Post on 08-Jul-2018
8/19/2019 Turbulence MEC2345
1/99
1
ESCOAMENTO TURBULENTO a turbulência em geral surge de uma instabilidade do
escoamento em regime laminar, quando o número deReynolds torna-se grande. As instabilidades estãorelacionadas com interações entre termos viscosos etermos de inércia não lineares nas equações dequantidade de movimento linear. Os efeitos advectivos altamente não lineares, são efeitos
amplificadores de perturbações é geradores deinstabilidades. Por outro lado os efeitos difusivos sãoamortecedores ou inibidores da formação de instabilidades.
O número de Reynolds (Re) é definido como a razão entreos efeitos advectivos e os efeitos difusivos. Desta forma umescoamento só poderá transicionar ou se manter turbulentoquando Re for maior que a unidade.
8/19/2019 Turbulence MEC2345
2/99
8/19/2019 Turbulence MEC2345
3/99
3
As equações de conservação que regem oescoamento independem do regime de escoamento.Porém o regime turbulento é sempre tri-dimensional e
transiente. Se diferentes escoamentos turbulentos são
comparados, observa-se diferentes padrões deescoamento com diferentes tamanhos. Para descrever
um escoamento turbulento é portanto necessáriointroduzir a noção de escala de turbulência. Escala detempo e escala espacial. Para um escoamentoturbulento em um tubo, por exemplo, espera-se que aescala de tempo seja da ordem da razão entre o
diâmetro do tubo e a velocidade média do escoamentona seção transversal e a escala espacial seja da ordemde grandeza do diâmetro do duto.
8/19/2019 Turbulence MEC2345
4/99
4
Considerando ser possível definir avelocidade como a soma de umvalor médio mais uma flutuação
uuu
O valor médio é obtido por
t
t d ut
1u
sendo 0u já que
zero
t
u
t t
dt ut
1dt u
t
1dt u
t
1u
8/19/2019 Turbulence MEC2345
5/99
5
Somente a escala da turbulência não é suficientepara caracterizar o escoamento turbulento. Épreciso ter uma noção sobre a "violência" do
movimento. O valor médio da velocidade não podeser uma medida da violência do movimento, pois éexatamente a violência das flutuações em relação avelocidade média que desejamos saber.
Como a velocidade média não é uma boa medidapara a violência, é conveniente utilizar comodefinição de violência, a intensidade da turbulência,a qual foi definida por Dryden and Kuethe, 1930,
como a raiz quadrada do valor médio da flutuação(root mean square)
2)(uu
8/19/2019 Turbulence MEC2345
6/99
6
As equações de conservação de massa equantidade de movimento linear são não lineares eacopladas.
Como o escoamento turbulento é transiente etridimensional, a solução numérica destas equaçõestraz muitas complicações porque característicasimportantes dos escoamento turbulentos estão
contidos nas recirculações que possuem apenasalguns milímetros em tamanho para escoamentocom domínios de muitos metros.
Mesmo o problema mais simples necessitaria umamalha muito fina.
Além disso, para captar a variação temporal dosturbilhões, passos de tempo muito pequenos sãonecessários.
8/19/2019 Turbulence MEC2345
7/99
7
Atualmente existem basicamente trêsmétodos para se analisar um escoamento
turbulento, os quais serão descritos a seguir. DNS (Direct Numerical Simulation): cálculo de
todas as escalas de comprimento da turbulência.
LES (Large Eddy Simulation): cálculo dosturbilhões de grandes escalas, com umamodelagem dos turbilhões de escala menor.
RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes):modelos da turbulência estatística baseado nasequações de Navier-Stokes médias no tempo.
8/19/2019 Turbulence MEC2345
8/99
8
Pode-se classificar os métodos de acordo ao graude modelagem e ao custo computacional comoilustrado na figura. Temos que a simulação degrandes escalas LES está entre os métodosestatísticos RANS e a simulação numérica diretaDNS, sendo que este último é o que tem o maiorcusto computacional.
Custo
Computacional
RANS
LES
DNS
100 %
0 %
baixo alto extremadamente
alto
Grau
de
Modelagem
8/19/2019 Turbulence MEC2345
9/99
9
u
t
transiente permanente
u'
A análise estatística baseia-se no fato de que oescoamento turbulento pode ser descrito porum valor médio e mais uma flutuação u’
(muitas vezes da ordem de 1% a 10% de )u
'uuu
• Para o engenheiro, muitas vezes é suficienteconhecer o comportamento do valor médio.
u
8/19/2019 Turbulence MEC2345
10/99
10
Note que com relação ao valor médio, podemosfazer a hipótese de regime permanente, pois
Observamos ainda que se o vetor velocidade édado por ,
poderemos fazer a hipótese de 2-D com relaçãoaos valores médios.
0 t u /
k w jvviuuV
)()(
Dessa forma, podemos simplificar bastante oproblema. Desejamos então determinar o campomédio de velocidades. Neste caso, é preciso obterequações de conservação para essa grandeza.
8/19/2019 Turbulence MEC2345
11/99
Equações Médias de Reynolds
Os modelos de turbulência baseados nas equações de
Navier-Stokes médias no tempo RANS (ReynoldsAveraged Navier-Stokes) serão descritos.
No estudo de um escoamento turbulento, como asquantidades analisadas são caracterizadas porapresentar flutuações randômicas em torno de um valormédio, pode-se utilizar de métodos estatísticos. Uma
simples análise estatística é suficiente.
