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7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 1/343
Señales y Sistemas
Collection Editor:
Richard Baraniuk
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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Señales y Sistemas
Collection Editor:
Richard Baraniuk
Authors:
Thanos Antoulas
Richard Baraniuk
Steven Cox
Benjamin Fite
Roy Ha
Michael Haag
Don Johnson
Ricardo Radaelli-Sanchez
Justin Romberg
Phil Schniter
Melissa Selik
JP Slavinsky
Ricardo von Borries
Translated By:
Fara Meza
Erika Jackson
Online:
<http://cnx.org/content/col10373/1.2/ >
C O N N E X I O N S
Rice University, Houston, Texas
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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© 2 0 0 8 R i c h a r d B a r a n i u k
T h i s s e l e c t i o n a n d a r r a n g e m e n t o f c o n t e n t i s l i c e n s e d u n d e r t h e C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e :
h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
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T a b l e o f C o n t e n t s
1 S e ñ a l e s
1 . 1 C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l a s S e ñ a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . 2 O p e r a c i o n e s p a r a S e ñ a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 . 3 S e ñ a l e s Ú t i l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
1 . 4 F u n c i ó n d e I m p u l s o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
1 . 5 E l E x p o n e n c i a l C o m p l e j o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
1 . 6 S e ñ a l e s e n T i e m p o - D i s c r e t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
1 . 7 E x p o n e n c i a l C o m p l e j o D i s c r e t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
2 S i s t e m a s
2 . 1 C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
2 . 2 P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
3 A n á l i s i s d e S i s t e m a s d e T i e m p o C o n t i n u o e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o
3 . 1 S i s t e m a s L i n e a l e s C T y E c u a c i o n e s D i f e r e n c i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7
3 . 2 C o n v o l u c i ó n d e T i e m p o - C o n t i n u o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
3 . 3 P r o p i e d a d e s d e l a C o n v o l u c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6
3 . 4 E s t a b i l i d a d B I B O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3
4 A n á l i s i s d e S i s t e m a s D i s c r e t o s e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o
4 . 1 A n á l i s i s e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o p a r a S i s t e m a s D i s c r e t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
4 . 2 C o n v o l u c i ó n D i s c r e t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
4 . 3 C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r y e l D F T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6
4 . 4 E c u a c i o n e s d e D i f e r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1
5 R e p a s o d e A l g e b r a L i n e a l
5 . 1 A l g e b r a L i n e a l : C o n c e p t o s B á s i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
5 . 2 C o n c e p t o s B á s i c o s d e V e c t o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7
5 . 3 E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7
5 . 4 D i a g o n a l i z a c i ó n d e M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3
5 . 5 G e n e r a l i d a d e s d e E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6
5 . 6 E i g e n f u n c i o n e s d e l o s S i s t e m a s L T I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7
5 . 7 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
6 S e r i e s F o u r i e r d e l T i e m p o C o n t i n u o
6 . 1 S e ñ a l e s P e r i ó d i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3
6 . 2 S e r i e s d e F o u r i e r : E l M é t o d o d e E i g e n f u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4
6 . 3 D e r i v a c i ó n d e l a E c u a c i ó n d e C o e c i e n t e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7
6 . 4 G e n e r a l i d a d e s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8
6 . 5 P r o p i e d a d e s d e l a S e r i e d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1
6 . 6 P r o p i e d a d e s d e S i m e t r í a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4
6 . 7 P r o p i e d a d d e C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8
6 . 8 S e r i e s d e F o u r i e r y l o s S i s t e m a s L T I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9
6 . 9 C o n v e r g e n c i a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2
6 . 1 0 C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4
6 . 1 1 E l F e n ó m e n o d e G i b b s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6
6 . 1 2 R e s u m e n d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9
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i v
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1
7 E s p a c i o s d e H i l b e r t y E x p a n s i o n e s O r t o g o n a l e s
7 . 1 E s p a c i o s V e c t o r i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3
7 . 2 N o r m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5
7 . 3 P r o d u c t o I n t e r n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7
7 . 4 E s p a c i o s d e H i l b e r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9
7 . 5 D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0
7 . 6 E s p a c i o s d e H i l b e r t c o m u n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7
7 . 7 T i p o s d e B a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0
7 . 8 E x p a n s i ó n d e B a s e s O r t o n o r m a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4
7 . 9 E s p a c i o d e F u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8
7 . 1 0 B a s e d e l a O n d o l e t a d e H a a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9
7 . 1 1 B a s e s O r t o n o r m a l e s e n E s p a c i o s R e a l e s y C o m p l e j o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 6
7 . 1 2 T e o r e m a s d e P l a n c h a r e l y P a r s e v a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8
7 . 1 3 A p p r o x i m a c i ó n y P r o y e c c i ó n e n e l E s p a c i o d e H i l b e r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2
8 T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r
8 . 1 A n á l i s i s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 3
8 . 2 A n á l i s i s d e F o u r i e r e n E s p a c i o s C o m p l e j o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4
8 . 3 E c u a c i ó n d e M a t r i z p a r a l a D T F S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1
8 . 4 E x t e n s i ó n P e r i ó d i c a d e l a s D T F S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 2
8 . 5 D e s p l a z a m i e n t o s C i r c u l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 1
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 6
9 T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F F T )
9 . 1 D F T : T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7
9 . 2 L a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F F T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8
9 . 3 D e r i v a n d o l a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 9
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 3
1 0 C o n v e r g e n c i a
1 0 . 1 C o n v e r g e n c i a d e S e c u e n c i a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 5
1 0 . 2 C o n v e r g e n c i a d e V e c t o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 7
1 0 . 3 C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e d e S e c u e n c i a s d e F u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0
1 1 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o ( D T F T )
1 1 . 1 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r C o m u n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 4
1 1 . 2 T r a n s f o r m a c i ó n D i s c r e t a d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5
1 1 . 3 T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r ( D F T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 6
1 1 . 4 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o ( D T F T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9
1 1 . 5 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0
1 1 . 6 P a r d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0
1 1 . 7 E j e m p l o s d e D T F T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5
1 2 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o C o n t i n u o ( C T F T )
1 2 . 1 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o C o n t i n u o ( C T F T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7
1 2 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2
1 3 T e o r e m a d e M u e s t r e o
1 3 . 1 M u e s t r e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3
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1 3 . 2 R e c o n s t r u c c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 7
1 3 . 3 M á s s o b r e R e c o n s t r u c c i ó n P e r f e c t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 2
1 3 . 4 T e o r e m a d e N y q u i s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4
1 3 . 5 A l i a s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 6
1 3 . 6 F i l t r o s A n t i - A l i a s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9
1 3 . 7 P r o c e s a m i e n t o d e T i e m p o D i s c r e t o d e S e ñ a l e s d e T i e m p o C o n t i n u o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1
S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4
1 4 T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y D i s e ñ o d e S i s t e m a s
1 4 . 1 L a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7
1 4 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0
1 4 . 3 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e C o m u n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1
1 4 . 4 R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1
1 4 . 5 L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3
1 4 . 6 P o l o s y C e r o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5
1 5 L a T r a n s f o r m a d a Z y F i l t r o s D i g i t a l e s
1 5 . 1 L a T r a n s f o r m a d a Z : D e n i c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 9
1 5 . 2 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s - Z C o m u n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 4
1 5 . 3 R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a - Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5
1 5 . 4 L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 4
1 5 . 5 F u n c i o n e s R a c i o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 7
1 5 . 6 L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 9
1 5 . 7 E n t e n d i e n d o l a s G r a c a s d e P o l o s y C e r o s e n e l P l a n o - Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2
1 5 . 8 D i s e ñ o d e F i l t r o s u s a n d o l a G r a c a d e P o l o s y C e r o s d e l a T r a n s f o r m a d a - Z . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 7
1 6 T a r e a s
1 6 . 1 H o m e w o r k 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 1
1 6 . 2 H o m e w o r k 1 S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 5
G l o s s a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7
I n d e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 1
A t t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 7
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C h a p t e r 1
S e ñ a l e s
1 . 1 C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l a s S e ñ a l e s
1
1 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n
E s t e m ó d u l o e x p l i c a r á a l g u n o s f u n d a m e n t o s p a r a l a c l a s i c a c i ó n d e s e ñ a l e s . E s b á s i c a m e n t e u n a l i s t a d e
d e n i c i o n e s y p r o p i e d a d e s q u e s o n f u n d a m e n t a l e s p a r a l a d i s c u s i ó n d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s . D e b e r á n o t a r q u e
e n a l g u n a s d i s c u s i o n e s c o m o l a d e s e ñ a l e s d e e n e r g í a v s . s e ñ a l e s d e p o t e n c i a
2
h a n s i d o a s i g n a d a s c o n s u
p r o p i o m ó d u l o p a r a u n a d i s c u s i ó n m a s c o m p l e t a , y n o v a n a s e r i n c l u i d a s .
1 . 1 . 2 C l a s i c a c i ó n d e S e ñ a l e s
J u n t o c o n l a s c l a s i c a c i o n e s d e s e ñ a l e s m o s t r a d a s a c o n t i n u a c i ó n , e s i m p o r t a n t e e n t e n d e r l a C l a s i c a c i ó n d e
S i s t e m a s ( S e c t i o n 2 . 1 ) .
1 . 1 . 2 . 1 T i e m p o C o n t i n u o v s . T i e m p o D i s c r e t o
C o m o e l n o m b r e l o s u g i e r e , e s t a c l a s i c a c i ó n s e p u e d e e s t a b l e c e r , d e s p u é s d e s a b e r s i e l e j e d e l t i e m p o ( e j e
d e l a s a b s c i s a s ) e s d i s c r e t o o c o n t i n u o ( F i g u r e 1 . 1 ) . U n a s e ñ a l c o n t i n u a e n e l t i e m p o t e n d r á u n v a l o r
p a r a t o d o s l o s n ú m e r o s r e a l e s q u e e x i s t e n e n e l e j e d e l t i e m p o . E n c o n t r a s t e a e s t o , u n a s e ñ a l d i s c r e t a
( S e c t i o n 1 . 6 ) e n e l t i e m p o e s c o m ú n m e n t e c r e a d a u t i l i z a n d o e l T e o r e m a d e M u e s t r e o
3
p a r a d i s c r e t i z a r u n a
s e ñ a l c o n t i n u a , d e e s t a m a n e r a l a s e ñ a l n a d a m a s t e n d r á v a l o r e s e n l o s e s p a c i o s q u e t i e n e n u n a s e p a r a c i ó n
i g u a l y s o n c r e a d o s e n e l e j e d e l t i e m p o .
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 1 8 / 1 . 8 / > .
2
" S i g n a l E n e r g y v s . S i g n a l P o w e r " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 5 5 / l a t e s t / >
3
" T h e S a m p l i n g T h e o r e m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 5 0 / l a t e s t / >
1
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2
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
F i g u r e 1 . 1
1 . 1 . 2 . 2 A n á l o g o v s . D i g i t a l
L a d i f e r e n c i a e n t r e l o a n á l o g o y l o d i g i t a l e s m u y s i m i l a r a l a d i f e r e n c i a e n t r e e l t i e m p o c o n t i n u o y e l t i e m p o
d i s c r e t o . S i n e m b a r g o , e n e s t e c a s o , l a d i f e r e n c i a e s c o n r e s p e c t o a l v a l o r d e l a f u n c i ó n ( e j e d e l a s o r d e n a d a s )
( F i g u r e 1 . 2 ) . A n á l o g o c o r r e s p o n d e a l e j e y c o n t i n u o , m i e n t r a s l o d i g i t a l c o r r e s p o n d e a l e j e y d i s c r e t o . U n
e j e m p l o d e u n a s e ñ a l d i g i t a l e s u n a s e c u e n c i a b i n a r i a , d o n d e l a f u n c i ó n s o l o t i e n e v a l o r e s d e c e r o o u n o .
F i g u r e 1 . 2
1 . 1 . 2 . 3 P e r i ó d i c o v s . A p e r i ó d i c o
S e ñ a l e s p e r i ó d i c a s ( S e c t i o n 6 . 1 ) s e r e p i t e n c o n u n p e r i o d o T , m i e n t r a s l a s s e ñ a l e s a p e r i ó d i c a s o n o p e r i ó d i c a s
n o s e r e p i t e n ( F i g u r e 1 . 3 ) . P o d e m o s d e n i r u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a m e d i a n t e l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a ,
d o n d e t p u e d e s e r c u a l q u i e r n ú m e r o y T e s u n a c o n s t a n t e p o s i t i v a :
f (t) = f (T + t) ( 1 . 1 )
E l p e r i o d o f u n d a m e n t a l d e e s t a f u n c i ó n , f (t), e s e l v a l o r m á s p e q u e ñ o d e T q u e p e r m i t a l a v a l i d a c i ó n
d e l a ( 1 . 1 ) .
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3
( a )
( b )
F i g u r e 1 . 3 : ( a ) U n a s e ñ a l p e r i ó d i c a c o n p e r i o d o
T 0 ( b ) U n a s e ñ a l A p e r i ó d i c a
1 . 1 . 2 . 4 C a u s a l v s . A n t i c a u s a l v s . N o c a u s a l
L a s s e ñ a l e s c a u s a l e s s o n s e ñ a l e s q u e t i e n e n v a l o r d e c e r o e n e l t i e m p o n e g a t i v o , y l a s s e ñ a l e s a n t i c a u s a l e s
t i e n e n v a l o r c e r o e n e l t i e m p o p o s i t i v o . L a s s e ñ a l e s n o c a u s a l e s s o n s e ñ a l e s c o n v a l o r d e c e r o e n e l t i e m p o
p o s i t i v o y n e g a t i v o ( F i g u r e 1 . 4 ) .
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4
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
( a )
( b )
( c )
F i g u r e 1 . 4 : ( a ) U n a s e ñ a l c a u s a l ( b ) U n a s e ñ a l a n t i c a u s a l ( c ) U n a s e ñ a l n o c a u s a l
1 . 1 . 2 . 5 P a r v s . I m p a r
U n a s e ñ a l p a r e s c u a l q u i e r s e ñ a l f (t) q u e s a t i s f a c e f (t) = f (−t). l a s s e ñ a l e s p a r e s s e p u e d e n d e t e c t a r
f á c i l m e n t e p o r q u e s o n s i m é t r i c a s e n e l e j e v e r t i c a l . U n a s e ñ a l i m p a r , e s u n a s e ñ a l
f q u e s a t i s f a c e
f (t) =− (f (−t)) ( F i g u r e 1 . 5 ) .
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5
( a )
( b )
F i g u r e 1 . 5 : ( a ) U n a s e ñ a l p a r ( b ) U n a s e ñ a l i m p a r
U s a n d o l a s d e n i c i o n e s d e p a r e i m p a r , p o d e m o s d e m o s t r a r q u e c u a l q u i e r s e ñ a l s e p u e d e e s c r i b i r c o m o
u n a c o m b i n a c i ó n d e u n a s e ñ a l p a r e i m p a r . C a d a s e ñ a l t i e n e u n a d e s c o m p o s i c i ó n p a r - i m p a r . P a r a d e m o s t r a r
e s t o , n o t e n e m o s m á s q u e e x a m i n a r u n a e c u a c i ó n .
f (t) =1
2(f (t) + f (−t)) +
1
2(f (t) − f (−t)) ( 1 . 2 )
A l m u l t i p l i c a r y s u m a r e s t a e x p r e s i ó n , d e m o s t r a m o s q u e l o e x p l i c a d o a n t e r i o r m e n t e e s c i e r t o . T a m b i é n s e
p u e d e o b s e r v a r q u e f (t) + f (−t) s a t i s f a c e a u n a f u n c i ó n p a r , y q u e f (t) − f (−t) s a t i s f a c e a u n a f u n c i ó n
i m p a r ( F i g u r e 1 . 6 ) .
E x a m p l e 1 . 1
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6
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
( a )
( b )
( c )
( d )
F i g u r e 1 . 6 : ( a ) E s t a s e ñ a l s e r á d e s c o m p u e s t a u s a n d o l a d e s c o m p o s i c i ó n P a r - I m p a r ( b ) P a r t e P a r :
e (t) = 12
(f (t) + f (−t))( c ) P a r t e I m p a r :
o (t) = 12
(f (t)− f (−t))( d ) R e v i s a :
e (t) + o (t) = f (t)
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7
1 . 1 . 2 . 6 D e t e r m i n í s t i c o v s . A l e a t o r i o
U n a s e ñ a l d e t e r m i n í s t i c a e s u n a s e ñ a l e n l a c u a l c a d a v a l o r e s t á j o y p u e d e s e r d e t e r m i n a d o p o r u n a
e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a , r e g l a , o t a b l a . L o s v a l o r e s f u t u r o s d e e s t a s e ñ a l p u e d e n s e r c a l c u l a d o s u s a n d o s u s
v a l o r e s a n t e r i o r e s t e n i e n d o u n a c o n a n z a c o m p l e t a e n l o s r e s u l t a d o s . U n a s e ñ a l a l e a t o r i a
4
, t i e n e m u c h a
u c t u a c i ó n r e s p e c t o a s u c o m p o r t a m i e n t o . L o s v a l o r e s f u t u r o s d e u n a s e ñ a l a l e a t o r i a n o s e p u e d e n p r e d e c i r
c o n e x a c t i t u d , s o l o s e p u e d e n b a s a r e n l o s p r o m e d i o s
5
d e c o n j u n t o s d e s e ñ a l e s c o n c a r a c t e r í s t i c a s s i m i l a r e s
( F i g u r e 1 . 7 ) .
( a )
( b )
F i g u r e 1 . 7 : ( a ) S e ñ a l D e t e r m i n í s t i c a ( b ) S e ñ a l A l e a t o r i a
1 . 1 . 2 . 7 H e m i s f e r i o D e r e c h o v s . H e m i s f e r i o I z q u i e r d o
E s t e t i p o d e s e ñ a l e s s o n a q u e l l a s c u y o v a l o r e s c e r o e n t r e u n a v a r i a b l e d e n i d a y l a i n n i d a d p o s i t i v a o
n e g a t i v a . M a t e m á t i c a m e n t e h a b l a n d o , u n a s e ñ a l d e h e m i s f e r i o - d e r e c h o e s d e n i d a c o m o c u a l q u i e r s e ñ a l
d o n d e f (t) = 0 p a r a t < t1 < ∞, y u n a s e ñ a l d e h e m i s f e r i o - i z q u i e r d o e s d e n i d a c o m o c u a l q u i e r s e ñ a l d o n d e
f (t) = 0 p a r a t > t1 > −∞ . L a s s i g u i e n t e s g u r a s s o n u n e j e m p l o d e e s t o ( F i g u r e 1 . 8 ) . L a s d o s g u r a s
e m p i e z a n e n t1 y l u e g o s e e x t i e n d e n a i n n i d a d p o s i t i v a o n e g a t i v a c o n c a s i t o d o s l o s v a l o r e s s i e n d o c e r o .
4
" I n t r o d u c t i o n t o R a n d o m S i g n a l s a n d P r o c e s s e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 6 4 9 / l a t e s t / >
5
" R a n d o m P r o c e s s e s : M e a n a n d V a r i a n c e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 6 5 6 / l a t e s t / >
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8
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
( a )
( b )
F i g u r e 1 . 8 : ( a ) S e ñ a l d e H e m i s f e r i o - D e r e c h o ( b ) S e ñ a l d e H e m i s f e r i o - I z q u i e r d o
1 . 1 . 2 . 8 T a m a ñ o n i t o v s . T a m a ñ o i n n i t o
C o m o e l n o m b r e l o i m p l i c a , l a s s e ñ a l e s s e p u e d e n c a r a c t e r i z a r d e p e n d i e n d o d e s u t a m a ñ o e l c u a l p u e d e s e r
i n n i t o o n i t o . C a s i t o d a s l a s s e ñ a l e s n i t a s s e u t i l i z a n c u a n d o s e t i e n e u n a s e ñ a l d i s c r e t a o s e t i e n e u n a
s e c u e n c i a d e v a l o r e s . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s , f (t) e s u n a s e ñ a l d e t a m a ñ o n i t o s i t i e n e u n v a l o r q u e
n o s e a c e r o e n u n i n t e r v a l o n i t o
t1 < f (t) < t2
d o n d e t1 > −∞ y t2 < ∞ . S e p u e d e v e r u n e j e m p l o e n F i g u r e 1 . 9 . D e i g u a l m a n e r a , u n a s e ñ a l d e t a m a ñ o
i n n i t o f (t) , e s d e n i d a c o n v a l o r e s n o - c e r o p a r a t o d o s l o s n ú m e r o s r e a l e s :
∞ ≤ f (t) ≤ −∞
.
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9
F i g u r e 1 . 9 : S e ñ a l d e t a m a ñ o n i t o . N o t e q u e s o l o t i e n e v a l o r e s q u e n o s o n c e r o e n u n c o n j u n t o , i n t e r v a l o
n i t o .
1 . 2 O p e r a c i o n e s p a r a S e ñ a l e s
6
E s t e m ó d u l o m u e s t r a d o s o p e r a c i o n e s p a r a s e ñ a l e s , c a m b i o e n e l t i e m p o y e s c a l a e n e l t i e m p o . O p e r a c i ó n d e
s e ñ a l e s s o n o p e r a c i o n e s r e a l i z a d a s s o b r e l a v a r i a b l e t i e m p o d e l a s e ñ a l . E s t a s o p e r a c i o n e s s o n c o m p o n e n t e s
c o m u n e s e n e l m u n d o r e a l y c o m o t a l e s l a s d e b e m o s e n t e n d e r a f o n d o c u a n d o s e e s t é a p r e n d i e n d o s o b r e
s i s t e m a s y s e ñ a l e s .
1 . 2 . 1 D e s p l a z a m i e n t o e n e l e j e d e l T i e m p o
E l d e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o , c o m o s u n o m b r e l o s u g i e r e , e s t r a s l a d a r l a s e ñ a l e n e l e j e d e l t i e m p o . E s t o
s e h a c e s u m a n d o o r e s t a n d o l a c a n t i d a d d e l d e s p l a z a m i e n t o d e t i e m p o a l a f u n c i ó n . R e s t a n d o u n a c a n t i d a d
j a e n l a v a r i a b l e d e e l t i e m p o t e n d r á u n c a m b i o e n l a s e ñ a l h a c i a l a d e r e c h a ( r e t r a s a ) p o r e s a c a n t i d a d ,
p o r e l c o n t r a r i o a l s u m a r u n a c a n t i d a d a l a v a r i a b l e d e e l t i e m p o l a s e ñ a l s e d e s p l a z a r á h a c i a l a i z q u i e r d a
( a v a n z a ) .
6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 3 / 1 . 7 / > .
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1 0
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
F i g u r e 1 . 1 0 :
f (t− T )m u e v e ( r e t r a s a )
f a l a d e r e c h a
T .
1 . 2 . 2 E s c a l a e n e l e j e d e l T i e m p o
E s c a l a r e l t i e m p o e s c o m p r i m i r y / o e x p a n d i r u n a s e ñ a l a l m u l t i p l i c a r l a s v a r i a b l e s d e l t i e m p o p o r a l g u n a
c a n t i d a d . S i e s a c a n t i d a d e s m a y o r q u e u n o , l a s e ñ a l s e v u e l v e a n g o s t a , e s t o e s c o n o c i d o c o m o c o m p r e s i ó n ,
c u a n d o l a c a n t i d a d e s m e n o r q u e u n o , l a s e ñ a l s e v u e l v e a n c h a y a e s t o l o c o n o c e r e m o s c o m o e x p a n s i ó n .
N o r m a l m e n t e , e s t a s o p e r a c i o n e s l e s t o m a n a l a s p e r s o n a s u n t i e m p o e n c o m p r e n d e r , d e b i d o a q u e l a i n t u i c i ó n
d e l a s p e r s o n a s e s q u e a l m u l t i p l i c a r p o r u n a c a n t i d a d m á s g r a n d e q u e u n o l a s e ñ a l s e r á e x p a n d i d a y m e n o r
q u e u n o s e r á c o m p r i m i d a .
F i g u r e 1 . 1 1 : f (at) c o m p r i m e f p o r a.
E x a m p l e 1 . 2
L a s s e ñ a l e s c a m b i a d a s y e s c a l a d a s e n e l t i e m p o p u e d e n s e r c o n t r a r i a s u n a s d e l a s o t r a s . E s t e
e j e m p l o m u e s t r a u n a m a n e r a d e p r a c t i c a r e s t a s o p e r a c i o n e s h a s t a q u e d e s a r r o l l e u n s e n t i d o d e
c o m o s e d e b e r í a v e r l a s e ñ a l d e s p u é s d e c i e r t a s o p e r a c i o n e s .
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1 1
D a d o f (t) , g r a q u e f (− (at)).
( a ) ( b )
( c )
F i g u r e 1 . 1 2 : ( a ) E m p i e z e c o n
f (t)( b ) L u e g o r e m p l a c e
tc o n
atp a r a o b t e n e r
f (at)( c ) F i n a l m e n t e ,
r e m p l a c e
tc o n
t − ba
p a r a o b t e n e r
f `
a`
t− ba
´´= f (at − b)
1 . 2 . 3 R e e x i ó n e n e l e j e d e l T i e m p o
U n a p r e g u n t a m u y n a t u r a l q u e s e c o n s i d e r a c u a n d o s e e s t á a p r e n d i e n d o a e s c a l a r e l t i e m p o e s : ¾ q u é p a s a r í a
s i l a v a r i a b l e d e l t i e m p o e s m u l t i p l i c a d a p o r u n n ú m e r o n e g a t i v o ? L a r e s p u e s t a p a r a e s t o e s l a i n v e r s i ó n e n
e l t i e m p o . E s t a o p e r a c i ó n i n v i e r t e e l e j e d e l t i e m p o , e n o t r a s p a l a b r a s , c a m b i a l a s e ñ a l r e s p e c t o a l e j e d e l a s
o r d e n a d a s .
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1 2
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
F i g u r e 1 . 1 3 : R e e x i ó n e n e l e j e d e l T i e m p o
1 . 3 S e ñ a l e s Ú t i l e s
7
A n t e s d e v e r e s t e m ó d u l o , u s t e d t e n d r á q u e t e n e r u n a i d e a b á s i c a s o b r e l o q u e e s u n a s e ñ a l , s u s c l a s i c a c i o n e s
y o p e r a c i o n e s ( S e c t i o n 1 . 1 ) . C o m o u n r e p a s o , u n a s e ñ a l e s u n a f u n c i ó n d e n i d a c o n r e s p e c t o a u n a v a r i a b l e
i n d e p e n d i e n t e . R e g u l a r m e n t e , e s t a v a r i a b l e e s e l t i e m p o p e r o p o d r í a r e p r e s e n t a r u n í n d i c e p a r a u n a s e c u e n c i a ,
o u n í n d i c e p a r a c u a l q u i e r n ú m e r o d e c o s a s , o c u a l q u i e r n ú m e r o d e d i m e n s i o n e s . L a m a y o r p a r t e , s i e s q u e
n o t o d a s , l a s s e ñ a l e s q u e u s t e d v e r á e n s u s e s t u d i o s y e n e l m u n d o r e a l p o d r á n s e r c r e a d a s d e l a s s e ñ a l e s
b á s i c a s q u e a q u í v a a e s t u d i a r . P o r e s t a r a z ó n , e s t a s s e ñ a l e s e l e m e n t a l e s s o n c o m ú n m e n t e c o n o c i d a s c o m o
l o s f u n d a m e n t o s p a r a c u a l q u i e r o t r a s e ñ a l .
1 . 3 . 1 S e n o s o i d a l e s
P r o b a b l e m e n t e l a s e ñ a l e l e m e n t a l m á s i m p o r t a n t e q u e u s t e d u s a r á e s e l s e n o s o i d a l e v a l u a d o e n s u p a r t e r e a l .
E n s u f o r m a d e t i e m p o - c o n t i n u o , l a f o r m a g e n e r a l d e l a f u n c i ó n s e e x p r e s a a s í
x (t) = Acos (ωt + φ) ( 1 . 3 )
d o n d e A e s l a a m p l i t u d , ω e s l a f r e c u e n c i a , y φ r e p r e s e n t a e l d e s p l a z a m i e n t o . N o t e q u e e s c o m ú n v e r q u e
ωt e s r e m p l a z a d o c o n 2πf t. L a s s e ñ a l e s s e n o s o i d a l e s s o n p e r i ó d i c a s , e s t o h a c e q u e s u p e r i o d o , o c u a l q u i e r
s e ñ a l p e r i ó d i c a p u e d a n s e r e x p r e s a d a d e l a s i g u i e n t e m a n e r a
T =2π
ω( 1 . 4 )
7
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 1 9 / 1 . 1 0 / > .
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1 3
F i g u r e 1 . 1 4 : S e n o s o i d a l c o n A = 2 , w = 2 , y φ = 0 .
1 . 3 . 2 F u n c i o n e s d e E x p o n e n c i a l e s C o m p l e j o s
T a l v e z e s t a s e ñ a l e s t a n i m p o r t a n t e c o m o l a s e n o s o i d a l , l a f u n c i ó n d e e x p o n e n c i a l c o m p l e j o s e c o n v e r t i r á
e n u n a p a r t e c r í t i c a p a r a e l e s t u d i o d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s . L a e x p r e s i ó n g e n e r a l s e e s c r i b e d e l a s i g u i e n t e
m a n e r a
f (t) = Best( 1 . 5 )
d o n d e s, m o s t r a d o a b a j o , e s u n n ú m e r o c o m p l e j o e n t é r m i n o s d e σ , c o n u n a f a s e c o n s t a n t e , y c o n ω s i e n d o
l a f r e c u e n c i a :
s = σ + jω
P o r f a v o r v e a e l m ó d u l o d e E x p o n e n c i a l C o m p l e j o ( S e c t i o n 1 . 5 ) o l o s m ó d u l o s d e l a s o t r a s s e ñ a l e s e l e m e n -
t a l e s
8
.
1 . 3 . 3 E x p o n e n c i a l e s r e a l e s
C o m o e l n o m b r e l o i m p l i c a , l o s e x p o n e n c i a l e s r e a l e s c o n t i e n e n n ú m e r o s n o i m a g i n a r i o s y s o n s i m p l e m e n t e
e x p r e s a d o s d e l a s i g u i e n t e m a n e r a
f (t) = Beαt( 1 . 6 )
d o n d e B y α s o n p a r á m e t r o s r e a l e s . L a s f u n c i o n e s d e e x p o n e n c i a l c o m p l e j o o s c i l a n , s i n e m b a r g o , e s t a s e ñ a l
n a d a m a s c r e c e o d e c a e d e p e n d i e n d o d e l v a l o r d e α .
• E x p o n e n c i a l q u e d e c a e , c u a n d o α < 0
• E x p o n e n c i a l q u e C r e c e , c u a n d o
α > 08
" E l e m e n t a l S i g n a l s " : S e c t i o n C o m p l e x E x p o n e n t i a l s < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 4 / l a t e s t / # s e c 2 >
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1 4
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
( a ) ( b )
F i g u r e 1 . 1 5 : E j e m p l o s d e E x p o n e n c i a l e s R e a l e s ( a ) E x p o n e n c i a l q u e d e c a e ( b ) E x p o n e n c i a l q u e C r e c e
1 . 3 . 4 F u n c i ó n d e i m p u l s o u n i t a r i o
L a f u n c i ó n d e i m p u l s o u n i t a r i o ( S e c t i o n 1 . 4 ) ( o l a f u n c i ó n d e l t a d e D i r a c ) e s u n a s e ñ a l q u e t i e n e
u n a a l t u r a i n n i t a y u n a n c h o c a s i i n e x i s t e n t e . S i n e m b a r g o , p o r l a m a n e r a q u e e s d e n i d a , a l s e r i n t e g r a d a
d a u n v a l o r d e u n o . M i e n t r a s e n e l m u n d o d e i n g e n i e r í a e s t a s e ñ a l e s ú t i l y a y u d a a e n t e n d e r m u c h o s
c o n c e p t o s , a l g u n o s m a t e m á t i c o s t i e n e n p r o b l e m a s c o n e s t a a l s e r l l a m a d a f u n c i ó n , p o r q u e n o e s t á d e n i d a
e n
t = 0. L o s i n g e n i e r o s s e e v i t a n e s t e p r o b l e m a a l m a n t e n e r l a d e n i d a c o n u n a i n t e g r a l . E l i m p u l s o u n i t a r i o
e s c o m ú n m e n t e c o n o c i d o c o m o
δ (t)
L a p r o p i e d a d m á s i m p o r t a n t e d e e s t a f u n c i ó n e s d e m o s t r a d a c o n l a s i g u i e n t e i n t e g r a l :
∞−∞
δ (t) dt = 1 ( 1 . 7 )
1 . 3 . 5 F u n c i ó n d e E s c a l ó n u n i t a r i o
O t r a f u n c i ó n b á s i c a p a r a e s t e c u r s o e s l a f u n c i ó n d e E s c a l ó n u n i t a r i o q u e s e d e n e c o m o
u (t) =
0 i f
t < 0
1 i f t ≥ 0( 1 . 8 )
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1 5
t
1
( a )
t
1
( b )
F i g u r e 1 . 1 6 : F u n c i o n e s B á s i c a s d e l E s c a l ó n ( a ) E s c a l ó n u n i t a r i o d e T i e m p o - C o n t i n u o ( b ) E s c a l ó n
u n i t a r i o d e T i e m p o - D i s c r e t o
N o t e q u e e s t a f u n c i ó n e s d i s c o n t i n u a e n e l o r i g e n ; s i n e m b a r g o n o s e n e c e s i t a d e n i r l a e n e s t e p u n t o y a
q u e n o e s n e c e s a r i o e n l a t e o r í a d e l a s e ñ a l . L a f u n c i ó n d e E s c a l ó n u n i t a r i o e s u n a s e ñ a l m u y ú t i l p a r a p r o b a r
y d e n i r o t r a s s e ñ a l e s . P o r e j e m p l o , u s a n d o v a r i a s d e e s t a s s e ñ a l e s m o v i d a s e n e l t i e m p o y m u l t i p l i c a d a s p o r
o t r a s s e ñ a l e s , s e p u e d e o b t e n e r a l g u n a p o r c i ó n d e l a s e ñ a l p o r l a q u e f u e m u l t i p l i c a d a y e l i m i n a r e l r e s t o .
1 . 3 . 6 F u n c i ó n R a m p a
E s t a f u n c i ó n e s t á r e l a c i o n a d a c o n l a f u n c i ó n d e s c r i t a a n t e r i o r m e n t e . L a f u n c i ó n E s c a l ó n u n i t a r i o v a d e s d e
c e r o a u n o i n s t a n t á n e a m e n t e , p e r o e s t a f u n c i ó n e s l a q u e m e j o r s e p a r e c e a u n a f u n c i ó n e n l a v i d a r e a l , d o n d e
s e n e c e s i t a u n t i e m p o p a r a q u e l a s e ñ a l v a y a i n c r e m e n t a n d o s e d e s d e c e r o a s u v a l o r a j u s t a d o , e n e s t e c a s o
u n o . L a f u n c i ó n r a m p a e s t á d e n i d a a s í :
r (t) =
0 i f t < 0
t
t0i f 0
≤t≤
t0
1 i f t > t0
( 1 . 9 )
t
1
t0
F i g u r e 1 . 1 7 : F u n c i ó n R a m p a
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1 6
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
1 . 4 F u n c i ó n d e I m p u l s o
9
E n i n g e n i e r í a u s u a l m e n t e s e m a n e j a l a i d e a d e u n a a c c i ó n o c u r r i e n d o a u n d e t e r m i n a d o p u n t o . P u e d e s e r
u n a f u e r z a e n e s e p u n t o o u n a s e ñ a l e n u n p u n t o d e l t i e m p o , s e c o n v i e r t e n e c e s a r i o d e s a r r o l l a r a l g u n a m a n e r a
c u a n t i t a t i v a d e d e n i r e s t e h e c h o . E s t o n o s l l e v a a l a i d e a d e u n p u l s o u n i t a r i o . E s p r o b a b l e m e n t e l a s e g u n d a
s e ñ a l m á s i m p o r t a n t e e n e l e s t u d i o d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s d e s p u é s d e l E x p o n e n c i a l C o m p l e j o ( S e c t i o n 1 . 5 ) .
1 . 4 . 1 F u n c i ó n D e l t a d e D i r a c
L a F u n c i ó n D e l t a d e D i r a c , c o n o c i d a t a m b i é n c o m o e l i m p u l s o u n i t a r i o o f u n c i ó n d e l t a e s u n a f u n c i ó n
i n n í t a m e n t e a n g o s t a , i n n í t a m e n t e a l t a , c u y a i n t e g r a l t i e n e u n v a l o r u n i t a r i o ( V e r ( 1 . 1 0 ) a b a j o ) . T a l v e z
l a m a n e r a m a s s i m p l e d e v i s u a l i z a r e s t o e s u s a r u n p u l s o r e c t a n g u l a r q u e v a d e a − 2
a a + 2
c o n u n a a l t u r a
d e
1
. A l m o m e n t o d e t o m a r s u l í m i t e ,
lim→0
0 , p o d e m o s o b s e r v a r q u e s u a n c h o t i e n d e a s e r c e r o y s u a l t u r a
t i e n d e a i n n i t o c o n f o r m e s u á r e a t o t a l p e r m a n e c e c o n s t a n t e c o n u n v a l o r d e u n o . L a f u n c i ó n d e l i m p u l s o
u s u a l m e n t e s e e s c r i b e c o m o δ (t) .
∞−∞ δ (t) dt = 1
( 1 . 1 0 )
F i g u r e 1 . 1 8 : E s t a e s u n a m a n e r a d e v i s u a l i z a r l a F u n c i ó n D e l t a d e D i r a c .
9
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 4 / 1 . 9 / > .
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1 7
F i g u r e 1 . 1 9 : P o r q u e e s d i f í c i l d i b u j a r a l g o q u e e s i n n i t a m e n t e a l t o , n o s o t r o s r e p r e s e n t a m o s l a D e l t a
d e D i r a c c o n u n a e c h a c e n t r a d a e n e l p u n t o d o n d e e s a p l i c a d a . S i q u e r e m o s e s c a l a r l a , p o d e m o s e s c r i b i r
e l v a l o r d e e s c a l a m i e n t o a u n l a d o d e l a e c h a . E s t e e s u n m u e s t r e o u n i t a r i o ( n o t i e n e e s c a l a ) .
1 . 4 . 1 . 1 L a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o d e l i m p u l s o
E l p r i m e r p a s o p a r a c o m p r e n d e r l o s r e s u l t a d o s q u e e s t a f u n c i ó n n o s b r i n d a , e s e x a m i n a r l o q u e s u c e d e c u a n d o
e s t a f u n c i ó n e s m u l t i p l i c a d a p o r a l g u n a o t r a f u n c i ó n .
f (t) δ (t) = f (0) δ (t) ( 1 . 1 1 )
E s t a f u n c i ó n e s c e r o e n t o d a s p a r t e s e x c e p t o e n e l o r i g e n , a s í q u e b á s i c a m e n t e e s t a m o s e l i m i n a n d o e l v a l o r
d e l a f u n c i ó n d e m u l t i p l i c a c i ó n a l e v a l u a r l a e n c e r o .
A p r i m e r a v i s t a e s t o n o p a r e c e t e n e r m a y o r i m p o r t a n c i a , p o r q u e y a s a b e m o s q u e e l i m p u l s o e v a l u a d o e n
c e r o e s i n n i t o , y t o d o l o m u l t i p l i c a d o p o r i n n i t o d a u n r e s u l t a d o i n n i t o . P e r o , ¾ q u é p a s a s i i n t e g r a m o s e l
r e s u l t a d o d e l a m u l t i p l i c a c i ó n ?
P r o p i e d a d d e D e s p l a z a m i e n t o
∞−∞ f (t) δ (t) dt =
∞−∞ f (0) δ (t) dt
= f (0) ∞−∞ δ (t) dt
= f (0)
( 1 . 1 2 )
F i n a l m e n t e l o q u e o b t u v i m o s e s u n a s i m p l e f u n c i ó n e v a l u a d a e n c e r o . S i h u b i é r a m o s u s a d o
δ (t − T ) e n v e z
d e
δ (t), p o d r í a m o s h a b e r d e s p l a z a d o
f (T ) . A e s t o e s l o q u e l l a m a r e m o s l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o
d e l a f u n c i ó n d e D i r a c , e l c u a l s e u s a f r e c u e n t e m e n t e p a r a d e n i r e l i m p u l s o u n i t a r i o .
E s t a p r o p i e d a d e s m u y ú t i l a l m o m e n t o d e d e s a r r o l l a r l a i d e a d e c o n v o l u c i ó n ( S e c t i o n 3 . 2 ) l a c u a l e s
u n a d e l o s f u n d a m e n t o s p r i n c i p a l e s p a r a e l p r o c e s a m i e n t o d e s e ñ a l e s . A l u s a r c o n v o l u c i ó n y e s t a p r o p i e d a d
p o d e m o s r e p r e s e n t a r u n a a p r o x i m a c i ó n a c u a l q u i e r r e s u l t a d o d e u n s i s t e m a s i s e c o n o c e l a r e s p u e s t a a l
i m p u l s o d e l s i s t e m a y s u s e ñ a l d e e n t r a d a . D e c l i c e n e l l i n k d e c o n v o l u c i ó n q u e a p a r e c e a r r i b a p a r a m a s
i n f o r m a c i ó n s o b r e e s t e t e m a .
1 . 4 . 1 . 2 O t r a s P r o p i e d a d e s d e l I m p u l s o
E n e s t a s e c c i ó n s e m u e s t r a n a l g u n a s o t r a s p r o p i e d a d e s d e e l i m p u l s o s i n e n t r a r e n l o s d e t a l l e s d e p r o b a r
l a s p r o p i e d a d e s - e s t a p a r t e l a d e j a r e m o s p a r a q u e u s t e d v e r i q u e l a s p r o p i e d a d e s y a q u e s o n s e n c i l l a s d e
c o m p r o b a r . N o t e q u e e s t a s p r o p i e d a d e s f u n c i o n a n p a r a e l t i e m p o c o n t i n u o y d i s c r e t o .
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1 8
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
P r o p i e d a d e s d e I m p u l s o U n i t a r i o
• δ (αt) = 1|α|δ (t)
•δ (t) = δ (
−t)
• δ (t) = ddtu (t) , d o n d e u (t) e s e l e s c a l ó n u n i t a r i o .
1 . 4 . 2 I m p u l s o d e t i e m p o - d i s c r e t o ( m u e s t r e o u n i t a r i o )
L a e x t e n s i ó n d e l a f u n c i ó n i m p u l s o u n i t a r i o a l t i e m p o - d i s c r e t o s e c o n v i e r t e e n u n a t r i v i a l i d a d . T o d o l o q u e
r e a l m e n t e n e c e s i t a m o s e s d a r n o s c u e n t a q u e l a i n t e g r a c i ó n e n t i e m p o - c o n t i n u o e q u i v a l e a u n a s u m a t o r i a e n
t i e m p o - d i s c r e t o . P o r l o t a n t o b u s c a r e m o s u n a s e ñ a l q u e a l s u m a r l a s e a c e r o y a l m i s m o t i e m p o s e a c e r o e n
t o d a s p a r t e s e x c e p t o e n e l o r i g e n .
I m p u l s o d e T i e m p o - D i s c r e t o
δ [n] =
1 i f n = 0
0 o t h e r w i s e
( 1 . 1 3 )
F i g u r e 1 . 2 0 : R e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e l i m p u l s o d i s c r e t o
A l a n a l i z a r u n a g r á c a d e t i e m p o - d i s c r e t o d e c u a l q u i e r s e ñ a l d i s c r e t a , u n o p u e d e n o t a r q u e t o d a s l a s
s e ñ a l e s d i s c r e t a s e s t á n c o m p u e s t a s d e u n c o n j u n t o d e m u e s t r a s u n i t a r i a s q u e e s t á n e s c a l a d o s y d e s p l a z a d o s
e n e l t i e m p o . S i d e j a m o s q u e e l v a l o r d e u n a s e c u e n c i a e n c a d a e n t e r o k s e a d e s c r i t a p o r s [k] y l a m u e s t r a
u n i t a r i a r e t r a s a d o q u e o c u r r e e n k s e a e s c r i t o c o m o δ [n − k] , n o s o t r o s p o d r í a m o s e s c r i b i r c u a l q u i e r s e ñ a l
c o m o l a s u m a d e i m p u l s o s u n i t a r i o s r e t r a s a d o s q u e s o n e s c a l a d o s p o r u n v a l o r d e l a s e ñ a l , o p o r c o e c i e n t e s
d e e s c a l a m i e n t o .
s [n] =
∞k=−∞
(s [k] δ [n − k]) ( 1 . 1 4 )
E s t a d e s c o m p o s i c i ó n e s u n a p r o p i e d a d q u e s o l o s e a p l i c a a s e ñ a l e s d e t i e m p o - d i s c r e t o y r e s u l t a s e r u n a
p r o p i e d a d m u y ú t i l p a r a e s t a s s e ñ a l e s .
n o t e : U s a n d o e l r a z o n a m i e n t o a n t e r i o r , n o s o t r o s h e m o s d e s a r r o l l a d o l a e c u a c i ó n ( 1 . 1 4 ) , l a c u a l e s
u n c o n c e p t o f u n d a m e n t a l u s a d o e n l a c o n v o l u c i ó n d e t i e m p o - d i s c r e t o ( S e c t i o n 4 . 2 ) .
1 . 4 . 3 L a R e s p u e s t a d e I m p u l s o
L a r e s p u e s t a d e i m p u l s o e s e x a c t a m e n t e l o q u e s u n o m b r e i m p l i c a - l a r e s p u e s t a d e u n s i s t e m a L T I , c o m o
p o r e j e m p l o u n l t r o , c u a n d o l a s e ñ a l d e e n t r a d a d e l s i s t e m a e s u n i m p u l s o u n i t a r i o ( o m u e s t r a u n i t a r i a ) . U n
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s i s t e m a p u e d e s e r c o m p l e t a m e n t e d e s c r i t o p o r s u r e s p u e s t a a l i m p u l s o p o r l a s r a z o n e s e x p l i c a d a s p r e v i a m e n t e ,
y a q u e t o d a s l a s s e ñ a l e s p u e d e n s e r r e p r e s e n t a d a s p o r u n a s u p e r p o s i c i ó n d e s e ñ a l e s . U n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o
d a u n a d e s c r i p c i ó n e q u i v a l e n t e a l a d a d a p o r u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a
1 0
, y a q u e e x i s t e n T r a n s f o r m a d a s
d e L a p l a c e ( S e c t i o n 1 4 . 1 ) p a r a c a d a u n a .
n o t a t i o n : C a s i t o d a l a l i t e r a t u r a u s a
δ (t) y
δ [n] p a r a d i f e r e n c i a r e n t r e u n i m p u l s o d e t i e m p o -
c o n t i n u o y u n i m p u l s o d e t i e m p o - d i s c r e t o .
