제곱근과 같다.

2.3.5확장불확도(expanded uncertainty)구간으로 정의되어 지는 측정결과에 대한 양, 여기서 구간은 측정량에 대한 값의 분포 중 상당 부분이 포함될 것이라

고 기대되는 범위이다.

주 1 위에서 부분은 포함확률, 또는 구간의 신뢰의 수준을 뜻하는 것으로 본다.

주 2 특정한 신뢰의 수준을 확장불확도에 의해 정의되는 구간과 관련짓기 위해서는 측정결과와 그 합성표준불확도로 결정되는

확률분포에 관한 명백하거나 함축적인 가정이 요구된다. 구간에 부여할 수 있는 신뢰의 수준은 그 가정이 성립되는 범위에서만 알

수 있다.

주 3 권고사항 INC-1(1980)의 5번째 문단에서는 확장불확도 대신 총 불확도(overall uncertainty)라는 용어를 사용하였다.

2.3.6포함인자(coverage factor)확장불확도를 구하기 위하여 합성표준불확도에 곱하는 수치인자

주 포함인자 의 값은 보통 2와 3사이에 있다.


4

3 기본 개념

기본 개념에 대한 추가적인 내용이 부록 D에 수록되어 있다. 여기에는 “참” 값, 오차 및 불확도에 대한 관점에 초점을

두고 이들 개념에 대한 도해가 포함되어 있다. 그리고 부록 E는 본 지침서의 근거가 되는 권고사항 INC-1(1980)의 동

기와 통계적 기초를 다루고 있다. 부록 J에는 본 지침서에서 사용된 주요 수학적 기호에 대한 해설이 수록되어 있다.

3.1 측정

3.1.1 측정의 목적(B.2.5)은 측정량(B.2.9)의 값(B.2.2), 다시 말하여 측정하고자 하는 특정량(B.2.1, 주 1)의 값을

결정하는 것이다. 따라서 측정을 하기 위해서는 먼저 측정량, 측정방법(B.2.7) 및 측정절차(B.2.8)들을 적절히 명시하

여야 한다.

주 “참값”(부록 D 참조)이라는 용어는 D.3.5에서 설명한 이유로 본 지침서에서 사용하지 않았다. “측정량의(또는 양의) 값”과 “측정

량의(또는 양의) 참값”은 동일한 것으로 간주된다.

3.1.2 일반적으로 측정결과(B.2.11)는 측정량의 값에 대한 근삿값 또는 추정값(C.2.26)일 뿐이므로 그 값에 대한

불확도(B.2.18)가 함께 명시되어야 완전해진다.

3.1.3 실무에서 측정량에 대한 요구규격 또는 정의는 요구되는 측정정확도(B.2.14)에 따라 정해진다. 측정량은 요

구되는 정확도에 대하여 모든 측정에서 측정목적에 관계없이 같은 값을 얻을 수 있도록 충분히 완벽하게 정의되어야

한다. 본 지침서에서는 이와 같은 이유로 “측정량의 값”이라는 표현을 사용하였다.

예 명목값 1 m의 강철막대의 길이를 마이크로미터의 정확도로 측정하려면 그 길이를 정의하는 규격은 온도와 압력을 포함하여

야 한다. 그렇다면 측정량은 예를 들어, 25,00 °C**와 101 325 Pa(기타 막대가 지지되어 있는 방법과 같은 다른 필요한 파라미터

추가)에서의 막대의 길이라고 구체적으로 명시되어야 한다. 그러나 길이를 리미터의 정확도로만 측정하려면 온도나 압력 또는 다

른 파라미터의 값은 명시할 필요가 없을 것이다.

주 측정량에 대한 불완전한 정의는 충분히 큰 불확도 성분이 될 수 있으므로 측정결과의 불확도 평가에 포함되어야 한다(D.1.1,

D.3.4 및 D.6.2 참조).

3.1.4 많은 경우 측정결과는 반복성조건(B.2.15, 주 1)하에서 얻어진 일련의 관측을 근거로 하여 결정된다.

3.1.5 반복 관측에서의 변동은 측정결과에 영향을 미치는 영향량들(B.2.10)이 항상 일정하게 유지되지 않기 때문에

발생한다.

3.1.6 반복 관측값들을 측정결과로 변환시켜주는 측정의 수학적 모델은 일반적으로 관측값 외에 정확히 알려지지

않은 여러 영향량들을 포함하기 때문에 매우 중요하다. 이와 같이 알지 못하는 영향량들은 반복관측에서의 변동이나

수학적 모델 자체에 연관된 불확도의 경우와 같이 측정결과의 불확도에 영향을 미치게 된다.

3.1.7 본 지침서는 측정량을 스칼라(단일량)로 취급한다. 같은 측정에서 동시에 결정된 일련의 관련 측정량으로 확

대하려면 스칼라 측정량과 그 분산(C.2.11, C.2.20, C.3.2)을 벡터 측정량과 공분산행렬(C.3.5)로 대체하여야 한다. 본

지침서에서는 그 대체를 예제(H.2, H.3 및 H.4)로만 고찰한다.


22차 CGPM(2003)의 결의안 10에 의하면 “... 소수자리수 표시 기호는 온점(.) 또는 반점(,)으로 한다 ...”. 측정학지침합동위원회(JCGM)는 영문문서에서 줄(line) 위의 점(.)을 채택하기로 결정하였다. 그러나 1995년 인쇄본과 일관성 유지를 위해 십진법의(decimal) 반점(,)도 폐기하지 않았음을 그 문서는 명시하고 있다.


5

3.2 오차, 효과 및 보정

3.2.1 일반적으로 측정은 측정결과에서 오차(B.2.19)의 원인이 되는 불완전성을 수반한다. 전통적으로 오차는 2가

지 성분 즉, 우연(B.2.21) 성분과 계통(B.2.22) 성분을 갖는 것으로 간주되어 왔다.

주 오차는 이상화된 개념이며 실제로는 정확히 알 수 없는 양이다.

3.2.2 우연오차는 영향량들이 시간적, 공간적으로 예측할 수 없게 또는 확률적으로 변동함에 따라 발생한다. 이러

한 변동의 영향을 우연효과라 하며, 이는 측정량을 반복 관측할 때 그 값이 변동하는 원인이 된다. 우연오차를 보정할

수는 없으나, 관측의 횟수를 늘림으로써 줄일 수는 있다. 이 우연오차의 기댓값(C.2.9, C.3.1)은 영(0)이다.

주 1 일련의 관측값에 대한 산술평균(4.2.3 참조)의 실험표준편차는 일부 간행물에서 명명된 바와 같은 산술평균의 우연오차가

아니다. 이는 잘못 사용되고 있는 경우이며, 사실은 우연효과에 의한 평균의 불확도의 척도이다. 우연효과에 의한 평균의 오차의

정확한 값은 알 수 없다.

주 2 본 지침서에서는 오차와 불확도의 구분에 대해 많은 주의를 기울였으며, 이 두 가지 용어는 동의어가 아니고 개념이 완전

히 다르므로, 혼동하지 말아야 한다.

3.2.3 계통오차도 우연오차와 마찬가지로 제거할 수는 없지만 줄일 수는 있다. 만일 계통오차가 알 수 있는 영향량

의 효과(이하 계통효과라 함)로부터 생긴다면, 그 효과는 정량화될 수 있다. 이 효과가 측정에서 요구되는 정확도에 비

하여 무시할 수 없을 정도의 크기라면, 이를 보상하기 위하여 보정값(B.2.23)이나 보정인자(B.2.24)를 적용할 수 있다.

보정을 한 후의 계통효과에 의한 오차의 기댓값은 영이라고 본다.

주 계통효과를 보상하기 위하여 측정결과에 적용한 보정값의 불확도는 편향(bias)이라고 불리는 계통오차가 아니다. 이것은 필요

로 하는 보정값을 정확히 모르기 때문에 생기는 측정값의 불확도이다. 계통효과를 완전하게 보정해주지 못해서 생기는 오차는 정확

하게 알 수 없다. “오차”와 “불확도”라는 용어는 적정하게 사용되어야 하며 그 차이를 구분할 때에는 주의해야 한다.

3.2.4 측정결과는 알고 있는 모든 주요 계통효과를 모두 보정하였고 그러한 효과를 도출해 내기 위해 모든 노력을

다하여 구했다고 가정한다.

예 높은 임피던스 저항기의 전위차(측정량)를 측정하는 경우 전압계의 부하효과로 생기는 측정결과의 계통효과를 줄이기 위해 사

용된 전압계의 한정된 임피던스에 따르는 보정을 하여야 한다. 보정값을 추정하기 위해 사용된 전압계와 저항기의 임피던스 값은

다른 측정으로 얻어졌지만 그 자체가 불확실한 값이다. 이러한 불확도들은 전위차 결정에 있어서 보정으로 야기되는 또 궁극적으로

는 전압계의 한정된 임피던스에 기인하는 계통효과로 야기되는 불확도 성분을 추정하기 위해 사용된다.

주 1 계통효과를 제거하기 위하여 측정기기나 측정시스템은 측정표준이나 표준물질을 이용하여 조정 또는 교정되어야 한다. 이

경우 측정표준 및 표준물질과 관련된 불확도 또한 고려되어야 한다.

주 2 알려진 주요 계통효과가 보정되지 않은 사례가 6.3.1의 주와 F.2.4.5에 나와 있다.

3.3 불확도

3.3.1 측정결과의 불확도는 측정량의 값을 정확하게 알 수 없다는 사실을 반영하고 있다. 측정결과는 이미 알고 있

는 계통효과를 적절하게 보정하여도 역시 추정값에 불과하다. 왜냐하면 계통효과에 대한 완전한 보정이 불가능하고 또

우연효과가 있기 때문에 측정결과에는 항상 불확도가 존재하기 때문이다.

주 적절한 보정을 한 후의 측정결과는 우연히 측정량의 값에 매우 가까울 수도 있으며, 따라서 오차는 매우 작을 수 있다. 그러나

측정결과의 불확도는 매우 클 수도 있기 때문에 불확도와 오차는 구별하여야 한다.

3.3.2 실제적으로 측정에서는 불확도의 요인이 많이 존재하며 아래와 같은 것을 포함한다.


6

a) 측정량에 대한 불완전한 정의

b) 측정량의 정의에 대한 불완전한 구현

c) 대표성이 없는 표본추출

d) 환경조건이 측정에 미치는 영향에 대한 지식 부족 및 환경 조건에 대한 불완전한 측정

e) 아날로그 기기에서의 개인적인 판독 차이

f) 기기의 분해능과 검출 한계

g) 측정표준과 표준물질의 부정확한 값

h) 외부자료에서 인용하여 데이터 분석에 사용한 상수와 파라미터의 부정확한 값

i) 측정방법과 측정과정에서 사용되는 근삿값과 여러 가지 가정

j) 외관상 같은 조건에서 측정량의 반복적인 관측값에서 나타나는 변동

이러한 요인들은 서로 영향을 줄 수 있고, a)에서 i)까지의 몇몇 요인이 j)에 영향을 줄 수도 있다. 인식되지 않은 계통

효과는 측정결과의 불확도를 구하는데 물론 고려되지 못할 수밖에 없으며 측정결과의 오차의 원인이 된다.

3.3.3 불확도 표현법에 관한 작업반의 권고사항 INC-1(1980)은 불확도 성분을 평가방법에 따라 “A”와 “B”의 2가지

(0.7, 2.3.2 및 2.3.3 참조)로 분류하고 있다. 이 2가지 분류는 불확도에 적용되는 것이며 “우연”이나 “계통”이라는 용

어를 대체하여 사용하는 것이 아니다. 알려진 계통효과에 대한 보정 불확도는 A형 평가로 구해지는 것도 있고 B형 평

가로 구해지는 것도 있다. 우연효과에 의한 불확도도 마찬가지이다.

주 어떤 간행물에서는 불확도 성분을 “우연”과 “계통”으로 분류하고 각각을 우연효과와 알고 있는 계통효과에 의한 오차와 연관시

키고 있다. 그러나 이러한 불확도 성분의 분류는 실제 적용할 때 모호해질 수 있다. 예를 들어 어떤 측정에서 불확도의 우연성분이

그 측정의 결과가 입력 자료로 사용되는 다른 측정에서는 계통 성분이 될 수도 있다. 따라서 불확도 성분 그 자체보다는 불확도

성분을 평가방법에 따라 분류하면 그러한 모호함을 피할 수 있다. 또한 2가지 다른 방법으로 평가된 개별 성분들을 특정목적에 사

용될 수 있도록 지정된 그룹으로 합치는 것도 가능하게 된다(3.4.3 참조).

3.3.4 A형과 B형으로 분류하는 목적은 2가지 다른 불확도 성분의 평가방법을 제시하고 논의하는데 편리하게 하기

위한 것이다. 이와 같이 분류하는 것은 2가지 평가방법으로 구한 성분들의 특성이 본질적으로 어떤 차이가 있기 때문

은 아니다. 2가지 평가방법 모두 확률분포(C.2.3)에 근거하며 어떤 방법으로 구하든지 불확도 성분은 분산이나 표준편

차에 의해 정량화된다.

3.3.5 A형 평가로 구한 불확도 성분의 추정분산 은 일련의 반복 관측값으로부터 계산되며 이는 통계적으로 추정

된 분산 (4.2 참조)에 해당한다. 추정 표준편차(C.2.12, C.2.21, C.3.3) 는 의 양의 제곱근으로서 = 가 되며

편의상 ‘A형 표준불확도’라 부른다. B형 평가로 구한 불확도 성분에 있어서 추정분산 은 알려진 정보(4.3 참조)를

사용하여 평가되며 추정 표준편차 를 편의상 ‘B형 표준불확도’라 부른다.

이와 같이 A형 표준불확도는 관측된 도수분포(C.2.18)에 근거한 확률밀도함수(C.2.5)로부터 구해지며, B형 표준불확

도는 하나의 사건이 발생할 것이라는 믿음의 정도[보통 주관적 확률이라 함(C.2.1)]에 근거한 확률 도함수를 가정하여

구한다. 2가지 방법 모두 잘 알려진 확률 해석을 채택하고 있다.

주 불확도 성분의 B형 평가는 보통 비교적 신뢰성이 있는 정보의 풀(pool)에 근거를 둔다(4.3.1 참조).


7

3.3.6 측정결과가 여러 개의 다른 양으로부터 구해질 때 측정결과의 표준편차를 ‘합성표준불확도’라 하며 c로 표시

한다. 이는 측정결과의 추정 표준편차이며 모든 분산과 공분산(C.3.4)을 본 지침서에서 명명한 ‘불확도 전파법칙’(5절

참조)에 적용하여 구한 합성분산의 양의 제곱근과 같다.

3.3.7 보건과 안전뿐 아니라 산업과 상업분야에 적용하여야 할 필요성 때문에 합성표준불확도 c에 포함인자 를

곱하여 ‘확장불확도 ’를 구한다. 확장불확도 를 도입하는 목적은 측정량의 합리적인 추정값이 이루는 분포의 대부

분을 포함할 것으로 기대되는 측정결과의 구간을 제공하기 위한 것이다. 포함인자 는 그 구간에 요구되는 포함확률

또는 신뢰의 수준에 따라 정해지며 보통 2에서 3사이의 값을 갖는다.

주 측정된 양에 영향을 받는 다른 측정결과의 합성표준불확도를 계산할 때 필요한 그 양의 표준불확도로 환산할 수 있도록 포함

인자 를 항상 명시하여야 한다.

3.4 실제 고려사항

3.4.1 측정결과에 영향을 주는 모든 양들이 변화한다면 측정불확도는 통계적 방법으로 평가될 수 있다. 그러나 실

제로는 시간이나 자원의 제한으로 통계적 방법을 사용할 수 있는 경우가 극히 드물기 때문에 측정결과의 불확도는 보

통 측정의 수학적 모델과 불확도 전파법칙을 사용하여 평가된다. 따라서 요구되는 측정의 정확도 수준에 맞추어 측정

의 수학적 모델을 설정할 수 있다고 본 지침서는 가정한다.

3.4.2 수학적 모델이 불완전할 수도 있으므로, 불확도 평가가 가능한 많은 관측 자료에 근거하여 이루어질 수 있도

록 모든 관련 양들을 실무적으로 가능한 범위까지 변화시켜야 한다. 가능하다면 항상, 장기간에 걸쳐 얻은 정량적 데

이터에 근거한 측정의 경험적 모델을 사용하고, 점검표준과 측정이 통계적으로 잘 관리되고 있음을 나타내는 관리도를

사용하여 신뢰성이 있는 불확도 평가가 이루어질 수 있도록 노력해야 한다. 관측데이터(같은 측정량에 대한 독립된 측

정결과 포함)가 모델의 불완전성을 나타낼 때에는 수학적 모델은 언제나 수정되어야 한다. 잘 계획된 실험은 불확도

평가의 신뢰성을 크게 제고시킬 수 있으며 측정기술의 중요한 요소가 된다.

3.4.3 측정시스템이 정상적으로 기능하고 있는지 확인하기 위해 측정시스템의 출력값의 변동성을 실험적으로 관측

한 후 그 표준편차를 구하여 측정과 관련된 여러 불확도 성분을 합성하여 구한 예측된 표준편차와 종종 비교한다. 이러

한 경우에는 실험적으로 관측된 출력값의 변동성에 기여하는 성분(A형 또는 B형 평가와 관련 없이)만 고려되어야 한다.

주 모든 성분들을 변동성과 관련된 것과 관련 없는 것들 2개의 그룹으로 나누어 모으면 이러한 분석을 쉽게 할 수 있다.

3.4.4 경우에 따라서는 계통효과에 대한 보정 불확도를 측정결과의 불확도 평가에 포함시키지 않아도 된다. 불확도

가 평가된 경우라도 합성표준불확도에 미치는 영향이 크지 않으면 무시할 수도 있다. 보정값 자체가 합성표준불확도에

비해 매우 작을 경우에도 무시할 수 있다.

3.4.5 특히 법정계량분야에서 측정표준과 비교를 통하여 장치를 시험할 때 표준기 및 비교절차에 기인한 불확도가

시험의 요구 정확도에 비해 무시할 수 있을 정도로 작은 경우가 종종 있다. 이러한 예로서 상업용 저울의 정확도를

평가할 때 잘 교정된 질량표준 세트를 사용하는 경우를 들 수 있다. 이러한 경우 불확도 성분이 무시할 수 있을 정도

로 작기 때문에 측정은 피시험장치의 오차를 결정하기 위한 것으로 간주될 수 있다(F.2.4.2 참조).

3.4.6 측정결과로 산출된 측정량의 추정값이 때때로 국제단위계(SI)의 관련 단위로 표시되지 않고 측정표준에서 채

택한 값으로 표시되는 경우가 있다. 이 경우 측정결과의 불확도 크기가 관련된 SI 단위로 표시할 때 보다 훨씬 작아질

수도 있다. (실제로 측정량이 채택된 표준값에 대한 측정 대상량의 값의 비로 재정의 된 바가 있다.)

예 고품질의 제너 전압표준기가 CIPM에서 국제적 용도로 추천한 조셉슨 상수의 값을 적용한 조셉슨 효과 전압기준기와 비교 교

정된다고 하자. 제너 전압표준기의 교정된 전위차 S를 조셉슨 상수의 추천값으로 표현할 경우 S의 상대 합성표준불확도

cSS는 2×10-8이 된다(5.1.6 참조). 그러나 S를 SI 단위로 표현할 경우 cSS는 4×10-7이 되는데 그 이유는 조셉슨

상수의 SI 값 관련 불확도를 추가로 고려해야 하기 때문이다.


8

3.4.7 자료를 분석하거나 기록하는 과정에서의 오류는 측정결과에 알 수 없는 오차를 유발시킨다. 큰 오류는 데이

터를 잘 검토하여 쉽게 찾아낼 수 있지만, 작은 오류는 우연변동에 의해 가려지거나, 심지어 우연변동처럼 보일 수도

있다. 불확도의 척도는 이러한 오류까지 고려하고자 하는 것은 아니다.

3.4.8 이 지침서는 불확도의 산출에 필요한 기본 틀을 제공할 뿐이며, 깊은 사고력, 학자적인 양심, 전문적인 기술

까지 대체하는 것은 아니다. 불확도의 산출은 단순한 반복적인 작업이 아니며, 순수한 수학적인 일도 아니며, 측정량과

측정의 속성을 얼마나 자세히 파악하고 있느냐에 따라 달라진다. 따라서 측정결과로 인용된 불확도의 품질과 유용성은

궁극적으로 불확도에 대한 이해수준, 분석의 정확한 정도, 계산하는 사람의 정직성에 달려 있다.

4 표준불확도 평가

표준불확도 성분의 평가에 대한 실무적인 추가 지침은 부록 F에 수록되어 있다.

4.1 측정모델의 설정

4.1.1 대부분의 경우, 측정량 는 직접 측정되지 않고, 측정방정식이라 부르는 함수관계 를 통하여 개의 다른

양 , , ..., 으로부터 결정된다.

(1)

주 1 기호표시를 간단히 하기 위해 본 지침서에서는 물리량(측정량)과 그 양의 가능한 관측결과를 나타내는 확률변수(4.2.1 참조)

에 대해 같은 기호를 사용하였다 가 특정 확률분포를 갖는다고 명시된 경우에는 그 기호는 후자의 개념으로 사용된 것이다. 물

리량은 그 자체가 본질적으로 하나의 값만을 갖는다고 가정한다(1.2 및 3.1.3 참조).

주 2 일련의 관측에 있어서, 의 번째 관측값은 로 나타낸다. 따라서 만일 이 저항기의 전기저항을 나타낸다면 번째

관측값은 로 표시한다.

주 3 의 추정값(엄 히 말하자면 기댓값)은 로 표시한다.

예 정의된 온도 에서의 저항값이 이고 선형온도계수가 인 온도 의존성 저항기의 단자에 전위차 가 가해졌을 때, 온도

에서 저항기에 의하여 소비된 전력 (측정량)는 다음과 같이 의 함수로 표현된다.

주 를 측정하는 다른 방법은 다른 수학적 표현으로 모델링 될 수 있다.

4.1.2 입력량 , , ..., 은 그 자체가 측정량으로 간주될 수도 있고, 계통효과에 대한 보정값 및 보정인자를

포함하여 다른 여러 양에 의존할 수 있기 때문에, 분명히 표현할 수 없는 복잡한 함수관계 가 될 수도 있다. 함수

는 실험적으로 결정되거나(5.1.4 참조) 수치적으로 계산되는 알고리즘으로서만 존재할 수도 있다. 이 지침서에 나타

나는 함수 는 이와 같은 넓은 의미로 사용된 것으로서 모든 보정값과 보정인자를 비롯하여 측정결과에 중요한 불확

도 성분으로 기여하는 모든 양을 포함하는 것으로 해석되어야 한다.

따라서 만일 가 측정결과의 요구정확도에 비추어 불충분한 측정모델이라는 것이 실제 데이터로 부터 나타난다면 이

부적합성을 제거하기 위하여 추가 입력량을 함수 에 포함시켜야 한다(3.4.2 참조). 이를 위해 측정량에 영향을 주는

현상에 대한 불완전한 지식을 반영하는 입력량의 도입이 필요할 수 있다. 4.1.1의 예의 경우, 알려진 저항기의 불균일

한 온도분포 또는 저항기의 가능한 비선형 온도계수 또는 기압에 대한 가능한 저항의 의존성을 설명하기 위해 추가

입력량이 필요할 수도 있다.


9

주 그럼에도 불구하고 식 (1)은 와 같이 기초적인 모델일 수 있다. 예로서 이 표현은 같은 양 에 대한 2개의 값의

비교를 모델링한다.

4.1.3 입력량 , , ..., 은 다음과 같이 분류될 수 있다.

－ 현재의 측정에서 값과 불확도가 직접 결정되는 양: 예를 들어, 값과 불확도는 단일측정이나 반복측정 혹은 경험에

의한 판단으로부터 얻어질 수 있으며, 지시값의 보정이나 주위의 온도나 기압, 습도 등과 같은 영향량에 대한 보정

등이 포함될 수 있다.

－ 외부로부터 값과 불확도가 측정에 도입되는 양: 예를 들어, 교정된 측정표준, 인증표준물질, 핸드북에서 얻어진 참

조데이터와 관련된 양 등이 포함될 수 있다.

4.1.4 측정량 의 추정값은 로 표시하며, 개의 입력량 , , ..., 의 입력 추정값 , , ..., 을 이

용하여 식 (1)로부터 얻어진다. 따라서 측정결과인 출력 추정값 는 다음 식으로 주어진다.

(2)

주 어떤 경우에 추정값 는 다음 식으로 얻어질 수 있다.

즉, 는 에 관한 개의 독립적으로 결정된 값 의 산술평균(4.2.1 참조)이며, 각 는 같은 불확도를 가지고, 개의 입력량

에 대하여 동시에 얻어진 완전한 한 벌의 관측값에 근거한 것이다. 가 입력량 , , ..., 의 비선형함수이면 이와 같이

평균을 구하는 방법이 으로 평균을 구하는 방법보다 더 바람직하지만, 가 의 선형함수이면 이 두 방

법은 동일하다(H.2와 H.4 참조). 여기서

는 각 측정값 의 산술평균을 의미한다.

4.1.5 출력량의 추정값 즉, 측정결과 의 추정 표준편차는 합성표준불확도라 부르고 c로 나타내며, 각 입력량

의 추정값 의 추정 표준편차, 즉 표준불확도 로부터 결정된다(3.3.5 및 3.3.6 참조).

4.1.6 각 입력량의 추정값 와 이에 대한 표준불확도 는 입력량 가 가질 수 있는 값들의 분포로 부터 얻

어진다. 이 확률분포는 도수분포, 즉 에 대한 일련의 관측값 에 근거를 둔 분포이거나 또는 선험적(a priori ) 분

포일 수 있다. 표준불확도 성분의 A형 평가는 도수분포에 근거를 두고 있고, 반면에 B형 평가는 선험적 분포에 근거를

두고 있다. 두 경우 모두, 그 분포는 우리가 알고 있는 지식의 정도를 나타내는 데 사용되는 모델임을 인지해야 한다.

4.2 표준불확도의 A형 평가

4.2.1 대부분의 경우에, 임의로 변하는 양 [확률변수(C.2.2)]에 대하여 동일한 측정조건(B.2.15 참조) 하에서 개

의 독립된 관측값 가 얻어졌다면, 그 기댓값 의 최량추정값은 이들 개 관측값의 산술평균 (C.2.19)가 되며 다

음 식으로 주어진다.

(3)

그러므로 개의 독립된 반복 관측값 로부터 추정되는 입력량 에 대하여, 식 (3)으로부터 얻어진 산술평균

가 식 (2)의 입력 추정값 로 사용되어 측정결과 를 결정한다. 즉 이다. 반복 관측값으로부터 평가되지 않

는 입력량의 추정값은 4.1.3의 두 번째 범주에 나타낸 것과 같은 다른 방법으로 구해야 한다.


10

4.2.2 개개의 관측값 는 영향량의 우연변동 즉, 우연효과(3.2.2 참조) 때문에 각기 다른 값을 갖는다. 관측값의 실

험분산은 의 확률분포의 분산 을 추정하는 것으로서 다음 식으로 주어진다.

(4)

이 추정 분산값과 그 양의 제곱근 즉 실험표준편차(B.2.17)인 는 관측값 의 변동성을 나타내며, 보다 명확히

말하면, 산술평균 로부터 산포된 정도를 나타낸다.

4.2.3 의 최량추정값 즉 평균의 분산에 대한 최량추정값은

(5)

로 주어진다. 평균의 실험분산 와 평균의 실험표준편차 (B.2.17 주 2)는 의 양의 제곱근과 같고, 평균

가 의 기댓값 를 얼마나 잘 추정하는가를 정량적으로 나타내며, 에 대한 불확도의 척도로 사용될 수 있다.

그러므로 개의 독립된 반복 관측값 로부터 결정된 입력량 에 대하여, 그 추정값인 의 표준불확도

는 이며, 여기서 는 식 (5)에 따라 구해진 것이다. 편의상

와

는 때때로 각각 A형 분산과 A형 표준불확도로 불리기도 한다.

주 1 관측값의 수 은 가 확률변수 의 기댓값 에 대한 신뢰할 수 있는 추정값을 제공하는 것을 보증할 수 있을 만큼, 또

한 가 분산 의 신뢰할 수 있는 추정값을 제공하는 것을 보증할 수 있을 만큼 충분히 커야 한다(4.3.2 주 참조).

신뢰구간(6.2.2 참조)을 설정할 때에는 와 의 차이를 고려하여야 한다. 이 경우, 의 확률분포가 정규분포(4.3.4 참조)이

면 이 차이는 분포를 통해 고려된다(G.3.2 참조).

주 2 분산 가 더 기본적 양임에도 불구하고 실무에서는 표준편차 가 와 같은 차원을 가지고 있고 분산보다 더 이해

하기 쉬운 값을 갖기 때문에 더 편리하다.

4.2.4 통계적 관리 하에서 잘 특성화된 측정의 경우, 측정의 특성을 나타내는 분산의 합성 또는 합동 추정

값 p (또는 합동실험표준편차 p)을 사용할 수 있다. 그런 경우에, 측정량 의 값이 번의 독립된 관측으로 부터 결

정될 때, 관측값의 산술평균 에 대한 실험분산은 보다도 p 에 의해서 더 잘 추정되며, 이때의 표준불확

도는 p 이다(H.3.6의 주 참조).

4.2.5 흔히 입력량 의 추정값 는 실험 데이터를 최소제곱법으로 적합시킨(fitted) 곡선으로부터 얻어지기도 한

다. 이 곡선의 특성을 나타내는 적합된 파라미터(fitted parameters) 및 임의의 예측점에 대한 추정분산과 표준불확도

는 잘 알려진 통계적 절차에 의하여 계산될 수 있다(H.3과 참고문헌 [8] 참조).

4.2.6 의 자유도(C.2.31) (G.3 참조)는, 와

가 4.2.1과 4.2.3 에서와 같이 개의 독

립된 관측값으로부터 계산되는 단순한 경우에 이며, 불확도 성분을 A형으로 평가하여 문서화할 때 꼭 명시해야

한다.

4.2.7 만일 입력량의 관측값들에서 우연변동들이 서로 상관관계(예를 들어 시간적으로)가 있다면, 4.2.1과 4.2.3에

주어진 평균과 평균의 실험표준편차는 구하고자 하는 통계량(C.2.23)의 추정량(C.2.25)으로 부적절할 수도 있다. 이

런 경우의 관측값들은 일련의 상관관계가 있고 우연적으로 변동하는 측정을 다룰 수 있게 특별히 설계된 통계적 방법

으로 분석하여야 한다.


11

주 이러한 특별한 방법은 주파수 표준의 측정을 취급하는데 사용된다. 그러나 다른 측정학적 양의 경우에서도 단기측정에서 장기

측정으로 감에 따라 상관관계가 없다는 우연변동에 대한 가정이 더 이상 타당성이 없어질 수 있기 때문에, 이들 측정을 취급하는

데 역시 이 특별한 방법을 사용할 수 있다(예로써 알란(Allan) 분산의 상세내용에 대해서는 참고문헌 [9] 참조).

4.2.8 4.2.1에서 4.2.7까지 A형 표준불확도 평가를 모두 논의 하였다고 할 수 없으며, 통계적 방법으로 처리될 수

있는 더 복잡한 경우가 많이 있다. 중요한 예로서 게이지블록이나 질량표준기와 같이 값을 모르는 가공물을 값을 아는

교정용 표준기와 비교할 때 단기간 및 장기간의 우연변동으로부터 발생되는 불확도를 평가하기 위하여 종종 최소제곱

법에 근거한 교정설계의 사용을 들 수 있다. 이와 같이 비교적 단순한 측정인 경우 측정량의 측정에 영향을 주는 많은

양의 값들에 대하여 지분실험법을 사용하여 얻은 자료들을 소위 분산분석(H.5 참조)이라는 통계적 분석을 통하여 불확

도 성분을 산출한다(H.5 참조).

주 국가표준 또는 일차표준시험소에서 교정을 받았기 때문에 기준표준을 정확히 알고 있다고 종종 가정하는 교정사슬의 하위수

준에서 교정결과의 불확도는 측정을 특성화하는 합동실험표준편차를 사용하여 평가한 단 하나의 A형 표준불확도가 될 수 있다.

4.3 표준불확도의 B형 평가

4.3.1 반복 관측으로 얻어지지 않은 입력량 의 추정 값 에 대하여, 관련된 추정분산 혹은 표준불확도

는 의 변동성에 관하여 얻을 수 있는 모든 정보에 근거한 과학적 판단에 의해 평가되며, 이에 포함되는 정보

는 다음과 같다.

－ 과거 측정 데이터

－ 관련 재료와 기기의 거동 및 특성에 대한 경험이나 일반지식

－ 제작자의 규격

－ 교정 및 기타 인증서에 주어진 데이터

－ 핸드북에서 인용한 참고자료의 불확도

편의상, 위와 같은 방법으로 평가된 와 를 각각 B형 분산과 B형 표준불확도라고 한다.

주 가 선험적 분포로부터 얻어질 때는 그 분산은 로 쓰는 것이 적절하나 본 지침서에서는 편의상 와 를

사용하는 것으로 한다.

4.3.2 표준불확도의 B형 평가시 가용한 모든 정보를 적절히 사용하려면 경험과 일반지식에 바탕을 둔 통찰력이 필

요하며, 이는 실무를 통하여 습득될 수 있는 하나의 기술이다. 표준불확도의 B형 평가는 A형 평가만큼 신뢰성이 있으

며, 특히 A형 평가가 독립된 관측의 횟수가 비교적 적을 때 얻어진 경우에서는 더욱 그렇다.

주 만일 4.2.3의 주 1에서 의 확률분포가 정규분포라고 하면, 에 상대적인 의 표준편차 즉 는 근사적으

로 [2( - 1)]-1/2이다. 따라서 의 불확도로서 를 취하면 = 50의 관측에 대해서는 의 상대불확도가 10 %이지만

= 10의 관측에 대해서는 24 %가 된다(부록 E의 표 E.1에 추가적인 값들이 나와 있다).

4.3.3 만일 추정값 를 제작자의 규격, 교정성적서, 핸드북, 혹은 다른 출처로부터 인용하고, 그 인용된 불확도가

표준편차의 특정 배수라는 것이 언급되어 있다면, 표준불확도 는 인용된 값을 그 배수로 나눈 값으로 하여야 하

고 그 값을 제곱하면 추정분산 이 된다.

예 명목값 1 kg인 스텐레스강 표준분동의 성적서에 질량 값과 불확도가 다음과 같이 명시되어 있다고 하자.

표준분동의 질량: S = 1 000.000 325 g


12

질량값의 불확도: = 240 μg(3 수준)

이 경우 표준분동의 표준불확도는 S = (240 μg)/3 = 80 μg이 되며, 이 값은 상대표준불확도 S/S = 80 × 10-9에 해당

된다. 또 추정분산은 S = (80 μg)2 = 6.4 × 10-9 g2이다.

주 인용된 불확도를 구할 때 사용된 개별 성분에 대한 정보가 거의 없거나 아주 없는 경우가 많다. 그러나 그것은 측정결과의

합성표준불확도를 산출할 때 모든 표준불확도를 같은 방법으로 취급하기 때문에 본 지침서에 따라 불확도를 표현하는데 크게 문제

가 되지 않는다(5절 참조).

4.3.4 추정값 의 인용된 불확도가 4.3.3에서와 같이 반드시 표준편차의 배수로 주어지는 것은 아니고, 신뢰의 수

준 90 %, 95 %, 혹은 99 %를 가지는 구간을 정하여 인용된 불확도를 명시해주는 경우도 있다. 달리 명시되어 있지

않으면 정규분포(C.2.14)를 사용하여 인용된 불확도를 계산한 것으로 가정하고, 인용된 불확도를 정규분포의 적절한

인자로 나누어 의 표준불확도를 구할 수 있다. 신뢰의 수준 90 %, 95 %, 99 %에 대응하는 인자는 각각 1.64,

1.96, 그리고 2.58이다(부록 G의 표 G.1 참조).

주 본 지침서에서는 불확도 보고를 할 때 사용된 포함인자를 항상 표기하도록 강조(7.2.3 참조)하고 있으며, 이러한 본 지침서의

권고에 따라 불확도를 표현하였다면 위의 가정은 할 필요가 없다.

예 명목값 10 Ω인 표준저항기 S의 성적서에 저항값이 23 °C에서 10.000 742 Ω ± 129 μΩ로 그리고 인용된 불확도 129 μΩ은 신뢰의 수준 99 %를 갖는 구간을 정의한다고 명시되어 있다. 이 경우에 저항기의 표준불확도는 S = (129 μΩ)/2.58 = 50

μΩ이 되며, 이에 대응하는 상대표준불확도는 SS = 5.0 × 10-6이 된다(5.1.6 참조). 추정분산은 S = (50 μΩ)2 = 2.5

× 10-9 Ω2이다.

4.3.5 가용한 정보를 근거로 입력량 의 값이 와 구간 내에 있을 확률이 50 %라고 판단되는 경우를 생각

해 보자(즉, 가 그 구간내 있을 확률이 0.5 또는 50 %이다). 의 값이 대략 정규분포를 이룬다고 가정하면, 의

최량추정값 는 그 구간의 중앙점에 있는 것으로 볼 수 있다. 더욱이, 그 구간의 반너비가 = /2라면,

기댓값 와 표준편차 인 정규분포에서 ± /1.48 구간이 대략 전체의 50 %를 차지하기 때문에, 의 표준불확

도는 = 1.48가 된다.

예 부품의 치수를 결정하는 기계기사가 부품의 길이를 10.07 mm부터 10.15 mm 사이에 있을 확률이 0.5라고 추정하고, 부품의

길이 은 (10.11 ± 0.04) mm이고, ± 0.04 mm는 50 %의 신뢰의 수준을 갖는 구간을 의미한다고 보고하였다. 그러면 = 0.04

mm이고, 값들이 정규분포를 이룬다고 가정하면, 그 길이의 표준불확도와 추정분산은 각각 다음과 같다. = 1.48 × 0.04

mm ≈ 0.06 mm, = (1.48 × 0.04 mm)2 = 3.5 × 10-3 mm2

4.3.6 가용한 정보를 근거로 입력량 의 값이 와 구간 내에 있을 확률이 약 2/3로 판단되는 경우를 생각해

보자(즉, 가 그 구간내에 있을 확률이 약 0.67이다). 이 경우는, 기댓값 와 표준편차 인 정규분포에서 ±

구간이 대략 전체의 68.3 %를 차지하기 때문에, 의 표준불확도를 근사적으로 = 로 취할 수 있다.

주 만약 확률 = 2/3에 해당하는 실제의 정규편차(normal deviate) 0.967 42를 사용하면, 즉 = /0.967 42 = 1.033라

고 기술하면 에 필요 이상의 의미를 부여하는 것이라 하겠다.

4.3.7 어떤 경우에 입력량 에 대하여 한계값(상한 및 하한)만의 추정이 가능한 경우가 있다. 특히 값이 와

구간에 있을 확률이 1이고, 이 구간 밖에 있을 확률이 반드시 0인 경우를 생각해 보자. 만일 그 구간 내에서 값

에 관한 특별한 지식이 없으면, 그 구간 내에는 어디에서나 가 있을 확률이 같다고 가정할 수밖에 없다(직사각형분

포 － 4.4.5 및 그림 2a 참조). 그러면 의 기댓값 는 구간의 중앙점, = /2가 되고, 관련된 분산은

= /12 (6)

이다. 만일 를 2라고 나타내면, 식 (6)은 다음과 같이 된다.


13

= /3 (7)

주 이러한 방법으로 결정된 불확도 성분이 측정결과의 불확도에 크게 기여한다면 좀 더 자세한 평가를 위한 추가 데이터를 확보

하는 것이 좋다.

예 1 핸드북에서 취한 순수 구리의 20 °C에서 선팽창계수, (Cu)의 값과 그의 오차범위가 다음과 같이 간단히 명시되어 있다

고 하자.

구리의 열팽창계수: (Cu) = 16.52 × 10-6 °C-1

오차: 0.40 × 10-6 °C-1 이내

이러한 경우 (Cu)의 값은 16.12 × 10-6 °C-1과 16.92 × 10-6 °C-1 간격 내에서 어떤 값이든 같은 확률로 될 수 있으며 이 범위

바깥쪽에 있을 확률은 거의 없다고 볼 수 있다. 이때, 반너비 = 0.40 ×10-6 °C-1인 (Cu)의 가능한 값의 대칭 직사각형분포의

분산은 식 (7)에 따라 = (0.40 × 10-6 °C-1)2/3 = 53.3 × 10-15 °C-2이고, 표준불확도는 = (0.40 × 10-6 °C-1)/

= 0.23 × 10-6 °C-1 이다.

예 2 디지털전압계(DVM)에 대한 제작자 규격에 “기기 교정 후 1~2년 사이에 1 V 범위의 정확도는 (14 × 10-6) × 측정값 + (2

× 10-6) × 범위”라고 기재되었다고 하자. 이 기기가 교정된 지 20개월 후 1 V 범위에서 전위차 의 측정에 사용되어 독립적으로

여러 번 반복 측정된 값의 산술평균이 = 0.928 571 V이고, A형 표준불확도가 = 12 μV이었다고 하자. 제작자의 규격에

관련된 표준불확도는 에 부가된 보정값 의 기댓값이 영이고 그 구간 내에 동일한 확률을 가지며 대칭인 한계값을 가지고

있다고 가정한 B형 평가로부터 구할 수 있다. 대칭 직사각형분포에서 의 가능한 값의 반너비 는 다음과 같다. = (14 ×

10-6) × (0.928 571 V) + (2 × 10-6) × (1 V) = 15 μV. 식 (7)로 부터 = 75 μV2이고, = 8.7 μV가 된다. 측정량

의 추정값을 간단히 동일한 기호 로 표시하면 = + = 0.928 571 V로 주어진다. 이 추정값의 합성표준불확도는 의 A형 표준불확도 12 μV와 의 B형 표준불확도 8.7 μV를 합성하여 구할 수 있다. 표준불확도를 합성하는 방법은 5장에서

5.1.5의 예제와 함께 다루었다.

4.3.8 4.3.7에서 입력량 의 상한 및 하한 값 와 는 그의 최량추정값 에 대하여 대칭이 아닐 수도 있다.

좀 더 구체적으로 말하면, 하한값이 로, 그리고 상한값이 로 주어지고, ≠ 인 경우이

다. 이런 경우에 가 와 의 값의 중앙에 있지 않기 때문에, 의 확률분포는 그 범위구간에 걸쳐 균일할 수

없다. 그러나 적합한 분포를 선택할 충분한 정보가 없을 수도 있고, 이런 경우에는 선택하는 모델에 따라 분산의 표현

방법도 달라진다. 이렇게 정보가 불충분한 경우 가장 간단한 근사법은 다음과 같이 온너비 를 갖는 직사각형

분포의 분산을 구하는 것이다(비대칭분포에 대해서는 F.2.4.4 및 G.5.3 참조).

(8)

예 만일 4.3.7의 예 1에서 핸드북에 주어진 구리의 온도계수 값이 다음과 같다고 하자. 구리의 열팽창계수: (Cu) = 16.52 ×

10-6 °C-1, 가능한 최저값: 16.40 × 10-6 °C-1, 가능한 최대값: 16.92 × 10-6 °C-1, 이 경우에는 = 0.12 × 10-6 °C-1이고 =

0.40 × 10-6 °C-1이다. 이때 표준불확도는 = 0.15 × 10-6 °C-1이다.

