Title 有限要素法を用いた三次元電磁界解析の高速化に関する...

Title 有限要素法を用いた三次元電磁界解析の高速化に関する研究( 本文(Fulltext) )

Author(s) 片桐, 弘雄

Report No.(DoctoralDegree) 博士(工学) 甲第453号

Issue Date 2014-03-25

Type 博士論文

Version ETD

URL http://hdl.handle.net/20.500.12099/49022

※この資料の著作権は、各資料の著者・学協会・出版社等に帰属します。

博士論文

有限要素法を用いた三次元電磁界解析の高速化に関する研究

Acceleration of three-dimensional electromagnetic field analysis

using finite element method

平成 26 年 3 月

片桐弘雄

博士論文

Acceleration of three-dimensional electromagnetic field analysis

using finite element method

平成 26 年 3 月

片桐弘雄

第１章緒論 ·········································································································· 1

１．１電気機器の三次元電磁界解析の高速化手法の動向と問題点 ····························· 1

１．２本研究の目的と意義 ················································································ 2

１．３本研究の内容概略··················································································· 2

第２章辺要素有限要素法による三次元電磁界解析手法 ·················································· 4

２．１緒言 ···································································································· 4

２．２電磁界解析法 ························································································ 4

２．２．１基礎方程式 ················································································ 4

（１）静磁場 ······························································································ 4

（２）時間依存場 ························································································ 5

（３）永久磁石を含む場 ················································································ 5

２．２．２有限要素法による定式化 ······························································ 6

（１）ガラーキン法による残差方程式 ······························································ 6

（２）境界条件 ··························································································· 8

（３）未知数の定義法 ················································································· 10

（４）一次四面体辺要素による離散化 ···························································· 12

（a）補間関数 ·················································································· 12

（b）積分公式 ·················································································· 14

（５）一次三角柱辺要素による離散化 ···························································· 15

（a）補間関数 ·················································································· 15

（b）数値積分法 ··············································································· 17

２．２．３時間依存場計算法 ····································································· 19

２．２．４非線形計算法 ··········································································· 19

２．３回路方程式との連立法 ··········································································· 20

２．４節点力法によるトルクの計算法 ······························································· 22

２．５回転機の要素分割修正法 ········································································ 24

２．６結言 ·································································································· 25

第３章一次三角柱辺要素を用いた三次元電磁界解析への適用例 ···································· 26

３．１緒言 ·································································································· 26

３．２インバータで駆動される埋込構造永久磁石同期電動機の解析 ························ 26

３．２．１コギングトルク解析 ·································································· 26

３．２．２ PWM インバータ駆動時の解析 ···················································· 28

３．３非接触充電コイルの解析 ········································································ 31

３．３．１一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素による解析 ··························· 31

３．３．２二次コアの分割が二次コア中の渦電流損に及ぼす影響 ····················· 35

３．４結言 ·································································································· 38

第４章簡易 TP-EEC 法を用いた三次元電磁界解析の過渡収束改善手法 ··························· 39

４．１緒言 ·································································································· 39

４．２ TP-EEC 法··························································································· 39

４．３簡易 TP-EEC 法 ···················································································· 40

４．３．１簡易 TP-EEC 法の概要 ······························································· 40

４．３．２簡易 TP-EEC 法の補正効果 ························································· 41

４．４回転機解析のための簡易 TP-EEC 法の拡張 ················································ 42

４．４．１同期電動機の場合 ····································································· 42

４．４．２誘導電動機の場合 ····································································· 42

４．５簡易 TP-EEC-DC 法 ··············································································· 43

４．５．１半周期性の簡易 TP-EEC-DC 法 ···················································· 43

４．５．２一周期性の簡易 TP-EEC-DC 法 ···················································· 43

４．６結言 ·································································································· 45

第５章簡易 TP-EEC 法を用いた三次元電磁界解析への適用例 ······································· 46

５．１緒言 ·································································································· 46

５．２回転機への簡易 TP-EEC 法の適用 ···························································· 46

５．２．１埋込構造永久磁石同期電動機への適用 ·········································· 46

５．２．２誘導電動機への適用 ·································································· 50

５．３ IEEJ ベンチマークモデルへの簡易 TP-EEC-DC 法の適用 ······························ 54

５．４シールド板付き C 形コアへの簡易 TP-EEC-DC 法の適用 ······························· 57

５．５結言 ·································································································· 60

第６章結論 ········································································································ 61

謝辞 ···················································································································· 63

参考文献 ·············································································································· 64

研究業績一覧 ········································································································ 66

第１章緒論

１．１電気機器の三次元電磁界解析における高速化手法の動向と問題点

近年の計算機の性能向上と数値解析技術の進歩に伴い，有限要素法等を用いた電磁

界解析技術の電気機器への実用的な利用能力は目覚しく向上し，試作コストの削減や

開発期間の短縮のための強力な道具となっており (1)，設計や開発の現場に広く普及し

ている。

一方，電磁界解析の普及に伴い，これまで解析が困難であった複雑かつ大規模な問

題が解析対象となるようになったため，現在の計算機の性能をもってしても，計算時

間が数週間から数ヶ月以上に及ぶ場合も珍しくない。

そのため，高速化計算の要求に一段と拍車がかかり，電磁界解析のさらなる高速化

が望まれている。

電磁界解析では，通常，非線形反復計算ループの内側に線形化された連立一次方程

式を解くための ICCG法 (2)のような反復法のループを含む。したがって，一般的な電磁

界解析は，時間ステップ－非線形反復－連立一次方程式の3重ループ構造となる。電磁

界数値解析の計算時間を削減するためには，3重ループのいずれかを高速化すればよい。

例えば，連立一次方程式のループの高速化手法として，マルチグリッド法 (3)や領域分

割による並列計算 (4)などがあげられる。非線形反復の収束特性の高速・安定化手法と

して，直線探索 (5)に関する研究が盛んに行われている。また，時間ステップのループ

の高速化としては，複素近似法が挙げられる。

時間ステップのループの新たな高速化手法の一つとして，渦電流を考慮した電気機

器の定常解析における数値解析的な過渡現象を抑え，時間ステップ数を削減できる簡

易 time periodic-explicit error correction(TP-EEC)法 (6)が提案されている。この手法は機械

的な動作を伴わない電気機器の電磁界解析に適用されてきた。しかし，本研究の開始

時には，回転機のように機械的な周期的な動作を伴う電気機器への簡易TP-EEC法の適

用法が報告されていなかった。さらに，産業応用の分野では交流に直流が重畳した強

制電流を流す電気機器もあり，これらの電気機器には直流磁界が含まれるため磁界の

半周期性を利用する従来の簡易TP-EEC法はそのままでは適用できかった。そこで，本

研究では回転機や直流分が含んだ電磁界解析にも適用できる過渡収束改善法を提案し，

時間ステップのループの高速化を目指す。

また，連立一次方程式のループの高速化においては，有限要素の要素形状を検討す

ることも考えられる。電気機器の三次元電磁界解析では，要素分割が容易で複雑な三

次元形状に柔軟に対応できる一次四面体辺要素 (7)が多く用いられている。一次四面体

辺要素を用いた解析では，薄く扁平な要素がある場合，計算精度が著しく悪化するこ

とが報告されており (8)，薄膜等の薄い形状の部品をモデル化する際には厚み方向の長

さに合わせてメッシュを非常に細かく分割しなければならず要素数が膨大になってし

まう問題がある。一方で，一次三角柱辺要素 (9)を使えば，厚み方向に薄く扁平な要素

でも精度が悪化しないため，薄い形状の部品がある場合でも少ないメッシュで精度よ

く高速に計算できると考えられる。また，モータや非接触充電コイルのようにモデル

形状が単純で，三次元メッシュを二次元の分割図から積み上げて作成できる場合に限

れば，三角柱辺要素でも容易に要素分割ができ，一次三角柱辺要素に優位性があると

考えられる。そこで本研究では，モータや非接触充電コイルの電磁界解析に三角柱辺

要素を用いることで未知数の削減や ICCG法の収束性向上により，連立一次方程式のル

ープの高速化を目指す。

１．２本研究の目的と意義

本研究の目的は，電気機器の電磁界解析の高速化を達成することである。そのため

に，本研究では以下の3つの検討を行う。

一次三角柱辺要素による電磁界解析を用い，電気機器の電磁界解析の高速化を達成

する。

回転機解析のための簡易TP-EEC法の適用法を開発し，回転機の電磁界解析の高速化

を達成する。

直流磁界を含む電気機器の電磁界解析の数値解析的な過渡を取り除くために，従来

の簡易TP-EEC法を拡張した簡易 simplified TP-EEC method for DC magnetic field method

(TP-EEC-DC法 )(10)を開発し，直流磁界を含む電気機器の電磁界解析の高速化を達成す

る。

この目的の達成により，開発した手法が電気機器の設計・開発プロセスの効率化に

大きく貢献することが期待される。

１．３本研究の内容概要

本研究は本章を含め6章からなる。

第2章では，電気機器の電磁界解析に必要な有限要素法について論述する。まず，マ

クスウェルの電磁方程式を磁気ベクトルポテンシャルと電気スカラポテンシャルを使

って一次四面体辺要素および一次三角柱辺要素による定式化を行い，時間微分は後退

差分近似によって離散化する。次に，鉄などの材料の透磁率の非線形性を考慮するた

めの方法として，ニュートン・ラフソン法を用いた非線形問題の定式化について述べ

る。さらに，磁界の方程式と回路方程式を連立させた解析手法や回転機のメッシュ修

正法および電磁力計算方法について述べる。

第3章では，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素を用いてPWMインバータで駆動

される埋込構造磁石電動機および非接触充電コイルの電磁界解析を行い，計算精度，

計算速度の観点から三角柱辺要素の優位性を明らかにする。

第4章では，数値解析的な過渡を取り除き，高速に定常解を求められる簡易TP-EEC

法について述べるとともにその手法の回転機解析のための適用法について述べる。さ

らに，直流成分を含む磁界の定常解析に簡易 TP-EEC法を適用するため，簡易

TP-EEC-DC法を提案する。

第5章では，回転機解析のための簡易TP-EEC法の適用法を埋込磁石構造形同期電動

機と誘導電動機に適用し，提案手法の実用的な回転機に対する有用性を明らかにする。

さらに，簡易TP-EEC-DC法を渦電流場数値計算技術調査専門委員会で提案されている

三次元渦電流解析検証用標準ベンチマークモデル (11)の線形磁界解析およびシールド

板付きC形コアの非線形磁界解析に適用し，簡易TP-EEC-DC法により，過渡収束改善

法の適用範囲を更に拡げることができることを明らかにする。

第6章では2～5章で得られた成果を要約している。

第２章辺要素有限要素法による三次元電磁界解析手法

２．１緒言

電気機器の設計・開発における電磁界解析技術の役割は大きく，トルクや誘起電圧

の算出をはじめ，損失や効率の算出などに盛んに用いられている。電磁界解析の多く

は有限要素法 (12)を利用しており，そこに用いられている基礎方程式・定式化および離

散化を理論的に示すことは，非常に重要である。

そこで本章では，三次元有限要素法による電磁界解析の定式化を行う。まず，マク

スウェルの電磁方程式を磁気ベクトルポテンシャルおよび電気スカラポテンシャルに

よって表し，一次四面体辺要素と一次三角柱辺要素による定式化を行う。また，時間

微分項は後退差分近似によって定式化する。次に，鉄などの材料の透磁率の非線形性

を考慮するための方法として，ニュートン・ラフソン法を用いた非線形問題の解析手

法について述べる。さらに，磁界の基礎方程式と回路方程式を連立させた解析法，回

転機の要素分割図作成法および電磁力・損失の計算方法について述べる。

２．２電磁界解析法 (1),(12)

２．２．１基礎方程式

（１）静磁場

電磁界の現象はマクスウェルの電磁方程式を用いて表すと次式となる (13)。

DJHrot (2.1)

BErot (2.2)

0div B (2.3)

Ddiv (2.4)

ここでHは磁界の強さ，Jは電流密度，Dは電束密度，Eは電界の強さ，Bは磁束密度，

は電荷密度である。また，B，H，D，E，Jの間には次の関係がある。

HB (2.5)

ED (2.6)

EJ (2.7)

ここでは透磁率，は誘電率，は導電率である。 (2.3)式より次式で定義される磁気

ベクトルポテンシャルA(14)を導入する。

AB rot (2.8)

静磁場問題では磁気ベクトルポテンシャルAを用いて (2.1)式の時間微分項を零とする

と（2.1）式，（2.5）式より解くべき静磁場の基礎方程式は次式のように表せる。

rotrotrot

ここでは磁気抵抗率である。静磁界問題は (2.9)式を満足する磁気ベクトルポテンシ

ャルAを求めて，(2.8)式より次のように磁束密度Bのx，y，z方向の成分Bx，By，Bzを求

めることになる。

(2.10)

（２）時間依存場

磁束が時間的に変化するため解析領域内にある導体または磁性体に渦電流が流れ，

それによる反作用磁界が問題となる場合について考察する。ただし，低周波を扱う問

題ではマクスウェルの基礎方程式の (2.1)式右辺の時間微分項の変位電流を無視するこ

とができる。 (2.8)式を (2.2)式に代入すると次式を得ることができる。

AE (2.11)

