Automates Finis Cours 4

Automates et théorie des langagesOtomatlar ve diller teorisiDr. HDR Rabie Ben Atitallah

FIT3 [INF323] 2018/19

Université Galatasaray

Cours précédents

¢ 1er cours : Introductionl Introduction générale l Langage formel, grammaires

¢ 2ème cours : Automates Finis l Automate fini déterministe et non déterministe l Calcul du langage d’un AFD

¢ 3ème cours : Automates Finis (suite)l Automate complet, état puits, transitions-ε l Relation entre AFND et AFDl Rendre un automate déterministe

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Motivations

¢ Comprendre les limites de l'informatique

¢ Distinguer problèmes solubles et insolubles par des algorithmes

¢ Obtenir des résultats indépendants de la technologie employée pour construire les ordinateurs

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La formalisation des problèmes

¢ Résoudre un problème = reconnaître le langage des encodages des instances >0 du problème

l Instances : alphabets et mots• Les mots représentent les instances d’un problème

l Problème : reconnaître un langage défini par une grammaire

• Un langage représente les instances positives du problèmel Mécanisme : automate

• Un automate représente le programme

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La description des langages

¢ ∄de notation permettant de décrire tous les langages (finis et infinis)

l Ensemble des langages réguliers • Notation permettant de décrire tous les langages

finis et certains langages infinis

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Théorème

¢ Un langage est régulier si et seulement si il est dénoté par une expression régulière l Les expressions régulières sont un sous-ensemble infini de

l’ensemble des chaînes de caractèresl Les expressions régulières sont donc dénombrables

¢ ∄assez d'expressions régulières pour représenter tous les langages

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Il y a donc (beaucoup) plus de langages que de langages réguliers

Limites fondamentales de l’informatique

Formalisation d’un automate fini déterministe

¢ Un automate fini déterministe est défini par un quintuplet M = (Q,∑,δ,s,F), où l Q est un ensemble fini d’états,l ∑ est un alphabet,l δ : Q x ∑ à Q : est la fonction de transition,l s ∈ Q est l’état initial,l F ⊆ Q est l'ensemble des états accepteurs.

¢ Exemple l Mots se terminant par b

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Formalisation d’un automate fini non déterministe

¢ Un automate fini non déterministe est défini par un quintuplet M = (Q,∑,∆,s,F), oul Q est un ensemble d’états,l ∑ est un alphabet,l ∆ ⊂ (Q x ∑* x Q) est la relation de transition,l s ∈ Q est l’état initial,l F ⊆ Q est l'ensemble des états accepteurs.

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Relation entre AFND et AFD

¢ On peut toujours remplacer un AFND par un AFD équivalent.

Cours d’aujourd’hui

¢ 4ème : Automates Finis

l Minimisation d’un automate

l JFLAP : un outil pour manipuler les langages formels, les automates finis déterministes, etc.

l Exercices d’application

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Introduction

¢ Minimisation d'un automate fini déterministel Opération consistant à transformer un AFD

en un AFD ayant le nombre minimal d'états et qui reconnaît le même langage

l Importance pratique évidente = gain d'espace qu'elle permet

l ∃ plusieurs méthodes pour effectuer cette opération de minimisation

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Introduction

¢ Application importante de la minimisation des automates finis déterministes l Test de l'équivalence de 2 automates finis,

c'est-à-dire le fait de décider s'ils reconnaissent le même langage

l Conséquence de l'unicité de l'automate fini minimal, à un renommage des états près

l Pour savoir si 2 automates sont équivalents, il suffit de minimiser les 2 automates et de tester si leurs versions minimales sont égales

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Plusieurs méthodes

¢ Méthode 1 : l Comparaison des mots de chaque langage

¢ Méthode 2 : l Calcul des résiduels

¢ Méthode 3 : l Méthode des équivalences de Nérode

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Méthode 1 : Comparaison des mots de chaque langage

¢ On écrit les équations liant les langages de départ de l’automate l On résolu le système du départ l On compare tous les langages du départ en