1 . 5 E l E x p o n e n c i a l C o m p l e j o
1 1
1 . 5 . 1 B a s e s p a r a e l E x p o n e n c i a l
E l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o e s u n a d e l a s s e ñ a l e s m a s i m p o r t a n t e s y f u n d a m e n t a l e s e n e l a n á l i s i s d e s e ñ a l e s
y s i s t e m a s . S u i m p o r t a n c i a p r o v i e n e d e q u e s u s f u n c i o n e s s i r v e n c o m o u n a b a s e p a r a l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s ,
c o m o t a m b i é n s i r v e n p a r a p o d e r c a r a c t e r i z a r s e ñ a l e s l i n e a l e s d e t i e m p o i n v a r i a n t e ( S e c t i o n 2 . 1 ) . A n t e s d e
c o n t i n u a r , u s t e d d e b e r í a f a m i l i a r i z a r s e c o n l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s
1 2
.
1 . 5 . 1 . 1 E x p o n e n t i a l B á s i c o
P a r a t o d o s l o s n ú m e r o s x, n o s o t r o s p o d e m o s d e r i v a r y d e n i r f á c i l m e n t e u n a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l d e u n a
s e r i e d e T a y l o r m o s t r a d a a q u í :
ex = 1 +x1
1!+
x2
2!+
x3
3!+ . . . ( 1 . 1 5 )
ex =∞k=0
1
k!xk
( 1 . 1 6 )
P o d e m o s p r o b a r , u s a n d o u n e x a m e n r a c i o n a l , q u e e s t a s e r i e c o n v e r g e . D e e s t a m a n e r a , p o d e m o s d e c i r q u e
l a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l m o s t r a d a a r r i b a e s c o n t i n u a y s e p u e d e d e n i r f á c i l m e n t e .
D e e s t a d e n i c i ó n , p o d e m o s p r o b a r l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d d e l a s e x p o n e n c i a l e s q u e r e s u l t a s e r m u y ú t i l ,
e s p e c i a l m e n t e p a r a l o s e x p o n e n c i a l e s q u e s e d i s c u t i r á n e n l a s i g u i e n t e s e c c i ó n .
ex1+x2 = (ex1) (ex2) ( 1 . 1 7 )
1 . 5 . 1 . 2 E x p o n e n c i a l C o m p l e j o d e T i e m p o - C o n t i n u o
P a r a t o d o s l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s s , p o d e m o s d e n i r u n a s e ñ a l e x p o n e n c i a l c o m p l e j a d e t i e m p o -
c o n t i n u o c o m o :
f (t) = Aest
= Aejωt( 1 . 1 8 )
d o n d e A e s u n a c o n s t a n t e , t e s l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e t i e m p o , y p a r a s i m a g i n a r i a , s = jω . D e e s t a
e c u a c i ó n p o d e m o s r e v e l a r u n a i m p o r t a n t e i d e n t i d a d , l a i d e n t i d a d d e E u l e r ( p a r a m á s i n f o r m a c i ó n s o b r e
E u l e r l e a s u b i o g r a f í a s h o r t b i o g r a p h y
1 3
) :
Aejωt = Acos (ωt) + j (Asin (ωt)) ( 1 . 1 9 )
1 0
" T r a n s f e r F u n c t i o n s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 2 8 / l a t e s t / >
1 1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 5 / 1 . 6 / > .
1 2
" C o m p l e x N u m b e r s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 8 1 / l a t e s t / >
1 3
h t t p : / / w w w - g r o u p s . d c s . s t - a n d . a c . u k /
∼h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s / E u l e r . h t m l
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2 0
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
D e l a i d e n t i d a d d e E u l e r p o d e m o s s e p a r a r l a s e ñ a l e n s u p a r t e i m a g i n a r i a y e n s u p a r t e r e a l . T a m b i é n
p o d e m o s o b s e r v a r e l u s o d e e x p o n e n c i a l e s p a r a r e p r e s e n t a r c u a l q u i e r s e ñ a l r e a l . S i m o d i c a m o s l a f r e c u e n c i a
y e l á n g u l o , p o d r i a m o s r e p r e s e n t a r c u a l q u i e r s e ñ a l p o r m e d i o d e u n a s u p e r p o s i c i ó n d e m u c h a s s e ñ a l e s t o d a s
d e b e n s e r r e p r e s e n t a d a s p o r u n e x p o n e n c i a l .
L a e x p r e s i ó n a n t e r i o r n o i n c l u y e n i n g u n a i n f o r m a c i ó n d e l á n g u l o . D e b e m o s g e n e r a l i z a r l a e x p r e s i ó n d e
e x p o n e n c i a l e s p a r a g e n e r a l i z a r f u n c i o n e s s e n o s o i d a l e s c o n c u a l q u i e r v a l o r e n e l á n g u l o , e s t o s e l o g r a a l h a c e r
u n a s u s t i t u c i ó n d e s, s = σ + jω , q u e a l n a l n o s l l e v a a
f (t) = Aest
= Ae(σ+jω)t
= Aeσtejωt
( 1 . 2 0 )
d o n d e S s e d e n e c o m o l a a m p l i t u d c o m p l e j a , o f a s o r , d e l o s p r i m e r o s d o s t é r m i n o s d e l a e c u a c i ó n d e
a r r i b a
S = Aeσt ( 1 . 2 1 )
T o m a n d o e n c u e n t a l a i d e n t i d a d d e E u l e r , p o d e m o s e s c r i b i r e l e x p o n e n c i a l c o m o u n s e n o s o i d a l , d o n d e e l
t é r m i n o d e l á n g u l o e s m a s n o t a b l e .
f (t) = Aeσt (cos (ωt) + jsin (ωt)) ( 1 . 2 2 )
E s t a f ó r m u l a s e p u e d e d e s c o m p o n e r e n s u p a r t e r e a l e i m a g i n a r i a :
Re (f (t)) = Aeσtcos (ωt) ( 1 . 2 3 )
Im (f (t)) = Aeσtsin (ωt) ( 1 . 2 4 )
1 . 5 . 1 . 3 E x p o n e n c i a l C o m p l e j o e n T i e m p o - D i s c r e t o
F i n a l m e n t e , h e m o s l l e g a d o a l a ú l t i m a f o r m a d e s e ñ a l e s e x p o n e n c i a l e s q u e n o s i n t e r e s a n e s t u d i a r , l a s e ñ a l
e x p o n e n c i a l c o m p l e j a e n t i e m p o - d i s c r e t o , d e l a c u a l n o d a r e m o s t a n t o s d e t a l l e s c o m o l o h i c i m o s p a r a s u
c o n t r a p a r t e , y a q u e l a s d o s s i g u e n l a s m i s m a s p r o p i e d a d e s y u s a n l a m i s m a l ó g i c a y a e x p l i c a d a p r e v i a m e n t e .
P o r s e r d i s c r e t a , t i e n e u n a d i f e r e n c i a e n l a n o t a c i ó n u s a d a p a r a r e p r e s e n t a r s u n a t u r a l e z a d i s c r e t a
f [n] = BesnT
= BejωnT ( 1 . 2 5 )
d o n d e nT r e p r e s e n t a l o s i n s t a n t e s d e t i e m p o - d i s c r e t o d e l a s e ñ a l .
1 . 5 . 2 L a R e l a c i ó n d e E u l e r
J u n t o a l a i d e n t i d a d d e E u l e r , E u l e r t a m b i é n d e s c r i b e u n a m a n e r a d e r e p r e s e n t a r u n a s e ñ a l e x p o n e n c i a l
c o m p l e j a e n t é r m i n o s d e s u p a r t e r e a l e i m a g i n a r i a u s a n d o l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n :
cos (ωt) =ejwt + e−(jwt)
2( 1 . 2 6 )
sin (ωt) =ejwt − e−(jwt)
2 j( 1 . 2 7 )
ejwt = cos (ωt) + jsin (ωt) ( 1 . 2 8 )
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2 1
1 . 5 . 3 D i b u j a n d o e l E x p o n e n c i a l C o m p l e j o
H a s t a e s t e m o m e n t o , n o s o t r o s h e m o s d e m o s t r a d o c o m o u n e x p o n e n c i a l c o m p l e j o s e p u e d e s e p a r a r e n s u
p a r t e r e a l e i m a g i n a r i a . A h o r a t e n e m o s q u e v e r c o m o s e g r a c a n t o d a s e s t a s p a r t e s . P o d e m o s o b s e r v a r
q u e l a p a r t e r e a l y l a p a r t e i m a g i n a r i a e s t á n c o m p u e s t a s p o r u n s e n o s o i d a l m u l t i p l i c a d o p o r u n a f u n c i ó n d e
e x p o n e n c i a l r e a l . T a m b i é n s a b e m o s q u e l o s s e n o s o i d a l e s o s c i l a n e n t r e e l v a l o r u n o y n e g a t i v o u n o . E n t o n c e s
s e p u e d e v e r q u e l a s p a r t e s r e a l e s e i m a g i n a r i a s d e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o o s c i l a r á n d e n t r o d e u n a v e n t a n a
d e n i d a p o r l a p a r t e r e a l d e l e x p o n e n c i a l .
( a ) ( b )
( c )
F i g u r e 1 . 2 1 : L a s f o r m a s p o s i b l e s p a r a l a p a r t e r e a l d e u n e x p o n e n c i a l c o m p l e j o . N o t e q u e l a o s c i l a c i ó n
e s e l r e s u l t a d o d e u n c o s e n o c o n u n m á x i m o l o c a l e n
t = 0 . ( a ) S i
σe s n e g a t i v a , t e n e m o s e l c a s o d e u n a
v e n t a n a d e u n e x p o n e n c i a l q u e d e s c i e n d e . ( b ) S i
σe s p o s i t i v o , t e n e m o s e l c a s o d e u n a v e n t a n a d e u n
e x p o n e n c i a l q u e c r e c e . ( c ) S i
σe s c e r o , t e n e m o s u n a v e n t a n a c o n s t a n t e .
M i e n t r a s e l σ d e t e r m i n a e l í n d i c e d e d e c r e c i m i e n t o / c r e c i m i e n t o , ω d e t e r m i n a e l í n d i c e d e l a s o s c i l a c i o n e s .
E s t o s e p u e d e n o t a r a l o b s e r v a r q u e ω e s p a r t e d e l a r g u m e n t o u s a d o e n l a p a r t e q u e c o r r e s p o n d e a l s e n o s o i d a l .
E x e r c i s e 1 . 1 ( S o l u t i o n o n p . 2 6 . )
¾ C ó m o s e v e n l a s p a r t e s i m a g i n a r i a s d e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o e n e l d i b u j o p r e v i o ?
E x a m p l e 1 . 3
L a s i g u i e n t e d e m o s t r a c i ó n l e p e r m i t e v e r c o m o e l a r g u m e n t o c a m b i a l a f o r m a d e l e x p o n e n c i a l
c o m p l e j o . P o r f a v o r o p r i m a a q u í
1 4
p a r a v e r l a s i n s t r u c c i o n e s d e c o m o s e u s a e s t e d e m o .
T h i s i s a n u n s u p p o r t e d m e d i a t y p e . T o v i e w , p l e a s e s e e
h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 5 / l a t e s t / C o m p l e x _ E x p o n e n t i a l . v i
1 4
" H o w t o u s e t h e L a b V I E W d e m o s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 1 5 5 0 / l a t e s t / >
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2 2
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
1 . 5 . 4 E l P l a n o C o m p l e j o
S e c o n v i e r t e d e e x t r e m a i m p o r t a n c i a e l v e r l a v a r i a b l e c o m p l e j a s c o m o u n p u n t o e n e l p l a n o c o m p l e j o
1 5
( e l
p l a n o - s ) .
F i g u r e 1 . 2 2 : E s t e e s e l p l a n o - s . N o t e q u e e n c u a l q u i e r m o m e n t o e n q u e s s e e n c u e n t r e e n e l l a d o
d e r e c h o d e l p l a n o , e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o c r e c e r á c o n e l t i e m p o , m i e n t r a s q u e s i p o r e l c o n t r a r i o
ss e
e n c u e n t r a e n e l l a d o i z q u i e r d o , e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o d i s m i n u i r á .
1 . 6 S e ñ a l e s e n T i e m p o - D i s c r e t o
1 6
H a s t a e s t e p u n t o , h e m o s t r a t a d o s o l o c o n s e ñ a l e s y s i s t e m a s a n á l o g o s . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s , s e ñ a l e s
a n á l o g a s s o n f u n c i o n e s q u e c o n s t a n d e c a n t i d a d e s c o n t i n u a s c o m o s u s v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s , p o r e j e m p l o ,
e s p a c i o y t i e m p o . S e ñ a l e s d e t i e m p o - d i s c r e t o
1 7
s o n f u n c i o n e s d e n i d a s e n n ú m e r o s e n t e r o s ; s o n s e c u e n c i a s .
U n o d e l o s r e s u l t a d o s f u n d a m e n t a l e s e n l a t e o r í a d e s e ñ a l e s
1 8
d e t a l l a l a s c o n d i c i o n e s e n l a s c u a l e s l a s s e ñ a l e s
a n á l o g a s p u e d e n s e r t r a s f o r m a d a s e n u n a s e ñ a l d e t i e m p o - d i s c r e t o y s e r r e c u p e r a d a s i n n i n g ú n t i p o d e e r r o r .
E s t e r e s u l t a d o e s i m p o r t a n t e p o r q u e l a s s e ñ a l e s d e t i e m p o - d i s c r e t o p u e d e n s e r m a n i p u l a d a s p o r s i s t e m a s
d e r e s p u e s t a i n s t a n t á n e a c o m o l o s s o n l o s p r o g r a m a s d e c o m p u t a d o r a s . E n l o s m ó d u l o s s u b s e c u e n t e s s e
d e s c r i b e n c o m o t o d o s l o s s i s t e m a s a n á l o g o s s e p u e d e n i m p l e m e n t a r v i r t u a l m e n t e c o n e l u s o d e s o f t w a r e .
S i n d a r l e i m p o r t a n c i a a e s t o s r e s u l t a d o s , l a s s e ñ a l e s d e t i e m p o - d i s c r e t o t i e n e n u n a f o r m a m á s g e n e r a l ,
a b a r c a n d o s e ñ a l e s d e r i v a d a s d e s e ñ a l e s a n á l o g a s y d e o t r o t i p o d e s e ñ a l e s . P o r e j e m p l o , l o s c a r a c t e r e s q u e
f o r m a n u n a r c h i v o d e e s c r i t u r a p r o v e n i e n t e d e u n a s e c u e n c i a , q u e t a m b i é n s o n u n a s e ñ a l d e t i e m p o - d i s c r e t o .
T a m b i é n t e n e m o s q u e t r a t a r c o n s e ñ a l e s y s i s t e m a s d e v a l o r s i m b ó l i c o
1 9
.
1 5
" T h e C o m p l e x P l a n e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 9 6 / l a t e s t / >
1 6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 0 / 1 . 8 / > .
1 7
" D i s c r e t e - T i m e S i g n a l s a n d S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 3 4 2 / l a t e s t / >
1 8
" T h e S a m p l i n g T h e o r e m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 5 0 / l a t e s t / >
1 9
" D i s c r e t e - T i m e S i g n a l s a n d S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 3 4 2 / l a t e s t / # p a r a 1 1 >
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2 3
C o m o e n s e ñ a l e s a n á l o g a s , b u s c a m o s d i s t i n t a s m a n e r a s d e d e s c o m p o n e r s e ñ a l e s d i s c r e t a s c o n v a l o r r e a l
e n s u s c o m p o n e n t e s m á s s i m p l e s . C o n e s t e m é t o d o q u e n o s l l e v a a u n m a y o r e n t e n d i m i e n t o d e e s t r u c t u r a d e
s e ñ a l e s , p o d e m o s u s a r e s t a e s t r u c t u r a p a r a r e p r e s e n t a r i n f o r m a c i ó n ( c r e a r m a n e r a s d e r e p r e s e n t a r i n f o r m a -
c i ó n c o n s e ñ a l e s ) y d e e x t r a e r i n f o r m a c i ó n ( e x t r a e r l a i n f o r m a c i ó n q u e e s r e p r e s e n t a d a ) . P a r a s e ñ a l e s d e v a l o r
s i m b ó l i c o e s t e m é t o d o e s d i f e r e n t e : d e s a r r o l l a m o s u n a r e p r e s e n t a c i ó n c o m ú n p a r a t o d a s l a s s e ñ a l e s d e v a l o r
s i m b ó l i c o p a r a a s í r e p r e s e n t a r l a i n f o r m a c i ó n q u e e l l a s c o n t i e n e n d e u n a m a n e r a u n i c a d a . D e s d e e l p u n t o
d e v i s t a d e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e i n f o r m a c i ó n , l a c u e s t i ó n m á s i m p o r t a n t e e s l a e c i e n c i a p a r a l a s s e ñ a l e s d e
v a l o r s i m b ó l i c o y r e a l e s ; l a e c i e n c i a e s l a m a n e r a m á s c o m p a c t a y r á p i d a d e r e p r e s e n t a r i n f o r m a c i ó n p a r a
q u e p u e d a s e r d e s p u é s e x t r a í d a .
1 . 6 . 1 S e ñ a l e s d e V a l o r e s R e a l e s y C o m p l e j o s
U n a s e ñ a l d i s c r e t a e s r e p r e s e n t a d a s i m b ó l i c a m e n t e c o m o s (n) , d o n d e n = . . . , −1, 0, 1, . . . . U s u a l m e n t e
d i b u j a m o s s e ñ a l e s d i s c r e t a s p o r m e d i o d e d i a g r a m a s d e l í n e a ( S t e m P l o t s ) p a r a e n f a t i z a r e l h e c h o q u e s o n
f u n c i o n e s d e n i d a s e n n ú m e r o s e n t e r o s . P o d e m o s r e t r a s a r l a s e ñ a l d i s c r e t a p o r u n n ú m e r o , t a l c o m o s e h a c e
e n l a s s e ñ a l e s a n á l o g a s . E l r e t r a s o d e u n m u e s t r e o u n i t a r i o e s e x p r e s a d o p o r δ (n − m), y e s i g u a l a u n o
c u a n d o
n = m.
S e ñ a l d e l C o s e n o e n T i e m p o - D i s c r e t o
n
sn
1
…
…
F i g u r e 1 . 2 3 : S e ñ a l d e l C o s e n o e n T i e m p o - D i s c r e t o e s g r a c a d a c o n u n a " s t e m p l o t " . ¾ P u e d e u s t e d
e n c o n t r a r l a f ó r m u l a p a r a e s t a s e ñ a l ?
1 . 6 . 2 E x p o n e n c i a l e s C o m p l e j o s
L a s e ñ a l m á s i m p o r t a n t e e s l a s e c u e n c i a d e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o .
s (n) = ej2πfn ( 1 . 2 9 )
1 . 6 . 3 S e n o s o i d a l e s
L o s s e n o s o i d a l e s d i s c r e t o s t i e n e n l a f o r m a d e s (n) = Acos (2πf n + φ). A l c o n t r a r i o d e e x p o n e n c i a l e s c o m -
p l e j o s y s e n o s o i d a l e s a n á l o g o s q u e p u e d e n t e n e r f r e c u e n c i a s c o n c u a l q u i e r v a l o r r e a l , f r e c u e n c i a s p a r a s e ñ a l e s
d i s c r e t a s d a n f o r m a s ú n i c a s s o l o c u a n d o f e s t á e n e l i n t e r v a l o
− 12 , 12
. E s t a p r o p i e d a d s e p u e d e t e n e r a l
n o t a r q u e c u a n d o s e s u m a u n v a l o r a l a f r e c u e n c i a d e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o d i s c r e t o n o a f e c t a e n n i n g u n a
m a n e r a a l o s v a l o r e s d e l a s e ñ a l .
ej2π(f +m)n = ej2πfnej2πmn
= ej2πfn( 1 . 3 0 )
L a d e r i v a c i ó n e s p o r q u e e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o e v a l u a d o e n u n m ú l t i p l o d e 2πe s i g u a l a u n o .
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2 4
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
1 . 6 . 4 M u e s t r e o U n i t a r i o
L a s e g u n d a s e ñ a l i m p o r t a n t e e n e l t i e m p o d i s c r e t o , e s t á d e n i d a p o r :
δ (n) = 1
i f
n = 00 o t h e r w i s e
( 1 . 3 1 )
M u e s t r e o U n i t a r i o
1
n
δn
F i g u r e 1 . 2 4 : M u e s t r e o U n i t a r i o .
A l e x a m i n a r l a g r á c a d e s e ñ a l e s d i s c r e t a s , c o m o e l c o s e n o m o s t r a d o e n l a g u r a F i g u r e 1 . 2 3 ( S e ñ a l d e l
C o s e n o e n T i e m p o - D i s c r e t o ) , s e p u e d e o b s e r v a r q u e t o d a s l a s e ñ a l e s c o n s i s t e n e n m u e s t r e o s u n i t a r i o s q u e
s o n d e s p l a z a d o s y e s c a l a d o s p o r u n v a l o r r e a l . E l v a l o r d e u n a s e c u e n c i a a c u a l q u i e r n ú m e r o m e s e s c r i t o p o r
s (m) y e l d e s p l a z a m i e n t o q u e o c u r r e e n m e s e s c r i t o p o r δ (n − m) , p o r e s t a r a z ó n p o d e m o s d e s c o m p o n e r
c u a l q u i e r s e ñ a l e n u n a s u m a d e m u e s t r a s u n i t a r i a s d e s p l a z a d a s a u n a l o c a l i z a c i ó n a p r o p i a d a y e s c a l a d a p o r
e l v a l o r d e u n a s e ñ a l .
s (n) =
∞m=−∞
(s (m) δ (n − m)) ( 1 . 3 2 )
E s t e t i p o d e d e s c o m p o s i c i ó n e s ú n i c a p a r a s e ñ a l e s d i s c r e t a .
S i s t e m a s d i s c r e t o s p u e d e n a c t u a r s o b r e s e ñ a l e s e n t i e m p o d i s c r e t o e n f o r m a s i m i l a r a l a s v i s t a s e n s e ñ a l e s y
s i s t e m a s a n á l o g o s . D e b i d o a l r o l q u e j u e g a e l s o f t w a r e s o b r e s i s t e m a s d i s c r e t o s , u n a g r a n v a r i e d a d d e s i s t e m a s
p u e d e n s e r d e s a r r o l l a d a s y c o n s t r u i d a s a d i f e r e n c i a d e l a s q u e s e p u e d e n l o g r a r u s a n d o s e ñ a l e s a n á l o g a s . D e
h e c h o , u n a c l a s e e s p e c i a l d e s e ñ a l e s a n á l o g a s p u e d e n s e r c o n v e r t i d a s e n s e ñ a l e s d i s c r e t a s , p r o c e s a d a s p o r
s o f t w a r e , y c o n v e r t i d a s d e s p u é s e n s e ñ a l e s a n á l o g a s , t o d o e s t o s i n e r r o r e s . P a r a e s t a s s e ñ a l e s , v a r i o s s i s t e m a s
p u e d e n s e r p r o d u c i d o s e n s o f t w a r e , c o n r e a l i z a c i o n e s a n á l o g a s e q u i v a l e n t e s s i e n d o d i f í c i l e s d e f o r m a r , s i n o
e s q u e i m p o s i b l e s d e d i s e ñ a r .
1 . 6 . 5 S e ñ a l e s d e V a l o r e s S i m b ó l i c o s
O t r o a s p e c t o i n t e r e s a n t e d e s e ñ a l e s d i s c r e t a s e s q u e s u s v a l o r e s n o t i e n e n q u e s e r n ú m e r o s r e a l e s . N o s o t r o s
s i t e n e m o s s e ñ a l e s d i s c r e t a s c o n v a l o r e s r e a l e s c o m o e l s i n u s o i d a l , p e r o t a m b i é n t e n e m o s s e ñ a l e s q u e i n d i c a n
u n a s e c u e n c i a d e n ú m e r o s u s a d o s e n e l t e c l a d o d e c o m p u t a d o r a s . E s o s c a r a c t e r e s n o s o n n ú m e r o s r e a l e s ,
y c o m o p o s i b l e c o l e c c i ó n d e v a l o r e s , t i e n e n m u y p o c a e s t r u c t u r a m a t e m á t i c a y n a d a m á s c o n s t a n t e c o n
e l h e c h o q u e s o n m i e m b r o s d e u n c o n j u n t o . C a d a e l e m e n t o d e u n a s e ñ a l d e v a l o r e s s i m b ó l i c o s s (n) t o m a
v a l o r e s a1, . . . , aK q u e f o r m a n p a r t e d e u n a l f a b e t o A . E s t a t e r m i n o l o g í a t é c n i c a n o r e s t r i n g e l o s s í m b o l o s
a s e r m i e m b r o s d e u n a l f a b e t o d e l i d i o m a i n g l e s o g r i e g o . E l l o s p u e d e n r e p r e s e n t a r c a r a c t e r e s e n u n t e c l a d o ,
b y t e ( s e c u e n c i a s d e 8 - b i t s ) , n ú m e r o s q u e p u d i e r a n s i g n i c a r u n a t e m p e r a t u r a . L o s s i s t e m a s d i g i t a l e s s o n
c o n s t r u i d o s d e c i r c u i t o s d i g i t a l e s , q u e c o n s i s t e n c o m p l e t a m e n t e d e c i r c u i t o s c o n e l e m e n t o s a n á l o g o s . L a
r e t r a n s m i s i ó n y r e c e p c i ó n d e s e ñ a l e s d i s c r e t a s , c o m o e l c o r r e o e l e c t r ó n i c o , s o n p o s i b l e s g r a c i a s a l u s o d e
s i s t e m a s y s e ñ a l e s a n á l o g a s . E n t e n d e r c o m o l a s s e ñ a l e s d i s c r e t a s y a n á l o g a s s e i n t e r e l a c i o n a n u n a c o n o t r a
e s e l o b j e t i v o p r i n c i p a l d e e s t e c u r s o .
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2 5
1 . 7 E x p o n e n c i a l C o m p l e j o D i s c r e t o
2 0
2 0
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 3 0 0 1 / 1 . 2 / > .
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2 6
C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S
S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 1
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 . 1 ( p . 2 1 )
S e v e i g u a l e x c e p t o q u e l a o s c i l a c i ó n e s s e n o s o i d a l y n o c o s e n o i d a l ( p a s a p o r e l o r i g e n y n o t i e n e n i n g ú n
m á x i m o l o c a l e n t = 0 ) .
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C h a p t e r 2
S i s t e m a s
2 . 1 C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s
1
2 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n
E n e s t e m ó d u l o a l g u n a s d e l a s c l a s i c a c i o n e s b á s i c a s d e s i s t e m a s s e r á n t e m p o r a l m e n t e i n t r o d u c i d a s m i e n t r a s
q u e l a s p r o p i e d a d e s m á s i m p o r t a n t e s d e s i s t e m a s s e r á n e x p l i c a d a s . C o m o p u e d e s e r v i s t o , l a s p r o p i e d a d e s d e
l o s s i s t e m a s p r o v e e n u n a m a n e r a s e n c i l l a d e s e p a r a r u n s i s t e m a d e o t r o . E n t e n d e r l a d i f e r e n c i a b á s i c a e n t r e
s i s t e m a s , y s u s p r o p i e d a d e s , s e r á u n c o n c e p t o f u n d a m e n t a l u t i l i z a d o e n t o d o s l o s c u r s o s d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s ,
a s í c o m o d e p r o c e s a m i e n t o d i g i t a l d e s e ñ a l e s ( D i g i t a l S i g n a l P r o c e s s i n g ) D S P . U n a v e z q u e e l c o n j u n t o d e
s e ñ a l e s p u e d e s e r i d e n t i c a d o p o r c o m p a r t i r p r o p i e d a d e s p a r t i c u l a r e s , u n o y a n o t i e n e q u e p r o v e e r c i e r t a s
c a r a c t e r í s t i c a s d e l s i s t e m a c a d a v e z , p e r o p u e d e n s e r a c e p t a d a s d e b i d o a l a c l a s i c a c i ó n d e l o s s i s t e m a s .
T a m b i é n c a b e r e c o r d a r q u e l a s c l a s i c a c i o n e s p r e s e n t a d a s a q u í p u e d e n n o s e r e x c l u s i v a s ( l o s s i s t e m a s p u e d e n
p e r t e n e c e r a d i f e r e n t e s c l a s i c a c i o n e s ) n i ú n i c a s ( h a y o t r o s m é t o d o s d e c l a s i c a c i ó n
2
) . A l g u n o s e j e m p l o s d e
s i s t e m a s s i m p l e s s e p o d r á n e n c o n t r a r a q u i
3
.
2 . 1 . 2 C l a s s i c a c i ó n d e l o s S i s t e m a s
A t r a v é s d e l a s i g u i e n t e c l a s i c a c i ó n , t a m b i é n e s i m p o r t a n t e e n t e n d e r o t r a s C l a s i c a c i o n e s d e S e ñ a l e s
4
.
2 . 1 . 2 . 1 C o n t i n ú o v s . D i s c r e t o
E s t a t a l v e z s e a l a c l a s i c a c i ó n m á s s e n c i l l a d e e n t e n d e r c o m o l a i d e a d e t i e m p o - d i s c r e t o y t i e m p o c o n t i n u o
q u e e s u n a d e l a s p r o p i e d a d e s m á s f u n d a m e n t a l e s d e t o d a s l a s s e ñ a l e s y s i s t e m a s . U n s i s t e m a e n d o n d e l a s
s e ñ a l e s d e e n t r a d a y d e s a l i d a s o n c o n t i n u a s e s u n s i s t e m a c o n t i n u o , y u n o e n d o n d e l a s s e ñ a l e s d e e n t r a d a
y d e s a l i d a s o n d i s c r e t a s e s u n s i s t e m a d i s c r e t o .
2 . 1 . 2 . 2 L i n e a l v s . N o - l i n e a l
U n s i s t e m a l i n e a l e s u n s i s t e m a q u e o b e d e c e l a s p r o p i e d a d e s d e e s c a l a d o ( h o m o g e n e i d a d ) y d e s u p e r p o s i c i ó n
( a d i t i v a ) , m i e n t r a s q u e u n s i s t e m a n o - l i n e a l e s c u a l q u i e r s i s t e m a q u e n o o b e d e c e a l m e n o s u n a d e e s t a s
p r o p i e d a d e s .
P a r a d e m o s t r a r q u e u n s i s t e m a H o b e d e c e l a p r o p i e d a d d e e s c a l a d o s e d e b e m o s t r a r q u e :
H (kf (t)) = kH (f (t)) ( 2 . 1 )
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 2 / 1 . 4 / > .
2
" I n t r o d u c t i o n t o S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 5 / l a t e s t / >
3
" S i m p l e S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 6 / l a t e s t / >
4
" S i g n a l C l a s s i c a t i o n s a n d P r o p e r t i e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 5 7 / l a t e s t / >
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C H A P T E R 2 . S I S T E M A S
F i g u r e 2 . 1 : U n d i a g r a m a d e b l o q u e d e m o s t r a n d o l a p r o p i e d a d d e e s c a l a d o d e l i n e a l i d a d
P a r a d e m o s t r a r q u e u n s i s t e m a
H o b e d e c e l a p r o p i e d a d d e s u p e r p o s i c i ó n d e l i n e a l i d a d s e d e b e m o s t r a r
q u e :
H (f 1 (t) + f 2 (t)) = H (f 1 (t)) + H (f 2 (t)) ( 2 . 2 )
F i g u r e 2 . 2 : U n d i a g r a m a d e b l o q u e d e m o s t r a n d o l a p r o p i e d a d d e s u p e r p o s i c i ó n d e l i n e a l i d a d
E s p o s i b l e v e r i c a r l a l i n e a l i d a d d e u n s i s t e m a e n u n p a s o s e n c i l l o . P a r a h a c e e s t o , s i m p l e m e n t e c o m b i -
n a m o s l o s d o s p r i m e r o p a s o s p a r a o b t e n e r
H (k1f 1 (t) + k2f 2 (t)) = k2H (f 1 (t)) + k2H (f 2 (t)) ( 2 . 3 )
2 . 1 . 2 . 3 I n v a r i a n t e e n e l T i e m p o v s . V a r i a n t e e n e l T i e m p o
U n s i s t e m a i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o e s a q u e l q u e n o d e p e n d e d e c u a n d o o c u r r e : l a f o r m a d e l a s a l i d a n o
c a m b i a c o n e l r e t r a s o d e l a e n t r a d a . E s d e c i r q u e p a r a u n s i s t e m a H d o n d e H (f (t)) = y (t) , H e s i n v a r i a n t e
e n e l t i e m p o s i p a r a t o d a T H (f (t − T )) = y (t − T ) ( 2 . 4 )
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F i g u r e 2 . 3 : E s t e d i a g r a m a d e b l o q u e m u e s t r a l a c o n d i c i ó n d e l a i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o . L a S a l i d a e s
l a m i s m a s i e l r e t r a s o e s c o l o c a d o e n l a e n t r a d a o e n l a s a l i d a .
C u a n d o e s t a p r o p i e d a d n o a p l i c a p a r a u n s i s t e m a , e n t o n c e s d e c i m o s q u e e l s i s t e m a e s v a r i a n t e e n e l
t i e m p o o q u e v a r í a e n e l t i e m p o .
2 . 1 . 2 . 4 C a u s a l v s . N o - C a u s a l
U n s i s t e m a c a u s a l e s a q u e l q u e e s n o - a n t i c i p a t i v o ; e s t o e s , q u e l a s s a l i d a s d e p e n d e n d e e n t r a d a s p r e s e n t e s
y p a s a d a s , p e r o n o d e e n t r a d a s f u t u r a s . T o d o s l o s s i s t e m a s e n t i e m p o r e a l d e b e n s e r c a u s a l e s , y a q u e n o
p u e d e n t e n e r s a l i d a s f u t u r a s d i s p o n i b l e s p a r a e l l o s .
U n o p u e d e p e n s a r q u e l a i d e a d e s a l i d a s f u t u r a s n o t i e n e m u c h o s e n t i d o f í s i c o ; s i n e m b a r g o , h a s t a a h o r a
n o s h e m o s e s t a d o o c u p a n d o s o l a m e n t e d e l t i e m p o c o m o n u e s t r a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e , e l c u a l n o s i e m p r e e s
e l c a s o . I m a g i n é m o n o s q u e q u i s i é r a m o s h a c e r p r o c e s a m i e n t o d e s e ñ a l e s ; E n t o n c e s l a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e
r e p r e s e n t a d a p o r l o s p í x e l e s d e l a d e r e c h a y d e l a i z q u i e r d a ( e l f u t u r o ) d e l a p o s i c i ó n a c t u a l d e l a i m a g e n .
E n t o n c e s t e n d r í a m o s u n s i s t e m a n o - c a u s a l .
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C H A P T E R 2 . S I S T E M A S
( a )
( b )
F i g u r e 2 . 4 : ( a ) P a r a q u e u n s i s t e m a t í p i c o s e a c a u s a l . . . ( b ) . . . l a s a l i d a e n t i e m p o
t0 ,
y (t0), p u e d e
s o l a m e n t e d e p e n d e r d e l a p o r c i ó n d e l a s e ñ a l d e e n t r a d a a n t e s
t0 .
2 . 1 . 2 . 5 E s t a b l e v s . I n e s t a b l e
U n s i s t e m a e s t a b l e e s u n o d o n d e l a s s a l i d a s n o d i v e r g e n a s í c o m o l a s e n t r a d a s t a m p o c o d i v e r g e n . H a y
m u c h a s m a n e r a s d e d e c i r q u e u n a s e ñ a l d i v e r g e ; p o r e j e m p l o p u e d e t e n e r e n e r g í a i n n i t a . U n a d e n i c i ó n
p a r t i c u l a r m e n t e ú t i l d e d i v e r g e n c i a e s r e l a c i o n a r s i l a s e ñ a l e s t a a c o t a d a o n o . E n t o n c e s s e r e e r e a l s i s t e m a
c o m o e n t r a d a a c o t a d a - s a l i d a a c o t a d a ( B I B O ) ( B o u n d e d i n p u t - b o u n d e d o u t p u t ) e s t a b l e c e q u e t o d a
p o s i b l e e n t r a d a a c o t a d a p r o d u c e u n a s a l i d a a c o t a d a .
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R e p r e s e n t a d o e s t o d e u n a m a n e r a m a t e m á t i c a , u n s i s t e m a e s t a b l e d e b e t e n e r l a s s i g u i e n t e s
p r o p i e d a d e s , d o n d e
x (t) e s l a e n t r a d a y
y (t) e s l a s a l i d a ; l a c u a l d e b e s a t i s f a c e r l a c o n d i c i ó n
|y (t)
| ≤M y <
∞( 2 . 5 )
c u a n d o t e n e m o s u n a e n t r a d a d e l s i s t e m a e s t a p u e d e s e r d e s c r i t a c o m o
|x (t) | ≤ M x < ∞ ( 2 . 6 )
M x y
M y a m b a s r e p r e s e n t a n u n c o n j u n t o d e n ú m e r o s e n t e r o s p o s i t i v o s y e s t a r e l a c i ó n s e m a n t i e n e p a r a
t o d a
t.
S i e s t a s c o n d i c i o n e s n o s o n s a t i s f e c h a s , e s d e c i r , l a s s a l i d a s d e l s i s t e m a c o n e n t r a d a a c o t a d a c r e c e n s i n
l i m i t e ( d i v e r g e n ) , e n t o n c e s e l s i s t e m a e s i n e s t a b l e . N o t e m o s q u e l a e s t a b i l i d a d B I B O d e u n s i s t e m a l i n e a l
i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o ( L T I ) e s d e s c r i t o c u i d a d o s a m e n t e e n t é r m i n o s d e s i e s o n o c o m p l e t a m e n t e i n t e g r a b l e
5
l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o .
2 . 2 P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s
6
2 . 2 . 1 S i s t e m a s L i n e a l e s
S i u n s i s t e m a e s l i n e a l , q u i e r e d e c i r q u e c u a n d o l a e n t r a d a d e u n s i s t e m a d a d o e s e s c a l d a d o p o r u n v a l o r , l a
s a l i d a d e l s i s t e m a e s e s c a l a d o p o r l a m i s m a c a n t i d a d .
E s c a l a d o L i n e a l
( a ) ( b )
F i g u r e 2 . 5
E n l a F i g u r e 2 . 5 ( a ) d e a r r i b a , l a e n t r a d a x d e l s i s t e m a l i n e a l L d a l a s a l i d a y . S i x e s e s c a l a d a p o r u n
v a l o r α y e s p a s a d a a t r a v é s d e l m i s m o s i s t e m a , c o m o e n l a F i g u r e 2 . 5 ( b ) , l a s a l i d a t a m b i é n s e r á e s c a l a d a
p o r
α.
U n s i s t e m a l i n e a l t a m b i é n o b e d e c e e l p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n . E s t o s i g n i c a q u e s i d o s e n t r a d a s s o n
s u m a d a s j u n t a s y p a s a d a s a t r a v é s d e l s i s t e m a l i n e a l , l a s a l i d a s e r á e q u i v a l e n t e a l a s u m a d e l a s d o s e n t r a d a s
e v a l u a d a s i n d i v i d u a l m e n t e .
5
" B I B O S t a b i l i t y " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 1 3 / l a t e s t / >
6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 6 / 1 . 2 / > .
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C H A P T E R 2 . S I S T E M A S
( a ) ( b )
F i g u r e 2 . 6
P r i n c i p i o d e S u p e r p o s i c i ó n
F i g u r e 2 . 7 : S i F i g u r e 2 . 6 e s c i e r t o , e n t o n c e s e l p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c c i ó n d i c e q u e F i g u r e 2 . 7 ( P r i n c i p i o
d e S u p e r p o s i c i ó n ) t a m b i é n e s c i e r t o . E s t o e s v á l i d o p a r a u n s i s t e m a l i n e a l .
E s t o e s , s i F i g u r e 2 . 6 e s c i e r t a , e n t o n c e s F i g u r e 2 . 7 ( P r i n c i p i o d e S u p e r p o s i c i ó n ) t a m b i é n e s c i e r t a p a r a
u n s i s t e m a l i n e a l . L a p r o p i e d a d d e e s c a l a d o m e n c i o n a d a a n t e r i o r m e n t e t a m b i é n e s v á l i d a p a r a e l p r i n c i p i o d e
s u p e r p o s i c i ó n . P o r l o t a n t o , s i l a s e n t r a d a s x y y s o n e s c a l a d a s p o r f a c t o r e s α y β , r e s p e c t i v a m e n t e , e n t o n c e s
l a s u m a d e e s t a s e n t r a d a s e s c a l a d a s d a r á l a s u m a d e l a s s a l i d a s e s c a l a d a s i n d i v i d u a l m e n t e .
( a ) ( b )
F i g u r e 2 . 8
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3 3
P r i n c i p i o d e S u p e r p o s i c i ó n c o n E s c a l d o L i n e a l
F i g u r e 2 . 9 : D a d o F i g u r e 2 . 8 p a r a u n s i s t e m a l i n e a l , F i g u r e 2 . 9 ( P r i n c i p i o d e S u p e r p o s i c i ó n c o n E s c a l d o
L i n e a l ) t a m b i é n e s v á l i d o .
2 . 2 . 2 T i m e - I n v a r i a n t S y s t e m s
U n s i s t e m a i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o T I ( T i m e - I n v a r i a n t ) t i e n e l a p r o p i e d a d d e q u e c i e r t a e n t r a d a s i e m p r e
d a r á l a m i s m a s a l i d a , s i n c o n s i d e r a c i ó n a l g u n a a c u a n d o l a e n t r a d a f u e a p l i c a d a a l s i s t e m a .
S i s t e m a I n v a r i a n t e e n e l T i e m p o
( a ) ( b )
F i g u r e 2 . 1 0 : F i g u r e 2 . 1 0 ( a ) m u e s t r a u n a e n t r a d a e n t i e m p o t m i e n t r a s q u e F i g u r e 2 . 1 0 ( b ) m u e s t r a l a
m i s m a e n t r a d a
t0 s e g u n d o s d e s p u é s . E n u n s i t e m a i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o a m b a s s a l i d a s s e r á n i d e n t i c a s
e x c e p t o l a d e l a F i g u r e 2 . 1 0 ( b ) e s t a r á r e t r a s a d a p o r
t0 .
E n e s t a g u r a ,
x (t) y
x (t − t0) s o n p a s a d a s a t r a v é s d e l s i s t e m a T I . Y a q u e e l s i s t e m a T I e s i n v a r i a n t e
e n e l t i e m p o , l a s e n t r a d a s
x (t) y
x (t − t0) p r o d u c e n l a m i s m a s a l i d a . L a ú n i c a d i f e r e n c i a e s q u e l a s a l i d a
d e b i d a a x (t − t0) e s c a m b i a d a p o r e l t i e m p o t0 .
S i u n s i s t e m a e s i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o o d e t i e m p o v a r i a d o p u e d e s e r v i s t o e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l
( o e c u a c i ó n e n d i f e r e n c i a ) d e s c r i t a . L o s s i s t e m a s i n v a r i a n t e s e n e l t i e m p o s o n m o d e l a d o s c o n e c u a c i o n e s d e
c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s . U n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l ( o e n d i f e r e n c i a ) d e c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s s i g n i c a q u e l o s
p a r á m e t r o s d e l s i s t e m a n o v a n c a m b i a n d o a t r a v é s d e l t i e m p o y q u e l a e n t r a d a n o s d a r á e l m i s m o r e s u l t a d o
a h o r a , a s í c o m o d e s p u é s .
2 . 2 . 3 3 S i s t e m a s L i n e a l e s I n v a r i a n t e s e n e l T i e m p o ( L T I )
A l o s s i s t e m a s q u e s o n l i n e a l e s y a l m i s m o t i e m p o i n v a r i a n t e s e n e l t i e m p o n o s r e f e r i r e m o s a e l l o s c o m o
s i s t e m a s L T I ( L i n e a r T i m e - I n v a r i a n t ) .
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3 4
C H A P T E R 2 . S I S T E M A S
S i s t e m a s L i n e a l e s I n v a r i a n t e s e n e l T i e m p o
( a ) ( b )
F i g u r e 2 . 1 1 : E s t o e s u n a c o m b i n a c i ó n d e l o s d o s c a s o s d e a r r i b a . D a d o q u e l a e n t r a d a F i g u r e 2 . 1 1 ( b )
e s u n a v e r s i ó n e s c a l a d a y d e s p l a z a d a e n e l t i e m p o d e l a e n t r a d a d e F i g u r e 2 . 1 1 ( a ) , t a m b i é n e s l a s a l i d a .
C o m o l o s s i s t e m a s L T I s o n s u b c o n j u n t o s d e l o s s i s t e m a s l i n e a l e s , e s t o s o b e d e c e n a l p r i n c i p i o d e s u p e r -
p o s i c i ó n . E n l a g u r a d e a b a j o , p o d e m o s v e r e l e f e c t o d e a p l i c a r e l t i e m p o i n v a r i a n t e a l a d e n i c i ó n d e
s i s t e m a l i n e a l d e l a s e c c i ó n a n t e r i o r .
( a ) ( b )
F i g u r e 2 . 1 2
S u p e r p o s i c i ó n e n S i s t e m a s L i n e a l e s I n v a r i a n t e s e n e l T i e m p o
F i g u r e 2 . 1 3 : E l p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n a p l i c a d a d o a u n s i s t e m a L T I
2 . 2 . 3 . 1 S i s t e m a s L T I e n S e r i e s
S i d o s o m a s s i s t e m a s e s t á n e n s e r i e u n o c o n o t r o , e l o r d e n p u e d e s e r i n t e r c a m b i a d o s i n q u e s e v e a a f e c t a d a
l a s a l i d a d e l s i s t e m a . L o s s i s t e m a s e n s e r i e s t a m b i é n s o n l l a m a d o s c o m o s i s t e m a s e n c a s c a d a .
