Энергетический спектр и · 283 PACS numbers: 71.15.Ap, 71.20.Be, 71.27.+a,...

283

PACS numbers: 71.15.Ap, 71.20.Be, 71.27.+a, 71.28.+d, 72.10.-d, 75.30.-m, 75.40.-s

Энергетический спектр и электропроводность систем

с сильными электронными корреляциями

С. П. Репецкий*,**, В. Б. Молодкин*,**, И. Г. Вышиваная**,

Е. Г. Лень*, И. Н. Мельник*, О. И. Мусиенко**, Б. В. Стащук***

*Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины, бульв. Акад. Вернадского, 36, 03680, ГСП, Киев-142, Украина **Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко, физический факультет, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 1, 03022 Киев-22, Украина ***Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко, факультет кибернетики, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 6, 03022 Киев-22, Украина

Изложена теория электропроводности кристаллов с сильными электрон-ными корреляциями. Рассматриваются различные подходы к описанию

электропроводности неупорядоченных систем. Изложен метод вычисле-ния двухчастичной функции Грина (электропроводности) неупорядочен-ного кристалла. Учитываются процессы рассеяния электронов на потен-циалах ионных остовов, флуктуациях спиновой и электронной плотно-стей и колебаниях кристаллической решетки. Расчеты основаны на диа-граммной технике для температурных функций Грина. Получено кла-стерное разложение для двухчастичной функции Грина. За нулевое одно-узельное приближение в кластерном разложении выбирается приближе-ние когерентного потенциала. Исследованы энергетический спектр элек-тронов, атомное и магнитное упорядочение, оптическая проводимость,

температурная и концентрационная зависимости электросопротивления,

а также спин-зависимый транспорт сплава Fe–Co.

Викладено теорію електропровідности кристалів з сильними електрон-ними кореляціями. Розглядаються різноманітні підходи до опису елект-ропровідности невпорядкованих систем. Викладено методу обчислення

двочастинкової Ґрінової функції (електропровідности) невпорядкованого

кристалу. Враховуються процеси розсіяння електронів на потенціялах

йонних остовів, флюктуаціях спінової й електронної густин та коливан-нях кристалічної ґратниці. Розрахунки ґрунтуються на діяграмній тех-

Успехи физ. мет. / Usp. Fiz. Met. 2009, т. 10, сс. 283–330

Îòòèñêè äîñòóïíû íåïîñðåäñòâåííî îò èçäàòåëÿ Ôîòîêîïèðîâàíèå ðàçðåøåíî òîëüêî â ñîîòâåòñòâèè ñ ëèöåíçèåé

2009 ÈÌÔ (Èíñòèòóò ìåòàëëîôèçèêè

èì. Ã. Â. Êóðäþìîâà ÍÀÍ Óêðàèíû)

Íàïå÷àòàíî â Óêðàèíå.

284 С. П. РЕПЕЦКИЙ, В. Б. МОЛОДКИН, И. Г. ВЫШИВАНАЯ и др.

ніці для температурних Ґрінових функцій. Одержано кластерне розви-нення для двочастинкової Ґрінової функції. За нульове одновузлове на-ближення у кластернім розвиненні обирається наближення когерентного

потенціялу. Досліджено енергетичний спектер електронів, атомове й ма-гнетне впорядкування, оптичну провідність, температурну і концентра-ційну залежності електроопору, а також спін-залежний транспорт стопу

Fe–Co.

Theory of electroconductivity in crystals with strong electron correlations is

developed. Different approaches for description of disordered-systems’ elec-troconductivity are considered. The method of two-particle Green’s function

(electroconductivity) calculation for disordered crystals is developed. The

processes of electron scattering on spin and density fluctuations, ion-core

potentials and vibrations of a crystal lattice are taken into account. Calcula-tions are based on a diagram technique for temperature Green’s functions.

The cluster expansion for two-particle Green function is obtained. The coher-ent-potential approximation is chosen as a zeroth-order one-site approxima-tion in above-mentioned cluster expansion. The energy spectrum of elec-trons, atomic and magnetic orderings, optical conductivity, temperature and

concentration dependences of electroresistance and spin-dependent transport

of Fe–Co alloy are investigated.

Ключевые слова: энергетический спектр, электронная плотность, лока-лизованные магнитные моменты, атомное и магнитное упорядочение,

электропроводность, спин-зависимый транспорт, функции Грина, уро-вень Ферми.

(Получено 2 марта 2009 г.)

1. ВВЕДЕНИЕ

Успехи в исследовании свойств неупорядоченных систем (сплавов, неупорядоченных полупроводников, магнитных материалов) свя-заны с развитием их электронной теории. Традиционные представления о свойствах неупорядоченных сис-тем, основанные на борновском приближении, заведомо неприме-нимы в случае большого потенциала примесного рассеяния, кото-рый имеет место, например, при описании сплавов переходных ме-таллов. Значительные успехи в описании таких систем обусловле-ны применением методов многократного рассеяния, в том числе

приближения когерентного потенциала (ПКП) [1], которое являет-ся лучшим одноузельным приближением при описании свойств

сплавов. Однако для того, чтобы учесть межатомные корреляции, от которых существенно зависят свойства неупорядоченных сис-тем, необходимо выйти за рамки одноузельного приближения, т.е. учесть рассеяние на кластерах. Этой проблеме в литературе посвя-щено множество работ. Кластерные обобщения ПКП, основанные

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ СИСТЕМ 285

на рассмотрении единичного кластера в эффективной среде, не га-рантируют аналитичности и трансляционной инвариантности ус-редненной по различным расположениям атомов функции Грина

[1]. Среди кластерных обобщений ПКП следует выделить метод

присоединенного пространства [2–4] и приближение «блуждающе-го кластера» [5], в которых решена задача построения самосогласо-ванной аппроксимации, учитывающей рассеяние на кластерах при

сохранении аналитичности и трансляционной инвариантности ус-редненной по конфигурациям функции Грина системы. Эквива-лентность приближения «блуждающего кластера» [5] и метода при-соединенного пространства [2–4] доказана в работе [6]. Обобщение

метода присоединенного пространства на случай систем с ближним

порядком выполнено в работах [7–10]. Однако в упомянутых под-ходах не вводился какой-либо малый параметр, поэтому трудно

оценить точность сделанных приближений. В работах [11–16] развит метод вычисления усредненной по кон-фигурациям функции Грина и свободной энергии электронов спла-ва, основанный на разложении Т-матрицы по одноцентровым опе-раторам рассеяния и последующем расщеплении среднего от произ-ведения одноцентровых операторов на произведение средних от

произведения пар операторов. В качестве нулевого приближения

выбрано приближение ПКП. Введен малый параметр разложения

[17]. Однако вопрос о точности сделанных приближений остался

неисследованным. Были развиты также приложения этого метода к

расчету плотности электронных состояний и энергии упорядочения

частично упорядоченных сплавов [11, 12], параметров ближнего

порядка и эффективных межатомных взаимодействий [14, 15], оп-ределению стабильности упорядоченных структур [16]. В работах [18, 19] развит метод учета статистических корреля-ций, основанный на кластерном разложении для одно- и двухчас-тичной функций Грина, определяющих соответственно энергетиче-ский спектр электронов и электропроводность сплавов. В качестве

нулевого приближения в этом методе выбирается ПКП. Затем нахо-дятся поправки к ПКП путем суммирования вкладов процессов рас-сеяния на кластерах из двух, трех и т.д. атомов. Показано, что

вклады соответствующих процессов рассеяния убывают с увеличе-нием числа частиц в кластере. Это убывание определяется малым

параметром, который аналогичен параметру, введенному ранее в

работе [17]. Исследование этого параметра [12, 18–20] показывает,

что он может быть малым в широкой области изменений характе-ристик сплава (включая концентрацию компонентов), за исключе-нием узкого интервала значений энергии на краю спектра. Однако в указанных выше работах при описании электронных

состояний не учитывались колебания кристаллической решетки, которые могут давать значительные вклады в энергию упорядоче-


ния, параметры межатомных корреляций и существенно влиять на

свойства системы. Следует указать, что в работах [21, 22] сделана

попытка учета вклада электрон-фононного взаимодействия в тер-модинамический потенциал и электронную теплоемкость сплава. В

работах [23, 24] исследовано влияние электрон-фононного взаимо-действия на электропроводность неупорядоченных сплавов. Однако

в работах [21–24] не были учтены межатомные корреляции, а элек-трон-фононное взаимодействие считалось слабым. Кроме того, во

всех указанных выше работах не учитывались электронные корре-ляции, которые могут существенно влиять на свойства систем на

основе переходных и редкоземельных элементов. В работе [25] получено кластерное разложение для функций Гри-на и термодинамического потенциала системы электронов и фоно-нов неупорядоченного сплава. Электронные состояния системы

описаны в многозонной модели сильной связи. За нулевое одно-узельное приближение в данном разложении выбрано ПКП. Пока-зано, что вклады процессов рассеяния элементарных возбуждений

на кластерах убывают с увеличением числа атомов в кластере по

некоторому малому параметру. Полученные результаты указывают

на возможные пути обобщения известной в теории магнетизма од-нозонной модели Хаббарда для описания влияния сильных элек-тронных корреляций на электронную структуру и свойства неупо-рядоченных систем с узкими энергетическими зонами. Применимость развитого в работе [25] метода для описания

структурных и магнитных фазовых превращений в сплавах проде-монстрирована в работе [26]. Однако теория электропроводности неупорядоченных систем с

сильными электронными корреляциями находится на стадии раз-вития. Развитие подходов к описанию электропроводности систем с

сильными электронными корреляциями стало особенно актуаль-ным после открытия явления спин-зависимого транспорта, которое

имеет широкие перспективы применения в микроэлектронике [27–29]. В настоящей работе с использованием предложенного ранее в ра-боте [25] метода развита теория электропроводности кристаллов с

сильными электронными корреляциями. Учитываются процессы

рассеяния электронов на потенциалах ионных остовов, флуктуаци-ях спиновой и электронной плотности, колебаниях кристалличе-ской решетки и статических смещениях атомов. Получено выра-жение для двухчастичной функции Грина (электропроводности) неупорядоченного кристалла. Электронные состояния в данном ме-тоде описываются в рамках многозонной модели сильной связи. Расчеты базируются на диаграммной технике для температурных

функций Грина. При этом используется связь между изображения-


ми Фурье для запаздывающей и температурной функций Грина. Предложен метод кластерного разложения для двухчастичной

функции Грина, аналогичный развитому в работе [25] методу кла-стерного разложения для одночастичных функций Грина и термо-динамического потенциала неупорядоченного кристалла. За нуле-вое одноузельное приближение в этом методе кластерного разложе-ния выбирается приближение когерентного потенциала. Показано, что вклады процессов рассеяния элементарных возбуждений на

кластерах уменьшаются с увеличением числа узлов в кластере за

малыми параметрами, введенными ранее в работе [25]. Демонстри-руется применение развитого здесь подхода к описанию спин-зависимого транспорта в сплавах переходных металлов. Определе-ны условия возникновения эффекта спин-зависимого транспорта в

сплавах при наличии внешнего магнитного поля.

