˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ %...
-
Upload
vuongkhanh -
Category
Documents
-
view
225 -
download
0
Transcript of ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ %...
���������� ��������������
����������������������������� ���������
������������ �����
����������������������� �� →�� ��������� ���������������!������"# $>� %
�������
πω &=
'%(�)����
*�����!��
��� �� →�� �����������!������"��������� ��+
'������ ������� �+��
�����
�%#
����������������� �∈� +
,����������
���-�������.�����!�)��������������������+
,�!�����������
��� ����++
++=��
�
�
�
��
�����
$
$
��� ��� =−=++ ���
�
��
�����������
$%#%#
,�������������� �� =+ ���
���
$+
/%�������������������������������+
��� �� →�� �����������!������"��������� ��+
• ��������������!���"���
���� �∈� ������� ��+ −+ − ==��
�
���
���
�
���
� �����
�����
� %#
%#
%#&
+
πω
• ������������������
�-���������������!�������� �� �0
%#%#� $$ ���� =∈∀ �
1����� ≥� � ���
�
���
�� ����� ++ %#%#%#� ωω −−+=∈∀ �
,������ ��������!���!!��������������� �∈� ����
��−==
==�
�
��
�
� ������+
$
%#%#%%##ω
'���������
�����������������������������������������+∞
=$%#
�
� �� ����� �+∞
−∞=�
��
�
� �π&
%#
#2�����������.�����.�����%
����������� ���������� �����
���������� ��������������
����������������������������� ����&�����
• ���!��������!���� ���
������ %#%# $$ ��� = �!�)�������+
1����� ≥� � �+
��
���
�=��
�� ��
�
����
���
+&���%#
&%#
π� �
+��
���
�=��
�� ��
�
����
���
+&���%#
&%#
π
• 3��������
*�����!��
��� %#%# $$ ��� =
���� ≥� ����
%+���#%#%+���#%#%#%#� ++ ����������� ��
���
�
���
� ωωωω +=+∈∀ −−�
1����� %#%#%# ���� ��� −+= � %#%#%# ������ ��� −−=
�� %%#%##&
%# ������ ��� −= � %%#%##
&
%# ������ ��� +=−
,�!�����������
4��������-����������������������������!����������+
'�������������������������������
�+∞
=++
$ %%+���#%#%+���#%##�
�� ��������� ωω
�% )!������
����������� �� →�� �����������!������"��������� ��+
(������
2���)!�����������������.�����������������������
*�����!��
#% ����������������� �∈$� � �� ∈∈∀ %#%�#5� ����� ��+
�� %#%#� ��� �� −=∈∀ �
#&% �������������� $%#� =≥∀ ��� �
1� �= &
$$ %#
&%#
�
�����
�� ������� ≥� � �= &
$%+���#%#
�%#
�
�������
��� ω +
������!��������� $%#�$ =≥∀ ��� �
1� �=≥∀ &
$%+���#%#
�%#�
�
�������
��� � ω
,�!�����������
2����!����������������+���������"��!��
����������� %+���#%# ����� ω� ����!��������� $%# =���
1� %+���#%# ����� ω� ����������������� ≥� �
��� ===−
+&&
&$
%+���#%#�
%+���#%#&
%+���#%#&
%#��
�������
�������
�������
���
��
�� ωωω
�-�����!6!������������!�����+
*�����!������������������������-�������.��
��������� �� →�� ��������� ��� � ���!������"����������+
���������� �������������� ����������������������������� ����������
������
��
−++=+→
�����%%#7%#7#��!&
������.�8�������%#7
%#
$������
����
��
�
+
'�������������������!������"���������� ��������
%#+%#� ����� �� ω=∈∀ �
'����!����������������� %#%7# ���� �� = # %7# ���= ����������.�8��%
3������
��!!������������� � ���!������"���������!���9��������9������������
�����+
,�!�����������
#% ������������� � �
'���� 7�� = ����
[ ]%#+
%#%#
%#
%#7
%7#$
+
$
$
+
$
+
���
�������
���
�����
�
�
��������
����
�
ω
ω ωωω
=
−−== ��−
=
−−
�����
#&% ����� � ���!������"�
��� �∈� ��� ��������������������������������+
�� ���� ������ � +=<<= +++$ ��� ������ �0 � �-��� �.��������!��� ���
����.�8��+
'���� ���−
=
−+ − +==
$
++
%#%#%#+�
�
�
�
�����
�
���
�
�
�
����������ωω
:/� ;�<= +�� ��� ����������� � ������������������ [ ]� +�� �� ����������!������
�� �� +�� +
��!!� ;�<= +�� ��� ��>������.�� ( )′+ ;�<= �� ��� ���������6����� �� ���� +�� �������
������-�����������������������
[ ] %#++%#%#%#+
$
+
$
$
+
�������������� �
�
�
�
�
����
�
����
�
�
�
ωω ωω =+= ���−
=
−−
=
− +
,-�0����������+
,%2�!!���3��!���?2�8�����
*�����!��
� [ ] �→�� �$� ��������������!������"������ $%#��!$
+ =�±∞→
����
����� ω
�����������
����������������!������"����������� �������� $%#��! =±∞→
���
,�!�����������
,�@9.�+
���������� �������������� ����������������������������� ����������
1%1"�!���
��� �� →�� π& �������� ������������ [ ]&
%#�&�$�
���−=∈∀ ππ
A����������������������������B
1�����������.���������������������������������!!�+
&
π
π π&
���������
≡≡/
=;&=$��$
;&=$��%#%#
C
ππ
�
�����
'���� �C����!�������� �
C���������!6!�����������������������+
,�������� ���������������� �∈� +
��� π&=� ����� =ω
1� ��−==
ππ πππ
&
$
&
$%+���#
&
%+���#%#
%# ����
����������
�������������������������������������
���
�����
������
πππ
πππ
ππ
=+=
− �
���
� −−==
�
&&
%+���#&
&%+���#%#+
$
&
$
&
$ �������
,����
��� �
%#5� =∈∀ �
1� �+∞
==
+���%#
� �
����
�������� %# �� �
� $%#� =∈ ��� �π
� �π∉� �
��� �−=
$
���
�
�
��� �∈� +����
���
����
�
− →��
�
����
�−
−=
���
����
�−
−=�
�
���
�=
=
��
�� �
��
+∞→
=
−−
=
−
$
$
$
$
+
$
4!
4!
%#
4!4!
%���#%#
���
���
�
����
���
�������
��
��
����
��
����
��
���
�
����
�
�
�
�
�0 $
$→
+≤
−≤ � �
���
�
��
��
�
� ��.������ �� [ ] ��
���
≤−
∈∀
��$
���������� ��������������
����������������������������� ����D�����
1����������&
%���&��#
&
$
$
��
�
����
�
�
����
�� −+=−
−=− �� −
π
,��� %#%%## ������� → +∞→ ���� ] [π&�$∈�
����������������������'%1��������������������������
π&�������� ���
�� ���� π&� �-����!8�� ��� ������������ �� � ���� � ��������� �� π& �
������� ���+
• ���������*�����!��
π&� ����������?����8���� %�# ��� !������ ×⋅+ ��
3�!�� ���
�������������������������.����������� π&� �
���� π&� ��� ∈ ������� �� ∗ �-���������������������
� −=∗∈∀π
π&
$%#%#
&
%%##� ����������� �
�� � .� �� ∗ ��� ��� ��� �� ��!�������� �������� 8���������� ��!!�����.�����������.����� π&� +
• ����������������*�����!��
2-����������� �=><∈π
π π&
$
&
& %#%#&
�%�# ����������� � ��� �� ������� ��������
��� π&�
(��� π&� �-��������!�������������!�&��������9�����������������+
/%,���)���!������������"
���� �∈� �����������-����������� � ������
� �� +%#� =∈∀ �
���� �∈� � %���#%#� ���� � =∈∀ �
1����� ≥� � %���#%#� ����� � =∈∀ �
'������������������������������������������� π&� +
2���!�����∈�� %# �����������!���
1� 5%#%#�� ∈∈ ∪ ���� � ����������������.��
&
�
&&==≥∀ �� �� ��
&$ =
1�������
��
������ �� �
&
$
++
&
δπ
π=�
− ���� �∈���
1����� ≥� �&
%#���
&
&
$
&&
&== �
π
���
���������� �������������� ����������������������������� ����E�����
�%���)�F!���������!���� ���
����������
2����!������∈�� %# ��
5
%�#�
�
∈∈
���� � ������8���+
���� �∈� ���� %�$��#G���%�#G��� ������� ��� ≤≤≤≤=≤
,�!�����������
2����!�����������8�������������������������.�������-������+
2-�������������������!�������������!�����+
����������� %�#G��� ��� �� ≤= ��� ��∈
=�
���
,����������
H����!�������-����������)�F!��������!���� ��+
� { }$I��∈ ��������������������������������������� �� ���∈ +
*�����!��
������������������� π&� ����������� π&� �����5
%�#�
�
∈∈
���� �
,� ������∈�� %# ��� ��� 8��� ��������!��� �� �� ��
5
%�#�
�
∈∈
���� � ��� 8���
�����������+
�� � ���� �� ������ �� ������������ �� π&� #��� ���� 9 ���� �� �������� ��
��!���������!������&%� π&$$ +++ ���� ⊂⊂⊂= �
1"�!�����
� :�)����,���������
���� �∈� ������� �
�
�
� �� ∈= �−=
���!����%&<���#
&
&���
%#�&I�
��
��� �
��
���
� +
=∈∀ �� π
1� &%#�& +=∈∀ ���� ��π
,�!�����������
� �� π&I∈� �
&&
&
&
&&
&
%#%#%&#%#
%&#+
&
$
++
%#
���� ��
������
��
������
��
������
�
�
������
�
��
−−=
−−=
−−==
−
++−
−
++−
+−
=
− �
� :�)������@���
���������� �∈� � ��
� ��
��� ∈
+++=
+++$ +
���!���� $���
���
%#�&I
&
&
&
≥���
����
�
+=∈∀
+
�
�
����
�
��� π
1� %#�& +=∈∀ ���� ��π
���������� �������������� ����������������������������� ����J�����
,�!�����������
� �π&∈� � %%&#+++�#
%# ++++
+= ��
��� �� �� !����� ��� ���������� ��
&%#%%&#+++�# +=++++ �� ��-�0�-�"��������+
�������
�
�
��
�
�=+=+ ��
=
+
=
�
�
� ��
��
� ���
$ &
%#
$ &
&
���4!
