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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
SETOR DE TECNOLOGIA – CENTRO POLITÉCNICO
DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
JOSÉ LUIZ GRAVENA JR.
LUIZ CARLOS CAVAGNOLI
CÁLCULO DE FLUXO DE POTÊNCIA NA
DISTRIBUIÇÃO COM ROTAÇÃO DE EIXOS
Trabalho de graduação apresentado à disciplina Projeto de Graduação, sob a Orientação do Professor Odilon Luís Tortelli.
Curitiba - PR Julho - 2011
Sumário
1 INTRODUÇÃO: O SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA. .................................................... 5
1.1 Histórico ................................................................................................................................... 5
1.2 Considerações sobre a estrutura da rede elétrica tradicional ................................................. 7
1.3 Evolução do Sistema................................................................................................................. 8
1.4 Objetivos ................................................................................................................................ 10
1.5 Revisão bibliográfica das técnicas de solução do fluxo de potência. ..................................... 12
1.6 Estrutura da dissertação ........................................................................................................ 17
2 MÉTODOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA ..................................................... 18
2.1 Introdução .............................................................................................................................. 18
2.2 O problema Fluxo de Potência ............................................................................................... 18
2.2.1 Subsistema1 ................................................................................................................. 20
2.3 Método de Newton-Raphson ................................................................................................. 21
2.3.1 Aplicação do Método de Newton .............................................................................. 22
2.3.2 Algoritmo básico para a resolução dos subsistemas 1 e 2 pelo método de
Newton-Raphson ................................................................................................................... 24
SUBSISTEMA 1 .............................................................................................................................. 24
SUBSISTEMA 2 .............................................................................................................................. 25
2.3.3 Considerações finais quanto ao método de Newton-Rapshon ............................ 25
2.4 Método Desacoplado ............................................................................................................. 26
2.4.1 Método de Newton Desacoplado .............................................................................. 26
SUBSISTEMA 1 .............................................................................................................................. 28
SUBSISTEMA 2 .............................................................................................................................. 30
2.4.2 Método de Newton Desacoplado Rápido (NDR) .................................................... 30
2.5 Considerações finais ............................................................................................................... 33
3 NORMALIZAÇÃO COMPLEXA ............................................................................................... 34
3.1 Introdução .............................................................................................................................. 34
3.2 Rotação de Eixos .................................................................................................................... 34
3.2 Normalização Complexa por Unidade .................................................................................... 39
3.4 Cálculo do Ângulo de Rotação ou Ângulo de Base ................................................................. 42
3.4.1 Ângulo Ótimo Orientado ao Ramo ............................................................................ 42
3.4.2 Ângulo Ótimo Orientado a Barra ............................................................................... 44
3.5 Considerações finais ............................................................................................................... 47
4 RESULTADOS ........................................................................................................................... 48
4.1 Introdução .............................................................................................................................. 48
4.2 Sistemas Teste ........................................................................................................................ 48
4.2.1 Sistema teste de 7 barras .......................................................................................... 48
4.2.2 Sistema Teste de 20 barras Copel – Baixa Tensão .............................................. 51
4.2.3 Sistema Teste de 34 barras IEEE (modificado) ...................................................... 52
4.2.5 Sistema Teste de 118 barras do IEEE modificado ................................................ 54
4.3 Considerações finais ............................................................................................................... 55
5 CONCLUSÃO ............................................................................................................................. 56
Referencias Bibliograficas ............................................................................................................ 57
1 INTRODUÇÃO: O SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA.
1.1 Histórico
A implantação de energia elétrica no Brasil teve inicio em 1879, ainda no
Brasil império, com uma usina termoelétrica a carvão no estado do Rio de
Janeiro, para a iluminação da então estação central Dom Pedro II, hoje estação
Central do Brasil. Logo após em 1881 tem-se a primeira iluminação elétrica
externa da América do Sul em São Paulo.
A primeira usina hidroelétrica do Brasil entrou em operação em 1883 em
Diamantina/MG, que além de fornecer energia para mineradoras locais também
alimentava a iluminação municipal.
Este foi o cenário de evolução da energia elétrica no país até os anos
1930, caracterizado pela localização da geração muito próxima da carga e falta de
diferenciação entre transmissão e distribuição, pois com “linhas de transmissão”
bem curtas e ainda com poucos pontos de carga, estas praticamente faziam o
papel da distribuição.
A partir dos anos 1930 com o avanço do “Brasil-Indústria” e a
necessidade crescente de energia, foi preciso que se buscassem fontes maiores
de energia de maior porte, localizadas principalmente na região Sudeste do país
(Minas Gerais, São Paulo e Rio de Janeiro) conectadas agora com linhas mais
longas aos centros de carga.
Em 1963 é inaugurada a usina de Furnas, permitindo o início da
interligação do sistema elétrico de potência no Brasil, na época ligando RJ, MG e
SP.
A década de 1980 foi bastante promissora quanto ao desenvolvimento do
sistema elétrico de potência no Brasil. Em 1984 entra em operação a Usina
Hidroelétrica de Itaipu Binacional, até hoje a maior geradora energia elétrica do
mundo. Em 1986 teve início o processo de interligação dos subsistemas
brasileiros, inicialmente coma interligação do sistema Sul-Sudeste conduzindo no
final da década de 1990 à configuração atual do sistema elétrico brasileiro, o
Sistema Interligado Nacional (SIN).
Hoje tem-se 96,6% do sistema nacional interligado. Com isso pode-se
dizer que , devido ao tamanho e a potencia gerada, este sistema é um dos mais
complexos do mundo, tendo potencia instalada de 122,3GW, dos quais 62,3%
são provindas de energia hidráulica, 26,1% de energia térmica e apenas 3% de
pequenas centrais hidroelétricas (PCH) [1].Esta grande potência instalada
consegue ser entregue aos quatro cantos do país graças as grandes linhas de
transmissão. Este cenário exigiu que os grandes centros geradores como a UHE
de Tucuruí com 8300MW e a UHE de Itaipú com 14000MW instalados, fossem
bem utilizados com linhas de transmissão de 2000km e 1000km respectivamente,
ligando ao principal centro de consumo do país. O tamanho destas linhas implica
em uma série de variáveis, tais como as perdas e a manutenção de linhas.
Estas características não podem ser ditas como vantagens ou
desvantagens do sistema, elas são apresentadas aqui para expor a evolução do
mesmo. Um dado relevante que poderá ser melhorado é, por exemplo, o prejuízo
econômico causado ao país devido a um grande apagão, como aconteceu em
2001 e custou R$ 44 bilhões, segundo as contas da União. O processo de
evolução não irá acabar com apagões, mas irá diminuir a probabilidade de que
eles venham a ocorrer.
1.2 Considerações sobre a estrutura da rede elétrica tradicional
O sistema elétrico de transmissão é composto por uma rede malhada de
linhas, com tensões variando de 69 kV até 764 kV com capacidade de
transmissão de grande quantidade de energia, na ordem de centenas de MVA. O
termo rede malhada de transmissão se deve ao fato de ter mais de um “caminho
elétrico” entre dois pontos do sistema, facilitando o fluxo de potência. Pequenos
trechos operando de forma radial podem ser encontrados nas redes de
transmissão. Estes casos são poucos freqüentes e contemplam pequenas
distâncias, portanto, não apresentam maiores prejuízos à característica malhada
dos sistemas de transmissão.
Já os sistemas de distribuição são basicamente radiais, caracterizados
por ter em um único caminho entre cada consumidor e o alimentador de
distribuição. A potência flui da subestação para os consumidores através de um
caminho simples, o qual, em caso de interrupção, resulta na perda total de
energia para os consumidores à jusante do defeito. Os sistemas radiais de
distribuição podem apresentar uma característica de fracamente malhados, termo
adotado para indicar a possibilidade de realização da interligação de dois ramais
de um mesmo alimentador, sem que seja necessário o desligamento deste
alimentador.
Outra condição de operação do sistema de distribuição, denominada
paralelismo, consiste em se ter à possibilidade de conexão entre dois
alimentadores distintos através de uma chave seccionadora. Esta configuração
disponibiliza dois caminhos distintos entre a fonte de potência e os consumidores,
podendo ser em duas subestações diferentes, a mesma subestação com dois
transformadores diferentes ou mesmo o mesmo transformador. Este sistema por
ser mais complexo que o sistema radial em termos de proteção do sistema, só
pode ser adotado de maneira momentânea (com uma duração máxima da ordem
de dezenas de minutos). A sua vantagem está na melhoria do serviço de entrega
de energia, que passa a não se interrompido para a maioria dos consumidores
quando um segmento da rede é desligado, uma vez que existe um caminho
alternativo para o fluxo de potência, através do fechamento da citada chave de
interligação.
1.3 Evolução do Sistema
O contínuo crescimento da economia, bem como dos bens
industrializados e o consumo cada vez maior de tecnologia, exigirá cada vez
maior quantidade e qualidade de energia. O próximo passo para a melhoria e o
aumento da produtividade do sistema passa, sem dúvida, pela diversificação das
opções de geração, com a maior utilização de usinas eólicas, painéis solares,
geradores a diesel/biodiesel e o melhor aproveitamento de pequenas centrais
hidroelétricas (PCH’s). Desta forma, esta diversificação, trará benefícios como:
maior quantidade de energia gerada, menores perdas, a viabilidade do
consumidor/gerador (o consumidor poderá gerar a energia que irá usar)
diminuindo as perdas causadas pela transmissão, além de maior segurança na
operação, pois, quanto maior for o número de geradores, menor será a
possibilidade de uma falha total do sistema e menor a chance de uma sobrecarga
do mesmo.