2. ГАМИЛЬТОНИАН СИСТЕМЫ

Гамильтониан системы электронов и фононов неупорядоченного

кристалла (металлического сплава, неупорядоченного полупровод-ника) в представлении Ваннье имеет вид [25]

0 int

H H H , (1)

где гамильтониан нулевого приближения

0 0 0 0ph e

H H H (2)

состоит из гамильтониана подсистемы невзаимодействующих элек-тронов

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

1 1 1

2 2 2

(0)

0 ,,

e n i n i n i n i

n in i

H h a a

(3)

гамильтониана подсистемы невзаимодействующих фононов

1 2 1 2

1 1 1

2 2 2

2

0 1 2 1 2

0

1 2 1 2

1

2 2ph

n ini A

n i

nP

n n n niH u u

i i i iM (4)

и энергии электростатического взаимодействия ионов 0 в поло-жении равновесия. Гамильтониан возмущения в формуле (1)

int ei e ph ee phi ph ph

H H H H H H (5)


состоит из гамильтониана электрон-ионного (электрон-примесного) взаимодействия

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

1 1 1

2 2 2

,ei n i n i n i n i

n in i

H w a a

, (6)

гамильтониана электрон-фононного взаимодействия

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

1 1 1

2 2 2

e ph n i ,n i n i n in i

n i

H v a a , (7)

гамильтониана парного электрон-электронного взаимодействия

444333

222111

444333222111

222111

444333

2

2

1

in,in,in,in

inininin

in,in

in,inee aaaavH , (8)

гамильтониана фонон-ионного (фонон-примесного) взаимодействия

1 2 1 2

1 1 1

2 2 2

1 2 1 21

1 2 1 2

1

2phi

n i

n i

n n n nH M P P

i i i i

1 2 1 2

1 1 1

2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1,

2 n i

n i

n n n nu u

i i i i (9)

где

212121

11

21

11

21

211

iinn

Ain MMii

nnM ,

21

210

21

21

21

21

212121 ii

nn

ii

nn

ii

nn,

и гамильтониана фонон-фононного взаимодействия

1 2 3 1 2 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 2 3 31 2

1 2 3 31 2

1.

3!ph ph

n in in i

n n n nn nH u u u

i i i ii i (10)

Здесь,

nia , nia — операторы рождения и уничтожения электрона в

состоянии, которое описывается функцией Ваннье nini ,

, sr ; индекс состояния определяется номером энергетической


зоны и проекцией спина s на ось z, n — номер элементарной ячейки

кристалла, i — номер узла подрешетки в элементарной ячейке; 0

222111 in,inh — матричные элементы одноэлектронного гамильтониана

чистого кристалла, который состоит из атомов сорта А; n

i

u — опе-

ратор смещения атома в узле (ni); n

Pi

— оператор -проекции им-

пульса атома на декартовые оси координат ( x, y, z);

21

21

21 ii

nn,

321

321

321 iii

nnn — силовые постоянные.

Оператор потенциальной энергии электрона в поле ионных осто-вов кристалла V r можно представить в виде

ni

ni

nivV rrr ,

i

n

i

ns

nini uurr ,

где r — радиус-вектор электрона, inni ρ

rr — радиус-вектор рав-

новесного положения атома в узле (ni) кристаллической решетки,

i

nsu — вектор статического смещения атома в узле (ni) из поло-

жения равновесия. Случайная добавка к матричному элементу од-ноэлектронного гамильтониана чистого кристалла, связанная с на-личием примеси, есть

ni

ni

in,inin,in ww222111222111, (11)

где

ni

in,inni

ni

in,in wcw222111222111

,

Ani

in,in

ni

in,in

ni

in,in

ni

in,in vvvw222111222111222111222111

,

dvv inni

*

in

ni

in,in 222111222111 rr .

Здесь

nic — случайные числа, которые принимают значение 1 или

0 в зависимости от того, находится атом сорта в узле (ni) или нет;

)(v nirr — потенциальная энергия электрона в поле иона сорта .

В формуле (7) величины 222111

in,inv выражаются через операторы

координат кристаллической решетки следующим образом:


i

nuvv

ni

ni

in,inin,in 222111222111;

где

ni

in,inni

ni

in,in vcv222111222111

,

ni

in,inv222111

определено формулой (11),

где вместо niv rr стоит ni ni

ni

de

d

r r

r r, а

nini

ni

e

r r

r r.

Величины ni

in,inv

222111

в (11) описывают рассеяние электронов на

статических смещениях атомов и определяются выражением

i

nuvv sni

in,in

ni

in,in 222111222111.

Выражения (1)–(11) для гамильтониана системы электронов и

фононов неупорядоченного кристалла получены в работе [25]. Од-нако в отмеченной работе не учитывались статические смещения

атомов из положения равновесия.

3. ФУНКЦИИ ГРИНА СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОНОВ И ФОНОНОВ

НЕУПОРЯДОЧЕННОГО КРИСТАЛЛА

Для расчета энергетического спектра и электропроводности неупо-рядоченного кристалла введем двухчасовые функции Грина. Обозначим двухчасовые запаздывающую ),( ttGAB

r и опережаю-

щую ),( ttGAB

a функции Грина системы [30, 31]:

)](~

),(~

[)()(~

|)(~

),( tBtAtti

tBtAttG r

AB

r ,

)](~

),(~

[)()(~

|)(~

),( tBtAtti

tBtAttG a

AB

a . (12)

Оператор в изображении Гейзенберга:

/ / )(

~ titi eAetA HH ,

где eeNH H , , N — соответственно химический потенциал и

оператор числа электронов, )(t — функция Хевисайда. Скобки

... в (12) обозначают операцию усреднения

)(Sp AA , /)( He ,

где — термодинамический потенциал системы, TkB , T —

температура.


Усреднение в формуле (12) проводится по состояниям системы

электронов и фононов в реальном кристалле при заданном распо-ложении атомов. Расчет двухчасовых запаздывающих и опережающих функций

Грина (12) базируется на расчете температурных функций Грина. При этом используется известное соотношение между спектраль-ными представлениями для запаздывающей, опережающей и тем-пературной функции Грина [30]. Определим температурную функцию Грина соотношением

)(~

)(~

),( BATGAB , (13)

где оператор )(~A получается из оператора )(

~tA путем замены

it :

)(

~ HH AeeA ,

)(~

)(~

)()(~

)(~

)()(~

)(~

ABBABAT ,

1 для бозе-операторов А, B и 1 для ферми-операторов. Введем оператор

)(HH0 ee , (14)

где intH 0HH , eeNH 00H . Оператор )( удовлетворяет

уравнению

)()()(

int

H ,

где

00 HHeHeH )( intint .

Решение последнего уравнения при условии 1)0( , которое

следует из определения (14), имеет вид

0

int )(exp)( dHT . (15)

Учитывая выражение (14), для оператора А в изображении Гейзен-берга можно написать

)()()()(~ 1 AA . (16)

Выражение (13) для температурной функции Грина с учетом (14),

(16) можно привести к виду

00 )/1(/)/1()()(),( BATGAB, (17)


где )(Sp 00 AA ,

/)(

000 H

e .

Раскладывая экспоненту в выражении (15) для () в ряд по сте-пеням Hint(), подставляя результат в (17) и используя теорему Вика

[30, 31], для расчета температурных функций Грина неупорядочен-ного кристалла можно построить диаграммную технику, аналогич-ную диаграммной технике для однородной системы [30]. Используя известные соотношения между спектральными пред-ставлениями температурной и временной функций Грина [30], пу-тем аналитического продолжения на действительную ось получим

систему уравнений для запаздывающих функций Грина (индекс r

здесь и в дальнейшем будем опускать) [25]:

)()()()()()( 00 aa

eephe

aaaaaa GwGGG ,

)()()()()()()()(1

000 PuuPuu

phpheph

uuuuuu GMGGGGG ,

)()()()()()()()( 0

1

00 uP

phpheph

PuPPPPPPPP GGGMGGG ,

)()()()()()()()( 0

1

00 uP

phpheph

uuPPuPuPuP GGGMGGG ,

)()()()()()( 00

uu

phpheph

PuPuPu GGGG

),()(1

0 PuPP GMG (18)

где . Здесь )(aaG , )(uuG , )(PPG , )(uPG , )(PuG — одночас-

тичная запаздывающая функция Грина подсистемы электронов, функции Грина «смещение–смещение», «импульс–импульс», «смещение–импульс», «импульс–смещение» подсистемы фононов; e ph(), ph e(), ee(), ph ph() — массовые операторы, которые опи-сывают электрон-фононное, фонон-электронное, электрон-электронное и фонон-фононное взаимодействия; М1, — разни-цы матриц обратной массы и силовых постоянных неупорядоченно-го кристалла и идеального кристалла, который описывается га-мильтонианом нулевого приближения H0. Из уравнений движения для функций Грина нулевого прибли-жения )(0

aaG , )(0 uuG , )(0 PPG , )(0 uPG , )(0 PuG можно получить

(1) 1

0 0( ) [ ]

aaG H ,

(1) 0

0 ,ni n iH h

,

*

( )

0 , 2 2 2,

1( )

/ ( )n i n iiuu

ni n i

jA j

e i e ij j

G eNM

k r r

k

k k

k,


2 *

( )

0 , 2 2 2,

( )

( ) / ( )

n i n i

j

iPP Ani n i

j j

e i e ij jM

G eN

k r r

k

k kk

k,

)()( 00

)0(

PPuP GiG

, )()( 00

1

uuPu

A GiGM

, (19)

где N — число элементарных ячеек кристалла; 3,...,2,1j , —

число подрешеток; вектор k изменяется в пределах первой зоны

Бриллюэна. В выражениях (19)

jie

k , )(

2 kj определяют собст-

венные векторы и собственные значения динамической матрицы

кристаллической решетки, которые удовлетворяют уравнению

jie

jie

iiD j

i

kk

kk )(

2, (20)

где ni

nA

eii

n

MiiD

krk

0

1

)0( .

Для бесконечно большого кристалла из (19) следует

)()( 02

22

0

uu

A

PP GMG

.

В этом случае решение системы (18) имеет вид:

11

0 )()()]([)(

eephe

aaaa wGG ,

1

2

21

0 )()()]([)(

phpheph

uuuu MGG

,

)( )(2

21

uuPP GMGM

, (21)

где iinnniA MMM )( .

Явные выражения для массовых операторов функций Грина, ко-торые описывают многочастичные взаимодействия в системе, мож-но найти, воспользовавшись диаграммной техникой [30]. В резуль-тате для электрон-фононного взаимодействия получим [25]

)( )( 2221112

22

222

111

1

11

,

, ,

inin

inniphein

inin

ininniphe cc , (22)


где

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1

3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1

, *

, , , ,

1( ) coth ( ) ( )

4 2

n i n i n i uu uu

e ph ni n i ni n i n i n i n i n id v G G

i

.)( 2222

444444333 , ,

in

inin

aa

inin vG

По индексам, которые повторяются, проводится суммирование. Фонон-электронное взаимодействие описывается выражением [25]

, ,

( ) ( )phe ni n i ni n i phe ni n i

c c

, (23)

где

2 2 2 1 1 1

1 1 1 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 4 4 4

1 1 1 3 3 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 4

, ,

* *

, , ,

, , ,

1( ) ( )

2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ni

ph e ni n i n i n i

aa aa aa

n i n i n i n i n i n i

aa aa

n i n i n i n i n i n

d f vi

G G G

G G G

4 4 3 3 3 4 4 4

*

,( ) .

aa n i

i n i n iv

Для электрон-электронного взаимодействия имеем [25]

)()()2(

,

)1(

, , innieeinnieeinniee , (24)

где

)()(~ 4

1 *

,,

, (2)

,

)1(

, 1221

2

1

aa

nn

aa

nn

nn

nnnnee GGvfdi

,

3

12

, (2)

, 21

2

)2(

, ~

2

1)(

nn

nnnnee vddi

)()()()()()( 1

*

,21,1,21

*

,21 14524125

aa

nn

aa

nn

aa

nn

aa

nn GGGGff

)()( )()()()( 2

*

,2,2112

*

,2, 25526336

aa

nn

aa

nn

aa

nn

aa

nn GGffGG

54

663143641

, (2)

, 21

*

,1

*

,21,1,~)()()()(

nn

nn

aa

nn

aa

nn

aa

nn

aa

nn vGGGG

,

2

1

2

1

2

1

,)2(

,

,)2(

,

,)2(

,~ nn

nn

nn

nn

nn

nn vvv , ( nin ).