���
%���#%#%#
&
1�&
&&
&&
%#
$
%#
&���
���
���&
%%���##
���&
4!4!%#���%# &
�
�
��
����
� �
��
���
�
���
++
=
+ =+−=���
����
�
−−=�
�
���
�=+ �
,-�0�����!���+
,%4����������������!���� ��������������������
*�����!��
��� π&�� ∈ +�������� �∈� � %# ��� ��������@����������������������� �� +
1�������������&
&
&&
&
&
&
&
&%#%#%#%# ���������� �
�
�
�� −+=−+= �−=
,�!�����������
4��� π&=� �� =ω +
����������� �∈� � ><== �− ������ �
���
� �%#&
%#
&
$
+π
π
,��� ��−=−=
><==�
�
�
�
� ���� �%#%#
��!!�{ }� ≤� ������8�����������!����� �� � %# ��� ���8��������@������
�������������������
,� ����� %# ��� �− �� %# ��� ���� ����������"� ���� �-����� �� ������!� ��
�)��������&
&
&
&
&
&%#%# ������ �� −+=
1���!!������� �−=
=�
�
� ��� %#%# �0 { }� ≤� �����������!�������8���
�−=
=�
�
� ���&&
&%#%# +
�����������
�������� π&�� ∈ �����!�����∈�� � %%## ������������!!�8����7����9����� ����
����������!��������&&%#%# �� �� −+ ���.�����������-�����������/������
�� =≤+++∞
=−
π
π&
$
&&
&
&&&
$ %#&
%#%#%# ��������
�
��
#��.���� �-��)��������������%
,�!�����������
,��������������!�+
���������� �������������� ����������������������������� ����K�����
1%H�����-����)���������������
• *�����!�#�����.����������!�����,��������%� ��� �� →�� � � ���!������"����������� π& �������� ��+
'��������������������������.�������!���!���.������7����9������
�������� �∈� � %#%#��!+
����
�
��
�
=�−=+∞→
������!�����∈�� � %%## �����!!�8��
#�7����9����� ��������������!�������� %#%# �� �� −+ ���.����%
,�!�����������
2���!�����∈�� � %%## �����!!�8��+
1�������
��� �� →�� �����������
���� �∈� �����������.�8������ %#7%# ���� =
����� %%#7%#7#&
%# ������ �� +=
:/���!!���������������������� � ���!������"� �� 7 �� �� 7 �"������������
�����+
��� %#+%#� ����� �� =∈∀ � #��@9.�%
,������� ≥� �
( )
��
���
� +++≤
+=+
−
−−
&
&
&
&%#
%#
&
%#%#
%#%#
��
��
���
��
��
����
# %#�� &&
& ������ +≤∈∀ � %
3����9!������ ���-�����������/������-����� ��9�# ���-������ �����%�
�������� �∈� � �−=
=�
�
� ��� %#%# .������ $%#%%##%%##&
&
$=−�
π
�������
�
�� �����+
1������� � ��−=
−=�
�
��
�� ������������ππ
π&
$
+&
$%#%#%#%%##
&
1� $%%##%#%#
%#&
&
$
%#&
&
$
&
$
+ =−=×
−
×
−−���
�� ��� ��������
�
� �
�
� ���
���������
π
π
π
ππ
,-�0
�
��
��
−=
≥
≥
+−=
+−=
�
�
��
��
�
������������
��������������
&
&
$
&
$
&
$
&
&
$
&&
$
&
%#
%%##&
%%##%#
&
%%##%%##%#&
%#
&
ππ
ππ
ππ
ππ
���� ����� ��
,�������!�������8�����!!�8��������������-���������+
���������� �������������� ����������������������������� ����������
(�������!�������������!����
2�!!��
�������� �∈� �� �∈� � � −=∗=π
π&
$%#%#
&
%%##%%## ������������� ���
1�������
�
�� �
� ��
+
++
−=
−
−=
+ −
−=
−=
−==
����
��==
π
ππ
π
π
ππ
π
&
&&%#
&
%#%#&
%#%#&
%#
&
%#&
%#%%##
�
��
�
��
�
�
�
�
���
�
�
� ��
�
� ��
�
� �
�
�������
�����������
��������
'������������� �∈� �� �∈� �
%#%#%#&
%#%%## �������������� �� −−=− �−
π
ππ
��� %#&
&
$=�
π
���
,��� �− −+=−π
ππ�������������� �� %%#%#%##
&
%#%%##
1������ �− −−−=−π
ππ�������������� �� %%#%#%##
&
%#%%##
(�����!!� �� ��������
�
�
�
−
−
−
+=
−−+++=
−−++=−
π
π
π
π
π
π
ϕπ
π
π
�����
������������
�����������������
�
�
��
%#%%���##�
%%#&%#%##���
%%���##
�
%%#&%#%#%##�
%#%%##
&
&
&
�0
�
�
=−
≠−−++=
$��%%#7%#7#&
$�����
%#&%#%#
%#&
�����
���������
�
��
��ϕ
'����� [ ] �→− ππϕ ��� �����������#&
$&C��� �
�
�
→%
1��-���������!!���3��!���2�8������ $%#��! =�−±∞→
π
πλ
λϕ ��� �
��
,��� $%#%%##��! =−+∞→
�������
• *�����!�����@��#L���?������!!�%�:/� �� �"���� ������������ �� →�� ���������� π& �������� ��� ������ �� ��
����������!�������� %$%## �����!��+#.�����!���!����9������������%
*�����!��
���� π&�� ∈ � �� ����� �� ���!� ������� �=+
=�
� ���
�$
%#
%#σ ���.����
������!�!�������.����+
���������� �������������� ����������������������������� ����$�����
2�!!��
�������� π&�� ∈ �� �∈� � ��� �� ∗=%#σ +
1������� ���
���
���
��
�
�
� ∗��
���
�
+=∗
+=
+= ���
=== $$$
%#
%#σ
�������� �∈� ����������� �� %#&
=�−π
ππ����� �
�
��
−
−−
−−=
−−=−
π
π
π
π
π
π
π
ππσ
���������
�����������������
�
���
%#%%#%##&
%#%#&
%#%#
&
%#%%##
�������������!�����������������������!�ω ��������� $≥δ ������� { }δδω ≤−−= "�"��� �%#%#%# +
��!!�����8���������������� π& �������� ���ω ��������������������$+'�����ω .������ $%#��!