Todos estes benefícios estão logo a nossa frente. Em um futuro muito
próximo não serão apenas uma vantagem, mas também uma necessidade gerada
pela produção, industrialização e/ou modernização de todos os setores a nossa
volta. Embora a qualidade dos produtos encontrados no mercado hoje em dia,
seja cada vez maior quando se fala em eficiência energética, por outro lado, tem-
se também cada vez mais máquinas produzindo estes produtos. Antigamente,
existiam famílias que tinham uma televisão em casa, por exemplo, ou ainda várias
famílias que se juntavam para assistir televisão na casa de um dos vizinhos, e
hoje a grande maioria das casas possui um destes aparelhos por morador. Estas
mesmas famílias que antes tinham uma geladeira, se é que tinham, hoje tem uma
geladeira, um freezer, dentre outros aspectos da vida moderna.
Então hoje, além do grande aumento do consumo de energia de
consumidores de baixa tensão também existe a mecanização das indústrias que
precisaram aumentar seu poder de produção automatizando seu processo para
atender a demanda em suas respectivas áreas, sejam elas agrícola, eletrônica,
automobilística, madeireira, etc.
Esta evolução do perfil social traz hoje cada vez mais a necessidade de
uma evolução também no atendimento deste consumo de energia, e quando é
dito evolução no fornecimento de energia elétrica não basta apenas criar mais
uma grande hidroelétrica. É necessário pensar em viabilizar alternativas visando
aproveitar os inúmeros pequenos rios com PCH’s, aproveitar os grandes campos
e planícies neste país geograficamente favorável à geração eólica, aproveitar o
pioneirismo do desenvolvimento de um combustível natural e renovável como o
biodiesel e tirar o máximo proveito destas fontes alternativas.
É importante destacar que, todo este desenvolvimento do setor elétrico
não seria possível se o atual sistema elétrico não estivesse instalado, ou seja, o
sistema elétrico do futuro não é em hipótese alguma uma substituição do atual
sistema elétrico, mas sim, uma evolução do mesmo, buscando sempre tirar ao
máximo benefícios para aqueles que produzem, fornecem e consomem esta
energia.
1.4 Objetivos
Como descrito anteriormente a evolução natural do sistema elétrico
brasileiro mostra uma situação em que tem-se atualmente grandes centros de
carga a grandes distâncias dos grandes centros geradores de energia elétrica.
Com relação à interação entre transmissão e distribuição, tem-se atualmente a
seguinte visão: a operação da transmissão vê o sistema de distribuição não como
um todo, mas sim como uma carga “fixa”, conectada no barramento da
subestação de distribuição, enquanto a operação da distribuição enxerga a
transmissão apenas como um gerador conectado no lugar da subestação de
tratamento de energia. Como ilustrado na figura 1. Resumindo, pode-se dizer que
cada sistema enxerga o outro, apenas como um ponto de entrada ou saída de
potência. Para um melhor aproveitamento de recursos energéticos num futuro não
muito distante tem-se a perspectiva de ampliação da geração local. A geração
junto à carga irá aumentar a quantidade de energia disponível e diminuir as
perdas causadas pela transmissão. Com isso todos ganham, concessionárias
com mais opções de fornecimento, consumidores com energia de mais qualidade
e mais barata e ainda, maior disponibilidade de fornecimento sendo que apagões
seriam menos frequentes e mais isolados, diminuindo impactos como os apagões
de 1998 e o de 2001 por exemplo.
FIGURA 1
Um dos entraves para a operação de um sistema elétrico com tais
características é a dificuldade para execução de análises como a de fluxo de
potência, tendo em vista que os métodos de cálculo empregados para analisar a
rede de distribuição não funcionam para a rede de transmissão e vice-verso.
O que este trabalho vem contribuir no estudo do emprego de uma técnica
que permita que estes dois sistemas possam sim, interagir de forma mais “amiga”,
possibilitando que o sistema de distribuição seja visto de forma completa pela
rede de transmissão, inclusive quando operar injetando potência na transmissão.
Para a adequação destes dados será utilizado a normalização complexa
dos dados dos sistemas.
Neste trabalho será enfocado o sistema de distribuição buscando
demonstrar a eficácia da normalização complexa visando uma futura integração
computacional para análise conjunta de fluxo de potencia nas rdes de
transmissão e distribuição.
1.5 Revisão bibliográfica das técnicas de solução do fluxo de potência.
Desde a formulação inicial na década de 60, vários métodos vêm sido
propostos para resolver o problema de fluxo de potência para sistemas de
distribuição radiais. Alguns deles serão destacados a seguir por ordem
cronológica:
Nos anos 50, empregava-se o método de Gauss-Siedel para a resolução
do fluxo de potência. Apesar de eficiente, é considerado muito lento, pois
necessita de um número excessivo de iterações para encontrar a solução. Aliado
à baixa capacidade de processamento dos computadores da época, tornava o
método pouco utilizável.
No final dos anos 60, W.F. Tinney ET AL. (1967) apresenta a resolução
do problema de fluxo de potência pelo método Newton-Raphson, cujo
desenvolvimento considera apenas as características dos sistemas de
transmissão de energia (sistemas malhados), sem explorar
computacionalmente características típicas de redes de distribuição (redes
radiais). O Método de Newton passou a ser uma referência no cálculo do fluxo
de potência para redes malhadas, pois apresenta uma convergência rápida e
eficiente.
Em 1967 surge o primeiro trabalho desenvolvido exclusivamente para
sistemas de distribuição, R. Berg ET AL (1967) " Mechanized calculation of
unbalanced load flow on radial distribuition circuits," que pode ser considerado
como base para o sistema Backward/Forward e para todas as variantes que
seguiram após a efetivação do método.
O método Backward/Forward Sweep, foi proposto por D. Shimohammadi et
al. (1976). O método de resolução consiste em dois passos básicos, varredura
backward, onde são calculados as correntes ou fluxos de potência nas linhas,
iniciando das barras finais em direção a subestação e a varredura forward, que
realiza os cálculos das quedas de tensão com as atualizações das correntes ou
fluxos de potência, partindo da subestação alimentadora em direção as barras no
final do alimentador. Esses passos são repetidos até que se obtenha a
convergência do algoritmo. Por possuir boa características de convergência e ser
muito robusto tornou-se o principal método de solução, e serviu como base para
muitos métodos propostos posteriormente. Este método pode ser aplicado
também para sistemas fracamente malhados, ou seja, sistemas que apresentam
poucas interligações, onde são convertidos em redes radiais.
Porém, enquanto muitos pesquisadores buscavam aperfeiçoar e
desenvolver técnicas para resolver o problema de FP voltado para redes de
transmissão, as pesquisas para as redes de distribuição não tiveram tanta
ênfase. Os estudos de FP para distribuição eram realizados com pouca ou
nenhuma análise.
No final dos anos 80, com a modernização da legislação e o
aumento da competitividade, bem como a necessidade de uma melhora da
qualidade da energia fornecida, como decorrência do aparecimento de cargas
sensíveis com a variação da tensão, o setor da distribuição de energia passou a
ser estudado de maneira mais intensa.
Em 1984 A. V. Garcia, A. J. Monticeli et al. [5] propõem um método para
solução do fluxo de potência na distribuição utilizando o método Desacoplado
Rápido pois apresenta uma convergência rápida e eficiente, no entanto propõe
uma modificação no método para compensar a alta relação de resistência e
reatância nas linha r/x encontradas nos sistemas de distribuição, que provoca
dificuldades na convergência para esses sistemas. A modificação proposta é a
rotação dos eixos das impedâncias, fazendo com que a rede de distribuição
assuma parâmetros de uma de alta tensão.
Em 1989, M.E.Baran e F. F. Wu apresentaram o método baseado no
método Newton – Raphson, porém levando em consideração as características
dos sistemas de distribuição, o que torna esse método exclusivo para o sistema
radiais de energia elétrica. O método propõe um novo modelo de equações para o
cálculo de fluxo de potência, diferente, portanto das equações de fluxo de
potência para sistemas de transmissão. Essas equações são denominadas pelos
autores de “equações de fluxo de ramos” ou então “DistFlow”. Outra melhoria
importante para a convergência do método é o uso de uma matriz de
sensibilidade (Jacobiana) modificada que atende as características radiais dos
sistemas de distribuição. H.D. Chiang (1991) apresenta o método de uma maneira
mais detalhada onde realiza um estudo dos algoritmos e convergência.
Em 1990, R. Céspedes apresentou o método Soma de Potências,
baseado no método Backward/Forward. O método Soma de Potências tem,
como característica básica, a possibilidade de transformar o problema de cálculo
em um conjunto de subproblemas que por sua vez podem ser resolvidos
através das equações que relacionam as tensões entre dois nós de um
alimentador de distribuição, com as potências equivalentes dos nós. Essa
potência equivalente é a soma de todas as potências a jusante da barra, incluindo
as perdas e é alocada na posição correspondente a barra (carga equivalente), ou
seja, calcula-se as cargas equivalentes para cada barra de carga. Este
procedimento se dá no sentido das barras terminais para as subestações.
Partindo da barra da subestação, calculam-se as tensões do lado da carga para
todas as barras. Com as novas tensões recalculam-se as perdas e com isto
recalculam-se as novas cargas. Repetindo o processo até se atingir a
convergência.
Em 1992 é apresentado por A. S. Barbosa, E. Colman, et al. [7]
um trabalho onde é realizado a comparação da utilização do fluxo de potência em
redes de distribuição utilizando-se o método da rotação de eixos e da soma
equivalente de potência, mostrando que ainda não existia um unanimidade sobre
quais propostas seriam mais eficientes para o problema do fluxo de potência
para as rede de distribuição.
No método proposto em 1992, por S.K. Goswani e S.K. Basu, o processo
de resolução é iniciado a partir da subestação considerando as “cargas
equivalentes” da mesma forma que R. Cepedes (1990) propôs. A diferença esta
na primeira iteração, onde não são levadas em conta as perdas das linhas, e
também no equacionamento, já que neste método ele utiliza o fluxo de correntes
nos ramos. A cada iteração então são encontradas novas perdas no sistema que
são utilizadas no processo do método Soma de Potência.