Фонон-фононное взаимодействие описывается формулой [25]

1 2

1 2

,

1 2

1( ) coth

4 2ph ph ni n i

n n nd

i i ii


1 1 1 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 4 4 4 1 1 1 3 3 3

*

, , , ,( ) ( ) ( ) ( )

uu uu uu uu

n i n i n i n i n i n i n i n iG G G G

. )()(43

43*

,, 43222444444222

iii

nnnGG uu

inin

uu

inin (25)

При получении выражений (22)–(25) для массовых операторов

вершинные части брались для простоты в нулевом приближении. Выражения (21) для функций Грина )(uuG , )(PPG получены при

условии

2

(0)

2

,

( ) ( ) 1ph e ph ph

ni n i

nnM

i i

.

При этом в разложении функции Грина )(PuG (18) по указанному

малому параметру сохранялся нулевой член разложения )(0 PuG , член, пропорциональный первой степени отмеченного малого па-раметра и пренебрегалось членами, которые пропорциональны вто-рой и более высокой степеням. Для получения плотностей состояний подсистем электронов и

фононов, необходимо усреднить выражения (21) по расположениям

атомов в узлах решетки. В результате для плотности электронных

состояний на один атом можно написать

c)(Sp Im 1

)(

aa

e GN

g , (26)

а для плотности состояний подсистемы фононов

c2)(Sp Im2

1)(

uu

Aph GMN

g

. (27)

В выражениях (26), (27) скобки c... означают усреднение по

разным расположениям атомов (конфигурационное усреднение), N

— число элементарных ячеек, — число атомов в элементарной

ячейке. Для сокращения записи в дальнейшем индекс «с» возле

скобки c... будет опускаться. Ниже будет показано, что при учете сильных электронных кор-реляций конфигурационное усреднение включает усреднение как

по расположению атомов разного сорта, так и по ориентации лока-лизованных магнитных моментов на узлах кристаллической ре-шетки. Выражения (21) отличаются от соответствующих выражений для

функции Грина одночастичных гамильтонианов неупорядоченной

системы лишь видом массовых операторов. В связи с этим для вы-полнения конфигурационного усреднения в формулах (26), (27) воспользуемся хорошо известными методами теории неупорядо-


ченных систем [18, 19]. Выполним кластерное разложение для функций Грина )(

aaG ,

)(uuG в выражениях (21)–(25), представив массовые операторы в

виде суммы одноузельных операторов и выбрав как нулевое одно-узельное приближение функции Грина эффективной среды. Ука-занное разложение является обобщением кластерного разложения

для функции Грина )(aaG одночастичного гамильтониана [18, 19].

Функцию Грина эффективной среды для подсистемы электронов

определим выражением

1

1

0( ) [ ( )] ( ) ( )

aa aa A

e ph ee eG G

, (28)

где массовый оператор электрон-фононного взаимодействия чисто-го кристалла

1 1 2 2

1 1 2 2

,

,

( ) ( )An i An iA

e ph e ph

n i n i

.

Величины )(2211 ,

iAniAn

phe определяются выражением (22), в котором

функции Грина неупорядоченного кристалла заменены функциями

Грина эффективной среды. Функцию Грина эффективной среды для подсистемы фононов за-дадим выражением

1

1

0( ) [ ( )] ( ) ( ) ( )

uu uu A A

phe ph ph phG G

, (29)

где величины ( )A

ph e , ( )

A

ph ph определены аналогично ( )

A

e ph .

В выражениях (28), (29), )(ph — потенциалы эффективной сре-

ды (когерентные потенциалы), значения которых будут отмечены

ниже. Функции Грина (21) удовлетворяют известному уравнению Дай-сона

)( )(~ )(

~)(

~)( GGGG , (30)

где для подсистемы электронов

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A

e ph ee e ph ee ew , (31)

а для подсистемы фононов

2

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A A

phe ph ph phe ph ph phM

. (32)

Оператор Т-матрицы рассеяния определяется соотношением


)(~

)( )(~

)(~

)( GTGGG (33)

и удовлетворяет уравнению

)( )(~

)(~

)(~

)( TGT ,

которое следует из уравнений (30) и (33).

Представим массовые операторы в виде суммы одноузельных

операторов

)(~

)(~

)( 11

11 in

in, (34)

получим для оператора Т-матрицы рассеяния выражение

)()()( 11

11 in

inTT , (35)

где

)()( 1122

22111111~

inin

ininininTGttT , (36)

11int — оператор рассеяния на одном узле, определяемый выражением

111111~~~ 1 ininin

GIt

. (37)

Решая систему уравнений (36) относительно оператора 11in

T и

подставляя результат в (35), T-матрицу рассеяния можно предста-вить в виде ряда, члены которого описывают рассеяние на класте-рах с разным числом узлов (см., например, [18]):

...)()(

, )2(

)( 2211

2211

11

11 inin

inin

in

inTtT . (38)

Здесь

11221122112211~~~~ 1, )2( ininininininintGItGtGtGtIT

.

Величины 11in

t , 2211 ,)2( inin

T в выражении (38) зависят от статических

смещений атомов из положения равновесия согласно формулам

(37), (31) и (11). Функция распределения по статическим смещени-ям атомов имеет резкий пик в области наиболее вероятных значе-ний смещений. В связи с этим статические смещения в выражении

(11) можно заменить их средними значениями. Средние статиче-ские смещения атомов в узлах (n1i1) и (n2i2) соответственно равны

21

1

1

1

1

1

1

i

nu

i

nu

i

nu sss

,


21

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

i

nu

i

nu

i

nu

i

nu

i

nu sssss

. (39)

Воспользуемся теорией статических смещений атомов, развитой в

работах Кривоглаза [32]. В приближении упругого изотропного

континуума для бинарных сплавов с близким атомным порядком

можно написать

)(2

2112)1( nniss eAccnunu

rrk

k

k

k

, (40)

где

k

ekA kka

, c

V

Va

1

1

1

13

1k ,

k

kek ,

kk )1( cc — изображение Фурье параметров парных межатом-

ных корреляций 21nn , равновесные значения которых определяют-

ся из условия минимума свободной энергии сплава; k — изобра-

жение фурье-параметра ближнего порядка Каули [32]; ka — пара-

метр статических искажений; — коэффициент Пуассона; V1 —

объем примитивной ячейки; волновой вектор k изменяется в преде-лах первой зоны Бриллюэна. Производная от объема элементарной

ячейки по концентрации cV 1 может быть рассчитана из условия

минимума свободной энергии сплава. Согласно выражению (33), конфигурационное среднее от функ-ции Грина )(G выражается через среднее от Т-матрицы рассеяния. В работе [25] установлено, что вклады в усредненную функцию

Грина )(G процессов рассеяния элементарных возбуждений на

кластерах уменьшаются с увеличением числа узлов в кластере за

некоторыми малыми параметрами. Исследование этих параметров

показывает, что они являются малыми в широкой области измене-ния характеристик неупорядоченной системы, включая концен-трацию компонентов, за исключением узких интервалов значений

энергии на краях энергетических зон. Когерентные потенциалы определяются из условия 010

i

t и

удовлетворяют системе связанных уравнений

)(]~

))()((1[]~

))()((1[)( 111111 01001

1000

i

e

aai

e

i

e

aai

e

i

e

i

e GG ,

)(]~

))()((1[]~

))()((1[)( 111111 01001

1000

i

ph

uui

ph

i

ph

uui

ph

i

ph

i

ph GG . (41)

Функция Грина эффективной среды )(~G определяется из выраже-


ния

)(

,

1

, ),(~

)(~

inini

iiinni eGNG

rrk

k

k , (42)

где величины ),(~

, kiiG определяют функцию Грина в k-изображе-

нии.

Для подсистемы электронов функции ),(~

, kiiG являются эле-

ментами матрицы

1

, ,,

)0(

, ),(,~

),()(),(~

kkkkk iieiiee

A

iipheiiii

aa hG , (43)

где

)(

,

0

,n ,

1

1 )(),( inini

i nn

i

inieiie e

rrkk .

Функция Грина эффективной среды )(~

uuG следует из выраже-

ния (19) заменой величин

jie

k , )(

2 kj на

jie

k ~ , )(~2 kj , где

jie

k ~ , )(~2 kj — соответственно собственные векторы и собствен-

ные значения динамической матрицы

iiD

~ k, которая получает-

ся из выражения (20) заменой

ii

nAA 0 на

)()()(0

0

,0 ,0 ,0

i

iniph

A

iniphph

A

inieph

AA

ii

n.

4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

Термодинамический потенциал системы определяется выражением

(см. (12))

)(Sp ln/ He . (44)

Воспользовавшись формулой (14), из (44) получим

0 , (45)


где 0)/1(ln . Термодинамический потенциал 0 в формуле (45) в отсутствие

взаимодействия можно записать в виде

phe 00c0 . (46)

Термодинамический потенциал электронной подсистемы

dgeN ee

e )(1ln 0

/)(

0 . (47)

Термодинамический потенциал подсистемы фононов

dgeN phph )( 1ln 0

/

0 . (48)

В выражениях (47), (48) плотности )(0 eg , )(0 phg даются формула-

ми (26), (27), в которых )(aaG , )(uuG заменены функциями Грина

нулевого приближения )(0 aaG , )(0 uuG .

Конфигурационная составляющая термодинамического потен-циала c в формуле (46), зависящая от распределения атомов раз-ного сорта по узлам кристаллической решетки, есть

c0c S , (49)

где cS — конфигурационная энтропия. Добавка к термодинамическому потенциалу, обусловленная

вкладами процессов рассеяния электронов и фононов, равна [25]

1

0

1 Im ( )Sp ( ) ( , ) ( , ) ( , )

aa

e ph ee

dd f w G

11cth Sp ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ,

2 2

PP uu

ph phM G G

(50)

где f() — функция Ферми. В пренебрежении электрон-фононным, электрон-электронным и

фонон-фононным взаимодействиями выражение (45) для термоди-намического потенциала существенно упрощается. Полагая в (50)

0)()()( phpheephe , разлагая функции Грина )(aaG ,

)(uuG в степенной ряд (см. формулу (21)) и выполняя в интеграле

по энергии интегрирование по частям, и делая циклические пере-становки операторов под знаком Sp, придем к выражению [25]


phe c , (51)

где e , ph даются формулами (47), (48), в которых )(0 eg , )(0 phg

заменены соответственно на )(eg , )(phg (см. (26), (27)).

При учете указанных выше взаимодействий выражение (51) мо-жет рассматриваться лишь как приближенное. Свободная энергия F связана с термодинамическим потенциалом

соотношением

ee NF , (52)

где eN — среднее число электронов. Уровень Ферми e системы определяется из уравнения

dgfZ ee )(),( , (53)

где )(eg дается формулой (26); NNZ e — среднее число

электронов, приходящихся на один атом.

5. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ

Для расчета тензора электропроводности воспользуемся формулой

Кубо 33

1

0 0

0 dtditJJe tti , (54)

где J — оператор -проекции плотности тока. Из выражения (54) получаем

JJ

a

JJ

r GGi

2Re (55)

Выражение (55) получено в предположении отсутствия магнитного

поля. Для расчета спектральных представлений запаздывающей и опе-

режающей функций Грина JJ

rG , JJ

aG воспользуемся выра-

жением для оператора плотности тока

dtvtetJ ,, ,

где t,, t, — полевые операторы рождения и уничтожения

электрона соответственно; v — оператор -проекции скорости; e —


заряд электрона; под интегрированием по имеется в виду интег-рирование по объему кристалла и суммирование по проекции спина

s на ось z; объем кристалла считается равным единице. Расчет двухчастичных запаздывающей и опережающей функций

Грина (электропроводности) (55) неупорядоченного кристалла ба-зируется на методе температурных функций Грина. При этом ис-пользуется известное соотношение между спектральными пред-ставлениями запаздывающей, опережающей и температурной

функций Грина. Температурная функция Грина (17) в этом случае:

4321

1

2

,,,),(4321

1324nnnnGvv

NV

eG

nnnnnnnn

JJ, (56)

где двухчастичная функция Грина

ninaaaaT

nnnnGnnnn

0

1

0

1

4321

4321

,,, , (57)

V1 — объем элементарной ячейки. Раскладывая экспоненту в выражении (15) для )( в ряд по сте-пеням )(int H , подставляя результат в (57) и используя теорему Ви-ка [28, 29], для расчета двухчастичной температурной функции

Грина неупорядоченного кристалла можно построить диаграммную

технику, аналогичную диаграммной технике для однородной сис-темы [28]. Знаменатель в формуле (57) сократится с таким же мно-жителем в числителе. При этом функции Грина системы выразятся

в виде ряда только по связным диаграммам. Выполняя дальше пре-образование Фурье и используя известные соотношения между

спектральными представлениями температурной и временной

функций Грина [28], путем аналитического продолжения на дейст-вительную ось получим с учетом (55) следующее выражение для

действительной части тензора электропроводности системы

,,111

1

2

12Sp4

Ress

ssffdNV

e

,;,, 2121211,1

ffddvKv ss (58)

где

ssaass GvGvK 1111 ,, , 111

aa

r

aa

a

aa GGG . (59)

Вершинная часть двухчастичной функции Грина ;, 21 в фор-

муле (58) в первом порядке по потенциалу парного электрон-


электронного взаимодействия

21

43

2~ nn

nnv имеет вид

65

871324

2

21~

2;,

nn

nnnnnn vvvi

2211 52526161

aa

nan

aa

nrn

aa

nan

aa

nrn GGGG

1212 38473847

aa

nan

aa

nrn

aa

nrn

aa

nan GGGG

112221 383847525261

aa

nan

aa

nrn

aa

nan

aa

nan

aa

nrn

aa

nan GGGGGG

2121 52615261

aa

nan

aa

nrn

aa

nrn

aa

nan GGGG

1122 38384747

aa

nan

aa

nrn

aa

nan

aa

nrn GGGG

211 526161

aa

nrn

aa

nan

aa

nrn GGG

211122 526161384747

aa

nan

aa

nan

aa

nrn

aa

nrn

aa

nan

aa

nrn GGGGGG

122 384747

aa

nan

aa

nan

aa

nrn GGG . (60)

Выражение (60) написано в пренебрежении перенормировкой вер-шинной части массового оператора электрон-электронного взаимо-действия. Тензор электропроводности сплава () зависит от случайного

расположения атомов разного сорта на узлах кристаллической ре-шетки. Для расчета () воспользуемся свойством самоусредне-ния тензора электропроводности, в соответствии с которым значе-ние () при бесконечном увеличении объема системы стремится

к некоторой неслучайной величине, равной усредненному по раз-ным расположениям атомов значению (). Выражения для

функций Грина в формуле (59) для () отличаются от соответст-вующих выражений для функций Грина одночастичных гамильто-нианов неупорядоченной системы лишь видом массовых операто-ров. В связи с этим, для расчета тензора электропроводности ()

воспользуемся хорошо известными методами теории неупорядо-ченных систем [18]. В результате для тензора электропроводности

() получим

,,111

1

2

12Sp4

Ress

ssffdNV

e

;,, 2121211,1 ffddvKv ss, (61)

где


ssss vKvvKv 1111 ,,~

,,

ssssssss TGvvKTGvvK 11111111

~,,

~~,,

~

ssssss TvKTvK 111111 ,,~

,,~

,

saasaass GvGvK 1111

~~,,

~.

Оператор -проекции скорости электрона v в формуле (61) дается

выражением

k

hv

ii

ii

kk

0

,

,

1

.

В приближении когерентного потенциала

;,~

;, 2121 , (62)

где ;,~

21 получаем из выражения (60) путем замены saaG

на saaG ~

.

6. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ

Приведенные результаты позволяют учесть влияние сильных элек-тронных корреляций на электронную структуру и свойства сплавов

переходных металлов с узкими энергетическими зонами. Для этого

учтем неоднородное распределение электронной плотности. В вы-ражении для массового оператора электрон-электронного взаимо-

действия (24) число электронов i

m

sniZ в состоянии (nis), то есть

число электронов на атом в узле (ni) и энергетической зоне для оп-

ределенной проекции спина s, зависит от сорта атома и локализо-

ванного магнитного момента im в данном узле (ni). Значение i

m

sniZ

определяется выражением (53), в котором плотность электронных

состояний )(e g заменена условной парциальной плотностью со-

стояний )(i

m

snig для энергетической зоны и проекции спина s.

Плотность состояний )(i

m

snig дается выражением

i

i

)(, )(Im

1)(

mni

aa

snisni

m

sni Gg , (63)

в котором усреднение проводится при условии, что в узле (ni) нахо-

дится атом сорта , а проекция локализованного магнитного мо-

мента электрона равняется im . Обозначив вероятность указанного


события как im

niP , можно написать

i

i

,

1m

m

niP .

Можно записать уравнения

iii

,

m

sni

m

sni

m

ni ZZZ , ii

,

m

sni

m

snii ZZm , (64)

где

ii m

ni

m

ni ZZ и

ii mm — число электронов и значения

проекции магнитного момента для атома сорта в узле (ni). Из выражений (64) следует, что вместе с флуктуациями локали-зованного магнитного момента im в системе могут возникать

флуктуации зарядовой плотности im

niZ относительно среднего зна-

чения Z . Из уравнений (64) получим

2

i

m

nim

sni

mZZ

i

i , 2

,

i

m

nim

sni

mZZ

i

i .

Флуктуации локализованного магнитного момента im возника-

ют при достаточно больших значениях потенциала кулоновского

отталкивания электронов с противоположными спинами на одном

узле snisni

snisniv

, )2(

,~

в выражении (24) для массового оператора электрон-

электронного взаимодействия )(ee , которые имеют место в случае

переходных металлов с узкими энергетическими зонами. В одно-зонном приближении эти эффекты описываются известной в теории

магнетизма моделью Хаббарда, которая учитывает кулоновское от-талкивание электронов с противоположными спинами на одном уз-ле и взаимодействие электронов на соседних узлах. Для расчета плотности электронных состояний (26) и плотности

состояний подсистемы фононов (27) необходимо провести конфигу-рационное усреднение, которое включает усреднение, как по рас-положению атомов разного сорта, так и по ориентации локализо-ванных магнитных моментов на узлах кристаллической решетки. Как показано в работе [25], вклад процессов рассеяния в плот-ность состояний на кластерах убывает с увеличением числа узлов в

кластере за некоторым малым параметром, который является ма-лым в широкой области изменения характеристик системы (вклю-чая концентрацию компонентов), за исключением узких интерва-лов значений энергии на краях энергетических зон. Подставляя в

(26) выражения (33), (38), для плотности электронных состояний в

пренебрежении процессами рассеяния на кластерах из трех и более

узлов получим

0 0

, , , ,

1i i

i

m m

i i s

i s m

g P gv

,


где условная парциальная плотность состояний равна

/

0 0 ,0 0 ,0 0 0 ,0 0

0

,

1( ) Im j ii i

j

m mm m

i s i i i i i i i lj i

lj i

m

g G G t G P

1

0 ,0 0 0 , ,0 0 0 , ,0 ,0 0 0 ,0

j ji i im mm m m

i i i i lj lj lj i i i lj lj lj i lj i i i iG I t G t G t G t G G t G

1

0 , ,0 0 0 , ,0 0

j ji im mm m

i lj lj lj i i i lj lj lj i iG I t G t G t G t

,

0 ,0 0 , ,0

j

s sm

i i i lj lj lj iG G t G

(65)

Величины, которые стоят в выражении (65), являются матрицами

по отношению к индексам энергетических зон 1s1, 2s2. Тут

/

0

j im m

lj iP

— условная вероятность найти в узле (lj) атом сорта с

проекцией локализованного магнитного момента mj при условии, что в узле (0i) находится атом сорта с проекцией локализованного

магнитного момента mi, а im

nit — значение матричных элементов

одноцентровых операторов рассеяния для случая, когда в узле (ni)

находится атом сорта с проекцией локализованного магнитного

момента m i. Представим вероятность нахождения атомов и локализованных

магнитных моментов mi в узлах кристаллической решетки в вы-ражениях (65) в виде

0 0 0

i im m

i i iP P P ,

/ //

0 0 0

j i j im m m m

lj i lj i lj iP P P , (66)

где 0 0i iP c — вероятность заполнения узла (0i) атомом сорта ,

0 0i im m

i iP c — вероятность того, что в узле (0i) проекция локали-зованного магнитного момента на ось z равна im ;

im

nic

— случайные

числа, которые принимают значение 1 или 0 в зависимости от того,

равняется проекция магнитного момента в узле (ni) значению im

или нет. Для кристаллов кубической симметрии с двумя сортами атомов:

2

0 a

A

i AP c

для 1 подрешеток І-го типа и 1

0 a

A

i AP c

для 2

подрешеток ІІ-го типа; 0 01

B A

i iP P ; 1 2; cA, cB 1 cA — кон-

центрации компонентов A, B сплава; а — параметр дальнего атом-ного порядка. Для упрощения допустим, что проекции локализованного маг-

нитного момента на ось z принимают значение im

i ,

i . Связь


вероятности 0im

iP

с параметром дальнего магнитного порядка m оп-

ределяется выражениями:

2

0 mi

iP x для 1 подрешеток І-го

типа и

1

0 mi

iP x для 2 подрешеток ІІ-го типа. 0 01i i

i iP P ;

x ,

xx 1 равны соответственно относительному числу узлов

кристаллической решетки с проекциями локализованных магнит-

ных моментов

i ,

i .

Условные вероятности /

0lj iP ,

/

0

j im m

lj iP

определяются выражения-

ми /

0 0 0 0lj i i lj i lj iP P P c c ,

/

0 0 0 0

j i j i ji im m m m mm m

lj i i lj i lj iP P P c c и свя-

заны с параметрами парных межатомных корреляций и парных

корреляций в ориентации локализованных магнитных моментов

0

B B

lj i , '

0

j i

lj i

соотношениями [25]:

0/

0

0

( )( )

BB

lj i

lj i lj B A B A

i

P PP

,

/ 0

0 , , , ,

0

j i

j i j

i j j j j i i i i

m m m lj i

lj i lj m m m m mi

P PP

, (67)

где символы Кронекера;

0 0

( )( )BB B B B B

lj i lj j i ic c c c , 0 0( )( )j i j j i i

lj i lj j i ic c c c

.