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3 5
S i s t e m a L T I e n C a s c a d a
( a )
( b )
F i g u r e 2 . 1 4 : E l o r d e n d e l o s s i s t e m a s L T I e n c a s c a d a p u e d e n s e r i n t e r c a m b i a d o s i n v e r s e a f e c t a d o e l
r e s u l t a d o .
2 . 2 . 3 . 2 S i s t e m a s L T I e n P a r a l e l o
S i d o s o m a s s i s t e m a s L T I e s t á n e n p a r a l e l o c o n o t r o , u n s i s t e m a e q u i v a l e n t e e s a q u e l q u e e s t a d e n i d o c o m o
l a s u m a d e e s t o s s i s t e m a s i n d i v i d u a l e s .
S i s t e m a s L T I e n P a r a l e l o
( a ) ( b )
F i g u r e 2 . 1 5 : L o s s i s t e m a s d e p a r a l e l o p u e d e n s e r r e s u m i d o s e n l a s u m a d e l o s s i s t e m a s .
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3 6
C H A P T E R 2 . S I S T E M A S
2 . 2 . 4 C a u s a l i d a d
U n s i s t e m a e s c a u s a l s i e s t e n o d e p e n d e d e v a l o r e s f u t u r o s d e l a s e n t r a d a s p a r a d e t e r m i n a r l a s a l i d a . L o q u e
s i g n i c a q u e s i l a p r i m e r e n t r a d a e s r e c i b i d a e n t i e m p o t0 , e l s i s t e m a n o d e b e r á d a r n i n g u n a s a l i d a h a s t a e s e
t i e m p o . U n e j e m p l o d e u n s i s t e m a n o - c a u s a l p u e d e s e r a q u e l q u e a l d e t e c t a r q u e v i e n e u n e n t r a d a d a l a
s a l i d a a n t e s d e q u e l a e n t r a d a l l e g u e .
S i s t e m a n o - C a u s a l
F i g u r e 2 . 1 6 : E n e s t e s i s t e m a n o - c a u s a l , l a s a l i d a e s p r o d u c i d a d a d o a u n a e n t r a d a d q u e o c u r r i ó d e s p u é s
e n e l t i e m p o .
U n s i s t e m a c a u s a l t a m b i é n s e c a r a c t e r i z a p o r u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o h (t) q u e e s c e r o p a r a t < 0 .
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C h a p t e r 3
A n á l i s i s d e S i s t e m a s d e T i e m p o
C o n t i n u o e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o
3 . 1 S i s t e m a s L i n e a l e s C T y E c u a c i o n e s D i f e r e n c i a l e s
1
3 . 1 . 1 S i s t e m a s L i n e a l e s d e T i e m p o - C o n t i n u o
F í s i c a m e n t e r e a l i z a b l e , l o s s i s t e m a s l i n e a l e s i n v a r i a n t e s e n e l t i e m p o p u e d e n s e r d e s c r i t o s p o r u n c o n j u t o d e
e c u a c i o n e s l i n e a l e s d i f e r e n c i a l e s :
F i g u r e 3 . 1 : D e s c r i b c i ó n g r á c a d e u n s i s t e m a b á s i c o l i n e a l i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o c o n u n a e n t r a d a ,
f (t) y u n a s a l i d a , y (t) .
dn
dtny (t) + an−1
dn−1
dtn−1y (t) + · · · + a1
d
dty (t) + a0y (t) = bm
dm
dtmf (t) + · · · + b1
d
dtf (t) + b0f (t)
E q u i v a l e n t e m e n t e ,
ni=0
ai
di
dtiy (t)
=
mi=0
bi
di
dtif (t)
( 3 . 1 )
c o n an = 1.
E s f á c i l m o s t r a q u e e s t a s e c u a c i o n e s d e n e n u n s i s t e m a q u e e s l i n e a l e i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o . E n t o n c e s
u n a p r e g u n t a n a t u r a l e s ¾ c ó m o e n c o n t r a r l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o d e l s i s t e m a y (t) p a r a u n a e n t r a d a f (t) ? .
R e c o r d a n d o q u e t a l s o l u c i ó n s e p u e d e e s c r i b i r c o m o :
y (t) = yi (t) + ys (t)
N o s r e f e r i m o s a
yi (t) c o m o l a r e s p u e s t a d e s a l i d a - c e r o l a s o l u c i ó n h o m o g e n e a d e b i d o a l a s c o n d i c i o n e s
i n i c i a l e s d e l s i s t e m a . N o s r e f e r i m o s a
ys (t) c o m o l a r e s p u e s t a d e e s t a d o - c e r o l a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r e n
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 8 5 / 1 . 2 / > .
3 7
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3 8
C H A P T E R 3 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D E T I E M P O C O N T I N U O E N E L
D O M I N I O D E L T I E M P O
r e s p u e s t a a l a e n t r a d a f (t). A h o r a v e r e m o s c o m o r e s o l v e r c a d a u n a d e e s t o s c o m p o n e n t e s d e l a r e s p u e s t a
d e l s i s t e m a .
3 . 1 . 1 . 1 E n c o n t r a n d o l a R e s p u e s t a d e E n t r a d a - C e r o
L a r e s p u e s t a d e l a e n t r a d a - c e r o , yi (t) , e s l a r e s p u e s t a d e l s i s t e m a d e b i d o s o l o a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s .
E x a m p l e 3 . 1 : R e s p u e s t a d e l a E n t r a d a - C e r o
P o n e r u n v o l t a j e a t r a v é s d e u n a c a p a c i t o r e n u n c i r c u i t o d i b u j a d o a c o n t i n u a c i ó n y d e j e t o d o l o
d e m á s s o l o .
F i g u r e 3 . 2
E x a m p l e 3 . 2 : R e s p u e s t a d e l a E n t r a d a - C e r o
I m a g i n e u n a m a s a u n i d i a a u n r e s o r t e c o m o s e m u e s t r a a c o n t i n u a c i ó n . C u a n d o j a l a l a m a s a h a c i a
a b a j o y l a s u e l t e , u s t e d t i e n e u n e j e m p l o d e l a r e s p u e s t a d e l a e n t r a d a - c e r o .
F i g u r e 3 . 3
N o h a y e n t r a d a , a s í q u e r e s o l v e m o s p a r a : y0 (t) t a l q u e
ni=0
ai
di
dtiy0 (t)
= 0 , an = 1 ( 3 . 2 )
S i D e s e l o p e r a d o r d e r i v a d o , p o d e m o s e s c r i b i r l a e c u a c i ó n a n t e r i o r c o m o : Dn + an−1Dn−1 + · · · + a0
y0 (t) = 0 ( 3 . 3 )
P u e s t o q u e n e c e s i t a m o s u n a s u m a d e v a r i o s y0 (t) ' s d e r v a d o s p a r a s e r 0 p a r a t o d o t , e n t o n c e s y0 (t) , d
dty0 (t) , d2
dt2y0 (t) , . . .
d e b e n d e s e r t o d o s d e l a m i s m a f o r m a .
S o l o e l e x p o n e n c i a l , est d o n d e s ∈ C, t i e n e e s t a p r o p i e d a d ( v é a s e u n l i b r o d e t e x t o d e E c u a c i o n e s
D i f e r e n c i a l e s p a r a m á s d e t a l l e s ) . A s í q u e a s u m i m o s q u e ,
y0 (t) = cest , c = 0 ( 3 . 4 )
p a r a a l g u n c y s .
S i n c e
ddt
y0 (t) = csest ,
d2
dt2y0 (t) = cs2est , . . . t e n e m o s
Dn + an−1Dn−1 + · · · + a0
y0 (t) = 0
c
sn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0
est = 0 ( 3 . 5 )
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( 3 . 5 ) s e m a n t i e n e p a r a t o d o t s o l o c u a n d o
sn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0 = 0 ( 3 . 6 )
D o n d e e s t a e c u a c i ó n e s c o n o c i d a c o m o l a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e l s i s t e m a . L o s p o s i b l e s v a l o r e s d e
ss o n l a s r a i c e s o c e r o s d e e s t e p o l i n o m i o s1, s2, . . . , sn
(s − s1) (s − s2) (s − s3) . . . (s − sn) = 0
e s d e c i r l a s p o s i b l e s s o l u c i o n e s s o n : c1es1t , c2es2t , . . ., cnesnt . Y a q u e e l s i s t e m a e s l i n e a l , l a s o l u c i ó n g e n e r a l
e s d e l a f o r m a :
y0 (t) = c1es1t + c2es2t + · · · + cnesnt ( 3 . 7 )
E n t o n c e s , r e s o l v e r p a r a c1, . . . , cn u s a n d o l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s .
E x a m p l e 3 . 3
V é a s e L a t h i p . 1 0 8 p a r a u n b u e n e j e m p l o .
G e n e r a l m e n t e a s u m i m o s q u e l a s I C ' s d e u n s i s t e m a s o n c e r o , l o q u e i m p l i c a q u e yi (t) = 0 . S i n e m b a r g o ,
e l m é t o d o d e r e s o l v e r p a r a
yi (t)s e p r o b a r á m á s a d e l a n t e .
3 . 1 . 1 . 2 E n c o n t r a n d o l a R e s p u e s t a d e l E s t a d o - C e r o
R e s o l v i e n d o u n a e c u a c i ó n l i e n a l d i f e r e n c i a l
ni=0
ai
di
dtiy (t)
=
mi=0
bi
di
dtif (t)
( 3 . 8 )
d a d a u n a e n t r a d a e s p e c í c a f (t) e s u n a t a r e a d i f í c i l e n g e n e r a l . M á s i m p o r t a n t e m e n t e , e l m é t o d o d e p e n d e
c o m p l e t a m e n t e e n l a n a t u r a l e z a d e f (t); s i c a m b i a m o s l a s e ñ a l d e e n t r a d a , d e b e m o s d e r e - r e s o l v e r e l s i s t e m a
d e e c u a c i o n e s p a r a e n c o n t r a r l a r e s p u e s t a d e l s i s t e m a .
L a C o n v o l u c i ó n ( S e c t i o n 3 . 2 ) n o s a y u d a a p a s a r e s t a s d i c u l t a d e s . E n l a s e c c i ó n e x p l i c a m o s c o m o l a
c o n v o l u c i ó n n o s a y u d a a d e t e r m i n a r l a s a l i d a d e l s i s t e m a , d a d a s o l o l a e n t r a d a
f (t) y l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o
d e l s i s t e m a ,
h (t) .
A n t e s d e d e r i v a r e l p r o c e d i m i e n t o d e c o n v o l u c i ó n , m o s t r a m o s q u e l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o e s d e r i v a d a
f a c i l m e n t e d e s u e c u a c i ó n l i n e a l d i f e r e n c i a l ( L D E ) . M o s t r a r e m o s l a d e r i v a c i ó n d e l s i g u i e n t e L D E , d o n d e
m < n :
dn
dtny (t) + an−1
dn−1
dtn−1y (t) + · · · + a1
d
dty (t) + a0y (t) = bm
dm
dtmf (t) + · · · + b1
d
dtf (t) + b0f (t) ( 3 . 9 )
P o d e m o s r e e s c r i b i r ( 3 . 9 ) c o m o
QD [y (t)] = P D [f (t)] ( 3 . 1 0 )
d o n d e QD [·] e s u n a o p e r a d o r q u e m a p e a y (t) a l l a d o i z q u i e r d o d e l a ( 3 . 9 )
QD
[y (t)] =dn
dtny (t) + a
n−1dn−1
dtn−1y (t) +
· · ·+ a
1
d
dty (t) + a
0y (t) ( 3 . 1 1 )
y
P D [·] m a p e a
f (t) a l l a d o d e r e c h o d e l a ( 3 . 9 ) . L a t h i m u e s t r a ( e n e l A p e n d i c e 2 . 1 ) q u e l a r e s p u e s t a a l
i m p u l s o d e l s i s t e m a d e s c r i t o p o r ( 3 . 9 ) e s d a d o p o r :
h (t) = bnδ (t) + P D [yn (t)] µ (t) ( 3 . 1 2 )
d o n d e p a r a m < n w e h a v e bn = 0 . T a m b i é n , yn i g u a l a l a r e s p u e s t a s a l i d a - c e r o c o n l a s c o n d i c i o n e s
i n i c i a l e s . yn−1 (0) = 1, yn−2 (0) = 1, . . . , y (0) = 0
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4 0
C H A P T E R 3 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D E T I E M P O C O N T I N U O E N E L
D O M I N I O D E L T I E M P O
3 . 2 C o n v o l u c i ó n d e T i e m p o - C o n t i n u o
2
3 . 2 . 1 M o t i v a c i ó n
L a c o n v o l u c i ó n n o s a y u d a a d e t e r m i n a r e l e f e c t o q u e t i e n e e l s i s t e m a e n l a s e ñ a l d e e n t r a d a . P u e d e s e r v i s t o
q u e e l s i s t e m a l i n e a l d e t i e m p o i n v a r i a n t e ( S e c t i o n 2 . 1 ) e s c o m p l e t a m e n t e c a r a c t e r i z a d o p o r s u r e s p u e s t a
a l i m p u l s o . A p r i m e r a v i s t a , e s t o p u e d e p a r e c e r d e p e q u e ñ o u s o , y a q u e l a s f u n c i o n e s d e i m p u l s o n o e s t á n
b i e n d e n i d a s e n a p l i c a c i o n e s r e a l e s . S i n e m b a r g o l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o d e l i m p u l s o n o s d i c e
q u e u n a s e ñ a l p u e d e s e r d e s c o m p u e s t a e n u n a s u m a i n n i t a ( i n t e g r a l ) d e i m p u l s o s e s c a l a d o s y d e s p l a z a d o s .
C o n o c i e n d o c o m o u n s i s t e m a a f e c t a u n i m p u l s o s i m p l e , y e n t e n d i e n d o l a m a n e r a e n q u e u n a s e ñ a l e s a b a r c a d a
p o r i m p u l s o s e s c a l d o s y s u m a d o s , s u e n a r a z o n a b l e q u e s e a p o s i b l e e s c a l a r y s u m a r l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o
a u n s i s t e m a e n p a r a p o d e r d e t e r m i n a r q u e s e ñ a l d e s a l i d a r e s u l t a r a d e u n a e n t r a d a e n p a r t i c u l a r . E s t o
e s p r e c i s a m e n t e l o q u e l a c o n v o l u c i ó n h a c e - l a c o n v o l u c i ó n d e t e r m i n a l a s a l i d a d e l s i s t e m a p o r m e d i o
c o n o c i m i e n t o d e l a e n t r a d a y l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o d e l s i s t e m a .
E n e l r e s t o d e e s t e m o d u l o , v a m o s a e x a m i n a r e x a c t a m e n t e c o m o l a c o n v o l u c i ó n e s d e n i d a a p a r t i r
d e l r a z o n a m i e n t o a n t e r i o r . E s t o r e s u l t a r a e n l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n ( v é a s e l a s i g u i e n t e s e c c i ó n ) y s u s
p r o p i e d a d e s ( S e c t i o n 3 . 3 ) . E s t o s c o n c e p t o s s o n m u y i m p o r t a n t e s e n l a I n g e n i e r í a E l é c t r i c a y h a r á n l a v i d a
d e l o s i n g e n i e r o s m a s s e n c i l l a s i s e i n v i e r t e e l t i e m p o e n e n t e n d e r q u e e s l o q u e e s t a p a s a n d o .
P a r a p o d e r e n t e n d e r c o m p l e t a m e n t e l a c o n v o l u c i ó n , s e r á d e u t i l i d a d t a m b i é n v e r l a c o n v o l u c i ó n d e t i e m p o
d i s c r e t o
3
) . T a m b i é n s e r á d e g r a n a y u d a e x p e r i m e n t a r c o n l o s a p p l e t s
4
d i s p o n i b l e s e n i n t e r n e t . E s t e r e c u r s o
n o s o f r e c e r á u n a a p r o x i m a c i ó n m a s c r u c i a l d e l c o n c e p t o .
3 . 2 . 2 I n t e g r a l d e C o n v o l u c i ó n
C o m o m e n c i o n a m o s a n t e r i o r m e n t e , l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n n o s d a u n a m a n e r a m a t e m á t i c a f á c i l d e e x p r e s a r
l a s a l i d a d e u n s i s t e m a L T I b a s a d o e n u n a s e ñ a l a r b i t r a r i a , x (t) , y l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o , h (t) . L a i n t e g r a l
d e c o n v o l u c i ó n e s e x p r e s a d a c o m o
y (t) =
∞
−∞
x (τ ) h (t − τ ) dτ ( 3 . 1 3 )
L a c o n v o l u c i ó n e s u n a h e r r a m i e n t a m u y i m p o r t a n t e q u e e s r e p r e s e n t a d a p o r e l s í m b o l o ∗ , y p u e d e s e r e s c r i t a
c o m o
y (t) = x (t) ∗ h (t) ( 3 . 1 4 )
H a c i e n d o u n o s c a m b i o s s i m p l e s e n l a s v a r i a b l e s d e l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n ,
τ = t − τ , p o d e m o s v e r q u e
l a c o n v o l u c i ó n e s c o n m u t a t i v a :
x (t) ∗ h (t) = h (t) ∗ x (t) ( 3 . 1 5 )
P a r a m á s i n f o r m a c i ó n d e l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n , l é a s e s o b r e l a P r o p i e d a d e s d e l a
C o n v o l u c i ó n ( S e c t i o n 3 . 3 ) .
A h o r a p r e s e n t a r e m o s d o s a p r o x i m a c i o n e s d i s t i n t a s q u e s e d e r i v a n d e l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n . E s t o s
p r o c e s o s , j u n t o c o n u n e j e m p l o b á s i c o , n o s a y u d a r a n p a r a c o n s t r u i r u n a i n t u i c i ó n s o b r e l a c o n v o l u c i ó n .
3 . 2 . 3 P r o c e s o I : E l m é t o d o c o r t o
E s t e p r o c e s o s i g u e d e c e r c a e l m e n c i o n a d o e n l a s e c c i ó n a n t e r i o r e n l a M o t i v a c i ó n ( S e c t i o n 3 . 2 . 1 : M o t i v a c i ó n ) .
P a r a i n i c i a r e s t o , e s n e c e s a r i o e s t a b l e c e r l a s a s u n c i o n e s q u e h a r e m o s . E n e s t e m o m e n t o , l a ú n i c a o b l i g a d a
e n n u e s t r o s i s t e m a e s q u e e s t e s e a l i n e a l e i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o .
B r e v e d e s c r i p c i ó n d e l o s p a s o s d e e s t e P r o c e s o :
2
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 8 / 1 . 3 / > .
3
" D i s c r e t e - T i m e C o n v o l u t i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 8 7 / l a t e s t / >
4
h t t p : / / w w w . j h u . e d u /
∼s i g n a l s
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4 1
1 . U n i m p u l s o d e e n t r a d a , n o s d a c o m o s a l i d a u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o .
2 . U n i m p u l s o d e s p l a z a d o n o s d a c o m o s a l i d a u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o d e s p l a z a d a . E s t o e s d e b i d o a l a
i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o d e l s i s t e m a
3 . P o d e m o s e s c a l a r e l i m p u l s o d e e n t r a d a p a r a o b t e n e r c o m o s a l i d a u n i m p u l s o e s c a l d o . E s t o e s u s a n d o
l a p r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d d e l a m u l t i p l i c a c i ó n e s c a l a r .
4 . P o d e m o s s u m a r u n n ú m e r o i n n i t o d e e s t o s i m p u l s o s e s c a l a d o s p a r a o b t e n e r u n n ú m e r o i n n i t o d e
s u m a s d e r e s p u e s t a s a l i m p u l s o e s c a l a d a s . E s t o e s u s a n d o l a c u a l i d a d d e l a a d i t i v i d a d d e l i n e a l i d a d .
5 . A h o r a v e m o s q u e e s t a s u m a i n n i t a n o e s m a s q u e u n a i n t e g r a l , a s í q u e p o d e m o s c o n v e r t i r a m b o s l a d o s
e n i n t e g r a l e s .
6 . R e c o n o c i e n d o q u e l a e n t r a d a e s l a f u n c i ó n f (t) , t a m b i é n r e c o n o c e m o s q u e l a s a l i d a e s e x a c t a m e n t e l a
i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n .
F i g u r e 3 . 4 : E m p e z a m o s c o n u n s i s t e m a d e n i d o p o r s u r e s p u e s t a a l i m p u l s o ,
h (t).
F i g u r e 3 . 5 : D e s p u é s c o n s i d e r a m o s u n a v e r s i ó n d e s p l a z a d a d e l i m p u l s o d e e n t r a d a . D e b i d o a l t i e m p o
i n v a r i a n t e d e l s i s t e m a , o b t e n e m o s u n a v e r s i ó n d e u n a s a l i d a d e s p l a z a d a d e l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o .
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4 2
C H A P T E R 3 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D E T I E M P O C O N T I N U O E N E L
D O M I N I O D E L T I E M P O
Ê
½
½
µ Æ Ø µ
Ê
½
½
µ Ø µ
F i g u r e 3 . 6 : A h o r a u s a m o s l a p a r t e d e e s c a l a d o d e l i n e a l i d a d , e s c a l a n d o e l s i s t e m a s p o r u n v a l o r , f (τ ) ,
q u e e s c o n s t a n t e c o n r e s p e c t o a l s i s t e m a v a r i a b l e ,
t.
F i g u r e 3 . 7 : A h o r a p o d e m o s u s a r e l a s p e c t o d e a d i t i v i d a d d e l i n e a l i d a d p a r a s u m a r u n n ú m e r o i n n i t o
d e e s t o s , p a r a c a d a p o s i b l e τ . C o m o u n a s u m a i n n i t a e s e x a c t a m e n t e u n a i n t e g r a l , t e r m i n a m o s c o n
l a i n t e g r a l c o n o c i d a c o m o i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n . U s a n d o l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o , p o d e m o s
r e c o n o c e r e l l a d o i z q u i e r d o c o m o l a e n t r a d a
f (t).
3 . 2 . 4 P r o c e s o I I : E l m é t o d o l a r g o
E s t e m é t o d o r e a l m e n t e n o e s m u y d i f e r e n t e d e l a n t e r i o r , s i n e m b a r g o e s u n p o c o m a s r i g u r o s o y m a s l a r g o .
E s p e r a n z a d a m e n t e s i n o s e c o m p r e n d i ó b i e n e l m é t o d o d e a r r i b a , e s t o t e a y u d a r a p a r a t e r m i n a r d e e n t e n d e r
l a c o n v o l u c i ó n .
E l p r i m e r p a s o e n e s t e m é t o d o e s d e n i r u n a r e a l i z a c i ó n p a r t i c u l a r d e l a f u n c i ó n d e i m p u l s o u n i t a r i o .
P a r a e s t o u s a r e m o s δ∆ (t) =
1∆ i f − ∆2 < t < ∆
2
0 o t h e r w i s e
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F i g u r e 3 . 8 : L a r e a l i z a c i ó n d e l a f u n c i ó n d e i m p u l s o u n i t a r i o q u e u s a r e m o s p a r a e s t a d e r i v a c i ó n .
D e s p u é s d e d e n i r l a r e a l i z a c i ó n d e l a u n i d a d d e r e s p u e s t a a l i m p u l s o , p o d e m o s o b t e n e r n u e s t r a i n t e g r a l
d e c o n v o l u c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s p a s o s q u e s e e n c u e n t r a n e n l a s i g u i e n t e t a b l a . N o t e m o s q u e l a c o l u m n a d e
l a i z q u i e r d a r e p r e s e n t a l a e n t r a d a y l a c o l u m n a d e l a d e r e c h a e s l a s a l i d a d e l s i s t e m a d a d a e s a e n t r a d a .
P r o c e s o I I d e l a I n t e g r a l d e C o n v o l u c i ó n
E n t r a d a S a l i d a
lim∆→0
δ∆ (t)
→h
→lim∆→0
h (t)
lim∆→0
δ∆ (t − n∆) → h → lim∆→0
h (t − n∆)
lim∆→0
f (n∆) δ∆ (t − n∆) ∆ → h → lim∆→0
f (n∆) h (t − n∆) ∆
lim∆→0
n (f (n∆) δ∆ (t − n∆)∆) → h → lim
∆→0
n (f (n∆) h (t − n∆)∆) ∞
−∞ f (τ ) δ (t − τ ) dτ → h → ∞−∞ f (τ ) h (t − τ ) dτ
f (t) → h → y (t) = ∞−∞ f (τ ) h (t − τ ) dτ
3 . 2 . 5 I m p l e m e n t a c i ó n d e l a C o n v o l u c i ó n
T o m a n d o u n a v i s i ó n m a s c e r c a n a d e l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n , e n c o n t r a m o s q u e e s t a m o s m u l t i p l i c a n d o l a
s e ñ a l d e e n t r a d a p o r u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o i n v e r t i d a e n t i e m p o e i n t e g r á n d o l a . E s t o n o s d a r á e l v a l o r d e l a
s a l i d a d e u n v a l o r d a d o d e t . S i d e s p u é s n o s o t r o s c a m b i a m o s l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o i n v e r t i d a e n t i e m p o p o r
u n a p e q u e ñ a c a n t i d a d , o b t e n e m o s l a s a l i d a p a r a o t r o v a l o r d e t . R e p i t i e n d o e s t o p a r a c a d a p o s i b l e v a l o r d e t ,
n o s d a l a f u n c i ó n t o t a l d e s a l i d a . N o s o t r o s n u n c a h a r e m o s e s t e m é t o d o a m a n o , n o s p r o p o r c i o n a i n f o r m a c i ó n
c o n a l g u n a s e n t r a d a s d e q u e e s l o q u e e s t a p a s a n d o . E n c o n t r a m o s q u e e s e n c i a l m e n t e e s t a m o s r e v i r t i e n d o
l a f u n c i ó n d e l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o y d e s p l a z á n d o l a a t r a v é s d e l a f u n c i ó n d e e n t r a d a , i n t e g r á n d o l a c o m o
v a m o s . E s t e m é t o d o , d e s c r i t o c o m o e l m e t o d o g r á c o , n o s p r o p o r c i o n a u n a m a n e r a s e n c i l l a d e r e s o l v e r
l a s s a l i d a s p a r a s e ñ a l e s s e n c i l l a s , m i e n t r a s t a n t o m e j o r a r e m o s n u e s t r a i n t u i c i ó n p a r a l o s c a s o s m a s c o m p l e j o s
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4 4
C H A P T E R 3 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D E T I E M P O C O N T I N U O E N E L
D O M I N I O D E L T I E M P O
d o n d e c o n a r e m o s e n l a s c o m p u t a d o r a s . D e h e c h o l a s T e x a s I n s t r u m e n t s
5
s e c o n v i e r t e n e n P r o c e s a m i e n t o
D i g i t a l d e S e ñ a l e s
6
l a s c u a l e s t i e n e n u n c o n j u n t o e s p e c i a l p a r a c ó m p u t o s a s í c o m o p a r a l a c o n v o l u c i ó n .
E x a m p l e 3 . 4
E s t a d e m o s t r a c i ó n i l u s t r a r a e l m é t o d o g r á c o p a r a l a c o n v o l u c i ó n . V é a s e a q u í
7
p a r a l a s i n s t r u c -
c i o n e s d e c ó m o s e u s a e s t e d e m o .
T h i s i s a n u n s u p p o r t e d m e d i a t y p e . T o v i e w , p l e a s e s e e
h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 8 / l a t e s t / C T _ C o n v o l u t i o n . l l b
3 . 2 . 6 E j e m p l o s B á s i c o s
V e a m o s e j e m p l o s d e l a c o n v o l u c i ó n b á s i c a d e t i e m p o - c o n t i n u o p a r a p o d e r e x p r e s a r a l g u n a s i d e a s m e n c i o n a d a s
a n t e r i o r m e n t e e n e l e j e m p l o c o r t o . V a m o s a c o n v o l v e r d o s p u l s o s u n i t a r i o s ,
x (t)y
h (t).
( a ) ( b )
F i g u r e 3 . 9 : A q u i h a y d o s s e ñ a l e s b á s i c a s q u e u s a r e m o s p a r a c o n v o l u c i o n a r j u n t a s .
3 . 2 . 6 . 1 R e e j a d a y D e s p l a z a d a
A h o r a t o m a r e m o s u n a d e l a s f u n c i o n e s y l a r e e j a r e m o s a t r a v é s d e l e j e d e l a s y . D e s p u é s d e b e m o s d e s p l a z a r
l a f u n c i ó n , a s í c o m o e l o r i g e n , e l p u n t o d e l a f u n c i ó n q u e o r i g i n a l m e n t e e s t a b a e n e l o r i g e n , e s t a m a r c a d a c o m o
e l p u n t o τ . E s t e p a s o s e m u e s t r a e n l a s i g u i e n t e g u r a , h (t
−τ ) . C o m o l a c o n v o l u c i ó n e s c o n m u t a t i v a n o
i m p o r t a q u e f u n c i ó n e s r e e j a d a y d e s p l a z a d a , s i n e m b a r g o c o n f o r m e l a s f u n c i o n e s s e v u e l v e n m a s c o m p l i c a d a s
r e e j a r y d e s p l a z a r l a c o r r e c t a n o s h a r á e l p r o b l e m a m a s s e n c i l l o .
5
h t t p : / / w w w . t i . c o m
6
h t t p : / / d s p v i l l a g e . t i . c o m / d o c s / t o o l s s o f t w a r e h o m e . j h t m l
7
" H o w t o u s e t h e L a b V I E W d e m o s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 1 5 5 0 / l a t e s t / >
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4 5
F i g u r e 3 . 1 0 : E l p u l s o u n i t a r i o r e e j a d o y d e s p l a z a d o .
3 . 2 . 6 . 2 R e g i o n e s d e I n t e g r a c i ó n
A h o r a v e r e m o s l a f u n c i ó n y d i v i d i r e m o s s u d o m i n i o e n d o s l í m i t e s d i f e r e n t e s d e i n t e g r a c i ó n . E s t a s d o s
r e g i o n e s d i f e r e n t e s p u e d e n s e r e n t e n d i d a s p e n s a n d o e n c o m o n o s d e s p l a z a m o s h (t − τ ) s o b r e l a o t r a f u n c i ó n .
S i l a f u n c i ó n f u e r a m a s c o m p l i c a d a n e c e s i t a r e m o s t e n e r m a s l i m i t e s p a r a q u e l a s p a r t e s s o b r e p u e s t a s d e
l a s d o s f u n c i o n e s p u e d a n s e r e x p r e s a d a s e n u n a i n t e g r a l l i n e a l s e n c i l l a . P a r a e s t e p r o b l e m a t e n d r e m o s l a s
s i g u i e n t e s c u a t r o r e g i o n e s . C o m p á r e n s e e s t o s l i m i t e s d e i n t e g r a c i ó n c o n l o s d e l o s b o s q u e j o s d e h (t − τ )y x (t) p a r a v e r s i s e p u e d e e n t e n d e r e l p o r q u e t e n e m o s c u a t r o r e g i o n e s . N ó t e s e q u e t e n l o s l i m i t e s d e
i n t e g r a c i ó n s e r e e r e a l l a d o d e r e c h o d e l a f u n c i ó n h (t − τ ), m a r c a d a c o m o t e n t r e c e r o y u n o e n l a g r á c a .
L o s c u a t r o l i m i t e s d e i n t e g r a c i ó n
1 .
t < 02 . 0 ≤ t < 13 . 1 ≤ t < 24 . t ≥ 2
3 . 2 . 6 . 3 U s a n d o l a I n t e g r a l d e C o n v o l u c i ó n
F i n a l m e n t e e s t a m o s l i s t o s p a r a u n a s p e q u e ñ a s m a t e m á t i c a s . U s a n d o l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n , i n t e g r e m o s
e l p r o d u c t o d e x (t) h (t − τ ). P a r a l a p r i m e r y c u a r t a r e g i ó n e s t r i v i a l p u e s s i e m p r e s e r á , 0 . L a s e g u n d a
r e g i ó n , 0≤
t < 1 , r e q u i e r e l a s s i g u i e n t e s m a t e m á t i c a s :
y (t) = t0
1dτ
= t( 3 . 1 6 )
L a t e r c e r r e g i ó n , 1 ≤ t < 2 , T o m e m o s n o t a d e l o s c a m b i o s e n n u e s t r a i n t e g r a c i ó n . C o n f o r m e m o v e m o s
h (t − τ ) a t r a v é s d e l a o t r a f u n c i ó n , l a p a r t e i z q u i e r d a d e l a f u n c i ó n , t − 1 , s e c o n v i e r t e e s n u e s t r o l i m i t e
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i n f e r i o r p a r a l a i n t e g r a l . E s t o s e m u e s t r a a t r a v é s d e l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n c o m o
y (t) =
1
t−1 1dτ
= 1 − (t − 1)= 2 − t
( 3 . 1 7 )
L a s f o r m u l a s a n t e r i o r e s m u e s t r a n e l m é t o d o p a r a c a l c u l a r l a c o n v o l u c i ó n ; s i n e m b a r g o n o d e j e q u e l a
s i m p l i c i d a d d e e s t e e j e m p l o l o c o n f u n d a c u a n d o t r a b a j e c o n o t r o s p r o b l e m a s . E l m é t o d o s e r á e l m i s m o , s o l o
s e t e n d r á q u e t r a t a r c o n m a s m a t e m á t i c a s e n i n t e g r a l e s m a s c o m p l i c a d a s .
3 . 2 . 6 . 4 R e s u l t a d o s d e l a C o n v o l u c i ó n
A s í , o b t e n e m o s l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s p a r a n u e s t r a s c u a t r o r e g i o n e s :
y (t) =
0 i f t < 0
t i f 0
≤t < 1
2 − ti f 1 ≤ t < 2
0 i f t ≥ 2
( 3 . 1 8 )
A h o r a q u e e n c o n t r a m o s e l r e s u l t a d o p a r a c a d a u n a d e l a s c u a t r o r e g i o n e s , p o d e m o s c o m b i n a r l a s y g r a c a r
l a c o n v o l u c i ó n d e x (t) ∗ h (t).
F i g u r e 3 . 1 1 : M u e s t r a l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o d e l a e n t r a d a , x (t).
3 . 3 P r o p i e d a d e s d e l a C o n v o l u c i ó n
8
E n e s t e m o d u l o v e r e m o s v a r i a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e c o n v o l u c i ó n q u e m a s p r e v a l e c e n . N ó t e s e q u e e s t a s
p r o p i e d a d e s s e a p l i c a n a a m b a s c o n v o l u c i o n e s d e t i e m p o c o n t i n u o ( S e c t i o n 3 . 2 ) y d e t i e m p o d i s c r e t o ( S e c -
t i o n 4 . 2 ) . ( V é a s e l o s d o s m ó d u l o s a n t e r i o r e s s i n e c e s i t a u n r e p a s o d e c o n v o l u c i ó n ) . T a m b i é n p a r a a l g u n a s
8
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 9 / 1 . 2 / > .
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d e m o s t r a c i o n e s d e l a s p r o p i e d a d e s , u s a r e m o s l a s i n t e g r a l e s d e t i e m p o - c o n t i n u o , p e r o p o d e m o s p r o b a r l a s d e
l a m i s m a m a n e r a u s a n d o l a s s u m a t o r i a s d e t i e m p o - d i s c r e t o .
3 . 3 . 1 A s o c i a t i v i d a d
T h e o r e m 3 . 1 : L e y A s o c i a t i v a
f 1 (t) ∗ (f 2 (t) ∗ f 3 (t)) = (f 1 (t) ∗ f 2 (t)) ∗ f 3 (t) ( 3 . 1 9 )
F i g u r e 3 . 1 2 : I m p l i c a c i ó n g r á c a d e l a p r o p i e d a d d e a s o c i a t i v i d a d d e l a c o n v o l u c i ó n .
3 . 3 . 2 C o n m u t a t i v i d a d
T h e o r e m 3 . 2 : : L e y C o n m u t a t i v a
y (t) = f (t) ∗ h (t)
= h (t) ∗ f (t)( 3 . 2 0 )
P r o o f : P a r a p r o b a r l a ( 3 . 2 0 ) , l o ú n i c o q u e t e n e m o s q u e h a c e r e s u n p e q u e ñ o c a m b i o d e v a r i a b l e
e n n u e s t r a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n ( o s u m a ) ,
y (t) = ∞−∞ f (τ ) h (t − τ ) dτ ( 3 . 2 1 )
D e j a n d o τ = t − τ , p o d e m o s m o s t r a r f á c i l m e n t e q u e l a c o n v o l u c i ó n e s c o n m u t a t i v a :
y (t) = ∞−∞ f (t − τ ) h (τ ) dτ
= ∞−∞ h (τ ) f (t − τ ) dτ
( 3 . 2 2 )
f (t) ∗ h (t) = h (t) ∗ f (t) ( 3 . 2 3 )
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D O M I N I O D E L T I E M P O
F i g u r e 3 . 1 3 : L a g u r a m u e s t r a q u e a m b a s f u n c i o n e s p u e d e n s e r v i s t a s c o m o e n t r a d a s d e l s i s t e m a
m i e n t r a s l o o t r o e s l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o .
3 . 3 . 3 D i s t r i b u c i ó n
T h e o r e m 3 . 3 : L e y D i s t r i b u t i v a
f 1 (t)
∗(f 2 (t) + f 3 (t)) = f 1 (t)
∗f 2 (t) + f 1 (t)
∗f 3 (t) ( 3 . 2 4 )
P r o o f : L a d e m o s t r a c i ó n d e e s t e t e o r e m a p u e d e s e r t o m a d a d i r e c t a m e n t e d e l a d e n i c i ó n d e
c o n v o l u c i ó n y u s a n d o l a l i n e a l i d a d d e l a i n t e g r a l .
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F i g u r e 3 . 1 4
3 . 3 . 4 D e s p l a z a m i e n t o e n e l T i e m p o
T h e o r e m 3 . 4 : P r o p i e d a d d e D e s p l a z a m i e n t o
P a r a c (t) = f (t) ∗ h (t) , e n t o n c e s
c (t − T ) = f (t − T ) ∗ h (t) ( 3 . 2 5 )
y
c (t − T ) = f (t) ∗ h (t − T ) ( 3 . 2 6 )
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D O M I N I O D E L T I E M P O
( a )
( b )
( c )
F i g u r e 3 . 1 5 : D e m o s t r a c i ó n G r á c a d e l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o .
3 . 3 . 5 C o n v o l u c i ó n c o n u n I m p u l s o
T h e o r e m 3 . 5 : C o n v o l u c i ó n c o n I m p u l s o U n i t a r i o
f (t) ∗ δ (t) = f (t) ( 3 . 2 7 )
P r o o f : P a r a e s t e d e m o s t r a c i ó n , d e j a r e m o s q u e
δ (t) s e a e l i m p u l s o u n i t a r i o l o c a l i z a d o e n e l o r i g e n .
U s a n d o l a d e n i c i ó n d e c o n v o l u c i ó n e m p e z a m o s c o n l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n
f (t) ∗ δ (t) =
∞−∞
δ (τ ) f (t − τ ) dτ ( 3 . 2 8 )
D e l a d e n i c i ó n d e l i m p u l s o u n i t a r i o , c o n o c e m o s q u e δ (τ ) = 0 s i e m p r e q u e τ = 0. U s a m o s e s t e
h e c h o p a r a r e d u c i r l a e c u a c i ó n a n t e r i o r y o b t e n e r l o s i g u i e n t e :
f (t) ∗ δ (t) = ∞−∞ δ (τ ) f (t) dτ
= f (t) ∞−∞ (δ (τ )) dτ
( 3 . 2 9 )
L a i n t e g r a l d e δ (τ ) s o l o t e n d r á u n v a l o r c u a n d o τ = 0 ( d e l a d e n i c i ó n d e l i m p u l s o u n i t a r i o ) , p o r
l o t a n t o e s a i n t e g r a l s e r á i g u a l a u n o . D o n d e p o d e m o s s i m p l i c a r l a e c u a c i ó n d e n u e s t r o t e o r e m a :
f (t) ∗ δ (t) = f (t) ( 3 . 3 0 )
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( a )
( b )
F i g u r e 3 . 1 6 : L a s g u r a s y e c u a c i o n e s a n t e r i o r e s , r e v e l a n l a f u n c i ó n i d e n t i d a d d e l i m p u l s o u n i t a r i o .
3 . 3 . 6 A n c h o
E n t i e m p o c o n t i n u o , s i l a Duracin (f 1) = T 1 y l a D u r a c i ó n (f 2) = T 2 , e n t o n c e s
Duracin (f 1
∗f 2) = T 1 + T 2 ( 3 . 3 1 )
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D O M I N I O D E L T I E M P O
( a )
( b )
( c )
F i g u r e 3 . 1 7 : E n t i e m p o c o n t i n u o , l a d u r a c i ó n d e l a c o n v o l u c i ó n r e s u l t a i g u a l a l a s u m a d e l a s l o n g i t u d e s
d e c a d a u n a d e l a s d o s s e ñ a l e s c o n v o l u c i o n a d a s .
E n t i e m p o d i s c r e t o s i l a D u r a c i ó n (f 1) = N 1 y l a D u r a c i ó n (f 2) = N 2 , e n t o n c e s
Duracin (f 1 ∗ f 2) = N 1 + N 2 − 1 ( 3 . 3 2 )
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3 . 3 . 7 C a u s a l i d a d
S i f y h s o n a m b a s c a u s a l e s , e n t o n c e s f ∗ h t a m b i é n e s c a u s a l .
3 . 4 E s t a b i l i d a d B I B O
9
B I B O e s p a r a e n t r a d a a c o t a d a , s a l i d a a c o t a d a ( b o u n d e d i n p u t , b o u n d e d o u t p u t ) . B I B O e s t a b l e e s u n a
c o n d i c i ó n , t a l q u e c u a l q u i e r e n t r a d a a c o t a d a n o s d a u n a s a l i d a a c o t a d a . E s t o e s q u e c o n f o r m e n o s o t r o s
p o n g a m o s u n a e n t r a d a e s t a b l e , n o s g a r a n t i z a o b t e n e r u n a s a l i d a e s t a b l e .
P a r a e n t e n d e r e s t e c o n c e p t o , p r i m e r o d e b e m o s v e r q u e s i g n i c a e x a c t a m e n t e a c o t a d o . U n a s e ñ a l a c o t a d a
e s c u a l q u i e r s e ñ a l t a l q u e e x i s t e u n v a l o r d o n d e e l v a l o r a b s o l u t o d e l a s e ñ a l n u n c a e s m a y o r p a r a a l g ú n v a l o r .
Y a q u e e l v a l o r e s a r b i t r a r i o , l o q u e q u e r e m o s d e c i r e s q u e e n n i n g ú n p u n t o l a s e ñ a l p u e d e t e n d e r a i n n i t o .
F i g u r e 3 . 1 8 : U n a s e ñ a l a c o t a d a e s u n a s e ñ a l p a r a l a c u a l e x i s t e u n c o n s t a n t e
At a l q u e
|f (t) | < A ,
U n a v e z q u e y a t e n e m o s i d e n t i c a d o l o q u e s i g n i c a u n a s e ñ a l a c o t a d a , d e b e m o s m o v e r n u e s t r a a t e n c i ó n
a l a c o n d i c i ó n q u e u n s i s t e m a d e b e p o s e e r p a r a g a r a n t i z a r q u e s i u n a s e ñ a l p a s a a t r a v é s d e l s i s t e m a , u n a
s e ñ a l a c o t a d a s e p r e s e n t a r a e n l a s a l i d a . R e s u l t a q u e u n s i s t e m a L T I ( S e c t i o n 2 . 1 ) c o n t i n u o e n e l t i e m p o c o n
u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o
h (t) e s e s t a b i l i d a d B I B O s i y s o l o s i
C o n d i c i ó n d e T i e m p o - C o n t i n u o p a r a E s t a b i l i d a d B I B O
∞
−∞ |h (t)
|dt <
∞( 3 . 3 3 )
E s t o e s d e c i r q u e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e s a b s o l u t a m e n t e i n t e g r a b l e .
E x t e n d i e n d o e s t e c o n c e p t o a t i e m p o - d i s c r e t o t o m a m o s l a t r a n s i c i ó n e s t á n d a r d e i n t e g r a c i ó n a s u m a t o r i a
y o b t e n e m o s l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a
h (n) , q u e d e b e s e r a b s o l u t a m e n t e s u m a b l e . E s t o e s
C o n d i c i ó n d e T i e m p o - D i s c r e t o p a r a E s t a b i l i d a d B I B O
∞n=−∞
(|h (n) |) < ∞ ( 3 . 3 4 )
9
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 3 4 / 1 . 3 / > .
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D O M I N I O D E L T I E M P O
3 . 4 . 1 E s t a b i l i d a d y L a p l a c e
L a e s t a b i l i d a d e s m u y f á c i l d e d e d u c i r d e s d e l a g r á c a d e p o l o s y c e r o s ( S e c t i o n 1 4 . 6 ) d e u n a f u n c i ó n d e
t r a n s f e r e n c i a . L a ú n i c a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a p a r a d e m o s t r a r l a e s t a b i l i d a d e s d e m o s t r a r q u e e l e j e -
jωe s e n
l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a
( a ) ( b )
F i g u r e 3 . 1 9 : ( a ) E j e m p l o d e u n a g r á c a d e p o l o s y c e r o s p a r a u n s i s t e m a e s t a b l e d e t i e m p o - c o n t i n u o .
( b ) E j e m p l o d e u n a g r á c a d e p o l o s y c e r o s p a r a u n s i s t e m a i n e s t a b l e d e t i e m p o c o n t i n u o .
3 . 4 . 2 E s t a b i l i d a d y l a T r a n s f o r m a d a Z
L a e s t a b i l i d a d p a r a l a s s e ñ a l e s d e t i e m p o - d i s c r e t o ( S e c t i o n 1 . 1 ) e n e l d o m i n i o - z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) e s t a n f á c i l
d e d e m o s t r a r c o m o l o e s p a r a l a s s e ñ a l e s d e t i e m p o - c o n t i n u o e n e l d o m i n o L a p l a c e . S i n e m b a r g o e n l u g a r
d e l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a R O C ( r e g i o n o f c o n v e r g e n c e ) n e c e s a r i a p a r a c o n t e n e r e l e j e - jω , l a R O C d e b e
c o n t e n e r e l c í r c u l o u n i t a r i o .