D. Rajicic et al. (1994) propuseram um método que se baseia na
ordenação e orientação da matriz impedância Z junto com o método da Soma das
Potências, porém o método se demonstra eficiente apenas para redes fracamente
malhadas.
C.S. Chen e D. Shirmohammadi (1994) apresentam um método
para sistemas de distribuição trifásicos desequilibrados, também baseados no
método Backward/Forward Sweep.
O método proposto por em 1994, por R. D. Zimmerman e H. D. Chiang é
o método desacoplado rápido para sistemas de distribuição. Foi baseado na
formulação proposta de M.E. Baran e F.F. Wu, mas com a diferença de
utilizar o fluxo de corrente nos ramos ao invés de utilizar as potências
como no método original. Utiliza uma matriz jacobiana aproximada, com isso
consegue diminuir o tempo computacional, já que é necessária somente uma
inversão da matriz.
Em 1999 A.G. Exposito e E.R. Ramos apresentaram um método
para resolver o problema de fluxo de potência em redes radiais. O algoritmo
apresentado segue uma aproximação diferente, apontada para aumentar a taxa
de convergência. Está baseado na idéia intuitiva que quanto mais linear um
sistema de equações melhor é sua taxa de convergência. Para alcançar esta
meta, as equações de fluxo de carga foram escritas em termos de variáveis
"alternativas" que conduzem a um conjunto de 3N equações (2N equações
lineares e N quadráticas) para uma rede com N+1barras. Um algoritmo
computacional é baseado no método de Newton-Raphson, proposto para resolver
o sistema de equação resultante.
O Trabalho apresentado em 2000 M. H. Haque [14] calcula o fluxo de
carga para sistemas de distribuição radiais ou fracamente malhados. O
sistema de distribuição é convertido primeiro a uma rede equivalente com
configuração radial. As características do sistema original são preservadas
injetando potência apropriada nos pontos em que foram abertos os circuitos no
sistema equivalente. As potências injetadas são calculadas e atualizadas durante
o processo iterativo.
Em 2000, S. Jovanovic e F. Milicevic explora a topologia espacial
dos sistemas de distribuição para formular o método triangular de fluxo de
carga de distribuição. Utiliza em sua formulação uma matriz triangular T, que é
formada por NXM, constante durante o processo iterativo. Após a formulação
da matriz calcula-se o fluxo de potência através de um processo baseado no
backward Sweep. A vantagem deste método é a simplicidade de sua formulação.
O artigo de T. L. Baldwin s S.A. Lewis (2003) apresenta uma revisão dos
métodos clássicos e propõe uma nova metodologia, baseado no trabalho de
S.Jovanovic e F. Milicevic (2000) e no método Backward/Forward Sweep. Outra
contribuição do método apresentado está na inclusão de múltiplas gerações, ou
seja, não somente uma fonte (subestação) de alimentação.
O artigo de R. Ciric et al. (2004) apresenta uma metodologia baseada no
método Backward/Forward Sweep, para cálculo de fluxo de potência de sistemas
de distribuição com retorno por terra.
1.6 Estrutura da dissertação
No capítulo 2 os métodos de cálculo de fluxo de potência, Newton-
Raphson é apresentado de maneira resumida, objetivando o entendimento de sua
variação, o método Desacoplado Rápido. O método Desacoplado Rápido é
apresentado de maneira resumida, objetivando o entendimento posterior das
modificações a serem introduzidas pela nova metodologia.
No capítulo 3 é apresentada a metodologia proposta no trabalho, tanto
para a resolução da rotação dos eixos de resistências e admitâncias como a
metodologia de escolha do melhor ângulo de rotação.
No capítulo 4 são apresentados os resultados das simulações com a
aplicação da metodologia proposta para os sistemas de distribuição radial IEEE
de 34 barras e 118 barras, um sistema real da copel com 20 barras em baixa
tensão, um sistema de 70 barras, além de um sistema de fictício 7 barras .
As conclusões gerais são apresentadas no capítulo 5.
2 MÉTODOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA
2.1 Introdução
Neste capítulo serão apresentados o problema do fluxo de potência, os
métodos de cálculo e os algoritmos utilizados para a solução do mesmo.
2.2 O problema Fluxo de Potência
As equações de potência nodais para as barras da rede, resultantes da
aplicação da lei de Kirchhoff das correntes. As injeções de potência ativa e reativa
na barra k podem ser expressas por:
∑ (2.1)
∑ (2.2)
onde k= 1, NB; sendo NB o número de barras da rede.
As equações (2.12) e (2.13) indicam a existência de 4 variáveis por barra,
quais sejam, injeção de potência ativa, injeção de potência reativa, modulo e
ângulo da tensão na barra: Vk, θk, Pk e Qk . Essas variáveis nodais podem
configurar como incógnitas ou dados de entrada dependendo da classificação da
barra, definida em três tipos:
1 - Barra tipo PQ – são especificados os valores de Pk e Qk e calculados
os valores de Qk e θk.
2 - Barra tipo PV – são especificados os valores de Pk e Vk e calculados
os valores de Vk e θk.
3 – Barra de Referência - são especificados os valores de Vk e θk e
calculados os valores de Pk e Qk.
Para se obter o estado da rede é necessário conhecer os valores
magnitudes das tensões (V) e os ângulos de fase (θ) destas tensões de todas as
barras do sistema. A partir desses fasores, conhecendo-se também os
parâmetros do sistema de transmissão é possível determinar a distribuição de
fluxo através de todo o sistema [2].
Tem-se, assim, para cada barra, duas equações de potências nodais e
duas variáveis conhecidas. As outras duas variáveis devem ser encontradas
através do método de Newton-Raphson, criando-se assim um problema com 2NB
equações e 2NB incógnitas:
∑
(2.3)
∑
Normalmente um sistema elétrico é composto de NPQ barras do tipo PQ;
NPV barras do tipo PV; e 1 barra do tipo Vθ, tomada como referência para as
tensões. Sendo assim, o sistema possui:
. • 2 (NPQ + NPV + 1) variáveis especificadas
. • 2 (NPQ + NPV + 1) incógnitas
Com isto foi criado um processo matemático que permitir uma resolução
mais rápida do sistema. Esse processo se resume em criar dois subsistemas, um
para cálculo das variáveis de estado de todas as barras do sistema, ou seja,
calcular V e θ para as barras PQ; e θ para as barras PV. Este subsistema é
normalmente chamado de subsistema 1 [2]. O outro subsistema permite calcular
as potências nodais de todas as barras do sistema, ou seja, P e Q da barra Vθ e
Q das barras PV, além da determinação da distribuição dos fluxos de potência
ativa e reativa das perdas do sistema. Este subsistema é normalmente chamado
de subsistema 2 [2], e pode ser obtido diretamente, ou seja, sem a necessidade
de processo iterativo.
A seguir iremos detalhar melhor o processo matemático para resolução
do subsistema 1 que, por envolver soluçai de equações algébricas não lineares,
exige a aplicação de métodos iterativos.
2.2.1 Subsistema1
Conforme já mencionado este subsistema permite obter os valores de V e
θ desconhecidos das barras da rede.
Como para as barras do tipo Vθ, a solução já é conhecida, estas barras
não entram nesta etapa, apenas as barras do tipo PQ e PV são consideradas,
visto que os valores de V e θ são desconhecidos para as barras PQ e os valores
de Q e θ são desconhecidos paras barras do tipo PV.
Tem-se, assim, um sistema determinado:
• (2NPQ + NPV) dados especificados: P e Q das barras PQ; P das barras
PV
• (2NPQ + NPV) incógnitas: V e θ das barras PQ; θ das barras PV
Chamando de
e
os valores conhecidos de P e Q, então o objetivo é
resolver:
∑
(2.4)
∑
As incógnitas do Subsistema 1 podem ser agrupadas no vetor de estado x
tal que:
[ ] (2.5)
Onde θ é o vetor dos ângulos das tensões das barras PQ e PV e tem dimensão
(NPQ + NPV), e V é o vetor das magnitudes de tensões das barras PQ e tem
dimensão NPQ.
Com o sistema (2.14) reescrito, podemos obter:
(2.6)
Sendo que:
• e são os resíduos ou mis matches de potência ativa e reativa da
barra k;
•
e
são os valores já conhecidos de P e Q;
• e
são calculados através das equações (2.12) e (2.13) de
potências nodais.
Os valores de obtidos são validos para as barras tipo PQ e PV, já os
valores de são validos para as barras do tipo PQ.
Definindo a função vetorial g(x) por:
[
] (2.7)
Onde é um vetor de desvios de potência ativa de dimensão (NPQ +
NPV) e é um vetor de desvios de potência reativa de dimensão NPQ.
2.3 Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson é uma ferramenta numérica bastante
utilizada para resoluções de sistemas de equações não-lineares e consiste
basicamente num processo no qual iterações lineares dos sistemas são montadas
e resolvidas. Devido à sua eficiência, Com estas características este método ficou
sendo um dos principais para soluções de cálculo de fluxo de potência de rede
elétricas, principalmente para redes malhadas como a de sistemas de
transmissão.
2.3.1 Aplicação do Método de Newton
Pelo método iterativo de Newton, para cada iteração v, tem-se:
( ) ( ) (2.8)
Onde:
J é a matriz Jacobiana das derivadas de a x;
é o vetor de correção de estado calculado a cada iteração.
Com o apresentado acima e realizando manipulações algébricas é
possível obter-se o sistema linear do problema de fluxo de potência a ser
resolvido a cada iteração v:
[
] [
]
[
] (2.9)
Sendo assim é possível perceber que a matriz Jacobiana é composta
pelas
submatrizes chamadas de H, N, M e L definidas por:
(2.10)
Como para redes de transmissão malhadas a matriz admitância Y é
simétrica é possível calcular os elementos de cada submatriz através das
equações 2.22, 2.23, 2.24 e 2.24, indicadas a seguir:
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
A dimensão de cada submatrizes é:
Matriz H: [(NPQ + NPV) ×(NPQ + NPV)];
Matriz N: [(NPQ + NPV) NPQ]
Matriz M: [NPQ ×(NPQ + NPV)]
Matriz L: [NPQ ×NPQ]
O vetor de correções de variáveis, para uma determinada iteração, é
obtido através de:
[
] [[
]
]
[
] (2.15)
A solução do processo iterativo ocorre quando, para um determinado
estado (θ, V), os desvios de potência estiverem bem próximos de zero, ou seja,
as potências ativas e reativas calculadas para as barras do tipo PQ devem ser
iguais ou estar bem próximas das especificadas. O mesmo valendo para os
valores das potências ativas das barras tipo PV.