ここでは電気スカラポテンシャルであり，grad は rot（grad）=0に起因して生じ

る項である。これより (2.7)式と (2.11)式から時間依存場の磁界の基礎方程式は次式で表

される。

eJJA 0rotrot (2.12)

AJ (2.13)

ここでJ0は強制電流密度，Jeは渦電流密度である。なお，辺要素を用いる場合はゲー

ジ条件として =0を選択できるため (2.13)式より電気スカラポテンシャルを削除す

ることもでき (15)，渦電流場の定式化が簡単になる。ただし，電気スカラポテンシャル

を未知とした場合，係数マトリクスの特異値の分布が改善されるため，連立一次方

程式の解法である ICCG法の収束特性が改善され計算時間が短いという利点がある (16)。

（３）永久磁石を含む場

外部からの強制電流密度J0と渦電流密度Je以外に磁界を作る永久磁石が存在する場

合，永久磁石の磁気特性は磁化Mを用いて表現することになる。すなわち一般の磁性

体の磁気特性が (2.5)式で表されるのに対して，永久磁石の磁気特性は次式で表される。

MHB 0 (2.14)

ここで0は真空の透磁率である。このように解析領域内に一般の磁性体と永久磁石が

混在している場合，各々を別々の式で取り扱う。永久磁石中の磁気特性は (2.14)式に

(2.12)式を適用すると次式となる。

eJJMB 0

(2.15)

続いて (2.15)式に (2.8)式を代入すると，永久磁石を含む場の基礎方程式は次式で表さ

れる。

me JJJA 0rotrot (2.16)

MJ rot0m (2.17)

ここで0 は真空の磁気抵抗率，Jmは等価磁化電流密度とする。

２．２．２有限要素法による定式化

（１）ガラーキン法による残差方程式

前項の (2.16)式に後述する要素の辺で定義される磁気ベクトルポテンシャルAの補

間関数Niを重み関数として，ガラーキン法 (12)を適用すると渦電流および永久磁石を考

慮した動磁場解析のための残差Goiは次式で定義され零となる。

00 jmijeiijlioi GGGGG (2.18)

ただし，（2.18）式右辺の各項は以下のようになる。

ili dVG AN rotrot (2.19)

iij dVG 00 JN (2.20)

ijei dVt

G gradA

N (2.21)

ijmi dVG MN rot0 (2.22)

ここでVは全領域，Vcは巻線の領域，Veは渦電流が流れる導体の領域およびVmは永久磁

石の領域とする。(2.19)式において磁気ベクトルポテンシャルAは離散化の過程で要素

内では一次近似されるため，回転を2回適用すると恒等的に零となることから，このま

まの形では離散化できない。そこで次式のベクトル公式およびガウスの発散定理を用

いて変形する。

νuuννu divrotrot (2.23)

dSdV nuudiv (2.24)

wνuwνu (2.25)

(2.19)式にベクトル公式およびガウスの発散定理を適用すると次式が得られる。

i dSdVdV nANANAN rotrotrotrotrot (2.26)

ここでnは微小面積dSの外向きの単位法線ベクトルである。 (2.26)式において右辺第2

項は境界積分項で固定境界上ではNi=0となり，磁界の強さHが境界面に垂直な場合はn

×H=0となるため結局零となる。したがって通常この項を零，すなわち磁束は境界に

対して平行または垂直にしか通らないものとして解析する。

次に (2.22)式において永久磁石の磁化Mは要素内で一定として与えるために，その回

転量は恒等的に零となる。そこで (2.22)式にもベクトル公式およびガウスの発散定理を

適用すると次式が得られる。

i dSdVdV nMNMNMN 000 rotrot (2.27)

(2.27)式の境界積分項も零として，境界上の磁化Mは垂直または平行であるとする。

以上より渦電流および永久磁石を考慮した動磁場解析のための残差Goiは次式で定

義される。なお，境界積分項も示す。

rotrotrot

(2.28)

ところで (2.28)式において電気スカラポテンシャルも未知変数とした場合，未知変

数はAの3成分との合計4変数となるが，(2.28)式の残差Goiには3成分の式しかないため

方程式の数が未知変数よりも少ないことになる。そこで渦電流密度Jeに対して次式に

示す電荷保存則の式を導入する。

0div eJ (2.29)

(2.13)式と (2.29)式より，後述する要素の節点で定義される電気スカラポテンシャル

の補間関数Niを重み関数としてガラーキン法を適用すると残差Gdiは次式で定義され

零となる。

0div eV

eidi dVNG J (2.30)

また，(2.30)式にベクトル公式およびガウスの発散定理を適用すると次式が得られる。

ei dVNdSNdVN JnJJ graddiv (2.31)

(2.31)式より渦電流が境界面に対して平行に流れる場合には，上式の右辺第一項の境

界積分項は零になる。また，境界面に対して垂直な場合，磁気ベクトルポテンシャル

Aと電気スカラポテンシャルは固定境界となるため零になる。したがってこの項を零，

すなわち渦電流は境界に対して平行または垂直にしか流れないものとする。以上より

磁気ベクトルポテンシャルAと電気スカラポテンシャルを未知数とする，いわゆる

A- 法を用いる場合， (2.28)式と (2.31)式の連立方程式を解くことで磁束分布および渦

電流分布を解析することが可能となる。

（２）境界条件

図2.1に示すような透磁率が異なる2つの領域間の境界面上の磁束密度B，磁界の

強さHの連続性を考察する。ただし，境界面はx-y平面に平行であると仮定する。電

磁界において磁界が満足すべき物理的な境界条件は次式で表される。

nBnB 21 (2.32)

nHnH 21 (2.33)

ここでB1およびB2はそれぞれ領域1および領域2の磁束密度，H1およびH2はそれぞれ領

域1および領域2の磁界の強さ，nは境界面の単位法線ベクトルとする。(2.32)式は境

界面に対する磁束密度Bの法線方向成分の連続条件， (2.33)式は磁界の強さHの接線方

向成分の連続条件を示している。(2.33)式の磁界の強さHの接線方向成分の連続条件は，

前述の (2.26)式の右辺第2項の境界積分項を零とすることで満たすことができる。また，

磁束密度Bは磁気ベクトルポテンシャルAを用いて (2.8)式で表されることから磁束密

度Bの法線方向成分の連続性は，磁気ベクトルポテンシャルAの連続条件を考えればよ

いことになる。 (2.32)式と (2.8)式より上のAの分布に関して次式が得られる。

(2.34)

(2.34)式より上でに平行な2成分AxとAyのみが連続であれば磁束密度Bの法線方向

成分の連続性が満足されることを示している。

次に有限要素法では有限の領域を扱うことから (2.32)式および (2.33)式を満足する解

析領域の取り方について検討する。(2.32)式および (2.33)式において領域1を解析領域の

内部，領域2を解析領域の外部とすれば，境界面上では境界面に沿った磁気ベクトルポ

テンシャルAのみで磁束密度Bおよび磁界の強さHが表される。境界面上の磁気ベクト

ルポテンシャルAが零以外であれば，(2.8)式より磁束密度Bは境界面に垂直になること

がわかる。これより通常境界面上の磁気ベクトルポテンシャルAを未知数とすると磁

束密度Bは境界面に対して必ず垂直となり，このような境界を自然境界と呼ぶ。また，

解析領域を十分に広く取ると磁束密度Bは近似的に零となり (2.32)式および (2.33)式を

満足することがわかる。このような境界を遠方境界と呼ぶ。一方，磁束密度Bが境界

面に対して平行な場合，境界面に沿った磁気ベクトルポテンシャルAは一定値でなけ

ればならない。このような境界を固定境界と呼ぶ。なお，遠方境界においても境界面

に沿った磁気ベクトルポテンシャルAは零として与えるため遠方境界は固定境界の一

種であることがわかる。

続いて渦電流密度Jeと電界の強さEの境界条件について検討する。磁界と同様に渦電

流密度Jeと電界の強さEが満足すべき物理的な境界条件は次式で表される。

nJnJ 21 ee (2.35)

nEnE 21 (2.36)

ここでJe1およびJe2はそれぞれ領域1および領域2の渦電流密度，E1およびE2はそれぞれ

領域1および領域2の電界の強さとする。(2.35)式は境界面に対する渦電流密度Jeの法線

方向成分の連続条件，(2.36)式は電界の強さEの接線方向成分の連続条件を示している。

(2.35)式の渦電流密度Jeの法線方向成分の連続条件は，前述の (2.31)式の右辺第1項の境

界積分項を零とすることで満たすことができる。また，電界の強さEは磁気ベクトル

ポテンシャルAと電気スカラポテンシャルを用いて (2.11)式で表されることから

(2.36)式より上のAとの分布に関して次式が得られる。

(2.37)

(2.37)式より上でに平行な2成分AxとAyおよびが連続であれば電界の強さEの

接線方向成分の連続性が満足されることを示している。

次に領域1を解析領域内部，領域2を解析領域の外部とする有限領域について検討す

る。渦電流密度Jeは (2.13)式より磁気ベクトルポテンシャルAと電気スカラポテンシャ

ルから表されるが，Aは磁束密度Bの境界条件により決定されるため渦電流密度Jeの

境界条件はを用いて指定することができる。まず，境界面上の電気スカラポテンシ

ャルを未知数とする，いわゆる自然境界とすると (2.31)式の右辺第一項を零とするこ

とから，渦電流密度Jeは境界面に対して平行となる。また，境界面に沿った電気スカ

ラポテンシャルを零とする，いわゆる固定境界とすると渦電流密度Jeは境界面に対

して垂直となる。

Fig. 2.1 Boundary between two regions.

Region1

Region2

n B1, H1, Je1, E1

B1, H1, Je1, E1

Boundary

- 10 -

A4e A5e

（３）未知数の定義方法

未知変数には磁気ベクトルポテンシャルAおよび電気スカラポテンシャルを用い

る。図2.2に磁気ベクトルポテンシャルAの未知変数の定義方法を示す。図中の矢印が

未知変数を表す。従来の節点要素では図2.2(a)に示すように各節点における磁気ベクト

ルポテンシャルのx，yおよびz方向成分を未知数とする。したがって，要素の境界面上

では磁気ベクトルポテンシャルのx，yおよびz方向の全成分が連続となる。しかしなが

ら，前節の (2.34)式より節点要素法におけるAの全成分の連続性は本来不要であり，接

線方向成分のみの連続性で磁束密度Bおよび磁界の強さHの連続性を満たした解析が

できる。そこで辺上の磁気ベクトルポテンシャルを未知数とする辺要素を通常用いる。

辺要素においては境界面上で定義される未知変数が境界面に沿った成分のみであるこ

とから，先に述べた境界条件を自然に満たすことができる。一方，電気スカラポテン

シャルについては，未知数を節点上で定義する。このとき，要素の境界面上では，

電気スカラポテンシャルの連続性が保証される。

以上より一次四面体辺要素および一次三角柱辺要素の未知変数は図 2.3および図2.4

のように定義する。

(a) nodal element (b) edge element

Fig. 2.2 Definition of unknown variables.

Ax1e 1

- 11 -

A4e A5e

(a) magnetic vector potential A (b) electric scalar potential

Fig. 2.3 Definition of unknown variables in first -order tetrahedral edge elements.

(a) magnetic vector potential A (b) electric scalar potential

Fig. 2.4 Definition of unknown variables in first-order prismatic edge elements.

A3e A8e

- 12 -

（４）一次四面体辺要素による離散化

（a）補間関数

(2.28)式を一次四面体辺要素により離散化する際に，図2.5に示す要素 (e)において相

対辺番号 leに対応する相対節点番号me，neを定義する。未知変数は図中に示す相対節

点番号meから相対節点番号neへ向かう方向を正とする。このとき要素の辺で定義され

る磁気ベクトルポテンシャルAの補間関数Nleは次式で定義される (7)。

menenemele gradgrad N (2.38)

ここでmeおよびneはそれぞれ相対節点番号me，neに対応する体積座標である。体積

座標とは相対座標の一種で図2.6に示すように，相対節点番号meに相対する面を底面と

する斜線部の四面体の体積Vmeと要素 (e)の体積比で定義され次式で表される。

zdycxbaV

memememe

1 (2.39)

Veは要素 (e)の体積で，次式で表される。

oenepenepeoepeoenememe

e zzyzzyzzyxV

1 (2.40)

式中のme，ne，oe，peは循環する相対節点番号を示し，例えばme=2の時ne，oe，peは

それぞれ3，4，1に対応する。また，ame，bme，cme，dmeは次式で表される。

oeneneoepenepepeneoepeoeoepene

me zyzyxzyzyxzyzyxa 1 (2.41)

oenepenepeoepeoene

me zzyzzyzzyb 1 (2.42)

oenepenepeoepeoene

me xxzxxzxxzc 1 (2.43)

oenepenepeoepeoene

me yyxyyxyyxd 1 (2.44)

（2.39）式を（2.38）式に代入すると次式が得られる。

ydcdcxdbdbdada

zcdcdxcbcbcaca

zbdbdybcbcbabaV

menenememenenememeneneme

(2.45)

ここで i，jおよびkはそれぞれx，yおよびz方向の単位ベクトルである。辺 leは複数個の

要素に共有されているが，いずれの要素で求めた辺 leの補間関数を同一にするために

は，辺 leの両端の節点meおよびneの絶対節点番号nmeおよびnneが，nme>nneとなるように

相対節点番号をつければよいことになる。要素 (e)内における磁気ベクトルポテンシャ

ルA(e)は（2.45）式のベクトル補間関数Nleを用いて次式で表される。

- 13 -

e ANA (2.46)

ここでAleは要素 (e)の相対辺番号 leに沿った未知変数である。また，その単位はベクト

ル補間関数Nleの単位がm-1であることからWbの次元を有する。すなわち，A leという未

知変数は磁気ベクトルポテンシャルの単位Wb/mよりも長さの次元だけ高く，ラプラス

問題などの既知の境界値を与えるときには，磁気ベクトルポテンシャル値にその辺の

長さをかけたものを未知変数Aleに与えなければならないので注意を要する。以上より

(2.45)式と (2.46)式を用いることで， (2.28)式を離散化することができる。

Fig. 2.5 Relationship between edge and node in tetrahedral edge element.

