159

مراكـز الثقــل )نظريات(

Center of gravity

الثاني عشرالفصل

160

)نظريات( مراكـز الثقــلCenter of gravity

مقدمة 1.12،كماســــنقومبتحديدلألجســــامالمتناظرةســــنتعرففيهذاالفصــــلعلىبعضالنزرياتالتيتفيدفيتحديدمراكزالثقل

ة.األشكالالبسيطة.وفيالنهايةسنقومبتحديدمركزالثقللألجسامالمركبومراكزالثقللبعضاألجسامالمتجانسة

مركز الثقل لجسم متناظر 2.12 فرضية

ذه هواحد فإن مركز المتوازية واقعة في مســـــــــتوي واحد أو على مســـــــــتقيمو إذا كانت نقاط تأثير القوى المفروضـــــــــة المجموعة من القوى المتوازية يقع في هذا المستوي أو على ذلك المستقيم.

البرهان:izذلكالمســـــــــــتويالذيتوجدفيهنقاطتأثيرالقوىالمتوازية،لهذايجبأننعوضاإلحداثياتoxyالمســـــــــــتويعتبرن

0zبالقيمةح i القسماأليمنمنالعالقةالتالية:افيا1ح

W

z~Wz

oxyالمســــتويوهذايعنيأنمركزهذهالمجموعةمنالقوىالمتوازيةواقعفي،مســــاويةللصــــفرzبذلكتصــــبحلديناوهوالمطلوب.

ذلكالمستقيمالذيتقعzنتبعنفزالطريقةلنبرهنعلىصحةالقسمالثانيمنالفرضية،لهذاتأمذمحوراإلحداثياتمننقاطتأثيرالقوىألينقطة~iyو~ixنالمفروضـــة.عندماتكونكلمناإلحداثيتيوعليهنقاطتأثيرالقوىالمتوازية

~0xمساويةللصفر i 0أوy~ i :بذلكنحصلعلىمايليا2ح

0W

y~.Wy,0

W

x~.Wx

وهوالمطلوب.نســــــــــــــتفيـــدمنهــذهالنزريــةzوهــذايعنيأنمركزالمجموعــةمنالقوىالمتوازيــةواقععلىالمحور

المتعلقةبمكانمركزالثقللجسممتمتعبشكلمتناظر.وونستعملهاللبرهانعلىصحةالنزريةالتالية

161

نظريةيقع في إذا تمتع جســــم متجانس بمســــتوي للتناظر أو بمحور للتناظر أو بمركز للتناظر فإن مركز الثقل لهذا الجســــم

ذلك المحور أو ينطبق مع مركز التناظر.هذا المستوي أو على

البرهان:لديناجســـممتجانزومتمتعبمســـتويللتناظر،نقســـمهذاالجســـمإلىأزواجمنالجزيلاتيتضـــمنكلزوجمنهاجزيلين

.بذلكتكونا12-1ح،...الخكمافيالشــكل2Aو1A،2Aو1Aمتناظرينبالنســبةلهذاالمســتوي.مثالومتماثلين11AAالمســــــــتقيمات 22وAA متقاطعةمعهفينقاطتقســــــــمكالمنهاإلىقســــــــمينوعموديةعلىمســــــــتويالتناظر

1111متساويين،مثال MAMA ،2222 MAMA .الخ....،

1-12الشكل

ندلعلىأوزانالجزيلاتبالرموزالتالية:

n21 W,....W,Wو

n21 W,....W,W علمابأن

11 WW و

22 WW

.....nn WW

ألنأوزانالجزيلاتالمتناظرةمتســــــــــــاوية،فإذاجمعناالقوتين1Wو

1Wالمتســــــــــــاويتينوالمتوازيتين

1Aو1Aوالمرتكزتينفيالنقطتين فإننانحصــــــــــــلعلىمحصــــــــــــلةمقدارها1W21مرتكزةفيMنتبعنفزالطريقة

ونجمعأوزانكــلزوجمنالجزيلــاتالمتنــاظرةفنحصــــــــــــــــلعلىمجموعــةمنالقوىn21 W2,....,W2,W2المتوازيــة

n321المؤثرةفيالنقاطو M,.....M,M,M.الموجودةفيمستويمتناظريةموجودأيضافيمستويالتناظر،غيرنستعملاآلنالفرضيةالسابقةفنجدأنمركزهذهالمجموعةمنالقوىالمتواز

أنمركزالمجموعةهذهيمثلمركزالثقلللجســـــــــمالمفروض،بذلكيكونمركزالثقلهذاموجودافيمســـــــــتويالتناظروهذاهوالمطلوب.