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5 5
( a ) ( b )
F i g u r e 3 . 2 0 : ( a ) U n s i s t e m a e s t a b l e d e t i e m p o - d i s c r e t o . ( b ) U n s i s t e m a i n e s t a b l e d e t i e m p o - d i s c r e t o .
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D O M I N I O D E L T I E M P O
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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C h a p t e r 4
A n á l i s i s d e S i s t e m a s D i s c r e t o s e n e l
D o m i n i o d e l T i e m p o
4 . 1 A n á l i s i s e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o p a r a S i s t e m a s D i s c r e t o s
1
U n a s e ñ a l d i s c r e t a s (n) e s r e t r a s a d a p o r n0 m u e s t r a s , c u a n d o s e e s c r i b e s (n − n0), c o n n0 > 0. O p t a m o s
p o r q u e n0 t e n g a a v a n c e s n e g a t i v o s s o b r e l o s n ú m e r o s e n t e r o s . O p u e s t o a l o s r e t r a s o s a n á l o g o s
2
, l o s r e t r a s o s
d i s c r e t o s e n e l t i e m p o s o l o p u e d e n t e n e r e l v a l o r d e n ú m e r o s e n t e r o s . E n e l d o m i n i o d e l a f r e c u e n c i a , e l
r e t r a s o d e l a s e ñ a l c o r r e s p o n d e a u n d e s p l a z a m i e n t o l i n e a r e n e l á n g u l o d e l a s e ñ a l d i s c r e t a d e l a T r a n s f o r m a d a
d e F o u r i e r
s (n − n0) ↔ e−(j2πfn0)S
ej2πf
.
U n s i s t e m a l i n e a l d i s c r e t o t i e n e p r o p i e d a d e s d e s u p e r p o s i c i ó n :
S (a1x1 (n) + a2x2 (n)) = a1S (x1 (n)) + a2S (x2 (n)) ( 4 . 1 )
U n s i s t e m a d i s c r e t o e s l l a m a d o i n v a r i a n t e a l d e s p l a z a m i e n t o ( a n á l o g o a l o s s i s t e m a s d e t i e m p o i n v a r i a n t e
3
) s i e l r e t r a s o e n l a e n t r a d a o c u r r e e n l a s a l i d a .
S i S (x (n)) = y (n) , e n t o n c e s
S (x (n − n0)) = y (n − n0) ( 4 . 2 )
N o s o t r o s u s a m o s e l t é r m i n o i n v a r i a n t e a l d e s p l a z a m i e n t o p a r a e n f a t i z a r q u e e l r e t r a s o p u e d e o c u r r i r s o l o
e n l o s n ú m e r o s e n t e r o s d e l s i s t e m a d i s c r e t o , m i e n t r a s t a n t o e n l a s s e ñ a l e s a n á l o g a s , l o s r e t r a s o s p u e d e n s e r
v a l o r e s a r b i t r a r i o s .
N o s o t r o s q u e r e m o s c o n c e n t r a r n o s e n s i s t e m a s q u e s o n l i n e a l e s e i n v a r i a n t e s a l d e s p l a z a m i e n t o . E s t o s e r á
l o q u e n o s p e r m i t i r á t e n e r t o d o e l c o n t r o l e n e l a n á l i s i s d e l d o m i n i o d e l a f r e c u e n c i a y e l c o n t r o l d e s u
i m p l e m e n t a c i ó n . P o r q u e n o t e n e m o s u n a c o n e x i ó n f í s i c a e n l a c o n s t r u c c i ó n d e l s i s t e m a , n e c e s i t a m o s s o l a -
m e n t e t e n e r e s p e c i c a c i o n e s m a t e m á t i c a s . E n l o s s i s t e m a s a n á l o g o s , l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s e s p e c i c a n
l a e n t r a d a y l a s a l i d a d e l d o m i n i o d e l t i e m p o . L a c o r r e s p o n d i e n t e e s p e c i c a c i ó n d i s c r e t a e s t a d a d a e n u n a
e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l :
y (n) = a1y (n − 1) + · · · + a py (n − p) + b0x (n) + b1x (n − 1) + · · · + bqx (n − q) ( 4 . 3 )
L a s a l i d a d e l a s e ñ a l y (n) e s r e l a c i o n a d a a s u s v a l o r e s p a s a d o s p o r m e d i o d e y (n − l), l = 1, . . . , p , a l o s
v a l o r e s a c t u a l e s y a l o s v a l o r e s p a s a d o s d e l a e n t r a d a d e l a s e ñ a l s e r e p r e s e n t a n p o r m e d i o d e x (n) . L a s
c a r a c t e r í s t i c a s d e l s i s t e m a s o n d e t e r m i n a d a s p o r l a e l e c c i ó n d e c u a n t o s n ú m e r o s t e n d r a n l o s c o e c i e n t e s p y
q e l v a l o r d e l o s c o e c i e n t e s a1, . . . , a p y b0, b1, . . . , bq .
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 3 0 / 1 . 5 / > .
2
" S i m p l e S y s t e m s " : S e c t i o n D e l a y < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 6 / l a t e s t / # d e l a y >
3
" S i m p l e S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 6 / l a t e s t / # p a r a 4 w r a >
5 7
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5 8
C H A P T E R 4 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D I S C R E T O S E N E L D O M I N I O D E L
T I E M P O
a d e m a s : H a y u n a a s i m e t r í a e n l o s c o e c i e n t e s : ¾ C u á n d o e s a0 ? E s t o s c o e c i e n t e s m u l t i p l i c a r a n
e l t é r m i n o
y (n) e n ( 4 . 3 ) . N o s o t r o s d i v i d i r e m o s l a e c u a c i ó n p o r e l l a , l o c u a l n o c a m b i a r a l a r e l a c i ó n
d e s a l i d a - e n t r a d a . H e m o s c r e a d o l a s i g u i e n t e c o n v e n c i ó n :
a0 e s s i e m p r e u n o .
A l c o n t r a r i o d e u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l q u e s o l o p r o v e e u n a d e s c r i p c i ó n i m p l í c i t a d e u n s i s t e m a ( n o s o t r o s
d e b e m o s r e s o l v e r l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l ) , l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s p r o v e e n u n a m a n e r a e x p l i c i t a d e
r e s o l v e r l a s ; c a l c u l a n d o l a s s a l i d a s p a r a c a d a e n t r a d a . N o s o t r o s s i m p l e m e n t e e x p r e s a r e m o s l a s e c u a c i o n e s
d i f e r e n c i a l e s c o n u n p r o g r a m a q u e c a l c u l a c a d a s a l i d a u s a n d o v a l o r e s p r e v i o s , l a s c o r r i e n t e s d e l s i s t e m a y l a s
e n t r a d a s p r e v i a s .
L a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s s o n u s u a l m e n t e e x p r e s a d a s e n e l s o f t w a r e c o n i t e r a c i o n e s d e " f o r " . E l
p r o g r a m a d e M A T L A B d a i n f o r m a c i ó n d e l o s p r i m e r o s 1 0 0 0 v a l o r e s f o r m a d o s p o r m e d i o d e l a s s a l i d a s .
o r n a I X I H H H
@ n A a u m @ F B @ n E I X E I X n E A A C u m @ F B @ n X E I X n E q A A Y
n d
U n d e t a l l e i m p o r t a n t e e m e r g e c u a n d o n o s o t r o s c o n s i d e r a m o s h a c e r q u e e s t e p r o g r a m a f u n c i o n e ; d e h e c h o ,
c o m o e s t a e s c r i t o t i e n e ( p o r l o m e n o s ) d o s e r r o r e s . ¾ Q u é v a l o r e s d e e n t r a d a y s a l i d a s e p u e d e n u s a r p a r a
c a l c u l a r
y (1)? N o s o t r o s n e c e s i t a m o s v a l o r e s p a r a
y (0),
y (−1), . . . , v a l o r e s q u e n o t e n e m o s a u n . P a r a
c a l c u l a r e s t o s v a l o r e s n e c e s i t a r e m o s v a l o r e s p r e v i o s . L a m a n e r a d e s a l i r d e e s t e p r o b l e m a e s e s p e c i c a r l a s
c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s : d e b e m o s p r o v e e r p l o s v a l o r e s d e l a s a l i d a q u e o c u r r e n a n t e s q u e l a s e n t r a d a s
i n i c i a l e s . E s t o s v a l o r e s p u e d e n s e r a r b i t r a r i o s , l a d e c i s i ó n i m p a c t a e l c o m o r e s p o n d e e l s i s t e m a c o n l a s
e n t r a d a s . U n a d e c i s i ó n o c a s i o n a u n s i s t e m a l i n e a l : H a c e r l a c o n d i c i ó n i n i c i a l c e r o . L a r a z ó n s e e n c u e n t r a
e n l a d e n i c i ó n d e u n s i s t e m a l i n e a l
4
: L a ú n i c a m a n e r a q u e l a s s a l i d a s d e l a s s u m a p u e d a s e r l a s u m a d e l a
s a l i d a i n d i v i d u a l o c u r r e c u a n d o l a c o n d i c i ó n i n i c i a l e n c a d a c a s o e s c e r o .
E x e r c i s e 4 . 1
( S o l u t i o n o n p . 7 1 . )
L a c u e s t i ó n d e l a c o n d i c i ó n i n i c i a l s e r e s u e l v e a l e n t e n d e r l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l p a r a c a d a e n t r a d a
q u e e m p i e z a e n a l g ú n í n d i c e . N o o b s t a n t e , e l p r o g r a m a n o t r a b a j a p o r c a u s a d e l a p r o g r a m a c i ó n ,
n o e s c o n c e p t u a l y c o n t i e n e e r r o r e s . ¾ Q u é e s e s t o ? , ¾ C o m ó s e p u e d e " a r r e g l a r " ?
E x a m p l e 4 . 1
V a m o s a c o n s i d e r a r u n s i s t e m a s i m p l e c o n : p = 1 y q = 0 .
y (n) = ay (n − 1) + bx (n) ( 4 . 4 )
P a r a c a l c u l a r l a s a l i d a d e a l g ú n í n d i c e , e s t a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l i n d i c a q u e n o s o t r o s n e c e s i t a m o s
l a s a l i d a p r e v i a y (n − 1) y q u e l a s e ñ a l d e l a e n t r a d a o c c u r a e n e s e m o m e n t o d e l t i e m p o . S i n
e n t r a r a d e t a l l e , v a m o s a c a l c u l a r l a s a l i d a d e l s i s t e m a p a r a u n m u e s t r e o u n i t a r i o c o m o e n t r a d a :
x (n) = δ (n). Y a q u e l a e n t r a d a e s c e r o p a r a u n í n d i c e n e g a t i v o , n o s o t r o s d e b e m o s e m p e z a r p o r
t r a t a r d e c a l c u l a r l a s a l i d a e n
n = 0 .
y (0) = ay (−1) + b ( 4 . 5 )
¾ C u á l e s e l v a l o r d e
y (−1)? Y a q u e h e m o s u s a d o l a e n t r a d a d e v a l o r c e r o p a r a t o d o s l o s í n d i c e s
n e g a t i v o s , e s r a z o n a b l e a s u m i r q u e l a s a l i d a t a m b i é n t i e n e u n v a l o r d e c e r o . S e g u r a m e n t e , l a
e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l n o d e s c r i b i r á e l s i s t e m a l i n e a l
5
s i l a e n t r a d a , l a c u a l e s c e r o t o d o e l t i e m p o
n o p r o d u j o c e r o e n l a s a l i d a . C o n e s t o p o d e m o s a s u m i r : y (−1) = 0 , d e j a n d o y (0) = b . P a r a
n > 0 , l a e n t r a d a d e u n m u e s t r a r i o u n i t a r i o e s c e r o , l o c u a l n o s d e j a c o n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l
4
" S i m p l e S y s t e m s " : S e c t i o n L i n e a r S y s t e m s < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 6 / l a t e s t / # l i n e a r s y s >
5
" S i m p l e S y s t e m s " : S e c t i o n L i n e a r S y s t e m s < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 6 / l a t e s t / # l i n e a r s y s >
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5 9
y (n) = ay (n − 1) , n > 0 . C o n e s t o n o s o t r o s p o d e m o s p r e v e e r c o m o e l l t r o r e s p o n d e a e s t a
e n t r a d a p a r a h a c e r u n a t a b l a :
y (n) = ay (n − 1) + bδ (n) ( 4 . 6 )
n x (n) y (n)
−1 0 0
0 1 b
1 0 ba
2 0 ba2
: 0 :
n 0 ban
F i g u r e 4 . 1
L o s v a l o r e s d e l c o e c i e n t e d e t e r m i n a n e l c o m p o r t a m i e n t o d e l a s a l i d a . E l p a r á m e t r o b p u e d e s e r
c u a l q u i e r v a l o r , y s i r v e c o m o g a n a n c i a . E l e f e c t o d e l p a r á m e t r o a e s m á s c o m p l i c a d o ( F i g u r e 4 . 1 ) .
S i e s i g u a l a c e r o , l a s a l i d a s i m p l e m e n t e e s i g u a l a l a e n t r a d a p o r l a g a n a n c i a b . P a r a t o d o s l o s
v a l o r e s q u e n o s o n c e r o d e a, l a s a l i d a p e r d u r a p o r s i e m p r e ; t a l e s s i s t e m a s s o n c o n o c i d o s c o m o I R R
( R e s p u e s t a a l I m p u l s o I n n i t o ) . L a r a z ó n p a r a e s t a t e r m i n o l o g í a e s q u e e l m u e s t r a r i o u n i t a r i o
t a m b i é n c o n o c i d o c o m o u n i m p u l s o ( e s p e c i a l m e n t e e n u n a s i t u a c i ó n a n a l o g a ) y e l s i s t e m a r e s p o n d e n
a u n i m p u l s o q u e p e r d u r a p o r s i e m p r e . S i a e s p o s i t i v o y m e n o r q u e u n o , l a s a l i d a e s u n a
d e s c o m p o s i c i ó n e x p o n e n c i a l . C u a n d o
a = 1 , l a s a l i d a e s u n e s c a l ó n u n i t a r i o . S i
ae s n e g a t i v a y m á s
g r a n d e q u e
−1 , l a s a l i d a o s c i l a m i e n t r a s o c c u r r e u n a d e s c o m p o s i c i ó n e x p o n e n c i a l . C u a n d o
a =
−1 ,
l a s a l i d a c a m b i a s u s i g n o p a r a s i e m p r e , a l t e r n a n d o e n t r e b y −b . H a y e f e c t o s m á s d r a m á t i c o s
c u a n d o |a| > 1 ; s i e s p o s i t i v o o n e g a t i v o , l a s a l i d a d e l a s e ñ a l s e h a c e m á s y m á s g r a n d e c r e c i e n d o
e x p o n e n c i a l m e n t e .
1
n
y(n)a = 0.5, b = 1
n
-1
1
y(n)a = –0.5, b = 1
n0
2
4
y(n)a = 1.1, b = 1
x(n)
n
n
F i g u r e 4 . 2 : L a e n t r a d a p a r a e l e j e m p l o d e s i s t e m a s i m p l e , u n m u e s t r e o u n i t a r i o e s m o s t r a d a a r r i b a ,
c o n l a s s a l i d a s p a r a v a r i o s v a l o r e s d e p a r a m e t r o s d e s i s t e m a s m o s t r a d a s a b a j o .
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6 0
C H A P T E R 4 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D I S C R E T O S E N E L D O M I N I O D E L
T I E M P O
V a l o r e s p o s i t i v o s d e a s o n u s a d o s e n m o d e l o s d e p o b l a c i ó n p a r a d e s c r i b i r c o m o e l t a m a ñ o d e
u n a p o b l a c i ó n c r e c e a t r a v é s d e l t i e m p o . A q u í ,
np u e d e c o r r e s p o n d e r a g e n e r a c i ó n . L a e c u a c i ó n
d i f e r e n c i a l i n d i c a q u e e l n ú m e r o e n l a s i g u i e n t e g e n e r a c i ó n e s a l g ú n m ú l t i p l o d e u n v a l o r p r e v i o .
S i e s t e m ú l t i p l o e s m e n o r q u e u n o , l a p o b l a c i ó n s e e x t i n g u e ; s i e s m a y o r q u e u n o , l a p o b l a c i ó n s e
i n c r e m e n t a . L a m i s m a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l t a m b i é n d e s c r i b e e l e f e c t o s d e l l o s i n t e r e s c o m p u e s t o .
A q u í n m a r c a e l t i e m p o e n e l c u a l e l i n t e r e s c o m p u e s t o o c u r r e ( d i a r i o , m e n s u a l , e t c . ) , a e s i g u a l
a l a t a z a d e i n t e r é s c o m p u e s t o , y b = 1 ( e l b a n c o n o d a n i n g u n a g a n a n c i a ) . E n l a a p l i c a c i ó n p a r a
p r o c e s a r s e ñ a l e s , n o s o t r o s t í p i c a m e n t e r e q u e r i m o s q u e l a s a l i d a c o n t i n u é a c o t a d a p a r a c u a l q u i e r
e n t r a d a . P a r a n u e s t r o e j e m p l o , e s o s i g n i c a q u e p o d e m o s r e s t r i g i r |a| = 1 y e s c o g e r v a l o r e s p a r a
e s t o y l a g a n a n c i a s e g ú n s u a p l i c a c i ó n .
E x e r c i s e 4 . 2
( S o l u t i o n o n p . 7 1 . )
N o t e q u e e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l ( 4 . 3 ) ,
y (n) = a1y (n − 1) + · · · + a py (n − p) + b0x (n) + b1x (n − 1) + · · · + bqx (n − q)
n o t i e n e t é r m i n o s c o m o
y (n + 1) o
x (n + 1) e n e l l a d o d e r e c h o d e l a e c u a c i ó n . ¾ P u e d e n e s t o s
t é r m i n o s s e r i n c l u i d o s ? ¾ P o r q u é o p o r q u é n o ?
y(n)
n
15
F i g u r e 4 . 3 : L a g r a c a m u e s t r a l a r e s p u e s t a d e u n m u e s t r e o u n i t a r i o c o n u n l t r o b o x c a r d e l o n g i t u d 5 .
E x a m p l e 4 . 2
U n s i s t e m a u n p o c o d i f e r e n t e q u e n o c o n t i e n e l o s c o e c i e n t e s " a" . C o n s i d e r e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l :
y (n) =1
q(x (n) + · · · + x (n − q + 1)) ( 4 . 7 )
Y a q u e l a s a l i d a d e l s i s t e m a n a d a m a s d e p e n d e d e l o s v a l o r e s a c t u a l e s y p r e v i o s d e l o s v a l o r e s d e
e n t r a d a , n o s o t r o s n o n e c e s i t a m o s p r e o c u p a r n o s p o r l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s . C u a n d o l a e n t r a d a e s
u n m u e s t r e o u n i t a r i o , e l r e s u l t a d o e s i g u a l a
1q
p a r a n = 0, . . . , q − 1, e n t o n c e s e s i g u a l a c e r o
d e s p u é s d e e s o . E s t o s s i s t e m a s s o n c o n o c i d o s c o m o F I R ( R e s p u e s t a d e I m p u l s o F i n i t o o e n i n g l e s
F i n i t e I m p u l s e R e s p o n s e ) p o r q u e s u r e s p u e s t a d e m u e s t r e o u n i t a r i o t i e n e u n a d u r a c i ó n n i t a . A l
g r a c a r e s t a r e s p u e s t a s e v e c o m o ( F i g u r e 4 . 3 ) l a r e s p u e s t a d e m u e s t r e o u n i t a r i o e s u n p u l s o d e
a n c h o q y a l t u r a
1q
. E s t a s e ñ a l e s t a m b i é n c o n o c i d a c o m o b o x c a r , p o r e s o a e s t e s i s t e m a s e l e l e d a
e l n o m b r e d e l t r o d e b o x c a r . ( E n l a p r o x i m a s e c c i ó n d e r i v a r e m o s s u r e s p u e s t a e n f r e c u e n c i a y
d e s a r r o l l a r e m o s s u i n t e r p r e t a c i ó n a l l t r a r . ) P o r a h o r a , o b s e r v e q u e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d i c e q u e
c a d a v a l o r e n l a s a l i d a e s i g u a l a l p r o m e d i o d e l a c o r r i e n t e d e l a s e n t r a d a s d e l o s v a l o r e s a n t e r i o r e s .
A s í , e l v a l o r d e l a s a l i d a e s i g u a l a l p r o m e d i o a c t u a l d e l o s v a l o r e s d e l a s e n t r a d a s p r e c i a s q . P o r l o
t a n t o e s t e s i s t e m a s e p u e d e u s a r p a r a p r o d u c i r e l p r o m e d i o d e l a s t e m p e r a t u r a s s e m a n a l e s ( q = 7 )
q u e s e p u e d e n a c t u a l i z a r d i a r i a m e n t e .
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6 1
4 . 2 C o n v o l u c i ó n D i s c r e t a
6
4 . 2 . 1 I d e a s G e n e r a l e s
C o n v o l u c i ó n e s u n v a l o r q u e s e e x t i e n d e a t o d o s l o s s i s t e m a s q u e s o n i n v a r i a n t e s l i n e a r d e l t i e m p o
( S e c t i o n 2 . 1 ) ( L T I - L i n e a r T i m e I n v a r i a n t ) . L a i d e a d e c o n v o l u c i ó n d i s c r e t a e s l a m i s m a q u e l a d e
c o n v o l u c i ó n c o n t i n u a ( S e c t i o n 3 . 2 ) . P o r e s t a r a z ó n , p u e d e s e r d e g r a n a y u d a e l v e r l a s d o s v e r s i o n e s p a r a
q u e u s t e d e n t i e n d a l a e x t r e m a i m p o r t a n c i a d e l c o n c e p t o . R e c u e r d e q u e l a c o n v o l u c i ó n e s u n i n s t r u m e n t o
p o d e r o s o a l d e t e r m i n a r e l r e s u l t a d o d e u n s i s t e m a d e s p u é s d e s a b e r l a u n a e n t r a d a a r b i t r a r i a y l a r e s p u e s t a
a l i m p u l s o d e l s i s t e m a . P u e d e s e r t a m b i é n ú t i l a l v e r l a c o n v o l u c i ó n g r á c a m e n t e c o n s u s p r o p i o s o j o s y j u g a r
c o n e s t e c o n c e p t o u n p o c o , a s í q u e e x p e r i m e n t e c o n l a s a p l i c a c i o n e s
7
q u e e s t á n d i s p o n i b l e s e n l a I n t e r n e t .
E s t o s r e c u r s o s o f r e c e r á n m é t o d o s d i f e r e n t e s p a r a a p r e n d e r e s t e c o n c e p t o c r u c i a l .
4 . 2 . 2 S u m a d e C o n v o l u c i ó n
C o m o y a h a s i d o m e n c i o n a d o , l a s u m a d e c o n v o l u c i ó n p r o v e e u n a m a n e r a m a t e m á t i c a m a n t e c o n c i s a p a r a
e x p r e s a r e l r e s u l t a d o d e u n s i s t e m a L T I , b a s a d o e n u n a e n t r a d a a r b i t r a r i a p a r a u n a s e ñ a l d i s c r e t a y t a m b i é n
e l s a b e r l a r e s p u e s t a d e l s i s t e m a . L a s u m a d e c o n v o l u c i ó n e s e x p r e s a d a c o m o
y [n] =
∞k=−∞
(x [k] h [n − k]) ( 4 . 8 )
A s í c o m o e n t i e m p o c o n t i n u o l a c o n v o l u c i ó n e s r e p r e s e n t a d o p o r e l s í m b o l o * , y p u e d e s e r e s c r i t a c o m o
y [n] = x [n] ∗ h [n] ( 4 . 9 )
A l h a c e r u n s i m p l e c a m b i o d e v a r i a b l e s e n l a s u m a d e c o n v o l u c i ó n , k = n−k , p o d e m o s d e m o s t r a r f á c i l m e n t e
q u e l a c o n v o l u c i ó n e s c o n m u t a t i v a :
x [n] ∗ h [n] = h [n] ∗ x [n] ( 4 . 1 0 )
P a r a m a s i n f o r m a c i ó n s o b r e l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e c o n v o l u c i ó n , l e a l a s p r o p i e d a d e s d e c o n v o l u c i ó n ( S e c -
t i o n 3 . 3 ) .
4 . 2 . 3 D e r i v a c i ó n
S a b e m o s q u e l a s s e ñ a l e s d i s c r e t a s p u e d e n s e r r e p r e s e n t a d a s p o r l a s u m a d e i m p u l s e s d i s c r e t o s q u e e s t á n
d e s p l a z a d o s y e s c a l a d o s . Y a q u e e s t a m o s a s u m i e n d o q u e e l s i s t e m a e s l i n e a r e i n v a r i a n t e c o n e l t i e m p o ,
s e v e r a z o n a b l e d e c i r q u e l a e n t r a d a d e l a s e ñ a l e s t a f o r m a d a p o r i m p u l s e s q u e t a m b i é n e s t á n e s c a l a d o s y
d e s p l a z a d o s , e s t o e n t u r n o d a r í a c o m o r e s u l t a d o d e l s i s t e m a u n a s u m a d e r e s p u e s t a d e i m p u l s e q u e t a m b i é n
e s t á n e s c a l a d a s y d e s p l a z a d a s . E s t o e s e x a c t a m e n t e l o q u e o c u r r e e n c o n v o l u c i ó n . A b a j o p r e s e n t a m o s u n a
m a n e r a m a t e m á t i c a r i g u r o s a d e v e r e s t a d e r i v a c i ó n :
A l d e j a r H s e r u n s i s t e m a D T L T I , e m p e z a r e m o s c o n l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n y t r a b a j a r e m o s h a s t a l l e g a r a
l a s u m a d e c o n v o l u c i o n !
y [n] = H [x [n]]= H ∞
k=−∞ (x [k] δ [n − k])
=∞
k=−∞ (H [x [k] δ [n − k]])
=∞
k=−∞ (x [k] H [δ [n − k]])
=∞
k=−∞ (x [k] h [n − k])
( 4 . 1 1 )
6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 3 3 / 1 . 4 / > .
7
h t t p : / / w w w . j h u . e d u /
∼s i g n a l s
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6 2
C H A P T E R 4 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D I S C R E T O S E N E L D O M I N I O D E L
T I E M P O
D e m o s u n v i s t a z o r á p i d o a l o s p a s o s t o m a d o s e n l a d e r i v a c i ó n a n t e r i o r . D e s p u é s d e n u e s t r a e c u a c i ó n
i n i c i a l , n o s o t r o s u s a m o s l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o ( S e c t i o n 1 . 4 . 1 . 1 : L a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o
d e l i m p u l s o ) d e l D T p a r a r e - e s c r i b i r l a f u n c i ó n ,
x [n], c o m o u n a s u m a d e f u n c i o n e s m u l t i p l i c a d a p o r u n a
s u m a u n i t a r i a . D e s p u é s , m o v e m o s e l o p e r a d o r
Hy l a s u m a t o r i a
H[
·] e s l i n e a r , e n e l s i s t e m a D T . P o r e s t a
l i n e a l i d a d y p o r e l h e c h o q u e , x [k] e s c o n s t a n t e p o d e m o s e x t r a e r l a c o n s t a n t e s y a m e n c i o n a d a s y n a d a m a s
m u l t i p l i c a r l a e c u a c i ó n p o r H [·] . F i n a l m e n t e , u s a m o s e l d a t o q u e H [·] e s i n v a r i a n t e c o n e l t i e m p o p a r a
l l e g a r a n u e s t r a e c u a c i ó n d e s e a d a - l a s u m a d e c o n v o l u c i o n !
U n e j e m p l o g r a c o p u e d e a y u d a r e n d e m o s t r a r p o r q u e l a c o n v o l u c i ó n f u n c i o n a
F i g u r e 4 . 4 : U n a s i m p l e e n t r a d a c o n i m p u l s o d a c o m o r e s u l t a d o l a r e s p u e s t a d e i m p u l s o d e l s i s t e m a .
F i g u r e 4 . 5 : U n i m p u l s o e s c a l a d o c o m o e n t r a d a d a c o m o r e s u l t a d o u n a r e s p u e s t a e s c a l a d a , y a q u e t i e n e
l a p r o p i e d a d d e e s c a l m i e n t o p a r a u n s i s t e m a l i n e a l .
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F i g u r e 4 . 6 : A h o r a u s a r e m o s l a p r o p i e d a d d e t i e m p o i n v a r i a n t e d e l s i s t e m a p a r a d e m o s t r a r q u e u n a
e n t r a d a q u e e s t a d a s p l a z a d a d a c o m o r e s u l t a d o u n a s a l i d a c o n l a m i s m a f o r m a , s o l o q u e e s t a d e s p l a z a d a
p o r l a m i s m a c a n t i d a d q u e l a e n t r a d a .
F i g u r e 4 . 7 : A h o r a u s a r e m o s l a p r o p i e d a d d e a d i c i o n d e l s i s t e m a l i n e a l p a r a c o m p l e t a r l a g u r a . y a q u e
c u a l q u i e r s e ñ a l d i s c r e t a e s n a d a m a s l a s u m a d e i m p u l s o s d i s c r e t o s q u e e s t a n d e s p l a z a d o s y e s c a l a d o s ,
p o d e m o s e n c o n t r a r l a s a l i d a c o n t a n s o l o s a b e r l a s e ñ a l d e e n t r a d a y s u r e s p u e s t a a l i m p u l s o .
4 . 2 . 4 C o n v o l u c i o n a t r a v é s d e l E j e d e l T i e m p o ( U n m é t o d o g r a c o )
E n e s t a s e c c i ó n d e s a r r o l l a r e m o s u n a i n t e r p r e t a c i ó n g r a c a d e l a c o n v o l u c i ó n d i s c r e t a . E m p e z a r e m o s p o r
e s c r i b i r l a s u m a d e c o n v o l u c i ó n d e j a n d o
xs e r c a u s a l , d e t a m a ñ o -
my
hs e r c a u s a l , d e l t a m a ñ o -
k, e n u n
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6 4
C H A P T E R 4 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D I S C R E T O S E N E L D O M I N I O D E L
T I E M P O
s i s t e m a L T I . E s t o n o s d a u n a s u m a t o r i a n i t a ,
y [n] =m−1
l=0
(x [l] h [n − l]) ( 4 . 1 2 )
N o t e q u e p a r a c u a l q u i e r n t e n e m o s l a s u m a d e p r o d u c t o s d e xl d e s p l a z a d o s e n e l t i e m p o p o r h−l . E s t o e s
u n a m a n e r a d e d e c i r q u e m u l t i p l i c a m o s l o s t é r m i n o s d e x p o r l o s t é r m i n o s r e e x i o n a d o s e n e l t i e m p o d e hy l o s s u m a m o s d e s p u é s .
R e g r e s a m o s a l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s :
F i g u r e 4 . 8 : E s t o e s l o q u e e s p e r a m o s e n c o n t r a r .
F i g u r e 4 . 9 : E s t o e s e l r e e j o d e l a r e s p u e s t a d e l i m p u l s o , h , y s e e m p i e z a a m o v e r a t r a v e z d e l t i e m p o
0.
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6 5
F i g u r e 4 . 1 0 : C o n t i n u a m o s c o n e l m o v i i m i e n t o . V e a q u e a l t i e m p o
1, e s t a m o s m u l t i p l i c a n d o d o s
e l e m e n t o s d e l a s e ñ a l d e e n t r a d a y d o s e l e m e n t o s d e l a r e s p u e s t a d e l i m p u l s o .
F i g u r e 4 . 1 1
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6 6
C H A P T E R 4 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D I S C R E T O S E N E L D O M I N I O D E L
T I E M P O
F i g u r e 4 . 1 2 : S i s e g u i m o s e s t o u n p a s o m a s ,
n = 4, p o r d i a m o s v e r q u e p r o d u c i m o s l a m i s m a s a l i d a q u e
v i m o s e n e l e j e m p l o i n i c i a l .
L o s q u e e s t a m o s h a c i e n d o e n l a d e m o s t r a c i ó n d e a r r i b a e s r e e j a r l a r e s p u e s t a d e l i m p u l s o e n e l t i e m p o
y h a c e r l o c a m i n a r a t r a v é s d e l a e n t r a d a e n l a s e ñ a l . C l a r a m e n t e , e s t o d a e l m i s m o r e s u l t a d o q u e e s c a l a r ,
d e s p l a z a r , y s u m a r r e s p u e s t a s d e i m p u l s o s .
E s t e m é t o d o d e r e e x i ó n e n e l t i e m p o , y d e m o v e r a t r a v é s d e l a s e ñ a l e s u n a m a n e r a c o m ú n d e p r e s e n t a r
l a c o n v o l u c i ó n , y a q u e d e m u e s t r a c o m o l a c o n v o l u c i ó n c o n s t r u y e e l r e s u l t a d o a t r a v é s d e l e j e d e l t i e m p o .
4 . 3 C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r y e l D F T
8
4 . 3 . 1 I n t r o d u c c i ó n
U s t e d d e b e r í a f a m i l i a r i z a r s e c o n l a c o n v o l u c i ó n d i s c r e t a ( S e c t i o n 4 . 2 ) , q u e n o s e x p l i c a c o m o d o s s e ñ a l e s
d i s c r e t a s
x [n], l a e n t r a d a d e l s i s t e m a , y
h [n] , l a r e s p u e s t a d e l s i s t e m a , s e p u e d e d e n i r e l r e s u l t a d o d e l
s i s t e m a c o m o
y [n] = x [n] ∗ h [n]
=
∞k=−∞ (x [k] h [n − k])
( 4 . 1 3 )
C u a n d o d o s D F T s o n d a d a s ( s e c u e n c i a s d e t a m a ñ o n i t o u s u a l m e n t e d e l t a m a ñ o N ) , n o s o t r o s n o p o d e m o s
m u l t i p l i c a r e s a s d o s s e ñ a l e s a s í c o m o a s í , c o m o l o s u g i e r e l a f o r m u l a d e a r r i b a u s u a l m e n t e c o n o c i d a c o m o
c o n v o l u c i ó n l i n e a r . Y a q u e l a s D F T s o n p e r i ó d i c a s , t i e n e n v a l o r e s n o c e r o p a r a n ≥ N a s í l a m u l t i p l i c a c i ó n
d e e s t a s d o s s e ñ a l e s s e r á n o c e r o p a r a
n ≥ N . N e c e s i t a m o s d e n i r o t r o t i p o d e c o n v o l u c i o n q u e d a r á c o m o
r e s u l t a d o n u e s t r a s e ñ a l c o n v u e l t a t e n i e n d o e l v a l o r d e c e r o f u e r a d e l r a n g o
n = 0, 1, . . . , N − 1 . E s t o n o s
a y u d a a d e s a r r o l l a r l a i d e a d e c o n v o l u c i ó n c i r c u l a r , t a m b i é n c o n o c i d a c o m o c o n v o l u c i ó n c í c l i c a o p e r i ó d i c a .
8
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 3 1 / 1 . 3 / > .
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6 7
4 . 3 . 2 F o r m u l a d e l a C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r
¾ Q u é p a s a c u a n d o m u l t i p l i c a m o s d o s D F T u n a c o n l a o t r a , d o n d e Y [k] e s l a D F T d e y [n]?
Y [k] = F [k] H [k]( 4 . 1 4 )
c u a n d o 0 ≤ k ≤ N − 1U s a n d o l a f o r m u l a s i n t e t i z a d a d e D F T p a r a y [n]
y [n] =1
N
N −1k=0
F [k] H [k] ej
2πN
kn
( 4 . 1 5 )
Y a p l i c a n d o a n á l i s i s a l a f o r m u l a F [k] =N −1
m=0
f [m] e(−j) 2π
Nkn
y [n] = 1N
N −1k=0
N −1m=0
f [m] e(−j) 2π
Nkn
H [k] ej2πN
kn
= N −1m=0 f [m] 1
N N −1k=0 H [k] ej
2πN
k(n−m)( 4 . 1 6 )
d o n d e p o d e m o s r e d u c i r l a s e g u n d a s u m a t o r i a d e l a e c u a c i ó n d e a r r i b a e n h [((n − m))N ] =1N
N −1k=0
H [k] ej
2πN
k(n−m)
y [n] =N −1m=0
(f [m] h [((n − m))N ])
I g u a l a l a c o n v o l u c i ó n c i r c u l a r ! c u a n d o t e n e m o s 0 ≤ n ≤ N − 1 a r r i b a , p a r a o b t e n e r d o s :
y [n] ≡ (f [n] h [n]) ( 4 . 1 7 )
n o t e : Q u e l a n o t a c i ó n r e p r e s e n t a l a c o n v o l u c i o n c i r c u l a r " m o d N " .
4 . 3 . 2 . 1 P a s o s p a r a l a C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r
L o s p a s o s a s e g u i r p a r a l a c o n v o l u c i o n c í c l i c a s o n l o s m i s m o s q u e s e u s a n e n l a c o n v o l u c i ó n l i n e a r , e x c e p t o
q u e t o d o s l o s c á l c u l o s p a r a t o d o s l o s í n d i c e s e s t á n h e c h o " m o d N " = " e n l a r u e d a "
P a s o s p a r a l a C o n v o l u c i ó n C í c l i c a
• P a s o 1 : " G r a q u e " f [m] y h [((−m))N ]
( a ) ( b )
F i g u r e 4 . 1 3 : S t e p 1
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6 8
C H A P T E R 4 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D I S C R E T O S E N E L D O M I N I O D E L
T I E M P O
• P a s o 2 : " R o t e " h [((−m))N ] n e n l a d i r e c c i ó n A C W ( d i r e c c i ó n o p u e s t a a l r e l o j ) p a r a o b t e n e r
h [((n − m))N ] ( p o r e j e m p l o r o t e l a s e c u e n c i a ,
h [n], e n d i r e c c i ó n d e l r e l o j p o r
np a s o s ) .
F i g u r e 4 . 1 4 : S t e p 2
• P a s o 3 : M u l t i p l i q u e p u n t o p o r p u n t o l a r u e d a f [m] y l a r u e d a h [((n − m))N ] w h e e l .
sum = y [n]
• P a s o 4 : R e p i t e p a r a 0 ≤ n ≤ N − 1
E x a m p l e 4 . 3 : C o n v o l v e ( n = 4 )
( a ) ( b )
F i g u r e 4 . 1 5 : D o s s e ñ a l e s d i s c r e t a s q u e s e r a n c o n v o l u c i o n a d a s .
• h [((−m))N ]
F i g u r e 4 . 1 6
M u l t i p l i q u e
f [m] y
sumep a r a d a r :
y [0] = 3
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6 9
• h [((1 − m))N ]
F i g u r e 4 . 1 7
M u l t i p l i q u e
f [m] y
sumep a r a d a r :
y [1] = 5
•h [((2
−m))
N
]
F i g u r e 4 . 1 8
M u l t i p l i q u e f [m] y sume p a r a d a r : y [2] = 3
• h [((3 − m))N ]
F i g u r e 4 . 1 9
M u l t i p l i q u e f [m] y sume p a r a d a r : y [3] = 1
E x a m p l e 4 . 4
L a S i g u i e n t e D e m o s t r a c i ó n l e p e r m i t e e s t e a l g o r i t m o . V e a a q u í
9
p a r a i n s t r u c c i o n e s d e c o m o s e u s a
e s t e d e m o .
9
" H o w t o u s e t h e L a b V I E W d e m o s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 1 5 5 0 / l a t e s t / >
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7 0
C H A P T E R 4 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D I S C R E T O S E N E L D O M I N I O D E L
T I E M P O
T h i s i s a n u n s u p p o r t e d m e d i a t y p e . T o v i e w , p l e a s e s e e
h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 3 1 / l a t e s t / D T _ C i r c u l a r _ C o n v o l u t i o n . l l b
4 . 3 . 2 . 2 A l g o r i t m o A l t e r n o
A l g o r i t m o d e C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r A l t e r n o
• P a s o 1 : C a l c u l e e l D F T d e f [n] q u e d a F [k] y c a l c u l e e l D F T d e h [n] q u e d a H [k] .
• P a s o 2 : M u l t i p l i q u e p u n t o p o r p u n t o
Y [k] = F [k] H [k]• P a s o 3 : I n v i e r t a e l D F T
Y [k] q u e d a
y [n]
P a r e c e u n a m a n e r a r e p e t i t i v a d e h a c e r l a s c o s a s , p e r o e x i s t e n m a n e r a s r á p i d a s d e c a l c u l a r u n a s e c u e n c i a
D F T .
P a r a c o n v o l u c i o n a r c i r c u l a r m e n t e d o s s e c u e n c i a s d e
2 N - p u n t o s :
y [n] =
N −1m=0
(f [m] h [((n − m))N ])
P a r a c u a l q u i e r n : N m ú l t i p l o s , N − 1 s u m a s
N p u n t o s i m p l i c a N 2 m u l t i p l i c a c i o n e s , N (N − 1) s u m a s i m p l i c a u n a c o m p l e j i d a d d e O
N 2
.
4 . 4 E c u a c i o n e s d e D i f e r e n c i a
1 0
1 0
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 3 0 1 0 / 1 . 1 / > .
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7 1
S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 4
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 4 . 1 ( p . 5 8 )
L o s í n d i c e s p u e d e n s e r n e g a t i v o s , y e s t a c o n d i c i ó n n o e s p e r m i t i d a e n M A T L A B . P a r a a r r e g l a r e s t o , d e b e m o s
e m p e z a r l a s e ñ a l d e s p u é s d e e s t a c o n d i c i ó n .
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 4 . 2 ( p . 6 0 )
E s t o s t é r m i n o s r e q u i e r e n q u e e l s i s t e m a c o n o z c a e l v a l o r f u t u r o d e l a s e n t r a d a s o d e l a s s a l i d a s a n t e s d e q u e
e l v a l o r a c t u a l h a y a s i d o c a l c u l a d o . A s í q u e e s t o s t é r m i n o s p u e d e n c a u s a r p r o b l e m a s .
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7 2
C H A P T E R 4 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D I S C R E T O S E N E L D O M I N I O D E L
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C h a p t e r 5
R e p a s o d e A l g e b r a L i n e a l
5 . 1 A l g e b r a L i n e a l : C o n c e p t o s B á s i c o s
1
E s t e p e q u e ñ o t u t o r i a l d a a l g u n o s t é r m i n o s c l a v e d e á l g e b r a l i n e a l , n o p r e t e n d e r e m p l a z a r o s e r m u y p r o v e c h o s o
c o m o e n a q u e l l o s q u e u s t e d p r e t e n d e g a n a r u n a p r o f u n d i d a d e n á l g e b r a l i n e a l . E n c a m b i o e s t o e s u n a p e q u e ñ a
i n t r o d u c c i ó n a a l g u n o s t é r m i n o s e i d e a s d e á l g e b r a l i n e a l p a r a d a r n o s u n p e q u e ñ o r e p a s o p a r a a q u e l l o s q u e
t r a t a n d e t e n e r u n m e j o r e n t e n d i m i e n t o o d e a p r e n d e r s o b r e e i g e n v e c t o r e s ( v e c t o r e s p r o p i o s ) y e i g e n f u n c i o n e s
( f u n c i o n e s p r o p i a s ) , q u e j u e g a n u n p a p e l m u y i m p o r t a n t e e n l a o b t e n c i ó n d e i d e a s i m p o r t a n t e s e n S e ñ a l e s
y S i s t e m a s . L a m e t a d e e s t o s c o n c e p t o s e s d e p r o v e e r u n r e s p a l d o p a r a l a d e s c o m p o s i c i ó n d e s e ñ a l e s y p a r a
c o n d u c i r n o s a l a d e r i v a c i ó n d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) .
5 . 1 . 1 I n d e p e n d e n c i a L i n e a l
U n c o n j u n t o d e v e c t o r e s x1, x2, . . . , xk , xi ∈ Cn
e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s i n i n g u n o d e l o s
v e c t o r e s p u e d e e s c r i b i r s e c o m o u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s o t r o s .
D e n i t i o n 1 : 1 L i n e a l m e n t e I n d e p e n d i e n t e
U n c o n j u n t o d a d o d e v e c t o r e s x1, x2, . . . , xn , e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s i
c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn = 0
s o l o c u a n d o c1 = c2 = · · · = cn = 0E x a m p l e
D a d o s l o s s i g u i e n t e s d o s v e c t o r e s :
x1 =
3
2
x2 =
−6
−4
E s t o s s o n n o l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s p o r e l s i g u i e n t e a r g u m e n t o , e l c u a l p o r i n s p e c c i ó n , s e p u e d e
v e r q u e n o s e a p e g a a l a d e n i c i ó n a n t e r i o r d e i n d e p e n d e n c i a l i n e a l :
x2 = −2x1 ⇒ 2x1 + x2 = 0
. O t r o m é t o d o p a r a v e r l a i n d e p e n d e n c i a d e l o s v e c t o r e s e s g r a c a n d o l o s v e c t o r e s . O b s e r v a n d o
e s t o s d o s v e c t o r e s g e o m é t r i c a m e n t e ( c o m o e n l a s i g u i e n t e F i g u r e 5 . 1 ) , u n o p u e d e o t r a v e z p r o b a r
q u e e s t o s v e c t o r e s s o n n o l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 2 / 1 . 3 / > .
7 3
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7 4
C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L
3-6
2
4
F i g u r e 5 . 1 : R e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e d o s v e c t o r e s q u e n o s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
E x a m p l e 5 . 1
D a d o s l o s s i g u i e n t e s d o s v e c t o r e s :
x1 =
3
2
x2 =
1
2
E s t o s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s y a q u e
c1x1 = − (c2x2)
s o l o s i
c1 = c2 = 0 . B a s a d o s e n l a d e n i c i ó n , e s t a d e m o s t r a c i ó n m u e s t r a q u e e s t o s v e c t o r e s s o n
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . T a m b i é n p o d e m o s g r a c a r e s t o s d o s v e c t o r e s ( v é a s e F i g u r e 5 . 2 ) p a r a
c h e c a r l a i n d e p e n d e n c i a l i n e a l .