Fig. 2.6 Volume coordinates of relative node number me.

渦電流の電荷保存則の (2.31)式を離散化する際に，要素の節点で定義される電気スカ

ラポテンシャルの補間関数Nneは次式で定義される。

zdycxbaV

N nenenene

1 (2.47)

これより要素（e）内における電気スカラポテンシャル（ e）は（2.47）式を用いて次

式となる。

e N (2.48)

以上より (2.47)式と (2.48)式を用いることで， (2.31)式を離散化することができる。

Relative node number me

Relative edge number le

Element (e)

Vme Ve

- 14 -

（b）積分公式

(2.45)式， (2.47)式に示した通り，四面体要素では辺要素補間関数の各成分および節

点要素補間関数は，x,y,zの一次関数になる。よって， (2.28)式第1項，第3項，第4項，

第5項および (2.31)式右辺第2項の体積積分は高々二次関数の体積積分となる。

本稿では，これらの体積積分には以下の積分公式を用い計算する。

xzxzzx

zyzyyz

yxyxxy

zzyyxx

zzjyyixxhzxgyzfxyezdycxbaV

dVjziyhxgzxfyzexydzcybxa

(2.49)

- 15 -

（５）一次三角柱辺要素による離散化

（a）補間関数

(2.28)式を一次三角柱辺要素により離散化する際に，図2.7(a)に示す要素 (e)において

相対辺番号 leに対応する相対節点番号me，neを定義する。未知変数は図中に示す相対

節点番号meから相対節点番号neへ向かう方向を正とする。このとき要素の辺で定義さ

れる磁気ベクトルポテンシャルAの補間関数Nleは次式で定義される (9)。

61),,(

ltLtsr

lNLNLtsr

nememenele

(2.50)

ここで，r，s， tは図2.7(b)に示す局所座標系の各成分である。なお，0≦r, s≦1， -1≦ t

≦1の範囲をとる。meおよびneはそれぞれ相対節点番号me，neに対応する節点補間関

数，LmeおよびLneはそれぞれ相対節点番号me，neに対応する面内補間関数である。節

点補間関数および面内補間関数はそれぞれ (2.51)式および (2.52)式で定義される。

1),,( ttLtsrN iime (2.51)

srsrL iii

i 321),( (2.52)

ここで，(2.51)式および(2.52)式で用いたパラメータを表2.1に示す。辺 leは複数個の要素に共

有されているが，いずれの要素で求めた辺 leの補間関数を同一にするためには，辺 leの両端

の節点meおよびneの絶対節点番号nmeおよびnneが，nme>nneとなるように相対節点番号をつけ

ればよいことになる。要素 (e)内における磁気ベクトルポテンシャルA(e)は（2.50）式のベクトル補

間関数Nleを用いて次式で表される。

e ANA (2.53)

ここでAleは要素 (e)の相対辺番号 leに沿った未知変数である。また，その単位はベクトル補

間関数N leの単位がm-1であることからWbの次元を有する。すなわち，Aleという未知変数は磁気

ベクトルポテンシャルの単位Wb/mよりも長さの次元だけ高く，ラプラス問題などの既知の境界

値を与えるときには，磁気ベクトルポテンシャル値にその辺の長さをかけたものを未知変数Ale

に与えなければならないので注意を要する。以上より (2.50)式および(2.53)式を用いることで，

(2.28)式を離散化することができる。

- 16 -

(a) global coordinates

(b) local coordinates

Fig. 2.7 Relationship between edge and node in prismatic edge element.

Table 2.1 Parameters in interpolation.

Node number i1

1 1 -1 -1 -1

2 0 1 0 -1

3 0 0 1 -1

4 1 -1 -1 1

5 0 1 0 1

6 0 0 1 1

渦電流の電荷保存則の (2.31)式を離散化する際に，要素の節点で定義される電気スカ

ラポテンシャルの補間関数は (2.51)式の節点補間関数で定義される。

これより要素（e）内における電気スカラポテンシャル（ e）は（2.51）式を用いて次

式となる。

e N (2.54)

以上より (2.51)式と (2.54)式を用いることで， (2.31)式を離散化することができる。

A9e A7e

A6e A4e

A3e A2e

A3e A8e

- 17 -

（b）数値積分法

三角柱辺要素では (2.28)式第1項，第3項，第4項，第5項および (2.31)式右辺第2項の体

積積分を解析的に行うのは困難であるので，この積分はガウスの積分 (17)を用いる。

次式に三角形面内のガウスの積分を示す。

||),(),(

drdsJsrfdxdyyxf

(2.55)

重みwirsと積分点ri,siは表2.2のように与えられる。

また， (2.55)式のヤコビ行列Jは次式で与えられる。

J (2.56)

次式に t 軸方向のガウスの積分を示す。

dxtfxf

)(dx)(

(2.57)

なお，重みwitと積分点 tiは表2.3のように与えられる。

三次元有限要素法では体積積分となるが，三角柱辺要素ではガウスの積分公式を三

次元的に拡張する。関数の変数変換と要素の座標系は対応しているので体積積分は次

式で求められる。

m Jtsrfww

drdsdtJtsrf

dxdydzfdVzyxf

||),,(

(2.58)

ここで，nptは t軸方向の積分点数，nprsは三角形面内の積分定数，rsmw および

tlw は重

み，rm，smおよび tlは積分点の座標，Jは次式で与えられる，ヤコビ行列である。

J (2.59)

- 18 -

Table 2.2 Integration points and weight in triangle.

Table 2.3 Integration points and weight along t-axis.

Number of integration points np Integration point ti Weight wit

Number of integration

points np

Integratio

n point ri

Integration

point si

Weight wirs

- 19 -

２．２．３時間依存場計算法

(2.13)式の時間微分項である∂/∂tの処理法としては，差分近似法と複素数近似法の 2

種類ある。しかしながら，磁性体の透磁率の非線形性を考慮するためには差分近似法

を用いる必要がある。なぜならば，複素数近似法では磁性体の透磁率の時間的変化が

考慮できないからである。そこで本論文では時間微分項の取り扱いには差分近似法を

適用する。

差分近似法は解析する時間領域を微小時間幅tで小刻みに区切り，その区間内では

現象が直線的に変化するものと仮定して微分方程式を離散化して step-by-step法により

計算する手法である。この直線の勾配の決定方法により前進，後退，中央差分法など

がある。この中から解の収束性より後退差分法を用いた。後退差分法は時間微分項を

次式に示すように時刻 t+tにおける勾配で与える方法である。

A ttttt

(2.60)

２．２．４非線形計算法

電磁界解析の解析対象となる鉄などの磁性体の磁化曲線は，一般に非線形性を有す

る。すなわち，その透磁率は磁束密度に対して一定ではない。磁性体の磁化曲線を正

確に考慮するには各要素に適当な透磁率を仮定して磁束密度を線形計算して，その結

果得られた各要素の磁束密度に応じて透磁率を修正して磁束密度を再計算する必要が

ある。これを収束するまで繰り返すのだが，その繰り返し計算法として優れた収束性

を有するニュートン・ラフソン法 (12)がよく用いられる。この方法によれば，解くべき

マトリクスは (2.28)式と (2.31)式より次式で表される。

(2.61)

（2.61）式の係数マトリクスは次式で与えられる。ただし，時間微分項は後退差分

近似し，等方性の磁性体についてのみ示す。

oi dVA

G NN rotrot

rotrot22

i dVNt

(2.62)

- 20 -

oi dVNG

gradN (2.63)

di dVt

1grad (2.64)

di dVNNG

gradgrad (2.65)

ここでとjeはそれぞれ全領域および渦電流が流れる領域である。また，Bt+t(e)は時

刻 t+tにおける要素 (e)の磁束密度である。(2.62)～(2.65)式は絶対辺番号 i および l を有

する要素 (e)についてのみ計算して，それらの和をとれば (2.61)式のマトリクスが作成

できることを表している。すなわちi(e)とl

(e)がこれらを表す関数であり，それぞれ要

素 (e)が絶対辺番号 i および lを有するとき1，それ以外のとき0となる。なお， (2.61)式

の係数マトリクスは，(2.64)式と (2.65)式にtを乗じれば対称となることから，ICCG法

(2)が適用可能となる。また，(2.62)式中の∂(e)/∂(Bt+t

(e)2)は，磁化曲線から求められる。

線形解析ではこれを零として１回計算すればよい。

式 (2.61)より，道編集の修正量{Alt+t

}および{lt+t

}が求められれば，解ベクトルで

ある{Alt+t

}および{lt+t

}は次式で求めることができる。

(2.66)

(2.67)

ここで，下付きの添え字nはニュートン・ラフソン法の反復回数を示す。

２．３回路方程式との連立法 (18)

解析領域内に定常電流が流れている時は，(2.28)式の強制電流密度を直接与えること

で解析が可能である。しかしながら，時刻 t=0で電圧を回路に急に与えたときに生じる

過渡現象を扱う場合，電流は時間的に変化するため電流値 I0も未知変数として扱い，

電気回路方程式と連立して解析する必要がある。このとき回路方程式は，次式で与え

られる。

dILRIV

(2.68)

ここでV0は巻線の端子電圧，Rは抵抗およびLは解析領域外のインダクタンスである。

また，は鎖交磁束数であり次式で与えられる。

c sA (2.69)

ここでncは巻線の巻数，Scは巻線の断面積，dsは電流に沿った微小線分およびdSは巻

線の断面上の微小面積である。微小線分dsの方向は，巻線の断面の法線ベクトルnsと

同じであるから， (2.69)式は次式で表すことができる。

- 21 -

c nA (2.70)

(2.68)式に (2.70)式を代入することで次式を得ることができる。ただし，時間微分項

は後退差分近似した。

IILRIV e

(2.71)

なお，強制電流 I0と強制電流密度J0の関係式は次式である。

nnJ 00 (2.72)

これより (2.72)式を (2.20)式に代入することで次式を得ることができる。

joi nN (2.73)

(2.62)式を用いて (2.28)， (2.31)および (2.71)式を連立して非線形解析するには，解く

べきマトリクスは次式で表される。

(2.74)

oi nN (2.75)

nN (2.76)

(2.77)

(2.74)式の対称な位置関係にある係数マトリクス (2.75)式と (2.76)式は，このままでは

等しくないのでマトリクスの解法に ICCG法を用いることができない。そこで (2.74)式

のに関する行にtを乗じることで係数マトリクスは対称となり，マトリクスの解法に

ICCG法が適用可能となる。

- 22 -

２．５節点力法によるトルクの計算法 (19)

節点力法は，磁性体内の各節点に働く力の和を求めることにより，磁性体全体に働

く力を計算する方法であり，電磁力 [N]は次式で表される。

ifF (2.78)

ここでは力を求めたい物体の全領域， fiは次式で示される節点 iに働く力を表す。

dVT ii gradf (2.79)

ここでVは節点 iを含む要素の総体積である。Tはマクスウェルの応力テンソルであり，

次式で表される。

yxzyzxz

zyxzyxy

zxyxzyx

BBBBBBB

(2.80)

また，iは (2.39)式で表される節点 iに対応する体積座標である。

(2.80)式のテンソルの1行1列目をTxx，1行2列目をTxy，… とすれば，fiのx，y，z成分 fix，

fiy， fizは，式 (2.78)より次式となる。

(2.81)

(2.81)式に (2.39)式を代入すると，

izzizyizxV

izzizyizxzi

iyziyyiyxV

iyziyyiyxyi

ixzixyixxV

ixzixyixxxi

eTdTcTdVeTdTcTV

(2.82)

ただし，Viは節点 iを含む要素についての総和を示す。また，Bx，By，Bzはそれぞれ節

点 iを含む要素の値を用いる。

働く力が回転力，すなわちトルクである場合には，(2.78)式をトルクの式に書き換え

た次式で計算する。

- 23 -

node i

Rotation axis

(2.83)

ここで，図2.8に示すように，Tmは可動鉄心の回転軸に作用するトルク，r，R，は回

転軸から節点 iに向かうベクトル，回転軸の方向ベクトルおよび回転方向の単位ベクト

ルである。また，面Sはベクトル rとRによって張られる面であり，は面Sと直交する。

Fig. 2.8 Vectors for calculation of torque.

surface S

- 24 -

２．５回転機の要素分割修正法 (20)