12W

22W

2M

1M

162

محوربعانتبعنفزالحالةلنبرهنعلىصــحةهذهالنزريةبالنســبةللحالتينالباقيتينعندمايكونالجســمالمتجانزمتمتلللتناظر.تتمتعهذهالنزريةباســــــــــــــتعمالواســــــــــــــععندتحديدمكانمركزالثقل.مثالتفيدهذهالنزريةأنمركزالثق

لصفيحةمتجانسةومتمتعةبشكليشابهشكلمتوازيالمستطيالتموجودفينقطةتقاطعقطريهذاالشكل،وأنمركزشــكلالقطعالناقصموجودفيالمركزالهندســيلهذاالشــكل،أمامركزالثقللصــفيحةمتجانســةومتمتعةبشــكليشــابه

الثقللجسمدورانيمتجانزفيقععلىمحورالدورانألنهذاالمحورهومحورالتناظرفيالجسمالمتجانز.

الحجوم الدورانية المتجانسةو مركز ثقل السطوح 3.12 باباس األولى -نظرية جولدن

دوران خط ما مســتوي حول محور ما غير متقاطع مع الخط بل واقع في مســتويه تســاوي مســاحة الســط الناتج عن حاصل ضرب الخط بطول الدائرة التي يرسمها مركز الثقل لهذا الخط.

البرهان:Cوأنالنقطةا2-12حشكلكمافيالoy حولالمحورABنفرضأنهلديناسطحناتجعندورانالمنحنيالمستوي

.cxةلهذاالمنحني،نميزمركزالثقلهذاباإلحداثيهيمركزالثقلالمؤلفمنعددكبيرمنالمســـــــــتقيماتالصـــــــــغيرةجداوندرسدورانهذهوإلىالخطالمنكســـــــــرABنعودبهذاالقوس

ي.إنمركزالثقللهذاالمســتقيمموجودفيمنتصــفةأا2-12الشــكلحabمثالالمســتقيمoyالمســتقيماتحولالمحور.x،نميزهذاالمركزباإلحداثيةmفيالنقطة

2-12الشكل

163

،فإنبالمقدار ab.فإذاحددناطولالمســـــــــتقيمoyجذعمخروطماللدورانهحولالمحورabيرســـــــــمالمســـــــــتقيمــــــــــــــــــاويالقيمة مســـــاحةالســـــطحالجانبيلجذعالمخروطتســــــ .x.2.إذاعبرنابالرمزوAعنمجموعمســـــاحات

تساويمايلي:Aفإنoyالسطوحالجانبيةالتيتشكلهاكافةالمستقيماتماللدورانهاحولالمحورا3ح .x2.x.2A

cxللخطالمنكسرباإلحداثيةCإذاميزنااآلنمركزالثقل :فإنهذهاإلحداثيةتتحددبالمعادلةالتالية

ا4ح

.xxc

ومنهانجدمايلي:

ا5ح .xx.x ccحيث: .طولالخطالمنكسر

مساويالمايلي:Aبذلكيكونمجموعمساحاتالسطوحالجانبية .x.2A c

أنطولكلضـــــــــلعمنوننتقلاآلنإلىالقيمةالحديةالناتجةمفترضـــــــــينأنعددأضـــــــــالعالخطالمنكســـــــــركبيرجدامنتهياإلىالصفر.والخطالمنكسرصغيرجداأضالعهذا

.xlim2Alim cمســـاويالطولالمفروض،بذلكيصـــبحطولالخطالمنكســـرABغيرأنالقيمةالحديةللخطالمنكســـرهيالقوس

أيأن: ABللقوسCمنطبقامعمركزالثقلCويكونمركزالثقلالقوس limوcc xxlim و .x.xlim cc

ماللدورانهحولالمحورABللسطحالذييشكلهالمنحنيAفيساويالمساحةAأماالحدالذيتنتهيإليهالقيمة

OYأيأنAAlim .بذلكيمكنكتابةالعالقةالنهائيةالتالية:

.x.2Aا6ح c

المفروض.ABللمنحنيCتحددطولالدائرةالتييرسمهامركزالثقلcx.2وهذاهوالمطلوبألنالقيمة باباس الثانية -جولدن نظرية الناتج عن دوران سط ما مستوي حول محور ما غير متقاطع مع السط بل واقع في مستويه يساوي حجم الجسم

حاصل ضرب مساحة السط بطول الدائرة التي يرسمها مركز الثقل لهذا السط .