주 1 한계값이 비대칭인 많은 실제 측정상황에 있어서, 의 새로운 추정값 ′가 한계값들의 중앙점, 즉 ′ /2에

있도록 추정값 에 크기 /2 만큼 보정할 수 있다. 이러한 방법을 사용하면 상황을 새로운 값 ′ = ′ = /2

= /2 = 을 가진 4.3.7의 경우로 변형시킬 수 있다.

주 2 최대 엔트로피 원리에 근거하여, 비대칭인 경우의 확률 도함수가 exp 로 나타내어 질 수 있다.

여기서 expexp, exp exp 이다. 따라서 분산

가 얻어지며, ＞일 때 ＞0이고 ＜일 때 ＜0이다.

4.3.9 4.3.7에서는 추정범위 와 사이에서 가 가질 수 있는 값에 대하여 특별한 지식이 없고 이 범위 밖에

가 존재할 확률은 0이기 때문에, 이 범위 안에서는 가 어떤 값을 갖든지 그 확률이 똑 같다고 가정할 수밖에


14

없었다. 그러나 이 경우 계단함수로 인하여 생기는 한계값(와 )에서의 불연속성은 종종 자연현상에 부합되지 않

는다. 많은 경우에, 가 한계값 근처의 값을 가질 확률은 중앙값 근처의 값을 가질 확률보다 더 낮다고 보는 것이

더욱 현실적이다. 그렇다면 대칭 직사각형분포를 대칭 사다리꼴(이등변 사다리꼴)분포로 대체하는 것이 합리적일 수 있

다. 대칭 사다리꼴분포의 경우 밑너비는 = 2이고, 윗너비는 2이며, 여기서 0≤≤1이다. 가 1에 접근

함(→1)에 따라 이 사다리꼴분포는 직사각형분포에 접근하게 되고, 반면에 = 0이면 삼각형분포가 된다. 에 대

하여 사다리꼴분포를 가정하면, 의 기댓값 /2이고, 관련된 분산은

/6 (9a)

임을 알 수 있으며, = 0의 경우는 삼각형분포가 되어

/6 (9b)

이 된다.

주 1 기댓값 , 표준편차 인 정규분포의 경우 ± 3 구간에 분포의 약 99.73 %가 포함되어 있다. 따라서 만약 상한과 하한,

즉 와 가 100 %의 한계가 아니고 99.73 %의 한계라면, 또 4.3.7에서와 같이 한계 값들 사이에서 에 대해 특별한 정보가

없는 것이 아니고 가 근사적으로 정규분포를 이룬다고 가정한다고 할 때는 /9가 된다. 한편 반너비 의 대칭 직사

각형분포의 분산은 /3 [식 (7)]이고, 반너비 인 대칭 삼각형분포의 분산은 /6 [식 (9b)] 이다. 이 3종류의 분포들은 필요한 정보

의 양에 있어서는 큰 차이가 있지만 분산의 크기들은 매우 비슷하다.

주 2 사다리꼴분포는 두 직사각형분포를 합성곱(convolution)한 것과 같다[10]. 한 직사각형분포의 반너비는 사다리꼴의 평균반너

비와 같은 /2이며, 다른 한 직사각형분포의 반너비는 사다리꼴의 한 삼각 부분의 평균너비와 같은 /2이

다. 이 분포의 분산은 /3

/3이다. 이 합성곱한 분포는, 폭 2인 직사각형분포에서 이 폭 자체의 불확도가 폭이 2인

직사각형분포에 의해 나타내지는 것으로 해석될 수 있다. 따라서 이 분포는 입력량의 한계값이 정확히 알려져 있지 않은 경우의

모델이 된다. 그러나 가 의 30 % 정도가 되더라도, 는 을 5 %도 초과하지 않는다.

4.3.10 불확도 성분을 이중으로 계산하지 않아야 한다. 어떤 효과로 인한 불확도 성분을 B형 평가로 구하는 경우,

관측값의 변동도에 기여하지 않는 부분에 대해서만 합성표준불확도의 계산에 독립된 불확도 성분으로 포함시켜야 한

다. 왜냐하면, 관측값의 변동도에 기여하는 부분으로 인한 불확도는 이미 관측값의 통계적 분석으로부터 얻어지는 불

확도 성분 속에 포함되었기 때문이다.

4.3.11 4.3.3부터 4.3.9까지에 있는 표준불확도의 B형 평가에 대한 논의는 몇 가지 예를 든 것에 지나지 않는다.

더욱이 불확도의 평가는 3.4.1과 3.4.2에서 강조한 바와 같이 가능한 한 정량적 데이터에 근거를 두어야 한다.

4.4 표준불확도 평가의 그림 설명

4.4.1 그림 1은 반복관측으로 표본추출된, 입력량 의 가능한 측정값의 미지의 분포 또는 의 확률분포를 기반

으로 하여, 의 값의 추정과 그 추정값의 불확도 평가를 나타낸 것이다.

4.4.2 그림 1 a)에서, 입력량 는 온도 이고, 의 미지의 분포는 기댓값 = 100 °C, 표준편차 = 1.5 °C인

정규분포라고 가정한 것이다. 이때의 확률 도함수는 다음과 같다(C.2.14 참조).

exp

주 확률 도함수 의 정의에 의하면 ∫ = 1의 관계가 만족되어야 한다.


15

4.4.3 그림 1 b)는 온도 에 대하여 그림 1 a)의 분포로부터 임의로 추출되었다고 가정한 = 20회 반복 관측한

값 를 히스토그램으로 나타낸 것이다. 이 히스토그램을 얻기 위하여, 표 1에 나와 있는 20회의 관측값들이 1 °C 구

간으로 묶여져 있다(물론 이 데이터의 통계분석을 위해 히스토그램이 꼭 필요한 것은 아니다).

표 1 - 1 구간으로 묶은 온도 의 20회 반복 관측값

구 간≤ 온 도

/°C/°C /°C

94.5 95.5 －

95.5 96.5 －

96.5 97.5 96.90

97.5 98.5 98.18; 98.25

98.5 99.5 98.61; 99.03; 99.49

99.5 100.5 99.56; 99.74; 99.89; 100.07; 100.33; 100.42

100.5 101.5 100.68; 100.95; 101.11; 101.20

101.5 102.5 101.57; 101.84; 102.36

102.5 103.5 102.72

103.5 104.5 －

104.5 105.5 －

식 (3)에 따라 계산된 = 20회 관측값의 산술평균 혹은 평균 는 = 100.145 °C ≈ 100.14 °C이고, 이용할 수

있는 데이터에 근거한 의 기댓값 의 최량추정값이라고 가정한다. 식 (4)로부터 계산된 실험표준편차 는

= 1.489 °C ≈ 1.49 °C이고, 식 (5)로부터 계산된 평균의 실험표준편차 , 즉 평균 의 표준불확도

는 = = = 0.333 °C ≈ 0.33 °C이다(나중의 계산을 위하여, 모든 자릿수를 유지하는 것이

바람직하다).

주 고 분해능의 디지털 전자온도계가 널리 사용되는 것을 고려하면 표 1의 데이터가 비현실적인 것만은 아니다. 이 데이터는 설

명을 위한 목적이며, 반드시 실제의 측정을 기술하는 것으로 볼 필요는 없다.

4.4.4 그림 2는 얻을 수 있는 모든 정보에 근거하여, 의 가능한 값의 선험적 분포, 혹은 의 확률분포로부터

입력량 의 값의 추정과 그 추정값의 불확도 평가를 나타낸 것이다. 2가지 경우 모두 입력량을 다시 온도 라고 가

정하였다.

4.4.5 그림 2 a)에서 예시된 경우는 입력량 에 대해 이용할 수 있는 정보가 거의 없고, 는 하한값이 = 96

°C이고 상한값이 = 104 °C이며 반너비는 = /2 = 4 °C인 선험적 대칭 직사각형분포에 의해 기술된

다고 가정된 것이다(4.3.7 참조). 그러면 의 확률 도함수는 다음과 같다.

= 1/(2), ≤ ≤

= 0, 기타 구간

4.3.7에 나타난 바와 같이, 의 최량추정값은 C.3.1에 의해 기댓값 = /2 = 100 °C이며, 이 추정값의

표준불확도는 C.3.2에 의해 = ≈ 2.3 °C가 된다[식 (7) 참조].


16

그림 1 - 반복 관측값으로부터 얻은 입력량의 표준불확도 평가의 도해

a)

b)


17

그림 2 - 선험적 분포로부터 얻은 입력량의 표준불확도 평가의 도해

a)

b)


18

4.4.6 그림 2 b)의 경우 입력량 에 관하여 이용할 수 있는 정보가 덜 한정되어 있고, 는 4.4.5와 동일한 하한값

= 96 °C와 상한값 = 104 °C를 가져 동일한 반너비 = /2 = 4 °C인 대칭 삼각형분포에 의하여

기술된다고 가정된 것이다(4.3.9 참조). 그러면 의 확률 도함수는 다음과 같이 주어진다.

= , ≤ ≤ /2

= , /2≤ ≤

= 0, 기타 구간

4.3.9에서 서술한 바와 같이, 의 기댓값은 C.3.1에 의해 = /2 = 100 °C이며 이 추정값의 표준불확도

는 C.3.2에 의해 = ≈ 1.6 °C가 된다[식 (9b) 참조].

위의 값 = 1.6 °C는 아래의 경우들과 비교해 볼 수 있다. 4.4.5에서 동일한 8 °C의 온너비를 갖는 직사각형분포

로부터 구한 = 2.3 °C, 분포의 99 %를 포함하는 -2.58로부터 +2.58까지의 너비가 거의 8 °C인 그림 1

a)의 정규분포의 = 1.5 °C, 그리고 같은 정규분포로부터 임의로 취한 것으로 가정된 20개의 관측값으로부터 4.4.3

에서 얻어진 = 0.33 °C.

5 합성표준불확도 결정

5.1 상관관계가 없는 입력량

본 소절은 모든 입력량이 독립적(C.3.7)인 경우에 대해 다룬다. 2개 또는 그 이상의 입력량이 서로 관련성이 있는 경

우, 즉 상호 의존적이거나 상관관계(C.2.8)가 있는 경우는 5.2에서 다루고 있다.

5.1.1 측정량 의 추정값 는 측정결과가 되며, 의 표준불확도는 입력량의 추정값 , , ..., (4.1 참조)의

표준불확도를 적절히 합성하여 얻는다. 이 추정값 의 합성표준불확도는 c로 나타낸다.

주 4.3.1의 주에서 설명한 바와 비슷한 이유로 기호 c와 c는 모든 경우에 사용된다.

5.1.2 합성표준불확도 c는 다음과 같은 합성분산 c의 양의 제곱근이다.

c

(10)

여기서 는 식 (1)에 나타나 있는 함수이다. 각각의 는 4.2(A형 평가) 또는 4.3(B형 평가)에 서술된 바에 따라 평

가된 표준불확도이다. 합성표준불확도 c는 추정 표준편차이며 측정량 를 합리적으로 추정한 값의 산포특성을

나타낸다(2.2.3 참조).

식 (10)과, 입력량 간 상관관계가 있는 경우의 식 (13)은 둘 다 의 1차 Taylor 급수 근사식에

기반하며, 본 지침서에서 ‘불확도 전파법칙’(E.3.1 및 E.3.2 참조)이라고 한다.

주 의 비선형성이 클 때에는 테일러 급수 전개의 고차항이 식 (10)의 c의 표현에 반드시 포함되어야 한다. 각 가 정규분

포인 경우 식 (10)에 추가되어야 할 고차항의 가장 중요한 항은 아래와 같다.


19

고차항이 c에 미치는 영향을 고려해야 할 경우는 예 H.1의 사례를 참조하기 바란다.

5.1.3 편도함수 는 = (아래 주 1 참조)에서 구한 와 같다. 이 도함수는 감도계수라 불리며 입

력량의 추정값 , , ..., 의 값이 변할 때 출력량의 추정값 가 얼마나 변화하는지를 나타낸다. 특히 입력량의

추정값 의 근소한 변화 에 따른 의 변화는 = 로 주어진다. 만일 이 변화가 추정값 의

표준불확도에 의해 발생한 것이라면 그에 대응하는 의 분산은 가 된다. 따라서 합성분산 c는 각

입력량의 추정값 의 추정분산에 의해 발생한 출력량의 추정값 의 추정분산을 나타내는 각 항들의 합으로 볼 수

있다. 그러면 식 (10)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

c

≡

(11a)

여기서

≡ , ≡ (11b)

이다.

주 1 엄 히 말하면, 편도함수 는 를 의 기댓값에서 구하는 것이다. 그러나 실무에서는 편도함수를 다음과 같

이 추정한다.

주 2 합성표준불확도 c는 식 (11a)에서 대신 아래의 를 대입하여 수치적으로 구할 수 있다.

즉, 는 와 의 변화로 생기는 의 변화를 계산하여 수치적으로 구할 수 있다. 그러면 의 값으로 를

취할 수 있고 그에 대응하는 감도계수 의 값으로 를 취할 수 있다.

예 4.1.1의 예에서 기호 사용의 단순화를 위해 양과 추정값에 같은 기호를 사용하면

≡

≡

이 되고, 합성표준불확도는 다음과 같이 된다.


20

5.1.4 감도계수 를 함수 로부터 구하는 대신 가끔 실험적으로 결정하기도 한다. 측정자는 다른 입력량을

일정하게 고정시키고 특정 의 변화로 생기는 의 변화를 측정한다. 이 경우 함수 (또는 단지 몇 개의 감도계수만

을 이 방법으로 결정할 때에는 함수의 일부분)에 대한 지식은 측정된 감도계수를 근거로 구한 경험적 1차 Taylor 급수

전개로 좁혀지게 된다.

5.1.5 측정량 에 대한 식 (1)을 입력량 의 명목값 에 대해 1차 전개하면(보통 적절한 근사임) = +

+ + ... + 이 되고, 여기서 와 는 = 와 = - 에서 구한 =

, = 이다. 따라서 불확도 분석을 위해 입력량 를 로 변환시킴으로써 측정량

은 일반적으로 변수들의 선형함수로 근사된다(E.3.1 참조).

예 4.3.7의 예 2에서 측정량 의 추정값은 = + 이며 여기서 = 0.928 571 V, = 12 μV, 추가되는 보정값

= 0이며 = 8.7 μV이다. = 1, = 1이므로 와 관련된 합성분산은 아래와 같이 구해진다.

c = + = (12 μV)2 + (8.7 μV)2 = 219 × 10-12 V2

이에 따라 합성표준불확도 c = 15 μV가 되며 상대합성표준불확도 c는 16 × 10-6이 된다(5.1.6 참조). 이 예는 측정량

이 이미 영향량의 선형함수이며, 감도계수가 = +1인 경우이다. 식 (10)으로부터 = + + ... + 이고, 상수

가 +1 또는 -1이면 당연히 c 가 성립한다.

5.1.6 만일 가 =

의 형태를 취하고, 지수 가 무시할 수 있을 정도의 불확도를 가지며 알려

진 양수 또는 음수일 때는 식 (10)의 합성분산은 다음과 같이 표현될 수 있다.

(12)

이것은 식 (11a)와 같은 형태지만, 합성분산 c를 상대합성분산 c 으로, 각 입력량의 추정값과 관련한 추

정분산 를 상대추정분산 으로 표현한 것이다[상대합성표준불확도는 c 이며 각 입력량의 추

정값의 상대표준불확도는 이고, ≠0, ≠0이다].

주 1 가 이러한 형태를 가지면 = 로 놓음으로써 를 변수들의 선형함수(5.1.5)로 바로 변환시킬 수 있으며 그

결과 다음과 같은 근사관계가 성립한다. . 한편 = ln 와 = ln 와 같이 로그 변환시키면 새로

운 변수에 대한 정확한 선형관계가 얻어진다. = ln .

주 2 만일 각 가 1 또는 -1 중 하나라면 식 (12)는

이 되고, 이런 특수한 경우에는 추정값

에 대한 상대합성분산은 간단히 입력량의 추정값 에 대한 상대추정분산의 합이 된다.

5.2 상관관계가 있는 입력량

5.2.1 식 (10)과 식 (11a) 및 (12)와 같이 식 (10)으로부터 유도된 식은 입력량 (불변량이라고 가정된 물리량이 아

닌 확률변수 － 4.1.1 주 1 참조)가 독립적이거나 상관관계가 없을 때에만 유효하다. 만일 중 몇 개가 의미 있을

정도의 상관관계를 가진다면 그 상관관계를 고려해야 한다.

5.2.2 입력량들 사이에 상관관계가 존재하면 측정결과와 관련된 합성분산 c 의 적절한 표현은 다음과 같다.

c

(13)


21

여기서 와 는 입력량 와 의 추정값이며, 는 와 에 관련된 공분산의 추정값이다.

두 변수 와 사이의 상관관계의 정도는 추정된 상관계수(C.3.6)로서 나타낼 수 있으며 이 추정상관계수는

(14)

로 주어진다. 여기서 , -1 ≤ ≤ 1이다. 만약 추정값 와 가 독립이라면,

= 0이며, 이는 한 추정값의 변화가 다른 추정값의 변화를 초래하지 않음을 의미한다(더 자세한 내용은

C.2.8, C.3.6 및 C.3.7 참조).

공분산보다 더 직접적인 설명이 가능한 상관계수를 사용하면 식 (13)의 공분산항은

(15)

이 된다.

그러면 식 (13)은 식 (11b)에 의해 다음과 같이 된다.

c

(16)

주 1 아주 특수한 경우로 모든 입력량의 추정값들이 상관계수 = +1로 상관관계가 있다면 식 (16)은

c

이 된다. 따라서 합성표준불확도 c는 각 입력량의 추정값인 의 표준불확도에 의하여 발생되는 출력량의 추정값 의 변화량

을 나타내는 항, 즉 들의 선형합으로 단순화된다(5.1.3 참조)[이 선형합은 일반오차의 전파법칙과 비슷한 형태를 취하고 있

으나 혼동해서는 안 된다. 표준불확도는 오차가 아니다(E.3.2 참조)].

예 = 1000 Ω의 명목값을 지닌 10개의 저항기가 교정성적서 상에 s = 100 mΩ의 표준불확도를 지닌 1000 Ω의 표준저

항기 s 와 비교 교정되며 비교 측정시의 불확도는 무시된다고 하자. 도선저항이 무시될 수 있는 정도의 작은 도선을 이용하여 10

개의 저항기들을 직렬로 연결함으로써 명목값 10 kΩ의 교정용 표준저항 ref를 구성하였다. 따라서 ref = = 가

된다. 저항기의 각 쌍에 대하여 = = +1이기 때문에(F.1.2.3 예 2 참조) 주 1의 식이 적용된다. 각 저항기에 대

하여 = ref = 1이고, = = (F.1.2.3 예 2 참조)이므로 이 식으로부터 ref의 합성표준불확도는

cref = = 10 × (100 mΩ) = 1 Ω이 된다. 만약 식 (10)에 따라 합성표준불확도를 cref =

= 0.32 Ω로 결정한다면, 10개 저항기들의 모든 교정값들이 서로 상관관계가 있다는 것을 고려하지 않았기 때문에 결과가 틀리게

된다.

주 2 추정분산 와 추정공분산 는 원소 로 구성된 공분산 행렬의 원소로 간주된다. 행렬의 대각선 원소 는

분산 이며, 비대각선 원소 ≠는 공분산 이다. 만일 2개의 입력량의 추정값이 상관관계가 없다

면 관련된 공분산과 공분산 행렬상의 해당원소 와 는 0(영)이 된다. 만일 입력량의 추정값이 모두 상관관계가 없다면 모든

비대각선 원소는 0이고 공분산 행렬은 대각선 행렬이 된다(C.3.5 참조).

주 3 수치적 계산을 위해 식 (16)을 표현하면

c


22

가 된다. 여기서 는 5.1.3의 주 2에 나와 있다.

주 4 5.1.6에서 검토된 특수한 형태의 가 서로 상관관계가 있다면 다음 항이

식 (12)의 오른쪽에 추가되어야 한다.

5.2.3 임의로 변하는 두 개의 양 와 의 기댓값을 추정하는 두 산술평균 와 을 생각하여 보자. 그리고 와

은 같은 측정조건 하에서 와 을 동시에 번 독립적으로 관측하여 구하도록 한다(B.2.15 참조). 그러면 와 에

대한 공분산(C.3.4 참조)은

(17)

으로 추정된다. 여기서 와 는 양 와 의 개별 관측값이며 와 는 식 (3)에 따라 관측값으로부터 계산된다. 관

측값들이 실제로 상관관계가 없는 경우 공분산을 계산하면 거의 0이 된다.

두 개의 입력량 와 에 대해 같은 측정조건 하에서 얻은 쌍의 독립적인 관측값을 각각 ,

, ..., 라고 하자. 이 관측값으로부터 상관관계가 있는 두 개의 입력량 와 는 산술평균

와 에 의하여 추정되고, 와 의 추정공분산은 = 로 주어지고

는 식

(17) 따라 구해진다. 식 (17)과 같은 적용은 공분산의 A형 평가이다. 또 와 의 추정상관계수는 식 (14)로부터 얻

어지며, = =

이다.

주 식 (17)을 적용하여 공분산을 구할 필요가 있는 예를 H.2와 H.4에 들었다.

5.2.4 상당한 표준불확도를 가지는 동일한 측정기기, 물리측정표준, 또는 참조데이터 등을 사용하여 두 개의 입력량

을 결정하는 경우에는 두 입력량 사이의 상관관계는 매우 클 것이다. 예를 들면 하나의 온도계를 사용하여 입력량

와 의 값을 추정하는데 필요한 온도보정을 하는 경우, 두 입력량 사이의 상관관계는 아주 크다고 할 수 있다. 이

경우의 와 를 보정하지 않는 양들로 다시 바꾸어 정의를 하고, 온도계의 교정곡선을 정의하는 양들을 서로 독립

적인 표준불확도를 갖는 추가 입력량으로 도입하여 측정모델에 포함시키면, 와 간의 상관관계는 없어지게 된다

(추가 내용은 F.1.2.3과 F.1.2.4 참조).

5.2.5 입력량 사이의 상관관계가 유의하게 존재한다면 그 상관관계를 무시해서는 안 된다. 가능하다면 상관관계가

있는 입력량들을 변화시키거나(C.3.6 주 3 참조), 대상이 되는 상관관계가 있는 양의 변동성에 대한 유용한 정보들(분

산의 B형 평가)을 사용해서 공분산을 실험적으로 구해야 한다. 대기온도, 대기압, 습도 등과 같이 공통적인 영향의 효

과로 발생하는 입력량들의 상관관계 정도를 추정할 때에는 경험이나 일반지식(4.3.1과 4.3.2 참조)에 근거한 통찰력이

특히 요구된다. 다행히 많은 경우 이런 영향의 효과는 무시할 수 있을 정도의 상호의존성을 가져서 영향을 받는 입력

량들은 상관관계가 없다고 가정할 수 있다. 그러나 상관관계 없다고 가정할 수 없는 경우에는 5.2.4에 기술한 바와 같

이 공통적인 영향량을 추가 독립 입력량으로 도입하여 상관관계 자체를 피할 수 있다.


23

6 확장불확도의 결정

6.1 서론

6.1.1 본 지침서의 기초가 된(서론 참조) 불확도 표현법에 관한 작업반의 권고사항 INC-1(1980)과 이를 승인하고

재확인한 국제도량형위원회(CIPM)의 권고사항 1(CI-1981) 및 다른 권고사항 1(CI-1986)은 측정결과의 불확도를 정량

적으로 표현하기 위한 파라미터로 합성표준불확도 c를 사용할 것을 주장하였다. 사실 CIPM은 그 두 번째 권고사

항에서 “CIPM과 자문위원회가 주관하여 실시하는 모든 국제비교나 기타 다른 작업들의 결과를 구할 때 모든 참여자

들은” 합성표준불확도라고 명명된 c의 사용을 요구하였다.

6.1.2 c는 측정결과의 불확도를 표현하는데 보편적으로 사용될 수 있지만, 어떤 상업, 산업 및 규제에 적용하

거나, 보건과 안전에 관련될 경우에는 측정량에 합리적으로 기여할 수 있는 값들의 분포의 대부분을 포함할 것으로 기

대하는 측정결과에 대한 구간을 정의하는 불확도의 척도를 제공하는 것이 종종 필요하다. 작업반은 이런 요구의 존재

를 인식하여 권고사항 INC-1(1980)의 제5항을 제정하였다. 또 그것은 CIPM의 권고사항 1(CI-1986)에 반영되었다.

6.2 확장불확도

6.2.1 6.1.2에서 설명한 구간 제공의 요구조건을 충족하는 불확도의 추가적인 척도를 확장불확도라고 하며 이를

로 표현한다. 확장불확도 는 합성표준불확도 c에 포함인자 를 곱하여 얻어진다.

c (18)

따라서 측정결과는 ±로 간편하게 표현된다. 이 표현이 나타내는 것은 측정량 에 대한 최량추정값은 이

고, 의 값이 이루는 분포의 대부분이 에서 까지의 구간에 포함될 것으로 기대된다는 것이다. 또 이 구

간은 ≤ ≤ 로 표현하기도 한다.

6.2.2 신뢰구간(C.2.27, C.2.28)과 신뢰수준(C.2.29)이라는 용어는 통계학에서 특정한 정의를 가지며, 이것들은

에 의해 정의된 구간에 적용될 수 있기 위해서는 몇 가지 조건들을 만족해야 하는데 그 중에 하나가 c에 기여하

는 불확도의 모든 성분들이 A형 평가로 부터 구해져야 한다는 것이다. 따라서 이 지침서에서 에 의해 정의된 구간

을 언급할 때, “신뢰(confidence)”라는 단어는 “구간(interval)”이라는 단어를 수식하는데 사용되고 있지 않다. 그리고

“신뢰수준(confidence level)”은 그 구간과 관련되어 사용되지 않고 대신에 “신뢰의 수준(level of confidence)”이라는 용

어가 사용된다. 좀 더 구체적으로 말하면, 는 측정결과와 그 합성표준불확도로 특성 지어지는 확률분포의 대부분( )

을 포함하는 그 측정결과에 대한 구간을 정의하는 것으로 본다. 여기서 는 포함확률 또는 그 구간의 신뢰의 수준(level of confidence of the interval)이다.

6.2.3 실제적으로 가능한 경우는 반드시 에 의해 정의된 구간에 대한 신뢰의 수준 를 추정하여 명시해 주어야

한다. c에 상수를 곱하는 것은 새로운 정보를 주기 위한 것이 아니라 기존의 유용한 정보를 다른 형태로 나타낸

것임을 알고 있어야 한다. 그러나 대부분의 경우에, 와 c에 의해 특성 지어지는 확률분포에 대한 제한된 정보(특

히 양극단 부분)뿐만 아니라 c 자체의 불확도 때문에, 신뢰의 수준 (특히 1에 가까운 값일 경우)가 다소 불확실

하다는 것도 또한 알고 있어야 한다(2.3.5의 주 2, 6.3.2, 6.3.3 및 부록 G, 특히 G.6.6 참조).

주 불확도의 척도로 c 그리고 를 사용할 때 측정결과의 명시에 선호되는 방법에 대해서는 각각 7.2.2와 7.2.4를 참조

6.3 포함인자 선택

6.3.1 포함인자 의 값은 에서 의 구간에 요구되는 신뢰의 수준에 따라 선택된다. 일반적으로 는 2

와 3사이의 값이 된다. 그러나 특별한 경우에 대해서 는 이 범위를 벗어날 수도 있다. 측정결과의 사용에 대한 풍부

한 경험과 해박한 지식이 적당한 의 값을 선택하는데 도움이 될 것이다.


24

주 계통효과에 따른 보정값 를 알고 있음에도 보고된 측정결과에 적용하지 않고, 그 대신에 측정결과에 부여된 “불확도”를 크게

함으로써 그 효과를 반영하려 하는 시도를 종종 발견할 수 있다. 이러한 시도를 해서는 안 된다. 알고 있는 주요 계통효과에 대한

보정을 측정결과에 적용하지 않는 것은 아주 특수한 경우로 제한한다(특수한 경우와 취급방법은 F.2.4.5 참조). 측정결과의 불확도

평가를 어떤 양에 안전한계를 설정하는 것과 혼동해서는 안 된다.

6.3.2 포함인자 의 값을 95 % 또는 99 %와 같은 특정 신뢰의 수준에 해당하는 구간 = ± = ±

c를 정할 수 있도록 선택할 수 있으면 이상적이다. 다시 말하면 주어진 의 값에 대해 그 구간과 관련된 신뢰의

수준을 명확히 명시할 수 있는 것이 좋다. 그러나 이를 위해서는 측정결과 와 그 합성표준불확도 c로 특성화

되는 확률분포에 대한 광범위한 지식을 필요로 하기 때문에 실무적으로 쉬운 일이 아니다. 이 파라미터들은 매우 중요

하지만 정확히 알려진 신뢰의 수준을 갖는 구간을 설정하는 데는 이들만으로는 불충분하다.

6.3.3 권고안 INC-I(1980)은 와 의 관계를 어떻게 확립되어야 하는지에 대해서는 규정하지 않고 있다. 이 문제

는 부록 G에서 검토하였으며 근사해를 구하기 위해 선호되는 방법은 G.4에 수록되어 있고 G.6.4에 요약되어 있다.

그러나 와 c로 특성화된 확률분포가 거의 정규분포이고 c의 유효자유도가 매우 큰 측정상황에서는 G.6.6

에서 검토된 간편한 방식이 좀 더 적절한 경우가 많다. 실무에서 자주 발생하는 이러한 경우에는 = 2로 하면 신뢰

의 수준이 약 95 %가 되는 구간을 설정하고, = 3으로 하면 신뢰의 수준이 약 99 %가 되는 구간을 설정한다고 가

정할 수 있다.

주 c의 유효자유도를 추정하는 방법은 G.4에 나와 있다. 따라서 부록 G의 표 G.2는 특수한 측정에서 이 해법이 적정한 것인

지 결정하는데 도움이 될 것이다(G.6.6 참조).

7 불확도 보고

7.1 일반지침

7.1.1 일반적으로 측정등급체계에서 등급이 올라갈수록, 측정결과와 그 불확도가 산출된 방법에 대하여 더 상세한

내용이 요구된다. 그렇지만 시장에서의 상업 및 규제 활동, 산업에서의 기술적 작업, 낮은 등급의 교정설비, 산업체의

연구 및 개발, 학술연구, 산업체의 일차표준 및 교정기관, 국가측정과학연구기관, BIPM 등을 포함한 측정등급체계의

모든 등급에서 측정을 재평가하는데 필요한 모든 정보가 이를 필요로 하는 다른 사람들에게 이용 가능해야 한다. 주요

차이는 측정사슬의 더 낮은 등급에서는 필요한 정보의 더 많은 것들이 발간된 교정 및 시험 시스템에 대한 보고서,

시험규격, 교정 및 시험 성적서, 기기 사용설명서, 국제 및 국가 표준, 지역 규정 등의 형태로 이용될 수 있도록 만들

어질 수 있다는 것이다.

7.1.2 측정결과를 종종 성적서로 보고하는 경우에서와 같이 결과의 불확도를 어떻게 평가하였는가 등의 측정의 세

부사항이 발간된 문서를 참조하여 제공될 때, 이 발간된 문서는 실제 사용한 측정절차와 일치되도록 최신의 것으로 유

지하는 것이 반드시 필요하다.

7.1.3 산업 및 상업에서 수많은 측정이 불확도에 대한 명시적인 보고 없이 매일 이루어지고 있다. 그러나 많은 측

정은 주기적인 교정 또는 법적인 검사의 대상이 되는 기기로 수행된다. 만약 이러한 측정기기들이 기기규격이나 적용

되는 현행의 규정문서와 적합하다고 알려져 있다면, 그 측정기기의 지시값의 불확도는 이러한 규격이나 규정문서로부

터 추정될 수 있을 것이다.

7.1.4 실제로 측정결과를 문서화할 때 필요한 정보의 양은 사용목적에 따라 달라지지만, 무엇이 요구되는가에 대한

기본원칙은 달라지지 않는다. 즉, 측정결과와 그 불확도를 보고할 때, 정보의 양이 너무 적은 것보다는 정보의 양이

지나치게 많다고 할지라도 많은 편이 바람직하다. 예를 들면 다음과 같이 해야 한다.

a) 실험 관측과 입력 데이터로부터 측정결과와 그 불확도를 계산하기 위해 사용된 방법을 명확하게 기술한다.


25

b) 모든 불확도 성분들을 열거하고 이 성분을 어떻게 평가했는가를 충분히 기술한다.

c) 필요한 경우 각각의 중요한 단계를 쉽게 따라 할 수 있고, 보고된 결과를 독립적으로 반복하여 계산할 수 있도록

데이터 분석방법을 제시한다.

d) 분석에 사용된 모든 보정값 및 상수들과 그들의 출처를 명시한다.

전술한 항목에 대한 확인은 “나는 새로운 정보나 자료가 추가될 경우 나의 측정결과가 업데이트될 수 있도록 충분한

정보를 아주 정확한 방법으로 제공 하였는가?”라고 스스로에게 자문하는 것이다.

7.2 특별지침

7.2.1 측정결과를 보고할 때 불확도의 척도가 합성표준불확도 c이면 다음과 같이 해야 한다.

a) 측정량 가 어떻게 정의되었는가에 대하여 충분하게 기술한다.

b) 측정량 의 추정값 와 그 합성표준불확도 c를 주어야 한다. 이때 및 c의 단위는 항상 반드시 주어

져야 한다.

c) 필요한 경우 상대합성표준불확도 c , ( ≠ 0일 때)을 포함한다.

d) 7.2.7에 기술된 정보를 제공하거나 이를 포함하는 발간된 문서를 참고한다.

만일 측정결과를 이용하는 사람들에게 유용하다고 생각되면, 예를 들어 포함인자를 계산하는데 도움이 되거나 측정을

이해하는데 도움이 되는 경우에는 다음 사항을 표시할 수도 있다.

－ 추정유효자유도 ef f (G.4 참조)

－ A형 및 B형의 합성표준불확도 cA , cB 와 각각의 추정유효자유도 ef fA , ef fB (G.4.1의 주 3 참조)

7.2.2 불확도의 척도가 c일 때, 잘못 이해하지 않도록 측정의 수치 결과를 다음 4가지 중 한가지로 표시하는

것이 좋다(보고하려는 값의 양이 명목값이 100 g인 질량표준 S이라고 가정하자. 결과를 보고하는 문서 중에 c 가

정의되어 있는 경우에는 괄호 안의 용어는 생략할 수 있다.).

1) “S = 100.021 47 g, (합성표준불확도) c = 0.35 mg”

2) “S = 100.021 47(35) g, 여기서 괄호 안의 숫자는 인용된 결과의 마지막 두 자리에 해당되는 (합성표준불확도)

c의 수치이다.”

3) “S = 100.021 47(0.000 35) g, 여기서 괄호 안의 숫자는 합성표준불확도 c를 인용된 결과의 단위로 표시한

수치이다.”

4) “S = (100.021 47 ± 0.000 35) g, 다만 여기서 기호 ± 다음의 숫자는 합성표준불확도 c의 수치이며 신뢰구간

이 아니다.”

주 여기서 ± 형식은 가능한 피하는 것이 좋다. 왜냐하면 이것은 높은 신뢰수준에 해당되는 구간을 나타내기 위해 전통적으로 사

용되어 왔고 확장불확도와 혼동할 수 있기 때문이다(7.2.4 참조). 더욱이 상기 4)의 단서는 이러한 혼동을 막기 위한 것이지만

= ± c라는 표시하는 것은 위의 단서가 우연히 누락되는 특별한 경우에 = 1인 확장불확도로 여길 수도 있고, 구간


26

c ≤≤ c이 특정한 신뢰의 수준 , 즉 정규분포에 관련된 것으로 의미하기 때문에 여전히 오해될 수 있다

(G.1.3 참조). 6.3.2 및 부록 G에서 기술한 바와 같이 c를 이런 방법으로 설명하는 것은 보통의 경우 정당화시키기 어렵다.

7.2.3 측정결과를 보고할 때와 불확도의 척도가 확장불확도 = c인 경우에는 다음과 같이 해야 한다.

a) 측정량 가 어떻게 정의되었는가를 충분하게 기술한다.

b) 측정결과를 ±로 나타내고, 및 의 단위를 표시한다.

c) 필요하다면, 상대확장불확도 ( ≠ 0)를 포함시킨다.

d) 를 얻기 위해 사용한 포함인자 의 값을 제시한다(또는 사용자의 편의를 위해 및 c 둘 다 표시한다.).

e) 구간 ±와 관련된 근사 신뢰의 수준을 제시하고 그 값을 어떻게 결정하였는가를 기술한다.

f) 7.2.7에서 요약한 정보를 제공하거나 이를 포함하고 있는 발간문서를 참고한다.

7.2.4 불확도의 척도가 일 때는, 보다 명확히 하기 위하여 다음의 예시처럼 측정의 수치 결과를 명시하는 것이

좋다(결과를 보고하는 문서 중에 , c, 가 정의되어 있는 경우에는 간략하게 하기 위해 괄호 안의 용어는 생략할

수 있다.).

“S = (100.021 47 ± 0.000 79) g, 여기서 ± 기호 다음의 숫자는 (확장불확도) = c 의 값이며, 이 값은

(합성표준불확도) c = 0.35 mg과 자유도 = 9에 대한 분포에 근거한 (포함인자) = 2.26으로부터 결정되

었고, 이는 95 % 신뢰의 수준을 갖는 것으로 추정되는 구간을 나타낸다.”

7.2.5 만약 어떤 측정에서 복수의 측정량을 동시에 결정하는 경우, 즉 두 개 또는 그 이상의 출력 추정값 를 제시

하는 경우에는(H.2, H.3, H.4 참조), 및 c를 제시하는 것 이외에도 공분산 행렬원소 또는 상관계수

행렬(C.3.6의 주 2 참조)의 원소 를 제시해야 한다(둘 다 제시하면 더 좋다).

7.2.6 추정값 와 그 합성표준불확도 c 또는 확장불확도 의 수치는 필요이상의 과다한 자릿수로 표시하지

않아야 한다. 후속 계산에서 수치맺음에 의한 오차를 피하기 위하여 추가 자릿수를 남겨 놓을 필요가 있는 경우가 있

지만, c 및 는(입력 추정값 의 표준불확도 도 마찬가지이며) 일반적으로 많아야 유효숫자 두 개면 충분

하다.

최종결과를 보고할 때 불확도는 반올림한 값을 사용하는 것보다 그냥 올림하는 것이 적합할 경우가 종종 있다. 예를

들어, = 10.47 mΩ은 11 mΩ로 올림할 수도 있다. 그러나 = 28.05 kHz인 경우는 일반 상식 선에서 판

단하여 29 kHz로 하지 않고 아래 자리를 잘라 내어 28 kHz로 하는 것이 적절하다. 또한 출력 및 입력 추정값은 그

불확도와 일치하도록 수치맺음을 해야 한다. 예를 들어, = 10.057 62 Ω, c = 27 mΩ인 경우에는 =

10.058 Ω이 되도록 반올림해야 한다. 상관계수는 그 절대값이 1에 가까울 때 세 자릿수의 정확도로 나타내야 한다.

7.2.7 측정결과와 그 불확도가 어떻게 얻어 졌는가를 기술하는 상세 보고서는 7.1.4에서 추천한 사항에 따라 작성

해야 한다. 즉,

a) 각 입력량 추정값 와 표준불확도 를 구한 방법과 함께 기록한다.

b) 상관관계가 있는 모든 입력량과 연관된 추정공분산 또는 추정상관계수(가급적 두 가지 모두)와 이들을 구하기 위하

여 사용된 방법을 제시한다.


27

c) 각 입력량 추정값의 표준불확도에 대한 자유도와 산출방법을 제시한다.

d) 함수관계 = 와, 필요하다고 생각되면 편도함수 또는 감도계수 를 제시한다. 실험적

으로 계수들이 결정된 경우 반드시 이를 기록해야 한다.

주 이러한 함수관계 는 극히 복잡하거나 또는 명확하게 나타내지 못하고 컴퓨터 프로그램으로만 존재할 수 있기 때문에 와

그들의 도함수를 나타내는 것이 항상 가능하지 않을 것이다. 함수 를 일반적인 용어로 기술하거나 또는 사용된 프로그램을 참고

문헌과 함께 인용할 수도 있다. 이러한 경우 측정량 의 추정값 와 합성표준불확도 c가 어떻게 산출되었는지를 분명하게

하는 것이 중요하다.

8 불확도 평가 및 표현 절차의 요약

본 지침서에서 제시한 대로 측정결과의 불확도를 평가하고 표현하기 위해 따라야 할 절차는 다음과 같이 요약될 수

있다.

1) 측정량 와 입력량 사이의 관계, = 을 수학적으로 표현한다. 함수 는 모든 보정값과

보정인자를 포함하여 측정결과에 의미있는 불확도 성분으로 기여할 수 있는 모든 양을 포함하여야 한다(4.1.1 및

4.1.2 참조).

2) 입력량 의 추정값 를 일련의 관측값의 통계적 분석 또는 다른 방법으로 구한다(4.1.3 참조).

3) 각 입력량 추정값 의 표준불확도를 평가한다. 일련의 관측값을 통계적으로 분석하여 얻은 입력량 추정값의 표준

불확도는 4.2에 서술한 방법으로 평가한다(표준불확도의 A형 평가). 다른 방법으로 얻은 입력량 추정값의 표준불

확도 는 4.3에 서술한 방법으로 평가한다(표준불확도의 B형 평가).

4) 상관관계가 있는 입력량의 추정값과 관련된 공분산을 평가한다(5.2 참조).

5) 2단계에서 구한 입력량 의 추정값 를 사용하여 함수관계 로부터 측정결과, 즉 측정량 의 추정값 를 구

한다(4.1.4 참조).

6) 5절에서 서술한 방법으로 입력량과 관련된 표준불확도와 공분산으로 측정결과 의 합성표준불확도 c를 결정

한다. 만일 측정이 하나이상의 출력량을 동시에 산출하는 것이라면 그들의 공분산을 계산한다(7.2.5, H.2, H.3 및

H.4 참조).

7) 측정량 를 합리적으로 추정한 값의 분포의 대부분을 포함할 것으로 기대되는 에서 의 구간을 설정

하기 위한 확장불확도 를 구할 필요가 있을 때는 = c를 얻기 위해 합성표준불확도 c에 보통 2와

3 사이의 값이 되는 포함인자 를 곱한다. 의 값은 구간에서 요구되는 신뢰의 수준에 따라 선택한다(명시된 값

에 가까운 신뢰의 수준을 갖는 구간을 정하는 의 값 선택에 대해 논의한 6.2, 6.3 및 특히 부록 G 참조).

8) 7.2.1과 7.2.3에서 논의한 바와 같이 측정결과 를 합성표준불확도 c 또는 확장불확도 와 함께 보고한다.

7.2.2와 7.2.4에서 추천한 형식 중 하나를 사용한다. 또한 7절에서 개괄적으로 설명한 바와 같이 와 c 또는

를 구한 방식을 서술한다.