回転機の動作特性を解析するには，回転角に合わせて回転子を回転させて要素分割

データを作らなければならない。図2.9を例にして，要素分割データを回転角に合わせ

て自動的に作成する手法を以下に説明する。まず，図2.9(a)に示すように，基本となる

要素分割データを作成し，固定子部分と回転子部分を分離するための境界（切断面）

を空気層中に決定する。次に，図2.9(b)に示すように，固定子部分と回転子部分を分離

する。続いて，図2.9(c)に示すように，回転角に合わせて回転子部分を回転させる。最

後に，図2.9(d)に示すように，固定子部分と回転子部分を結合させる。この時，その結

合は切断面上の最も近い節点同士を結ぶことによって行う。このようにして，図2.9(d)

に示すような新しい要素分割データが自動的に作成される。この作成において注意す

べき点は，以下のようなものがある。

(1) 切断面は円弧状にとり，その円周上は均等な間隔で分割されていること。

(2) 四面体要素で分割図を作成する際には，回転子部分を回転させても固定子部分と

結合するように，切断面上の斜辺（図2.9(e)参照）の整合がとれていること。

(a) settling cut surface (b) disjoining stator and rotor (c) rotating rotor

(d) connecting stator and rotor (e) consistency of hypotenuse on cut surface

Fig. 2.9 Mesh modification method in rotation.

hypotenuse

cut surface

stator

air gap

cut surface

stator

air gap

cut surface

stator

air gap

cut surface

stator

air gap

cut surface

- 25 -

２．６結言

数値解析手法の一つである有限要素法を用いて，マクスウェルの電磁方程式から得

られる基礎方程式をもとに，三次元非線形解析を行うための離散化・定式化について

示した。定式化にはガラーキン法を用い，離散化の過程で，空間的には一次四面体辺

要素と一次三角柱辺要素，時間的には後退差分近似法を用いた。また，鉄などの磁性

体の磁界に対する非線形性を考慮する方法として，ニュートン・ラフソン法による非

線形解析手法を示した。さらに，磁界の基礎方程式と回路方程式とを連立させた解析

手法，回転機の要素分割図作成法について示した。以下に，本章で得られた知見を要

約する。

(1) 磁気ベクトルポテンシャルAと電気スカラポテンシャルを用いて電磁界を表現す

る有限要素法による電磁界解析では，隣接する2つの要素の境界免状で，Aの接線

方向成分が連続であれば磁束密度の法線方向成分が，さらにが連続であれば電界

の強さの接戦方向成分が自動的に連続になる。

(2) 一次四面体辺要素と一次三角柱辺要素による磁界の基礎方程式の離散化を示した。

一次四面体辺要素では，解析積分により係数マトリックス作成時の体積積分がで

きるが，一次三角柱辺要素では数値積分により体積積分を行う。

(3) 鉄などの磁性体の磁界に対する非線形を考慮した電磁界解析は，ニュートン・ラ

フソン法を用いて定式化することにより可能となる。

(4) 基礎方程式に現れる磁気ベクトルポテンシャルAの時間微分項を後退差分近似法

によって定式化することにより，渦電流を考慮した電磁界解析が可能となる。

(5) 電流値を未知数として扱い，磁界の基礎方程式と電圧方程式とを連立することに

より，電圧を入力源とする場合の電磁界解析が可能となる。

(6) 電磁力の計算法としてよく知られている節点力法によるトルクの計算方法を示し

た。

(7) 回転機の動作特性解析を行う際に必要となる，要素分割修正法を示した。

- 26 -

第３章一次三角柱辺要素を用いた三次元電磁界解析への適用例

３．１緒言

有限要素解析の連立一次方程式のループの高速化のために，本章では有限要素の要素形状を

検討する。電気機器の三次元電磁界解析では，要素分割が容易で複雑な三次元形状に柔軟に対

応できる一次四面体辺要素が多く用いられている。一次四面体辺要素を用いた解析では，薄く

扁平な要素がある場合，計算精度が著しく悪化するため，薄膜等の薄い形状の部品をモデル化

する際には厚み方向の長さに合わせてメッシュを非常に細かく分割しなければならず要素数

が膨大になってしまう問題がある。

一方で，一次三角柱辺要素を使えば，厚み方向に薄く扁平な要素でも精度が悪化しないため，

薄い形状の部品がある場合でも少ないメッシュで精度よく高速に計算できると考えられる。ま

た，モータや非接触充電コイルのようにモデル形状が単純で，三次元メッシュを二次元の分割

図から積み上げて作成できる場合に限れば，一次三角柱辺要素でも容易に要素分割ができ，一

次三角柱辺要素に優位性があると考えられる。

本章では，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素を用いて PWM インバータで駆動される埋

込構造磁石回転機（IPM モータ）(21)および非接触充電コイルの電磁界解析を通して，計算精度，

計算速度の観点から一次三角柱辺要素の優位性を明らかにする。

３．２インバータで駆動される埋込構造永久磁石同期電動機の解析 (22)

３．２．１コギングトルク解析

ここでは IPM モータのコギングトルク解析における一次三角柱辺要素の有用性を明らかに

する。

図 3.1 に解析対象とする IPM モータを示す。この永久磁石は渦電流損低減のため軸方向に 8

分割されている。そのため，解析領域はモデルの対称性より，周方向に 1/3 とし，軸方向には

分割された永久磁石 1 枚分の 1/2 とした。鉄心の材質は 50H470 である。永久磁石の導電率は

694,444S/m，永久磁石の磁化は 1.083T とした。機械角刻み幅は 2°で解析した。一次三角柱辺

要素と一次四面体辺要素の三次元分割図は，図 3.1(b)に示すように，同じ二次元メッシュから

積み上げて作成した。

図 3.2 に機械角 30°における磁束密度ベクトル分布を示す。磁束密度ベクトル分布は一次三

角柱辺要素と一次四面体辺要素でよく一致している。

図 3.3 にコギングトルク波形を表 3.1 にそのピークピーク値を示す。なお，コギングトルク

の値は，一次三角柱辺要素で解析したピークピーク値で正規化してある。コギングトルク波形

は，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素でよく一致している。

表 3.2 に解析諸元を示す。一次三角柱辺要素は一次四面体辺要素と比べて，要素数は 1/3，

未知数は 1/2，非零要素数は 4/5 になっている。また，一次三角柱辺要素の ICCG の反復回数が

一次四面体辺要素の約 1/3 になっている。これらの理由より，一次三角柱辺要素では一次四面

体辺要素で解析するよりも約 3.5 倍速く計算できた。コギングトルク解析において，一次三角

柱辺要素は，一次四面体辺要素とほぼ同精度で高速に計算できるため有用であることがわか

る。

- 27 -

(a) whole view (tetrahedaral elements)

(b) enlarged view

Fig. 3.1 Analyzed model.

(a) prismatic elements (b) tetrahedral elements

Fig. 3.2 Distribution of flux density vectors.

0 10 20

rotation angle (deg.)

prismatic elements tetrahedral elements

Fig. 3.3 Cogging torque waveforms.

(i) prismatic elements (ii) tetrahedral elements

rotor core

permanent magnet

stator core coil

enlarged area

- 28 -

Table 3.1 Peak to peak of cogging torque (p.u.)

Prismatic Tetrahedral

1.00 1.02

Table 3.2 Discretization data and CPU time.

Element type Prismatic Tetrahedral

Number of elements 44,688 134,064

Number of nodes 28,270

Number of Edges 106,741 174,041

Number of unknowns 72,660 139,716

Number of non-zero entries 809,992 1,111,720

Number of time steps 120

Average number of ICCG iterations 12,110 34,071

Average number of nonlinear iterations 11.3 14.8

CPU time/step (s) 172 615

Computer used: Intel Core2 Duo 3.16GHz (64bit) PC

３．２．２ PWMインバータ駆動時の解析

ここでは，PWM インバータ駆動の IPM モータの電磁界解析における，一次三角柱辺要素の

有用性を明らかにする。

IPM モータの解析モデルおよび三次元分割図は図 3.1 とそれぞれ同じである。表 3.3 に解析

条件を示す。この IPM モータは図 3.4に示す正弦波または 9パルスの PWM電圧で駆動される。

なお，正弦波と 9 パルスの PWM 電圧の実効値は同じである。電気角刻み幅は正弦波電圧駆動

の場合は 3°，PWM 電圧駆動の場合はキャリア高調波の影響を表現するため 0.5°とした。

図 3.5 に正弦波で駆動した場合の永久磁石中の渦電流密度ベクトル分布を示す。分布は要素

形状によらずほぼ一致している。図 3.6 に U 相の電流波形を示す。各電流値は一次三角柱辺要

素で解析した正弦波電圧を入力した場合の電流実効値で正規化してある。図より，正弦波電圧

や PWM 電圧で駆動したいずれも，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素で解析した電流値に

差はほとんどない。PWM 電圧で駆動した場合，キャリア高調波により電流値が歪んでいる。

図 3.7 にトルク波形を示す。なお，各トルクは一次三角柱辺要素で解析した正弦波電圧を入

力した場合の平均トルクで正規化してある。正弦波電圧や PWM 電圧で駆動したいずれも，一

次三角柱辺要素と一次四面体辺要素で解析したトルクに差はほとんどない。PWM 電圧で駆動

した場合のトルクリプルは正弦波電圧で駆動した場合のものよりも大きい。

表 3.4 に IPM モータの諸特性を示す。表より，正弦波電圧や PWM 電圧で駆動したいずれも，

一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素で解析した永久磁石中の渦電流損に差はほとんどない。

また，PWM 電圧駆動時と正弦波電圧駆動時を比較すると，PWM 電圧駆動時の渦電流損が正

弦波電圧駆動時の約 23 倍になっていることがわかる。

表 3.5 に解析諸元を示す。表より，一次三角柱辺要素は，四面体と比べて ICCG の反復回数

が約 1/2，非零要素数は 4/5 と少なくなっているため，約 2 倍速く計算できる。

- 29 -

Table 3.3 Analysis Conditions.

Rotation speed (rpm) 935

Frequency of the power supply (Hz) 46.75

Number of coil turn 7

Coil resistance (p.u.) 0.038

Modulation ratio 0.7

0 90 180 270 360

electrical angle (deg.)

sinusoidal

Fig. 3.4 Waveforms of applied voltage.

(a) prismatic elements

(b) tetrahedral elements

Fig. 3.5 Distributions of eddy current density vectors in permanent magnet.

0 60 120 180 240 300 360

prismatictetrahedralprismatictetrahedral

Fig. 3.6 Current waveforms in phase U.

sinusoidal

element type voltage source

(A/m2)

- 30 -

0 15 30 45 60

electrical angle (°)

prismatictetrahedralprismatictetrahedral

Fig. 3.7 Torque waveform.

Table 3.4 Characteristics of IPM motor.

Element type Prismatic Tetrahedral

Voltage source Sinusoidal PWM Sinusoidal PWM

Average torque (p.u.) 1.000 0.971 0.996 0.966

Torque ripple (p.u.) 0.098 0.329 0.099 0.328

Effective value of current in phase U

(p.u.) 1.000 0.974 0.995 0.967

Eddy current loss in permanent magnets

(p.u.) 1.000 22.53 1.034 22.89

Table 3.5 Discretization data and CPU time. Element type Prismatic Tetrahedral

Voltage source Sinusoidal PWM Sinusoidal PWM

Number of elements 44,688 134,064

Number of unknowns 75,975 143,031

Number of non-zero entries 956,950 1,272,542

Number of time steps 361 2,160 361 2,160 Average number of

nonlinear iterations 10.7 10.3 13.6 12.4

Average number of ICCG iterations 2,240 2,332 4,188 4,200

CPU time/step (s) 69 69 125 122

Computer used: Intel Core2 Duo 3.16GHz (64bit) PC

0.0 ～～

sinusoidal

element type voltage source

- 31 -

３．３非接触充電コイルの解析 (23)

非接触充電コイルのコアには，小形化の要求から厚み数十m の薄いコアが使われることが

ある。このようなモデルを有限要素法により解析する場合，薄いコアを表現するため非常に扁

平な要素が必要となる。文献(8)では，非常に扁平な要素がある場合，一次四面体辺要素を用い

て解析すると渦電流の計算精度が著しく悪化するが，一次三角柱辺要素を用いれば渦電流を精

度よく計算できることが報告されている。

本節では，はじめに一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素を用いて非接触充電コイルの電磁

界解析を行い，一次四面体辺要素では正しく計算できなかった渦電流の流れが一次三角柱辺要

素を用いれば正しく計算できることを確認する。次に，一次三角柱辺要素を用いて非接触充電

コイルの損失および効率を明らかにする。さらに，渦電流による損失を減少させるべく二次コ

アを分割し，その影響を明らかにする。

３．３．１一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素による解析

本項では，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素を用いて非接触充電コイルの電磁界解析を

行い，一次四面体辺要素では正しく計算できなかった渦電流が一次三角柱辺要素を用いれば正

しく計算できることを確認する。

図3.8に解析モデルを示す。なお，tはコアの厚みである。モデルの対称性より，解析領域は

モデル全体の1/8とした。図3.9に解析に用いた三次元分割図を示す。一次三角柱辺要素と一次

四面体辺要素の三次元分割図は，同じ二次元メッシュから積み上げて作成した。どちらの要素

を用いても，二次コアに非常に扁平な要素ができている。図3.10に本非接触充電コイルの共振

回路を示す。負荷は供給電力に相当する10の負荷抵抗で模擬する。表3.6に解析条件を示す。

図3.11に一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素を用いて計算した渦電流密度ベクト

ル分布を示す。二次コアに非常に扁平な要素が含まれているため，一次四面体辺要素

を用いて計算した渦電流密度ベクトル分布では，渦電流が二次コアの面を貫くように

流れており，渦電流の大きさだけでなく方向も正しく計算できていないことが確認で

きる。一方，一次三角柱辺要素を用いて計算すると，二次コア中をその面に沿って渦

電流が流れ，渦電流が正しく計算できていることがわかる。図 3.12に一次三角柱辺要

素と一次四面体辺要素で計算した y=0mm断面の空気中の磁束密度ベクトル分布を示

す。これらの図を比較すると，二次コアより上部の空気中の磁束密度が大きく異なっ

ていることがわかる。これは，二次コア中の渦電流の影響だと思われる。一次四面体

辺要素では正しく計算できなかった渦電流の流れが一次三角柱辺要素を用いれば正し

く計算できることが確認できたため，以降は一次三角柱辺要素を用いて検討する。図

3.13に電流波形を示す。一次と二次のコイルの電流波形の計算値は，実測値とよく一

致している。

- 32 -

(a) whole view

(b) side view

Fig. 3.8 Separate-type transformer (1/8 region).