164

البرهان:.ندورهذاالســـطحا3-12كمافيالشـــكلحC،مركزالثقللهذاالســـطحموجودفيالنقطةSنأمذســـطحامامســـاحته

،لهذانقســــــمالســــــطحالمفروضإلىعددغيرمحدودمنVفنحصــــــلعلىجســــــمنريدتحديدحجمهoyحولالمحورومتباعدةعنبعضـــهابمســـافاتصـــغيرةyو xعناصـــرالســـطحعنطريقرســـممســـتقيماتموازيةلمحاوراإلحداثيات

المتمتعبشكلمستطيلقائمالزاوية.abcdوندرسأحدهذهالعناصر،مثالعنصرالسطحyوxجداهي

3-12الشكل

شـــكلونعودإلىالxمكانمركزالثقللهذاالعنصـــرهونقطةتقاطعالقطرينلشـــكله.نميزمركزالثقلهذاباإلحداثيةلنجدأن:السابق

xad وyab وأن:

y.xA وأن:

2

xxfa

و

2

xxfd

يساويالفريبينoyحولالمحورabcdللجسمالناتجعندورانعنصرالسطحVيتضحمنالشكلأنالحجم،أيأن:oyحولالمحورfebaوfecdالحجمينلألسطوانتينالناتجتينعندورانالمستطيلين

ا7حA.x.2y

2

xxy

2

xxV

22

165

فإننانحصــلoyعنمجموعحجوماألجســامالناتجةعندورانكافةعناصــرالســطححولالمحورVإذاعبرنابالرمزعلىمايلي:

ا8ح A.x2VV

جداأنمســـاحةكلعنصـــرســـطحصـــغيرةوننتقلاآلنإلىالقيمةالحديةمفترضـــينأنعددعناصـــرالســـطحكبيرجدامنتهيةإلىالصفر،بذلكنحصلعلىمايلي:و

ا9ح A.xlim2VlimV

فإننانستطيعكتابةمايلي:cxوإذاميزنامركزالثقلللسطحالمفروضباإلحداثيةا10ح

A

A.xlimx c

أو A.xA.xlim c

السابقةالشكلالنهائيالتالي:بذلكتأمذالعالقة

A.x.2Vا11ح cوهذاهوالمطلوب.

دنســتعملهاتينالنزريتينفيبعضالحاالتألنهاتســاعدوببســاطةعلىتحديدمكانمركزالثقللألشــكال،مثالتحديمساحةالسطحلألجسامالدورانيةمركزالثقللخطمنحنيومستوي،أوتحديدمكانمركزالثقللشكلمسطح،أوتحديد

تحديدحجمهذهاألجسام.و

األشكال البسيطةو مراكز الثقل لبعض األجسام المتجانسة 4.12 مركز الثقل لسط مثلث

ــــــــــــــكمافيالش3Aو1A،2A رقيقةومتمتعةبشكلمثلثرؤوسهولنحددمكانمركزالثقللصفيحةمتجانسة ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ كلـ.ا4-12ح

166

4-12الشكل

.فيكون3A1Aلهذانقســـــــممســـــــاحةهذاالمثلثإلىعددغيرمحدودمنالشـــــــرائحبواســـــــطةمســـــــتقيماتموازيةللقاعدة،صغيرجدايجعلهاقريبةمنالخطالمستقيم،بذلكيكونمركزالثقللكل3a1aعرضالشريحةالواحدة،مثالالشريحة

شــــريحةموجودافيمنتصــــفها.غيرأنالنقاطالموجودةفيمنتصــــفاتالشــــرائحتكونواقعةعلىمســــتقيمواحدهومط.2M2Aالوسطفيالمثلثوهذايعنيأنمركزالثقللهذاالمثلثواقععلىمطالوسط

2A1AطريقةونقســــممســــاحةالمثلثإلىعددغيرمحدودمنالشــــرائحبواســــطةمســــتقيماتموازيةللضــــلعنتبعنفزاليقعفينقطةC.يتضــــحمماوردأنمركزالثقل3M3Aلنجدأنمركزالثقللهذاالمثلثيقعأيضــــاعلىمطالوســــط

ا2:1منهاإلىقسمينيتمتعانبنسبةحتقاطعمطوطالوسطلهذاالمثلث،وبماأننقطةتقاطعمطوطالوسطتقسمكالفإنالنتيجةالسابقةتصبحعلىالشكلالتالي:

يقعمركزالثقللســــــطحمثلثعلىمطالوســــــطوفيمكانمنهيبعدعنرأسالمثلثبمســــــافةمســــــاويةلثلثيطولهذاالخط.

تنقطةتقاطعمطوطالوسطحإحداثياتافإنإحداثيا3x،3yا،ح2x،2yا،ح1x،1yفإذاميزنارؤوسالمثلثباإلحداثياتحمركزالثقلاتأمذالشكلالتالي:

ا12ح

3

xxxx 321

c

و

3

yyyy 321

c

مركز الثقل لسط يحده مضلع

5321لتحديدمركزالثقللسطحمحدودبمضلعما A,..A,A,Aا12-5حكمافيالشكل.

2A

1a

3A 1A

3a

C o

2M

3M

167

5-12الشكل

321إحداثياترؤوســــــهمعلومة،نقســــــمهذاالمضــــــلعإلىثالثةمثلثات AAA431و AAA541و AAAعنطريق

ونميز 3Sو1S، 2S .ندلعلىمساحاتهذهالمثلثاتبالرموز4Aو3Aمعكلمنالنقطتين1Aوصلالنقطةمراكزالثقللهذهالمثلثاتبالنقاط 1c1c1 y,xC، 2c2c2 y,xCو 3c3c3 y,xC.

رؤوسالمضـــــــلعمعلومةفإنهمنالســـــــهلجداتحديدإحداثياتمركزالثقللكلمثلثوتحديدمســـــــاحةبماأنإحداثياتسطحه.مثالنحددسيناتمراكزالثقلعلىالشكلالتالي:

ا13ح

3

xxxx 321

1c

3

xxxx 431

2c

3

xxxx 541

3c

ترتكزاألوزان3Cو1C،2Cوفيهذهالنقاط

1W،

2W3وW

للمثلثاتالتيقسمإليهاالسطحالمفروض.

بذلكتتحولالمســـألةالمفروضـــةإلىمســـألةتتطلبتحديدمكانمركزمجموعةمنالقوىالمتوازية1W،

2W3وW

،

مركزالهذهالمجموعةأيمركزالثقلالسطحالمفروضفإنإحداثياتهذاالمركزتتحددعلىالنحوCفإذاكانتالنقطةالتالي:

o 1C

o 2C

o 3C

1P

3P

2P

168

321ا14ح

3c32c21c1

cWWW

x.Wx.Wx.Wx

321

3c32c21c1

cWWW

y.Wy.Wy.Wy

فإنالقوىالمتوازيةإذاعبرناعنالثقلالنوعيلوحدةالسطحبالمقدار

1W،

2W3وW

تصبحعلىالشكلالتالي:

ا15ح

321

3c32c21c1

cAAA

x.Ax.Ax.Ax

321

3c32c21c1

cAAA

y.Ay.Ay.Ay

مركز الثقل لقوس من دائرة

.ا6-12حكمافيالشكلOومركزهاRمندائرةنصفقطرهاABلنحددمكانمركزالثقلللقوس

6-12الشكل

ــــــــــــــــىالوتر ،بذلكيبقىعليناABيقعهذاالمركزعلىمحورالتناظرلهذاالقوسأيعلىنصــفالقطرالعموديعلـ

ABحولالقطرالموازيللوترABندورالقوسونزريةجولدناألولىفقط،لهذانســــــــــــــتعملOCتحديدالمســـــــــــــــافة.11AABBفنحصلعلىالسطح

169

هذاالســــطحجزءامنســــطحالكرةالتيينتميإليهاالقوس،وكماهومعلومفإنمســــاحةهذاالســــطحتســــاويالقيمة يعد AB.R2تسمحبكتابةمايلي:،غيرأننزريةجولدناألولى

.OC.2AB.R2

ومنه:

AB.ROC

حيث:طولالقوس:AB.