28

부록 A

WG과 국제도량형위원회의 권고사항

A.1 권고사항 INC-1(1980)

불확도 표현법에 대한 WG(서문 참조)은 국제도량형위원회(CIPM)의 요청에 따라 국제도량형국(BIPM)에 의해 1980년

10월에 소집되었다. WG은 하나의 상세보고서를 준비하여 CIPM에 제출하였으며 CIPM은 그 보고서를 검토 후 권고

사항 INC-1(1980)[2]로 승인하였다. 이 권고사항의 영어 번역본은 본 지침서 0.7에 수록되어 있으며 정식의 불어 원문

은 다음과 같다[2].

Expression des incertitudes expérimentales

Recommandation INC-1 (1980)

1) L'incertitude d'un résulatat de mesure comprend généralement plusieurs composantes qui peuvent

être groupées en deux catégories d'après la méthode utilisée pour estimer leur valeur numérique:

A. celles qui sont évaluées à l'aide de méthodes statistiques,

B. celles qui sont évaluées par d'autres moyens.

Il n'y a pas toujours une correspondance simple entre le classement dans les catégories A ou B et

le caractère «aléatoire» ou «systématique» utilisé antérieurement pour classer les incertitudes.

L'expression «incertitude systématique» est susceptible de conduire à des erreurs d'interprétation; elle

doit être évitée.

Toute description détaillée de l'incertitude devrait comprendre une liste complète de ses composantes

et indiquer pour chacune la méthode utilisée pour lui attribuer une valeur numérique.

2) Les composantes de la catégorie A sont caractérisées par les variances estimées (ou les «écart-

types» estimés ) et les nombres de degrés de liberté. Le cas échéant, les covariances estimées

doivent être données.

3) Les composantes de la catégorie B devraient être caractérisées par des termes qui puissent être

considérés comme des approximations des variances correspondantes dont on admet l'existence. Les

termes peuvent être traités comme des variances et les termes comme des écarts-types. Le

cas échéant, les covariances doivent être traitées de façon analogue.

4) L'incertitude composée devrait être caractérisée par la valeur obtenue en appliquant la méthode

usuelle de combinaison des variances. L'incertitude composée ainsi que ses composantes devraient

être exprimées sous la forme d'«écart-types».

5) Si pour des utilisations particulières on est amené à multiplier par un facteur l'incertitude composée

afin d'obtenir une incertitude globale, la valeur numérique de ce facteur doit toujours être donnée.


29

A.2 권고사항 1(CI-1981)

국제도량형위원회는 불확도 표현법에 대해 WG이 제출한 보고서를 검토한 후 1981년 10월에 개최된 제70차 도량형

위원회 회의에서 다음 권고사항을 채택하였다[3].

권고사항 1(CI-1981)

실험불확도의 표현

국제도량형위원회는

－ 측정학에서 측정불확도 표현 방법의 합의점을 찾아내야할 필요성과

－ 많은 기구들이 여러 해 동안 이러한 합의점 도출을 위해 헌신해 왔던 노력과

－ 1980년 국제도량형국에서 개최된 불확도 표현에 대한 WG의 토론의 결과로 합의될 수 있는 해법 마련에

많은 진전이 있음을

고려하고

－ WG의 제안이 불확도 표현의 최종 합의점의 기본을 제공할 수 있다는 점을

인식하여

－ WG의 제안이 널리 확산되어야 하며

－ 국제도량형국은 향후 국제도량형국이 주관하여 실시하는 국제비교에 그 원칙들을 적용해 볼 것

－ 다른 이해 관련 기관들은 이 제안들을 조사 및 시험해본 후 견해를 국제도량형국에 통보해 줄 것

－ 국제도량형국은 2, 3년 후 본 제안의 응용에 관하여 다시 보고할 것 등을

권고한다.

A.3 권고사항 1(CI-1986)

국제도량형위원회는 1986년 개최된 제75차 회의에서 불확도 표현에 관한 사항을 고려한 후 다름 권고사항을 채택하

였다[4].

권고사항 1(CI-1986)

국제도량형위원회 후원으로 수행되는 작업에 있어서 불확도 표현

국제도량형위원회는

WG이 불확도 표현법에 관한 권고사항 INC-1(1980)을 채택하고 국제도량형위원회가 권고사항 1(CI-1981)을 채

택하였음을 고려하고,


30

자문위원회(Comités Consultatifs)의 몇 몇 위원들이 특히 국제비교와 같이 그들의 이해 범위 내에 있는 작업의

목적상 본 권고사항의 명확화를 원할 수 있음을 고려하여,

상업적 중요성을 갖는 것 등의 특정 응용과 관련된 권고사항 INC-1(1980) 5항이 CIPM과의 합의와 협력하에

ISO, OIML 및 IEC와 공통되는 ISO의 WG에서 검토되고 있음을 인식하여,

권고사항 INC-1(1980) 4항이 국제도량형위원회 또는 자문위원회가 후원하는 국제비교나 다른 작업에 참여하는

모든 참가자에게 적용되어야 하며, A형 및 B형 불확도의 합성불확도는 하나의 표준편차 형태로 나타내어야 함

을 요구한다.


31

부록 B

일반 측정학 용어

B.1 정의의 근거

본 지침서와 관련하여 이 부록에 수록된 일반 측정학 용어는 1993년에 ISO가 7개 기구(BIPM, IEC, IFCC, ISO,

IUPAC, IUPAP 및 OIML)를 대표하여 발간한 국제측정학용어집(약어 VIM) 제2판**에서 인용한 것이다. 이 부록이나

본문에 포함되지 않은 용어의 정의에 대하여는 우선적으로 VIM을 참조하여야 한다.

주 일부 기초 통계 용어 및 개념은 부록 C에 수록되어 있고, “참값”, “오차” 및 “불확도” 등은 부록 D에 자세히 설명되어 있다.

B.2 정의

이하의 정의에서 몇몇 용어의 단어 양쪽에 괄호를 사용한 것은 0절에서와 같이 혼동의 여지가 없는 경우 생략될 수도

있음을 의미한다.

몇몇의 주에서 굵은 활자체로 표시한 용어는 그 주에서 묵시적 또는 명시적으로 정의된 추가 측정학 용어이다(참고문

헌 [6] 참조).

B.2.1(측정 가능한) 양 / (measurable) quantity정성적으로 구분되고 정량적으로 결정될 수 있는 어떤 현상, 물체 또는 물질의 속성

주 1 양이라는 용어는 일반적 의미의 양(예 1 참조) 또는 특정량(예 2 참조)을 나타낼 수 있다.

예 1 일반적 의미의 양: 길이, 시간, 질량, 온도, 전기저항, 물질량농도

예 2 특정량:

－ 주어진 막대의 길이

－ 주어진 전선 시료의 전기저항

－ 주어진 샘플와인에 포함된 에탄올의 물질량농도

주 2 크기의 순서를 서로 상대적으로 정할 수 있는 양들을 같은 종류의 양이라 부른다.

주 3 같은 종류의 양들은 양의 범주로 분류하여 함께 모을 수 있다. 예로써

－ 일, 열, 에너지

－ 두께, 원둘레, 파장

주 4 양의 기호는 ISO 31****에 나와 있다.

[VIM:1993, 정의 1.1]


VIM 제3판은 ISO/IEC Guide 99 - 기본 및 일반 개념과 관련용어 - 로 2007년도에 발간되었다.

** 2008년판의 각주

ISO 31 시리즈는 ISO 80000 및 IEC 80000 문서의 시리즈로 개정 중에 있다(이들 중 일부 문서는 이미 발간된 바 있다.).


32

B.2.2(양의) 값 / value (of a quantity)측정단위에 어떤 수를 곱하여 일반적으로 나타낸 특정량의 크기

예 1 막대의 길이: 5.34 m 또는 534 cm

예 2 물체의 질량: 0.152 kg 또는 152 g

예 3 물(H2O) 시료의 물질량: 0.012 mol 또는 12 mmol

주 1 양의 값은 양, 음 또는 0일 수 있다.

주 2 양의 값은 하나 이상의 방법으로 표현될 수 있다.

주 3 차원 일의 양의 값은 보통 숫자로만 표현한다.

주 4 측정단위에 수를 곱하여 나타낼 수 없는 양은 협정기준척도 또는 측정절차 또는 양쪽 모두를 인용하여 표현할 수 있다.

[VIM:1993, 정의 1.18]

B.2.3(양의) 참값 / true value (of a quantity)주어진 특정량의 정의와 일치하는 값

주 1 이것은 완전한 측정으로 얻어질 수 있는 값이다.

주 2 참값은 원래 정하여질 수 없는 값이다.

주 3 주어진 특정양의 정의에 일치하는 값이 많이 있을 수 있으므로 “참값”과 관련하여서는 정관사 “the” 보다 부정관사 “a”가

사용된다.

[VIM:1993, 정의 1.19]

지침서 의견: 본 지침서에서 “참값”이라는 용어를 사용하지 않는 이유와 “측정량의(또는 양의) 참값”과 “측정량의(또는

양의) 값”을 같은 것으로 간주하는 이유는 부록 D, 특히 D.3.5를 참고하기 바란다.

B.2.4(양의) 협정참값 / conventional true value (of a quantity)특정량에 부여된 값으로서 주어진 목적에 적합한 불확도를 갖는 것으로, 때로는 협정에 의해 인정된 값

예 1 특정 지역에서 기준표준으로 구현한 양에 해당하는 값은 협정참값으로 인정될 수 있다.

예 2 CODATA(1986)는 Avogadro 상수의 값으로 6.022 136 7 × 1023 mol-1을 추천하였다.

주 1 “협정참값”은 때로는 설정값(assigned value), 그 값의 최량추정값(best estimate of the value), 협정값(conventional value) 또는 기준값(reference value)이라고도 부른다. 이런 의미의 “기준값(reference value)”은 VIM:1993, 정의 5.7의 주에서 사

용된 “기준값(reference value)”과 의미상 혼동해서는 안 된다.

주 2 어떤 양에 대한 여러 측정결과는 종종 협정참값을 정하는데 사용된다.

[VIM:1993, 정의 1.20]

지침서 의견: B.2.3에 대한 지침서 의견 참조


33

B.2.5측정 / measurement양의 값을 결정하기 위한 일련의 작업

주 그 작업은 자동적으로 수행될 수 있다.

[VIM:1993, 정의 2.1]

B.2.6측정원리 / principle of measurement측정의 과학적 근거

예 1 온도 측정에 적용한 열전효과

예 2 전위차 측정에 적용한 조셉슨 효과

예 3 속도 측정에 적용한 도플러 효과

예 4 분자 진동의 파수 측정에 적용한 라만 효과

[VIM:1993, 정의 2.3]

B.2.7측정방법 / method of measurement일반적으로 기술된 측정에 사용된 논리적인 일련의 작업

주 측정방법에는 다음과 같은 여러 방법이 있을 수 있다.

－ 치환법(substitution method)

－ 차동법(differential method)

－ 영위법(null method)

[VIM:1993, 정의 2.4]

B.2.8측정절차 / measurement procedure주어진 방법에 따라 특정 측정 수행에 사용된, 명확히 기술된 일련의 작업

주 측정절차는 “측정절차(또는 측정방법)”라고 불리는 문서에 기록되며, 작업자가 추가적인 정보가 없이 측정을 수행할 수 있도록

자세히 기술된다.

[VIM:1993, 정의 2.5]

B.2.9측정량 / measurand측정의 대상이 되는 특정한 양

예 20 °C에서 물 시료의 증기압

주 측정량을 상세히 기술하자면 시간, 온도, 압력 등과 같은 양에 관하여 명시할 필요가 있다.

[VIM:1993, 정의 2.6]


34

B.2.10영향량 / influence quantity측정량은 아니지만, 측정의 결과에 영향을 주는 양

예 1 길이를 측정할 때 마이크로미터의 온도

예 2 교류전압차의 크기를 측정할 때 주파수

예 3 사람의 혈장시료 중 헤모글로빈의 농도를 측정할 때 비리루빈의 농도

[VIM:1993, 정의 2.7]

지침서 의견: 영향량의 정의는 측정기기의 단기간 변동과 같은 현상과 주위 온도, 대기압 및 습도 등의 양뿐만 아니라

측정결과에 영향을 주는 측정표준기, 표준물질 및 참조데이터에 관련된 값도 포함하는 것으로 이해된다.

B.2.11측정결과 / result of a measurement측정에 의해 얻어진 측정량의 추정값

주 1 측정결과가 주어지는 경우, 아래의 어느 것에 관련되는 지를 명백하게 하여야 한다.

－ 지시값

－ 보정전 결과

－ 보정후 결과

그리고 여러 개의 값을 평균한 것인 지의 여부

주 2 측정결과의 완전한 보고는 측정불확도에 대한 정보를 포함하여야 한다.

[VIM:1993, 정의 3.1]

B.2.12보정전 결과 / uncorrected result계통오차를 보정하기 전의 측정결과

[VIM:1993, 정의 3.3]

B.2.13보정후 결과 / corrected result계통오차를 보정한 후의 측정결과

[VIM:1993, 정의 3.4]

B.2.14측정정확도 / accuracy of measurement측정결과와 측정량의 참값이 서로 일치하는 정도

주 1 “정확도”는 정성적인 개념의 용어이다.

주 2 정 도(precision)라는 용어를 “정확도” 대신에 사용하지 말아야 한다.

[VIM:1993, 정의 3.5]

지침서 의견: B.2.3의 지침서 의견 참조


35

B.2.15(측정결과의) 반복성 / repeatability (of results of measurements)같은 측정 조건에서 같은 측정량을 연속적으로 측정하여 얻은 결과들 사이의 일치하는 정도

주 1 이러한 조건을 반복성 조건이라 한다.

주 2 반복성 조건은 다음을 포함한다.

－ 같은 측정 절차

－ 같은 관측자

－ 같은 조건 하에서 사용된 같은 측정기기

－ 같은 장소

－ 짧은 시간 내의 반복

주 3 반복성은 결과의 산포 특성을 이용하여 정량적으로 표현할 수 있다.

[VIM:1993, 정의 3.6]

B.2.16(측정결과의) 재현성 / reproducibility (of results of measurements)변경된 측정 조건에서 같은 측정량을 측정하여 얻은 결과들 사이의 일치하는 정도

주 1 재현성에 대한 기술이 타당하려면 변경된 조건을 명기하여야 한다.

주 2 변경된 조건은 다음을 포함할 수 있다.

－ 측정원리

－ 측정방법

－ 관측자

－ 측정기기

－ 기준표준

－ 장소

－ 사용 조건

－ 시간

주 3 재현성은 결과의 산포특성의 형태로 정량적으로 표현할 수 있다.

주 4 여기서 결과란 통상 보정후 결과를 의미한다.

[VIM:1993, 정의 3.7]

B.2.17실험표준편차 / experimental standard deviation같은 측정량에 대한 일련의 회 측정에서, 결과의 산포 특성을 나타내는 양 이며 다음과 같은 식으로 주어진다.

는 번째 측정의 결과이며, 는 회 측정한 결과의 산술평균이다.

주 1 일련의 개 값을 어떤 분포의 표본이라 하면, 는 그 분포의 모평균 의 비편향 추정값이며, 는 분산 의 비편향

추정값이다.


36

주 2 은 의 분포의 추정 표준편차이며, 평균의 실험표준편차라고 한다.

주 3 평균의 실험표준편차는 종종 평균의 표준오차라고 잘못 불리기도 한다.

주 4 VIM:1993, 정의 3.8에서 번안

지침서 의견: 이 지침서의 4.2에서 사용된 표기와의 일관성을 유지하기 위하여 VIM에서 사용된 기호 중 몇 개는 그

표기가 바뀌었다.

B.2.18(측정)불확도 / uncertainty (of measurement)측정결과에 관련하여, 측정량을 합리적으로 추정한 값의 산포 특성을 나타내는 파라미터

주 1 위의 파라미터는 표준편차(또는 그의 배수) 또는 명시된 신뢰의 수준을 가지는 구간의 반너비 등이 될 수 있다.

주 2 측정불확도는 일반적으로 여러 성분으로 구성되어 있으며, 크게 두 범주로 나눌 수 있다. 한 범주는 여러 번 측정한 결과의

통계적인 분포로부터 값이 결정되는 것으로 실험표준편차로 나타낼 수 있고, 다른 범주는 마찬가지로 표준편차로 나타낼 수 있지

만, 경험이나 다른 정보에 근거하여 가정한 확률분포로부터 그 값이 결정되는 것이다.

주 3 측정결과는 측정량의 값에 대한 최량추정값이라 할 수 있으며, 여러 가지 요인으로부터 오는 다양한 불확도 성분이 모두

산포에 기여하게 되는데, 사용된 표준기와 표준물질, 보정 등에 관련된 성분처럼 계통효과에서 기인하는 성분도 포함된다.

[VIM:1993, 정의 3.9]

지침서 의견: VIM에서는 이 정의 및 주를 본 지침서의 정의 및 주와 동일한 것으로 지적하고 있다(2.2.3 참조).

B.2.19(측정)오차 / error (of measurement)측정결과에서 측정량의 참값을 뺀 값

주 1 참값은 구할 수 없으므로, 실제로는 협정참값이 사용된다[VIM:1993, 정의 1.19(B.2.3) 및 1.20(B.2.4) 참조].

주 2 오차와 상대오차를 구별할 필요가 있을 때, 오차는 종종 측정의 절대오차를 뜻한다. 측정의 절대오차를 오차의 크기를 나

타내는 오차의 절대값과 혼동해서는 안 된다.

[VIM:1993, 정의 3.10]

지침서 의견: 측정의 결과가 측정량외의 여러 양의 값에 따라 좌우된다면 이 양의 측정값의 오차는 측정결과의 오차에

기여한다. 역시 B.2.22 및 B.2.3의 지침서 의견 참조

B.2.20상대오차 / relative error측정오차를 측정량의 참값으로 나눈 값

주 참값은 구할 수 없으므로, 실제로는 협정참값이 사용된다.

[VIM:1993, 정의 3.12]



37

B.2.21우연오차 / random error반복성 조건을 유지하면서 같은 측정량을 무한히 측정하여 얻은 평균을 측정결과에서 뺀 값

주 1 우연오차는 오차에서 계통오차를 뺀 값이다.

주 2 측정횟수에는 한계가 있을 수밖에 없으므로, 우연오차의 추정값만 정할 수 있을 뿐이다.

[VIM:1993, 정의 3.13]


B.2.22계통오차 / systematic error반복성 조건을 유지하면서 같은 측정량을 무한히 측정하여 얻은 평균에서 측정량의 참값을 뺀 값

주 1 계통오차는 오차에서 우연오차를 뺀 값이다.

주 2 참값과 마찬가지로, 계통오차와 그 원인을 완전히 알 수는 없다.

주 3 측정기기에 대해서는 “편향”(VIM:1993, 정의 5.25) 참고

[VIM:1993, 정의 3.14]

지침서 의견: 측정결과의 오차(B.2.19 참조)는 각각의 오차 성분이 결과의 오차에 기여하도록 하는 수많은 우연효과와

계통효과로부터 야기되는 것으로 종종 간주되기도 한다. 역시 B.2.19 및 B.2.3의 지침서 의견 참조

B.2.23보정값 / correction계통오차를 보상하기 위하여 보정전 측정결과에 대수적으로 더하는 값

주 1 보정값은 추정된 계통오차에 음부호를 붙인 것과 같다.

주 2 계통오차를 완전하게 알 수는 없으므로, 그에 대한 보상도 완전할 수는 없다.

[VIM:1993, 정의 3.15]

B.2.24보정인자 / correction factor계통오차를 보상하기 위하여 보정전 측정결과에 곱하여 주는 수치 인자

주 계통오차를 완전하게 알 수는 없으므로, 그에 대한 보상도 완전할 수는 없다.

[VIM:1993, 정의 3.16]


38

부록 C

기초 통계용어와 개념

C.1 정의의 근거

본 부록에서 정의한 기초 통계용어들은 국제표준 ISO 3534-1:1993**[7]에서 발췌한 것이다. 본 부록에 포함되지 않

은 용어의 정의들에 대해서는 1차적으로 위의 표준을 참고하여야 한다. 본 지침서의 사용을 좀 더 활성화시키기 위하

여 이 용어들 중 일부와 그에 해당하는 기초 개념을 C.2에 있는 공식적인 정의 다음의 C.3에서 상세히 설명하였다.

그러나 C.3에 포함되어 있는 몇몇 관련된 용어들의 정의는 ISO 3534-1:1993에 직접 근거한 것은 아니다.

C.2 정의

0절과 부록 B에서와 같이 아래의 정의에서 용어 설명에서 단어 양쪽에 괄호를 사용한 것은 혼동의 여지가 없는 경우

생략될 수도 있음을 의미한다.

C.2.1에서 C.2.14까지의 용어는 모집단의 특성과 관련하여 정의한 것이다. C.2.15에서 C.2.31까지의 용어의 정의는

일련의 관측(참고문헌 [7] 참조)과 관련된 것이다.

C.2.1확률 / probability임의사상에 부여되는 0에서 1 사이의 실수

주 확률은 장기간에 걸쳐 사건이 발생하는 상대도수 또는 사건이 일어날 것이라는 믿음의 정도에 관련될 수 있다. 믿음의 정도가

높은 확률은 거의 1이다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.1]

C.2.2확률변수 / random variable변량 / variate특정 값의 집합으로부터 어떤 값이든 취할 수 있으며 확률분포와 관련되는 변수[ISO 3534-1:1993, 정의 1.3(C.2.3)].

주 1 서로 떨어진 값만을 갖는 확률변수는 “이산”이라고 한다. 유한 또는 무한 구간에서 어떠한 값도 가질 수 있는 확률변수는

“연속”이라고 한다.

주 2 사건 A의 확률을 PrA 또는 A로 표기한다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.2]

지침서 의견: 본 지침서에서는 ISO 3534-1:1993에서 사용한 기호 r A 대신 기호 PrA 를 사용한다.


ISO 3534-1:1993은 폐지되고 ISO 3534-1:2006으로 대체되었다. 일부 용어와 정의가 개정되었으며, 더 자세한 내용은 최신판 참조


39

C.2.3(확률변수의) 확률분포 / probability distribution (of a random variable)

확률변수가 어떤 주어진 값을 가질 확률 또는 주어진 값의 집합에 속할 확률을 나타내는 함수

주 확률변수 값의 전체 집합에 대한 확률은 1이다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.3]

C.2.4분포함수 / distribution function모든 값 에 대하여, 확률변수 가 보다 작거나 같게 될 확률을 주는 함수

Pr ≤ [ISO 3534-1:1993, 정의 1.4]

C.2.5(연속확률변수에 대한) 확률밀도함수 / probability density function (for a continuous random variable)

분포함수의 도함수 (그것이 존재할 때)

dd주 d는 “확률원소” 이다:

d Pr d

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.5]

C.2.6확률질량함수 / probability mass function이산확률변수 의 각 값 에 대하여, 확률변수가 와 같게 될 확률 를 주는 함수

Pr [ISO 3534-1:1993, 정의 1.6]

C.2.7파라미터, 모수 / parameter확률변수의 확률분포를 표현하는데 사용되는 양

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.12]

C.2.8상관, 상관관계 / correlation두 개 또는 그 이상의 확률변수의 분포에서 둘 또는 여러 확률변수들 사이의 관계

주 대부분의 상관관계의 통계적 척도는 선형관계의 정도만을 나타낸다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.13]


40

C.2.9(확률변수의 또는 확률분포의) 기댓값 / expectation (of a random variable or of a probability distribution)

/ expected value평균 / mean1) 값을 가질 확률이 인 이산확률변수 에 대하여, 기댓값이 존재할 경우 기댓값은 가 취할 수 있는 모든 값

에 대하여 확장하여 더한 것, 즉

으로 정의된다.

2) 확률 도함수 를 갖는 연속확률변수 에 대하여, 기댓값이 존재할 경우 기댓값은 의 변동구간에 대하여

확장된 적분

d

으로 정의된다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.18]

C.2.10중심화된 확률변수 / centred random variable기댓값이 영이 되는 확률변수

주 확률변수 가 의 기댓값을 가진다면 이에 해당하는 중심화된 확률변수는 ( )이다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.21]

C.2.11(확률변수의 또는 확률분포의) 분산 / variance (of a random variable or of a probability distribution)

중심화된 확률변수의 제곱의 기댓값 [ISO 3534-1:1993, 정의 1.21(C.2.10)]

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.22]

C.2.12(확률변수의 또는 확률분포의) 표준편차 / standard deviation (of a random variable or of a probability distribution)

분산의 양의 제곱근

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.23]

C.2.13차 중심적률 / central moment 2* of order

2) 만일 적률(moment)의 정의에서 , , , 등의 양이 절댓값, 즉 , , , 등으로 대치된다면 대치된 적률은 “절대적률”로 정의된다.


41

단변량 분포에서 중심화된 확률변수 ( )의 제곱의 기댓값

주 2차 중심적률은 확률변수 의 분산 [ISO 3534-1:1993, 정의 1.22 (C.2.11)]이다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.28]

C.2.14정규분포 / normal distribution라플라스-가우스 분포 / Laplace-Gauss distribution연속확률변수 의 확률분포로서 그 확률 도함수가

exp

, ∞ ∞

로 주어지는 분포

주 는 정규분포의 기댓값이고, 는 정규분포의 표준편차이다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 1.37]

C.2.15특성 / characteristic주어진 모집단의 항목들을 확인 또는 구별하는데 도움이 되는 성질

주 특성은 정량적(변수에 의해)일 수도 정성적(속성에 의해)일 수도 있다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.2]

C.2.16모집단 / population관심의 대상이 되는 항목의 전체

주 확률변수의 경우, 그 변수의 모집단을 정의하기 위하여 확률분포[ISO 3534-1:1993, 정의 1.3(C.2.3)]가 고려된다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.3]

C.2.17도수, 빈도 / frequency특정 사건이 발생하는 횟수 또는 특정 계급에 속하는 관측값의 수

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.11]

C.2.18도수분포 / frequency distribution특성값과 도수 또는 상대도수 사이의 경험적 관계

주 도수분포는 히스토그램(ISO 3534-1:1993, 정의 2.17), 막대그래프(ISO 3534-1:1993, 정의 2.18), 누적도수다각형(ISO 3534-


42

1:1993, 정의 2.19), 이원표(two-way table, ISO 3534-1:1993, 정의 2.22) 등과 같은 그래프로 표현될 수 있다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.15]

C.2.19산술평균 / arithmetic mean평균 / average값의 합을 값의 개수로 나눈 것

주 1 일반적으로 mean(평균)이란 용어는 모집단의 파라미터를 나타낼 때 사용되며, average(평균)란 용어는 표본에서 얻은 데이

터의 계산결과를 나타낼 때 사용된다.

주 2 모집단으로부터 얻은 단순임의표본의 평균(average)은 이 모집단의 평균(mean)에 대한 비편향추정량이다. 그러나 기하평

균, 조화평균, 중앙값, 최빈값 등의 다른 추정량들이 사용되는 경우도 있다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.26]

C.2.20분산 / variance관측값과 관측값의 평균과의 편차의 제곱합을 관측값의 수에서 1을 뺀 수로 나눈 산포의 척도

예 평균이 다음과 같은 개의 관측값 , , ..., 에 대해

분산은 다음과 같다.

주 1 표본분산은 모분산의 비편향추정량이 된다.

주 2 분산은 2차 중심적률의 /( -1)배이다(ISO 3534-1:1993, 정의 2.39 주 참조).

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.33]

지침서 의견: 여기서 정의된 분산은 “모분산의 표본추정값”을 나타내는 것으로 보는 것이 적절하다. 표본분산은 통상

표본의 2차 중심적률로 정의된다(C.2.13 및 C.2.22 참조).

C.2.21표준편차 / standard deviation분산의 양의 제곱근

주 표본표준편차는 모표준편차의 편향추정량이다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.34]

C.2.22차 중심적률 / central moment of order

단일 특성의 분포에서 관측값과 관측값의 평균 의 차이의 제곱의 산술평균


43

여기서 은 관측횟수이다.

주 1차 중심적률은 영(0)과 같다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.37]

C.2.23통계량 / statistic표본확률변수의 함수

주 확률변수의 함수로서 통계량은 또한 확률변수이기 때문에 표본에 따라 다른 값을 취한다. 이 함수에서 관측값을 사용하여 얻

은 통계량의 값은 통계적 검정 또는 평균이나 표준편차와 같은 파라미터의 추정값으로 사용될 수 있다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.45]

C.2.24추정 / estimation모집단으로부터 취한 표본에서의 관측값을 이용하여, 그 모집단의 통계적 모형으로 선택된 분포의 파라미터에 수치를

부여하는 작업

주 이 작업의 결과는 한 개의 값[점 추정값(point estimate); ISO 3534-1:1993, 정의 2.51(C.2.26) 참조] 또는 구간 추정값(interval

estimate)[ISO 3534-1:1993, 정의 2.57(C.2.27) 및 2.58(C.2.28) 참조]으로 표현될 수 있다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.49]

C.2.25추정량 / estimator파라미터를 추정하기 위해 사용된 통계량

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.50]

C.2.26추정값 / estimate추정의 결과로서 얻어진 추정량의 값

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.51]

C.2.27양측 신뢰구간 / two-sided confidence interval과 가 관측값의 두 함수이고, 가 추정하려고하는 파라미터일 때, 확률 Pr ≤ ≤ 가 (1 - )보다 크거

나 같다면[여기서 (1 - )는 1보다 작은 양수로서 고정된 값이다] 에서 까지의 구간을 에 대한 (1 - ) 양측

신뢰구간이라 한다.

주 1 신뢰구간의 한계 과 는 통계량[ISO 3534-1:1993, 정의 2.45(C.2.23)]이며 따라서 일반적으로 표본에 따라 다른 값을

갖는다.


44

주 2 표본의 수가 많은 경우 파라미터 의 참값이 신뢰구간 내에 있을 상대도수는 (1 - )보다 크거나 같다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.57]

C.2.28단측 신뢰구간 / one-sided confidence interval가 관측값의 함수이고, 가 추정하려고 하는 모집단 파라미터일 때, 확률 Pr ≥ [또는 확률 Pr ≤ ]가

(1 - ) 보다 크거나 같다면[여기서 (1 - )는 1보다 작은 양수로서 고정된 값이다] 가 가질 수 있는 가장 작은 값

에서부터 까지의 구간[또는, 가 가질 수 있는 에서부터 가장 큰 값까지의 구간]을 에 대한 (1 - ) 단측 신뢰

구간이라 한다.

주 1 신뢰구간의 한계 는 통계량[ISO 3534-1:1993, 정의 2.45 (C.2.23)]이며 따라서 일반적으로 표본에 따라 다른 값을 갖는다.

주 2 ISO 3534-1:1993, 정의 2.57(C.2.27)의 주 2 참조

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.58]

C.2.29신뢰계수 / confidence coefficient신뢰수준 / confidence level신뢰구간 또는 통계적 포함구간과 연관된 확률값 (1 - )

주 (1 - )는 종종 백분율로 나타낸다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.59]

C.2.30통계적 포함구간 / statistical coverage interval주어진 신뢰의 수준에서 최소한 모집단의 특정부분을 포함한다고 명시될 수 있는 구간

주 1 두개의 한계가 통계량으로 정하여지면 구간은 양측이 된다. 두 한계 중 하나가 유한하지 않거나 변수의 경계로 구성되지

않는다면 구간은 단측이 된다.

주 2 “통계적 허용구간(statistical tolerance interval)”이라고도 부른다. 이 용어는 ISO 3534-2:1993에서 정의된 “허용공차 구간

(tolerance interval)”과 혼동될 우려가 있으므로 사용해서는 안 된다.

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.61]

C.2.31자유도 / degrees of freedom일반적으로 합의 항의 수에서 합의 항에 대한 제약조건의 수를 뺀 것

[ISO 3534-1:1993, 정의 2.85]

C.3 용어와 개념에 대한 상세설명

C.3.1 기댓값 / expectation

확률변수 의 확률 도함수 상의 함수 의 기댓값은 다음과 같이 정의된다.


45

d

여기서 의 정의로부터 ∫d = 1이 된다. 로 표현되는 확률변수 의 기댓값은 의 평균 또는 기댓값으로도

불리며, 다음 식으로 주어진다.

≡ d

확률 도함수가 인 확률변수 의 개 독립 관측값 의 평균(average) 또는 산술평균(arithmetic mean) 는 통

계적으로 다음과 같이 추정된다.

C.3.2 분산 / variance

확률변수의 분산은 그 확률변수 기댓값에 대한 편차제곱의 기댓값이다. 따라서 확률 도함수가 인 확률변수 의

분산은 다음과 같이 주어진다.

d

여기서 는 의 기댓값이다. 분산 는 다음으로 추정될 수 있다.

여기서

이며 는 의 개 독립 관측값이다.

주 1 을 구하는 식에서 인자 ( - 1)은 와 의 상관관계로부터 발생하며, 집합 안에는 ( - 1)개의 독립항만

있음을 나타낸다.

주 2 의 기댓값 를 알 경우 분산은 다음과 같이 추정할 수 있다.

관측값들의 평균(average) 또는 산술평균(arithmetic mean)의 분산은 개별 관측값들의 분산보다 측정결과의 불확도를

보다 적절하게 나타내는 척도이다. 에 대한 일련의 개의 독립 관측값 의 산술평균의 분산은 로

주어지며 평균의 실험분산으로 추정된다.


46

C.3.3 표준편차 / standard deviation

표준편차는 분산의 양의 제곱근이다. A형 표준불확도는 통계적으로 구한 분산의 제곱근으로 구하는 반면, B형 표준불

확도를 정할 때는 먼저 비통계적인 표준편차를 구하고, 분산은 이 표준편차를 제곱해서 구하면 좀 더 편리하다.

C.3.4 공분산 / covariance

두 확률변수의 공분산은 그들의 상호의존성의 척도이다. 확률변수 와 의 공분산은 다음과 같이 정의되며,

cov cov

이를 전개하면 다음과 같이 된다.

cov cov

d d d d

여기서 는 두 변수 와 의 결합확률 도함수이다. 공분산 cov [또한 로도 표시]는 와 를 동

시에 관측한 와 의 개 독립쌍으로부터 구해진 로 추정될 수 있다.

여기서

이며,

이다.

주 두개의 평균 와 의 추정 공분산은 이 된다.

C.3.5 공분산 행렬 / covariance matrix

다변량 확률분포에서 변수들의 분산과 공분산에 해당하는 원소들을 가진 행렬 를 공분산 행렬이라고 한다. 대각선

원소인 ≡ 또는 ≡ 는 분산이며 비대각선 원소인 또는 는 공분산이다.

C.3.6 상관계수 / correlation coefficient

상관계수는 두 변수의 상대적 상호의존성을 나타내는 척도이며, 두 변수의 분산의 곱의 양의 제곱근에 대한 공분산의

비와 같다. 따라서


47

가 되며, 추정값은 다음과 같다.

상관계수는 -1 ≤ ≤ +1 또는 -1 ≤ ≤ +1인 순수한 수(pure number)이다.

주 1 공분산은 보통 사용하기 불편한 물리적 차원과 크기를 갖는 양인 반면 와 은 -1에서 +1 사이의 순수한 수이므로 상관계

수가 분산보다 일반적으로 좀 더 유용하다.

주 2 다변량 확률분포에서는 보통 공분산 행렬 대신 상관계수 행렬이 많이 사용된다. = 1이고 = 1이기 때문에

공분산 행렬의 대각선 원소는 모두 1이 된다.

주 3 입력량의 추정값 와 가 상관관계가 있고(5.2.2 참조) 에서의 변화량 로 인해 가 만큼 변화한다면 와 에

연관된 상관계수는 근사적으로 다음과 같이 추정된다.

≈

이 관계는 상관계수를 실험적으로 추정할 수 있는 근거가 된다. 이는 또한 상관계수를 알고 있을 때 다른 한 쪽의 변화로 인하여

발생하는 어느 한 쪽 입력 추정값의 변화량을 근사적으로 계산하는데 사용될 수 있다.

C.3.7 독립 / independence

두 확률변수의 결합확률분포가 개별 확률분포의 곱일 때 두 확률변수는 통계적으로 독립이다.

주 만일 두 확률변수가 독립이면 그들의 공분산과 상관계수는 영(0)이 되나 그 역은 반드시 참은 아니다.

C.3.8 분포, 스튜던트 분포 / The -distribution; Student's distribution

분포 또는 스튜던트 분포는 연속확률변수 의 확률분포로서 확률 도함수는 다음과 같다.

Γ

Γ

, ∞ ∞

여기서 Γ는 감마함수(gamma function)이고 > 0이다. 분포의 기댓값은 영(0)이고, > 2일 때 분산은 /( - 2)가

된다. →∞로 될 때 분포는 평균이 = 0이고 표준편차가 = 1인 정규분포에 근사하게 된다(C.2.14 참조).

변수 의 확률분포는 확률변수 가 기댓값 인 정규분포이면 분포가 된다. 여기서 는 의 개의 독

립 관측값 의 산술평균이며, 는 개 관측값의 실험표준편차이고, = 은 자유도 = - 1을

갖는 평균 의 실험표준편차이다.


48

부록 D

“참”값, 오차, 불확도

참값이라는 용어(B.2.3)는 불확도에 대한 간행물에서 전통적으로 사용되어 왔으나, 본 지침서에서는 본 부록에서 설명

한 이유로 참값이라는 용어를 사용하지 않았다. “측정량”, “오차” 및 “불확도”라는 용어가 종종 잘못 이해되고 있기 때

문에 본 부록은 3절에서 설명한 내용을 보충하기 위해 이들 용어의 기초개념에 대한 설명을 추가하였다. 본 지침서에

서 채택한 불확도의 개념이 알 수 없는 참값과 오차를 기본으로 하지 않고 측정결과와 평가된 불확도를 기본으로 하고

있는지를 설명하기 위해 2개의 그림을 제시하였다.

D.1 측정량

D.1.1 측정의 첫 단계는 측정량 － 즉 측정하고자 하는 양 － 을 자세히 명시하는 것이다. 측정량은 어떤 하나의 값

으로 명시될 수 없으며 양을 서술하여 명시할 수밖에 없다. 그러나 원칙적으로 측정량은 무한한 양의 정보가 없이는

완벽하게 서술할 수 없다. 따라서 측정량에 대한 불완전한 정의는, 나름대로 달리 해석할 수 있는 여지를 남기는 양

만큼의 불확도 성분을, 측정결과의 불확도에 도입시킨다. 이 불확도 성분은 측정에 요구되는 정확도에 따라 중요할 수

도 있고 그렇지 않을 수도 있다.

D.1.2 보통, 측정량의 정의는 특정 물리적 상태나 조건을 구체적으로 명시한다.

예 조성(몰분율)이 N2 = 0.780 8, O2 = 0.209 5, Ar = 0.009 35 및 CO2 = 0.000 35인 건조한 대기 속에서 온도 = 273.15

K, 압력 = 101 325 Pa에서의 소리의 속도

D.2 구현량

D.2.1 이상적으로는 측정을 위해 구현된 양은 측정량의 정의와 완전히 일치해야 할 것이다. 그러나 그러한 양은 구

현될 수 없으며 측정은 측정량에 근접한 양에 대해 이루어지게 된다.

D.3 참값과 보정값

D.3.1 구현량에 대한 측정결과는 구현량이 측정량의 정의를 완전히 만족시킬 경우 측정결과가 어떻게 될 것인가를

예측하기 위해 측정량과의 차이만큼 보정된다. 구현량에 대한 측정결과는 인지된 다른 모든 의미 있는 계통효과에 대

해서도 보정된다. 최종 보정결과가 때로 측정량의 “참”값의 최량추정값으로 간주되기도 하나 실제로는 단순히 측정하

고자하는 양의 값의 최량추정값일 뿐이다.

D.3.2 예를 들어, 측정량이 명시된 온도에서의 재료 판의 두께라고 하자. 시편의 온도를 명시된 온도 가까이로 올린

후 마이크로미터를 사용하여 두께를 측정한다. 이때 그 부위, 그 온도, 마이크로미터에 의해 가해진 압력 조건에서 그

재료의 두께가 구현량이다.

D.3.3 측정순간의 재료의 온도와 인가된 압력을 측정한다. 그 후 구현량에 대한 비 보정된 측정결과는 마이크로미터

의 교정곡선, 명시된 온도와 시편의 온도의 차이 및 인가된 압력하에서 시편의 미세한 압축을 고려하여 보정한다.

D.3.4 보정된 결과는 “참”값의 최량추정값으로 불릴 수도 있다. 이때 “참”이라는 뜻은 측정량의 정의를 완전히 충족

시킬 것이라고 믿어지는 양의 값을 의미한다. 그러나 만일 마이크로미터로 재료 판의 다른 부위를 측정하였다면 구현


49

량은 다른 “참”값을 가진 다른 양이 되었을 것이다. 그러나 그 “참”값은, 측정량의 정의가 재료 판의 어느 특정 부위의

두께를 측정해야 하는지 명시하지 않았기 때문에, 측정량의 정의와 일치한다고 할 수 있다. 따라서 이 경우 측정량에

대한 불완전한 정의로 인하여 “참”값은 재료판의 여러 다른 위치에서 측정한 결과로부터 구한 불확도를 갖게 된다. 모

든 측정량은 원칙적으로 어떤 방법을 통해서든지 구할 수 있는 이와 같은 어느 정도의 “본질적” 불확도를 가지고 있

다. 이것이 측정량을 구할 때의 최소의 불확도이며 이러한 최소의 불확도를 달성하는 모든 측정은 가능한 최선의 측정

량 측정으로 간주될 수 있다. 구하고자 하는 양의 값을 좀 더 작은 불확도를 갖도록 하기 위해서는 측정량을 보다 완

전하게 정의할 필요가 있다.

주 1 위의 예에서 측정량의 명시는 두께에 영향을 줄 가능성이 있는 여러 가지 다른 문제점을 내포하고 있다. 기압, 습도, 중력

장에서 재료판의 자세, 지지방법 등이다.

주 2 측정량은 불완전한 정의로 야기되는 어떤 불확도도 측정에 요구되는 정확도에 비교하여 무시될 수 있을 정도로 충분히 상

세하게 정의되어야 하나 이렇게 상세히 정의하는 것이 실무에서 항상 가능한 것이 아님을 인식하여야 한다. 정의는 예를 들어 그

효과를 무시할 수 있다고 정당하지 않게 가정한 파라미터를 명시하지 않거나 또는 결코 충족시킬 수 없는 조건을 포함하고 불완전

한 구현을 고려하기 어렵기 때문에 불완전하다. 예를 들어 D.1.2의 예에서 소리의 속도는 작은 진폭의 무한 평면파를 수반한다. 측

정이 이러한 조건들을 충족시킬 수 없을 경우는 그 정도를 감안하여 회절과 비선형효과를 고려하여야 한다.

주 3 측정량에 대한 부적절한 명시는 다른 실험실에서 수행되는 실제적으로 같아 보이는 양에 대한 측정결과들 사이의 불일치를

초래한다.

D.3.5 본 지침서에서는 “측정량의 참값” 또는 양의 참값(종종 “참값”으로 약칭된다)이라는 용어의 “참”이라는 단어는

불필요한 첨언으로 간주하여 사용하지 않았다. “측정량”(B.2.9 참조)은 “측정의 대상이 되는 특정량”을 의미하기 때문

에 “측정량의 값”은 “측정대상이 되는 특정량의 값”을 의미한다. “특정량”은 일반적으로 한정적 또는 명시된 양(B.2.1

주 1 참조)을 의미하는 것으로 이해되고 있기 때문에 “측정량의 참값”(또는 양의 참값)에서의 형용사 “참”은 불필요하

다. － 측정량의 “참”값은 단순히 측정량(또는 양)의 값이다. 강조하지만 이상의 토론에서 지적한 바와 같이, 유일한

“참”값은 이상적인 개념일 뿐이다.