11
8/19/2019 Turbulence MEC2345
12/99
Decomposição de Reynolds:
12
'
iii
uuu ' p p p
'
t
dt
t
1
0'
Φ y y Ψ
;
Generalizando podemos escrever:
onde o valor médio é obtido por
Antes de derivarmos as equações médias para um escoamentoturbulento, vamos sumarizar algumas regras que governam as médiastemporais das flutuações das propriedades
e suas combinações, derivadas e integrais
8/19/2019 Turbulence MEC2345
13/99
13
Essas equações podem ser facilmente demonstradas, ao notar que aoperação de média é uma operação de integração e, portanto a ordemde diferenciação ou integração e obtenção de média temporal podemser invertidas.
0 '' y Φ
s s
Φ dsds Φ
ΨΦ y
ΨΦψψ
0 ψψ ''
;;
;
8/19/2019 Turbulence MEC2345
14/99
Correlação entre variáveis
Vimos que a média de uma flutuação é nula. No entanto, a média do
produto de duas flutuações só é diferente de zero, se estas foremcorrelacionadas, se estas não forem correlacionadas, a média é nula.
14
A figura a seguir ilustra oconceito de flutuações devariáveis que sãocorrelacionadas
A flutuação da variável a tem omesmo sinal que a variável b,na maior parte do tempo,
resultando em > 0. Por outrolado, a variável c não écorrelacionada com a e b,então
ab
0ac 0bc
8/19/2019 Turbulence MEC2345
15/99
15
0vu ''
As flutuações da velocidade sãocorrelacionadas, então
''
''''''
ΨΦ
)ΦΨΨ(Φ))(Ψ(Φ
y y
y y y y
De um modo geral, tem-se
8/19/2019 Turbulence MEC2345
16/99
16
Uma vez que o divergente e o gradiente sãodiferenciações, as regras acima podem ser estendidas paraum vetor com flutuação e sua combinação com um escalar
com flutuação
Aa
divdiv
)a()a()a( div)(divdivdiv A
Φgraddivgraddiv
8/19/2019 Turbulence MEC2345
17/99
17
0 x
u
t j
j
0 x
u
j
j
As equações de Navier-Stokes médias no tempo são apresentadas aseguir:
Equação da con tinu idade
para constante 0
x
u
j
j
Note que subtraindo a equação acima da equação de conservação de massaobtemos
isto é, as flutuações da velocidade assim como as velocidades médiassatisfazem a equação de conservação de massa incompressível.
0 xu
xu
xu
j
j
j
j
j
j
'
8/19/2019 Turbulence MEC2345
18/99
Equação de Conservação de Quantidade de
Movimento Linear
18
ijk k
i
j
ji
ji
i j
i ji x
u
x
u
x
u
x g x
p
x
uu
t
u
3
2
Para propriedades variáveis a equação média no tempo de Navier-Stokes é
j
jiij
k
k
i
j
j
i
j
ii j
i ji
x
uu
x
u
x
u
x
u
x
g x
p
x
uu
t
u
)(
3
2
O termo é denominado tensão de Reynolds, e envolve oscomponentes das flutuações da velocidade que não são conhecidas.Com muita freqüência o tensor de Reynolds é definido
'' ji uu
'' ji uu
8/19/2019 Turbulence MEC2345
19/99
Tensão de Reynolds A tensão viscosa corresponde a uma transferência de quantidade
de movimento a nível molecular. A tensão de Reynolds corresponde a uma transferência de
quantidade de movimento devido ao campo de velocidadesflutuantes
O tensor de Reynolds é de 2a. ordem e ésimétrico
Os componentes da diagonal são as tensões normais, enquantoas tensões fora da diagonal são as tensões cisalhantes
A energia cinética turbulenta é definida como a metade do traço
do tensor de Reynolds
é a energia cinética por unidade de massa do campo develocidade flutuante
19
''''i j ji uuuu
''ii uu
2
1
8/19/2019 Turbulence MEC2345
20/99
Modelos RANS
Determinar diretamente as Tensão de Reynolds,através de suas equações de conservação
Modelos de Viscosidade Turbulenta
20
8/19/2019 Turbulence MEC2345
21/99
Modelos de Viscosidade Turbulenta Os modelos de viscosidade turbulenta são baseados no conceito da
viscosidade turbulenta introduzido por Boussinesq em 1877. Boussinesqpropõe para o núcleo turbulento uma analogia entre as tensõesturbulentas e as tensões existentes no regime laminar.
Vimos que a tensão viscosa para um fluido Newtoniano é
21
I V
3
2V V
T
div])grad(grad[
ijk
k
i
j
j
iij
xu
32
xu
xu
Em notação indicial a equação acima pode se escrita com
onde ij é o delta de Kronecker.
8/19/2019 Turbulence MEC2345
22/99
Fazendo uma analogia entre a tensão laminar e turbulento, a tensãoturbulenta é definida como:
onde t é a viscosidade turbulenta.
O termo é a parte isotrópica do tensor e é introduzido pararepresentar a pressão dinâmica associada aos turbilhões, em
analogia à pressão estática, termodinâmica. é a energia cinéticaturbulenta, definida como
Com a substituição da expressão para a tensão de Reynolds naequação média de quantidade de movimento, obtêm-se a seguinteexpressão para a equação de conservação de quantidade demovimento linear para regime turbulento baseada no conceito daviscosidade turbulenta
22
ijijk
k
t i
j
j
i
t ji x
u
x
u
x
uuu
3
2
3
2
2222i wvu2
1u
2
1 ''''
8/19/2019 Turbulence MEC2345
23/99
onde P é a pressão modificada, definida como
e a viscosidade efetiva ef :
onde é a viscosidade molecular e t é a viscosidade turbulenta.
23
ijijk
k
t i
j
j
i
t i
j
j
i
j
ii j
i j
i
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
g x
p
x
uu
t
u
3
2
3
2
)(
ii
j
j
ief
ji j
i j
i g x
u
x
u
x x
P
x
uu
t
u
3
2
x
u
3
2 p P
k
k t
)(x, t t ef
(*)
8/19/2019 Turbulence MEC2345
24/99
A equação (* ) não constitui um modelo de turbulência por si só, masé a base para construção de um grande número de modelos deturbulência simples e complexos, cujo ponto de partida é a avaliaçãoda viscosidade turbulenta t .