Таким образом, бинарный сплав характеризуется четырьмя ти-пами параметров корреляции: двумя для атомной (а, 0

B B

lj i ) и двумя

для магнитной (m, 0

j i

lj i

) подсистем. Функции Грина системы электронов и фононов (21) и свободная

энергия F (52) зависят от чисел электронов на атом с различными

значениями проекций спина электронов на выделенное направле-ние, т.е. распределения локализованных магнитных моментов на

узлах кристаллической решетки. Конфигурационная энтропия сплава Sc в выражении (49) связана

с вероятностями распределения атомов и локализованных магнит-

ных моментов по узлам решетки ii

vv

mm

ininP...

...111

11 соотношением [34]

1

11

111

11

111

11),(

c lnin

m

in

m

inii PPS


...ln2

1

21

2211222

22

111

11

2221111

2211222111

2211

,

),()(

,

,inin

m

in

m

in

mm

ininmm

ininii

ii

ii

PP

PP . (68)

Равновесные значения проекций локализованных магнитных

моментов

i ,

i , параметров корреляции а, 0

B B

lj i , m, 0

j i

lj i

, а так-

же относительное число узлов кристаллической решетки

x с про-

екциями локализованных магнитных моментов

i находятся из

условия минимума свободной энергии. При отсутствии внешнего

магнитного поля значения проекций

i ,

ii отвечают ориен-

тации локализованных магнитных моментов вдоль и против оси z, а

5,0

xx .

7. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ СИСТЕМЫ С СИЛЬНЫМИ

ЭЛЕКТРОННЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ

Для расчета тензора электропроводности необходимо в выражении

(61) провести конфигурационное усреднение, которое включает ус-реднение, как по расположению атомов разного сорта, так и по ори-ентации локализованных магнитных моментов на узлах кристал-лической решетки. В пренебрежении процессами рассеяния на кластерах из трех и

более узлов, вклады которых убывают с увеличением числа узлов в

кластере по отмеченному выше малому параметру [25], получим

,

1 1 1 1 00 0, , ,

/ (2 )

0 1 1 1 (0 , ) 10 0

0,

1Sp , , , ,

( , , ) ( ) ( )

i

i

j i i j

j

ms s s s

ii is i m

m m d m ms s s s

lj i i lji i

lj im

v K v v K v PN

P K v v G T

(2 )

1 1 1 ( ,0 ) 10

(2 )

1 1 1 (0 , ) 10 0

( , , ) ( ) ( )

( , , ) ( ) ( )

j i

i j

n m ms s s s

lj ii lj

d m ms s s s

i lji i

K v v G T

K v v G T

(2 )

1 1 1 ( ,0 ) 10( , , ) ( ) ( )j in m ms s s s

lj ii ljK v v G T

0 1 1 1 0 1 1 0 1

(2 )

1 0 1 1 (0 , ) 1

( , , )( ( ) ( , , ) ( )

( ) ( , , ) ( )

j i

j i j

m ms s s s s s

i lj lj lj i i

m d m ms s s s

lj lj i i lj

K v t K v t

t K v T


(2 )

( ,0 ) 1 0 1 1 0 1

(2 ) (2 )

( ,0 ) 1 0 1 1 (0 , ) 1

( ) ( , , ) ( )

( ) ( , , ) ( )

j i i

j i i j

d m m ms s s s

lj i lj i i

d m m d m ms s s s

lj i lj i i lj

T K v t

T K v T

,

(2 ) (2 )

( ,0 ) 1 0 1 1 ( ,0 ) 1( ) ( , , ) ( ))j i j i

s sn m m n m ms s s s

lj i i lj lj iT K v T

(69)

где

1

(2 )

(0 , ) 0 (0 , ) ( ,0 ) 0 (0 , )

i j j ji in m m m mm m

i lj i i lj lj lj i i i lj ljT I t G t G t G t

,

(2 ) (2 )

(0 , ) (0 , ) 0

i j i j id m m n m m m

i lj i lj iT T Gt

.

Величины, которые стоят в выражениях (69), являются матрицами

по отношению к индексам энергетических зон 1s1, 2s2. Здесь s —

индекс проекции спина электрона на ось z. Среднее число электронов на атом в уравнении (53) для уровня

Ферми дается выражением

0 0

, , , ,

1i i i i

i i

m m

i i s

i s m

Z P Zv

.

В выражениях (61), (62), (69) для электропроводности учитыва-ется рассеяние электронов на потенциалах ионных остовов разного

сорта, статических смещениях атомов и флуктуациях спиновой и

электронной плотности. Статическая проводимость сплава получается из выражений

(61), (62), (69) предельным переходом 0 . Таким образом, для

статической проводимости имеем

2

1

1 1 10 0, , , ,1 1

(2 1) , ,4

s s

ssi is s s i

fed v K v

V

/ (2 ),

0 0 1 1 1 (0 , ) 10 0

, 0,

( , , ) ( ) ( )j i i i ji

i

j

m m d m mm s s s s

i lj i i lji i

m lj im

P P K v v G T

(2 )

1 1 1 ( ,0 ) 1 1 1 10 0 0( , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( )j in m ms s s s s s s

lj ii lj i iK v v G T K v v G

(2 ) (2 )

(0 , ) 1 1 1 1 ( ,0 ) 10( ) ( , , ) ( ) ( )i j j id m m n m ms s s s s

i lj lj ii ljT K v v G T

0 1 1 1 0 1 1 0 1

( , , )( ( ) ( , , ) ( )j im ms s s s s s

ilj lj lj i iK v t K v t

(2 )

1 0 1 1 (0 , ) 1( ) ( , , ) ( )j i jm d m ms s s s

lj lj i i ljt K v T

(2 )

( ,0 ) 1 0 1 1 0 1( ) ( , , ) ( )j i i

d m m ms s s s

lj i lj i iT K v t


(2 )(2 )

( ,0 ) 1 0 1 1 (0 , ) 1( ) ( , , ) ( )jj i i

d m md m m s s s s

lj i lj i i ljT K v T

,

(2 ) (2 )

( ,0 ) 1 0 1 1 ( ,0 ) 1( ) ( , , ) ( )j i j i

s sn m m n m ms s s s

lj i ilj lj iT K v T

0;,~

212121 ffdd . (70)

В выражении (70) для статической проводимости учитывается рас-сеяние электронов на потенциалах ионных остовов разного сорта, статических смещениях атомов и флуктуациях спиновой и элек-тронной плотности.

8. ОПТИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

В качестве примера приведем расчет оптической проводимости эк-виатомного сплава Fe–Co [47]. С целью исследования влияния

атомного упорядочения на электронную структуру и электропро-водность выполнен расчет для сплавов с различной степенью по-рядка. Матричные элементы гамильтониана сплава Н (1) в много-зонной s-, p-, d-модели сильной связи вычислены с использованием

волновых функций и потенциалов изолированных атомов по методу

Слэтера–Костера [35, 36]. Ортогонализация базиса выполнена по

методу Лёвдина [37]. При расчете массового оператора электрон-фононного взаимодействия (22) функция Грина фононов для про-стоты полагалась равной функции Грина идеального кристалла.

На рисунке 1 показана плотность электронных состояний, рас-считанная по формуле (65) для сплава Fe0,5Co0,5 (ОЦК-решетка) при

Рис. 1. Плотности электронных состояний сплава Fe0,5Co0,5 при разных

значениях Т.


температурах Т 0 К и Т 1100 К. Расчет выполнен с учетом локализованных магнитных момен-тов, параметров корреляции в расположении атомов и ориентации

магнитных моментов на узлах решетки путем минимизации сво-бодной энергии сплава (52). В указанной области температур сплав

находится в ферромагнитной фазе. При Т 0 К сплав полностью

упорядочен (параметр дальнего порядка 1a ). При Т 1100 К

сплав находиться в неупорядоченной фазе 0a . Локализованный

магнитный момент на атоме железа равен ,8,2Fe B на атоме ко-бальта — B 4,1Co . На рисунке 1 энергия отсчитывается от уров-ня Ферми. Оптическая проводимость сплавов приведена на рис. 2. Значение

оптической проводимости для полностью упорядоченного сплава

при Т 0 К изображено сплошной кривой, для полностью разупо-рядоченного сплава при Т 1100 К — штриховой кривой. На рисунке 3 представлены экспериментальные значения опти-ческой проводимости сплава Fe0,5Co0,5, закаленных от температур

Т 573 К и Т 773 К. Сплав, закаленный от температуры Т 573 К,

имеет большую степень дальнего порядка. В соответствии со ска-занным выше, щель в энергетическом спектре электронов для этого

сплава имеет более выраженный характер. Это приводит к более

выраженному пику на кривой энергетической зависимости оптиче-ской проводимости, положение левого склона которого соответст-вует положению правого края энергетической щели (рис. 1). Из рисунков 2, 3 следует, что теоретические значения оптиче-ской проводимости удовлетворительно описывают эксперимен-тальные данные. Сопоставление экспериментальных и теоретиче-ских результатов дает объяснение микроскопического механизма

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130

1

2

3

4

5

6

7

2

1

a 1

a 0

. 1

015,

c1

h, ýÂ

Рис. 2. Оптическая проводимость сплава Fe0,5Co0,5: 1 — для полностью упо-рядоченного сплава при T 0 К, 2 — для полностью разупорядоченного

сплава при T 1100 К.


влияния атомного упорядочения на оптическую проводимость

сплава, связанного с возникновением щели в энергетическом спек-тре электронов.

9. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

ЭЛЕКТРОСОПРОТИВЛЕНИЯ

Приведем расчет температурной зависимости статической электро-проводности сплавов Fe0,5Co0,5 и Fe0,88Co0,12 [49]. В расчете учтено,

что для ферромагнетика параметр дальнего магнитного порядка

m 0 и что в отсутствие внешнего магнитного поля относительные

доли узлов кристаллической решетки с противоположными проек-

циями локализованных магнитных моментов одинаковы (x x

0,5), а также для простоты полагалось, что величины

0 0

j i j i

lj i lj i

, т.е. не зависят от сорта атома.

Статическая электропроводность систем в приближении слабого

рассеяния и в пренебрежении процессами рассеяния электронов с пе-реходом их в состояние другой энергетической зоны выражается че-рез мнимую часть Im F

массового оператора F конфигу-

рационно усредненной функции Грина, плотность состояний на атом

на уровне Ферми Fg , вычисленную в приближении когерентного

потенциала, и -компоненту скорости электрона F [39]:

22

03 Im

F F

F

ge

. (71)

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

h, ýÂ

. 1

015, c1

T 3000C

T 5000C

Рис. 3. Оптическая проводимость сплава Fe0,5Co0,5 (экспериментальные

значения [38]).


При выводе формулы (71) конфигурационное среднее от произведе-ния одночастичных функций Грина, т.е. двухчастичной функции

Грина, приближенно представлено в виде произведения конфигу-рационно усредненных одночастичных функций Грина. Это простое выражение для систем с сильными электронными

корреляциями заведомо не применимо. Тем не менее, оно позволяет

качественно объяснить изменение электропроводности за счет вы-деления вкладов от изменения энергетического спектра электронов

(плотности состояний на уровне Ферми ( )F

g ) и затухания элек-

тронных состояний 0

/ Im ( ) Im ( )i

e F eph F , которое обратно

пропорционально сумме мнимых частей когерентного потенциала

0Im ( )

i

e F и массового оператора электрон-фононного взаимодейст-

вия ,

,Im ( ) Im ( )

Ani Ani

eph F eph ni ni F при энергии электрона, равной

энергии Ферми. Исходя из таких соображений, в работе [40] аномально слабая

температурная зависимость электропроводности сплава Fe0,5Co0,5 в

диапазоне температур до 300 К объяснена взаимной компенсацией

действия двух указанных факторов: влияния температуры на вре-мя релаксации и энергетический спектр электронов. Подобная сла-бая зависимость электросопротивления, согласно эксперименталь-ным данным, имеет место не только для сплава стехиометрического

состава. С целью уточнения природы этой низкотемпературной

аномалии кинетических свойств узкозонных сплавов Fe1cCoc в дан-ной работе проведены расчеты для сплава Fe0,88Cо0,12 и сравнение

полученных результатов с данными для Fe0,5Co0,5. На рисунке 4 приведены температурные зависимости времени

0 100 200 300

0

200

400

600

800

1000

1200

à

, Ðèä1

3

2

T, Ê

1

0 100 200 300

0

200

400

600

800

1000

á

T, Ê

, Ðèä

1

3

2

1

Рис. 4. Температурные зависимости времени релаксации для сплавов

Fe0,88Co0,12 (а) и Fe0,5Co0,5 (б) на уровне Ферми для s- (1), p- (2) и d-электронов (3).