D.4 오차

보정된 측정결과는 측정량의 값이 아니다 － 다시 말하면 관측값의 우연 변동으로 인한 구현량의 불완전한 측정(우연

효과), 계통효과에 대한 부적정한 보정 및 어떤 물리현상에 대한 불완전한 지식(역시 계통효과)으로 그것은 잘못된 것

이다. 측정량의 값과 구현량의 값 중 어느 것도 정확하게 알았던 예가 없다. 알 수 있는 것은 추정값이 전부이다. 위의

예에서 재료판의 측정된 두께는 오차가 있을 수 있다. 다시 말하면 다음의 각 항목이 결합하여 측정결과에 알 수 없는

오차를 유발할 수 있기 때문에 측정량(재료판의 두께)의 값과 다를 수 있다.

a) 마이크로미터로 같은 구현량을 반복하여 측정할 때 마이크로미터 지시값들 사이의 미세한 차이

b) 마이크로미터의 불완전한 교정

c) 온도와 적용 압력의 불완전한 측정

d) 시편 또는 마이크로미터 또는 양쪽 모두에 해당하는 온도, 기압 및 습도의 영향에 대한 불완전한 지식

D.5 불확도

D.5.1 오차를 유발하는 우연효과와 계통효과와 관련된 불확도가 측정결과의 오차에 미치는 기여도를 정확히 알지도

못하고 알 수도 없지만 평가를 할 수는 있다. 이때 평가된 불확도가 작다고 해서 측정결과의 오차가 작다고 보장할

수는 없다. 보정값을 결정하거나 불완전한 지식을 평가하는 과정에서 계통효과를 인식하지 못하여 계통효과를 빠뜨릴


50

수 있기 때문이다. 따라서 측정결과의 불확도를 측정결과가 측정량의 값에 가까이 있다는 가능성의 지표라고 확정적으

로 말할 수는 없다. 측정결과의 불확도는 단순히 현재 활용가능한 지식과 일치하는 최량추정값에 근접할 가능성에 대

한 추정값일 뿐이다.

D.5.2 따라서 측정의 불확도는 주어진 측정량과 주어진 측정량의 측정결과로는 모든 관측값과 데이터 및 물리세계

에 대한 측정자의 지식과 일치하며, 신뢰도는 조금씩 다르나 측정량에 기인하는 측정결과의 값이 하나가 아니고 산포

된 무수히 많은 값이 있다는 사실을 나타내고 있다.

D.5.3 다행스러운 것은 본 부록에서 설명한 많은 부분이 실제 측정상황에서는 적용되지 않는다는 것이다. 실제 적용

되지 않는 예로서는 측정량이 적절히 잘 정의된 경우, 국가표준에 소급성이 유지된 기준표준을 사용하여 표준기 또는

기기들이 교정된 경우, 그리고 교정 보정값의 불확도가 기기지시에 대한 우연효과로 발생하거나 관측값의 수가 적어서

발생하는(E.4.3 참조) 불확도에 비하여 크지 않은 경우 등이다. 그러나 영향량과 그 효과에 대한 지식 부족은 측정결과

의 불확도를 크게 증가시킬 수 있다.

D.6 도해 설명

D.6.1 그림 D.1은 본 지침서 3절과 이 부록에서 설명한 개념의 일부를 묘사하고 있다. 그림은 본 지침서의 초점이

오차에 있지 않고 불확도에 있는 이유를 설명하고 있다. 측정결과의 정확한 오차는 일반적으로 알지 못하며 알 수도

없다. 우리는 인지된 계통효과에 대한 보정값을 포함한 입력량의 값을 추정하거나 반복 관측값의 평균들의 표본분포

또는 가용한 정보의 풀(pool)에 근거한 선험적 분포 또는 주관적 분포로 구한 표준불확도(추정 표준편차)를 추정할 수

있을 뿐이다. 그리고 나서 입력량의 추정값과 그 추정값의 표준불확도로부터 구한 합성표준불확도를 산출할 뿐이다.

이러한 모든 것이 적정하게 수행되었고 의미있는 계통효과를 간과한 것이 없다고 믿을 만한 충분한 근거가 있다면 측

정결과는 측정량의 값의 신뢰성 있는 추정값이고 그 합성표준불확도는 측정결과의 가능한 오차의 신뢰성 있는 척도라

고 가정할 수 있다.

주 1 그림 D.1 a)에서 관측값은 도해적 설명을 위해 히스토그램 형태로 나타냈다[4.4.3 및 그림 1 b) 참조].

주 2 오차에 대한 보정은 오차 추정값의 음의 값과 같다. 따라서 그림 D.1과 그림 D.2에서 오차의 보정값을 나타내는 화살표는

크기는 같으나 오차 자체를 나타내는 화살표와는 화살표의 방향이 반대이며 그 역도 마찬가지이다. 그림 원문에서는 표시된 화살표

가 보정값인지 오차인지 확실하게 나타내었다.

D.6.2 그림 D.2는 그림 D.1과 같은 개념을 다른 방법으로 묘사한 것이다. 그 외에도 그림 D.2는 측정량의 정의가

불완전할 경우에는 측정량의 값이 다수 존재할 수도 있음을 묘사하고 있다[그림 D.2의 g)번]. 이와 같은 불완전한 정의

로 야기되는 불확도는 같은 방법, 기기 등을 사용하여 측정량을 여러 번 구현한 측정으로부터 구하여 분산으로 나타낸

다(D.3.4 참조).

주 “분산(variance)”이라고 나타낸 열에서, 분산은 5.1.3의 식 (11a)에서 정의된 분산 와 같은 것으로 이해된다. 따라서 나타

낸 바와 같이 선형적으로 합하였다.


51

a) 관측가능한 양에 근거한 개념

b) 알 수 없는 양에 근거한 이상적 개념

그림 D.1 - 오차와 불확도의 개념

관측값의 산포로 인한

보정되지 않은 평균의

표준불확도(이해를 돕기

위해 간격으로 표시)

보정되지 않은 모든 가능한

관측값의 모집단 분포

(이 분포는 미지의 분포이나

정규분포에 가깝다고 가정)

보정된 모든 가능한

관측값의 모집단 분포


52

그림 D.2 - 값, 오차, 불확도의 개념


53

부록 E

권고사항 INC-1(1980)의 동기와 근거

본 부록에서는 본 지침서의 기초가 되는 불확도 표현법에 관한 작업반(Working Group on the Statement of

Uncertainties)의 권고사항 INC-1(1980)의 동기와 통계적 근거에 대해 간략하게 설명하였다. 보다 자세한 내용은 참고

문헌[1, 2, 11, 12]를 참고하기 바란다.

E.1 "안전(Safe)", "우연(random)" 및 "계통(systematic)"

E.1.1 본 지침서는 측정불확도의 평가와 표현을 위해 광범위하게 적용할 수 있는 방법을 제시한다. 본 지침서는 우

연효과로 발생하는 불확도 성분과 계통효과에 대한 보정으로 야기되는 불확도 성분은 본질적으로 차이가 없다고 생각

하여 불확도의 “안전한” 값 보다는 현실적인 값을 제공한다(3.2.2 및 3.2.3 참조). 따라서 그 방법은 다음과 같은 2개의

개념을 공통적으로 가지고 있는 예전 방식과는 현저히 대비된다.

E.1.2 첫 번째 개념은 보고되는 불확도는 “안전하게” 또는 “보수적” 이어야 한다는 것이며 이는 너무 작은 쪽으로 결

코 치우치지 말아야 한다는 것을 의미한다. 사실 측정결과의 불확도 평가에는 불확실성이 존재하기 때문에 불확도는

종종 의도적으로 크게 계산되었다.

E.1.3 두 번째 개념은 불확도를 야기하는 영향 요인들은 특성이 본질적으로 다른 “우연” 또는 “계통”의 두 가지 중

하나로 항상 인지될 수 있다는 것이다. 각각에 관련된 불확도들은 각각의 방법으로 합성되고 별도로 보고(또는 하나로

보고될 필요가 있을 경우는 명시된 방법으로 합성)된다는 것이다. 사실 불확도를 합성하는 방법은 많은 경우 안전요건

을 만족시키도록 설계되어 왔다.

E.2 현실성 있는 불확도 평가의 타당성

E.2.1 측정량의 값을 보고할 때는 그 값의 최량추정값과 그 추정값의 최량 불확도 평가값을 같이 보고해야 한다. 왜

냐하면 불확도가 발생할 경우 대부분의 경우 확실하게 그 불확도가 어느 방향으로 발생할 것인지 “확실하게” 결정하는

것이 어렵기 때문이다. 불확도를 작게 명시하는 것은 보고된 값에 신뢰도를 너무 높게 주게 되어 때로는 곤란하거나

심한 경우 재앙적 결과를 초래할 수 있다. 고의적으로 불확도를 높게 명시하는 것 역시 바람직하지 않은 영향을 초래

할 수 있다. 이 경우 측정기기 사용자들에게 필요이상으로 비싼 기기를 사도록 하는 원인이 되거나 불필요하게 제품의

값이 비싸지거나 교정기관의 서비스가 거절되는 원인이 되기도 한다.

E.2.2 측정결과의 사용자가 명시된 신뢰의 수준을 갖는 구간을 정의하고 그들 자신의 요구를 만족시키는 확장불확도

를 구하기 위해 측정결과의 명시된 불확도에 자신들의 배수인자(multiplicative factor)를 곱해서는 안 된다고 주장 하는

것이 아니다. 또한 어떤 특정 환경에서 측정결과를 제공하는 기관이 그들의 결과를 사용하는 특정 계층의 사용자들의

요구에 맞추는 확장불확도를 제공하는 인자를 일상적으로 적용해서는 안 된다고 하는 것도 아니다. 그러나 그러한 인

자들(항상 명시되어야 함)은 현실적인 방법으로 산출된 불확도에 적용되어야만 확장불확도로 정의된 구간이 요구되는

신뢰의 수준을 가질 수 있고, 계산이 역으로도 쉽게 될 수 있다.

E.2.3 측정에 종사하는 사람들은 서로 다른 개별 불확도를 갖는 다른 측정자들의 측정결과를 고려하여 자신의 결과

를 분석해야 할 경우가 종종 있다. 측정자는 자신의 측정결과의 불확도를 평가함에 있어 고려된 여러 다른 측정결과의

불확도의 “안전한” 값이 아닌 가장 좋은 값을 알아야 할 필요가 있다. 그 외에도 자신의 측정결과의 불확도를 산출하

기 위해서는 다른 측정자의 불확도를 자신의 관측값의 불확도와 합성할 수 있는 논리적이고도 간단한 방법이 있어야

한다. 권고사항 INC-1(1980)은 그러한 방법을 제공하고 있다.


54

E.3 모든 불확도 성분을 동일하게 취급하기 위한 타당성

이 소절에서의 논의의 초점은 측정결과의 불확도를 평가함에 있어 우연효과로 야기되는 불확도와 계통효과에 대한 보

정으로부터 야기되는 불확도를 본 지침서에서는 어떻게 똑 같은 방법으로 취급하고 있는지 설명하는 간단한 예에 있

다. 따라서 본 지침서에서 채택하고 E.1.1에서 인용한 관점, 즉 모든 불확도 성분은 본질이 같고 동일하게 취급되어야

한다는 관점을 예로서 보여준다. 본 지침서에서 불확도 전파법칙이라고 부르고 있는 표준편차의 전파에 대한 수학적

표현의 간략한 도출로부터 논의를 시작하기로 한다.

E.3.1 출력량 = ( , , ..., )이 개의 입력량 , , ..., 에 의존한다고 하자. 여기서 각 는 적절

한 확률분포로 표현된다. 의 기댓값 ≡ 에 대하여 함수 를 테일러 1차 급수로 전개하면 에 대한 의

작은 편차로 환산한 에 관한 의 작은 편차는 다음과 같이 된다.

(E.1)

여기서 모든 고차항은 무시할 수 있다고 가정하였으며 = ( , , ..., )이다. 따라서 편차 의 제곱은 다

음과 같이 된다.

(E.2a)

위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

(E.2b)

편차의 제곱 의 기댓값은 의 분산, 즉, 이며, 따라서 식 (E.2b)는 다음과 같이 된다.

(E.3)

위 식에서 은 의 분산이며,

은 와 의 상관계수이다. 여기서

는 와 의 공분산이다.

주 1 과

은 각각 와 의 확률분포의 2차항의 중심적률(C.2.13과 C.2.22 참조)이다. 확률분포는 기댓값, 분산 및 고차항

중심적률(central moment)로 특성을 완전하게 나타낼 수 있다.

주 2 5.2.2에서 합성표준불확도를 계산하는데 사용되는 식 (13)[식 (15)도 함께]은 식 (13)이 분산, 표준편차 및 상관계수의 추정값

으로 표현되었다는 점을 제외하면 식 (E.3)과 동일하다.

E.3.2 식 (E.3)은 전통적 용어로는 종종 “오차 전파의 일반법칙(general law of error propagation)”으로 불리는데, 이

는 가 에서 (적은) 변화 에 따른 의 변화라 할 때, 식 의 표현으로 더 잘 적용

된다[식 (E.8) 참조]. 사실 본 지침서에서와 같이 식 (E.3)을 불확도 전파법칙으로 부르는 것이 더 적절하다. 그 이유는

이 식이 입력량 의 확률분포의 표준편차와 같도록 잡은 입력량 의 불확도가 출력량 의 불확도를 의 확률분포

의 표준편차와 같도록 잡았을 때 출력량 의 불확도를 구할 수 있도록 합성하는 방법을 나타내고 있기 때문이다.


55

E.3.3 식 (E.3)은 표준편차들의 곱의 전파에도 역시 적용된다. 그 이유는 만일 각 표준편차 가 각 에 같은 를

곱한 값 로 대치되면 출력량 의 표준편차는 로 대치되기 때문이다. 그러나 그 식은 신뢰구간의 전파에는 적

용되지 않는다. 만일 각 를 주어진 신뢰의 수준 에 해당하는 구간을 정하는 양 로 대치한다면 에 대한 결과량

는 모든 가 정규분포가 아닐 경우는 같은 값에 해당하는 구간을 정하지는 않는다. 식 (E.3)에서는 양 의 확률

분포의 정규성에 대하여 어떠한 가정도 하지 않고 있다. 좀 더 상세히 말하면 5.1.2의 식 (10)에서 각 표준불확도

가 독립적인 반복 관측값으로 얻어지고 특정 값(예로써 = 95 %)에 대한 자유도에 맞는 값을 각 표준불확도

에 곱하였다면 추정값 의 불확도는 그 값에 해당하는 구간을 정하지 않게 된다(G.3 및 G.4 참조).

주 식 (E.3)을 사용하여 신뢰구간을 전파할 때 정규성의 요건은 정규분포라고 가정한 반복 관측값으로부터 도출한 불확도 성분을

상하한과 같이 단순히 평가한 불확도 성분과 종래에 분리해왔던 이유 중 하나가 된다.

E.3.4 다음의 예를 검토하여 보자. = 에서 는 단 하나의 입력량 에 의존하고, 는 개의 값 들을 평

균하여 추정한다. 여기서 개의 값은 확률변수 의 회 독립 반복 관측값 로부터 얻어지며, 와 는 다음과 같

은 관계에 있다.

(E.4)

여기서 는 일정한 “계통적” 치우침(offset) 또는 모든 관측값이 공통적으로 갖는 이동폭(shift)이며, 는 공통 눈금인자

(common scale factor)이다. 치우침이나 눈금인자는 관측과정 중에서는 고정되어 있으나 와 가 기댓값의 최량추정

값이 되는 선험적 확률분포로 특징이 서술될 수 있는 것으로 가정한다.

의 최량추정값은 다음 식으로 얻어지는 산술평균 또는 평균 이다.

(E.5)

그러면 양 는 으로부터 추정될 수 있고, 분산 의 추정값 는 식 (E.3)으로

부터 구할 수 있다. 만일 단순화를 위하여 의 최량추정값이 가 되도록 이라고 가정하면 추정

값 는 바로 구할 수 있다. 식 (E.5)에서

,

,

그리고

,

을 주목하여

와 의 추정분산을 와 로 각각 표시하고, 각 개별 관측값들 간에 상관관계가 없다고 가정하면 식 (E.3)

으로부터 다음을 얻을 수 있다.


56

(E.6)

여기서 는 4.2.2의 식 (4)에 따라 계산한 관측값 의 실험분산이며, 는 평균 의 실험분산이

다[4.2.3의 식 (5)].

E.3.5 전통적 용어에서 식 (E.6)의 오른편 세 번째 항은 관측횟수 이 증가하면 통상 감소하기 때문에 추정분산

에 “우연” 기여항으로 불리며, 첫째 항과 둘째 항은 에 의존하지 않기 때문에 “계통” 기여항으로 불린다.

보다 더 중요한 것은 종전의 몇몇 측정불확도 처리방식에서 식 (E.6)이 계통효과로 인한 불확도와 우연효과로 인한 불

확도를 구별하지 않고 있다는 점에서 식 (E.6)에 의문을 나타내고 있는 점이다. 특히 확률의 개념이 완전히 같은 조건

하에서 사상이 일어나는 상대도수를 나타내는 사상의 확률 (0≤≤1)로 수없이 반복될 수 있는 사상에만 적용할 수

있기 때문에 선험적 분포로 얻은 분산을 도수에 근거한 분포로부터 얻은 분산과 합성하는 것을 반대하고 있다.

이러한 도수에 근거한 확률의 관점과 대조적으로 확률이란 어떤 사상이 일어날 것이라는 믿음의 정도의 척도라는 관

점도 역시 동등한 정당성을 갖고 있다. 예로서 어떤 사람이 약간의 돈 를 얻을 기회가 있는 합리적 내기꾼이라고

가정하자. 만일 그가 다음 2가지 선택에서 어디에도 치우치지 않는다면 사상 가 일어날 것이라는 믿음의 정도는

= 0.5가 된다.

1) 사상 가 일어나면 를 받고 일어나지 않는다면 아무것도 받지 않는다.

2) 사상 가 일어나지 않으면 를 받고 일어나면 아무것도 받지 않는다.

본 지침서의 근거가 되는 권고사항 INC-1(1980)은 식 (E.6)과 같은 표현을 측정결과의 합성표준불확도를 계산하는 적

절한 방법이라고 간주하기 때문에 그러한 확률의 관점을 은연중에 채택하고 있다.

E.3.6 본 지침서에서와 같이 믿음의 정도를 바탕으로 확률을 설명하고 표준편차(표준불확도)와 불확도 전파법칙[식

(E.3)]을 측정불확도의 평가와 표현의 근거로 채택하는 것은 3가지 뚜렷한 장점이 있다.

a) 불확도 전파법칙은 어느 측정결과의 합성표준불확도가 다른 측정결과에서 사용될 때 다른 측정결과의 합성표준불

확도를 평가하는데 그 합성표준불확도를 바로 편입시킬 수 있게 한다.

b) 합성표준불확도는 요구되는 신뢰의 수준에 해당하는 구간을 현실적으로 산출할 수 있도록 하는 근거가 된다.

c) 모든 불확도 성분이 같은 방법으로 처리되기 때문에 불확도를 평가할 때 “우연” 또는 “계통”으로(또는 다른 방법으

로) 성분을 분류할 필요가 없다.

이런 불확도 성분의 분류가 종종 혼동의 원인이 되므로 c)의 장점이 가장 뛰어난 장점이라고 할 수 있다. 하나의 불확

도 성분은 “우연”도 아니고 “계통”도 아니다. 불확도 성분의 본질은 해당하는 양의 사용 또는 좀 더 공식적으로는 측정

을 설명하고 있는 수학적 모델에서 양이 나타나는 전후관계에 따라 결정된다. 따라서 불확도 성분에 해당되는 양이 다

른 전후관계에서 사용된다면 “우연” 성분이 “계통” 성분으로 바뀔 수도 있으며 그 역이 될 수도 있다.

E.3.7 위의 c)에서 설명한 이유에 따라 권고사항 INC-1(1980)은 불확도 성분을 “우연”이나 “계통”으로 분류하지 않고

있다. 사실 측정결과의 합성표준불확도 계산에 관한한 불확도 성분을 분류할 필요가 없으며, 따라서 예전 방식을 고려

할 실질적 필요성이 없어지게 되었다. 그럼에도 어떤 개념에 대한 토론이나 의사전달에서 편리한 호칭이 상당히 도움

이 될 수 있기 때문에 권고사항 INC-1(1980)은 불확도 성분을 평가하는 2개의 분명한 분류방식 “A”와 “B”(0.7, 2.3.2

및 2.3.3 참조)를 마련하였다.


57

불확도 성분을 평가하는데 사용하는 방법으로 분류하는 것은 성분 그 자체로 분류하는데 따르는 문제점, 즉 해당되는

양이 사용되는 방식에 따른 분류의 종속성을 해소할 수 있다. 그러나 성분이 아닌 방법으로 분류하는 것은 2개의 방식

으로 평가된 개별 성분을 주어진 측정의 특정 목적에 따른 세부그룹, 예를 들어 복잡한 측정시스템의 출력값의 변동성

을 비교할 때 실험관측값과 이론적 예측값 등 2개의 세부그룹으로 나누어 각 그룹별로 모으는 것을 배제하는 것이 아

니다(3.4.3 참조).

E.4 불확도 척도로서의 표준편차

E.4.1 식 (E.3)은 입력추정값의 불확도를 구한다 하더라도 그 불확도는 표준불확도, 즉 추정 표준편차로 평가되어야

함을 요구하고 있다. 만일 표준편차대신 “안전한” 대안을 사용할 경우, 식 (E.3)을 사용해서는 안 된다. 특히 “최대오차

한계” (최량추정값으로부터 벗어나는 가능한 최대편차)를 식 (E.3)로 사용할 경우, 그 결과로 나온 불확도는 잘못 정의

된 의미를 갖게 되고, 다른 양의 불확도를 이어서 산출할 때 사용해서는 안 된다(E.3.3 참조).

E.4.2 입력량의 표준불확도를 적절한 수의 반복 관측값의 결과를 분석하여 평가할 수 없을 때에는 필요보다 훨씬 제

한적이기는 하지만 알고 있는 지식을 근거로 한 확률분포를 사용해야 한다. 그렇다고 해서 그 분포가 타당하지 않거나

현실적이지 못하다는 것이 아니다. 그것은 모든 확률분포와 마찬가지로 어떤 지식이 존재하느냐를 표현하고 있다.

E.4.3 반복관측을 근거로 한 평가가 반드시 다른 방법보다 우수하다고 할 수 없다. 정규분포인 확률변수 [4.2.3의

식 (5) 참조]의 개 독립 관측값 의 평균의 실험표준편차 를 생각해 보자. 양 는 의 확률분포의 표준편

차, 즉, 무한히 반복측정하여 얻은 값의 분포의 표준편차를 추정하기 위한 통계량이다(C.2.23 참조). 의 분산

는 근사적으로 다음과 같이 된다.

≈ (E.7)

여기서 = - 1은 의 자유도이다(G.3.3 참조). 따라서 의 상대불확도의 척도이며 의 비율

로 구해지는 의 상대표준편차는 근사적으로 [2( - 1)]-1/2이 된다. 제한된 샘플링이라는 순전히 통계적 이유로 발

생하는 이와 같은 의 “불확도의 불확도”는 놀라울 만치 클 수도 있다. = 10 관측에서는 그 크기가 24 %가 된다.

표 E.1에 이 값과 다른 값들이 나타나 있는데 통계적으로 추정 표준편차의 표준편차는 실용적인 의 값에 대해서는

무시할 수 없음을 나타내고 있다. 따라서 표준불확도의 A형 평가가 반드시 B형 평가보다 신뢰성이 높다고 결론지울

수 없으며, 관측횟수가 제한되는 많은 실제 측정상황에서는 B형 평가로 얻은 성분이 A형 평가로 얻은 성분보다 더 잘

알고 있다고 결론지을 수 있다.

E.4.4 특정 측정방법의 적용과 관련된 불확도는 확률변수의 특성을 나타내는 통계적 파라미터인 반면 다른 방법으로

불확도를 다루어야 하는 “진정한 계통효과”의 예가 있다는 주장이 제기되어 왔다. 예로서 각 측정방법에서 그 원리의

불완전성이나 근거가 되는 가정들 중 하나에 기인하여 매 측정 시마다 측정방법별로 크기는 알 수는 없으나 고정된

치우침(offset)을 나타내는 것을 들 수 있다. 그러나 이러한 치우침이 생길 가능성이 인정되고 그 크기가 의미가 있을

만큼 크다고 생각되면 그러한 생각이 나오게 만든 지식에 근거하여 아무리 간단한 것이라도 확률분포를 설정하여 그

생각을 설명하여야 한다. 따라서 만일 확률이라는 것이 어떤 사상이 발생할 것이라는 믿음의 정도를 나타내는 척도라

고 간주한다면 그러한 계통효과의 기여도는 선험적 확률분포의 표준불확도의 하나로 평가하고 입력량의 다른 표준불

확도와 같은 방법으로 처리하여 구한 측정결과의 합성표준불확도에 포함되어 있을 것이다.

예 어느 특정 측정절차서에 고차항이 정확히 알려지지 않은 어느 특정 거듭제곱 급수 전개를 이용하여 입력량을 구하도록 명시되

어 있다. 이러한 고차항을 정확히 처리할 수 없으므로 발생하는 계통효과는 측정절차를 반복 적용하여 실험적으로 표본값을 얻을

수 없는 미지의 고정된 치우침을 야기한다. 따라서 이 계통효과와 관련된 불확도는 도수에 근거한 확률 설명으로는 평가될 수 없으

며 최종 측정결과에 포함될 수 없다. 그러나 믿음의 정도에 근거한 확률을 바탕으로 그 효과를 선험적 확률분포(정확하게 알려지지

않은 항과 관련된 가용한 지식으로부터 도출)로 평가하여 구한 불확도는, 다른 불확도와 같이 측정결과의 합성표준불확도 산출에

포함되어야 한다.


58

관측횟수

(%)

2

3

4

5

10

20

30

50

76

52

42

36

24

16

13

10

(a) 주어진 값은 에 대한 근사 표현식 [2( - 1)]-1/2이 아닌 정확한 그대로의 표현식으로부터

계산되었다.

(b) 식에서 분모 는 기댓값 이며 분자 는 분산 의 제곱

근이다. 여기서 는 각각 평균값 와 분산 의 정규분포를 갖는 개의 독립확률변수 의 표

준편차와 동등한 확률변수를 나타낸다.

의 기댓값과 분산은 다음과 같다.

Γ

Γ

여기서 Γ는 감마함수이고, 유한수의 에 대해서 임에 유의한다.

표 E.1 - 정규분포인 확률변수 의 회 관측값의 평균 의 표준편차에 대한 평균 의 실험표준편차의 표준편차의 비 (a) (b)

E.5 불확도에 대한 두 가지 관점의 비교

E.5.1 본 지침서의 초점은 알 수 없는 양의 “참” 값과 오차(부록 D 참조)에 있는 것이 아니고 측정결과와 그 결과를

평가한 불확도에 있다. 본 지침서는 측정결과는 단순히 측정량을 추정한 값이며 그 결과의 불확도는 측정량을 합리적

으로 추정한 값의 산포의 척도라는 사용적인 관점(operational views)을 채택함으로써 불확도와 알 수 없는 양의 “참”

값이나 오차 사이의 자주 혼동되는 연결고리를 실질적으로 끊어버렸다.

E.5.2 이러한 연결고리는 불확도 전파법칙인 식 (E.3)을 “참” 값이나 오차의 관점에서 설명하면 이해될 수도 있다. 이

경우 는 각 입력량 의 알 수 없는 유일한 “참” 값으로 간주되며, 는 식 로 “참” 값 와 연결되어

있다고 가정한다. 여기서 는 의 오차로서 각 의 확률분포의 기댓값은 0, 즉 = 0이라고 가정하면 이때

분산은 이다. 그러면 식 (E.1)은 다음과 같이 된다.

(E.8)

여기서 는 의 오차이며 는 의 “참” 값이다. 만일 의 제곱의 기댓값을 취하면, 식 (E.3)과 동일

하게 되나 이식에서 은 의 분산이 되고,

은 와 의 상관계수가 된다. 여기서

는 와 의 공분산이다. 이렇게 되어 분산과 상관계수는 입력량 그 자체보다 입력량의 오차와

관련짓게 된다.


59

주 계통오차는 우연오차와 같은 방식으로 처리되며, 는 양쪽 모두를 나타낸다는 의미를 함축하면서 확률은 어떤 사상이 일어날

것이라는 믿음의 정도의 척도로 간주한다고 가정하였다.

E.5.3 실제 실무에서는 관점의 차로 인해 측정결과나 측정결과의 불확도의 수치가 달라지진 않는다.

첫째, 양쪽 모두의 경우에서 함수 로부터 의 최량추정값을 구하기 위해 입력량 의 가용한 최량추정값이 사용되

고 있다는 점이다. 이와 같은 점은 최량추정값이 문제가 되는 양으로 인하여 가장 발생할 가능성이 높은 값 또는 문제

가 되는 양의 “참” 값의 최량추정값으로 간주될 경우 계산상 차이를 유발하지 않는다.

둘째, 이고 는 단일 고정값을 나타내고 이에 따라 불확도가 없다고 보기 때문에 와 의 분산과 표

준편차는 같다는 점이다. 이는 양쪽 모두의 경우에서 측정결과의 합성표준불확도를 구하기 위해 표준편차 의 추정

값으로 사용되는 표준불확도가 동일하고 그 불확도에 대해 같은 수치를 생산한다는 것을 의미한다. 반복하건데 표준불

확도가 입력량의 확률분포의 산포의 척도 또는 입력량의 오차의 확률분포의 산포의 척도로 간주될 경우는 계산상 차

이를 유발하지 않는다.

주 만일 E.5.2의 주에서와 같은 가정이 없다면, 모든 입력량의 추정값과 그 불확도가 반복 관측값의 통계적 분석으로, 즉 A형

평가로 구하여지지 않을 경우는 이 소절에서 토의한 내용이 적용되지 않는다.

E.5.4 “참” 값과 오차에 근거한 접근법이 본 지침서의 접근법과 같은 수치를 생산하더라도(E.5.2의 주의 가정이 설정

된 경우), 본 지침서의 불확도 개념은 오차와 불확도 사이의 혼동을 없앤다(부록 D 참조). 사실, 본 지침서는 양의 관측

(또는 추정)값과 그 양의 관측된(또는 추정된) 변동성에 초점을 맞춘 사용적인 접근법을 채택하여 오차에 대한 어떠한

형태의 언급도 불필요하게 만들었다.


60

부록 F

불확도 성분 평가에 관한 실무 지침

본 부록에서는 불확도 성분 평가에 대해 4절에서 이미 제시한 제안을 주로 실무적 측면에서 보충하기 위한 추가적인

제안을 제시한다.

F.1 반복관측으로 평가되는 성분: 표준불확도의 A형 평가

F.1.1 우연성과 반복관측

F.1.1.1 반복관측으로 산출한 불확도는 다른 방법으로 평가된 불확도에 비해 “객관적이다”, “통계적으로 엄 하다”

등으로 종종 대비된다. 그러한 대비는 불확도라는 것이 단순히 통계적인 식을 관측값에 적용하여 구할 수 있으며 불확

도 평가에는 어떠한 판단도 적용할 필요가 없다고 하는 잘못된 의미를 함축하게 된다.

F.1.1.2 첫 번째로 물어야 할 것은 “반복관측은 측정절차에서 어느 정도까지 완전하게 독립적으로 반복하여야 하는

가?” 이다. 만일 모든 관측이 단 하나의 표본에 대해 시행되었고 측정량이 재료의 특성(주어진 재료시편의 특성이 아

니고)이기 때문에 샘플링이 측정절차에 포함되어야 한다면 그 관측은 독립적으로 반복 시행되지 않은 것이다. 단 하나

의 표본에 대해 시행된 반복관측에 따른 관측된 분산에는 표본들 간의 차이로 발생하는 분산성분에 대한 평가가 반드

시 추가되어야 한다.

만일 계기의 영점조정이 측정절차에 포함되어 있으면 영점조정에 따르는 통계적으로 구할 수 있는 잠재적 불확도가

있기 때문에 관측이 행해지는 동안의 드리프트(drift)가 아무리 무시할 수 있을 정도로 작을 경우라도 측정기기는 매 반

복관측마다 영점조정을 다시 하여야 한다.

기압계를 읽을 때도 마찬가지로 대기압이 일정한 경우라도 지시와 읽음 양쪽에 모두 변동이 있을 수 있으므로 원칙적

으로 매 반복측정 시 마다 읽어야(가급적 외적요인의 영향이 가라앉은 평형상태에 도달한 후)한다.

F.1.1.3 둘째, 우연이라고 가정한 모든 영향들이 정말로 우연인지 살펴보아야 한다. 그들의 분포의 평균과 분산이

일정한지, 또는 반복관측 기간 동안 측정되지 않은 영향량의 값에 혹시 드리프트는 없는지? 만일 관측횟수가 충분하다

면 관측기간의 전반부와 후반부의 측정결과의 산술평균과 그의 실험표준편차를 구하고 그들 간의 차이가 통계적으로

유의한지, 그리하여 시간에 따라 변화하는 효과가 있는지 판단하기위해 비교해 볼 수 있다.

F.1.1.4 만일 실험실에 “공동서비스”로 제공되는 값(공급 전압 및 주파수, 수압 및 온도, 질소압력 등)이 영향량이라

면 그 값의 변동에는 간과하면 안되는 우연이 아닌 중요한 요소가 있다.

F.1.1.5 만일 디지털지시의 최소유효 숫자가 “노이즈”로 인하여 관측하는 동안 계속 변화한다면 때로는 그 숫자들

중 무의식적으로 개인이 선호하는 값이 골라지게 된다. 임의로 설정한 어떤 시점에서 얻어지는 결과를 기록하게 하는

방안을 마련하는 것이 더 좋다.

F.1.2 상관관계

본 소절 내용 중 많은 부분이 표준불확도의 B형 평가에도 적용될 수 있다.

F.1.2.1 2개의 입력량 와 의 추정값과 관련된 공분산은 다음과 같은 경우 중 하나에 해당하면 영(0)으로 하거

나 무시할 수 있다.


61

a) 예를 들어 와 가 서로 다른 독립된 실험으로 동시가 아니면서 반복적으로 측정되거나 서로 독립된 다른 평

가의 결과량을 대표하기 때문에 상관관계가 없는(확률변수, 변화하지 않는다고 가정한 물리량이 아닌 － 4.1.1, 주

1 참조) 경우

b) 와 모두 또는 둘 중에 하나가 불변량으로 취급될 수 있는 경우

c) 와 의 추정값과 관련된 공분산 평가에 대한 정보가 충분하지 않는 경우

주 1 한편 5.2.2의 주 1의 기준 저항 예에서와 같이 입력량들이 완전 상관관계가 있고 그 추정값의 표준불확도가 선형으로 합성

되는 것이 명백한 경우가 있다.

주 2 서로 다른 실험이라도 예를 들어 같은 기기를 같이 사용하였다면(F.1.2.3 참조) 독립적이 아닐 수 있다.

F.1.2.2 두 개의 입력량이 반복적으로 동시에 측정된 경우 상관관계가 있는지의 여부는 5.2.3의 식 (17)을 사용하

여 결정할 수 있다. 예를 들어 온도 보상이 되지 않았거나 미약하게 보상된 발진기의 주파수가 하나의 입력량이고, 주

위 온도가 또 다른 입력량이며, 2개의 양이 동시에 측정된 경우 산출된 발진기의 주파수와 주위 온도의 공분산에는

상당히 큰 상관관계가 나타날 수 있다.

F.1.2.3 실제로는 입력량의 값을 추정할 때 물리측정표준, 측정기기, 참조데이터 또는 상당히 큰 불확도를 갖는 측

정방법까지도 같이 사용하기 때문에 많은 경우 입력량들은 상관관계가 있다. 일반적 경우로 추정값이 과 인 2개

의 입력량 과 가 상관관계가 없는 일련의 변수 에 의존하는 경우를 생각해 본다. 이 경우 변수

들 중 일부가 어느 한 함수에는 나타나고 다른 함수에는 나타나지 않을 수 있으나 과

가 된다. 만일 이 의 추정값 의 추정분산이라면 의 추정분산은 5.1.2의 식 (10)으로

부터 다음과 같이 되며, 도 같은 식으로 나타낼 수 있다.

(F.1)

과 의 추정공분산은 다음과 같이 된다.

(F.2)

주어진 에 대하여 ≠ 0이며 ≠ 0인 항만이 전체 합에 기여하므로 와 에 공통되는 변수가 없으면

공분산은 영이 된다.

두 개의 추정값 과 의 추정상관계수 는 [식 (F.2)]와 5.2.2의 식 (14) 및 식 (F.1)로 산출한

과 비슷한 식으로 산출한 로 결정한다[H.2.3의 식 (H.9)도 참조]. 두 개의 입력추정값의 추정공분산이 통계

적 성분[5.2.3의 식 (17) 참조]과 본 소절에서 검토되는 내용으로 발생하는 성분 양쪽 모두를 갖는 것 또한 가능하다.

예 1 전류 와 온도 를 결정하는 같은 측정에 표준저항 S가 사용된다. 전류는 표준기 단자 양측에 걸리는 전위차를 디지털

전압계로 측정하여 결정한다. 온도는 15 °C ≤ ≤ 30 °C 범위에서 와 가 기지의 상수인 온도저항 관계가 t인

교정된 저항온도센서의 온도 t를 저항 브릿지와 표준기로 측정하여 결정한다. 이런 방법으로 전류는 SS의 관계식을,

그리고 온도는 가 브릿지에서 측정한 비 tS인 관계식 S 를 적용하여 결정한다.

S만이 와 의 관계식에 공통되므로 식 (F.2)로부터 와 의 공분산은 다음과 같이 된다.


62

SSS S

S SS S

S

(기호 표시를 간단히 하기 위해 본 예에서는 입력량과 그 추정값에 대해 같은 기호를 사용하였다.)

공분산의 수치를 구하기 위해 와 의 측정량의 수치와 표준저항기 교정성적서에 있는 S와 S의 값을 위 식에 대입한다.

의 단위는 상대분산 SS 의 차원이 일(즉, 소위 말하는 무차원 양)이므로 명백히 A ․ °C이다.

더 나아가서, 양 가 관계식 로 입력량 와 와 관계가 있고 여기서 와 는 기지의 상수이고 무시할 수

있는 불확도 [ ≈ 0, ≈ 0]를 갖는다고 놓는다. 그러면 5.2.2의 식 (13)을 적용하여 의 분산을 와 의 분산과 공

분산으로 나타내면 다음과 같이 된다.

분산 와 는 5.1.2의 식 (10)을 SS와 S 에 적용하여 구하며, 그 결과는 다음과 같다.

SSSS

SS

여기서 단순화를 위해 상수 와 의 불확도는 모두 무시할 수 있다고 가정하였다. 위 식의 결과는 전압계와 저항 브릿지의 값을

반복하여 읽음으로써 S와 를 결정할 수 있기 때문에 바로 구할 수 있다. 물론 S와 를 결정할 때 기기자체나

적용된 측정절차가 갖고 있는 고유의 불확도는 모두 고려되어야 한다.

예 2 5.2.2의 주 1의 예에서 각 저항기의 교정을 S라고 놓고 이때 측정비 는 반복관측하여 얻은 값이고 그 표준불확

도를 라 하자. 또한 각 저항기에 대해 ≈ 1로 놓고 각 교정에서 ≈ 가 되도록 가 실질적으로 같다고 놓

자. 그러면 식 (F.1)과 (F.2)는 SS와 S가 된다. 이것은 5.2.2의 식 (14)를 통해 어떤 2개

의 저항기≠의 상관계수가 다음과 같이 됨을 의미한다.

≡ SS

SS = 10-4이므로 = 100 × 10-6이면 ≈ 0.5이며, = 10 × 10-6이면 ≈ 0.990이고, = 1 × 10-6이면

≈ 1.000이 된다. 이에 따라 → 0이면 → 1이 되고 → S가 된다.

주 일반적으로 위의 예와 같은 비교 교정에서는 교정품목의 추정값은 기준표준의 불확도에 대한 비교의 불확도의 비에 따르는

정도의 상관관계를 갖는다. 실무에서 자주 발생하는 바와 같이 비교의 불확도가 표준의 불확도에 비해 무시할 수 있을 정도가 되면

상관계수는 +1이 되고 각 교정품목의 불확도는 표준기의 불확도와 같게 된다.

F.1.2.4 측정량 가 의존하고 있는 원래의 일련의 입력량 [4.1의 식 (1) 참조]이 2개 이상의 원래

의 에 공통되는 양 과 같은 추가 독립 입력량이 포함되도록 다시 정의될 경우는 공분산 를 도입하지

않을 수 있다(과 그 영향을 받는 사이의 관계를 완전히 설정할 수 있는 추가 측정이 필요할 수도 있다.). 그러나

어떤 경우에는 입력량의 수를 증가시키는 것보다 공분산을 유지하는 것이 더 편리할 수도 있다. 동시에 반복되는 관측

(5.2.3의 식 (17) 참조)의 관측된 공분산에 비슷한 과정이 수행될 수도 있으나 적절한 추가 입력량을 선별해 내는 것은

때로는 그 문제에 한정되는 것이며 추상적인 것이다.

예 F.1.2.3의 예 1에서 S에 대한 와 의 표현식을 에 대한 표현식으로 바꾸면 다음과 같다.


63

S S S

입력량 와 를 양 S, S 및 로 대치하여 와 사이의 상관관계를 피할 수 있게 되었다. 이들 입력량들은 상관관계가 없으므

로 의 분산은 5.1.2의 식 (10)으로부터 얻을 수 있다.

F.2 다른 방법으로 평가되는 성분: 표준불확도의 B형 평가

F.2.1 B형 평가의 필요성

측정실험실이 무한한 시간과 자원을 가지고 있다면, 예를 들어 서로 다른 여러 종류의 기기, 다른 측정방법, 다른 방법

의 적용 및 측정의 이론적 모델안의 다른 근삿값들을 사용하여 인지할 수 있는 모든 불확도의 요인에 대해 철저한 통

계적 조사를 실시할 수 있을 것이다. 그러면 이들 원인과 관련된 불확도들은 모두 일련의 관측에 대한 통계적 분석으

로 평가될 수 있고, 각 요인의 불확도는 통계적으로 평가된 표준편차로 그 특징을 나타낼 수 있을 것이다. 다시 말하

면, 모든 불확도 성분은 A형 평가로 구할 수 있게 될 것이다. 그런 조사는 실제로 경제적이지 못하기 때문에 많은 불

확도 성분은 다른 실질적 방법으로 평가할 수밖에 없다.

