А. И. Назаренко · 2010. 8. 24. · A. I. Nazarenko ERRORS OF FORECASTING OF SATELLITE...

ISSN 2075-6836

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУКИНСТИТУТ КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ РАН

НаучНо-техНологический цеНтр «космоНит»ОАО «РОССИЙСКАя КОРпОРАцИя РАКЕтНО-КОСМИЧЕСКОгО

пРИбОРОСтРОЕНИя И ИНфОРМАцИОННых СИСтЕМ»

А. И. Назаренко

Погрешности Прогнозирования движения сПутников

в гравитационном Поле земли

ПОД РЕДАКЦИЕЙР. Р. НАЗИРОВА

СЕРИяМЕХАНИКА, УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА

Москва, 2010

УДК 521.12:531.534 ISSN2075-6836ББК 26.2 Н19

A. I. NazarenkoERRORS OF FORECASTING OF SATELLITE MOTION

IN THE EARTH GRAVITY FIELDObtaining of authentic statistical estimates of errors is topical for solution of many appli-cation problems, for example, for estimating the probability of collisions of satellites, fornavigation with using dedicated satellite systems, etc. The content of the book is the de-velopmentofthetechniqueforestimatingsatellites’motionerrorscausedbyinaccuracyoftheknownparametersofEarth’sgravityfield.Fourbasicsectionsof thebookoutline thefollowingissues:1)principlesofthetechniqueforforecastingcorrelationmatrixesoferrorsinasatellite’sstatevector;2)statisticalcharacteristicsofgravitationaldisturbances;3)fore-castingofthecorrelationmatrixoferrors;4)adjustmentofthealgorithmparameters.The book presents numerous examples of solution of considered problems with using themodelandreal information.ThetextsoffourappliedcomputerprogramsaregivenintheAppendix, namely: 1)the program for constructing the autocorrelation functions of ran-domgravitationaldisturbancesintheEarth-centeredcoordinatesystem;2)theprogramforforecastingthecorrelationmatrixofstatevectorerrorswithaccountingfora«pure»effectofgravitationaldisturbances;3)theprogramforanalyzing theaccuracyof so-calledTLE;4)theprogramfordetermining theRMSofmeasurementerrorsandsystem’snoiseusingthesimulationmodel.Theauthorhopesthatmaterialsof thebookwillbeuseful foraratherwidescopeofspe-cialists:researchers,engineers,post-graduatestudentsandstudents.Thelistofusedsourcesincludes44names.Keywords:gravitationalfieldoftheEarth,statisticalcharacteristics,gravitationaldisturbanc-es,correlationmatrix,correlationfunction,forecastingoferrors,adjustmentofparameters,computerprograms.Получениедостоверныхстатистическихоценокпогрешностейявляетсяактуальнымдля решения многих прикладных задач, например, для оценки вероятности стол-кновенийспутников,длянавигациисиспользованиемсоответствующихспутнико-выхсистемидр.Содержаниекниги—развитиеметодикидляоценкипогрешностейпрогнозированиядвиженияспутников,порождаемыхнеточностьюизвестныхпара-метровгравитационногополяЗемли.Вчетырехосновныхразделахкнигиизложеныследующие вопросы: 1)основы методики для прогнозирования корреляционныхматриц погрешностей вектора состояния спутников; 2)статистические характери-стикигравитационныхвозмущений;3)прогнозированиекорреляционнойматрицыпогрешностей;4)настройкапараметровалгоритма.В книге приводятся многочисленные примеры решения рассматриваемых задач сиспользованиеммодельнойиреальнойинформации.Вприложенияхпредставленытексты четырех прикладных программ: 1)построения автокорреляционных функ-цийслучайныхгравитационныхвозмущенийвсвязаннойсЗемлейсистемекоорди-нат; 2)прогнозирования корреляционной матрицы погрешностей вектора состоя-ниясучетом«чистого»влияниягравитационныхвозмущений;3)анализаточноститакназываемойTLE;4)определенияСКОпогрешностейизмеренийишумасисте-мынаимитационноймодели.Авторнадеется,чтоматериалыкнигибудутполезныдлядостаточноширокогокру-гаспециалистов:научныхработников,инженеров,аспирантовистудентов.Списокиспользованныхисточниковсостоитиз44наименований.Ключевые слова:гравитационноеполеЗемли,статистическиехарактеристики,грави-тационныевозмущения,корреляционнаяматрица,корреляционнаяфункция,про-гнозированиепогрешностей,настройкапараметров,компьютерныепрограммы.

Редактор:КорниленкоВ.С.Компьютернаяверстка:КомароваН.Ю.

© Институткосмическихисследований(ИКИ)РАН,2010© ДизайнобложкиДавыдовВ.М.,ЗахаровА.Н.,2010

Содержание

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. ОСНОВыМетОДИКИДляПРОгНОЗИРОВАНИяКОРРеляцИОННыхМАтРИцПОгРешНОСтейВеКтОРАСОСтОяНИяСПУтНИКОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.Дифференциальныеуравнениядляпрогнозирования

корреляционнойматрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.Анализметодикипрогнозированиякорреляционной

матрицыприучетевзаимнойкорреляциипогрешностейвекторасостоянияислучайныхвозмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.ОпределениефункцийвзаимнойкорреляцииKxq (t0,t)=Kqx(t,t0)Tвпроцессеуточненияпараметроворбитподаннымизмерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.Простейшийпримеручетацветногошума. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6.Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. СтАтИСтИчеСКИехАРАКтеРИСтИКИгРАВИтАцИОННыхВОЗМУщеНИй. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.Основныеформулыдлясферическихфункций . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.Дисперсиягравитационныхвозмущений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.Автокорреляционныефункциивсвязанной

сЗемлейсистемекоординат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.Автокорреляционныефункциидлязаданнойорбиты . . . . . . . . . . 642.6.Особенностикорреляционныхфункцийkr (u1,u2)

длярезонансныхигеостационарныхспутников. . . . . . . . . . . . . . . 682.7.Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3. ПРОгНОЗИРОВАНИеКОРРеляцИОННОйМАтРИцыПОгРешНОСтей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1.Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.Основыалгоритмапрогнозированиякорреляционной

матрицыKx(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.ВычислениедвойногоинтегралаI0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4.Вычислениекоординатвточкахпересеченияследов

орбитынаразныхвитках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5.ВычислениедвойныхинтеграловIk–j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.6.Вычислениематричнойфункциивзаимнойкорреляции

Kxq(t,τ)припрогнозированиидвижения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1033.7.Прогнозированиекорреляционнойматрицыпогрешностей

векторасостояния. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1103.8 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

4. НАСтРОйКАПАРАМетРОВАлгОРИтМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1164.1.Проблемавыборазначенияпараметраσn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1164.2.Предварительныйвыборзначенияпараметраσnподанным

остолкновенииспутников«Иридиум-33»и«Космос-2251» . . . .1194.3.Оценкаточностиопределенияипрогнозированияорбит

спутниковтипаGPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1234.4.Методиканастройкипараметровшумов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1394.5.Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168ПриложениеA. Обоснованиеформул(2.42)и(2.43) . . . . . . . . . . . . . .171ПриложениеБ. Программадляпостроенияавтокорреляционных

функцийслучайныхгравитационныхвозмущенийвсвязаннойсЗемлейсистемекоординат. . . . . . . . . .176

ПриложениеВ. Программадляпрогнозированиякорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостояниясучетом«чистого»влияниягравитационныхвозмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

Приложениег. ПрограммадляанализаточностиTLEнаосновеихобработкиМНК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

ПриложениеД. ПрограммадляопределенияСКОпогрешностейизмеренийишумасистемынаимитационноймодели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

Приложениее. Фрагментыизисторииподготовкимонографии. . .224

5

Предисловие

Прогнозирование небесных тел является предметом исследований ста-рейшей науки — небесной механики. ее развитие связано с именами та-кихвсемирноизвестныхученыхкакКеплер,Ньютон,лагранж,лежандр,гауссимногихдругих.ВРоссиифундаментальныемонографиипоэтомуразделунаукиопубликованыМ.Ф.Субботиным(1937)иг.Н.Дубошиным(1968). Особенность прикладных исследований в данной области — их«штучный» характер, связанный с определением параметров движения от-носительнонемногочисленныхнебесныхтел:Земли,луны,планетикомет.

ПослезапускавСоветскомСоюзев1957г.первогоискусственногоспут-ника Земли (ИСЗ) и развертывания широкого круга космических иссле-дований появилась новая область применения классической небесноймеханики—космическаябаллистика(астродинамика).Наеесодержаниеоказалисущественноевлияние:

• запуск большого числа искусственных спутников Земли, решающихразличные прикладные задачи (в настоящее время в околоземномпространстве находится более 600 действующих космических аппара-тов—КА);

• образованиебольшогочисла«фоновых»космическихобъектов,ихоб-наружениеиконтрольтекущегосостояниемосуществляютРоссийскаяи Американская системы контроля космического пространства; в на-стоящее время в оперативно обновляемом каталоге этих систем нахо-дитсяболее13000каталогизированныхобъектов(КО)(размеромболее10…20см); этот космический мусор стал головной болью для специа-листовпорешениюразличныхприкладныхзадачвоколоземномпро-странстве(ОКП);

• реальная опасность случайных столкновений спутников; последнимпримером является столкновение 10февраля 2009г. американскогодействующегоКА«Иридиум-33»ироссийского,прекратившегорабо-ту,КА«Космос-2251»;врезультатеобразовалосьболее700каталогизи-рованныхобъектов;

• развитие стохастического подхода к описанию движения спутников,при котором в правых частях уравнений движения учитываются слу-чайныевозмущения;

предисловие

6

• доступность орбитальных данных по большому числу спутников (на-пример, http://www.space-track.org) и ряда компьютерных прикладныхпрограмм;ихможно«скачать»ссоответствующихсайтоввИнтернете;

• феноменальныедостижениявразвитиивычислительнойтехники.

Важной особенностью применения космической баллистики являетсямассовыйхарактеррасчетов.ежедневновмиревыполняютсясотнитысячпрогнозовдвиженияспутников.естественно,чтовэтихусловияхпояви-лисьнеобходимостьивозможностьстатистическихоценокпогрешностейпрогнозирования.

Получение достоверных статистических оценок погрешностей особенноактуально для решения многих прикладных задач, например, для оценкивероятностистолкновенийспутников,навигациисиспользованиемсоот-ветствующихспутниковыхсистемидр.Прирешенииданнойзадачиши-рокоприменяетсяапостериорныйанализпогрешностейпрогнозирования,которыйоказываетсявполнеуместнымдляограниченногочислаконкрет-ныхспутников.Однаковсвязисбольшимразнообразиеморбиттакойпод-ход не всегда возможен. Разработка методики для получения априорныхстатистических характеристик погрешностей прогнозирования движенияспутников,пригодныхдляразнообразныхтиповорбит,являетсяоднойизновыхзадачкосмическойбаллистики.

Первые исследования автора по развитию статистического подхода каприорной оценке погрешностей прогнозирования движения спутниковотносятсякконцу1960-х–началу1970-хгг.Онихарактерныприменени-ем «цветного» шума для учета случайных возмущений. В то время такойподход был «пионерским». Полученные результаты были опубликованыврядестатей(Назаренко,Маркова,1973;Анисимовидр.,1975)имоногра-фии (Назаренко, Скребушевский, 1981). Автор выражает признательностьЮ.П.горохову, М.Д.Кислику, А.Д.Курланову, В.И.Мудрову, Р.Р.На-зирову,л.П.ПеллиненуиП.е.Эльясбергузаподдержкупроведенияэтихисследованийиучастиевобсуждениирезультатов.Крометого,онсчитаетнеобходимымотметитьважныйвклад,которыйвнесливпрактическуюре-ализациюсоответствующихалгоритмовегоколлегипоработеВ.Д.Аниси-мов,А.г.Клименко,И.М.Кутепов,л.г.МарковаиИ.г.Поздняков.

Послепроведенияупомянутыхвышеисследованийпрошло40лет.Заэтовремяврассматриваемойобластипроизошлибольшиеизменения:

• достигнутыбольшиеуспехивуточнениипараметровгравитационногополяЗемли;

• построение априорных статистических характеристик погрешностейпрогнозированияспутниковсталоещеболееактуальнойзадачей;

• вамериканскихизданияхопубликованонесколькоработпорассматри-ваемойпроблеме;

• характеристикивычислительнойтехникиулучшилисьнанесколькопо-рядков.

предисловие

Назаренко Андрей Иванович—http://www.satmotion.ru;e-mail:[email protected],[email protected];тел.:8(495)429-54-00,8(499)187-02-68,8(903)545-44-83.

Сучетомизменившейсяобстановкивозникланеобходимостьусовершен-ствоватьидоработатьразвитыйранееподходкрасчетуаприорныхстати-стических характеристик погрешностей прогнозирования спутников вгравитационном поле Земли и на этой основе сделать доступными соот-ветствующие алгоритмы и программы для потребителей. Автор выража-ет признательность профессору техасского университета К.т.Алфренду(K.T.Alfriend)заинтересиподдержкупродолженияисследованийпорас-сматриваемойпроблеме(Nazarenko,Alfriend,2009).

Настоящая книга предназначена, в основном, для специалистов, реша-ющих прикладные задачи в области космической баллистики. При обо-сновании соответствующих алгоритмов автор старался не углубляться вматематические «дебри», характерные для решения задач с учетом стоха-стическихфакторов.Приводятсямногочисленныепримерырешениярас-сматриваемых задач с использованием модельной и реальной информа-ции.Поэтомуавторнадеется,чтоматериалбудетпонятенспециалистамсинженернойподготовкой.

Основноевниманиевкнигеуделеноизложениювопросов,которыевна-учныхпубликацияхосвещенынедостаточно.Вэтомслучаеавторстаралсяизложитьобоснованиеалгоритмовдостаточнополно,и,хотяэтотматери-ал может быть труден для освоения специалистами с инженерной подго-товкой, он представляется необходимым. При использовании известныхметодическихприемовделаютсяссылкинасоответствующиепубликации.

С целью облегчения применения развитых методов и алгоритмов для ре-шения прикладных задач в книге приводятся тексты основных программвисходныхкодах.Этипрограммымогутбытьполезнынетолькоинжене-рам-исследователям,ноистудентамиаспирантам.

8

1. осНовы методики для ПрогНозироваНия корреляциоННых матриц ПогрешНостей вектора состояНия сПутНиков

1.1. введение

традиционныйподходкпрогнозированиюнебесныхтел,развитыйвклассическихтрудахпонебесноймеханике,основаннасоставле-нииирешенииуравненийдвижения.Этотподходхарактеренпри-менениемдопущения,чтовседействующиенакосмическийобъектсилыизвестныимогутбытьучтенывправыхчастяхдифференци-альныхуравненийдвиженияичтоосновнымисточникомошибокпрогноза являются погрешности начальных условий. Последниевозникают из-за ошибок измерения при определении параметровтраектории(начальныхусловий)пометодунаименьшихквадратов.

традиционныйподходширокоиспользуетсяприпрогнозированиидвижения ИСЗ. Однако для ИСЗ не все действующие на спутниксилы можно считать известными и что во многих случаях не всеизвестные силы могут быть учтены в правых частях дифференци-альныхуравненийприихинтегрировании.ВозникающиевсвязисэтимпогрешностимоделидвижениямогутотрицательносказатьсянарезультатахопределенияипрогнозированияорбитИСЗ.Напри-мер,однимизотрицательныхпроявленийэтихпогрешностейявля-етсяограничениевременногоинтервала,накоторомиспользуютсяизмеренияприуточненииначальныхусловий.

При изучении погрешностей прогнозирования удобно воспользо-ваться аппаратом теории вероятностей. В частности, не учтенныепри прогнозировании возмущающие силы можно считать гауссо-вымслучайнымпроцессом.Дляобоснованиятакогоподходамогутбытьприведеныследующиедоводы(Назаренко,Маркова,1973).

• теориявероятностейприменяетсянетольковтехслучаях,ког-даимеетсямножествоповторяемыхсобытий,ноитогда,когдаречьидетонеопределенностивыводов.Врассматриваемомслу-чае такая неопределенность имеется, например, относительно

1.1. Введение

коэффициентовразложениягравитационногопотенциалаЗем-ли, а также параметров модели атмосферы и баллистическогокоэффициентаспутника.

• Применение характеристик случайных процессов для опи-сания не учтенных факторов не противоречит возможно-сти существования детерминированной закономерности в ихпроявлении. так, например, автокорреляционная функцияKx(t,τ)=M[x(t)–Mx(t)][x(τ)–Mx(τ)] некоего случайного про-цессаx(t)какразихарактеризуетналичиетакойзакономерно-сти,аизучениекорреляциичастослужитпервымшагомдлявы-явленияновыхзакономерностей.

• числонеучтенныхприпрогнозированиивозмущающихфакто-ровобычновелико,иусловияихсовместногодействиячрезвы-чайномногообразны,таккакмогутотличатьсярасположениемданнойорбитыотносительноповерхностиЗемли,луныиСолн-ца.так,например,действиетессеральныхисекториальныхгар-моникразложениягравитационногопотенциалаЗемлизависитот взаимного положения восходящего узла орбиты и временипогринвичу(L=Ω–Sg ,гдеSg—звездноевремяпогринвичу).Последняявеличинабыстроменяется,принимаетсамыеразно-образные значения и поэтому у большинства спутников можетсчитаться случайной, равномерно распределенной в интервале(0,2π). Здесь также следует иметь в виду, что не учтенные припрогнозировании возмущения имеют обычно одинаковый по-рядок, т.е. соизмеримы между собой, так как основные воз-мущающие факторы известны и учитываются. Это позволяетиспользовать центральную предельную теорему и принять, чтозначение возмущений в некоторый момент времени являетсяслучайнойвеличиной,распределеннойпонормальномузакону.

• Известные значения учтенных при прогнозировании возмуща-ющих факторов, например параметров гравитационного поля,представляют собой случайные величины, так как определеныпобольшомучислуизмерений,содержащихслучайныеошибки.

• торможениеватмосфере,служащееоднимизглавныхвозмуща-ющихфакторовдлянизкоорбитальныхспутников,существеннозависитотуровнясолнечнойигеомагнитнойактивности,кото-рыеприпрогнозированииможносчитатьслучайнымипроцес-сами.

1. ОСНОВы МЕтОДИКИ Для пРОгНОзИРОВАНИя КОРРЕляцИОННых МАтРИц…

10

• Разделение возмущающих факторов на детерминированные(учтенныеприпрогнозировании)ислучайныенепротиворечиттому, что в результате изучения законов природы неизвестныевозмущающие факторы, которые мы в настоящее время отно-симкслучайным,современембудутопределены.тогдасозда-дутсяусловиядлявключенияихвчислоучитываемыхфакторов,ахарактеристикислучайныхвозмущенийсоответственноизме-нятся.

В результате применения опорной орбиты и линеаризации ис-ходных дифференциальных уравнений движения спутника могутбытьпостроеныдифференциальныеуравнениядляотклоненийотопорноговекторасостояния(погрешностей)

( ) ( ) ( )dd

x A t x B t q tt

δδ= + . (1.1)

Возмущающиеускоренияq(t),которыенеучитываютсяприинте-грированииисходныхуравнений,будемназыватьшумомсистемы.Важнымявляетсято,чтоэтотшумсущественноотличаетсяотбе-лого шума, т.е. имеется корреляция значений шума в разные мо-менты времени. Общее решение системы уравнений (1.1) имеетвид

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0, , dt

t

x t U t t x t U t B qδ δ ξ ξ ξ ξ= +ò . (1.2)

Матрица U(t,t0) представляет собой фундаментальную матрицурешенийуравнений(1.1),атакжепереходнуюматрицу.Статисти-ческиехарактеристикислучайногопроцессаq(t)принимаютсяиз-вестными:

( ) 0M q té ù =ê úë û , ( ) ( ) ( ),TqM q t q K tτ τé ù =ê úë û

. (1.3)

ВширокоизвестномфильтреКалмана(Kalman,1963)рассматрива-ется частный случай условий (1.3), а именно, случайный процессq(t)принимаетсябелымшумом.Приэтомегоавтокорреляционнаяфункцияимеетвид

( ) ( ) ( ) ( )TM q t q R t tτ δ τé ù = -ê úë û. (1.4)

Здесьиспользуютсяобозначения,которыеприменялисьвработе(Наза-ренко,Маркова,1973).

11


Корреляционнаяматрицапогрешностейвначальныймоментвре-менипринимаетсяизвестной:

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0T

xM x t x t K t Pδ δé ù = =ê úë û. (1.5)

В фильтре Калмана определение соответствующей корреляцион-нойматрицыпогрешностейвекторасостояниядляпроизвольногомоментавремениоснованонаисходныхданных(1.4),(1.5),реше-нии(1.2)иещеодногоусловия

( ) ( )0 0TM x t q tδé ù =ê úë û, t>t0, (1.6)

котороесвойственнобеломушуму.Врезультатеполучаетсяследу-ющеевыражение:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 0

0

0 0

0 0

0 00 0

0 00 0

, , d

, , d

, ,

, , , d d

, ,

, , d ,

tT

tT

t

t

T

t tT T

qt t

T

tT T

t

U t t x t U t B qM x t x t M

U t t x t U t B q

U t t P U t t

U t B K B U t

U t t P U t t

U t B R B U t t

δ ξ ξ ξ ξδ δ

δ η η η η

ξ ξ ξ η η η ξ η

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ìé ùïïê úé ù ï += ´íê úê úë û ïê úïïë ûî üïé ù ïïê ú ï´ + =ê ú ýïê ú ïê ú ïë û ïþ= +

+ =

= +

+

ò

ò

ò ò

ò 0.t

(1.7)

ИменноэтовыражениеиспользуетсявфильтреКалманадляпро-гнозакорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостояния.

В работе (Назаренко, Маркова, 1973) использовалось допущение,чтоматрицавзаимнойкорреляции

( ) ( ) ( )0 0, 0TxqM x t q t K t tδé ù = ¹ê úë û

(1.8)

известнаинеравна0.Вэтомслучаеопределениекорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостояниявпроизвольныймоментвремени на основе исходных данных (1.4), (1.5), решения (1.2) иусловия(1.8)приводитквыражению


12

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 0

0 00 0

0 0

0 0

, ,

, , , d

, , , d

, , , d d ,

TTx

tT T

xqt

Tt

T Txq

tt t

T Tq

t t

K t M x t x t U t t P U t t

U t t K t B U t

U t t K t B U t

U t B K B U t

δ δ

η η η η

η η η η


é ù= = +ê úë û

+ +

é ùê ú

+ +ê úê úê úë û

+

ò

ò

ò ò

(1.9)

котороеявляетсяобобщениемформулы(1.7).

В американских публикациях проблема учета неизвестных грави-тационных возмущений при расчете корреляционной матрицыпогрешностей вектора состояния подробно изложена в работахД.Р.Райта (Wright, 1981; Wright etal., 2008a, b). Ниже приведенывыдержки из статьи (Wright etal., 2008a). При этом ссылки на пу-бликацииприведенывсоответствиеснашимсписком.

история

ПрофессорКаулав1959г.развилстатистическуютеориюопределенияпогрешностей расчета гравитационного потенциала на поверхностиЗемли(Kaula,1959).герстен,горихоллв1967г.применилиэтутео-риюдляоценкивозмущенийорбит(Gerstenetal.,1967).В1978г.Райтпредпринялпопыткувычислениядвойногоинтеграла…Привычисле-ниях на ЭВМ IBM 370 была применена двойная точность. При этомвозниклидвепроблемы.Во-первых,результирующаяматрицаразмер-ностью(6×6)оказаласьнесимметричной,хотяонадолжнабытьсимме-тричнойпоопределению.Во-вторых,длявыполненияфильтрациииз-меренийнапятиминутноминтерваледлявычисленияоднойматрицытребовалосьзатратитьдвоесутокмашинноговремени.<…>ДляпогрешностейвекторасостоянияδZразмерностью(6×1)линейноесоотношение, учитывающее влияние гравитационных возмущений δgразмерностью(3×1),имеетвид

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

1 1 1, , d , 0,1, 2, ...k

k

t

k k k k kt

Z t t t Z t t G g kδ Φ δ Φ τ τ δ τ τ+

+ + += + Îò ,(37)

где Φ(tk+1,τ) — переходная матрица размерностью (6×6), а матрицаG(τ)размерностью(6×3)состоитизсоответствующихкоэффициентовуравнений возмущенного движения. Произведение Φ(tk+1,τ)G(τ)δg(τ)трансформируетвлияниепогрешностейускоренийg(τ)напогрешности

13


векторасостояниявмоментвремениtk+1.еслиtk+1=tk,товозмущенийв векторе состояния δZ(tk+1) не возникает. Погрешности гравитаци-онныхускоренийδg(τ)являютсяслучайнымивеличинами.ПоэтомуипогрешностивекторасостоянияδZ(tk+1)—такжеслучайныевеличины.При использовании для математического ожидания обозначения E.корреляционнаяматрицапогрешностейможетбытьвыраженаследую-щимобразом:

( ) ( ) 1 11T

k kk kP E Z t Z tδ δ+ ++ = . (38)

Подстановка(37)в(38)приводитквыражению

( ) ( )1 1 1,1 , ,T

k k k k k kk k k kP t t P t t PΦ Φ ò ò+ + ++ = + , (39)

где 1, 1, 1, 1,

C L Rk k k k k k k kP I I Iò ò+ + + += + + , (40)

( ) ( ) () ( )1

1, 1 1, , d dk

k

tTTC

k k k kt

I H t E g g t H t t tτ δ τ δ τ+

+ + +=ò ò , (41)

( ) ( ) () ( )1

1, 1 1, , dk

k

tTTL

k k k k k kt

I t t E Z t g t H t t tΦ δ δ+

+ + += ò , (42)

1, 1,

TR Lk k k kI I

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷+ +çè ø= , (43)

( ) ( ) ( )1 1, ,k kH t t Gη Φ η η+ += , (44)

<…>Для представленного выше двойного интеграла применено обозначе-ние , 12 k kI P ò ò

+= .Онвычисляетсяпоформуле

( ) ( ) ( )1

1 12 , 0, 1 , dk

k

tT

k kt

I H t t R t I H t t t+

+ +é ù é ùé ù é ù= ê úê ú ê úê ú ë ûë ûë û ë ûò . (82)

Комментарии

1. Нетруднозаметить,чтоприведенныевышеформулы(39)–(44)дляпрогнозированиякорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостоянияотличаютсяотформулы(1.9)толькообозначениями.Ихсодержаниеполностьюсовпадает.

2. Авторы применяют методику прогнозирования корреляционнойматрицы в процессе уточнения вектора состояния по измерениямнадостаточнокороткихинтервалахвремени(несколькоминут).

3. Из(82)очевидно,чтоприрасчетедвойногоинтегралаавторыучи-тываюттолькопервоеслагаемое(41)интеграла(40)инеучитывают


14

двадругихслагаемых(42)и(43),которыеотражаютвлияниевзаим-нойкорреляцииM[δZ(tk)δg T(t)]=M[δx(t0)q T(t)]=Kxq(t0,t).

4. История развития рассматриваемой методики изложена неполно.Вроссийскойлитературепроблемаучетанеизвестныхгравитацион-ныхвозмущенийприрасчетекорреляционнойматрицыпогрешно-стейвекторасостояниядостаточноподробноизложенавмоногра-фии (Назаренко, Скребушевский, 1981). Вней приведены формула(1.9),данныеокорреляционныхфункцияхнеизвестныхгравитаци-онныхвозмущений(1.3),атакжеметодикапостроенияматрицвза-имной корреляции (1.8) в процессе уточнения параметров орбитыпо результатам измерений. Вмонографии приводятся ссылки настатьи (Kaula, 1959; Gersten etal., 1967). В начале 1970-хгг. эта ме-тодикабылапримененадляопределенияипрогнозированияорбитпри ведении каталога космических объектов. Ссылка на соответ-ствующую компьютерную программу имеется в статье (Nazarenko,1991).

5. Имеется ряд публикаций (Nazarenko, 1998, 2007; Nazarenko etal.,2007),вкоторыхизложенырезультатыпримененияразвитоймето-дикидляучетаслучайногоатмосферногошумавправойчастиурав-нения(1.1).

такимобразом,имеютсяследующиеразличияроссийскихиамериканскихпубликацийпорассматриваемойпроблеме:а)впервомслучаеболеепол-ное внимание уделено матрице взаимной корреляции погрешностей на-чальныхусловийишума;б)прогнозированиевыполняетсянадостаточнобольшихинтервалахвремени.

1.2. дифференциальные уравнения для прогнозирования корреляционной матрицы

РассмотримматрицувзаимнойкорреляцииM[δx(t)δx(τ)T]погреш-ностейвекторасостоянияприегопрогнозированиинаразныемо-ментывремениtиτ.Используятотжеподход,которыйпримененпривыводеформулы(1.9),получим

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 0

0 00 0

0 0

0 0

, , ,

, , , d

, , , d

, , , d d .

T Tx

T Txq

tT

tT T

xqt

tT T

qt t

M x t x K t U t t P U t

U t t K t B U

U t K t B U t

U t B K B U

τ

τ

δ δ τ τ τ

η η τ η η

τ η η η η

ξ ξ ξ η η τ η ξ η

é ù= = +ê ú

ê úë û

+ +

é ùê ú


+

ò

ò

ò ò

(1.10)

15

1.2. Дифференциальные уравнения для прогнозирования корреляционной матрицы

естественно, что при t=τ это выражение совпадает с форму-лой(1.9).

Рассмотрим также матрицу взаимной корреляции M[δx(t)δx(τ)T]погрешностейвекторасостояниявмоментвремениtислучайногопроцессаq(τ)впроизвольныймоментвремениτ.Применяятотжеподход,получим:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

0 0

0 0

,

, , d

, , , , d .

Txq

tT

tt

xq qt

M x t q K t

M U t t x t U t B q q

U t t K t U t B K

δ τ τ

δ ξ ξ ξ ξ τ

τ ξ ξ ξ τ ξ

é ù= =ê ú

ê úë ûì üé ùï ïï ïê úï ï= + =ê úí ýï ïê úï ïê úï ïë ûî þ

= +

ò

ò

(1.11)

Построим дифференциальные уравнения ( ), ...xK t tτ¶ ¶ = и( ), ...xK t τ τ¶ ¶ = . Применяя непосредственное дифференцирова-

ниевыражения(1.10),имеем:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0

0 0

0 00 0

0 0

0 0

0 0

,, ,

, , , d

, ,

, , , d

, , d

, , , d d .

Tx

T Txq

tTT

xqT

tT T

xqt

T Tq

tt

T Tq

t t

K tA t U t t P U t

t

A t U t t K t B U

U t K t t B t

A t U t K t B U t

B t K t B U

A t U t B K B U

τ

τ

τ

ττ

η η τ η η

τ

τ η η η η

η η τ η η

ξ ξ ξ η η τ η ξ η

¶= +

¶

+ +

é ù+ +ê úê úë û

é ùê ú


+ +

+

ò

ò

ò

ò ò

(1.12)

СгруппируемвэтомвыражениислагаемыесобщимимножителямиA(t)иB(t).Учитываявыражения(1.10)и(1.11),получим

( )

( ) ( ) ( ) ( ),

, ,xx qx

K tA t K t B t K t

t

ττ τ

¶= +

¶. (1.13)


16

Более просто эту же формулу можно вывести другим способом—наосноветождества

( ) ( ) ( ) ( )( )

,T

TxM x t xK t d x t

M xt t dt

δ δ ττ δδ τ

ì üé ùï ïï ï¶ ê úí ý é ù¶ ï ïê úë û ê úï ïî þ= = ê ú¶ ¶ ë û. (1.14)

Врезультатеполучим

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( )

,

, , .

Tx

x qx

K tM A t x t B t q t x

tA t K t B t K t

τδ δ τ

τ τ

¶ é ù= + =ê úë û¶= +

(1.15)

Аналогичностроитсявыражениедлявторойчастнойпроизводной:

( )

( ) ( ) ( ) ( ),

, ,T Txx xq

K tK t A K t B

ττ τ τ τ

τ

¶= +

¶. (1.16)

Построим дифференциальное уравнение для матричной функциивзаимнойкорреляцииKxq(t,τ)=M [δx(t)q(τ)T](прификсированномпроизвольномτ).Действуятакже,какпривыводеформулы(1.15),получим

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,

, , .

Txq

xq q

K tM A t x t B t q t q

tA t K t B t K t

τδ τ

τ τ

¶ é ù= + =ê úë û¶= +

(1.17)

В частном случае при t=τ дифференциальное уравнение длякорреляционной матрицы погрешностей вектора состоянияKx(t)=Kx(t,t) может быть построено на основе частных произво-дных(1.13),(1.16)исоотношения

( )

( ) ( ), ,xx xt t

dK tK t t K t

dt τ ττ τ τ

= =é ù é ù= ¶ ¶ + ¶ ¶ê ú ê úë û ë û . (1.18)

Врезультатеимеем

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ), , .

Txx x

Tqx xq

dK tA t K t K t A t

dt

B t K t t K t t B t

= + +

+ +

(1.19)

Здесьвсоответствиисвыражением(1.11)матрицывзаимнойкор-реляцииравны

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0, , , , , dt

xq xq qt

K t t U t t K t t U t B K tξ ξ ξ ξ= +ò (1.20)

17

1.2. Дифференциальные уравнения для прогнозирования корреляционной матрицы

и

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

0 0, , , ,

, , d .

T Tqx xq qx

tT T

qt

K t t K t t K t t U t t

K t B U tξ ξ ξ ξ

= = +

+ò

(1.21)

такимобразом,наосновеобщихформул(1.10)и(1.11)построенодифференциальноеуравнение(1.19)длякорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостояниявпроизвольныймоментвремени.В соответствии с общей исходной формулой (1.10) решение урав-нения(1.19)имеетвид(1.9).

Комментарий

При условии, когда случайный процесс q(t) является белым шумом иегоавтокорреляционнаяфункцияимеетвид(1.4)(каквфильтреКал-мана),выражения(1.20)и(1.21)могутбытьупрощены.Во-первых,приt≠t0 функции взаимной корреляции Kxq(t0,t)=Kqx(t,t0)T=0. Во-вто-рых,имеетсявозможностьупрощениявходящихв(1.20)и(1.21)инте-гралов.Онаосновананатом,чтовпервомизнихξ–t≤0,авовторомξ–t≥0.Поэтому,cиспользованиемсвойстваинтеграла

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

d d d 0 1a a

a a

f f f fη δ η η η δ η η η δ η η- -

= + = ×ò ò ò (приa>0), (1.22)

содержащегоδ-функцию,суммадвухпоследнихслагаемыхвыражения(1.19)принимаетвид

() ( ) ( ) () () () (), ,T T

qx xqB t K t t K t t B t B t R t B t+ = . (1.23)

Врезультатеуравнение(1.19)упрощается:

() () () () () () () ()T Tx

x x

dK tA t K t K t A t B t R t B t

dt= + + . (1.24)

Именно это уравнение и его решение в форме (1.7) используются вфильтреКалманадляпрогнозированиякорреляционнойматрицы.

Матричное уравнение (1.19) эквивалентно системе из n×(n+1)/2обыкновенных дифференциальных уравнений. При заданных на-чальныхусловияхKx(t0)иKxq(t0,t)=Kqx(t,t0)Tегорешениеявляетсяединственным. Поэтому функция Kx(t), построенная в результатеинтегрированияуравнения(1.19),обеспечиваетдлялюбогомомен-тавремениtвозможностьправильногоопределениякорреляцион-нойматрицыпогрешностейвекторасостояния.Последнееутверж-дениеможетпоказатьсятривиальным.Однакоэтонесовсемтак.


18

Покажем на конкретном примере, что применение решения (1.9)безучетаматрицвзаимнойкорреляциипогрешностейвекторасо-стояния (Kxq(t0,t)=Kqx(t,t0)T) может приводить к неправильнымрезультатам.Вэтомслучаерешение(1.9)принимаетвид

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 00 0, ,

, , , d d .

Tx

t tT T

qt t

K t U t t P U t t

U t B K B U tξ ξ ξ η η η ξ η

= +

+ò ò

(1.25)

Применимэторешениедляпрогнозированиякорреляционнойма-трицынамоментвремени tиобратновточку t0.Припрогнозеизточкиtвисходнуюточкуt0значениекорреляционнойматрицыбу-детравно

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0

0 0 0 00 0

0

0 0

, , ,

, , , d d ,

, , , d d .

Tx

t tT T T

qt t

t tT T

qt t

K t U t t U t t P U t t

U t B K B U t U t t

U t B K B U t



é= +êêë ùú+ +úúû

+

ò ò

ò ò

(1.26)

Используяизвестныесвойствапереходнойматрицы

( ) ( ) ( )0 0, , ,U t t U t U tξ ξ= , (1.27)

( )0 0,U t t E= (1.28)ивозможностьзаменывпоследнемслагаемомпорядкаинтегриро-ваниянаобратный,выражение(1.26)можноупростить.Онопри-нимаетвид

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0 00 0 2 , , , d dt t

T Tx q

t t

K t P U t B K B U tξ ξ ξ η η η ξ η= + ò ò .(1.29)

Очевидно, что это значение отличается от исходного значения

0 0P . таким образом, решение (1.25) не является достаточно кор-ректным.Ононепозволяетполучитьдостовернуюоценкукорреля-ционнойматрицыприразличныхрежимахпрогнозирования.Этотнедостаток является следствием пренебрежения матрицами вза-имнойкорреляцииKxq(t0,ξ).Напомним,чтоименнорешениевида(1.25)используетсявупомянутойвышестатьеРайта(Wright,1981)(см.п.3комментариев,с.13).

1

1.3. Анализ методики прогнозирования корреляционной матрицы…


Изложенный выше анализ упрощенной формулы (1.25) справедливидляслучая,когдаслучайныйпроцессq(t)представляетсобойбелыйшум и его автокорреляционная функция имеет вид (1.4) (как в филь-треКалмана).Этообъясняетсятем,чтодвойнойинтегралввыражении(1.25)всегдаявляетсяположительноопределенным.Поэтомуприпро-гнозекаквперед,такиназаддиагональныекомпонентыкорреляцион-нойматрицывсегдаувеличиваются.

1.3. анализ методики прогнозирования корреляционной матрицы при учете взаимной корреляции погрешностей вектора состояния и случайных возмущений

Применим решение (1.9) для прогнозирования корреляционнойматрицынамоментвремениtдвумяспособами:1)непосредствен-ноизточки t0вточку t;2)сиспользованиемпрогнозавпромежу-точнуюточку.

Значениекорреляционнойматрицывпервомслучаеравно(1.9),вовтором,вточкеt1,—

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1

01 1

0 0

1 1 0 1 00 0

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1

, ,

, , , d

, , , d

, , , d d .

Tx

tT T

xqt

TtT T

xqt

t tT T

qt t

K t U t t P U t t

U t t K t B U t

U t t K t B U t

U t B K B U t

η η η η

η η η η


= +

+ +

é ùê ú


+

ò

ò

ò ò

(1.30)

Значения матричной функции взаимной корреляции Kxq(t1,τ) вточкеt1иприразличныхτследуютизрешения(1.20):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0

1 1 0 0 1, , , , , dt

xq xq qt

K t U t t K t U t B Kτ τ ξ ξ ξ τ ξ= +ò . (1.31)

Применимновыезначения(1.30)и(1.31),подставивихв(1.9)вка-чественачальныхусловийприпрогнозеизточкиt1вточкуt.


20

Первоеслагаемоеимеетвид

I: ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1

0

1 1

0 0

1 0 1 00 0

1 0 0 1

1

1 0 0 1

1 1

, ,

, , , d

,, , , d

, , , d d

T

tT T

xqt

TtT T

xqt

t tT T

qt t

U t t P U t t

U t t K t B U t

U t tU t t K t B U t

U t B K B U t

η η η η

η η η η


ì üï ïï ï+ï ïï ïï ïï ïï ïï ïï ï+ +ï ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïé ùí ýï ïê úï ï+ +ê úï ïï ïê úï ïï ïê úë ûï ïï ïï ïï ïï ï+ï ïï ïïïïî þ

ò

ò

ò ò

( )1, TU t t

ïïï

.

Этовыражениеможноупростить,используясвойство(1.27)пере-ходнойматрицы:

I:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1

01 1

0 0

0 0 0 00 0

0 0

, , , , , d

, , , d

, , , d d .

tT T T

xqt

TtT T

xqt

t tT T

qt t

U t t P U t t U t t K t B U t

U t t K t B U t

U t B K B U t

η η η η

η η η η


+ +

é ùê ú


+

ò

ò

ò ò

(1.32)

Второеслагаемоеимеетвид

II: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 0

1 1 0 0 1, , , , , d

, d .

tt

xq qt t

T T

U t t U t t K t U t B K

B U t

η ξ ξ ξ η ξ

η η η

é ùê ú

+ ´ê úê úê úë û

´

ò ò

Этовыражениетакжеможноупростить,используясвойство(1.27)переходнойматрицы:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1

1 0

0 0, , , d

, , , d d .

tT T

xqt

ttT T

qt t

U t t K t B U t

U t B K B U t

η η η η


+

+

ò

ò ò

(1.33)

Третьеслагаемоепредставлятьнетнеобходимости,таккаконоот-личаетсяотвтороготолькотранспонированием.

21


Четвертоеслагаемоеимееттакойвид:

IV: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

, , , d dt t

T Tq

t t

U t B K B U tξ ξ ξ η η η ξ ηò ò . (1.34)

Проанализируемсуммувсехслагаемыхисравнимеесвыражением(1.9).

Первое слагаемое в (1.32) совпадает с первым слагаемымвыраже-ния(1.9).

Сумма второго слагаемого в (1.32) и первого слагаемого в (1.33)имеетвид

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1

0

0 0

0 0

0 0

, , , d

, , , d

, , , d

tT T

xqt

tT T

xqt

tT T

xqt

U t t K t B U t

U t t K t B U t

U t t K t B U t

η η η η

η η η η

η η η η

+

+ =

=

ò

ò

ò

(1.35)

и совпадает со вторым слагаемым выражения (1.9). Аналогичныйрезультатможетбытьполучендлятретьегослагаемоговыражения(1.9),котороеотличаетсяотвторогослагаемоготолькоприменени-емтранспонирования.

Рассмотримдвойныеинтегралы,кото-рые входят в формулы (1.32), (1.33) и(1.34).Нарис.1.1представленадвумер-наяобластьаргументовξиη,вкоторойвычисляютсядвойныеинтегралы.

Двойнойинтегралв(1.32)относитсякобластиA;двойнойинтегралв(1.33)—к областиB. Двойной интеграл в упо-мянутом выше третьем слагаемом, от-личающийся от двойного интегралав (1.33) только транспонированием,относится в областиBT; двойной ин-теграл в (1.34) — к областиC. таким

Рис. 1.1. Областьвычис-лениядвойныхинтегралов


22

образом,рассмотренныедвойныеинтегралы«покрывают»всюоб-ластьинтегрирования,представленнуюнарис.1.1.Ихсуммаравнадвойномуинтегралувыражения(1.9).

Таким образом, подстановка в (1.9) результатов прогнозирования(1.30)и(1.31)вкачественачальныхусловийприводитприпрогнозеизточки t1вточку tктомужерезультату,которыйследуетизфор-мулы(1.9)принепосредственномпрогнозеизточкиt0вточкуt.Этотрезультатсвидетельствуетокорректностипримененияформулы(1.9)дляпрогнозированиякорреляционнойматрицыпогрешностейвек-торасостоянияприразличныхрежимахпрогнозирования.


Изложенное выше утверждение является общим. Оно справедливопри любом относительном расположении точек t1 и t. В качестве до-полнительного подтверждения рассмотрим прогноз «туда↔обратно».Аименно,прииспользованииматриц(1.30)и (1.31)вточке t1вкаче-стве начальных условий выполним прогноз в исходную точку t0. Вос-пользуемсявыражениями(1.32),(1.33)и(1.34)дляI,IIиIVслагаемыхвыражения(1.9)послеподстановкивнегоначальныхусловий(1.30)и(1.31).Замениввнихtнаt0ииспользуясвойство(1.28),получим

I: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1

01 1

0 0

0 00 0

0 0

0 0

, , d

, , d

, , , d d ,

tT T

xqt

Tt

T Txq

tt t

T Tq

t t

P K t B U t

K t B U t

U t B K B U t

η η η η

η η η η


+ +

é ùê ú


+

ò

ò

ò ò

(1.36)

II: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

10 1

1 0

0 0

0 0

, , d

, , , d d .

tT T

xqt

t tT T

qt t

K t B U t

U t B K B U t

η η η η


+

+

ò

ò ò

(1.37)

IIIслагаемоеотличаетсяотIIтолькотранспонированием.

IV: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

1 1

0 0, , , d dt t

T Tq

t t

U t B K B U tξ ξ ξ η η η ξ ηò ò . (1.38)

Проанализируемсуммуэтихчетырехслагаемых.Первоеслагаемоевы-ражения(1.36)равно 0 0P .Прикорректномалгоритмесуммавсехслага-

23


емых(I,II,IIIиIV)должнабытьравна 0 0P .Поэтомуследуетожидать,чтоостальныеслагаемыевзаимносократятся.Насамомделеимеем:

суммавторогослагаемого(1.36)ипервогослагаемоговыражения(1.37)равна

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1

1 0

0 0 0 0, , d , , d 0t t

T T T Txq xq

t t

K t B U t K t B U tη η η η η η η η+ =ò ò ;

аналогично сумма третьего слагаемого (1.36) и первого слагаемоготранспонированноговыражения(1.37)такжеравна0.

Сумма четвертого слагаемого (1.36) и второго слагаемого выражения(1.37)составит

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

0 00 1

1 0

0 0

0 0

, , , d d

, , , d d 0.

t tT T

qt tt t

T Tq

t t

U t B K B U t

U t B K B U t



+

+ =

ò ò

ò ò

Сумма транспонированного выражения (1.37) и IV слагаемого (1.38)равна

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1

1 00 0

1 1

0 0

0 0

, , , d d

, , , d d 0.

t tT T

qt tt t

T Tq

t t

U t B K B U t

U t B K B U t



+

+ =

ò ò

ò ò

таким образом, прогноз «туда↔обратно» с учетом матричных функ-ций взаимной корреляции Kxq(t0,t)=Kqx(t,t0)T приводит к исходномузначениюкорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостояния.Приэтомвзаимноесокращениедвойныхинтеграловвида

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

0 00 0

1 1

0 0

0 0

, , , d d

, , , d d .

t tT T

qt t

t tT T

qt t

U t B K B U t

U t B K B U t



=

=

ò ò

ò ò

происходитврезультатевлиянияматричныхфункцийвзаимнойкорреля-цииKxq(t0,t)=Kqx(t,t0)T.

Инверсия пределов интегрирования одного из интегралов приводит ксменеегознака.


24

Итак,вданномразделемыпоказали,чтоучетматричныхфункцийвзаимной корреляции Kxq(t0,t)=Kqx(t,t0)T при прогнозированиикорреляционной матрицы погрешностей вектора состояния обе-спечивает корректное выполнение прогнозов с использованиемпромежуточной точки. Этот результат схематично представлен нарис.1.2.

1.4. определение функций взаимной корреляции Kxq(t0, t) = Kqx(t, t0)T в процессе уточнения параметров орбит по данным измерений

Этот вопрос подробно изложен в ряде публикаций (Назаренко,Маркова, 1973; Назаренко, Скребушевский, 1981; Nazarenko, 1998;Nazarenkoetal.,2007a,b;Nazarenko,Alfriend,2009).Здесьмыкорот-коизложимосновныерезультаты.

Проблемаформулируетсяследующимобразом.Длясистемы,дви-жениекоторойпроисходитвсоответствиисуравнением

( ) ( ) ( )dx A t x B t q tdt

= + , (1.39)

наосновеизмерений ( )i i i iz h x t v= + , i=1,…,k (1.40)иаприориизвестныхстатистическиххарактеристик

( )0

0M q té ù =ê úë û , ( ) ( ) ( )00,T

qM q t q K tτ τé ù =ê úë û, (1.41)

Рис. 1.2. Прогнозысприменениемпромежуточнойточки

25

1.4. Определение функций взаимной корреляции в процессе уточнения параметров орбит…

0

0iM vé ù =ê úë û ,0

Ti j i ijM v v R δé ù =ê úë û

, ( )0

0TiM v q té ù

=ê úê úë û

,

необходимоопределитьоптимальныепоточностиоценкивекторасостояния x(t) в произвольный момент времени t>tk . В соответ-ствии с критерием максимального правдоподобия оптимальнойсчитается такая оценка, которая доставляет максимум условномуапостериорномураспределению 1 2( ( ) , , ..., )kp x t z z z .

Важно отметить, что возможность и уместность такой постанов-кизадачиобусловленытем,чтошумq(t)существуетинеявляетсябелым.Впротивномслучаеучетеговлияниянавекторсостоянияпри прогнозе становится бессмысленным или невозможным, по-

скольку ( ) ( ) ( ) ( )0

, d 0t

t

x t U t B qδ ξ ξ ξ ξ= =ò . Поэтому, в соответствии

с решением (1.2), справедливо равенство ( ) ( ) ( )0 0ˆ ˆ,x t U t t x t= , т.е.вэтомслучаеоптимальнаяпоточностиоценкавекторасостоянияв произвольный будущий момент времени t>t0 однозначно опре-деляется на основе оптимальных по точности начальных условий.Исходная оценка ( )0x t может быть определена на основе приме-ненияизвестныхстатистическихметодовобработкиданныхизме-рений:методовнаименьшихквадратовилимаксимальногоправдо-подобия,атакжефильтраКалмана.