كمايلي:السابقمنالشكلABوطولالوترABيمكنتحديدطولالقوس R2و sinR2AB

مساويالمايلي:OCبذلكيصبحالطول

ا16ح

sinROC

مركز الثقل لقطاع دائري

مشـــــــابهةللمســـــــألةالســـــــابقة.نأمذالزاويةRنصـــــــفقطره OABيمكنجعلمســـــــألةتحديدمركزالثقللقطاعدائري.ا12-7حكمافيالشكلالمركزيةفيهذاالقطاعونقسمهاإلىقسمينمتساويينيساويكلواحدمنهماالمقدار

7-12الشكل

170

.لهذايبقىعليناتحديدAOBلهذاالقطاععلىمحورتناظرهأيعلىمنصــــــــــــــفالزاويةالمركزيةCيقعمركزالثقلإلىعددغيرمحدودمناألقواسالصــــــغيرةجداونصــــــلنقاطالتقســــــيممعABفقط،لهذانقســــــمالقوسOCالمســــــافة

لندرسإحدىهذه.بذلكيصبحهذاالقطاعمقسوماإلىعددغيرمحدودمنالقطاعاتالصغيرةجدا.Oمركزالقطاعذلكبهيفيالصغر،متناab.يمكناعتبارهذاالقطاعمثلثامتساويالساقينألنالقوسOabالقطاعاتمثالالقطاع

هإلىقسمينمتساويينوفيمكانمنaObالذييقسمالزاويةRيكونمركزالثقللهذاالمثلثواقعاعلىنصفالقطرRبمسافةمقدارهاOيبعدعنالنقطة

3

2.

مســـاوي1OAنصـــفقطره11BAيتضـــحمماوردأنمراكزالثقللكافةالقطاعاتالصـــغيرةجداموجودةعلىقوسRللقيمة

3

Rأيأن:23

2OA1

تتباعدهذهالمراكزعنبعضــــهاالبعضبمســــافاتمتســــاوية،تؤثرفيهذهالمراكزاألوزانiW

العائدةلهذهوالمســــاويةمنطبقامعمركزمجموعةالقوىالمتوازيةAOBالقطاعاتالصغيرة.لهذايكونمركزالثقلللقطاع

iPوعندماينتهي،

ا11BAعددالقطاعاتالصــــغيرةإلىالالنهايةفإنالمســــألةتصــــبحمســــألةتحديدمكانمركزالثقلللقوسالمتجانزحوهذايعنيأننانعودإلىالمسألةالسابقةلنحددمكانمركزالثقلعلىالشكلالتالي:

ا17ح

sin.R

3

2sinOAOC 1

مركز الثقل لموشور54321لتحديدمكانمركزالثقللموشـــــورمتجانزقاعدته AAAAAنقســـــمهذاالموشـــــورإلىعددا12-8الشـــــكلح،

الرقيقةجداعنطريققطعهبمســـــــــتوياتموازيةلقاعدتهومتباعدةعنبعضـــــــــهابمســـــــــافاتغيرمحدودمنالصـــــــــفائحقصيرةجدا.ومتساوية

8-12الشكل

171

54321نبينعلىالشكلإحدىهذهالصفائح aaaaa.هذهالصفيحةسطحامستوياألنهارقيقةجدا ،تعد الواصـــلبينمركزيالثقللقاعدتيالموشـــورالعلياوالســـفلى.21CCمســـتقيمتقعمراكزالثقللكافةهذهالســـطوحعلىال

تؤثرفيهذهالمراكزأوزانiW

متســـــــــــاويةتمثلأوزانالصـــــــــــفائحالرقيقة،لهذاينطبقمركزالثقلللموشـــــــــــورمعمركزمجموعةالقــــــــــــــــــوى

iW21المتوازيةوالمرتكزةفينقاطواقعةعلىالمســـتقيموالمتســـــــــــــــــــــاويةCCومتباعدةعنبعضـــها

بمسافاتمتساوية.