3
2
1
F i g u r e 5 . 2 : R e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e d o s v e c t o r e s q u e s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
E x e r c i s e 5 . 1
( S o l u t i o n o n p . 9 1 . )
¾ S o n x1, x2, x3 l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ?
x1 =
3
2
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7 5
x2 =
1
2
x3 =
−1
0
C o m o p o d e m o s v e r e n l o s d o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s , a v e c e s l a i n d e p e n d e n c i a d e v e c t o r e s p u e d e s e r v i s t a
f á c i l m e n t e a t r a v é s d e u n a g r á c a . S i n e m b a r g o e s t o n o e s t a n s e n c i l l o , c u a n d o s e n o s d a n t r e s o m á s
v e c t o r e s . P u e d e d e c i r f á c i l m e n t e c u a n d o o n o e s t o s v e c t o r e s s o n i n d e p e n d i e n t e s F i g u r e 5 . 3 . P r o b a b l e m e n t e
n o , e s t o e s , p o r l o c u a l e l m é t o d o u s a d o e n l a s o l u c i ó n a n t e r i o r s e v u e l v e i m p o r t a n t e .
3
2
1-1
F i g u r e 5 . 3 : G r á c a d e t r e s v e c t o r e s . P u e d e s e r m o s t r a d o q u e l a c o m b i n a c i ó n l i n e a l e x i s t e e n t r e l o s
t r e s , y p o r l o t a n t o e s t o s s o n
n o
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
o b s e r v a c i ó n : U n c o n j u n t o d e m v e c t o r e s e n Cn
n o p u e d e s e r l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s i m > n.
5 . 1 . 2 S u b e s p a c i o G e n e r a d o
D e n i t i o n 2 : S u b e s p a c i o G e n e r a d o
E l s u b e s p a c i o g e n e r a d o o s p a n
2
d e l c o n j u t o d e v e c t o r e s x1, x2, . . . , xk e s e l c o n j u n t o d e v e c t o r e s
q u e p u e d e n s e r e s c r i t o s c o m o u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e x1, x2, . . . , xk
subespaciogenerado (x1, . . . , xk) = α1x1 + α2x2 + · · · + αkxk , αi ∈ Cn
E x a m p l e
D a d o e l v e c t o r
x1 =
3
2
e l s u b e s p a c i o g e n e r a d o d e x1 e s u n a l i n e a .
E x a m p l e
D a d o l o s v e c t o r e s
x1 =
3
2
2
" S u b s p a c e s " , D e n i t i o n 2 : " S p a n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 9 7 / l a t e s t / # d e f n 2 >
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7 6
C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L
x2 =
1
2
E l s u b e s p a c i o g e n e r a d o p o r e s t o s v e c t o r e s e s C
2.
5 . 1 . 3 B a s e s
D e n i t i o n 3 : B a s e
U n a b a s e p a r a Cn
e s u n c o n j u n t o d e v e c t o r e s q u e : ( 1 ) g e n e r a n Cn
y ( 2 ) e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i -
e n t e .
C l a r a m e n t e , u n c o n j u n t o d e
nv e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s e s u n a b a s e p a r a C
n.
E x a m p l e 5 . 2
D a d o e l s i g u i e n t e v e c t o r
ei =
0.
.
.
0
1
0.
.
.
0
d o n d e e l 1 e s t a s i e m p r e e n l a i- e s i m a p o s i c i ó n y l o s v a l o r e s r e s t a n t e s s o n c e r o s . E n t o n c e s l a b a s e
p a r a Cne s
ei , i = [1, 2, . . . , n] n o t e : ei , i = [1, 2, . . . , n] e s l l a m a d a l a b a s e c a n ó n i c a .
E x a m p l e 5 . 3
h1 =
1
1
h2 =
1
−1
h1, h2 e s u n a b a s e p a r a
C
2.
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7 7
F i g u r e 5 . 4 : G r á c a d e b a s e s p a r a C2
S i
b1, . . . , b2
e s u n a b a s e p a r a C
n, e n t o n c e s p o d e m o s e x p r e s a r c u a l q u i e r
x
∈C
nc o m o u n a c o m b i n a c i ó n
l i n e a l d e bi ' s :
x = α1b1 + α2b2 + · · · + αnbn , αi ∈ C
E x a m p l e 5 . 4
D a d o e l s i g u i e n t e v e c t o r ,
x =
1
2
e s c r i b i e n d o x e n t é r m i n o s d e e1, e2 n o s d a
x = e1 + 2e2
E x e r c i s e 5 . 2
( S o l u t i o n o n p . 9 1 . )
T r a t e d e e s c r i b i r
xe n t é r m i n o s d e h1, h2 ( d e n i d o s e n e l e j e m p l o a n t e r i o r ) .
E n l o s d o s e j e m p l o s d e b a s e s a n t e r i o r e s ,
xe s e l m i s m o v e c t o r e n a m b o s c a s o s , p e r o p o d e m o s e x p r e s a r l o d e
v a r i a s d i f e r e n t e s m a n e r a s ( d i m o s s o l o d o s d e l a s m u c h a s p o s i b i l i d a d e s ) . S e p u e d e e x t e n d e r a u n m á s l a i d e a
d e b a s e s p a r a e s p a c i o d e f u n c i o n e s .
n o t a : : C o m o s e m e n c i o n o e n l a i n t r o d u c c i ó n , e s t o s c o n c e p t o s d e á l g e b r a l i n e a l n o s a y u d a r a n p a r a
e n t e n d e r l a s S e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) , l a s q u e n o s d i c e n q u e p o d e m o s e x p r e s a r l a s f u n c i o n e s
p e r i ó d i c a s f (t) , e n t é r m i n o s d e s u s f u n c i o n e s d e b a s e s ejω0nt.
5 . 2 C o n c e p t o s B á s i c o s d e V e c t o r e s
3
5 . 3 E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s
4
E n e s t a s e c c i ó n , n u e s t r o s i s t e m a l i n e a l s e r á u n a m a t r i z d e n ×n d e n ú m e r o s c o m p l e j o s . A l g u n o s c o n c e p t o s
d e e s t e m o d u l o e s t á n b a s a d o e n l o s c o n c e p t o s b á s i c o s d e á l g e b r a l i n e a l ( S e c t i o n 5 . 1 ) .
3
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 3 / 1 . 2 / > .
4
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 0 / 1 . 2 / > .
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7 8
C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L
5 . 3 . 1 E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s
S e a A u n a m a t r i z d e n ×n d o n d e A e s u n o p e r a d o r l i n e a l e n l o s v e c t o r e s d e Cn
.
Ax = b( 5 . 1 )
d o n d e x y b s o n v e c t o r e s d e n ×1 ( F i g u r e 5 . 5 ) .
( a )
( b )
F i g u r e 5 . 5 : I l u s t r a c i ó n d e u n s i s t e m a l i n e a l y v e c t o r e s .
D e n i t i o n 4 : E i g e n v e c t o r
U n e i g e n v e c t o r d e A e s u n v e c t o r v ∈ Cnt a l q u e
Av = λv ( 5 . 2 )
d o n d e λ e s l l a m a d o e l e i g e n v a l o r c o r r e s p o n d i e n t e . A s o l o c a m b i a l a l o n g i t u d d e v , n o s u d i r e c c i ó n .
5 . 3 . 1 . 1 M o d e l o G r á c o
A t r a v é s d e l a s s i g u i e n t e s F i g u r e 5 . 6 y F i g u r e 5 . 7 , v e a m o s l a s d i f e r e n c i a s d e l a ( 5 . 1 ) y d e l a ( 5 . 2 ) .
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7 9
F i g u r e 5 . 6 : R e p r e s e n t a l a ( 5 . 1 ) ,
Ax = b.
S i
ve s u n e i g e n v e c t o r d e A , e n t o n c e s s o l o s u l o n g i t u d c a m b i a . V é a s e F i g u r e 5 . 7 y n o t e q u e l a l o n g i t u d
d e n u e s t r o v e c t o r e s t a s i m p l e m e n t e e s c a l a d a p o r u n a v a r i a b l e λ, l l a m a d a e i g e n v a l o r :
F i g u r e 5 . 7 : R e p r e s e n t a l a ( 5 . 2 ) , Av = λv .
n o t a : C u a n d o t r a t a m o s c o n u n a m a t r i z A, l o s e i g e n v e c t o r e s s o n l o s v e c t o r e s p o s i b l e s m á s s i m p l e s
p a r a t r a b a j a r .
5 . 3 . 1 . 2 E j e m p l o s
E x e r c i s e 5 . 3
( S o l u t i o n o n p . 9 1 . )
P o r i n s p e c c i ó n y e n t e n d i m i e n t o d e e i g e n v e c t o r e s , e n c u e n t r e l o s d o s e i g e n v e c t o r e s v1 y v2 , d e
A =
3 0
0 −1
T a m b i é n ¾ c u á l e s s o n l o s e i g e n v a l o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s , λ1 y λ2 ? N o s e p r e o c u p e s i t i e n e p r o b l e m a s
v i e n d o e s t o s v a l o r e s d e l a i n f o r m a c i ó n d a d a h a s t a a h o r a , v e r e m o s o t r a s m a n e r a s m a s r i g u r o s a s d e
e n c o n t r a r e s t o s v a l o r e s .
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8 0
C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L
E x e r c i s e 5 . 4
( S o l u t i o n o n p . 9 1 . )
M u e s t r e q u e e s t o s d o s v e c t o r e s ,
v1 = 1
1
v2 =
1
−1
s o n e i g e n v e c t o r e s d e A, d o n d e A =
3 −1
−1 3
. T a m b i é n e n c u e n t r e l o s e i g e n v a l o r e s c o r r e s p o n -
d i e n t e s .
5 . 3 . 2 C a l c u l a n d o E i g e n v a l o r e s y E i g e n v e c t o r e s
E n l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s , c o n a m o s e n s u e n t e n d i m i e n t o d e l a d e n i c i ó n y d e a l g u n a s o b s e r v a c i o n e s p a r a
e n c o n t r a r y p r o b a r l o s v a l o r e s d e l o s e i g e n v e c t o r e s y e i g e n v a l o r e s . S i n e m b r a g o c o m o s e p u e d e d a r c u e n t a ,
e n c o n t r a r e s t o s v a l o r e s n o s i e m p r e e s f á c i l . A c o n t i n u a c i ó n v e r e m o s u n m é t o d o m a t e m á t i c o p a r a c a l c u l a r
e i g e n v a l o r e s y e i g e n v e c t o r e s d e u n a m a t r i z .
5 . 3 . 2 . 1 E n c o n t r a n d o E i g e n v a l o r e s
E n c o n t r a r λ ∈ C t a l q u e
v = 0, d o n d e
0e s e l v e c t o r c e r o . E m p e z a r e m o s c o n l a ( 5 . 2 ) , t r a b a j e m o s d e l a
s i g u i e n t e m a n e r a m i e n t r a s e n c o n t r a m o s u n a m a n e r a e x p l i c i t a d e c a l c u l a r λ.
Av = λv
Av − λv = 0
(A − λI )v = 0
E n e l p a s o p r e v i o , u s a m o s e l h e c h o d e q u e
λv = λI v
d o n d e
I e s l a m a t r i z i d e n t i d a d .
I =
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
0 0.
.
.
.
.
.
0 . . . . . . 1
P o r l o t a n t o , A − λI e s j u s t o u n a m a t r i z n u e v a .
E x a m p l e 5 . 5
D a d a l a s i g u i e n t e m a t r i z , A, e n t o n c e s p o d e m o s e n c o n t r a r n u e s t r a n u e v a m a t r i z , A − λI .
A =
a11 a12
a21 a22
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8 1
A − λI =
a11 − λ a12
a21 a22 − λ
S i (A − λI )v = 0 p a r a a l g ú n
v = 0 , e n t o n c e s
A − λI e s n o i n v e r t i b l e . E s t o q u i e r e d e c i r :
det (A − λI ) = 0
e s t e d e t e r m i n a n t e ( e l m o s t r a d o a r r i b a ) s e v u e l v e u n a e x p r e s i ó n p o l i n o m i a l ( d e g r a d o
n) . V é a s e e l s i g u i e n t e
e j e m p l o p a r a e n t e n d e r m e j o r .
E x a m p l e 5 . 6
E m p e z a n d o c o n l a m a t r i z
A( m o s t r a d a a c o n t i n u a c i ó n ) , e n c o n t r e m o s l a e x p r e s i ó n p o l i n o m i a l , d o n d e
n u e s t r o s e i g e n v a l o r e s s e r á n v a r i a b l e s d e p e n d i e n t e s .
A =
3 −1
−1 3
A − λI =
3 − λ −1
−1 3 − λ
det (A − λI ) = (3 − λ)2 − (−1)
2= λ2 − 6λ + 8
λ = 2, 4
E x a m p l e 5 . 7
E m p e z a n d o c o n l a m a t r i z A ( m o s t r a d a a c o n t i n u a c i ó n ) , e n c o n t r e m o s l a e x p r e s i ó n p o l i n o m i a l , d o n d e
n u e s t r o s e i g e n v a l o r e s s e r á n v a r i a b l e s d e p e n d i e n t e s .
A =
a11 a12
a21 a22
A − λI =
a11 − λ a12
a21 a22 − λ
det (A − λI ) = λ2 − (a11 + a22) λ − a21a12 + a11a22
S i n o l o h a n n o t a d o , c a l c u l a r l o s e i g e n v a l o r e s e s e q u i v a l e n t e a c a l c u l a r l a s r a í c e s d e
det (A − λI ) = cnλn
+ cn−1λn−1
+ · · · + c1λ + c0 = 0
c o n c l u s i ó n : P o r l o t a n t o u s a n d o u n o s p e q u e ñ o s c á l c u l o s p a r a r e s o l v e r l a s r a í c e s d e n u e s t r o
p o l i n o m i o , p o d e m o s e n c o n t r a r l o s e i g e n v a l o r e s d e l a m a t r i z .
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8 2
C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L
5 . 3 . 2 . 2 E n c o n t r a n d o E i g e n v e c t o r e s
D a d o u n e i g e n v a l o r , λi , e l e i g e n v e c t o r a s o c i a d o e s t a d a d o p o r
Av
= λiv
A
v1.
.
.
vn
=
λ1v1.
.
.
λnvn
c o n j u n t o d e n e c u a c i o n e s c o n n i n c o g n i t a s . S i m p l e m e n t e s e r e s u e l v e n l a s s o l v e t h e n e c u a c i o n e s p a r a
e n c o n t r a r l o s e i g e n v e c t o r e s .
5 . 3 . 3 P u n t o P r i n c i p a l
E l d e c i r q u e l o s e i g e n v e c t o r e s d e
A,
v1, v2, . . . , vn
, g e n e r a n e l s u b e s p a c i o
5 Cn
, s i g n i c a q u e
v1, v2, . . . , vn
s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s
6
y q u e p o d e m o s e s c r i b i r c u a l q u i e r
x ∈ Cn c o m o
x = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn ( 5 . 3 )
d o n d e α1, α2, . . . , αn ∈ C T o d o l o q u e e s t a m o s h a c i e n d o e s r e e s c r i b i r
xe n t é r m i n o s d e l o s e i g e n v e c t o r e s
d e A. E n t o n c e s ,
Ax = A (α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn)
Ax = α1Av1 + α2Av2 + · · · + αnAvn
Ax = α1λ1v1 + α2λ2v2 + · · · + αnλnvn = b
p o r l o t a n t o p o d e m o s e s c r i b i r ,
x =i
(αivi)
Y e s t o n o s l l e v a a l a s i g u i e n t e r e p r e s e n t a c i ó n d e l s i s t e m a :
F i g u r e 5 . 8 : I l u s t r a c i ó n d e l s i s t e m a d o n d e d e s c o m p o n e m o s n u e s t r o v e c t o r , x, e n l a s u m a d e s u s
e i g e n v e c t o r e s .
d o n d e e n l a F i g u r e 5 . 8 t e n e m o s ,
b =i
(αiλivi)
P u n t o P r i n c i p a l : D e s c o m p o n i e n d o n u e s t r o v e c t o r , x , e n u n a c o m b i n a c i ó n d e e i g e n v e c t o r e s , l a
s o l u c i ó n d e Ax e s t a d a d a e n p i e z a s f á c i l e s d e d i g e r i r " .
5
" L i n e a r A l g e b r a : T h e B a s i c s " : S e c t i o n S p a n < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 3 4 / l a t e s t / # s p a n _ s e c >
6
" L i n e a r A l g e b r a : T h e B a s i c s " : S e c t i o n L i n e a r I n d e p e n d e n c e < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 3 4 / l a t e s t / # l i n _ i n d >
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8 3
5 . 3 . 4 P r o b l e m a d e P r á c t i c a
E x e r c i s e 5 . 5
( S o l u t i o n o n p . 9 2 . )
P a r a l a s i g u i e n t e m a t r i z , A y v e c t o r x , r e s u é l v a s e p o r s u s p r o d u c t o s . T r a t e d e r e s o l v e r l o s p o r l o s
d o s d i f e r e n t e s m é t o d o s : d i r e c t a m e n t e y u s a n d o e i g e n v e c t o r e s .
A =
3 −1
−1 3
x =
5
3
5 . 4 D i a g o n a l i z a c i ó n d e M a t r i c e s
7
D e n u e s t r o e n t e n d i m i e n t o d e e i g e n v a l o r e s y e i g e n v e c t o r e s ( S e c t i o n 5 . 3 ) h e m o s d e s c u b i e r t o c i e r t a s c o s a s s o b r e
n u e s t r o o p e r a d o r , l a m a t r i z A. S a b e m o s q u e l o s e i g e n v e c t o r e s d e A g e n e r a n e l e s p a c i o Cn
y s a b e m o s c o m o
e x p r e s a r c u a l q u i e r v e c t o r x e n t é r m i n o s d e v1, v2, . . . , vn , e n t o n c e s t e n e m o s e l o p e r a d o r A c a l c u l a d o . S i
t e n e m o s A a c t u a n d o e n x , d e s p u é s e s t o e s i g u a l a A a c t u a n d o e n l a c o m b i n a c i ó n d e l o s e i g e n v e c t o r e s .
T o d a v í a t e n e m o s d o s p r e g u n t a s p e n d i e n t e s :
1 . ¾ C u á n d o l o s e i g e n v e c t o r e s v1, v2, . . . , vn d e A g e n e r a n e l e s p a c i o Cn
( a s u m i e n d o q u e v1, v2, . . . , vnl i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ) ?
2 . ¾ C ó m o e x p r e s a m o s u n v e c t o r d a d o x e n t é r m i n o s d e v1, v2, . . . , vn ?
5 . 4 . 1 1 R e s p u e s t a a l a P r e g u n t a # 1
Q u e s t i o n 1 : ¾ C u á n d o l o s e i g e n v e c t o r e s v1, v2, . . . , vn d e A g e n e r a n e l e s p a c i o
Cn ?
S i
At i e n e
nd i f e r e n t e s e i g e n v a l o r e s
λi = λj , i = j
d o n d e i y j s o n e n t e r o s , e n t o n c e s A t i e n e n e i g e n v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . v1, v2, . . . , vn q u e
g e n e r a n e l e s p a c i o Cn
.
n o t a : L a d e m o s t r a c i ó n d e e s t a p r o p o s i c i ó n n o e s m u y d i f í c i l , p e r o n o e s i n t e r e s a n t e p a r a i n c l u i r l a
a q u í . S i d e s e a i n v e s t i g a r e s t a i d e a , l é a s e S t r a n g G . , A l g e b r a L i n e a l y s u s a p l i c a c i o n e s p a r a l a
d e m o s t r a c i ó n .
A d e m á s , n d i f e r e n t e s e i g e n v a l o r e s s i g n i c a q u e
det (A − λI ) = cnλn
+ cn−1λn
−1
+ · · · + c1λ + c0 = 0
t i e n e n r a í c e s d i f e r e n t e s .
7
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 1 / 1 . 2 / > .
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8 4
C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L
5 . 4 . 2 R e s p u e s t a a l a P r e g u n t a # 2
Q u e s t i o n 2 : ¾ C ó m o e x p r e s a m o s u n v e c t o r d a d o x e n t é r m i n o s d e v1, v2, . . . , vn?
Q u e r e m o s e n c o n t r a r
α1, α2, . . . , αn
∈C t a l q u e
x = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn ( 5 . 4 )
P a r a p o d e r e n c o n t r a r e l c o n j u n t o d e v a r i a b l e s , e m p e z a r e m o s p o n i e n d o l o s v e c t o r e s v1, v2, . . . , vn c o m o
c u l u m n a s e n u n a m a t r i z
V d e n ×n .
V =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v1 v2 . . . vn.
.
.
.
.
.
.
.
.
A h o r a l a ( 5 . 4 ) s e c o n v i e r t e e n
x =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v1 v2 . . . vn.
.
.
.
.
.
.
.
.
α1
.
.
.
αn
ó
x = V α
L o q u e n o s d a u n a f o r m a s e n c i l l a d e r e s o l v e r p a r a l a v a r i a b l e d e n u e s t r a p r e g u n t a
α:
α = V −1x
N o t e s e q u e V e s i n v e r t i b l e y a q u e t i e n e n c o l u m n a s l i n e a l m n e t e i n d e p e n d i e n t e s .
5 . 4 . 2 . 1 C o m e n t a r i o s A d i c i o n a l e s
R e c o r d e m o s e l c o n o c i m i e n t o d e f u n c i o n e s y s u s b a s e s y e x a m i n e m o s e l p a p e l d e
V .
x = V α
x1
.
.
.
xn
= V
α1
.
.
.
αn
d o n d e
αe s s o l o
xe x p r e s a d a e n u n a b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 . 3 : B a s e s ) d i f e r e n t e :
x = x1
1
0.
.
.
0
+ x2
0
1.
.
.
0
+ · · · + xn
0
0.
.
.
1
x = α1
.
.
.
v1.
.
.
+ α2
.
.
.
v2.
.
.
+ · · · + αn
.
.
.
vn.
.
.
V t r a n s f o r m a
xd e l a b a s e c a n ó n i c a a l a b a s e v1, v2, . . . , vn
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8 5
5 . 4 . 3 D i a g o n a l i z a c i ó n d e M a t r i c e s y S a l i d a s
T a m b i é n p o d e m o s u s a r l o s v e c t o r e s v1, v2, . . . , vn p a r a r e p r e s e n t a r l a s a l i d a b , d e l s i s t e m a :
b = Ax = A (α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn)
Ax = α1λ1v1 + α2λ2v2 + · · · + αnλnvn = b
Ax =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v1 v2 . . . vn.
.
.
.
.
.
.
.
.
λ1α1
.
.
.
λ1αn
Ax = V Λα
Ax = V ΛV −1x
d o n d e Λ e s l a m a t r i z c o n e i g e n v a l o r e s e n l a d i a g o n a l :
Λ =
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . λn
F i n a l m e n t e , p o d e m o s c a n c e l a r l a s
xy q u e d a r n o s c o n u n a e c u a c i ó n n a l p a r a A:
A = V ΛV −1
5 . 4 . 3 . 1 1 I n t e r p r e t a c i ó n
P a r a n u e s t r a i n t e r p r e t a c i ó n , r e c o r d e m o s n u e s t r a f o r m u l a s :
α = V −1x
b =i
(αiλivi)
p o d e m o s i n t e r p r e t a r e l f u n c i o n a m i e n t o d e x c o n A c o m o :
x1
.
.
.
xn
→
α1.
.
.
αn
→
λ1α1.
.
.
λ1αn
→
b1.
.
.
bn
D o n d e l o s t r e s p a s o s ( l a s e c h a s ) e n l a i l u s t r a c i ó n a n t e r i o r r e p r e s e n t a n l a s s i g u i e n t e s t r e s o p e r a c i o n e s :
1 . T r a n s f o r m a r x u s a n d o V −1 , n o s d a α2 . M u l t i p l i c a r p o r Λ3 . T r a n s f o r m a d a I n v e r s a u s a n d o V , l o q u e n o s d a b
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8 6
C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L
½ E s t e e s e l p a r a d i g m a q u e u s a r e m o s p a r a l o s s i s t e m a s L T I !
F i g u r e 5 . 9 : I l u s t r a c i ó n s i m p l e d e l s i s t e m a L T I .
5 . 5 G e n e r a l i d a d e s d e E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s
8
5 . 5 . 1 L a M a t r i z y s u s E i g e n v e c t o r e s
L a r a z ó n p o r l a c u a l e s t a m o s r e c a l c a n d o l a i m p o r t a n c i a d e l o s e i g e n v e c t o r e s ( S e c t i o n 5 . 3 ) e s p o r q u e l a a c c i ó n
d e u n a m a t r i z A e n u n o d e s u s e i g e n v e c t o r e s v e s
1 . E x t r e m a d a m e n t e f á c i l ( y r á p i d o ) d e c a l c u l a r
Av = λv( 5 . 5 )
s o l o m u l t i p l i c a r v p o r λ.
2 . f á c i l d e i n t e r p r e t a r : A s o l o e s c a l a v , m a n t e n i e n d o s u d i r e c c i ó n c o n s t a n t e y s o l o a l t e r a l a l o n g i t u d d e l
v e c t o r .
S i s o l o c a d a v e c t o r f u e r a u n e i g e n v e c t o r d e A. . . .
5 . 5 . 2 U s a n d o e l E s p a c i o G e n e r a d o p o r l o s E i g e n v e c t o r e s
C l a r o q u e n o t o d o s l o s v e c t o r e s p e r o p a r a c i e r t a s m a t r i c e s ( i n c l u i d a s a q u e l l a s c o n e i g e n v a l o r e s λ' s ) , c u y o s
e i g e n v e c t o r e s g e n e r a n e l s u b e s p a c i o ( S e c t i o n 5 . 1 . 2 : S u b e s p a c i o G e n e r a d o ) Cn
, l o q u e s i g n i c a q u e p a r a c a d a
x ∈ Cn, p o d e m o s e n c o n t r a r α1, α2, αn ∈ C t a l q u e :
x = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn ( 5 . 6 )
D a d a l a ( 5 . 6 ) , p o d e m o s r e e s c r i b i r Ax = b. E s t a e c u a c i ó n e s t a m o d e l a d a e n n u e s t r o s i s t e m a L T I i l u s t r a d o
p o s t e r i o r m e n t e :
F i g u r e 5 . 1 0 : S i s t e m a L T I .
8
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 2 / 1 . 3 / > .
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x =i
(αivi)
b =i
(αiλivi)
E l s i s t e m a L T I r e p r e s e n t a d o a n t e r i o r m e n t e r e p r e s e n t a n u e s t r a ( 5 . 5 ) . L a s i g u i e n t e e s u n a i l u s t r a c i ó n d e l o s
p a s o p a r a i r d e
xa
b.
x → α = V −1x
→ ΛV −1x
→ V ΛV −1x = b
D o n d e l o s t r e s p a s o s ( l a s e c h a s ) d e l a i l u s t r a c i ó n a n t e r i o r r e p r e s e n t a n l a s s i g u i e n t e s t r e s o p e r a c i o n e s :
1 . T r a n s f o r m a r
xu s a n d o
V −1- n o s d a
α2 . A c c i ó n d e
Ae n u n a n u e v a b a s e - u n a m u l t i p l i c a c i ó n p o r Λ
3 . R e g r e s a r a l a a n t i g u a b a s e - t r a n s f o r m a d a i n v e r s a u s a n d o l a m u l t i p l i c a c i ó n p o r V , l o q u e n o s d a
b
5 . 6 E i g e n f u n c i o n e s d e l o s S i s t e m a s L T I
9
5 . 6 . 1 I n t r o d u c c i ó n
A h o r a q u e y a e s t a f a m i l i a r i z a d o c o n l a n o c i ó n d e e i g e n v e c t o r d e u n a m a t r i z d e s i s t e m a , s i n o l o e s t a d e u n
p e q u e ñ o r e p a s o a l a s g e n e r a l i d a d e s d e e i g e n v e c t o r e s y e i g e n v a l o r e s ( S e c t i o n 5 . 5 ) . T a m b i é n p o d e m o s c o n v e r t i r
l a s m i s m a s i d e a s p a r a s i s t e m a s L T I a c t u a n d o e n s e ñ a l e s . U n s i s t e m a l i n e a l i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o ( L T I )
1 0
H o p e r a n d o e n u n a s a l i d a c o n t i n u a
f (t) p a r a p r o d u c i r u n a s a l i d a c o n t i n u a e n e l t i e m p o
y (t)
H [f (t)] = y (t) ( 5 . 7 )
F i g u r e 5 . 1 1 : H [f (t)] = y (t) . f y t s o n s e ñ a l e s d e t i e m p o c o n t i n u o ( C T ) y H e s u n o p e r a d o r L T I .
L a m a t e m á t i c a e s a n á l o g a a u n a m a t r i z A d e N x N o p e r a n d o e n u n v e c t o r
x
∈C
N p a r a p r o d u c i r o t r o
v e c t o r b ∈ CN ( v é a s e m a t r i c e s y s i s t e m a s L T I p a r a u n a d e s c r i p c i ó n ) .
Ax = b( 5 . 8 )
9
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 4 / 1 . 3 / > .
1 0
" I n t r o d u c t i o n t o S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 5 / l a t e s t / >
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C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L
F i g u r e 5 . 1 2 : Ax = b d o n d e x y b e s t a n e n
CN
y A e s u n a m a t r i z d e
N x
N .
S o l o c o m o u n e i g e n v e c t o r ( S e c t i o n 5 . 3 ) d e A e s v ∈ CN t a l q u e Av = λv , λ ∈ C,
F i g u r e 5 . 1 3 : Av = λv d o n d e v ∈ CN e s u n e i g e n v e c t o r d e A.
p o d e m o s d e n i r u n a e i g e n f u n c i ó n ( o e i g e n s e ñ a l ) d e u n s i s t e m a L T I H p a r a s e r u n a s e ñ a l f (t) t a l q u e
H [f (t)] = λf (t) , λ ∈ C ( 5 . 9 )
F i g u r e 5 . 1 4 :
H [f (t)] = λf (t)d o n d e
f e s u n a e i g e n f u n c i ó n d e
H.
L a s E i e g e n f u n c i o n e s s o n l a s s e ñ a l e s m a s s i m p l e s p o s s i b l e s p a r a H π p a r a o p e r a r e n e l l a s : p a r a c a l c u l a r
l a s a l i d a , s i m p l e m e n t e m u l t i p l i c a m o s l a e n t r a d a p o r u n n ú m e r o c o m p l e j o λ.
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5 . 6 . 2 E i g e n f u n c i o n e s p a r a c u a l q u i e r s i s t e m a L T I
L a c l a s e d e s i s t e m a s L T I t i e n e u n c o n j u n t o d e e i g e n f u n c i o n e s e n c o m ú n : e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o ( S e c t i o n 1 . 5 )
est , s ∈ C s o n e i g e n f u n c i o n e s p a r a t o d o s i s t e m a L T I .
H est = λsest ( 5 . 1 0 )
F i g u r e 5 . 1 5 :
Hˆ
est˜
= λsest
d o n d e
He s u n s i s t e m a L T I .
N o t e : M i e n t r a s q u e est , s ∈ C s i e m p r e s o n e i g e n f u n c i o n e s p a r a t o d o s i s t e m a L T I , e s t a s n o
s o n n e c e s a r i a m e n t e l a s ú n i c a s e i g e n f u n c i o n e s .
P o d e m o s p r o b a r l a ( 5 . 1 0 ) e x p r e s a n d o l a s a l i d a c o m o u n a c o n v o l u c i ó n ( S e c t i o n 3 . 2 ) d e l a e n t r a d a est y d e
l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o ( S e c t i o n 1 . 4 ) h (t) d e H:
H [est] = ∞−∞ h (τ ) es(t−τ )dτ
= ∞−∞ h (τ ) este−(sτ )dτ
= est ∞−∞ h (τ ) e−(sτ )dτ
( 5 . 1 1 )
Y a q u e l a e x p r e s i ó n d e l a d e r e c h a n o d e p e n d e d e t, e s u n a c o n s t a n t e λs ; P o r l o t a n t o
H est = λsest ( 5 . 1 2 )
E l e i g e n v a l o r λs e s u n n ú m e r o c o m p l e j o q u e d e p e n d e d e l e x p o n e n t e s y p o r s u p u e s t o , e l s i s t e m a H . P a r a
h a c e r e s t a d e p e n d e n c i a e x p l i c i t a , v a m o s a u s a r l a n o t a c i ó n H (s) ≡ λs .
F i g u r e 5 . 1 6 :
este s l a e i g e n f u n c i ó n y
H (s) s o n e i g e n v a l o r e s .
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C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L
Y a q u e l a a c c i ó n d e l o p e r a d o r L T I e n e s t a e i g e n f u n c i ó n est e s f á c i l d e c a l c u l a r y d e i n t e r p r e t a r , e s
c o n v e n i e n t e r e p r e s e n t a r u n a s e ñ a l a r b i t r a r i a
f (t) c o m o u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e x p o n e n t e s c o m p l e j o s .
L a s S e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) n o s d a n l a r e p r e s e n t a c i ó n p a r a u n a s e ñ a l p e r i ó d i c a c o n t i n u a e n e l t i e m p o ,
m i e n t r a s q u e ( p o c o m á s c o m p l i c a d a ) t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
1 1
n o s d e j a e x p a n d i r s e ñ a l e s a r b i t r a r i a s d e
t i e m p o c o n t i n u o .
5 . 7 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
1 2
P e q u e ñ a T a b l a d e l o s P a r e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
s ( t ) S ( f )
e−(at)u (t) 1j2πf +a
e(−a)|t| 2a4π2f 2+a2
p (t) = 1 i f |t| < ∆2
0 i f |t| > ∆2
sin(πf ∆)
πf
sin(2πWt)πt
S (f ) =
1 i f |f | < W
0 i f |f | > W
P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
D o m i n i o d e l T i e m p o D o m i n i o d e l a F r e c u e n c i a
L i n e a l i d a d a1s1 (t) + a2s2 (t) a1S 1 (f ) + a2S 2 (f )
S i m e t r i a C o n j u g a d a s (t) ∈ R S (f ) = S (−f )∗
S i m e t r i a P a r s (t) = s (
−t) S (f ) = S (
−f )
S i m e t r i a I m p a r s (t) = − (s (−t)) S (f ) = − (S (−f ))
C a m b i o d e E s c a l a s (at) 1|a|S
f a
R e t r a s o e n e l T i e m p o s (t − τ ) e−(j2πfτ )S (f )
M o d u l a c i ó n C o m p l e j a ej2πf 0ts (t) S (f − f 0)
A m p l i t u d M o d u l a d a p o r C o s e n o
s (t) cos (2πf 0t) S(f −f 0)+S(f +f 0)2
A m p l i t u d M o d u l a d a p o r S e n o s (t) sin (2πf 0t)S(f −f 0)−S(f +f 0)
2j
D e r i v a c i ó n
ddt
s (t) j2πf S (f )
I n t e g r a c i ó n
t−∞ s (α) dα 1
j2πf S (f ) i f
S (0) = 0
M u l t i p l i c a c i ó n p o r t ts (t) 1
−(j2π)
ddf
S (f )
Á r e a
∞−∞ s (t) dt S (0)
V a l o r e n e l O r i g e n
s (0) ∞−∞ S (f ) df
T e o r e m a d e P a r s e v a l
∞−∞ (|s (t) |)2dt
∞−∞ (|S (f ) |)2df
1 1
" D e r i v a t i o n o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 4 6 / l a t e s t / >
1 2
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 5 / 1 . 2 / > .
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9 1
S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 5
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 5 . 1 ( p . 7 4 )
J u g a n d o u n p o c o c o n l o s v e c t o r e s y h a c i e n d o i n t e n t o s d e p r u e b a y e r r o r , d e s c u b r i m o s l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n :
x1 − x2 + 2x3 = 0
d o n d e e n c o n t r a m o s u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e s t o s t r e s v e c t o r e s i g u a l a c e r o s i n u t i l i z a r l o s c o e c i e n t e s i g u a l
a c e r o . P o r l o t a n t o , e s t o s v e c t o r e s s o n ½ n o l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s !
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 5 . 2 ( p . 7 7 )
x =3
2h1 +
−1
2h2
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 5 . 3 ( p . 7 9 )
L o s e i g e n v e c t o r e s q u e d e b i ó e n c o n t r a r s o n :
v1 = 1
0
v2 =
0
1
Y l o s e i g e n v a l o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s s o n :
λ1 = 3
λ2 = −1
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 5 . 4 ( p . 8 0 )
P a r a p o d e r p r o b a r q u e e s t o s d o s v e c t o r e s s o n e i g e n v e c t o r e s , m o s t r a r e m o s q u e e s t a s a r m a c i o n e s c u m p l e n
c o n l o s r e q u i s i t o s q u e i n d i c a l a d e n i c i ó n ( D e n i t i o n : " E i g e n v e c t o r " , p . 7 8 ) .
Av1 =
3 −1
−1 3
1
1
=
2
2
Av2 =
3 −1
−1 3
1
−1
=
4
−4
E s t e r e s u l t a d o n o s m u e s t r a q u e
As o l o e s c a l a l o s d o s v e c t o r e s ( e s d e c i r c a m b i a s u s l o n g i t u d e s ) y e s t o p r u e b a
q u e l a ( 5 . 2 ) e s c i e r t a p a r a l o s s i g u i e n t e s d o s e i g e n v a l o r e s q u e s e l e p i d i ó q u e e n c o n t r a r a :
λ1 = 2
λ2 = 4
. S i q u i e r e c o n v e n c e r s e m á s , e n t o n c e s t a m b i é n s e p u e d e n g r a c a r l o s v e c t o r e s y s u p r o d u c t o c o r r e s p o n d i e n t e
c o n A p a r a v e r l o s r e s u l t a d o s c o m o u n a v e r s i ó n e s c a l a d a d e l o s v e c t o r e s o r i g i n a l e s v1 y v2 .
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9 2
C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 5 . 5 ( p . 8 3 )
M é t o d o D i r e c t o ( u s e s e l a m u l t i p l i c a c i ó n b á s i c a d e m a t r i c e s )
Ax = 3
−1
−1 3
5
3
= 12
4
E i g e n v e c t o r e s ( u s e l o s e i g e n v e c t o r e s y e i g e n v a l o r e s q u e s e e n c o t r a r o n a n t e r i o r m e n t e p a r a e s t a m i s m a m a t r i z )
v1 =
1
1
v2 =
1
−1
λ1 = 2
λ2 = 4
C o m o s e m u e s t r a e n l a ( 5 . 3 ) , q u e r e m o s r e p r e s e n t a r x c o m o l a s u m a d e s u s e i g e n v e c t o r e s e s c a l a d o s . P a r a e s t e
c a s o t e n e m o s :
x = 4v1 + v2
x =
5
3
= 4
1
1
+
1
−1
Ax = A (4v1 + v2) = λi (4v1 + v2)
P o r l o t a n t o , t e n e m o s
Ax = 4 × 2
1
1
+ 4
1
−1
=
12
4
N ó t e s e q u e e l m é t o d o u s a n d o e i g e n v e c t o r e s n o r e q u i e r e m u l t i p l i c a c i ó n d e m a t r i c e s . . E s t o p u e d e p a r e c e r
m a s c o m p l i c a d o h a s t a a h o r a , p e r o , i m a g i n e q u e A e s d e d i m e n s i o n e s m u y g r a n d e s .
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C h a p t e r 6
S e r i e s F o u r i e r d e l T i e m p o C o n t i n u o
6 . 1 S e ñ a l e s P e r i ó d i c a s
1
R e c o r d e m o s q u e l a s f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s s o n f u n c i o n e s e n l a s c u a l e s s u f o r m a s e r e p i t e e x a c t a m e n t e d e s p u é s
d e u n p e r i o d o o c i c l o . N o s o t r o s r e p r e s e n t a r e m o s l a d e n i c i ó n d e u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a m a t e m á t i c a m e n t e
c o m o :
f (t) = f (t + mT ) m ∈ Z , ( 6 . 1 )
d o n d e T > 0 r e p r e s e n t a e l p e r i o d o . P o r e s t a r a z ó n , u s t e d p o d r á v e r e s t a s e ñ a l s e r l l a m a d a l a s e ñ a l
p e r i ó d i c a - T . C u a l q u i e r f u n c i ó n q u e s a t i s f a g a e s t a e c u a c i ó n e s p e r i ó d i c a .
P o d e m o s p e n s a r e n f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s ( c o n p e r i o d o - T ) d e d o s d i f e r e n t e s m a n e r a s :
# 1 ) C o m o u n a f u n c i ó n e n t o d o s R
F i g u r e 6 . 1 : F u n c i ó n e n t o d o s
Rd o n d e
f (t0) = f (t0 + T )
# 2 ) O , p o d e m o s p o d e m o s r e c o r t a r t o d a s l a s r e d u n d a n c i a s , y p e n s a r e n e l l a s c o m o f u n c i o n e s e n u n
i n t e r v a l o [0, T ] ( O , e n t é r m i n o s g e n e r a l e s , [a, a + T ] ) . S i s a b e m o s q u e l a s e ñ a l e s p e r i ó d i c a - t e n t o n c e s t o d a
l a i n f o r m a c i ó n d e l a s e ñ a l s e e n c u e n t r a e n e s t e i n t e r v a l o .
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 3 / 1 . 3 / > .
9 3
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9 4
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
F i g u r e 6 . 2 : R e m u e v a l a r e d u n d a n c i a d e l a f u n c i o n p e r i o d i c a p a r a q u e
f (t)n o e s t a d e n i d o a f u e r a
[0, T ].
U n a f u n c i o n a p e r i o d i c a C T f (t) n o s e r e p i t e p a r a c u a l q u i e r T ∈ R; i . e . n o e x i s t e n i n g u n a T s . t . e s t a
e c u a c i o n ( 6 . 1 ) e s v e r d a d e r a .
P r e g u n t a : ¾ L a d e n i c i ó n d e D T ?
6 . 1 . 1 T i e m p o C o n t i n u o
6 . 1 . 2 T i e m p o D i s c r e t o
N o t a : C i r c u l a r v s . L i n e a r
6 . 2 S e r i e s d e F o u r i e r : E l M é t o d o d e E i g e n f u n c i o n e s
2
6 . 2 . 1 I n t r o d u c c i ó n
Y a q u e l o s e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 5 ) s o n e i g e n f u n c i o n e s p a r a l o s s i s t e m a s l i n e a r e s i n v a r i a n t e s
e n e l t i e m p o ( S e c t i o n 5 . 6 ) ( L T I ) , c a l c u l a r l o s r e s u l t a d o s d e u n s i s t e m a L T I
Hd a d o est c o m o u n a e n t r a d a
n o s l l e v a a u n a s i m p l e m u l t i p l i c a c i ó n , d o n d e H (s) ∈ C e s u n a c o n s t a n t e ( q u e d e p e n d e d e S ) . E n l a g u r a
( F i g u r e 6 . 3 ) m o s t r a d a a b a j o t e n e m o s u n s i m p l e e x p o n e n c i a l c o m o e n t r a d a q u e d a e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o :
y (t) = H (s) est ( 6 . 2 )
F i g u r e 6 . 3 : U n s i m p l e s i s t e m a L T I .
U s a n d o e s t o y e l h e c h o q u e H e s l i n e a r , c a l c u l a r y (t) p a r a l a s c o m b i n a c i o n e s d e e x p o n e n t e s c o m p l e j o s
s e v u e l v e f á c i l d e h a c e r . E s t a p r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d e s d e s c r i t a p o r l a s d o s e c u a c i o n e s m o s t r a d a s a b a j o
2
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 3 / 1 . 3 / > .
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9 5
d o n d e s e m u e s t r a l a e n t r a d a d e l s i s t e m a l i n e a r H e n e l l a d o i z q u i e r d o y l a s a l i d a ( r e s u l t a d o ) , y (t) , e n e l l a d o
d e r e c h o :
1 .
c1es1t + c2es2t → c1H (s1) es1t + c2H (s2) es2t
2 . n
cnesnt
→n
cnH (sn) esnt
L a a c c i ó n q u e H e j e r c e e n e n t r a d a s c o m o l a s q u e s e m u e s t r a n e n e s t a s d o s e c u a c i o n e s s o n f á c i l e s d e
e x p l i c a r : H e s c a l a i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e l e x p o n e n c i a l esnt c o n u n n u m e r o c o m p l e j o d i f e r e n t e H (sn) ∈ C.
D e e s t a m a n e r a , s i p o d e m o s d e s c r i b i r l a f u n c i ó n f (t) c o m o l a c o m b i n a c i ó n d e e x p o n e n t e s c o m p l e j o s e s t o n o s
p e r m i t i r í a :
• C a l c u l a r e l r e s u l t a d o d e H f á c i l m e n t e d a d o f (t) c o m o u n a e n t r a d a ( t o m a n d o e n c u e n t a q u e c o n o c e m o s
l o s E i g e n v a l o r e s H (s) )
• I n t e r p r e t a c o m o H m a n i p u l a f (t)
6 . 2 . 2 S e r i e s d e F o u r i e r
J o s e p h F o u r i e r
3
d e m o s t r ó q u e p a r a u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a - T ( S e c t i o n 6 . 1 ) f (t) p u e d e s e r e s c r i t a c o m o u n a
c o m b i n a c i ó n l i n e a r d e s e n o s o i d a l e s c o m p l e j o s a r m ó n i c o s .
f (t) =∞
n=−∞
cnejω0nt
( 6 . 3 )
D o n d e ω0 = 2πT
e s l a f r e c u e n c i a f u n d a m e n t a l . P a r a c a s i t o d a s f (t) d e i n t e r é s p r a c t i c o , e x i s t e cn q u e h a c e l a
( 6 . 3 ) v e r d a d e r a . S i f (t) e s d e e n e r g í a n i t a ( f (t) ∈ L2 [0, T ]) , e n t o n c e s l a i g u a l d a d d e ( 6 . 3 ) s o s t i e n e n l a i d e a
d e c o n v e r g e n c i a d e e n e r g í a ; s i f (t) e s c o n t i n u a , e n t o n c e s ( 6 . 3 ) s o s t i e n e l a i d e a p u n t o p o r p u n t o . T a m b i é n
s i
f (t)t i e n e a l g u n a s c o n d i c i o n e s i n t e r m e d i a s ( l a s c o n d i c i o n e s d e D I R I C H L E T ) , l a e c u a c i ó n ( 6 . 3 ) s e s o s t i e n e
p u n t o p o r p u n t o e n t o d a s p a r t e s e x c e p t o e n l o s p u n t o s d e d e s c o n t i n u i d a d .