релаксации для различных энергетических зон. Как показывают

расчеты, основной вклад в электропроводность исследуемых спла-вов дают р- и s-зоны, а вклад d-состояний не превышает 30%. Как

видно из рис. 4, время релаксации с ростом температуры уменьша-ется. При условии неизменности энергетического спектра электро-проводность, согласно (71), должна уменьшаться. Однако установлено, что рассеяние электронов на колебаниях

кристаллической решетки приводит к эффекту «замытия» энерге-тической квазищели на кривой плотности состояний [40]. Если

уровень Ферми находится внутри квазищели (рис. 5), что имеет ме-сто для исследуемых сплавов, то влияние упомянутого эффекта

сводится к увеличению плотности состояний на уровне Ферми (см.

-1,0 -0,5 0,0

0

5

10

15

20

25

g(), Ðèä1

, Ðèä

F

Рис. 5. Плотности электронных состояний сплавов Fe0,5Cо0,5 (---) и

Fe0,88Cо0,12 (—) при 300 К с учетом электрон-фононного взаимодействия.

0 100 200 300

0

2

4

6

8

4

g(F), Ðèä

1

T, Ê

à

3

2

1

0 100 200 3000

3

6

9 3

á

T, Ê

4

2

g(F), Ðèä

1

1

Рис. 6. Температурные зависимости плотности электронных состояний

g(F) для сплавов Fe0,88Co0,12 (а) и Fe0,5Co0,5 (б) на уровне Ферми для s- (1), p- (2) и d-электронов (3). Кривые 4 обозначают суммарные зависимости.


рис. 6, кривые 4). Тогда при доминировании этого фактора, соглас-но (71), может иметь место обратная зависимость — увеличение

электропроводности с ростом температуры. Эта конкуренция вкладов, приводящая к их компенсации, про-слеживается как для сплава стехиометрического состава Fe0,5Cо0,5,

так и для Fe0,88Cо0,12. Однако сравнение результатов расчетов элек-тропроводности сплавов по точной формуле (70) различного со-става (Fe0,5Cо0,5 и Fe0,88Cо0,12) с результатами расчетов в прибли-жении слабого рассеяния (71) показывает, что в температурном ин-тервале от 0 до 300 К имеет место более сложная аномальная зави-симость электросопротивления от температуры (рис. 7). Полученное в приближении слабого рассеяния выражение (71) для электропроводности , несмотря на конкуренцию вышеупомя-нутых вкладов, дает монотонное возрастание электросопротивления

с увеличением температуры (рис. 7, б). В то же время расчеты по точ-ной формуле (70) дают немонотонную слабо зависящую от темпера-туры (Т 0–300 К) зависимость электросопротивления (рис. 7, а). Таким образом, выражение (71) лишь качественно описывает

слабую температурную зависимость электросопротивления выше-указанных сплавов. Для количественного описания электропро-водности сплавов переходных металлов необходимо учитывать

межзонные переходы при рассеянии электронов и выйти за рамки

приближения слабого рассеяния. Причиной слабой температурной зависимости электросопротив-ления сплава Fe1cCoc, кроме указанных конкурирующих факторов, является наличие в системе сильных электронных корреляций. Ве-личина локализованных магнитных моментов уменьшается с воз-растанием температуры. Увеличение температуры также приводит

к уменьшению параметра парных магнитных корреляций (значе-

0 100 200 300

1

2

3

à .108, Îì.ì

1

2

T, Ê 0 100 200 300

0

1

2

3 2

1 .10

8, Îì.ì á

T, Ê

Рис. 7. Температурные зависимости удельного электросопротивления

1 zz, рассчитанные по формулам (70) (а) и (71) (б). Кривые 1 и 2 обозна-чают зависимости для сплавов Fe0,88Co0,12 и Fe0,5Co0,5 соответственно.


ния которого соответствуют ферромагнитной фазе). Указанные

факторы также способствуют «замытию» квазищели, которое при-водит к повышению плотности состояний на уровне Ферми. Немо-нотонное изменение плотности состояний на уровне Ферми с увели-чением температуры (рис. 6, кривые 4) связано со сложной зависи-мостью плотности состояний от энергии в области квазищели, воз-никающей при магнитном и атомном упорядочениях. Для сравнения на рис. 8 приведены данные экспериментальных

исследований температурных зависимостей электросопротивления

для медленно охлажденного от 1012 К сплава Fe0,5Co0,5 [41] и ото-жженного при 1373 К [42, 43] сплава Fe0,5Co0,5. Результаты числен-ных расчетов (рис. 7, кривые 2) качественно согласуются с экспе-риментальными данными (рис. 8) [41–43]. Экспериментальные

значения электросопротивления сплава Fe0,88Co0,12 [44] примерно в

пять раз выше теоретических (см. рис. 7, а). Это может быть объяс-нено тем, что в экспериментальных исследованиях не контролиро-вались атомная структура и морфология сплава. В связи с этим ука-занное расхождение теоретических и экспериментальных значе-ний, возможно, связано с концентрационной неоднородностью ис-следованных образцов [45] и наличием нескольких фаз, поскольку

на диаграмме состояний состав Fe0,88Co0,12 лежит вблизи двухфазной

области 3 [43]. Результаты расчетов качественно согласуются с эксперимен-тальными данными. Это указывает на применимость данного под-хода к исследованию энергетического спектра и свойств магнито-упорядочивающихся сплавов, связанных с возникновением квази-щели в энергетическом спектре электронов. Таким образом, установлена природа слабой температурной за-висимости электросопротивления сплавов Fe1cCoc, связанная с по-

Рис. 8. Температурные зависимости удельного электросопротивления

сплавов Fe0,5Co0,5: медленно охлажденного от 1012 К [41] ( ) и отожжен-

ного при 1373 К [42, 43] ( ).


ложением уровня Ферми в области квазищели в энергетическом

спектре электронов, которая возникает благодаря магнитному и

атомному упорядочениям. Аномально слабое изменение электросопротивления сплавов

Fe1cCoc при увеличении температуры от 0 до 300 К обусловлено не

только уменьшением времени затухания электронных состояний, но и увеличением плотности состояний на уровне Ферми благодаря

эффекту «замытия» энергетической квазищели при рассеянии

электронов на колебаниях кристаллической решетки и магнитном

разупорядочении сплавов.

10. КОНЦЕНТРАЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРОСОПРОТИВЛЕНИЯ

Приведем результаты расчетов энергетического спектра электронов

и концентрационной зависимости статической электропроводности

сплава Fe–Co [50]. В отсутствие внешнего магнитного поля концен-трации узлов кристаллической решетки с противоположными про-екциями локализованных магнитных моментов одинаковы. При

численных расчетах учтены только статические флуктуации заря-довой и спиновой плотностей. Сплав Fe–Co относится к системам с сильными электронными

корреляциями, в которых велико кулоновское взаимодействие ме-жду локализованными d-электронами. Это приводит к образованию

кулоновской квазищели в энергетическом спектре электронов

(рис. 9). Изменение химического состава приводит к изменению

парциальных вкладов в плотность состояний. При этом изменяют-ся, согласно выражениям (64), (53), величины локализованных

магнитных моментов и значение плотности состояний на уровне

F

, Ðèä

g(), Ðèä1 Fe

0,2Co

0,8

Fe0,5

Co0,5

Fe0,99

Co0,01

Fe0,88

Co0,12

Рис. 9. Плотности электронных состояний сплава Fe1cCoc при разных зна-чениях c и равновесных значений атомного и магнитного порядков (300 К).


Ферми, лежащем в области кулоновской квазищели. На рисунке 10, а приведена концентрационная зависимость

электросопротивления сплава Fe1cCoc при Т 300 К. Для сравнения

на рис. 10, б изображены экспериментальные значения удельного

электросопротивления [44]. Как видно из рис. 10, теоретические

значения находятся в качественном согласии с экспериментальны-ми данными. Однако экспериментальные значения электросопро-тивления в среднем в три раза выше теоретических. Это может быть

связано с концентрационной неоднородностью исследованных об-разцов [45] и наличием в них нескольких фаз [46]. Концентрационная зависимость для сплава Fe1cCoc (рис. 10, б) не

объясняется лишь предсказанной Смирновым [48, 39] зависимостью

0 20 40 60 80 100

2,25

2,50

2,75

3,00

Êîíöåíòðàöèÿ Fe, àò.%

a.10

8, Îì.ì

0 20 40 60 80 100

3

6

9

12

15

18


.108, Îì.ì

á

Рис. 10. Концентрационные зависимости удельного электросопротивле-ния 1 zz сплава Fe1cCoc при T 300 К: а — рассчитанного по формуле

(70); б — экспериментальные значения [47].

0 20 40 60 80 100

8

10


g(F), Ðèä

1

Рис. 11. Концентрационная зависимость плотности электронных состоя-ний на уровне Ферми сплава Fe1cCoc.


электросопротивления от параметров атомного порядка: с ростом

атомного упорядочения электросопротивление сплава уменьшается

и принимает свое минимальное значение для максимально упорядо-ченного состояния. Как показывают расчеты, выполненные по фор-муле (70), электросопротивление сплава слабо зависит от парамет-ров атомного порядка. Кроме того, минимум на концентрационной

зависимости при стехиометрическом составе сплава наблюдается

как при низких температурах, так и при температурах выше точки

фазового перехода порядок–беспорядок [42] и не может быть объяс-нен лишь влиянием атомного упорядочения. При этом имеет место

существенная зависимость энергетического спектра электронов и

электропроводности системы от величины магнитных моментов и

параметров корреляций в их ориентации. Это указывает на опреде-ляющую роль сильных электронных корреляций в концентрацион-ной зависимости электросопротивления сплава Fe1cCoc. Таким образом, концентрационная зависимость электросопро-тивления (рис. 10) определяется изменениями как плотности со-стояний на уровне Ферми, так и времени релаксации электронов, возникающими вследствие изменения величины и взаимной ориен-тации локализованных магнитных моментов при магнитном упо-рядочении. Увеличение плотности состояний на уровне Ферми

(рис. 11), а также уменьшение локализованных магнитных момен-тов (рис. 12) приводят к уменьшению электросопротивления спла-ва, а обратное изменение указанных величин — к его увеличению. Таким образом, электросопротивление сплавов Fe1cCoc слабо за-висит от параметров атомного порядка. Немонотонная концентра-ционная зависимость электросопротивления указанных сплавов

определяется сильными электронными корреляциями и обуслов-ленным ими магнитным упорядочением.

0 20 40 60 80 100

3,5

4,0

, B


Рис. 12. Концентрационная зависимость локализованных магнитных мо-ментов на атомах Fe ( ) и Co ( ).