$=
→δω
δ+
���δ ��� �� πδ <≤$ +
'������������ �∈� �
�
��
−−+
−−+−−≤−−
−−
π
δ
δ
π
δ
δ
π
ππσ
���������
����������������������
�
���
%#%#%#&
%#%#%#&
%#%#%#
&
%#%%##
(��� �� ���������.�#���-�.���.�������������������"��������%
���������!����������������!!� δ≤� ���� %#%#%# δω≤−− �����
��������������∞
≤−− ������ &%#%#
,����������� �∈� �
%#���%#
&%#
%#���
%#���
%#%#
%#���
%#���
%#���
%#���
%#
%#%#&
%#%#%#%#&
%#%%##
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&
δδω
δδπδω
π
δωπ
πδω
πσ
π
δ
δ
π
π
δ
δ
π
π
π
π
π
δ
δ
π
δ
δ
++≤
���
����
�+
++≤
���
����
�+
++
≤
����
�� ++≤−
∞
−
−∞
+−
−
+∞
−
−
−∞
−
��
��
�
���
�
�
�����
�
���
���
�
�
�
�
����
���������
��������
��
�
����
�����
��!!��-���.������� ���� δ ��� �� πδ <≤$ �� ���� �∈� ���������������<−= �δ
1������ $%#���%#
&%#%#
&
&
�<�<
→+
+≤− +∞→∞−
∞ − ����
���� ωσ
���������� �������������� ����������������������������� ���������
�%*�����!��������.��
*�����!��
���� ���� ������ %�# �� �-���!���� �� π&� � �� ��!�����∈��� �� %%#%## ���
��!!�8������� ><== ��+
∈
�����������
��
�� �%#%#&
%#%#
&π
π�
�7����9����� �� ><=�−=+∞→
�����
�
�
�%#%#��!
1������������� �� ==∈
π
π&
$
&&
&
&%#
&
%# ������
�
�
�
3�!�� ��#L���������!!�%�
���#��������������8������� %# �� ������������������#�����-���������%
����������������#����!�����������+���� #$ ∈ ������������ �� ��������
���@������������������� %#$���
��$��� �� +
�������� �∈� ����������&&&%#%# $�$$�$
�� �� −+=
1�������� ��.��������
#% &&
%#��! $$����
=+∞→
#��������������.��%
#&% $%#��!&
=−+∞→
$�$���
#�% %$ ∈ �0 ��∈
=�
��%
1�������
%#%&# ⇔ ����������-����������)�������+
%�#%&# � ��� $%# →− $�$��
������ $$����
=+∞→
%#��!
1� %�$�� ���⊂∈∈∀ %#�� +,���$�����!����-���������-���!������%�
���������������9%+
%&#%�# � �
� %$ ∈ �������������� $>ε ����"���� %�∈ ��� �� ε≤− �$
,������������-����� �� ������� �� ���� �∈�
'���� ε≤−≤− �$$�$��%#
��� ( )�∈
−�
� $�$�%# ������������������ +⊂ �� �� +
,��� ε≤−≥∀ %#� $�$����
��� ��!���������!���.�����+
�� .��� �� ���� �� �-������� �� �����.�� ��� .���� ���� ���� #$ ∈ �� ��
�����!����� #% = +
*�����!��
2-������������������� π&� ����∞��
&+
,�!������������
���� π&�� ∈ � �� ����� %%#+++%##
%# $ ����
�� �� ++
+=σ ���.����������!�!���
����.����+
���������� �������������� ����������������������������� ����&�����
��!!�������� %# ��σ ���������� ����������� ��������������� π&� ����
∞+���� π&��∈ ����������
∞≤ ��
&
,��� %# ��σ ���������.��������&��������������������� π&� ����
&+
'�����������
��� π&�� ∈ +�������� �∈� � �� �� ∈%#σ +
,���&&%#%�#%# �������� ��� σ−≤=−
���� $%#��!&
=−+∞→
��� ��
,-�0�-��������������.���
( ) &
&
&
&
&
&
&
&
&%#��!%#��!%#��! �������� �
��
�
�
�
�
=−−==+∞→+∞→−=+∞→ �
��������"����������
����� π&� ��� ∈ +
�������� �∈� ���� ( )&&
& %#%#%#%# ���� ���� +≤
,���������������!�������� %#%# �� �� ������������!�������� %#%# �� �� −−
���.�������8����!���+
������������!!��
���
��
��
−=−=
−=−=
=><=
><=><=><
�
�
�
�
�
�
�
�
�
����
�������
%#%#�%#
�%#%#�%#�
,-�0 $%#%#�%#%#�&&
→−≤>−<=−>< +∞→−=� ���
�
�
������������
������ ����� ��������!�
����������� �� →�� ��������� ��������������!������"+
'%,�.�������������������������
*�����!��
4��"���������������� ������������ ���∈�� �� %%$%### ��.����+
2-����!8�� �� ������������ ��� !6!� ��� ������������ ����!8��8�� �-��.�����
��������� π&� ����∞+
,�!�����������
%�# & ∞π� ��� ��� ����8�� ��/����� #������������������� π& �������� �����
8�����%+����������������������!����������� �∈=∈ %$%##%#� & ���&��& ��� �π +
1����������������)����,��������#����%���������!����
�� −−=−==
π
π
π
π ππ���������������& ���� %#%#
&
%#%#
&
%$%##%#
���������� �������������� ����������������������������� ����������
'�����& ��������������� ∞
�� �� ==−
ππ
π ππ $%#
%#
&
��������& ���
1��������������������� �& ����!�@��������������!������������.������M����
�-�������� �� �������� ��� �������� �������� ������� ��� .������ ± �� �)��� ��!6!�
����� ���� � �� �� ��� �!�����8��+ ���� �8����� �-�������� �� ����� ��� ����� ��
����������������������������!������"�∈ � %# �)�����!6!������ ��
�� ��.�����
± ���������.�����������N�������� #����!8������%+'������������-�������9 ε
������������ $>ε ��������-�������+
# �=π
π $%#
����& �� �-������������������2�8�����%
(�������!��������� �� �& ����.��� ∞+ ���������.��� ∞+ �
��� ���+
=+
≥+
=πππ
πππ%#
$$
&
$&
&
& ���&%%���##&
���
%%���## �
�� ���
���
�
����
��&
1����� +∞→+
≥+
≥≥ �����−
=
−
=
+−
=
+
$&
$
%#
$
%#
�
%#
���&���& �
�
�
�
��
���
�
�&
πππππ
π
π
π+
������� �����������������!���/�����? ���������
��!!� π&� �����!��������∞���
�∈�� �& %%## �����8������������� π&�� ∈ �
������∈��& %# �����������8�������� ���-�����������+
4� �"���� ���� π&�� ∈ ����� ���∈�� �� %%$%### ��� ��� 8������ �� ��� �9 ���
���.�������+
A����9������������-����!8������������������������������!6!�������!�
��/�����? ��������+
/%2��������!����,��������
*�����!�#���.���������!���%�
��� �� →�� ��������� ���� � ���!������"+
'���� �� ����� �� ������� �+∞
=
−−++
++
$ %#%#�
���
�
���
� ��ωω ���.���� ��!���!���
����.��� �� →�� �����������
����������������� %#%# ���� =
����� %%#%##&
%# −+ += ������
3�!�� ���
�������������� �� = +
������������!���� �� � ��� 9 ����� �)!���� ���� �7����9����� �� �� ��������� �� �
%%#%##&
%# −+ += ������ ������ %# ��� ���.������!���!���.����+
*�����!�� ��� ���!6!���)��������� �������� ���� �������������� �����.��������� ��
�����������!���+
���������� �������������� ����������������������������� ����������
,�!�����������
��� ������!��� �� .����8�� ������� �� ��!��� �� ��� ��������� �� 9 π& �
������� ���
��� �� →�� ��������� �������������!������"+
'����������������������!�����.����8�� �� +ω= �
%#%#&
%#
%#
&
$
+
$
+ ���������
� �
�����
���
� === ��−− π
ωω
π
�0 �� →�� ������������!������" π& �������� ����������������
��
���
�=∈∀π&
%#���
���� �
���� π&=� ������"��!�������!������@9.�+���������!����
���������������!����������� %%## ���� �
�
��
�
−++=
++−=
−=−
π
ππ
π
π
π
ππ
π
$
$$
%#%%#%##&
%#%#&
%#%#
&
%#%#&
%%##
����������
��������������
����������
�
��
��
,���
�
�
+=
−−+−+=+− −+−+
π
π
ϕπ
π
$&
$&
%%���##%#&
%#%%#%#%#%##&
%%#%##%%##
�����
���������������������
�
��
�0
�
�
=−
≠−−+−+=
−+
−+
$��%%#7%#7#&
$�����
%#%#%#%#
%#&
�����
�����������
� ��ϕ ������������!������"+
'������-���������!!���3��!���?2�8������ $%%���##%#$ &
