Tarea  7    1. (Phillies)  Derive  (17.20)-­‐(17.22)  for  𝐵!,  𝐵!  and  𝐵!in  terms  of  the  𝑍(𝑖).  2. (Phillies)  Compute  𝐵!  in  terms  of  the  𝑍(𝑖).  3. (Phillies)  Confirm  the  steps  leading  from  (17.30)  to  (17.32).  4. (Phillies)  Derive  (17.33)  from  your  expression  for  𝐵!  in  terms  of  the  𝑍(𝑖).  5. (Phillies)  Consider  the  “sticky  hard  sphere”,  whose  potential  energy  is  

𝑉 𝑟 =+∞      for      𝑟 < 𝑎  𝑉!      for      𝑎 ≤ 𝑟 < 𝑏0      for      𝑟 ≥ 𝑏  

 

Evaluate  𝐵!.  Compute  𝑃  and  Ξ  for  this  system  in  the  approximation  that  the  higher  virial  coefficients  (𝐵!  for  𝑗 ≥ 3)  are  negligible.  

6. (McQuarrie)  Show  that  

𝐵! = −1

6𝑘!𝑇𝑟𝑑𝑢(𝑟)𝑑𝑟

!

!𝑒!!(!)/!!!4𝜋𝑟!𝑑𝑟  

is  equivalent  to  

𝐵! = −12 𝑒!!" ! − 1

!

!4𝜋𝑟!𝑑𝑟.  

 State  the  condition  on  𝑢(𝑟)  that  is  necessary.  

7. (McQuarrie)  Derive  la  ecuación  de  la  energía  𝐸

𝑁𝑘!𝑇=32+

𝜌2𝑘!𝑇

𝑢(𝑟)𝑔 𝑟 4𝜋𝑟!!

!𝑑𝑟.  

 8. (McQuarrie)  Derive  la  ecuación  de  la  presión  

𝑃𝑘!𝑇

= 𝜌 −𝜌!

6𝑘!𝑇𝑟𝑑𝑢 𝑟𝑑𝑟 𝑔 𝑟 4𝜋𝑟!

!

!𝑑𝑟.  

9. (Hansen  y  McDonald)  Demuestre  que  

𝜌 ! 𝒓 = 𝛿(𝒓− 𝒓!)!

!!!.  

10.  (Hansen  y  McDonald)  Demuestre  que  

𝜌 ! 𝒓, 𝒓′ = 𝛿(𝒓− 𝒓!)𝛿(𝒓′− 𝒓!)!

!,!!!!!!

.  

11.  (Hansen  y  McDonald)  Demuestre  que  

𝐺(𝒓) ≡1𝑁 𝜌(𝒓′+ 𝒓)𝜌(𝒓′) 𝑑𝒓! = 𝜌𝑔 𝒓 + 𝛿 𝒓 .  

12.  (Hansen  y  McDonald)  Demuestre  que  

𝑆 𝒌 ≡1𝑁 𝜌 𝒌 𝜌 −𝒌 = 1+ 2𝜋 !𝜌𝛿 𝒌 + 𝜌ℎ 𝒌 ,  

 donde  ℎ(𝒌)  es  la  transformada  de  Fourier  de  ℎ 𝒓 = 𝑔 𝒓 − 1.