Следуетобратитьвниманиенато,чторассмотреннаяздесьпробле-маблизкакпостановкезадачивфильтреКалмана(Kalman,1963),в котором влияние шума системы также учитывается. Отличиесостоит в том, что в рассматриваемой постановке задачи шум си-стемы принимается нестационарным случайным гауссовым про-цессомболееобщеговида,т.е.неявляетсябелым.Нижебудетпо-казано, что действующие на спутник случайные гравитационныевозмущения имеют корреляционные функции различных типов.Именнопоэтомурассмотреннаяздесьпостановказадачиявляетсяуместной.

Определениеипрогнозированиепараметроворбитыприпоследовательнойобработкеданныхизмерений

Принимается,чтоврезультатеобработкиданныхпредшествующих(k–1)измеренийопределеныследующиестатистическиехаракте-ристики:


26

( )1 1 1 1ˆk k k kM x t M x x- - - -é ù é ù= =ê úê ú ë ûë û ,

1 11 1 1 1 1 1ˆ ˆT

k kk k k k k kM x x x x Pæ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- -ç ç- - - - - -÷ ÷ç çè øè ø

é ùê ú- - =ê úë û

,

( ) ( ) 1ˆ

kM q t q t

-é ù =ê úë û , (1.42)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1ˆ ˆ ,

T

qk k kM q t q t q q K tτ τ τ

- - -

ì üï ïï ïé ù é ù- - =í ýê ú ê úë û ë ûï ïï ïî þ,

( ) ( ) ( )1 11 1 1 1ˆ ˆ ,k xq kk k k k

M x x q t q t K t tæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç - - ÷ç - -è ø

é ù- - =ê úë û.

Здесь t≥tk–1. Представленный состав текущих статистических ха-рактеристик отличается от состава характеристик в фильтре Кал-мана.Аименно,здесьдобавленытриновыехарактеристики:оцен-ки шума ( ) 1

ˆk

q t-

, апостериорная автокорреляционная функцияKq(t,τ)k–1ифункциявзаимнойкорреляцииKxq(tk–q,t)k–1.Задачасо-стоитвпостроенииформулдляэтиххарактеристик ˆ

k kx , k kP , ( )ˆk

q t ,Kq(t,τ)k,Kxq(tk–1,t)kпорезультатамобработкиданныхизмеренийнаследующем—k-м—шаге(дляt≥tk).

Детальныйвыводнеобходимыхформулизложенвстатье(Назарен-ко,Маркова,1973).Ониимеютследующийвид:

1

1 11

Tk k kk k k kP P h R h

-æ ö÷- -ç ÷ç ÷ç ÷ç - ÷çè ø= + . (1.43)

11 1ˆ ˆ ˆT

k k kk k k k k k k kx x P h R z zæ ö÷- ç ÷ç ÷ç ÷ç- - ÷çè ø

= + - , (1.44)

( ) ( ) ( ) 1 11 11 1

ˆ ˆ ˆ, Txq k k k kk k k k k kk k k

q t q t K t t P P h R z zæ ö÷- - ç ÷ç ÷ç ÷ç- - ÷ç- - è ø

= + - , (1.45)

( ) ( )11 1

, ,xq k xq kk k k kk kK t t P P K t t-

- -= , (1.46)

( ) ( )

( ) ( )1

1 1 11 1

, ,

, , .

q qk k

T T Txq k k k k k k k k xq kk kk k

K t K t

K t t h R R h P h R h K t

τ τ

τ

-

- - -- -

= -

é ù- -ê úë û

(1.47)

Построенные соотношения (1.43)–(1.47) и вспомогательные обо-значения ( )1,j k jU t t Φ- = , ( )1,k k kU t t Φ- = , (1.48)

27


( ) ( ) ( )1

, 1 1 1ˆ ˆ, d

k

k

t

kk k k kt

w U t B qξ ξ ξ ξ

-

- - -= ò , (1.49)

1 1 1 , 1 1ˆ ˆ ˆkk k k k k k kx x wΦ- - - - -= + , (1.50)

1 1ˆˆ kk k k kz h x- -= , (1.51)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1 1

11 1 1 1

1 1

1

, , d

, , d

, , , d d ,

k

kk

kk k

k k

tT T T

k k k xq k kk k k k kt

tT T

k xq k kkt

t tT T

k q kkt t

P P K t B U t

U t B K t

U t B K B U t

Φ Φ Φ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ Φ


-

-

- -

-- - - -

- -

-

= + +

+ +

+

ò

ò

ò ò

(1.52)

( ) ( ) ( ) ( )1

1 1, , d

k

k

t

wq k qk kt

K t U t B K tη η η η

-

- -= ò , (1.53)

( ) ( ) ( )11 1 1, ,xq k k xq k wqk k k

K t t K t t K tΦ -- - -= + (1.54)

завершают определение характеристик на момент последнего из-мерения.Дополнительныесоотношения

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1 1

11 1 1

1 1

, , , d

, , d

, , , d d ,

k

kj

kj k

k k

tT T T

x j k j k j xq k jk k kt

tT T

j xq k kkt

t tT T

j q kt t

K t t P K t B U t

U t B K t

U t B K B U t

Φ Φ Φ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ Φ


-

-

- -

-- - -

- -

= + +

+ +

+

ò

ò

ò ò

(1.55)

( ) 1 11 1 1ˆ ˆ ˆ, k T

x j k k k k kj k j k k k k kx x K t t P P h R z xæ ö÷- - ç ÷ç ÷ç ÷ç- - - ÷çè ø

= + - (1.56)

позволяют определять оптимальные по точности оценки векторасостояниявбудущиемоментывремени tj≥tk,т.е.являютсяреше-ниемзадачиоптимальногопрогнозирования.

Основное отличие рассмотренного здесь алгоритма для определе-ния и прогноза вектора состояния от фильтра Калмана состоит в


28

применении трех новых функциональных уравнений: a)для оценокшума ( )ˆ

kq t (1.45),б)дляфункциивзаимнойкорреляцииKxq(tk,t)k

(1.46) и в)для апостериорной автокорреляционной функцииKq(t,τ)k (1.47). Эти функциональные рекуррентные соотношенияучитываютвлияниешумасистемыq(t)инаэтойосновепозволяютопределятьоптимальныепоточностиоценкивекторасостояниявбудущиемоментывремени.


1. В представленном решении рассматриваемой задачи определениематричной функции взаимной корреляции Kxq(tk,t)k–1 по формуле(1.54)играетважнуюроль.ееприменениевформуле(1.52)выпол-няетсяпосхеме«спромежуточнойточкой»иобеспечиваеткоррект-ное определение корреляционной матрицы погрешностей векторасостояниянакаждомшагепоследовательнойобработкиданныхиз-мерений.

2. естественно,вычисленияпотремфункциональнымрекуррентнымсоотношениям(1.45)–(1.47)являютсявесьматрудоемкими.ПриихреализациинаЭВМсущественноувеличиваютсязатратымашинно-говремениипамяти.еще40летназадтакаяреализациябылатруд-но решаемой проблемой. Однако в настоящее время в связи с фе-номенальнымидостижениямивразвитиивычислительнойтехникиэтотнедостатокнеявляетсястольсущественным.

3. Достоинством приведенных рекуррентных соотношений являетсявозможностьихпримененияприразличныхконкретныхвидахав-токорреляционныхфункцийшумовKq(t,τ).Однаковрядеслучаев,вчастности,прииспользованииэкспериментальныхкорреляцион-ныхфункцийKq(t,τ),возникаетвопрос,являетсялиданнаякорре-ляционнаяфункциякорректной.Ответнаэтотвопростребуетпро-ведения специальных исследований, выходящих за рамки даннойкниги.

Определение и прогнозирование параметров орбиты при совместнойобработкеданныхизмерений

Рассмотренная здесь проблема может быть решена разными спо-собами.Одинизспособов,основанныйнапоследовательнойобра-ботке данных измерений, был рассмотрен выше. Возможно такжерешение задачи на основе применения взвешенного метода наи-меньшихквадратовиметодамаксимальногоправдоподобия(Лин-ник,1962;Аким,Энеев,1963;Эльясберг,1976;Мудров,Кушко,1976;

2


Vallado,2004).Этиметодыиспользуютсовместнуюобработкуизме-рений.Обычно,прииспользованииэтихметодовдляопределенияпараметров орбит выполняется фильтрация только ошибок изме-рений. Нам известна только одна публикация (Назаренко, Марко-ва, 1973), где при использовании этих методов учитывается влия-ние шума q(t). Получение такого решения представляется весьмазаманчивым,посколькуоноявляетсяобобщениемтрадиционногоподхода,которыйнеучитываетвлияниеслучайныхвозмущений.

Детальныйвыводнеобходимыхформулизложенвработах(Аниси-мов,1975;Назаренко,Скребушевский,1981).Ониимеютследующийвид:

1

2...k

k

zz

Z

z

= ,1

2

0 ... 00 .. 0... ... ... ...0 0 ... k

hh

H

h

= ,11 12 1

21 22 2

1 2

.....

... ... ... ......

k

k

k k kk

R R RR R R

R

R R R

Σ = , (1.57)

( )( )

( )

1

2

,

,...

,

j

jj

k j

U t t

U t tU

U t t

= , j jHU X= , (1.58)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, , , d d

i l

j j

t tj T T

il i q lt t

Q U t B K B U tξ ξ ξ η η η η ξ=ò ò , (1.59)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 11 12 1

21 21 2

1 2

...

..... ... ... ...

...

j j jk

j j jjk

wj il

j j jk k kk

Q Q Q

Q Q QK Q

Q Q Q

= = , i,l,=1,…,k, (1.60)

1T

j wjP HK H RΣ

-æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø= + . (1.61)

1

ˆ T Tj j j j j j kx X P X X P Z

-æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø= . (1.62)

Эти выражения имеют традиционную форму. Отличие состоит вформировании весовой матрицы Pj , которая учитывает не только


30

погрешностиизмерений(матрицаRΣ),ноивлияниешумасистемы(матрицаKwj ).Вчастномслучае,приотсутствиишумаq(t),т.е.приKq(t,τ)0=0,слагаемоеHKwj H Tисчезает,ирешение(1.62)совпада-етстрадиционным.СлагаемоеHKwj H Tравнонулютакжевдругомчастномслучае,когдавсеизмерениявыполняютсяводинитотжемоментвремени.


Вприведенномалгоритмеучитываетсявлияниецветногошуманапо-грешностипрогнозированиявекторасостояния.Этотучетосуществля-етсянаосновеформул (1.59)–(1.61).Перваяизнихявляетсячастнымслучаем формулы (1.10), в которой не учитываются погрешности на-чальныхусловий(матрицы 0 0 0( )xK t P= иKxq(t0,t)).Этотнеучетосно-ваннаметодемаксимальногоправдоподобия.Особенностьюалгоритмаявляетсяучетвзаимнойкорреляциипогрешностейвекторасостояниявразныемоментывремени,осуществляемыйнаосновеформулы(1.60).ещеоднаособенностьалгоритма—выходнымирезультатамиегопри-менения(векторсостоянияикорреляционнаяматрицаошибок)явля-ютсяоптимальныеоценкидляпроизвольногомоментавремениtj .

Матрицы Pj и Xj , присутствующие в решении (1.62), являютсяфункциями времениtj . Поэтому это решение (1.62) может бытьиспользовано для определения оценок вектора состояния в про-извольный момент времени, т.е. для прогнозирования движениясистемы. Однако использование этого решения для прогноза невсегда может быть удобным. Когда требуется определять оценкивекторасостояниявразличныемоментывремени,возникаетнеоб-ходимостьмногократногообращенияматрицы(1.61).Другойнедо-статокприменениярешения(1.62)дляпрогнозированиядвиженияна различные моменты времени состоит в том, что оно не содер-жит в явном виде связь такого прогнозирования с традиционныминтегрированием уравнений движения (1.39) — решением задачиКоши.Всвязисэтимпредставляетинтереспостроениенаосноверешения(1.62)системыдифференциальныхуравненийвида

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆdx A t x B t q tdt

= + . (1.63)

Формуладляоценкислучайногопроцессаq(t)впроизвольныймо-мент времени на основе рассмотренного алгоритма, аналогичнаяформуле(1.45),имеетвид

( ) ( ) ( )ˆ ˆT Tj k j k k k kk

q t W t H P Z X x= - , (1.64)

31


где

( )

( )( )

( )

1

2

,

,...

,

wq j

wq jk j

wq k j

K t t

K t tW t

K t t

= , (1.65)

( ) ( ) ( ) ( )0, , , di

j

t

wq i j i q jt

K t t U t B K tξ ξ ξ ξ=ò . (1.66)

Интегрирование дифференциальных уравнений (1.63) при исхо-дныхданных(1.62)и(1.64),относящихсякмоментувремениtj=tk,позволяетопределятьмаксимальноправдоподобныеоценкивекто-расостояниявпроизвольныемоментывремени,т.е.обеспечиваетрешениезадачипрогнозирования.

Из уравнения (1.63) очевидно, что интегрирование уравненияdx/dt=A(t)x(t), которое традиционно используется для про-гнозирования, или применение его аналитического решенияx(t)=U(t,t0)x(t0)необеспечиваетполученияэффективныхоценок,поскольку не даёт возможности определять и использовать припрогнозеоценокшумсистемы(1.64).

естественнымдополнениемкпрогнозированиювекторасостоянияна основе интегрирования уравнения (1.63) является прогнозиро-ваниекорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостояния.Этазадачарешаетсянаосновеобщейформулы(1.9),вкоторуюне-обходимо подставить начальные условия по результатам совмест-ной обработки данных измерений, а именно: в качестве матрицы

0 0P используется матрица (1.61) для момента времени tj=tk . Дляопределения исходных значений других матриц построены следу-ющиеформулы:

( ) ( ), Txq k k k k kk

K t C X P HWτ τ=- . (1.67)

( ) ( ) ( ) ( )0, , T T

q q k k kkK t K t W t H G HWτ τ τ= - , (1.68)

где

Tk k k k k k jG P P X C X P= - . (1.69)


32

КомментарийПри совместной обработке данных измерений необходимость в опре-делении и применении матрицы взаимной корреляции Kxq(tk,τ)k воз-никает в том случае, когда вместо решения (1.61) для произвольногомомента времени tj используются начальные условия (1.67) и (1.68) вточкеtkиобщаяформула(1.9).

Решения рассматриваемой задачи на основе последовательной исовместной обработки данных измерений теоретически являютсяэквивалентными по точности. Однако в реальных условиях вто-ройподход,хотяиболеетрудоёмок,обеспечиваетполучениеболееустойчивых оценок. При современных характеристиках вычисли-тельнойтехникиегоприменениеявляетсявполнеуместным.

1.5. Простейший пример учета цветного шума

Рассмотримпростойпример,которыйявляетсяиллюстрациейиз-ложенной выше теории. Вместо матричного уравнения (1.1) рас-смотримскалярноеуравнение,котороеследуетиз(1.1)приA(t)=0иB(t)=b:

( )d x bq tdtδ

= . (1.70)

Дляэтогодифференциальногоуравненияфундаментальнаяматри-царешенийU(t,t0)имеетпростейшийвид:U(t,t0)=1.

Примем, что корреляционная функция случайного процесса (1.3)имеетвид ( ) ( )2,q q qK kξ η σ ξ η= - , (1.71)где

( ) 1 , ,

0, .qk

ξ ηξ η ∆

ξ η ∆ξ η

ìï -ïï - -ï- =íïï -ïïî

(1.72)

Эта корреляционная функция пред-ставленанарис.1.3.

С учетом изложенных допущенийприведенные выше формулы (1.9) и(1.11) для прогнозирования корреля-ционнойматрицыпогрешностейKx(t)и функции взаимной корреляцииKxq(t,η)принимаютвид

Рис. 1.3. Видкорреляцион-нойфункции

33

1.5. простейший пример учета цветного шума

( ) ( ) ( ) ( )

( )0

0 0

2 20 0

2 2

2 , d

, d d ,

t

x x x xqt

t t

q qt t

K t t t b K t

b k

σ σ η η

σ ξ η ξ η

= = + +

+

ò

ò ò

(1.73)

( ) ( ) ( )0

20, , , d

t

xq xq q qt

K t K t b kη η σ ξ η ξ= + ò . (1.74)

Выполним прогноз дисперсии погрешностей (1.73) из точки t0 вточкуtдвумяспособами:непосредственновточкуtисприменени-емпромежуточнойточкивмоментвремени t0<t1<t.Вобоихслу-чаяхиспользуютсяследующиеначальныеусловия:

( )20 0x tσ = , ( )0, 0xqK t η = . (1.75)

Дляпервогослучая(принепосредственномпрогнозеизточки t0вточкуt)получимследующеезначениедисперсиипогрешностейнамоментпрогноза:

( ) ( )( )

0 0

2 00 0

2 2 2 2 2

0 0

1 , ,3, d d

1 , .3

t t

x q q qt t

t tt t t t

t b k bt t t t

∆∆

σ σ ξ η ξ η σ

∆ ∆ ∆

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè øæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

ìï -ïï - - -ïïï= = íïïï - - - >ïïïî

ò ò

(1.76)Вычислениеинтеграла(1.76)приτ=t–t0>Δсводитсяквычисле-нию объема пространства под поверхностью, представленной нарис.1.4иимеющейформудвускатнойкрыши.

Область изменения аргументов при вычислении интеграла (об-ластьА)представленанарис.1.5.

Очевидно, что объем пространства под «крышей» в области А ра-вен:

21 12 26 3A A a a aV V V ∆τ ∆ ∆ τ ∆

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷+ + ç ÷÷çè ø= - = - = - . (1.77)

естественно,чтоэтотрезультатсовпадаетс(1.76).

Перейдем к прогнозу с применением промежуточной точки. Приначальныхусловияхвточкеt1формула(1.73)принимаетвид


34

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 2 21 12 , d , d d

t t t

x x xq q qt t t

t t b K t b kσ σ η η σ ξ η ξ η= + +ò ò ò . (1.78)

ПостроимвыражениедляфункциивзаимнойкорреляцииKxq(t1,η)приη>t1.Дляэтогоиспользуетсяформула(1.74).графикиподын-

Рис. 1.4. графикфункции(1.72)вобластиинтегрирования

Рис. 1.5. Областьзначенийаргументовпривычисленииинтеграла

35


тегральноговыраженияприразличныхзначенияхаргументаηсхе-матичнопредставленынарис.1.6.Интегралвычисляетсявобластиизмененияаргументовη>t1,t0≤ξ≤t1.

Врезультатевычисленияинтегралаполучим

( )( )212 1 11

1

0,5 , ,,0, .

xq q

tt tK t b

t

∆ ηη ∆η σ ∆

η ∆

ìïï + -ïï += íïïï > +ïî

(1.79)

Максимальноезначениеэтойфункциидостигаетсявточкеη=t1иравно ( ) 2

1 1, 0,5xq qK t t bσ ∆= . (1.80)Рассмотримтеперьвсетрислагаемыхвыражения(1.78).Первоеизнихвычисляетсяпоформуле(1.76):

( )2 2 21 1 0

13x qt b t tσ σ ∆ ∆

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø= - - , 1 0t t ∆- > . (1.81)

Вычисление второго слагаемого (при t>t1+Δ) приводит к ре-зультату

Рис. 1.6. ОбластьинтегрированияприпостроенииKxq(t1,η)


36

( )1

2 2 21

12 , d3

t

xq qt

b K t bη η σ ∆=ò . (1.82)

Обратимвниманиенато,чтоэтавеличинатембольше,чембольшеинтервалкорреляции(Δ2),т.е.,чембольшецветнойшумотличает-сяотбелогошума.

Наконец вычисление третьего слагаемого по формуле (1.76) приt0=t1приводиткрезультату

( )1 1

2 2 2 21

1, d d3

t t

q q qt t

b k b t tσ ξ η ξ η σ ∆ ∆æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

= - -ò ò . (1.83)

Суммирование значений упомянутых трех слагаемых приводит кзначению дисперсии погрешностей прогноза при использованиипромежуточнойточки:

( )2 2 2 2

1 0 1

2 20

1 1 13 3 3

1 .3

x q

q

t b t t t t

b t t

σ σ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

σ ∆ ∆

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

é ùê ú= - - + + - - =ê úë û

= - -

(1.84)

Как и следовало ожидать, этот результат совпадет с результатамипрогнозирования дисперсии по формуле (1.76) при t>t0+Δ, т.е.безпримененияпромежуточнойточки.


Сравнимрезультатпрогноза(1.84)ссоответствующимрезультатомдляслучая,когдашумq(t)являетсябелымиимееткорреляционнуюфунк-цию ( ) ( )2

q qwhiteK τ ξ η σ δ τ= - = . Следует иметь в виду, что для белого

шумаплощадьподынтегральнойфункции

( )dq qS K τ τ¥

-¥

= ò (1.85)

равна 2qσ .Дляэтихусловийрезультатпрогнозадисперсиипогрешно-

стейимеетвид

() ( )2 20x qwhite

t b S t tσ = - . (1.86)Длярассматриваемогоцветногошумаплощадь(1.85)равна 2

qσ ∆ .Под-ставимэтозначениеввыражение(1.84)вместомножителяпередскоб-кой.Получим

37


()2 20

13x qt b S t tσ ∆

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø= - - . (1.87)

Изсравненияоценок(1.86)и(1.87)очевидно,чтопрималыхзначенияхинтервалакорреляции,т.е.приt–t0Δ,этиоценкипрактическисо-впадают.Инаоборот,различияоценок(1.86)и(1.87)тембольше,чембольше интервал корреляции. Как показано выше, корректность ре-шения(1.87)прииспользованиипромежуточнойточкидостигаетсянаосновеучетаматрицывзаимнойкорреляцииKxq(t1,η),влияниекоторой тембольше,тембольшеинтервалкорреляцииΔ.

1.6. выводы

1. Эволюцияпогрешностейвекторасостоянияприпрогнозирова-нииописываетсясистемойнеоднородныхлинейныхдифферен-циальных уравнений, в которых возмущение («цветной» шумсистемы) принимается гауссовым случайным процессом с из-вестнымистатистическимихарактеристиками.Важнымявляет-сято,чтоэтотшумсущественноотличаетсяотбелогошума,т.е.имеетсякорреляциязначенийшумавразныемоментывремени.

2. Построена зависимость для определения корреляционной ма-трицыпогрешностейвекторасостояниявпроизвольныймоментвремени. Исходными данными являются: автокорреляционнаяфункция шума системы, корреляционная матрица погрешно-стейвекторасостояниявначальныймоментвременииматрицавзаимной корреляции погрешностей вектора состояния в на-чальныймоментвремениишумасистемывпроизвольныймо-ментвремени.

3. При прогнозировании движения спутника возникает взаимнаякорреляцияпогрешностейвекторасостоянияизначенийшумавразныемоментывремени.Поэтомудляобеспечениякоррект-ногопрогнозированиякорреляционнойматрицыпогрешностейвектора состояния необходимо учитывать полный набор ис-ходных данных, перечисленный в п.2. Выполнение прогнози-рованиякорреляционнойматрицыпогрешностейбезучетама-трицвзаимнойкорреляциипогрешностейвекторасостоянияишумаприводиткнеправильнымрезультатам.

4. Изложенаметодикапостроенияфункцийвзаимнойкорреляциивпроцессеуточненияпараметроворбитподаннымизмерениям.


Рассмотрены методы последовательной и совместной обработ-киданныхизмерений.теоретическиэтиспособыявляютсяэк-вивалентнымипоточности.Однаковреальныхусловияхвторойподход, хотя и является более трудоемким, обеспечивает полу-чение более устойчивых оценок. При современных характери-стикахвычислительнойтехникиегоприменениеявляетсявпол-неуместным.

3

2. статистические характеристики гравитациоННых возмущеНий


Среди возмущающих факторов, оказывающих влияние на движе-ние спутников Земли, существенное место занимает отклонениегравитационногополяЗемлиотцентрального.Этоотклонениеха-рактеризуетсявозмущающейфункцией ( ) 0, ,R U r UΣ φ λ= - , (2.1)гдеU(r,φ,λ)—гравитационныйпотенциалЗемли;U0=μ/r—нью-тоновский потенциал; μ — гравитационная постоянная; r, φ, λ—сферические координаты точки, соответственно радиус-вектор,широтаидолгота.

широко используется разложение гравитационного потенциалаЗемлипосферическимфункциям(полиномамлежандра)вида

( ) ( ) ( )2 0

, , 1 cos sin sinnn

nk nk nkn k

RU r c k d k P

r rµ

φ λ λ λ φ¥

Å

= =

ì üï ïæ öï ï÷çï ï÷ç= + +í ý÷ç ÷ï ïç ÷è øï ïï ïî þåå . (2.2)

Здесь RÅ — средний экваториальный радиус Земли; cnk, dnk—безразмерные коэффициенты, характеризующие фигуру Зем-ли; Pn0(sinφ) — полиномы лежандра n-го порядка (при k=0);Pnk(sinφ)— присоединенные функции лежандра (приk>0). Заме-тим,чтофункциивида ( ) ( ) ( )

0cos sin sin

n nnk nk nk

kR r c k d k Pλ λ φÅ

=

+å —

общие сферические функции n-го порядка. При k=0 слагаемыепотенциала (2.2) представляют собой зональные гармоники, приk≠0—тессеральныегармоники,априk=n—секториальныегар-моники.

Подробное описание представления гравитационного потенциалаЗемли в форме (2.2) и результаты исследования его свойств изло-

2. СтАтИСтИЧЕСКИЕ хАРАКтЕРИСтИКИ гРАВИтАцИОННых ВОзМУщЕНИЙ

40

женывбольшомчислепубликаций,включаямножествомоногра-фий. Здесь нет необходимости приводить обзор этих публикаций.В разд. «литература» приведены ссылки только на некоторые изпервыхпубликаций,наиболееизвестныевРоссиииСшА(Жонго-лович,1952;Дубошин,1968;Kaula,1966).

Важноотметить,чтоза50летпроведенияспутниковыхисследова-ний параметры гравитационного поля Земли, которые использу-ютсяв(2.2),многократноуточнялись.еслинапервыхпорахдосто-верныеоценкибылиполученыдляпараметровcn0,cnk,dnkсмалымизначениямииндексаn(n<6),товнастоящеевремяизвестнымил-лионы параметров (1973 Smittsonian Standard…, 1973; Marsh, etal.1990; Tapley etal. 1994; Lemoine F.G. etal. 1998; Pavlis etal., 2008).Здесь приведены ссылки на американские публикации. В Россииработы по уточнению параметров гравитационного поля такжепроводилисьвдостаточнобольшомобъеме,однакоэтирезультатыподробнонепубликовались.Краткуюинформациюобэтихиссле-дованияхможнонайтивстатье(Рогозин,Зуева,2007).

Из (2.1) и (2.2) легко определяются составляющие возмущающегоускорения по различным направлениям, в частности, по радиус-вектору(Fr ),параллели(Fλ)имеридиану(Fφ)(рис.2.1):

( ) ( ) ( )22 0

1 cos sin sinnn

r nk nk nkn k

RRF n c k d k P

r rrΣ µ

λ λ φæ ö¥ ÷ç ÷ç ÷Åç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø= =

¶= =- + +

¶ åå ,

(2.3)

( ) ( )2

2 0

1cos

sin cos sin ,cos

nn

nk nk nkn k

RF

r

Rk c k d k Prr

Σλ φ λ

µλ λ φ

φ

æ ö¥ ÷ç ÷ç ÷Åç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø= =

¶= =

¶

= - +åå

(2.4)

( )( )

22 0

sin1 cos sinnn

nknk nk

n k

PRRF c k d k

r rrΣ

φ

φµλ λ

φ φ

æ ö¥ ÷ç ÷ç ÷Åç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø= =

¶¶= = +

¶ ¶åå .(2.5)

Длясферическихфункцийсправедливысоотношенияортогональ-ности:

( ) ( ) cos cossin sin cos d d 0

sin sinnk jiP P k iφ φ λ λ φ λ φæ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø

=òòпо сфере

приn≠jилиk≠j, (2.6)

41


( )( )

( )( )

2 !cossin cos d d 2

sin 2 1 !k

nk

n kP k

n n k

δφ λ φ λ φ π

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø

é ù +ê ú =ê ú + -ê úë ûòò

по сфере

приn=j,k=j. (2.7)Здесь

2, 0,1, 0,k

kk

δìï =ï=íï >ïî

при

при

coscos

sink kλ λ

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø= или sin kλ. (2.8)

При проведении исследований удобно применять нормированиефункций лежандра и коэффициентов cn0, cnk, dnk. Нормированиеведетсятак,чтобысоответствующийвыражению(2.7)интегралбылравен4π,т.е.

( )2

cossin cos d d 4

sinnkP kφ λ φ λ φ πæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø

é ùê ú =ê úê úë û

òòпо сфере

. (2.9)

Крометого,дополнительнонакладываютсяусловия ( )( ) ( )( )sin cos in sin cos sinnk nk nk nk nk nkP c k d k P c k d kφ λ λ φ λ λ+ = + . (2.10)Этиусловиявыполняетсяприследующемнормировании:

( )( )( )

( )( )

2 2 1 !sin sin

!nk nkk

n n kP P

n kφ φ

δ

+ -=

+, (2.11)

Рис. 2.1. Возмущающиеускорения


42

( )

( )( )!

2 2 1 !knk nk

nk nk

n kc cd dn n k

δ +=

+ -. (2.12)

Рассмотрим основные особенности гравитационного потенциалаЗемли(2.2).

1. Разложение (2.2) содержит бесконечное число слагаемых. Изэтого множества известно ограниченное их число. Например,американская модель EGM96 (Lemoine etal., 1998) содержитпараметрыдлязначенийиндексовn≤360иk≤360.гравитаци-онныйпотенциалпредставляетсякак(360×360).Последняямо-дель EGM2008 (Pavlis etal., 2008) содержит все гармоники раз-ложения(2.2)до2160-гопорядка(модель2160×2160).

2. Извсехгармоникнаибольшеезначениеимеетвтораязональнаягармоника (n=2, k=0), при которой коэффициент с20 имеетвеличинупорядка10–3.Величинаостальныхкоэффициентов—порядка10–6именее.

3. Приn≥3значениякоэффициентовразложениявсреднеммед-ленноуменьшаютсясростомn(Kaula,1966).Рассмотрениесред-нихзначенийнормированныхкоэффициентовn-гопорядка

2 2 2 2

0

11

n

nk nk nk nkk

c d c dn

æ ö æ ö÷ç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ç ç ÷çè ø è ø=

+ = ++ å (2.13)

показывает, что эта величина достаточно хорошо аппроксими-руетсяфункцией

2 22nk nk

Cc dn

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø+ » , (2.14)

гдеС=1,2∙10–5.

4. Ошибкиопределениякоэффициентов nkc , nkd малоизменяют-сясувеличениеминдексаn.Поданнымработы(Lemoine etal.,(1998) среднее значение среднеквадратических отклонений(СКО)ихпогрешностейудовлетворяетусловию

( ) ( ) ( ) 9max

0

1 0,5 102 1

n

n nk nk nk

c dn

σ σ σ σ -

=

é ù= + < = ×ê úë û+ å . (2.15)

ДлямоделиEGM96нарис.2.2представленывсеоценкивели-чин(2.13)–(2.15)вфункциипорядкагармоникn≤70.

43


5. Величина возмущающих ускорений (2.3)–(2.5) быстро умень-шается по мере увеличения индекса n, поскольку их значенияобратно пропорциональны геоцентрическому расстоянию r встепени(n+2),чтовлияетнавыборчислаучитываемыхгармо-никприпрогнозированиидвиженияспутниковразныхтипов.

Припринятиирешенияочислегармониквразложении(2.2),ко-торыенеобходимоучитыватьвправыхчастяхуравненийдвиженияприпрогнозированиидвиженияспутников,можновоспользовать-сярешающимправилом(Назаренко,1968)

( ) ( ),nk nk nk nkc c d dσ σ< < (2.16)

для учитываемых гармоник. При использовании оценок (2.14) и(2.15) оптимальный порядок учитываемых гармоник определяетсяизуравнения

( )2 maxmax

2 nkC c

nσ= × . (2.17)

Отсюдаследует:

Рис. 2.2. Средниезначениянормированныхкоэффициентовn-гопорядкаиихсреднеквадратическихотклонений


44

( )max

max

0,003

nk

ncσ

» . (2.18)

графикэтойфункциипредставленнарис.2.3.Прииспользованиизависимости(2.18)надоиметьввиду,чтоданныеоточностикоэф-фициентовразложениягравитационногопотенциалавряд,публи-куемыеавторамимоделей,неявляютсядостаточнодостоверными.

Рассмотрим данные о точности определения коэффициентов раз-ложения гравитационного потенциала на конкретном примере.Втабл.2.1представленыданныеобоценкахкоэффициента 2,0c .

Таблица 2.1. Данныеобоценкахкоэффициента 2,0c помоделямEGM96иEGM2008

2,0 EGM96cæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø 2,0 EGM2008

cæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø 2,0 EGM2008cæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø – 2,0 EGM96

cæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø 2,0 EGM96cσæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø

–0,4841653717E-3 –0,4841651438E-3 2,27E-10 0,35E-10

Из приведенных оценок видно, что по данным модели EGM2008поправка к значению коэффициента 2,0 EGM96

cæ ö÷ç ÷ç ÷çè ø в 6,5раз превы-сила объявленное значение СКО погрешностей определения ко-

Рис. 2.3. Оптимальныйпорядокучитываемыхгармоник

45


эффициента 2,0c .Этосвидетельствуетотом,чтокприведеннымнарис.2.2оценкамСКОпогрешностейнадоотноситьсякритически.Дополнительно было проведено сравнение оценок коэффициен-тов nkc , nkd помоделям1996и2008гг.Длявсехзначенийnиkприn≤80вычислялисьразности nkdc , nkdd соответствующихкоэффи-циентовиихсреднеквадратическиезначенияприразличныхn:

2 2

0

12 1

n

n nk nkk

dc ddn

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø=

= ++ åСКО . (2.19)

На рис.2.4 представлены СКО разностей (2.19), а также СКО по-грешностейкоэффициентовσnподанныммоделиEGM96.Изэтихданныхвидно,чтодлявсехn>10среднеквадратическиезначенияпоправок (2.19) в 2,0…2.5раза превышают соответствующие за-явленные значения СКО погрешностей модели EGM96. В случаереалистических оценок СКО погрешностей коэффициентов онидолжны быть больше среднеквадратических значений поправок(2.19).

На практике, при прогнозировании движения КО учитываетсяменьшее число гармоник по сравнению с рекомендациями, пред-ставленныминарис.2.4.Этообъясняетсянетолькоотмеченнымивыше недостатками оценок СКО погрешностей коэффициентов

nkc , nkd .Другимипричинамиявляются:

Рис. 2.4. СравнениепоправоккмоделиEGM96соценкамиСКО


46

• увеличениезатратмашинноговременинавыполнениепрогно-зов,которыепропорциональны 2

maxn ;

• уменьшениевлияниягармониксбольшимизначениямистепе-ниnпомереувеличениявысотыспутников;

• влияние погрешностей других учитываемых факторов, напри-мерторможенияватмосфере.

2.2. основные формулы для сферических функций

Данные о сферических функциях изложены в большом числе пу-бликаций.Здесьмыссылаемсянамонографиироссийскихавторов(Дубошин,1968;Демин,1968),атакжена(Маделунг,1960).Длявы-численияфункцийлежандраиспользуютсясоотношения:

( ) ( )

( ) ( )

20

20

1 1 ,2 !

1 .

n n

n n n

kk

nk nk

dP x xn dx

dP x x P xdx

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

= -×

= -

(2.20)

Эти формулы удобно применять при малых значениях n. Для вы-числений при больших n целесообразно использовать рекуррент-ныесоотношения:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1,0 0 1,0

21, , 1

1, 1,

2 1 ,1 1

1 ,2 1 .

1 1

n n n

n k nk n k

n k nk n k

n nP x xP x P xn n

P x xP x n k x P x

n n kP x xP x P xn k n k

+ -

+ -

+ -

+= -

+ +

= + + - ×

+ +=

+ - + -

(2.21)

Последняяформулаявляетсяобобщениемпервой.

Для производных функций лежандра справедливы следующиеформулы:

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

,01,0 ,02 2

,, 1,2 2

,1 1

1 1.

1 1

nn n

n kn k n k

dP x n nxP x P xdx x x

dP x n x n kP x P x

dx x x

-

+

= -- -+ - +

= -- -

(2.22)

47

2.3. Дисперсия гравитационных возмущений

Впроцесседальнейшегоанализаиспользуетсятакжетакназывае-маятеоремасложениясферическихгармоник.Этотождествоиме-етвид

( )( )( )

( ) ( ) ( ),0 , 1 , 2 1 20

2 !cos sin sin cos

!

n

n n k n kk k

n kP P P k

n kψ φ φ λ λ

δ=

-= -

+å .(2.23)

Здесь ( )1 2 1 2 1 2cos sin sin cos cos cosψ φ φ φ φ λ λ= + - (2.24)—косинусугламеждунаправленияминадветочкисосферически-микоординатамиφ1,λ1иφ2,λ2.

2.3. дисперсия гравитационных возмущений

Используявыражения(2.3)(2.5)иобозначения

( ) 2

n

n

Rr

rrµ

ρæ ö÷ç ÷ç ÷Åç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø

= , (2.25)

( ) cos sinnk nk nkf c k d kλ δ λ δ λ= + , (2.26)

( ) sin cosnk nk nkg c k d kλ δ λ δ λ=- + , (2.27)

( ) ˆˆ , ,

,, ,

nk nk nk nknk nk

nk nk

c c d d n nc d

c d n nδ δ

æ ö *÷ç ÷ç ÷÷çè ø

*

ìï - -ïï=íïï >ïî

при

при

(2.28)

где nkc , nkd — применяемые оценки коэффициентов, запишемвыражения для погрешностей расчета соответствующих возмуща-ющихускорений:

( )( ) ( ) ( )2 0

1 sinn

r n nk nkn k

RF r n f P

rΣδ ρ λ φ

¥

= =

¶= =- +

¶ å å , (2.29)

( ) ( ) ( )2 0

sincos

n

n nk nkn k

kF r g Pλδ ρ λ φφ

¥

= =

=å å . (2.30)

( ) ( )( )

2 0

sinnnk

n nkn k

PF r fφ

φδ ρ λ

φ

¥

= =

¶=

¶å å . (2.31)

Погрешностирасчетавозмущений(2.29)–(2.31)являютсяфункция-мисферическихкоординатr,φ,λрассматриваемойточкиизависят


48

отпогрешностейучитываемыхпараметровполя(n n* )иотсамихзначенийнеучитываемыхпараметров(n n*> )(см.(2.28)),где n*—максимальный порядок учитываемых гармоник гравитационногопотенциала,использующихоценки nkc , nkd .

Непрерывная последовательность возмущений (2.29)–(2.31) об-разует трёхмерную векторную возмущающую функцию δF(t), ко-торая является источником погрешностей прогнозирования дви-жения КО. Конкретная реализация этой функции при полете КОнадконкретнымирайонамиЗемлинеявляетсяслучайной.Однако,если нас интересуют оценки возможного отклонения траекторииполета от расчетной при движении над разными районами Зем-ли,тофункциюδF(t)можносчитатьслучайной.Необходимоедляусреднениямножествоэлементарныхсобытийвозникаетвсвязисналичиемобластиземнойповерхностипри ( ),i iφÎ - + ,надкото-ройможетпролетатьКО.

Примем, что среднее значение (математическое ожидание) по-грешностей(2.29)–(2.31)равно0.тогдадисперсияэтихпогрешно-стейможетбытьопределенапоследующимформулам:

( ) ( )

( )( )

22

2 2 0 01 1 ,

r rj n

j n ji nk ji nkj n i k

r M F

M n j f f P P

σ δ

ρ ρ¥ ¥

= = = =

= =

ì üï ïï ïï ï= + +í ýï ïï ïï ïî þåå åå

(2.32)

( ) ( )222

2 2 0 0

1cos

j n

j n ji nk ji nkj n i k

r M F M ikg g P Pλ λσ δ ρ ρφ

¥ ¥

= = = =

ì üï ïï ïï ï= = í ýï ïï ïï ïî þåå åå , (2.33)

( ) ( )22

2 2 0 0

j nji nk

j n ji nkj n i k

dP dPr M F M f f

d dφ φσ δ ρ ρφ φ

¥ ¥

= = = =

ì üï ïï ïï ï= = í ýï ïï ïï ïî þåå åå . (2.34)

Здесь для краткости опущены аргументы при функциях ρ(r), f (λ),g(λ) и P(sinφ). При вычислении дисперсий (2.32)–(2.34) при-нимается, что плотность распределений возможных положенийточки на сфере является равномерной (p(φ,λ)=const)). Обозна-чим поверхность сферы единичного радиуса как S. Очевидно, чтотелесный угол сферы равен d cos d 4

S S

S dφ φ λ π= =ò ò . Поэтому

p(φ,λ)=1/4π, и математическое ожидание функции сферическихкоординатможнопредставитьследующимиобразом:

4


( ) ( ) ( )2 2

2 0

1 1, , , , d , , d cos d4 4

S

M r r S rπ π

π

Φ φ λ Φ φ λ Φ φ λ λ φ φπ π

-

é ùê ú= = ê úê úë û

ò ò ò .

(2.35)Определиминтегралпроизведенияфункцийf(λ)иg(λ)подолготеλ:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

0 02

02

0

1d cos cos d2

1 cos cos d2

1 sin sin d .2

nk ji nk ji

nk ji

nk ji nk ji

f f c c k i k i

d d k i k i

c d d c k i k i

π π

π

π

λ λ λ δ δ λ λ λ

δ δ λ λ λ

δ δ δ δ λ λ λ

é ù= - + + +ê úë û

é ù+ - - + +ê úë û

é ù+ + - + +ê úë û

ò ò

ò

ò

(2.36)

Здесьприk≠iвсеинтегралыравны0.Приk=iотличающимсяот0 является лишь интеграл функции cos(k–i)λ. При k=1=0 надоучитывать,чтокоэффициентыδdk0иδdi0несуществуют.Врезуль-татеполучим:

( ) ( )

( )

2

0 00

0 ,d 2 0,

2 0.2

nk ji n j

nk ji nk ji

k if f c c k i

c c d d k i

π

λ

λ λ λ πδ δ

πδ δ δ δ

=

ìï ¹ïïï= = =ïïíïïï + = ¹ïïïî

òпри

при

при

(2.37)

Этотрезультатможнозаписатьболеекомпактно,есливвестиспе-циальнуюфункцию,такую,что

2 0,1 0.k

kk

δìï =ï=íï ¹ïî

при

при (2.38)

тогда

( ) ( ) ( )2

0

0 ,d

2 .2

nk ji knk ji nk ji

k if f

c c d d k i

π

λ

λ λ λ δπ δ δ δ δ=

ìï ¹ïïï=íï + =ïïïîò

при

при (2.39)

такойжерезультатсправедливдляфункцийg(λ):

( ) ( ) ( )2

0

0 ,d

2 .2

nk ji knk ji nk ji

k ig g

c c d d k i

π

λ

λ λ λ δπ δ δ δ δ=

ìï ¹ïïï=íï + =ïïïîò

при

при (2.40)


50

Осталосьпровестиусреднениепошироте.Наосновесвойстваорто-гональностиполиномовлежандрасправедливоравенство

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

1

1

0 ,2 !sin sin d sin

.2 1 !

nk ji

n jn kP P

n jn n k

φ φ φ-

ìï ¹ïïïï +=íï =ïï + -ïïî

òпри

при(2.41)

Дляфункцийшироты,входящихввыражения(2.33)и(2.34),спра-ведливыаналогичныесоотношения(прил.А):

( ) ( )( ) ( )

( )

1

21

0 ,sin

2 !sin sin.cos !

nk ji

n jd

n kP Pn j

k n k

φφ φ

φ-

ìï ¹ïïïï +=íï =ïï -ïïî

òпри

при (2.42)

( ) ( )( ) ( )

( )( )

1

1

0 ,sinsin

! 2 1d sin2 .

2 1!

jink

n jdPdP

n k n nk n jd d

nn k

φφφ

φ φ-

ìï ¹ïïï é ùï + +=í ê úï - =ê úïï +- ê úï ë ûïî

òпри

при

(2.43)Учитывая общее выражение (2.35), подставим интегралы (2.39) и(2.40)в(2.32).Получим:

( ) ( )( )

( )( ) ( )22 2 2 2

2 0

2 !1 1 24 22 1 !

nk

r n nk nkn k

n kr n c d

n n k

δσ ρ π δ δ

π

¥

= =

+= + +

+ -å å . (2.44)

Длядальнейшихупрощенийцелесообразноперейтикнормирован-нымкоэффициентам,используяформулу(2.12).Результатзамены:

( ) ( )22

22 2 22

2 01

n n

r nk nkn k

Rr n c d

rrµ

σ δ δæ ö¥æ ö ÷ç÷ç ÷ æ öç÷ ÷ç Åç ÷÷ ç÷ç ÷÷ ç ç÷ç ÷÷ ç ÷ ç ÷çç ÷ ç è ø÷÷çç ÷ è ø÷çè ø = =

= + +å å . (2.45)

На основе приведенных выше интегралов аналогично упрощают-сяформулы(2.33),(2.34))длядисперсиивозмущенийподолготеишироте:

( ) ( )22

2 2 22

2 0

1 2 12

n n

nk nkn k

Rr n k c d

rrλ

µσ δ δ

æ ö¥æ ö ÷ç÷ç ÷ æ öç÷ ÷ç Åç ÷÷ ç÷ç ÷÷ ç ç÷ç ÷÷ ç ÷ ç ÷çç ÷ ç è ø÷÷çç ÷ è ø÷çè ø = =

= + +å å , (2.46)

( ) ( )( )22

2 2 22

2 0

2 11 2 12 2 1

n n

nk nkn k

n nRr n k c d

r nrφ

µσ δ δ

æ ö¥æ ö ÷ç÷ç ÷ æ öç÷ ÷ç Åç ÷÷ ç÷ç ÷÷ ç ç÷ç ÷÷ ç ÷ ç ÷çç ÷ ç è ø÷÷çç ÷ è ø÷çè ø = =

é ù+ê ú= + - +ê ú+ë ûå å . (2.47)

51


Зависимости(2.45)–(2.47)позволяютрассчитатьдисперсиикомпо-нентоввектораслучайныхвозмущенийкакфункциюгеоцентриче-скогорасстоянияr.Приэтомвеличины nkcδ и nkdδ определяютсяпо-разному,сучетомвыборапараметровполявалгоритмепрогно-зирования.Здесьвозможныдваосновныхварианта:

1) валгоритмепрогнозированияучитываютсягармоникиотноси-тельно невысокого порядка n n* ; тогда при n n* в качествевеличин nkcδ и nkdδ применяются СКО соответствующих ко-эффициентов, а при n n*> — сами значения коэффициентов

nkc и nkd ;присуммированиидостаточноучестьнеоченьболь-шоечислослагаемых(nmax≈30…40);

2) валгоритмепрогнозированияучитываютсягармоникивысокогопорядка n n* ;тогдаможетоказаться,чтопри n n*> числодо-стоверноизвестныхслагаемыхневелико,идляполученияпри-емлемых по точности оценок необходимо учесть члены болеевысокого порядка, чем nmax≈30…40; в этом случае можно вос-пользоватьсяизвестнойаппроксимацией(2.14)коэффициентовразложениягравитационногопотенциалаипринять

2

2 22nk nk

Cc dn

æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ç ç ÷è ø ç ÷÷çè ø+ » . (2.48)

При определении трёхмерной квадратной корреляционной ма-трицы

r

q r

FK E F F F F

Fλ λ

φ

δ

δ δ δ δ

δ

é ùê úê ú= ê úê úê úë û

возникаетнеобходимостьвычислениянедиагональныхкомпонен-товэтойматрицы.Применяяизложеннуювышеметодику,можнопоказать, что все недиагональные компоненты матрицы Kq рав-ны0.такимобразом

( )( )

( )( )

2

2

2

0 0

0 0

0 0

r

q

r

K r r

rλ

φ

σ

σ

σ

= . (2.49)


52


Изложенныевданномразделерезультатыбылиопубликованыв1981г.вкниге(Назаренко,Скребушевский,1981).Сравнимприведенныевышеформулы(2.45)–(2.47)ссоответствующимиопубликованнымирезуль-татамииздругихисточников.НижеприведенавыдержкаизстатьиРай-та(Wrightеtal.,2008a).

Решениеуравненийлапласавсферическихкоординатахполученомногимиавторами,напримерКаулой(Kaula,1959,1966),

( ) ( )2 0

cos sin sinn n

enm nm nm

n m

aU C m S n P

r rµ

λ λ φæ ö¥ ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø= =

= +å å , (47)

где Pn0(sinφ) — полиномы лежандра n-го порядка; Pnk(sinφ) —присоединенныефункциилежандра;ae—экваториальныйрадиусЗемли; μ— гравитационная постоянная; Cnm и Snm — постоянные(коэффициенты) степени n и порядка m. На практике степень nограничиваютнекойконстантойN,т.е.n≤N.Например,дляниз-кихорбитN=70,длягеостационарныхорбит—N=6.