→+ +∞→� �� �����πϕ
1����� %%#%##%%##& −+
+∞→ + → ���������
'������!�����������
� 1� $=� �
����� � ���!������"������ %%$#%$##%$%##��!& −+
+∞→+= �����
�+
1���������������������������@9.�
���� $� π& �������� ������� ��&
%#$�
��−= π�� ] [π&�$∈� �� $%#$ =�� �� $=�
���.� ����������������������+∞
=
���
� �
���� �-�������.������!���!���.��� $� ���
�+
������������������������������������� � ���!������"������������+
� ������������������������ �∈� +
���������� �������������� ����������������������������� ����D�����
�%���!�����������.��
*�����!��
��� $>� � �� →�� �� ������������!������"����������� ���+
'��������!�����∈��� �� %%#%## �����!!�8���������
��+
∈
=��
��
�� �������
�� %#%#
%#%#�
1����������������� �� = ������!��������.�����������!!�8���������
���++∞
=∈
=��
���
� ++=��
��
��
�
� �����
�������&
&&
&
&
$
&%#
%#%#%#%#
�
,�!�����������
������!������������9 π&=� ����!6!���O��+
2�������������.�����������������+
������������-����!8���������������������������!������" π& �������� ���
9������)!���� ���+
��!������������ �=><π
π&
$&
� ���� +
'���� >< � ������������������������+
1� π&� ����������������������!�&��������9�����������������+
1�������
�����������������������������#�������������������%
��� �∈� ���������� �� $� =>< ��
'���� $%#&
$
& =�π
����
,���&%#�� �������������������������������+
����� π&+++$ $ =<<<= ���� ������������������.������������+
'���������������� ] [� +�� �� �������� −≤ �� ����� ] [π&� +��� +
,����������� ≥� � $%#%# == −+�� ���� ��7����9����� $%# =��� +
,������������
#3�!�� ��������.����������������!��������������!������"��������������
���"%
���!��������� �∈� �.����������������������� ] [π&M$∈� +
���� 5�∈� ����N�������������ϕ ��>��������.������ [ ] ] [
���� �I&�$ +−π ��
��������� [ ]��
�� � +− +
�������� �+
−−=− �
�
�
��� ������
&&
&%#%#
&
ϕπ
ϕ
��� � ��� 8����� #��� �������� ��� !������"% ��� [ ]π&�$ ��
[ ]∞
≤∈∀ ��� � %#�&�$ ϕπ +
,��� $&
�&
&
&&
&
→=≤− +∞→
∞+
− ∞� �
�
��
�
�����
�
� ππϕ
,-�0����������� π&� �����+#�������������������������������)������������
���������������������%
���������� �������������� ����������������������������� ����E�����
(�������!��������������!����������.������+
������ ><= ����' �%�# �� �∈
=��
�� ����� %#%#%�# ���� �∈�� � +
,�@9�'������ ��������������������� &� +
�������
,�@9���������������-������-�����������/�����#�������.� �-�������.���8��
���� ��� ��������� ��������� ��� !������"%� ( )�∈�� �
&%# �� ( )
�∈�� �&%# ����
��!!�8����������������� �∈� %%#%##%#%#&&
& ���� ���� +≤
,��� ( )�∈��� �� %#%# �����!!�8��������8����������+
,������������ �����������������������&�
������������-������������������������)� ��P��N�&<
&
&<
&%#%#%#%# ��
���
���
���
�≤ ���−=−=−=
�
�
�
�
�
�
����
�����.���-�����������/�����&&
%#%# �����
�
≤�−=
,�������������9����!���&&
%�# ����� ≤
,-�0���������������+'�����'������������������� &� ���������� &
&π� �����
���� &� ������������������+
���������������������������!������"9����� ������ ����
2�!!��
��� �� →�� �����������!������" π& �������� ��M��������"���� �∈�C ���
�� ��C= ��� [ ]π&�$ ����������!8��������������+
1�������
4���������������� %#%#C
���� = �����������������
1� %%#%##%#C
& −+ += ������ �����+
���� �� →�� �� ������������!������" π& �������� ��������
%C#%#� ��� �� =∈∀ � ��
&&
C�� =
,�����!!������!����������.�����.�������� �C�� �C ������-�����������+
�"�#!��������� ���������'%���������9.��������8�����
• Q�����������
H���������� [ ] �→��� �� �������9.��������8������-���"���� +∈ �� ��� ��
�����������
�
��� ≤−=<<<=∀ �−
=+
$
$ %#%#�+++
�� ���� ����� [ ] �−
=+
=<<=−=
$
+++
%#%#���%�#$
�
�
������
� ������$�
� .�������� ������ �� � ���
[ ]��� +
���������� ��������������
����������������������������� ����J�����
�����������
#% 2-����!8�� ��� ��������� [ ] �→��� 9 .�������� 8����� ��� �� �����������
.���������� [ ] %��# ����
#&% ��� [ ] �→�� �� �� [ ]�� �∈ +
�����9.��������8�������� [ ]��� ����� [ ]�� �������������9.��������8��������
[ ]�� �� [ ] [ ] [ ]%�#%�#%�# �$��$�$ ��� +=
#�% ������������� � ��� [ ]��� �������������9.��������8�����+
#�% H������������������N�������!���������� [ ]��� ���9.��������8��������
[ ]��� +
,�!�����������
,�@9��-�����������.��������R
���������9.��������8�������� [ ]��� �� [ ]�� +
� �� = �� � = �������������������+ �����
����� ���� � =<<<= +++$ ��������+
������ ��� �� �� ≤ �� �� >+ +
'���� [ ]%�#%#%#%#%#
$
��$�������� �
�
�� ≤−+−�−
=+ #.����������� �� = %
1� [ ]%�#%#%#%#%#
�$�������� �
�
�
�� ≤−+− +
−
+=+�
,���
[ ] [ ]%�#%�#
%#%#%#%#
%#%#%#%#
%#%#%#%#%#%#%#%#
$
�$��$
��������
��������
����������������
��
�
�
��
�
��
�
�
��
�
��
�
�
��
+≤−+−+
−+−≤
−+−+−=−
+
−
+=+
−
=+
+
−
+=+
−
=+
−
=+
��
���
,�������9.��������8�������� [ ]�� ����@9 [ ] [ ] [ ]%�#%�#%�# �$��$�$ ��� +≤ +
��� $>ε +'���� [ ] [ ] [ ] ε+≤+ %�#%�#%�# �$�$��$ ��� +
1����������"��������� ���� =<<= +++$ ��������� ��
[ ]&
$
%�#%#%# ε−≥−�−
=+ ��$���� �
�
��
1� ��� � =<<= +++ ���� �� [ ]&
%�#%#%# ε−≥−�−
=+ �$���� �
�
�
��
1����� [ ] [ ] [ ]%�#%#%#%�#%�#
$
�$�����$��$ �
�
�
���� +≤−+≤+ �−
=+ εε
,�����!!��-���.���8���������� $>ε ���� [ ] [ ] [ ]%�#%�#%�# �$�$��$ ��� ≤+
,-�0�-�������+
����#�%��������� ���� � =<<= +++$ ����
�� �� ≤=−−
=
−
=+
+ �
�
�
�
�
�
�
�
�� �������������
�
%#7%#7%#%#
$
$
+
���������� ��������������
����������������������������� ����K�����
����#�%�
������������N������
4��"��������� +∈ � ��� �� [ ] "� "�����"� −≤−∈∀ %#%#��� +
����� ���� � =<<= +++$ ��������+
'���� ��−
=+
−
=+ −≤−
$
$
%#%#�
�
��
�
�
�� �� ����
(��� ��!!� �-����������� ��� ��� 9 .�������� 8����� ��� [ ]��� #����) ��� ��
������ � %� �� �"���� +∈ �� ��� �� ���� ���� ����� ���� � =<<= +++$ � �� ���
����
�
�� ≤−�−
=+
$
+
1��������� 7%#%#
$
������
�
�� ≤−�−
=+ �0 �� =7
,�������9.��������8�����+
�!�������������!������������������"�!��������������
����� ���� � =<<= +++$ ��������+
'���� %#%#%%#%##%#%#
$
$
�������������
�
��
�
�
�� −=−=− ��−
=+
−
=+
,��� %#%#%#%#
$
���������
�
�� −≤−�−
=+ +
,�������9.��������8�����# $%#%# ≥− ���� %
*�����!��
��� [ ] �→��� �� + '���� � ��� 9 .�������� 8����� �� �� �����!��� �� ���� ���
���������������"��������������������+
1��������������-����!8�������������� [ ] �→��� 9.��������8���������������
�����������������������������9.��������������������������+
,�!�����������
