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8/14/2019 Tercera finitos
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Alumno:Bustamante Gonzalez, Luis FernandoCdigo:
20102554J
2013-II
ARMADURAS PLANASTercera prctica calificada
Calculo por elementos finitos (MC-516D)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
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ARMADURAS PLANAS UNI-FIM
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS Pgina 1
Tabla de contenido
1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA: ................................................................................... 2
2. MODELADO DEL CUERPO REAL .................................................................................. 2
1. GRADOS DE LIBERTAD NODALES ........................................ ...................................... 3
2. VECTOR CARGA ......................................................................................................... 4
3. MATRIZ DE RIGIDEZ ................................................................................................... 5
4. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO ....................................... 7
5. ESFUERZOS ................................................................................................................ 9
6. DIAGRAMA DE FLUJO ............................................................................................... 10
7. PROGRAMACIN EN MATLAB ................................................................................. 11
8. CONCLUSIONES ........................................................................................................ 13
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1.ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Determinar los desplazamientos de los nodos y la distribucin de esfuerzos de laarmadura plana, la cual es puesta a las cargas mostradas en la figura. El modulo de
elasticidad del material es , el dimetro de la seccin de cada viga es50mm. No tomar en cuenta el peso de las vigas.
1500
45
45
45PA=5000N
PB=4000N
PE=2000N
2.MODELADO DEL CUERPO REAL
53 56
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CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS Pgina 3
Se tienen 6 elementos con 5 nodos y 10 grados de libertad. Las coordenadas para losnodos son:
Nodo X(mm) Y(mm)1 0 02 1500 03 1500 15004 0 15005 -1500 1500
Luego se obtiene el Cuadro de conectividad:
Elemento Nodos
(1) (2)
GDL
1 2 3 4
Le (mm) Ae (
) Ee (N/
)
1 1 2 5 6 1 2 1500.00 1963.5 2 1 3 5 6 3 4 2121.321 1963.5 3 1 4 5 6 7 8 1500.00 1963.5 4 1 5 5 6 9 10 2121.321 1963.5 5 3 4 7 8 3 4 1500.00 1963.5 6 4 5 7 8 9 10 1500.00 1963.5
3.GRADOS DE LIBERTAD NODALES
1500
45
45
45
Q8
Q1
Q10
Q9
Q6
Q3
Q4
Q5
Q2
Q7
Q6
Q5
Q1
Q10
Q9
Q4
Q3
Q2
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Luego el vector de desplazamiento ser:
[
]
Donde
, pues la viga esta empotrada en los nodos 2 y 3, los
dems desplazamientos son incgnitas que tendremos que calcular.
4.VECTOR CARGA
1500
45
45
45
F8=-2000
F1=R1
F10=-4000
F9=-5000
F6
F3=R3
F4=R4
F5
F2=R2
Q7
Como no consideramos el peso de las barras y no presenta variacin de temperatura,entonces el vector de cargas est dada por las por cargas puntuales y las fuerzas dereaccin:
(5) (4)(3)
(2)(1)
F9=R3
F1
F2
F4=R2
F3=R1
F5= - 5000