Usualmente são determinadas as seguintes condições de convergência
utilizando os desvios de potência:
• | |≤ εP, para as barras k do tipo PQ e PV
• | |≤ εQ, para as barras k do tipo PQ
Onde εP e εQ são as tolerâncias admitidas para os mismatches de
potência ativa e reativa, respectivamente.
2.3.2 Algoritmo básico para a resolução dos subsistemas 1 e 2 pelo método de
Newton-Raphson
As etapas para a resolução do problema de fluxo de potência carga pelo
método de Newton-Raphson são descritas a seguir.
SUBSISTEMA 1
1. Fazer v=0 (contador de iterações) e escolher valores iniciais dos
ângulos das tensões das barras PQ e PV, e as magnitudes das tensões das
barras PQ. Criando assim o vetor:
[
] (2.16)
2. Calcular ( , ) para as barras PQ e PV. E ( , ) para as
barras PQ e determinar os respectivos desvios de potência:
.
3. Testar a convergência:
Se max | |k=PQ, PV ≤ εP e max |
|k=PQ ≤ εQ
Então o processo iterativo convergiu para a solução ( , ), ir para o passo 7.
Caso Contrário executar o passo seguinte.
4. Calcular a matriz jacobiana
[
]=[
]x [
] (2.17)
E determinar a nova solução:
6. Fazer (k+1 = k) e voltar ao passo 2.
SUBSISTEMA 2
7. Calcular Pk e Qk para a barra de referência e Qk para as barras tipo e
PV, calcular fluxos de potência ativa e reativa dos elementos da rede, calcular
perdas.
2.3.3 Considerações finais quanto ao método de Newton-Rapshon
O método de Newton–Raphson aplicado à resolução de fluxo de potência
de redes elétricas é hoje a mais difundida e robusta ferramenta usada para
obtenção da solução dos valores das tensões complexas das barras do sistema.
No entanto sob certas condições, o método pode não apresentar convergência
como no caso de redes radiais, ou encontrar uma solução para o sistema não-
factível para a rede elétrica. Isto principalmente em redes de distribuição com
características radiais, onde dois fatores contribuem para a não convergência do
sistema. Um dos fatores seria, como já mencionado anteriormente a relação r/x
do sistema de distribuição ser diferente da relação r/x do sistema de transmissão
e outra razão seria o condicionamento da matriz Jacobiana. Em [12] é
apresentada análise onde se verifica que no caso de redes em anel (redes
malhadas) a matriz Jacobiana apresenta a característica de ser diagonalmente
dominante, ou seja, o elemento da diagonal principal é maior que a soma de
todos os elementos, da mesma linha, fora a diagonal. Em sistemas radiais esta
característica não se repete indicando que a convergência do sistema se torna
mais difícil.
Com o passar do tempo este método foi aprimorado com diversos tipos
de controle e limites, entre os principais podemos citar o controle dos valores de
tensão das barras, injeção de potências ativas e reativas bem como a inclusão de
taps de transformadores. E também ocorreram implementações no método de
Newton-Raphson para um melhor desempenho devido ao poucos recursos
computacionais existentes anteriormente, entre uma dessas variações está o
Método de Newton Desacoplado Rápido (NDR) que será alvo de estudo do
próximo capítulo.
2.4 Método Desacoplado
O método desacoplado e, subseqüentemente, o método desacoplado
rápido foram desenvolvidos com uma variação do método de Newton-Raphson
para que o processo de cálculo do fluxo de potência pudesse convergir de
maneira mais rápida e para isso forma utilizadas algumas simplificações
aproximações O primeiro considera a existência de uma baixa interação entre [P
e V] e entre [Q e θ]. O segundo vai além, realizando simplificações em algumas
grandezas elétricas e obtendo uma notória redução de custo computacional.
A seguir iremos descrever resumidamente estes dois métodos.
2.4.1 Método de Newton Desacoplado
Foram descritas anteriormente, as submatrizes H, N, M e L que compõem
a matriz Jacobiana (J), as quais indicam as sensibilidades entre as potências
(ativas e reativas) e as tensões complexas (magnitudes e ângulos de fase).
Sendo possível observar para estas submatrizes, que as sensibilidades entre [P e
θ] e entre [Q e V] são bem maiores que aquelas entre [P e V] e [Q e θ].
Quando existe uma sensibilidade forte entre duas variáveis, se diz que
existe um acoplamento forte e quando a sensibilidade é fraca pode-se dizer que
existe um desacoplamento.
Com estas premissas foi deduzido o método de Newton Desacoplado no
qual são desprezadas as submatrizes N e M, já que seus valores são
substancialmente menores que os de H e L.
Utilizando estas simplificações é possível deduzir que:
= .
(2.18)
= .
(2.19)
As equações (2.18) e (2.19) são chamadas de resolução simultânea, pois
os mismatches de potências ativa e reativa são calculados com base nos valores
de estado da iteração anterior.
Uma maneira de melhorar a característica de convergência do sistema é
utilizando o esquema de solução alternado, no qual tem-se:
= .
(2.20)
= .
(2.21)
Sendo que o sistema (2.20) constitui a meia-iteração, através da qual é
feita a atualização dos ângulos de fase das tensões das barras, relacionados aos
mismatches de potência ativa (meia-iteração ativa). O sistema (2.21) compõe a
outra meia-iteração, na qual é feita a atualização das magnitudes das tensões das
barras, relacionadas aos mismatches de potência reativa (meia-iteração reativa).
Aqui, utilizam-se os valores atualizados dos ângulos de fase, melhorando o
desempenho do método. Tem-se, portanto, uma atualização de variáveis de
estado a cada meia iteração.
2.4.1.1 Algoritmo básico para a resolução dos subsistemas 1 e 2 pelo
método Desacoplado
Seja p e q como os contadores das meias-iterações ativa e reativa,
respectivamente e KP e KQ como os indicadores de convergência dos
subproblemas ativo e reativo, respectivamente. Esses têm a função de
sinalizadores (semáforos) computacionais: sempre que alguma variável de estado
é alterada, o indicador de convergência do outro subproblema é igualado a ”1”,
provocando uma avaliação dos mismatches deste outro subproblema, mesmo que
já tenha convergido em uma iteração anterior. Com isso, evita-se afastamento do
ponto de solução.
SUBSISTEMA 1
1 - Atribuir os valores iniciais: KP =KQ =1, p =q =0. Escolher valores
iniciais para as magnitudes (barras PQ) e ângulos de fase (barras PQ e PV) das
tensões nodais não fornecidas. Com isso, tem-se o vetor.
[
] (2.22)
2 - Calcular Pk(θp, Vq )para as barras PQ e PV. Calcular os respectivos
mismatches de potência Pk.
3 - Testar a convergência:
Se Max| | , para k=PQ, (2.23)
ir para o passo 13, caso contrário ir para o próximo passo.
4. Calcular a matriz H. Calcular os vetores de correções para θ, resolvendo
= (2.24)
e determinar o novo valor
(2.25)
4. Incrementar o contador de meias-iterações ativas (p ← p +1).
6. Fazer KQ =1.
7. Calcular Qk (θp, Vq) para as barras PQ. Calcular os respectivos mismatches de
potência Qk.
8. Testar a convergência: se
Max| | , para k=PQ (2.26)
ir para o passo 13, se não convergiu, ir para o próximo passo
9. Calcular a matriz L. Calcular os vetores de correções para V, resolvendo
= (2.27)
E determinar o novo valor
(2.28)
10. Incrementar o contador de meias-iterações reativas (q ← q +1).
11. Fazer KP =1.
12. voltar ao passo 2.
13. Fazer KP =0.Testar: se KQ =0, o processo convergiu. Se sim, ir para o passo
14 , se não, voltar para o passo 7
14. Fazer KQ =0.Testar: se KP =0, o processo convergiu. Se sim, ir para o passo
14 , se não, voltar para o passo 2
SUBSISTEMA 2
14. Calcular Pk e Qk para a barra de referência e Qk para as barras tipo PV,
calcular fluxos de potência nos elementos da rede e calcular perdas. Neste
algoritmo, os passos 2 a 6 e 13 correspondem à meia-iteração ativa. Os passos 7
a 12 e 14 correspondem à meia-iteração reativa. A resolução do subsistema 2
(passo 14) igual ao método de Newton-Raphson.
2.4.2 Método de Newton Desacoplado Rápido (NDR)
Baseando-se no método desacoplado, faz-se em algumas considerações
a fim de se chegar a um método de cálculo mais rápido.
Seja a matriz diagonal de magnitude de tensões, cuja dimensão é definida
de acordo com as dimensões de H e L, ou seja:
V=[
] (2.29)
De forma que definem-se duas novas matrizes, H’ e L’, dadas por:
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Assim o método desacoplado fica:
(2.34)
(2.35)
Levando em conta as seguintes considerações:
• é pequeno, de tal forma que é muito próximo de 1. Esta
aproximação é válida para sistemas de transmissão de Extra Alta Tensão e Ultra
Alta Tensão e também para sistemas de distribuição, já que para estes últimos as
aberturas angulares são em geral pequenas;
• é, em magnitude, muito maior que . Para Extra Alta Tensão, a
relação é da ordem de 4, e para de UAT a relação pode atingir
a ordem de 20.