A viscosidade turbulenta não é uma propriedade, e sim função doescoamento. Analisando o escoamento próximo à parede,observamos que na região imediatamente adjacente à parede, aviscosidade turbulenta t é desprezível em relação a viscosidade
absoluta . Esta região é denominada sub-camada laminar. Longe daparede, na região do núcleo turbulento, a viscosidade absoluta é deuma magnitude muito inferior à da viscosidade turbulenta t .
24
> t
núcleo
turbulento
camada amortecedora
sub-camada laminar
8/19/2019 Turbulence MEC2345
25/99
Diferentes modelos têm sido propostos para a avaliação daviscosidade turbulenta. Cada modelo apresenta um grau decomplexidade diferente e com uma abrangência diferente.
Os modelos podem ser classificados em modelos:
modelos algébricos, modelos de zero equaçõesdiferenciais
modelos de uma equação diferencial modelos de duas equações diferenciais
modelos de n equações diferenciais
25
8/19/2019 Turbulence MEC2345
26/99
VISCOSIDADE TURBULENTAInterpretação física:
De acordo com a teoria cinética dos gases, a viscosidade absoluta(molecular) é resultante da transferência de quantidade de movimentoresultante da colisão de moléculas ( a x ), onde a é a velocidade dosom e x é o caminho médio livre entre colisões.
De forma análoga a viscosidade turbulenta é definida como sendoresultante da transferência de quantidade de movimento da colisão deturbilhões turbulentos, podendo ser estimada por
onde V c e Lc são, respectivamente, a velocidade e o comprimentocaracterístico ou típicos da escala de movimento.
Os diversos modelos para viscosidade turbulenta, diferem com respeitoa determinação dos valores característicos da escala turbulenta.
26
cct LV
8/19/2019 Turbulence MEC2345
27/99
Modelos Algébricos
Os modelos algébricos também são chamados de modelos de zero
equações (diferencias)
Viscosidade Turbulenta Constante
Este é o modelo mais simples possível. Ocasionalmente, como umaprimeira aproximação, para alguns escoamentos, a viscosidadeturbulenta pode ser considerada como constante, onde o valor daconstante deveria ser ajustado a partir de dados experimentais, Estemodelo não é muito utilizado, por ser muito grosseiro.
27
8/19/2019 Turbulence MEC2345
28/99
Modelo de Comprimento de Mistura: A Hipótese do Comprimento de Mistura foi desenvolvida por Prandtl
(1925), considerando um escoamento turbulento simples com
Considere que em um escoamento turbulento ao longo de uma parede,porções de fluido se juntam e se movimentam através de umdeterminado comprimento m sem alterar sua quantidade de movimentona direção x.
28
Vamos analisar o movimento de uma porção defluido começando em y = - m e se deslocandocom velocidade v positiva (v' > 0 ) até a posiçãoy =0. Sua quantidade de movimento por unidadede volume é . Considerando que ofluido mantém sua quantidade de movimento, suavelocidade na nova posição y=0 é menor do que avelocidade a existente lá. A diferença entre asvelocidades na nova posição será
0wv yuu ;)(
v' >0
v'
8/19/2019 Turbulence MEC2345
29/99
esta diferença de velocidades pode ser estimada utilizando umaexpansão em série de Taylor
Considerando agora, uma porção de fluido se deslocando comvelocidade negativa (v' < 0 ), saindo de y = m até a posição y =0. Suavelocidade será maior do que da nova posição e a diferença develocidades será
As diferenças no valor de velocidade originada pelo movimentotransversal podem ser interpretadas como as flutuações de velocidade
em y=0. O valor médio do módulo dessas flutuações de velocidade emy=0 pode ser avaliado por
29
0 y
m1 y
uu
02
y
m y
uu
0 y
m21 y
uuu
2
1u
'
8/19/2019 Turbulence MEC2345
30/99
8/19/2019 Turbulence MEC2345
31/99
Para avaliar o produto , podemos notar que uma condição de
v' > 0 geralmente está associada a uma condição de u' < 0, já que
porções de fluido vindas de regiões com menores velocidades tendem
a produzir uma redução de velocidade (flutuação) no novo meio.Usando o mesmo argumento, podemos associar à condição de v'
8/19/2019 Turbulence MEC2345
32/99
A expressão anterior, deve ser modificada, para que o sinal da tensão
turbulenta seja coerente para diferentes perfis de velocidade, logo
Esta expressão é o principal resultado da
Hipótese de Comprim ento de Mistura de Prand t l .
Finalmente, podemos determinar a viscosidade turbulenta, pois
Então sendo
já que
32
yu
y
u
vu 2m''
y
uvu t ''
y
u2mt
y
uV mc
mct V
8/19/2019 Turbulence MEC2345
33/99
A distribuição de m deve ser especificada algébricamente.
Para escoamentos mais gerais, a viscosidade turbulenta pode serobtida de
33
21
j
i
i
j
j
i2
mt x
u
x
u
x
u/
8/19/2019 Turbulence MEC2345
34/99
8/19/2019 Turbulence MEC2345
35/99
8/19/2019 Turbulence MEC2345
36/99
escoamentos desenvolvidos em dutos: Neste caso, afórmula de Nikuradse é satisfatória (R é o raio da tubulaçãoe y é a distância à parede)
escoamentos desenvolvidos em dutos com geometriaarbitrária: Buleev (1962) sugere a seguinte expressão
36
42m R y106 0 R y1080140 R /,/,,/
onde r é o comprimento do raiodesenhado a partir de um certoponto até a parede do duto aolongo da direção q .
r q
q
2
0
11m d r 251,
8/19/2019 Turbulence MEC2345
37/99
Comentários sobre o Modelo de Comprimento de Mistura
O modelo é limitado a escoamento simples, não sendocapaz de responder a mudanças rápidas no escoamento, a
recirculação de escoamentos, a efeitos de turbulência nacorrente livre, etc.