F.2.2 수학적으로 결정하는 분포

F.2.2.1 디지털 지시값의 분해능(The resolution of a digital indication)

디지털기기의 불확도 요인 중 하나는 지시장치의 분해능이다. 예로서 반복 지시값이 모두 같은 경우라도 반복성에 대

한 측정불확도는 영이 되지 않는다. 왜냐하면 그 같은 지시값을 주는 기기에 입력되는 신호가 알려진 어떤 범위의 구

간을 갖기 때문이다. 지시장치의 분해능이 라면 주어진 지시값이 가 되게 하는 자극값(value of the stimulus)은

/2에서 /2의 구간의 어느 곳에도 동일한 확률로 존재하게 된다. 이에 따라 자극은 분산 2 = ( )2/12

과 폭 를 갖는 직사각형 확률분포(4.3.7과 4.4.5 참조)로 특성을 나타낼 수 있으므로 어떤 지시에서든 그 표준불확

도가 = 0.29가 된다는 의미를 함축한다.

따라서 최소 유효숫자가 1 g인 지시장치를 가진 저울은 기기의 분해능에 따른 분산이 2 = (1/12) g2이며 그 표준불

확도는 = (1/ ) g = 0.29 g이 된다.

F.2.2.2 이력현상(Hysteresis)

어떤 종류의 이력현상은 유사한 종류의 불확도의 요인이 된다. 기기의 지시는 연속되는 읽음값이 올라가고 내려감에

따라 알려진 크기만큼 일정하게 달라질 수 있다. 세심한 작업자는 연속되는 읽음값의 방향을 주의 깊게 살펴보고 적

절한 보정을 한다. 그러나 이력현상의 방향은 항상 관측 가능한 것이 아니다. 기기 내부에는 평형점(equilibrium point)

근처에 숨겨진 발진이 있어서 그 평형점이 마지막으로 도달하는 방향에 따라 지시가 다르게 된다. 그 요인으로부터

읽음의 가능한 범위가 이면 분산은 또 다시 2 = ( )2/12이 되고 이력현상에 따른 표준불확도는 = 0.29가

된다.

F.2.2.3 유한정밀산술(Finite-precision arithmetic)

컴퓨터에 의한 자동 데이터 축소(data reduction)에 따라 발생하는 수치의 반올림(rounding) 또는 절단(truncation) 역시

불확도의 요인이 된다. 예를 들어 단어의 길이가 16비트인 컴퓨터의 예를 들어보자. 계산 과정에서 이 단어의 길이를

가진 숫자를 16번째 비트에서만 틀린 다른 숫자에서 빼는 경우는 단 하나의 유효비트만 남게 된다. 작업자는 계산상

가장 중요한 입력량(가끔 출력량의 크기에 비례하는 것이 있다)을 출력량이 변화할 때까지 조금씩 증가시켜서 경험적

불확도 값을 얻을 수 있다. 이러한 방법으로 얻을 수 있는 출력량의 가장 작은 변화를 불확도의 척도로 간주할 수 있

다. 만일 그것이 라면 분산은 2 = ( )2/12이고 표준불확도는 = 0.29가 된다.


64

주 작업자는 제한된 단어 길이를 가진 기계로 수행한 계산의 결과를 보다 상당히 큰 단어 길이를 가진 기계로 수행한 같은 계산

의 결과와 비교함으로써 불확도 평가를 점검할 수 있다.

F.2.3 입수한 입력값(Imported input values)

F.2.3.1 어떤 입력량에 대해 입수한 입력값이란 주어진 측정과정에서 추정한 값이 아니고 다른 곳에서 독립된 평가

의 결과로 얻은 값을 말한다. 보통 이렇게 입수한 입력값에는 어떠한 형태로든지 불확도에 관한 설명이 첨부된다. 예

를 들어 불확도는 표준편차, 표준편차의 배수, 또는 명시된 신뢰의 수준을 갖는 구간의 반너비 등으로 주어질 수 있다.

다른 대안으로 상한과 하한이 주어지거나, 또는 불확도에 관해 아무런 정보도 주어지지 않을 수 있다. 후자의 경우 그

값을 사용하는 사람은 불확도의 가능한 크기, 주어진 양의 특성, 값의 원천에 대한 신뢰도, 그 양에 대해 실무적으로

얻은 불확도 등에 대한 자신의 지식을 활용하여야 한다.

주 입수한 입력값의 불확도에 대한 토론은 편의상 본 소절의 표준불확도의 B형 평가에 포함시켰다. 이러한 양의 불확도는 A형

평가로 얻은 성분 또는 A형과 B형 모두로부터 얻은 성분으로 구성될 수 있다. 합성표준불확도를 산출함에 있어 2가지 다른 방법으

로 평가된 성분들을 구분을 할 필요는 없으므로 입수한 양의 불확도의 구성을 알 필요는 없다.

F.2.3.2 어떤 교정시험소는 “불확도”를 실무적으로 “최소”의 신뢰수준, 예로서, “최소” 95 %를 갖는 구간을 정의하

는 상한과 하한의 형식으로 표현하고 있다. 이것은 소위 “안전한” 불확도(E.1.2 참조)의 예로 간주될 수 있으며 이것이

어떤 방법으로 산출되었는지를 알지 못하면 표준불확도로 환산할 수 없게 된다. 만일 충분한 정보가 주어졌다면 그것

은 본 지침서의 규칙에 따라 재 산출될 수도 있으나 그렇지 않은 경우는 어떤 방법으로든지 가능한 방법으로 독립적인

불확도 평가가 실시되어야 한다.

F.2.3.3 어떤 불확도는 단순히 모든 양의 값이 취할 수 있는 최대한의 한계로 주어진다. 실무에서는 그 한계 내의

모든 값의 확률이 같다(직사각형 확률분포)고 가정하는 것이 일반적이나 한계에 근접한 값이 한계의 중앙에 가까운 값

보다 발생할 확률이 작다고 할 수 있는 사유가 있다면 그러한 분포를 가정해서는 안 된다. 반너비 의 직사각형분포의

분산은 2/3이며 가 99.73 %의 신뢰수준을 갖는 구간의 반너비인 정규분포의 분산은 2/9이다. 이 두 가지 값 사이

의 타협점, 예를 들어 분산이 2/6이 되는 삼각형분포(4.3.9 및 4.4.6 참조)를 가정하는 것도 현명하다고할 수 있다.

F.2.4 측정된 입력값

F.2.4.1 1회 관측, 교정된 기기

만일 작은 불확도를 갖는 표준기로 교정된 특정기기를 사용하여 단 한 번의 관측으로 입력량의 추정값을 얻었다면, 그

추정값의 불확도는 주로 반복성에 기인하게 된다. 교정된 기기에 의한 반복측정의 분산은 현재의 읽음값과 반드시 정

확하게 일치하지는 않으나 사용하기에 충분할 만큼 가까운 값으로 먼저 실시된 실험으로 이미 얻어졌을 수 있으며 문

제의 입력값에 적용될 수 있는 분산이라고 가정할 수 있다. 만일 그러한 가용 정보가 없다면 추정값은 측정장비나 기

기의 특성, 비슷한 구조를 가진 다른 기기의 알려진 분산 등에 근거를 두어야 한다.

F.2.4.2 1회 관측, 검증된 기기

모든 측정기기가 교정성적서나 교정곡선을 갖고 있는 것은 아니다. 그러나 대부분의 기기들은 명시된 규격에 따라 조

립되고 그 규격에 부합된다고 제조업체나 또는 독립된 당국에 의해 검증되어 있다. 보통 기기들이 부합해야 하는 그

규격들은 “최대 허용오차”의 형식으로 측정학적 요건을 포함하고 있다. 이 요건들에 대한 기기의 부합성 여부는 보통

최대 허용불확도가 규격에 명시되어 있는 기준기와 비교하여 결정한다. 그러면 이 불확도가 검증된 기기의 불확도 성

분이 되는 것이다.

검증된 기기의 특성오차 곡선에 대해 아는 것이 하나도 없다면 오차가 허용한계내의 어떤 값을 취할 확률이 같다고

하는, 즉 직사각형 확률분포를 가정하여야 한다. 그러나 어떤 형식의 기기들은 예를 들어서 오차가 측정범위의 어떤

부분에서는 항상 양의 값을 갖고 다른 부분에서는 음의 값을 갖는 특성곡선을 갖는다. 때로는 그런 정보를 명시된 규

격을 연구해서 추론해낼 수 있다.


65

F.2.4.3 관리된 양(Controlled quantities)

측정은 많은 경우 일련의 측정과정 동안 항상 일정하게 유지된다고 가정되는 관리된 기준조건하에서 이루어진다. 예를

들어 측정은 온도조절장치(thermostat)로 온도가 조절되는 오일 배스(stirred oil bath) 내의 시료에 대해 이루어질 수

있다. 배스의 온도는 시료에 대한 매 측정마다 측정되지만 배스의 온도가 순환되고 있다면 시료의 순간 온도는 배스

내 온도계가 지시하는 온도가 아닐 수도 있다. 열전달 이론에 근거한 시료의 온도 변동과 그 분산의 계산은 본 지침서

의 범위 밖이지만 그 계산은 배스의 온도에 대한 지식이나 가정으로부터 출발해야 한다. 그 온도 순환은 정 한 열전

대와 온도기록계로 관측될 수 있으나 그것이 안 되면 온도조절의 특성에 대한 지식으로 추론할 수 있다.

F.2.4.4 가능한 값의 비대칭분포

양의 모든 가능한 값이 단일 극한 값의 한 쪽으로만 분포되는 경우가 있다. 예를 들면 액주형 압력계의 액체기둥의

고정수직높이 (측정량)를 측정하는 경우 높이측정 장치의 축이 적은 각도 만큼 수직축으로부터 기울어져 있을 수

있다. 이 경우 장치로 측정한 길이 은 항상 보다 크게 될 것이다. 어떠한 값도 보다 작아질 수 없다. 이것은 가

을 cos만큼 투영한 것과 같아 = /cos가 되고 cos의 값은 항상 1보다 작으며 어떤 값도 1보다 커질 수 없기

때문이다. 이와 같은 소위 “코사인 오차(cosine error)”는 측정량 ′의 투영 ′cos가 관측 길이 이 되는, 즉, = ′cos가 되는 경우 마찬가지로 발생할 수 있으며 관측 길이는 항상 측정량 보다 작아지게 된다.

만일 새로운 변수 = 1－cos를 도입하고 실무에서 보통 나타나는 바와 같이 ≈0 또는 ≪1이라고 가정하면 이

두 가지 다른 경우는 다음과 같이 된다.

(F.3a)

′ (F.3b)

여기서 의 최량추정값인 은 추정분산 을 가진 의 번 독립된 관측값 의 산술평균 또는 평균이다[4.2의 식

(3) 및 (5) 참조]. 따라서 식 (F.3a)와 (F.3b)로부터 나 ′의 추정값을 얻기 위해서는 보정인자 의 추정값이 필요하고,

나 ′의 추정값의 합성표준불확도를 얻기 위해서는 의 추정분산 가 필요하게 된다. 좀 더 구체적으로는 5.1.2

의 식 (10)을 식 (F.3a)와 (F.3b)에 적용하면 c와 c′는 각각 다음과 같이 된다(각각 －와 ＋기호).

c ∓ (F.4a)

≈ (F.4b)

의 기댓값과 분산의 추정값을 구하기 위해 액주형 압력계의 액체기둥 높이를 측정하는 장치의 축을 수직평면에 고정

하고 경사각 값의 분포가 기댓값 영 부근에서 정규분포가 되고 분산이 2이라고 가정한다. 의 값은 양수 또는 음수

가 될 수 있으나 = 1－cos는 모든 의 값에 대해 양수가 된다. 만일 장치축의 정렬불량이 모든 방향으로 가능하

다고 한다면 방위각에서도 정렬불량이 가능하기 때문에 축의 방향은 모든 입체각으로 변화할 수 있으나 는 항상 양

각(positive angle)이 된다.

장치축의 정렬불량이 한 방향으로만 가능하거나 일차원인 경우 확률원소 /d (C.2.5, 주)는 exp[－2/(22)]d에

비례하고, 모든 방향으로 가능하거나 이차원의 경우는 확률원소는 exp[－2/(22)]sin d에 비례한다. 두 가지 경우

에서 확률 도함수 는 식 (F.3)과 (F.4)에서 사용하기 위해 의 기댓값과 분산을 구하는데 필요한 식이다. 확률

도함수는 각 가 작을 것으로 가정하였고 그에 따라 = 1－cos와 sin가 의 가장 작은 차수로 전개될 수 있기

때문에 이들 확률원소로부터 즉시 구할 수 있다. 이로부터 ≈2/2, sin ≈ = 그리고 d = d /가 된

다. 그러면 확률 도함수는 다음과 같이 된다.


66

일차원에서

exp (F.5a)

이차원에서 exp (F.5b)

여기서

∞

d 이다.

보정값 의 가능성이 가장 높은 값은 양쪽 모두의 경우에서 영(0)임을 보여주는 식 (F.5a)와 (F.5b)에서 일차원의 경우

의 기댓값과 분산은 각각 = 2/2 및 var = 4/2임을 알 수 있고, 이차원의 경우는 = 2과 var

= 4임을 알 수 있다. 그러면 식 (F.3a), (F.3b) 및 (F.4b)는 다음과 같이 된다.

(F.6a)

′ (F.6b)

c c′ (F.6c)

여기서 는 차원성( = 1 또는 2)이며 는 가정된 정규분포의 표준편차 의 최량추정값이며, 측정과 관련된 모든

가용정보를 활용하여 평가(B형 평가)하였다고 인정한 각도 의 표준불확도이다. 이는 측정량의 값의 추정값이 입력량

의 불확도에 따라 변화하는 경우의 사례이다.

식 (F.6a)에서 (F.6c)까지는 정규분포에 국한된 것이지만 에 대해 다른 분포를 가정하고 분석할 수도 있다. 예를 들면

를 1차원의 경우에는 상한과 하한이 각각 ＋0와 －0, 2차원의 경우 0이 되는 대칭 직사각형분포로 가정하면, 1차

원에서는 = /6과 var =

/45이 되고 2차원에서는 = /4와 var =

/48이 된다.

주 이것은 c를 구하기 위해 함수 을 테일러 일차급수로 전개한 경우의 예이다. 5.1.2의 식 (10)은

의 비선형성인 cos ≠ cos (H.2.4 및 5.1.2의 주 참조)로 적당하지 않다. 분석은 완전히 에 대해서만 수행될 수 있지만 변수

를 도입하면 문제를 간소화할 수 있다.

양의 모든 가능한 값이 단일 극한값의 한쪽으로만 분포되는 경우의 다른 예로서 용액 성분의 농도를 적정(titration)하

여 결정할 때 종말점(end point)이 신호의 트리거링으로 지시되는데 첨가된 지시약의 양이 신호를 트리거하는데 필요

한 양보다 항상 많은 경우이다. 결코 적을 수가 없는 경우이다. 한계점을 지난 초과 적정량은 데이터 축소에 필요한

변수이며 이(그리고 비슷한) 경우 절차는 초과량에 대한 적절한 확률분포를 가정하고 그 분포를 활용하여 초과량의 값

과 그 분산을 구하는 것이다.

예 초과량 에 대해 하한은 0이고 상한은 가 되는 직사각형분포를 가정하면 초과량의 기댓값은 /2이고 그 분산은 /12이

다. 만일 초과량의 확률 도함수로 0≤ ∞인, 즉 = ( )-1 exp[－2/(22)]인 정규분포를 취하면 기댓값은 이

고 분산은 2(1－2/ )가 된다.

F.2.4.5 교정곡선 보정을 적용하지 않는 경우의 불확도

6.3.1의 주에서는 측정결과 보고시 의미있는 계통효과에 대해 알고 있는 보정 를 적용하지 않고 대신에 결과에 있는

“불확도”를 확대하여 고려하는 경우에 대하여 논의하였다. 보정값 를 0으로 가정하고 구한 확장불확도 를 로

대체하는 것이 하나의 예가 된다. 다음과 같은 조건이 모두 적용되는 상황에서 이런 방법을 때때로 사용된다. 온도센

서에 대한 교정곡선의 경우와 같이 측정량 는 파라미터 의 모든 영역의 값에 대해 정의 된다. 와 또한 의


67

종속변수이다. 그리고 의 모든 가능한 영역에서의 측정량의 모든 추정값 에 대해 단 하나의 불확도 값으로만 주

어진다. 이러한 경우 측정결과는 주로 ± [max + max]와 같은 형태로 보고되는데 여기서 첨자 “max”는

값의 모든 영역에서 의 최대값과 알려진 보정값 의 최대값이 사용됨을 나타낸다.

본 지침서가 알려진 의미있는 계통효과에 대해서는 측정결과에 보정을 해야 하는 것을 권고하고는 있으나, 의 각

값에 대하여 개별 보정값을 산출하고 적용하는데, 그리고 개별 불확도를 산출하고 사용하는데 소요되는 비용이 과다하

며 받아들이기 어려운 경우는 보정을 하는 것이 항상 가능한 것이 아닐 수 있다.

이 문제에 대해서는 본 지침서의 원칙에 맞으며 비교적 간단한 접근방법을 소개한다.

다음 식으로 하나의 보정값의 평균 를 계산한다.

d (F.7a)

여기서 과 는 파라미터 의 관심범위를 정의하며 의 최량추정값으로 ′ ± 를 채택하는데 는

의 보정되지 않은 최량추정값이다. 관심범위에서의 보정값의 평균 의 분산은 보정값 를 실제로 결정하는데

따르는 불확도를 고려하지 않으면 다음과 같다.

d (F.7b)

보정값 를 실제 결정하는데 따르는 보정값 의 평균분산은 다음과 같다.

d (F.7c)

여기서 는 보정값 의 분산이다. 같은 방법으로 보정값 를 제외한 모든 불확도 요인으로 발생하는

의 평균분산은 다음과 같이 구할 수 있다.

d (F.7d)

여기서 는 를 제외한 모든 불확도 요인에 기인하여 발생하는 의 분산이다. 측정량 의 모든 추정

값 ′ 에 사용될 단 하나의 표준불확도 값은 다음식의 양의 제곱근이 된다.

c′ (F.7e)

확장불확도 는 c′에 적절하게 선택된 포함인자 를 곱하여 c′로 구할 수 있는데 최종결과는

′ ± ±가 된다. 그러나 의 각 값에 대하여 적절한 보정을 하지 않고 의 모든 값에 대해 하나

의 같은 평균 보정을 사용하는 것을 분명히 인식하여야 하며, 가 무엇을 나타내는지를 명확히 명시를 해야 한다.

F.2.5 측정방법의 불확도

F.2.5.1 측정방법에 관련된 불확도 성분의 평가가, 특히 그 방법을 적용한 결과가 이미 알려진 다른 것보다 작은

변동성을 나타낼 때에 아마도 평가하기가 가장 어렵다고 할 수 있다. 그러나 아직 알려지지 않았거나 다소 실용적이

아닌 다른 방법이라도 명백히 같은 타당성을 가지면서도 계통적으로 다른 결과를 나타낼 수 있다. 이것은 표본을 추출


68

하여 통계적으로 처리한 분포가 아닌 선험적 확률분포를 의미한다. 따라서 방법의 불확도가 가장 큰 불확도 성분인 경

우라도 그 표준불확도를 평가할 수 있는 정보는 물리세계에 대해 알고 있는 지식이 유일한 경우가 많다(E.4.4 참조).

주 같은 측정량을 같은 실험실 또는 다른 실험실에서 다른 방법으로 결정하거나, 또는 다른 실험실에서 같은 방법으로 결정하는

것은 종종 특정방법에 따르는 불확도에 관하여 가치있는 정보를 제공한다. 일반적으로 시험소간에 측정표준 또는 표준물질을 교환

하여 독립적 실험을 실시하는 것은 불확도 평가의 신뢰성 평가와 이전에 인지하지 못했던 계통효과를 도출해 내는 유용한 방법이

된다.

F.2.6 시료의 불확도

F.2.6.1 미지의 대상물을 교정하기 위해 비슷한 특성을 가진 표준기로 미지의 대상물을 비교하는 측정들이 많이 실

시된다. 단면 게이지, 어떤 종류의 온도계, 분동세트, 저항기 그리고 고순도 재료 등이 예가 될 수 있다. 그러한 경우

대부분, 측정방법은 시료의 선택(즉, 교정대상이 되는 미지의 특정기기), 시료의 취급 또는 여러 환경 영향량의 효과에

특별히 민감하거나 또는 불리하게 영향을 받지 않는다. 왜냐하면 미지의 기기나 표준기의 그러한 변수에 대해 같은

(때로는 예측가능한) 방법으로 영향을 주기 때문이다.

F.2.6.2 어떤 측정 상황에서는 시료의 채취나 취급이 큰 영향을 미칠 수 있다. 특히 천연재료에 대한 화학분석의

경우 이러한 경우가 자주 발생한다. 측정에서 요구되는 이상의 수준으로 균질성이 증명될 수 있는 인위적 재료와 달리

천연재료는 거의 균질하지 못하다. 이러한 비균질성으로 2개의 불확도 성분이 추가된다. 첫 번째에 대한 평가는 시료

가 분석대상이 되는 모 재료를 대표할 수 있도록 얼마나 적절하게 채취되었는지를 결정하는 것을 필요로 한다. 두 번

째에 대한 평가는 2차(분석되지 않은) 성분이 측정에 미치는 영향의 범위와 측정방법에서 얼마나 2차 성분을 적절히

취급하고 있는지를 결정하는 것을 필요로 한다.

F.2.6.3 어떤 경우에는 실험을 주의 깊게 설계(계획)하면 시료로 인한 불확도를 통계적으로 평가하는 것이 가능해질

수도 있다(H.5 및 H.5.3.2 참조). 그러나 통상, 특히 시료에 대한 환경 영향량의 효과가 클 경우, 불확도를 평가하기

위해서는 분석자의 경험으로부터 도출되는 기술과 지식 그리고 현재 모든 가능한 지식이 요구된다.


69

부록 G

자유도와 신뢰의 수준

G.1 서론

G.1.1 이 부록은 측정량 의 추정값 와 이 추정값의 합성표준불확도 c로부터, 명시된 높은 포함확률 (또는 신뢰

의 수준) 를 가지고, 구간 ≤ ≤ 를 정의하는 확장불확도 c를 구하는 것에 대한 일반적

인 문제에 관해 중점적으로 다룬다. 따라서 측정량 에 합리적으로 부여할 수 있는 값의 분포 중 명시된 큰 비율 만큼

을 포함할 것으로 기대되는 측정값 에 대한 구간을 정하는 포함인자 의 결정에 관한 문제를 다룬다(6절 참조).

G.1.2 대부분의 실제 측정 상황에서는, 명시된 신뢰의 수준을 가지는 구간의 계산은 - 사실상 그러한 상황에서 대부

분의 개별 불확도 성분의 추정도 - 기껏해야 근사일 뿐이다. 정규분포로 표현되는 어떤 양을 30번이나 반복 관측하여

구한 평균의 실험표준편차 조차도 약 13 %의 불확도를 가진다(부록 E의 표 E.1 참조).

대부분의 경우, 예를 들어 95 % 신뢰의 수준(측정량의 값이 구간의 바깥에 놓일 가능성이 1/20)을 가지는 구간과 94

% 또는 96 %(각각 1/17, 1/25) 구간을 구분하는 것은 무의미하다. 어떠한 계통효과도 간과되지 않았다고 가정할지라

도, 일반적으로 입력량의 확률분포의 ‘꼬리’ 부분, 즉, 양 끝단 부분에 대한 정보는 극히 얻기가 어려우므로, 99

%(1/100)와 그 이상의 신뢰의 수준을 가지는 적합한 구간을 구하는 것은 특별히 더 어렵다.

G.1.3 명시된 신뢰의 수준 에 대응하는 구간을 제공하는 포함인자 의 값을 얻기 위해서는 측정결과와, 그와 연

관 된 합성표준불확도에 의해 정해지는 확률분포의 자세한 정보가 요구된다. 예를 들어 평균 와 표준편차 인 정

규분포로 표현되는 양 에 대해, 구간 ± 를 만들고 그 분포의 비율 만큼을 포함하며, 따라서 포함확률 또는

신뢰의 수준 를 가지는 의 값은 쉽게 계산된다. 몇 가지 예를 표 G.1에서 보여 준다.

표 G.1 - 정규분포일 경우 신뢰의 수준 를 가지는 구간을 만들어 내는 포함인자 의 값

신뢰의 수준 (%)

포함인자

68.27

90

95

95.45

99

99.73

1

1.645

1.960

2

2.576

3

주 한편, 가 평균이 , 표준편차가 (는 분포의 반너비)인 직사각형분포이면 신뢰의 수준 는 = 1에 대해

57.74 %이고, = 1.65에 대해 95 %, 그리고 ≥ ≈ 1.73에 대해 100 %이다. 직사각형분포는 유한 범위이고 꼬리가 없

기 때문에 정규분포보다 더 좁다.

G.1.4 측정량 가 의존하는 입력량 의 확률분포를 알고 [기댓값, 분산, 그리고 분포가 정규분포가

아닌 경우 고차 적률(C.2.13과 C.2.22 참조)], 가 입력량들의 선형함수 ⋯ 이면,

의 확률분포는 각 확률분포를 합성곱(convolving)함으로써 얻을 수 있다[10]. 그러면 정해진 신뢰의 수준 에 대응하는

구간을 제공하는 값 는 얻어진 합성분포로부터 구할 수 있다.


70

G.1.5 와 입력량과의 함수관계가 비선형적이고, 관계가 1차 테일러 급수 전개로 만족스럽게 근사되지 못하는 경

우라면 (5.1.2와 5.1.5 참조), 의 확률분포는 입력량의 분포를 합성하여 구할 수 없다. 이런 경우에는 다른 분석적이

거나 수치적 방법이 요구된다.

G.1.6 실제로는, 입력량들의 확률분포를 특성화하는 파라미터들은 추정값이며, 주어진 구간과 연관된 신뢰의 수준이

상당히 정확하게 알려지는 것을 기대하기 어렵고, 확률분포를 합성시키는 것이 복잡하기 때문에, 막상 정해진 신뢰의

수준을 가지는 구간을 계산할 필요가 있을 때 이러한 합성이 거의 이루어질 수 없다. 대신에 중심극한정리를 이용한

근사가 사용된다.

G.2 중심극한정리 (Central Limit Theorem: CLT)

G.2.1 ⋯ 이고, 모든 가 정규분포를 가지면 의 합성된 분포 또한

정규분포가 된다. 그러나 의 분포가 정규분포가 아니더라도 의 분포는 흔히 중심극한정리에 의해 정규분포로 근

사된다. 중심극한정리는 들이 서로 독립적이고 가 정규분포가 아닌 어떠한 로부터의 성분인 보

다 훨씬 큰 경우, 의 분포가 기댓값 와 분산

인 정규분포로 근사

하게 된다는 것이다. 여기서 와 는 각각 의 기댓값과 분산이다.

G.2.2 중심극한정리는 의 합성된 분포를 결정하는데 있어 입력량들의 확률분포의 분산의 역할이 분포의 고차 적

률의 역할에 비하여 더 중요하다는 것을 보여준다는데 의의가 있다. 더구나 중심극한정리는 에 기여하는 입력

량의 수가 증가함에 따라 합성된 분포는 정규분포로 수렴함을 의미한다. 의 값들이 서로 근접(실제로 각 입력

추정값 가 측정량 의 추정값 의 불확도에 동일하게 기여함을 의미)하면 할수록 수렴은 더 빨라진다. 그리고 들의 분포가 정규분포에 근접하면 할수록 가 정규분포가 되기 위해 요구되는 의 개수는 감소함을 의미한다.

예 직사각형분포(4.3.7과 4.4.5 참조)는 비정규분포의 극단적인 예이지만, 같은 너비를 가지는 경우 세 개 정도의 직사각형분포의

합성까지도 정규분포로 근사된다. 세 개의 각 직사각형분포의 반너비가 여서 각각의 분산이 /3이 되는 경우, 합성된 분포의 분

산은 = 이 된다. 합성된 분포의 95 %와 99 % 구간은 각각 1.937와 2.379로 정의되는데, 같은 표준편차 를 가지는

정규분포에 대응하는 구간은 각각 1.960와 2.576로 정의된다(표 G.1 참조)[10].

주 1 약 91.7 %보다 큰 신뢰의 수준 를 가지는 모든 구간에 대하여, 정규분포에 대한 포함인자 값은 어떠한 개수와 크기의

직사각형분포들이 합성된 분포에 대응하는 값보다 크다.

주 2 중심극한정리에 따라 기댓값 와 유한 표준편차 를 가지는 확률변수 에서 번 관측하여 얻은 의 산술평균 의 확

률분포는 의 확률분포와 상관없이 →∞에 따라 평균 , 표준편차 인 정규분포로 근사된다.

G.2.3 중심극한정리의 실질적인 결과로는, 중심극한정리의 요구조건이 거의 만족될 때, 특히 합성표준불확도 c가 단지 소수의 관측에 기초한 A형 평가로 얻어진 표준불확도 성분이나 가정된 직사각형분포에 기초한 B형 평가로

얻어진 표준불확도 성분에 의해 지배되지 않는다면, 신뢰의 수준 의 구간을 제공하는 확장불확도 c를

구하는 합리적인 일차적 근사는 정규분포로부터 값을 택하는 것이다. 이 목적으로 가장 자주 사용되는 값이 표 G.1

에 주어져 있다.

G.3 분포와 자유도

G.3.1 G.2.3과 같이 정규분포로부터 의 값을 단순히 이용하는 것보다 더 나은 근사를 얻기 위해서는, 정해진 신

뢰의 수준을 가지는 구간을 계산 할 때 변수 의 분포가 아닌 변수 c의 분포가 요구


71

됨을 인식해야 한다. 이것은 실무에서는 보통 가용한 것이 의 추정값 ( 로 구해지며, 여기서 는

의 추정값)와 와 연관된 합성 분산 c(c

로 구해지며, 여기서 는 추정값 의 표준

불확도(추정 표준편차)뿐이기 때문이다.

주 엄 히 말하면 c의 표현에서 는 로 표시되어야 한다. 본 지침(GUM)에서는 간단히 하기 위해 단지 몇

군데에서만 이 구분을 적용하였다. 일반적으로 물리량과 그 양을 나타내는 확률변수, 그리고 그 변수의 기댓값에 대해 같은 기호가

사용하였다(4.1.1 주 참조).

G.3.2 가 기댓값 이고 표준편차 인 정규확률변수이고, 는 실험표준편차가 인 의 개 관측값 들의

산술평균이라면(4.2의 식 (3)과 식 (5) 참조), 변수 의 분포는 자유도 1을 가지는 분포 또

는 Student분포(C.3.8)가 된다.

결과적으로 측정량 가 단순히 정규분포를 가지는 하나의 양 , 즉 이고, 가 평균의 실험표준편차

를 가지는 개의 독립적인 반복 관측값 의 산술평균 에 의해 추정된다면, 의 최량추정값은 가 되고 그

추정값의 실험표준편차는 c 가 된다. 그러면 c는

아래와 같은 조건을 만족하는 분포를 따른다.

Pr ≤ ≤ (G.1a)

또는

Pr ≤ c ≤ (G.1b)

위 식은

Pr c ≤ ≤ c (G.1c)

로 다시 쓸 수 있다. 위 식에서 Pr 는 확률을 의미하고, 는 파라미터 (자유도(G.3.3) 참조)의 주어진 값에 대

한 의 값이 되는데, 분포의 비율 는 에서 까지의 구간을 포함한다. 따라서 확장불확도

c c

는 구간 에서 까지를 정의하며 편의상 ±로 쓴다. 이는 구간은 의 합리적인 값의 분포의

비율 만큼이 포함될 것으로 기대되며, 는 구간의 포함확률 또는 신뢰의 수준이다.

G.3.3 자유도 는 G.3.2에서와 같이 개의 독립 관측값의 산출평균에 의해 추정되는 하나의 양에 대해서는 1

이 된다. 최소제곱법에 의한 직선의 기울기와 절편을 결정하기 위해 개의 독립 관측값이 사용된다면 관련 표준불확

도의 자유도는 2이다. 최소제곱법에 의해 개의 데이터로부터 개의 파라미터를 구하는 경우에는 각 파라미

터의 표준불확도의 자유도는 이다(자유도에 대한 더 자세한 논의에 대해서는 참고문헌[15] 참조).

G.3.4 서로 다른 와 다양한 값에 대한 값은 본 부록에 있는 표 G.2에 주어져 있다. → ∞에 따라 분포

는 정규분포에 근사하며, ≈ 가 된다. 여기서 는 정규분포인 변수에 대해 신뢰의 수준 를 가

지는 구간을 구하기 위해 요구되는 포함인자이다. 따라서 표 G.2에서 주어진 에 대한 ∞의 값은 같은 에 대해

서 표 G.1에 있는 의 값과 같다.

주 종종 분포는 분위수를 사용하여 표로 나타내어진다. 즉, 가 누적확률을 나타내는 분위수 의 값이 주어지면, 관계식


72

∞

d

는 분위수를 정의하며, 여기서 는 의 확률 도함수이다. 따라서 와 는 로 관계된다. 예를 들면 =

0.975와 = 0.025에 대한 분위수 의 값은 = 0.95에 대한 와 같다.

G.4 유효자유도

G.4.1 일반적으로 c가 두 개 또는 그 이상의 추정 분산 성분

(5.1.3 참조)의 합이면, 비록 각

가 정규분포인 입력량 의 추정값이라 할지라도 분포는 변수 c의 분포를 나타내지 않는다. 그러나

이 변수의 분포는 유효자유도가 ef f인 분포에 의해 근사된다. 유효자유도는 Welch- Satterthwaite 공식([16], [17],

[18])으로 구해진다.

ef f

(G.2a)

또는

ef f

c (G.2b)

여기서

ef f ≤

(G.2c)

이 되고, c

이다(5.1.3 참조). 따라서 확장불확도 c ef fc는 근사적으로 신뢰

의 수준 를 가지는 구간 ±를 제공한다.

주 1 실제 대부분의 경우처럼 식 (G.2b)로부터 얻은 eff의 값이 정수가 아닌 경우, 이에 대응하는 값은 eff를 그 다음 작은

정수로 절사하거나 내삽을 하여 표 G.2로부터 얻을 수 있다.

주 2 입력 추정값 자체가 두 개 또는 그 이상의 추정값으로부터 얻어 진다면, 식 (G.2b)의 분모에 있는

과

함께 사용되는 의 값도 식 (G.2b)와 같은 식에 의해 계산되는 유효자유도이다.

주 3 측정결과의 잠재적인 사용자의 요구에 따라, eff에 더하여 A형 및 B형 평가로부터 얻어지는 표준불확도를 각각 따로 다루

어 식 (G.2b)로부터 구한 effA와 effB에 대한 값을 계산하고 보고하는 것이 유용하다. A형 및 B형 표준불확도의 c에 대한

기여량을 각각 cA 및 cB 로 나타내면, 여러 가지 양 사이에는 다음과 같이 관계식이 성립한다.

c cA cB

effc

effAcA

effBcB

예 이고, 정규분포인 입력량 의 추정값 는 각각 = 10, = 5, =


73

15인 독립적인 관측값의 산술평균이며, 상대표준불확도가 각각 = 0.25 %, = 0.57 %, = 0.82 %인

경우를 고려해 보자. 이 경우 ( 에서 평가되며, 5.1.3의 주 1 참조), c

= (1.03 %)2 (5.1.6의 주 2 참조)이 되며, 식 (G.2b)는

eff

c

이 되어,

eff

이 된다. = 95 % 및 = 19에 대한 의 값은 표 G.2로부터 (19) = 2.09가 된다. 따라서 95 % 신뢰의 수준에서 상대확장불

확도는 = 2.09 × (1.03 %) = 2.2 %가 된다. 이는 ± (1 ± 0.022)(는 로부터 결정), 또는 0.978

≤ ≤ 1.022로 표현될 수 있고, 이 구간에 대응되는 신뢰의 수준은 약 95 %이다.

G.4.2 실무에서 c는 입력량이 정규분포이거나 비정규분포이거나에 관계없이 입력추정값의 표준불확도 에

의존하고, 들은 도수분포 및 선험적 확률분포 (즉, A형 및 B형 평가)로부터 얻어진다. 추정값 와 가 의존하는

입력 추정값 에도 비슷한 표현이 적용된다. 그렇지만 함수 c의 확률분포는 그 분포의 기댓값에 대

해 테일러 급수로 전개하면 분포로 근사된다. 본질적으로 이것이 가장 낮은 차수의 근사로 Welch-Satterthwaite 식

(G.2a) 또는 식 (G.2b)에 의해 얻어지는 것이다.

ef f가 식 (G.2b)로부터 계산될 때 B형 평가로부터 얻은 표준불확도에 부여하는 자유도에 대해 의문이 생긴다. 자유도

에 대한 적절한 정의에 따라, 분포에서의 가 분산 의 불확도의 척도라는 것을 이용하여, E.4.3의 식 (E.7)을

자유도 를 정의하는데 사용될 수 있다.

≈

≈

(G.3)

대괄호안의 양은 의 상대불확도인데, 이는 표준불확도의 B형 평가에 있어서 그 값이 가용한 정보 풀에 기반한

과학적인 판단에 의해 구해지는 주관적인 양이다.

예 입력 추정값 가 어떻게 결정되었고, 표준불확도 가 어떻게 평가되었는지에 대한 지식을 근거로, 의 값이 약 25

% 정도 신뢰할 수 있다고 판단한 상황을 고려해 보자. 이는 상대불확도가 = 0.25임을 의미하며, 따라서 식 (G.3)

로부터 = (0.25)-2/2 = 8이 된다. 대신에 의 값이 약 50 % 신뢰할 수 있는 것으로 판단된다면 = 2가 된다(부록 E 표

E.1 참조).

G.4.3 선험적 확률분포로부터 구하는 표준불확도의 B형 평가의 에 관한 4.3과 4.4의 내용에서는 B형 평가에 의한

의 값이 정확히 알려져 있음이 가정되었다. 예컨대 가 4.3.7과 4.4.5와 같이 반너비 /2인 직

사각형 확률분포로부터 구해졌다면, 와 그리고 는 상수이므로 는 불확도가 없는 상수로 여겨

졌다.(그러나 4.3.9 주 2를 참조하라). 이는 식 (G.3)을 통하여 → ∞ 또는 1/ → 0가 됨을 의미한다. 그렇지만 식

(G.2b)를 계산하는데 어려움을 주지 않는다. 게다가 → ∞라고 가정하는 것이 반드시 비현실적인 것도 아니다. 실제

로 어떤 양이 구간 [ , ] 바깥에 놓일 확률이 매우 작도록 와 를 선택하는 경우가 흔한 것이다.


74

G.5 기타 고려사항

G.5.1 측정불확도에 관한 문헌에서 발견되는, 그리고 95 % 신뢰의 수준을 가지는 구간을 제공하기 위한 불확도를

구할 때 종종 사용되는 표현은 다음과 같이 쓸 수 있다.

′ ef f′ (G.4)

여기서 ef f′ 는 자유도 ef f′ 와 신뢰의 수준 = 95 %에 대한 분포로부터 정해진다. ef f′ 는 현재의 측정에서 반

복관측에 의한 통계적 방법으로 구해진 표준불확도 성분 들만을 고려하여 Welch-Satterthwaite 공식 [식 (G.2b)]으로

계산한 유효자유도이다. , ≡ 이고, 는 그 외의 모든 불확도 성분

을 설명하는데, 와 는 최량측정값인 를 중심으로 의 상한값과 하한값을 정확히 알고 있다고 가정한 것

이다(즉, ≤ ≤ 이다.).

주 현재의 측정에 의한 것이 아닌 반복관측에 기초한 성분은 에 포함된 다른 성분들과 같은 방식으로 다루어진다. 따라서 식

(G.4)와 다음 소절의 식 (G.5) 사이의 의미 있는 비교를 위해 그러한 성분들은 설사 있더라도 무시될 수 있다고 가정한다.

G.5.2 신뢰의 수준 95 %를 가지는 구간을 제공하는 확장불확도가 G.3와 G.4에서 권고하는 방법에 따라 평가된다면

식 (G.4)는 다음과 같이 대체 표현된다.

ef f (G.5)

여기서 ef f는 식 (G.2b)로 계산되며, 이 계산은 모든 불확도 성분을 포함한다.

식 (G.5)를 계산할 때 모든 B형 분산이 식 (G.4)로 을 구할 때 사용된 한계값과 같은 반너비를 갖는 선험적 직사

각형분포로부터 구해진다고 가정하면, 대부분의 경우 식 (G.5)의 값이 식 (G.4)의 ′ 값보다 클 것이다. 이것은,

대부분의 경우 ef f′ 가 ef f보다 어느 정도 크다 하여도 두 인자는 2에 근접하며, 식 (G.5)에서 은 ef f

≈4가 곱해지는 반면 식 (G.4)에서는 에 3이 곱해짐을 인식하면 이해할 수 있을 것이다. ≪ 에 대해서는 두

표현의 ′ 과 의 값이 동일하지만, ≫ 에 대해서는

′ 이 보다 13 % 나 작게 될 것이다. 따라서 일반

적으로 식 (G.4)는 식 (G.5)에서 계산된 확장불확도에 의해 제공되는 구간보다 더 작은 신뢰의 수준을 가지는 구간을

제공하는 불확도를 산출한다.

주 1 →∞, eff→∞이면, ′ → 1.732이 되지만 →1.960이 된다. 이 경우

′ 는 단지 91.7 % 신뢰의 수준을

가지는 구간을 제공하는 반면, 는 95 % 구간을 제공한다. 이 경우는 실무에서 상한과 하한의 추정값으로부터 얻어지는 성분이

지배적이고, 개수가 많으며, 비슷한 크기인

/3의 값을 가질 때와 비슷하게 된다.

주 2 정규분포에 대해 포함인자 = ≈ 1.732는 신뢰의 수준 = 91.673 … %를 가지는 구간을 제공한다. 이 값은,

입력량이 정규성으로부터 조금 편차가 있어도 다른 값에 비하여 가장 영향을 덜 받는다는 점에서 강건(robust)하다.

G.5.3 때때로 입력량 는 비대칭 분포를 가져서, 기댓값에 대한 한 부호의 편차가 반대 부호의 편차보다 더 클 수

가 있다(4.3.8 참조). 이것이 의 추정값 의 표준불확도 평가와 c 평가에 있어 차이를 주지는 않지만

의 계산에는 영향을 줄 수 있다.

구간의 한 부호와 다른 부호의 편차 사이의 차이가 심하지 않다면, 보통 대칭 구간 ±을 주는 것이 편리하

다. 의 비대칭성이 측정값 와 합성표준불확도 c에 의해 특징지어지는 확률분포에 아주 작은 비대칭만을 발생

시킨다면, 대칭구간을 설정함으로써 한 쪽에서 손실되는 확률은 다른 면에서 얻어지는 확률에 의해 보상된다. 다른 방


75

법으로는 확률적으로 대칭(에서는 비대칭)인 구간을 주는 것이다. 가 하한 아래에 놓일 확률은 가 상

한 위에 놓일 확률과 같다. 그러나 그 한계값을 어림잡기 위해서는 추정값 와 c만으로는 부족하며, 보다

더 많은 정보 (즉, 각 입력량 의 추정값 와 보다 더 많은 정보)가 필요하다.

G.5.4 c, ef f , 분포로 부터의 인자 ef f를 사용한 확장불확도 의 평가는 단지 근사일 뿐이며, 이는 한

계를 가진다. c의 분포는, 오직 의 분포가 정규분포이고, 추정값 와 합성표준불확도 c가 서로 독

립이고, 그리고 c의 분포가 분포일 때에만 분포로 주어진다. 식 (G.2b)인 ef f의 도입은 후자의 문제만을 다

루고, c에 대하여 근사 분포를 제공한다. 분포의 비정규성으로 야기되는 문제의 다른 부분은 분산 뿐 만아니

라 고차의 적률에 대한 고려를 요구한다.

