Post on 30-Dec-2019
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 1 / 30
STK352Analisis Deret Waktu
Model Deret Waktu StasionerPertemuan 5-6
Farid Mochamad AfendiDepartemen Statistika IPB
26 Maret 2008
contents
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 2 / 30
PROSES LINIER UMUM
PROSES MOVING AVERAGE
PROSES AUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
PROSES LINIER UMUM
contents
PROSES LINIERUMUM
Definisi
Kasus Khusus
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 3 / 30
Definisi
contents
PROSES LINIERUMUM
Definisi
Kasus Khusus
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 30
■ Di dalam pembahasan ini, {Zt} adalah data deret waktudan {at} adalah white noise
■ Proses linier Umum {Zt} adalah suatu proses yangmerupakan kombinasi linier dari white noise sekarang dansebelumnya
Zt = at + ψ1at−1 + ψ2at−2 + . . .
denganΣ∞
i=1ψ2i <∞
Definisi
contents
PROSES LINIERUMUM
Definisi
Kasus Khusus
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 30
■ Di dalam pembahasan ini, {Zt} adalah data deret waktudan {at} adalah white noise
■ Proses linier Umum {Zt} adalah suatu proses yangmerupakan kombinasi linier dari white noise sekarang dansebelumnya
Zt = at + ψ1at−1 + ψ2at−2 + . . .
denganΣ∞
i=1ψ2i <∞
Kasus Khusus
contents
PROSES LINIERUMUM
Definisi
Kasus Khusus
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 30
Perhatikan bila ψi = φi dengan −1 < φ < 1 maka
Zt = at + φ1at−1 + φ2at−2 + . . .
■ Nilai harapan
E(Zt) = E(at + φat−1 + . . .)
= E(at) + φE(at−1) + . . .
= 0
■ Ragam
V ar(Zt) = V ar(at + φat−1 + φ2at−2 + . . .)
= V ar(at) + φ2V ar(at−1) + φ4V ar(at−2) + . . .)
= σ2a(1 + φ2 + φ4 + . . .)
= σ2a
1
1 − φ2
Kasus Khusus
contents
PROSES LINIERUMUM
Definisi
Kasus Khusus
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 30
Perhatikan bila ψi = φi dengan −1 < φ < 1 maka
Zt = at + φ1at−1 + φ2at−2 + . . .
■ Nilai harapan
E(Zt) = E(at + φat−1 + . . .)
= E(at) + φE(at−1) + . . .
= 0
■ Ragam
V ar(Zt) = V ar(at + φat−1 + φ2at−2 + . . .)
= V ar(at) + φ2V ar(at−1) + φ4V ar(at−2) + . . .)
= σ2a(1 + φ2 + φ4 + . . .)
= σ2a
1
1 − φ2
Kasus Khusus
contents
PROSES LINIERUMUM
Definisi
Kasus Khusus
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 30
Perhatikan bila ψi = φi dengan −1 < φ < 1 maka
Zt = at + φ1at−1 + φ2at−2 + . . .
■ Nilai harapan
E(Zt) = E(at + φat−1 + . . .)
= E(at) + φE(at−1) + . . .
= 0
■ Ragam
V ar(Zt) = V ar(at + φat−1 + φ2at−2 + . . .)
= V ar(at) + φ2V ar(at−1) + φ4V ar(at−2) + . . .)
= σ2a(1 + φ2 + φ4 + . . .)
= σ2a
1
1 − φ2
Kasus khusus (lanjutan)
contents
PROSES LINIERUMUM
Definisi
Kasus Khusus
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 30
■ Koragam
Cov(Zt, Zt−1) = Cov(at + φat−1 + φ2at−2 + . . . , at−1 + φat−2 + . . .)
= Cov(φat−1, at−1) + Cov(φ2at−2, φat−2) + . . .
= φσ2a + φ3σ2
a + φ5σ2a + . . .
= φσ2a(1 + φ2 + φ4 + . . .)