• é, em magnitude, muito maior que . Isso indica que as reatâncias shunt
são, na grande parte dos casos, muito maiores que as reatâncias série (linhas e
transformadores);
•As tensões são próximas da unidade (em p.u.). Aplicando estas aproximações
às matrizes H’ e L’ chega-se a duas novas matrizes, chamadas de B’ e B’’,
respectivamente:
(2.36)
(2.37)
Vê-se aqui um resultado bastante interessante: as matrizes B’ e B’’
dependem apenas dos parâmetros da rede (impedâncias e suceptâncias dos
ramos e elementos shunt), ficando, portanto, independentes das variáveis de
estado do sistema (magnitudes e ângulos das tensões nodais). As novas matrizes
aproximam-se bastante da matriz susceptância nodal B, com a ressalva de que
em B’ não constam as linhas e colunas referentes à barra Vθ, e em B’’ não
constam as linhas e colunas referentes às barras Vθ e PV. Essas matrizes são
constantes ao longo do processo iterativo (diz-se que o método apresenta
"tangente fixa"), diminuindo o tempo computacional e a quantidade de memória
antes usada para calcular e inverter H e L a cada iteração. Daí o método ser
denominado desacoplado rápido, cujas equações são:
(2.38)
(2.39)
Estas equações passam a substituir os passos 4 e 9 do algoritmo do
método desacoplado, apresentado na seção 3.1.1. O restante do algoritmo não é
alterado.
As matrizes constantes B’ e B’’ são calculadas logo no passo 1, apenas
uma vez para todo o processo iterativo.
2.4.2.1 Versões do Método Desacoplado Rápido
Com um estudo mais aprofundado do método desacoplado rápido foram
propostas e avaliadas 4 (quatro) versões deste método, sendo assim nomeados,
versão BB, versão XB , versão BX e versão XX [14, 16].
Resumidamente a diferença entre os quatro métodos esta em se usar ou
não os valores das resistências das linhas e se não for utilizada onde desprezar
estes valores.
A versão BB não despreza os valores das resistências e pode ser disser
que é o método desacoplado rápido propriamente dito.
A versão XB despreza os valores das resistências para a formação da
matriz B’, sendo este o método mais utilizado.
A versão BX despreza os valores das resistências para a formação da
matriz B’’.
A versão XX despreza os valores das resistências para a formação tanto
da matriz B’ como da matriz B’’
2.5 Considerações finais
Neste capítulo foi apresentado o problema do fluxo de potência junto com
os métodos de resolução: o Newton-Raphson tradicional e os métodos
Desacoplados, derivados do método Newton.
3 NORMALIZAÇÃO COMPLEXA
3.1 Introdução
As aproximações usadas durante a apresentação e dedução do Método
Desacoplado Rápido aplicam-se bem onde a relação reatância e resistência (x/r)
dos ramos são altas, característica das redes de alta tensão, como a dos
sistemas de transmissão. Quanto mais alto o nível de tensão, maiores são as
relações x/r e consequentemente, maior é o acoplamento P-θ e Q-V e, portanto,
mais adequadas são as aproximações propostas, fazendo o método convergir de
maneira satisfatória. Porém, no sistema de distribuição, a relação x/r é muito
baixa, podendo chegar em valores inferiores à unidade. Assim, os métodos
desacoplados apresentados, em sua forma simples e convencional, não podem
ser aplicados de maneira satisfatória nos sistemas de distribuição.
A técnica de rotação de eixos utilizada neste trabalho foi apresentada na
década de 80 [5] e consiste em mudar, temporariamente, o sistema de referência
complexo para a rede de estudo. Utilizando-se deste artifício, é possível fazer
com que a relação x/r do novo sistema se aproxime da relação típica de sistema
de alta tensão, sendo assim favorável para a utilização dos métodos
desacoplados.
Neste capítulo, será apresentada a técnica de normalização complexa,
que é baseada na normalização do módulo e dos ângulos das impedâncias
adotando uma base complexa de potência e possibilitando a adequação da
relação x/r de forma similar à técnica de rotação de eixos.
3.2 Rotação de Eixos
Como já dito anteriormente, os sistemas de distribuição possuem linhas
de transmissão com valores de reatância e resistência séries de ordem
equivalentes e que podem chegar, em alguns casos, em relações x/r inferiores à
unidade..
As figuras 3.1 e 3.2 ilustram as representações gráficas das impedâncias
séries típicas de linhas de transmissão de um sistema de alta tensão e de um
sistema de baixa tensão respectivamente. A figura 3.3 ilustra a rotação de eixos
complexos aplicada a uma impedância típica de uma rede de distribuição.
FIGURA 3.1 – Representação gráfica da impedância típica de Alta Tensão
Na figura 3.1 é possível observar que o valor da reatância x (Ω ou p.u.) é maior
em relação ao valor da resistência r (Ω ou p.u.). Essas características dos
sistemas de alta tensão implicam em um forte acoplamento entre o fluxo de
potência ativa e a abertura angular e entre o fluxo de potência reativa e a
diferença de potencial. Resultando no conhecido desacoplamento Pθ-QV.
Figura 3.2 – Representação típica de impedância de Baixa Tensão
Ao contrário da figura anterior, a figura 3.2 ilustra a impedância série
típica de um sistema de baixa tensão, onde a reatância x (Ω ou p.u.) e a
resistência r (Ω ou p.u.) possuem proporções equivalentes. Essa característica
restringe o uso das técnicas de desacoplamento, adotados pelos métodos
desacoplados.
Seja a impedância z = r + jx, representada no plano complexo (Real,
Imag), conforme a figura 3.3:
Figura 3.3 – Rotação de eixos de uma impedância de Baixa Tensão
A rotação de eixos [5] consiste em mudar o sistema de referência
complexo da rede em estudo através de uma rotação de eixos real e imaginário.
Na figura 3.3 existe um outro plano (Realrot, Imagrot), rotacionado de um
ângulo ɸ em relação ao primeiro. Neste, o ponto correspondente à impedância z
torna-se
Sendo assim, devido à rotação:
ɸ (3.1)
de onde, aplicando a relação de Euller:
ɸ ɸ (3.2)
ɸ ɸ (3.3)
Sendo todos os ramos rotacionados de um mesmo ângulo ɸ, a relação r/x de
cada ramo passa a ser:
ɸ ɸ
ɸ ɸ (3.4)
Trabalhando com esse novo sistema de referência, é possível obter
relações x/r que sejam mais favoráveis à aplicação do método desacoplado
rápido, dependendo do ângulo de rotação ɸ. No entanto, para evitar a
necessidade de uma aplicação de um processo de “desrotação” aos estados da
rede, é preciso que se mantenha o mesmo estado de operação da rede original,
isto é, as mesmas magnitudes e ângulos de tensão em cada barra da rede fictícia.
Para que isso aconteça, é necessário rotacionar também as injeções de potência
ativa e reativa. Sendo assim, das relações:
(3.5)
(3.6)
tem-se, após substituir z por ɸ:
ɸ (3.7)
Podemos observar da equação (3.7) que, se for aplicada uma rotação de mesmo
ângulo nas correntes, mas de sentido oposto à aplicada as impedâncias, as
tensões complexas serão as mesmas do sistema original.
ɸ
(3.8)
Assim, para a potência complexa, tem-se:
(3.9)
ou
ɸ (3.10)
Ou seja, as potências são rotacionadas de maneira idêntica às impedâncias, daí
tem-se:
ɸ ɸ (3.11)
e
ɸ ɸ (3.12)
Desse modo, após a aplicação da rotação de eixos aos valores
especificados de potência ativa e reativa, bem como aos valores de impedância
série, tem-se uma nova rede fictícia para qual o método desacoplado rápido
obtém um bom desempenho e o estado fornecido (tensões complexas) é o
mesmo que o da rede original. Após a resolução do problema, aplica-se uma
rotação inversa às grandezas de interesse, obtendo então o resultado final, ou
seja, os valores reais da rede.
3.2 Normalização Complexa por Unidade
A Normalização Complexa por unidade [12] nada mais é do que uma
outra maneira de explicar a rotação de eixos descrita na seção anterior. Esta
técnica é baseada nos conceitos de normalização das grandezas elétricas dos
sistemas de energia.
O Sistema por unidade, ou sistema p.u., como é mais conhecido, consiste
na definição de valores de base para as grandezas (tensão, corrente, potência,
etc.), seguida da substituição dos valores das variáveis e constantes (expressas
no Sistema Internacional de Unidades) pelas suas relações com os valores de
base pré-definidos.
(3.13)
As quatro grandezas fundamentais (tensão, corrente, potência e
impedância) se relacionam entre si de tal forma que a escolha de valores base
para quaisquer duas delas determina os valores de base para outras duas. Como
podemos observar nas equações a seguir:
(3.14)
(3.15)
Num sistema de energia, normalmente, definem-se como bases
independentes a potência aparente total, Sbase, para o sistema e a tensão, Vbase,
para um barramento determinado. Em uma rede com vários níveis de tensão,
cujas zonas são definidas pelos transformadores existentes, haverá uma base de
tensão para cada zona existente, sendo conveniente que as relações entre as
bases de zonas adjacentes sejam iguais às relações de transformação dos
transformadores que as ligam. Consequentemente, os valores bases de corrente
e impedância são calculados através das equações (3.14) e (3.15).
É importante ressaltar que, normalmente, as grandezas potência e tensão
de base são valores reais, resultando em valores reais de corrente e impedância.