(i) whole view (ii) enlarged view

(a) prismatic edge elements

(i) whole view (ii) enlarged view

(b) tetrahedral edge elements

Fig. 3.9 3-D finite element meshes

secondary coil

primary coil

primary core (thickness 100m)

secondary core (thickness 18m)

primary core

(ferrite) secondary coil

primary coil

secondary core

(amorphous)

enlarged area

secondary

secondary core

primary coil

secondary core

primary core

secondary coil

enlarged area

- 33 -

Fig. 3.10 Resonant circuit.

Table 3.6 Analysis condition.

Primary core

(ferrite)

Relative magnetic

permeability 2,200

Secondary core

(amorphous)

Relative magnetic

permeability 15,000

Conductivity (S/m) 833,000

Primary coil

Voltage (Vrms) 5.28

Frequency (kHz) 120

Number of turns (turns) 24

Secondary coil Number of turns (turns) 20

(b) tetrahedral edge elements (vector size is 1/2 of Fig. 3.11 (a) )

Fig. 3.11 Distributions of eddy current density vectors.

0.147F

primary coil

primary core

secondary core

secondary coil

1.2×107 (A/m

- 34 -

(b) tetrahedral edge elements

Fig. 3.12 Distributions of flux density vectors in air (x-z section).

0 90 180 270 360

measuredcalculated by prismatic edge elements

(a) primary coil

0 90 180 270 360

measuredcalculated by prismatic edge elements

(b) secondary coil

Fig. 3.13 Current waveforms.

Table 3.7 Eddy current loss, copper loss, and efficiency.

Input (W) 3.658

Output (W) 3.041

Electrical loss (W)

Eddy current loss Secondary core 0.107

Copper loss Primary coil 0.241

Secondary coil 0.268

Efficiency (%) 83.12

primary coil

0.03 (T)

secondary coil secondary core

primary core

- 35 -

３．３．２二次コアの分割が二次コア中の渦電流損に及ぼす影響

本項では，二次コア中の渦電流損を減少させるべく二次コアを分割し，その影響を

明らかにする。

図3.14に二次コアの分割を示す。第3.3.1項の解析モデルを基本モデル（図3.14(i)）

とし，二次コアを上下に分割したもの（図3.14(ii)）を2分割モデル，さらに左右にも

分割したもの（図3.14(iii)）を4分割モデル，さらに斜めにも分割したもの（図3.14(iv)）

を8分割モデルとする。なお，二次コアの分割は絶縁面の電気スカラポテンシャル

の境界条件を自然境界とすることで考慮した。その他の解析条件は第 3.3.1項と同じで

ある。

図3.15に二次コアの渦電流密度ベクトル分布と渦電流損分布を示す。二次コアの分

割によって二次コア中の渦電流の分布が変わり，分割数が多くなるほど渦電流損が減

少している。また，渦電流損は基本モデルでは二次コアの側面付近に，2分割，4分割，

8分割モデルでは二次コアの側面付近と絶縁面付近に渦電流損が集中している。

(a) core division patterns

(b) analyzed model

Fig. 3.14 Separate-type transformer with divided secondary core.

(ii) 2-division model

primary core

(i) no-division model

secondary core

primary coil

(iv) 8-division model (iii) 4-division model

insulation surface

(i) no-division model

primary core

primary coil

secondary core

(ii) 2-division model

- 36 -

(i) no-division model (i) no-division model

(ii) 2-division model (ii) 2 -division model

(iii) 4-division model (iii) 4 -division model

(iv) 8-division model (iv) 8 -division model

(a) eddy current density vectors (b) eddy current loss

Fig. 3.15 Distributions of eddy current density vectors and eddy current loss.

4.0×106 (A/m

1.0×107 (W/m

primary core secondary core

primary coil

analyzed region

- 37 -

図3.16に損失を，表3.8にその値を示す。二次コアの渦電流損は，二次コアを 2分割

することで基本モデルの43%に減少し，二次コアを4分割することで基本モデルの34%

に減少し，8分割することで基本モデルの22%に減少している。また，二次コアの分割

は一次銅損，二次銅損にほとんど影響しないことがわかる。

表3.9に効率を示す。なお，効率の計算に用いる入力は一次銅損，二次銅損，渦電流

損，出力の和として求め，出力は負荷抵抗に流れる電流から求めた。基本モデルでは

効率が83.12%であったのが，二次コアを2分割することで効率が84.68%に，4分割する

ことで効率が84.98%に，8分割することで85.22%に向上することがわかった。

表3.10に解析諸元を示す。

1 2 3 4

eddy current loss (secondary core)

copper loss (secondary coil)

copper loss (primary coil)

Fig. 3.16 Eddy current loss and copper loss.

Table 3.8 Eddy current loss and copper loss.

Number ofcore divisions No-division 2 4 8

Eddy current loss (W) Secondary core 0.107 0.047 0.034 0.024

Copper loss (W) Primary coil 0.242 0.234 0.236 0.237

Secondary coil 0.269 0.268 0.271 0.272

Total electrical loss (W) 0.618 0.549 0.542 0.532

Table 3.9 Efficiency.

Number of core divisions No-division 2 4 8

Input power (W) 3.658 3.586 3.611 3.605

Output power (W) 3.041 3.037 3.068 3.072

Efficiency (%) 83.12 84.68 84.98 85.22

Number of core divisions No-division 2 4 8

Number of elements 623,247 1,246,494 623,247

Number of nodes 324,408 639,492 324,408

Number of Edges 1,275,626 2,532,799 1,275,626

Average number of ICCG iterations 455 675 554 628

Number of time steps 900

CPU time (hours) 21.5 66.1 24.3 27.9

Computer used: Intel Corei7 (3.4GHz) PC

no-division

2-division

4-division

8-division

- 38 -

３．４結言

本章では，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素を用いてPWMインバータで駆動さ

れる IPMモータおよび非接触充電コイルの電磁界解析を通して，計算精度，計算速度

の観点から一次三角柱辺要素の有用性を明らかにした。以下，本章で得られた成果を

要約する。

(1) IPMモータのコギングトルク解析時では，一次三角柱辺要素は，一次四面体辺要素

と比べ，非零要素数が約4/5， ICCGの反復回数が約1/3になったため，一次三角柱

辺要素では一次四面体辺要素とほぼ同精度で約3.5倍速く計算できた。

(2) IPMモータのPWM電圧駆動時では，一次三角柱辺要素は，一次四面体辺要素と比

べ，非零要素数が約4/5， ICCGの反復回数が約1/2なったため，一次三角柱辺要素

では一次四面体辺要素とほぼ同精度で約2倍速く計算できた。

(3) 非接触充電コイルの解析では，部品に薄い薄膜を含むため，一次四面体辺要素で

は扁平な要素ができ渦電流が正しく計算できなかったが一次三角柱辺要素を用い

れば正しく計算できることが確認できた。また，一次三角柱辺要素を用いて解析

したコイルの電流値が，実測値とほぼ一致し，精度よく計算できていることが定

量的に明らかにできた。

(4) 非接触順電コイルのコア分割する場合，コアを8分割した場合が最も効率がよく，

効率は基本モデルと比べ2.1%上昇することがわかった。

- 39 -

第４章簡易TP-EEC法を用いた三次元電磁界解析の過渡収束改善手法

４．１緒言

渦電流や電圧源を考慮した電気機器のステップバイステップ法による定常解析は，

時間微分項を含むため，ステップ計算において数値解析的な過渡現象が現れる。その

ため，定常解を求めるために数周期分の計算を必要とし，計算時間が膨大になること

が多い。この問題に対する有効な手法の1つとして，磁界の半周期性（一周期の半分で

符号が反転する）を利用して数値解析的な過渡を取り除く簡易TP-EEC法が提案されて

いる。簡易TP-EEC法は静止器などの機械的な動作がないモデルに対して適用され，そ

の有用性が示されてきた。

回転機では，回転子側の磁界の周期性が固定子側と異なるため，簡易TP-EEC法をそ

のまま回転機解析に適用することは難しい。そこで，本研究では，回転機解析のため

の簡易TP-EEC法の適用法を提案する。

また，産業応用の分野では，交流分に直流分が重畳している磁界を用いた電気機器

もある。これらに対して，磁界の半周期性を利用した従来の簡易TP-EEC法はそのまま

では適用できない。そこで，本研究では簡易TP-EEC法を拡張し，直流分を含む電磁界

の定常解析の過渡を抑えることのできる簡易TP-EEC-DC法を提案する。

４．２ TP-EEC法 (6)

後退差分近似によって離散化された時間ステップ iにおけるA法の電磁界の基礎

方程式を未知数xiを用いて

CS Fxx

)( 1 (4.1)

とする。ここで，

kjkjVkj

v dvLdvL , ,

,rot rot NNNN ･･

kjkj dvNNNdvNM

, grad grad ,grad ･･ N

jji 0| JNJ ･ (4.2)

であり，Aiは磁気ベクトルポテンシャル，iは電気スカラポテンシャル，Fiはソース項，

iJ は強制電流項，tは時間刻み幅，Njは辺要素補間関数，Njは節点要素補完関数，iは

磁気抵抗率，は導電率，i

0J は強制電流密度，Vは全領域，Vcは巻線領域，Veは渦電流

が流れる導体の領域である。

- 40 -

交流定常磁界を解く場合には，定常解におけるAi，Fiに以下に示す半周期性が成り

立つ。

niinii FFAA , (at steady state) (4.3)

ただし，nは半周期の時間ステップ数である。

時間ステップ iにおける磁気ベクトルポテンシャルの過渡解Aiと定常解)state-steady(

iA の

誤差ベクトルeiは次式で表される。

iii AAe )state-steady( (4.4)

TP-EEC法では，誤差ベクトルeiを近似する補正ベクトルpを次式から求める。

)()2(1

AAp (4.5)

(4.5)式のpを ICCG法などの行列解法により求め，磁気ベクトルポテンシャルの過渡

解Aiにpを加えることで，定常解に近い磁気ベクトルポテンシャル iA~が得られる。

pAA ii

~ (4.6)

(4.6)式で得た iA~を次のステップ（ i+1ステップ目）の解析で， iステップ目の磁気ベ

クトルポテンシャルとして用いることで，過渡への収束が改善される。

この補正は半周期毎に行えばよい。また，十分過渡が取り除かれるまで半周期毎に

補正を複数回行うことで，さらに過渡への収束が加速することができる。

４．３簡易TP-EEC法 (6)

４．３．１簡易TP-EEC法の概要

簡易TP-EEC法では (4.5)式の補正ベクトルpを次式で近似する。

)( nii AAp (4.7)

このとき， (4.5)式の二次形式を最小化するようなは以下の式で求められる。

))(()(

特に，微分項の係数であるCが支配的な場合はを無視することができ，pは次式で

計算できる。

1nii AAp (4.9)

(4.9)式により求めたpを用いて (4.6)式によって補正を行うことで，定常解に近い磁気

ベクトルポテンシャル iA~が得られる。この補正も，TP-EEC法同様，半周期後に再度

補正を行うことができる。

簡易TP-EEC法では，補正ベクトルを (4.9)式で計算できるため，TP-EEC法に比べ補

正ベクトルの計算コストが少ないという利点がある。

- 41 -

４．３．２簡易TP-EEC法の補正効果 (24)

本節では，簡易TP-EEC法の補正効果を理論的に検証するため，一次元微分方程式に

おいて簡易TP-EEC法を適用し，その補正効果を明らかにする。

(4.1)式に対応する半周期性を満たした一次元の微分方程式は一次元の未知数 x(t)，ソ

ース項F(t)と時間 tを用いて次式で表される。

)( tFt

txCtSx

(4.10)

ここで，Sは静磁界の係数，Cは時間微分項の係数である。

半周期性をもつF(t)は周期Tを用いて次式で表せる。

))12(2

sin()(1

(4.11)

ここで，anはF(t)に含まれるn次高調波の大きさ，φnはF(t)に含まれるn次高調波の位相

差である。

(4.10)式を解くと，x(t)は次式で表される。

))12(2

sin()( *

(4.12)