O fato de t ser zero quando u/ y é zero é uma implicaçãoinconveniente; causando a inexistência de fluxo de calor
turbulento através de planos com gradiente de velocidadenulo.
Mesmo para escoamentos simples, a distribuição de m nãoé universal. Dificuldades ocorrem quando uma camada demistura torna-se um jato, quando um jato encontra-se comuma camada limite próxima a uma parede, etc.
Para escoamentos complexos, não existe esperança de seprescrever uma distribuição útil para m .
37
8/19/2019 Turbulence MEC2345
38/99
Estrutura da Turbulência em
Escoamentos Junto à Superfícies Sólidas
Os níveis de tensões de Reynolds em escoamentos turbulentos junto àsuperfície sólidas são muito menores do que aqueles encontrados emescoamentos livres, devido à ação inibidora da parede.
Por outro lado, devido à inibição do movimento do fluido na direçãonormal à parede, a anisotropia das flutuações de velocidade junto àparede é bem maior do que no caso de escoamento livre.
38
8/19/2019 Turbulence MEC2345
39/99
A figura baixo, ilustra dados experimentais para a distribuição detensões de Reynolds ( , , ; ) e velocidade média ( )
junto a uma parede sólida, onde é a velocidade do escoamentolonge da parede. Como pode ser observado, as maiores
intensidades das flutuações de velocidade ocorrem na regiãoadjacente à parede, onde os gradientes de velocidades são muitoelevados e, como conseqüência a geração da turbulência P ktambém é elevada
39
2u ' 2v' 2w' '' vu u
U
8/19/2019 Turbulence MEC2345
40/99
A figura seguinte ilustra a distribuição de tensão total e turbulentapara um escoamento turbulento em um canal formado por placasparalelas, distantes entre si de H . Note que na maior parte doescoamento as tensões se devem exclusivamente aos termos
turbulentos. Apenas junto à parede, onde as flutuações devem ir azero, as tensões laminares dominam.
40
'' vu
'' vut
t l
8/19/2019 Turbulence MEC2345
41/99
41
A figura a seguir ilustra os componentes de flutuação turbulenta emum canal.
O escoamento próximo à parede, seja para uma camada limite ouescoamento em um canal é muito semelhante e as mesmas leispodem ser aplicadas em ambas as situações.
8/19/2019 Turbulence MEC2345
42/99
Para caracterizar a turbulência, além da distribuição das flutuaçõesda velocidade, pode-se utilizar a função de correlação
42
2221
21
uu
uu R
A figura ao lado ilustra a função de
correlação para um duto circular. Nocentro, as flutuações u’1 e u’2 sãoidênticas, logo R(0)=1. Note que a funçãocorrelação cai rapidamente em direção aparede.
8/19/2019 Turbulence MEC2345
43/99
8/19/2019 Turbulence MEC2345
44/99
44
Correlação de espaço-tempo consiste em avaliar doiscomponentes da velocidade em diferentes posições e diferentesinstantes de tempo
O deslocamento temporal tm do máximo de cada curva é devido a
passagem dos turbilhões turbulentos, os quais no exemplo acima, semovem com velocidade aproximadamente igual a 0,8 U. O valormáximo decai, pois com a passagem do tempo, o turbilhão perde suaindividualidade devido a mistura com o fluido turbulento adjacente.Paralelamente, novos turbilhoes são continuamente formados.
8/19/2019 Turbulence MEC2345
45/99
8/19/2019 Turbulence MEC2345
46/99
8/19/2019 Turbulence MEC2345
47/99
47
Distribuição de Energia Turbulenta
O movimento oscilatório continuamente extrai energia do
movimento médio principal através das tensões turbulentas, sendoque esta energia é completamente dissipada em forma de calordevido à ação da viscosidade nas altas freqüências (pequenosvórtices).
uu,uu),(
),(),(uu),(
uu),(
><
2
1
2
1
2
1
2
1
t x E
t x E t x E t x E
t x E Energia cinética
Energia cinéticado escoamentomédio
Energia cinéticaturbulenta
8/19/2019 Turbulence MEC2345
48/99
8/19/2019 Turbulence MEC2345
49/99
49
Vimos que para um fluido Newtoniano
Definindo
tem-se
ij jii S U pU T 2/
ijij S S t D
E D 2 T
ijijiii
ij j
i
i
ijijijijij j
i
j j
S S S p
x
S U
x
pU
S S p
S p
U
xt D
U DU
22
22
)/(
Mas Sii =0 pela continuidade para = constante
Dissipação viscosa representaa conversão de energiamecânica em energia térmica
E i i éti édi l l d édi d ã d i
8/19/2019 Turbulence MEC2345
50/99
50
ijijijij s sS S
E E t t
E
22
>
<
ijij
ijij
S S E t
E
S S E t
E
2
2
T)u(
T)(u
>
8/19/2019 Turbulence MEC2345
51/99
51
Definindo:
dissipação devido ao escoamento médio:
em geral é desprezível por ser proporcional à Re-1
dissipação turbulenta:
ijij S S 2
ijij s s 2
/ puuuS uT i jiij ji 2
/ puuuu suT i j jiij ji 2
Definindo:
E i Ci éti d E t Médi T b l t
8/19/2019 Turbulence MEC2345
52/99
52
onde:
é a produção de energia cinética turbulenta
T
T
t D
D
t D
E D
j
i ji xuuu
Energia Cinética do Escoamento Médio e Turbulenta
ij ji ji ji S u puuuuT 2 /
ij ji j jii su puuuuT 2/
A ação do gradiente de velocidade média atuando sobre as
tensões de Reynolds, remove energia cinética do escoamentomédio (- na equação para ) e transfere para o campo flutuantede velocidade (+ na equação para ).