G.6 요약 및 결론

G.6.1 명시된 수준에 가까운 신뢰의 수준 를 가지는 구간을 제공하는 포함인자 는, 각 입력량의 확률분포에 대

한 상세한 지식이 있고, 이들 입력량들의 분포를 합성하여 출력량의 분포를 얻은 경우에만 구해질 수 있다. 입력 추정

값 와 표준불확도 들만으로는 부족하다.

G.6.2 확률분포들을 합성하기 위해 요구되는 광범위한 계산이 가용한 정보의 범위와 신뢰성으로 정당화되기 쉽지

않기 때문에 출력량 분포에 대한 근사가 받아들여진다. 중심극한정리에 의해, 일반적으로 c의 확률분포

가 분포이며. Welch-Satterthwaite 공식 (G.2b)으로부터 얻어지는 c의 유효자유도 ef f에 기초한 인자를 가지

는 = ef f를 취한다고 가정하여도 충분하다.

G.6.3 식 (G.2b)로부터 ef f를 얻기 위해서는 각 표준불확도 성분에 대한 자유도 가 필요하다. A형 평가로 얻어지

는 성분에 대해서 는, 대응하는 입력추정값의 기초가 되는 독립적인 반복 관측수와 그 관측으로 결정되는 독립적인

양의 수로부터 얻어진다(G.3.3 참조). B형 평가로 얻어지는 성분에 대해서 는 그 성분 값의 판단된 신뢰성으로부터

얻어진다[G.4.2 및 식 (G.3) 참조].

G.6.4 따라서 근사 신뢰의 수준 를 가지는 구간 ±를 제공하기 위한 확장불확도 c를 산출

하는 바람직한 방법은 다음과 같이 요약할 수 있다.

1) 4절과 5절에서 설명된 방법으로 와 c를 구한다.

2) Welch-Satterthwaite 공식 (G.2b)로부터 ef f를 계산한다(쉽게 참고하기위해 여기에 다시 나타냄).

ef f

c (G.2b)

가 A형 평가로 얻어진다면 G.3.3의 내용과 같이 를 결정한다. 가 B형 평가로 얻어지고, 실제로 자주

그러하듯이 정확하다고 볼 수 있다면 → ∞로 하며, 그 외의 경우는 식 (G.3)으로 를 추정한다.

3) 표 G.2에서 원하는 신뢰의 수준 에 대한 값 ef f를 구한다. ef f가 정수가 아니라면, 내삽(interpolation)하

거나 다음의 작은 정수로 절사한다.

4) ef f를 취해서 c를 계산한다.


76

G.6.5 실무에서 자주 일어나서는 안되지만 어떤 상황에서는 중심극한정리에서 요구되는 조건들이 잘 충족되지 않아,

G.6.4의 접근방법은 받아들일 수 없는 결과를 낳을 수도 있다. 예컨대 c가 한계값이 정확히 알려져 있는 것으로

가정된 직사각형분포로 평가된 불확도 성분에 의해 지배된다면, ( 인 경우) 로 정의된 구간의 상한과

하한, , 는 출력량 의 확률분포 한계값의 바깥쪽에 놓일 수 있다. 이러한 사례들은 개별적으로 다루어

져야 하지만, 근사적인 분석적 방법으로 종종 쉽게 다루어진다(예컨대 정규분포와 직사각형분포의 합성곱(convolution)

[10]을 포함).

G.6.6 광범위한 분야에서 많은 실제 측정에 있어, 다음 조건들이 많이 사용되고 있다.

－ 측정량 의 추정값 는 유의한 수의 입력량 의 추정값 로부터 구해지며, 각 입력량들은 정규분포와 직사각

형분포와 같은 잘 정의된 확률분포로 설명될 수 있다.

－ A형 또는 B형 평가로 얻어지는 추정값의 표준불확도 는 측정값 의 합성표준불확도 c에 비슷한 크기의

양으로 기여한다.

－ 불확도 전파법칙에 의한 선형근사는 적합하다(5.1.2와 E.3.1 참조).

－ 유효자유도 ef f가 의미있는 크기(10보다 큼)를 가지기 때문에 c의 불확도는 충분히 작다.

이러한 환경하에서는, 측정값과 그 합성표준불확도에 의해 특성화되는 확률분포는 중심극한정리에 의해 정규분포로

가정될 수 있다. 또한 c는 ef f가 의미있을 정도로 크기 때문에 정규분포의 표준편차의 에 대한 합리적으로 믿을

만한 추정값으로 받아들여 질 수 있다. 그러면 이 부록에 주어진 논의 즉, 불확도 평가 과정의 근사 특성, 그리고 1

% 또는 2 % 정도 다른 신뢰의 수준을 가지는 구간을 구별하려고 하는 것이 비현실적이라는 사실에 기초하여, 다음과

같이 할 수 있다.

－ = 2를 채택하고, = 2c는 약 95 % 신뢰의 수준을 가지는 구간을 정의한다고 가정한다.

또는, 더욱 중요한 응용에 대해서는

－ = 3을 채택하고, = 3c는 약 99 % 신뢰의 수준을 가지는 구간으로 정의한다.

이러한 접근방법이 많은 실제의 측정에 적합할지라도, 어떤 특정한 측정에 대한 응용가능성은 = 2가 얼마나

ef f와 일치하는지 또는 = 3이 얼마나 ef f에 일치하는지에 의존하게 될 것이다. 즉, = 2c 또는

= 3c에 의해 정의되는 구간의 신뢰의 수준이 각각 95 % 또는 99 %에 얼마나 일치하는지에 따라 결정 될 것

이다. ef f = 11의 경우, = 2와 = 3은 단지 약 10 %와 4 % 만큼 밖에 (11)과 (11)을 각각 과소 추정하지

만(표 G.2 참조), 이것조차도 어떤 경우에는 받아들여 지지 않을 수 있다. 더군다나 13보다 큰 ef f의 모든 값에 대해

= 3은 99 %보다 큰 신뢰의 수준을 가지는 구간을 만들어낸다(표 G.2 참조, ef f → ∞에 대해 = 2와 = 3에

의해 만들어지는 구간의 신뢰의 수준은 각각 95.45 %와 99.74 %임도 알 수 있다). 따라서 실제로는, ef f의 크기와

확장불확도에 요구되는 사항이 이 접근방법의 사용여부를 결정할 것이다.


77

표 G.2 - 분포의 일부분 를 포함하는 구간 를 정의하는 자유도 에 대한 분포의 값

자유도

신 뢰 의 수 준 (%)

68.27a) 90 95 95.45a) 99 99.73a)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

25

30

35

40

45

50

100

∞

1.84

1.32

1.20

1.14

1.11

1.09

1.08

1.07

1.06

1.05

1.05

1.04

1.04

1.04

1.03

1.03

1.03

1.03

1.03

1.03

1.02

1.02

1.01

1.01

1.01

1.01

1.005

1.000

6.31

2.92

2.35

2.13

2.02

1.94

1.89

1.86

1.83

1.81

1.80

1.78

1.77

1.76

1.75

1.75

1.74

1.73

1.73

1.72

1.71

1.70

1.70

1.68

1.68

1.68

1.660

1.645

12.71

4.30

3.18

2.78

2.57

2.45

2.36

2.31

2.26

2.23

2.20

2.18

2.16

2.14

2.13

2.12

2.11

2.10

2.09

2.09

2.06

2.04

2.03

2.02

2.01

2.01

1.984

1.960

13.97

4.53

3.31

2.87

2.65

2.52

2.43

2.37

2.32

2.28

2.25

2.23

2.21

2.20

2.18

2.17

2.16

2.15

2.14

2.13

2.11

2.09

2.07

2.06

2.06

2.05

2.025

2.000

63.66

9.92

5.84

4.60

4.03

3.71

3.50

3.36

3.25

3.17

3.11

3.05

3.01

2.98

2.95

2.92

2.90

2.88

2.86

2.85

2.79

2.75

2.72

2.70

2.69

2.68

2.626

2.576

235.80

19.21

9.22

6.62

5.51

4.90

4.53

4.28

4.09

3.96

3.85

3.76

3.69

3.64

3.59

3.54

3.51

3.48

3.45

3.42

3.33

3.27

3.23

3.20

3.18

3.16

3.077

3.000

a) 기댓값 , 표준편차 인 정규분포에 의해 기술되는 어떤 양 에 대하여, 구간 ± 는 = 1, 2, 3일 때 분포의 일부분인 = 68.27

%, 95.45 %, 99.73 %를 각각 포함한다.


78

부록 H

평가 예제

이 부록에는 H.1에서 H.6까지 여섯 개의 예제가 수록되어 있는데, 이 예들은 측정의 불확도를 평가하고 표현하는데

관하여 이 지침서에 제시된 기본원리들을 예시하기 위하여 상당히 상세하게 작성되었다. 본문 중에 주어진 예와 몇 개

의 다른 부록의 예들과 함께 잘 활용한다면 독자들은 이 지침서의 기본원리들을 각자의 실제 상황에 적용할 수 있을

것이다.

이해를 돕고자 하는 목적으로 작성하였기 때문에, 이 예들은 필요에 의해 단순화되었다. 더욱이 각 예와 예에 사용된

수치들은 단지 이 지침서의 원리를 설명하기 위해 선택된 것이며, 반드시 실제의 측정을 나타내는 것으로 이해할 필요

는 없다. 데이터는 주어진 대로 사용하였지만, 반올림 오차를 방지하기 위하여 중간 계산 과정에서는 일반적으로 표시

되는 것 보다 더 많은 자릿수를 유지하였다. 따라서 몇 개의 양들을 포함하는 계산을 통해 얻어진 결과는 이 양들에

대하여 주어진 수치들에 의해 계산된 결과와 약간 다를 수도 있다.

이 지침서의 앞부분에서 지적한 것처럼, 불확도 성분을 평가하는데 사용된 방법을 A형 또는 B형으로 구분하는 것은

단지 편의상 그럴 뿐이다. 이러한 구분은 합성표준불확도나 확장불확도를 결정하는데 필요하지 않다. 모든 불확도 성

분은 어떻게 평가되었는가에 상관없이 똑같이 취급되기 때문에[3.3.4, 5.1.2, E.3.7 참조] 아래의 예제들에서는 특정한

불확도 성분을 평가하는데 사용된 방법 외 그 형식(A형 또는 B형)은 명시하지 않았다. 그러나 설명을 보면 각 성분이

A형 평가로 얻어졌는지 또는 B형 평가로 얻어졌는지는 분명히 알 수 있을 것이다.

H.1 게이지 블록의 교정

이 예는 간단해 보이는 측정조차도 불확도 평가에서 미묘한 면을 가질 수 있다는 사실을 보여준다.

H.1.1 측정의 문제

명목길이가 50 mm인 게이지 블록의 길이를, 이미 길이를 알고 있는 같은 명목길이의 표준기와 비교하여 결정한다.

두 개의 게이지 블록을 비교 측정하여 얻을 수 있는 직접적인 결과는 두 길이의 차 이다.

S SS (H.1)

여기서

: 측정량, 즉, 교정 대상 게이지 블록의 20 °C에서의 길이

S : 교정성적서에 기재된 20 °C에서의 표준 게이지 블록의 길이

및 S : 교정 대상 게이지 블록과 표준 게이지 블록의 열팽창 계수

및 S : 교정 대상 게이지 블록과 표준 게이지 블록의 온도가 기준온도인 20 °C로부터 벗어난 편차를 의미

한다.

H.1.2 수학적 모델

식 (H.1)로 부터 측정량 은 아래와 같이 주어진다.


79

S SS S S SS ⋯ (H.2)

교정 대상 게이지 블록과 표준 게이지 블록의 온도차이를 S라 하고, 열팽창계수의 차이를 S로

표시하면, 식 (H.2)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

S S S S ․ S ․ (H.3)

온도와 열팽창계수의 차이 와 는 각각 0으로 추정되며(단, 그들의 불확도가 0이라는 것은 아님), , S,

및 는 서로 상관관계가 없다고 가정한다(만약 측정량이 변수 S 및 S로 나타내어지는 경우라면, 와 S ,

와 S사이의 상관관계가 포함되어야 할 것이다.).

따라서 식 (H.3)으로부터 측정량 의 추정값은 S 라는 간단한 관계에서 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다. 여기서

S는 교정성적서에 주어진 20 °C에서의 표준 게이지 블록의 길이이고, 는 에 의해 추정되는데, 는 서로 독립된

5번의( = 5) 반복 측정값의 산술평균이다. 측정량 의 합성표준불확도 c은 아래에 기술된 바와 같이 5.1.2의 식

(10)을 식 (H.3)에 적용하여 얻을 수 있다.

주 이 예제와 다른 예제에서는 표현의 단순화를 위해 양과 측정값에 대해 동일한 기호를 사용하였다.

H.1.3 표준불확도 성분의 평가

이 예에 관련되어 아래에서 논의되는 세부사항들이 표 H.1에 정리되어 있다.

표 H.1 - 표준불확도 성분의 요약

표준불확도성분

불확도 요인표준불확도의 값

≡

≡

(nm)

자유도

S 표준 게이지 블록의 교정 25 nm 1 25 18

두 게이지 블록 길이 차이의 측정값

반복측정 결과

비교측정기의 우연효과

비교측정기의 계통효과

9.7 nm

5.8 nm

3.9 nm

6.7 nm

1 9.7 25.6

24

5

8

S 표준게이지 블록의 열팽창계수 1.2 × 10-6 °C-1 0 0

측정대의 온도

측정대의 평균온도

실내온도의 주기적 변동

0.41 °C

0.2 °C

0.35 °C

0 0

게이지 블록들의 열팽창계수 차이 0.58 × 10-6 °C-1 S 2.9 50

게이지 블록들의 온도 차이 0.029 °C SS 16.6 2

c = ∑ = 1 002 nm2

= 32 nm

eff = 16


80

와 를 0으로 가정하였으므로 5.1.2의 식 (10)을 식 (H.3)에 적용하면,

c S S S (H.4)

가 되고, 여기서

S S ⋅S⋅

S S S

S

S

SS

이다. 따라서 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

c S S S S (H.5)

H.1.3.1 표준기의 교정불확도, S

표준 게이지 블록의 교정성적서에 확장불확도는 = 0.075 μm로 주어졌으며, 포함인자 = 3을 사용하였다고 명시

되어 있다. 이때 표준불확도는 다음과 같이 구해진다.

S = (0.75 μm)/3 = 25 nm

H.1.3.2 길이차이 측정값의 불확도,

블록 과 S의 비교측정을 특성 짓는 합동실험표준편차는 2개의 표준 게이지 블록의 길이 차이를 25번 독립적으로 반

복측정한 값들의 변동도로부터 구하여졌으며, 그 값은 13 nm로 나타났다. 이 예에서는 5번의 반복측정을 실시하였다.

이 반복측정값들의 산술평균과 관련된 표준불확도는

= = (13 nm) / = 5.8 nm

가 된다(4.2.4 참조).

과 s의 비교에 사용된 게이지 블록 비교측정기의 교정성적서에 의하면, 6번의 반복측정 결과에 근거하여 “우연오차

로 인한” 비교측정기의 불확도는 95 % 신뢰수준에서 0.01 μm라고 되어있다. 따라서 자유도 = 6 - 1 = 5에 대한

-인자 95(5) = 2.57을 사용하여 구한 표준불확도는 다음과 같다.

= (0.01 μm)/2.75 = 3.9 nm

“계통오차로 인한” 비교측정기의 불확도는 “3 수준”에서 0.02 μm라고 성적서에 주어져 있다. 따라서 이 요인에 의한

표준불확도는

= (0.02 μm)/3 = 6.7 nm


81

가 된다.

측정한 분산들을 더하면 전체 기여량이 구해진다.

= = 93 nm2

또는

= 9.7 nm

H.1.3.3 열팽창계수의 불확도, S

표준 게이지 블록의 열팽창계수는 S = 11.5 × 10-6 °C-1로 주어졌으며, 이에 대한 불확도는 ± 2 × 10-6 °C-1의 범위

를 가지는 직사각형분포로 나타내진다. 이에 따른 표준불확도는 4.3.7의 식 (7)에 의해

S = (2 × 10-6 °C-1) / = 1.2 × 10-6 °C-1

이다. H.1.3에 보인 것처럼 S = S = S = 0이기 때문에, 이 불확도는 1차항에서는 의 불확도에 아무런

기여도 하지 않는다. 그러나 H.1.7에 나타낸 것처럼 2차항에서는 영향을 미친다.

H.1.3.4 게이지 블록 온도의 편차에 대한 불확도,

측정대의 온도는 (19.9 ± 0.5) °C로 보고되어 있고, 매번 측정시의 온도는 기록하지 않았다. 명시된 최대 치우침

(offset) = 0.5 °C는 온도조절시스템으로 인한 대략적으로 주기적인 온도 변동의 진폭을 대표하는 값이며, 평균 온

도의 불확도를 나타내는 것은 아니라고 한다. 평균 온도편차의 값은

= 19.9 °C - 20 °C = -0.1 °C

이며, 이 는 측정대의 평균온도의 불확도로 인하여 표준불확도

= 0.2 °C

를 갖고 있는 것으로 보고되어 있다.

반면, 시간에 따른 온도의 주기적 변동은 형 (사인역함수(arcsine)) 분포를 나타내므로, 표준불확도는

= (0.5 °C) / = 0.35 °C

가 된다.

온도편차 는 와 같다고 볼 수 있으며, 의 표준불확도는 다음과 같이 얻어진다.

= = 0.165 °C2

즉,

= 0.41 °C


82

가 된다.

H.1.3에서 보인 것처럼 = = S = 0이기 때문에, 이 불확도 역시 1차항에서는 의 불확도에 아무런

기여도 하지 않는다. 그러나 H.1.7에 나타낸 것처럼 2차항에서는 영향을 미친다.

H.1.3.5 열팽창계수의 차이에 대한 불확도,

의 추정 변동폭은 ± 1 × 10-6 °C-1이며, 이 변동폭 내에서는 가 어떤 값을 가질 확률도 모두 같다고 한다. 표준

불확도는

= (1 × 10-6 °C-1) / = 0.58 × 10-6 °C-1

이 된다.

H.1.3.6 게이지 블록들의 온도 차이에 대한 불확도,

표준 게이지 블록과 교정대상 게이지 블록은 같은 온도에 있다고 기대할 수 있으나, 온도차이가 -0.05 °C에서 +0.05

°C까지로 추정되는 구간내에서 같은 확률로 어떤 값이든지 가질 수 있을 것으로 생각할 수 있다. 이 경우의 표준불확

도는 다음과 같다.

= (0.05 °C) / = 0.029 °C

H.1.4 합성표준불확도

합성표준불확도 c은 식 (H.5)를 적용하여 계산한다. 개개의 항들을 모아서 이 수식 표현에 대입시키면 다음의 결

과를 얻을 수 있다.

c = (25 nm)2 + (9.7 nm)2 + (0.05 m)2 (-0.1 °C)2 (0.58 × 10-6 °C-1)2 (H.6a)

+ (0.05 m)2 (11.5 × 10-6 °C-1)2 (0.029 °C)2

= (25 nm)2 + (9.7 nm)2 + (2.9 nm)2 + (16.6 nm)2 = 1002 nm2 (H.6b)

또는

c = 32 nm (H.6c)

가장 영향이 크게 기여하는 불확도는 성분은 명백히 표준기에 의한 것으로서 S = 25 nm이다.

H.1.5 최종 결과

표준 게이지 블록의 교정성적서에는 20 °C에서의 길이가 S = 50.000 623 nm라고 나타나 있다. 교정대상 게이지 블

록과 표준 게이지 블록의 길이 차이를 5회 반복측정한 값의 산술평균 는 215 nm이다. 따라서, S (H.1.2 참

조)이므로, 20 °C에서 교정대상 게이지 블록의 길이 은 50.000 838 mm이다. 7.2.2에 따라 측정의 최종 결과는 다음

과 같이 나타낼 수 있다.

= 50.000 838 mm이며, 합성표준불확도는 = 32 nm이다.

이에 대응하는 상대합성표준불확도는 = 6.4 × 10-7이다.


83

H.1.6 확장불확도

약 99 %의 신뢰의 수준을 가지는 구간을 제공하는 확장불확도 을 구하여야 한다고 가정하자. 필요한

절차는 G.6.4에 요약된 바와 같으며, 필요한 자유도는 표 H.1에 나타나있다. 이 값들은 다음과 같이 구하였다.

1) 표준기의 교정불확도, S [H.1.3.1]

명시된 확장불확도를 구하는데 사용된 합성표준불확도의 유효자유도는 ef f S = 18이라고 교정성적서에 명기되

어 있다.

2) 길이 차이의 측정값의 불확도, [H.1.3.2]

5 개의 반복측정값으로부터 를 구하였지만, 는 25번의 측정에 기초한 합동실험표준편차로부터 구해졌기

때문에, 의 자유도는 = 25 - 1 = 24이다(H.3.6 주 참조). 우연효과로 인한 비교측정기 불확도

의 자유도는, 을 6번의 반복측정으로부터 구하였기 때문에, = 6 - 1 = 5이다. 비교측정기의 계통효과에

대한 불확도 0.02 μm는 25 %까지 신뢰할 수 있다고 가정하면, G.4.2의 식 (G.3)에 의해 자유도는 = 8이

된다(G.4.2의 예제 참조). 의 유효자유도 ef f 는 G.4.1의 식 (G.2b)를 사용하여 구한다.

ef f

nm

nm

nm nm

= 25.6

3) 열팽창계수의 차이에 대한 불확도, [H.1.3.5]

두 열팽창계수의 차이 의 추정 변동폭 ± 1 × 10-6 °C-1은 10 %까지 신뢰할 수 있다고 간주한다. G.4.2의 식

(G.3)에 의해 = 50이 구해진다.

4) 게이지 블록의 온도 차이에 대한 불확도, [H.1.3.6]

온도 차이 에 대한 -0.05 °C에서 +0.05 °C까지의 추정 구간이 50 %까지 신뢰할 수 있다고 믿어지는 경우, 자

유도는 G.4.2의 식 (G.3)에 의해 = 2가 된다.

는 위의 2)에서 ef f 를 계산한 것과 동일한 방법을 따라 G.4.1의 식 (G.2b)에 의해 계산된다. 따라서 식

(H.6b)와 (H.6c), 그리고 1)에서 4)를 통해 구한 값을 사용하면

ef f

nm

nm

nm

nm nm

= 16.7

을 얻는다. 확장불확도를 구하기 위해 이 값을 다음 작은 정수로 절사하여 ef f = 16을 얻는다. 그러면 부록 G의

표 G.2로부터 = 2.92를 찾을 수 있으며, 따라서

c = 2.92 × (32 nm) = 93 nm

가 된다.

1.2.4에 따라, 측정의 최종결과는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

= (50.000 838 ± 0.000 093) mm이며, ± 부호 다음의 숫자는 확장불확도 = 의 값을 나타낸다. 여기

서 는 합성표준불확도 c = 32 nm와 자유도가 16인 분포에 근거한 포함인자 = 2.92로부터 구해졌으며,

99 %의 신뢰의 수준을 갖는 것으로 추정되는 구간을 정의한다. 이에 대응하는 상대확장불확도는 = 1.9 ×


84

10-6이다.

H.1.7 이차항

5.1.2의 주는, 이 예제에서 합성표준불확도 을 구하는데 사용한 식 (10)이, 함수 ⋯ 의 비선

형이 매우 커서 테일러 급수 전개에서 고차항들이 무시될 수 없는 경우에는 더 길어져야 한다는 사실을 지적한다. 이

예제가 바로 그러한 경우이며, 따라서 이 시점까지 제시된 c의 평가는 완전한 것이 아니다. 5.1.2의 주에 주어진

표현을 식 (H.3)에 적용하면 실제로 두 개의 서로 다른, 무시할 수 없는 이차항이 식 (H.5)에 더해지게 된다. 이항들은

주의 표현 속에 있는 이차항 때문에 생기는데, 다음과 같다.

S S S

그러나 이 중에서 첫 번째 항만이 c에 상당한 기여를 한다.

S = (0.05 m) (0.58 × 10-6 °C-1) (0.41 °C) = 11.7 nm

SS = (0.05 m) (1.2 × 10-6 °C-1) (0.029 °C) = 1.7 nm

이 이차항들에 의해 c은 32 nm에서 34 nm로 증가하였다.

H.2 전기저항과 리액턴스의 동시측정

이 예제는 동일한 측정에서 동시에 결정되는 복수의 측정량 또는 출력량을 취급하고 그들의 추정량의 상관관계를 다

루는 방법을 설명한다. 여기서는 관측의 우연변동만을 고려한다. 실제로는 계통효과에 대한 보정 불확도도 측정결과의

불확도에 기여하게 될 것이다. 이 예제의 데이터들은 두 가지 방법을 사용하여 해석되지만 본질적으로 각각 동일한 값

이 얻어진다.

H.2.1 측정 문제

한 회로소자의 저항 과 리액턴스 를 결정하기 위하여 그 양단 사이의 정현파 교류전위차의 진폭 , 그것을 통과

하는 교류전류의 진폭 , 교류전류에 대한 교류전위차의 위상각 를 측정한다. 이 경우 3개의 입력량은 , , 이

고, 3개의 출력량(측정량)은 임피던스 성분인 , , 이다. 이므로 독립된 출력량은 2개뿐이다.

H.2.2 수학적 모델 및 데이터

측정량은 옴의 법칙에 의해 입력량과 다음과 같은 관계가 있다.

cos ;

sin ;

(H.7)

세 개의 입력량 , , 의 독립된 5개 조의 동시 관측값이 비슷한 조건하에서 얻어졌고(B.2.15 참조) 그 결과는 표

H.2와 같다. 관측값의 산술평균과 4.2의 식 (3)과 (5)로부터 계산된 평균의 실험표준편차도 표에 나타내었다. 평균값은

입력량의 기댓값의 최량추정값으로 얻어진 것이고, 실험표준편차는 그 평균의 표준불확도가 된다.

평균값 , , 는 동시 관측값으로부터 얻어지기 때문에 서로 상관관계가 있으며 이들의 상관관계는 측정량 ,

, 의 표준불확도의 평가에서 고려되어야 한다. 필요한 상관계수는 5.2.3의 식 (17)으로부터 계산된 ,


85

, 값을 이용하여 5.2.2의 식 (14)으로부터 쉽게 구해진다. 그 결과는 표 H.2에 포함되어 있고, 여기

서 및 = 1임을 기억해야 한다.

표 H.2 - 5개조의 동시측정으로부터 구해진 입력량 , , 의 값

군 번호

입 력 량

V(V)

I(mA)

(rad)

1

2

3

4

5

5.007

4.994

5.005

4.990

4.999

19.663

19.639

19.640

19.685

19.678

1.045 6

1.043 8

1.046 8

1.042 8

1.043 3

산술평균 = 4.999 0 = 19.661 0 = 1.044 46

평균의 실험표준편차 = 0.003 2 = 0.009 5 = 0.000 75

상 관 계 수

= -0.36

= 0.86

= -0.65

H.2.3 결과: 방법 1

방법 1은 표 H.3에 요약되었다.

세 개의 측정량 , , 의 값은 , , 에 대한 표 H.2에서의 평균값 , , 을 이용하여 식 (H.7)의 관계식으

로부터 구해진다.

, , 의 표준불확도는 앞에서 설명한 바와 같이 입력량 , , 가 상관관계가 있기 때문에 5.2.2의 식 (16)으

로부터 구해진다. 한 예로서, 를 생각하자. 를 , 를 , 를 라고 하면 5.2.2의 식 (16)에

의해 의 합성표준불확도는 다음과 같이 주어진다.

c

(H.8a)

(H.8b)

또는

c r r r r r (H.8c)

여기서 , 이고, 마지막 수식에서의 첨자 “r”은 가 상대불확도임을 표시한 것이다. 표

H.2에서 주어진 값들을 식 (H.8a)에 대입하면 c = 0.236 Ω이 주어진다.

세 개의 측정량 또는 출력량들이 동일한 입력량에 의존되기 때문에 그들도 역시 서로 상관관계가 있다. 이러한 상관관


86

계를 기술하는 공분산행렬의 원소는 일반적으로 다음과 같이 쓰여 질 수 있다.

(H.9)

여기서 , 이다.

식 (H.9)는 에 상관이 있는 경우 F.1.2.3의 식 (F.2)를 일반화시킨 것이다. 출력량의 추정상관계수는 5.2.2의 식 (14)

에서 나타낸 것과 같이 으로 주어진다. 공분산행렬의 대각원소 ≡

은 출력량 의 추정분산이고(5.2.2의 주 2 참조), 에 대해 식 (H.9)는 5.2.2의 식 (16)과 동일하다.

식 (H.9)를 이 예에 적용시키기 위하여 다음과 같이 정한다.

의 계산결과와 그들의 추정분산, 상관계수들은 표 H.3에 나타내었다.

표 H.3 - 출력량 의 계산값 (방법 1)

조번호

측정량의 추정값 과

입력추정값 의 관계 측정결과인 추정값

측정결과의합성표준불확도 c

1 = = cos = = 127.732 Ω c = 0.071 Ωc = 0.06 × 10-2

2 = = sin = = 219.847 Ω = 0.295 Ωc = 0.13 × 10-2

3 = = = = 254.260 Ω c = 0.236 Ωc = 0.09 × 10-2

상관계수

= = -0.588

= = -0.485

= = 0.993

H.2.4 결과: 방법 2

방법 2는 표 H.4에 요약되어 있다.

데이터는 세 개의 입력량 의 5개 조의 관측값으로 얻어졌기 때문에 입력 데이터의 각 조로부터 의

값을 계산할 수 있고, 의 최량추정치를 구하기 위하여 5개 값의 산술평균을 구한다. 각 평균의 실험표준편차

(그것의 합성표준불확도)는 5개 각각의 값으로부터 일반적인 방법으로 계산된다[4.2.3의 식 (5) 참조]. 3개의 평균값의

추정분산은 평균을 구한 5개의 각각의 값에 5.2.3의 식 (17)을 직접 적용함으로써 계산된다. 두 가지 방법에 의해서

구해진 출력량, 표준불확도, 추정 공분산은 와 cos항을 와 cos항으로 치환함으로서 나타나는 이차항 효

과(second-order effect) 이외에는 차이가 없다.


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표 H.4 - 출력량 의 계산값 (방법 2)

군 번호

측정량의 개별값

= cos(Ω)

= sin(Ω)

=

(Ω)

1

2

3

4

5

127.67

127.89

127.51

127.71

127.88

220.32

219.79

220.64

218.97

219.51

254.64

254.29

254.84

253.49

254.04

산술평균

평균의 실험표준편차

= = 127.732

= 0.071

= = 219.847

= 0.295

= = 254.260

= 0.236

상관계수

= = -0.588

= = -0.485

= = 0.993

이 방법을 설명하기 위하여 표 H.4에 5개조의 관측값의 각각으로부터 계산된 및 의 값을 나타내었다. 산술평

균, 표준불확도 및 추정상관계수는 이들 각각의 값으로부터 직접 계산된다. 이 방법에서 얻어진 수치 결과는 표 H.3에

서 주어진 결과에 비해 무시할 수 있을 정도의 차이가 있을 뿐이다.

4.1.4의 주의 용어에서, 방법 1은 를 로부터 구하는 한 예이고, 방법 2는 추정치 를

으로부터 구하는 한 예이다.

그 주에서 설명한 바와 같이 만약 가 그 입력량의 선형함수라고 한다면 (방법 1을 실행할 때 실험적으로 관측된 상관

계수가 주어졌다면), 일반적으로 두 가지 방법은 동일한 결과를 얻게 될 것이다. 만약 가 선형함수가 아니라면, 비선

형성의 정도와 의 추정분산과 공분산에 의존하여 방법1의 결과는 방법 2의 결과와 다르게 될 것이다. 이것은 다음

식에서 볼 수 있다.

(H.10)

여기서 우변의 제 2항은 를 항으로 테일러급수 전개시킬 때의 제2차항이다(5.1.2의 주 참조). 이 예의 경우, 근사

식 를 피하고, 또 사용된 측정순서(데이터는 각 조에서 실제로 얻어진 것임)를 더 잘 반영하였

기 때문에 방법 2가 더 좋다.

반면에 만약 표 H.2의 데이터가 전위차 에 대해 = 5의 관측값을, 전류 에 대해 = 5의 관측값을, 계속해서

위상 에 대해 = 5의 관측값을 순서대로 얻어진 것이라면 방법 2는 부적당하다. 또 만약 라면 실행이

불가능하게 된다(사실 고정 임피던스의 양단에 걸려 있는 전위차와 그것을 통해 흐르는 전류는 직접 관련이 되기 때문

에 이러한 순서로서 측정한다는 것은 좋지 않다).

만약 표 H.2의 데이터를 이런 방법으로 얻은 것으로 다시 해석한다면 방법 2가 부적당하며 또 사이에 상관


88

관계가 없다고 가정할 수 있기 때문에 관측된 상관계수는 무시할 수 있어 0으로 놓을 수 있다. 만약 표 H.2에서 이를

수행하면 식 (H.9)는 F.1.2.3의 식 (F.2)와 같이 간단하게 된다. 즉,

(H.11)

이고, 표 H.2의 데이터에 이 식을 적용하면 표 H.3은 표 H.5와 같이 수정된다.

측정결과의 합성표준불확도 c

= 0.195 Ω = 0.15 × 10-2

= 0.201 Ω = 0.09 × 10-2

= 0.204 Ω = 0.08 × 10-2

상관계수

= = 0.056

= = 0.527

= = 0.878

표 H.5 - 표 H.2의 상관계수가 0이라고 가정한 상태에서의 표 H.3의 변경

H.3 온도계 교정

이 예제는 최소제곱법을 이용하여 선형 교정곡선을 구하고 곡선적합(fitting)으로부터 얻어진 절편과 기울기 그리고 각

각의 추정분산과 공분산을 이용하여 교정곡선으로부터 예측된 보정값과 그것의 표준불확도를 어떻게 구하는지 보여주

고 있다.

H.3.1 측정 문제

온도계의 교정을 다음과 같이 하였다. 각각 무시할 수 있는 불확도로 21 °C에서 27 °C까지의 범위에서 = 11개의

온도계 읽음 값 를 알고 있는 기준온도 와 비교하여 읽음 값에 대한 보정값 를 구하였다. 측정된

보정값 와 측정된 온도 는 불확도 평가의 입력량들이다. 선형교정곡선은 측정된 보정값과 온도에 대하여 최소제

곱법에 의해

(H.12)

에 맞추어진다. 적합곡선의 절편과 기울기인 과 는 와 의 추정값으로서, 결정하고자 하는 두개의 측정량 또

는 출력량이다. 온도 는 편의상 정한 정확한 기준온도이며 최소제곱법으로 결정할 독립변수가 아니다. 일단 과

가 각각의 추정분산과 공분산과 함께 결정되면 식 (H.12)를 사용하여 임의의 온도값 에 대해 온도계에 적용시킬 보정

값과 표준불확도를 예측할 수 있다.


89

H.3.2 최소제곱법에 의한 적합(fitting)

최소제곱법에 의거 위의 H.3.1에서 언급된 가정 하에 출력량 과 그리고 각각의 추정분산과 공분산은 다음의 합

을 최소화하여 구한다.

이로부터 다음의 식들을 구할 수 있다. 과 각각의 실험분산 과 , 그리고 추정상관계수 =

가 된다. 여기서 는 추정공분산이다.

(H.13a)

(H.13b)

(H.13c)

(H.13d)

(H.13e)

(H.13f)

(H.13g)

여기서 모든 합은 = 1에서 까지 이고, , 그리고 이며, 는 온

도 에서 측정된 또는 관측된 보정값 와 같은 온도에서 적합곡선 로부터 얻어진 보정값

사이의 차이이다. 분산 는 곡선적합에서의 전체적인 불확도의 척도이다. 여기에서 - 2인자는 개의 관측으

로부터 두개의 추정값 과 를 결정하였기 때문에 의 자유도는 = - 2라는 사실을 반영한다(G.3.3 참조).

H.3.3 결과의 계산

적합에 사용할 데이터는 표 H.6의 두 번째 및 세 번째 열에 있다. = 20 °C를 기준온도로 하고 식 (H.13a)에서

(H.13g)를 적용하면 다음과 같은 것들을 얻는다.

= -0.171 2 °C = 0.002 9 °C

= 0.002 18 = 0.000 67

= -0.930 = 0.003 5 °C

기울기 가 그것의 표준불확도 보다 3배 이상 크다는 사실이 말해주는 것처럼 어떤 고정된 평균에 의한 보정보다도


90

교정곡선에 의한 보정이 적절함을 알 수 있다.

교정곡선은 다음과 같이 쓸 수 있다.

= -0.171 2(29) °C + 0.002 18(67) ( - 20 °C) (H.14)

여기서 괄호내의 숫자는 절편과 기울기에 대해 인용된 결과에서 마지막 자릿수에 해당하는 것으로 언급된 표준불확도

값이다(7.2.2 참조). 이 식을 이용하면 어떤 온도 에서의 보정값 - 특히 일 때의 값 - 을 구할 수

있다. 이 값은 표 H.6의 4번째 열에 있다. 마지막 열은 측정값과 교정곡선값 사이의 차이 이다. 이 차이를

분석하여 선형모형의 타당성을 검증할 수 있다. 검증방법은 있지만 이 예제에서는 다루지 않는다(참고문헌 [8] 참조).

표 H.6 - 최소제곱법으로 온도계의 선형교정곡선을 얻기 위해 사용한 데이터

측정번호

온도계 값

(°C)

관측 보정값

(°C)

예측 보정값

(°C)

관측값 - 예측 보정값

(°C)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

21.521

22.012

22.512

23.003

23.507

23.999

24.513

25.002

25.503

26.010

26.511

-0.171

-0.169

-0.166

-0.159

-0.164

-0.165

-0.156

-0.157

-0.159

-0.161

-0.160

-0.167 9

-0.166 8

-0.165 7

-0.164 6

-0.163 5

-0.162 5

-0.161 4

-0.160 3

-0.159 2

-0.158 1

-0.157 0

-0.003 1

-0.002 2

-0.000 3

+0.005 6

-0.000 5

-0.002 5

+0.005 4

+0.003 3

+0.000 2

-0.002 9

-0.003 0

H.3.4 예측값의 불확도

보정 교정곡선값의 합성표준불확도 표현은 불확도 전파법칙인 5.2.2의 식 (16)을 식 (H.12)에 적용하여 쉽게 구할 수

있다. 인 것을 알고 로 그리고 로 쓰면 다음의 식을 구할 수 있다.

(H.15)

추정분산 는 min 에서 최소이고 여기에서는 min = 24.0085 °C이다.

식 (H.15)를 사용하는 예제로서 다음을 생각해 보자. 어떤 사람이 = 30 °C에서의 온도계의 보정을 필요로 한다고

하자. 이 온도는 온도계가 실제로 교정된 온도범위를 벗어난 것이다. 식 (H.14)에 = 30 °C를 대입하면

(30 °C) = -0.149 4 °C

가 되고

식 (H.15)로 부터


91

c [ (30 °C)] = (0.002 9 °C)2 + (10 °C)2 (0.000 67)2 + 2(10 °C) (0.002 9 °C) (0.000 67) (-0.930)

= 17.1 × 10-6 °C2

이며,

[ (30 °C)] = 0.004 1 °C

를 얻게 된다. 이렇게 하여 30 °C에서의 보정값은 -0.1494 °C이고 합성표준불확도, = 0.004 1 °C이며 는

= - 2 = 9의 자유도를 갖는다.

H.3.5 기울기와 절편 사이의 상관관계 제거

상관계수 인 식 (H.13e)가 의미하는 것은 =

= 0이 되도록 을 선택하면

= 0이 되고 과 는 상관관계가 없어지며, 그에 따라 교정곡선값의 표준불확도 계산이 간단해진다.

= = 일 때 (여기에서는 24.008 5 °C일 때)

= 0이 되므로 = = 24.008 5 °C를

사용하여 최소제곱적합을 다시하게 되면 상관관계가 없는 과 의 값들이 나오게 된다(온도 는 또한 가

최소인 온도이다. H.3.4 참조). 그러나 식 (H.16a) ~ (H.16c)에서 보듯이 곡선적합을 다시 반복할 필요는 없다.

′ (H.16a)

c ′ (H.16b)

′ = 0 (H.16c)

여기서

′

′

이고, 식 (H.16b)에서 ′ ′ 와 로 대체하였다[식 (H.15) 참조].

이 관계식들을 H.3.3에서 주어진 결과들에 적용하면 다음과 같다.

= -0.162 5(11) + 0.002 18(67) ( - 24.008 5 °C) (H.17a)

c = (0.001 1)2 + ( - 24.008 5 °C)2 (0.000 67)2 (H.17b)

이 표현들이 식 (H.14) 및 (H.15)와 같은 결과를 준다는 것은 (30 °C)와 [ (30 °C)]를 다시 계산하여 검증할 수 있

다. = 30 °C를 식 (H.17a)와 (H.17b)에 대입하면

(30 °C) = -0.149 4 °C

[ (30 °C)] = 0.004 1 °C


92

를 얻을 수 있고, 이는 H.3.4에서 얻은 결과와 동일한 것을 알 수 있다. 두 개의 교정곡선값 과 간의 추정공

분산은 H.2.3의 식 (H.9)로부터 구할 수 있다.

H.3.6 기타 고려사항

최소제곱법을 사용하여 높은 차수의 곡선을 데이터 값들에 맞출 수 있으며 또한 각각의 데이터 값들이 불확도를 갖고

있는 경우에 적용할 수도 있다. 상세한 것은 이 주제에 대한 참고문헌들을 참조해야한다[8]. 그러나 다음의 예제는 측

정된 보정 가 정확히 알려져 있지 않은 두 가지 경우를 들었다.

1) 의 불확도는 무시할 수 있다고 하자. 개의 값 R 값 각각은 일련의 개의 반복측정으로 얻었고 수개월에

걸쳐서 얻은 많은 양의 데이터에 근거한 같은 종류의 이런 측정값들에 대한 추정합동분산(4.2.4 또는 4.2.4의 주

참조)을 p라고 하자. 이렇게 하면 각각의 R 에서의 추정분산은 p = 이고 각각의 관측된 보정 =

R 는 동일한 표준불확도 를 갖는다. 이러한 조건 환경 하에서는 (그리고 선형모델이 정확하다는 가정 하

에서) 식 (H.13c)와 식 (H.13d)에서의 을 로 대체한다.

주 동일 확률변수의 번의 독립관측에 기초한 추정합동분산 p은 다음과 같이 얻어진다.

p

여기서 은 번째의 번 독립관측의 실험분산이며[4.2.2의 식 (4)], 자유도는 = - 1 이다. p의 자유도는 =

이다. 추정합동분산 p로 특성화되는 번 독립관측의 산술평균의 실험분산 p (그리고 실험표준편차 p )

또한 자유도 를 가진다.

2) 각각의 는 무시할 만한 불확도를 갖고, 개의 값, R 의 각각에 보정값 를 적용하고 그리고 각각의 보정값은

동일한 표준불확도 a를 갖는다고 가정하자. 그러한 경우 각각의 = 의 표준불확도 역시 a이고,

는 a로 대체되고 ′ 는 ′ a로 대체된다.