étudiant leur mots de longueur 0,1,2 …

¢ Exemple (après simplification) l D1 = aD2+bD1+εl D2 = aD1l D3 = D1 l D4 = D1 l D5 = ø

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Méthode 1 : Comparaison des mots de chaque langage

¢ Exemple l D1 = (a² + b)*

l D2 = a(a² + b)*

l D3 = (a² + b)*

l D4 = (a² + b)*

l D5 = ø

¢ λ=0l 2 sous-ensembles

¢ λ=1l 3 sous-ensembles

¢ λ=2l 3 sous-ensembles

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λ=0 λ=1 λ=2D1 ε b aaD2 a aa,abD3 ε b aaD4 ε b aaD5

Méthode 1 : Comparaison des mots de chaque langage

¢ On ne peut pas trouver plus que 3 sous-sembles

¢ Comme ce nombre est inférieur au nombre d’états de l’automate, celui-ci peut être minimiser avec 3 états

¢ On peut dessiner le nouvel automate à partir de l’ancienne table de transition et des 3 nouveaux états

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Méthode 1 : Comparaison des mots de chaque langage

¢ On peut dessiner le nouvel automate à partir de l’ancienne table de transition

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Méthode 2 : Calcul des résiduels

¢ Rappel l Si L est un langage et σ un mot, on appelle

résiduel de L par rapport à σ (σ-1L), le langage ayant pour éléments les mots τtq τ σ ∈ L

l Autrement dit, c’est l’ensemble des mots de L commençant par σ auxquels on a retiré ce préfixe σ

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Méthode 2 : Calcul des résiduels

¢ Pour calculer tous les résiduels d’un langage régulier L, on détermine1. ε-1 L = L 2. Les différents résiduels Ri du type x-1L pour

chacune des lettres de ∑3. Les résiduels x-1 Ri pour chacun des

résiduels Ri obtenu à l’étape précédente qui sont différents de ceux déjà rencontrés, et pour toutes les lettres x ∈ ∑

l On itère 3 jusqu’à ce qu’on n’obtienne plus de résiduel nouveau 19

Méthode 2 : Calcul des résiduels, exemple

¢ Calcul de résiduels sous forme d’arbre l L = b*ab+ab* et ∑ = {a,b}

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ε-1 L =L= b*ab+ab*

a-1 L = b+ab* = R1

a-1 R1 = ø = R4

a-1 R2 = b* = R3

a-1 R3 = ø

b-1 L = L

b-1R1= b*ab*=R2

b-1 R2=b*ab*=R2

b-1 R3 = b*

Méthode 2 : Calcul des résiduels, exemple

¢ On peut déduire que le langage L admet 5 résiduels distincts l L= b*ab+ab*l R1 = b+ab* l R2 = b*ab* l R3 = b* l R4 = ø

¢ Comme le langage L a 5 résiduels, l’automate minimal qui reconnait L et qui a le moins possible d’états est l’automate à 5 états que l’on peut construire à partir de ces 5 résiduels

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Méthode 2 : Calcul des résiduels, exemple

¢ On peut dessiner le nouvel automate à partir des résidus en suivant les transitions sur l’arbre

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Méthode 3 : équivalences de Nérode

¢ Théorème Myhill-Nérodel Pour un langage rationnel donnée L, il existe

un AFD canonique (uniquement défini), et qui comporte un nombre minimum d’états, reconnaissant L

l Il existe un algorithme très efficace • Principe de minimisation d'un AFD • Utilise le principe algorithmique d’éclatement de

partitions

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Méthode 3 : équivalences de Nérode

¢ Rappel : l Une partition d'un ensemble est la définition d'un

ensemble de classes, tq l'union de toutes les classes est l'ensemble de départ, et tq l'intersection de 2 classes est vide : une partition correspond à une relation d’équivalence

¢ Principe algorithmique d’éclatement de partitions (ou d'affinement de partitions)l on part d'une (ou plusieurs) (grandes) classesl on a un critère qui permet de partitionner une classe

en plusieurs classes plus petitesl on arrête quand chaque classe obtenue est

non-partitionnable24

Méthode 3 : équivalences de Nérode

¢ Pour minimiser un AFD :l on retire les états non atteignables l on partitionne l'ensemble des états en