Величина дисперсии

Обозначимнормированныекоэффициентыпотенциаластепениnипорядкаmкак nmC и nmS .Ошибкиопределенияускоренийвоз-никаютприобрезанииразложения(47)постепенямn.ВильямКа-ула определил дисперсии ускорений, соответствующие заданнойстепениn:

( ) ( )222 2 2

40

1 n

T nm nmme

nn C S

a

µσ


é ù-ê ú

ê ú= +ê úê úë û

å . (48)

АналогичнаяфункциябылапостроенаРайтомдляоценкивлиянияпогрешностейучитываемыхчленовразложениягеопотенциала

( ) ( ) ( ) ( )22

2 224

0

1 n

C nm nmme

nn E C E S

a

µσ δ δ

=

é ù-ê ú æ öì ü ì üï ï ï ï ÷ï ï ï ïçê ú ÷= +ç í ý í ý ÷çê ú ÷ç ï ï ï ïè øï ï ï ïî þ î þê úë û

å , (49)

где nmCδ и nmSδ — погрешности известных оценок nmC и nmS .Выражение(49)—этодисперсиясоответствующихпогрешностей.ДляучетапогрешностейобоихвидовРайтомвведенообозначение

( )( )

22

2

, ,

, .T

nC

n n N

n n N

σσ

σ

ìï >ïï=íïïïî

(50)

53


Приведенная здесь формула (49) соответствует одному слагаемомусуммы(2.45)при er R aÅ= = (т.е.наповерхностиЗемли).Небольшиеразличиявобозначенияхнеимеютпринципиальногозначения,отме-чаетсяединственноесодержательноеразличиеэтихформул:в(48)при-меняетсямножитель(n–1)вместомножителя(n+1)вформуле(2.41).Очевидно, что различие этих формул пропорционально отношению(n+1)/(n–1),значениекоторогоприбольшихnмалоотличаетсяот1.Очевиднотакже,чтомножитель(n+1)вформуле(2.45)соответствуетмножителю(n+1)вформуле(2.3)иявляетсяследствиемдифференци-рования разложения гравитационного потенциала (2.2) по геоцентри-ческому расстоянию r. таким образом, имеющееся различие формул(2.45) и (48) не является существенным, хотя применение в (48) мно-жителя(n–1)вместомножителя(n+1)труднообъяснимо.

Выше отмечалось (см. (2.28)), что для гармоник геопотенциала, учи-тываемыхприпрогнозировании,вкачестве 2

nkcδ и 2nkdδ используются

дисперсиипогрешностейсоответствующихкоэффициентов.Поэтомуврезультатеусредненияпогрешностей nkcδ и nkdδ втораясуммав(2.45)вычисляетсяпоформуле

( )2 2 2 2

0 02 2 1

n n

nk nk n nk k

c d nδ δ σ σæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

= =

é ùê ú+ = = +ê úê úë û

å å . (2.50)

Здесь 2nσ — средняя дисперсия погрешностей определения нормиро-

ванныхкоэффициентовn-йстепени.еесмыслотличаетсяотвеличины(50),длякоторойРайтомпримененотожеобозначение.Оценкивели-чиныσn,определенныепоформуле(2.19),приведенывышенарис.2.2и2.4.Приихобсужденииотмечалось,чтоэтиоценкинеявляютсядо-статочнодостовернымиичтоонималоизменяютсясувеличениемин-дексаn.Подстановка(2.50)в(2.45)приводитксоотношению

( ) ( ) ( )

( )

2222 2

22

223 2

const22

1 2 1

1 2 .

n

r nn

n

n

Rr n n

rr

Rn

rr

µσ σ

µσ

æ ö¥æ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç Åç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ÷ç ÷ç÷ç è ø÷çè ø =

æ ö¥æ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç Åç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ÷ç ÷ç÷ç è ø÷çè ø =

= + + »

é ùê úê ú» +ê úë û

å

å

(2.51)

Здесь 2constσ – некое среднее значение дисперсии погрешностей из-

вестныхоценоккоэффициентов nkc и nkd .Важноотметить,чтопри-менение соотношений (2.50) и (2.51) основано на предположении оботсутствии корреляции погрешностей nkcδ и nkdδ разных порядков.Это предположение приводит к завышенным оценкам (2.51), однакооноявляетсявынужденным,таккаккорреляцияуказанныхпогрешно-стейнеизвестна.


54

Извыражения(2.51)следует,чтовкладгармоникразногопорядкапропорционаленмножителю( ) ( )2 31n

R r nÅ + .Зависимостиэтойве-личиныотпорядкагармоникnприразличныхотношениях( )R rÅ приведенынарис.2.5.

Рис. 2.5. Вкладгармоникпотенциаларазногопорядка

Рис. 2.6. Суммарныйвкладучитываемыхгармоникстепениn(n≤n)

55


Рассмотренныеотношения( )R rÅ соответствуютвысотамперигея130,265,480,710и1600км.Изданныхрис.2.5видно,чтоимеетсяпорядок гармоник n с максимальным вкладом в суммарную дис-персию(2.51).Этотпорядоктембольше,чемменьшевысотаорби-тыспутника.Врассмотренныхусловияхоннаходитсявдиапазонезначенийnот6до50.

Определенныйинтереспредставляетзависимостьвходящейвфор-мулу(2.51)суммы ( ) ( )2 3

21n

nR r n

¥

Å=

+å отстепени n*,котораяхарак-

теризует суммарный вклад учитываемых гармоник степени n n* .Соответствующиерезультатырасчетапредставленынарис.2.6.

Изданныхрис.2.6видно,чтоприростестепениучитываемыхгар-моник n значение суммы ( ) ( )2 3

21n

nR r n

¥

Å=

+å медленно стремит-

ся к некоторому предельному значению, величина которого тембольше,чемменьшевысотаорбитыспутника.Напомним,чтоприоценке вклада рассматриваемой суммы в дисперсию (2.51) сум-му надо умножить на среднее значение дисперсии погрешностей

2constσ учитываемыхгармоник.

Рассмотрим возможность упрощения формул (2.46) и (2.47) длядисперсий погрешностей возмущений по долготе и широте. Этавозможностьосновананадопущениионезависимостипогрешно-стей nkcδ и nkdδ отиндексаk.Поэтомусумма 2 2

nk nkc dδ δæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

+ можетбытьпредставленаввиде

2

2 22 2

2 , ,

, .n

nk nknk nk

n nc d

c d n n

σδ δ

*æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç æ öè ø *÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

ìïïï+ =íï + >ïïî

при

при

(2.52)

Эти значения зависят только от порядка гармоник n. Суммирова-ниепоиндексуkсводитсякпростымвычислениям:

( )

0

12

n

k

n nk

=

+=å , (2.53)

( ) ( ) ( )

0

2 1 1 1212 1 2 2 1 2

n

k

n n n n n nk

n n

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø=

é ù+ + +ê ú- = + »ê ú+ +ë ûå . (2.54)


56

Очевидно,чтоэтисуммыявляютсяблизкимиповеличине.Ониот-личаютсянавеличинупорядка1/n,котораяприn=20составляет5%, а при n=50 — 2%. Ниже мы этим различием пренебрегаем,потому что в оценках суммы 2 2


+ имеются существеннобольшиенеопределенности.Крометого,приоценкепогрешностейрасчета возмущений в разных точках траектории спутника равен-ство дисперсий ( )2 rφσ и ( )2 rλσ обеспечивает возможность приме-ненияодинаковыхоценокдисперсиипотрансверсалиибинормали.та-ким образом, дисперсии погрешностей возмущений (2.45)–(2.47)вычисляютсяпоформулам:

( )( ) ( )222

2 2 22

2

1 2 12

n

r nk nkn

n nRr c d

rrµ

σ δ δæ ö¥æ ö ÷ç÷ç ÷ æ öç÷ ÷ç Åç ÷÷ ç÷ç ÷÷ ç ç÷ç ÷÷ ç ÷ ç ÷çç ÷ ç è ø÷÷çç ÷ è ø÷çè ø =

+ += +å , (2.55)

( ) ( )( ) ( )22

2 2 2 22

2

2 1 112 2

n

nk nkn

n n nRr r c d

rrφ λ

µσ σ δ δ

æ ö¥æ ö ÷ç÷ç ÷ æ öç÷ ÷ç Åç ÷÷ ç÷ç ÷÷ ç ç÷ç ÷÷ ç ÷ ç ÷çç ÷ ç è ø÷÷çç ÷ è ø÷çè ø =

+ +» = +å ,(2.56)

гдевеличина 2 2nk nkc dδ δ

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø+ зависитотпорядкаучитываемыхгармо-

никn*иопределяетсявсоответствиис (2.52).Изформул(2.55)и(2.56)очевидно,чтодисперсии ( )2 rφσ и ( )2 rλσ примерновдваразаменьшедисперсии ( )2

r rσ .

Сравним приведенные здесь формулы (2.55) и (2.56) с соответ-ствующимиформулами,опубликованнымивстатьяхРайта(Wrightеtal.,2008a,b).Нижеприведенывыдержкиизэтихстатей.

Корреляционная функция R(0)

Каулавывелформулыдлядиагональныхкомпонентовсреднегозначе-нияпроизведения ( ) ( ) ( )0E P Pψ δ δé ù= ê úë û

R F F возмущающихускоренийвточкахтраекторииP0иP.Здесьψ—уголмеждунаправленияминаэтиточки.Приψ=0этиформулыимеютвид:

( )2 42

2 2101

ne

RR nn

ann r

σ σ

+æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø

é ù+= ê úê ú-ë û

å , (63)

( ) ( )( )

2 42 2

2

1102 1

ne

II nn

n n arn

σ σ

+æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø

é ù+ê ú

ê ú= ê ú-ê úë û

å , (64)

57


( ) ( )( )

2 42 2

2

1102 1

ne

CC nn

n n arn

σ σ

+æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø

é ù+ê ú

ê ú= ê ú-ê úë û

å . (65)

ЗдесьиндексыRR,IIиCCотносятсясоответственнокнаправлени-ям:порадиусу(Radial),трансверсали(Intrack)ибинормали(Cross-track). С учетом обозначения Райта (50) подстановка (49) в (63)приводиткрезультату

( ) ( )2 222

222

00 1

n ne

RR nm nmn k

an E C E S

rrµ

σ δ δ

æ ö÷ç æ ö æ ö ÷æ ö çæ ö ÷÷ ÷÷ ç çç ç÷ç ÷÷ ÷÷ ç çç ç÷ ÷÷ ÷ç ÷ ç ç÷ ç ç ÷÷ ÷ç ÷÷ ç çç ç ÷÷ ÷÷ç ÷ ç ç ÷ç ÷ ÷ç÷ç ÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ç ÷ç è ø è ø÷ çè ø÷ç è øè ø =

ì ü ì üï ï ï ïï ï ï ïí ý í ý= + +ï ï ï ïï ï ï ïî þ î þå å .

(2.57)Этаформулаполностьюсовпадаетсформулой(2.45).

По результатам сравнения формул (63)–(65) с формулами (2.45)–(2.47),(2.56)и(2.28)необходимоотметитьследующее:

• дисперсиирадиальнойсоставляющейсовпадаютполностью;• вобоихслучаяхдисперсииIntrackиCrosstrackодинаковыипри-

мернов2разаменьшедисперсиипорадиусу,имеющиесяраз-личиявэтихсоставляющихотносительнонебольшие(несколь-копроцентов);

• вобоихслучаяхвлияниекоэффициентовразложенияпотенци-ала nkc и nkd приоценкедисперсийсучетомчислаучитывае-мыхгармоникопределяетсяпопохожимформулам(2.52)и(50);имеющиесяразличияотносятсятолькокобозначениям.

ВзаключениеразделарассмотримрезультатырасчетовСКОради-альнойсоставляющей(2.55).Особенностьюэтихрасчетовявляетсяварьирование значениями дисперсии погрешностей определениякоэффициентовn-гопорядка( 2 constnσ = ),котораяпринималасьнезависимой от порядка n. Эти значения использовались для выбо-рамаксимальногопорядкаучитываемыхгармоник n*.Расчетпро-водился по формуле (2.18). Затем принималось maxn n* = и сумма

2 2nk nkc dδ δ

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø+ определяласьнаоснове(2.52)взависимостиотзначе-

нийnи n* .Дляоценкивлияниянеучитываемыхгармоник(n n*> )использовалась аппроксимация (2.14). При суммировании по ин-дексуnрассчитывалось1000слагаемых.РезультатырасчетовСКОрадиальнойсоставляющейдляспутниковсразнойвысотойорбиты


58

в функции возможных значений дисперсии 2nσ представлены на

рис.2.7.Крометого,нарисункеприведенысоответствующиеоцен-кичислаучитываемыхгармоник n* (какнарис.2.3).

Из этих данных видно, что рассмотренные факторы, а именно,СКО (σ) погрешностей определения коэффициентов nkc и nkd , атакже высота орбиты, оказывают очень сильное влияние на СКОрадиальной составляющей погрешностей. В рассмотренных усло-вияхэтахарактеристикаменяетсяна5порядков(дисперсияменя-ется на 10порядков!). Выше в разд.2.1 отмечалось, что данные оточностикоэффициентовразложениягравитационногопотенциа-лавряд,публикуемыеавторамимоделей,неявляютсядостаточнодостоверными.Поэтомуданныерис.2.7могутбытьполезнымидляоценкивлиянияточностикоэффициентовразложенияпотенциаланаСКОвозмущающихускорений.

2.4. автокорреляционные функции в связанной с землей системе координат

Рассмотрим две точки со сферическими координатами (r1,φ1,λ1)и (r2,φ2,λ2).Угловоерасстояниеψмеждуточкамиудовлетворяет

Рис. 2.7. СКОрадиальнойсоставляющейвразныхусловиях

5

2.4. Автокорреляционные функции в связанной с землей системе координат

соотношению(2.24).Будемопределятьсреднеезначениепроизве-дения

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 1 1 2 2 2

2 2

2 1 2 10 0

, , , , ,

1 1

sin sin .

r r r

j nj n

j n

ji nk ji nki k

K r r M F r F r

M n j

f f P P

δ φ λ δ φ λ

ρ ρ

λ λ φ φ

¥ ¥

= =

= =

= =

ìïïï= + + ´íïïïîüïïï´ ýïïïþ

åå

åå

(2.58)

На данном этапе удобно использовать статистические характери-стикипогрешностей nkcδ и nkdδ параметровполя:

( ) ( )

( )2

0 ,,

0.

nk ji nk jink

nk ji

n j k iM c c M d d

n jk i

M c d

δ δ δ δσ

δ δ

ìï ¹ ¹ïï= =íï = =ïïî=

при или

при и (2.59)

Учитывая(2.59),определимсреднеезначениепроизведенияфунк-ций

( ) ( )

( )

1 2

21 2 1 2

0 ,cos cos sin sin ,

nk ji

nk

M f f

n j k i

k k k k n j k i

λ λ

σ λ λ λ λ

=

ìï ¹ ¹ïï=íï + = =ïïî

при или

при и

.(2.60)

Сучетомдопущенияонезависимостизначенийσnkотиндексаkисвязи между нормированными и не нормированными дисперсия-микоэффициентов

( )( )

( )2 22 2 1 !

!nk nk

n n k

n kσ σ

δ

+ -=

+ (2.61)

подстановка(2.60)в(2.58)приводитквыражению

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

21 2 1 2

21 2 1 2

0

, 1 2 1

2 !sin sin cos .

!

r n nn

n

n nk nkk k

K r r r r n n

n kP P k

n k

ρ ρ

σ φ φ λ λδ=

= + + ´

-´ -

+

å

å

Это выражение можно упростить, воспользовавшись тождеством(2.23). Кроме того, следует учесть разное определение дисперсий(2.52)при n n* и n n*> .Врезультатеполучим


60

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

1 2 1 22

2 21 2 0

2

, , , cos

1 2 1cos .

2

r r

n n nk nk nn

K r r K r r

n nr r c d P

ψ

ρ ρ δ δ ψ¥


= =

+ += +å

(2.62)

Длякруговыхорбитформула(2.62)принимаетвид:

( )

( ) ( )( )

2

2

222 2

02

, cos

1 2 1cos .

2

r

n

nk nk nn

K rr

n nRc d P

r

µψ

δ δ ψ

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

æ ö¥ ÷ç ÷ æ öç ÷Åç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷çç è ø÷÷çè ø=

= ´

+ +´ +å

(2.63)

При анализе выражения (2.63) следуем учесть, что Pn0(1)=1. По-этому,какиследовалоожидать,приcosψ=1иr=r1=r2этовыра-жение совпадает с (2.55). Безразмерная корреляционная функциярадиальных возмущений легко рассчитывается на основе формул(2.63)и(2.55):

( )( )( )2

, cos, r

rr

K rk r

r

ψψ

σ= . (2.64)

При выводе и анализе выражений (2.55) и (2.56) отмечалось, чтодисперсиивозмущенийподолготеиширотемалоотличаютсядруготдругаипримерновдваразаменьшедисперсиипорадиусу.Ана-логичная ситуация имеет место и для корреляционных функцийKφ(r,cosψ)иKλ(r,cosψ),которыемалоотличаютсядруготдругаипримерно в два раза меньше корреляционной функции по радиу-су.Поэтомунормированныекорреляционныефункциивида(2.64)можнопринятьодинаковымидлявсехсоставляющихвозмущений.

Расчеты корреляционной функции (2.64) были проведены в техже условиях, которые были рассмотрены в разд.2.4. А именно:шестьвариантоввысотыкруговойорбиты(130,270,480,710,1130,1600км) и пять вариантов значений СКО погрешностей коэффи-циентов nkc , nkd (σn=10–11, 10–10, 10–9, 10–8, 10–7). Эти оценкииспользовались для выбора максимального порядка учитываемыхгармоник nmax, значения которого представлены на рис.2.3. Присуммированиипоиндексуnрассчитывалось1000слагаемых.

Нарис.2.8представленызначенияполиномовлежандраPn0(cosψ)различнойстепенипризначенияхуглаψ=0,2,5,10и15°.

61


Изданныхрис.2.8видно,чтозначенияполиномовуменьшаютсясростомпорядкаnиуглаψ.

Нарис.2.9представленыкорреляционныефункции(2.64)дляука-занныхвышеусловий.Изэтихданныхвидноследующее:• во всех случаях на рассмотренном интервале корреляция до-

вольнобыстроприближаетсяк0;• сростомвысотыорбитыспутникаинтервалкорреляцииувели-

чиваетсяотединицдодесятковградусов;• с ростом оценок σn интервал корреляции сначала практически

неменяется,азатемрастет.

Оценки n* рассчитывались по формуле (2.18) в зависимости отзначенияσn

Вразд.1.5отмечалось,чтоприоценкепогрешностейпрогнозасу-щественнуюрольиграетплощадьподынтегральнойфункциивида(1.85).Всвязисэтимдлявсехрассмотренныхвариантовбыливы-численыинтегралы

( )max

0

, drI k rψ

ψ

ψ

ψ ψ=

= ò . (2.65)

Рис. 2.8. Значенияполиномовлежандраразногопорядка


62

Для максимального значения угла ψ использовалась оценкаψmax=45°.Результатырасчетовпредставленынарис.2.10.

По представленным результатам расчетов можно сделать следую-щиевыводы:

Рис. 2.9. Корреляционные функции kr (r,cosψ) при различных высотахорбитыспутника(h)иразнойточностиопределениякоэффициентовгра-

витационногополя

63


• значенияинтеграла(2.65)меняютсявпределахот~1до16°;

• наиболеесильноевлияниенаинтегралоказываетвысотаорби-тыспутника:сееростомвеличинаинтегралаувеличивается;

• наинтервалезначенийСКОпогрешностейкоэффициентов(σn)от 10–11 до 10–9 величина интеграла практически не меняется,затем при росте значений σn он также растет; это происходитприуменьшениичислаучитываемыхчленовразложенияпотен-циала(n*)от95до30именее;

• приσn=10–9( 95n* = )значенияинтеграланаходятсявдиапазо-неот1до13°.


1. Вразд.2.1отмечалось,чтоданныеоточностикоэффициентовраз-ложениягравитационногопотенциалавряд,публикуемыеавторамимоделей,неявляютсядостаточнодостоверными.Изданныхрис.2.4следует,чтодлясовременныхмоделейполязначениеСКОпогреш-ностейкоэффициентовразложенияпотенциала(σn)имеетпорядокне лучше ~10–9. Этому значению соответствует оптимальный по-рядок учитываемых гармоник 95n* = . На практике в алгоритмахпрогнозадвиженияспутниковобычноучитываетсяменьшеечисло

Рис. 2.10. Значенияинтеграла(2.65)вразличныхусловиях


64

гармоник. Этим условиям соответствуют данные рисунка 2.10 длязначенийСКОпогрешностейσnвинтервалеот10–9до10–8.

2. Изложенныевданномразделеоценкидисперсиивозмущений(см.рис.2.7),корреляционныефункцииэтихвозмущений(см.рис.2.9),а также значения интеграла (2.65) являются основой дальнейшейработыпооценкепогрешностейпрогнозированиядвиженияспут-ников, обусловленных влиянием не учтенных в прогнозе гравита-ционныхвозмущений.

3. Изложенныевразделеданныеокорреляционныхфункцияхграви-тационныхускорений,которыенеучитываютсяприпрогнозирова-нии движения спутников, построены в связанной с Землей систе-ме координат. Их важной характеристикой является практическоеобнуление корреляции при удалении от заданной точки более чемна10…30°.РеальныеорбитыспутниковотносительноЗемлиредкопроходятнадоднимиитемижеподспутниковымиточками.Этооб-стоятельство необходимо учитывать при переходе в инерциальнуюсистему координат, в которой обычно интегрируются уравнениядвиженияспутников.

2.5. автокорреляционные функции для заданной орбиты

Вданномразделестроитсяавтокорреляционнаяфункцияkr (u1,u2)неучтенныхвпрогнозевозмущающихускоренийвзависимостиотзначенийаргументовширотыдвухточекорбитыспутника.Восно-вуположеназависимость(2.64),вкоторойвместоаргумента

( )1 2 1 2 1 2cos sin sin cos cos cosψ φ φ φ φ λ λ= + - (2.66)

используетсяфункцияcos(ψ)=f (u1,u2).Длярешениязадачинадовыразитьсферическиекоординаты(φ,λ)всвязаннойсЗемлейси-стемекоординаткакфункциисоответствующихзначенийаргумен-та широты. Орбита принимается круговой. В качестве исходныхданных используются наклонение (i) и сдвиг восходящего узла завиток(Δλ)всвязаннойсЗемлейсистемекоординат.Долготубудемотсчитыватьотположениявосходящегоузлавначале1-говитка.

На рис.2.11 и 2.12 схематично представлена траектория спутникавсвязаннойсЗемлейсистемекоординатнадвухсоседнихвитках.Обозначим долготу точки относительно восходящего узла в инер-циальной системе координат как L (см. рис.2.12). Эта величинасвязанасозначениемаргументаширотысоотношением

65

2.5. Автокорреляционные функции для заданной орбиты

( ) ( ) ()tg tg cosL u i= . (2.67)ЗавремяполетаспутникаотвосходящегоузладозаданнойточкиеедолготаλуменьшаетсяпоотношениюкдолготеLнасоответствую-щийуголповоротаЗемлизаэтовремя.Поэтомутекущеезначениедолготыλможетбытьвыраженоследующимобразом:

( ) ( ) 2uu L u ∆λ

λπ

= - . (2.68)

Рис. 2.11. траекторияорбитынадвухсоседнихвиткахвсвязаннойсЗемлейсистемекоординат

Рис. 2.12. ПроекциятраекторииспутниканаповерхностьЗемли(следорбиты)


66

широтаточкилегкоопределяетсяизизвестногосоотношениясфе-рическойтригонометрии ( ) ( ) ()sin sin sinu iφ = . (2.69)Расчетыпоформулам(2.67)–(2.69)приразличныхзначенияхаргу-менташироты(u1,u2)позволяютопределитьсферическиекоорди-наты двух точек и соответствующее им значение cos(ψ)=f(u1,u2).Подстановка этой величины в (2.64) приводит к искомому значе-ниюкорреляционнойфункциипризаданныхзначенияхаргументашироты(u1,u2).

На рис.2.13 представлены результаты расчета корреляционнойфункции kr (u1,u2) при i=63°, Δλ=22,5° и значениях аргументов0≤u1≤360°и0≤u2≤4×360°.

На рис.2.13 все точки, где kr (u1,u2)=0, более бледные, осталь-ные— более темные. Как и следовало ожидать, при u1=u2 коэф-фициент корреляции максимален (kr (u1,u2)=1)). характернойособенностью представленного результата является наличие отно-сительномалыхобластей(внеобластиu1=u2),гдекорреляциятакжесущественна. Эти области расположены в окрестности точек, гдепересекаютсяследытраекторийφ=fφ(u)иλ=fλ(u),соответствую-щиеаргументам(u1,u2).Приu2–u1>360°накаждомвиткесуще-ствуют две такие точки: одна в Северном полушарии, другая— вЮжном.Длядвухпоследовательныхвитковтакогородаточкичет-копоказанынарис.2.11и2.12.


Изложенныевышематериалыанализанеотносятсякэкваториальнымспутникам,наклонениекоторыхблизкок0.Длятакихорбит,особеннодлягеостационарныхспутников,требуетсяспециальныйанализ.

Рис. 2.13. Вид«сверху»нафрагменткорреляционнойфункцииkr(u1,u2)

67

2.5. Автокорреляционные функции для заданной орбиты

Рассмотримприближенныйалгоритмопределениязначенийаргу-ментов(u1,u2)вточкахпересеченияследоворбитыприсдвигеузлав связанной с Землей системе координат на величину Δλ. Задачарешается вычислением корней двух уравнений, которые следуютиз(2.68)и(2.69): ( ) ( )1 2L u L u ∆λ= - , (2.70)

( ) ( )1 2sin sinu u= . (2.71)

Заметим, что приближенным здесь является уравнение (2.70), по-сколькуононеучитываетразличиявременидвиженияспутникаотэкваторадоточекu1иui .Болеестрогоерешениезадачиизложеновразд.3.4.Искомыекорнинаходятсявинтервале0…360°.Приопре-делениипервойпарыкорнейрешениеуравненийсводитсякдвумформулам:

( )( )()1

2cos

tg ui

∆λ=

ctg, (2.72)

2 1u uπ= - . (2.73)Принебольшоймодификацииэтиуравненияпригодныдляопре-делениядругойпарыкорнейуравнений(2.70)и(2.71).Дляэтогов(2.72)праваячастьменяетзнакна«минус»,ав(2.73)πзаменяетсяна3π.

Дляопределениязначенийкорнейприсдвигеточкиu2ненаодин,анабольшеечисловитков(N),этиуравнениятакжемодифициру-ются.ВэтомслучаеисходноезначениеΔλнадоумножитьнаN.

Нарис.2.14представленпримеропределениязначенияаргументаширотыu1воднойизточекпересеченияследоворбитыпоформу-ле(2.72)приразличныхзначенияхсдвигаΔλ.Рассмотреныорбитыстремянаклонениями:28,63и88°.

Важнойособенностьюэтихрезультатовявляетсяразрывфункцийиотсутствиерешенияпризначенияхсдвига0и360°.Формальноэтоявляется следствием появления 0 в знаменателе при вычисленииctg(Δλ/2).Физическийсмыслэтогозаключаетсявполномсовпаде-ниитраекторийи,такимобразом,вотсутствииточекпересеченияих следов. На рисунке эти значения сдвига выделены краснымилиниями.


68

При малых значениях наклонения cos(i)≈1. Поэтому tg(u1)≈≈(Δλ/2)иu1≈(π/2)–(Δλ/2).Кэтомурешениюприближаетсягра-фикфункцииu1(Δλ/2)принаклонении28°.

Принаклонениях,близкихк90°,иприсдвигах,отличающихсяот180°,точкипересеченияследоврасположенывокрестностиполю-сов (u1≈±90°). В окрестности точки Δλ=180° происходит сменазнака значения аргумента широты u1 в точке пересечения следов.При i=90° и Δλ=180° функция u1≈(Δλ/2) имеет разрыв. Фор-мально—этоследствиепоявления0взнаменателепривычислени-ях tg(u1)поформуле (2.72).Физическийсмыслэтогозаключаетсявсовпадениитраекторийдвухобъектов,которые,однако,движутсянавстречудругдругу.

2.6. особенности корреляционных функций kr(u1, u2) для резонансных и геостационарных спутников

Под действием гравитационных возмущений резонанс наступаеттогда, когда период долгопериодических возмущений, обуслов-ленных влиянием тессеральных гармоник, становится настолько

Рис. 2.14. Значенияu1приразличныхсдвигахдляорбитсразличныминаклонениями

6

2.6. Особенности корреляционных функций для резонансных и геостационарных спутников

большим,чтоэтивозмущенияприближаютсяквековым.Приэтомрезонансеследорбитыпериодическипроходитнадоднимиитемиже участками поверхности Земли. Движение геостационарногоспутникаявляетсячастнымслучаемрезонанса:спутникпостоянно«висит»надоднойитойжеточкойэкваториальнойобласти.

Рассмотримсначаларезонанснизкоорбитальныхспутников.При-менение результатов предыдущего раздела позволяет достаточнопростоформализоватьиххарактернуючерту,котораязаключаетсяввеличинесдвигаΔλиможетбытьвыраженакак

2qp

∆λ π= , (2.74)

где q и p — целые числа. Поэтому через p витков сдвиг Δλp=q2πстановитсякратнымодномуобороту.Наэтомвиткеспутникпро-ходитнадтемижеточкамиземнойповерхности,чтоинаисходном(0-м)витке.Этоповторяетсякаждыеpвитков.Простейшийпримервозникновения резонансной ситуации представлен на рис.2.15.При сдвиге на 360° (Δλ=360°) функция u1(Δλ/2) имеет разрыв; вэтотмоментследытекущегоиисходноговиткасовпадают.

Нарис.2.15вкачествепримерапредставленвид«сверху»нафраг-менткорреляционнойфункцииkr (u1,u2)дляспутника,укоторогосдвиг(2.74)равен2π/14:Δλ=(1/14)2π=π/7.Вэтомслучаеследысовпадаютчерез14витков,т.е.через1сут.

Участки области (u1,u2), где корреляция мала, закрашены белымцветом.Наибольшеевлияниекорреляцииимеетместонаисходномина14-мвитках.Наостальныхвиткахобластисущественнойкор-реляции занимают малую площадь и расположены в окрестно-сти точек, где пересекаются следы траекторий (см. пояснения крис.2.13).

таким образом, при резонансных возмущениях корреляционнаяфункцияkr (u1,u2)имеетобластисущественнойкорреляции,кото-

Рис. 2.15. Фрагменткорреляционнойфункцииkr (u1,u2)приq=1иp=14


70

рые периодически повторяются (через p витков). Для низкоорби-тальныхспутниковпериодповторенияэтихобластейсоставляетнеменее13–14витков.

Рассмотримспутникнагеостационарнойорбите,укоторогопери-одвточностиравеноднимсуткам.Всвязисблизостьюплоскостиорбиты к плоскости экватора у спутников такого типа положениевосходящегоузланеопределено.Поэтомутекущеезначениедолго-тыλможетбытьвыраженоследующимобразом:

( ) ( ) ( )0dt M t t tdtλ

λ ω λ= + = + - . (2.75)

ЗдесьωиM—Кеплеровыэлементыорбиты.Скоростьизменениядолготы d dtλ ωÅ= совпадаетсоскоростьювращенияЗемли.Вре-зультатеположениеспутниканадповерхностьюЗемлинеменяет-ся:он«висит»надоднойитойжеточкой.

Приведённые выше формулы (2.63) и (2.64) пригодны также дляпостроения автокорреляционных функций возмущающих ускоре-ний спутников на геостационарных орбитах. При этом аргументвычисляетсяпоформуле

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1cos cos cost tψ λ λ λ λé ù= - = -ê úë û . (2.76)На рис.2.16 представлена скалярная корреляционная функцияkr (ψ)длягеостационарногоспутника(свысотой35780км).

Из данных рис.2.16 видно, что в области геостационарных ор-биткорреляционнаяфункциягравитационныхвозмущенийоченьсильноотличаетсяотсоответствующихфункцийвобластинизкихорбит(см.рис.2.9).Основныеотличиязаключаютсявследующем:

• существеннаякорреляциясохраняетсянавсеминтервалеаргу-ментаψиимеетпериодическийхарактер—период180°(12ч);

• имеетсяобласть,гдекорреляцияявляетсяотрицательнойидо-стигаетсущественныхзначений(–0,5);этиминимумыотносят-сякзначениямаргумента90и270°.


Эксперименты на модели показали, что увеличение максимальногозначенияиндексаnот10до1000привычислениисуммыпоформуле(2.63) практически не оказывает влияния на характеристики корреля-

71


ционной функции. Это объясняется быстрым уменьшением величи-ны слагаемых, которые пропорциональны отношению ( ) 0,15R rÅ = встепени2(n+2).Поэтомурезультатзависитот гармоникневысокогопорядкасотносительнобольшимипериодами.Следствиемэтогоявля-етсятакжеуменьшениеСКОгравитационныхвозмущений,оценкико-торыхприведенывтабл.2.3приразличныхСКОпогрешностейопреде-лениякоэффициентов nkc и nkd идляспутниковнаразныхвысотах.

Таблица 2.3. СКОрадиальнойсоставляющейвозмущенийдляразличныхвысотиприразнойточностиопределениякоэффициентов(σn )(милигал)

Высота (км) СКО (σn ) погрешностей определения коэффициентов nkc и nkd

1,0е-11 1,0е-10 1,0е-9 1,0е-8 1,0е-735780 0,342е-7 0,342е-6 0,342е-5 0,342е-4 0,342е-320180 0,235е-6 0,235е-5 0,235е-4 0,235е-3 0,235е-21600 0,135е-3 0,135е-2 0,135е-1 0,135 0,120е+1

Из этих данных видно, что для геостационарного спутника СКОрадиальнойсоставляющейгравитационныхвозмущенийпримернов3000разменьшесоответствующихоценокдляспутниканавысоте1600км.

Рис. 2.16. Корреляционныефункцииkr (ψ)длягеостационарногоиполусуточногоспутников


72

По изложенной выше методике на основе скалярной корреляци-онной функции kr (ψ) была построена двумерная корреляционнаяфункцияkr (λ1,λ2),представленнаянарис.2.17.

Здесьрассмотрендвухвитковыйинтервал.Видно,чтонасоседнихвиткахфункцииkr (λ1,λ2)являютсяидентичными.

В заключение раздела рассмотрим также корреляционные функ-циигравитационныхвозмущенийдляспутниковтипаGPS(GlobalPozitioning System), запускаемых на 12-часовые орбиты с высотой20180кминаклонением55°.Скалярнаякорреляционнаяфункцияkr(ψ) для них, представленная на рис.2.16, практически совпала ссоответствующейкорреляционнойфункциейдлягеостационарныхспутников.естественно,чтоизложенныевышеособенностифунк-цииkr(ψ)относятсяикспутникамтипаGPS.

Дляспутниковэтоготипапоизложеннойвышеметодикебылапо-строенакорреляционнаяфункцияkr(u1,u2).Нарис.2.18представ-ленеёфрагмент,анарис.2.19—виднаэтуфункцию«сверху».

Рис. 2.17. Корреляционнаяфункцияkr (λ1,λ2)длягеостационарногоспутника

73


Врассмотренномслучаесдвигследазавитоксоставляет180°(Δλ==(1/2)2π=π). Поэтому следы совпадают через 2витка, т.е. через1сут.Напромежуточномвиткенаблюдаетсясущественнаякорре-ляция,максимумкоторойдостигаетзначения1,аминимум—зна-чения–0,5.Соответствующаяобластьзначенийаргументов(u1,u2)весьмаобширна.Этимисвойствамипредставленнаякорреляцион-наяфункциясильноотличаетсяотсоответствующихфункцийдлянизкоорбитальныхспутников(см.рис.2.15).

Рис. 2.18. Фрагменткорреляционнойфункцииkr (u1,u2)спутникатипаGPS

Рис. 2.19. Вид«сверху»накорреляционнуюфункциюkr(u1,u2)спутникатипаGPS


74

2.7. выводы

1. Построены формулы для расчета дисперсии и автокорреляци-онных функций трехмерного вектора случайных гравитацион-ныхвозмущенийвовращающейся,связаннойсЗемлейсистемекоординат.Результатырасчетазависятотпогрешностейопреде-ления коэффициентов разложения гравитационного потенци-ала, учитываемых при прогнозировании движения спутников,атакжеотчислаучитываемыхгармоник.Влияниенеучтенныхприпрогнозированиигармоникоцениваетсянаосновеаппрок-симацииихсреднеквадратическихзначений.

2. Изложенные в разделе оценки дисперсии возмущений и кор-реляционные функции этих возмущений являются основойдальнейшей работы по оценке погрешностей прогнозированиядвижения спутников, обусловленных влиянием не учтенныхгравитационныхвозмущений.

3. Важнаяхарактеристикаавтокорреляционныхфункций—прак-тическое обнуление корреляции при удалении от заданнойточки более чем на 10…30°. Реальные орбиты спутников отно-сительноЗемлиредкопроходятнадоднимиитемижеподспут-никовыми точками. Это обстоятельство необходимо учитыватьпри переходе в инерциальную систему координат, в которойобычноинтегрируютсяуравнениядвиженияспутников.

4. Среднеквадратические отклонения (СКО) (σn ) погрешностейнормированных коэффициентов разложения гравитационногопотенциалаЗемлипосферическимфункцияммалоизменяютсясувеличениеминдексаn.Поэтомуоценку(σn )maxрекомендова-но использовать для выбора оптимального порядка учитывае-мыхгармоник.

5. Показано, что данные о точности коэффициентов разложениягравитационногопотенциалавряд,публикуемыеавторамимо-делей, не являются достаточно достоверными. У современныхмоделей поля значение СКО погрешностей коэффициентовразложенияпотенциала((σn )max)имеетпорядокнелучше~10–9.Этомузначениюсоответствуетоптимальныйпорядокучитывае-мыхгармоник 95n* = .Напрактикевалгоритмахпрогнозадви-женияспутниковобычноучитываетсяменьшеечислогармоник.

2.7. Выводы

Этим условиям соответствуют значения СКО погрешностей винтервалеот10–9до10–8.

6. Разработана методика построения автокорреляционных функ-ций, не учтенных при прогнозе возмущающих ускорений винерциальной системе координат, в зависимости от значенийаргументовширотыдвухточекорбиты.Приравенствеэтихзна-ченийкоэффициенткорреляциимаксимален.характернаяосо-бенность этих автокорреляционных функций — наличие отно-сительномалыхобластей(внеобластиu1=u2), гдекорреляциятакжесущественна.Этималыеобластирасположенывокрест-ноститочек,гдепересекаютсяследытраекториинаразныхвит-ках.Длябольшинстваспутниковнакаждомвиткеобычносуще-ствуютдветакиеточки:однавСеверномполушарии,другая—вЮжном.

7. Урезонансныхспутниковавтокорреляционнаяфункциявинер-циальнойсистемекоординатимеетобластисущественнойкор-реляции(какприu1=u2),которыепериодическиповторяются.Для низкоорбитальных спутников период повторения этих об-ластейсоставляетнеменее13–14витков.

8. Вприл.Бприведентексткомпьютернойпрограммыдляпостро-енийавтокорреляционныхфункцийслучайныхгравитационныхвозмущенийвсвязаннойсЗемлейсистемекоординат.

76

3. ПрогНозироваНие корреляциоННой матрицы ПогрешНостей


Дляопределениякорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостояниявпроизвольныймоментвременииспользуютсяформу-лы(1.9)и (1.11),приведённыевразд.1.1.Начальнымиусловиямидля прогнозирования корреляционной матрицы являются: корре-ляционнаяматрицапогрешностейначальныхусловий ( )00 0 xP K t= иматричнаяфункциявзаимнойкорреляциипогрешностейначаль-ныхусловийицветногошумаKxq(t0,τ).Корреляционнаяфункцияцветного шума Kq(ξ,η), учитывающая влияние гравитационныхвозмущенийиподробнорассмотреннаявразд.2,можетбытьпред-ставленавследующемвиде

( )( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )2

,

1 0 00 0,5 0 , .0 0 0,5

r

q r

r r

F

K M F F F F

F

k

λ λ φ

φ

δ ξ

ξ η δ ξ δ η δ η δ η

δ ξ

σ ξ η

é ùê úê ú

= =ê úê úê úê úë û

=

(3.1)

Здесь δFr , δFλ, δFφ — погрешности расчета возмущающих ускоре-ний,направлениякоторыхпредставленынарис.2.1; 2

rσ —диспер-сиярадиальнойсоставляющей;kr (ξ,η)—скалярнаяфункциядвухаргументов, каждый из которых характеризует положение точки всвязаннойсЗемлейсистемекоординат;ψ—геоцентрическоеугло-воерасстояниемеждудвумяточками:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sin sin cos cos cosψ φ ξ φ η φ ξ φ η λ ξ λ ηé ù= + -ê úë û. (3.2)

РезультатырасчетовСКОрадиальнойсоставляющей(σr )дляспут-ников с разной высотой орбиты в функции возможных значений

77


СКО определения коэффициентов разложения гравитационно-го потенциала по сферическим функциям (σn ) представлены нарис.2.7.Крометого,наэтомрисункепредставленысоответствую-щиеоценкиоптимальногочислаучитываемыхгармоник n*,кото-рыерассчитывалисьпоформуле

0,003

n

nσ

* » . (3.3)

В разд.2.4 подробно изложены также методика и результаты по-строения корреляционных функций kr (ψ) в различных условиях.Результатырасчетаэтихфункцийдляразличныхвысотиприраз-личныхзначенияхСКОσnпредставленынарис.2.9.

Корреляционные функции гравитационных ускорений, которыене учитываются при прогнозировании движения спутников, по-строены в связанной с Землей системе координат. Их важной ха-рактеристикой является практическое обнуление корреляции приудаленииотзаданнойточкиболеечемна10…30°.РеальныеорбитыспутниковотносительноЗемлиредкопроходятнадоднимиитемижеподспутниковымиточками.Этонеобходимоучитыватьприпе-реходевинерциальнуюсистемукоординат,вкоторойобычноин-тегрируютсяуравнениядвиженияспутников.

Расчеты по формулам (2.7)–(2.9) при различных значениях аргу-менташироты(u1,u2)позволяютопределитьсферическиекоорди-наты двух точек и соответствующее им значение cos(ψ)=f (u1,u2).Подстановкаэтойвеличиныв(3.1)приводиткискомомузначениюкорреляционнойфункциипризаданныхзначенияхаргументаши-роты(u1,u2).

Для примера на рис.2.13 были представлены результаты расчетакорреляционной функции kr (u1,u2) при i=63°, Δλ=22,5° и призначениях аргументов: 0≤u1≤360° и 0≤u2≤4×360°. характер-ной особенностью представленного результата является наличиеотносительно малых областей (вне области u1=u2), где корреляциятакжесущественна.Этималыеобластирасположенывокрестно-ститочек,гдепересекаютсяследытраекторийφ=fφ(u)иλ=fλ(u),соответствующиеаргументам(u1,u2).Приu2–u1>360°накаждомвитке существуют две такие точки: одна в Северном полушарии,другая—вЮжном.Длядвухпоследовательныхвитковтакогородаточкичеткопоказанынарис.2.12.

3. пРОгНОзИРОВАНИЕ КОРРЕляцИОННОЙ МАтРИцы пОгРЕшНОСтЕЙ

78

3.2. основы алгоритма прогнозирования корреляционной матрицы Kx(t)

При разработке алгоритма прогнозирования корреляционной ма-трицыKx(t)наосновеформулы(1.9)необходимоконкретизироватьвекторсостоянияx.Сучетомзависимостикорреляционнойфунк-циишумаkr (u1,u2)отзначенийаргументаширотыименноэтуве-личину удобно использовать в качестве «быстрого» компонентавекторасостояния.Следуяметодике,изложеннойвработах(Аниси-мов,1975;Назаренко,Скребушевский,1981),применимследующийвекторсостояния: ∙ ∙ ∙ ∙ ∙Tx u a i l hΩ= ,гдеu—аргументшироты;a—большаяполуось; i—наклонение;Ω—долготавосходящегоузла;l=ecosω;h=e sinω;e—эксцентриситет;ω—аргументперигея.

ВэтомслучаепереходнаяматрицаU(u,u0)принимаетвид

U(u,u0)=

u11 u12 0 0 u15 u16

(3.4)

0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

Здесь

2

011

ru

r

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø= ; (3.5)

2 2

012

13t ta eu

r a Tπæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

--=- ; (3.6)

( ) ( )2

0 015 0 0 22

1 sin sin sin sin1

r r ppu u h u h u ur r re

æ ö æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷÷ç ç÷ ç ÷÷ç ç÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷ç ÷æ ö ç ç÷ ÷ç ÷÷ ÷ ÷ ÷ç çç ç÷ ÷ç çè ø÷ è ø è øç ÷ç ÷çè ø

é ùê ú

= + - + + -ê úê ú- ë û

; (3.7)

( ) ( )2

0 016 0 0 22

1 cos cos cos cos1

r r ppu u l u l u ur r re

æ ö æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷÷ç ç÷ ç ÷÷ç ç÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷ç ÷æ ö ç ç÷ ÷ç ÷÷ ÷ ÷ ÷ç çç ç÷ ÷ç çè ø÷ è ø è øç ÷ç ÷çè ø

é ùê ú

= + - + + -ê úê ú- ë û

; (3.8)

1 cos sinpr

l u h u=

+ +; ( )21p a e= - ; T—период.

Нетруднопроверить,чтоматрицаU(u,u0)обладаетсвойствами

7

3.2. Основы алгоритма прогнозирования корреляционной матрицы Kx(t)

( )0 0,U u u E= , (3.9)

( ) ( ) ( )0 0, , ,U u u U u U uξ ξ= . (3.10)

Одинизкомпонентов(u12)матрицыU(u,u0)содержитвековуюсо-ставляющую,пропорциональнуювремени.Остальныекомпонентыявляютсяпериодическимифункциямиаргументашироты.

Следующий шаг при разработке алгоритма — конкретизация ма-тричнойфункцииB(t),котораяиспользуетсявдифференциальныхуравненияхдляпрогнозированиявекторасостояния

( ) ( ) ( )d x A t x B t q tdtδ

δ= + . (3.11)

Здесьq(t)—векторвозмущающихускоренийвсистемекоординатS,T,W.

Для построения матричной функции B(t) применяется гауссоваформа уравнений возмущенного движения, использующая возму-щающиеускорениявподвижной,связаннойсоспутникомсистемекоординатSTW(рис.3.1).

СучетомизложенногоматричнаяфункцияB(t)принимаетследую-щийвид:

B(t)=

0 0 b13

(3.12)

b21 b22 00 0 b33

0 0 b43

b51 b52 b53

b61 b62 b63

Здесь

2

131 ctg sin

2T e rb i u

a pπ


-=-

×;

( )21 2sin cos

1

Tb l u h ueπ

=- --

;

( )22 21 cos sin

1

Tb l u h ueπ

= + +-

;


80

2

331 cos

2T e rb u

a pπ


-= ;

2

431 sin

2 sinT e r ub

a p iπ


-= ;

2

511 sin

2T eb u

aπ

-= ;

( )2

521 cos cos

2T e rb l u u

a pπ

é ù- ê ú= + +ê ú× ë û;

2

531 ctg sin

2T e rb h i u

a pπ


-= ;

2

611 cos

2T eb u

aπ

-=- ;

( )2

621 sin sin

2T e rb h u u

a pπ

é ù- ê ú= + +ê úë û;

2

631 ctg sin

2T e rb l i u

a pπ


-=- .

ВажнымсвойствомматрицыB(t)являетсято,чтовсееекомпонентыпредставляютсобойпериодическиефункцииаргументаширотыu.

Рис. 3.1. Компонентывозмущающегоускорения

81


Рассмотрим связь возмущающих ускорений FS , FT и FW , которыеиспользуются в уравнениях (3.11), с возмущающими ускорения-миδFr ,δFλ,δFφ,используемымиприпостроениикорреляционнойфункции(1.3).Изданныхрис.3.1очевидно,что

1 0 00 cos sin0 sin cos

S r

T

W

F FF A A FF A A F

λ

φ

δ

δ

δ

=-

. (3.13)

Изэтогоследует,чтокорреляционнаяфункцияускоренийFS ,FTиFW связана с корреляционной функцией (3.1) простым соотноше-нием

( )

( ) ( )2

1 0 0 1 0 0, 0 cos sin 0 0,5 0

0 sin cos 0 0 0,51 0 00 cos sin , , ,0 sin cos

STW

r r q

K A AA A

A A k KA A

ξ η

σ ξ η ξ η

= ´-

´ - =

(3.14)

т.е. корреляционные функции KSTW (ξ,η) и Kq(ξ,η) тождественносовпадают.

таким образом, мы конкретизировали все матрицы, которые ис-пользуютсявформуле(1.9)дляпрогнозированиякорреляционнойматрицыKx(t).