=φσ2
a
1 − φ2
■ sehingga Corr(Zt, Zt−1) =φσ2
a
1−φ2
σ2a
1−φ2
= φ
■ Selain itu, γk = Cov(Zt, Zt−k) =φkσ2
a
1−φ2
dan Corr(Zt, Zt−k) = φk untuk k = 0, 1, 2, . . .
PROSES MOVING AVERAGE
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 30
Ide Dasar
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 30
■ Merupakan proses linier umum dengan hanya beberapa ψyang tidak bernilai nol.
Zt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − . . .− θqat−q
■ Model tersebut dinamakan Model Moving Average ordo qatau MA(q)
Ide Dasar
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 30
■ Merupakan proses linier umum dengan hanya beberapa ψyang tidak bernilai nol.
Zt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − . . .− θqat−q
■ Model tersebut dinamakan Model Moving Average ordo qatau MA(q)
Ide Dasar
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 30
■ Merupakan proses linier umum dengan hanya beberapa ψyang tidak bernilai nol.
Zt = at − θ1at−1 − θ2at−2 − . . .− θqat−q
■ Model tersebut dinamakan Model Moving Average ordo qatau MA(q)
Proses MA(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 30
■ Nilai harapan: E(Zt) = E(at − θat−1) = 0■ Ragam: γ0 = V ar(Zt) = σ2
a(1 + θ2)■ Koragam:
◆ lag k = 1:
Cov(Zt, Zt−1) = Cov(at − θat−1, at−1 − θat−2)
γ1 = Cov(−θat−1, at−1) = −θσ2a
◆ lag k ≥ 2:
Cov(Zt, Zt−2) = Cov(at − θat−1, at−2 − θat−3)
γ2 = 0
■ Korelasi:
ρk =
{
−θ1+θ2 jika k = 1
0 jika k ≥ 2
Proses MA(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 30
■ Nilai harapan: E(Zt) = E(at − θat−1) = 0■ Ragam: γ0 = V ar(Zt) = σ2
a(1 + θ2)■ Koragam:
◆ lag k = 1:
Cov(Zt, Zt−1) = Cov(at − θat−1, at−1 − θat−2)
γ1 = Cov(−θat−1, at−1) = −θσ2a
◆ lag k ≥ 2:
Cov(Zt, Zt−2) = Cov(at − θat−1, at−2 − θat−3)
γ2 = 0
■ Korelasi:
ρk =
{
−θ1+θ2 jika k = 1
0 jika k ≥ 2
Proses MA(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 30
■ Nilai harapan: E(Zt) = E(at − θat−1) = 0■ Ragam: γ0 = V ar(Zt) = σ2
a(1 + θ2)■ Koragam:
◆ lag k = 1:
Cov(Zt, Zt−1) = Cov(at − θat−1, at−1 − θat−2)
γ1 = Cov(−θat−1, at−1) = −θσ2a
◆ lag k ≥ 2:
Cov(Zt, Zt−2) = Cov(at − θat−1, at−2 − θat−3)
γ2 = 0
■ Korelasi:
ρk =
{
−θ1+θ2 jika k = 1
0 jika k ≥ 2
Contoh Pola Data MA(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 30
Plot MA(1): θ = 0.9 Plot Zt vs Zt−1
Plot Zt vs Zt−2
Gambar 1: Contoh MA(1)
Macro MINITAB untuk MA(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 30
Ketikkan program berikut di NOTEPAD. Untuk menjalankan,setelah MTB>, ketikkan % < namafile >
Begin Code
1 gmacro2 ma13 noecho4 note5 note: Ketikkan berturut-turut ukuran contoh dan koefisien MA(1)6 note: Ketik END dan tekan ENTER untuk mengakhiri input7 set c3;8 file "terminal".9 let k1=c3(1)+1
10 let k2=c3(2)11 random k1 c1;12 normal 0 1.13 lag c1 c214 let c1=c1-k2*c215 copy c1 c1;16 exclude;17 where "c1=’*’".18 erase k1 k2 c219 name c1 ’MA(1)’20 note: Hasil simulasi MA(1) di C121 endmacro
End Code