��� [ ] �→��� �� +'������������� [ ]��� �∈ �����9.��������8�������� [ ]��� ���
����������� [ ]%�#%# ��$�� �=
'���������������������������"���� �� "� > �����
[ ] %#%�#%#%# "�"�$"��� � ≥+=
(������������ �� %#%#� ������ −� �������������������
�������� "� > ���������8��.����� """� � =<<= +++$ �� [ ]"�� �
�""""� �� =<=<<= +$ +++ ��������8��.������� [ ]��� �����
%#%#%#%#%#
$
��"���"�"��
≤−+−�−
=+
1� �� ������� 9 �� 8���� ���������� ��� ��� ��8��.������ �� [ ]"�� � �� �8�����
%#%#%#%# ��"���"� ≤−+ �����
$%%#%##%#%#%%#%##%%#%##%#%# ≥−−−≥−−−=− "���"���"�"�����"���
,��� ��� −= �.�����������������+
2�������� �����.�����-������������������#%��#�%�����������+
���������� ��������������
����������������������������� ����������
������������������!���"���������9.��������8����������� %3�# � �� %4!# � ��
��������������������!8���������������������������������������������������+
• ��������������� π& �������� ����
����������
��� �� →�� �����������!������" π& �������� �� �� 9 .��������8����� ���
[ ]π&�$ +�������� 5�∈� �����
(��
&%# ≤ �0 [ ]%&�$# π�$( =
3�!�� ���
H�� �������� 9 .�������� 8����� ��� ������ ��� ���� ��� ��!8������� �������� ��
��������������������� �������������#�7����9����� ����!�����������!��������9������
��9�����������������%+'.���������������-�����������������!����������������
�����������������������������!������"+
,�!�����������
���� ≥� �� &�+++$ −= � �����
�
��
+−=
+==
−
−
−
−−−
ππ
ππππ
π
ππ
π
π
&
$
+
&++
&
$
+
%#&
%#
%#&
%#
&
%#
�� ��
�� �������
�
���
�
� ������
�
�
�
,��� � �� ��
���
� +−==−
=
−−
=
ππππ
&
$
&
$
+
%#+&
&
$
%#%#%#&%#+� �� ������
�
���
��
�
��
�
�����
,-�0
[ ]�
�+≤
−+−−+++−≤π
ππππ
π
π&
$
&
$
%&�#
%%&##+++%&#%#%#%#+�
����$
�������������
�
����
(�����!!� [ ] [ ]%&�$#%&�# ππ �� $��$ =+ #��������������%����
[ ]%&�$#&%#+� πππ �� $�� ≤
• H��"�!����
2��������� �+∞
=
�
&%���#
�
�
���
�� � �����������!������9.��������8�����M��
�-�����������������������������������������+
����8��������������������� π& �������� ������������������������!���� ����
�����������������!���!������.�������+,��������!!���)����.����������!����
������������������������������������� ��������� ���!�9 ���!� ����������� ���!��
�������"5
�
&%���#%���#
�∈��
���
�
�
�����
��5
�
&%���#%���#
�∈��
���
�
�
�����
���� �∈� +
�������� $%#� =≥∀ �� ��
��
== � ��
��������8����������7��$%#
& �
��
�
5%%##�∈ � � �-����������8����������-������9.��������8�����+
���������� ��������������
����������������������������� ����&$�����
/%*�����!���,���?2�������N
,����������
H���������� �→)� � ��������S��������� ���� �-���"���� $>( �� $>α ����
��α
"�("���)"� −≤−∈∀ %#%#�� +
*�����!��
� � ��� π& �������� �� �� �S���������� �� ����� �� ������� �� � ���.����
������!�!���.��������+
3�!�� ���
������������!������������������8�����������!�����������������S����������
������ ����!�����������������������!�ω ��������� ���
��
%#ω� �����������8��
��� ] ]M$
������ �-���"�����������������������������������������������.��������
!�����������+
2�!!���3��!���?2�8�����T������!�U�
��� [ ] [ ] �→× ���( ��� ��������+ '���� �=�
�� ����(�* λλ %�#%�# ���� .��� $
���� ��λ ����.��� ∞± �����������!�!����� [ ]��� �∈ +
1�������
�����@9�����.���������!���.���$��� [ ]��� �-���������!!���3��!���?
2�8����������� ��+
�� !���� &� �� �� ���!� %�!�"#%�# ���� = �� �� ���� + �� !����� ��
����������������!���(��� [ ] [ ]��� �� × +'�����+����������������������$#���(���
���������������!���������������!�!�����������%�� $%$# =+ +
��� $>ε +
������ $>δ ��� ��%#&
%#�
+−
< εδ +����.�������� [ ]��� ������?�����.�����
[ ]� +�� �� �.�� ���� � =<<= +++$ ������� �� ����� �� <−−≤∀ +�
��!!�������.���������!�������"���� $>Λ ��� ���������� �∈λ �
[ ]&
%�#��$ ελλ ≤∈∀�Λ> ��*��
'������������� [ ]��� �∈ � ���"�������� �� [ ]� +∈ �� ��� �������������� �∈λ
��� �� Λ>λ �����
εδε
ελλλλ
≤−+≤
−+≤−+≤ �
%#%#&
%�#%�#%�#%�#%�#%�#
+�
����(��(�*�*�*�*�
���
������������!�!����������
4���������!�����������.�������������!��� %# ��� .������� [ ]π&�$ +
�����@9.� �� �−+−−=−
π
ππ��
������������
��
&
&
���
%%���##%%#%##
&
%#%%## +
���������� ��������������
����������������������������� ����&�����
��� $>ε + ��!!��
�%#ω ��� �������8�� ��� ] ]�$ � �� ���� ������� δ ��� ��
πδ <<$ ���$
%# εδ ω <� ��
�
�+
����������-��������������������������!������"� [ ]δπ −− � � [ ]δδ �− �� [ ]πδ � +
�������� [ ]π&�$∈� ���������#����������������� �� π�� ≥%���#
&��� [ ]π�$ %�
�&
%#&
%%���##���
%#
���
%%���##%%#%##
$
&
&&
&
επωπ
ω
δ
δ
δ
δ
δ
≤≤
+≤+−−
�
�� −−
���
�
�����
����
�������
1��������������!!�������� $>δ ��"�� �+−−
π
�
��������
�&
&
���
%%���##%%#%##�
���� ������!�!��� .��� $ ���� �� +∞→� �� �� �� ��� �� !6!� ����
�−+−−
δ
π��
��������
�&
&
���
%%���##%%#%##� +'��������"���� �∈� ��� ���������� �� ≥ �
�&
���
%%���##%%#%##
&
& επ
π
δ≤+−−� ��
�������
���
�&
���
%%���##%%#%##
&
& επ
δ
π≤+−−�
−
−��
�������
�
'������������� �� ≥ ������ [ ]π&�$∈� ���� ε≤− %#%%## ������
,-�0�����.�������+
�%*�����!���/��������
*�����!��
� � ��� π& �������� �� �� �S��������� �-�"������&>� #��� �"�!���
��������N�����%�������������������������.�������!���!���.����+
3�!�� ���
'.�� �� ����� �� 3����? ������� �� .���� �� �� ������!� �� /�������� ���
����!����7����9����� �-���"������S����������-�"���������������9V�������������
������� �-��� ��� ���!���!��� ���.�������+ 4� ���� ����� ��!����� ��� ���������� ��
������!���,���?2�������N������� ��������������������-������������S���������
���.����������!�!���.�������������#�����������"��������LS����%
,�!������������������!��
���� π& �������� ���S���������������������������������∈�� %# +
��� �∈� +H�������!�����.����8���!����� ����������������������������
%#� ������ +� .�������� %#%# �� �
���
�� = � �� ���" �� ��� �� −−= .�������������
%#%���#&%# ���� ��� =
'������-����������!����������.���
��∈
=−−+��
� �����������&&
&
$
&%#%#���K%#%# π
π
������������� ���
"��"���"� −≤−∈∀ %#%#�� &� #
&>� %
�������� ≥� M������� �����������������������.���
��
π= +
���������� ��������������
����������������������������� ����&&�����
��!!� ����&
π≤� � �� � ��π&
��� ≥ � ���� ��� &≤< � �� ���� !������
%���#�� ���&
& ≥��π
+
'�����
�
��
≤<
≤<
≥
≥−−+≥
���
�
���
�
�
�
�������������
&
&
&
&&&
$
&&&
%#&
%#%#���K%#%#%&#+&
π
πππ
�7����9����� ��
�
����&
&&&%#%#�
−
=− ≤+≥∀ � �0 �
�
� &
&
�π=
(�������!��������� ������!�����∈�� %# �����!!�8����7����9����� ���������
�����!�������� �+≤<
=&& �� �
�� � ���.����#�����������������!��������!��%+
�� ��������& +� ���!��� ���� �-��������� �� �����)? ��P��N �� �-���������
��������
�
�
��
�
�
�
�
�� ������
7&%&+#&%#+ &
&
&<
&&
&
&&
=≤≤=+
−+
≤<≤<��
++
'.�� �� −= &<& +��!!�&
>� �����������!���� ��������������.�����������
��!�����∈�� %# ��� ��!!�8��� �7����9����� �� �� ����� �� ������� �� � ���.����
���!���!���+
3����9!������ ������!!����������������8������
���� ������������!!��� ������������������ �+��!!���)����.�������
���!���������������������������������������������������������������!�9���!�+
'����� � �� � ���� ��������� �� �� ��!�� �� �-����� ��� ��� !6!�� ������������ ��
�������+,������������������+
%���)�F!����3����? ������
�����������������)�F!�������������
,-� == $$ ���������� �∈� �
��� -,���&
+=+ � ��� -,�-�&
−=+
�����������
#% ���� ���� �∈� � �� �� �- ���� ��� ���)�F!�� �� ����� �& �� ��
.��������#���������.������������������������!���!�����������
�������!�������������$������ �������������)�F!�%+
#&% 4��"������������ %# ≥�� ������� ± ����� ���
����+===
+= −
−
−===≥∀�
�
��
�
�
�
� ,,,-,��&
&
&
&
&
&
��
#�% ��������.��!��������� &&&%#%# +=+ �
�� .-.�
���������� �������������� ����������������������������� ����&������
,�!�����������
#%R
#&%� ���� ���� �∈� � �� �� �- ���� �� �� ���!� �=
=�
� � ,�&
� �
�=
=�
� � ,�-&
� � �.�� � ±=� � � ±=� � + �� � �� ����� ���� � & ≤≤ �
� � � � ��� == ++ ������ && +≤≤+ �� �� � � ����&�� −++ =−= +
��!!� �� ��� �� ���� �� �� ������& �� +�� #�7����9����� �� ��� �&
���!������������������ �� �������!6!�� �����"�� +�� %��������� � �=
�0 � ��� �� ������ ������ �� ��� �� � ≥& � �� ������� ��� ����� %# ≥�� ����
�� ����� �=
=∈∀�
� ,��&
5�� +2-������� %#
&
��� ��,-�
−= +− ����� ������� ��
���!���� �"�������� �� �- � �� �� ������� ������� �� �� ��!�������� �����
&
−−
−
+= ��� -,���
��
&
−−
−
−= ��� -,�-�
#�%����!6!��������� �∈. �&&&&
&
%#&%#&%#%# .-..�.-.� ����
�
+=+ ++
1��������������� �∈��� �
&&
&&
&&
%#%#%#%#
��
����������������
������������
+=
+−−++++=
−−+++=−++
1�������������������������������+�� ��
+�- +
1�������������������������������-��������.�� =. +
&% ������3����? ������
,����������
2� ����� 5%#�∈ �-������� ����� �� 3����? ������ #���� � ��� ����������
���������!!������������"����������������������D$%
��������� �
���������#/����������������N%�
�� � ���� ���� 5�∈ � %#%# �
−= �0 %# � ��� �� ��!8�� �� ����
�-����������8���&�� − +
,�!�����������
��� �������������@9� ��������������.�������� �≤ + �������� ��.����
���� & +≤ � ���� �∈� +'.��������������
%&#%#
&
&&
&
&
��������� ��,�-,�,�-,������
+−+=−+=+= ++++++
+++
�
���8�����
��
≤≤+−≤≤
= +++ & &&��
&�� ��
�
�
�
� �
� �
���������� �������������� ����������������������������� ����&������
,�������� �� & ≤≤ ��-��������8�������� & −++ �� �-�8��������@������
$ 9 ������ �� ����� �� −� � ���� �� ��!8�� �� �� ������ ���M �� ��&& +≤≤+ �� � ��-��������8�������� & −++ �� �-�8��������@������9������
��������� −� M��������������-��������8�������� −� ��!!������@9�����
���������!8�������!������+2����������������.�������� && +≤ � �
�� ������.�������������+
�%,�����)�F!���������!���� ���
���� �∈� �� ≥� �������� �-��� �������� ��� �� �� � && ≤<− �����
��������� �=
=�
� �
� ��
%# �� ���+===
+−
−
−==�
� �
� �
�
� �
��
�
� �%&
&
&
%#
'����� %#%#&
��
� ��� � = �� %#%#&
��
� -�% � = +
����������
���� ���� ≥� �� ���� �∈� � �'��� ≤%# �� �'�%� ≤%# �0
&&+=' +1�������
2��� ��������������������&��-�����������������������������#�%.��
��%+#��� '≤& �� %#%#&
��
� ��� � = � %#%#&
��
� -�% � = %
�������� ��� ���������� .����� @�� �-9 �-������ &≥−� + '����� ��
��������������� �� && −≤≤+ +�� � ������������ �∈� �
��−
=+
+=
+=+=�
�
�
�
�
� �
����
�
�
� �
��
�� ����&
&
&
&
%#%#%#
� && −≤− ��� ������ %#&
&
&
&
�� �
��
� �
�
� �
�
� �
−
−
=
−
=+
== �� #�-����������������
#&%��%%
1��� && −>− ��� ���� ����� &&&& =−<− + ����
%#&
&
&
&
&
&
�% �
�
�
��
� �
�
� �
� �
�
� �
−
−
+==
−
=+
=−= ���−
−
,-�0 %#%#%#&
&
&������� �
�
��
��
� −+= �� %#%#%#
&
&
&�%����� �
�
��
��
� −+=
1�����������"�������)��������������������
��
� �'�� &&%# −+≤ + +
(�����!!� �� ≤& ��&
&�
� � ≤− �����
�'�'
��� � =+∈∀ %&
&#%#�� +
2������ �% �����������+
���������� �������������� ����������������������������� ����&D�����
�%,���������������!���� ���
*�����!��
���� ���� ] ]M&∈α � �� ������
+∞
=
� �
α ���.����������!�!�������!���
��� ���!���!���+ � ��!!� α� ��� ��������� π& �������� �� �� .������
�+∞
=
=∗
&%%##
� �
��� ααα
3�!�� ���
������ ��!������ α−= � %# ��� ������������� � �����������.���$ �����
�� �� ����� �� ���!� ������� %%#%## +− � � ���.����+ �� �� ���� ���
�!����������������������-����������!����������.���������������!��������&%# − � �������.�����+
,�!�����������
��������������!������-'8���������� �� > ���!�@�������������!��
��
���
� +≤���
����
�
+++≤
���
����
�
+−++−=−=
��
���
∞+
=+
−−
=
−−
−
=
−
=
−
=
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� �
�'
��'
��
�
��
�
��
����
&<
&<
&<&<
&
%#
%#
%#
%#%#%#%#
αα
ααα
αααααα
#������������!��������&<
+α ���.�������
&
>+α %
��.������� �� �������.������ ����������������)���� �����.�������
������!�+ 1��� ��� ���� ������!�!��� ���.�������+ '����� �� ��!!� α� �� ��
�������� ��������� π& �������� ����� �������������������������-�8����������������������!�9���!���������������!���� ���
��
≥±≤
=��
$��$
%#�
�
���
αα
2-�"�������� ��� ������������ �� ������� �-��� ���.���� �����
��
≥≤
=∗��
$��$
%#&
��
����
ααα � �� ��!!� �� ����� �� ������� �� αα �� ∗ ���
������!�!������.�������#������!���!�������� �� & >α %�����!!� α� ���
���������������������������������������-�8�����������!�9���!���7����9�����
�� �� ���� ���" �� αα �� ∗ + 2� ���!��� �� �����.�� ����� ��� 9 ααα ��� −∗
!���������� �� ααα ��� =∗ ��7����9����� �� �+∞
=
=∗∈∀
&
+
%%##��
���
�
���� ααα�
���������� ��������������
����������������������������� ����&E�����
D%H�� ����� ������� ������!�!��� ���.������� ��� ���!���!���
���.���������� %�$#��
• ����������!�"�!�!����������)�F!���
����������
�����������)�F!� ;=,� �∈ ���� %#���%#���
.�.�.. =≤
=
����.��
��� ;=$
,,���
�∈=�=
+��!!�������������������!���� %�$#�� ���
�"���� %�$#$ ��. ∈ ��� �� %#%#��� $
.�.�.