Проведение вычислений по формуле (1.9) — весьма трудоемкаяоперация. В особенности это относится к вычислению двойногоинтеграла(нижеонобозначенкакQ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

, , , d dt t

T Tq

t t

Q t U t B K B U tξ ξ ξ η η η ξ η=ò ò , (3.15)

Поэтомуследующимшагомпоразработкеалгоритмаявляетсяпре-образование формулы (3.15) к более удобному для вычисленийвиду.Припрогнозированиикорреляционнойматрицы(1.9)наце-лоечисловитковудобноиспользоватьпериодичностьбольшинствакомпонентовматричныхфункцийU(t,ξ)иB(ξ)идопущениеопо-стоянствеэлементоворбитынаинтервалепрогнозирования.такой


82

прогнозучитываетосновную(вековую)составляющуювэволюциипогрешностей прогнозирования. Связь между основным аргумен-том (временем) и «быстрой» компонентой вектора состояния (ар-гументомшироты)схематичнопредставленанарис.3.2.Здесьпри-нято,чтоt0=0;N—номервитка.

Значениеаргументаширотывпроизвольныймоментвремени ( )2 1u N uξ ξπ ∆= - + (3.16)выражается в виде суммы целого числа предшествующих оборо-тов(Nξ–1)инекойдобавкиΔu,относящейсяквиткуNξ,значениякоторой находятся в интервале (0,2π). Это позволяет представитьпереходнуюматрицуU(t,ξ)ввидепроизведения

( ) ( ) ( ) ( ), 2U t U t U N U uξξ ξ ∆ π ∆= - = - . (3.17)Здесьвправойчастипервыймножительимеетисключительнопро-стойвид

U(ΔNξ)=

1 u12(ΔNξ) 0 0 0 0

(3.18)

0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

N N Nξ ξ∆ = - , (3.19)

( ) ( )212 3 22

13

1

lu N N

a eξ ξ∆ π ∆

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

+=-

-. (3.20)

Вовтороммножителе(U(u=2π–Δu))компонентыматрицыопре-деляютсяпоформулам(3.11)–(3.14),вкоторыхаргументомявляет-сятолькоизменениеаргументаширотыuвпределаходноговитка.

Рис. 3.2. Связьвременииаргументашироты

83


ПрипрогнозенаNвитковобластьаргументов(ξиη)вдвойномин-теграле(3.15)разобьемнаквадраты,соответствующиеразнымно-мерамвитков.Эторазбиение(аналогичноеданнымрис.2.13)пред-ставлено на рис.3.3. Положение каждого из этих квадратов будемхарактеризоватьдвумяиндексами(j,k),значениякоторыхизменя-ютсяот1доN.

Представимдвойнойинтеграл (3.15)ввидесуммыдвойныхинте-граловдлякаждогоизпоказанныхнарис.3.3квадратов.Использу-емприэтомсвойствопереходнойматрицы(3.17).Получим

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 12 2

0 0

, .

N N

j k

j kT T Tj j q j k k k

j k

Q N U N j

du duU u B u K u u B u U u U N k

u u

π π

= =

= - ´

é ùê ú´ -ê úê úë û

åå

ò ò

(3.21)Здесь в подынтегральном выражении выполнена замена пере-менных

Рис. 3.3. Разбиениеобластиинтегрирования


84

j

j

dud

uξ=

и k

k

dud

uη=

. (3.22)

В(3.21)двойнойинтегралвквадратныхскобкахзависиттолькоотразностииндексовjиk.ОбозначимегокакIj–k:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 0

, j kT Tj k j j q j k k k

j k

du duI U u B u K u u B u U u

u u

π π

- = ò ò

. (3.23)

Сучетомэтогообозначенияформула(3.21)принимаетвид

( ) ( ) ( )1 1

N NT

j kj k

Q N U N j I U N k-= =

= - -åå . (3.24)

Удобствоприменениявыражения(3.24)посравнениюсисходнойформулой(3.15)заключаетсявтом,чтовместорассмотренияобла-сти интегрирования, состоящей из N(N+1)/2квадратов, двойныеинтегралы(3.23)вычисляютсявNквадратах.темсамымобеспечи-ваетсяснижениеобъемавычисленийпримерновN/2раз.Нижебу-дут рассмотрены возможности дальнейшего снижения трудоемко-стиалгоритманаосновеупрощениявычисленияинтегралов(3.23).

3.3. вычисление двойного интеграла I0

Интеграл I0 вычисляется по квадратной области, где переменныеujиukотносятсякодномуитомужевитку.Нарис.3.3этаобластьинтегрированияобозначенакак(1,1).Интеграл(3.23)представля-етсяввидесуммы

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01

j jnT T

j j q j k k kj k j j j k

u uI U u B u K u u B u U u

u u

ψ

ψ

∆ ∆+

= = -

= -å å

.(3.25)

Здесьвовторойсуммеучитываютсятолькотеслагаемые,гдекор-реляционнаяфункцияKq(uj–uk)неравна0.Этодостигаетсяпутемвыбора соответствующего значения параметра j ψ. Как видно изданныхрис.2.9,пришагепоаргументуширотыΔu=1°этавеличи-навбольшинствеслучаевнепревышаетзначения40.

Ниже представлен пример вычисления интеграла I0 для круговойобиты с высотой 778км и наклонением 86,4° (как у КА «Ириди-ум-33»). Значение СКО определения коэффициентов разложения

85

3.3. Вычисление двойного интеграла I0

гравитационного потенциала по сферическим функциям приняторавным σn=10–9. Параметры алгоритма, используемые при вы-численииинтеграла,вэтомслучаеимеютзначения:σr=0,0559ми-лигал, j ψ=40.Втабл.3.1представленыполученныезначенияин-теграла I0; размерности компонентов вектора состояния: u — рад;a—км;i—рад;Ω—рад;l=ecosωиh=esinω—безразмерные.

Таблица 3.1. ЗначениякомпонентовматрицыI0,умноженныена1012.Расчетыпоформуле(3.25)

u a i Ω l h

u 0,409 –419,0 0,00000 –0,00010 –0,00158 –0,00005a –419,0 619022 0,00000 0,00000 –0,00000 –0,00000i 0,00000 0,00000 0,00151 0,00000 0,00000 0,00000

Ω –0,00010 0,00000 0,00000 0,00152 0,00000 0,00000l –0,00158 –0,00000 0,00000 0,00000 0,00907 –0,00000h –0,00005 –0,00000 0,00000 0,00000 –0,00000 0,00907

Диагональныечленыматрицыпредставляютсоответствующиедис-персии.НижеприведенызначенияСКО(σ):

σu=0,000000639рад(4,6м);σa=0,000786км(0,786м);σi=σΩ=0,000000039рад;σl=σh=0,000000095.

Расчеты показывают, что при использовании значения σn=10–8компоненты матрицы I0 увеличиваются в 100раз, а соответствую-щиеСКО—в10раз.

Рассмотримвозможностьупрощенияалгоритмавычисленияинте-гралаI0.Этаупрощениеоснованонатом,что(см.рис.2.9)уфунк-цииKq(uj–uk)интервалыкорреляции,гдезначенияфункцииявля-ютсясущественными,относительноневелики.Поэтомувозможноприменениедопущения,чтопривычисленииматричныхфункцийU(uk)иB(uk)вместоаргументаukможноиспользоватьзначениеuj.Сучетомэтогодопущенияформула(3.25)упрощается:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01

jnT T

j j q j jj k j j j

u uI U u B u K uk B u U u

u u

ψ

ψ

∆ ∆∆

= =-

é ùê ú» ê úê úë û

å å

. (3.26)


86

В соответствии с приведенными выше формулами (2.65) и (3.1)значениесуммывквадратныхскобкахравно

( ) 21 0 00 0,5 0 20 0 0.5

j

q rk j

K uk Iψ

ψψ

∆ σ=-

=å . (3.27)

ЗначениявеличиныIψприведенынарис.2.10.

Расчеты по упрощенной методике были выполнены при тех жеусловиях,чторассмотренывыше.Использовалосьзначениеинте-гралаIψ=5,34°.РезультатырасчетаматрицыI0поупрощеннойме-тодике представлены в табл.3.2. Сравнение результатов расчетовпообеимметодикампоказалоихблизость,различиянепревышают0,7%.

Таблица 3.2. ЗначениякомпонентовматрицыI0,умноженныена1012.Расчетыпоформуле(3.26)

0,396 –409,0 0,00000 –0,00010 –0,00016 –0,00000–409,0 619312 0,00000 0,00000 0,00000 0,000000,00000 0,00000 0,00151 –0,00000 0,00000 0,00000

–0,00010 0,00000 –0,00000 0,00152 0,00000 0,00000–0,00016 0,00000 0,00000 0,00000 0,00908 0,00000–0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00908

такимобразом,длявычисленияинтегралаI0нарядусприменени-ем точной формулы (3.25) можно без потери точности применятьупрощеннуюформулу(3.27).Этообеспечиваетсущественнуюэко-номиюзатратмашинноговремени.Нижеупрощенныйподходпри-менентакжеквычислениюинтеграловIj–kприj≠k.

3.4. вычисление координат в точках пересечения следов орбиты на разных витках

Алгоритмвычисленияприближенныхзначенийаргументаширотывточкахпересеченияследоворбитынаразныхвиткахбылизложенв разд.2.5. Определялись значения аргументов широты (u1,u2) вточкахпересеченияследоворбитынасоседнихвитках.Задачасве-ласькопределениюкорнейдвухуравнений

87

3.4. Вычисление координат в точках пересечения следов орбиты на разных витках

( ) ( )1 2 0L u L u ∆λ= - , (3.28)

( ) ( )1 2sin sinu u= . (3.29)Искомыезначениякорнейнаходятсявинтервале(0…360°).Опре-делениепервойпарыкорнейсводитсяквычислениямпоформулам(2.72)и(2.73).ПриэтомиспользуетсявеличинаΔλ—сдвигдолготывосходящегоузлавсвязаннойсЗемлейсистемекоординатза1ви-ток.Какупоминалосьвыше,эторешениеявляетсяприближенным,посколькунеучитываетразноевлияниевращенияЗемлизавремядвижения спутника от восходящего узла до точек со значениямиаргументаширотыu1иu2.Насоседнихвиткахэтизначенияблизки,поэтому результаты расчета являются приемлемыми по точности.Рассмотрим алгоритм расчета корней в общем случае— с учетомвлияниявращенияЗемлинаинтерваледвиженияспутникаотвос-ходящего узла при произвольных значениях сдвига Δλ. Основныеиспользуемыепеременныепредставленынарис.3.4.

Период спутника (в сутках) обозначим как P, долготу спутника всвязаннойсЗемлейсистемекоординат—какλ.Примем,чтовна-чальный момент времени (t0=0)) значение долготы КА в началепервоговитка(j=1)такжеравно0(λj (t0)=0).СвязьпеременныхLиuопределяетсяформуламисферическойтригонометриииимеетвид(2.67).ЗначениедолготыКАнапервомвитке(j=1)вточкеu1равно ( ) ( ) ( )1 1 1Eu L u t uλ ω= - . (3.30)

Рис. 3.4. РассматриваемыепеременныеL,u,i,φиΩвинерциальнойсистемекоординат


88

ЗдесьωE (рад/сут)—угловаяскоростьвращенияЗемливинерци-альнойсистемекоординат;t(u1)—времядвиженияКАотвосходя-щегоузладозаданнойточки.

ЗначениедолготыКАнаk-мвиткевточкеu2равно ( ) ( ) ( )2 2 2E k ju L u t uλ ω ∆λ -= - - . (3.31)Здесь ( ) ( )1k j E P k j k j∆λ ω ∆λ- = - = - (3.32)—сдвигдолготывосходящегоузла(ДВУ)наk-мвиткепоотноше-ниюкположениюДВУвначалеj-говитка.Очевидно,чтоприоди-наковыхзначенияхt(u1)иt(u2)условиеравенствазначений(3.30)и(3.31)имеетвид(3.28).

Равенство(3.29)выполняетсяприследующихсоотношенияхмеждузначениямиu1иu2:

2 1 1

2 1 1

a) , ,) 3 , .

u u uu u u

π π

π π

= - <= - >б

(3.33)

ПервоеизнихсоответствуетположениюточкипересечениявСе-верномполушарии,авторое—вЮжном.Вобоихслучаяхзначе-ния tg(u1) и tg(u2) связаны равенством tg(u2)=–tg(u2). Из этоговытекает следующее соотношение между значениями переменнойLвточкахпересеченияследов:

( ) ( )( ) ( )

2 1 1

2 1 1

) , ,) 3 , .

L u L u u

L u L u u

π π

π π

= - <

= - >

а

б (3.34)

Рассмотримсначаласлучай(а).Приравниваниезначенийдолготы(3.30)и(3.31)приводиткуравнению

( ) ( ) ( )1 1 10,5a E a E a k jL u t u t uπ ω ω π ∆λ -é ù= + - - -ê úë û. (3.35)

Этонелинейноеалгебраическоеуравнениеотносительноискомогокорняu1a.

В процессе дальнейшего анализа будем использовать допущение,что орбита является круговой. Для этого случая уравнение (3.35)принимаетвид

( ) 111 10,5

2 2a

a k ju

L u∆λ

π ∆λ ∆λπ

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷è ø= - - + . (3.36)

Дляслучая 1au π значениепеременной ( )1aL u находитсявинтер-вале(0,π).

8


Минимальноезначениеправойчасти(3.35)достигаетсяприu1a=0:

( ) 11 min

0,5 02a k jL u

∆λπ ∆λæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷è ø

= - - . (3.37)

ОтсюдаследуетограничениеназначениесдвигаΔλk–j ,прикоторомкореньu1aсуществует

12k j

∆λ∆λ π ∆λ*- - = . (3.38)

Всоответствиисвыражением(3.37)присдвиге,равном ∆λ* ,кор-ни уравнения принимают значения u1a=0, u2a=π. В этом случаедолготаL(u1a)оказываетсяравной0.Придальнейшемувеличениисдвигадолготаλ(u2)становитсяотрицательной.Поэтомуприсрав-нении значений λ(u1) и λ(u2) долготу (3.31) надо увеличить на 2π.Приравнивание значений долготы (3.30) и модифицированногозначения(3.31)приводиткуравнению

( ) 111 10,5 3

2 2a

a k ju

L u∆λ

π ∆λ ∆λπ

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷è ø= - - + . (3.39)

Для случая u1≤π значение переменной L(u1a) находится в интер-вале(0,π).Максимальнаявеличинаправойчастидостигаетсяприu1a=π:

( ) 11 max

0,5 32a k jL u

∆λπ ∆λ π

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷÷ç ÷çè ø= + - . (3.40)

ОтсюдаследуетограничениеназначениесдвигаΔλk–j ,прикоторомкореньu1a существует

12k j

∆λ∆λ π ∆λ**- + = . (3.41)

Полученныеограниченияназначениесдвигаозначают,чтоимеет-сяотносительнонебольшойдиапазонэтихзначений

1 12 2k j

∆λ ∆λπ ∆λ π-- + , (3.42)

прикоторыхточкипересеченияследовотсутствуют.Вобщемслу-чае это имеет место один раз в сутки и повторяется через каждыеΔN=целая_часть (1/P)витков.еслисдвигΔλk–j>2π,тонеобходи-монайтиегоновоезначение—(Δλk–j )new>Δλk–j–2πирасчетыпо-вторить.

Рассмотрение случая «б» аналогично. Условие существования вто-ройточкипересеченияследоворбитынаразныхвиткахоказывается


0

такимже,какусловия(3.38)и(3.41).такимобразом,числоточекпересеченияследоворбитынаразныхвиткахравноили2или0.

Ниже изложены примеры расчетов, которые иллюстрируют мето-дикуопределенияточекпересечения.Параметрыорбиты—теже,чтобылипримененывпредыдущемразделе.Нарис.3.5представ-леныследыорбитынаисходномвиткеиприсдвигена1виток(навеличину Δλ1=25,1°); на рис.3.6–3.8 — аналогичные данные присдвиге на 5, 7 и 8 витков. Для всех сдвигов, кроме одного, четковидныточкипересеченияследов.Присдвигена7витковпересече-нийнет.

Нарис.3.9представленызначенияправойилевойчастиуравнения(3.39)приразличныхсдвигахвитков(0,Δλ1,Δλ7,Δλ8, ∆λ* и ∆λ**).цветом выделена область, где корни отсутствуют. Красными точ-

Рис. 3.5. Следыорбитыприk–j=1




1


камиотмеченызначенияаргументов,прикоторыхсоответствующиеследыпересекаются.Видно,чтоприизменениисдвигаот0довели-чины ∆λ* значенияшироты(иаргументашироты)вточкепересече-нияменяютсяот90до0°.Призначенияхсдвигавинтервале(3.42)

Рис. 3.9. Определениекорнейприu1≤π

Рис. 3.10. Значенияаргументаширотыu1aприразличномсдвиге


2

точки пересечения отсутствуют. При дальнейшем увеличениисдвигаот ∆λ** до2πзначенияаргументаширотыu1aвточкепере-сеченияменяютсяот0до90°.

В заключение раздела представим результаты расчета аргументаширотыu1aводнойизточекпересеченияприразличныхнаклоне-ниях(рис.3.10).

Построены также гистограммы значений u1a при прогнозе движе-нияспутникана500витков.Длярассматриваемыхнаклоненийэтигистограммыпредставленынарис.3.11.

Изданныхрис.3.11видно,чтовсевеличинысконцентрированывокрестностисреднегозначения90°.Диапазонвозможныхзначенийаргумента широты в точках пересечения следов тем больше, чемменьшенаклонениеорбиты.

3.5. вычисление двойных интегралов Ik–j

Приj≠ kинтеграл(3.23)вычисляетсявквадратнойобласти,гдепе-ременныеujиukотносятсякразнымвиткам.Нарис.3.3этаобласть

Рис. 3.11. гистограммызначенийаргументаширотывточкахпересеченияследоввСеверномполушарии.

3

3.5. Вычисление двойных интегралов Ik—j

интегрированияобозначенакак(j,k).ееособенностьзаключаетсявтом,чтокорреляционнаяфункцияKq(uj,uk )существенноотлича-етсяот0тольковокрестноститочекпересеченияследоворбитынаразныхвитках.Этиточкихарактеризуютсязначениямиаргументовшироты u1a, u2a, u1b и u2b. Поэтому интеграл (3.23) представляет-сяввидесуммыдвухинтегралов,каждыйизкоторыхотноситсякокрестностиоднойизточекпересечения:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 2

,

, .

a j a k

a j a k

b j b k

b j b k

k ju u u u

j kT Tj j q j k k k

j ku u u u

u u u uj kT T

j j q j k k kj ku u u u

I

du duU u B u K u u B u U u

u u

du duU u B u K u u B u U u

u u

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

-+ +

- -

+ +

- -

=

= +

+

ò ò

ò ò

(3.43)

Величинаотклоненийаргументашироты(δujиδuk)отегозначенийв точках пересечения выбирается с учетом интервала корреляциифункции kr (ψ) (см. рис.2.9). В процессе вычислений интегралы(3.43)представляютсяввидесуммы

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,

, .

k j

T Tja ja q j k ka ka

j k ja ka

T Tjb jb q j k kb kb

j k jb kb

I

u uU u B u K B u U u

u u

u uU u B u K B u U u

u u

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

∆ ∆ψ

∆ ∆ψ

-

=- =-

=- =-

=

= +

+

å å

å å

(3.44)

Здесь 1ja au u u j∆= + ; 2ka au u uk∆= + ;

1jb bu u u j∆= + ; 2kb bu u uk∆= + .Косинусуглаψj,kмеждунаправленияминаточкиорбиты,характе-ризуемые значениями аргумента широты uj и uk, определяется пообщейформуле(3.2)наосновесоответствующихзначенийширотыидолготывэтихточках.

В разд.3.3 было показано, что возможно упрощение вычисленияинтеграловвида(3.43)наосновеиспользованияособенностейкор-реляционной функции Kq (ψk ), которая имеет относительно не-большие интервалы корреляции. Поэтому возможно применениедопущения,чтопривычисленииматричныхфункцийU(u)иB(u)в


4

качествеаргументовможноиспользоватьзначенияаргументаши-роты в точках пересечения следа орбиты. С учетом этого допуще-нияформула(3.43)упрощается

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1

2 2 1 1

2 2

,

, .

a j a k

a j a k

a j a k

a j a k

u u u uj k

k j a a q j kj ku u u u

T Ta a b b

u u u uj k T T

q j k b bj ku u u u

du duI U u B u K u u

u u

B u U u U u B u

du duK u u B u U u

u u

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

+ +

-- -

+ +

- -

æ ö÷ç ÷ç ÷ç= ´÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

´ + ´

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

ò ò

ò ò

(3.45)

В соответствии с формулой (3.1) значение двойных интегралов вкруглыхскобкахравно

( ) ( )21 0 0

, d d 0 0,5 0 , d d0 0 0,5j k j k

q j k j k r r j k j ku u u u

K u u u u k u u u uσ ψ

ì üï ïï ïï ïé ù= í ýê úë ûï ïï ïï ïî þò ò ò ò .

(3.46)Видфункцииkr [ψ(uj,uk )]приразличныхсдвигах(значенияхk–j)представлен на рис.3.12–3.15. Аргументами являются отклоненияаргументаширотыотточекпересеченияследа(вград).

Рис. 3.12. Функцияkr [ψ(uj,uk )]присдвигена1виток(k–j=1)

5


Рис. 3.13. Функцияkr [ψ(uj,uk )]присдвигена3витка(k–j=3)

Рис. 3.14. Функцияkr [ψ(uj,uk )]присдвигена6витков(k–j=6)


6

Рис. 3.15. Функцияkr [ψ(uj,uk )]присдвигена14витков(k–j=14)

Рис. 3.16. ЗначенияобъемаVk–jприразличныхвеличинахсдвига

7


Изданныхрисунковвидно,чтоформафункциизависитотвеличи-нысдвига.Физическийсмыслдвойногоинтегралавправойчастиформулы (3.46) — это объем подынтегральной функции. Обозна-чимэтотобъемкак

( ), d dj k

k j r j k j ku u

V k u u u uψ-é ù= ê úë ûò ò . (3.47)

На рис.3.16 представлены значения объема Vk–j при различныхзначенияхсдвига.

Изменение значений объема Vk–j объясняется изменением углапересечения двух следов. чем этот угол меньше, тем больше объ-емVk–j .

Подстановка (3.46) в (3.45) с учетом обозначения (3.47) позволяетполучить очень простую формулу для вычисления интеграла Ik–jприk≠ j:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1 2 2 2

2

1 1 2 2 2

1 0 00 0,5 00 0 0,5

1 0 00 0,5 0 .0 0 0,5

T T rk j a a a a k j

T T rb b b b k j

I U u B u B u U u Vu

U u B u B u U u Vu

σ

σ

- -

-

= +

+

(3.48)

Втабл.3.3–3.15,формакоторыхсовпадаетсформойтабл.3.1,пред-ставленырезультатывычисленияинтеграловIk–jпоформуле(3.44)при разных сдвигах: 1,2,…,14витков. Значения параметров — теже,чтоприменялисьвыше:высотаорбиты778км,наклонение76°.точность определения коэффициентов разложения гравитацион-ногопотенциалапринятаравнойσn=10–9.

Таблица 3.3. ЗначениякомпонентовматрицыI1,умноженныена1012

0,049 –67,7 0,00001 –0,00012 –0,00070 0,00067–70,1 104659 0,00000 0,00000 0,58674 0,02553

–0,00001 0,00000 0,00003 0,00003 0,00000 0,00000–0,00012 0,00000 –0,00003 0,00050 0,00000 0,00000–0,00007 0,58674 0,00000 0,00000 0,00108 0,000160,00070 –0,02553 0,00000 0,00000 –0,00016 0,00196


8


0,026 –31,3 0,00001 –0,00007 0,00008 0,00041–40,8 54712 0,00000 0,00000 –0,00000 –0,00000

–0,00001 0,00000 –0,00000 0,00003 0,00000 0,00000–0,00007 0,00000 –0,00003 0,00028 0,00000 0,00000–0,00008 –0,00000 0,00000 0,00000 0,00051 0,000180,00041 0,00000 0,00000 0,00000 –0,00018 0,00104


0,019 –22,3 0,00001 –0,00005 0,00009 0,00036–34,6 43223 0,00000 0,00000 –0,00000 0,00000

–0,00001 0,00000 –0,00001 0,00004 0,00000 0,00000–0,00005 0,00000 –0,00004 0,00021 0,00000 0,00000–0,00009 0,00000 0,00000 0,00000 0,00038 0,000230,00036 –0,00000 0,00000 0,00000 –0,00023 0,00079


0,018 –18,8 0,00001 –0,00005 0,00012 0,00043–37,1 42470 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

–0,00001 0,00000 –0,00002 0,00006 0,00000 0,00000–0,00005 0,00000 –0,00006 0,00020 0,00000 0,00000–0,00012 –0,00000 0,00000 0,00000 0,00031 0,000340,00043 –0,00000 0,00000 0,00000 –0,00034 0,00072


0,018 –17,6 0,00003 –0,00005 0,00013 0,00074–51,3 52295 0,00000 0,00000 0,00000 –0,00000

–0,00003 0,00000 –0,00005 0,00011 0,00000 0,00000–0,00005 0,00000 –0,00011 0,00021 0,00000 0,00000–0,00013 0,00000 0,00000 0,00000 0,00019 0,000610,00074 –0,00000 0,00000 0,00000 –0,00061 0,00069



0,020 –18,0 0,00005 –0,00004 –0,00071 0,00212–94,3 85268 0,00000 0,00000 0,00000 –0,00000

–0,00005 0,00000 –0,00025 0,00020 0,00000 0,00000–0,00004 0,00000 –0,00020 0,00017 0,00000 0,000000,00071 –0,00000 0,00000 0,00000 –0,00068 0,001160,00212 –0,00000 0,00000 0,00000 –0,00116 0,00015


0,030 –114,4 –0,00004 –0,00002 0,00237 0,00282–24,0 105105 0,00000 0,00000 –0,00002 0,00697

0,00004 0,00000 –0,00043 –0,00017 0,00000 0,00000–0,00002 0,00000 0,00017 0,00009 0,00000 0,00000–0,00237 –0,00002 0,00000 0,00000 –0,00153 –0,001010,00283 –0,00697 0,00000 0,00000 0,00101 –0,00051


0,018 –61,1 –0,00003 –0,00005 –0,00008 0,00100–17,2 59425 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

0,00003 0,00000 –0,00009 –0,00013 0,00000 0,00000–0,00005 0,00000 0,00013 0,00022 0,00000 0,000000,00008 0,00000 0,00000 0,00000 0,00006 –0,000780,00100 0,00000 0,00000 0,00000 0,00078 0,00064


0,018 –40,6 –0,00002 –0,00005 –0,00013 0,00049–18,4 44803 0,00000 0,00000 –0,00000 0,00000

0,00002 0,00000 –0,00003 –0,00007 0,00000 0,00000–0,00005 0,00000 0,00007 0,00020 0,00000 0,000000,00013 –0,00000 0,00000 0,00000 0,00029 –0,000410,00049 0,00000 0,00000 0,00000 0,00041 0,00072


100


0,019 –34,8 –0,00001 –0,00005 –0,00010 0,00037–20,9 42307 0,00000 0,00000 –0,00000 –0,00000

0,00001 0,00000 –0,00001 –0,00005 0,00000 0,00000–0,00005 0,00000 0,00005 0,00021 0,00000 0,000000,00010 0,00000 0,00000 0,00000 0,00035 –0,000260,00037 0,00000 0,00000 0,00000 0,00026 0,00076


0,023 –37,4 –0,00001 –0,00006 –0,00008 0,00038–27,2 49106 0,00000 0,00000 –0,00000 0,00000

0,00001 0,00000 –0,00000 –0,00003 0,00000 0,00000–0,00006 0,00000 0,00003 0,00025 0,00000 0,000000,00008 –0,00000 0,00000 0,00000 0,00045 –0,000200,00038 0,00000 0,00000 0,00000 0,00020 0,00093


0,037 –54,9 –0,00001 –0,00009 –0,00007 0,00055–47,7 77843 0,00000 0,00000 0,13474 –0,00604

0,00001 0,00000 0,00001 –0,00003 0,00000 0,00000–0,00009 0,00000 0,00003 0,00039 0,00000 0,00000–0,00011 0,13474 0,00000 0,00000 0,00077 –0,000170,00054 0,00604 0,00000 0,00000 0,00017 0,00148


0,193 –222,3 –0,00001 –0,00029 –0,00005 0,00122–217,1 333612 0,00000 0,00000 –0,10294 0,003090,00001 0,00000 0,00048 –0,00003 0,00000 0,00000

–0,00029 0,00000 0,00003 0,00121 0,00000 0,000000,00018 –0,10294 0,00000 0,00000 0,00421 –0,000160,00123 –0,00309 0,00000 0,00000 0,00016 0,00552

Размерности компонентов вектора состояния — см. пояснения ктабл.3.1.

101


Обратимвниманиенахарактерныеособенностиэтихматриц:

1. Посколькупосвоемусмыслуматрицывыражаютвзаимнуюкор-реляциюпогрешностейвекторасостояниянаразныхвитках,товозможныотрицательныезначениякомпонентовматриц(втомчисле и диагональных). Количество отрицательных компонен-тов увеличивается по мере удаления от исходного витка: присдвигахна5,6,8и9витков.

2. Значения компонентов матриц Ik–j в 10…20раз меньше соот-ветствующих значений компонентов матрицы I0. Это являетсяестественнымследствиемуменьшенияобъемаподынтегральнойфункции(3.47).

3. Присдвигена7витковпересечениеследовотсутствует.Поэто-му и матрицы I7 не существует. Напомним, что рассматривае-мыйспутникделает14,3оборотазасутки.Сдвигуна1витоксо-ответствует25,2°.

4. Вбольшинствеслучаевдиагональныекомпонентыматрицявля-ются превалирующими. Многие недиагональные компонентыравны0. Значения соответствующих диагональных компонен-товуменьшаютсяпомереудаленияотисходноговитка.Онидо-стигаютминимумаприсдвигахна5,6,8и9витков,азатемсно-ваувеличиваются.Этотэффектиллюстрируютданныерис.3.17.Формаграфиковнаэтомрисункепохожанаданныерис.3.16,накоторомпредставленывеличиныобъемаVk–jприразличныхзна-ченияхсдвига.Этоподтверждаетизложенноевышеположениеозависимостиматрицотобъемаподынтегральнойфункции(3.48).

В заключение раздела приведем в более полном виде (по сравне-ниюсрис.3.12)графикфункцииkr [ψ(uj,uk )]присдвигена1виток(k–j=1).Рассмотримполнуюобластьвозможныхзначенийаргу-менташироты:от0до360°.Этотграфикпредставленнарис.3.18,гдечетковидныдвеобластипересеченияследоворбиты:вСевер-ном и Южном полушариях. Кроме того, видна особенность рас-сматриваемойфункции,котораяпроявляетсятолькоприсдвигена1виток:имеетсяотносительнонебольшаятретьяобласть,гдезна-ченияфункцииkr [ψ(uj,uk )]являютсясущественными,—этостыкдвухсоседнихвитков(исходногоиследующего).естественно,чтовэтойобластиимеетсякорреляциягравитационныхвозмущенийвсоседнихточках.


102

Рис. 3.17. ЗависимостьдиагональныхкомпонентовматрицIk–j(умножен-ныхна1012)отвеличинысдвига(вградусах)

Рис. 3.18. Функцияkr [ψ(uj,uk )]присдвигена1виток

103

3.6. Вычисление матричной функции взаимной корреляции Kxq(t, τ)…

3.6. вычисление матричной функции взаимной корреляции Kxq(t, τ) при прогнозировании движения

Всоответствиисформулой(1.11)взаимнаякорреляцияпогрешно-стейвекторасостоянияишумавозникаетприпрогнозедвиженияиможетбытьопределенанаосновевторогослагаемогоупомянутойформулы

( ) ( ) ( ) ( )0 0

, , , dt

xq qt

K t U t B Kτ ξ ξ ξ τ ξ=

= ò . (3.49)

Для преобразованияформулы (3.49) к более удобному для вычис-лений виду применим тот же прием, что использовался при вы-водеформул (3.25)и (3.44).Наосновесвойства (3.17)переходнойматрицыизаменыаргументовформула(3.49)можетбытьзаписанаследующимобразом:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 0

, ,N

jxq j j q j

j j

duK N u U N j U u B u K u u

u

π

τ τ=

= -å ò

. (3.50)

Здесь N=t/T — интервал прогноза в витках; ( )0, 2ju πÌ — зна-чение аргумента широты в произвольной точке на j-м витке;

( )0,2uτ πÌ —заданноезначениеаргументаширотывпроизвольнойточкенаодномизпроизвольныхвитков.КорреляционнаяфункциягравитационныхвозмущенийKq(uj,uτ)детальнорассмотренавыше(см.формулы(3.1)и(3.46)).

Обозначиминтегралвправойчастивыражения(3.50)как

( ) ( ) ( ) ( )2

0

, jj j q j

j

duJ u U u B u K u u

u

π

τ τ=ò

. (3.51)

Прииспользованииформулы(3.50)возможныдваслучая:а)значе-ниеuτотноситсякодномуизбудущихвитков(внеинтервалапро-гноза)иб)значениеuτотноситсякодномуизвитковнаинтервалепрогноза(0,t).

Рассмотрим первый случай, когда значение uτ относится к jτ-мувиткувнеинтервалапрогноза.Приэтомаргументыширотыujиuτвсегда относятся к разным виткам. Как отмечалось выше, в этихусловияхзначениякорреляционнойфункцииkr [ψ(uj,uτ)]являют-сясущественнымитольковточкахпересеченияследоворбитынаj-м и jτ-м витках. Поэтому значение интеграла (3.51) оказывается


104

зависимым от номера j-го витка. Обозначим его как J(j,uτ). При-менимдлязначенийаргументовширотывточкахпересечениясле-довтежеобозначения,которыеиспользовалисьвразд.3.5:u1aиu1bдляj-говиткаиu2aиu2bдляjτ-говитка.еслизначениеuτнаходитсяв окрестности одной из точек пересечения следов, то корреляциясуществует и интеграл (3.51) отличен от0, в противном случае онравен0.Этазакономерностьсхематичнопредставленанарис.3.19.

С учетом изложенного запишем выражение для интеграла (3.51)болеедетально:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

2 ,20

2 ,

,

1 0 00 0,5 0 , , ,0 0 0,5

0, .

jj j r j a b

jr

a b

J j u

duU u B u k u u u u

u

u u

τ

π

τ τ

τ

ψ δσ

δ

=

ìïïï é ùï Ì ±ï ê úïï ë û= íïïïïï Ë ±ïïî

ò

(3.52)Формула(3.50)приобретаетвид

( ) ( ) ( )1

, ,N

xqj

K N u U N j J j uτ τ=

= -å . (3.53)

Здесь интеграл (3.52) вычисляется при сдвиге на (jτ–j) витков.Возможноупрощениеформулы(3.52),аналогичноепримененномувышепривыводеприближеннойформулы(3.45):

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

1 121

1

1 121

1

1 0 0, 0 0,5 0 ,

0 0 0,51 0 00 0,5 0 , ,0 0 0,5

a ar a j

a

b br b j

b

U u B uJ j u F u u

u

U u B uF u u

u

τ τ

τ

σ

σ

é ùê ú» +ê úê úë û

é ùê ú+ ê úê úë û

(3.54)

Рис. 3.19. Зависимостьинтеграла(3.51)отинтервалапрогноза

105


гдепримененообозначение

( ) ( )1

1

1 , , da

a

u

a r j jju

F u u k u u u∆

τ τ

∆

ψ

+

-

é ù= ê úë ûò . (3.55)

ВыражениедляфункцииF (u1b,uτ)jаналогично.Подстановка(3.54)в (3.53) приводит к достаточно простому выражению для расчетаматричной функции взаимной корреляции Kxq (t,τ) погрешностейвекторасостояниянамоментпрогнозаибудущихзначенийшума.

Иллюстрацией к расчету функции (3.55) является рис.3.20. Жир-ной красной линией показано сечение функции kr [ψ(uj,uτ)] призаданномuτ,длякотороговычисляетсяплощадьподынтегральнойфункции.

На рис.3.21 представлен конкретный пример расчета интеграловF (u1a,uτ)jиF (u1b,uτ)j .Исходныеданные—теже,чтоприменялисьвыше.Сдвиг(jτ–j)=6витков.леваякриваяотноситсякинтегралуF (u1a,uτ),аправая—кинтегралуF (u1b,uτ).

Рис. 3.20. Сечениефункцииkr [ψ(uj,uτ)]призаданномuτ


106

Привычисленияхфункциивзаимнойкорреляции(3.53)интегралыF (u1a,uτ)j и F (u1b,uτ)j рассчитываются при разных сдвигах, соот-ветствующихномерамвитковj=1,…,N.Поэтомуинтегралыотли-чаютсямоментамивремени,вкоторыхонидостигаютмаксимума.Вычисление функции взаимной корреляции в соответствии с вы-ражением(3.53)приводитксуммарнойоценкевкладаразныхвит-ков на интервале прогноза. Иллюстрацией оценки этого суммар-ного вклада является сумма интегралов F (u1a,uτ)j и F (u1b,uτ)j приразныхзначенияхj=1,…,N:

( ) ( ) ( )1 11

, ,N

a bj jj

Sum u F u u F u uτ τ τ=

é ù= +ê úë ûå . (3.56)

Нарис.3.22представленыфункции(3.56)приN=14витковипридвух значениях номеров витков, для которых вычисляется корре-ляция: jτ=N+1и jτ=N+14.Изданныхрисункавидно,чтовре-зультате суммирования максимумы корреляции достигаются призначенияхаргументаширотыuτ=90°иuτ=270°.естественно,чтовеличина максимума тем больше, чем больше интервал прогноза.Эти максимумы практически не зависят от номера витка, к кото-ромуотносятсязначенияuτ.Этотрезультатсогласуетсясданнымирис.3.11,накоторомпредставленагистограммазначенийаргумен-таширотывточкахпересеченияследоворбитынаразныхвитках.

Рис. 3.21. Примеррасчетаинтегралов

107


На рис.3.23 и 3.24 представлены компоненты функции (3.53) приN=14витков и при двух значениях номеров витков, для которыхвычисляется корреляция: jτ=N+1 и jτ=N+14. Значение СКОопределениякоэффициентовразложениягравитационногопотен-циалапосферическимфункциямприняторавнымσn=10–9.Вка-честве компонентов выбраны отдельные составляющие матрицыKxq (N,uτ) сномерами(1,1), (2,2), (3,3), (4,3), (5,1)и (6,2).Всоот-ветствии с принятой формой представления элементов орбиты ивозмущающих сил эти компоненты на рисунках обозначены как(aT),(uS),(iW),(ΩW),(lS)и(hT).Размерностикомпонентовсоот-ветствуютпринятымвтабл.3.1,умноженнымна[км/с2].

Как и следовало ожидать, экстремумы функций расположены вокрестности значения аргументов широты uτ=90° и uτ=270°.Основноеотличиеэтихданныхотформыкривыхнарис.3.22втом,чтокомпоненты(iW),(ΩW),(lS)и(hT)функцииKxq(N,uτ)меняютзнак в Северном и Южном полушариях. Кроме того, компонент(iW)существенноотличаетсяповеличинеотдругихкомпонентов.

В табл.3.16 в качестве примера представлены все компонентыфункциивзаимнойкорреляциипрификсированномзначенииар-гумента широты uτ=80° на витке jτ=N+1. В этой точке компо-нентыфункцииKxq (N,uτ)достигаютэкстремальныхзначений.

Рис. 3.22. Результатывычислениясуммы(3.56)


108

Рис. 3.23. КомпонентыфункцииKxq (N,uτ)приjτ=N+1,умноженныена1016

Рис. 3.24. КомпонентыфункцииKxq (N,uτ)приjτ=N+14,умноженныена1016

10


Таблица 3.16. МатрицаKxq (N,uτ)приuτ=80°навитке jτ=N+1

S T W

u –7,0048 –427,1759 –0,7496a 0,0000 48997,8062 0,0000i 0,0000 0,0000 –0,0788

Ω 0,0000 0,0000 3,0984l 3,0064 –0,1577 0,0000h 0,0788 6,0128 0,0000

Всезначенияумноженына1016.Полужирнымшрифтомвыделеныкомпоненты,которыевыводилисьнаграфики,представленныенарис.3.23и3.24.

Прирассмотрениивторойситуациипринимается,чтозначениеuτотноситсякjτ-мувиткунаинтервалепрогноза.Особенностьинте-грала(3.51)дляданнойситуациизаключаетсявтом,чтоприлюбомuτвсегдаимеетсяточкаорбитысаргументомширотыuj=uτ,вко-торойуголψ=0икоэффициенткорреляцииkr [ψ(uj,uτ)]достигаетмаксимальногозначения(1).Поэтомуприлюбомuτинтеграл(3.51)не равен нулю. В этом заключается основное отличие рассматри-ваемойситуацииотпредыдущей.Вокрестноститочкиuj=uτрас-чет функции взаимной корреляции Kxq (t,τ) упрощается, так какkr [ψ(uj,uτ)]=kr (uj–uτ). Алгоритм сводится к вычислению инте-грала(3.51)поквадратурнымформуламиприменениюаналитиче-скойзависимости(3.53).

Важноотметить,чтоипризначенияхuτвнутриинтервалапрогнозасуществует корреляция kr [ψ(uj,uτ)] на соседних витках, обуслов-леннаяналичиемточекпересеченияследов.Методикаучетаэтогофактораподробноизложенавыше.

Важным прикладным результатом данного раздела является обо-снованиетого,чтоприпрогнозированиидвиженияКОвозникаеткорреляция погрешностей вектора состояния на момент прогнозаибудущихзначенийгравитационногошума.такойкорреляциинетприучетевмоделибелогошума.

Вразд.1.3вобщемвидебылопоказано,чтоучетматричныхфунк-ций взаимной корреляции Kxq(t0,t)=Kxq(t,t0)T обеспечивает припрогнозировании корреляционной матрицы погрешностей векто-


110

расостояниякорректноевыполнениепрогнозовсиспользованиемпромежуточнойточки.Пренебрежениеэтойкорреляциейприводиткнедостаточнообъективнойоценкепогрешностей.

3.7. Прогнозирование корреляционной матрицы погрешностей вектора состояния

Вданномразделерассматриваетсяконкретныйпримеррасчетаста-тистических характеристик погрешностей на основе примененияформулы(1.9).Оценивается«чистое»влияниецветногогравитаци-онногошума—безучетапогрешностейначальныхусловий.Расче-тывыполнялисьдвумяспособами:

1) сучетомтолькоинтеграловI0,т.е.приинтегрированииподиа-гональнойобласти(см.рис.3.3).

2) сучетоминтеграловI0иIk–j(k–j>0),т.е.приинтегрированииповсейобластивозможныхзначенийаргументов.

ПривыполнениирасчетовсиспользованиемтолькоинтеграловI0формула(3.24)упрощается:

( ) ( ) ( )001

NT

jQ N U N j I U N j

=

= - -å . (3.57)

Прирасчетахсиспользованиемвторогоспособаприменяласьпол-ная формула (3.24). тем самым учитывалось влияние корреляциигравитационных возмущений, которая возникает в точках пересе-ченияследоворбитынаразныхвитках.Исходныеданные—теже,что применялись в предыдущих разделах. точность определениякоэффициентов разложения гравитационного потенциала приня-та равной σn=10–9. Прогнозирование выполнялось на 30витков.По результатам расчета компонентов корреляционной матрицыKxопределялисьСКОпогрешностейпрогнозированиякаждогоизкомпонентоввекторасостояния:

( ) ( ),j xEl K j jσ = , j=1,…,6. (3.58)

На рис.3.25–3.27 представлены зависимости СКО погрешностейвсех шести элементов орбиты от интервала прогнозирования. Ре-зультаты применения первого способа помечены цифрой «0», авторогоспособа—буквой«s».

111

3.7. прогнозирование корреляционной матрицы погрешностей вектора состояния

500 30

24

18

12

6

0

400

300

200

100

00 5 10 15

Интервал прогноза, витки20 25 30

σu0(L)σus(L)σa0, m(R)σus, m(R)

σ u, рад

, ×10

6

σ a, м

Период = 1,/14,3 сутНаклонение 76°σn = 1,0 E-9

Рис. 3.25. СКОпогрешностейпрогнозирования(σ)аргументашироты(u)ибольшойполуоси(a)

Рис. 3.26. СКОпогрешностейпрогнозирования(σ)наклонения(i)идолготывосходящегоузла(om)


112

Зависимость СКО погрешностей прогнозирования полуоси прииспользованиитолькоинтегралаI0(криваяσa0)близкаклинейной.

Строгоговоря,этоСКОпропорционально N ,гдеN—интервалпрогнозирования. Однако при достаточно коротких интервалахпрогнозированияэтанелинейностьпроявляетсяслабо.Придопол-нительном учете интегралов Ik–j (k–j>0), т.е. при интегрирова-нииповсейобластивозможныхзначенийаргументов,зависимостьСКОпогрешностейполуоси(криваяσas )приобретаетпараболиче-скийхарактер.Эффектучетарассматриваемогофакторарастетпомереувеличенияинтервалапрогнозированияичерез30витковдо-стигает70%.СуммарноезначениеСКОпогрешностиполуосиприпрогнозе на 30витков составило 30м. Следует заметить, что приуточнении начальных условий (НУ) по измерениям эта погреш-ностьможетотчастикомпенсироваться.

Зависимость СКО погрешностей прогнозирования аргумента ши-роты при использовании только интеграла I0 (кривая σu0) имеетпараболический характер. При дополнительном учете интеграловIk–j(k–j>0),т.е.приинтегрированииповсейобластивозможныхзначенийаргументов,нелинейностьзависимости(криваяσus )уси-ливается.Эффектучетарассматриваемогофакторарастетпомереувеличения интервала прогнозирования и через 30витков также

Рис. 3.27. СКОпогрешностейпрогнозированияэлементовl=ecos(ω)иh=esin(ω)

113

3.7. прогнозирование корреляционной матрицы погрешностей вектора состояния

достигает70%.СуммарноезначениеСКОпогрешностиаргументаширотыприпрогнозена30витковдостигает0,000480рад,чемусо-ответствуетСКОпогрешностейпоположению3,4км.Припрогно-зена1сутсоответствующеезначениеСКОсоставляет~0,7км.

ПрииспользованиитолькоинтегралаI0зависимостиСКОпогреш-ностей прогнозирования обоих элементов орбиты (кривые σI0 иσom0)близкиклинейнойипрактическисовпадают.Придополни-тельном учете интегралов Ik–j (k–j>0), т.е. при интегрированиипо всей области возможных значений аргументов, СКО погреш-ностейпрогнозированиядолготывосходящегоузлаувеличиваютсяв 2раза, а у наклонения — уменьшаются на 30%. В конце интер-валапрогнозаСКОдостигаютзначений0,0000018и0,0000006рад.Этим оценкам соответствуют СКО погрешностей по положению12,9и4,3м.ЭффектуменьшенияСКОпогрешностейпрогнозиро-ваниянаклоненияприучетеинтеграловIk–j(k–j>0)оказалсяне-ожиданным.Онявляетсяследствиемтого,чтокомпонентыIk–j(3,3)имеют отрицательные значения (см. табл.3.3–3.15). В результатедополнительногоанализаэтомуэффектунайденоследующееобъ-яснение.Каквидноизформулы(3.12),компонентb33(u)матрицыB(t)зависитоткосинусааргументашироты.Всоответствиисфор-мулой(3.49)привычисленииинтегралаIk–jиспользуютсяпроизве-денияb33(u1a )b33(u2a )иb33(u1b )b33(u2b ).Вточкепересеченияследовэтипроизведениявсегдаотрицательны,таккакзначенияu1aиu2a,а также u1b и u2b расположены по разные стороны точек орбиты саргументамишироты90и270°.

ПрииспользованиитолькоинтегралаI0зависимостиСКОпогреш-ностейпрогнозированияобоихэлементоворбиты(кривыеσl0иσh0)близки к линейной и практически совпадают. При дополнитель-ном учете интегралов Ik–j (k–j>0), т.е. при интегрировании повсейобластивозможныхзначенийаргументов,СКОпогрешностейпрогнозирования этих элементов орбиты увеличиваются на 30 и70%соответственно.ВконцеинтервалапрогнозаСКОдостигаютзначений0,0000028и0,0000036.ЭтимоценкамсоответствуютСКОпогрешностейпоположению~20и26м.

Изложенные в данном разделе материалы достаточно хорошо со-гласуютсясизвестнымизакономерностямиизмененияпогрешно-стейпрогнозированияэлементоворбитспутников.Этиматериалыиллюстрируютсущественноевлияниекорреляциигравитационныхвозмущенийвточкахпересеченияследоворбитынаразныхвитках.


114

Вклад этого эффекта увеличивается по мере роста интервала про-гнозирования и при прогнозе более чем на 2…3сут он являетсяпревалирующим.

3.8. выводы

1. Составвекторасостояниявыбрансучетомзависимостикорре-ляционнойфункциишумаотзначенийаргументашироты.Этавеличина используется в качестве «быстрого» компонента век-торасостояния.Вкачествеостальныхпятикомпонентовприме-неныклассическиеКеплеровыэлементыорбиты.

2. ПредставленыформулыдляпереходнойматрицыU(u,u0)(6×6)иматричнойфункцииB(u)(6×3),котораяиспользуетсявдиф-ференциальных уравнениях для прогнозирования вектора со-стояния.Изкомпонентовэтихфункцийтолькоодин(u11(u,u0))содержит вековую составляющую. Остальные являются перио-дическимифункциямиаргументашироты.