Dessa forma, somente os módulos das grandezas envolvidas são afetados, sendo
assim, os ângulos de fase não são alterados. Neste trabalho, será considerado a
possibilidade de adoção de uma base de potência complexa (em VA), ou seja:
ɸ (3.16)
As grandezas bases de tensão são definidas da mesma forma que na
normalização p.u. convencional, isto é, um diferente valor de magnitude é
escolhido para cada nível de tensão do sistema de acordo com as relações de
transformação enquanto que o ângulo da tensão de base é nulo. Sendo assim,
enquanto a base da potência é complexa, as bases para as tensões são reais, de
tal forma que:
(3.17)
Logo, a partir das equações (3.16) e (3.17), é possível concluir que o valor de
base de impedância Zbase será também complexo e expresso por:
ɸ (3.18)
ɸ (3.19)
A partir da equação (3.19) é possível verificar que a impedância na
representação em p.u. terá sua magnitude normalizada e esta dependerá dos
valores base adotados de potência e tensão, da mesma forma que na definição
convencional por unidade. Porém, diferentemente da normalização convencional,
os novos valores de impedância em p.u. terão defasagem angular definida pelo
ângulo de fase da impedância base, que é o mesmo ângulo da potência base,
com sinal contrário, isto é:
ɸ
ɸ
(3.20)
ɸ ɸ (3.21)
onde ɸorig é o ângulo original da impedância série do elemento.
Assim, os valores da parte real (resistência) e da parte imaginária (reatância) em
p.u., são definidos por:
ɸ ɸ (3.22)
ɸ ɸ (3.23)
Portanto, a relação x/r na nova normalização p.u. complexa é dada por:
ɸ ɸ (3.24)
Assim, de forma similar, as injeções de potência ativa e reativa são devidamente
normalizadas pela base de potência (VA) complexa, ou seja:
(3.24)
e
ɸ ɸ
(3.26)
ɸ ɸ
(3.27)
Observando as equações (3.22), (3.23), (3.26) e (3.27) é possível notar
uma nova relação entre o fluxo de potência ativa e potência reativa, assim como
entre os valores da resistência e reatância do ramo é obtida para o sistema
normalizado. Sendo assim, as relações x/r representadas pela equação (3.24)
podem ser ajustadas pela definição do ângulo de fase da potência de base ɸbase,
resolvendo assim os problemas sobre a convergência do método desacoplado
rápido para o sistema de distribuição que possuem uma baixa relação x/r,
podendo esta relação ser contornada através da escolha/cálculo adequado do
ângulo ɸbase.
É importante observar que, a solução obtida através da aplicação do
cálculo de fluxo de potência para o sistema normalizado com o uso de uma base
complexa é a mesma que a solução obtida usando a base real (p.u.
convencional). Tal fato é esperado, já que as bases de tensão são mantidas reais
na nova abordagem.
3.4 Cálculo do Ângulo de Rotação ou Ângulo de Base
Os estudos feitos nas seções anteriores demonstraram quão importante é
o ângulo de rotação ou ângulo de fase para a aplicação da metodologia que será
utilizada neste trabalho
Serão apresentados nas próximas seções dois métodos para o cálculo
desse ângulo. [18]
3.4.1 Ângulo Ótimo Orientado ao Ramo
Como citado anteriormente, o ângulo de rotação (ɸ) ou de base (ɸbase)
precisa ser ajustado às necessidades do sistema. Portanto, busca-se um valor
único e ideal para cada ramo alimentado. Uma solução é realizar uma rotação
automática, que será apresentada a seguir.
O método Desacoplado Rápido para o cálculo de fluxo de carga se baseia
em um desacoplamento que desconsidera o efeito dos módulos das tensões nas
barras sobre a injeção de potência ativa e o efeito dos ângulos das mesmas na
injeção de potência reativa. Assim, utiliza-se um critério para realizar o cálculo do
ângulo de rotação que consiste em minimizar os acoplamentos entre P e V e
entre Q e θ, ou seja, o ângulo ɸ deve fazer com que as submatrizes N e M [18],
obtidas após a rotação, tenham valores próximos a zero.
Com o uso desta técnica, é possível obter, para cada trecho k-m, um
ângulo de rotação, diferentemente de um mesmo ângulo aplicado a toda rede.
Assim, cada equação nodal possui seu respectivo ângulo otimizado.
Inicialmente, são calculados os ângulos das impedâncias de cada trecho
k-m da rede de distribuição, definido por (αkm):
⁄ (3.28)
A seguir, determina-se o ângulo “ideal” da rotação para cada trecho.
Considerando que se pretende determinar a maior relação x/r possível. Assim, o
ângulo de rotação de cada trecho, (ɸkm) é determinado por:
ɸ (3.29)
A partir das equações (3.28) e (3.29), é possível verificar que para cada trecho k-
m da rede de distribuição, o objetivo é simplesmente fazer com que a resistência
rotacionada do ramo seja igual a zero ( =0).
Finalmente, um ângulo único para toda rede é determinado a partir da média
aritmética simples de todos os ângulos envolvidos, conforme proposto em [4]
ɸ ( ⁄ ) ɸ (3.30)
onde Nl é o número total de ramos do sistema.
A partir deste ângulo são determinados os valores rotacionados de resistência e
reatância de cada ramo, ou seja:
(ɸ
) (ɸ
) (3.31)
e
(ɸ
) (ɸ
) (3.32)
Assim, as potências ativa e reativa, injetadas no sistema são igualmente
rotacionadas para garantir que o estado obtido para rede fictícia seja o mesmo da
rede original. Então:
(ɸ
) (ɸ ) (3.33)
e
(ɸ
) (ɸ ) (3.34)
3.4.2 Ângulo Ótimo Orientado a Barra
Uma outra forma de cálculo do ângulo de rotação, que seria direcionado a
barra, é um processo mais complexo e não apresenta ganhos significativos
quando comparado ao método proposto anteriormente.
A diferença básica deste método está em calcular o ângulo ótimo para
rotacionar uma barra k de maneira que as considerações de desacoplamento de
um ramo k-m sejam mantidas. Sendo este ângulo calculado para uma barra, é
preciso que novos cálculos sejam feitos para determinar o valor dos ângulos de
todos os ramos conectados a mesma barra, tornando o ângulo calculado para k-m
ser diferente do ângulo m-k.
Assim, uma alternativa encontrada para minimizar a influência do conjunto
de ramos ligado à barra k é utilizar o critério dos mínimos quadrados.
Demonstrando matematicamente:
ɸ
(3.34)
∑ ( ɸ
)
(3.36)
ɸ
∑ ( ɸ
)
ɸ
ɸ (3.37)
ɸ ∑ (
) (3.38)
ɸ (
∑ (
) ) (3.39)
onde Nk é o número de barras conectadas à barra k.
Este método duplica o número de admitâncias da rede e provoca a perda
da simetria da matriz admitância nodal, além da rede elétrica perder sua
representação física.
A seguir, é mostrado o fluxograma simplificado para a realização da
rotação de eixos das impedâncias da rede de distribuição.
Figura 3.4 – Fluxograma para aplicação da Normalização Complexa
3.5 Considerações finais
Neste capítulo apresentou-se a metodologia utilizada neste trabalho para
o estudo dos sistemas que serão comentados nas seções a seguir. Utilizando-se
da Normalização Complexa e seus métodos de cálculo dos ângulos de rotação é
possível adequar as relações x/r dos sistemas de distribuição para a utilização
dos métodos de Newton e os métodos desacoplados.
4 RESULTADOS
4.1 Introdução
Neste trabalho, foram realizados estudos e simulações utilizando-se 5
sistemas testes. Sendo eles de 7, 20, 34, 70 e 118 barras. Para a realização das
simulações, foi utilizada uma rotina para normalização complexa desenvolvida na
plataforma Matlab e o toolbox Matpower, cálculo do fluxo de potência.
Inicialmente, foram feitas simulações para verificar a convergência dos
sistemas em sua configuração original e em seguida, utilizando o conceito de
rotação de eixos e da normalização complexa foram feitas novas simulações para
verificar a consistência e adequação do método utilizado quando comparado com
as simulações feitas sem a rotação de eixos.
As simulações foram feitas utilizando os métodos de Newton-Rapson,
Desacoplado Rápido – XB, Desacoplado Rápido – BX e o Gauss-Seidel.
Nas seções a seguir serão apresentados os sistemas detalhadamente,
bem como os resultados obtidos.
4.2 Sistemas Teste
Os dados de todos os sistemas teste encontram-se em anexo.
4.2.1 Sistema teste de 7 barras
A figura 4.1 mostra o diagrama unifilar do sistema de 7 barras.
Inicialmente, as simulações foram feitas baseadas no sistema original que
possuía: 1 barra de geração, 7 barras de carga e 6 linhas de transmissão.
Posteriormente, algumas mudanças foram adotadas resultando em 8 cenários de
operação diferentes baseadas neste mesmo sistema.
Figura 4.1 – Diagrama Unifilar Sistema 7 barras
Os 4 primeiros cenários foram baseados na topologia original,
modificando-se a relação x/r e incluindo em alguns casos geração distribuída nas
barras 6 e 7. Já nos outros 4 cenários, além das mudanças semelhantes as 4
primeiras, foram incluídas 2 linhas de transmissão entre as barras 6-7 e 7-5,
transformando a topologia em um sistema fracamente malhado..
Os diferentes cenários são resumidos na tabela 4.1 e os resultados
obtidos sem rotação de eixos e com rotação de eixos comparados em termos de
número de iterações para convergência são mostrados nas tabelas 4.2 e 4.3.
RADIAL RADIAL RADIAL RADIAL ANEL ANEL ANEL ANEL
R<X R>X R<X R>X R<X R>X R<X R>X
s/ GD s/ GD c/ GD c/ GD s/ GD s/ GD c/ GD c/ GD
Tabela 5.1 – Topologias Sistema 7 Barras
Tabela 4.2 – Resultados das simulações sem rotação de eixos
Os resultados sem rotação, baseados nos 4 métodos de cálculo de fluxo
de potência, foram como esperados. Os casos com a relação x/r característicos
de um sistema de distribuição, ou seja: x<r, não apresentaram convergência com
nenhum dos 4 métodos tanto no sistema radial quanto no sistema em anel sem
geração distribuída. Com a geração distribuída, os sistemas só convergiram com
o método de Newton e com o método de Gauss-Seidel, não convergindo para os
métodos desacoplados.