L o s cn - s o n c o n o c i d o s c o m o l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r - q u e n o s d i c e n q u e t a n t o d e l s i n u s o i d a l ejω0nt
e s t a p r e s e n t e e n f (t). ( 6 . 3 ) e s e n c i a l m e n t e d e s c o m p o n e f (t) e n p e d a z o s , l o s c u a l e s s o n p r o c e s a d o s f á c i l m e n t e
p o r u n a s i s t e m a L T I ( y a q u e e x i s t e u n a E i g e n f u n c i o n p a r a c a d a s i s t e m a L T I ) . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s ,
( 6 . 3 ) n o s d i c e d e u n c o n j u n t o d e e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s a r m ó n i c o s
ejω0nt , n ∈ Z
f o r m a n u n a b a s e
p a r a e l e s p a c i o d e f u n c i o n e s T - p e r i ó d i c a s c o n t i n u a s . A q u í s e m u e s t r a n a l g u n o s e j e m p l o s q u e l e s a y u d a r a n a
p e n s a r e n u n a s e ñ a l o f u n c i ó n , f (t) , e n t é r m i n o s d e s u s f u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s b a s e s .
6 . 2 . 2 . 1 E j e m p l o s
P a r a c a d a u n a d e l a s f u n c i o n e s d e a b a j o , d e s c o m p o n l a s e n s u s p a r t e s m á s s i m p l e s y e n c u e n t r a s u s c o e -
c i e n t e s d e F o u r i e r . O p r i m a p a r a v e r l a s o l u c i ó n .
E x e r c i s e 6 . 1
( S o l u t i o n o n p . 1 2 1 . )
f (t) = cos (ω0t)
E x e r c i s e 6 . 2
( S o l u t i o n o n p . 1 2 1 . )
f (t) = sin (2ω0t)
3
h t t p : / / w w w - g r o u p s . d c s . s t - a n d . a c . u k /
∼h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s / F o u r i e r . h t m l
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C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
E x e r c i s e 6 . 3
( S o l u t i o n o n p . 1 2 1 . )
f (t) = 3 + 4cos (ω0t) + 2cos (2ω0t)
6 . 2 . 3 C o e c i e n t e s d e F o u r i e r
E n g e n e r a l f (t) , l o s c o e c i e n t e s s e p u e d e n c a l c u l a r p o r m e d i o d e ( 6 . 3 ) a l d e s p e j a r p o r cn , l o c u a l r e q u i e r e
u n a p e q u e ñ a m a n i p u l a c i ó n a l g e b r a i c a ( p a r a u n a d e r i v a c i ó n c o m p l e t a d e e s t o s c o e c i e n t e p o r f a v o r v e a l a
s e c c i ó n t i t u l a d a d e r i v a c i ó n p a r a l o s c o e c i e n t e d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 3 ) . E l r e s u l t a d o n a l d a l a s i g u i e n t e
e c u a c i ó n g e n e r a l p a r a e s t o s c o e c i e n t e s :
cn =1
T
T 0
f (t) e−(jω0nt)dt ( 6 . 4 )
L a s e c u e n c i a d e n ú m e r o s c o m p l e j o s cn , n ∈ Z e s u n a r e p r e s e n t a c i ó n c o m p l e j a a l t e r n a d e l a f u n c i ó n
f (t). C o n o c e r l o s c o e c i e n t e s F o u r i e r
cne s l o m i s m o q u e c o n o c e r
f (t)y v i c e v e r s a . D a d a a u n a f u n c i ó n
p e r i ó d i c a , l a p o d e m o s t r a s f o r m a r e n s u r e p r e s e n t a c i ó n d e s e r i e s d e F o u r i e r u s a n d o ( 6 . 4 ) . A s í m i s m o ,
p o d e m o s s a c a r l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a a u n a s e c u e n c i a d e n ú m e r o s c o m p l e j o s , cn , u s a n d o ( 6 . 3 ) p a r a
r e c o n s t r u i r l a f u n c i ó n f (t).
A s í c o m o e s u n a m a n e r a n a t u r a l p a r a r e p r e s e n t a r l a s s e ñ a l e s q u e s o n m a n i p u l a d a s p o r l o s s i s t e m a s L T I ,
l a s s e r i e s d e F o u r i e r p r o v e e n u n a d e s c r i p c i ó n p a r a l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s q u e s o n c o n v e n i e n t e s d e m u c h a s
m a n e r a s . A l v e r l a s s e r i e s d e F o u r i e r f (t), p o d e m o s i n f e r i r l a s p r o p i e d a d e s m a t e m á t i c a s d e f (t) c o m o l a
p r o p i e d a d d e s u a v i d a d , l a e x i s t e n c i a d e u n a s i m e t r í a , a s í c o m o e l s i g n i c a d o f í s i c o d e l a s f r e c u e n c i a s .
6 . 2 . 3 . 1 E j e m p l o : U s a n d o l a E c u a c i ó n d e l C o e c i e n t e d e F o u r i e r
A q u í v e r e m o s u n s i m p l e e j e m p l o q u e a l o m a s r e q u i e r e e l u s o d e ( 6 . 4 ) p a r a r e s o l v e r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r .
U n a v e z q u e u s t e d e n t i e n d a l a f o r m u l a , l a s o l u c i ó n s e c o n v i e r t e e n u n p r o b l e m a c o m ú n d e c a l c u l o . E n c o n t r é
l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r d e l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :
E x e r c i s e 6 . 4
( S o l u t i o n o n p . 1 2 1 . )
f (t) =
1 i f |t| ≤ T
0 o t h e r w i s e
6 . 2 . 4 R e s u m e n : E c u a c i o n e s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r
N u e s t r a p r i m e r a e c u a c i ó n ( 6 . 3 ) e s l a e c u a c i ó n d e s í n t e s i s , l a c u a l c o n s t r u y e n u e s t r a f u n c i ó n ,
f (t) , a l c o m b i n a r
s e n o s o l d a l e s .
S y n t h e s i s
f (t) =∞
n=−∞
cnejω0nt
( 6 . 5 )
N u e s t r a s e g u n d a e c u a c i ó n ( 6 . 4 ) , l l a m a d a l a e c u a c i ó n d e a n á l i s i s , r e v e l a q u e t a n t o d e c a d a s i n u s o i d a l e x i s t e
e n f (t) .
A n a l i s i s
cn =1
T
T 0
f (t) e−(jω0nt)dt ( 6 . 6 )
D o n d e h e m o s d i c h o q u e
ω0 = 2πT
.
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9 7
n o t e : E n t i e n d a q u e n u e s t r o i n t e r v a l o d e i n t e g r a c i ó n n o t i e n e q u e s e r [0, T ] n u e s t r a e c u a c i ó n d e
a n á l i s i s . P o d e m o s u s a r c u a l q u i e r i n t e r v a l o [a, a + T ] d e t a m a ñ o
T .
E x a m p l e 6 . 1
E s t a d e m o s t r a c i ó n l e a y u d a a s i n t e t i z a r u n a s e ñ a l a l c o m b i n a r l o s s e n o s o i d a l e s , m u y s i m i l a r a l a
e c u a c i ó n d e s í n t e s i s p a r a l a s s e r i e s d e F o u r i e r . V e a a q u í
4
p a r a i n s t r u c c i o n e s d e c o m o u s a r e s t e d e m o .
T h i s i s a n u n s u p p o r t e d m e d i a t y p e . T o v i e w , p l e a s e s e e
h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 3 / l a t e s t / F o u r i e r _ C o m p o n e n t _ M a n i p u l a t i o n . v i
6 . 3 D e r i v a c i ó n d e l a E c u a c i ó n d e C o e c i e n t e s d e F o u r i e r
5
6 . 3 . 1 I n t r o d u c c i ó n
U s t e d d e b e r í a e s t a r f a m i l i a r i z a d o c o n l a e x i s t e n c i a d e l a e c u a c i ó n g e n e r a l d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r
6
q u e e s l a
s i g u i e n t e :
f (t) =∞
n=−∞
cnejω0nt
( 6 . 7 )
D e l o q u e e s t a m o s i n t e r e s a d o s a q u í e s e l c o m o c o m b i n a r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r , cn , d a d o a u n a f u n c i ó n
f (t) . E n l a s i g u i e n t e e x p l i c a c i ó n l o l l e v a r e m o s p a s o p o r p a s o p o r l a d e r i v a c i ó n d e l a e c u a c i ó n g e n e r a r p a r a
l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r d a d o a u n a f u n c i ó n .
6 . 3 . 2 D e r i v a c i ó n
P a r a r e s o l v e r l a e c u a c i ó n ( 6 . 7 ) p a r a cn , t e n e m o s q u e h a c e r u n a p e q u e ñ a m a n i p u l a c i ó n a l g e b r a i c a . P r i m e r o
q u e t o d o , t e n e m o s q u e m u l t i p l i c a r l o s d o s l a d o s d e ( 6 . 7 ) p o r
e−(jω0kt)
, d o n d e
k ∈ Z.
f (t) e−(jω0kt) =∞
n=−∞
cnejω0nte−(jω0kt)
( 6 . 8 )
A h o r a i n t e g r a r e m o s l o s d o s l a d o s s o b r e e l p e r i o d o ,
T : T
0
f (t) e−(jω0kt)dt =
T 0
∞n=−∞
cnejω0nte−(jω0kt)
dt
( 6 . 9 )
E n e l l a d o d e r e c h o p o d e m o s i n t e r c a m b i a r l a s u m a t o r i a y e l i n t e g r a l y s a c a r l a c o n s t a n t e f u e r a d e l i n t e g r a l .
T
0
f (t) e−(jω0kt)dt =∞
n=−∞
cn T
0
ejω0(n−k)tdt ( 6 . 1 0 )
A h o r a q u e h e m o s h e c h o e s t o l o q u e a l p a r e c e r e s m a s c o m p l i c a d o , n o s e n f o c a r e m o s e n t a n s o l o e l i n t e g r a l , T 0
ejω0(n−k)tdt , q u e s e e n c u e n t r a e n e l l a d o d e r e c h o d e l a e c u a c i ó n . P a r a e s t e i n t e g r a l d e b e m o s c o n s i d e r a r
s o l o d o s c a s o s : n = k y n = k . P a r a n = k t e n e m o s : T 0
ejω0(n−k)tdt = T , n = k( 6 . 1 1 )
4
" H o w t o u s e t h e L a b V I E W d e m o s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 1 5 5 0 / l a t e s t / >
5
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 4 / 1 . 1 / > .
6
" F o u r i e r S e r i e s : E i g e n f u n c t i o n A p p r o a c h " : S e c t i o n F o u r i e r S e r i e s < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 9 6 / l a t e s t / # f s >
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9 8
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
P a r a n = k , t e n e m o s : T 0
ejω0(n−k)tdt =
T 0
cos (ω0 (n − k) t) dt + j
T 0
sin (ω0 (n − k) t) dt , n = k ( 6 . 1 2 )
P e r o cos (ω0 (n − k) t) t i e n e p e r i o d o s c o n n ú m e r o s e n t e r o s p a r a , n − k , e n t r e 0 y T . I m a g i n e l a g r a c a d e
u n c o s e n o ; p o r q u e t i e n e p e r i o d o s c o n n ú m e r o s e n t e r o s , h a y á r e a s d e i g u a l v a l o r d e b a j o y a r r i b a d e l e j e d e
l a s o r d e n a d a s e n l a g r a c a . E s t e h e c h o e s v e r d a d e r o p a r a sin (ω0 (n − k) t) t a m b i é n . L o q u e s i g n i c a T 0
cos (ω0 (n − k) t) dt = 0 ( 6 . 1 3 )
T a m b i é n p a r a e l i n t e g r a l d e u n a f u n c i ó n d e s e n o . P o r e s o , p o d e m o s c o n c l u i r l o s i g u i e n t e s o b r e n u e s t r o
i n t e g r a l : T 0
ejω0(n−k)tdt =
T i f n = k
0 o t h e r w i s e
( 6 . 1 4 )
R e g r e s e m o s a n u e s t r a c o m p l i c a d a e c u a c i ó n , ( 6 . 1 0 ) , p a r a v e r s i p o d e m o s e n c o n t r a r u n a e c u a c i ó n p a r a n u e s t r o s
c o e c i e n t e s d e F o u r i e r . U s a n d o l o s h e c h o s q u e y a h e m o s p r o b a d o , p o d e m o s v e r q u e ú n i c a v e z q u e l a e c u a c i ó n
( 6 . 1 0 ) t i e n e v a l o r e s d e n o c e r o c o m o r e s u l t a d o e s c u a n d o k y n s o n i g u a l e s : T 0
f (t) e−(jω0nt)dt = T cn , n = k ( 6 . 1 5 )
F i n a l m e n t e n u e s t r a e c u a c i ó n g e n e r a l p a r a l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r e s :
cn =1
T
T 0
f (t) e−(jω0nt)dt( 6 . 1 6 )
6 . 3 . 2 . 1 P a s o s p a r a E n c o n t r a r l o s C o e c i e n t e s d e F o u r i e r
P a r a e n c o n t r a r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r d e u n a f (t) p e r i ó d i c a :
1 . P o r a l g u n a k , m u l t i p l i q u e f (t) p o r e−(jω0kt), s a q u e e l á r e a p o r d e b a j o d e l a c u r v a ( d i v i d i e n d o p o r T ) .
2 . R e p i t a e l p a s o ( 1 ) p a r a t o d o k ∈ Z .
6 . 4 G e n e r a l i d a d e s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r
7
6 . 4 . 1 I n t r o d u c c i ó n
E l i n t e g r a l d e c o n v o l u c i o n ( S e c t i o n 3 . 2 ) e s u n a e x p r e s i ó n f u n d a m e n t a l q u e r e l a c i ó n l a e n t r a d a y l a s a l i d a d e
u n s i s t e m a L T I . S i n e m b a r g o , t i e n e t r e s p r o b l e m a s :
1 . P u e d e s e r t e d i o s a p a r a c a l c u l a r .
2 . O f r e c e u n a i n t e r p r e t a c i ó n f í s i c a l i m i t a d a d e l o q u e e l s i s t e m a e s t a r e a l m e n t e h a c i e n d a .
3 . D a m u y p o c a i n f o r m a c i ó n d e c o m o d i s e ñ a r s i s t e m a s p a r a l o g r a r c i e r t a s f u n c i o n e s .
L a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) , j u n t o l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r y l a t r a n s f o r m a d a d e L a P l a c e , p r o v e e
u n a m a n e r a d e r e s o l v e r e s t o s t r e s p u n t o s . E l c o n c e p t o d e e i g e n f u n c i o n
8
( o e i g e n v e c t o r
9
) e s e s e n c i a l p a r a t o d o s
e s t o s m é t o d o s . A h o r a v e r e m o s c o m o p o d e m o s r e - e s c r i b i r c u a l q u i e r s e ñ a l f (t) , e n t é r m i n o s d e e x p o n e n c i a l e s
c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 5 ) .
D e h e c h o , a l h a c e r n u e s t r a s a n o t a c i o n e s d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s l i n e a r e s m e n o s m a t e m á t i c a s , p o d e m o s
e x t r a e r p a r a l e l o s e n t r e s e ñ a l e s y s i s t e m a s c o n y a l g e b r a l i n e a r ( S e c t i o n 5 . 1 ) .
7
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 6 / 1 . 2 / > .
8
" E i g e n f u n c t i o n s o f L T I S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 0 0 / l a t e s t / >
9
" M a t r i x D i a g o n a l i z a t i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 3 8 / l a t e s t / >
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9 9
6 . 4 . 2 E i g e n f u n c i o n e s e n S i s t e m a s L T I
L a a c c i ó n q u e e j e r c e u n s i s t e m a L T I H [. . . ] e n u n a d e s u s e i g e n f u n c i o n e s est e s
1 . E x t r e m a d a m e n t e f á c i l ( y r á p i d a ) d e c a l c u l a r
H [st] = H [s] est( 6 . 1 7 )
2 . F á c i l d e i n t e r p r e t a r : H [. . . ] n a d a m a s e s c a l a est , m a n t e n i e n d o u n a f r e c u e n c i a c o n s t a n t e .
S i t a n s o l o t o d a s l a s f u n c i o n e s f u e r a n f u n c i o n e s d e H [. . . ] . . .
6 . 4 . 2 . 1 S i s t e m a s L T I
. . . c l a r o , n o t o d a s l a s f u n c i o n e s p u e d e n s e r e s t o p e r o p a r a s i s t e m a s L T I , s u s e i g e n f u n c i o n e s e x p a n d e n
( S e c t i o n 5 . 1 . 2 : S u b e s p a c i o G e n e r a d o ) e l e s p a c i o d e f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s ( S e c t i o n 6 . 1 ) , l o q u e s i g n i c a q u e
p a r a , ( c a s i ) t o d a s l a s f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s p o d e m o s e n c o n t r a r f (t) w e c a n n d cn w h e r e n ∈ Z a n d ci ∈ Cs u c h t h a t :
f (t) =
∞
n=−∞
cnejω0nt ( 6 . 1 8 )
D a d a ( 6 . 1 8 ) , p o d e m o s r e - e s c r i b i r H [t] = y (t) c o m o e l s i g u i e n t e s i s t e m a
F i g u r e 6 . 4 : F u n c i o n e s d e T r a n s f e r e n c i a m o d e l a d a s c o m o u n s i s t e m a L T I .
D o n d e t e n e m o s :
f (t) =n
cnejω0nt
y (t) =
n
cnH ( jω0n) ejω0nt
E s t a t r a n s f o r m a c i ó n d e f (t) e n y (t) t a m b i é n s e p u e d e i l u s t r a r a t r a v é s d e l p r o c e s o m o s t r a d o a b a j o .
f (t) → cn → cnH ( jω0n) → y (t) ( 6 . 1 9 )
D o n d e l o s t r e s p a s o s ( e c h a ) e n n u e s t r a i l u s t r a c i ó n d e a r r i b a y r e p r e s e n t a a l a s s i g u i e n t e s t r e s o p e r a c i o n e s :
1 . T r a n s f o r m a c i ó n c o n a n á l i s i s ( e c u a c i ó n d e c o e c i e n t e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 3 ) ) :
cn = 1T
T
0
f (t) e−(jω0nt)dt
2 . L a a c c i ó n d e H e n l a s s e r i e s d e F o u r i e r
1 0
i g u a l a a u n a m u l t i p l i c a c i ó n p o r H ( jω0n)3 . R e g r e s e a l a s a n t i g u a s b a s e s - t r a n s f o r m e i n v e r s a m e n t e u s a n d o n u e s t r a e c u a c i ó n d e s í n t e s i s q u e v i e n e
d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r :
y (t) =
∞n=−∞
cnejω0nt
1 0
" F o u r i e r S e r i e s : E i g e n f u n c t i o n A p p r o a c h " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 9 6 / l a t e s t / >
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C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
6 . 4 . 3 I n t e r p r e t a c i ó n F í s i c a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r
L a s s e r i e s d e F o u r i e r cn d e u n a s e ñ a l f (t), d e n i d a e n ( 6 . 1 8 ) , t i e n e u n a i n t e r p r e t a c i ó n f í s i c a m u y i m p o r -
t a n t e . E l c o e c i e n t e cn n o s d i c e q u e t a n t o d e l a f r e c u e n c i a ω0n e x i s t e e n l a s e ñ a l .
S e ñ a l e s q u e c a m b i e n l e n t a m e n t e e n e l t i e m p o - s e ñ a l e s s u a v e s - t i e n e n u n g r a n
cnp a r a p e q u e ñ a s
n.
( a ) ( b )
F i g u r e 6 . 5 : E m p e z a r e m o s c o n n u e s t r a s e ñ a l s u a v e f (t) e n l a i z q u i e r d a , y d e s p u e s u s a r e m o s l a s s e r i e s
d e F o u r i e r p a r a e n c o n t r a r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r - l o c u a l s e m u e s t r a e n l a g u r a d e l a d e r e c h a .
S e ñ a l e s q u e c a m b i a n r á p i d a m e n t e c o n e l t i e m p o - s e ñ a l e s r u i d o s a s - t i e n e n u n a g r a n
cn p a r a g r a n d e s
n.
( a ) ( b )
F i g u r e 6 . 6 : E m p e z a r e m o s c o n n u e s t r a s e ñ a l r u i d o s a
f (t)e n e l l a d o i z q u i e r d o , y u s a r e m o s l a s s e r i e s
d e F o u r i e r p a d a e n c o n t r a r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r - l o c u a l s e m u e s t r a e n l a g u r a d e l a d e r e c h a .
E x a m p l e 6 . 2 : P u l s o P e r i ó d i c o
T e n e m o s l a s i g u i e n t e f u n c i ó n d e p u l s o , f (t), e n e l i n t e r v a l o
− T 2
, T 2
:
F i g u r e 6 . 7 : S e ñ a l P e r i o d i c a f (t)
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U s a n d o n u e s t r a f o r m u l a p a r a l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r ,
cn =1
T T
0
f (t) e−(jω0nt)dt ( 6 . 2 0 )
P o d e m o s c a l c u l a r f á c i l m e n t e n u e s t r a
cn . ½ D e j a r e m o s e s t e c á l c u l o c o m o e j e r c i c i o p a r a u s t e d ! D e s p u é s
d e r e s o l v e r l a e c u a c i ó n p a r a n u e s t r a
f (t) , o b t e n e m o s e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o :
cn =
2T 1T
i f n = 02sin(ω0nT 1)
nπi f n = 0
( 6 . 2 1 )
P a r a T 1 = T 8 , v e a l a s i g u i e n t e g u r a p a r a o b s e r v a r l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s :
F i g u r e 6 . 8 : N u e s t r o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r c u a n d o
T 1 = T 8
N u e s t r a s e ñ a l f (t) e s p l a n a e x c e p t o p o r d o s o r i l l a ( d i s c o n t i n u i d a d e s ) . P o r e s t a r a z ó n , cna l r e d e d o r d e n = 0 s o n g r a n d e s y cn s e v u e l v e p e q u e ñ a c u a n d o n s e a c e r c a a l i n n i t o .
q u e s t i o n : ¾ P o r q u é cn = 0 p a r a n = . . . , −4, 4, 8, 16, . . . ? ( ¾ q u é p a r t e d e e−(jω0nt)s e
e n c u e n t r a s o b r e e l p u l s o d e e s t o s v a l o r e s d e
n? )
6 . 5 P r o p i e d a d e s d e l a S e r i e d e F o u r i e r
1 1
E m p e z a r e m o s p o r r e f r e s c a r s u m e m o r i a s o b r e l a s e c u a c i o n e s b á s i c a s d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) :
f (t) =∞
n=−∞
cnejω0nt
( 6 . 2 2 )
cn
=1
T T 0
f (t) e−(jω0nt)dt( 6 . 2 3 )
D e j e F· d e s c r i b e n l a t r a n s f o r m a c i ó n d e f (t) a l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r
F f (t) = cn , n ∈ Z
F· g r a c a f u n c i o n e s c o n v a l o r e s c o m p l e j o s a s e c u e n c i a s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s
1 2
.
1 1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 7 / 1 . 2 / > .
1 2
" C o m p l e x N u m b e r s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 8 1 / l a t e s t / >
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C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
6 . 5 . 1 L i n e a l i d a d
F· e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a r .
T h e o r e m 6 . 1 :
S i F f (t) = cn y F g (t) = dn . E n t o n c e s
F αf (t) = αcn , α ∈ C
y
F f (t) + g (t) = cn + dn
P r o o f : M u y f á c i l , n a d a m a s e s l a l i n e a l i d a d d e l i n t e g r a l .
F f (t) + g (t) = T 0 (f (t) + g (t)) e−(jω0nt)dt , n ∈ Z
= 1T
T 0
f (t) e−(jω0nt)dt + 1T
T 0
g (t) e−(jω0nt)dt , n ∈ Z= cn + dn , n ∈ Z
= cn + dn
( 6 . 2 4 )
6 . 5 . 2 D e s p l a z a m i e n t o
D e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o e s i g u a l a u n d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r d e l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 3 )
T h e o r e m 6 . 2 :
F f (t − t0) = e−(jω0nt0)cn s i cn = |cn|ej∠cn , e n t o n c e s
|e−(jω0nt0)cn| = |e−(jω0nt0)||cn| = |cn|
∠e−(jω0t0n) = ∠cn − ω0t0n
P r o o f :
F f (t − t0) = 1T
T 0
f (t − t0) e−(jω0nt)dt , n ∈ Z= 1
T
T −t0
−t0f (t − t0) e−(jω0n(t−t0))e−(jω0nt0)dt , n ∈ Z
= 1T
T −t0
−t0f ∼
t
e−“jω0n
∼
t”
e−(jω0nt0)dt , n ∈ Z= e
−“jω0n
∼
t”
cn , n ∈ Z
( 6 . 2 5 )
6 . 5 . 3 L a R e l a c i ó n d e P a r s e v a l
T 0
(|f (t) |)2dt = T ∞
n=−∞
(|cn|)2
( 6 . 2 6 )
L a r e l a c i ó n d e P a r s e v a l n o s p e r m i t e c a l c u l a r l a e n g r í a d e l a s e ñ a l d e s u s s e r i e s d e F o u r i e r .
n o t e : P a r s e v a l n o s d i c e q u e l a s s e r i e s d e F o u r i e r g r a c a n m a p s L2 ([0, T ]) a l2 (Z).
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F i g u r e 6 . 9
E x e r c i s e 6 . 5
( S o l u t i o n o n p . 1 2 2 . )
¾ P a r á f (t) p o d e r t e n e r e n e r g í a n i t a , q u e e s l o q u e cn h a c e c u a n d o n → ∞?
E x e r c i s e 6 . 6
( S o l u t i o n o n p . 1 2 2 . )
¾ S í cn = 1n
, |n| > 0 , e s f ∈ L2 ([0, T ]) ?
E x e r c i s e 6 . 7 ( S o l u t i o n o n p . 1 2 2 . )
A h o r a , ¾ s í
cn = 1√n
, |n| > 0 , e s
f ∈ L2 ([0, T ]) ?
E l r a d i o d e d e s c o m p o s i c i ó n d e u n a s e r i e d e f o u r i e r d e t e r m i n a s i f (t) t i e n e e n e r g í a n i t a .
6 . 5 . 4 D i f e r e n c i a c i ó n e n e l D o m i n i o d e F o u r i e r
F f (t) = cn ⇒ F d
dtf (t) = jnω0cn ( 6 . 2 7 )
Y a q u e
f (t) =
∞n=−∞
cnejω0nt
( 6 . 2 8 )
e n t o n c e s
ddt
f (t) =∞
n=−∞
cnddt
ejω0nt
=
∞n=−∞
cn jω0nejω0nt
( 6 . 2 9 )
U n d i f e r e n c i a d o r a t e n ú a l a s f r e c u e n c i a s b a j a s f (t) y a c e n t ú a l a s f r e c u e n c i a s a l t a s . R e m u e v e r a s g o s g e n e r a l e s
y a c e n t ú a á r e a s c o n v a r i a c i o n e s b á s i c a s .
n o t e : U n a m a n e r a c o m ú n p a r a m e d i r m a t e m á t i c a m e n t e q u e l a s u a v i d a d d e l a f u n c i ó n f (t) e s e l
v e r c u a n t a s d e r i v a d a s t i e n e n e n e r g í a n i t a .
E s t o s e h a c e a l o b s e r v a r l o s c o e c i e n t e s d e f o u r i e r d e u n a s e ñ a l , e s p e c í c a m e n t e e l q u e t a n r á p i d o s e d e s c o m -
p o n e n c u a n d o n → ∞ . S i F f (t) = cn y |cn| t i e n e l a f o r m a
1nk
, e n t o n c e s F dm
dtmf (t)
= ( jnω0)
mcn t i e n e
l a f o r m a
nm
nk. E n t o n c e s p a r a q u e l a mth
d e r i v a d a t e n g a e n e r g í a n i t a , n e c e s i t a m o s
|nm
nk|2
< ∞
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1 0 4
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
p o r l o t a n t o
nm
nks e d e s c o m p o n e m a s r á p i d o q u e
1n
l o c u a l i m p l i c a q u e
2k − 2m > 1
o
k >2m + 1
2
E l r a d i o d e d e s c o m p o s i c i ó n d e l a s s e r i e s d e f o u r i e r d e t e r m i n a l a s u a v i d a d .
6 . 5 . 5 I n t e g r a c i ó n e n e l D o m i n i o d e F o u r i e r
S i
F f (t) = cn ( 6 . 3 0 )
e n t o n c e s
F t
−∞f (τ ) dτ
=
1
jω0ncn ( 6 . 3 1 )
n o t e : S i c0 = 0, e s t a e x p r e s i ó n n o t i e n e n i n g ú n s e n t i d o .
I n t e g r a c i ó n a c e n t ú a f r e c u e n c i a s b a j a s y a t e n ú a f r e c u e n c i a s a l t a s . I n t e g r a d o r e s m u e s t r a n l a s c o s a s g e n -
e r a l e s d e l a s s e ñ a l e s y s u p r i m e n v a r i a c i o n e s d e c o r t o p l a z o ( l o c u a l e s r u i d o e n m u c h o s c a s o s ) . I n t e g r a d o r e s
s o n m e j o r e s q u e d i f e r e n c i a d o r e s .
6 . 5 . 6 M u l t i p l i c a c i ó n d e S e ñ a l e s
D a d o a u n a s e ñ a l f (t) c o n c o e c i e n t e s d e F o u r i e r cn y u n a s e ñ a l g (t) c o n c o e c i e n t e s dn , p o d e m o s d e n i r
u n a n u e v a s e ñ a l c o m o , y (t), d o n d e y (t) = f (t) g (t) . D e s c u b r i m o s q u e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e s e r i e s d e F o u r i e r
d e y (t) , en , e s t a l q u e en =∞
k=−∞ (ckdn−k) . E s t o e s p a r a d e c i r q u e l a m u l t i p l i c a c i ó n d e s e ñ a l e s e n e l
d o m i n i o d e l t i e m p o e s e q u i v a l e n t e a l a c o n v o l u c i ó n d i s c r e t a ( S e c t i o n 4 . 2 ) e n e l d o m i n i o d e l a f r e c u e n c i a . L a
p r u e b a e s l a s i g u i e n t e
en = 1T T 0 f (t) g (t) e−(jω0nt)dt
= 1T
T 0
∞k=−∞
ckejω0kt
g (t) e−(jω0nt)dt
=∞
k=−∞
ck
1T
T 0
g (t) e−(jω0(n−k)t)dt
=∞
k=−∞ (ckdn−k)
( 6 . 3 2 )
6 . 6 P r o p i e d a d e s d e S i m e t r í a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r
1 3
6 . 6 . 1 P r o p i e d a d e s d e S i m e t r í a
6 . 6 . 1 . 1 S e ñ a l e s R e a l e s
S e ñ a l e s r e a l e s t i e n e n u n a s e r i e d e f o u r i e r c o n u n c o n j u g a d o s i m é t r i c o .
T h e o r e m 6 . 3 :
S i f (t) e s r e a l e s o i m p l i c a q u e f (t) = f (t)∗
( f (t)∗
e s e l c o m p l e j o c o n j u g a d o d e f (t) ) , e n t o n c e s
cn = c−n∗
l o c u a l i m p l i c a q u e Re (cn) = Re (c−n) , P o r e j e m p l o , l a p a r t e r e a l d e cn e s p a r , y
Im (cn) = − (Im (c−n)), P o r e j e m p l o , t l a p a r t e i m a g i n a r i a d e cn e s i m p a r . V e a F i g u r e 6 . 1 0 . L o q u e
t a m b i e n i m p l i c a q u e |cn| = |c−n|, P o r e j e m p l o , q u e l a m a g n i t u d e s p a r , y q u e l a ∠cn = (∠− c−n) ,
P o r e j e m p l o , e l á n g u l o e s i m p a r .
1 3
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 8 / 1 . 1 / > .
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1 0 5
P r o o f :
c−n = 1T
T 0
f (t) ejω0ntdt
= 1T
T
0f (t)
∗e−(jω0nt)dt
∗, f (t) = f (t)
∗
= 1T
T 0 f (t) e−(jω0nt)dt∗
= cn∗
( 6 . 3 3 )
( a )
( b )
F i g u r e 6 . 1 0 :
Re (cn) = Re (c−n) , y
Im (cn) = − (Im (c−n)).
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1 0 6
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
( a )
( b )
F i g u r e 6 . 1 1 :
|cn| = |c−n|, y
∠cn = (∠− c−n).
6 . 6 . 1 . 2 S e ñ a l e s R e a l e s y P a r e s
L a s s e ñ a l e s r e a l e s y p a r e s t i e n e n s e r i e s d e f o u r i e r q u e s o n p a r e s y r e a l e s .
T h e o r e m 6 . 4 :
I f f (t) = f (t)∗
y f (t) = (f (−t)), P o r e j e m p l o , l a s s e ñ a l e s r e a l y p a r , e n t o n c e s e n t o n c e s cn = c−n
y
cn = cn∗.
P r o o f :
cn = 1T
T 2
−(T 2 )f (t) e−(jω0nt)dt
= 1T
0−(T 2 ) f (t) e−(jω0nt)dt + 1
T
T 2
0f (t) e−(jω0nt)dt
= 1T
T 2
0f (−t) ejω0ntdt + 1
T
T 2
0f (t) e−(jω0nt)dt
= 2T
T 2
0f (t) cos (ω0nt) dt
( 6 . 3 4 )
f (t) y cos (ω0nt) s o n r e a l e s l o c u a l i m p l i c a q u e cn e s r e a l . T a m b i é n cos (ω0nt) = cos (− (ω0nt))e n t o n c e s
cn = c−n . E s t á n f á c i l d e m o s t r a r q u e
f (t) = 2∞
n=0 (cncos (ω0nt)) y a q u e
f (t),
cn , y
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1 0 7
cos (ω0nt) s o n r e a l e s y p a r e s .
6 . 6 . 1 . 3 S e ñ a l e s R e a l e s e I m p a r e s
S e ñ a l e s r e a l e s e i m p a r e s t i e n e n s e r i e s d e f o u r i e r q u e s o n i m p a r e s y c o m p l e t a m e n t e i m a g i n a r i a s .
T h e o r e m 6 . 5 :
S i f (t) = − (f (−t)) y f (t) = f (t)∗
, P o r e j e m p l o , l a s e ñ a l e s r e a l y i m p a r , e n t o n c e s cn = −c−n y
cn = − (cn∗), P o r e j e m p l o , cn e s i m p a r y c o m p l e t a m e n t e i m a g i n a r i a .
P r o o f : H á g a l o u s t e d e n c a s a .
S i
f (t) e s i m p a r , p o d e m o s e x p e n d e r l o s e n t é r m i n o s d e
sin (ω0nt) :
f (t) =
∞n=1
(2cnsin (ω0nt))
6 . 6 . 2 R e s u m e n
P o d e m o s e n c o n t r a r
f e (t), u n a f u n c i ó n p a r , y
f o (t) , u n a f u n c i ó n i m p a r , p o r q u e
f (t) = f e (t) + f o (t) ( 6 . 3 5 )
l o c u a l i m p l i c a , q u e p a r a c u a l q u i e r f (t), p o d e m o s e n c o n t r a r an y bn q u e d a
f (t) =∞
n=0
(ancos (ω0nt)) +∞
n=1
(bnsin (ω0nt)) ( 6 . 3 6 )
E x a m p l e 6 . 3 : L a F u n c i ó n T r i a n g u l a r
F i g u r e 6 . 1 2 : T = 1 y ω0 = 2π .
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1 0 8
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
f (t) e s r e a l e i m p a r .
cn =
4Ajπ2n2
i f n = . . . , −11, −7, −3, 1, 5, 9, . . .
− 4Ajπ2n2
i f
n = . . . , −9, −5, −1, 3, 7, 11, . . . 0 i f n = . . . , −4, −2, 0, 2, 4, . . .
¾ E s
cn = −c−n ?
F i g u r e 6 . 1 3 : S e r i e s d e F o u r i e r p a r a u n a f u n c i o n t r i a n g u l a r .
N o t e : U s u a l m e n t e p o d e m o s j u n t a r i n f o r m a c i ó n s o b r e l a s u a v i d a d d e u n a s e ñ a l a l e x a m i n a r l o s
c o e c i e n t e s d e F o u r i e r .
H e c h a u n v i s t a z o a l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s . L a s f u n c i o n e s d e l p u l s o y s a w t o o t h n o s o n c o n t i n u a s y s u s s e r i e s
d e F o u r i e r d i s m i n u y e n c o m o
1n
. L a f u n c i ó n t r i a n g u l a r e s c o n t i n u a , p e r o n o e s d i f e r e n c i a b l e , y s u s s e r i e s d e
F o u r i e r d i s m i n u y e n c o m o
1n2
.
L a s s i g u i e n t e s 3 p r o p i e d a d e s n o s d a r á n u n a m e j o r i d e a d e e s t o .
6 . 7 P r o p i e d a d d e C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r
1 4
6 . 7 . 1 C o n v o l u c i ó n S i n g u l a r d e u n a S e ñ a l
D a d a a u n a s e ñ a l
f (t) c o n c o e c i e n t e s d e F o u r i e r
cn y u n a s e ñ a l
g (t) c o n c o e c i e n t e s d e F o u r i e r
dn ,
p o d e m o s d e n i r u n a s e ñ a l , v (t), d o n d e v (t) = (f (t) g (t)) E n c o n t r a m o s q u e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l a s s e r i e s
d e F o u r i e r
1 5
p a r a y (t), an , e s t a q u e an = cndn . (f (t) g (t)) e s u n a c o n v o l u c i ó n c i r c u l a r
1 6
d e d o s s e ñ a l e s
p e r i ó d i c a y e s e q u i v a l e n t e a u n a c o n v o l u c i ó n e n e l i n t e r v a l o , (f (t) g (t)) = T 0
T 0
f (τ ) g (t − τ ) dτdt.
n o t e : C o n v u l u c i ó n c i r c u l a r e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o e s e q u i v a l e n t e a l a m u l t i p l i c a c i ó n d e c o e -
c i e n t e s d e f o u r i e r .
1 4
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 9 / 1 . 1 / > .
1 5
" F o u r i e r S e r i e s : E i g e n f u n c t i o n A p p r o a c h " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 9 6 / l a t e s t / >
1 6
" C i r c u l a r C o n v o l u t i o n a n d t h e D F T " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 8 6 / l a t e s t / >
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1 0 9
L a p r u e b a e s l a s i g u i e n t e
an = 1T
T
0v (t) e−(jω0nt)dt
=1T 2 T 0 T 0 f (τ ) g (t − τ ) dτ e−
(jω0nt)
dt= 1
T
T 0
f (τ )1T
T 0
g (t − τ ) e−(jω0nt)dt
dτ
= 1T
T 0
f (τ )1T
T −τ
−τ g (ν ) e−(jω0(ν+τ ))dν
dτ , ν = t − τ
= 1T
T 0
f (τ )1T
T −τ
−τ g (ν ) e−(jω0nν)dν
e−(jω0nτ )dτ
= 1T
T 0
f (τ ) dne−(jω0nτ )dτ
= dn
1T
T 0
f (τ ) e−(jω0nτ )dτ
= cndn
( 6 . 3 7 )
E x a m p l e 6 . 4
V e a e l p u l s o c u a d r a d o c o n p e r i o d o , T 1 = T 4 :
F i g u r e 6 . 1 4
P a r a e s t a s e ñ a l
cn =
1T
i f
n = 0
12
sin(π2 n)π2 n
o t h e r w i s e
E x e r c i s e 6 . 8
( S o l u t i o n o n p . 1 2 2 . )
¾ Q u e s e ñ a l t i e n e l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r an = cn2 = 1
4
sin2(π2 n)(π2 n)
2 ?
6 . 8 S e r i e s d e F o u r i e r y l o s S i s t e m a s L T I
1 7
6 . 8 . 1 I n t r o d u c i e n d o l a s S e r i e s d e F o u r i e r a l o s S i s t e m a s L T I
A n t e s d e v e r e s t e m o d u l o , u s t e d d e b e r í a f a m i l i a r i z a r s e c o n l o s c o n c e p t o s d e E i g e n f u n c i o n e s d e l o s s i s t e m a s
L T I ( S e c t i o n 5 . 6 ) . R e c u e r d e , p a r a H s i s t e m a L T I t e n e m o s l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n
1 7
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 0 0 / 1 . 2 / > .
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1 1 0
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
F i g u r e 6 . 1 5 : S e ñ a l e s d e e n t r a d a y s a l i d a p a r a n u e s t r o s i t e m a L T I .
d o n d e est e s u n a e i g e n f u n c i ó n d e H . S u e i g e n v a l o r ( S e c t i o n 5 . 3 ) c o r r e s p o n d i e n t e H (s) p u e d e n s e r c a l c u -
l a d o u s a n d o l a r e s p u e s t a d e i m p u l s o
1 8 h (t)
H (s) =
∞−∞
h (τ ) e−(sτ )dτ
A s í , u s a n d o l a e x p a n s i ó n d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) p a r a f (t) p e r i ó d i c a ( S e c t i o n 6 . 1 ) d o n d e
u s a m o s l a e n t r a d a
f (t) =n
cnejω0nt
e n e l s i s t e m a ,
F i g u r e 6 . 1 6 : S i s t e m a L T I
n u e s t r a s a l i d a
y (t) s e r á
y (t) =n
H ( jω0n) cnejω0nt
P o d e m o s v e r q u e a l a p l i c a r l a s e c u a c i o n e s d e e x p a n s i ó n d e s e r i e s d e f o u r i e r , p o d e m o s i r d e f (t) a cn y
v i c e v e r s a , y e s l o m i s m o p a r a l a s a l i d a , y (t)
6 . 8 . 2 E f e c t o s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r
P o d e m o s p e n s a r d e u n s i s t e m a L T I c o m o e l i r m o l d e a n d o e l c o n t e n i d o d e l a f r e c u e n c i a d e l a e n t r a d a .
M a n t e n g a e n m e n t e e l s i s t e m a b á s i c o L T I q u e p r e s e n t a m o s e n F i g u r e 6 . 1 6 . E l s i s t e m a L T I , H , m u l t i p l i c a
t o d o s l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r y l o s e s c a l a .
D a d o l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r d e l a e n t r a d a cn y l o s e i g e n v a l o r e s d e l s i s t e m a H ( jw0n) , l a s s e r i e s
d e F o u r i e r d e l a s a l i d a , e s H ( jw0n) cn ( u n a s i m p l e m u l t i p l i c a c i ó n d e t e r m i n o p o r t e r m i n o ) .
n o t e : l o s e i g e n v a l o r e s , H ( jw0n) d e s c r i b e n c o m p l e t a m e n t e l o q u e u n s i s t e m a L T I l e h a c e a u n a
s e ñ a l p e r i ó d i c a c o n p e r i o d o T = 2πw0
1 8
" T h e I m p u l s e F u n c t i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 5 9 / l a t e s t / >
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1 1 1
E x a m p l e 6 . 5
¾ Q u é h a c e e s t e s i s t e m a ?
F i g u r e 6 . 1 7
E x a m p l e 6 . 6
Y , ¾ e s t é s i s t e m a ?
( a ) ( b )
F i g u r e 6 . 1 8
6 . 8 . 3 E x a m p l e s
E x a m p l e 6 . 7 : E l c i r c u i t o R C
h (t) =1
RC e−tRC u (t)
¾ Q u é e s l o q u e e s t e s i s t e m a h a c e a l a s s e r i e s d e f o u r i e r d e l a
f (t)?
C a l c u l a l o s e i g e n v a l o r e s d e e s t e s i s t e m a
H (s) = ∞−∞ h (τ ) e−
(sτ )
dτ =
∞0
1RC
e−τRC e−(sτ )dτ
= 1RC
∞0
e(−τ )( 1RC
+s)dτ
= 1RC
11RC
+se(−τ )( 1
RC+s)|∞τ =0
= 11+RCs
( 6 . 3 8 )
A h o r a , d e c i m o s q u e a e s t e c i r c u i t o R C l o a l i m e n t a m o s c o n u n a e n t r a d a f (t) p e r i ó d i c a ( c o n
p e r i o d o T = 2πw0 ) .
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1 1 2
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
V e a l o s e i g e n v a l o r e s p a r a s = jw0n
|H ( jw0n) | =1
|1 + RCjw0n
|
=1√
1 + R2C 2w02n2
E l c i r c u i t o R C e s u n s i s t e m a p a s a b a j a s : p a s a f r e c u e n c i a s b a j a s n a l r e d e d o r d e 0 ) a t e n ú a
f r e c u e n c i a s a l t a s ( n g r a n d e s ) .
E x a m p l e 6 . 8 : P u l s ó c u a d r a d o a t r a v é s d e l C i r c u i t o R C
• S e ñ a l d e e n t r a d a : t o m a n d o l a s s e r i e s d e F o u r i e r
f (t)
cn =1
2
sinπ2
n
π2 n
1t
e n n = 0• S i s t e m a : E i g e n v a l o r e s
H ( jw0n) =1
1 + jRCw0n• S e ñ a l d e s a l i d a : t o m a n d o l a s s e r i e s d e F o u r i e r d e y (t)
dn = H ( jw0n) cn =1
1 + jRCw0n
1
2
sinπ2
n
π2 n
dn =1
1 + jRCw0n
1
2
sinπ2
n
π2 n
y (t) =
dnejw0nt
¾ Q u é p o d e m o s d e c i r s o b r e y (t) d e dn ?
1 . ¾ E s y (t)r e a l ?
2 . ¾ E s y (t) s i m é t r i c o p a r ? ¾ s i m é t r i c o i m p a r ?