3. Выполнено преобразование формулы (3.15) для вычислениядвойного интеграла к более удобному для вычислений виду.Припрогнозированиикорреляционнойматрицынацелоечис-ловитковиспользуетсяпериодичностьбольшинствакомпонен-тов матричных функций U(t,ξ) и B(ξ) и допущение о постоян-стве элементов орбиты на интервале прогнозирования. такойпрогнозучитываетосновную(вековую)составляющуювэволю-циипогрешностейпрогнозирования.ПрипрогнозенаNвитковобласть аргументов в двойном интеграле (3.15) разбивается наквадраты, соответствующие разным номерам витков. Положе-ние каждого из этих квадратов характеризуется двумя индек-сами (j,k), значения которых изменяются от1 доN. Двойнойинтеграл (3.15) представлен в виде суммы двойных интеграловдлякаждогоизэтихквадратов.Показано,чтовычисляемыедляодноговиткадвойныеинтегралы(ониобозначеныкакIj–k) за-висяттолькоотразностииндексов jиk.Удобствотакогопред-ставлениязаключаетсявтом,чтовместорассмотренияобластиинтегрирования, состоящей из N(N+1)/2 квадратов, двойныеинтегралыIj–kвычисляютсявNквадратах.

4. РассмотреналгоритмвычислениядвойногоинтегралаI0,укото-рогоаргументыотносятсякодномуитомужевитку.Приведенчисловойпример.

3.8. Выводы

5. Проанализирован алгоритм вычисления двойного интегра-ла Ij–k , у которого аргументы относятся к разным виткам. Приего вычислении используются значения аргументов широты вточкахпересеченияследоворбитынаразныхвитках.Приведенчисловойпример.

6. Рассмотрен алгоритм вычисления матричной функции взаим-нойкорреляциипогрешностейвекторасостоянияишума,кото-раявозникаетприпрогнозедвижения.Приведенчисловойпри-мер.Ранееотмечалось,чтоучетматричныхфункцийвзаимнойкорреляции обеспечивает при прогнозировании корреляцион-нойматрицыпогрешностейвекторасостояниякорректноевы-полнениепрогнозовсиспользованиемпромежуточнойточки.

7. Детально изложен пример расчета корреляционной матрицыпогрешностей при прогнозе движения. Оценивается «чистое»влияние цветного гравитационного шума — без учета погреш-ностейначальныхусловий.Расчетывыполнялисьдвумяспосо-бами:1) с учетом только интегралов I0, т.е. при интегрировании по

диагональнойобластиизмененияаргументов;2) сучетоминтеграловI0иIj–k(k–j>0),т.е.приинтегрирова-

нииповсейобластивозможныхзначенийаргументов.

Эти материалы иллюстрируют существенное влияние корреляциигравитационных возмущений в точках пересечения следов ор-битынаразныхвитках.Вкладэтогоэффектаувеличиваетсяпомере роста интервала прогнозирования и при прогнозе болеечемна2…3сутонявляетсяпревалирующим.

8. В прил.В приведен текст компьютерной программы для про-гнозированиякорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостоянияспутникасучетомвлиянияслучайныхгравитацион-ныхвозмущений.

116

4. Настройка Параметров алгоритма

4.1. Проблема выбора значения параметра σn

Впоследниегодыбылавыполненазначительнаяработапоопреде-лениювариацийплотностиатмосферыиихучетуприпрогнозиро-вании (Nazarenko, 1998, 2007; Nazarenko etal., 2007a,b; Nazarenko,Alfriend,2009;Yurasovetal.,2004,2005a–c,2005,2006).Былиполу-чены существенные результаты в развитии моделей движения и визучении случайных погрешностей прогнозирования движенияКО,вызванныхфлуктуациямиатмосферноготорможения.Этире-зультатыпозволяютсделатьследующийшагвсовершенствованииметодовопределенияипрогнозированиядвиженияКО—наосно-веболееполногоучетастатистическиххарактеристикразногородавозмущений.

При прогнозировании движения спутников применяются разныемодели гравитационного поля, имеющие различную точность, ха-рактеризуемуюпараметромσn.ДанныйпараметрявляетсяосновойрасчетаСКОпогрешностейрадиальнойсоставляющейгравитаци-онных возмущений(σn), которое используется при прогнозирова-нии корреляционной матрицы погрешностей вектора состояния.Поэтому настройка параметров алгоритма заключается в выборенеобходимогозначенияпараметраσnиучетеприэтомстепениис-пользуемыхгармоникгеопотенциала.

Вразд.2былирассмотренырезультатывычисленияСКОпогреш-ностей радиальной компоненты гравитационных ускорений (σr ).Особенностьюэтихрезультатовявляетсяучетразличныхзначенийдисперсии погрешностей коэффициентов разложения потенциалаn-гопорядка( 2 constnσ = ),которыепринимаютсянезависимымиотстепени n. Эти оценки были использованы для выбора оптималь-ного порядка учитываемых гармоник n*. Вычисления выполня-лись по формуле 0,003 nn σ* = . Статистические характеристикисуммы 2 2


+ определялись в зависимости от величины n и

117

4.1. проблема выбора значения параметра σn

значения n*.Дляучетавлияниянеучитываемыхгармоник(n n*> )

использоваласьаппроксимация 2 2 5 21,2 10nk nkc d næ ö÷ç -÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

+ » × .Присум-

мированиипостепениnучитывалась1000членовразложения.

РезультатывычисленияСКОрадиальнойсоставляющейвозмуще-ний для спутников с различными высотами орбиты, а также приразличныхзначенияхпараметраσnпредставленынарис.2.7.Крометого,нарисункеприведенысоответствующиеоценкиоптимально-го порядка учитываемых гармоник n*. Из этих данных видно, чторассмотренныефакторы,аименно,СКО(σn)погрешностейопре-делениякоэффициентов nkc и nkd ,атакжевысотаорбитыоказы-вают очень сильное влияние на СКО радиальной составляющейпогрешностей. В рассмотренных условиях эта характеристика ме-няетсянапятьпорядков(дисперсияменяетсяна10порядков!).

Вразд.2отмечалосьтакже,чтоданныеоточностикоэффициентовразложениягравитационногопотенциалавряд,публикуемыеавто-рами моделей, не являются достаточно достоверными. Из данныхрис.2.4 видно, что в современных моделях гравитационного поляЗемли СКО погрешностей определения коэффициентов (σn ) неменьше значения ≈10–9. Для этого значения СКО оптимальномучислуучитываемыхгармониксоответствуетстепень 95n* = .Одна-конапрактикевалгоритмахпрогнозированиядвиженияспутниковучитывается меньшее число гармоник. В соответствии с даннымирис.2.7оптимальномучислуучитываемыхгармоник 30n* = соот-ветствуетзначениеσn=10–8.

Вразд.2былитакжеприведеныоценкисуммы ( ) ( )2 3

21

n n

nR r n

*

Å=

+å ,

котораяхарактеризуетвкладучитываемыхгармоникврезультиру-ющеезначениедисперсиирадиальнойсоставляющейвозмущений

2rσ .Соответствующиерезультатырасчетапредставленынарис.2.6.

Изэтихданныхвидно,чтоприростестепениучитываемыхгармо-никnзначениесуммымедленностремитсякнекоторомупредель-номузначению,величинакотороготембольше,чемменьшевысо-таорбитыспутника.

Нарис.4.1представленызависимостиСКОрадиальнойсоставляю-щей(σr )отстепениучитываемыхгармониквразличныхусловиях.

4. НАСтРОЙКА пАРАМЕтРОВ АлгОРИтМА

118

Изданныхрис.4.1бвидно,чтооптимальнаястепеньучитываемыхгармоник 30n* = , соответствующая значению σn=10–8, на самомделе обеспечивает четко выраженный минимум СКО радиальнойсоставляющейσrдляспутниковсвысотойорбитыдо~300км.ДляболеевысокоорбитальныхспутниковзависимостьСКОрадиальной

Рис. 4.1. ЗависимостиСКОрадиальнойсоставляющей(σr )отстепениучитываемыхгармоник:а—σn=10–9;б—σn=10–8

11

4.2. предварительный выбор значения параметра σn по данным о столкновении спутников…

составляющей от степени учитываемых гармоник характерна тем,что сначала значения σr быстро уменьшаются, а затем стабилизи-руются. При этом стабилизация наступает при значениях степени

max 30n n*< = .Например,дляспутниковсвысотойорбиты1500кмстабилизациянаступаетпризначенияхстепениn≈15…20.

Аналогичные закономерности справедливы и для варианта расче-товпри 910nσ -= (см.рис.4.1а).Отличиезаключаетсятольковтом,чтовэтомслучаеоптимальнаястепеньучитываемыхгармониксу-щественно больше ( 95n* = ) и обеспечивает минимум значения σrдля спутников с высотой орбиты до ~300км. Для более высокор-битальныхспутниковзависимостьСКОрадиальнойсоставляющейот степени учитываемых гармоник убывает медленнее, чем призначенииσn=10–8(см.рис.4.1б).Дляспутниковсвысотойорбиты1500кмстабилизациянаступаетпризначенияхстепениn≈25…30.

Наосновеопытаприменениятойилииноймоделидвиженияспут-никовпользовательустанавливаетмаксимальноечислочленовраз-ложениягравитационногопотенциала(nmax),которыеучитываютсяв правых частях уравнений движения в алгоритме прогнозирова-ния.Этотопыт,атакжеданныерисунков2.6и4.1рекомендуетсяиспользоватьдлявыборасоответствующегозначенияпараметраσn.

4.2. Предварительный выбор значения параметра σn по данным о столкновении спутников «иридиум-33» и «космос-2251»

Данные о столкновении этих спутников 10февраля 2009г. в 16ч56минпредоставляютуникальнуювозможностьдляточнойоцен-кипогрешностейпрогнозирования.Расчетынаосновеиспользова-нияпредшествующихтакназываемыхдвухрядныхэлементоворбит(TLE, http:\\www.space-track.org) производились тремя способами(Nazarenko,2009):

1) непосредственныйпрогнозTLEнаосновепримененияАмери-канской аналитической модели движения SGP4 (Hoots, Roeh-rich,1980);

2) уточнение начальных условий (НУ) с помощью метода наи-меньших квадратов (МНК) при использовании шести наборовTLE(nz=6)иприменениичисленноймоделидвижения;


120

3) уточнение НУ с помощью метода оптимальной фильтрацииизмерений (ОФИ) при использовании двадцати наборов TLE(nz=20)иприменениичисленноймоделидвижения.

ПоследниепередстолкновениемначальныеусловиявформеTLEза 9февраля соответствовали моментам времени: 18ч («Ириди-ум-33»)и12ч(«Космос-2251»).Нарис.4.2представленырасчетныезначения расстояния между спутниками в окрестности моментастолкновения.Изполученныхрезультатоввидно,чтоприменениеметодики ОФИ привело к уменьшению погрешностей прогноза в2,7разапосравнениюсприменениемдругихспособоврасчета.

В процессе анализа орбитальных данных в момент столкновения,соответствующихвариантурасчетаTLE+SGP4,былоустановлено,чтовточкестолкновениясуммарнаяпогрешностьпрогнозаповре-менисоставила0,06с.

На рис.4.3 представлены апостериорные оценки СКО погрешно-стейпрогнозированияобоихрассматриваемыхКАсиспользовани-емспособа1.ОниполученыпорезультатампрогнозанаинтервалевременидостолкновенияКА.Видно,чтоприпрогнозена1-есут-киСКОпогрешностейповременисоставили0,06и0,02сдляКА«Иридиум-33» и «Космос-2251» соответственно. Эти оценки до-

Рис. 4.2. Изменениерасстояниямеждуспутниками

121

4.2. предварительный выбор значения параметра σn по данным о столкновении спутников…

статочно хорошо согласуются с приведенной выше соответствую-щейоценкойпогрешностирасчетатраекторныхданныхнамоментстолкновения(вариантрасчетаTLE+SGP4).

Результатыанализаточностипрогнозированияподаннымостол-кновенииспутников«Иридиум-33»и«Космос-2251»былиизложе-ны также в докладе (Khutorovskiy etal., 2009). Основные выдержкиприведены ниже. Все оценки получены по данным Российскойсистемыконтролякосмическогопространства.Последнееуточне-ниеначальныхусловийдляпрогнозавыполнено10февраляв16ч46мин56сUTC,т.е.за10миндостолкновения.Зависимостьпо-грешностей прогноза столкновения от интервала прогноза пред-ставленанарис.4.4.

Оценкипогрешностей:• за 2сут до столкновения прогнозные значения минималь-

ного расстояния между спутниками находились в диапазоне50…100м;

• за 17ч до столкновения прогнозные значения минимальногорасстояниямеждуспутникаминепревышали20м.

Данныерассматриваемогодокладахарактернытем,что,посравне-ниюсданнымирис.4.2и4.3,ониполученыпосущественноболь-шемучислуизмеренийиявляютсяболееточными.Приполучении

Рис. 4.3. АпостериорныеоценкиСКОвременны`хпогрешностейпрогноза


122

этих результатов использовалась, по-видимому, более точная мо-дельдвижения,характеристикикоторойвдокладенеприводятся.

На рис.4.5 приведены результаты расчета априорных статисти-ческих характеристик погрешностей прогнозирования спутников

Рис. 4.4. Историяпрогнозированиястолкновения

Рис. 4.5. АприорныеоценкипогрешностейпрогнозированияпараметроворбитыσtиσΩ

123

4.3. Оценка точности определения и прогнозирования орбит спутников типа GPS

«Иридиум-33» и «Космос-2251», полученные на основе примене-нияизложеннойвышеметодикиучетаслучайныхгравитационныхвозмущений. СКО погрешностей определения коэффициентовгравитационногопотенциалапринималосьравнымσn=10–9.есте-ственно, что эти оценки согласуются с данными рис.3.25–3.27 иотличаютсяотнихтолькоразмерностью.

При сравнении априорных оценок, представленных на рис.4.5, сданными реальных погрешностей (рис.4.3 и 4.4) следует иметь ввиду, что априорные оценки учитывают только «чистое» влияниегравитационных возмущений, а оценки реальных погрешностейотражают влияние ряда дополнительных факторов. К этим до-полнительным факторам относятся: характеристики (точность)начальных условий, влияние негравитационных возмущений, от-носительно небольшое число реализаций при получении реаль-ныхзначенийпогрешностейпрогнозирования,атакжеразличиявчисле учитываемых коэффициентов гравитационного потенциала.С учетом этого обстоятельства согласие изложенных выше апри-орныхиреальныхпогрешностейпрогнозированияследуетсчитатьприемлемым.

таким образом, при прогнозировании корреляционных матриц вкачестве первого приближения можно использовать значение па-раметра σn=10–9. В дальнейшем, при учете методики полученияначальныхусловийиихточности,значениеэтогопараметраможетбытьуточнено.

4.3. оценка точности определения и прогнозирования орбит спутников типа GPS

Выполним анализ влияния гравитационных возмущений на точ-ностьопределенияипрогнозированияорбитспутниковтипаGPS.Рассмотримпредельноупрощенноеусредненноеуравнениедвиже-нияспутникавгравитационномполеЗемли,учитывающеетольковременныепараметры(времяпересеченияэкваторанаN-мвиткеипериод):

NN

dtT

dN= . (4.1)

ВместоистинногозначенияпериодаTNприпрогнозеиспользуетсяегорасчетноезначение:


124

ˆ ˆN

Ndt

TdN

= . (4.2)

Уравнение для временной погрешности прогнозирования прини-маетвид

ˆ ˆN N N

N N Nd t dt dt

T T TdN dN dNδ

δ= - = - = . (4.3)

СвязьпогрешностейрасчетапериодаδTN сданнымиопогрешно-стяхгравитационногополяδU (r,φ,λ)легкоопределяетсяизинте-гралаэнергии.Этасвязьвыражаетсяследующимобразом:

( )3 3 , ,2

NN N N

a aT T T U ra

δδ δ φ λ

µ= = . (4.4)

ОрбитупримемкруговойипредставимδU (r,φ,λ)ввиде

( ) ( ), , , ,U r R aaµ

δ φ λ δ φ λ= . (4.5)Здесь

( ) ( ) ( )2 0

, , cos sin sinnn

nk nk nkn k

RR a c k d k P

aδ φ λ δ λ δ λ φ

æ ö¥ ÷ç ÷ç ÷Åç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø= =

= +åå (4.6)

— безразмерная относительная погрешность расчетного потен-циала, возникающая вследствие неточности известных значенийкоэффициентов cnk и dnk и «обрезания» членов высокого порядка.Погрешность (4.6) принимается случайной величиной с нулевымматематическиможиданием.

Корреляционная функция погрешностей потенциала δR(a,φ,λ)строитсяпометодике,изложеннойвразд.2.Онавыражаетсясле-дующимобразом:

( ) ( )

( )( )

2

22 2

02

, cos , cos

2 1cos .

2

U U Un

nk nk nn

K a k a

nRc d P

a

ψ σ ψ

δ δ ψæ ö¥ ÷ç ÷ æ öç ÷Åç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷çç è ø÷÷çè ø=

= =

+= +å

(4.7)

Здесь используются нормированные коэффициенты; kU(a,ψ) —безразмернаякорреляционнаяфункция.Дисперсия 2

Uσ вычисляет-сяпоэтойформулеприPn0(1)=1.Втабл.4.1представленырассчи-танные значения СКО погрешностей потенциала (σU) спутниковдлятрехдиапазоноввысотприразличнойточности(σn)определе-ния коэффициентов nkc и nkd . Оценки для спутников типа GPSвыделеныполужирнымшрифтом.

125


Таблица 4.1. ОценкиσUдляразличныхвысотиприразличныхзначенияхσn

σn Высота, км

1600 20 180 357801,0е-10 3,12е-10 0,134 Е-10 0,051е-101,0е-9 31,2е-10 1,34 Е-10 0,511е-101,0E-8 312E-10 13,4 E-10 5,11E-10

Выше отмечалось, что данные авторов моделей гравитационногополя об оценках погрешностей определения коэффициентов (σn )не являются достаточно достоверными. По-видимому, наиболеереалистичнаяоценканаходитсявинтервалезначенийσnот1,0е-9до1,0е-8.ДляспутниковтипаGPSэтомусоответствуютоценкиσUот1,343е-10до13,43E-10.

На рис.4.6 представлены нормированные автокорреляционныефункцииkU (h,ψ)дляупомянутыхвышетрехтиповспутников.ЭтифункциипостроенывовращающейсясЗемлейсистемекоординат.

На основе представленной выше автокорреляционной функцииkU (a,ψ)дляспутникасвысотойорбиты20180кмпостроенасоот-ветствующая корреляционная функция kU (u1,u2) в инерциальной

Рис. 4.6. НормированныеавтокорреляционныефункцииkU (h,ψ)


126

системекоординат,котораяхарактеризуеткорреляциюпогрешно-стей(4.6)вточкахорбитысозначениямиаргументаширотыu1иu2(см.рис.2.18).

Послеподстановки(4.4)и(4.5)в(4.3)уравнениедляпогрешностейзапишемвболеекомпактномвиде:

( ) ( )3 , ,Nd tT R a bq N

dN Ω

δδ φ λ= = , (4.8)

где q(N) — гауссов случайный процесс (шум) с единичной дис-персией и корреляционной функцией kU (u1,u2); b — постоянныйкоэффициент, b=3TN σU; 2

Uσ — дисперсия погрешностей потен-циала. Связь между аргументом широты и номером витка имеетпростойвид:u=2πN.Погрешностьпрогноза,обусловленнаявли-яниемшума,выражаетсяследующимобразом:

( ) ( )0

dN

NN

t t N b qξ

δ δ ξ ξ=

= = ò . (4.9)

Среднеквадратическоеотклонениепогрешностейδt(N)легкоопре-деляетсянаоснове(4.9):

( ) ( )0 0

, d dN N

t UN N

N b kη ξ

σ ξ η ξ η= =

= ò ò . (4.10)

Рассмотрим особенности и результаты расчета двойного интегра-ла.Нарис.4.7представленвид«сверху»нараспределениеkU (u1,u2)(см. рис.2.18). На нем выделены квадратные области аргументов,соответствующиеполовинеоборотаспутника.Аргументu2меняет-сявинтервалеот0до720°,т.е.впределахдвухвитков.Этокакразпериодвремени,черезкоторыйповторяютсяусловияпрохожденияспутниканадповерхностьюЗемли.

Изданныхрис.4.7четковиденпериодическийхарактерповеденияфункцииkU (u1,u2)вобластиаргументовu1иu2.Имеетсятритипарассматриваемых областей (квадратов) размером 180×180°. ОниобозначеныкакI0,I1иI2.Двойныеинтегралывида(4.10)вэтихоб-ластяходинаковы.Ихзначенияприведенывтабл.4.2.

Таблица 4.2. Значениядвойныхинтегралов(10)вобластяхI0,I1иI2

I0 I1 I2

0,08336 –0,00541 –0,07029

127


На рис.4.8 представлена область вычисления двойного интегра-ла(4.10)впределахчетырёхвитков.ОбластиI0,I1иI2повторяют-сячерезкаждые2витка(1сут)впоследовательностиI0,I1иI2иI1(иповертикали,ипогоризонтали).Применениеэтойзакономер-ностиоблегчаетвычислениедвойногоинтеграла(4.10).

На рис.4.9 представлены СКО временны`х погрешностей прогно-за, пересчитанные в СКО погрешностей прогноза по положению(вдольтраектории).Рассмотренодвавариантаточностиопределе-ниякоэффициентовразложениягравитационногопотенциала(па-раметрσn).

Изданныхэтогорисункавидныследующиезакономерности:• приизмененииточностиопределениякоэффициентовcnkиdnk

напорядокоценкиСКОсоответствующихпогрешностейменя-ютсятакженапорядок;

• зависимость СКО погрешностей прогноза от времени имеетвековуюипериодическуюсоставляющую;приинтервалахпро-гноза до 1сут периодическая составляющая приблизительно в4…8разбольшевековойсоставляющей;

• вековаясоставляющаяимеетлинейныйхарактериувеличивает-сяна5ина0,5смза1сутсоответственнодлядвухрассмотрен-ныхвариантовзначенийпараметраσn.

Рис. 4.7. Вид«сверху»наобластьаргументовкорреляционнойфункцииkU(u1,u2)спутникатипаGPS


128

Рис. 4.8. Областьвычислениядвойногоинтеграла(4.10)впределахчетырехвитков

Рис. 4.9. СКОпогрешностейпрогнозаприразныхзначенияхσn

12



Изложенныевышеоценкипогрешностейпрогнозаотражают«чистое»влияние погрешностей расчетных значений гравитационного поля.Однако они не учитывают влияние погрешностей начальных условий(НУ),которыесамизависятотмногихфакторов:методикиполученияНУ по данным измерений, точности измерений, числа учитываемыхчленов разложения гравитационного потенциала идр. Ниже влияниепогрешностейНУрассмотреноболеедетально.

Оценка точности с учетом результатов обработки данных измере-ний. Искомые начальные условия обозначим как t0 и T0. Примем,чточерезкаждые0,5виткаизмеряетсявремяпролетаспутникаче-рез узел орбиты (время пересечения экватора). Связь измерений(zi )сначальнымиусловиямииисточникамиошибокимеетвид

( ) ( )0

0 0 0 0 0d 1iN

i i i i iN

z t N N T b q v N N x v Σξ ξ= + - + + = - +ò ,

i=1,…,nz . (4.11)Здесьx0—искомыйвекторначальныхусловий;

( )0

diN

i iN

v b q vΣ ξ ξ= +ò (4.12)

— суммарная погрешность измерений, статистические характери-стикикоторойизвестны.Обратимвниманиенато,чтовекторна-чальных условийx0 может быть «привязан» к произвольной точкеорбиты.

Рассмотрим сначала простейший метод наименьших квадратов(МНК) с единичной весовой матрицей. После введения традици-онныхматричныхобозначений:

1 0

2 0

0

11

......1

zn

N NN N

F

N N

--

=

-

,

1

2...

zn

zz

Z

z

= и

1

2...

zn

vv

V

v

Σ

ΣΣ

Σ

=

искомаяМНК—оценкаикорреляционнаяматрицаеепогрешно-стей—могутбытьпредставленыследующимобразом:

1

0ˆ T Tx F F F Z-æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

= , (4.13)


130

0

1 1ˆ

T T T TxK F F F M V V F F FΣ Σ

- -æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø= . (4.14)

Корреляционнаяматрица TM V VΣ Σ

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø,входящаяввыражение(4.14),

легко строится на основе определения суммарных погрешностей(4.12): 2 2 2 2T

ij ijz z z nQ QK M V V b E S EΣ Σ σ σæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

= = + = + . (4.15)

ЗдесьQij , i, j=1,…,nz—матрицаразмером(nz×nz ),компонентыкоторойрассчитываютсяпоформуле

( )0 0

, d dji

NN

ij UN N

Q kξ η

ξ η ξ η= =

= ò ò ; (4.16)

2zσ —дисперсияошибокизмерений;Sn=b /σz—отношение«сиг-

нал/шум».

Рассмотрено также применение метода оптимальной фильтрацииизмерений (конкретизация метода максимального правдоподобия —ММП—сучетомшумоввмоделидвижения)(Nazarenko,1998,2007,2009;Nazarenkoetal.,2007a,b),котороевданномслучаехарактер-ноиспользованиемнедиагональнойвесовойматрицы 1

zP K-= .Этаматрицастроитсяпутемобращенийматрицы(4.15).Онаучитыва-ет статистические характеристики гравитационных возмущений.Расчеткорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостоянияпроизводитсяпоформуле

0

1ˆ

TxK F PF

-æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø=ММП . (4.17)

Другой особенностью применения этого метода является расчетвсехвходящихв(4.17)матрицнетольконамоментпоследнегоиз-мерения, но и для прогнозных точек. Это решение корректно иупрощаеталгоритмпрогнозаСКОпогрешностей.

Оценки СКО погрешностей прогноза были рассчитаны по фор-мулам (4.15) и (4.17) для четырех вариантов исходных данных(табл.4.3),различающихсядлиноймерногоинтервала(числомиз-мерений) и отношением «сигнал/шум» Sn . Во всех случаях СКОпогрешностейизмеренийпринималосьравнымσz=10см.

В последней строке табл.4.3 приведены соответствующие оценкипараметраσU ,которыйхарактеризуетдостигнутуюточностьрасче-

131


тапотенциалаЗемли.Значенияэтогопараметраобсуждалисьвыше(см.табл.4.1).

Таблица 4.3. Данныеовариантахрасчета

Номерварианта 1 2 3 4Мерныйинтервал,витки 8 8 8 12ОтношениеSn 0,4 2 10 10

СКОпогрешностейполя(σU ) 1,0E-10 5,0E-10 25E-10 25E-10

На рис.4.10 представлены СКО погрешностей прогноза движе-нияспутникатипаGPSдлячетырехрассмотренныхвариантовис-ходныхданных.

Наосновепредставленныхданныхможносделатьследующиевы-воды.

1. Разница между результатами применения МНК и ММП (безучета и с учетом гравитационных шумов при взвешивании

Рис. 4.10. РезультатыоценокСКОпогрешностейпрогноза


132

измерений) растет по мере увеличения отношения «сигнал/шум», т.е. уровня гравитационных шумов по сравнению с по-грешностями измерений. если при отношении «сигнал/шум»,равном 0,4, результаты практически совпадают, то при Sn=10применение ММП с учетом гравитационных шумов обеспечи-ваеттрехкратноеповышениеточности.

2. Полученныеоценкипогрешностейпрогнозированиядостаточнохорошо согласуются с предшествующими материалами иссле-дований. В частности, результаты расчетов для вариантов 3и 4 (см. рис.4.10) очень «похожи» на данные рис.4.9, на кото-ром представлены оценки СКО погрешностей, обусловленные«чистым» влиянием неизвестных гравитационных возмущений(безучетапогрешностейНУ).естественно,чтоэта«похожесть»проявляется тем лучше, чем больше отношение «сигнал/шум».Другим, вполне ожидаемым, результатом является повышениеточностиММПоценокв1,5разаприувеличениимерногоин-тервалас8до12витков.Этотэффект—следствиеприменениякорректного «взвешивания» «старых» измерений, которого нетприиспользованииМНК.

3. Эффективность практического применения рассмотреннойздесь методики уточнения параметров орбиты с учетом грави-тационных шумов зависит от точности применяемой моделигравитационного поля и точности измерений. Как следует изкомментариевктабл.4.1иданныхтабл.4.3,современныйуро-вень погрешностей гравитационного поля близок к условиямрасчетовповариантам2,3и4.Крометого,эффективностьпри-менения этой методики будет расти с повышением точностиизмерений.Поэтомуприменениеметодикиуточненияипрогнозапараметроворбитнавигационныхспутниковсучетомгравитаци-онных шумов является перспективным направлением дальнейшихработ.

Кромерассмотренныхвышевариантовбылипроведеныдополни-тельные расчеты, цель которых — более полно оценить влияниемерного интервала и отношения «сигнал/шум» на точность опре-деления и прогнозирования орбит. Соответствующие результатыпредставленынарис.4.11и4.12.

По сравнению с данными рис.4.10 здесь рассмотрено два допол-нительныхмерныхинтервала:16и20витков.Видно,чтодляМНК

133


приростемерногоинтервалавзаданныхпределахуровеньпогреш-ностейпрогнозасначалазаметноуменьшается,азатемстабилизи-руется. При прогнозе на 1сут СКО ошибок прогноза находятся винтервалеот18до22см.ПрииспользованииММПростмерного

Рис. 4.11. ВлияниемерногоинтервалаприSn=10:а—применениеМНК;б—ММП


134

интервалатакжеприводиткстабилизацииСКОпогрешностейпро-гноза, но повышение точности оказывается более существенным.Припрогнозена1сутСКОошибокпрогнозанаходятсявинтерва-леот4,8до5,1см.ПосравнениюсМНКэтотуровеньпогрешно-стейв4разаменьше.

Рис. 4.12. ВлияниемерногоинтервалаприSn=25:а—применениеМНК;б—ММП

135


Этотрисунокотличаетсяотпредыдущегоувеличениемотношения«сигнал/шум»в2,5раза (СКОпогрешностейполяσU=62,5е-10).Общий характер зависимостей очень похож на данные рис.4.11.Важное различие состоит в существенном росте уровня погреш-ностейприиспользованииМНК.Припрогнозена1сутСКОоши-бок прогноза при мерном интервале в 16…20витков увеличилисьв2,5раза:онинаходятсявинтервалезначенийот46до55см.ПрииспользованииММПуровеньпогрешностейтакжеувеличился,нов существенно меньшей степени: только в 1,5раза. При прогнозена1суткиСКОошибокпрогнозанаходятсявинтервалеот7,3до7,5см.ПосравнениюсМНКэтотуровеньпогрешностейв6…7разменьше.

таким образом, при увеличении отношения «сигнал/шум» до 25применение ММП с учетом гравитационных шумов обеспечиваетповышениеточностив6…7раз.Этирезультатыотносятсяквели-чинемерногоинтервалавпределахот16до20витков.

Для лучшего понимания изложенных материалов приведем кон-кретные примеры матриц Kz и 1

zP K-= . На рис.4.13 и 4.14 пред-ставлены эти матрицы, рассчитанные в точке орбиты на моментпоследнегоизмерения+0,5виткаприследующихзначенияхпара-метров:мерныйинтервалравен16виткам;Sn=10;σz=1см.

Представленныематрицыхарактерныследующимиособенностями:

• вобластиаргументов(33×33)компонентыматрицыKzизменяют-сяпочтина2порядка;наибольшиезначенияотносятсякпервомуизмерению,анаименьшие—кпоследнему;имеетсясуществен-наяпериодическаясоставляющаяспериодом2витка(1сут);

• матрицаPимеетсходствосединичнойматрицей:основныеот-личия:а)диагональныечленыизменяютсявпределахот0,85до1,0; б)недиагональные члены изменяются в пределах от –0,15до+0,10;в)всекомпонентыимеютпериодическуюсоставляю-щую с периодом 2 витка и в среднем увеличиваются при при-ближениикпоследнемуизмерению.

ИзложенныеособенностиматрицKzиPнеявляютсятривиальны-ми.Именнотакойиххарактеротражаетвлияниенеучтенныхгра-витационныхвозмущенийипозволяетповыситьточностьопреде-ленияипрогнозированияпараметроворбиты.


136

Рис. 4.13. МатрицаKz

Рис. 4.14. МатрицаP

137


В заключение раздела рассмотрим данные статьи Д.Валладо (Val-lado,2007),относящиесяканализуточностипрогнозированиявек-торасостояниядвухспутниковтипаGPS(SVN-22иSVN-31):

«ДоступныепараметрыорбитспутниковGPS,содержащиесявточныхорбитальных эфемеридах (POE — Precision Orbit Ephemeredes), обе-спечивают потребителей очень полезным набором данных. Большаявысотаспутниковпозволяетнеучитыватьвлияниеатмосферноготор-можения,новызываетнеобходимостьрассмотрениявлияниядавлениясолнечного света — другой доминирующей неконсервативной силы…Кактолькобылиполученыданныеомассеиразмерахспутников,былаприменена рекуррентная фильтрация измерений, чтобы определитьотношение масштабных коэффициентов k1/k2, которые используютсяприучетесветовогодавления.

<…>

Для спутника SVN-22 в качестве данных наблюдения использовалисьрезультаты службы International GPS Service (IGS). Объявленная еюточность составляет 5…10см по положению. Устойчивые оценки па-раметроворбитыбылиполученыпосле3итераций.Затемвыполнялосьпрогнозирование параметров орбиты на 2-месячном интервале. Приэтом в модели движения использовалось гравитационное поле 70×70WGS-84/EGM-96, влияние притяжения Солнца и луны и давлениесолнечногосвета.

Figure 14: GPSSVN-22.СравнениерезультатовпрогнозасданнымиPOEнасуточноминтервале


138

<…>

Результаты представлены на рисунках. Заметим, что, с учетом уровнявозможных погрешностей порядка 20см, при уточнении использова-лисьизмеренияна4-суточноминтервале.

ИзсравненияматериаловстатьиД.Валладосизложеннымивышерезультатами исследований видно, что между полученными оцен-ками погрешностей прогнозирования нет существенных противо-речий.


1. В результате предшествующих исследований установлены сравни-тельные соотношения между погрешностями оценок вектора со-стоянияприиспользованииразличныхметодовуточненияначаль-ныхусловийпоизмерениям.целесообразностьпримененияМНКбез расширения или с расширением вектора состояния зависит отуровня возмущений. Существует уровень малых возмущений, прикотором более выгодно применять МНК без расширения векторасостояния. Однако и в этом случае погрешности больше, чем прииспользованииметодаоптимальнойфильтрацииизмерений(ОФИ)с учетом статистических характеристик разного рода возмущений.Эта методика является конкретизацией метода максимальногоправдоподобия.

Figure 15: GPSSVN-31.СравнениерезультатовпрогнозасданнымиPOEнасуточноминтервале»

13

4.4. Методика настройки параметров шумов

2. Методика оптимальной фильтрации измерений развита в настоя-щеевремявинтересахповышенияточностиопределенияипрогно-зирования низких орбит спутников, подверженных торможению ватмосфере.ееэффективностьпроявляетсянаиболеесильновусло-виях дефицита измерений: использование метода ОФИ позволяетприменять достаточно большие мерные интервалы и за счет болеекорректного расчета весовой матрицы получать существенно луч-шуюточностьпосравнениюсМНК.

3. ПрименениеОФИявляетсяперспективнымтакжевинтересахпо-вышенияточностиопределениявысокихорбитспутников,надви-жение которых существенное влияние оказывают гравитационныевозмущения(например,спутникисистемыглОНАСС).Эффектив-ностьпримененияэтойметодикипосравнениюсМНКзависитотточности модели гравитационного потенциала и точности измере-ний. Для внедрения методики необходимо учитывать статистиче-скиехарактеристикигравитационныхвозмущенийвпроцессеуточ-ненияипрогнозированияорбит.

4.4. методика настройки параметров шумов

Выше, в разд.4.3, были кратко рассмотрены оценки максималь-ногоправдоподобия(4.17).Дляпроизвольногомоментавремени tjониимеютвид

1

ˆ T Tj j j j j j kx X P X X P Z

-æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø= . (4.18)

Оценки (4.18) основаны на максимизации функции правдоподо-бия,котораявыражаетсяследующимобразом:

( ) 1exp2

Tk j k j j j k j jL Z x C Z X x P Z X x

ì üï ïï ïé ù é ù= - - -í ýê ú ê úï ïë û ë ûï ïî þ. (4.19)

Здесьпримененыобозначения:

1

2...k

k

zz

Z

z

=

— вектор-столбец измерений, связанных с вектором состояния вмоментtjсоотношением i i i iz h x v= + , i=1,…,k;


140

1

2

0 ... 00 .. 0... ... ... ...0 0 ... k

hh

H

h

= ;

истинные значения вектора состояния в моменты времени ti и tjсвязанысоотношением

( ) ( ) ( ) ( ), , di

j

t

i i j j it

x U t t x U t B qξ ξ ξ ξ= +ò , (4.20)

котороевыражаетрешениедифференциальногоуравнения(1.1);

( )( )

( )

1

2

,

,...

,

j

jj

k j

U t t

U t tU

U t t

= , j jX HU= ;

11 12 1

21 22 2

1 2

.....

... ... ... ......

k

k

k k kk

R R RR R R

R

R R R

Σ =

—корреляционнаяматрицапогрешностейизмерений;1T

wj jHK H R PΣ

æ ö -÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø+ = — корреляционная матрица суммарных по-

грешностей,учитывающаявлияниеслучайныхвозмущений(шумасистемы)навекторсостояниявмоментвремениtj ;

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 11 12 1

21 21 2

1 2

...

..... ... ... ...

...

j j jk

j j jjk

wj il

j j jk k kk

Q Q Q

Q Q QK Q

Q Q Q

= = , i,l=1,…,k

— корреляционная матрица, учитывающая «чистое» влияние слу-чайныхвозмущенийнавекторсостояниявмоментвремениtj ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, , , d d

i l

j j

t tj T T

il i q lt t

Q U t B K B U tξ ξ ξ η η η η ξ=ò ò .

141


Оценка(4.18)доставляетмаксимумфункцииправдоподобия(4.19).Приэтомдостигаетсяминимумаргументаэкспоненты

( )1T T

j k j j wj k j jx Z X x HK H R Z X xΣΦ-æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

é ù é ù= - + -ê ú ê úë û ë û. (4.21)

В процессе отыскания оценок максимального правдоподобия этавеличинаявляетсяминимизируемымкритерием.Данныйкритерийобладаетзамечательнымсвойством(Линник,1962;Кендалл,Стью-ард,1966).Аименно,еслиматрица (HKwj H

T+RΣ)правильновыра-жаетстатистическиехарактеристикипогрешностей,т.е.есливы-полняетсяусловие

T T

k j j k j j wjM Z X x Z X x HK H RΣ


ì üï ïï ïé ù é ù- - = +í ýê ú ê úë û ë ûï ïï ïî þ, (4.22)

то значение квадратичной формы (4.21) является случайной величи-ной, распределенной по закону χ2 с числом степеней свободы, равнымобщему числу измерений (k). Оценка (4.18), полученная при мини-мизациикритерия(4.21),отличаетсяотистинногозначениявекто-расостояния.Учетэтогообстоятельстваприводиткутверждению,чтозначениекритерия ˆ jxΦ

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø распределенопозаконуχ2счисломстепеней свободы, равным общему числу измерений минус числоуточняемых параметров (m). Поэтому среднее значение критерия вточкедостиженияминимумаравно

ˆ jM x k mΦæ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

é ù = -ê úë û. (4.23)

Уравнение (4.23) является необходимым условием правильностиисходных статистических характеристик погрешностей (шумов).Поэтомуданноеусловиеполезноиспользоватьнетолькодлякон-троляправильностиисходныхстатистическиххарактеристик,ноидляихадаптивногоуточнения(коррекции).

естественно, что уточнение характеристик шумов на основе вы-ражения(4.23)возможнотолькоприналичиидостаточнобольшойстатистики,т.е.привыполнениибольшогочислауточненийпара-метров орбиты в стационарных условиях. Решение данной задачиявляетсявесьмасложнойпроблемой,связаннойснеобходимостьюобработки большого числа измерений и с проведением автомати-зированного анализа результатов уточнения параметров орбиты.Ниженадостаточнопростыхпримерахпоказанавозможностьре-шенияданнойпроблемы.


142

В качестве первого примера рассмотрим возможность определенияСКО погрешностей так называемых двухрядных элементов орбит(TLE), которые регулярно определяются Американской системойконтроля космического пространства и являются доступными вИнтернете(http://www.space-track.org).Выбраныданныепоспутни-кам «Космос-2251» (международный номер 93036А, номер в ката-логеСшА22675)и«Иридиум-33»(международныйномер97051С,номер в каталоге СшА 24946), которые столкнулись 10февраля2009г. в 16ч 56мин. Некоторые результаты анализа орбитальныхданныхпоэтимспутникамбылирассмотренывразд.4.2.

Использовались элементы орбиты в форме TLE за период с 01.01по 14.02.2009г. Общие данные о характеристиках этих элементовприведенывтабл.4.4.

Таблица 4.4. ДанныеоTLE

Интервал Число TLE Высота, км Наклонение, град

«Иридиум-33» 01.01–09.02 81 800 74,0«Космос-2251» 01.01–09.02 62 800 86,4

В табл.4.5. приведен фрагмент массива TLE спутника «Космос-2251»(началоиконец)нарассматриваемоминтервалевремени.

Таблица 4.5. ИсходныеTLEпоспутнику«Космос-2251»

п/п

Исходные TLE

1 122675U93036A09001.77226482-.0000001700000-033537-507107222675074.0367089.99710016969179.3358180.781814.31133166811878

2 122675U93036A09002.75090360+.00000004+00000-0+11215-4007125222675074.0368088.21510016950177.3512182.774114.31133409812015

3 122675U93036A09003.17032001.0000000700000-012588-407116222675074.0368087.45150016938176.4896183.637814.31133470812071

… ….61 122675U93036A09039.51970769-.00000003+00000-0+87983-5007417

222675074.0356021.24730016045100.8058259.489914.3113554381727762 122675U93036A09040.49834364-.0000000100000-095251-507411

222675074.0355019.46460016027098.7014261.595214.31135643817415

СпомощьюамериканскойаналитическоймоделидвиженияSGP4(Hoots, Roehrich, 1980) эти элементы орбиты были пересчитаны в

143


компоненты вектора состояния в геоцентрической инерциальнойсистемекоординатнатотжемоментвремени.Втабл.4.6приведенфрагментмассиварезультатовпересчета.

Таблица 4.6. Компонентывекторасостоянияспутника«Космос-2251»

п/п

1 2 3 4

Время,сут 18628.77226482 18629.75090341 18630.17031998 …x,км 0.3634661 223.6634792 319.2947266 …y,км 7180.8488842 7177.3373141 7173.7001789 …z,км 0.058е-4 0.000е-4 0.757е-4 …Vx,км/c –2.0465759756 –2.0458291162 –2.0449191708 …

Vy,км/c –0.0075300990 0.0556778824 0.0827486245 …

Vz,км/c 7.1591578565 7.1591880224 7.1592067032 …

Начальные условия для прогнозирования движения уточнялись спомощью метода наименьших квадратов по семи последователь-нымизмерениямвекторасостояния.Последовательно(сосдвигомна1измерение)выполняласьобработкаданныхвсехисходныхиз-мерений. По результатам уточнения орбита прогнозировалась на4«будущих»измеренияирассчитывалисьсоответствующиеразно-сти.Вэтихусловияхбыловыполнено62–7–4=51уточнениепа-раметроворбиты.Описаниеприменяемойпрограммыприведеновприл.г.еехарактернойособенностьюявляетсяпересчетисходныхорбитальных данных (измерений) в подвижную орбитальную си-стемукоординат(см.рис.3.1),т.е.вотклоненияизмеренногоше-стимерного вектора состояния от опорной траектории по радиусу(S ),трансверсали(T )ибинормали(W ):

1

2

3

4

5

6

,,,,,.

ji Sji

ji Tji

ji Wji

ji Tji

ji Sji

ji Wji

z R

z R

z R

z V

z V

z V

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

=

=

=

=

=

=

(4.24)

Здесь j=1,…,51 — номер уточнения; i=1,…,7 — номер измере-ниянамерноминтервале.


144

Другой особенностью программы является пренебрежение влия-ниемшумовсистемыприрасчетекорреляционнойматрицы(4.22).Даннаямераоказаласьприемлемойпотому,чтоздесьрассматрива-ется возможность оценки статистических характеристик погреш-ностейизмерений,атакжепотомучтоврассматриваемыхусловияхпогрешностиисходныхизмеренийбольшевлиянияшумовсистемынамерноминтервале.Этоозначает,чтовматрице(4.24)учитыва-лосьтолькослагаемоеRΣ.Компонентыэтойдиагональнойматри-цыимеютвид

1

2

3

4

5

6

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

i

pp

pR

pp

p

= . (4.25)

Каждая из разностей (4.24) использовалась для вычисления отно-шенияквадратаразностикаприорнойдисперсииошибокизмере-ний:

2

22jik

jik k jikk

zf p z

∆∆

σ= = , k=1,…,6. (4.26)

Привыполненииусловия 2 2jik kM z∆ σ

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø= отношения(4.26)являют-

сяслучайнымивеличинами,распределеннымипозаконуχ2состе-пеньюсвободы1.Прирасчетеминимизируемогокритерияоценки(4.26) суммировались для каждого из уточнений (7×6=42слага-емых). Кроме того, оценки (4.26) суммировались для каждого изкомпонентов исходных шестимерных измерений (7×51=357сла-гаемых).Общеечислооценоквида(4.26)навсеминтервалеобра-боткиизмеренийравно42×51=2142.

Значения весов pk подбирались таким образом, чтобы в результа-

теминимизациикритерия(4.21)сумма51 7

1 1k jik

j iS f

= =

=åå малоотли-

чалась от теоретического значения ее математического ожидания(357–51=306). Это означает, что должны выполняться условияSk /306≈1,0иSk /357≈1,0.Нарис.4.15–4.17представленывсезна-

145


ченияотношения(4.26)дляневязокпорадиусу,трансверсалииби-нормали.Нарис.4.18представленысоответствующиегистограммызначенийэтихотношенийдляневязокпорадиусу,трансверсалиибинормали.

Рис. 4.15. Отношения(4.26)дляневязокпорадиусу

Рис. 4.16. Отношения(4.26)дляневязокпотрансверсали


146

Рис. 4.17. Отношения(4.26)дляневязокпобинормали

Рис. 4.18. гистограммыотношений(4.26)дляневязоквкоординатах

147


Аналогичныегистограммыдлясоставляющихневязокпоскоростипредставленынарис.4.19.

Изпредставленныхданныхвидно,чтоврезультатеадаптациидо-стигнуто достаточно хорошее согласие с теоретическим распреде-лением случайных значений отношения (4.26). Средние значенияотношения(4.26)длякаждойизтрехрассмотренныхневязоквко-ординатахсоответственносоставили0,851;0,853и0,852.Соответ-ствующиесредниезначенияотношения(4.26)дляневязокпоско-ростисоставили0,867;0,842и0,847.

Втабл.4.7представленызначениявесовpkисоответствующиеимСКО погрешностей измерений, при которых получены изложен-ныевышерезультатыадаптации.

Для контроля результатов адаптации по каждому из уточнений

вычислялись также значения суммы6 7

1 1j jik

k iS f

= =

=åå . число такого

Рис. 4.19. гистограммыотношений(4.26)дляневязокпоскорости


148

родаоценокравно51.Онираспределеныпозаконуχ2состепеньюсвободы,равной6×(7–1)=36.Нарис.4.20представленысоответ-ствующаягистограмма,атакжееесравнениестеоретическимрас-пределением.

Таблица 4.7. «Космос-2251».ПолученныезначениявесовpkиСКО

По координатам (км) По скорости (км/с)

радиус трансверсаль бинормаль радиус трансверсаль бинормаль

pk 2230 150 1100 1.34е+8 2.00+9 1.60е+9СКО 0,021 0,082 0,030 0,86е-4 0,22е-4 0,25е-4

Изданныхрис.4.20видно,чтореальноеитеоретическоераспреде-лениясуммысогласуютсяприемлемымобразом.Среднеезначениесуммысоставило35,8.Отношение35,8/36=0,994,т.е.на0,6%от-личаетсяот1,0.

Порезультатамобработкиданныхизмеренийрассчитывалисьтак-жекорреляционныематрицыпогрешностейвекторасостоянияна

Рис. 4.20. гистограммазначенийсуммыSj

14


моментуточнения(моментвременипервогоизмерения)иихпро-гнозные значения. Пример корреляционной матрицы для одногоизуточненийнамерноминтервале,равном53виткам,представленвтабл.4.8.

Таблица 4.8. Примеркорреляционнойматрицыпогрешностей

2,654E-5 1,099E-6 0,0 0,143E-9 –2,761E-8 0,01,099E-6 1,981E-3 0,0 –1,212E-6 1,177E-9 0,00,0 0,0 1,103E-4 0,0 0,0 0,0

–1,143E-9 –1,212E-6 0,0 2,189E-9 –1,224E-12 0,0–2,761E-8 1,177E-9 0,0 –1,224E-12 2,873E-11 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 7,559E-11

СоответствующиеСКОпогрешностейкомпонентоввекторасосто-янияпредставленывтабл.4.9.