Tabela 5.3 – Resultados das simulações com rotação de eixos
Já os resultados com uma rotação de 30°, apresentaram convergência
em todos os métodos de cálculo e em todos os cenários utilizados, conforme a
tabela 5.3, mostrando assim a eficiência da metodologia da rotação de eixos. Os
métodos que já convergiam, apresentaram convergência em menos iterações e
os que não convergiam passaram a convergir.
4.2.2 Sistema Teste de 20 barras Copel – Baixa Tensão
Este caso considera um sistema de 20 barras de distribuição em baixa
tensão da Copel, cujo diagrama unifilar está mostrado na figura 5.2 e consiste em:
1 barra de geração, 19 barras de carga e 19 linhas de transmissão.
A relação x/r para os ramos deste sistema é aproximadamente 1.
Figura 4.2 – Diagrama Unifilar Sistema 20 barras
Por se tratar de um sistema típico de baixa tensão, a relação x/r não é
favorável à aplicação dos métodos tradicionais de cálculo de fluxo de potência.
Sendo assim, como esperado, não houve a convergência em nenhum dos
métodos sem a rotação de ângulos.
Através dos métodos de cálculo do ângulo ótimo, apresentados no
capítulo 3, foi obtido um ângulo ótimo de aproximadamente 45.65°. Este ângulo
foi aplicado na normalização dos parâmetros série e injeções de potência e, após
novas simulações, foi verificado que o sistema que antes não convergia, passou a
apresentar convergência, conforme mostrado na tabela 4.4.
Em seguida, adotou-se um ângulo de 60° para que fossem feitas novas
simulações em um ângulo diferente do ângulo ótimo calculado anteriormente e
mais uma vez, verificou-se que o sistema apresentou convergência.
Com Rotação
Método Θ°
NR
NR – BX
NR - XB
Ângulo Ótimo Orientando ao Ramo
45.6622°
3
4P 4Q
4P 4Q
Ângulo Ótimo Orientado à Barra
45.6415°
3
4P 4Q
4P 4Q
Ângulo de Rotação Arbitrado
60°
3
5P 5Q
5P 5Q
Tabela 4.4 – Resultados das simulações com rotação
4.2.3 Sistema Teste de 34 barras IEEE (modificado)
Para a topologia do caso de 34 barras do IEEE, o sistema consiste em: 1
barra de geração, 33 barras de carga e 33 linhas de transmissão. Foi adotada
uma base de 25MVA para que o sistema ficasse com um carregamento mais
crítico e consequentemente, dificultando sua convergência.
Como em outros sistemas de distribuição, a relação x/r também é baixa, o
que dificulta o uso dos métodos desacoplados. Mesmo com essa relação, os
métodos de Newton tradicional e o DR versão BX convergiram, conforme mostra
a tabela abaixo:
Sem Rotação
Newton 4
DR-XB N/C
DR-BX 28 P 27 Q
Tabela 4.5 – Resultados das simulações sem rotação
Observou-se para este caso que, antes da rotação o sistema possuía
uma relação r/x máxima de 0.4108 e mínima de 0.1749, portanto, desfavoráveis
para a aplicação dos métodos de cálculo.
Usando a metodologia proposta de rotação de eixos, foram calculados os
ângulos ótimos relacionados à barra e ao ramo e aplicado os métodos de Newton
tradicional e os Desacoplados Rápidos versões XB e BX, cujos resultados estão
apresentados abaixo, assim como os resultados para um ângulo de rotação
escolhido de 60° e aplicados aos mesmos métodos.
Com Rotação
Método Θ°
NR
DR – XB
DR - BX
Ângulo Ótimo Orientando ao Ramo
78.3246°
2
3P 3Q
4P 3Q
Ângulo Ótimo Orientado à Barra
78.2961°
2
3P 3Q
4P 3Q
Ângulo de Rotação Arbitrado
90°
2
4P 4Q
4P 3Q
Tabela 4.6 – Resultado das simulações com rotação
4.2.4 Sistema Teste de 70 barras
Este sistema já é um sistema de distribuição um pouco maior, se
comparado aos outros estudados anteriormente e consiste em 1 barra de
geração, 69 barras de carga e 69 linhas de transmissão.
Antes da rotação, o sistema apresentava uma relação x/r nos ramos
máxima de 24.9630 e mínima de 0.3034. Verificou-se, que o sistema sem a
rotação de eixos não apresentou convergência e após os cálculos dos ângulos
ótimos de rotação o sistema passou então a convergir, como indicado na tabela
4.7.
Com Rotação
Método Θ°
NR
DR – XB
DR – BX
Ângulo Ótimo Orientando ao Ramo
56.0956°
3
5P 5Q
6P 5Q
Ângulo Ótimo Orientado à Barra
56.3316°
3
5P 5Q
6P 5Q
Ângulo de Rotação Arbitrado
60°
3
6P 5Q
7P 6Q
Tabela 4.7 – Resultados das simulações com rotação
4.2.5 Sistema Teste de 118 barras do IEEE modificado
Neste caso, foi estudado um sistema típico de transmissão do IEEE de
118 barras, com alterações na relação x/r das linhas de transmissão originais.
Visto que os métodos funcionavam devido as características do sistema,
multiplicou-se os valores da resistência por um fator de 10, tornando a relação x/r
pequenas e deixando o sistema com uma característica x/r de um sistema de
distribuição, como indicados nos dados em anexo.
Após esta modificação, foram feitas as simulações sem rotação de eixos
e verificados que os métodos passaram a não convergir, o que era esperado.
Após isso, aplicou-se a rotação de eixos e os resultados são mostrados a seguir.
Antes das modificações realizadas, o sistema apresentava uma relação
r/x máxima de 0.4735 e mínima de 8, relações favoráveis à aplicação dos
métodos desacoplados. Já após as alterações, a máxima relação r/x foi de 4.7348
e a mínima de 0.
Com Rotação
Θ° Método
NR
DR – XB
DR – BX
Ângulo Ótimo Orientando ao Ramo
63.8702°
4
27P 26Q
9P 9Q
Ângulo Ótimo Orientado à Barra
50.5722°
4
19P 18Q
11P 11Q
Ângulo de Rotação Arbitrado
75°
4
50P 49Q
11P 10Q
Tabela 4.8 – Resultados das simulações com rotação
4.3 Considerações finais
Neste capítulo, foram apresentados resultados de simulações feitos em
diversos sistemas teste, com diferentes topologias. Foram realizadas simulações
sem a rotação de eixos e posteriormente com a rotação de eixos para verificar e
comparar a convergência dos sistemas.
Observou-se comparando os resultados antes e depois da técnica de
rotação de eixos em todos os sistemas estudados que, utilizando-se da
metodologia proposta, os sistemas que não convergiam passaram a convergir e
os que já apresentavam convergência, obtiveram o mesmo resultado com menos
esforço computacional, ou seja, com menos iterações nos métodos utilizados,
consequentemente, convergindo mais rapidamente.
5 CONCLUSÃO
Neste trabalho foi apresentado um breve histórico da evolução do sistema
elétrico brasileiro, seguida da apresentação do problema fluxo de potência e de
uma revisão dos principais métodos de cálculo do mesmo.
O cálculo de fluxo de potência em redes de distribuição é fortemente
limitada devido à sua baixa relação x/r dos ramos do sistema, dificultando assim a
aplicação dos métodos de Newton e os Desacoplados que são métodos
amplamente utilizados em redes de transmissão, onde as relações x/r são
favoráveis à utilização destes métodos.
Sendo assim, para a realização deste trabalho, utilizou-se uma
metodologia que consiste na aplicação do conceito de normalização complexa às
redes de distribuição, possibilitando assim o emprego de técnicas de cálculo de
fluxo de potência baseadas no método de Newton, tradicionalmente associadas à
análise de redes de transmissão. Esta metodologia baseia-se na rotação do eixo
complexo das impedâncias da rede elétrica a fim de obter uma relação x/r que
torne a característica do sistema de distribuição semelhante às verificadas em
sistemas de transmissão
Utilizando-se da metodologia proposta, foi possível obter resultados
confiáveis para os diversos tipos de sistemas estudados. Além de apresentar
bons resultados para os sistemas teste com topologias de distribuição
convencionais, foi visto também que tal metodologia torna viável a análise de
redes de distribuição na presença de geração distribuída, bem como na operação
em anel da mesma.
Referencias Bibliograficas
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il.asp consultado em 30/06/2011
[2] A. Monticelli “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica” Editora Edgard
Blücher Ltda.
[3] G. H. S. Bauab. “Cálculo de Fluxo de Carga em Sistemas de Transmissão
com Alimentadores Primários de Distribuição.” Tese de Mestrado,
Universidade Estadual de Campinas , Julho, 2005.
[4] R. B. Gomes. “Resolução do Problema do Fluxo de Cargas para Rede de
Distribuição Utilizando o Método Desacoplado Rápido com Rotação
Automática de Eixos.” Tese de Mestrado, Universidade Estadual de Campinas,
Maio, 2006.
[5] Garcia, Ariovaldo V. et al. “Simulação de Redes de Distribuição de Energia
Elétrica Através de Fluxo de Carga Desacoplado Rápido”. IX Seminário
Nacionalde Distribuição de Energia Elétrica, 9, Salvador , 1984. Anais. Salvador,
Coelba, S.D.V.92, 18p. (Op 27593 ) Bib - 621.31906081 S471 1984v92.
[6] Barbosa, Ailson de S. et al. “Aspectos Práticos Sobre a Utilização de
Programas Fluxo de Carga em Sistemas de Distribuição com Configuração
Radial”. IX Seminário Nacional de Distribuição de Energia Elétrica, Setembro de
1992 .
[7] D. Shirmohammad, H. W.Hong, A. S.Semley, G. X. Luo, “A Compensation
based Power Flow Method for Weakly Meshed Distribution and
Transmission Newtworks”, IEEE Transactions on Power Systems,vol.3 nº 2,
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[8] A. Monticelli, A. Garcia, “Modeling Zero Impedance Branches in Power
System State Estimation”, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 6 nº 4,
pp1561-1570,1991.