3 . ¾ C o m ó s e y (t) ¾ e s m a s s u a v e q u e f (t) ? ( e l r a d i o d e d e s c o m p o s i c i ó n d e dn v s . cn )
dn =1
1 + jRCw0n
1
2
sinπ2
n
π2
n
|dn| =1
1 + (RCw0)2n2
1
2
sinπ2 n
π2
n
6 . 9 C o n v e r g e n c i a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r
1 9
6 . 9 . 1 I n t r o d u c c i ó n
A n t e s d e v e r e s t e m ó d u l o , e s p e r a m o s q u e u s t e d e s t e c o m p l e t a m e n t e c o n v e n c i d o q u e c u a l q u i e r f u n c i ó n p e r -
i ó d i c a f (t), s e p u e d e r e p r e s e n t a r c o m o u n a s u m a d e s e n o s o i d a l e s c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 3 ) . S i u s t e d n o l o e s t a ,
i n t e n t e v e r l a s e c c i ó n d e g e n e r a l i d a d e s d e e i g e n f u n c i o n e s ( S e c t i o n 5 . 5 ) o d e e i g e n f u n c i o n e s d e l o s s i s t e m a s
1 9
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 4 / 1 . 2 / > .
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1 1 3
L T I ( S e c t i o n 5 . 6 ) . H e m o s d e m o s t r a d o q u e p o d e m o s r e p r e s e n t a r l a s e ñ a l c o m o u n a s u m a d e e x p o n e n c i a l e s
u s a n d o l a s e c u a c i o n e s d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) m o s t r a d a s a q u í :
f (t) = ncnejω0nt ( 6 . 3 9 )
cn =1
T
T 0
f (t) e−(jω0nt)dt ( 6 . 4 0 )
J o s e p h F o u r i e r
2 0
i n s i s t i ó q u e e s t a s e c u a c i o n e s e r a n v e r d a d e r a s , p e r o n u n c a l a s p u d o p r o b a r . L a g r a n g e
r i d i c u l i z ó p ú b l i c a m e n t e a F o u r i e r y d i j o q u e s o l o f u n c i o n e s c o n t i n u a s p o d r í a n s e r r e p r e s e n t a d a s c o m o ( 6 . 3 9 )
( a s í q u e p r o b o q u e l a ( 6 . 3 9 ) f u n c i o n a p a r a f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n e l t i e m p o ) . S i n e m b a r g o , n o s o t r o s s a b e m o s
q u e l a v e r d a d s e e n c u e n t r a e n t r e l a s p o s i c i o n e s q u e F o u r i e r y L a g r a n g e t o m a r o n .
6 . 9 . 2 C o m p r e n d i e n d o l a V e r d a d
F o r m u l a n d o n u e s t r a p r e g u n t a m a t e m á t i c a m e n t e , d e j e
f N (t) =
N n=−N
cnejω0nt
d o n d e cn e s i g u a l a l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r , f (t). ( v e a ( 6 . 4 0 ) ) .
f N (t) e s l a r e c o n s t r u c c i ó n p a r c i a l d e
f (t) u s a n d o l o s p r i m e r o s 2N + 1 c o e c i e n t e s d e F o u r i e r .
f N (t)
s e a p r o x i m a a
f (t), c o n l a a p r o x i m a c i ó n m e j o r a n d o c u a n d o
N s e v u e l v e g r a n d e . A s í q u e , p o d e m o s p e n s a r
q u e e l c o n j u n t o
f N
(t) , N = 0, 1, . . . e s u n a s e c u e n c i a d e f u n c i o n e s , c a d a u n a a p r o x i m a n d o f (t)
m e j o r q u e l a a n t e r i o r .
L a p r e g u n t a s e c o n v i e r t e e n , ¾ s í e s t a s e c u e n c i a c o n v e r g e a f (t)? ¾ f N (t) → f (t) a s i c o m o a N → ∞?
T r a t a r e m o s d e r e s p o n d e r e s t a s p r e g u n t a s a l v e r l a c o n v e r g e n c i a d e d o s m a n e r a s d i f e r e n t e s :
1 . V i e n d o l a e n e r g í a d e l a s e ñ a l d e e r r o r :
eN (t) = f (t) − f N (t)2 . V i e n d o e l lim
N →∞f N
(t) e n c a d a p u n t o y c o m p a r á n d o l o c o n f (t).
6 . 9 . 2 . 1 P r i m e r M é t o d o
S e a eN (t) l a d i f e r e n c i a ( i . e . e r r o r ) e n t r e l a s e ñ a l f (t) y s u r e c o n s t r u c c i ó n p a r c i a l f N (t)
eN (t) = f (t) − f N (t) ( 6 . 4 1 )
S i
f (t) ∈ L2 ([0, T ]) ( e n e r g í a n i t a ) , e n t o n c e s l a e n e r g í a d e
eN (t) → 0 c u a n d o
N → ∞ e s
T
0
(|eN (t) |)2dt =
T
0 f (t) − f N
(t)
2
dt → 0 ( 6 . 4 2 )
P o d e m o s c o m p r o b a r e s t a e c u a c i ó n u s a n d o l a r e l a c i ó n d e P e r s e v a l a l :
limN →∞
T 0
|f (t) − f N (t) |2dt = lim
N →∞
∞N =−∞
|F nf (t) − F nf N (t) |2 = lim
N →∞
|n|>N
(|cn|)2
= 0
D o n d e l a e c u a c i ó n a n t e s d e l c e r o e s l a s u m a d e l a ú l t i m a p a r t e d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r . L a c u a l s e a p r o x i m a a
c e r o p o r q u e
f (t) ∈ L2 ([0, T ]) . Y a q u e e l s i s t e m a f í s i c o s r e s p o n d e n a l a e n e r g í a , l a s s e r i e s d e F o u r i e r p r o v e e n
u n a r e p r e s e n t a c i ó n a d e c u a d a p a r a t o d o
f (t) ∈ L2 ([0, T ]) i g u a l a n d o l a e n e r g í a n i t a s o b r e u n p u n t o .
2 0
h t t p : / / w w w - g r o u p s . d c s . s t - a n d . a c . u k /
∼h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s / F o u r i e r . h t m l
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1 1 4
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
6 . 9 . 2 . 2 S e g u n d o M é t o d o
E l h e c h o d e q u e eN → 0 n o n o s d i c e n a d a s o b r e q u e f (t) y limN →∞
f N (t) s e a n i g u a l e s e n c i e r t o p u n t o .
T o m e m o s l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s c o m o u n e j e m p l o :
( a ) ( b )
F i g u r e 6 . 1 9
D a d a s e s t a s d o s f u n c i o n e s
f (t) y
g (t), p o d e m o s o b s e r v a r q u e p a r a t o d o
t,
f (t) = g (t) , p e r o
T 0
(|f (t) − g (t) |)2dt = 0
D e e s t o p o d e m o s d e r i v a r l a s s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s :
Convergenciadeenerga = convergenciadepuntoporpunto
Convergenciadepuntoporpunto⇒
convergenciaenL2 ([0, T ])
S i n e m b a r g o , l o c o n t r a r i o d e l a p r o p o s i c i ó n o e s c i e r t o .
R e s u l t a q u e s i f (t) t i e n e u n a d i s c o n t i n u i d a d ( c o m o s e p u e d e o b s e r v a r e n l a g u r a d e g (t) ) e n t0 ,
e n t o n c e s
f (t0) = limN →∞
f N (t0)
M i e n t r a s
f (t) t e n g a a l g u n a s d e l a s c o n d i c i o n e s , e n t o n c e s
f (t) = limN →∞
f N (t)
s i
f (t) e s c o n t i n u a e n
t = t.
6 . 1 0 C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t
2 1
N o m b r a d o e n h o n o r d e l m a t e m á t i c o A l e m á n P e t e r D i r i c h l e t , l a s c o n d i c i o n e s D i r i c h l e t s o n l a s c o n d i c i o n e s
q u e g a r a n t i z a n l a e x i s t e n c i a y c o n v e r g e n c i a d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r
2 2
o d e l a s t r a s f o r m a d a s d e F o u r i e r
2 3
.
2 1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 2 7 / 1 . 2 / > .
2 2
" F o u r i e r S e r i e s : E i g e n f u n c t i o n A p p r o a c h " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 9 6 / l a t e s t / >
2 3
" D e r i v a t i o n o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 4 6 / l a t e s t / >
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6 . 1 0 . 1 L a s C o n d i c i o n e s D é b i l e s p a r a l a s S e r i e s d e F o u r i e r
C o n d i c i ó n 6 . 1 : L a C o n d i c i ó n D é b i l d e D i r i c h l e t
P a r a q u e l a s s e r i e s d e f o u r i e r e x i s t a n , l o s c o e c i e n t e s d e f o u r i e r d e b e n s e r n i t o s , e s t a c o n d i c i ó n
g a r a n t i z a s u e x i s t e n c i a . E s e n c i a l m e n t e d i c e q u e e l i n t e g r a l d e l v a l o r a b s o l u t o d e l a s e ñ a l d e b e s e r
n i t o . L o s l í m i t e s d e i n t e g r a c i ó n s o n d i f e r e n t e s p a r a e l c a s o d e l a s s e r i e s d e f o u r i e r y d e l o s d e l c a s o
d e l a s t r a s f o r m a d a d e F o u r i e r . E s t e e s e l r e s u l t a d o q u e p r o v i e n e d i r e c t a m e n t e d e l a s d i f e r e n c i a s e n
l a s d e n i c i o n e s d e l a s d o s .
P r o o f : L a s s e r i e s d e f o u r i e r e x i s t e n ( l o s c o e c i e n t e s s o n n i t a s ) s i
L a s C o n d i c i o n e s D é b i l e s p a r a l a s S e r i e s d e F o u r i e r
T 0
|f (t) |dt < ∞ ( 6 . 4 3 )
E s t o s e p u e d e p r o b a r u s a n d o l a c o n d i c i ó n i n i c i a l d e l o s c o e c i e n t e s i n i c i a l e s d e l a s s e r i e s d e f o u r i e r
q u e p u e d e n s e r n i t a s .
|cn| = | 1T
T 0
f (t) e−(jω0nt)dt| ≤ 1T
T 0
|f (t) ||e−(jω0nt)|dt ( 6 . 4 4 )
R e c o r d a n d o l o s e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s
2 4
, s a b e m o s q u e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r |e−(jω0nt)| = 1 , n o s
d a
1
T
T 0
|f (t) |dt =1
T
T 0
|f (t) |dt ( 6 . 4 5 )
< ∞ ( 6 . 4 6 )
n o t a : S i t e n e m o s l a f u n c i ó n :
f (t) = 1t
, 0 < t ≤ T
E n t o n c e s u s t e d d e b e r í a o b s e r v a r q u e e s t a f u n c i ó n n o t i e n e l a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a .
6 . 1 0 . 1 . 1 L a s C o n d i c i o n e s D é b i l e s p a r a l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
C o n d i c i ó n 6 . 2 :
L a t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r e x i s t e s i
l a s c o n d i c i o n e s d é b i l e s p a r a l a t r a s f o r m a d a d e F o u r i e r
∞
−∞
|f (t) |dt < ∞ ( 6 . 4 7 )
E s t o s e p u e d e d e r i v a r d e l a m i s m a m a n e r a e n l a q u e s e d e r i v o l a s c o n d i c i o n e s d é b i l e s d e D i r i c h l e t
p a r a l a s s e r i e s d e f o u r i e r , s e e m p i e z a c o n l a d e n i c i ó n y s e d e m u e s t r a q u e l a t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r
d e b e d e s e r m e n o r q u e i n n i t o e n t o d a s p a r t e s .
2 4
" T h e C o m p l e x E x p o n e n t i a l " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 6 0 / l a t e s t / >
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1 1 6
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
6 . 1 0 . 2 L a s C o n d i c i o n e s F u e r t e s d e D i r i c h l e t
L a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e x i s t e s i l a s e ñ a l t i e n e u n n ú m e r o n i t o d e d i s c o n t i n u i d a d e s y u n n ú m e r o n i t o
d e m á x i m o s y m í n i m o s . P a r a q u e l a s s e r i e s d e f o u r i e r e x i s t a n l a s s i g u i e n t e s d o s c o n d i c i o n e s s e d e b e n d e
s a t i s f a c e r ( j u n t o c o n l a c o n d i c i ó n d é b i l d e D i r i c h l e t ) :
1 . E n u n p e r i o d o , f (t) t i e n e s o l o u n n ú m e r o n i t o d e m í n i m o s y m á x i m o s .
2 . E n u n p e r i o d o ,
f (t) t i e n e u n n u m e r o n i t o d e d i s c o n t i n u i d a d e s y c a d a u n a e s n i t a .
E s t o e s a l o q u e n o s r e f e r i m o s c o m o l a s c o n d i c i o n e s f u e r t e s d e D i r i c h l e t . E n t e o r í a p o d e m o s p e n s a r e n
s e ñ a l e s q u e v i o l a n e s t a s c o n d i c i o n e s p o r e j e m p l o sin (logt), s i n e m b a r g o , n o e s p o s i b l e c r e a r e s t a s e ñ a l e n u n
l a b o r a t o r i o . P o r e s o , c u a l q u i e r s e ñ a l e n e l m u n d o r e a l t e n d r á u n a r e p r e s e n t a c i ó n d e F o u r i e r .
6 . 1 0 . 2 . 1 E j e m p l o
A s u m a m o s q u e t e n e m o s l a s i g u i e n t e f u n c i ó n e i g u a l d a d :
f (t) = limN
→∞
f N (t) ( 6 . 4 8 )
S i f (t) t i e n e l a s t r e s c o n d i c i o n e s F u e r t e s d e D i r i c h l e t , e n t o n c e s
f (τ ) = f (τ )
e n c u a l q u i e r τ d o n d e f (t) e s c o n t i n u o y d o n d e f (t) e s d i s c o n t i n u o , f (t) e s e l v a l o r p r o m e d i o d e l l a d o d e r e c h o
e i z q u i e r d o . V e a l a s s i g u i e n t e s F i g u r e 6 . 2 0 c o m o u n e j e m p l o :
( a ) ( b )
F i g u r e 6 . 2 0 : F u n c i o n e s D i s c o n t i n u a s , f (t).
n o t a : L a s f u n c i o n e s q u e n o c u m p l e n c o n l a s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t s o n p a t o l ó g i c a s c o m o
i n g e n i e r o s , n o e s t a m o s i n t e r e s a d o s e n e l l o s .
6 . 1 1 E l F e n ó m e n o d e G i b b s
2 5
6 . 1 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n
L a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) s o n l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s c o n t i n u a s e n e l t i e m p o
d a d o e n t é r m i n o s d e e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s . L a s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t ( S e c t i o n 6 . 1 0 ) s u g i e r e n q u e l a s
s e ñ a l e s d i s c o n t i n u a s p u e d e n t e n e r r e p r e s e n t a c i ó n d e s e r i e d e f o u r i e r s i e m p r e y c u a n d o t e n g a n u n n ú m e r o
2 5
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 2 9 / 1 . 1 / > .
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1 1 7
n i t o d e d i s c o n t i n u i d a d e s . E s t o p a r e c e d e c i r l o c o n t r a r i o d e l o q u e h e m o s e x p l i c a d o , y a q u e l o s e x p o n e n c i a l e s
c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 5 ) s o n f u n c i o n e s c o n t i n u a s . N o p a r e c e q u e s e a p o s i b l e e l p o d e r r e c o n s t r u i r e x a c t a m e n t e
u n a f u n c i ó n d i s c o n t i n u a d e u n c o n j u n t o d e f u n c i o n e s c o n t i n u a s . D e h e c h o , n o s e p u e d e . S i n e m b a r g o ,
p o d e m o s r e l a j a r l a c o n d i c i ó n d e ` e x a c t a m e n t e ' y r e m p l a z a r l a c o n l a i d e a d e c a s i e n t o d o s l a d o s . E s t o e s
p a r a d e c i r q u e l a r e c o n s t r u c c i ó n e s e x a c t a m e n t e l a m i s m a d e l a s e ñ a l o r i g i n a e x c e p t o e n u n n u m e r o d e p u n t o s
n i t a s . E s t o s p u n t o s o c u r r e n e n l a s d i s c o n t i n u i d a d e s .
6 . 1 1 . 1 . 1 H i s t o r i a
E n l o s 1 8 0 0 s , m u c h a s m a q u i n a s f u e r o n c o n s t r u i d a s p a r a c a l c u l a r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r y r e - s i n t e t i z a r :
f N (t) =
N n=−N
cnejω0nt
( 6 . 4 9 )
A l b e r t M i c h e l s o n ( u n f í s i c o e x p e r i m e n t a l e x t r a o r d i n a r i o ) c o n s t r u y o u n a m a q u i n a e n 1 8 9 8 q u e p o d í a c a l c u l a r
cn h a s t a n = ±79, y r e - s i n t e t i z o
f 79 (t) =
79n=−79
cnejω0nt
( 6 . 5 0 )
L a m a q u i n a f u n c i o n o m u y b i e n e n t o d o s l o s e x á m e n e s e x c e p t o e n e s o s q u e t e n í a n f u n c i o n e s d e s c o n t i n ú a s .
C u a n d o u n a f u n c i ó n c u a d r a d a c o m o l a m o s t r a d a e n F i g u r e 6 . 2 1 ( F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e
w a v e ) , f u e d a d a a l a m a q u i n a a p a r e c i e r o n g a r a b a t o s a l r e d e d o r d e l a s d i s c o n t i n u i d a d e s , a u n q u e e l n u m e r o
d e l o s c o e c i e n t e s d e f o u r i e r l l e g a r o n a s e r c a s i i n n i t o s , l o s g a r a b a t o s n u n c a d e s a p a r e c i e r o n - e s t o s e p u e d e
o b s e r v a r e n l a s F i g u r e 6 . 2 1 ( F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e w a v e ) . J . W i l l a r d G i b b s f u e e l p r i m e r o
e n e x p l i c a r e s t e f e n ó m e n o e n 1 8 9 9 , p o r e s o e s t o s p u n t o s s o n c o n o c i d o s c o m o e l F e n ó m e n o d e G i b b s .
6 . 1 1 . 2 E x p l i c a c i ó n
E m p e z a r e m o s e s t a d i s c u s i ó n t o m a n d o u n a s e ñ a l c o n u n n ú m e r o n i t o d e d i s c o n t i n u i d a d e s ( c o m o e l p u l s o
c u a d r a d o ) y e n c o n t r a n d o s u r e p r e s e n t a c i ó n d e s e r i e s d e f o u r i e r . E n t o n c e s t r a t a r e m o s d e r e c o n s t r u i r e s t a
s e ñ a l u s a n d o s u s c o e c i e n t e s d e f o u r i e r . V e m o s q u e e n t r e m a s c o e c i e n t e s u s e m o s , l a s e ñ a l r e c o n s t r u i d a s e
p a r e c e m á s y m á s a l a s e ñ a l o r i g i n a l . S i n e m b a r g o , a l r e d e d o r d e l a s d i s c o n t i n u i d a d e s , o b s e r v a m o s o n d u l a c i o n e s
q u e n o d e s a p a r e c e n . A l c o n s i d e r a r e l u s o d e m á s c o e c i e n t e s , l a s o n d u l a c i o n e s s e v u e l v e n e s t r e c h a s , p e r o
n o d e s a p a r e c e n . C u a n d o l l e g a m o s a u n n ú m e r o c a s i i n n i t o d e c o e c i e n t e s , e s t a s o n d u l a c i o n e s c o n t i n ú a n
a h í . E s t o e s c u a n d o a p l i c a m o s l a i d e a d e c a s i e n t o d o s l a d o s . M i e n t r a s e s t a s o n d u l a c i o n e s s i g u e n p r e s e n t e s
( e s t a n d o s i e m p r e a r r i b a d e l 9 % d e l a a l t u r a d e l p u l s o ) , e l á r e a d e n t r o d e e l l a s t i e n d e a s e r c e r o , l o q u e
s i g n i c a q u e l a e n e r g í a d e l a s o n d u l a c i o n e s l l e g a a s e r c e r o . L o q u e d e m u e s t r a q u e s u a n c h u r a t i e n d e a
s e r c e r o y p o d e m o s s a b e r q u e l a r e c o n s t r u c c i ó n d e l a s e ñ a l e s e x a c t a m e n t e i g u a l a l a s e ñ a l o r i g i n a l e x c e p t o
e n l a s d i s c o n t i n u i d a d e s . Y a q u e l a s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t d i c e n q u e p u e d e n h a b e r u n n u m e r o n i t o d e
d i s c o n t i n u i d a d e s , p o d e m o s c o n c l u i r q u e e l p r i n c i p i o d e c a s i e n t o d o s l a d o s e s c u m p l i d o . E s t e f e n ó m e n o e s
u n c a s o e s p e c í c o d e u n a c o n v e r g e n c i a n o - u n i f o r m e .
U s a r e m o s u n a f u n c i ó n c u a d r a d a , j u n t o c o n s u s s e r i e s d e F o u r i e r , p a r a v e r g u r e s d o n d e s e m u e s t r a e s t e
f e n ó m e n o c o n d e t a l l e s u n p o c o m a s m a t e m á t i c o s .
6 . 1 1 . 2 . 1 F u n c i ó n c u a d r a d a
L a s s e r i e s d e F o u r i e r d e e s t a s e ñ a l n o s d i c e n q u e s u s l a d o s d e r e c h o s e i z q u i e r d o s s o n i g u a l e s . P a r a e n t e n d e r
e l f e n ó m e n o d e G i b b s , n e c e s i t a r e m o s r e d e n i r l a m a n e r a e n l a q u e v e m o s l a i g u a l d a d .
s (t) = a0 +∞k=1
akcos
2πkt
T
+
∞k=1
bksin
2πkt
T
( 6 . 5 1 )
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C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
6 . 1 1 . 2 . 2 E j e m p l o
L a s i g u i e n t e F i g u r e 6 . 2 1 ( F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e w a v e ) n o s m u e s t r a v a r i a s a p r o x i m a c i o n e s
p a r a l a s s e r i e s d e f o u r i e r d e l a f u n c i ó n c u a d r a d a
2 6
, u s a n d o u n n ú m e r o v a r i a d o d e t é r m i n o s e s c r i t o p o r K :
F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e w a v e
F i g u r e 6 . 2 1 : A p r o x i m a c i o n d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r p a r a sq (t) . E l n u m e r o d e t e r m i n o s e n l a s u m a
d e F o u r i e r e s t a i n d i c a d a e n c a d a g r a c a , l a f u n c i o n c u a d r a d a e s m o s t r a d a e n d o s p e r i o d o s c o n u n a l i n e a
q u e b r a d i z a .
C u a n d o c o m p a r a m o s l a f u n c i ó n c u a d r a d a c o n s u r e p r e s e n t a c i ó n d e l a s e r i e s d e F o u r i e r F i g u r e 6 . 2 1 ( F o u r i e r
s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e w a v e ) , n o s e p u e d e v e r c l a r a m e n t e q u e l a s d o s s o n i g u a l e s . E l h e c h o d e
q u e l a s s e r i e s d e f o u r i e r r e q u i e r e n m á s t é r m i n o s p a r a u n a r e p r e s e n t a c i ó n m á s e x a c t a n o e s i m p o r t a n t e . S i n
e m b a r g o , u n a i n s p e c c i ó n m a s d e t a l l a d a F i g u r e 6 . 2 1 ( F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e w a v e ) r e v e l a
u n p o s i b l e p r o b l e m a : ¾ l a s e r i e s d e F o u r i e r p u e d e n i g u a l a r l a f u n c i ó n c u a d r a d a e n t o d o s l o s v a l o r e s d e t ? ?
E n p a r t i c u l a r , e n c u a l q u i e r c a m b i o d e p a s o e n l a f u n c i ó n , l a s s e r i e s d e f o u r i e r m u e s t r a n u n p i c o s e g u i d o p o r
o s c i l a c i o n e s r á p i d a s . C u a n d o s e a d h i e r e n m á s t é r m i n o s a l a s s e r i e s , l a s o s c i l a c i o n e s s e v u e l v e n m á s r á p i d a s
2 6
" F o u r i e r S e r i e s A p p r o x i m a t i o n o f a S q u a r e W a v e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 4 1 / l a t e s t / >
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y m á s p e q u e ñ a s , p e r o l o s p i c o s n o d i s m i n u y e n . C o n s i d e r e m o s i n t u i t i v a m e n t e e s t a p r e g u n t a m a t e m á t i c a :
¾ p u e d e u n a f u n c i ó n d i s c o n t i n u a , c o m o l a f u n c i ó n c u a d r a d a , s e r e x p r e s a d a c o m o u n a s u m a , a u n s i e s i n n i t a ,
d e f u n c i o n e s c o n t i n u a s ? U n o t i e n e q u e s o s p e c h a r q u e d e h e c h o n o s e p u e d e e x p r e s a r . E s t a p r e g u n t a l e
p r o d u j o a F o u r i e r
2 7
c r i t i c a s d e l a a c a d e m i a d e c i e n c i a F r a n c e s a ( L a p a c e , L e g e n d r e , y L a g r a n d e f o r m a b a n
p a r t e d e l c o m i t é d e r e v i s i ó n ) p o r m u c h o s a n o s d e s u p r e s e n t a c i ó n e n 1 9 0 7 . E s t o n o f u e r e s u e l t o p o r m a s s e
c i e n a n o s , y l a s o l u c i ó n e s a l g o i m p o r t a n t e e i n t e r e s a n t e d e e n t e n d e r p a r a u n p u n t o d e v i s t a p r a c t i c o .
E s t o s p i c o s e n l a s e r i e s d e f o u r i e r d e l a f u n c i ó n c u a d r a d a n u n c a d e s a p a r e c e n ; s o n l l a m a d o s e l f e n ó m e n o d e
G i b b n o m b r a d o p o r e l f í s i c o A m e r i c a n o J o s i a h W i l l a r d G i b b . O c u r r a n c a d a v e z q u e l a s s e ñ a l e s d i s c o n t i n u a s ,
y s i e m p r e e s t a r á n p r e s e n t e s c u a n d o l a s e ñ a l t i e n e b r i n c o s .
6 . 1 1 . 2 . 3 R e d e n i e n d o I g u a l d a d
R e g r e s e m o s a l a p r e g u n t a d e i g u a l d a d ; c o m o s e p u e d e j u s t i c a r l a s e ñ a l d e i g u a l d a d e n l a d e n i c i ó n d e
l a s e r i e s d e F o u r i e r
2 8
? L a r e s p u e s t a p a r c i a l e s q u e c a d a p u n t o t o d o s l o s v a l o r e s d e
t l a i g u a l d a d n o e s
g a r a n t i z a d a . L o q u e l o s m a t e m á t i c o s d e l s i g l o 1 9 f u e q u e e l e r r o r R M S d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r e r a n c e r o .
limK→∞
rms (K) = 0 ( 6 . 5 2 )
L o q u e s i g n i c a e s q u e l a d i f e r e n c i a e n t r e l a s e ñ a l a c t u a l y s u r e p r e s e n t a c i ó n e n f o u r i e r p u e d e n o s e r c e r o ,
p e r o e l c u a d r a d o d e e s t a c a n t i d a d t i e n e u n a i n t e g r a l i g u a l a ½ c e r o ! E s a t r a v é s d e l v a l o r d e R M S q u e d e n i m o s
i g u a l d a d : d o s s e ñ a l e s
s1 (t) ,
s2 (t) s e d i c e n s e r i g u a l e s e n e l p r o m e d i o c u a d r a d o s i
rms (s1 − s2) = 0 . E s t a s
s e ñ a l e s s e d i c e n s e r i g u a l e s p u n t o a p u n t o s i
s1 (t) = s2 (t) p a r a t o d o s l o s v a l o r e s d e
t. P a r a l a s s e r i e s
d e f o u r i e r , l o s p i c o s d e l f e n ó m e n o d e G i b b s t i e n e n a l t u r a n i t a y a n c h u r a d e c e r o : e l e r r o r d i e r e d e c e r o
s o l o e n p u n t o a i s l a d o - c u a n d o l a s e ñ a l p e r i ó d i c a c o n t i e n e d i s c o n t i n u i d a d e s - i g u a l a 9 % d e l t a m a ñ o d e l a
d i s c o n t i n u i d a d . E l v a l o r d e l a f u n c i ó n e n c o n j u n t o d e p u n t o s n i t o s a f e c t a e l i n t e g r a l . E s t e e f e c t o n o e x p l i c a
l a r a z ó n d e l p o r q u e d e n i m o s e l v a l o r d e u n a f u n c i ó n d e s c o n t i n ú a e n s u d i s c o n t i n u i d a d . E l v a l o r q u e s e
e s c o j a p a r a e s t a d i s c o n t i n u i d a d n o t i e n e u n a r e l e v a n c i a p r á c t i c a p a r a e l e s p e c t r o d e l a s e ñ a l o e l c o m o e l
s i s t e m a r e s p o n d e a e s t a s e ñ a l . L a s s e r i e s d e f o u r i e r v a l o r a d a s e n e n l a d i s c o n t i n u i d a d e s e l p r o m e d i o d e
l o s v a l o r e s e n c u a l q u i e r l a d o d e l s a l t o .
6 . 1 2 R e s u m e n d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r
2 9
A b a j o v e r e m o s a l g u n o s d e l o s c o n c e p t o s m á s i m p o r t a n t e s d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) y n u e s t r o
e n t e n d i m i e n t o u s a n d o e i g e n f u n c i o n e s y e i g e n v a l o r e s . O j a l a e s t e f a m i l i a r i z a d o c o n e s t e m a t e r i a l p a r a q u e e s t e
d o c u m e n t o s i r v a c o m o u n r e p a s o , p e r o s i n o , u s e t o d o s l o s l i n k s d e i n f o r m a c i ó n d a d o s e n l o s t e m a s .
1 . P o d e m o s r e p r e s e n t a r u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a ( S e c t i o n 6 . 1 ) o u n a f u n c i ó n e n u n i n t e r v a l o f (t) c o m o l a
c o m b i n a c i ó n d e e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 5 ) :
f (t) =
∞n=−∞
cnejω0nt
( 6 . 5 3 )
cn =1T
T
0
f (t) e−(jω0nt)dt ( 6 . 5 4 )
D o n d e l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r , cn , i g u a l a n c u a n t o d e l a f r e c u e n c i a ω0n e x i s t e n e n l a s e ñ a l .
2 7
h t t p : / / w w w - g r o u p s . d c s . s t - a n d . a c . u k /
∼h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s / F o u r i e r . h t m l
2 8
" F o u r i e r S e r i e s " , ( 1 ) < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 3 9 / l a t e s t / # s i n e >
2 9
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 2 / 1 . 3 / > .
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1 2 0
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
2 . Y a q u e ejω0nts o n e i g e n f u n c i o n e s d e s i s t e m a L T I ( S e c t i o n 6 . 8 ) p o d e m o s i n t e r p r e t a r l a a c c i ó n d e u n
s i s t e m a e n u n a s e ñ a l e e n t e r m i n o d e s u s e i g e n v a l o r e s
3 0
:
H ( jω0n) = ∞−∞ h (t) e−
(jω0nt)
dt( 6 . 5 5 )
• |H ( jω0n) | e s g r a n d e ⇒ e l s i s t e m a a c e n t ú a l a f r e c u e n c i a ω0n• |H ( jω0n) | e s p e q u e ñ o ⇒ e l s i s t e m a a t e n ú a e l
ω0n
3 . E n a d i c i ó n e l cn d e u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a f (t) n o s p u e d e d e c i r s o b r e :
•s i m e t r í a s e n
f (t)• s u a v i d a d e n
f (t), w h e r e d o n d e l a s u a v i d a d s e p u e d e i n t e r p r e t a r c o m o e l r a d i o d e d e c a d e n c i a |cn| .
4 . P o d e m o s a p r o x i m a r u n a f u n c i ó n a d e - s i n t e t i z a r u s a n d o a l g u n o s v a l o r e s e n e l c o e c i e n t e d e f o u r i e r (
t r u n c a n d o l a S . F . )
f N (t) =
n≤|N | cnejω0nt
( 6 . 5 6 )
E s t a a p r o x i m a c i ó n f u n c i o n a b i e n d o n d e f (t) e s c o n t i n u o p e r o n o f u n c i ó n t a m b i é n c u a n d o f (t) i s
d i s c o n t i n u o u s . e s d e s c o n t i n u ó e s t o e s e x p l i c a d o p o r e l f e n ó m e n o d e G i b b ( S e c t i o n 6 . 1 1 ) .
3 0
" E i g e n v e c t o r s a n d E i g e n v a l u e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 3 6 / l a t e s t / >
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1 2 1
S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 6
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 6 . 1 ( p . 9 5 )
L a p a r t e m a s c o n f u s a d e e s t a p r o b l e m a e s d e e n c o n t r a r l a m a n e r a d e r e p r e s e n t a r e s t a f u n c i ó n e n t é r m i n o s
d e s u s b a s e , ejω0nt . P a r a h a c e r e s t o , n o s o t r o s u s a r e m o s n u e s t r o c o n o c i m i e n t o d e l a r e l a c i ó n d e E u l e r ( S e c -
t i o n 1 . 5 . 2 : L a R e l a c i ó n d e E u l e r ) p a r a r e p r e s e n t a r n u e s t r a f u n c i ó n d e c o s e n o e n t é r m i n o s d e s u e x p o n e n c i a l .
f (t) =1
2
ejω0t + e−(jω0t)
C o n e s t a f o r m a y c o n ( 6 . 3 ) , a l i n s p e c c i o n a r l a p o d e m o s v e r q u e n u e s t r o s c o e c i e n t e s s o n :
cn =
12
i f |n| = 1
0 o t h e r w i s e
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 6 . 2 ( p . 9 5 )
C o m o l o h i c i m o s e n n u e s t r o o t r o e j e m p l o u s a r e m o s u n a v e z m á s l a r e l a c i ó n d e E u l e r ( S e c t i o n 1 . 5 . 2 : L a
R e l a c i ó n d e E u l e r ) p a r a r e p r e s e n t a r n u e s t r a f u n c i ó n d e s e n o e n t é r m i n o s d e f u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s .
f (t) =1
2 j
ejω0t − e−(jω0t)
A s i q u e n u e s t r o s c o e c i e n t e s s o n
cn =
−j2
i f n = −1j2 i f n = 1
0 o t h e r w i s e
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 6 . 3 ( p . 9 6 )
U n a v e z m á s u t i l i z a m o s l a m i s m a t é c n i c a . Y a l n a l n u e s t r a f u n c i ó n e s
f (t) = 3 + 4
1
2
ejω0t + e−(jω0t)
+ 2
1
2
ej2ω0t + e−(j2ω0t)
D e e s t o p o d e m o s e n c o n t r a r n u e s t r o s c o e c i e n t e s :
cn =
3 i f n = 0
2 i f |n| = 1
1 i f |n| = 2
0 o t h e r w i s e
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 6 . 4 ( p . 9 6 )
N o s o t r o s c o m e n z a r e m o s a l r e e m p l a z a r n u e s t r a f u n c i ó n ,
f (t), e n ( 6 . 4 ) . N u e s t r o i n t e r v a l o d e i n t e g r a c i ó n
c a m b i a r a p a r a i g u a l a r e l i n t e r v a l o e s p e c i c a d o p o r l a f u n c i ó n
cn =1
T
T 1−T 1
(1) e−(jω0nt)dt
N o t e q u e d e b e m o s c o n s i d e r a r d o s c a s o s : n = 0 y n = 0. P a r a n = 0 p o d e m o s v e r q u e d e s p u é s d e i n s p e c c i o n a r
e l i n t e g r a l o b t e n e m o s .
cn =2T 1
T , n = 0
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1 2 2
C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O
P a r a n = 0 , t e n e m o s q u e t o m a r m a s p a s o s p a r a r e s o l v e r l o . E m p e z a r e m o s a l o b s e r v a r e l i n t e g r a l b á s i c o d e l
i n t e g r a l q u e t e n e m o s . R e c o r d a n d o n u e s t r o c á l c u l o e s t a m o s l i s t o s p a r a i n t e g r a r :
cn =
1
T 1
jω0n
e−(jω0nt)
|T 1
t=−T 1
A h o r a e v a l u a r e m o s l a s f u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s p a r a l o s l í m i t e s d a d o s y e x p a n d i r e m o s n u e s t r a e c u a c i ó n a :
cn =1
T
1
− ( jω0n)
e−(jω0nT 1) − ejω0nT 1
A h o r a m u l t i p l i c a r e m o s e l l a d o d e r e c h o d e n u e s t r a e c u a c i ó n p o r
2j2j y d i s t r i b u i r e m o s n u e s t r o s i g n o n e g a t i v o
d e n t r o d e n u e s t r o p a r é n t e s i s , p o d e m o s u t i l i z a r l a r e l a c i ó n d e E u l e r
3 1
p a r a s i m p l i c a r n u e s t r a e x p r e s i ó n a :
cn =1
T
2 j
jω0n
sin (ω0nT 1)
A h o r a , r e c u e r d e q u e a n t e r i o r m e n t e d e n i m o s
ω0 =
2π
T . P o d e m o s r e s o l v e r e s t a e c u a c i ó n p a r a
T y s u s t i t u i r
e n .
cn =2 jω0
jω0n2πsin (ω0nT 1)
F i n a l m e n t e , s i c a n c e l a m o s a l g u n o s t é r m i n o s l l e g a r e m o s a n u e s t r a r e s p u e s t a n a l p a r a l o s c o e c i e n t e s d e
F o u r i e r : f (t) :
cn =sin (ω0nT 1)
nπ, n = 0
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 6 . 5 ( p . 1 0 3 )
(|cn|)2 < ∞ p a r a f (t) t e n e r e n e r g í a n i t a .
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 6 . 6 ( p . 1 0 3 )
S i , p o r q u e (
|cn
|)2
= 1n2
, l a c u a l s e p u e d e s u m a r .
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 6 . 7 ( p . 1 0 3 )
N o , p o r q u e (|cn|)2 = 1n
, l a c u a l n o s e p u e d e s u m a r .
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 6 . 8 ( p . 1 0 9 )
F i g u r e 6 . 2 2 : U n p u l s o t r i a n g u l a r c o n p e r i o d o d e
T 4 .
3 1
" T h e C o m p l e x E x p o n e n t i a l " : S e c t i o n E u l e r ' s R e l a t i o n < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 6 0 / l a t e s t / # e u l _ r e l >
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C h a p t e r 7
E s p a c i o s d e H i l b e r t y E x p a n s i o n e s
O r t o g o n a l e s
7 . 1 E s p a c i o s V e c t o r i a l e s
1
I n t r o d u c c i ó n
D e n i t i o n 5 : E s p a c i o V e c t o r i a l
U n e s p a c i o v e c t o r i a l S e s u n a c o l e c c i ó n d e v e c t o r e s t a l q u e ( 1 ) s i f 1 ∈ S ⇒ αf 1 ∈ S p a r a t o d o
e s c a l a r α ( d o n d e α ∈ R ó α ∈ C) y ( 2 ) s i f 1 ∈ S , f 2 ∈ S , e n t o n c e s f 1 + f 2 ∈ S
P a r a d e n i r u n e s p a c i o v e c t o r i a l l i n e a l a b s t r a c t o , n e c e s i t a m o s :
• U n c o n j u n t o d e c o s a s l l a m a d a s " v e c t o r e s " ( X )
• U n c o n j u n t o d e c o s a s l l a m a d a s " e s c a l a r e s " ( A)
•U n o p e r a d o r d e a d i c i ó n d e v e c t o r e s ( +)
• U n o p e r a d o r d e m u l t i p l i c a c i ó n e s c a l a r ( ∗ )
E s t o s o p e r a d o r e s n e c e s i t a n t e n e r t o d a s l a s s i g u i e n t e p r o p i e d a d e s . L a c e r r a d u r a u s u a l m e n t e e s l a m a s i m p o r -
t a n t e p a r a m o s t r a r .
7 . 1 . 2 E s p a c i o V e c t o r i a l
S i l o s e s c a l a r e s α s o n r e a l e s , S e s l l a m a d o u n e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l .
S i l o s e s c a l a r e s α s o n c o m p l e j o s , S e s l l a m a d o u n e s p a c i o v e c t o r i a l c o m p l e j o .
S i l o s " v e c t o r e s " e n S s o n f u n c i o n e s o v a r i a b l e s c o n t i n u a s , m u c h a s v e c e s S e s l l a m a d o u n e s p a c i o l i n e a l
d e f u n c i o n e s .
7 . 1 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s
D e n i m o s u n c o n j u n t o
V p a r a s e r u n e s p a c i o v e c t o r i a l s i
1 . x + y = y + x p a r a c a d a x y y e n V 2 . x + (y + z) = (x + y) + z p a r a c a d a x , y , y z e n V 3 . H a y u n ú n i c o " v e c t o r c e r o " t a l q u e x + 0 = x p a r a c a d a x e n V 4 . P a r a c a d a
xe n
V H a y u n v e c t o r ú n i c o
−xt a l q u e
x + (−x) = 0.
5 . 1x = x
6 . (c1c2)x = c1 (c2x) p a r a c a d a
xe n
V a n d
c1 y
c2 e n C.
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 8 / 1 . 2 / > .
1 2 3
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C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
7 . c (x + y) = cx + cy p a r a c a d a x y y e n V y c e n C.
8 . (c1 + c2)x = c1x + c2x p a r a c a d a
xe n
V y
c1 y
c2 e n C.
7 . 1 . 2 . 2 E x a m p l e s
• Rn = espaciovectorialreal
• Cn = espaciovectorialcomplejo
• L1 (R) =
f (t) | ∞−∞ |f (t) |dt < ∞
e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l
• L∞ (R) = f (t) |f (t) es acotado e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l
• L2 (R) =
f (t) | ∞−∞ (|f (t) |)2dt < ∞
= sealesdeenergiafinitas e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l
• L2 ([0, T ]) = funcionesdeenergiafinitaenunintervalo[0, T ]• 1 (Z), 2 (Z), ∞ (Z) s o n e s p a c i o s v e c t o r i a l e s
• L a c o l e c c i ó n d e f u n c i o n e s p o r p e d a z o s c o n s t a n t e s e n t r e l o s e n t e r o s y e l e s p a c i o v e c t o r i a l
F i g u r e 7 . 1
• R+2 =
x0
x1
|x0 > 0 and x1 > 0
e s n o u n e s p a c i o v e c t o r i a l .
1
1
∈ R+
2, p e r o α
1
1
/∈
R+2 , α < 0
• D = z ∈ C , |z| ≤ 1 e s n o u n e s p a c i o v e c t o r i a l .
z1 = 1 ∈ D,
z2 = j ∈ D, p e r o
z1 + z2 /∈ D,
|z1 + z2| =√
2 > 1
n o t e : E l e s p a c i o v e c t o r i a l e s u n a c o l e c c i ó n d e f u n c i o n e s , c o l e c c i ó n d e s e c u e n c i a s , a s i c o m o u n a
c o l e c c i ó n d e v e c t o r e s t r a d i c i o n a l e s ( e s d e c i r u n a l i s t a n i t a d e n ú m e r o s )
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1 2 5
7 . 2 N o r m a s
2
7 . 2 . 1 I n t r o d u c c i ó n
M u c h o d e l l e n g u a j e u t i l i z a d o e n e s t a s e c c i ó n s e r á f a m i l i a r p a r a u s t e d - d e b e d e h a b e r e s t a d o e x p u e s t o a l o s
c o n c e p t o s d e
• p r o d u c t o i n t e r n o
3
• o r t o g o n a l i d a d
• e x p a n s i ó n d e b a s e
4
e n e l c o n t e x t o d e Rn
. V a m o s a t o m a r l o q u e c o n o c e m o s s o b r e v e c t o r e s y a p l i c a r l o a f u n c i o n e s ( s e ñ a l e s d e
t i e m p o c o n t i n u o ) .
7 . 2 . 2 N o r m a s
L a n o r m a d e u n v e c t o r e s u n n ú m e r o r e a l q u e r e p r e s e n t a e l " t a m a ñ o " d e e l v e c t o r .
E x a m p l e 7 . 1
E n R2
, p o d e m o s d e n i r l a n o r m a q u e s e a l a l o n g i t u d g e o m é t r i c a d e l o s v e c t o r e s .
F i g u r e 7 . 2
x = (x0, x1)T
, n o r m a x =√
x02 + x1
2
M a t e m á t i c a m e n t e , u n a n o r m a · e s s o l o u n a f u n c i ó n ( t o m a n d o u n v e c t o r y r e g r e s a n d o u n
n ú m e r o r e a l ) q u e s a t i s f a c e t r e s r e g l a s
P a r a s e r u n a n o r m a , · d e b e s a t i s f a c e r :
1 . l a n o r m a d e t o d o v e c t o r e s p o s i t i v a x > 0 , x ∈ S 2 . e s c a l a n d o e l v e c t o r , s e e s c a l a l a n o r m a p o r l a m i s m a c a n t i d a d αx = |α| x p a r a t o d o s l o s v e c t o r e s
xy e s c a l a r e s α
3 . P r o p i e d a d d e l T r i á n g u l o : x + y ≤ x + y p a r a t o d o s l o s v e c t o r e s
x,
y. E l t a m a ñ o d e l a
s u m a d e d o s v e c t o r e s e s m e n o r o i g u a l a l a s u m a d e s u s t a m a ñ o s
U n e s p a c i o v e c t o r i a l
5
c o n u n a n o r m a b i e n d e n i d a e s l l a m a d o u n e s p a c i o v e c t o r i a l n o r m a d o o e s p a c i o
l i n e a l n o r m a d o .
2
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 7 / 1 . 2 / > .
3
" I n n e r P r o d u c t s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 5 5 / l a t e s t / >
4
" O r t h o n o r m a l B a s i s E x p a n s i o n s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 6 0 / l a t e s t / >
5
" V e c t o r S p a c e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 6 7 / l a t e s t / >
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1 2 6
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
7 . 2 . 2 . 1 E j e m p l o s
E x a m p l e 7 . 2
Rn
( ó Cn
) ,
x =
x0
x1
. . .
xn−1
, x 1 =n−1
i=0 (|xi|), Rn
c o n e s t a n o r m a e s l l a m a d o
1 ([0, n − 1]) .
F i g u r e 7 . 3 : C o l e c c i ó n d e t o d a s l a s x ∈ R2 c o n x 1 = 1
E x a m p l e 7 . 3
Rn( ó Cn
) , c o n n o r m a x 2 =
n−1i=0
(|xi|)2 1
2, Rn
e s l l a m a d o 2 ([0, n − 1]) ( l a u s u a l " n o r m a
E u c l i d e a n a " ) .