F6= - 4000
(5)(3)
F10=R4
F7
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[
]
[
]
5.MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que est determinada porla siguiente ecuacin:
Respecto a ( ) * + (traccin simple)Respecto a (X, Y): donde
Resulta:
(
)
Elemento 1
Q2Q6
1
Q1Q5
(1) (2)
Q1
Q4
Q3
Q2
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Elemento 2
2
Q5(1)
(3)
Q4
Q3
Q6
Elemento 3
Q5(1)
(4)
Q8
Q7
Q6
3
Elemento 4
Q5
(1)
(5)
Q10
Q9
Q6
4
66
66
Q1
(5)
Q10
Q9
Q2
Q1
Q2
Q1
Q2
(4)
Q5
Q6
(3)
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Elemento 5
Q4Q8
5
Q3Q7
(4) (3)
Elemento 6
Q8Q10
6
Q7Q9
(5) (4)
Q7
Q8
Q5
Q6
(4)(3)
Q7
Q8
(5)(4)
Q9
Q10
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La matriz de rigidez total de la armadura es:
[
6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 ]
6.ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICION DE CONTORNO
La ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:
[
]
6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6
El sistema se puede reescribir asi:
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos los desplazamientos:
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Y las reacciones: 7.ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:
Y obtenemos lo siguiente:
6
666
6666
6666
66666
6
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8.DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
Leer datos de entrada:E,Area, PA, PB, PC, (x,y)de los nodos
Calcula lee, l y m decada elemento
Calculo de la matriz de Rigidez encada elemento finito:
K(i)=E(i)*A(i)/le(i)*[l m 0
0;0 0 l m]*[1 -1;-1 1]
Parai=1:n
Matriz de rigidez global:K=k1+k2+k3+k4+k5+k6
Calculo de las reacciones
Ri=ki1*Q
Calculo de los desplazamientos:Q(3:8)=inv(K38)*F(3:8)
Parai=1:n
Calculo de esfuerzos:s(1)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i)
m(i)]*Q(1:4)
ImprimeReacciones,desplazamientos y
FIN
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9.FUNCION EN MATLAB
clear allclcfprintf('\nPROGRAMA QUE PERMITE CALCULAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ Y\n')fprintf('LOS DESPLAZAMIENTOS DE UNA ARMADURA SIMPLE\n\n')
%Ingreso de Datos:E=input('Ingrese el modulo de Elasticidad (N/mm^2,MPa): ');d=input('Ingrese diametro de la seccion de cada elemento (mm): ');PA=input('Ingrese magnitud de fuerza PA (N): ' );PB=input('Ingrese magnitud de fuerza PB (N): ' );PC=input('Ingrese magnitud de fuerza PC (N): ' );A=(pi*d^2)/4;
%Ingreso de Coordenadas: (referencia nodo 1)fprintf('\nIngreso de Coordenadas de los Nodos:\n')fori=1:5
fprintf('\nCoordenada nodo %d\n',i)x(i)=input('x: ');
y(i)=input('y: ');end
%Calculo de las dimensiones de los elementos:%Calculo de las Longitudes:
le(1)=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2);%Elemento 1le(2)=sqrt((x(2)-x(3))^2+(y(2)-y(3))^2);%Elemento 2le(3)=sqrt((x(4)-x(3))^2+(y(4)-y(3))^2);%Elemento 3le(4)=sqrt((x(4)-x(2))^2+(y(4)-y(2))^2);%Elemento 4le(5)=sqrt((x(4)-x(1))^2+(y(4)-y(1))^2);%Elemento 5le(6)=sqrt((x(5)-x(4))^2+(y(5)-y(4))^2);%Elemento 6%Calculo de Cosenos directores:l(1)=(x(2)-x(1))/le(1);m(1)=(y(2)-y(1))/le(1);%Elemento 1l(2)=(x(3)-x(2))/le(2);m(2)=(y(3)-y(2))/le(2);%Elemento 2l(3)=(x(4)-x(3))/le(3);m(3)=(y(4)-y(3))/le(3);%Elemento 3l(4)=(x(4)-x(2))/le(4);m(4)=(y(4)-y(2))/le(4);%Elemento 4l(5)=(x(4)-x(1))/le(5);m(5)=(y(4)-y(1))/le(5);%Elemento 5