H.4 방사능 측정

본 방사능 측정의 예는 서로 다른 두 가지 방법으로 데이터를 분석할 수 있으나 각각의 방법이 실제적으로 동일한 수

치적 결과를 산출한 저항과 유도저항의 동시측정의 예 H.2와 유사하다. 사용된 두 가지 방법 중 첫 번째 방법은 입력

량 사이의 관측된 상관관계의 필요성을 다시 한 번 실례로 설명하고 있다.

H.4.1 측정 문제

물 시료 중의 라돈(222Rn)방사능 농도는 방사능을 알고 있는 수중라돈 표준시료를 사용하여 액체섬광 계수방법에 의해

결정되어 진다. 이 물 시료 중에 미지의 라돈 방사능 농도는 22 mL의 바이알(vial)병 내에 약 5 g의 물과 12 g의 유기

섬광체가 들어있는 3개의 계수선원을 측정함으로써 구할 수 있다;

선원 (a) 방사능 농도를 알고 있는 질량 S의 표준용액으로 구성된 표준선원

선원 (b) 방사성 물질이 포함되어 있지 않은 공백(blank) 물시료, 기저방사선 계수율 측정에 사용됨

선원 (c) 미지의 방사능 농도를 가진 질량 의 수용액으로 구성된 시료


93

이들 3개의 계수 선원은 표준 선원 － 공백선원 － 물 시료의 순서로 6번의 사이클로 측정되어지며, 6번의 사이클로

측정하는 동안 각각의 선원에 대하여 불감시간을 보정한 계수시간 T0는 60분이다. 비록 기저방사선(background) 계수

율이 전체 계수시간(65 시간) 동안 일정한 값을 가진다고 예상할 수는 없지만 각각의 공백 선원으로부터 구한 계수값

은 동일한 사이클에 측정되는 표준 선원과 물 시료의 측정시간 동안 기저방사선 계수율의 대푯값으로 사용될 수 있다.

측정 데이터는 표 H.7에 나타냈으며, 여기서

S B 표준 선원, 공백 시료, 측정 시료의 바이알 각각에 대하여 기준시간 = 0로부터 불감시간(dead

time)을 보정한 계수시간 = 60분의 중앙점까지의 시간들이다. 비록 B는 완전성을 위하여 주

어졌으나 분석에서는 사용되어지지 않는다.

S B 표준 선원, 공백 시료, 측정 시료 바이알 각각에 대하여 불감시간을 보정한 계수시간 = 60분

동안 측정된 계수값들이다.

측정된 계수값들은 다음과 같이 표기할 수 있다.

S B SS S (H.18a)

B (H.18b)

여기서

주어진 선원 조성하에서 222Rn에 대한 액체섬광검출 효율이며 방사능 준위에는 무관하다고 가정한다.

S 기준시간 = 0에서 표준 선원의 방사능 농도

측정량으로 기준시간 = 0에서 측정시료의 미지 방사능 농도

S 표준용액의 질량

시료용액의 질량

222Rn의 붕괴상수, 즉, = (ln 2)/1/2 = 1.258 94 × 10-4 min-1 (1/2 = 5 505.8 min)

표 H.7 - 미지 시료의 방사능 농도 결정을 위한 계수 데이터

사이클 표준 선원 공백시료 측정시료

s

(min)

s(counts)

B(min)

B(counts)

(min)

(counts)

1 243.74 15 380 305.56 4 054 367.37 41 432

2 984.53 14 978 1 046.10 3 922 1 107.66 38 706

3 1 723.87 14 394 1 785.43 4 200 1 846.99 35 860

4 2 463.17 13 254 2 524.73 3 830 2 586.28 32 238

5 3 217.56 12 516 3 279.12 3 956 3 340.68 29 640

6 3 956.83 11 058 4 018.38 3 980 4 079.94 26 356


94

식 (H.18a)와 (H.18b)가 나타내듯이 표준 선원과 측정시료 방사능의 지수함수적 붕괴와 한 사이클에서 다른 사이클까

지의 기저 방사능 값의 근소한 변화 때문에 표 H.7에서 주어진 S와 각각의 6개 값들에 대한 평균값을 직접

구할 수 없다. 따라서 방사성 붕괴와 기저 방사선을 보정한 계수값 또는 계수율(계수값을 측정시간 = 60분으로 나

눈값)로 취급하여야 한다. 그래서 식 (H.18a)와 (H.18b)를 조합하여 알려진 값의 함수로서의 미지의 방사능 농도에 대

한 아래의 식을 구한다.

S S S B

SSS B

S

B

SSS B B

S

(H.19)

여기서 B 와 S B

S 는 각각 측정시간 60분에 대하여 기준시간 = 0에서 기저 방사선을 보정한

측정시료와 표준 선원의 계수값들이다. 위 식은 다시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

S S S SSS

(H.20)

여기서 기저 방사선과 방사성 붕괴를 보정한 계수율 S는 다음과 같이 주어진다.

B (H.21a)

S SB S (H.21b)

H.4.2 데이터 분석

표 H.8에는 앞에서 주어진 표 H.7의 데이터와 = 1.258 94 × 10-4 min-1을 사용하여 식 (H.21a)와 (H.21b)으로부터

산출된 기저 방사선과 방사성 붕괴를 보정한 계수율 S를 요약하여 나타내었다. 여기서 비율 S는

B S B S의 식으로부터 간단하게 계산되어질 수 있다. 산술평균

S , 과 이들의 실험표

준편차 S , 는 일반적인 방법으로 구할 수 있다[4.2의 식 (3)과 (5)]. 상관계수

S 는 5.2.3

의 식 (17)과 5.2.2의 식 (14)로부터 산출된다.

S는 상대적으로 변화가 작기 때문에 이들 평균값의 비 S와 그 표준불확도

S 는 각각 표 H.8

의 마지막 열에서 나타낸 바와 같이 평균비 과 이의 실험적 표준편차 과 거의 같은 값을 가진다[H.2.4와 식

(H.10) 참조]. 한편 표준불확도 S 를 산출하는 데 있어서, 상관계수

S 에 의해 나타낼 수 있는

와 S의 상관관계는 5.2.2의 식 (16)을 사용하여 고려해 주어야 한다[이 식은 식 (H.22b)의 마지막 3개항인

S의 상대추정분산을 산출한다.].

와 S의 실험표준편차 와 S 는 계수과정의 Poisson 통계에 의한 변동보다 2~3배 이상 크다

는 것을 인식하여야 한다. 후자는 계수값의 관측된 변동에 포함되며 별도로 고려할 필요는 없다.


95

표 H.8 - 방사선 붕괴와 기저방사능을 보정한 계수율의 계산

사이클

(min-1)

S(min-1)

S(min)

S

1

2

3

4

5

6

652.46

666.48

665.80

655.68

651.87

623.31

194.65

208.58

211.08

214.17

213.92

194.13

123.63

123.13

123.12

123.11

123.12

123.11

3.352 0

3.195 3

3.154 3

3.061 5

3.047 3

3.210 7

= 652.60

= 6.42

= 0.98 × 10-2

S = 206.09

S = 3.79

S S = 1.84 × 10-2 = 3.170

= 0.046

= 1.44 × 10-2 S = 3.167

S = 0.045

S S = 1.42 × 10-2

상관계수

S = 0.646

H.4.3 최종결과의 산출

미지의 방사능 농도 와 합성표준불확도 c 를 식 (H.20)으로부터 구하기 위해서는 , , S 및 이들의 표

준불확도를 알아야 한다. 이들 값은 다음과 같이 주어진다.

S = 0.136 8 Bq/g

S = 0.001 8 Bq/g; S S = 1.31 × 10-2

S = 5.019 2 g

S = 0.005 g; S S = 0.10 × 10-2

= 5.057 1 g

= 0.001 0 g; = 0.02 × 10-2

다음의 다른 가능한 불확도 요인들은 무시할 수 있는 것으로 나타났다.

－ 붕괴시간의 표준불확도, s 와

－ 222Rn 붕괴상수 의 표준불확도; = 1 × 10-7 min-1(여기서 중요한 양은 붕괴인자 S이다. 이 값은 사

이클 = 4와 6의 1.015 63부터 사이클 = 1의 1.015 70까지 변하며 이들 값의 표준불확도는 = 1.2 × 10-5

이다.)


96

－ 측정에 사용된 선원(표준선원, blank 선원, 측정시료)에 대하여 섬광 계수기의 검출효율 의존성과 관련된 불확도

－ 계수기 불감시간에 대한 보정과 방사능 준위에 의한 계수효율의 의존성에 대한 보정 불확도

H.4.3.1 결과: 방법 1

앞에서 이미 언급한 바와 같이 와 c 는 식 (H.20)으로부터 두 가지 다른 방법으로 얻을 수 있다. 첫 번째 방

법으로서 는 산술평균 와 S를 사용하여 산출되며 다음과 같다.

= SSS

= 0.430 0 Bq/g (H.22a)

위의 식에 5.2.2의 식 (16)을 적용하면 합성분산 c 를 구하기 위한 아래 식을 얻을 수 있다.

c S S

S S

S S

S S

S

(H.22b)

여기서 H.4.2에서 언급한 바와 같이, 마지막 3개 항들로부터 S의 상대추정분산 S S 을

얻을 수 있다. H.2.4에서 언급한 바와 같이 표 H.8에 나타낸 결과들은 가 S와 정확하게 일치하지는 않고,

또한 S의 표준불확도 S가 의 표준불확도 와 정확하게 일치하지 않는다는 것을 보이고 있다.

식 (H.22a)와 (H.22b)에 관련 양들의 값을 대입하면,

c = 1.93 × 10-2

c = 0.008 3 Bq/g

따라서 측정결과는 다음과 같이 기술할 수 있다.

= 0.430 0 Bq/g, 합성표준불확도: c = 0.008 3 Bq/g

H.4.3.2 결과: 방법 2

와 S의 상관관계를 무시하는 2번째 방법에서 는 산술평균 를 사용하여 산출되어진다. 즉,

= SS = 0.430 4 Bq/g (H.23a)

c 는 단순히

c S S

S S

(H.23b)

로 되며, 다음의 값을 얻게 된다.


97

c = 1.95 × 10-2

c = 0.008 4 Bq/g

따라서 측정결과는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

= 0.430 4 Bq/g, 합성표준불확도: c = 0.008 4 Bq/g

c의 유효자유도는 H.1.6에서 기술된 방법으로 Welch-Satterthwaite 함수를 사용하여 평가될 수 있다.

H.2에서와 같이 두 결과에 중에 두 번째 결과가 선호되면 이 두 양의 평균값의 비를 구하는 데 있어서 두 양의 평균값

의 비로 근사시키지 않기 때문이다. 또한 측정데이터들이 실제로 독립적인 사이클에 의해 수집된 것을 고려하면 두 번

째 결과가 측정 과정을 더욱 잘 반영하고 있다.

그럼에도 불구하고 이들 두 가지 방법에 의해 산출된 값들의 차이는 어느 한 쪽의 방법에 의해 기인된 표준불확도

와 비교할 때 아주 작게 나타나고 있으며, 또한 두 방법에 의해 산출된 표준불확도들의 차이는 완전히 무시 가능할 만

큼 작다. 이러한 일치는 관측된 상관관계가 적절히 포함되어 졌을 때 이들 두 방법이 동등하다는 것을 보여주고 있다.

H.5 분산분석(ANOVA: ANalysis Of VAriance)

본 예제는 분산분석 방법을 간단히 소개한 것이다. 이 통계기법은 측정결과의 불확도를 평가할 때 측정에 있어서 개별

우연효과가 적절히 고려되도록 이들을 식별하고 정량화하기 위해 사용된다. 분산분석은, 예를 들어 제너전압표준이나

질량표준기와 같은 교정용표준기의 교정이나 표준물질의 인증과 같이 광범위한 측정에 적용될 수는 있어도, 그 자체만

으로는 있을 수 있는 계통효과를 식별하지 못한다.

분산분석의 일반적 용어하에 포함된 여러 다른 모델이 존재하고 있다. 그 중요성을 감안하여 본 예제에서 논의하는 특

정모델은 균형지분설계(balanced nested design)이다. 이 모델에서의 수치사례는 제너전압 표준기의 교정에 대한 것

이며, 분석은 여러 다양한 실제적인 측정상황과 관련되어야 한다.

분산분석 방법은 ISO 지침서 35[19]에서 충분하게 다루어진 주제로 시험소간 시험에 의한 표준물질의 인증에서는 특

별한 중요성을 갖는다(이러한 표준물질 인증에 대한 개략적인 내용은 H.5.3.2 참조). ISO 지침서 35에 수록된 많은 재

료들은 폭넓게 적용될 수 있기 때문에 비균형지분설계를 포함한 분산분석과 관련하여 추가로 상세한 내용이 필요할

경우에는 이 간행물을 참고하여도 좋다. 참고문헌 [15]와 [20]도 마찬가지로 참고할 수 있다.

H.5.1 측정문제

안정된 전압기준으로 2주일 이상 교정되는 명목값 10 V의 제너 전압표준에 대해 고려해 본다. 교정기간 중 일간 매

일 표준기의 전위차 를 번 독립적으로 반복관측한다. 만일 가 번째일( = 1, 2, ..., )에 에 대한 번

째 관측( = 1, 2, ..., )을 나타낸다면, 표준의 전위차에 대한 최량추정값은 개의 관측값의 산술평균 가 된다

[4.2.1의 식 (3) 참조].

(H.24a)

표준의 전위차 추정값 의 불확도를 나타내는 척도인 평균의 실험표준편차 는 다음 식으로부터 얻는다[4.2.3의

식 (5) 참조].


98

(H.24b)

주 본 사례에서는 계통효과를 보상하기 위해 관측값에 적용되는 모든 보정값이 무시할 수 있는 불확도를 가지고 있어서 이는 분

석의 최종단계에서 고려하여도 된다고 가정한다. 후자의 범주에 속하는 보정값의 예는 인증값(주어진 불확도를 갖는다고 가정)

과 제너 전압표준 교정의 기준이 되는 안정 전압표준의 작동값(working value) 사이의 차이이며, 분석의 마지막 단계에서 관측

값의 평균에 적용하는 것이 가능하다. 따라서 관측값으로부터 얻어지는 표준의 전위차의 추정값은 반드시 측정의 최종 결과

가 되는 것이 아니며, 그 추정값의 실험표준편차도 반드시 최종결과의 합성표준불확도가 되는 것이 아니다.

식 (H.24b)으로부터 얻은 바와 같이 평균의 실험표준편차 는 관측값의 일간변동이 하루사이에 이루어진 관측값

의 변동과 같을 때에만 의 불확도의 적절한 척도가 된다. 만일 일간변동이 일내변동의 기댓값보다 상당히 크다는

증거가 있을 때에 실험표준편차를 사용하는 것은 의 불확도를 상당히 과소평가하게 될 가능성이 생기게 된다. 따라

서 두가지 의문이 생기게 된다. 즉, 일간변동(분산의 일간성분으로 특성 지워지는)이 일내변동(분산의 일내성분으로 특

성 지워지는)과 비교하여 유의할 만한가 아닌가를 어떻게 결정하는가 하는 문제와 만일 유의할 만한 경우라면 평균의

불확도를 어떻게 평가하는가 하는 문제이다.

H.5.2 계산의 예

H.5.2.1 상기 질문을 검토하기 위한 데이터를 표 H.9에 나타내었다. 여기서 = 10은 전위차의 관측이 이루어진

날짜 수, = 5는 각 날짜에 이루어진 전위차 관측의 수를 의미하고,

(H.25a)

는 번째 날에 이루어진 = 5개의 전위차 관측값의 산술평균(매일 = 10개의 평균이 있다),

(H.25b)

는 = 10개의 일평균의 산술평균, 즉 = 50개의 관측값의 전체 평균을 의미하고,

(H.25c)

는 번째 날에 이루어진 = 5개의 관측값의 실험분산( = 10개의 분산의 추정값이 있다)을,

(H.25d)

는 = 10개의 일평균 실험분산을 의미한다(이러한 분산의 추정값은 1개뿐이다).

H.5.2.2 관측값의 일내 변동과 일간 변동의 일치성은 분산의 하루 성분 W (즉 같은 날에 수행된 관측값의 분산)의

독립된 두 개의 추정값을 비교해 봄으로써 검토될 수 있다.

a 으로 표시되는 W 의 첫 번째 추정값은 매일 평균 의 관측된 변동으로부터 구해진다. 는 개의 관측값의

평균이기 때문에, 그의 추정분산 은, 분산의 일간 성분이 영(0)이라는 가정 하에서, W 을 추정한다. 그러면

식 (H.25d)로부터 다음 식이 유도된다.


99

a

(H.26a)

이것은 자유도 a = - 1 = 9인 W 의 추정값이다.

b 으로 표시되는 W 의 두 번째 추정값은 = 10개의 독립된 의 값으로부터 H.3.6의 주의 식을 사용하여

얻어진 분산의 합동추정값이다. 여기서 10개의 독립된 값은 식 (H.25c)로부터 계산된다. 이 값들의 각각의 자유도는

= - 1이기 때문에, b 에 대한 최종식은 단지 그들의 평균이다. 따라서

b

(H.26b)

이 얻어지며, 이것은 자유도 b = ( - 1) = 40을 지닌 W 의 추정값이다.

식 (H.26a)와 (H.26b)에 의해 주어진 W 의 추정값은 각각 a = (128 μV)2 및 b = (85 μV)2이다(표 H.9 참조). 추정값

a은 매일 평균의 변동에 기초를 두는 반면에 추정값 b 은 매일 관측값의 변동에 기초를 두고 있기 때문에, 이들의

차이는, 관측값이 하루하루 변화되지만 임의의 하루 동안 행해진 관측에 대해서는 비교적 일정하게 유지될 수 있는 효

과의 존재 가능성을 나타낸다. 검정이 이러한 가능성을 시험하기 위해 사용되며, 분산의 일간 성분을 영(0)이라고 가

정한다.

일 양

1 2 3 4 5

10.000 172 10.000 116 10.000 013 10.000 144 10.000 106

/μV 60 77 111 101 67

일 양

6 7 8 9 10

10.000 031 10.000 060 10.000 125 10.000 163 10.000 041

/μV 93 80 73 88 86

= 10.000 097 V = 57 μV

a = = 5(57 μV)2 = (128 μV)2 b = (85 μV)2

표 H.9 - = 5의 독립된 반복관측을 기초로 하여 얻어진 각 일평균 , 실험표준편차 를

포함하여 = 10일에 얻어진 전압표준기의 교정 데이터 요약

H.5.2.3 분포는 정규분포인 우연변동의 분산 의 독립된 두 개의 추정값 a a 및 b b의 비 a b =

a a b b의 확률분포이다. 파라미터 a 및 b는 두 개의 추정값의 각각의 자유도이고, 0 ≤ a b < ∞이

다. 값은 a 및 b의 서로 다른 값과 분포의 여러 가지 양에 대하여 도표로 주어진다. a b > 0.95 또는

a b > 0.975(기각치)인 경우는 일반적으로 통계적인 의미에서 a a 가 b b보다 더 크다고 해석된다. 만약

두 개의 추정값들이 동일한 분산의 추정값이라고 가정하면 관측된 것만큼 큰 값의 확률이 각각 0.05 또는 0.025 이

하로 나타난다(0.99와 같이 다른 기각치가 선택될 수도 있다).


100

H.5.2.4 검정을 이 수치 예에 적용하면

a b ba

μV μV

(H.27)

가 얻어진다. 식 중의 분자는 a = - 1 = 9의 자유도를, 분모는 b = ( - 1) = 40의 자유도를 지닌다. 0.95(9,

40) = 2.12 및 0.975(9, 40) = 2.45이기 때문에, 일간 효과가 5 % 유의수준에서는 통계적으로 의미가 있지만 2.5 %

유의수준에서는 의미가 없다고 판정된다.

H.5.2.5 만약 a과 b의 차이가 통계적으로 중요하지 않기 때문에 일간 효과의 존재가 배제된다면(이것은 불확도

의 과소평가를 초래할 가능성이 있기 때문에 경솔한 결론임), 의 추정분산 은 식 (H.24b)로부터 계산되어야

한다. 그 관계는 관측자의 분산의 최량추정값을 얻기 위하여 추정값 a과 b를 합동(pooling)하는 것(즉 각각의 자유

도 a와 b에 의해 각 가중치를 이용하여 a과 b의 가중평균을 구하는 것(H.3.6 참조)과 같고, 관측값의 평균의 분산

의 최량추정값 을 구하기 위해, 그 추정값을 관측값의 수 로 나눈 것과 같다. 이 절차를 따라 다음 식이 얻

어진다.

a b μV μV

(H.28a)

= (13 μV)2 또는 = 13 μV (H.28b)

여기서 의 자유도는 - 1 = 49이다.

만일 계통효과에 대한 모든 보정이 이미 고려되었고 다른 모든 불확도 성분은 무시할 수 있다고 가정하면, 교정결과는

= 10.000 097 V(표 H.9 참조), 합성표준불확도는 = = 13 μV, 의 자유도는 49라고 표현될 수

있다.

주 1 실제로는 무시할 수 없는 추가 불확도 성분이 있을 수 있다. 이러한 경우 이것을 관측값으로부터 통계적으로 구한 불확도

의 성분과 합성시킬 필요가 있다(H.5.1 참조).

주 2 에 대한 식 (H.28a)은 식 (H.24b)를 이중합으로 표시한 와 같음을 알 수 있다.

a b

H.5.2.6 만약 일간 효과의 존재가 받아들여지고(이것은 불확도의 과소평가 가능성을 피하기 위한 신중한 결정) 이것

이 우연적(to be random)이라고 가정하면, 식 (H.25d)에 따라 = 10개의 일평균으로부터 계산된 분산 은

H.5.2.2에서 가정한 것처럼 W 가 아니라 W B 로 추정된다. 여기서 B 는 분산의 일간 우연성분이다. 이

것은 다음 식을 의미한다.

W B (H.29)

여기서 W 은 w 을 B 은 B 을 추정한다. 식 (H.26b)으로부터 계산된 는 관측값의 일내 변동에 의존되기 때

문에 W 라고 해도 좋다. 따라서 H.5.2.4에서 검정을 위해 사용되었던 비 은 다음

식이 된다.


101

WW B

μV μV

= 2.25 (H.30)

따라서

B =

(H.31a)

B = (43 μV)2 또는 B = 43 μV

W = = (85 μV)2 또는 W = 85 μV (H.31b)

가 된다.

의 추정분산은 식 (H.25d)의 로부터 구해진다. 왜냐하면 이 분산의 일내 및 일간 우연변동성분을 반

영하고 있기 때문이다(식 (H.29) 참조). 따라서

= (H.32)

= (57 μV)2/10 또는 = 18 μV

가 구해지며, 는 - 1 = 9의 자유도를 가진다.

W (또는 W )의 자유도는 ( - 1) = 40이 된다[식 (H.26b) 참조]. B (또는 B )의 자유도는 차이값인 B =

- [식 (H.31a)]의 유효자유도이지만 이 추정에는 문제가 많다.

H.5.2.7 그러므로 전압표준기의 전위차의 최량추정값은 = = 10.000 097 V이고, 식 (H.32)에서 주어진 바

와 같이 = = 18 μV를 가진다. 이 의 값과 그의 자유도 9는 일간 효과가 제거될 때 H.5.2.5에서 구한 결

과 [식(H.28b)]인 c = 13 μV와 그의 자유도 49와 비교된다.

실제측정에서는 일간 효과의 요인과 분산분석의 이용을 무효화할 것 같은 계통효과 존재여부를 결정하기 위하여, 가능

하다면 외견상 일간 효과의 존재에 대해 좀 더 조사되어야 한다. 이 예의 초반에 지적한 바와 같이 분산분석의 방법은

우연효과로부터 생기는 불확도 성분을 확인하고 평가하기 위해 설계된다. 이 방법은 계통효과로부터 생기는 성분에 대

한 정보는 제공할 수 없다.

H.5.3 측정에서 분산분석의 역할

H.5.3.1 이 전압표준기의 사례는 일반적으로 균형일단지분설계라고 부르는 것에 대해 설명하고 있다. 일단지분설계

(one-stage nested design)라고 하는 것은 관측이 행해지는 날이라고 하는 1개의 인자에 대해 관측값의 지분의 단계

가 하나 있기 때문이다. 균형되어 있다고 하는 것은 매일 행하여지는 관측의 수가 같기 때문이다. 본 사례에서 설명된

분석은 어떤 측정측정에 있어서 “측정자 효과”, “기기 효과”, “실험실 효과”, “표본 효과” 또는 “방법 효과”까지도 그 존

재 여부를 결정하는데 사용될 수 있다. 따라서 본 사례에서는 일의 다른 날에 이루어진 관측들을 같은 날 인의 다

른 측정자에 의해 이루어진 관측으로 대체하여 생각할 수도 있다. 이 경우 분석의 일간 성분은 다른 측정자에 수반되

는 분산성분으로 바뀌게 된다.

H.5.3.2 H.5에서 기술한 바와 같이 분산분석은 시험소간 시험을 통해 표준물질(RMs)을 인증하는데 널리 사용된다.

이러한 인증은 보통 독립적으로 동등한 능력을 가진 여러 시험소가 인증하고자 하는 물질의 특성에 대하여 그 물질의

시료를 측정하는 것을 포함한다. 일반적으로 개별 결과의 차이, 즉 시험소내 및 시험소간 모두는 그 요인에 관계없이


102

본질적으로 통계적이다라고 가정한다. 각 시험소 평균은 재료특성의 비편향추정량으로 간주되며, 통상 시험소 평균의

비가중 평균을 그 특성의 최량추정값으로 간주한다.

표준물질의 인증에는 서로 다른 개의 시험소가 참가하고, 각 시험소는 해당물질의 서로 다른 개의 시료에 대해 필

요한 특성을 측정하며, 하나의 시료에 대한 개개의 측정은 서로 독립적인 번의 반복측정으로 이루어진다. 따라서 총

관측횟수는 개가 되며 총 시료의 수는 개가 된다. 이는 상기의 1단 전압표준의 사례와 비슷한 균형 2단 지분설

계의 한 예이다. 이 경우에서는 측정에 있어 변동이 되는 시료와 시험소라는 2개의 다른 인자를 가진 2개 단계의 지분

이 있다. 이 설계는 각 시료가 각 시험소에서 같은 횟수( )로 관측되고, 각 시험소는 같은 수( )의 시료를 측정하므로

균형이 된다. 전압표준의 예와 비슷하게 표준물질의 경우 자료분석의 목적이 시료간 효과와 시험소간 효과의 존재가능

성 여부와 인증하고자 하는 특성값의 최량추정값에 대한 적절한 불확도를 결정하는데 있다. 앞 절에서와 같이 그 추정

값은 개 시험소 평균들의 평균이며, 또한 개의 관측값들의 평균이 된다고 생각한다.

H.5.3.3 측정결과의 불확도는 관측 데이터를 바탕으로 통계적으로 평가될 수 있도록 측정결과가 의존하는 입력량

을 변화시키는 것에 대한 중요성은 3.4.2절에서 지적한 바 있다. 지분설계와 분산분석방법에 의한 결과자료의 분석은

실무에서 부딪히는 여러 측정상황에서 성공적으로 사용될 수 있다.

그러나 3.4.1에서 지적한 바와 같이 모든 입력량을 변화시키는 것은 시간이나 자원의 제약으로 인하여 타당하지 못한

경우가 많다. 따라서 많은 측정상황에서는 분산분석방법을 사용하여 많은 불확도 성분 중에서 몇 개의 성분만을 평가

할 수 있는데 그치게 된다. 4.3.1에서 지적한 바와 같이 많은 성분들은 문제가 되는 입력량의 변동가능성에 대한 모든

가능한 정보를 활용하여 과학적인 판단으로 평가하여야 한다. 즉, 많은 사례에서는 시료간 효과, 시험소간 효과, 측정

기기간효과 또는 측정자간 효과와 같은 효과로부터 기인한 불확도 성분은 일련의 측정값을 통계적으로 분석하여 평가

하지 못하고 활용가능한 정보의 풀(pool)로부터 평가할 수밖에 없다.

H.6 기준 스케일에 의한 측정: 경도

경도는 측정방법을 참조하지 않고는 정량화할 수 없는 물리적 개념의 한 예이다. 즉 측정방법에 의존하지 않는 독립적

인 단위는 없다. “경도”라는 양은 (종종 일부 재료에 대하여 그 경도와 다른 성질과의 관계를 밝히는 실험식에서 쓰일

경우가 있기는 하지만) 다른 측정가능한 양을 정의하는 수학 방정식에 사용될 수 없다는 점에서 고전적인 측정가능한

양들과 다르다. 경도값은 전통적인 측정, 즉 시험 대상 시편에 대한 압입깊이의 선형적 차원의 측정으로 결정된다. 측

정은 성문표준에 따라 이루어지며, 이 표준은 “압자”, 압자가 부착된 시험기의 구조, 시험기의 작동방법에 대한 기술이

포함된다. 경도 측정에 대하여 하나 이상의 성문표준이 있고 이에 따라 하나 이상의 경도 스케일이 있다.

기록되는 경도는 측정되는 선형차원의 (스케일에 따른)함수이다. 이 부록에 제시된 예에서는 경도는 다섯 번의 반복 압

입에 의해 얻어진 압입깊이값의 산술평균의 선형함수이나 다른 스케일의 경우에는 그 함수가 비선형적이다.

표준 시험기의 구현은 국가표준으로 유지된다(국제표준의 구현은 없다.). 즉, 특정 시험기와 국가표준 시험기 사이의

비교는 경도 전달 기준편을 사용하여 이루어진다.

H.6.1 측정 문제

본 예에서는 국가표준기를 바탕으로 교정된 시험기를 사용하여 “로크웰 C” 스케일을 기준으로 시편의 경도를 측정하

였다. 로크웰 C경도 스케일의 단위는 0.002 mm인데 경도는 100 × (0.002 mm) 에서 mm단위로 측정된 5번의 압입

깊이의 평균을 뺀 값으로 정의된다. 이 값을 로크웰 스케일 단위인 0.002 mm로 나눈 값을 “HRC 경도 값”이라고 부

른다. 본 예에서는 mm단위 표시값을 단순히 “경도”라고 부르고 Rockwell C라고 표시하였으며, 이것을 (0.002 mm로 나

누어) 로크웰 길이 단위로 나타낸 것을 “경도값”이라고 부르고 Rockwell C라고 표시하였다.


103

H.6.2 수학적 모델

일반 시험기 또는 교정용 시험기를 사용하여 얻어진 압입깊이의 평균값에는 같은 시편에 대하여 국가표준 시험기로

압입하였을 때 얻어지는 압입깊이의 평균과 같게 하기 위하여 보정값이 더해져야만 한다.

Rockwell C = c b S (H.33a)

= 100(0.002 mm) - - c - b - S

Rockwell C = Rockwell C / (0.002 mm) (H.33b)

여기서

시편에 대하여 교정용 시험기를 사용하여 얻은 5회의 압입깊이의 평균

c 경도전달 기준편을 사용하여 교정용 시험기와 국가표준 시험기를 비교하여 얻어진 보정값으로 기준편을

대상으로 국가표준 시험기를 사용하여 얻어진 5회의 압입깊이 평균에서 동일한 기준편을 대상으로 교정

용 시험기를 사용하여 얻어진 5회의 압입깊이 평균을 뺀 값이고,

b 경도 전달 기준편에서 위 두 시험기에 의해 각각 사용된 압입위치간의 경도 차이로 (압입깊이 평균의 차이

로 표현된다) 영으로 간주되며,

S 국가표준 시험기의 재현성 부족과 경도 양의 불완전한 정의에서 기인하는 오차이다. S의 값은 영으로 간

주되어야만 하나 관련 표준불확도 S 를 갖는다.

식 (H.33a)에 대한 편미분 값들인 S가 모두 -1이기 때문에 교정용 시험기로 측정한

시편의 경도의 합성표준분산 c 는 다음과 같이 간단히 표시할 수 있다.

c c b S (H.34)

여기서 ≡ Rockwell C이며 표현을 간략히 하기위하여 사용한 것이다.

H.6.3 표준불확도의 평가

H.6.3.1 샘플 블록의 평균 압입깊이 의 불확도

반복측정 불확도: 경도측정을 완벽하게 다시 반복하는 것은 불가능한데 그 이유는 한 번 찍은 곳을 다시 찍을 수 없기

때문이다. 압입은 할 때마다 다른 위치에 해야 하므로 측정결과의 변화에는 서로 다른 위치간의 경도 변화에 따른 효

과가 포함되어 있다. 따라서 교정용 시험기로 측정한 다섯 곳의 압입깊이 평균의 표준불확도 는 p 인

데 여기에서 p 는 매우 균일한 경도 분포를 갖는 것으로 알려진 기준편에 대하여 “반복적으로” 측정하여 얻어진

압입깊이의 합동 실험표준편차이다(4.2.4 참조).

지시값 불확도: 교정용 시험기의 표시부로 인한 에 대한 보정값이 영(0)이더라도 에는 눈금의 분해능 로 인한 깊이

지시값의 불확실성으로 인한 불확도 = /12 (F.2.2.1)이 포함되어 있다. 따라서 의 추정분산은 다음과 같다.

(H.35)


104

H.6.3.2 두 시험기 간의 차이에 대한 보정값의 불확도 c

H.6.2에 나타낸 바와 같이 c는 국가표준 시험기와 교정용 시험기간의 차이에 대한 보정값이다. 이 보정은 c =

S′ ′으로 표현될 수 있으며, 여기에서는 S′ = S i으로 표준전달 기준편을 대상으로 국가 표준시험기

로 얻어진 5번의 앞입깊이 평균이다. 그리고 ′ = 은 같은 기준편을 대상으로 교정용 시험기로 얻어

진 5번의 앞입깊이 평균이다. 따라서 각 시험기의 표시부 분해능으로 인한 불확도가 무시할만하다고 가정하면 c의

추정분산은 다음과 같다.

c av S

av (H.36)

여기서

av S = S 은 표준시험기로 얻어진 차의 압입 S 의 각 평균의 실험분산의 평균이며,

av = 은 교정용 시험기로 얻어진 차의 압입 의 평균의 실험분산의 평균이다.

주 분산 av S와 av 는 추정합동분산이다(H.5.2.2의 식 (H.26b)에 대한 논의 참조).

H.6.3.3 경도전달 기준편의 경도 변화로 인한 보정값의 불확도 b

OIML의 국제 권고 R 12인 로크웰 C 경도 기준편의 교정과 검증에 보면 경도전달 기준편에 대하여 5번 측정하여 얻

어진 압입깊이의 최대값과 최소값의 차이가 압입깊이평균에 대한 일정 분율 보다 크지 않아야 한다고 되어 있다. 여

기에서 는 경도 수준의 함수이다. 기준편 전 범위에 걸친 압입깊이의 최대 차이가 ′이라 하자. 여기에서 ′은

H.6.3.2에 정의된 바와 같으며 = 5인 경우이다. 또한 최대차이가 평균값 ′를 중심으로 삼각형확률분포로 나타

내어진다고 하자(중심값 근처의 값들이 양쪽 끝의 값들보다 더 측정될 가능성이 높다는 가정을 기초로 한 것이다 -

4.3.9 참조). 그러면 4.3.9의 식 (9b)에서 = ′인 경우, 표준시험기와 교정용 시험기 간의 경도값 차이를 조정하

기 위한 압입깊이 평균에 대한 보정의 추정분산은 다음과 같다.

b ′ (H.37)

H.6.2에서 언급하였듯이, b 자체에 대한 보정값의 최량추정값은 영이라고 가정한다.

H.6.3.4 국가표준 시험기와 경도 정의의 불확도 S

국가표준 시험기의 불확도와 경도라는 양의 불완전한 정의로 인한 불확도는 모두 함께 추정 표준편차 S (길이

단위의 양)로 보고된다.

H.6.4 합성표준불확도 c

H.6.3.1에서 H.6.3.4에 이르기까지 거론된 각 항목들의 자료를 수집하고 그 값들을 식 (H.34)에 대입하면 경도측정의

추정분산이 얻어진다.

c

av S

av

′ S (H.38)


105

그리고 여기서 c는 합성표준불확도이다.

H.6.5 계산의 예

다음의 예에서 쓰인 값들은 표 H.10에 정리되어 있다.

표 H.10 - 시편의 로크웰 C 스케일 경도를 결정하기 위한 데이터 요약

불확도의 요인 값

교정 시험기로 시편을 5번 압입한 평균 깊이 : 0.072 mm 36.0 로크웰 스케일 단위

5번 압입하여 얻어진 시편의 경도값: Rockwell C = Rockwell C / (0.002 mm)

= [100 (0.002 mm) - 0.072 mm] / (0.002 mm) (H.6.1을 참고)64.0 HRC

균일한 경도값을 갖는 시편을 교정 시험기로 압입한 깊이의 합동실험표준편차 p 0.45 로크웰 스케일 단위

교정 시험기 표시부의 분해능 0.1 로크웰 스케일 단위

경도전달 기준편을 대상으로 국가표준 시험기로 얻어진 회의 압입 평균의 실험분산의

평균의 제곱근 avS0.10 로크웰 스케일 단위, = 6

경도전달 기준편을 대상으로 교정 시험기로 얻어진 회의 압입 평균의 실험분산의 평균

의 제곱근 av 0.11 로크웰 스케일 단위, = 6

경도전달 기준편에서의 압입깊이에 대한 미소 허용변동 1.5 × 10-2

국가표준 시험기와 경도 정의의 표준불확도 S 0.5 로크웰 스케일 단위

스케일은 로크웰 C이고 HRC로 표시된다. 로크웰 스케일 단위는 0.002 mm 이며, 따라서 표 H.10과 아래의 예에서

(예를 들어) “36.0 로크웰 스케일 단위”라고 하면 36.0 × (0.002 mm) = 0.072 mm를 의미하며 이것은 단순히 각 값

들과 결과를 편하게 표현하기 위한 것이다.

표 H.10에 표시된 관련양의 값들을 식 (H.38)에 대입하면 다음의 두 식을 얻게 된다.

c =

×

(로크웰 스케일 단위)2

= 0.307(로크웰 스케일 단위)2

c = 0.55 로크웰 스케일 단위 = 0.001 1 mm

여기서 불확도 계산을 위하여 ′ = = 36.0 로크웰 스케일 단위로 하였다.

따라서 c = 0이라고 가정한다면 시편의 경도는

Rockwell C = 64.0 로크웰 스케일 단위 혹은 0.1280 mm이며 합성표준불확도 c = 0.55 로크웰 스케일 단위

혹은 0.0011 mm이다.

시편의 경도값은 Rockwell C/(0.002 mm) = (0.1280 mm)/(0.002 mm), 혹은

Rockwell C = 64.0 HRC이고, 이때 합성표준불확도 c = 0.55 HRC이다.


106

국가표준 시험기와 경도 정의에서 비롯된 불확도 S = 0.5 로크웰 스케일 단위에 외에, 불확도의 주요 요인은 시

험기의 반복성에서 비롯된 불확도 p = 0.20 로크웰 스케일 단위와 표준전달 기준편의 경도 불균일에서 비

롯된 분산은 ′/24 = 0.11 로크웰 스케일 단위이다. c의 유효자유도는 H.1.6에 나타낸 것처럼 Welch-

Satterthwaite공식을 사용하여 계산할 수 있다.


107

입력량 의 가능한 값들의 직사각형분포의 반너비

입력량 의 상한

입력량 의 하한

입력량 의 추정값 로부터 편차의 상한

입력량 의 추정값 로부터 편차의 하한

편미분 또는 감도계수

≡

측정량 와 가 의존하는 입력량 사이의 함수관계 및 출력 추정값 와 가 의존하는 입력 추정값

사이의 함수관계

측정량 와 에 의존하는 입력량 의 함수관계 의 입력량 (추정값 로 평가)에 대한 편미분

합성표준불확도 로부터 출력 추정값 의 확장불확도 c를 계산하기 위해 사용되는 포함인자,

여기서 U는 높은 신뢰의 수준을 가지는 ± 구간을 정의한다.

합성표준불확도 로부터 출력 추정값 의 확장불확도 c를 계산하기 위해 사용되는 포함인자,

여기서 는 높은 특정 신뢰의 수준 를 가지는 ± 구간을 정의한다.

반복관측수

측정량 가 의존하는 입력량 의 수

확률, 신뢰의 수준

0 ≤ ≤ 1

확률분포로 표현되는 우연 변동 양

우연 변동 양 의 번의 독립 반복 관측 의 산술평균

의 확률분포의 기댓값 의 추정값

우연 변동 양 의 번째 독립 반복 관측

부 록 J*

주요 기호 해설


GUM이 처음 발간될 때 부록 I는 사용하지 않는다는 편집원칙이 있었다. 부록 H에서 바로 부록 J가 된 것은 이 이유이다.


108

입력량 와 를 추정하는 입력 추정값 와 와 연관된 추정 상관계수

입력 평균 와 의 추정 상관계수로 와 의 반복 동시 관측 와 의 번 독립쌍에 의해

결정된다.

두 개 또는 그 이상의 측정량 또는 출력량이 동일한 측정으로 결정될 때, 출력 추정값 및 와 연관된 추정

상관계수

p 추정합동분산

p 합동실험표준편차, p의 양의 제곱근과 동일

평균 의 실험분산

의 분산 의 추정값

A형 평가로 구해지는 추정 분산

평균 의 실험표준편차, 의 양의 제곱근과 동일

의 편향 추정량(C.2.21 주 참조)

A형 평가로 구해지는 표준불확도

의 번 독립 반복 관측 로부터 결정되는 실험분산

의 확률분포의 분산 의 추정값

실험표준편차, 의 양의 제곱근과 동일

의 확률분포의 표준편차 의 편향 추정량

으로부터 결정된 입력 평균 의 실험분산

A형 평가로 구해지는 추정 분산

입력 평균 의 실험표준편차, 의 양의 제곱근과 동일

A형 평가로 구해지는 표준불확도

두 우연 변동 양 와 의 기댓값 와 를 추정하는 평균 와 의 공분산의 추정값, 와 의 개 반복

동시 관측 와 의 독립쌍으로부터 결정된다.

A형 평가로 구해지는 추정 공분산

입력 평균 와 의 공분산의 추정값, 와 의 개 반복 동시 관측 와 의 독립쌍으로부터

결정된다.

A형 평가로 구해지는 추정 공분산


109

주어진 확률 에 대응하는 자유도 인 -분포의 값

eff 주어진 확률 에 대응하는 유효자유도 eff인 -분포의 값, 확장불확도 를 계산하는데 사용된다.

입량량 를 추정하는 입력 추정값 과 연관된 추정 분산

주 가 개의 독립 반복관측의 산술평균으로 결정될 때, 는 A형 평가로 구해지는 추정 분

산이다.

입량량 를 추정하는 입력 추정값 의 표준불확도, 의 양의 제곱근과 동일

주 가 개의 독립 반복관측의 산술평균으로 결정될 때, 는 A형 평가로 구해지는 표준불확

도이다.