=≤
+ �������� $ <.
�� ��������� ����� $>� ��� �� $ <+ �. + 2� ���!��� �� *�)���
���)��!����� $. ������
�=
=+�
� � ��
�.��.�
$
$
%#
$W
%#%#
1����� %#&%# $
&
$$ .����.� �� π
π=+� +'������������"�� $. �
%#%#&
%# $
&
$$$ .����.�.� �� ≤+≤ �
π
π
������!!������������� %#%#� $$ .��.�� �� =+∈∀ � +
2����!����������.�������������
��=
=+=�
��
�.����.�.�
$&
&&
$
%#&
$
&
$
&
$%W#
%#%#&
%#
π
π
,������������)�F!��������� %# $.�� = ����� %#���%#���
.�.�.. =≤
=
3�!�� ���
#% �� � !6!� ����.� ��� �� �� �� !�"�!�! ��� ������� ���� �� ��� ����.���������������������+
#&% 2�����.��-����� ��9�����������������)�� ���������.������������%�$#�� ����������������9 ���������������!!��-�����������������
��)�������.��������������!������������9+
• H���������������
����������
����&
>≥ α ����������������
+∞
=
. α ���������!�!������.����������
%�$#�� !���������!���!������.�������+
,�!�����������
2�����������!�"�!�!#���� ������)�F!��%!����� ������&
>α ��
�� > �����
∞+==+=∈
−== �� ��
�
�
.
�
�
�.
��
.
.
� %�$#
������ αα
���������� ��������������
����������������������������� ����&J�����
��!!� �� ����� 5%#�∈��� ��� ������!�!��� ���.������� ��� �� �� �����
��������+∞
=
. α ��� ������!�!��� �������)� ���� ������!�!��� ���.�������
��� %�$#�� +����&
>≥ α ������-���������!���!������.�������+
,%��!!���T��.����������������������������������UB
,�.��������������������������������������������
� ,����!�������������������������������+
� '���� �����������!���,��������
������"!��������
#% 2�!������ �������� ������ ��� ������������� .����������� ������ �� � ��� �������� � ���!������"+
#&% (����������������#��������� �� π&=� %
�� ��.������ � �� T����� �������!���� ��U� �7����9����� �+∞
==
$
%#%#�
� ���� �0
$$ α=� ����
++
=≥∀ −−
���
�
���
�
��
�
�������
γγβα
��
������%#� �� �� !����� �� ��� ������������
.���������
�� �� γ=∈∀ %#�� � �7����9����� �� � �+ +∞
=
−=π
πγ
&
$
+%#
&
�
�
���
� ���� � ������� �-��
�8����� ��������!��� �� ���������� �� �� ����� �� ��������� �+∞
=
−
$
+%#
���
�� ���
������!�!������.���������� [ ]π&� +�� +
1"�!�����
��� �∈α ������������ ] ] ���� +%#�� αππ =−∈∀ � π& �������� ��+
Q���������&=� �
ππ−
������������ � ���!������"� π& �������� ��
������������������������� �−−=
π
πα
� ���
�
%#
&
%#
#% � ��∈α ���������
��� $%#� =∈∀ � ���� �� ∈ +,��� ��� =%#
#&% � ��∉α �
%#
%#��%#
%#&%#
%#&&
%#
%#%#%#
��
��
��
��
�
�
��������
�
−−=
−−−=
−−=
�
���
�
−=
−−−−
−
−
απαπ
απαπαπ
απαππαπαπ
π
α
���������� ��������������
����������������������������� ����&K�����
,���������������!���!������.��������!���������!���!���+
2�������!���,��������������
���� ] [ππ �−∈� � �
�
��������
��
��
α
αααπαπ =��
�
����
����
����
�
+−+
−−+�
∞+
=
−−
%#%#%#��
1��� π=� �&
%#��
απαπ
αααπαπ −+∞
=
+=���
����
���
���
�
++
−+�
�����
�7����9����� %#��&%#��
&&
απα
ααπ
απ =��
���
�
++�
+∞
=� ����� �� �I∈α
����� ������ %����#&
�I
&&αππ
αα
αα =
++∈∀ �
+∞
=� ����
1"�!���&�
��� ] [�−∈� +,�.������� %�����#� ���� −� ����������������+
1�����
������������ ∞� � π& �������� ��+2�������!���,���������-����� �������
�+∞
==∈∀
$
���%#%#��
� ������� � #���������%�����!6!����.����������!���+
��
�����
���
���%#7�
−=∈∀ �
��������� $>� +�����������ϕ��=� �.�� $>ϕ +
������������
����
�
�
���� −
−
−−−−=
−=∈∀
ϕϕ ��&�����
���%#7��
����������� ��. = �
���
����
�+��
���
�−=
−−−+
−−−+=
−−−=
+−−=
��∞+
=
−∞+
=
−
−−
−
−
−
$
&&
&
&
&
%%##
%%##
%%##
��&
%#7
��
�
�
��
.
�.��
.
�
.
��
..
.�
..
.���
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
#��� <== −−
− ϕϕ
ϕ .
. %
( ) ��+∞
=
−+∞
=
−−− =−=
���&%#7�
�
�
�������������
ϕϕϕ
,��� � ��+∞
=
−+−=+=�
� ��
��
�������������
�
$ %#
$���%��#%$#%#7%# �����
ϕ
���������������!�������� �� ������!���!������.�����������+#ϕ�
� � −∞
= %
1���� �� ������������+
���������� ��������������
����������������������������� ����&������
,���
��
���
∞+
=
−
−
−
+∞
=
−
−−
+∞
=
−+∞
=
−
−���
����
�
−−=
−+−=−+−=
−
&
&
%��#
���&%#
��
���&&%��#���
&%��#%#
$
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
���
�
�
�
�����
�α
ϕ
α
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
�� ��� ��
�����
'���������
�������.������!����� �������� �������!���� ���!������-�������X� ��
�-��� �� ����� �� �������+ 4� ���� !��������� !������ �� %#$$ ��=α ��
�
�
��
��� α
ϕ
=−=∈∀−&
%#5��
���� ≥� ���� � ��+∞
===
ππα
ππ $$
$������
&%���#%#
&%# ��������������
�
��
�� ���� �����! �� ������%# α= + '�����
!