Уменьшение локализованных магнитных моментов и увеличе-ние плотности состояний на уровне Ферми приводят к уменьшению

электросопротивления сплава Fe1cCoc, а обратное изменение ука-занных величин — к его увеличению.

11. ОБЛАСТИ ОДНОРОДНОГО МАГНИТНОГО

БЛИЖНЕГО ПОРЯДКА

Для исследования магнитного порядка необходимо определить ве-

роятность 1 2

1 1 2 2

/i im m

n i n iP

найти в узле (n1i1) локализованный магнитный

момент с проекцией 1 1i

m при условии, что в узле (n2i2) находится

локализованный магнитный момент с проекцией 2 2i

m

. Условная

вероятность 1 2

1 1 2 2

/i im m

n i n iP

связана с параметром парных магнитных кор-

реляций 1 2

1 1 2 2

m i i

n i n i

выражением (67).

Пренебрегая корреляциями в ориентации магнитных моментов

на трех и более узлах кристаллической решетки, по равновесным

значениям 1 2

1 1 2 2

m i i

n i n i

можно оценить размеры областей однородного

магнитного порядка («магнитных доменов») из условий

1 2

1 1 2 2

/1( )

2

i i k

n i n iP

,

1 2

1 1 2 2

/1( )

2

i i k

n i n iP

, (72)

где k и k

— числа частиц с проекциями магнитных моментов, имеющими знак

и соответственно, отсчитываются от центра

«домена» до его границы. Зная период решетки a, можно опреде-лить линейные размеры «магнитных доменов»:

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

/ /

ln 1 2 ln 1 22 2 , 2 2 .

ln lni i i i

n i n i n i n i

d ak a d ak aP P

(73)

Магнитное фазовое состояние сплавов с сильными электронными

корреляциями соответствует положению уровня Ферми относи-тельно кулоновской квазищели в энергетическом спектре электро-нов [51]. Если уровень Ферми находится в центре указанной ква-зищели, то сплав является антиферромагнетиком, вне области ква-зищели — парамагнетиком. В случае, когда уровень Ферми лежит

на краю квазищели в энергетическом спектре электронов, что име-ет место для исследуемого сплава Fe0,5Co0,5 (рис. 13), кристалл явля-ется ферромагнетиком. Фазовое состояние магнитных бинарных

сплавов описывается параметрами корреляций атомной (а, 1 1 2 2

a

n i n i )


и магнитной (m, 1 1 2 2

m

n i n i ) подсистем. При расчетах учтено, что для

неупорядоченного сплава Fe0,5Co0,5 параметр дальнего атомного по-

рядка а 0. Равновесные значения параметров магнитных 1 1 2 2

m

n i n i ,

m и межатомных 1 1 2 2

a

n i n i корреляций получены из условия мини-

мума свободной энергии F (52) (рис. 14). Как следует из результатов расчета, неупорядоченный сплав

Fe0,5Co0,5 при Т 1200 К является ферромагнетиком со значениями

параметра парных межатомных корреляций, близкими к макси-

F

g(), Ðèä1

, Ðèä

Рис. 13. Плотности электронных состояний сплава Fe0,5Co0,5 для равновес-ных параметров системы при температурах 300 К (—) и 500 К (---).

Рис. 14. Зависимость свободной энергии сплава Fe0,5Co0,5 от параметра

парных магнитных корреляций m

при T 300 К (для равновесного значе-ния

a 0,25). Равновесное значение параметра ближнего магнитного по-

рядка соответствует m

0,215.


мальному значению ближнего атомного порядка (1 1 2 2

a

n i n i 0,25).

Фазовые переходы сплавов с сильными электронными корреля-циями обусловлены изменениями электронной структуры. Пере-стройка энергетического спектра электронов происходит при изме-нении температуры. Вследствие электрон-фононного взаимодейст-вия увеличение температуры приводит к эффекту «замытия» ква-зищели в энергетическом спектре электронов, ширина которой оп-ределяется величиной локализованных магнитных моментов и па-

раметрами корреляций 1 1 2 2

m

n i n i в ориентации магнитных моментов на

узлах кристаллической решетки (рис. 13) [25]. С увеличением тем-пературы величины локализованных магнитных моментов и пара-

метров парных магнитных корреляций 1 1 2 2

m

n i n i

уменьшаются вплоть

до нулевого значения при достижении температуры 1200 К (рис.

15). Для ферромагнитной фазы 1 1 2 2

m0n i n i . Теоретическое значение

температуры Кюри TC для сплава Fe–Co, определенное из рис. 15, близко к экспериментальному значению TC 1250 К [52, 53]. Используя рассчитанные при разных температурах равновесные

значения параметров парных магнитных корреляций 1 1 2 2

m

n i n i , при

помощи формул (67), (73) можно оценить размеры «магнитных до-менов» в сплаве Fe0,5Co0,5 в диапазоне температур 0–1200 К. Из ри-сунка 16 видно, что с ростом температуры «магнитные домены»

уменьшаются до практически нулевого размера при температурах в

окрестности TC d d d . Это связано с уменьшением корреля-

ции в ориентации магнитных моментов (рис. 15). Известно, что температура Кюри является точкой фазового пере-

0 300 600 900 1200

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

m

T, Ê

Рис. 15. Температурная зависимость равновесных значений параметра

парных магнитных корреляций m

сплава Fe0,5Co0,5.


хода ферромагнетик–парамагнетик (магнитный порядок–беспоря-док). Такой переход является следствием разрушения упорядочен-ности в ориентации магнитных моментов атомов из-за тепловых

колебаний атомов в узлах кристаллической решетки. Однако, в об-ласти температур, близких к температуре такого фазового перехо-да, существенную роль начинают играть корреляции более высоких

порядков, нежели парные, а потому предложенный в данной работе

метод становится практически неприменимым к исследованию

близких окрестностей точек фазовых переходов типа магнитный

порядок–беспорядок. Полученные результаты хорошо согласуются с известными зако-номерностями изменения размеров «магнитных доменов» при из-менении температуры. Размер «магнитного домена» при комнатной

температуре, оцененный по параметру парных магнитных корре-ляций, близок к экспериментально определенному среднему разме-ру области однородности в неупорядоченном (закаленном от высо-ких температур) сплаве Fe0,5Co0,5 [45]. Это указывает на примени-мость изложенного в данном обзоре подхода к описанию энергети-ческого спектра и термодинамического потенциала неупорядочен-ных систем для исследования магнитных свойств сплавов переход-ных металлов. Таким образом, установлен микроскопический механизм маг-нитных фазовых превращений в сплаве Fe0,5Co0,5, связанный с по-ложением уровня Ферми относительно кулоновской квазищели в

энергетическом спектре электронов и перестройкой при повыше-нии температуры самого спектра электронов, приводящей к

уменьшению локализованных магнитных моментов и равновесных

значений параметра корреляций в их ориентации. Используя рассчитанные равновесные значения параметров пар-

0 300 600 900 1200

0

5

10

15

20

25

d, íì

Ò, Ê

Рис. 16. Температурная зависимость линейных размеров d «магнитных

доменов» сплава Fe0,5Co0,5.


ных магнитных корреляций (T 0 К), при помощи формул (67), (73) в работе [54] были оценены размеры «магнитных доменов» в сплаве

Fe0,5Co0,5 в зависимости от величины напряженности магнитного по-

ля Hz. (рис. 17, а). В области магнитных полей Hz 4000 Ам наблю-дается линейный рост размеров «магнитных доменов», ориентиро-ванных вдоль внешнего магнитного поля. При этом размеры «доме-нов», ориентированных против поля, слабо уменьшаются. Как вид-

но из сопоставления рис. 17, а и 17, б, размер «магнитных доменов», ориентированных вдоль поля, пропорционален концентрации

x ,

т.е. увеличение размера этих «доменов» происходит за счет «доме-нов», имеющих противоположную ориентацию. При больших зна-чениях напряженности магнитного поля рост размеров «магнитных

доменов», направленных вдоль поля, замедляется, а размеры «до-менов», ориентированных против поля, быстро уменьшаются. В

этой области происходит переориентация магнитных моментов, на-правленных против магнитного поля, что приводит к увеличению

числа «магнитных доменов» вдоль поля (без изменения их разме-ров). Полученные результаты хорошо согласуются с известными за-кономерностями изменения размеров магнитных доменов при из-менении напряженности внешнего магнитного поля. Размер «маг-

нитного домена» при Hz 0, оцененный по параметрам парных маг-нитных корреляций, близок к экспериментально определенному

среднему размеру области однородности в сплаве Fe0,5Co0,5 [45]. Общепризнанным считается, что уникальные магнитные свойст-ва сплава Fe–Co проявляются благодаря установлению в нем даль-него атомного порядка. Однако, как показано в работе [45], струк-

0 2000 40000

25

50

d

d, íì

Hz, A/ì

d

à

0 2000 40000,00

0,25

0,50

0,75

Hz, A/ì

x

x

+

x

+ á

Рис. 17. Зависимости линейных размеров ( d и

d ) «магнитных доменов»

(а) и равновесных значений концентраций ( x и

x ) локализованных

магнитных моментов (б), ориентированных вдоль и против внешнего маг-нитного поля от величины напряженности этого поля.


турное состояние сплава Fe0,5Co0,5, которое можно изменять термо-обработкой благодаря наличию на фазовой диаграмме системы об-ласти высокотемпературного расслоения, слабо влияет на его маг-нитные характеристики. Кроме того, установлено, что упорядоче-ние по типу дальнего порядка происходит не более чем в 10% объе-ма сплава Fe0,5Co0,5, а остальной объем упорядочивается по типу

ближнего порядка. Равновесному состоянию при Hz 0 соответствуют значения па-раметров 24,0

m и 25,0a , определяющие ферромагнитное

состояние с максимальным ближним атомным порядком. Найдены

также равновесные значения параметра парных магнитных корре-ляций для ряда неравновесных значений параметра атомного упо-рядочения, моделирующих различные термические обработки

сплава Fe0,5Co0,5 (рис. 18). Как показывают расчеты, при переходе от

области антиферромагнитного упорядочения к ферромагнитной об-ласти на магнитной фазовой диаграмме параметр корреляции

m

изменяется не скачком, а непрерывно. Это определяет возможность

в различных системах для параметра m принимать значения, от-

личающиеся от максимально возможных. Как видно из представленных на рис. 18 результатов, изменение

параметра a (при а 0) от значения 0,25, соответствующего мак-

симальному ближнему порядку, до значения 0,25, соответствую-щего полному атомному расслоению, слабо влияет на величину

равновесного параметра магнитных корреляций m . Таким обра-

зом, приведенные первопринципные расчеты подтверждают выво-ды работы [45]. Кроме того, на рис. 18 точкой представлено равно-весное значение параметра парных магнитных корреляций для

системы с дальним атомным порядком, а 0,9 (а 0). Как видно,

установление дальнего атомного порядка привело бы к подавлению

магнитных корреляций в сплаве Fe0,5Co0,5. Это говорит о конкурен-

m

a 0,9

a

Рис. 18. Зависимость равновесных значений параметра парных магнитных

корреляций

m от величины параметра атомного ближнего порядка

a .


ции в данном сплаве магнитного и атомного упорядочений, что со-гласуется с предсказанными в работе [55] эффектами взаимного

влияния атомного и магнитного порядков в бинарных сплавах. При

этом свободная энергия состояния с дальним атомным порядком

всего на 0,6% превосходит энергию состояния с максимальным

ближним порядком, в то время как свободные энергии состояний с

а 0, отличаются от свободной энергии равновесного состояния бо-лее чем на 8%. Это можно рассматривать как проявление тенден-ции к сосуществованию в системе Fe0,5Co0,5 областей, упорядочен-ных по типу ближнего и дальнего порядка [45].