입력량 와 를 추정하는 두 입력 추정값 와 와 연관된 추정 공분산

주 와 가 반복 동시관측 개의 독립쌍으로 결정될 때, 는 A형 평가로 구해지는

추정 공분산이다

c 출력 추정값 와 연관된 합성분산

c 출력 추정값 의 합성표준불확도, c의 양의 제곱근과 동일

cA A형 평가만으로 구해진 표준불확도와 추정 공분산으로부터 결정된 출력 추정값 의 합성표준불확도

cB B형 평가만으로 구해진 표준불확도와 추정 공분산으로부터 결정된 출력 추정값 의 합성표준불확도

c 두 개 또는 그 이상의 측정량 또는 출력량이 같은 측정으로 값이 결정될 때, 출력 추정값 의 합성표준불확도

출력 추정값 와 연관된 합성분산 c의 성분으로 입력 추정값 와 연관된 추정 분산 에 의해

생성된다.

출력 추정값 의 합성표준불확도 c의 성분으로 입력 추정값 의 표준불확도 에 의해 생성된다.

같은 측정으로 결정된 출력 추정값 및 와 연관된 추정 공분산

입력 추정값 의 상대표준불확도

c 출력 추정값 의 상대합성표준불확도

입력 추정값 와 연관된 추정상대분산

c 출력 추정값 와 연관된 상대합성분산

입력 추정값 및 와 연관된 추정상대공분산

높은 신뢰의 수준을 가지는 구간 ±를 정의하는 출력 추정값 의 확장불확도, 포함인자 와 의 합

성표준불확도 c의 곱과 동일

c


110

높은 특정 신뢰의 수준 를 가지는 구간 ±를 정의하는 출력 추정값 의 확장불확도, 포함인자 와

의 합성표준불확도 c의 곱과 동일

c

입력량 의 추정값

주 When 가 회 독립 반복 관측의 평균으로부터 결정될 때, 가 된다.

측정량 가 의존하는 번째 입력량

주 는 물리적 양 또는 확률변수가 될 수 있다. (4.1.1 주 1 참조)

입력량 의 값의 추정값, 의 회 독립 반복 관측 들의 산술평균과 동일

의 번째 독립 반복 관측

측정량 의 추정값

측정값

출력 추정값

두 개 또는 그 이상의 측정량이 동일 측정으로 결정될 때, 측정량 의 추정값

측정량

∆ 입력 추정값 의 표준불확도 의 추정 상대불확도

임의 변동 양 에 대한 확률분포의 기댓값

자유도(일반)

입력 추정값 의 표준불확도 에 대한 자유도 또는 유효자유도

eff c의 유효자유도, 확장불확도 를 계산하는데 필요한 eff를 구하기 위해 사용된다.

effA A형 평가만으로 구해지는 표준불확도로부터 결정되는 합성표준불확도의 유효자유도

effB B형 평가만으로 구해지는 표준불확도로부터 결정되는 합성표준불확도의 유효자유도

(예를 들어) 임의 변동 양 의 확률분포의 분산으로 에 의해 추정된다.

의 양의 제곱근과 동일

은 의 편향 추정량이다.

의 분산, 과 동일하며, 로 추정된다.

의 표준편차, 의 양의 제곱근과 동일

는 의 편향추정량이다.

의 실험표준편차 의 분산

의 실험표준편차 의 표준편차, 의 양의 제곱근과 동일


111

참고문헌

[1] CIPM (1980), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 48, C1-C30 (in French); BIPM (1980),Rapport

BIPM-80/3, Report on the BIPM enquiry on error statements, Bur. Intl. Poids et Mesures (Sèvres, France)

(in English)

[2] KAARLS, R. (1981), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, A1-A12 (in French); Giacomo, P.

(1981), Metrologia 17, 73 -74 (in English)

주 본 지침서의 서론에 있는 권고사항 INC-1(1980)의 영어번역(0.7 참조)은 권고사항의 최종판이며, BIPM 내부 보고서로

채택되었다. BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49에서 주어진 권고사항의 공식 불어판과 일치하며, 이 지침

서의 부록 A의 A.1에 정리하였다. The English translation of Recommendation given in Metrologia 17에서 주어진 권고

사항 INC-1 (1980)의 영어번역은 초안으로 BIPM 내부 보고서, 즉 0.7에 주어진 번역본과 약간 다르다.

[3] CIPM (1981), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, 8-9, 26 (in French); Giacomo, P.(1982),

Metrologia 18, 43-44 (in English)

[4] CIPM (1986), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 54, 14, 35 (in French); Giacomo, P. (1987),

Metrologia 24, 49-50 (in English)

[5] ISO 5725:1986, Precision of test methods — Determination of repeatability and reproducibility for a standard test method by inter-laboratory tests, International Organization for Standardization (Geneva, Switzerland)

주 이 표준은 현재 ** 개정 중에 있는데, 개정판은 “Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and

results”라는 새 제목을 가지며, 6부로 구성되어 있다.

[6] International vocabulary of basic and general terms in metrology, second edition, 1993, ****International

Organization for Standardization (Geneva, Switzerland)

이 용어집 제목의 약어는 VIM이다.

주 1 부록 B에 주어진 용어의 정의는 발간전의 최종 형태로 VIM의 개정 영어판에서 가져왔다.


ISO 5725:1986은 6부의 시리즈로 대체되었다. ISO 5725는 일반적인 제목 Accuracy(trueness and precision) of measurement methods and results하에 다음의 6부로 구성되어 있다.Part 1: General principles and definitionsPart 2: Basic method for the determination of repeatability and reproducibility of a standard measurement methodPart 3: Intermediate measures of the precision of a standard measurement methodPart 4: Basic methods for the determination of the trueness of a standard measurement methodPart 5: Alternative methods for the determination of the precision of a standard measurement methodPart 6: Use in practice of accuracy values

** 2008년판의 각주

VIM 제3판은 ISO/IEC Guide 99, International vocabulary of metrology - Basic and general concepts and associated terms (VIM)로 2007년에 발간되었다.


112

주 2 VIM의 개발을 지원하는 그룹인 ISO 기술자문그룹 4(TAG 4)에 속해 있는 다음의 7개 기구(BIPM, IEC, IFCC, ISO,

IUPAC, IUPAP, OIML)를 대표하여 ISO가 발간하였다:

주 3 The first edition of the VIM의 초판은 BIPM, IEC, ISO, OIML를 대표하여 1984년도에 ISO에 의해 발간되었다.

[7] ISO 3534-1:1993, ** Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: Probability and general statistical terms, International Organization for Standardization (Geneva, Switzerland)

[8] FULLER, W.A. (1987), Measurement error models, John Wiley (New York, N.Y.)

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[10] DIETRICH, C.F. (1991), Uncertainty, calibration and probability, second edition, Adam-Hilger (Bristol)

[11] MÜLLER, J.W. (1979), Nucl. Instrum. Meth. 163, 241-251

[12] MÜLLER, J.W. (1984), in Precision measurement and fundamental constants II, Taylor, B. N., and Phillips,

W. D., eds., Natl. Bur. Stand. (U.S.) Spec. Publ. 617, US GPO (Washington, D.C.), 375-381

[13] JEFFREYS, H. (1983), Theory of probability, third edition, Oxford University Press (Oxford)

[14] PRESS, S.J. (1989), Bayesian statistics: principles, models, and applications, John Wiley (New York, N.Y.)

[15] BOX, G.E.P., HUNTER, W.G., and HUNTER, J.S. (1978), Statistics for experimenters, John Wiley (New

York, N.Y.)

[16] WELCH, B.L. (1936), J. R. Stat. Soc. Suppl. 3, 29-48; (1938), Biometrika 29, 350-362; (1947), ibid. 34,

28-35

[17] FAIRFIELD-SMITH, H. (1936), J. Counc. Sci. Indust. Res. (Australia) 9(3), 211

[18] SATTERTHWAITE, F.E. (1941), Psychometrika 6, 309-316; (1946) Biometrics Bull. 2(6), 110-114

[19] ISO Guide 35:1989,****Certification of reference materials — General and statistical principles, second

edition, International Organization for Standardization (Geneva, Switzerland)

[20] BARKER, T.B. (1985), Quality by experimental design, Marcel Dekker (New York, N.Y.)


ISO 3534-1:2006은 ISO 3534-1:1993을 폐지하고 대체된다. 일부 용어와 정의가 개정되었다. 추가정보가 필요하면 최신판을 참고하기 바란다.

** 2008년판의 각주

ISO Guide 35:2006은 ISO Guide 35:1989를 폐지하고 대체한다. 추가정보가 필요하면 최신판을 참고하기 바란다.


113

A형 분산 Type A variance 4.2.3

A형 성분만의 합성표준불확도combined standard uncertainty from Type A

components alone7.2.1, G.4.1 주 3

A형 표준불확도 Type A standard uncertainty 3.3.5, 4.2.3, C.3.3

A형 표준불확도의 자유도degrees of freedom of a Type A standard

uncertaintyG.3.3, G.6.3, G.6.4

A형 합성표준불확도 Type A combined standard uncertainty 7.2.1, G.4.1 주 3

B형 분산 Type B variance 4.3.1

B형 성분만의 합성표준불확도combined standard uncertainty from Type B

components alone7.2.1, G.4.1 주 3

B형 평가의 필요성 Type B evaluations, need for F.2.1

B형 표준불확도 Type B standard uncertainty 3.3.5, 4.3.1, C.3.3

B형 표준불확도의 자유도degrees of freedom of a Type B standard

uncertaintyG.4.2, G.4.3, G.6.3, G.6.4

B형 합성표준불확도 Type B combined standard uncertainty 7.2.1, G.4.1 주 3

검정 -test H.5.2.2, H.5.2.4

분포 -distribution H.5.2.3

ISO 3434-1 ISO 3534-1 2.1, C.1

분포 -distribution4.2.3 주 1, C.3.8, G.3, G.3.2,

G.3.4, G.4.1, G.4.2, G.5.4, G.6.2

분포 (분포의 분위수) -distribution, quantiles of the G.3.4 주

입수한 입력값 또는 입력량 imported input value or quantity F.2.3, F.2.3.1

감도계수 sensitivity coefficients 5.1.3, 5.1.4

감도계수 (감도계수의 실험적 결정)sensitivity coefficients, experimental

determination of5.1.4

검증된 기기의 일회 관측 불확도uncertainty of a single observation of a

verified instrumentF.2.4.2

검증된 기기의 오차곡선 error curve of a verified instrument F.2.4.2

결과 (보정전 결과) result, uncorrected 보정전 결과 참조

결과 (보정후 결과) result, corrected 보정후 결과 참조

계통 systematic3.3.3, E.1.3, E.3.4, E.3.5, E.3.6,

E.3.7

계통오차 systematic error 3.2.1, 3.2.3, B.2.22

계통효과 systematic effect3.2.3, 3.2.4, 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3,

D.6.1, E.1.1, E.3, E.4.4

색 인


114

고차항 higher-order terms 5.1.2 주, E.3.1, H.1.7

곡선 (교정곡선) curve, calibration 교정곡선 참조

공분산 covariance3.3.6, 5.2.2, C.3.4, F.1.2.1,

F.1.2.2, F.1.2.3, F.1.2.4

공분산 (공분산의 실험적 평가) covariance, experimental evaluation of 5.2.5, C.3.6 주 3

공분산의 A형 평가 Type A evaluation of covariance 5.2.3

공분산의 B형 평가 Type B evaluation of covariance 5.2.5

공분산행렬 covariance matrix3.1.7, 5.2.2 주 2, 7.2.5, C.3.5,

H.2.3

관련 측정량의 공분산 covariance of related measurands상관관계가 있는 출력 추정치 또는

양 참조

관측 (동시관측의 독립쌍)observations, independent pairs of

simultaneous

5.2.3, C.3.4, F.1.2.2, H.2.2, H.2.4,

H.4.2

관측 (반복관측) observations, repeated

3.1.4, 3.1.5, 3.1.6, 3.2.2, 3.3.5,

4.2.1, 4.2.3, 4.3.1, 4.4.1, 4.4.3,

5.2.3, E.4.2, E.4.3, F.1, F.1.1,

F.1.1.1, F.1.1.2, G.3.2

교정 (비교교정) calibration, comparison F.1.2.3 주

교정곡선 calibration curve F.2.4.2, F.2.4.5

교정곡선 (선형교정곡선) calibration curve, linear H.3 이하 참조

교정된 기기의 1회 관측 불확도uncertainty of a single observation of a

calibrated instrumentF.2.4.1

교정사슬 calibration chain 4.2.8 주

국제단위계(SI) International System of Units (SI) 0.3, 3.4.6

국제도량형국 Bureau International des Poids et Mesures 국제도량형국(BIPM) 참조

국제도량형국(BIPM) BIPM 서문, 머리말, 0.5, 7.1.1, A.1, A.2

국제도량형위원회 Comité International des Poids et Mesures 국제도량형총회(CIPM) 참조

국제도량형위원회(CIPM) CIPM서문, 머리말, 0.5, 6.1.1, 6.1.2, A.1,

A.2, A.3

국제법정계량기구 International Organization of Legal Metrology 국제법정계량기구(OIML) 참조

국제법정계량기구 OIML 서문, 머리말, A.3, B.1

국제순수응용물리연맹International Union of Pure and Applied

Physics국제순수응용물리연맹(IUPAP) 참조

국제순수응용화학연맹International Union of Pure and Applied

Chemistry국제순수응용화학연맹(IUPAC) 참조

국제순수응용화학연맹(IUPAC) IUPAC 서문, 머리말, B.1

국제임상화학진단검사의학연합 International Federation of Clinical Chemistry국제임상화학진단검사의학연합(IFCC)

참조


115

국제임상화학진단검사의학연합(IFCC) IFCC 서문, 머리말, B.1

국제전기기술위원회 International Electrotechnical Commission 국제전기기술위원회(IEC) 참조

국제전기기술위원회(IEC) IEC 서문, 머리말, A.3, B.1

국제측정학용어집International vocabulary of basic and

general terms in metrology국제측정학용어집(VIM) 참조

국제측정학용어집(VIM) VIM 2.1, 2.2.3, 2.2.4, B.1

국제표준화기구(ISO) ISO 서문, 머리말, A.3, B.1

국제표준화기구 International Organization for Standardization 국제표준화기구(ISO) 참조

국제표준화기구/기술자문그룹 4 ISO/TAG 4 머리말

국제표준화기구/기술자문그룹 4/

작업반 3ISO/TAG 4/WG 3 머리말

국제표준화기구/기술자문그룹 4/

작업반 3 (국제표준화기구/

기술자문그룹 4/작업반 3의 참조용어)

ISO/TAG 4/WG 3, terms of reference of 머리말

국제표준화기구/측정학 기술자문그룹

(ISO/TAG 4)

ISO Technical Advisory Group on Metrology

(ISO/TAG 4)머리말

권고사항 1(CI-1981) (CIPM의

권고사항 1(CI-1981))Recommendation 1 (CI-1981), CIPM 서문, 0.5, 6.1.1, A.2, A.3

권고사항 1(CI-1986) (CIPM의

권고사항 1(CI-1986))Recommendation 1 (CI-1986), CIPM 0.5, 6.1.1, 6.1.2, A.3

권고사항 INC-1(1980) Recommendation INC-1 (1980)

서문, 머리말, 0.5, 0.7, 3.3.3, 6.1.1,

6.1.2, 6.3.3, A.1, A.3, E, E.2.3,

E.3.7

근사분포에 대한 확장불확도expanded uncertainty for an asymmetric

distributionG.5.3

기관, 국가측정기관 또는

국가표준기관

laboratories, national metrology or

standards머리말

기댓값 expectation (or expected value)

3.2.2, 3.2.3, 4.1.1 주 3, 4.2.1,

4.3.7, 4.3.8, 4.3.9, C.2.9, C.3.1,

C.3.2

단위, 단위로 채택된 측정표준 값의

사용

unit, use of an adopted value of a

measurement standard as a3.4.6, 4.2.8 주

단측 신뢰구간 one-sided confidence interval C.2.28

도수 frequency C.2.17

도수 (상대도수) frequency, relative E.3.5

도수분포 frequency distribution 3.3.5, 4.1.6, C.2.18, E.3.5

독립 independence 5.1, C.3.7

독립적 반복 independent repetitions F.1.1.2

두 산술평균의 공분산 covariance of two arithmetic means 5.2.3, C.3.4, H.2.2, H.2.4, H.4.2


116

디지털 지시값의 분해능에 의한

불확도

uncertainty due to resolution of a digital

indicationF.2.2.1

라플라스-가우스 분포 Laplace-Gauss distribution C.2.14

모델 (수학적 모델, 측정모델) model, mathematical, of the measurement 측정 (측정의 수학적 모델) 참조

모집단 population C.2.16

믿음의 정도 degree of belief 3.3.5, E.3.5, E.4.4, E.5.2 주

반복 관측 repeated observations 관측 (반복 관측) 참조

반복 (독립적 반복) repetitions, independent 독립적 반복 참조

반복성 조건 repeatability conditions 3.1.4, B.2.15 주 1

법정계량 legal metrology 3.4.5

변량 variate C.2.2

보정 불확도 uncertainty of a correction3.2.3 주, 3.3.1, 3.3.3, D.6.1, E.1.1,

E.3

보정 correction 3.2, 3.2.3, 3.2.4 주 2, B.2.23

보정 (보정 무시) correction, ignoring a 3.2.4 주 2, 3.4.4, 6.3.1 주, F.2.4.5

보정 (보정 불확도) correction, uncertainty of a 보정 불확도 참조

보정이 반영되지 않은 불확도 uncertainty when a correction is not applied 3.4.4, 6.3.1 주, F.2.4.5

보정인자 correction factor 3.2.3, B.2.24

보정전 결과 uncorrected result B.2.12

보정후 결과 corrected result B.2.13, D.3.1, D.3.4, D.4

분산 variance3.1.7, 4.2.2, 4.2.3, C.2.11, C.2.20,

C.3.2

분산 (분산분석) variance, analysis of 분산분석(ANOVA) 참조

분산 (상대분산) variance, relative 5.1.6

분산 (상대합성분산) variance, relative combined 5.1.6

분산 (실험분산(또는 분산의 추정값)) variance, experimental (or estimate of) 4.2.2, H.3.6 주

분산, 앨런 분산 variance, Allan 4.2.7 주

분산 (합동분산의 추정치(또는

합동실험표준편차))

variance, pooled estimate of (or pooled

experimental standard deviation)

4.2.4, 4.2.8 주, H.1.3.2, H.3.6 주,

H.5.2.2, H.5.2.5, H.6.3.1,

H.6.3.2 주

분산 (합성분산) variance, combined 3.3.6, 5.1.2

분산분석 analysis of variance 분산분석(ANOVA) 참조

분산분석(ANOVA) ANOVA 4.2.8, H.5 이하 참조

분포 (분포) distribution, - 분포 참조

분포 (분포) distribution, - 분포 참조

분포 (도수분포) distribution, frequency 도수분포 참조


117

분포 (라플라스-가우스 분포) distribution, Laplace-Gauss 라플라스-가우스 분포 참조

분포 (비대칭분포) distribution, asymmetric 4.3.8, F.2.4.4, G.5.3

분포 (사다리꼴분포) distribution, trapezoidal 4.3.9

분포 (선험적 분포) distribution, a priori4.1.6, 4.3.1 주, 4.4.4 이하 참조,

D.6.1, E.3.4, E.3.5, G.4.2, G.4.3

분포 (삼각형분포) distribution, triangular 4.3.9, 4.4.6, F.2.3.3

분포 (수학적으로 정해진 분포) distributions, mathematically determinate F.2.2

분포 (스튜던트 분포) distribution, Student's 스튜던트 분포 참조

분포 (정규분포) distribution, normal 정규분포 참조

분포 (직사각형분포) distribution, rectangular4.3.7, 4.3.9, 4.4.5, F.2.2.1, F.2.2.2,

F.2.2.3, F.2.3.3, G.2.2 주 1, G.4.3

분포 (확률분포 합성곱) distributions, convolving probability 확률분포 (확률분포 합성곱) 참조

분포 (확률분포) distribution, probability 확률분포 참조

분포함수 distribution function C.2.4

불확도 전파 (불확도 전파법칙) propagation of uncertainty, law of 불확도 (불확도 전파법칙) 참조

불확도 평가 (현실성있는 불확도

평가의 타당성)

uncertainty evaluations, justification for

realisticE.2, E.2.1, E.2.2, E.2.3

불확도 표현법에 대한 작업반Working Group on the Statement of

Uncertainties

서문, 머리말, 0.5, 3.3.3, 6.1.1,

6.1.2, A.1, A.2, A.3

불확도 (본질적 불확도) uncertainty, intrinsic D.3.4

불확도 (불확도 보고) uncertainty, reporting 7 이하 참조

불확도 (불확도 성분의 무시) uncertainty, ignoring a component of 3.4.4

불확도 (불확도 성분의 범주화 또는

계급화)

uncertainty, categorizing or classifying

components of3.3.3, 3.3.4, E.3.6, E.3.7

불확도 (불확도 성분의 분류) uncertainty, grouping components of 3.3.3 주, 3.4.3, E.3.7

불확도 (불확도 성분의 중복 계산) uncertainty, double-counting components of 4.3.10

불확도 (불확도 요인) uncertainty, sources of 3.3.2

불확도 (불확도 용어 정의) uncertainty, definition of the term 측정불확도 참조

불확도 (불확도 전파법칙) uncertainty, law of propagation of3.3.6, 3.4.1, 5.1.2, E.3, E.3.1,

E.3.2, E.3.6, G.6.6

불확도 (불확도 척도로서 표준편차)uncertainty, standard deviations as

measures of

E.3.2, E.4, E.4.1, E.4.2, E.4.3,

E.4.4

불확도 (불확도 평가 및 표현의 절차

요약)

uncertainty, summary of procedure for

evaluating and expressing8

불확도 (불확도 평가와 표현에 대한

보편적 방법)

uncertainty, universal method for evaluating

and expressing0.4

불확도 (불확도 평가와 표현의 이상적

방법)

uncertainty, ideal method for evaluating and

expressing0.4


118

불확도 (불확도 표현에 대한

전달가능한 양)

uncertainty, transferable quantity for

expressing0.4

불확도 (불확도 표현에 대한

내부적으로 일치하는 양)

uncertainty, internally consistent quantity for

expressing0.4

불확도 (불확도의 두 관점 비교) uncertainty, comparison of two views of E.5 이하 참조

불확도 (불확도의 명시된 보고 결여) uncertainty, lack of an explicit report of 7.1.3

불확도 (불확도의 유효숫자) uncertainties, significant digits for 7.2.6

불확도 (불확도의 통계적 평가,

입력량의 변화에 의한 불확도)

uncertainty, statistical evaluation of, by

varying input quantities3.4.1, 3.4.2, 4.2.8, F.2.1, H.5.3.3

불확도 (안전한 불확도) uncertainty, safeE.1.1, E.1.2, E.2.1, E.2.3, E.4.1,

F.2.3.2

불확도 (인용된 불확도의 품질과

유용성)uncertainty, quality and utility of the quoted 3.4.8

불확도 (전체 불확도) uncertainty, overall 2.3.5 주 3

불확도 (최대 허용 불확도) uncertainty, maximum allowed F.2.4.2

불확도 (최소 불확도) uncertainty, minimum D.3.4

불확도의 수치맺음 uncertainties, rounding of 7.2.6

불확도 척도로서 표준편차standard deviations as measures of

uncertainty

불확도 (불확도 척도로서 표준편차)

참조

불확도의 A형 평가 Type A evaluation of uncertainty

2.3.2, 3.3.3, 3.3.4, 3.3.5, 4.1.6,

4.2, 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4,

4.2.5, 4.2.6, 4.2.7, 4.2.8, 4.3.2,

4.4.1, 4.4.2, 4.4.3, E.3.7, F.1,

F.1.1.1, F.1.1.2, F.1.1.3, F.1.1.4

불확도의 B형 평가 Type B evaluation of uncertainty

2.3.3, 3.3.3, 3.3.4, 3.3.5, 4.1.6,

4.3, 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, 4.3.4,

4.3.5, 4.3.6, 4.3.7, 4.3.8, 4.3.9,

4.3.10, 4.3.11, 4.4.4, 4.4.5, 4.4.6,

E.3.7, F.2 이하 참조

비선형 함수관계 nonlinear functional relationship 함수관계 (비선형 함수관계) 참조

산술평균 arithmetic mean 4.1.4 주, 4.2.1, C.2.19

상관계수 correlation coefficient5.2.2, 5.2.3, C.3.6, F.1.2.3, H.2.3,

H.2.4, H.3.2, H.4.2

상관계수 (상관계수에 대한 유효숫자) correlation coefficient, significant digits for a 7.2.6

상관계수행렬 correlation coefficient matrix 7.2.5, C.3.6 주 2

상관관계 correlation5.1, 5.2 이하 참조, C.2.8, F.1.2,

F.1.2.1, F.1.2.2, F.1.2.3, F.1.2.4

상관관계, 상관관계의 제거 correlation, elimination of 5.2.4, 5.2.5, F.1.2.4, H.3.5

상관관계가 있는 우연변동 correlated random variations 4.2.7

상관관계가 있는 입력 추정값 또는 양 correlated input estimates or quantities 상관관계 참조


119

상관관계가 있는 출력 추정값 또는 양 correlated output estimates or quantities3.1.7, 7.2.5, H.2.3, H.2.4, H.3.2,

H.4.2

상대오차 relative error B.2.20

설계 (균형지분설계) design, balanced nested H.5.3.1, H.5.3.2

스튜던트 분포 Student's distribution C.3.8, G.3.2

신뢰계수 confidence coefficient C.2.29

신뢰구간 confidence interval4.2.3 주 1, 6.2.2, C.2.27, C.2.28,

E.3.3

신뢰구간 (신뢰구간의 전파) confidence intervals, propagation of E.3.3

신뢰수준 confidence level 6.2.2, C.2.29

신뢰의 수준 level of confidence

0.4, 2.2.3 주1, 2.3.5 주 1, 2.3.5 주

2, 3.3.7, 4.3.4, 6.2.2, 6.2.3, 6.3.1,

6.3.2, 6.3.3, G, G.1.1, G.1.2,

G.1.3, G.2.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1,

G.6.1, G.6.4, G.6.6

신뢰의 수 (최소 신뢰의 수준) level of confidence, minimum F.2.3.2

실험표준편차 experimental standard deviation 표준편차 (실험표준편차) 참조

안전성 한계 safety limit 6.3.1 주

양 (구현량) quantity, realized D.2, D.2.1, D.3.1, D.3.2, D.3.3, D.4

양 (양의 값) quantity, value of a 양의 값 참조

양 (영향량) quantity, influence 영향량 참조

양 (입력량) quantity, input 입력량 참조

양 (제어된 양) quantity, controlled F.2.4.3

양 (출력량) quantity, output 출력량 참조

양 (측정가능한 양) quantity, measurable 측정가능한 양 참조

양 (특정량) quantity, particular 특정량 참조

양의 값 value of a quantity 3.1.1, B.2.2

양의 참값 true value of a quantity

2.2.4, 3.1.1 주, B.2.3, D, D.3,

D.3.1, D.3.4, D.3.5, E.5.1, E.5.2,

E.5.3, E.5.4

양의 참값 (양의 협정참값) true value of a quantity, conventional 양의 협정참값 참조

양의 협정참값 conventional true value of a quantity B.2.4

양측 신뢰구간 two-side confidence interval C.2.27

영향량 influence quantity 3.1.5, 3.1.6, 3.2.3, 4.2.2, B.2.10

영향량 (우연 영향량) influence quantities, random F.1.1.3, F.1.1.4

오류 blunders 3.4.7

오차 전파 (오차 전파의 일반법칙) error propagation, general law of 5.2.2 주 1, E.3.2


120

오차 (계통오차) error, systematic 계통오차 참조

오차 (상대오차) error, relative 상대오차 참조

오차 (오차결정) error, determining 3.4.5

오차 (우연오차) error, random 우연오차 참조

오차 (최대허용오차) error, maximum permissible F.2.4.2

오차분석 error analysis 0.2

오차와 불확도 (오차와 불확도의 혼동) error and uncertainty, confusion between 3.2.2 주 2, 3.2.3 주, E.5.4

오차의 한계 (최대 오차의 한계) error bound, maximum E.4.1

우연(임의, 무작위) random 3.3.3, E.1.3, E.3.5, E.3.6, E.3.7

우연성(임의성) randomness F.1.1, F.1.1.3, F.1.1.4, F.1.1.5

우연오차 random error 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, B.2.21

우연효과 random effect3.2.2, 3.3.1, 3.3.3, 4.2.2, E.1.1,

E.3

웰치-새터스웨이트 공식 Welch-Satterthwaite formula G.4.1, G.4.2, G.6.2, G.6.4

유한 정 도 산식에 의한 불확도 uncertainty due to finite-precision arithmetic F.2.2.3

유한표본추출에 의한 불확도 uncertainty due to limited sampling 4.3.2 주, E.4.3

이력현상에 의한 불확도 uncertainty due to hysteresis F.2.2.2

인자 -factorE.3.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1,

G.5.4, G.6.2, G.6.4, G.6.5, G.6.6

입력 추정값 또는 입력량 (상관관계가

있는 입력 추정값 또는 입력량)input estimates or quantities, correlated 상관관계 참조

입력 추정값 input estimate 4.1.4, 4.1.6, 4.2.1

입력값 또는 입력량 (입수한 입력값

또는 입력량)input value or quantity, imported 입수한 입력값 또는 입력량 참조

입력량 input quantity 4.1.2

입력량 (입력량의 범주화) input quantities, categorization of 4.1.3

입력량 (입력량의 한계값) input quantity, bounds on an 입력량의 한계값 참조

입력량의 한계값 bounds on an input quantity4.3.7, 4.3.8, 4.3.9, 4.4.5, 4.4.6,

F.2.3.3

자유도 degrees of freedom4.2.6, C.2.31, E.4.3, G, G.3, G.3.2,

G.3.3, G.6.3, G.6.4

자유도 (유효자유도) degrees of freedom, effective6.3.3, G.4, G.4.1, G.5.4, G.6.2

이하 참조

자유도 (유효자유도, A형 성분만의

자유도)

degrees of freedom, effective, of Type A

components alone7.2.1, G.4.1 주3

자유도 (유효자유도, B형 성분만의

자유도)

degrees of freedom, effective, of Type B

components alone7.2.1, G.4.1 주3


121

작업반 3(ISO/TAG 4/WG 3) Working Group 3 (ISO/TAG 4/WG 3) 머리말

전체 불확도 overall uncertainty 불확도 (전체 불확도) 참조

전파 (오차 전파의 일반법칙) propagation, general law of error오차 전파 (오차 전파의 일반법칙)

참조

정규분포 normal distribution

4.2.3 주 1, 4.3.2 주, 4.3.4, 4.3.5,

4.3.6, 4.3.9 주 1, 4.4.2, 4.4.6,

C.2.14, E.3.3, F.2.3.3, G.1.3,

G.1.4, G.2.1, G.2.2, G.2.3, G.5.2

주 2

정밀도 precision B.2.14 주 2

정보 (정보의 풀, B형 평가에 대한

정보)information, pool of, for a Type B evaluation 3.3.5 주, 4.3.1, 4.3.2, 5.2.5

제어된 양의 불확도 uncertainty of a controlled quantity F.2.4.3

중심극한정리 Central Limit TheoremG.1.6, G.2, G.2.1, G.2.2, G.2.3,

G.6.2, G.6.5, G.6.6

중심화 확률변수 centred random variable C.2.10

차 중심적률 central moment of order C.2.13, C.2.22, E.3.1 주 1

최대 엔트로피 (최대 엔트로피의 원리) maximum entropy, principle of 4.3.8 주 2

최대 한계값 maximum bounds 입력량의 한계값 참조

최소 불확도 minimum uncertainty 불확도 (최소 불확도) 참조

최소제곱 (최소제곱법) least squares, method of 4.2.5, G.3.3, H.3, H.3.1, H.3.2

추정 estimation C.2.24

추정값 estimate 3.1.2, C.2.26

추정값 (입력 추정값) estimate, input 입력 추정값 참조

추정값 (출력 추정값) estimate, output 출력 추정값 참조

추정량 estimator 4.2.7, C.2.25

출력 추정값 또는 양 (상관관계가 있는

출력 추정값 또는 양)output estimates or quantities, correlated

상관관계가 있는 출력 추정값 또는

양 참조

출력 추정값 output estimate 4.1.4, 4.1.5, 7.2.5

출력량 output quantity 4.1.2

측정 measurement 3.1, 3.1.1, B.2.5

측정 (측정결과) measurement, result of a 측정결과 참조

측정 (측정방법) measurement, method of 측정방법 참조

측정 (측정에서 분산분석의 역할) measurement, role of ANOVA in H.5.3 이하 참조

측정, 측정원리 measurement, principle of 측정원리 참조

측정 (측정의 수학적 모델) measurement, mathematical model of the3.1.6, 3.4.1, 3.4.2, 4.1, 4.1.1,

4.1.2


122

측정, (측정의 스펙트럼, 지침서의

원리를 측정에 응용)

measurements, spectrum of, to which the

principles of the Guide apply1.1

측정 (측정정확도) measurement, accuracy of 측정정확도 참조

측정가능한 양 measurable quantity B.2.1

측정결과 result of a measurement 1.3, 3.1.2, B.2.11

측정결과와 불확도 (측정결과와

불확도를 보고하는 형식)

measurement result and its uncertainty,

formats for reporting a7.2.2, 7.2.4


불확도를 표현하는 정보의 가용성)


availability of information describing a7.1.1, 7.1.3


불확도의 상세 보고)


reporting in detail a7.1.4, 7.2.7

측정결과의 반복성 repeatability of results of measurements B.2.15

측정결과의 재현성 reproducibility of results of measurements B.2.16

측정계층구조 measurement hierarchy 7.1.1

측정량 measurand1.2, 3.1.1, 3.1.3, B.2.19, D.1,

D.1.1, D.1.2, D.3.4

측정량 (관련 측정량의 공분산) measurands, covariance of related상관관계가 있는 출력 추정값 또는

양 참조

측정량 (다수의 측정량의 값) measurand, many values of the D.6.2

측정량 (측정량의 값) measurand, value of the 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3

측정량 (측정량의 불완전 정의에 의항

불확도)

measurand, uncertainty due to incomplete

definition of the

측정량의 불완전 정의에 의한 불확도

참조

측정량 (측정량의 정의 또는 규격) measurand, definition or specification of the 측정량 참조

측정량, 측정량의 최량 가능 측정measurand, best possible measurement of

theD.3.4

측정량의 불완전 정의에 의한 불확도uncertainty due to incomplete definition of

the measurand3.1.3 주, D.1.1, D.3.4, D.6.2

측정방법 method of measurement 3.1.1, B.2.7

측정방법 (측정방법에 의존하는 단위)method of measurement, unit dependent on

theH.6

측정방법 (측정방법의 불확도) method of measurement, uncertainty of the 측정방법의 불확도 참조

측정방법의 불확도 uncertainty of the method of measurement F.2.5, F.2.5.1

측정불확도 uncertainty of measurement

0.1, 0.2, 1.1, 2.2, 2.2.1, 2.2.2,

2.2.3, 2.2.4, 3.3, 3.3.1, 3.3.2,

B.2.18, D, D.5, D.5.1, D.5.2, D.5.3,

D.6.1, D.6.2

측정오차 error of measurement

0.2, 2.2.4, 3.2, 3.2.1 주, 3.2.2 주

2, 3.2.3 주, 3.3.1 주, 3.3.2, B.2.19,

D, D.4, D.6.1, D.6.2, E.5.1 이하

참조


123

측정원리 principle of measurement B.2.6

측정절차 measurement procedure 3.1.1, 7.1.2, B.2.8, F.1.1.2

측정정확도 accuracy of measurement 3.1.3, 3.4.1, B.2.14

측정학 (법정계량) metrology, legal 법정계량 참조

테일러급수 Taylor series5.1.2, E.3.1, G.1.5, G.4.2, H.1.7,

H.2.4

통계량 statistic 4.2.7, C.2.23

통계적 관리 statistical control 3.4.2, 4.2.4

통계적 포함구간 statistical coverage interval C.2.30

특성 characteristic C.2.15

특정량 particular quantity 3.1.1, B.2.1 주 1

파라미터(모수) parameter C.2.7

편미분 partial derivatives 5.1.3

편향 bias 3.2.3 주

평균 mean C.2.9, C.3.1

평균 average 산술평균 참조

평균 (산술평균) mean, arithmetic 산술평균 참조

평균의 분산 variance of the mean 4.2.3, C.3.2

평균의 분산 (평균의 실험분산) variance of the mean, experimental 4.2.3, C.3.2

평균의 실험표준편차 불확도uncertainty of the experimental standard

deviation of the mean4.3.2 주, E.4.3

평균의 표준편차 (평균의

실험표준편차)

standard deviation of the mean,

experimental4.2.3, B.2.17 주 2

평균의 표준편차 (평균의

실험표준편차 불확도)

standard deviation of the mean, uncertainty

of the experimental평균의 실험표준편차 불확도 참조

포함인자 coverage factor

2.3.6, 3.3.7, 4.3.4 주, 6.2.1, 6.3

이하 참조, G.1.3, G.2.3, G.3.4,

G.6.1 이하 참조

포함확률 coverage probability0.4, 2.3.5 주1, 3.3.7, 6.2.2, G.1.1,

G.1.3, G.3.2

표본(시료) (표본(시료)의 불확도) sample, uncertainty of the 표본(시료)의 불확도 참조

표본(시료)의 불확도 uncertainty of the sample F.2.6 이하 참조

표본추출 (유한 표본추출에 의한

불확도)sampling, uncertainty due to limited 유한 표본추출에 의한 불확도 참조

표준물질 (표준물질 인증) reference materials, certification of H.5, H.5.3.2

표준불확도 standard uncertainty2.3.1, 3.3.5, 3.3.6, 4.1.5, 4.1.6,

4.2.3, D.6.1, E.4.1


124

표준불확도 (상대표준불확도) standard uncertainty, relative 5.1.6

표준불확도 (표준불확도 평가의

그래프 설명)

standard uncertainty, graphical illustration of

evaluating4.4 이하 참조

표준불확도 (표준불확도의 A형 평가) standard uncertainty, Type A evaluation of 불확도의 A형 평가 참조

표준불확도 (표준불확도의 B형 평가) standard uncertainty, Type B evaluation of 불확도의 B형 평가 참조

표준편차 standard deviation 3.3.5, C.2.12, C.2.21, C.3.3

표준편차 (실험표준편차) standard deviation, experimental 4.2.2, B.2.17

표준편차 (표준편차의 배수의 전파)standard deviations, propagation of

multiples ofE.3.3

표준편차 (표준편차의 전파) standard deviations, propagation of E.3, E.3.1, E.3.2

표준편차 (합동실험표준편차)standard deviation, pooled

experimental분산 (합동분산의 추정값) 참조

한계 (상한과 하한, 입력량의 한계값)limits, upper and lower, on an input

quantity입력량의 한계값 참조

한계 (안전성 한계) limit, safety 안전성 한계 참조

함수관계 functional relationship 4.1.1, 4.1.2

함수관계 (비선형 함수관계) functional relationship, nonlinear4.1.4 주, 5.1.2 주, F.2.4.4 주,

G.1.5, H.1.7, H.2.4

함수관계 (함수관계의 선형화) functional relationship, linearization of a 5.1.5, F.2.4.4 주, 5.1.6 주1

합동분산 추정값 pooled estimate of variance 분산 (합동분산 추정값) 참조

합동분산 추정값의 자유도(또는

합동실험표준편차의 자유도)

degrees of freedom of a pooled estimate of

variance (or of a pooled experimental

standard deviation)

H.1.6, H.3.6 주

합성곱 convolution 확률분포 (확률분포 합성곱) 참조

합성표준불확도 combined standard uncertainty

2.3.4, 3.3.6, 4.1.5, 5, 5.1.1, 5.1.2,

5.1.3, 5.1.6, 5.2.2, 6.1.1, D.6.1,

E.3.6

합성표준불확도 (상대합성표준불확도) combined standard uncertainty, relative 5.1.6, 7.2.1

합성표준불확도 (합성표준불확도 보고) combined standard uncertainty, reporting 7.2.1, 7.2.2

합성표준불확도 (합성표준불확도의

수치계산)

combined standard uncertainty, numerical

calculation of5.1.3 주 2, 5.2.2 주 3

합성표준불확도와 국제비교combined standard uncertainty and

international comparisons6.1.1, A.3

합성표준불확도와 자문위원회combined standard uncertainty and

Comités Consultatifs6.1.1, A.3

허용구간 (통계적 허용구간) tolerance interval, statistical C.2.30 주 2

확률 probability3.3.5, 4.3.7, 4.3.8, 4.3.9, C.2.1,

E.3.5, E.3.6, F.2.2.3


125

확률, 주관적 확률 probability, subjective 3.3.5, D.6.1

확률 (포함확률) probability, coverage 포함확률 참조

확률밀도함수 probability density function3.3.5, 4.3.8 주 2, 4.4.2, 4.4.5,

4.4.6, C.2.5, F.2.4.4

확률변수 random variable

4.1.1 주 1, 4.2.1, 4.2.3 주 1,

C.2.2, C.3.1, C.3.2, C.3.4, C.3.7,

C.3.8, E.3.4, F.1.2.1, G.3.2

확률변수 (상관관계가 있는 확률변수) random variations, correlated 상관관계가 있는 확률변수 참조

확률분포 probability distribution

3.3.4, 4.1.1 주 1, 4.1.6, 4.2.3 주 1,

4.4.1, 4.4.2, 4.4.3, 4.4.4, C.2.3,

E.4.2, G.1.4, G.1.5

확률분포, (확률분포 합성곱) probability distributions, convolving4.3.9 주 2, G.1.4, G.1.5, G.1.6,

G.2.2, G.6.5

확률원소 probability element C.2.5 주, F.2.4.4

확률질량함수 probability mass function C.2.6

확장불확도 expanded uncertainty

2.3.5, 3.3.7, 6, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3,

G.1.1, G.2.3, G.3.2, G.4.1, G.5.1,

G.5.2, G.5.3, G.5.4, G.6.4, G.6.5,

G.6.6

확장불확도 (상대확장불확도) expanded uncertainty, relative 7.2.3

확장불확도 (확장불확도 보고) expanded uncertainty, reporting 7.2.3, 7.2.4

효과 (계통효과) effect, systematic 계통효과 참조

효과 (우연효과) effect, random 우연효과 참조

히스토그램 histogram 4.4.3, D.6.1 주 1

측정불확도 표현 지침(GUM, ISO/IEC Guide 98-3)

한국표준과학연구원 불확도 위원회

위원장 : 최종오

위 원 : 강주식, 김민석, 유광민, 이경범, 한준희, 허용학 (가나다 순)

간 사 : 남경희

감 수 : 안종찬

측정불확도 (GUM, ISO/IEC Guide 98-3)

제3부: 측정불확도 표현 지침 (GUM:1995)Guide to the expression of uncertainty in measurement

(GUM: 1995)

2010년 12월 30일 인쇄

2011년 1월 10일 발행

발행인 : 김 명 수

발행처 : 한 국 표 준 과 학 연 구 원

전화 (042) 868-5114

인쇄소 : 신 광 사

전화 (042) 636-2370

305-340 대전광역시 유성구 가정로 267TEL : (042) 868-5412FAX : (042) 868-5419E-mail : [email protected]

신광사

G K

신광사

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측정불확도표현지침ISO/IEC GUIDE 98-3:2008,Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement(GUM:1995)

2010

KRISS/SP--2010-105

측정불확도표현지침

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2010

GUM

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