فيعندماينتهيعددالصــفائحإلىالالنهايةفإنالمســألةتصــبحمســألةتحديدمكانمركزالثقللموشــورمتجانزواقعاالسفلى.ويالموشورالعليامنصفالمستقيمالواصلبينمركزيالثقللقاعدت

يمكنتعميمهذهالدراسةوهذهالنتيجةعلىأيجسمأسطوانيمتجانز.

مركز الثقل لهرم4321لندرسأوالحالةهرممتجانزكالهرم AAAAوالمتمتعبســـــــطوحعلىشـــــــكلمثلثاتكماهومبينفيالشـــــــكل

.ا9-12ح321نقسمهذاالهرمإلىعددغيرمحدودمنالصفائحالرقيقةعنطريققطعهبمستوياتموازيةللقاعدة AAA ،نعد

مع4Aهذهالصــــــفائحســــــطوحالمثلثاتعددهاغيرمحدود.تقعمراكزهذهالمثلثاتعلىمســــــتقيمواحديصــــــلالذروة321طةتقاطعمطوطالوســــــــــــــطفيالمثلث،نقMمركزالثقلللقاعدةأيمعالنقطة AAAبذلكيكونمركزالثقل،

جهللهرمواقعأيضــــاعلىهذاالمســــتقيم.نتبعنفزالطريقةونقســــمهذاالهرمإلىصــــفائحبواســــطةمســــتوياتموازيةللو432 AAAفنجدأنمركزالثقلللهرميقعأيضــــــاعلىالمســــــتقيمK1A1الذييصــــــلالذروةAمعمركزالثقلللوجه432 AAAأيمعنقطةتقاطعمطوطالوســــــــــــــطلهذاالوجهالمثلث،بذلكينطبقمركزالثقلللهرممعنقطةتقاطع

.K1AوM4Aالمستقيمين

172

9-12الشكل

مطوطالوسطفيالثلثفينقاطتبعدعنرؤوسهذاالمثلثبمسافةمقدارهاثلث:تتقاطع MCلنحسباآلنالمسافة

طولمطالوسط،لهذايكونلدينامايلي:1LA

3

1LM 4وLA

3

1LK

ومساوياللقيمة:4A1AموازياللمستقيمMKبذلكيكونالمستقيم41AA

3

1MK

متشابهانلذايمكنكتابةمايلي:4CA1AوMCKمماوردنجدأنالمثلثين

3

1

AA

MK

CA

MC

414

أو: 43MC=CA

غيرأن:44 MACAMC

L

K C

4A

3A

2A

1A

M

173

بذلكنحصلعلىالمعادلةالتالية:4MAMC4

أوعلىالمساواةالتالية:ا18ح

4MA4

1MC

هتعنيهذهالعالقةأنمركزالثقللهرممتجانزيقععلىالمســــــــتقيمالذييصــــــــلرأسهذاالهرممعمركزالثقللقاعدت

المستقيم.فيمكانمنهيبعدعنمركزالثقلللقاعدةبمسافةمساويةلربعطولهذاوراماتمتمتعةبأوجهعدة،ألننانسـتطيعتقسـيمهذهاألهراماتإلىأهويمكنتعميمهذهالنتيجةلتشـملأهراماتمتجانسـة

عبرأقطارمضلعهذاالهرم.وبسيطةأوجههامثلثاتعنطريقمستوياتتمرعبرذروةالهرمهوالحدالذيتنتهيإليهمجموعةاألهراماتالصــــــغيرةويمكنكذلكتعميمهذهالنتيجةلتشــــــملالمخروطألنالمخروط

مالمحصــــــــورةبداملهعندماينتهيعددهاإلىالالنهاية،وهذايعنيأنمركزالثقللمخروطمتجانزيقععلىالمســــــــتقيواهذفيمكانمنهيبعدعنذروةالهرمبمســافةمســاويةلثالثةأرباعطولوالذييصــلالمخروطمعمركزالثقللقاعدته

المستقيم.