ここで，*

na はx(t)に含まれるn次高調波の大きさ，*

n はx(t)に含まれるn次高調波の位相

差である。

x(t)の過渡解と定常解との誤差(t)は時定数を用いて次式で表される。

0 (4.13)

(4.13)式から時定数が大きいほど，定常解に至るまでに多くの時間を要することが

わかる。

式の誤差を補正する簡易TP-EEC法の補正ベクトルは次式で表される。

))12()12(2

))12(2

)2/()(2

)2/(11

Ttxtxtp

(4.14)

簡易TP-EEC法による補正後の誤差 )(ˆ t は次式で表される。

- 42 -

)()(ˆ

)2/(11

(4.15)

(4.15)式から時定数が周期Tに対して長いと簡易TP-EEC法による補正によって誤差

が減少することがわかる。一方，時定数が周期Tに対して短いときに簡易TP-EEC法に

よる補正を行うと，誤差が増えてしまうことがわかる。

４．４回転機解析のための簡易TP-EEC法の拡張 (24)

簡易TP-EEC法では半周期前のステップの磁気ベクトルポテンシャルを用いるため，

簡易TP-EEC法を回転機解析に適用するためには固定子鉄心やコイルと回転子鉄心や

磁石など，空気領域を除く，メッシュが各ステップで同じである必要がある。そのた

め，固定子側と回転子側のメッシュが変わらずに回転子を回転させることができる第

2.5節で述べた方法を用いることで，回転機解析に簡易TP-EEC法が適用できる。

さらに，回転機の種類により，固定子側と回転子側の磁気ベクトルポテンシャルの

周期性が異なるため，ここでは，同期電動機および誘導電動機への簡易TP-EEC法の適

用法をそれぞれ述べる。

４．４．１同期電動機の場合

同期電動機の固定子側の磁気ベクトルポテンシャルは電源周波数とともに周期的に

変化しているため，電源に半周期性のある電圧を印加している場合は簡易TP-EEC法に

よる補正が適用できる。しかし，回転子側では永久磁石によって磁気ベクトルポテン

シャルに直流分が含まれるため，磁気ベクトルポテンシャルに半周期性がなく簡易

TP-EEC法による補正を適用することはできない。

ゆえに，同期電動機では，固定子側のみに電源周波数の半周期毎に補正を行うが，

回転子側には簡易TP-EEC法による補正を行わないこととする。

４．４．２誘導電動機の場合

誘導電動機の固定子側の磁気ベクトルポテンシャルは，同期回転機と同様に電源周

波数とともに周期的に変化している。また，誘導電動機は同期速度より遅れて回転す

るため，回転子側の磁気ベクトルポテンシャルはすべり周波数（電源周波数×すべり）

とともに周期的に変化する。

ゆえに，誘導電動機では固定子側には電源周波数の半周期毎に簡易TP-EEC法による

補正を行い，回転子側にはすべり周波数の半周期毎に簡易TP-EEC法による補正を行う

こととする。

- 43 -

４．５簡易TP-EEC-DC法 (10)

４．５．１半周期性の簡易TP-EEC-DC法

永久磁石および渦電流を考慮した電磁界解析のためのA法の基礎方程式は，(2.13)式

の電気スカラポテンシャルを0とし，ベクトルポテンシャルAを用いて次式で表され

る。

MJJA rot)rotrot( 00 e (4.16)

AJ (4.17)

ここで，は磁気抵抗率，J0は強制電流密度，Jeは渦電流密度，0 は真空の磁気抵

抗率，Mは永久磁石の磁化，は導電率である。

半周期性をもつAに強制電流や永久磁石の磁化などによって直流分が重畳されてい

ても， (4.17)式に示すようにAの時間微分で表されるJeは直流分が除去され，Jeには次

式に示す半周期性が成り立つことになる。

)2/()( Ttt ee JJ (at steady state) (4.18)

ここで， tは時間，TはJeの周期である。

そこで，Jeに対して簡易TP-EEC法を適用することができると考えられる。このとき，

定常解に近い渦電流密度 eJ~は次式で計算される。

)2/()(~ Ttt eee

JJJ (4.19)

eJ~，J0，Mによって生成される磁界の基礎方程式を解くことで，定常解に近い磁気

ベクトルポテンシャル A~が得られる。

MJJA rot~

rotrot( 00 e (4.20)

以降，本手法を半周期性の簡易TP-EEC-DC法と呼ぶ。

４．５．２一周期性の簡易TP-EEC-DC法

上述した半周期性の簡易TP-EEC-DC法は，時間周期的な交流磁界に直流分が重畳し

た線形磁界解析に適用できる。

非線形性磁界解析では，Jeが歪み，Jeに奇数次数成分だけでなく，偶数次数成分が

現れる。Jeに奇数次数成分だけが含まれる場合は図4.1(a)に示すようにJeの半周期性が

満たされるが，Jeに偶数次数成分が含まれると図4.1(b)に示すようにJeの半周期性が満

たされず，上述した渦電流の半周期性を利用した簡易TP-EEC-DC法は適用できない。

偶数次数成分の磁界を含んだ電磁界解析に適用するために，次式に示すAの一周期

性を利用した簡易TP-EEC法も提案されている (25)。

- 44 -

(i) fundamental and second- order component

(ii) synthesized waveform

(i) fundamental and third- order component

(ii) synthesized waveform

AA (at steady state) (4.21)

ただし，mは一周期の時間ステップ数， tは時間，Tは周期である。

直流磁界が含まれる場合では，(4.21)式が成り立たず，Aの一周期性を利用した従来

の簡易TP-EEC法は適用できない。

そこで，一周期性を利用した簡易TP-EEC法を直流磁界が含まれる場合でも適用でき

るように，渦電流の一周期性を利用した簡易TP-EEC-DC法を提案する。

定常状態においてJeは次式に示すように一周期性が満たされる。

JJ (at steady state) (4.22)

Jeの一周期性を利用することで従来のAの一周期性を利用した簡易TP-EEC法のよう

にJeを次式で補正することができる。

JppJJ ................. (4.23)

(4.23)式で計算した eJ~を (4.20)式の磁界の基礎方程式を磁気抵抗率の非線形性を考

慮して解くことで，非線形解析においても，定常解に近いベクトルポテンシャル A~が

得られる。

以降，本手法を一周期性の簡易TP-EEC-DC法と呼ぶ。

0 90 180 270 360

e l e c t r i c a l a n g l e ( d e g . )

(a) waveform with half cycle periodicity of Je

0 90 180 270 360

e l e c t r i c a l a n g l e ( d e g . )

(b) waveform without half cycle periodicity of Je

Fig. 4.1 Several-order waveforms.

second-order component

fundamental component

third-order component

fundamental component

- 45 -

４．６結言

本章では，時間ステップのループの高速化のために，回転機や直流分が含んだ電磁

界解析にも適用出来る過渡収束改善法を提案し，その手法について述べた。以下，本

章で得られた成果を要約する。

(4) 簡易TP-EEC法では，解析対象の時定数が電源周期Tに対して長いと補正によって

誤差が減少する。一方，時定数が周期Tに対して短いときに簡易TP-EEC法による

補正を行うと，誤差が増えてしまう。

(5) 同期電動機では，固定子側のみに電源周波数の半周期毎に簡易TP-EEC法による補

正を行うが，回転子側には簡易TP-EEC法による補正を行わない。

(6) 誘導電動機では固定子側には電源周波数の半周期毎に簡易TP-EEC法による補正を

行い，回転子側にはすべり周波数の半周期毎に簡易TP-EEC法による補正を行う。

(7) 磁界に直流分を含む電気機器の解析には，簡易TP-EEC-DC法を用いることで，過

渡の収束性改善できる。磁界に奇数次数成分のみが含まれる線形磁界解析の場合

は半周期性の簡易TP-EEC-DC法を，磁界に偶数次数成分が含まれる場合や非線形

磁界解析の場合には一周期性の簡易TP-EEC-DC法を用いることで，過渡の収束性

を改善できる。

- 46 -

第５章簡易TP-EEC法を用いた三次元電磁界解析への適用例

５．１緒言

本章では，第4.4節で提案した回転機解析のための簡易TP-EEC法の適用法を埋込磁

石構造形同期電動機と誘導電動機に適用し，提案手法の有用性を明らかにする。さら

に，第4.5節で提案した簡易TP-EEC-DC法を渦電流場数値計算技術調査専門委員会で提

案されている三次元渦電流解析検証用標準ベンチマークモデルの線形磁界解析および

シールド板付きC形コアの非線形磁界解析に適用し，簡易TP-EEC-DC法の有用性を明

らかにする。

５．２回転機への簡易TP-EEC法の適用 (24)

５．２．１埋込構造永久磁石同期電動機への適用

図5.1に埋込磁石形同期電動機の解析モデルを示す。永久磁石中の渦電流損低減のた

め，永久磁石が軸方向に8分割されている。永久磁石の導電率は694,444S/mとする。解

析領域はモデルの周期性ならびに対称性により，周方向に1/3領域，軸方向に1/16（永

久磁石1枚の1/2領域に相当）領域の全領域の1/48領域とする。図5.2に三次元分割図を

示す。回転子鉄心と固定子鉄心には図5.3に示すB-H曲線（50H470）を用いて非線形性

を考慮する。コイルの結線方法はY結線であり，コイルには三相正弦波電圧を印加し

ている。表5.1に解析条件を示す。

簡易TP-EEC法による補正は，固定子側のみに電源周波数の半周期である電気角 180°

ごとに行う。

図4.1 解析モデル

Fig. 5.1 IPM motor.

stator core

permanent magnet

rotor core

- 47 -

Fig. 5.2 3-D finite element mesh.

0 5,000 10,000 15,000 20,000 25,000 30,000H (A/m)

50H470

Fig. 5.3 B-H curve.

Table 5.1 Analysis conditions.

Rotation speed (rpm) 935

Frequency of power supply (Hz) 46.75

Frequency of coil current (Hz) 35

Number of coil turn 7

Time interval of electrical angle (deg.) 3

- 48 -

図5.4に電流波形を示す。ただし，値は定常状態の電流実効値で正規化してある。簡

易TP-EEC法による補正を行うと，１回目の補正（電気角183°）を行った直後に誤差が

取り除かれ，電流値が定常解に近づいている。

図5.5にトルク波形を示す。ただし，値は定常状態の平均トルクで正規化してある。

簡易TP-EEC法による補正を行うと，１回目の補正（電気角183°）を行った直後に誤差

が取り除かれ，トルクも定常解に近づいている。さらに，２回目の補正（電気角363°）

で残った誤差が取り除かれ，トルクはほぼ定常解に達している。

図5.6にトルク波形におけるその瞬時値と定常解との誤差を示す。簡易TP-EEC法に

よる補正を行うたびに誤差が減少していることがわかる。

表5.2に解析諸元を示す。表中の定常解に達するまでに必要なステップ数は，トルク

波形における瞬時値と定常解との誤差が 1%未満となるまでに要したステップ数とし

た。簡易TP-EEC法による補正を行うことで，定常解に達するまでに必要なステップ数

が，補正を行っていない場合の約1/11に減少し，計算時間が短縮できる。また，簡易

TP-EEC法を用いた場合の必要メモリは簡易TP-EEC用いない場合の約117%となってい

る。

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160 2,520 2,880

without simplified TP-EEC methodsimplified TP-EEC method

Fig. 5.4 Current waveform.

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160 2,520 2,880electrical angle (deg.)

without simplified TP-EEC methodsimplified TP-EEC method

Fig. 5.5 Torque waveforms.

- 49 -

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

0 360 720 1,080 1,440

without simplified TP-EEC method

simplified TP-EEC method

Fig. 5.6 Errors of torque.

Without simplified TP-EEC method With simplified TP-EEC method

Number of elemets 134,064

Number of edges 174,041

Number of unkowns 143,035

Memory (MB) 144 168

Required time steps

for steady states 1397 124

CPU time (min.) 2903.4 259.1

Computer used: Intel Core2 Duo (3.16GHz) PC

- 50 -

５．２．２誘導電動機への適用

図5.7に誘導電動機の解析モデルを示す。軸方向に1層積み上げた簡易モデルで提案

手法の有用性を検証する。渦電流は二次導体中のみに流れるものとした。一次コイル

は独立した三相回路で表現されており，正弦波電圧が印加されている。図5.8に三次元

分割図を示す。表5.3に解析条件を示す。誘導電動機ではすべりが異なると回転子側の

磁界の周期が変わり，簡易TP-EEC法の補正の効果が異なると考えられるため，すべり

1.0と0.1の２通りで解析を行う。

簡易TP-EEC法による補正は，固定子側には電源周波数の半周期（電気角180°）毎に，

回転子側にはすべり周波数の半周期（すべり1.0では電気角180°，すべり0.1では電気角

1800°）毎にそれぞれ簡易TP-EEC法による補正を行う。

Fig. 5.7 Analysis model.

Fig. 5.8 3-D finite element mesh.

Table 5.3 Analysis condition.