Proses MA(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 12 / 30
Bila q = 2 maka: Zt = at − θ1at−1 − θ2at−2
■ Nilai harapan: E(Zt) = 0■ Koragam:
Lag k = 0 :
γ0 = V ar(Zt)
= V ar(at − θ1at−1 − θ2at−2)
= (1 + θ21 + θ2
2)σ2a
Lag k = 1 :
γ1 = Cov(Zt, Zt−1)
= Cov(at − θ1at−1 − θ2at−2, at−1 − θ1at−2 − θ2at−3)
= Cov(−θ1at−1, at−1) + Cov(−θ2at−2,−θ1at−2)
= (−θ1 + θ1θ2)σ2a
Proses MA(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 12 / 30
Bila q = 2 maka: Zt = at − θ1at−1 − θ2at−2
■ Nilai harapan: E(Zt) = 0■ Koragam:
Lag k = 0 :
γ0 = V ar(Zt)
= V ar(at − θ1at−1 − θ2at−2)
= (1 + θ21 + θ2
2)σ2a
Lag k = 1 :
γ1 = Cov(Zt, Zt−1)
= Cov(at − θ1at−1 − θ2at−2, at−1 − θ1at−2 − θ2at−3)
= Cov(−θ1at−1, at−1) + Cov(−θ2at−2,−θ1at−2)
= (−θ1 + θ1θ2)σ2a
Proses MA(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 12 / 30
Bila q = 2 maka: Zt = at − θ1at−1 − θ2at−2
■ Nilai harapan: E(Zt) = 0■ Koragam:
Lag k = 0 :
γ0 = V ar(Zt)
= V ar(at − θ1at−1 − θ2at−2)
= (1 + θ21 + θ2
2)σ2a
Lag k = 1 :
γ1 = Cov(Zt, Zt−1)
= Cov(at − θ1at−1 − θ2at−2, at−1 − θ1at−2 − θ2at−3)
= Cov(−θ1at−1, at−1) + Cov(−θ2at−2,−θ1at−2)
= (−θ1 + θ1θ2)σ2a
Proses MA(2) (lanjutan)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 13 / 30
■ Koragam (lanjutan)
Lag k = 2 :
γ2 = Cov(Zt, Zt−2)
= Cov(at − θ1at−1 − θ2at−2, at−1 − θ1at−2 − θ2at−3)
= −θ2σ2a
■ Korelasi:
ρk =
8
>
>
<
>
>
:
−θ1+θ1θ2
1+θ2
1+θ2
2
jika k = 1−θ2
1+θ2
1+θ2
2
jika k = 2
0 jika k ≥ 3
Proses MA(2) (lanjutan)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 13 / 30
■ Koragam (lanjutan)
Lag k = 2 :
γ2 = Cov(Zt, Zt−2)
= Cov(at − θ1at−1 − θ2at−2, at−1 − θ1at−2 − θ2at−3)
= −θ2σ2a
■ Korelasi:
ρk =
8
>
>
<
>
>
:
−θ1+θ1θ2
1+θ2
1+θ2
2
jika k = 1−θ2
1+θ2
1+θ2
2
jika k = 2
0 jika k ≥ 3
Contoh Pola Data MA(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 30
Plot MA(2): θ1 = 1; θ2 = −0.6 Plot Zt vs Zt−1
Plot Zt vs Zt−2
Gambar 2: Contoh MA(2)
Macro MINITAB untuk MA(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
Ide Dasar
Proses MA(1)
Contoh Pola DataMA(1)
Macro MINITAB untukMA(1)
Proses MA(2)
Contoh Pola DataMA(2)
Macro MINITAB untukMA(2)
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 30
Ketikkan program berikut di NOTEPAD. Untuk menjalankan,setelah MTB>, ketikkan % < namafile >
Begin Code
22 gmacro23 ma224 noecho25 note26 note: Ketikkan berturut-turut ukuran contoh dan kedua koefisien MA27 note: Ketik END dan tekan ENTER untuk mengakhiri input28 set c3;29 file "terminal".30 let k1=c3(1)+231 let k2=c3(2)32 let k3=c3(3)33 random k1 c1;34 normal 0 1.35 lag c1 c236 lag c2 c337 let c1=c1-k2*c2-k3*c338 copy c1 c1;39 exclude;40 where "c1=’*’".41 erase k1 k2 k3 c242 name c1 ’MA(2)’43 note: Hasil simulasi MA(2) di C144 endmacro
End Code
PROSES AUTOREGRESSIVE
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 30
Ide Dasar
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 30
■ Sesuai dengan namanya, proses ini merupakan regresidengan data time series itu sendiri sebagai peubah X.