2 classes : • Les états finaux, acceptant : A • Les états non finaux (y compris l’état poubelle),

refusant : R

¢ Etape d’éclatement des classes A et R l Appliquer à A et R une transition par un

caractère x ∈∑ l Séparer les éléments de A et R qui

n'aboutissent pas à la même classe25

Méthode 3 : équivalences de Nérode

¢ On répète jusqu’à ce qu'il n'y ait plus d’éclatement possible

¢ On obtient la description d'un nouvel AFD dont l’état initial est l’état contenant q0 et dont les états finaux sont les états contenant un état final de l'automate de départ

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Méthode 3 : équivalences de Nerode - exemple

¢ Au départ 2 classes l A = {q3,q4}l R = {q0,q2,ø}

¢ On remplace A et R dans la table de transition, et on regarde si Ǝ des partitions

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a b cà q0 R R R

q2 R A A* q3 R R R* q4 R R R

ø R R R

a b cà q0 R R R

q2 R A A* q3 R R R* q4 R R R

ø R R R

q0,q2,ø ∈ R

q3,q4 ∈ A

Méthode 3 : équivalences de Nerode - exemple

¢ Au départ 2 classes l A = {q3,q4}

• Pas de séparation car transitions sur a,b,c à ø

l R = {q0,q2,ø}• On voit 2 ensembles : R1 = {q2} ; R2 = {q0,ø}• On remplace dans la table de transition

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a b cà q0 R R R

q2 R A A* q3 R R R* q4 R R R

ø R R R

a b cR1 R2 R2R2 A AR2 R2 R2R2 R2 R2R2 R2 R2

q0,q2,ø ∈R

a b cq0 R R Rq2 R A Aq3 R R Rq4 R R Rø R R R

a b cà q0 R1 R2 R2

q2 R2 A A* q3 R2 R2 R2* q4 R2 R2 R2

ø R2 R2 R2

Méthode 3 : équivalences de Nerode - exemple

¢ Au départ 2 classes l A = {q3,q4}

• Pas de séparation car transitions sur a,b,c à ø

l R = {q0,q2,ø}• Puis R1 = {q2} et R2 = {q0,ø}

• On voit 2 ensembles : R21 = {q0} et R22 = {ø}

a b cR1 R22 R22R22 A AR22 R22 R22R22 R22 R22R22 R22 R2229

Il n’y a pas de nouvel ensemble possible !

Méthode 3 :équivalences de Nérode - exemple

¢ Au final on a 4 ensembles l A = {q3,q4}l R1 = {q2} l R21 = {q0} l R22 = {ø}

¢ On obtient un AFD à 3 états

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a b cà q0 q2 ø ø

q2 ø q3 q4* q3 ø ø ø* q4 ø ø ø

ø ø ø ø

FLAPIntroduction, fonctionnalités, installation, utilisation

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Introduction

¢ FLAP est un logiciel pour expérimenter les langages formels, les automates finis déterministes, les automates à pile, les machines de Turing, plusieurs types de grammaires, etc.l http://www.jflap.org/

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Fonctionnalités

¢ Permet de

l Construire et de tester des automates sur des mots

l Convertir une expression régulière en un AF et inversement

l Déterminiser un AFNDl Minimiser un AFD l Comparer 2 automates l …

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Installation

¢ Logiciel gratuit sous Java

¢ Nécessite de remplir un formulaire

¢ Il est recommandé d’utiliser la version 7 plutôt que la version 8 beta

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Utilisation

¢ Cliquer sur « Finite Automaton »

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Utilisation

¢ Dessinez votre automate

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Utilisation

¢ Testez votre automate

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Utilisation

¢ Minimiser votre automate

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Utilisation

¢ Automate ó Expression régulière

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Conclusion

¢ 4ème cours : Automates Finis l Minimisation d’un automatel Exercices d’application

¢ Les prochaines fois l Automates finis et expressions régulièresl Grammaires régulières l Automates à pile et langages hors-contextel Machines de Turing

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