E
PRODUÇÃO
8/19/2019 Turbulence MEC2345
53/99
PRODUÇÃO
(i) Somente a parte simétrica do tensor gradiente de velocidade afeta a produção
(ii)Somente a parte anisotrópica do tensor de Reynolds afeta a produção
(iii) De acordo com a hipótese de viscosidade turbulenta
a produção é
Note que esta expressão é a mesma de , com t no lugar de
53
ij ji S uu
ijij S a ij jiij uua 3
2
02 ijijt S S
DISSIPAÇÃO Na equação de , o sorvedouro é a dissipação da energia cinética
turbulenta ou simplesmente dissipação.
O gradiente das velocidades flutuantes u’ i / x i trabalha contra atensor deviatórico de flutuações ( 2 sij ) e transforma a energiacinética em energia interna.
A dissipação é sempre positiva.
P fil d V l id d R iã d P d
8/19/2019 Turbulence MEC2345
54/99
Perfil de Velocidade na Região da Parede
Vamos agora estimar o perfil de velocidade em cada uma daszonas na região próxima à parede, a partir das equações deconservação.
54
*u
uu
yu y
*
0 x
u
j
j
'' ji ji j
i
j j
i j
i uu
x x
p
x
u
x x
uu
t
u
Vamos definir velocidade e distância adimensionais como
onde u* é chamado de velocidade de atrito, sendo definido como
/* su
8/19/2019 Turbulence MEC2345
55/99
A l ã é fil d l id d d t t b l t
8/19/2019 Turbulence MEC2345
56/99
A conclusão é que o perfil de velocidade de um escoamento turbulentopossui forma linear na região muito próxima à parede. Podemosconcluir ainda que u+ e y + e são variáveis de similaridade para estaregião. Dados experimentais mostram que esta relação é válida para
y + < 5.
Imediatamente acima da região laminar viscosa deve existir uma regiãoonde os efeitos das tensões laminares e turbulentas possuem a mesmaimportância. É a camada amortecedora . Esta região é mais difícil de
ser modelada.
A região seguinte, chamada de Reg ião tu rb u len ta , a tensãoturbulenta domina, então
56
sctevu y
u
''
svu ''
Infelizmente não podemos integrar a equação acima sem a introdução
8/19/2019 Turbulence MEC2345
57/99
Infelizmente, não podemos integrar a equação acima, sem a introduçãode uma relação constitutiva que permita modelar o termo turbulento.
Assumindo que próximo a parede a aproximação do comprimento demistura se aplica, podemos reescrever a tensão turbulenta como
igualando a tensão turbulenta com a tensão cisalhante na parede
temos
o coeficiente k é conhecido como a constante de von Kármán, e deacordo com dados experimentais é aproximadamente igual a 0,4.
Integrando a equação acima, obtemos
Para paredes lisas o valor da constante de integração é determinadoempiricamente como sendo igual a 5.
57
y
u yk u
y
uu
y
uvu t
**''
yk
1
y
u yu yk u s
*
cte yk
u ln1
A figura a seguir ilustra uma comparação entre os perfis para a região
8/19/2019 Turbulence MEC2345
58/99
A figura a seguir ilustra uma comparação entre os perfis para a regiãoda sub-camada laminar e região turbulenta e dados experimentais,onde observa-se excelente concordância
58
Camada Limite Turbulenta: Placa Plana
8/19/2019 Turbulence MEC2345
59/99
Camada Limite Turbulenta: Placa Plana
Para estimar o perfil de velocidade médio turbulento sob uma placa
plana, pode-se utilizar expressões empíricas
59
71/
y
U
u
A espessura da camada limite pode ser estimada a partir da seguintecorrelação empírica
x x x Re
Re
,
/
102703810
51
8/19/2019 Turbulence MEC2345
60/99
A força sobre a placa é
8/19/2019 Turbulence MEC2345
61/99
61
A força sobre a placa é
sL2L
xturb
x
0lam
2
L
0
2
sA
2
ssss
ACf 2
Uxd b)x(Cf xd b)x(Cf 2
U
dx b)x(Cf 2
UAd)x(Cf
2
UAd)x(AF
c
c
s
cx
0lamturb
L
0turbL xd)]x(Cf )x(Cf [xd)x(Cf L
1
Cf
L5/1
L
LRe
1740
Re
074,0Cf para 5 x 105 Rex 10
7
L58,2LL
Re
1610
Relog
455,0Cf para 5 x 105 Rex 109 (**)
8/19/2019 Turbulence MEC2345
62/99
62
Se xc< < L , a camada limite sobre a placa é praticamente toda turbulenta, pode-se então
aproximar o coeficiente de atrito médio para
Se xc< < L então
5/1L
L
Re
074,0Cf para 5 x 105 Rex 10
7 (++)
Se xc< < L então 58,2L
LRelog
455,0Cf para 5 x 105 Rex 10
9 (##)
(**)
(##)
(++)
L
L
3281Cf
Re
,
8/19/2019 Turbulence MEC2345
63/99
8/19/2019 Turbulence MEC2345
64/99
Podemos também, assim como para a camada limite, utilizar dados
8/19/2019 Turbulence MEC2345
65/99
65
Podemos também, assim como para a camada limite, utilizar dadosempíricos.