■ Secara umum, bila {Zt} adalah proses autoregresi ordo p(AR(p)) maka
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + · · · + at
Ide Dasar
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 30
■ Sesuai dengan namanya, proses ini merupakan regresidengan data time series itu sendiri sebagai peubah X.
■ Secara umum, bila {Zt} adalah proses autoregresi ordo p(AR(p)) maka
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + · · · + at
Ide Dasar
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 30
■ Sesuai dengan namanya, proses ini merupakan regresidengan data time series itu sendiri sebagai peubah X.
■ Secara umum, bila {Zt} adalah proses autoregresi ordo p(AR(p)) maka
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + · · · + at
Proses AR(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 18 / 30
■ Karena stasioner, diasumsikan E(Zt) = 0
■ Karena γ0 = φ2γ0 + σ2a, maka γ0 =
σ2
a
1−φ2
di mana |φ| < 1 (stationary condition)■ Bila model AR(1) kedua sisi dikalikan dengan
Zt−k (k = 1, 2, . . .) maka
E(ZtZt−k) = φE(Zt−1Zt−k) + E(atZt−k)
γk = φγk−1 untuk k = 1, 2, . . .
◆ untuk k = 1 → γ1 = φγ0 = φσ2a/(1 − φ2)
◆ untuk k = 2 → γ2 = φγ1 = φ2σ2a/(1 − φ2)
◆ secara umum: γk =φkσ2
a
1−φ2 untuk k = 0, 1, 2, . . .
■ Dengan demikian ρk = γk
γ0
= φk untuk k = 0, 1, 2, . . .
Proses AR(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 18 / 30
■ Karena stasioner, diasumsikan E(Zt) = 0
■ Karena γ0 = φ2γ0 + σ2a, maka γ0 =
σ2
a
1−φ2
di mana |φ| < 1 (stationary condition)■ Bila model AR(1) kedua sisi dikalikan dengan
Zt−k (k = 1, 2, . . .) maka
E(ZtZt−k) = φE(Zt−1Zt−k) + E(atZt−k)
γk = φγk−1 untuk k = 1, 2, . . .
◆ untuk k = 1 → γ1 = φγ0 = φσ2a/(1 − φ2)
◆ untuk k = 2 → γ2 = φγ1 = φ2σ2a/(1 − φ2)
◆ secara umum: γk =φkσ2
a
1−φ2 untuk k = 0, 1, 2, . . .
■ Dengan demikian ρk = γk
γ0
= φk untuk k = 0, 1, 2, . . .
Proses AR(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 18 / 30
■ Karena stasioner, diasumsikan E(Zt) = 0
■ Karena γ0 = φ2γ0 + σ2a, maka γ0 =
σ2
a
1−φ2
di mana |φ| < 1 (stationary condition)■ Bila model AR(1) kedua sisi dikalikan dengan
Zt−k (k = 1, 2, . . .) maka
E(ZtZt−k) = φE(Zt−1Zt−k) + E(atZt−k)
γk = φγk−1 untuk k = 1, 2, . . .