Frequency of coil current (Hz) 35

Conductivity of secondary conductor (S/m) 31,388,000

Slip 1.0, 0.1

rotor core

stator core

primary coil

secondary conductor

- 51 -

図5.9に一次電流波形を示す。ただし，値は定常状態の一次電流の実効値でそれぞれ

正規化してある。固定子側のみに簡易TP-EEC法による補正を行うと，どのすべりにお

いても定常解への収束が早くなる。また，回転子側にも簡易TP-EEC法による補正を行

うと，すべり1.0では定常解への収束がさらに早くなることがわかる。すべり 0.1では

図5.9(b)に示すように，回転子側に補正を行った電気角1,800°で誤差が増えている。こ

れは，誘導電動機の二次電流の時定数がすべり0.1の場合の回転子側の磁界の周期に対

して小さいからだと考えられる。

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160

simplified TP-EEC method in stator

simplified TP-EEC method in rotor and stator

(a) slip 1.0

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160

(b) slip 0.1

Fig. 5.9 Primary current waveform.

- 52 -

図5.10にトルク波形を示す。ただし，値は定常状態の平均トルクの値で正規化して

ある。トルク波形をみても一次電流波形と同様に，すべり1.0では固定子側と回転子側

に簡易TP-EEC法による補正を行うと最も定常解への収束が早くなる。また，すべり0.1

では固定子側のみに簡易TP-EEC法による補正を行うと最も定常解への収束が早くな

る。

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160

without simplified TP-EEC methodsimplified TP-EEC method in statorsimplified TP-EEC method in rotor and stator

(a) slip 1.0

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160

(b) slip 0.1

Fig. 5.10 Torque waveform.

- 53 -

表5.4に定常解に達するまでに必要なステップ数を示す。定常解に達するまでに必要

なステップ数は，トルク波形における瞬時値とその定常解との誤差が 1%未満となるま

でに要したステップ数とした。すべり1.0では，固定子側と回転子側に簡易TP-EEC法

による補正を行うと最も早く定常解に到達し，その定常解に達するまでに必要なステ

ップ数は補正を行っていないものの約1/12に減少することがわかる。また，すべり0.1

では，固定子側のみに簡易TP-EEC法による補正を行うと最も早く定常解に到達した。

定常解に達するまでに必要なステップ数は，補正を行っていない場合の約1/2に減少す

ることがわかる。

表5.5に解析諸元を示す。簡易TP-EEC法により補正を行うことで，定常解に達する

までに必要なステップ数が減少し，計算時間が短縮できる。

Table 5.4 Required time steps for steady state.

Slip Without simplified

TP-EEC method

With simplified TP-EEC method

in stator

With simplified TP-EEC

method in rotor and stator

1.0 1721 169 140

0.1 373 208 no convergence

Table 5.5 Discretization data and CPU time (slip 1).

Without simplified

TP-EEC method

With simplified

TP-EEC method

in stator

With simplified

TP-EEC method

in rotor and stator

Number of elements 62,100

Memory (MB) 72 80 80

CPU time (min.) 246.1 23.8 20.0

computer used: Intel Core2 Duo (3.16GHz) PC

- 54 -

５．３ IEEJベンチマークモデルへの簡易TP-EEC-DC法の適用 (10)

線形磁界解析における半周期性の簡易TP-EEC-DC法の有用性を明らかにするために，

三次元渦電流解析検証用 IEEJ標準ベンベンチマークモデルの線形磁界解析に提案手法

を適用する。

図5.11に IEEJ標準ベンチマークモデルを示す，アルミ板の導電率は31,250,000 S/m，

フェライトコアの比透磁率は3,000とした。モデルの対称性から解析領域は全体の1/8

とした。

線形磁界解析における半周期性の簡易TP-EEC-DC法の明らかにするため，コイルに

は，図5.12に示すような直流分が重畳した交流電流を流した。

ここでは，半周期性の簡易TP-EEC-DC法による補正は表5.6に示す電気角で3回行う。

図5.13に定常状態における要素A（図5.11(c)参照）中の渦電流密度波形のy軸方向成

分を示す。図より，渦電流密度は半周期性が満たされていることがわかる。

(c) mesh for the analysis (1/8 of whole model)

Fig. 5.11 IEEJ standard benchmark model of three-dimensional eddy-current analysis.

ferrite core x

aluminum plate

element A

coil (b) front view

ferrite core

z aluminum plate

(a) plane view

aluminum plate y

ferrite

- 55 -

0 90 180 270 360electrical angle (deg.)

Fig.5.12 Input current waveform.

Table 5.6 Electrical angles when simplified TP-EEC-DC method is used.

Method Electrical angle (deg.)

simplified TP-EEC-DC method

with half cycle periodicity of Je 189 369 549

TP-EEC method

with ordinary cycle periodicity 369 729 1,089

-2.00E+05

-1.00E+05

0.00E+00

1.00E+05

2.00E+05

0 90 180 270 360

Fig. 5.13 Eddy current density waveform in element A at steady state (y -axis component).

2×105

1×105

-1×105

-2×105

～～

DC component : 1,000 AT

AC component : 200 AT, 50 Hz

DC component of current

～～

- 56 -

図5.14にアルミ板中の瞬時渦電流損の定常解との誤差を示す。誤差は渦電流損の定

常状態における値とその瞬時値の差を意味している。比較のためTP-EEC法を用いた結

果も同図に示す。半周期性の簡易TP-EEC-DC法を用いると，補正後に一時的に誤差が

増えるが，その後，定常解への収束が大幅に改善される。半周期性の簡易TP-EEC-DC

法とTP-EEC法を比較すると，補正の間隔が短い半周期性の簡易TP-EEC-DC法を用い

る方が定常解に早く到達する。

表5.7に解析諸元を示す。表に示す定常解に達するまでの時間ステップ数と計算時間

は瞬時渦電流損の定常解との誤差が 1%未満になるまで時間ステップ計算を繰り返し

たときの値である。半周期性の簡易TP-EEC-DC法を使った場合の計算時間が最も短く，

その計算時間は簡易TP-EEC法を使わない場合の約1/3になっている。

0.0001

0 360 720 1,080 1,440

Fig. 5.14 Errors of instantaneous eddy current loss.

Without simplified

TP-EEC method

Simplified TP-EEC-DC

method with half cycle

periodicity of Je

TP-EEC method

with ordinary cycle

periodicity

Time steps required

for steady states 214 73 105

CPU time (s) 193 71 115

Computer used: Intel Core2 Duo (2.66GHz) PC

simplified TP-EEC-DC method with half cycle periodicity of Je

TP-EEC method with ordinary cycle periodicity

- 57 -

５．４シールド板付きC形コアへの簡易TP-EEC-DC法の適用(10)

図5.15に示すアルミ板付きC形コアの非線形磁界解析では，コアの磁気的非線形性に

よりアルミ板中のJeに偶数次数成分が現れる。

ここでは，C形コアの非線形磁界解析を通して，第4.3.2項で述べた一周期性の簡易

TP-EEC-DC法の非線形磁界解析に対する有用性を明らかにする。

図5.16にコアのBHカーブを示す。アルミ板中の導電率は31,250,000 S/mである。モデ

ルの対称性から解析領域は全体の1/4とした。本モデルはコア間のギャップが非常に小

さいため，コアの磁気的非線形性が渦電流に大きく影響を及ぼす。コイルには図 5.17

に示す直流分が重畳した交流電流を流した。ここでは，半周期性の簡易TP-EEC-DC法

による補正は表5.8に示す電気角で5回行う。

図5.18に定常状態における要素A（図5.15(b)参照）中の磁束密度波形の z軸方向成分

を示す。図から，コアの磁気的非線形性により磁束密度波形が歪んでいることがわか

る。図5.19に定常状態における要素B（図5.15 (b)参照）中の渦電流密度波形のy軸方向

成分を示す。コアの磁気的非線形性により渦電流密度波形が歪み，渦電流密度波形は

半周期性を満たしていない。

(a) plane view (b) mesh for the analysis (1/4 of whole model)

Fig. 5.15 C-shaped core with aluminum plate.

0 100 200 300 400 500 600

H (A/m)

Fig. 5.16 B-H curve of core.

magnetic permeability

element B

aluminum plate

element A

core coil

aluminum plate

- 58 -

0 90 180 270 360electrical angle (deg.)

Fig. 5.17 Input current waveform.

Table 5.8 Electrical angles when simplified TP-EEC-DC method is used.

Method Electrical angle (deg.)

Simplified TP-EEC-DC method

with ordinary cycle periodicity of Je 369 729 1,089 1,449 1,809

with half cycle periodicity of Je 189 369 549 729 909

0 90 180 270 360

Fig. 5.18 Flux density waveform in element A at steady state (z-axis component).

-4.E+07

-2.E+07

0.E+00

2.E+07

4.E+07

0 90 180 270 360

Fig. 5.19 Eddy current density waveform in element B at steady state (y-axis component).

DC component of current

DC component : 1,000 AT

AC component : 1,000 AT, 1kHz

-2×10

-4×10

～～ F

- 59 -

図5.20にアルミ板中の瞬時渦電流損の定常解との誤差を示す。誤差は渦電流損の定

常状態における値とその瞬時値の差を意味している。また，比較のために半周期性の

簡易TP-EEC-DC法により半周期ごとに解を補正した結果も同図に示す。一周期性の簡

易TP-EEC-DC法を使うと，補正後に一時的に誤差が増えるが，その後，定常解への収

束が大幅に改善される。一方で，半周期の簡易TP-EEC-DC法を使った場合は，渦電流

の半周期性が満たされていないため補正後に誤差が増加し，定常解への収束も改善さ

れない。

表5.9に解析諸元を示す。一周期性の簡易TP-EEC-DC法を使用した場合の計算時間は，

簡易TP-EEC法を使わない場合の約1/17になった。

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

0 360 720 1,080 1,440 1,800

Fig. 5.20 Errors of instantaneous eddy current loss.