Таблица 4.9. ЗначенияСКОподаннымкорреляционнойматрицынамоментуточнения



0,005 0,044 0,012 0,47е-4 0,54е-5 0,87е-5

СравнениеэтихрезультатовссоответствующимиданнымиобСКОпогрешностей измерений (табл.4.7) показывает, что в результа-те уточнения погрешности вектора состояния уменьшились в не-сколькораз.

Какупоминалосьвыше,порезультатамобработкиданныхизмере-нийвыполнялисьпрогнозывекторасостоянияна«будущие»4из-мерения и вычислялись разности измеренных и всех расчетныхоценоквекторасостояния(инаинтервалеобработки,ивнеэтогоинтервала). Сделан 51такой прогноз. По полученным разностямвычислялисьсоответствующиеСКО.Результатыэтихвычисленийдляспутника«Космос-2251»представленынарис.4.21.ЗдесьСКОразностейпотрансверсалипересчитанывСКОразностейповре-мени(путемделенияоценокназначениескоростиКА).

Прианализеданныхрис.4.21следуетиметьввиду,чтодисперсияразности оценок равна сумме дисперсий каждого из слагаемых.


150

Поэтомувсоответствиисданнымитабл.4.7и4.9СКОневязокпотрансверсали 2 2(0,082) (0,044) 0,093+ = км. Этому значению со-ответствуетпогрешностьповремени,равная0,093/7,44=0,0125с.Эта оценка совпадает с данными рис.4.21 для моментов временипервого и последнего измерения. характер изменения СКО невя-зок, представленных на рис.4.21, является вполне ожидаемым.ВнутримерногоинтервалаСКОневязокменьше,чемпоегокраям,авнемерногоинтервалапогрешностимонотоннорастут.

Были вычислены также СКО погрешностей вектора состояния вразные моменты времени на основе прогнозирования корреляци-онной матрицы (без учета влияния случайных возмущений). Этирезультаты представлены на рис.4.22 (кривая «только КА»). НанемприведеныСКОсоответствующихразностей,рассчитанныенаосновеаприорныхоценокСКОсучетомдисперсиипогрешностейизмеренийпотрансверсали(0,044)2.

Сравнение данных этого рисунка на мерном интервале с соот-ветствующими результатами, представленными на рис.4.21, сви-детельствует об их хорошем совпадении. Вне мерного интервалаСКОреальныхпогрешностейбольшесоответствующихаприорных

Рис. 4.21. СКОневязокповременимеждуизмереннымиирасчетнымизначениямивекторасостояния

151


оценок.Ихразницарастетпомереувеличенияинтервалапрогнози-рования.

БыловыполненотакжеадаптивноеуточнениеСКОпогрешностейTLEподаннымоспутнике«Иридиум-33».Результатыопределениявесовых коэффициентов и соответствующих СКО представлены втабл.4.10.

Таблица 4.10. «Иридиум-33».ПолученныезначениявесовиСКО



pk 841 51 200 0,51е+8 7,8е+8 7,8е+8СКО 0,034 0,140 0,071 1,40е-4 0,357е-4 0,357е-4

Для спутника «Иридиум-33» СКО погрешностей исходных TLEоказалисьв1,4…2,3разабольше,чемдляспутника«Космос-2251».Возможноеобъяснениеэтогорезультатасостоитвтом,чтодостол-кновения спутник «Иридиум-33» был управляемым. В остальномосновныерезультатыисследованийпоэтомуспутникусогласуютсяссоответствующимирезультатамипоспутнику«Космос-2251».

Рису. 4.22. Априорные СКО погрешностей по времени, а также невязокмеждуизмереннымиирасчетнымизначениямивекторасостояния


152

такимобразом,врезультатерассмотренияпервогопримерапоказа-навозможностьопределениядисперсиипогрешностейизмеренийна основе анализа компонентов минимизируемого критерия пометодунаименьшихквадратов.Однакоприэтомнегарантируетсясоответствие СКО реальных и априорных погрешностей прогно-зирования,котороезависитоткорректностиучетаслучайныхвоз-мущений. Обеспечение соответствия этих погрешностей являетсяболее сложной задачей, так как в реальных условиях имеется не-сколько источников случайных возмущений (погрешности моде-лейатмосферыигравитационногополя)иуровеньэтихслучайныхвозмущенийявляетсяотносительноневысоким.

В качестве второго примера рассмотрим возможность уточненияуровняслучайныхвозмущений.ИспользуетсяупрощеннаямодельдвиженияКО,учитывающаятольковременныепараметрыорбиты.такогородамодельуспешноприменяласьприпроведениирядаис-следований (Анисимов идр. 1975; Назаренко, Скребушевский, 1981;Nazarenko,1991,2007,2009;Nazarenko,Cherniavskiy,1996)дляоцен-кивлияниявозмущенийнавременныепараметрыорбиты(погреш-ности вдоль траектории). При этом подходе в вектор состояниявключаюттолькоэлементыорбиты,характеризующиедвижениевплоскости околокруговой орбиты. Следуя этому подходу, рассмо-трено движение спутника в плоскости орбиты с номером витка вкачестве аргумента. Компонентами вектора состояния являютсяследующие три параметра: время пересечения экватора ti , периодобращенияспутникаTiиизменениепериодаподдействиемвозму-щенийзавитокΔTi .Эволюцияэтихпараметровописываетсясле-дующимиуравнениями:

1 1

1

,,.

i i i

i i i

i m i

t t TT T T

T T q∆

∆ ∆

+ +

+

= +

= +

= +

(4.27)

ВприведенныхвышессылкахпараметрΔTiсвязываетсясвлияни-ем атмосферных возмущений. Однако в общем случае его проис-хождениеможетбытьразным.ВеличинаΔTm—этосреднеезначе-ниепараметраΔTi ,аqi—гауссовслучайныйпроцесссизвестнойкорреляционнойфункциейKq (t,τ)0.Вкачествеизмеренийисполь-зуютсязначениявременипересеченияэкваторавначалевиткаNj: j j jz t v= + , j=1,2,…, (4.28)где погрешности измерений vj (типа дискретного белого шума)распределены по нормальному закону с нулевым математическим

153


ожиданиемидисперсией 2zσ .Интервалвременимеждуизмерения-

мипринимаетсяпостояннымиравнымΔN(ввитках).

Уравнения(2.27),измерения(2.28)истатистическиехарактеристи-кислучайныхвеличинqjиvjпозволяютопределитьстатистическиехарактеристики погрешностей определения и прогнозированиявременныхпараметров.Вкачествеметодаопределенияпараметроворбитыиспользуетсямодификацияметодамаксимальногоправдо-подобия(4.18),учитывающаявлияниевозмущенийввидецветногошума(Kaula,1959).Впроцессеисследованийиспользуетсяследую-щаяавтокорреляционнаяфункцияслучайногопроцессаqj :

( )2

01 ,,

0 .

qq

ttK tt

τσ τ ∆

τ ∆τ ∆


ìï -ïï - - <ï=íïïï -ïî

при

при (4.29)

Затем,наосноверезультатовмоделированияслучайнойпоследова-тельностиqi,некоторыхначальныхусловийt0,T0,ΔTmиуравнений(2.27),рассчитываетсяпоследовательностьзначенийвекторасосто-яния T

i i i ux t T T∆= (сшагомодинвиток).Следующейопераци-еймоделированияявляетсярасчетпоследовательностимодельныхзначений измерений zi по формуле (2.28). При этом случайныеошибки измерений определяются с помощью датчика случайныхчисел.

На рис.4.23 представлена схема последовательных расчетов приобработкеданныхизмерений(2.28)впроцессемоделирования.По-казаныдвавременны`хинтервалаопределенияипрогнозированияпараметров орбиты: текущий (для jd-го уточнения) и последую-щий, построенныйпутемсдвигавсехданныхнаdNвитков.Здесь

Рис. 4.23. Схемапоследовательнойобработкиданныхизмерений


154

применены следующие обозначения: nz — число измерений, ис-пользуемоеприуточнении;np—числопрогнозов;dNp—интервалвремени(ввитках)междупоследовательнымипрогнозами.Макси-мальный интервал прогноза составляет dNp npвитков. Проведениеуточненийипрогнозовподаннойсхемеихциклическойорганиза-ции позволяет получить достаточно большое количество реализа-цийзаприемлемоевремя.Прианализерезультатовмоделированияудобнопользоватьсяотношением

qn

z

Sσ

σ= , (4.30)

котороеможнотрактоватькакотношение«сигнал/шум»,т.е.уро-веньоцениваемогосигналапоотношениюкошибкамизмерений.

характерной особенностью применения рассматриваемого мето-да уточнения параметров является поведение остаточных невязок( ˆi i iz h x- )намерноминтервале.Ихизменениесильноотличаетсяотданныхрис.4.21и4.22.Одинизпримеровпредставленнарис.4.24.Видно, что и сами невязки, и их СКО сильно меняются (на не-сколькопорядков),достигаяминимумавконцемерногоинтервала.Этотэффектсвязансвлияниемшумасистемы,врезультатеучетакоторогостарымизмерениямприсваиваетсяменьшийвес.

Рис. 4.24. Изменениеостаточныхневязокнамерноминтервале

155


При использовании данного метода появляется возможность уве-личения мерного интервала по сравнению с применением МНК.тем не менее, изложенное выше свойство (4.23) минимизируемо-гокритерияостаетсясправедливым.Этоположениеиллюстрируютданные рис.4.25, на котором представлена гистограмма значенийквадратичной формы (4.21) при использовании на мерном интер-вале30измерений.Общеечислоуточненийнамоделисоставляло10000.Представленноераспределениеприближаетсякнормально-мусосреднимзначением27,39иСКО,равным9,48.

Расчеты на рассматриваемой модели позволяют оценить влияниеразличий фактических и расчетных СКО (погрешностей измере-нийишумасистемы).Нижерассмотренырезультатырасчетовдлядвухвариантовисходныхданных.Параметрыэтихвариантовпред-ставленывтабл.4.11.

Таблица 4.11. Параметрывариантов

варианта СКО измерений σz, с

СКО шума σq, с/виток

Отношение «сигнал/шум» Sn

Значение крите-рия (4.23), nz = 20

1 0,006 0,00036 0,06 18,112 0,0006 0,00036 0,6 17,70

Рис. 4.25. Распределениеминимизируемогокритерияприnz=30


156

Расчеты были проведены для двух значений числа измерений намерном интервале nz=5 и nz=20. Применение малого мерногоинтервала(nz=5)позволяетуменьшитьвлияниешумасистемыназначениекритерияинаэтойосновенайтиприближенноезначениеСКОошибокизмерений.Другиепараметрыалгоритмадляэтихва-риантовпринималисьодинаковыми:интервалмеждуизмерениямиdN=2витка;интервалкорреляциишумаΔ=30витков.

Вварианте1оценкиσиσqпринятыблизкимиксоответствующимзначениямвременныхпогрешностейприиспользованииTLE(см.выше).Вварианте2СКОошибокизмеренийуменьшенынапоря-док.

Расчетные значения параметров σ и σq варьировались по отноше-ниюкприведеннымвтаблиценоминальнымзначениям,аименноуменьшались и увеличивались в несколько раз. Соответствующиезначениякорректирующегокоэффициентаприведенывтабл.4.12.

Таблица 4.12. Значениякорректирующегокоэффициентаk(j)

Номер j 1 2 3 4 5

k(j) 1/10 1/3 1 3 10

Для каждой из 25комбинаций расчетных значений параметров σzиσqнамоделипроизводилсярасчетсреднегозначенияминимизи-руемогокритерия(4.21).Соответствующиерезультатырасчетовдлявариантов1(приnz=5иnz=20)и2представленынарис.4.26–4.28.

Данные рис.4.26 подтверждают возможность определения СКОпогрешностейизмеренийσzпрималойвеличинемерногоинтерва-лаиприотносительноневысокомуровнешумасистемы,которыйвданномслучаеоказываетмалоевлияниенасреднеезначениеми-нимизируемого критерия. Значение параметра σq в этих условияхопределитьневозможно.

Рассмотрим пример. Оценивание величины σz производилосьна модели при случайно выбранном значении σq=0,00012с/ви-ток,котороев3разаменьшеприведенноговтабл.4.11номиналь-ного значения. На рис.4.28 приведено сечение представленнойна рис.4.26 функции при выбранном фиксированном значении

157


Рис. 4.26. ЗначениякритерияприразличныхСКО.Вариант1,nz=5

Рис. 4.27. ЗначениякритерияприразличныхСКО.Вариант1,nz=20


158

σq=0,00012с/виток. Видно, что теоретическое значение критериядостигается при расчетном значении σz=1,005×0,006с. В данномпримере погрешность определения параметра σz составила долипроцентов.

Для определения параметра σq использовался мерный интер-вал из 20измерений (рис.4.27). Зависимость минимизируемо-го критерия от параметра σq при найденном значении параметраσz=1,005×0,006с представлена на рис.4.29. Здесь рассмотрен бо-лее узкий интервал отклонений от номинального значения пара-метраσq (1±0,2).Видно,чтовданномслучаесущественныйвкладвносятслучайныеотклоненияотмонотоннойзакономерности,чтосвязано с недостаточным числом реализаций для получения точ-ных усредненных оценок. Поэтому применено сглаживание сред-нихзначенийминимизируемогокритерия.теоретическоезначениекритериядостигаетсяприрасчетномзначенииσq,близкомкноми-нальному(k(σq)≈0,96).

таким образом, определение статистических характеристик по-грешностей измерений и шума системы возможно на основе по-следовательногоанализарезультатовуточненияпараметроворбитыпрималомибольшомзначенияхмерногоинтервала.

Рис. 4.28. Сечениефункциирис.4.22

15


Рассмотренный выше пример определения параметров σz и σq от-носится к условиям, когда значение отношения «сигнал/шум»Sn=σq /σz=0,06 было относительно небольшим (вариант1). Этопозволилоопределитьсприемлемойточностьюзначениепараметраσzприобработкеданныхизмеренийнамаломмерноминтервале.

Рассмотрентакжеслучайсущественнобольшегоотношения«сиг-нал/шум» (вариант2, σz=0,0006с). На рис.4.30 представлена за-висимостьминимизуемогокритерияотрасчетныхзначенийпара-метровσzиσqприnz=20.Видно,чтовэтомслучае,посравнениюс данными рис.4.27, влияние вариаций параметра σq проявляетсясущественноболеесильно.

Для определения параметра σz применялся мерный интервал, со-стоящий из 5 измерений, при случайно выбранном значенииσq=0,00012с/виток(какврассмотренномвышепримере).Зависи-мостькритерияотварьируемыхзначенийпараметраσzпредставле-нанарис.4.31.егоформа—такаяже,какурис.4.27.

Видно,чтотеоретическоезначениекритериядостигаетсяприрас-четном значении σz=1,005×0,006с. В данном примере погреш-ность определения параметра σz составила ~1,5%. Определениепараметраσqподаннымрис.4.26трудностейневызывает,таккак

Рис. 4.29. Сечениефункциирис.4.23


160

величина критерия существенно изменяется при вариациях пара-метра σq. таким образом, и при увеличении отношения «сигнал/шум»возможноопределениепараметровσzиσqнаосновепоследо-

Рис. 4.30. ЗначениякритерияпривариацияхрасчетныхСКО.Вариант2

Рис. 4.31. Вариант2.Сечениезависимостикритерияотσzприσq=0,00012с/виток

161


вательногоанализарезультатовуточненияпараметроворбитыпрималомибольшомзначенияхмерногоинтервала.

В заключение раздела рассмотрим данные об СКО фактическихвременных погрешностей на момент последнего измерения. Ониопределялись на модели для каждого из вариантов и для каждогосочетаниярасчетныхзначенийпараметровσzиσqприnz=20.Со-ответствующиерезультатыпредставленывтабл.4.13и4.14.

Таблица 4.13. СКОпогрешностейприрасчетахповарианту1(с)

Значения k(j) для σz

Значения корректирующего коэффициента k(j) при варьировании σq

1/10 1/3 1 3 10

1/10 0,00452 0,00479 0,00529 0,00565 0,006031/3 0,00608 0,00480 0,00495 0,00511 0,005741 0,01334 0,00588 0,00449 0,00469 0,005313 0,02466 0,01354 0,00530 0,00439 0,00477

10 0,03116 0,02795 0,01381 0,00570 0,00452

Таблица 4.14. СКОпогрешностейприрасчетахповарианту2(с)

Значения k(j) для σz

Значения корректирующего коэффициента k(j) при варьировании σq

1/10 1/3 1 3 10

1/10 0,00055 0,00057 0,00059 0,00060 0,000591/3 0,00067 0,00056 0,00057 0,00059 0,000601 0,00153 0,00066 0,00056 0,00057 0,000593 0,00439 0,00141 0,00066 0,00055 0,00058

10 0,01374 0,00434 0,00148 0,00069 0,00054

Из представленных в таблицах данных видно, что минималь-ные погрешности достигаются при отношениях «сигнал/шум»(Sn=σq /σz ), соответствующих номинальному значению этого от-ношения Sn=0,6. Они выделены жирным шрифтом. При умень-шенииэтогоотношения(левыйнижнийуголтаблиц)погрешностисущественноувеличиваются(внесколькораз).Приувеличенииот-ношения«сигнал/шум»(правыйверхнийугол)погрешноститакжеувеличиваются,нонезначительно.Данныйрезультатвполнеожи-даем:присовпаденииреальныхирасчетныхСКОисточниковоши-бокрезультатыуточненияявляютсяоптимальнымипоточности.


162

4.5. выводы

1. ВсовременныхмоделяхгравитационногополяЗемлиСКОпо-грешностейопределениякоэффициентов(σn)неменьшезначе-ния ~10–9. Для этого значения СКО оптимальному числу учи-тываемых гармоник соответствует степень 95n* = . Однако напрактике в алгоритмах прогнозирования движения спутниковучитываетсяменьшеечислогармоник.Наосновеопытаприме-нениятойилииноймоделидвиженияспутниковпользовательустанавливает максимальное число членов разложения грави-тационногопотенциала,которыеучитываютсявправыхчастяхуравненийдвижениявалгоритмепрогнозирования.Этотопыт,а также данные рис.2.6 и 4.1 рекомендуется использовать длявыборасоответствующегозначенияпараметраσn.

2. 10февраля2009г.в16ч56минпроизошлостолкновениеспут-ников «Иридиум-33» и «Космос-2251». Данные об их столкно-вении предоставляют уникальную возможность для точнойоценки погрешностей прогнозирования. В результате анализадоступныхорбитальныхданныхпоказано,чтоприпрогнозиро-вании корреляционных матриц в качестве первого приближе-нияможноиспользоватьзначениепараметраσn=10–9.Вдаль-нейшем,приучетеметодикиполученияначальныхусловийиихточности,значениеэтогопараметраможетбытьуточнено.

3. Выполненанализвлияниягравитационныхвозмущенийнаточ-ность определения и прогнозирования орбит спутников типаGPS. В результате анализа «чистого» влияния погрешностейрасчетныхпараметровгравитационногополяустановлено:

• зависимость СКО погрешностей прогноза от времени име-етвековуюипериодическуюсоставляющие;приинтервалахпрогноза до 1сут периодическая составляющая примерно в4…8разбольшевековойсоставляющей;

• вековая составляющая имеет линейный характер и увели-чивается на 5 и на 0,5см за 1сут соответственно для двухрассмотренных вариантов значений параметра σn=10–9 иσn=10–8.

Эти оценки погрешностей не учитывают влияния погрешностейначальныхусловий (НУ),которыесамизависятотмногихфакто-

163

4.5. Выводы

ров:методикиполученияНУпоизмерениям,точностиизмерений,числаучитываемыхчленовразложениягравитационногопотенци-алаидр.

При анализе погрешностей прогноза с учетом погрешностей НУна модели рассмотрено применение метода наименьших квадра-тов(МНК)имодификацииметодамаксимальногоправдоподобия(ММП),котороевданномслучаехарактерноучетомшумовмоделидвижения.Наосновепредставленныхрезультатовсделаныследую-щиевыводы.

• РазницамеждурезультатамипримененияМНКиММП(безучета и с учетом гравитационных шумов при взвешиванииизмерений) растет по мере увеличения отношения «сигнал/шум», т.е. уровня гравитационных шумов по сравнению спогрешностями измерений. если при отношении «сигнал/шум»,равном0,4,результатыпрактическисовпадают,топриотношении 10 применение ММП с учетом гравитационныхшумовобеспечиваеттрехкратноеповышениеточности.

• Полученные оценки погрешностей прогнозирования доста-точно хорошо согласуются с данными о «чистом» влияниигравитационныхвозмущений.Этосогласиепроявляетсятемлучше,чембольшеотношение«сигнал/шум».

• Применение методики уточнения и прогноза параметроворбит навигационных спутников с учетом гравитационныхшумов является перспективным направлением дальнейшихработ.

Сравнение данных статьи Д.Валладо (Vallado, 2007) , содержащейоценкиточностипрогнозированиявекторасостояниядвухспутни-ков типа GPS, с изложенными выше результатами исследованийпоказало, что между полученными оценками погрешностей про-гнозированиянетсущественныхпротиворечий.

4. Рассмотренаметодиканастройкипараметровшумов.Онаосно-вананаиспользованииминимизируемогокритерияупомянутойвыше модификации ММП. А именно, используется свойство,чтовточкедостиженияминимумазначениекритерияявляетсяслучайнойвеличиной,распределеннойпозаконуχ2счисломсте-пеней свободы, равным общему числу измерений минус число


уточняемых параметров. При этом среднее значение критериявточкедостиженияминимумаравнообщемучислуизмеренийминусчислоуточняемыхпараметров.

Наконкретномпримерепоказано,чтопринебольшомотношении«сигнал/шум» уточнение СКО погрешностей измерений возмож-но на основе применения МНК при небольшом мерном интерва-ле. Сиспользованием этого способа определены погрешности такназываемых «двухрядных элементов орбит» (TLE) столкнувшихсяспутников«Иридиум-33»и«Космос-2251».

ДляопределенияСКОпогрешностейизмеренийишумасистемывболее общем случае используются результаты применения ММП.ОпределениеСКОвыполняетсявдваэтапа.Напервомэтапепри-менениемалогомерногоинтервалапозволяетуменьшитьвлияниешумасистемыназначениекритерияинаэтойосновенайтипри-ближенное значение СКО ошибок измерений. На втором этапеприменение большого мерного интервала позволяет определитьСКО шума системы. Эффективность этого способа определенияСКО источников погрешностей подтверждена большим количе-ствомэкспериментовнаимитационноймодели.

таким образом, определение статистических характеристик по-грешностейизмеренийишумасистемывозможнонаосновепосле-довательного анализа результатов уточнения параметров орбиты спомощьюММПпрималомибольшомзначенияхмерногоинтер-вала.

5. В приложенияхг и Д приведены тексты компьютерных про-грамм,которыеприменялисьприанализеточностиTLEиприопределенииСКОпогрешностейизмеренийишумасистемынаимитационноймодели.

165

заключение

характернойособенностьюподходакрешениюрассматриваемойвмонографиипроблемыявляетсято,чтонеучтенныевмоделидви-жения гравитационные возмущающие ускорения принимаютсястационарным гауссовым цветным шумом. Методические вопро-сы, связанные с построением статистических характеристик этихвозмущений и их применением для прогнозирования корреляци-оннойматрицыпогрешностейвекторасостоянияспутников,под-робнорассмотренывразд.2и3.

Изложенный в монографии подход отличается от традиционного.Обычноприкладныебаллистическиеспутниковыезадачирешают-сянаосновепримененияметоданаименьшихквадратов(МНК),вкоторомвесоваяматрицанеучитываетвлияниеслучайныхвозму-щений. Поэтому корреляционная матрица погрешностей МНК-оценокнепозволяетполучитьдостоверныеданныеопогрешностяхпрогнозированиядвижения.

В разд.1 показано, что при прогнозировании движения спутникавозникает взаимная корреляция погрешностей вектора состоянияи значений шума в разные моменты времени. Поэтому для обе-спечениякорректногопрогнозированиякорреляционнойматрицыпогрешностейвекторасостояниянеобходимоучитыватьэтувзаим-ную корреляцию. Выполнение прогнозирования корреляционнойматрицыпогрешностейбезучетаматрицвзаимнойкорреляциипо-грешностей вектора состояния и шума приводит к неправильнымрезультатам.

Из материалов разд.1 и 4 следует важная прикладная рекоменда-ция, что для корректного определения статистических характе-ристик погрешностей прогнозирования движения спутников не-обходимо перейти от применения МНК к модификации метода


166

максимальногоправдоподобия(ММП),вкоторомвесоваяматрицаучитывает влияние случайных возмущений. Эффект примененияэтогометодазаключаетсянетольковполученииболеедостоверныхоценокпогрешностей,ноивповышенииточностиопределенияипрогнозирования орбит. Последнее обстоятельство актуально длярешенияцелогорядаприкладныхзадач.

Вреальныхусловияхнарядусгравитационнымивозмущенияминаспутникдействуютивозмущениядругогопроисхождения,вчаст-ности атмосферные. В разд.4 отмечалось, что в последние годыбыла выполнена значительная работа по определению вариацийплотности атмосферы и их учету при прогнозировании. В резуль-тате достигнуты существенные успехи в развитии моделей движе-нияивизучениислучайныхпогрешностейпрогнозированиядви-жения КО, вызванных флуктуациями атмосферного торможения.Подробное изложение соответствующих методических вопросови результатов исследований выходит за рамки рассматриваемой вмонографиипроблемы.темнеменее,материалыразд.1и4приме-нимынетолькокгравитационнымвозмущениям,ноиквозмуще-ниямдругогопроисхождения.

Впредисловииотмечалось,чторазработкаметодикидляполученияаприорныхстатистическиххарактеристикпогрешностейпрогнози-рованиядвиженияспутников,пригодныхдляразнообразныхтиповорбит, является одной из новых задач космической баллистики.Получение достоверных статистических оценок погрешностей ак-туальнодлярешениямногихприкладныхзадач,связанныхсзапу-скомКАтаких,например,как:

• выборзапасатоплива,необходимогодляподдержаниязаданныхпараметроворбиты;

• управлениеполетомспутникавпроцессеегоэксплуатации;• корректное использование функциональной спутниковой ин-

формации,котораявырабатываетсявпроцессеэксплуатацииКА;• предсказаниевременииместападенияКА;• оценка вероятности столкновений КА с другими объектами и

принятиемерпопредотвращениюстолкновений.

Достоверная оценка погрешностей прогнозирования является ак-туальной и в интересах контроля за полетом большого числа не-


активных объектов — так называемого космического мусора.Слежение за спутниками ведут системы контроля космическогопространства, которые занимаются каталогизацией всех объектоввОКП.Всвязисбольшимчисломобъектовкосмическогомусораоченьтруднойзадачейявляетсянадежноеотождествлениеполуча-емых измерений с объектами каталога и обнаружение новых объ-ектов. Достоверная оценка погрешностей прогнозирования здесьиграетрешающуюроль.

В связи с ростом техногенного загрязнения околоземного косми-ческогопространстваповысиласьвероятностьстолкновенийКАсболеемелкимиобъектами,которыепоканеподдаютсякаталогиза-ции.Остростоитпроблемауменьшениянижнейграницыразмеровкаталогизированныхобъектов.Решениеэтойпроблемынаосновепривлечения дополнительных измерительных средств связано нетолько с необходимостью обеспечения достоверности статистиче-скихоценокпогрешностейпрогнозирования,ноиснеобходимос-тьюповышенияточностиопределенияипрогнозированияорбит.

Усовершенствование прикладных компьютерных программ, в ко-торыхоценкаточностипрогнозированияспутниковиграетважнуюроль,являетсядостаточносложнойпроблемой.Нарядуспреодоле-ниемобъективныхорганизационныхтрудностейнеобходимоиметьввидуисубъективныйфактор.Какправило,специалистыориен-тированы на применение традиционного подхода; к новшествамониотносятсяскептически.темнеменее,помнениюавтора,объ-ективная реальность заключается в том, что альтернативы изло-женномувмонографииподходунесуществует.Раноилипоздноонзайметсвоедостойноеместовприкладныхпрограммах.Авторна-деется, что описанные в приложениях компьютерные программыоблегчатвнедрениеизложенныхвмонографииалгоритмоввпрак-тикуприкладныхбаллистическихрасчетов.

168

литература

Аким Э.Л.,Энеев Т.М.(1963)Определениепараметровдвижениякосмиче-ских аппаратов по траекторным измерениям // Космич. исслед. 1963.т.1.5.

АнисимовВ.Д. идр. (1975) Прогнозирование и определение орбит искус-ственныхспутниковЗемлисучетомвариацийатмосферноготорможе-ния//Определениедвижениякосмическихаппаратов.М.:Наука,1975.

Демин В.Г. (1968) Движение искусственного спутника в нецентральномполетяготения.М.:Наука,1968.352с.

Дубошин Г.Н. (1968) Небесная механика. Основные задачи и методы. М.:Наука,1968.799с.

Жонголович И.Д.(1952)ВнешнеегравитационноеполеЗемлиисвязанныеснимфундаментальныепостоянные//тр.Ин-татеоретич.астрономии.Вып.3.1952.

Кендалл М.,Стьюард А.(1966)теорияраспределений.М.:Физматгиз,1966.Линник Ю.В. (1962) Метод наименьших квадратов и основы математико-

статистическойтеорииобработкиизмерений.М.:Физматгиз,1962.Маделунг Э.(1960)Математическийаппаратфизики.М.Физматгиз,1960.Мудров В.И., Кушко В.Л. (1976) Методы обработки измерений. М.: Сов.

радио,1976.НазаренкоА.И. (1968) О целесообразности учета новых уточняющих фак-

тороввматематическомописаниинекоторыхсистем//Анализисин-тезсистемавтоматическогоуправления.М.:Наука,1968.С.334–337.

Назаренко А.И.,Маркова Л.Г.(1973)Методыопределенияипрогнозирова-ния орбит ИСЗ при наличии погрешностей в математическом описа-ниидвижения//Прикладныезадачикосмическойбаллистики.М.:На-ука,1973.С.36–67.

Назаренко А.И.,Скребушевский Б.С.(1981)Эволюцияиустойчивостьспут-никовыхсистем.М.:Машиностроение,1981.284с.

Рогозин В.П.,Зуева А.Н.(2007)Совершенствованиегеодезическогообеспе-чения космической навигационной системы «глОНАСС» // Рос. на-учно-технич.конф.«Спутниковыенавигационныесистемыиихрольвжизнисовременногочеловека».НПОПМЖелезногорск,окт.2007.

СубботинМ.Ф.Курснебесноймеханики.т.2.М.;л.:ОНтИНКтП,1937.ЭльясбергП.Е. (1976) Определение движения по результатам измерений.

М.:Наука,1976.

16


1973 Smittsonian Standard Earth III / Ed. E.M.Gaposhkin. Cambridge SAO,1973.

Gersten R.H.,Gore R.C.,Hall N.S.(1967)StatisticalPropertiesofOrbitPerturba-tionsInducedbytheEarth’sAnomalousGravity//J.Spacecraft.1967.V.4.Sep.P.1150.

Hoots F.R.,Roehrich R.L.(1980)ModelforPropagationofNORADElementSets.SpacetrackReportN.3.U.S.AirForce:AerospaceDefenseCommand,1980.

Kalman R.E.(1963)NewMethodsinWienerFilteringTheory//Proc.1stSymp.EngineeringApplicationsofRandomFunctionTheoryandProbability/Ed.J.L.Bogdanoff,F.Kozin.N.Y.:JohnWiley&Sons,1963.

Kaula W.M.(1959)StatisticalandHarmonicAnalysisofGravity//J.Geophysi-calResearch.1959.V.64.Dec.P.2411–2418.

Kaula W.M.(1966)TheoryofSatelliteGeodesy.BlaisdellPub,Mass.,1966.Khutorovskiy Z.N. etal. (2009) Analysis of the Iridum33 – Cosmos2251 Colli-

sion Prediction Using Information of Russian Space Surveillance System//27thIADC.Darmshtadt,2009.

Lemoine F.G. etal. (1998) The Development of the Joint NASA GSFC andNIMA Geopotential Model EGM96. NASA Goddard Space Flight Center.NASA/TP-1998-206861.July1998.

Marsh J.G.etal.(1990)TheGEM-T2GravitationalModel//J.GeophysicalRe-search.1990.V.95.N.B13.

Nazarenko A.I. (1991) Apriori and a Posteriori Orbit Prediction Errors Evalu-ations of Low Artificial Earth Satellite // Kosmicheskie Issledovaniya. 1991.V.29.N.4.

Nazarenko A.I. (1991) Determination and Prediction of Satellite Motion at theEndoftheLifetime//Intern.WorkshoponSalyut-7/Kosmos-1686Reentry,ESOC,Darmstadt(G),9April1991.

Nazarenko A.I.(1998)DeterminationandPredictionofOrbitswithDueAccountof Disturbances as a “Color” Noise // AAS/AIAA Space Flight MechanicsMeeting.Monterey,CA.Feb.1998.AAS98-191.

Nazarenko A.I.(2007)AccuracyofDeterminationandPredictionOrbitsinLEO.EstimationErrorsDependingonAccuracyandAmountofMeasurements//7thUS/RussianSpaceSurveillanceWorkshop.Monterey.Oct.–Nov.2007.

Nazarenko A.I. (2009) Increasing the Accuracy of Orbit Forecasting on the Ba-sisofImprovementofStatisticalMethodsforProcessingMeasurements//5thEuropeanConf.SpaceDebris.Darmstadt.30Mar.–02Apr.2009.

Nazarenko A.I.,Alfriend K.T.(2009)Developmentofthetechniqueforcovarianceprediction using the gravity color noise // Space Flight Mechanics MeetingheldinSavannah,GA.Feb.8–12,2009.AAS-09-230.

Nazarenko A.I.,Cherniavskiy G.M.(1996)EvaluationoftheAccuracyofForecastSatellite Motion in the Atmosphere // 2nd US/Russian Space SurveillanceWorkshop.Poznan,Poland.4–6July1996.P.6–17.

Nazarenko A.I.,Yurasov V.S.,Alfriend K.T.,Cefola P.J.(2007a)OptimalMeasure-mentFilteringandMotionPredictionTakingIntoAccounttheAtmosphericPerturbations//AAS/AIAAConf.,Mackinac.Aug.2007.AAS07-363.

Nazarenko A.I.,Yurasov V.S.,Alfriend K.T.,Cefola P.J.(2007b)Optimalmeasure-ment filtering and motion prediction taking into account the atmospheric


perturbations // 7th US/Russian Space Surveillance Workshop. Oct. 8–12,2007.NavalPostgraduateSchool,Monterey,California.

Pavlis N.K.,Holmes S.A.,Kenyon S.C., Factor J.K.(2008)AnEarthGravitationalModel to Degree 2160: EGM2008. EGU General Assembly 2008. Vienna,Austria,April13–18.2008.

Tapleyetal.(1994)TheJGM-3GravityModel//AnnalesGeophys.1994.V.12.Suppl.C192.

Vallado D.A.(2004)FundamentalsofAstrodynamicsandApplications.PublishedjointlybyMicrocosmPressandKluwerAcademicPublishers,2004.966p.

Vallado D.A. (2007)AnAnalysisofStateVectorPredictionAccuracy//7thUS/RussianSpaceSurveillanceWorkshop.Monterey.Oct.–Nov.2007.

Wright J.R.(1981)SequentialOrbitDeterminationwithAuto-CorrelatedGravityModelingErrors//AIAA.J.GuidanceandControl.1981.V.4.N.2.May–June1981.P.304.

Wright J.R. еtal. (2008a) Orbit Gravity Error Covariance // 18th AAS/AIAASpace Flight Mechanics Meeting. Galveston, Texas, Jan. 2008. Paper AAS08-157.

Wright J.R. еtal. (2008b) Orbit Covariance Inner Integrals with Polynomials//18thAAS/AIAASpaceFlightMechanicsMeeting.Galveston,Texas, Jan.2008.PaperAAS08-161.

Yurasov V.S.,Nazarenko A.I.,Cefola P.J.,Alfriend K.T. (2004)ResultsandIssuesofAtmosphericDensityCorrection//14thAAS/AIAASpaceFlightMechan-icsConf.Maui,Hawaii.Feb.2004.AAS04-305.Published in theJ.Astro-nauticalSociety.2004.V.52.N.3.July–Sept.

Yurasov V.S., Nazarenko A.I., Cefola P.J., Alfriend K.T. (2005a) Density Correc-tions for the NRLMSIS-00 Atmosphere Model // AAS/AIAA Space FlightMechanicsConf.CopperMountain,Co.Jan.23–27,2005.AAS05-168.

Yurasov V.S., Nazarenko A.I., Alfriend K.T., Cefola P.J. (2005b) Reentry TimePredictionUsingAtmosphericDensityCorrections//4thEuropeanConf.onSpaceDebris.Darmstadt,Germany.Apr.2005.

Yurasov V.S.,Nazarenko A.I.,Cefola P.J.,Alfriend K.T.(2005c)ApplicationoftheARIMAModeltoAnalyzeandForecasttheTimeSeriesofDensityCorrec-tions forNRLMSIS-00//AAS/AIAAAstrodynamicsSpecialistConf.LakeTahoe,CA.Aug.2005.AAS05-256.

Yurasov V.S.,Nazarenko A.I.,Cefola P.J.,Alfriend K.T.(2006)Directdensitycor-rectionmethod:Reviewofresults//57thIntern.AstronauticalCongress.Va-lencia,Spain2006.PaperIAC-06-C1.5.2.

171

П р и л о ж е н и е Aобоснование формул (2.42) и (2.43)

А.1. Используемые тождества и обозначения

( )221

kkn

nk k

d PP x x

dxæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

= - , (Pn=Pn0(x)—полиномлежандра). (А.1)

( ) ( )( )1 1

21 11 2 1

k k kn n n

nk k k

d P d P d Px kx P x n k n k

dx dx dx

+ -æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç + -è ø- - =- + + -

(Дубошин,1968,с.175). (А.2)

( )( )112 2

11 1 1k kk k

n nk k

d P d Pd x n k n k xdx dx dx

--æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç -è ø è ø

é ùê ú- =- + + - -ê úê úë û

(Дубошин,1968,с.175). (А.2′)

( )

( )( )

11 22 21

1221

1 2 1

1 1 .

k kk kn n

nk k

kkn

k

d P d Px kx x P x

dx dxd P

n k n k xdx

+- -æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+è ø è ø

--æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø

- = - -

- + + - -

(А.2″)

( )22

21 1 01

nknk

dPd kx n n Pdx dx x


é ù é ùê ú ê ú- + + - =ê ú ê ú-ê ú ë ûë û

(Дубошин,1968,с.158). (А.3)

( )21 1nn

dPd x n n Pdx dx


é ùê ú- =- +ê úê úë û

, (А.3′)

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

21 12

1 1

2 !d 1 d

2 1 !

kkk nnn nk nk k

n kd PI P x P x x x x

n n kdxæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

- -

æ ö +÷ç ÷ç ÷= = - =ç ÷ç ÷ + -÷çè øò ò

(Дубошин,1968,с.176). (А.4)

п р и л о ж е н и е А

172

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

11

, 1 , 11

2 1 !d

2 1 1 !k

nn n k n k

n kI P x P x x

n n k-

- --

+ -= =

+ - +ò , (А.4′)

( ) ( ) ( )1

21

?1

kn nk nk

dxG P x P xx-

= =-ò (2.42). (А.5)

( ) ( ) ( )12

1

1 d ?nk nkdP x dP xx x

dx dx-

- =ò (2.43). (А.6)

А.2. Определение интеграла (А.5)Дляопределенияинтеграла(А.5)примениминтегрированиепочастям:

( ) ( ) ( )1 1 12

' 21 1

11 11 12 21 1

1

.5 1 d1

11 1 d .

1

k kkk n nn nk nk k k

k k k kk kn n n n

k k k k

d P d PdxA G P x P x x xx dx dx

d P d P d P d Pdx x xdxdx dx dx dx

-æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø- -

- -- -æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- -è ø è ø-

= = = - =-

é ùê ú= - - -ê ú- ê úë û

ò ò

ò

(А.7)

Здесьпервоеслагаемоеравно0(приk>0).Раскроемквадратнуюскобкувовторомслагаемом.Используятождество(A.2′),получим

( )

( )( )

11 1 22 2 21

12 22 21

1 1 1 2 1

2 1 1 1 .

k k kk k kn n n

k k k

k kk kn n

k k

d P d P d Pd x x k x xdx dx dx dx

d P d Px x n k n k x

dx dx

+- - -æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç+è ø è ø è ø

-- -æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç -è ø è ø

é ùê ú- = - - - - =ê úê úë û

= - - + + - -

(А.8)

Подстановка(А.8)в(А.7)приводитквыражению

( )

( )( )

( )( ) ( )

1 1221

11 1 122

1 11

1 11 121

1

2 1 d

1 1 d

1 1 d 1 .1

k kkk n nn k k

k kkn n

k k

k kk kn nnk k

d P d PG x x x

dx dx

d P d Pn k n k x x

dx dx

d P d Pd x x n k n k Gk dx dx dx

--æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø-

+ - --æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - -è ø-

--æ ö -÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø-

=- - +

+ + + - - =

= - + + + --

ò

ò

ò

(A.9)

Первоеслагаемоев (А.9)можноупростить,применяяинтегрированиепочастямивведяобозначения

( )1 1 112

1 11

1 dk kkk n n

n k k

d P d PJ x x

dx dx

- +-æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - +è ø-

= -ò , (A.10)

173

Обоснование формул (2.42) и (2.43)

( ) ( )

1 1 11 12 21 1

121 1 1 11 12 2

1 11 1

11 d 1

1

1 d 1 d

k k k kk kn n n n

k k k k

k k kk k k kn n nn nk k k

d P d P d P d Pd x x xdx dx dx dx dx

d P d P d Px x x x G J

dx dx dx


- +- -æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç - +è ø è ø- -

- = - --

æ ö÷ç ÷ç ÷- - - - =- - ×ç ÷ç ÷÷çè ø

ò

ò ò

(A.11)

Подстановка(А.11)в(А.9)приводиткуравнению

( ) ( ) ( )( ) ( )11 11

k k kkn n n nG G J n k n k G

k

æ ö÷ -ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø=- + + + + -

-. (А.12)

егорешениеотносительноискомойоценки:

( ) ( )( ) ( ) ( )11 11k k kn n n

kG n k n k G Jk k

--= + + - - . (А.13)

Для получения окончательного результата необходимо определить инте-грал(А.10).Примениминтегрированиепочастямииспользуемтождество(А.2′):

( )

( )( ) ( )( ) ( )

11 11 12 21 1

11 22 12

21

11 1 d

1

1 2 1 d 1 2 .

k k k kk kk n n n nn k k k k

k kk kn nnk k

d P d P d P d PdJ x x xdxdx dx dx dx

d P d Pn k n k x x n k n k J

dx dx


--æ ö -÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø-

é ùê ú= - - - =ê ú- ê úë û

= + - + - - = + - + -

ò

ò (A.14)

Проанализируемзначенияинтегралов ( )knG и ( )k

nJ приk=1иихсумму:

()21

1

1

dnn

dPG x

dx

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø-

= ò , (А.15)

()1 2

12

1

dnn n

d PJ P x

dx-

=ò , (А.16)

() ()1 12

1 12

1 1

1d d

1n n n n n

n n n n ndP dP d P dP dPdG J P x P x Pdx dx dx dx dxdx- -

é ù é ùê ú ê ú+ = + = =ê ú ê ú -ë ûê úë ûò ò . (А.17)

ЗначенияфункцийPnи ndPdx

вточкахx=1иx=–1известны:

()1 1nP = , ( ) ( )1 1n

nP - = - ,( ) ( )1

1 12

nx

dP xn n

dx

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç =÷ç ÷çè ø= + ,

( ) () ( )1

11 12

nnx

dP xn n

dx

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç =-÷ç ÷çè ø=- + . (А.18)

п р и л о ж е н и е А

174

Подстановказначений(А.18)в(А.17)приводиткрезультату

() () ( )1 1 1n nG J n n+ = + . (А.19)

Выведемформулудлязначенийинтеграла ()1nG приразныхn.Воспользу-

емсятождеством(2.22):

11

n nn

dP dPx nP

dx dx-

-= + . (А.20)

Послеподстановки(А.20)в(А.15)идовольногромоздкогоинтегрированияпочастямполученследующийрезультат:

( ) ( ) ( )2 11 1n n 1G n G n n-= + = + . (А.21)

Справедливость этой формулы легко проверить путем вычисления инте-гралов (А.15) при малых n. Из (А.19), (А.21) и (А.14) следует важный ре-зультат

( ) 0knJ = . (А.22)

Поэтомуформула(А.13)упрощается

( ) ( )( ) ( )11 1k kn n

kG n k n k Gk

--= + + - . (А.23)

Применимеедляпоследовательногоопределения ( )knG приразныхk:

() ( )1 1nG n n= + ,

( ) ( )( ) ()2 11 2 1 22n nG n n G= + + - ,

( ) ( )( ) ( )3 22 3 1 33n nG n n G= + + - ,

………………………,

( ) ( )( ) ( )1 22 1 1 11

k kn n

kG n k n k Gk

- --= + - + - +-

. (A.24)

Перемножениеэтихзначенийвсоответствиисформулой(А.23)приводиткрезультату:

( ) ( )( )

!1!

kn

n kG

k n k

+=

-. (А.25)

такимобразом,построенаформуладляопределенияинтеграла(2.42).

А.3. Определение интеграла (А.6)Приопределенииэтогоинтегралаприменимтождество(А.3),обозначения(А.4),(А.5)иинтегрированиепочастям:

Обоснование формул (2.42) и (2.43)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

12

11

2 2

11 1

22

1 12

1 d

11 1 d

1

1 d1

1 .

nk nk

nk nknk nk

nk nk nk nk

k knn n

dP x dP xx x

dx dx

dP x dP xdx P x P x xdx dx dx

dxn n P x P x x k P x P xx

n n I k G

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø-

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø-

- -

- =

é ùê ú= - - - =ê ú

- ê úë û

= + - =-

= + -

ò

ò

ò ò

(А.26)

Значенияинтегралов ( )knnI и ( )k

nG приведенывыше.Поэтомуокончательномыможемзаписать:

( ) ( ) ( )

( )( )1

2

1

! 2 11 d

2 1!nk nkdP x dP x n k n n

x x kdx dx nn k

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø-

é ù+ +ê ú- = -ê úê ú-- ë ûò . (А.27)

такимобразом,построенаформуладляопределенияинтеграла(2.43).

176

П р и л о ж е н и е БПрограмма для построения автокорреляционных функций

случайных гравитационных возмущений в связанной с землей системе координат

Б.1. Исходные данные и константы алгоритмаИсходныеданные:

h—высотаточкикм;sigman—СКОпогрешностейнормированныхкоэффициентов(σn);nmax—максимальнаястепеньучитываемыхприпрогнозированиигар-моник.

Константы:nmaximum=1000 — максимальная степень гармоник при суммирова-нии;mu=398600—гравитационнаяпостояннаякм^3/сек^2;Re=6378—экваториальныйрадиусЗемликм;nq=45—числоразбиенийаргументафункцииkr(ψ)наинтервалы;dq=pi/180—величинаинтерваларазбиенияаргументаψ1°.

Б.2. Структура программыВ основу вычислений СКО гравитационных возмущений по радиусу (σr)и нормированной автокорреляционной функции kr (ψ) положены форму-лы (2.63) и (2.64). Значения 2 2

nk nkc dδ δæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø+ вычисляются по формуле (2.52)

сучетомчислаучитываемыхприпрогнозегармоник(nmax).Оптимальноечисло учитываемых гармоник рассчитывается по формуле (2.18). Однакоэтаоценкаимеетсправочныйхарактер:вдальнейшихрасчетахонанеис-пользуется.ПолиномылежандраPn+1,0(x)вычисляютсяпорекуррентнойформуле(2.21)вциклепостепенямn.Крометого,всоответствиисформу-

лой(2.65)вычисляетсяинтеграл ( )0

dmax

rkψ

ψ ψò (приψmax=45°).

Исходныеданныевводятсяпользователемвинтерактивномрежимеспо-мощьюклавиатуры.

177

программа для построения автокорреляционных функций…

Программасодержитдваосновныхцикла:• внешнийциклпозначениямуглаψвинтервалеот0до45°;• внутреннийциклпозначениямстепениполиномовлежандраn вин-

тервалеот2доnmaximum=1000.

Б.3. Результаты расчетаРезультатырасчетазаписываютсявфайл«kor_psi.dat».Нижепредставленпримерэтогофайла.Примечаниявыделеныкурсивом.