◆ untuk k = 1 → γ1 = φγ0 = φσ2a/(1 − φ2)
◆ untuk k = 2 → γ2 = φγ1 = φ2σ2a/(1 − φ2)
◆ secara umum: γk =φkσ2
a
1−φ2 untuk k = 0, 1, 2, . . .
■ Dengan demikian ρk = γk
γ0
= φk untuk k = 0, 1, 2, . . .
Pola Autokorelasi AR(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 30
Struktur autokorelasi AR(1) menurun ekponensial (tail off )
φ = 0.9 φ = 0.4
φ = −0.7
Gambar 3: Pola autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 30
Plot AR(1): φ = 0.7 Plot Zt vs Zt−1
Plot Zt vs Zt−2
Gambar 4: Contoh AR(1)
Macro MINITAB untuk membangkitkan AR(1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 21 / 30
Ketikkan program berikut di NOTEPAD. Untuk menjalankan,setelah MTB>, ketikkan % < namafile >
Begin Code
45 gmacro46 ar147 noecho48 note49 note: Ketikkan berturut-turut ukuran contoh dan koefisien AR(1)50 note: Ketik END dan tekan ENTER untuk mengakhiri input51 set c3;52 file "terminal".53 let k1=c3(1)+5154 let k2=c3(2)55 random k1 c1;56 normal 0 1.57 lag c1 c258 do k10=1:5059 let c2=k2*c2+c160 lag c2 c261 enddo62 copy c2 c1;63 include;64 rows 52:k1.65 erase k1 k2 k10 c266 name c1 ’AR(1)’67 note: Hasil simulasi AR(1) di C168 endmacro
End Code
Proses AR(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 22 / 30
■ Bila p = 2 didapatkan
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + at
■ Stationarity conditions bagi AR(2) adalah
φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, |φ2| < 1
■ Struktur koragam
γk = φ1γk−1 + φ2γk−1, k = 1, 2, . . .
■ Struktur autokorelasi
ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−1, k = 1, 2, . . .
Proses AR(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 22 / 30
■ Bila p = 2 didapatkan
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + at
■ Stationarity conditions bagi AR(2) adalah
φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, |φ2| < 1
■ Struktur koragam
γk = φ1γk−1 + φ2γk−1, k = 1, 2, . . .
■ Struktur autokorelasi
ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−1, k = 1, 2, . . .
Proses AR(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 22 / 30
■ Bila p = 2 didapatkan
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + at
■ Stationarity conditions bagi AR(2) adalah
φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, |φ2| < 1
■ Struktur koragam
γk = φ1γk−1 + φ2γk−1, k = 1, 2, . . .
■ Struktur autokorelasi
ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−1, k = 1, 2, . . .
Proses AR(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 22 / 30
■ Bila p = 2 didapatkan
Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 + at
■ Stationarity conditions bagi AR(2) adalah
φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, |φ2| < 1
■ Struktur koragam
γk = φ1γk−1 + φ2γk−1, k = 1, 2, . . .
■ Struktur autokorelasi
ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−1, k = 1, 2, . . .