األجسام المركبةتحديد مركز الثقل 5.12اللتحديدمكانمركزالثقللجسممتمتعبشكلهندسيمعقدنلجأإلىتقسيمهذاالجسمإنأمكنإلىأجزاءتتمتعبأشك

بسيطةأماكنمراكزالثقلفيهاتتحددبسهولةكماوردفيالفقرةالسابقة.V,V....نرمزإلىحجومهذهاألشــكالالبســيطةبالقيم W,W,W...,وإلىأوزانهابالقيم21 التيترتكزفيمراكز321

الثقللهذهاألشكال.تتحددأماكنمراكزالثقلباإلحداثيات: 111 z,y,x، 222 z,y,x، 333 z,y,xالخ.بذلكتصـــــــبحمســـــــألةتحديدمكانمركزالثقلللجســـــــممســـــــألة...،

المساويةلمايلي:z,y,xتتحديدمكانمركزالثقلللجسمباإلحداثياا19ح

W

z~.Wz،

W

y~.Wy،

W

x~.Wx

iiفإنوإذاكانالجسممتجانساومتمتعابثقلنوعي VW :بذلكتصبحالعالقاتالسابقةعلىالنحوالتالي،

ا20ح

V

z~.Vz،

V

y~.Vy،

V

x~.Vx

174

القيمة الواردةفيالمخرجعبارةعنالحجمالكاملللجســـمالمفروض،وعندمايطلبتحديدمكانمركزالثقلVتعد العائدةلألشكالالبسيطةiAبالمساحةiVلصفيحةمستويةومتجانسةأولخطنستعملالعالقاتاألميرةبعداستبدال

العائدةلألشكالالبسيطةالتيقسمإليهاالخطالمفروض.iحةأوبالطولالتيقسمتإليهاالصفي

األشكال المركبة بالتقريبو تحديد مركز الثقل لألجساميتوقفحلهذاالنوعمنالمسائلعلىإمكانيةتقسيمجسمأوشكلاصطالحيإلىعدةأجزاءلهاشكلمبسط،ولهذا

321الذييتألفمنثالثةأجزاءكتلها،ا12-10حالشــــــــــــــكلالموضــــــــــــــحتخطيطيافيفمنأجلالجســــــــــــــم m,m,m321مثالهيx وإحداثياتمراكزكتلهاالمنفصلةفياالتجاه x~,x~,x~اهوعزوم:

332211321 x~mx~mx~mxmmm

10-12الشكل

لمركزكتلةالجســـــــــــــمكله.ويمكنالحصـــــــــــــولعلىعالقاتمشـــــــــــــابهةلإلحداثياتفيxإلىاإلحداثيxحيثترمز

التعبيرعنالمجاميعبشــكلمكثفواالتجاهيناآلمرين.ومنالممكنتعميمذلكمنأجلجســمأوأيعددمناألجزاءللحصولعلىإحداثياتمركزالكتلة:

ا21ح

m

z~.mz،

m

y~.my،

m

x~.mx

ومنالممكنالحصـــولعلىعالقاتمشـــابهةمنأجلالخطوطوالمســـاحاتواألحجامالمركبة.ويجباإلشـــارةأنالثقب

تسالبة.أوالحفرةهيإحدىأجزاءالمركبةللجسمأوالشكلالمركب،وتعتبرالكتلةالممثلةلهذهالحفرةأوالثقوبكميا

175

للمساحة (: المركز الهندسي لبعض السطوح المستوية، وعزوم العطالة1ملحق )

176

للمساحة (: المركز الهندسي لبعض السطوح المستوية، وعزوم العطالة2ملحق )

177

Lecture title: Center of gravity

Lecture syllabus:

-Center of gravity for an analogue bodies

-Theorems of Pappus and Guldinus

-Composite bodies

Conclusion:

Use the theorems of Pappus and Guldinus for finding the area and volume for surface

of revolution.

References :

-Engineering Mechanics Statics, R. C. Hibbeler, 11th edition in SI Units.

- Engineering Mechanics Statics, A. Bedford and W. Fowler, Fifth edition in SI

Units.

2009 -2008د. ياسر حسن، منشورات جامعة تشرين، -الميكانيك الهندسي، د. عهد سليمان -

Name: Dr.Eng. Ahed SULEIMAN

Email: sulahed@yahoo.fr

178

إضافات مدرس المقرر