Para um tubo liso, o perfil de velocidade pode ser aproximado pela “lei de
potências” de forma análoga ao regime turbulento na camada limite n
R
r
u
u/1
max
1
maxuU
O expoente n depende donúmero de Reynolds, baseadona velocidade máxima
e no diâmetro, de acordo com afigura
Conhecido o perfil de velocidade, a velocidade média pode ser facilmente obtida
8/19/2019 Turbulence MEC2345
66/99
66
R
AT T m r d r udAu AuQ
T 0
2 )12()1(
2 2
max
nn
n
u
um
Naturalmente que a relação entre a velocidade média e máxima depende do expoente n.
Quanto maior o número de Reynolds, maior é o expoente n e mais achatado é o perfil de
velocidade, maior é a tensão cisalhante. Note que a relação entre a velocidade média e
máxima para o regime laminar em um tudocircular é 1/2.
A figura ao lado ilustra uma comparação
entre o perfil de velocidade no regime
laminar e no regime turbulento para
diferentes expoentes.
Na prática, com muita freqüência, especifica-se o expoente n =7 independente
8/19/2019 Turbulence MEC2345
67/99
67
do número de Reynolds.
Vale ressaltar que a hipótese de velocidade uniforme na seção transversal éuma péssima aproximação no caso de regime laminar. Já para o regime
turbulento, é uma aproximação razoável, especialmente para altos Reynolds.
O lei 1/n aproxima bem o perfil de velocidade em quase todo o domínio, comexceção da região próximo à parede, não sendo possível estimar o atrito a partirdeste perfil.
Utiliza-se então dados empíricos para estimar o fator de atrito, o qual dependenão só do número de Reynolds, mas da rugosidade relativa da tubulação.
O fator de atrito nada mais é do que uma queda de pressão adimensional outensão cisalhante na parede adimensional
22
2
1
4
2
1m
s
m uu
D x
p
f
)/(Re, D f f
Na prática, com muita freqüência, especifica-se o expoente n =7
8/19/2019 Turbulence MEC2345
68/99
68
independente do número de Reynolds.
Vale ressaltar que a hipótese de velocidade uniforme na seçãotransversal é uma péssima aproximação no caso de regime laminar. Jápara o regime turbulento, é uma aproximação razoável, especialmentepara altos Reynolds.
O lei 1/n aproxima bem o perfil de velocidade em quase todo o
domínio, com exceção da região próximo à parede, não sendo possívelestimar o atrito a partir deste perfil.
8/19/2019 Turbulence MEC2345
69/99
69
A rugosidade relativadepende do material
da tubulação e dodiâmetro da mesma
O fator de atrito pode ser a aliado a partir do diagrama de Mood
8/19/2019 Turbulence MEC2345
70/99
70
O fator de atrito pode ser avaliado a partir do diagrama de Moody
A representação gráfica é conveniente e facilita a determinação do fator
8/19/2019 Turbulence MEC2345
71/99
71
de atrito, no entanto, quando desejamos utilizar de forma sistemática emum programa de computador por exemplo, é desejável, representar ainformação do diagrama de Moody por uma correlação.
A correlação mais utilizada é a fórmula de Colebrook
A correlação de Colebrook é uma equação transcendental, isto é, não épossível explicitar o valor do fator de atrito. É necessário resolver deforma iterativa. Miller recomenda como estimativa inicial para o processoiterativo, a seguinte expressão
Com essa inicialização, obtém-se um resultado dentro de 1% comapenas uma iteração.
2
9,0Re
74,5
7,3
/log25,0
D f o
5,05,0 Re
51,2
7,3
/log0,2
1
f
D
f
Dutos com seção transversal não
8/19/2019 Turbulence MEC2345
72/99
Dutos com seção transversal não
circular
Fator de atrito
72
22
2
1
2
14
m
h
m
s
u
D
x
p
u
f
l
Para escoamento laminar, f Re = C=cte
Circular: C=64
Triângulo isosceles: C= 52
Triângulo equilátero: C=53
Quadrado: C=57Retângulo com razão de aspecto de 3/1 a 5/1: 71
Anulus: 54 a 96 para d2/d11
Fator de
8/19/2019 Turbulence MEC2345
73/99
Fator deatrito
73
2
2
2
1
2
1
4
m
h
m
s
u
D
x
p
f
u
f
l
Para escoamento turbulento, com o uso do diâmetro hidráulico, acorrelação para duto circular ( curva 2) representa bem as outrasgeometrias, para escoamento até número de Mach=1.
Analisando curvas de iso-velocidades nestes dutos, observa-se altas
8/19/2019 Turbulence MEC2345
74/99
74
velocidades nas quinas.
O escoamento secundário continuamente transporta “momentum” do
centro para as quinas, gerando altas velocidades
Dutos rugosos
8/19/2019 Turbulence MEC2345
75/99
Dutos rugososFator de atrito para duto rugoso com areia:
Rugosidade relativa: ks/R
75
2
2
2
1
2
1
4
m
h
m
s
u
D x
p
f
u
f
l
Distribuição de velocidade
8/19/2019 Turbulence MEC2345
76/99
Distribuição de velocidade
Gradiente menos
acentuado na paredepara duto rugoso(expoente n=4 5)
76
n
R
r
u
u/1
max
1
8/19/2019 Turbulence MEC2345
77/99
Modelos de Turbulência
8/19/2019 Turbulence MEC2345
78/99
Modelos de Turbulência
Diferenciais Os modelos algébricos não são capazes de prever deforma adequada escoamentos mais complexos. Destaforma, surgiram os modelos de turbulência diferenciais
modelos de uma equação diferencialmodelos de duas equações diferenciais
modelos de n equações diferenciais
Além das flutuações das velocidades do escoamento,todas as outras grandezas relevantes também flutuam,dando origem a fluxo turbulento de grandezas escalares.