Pola Autokorelasi AR(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 23 / 30
Struktur autokorelasi AR(2) juga menurun ekponensial (tail off )
φ1 = 0.5, φ2 = 0.25 φ1 = 1.0, φ2 = −0.25
φ1 = 1.5, φ2 = −0.75 φ1 = 1.0, φ2 = −0.6
Gambar 5: Pola autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 24 / 30
φ1 = 1.5; φ2 = −0.75 φ1 = 0.5; φ2 = 0.25
Gambar 6: Contoh AR(2)
Macro MINITAB untuk membangkitkan AR(2)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
Ide Dasar
Proses AR(1)
Pola Autokorelasi AR(1)
Contoh Pola Data AR(1)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(1)
Proses AR(2)
Pola Autokorelasi AR(2)
Contoh Pola Data AR(2)
Macro MINITAB untukmembangkitkan AR(2)
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 25 / 30
Begin Code
69 gmacro70 ar271 noecho72 note73 note: Ketikkan berturut-turut ukuran contoh dan koefisien AR(2)74 note: Ketik END dan tekan ENTER untuk mengakhiri input75 set c3;76 file "terminal".77 let k1=c3(1)+5178 let k2=c3(2)79 let k3=c3(3)80 random k1 c1;81 normal 0 1.82 lag c1 c283 lag c2 c484 do k10=1:5085 let c5=k2*c4+k3*c2+c186 lag c4 c287 enddo88 copy c5 c1;89 include;90 rows 52:k1.91 erase k1 k2 k3 k10 c2 c4 c592 name c1 ’AR(2)’93 note: Hasil simulasi AR(2) di C194 endmacro
End Code
MODEL ARMA
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
Ide Dasar
Model ARMA(1,1)
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 26 / 30
Ide Dasar
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
Ide Dasar
Model ARMA(1,1)
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 27 / 30
Model ARMA merupakan kombinasi dari AR(p) dan MA(q),sehingga biasa dituliskan ARMA(p, q)
Zt = φ1Zt−1+φ2Zt−2+. . .+φpZt−p+at−θ1at−1−θ2at−2−. . .−θqat−q
Model ARMA(1,1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
Ide Dasar
Model ARMA(1,1)
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 28 / 30
■ Bila p = 1 dan q = 1 maka
Zt = φZt−1 + at − θat−1
■ Struktur koragam
γk =(1 − θφ)(φ− θ)
1 − φ2φk−1σ2
a untuk k ≥ 1
■ Struktur korelasi
ρk =(1 − θφ)(φ− θ)
1 − 2θφ+ θ2φk−1σ2
a untuk k ≥ 1
■ Dengan demikian, autokorelasi Model ARMA juga menuruneksponensial
Model ARMA(1,1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
Ide Dasar
Model ARMA(1,1)
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 28 / 30
■ Bila p = 1 dan q = 1 maka
Zt = φZt−1 + at − θat−1
■ Struktur koragam
γk =(1 − θφ)(φ− θ)
1 − φ2φk−1σ2
a untuk k ≥ 1
■ Struktur korelasi
ρk =(1 − θφ)(φ− θ)
1 − 2θφ+ θ2φk−1σ2
a untuk k ≥ 1
■ Dengan demikian, autokorelasi Model ARMA juga menuruneksponensial
Model ARMA(1,1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
Ide Dasar
Model ARMA(1,1)
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 28 / 30
■ Bila p = 1 dan q = 1 maka
Zt = φZt−1 + at − θat−1
■ Struktur koragam
γk =(1 − θφ)(φ− θ)
1 − φ2φk−1σ2
a untuk k ≥ 1
■ Struktur korelasi
ρk =(1 − θφ)(φ− θ)
1 − 2θφ+ θ2φk−1σ2
a untuk k ≥ 1
■ Dengan demikian, autokorelasi Model ARMA juga menuruneksponensial
Model ARMA(1,1)
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
Ide Dasar
Model ARMA(1,1)
INVERTIBILITAS
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 28 / 30
■ Bila p = 1 dan q = 1 maka
Zt = φZt−1 + at − θat−1
■ Struktur koragam
γk =(1 − θφ)(φ− θ)
1 − φ2φk−1σ2
a untuk k ≥ 1
■ Struktur korelasi
ρk =(1 − θφ)(φ− θ)
1 − 2θφ+ θ2φk−1σ2
a untuk k ≥ 1
■ Dengan demikian, autokorelasi Model ARMA juga menuruneksponensial
INVERTIBILITAS
contents
PROSES LINIERUMUM
PROSES MOVINGAVERAGE
PROSESAUTOREGRESSIVE
MODEL ARMA
INVERTIBILITAS
Invertibilitas
c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 29 / 30