�
��
ϕ
α−
∞== &
� ���!� ������� �-���
��������.�������+
���������������������!�9���!�����
�
�
��
��
�������� ααπ
δπ
π== � �
+∞
=
=
$
&
$
�
������&
%#�� ��� ��
1%4�@����.����� �∈�� �� %%##��������������������������
*�����!��
2-����������� ��9 π&�� ∈ ������� �
��∈∈�� � %%## �������������@����.�+
�����������
����� �� →�� �� π& �������� ������������������ �� %#%#� ��� �� =∈∀ �
'���� �� = +
3�!�� ���
2-���������������������@����.�����+
� �� →�� �� � π& �������� ��� ��������� ��� !������" ���� ���� ��
%#%#� ��� �� =∈∀ � ������������������������������������������� [ ]π&�$ +
#1���!6!��������������!����%
,�!�����������
������� ���-��������������.��9 �� − �
�∈
=��
� ��&&
&%# + ,��� �� $%#� =∈∀ �� �� � ����� $
&=� + � �� ���� � ���
���������������������!������"9������)!���� ������������������+
���������� ��������������
����������������������������� �����$�����
�%*��������������������������������
3������
� �� →�� ����������� � �� π& �������� �������� %#%7#� ����� �� =∈∀ �
������������
� �� →�� ��� π& �������� ������������ � ������ ��
���
�=±∞→ �
��
�
%#
,�!�����������
���� $≠� ���� %#
%# %#
�
� ���
� ��
���
�=
2���!!���3��!���?2�8��������� %# � !����� ���
$%#��!%#��! %# ==±∞→±∞→
��
�
����
,-�0����������+
������������
��� �� →�� � π& �������� ����������+ ��� �∈
�������������!�������� ( )%#%# ��� ��
−+ ���.���������������������� � +
1��������������� ��
���
�= +±∞→ &
%#
��
�/� ������������������ �
3�!�� ���
���8������-� ��.����������� �� →�� � π& �������� �����������
������������ $%#��!� =∈∀⇔±∞→
∞ ���� �
�
��
,�!��������������������������
������ �+∞
=
−−++=
$ %#%#%#%#�
���
�
���
� ����� +'�����
#% ��������������������� � ����� π& �������� ��+
1����������������� �∈� �� �∈� ���
+==
−−
���
�
���
�� ����
���
%#%#%#
%#%# $$
'������������ �∈� � �� ����������� � ��
[ ] %%#%#%##%%##���$ %# ���
�
����
�
��
� ������� � −−−+∈∀∈∀ �
���� ���� [ ] � �$∈ � �� ������� ���!�������� %# �
�� ������!���!������.�������
���������������!�!������.�����������
%%#%##%%#%##� %# �������� ��
��
��
� −−∞+≤+≤∈∀ � � ���!� ������� �-���
��������.�����������)�������+
,��������������� � � ��������.�8�����!�9���!�+
#&% ���� π& �������� ��+
#�% 1����� �� = �
,�@9��������������� π& �������� ��+
���������� ��������������
����������������������������� ����������
������������ %#�� �
���� �∈� � � � ��
���
�=+∞
=
−π
π&
$$
%#&
%# �����
�
���
�� +
��������������� �∈� �� �∈� � ���
�� ���! −= %#%#
'���� ���� ���� �∈� � �! ��� ��������� ∞∞= �� �! � ���� �� ����� �� ���!�
������� �! ������!���!������.�������+
���������������������!�9���!���� [ ]π&�$ �
%#%#&&
%#
&
%#
$�
$
&
$�����!� �
�
����
�� === ���+∞
=
+∞
=πδ
πππ
Q% �������!�� ��8����8�����9������������������������
1"�!��������������������� %#���'�����%#� ���� =∈∀ �
1����������������������������
#% Q������
���� π& �������� ���������-�����!�����+ �� �
���
�−&�&
ππ� ��� =%# +
���� �
���
�
&
��&
ππ� ���� −=−= ππ %%#���#'�����%#
ππ−
&
π
&
π−
,���������������� � ���!������"+
#&% ����������������������$%#� =∈∀ ��� ��
���� ≥� �
��
���
�=��
�
�
��
�
� �
���
�− �
���
�=
��
�
�
��
�
�−+ �
���
� −− �
���
�−=
=
��
�
&���
�������&
���������%#
���&
%���#%#&
%#
&
&<
&
&<
$
&
&<
&<
$&<
&<
$
$
πππ
ππ
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
���
��
�
��
���
����
�
��
�
���
�
���
���������
,����-�������������!���,���������
�+∞
==∈∀
&
& ���%���#�
%#��
���
����
π
π�
���������� ��������������
����������������������������� �����&�����
#�% '��������������������+∞
=&
� �
��� �+∞
=+
+−=
$&
%%&���##%&#
%#�%#
�
�
���
��π
,�����&
π=� � �+∞
= +=
$&%&#
�
& � �ππ
����
�����������K<
$&
�<%&#
&
%&#
&
&
&
%&#
�
πξξ →
−
=
→
=
→
=��� +
+=�
�
�
� �
L%3����������-� ���������������������#�������������%
1"�!����-� ��������������������
��"�""# =++ 777�%# ��0 �∈��� ������������� π& �������� ��+
����������������������������������������������� �� %## �����!�������
�������� π& �������� ��+
'���)������������
��������������������������"��"�������������� π& �������� ���� %## +
�������������� %#ϕϕ �� �������� �∈� �����
%#%#
%#%7#%77#%#
& "�����
"�"�"�
�
����
++−=
++=
������ $� & ≠++−∈∀ ������ �
'���� %## ������������������ π& �������� ��"�����������������
�����
�"� �
� ++−=∈∀
&
%#%#��
&�!����� -���"������������"��������� �∈&��� 9 $& =++− ����� +
H������������������������ �� $%#%#&
== �� �� ���������������+'�����
��� %## �-������������������� %## ����������������������+
1���������$" ������������������������� �∈� �
��� ���"� +%#$� # &�=� %���
����������������+
�����������!���"����������������"���B
#% ������������� � ���!������"������ �∈
=∈∀�
�
�
���
� ���� %#%#�
1���������∈��
� � %# ���.����+
� � $� & ≠++−∈∀ ������ �
���������� �∈� � ��+∞
=∈
+=++−
=
$&%#
%#%#
�
�
�
���
� �!!�����
���
�
�0�
�!
%#$$ = ��
�����
�
�����
��!��
���
�
���
�� +−−
+++−
=∈∀∈∀ −−
&&
%#%#%#�� ��
'���������������� &� ������������������� %## +
���������� ��������������
����������������������������� �����������
1�����������! ������������
&� �����������������!�������� %# �
�! # &�=� %����
���!���!������.�����������
( )%#%#%#%#
&&
%# ��/�����
�
�����
��! ��
�
����
� −±∞→
−
∞+=
��
�
�
��
�
�
+−−+
++−≤
,��������������� &� �����.�8�����!�9���!����
%#%#
%#%#%#%#%#7%#77�
&
&
���
�����
�����������������
�
���
�
�
���
�
���
�
���
�
==++−
−+=++∈∀
�
�
∈
∈
�
�
�
� � ����� ++− & �-���������� �∈&��� �
������ �≠ ++−
=& �
&
%#%#
���
���
�
�����
���
�����!6!���������#������� �� $%#%#&
== �� �� %
#&% �!�����������-��� �������������.�!������ ���� %$%#$#� & =�=++−∈∀ ������� �� �
'���� %## ���!��������������� π& �������� ��+
��.�����������.������������������������-�"������������������������������
1 ����������������!�!8��� $777 =++ �"�""
1 ������������������ ��� $& =++ ����
��������� �� $�& ≠−=∆ �� +'�����������"������� � � &� ����������+
H��)���!������!����������������������� ��� � � ��
� &� +
,��� %## ���������
+=+=
����
����
�����"
���"
&
&
& %#%#%#7
%#%#%#
µλµλ
+
'������
=+=+
%#%#7%#7
$%#7%#7
&
&
& ������
������
����
µλµλ
,���&
%#%#7
��
���
��
−−=
−
λ �&
&%#%#7
��
���
��
−−=
−
µ
2������������������ %## �-����������
���
����
���
����
�����
��
��'�" &
&
$&
$&
%#%#%# ��
�
����
�
−−+��
�
����
�
−−= ��
−−
#1���
���
���
��
�����
������
��
��'�" &
&
&$
&
$
&
%#%#%#7 ��
�
����
�
−−+��
�
����
�
−−= ��
−−
%
'����"��� π& �������� �����������!����� %&#%$# π"" = �� %%$#7 π"" =
1� ������ ��!!� � ��� π& �������� ��� �� " ��� ��������� ����� %&#� π+�"�. �
�-��������+
,�������
====
%$#7%%$#7
%$#%&#%$#
.""
.""
ππ
�������-�������������!��������) ." =
���������� ��������������
����������������������������� �����������
4� ������ ���� �� !������ �-�� �"���� ' �� � ���� �� %&#%$# π"" = ��
%%$#7 π"" = ��7����9������
�
�
���
����
�
−−+��
�
����
�
−−=+
���
����
�
−−+��
�
����
�
−−=+
��
��−−
−−
ππππ
ππππ
&
&
&
$&
&
&
$&
&
&&
$&
&&
$&
&
&
&
&
%#%#
%#%#
���
���
���
���
�����
������
��
��'��'�
����
�����
��
��'�'
�����!!� & �� ≠ �
�
�
���
����
�
−−=
���
����
�
−−=
�
�−
−
%&#%#
%#%#
&&
$&
&&
$&
&
&
ππ
ππ
���
���
����
����
����
��''
,����������
� +& ≠�
π ����"����'��� ����� ��#%
� +& =�
π ������ ��� = �0 �∈�
1����� $%#%# & =++ ������ ��7����9����� $& =++− �����
,��� $%# =�� ��#%��.���� '' = � �������������������������+
��������!6!�����������+