78
Modelos de Difusividade Turbulenta
8/19/2019 Turbulence MEC2345
79/99
Para avaliar o fluxo de difusão turbulento de uma grandeza escalar,também é possível fazer uma analogia com o fluxo de difusão molecular.
onde G t é a difusividade turbulenta.
Vamos supor que a equação de interesse é a equação da energia e quea grandeza escalar é a entalpia, =h . O fluxo difusivo de calor molecular
é
logo, o coeficiente de difusão é G /Pr , onde Pr é o número dePrandtl.
A difusividade turbulenta pode então ser definida como
onde Pr t é o número de Prandtl turbulento ou número de Schmidtturbulento
79
j j j x
h
x
h
x
T j
cp
k k q
Pr
t
t t Pr G
j xt ju
G ''
Modelos De Uma Equação
8/19/2019 Turbulence MEC2345
80/99
Como vimos uma das dificuldades do modelo decomprimento de mistura é a relação direta entre a
viscosidade turbulenta e o gradiente da velocidade. O modelo de uma equação utiliza outra velocidade
característica para avaliar a viscosidade turbulenta. Comovimos a intensidade da turbulência é uma boamedida da violência do escoamento, podendo ser utilizadopara avaliar a velocidade característica do turbilhão.
No caso geral, a intensidade da turbulência pode serrepresentada pela energia cinética turbulenta
2uu )(
2222i
21i wvu
2
1u
2
1u ''''/'
80
a viscosidade turbulenta pode então ser avaliada por
8/19/2019 Turbulence MEC2345
81/99
A equação acima foi proposta independentemente porKolmogorov ( 1942) e Prandtl (1945).
Neste modelo continua sendo necessário uma expressãoalgébrica para avaliar o comprimento de característica demistura .
Para avaliar a energia cinética, utiliza-se uma equação deconservação para , a qual, como vimos, é obtida a partir da
equação de Navier Stokes.
21t /
81
Tt D
D
j
i ji x
uuu
ij ji j jii su puuuuT 2/
Termo de produção Pk =
8/19/2019 Turbulence MEC2345
82/99
Termo de produção P k Este termo representa a taxa de transferência de energia do escoamento
médio para o mecanismo de turbulência
Para os modelos baseados na hipótese de viscosidade turbulenta,utiliza-se o modelo já apresentado para a tensão de Reynolds, e o termo
de produção pode ser escrito como
Para fluidos incompressíveis, como o divergente da velocidade é nulo,
temos
82
j
i ji
x
uuu P
''
j
iij
k
k
i
j
j
it
x
u
x
u
x
u
x
u P
3
2
j
i
i
j
j
it
x
u
x
u
x
u P
Termo de difusão Dk TD
8/19/2019 Turbulence MEC2345
83/99
Termo de difusão D k
83
T D
ij ji j jii su puuuuT 2/
i
j
j
iij
x
u
x
u s
2
1
Estes termos representam o transporte de por difusãolaminar e turbulenta
2 j
2 j
j xk
pu
x D
'''
Termo de difusão Dk
8/19/2019 Turbulence MEC2345
84/99
Termo de difusão D k
A primeira parcela representa o transporte difusivoturbulento de k, e pode ser aproximado utilizando o conceito
de difusividade turbulenta
onde s k é o número de Prandtl de energia cinéticaturbulenta, sendo um parâmetro empírico, em geral igual aum (s k = 1). O termo de difusão pode então ser escrito
84
j
t
j
j j x x
k p
u x
s
''
'
j
t
j
k x x
D
s
8/19/2019 Turbulence MEC2345
85/99
8/19/2019 Turbulence MEC2345
86/99
Equação de Conservação de Energia Cinética Turbulenta
8/19/2019 Turbulence MEC2345
87/99
q ç ç g Vimos que o trabalho de energia por unidade de volume devido à
dissipação viscosa é definido como ,logo trabalho deenergia por unidade de volume devido à dissipação viscosa de umturbilhão, ou dissipação da energia cinética é , então
onde
sendo c = 0,09 uma constante empírica.
Em geral, a escala de comprimento é considerada igual a ( = ),e as expressões já apresentadas podem ser utilizadas para avaliarestas grandezas, podendo-se alterar ligeiramente os valores dasconstantes empíricas.
87
s
23
2 j
2t
j
i
i
j
j
it j
j
c x
x
u
x
u
x
uu
xt
/
21t /
Modelos De Duas Equações
8/19/2019 Turbulence MEC2345
88/99
Estes modelos consistem na solução de duas equaçõesdiferenciais para avaliar a viscosidade turbulenta. Na
elaboração de um modelo de duas equações, faz sentidocontinuarmos utilizando a equação para a energia cinética , devido ao pouco empiricismo usado na sua obtenção.Como podemos utilizar qualquer combinação do tipo paraa segunda variável, várias propostas surgiram ao longo
dos anos: Freqüência de vórtices f ( f = ½ -1) (Kolmogorov, 1942)
Produto energia versus escala de comprimento (Rodi e Spalding, 1970)
Vorticidade w (w -2 ) (Wilcox, 1988)
Dissipação ( 3/2 -1 ) da energia cinética turbulenta (Harlow e Nakayama, 1968 e Launder e Spalding, 1974)
88
Modelo
8/19/2019 Turbulence MEC2345
89/99
O modelo é sem dúvida o modelo que tem recebido maior atençãodevido, principalmente, aos trabalhos de Jones e Spalding (1972,1973) e Launder e Spalding (1974). Neste modelo a velocidade
característica continua sendo V c 1/2 e o comprimento característicoé obtido em função da dissipação ( u 3 / u 3 / 3 /2 / .