CORRELATION FUNCTION of GRAVITY FORCESsigma n= 1.0E-0009, h= 700 km, nmax= 36 (Исходныеданные)n optimal=94 (Оптимальнаястепеньучитываемыхгармоник)sigma r=0.1012 miligal (СКОгравитационныхвозмущенийσr )psi kq(psi) (Автокорреляционнаяфункцияkr (ψ))

0 1.000 1 0.920 2 0.708 3 0.434 4 0.183 5 0.017 6 -0.038 7 -0.003 8 0.075 9 0.14210 0.16311 0.12712 0.05113 -0.03414 -0.09715 -0.11916 -0.09717 -0.04618 0.01219 0.05420 0.06821 0.05322 0.01723 -0.02424 -0.05425 -0.06426 -0.05227 -0.024

п р и л о ж е н и е б

178

28 0.00729 0.03130 0.04031 0.03332 0.01533 -0.00634 -0.02435 -0.03136 -0.02837 -0.01538 0.00039 0.01340 0.01941 0.01842 0.01143 0.00144 -0.00745 -0.011

Spsi=Sum(corr)= 2.94574 degree (Интеграл(2.65))

Б.4. Текст программыProgram PRILOG_B; Calculation sigma(r) 08.09.2008 const

nmaximum=1000;mu=398600; km^3/sec^2 Re=6378; km nq=45;dq=pi/180; 1 grad

typevpsi=array[0..nq] of real; jq

varR_to_r,sigman,Spsi,h,eta,g,r:double;kpsi:vpsi;Pl1,Pl2,Pl3,psi,cospsi,dn,xn,partn,Sumn,-sqrtS,Scor,corr,SS:double;nm,n,jq,nmax:integer;fa1:text;------------------------------------------------Procedure Legandr(P1,P2,x:double;nx:integer);BeginPl3:=((2*nx-1)*x*P2-(nx-1)*P1)/nx;End;------------------------------------------------BEGINassign(fa1,’kor_psi.dat’);rewrite(fa1);

17

программа для построения автокорреляционных функций…

writeln(‘ ‘);writeln(fa1,’ ‘);writeln(‘CORRELATION FUNCTION of GRAVITY FORCES’);writeln(fa1,’CORRELATION FUNCTION of GRAVITY FORCES’);writeln(‘ ‘);writeln(fa1,’ ‘);

writeln(‘Input altitude h, km’); Ввод исходных данных readln(h);r:=Re+h;R_to_r:=Re/r;writeln(‘Input sigma n value’);readln(sigman);Writeln(‘Input maximal degree of harmonix taking into account’);readln(nmax);

writeln(‘sigma n=’,sigman:10,’, h=’,h:5:0,’ km’,’, nmax=’,nmax:3);writeln(fa1,’sigma n=’,sigman:10,’, h=’,h:5:0,’ km’,’, nmax=’,nmax:3);

nm:=trunc(0.003/sqrt(sigman)); n optimal writeln(‘ ‘);writeln(‘n optimal=’,nm:4);writeln(fa1,’ ‘);writeln(fa1,’n optimal=’,nm:4);-----------------------------------------dn:=R_to_r*R_to_r; (Re/r)^2 g:=(mu/r/r)*100000000; milygal

*********************************Sumn:=0;FOR jq:=0 to nq do begin 1-й цикл jq psi psi:=dq*jq;cospsi:=cos(psi);Pl1:=1.5*cospsi*cospsi-0.5;Pl2:=2.5*cospsi*cospsi-1.5*cospsi;Scor:=0;xn:=dn;for n:=2 to nmaximum do begin 2-й цикл n if n=2 then Pl3:=Pl1;if n=3 then Pl3:=Pl2;if n>3 then Legandr(Pl1,Pl2,cospsi,n); Обращение к процедуре

xn:=dn*xn;if n<=nmax then eta:=2*sigman*sigman eta

else eta:=sqr(1.2e-5/n/n);partn:=xn*(n+1)*(n+1)*(n+0.5);

if jq=0 then beginSumn:=Sumn+partn*eta;

end;Scor:=Scor+partn*eta*Pl3;

п р и л о ж е н и е б

Pl1:=Pl2;Pl2:=Pl3;

end; 2-й цикл n sqrtS:=sqrt(Sumn)*g;

corr:=Scor/Sumn;kpsi[jq]:=corr;

if jq=0 then SS:=0.5*corr SS=sum(corr)else begin

if jq<nq then SS:=SS+correlse SS:=SS+0.5*corr;end;

end; 1-й цикл jq psi Spsi:=SS;

*********************************writeln(‘ ‘); Вывод результатов writeln(‘ sigma r=’,sqrtS:7:4,’ miligal’);writeln(fa1,’ ‘);writeln(fa1,’ sigma r=’,sqrtS:7:4,’ miligal’);writeln(fa1,’ ‘);

writeln(fa1,’psi’,’ kq(psi)’);for jq:=0 to nq do begin

write(fa1,jq:3);writeln(fa1,kpsi[jq]:7:3);

end;

writeln(‘ ‘);writeln(‘ Spsi=Sum(corr)=’,Spsi:9:5,’ degree’);writeln(fa1,’ ‘);writeln(fa1,’ Spsi=Sum(corr)=’,Spsi:9:5,’ degree’);

close(fa1);END.

181

П р и л о ж е н и е вПрограмма для прогнозирования корреляционной матрицы погрешностей вектора состояния с учетом «чистого» влияния

гравитационных возмущений

В.1. Исходные данные и константы алгоритмаИсходныеданные:

h—высотаорбитыкм;sigman—СКОпогрешностейнормированныхкоэффициентов(σn);nmax—максимальнаястепеньучитываемыхприпрогнозированиигар-моник;i—наклонениеорбитыградусы;Nrev—интервалпрогнозированиявитки

Константы:nmaximum=1000 — максимальная степень гармоник при суммирова-нии;mu=398600—гравитационнаяпостояннаякм^3/сек^2;Re=6378—экваториальныйрадиусЗемликм;nq=45—числоразбиенийаргументафункцииkr(ψ)наинтервалы;dq=pi/180—величинаинтерваларазбиенияаргументаψ1°.revmax=100—ограничениенавеличинуинтервалапрогнозавитки.

В.2. Структура программыВосновувычисленийположеныформулы(3.24),(3.25)и(3.43).темсамымприпрогнозекорреляционныхматрицреализуетсяучет«чистого»влиянияслучайныхгравитационныхвозмущений:безучетапогрешностейначаль-ных условий и матрицы взаимной корреляции погрешностей вектора со-стоянияишумасистемывначальныймоментвремениKxq (t0,τ).Исходныеданныевводятсяпользователемвинтерактивномрежимеспо-мощьюклавиатуры.Программасодержит8вспомогательныхпроцедур,которыеперечисленывтаблице.

п р и л о ж е н и е В

182

Вспомогательные процедуры

п/п

Название Назначение Выходные данные

1 Legandr Вычислениеполиномовлежандрапорекуррентнойформуле(2.21)вциклепостепенямn

Pn,0(x)

2 K_psi ПостроениеавтокорреляционнойфункциислучайныхгравитационныхвозмущенийвсвязаннойсЗемлейси-стемекоординат(каквприложенииБ)

σrиkr (ψ)

3 G_matrix ВычислениепроизведенияматрицU(u,u0)(6×6)иB(u)(6×3)

G(u)

4 C_matrix Вычислениепроизведения

( ) ( )1 0 00 0,5 00 0 1

Tj kG u G u

C

5 u1u2 Вычислениезначенийаргументовширотывточкахпересеченияследоворбиты

u1a,u2a,u1b,u2b

6 Massif_jk Вычислениемассивовзначенийширо-тыидолготыточекорбитынаразныхвитках

masj,mask

7 I_general Вычислениедвойныхинтеграловпообщейформуле(3.23)

I0,Ij–k

8 Kx_0 Вычислениеотдельныхслагаемыхсуммы(3.24)

Kxt,(6×6)

Программасодержитдвапоследовательныхциклапозначенияминтерва-ловпрогнозированиявинтервалеот1доNrev :1) прогнозированиесучетомтолькоматрицыI0,т.е.пообластизначений

аргументовширотыu1иu2,относящихсякодномуитомужевитку;ре-зультирующиематрицыобозначеныкакKx0.

2) прогнозированиесучетомтолькоматрицIj–k,т.е.пообластизначенийаргументовширотыu1иu2,относящихсякразнымвиткам;результиру-ющиематрицыобозначеныкакKxk .

СуммарнаякорреляционнаяматрицавычисляетсякаксуммаKxs = Kx0+Kxk .Рассчитываются также значения СКО погрешностей прогнозированиявсехкомпонентоввекторасостояния.

В.3. Результаты расчетаРезультатырасчетазаписываютсявфайл«Kx_matr.dat».Нижепредставленпримерэтогофайла.Примечаниявыделеныкурсивом.

183

программа для прогнозирования корреляционной матрицы погрешностей вектора состояния…

CORRELATION MATRIX OF PREDICTION ERRORS

sigma n= 1.0E-0009, h= 700 km, nmax= 36 (Исходные данные)n optimal= 94 (Оптимальная степень учитываемых гармоник)Prediction i= 76.0 Interval= 15 rev (Исходные данные)

СКО погрешностей элементов орбиты, соответствующие матрице Kx0(j).Все значения умножены на 10 6. Размерности: рад,км,рад,рад,безразмерная,безразмерная sig0[j.jc], j=1...Nrev, jc=1...6 1 0.829 1025.9 0.051 0.053 0.125 0.126 2 2.407 1776.9 0.088 0.092 0.217 0.218 3 4.773 2512.9 0.125 0.130 0.307 0.308 4 7.928 3244.2 0.161 0.168 0.396 0.397 5 11.871 3973.3 0.198 0.205 0.486 0.487 6 16.603 4701.3 0.234 0.243 0.574 0.576 7 22.124 5428.6 0.270 0.280 0.663 0.665 8 28.434 6155.4 0.306 0.318 0.752 0.754 9 35.532 6882.0 0.343 0.355 0.841 0.84310 43.419 7608.3 0.379 0.393 0.930 0.93211 52.095 8334.5 0.415 0.430 1.018 1.02112 61.559 9060.6 0.451 0.468 1.107 1.11013 71.812 9786.5 0.487 0.505 1.196 1.19814 82.854 10512.4 0.523 0.543 1.285 1.28715 94.684 11238.3 0.559 0.580 1.373 1.376

Kx0[jc,jc] Ккомпоненты матрицы Kx0(Nrev),умноженные на 10 1 8965 -868897 -0.000 -0.337 0.103 0.007-868897 126298265 0.000 0.000 -15.005 0.000 -0.000 0.000 0.313 0.000 0.000 0.000 -0.337 0.000 0.000 0.337 0.000 0.000 0.103 -15.005 0.000 0.000 1.886 -0.000 0.007 -0.000 0.000 0.000 -0.000 1.894

Kxk[jc,jc] Ккомпоненты матрицы Kxk (Nrev),умноженные на 10 1 1331.338 -228449 0.013 -0.115 -0.213 0.404 -106873 21344993 0.000 0.000 41.555 -1.467 -0.0128 0.0000 -0.0495 0.0128 0.0000 0.0000 -0.1146 0.0000 -0.0128 0.1146 0.0000 0.0000 -0.3599 41.5554 0.0000 0.0000 0.0180 0.0747 0.3802 1.4674 0.0000 0.0000 -0.0747 0.3328

СКО погрешностей элементов орбиты, соответствующие матрице Kxs (j). Все значения умножены на 10 6. Размерности: рад,км,рад,рад,безразмерная,безразмернаяsigs[j.jc], j=1...Nrev, jc=1...6 2 2.4 1797.3 0.086 0.096 0.217 0.223 3 4.9 2571.1 0.119 0.141 0.307 0.322 4 8.2 3356.1 0.152 0.187 0.399 0.422 5 12.3 4153.7 0.185 0.234 0.490 0.524 6 17.4 4965.6 0.218 0.282 0.583 0.629 7 23.5 5796.5 0.249 0.332 0.675 0.734 8 30.5 6639.3 0.280 0.382 0.768 0.841


184

9 38.4 7499.6 0.310 0.432 0.858 0.94710 47.3 8377.3 0.338 0.483 0.947 1.05311 57.3 9271.3 0.365 0.535 1.035 1.16012 68.3 10180.3 0.390 0.588 1.123 1.26713 80.4 11104.0 0.415 0.641 1.210 1.37614 93.6 12042.5 0.440 0.696 1.298 1.48715 107.8 12999.5 0.463 0.752 1.386 1.600Kxs(rev): Ккомпоненты матрицы Kxs (Nrev ),умноженные на 10 1 11628 -1204220 0.000 -0.566 -0.469 0.790 -1204220 168988252 0.000 0.000 68.106 -0.000 0.000 0.000 0.214 -0.000 0.000 0.000 -0.566 0.000 -0.000 0.566 0.000 0.000 -0.469 68.106 0.000 0.000 1.922 -0.000 0.790 -0.000 0.000 0.000 -0.000 2.559

В.4. Текст программыProgram Prilog_C; Kx=F(Nrev) (6x6) matrix 16.05.2009 const nmaximum=1000; mu=398600; km^3/sec^2 Re=6378; nq=45; dq=pi/180; 1 grad=0.0174 radian Cg=180/pi; revmax=100;

type vpsi=array[0..nq] of real; jq vGmatr=array[1..6] of array[1..3] of double; vCmatr=array[1..6] of array[1..6] of double; vfilamb=array[0..360] of array[1..2] of double; vsig=array[1..revmax] of array[1..6] of double;varincldeg,sigman,h,r,R_to_r,incl,Spsi,Sum,Tdr,P:double;kpsi:vpsi;dlamb0,shift,cosi,u1a,u2a,u1b,u2b,sigt,D-c,uj,uk,Pl3,g,dn:double;rev,nmax,Nrev,tt,jm,jc,kc,jt,jk,nm,n,j,jq:integer;Gt,Gj,Gk:vGmatr;Kx0,Kxk,Kxt,Kxs,Cs,Ct:vCmatr;fa2:text;masj,mask:vfilamb;sig0,sigk,sigs:vsig;------------------------------------------------Procedure Legandr(P1,P2,x:double;nx:integer);BeginPl3:=((2*nx-1)*x*P2-(nx-1)*P1)/nx;End;------------------------------------------------Procedure K_psi;var

185


Pl1,Pl2,psi,cospsi,eta,xn,partn,Sumn,sqrtS,Scor,corr,SS:double;BeginSumn:=0; FOR jq:=0 to nq do begin jq psi psi:=dq*jq; cospsi:=cos(psi); Pl1:=1.5*cospsi*cospsi-0.5; Pl2:=2.5*cospsi*cospsi-1.5*cospsi; Scor:=0; xn:=dn;

for n:=2 to nmaximum do begin n if n=2 then Pl3:=Pl1; if n=3 then Pl3:=Pl2; if n>3 then Legandr(Pl1,Pl2,cospsi,n); xn:=dn*xn; if n<=nmax then eta:=2*sigman*sigman eta else eta:=sqr(1.2e-5/n/n); partn:=xn*(n+1)*(n+1)*(n+0.5); if jq=0 then begin Sumn:=Sumn+partn*eta; sqrtS:=sqrt(Sumn)*g; end; Scor:=Scor+partn*eta*Pl3; Pl1:=Pl2; Pl2:=Pl3; end; n

if jq=0 then Sum:=sqrtS; !! sqrtS corr:=Scor/Sumn; kpsi[jq]:=corr;if jq=0 then SS:=0.5*corr SS=sum(corr) else begin if jq<nq then SS:=SS+corr else SS:=SS+0.5*corr; SS end; end; jq psi Spsi:=SS;End;------------------------------------------------Procedure G_matrix(ut:double); ut - radian varu11,u12,u15,u16,sinu,cosu:double;xx,ctgi,sini,b13,b21,b22,b51,b52,b53,b61,b62,b63:double;g11,g12,g13,g21,g22,g33,g43,g51,g52,g53,g61,g62,g63: double;je,jf:integer;Begin for je:=1 to 6 do for jf:=1 to 3 do Gt[je,jf]:=0; sinu:=sin(ut);


186

cosu:=cos(ut); sini:=sin(incl); ctgi:=cosi/sini; u11:=1; u12:=-1.5*ut/r; u15:=2*sinu; u16:=2*(cosu-1); xx:=Tdr/(2*pi*r); =sqrt(p/mu) b13:=-xx*ctgi*sinu; b21:=0; b22:=2*r*xx; b51:=xx*sinu; b52:=xx*2*cosu; b61:=-xx*cosu; b62:=xx*2*sinu; Gt[1,1]:=u15*b51+u16*b61; Gt[1,2]:=u12*b22+u15*b52+u16*b62; Gt[1,3]:=b13; Gt[2,1]:=b21; Gt[2,2]:=b22; Gt[3,3]:=xx*cosu; = b33 Gt[4,3]:=xx*sinu/sini; = b43 Gt[5,1]:=b51; Gt[5,2]:=b52; Gt[6,1]:=b61; Gt[6,2]:=b62;End;------------------------------------------------Procedure C_matrix;var je,jf:integer;Beginfor je:=1 to 6 do for jf:=1 to 6 do Ct[je,jf]:=0; Ct[1,1]:=Gj[1,1]*Gk[1,1]+0.5*Gj[1,2]*Gk[1,2]+0.5*Gj [1,3]*Gk[1,3]; Ct[1,2]:=Gj[1,1]*Gk[2,1]+0.5*Gj[1,2]*Gk[2,2]; Ct[1,3]:=0.5*Gj[1,3]*Gk[3,3]; Ct[1,4]:=0.5*Gj[1,3]*Gk[4,3]; Ct[1,5]:=Gj[1,1]*Gk[5,1]+0.5*Gj[1,2]*Gk[5,2]+0.5*Gj [1,3]*Gk[5,3]; Ct[1,6]:=Gj[1,1]*Gk[6,1]+0.5*Gj[1,2]*Gk[6,2]+0.5*Gj [1,3]*Gk[6,3]; Ct[2,1]:=Gj[2,1]*Gk[1,1]+0.5*Gj[2,2]*Gk[1,2]; Ct[2,2]:=Gj[2,1]*Gk[2,1]+0.5*Gj[2,2]*Gk[2,2]; Ct[2,5]:=Gj[2,1]*Gk[5,1]+0.5*Gj[2,2]*Gk[5,2]; Ct[2,6]:=Gj[2,1]*Gk[6,1]+0.5*Gj[2,2]*Gk[6,2]; Ct[3,1]:=0.5*Gj[3,3]*Gk[1,3]; Ct[3,3]:=0.5*Gj[3,3]*Gk[3,3]; Ct[3,4]:=0.5*Gj[3,3]*Gk[4,3]; Ct[3,5]:=0.5*Gj[3,3]*Gk[5,3]; Ct[3,6]:=0.5*Gj[3,3]*Gk[6,3]; Ct[4,1]:=0.5*Gj[4,3]*Gk[1,3];

187


Ct[4,3]:=0.5*Gj[4,3]*Gk[3,3]; Ct[4,4]:=0.5*Gj[4,3]*Gk[4,3]; Ct[4,5]:=0.5*Gj[4,3]*Gk[5,3]; Ct[4,6]:=0.5*Gj[4,3]*Gk[6,3]; Ct[5,1]:=Gj[5,1]*Gk[1,1]+0.5*Gj[5,2]*Gk[1,2]+0.5*Gj [5,3]*Gk[1,3]; Ct[5,2]:=Gj[5,1]*Gk[2,1]+0.5*Gj[5,2]*Gk[2,2]; Ct[5,3]:=0.5*Gj[5,3]*Gk[3,3]; Ct[5,4]:=0.5*Gj[5,3]*Gk[4,3]; Ct[5,5]:=Gj[5,1]*Gk[5,1]+0.5*Gj[5,2]*Gk[5,2]+0.5*Gj [5,3]*Gk[5,3]; Ct[5,6]:=Gj[5,1]*Gk[6,1]+0.5*Gj[5,2]*Gk[6,2]+0.5*Gj [5,3]*Gk[6,3]; Ct[6,1]:=Gj[6,1]*Gk[1,1]+0.5*Gj[6,2]*Gk[1,2]+0.5*Gj [6,3]*Gk[1,3]; Ct[6,2]:=Gj[6,1]*Gk[2,1]+0.5*Gj[6,2]*Gk[2,2]; Ct[6,3]:=0.5*Gj[6,3]*Gk[3,3]; Ct[6,4]:=0.5*Gj[6,3]*Gk[4,3]; Ct[6,5]:=Gj[6,1]*Gk[5,1]+0.5*Gj[6,2]*Gk[5,2]+0.5*Gj [6,3]*Gk[5,3]; Ct[6,6]:=Gj[6,1]*Gk[6,1]+0.5*Gj[6,2]*Gk[6,2]+0.5*Gj [6,3]*Gk[6,3];End;------------------------------------------------Procedure u1u2(jj:integer);vardlamb,del,sindL2,cosdL2:double;jit:integer;Begin dlamb0:=shift*jj; dlamb0:=dlamb0-2*pi*trunc(dlamb0/(2*pi)); del:=0; for jit:=1 to 4 do begin dlamb:=dlamb0+del; sindL2:=sin(dlamb/2); cosdL2:=cos(dlamb/2); if sindL2=0 then sindL2:=1.0e-6; u1a:=arctan(cosdL2/sindL2/cosi); if cosdL2/cosi<0 then u1a:=u1a+pi; del:=-shift*(u1a/pi-0.5); 01.06 !!! -del end; u2a:=pi-u1a; u1b:=u1a+pi; u2b:=u2a+pi;End;------------------------------------------------Procedure Massif_jk(jkk:integer); var dL1,dL2,fi1,cosfi1,sinfi1,cosL1,sinL1,sindL1,cosdL1, coslam1,sinlam1,lam1,fi2,cosfi2,sinfi2,c-osL2,sinL2,sindL2,cosdL2, coslam2,sinlam2,lam2,sini:double;Begin


188

sini:=sin(incl); for jt:=0 to 360 do begin uj uj:=dq*jt; sinfi1:=sini*sin(uj); cosfi1:=sqrt(1-sinfi1*sinfi1); fi1:=arctan(sinfi1/cosfi1); dL1:=P*uj; sindL1:=sin(dL1); cosdL1:=cos(dL1); cosL1:=cos(uj)/cosfi1; sinL1:=sqrt(1-cosL1*cosL1); if sinfi1<0 then sinL1:=-sinL1; sinlam1:=sinL1*cosdL1-cosL1*sindL1; coslam1:=cosL1*cosdL1+sinL1*sindL1; If coslam1<>0 then begin lam1:=arctan(sinlam1/coslam1); if coslam1<0 then lam1:=lam1+pi; end; if lam1<0 then lam1:=lam1+2*pi; if (coslam1=0) and (sinlam1>0) then lam1:=pi/2; if (coslam1=0) and (sinlam1<0) then lam1:=1.5*pi; masj[jt,1]:=fi1; masj[jt,2]:=lam1; end; uj

for jt:=0 to 360 do begin uk uj:=dq*jt; sinfi1:=sini*sin(uj); cosfi1:=sqrt(1-sinfi1*sinfi1); fi1:=arctan(sinfi1/cosfi1); dL1:=P*(2*pi*jkk+uj); sindL1:=sin(dL1); cosdL1:=cos(dL1); cosL1:=cos(uj)/cosfi1; sinL1:=sqrt(1-cosL1*cosL1); if sinfi1<0 then sinL1:=-sinL1; sinlam1:=sinL1*cosdL1-cosL1*sindL1; coslam1:=cosL1*cosdL1+sinL1*sindL1;if coslam1<>0 then begin lam1:=arctan(sinlam1/coslam1); if coslam1<0 then lam1:=lam1+pi; end; if lam1<0 then lam1:=lam1+2*pi; if (coslam1=0) and (sinlam1>0) then lam1:=pi/2; if (coslam1=0) and (sinlam1<0) then lam1:=1.5*pi; mask[jt,1]:=fi1; mask[jt,2]:=lam1; end; uk End;------------------------------------------------Procedure I_general(kk:integer);const Cq=0.0001;

18


varpsi,Kq,cosfi1,sinfi1,cosfi2,sinfi2,cospsi,sinpsi,sini,SS,xx:double;j1,j2:integer;Beginu1u2(kk);sini:=sin(incl);Massif_jk(kk);for jc:=1 to 6 do for kc:=1 to 6 do Cs[jc,kc]:=0;xx:=dlamb0*Cg;SS:=0;Dc:=(0.01*Sum)*(Tdr/360); !! 11.06 *1.0 E+6, km/sec^2 1 miligal=(1 km/sec^2)*1.0 E+8 Tdr/360 =time step (sec) related to del u=1 degree for jt:=0 to 360 do begin jt j1:=jt; cosfi1:=cos(masj[j1,1]); sinfi1:=sin(masj[j1,1]); for jk:=0 to 360 do begin jk j2:=jk; cosfi2:=cos(mask[j2,1]); sinfi2:=sin(mask[j2,1]); cospsi:=cosfi1*cosfi2*cos(mask[j2,2]-masj[j1,2])+ sinfi1*sinfi2; if cospsi>0 then begin cospsi>0 if 1-cospsi*cospsi>0 then sinpsi:=sqrt(1-cospsi* cospsi) else sinpsi:=0; if cospsi<>0 then psi:=arctan(sinpsi/cospsi) else psi:=pi/2; if psi<0 then psi:=-psi; jq:=round(psi*Cg); if jq<nq then xx:=kpsi[jq] else xx:=0; end cospsi>0 else xx:=0; if xx<0 then xx:=0; ?? 28.08.09 SS:=SS+xx;

if xx<>0 then begin xx<>0 Calculation Ijk G_matrix(jt/Cg); Gj:=Gt; G_matrix(jk/Cg); Gk:=Gt; C_matrix; for jc:=1 to 6 do for kc:=1 to 6 do Cs[jc,kc]:=Cs[jc,kc]+Ct[jc,kc]*xx*Dc*Dc; *(1.0E-6)^2 xx:=xx; end; xx<>0 Calculation Ijk


10

end; jk end; jt End;------------------------------------------------Procedure Kx_0(tj,ij,ik:integer);varrev1,rev2:real;j1,j2:integer;Begin for j1:=1 to 6 do for j2:=1 to 6 do Kxt[j1,j2]:=Cs[j1,j2]; rev1:=-3*pi*(tj-ij)/r; rev2:=-3*pi*(tj-ik)/r; Kxt[1,1]:=Cs[1,1]+rev1*Cs[2,1]+rev2*Cs[1,2]+rev1*rev2* Cs[2,2]; Kxt[1,2]:=Cs[1,2]+rev1*Cs[2,2]; Kxt[1,3]:=Cs[1,3]+rev1*Cs[2,3]; Kxt[1,4]:=Cs[1,4]+rev1*Cs[2,4]; Kxt[1,5]:=Cs[1,5]+rev1*Cs[2,5]; Kxt[1,6]:=Cs[1,6]+rev1*Cs[2,6]; Kxt[2,1]:=Cs[2,1]+rev2*Cs[2,2]; Kxt[3,1]:=Cs[3,1]+rev2*Cs[3,2]; Kxt[4,1]:=Cs[4,1]+rev2*Cs[4,2]; Kxt[5,1]:=Cs[5,1]+rev2*Cs[5,2]; Kxt[6,1]:=Cs[6,1]+rev2*Cs[6,2];End;------------------------------------------------BEGINassign(fa2,’Kx_matr.dat’); Ввод данных rewrite(fa2);writeln(‘Input altitude h, km’);readln(h);r:=Re+h;R_to_r:=Re/r;writeln(‘Input sigma n value’);readln(sigman);Writeln(‘Input maximal degree of harmonix taking into account’);readln(nmax);writeln(‘sigma n=’,sigman:10,’, h=’,h:5:0,’ km’,’, nmax=’,nmax:3);writeln(fa2,’sigma n=’,sigman:10,’, h=’,h:5:0,’ km’,’, nmax=’,nmax:3);writeln(‘Input inclination value, degree’);readln(incldeg); Inclination writeln(‘Input prediction interval, revolutions’); rev=15; Prediction interval readln(rev);dn:=R_to_r*R_to_r; (Re/r)^2 g:=(mu/r/r)*100000000; mily gal cosi:=cos(incl);Tdr:=exp(1.5*ln(r)+ln(2*pi)-0.5*ln(mu));

11


P:=Tdr/86400;incl:=incldeg*pi/180;shift:=2*pi*P;nm:=trunc(0.003/sqrt(sigman));writeln(nm:4,sigman:10);writeln(fa2,sigman:10,’ n optimal=’,nm:4);K_psi;writeln(fa2,’ ‘);writeln(‘Prediction ‘,’ i=’,incldeg:5:1,’ Interval=’, rev:3,’ rev’);writeln(fa2,’Prediction ‘,’ i=’,incldeg:5:1,’ Interval=’,rev:3,’ rev’);writeln(fa2,’ ‘);writeln(‘sig0[j.jc], j=1...Nrev, jc=1...6’);writeln(fa2,’sig0[j.jc], j=1...Nrev, jc=1...6’);-----------------------------------------for jc:=1 to 6 do begin for kc:=1 to 6 do begin Kx0[jc,kc]:=0; Kxk[jc,kc]:=0; Kxt[jc,kc]:=0; Kxs[jc,kc]:=0; end; end;--------------------------------------I_general(0); k-j=0 for tt:=1 to rev do begin 1-й цикл Prediction 0 for j:=1 to tt do begin Kx_0(tt,j,j); for jc:=1 to 6 do begin for kc:=1 to 6 do begin Kx0[jc,kc]:=Kx0[jc,kc]+Kxt[jc,kc]; end; end; end; for jc:=1 to 6 do sig0[j,jc]:=sqrt(Kx0[jc,jc]); sig0 writeln(j:2,sqrt(Kx0[1,1]):9:3,sqrt(Kx0[2,2]):8:1,sqrt (Kx0[3,3]):6:3,sqrt(Kx0[4,4]):6:3,sqrt(Kx0[5,5]):6:3, sqrt(Kx0[6,6]):6:3); writeln(fa2,j:2,sqrt(Kx0[1,1]):9:3,sqrt(Kx0[2,2]):8:1, sqrt(Kx0[3,3]):6:3,sqrt(Kx0[4,4]):6:3,sq-rt(Kx0[5,5]):6:3,sqrt(Kx0[6,6]):6:3); end; 1-й цикл Prediction 0

writeln(fa2,’ ‘); Вывод результатов Kx0 writeln(fa2,’Kx0[jc,jc] ‘);for jc:=1 to 6 do begin if jc=1 then begin write(fa2,Kx0[jc,1]:11:0,Kx0[jc,2]:11:0); for kc:=3 to 5 do write(fa2,Kx0[jc,kc]:9:3); writeln(fa2,Kx0[jc,6]:9:3); end;


12

if jc=2 then begin write(fa2,Kx0[jc,1]:11:0,Kx0[jc,2]:11:0); for kc:=3 to 5 do write(fa2,Kx0[jc,kc]:9:3); writeln(fa2,Kx0[jc,6]:9:3); end; if jc>2 then begin for kc:=1 to 5 do write(fa2,Kx0[jc,kc]:9:3); writeln(fa2,Kx0[jc,6]:9:3); end; end;--------------------------------------for tt:=2 to rev do begin 2-й цикл Prediction tt=1,...,rev Nrev:=tt;writeln(‘Nrev=’,Nrev:3);for jm:=1 to Nrev-1 do begin Ik-j dlamb0:=shift*jm;dlamb0:=dlamb0-2*pi*trunc(dlamb0/(2*pi));if (dlamb0<pi-shift/2) or (dlamb0>pi+shift/2) then begin Ik-j exists I_general(jm); Cs=Ik-j=Ijm

for j:=1 to Nrev-jm do beginKx_0(Nrev,j,j+jm);for jc:=1 to 6 do begin for kc:=1 to 6 do begin Kxk[jc,kc]:=Kxk[jc,kc]+Kxt[jc,kc]; end; end; end; end; Ik-j exists end; Ik-j

for jc:=1 to 6 do begin sigs[tt,jc]:=sig0[tt,jc]*sig0[tt,jc]+2*Kxk[jc,jc]; if sigs[tt,jc]>0 then sigs[tt,jc]:=sqrt(sigs[tt,jc]) else sigs[tt,jc]:=0; end; end; 2-й цикл Prediction tt=1,...,rev

------------------------------------writeln(fa2,’ ‘); Вывод результатов Kxк writeln(fa2,’ Kxk[jc,jc] ‘);for jc:=1 to 6 do begin if jc=1 then begin write(fa2,Kxk[jc,1]:11:3,Kxk[jc,2]:11:1); for kc:=3 to 5 do write(fa2,Kxk[jc,kc]:9:3); writeln(fa2,Kxk[jc,6]:9:3); end; if jc=2 then begin write(fa2,Kxk[jc,1]:11:1,Kxk[jc,2]:11:0); for kc:=3 to 5 do write(fa2,Kxk[jc,kc]:9:3); writeln(fa2,Kxk[jc,6]:9:3);


end; if jc>2 then begin for kc:=1 to 5 do write(fa2,Kxk[jc,kc]:10:4); writeln(fa2,Kxk[jc,6]:10:4); end; end;

------------------------------------writeln(‘sigs[j.jc], j=1...Nrev, jc=1...6’);writeln(fa2,’sigs[j.jc], j=1...Nrev, jc=1...6’);for Nrev:=2 to rev do beginwriteln(Nrev:2,sigs[Nrev,1]:9:3,sigs[Nre-v,2]:8:1,sigs[Nrev,3]:6:3, sigs[Nrev,4]:6:3,sigs[Nrev,5]:6:3,sigs[Nrev,6]:6:3);writeln(fa2,Nrev:2,sigs[Nrev,1]:9:1,sigs-[Nrev,2]:8:1,sigs[Nrev,3]:6:3, sigs[Nrev,4]:6:3,sigs[Nrev,5]:6:3,sigs[Nrev,6]:6:3); end;--------------------------------------for jc:=1 to 6 do Kxs for jk:=1 to 6 do Kxs[jc,jk]:=Kx0[jc,jk]+Kxk[jc,jk]+ Kxk[jk,jc];

writeln(fa2,’ Kxs(rev): ‘); Вывод суммарных результатов Kxs for jc:=1 to 6 do begin if jc=1 then begin write(fa2,Kxs[jc,1]:11:0,Kxs[jc,2]:11:0); for kc:=3 to 5 do write(fa2,Kxs[jc,kc]:9:3); writeln(fa2,Kxs[jc,6]:9:3); end; if jc=2 then begin write(fa2,Kxs[jc,1]:11:0,Kxs[jc,2]:11:0); for kc:=3 to 5 do write(fa2,Kxs[jc,kc]:9:3); writeln(fa2,Kxs[jc,6]:9:3); end; if jc>2 then begin for kc:=1 to 5 do write(fa2,Kxs[jc,kc]:9:3); writeln(fa2,Kxs[jc,6]:9:3); end; end;--------------------------------------close(fa2);END.

14

П р и л о ж е н и е гПрограмма для анализа точности TLE

на основе их обработки мНк

Эта программа предназначена для адаптивной настройки значений весо-вых коэффициентов (4.25) на основе анализа отношения (4.26) квадратаневязоккдисперсиипогрешностейизмерений.

Г.1. Исходные данные и константы алгоритмаИсходнымиданными(измерениями)являютсякомпонентышестимерноговекторасостоянияспутникавгеоцентрическойинерциальнойсистемеко-ординатдляразличныхмоментоввремени,полученныенаосновепересче-таTLEспомощьюпрограммыSGP4.Нижеприведенпримерфайла(RV_22675.dat), содержащего эти исходные данные (для КА «Космос-2251»,22675)исостоящегоиз62строк:

N t x y z Vx Vy Vz

1 18628.77226482 0.3634661 7180.8488842 0.0000058 -2.0465759756 -0.0075300990 7.1591578565 15 18629.75090341 223.6634792 7177.3373141 0.0000000 -2.0458291162 0.0556778824 7.1591880224.. … … … … … … … … 541 18666.51970769 6683.3602146 2598.6540577 -0.0000510 -0.7606906246 1.9032854138 7.1691446609555 18667.49834365 6760.5719979 2389.3443212 -0.0000528 -0.7012149574 1.9261327782 7.1695597731

Здесь:N—номервиткаотначаламассива;t — время, включающее модифицированную Юлианскую дату (отсчет от00h00m00s01.01.1958)идолисуток;x,y,z—координаты(км);Vx,Vy,Vz—компонентывектораскорости(км/с).

Нижеприведеныосновныеконстантыалгоритмаипояснениякним:n6=6 — размерностьвекторасостояния.nmax=6 — числоизмеренийнамерноминтервале=nmax+1.pr1=2230 — весовойкоэффициентпорадиусу(S ).pr2=150 — весовойкоэффициентпотрансверсали(T ).pr3=1100 — весовойкоэффициентпобинормали(W ).pv1=0.134e+9 — весовойкоэффициентпоVS .

15

программа для анализа точности TLE на основе их обработки МНК

pv2=2.00e+9 — весовойкоэффициентпоVT .pv3=1.60e+9 — весовойкоэффициентпоVW.jbegin=1 — номеризмерения,скоторогоначинаетсяихобработка.Npr1=4 — число«будущих»точекприпрогнозах.deld=0.5; — интервалвыдачиСКОпогрешностейпрогноза(сут).Niter=9 — числоитерацийприуточнениивекторасостояния.Sb=0.003 — баллистическийкоэффициентспутника(м2/кг).F81=72; F=72 — индексысолнечнойактивности.Kp=2.6 — индексгеомагнитнойактивности.El_Name=’RV_22675.dat’ —имяфайлаисходныхданных.

Г.2. Структура программыВ основу вычислений положено итерационное применение формулы(4.18), в которой весовая матрица имеет вид (4.25). В процессе итерацийминимизируется критерий (4.19). После достижения минимума критериядлякаждойкомпонентывектораизмеренийпоформуле(4.26)вычисляют-сяотношенияквадратаневязокксоответствующейаприорнойдисперсии.Этиоценкисуммируютсяизаписываютсявфайл“Kv_forms.dat”.Резуль-татыкаждогоуточнениязаписываютсявфайл“Res6_adp.dat”.Уточненияпараметроворбитывыполняютсяпоследовательно,сиспользованиемвсехисходныхизмерений.ЭтирезультатыприменяютсявкачествеНУдляпро-гноза.Присравнениипрогнозныхданныхс«будущими»измерениямивы-числяютсяневязкиповсемкомпонентамвекторасостояниявподвижнойорбитальнойсистемекоординат.Путемусредненияневязоквычисляютсяихстатистическиехарактеристики:математическоеожидание,среднеква-дратическоезначениеиСКО.Этиданныезаписываютсявфайл“Err5_adp.dat”.

Важнуюрольприрешениирассматриваемойзадачииграетмодельдвиже-ния спутника. Используется численное интегрирование уравнений дви-жениясучетомзональныхгармоникдо8-гопорядкаиторможенияват-мосфере (модель атмосферы гОСт 25645.166-2004). Входные и выходныеданные этой модели движения имеют ту же форму, что и приведенныевыше данные исходных измерений. численное интегрирование уравне-ний движения реализовано в пяти вспомогательных модулях программы(PRG_UNI2, Cnst_UN, Crdn_UN, Clst_UN, Time_UN), которые имеютрасширение“…tpu”.Этимодулисозданывсреде“TurboPascal6”.Обраще-ниекмоделидвиженияимеетвид:

PrgT_UNI(RV0, sgnAtm, val_Sb, n_Sb, FkP, n_FkP, sgnGarm, tNt, RVN,sgnAnsw,sgnSb,sgnFkP,t_end);

Вэтомобращении:RV0 — массивисходныхзначенийкомпонентоввекторасостояния;RVN—массиврезультирующихзначенийкомпонентоввекторасостояния;tNt — время,накотороенадовыполнитьпрогноз.

п р и л о ж е н и е г

16

Остальные аргументы обращения имеют вспомогательный характер. Онииспользуютсядлязаданиясоставаучитываемыхприпрогнозевозмущаю-щихфакторов.

Примечания• Вприменяемоймоделидвижениянеучитываютсявозмущенияоттес-

серальных гармоник. Это сделано потому, что, как показали много-численныеэкспериментыпообработкереальнойинформациивформеTLE, их учет положительного эффекта не дает. Этот парадоксальныйфактобъясняется,по-видимому,тем,чтовсамихTLEпериодическиевозмущенияоттессеральныхгармоникотфильтрованы.

• тексты программных модулей, которые выполняют численное инте-грированиеуравненийдвижения,ниженеприведены.Этообъясняетсяихдостаточнобольшимобъемом.еслиучитателяимеетсясобственныйпрограммныймодульинтегрированияуравненийдвижения,онможетобратитьсякнемуврассматриваемойнижепрограмме.читательможетобратитьсятакженасайтавтораипереписатьтекстыпрограммныхмо-дулейввидефайловсрасширением“…tpu”.

Программасодержит11вспомогательныхпроцедур,которыеперечисленывтаблице.

Вспомогательные процедуры

п/п


1 PrognTime Прогнозирование6-мерноговекторасостоянияназаданныймоментвремени

RVN

2 REV_GAUSS6 Обращениематрицы(6×6) С6

3 Uij РасчетпереходнойматрицыдляпоправокквекторусостоянияворбитальнойсистемекоординатприпрогнозенаNjвитков

u21,u25,u41,u45

4 XtPX6 Расчетодногоизслагаемыхматрицы T

j j jX P X ,относящегосякодномуизмерению

Xt PX

5 XtPZ6 Расчетодногоизслагаемыхматрицы T

j j kX P Z ,относящегосякпервомуизмерению

Xt PZ6

6 Gcalculation Вычислениематрицыразмер-ностью(3×3)ортогональногопреобразованияпоправокизгео-центрическойинерциальнойСКвподвижнуюорбитальнуюСК

G

17


7 Gtranspon транспонированиематрицыG Gtr8 MatrUmnog Умножениематрицы(3×3)на

вектор(3×1)Vect3

9 REV_GAUSS3 Обращениематрицы(3×3) С310 Utotchnenie Обработкаисходныхизмерений

сиспользованиемМНКназа-данноммерноминтервале.

RVt

11 TimeCorrection Аппроксимацияостаточныхвременныхневязокполино-мом2-йстепени.Полученныекоэффициентыиспользуютсядлявычисленияпоправокприпрогнозе

at 0,at 1,at 2

Программасодержитосновнойцикл,которыйорганизуетпоследователь-ныйвыборнеобходимыхизмеренийизфайлаисходныхданных.текущиймассив состоит изnmax+1+Npt1 строк. такое количество данных доста-точнодлявыполненияуточненияпараметроворбитынамерноминтервалеивыполненияпрогнозовна«будущие»Npt1 витков.Вприведенномнижетекстепрограммыначалоиконецэтогоциклавыделеныжирнымшрифтом.

Наиболее сложным компонентом алгоритма и программы является про-цедура Utotchnenie. Она содержит два цикла. Внешний цикл организуетитерационный процесс уточнения, а внутренний — выполняет прогнозпараметров орбиты на все измерения, которые используются на мерноминтервале.числоитерацийизначенияуправляющихпараметроввыбраныв процессе отладки алгоритма. Они обеспечивают надежную сходимостьитерационногопроцесса.

Особенностью алгоритма является то, что кроме уточнения шестимерно-го вектора состояния в процедуре Utotchnenie дополнительно, на основеиспользования остаточных временных невязок, с помощью процедурыTimeCorrection строится полином второй степени. Коэффициенты этогополинома используются для коррекции результатов прогнозирования в«будущие»Npt1точек.такоеалгоритмическоерешениеявляетсяальтерна-тивойрасширениявекторасостоянияпутемвключениявнегобаллистиче-скогокоэффициента.

Г.3. Результаты расчета1. Нижепредставленпримерфайла“Kv_forms.dat”,кудазаписываютсявсеотношения квадрата невязок к соответствующей дисперсии (=1/p). При-мечаниявыделеныкурсивом.

Значениявесов: pr1 pr2 pr3 pV1 pV2 pV3 (для скорости коэффициенты умножены на 10–8)2320 150 11001,34 20,8016,00


18

jifji1fji2fji3fji4fji5fji6Sum(j — номер уточнения,i — номер измерения,fjik — отношение для одного из шести компонентов измерения,Sum — сумма шести отношений)

1 0 0.28 0.47 6.01 0.82 1.73 0.28 9.59 1 1 0.01 0.33 0.76 0.19 0.82 0.00 2.12 1 2 0.01 1.75 0.07 1.40 0.73 0.00 3.95 1 3 1.95 0.07 0.19 0.06 0.37 0.27 2.91 1 4 0.20 0.42 0.56 0.33 1.42 2.44 5.37 1 5 0.24 0.15 0.46 0.04 0.07 1.07 2.04 1 6 3.90 0.00 4.35 0.06 1.42 0.28 10.01 2 0 0.10 0.05 1.78 0.00 1.20 0.00 3.14 2 1 0.07 1.13 0.04 0.69 1.11 0.00 3.05 2 2 1.41 0.24 0.80 0.30 0.16 0.20 3.12 2 3 0.44 0.71 0.09 0.74 1.97 2.67 6.61 2 4 0.07 0.31 0.05 0.22 0.23 0.93 1.82 2 5 3.04 0.01 2.70 0.00 0.93 0.36 7.04 2 6 0.52 0.43 0.07 0.95 0.00 0.92 2.90 3 0 0.32 2.70 0.40 1.68 1.78 0.13 7.00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 6 0.60 2.40 0.03 3.17 0.04 0.02 6.2651 0 0.12 0.73 0.13 0.46 0.79 2.66 4.8951 1 0.08 0.03 0.01 0.00 0.68 0.20 1.0051 2 0.13 0.11 0.00 0.02 0.80 0.20 1.2651 3 0.13 0.09 0.05 0.12 0.79 0.01 1.1951 4 1.08 4.83 0.00 3.96 0.26 0.20 10.3251 5 0.18 0.48 0.04 0.77 0.02 0.01 1.4951 6 3.15 0.17 0.59 0.42 1.46 0.20 5.9851 304.0 301.2 304.3 309.7 300.9 302.7—суммывсех отно-шений в каждом из столбцов. Эти суммы состоят из 51×7=357 слагаемых. При корректном выборе весов суммы должны мало отличаться от величины 357–51 = 306. В данном случае отличия не превышают 1,7 %, что свиде-тельствует о приемлемом подборе значений весов.

2. Содержаниефайла“Res6_adp.dat”:

Результаты всех уточнений (в форме, как у исходных данных. N — номер витка)

N time x y z Vx Vy Vz 54 18632.4771102 843.9791496 7130.8737391 0.019241 -2.03352487765 0.23130267676 7.15934630992 58 18632.7567212 907.2993629 7123.0737769 0.053889 -2.03141615835 0.24921096206 7.15936569425 71 18633.6654570 1112.6243708 7093.8184675 0.075052 -2.02346650493 0.30736616505 7.15944525026 88 18634.8538035 1379.7185978 7046.6117855 0.013878 -2.01054655906 0.38312876392 7.15956974116100 18635.6926364 1567.0651577 7007.2216257 -0.010559 -1.99972348614 0.43627441141 7.15967356198103 18635.9023445 1613.7392347 6996.6047241 -0.060731 -1.99679446078 0.44956683764 7.15968494913............................

1


490 18662.9546751 6347.9545925 3338.4693242 -0.035686 -0.97052826592 1.80487736385 7.16761727572504 18663.9333120 6448.3368694 3139.2616839 0.123154 -0.91422927111 1.83416131771 7.16803038800518 18664.9119484 6542.4994444 2936.9807642 0.038532 -0.85679563938 1.86180600519 7.16844067173

delS1value=35.8—среднее значение минимизируемого критерия$NewdelS1value35.8—то же, по другому. Отличие от«идеального»значения (36)—0,5 %.

Residuals:—СКО остаточных временных невязок на мерном интервале,с0 0.01221 0.00722 0.00963 0.01144 0.01005 0.00746 0.0107

3. Содержаниефайла“Err6_adp.dat”:

d RMSt Mt Sigt RMSr Mr Sigr k0.0 0.014 0.000 0.014 0.0279 0.0216 0.0177 530.5 0.024 0.003 0.024 0.0274 0.0171 0.0214 261.0 0.026 0.002 0.026 0.0317 0.0241 0.0206 511.5 0.037 0.006 0.036 0.0308 0.0219 0.0217 352.0 0.046 0.003 0.046 0.0389 0.0328 0.0210 42

Здесь:d — левая граница интервала прогноза (d,d+0,5)(сут);RMSt, Mt, Sigt — среднеквадратическое значение, среднее и СКО временных ошибок прогноза (с);RMSr,Mr,Sigr — то же для погрешностей по радиусу;k—числореализаций.