Without simplified

TP-EEC method

with ordinary cycle periodicity of Je

Time steps required

for steady states 1,749 95

CPU time (min.) 393 23

Computer used: Intel Core i7 (3.4GHz) PC

simplified TP-EEC-DC method with ordinary cycle periodicity of Je

simplified TP-EEC-DC method

with half cycle periodicity of Je

- 60 -

５．５結言

本章では，回転機解析のための簡易TP-EEC法の適用法を埋込磁石構造形同期電動

機と誘導電動機に適用し，提案手法の有用性を明らかにした。さらに，簡易TP-EEC-DC

法を渦電流場数値計算技術調査専門委員会で提案されている三次元渦電流解析検証用

標準ベンチマークモデルの線形磁界解析およびシールド版付きC形コアの非線形磁界

解析に適用し，簡易TP-EEC-DC法の有用性を明らかにした。以下，本章で得られた成

果を要約する。

(8) 埋込磁石構造形同期電動機の解析では，簡易TP-EEC法による補正を行うことで，

定常解に達するまでに必要なステップ数が，補正を行っていない場合の約1/11に減

少し，計算時間が短縮できた。

(9) 誘導電動機の解析では，すべりによって簡易TP-EEC法による補正の有無を変える

必要が有ることがわかった。すべり1.0では，固定子側と回転子側に簡易TP-EEC法

による補正を行うと最も早く定常解に到達し，その定常解に達するまでに必要な

ステップ数は補正を行っていないものの約1/12に減少，計算時間が短縮できた。ま

た，すべり0.1では，固定子側のみに簡易TP-EEC法による補正を行うと最も早く定

常解に到達した。定常解に達するまでに必要なステップ数は，補正を行っていな

い場合の約1/2に減少し，計算時間が短縮できた。

(10) 三次元渦電流解析検証用 IEEJ標準ベンベンチマークモデルの線形磁界解析で

は，半周期性の簡易TP-EEC-DC法を使うことで，計算時間が簡易TP-EEC法を使わ

ない場合の約1/3になった。

(11) アルミ板付きC形コアの非線形磁界解析では，一周期性の簡易TP-EEC-DC法

を使用した場合の計算時間は，簡易TP-EEC法を使わない場合の約1/17になった。

- 61 -

第６章結論

本論文では，電気機器の電磁界解析を高速化するために，一次三角柱辺要素による

電磁界解析を用い，実用的なモータや非接触充電コイルの解析に対する優位性を検討

した。また，回転機や直流分が含んだ電磁界解析にも適用出来る過渡収束改善法を提

案し，実用的な解析対称に対する手法の有用性を検討した。本研究で得られた成果を

要約すると以下のようになる。

まず，第2章では，数値解析手法の一つである有限要素法を用いて，マクスウェルの

電磁方程式から得られる基礎方程式をもとに，三次元非線形解析を行うための離散

化・定式化について示した。定式化にはガラーキン法を用い，離散化の過程で，空間

的には一次四面体辺要素または一次三角柱辺要素，時間的には後退差分近似法を用い

た。また，鉄などの磁性体の磁界に対する非線形性を考慮する方法として，ニュート

ン・ラフソン法による非線形解析手法を示した。さらに，磁界の基礎方程式と回路方

程式とを連立させた解析手法，回転機の要素分割図作成法について示した。

次に，第3章では，本章では，一次三角柱辺要素と一次四面体辺要素を用いてPWM

インバータで駆動される IPMモータおよび非接触充電コイルの電磁界解析を通して，

精度，速度の観点から一次三角柱辺要素の優位性を明らかにした。PWMインバータで

駆動される IPMモータの解析では，一次三角柱辺要素を用いた解析結果は一次四面体

辺要素の解析結果とほぼ同精度で約2倍速く計算できた。また，非接触充電コイルの解

析では，部品に薄い薄膜を含むため，一次四面体辺要素では扁平な要素ができ渦電流

が正しく計算できなかったが一次三角柱辺要素を用いれば正しく計算でき，一次三角

柱辺要素を用いて解析したコイルの電流値は実測値とほぼ一致した。

次に，第4章では，同期電動機と誘導電動機への簡易TP-EEC法の適用法を述べ，固

定子と回転子で異なる周期で簡易TP-EEC法による補正を行うことで定常解への収束

性改善できることがわかった。さらに，簡易TP-EEC-DC法について述べた。本手法は

渦電流の周期性を利用することで，直流磁界を含む電磁界解析でも定常解への収束を

改善できる。

次に，第5章では，回転機解析のための簡易TP-EEC法の適用法を埋込磁石構造形同

期電動機と誘導電動機に適用し，提案手法の有用性を明らかにした。さらに，簡易

TP-EEC-DC法を渦電流場数値計算技術調査専門委員会で提案されている三次元渦電

流解析検証用標準ベンチマークモデルの線形磁界解析およびシールド版付きC形コア

の非線形磁界解析に適用し，簡易TP-EEC-DC法の有用性を明らかにした。埋込磁石構

造形同期電動機の解析では，簡易TP-EEC法による補正を行うことで，計算時間が約

1/11に短縮できた。誘導電動機の解析では，すべりによって簡易TP-EEC法による補正

の有無を変える必要が有ることがわかった。すべり1.0では，固定子側と回転子側に簡

易TP-EEC法による補正を行うと最も早く定常解に到達し，計算時間が約1/12に短縮で

- 62 -

きた。また，すべり0.1では，固定子側のみに簡易TP-EEC法による補正を行うと最も

早く定常解に到達し，計算時間が約1/2に短縮できた。三次元渦電流解析検証用 IEEJ

標準ベンベンチマークモデルの線形磁界解析では，半周期性の簡易TP-EEC-DC法を使

うことで，計算時間が約1/3に短縮できた。アルミ板付きC形コアの非線形磁界解析で

は，一周期性の簡易TP-EEC-DC法を使うことで，計算時間が，約1/17になった。

- 63 -

謝辞

本研究は，岐阜大学工学部河瀬順洋教授，山口忠准教授のご指導のもとに遂行さ

れたものであり，終始多大なるご指導とご鞭撻を賜りました。ここに深甚なる感謝の

意を表します。

第3.3節で記述した研究成果は，大阪大学並びにパナソニック株式会社との共同研究

で得られたものであり，大阪大学大学院工学研究科平田勝弘教授，パナソニック株式

会社解析センター太田智浩様，パナソニック株式会社エコソリューションズ社鈴

木智士様には，同研究の全般に渡ってご指導していただきました。ここに，心より感

謝の意を表します。

第5.2.1項で用いた埋込構造同期回転機は東洋電機製造株式会社で開発されたもの

であり，本研究を進めるにあたり，データの御提供ならびに，有益なご助言を頂いた

同社の岸田和也様，森永圭一様に，心より感謝の意を表します。

岐阜大学工学部河瀬・山口研究室の学生諸君には，計算環境の構築，解析の実行

およびデータ整理等にご協力いただきました。特に第5.2節における解析結果について

は，辻赳氏（現アイシン・エィ・ダブリュ株式会社），柴山義康氏（現川崎重工業株式

会社）との共同研究によって得られた成果です。ここに深く感謝致します。

- 64 -

参考文献

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(11) 渦電流場数値計算技術調査専門委員会，「3次元渦電流場数値計算基礎技術」，電

気学会技術報告，No. 384 (1991)

(12) 中田 , 高橋 , 「電気工学の有限要素法（第２版）」 , 森北出版 (1992)

(13) 竹山 , 「電磁気学現象理論」 , 丸善 (1949)

- 65 -

(14) 中田 , 高橋 , 藤原 , 三浦 , 「磁気ベクトルポテンシャルを用いた三次元有限要素

法による非線形渦電流解析法の検討」, 電気学会静止器・回転機合同研究会資料 ,

SA-86-32/RM-86-39 (1986)

(15) A. Kameari, “Calculation of Transient 3D Eddy Current Using Edge -Elements,” IEEE

Transactions on Magnetics , Vol. 26, No. 2, pp. 466-469 (1990)

(16) H. Igarashi, “Effect of Preconditioning in Edge-Based Finite-Element Method,” IEEE

Transactions on Magnetics, Vol. 44, No. 6, pp. 942-945 (2008)

(17) E. クライツィグ：「技術者のための高等数学」 (1991) 培風館

(18) T. Nakata, N. Takahashi, K. Fujiwara, A. Ahagon, “3-D Finite Element Method for

Analyzing Magnetic Field in Electrical Machines Excited from Voltage Source, ” IEEE

Transactions on Magnetics, Vol.24, No.6, pp.2582-2584 (1988)

(19) A. Kameari, “Local force calculation in 3D FEM with edge elements,” International

Journal of Applied Electromagnetics in Materials , No. 3, pp. 231-240, (1993)

(20) T. Yamaguchi, Y. Kawase and Y. Hayashi, “Dynamic Transient Analysis of Vector

Controlled Motors Using 3-D Finite Element Method,” IEEE Transactions on

Magnetics, Vol. 32, No. 3, pp.1549-1552 (1996)

(21) 河瀬，山口，梅村，柴山，花岡，牧島，岸田，「キャリア周波数および磁石分割

数が IPMモータの損失に及ぼす影響」，電気学会回転機合同研究会資料，RM-09-40

(2009)

(22) H. Katagiri, Y. Kawase, T. Yamaguchi, K. Kishida, K. Morinaga, “Characteristics

Analysis of IPM Motor Applied by Voltage Source Using 3-D Finite Element Method

with Prismatic Elements,” COMPEL, vol. 31, No.5 pp. 1379-1385 (2012)

(23) 片桐，河瀬，山口，平田，太田，鈴木，「Electromagnetic Field Analysis of Separate-type

Transformer Connected to Non-Contact Battery Charger Using 3-D Finite Element

Method with Prismatic Edge Elements」，AEM学会誌 , vol. 21, No.3, pp.340-345

(2013)

(24) H. Katagiri, Y. Kawase, T. Yamaguchi, T. Tsuji, Y. Shibayama, “Improvement of

Convergence Characteristics for Steady State Analysis of Motors with Simplified

Singularity Decomposition-Explicit Error Correction Method*,” IEEE Transactions on

Magnetics, vol. 47, No. 6, pp. 1786-1789 (2011)

(25) 徳増，藤田，上田，「２次元電磁界解析の有効利用に残された課題（その５）」，電

気学会静止器・回転機合同研究会資料，SA-09-57/RM-09-63 (2009)

- 66 -

研究業績一覧

学術研究論文

1. 3-D Finate Element Method with Prismatic Elements for Analysis of IPM Motor

Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics, IOS Press, vol. 34, pp.177 -182

(2010)

(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi )

2. Improvement of Convergence Characteristics for Steady State Analysis of Motors

with Simplified Singularity Decomposition-Explicit Error Correction Method*

IEEE Transactions on Magnetics, vol. 47, No. 6, pp. 1786-1789 (2011)

(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi, Takeshi Tsuji, Yoshiyasu

Shibayama)

3. 3-D Finite Element Analysis of Eddy Current Loss in Motor Case

日本AEM学会誌 , Vol. 19, pp.113-118

(Masashi Sawada, Yuji Shindo, Tomoaki Tamiya, Yoshihiro Kawase, Tadashi

Yamaguchi, Hirokatsu Katagiri, and Yuki Ono)

4. Characteristics Analysis of IPM Motor Applied by Voltage Source Using 3-D Finite

Element Method with Prismatic Elements

COMPEL, vol. 31, No.5 pp. 1379-1385 (2012)

(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi, Kazuya Kishida and

Keiichi Morinaga)

5. Loss Estimation of a Reactor With Multi Conductor Coils by 3-D Finite Element

Analysis

Electrical Review, vol. 2012, No.07b, pp.110-112 (2012)

(Masashi Sawada, Yuji Shindo, Tomoaki Tamiya, Yoshihiro Kawase, Tadashi

Yamaguchi, Hirokatsu Katagiri, and Hiroki Ishigure)

6. Novel Simplified Time Periodic-Explicit Error Correction Method for Steady State

Analysis of AC Magnetic Field Including DC Component

電気学会論文誌B, vol. 133, No.3, pp.271-276 (2013)

(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase and Tadashi Yamaguchi)

- 67 -

7. Electromagnetic Field Analysis of Separate -type Transformer Connected to

Non-Contact Battery Charger Using 3-D Finite Element Method with Prismatic Edge

Elements

AEM学会誌 , vol. 21, No.3, pp.340-345 (2013)

(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi, Katsuhiro Hirata,

Tomohiro Ota and Satoshi Suzuki)

- 68 -

国際会議発表

1. 3-D Finate Element Method with Prismatic Elements for Analysis of IPM Motor

14th Conference on the International Symposium on Electromagnetic Fields , pp.89-90,

Arras, France (September 2009)

2. Characteristics Analysis of an IPM Motor Driven by Voltage Source Using 3 -D Finite

14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic F ield Computation, 20P1, Chicago,

USA (May 2010)

(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi , Kazuya Kishida and

Keiichi Morinaga)

3. Improvement of Convergence Characteristics for Steady State Analysis of Motors with

Simplified Singularity Decomposition-Explicit Error Correction Method

14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation, 7P8, Chicago,

USA (May 2010)

(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi , Yoshiyasu Shibayama,

Kazuya Kishida and Keiichi Morinaga)

4. Novel Simplified Time Periodic-Explicit Error Correction Method for Steady-State

Analysis of Magnetic Field Including Direct Current Component

COMPUMAG 2011, PA6.8, Madeira island, Portugal (July 2011)

5. Characteristics Analysis of IPM Motor Applied By Voltage Source Using 3 -D Finite

15th Conference on the International Symposium on Electromagnetic Fields , PS.1.12,

Madeira island, Portugal (September 2011)

(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi , Kazuya Kishida and

Keiichi Morinaga)

- 69 -

6. Electromagnetic Field Analysis of Separate -Type Transformer Connected to

Non-Contact Battery Charger Using 3-D Finite Element Method with Prismatic Edge

Elements

Asia Pacific Symposium of Applied Electromagnetics and Mechanics , Ho Chi Minh

(July 2012)

(Hirokatsu Katagiri, Yoshihiro Kawase, Tadashi Yamaguchi , Katsuhiro Hirata,

Tomohiro Ota, and Satoshi Suzuki)

- 70 -

研究会資料

1. 簡易形SD-EEC法を用いた回転機の定常解析の収束性改善

(片桐弘雄，河瀬順洋，山口忠，辻赳，柴山義康 )

平成21年電気学会静止器･回転機合同研究会資料，SA-09-73/RM-09-79

北海道（2009年9月）

2. 三角柱辺要素有限要素法による IPMモータの磁界解析

(片桐弘雄，河瀬順洋，山口忠 )

北海道（2009年9月）

3. 三角柱辺要素有限要素法によるインバータ駆動時の IPMモータの特性解析

(片桐弘雄，河瀬順洋，山口忠，柴山義康，岸田和也，森永圭一 )

平成22年電気学会マグネティクス･静止器･回転機合同研究会資料，

MAG-10-040/SA-10-040/RM-10-040（2010年3月）

4. 三角柱辺要素有限要素法による非接触充電コイルの電磁界解析

(片桐弘雄，河瀬順洋，山口忠，平田勝弘，太田智浩，鈴木智士 )

京都（2011年1月）

5. 並列計算を用いたインバータ駆動時の IPMモータの鉄損に関する検討

(河瀬順洋，山口忠，片桐弘雄，田中憲 )

電気学会静止器・回転機合同研究会資料，SA-11-074/RM-11-087

新潟（2011年8月）

6. 直流分が重畳した交流磁界のための簡易TP-EEC法

大阪（2012年1月）

- 71 -

学会講演発表

1. 電圧源を考慮した三角柱辺要素有限要素法による IPMモータの磁界解析

平成22年電気学会全国大会，5-006，東京（2010年3月）

2. 三角柱辺要素有限要素法によるマルチレベルインバータ駆動 IPMモータの特性

解析

平成22年電磁力関連のダイナミクスシンポジウム，21A3-4，長崎（2010年5月）

3. 直流成分を含んだ磁界への簡易TP-EEC法の適用

第19回 MAGDAコンファレンス，PS4-TB2，札幌（2010年11月）

4. 直流成分を含む磁界の定常解析のための簡易TP-EEC法

平成23年電気学会全国大会，5-191，大阪（2011年3月）

5. 直流磁界を含む非線形磁界解析のための簡易TP-EEC法

平成24年電気学会全国大会，5-147，広島（2012年3月）

6. IPMモータの定常解析の過渡収束の改善

平成25年電気学会全国大会，名古屋（2013年3月）

7. 非接触給電コイルの三次元渦電流損失解析

(河瀬順洋，山口忠，中野智仁，片桐弘雄，太田信治，小林駿，平田勝弘，太田

智浩，鈴木智士 )

平成25年電気学会全国大会，名古屋（2013年3月）

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