ПРОГНОЗИРАНЕ НА ГРЕШКАТА НА МАРКШАЙДЕРСКИТЕ ИЗМЕРВАНИЯ С МЕТОДА „МОНТЕ КАРЛО“

Методи Маждраков, m.mazhdrakov@acmo-2006.eu Добриян Бенов, d.benov@acmo-2006.eu

Ивайло Иванов, i.g.ivanov@ellatzite-med.com

Summary The open polygon does not meet the fundamental principles for conducting mine surveying work. It

does not follow the scheme for the development of polygon networks - from general to private. Furthermore, it is made only the minimum required number of measurements, i.e. no "extra" measurements, which does not allow an objective control and judgment of the achieved accuracy.

The creation of underground mining galleries is directed with such polygon type. The error in the endpoint depends on the length and shape of the polygon and the accuracy of measured angles and lengths. Forecasting of this error, we use stochastic modeling method known as “Monte Carlo”.

Постановка Понастоящем, предварителната оценка (прогнозирането) на очакваната грешка на маркшайдерските и геодезическите измервания представлява академичен интерес, а не често срещана практика. Според нас, това се дължи на причини, като:

- прилагането на високоточни и надеждни инструменти и добре усвоени технологии на измерване;

- придобитият професионален опит и увереност на специалистите; - увеличаване на броя на измерванията. Широкото прилагане на електронните средства за измерване на ъгли и дължини и

компютърните технологии повиши увереността на специалистите и все повече „отдалечи“ прогнозирането на точността от ежедневната практика.

Има, обаче, инженерни задачи, при които предварителната оценка на точността представлява определен интерес. Такива задачи са прокарването на дълги минни изработки по направление с насрещни забои или за достигане на зададена точка, измерването на векторите на преместване на контролните репери от отговорни съоръжения, решаване на спорове за иззетия обем на минната маса и т.н.

Прегледът на известните прогнозни модели показва някои слаби страни, свързани с тяхната методологична основа – закона за предаване на грешките.

1. Използва се относително сложен формулен апарат, поради което (особено в докомпютърния период!) се прилагат изведени при различни допускания работни формули [1].

2. Предполага се нормално разпределение на грешките, което не се наблюдава винаги, особено при прилагане на електронни инструменти.

3. Макар, че моделите по принцип са вероятностни, при зададени еднакви средни квадратни грешки, винаги се получава една и съща очаквана точност, което противоречи на практиката. Поради изброените обстоятелства, предлагаме да се приеме друга методика за прогнозирането, която се основава на стохастичното моделиране, известна като метод „Монте Карло“.

Описание на метода Методът на стохастичното моделиране е създаден през началото на 40-те години на XX в. за военни приложения от Д. ф. Нойман и С. Улъм, а е публикуван през 1949 г. от С. Улъм и Н. Метрополис [2]; впрочем, този метод се прилага и понастоящем при планиране на военни операции. Идеята на метода е многократното изпълнение на моделираната функция при различни съчетания от допустими, но независими стойности на входните данни. Поради действието на закона за големите числа, можем да очакваме, че резултатите ще се групират около някаква стойност, която има най-голяма вероятност

за получаване. Това наподобява традиционния подход. Съществената разлика е, че със стохастичното моделиране се получават множество от резултати и оценка на тяхната вероятност.

Начало

i=0

i=i+1

j=0

J=j+1

Софтуерен генератор на случайни числа

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 2 3 4 5

XjXj

YjYj

Масив с входни данни

j>mНЕНЕ

ДАДА

Изпълнение на основната програма

i>nНЕНЕ

ДАДА

ПОЛУЧАВАНЕ И ОЦЕНКА НА РЕЗУЛТАТА

Приема ли се?n=n1

НЕНЕ ДАДА

Анализ и изводи

Край

Фиг. 1

Изискването за независимост на данните и разпределението им в целия възможен спектър се реализира като се използват т.нар. „случайни числа“. Случайните числа са поредица от числа, които са независими от предишното и вероятността на тяхното появяване отговаря на определено разпределение, най-често равномерно в интервала [0;1), от където не е трудно да се премине към някое теоретично или към емпирично разпределение. Интуитивно се предполага, че случайните числа се получават от ролетката в казината, от което е произлязло и името на метода. В последствие се е оказало, че тази хипотеза не е вярна и са били изготвени таблици от случайни числа. При липсата на електронни изчислителни машини, са прилагани различни изчислителни схеми и пресмятанията са били разпределяни на групи и/или отделни изпълнители. Създаването на достатъчно мощни изчислителни средства до голяма степен премахна изброените пречки и позволява широкото приложение на метода във всички сфери на човешката дейност. Разработени бяха програми – генератори на случайни числа.