A viscosidade turbulenta é ( t c 1/2 3/2 -1 ), ou melhor
Para avaliar a dissipação da energia cinética, deriva-se uma equaçãode conservação para , a qual também é obtida a partir da equação deNavier Stokes, lembrando que
2
t
k c
2
j
i
x
u
'
89
Equação de Conservação da Dissipação da EnergiaCi éti T b l t
8/19/2019 Turbulence MEC2345
90/99
Cinética Turbulenta
A equação de conservação para é obtida através dasseguintes etapas:
i. Subtrair a equação média de Navier-Stokes daequação de Navier-Stokes
ii. Derivar a equação resultante em relação a x jiii. Fazer um produto escalar com 2 u’ i / x j
iv. obter a média da equação resultante
90
Os termos da equação de transporte de podem ser agrupados detal forma a representarem mecanismos físicos distintos
8/19/2019 Turbulence MEC2345
91/99
tal forma a representarem mecanismos físicos distintos
onde D ; P e d representam, respectivamente, os mecanismosde difusão, produção e destruição de . As principais técnicas para amodelagem dos termos na equação de são a análise dimensional ea intuição física.
Termo de difusão D k
A difusão De de é aproximada usando o gradiente de :
onde s é o número de Prandtl de dissipação de energia cinéticaturbulenta, sendo um parâmetro empírico.
d P D ju xt j
j
t
j x x
D
s
91
Termo de Produção P
8/19/2019 Turbulence MEC2345
92/99
ç
A produção de P de deve ser balanceada pela produção P de ,para evitar um aumento ilimitado de . Assim
onde (/ ) é o inverso da escala de tempo.
Termo de destruição de , d
O termo de destruição d na equação de deve tender ao infinitoquando 0 , caso contrário pode se tornar negativo. Destaforma:
Finalmente, usando as equações anteriores, pode-se escrever asequações para o modelo padrão, lembrando que 3 /2 /
P P
2
22
j
i xk xud
'
d
92
8/19/2019 Turbulence MEC2345
93/99
O modelo é robusto, econômico e apresenta precisão razoável,
ã l l é it d i d t i l t i l
8/19/2019 Turbulence MEC2345
94/99
razão pela qual é muito usado industrialmente para simular
escoamentos. No entanto, existem diversas variantes em relação a
estas equações.
Pode-se simplificá-la ainda mais para escoamentos com altos números
de Reynolds.
A mesma deve ser modificada na presença de empuxo, e para
escoamentos compressíveis. Existem também algumas variaçõesdestas equações para tentar levar em conta aspectos anisotrópicos do
escoamento.
A equação de apresenta um maior número de aproximações e
diversas variações da mesma podem ser encontradas, quando busca-
se eliminar algumas das simplificações feitas anteriormente, como
considerar separadamente o efeito do gradiente de pressão, ou
introduzir o efeito da compressibilidade do escoamento.
t t ef
94
Modelos de Viscosidade Turbulenta - Região da Parede C i d l d i id d b l b i
8/19/2019 Turbulence MEC2345
95/99
Como vimos, os modelos de viscosidade turbulenta se baseiam nahipótese de Boussinesq, onde a tensão turbulenta é obtida por
e o escoamento pode ser determinado pela solução da equação médiade conservação dado por
A maioria dos modelos apresentados para a viscosidade turbulenta,seja de zero equação, uma ou duas equações diferenciais são válidoslonge da parede. Na região da parede emprega-se a Lei da Parede ,isto é a solução exata de u+ y+ válida para a região da parede.
Recomenda-se a utilização do perfil logaritmo para y + > 11. Para os modelos de uma ou duas equações diferenciais informações
adicionais relativas a energia cinética turbulenta e a taxa de dissipaçãode k na região da parede devem ser obtidas.
95
ijijk
k
t i
j
j
i
t ji x
u
x
u
x
u
uu
3
2
3
2
'' ji ji j
i
j j
i j
i uu x x
p
x
u
x x
uu
t
u
Energia Cinética Turbulenta k
8/19/2019 Turbulence MEC2345
96/99
Na região próxima a parede (y+> 11) a produção da energia cinética seiguala com a sua destruição, então
A produção pode ser obtida pela seguinte expressão
Como vimos, a viscosidade turbulenta e a dissipação podem ser obtidospor
Substituindo as relações acima na equação de equilíbrio entre produçãoe destruição de k , temos
Finalmente como vimos, a tensão turbulenta é aproximadamenteconstante e igual a tensão na parede, logo
96
P
t
2
y
u
y
uvu P
''
21t /
23
c
/
23
21
2
t
2
c/
/
21 /c
21 s c /
Concluímos então que como a tensão cisalhante é aproximadamentet t iã d d i i éti t b l t t bé
8/19/2019 Turbulence MEC2345
97/99
97
constante na região da parede, a energia cinética turbulenta tambémo é. Como o valor da tensão cisalhante na parede não é conhecido,uma condição de contorno conveniente para k é
Vale ressaltar aqui, que a relação obtida acima entre a tensãocisalhante e a energia cinética é muito conveniente, ao utilizar a lei daparede, pois a velocidade de atrito pode ser obtida em função daenergia cinética turbulenta
0 y
2141 s cuu //**
Dissipação da Energia Cinética Turbulenta k No caso dos modelos de duas equações precisamos obter uma
8/19/2019 Turbulence MEC2345
98/99
98
No caso dos modelos de duas equações, precisamos obter umaexpressão para a dissipação turbulenta na região da parede. Novamente,vamos considerar equilíbrio entre a produção e destruição de k .
onde
Neste caso a viscosidade turbulenta é
Substituindo a expressão para a produção e viscosidade turbulenta daequação de equilíbrio, temos
P 2
t y
u
y
u
y
uvu P
''
2
t
c
222
t y
uc
y
u
P
c 21 /
u
u
u
)/( *
*
cu 21 /
8/19/2019 Turbulence MEC2345
99/99