12. СПИН-ЗАВИСИМЫЙ ТРАНСПОРТ

Для описания электропроводности системы во внешнем магнитном

поле добавим в гамильтониане (1) слагаемое

22211121

222

111

12

ininss

inin

B aaHsH , (74)

где B, H, s — магнетон Бора, напряженность внешнего магнитного

поля и проекция спина электрона на направление магнитного поля

соответственно; индекс состояния включает индекс проекции

спина электрона s на ось z. На рисунке 19 показаны плотности электронных состояний, рас-считанные по формуле (26) для сплава Fe0,5Co0,5, который находится

в магнитном поле: а) 0H А/м, б) мA 0500H . Расчет проведен

для температуры Т 0 К. При этой температуре сплав находится в

ферромагнитной фазе. Для упрощения расчетов параметр дальнего

порядка в этом случае полагался равным 0a , а параметры пар-ных межатомных корреляций на первых двух координационных

а б

Рис. 19. Плотности электронных состояний сплава Fe0,5Co0,5 при напря-

женности магнитного поля H: а) 0zH А/м, б) 5000A мzH .


сферах определялись из условия минимума свободной энергии F

(52). Значение параметров межатомных корреляций на первых

двух координационных сферах при Т 0 К, Н 0 А/м равняются

соответственно a

1 01,020,25 , a

2 01,110,25 .

Зависимость статической проводимости сплава от внешнего маг-нитного поля, рассчитанная по формуле (70), показана на рис. 20, а

[56]. На рисунке 20, б представлена разность вкладов в электропро-водность zzsszzzz электронов, спины которых направлены

против и вдоль внешнего магнитного поля. Из рисунка 20, б видно, что при увеличении напряженности маг-нитного поля величина zz , характеризующая спин-зависимый

транспорт, немонотонно возрастает. Это обусловлено зеемановским

сдвигом энергетических зон для электронов с разными проекциями

спина на направление внешнего магнитного поля, а также ориента-цией локализованных магнитных моментов. При расчетах элек-тропроводности последним интегралом в выражении (70) пренебре-галось. Расчет проведен для Т 0 К. С целью объяснения полученных результатов на рисунках 21, 22

приведена зависимость параметров магнитного порядка от внешне-го магнитного поля. На рисунке 21 изображена зависимость кон-

центрации узлов x с проекцией локализованного магнитного мо-

мента, направленного вдоль внешнего магнитного поля, от величи-ны поля [54]. На рисунке 22 представлена зависимость параметров корреляции

/

0

j j i im m

lj iP

в ориентации локализованных магнитных моментов на

соседних узлах решетки от внешнего магнитного поля. Параметр

дальнего магнитного порядка 0m .

Как видно из рис. 21, 22, с увеличением магнитного поля Н сте-пень магнитного порядка уменьшается, что проявляется на рис. 20 в

0 2000 4000 6000 8000

46000000

48000000

50000000

52000000

zz, Îì

1ì

1

H, À/ì

à

0 2000 4000 6000 8000

0

2000000

4000000

6000000

8000000

10000000

zz, Îì

1ì

1

H, À/ì

á

Рис. 20. Зависимости электропроводности и эффекта спинового транспор-та сплава Fe0,5Co0,5 от величины внешнего магнитного поля.


уменьшении электропроводности сплава. При последующем повы-шении напряженности магнитного поля до Н 8000 Ам степень

магнитного порядка увеличивается благодаря увеличению относи-тельного числа «магнитных доменов» с магнитными моментами, ориентированными вдоль поля (рис. 21), а также увеличению раз-меров этих областей (рис. 22). В связи с этим при возрастании поля в

области выше 8000 Ам электропроводность сплава увеличивается. Из полученных результатов следует, что основной вклад в элек-тропроводность дают электроны, спины которых направлены про-тив магнитного поля. Это вызвано тем, что во внешнем магнитном

поле собственные магнитные моменты электронов сориентированы

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000,98

0,99

H, A/ì

P

+

+

a

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

H, A/ì

P

á

Рис. 22. Зависимости параметров корреляции

/

0

j j i im m

lj iP

в ориентации ло-кализованных магнитных моментов на соседних узлах решетки от внеш-него магнитного поля Н для сплава Fe0,5Co0,5: а) магнитные моменты на-правлены вдоль поля, б) магнитные моменты направлены против поля.

0 2000 4000 6000

0,6

0,8

1,0

x

+

H, À/ì

Рис. 21. Зависимость концентрации узлов с проекцией локализованного

магнитного момента, направленного вдоль внешнего магнитного поля, от

величины поля Н для сплава Fe0,5Co0,5.


преимущественно вдоль поля. Величина спиновой поляризации электронов определяется вели-чиной кулоновской квазищели в энергетическом спектре электро-нов, обусловленной сильными электронными корреляциями, а

также значением напряженности внешнего магнитного поля.

БЛАГОДАРНОСТИ

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта УНТЦ № 4919.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. R. J. Elliott, J. A. Krumhansl, and P. L. Leath, Rev. Mod. Phys., 46, No. 3: 465

(1974).

2. A. Mookerjee, J. Phys. C, 6, No. 10: L205 (1973).

3. S. S. Razee, A. Mookerjee, and R. Prasad, J. Phys.: Condens. Matter, 3, No. 19: 3301 (1991).

4. S. S. Razee, S. S. Rajput, R. Prasad et al., Phys. Rev. B, 42, No. 15: 9391

(1990).

5. R. Mills and P. Ratanavararaksa, Phys. Rev. B, 18, No. 10: 5291 (1978).

6. H. W. Diehl and P. L. Leath, Phys. Rev. B, 19, No. 2: 587 (1979).

7. T. Kaplan and L. J. Gray, Phys. Rev. B, 15, No. 6: 3260 (1977).

8. L. J. Gray and T. Kaplan, Phys. Rev. B, 24, No. 4: 1872 (1981).

9. V. Kumar, A. Mookerjee, and V. K. Srivastava, J. Phys. C, 15, No. 9: 1939

(1982).

10. М. П. Фатеев, ТМФ, 90, № 1: 128 (1992).

11. F. Ducastelle and F. Gautier, J. Phys. F, 6, No. 11: 2039 (1976).

12. G. Treglia, F. Ducastelle, and F. Gautier, J. Phys. F, 8, No. 7: 1437 (1978).

13. F. Gautier, F. Ducastelle, and J. Giner, Phil. Mag., 31, No. 6: 1373 (1975).

14. F. Ducastelle and G. Treglia, J. Phys. F, 10, No. 10: 2137 (1980).

15. A. Bieber and F. Gautier, J. Phys. Soc. Jpn., 53, No. 6: 2061 (1984).

16. A. Bieber and F. Gautier, Solid State Commun., 38, No. 12: 1219 (1981).

17. F. Ducastelle, J. Phys. C, 7, No. 10: 1795 (1974).

18. V. F. Los’ and S. P. Repetsky, J. Phys.: Condens. Matter, 6: 1707 (1994).

19. S. P. Repetsky, Ye. G. Len, and N. V. Chubinsky, Met. Phys. Adv. Tech., 17: 867

(1999).

20. М. А. Иванов, Ю. В. Скрипник, ФТТ, 36, № 1: 94 (1994).

21. F. Sacchetti, Solid State Commun., 30: 795 (1979).

22. F. Sacchetti, J. Phys. F, 10: 801 (1980).

23. V. Christoph and A. L. Kuzemskii, Physica Status Solidi (b), 120: K219

(1983).

24. Ю. Ю. Циовкин, А. Н. Волошинский, ФММ, 75, № 3: 25 (1993).

25. С. П. Репецкий, Т. Д. Шатний, ТМФ, 131, № 3: 456 (2002).

26. С. П. Репецкий, Т. Д. Шатний, ФММ, 96, № 1: 18 (2003).

27. R. Flederling, M. Kelm, G. Reuseher et al., Nature, 402, No. 6763: 787 (1999).

28. G. A. Prinz, Physics Today, 48, No. 58: 5863 (1995).

29. С. Борухович, УФН, 169, № 7: 737 (1999).


30. А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой

теории поля в статистической физике (Москва: Физматгиз: 1962).

31. H. Böttger, Principles of the Theory of Lattice Dynamics (Berlin: Akademiс-

Verlag: 1983); Х. Бётгер, Принципы динамической теории решетки (Моск-

ва: Мир: 1986).

32. М. А. Кривоглаз, Дифракция рентгеновских лучей и нейтронов в неидеаль-

ных кристаллах (Киев: Нукова думка: 1983).

33. Д. Н. Зубарев, Неравновесная статистическая термодинамика (Москва: Наука: 1971).

34. И. З. Фишер, Статистическая теория жидкостей (Москва: Физматгиз: 1961).

35. J. C. Slater and G. F. Koster, Phys. Rev., 94, No. 6: 1498 (1954).

36. R. R. Sharma, Phys. Rev. B, 19, No. 6: 2813 (1979).

37. P. O. Löwdin, J. Chem. Phys., 18, No. 3: 365 (1950).

38. S. P. Repetsky, V. S. Staschuk, R. O. Yaremko et al., Functional Materials, 10, No. 3: 490 (2003).

39. В. Ф. Лось, С. П. Репецкий, Методы теории неупорядоченных систем. Электронные свойства сплавов (Киев: Наукова думка: 1995).

40. С. П. Репецкий, В. А. Татаренко, И. Г. Вышиваная и др., Металлофиз. но-

вейшие технол., 29, № 6: 787 (2007).

41. P. L. Rossiter, J. Phys. F: Metal Phys., 11, No. 3: 615 (1981).

42. Р. Бозорт, Ферромагнетизм (Москва: Изд. иностр. лит.: 1956).

43. А. Е. Вол, Строение и свойства двойных металлических систем (Москва: Физматгиз: 1962), т. 2.

44. E. E. Schumacher, J. Inst. Metals, 78, No. 1: 1 (1950).

45. Ю. И. Устиновщиков, Б. Е. Пушкарев, И. Н. Шабанова и др., Металлы, № 5: 33 (2003).

46. Диаграммы состояния двойных металлических систем (ред. Н. П. Ляки-

шев) (Москва: Машиностроение: 1997), т. 2.

47. S. P. Repetskii and I. G. Vyshivanaya, Phys. Met. Metallogr., 99, No. 6: 558

(2005).

48. А. А. Смирнов, Теория электросопротивления сплавов (Киев: Изд. АН

УССР: 1960).

49. С. П. Репецкий, В. А. Татаренко, И. Н. Мельник и др., Металлофиз. но-

вейшие технол., 30, № 5: 605 (2008).

50. С. П. Репецкий, В. А. Татаренко, И. Н. Мельник и др., Металлофиз. но-

вейшие технол., 30, № 6: 771 (2008).

51. С. П. Репецкий, Е. Г. Лень, В. В. Лизунов, Металлофиз. новейшие технол., 28, № 11: 1475 (2006).

52. F. Schreiber and Z. Frait, Phys. Rev. B, 54, No. 9: 6473 (1996).

53. J. M. MacLaren, T. C. Schulthess, W. H. Butler et al., J. Appl. Phys., 85, No. 8: 4833 (1999).


55. А. А. Смирнов, Обобщенная теория упорядочения сплавов (Киев: Наукова

думка: 1986).


Энергетический спектр и · 283 PACS numbers: 71.15.Ap, 71.20.Be, 71.27.+a,...

Documents

Transcript of Энергетический спектр и · 283 PACS numbers: 71.15.Ap, 71.20.Be, 71.27.+a,...