Г.4. Текст программы “LST6_TLE.pas”:

$M 65520,0,650360 $N+ PROGRAM LST6_TLE; September 2009 On base of «OFM6_adp.pas» New Utotchnenie (Time prediction) KA 22675 uses PRG_UNI2, Cnst_UN, Crdn_UN, Clst_UN, Time_UN, CRT;CONST n6=6; n3=3; nmax=6;


200

pr1=2730; pr2=175; pr3=1295; pv1=1.5e+8 0.154e+9; pv2=2.45e+9; pv3=1.89e+9; jbegin=1; eps=1/298.256; dN=1; Cgr=180/pi; Nprmax=30; Npr1=4; deld=0.5; Interval of RMS output jemax=nmax+Npr1+1; Niter=9; cort=10; Sb=0.003; F81=72; F=72; Kp=2.6; El_Name=’RV_22675.dat’;TYPE real=single; vEL=array[1..9] of double; vmEl=array[1..jemax] of vEL; vsun= array[1..4] of real; vsig=array[0..Nprmax] of real; vn6=array[1..n6] of double; vnn6=array[1..n6] of vn6; vn3=array[1..n3] of double; vnn3=array[1..n3] of vn3; vn=array[0..nmax] of double; vrev=array[0..nmax] of integer;VAR SXtPX,XtPX,PQ,C6,Dxx:vnn6; SXtPZ,XtPZ:vn6; modR,modV,u21,u25,u41,u45:double; vect3,vecR,vecV,dRg0,dVg0,dRgt,dVgt, dRt0,dVt0,dRt,dVt,delR3,delV3:vn3; Gtr,G,Gt,G0,C3:vnn3; timet,S11,S12,S13,S23,S33,S1t,S2t,S3t,at0,at1,at2,an0,an1,dta:double; SunData:vSun; mEL:vmEL; deltz,delxx,sigjt:vn; masNz:vrev; RMSdR,MdR,sigdR,xxt,RMSt,Mdel,sigt,sigN:vsig; SS1,delS1,delS0,sig,SS,xx:real; Sx,sigxx,pj,Sbrak,delNjt,mJD0,JD00,mJDEl,mJDSd:real;

201


Ndet,yy,jd,Nn:double; nt,Pbrak,Nbrak,jdel,jiter:integer; delN,jj,jmax,jsmax,Npr,ddpr,jt,jEl,Nma,jpr,j,je,kk:integer; js,jn:longint; fa1,fa2,fa3,fa4:text;SSf1,ssf2,ssf3,ssf4,ssf5,ssf6,sf1,sf2,sf3,sf4,sf5,sf6, f1,f2,f3,f4,f5,f6:double; Rt,delRt,dTdS,dT00,dT0,dad:double; Tdr0:double; stroka:string;Nq, N0 : double;TmVal0 : time; dy, mo, yr, hr, mn, sk; descr in Cnst_UN rvIn : coord; D+t, X, Y, Z, vX, vY, vZ; descr in Cnst_UN O_U_T_P_U_T namb, LGr, h, r, e, w, Tom, incl : real;TmValN, TmValE : time;elN : elem; N, D+t, Tom, i, Om, l, h, dT, a, U; descr in Cnst_UN rvI : coord; W O R K I N G D A T A tN, tN_1, tt, t, tpr : double;RVt0,RVt, RV0, RVN : coord;N1,N2,dadn,a0,a1,a2,sgnAtm,sgnGarm,sgnISK,sgnDN,iNt,t_end: double; ni, nin, inamb, n_Sb, n_FkP : integer;------------------------------------------------------Procedure PrognTime(tNt:double); calculation according to given time BEGIN Procedure PrognTime inamb :=TRUNC(Nq); iNt:= 1.0; nin:=1; PrgT_UNI(RV0, sgnAtm, val_Sb, n_Sb, FkP, n_FkP, sgnGarm, tNt, RVN, sgnAnsw, sgnSb, sgnFkP, t_end); RV0:=RVN;END; Procedure PrognTime ------------------------------------------------------Procedure REV_GAUSS6(Ad:vnn6);VAR nd,i, jg, ir : integer; cd : double;BEGIN PROCEDURE MATR_REV_GAUSS nd:=n6; for i:=1 to nd do for jg:=1 to nd do if i <> jg then C6[i, jg] := 0 else C6[i, jg] := 1;


202

for i:=1 to nd do begin for ir:=1 to nd do if ir <> i then begin cd := Ad[ir, i] / Ad[i, i]; for jg :=i to nd do Ad[ir, jg] := Ad[ir, jg] - Ad[i, jg] * cd; for jg:=1 to nd do C6[ir, jg] := C6[ir, jg] - C6[i, jg] * cd; end; if ir <> i cd := Ad[i, i]; for jg := i to nd do Ad[i, jg] := Ad[i, jg] / cd; for jg:=1 to nd do C6[i, jg] := C6[i, jg] / cd; end; for i:=1 to nd END; PROCEDURE MATR REV_GAUSS6 ------------------------------------------------------Procedure XtPX6; Output XtPX varx1,y1:integer;beginfor x1:=1 to n6 do for y1:=1 to n6 do XtPX[x1,y1]:=0;XtPX[1,1]:=pr1+pr2*u21*u21+pv1*u41*u41;XtPX[1,2]:=pr2*u21;XtPX[1,4]:=pv1*u41;XtPX[1,5]:=pr2*u21*u25+pv1*u41*u45;XtPX[2,2]:=pr2;XtPX[2,5]:=pr2*u25;XtPX[3,3]:=pr3;XtPX[4,4]:=pv1;XtPX[4,5]:=pv1*u45;XtPX[5,5]:=pr2*u25*u25+pv2+pv1*u45*u45;XtPX[6,6]:=pv3;for x1:=2 to n6 do for y1:=1 to x1-1 do XtPX[x1,y1]:=XtPx[y1,x1];end;------------------------------------------------------Procedure XtPZ6;BeginXtPZ[1]:=pr1*dRt[1]+pr2*u21*dRt[2]+pv1*u41*dVt[1];XtPZ[2]:=pr2*dRt[2];XtPZ[3]:=pr3*dRt[3];XtPZ[4]:=pv1*dVt[1];XtPZ[5]:=pr2*u25*dRt[2]+pv1*u45*dVt[1]+pv2*dVt[2];XtPZ[6]:=pv3*dVt[3];

203


End;------------------------------------------------------------Procedure Gcalculation(Rc,Vc:vn3);var av,bv,cv,a,b,c,a1,b1,c1,a2,b2,c2:double;BeginmodR:=sqrt(Rc[1]*Rc[1]+Rc[2]*Rc[2]+Rc[3]*Rc[3]);modV:=sqrt(Vc[1]*Vc[1]+Vc[2]*Vc[2]+Vc[3]*Vc[3]);a:=Rc[1]/modR; G[1,1]:=a;b:=Rc[2]/modR; G[1,2]:=b;c:=Rc[3]/modR; G[1,3]:=c;av:=Vc[1]/modV;bv:=Vc[2]/modV;cv:=Vc[3]/modV;a2:=b*cv-c*bv; G[3,1]:=a2;b2:=c*av-a*cv; G[3,2]:=b2;c2:=a*bv-b*av; G[3,3]:=c2;

a1:=b2*c-c2*b; G[2,1]:=a1;b1:=c2*a-a2*c; G[2,2]:=b1;c1:=a2*b-b2*a; G[2,3]:=c1;End;------------------------------------------------------Procedure Gtranspon(Gc:vnn3);var ks,kc:integer;Beginfor ks:=1 to n3 do for kc:=1 to n3 do Gtr[ks,kc]:=Gc[kc,ks];End;------------------------------------------------------Procedure MatrUmnog(Gc:vnn3;vec3:vn3);var kc:integer;Beginfor kc:=1 to n3 do vect3[kc]:=0;for kc:=1 to n3 do begin vect3[1]:=vect3[1]+Gc[1,kc]*vec3[kc]; vect3[2]:=vect3[2]+Gc[2,kc]*vec3[kc]; vect3[3]:=vect3[3]+Gc[3,kc]*vec3[kc]; end;End;------------------------------------------------------Procedure Uij(Nj:double); Output u21,u25,u41,u45 Begin u21:=-6*pi*Nj; u25:=-3*Nj*Tdr0*86400; sec u45:=6*pi*Nj;


204

u41:=2*pi*u45/(Tdr0*86400); sec-1 End;------------------------------------------------------Procedure REV_GAUSS3(Ad:vnn3);VAR nd,i, j, ir : integer; cd : double;BEGIN PROCEDURE REV_GAUSS3 nd:=n3; for i :=1 to nd do for j := 1 to nd do if i <> j then C3[i, j] := 0 else C3[i, j] := 1; for i := 1 to nd do begin for ir := 1 to nd do if ir <> i then begin cd := Ad[ir, i] / Ad[i, i]; for j :=i to nd do Ad[ir, j] := Ad[ir, j] - Ad[i, j] * cd; for j :=1 to nd do C3[ir, j] := C3[ir, j] - C3[i, j] * cd; end; if ir <> i cd := Ad[i, i]; for j := i to nd do Ad[i, j] := Ad[i, j] / cd; for j := 1 to nd do C3[i, j] := C3[i, j] / cd; end; for i := 1 to nd END; PROCEDURE REV_GAUSS3 ------------------------------------------------------Procedure TimeCorrection(Stc:vn3);Var XtX3:vnn3; x1:integer;Begin for x1:=1 to n3 do begin at0:=0; at1:=0; at2:=0; end; XtX3[1,1]:=S11; XtX3[1,2]:=S12; XtX3[1,3]:=S13; XtX3[2,1]:=S12; XtX3[2,2]:=S13; XtX3[2,3]:=S23; XtX3[3,1]:=S13; XtX3[3,2]:=S23; XtX3[3,3]:=S33; Rev_Gauss3(XtX3);

205


for x1:=1 to n3 do begin at0:=at0+C3[1,x1]*Stc[x1]; at1:=at1+C3[2,x1]*Stc[x1]; at2:=at2+C3[3,x1]*Stc[x1]; end;End;------------------------------------------------------Procedure Utotchnenie;var fji,kit,xx:double; x1,y1:integer; St:vn3;Begin kit:=0.3;tn:=mEL[j+Npr,2];Ndet:=mEL[j+Npr,1]-mEl[j,1];jiter:=0;delS1:=2000;Repeat Begin Iteration jiter:=jiter+1; if jiter>2 then kit:=0.5; if jiter>5 then kit:=0.9; if jiter>8 then kit:=0.8; Sx:=0; sigxx:=0; delS0:=delS1; S11:=0; S12:=0; S13:=0; S23:=0; S33:=0; S1t:=0; S2t:=0; S3t:=0; delS1:=0; val_Sb[1,3]:=Sb; sgnAtm:=1; !!! sgnAtm= Nn:=round(mEL[j,1]); namb:=0; for kk:=1 to n6 do for je:=1 to n6 do SXtPX[kk,je]:=0; for je:=1 to n6 do SXtPZ[je]:=0;RV0:=RVt;sf1:=0;sf2:=0;sf3:=0;sf4:=0;sf5:=0;sf6:=0;For jt:=0 to Npr do begin Predictions on Npr points if jt>0 then Nq:=round(mEL[j+jt,1]-mEl[j+jt-1,1]) else Nq:=0; delN:=round(mEL[j+jt,1]-mEl[j,1]);timet:=mEl[j+jt,2];if jt>0 then PrognTime(timet) else RVN:=RV0;xx:=-RVN[3]/RVN[6];**********S11:=S11+1; S1t:=S1t+xx;


206

yy:=delN; S12:=S12+yy; S2t:=S2t+yy*xx;yy:=yy*delN; S13:=S13+yy; S3t:=S3t+yy*xx;yy:=yy*delN; S23:=S23+yy;yy:=yy*delN; S33:=S33+yy;********** for kk:=1 to n3 do VecR[kk]:=RVN[kk]; for kk:=1 to n3 do VecV[kk]:=RVN[kk+3]; Gcalculation(VecR,VecV); Gt:=G; Uij(delN); OutPut: u21,u25,u41,u45 dRgt[1]:=mEL[j+jt,3]-RVN[1]; dRgt[2]:=mEL[j+jt,4]-RVN[2]; dRgt[3]:=mEL[j+jt,5]-RVN[3]; dVgt[1]:=mEL[j+jt,6]-RVN[4]; dVgt[2]:=mEL[j+jt,7]-RVN[5]; dVgt[3]:=mEL[j+jt,8]-RVN[6]; MatrUmnog(Gt,dRgt); dRt:=vect3; Moving System delxx[jt]:=xx; MatrUmnog(Gt,dVgt); dVt:=vect3; f1:=dRt[1]*pr1*dRt[1]; f2:=dRt[2]*pr2*dRt[2]; f3:=dRt[3]*pr3*dRt[3]; f4:=dVt[1]*pv1*dVt[1]; f5:=dVt[2]*pv2*dVt[2]; f6:=dVt[3]*pv3*dVt[3]; fji:=f1+f2+f3+f4+f5+f6; x-kvadr n=6, 51*7 values delS1:=delS1+fji; x-kvadr n=6*7, 51 values if jiter=Niter then begin sf1:=sf1+f1; summ of 7 values sf2:=sf2+f2; sf3:=sf3+f3; sf4:=sf4+f4; sf5:=sf5+f5; sf6:=sf6+f6;if jt=Npr thenwriteln(fa2,jj:2,jt:2,f1:6:2,f2:6:2,f3:6:2,f4:6:2, f5:6:2,f6:6:2,fji:7:2,delS1:7:1) elsewriteln(fa2,jj:2,jt:2,f1:6:2,f2:6:2,f3:6:2,f4:6:2, f5:6:2,f6:6:2,fji:7:2); end; XtPX6; XtPX for x1:=1 to n6 do for y1:=1 to n6 do SXtPX[x1,y1]:=SXtPX[x1, y1]+XtPX[x1,y1]; XtPZ6; XtPZ for x1:=1 to n6 do

207


SXtPZ[x1]:=SXtPZ[x1]+XtPZ[x1]; RV0:=RVN; end; Predictions on Npr points St[1]:=S1t; St[2]:=S2t; St[3]:=S3t;

Rev_Gauss6(SXtPX);for x1:=1 to n3 do begin dRt0[x1]:=0; dVt0[x1]:=0; end;for x1:=1 to n3 do for y1:=1 to n6 do dRt0[x1]:=dRt0[x1]+C6[x1,y1]*SXtPZ [y1];for x1:=1 to n3 do for y1:=1 to n6 do dVt0[x1]:=dVt0[x1]+C6[x1+n3,y1]*SXt PZ[y1];Gtranspon(G0); 27.09.2009 OutPut Gtr MatrUmnog(Gtr,dRt0); dRg0:=vect3; dRg0 Inertial SystemMatrUmnog(Gtr,dVt0); dVg0:=vect3; dVg0 Inertial Systemfor x1:=1 to n3 do RVt[x1]:=RVt[x1]+kit*dRg0[x1];for x1:=1 to n3 do RVt[n3+x1]:=RVt[n3+x1]+kit*dVg0[x1]; Average delS1 shold be Npr*n6 delS1:=(delS1/Npr); ... should be equal n6 writeln(jj:3,jiter:3,kit:5:2,’ delS1=’,sqrt(delS1/n6):8:3,delxx[Npr]:8:3); End !!! Iteration Until (jiter>=Niter; TimeCorrection(St); Output at0, at1, at2 an0:=at0+at1*Ndet+at2*Ndet*Ndet; an1:=at1*2*at2*Ndet;writeln(‘Correction’,at0:7:3,at1:9:5,at2:11:7,an0:7:3, an1:9:5); Correction t0 ------------------------------------------------------if delS1>Sbrak then begin !!! Brak Pbrak:=1; Nbrak:=Nbrak+1; writeln(jj:3,delS1:6:2,’Brak’); writeln(Fa4,jj:3,delS1:6:2,’ Brak’); end !!! Brak ------------------------------------------------------else begin Pbrak:=0; SS1:=SS1+delS1; SS:=SS+Sx; sig:=sig+sigxx; for jt:=0 to nmax do sigjt[jt]:=sigjt[jt]+delxx[jt]* delxx[jt];


208

end;End;------------------------------------------------------BEGINassign(Fa2,’kv_forms.dat’);assign(Fa3,’Err6_adp.dat’);assign(Fa4,’Res6_adp.dat’);rewrite(fa2);rewrite(fa3);rewrite(fa4);Npr:=nmax;Sbrak:=25;assign(fa1,El_name);reset(fa1);writeln(fa2,pr1:5,pr2:5,pr3:5,pv1*1.0e-8:6:2,pv2* 1.0e-8:6:2,pv3*1.0e-8:6:2);for jj:=1 to jbegin-1 do readln(fa1,stroka);jj:=0;Repeat beginjj:=jj+1;if jj=1 then readln(fa1,xx,mJD0,stroka) else readln(fa1,yy, mJDEl,stroka); endUntil EOF(fa1);Tdr0:=(mJDEl-mJD0)/(yy-xx); Tdr0 jmax:=jj-jemax; jmax close(fa1); FkP[1,5]:=F81; FkP[1,3]:=F; FkP[1,4]:=Kp;reset(fa1);SS:=0; sig:=0;for jpr:=0 to nmax do begin sigjt[jpr]:=0; end;for jpr:=0 to Nprmax do begin sigN[jpr]:=0; Mdel[jpr]:=0; RMSt[jpr]:=0; sigt[jpr]:=0; RMSdR[jpr]:=0; MdR[jpr]:=0; sigdR[jpr]:=0; end;SS1:=0;for jj:=1 to jbegin-1 do

20


readln(fa1,stroka); val_Sb[1,1]:=0; val_Sb[1,2]:=0; n_Sb:= 1; FkP[1,1]:= 0; FkP[1,2]:= 0; n_FkP:=1; namb := 0; Nn:=N0; sgnGarm:=1111111000; signGarm:=1111111000; sgnAnsw:=0; sgnSb:=0; sgnFkP:=0; for j:=1 to Npr+Npr1+1 do readln(fa1,mEL[j,1],mEL[j,2],mEL[j,3],mEL[j,4], mEL[j,5],mEL[j,6],mEL[j,7],mEL[j,8]);JD00:=2436205+mEL[1,2];***************ssf1:=0;ssf2:=0;ssf3:=0;ssf4:=0;ssf5:=0;ssf6:=0;For jj:=1 to jmax do begin beginning cycle j:=1;writeln(jj:3); for kk:=0 to Npr do masNz[kk]:=round(mEl[kk+1,1] -mEl[1,1]); for kk:=0 to 6 do RV0[kk]:=mEL[j,kk+2]; RVt0:=RV0; RVt:=RV0; for kk:=1 to n3 do VecR[kk]:=RVt[kk]; for kk:=1 to n3 do VecV[kk]:=RVt[kk+3]; Gcalculation(VecR,VecV); G0:=G; Utotchnenie; ssf1:=ssf1+sf1; ssf2:=ssf2+sf2; ssf3:=ssf3+sf3; ssf4:=ssf4+sf4; ssf5:=ssf5+sf5; ssf6:=ssf6+sf6;writeln(jj:4,mEl[Npr+1,1]:4:0,RVN[0]:13:6,RVN[1]:14:6, RVN[2]:14:6,RVN[3]:10:6,RVN[4]:14:10,RVN[5]:14:10, RVN[6]:14:10);writeln(Fa4,mEl[Npr+1,1]:4:0,RVN[0]:14:7,RVN[1]:15:7, RVN[2]:15:7,RVN[3]:10:6,RVN[4]:15:11,RVN[5]:15:11, RVN[6]:15:11);if Pbrak=0 then begin no BRAK if abs(RVN[0]-mEl[Npr+1,2])*86400>0.15 then RVN[0]:= mEl[Npr+1,2];RV0:=RVN;RVt:=RVN;j:=1+Npr;for jt:=0 to Npr1 do xxt[jt]:=0;


210

For jt:=0 to Npr1 do begin Predictions on Npr1 points Nn:=round(mEL[j,1]); namb:=0;if jt>0 then Nq:=round(mEL[j+jt,1]-mEl[j+jt-1,1]) else Nq:=0;delN:=round(mEL[j+jt,1]-mEl[j,1]);timet:=mEl[j+jt,2];if jt>0 then PrognTime(timet) else RVN:=RV0;xx:=-RVN[3]/RVN[6];write(jj:2,jt:2,’ PrognTime xx=’,xx:7:3); dta:=at0+at1*(Ndet+delN)+at2*(Ndet*Ndet+ 2*Ndet*delN); 12.09.2009 if delN<cort then dta:=dta+at2*delN*delN* (1-0.333*delN/cort) else dta:=dta+at2*cort*cort*(delN/cort-0.333); xx:=xx-dta; delR3[1]:=mEl[j+jt,3]-RVN[1]; delR3[2]:=mEl[j+jt,4]-RVN[2]; delR3[3]:=mEl[j+jt,5]-RVN[3]; Rt:=sqrt(RVN[1]*RVN[1]+RVN[2]*RVN[2]+RVN[3]*RVN[3]); delRt:=(delR3[1]*RVN[1]+delR3[2]*RVN[2]+delR3[3]* RVN[3])/Rt; for kk:=1 to n3 do VecR[kk]:=RVN[kk]; for kk:=1 to n3 do VecV[kk]:=RVN[kk+3]; Gcalculation(VecR,VecV); Gt:=G; MatrUmnog(Gt,delR3); dRt:=vect3; Moving System writeln(delN:4,’ delR=’,dRt[1]:9:5,dRt[2]:9:5,dRt[3]:9:5,dta:7:3); xxt[jt]:=xx; ddpr:=round((RVN[0]-mEL[j,2])/deld); if (ddpr<1) and (ddpr>0) then ddpr:=1; sigN[ddpr]:=sigN[ddpr]+1; RMSt[ddpr]:=RMSt[ddpr]+xx*xx; Mdel[ddpr]:=Mdel[ddpr]+xx; MdR[ddpr]:=MdR[ddpr]+dRt[1]; RMSdR[ddpr]:=RMSdR[ddpr]+dRt[1]*dRt[1];RV0:=RVN; end; Predictions on Npr1 points end; No brak for j:=1 to Npr+Npr1 do for je:=1 to 9 do mEl[j,je]:=mEl[j+1,je]; j:=Npr+Npr1+1;readln(fa1,mEl[j,1],mEl[j,2],mEL[j,3],mEL[j,4],mEL[j,5], mEL[j,6],mEL[j,7],mEL[j,8]);JD00:=2436205+mEL[1,2];


end; ending cycle jj writeln(Fa2,jj:3,ssf1:6:1,ssf2:6:1,ssf3:6:1,ssf4:6:1,ssf5:6:1,ssf6:6:1);writeln(jj:3,ssf1:6:1,ssf2:6:1,ssf3:6:1,-ssf4:6:1,ssf5:6:1,ssf6:6:1);for jt:=0 to Npr do begin sigjt[jt]:=sqrt(sigjt[jt]/jmax); end;RMSt[0]:=sigjt[Npr];Mdel[0]:=0;sigt[0]:=RMSt[0];sigN[0]:=jmax;writeln(‘ 0’,RMSt[0]:8:3,Mdel[0]:8:3,sigt[0]:8:3,sigN [0]:5:0);for jpr:=0 to Npr1 do begin begin jpr if sigN[jpr]>1 then begin Mdel[jpr]:=Mdel[jpr]/sigN[jpr]; RMSt[jpr]:=RMSt[jpr]/sigN[jpr]; sigt[jpr]:=sqrt(RMSt[jpr]-Mdel[jpr]*Mdel[jpr]); RMSt[jpr]:=sqrt(RMSt[jpr]); MdR[jpr]:=MdR[jpr]/sigN[jpr]; RMSdR[jpr]:=RMSdR[jpr]/sigN[jpr]; xx:=RMSdR[jpr]-MdR[jpr]*MdR[jpr]; if xx>0 then sigdR[jpr]:=sqrt(xx) else sigdR[jpr]:=0; RMSdR[jpr]:=sqrt(RMSdR[jpr]); end;writeln(jpr*deld:3:1,RMSt[jpr]:8:3,Mdel[jpr]:8:3, sigt[jpr]:8:3,RMSdR[jpr]:8:4,MdR[jpr]:8:4, sigdR[jpr]:8:4,sigN[jpr]:5:0);writeln(fa3,jpr*deld:3:1,RMSt[jpr]:8:3,Mdel[jpr]:8:3, sigt[jpr]:8:3,RMSdR[jpr]:8:4,MdR[jpr]:8:4, sigdR[jpr]:8:4,sigN[jpr]:5:0);; end; end jpr SS1:=SS1/jmax;writeln(fa4,’ ‘);writeln(Fa4,’‘аҐ¤ҐҐ § зҐЁҐ=’,SS1:6:3);SS1:=(ssf1+ssf2+ssf3+ssf4+ssf5+ssf6)/(jmax*Npr);writeln(Fa4,’New delS1 value ‘,SS1:6:3);writeln(fa4,’Residuals:’);for jt:=0 to Npr do begin writeln(fa4,jt:2,sigjt[jt]:8:4); end;close(Fa2);close(Fa3);close(Fa4);END.

212

П р и л о ж е н и е дПрограмма для определения ско погрешностей измерений

и шума системы на имитационной модели

Эта программа предназначена для исследования возможностей адаптив-нойнастройкизначенийСКО(σz)погрешностейизмерений(4.28)иСКО(σq) шума системы (4.29) на основе анализа значений минимизируемогокритерия(4.21).

Д.1. Исходные данные и константы алгоритмаИсходнымиданнымидлямоделированияявляются:sigmaz=0.0001; — номинальное значение СКО ошибок измерений,мин;sigmaq=0.000002;—номинальноезначениеСКОшума,мин/виток;nz=5 20;—числоизмеренийнамерноминтервале

Этизначенияпользовательможетменятьвпроцессеисследований.

Нижеприведеныосновныеконстантыалгоритмаипояснениякним.n2=2;—размерностьвекторасостояния;dNz=2;—интервалмеждуизмерениями,витки;delpr=2;—интервалмеждупрогнознымиточками,витки;npr=0 30;—число прогнозныхточек(вданномслучае=0);nk=delpr*npr; t0=0;—начальноезначениевремени;td0=100;—среднеезначениепериода(мин);Cz=(sigmaq/sigmaz);nc=10000;—числореализацийпримоделировании;nq=30;—интервалкорреляциишума,витки;nvar=5;—числовариантовприизмененииисходныхСКО;kvar:array[1..nvar] of real=(0.1,0.33,1,3,10); — коэффи-циентыприизмененииСКО;kvar:array[1..nvar] of real=(0.8,0.9,1,1.1,1.2);

Д.2. Структура программыПрограммавыполняетрасчетыдлявсех25комбинацийпараметровσzиσq,соответствующихзначениямкоэффициентовkvar .

213

программа для определения СКО погрешностей измерений и шума системы…

В основу вычислений положено моделирование движения объекта наосновеуравнений(4.27)надостаточнобольшоминтервалевсоответствиисозначениемпараметраnc.Приэтомзначенияшумамоделируютсядатчи-ком случайных чисел (метод Монте-Карло). Аналогично формируются ипогрешностиизмерений(4.28).Измеренияобрабатываютсявсоответствиисосхемой,представленнойнарис.4.19.ММП-оценкивекторасостоянияопределяютсяпоформуле(4.18).Длякаждогоизуточненийопределяетсязначениеминимизируемогокритерия(4.22).Определяютсятакжепогреш-ностиоценоквекторасостояния.Этиоценкизатемусредняются.

Уточненияпараметроворбитывыполняютсяпоследовательно,сиспользо-ваниемвсехисходныхизмерений.Результатыкаждогоуточнениязаписы-ваются в файл “Valuesv2.dat”. Значения критерия, временных погрешно-стей,атакжевсехслучайныхвеличинусредняются.

Результатыусреднениязначенийкритерия,СКОреальныхвременныхпо-грешностейиихотношениякаприорнымСКО,рассчитанныедлякаждогоиз25вариантовварьируемыхпараметров,записываютсявфайл“Matrixes.dat”(ввидетаблицы).

ПрограммасодержитобращениеквнешнейфункцииX_normal(файл“nor-mal.tpu”)длярасчетаслучайнойвеличины,распределеннойпонормально-музакону,и6внутреннихвспомогательныхпроцедур,которыеперечисле-нывтаблице.

Вспомогательные процедуры (функции)

п/п


1 x_Kq Моделированиеслучайнойвеличиныcкорреляционнойфункцией(4.29)

xn

2 REV_GAUS Обращениематрицы(nzчnz) С3 Kqjinew Расчетзначенийкорреляционнойфунк-

ции(4.29)Kqjinew

4 WightMatrix Расчетвесовойматрицы(4.22) PQ5 XMatrix2 РасчетматрицыUj X2z6 MNK2PQ ПрименениеММПдлярасчетаминими-

зируемогокритерия,оценоквекторасо-стоянияипогрешностей(файл“Valuesv2.dat”)

SSp,valt,valtd,delt,sigta

Программасодержитдвавнешнихцикла,реализующихрассмотрениевсех25комбинацийпараметровσzиσq,соответствующихзначениямкоэффи-циентов kvar . В соответствии с заданным числом реализаций nc основнойвнутреннийциклорганизуетпоследовательныйпереходотодногомерного

п р и л о ж е н и е Д

214

интервалакдругому.Накаждомизмерныхинтерваловвыполняетсяобра-щениекпроцедуреMNK2PQдлярасчетаминимизируемогокритерия,оце-ноквекторасостоянияипогрешностей.

После окончания цикла по числу реализаций рассчитываются все вы-ходные усредненные характеристики, которые записываются в файл“Matrixes.dat”.

Д.3. Результаты расчета1. Нижепредставленпримерфайла“Matrixes.dat”,кудазаписываютсявсезначения минимизируемого кримерия, СКО фактических временных по-грешностейиихотношениякаприорнымСКО.Каждаяизклетокматрицсоответствует определенным значениям параметров σz и σq. Примечаниявыделеныкурсивом.

sigz= 0.000100 sigq= 0.000006 nz=20 dNz= 2—исходные данныеMatrSS— матрица значений критерия:

(σq)1 (σq)2 (σq)3 (σq)4 (σq)5(σz)1 1754.028 1462.988 1208.447 1006.493 162.035(σz)2 288.918 167.029 134.805 109.740 92.576(σz)3 86.738 29.768 18.114 14.421 12.268(σz)4 20.251 8.436 3.379 1.957 1.636(σz)5 2.222 1.778 0.883 0.321 0.177

MatrSig—матрица значений СКО временных погрешностей(с): (σq)1 (σq)2 (σq)3 (σq)4 (σq)5(σz)1 0.004480 0.004895 0.005367 0.005733 0.005930(σz)2 0.005979 0.004590 0.004911 0.005275 0.005685(σz)3 0.013704 0.005654 0.004554 0.004878 0.005385(σz)4 0.029592 0.012265 0.005752 0.004435 0.004955(σz)5 0.035682 0.029171 0.014002 0.006083 0.004518

MatrK— матрица отношений реальных и априорных СКО: (σq)1 (σq)2 (σq)3 (σq)4 (σq)5(σz)1 9.89453 9.62031 9.73642 9.90681 9.95972(σz)2 4.60754 3.07145 2.94625 2.91583 2.97573(σz)3 4.09307 1.42131 1.00579 0.96678 0.97676(σz)4 3.53354 1.20200 0.48131 0.32648 0.32433(σz)5 1.36811 1.04623 0.41822 0.15491 0.09977

2. Содержаниефайла“Valuesv2.dat”Результатывсехуточненийприноминальныхисходныхданных: Nвитка Время(мин) Период delt (с) Критерий 1 39 3799.99641 99.99979 0.0030 SSp=10.2 2 41 3999.99605 99.99979 0.0028 SSp=10.2 3 43 4199.99574 99.99981 -0.0004 SSp=10.9 4 45 4399.99536 99.99981 0.0002 SSp= 9.4 5 47 4599.99495 99.99980 0.0042 SSp= 9.5

215


6 49 4799.99465 99.99982 0.0016 SSp=10.7 7 51 4999.99432 99.99983 0.0014 SSp=10.2 8 53 5199.99412 99.99987 -0.0053 SSp=11.5. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 9996 20029 2002813.11547 100.00078 0.0034 SSp=12.0 9997 20031 2003013.11717 100.00081 -0.0010 SSp=14.2 9998 20033 2003213.11878 100.00081 -0.0005 SSp=14.2 9999 20035 2003413.12052 100.00083 -0.0078 SSp=15.3 10000 20037 2003613.12210 100.00082 -0.0062 SSp=16.4

Усредненные результаты моделирования: СКО датчика СКО измерений СКО шума Критерий 0.9822 sigz= 0.00010088 sigq= 0.0000059 MSS= 18.11

Д.4. Текст программы “OFM2_adp.pas”

$A+,B+,D+,E+,F+,G+,I+,L+,N+,O+,R+,S+,V+,X-$M 65520,0,655360PROGRAM OFM2_adp; Kq= (1-t/nq) State vector – two-dimensional 26.01.2009 Optimal technique for initial data Prediction by PQ matrix uses dos,crt,normal;const n2=2; dNz=2; measurement step delpr=2; delta prediction npr=0 30; Prediction number nk=delpr*npr; t0=0; td0=100; sigmaz=0.0001; sigmaq=0.000002; Cz=(sigmaq/sigmaz); nz=5 20; Number of measurements nc=10000; nq=30; nvar=5; kvar:array[1..nvar] of real=(0.1,0.33,1,3,10); kvar:array[1..nvar] of real=(0.8,0.9,1,1.1,1.2);type real=single; vt=array[1..nz*dNz+nk] of double; vq=array[1..nq] of real; vz=array[1..nz] of double; vxz=array[1..2] of vz; vnn=array[1..nz] of vzvn; vvar=array[1..nvar] of array[1..nvar] of real;var t,td,dt:vt; Ez,RMSz,sigz,Sz,zt,del:vz vn;


216

PQ,C,Kxpred,PQpred:vnn; X2z:vxz; Ssigz,Sigran,Ssigq,Czcal,sigmz,sigmq,xx, nkq,mq,NNq,dm,q,SS,xn,S,ran:real; e11,e12,e21,e22:double; SSdt,Sdt,Sq1,Sq2,Sq3,Sq4:real; sigta,sigtda,ds1,ds2,d1,d2,S1,S2,Md1,Md2,sig1,sig2:real; mSSp,SSp,ktq,nSS,delta,dz,valt,valtd:double; iz,iq,jz,jn,mz,jr,np,ndz,i,j,m,jc,n4:integer; f0,f3:text; qt,norm:vq; Matrk,MatrSS,MatrSig:vvar;----------------------------------------------------Procedure x_Kq(Pr:integer);var a:real;begina:=sqrt(1/nq);if Pr=1 then begin for i:=1 to nq do begin repeat begin ran:=X_normal; if abs(ran)>4 then n4:=n4+1; end until abs(ran)<4; norm[i]:=ran; end; SS:=0; for i:=1 to nq do SS:=SS+a*norm[i]; xn:=SS; endelse begin for i:=1 to nq-1 do norm[i]:=norm[i+1]; repeat begin ran:=X_normal; if abs(ran)>4 then n4:=n4+1; end until abs(ran)<4; norm[nq]:=ran; SS:=0; for i:=1 to nq do begin SS:=SS+a*norm[i]; end; xn:=SS end;end;----------------------------------------------------PROCEDURE REV_GAUSS(Ad:vnn);VAR nd,i, j, ir : integer; cd : double;BEGIN PROCEDURE MATR_REV_GAUSS

217


nd:=nz; for i :=1 to nd do for j := 1 to nd do if i <> j then C[i, j] := 0 else C[i, j] := 1;

for i := 1 to nd do begin for ir := 1 to nd do if ir <> i then begin cd := Ad[ir, i] / Ad[i, i]; for j :=i to nd do Ad[ir, j] := Ad[ir, j] - Ad[i, j] * cd; for j :=1 to nd do C[ir, j] := C[ir, j] - C[i, j] * cd; end; if ir <> i cd := Ad[i, i]; for j := i to nd do Ad[i, j] := Ad[i, j] / cd; for j := 1 to nd do C[i, j] := C[i, j] / cd; end; for i := 1 to nd END; PROCEDURE MATR_REV_GAUSS ------------------------------------------------------Function Kqjinew(ji,ii:integer):real; output kqji var dji:integer; kkq:real;begin dji:=(ji-ii); if dji<0 then dji:=-dji; if dji<nq then kkq:=1-dji/nq else kkq:=0;Kqjinew:=kkq;end;------------------------------------------------------Procedure WightMatrix(Nprogn:integer);varj1,i1,x1,y1:integer;Nx,Ny,nkq,Sq:real;beginfor j1:=1 to nz do begin 1 for i1:=1 to j1 do begin 2 Sq:=0; for x1:=(j1-1)*dNz+1 to (nz-1)*dNz+1+Nprogn do begin 3 for y1:=(i1-1)*dNz+1 to (nz-1)*dNz+1+Nprogn do begin 4 nkq:=kqjinew(x1,y1); Nx:=(x1-(j1-1)*dNz-1); Ny:=(y1-(i1-1)*dNz-1); Sq:=Sq+Nx*Ny*nkq;


218

end; 4 end; 3

PQ[j1,i1]:=Czcal*Czcal*Sq; end; 2 end; 1 for j1:=1 to nz do for i1:=j1+1 to nz do PQ[j1,i1]:=PQ[i1,j1];for j1:=1 to nz do PQ[j1,j1]:=PQ[j1,j1]+1;end;------------------------------------------------------Procedure XMatrix2(Nprogn:integer);varj1:integer;Nx,Ny,nkq:real;beginfor j1:=1 to nz do begin 1 X2z[1,j1]:=1; Nx:=(j1-nz)*dNz-Nprogn; X2z[2,j1]:=Nx; end;end;----------------------------------------------------Procedure MNK2PQ(Nprogn:integer;PQj:vnn);var jm,ji:integer; Sum11,Sum12,Sum22,Sumt1,Sumt2,SumTdr1:DOUBLE; SSt,C11,C12,C22,D11,D12,D22,det,G1,G2:double; dN,dN2,dN3,dN4:real; zv:vz;begin Sum11:=0;Sum12:=0;Sum22:=0; Sumt1:=0;Sumt2:=0; XMatrix2(Nprogn); OutPut X2z for jm:=1 to nz do begin ji:=(nz-jm)*dNz; zv[jm]:=zt[jm]-mq*ji*(ji-1)/2; end; for jm:=1 to nz do begin for ji:=1 to nz do begin Sum11:=Sum11+X2z[1,jm]*PQj[jm,ji]*X2z[1,ji]; Sum12:=Sum12+X2z[1,jm]*PQj[jm,ji]*X2z[2,ji]; Sum22:=Sum22+X2z[2,jm]*PQj[jm,ji]*X2z[2,ji]; Sumt1:=Sumt1+X2z[1,jm]*PQj[jm,ji]*zv[ji]; Sumt2:=Sumt2+X2z[2,jm]*PQj[jm,ji]*zv[ji]; end; end; C11:=Sum11; C12:=Sum12; C22:=Sum22; det:=C11*C22-C12*C12; D11:=C22/det; D12:=-C12/det;

21


D22:=C11/det; G1:=Sumt1; G2:=Sumt2; valt:=D11*G1+D12*G2; valtd:=D12*G1+D22*G2; sigta:=sqrt(D11)*sigmz*60; sigtda:=sqrt(D22)*sigmz*60;for mz:=1 to nz do begin Residuals sigz[] i:=(mz-nz)*dNz-Nprogn; del[mz]:=(valt+valtd*i)-zv[mz]; Ez[mz]:=Ez[mz]+del[mz]; Sz[mz]:=Sz[mz]+del[mz]*del[mz]; end;SSt:=0;for jm:=1 to nz do begin for ji:=1 to nz do SSt:=SSt+del[jm]*PQj[jm,ji]*del[ji]; end; SSt:=SSt/(sigmz*sigmz); if SSt<0 then begin writeln(jc:5,SSt:7:1); SSt:=0; end; SSp:=SSt; 05.10.2009 end;------------------------------------------------------BEGIN Начало программы randomize; assign(f3,’Valuesv2.d2c’); rewrite(f3); assign(f0,’Matrixes.d2c’); rewrite(f0); writeln(f0,’sigz=’,sigmaz:9:6,’ sigq=’,sigmaq:9:6,’ nz=’,nz:2,’ dNz=’,dNz:2);For iz:=1 to nvar do begin Начало внешнего цикла iz sigmz:=kvar[iz]*sigmaz;For iq:=1 to nvar do begin Начало внешнего цикла iq sigmq:=kvar[iq]*sigmaq; Czcal:=sigmq/sigmz; writeln(‘iz=’,iz:1,’ iq=’,iq:1);WightMatrix(nk); Output: Kxpred for m:=1 to nz do begin for jr:=1 to nz do Kxpred[m,jr]:=PQ[m,jr]; end;REV_GAUSS(Kxpred); for m:=1 to nz do begin for jr:=1 to nz do PQpred[m,jr]:=C[m,jr]; end; mq:=0; ds1:=0; ds2:=0; Ssigz:=0; Ssigq:=0; Sigran:=0; NNq:=0;


220

SSdt:=0;S:=0;n4:=0;t[1]:=t0;td[1]:=td0;x_Kq(1);dt[1]:=0;mz:=1;zt[mz]:=t[mz]+sigmaz*ran; первое измерение Ssigz:=Ssigz+(sigmaz*ran)*(sigmaz*ran);S1:=0; Md1:=0;S2:=0; Md2:=0;dm:=0;for i:=1 to nz do Sz[i]:=0;for i:=1 to nz do Ez[i]:=0; ****for m:=2 to nz*dNz+nk do begin другие измерения, начало x_Kq(0); dt[m]:=mq+sigmaq*xn; td[m]:=td[m-1]+dt[m]; t[m]:=t[m-1]+td[m];SSdt:=SSdt+dt[m];Ssigq:=Ssigq+(sigmaq*xn)*(sigmaq*xn);Sigran:=Sigran+xn*xn;if (m<=(nz-1)*dNz+1) then begin Output if ((m-1) mod dNz =0) then begin Measurements mz:=mz+1; repeat begin ran:=X_normal; if abs(ran)>4 then n4:=n4+1; end until abs(ran)<4; zt[mz]:=t[m]+sigmaz*ran; Ssigz:=Ssigz+(sigmaz*ran)*(sigmaz*ran); writeln(F2,m:4,t[m]:14:5,td[m]:10:5,dt[m]:11:7,’ ‘, zt[mz]:15:7); end; Measurements end; Output end; другие измерения, конец ------------------------------------------------------mSSp:=0;For jc:=1 to nc do BEGIN !!! jc Cycle по реализациям

MNK2PQ(nk,PQpred); d1:=t[nz*dNz-1+nk]-valt;if abs(d1)>dm then dm:=abs(d1); d2:=td[nz*dNz-1+nk]-valtd; Md1:=Md1+d1; S1:=S1+d1*d1; Md2:=Md2+d2; S2:=S2+d2*d2; mSSp:=mSSp+SSp;

221


if (iz=3) and (iq=3) then begin writeln(jc:5,(jc-1+nz)*dNz+nk-1:6,valt:14:5,valtd:10:5, d1*60:8:4, ‘ SSp=’,SSp:4:1); writeln(f3,jc:5,(jc-1+nz)*dNz+nk-1:6,valt:14:5,valtd: 10:5,d1*60:8:4, ‘ SSp=’,SSp:4:1); end;Sdt:=0;for m:=1 to nz*dNz do Sdt:=Sdt+dt[m]; Sdt: on nz*dNz revolutions

NNq:=NNq+1;

for m:=1 to (nz-1)*dNz+nk do begin t[m]:=t[m+dNz]; td[m]:=td[m+dNz]; dt[m]:=dt[m+dNz]; end;

!!! Preparation to Step dNz for mz:=1 to nz-1 do zt[mz]:=zt[mz+1];

for m:=(nz-1)*dNz+nk+1 to nz*dNz+nk do begin новый вектор состояния x_Kq(0); dt[m]:=mq+sigmaq*xn; td[m]:=td[m-1]+dt[m]; t[m]:=t[m-1]+td[m];SSdt:=SSdt+dt[m];Ssigq:=Ssigq+(sigmaq*xn)*(sigmaq*xn);Sigran:=Sigran+xn*xn; end; новый вектор состояния

repeat begin New measurement ran:=X_normal; if abs(ran)>4 then n4:=n4+1; end until abs(ran)<4; m:=(nz-1)*dNz+1; zt[nz]:=t[m]+sigmaz*ran; Ssigz:=Ssigz+(sigmaz*ran)*(sigmaz*ran); writeln((jc+nz-1)*dNz+1:4,t[m]:14:5,td[m]:10:5,dt[m]: 11:7,’ ‘,zt[nz]:13:5); writeln(F2,jc*dNz+m:4,t[m]:14:5,td[m]:10:5,dt[m]:11:7,’ ‘,zt[nz]:15:7); New measurement END; !!! jc Cycle по реализациям ------------------------------------------------------Md1:=(Md1/nc)*60;ds1:=sqrt(S1/(nc))*60;sig1:=sqrt(ds1*ds1-Md1*Md1);


222

MatrSig[iz,iq]:=sig1; MatrSig Matrk[iz,iq]:=sig1/sigta; MatrSig Md2:=(Md2/nc)*60;ds2:=sqrt(S2/(nc))*60;sig2:=sqrt(ds2*ds2-Md2*Md2); writeln(‘iz=’,iz:1,’ iq=’,iq:1); writeln(Md1:7:3,sig1:8:4,ds1:8:4,Md2:10:6,sig2:10:6,ds2:10:6); writeln(sigta:8:4,sigtda:10:6);mSSp:=mSSp/nc; MatrSS[iz,iq]:=mSSp; MatrSS

if (iz=3) and (iq=3) then beginSsigz:=sqrt(Ssigz/(nc+nk/dNz));Ssigq:=sqrt(Ssigq/(dNz*nc+nk));Sigran:=sqrt(Sigran/(dNz*nc+nk));SSdt:=SSdt/(dNz*NNq+nk); writeln(‘mq=’,mq:9:6,’ E(dt)=’,SSdt:9:6);writeln(‘Residues:’);for jz:=1 to nz do begin Ez[jz]:=60*Ez[jz]/nc; RMSz[jz]:=sqrt(Sz[jz]/nc)*60; xx:=RMSz[jz]*RMSz[jz]-Ez[jz]*Ez[jz]; if xx>0 then sigz[jz]:=sqrt(xx) else sigz[jz]:=0; writeln(jz:2,Ez[jz]:8:4,sigz[jz]:8:4,RMSz[jz]:8:4); end;writeln(Sigran:7:4,’ sigz=’,Ssigz:10:7,’ sigq=’,Ssigq:10: 7,’ MSS=’,mSSp:6:2);writeln(f3,Sigran:7:4,’ sigz=’,Ssigz:11:8,’ sigq=’,Ssigq: 10:7,’ MSS=’,mSSp:6:2); end; end; Конец внешнего цикла iq end; Конец внешнего цикла iz writeln(‘MatrSS’); writeln(f0,’MatrSS’); for iz:=1 to nvar do begin writeln(MatrSS[iz,1]:9:3,MatrSS[iz,2]:9:3,MatrSS[iz,3] :9:3,MatrSS[iz,4]:9:3,MatrSS[iz,5]:9:3); writeln(f0,MatrSS[iz,1]:9:3,MatrSS[iz,2]:9:3,MatrSS [iz,3]:9:3,MatrSS[iz,4]:9:3,MatrSS[iz,5]:9:3); end; writeln(‘MatrSig’); writeln(f0,’MatrSig’); for iz:=1 to nvar do begin writeln(MatrSig[iz,1]:9:6,MatrSig[iz,2]:9:6,MatrSig [iz,3]:9:6,MatrSig[iz,4]:9:6,MatrSig[iz, 5]:9:6); writeln(f0,MatrSig[iz,1]:9:6,MatrSig[iz,2]:9:6,MatrSig [iz,3]:9:6,MatrSig[iz,4]:9:6,MatrSig[iz,5]:9:6); end; writeln(‘MatrK’); writeln(f0,’MatrK’); for iz:=1 to nvar do begin


writeln(MatrK[iz,1]:8:5,MatrK[iz,2]:8:5, MatrK[iz,3]:8:5,MatrK[iz,4]:8:5,MatrK[iz,5]:8:5); writeln(f0,MatrK[iz,1]:8:5,MatrK[iz,2]:8:5,MatrK[iz,3]:8:5,MatrK[iz,4]:8:5,MatrK[iz,5]:8:5); end;

----------------close(f0);close(f3);END.

224

П р и л о ж е н и е еФрагменты из истории подготовки монографии

Е.1. Автор и годы работы по тематике монографии

1963 1965 1971

1990 1991 1995

1997 2002

фрагменты из истории подготовки монографии

Е.2. ЭпизодыСцена 1.Руководительинститутаируководительпроекта.

Руководитель проекта: «Наши сотрудники И.И.Иванов, П.П.Петров иС.С.Сидоров разработали новую модель движения спутников. ее назва-ние — Стандартный Блок Прогноза (СБП). Алгоритм и программа отла-жены, испытаны и успешно работают в автоматизированной системе об-работкиинформации.характеристикипоточностиибыстродействиюудо-влетворяютсоответствующимтребованиям».

Руководитель института: «Очень хорошо. Подготовьте предложения попоощрениюсотрудников».

Сцена 2.Руководительинститутаируководительпроекта.

Руководитель проекта: «Наши сотрудники И.И.Иванов, П.П.Петров иС.С.Сидоров разработали алгоритм и программу для оценки погрешно-стейпрогнозированиядвиженияспутников.ееназвание—СтандартныйБлок Ошибок (СБОш). Алгоритм и программа отлажены, испытаны иуспешноработаютвавтоматизированнойсистемеобработкиинформации.Результаты работы алгоритма и программы удовлетворяют необходимымтребованиям, а именно, достигнуто соответствие реальных и расчетныхстатистическиххарактеристикпогрешностейпрогнозированиядвижения».

Руководительинститута:«Оченьхорошо.Подготовьтепредложенияпопо-ощрению сотрудников. Но хочу заметить, что название программы явля-етсянесовсемудачным.Предлагаюболееподходящееназвание:Универ-сальныйединыйБлокОшибок».

055(02)2 РотапринтИКИРАН117997,Москва,Профсоюзная,84/32

Подписанокпечати28.04.10Заказ2209 Формат70×1081/32 тираж100 9,4уч.-изд.л.

А. И. Назаренко · 2010. 8. 24. · A. I. Nazarenko ERRORS OF FORECASTING OF SATELLITE...

Documents

Transcript of А. И. Назаренко · 2010. 8. 24. · A. I. Nazarenko ERRORS OF FORECASTING OF SATELLITE...