[9] A. Monticelli, A. Garcia, O.R. Saavedra “Fast Decoupled Load Flow : 95
Hypothesis, Derivations, and Testing”, IEEE Transactions on Power Systems,
vol.5 nº 4, pp1425-1431,1990.
[10] E. M Lourenço, N. S Silva., A S. Simões Costa, “Fast Decoupled Steady-
Stade Solution for Power Networks Modeled at the Bus Section Level”, IEEE
Power Tech - Bucareste, 2009.
[11]H.D.M.Brasz, B.A.Souza, A.M.F Almeida e F.M.P. Pamplona, “Método da
Soma de Potências com Ajuste de Demanda Considerando Múltiplas
Medições” Simpósio Brasileiro de Sistemas Elétricos - SBSE -2010-
[12] E.M Lourenço, O. L. Tortelli e T. Loddi “Unifed Load Flow Analysis for
Emerging Distribution Systems” - IEEE Transactions on Power Systems –
Innovative Smart Grid Technologies Europe – Suécia -2010
[13] F. Zhang e C. S. Cheng “ A Modified Newton Method for Radial
Distribution System Power Flow Analysis” IEEE Transactions on Power
Systems , Vol 12, Nº1, Febbruary 1997
[14] M. H. Haque “Load Flow Solution of Distribution Systems with Voltage
Dependent Load Models” Eletric Power Systems Research 36 (1996) pg 151-
156.
[15] B. Stott, A. Alsac, “Fast Decoupled Load Flow” IEEE Transmitions and
Power Systems vol. PAS-86, nº 11, pp 1449-1460 1967.
[16] R. A. M. Van Amerongen “A General-Purpose Version of the Fast
Decoupled Loadflow”, IEEE Transmitions and Power Systems vol. 4, nº 2, pp
760-770 1989.
[17] W. D. Stevenson, Jr “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”
Editora McGraw-Hill do Brasil,LTDA 2ª edição 1976.
[18] T. Loddi “Cálculo de Fluxo de Potência Unificado em Sistemas de
Transmissão e Redes de Distribuição Através do Método de Newton
Desacoplado Rápido com Rotação Ótima de Eixos.” Tese de Mestrado,
Universidade Federal do Paraná, 2010.
ANEXOS
Dados dos Sistemas Teste
Sistema Teste de 7 barras
Sbase = 1MVA
Vbase = 13.8kV
Tabela 1 – Potências Ativas e Reativas de cada barra
Barra P (kW) Q (kVAR)
1 0 0
2 0.8 0.2
3 0.6 0.2
4 0.8 0.3
5 0.5 0.1
6 0.3 0.1
7 0.4 0.2
Tabela 2 – Valores de Resistência e Reatância
LT R(pu) X(pu)
1 para 2 0.04 0.10
2 para 3 0.04 0.10
3 para 4 0.04 0.10
4 para 5 0.04 0.10
2 para 6 0.02 0.08
4 para 7 0.10 0.30
Estes são os dados do cenário original do sistema, isto é, com um R<X em um
sistema radial.
Para os casos em que R>X, foram feitas as seguintes mudanças:
(0.04 + j0.10) para (0.08 + 0.02)
(0.02 + j0.08) para (0.10 + j0.03)
(0.1 + j0.3 para 0.16 + j0.03)
Para os cenários em que continha geração distribuída, incluiu-se uma Pg de
0.2kW na barra 6 e uma Pg de 0.3 na barra 7.
Para os cenários em anel e com uma relação R<X, incluiu-se uma LT entre as
barras:
5-7 com uma impedância de (0.06 + j0.14)
6-7 com uma impedância de (0.08 + j0.25)
Já para os cenários em anel e com uma relação R>X, incluiu-se uma LT entre as
barras:
5-7 com uma impedância de (0.18 + j0.05)
6-7 com uma impedância de (0.12 + j0.04)
Sistema Teste de 20 barras da Copel – BT
Sbase = 1kVA
Vbase = 127V
Tabela 3 – Potências Ativas e Reativas de cada barra
Barra P(kW) Q(kVAr)
1 8.4105 4.3038
2 2.8391 1.4566
3 0 0
4 3.2752 1.6779
5 4.6547 2.3847
6 2.4653 1.2630
7 0.0712 0.0365
8 7.8320 4.0125
9 1.42133 7.2817
10 2.7145 1.3907
11 3.4799 1.7828
12 0.0801 0.04103
13 2.0915 1.0715
14 6.764 3.4653
15 2.9637 1.5184
16 4.2631 2.1841
17 5.5091 2.8224
18 4.2275 2.1658
19 1.0235 0.5243
20 0.0712 0.0365
Tabela 4 – Valores de Resistência e Reatância
LT R(pu) X(pu)
1 para 2 0.00079862 0.00078105
2 para 3 0.00034644 0.00033881
3 para 4 0.00054089 0.00052898
3 para 12 0.00061742 0.00060384
4 para 5 0.00094928 0.00092546
5 para 6 0.00113749 0.00111245
6 para 7 0.00096954 0.00094820
6 para 8 0.00023096 0.00022588
8 para 9 0.00091951 0.00089927
9 para 10 0.00079862 0.00078105
10 para 11 0.00093249 0.00091197
1 para 13 0.00091951 0.00089927
13 para 14 0.00109016 0.00106617
14 para 15 0.00093249 0.00091197
15 para 16 0.00093249 0.00091197
13 para 19 0.00089571 0.00087600
19 para 20 0.00093249 0.00091197
13 para 17 0.00115047 0.00112515
17 para 18 0.00102985 0.00100719
Sistemas Teste IEEE
Sistema Teste 34 barras IEEE – Modificado
Sbase = 25MVA
Vbase = 24.9kV
Sistema Teste 118 barras IEEE – Modificado
Sbase = 100MVA
Vbase = 138kV
Sistema Teste 70 Barras
Sbase = 10MVA
Vbase = 12.66kV
Tabela 5 – Potências Ativas e Reativas de cada barra
Barra P(kW) Q(kVAR)
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 2.6 2.2
8 40.4 30
9 75 54
10 30 22
11 28 19
12 145 104
13 145 104
14 8 5.5
15 8 5.5
16 0 0
17 45.5 30
18 60 35
19 60 35
20 0 0
21 1 0.6
22 114 81
23 5.3 3.5
24 0 0
25 28 20
26 0 0
27 14 10
28 14 10
29 26 18.6
30 26 18.6
31 0 0
32 0 0
33 0 0
34 14 10
35 19.5 14
36 6 4
37 26 18.55
38 26 18.55
39 0 0
40 24 17
41 24 17
42 1.2 1
43 0 0
44 6 4.3
45 0 0
46 39.22 26.3
47 39.22 26.3
48 0 0
49 79 56.4
50 384.7 274.5
51 384.7 274.5
52 40.5 28.3
53 3.6 2.7
54 4.35 3.5
55 26.4 19
56 24 17.2
57 0 0
58 0 0
59 0 0
60 100 72
61 0 0
62 1244 888
63 32 23
64 0 0
65 227 162
66 59 42
67 18 13
68 18 13
69 28 20
70 28 20
Tabela 6 – Valores de Resistência e Reatância
LT R(pu) X(pu)
1 para 2 0.0003 0.0007
2 para 3 0.0003 0.0007
3 para 4 0.0001 0.0001
4 para 5 0.0009 0.0022
5 para 6 0.0157 0.0183
6 para 7 0.2284 0.1163
7 para 8 0.2378 0.1211
8 para 9 0.0575 0.0293
9 para 10 0.0308 0.0157
10 para 11 0.5110 0.1689
11 para 12 0.1168 0.0386
12 para 13 0.4439 0.1467
13 para 14 0.6426 0.2121
14 para 15 0.6514 0.2153
15 para 16 0.6601 0.2181
16 para 17 0.1227 0.4056
17 para 18 0.2336 0.0772
18 para 19 0.0029 0.0010
19 para 20 0.2044 0.0676
20 para 21 0.1314 0.0434
21 para 22 0.2131 0.0704
22 para 23 0.0087 0.0029
23 para 24 0.0993 0.0328
24para 25 0.2161 0.0714
25 para 26 0.4672 0.1544
26 para 27 0.1927 0.0637
27 para 28 0.1081 0.0357
3 para 29 0.0027 0.0067
29 para 30 0.0399 0.0976
30 para 31 0.2482 0.0820
31 para 32 0.0438 0.0145
32 para 33 0.2190 0.0724
33 para 34 0.5235 0.1757
34 para 35 1.0657 0.3523
35 para 36 0.9197 0.3040
4 para 37 0.0027 0.0674
37 para 38 0.0399 0.0976
38 para 39 0.0657 0.0767
39 para 40 0.0190 0.0190
40 para 41 0.0011 0.0013
41 para 42 0.4544 0.5309
42 para 43 0.1934 0.2260
43 para 44 0.0256 0.0298
44 para 45 0.0057 0.0072
45 para 46 0.0679 0.0857
46 para 47 0.0006 0.0007
5 para 48 0.0021 0.0052
48 para 49 0.0531 0.1300
49 para 50 0.1808 0.4424
50 para 51 0.0513 0.1255
9 para 52 0.0579 0.0295
52 para 53 0.2071 0.0695
10 para 54 0.1086 0.0553
54 para 55 0.1267 0.0645
55 para 56 0.1773 0.0903
56 para 57 0.1755 0.0894
57 para 58 0.9920 0.3330
58 para 59 0.4890 0.1641
59 para 60 0.1898 0.0665
60 para 61 0.2409 0.0731
61 para 62 0.3166 0.1613
62 para 63 0.0608 0.0309
63 para 64 0.0905 0.0460
64 para 65 0.4433 0.2258
65 para 66 0.6495 0.3308
12 para 67 0.1255 0.0381
67 para 68 0.0029 0.0009
13 para 69 0.4613 0.1525
69 para 70 0.0029 0.0010