Липсва еднозначна формула за изчисляване на поредици случайни числа и затова генераторите работят по различни алгоритми, най-често с рекурентно деление и обособяване на дробната част от полученото частно [3].

Строго погледнато, с програмните генератори не се получават случайни числа, защото: - при едно и също начално (стартово) число се получават еднакви поредици; - наблюдава се известна периодичност, макар и след значителен брой изпълнения. Понастоящем се правят опити за намиране на действително независими редове от случайни

числа на основата на определени физически явления (хардуерен генератор). Впрочем, за технически приложения, съществуващите софтуерни генератори дават достатъчно точни решения.

Фиг. 2. Висящ полигонов ход, който трябва да достигне до точка с определени координати;

дължината на хода е 1868 m Ефективното прилагане на метода „Монте Карло“ изисква следното.

1. Спазване на условието за независимост на изпълненията. Преодоляването на тази трудност по времето на създаването на метода е изисквало находчивост и трудолюбие.

2. Достатъчен брой изчисления на резултата. 3. Създаване на подходящ за изчисленията математически модел на изследвания обект,

процес или явление. Обобщена схема на метода за стохастично моделиране е показана на фиг. 1.

Пример за прилагане на метода

С прилагане на описания подход сме разработили компютърна програма за оценка на точността на висящ полигонов ход. Входът на програмата включва геометрична схема на полигоновия ход (фиг. 2) и предполагаеми грешки на началните параметри – координатите на точка и посочен ъгъл, и на измерените величини – полигонови ъгли и дължини.

Фиг. 3. Очаквано разпределение на средните квадратни грешки на координатите X и Y на крайната

точка при оптимистичен вариант.

Фиг. 4. Очаквано разпределение на грешките на координатите X и Y на крайната точка при

песимистичен вариант.

Предвидени са два варианта за прехода „случайно число-грешка на измерване“: - нормален закон за разпределение, който е в основата на геодезическата (маркшайдерската)

оценка на точността; условно този вариант е означен като „оптимистичен“; - систематичен характер – само „положителни“ или само „отрицателни“ стойности на грешките,

с което се получава т.нар. „гранична (пределна) грешка“; условно този вариант е означен като „песимистичен“.

Разбира се, възможни са и други зависимости. Предвидено е да се извършват серии от по 100 000 симулации. След всяка серия се

визуализират получените разпределения на моделираните величини (фиг. 3 и фиг. 4). Целесъобразно е симулациите да бъдат преустановени по преценка на специалиста, когато получените разлики практически са пренебрежимо малки.

Изводи

Прилагането на стохастичното моделиране за предварителна оценка на точността на маркшайдерските и геодезическите измервания потвърди положителните страни на метода „Монте Карло“.

1. С метода се получава прогнозното разпределение на стойностите на изследваните величини, т.е. има възможност за оценка на риска от приемане на едно или друго решение.

2. Методът включва в прогнозирането и т.нар. „рядко срещани“ събития, които често се пренебрегват при традиционните подходи.

3. Съчетаването на стохастичното моделиране с подходящи компютърни програми позволява по-пълно да се реализират възможностите на метода [4]. Анализът на резултатите от многобройното изпълнение на програмата позволява да се направят още два извода.

1. Включените в масовите операционни системи и програмните библиотеки генератори на случайни числа отговарят на т.нар. „статистически“ критерии:

- независимост между последователно генерираните числа; - равномерно разпределение на резултатите и на разликите между две последователни

изпълнения. 2. За оценка на достатъчността на броя на изпълненията е подходящо да се предвидят

интерактивни процедури, на фиг. 1 – логическият оператор „Приема ли се?“, като периодично (напр. при 50 хил. повторения) се представят получените резултати и изпълнението се прекратява или продължава след оценка на специалиста. Нашият опит показва, че броят на изпълненията при този тип задачи не е по-малък от 100 хил. По принцип, всички програми за маркшайдерски и/или геодезически изчисления могат да се използват в режим Монте Карло, което ще разшири техните прогнозни възможности и ще позволи обективна оценка на зависимостта измервания-резултати.

Литература 1. Бахурин, И. М. Вопросы маркшейдерского искусства, Москва—Ленинград, 1936. 2. Metropolis, N., Ulam S. The Monte Carlo method. J. Amer.statistical assoc., 44, № 247, pp.335-341, 1949. 3. Трапов, Г. Приложение на статистическото моделиране за решаване на задачи при добива на полезни изкопаеми. Дисертация за присъждане на степента „Доктор“. София, МГУ „Св. Иван Рилски“, 2012, 258 стр. 4. Маждраков, М., Е. Шаламанова, Л. Симеонов, А. Цонков. Приложение на микрокомпютър „Правец“ в маркшайдерската практика. – сп. „Минно дело“, 1986, 1, стр. 24-28.