l(6)=(x(4)-x(5))/le(6);m(6)=(y(4)-y(5))/le(6);%Elemento 6fprintf('\nTabla de Datos: \n')fprintf('\nElemento Long. Elemento l m \n')fori=1:6
fprintf('%4d %18.4f %16.4f %16.4f\n',i,le(i),l(i),m(i))end
%Calculo de las matrices de rigidez de cada elemento:acu=[];fori=1:6
H(i)=(E*A)/le(i);Pi=H(i)*[l(i) m(i) 0 0; 0 0 l(i) m(i)]'*[1 -1; -1 1]*[l(i) m(i) 0 0; 0 0 l(i) m(i)];
acu=[acu Pi];
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endk=acu;k1=k(1:4,1:4);k2=k(1:4,5:8);k3=k(1:4,9:12); k4=k(1:4,13:16);k5=k(1:4,17:20);k6=k(1:4,21:24); fprintf('\nMatrices de Rigidez de cada elemento (N/mm):\n')fori=1:6
fprintf('Elemento %d:\n',i)disp(k(1:4,4*i-3:4*i))end%Conectividad de la Matriz de Rigidez EstructuralK1=[k(1:2,1:2)+k(1:2,17:18);k(1:2,3:4);zeros(2);k(1:2,19:20);zeros(2)]; K2=[zeros(2);k(3:4,3:4)+k(1:2,5:6)+k(1:2,13:14);k(1:2,7:8);k(1:2,15:16);zeros(2)]; K3=[zeros(4,2);k(3:4,7:8)+k(1:2,9:10);k(1:2,11:12);zeros(2)]; K4=[zeros(6,2);k(3:4,11:12)+k(3:4,15:16)+k(3:4,19:20)+k(3:4,23:24);k(3:4,21:22)]; K5=[zeros(8,2);k(1:2,21:22)];Kf=[K1 K2 K3 K4 K5];K=tril(Kf,1)+tril(Kf,-2)';fprintf('\nMatriz de Rigidez de la Estructura [K] (N/mm): \n')disp(K)%Vector Columnas de Fuerzas en la estructura:f=[0 0 0 PC PA PB 0 0 0 0];%Calculo de deformaciones [Q]: (condicion Q1=Q2=Q9=Q10=0)q=inv(K(3:8,3:8))*f(3:8)';Q=[zeros(2,1); q; zeros(2,1)];
%Calculo de las Reacciones:R1=K(1,1:10)*Q;R2=K(2,1:10)*Q;R9=K(9,1:10)*Q;R10=K(10,1:10)*Q;fprintf('\n Vector Columna Fuerza [F](N): \n')fprintf('\n R1\n')fprintf(' R2\n')fprintf('\n %d',f(3:8)')fprintf('\n R9\n')fprintf(' R10\n')fprintf('\nResolucion del Sistema de la Estructura [F]=[K][Q]: \n')
fprintf('\nVector Desplazamiento [Q] (mm):\n')fprintf('\n %d',Q)fprintf('\n\nReacciones en los Apoyos (N): \n')fprintf('\n R1: %d\n',R1)fprintf(' R2: %d\n',R2)fprintf(' R9: %d\n',R9)fprintf(' R10: %d\n',R10)%Distribucion de Esfuerzos:Js=[];fori=1:6J=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)];
Js=[Js;J];end
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s(1)=Js(1,:)*Q(1:4);s(2)=Js(2,:)*Q(3:6);s(3)=Js(3,:)*Q(5:8);s(4)=Js(4,:)*[Q(3:4);Q(7:8)];s(5)=Js(5,:)*[Q(1:2);Q(7:8)];s(6)=Js(6,:)*[Q(9:10);Q(7:8)];fprintf('\nTabla de Esfuerzos: \n')fprintf('\nElemento Esfuerzo (N/mm^2,MPa)\n')fori=1:6
fprintf('%4d %18.4f \n',i,s(i))
10. CONCLUSIONES
El programa elaborado solamente sirve para ejecutar la solucin de este
problema, porque fue diseado segn las caractersticas del mismo, como es el
nmero de elementos finitos a utilizar (vigas de seccin constante). Sin embargo
se pueden variar los valores del modulo de elasticidad , area de la seccion de las
vigas y cargas en los nodos (1), (3) y (4).
Para la solucin de los problemas, el sistema de referencia no es nico, es decir, se
puede escoger cualquier sistema, como el que se uso en este caso, teniendo
cuidado a la hora de interpretar los resultados al sistema real.
Para la elaboracin de la matriz de rigidez global, es importante los grados de
libertad de los nodos en cada elemento, pues algn error en el momento de
hallarlos, generara una matriz de rigidez que no corresponde a la armadura.
Las reacciones halladas con el metodo de elementos finitos concuerdan con las
encontradas usando la estatica.
Se encuentra que la reaccion es igual a cero, lo que confirma que la viga 1 soloejerce fuerza normal en la pared.