F i g u r e 7 . 4 : C o l e c c i ó n d e t o d a s l a s
x ∈ R2w i t h
x 2 = 1
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E x a m p l e 7 . 4
Rn
( o r Cn
, w i t h n o r m x ∞ = maxi |xi| i s c a l l e d
∞ ([0, n − 1])
F i g u r e 7 . 5 : x ∈ R2 c o n
x ∞ = 1
7 . 2 . 2 . 2 E s p a c i o s d e S e c u e n c i a s y F u n c i o n e s
P o d e m o s d e n i r n o r m a s s i m i l a r e s p a r a e s p a c i o s d e s e c u e n c i a s y f u n c i o n e s .
S e ñ a l e s d e t i e m p o d i s c r e t o = s e c u e n c i a d e n ú m e r o s
x [n] = . . . , x−2, x−1, x0, x1, x2, . . .
• x (n) 1 =∞
i=−∞ (|x [i] |), x [n] ∈ 1 (Z) ⇒ x 1 < ∞• x (n) 2 =
∞i=−∞
(|x [i] |)2
12
, x [n] ∈ 2 (Z) ⇒ x 2 < ∞• x (n) p =
∞i=−∞ ((|x [i] |) p)
1p
, x [n] ∈ p (Z) ⇒ x p < ∞• x (n) ∞ = sup
i
|x [i] |, x [n] ∈ ∞ (Z) ⇒ x ∞ < ∞
P a r a f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n e l t i e m p o :
• f (t) p = ∞
−∞ (|f (t) |) pdt 1p
, f (t) ∈ L p (R) ⇒ f (t) p < ∞
• ( E n e l i n t e r v a l o ) f (t) p = T
0 (|f (t) |) pdt1p
, f (t) ∈ L p ([0, T ]) ⇒ f (t) p < ∞
7 . 3 P r o d u c t o I n t e r n o
6
7 . 3 . 1 D e n i c i ó n : P r o d u c t o I n t e r n o
D e s e g u r o y a t i e n e u n a i d e a d e l p r o d u c t o i n t e r n o , t a m b i é n c o n o c i d o c o m o p r o d u c t o p u n t o , e n Rn
d e
a l g u n o d e s u s c u r s o s d e m a t e m á t i c a s o d e c ó m p u t o . S i n o , d e n i r e m o s e l p r o d u c t o i n t e r n o d e l a s i g u i e n t e
m a n e r a , t e n e m o s d a d o s a l g u n a s x ∈ Rny y ∈ Rn
6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 6 / 1 . 2 / > .
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1 2 8
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
D e n i t i o n 6 : P r o d u c t o I n t e r n o
E l p r o d u c t o i n t e r n o e s t a d e n i d o m a t e m á t i c a m e n t e d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :
< x,y > = yT x
=
y0 y1 . . . yn−1
x0
x1
.
.
.
xn−1
=n−1
i=0 (xiyi)
( 7 . 1 )
7 . 3 . 1 . 1 P r o d u c t o I n t e r n o e n 2 - D
S i t e n e m o s
x ∈ R2y
y ∈ R2, e n t o n c e s p o d e m o s e s c r i b i r e l p r o d u c t o i n t e r n o c o m o :
< x,y >= x y cos (θ) ( 7 . 2 )
d o n d e θ e s e l á n g u l o e n t r e x y y .
F i g u r e 7 . 6 : G r á c a g e n e r a l d e v e c t o r e s y á n g u l o s m e n c i o n a d o s e n l a s e c u a c i o n e s a n t e r i o r e s .
G e o m é t r i c a m e n t e , e l p r o d u c t o i n t e r n o n o s d i c e s o b r e l a f u e r z a d e x e n l a d i r e c c i ó n d e y .
E x a m p l e 7 . 5
P o r e j e m p l o , s i x = 1 , e n t o n c e s
< x,y >= y cos (θ)
F i g u r e 7 . 7 : G r á c a d e l o s d o s v e c t o r e s d e l e j e m p l o a n t e r i o r .
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1 2 9
L a s s i g u i e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s s o n d a d a s p o r e l p r o d u c t o i n t e r n o :
• < x,y > m i d e l a l o n g i t u d d e l a p r o y e c c i ó n d e y s o b r e x.
•< x,y > e s e l m á x i m o ( d a d a s
x
,
y
) d o n d e x y y e s t a n e n l a m i s m a d i r e c c i ó n ( θ = 0
⇒cos (θ) = 1 ) .
• < x,y >e s c e r o c u a n d o
cos (θ) = 0 ⇒ θ = 90 , e s d e c i r x
y
ys o n o r t o g o n a l e s .
7 . 3 . 1 . 2 R e g l a s d e l P r o d u c t o I n t e r n o
E n g e n e r a l e l p r o d u c t o i n t e r n o e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l c o m p l e j o e s s o l o u n a f u n c i ó n ( t o m a n d o d o s v e c t o r e s
y r e g r e s a n d o u n n ú m e r o c o m p l e j o ) q u e s a t i s f a c e c i e r t a s c o n d i c i o n e s :
• S i m e t r i a C o n j u g a d a :
< x,y >= < x,y >∗
• E s c a l a d o :
< αx,y >= α < x,y >
• A d i t i v i d a d :
< x + y, z >=< x, z > + < y, z >
• " P o s i t i v i d a d " :
< x,x >> 0 , x = 0
D e n i t i o n 7 : O r t o g o n a l
D e c i m o s q u e x y y s o n o r t o g o n a l e s s i :
< x,y >= 0
7 . 4 E s p a c i o s d e H i l b e r t
7
7 . 4 . 1 E s p a c i o s d e H i l b e r t
U n e s p a c i o v e c t o r i a l S c o n u n p r o d u c t o i n t e r n o ( S e c t i o n 7 . 3 ) v á l i d o d e n i d o e n é l e s l l a m a d o e s p a c i o d e
p r o d u c t o i n t e r n o , q u e t m a b i é n e s e s p a c i o l i n e a l n o r m a d o . U n e s p a c i o d e H i l b e r t e s u n e s p a c i o d e
p r o d u c t o i n t e r n o q u e e s c o m p l e t o c o n r e s p e c t o a l a n o r m a d e n i d a u s a n d o e l p r o d u c t o i n t e r n o . L o s e s p a c i o s
d e H i l b e r t f u e r o n n o m b r a d o s d e s p u é s d e q u e D a v i d H i l b e r t
8
, c o n v i r t i e r a e s t a i d e a a t r a v é s d e s u s e s t u d i o s
d e e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s . D e n i m o s n u e s t r a n o r m a u t i l i z a n d o e l p r o d u c t o i n t e r n o c o m o :
x =√
< x,x > ( 7 . 3 )
L o s E s p a c i o s d e H i l b e r t s e r á n d e a y u d a p a r a e s t u d i a r y g e n e r a l i z a r l o s c o n c e p t o s d e l a e x p a n s i ó n d e F o u r i e r ,
t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r , y a d e m á s s o n m u y i m p o r t a n t e s p a r a e l e s t u d i o d e m e c á n i c a q u á n t i c a . L o s e s p a c i o s
d e H i l b e r t s o n e s t u d i a d o s e n a n á l i s i s f u n c i o n a l u n a r a m a d e l a s m a t e m á t i c a s .
7
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 9 / 1 . 2 / > .
8
h t t p : / / w w w - h i s t o r y . m c s . s t - a n d r e w s . a c . u k / h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s / H i l b e r t . h t m l
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1 3 0
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
7 . 4 . 1 . 1 E j e m p l o s d e E s p a c i o s d e H i l b e r t
A c o n t i n u a c i ó n m o s t r a r e m o s u n a l i s t a d e a l g u n o s e j e m p l o s d e e s p a c i o s d e H i l b e r t
9
. U s t e d p u e d e v e r i c a r
q u e s o n v a l i d o s p a r a e s t u d i o s d e p r o d u c t o i n t e r n o .
• P a r a Cn
,
< x,y >= yT x =
y0∗ y1
∗ . . . yn−1∗
x0
x1
.
.
.
xn−1
=
n−1i=0
(xiyi∗)
• E s p a c i o d e f u n c i o n e s d e e n e r g í a n i t a c o m p l e j a : L2 (R)
< f ,g >=
∞−∞
f (t) g (t)∗dt
• E s p a c i o d e s e c u e n c i a s s u m a b l e s c u a d r a d a s :
2
(Z)
< x,y >=
∞i=−∞
x [i] y [i]
∗
7 . 5 D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z
1 0
7 . 5 . 1 I n t r o d u c c i ó n
R e c o r d a n d o q u e e n R2
,
< x,y >= x y cos (θ)
|< x,y >
| ≤x
y
( 7 . 4 )
L a m i s m a r e l a c i ó n s e m a n t i e n e p a r a e s p a c i o s d e p r o d u c t o i n t e r n o ( S e c t i o n 7 . 3 ) .
7 . 5 . 1 . 1 D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z
D e n i t i o n 8 : D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z
P a r a x, y e n u n e s p a c i o d e p r o d u c t o i n t e r n o
| < x,y > | ≤ x y
q u e m a n t i e n e l a i g u a l d a d s i y s o l o s i x y y s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s ( S e c t i o n 5 . 1 . 1 : I n d e p e n -
d e n c i a L i n e a l ) , e s d e c i r x = αy p a r a u n e s c a l a r α.
7 . 5 . 2 D e t e c t o r d e F i l t r o A c o p l a d o
T a m b i é n c o n o c i d o c o m o u n a d e l a s a p l i c a c i o n e s d e C a u c h y - S c h w a r z .
9
" H i l b e r t S p a c e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 3 4 / l a t e s t / >
1 0
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 8 0 / 1 . 2 / > .
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1 3 1
7 . 5 . 2 . 1 C o n c e p t o s d e t r á s d e l o s F i l t r o s A c o p l a d o s
D a d o s d o s v e c t o r e s , f y g , e n t o n c e s l a d e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z C S I ( C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y ) e s
m a x i m i z a d a c u a n d o f = αg . E s t o n o s d i c e q u e :
• f e s e n l a m i s m a " d i r e c c i ó n " c o m o
g.
• S i f y g s o n f u n c i o n e s , f = αg s i g n i c a q u e f y g t i e n e n l a m i s m a f o r m a .
P o r e j e m p l o , s u p o n i e n d o q u e t e n e m o s u n c o n j u n t o d e s e ñ a l e s , d e n i d a s c o m o g1 (t) , g2 (t) , . . . , gk (t), y
q u e q u e r e m o s s e r c a p a c e s d e d e c i r c u a l , y s i a l g u n a d e e s t a s s e ñ a l e s s e a s e m e j a a o t r a s e ñ a l d a d a f (t) .
E s t r a t e g i a : P a r a p o d e r e n c o n t r a r l a s s e ñ a l ( e s ) q u e s e a s e m e j a a f (t) t o m a m o s e l p r o d u c t o
i n t e r n o . S i gi (t) s e a s e m e j a a f (t) , e n t o n c e s e l v a l o r a b s o l u t o d e l p r o d u c t o i n t e r n o , | < f (t) , gi (t) >|, s e r á l a r g o .
E s t a i d e a d e s e r c a p a z d e m e d i r e l r a n g o d e d o s s e ñ a l e s s e m e j a n t e s n o s d a u n D e t e c t o r d e F i l t r o
A c o p l a d o .
7 . 5 . 2 . 2 C o m p a r a n d o S e ñ a l e s
E l s i m p l e u s o d e F i l t r o A c o p l a d o s e r á t o m a r u n c o n j u n t o d e c a n d i d a t o s d e s e ñ a l e s , d i g a m o s q u e n u e s t r o
c o n j u n t o d e g1 (t) , g2 (t) , . . . , gk (t) , y t r a t a r d e a c o p l a r l a a n u e s t r a p l a n t i l l a d e s e ñ a l , f (t) . P o r e j e m p l o
d i g a m o s q u e t e n e m o s l a s s i g u i e n t e s p l a n t i l l a s ( F i g u r e 7 . 8 ( S e ñ a l P l a t i l l a ) ) y s e ñ a l e s d e c a n d i d a t o s ( F i g u r e 7 . 9
( S e ñ a l e s C a n d i d a t a s ) ) :
S e ñ a l P l a t i l l a
f(t)
t
F i g u r e 7 . 8 : N u e s t r a s e ñ a l d e l a q u e r e m o s e n c o n t r a r u n a s e m e j a n t e a e s t a .
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1 3 2
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
S e ñ a l e s C a n d i d a t a s
g (t)
t
1
( a )
g (t)
t
2
( b )
F i g u r e 7 . 9 : C l a r a m e n t e p o d e m o s v e r c u a l d e l a s s e ñ a l e s n o s d a r á u n a m e j o r s e m e j a n z a a n u e s t r a s e ñ a l
d e p l a t i l l a .
A h o r a s i n u e s t r a ú n i c a p r e g u n t a f u e r a c u a l d e e s t a s f u n c i o n e s s e a c e r c a m a s f (t) e n t o n c e s f á c i l m e n t e
t e n e m o s l a r e s p u e s t a b a s a d a e n l a i n s p e c c i ó n g2 (t). S i n e m b a r g o , e s t e n o s i e m p r e s e r á e l c a s o . T a m b i é n
q u e r r e m o s o b t e n e r u n m é t o d o o a l g o r i t m o q u e p u e d a a u t o m a t i z a r e s t a s c o m p a r a c i o n e s . O t a l v e z q u e r a m o s
t e n e r u n v a l o r c u a n t i t a t i v o e x p r e s a n d o q u e t a n s i m i l a r e s s o n l a s s e ñ a l e s . P a r a t r a t a r e s t a s e s p e c i c a c i o n e s ,
p r e s e n t a r e m o s u n m é t o d o m a s f o r m a l p a r a c o m p a r a r s e ñ a l e s , e l c u a l , t a l c o m o s e m e n c i o n o a n t e r i o r m e n t e ,
e s t a b a s a d o e n e l p r o d u c t o i n t e r n o .
P a r a p o d e r v e r c u a l e s d e l a s s e ñ a l e s c a n d i d a t a s ,
g1 (t) ó
g2 (t) , m e j o r s e a s e m e j a a
f (t) % n e c e s i t a m o s
r e a l i z a r l o s s i g u i e n t e s p a s o s :
• N o r m a l i c e
gi (t)• T o m e e l p r o d u c t o i n t e r n o c o n
f (t)• E n c u e n t r e e l m á s g r a n d e
O p o n e r l o m a t e m á t i c a m e n t e
Mejorcandidato = argmaxi
| < f , gi > | gi ( 7 . 5 )
7 . 5 . 2 . 3 E n c o n t r a n d o u n P a t r ó n
E x t e n d i e n d o e s t o s p e n s a m i e n t o s d e l F i l t r o A c o p l a d o p a r a e n c o n t r a r s e m e j a n z a s e n t r e s e ñ a l e s , p o d e m o s u s a r
l a i d e a d e b u s c a r u n p a t r ó n e n u n a s e ñ a l l a r g a . L a i d e a e s s i m p l e m e n t e r e a l i z a r e n v a r i a s o c a s i o n e s e l
m i s m o c á l c u l o c o m o l o h i c i m o s a n t e r i o r m e n t e ; s i n e m b a r g o , a h o r a e n l u g a r d e c a l c u l a r e n d i f e r e n t e s s e ñ a l e s ,
s i m p l e m e n t e r e a l i z a m o s e l p r o d u c t o i n t e r n o c o n u n a v e r s i ó n d i f e r e n t e c a m b i a d a p o r n u e s t r a s e ñ a l p a t r ó n .
P o r e j e m p l o , d i g a m o s q u e t e n e m o s l a s s i g u i e n t e s d o s s e ñ a l e s : u n a s e ñ a l p a t r ó n ( F i g u r e 7 . 1 0 ( S e ñ a l P a t r ó n ) )
y u n a s e ñ a l l a r g a ( F i g u r e 7 . 1 1 ( S e ñ a l L a r g a ) ) .
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1 3 3
S e ñ a l P a t r ó n
f(t)
t
F i g u r e 7 . 1 0 : E l p a t r ó n q u e e s t a m o s b u s c a n d o e n u n a n u e s t r a s e ñ a l l a r g a t e n i e n d o u n a l o n g i t u d
T .
S e ñ a l L a r g a
F i g u r e 7 . 1 1 : E s t e e s u n a s e ñ a l l a r g a q u e c o n t i e n e u n p i e z a q u e e n s a m b l a e n n u e s t r a s e ñ a l p a t r ó n .
A q u í v e m o s d o s s e ñ a l e s c a m b i a d a s p o r n u e s t r a s e ñ a l p a t r ó n , c a m b i a n d o l a s s e ñ a l e s p o r
s1 a n d
s2 . E s t a s
d o s p o s i b i l i d a d e s n o s d a n l o s s i g u i e n t e s c á l c u l o s y r e s u l t a d o s :
• C a m b i o d e s1 : s1+T
s1g (t) f (t − s1) dt s1+T
s1(|g (t) |)2dt
= ”largo” ( 7 . 6 )
• C a m b i o d e s2 : s2+T
s2g (t) f (t − s2) dt s2+T
s2(|g (t) |)2dt
= ” pequeo” ( 7 . 7 )
P o r l o t a n t o p o d e m o s d e n i r u n a e c u a c i ó n g e n e r a l i z a d a p a r a n u e s t r o l t r o a c o p l a d o :
m (s) = filtroacoplado ( 7 . 8 )
m (s) =
s+T
sg (t) f (t − s) dt g (t) |L2([s,s+T ])
( 7 . 9 )
d o n d e e l n u m e r a d o d e l a ( 7 . 9 ) e s l a c o n v o l u c i ó n d e g (t)∗f (−t). A h o r a p a r a p o d e r d e c i d i r s i o n o e l r e s u l t a d o
d e n u e s t r o d e t e c t o r d e l t r o a c o p l a d o e s b a s t a n t e g r a n d e p a r a i n d i c a r u n a a c e p t a c i ó n c o r r e c t a e n t r e l a s d o s
s e ñ a l e s , d e n i m o s n i v e l d e r e f e r e n c i a . S i
m (s0) ≥ niveldereferencia
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1 3 4
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
d e s p u é s p o d e m o s t e n e r u n a s e m e j a n z a e n l a l o c a c i ó n s0 .
7 . 5 . 2 . 4 E j e m p l o s P r á c t i c o s
7 . 5 . 2 . 4 . 1 D e t e c c i ó n d e I m a g e n
E n 2 - D , e s t e c o n c e p t o e s u s a d o p a r a a c o p l a r i m á g e n e s j u n t a s , t a l c o m o v e r i c a r l a s h u e l l a s d i g i t a l e s p a r a
s e g u r i d a d o p a r a a c o p l a r f o t o s d e a l g u i e n . P o r e j e m p l o e s t a i d e a p u e d e s e r u s a d a p a r a l o s l i b r o s d e l t a n
c o n o c i d o ¾ d ó n d e e s t a W a l d o ? s i s e n o s d a l a s i g u i e n t e p l a t i l l a ( F i g u r e 7 . 1 2 ( a ) ) y u n a p i e z a d e l l i b r o ¾ d ó n d e
e s t a W a l d o ? , ( F i g u r e 7 . 1 2 ( b ) ) ,
( a ) ( b )
F i g u r e 7 . 1 2 : E j e m p l o d e l a i m a g e n d e ¾ D ó n d e e s t a W a l d o ? " . N u e s t r o d e t e c t o r d e F i l t r o A c o p l a d o
p u e d e s e r i m p l e m e n t a d o p a r a d e t e c t a r u n a s e m e j a n z a p o s i b l e p a r a W a l d o .
E n t o n c e s f á c i l m e n t e p o d e m o s c r e a r u n p r o g r a m a p a r a e n c o n t r a r l a i m a g e n q u e m á s s e a s e m e j e a l a i m a g e n
d e l a c a b e z a d e W a l d o e n l a g u r a l a r g a . S i m p l e m e n t e p o d e m o s i m p l e m e n t a r n u e s t r o a l g o r i t m o d e l t r o
a c o p l a d o : t o m a r e l p r o d u c t o i n t e r n o d e c a d a c a m b i o y v é a s e q u e t a n l a r g a e s n u e s t r a r e s p u e s t a r e s u l t a n t e .
E s t a i d e a f u e i m p l e m e n t a d a e n e s t a m i s m a i m a g e n p a r a u n P r o y e c t o d e S e ñ a l e s y S i s t e m a s
1 1
( v é a s e e s t a
l i g a p a r a s a b e r m a s ) e n l a U n i v e r s i d a d d e R i c e .
7 . 5 . 2 . 4 . 2 S i s t e m a s d e C o m u n i c a c i o n e s
L o s d e t e c t o r e s d e F i l t r o A c o p l a d o s o n u s u a l m e n t e u s a d o s e n S i s t e m a s d e C o m u n i c a c i ó n
1 2
. D e e c h o , e s t o s l o s
d e t e c t o r e s m a s ó p t i m o s p a r a e l r u i d o G a u s s a n i a n o . L a s s e ñ a l e s e n l a v i d a r e a l t a m b i é n s o n d i s t o r s i o n a d a s
p o r e l m e d i o a m b i e n t e q u e l a s r o d e a , a s í q u e e s u n a l u c h a c o n s t a n t e p a r a d e s c u b r i r m a n e r a s c a p a c e s d e
r e c i b i r s e ñ a l e s t o r c i d a s y d e s p u é s s e r c a p a c e s d e l t r a r l a s d e a l g u n a m a n e r a p a r a d e t e r m i n a r c u a l e r a l a s e ñ a l
o r i g i n a l . L o s l t r o s a c o p l a d o s n o s p r o v e e n u n a m a n e r a d e c o m p a r a r l a s e ñ a l r e c i b i d a c o n d o s p o s i b l e s s e ñ a l e s
( p l a n t i l l a ) y d e t e r m i n a r c u a l e s l a q u e m á s s e a s e m e j a a l a s e ñ a l r e c i b i d a .
1 1
h t t p : / / w w w . o w l n e t . r i c e . e d u /
∼e l e c 3 0 1 / P r o j e c t s 9 9 / w a l d o / p r o c e s s . h t m l
1 2
" S t r u c t u r e o f C o m m u n i c a t i o n S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 2 / l a t e s t / >
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1 3 5
P o r e j e m p l o a c o n t i n u a c i ó n t e n e m o s u n e j e m p l o s i m p l i c a d o d e l a F r e c u e n c i a D e s p l a z a d a d e K e y i n g
1 3
( F r e q u e n c y S h i f t K e y i n g F S K ) d o n d e t e n e m o s l a s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s p a r a ' 1 ' y ' 0 ' :
F i g u r e 7 . 1 3 : F r e c u e n c i a D e s p l a z a d a d e K e y i n g p a r a ' 1 ' y ' 0 ' .
B a s a d o s e n l a c o d i c a c i ó n a n t e r i o r , p o d e m o s c r e a r u n a s e ñ a l d i g i t a l b a s a d a e n 0 ' s y 1 ' s p o n i e n d o j u n t o s
l o s d o s c ó d i g o s a n t e r i o r e s e n n ú m e r o i n n i t o d e m a n e r a s . P a r a e s t e e j e m p l o t r a n s m i t i r e m o s t r e s n ú m e r o s
b á s i c o s d e 3 - b i t s : 1 0 1 , d e s p l e g a d o e n l a s i g u i e n t e F i g u r e 7 . 1 4 :
1 10
asdfasd
asdfasd
F i g u r e 7 . 1 4 : L a c o r r i e n t e d e l b i t " 1 0 1 " c o d i c a d o c o n e l F S K a n t e r i o r .
1 3
" F r e q u e n c y S h i f t K e y i n g " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 5 4 5 / l a t e s t / >
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1 3 6
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
A h o r a l a i m a g e n a n t e r i o r r e p r e s e n t a n u e s t r a s e ñ a l o r i g i n a l q u e s e r á t r a n s m i t i d a p o r a l g ú n s i s t e m a d e
c o m u n i c a c i ó n , e l c u a l i n e v i t a b l e m e n t e p a s a a t r a v é s d e l c a n a l d e c o m u n i c a c i ó n , l a p a r t e d e l s i s t e m a q u e
d i s t o r s i o n a r a y a l t e r a r a n u e s t r a s e ñ a l . M i e n t r a s q u e n u e s t r o r u i d o n o s e a m u y g r a n d e , n u e s t r o l t r o a c o p l a d o
n o s m a n t e n d r á d e s p r e o c u p a d o s d e e s t o s c a m b i o s d e n u e s t r a s e ñ a l t r a n s m i t i d a . U n a v e z q u e l a s e ñ a l h a s i d o
r e c i b i d a , p a s a m o s l a s e ñ a l d e l r u i d o a t r a v é s d e u n s i s t e m a s i m p l e , s i m i l a r a l a v e r s i ó n s i m p l i c a d a m o s t r a d a
a c o n t i n u a c i ó n e n l a F i g u r e 7 . 1 5 :
F i g u r e 7 . 1 5 : D i a g r a m a d e b l o q u e d e l d e t e c t o r d e l t r o a c o p l a d o .
F i g u r e 7 . 1 5 E l d i a g r a m a a n t e r i o r b á s i c a m e n t e m u e s t r a q u e n u e s t r a s e ñ a l c o n r u i d o s e r á p a s a d a ( a s u m i r e -
m o s q u e p a s a r a u n b i t a l a v e z ) y q u e e s t a s e ñ a l s e r á s e p a r a d a y p a s a d a a t r a v é s d e d o s d e t e c t o r e s d e l t r o s
a c o p l a d o s d i f e r e n t e s . C a d a u n o c o m p a r a r a l a s e ñ a l c o n r u i d o p a r a c a d a u n o d e l o s c ó d i g o s q u e d e n i m o s
p a r a ` 1 ' y ` 0 ' . D e s p u é s e s t e v a l o r s e r á p a s a d o y c u a l q u i e r v a l o r q u e s e a g r a n d e ( e s d e c i r c u a l q u i e r s e ñ a l d e
c ó d i g o F S K a l a s e ñ a l r u i d o s a q u e m e j o r s e a s e m e j e ) s e r á e l v a l o r q u e e l r e c i b i d o r t o m e . P o r e j e m p l o , e l
p r i m e r b i t q u e s e r á e n v i a d o a t r a v é s , s e r á u n ` 1 ' a s í q u e e l n i v e l d e a r r i b a d e l d i a g r a m a d e b l o q u e s e r á e l
v a l o r m á s a l t o , d o n d e d e n o t a n d o q u e e l ` 1 ' f u e e n v i a d o p o r l a s e ñ a l , a u n q u e l a s e ñ a l a p a r e z c a m u y r u i d o s a
y d i s t o r s i o n a d a .
7 . 5 . 3 D e m o s t r a c i ó n d e l a D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z
V e r e m o s l a d e m o s t r a c i ó n d e l a d e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z ( C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y ( C S I ) ) p a r a u n
e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l .
T e o r e m a 7 . 1 : D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z p a r a u n e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l
P a r a f ∈ EspaciodeHilbertS y g ∈ EspaciodeHilbertS , m o s t r a r q u e :
| < f,g > | ≤ f g ( 7 . 1 0 )
c o n l a i g u a l d a d s i y s o l o s i g = αf .
P r o o f :
• S i g = αf , m o s t r a r | < f,g > | = f g | < f,g > | = | < f, αf > | = |α|| < f,f > | = |α|( f )
2
| < f,g > | = f (|α| f ) = f g E s t o v e r i c a n u e s t r o a r g u m e n t o a n t e r i o r d e l a d e s i g u a l d a d d e C S
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1 3 7
• S i g = αf , m o s t r a r | < f,g > | < f g d o n d e t e n e m o s βf + g = 0 , β ∈ R
0 < ( βf + g )2
=< β f + g,βf + g >= β 2 < f,f > +2β < f, g > + < g, g >
= β 2( f )2
+ 2β < f, g > +( g )2
Y o b t e n e m o s u n a c u a d r á t i c a e n β . V i s u a l m e n t e e l p o l i n o m i o c u a d r á t i c o e n β > 0 p a r a t o d o
β . T a m b i é n n ó t e s e q u e e l p o l i n o m i o n o t i e n e r a í c e s r e a l e s y q u e e l d i s c r i m i n a n t e e s m e n o r
q u e 0
. . .aβ 2 + bβ + c
t i e n e d i s c r i m i n a n t e β 2 − 4ac d o n d e t e n e m o s :
a = ( f )2
b = 2 < f, g >
c = ( g )2
P o r l o t a n t o p o d e m o s c o l o c a r e s t o s v a l o r e s e n e l d i s c r i m i n a n t e d e l p o l i n o m i o d e a r r i b a p a r a
o b t e n e r :
4(| < f, g > |)2 − 4( f )2
( g )2 < 0 ( 7 . 1 1 )
| < f, g > | < f g ( 7 . 1 2 )
Y n a l m e n t e h e m o s p r o b a d o l a f o r m u l a d e l a d e s i g u a l d a d d e d e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z
p a r a u n e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l .
p r e g u n t a : ¾ Q u é c a m b i o s t e n e m o s q u e h a c e r p a r a h a c e r l a d e m o s t r a c i ó n p a r a u n e s p a c i o
v e c t o r i a l c o m p l e j o ? ( l a r e s p u e s t a s e l a d e j a m o s a l l e c t o r )
7 . 6 E s p a c i o s d e H i l b e r t c o m u n e s
1 4
7 . 6 . 1 E s p a c i o s d e H i l b e r t c o m u n e s
A c o n t i n u a c i ó n v e r e m o s l o s c u a t r o E s p a c i o s d e H i l b e r t ( S e c t i o n 7 . 3 ) m a s c o m u n e s c o n l o s q u e u s t e d t e n d r á
q u e t r a t a r p a r a l a d i s c u s i ó n y m a n i p u l a c i ó n d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s :
7 . 6 . 1 . 1
Rn
( e s c a l a r e s r e a l e s ) y Cn
( e s c a l a r e s c o m p l e j o s ) , t a m b i é n l l a m a d o
2 ([0, n − 1])
x =
x0
x1
. . .
xn−1
E s u n a l i s t a d e n ú m e r o s ( s e c u e n c i a n i t a ) . E l p r o d u c t o i n t e r n o ( S e c t i o n 7 . 3 ) p a r a
n u e s t r o s d o s e s p a c i o s s o n l a s s i g u i e n t e s :
1 4
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 8 1 / 1 . 2 / > .
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C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
• P r o d u c t o i n t e r n o Rn
:
< x,y > = yT x
= n−1i=0 (xiyi)
( 7 . 1 3 )
• P r o d u c t o i n t e r n o Cn:
< x,y > = yT ∗x
=n−1
i=0 (xiyi∗)
( 7 . 1 4 )
M o d e l o p a r a : S e ñ a l d e t i e m p o d i s c r e t o e n e l i n t e r v a l o [0, n − 1] o S e ñ a l P e r i ó d i c a ( c o n p e r i o d o n) d e
t i e m p o d i s c r e t o .
x0
x1
. . .
xn−1
F i g u r e 7 . 1 6
7 . 6 . 1 . 2
f ∈ L2 ([a, b]) e s u n a f u n c i ó n d e e n e r g í a n i t a e n [a, b]
I n n e r P r o d u c t
< f, g >=
ba
f (t) g (t)∗dt ( 7 . 1 5 )
M o d e l o p a r a : S e ñ a l d e t i e m p o c o n t i n u o e n e l i n t e r v a l o [a, b] o S e ñ a l P e r i ó d i c a ( c o n p e r i o d o
T = b
−a
) d e
t i e m p o c o n t i n u o
7 . 6 . 1 . 3
x ∈ 2 (Z) e s u n a s e c u e n c i a i n n i t a d e n ú m e r o s q u e s o n c u a d r a d o s s u m a b l e s
P r o d u c t o i n t e r n o
< x,y >=∞
i=−∞
x [i] y [i]
∗( 7 . 1 6 )
M o d e l o p a r a : S e ñ a l n o - p e r i ó d i c a d e t i e m p o d i s c r e t o
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1 3 9
7 . 6 . 1 . 4
f ∈ L2 (R) e s u n a u n a f u n c i ó n d e e n e r g í a n i t a e n t o d o R.
P r o d u c t o i n t e r n o
< f, g >= ∞−∞
f (t) g (t)∗dt ( 7 . 1 7 )
M o d e l o p a r a : S e ñ a l n o - p e r i ó d i c a d e t i e m p o c o n t i n u o
7 . 6 . 2 A n á l i s i s d e F o u r i e r A s o c i a d o
C a d a u n o d e e s t o s c u a t r o e s p a c i o s d e H i l b e r t t i e n e u n a n á l i s i s d e F o u r i e r a s o c i a d o c o n e l .
• L2 ([a, b]) → S e r i e s d e F o u r i e r
• 2 ([0, n − 1]) → T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r
• L2 (R) → T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
• 2 (Z) → T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r e n T i e m p o
P e r o l o s c u a t r o s e s t á n b a s a d o s e n e l m i s m o p r i n c i p i o ( E s p a c i o d e H i l b e r t ) .
N o t a I m p o r t a n t e : n o t o d o s l o s e s p a c i o s n o r m a l i z a d o s s o n e s p a c i o s d e H i l b e r t
P o r e j e m p l o : L1 (R) , f 1 = |f (t) |dt . t r a t e c o m o u s t e d p u e d a , d e e n c o n t r a r e l p r o d u c t o i n t e r n o q u e
i n d u c e e s t a n o r m a , e s d e c i r . . . t a l q u e : < ·, · > s u c h t h a t
< f,f > =
(|f (t) |)2dt2
= ( f 1)2
( 7 . 1 8 )
D e e c h o , p a r a t o d o e l e s p a c i o L p (R) , L2 (R) e s e l ú n i c o q u e e s u n e s p a c i o d e H i l b e r t .
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1 4 0
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
F i g u r e 7 . 1 7
L o s e s p a c i o s d e H i l b e r t s o n e n g r a n m e d i d a l o s m á s a g r a d a b l e s , s i s e u s a o e s t u d i a l a e x p a n s i ó n d e b a s e s
o r t o n o r m a l e s ( S e c t i o n 7 . 8 ) e n t o n c e s u s t e d e m p e z a r a a v e r p o r q u e e s t o e s c i e r t o .
7 . 7 T i p o s d e B a s e s
1 5
7 . 7 . 1 B a s e N o r m a d a
D e n i t i o n 9 : B a s e N o r m a d a
u n a b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 . 3 : B a s e s ) bi d o n d e c a d a bi t i e n e u n a n o r m a u n i t a r i a
bi = 1 , i ∈ Z ( 7 . 1 9 )
1 5
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 0 2 / 1 . 2 / > .
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1 4 1
n o t a : E l c o n c e p t o d e b a s e s s e a p l i c a a t o d o s l o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s ( S e c t i o n 7 . 1 ) . E l c o n c e p t o
d e b a s e n o r m a d a s e a p l i c a s o l o a e s p a c i o s n o r m a d o s ( S e c t i o n 7 . 2 ) .
T a m b i é n u s t e d p u e d e n o r m a l i z a r u n a b a s e : s o l o m u l t i p l i q u e c a d a v e c t o r d e l a b a s e p o r u n a c o n s t a n t e , t a l
q u e 1biE x a m p l e 7 . 6
D a d a l a s i g u i e n t e b a s e :
b0, b1 =
1
1
,
1
−1
N o r m a l i z a d o c o n l a n o r m a 2 :
∼b0 =
1√2
1
1
∼
b1 =
1
√2 1
−1
N o r m a l i z a d o c o n l a n o r m a
1:
∼b0 =
1
2
1
1
∼b1 =
1
2
1
−1
7 . 7 . 2 B a s e O r t o g o n a l
D e n i t i o n 1 0 : B a s e O r t o g o n a l
u n a b a s e bi e n d o n d e l o s e l e m e n t o s s o n m u t u a m e n t e o r t o g o n a l e s
< bi, bj >= 0 , i = j
n o t a : E l c o n c e p t o d e b a s e o r t o g o n a l s e a p l i c a s o l o a l o s E s p a c i o s d e H i l b e r t ( S e c t i o n 7 . 4 . 1 :
E s p a c i o s d e H i l b e r t ) .
E x a m p l e 7 . 7
B a s e c a n ó n i c a p a r a R2
, t a m b i é n r e f e r i d a c o m o 2 ([0, 1]):
b0 =
1
0
b1 =
0
1
< b0, b1 >=1
i=0
(b0 [i] b1 [i]) = 1 × 0 + 0 × 1 = 0
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1 4 2
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
E x a m p l e 7 . 8
A h o r a t e n e m o s l a s i g u i e n t e b a s e y r e l a c i ó n :
1
1
, 1
−1
= h0, h1
< h0, h1 >= 1 × 1 + 1 × (−1) = 0
7 . 7 . 3 B a s e O r t o n o r m a l
C o l o c a n d o l a s d o s s e c c i o n e s ( d e n i c i o n e s ) a n t e r i o r e s j u n t a s , l l e g a m o s a l t i p o d e b a s e m á s i m p o r t a n t e y ú t i l :
D e n i t i o n 1 1 : B a s e O r t o n o r m a l
U n a b a s e q u e e s n o r m a l i z a d a y o r t o g o n a l
bi = 1 , i ∈ Z
< bi, bj > , i = j
n o t a c i ó n : p o d e m o s a c o r t a r l o s d o s a r g u m e n t o s e n u n o s o l o :
< bi, bj >= δij
d o n d e
δij = 1 i f
i = j
0 i f i = j
D o n d e δij r e r e e r e a l a f u n c i ó n d e l t a K r o n e c k e r q u e t a m b i é n e s e s c r i t a c o m o δ [i − j].
E x a m p l e 7 . 9 : E j e m p l o d e B a s e O r t o n o r m a l # 1
b0, b2 =
1
0
,
0
1
E x a m p l e 7 . 1 0 : E j e m p l o d e B a s e O r t o n o r m a l # 2
b0, b2 = 1
1
, 1
−1
E x a m p l e 7 . 1 1 : E j e m p l o d e B a s e O r t o n o r m a l # 3
b0, b2 =
1√
2
1
1
,
1√2
1
−1
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1 4 3
7 . 7 . 3 . 1 L a b e l l e z a d e l a s B a s e s O r t o n o r m a l e s
T r a b a j a r c o n l a s b a s e s O r t o n o r m a l e s e s s e n c i l l o . S i bi e s u n a b a s e o r t o n o r m a l , p o d e m o s e s c r i b i r p a r a
c u a l q u i e r x
x =i
(αibi) ( 7 . 2 0 )
E s f á c i l e n c o n t r a r l o s
αi :
< x, bi > = <
k (αkbk) , bi >
=
k (αk < bk, bi >)( 7 . 2 1 )
E n d o n d e e n l a e c u a c i ó n a n t e r i o r p o d e m o s u s a r e l c o n o c i m i e n t o d e l a f u n c i ó n d e l t a p a r a r e d u c i r l a e c u a c i ó n :
< bk, bi >= δik =
1 i f i = k
0 i f i = k
< x,bi >= αi( 7 . 2 2 )
P o r l o t a n t o p o d e m o s c o n c l u i r c o n l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n i m p o r t a n t e p a r a x:
x =i
(< x, bi > bi) ( 7 . 2 3 )
L o s αi ' s s o n f á c i l e s d e c a l c u l a r ( s i n i n t e r a c c i ó n e n t r e s l o s bi ' s )
E x a m p l e 7 . 1 2
D a d a l a s i g u i e n t e b a s e :
b0, b1 =
1√
2
1
1
,
1√2
1
−1
r e p r e s e n t a
x = 3
2
E x a m p l e 7 . 1 3 : S e r i e d e F o u r i e r L e v e m e n t e M o d i c a d a
D a d a l a b a s e 1√T
ejω0nt
|∞n=−∞
e n L2 ([0, T ]) d o n d e T = 2πω0
.
f (t) =
∞n=−∞
< f, ejω0nt > ejω0nt
1√T
D o n d e p o d e m o s c a l c u l a r e l p r o d u c t o i n t e r i o r d e a r r i b a e n L2 c o m o
< f, ejω0nt >=1√T
T 0
f (t) ejω0nt∗
dt =1√T
T 0
f (t) e−(jω0nt)dt
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1 4 4
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
7 . 7 . 3 . 2 7 . 7 . 3 . 2 E x p a n s i ó n d e u n a B a s e O r t o n o r m a l e n u n E s p a c i o H i l b e r t
S e a bi u n a b a s e o r t o n o r m a l p a r a u n e s p a c i o d e H i l b e r t H . E n t o n c e s , p a r a c u a l q u i e r x ∈ H p o d e m o s
e s c r i b i r
x =i
(αibi)( 7 . 2 4 )
d o n d e αi =< x, bi >.
• A n á l i s i s : d e s c o m p o n e r x e n t é r m i n o s d e bi
αi =< x, bi > ( 7 . 2 5 )
• " S í n t e s i s " : c o n s t r u i r
xd e u n a c o m b i n a c i ó n d e l a s
bi
x =i
(αibi) ( 7 . 2 6 )
7 . 8 E x p a n s i ó n d e B a s e s O r t o n o r m a l e s
1 6
7 . 8 . 1 I d e a P r i n c i p a l
C u a n d o t r a b a j a m o s c o n s e ñ a l e s m u c h a s v e c e s e s ú t i l r o m p e r l a s e ñ a l e n p e q u e ñ a s , p a r t e s m a s m a n e j a b l e s .
P o r s u e r t e e n e s t e m o m e n t o u s t e d y a h a s i d o e x p u e s t o a l c o n c e p t o d e e i g e n v e c t o r e s ( S e c t i o n 5 . 3 ) y s u u s o e n
l a d e s c o m p o s i c i ó n d e u n a s e ñ a l e n u n a d e s u s p o s i b l e s b a s e s . H a c i e n d o e s t o , s o m o s c a p a c e s d e s i m p l i c a r e l
n u e s t r o c á l c u l o d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s a t r a v é s d e l a s e i g e n f u n c i o n e s d e l o s s i s t e m a s L T I ( S e c t i o n 5 . 6 ) .
A h o r a v e r e m o s u n a f o r m a a l t e r n a t i v a d e r e p r e s e n t a r l a s s e ñ a l e s , a t r a v é s d e l u s o d e u n a b a s e o r t o n o r m a l .
P o d e m o s p e n s a r e n u n a b a s e o r t o n o r m a l c o m o u n c o n j u n t o d e b l o q u e s c o n s t r u i d o s q u e u t i l i z a m o s p a r a
c o n s t r u i r f u n c i o n e s . C o n s t r u i r e m o s l a s e ñ a l / v e c t o r c o m o u n a s u m a c a r g a d a d e e l e m e n t o s b a s e .
E x a m p l e 7 . 1 4
L a f u n c i ó n s e n o i d a l c o m p l e j a
1√T
ejω0ntp a r a t o d o −∞ < n < ∞ f o r m a u n a b a s e o r t o n o r m a l
p a r a L2 ([0, T ]) .
E n n u e s t r a s s e r i e s d e F o u r i e r s e r i e s ( S e c t i o n 6 . 2 ) l a e c u a c i ó n , f (t) =∞
n=−∞
cnejω0nt
, e l cne s s o l o o t r a r e p r e s e n t a c i ó n d e
f (t) .
n o t a : P a r a l a s e ñ a l / v e c t o r e n u n E s p a c i o d e H i l b e r t ( S e c t i o n 7 . 4 . 1 : E s p a c i o s d e H i l b e r t ) , l a
e x p a n s i ó n d e c o e c i e n t e s e s f á c i l d e e n c o n t r a r .
7 . 8 . 2 R e p r e s e n t a c i ó n A l t e r n a t i v a
R e c o r d a n d o n u e s t r a d e n i c i ó n d e b a s e : U n c o n j u n t o d e v e c t o r e s
bi
e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l
S e s u n a b a s e
s i
1 . L a s
bi s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
2 . L o s bi q u e g e n e r a n ( S e c t i o n 5 . 1 . 2 : S u b e s p a c i o G e n e r a d o ) S . E s t o e s , p o d e m o s e n c o n t r a r αi , d o n d e
αi ∈ C ( e s c a l a r e s ) t a l q u e
x =i
(αibi) , x ∈ S ( 7 . 2 7 )
d o n d e
xe s u n v e c t o r e n
S ,
αe s u n e s c a l a r e n C, y
be s u n v e c t o r e n
S .
1 6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 2 8 / 1 . 1 / > .
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1 4 5
L a c o n d i c i ó n 2 e n l a d e n i c i ó n a n t e r i o r d i c e q u e p o d e m o s d e s c o m p o n e r c u a l q u i e r v e c t o r e n t é r m i n o s
d e l a bi . C o n d i c i ó n 1 a s e g u r a q u e l a d e s c o m p o s i c i ó n e s ú n i c a .
n o t a : αi p r o v e e u n a r e p r e s e n t a c i ó n a l t e r n a t i v a d e x.
E x a m p l e 7 . 1 5
V e a m o s u n s i m p l e e j e m p l o e n R2
, d o n d e t e n e m o s e l s i g u i e n t e v e c t o r :
x =
1
2
B a s e C a n ó n i c a : e0, e1 =
(1, 0)T , (0, 1)
T x = e0 + 2e1
B a s e A l t e r n a t i v a : h0, h1 =
(1, 1)T , (1, −1)
T
x = 32
h0 + −12
h1
E n g e n e r a l , d a d a u n a b a s e b0, b1 y u n v e c t o r
x ∈ R2, c o m o e n c o n t r a m o s α0 y α1 t a l q u e
x = α0b0 + α1b1 ( 7 . 2 8 )
7 . 8 . 3 E n c o n t r a n d o l o s A l f a s
A h o r a t r a t e m o s c o n l a p r e g u n t a q u e s e p r e s e n t ó a r r i b a s o b r e e n c o n t r a r l o s αi ' s e n g e n r a l p a r a R2
. E m p e z a m o s
r e e s c r i b i e n d o l a ( 7 . 2 8 ) a s í q u e p o d e m o s a p i l a r n u e s t r a s bi ' s c o m o c o l u m n a s e n u n a m a t r i z d e 2 ×2 .
x
= α0
b0
+ α1
b1
( 7 . 2 9 )
x
=
.
.
.
.
.
.
b0 b1.
.
.
.
.
.
α0
α1
( 7 . 3 0 )
E x a m p l e 7 . 1 6
E s t e e s u n e j e m p l o s e n c i l l o , q u e m u e s t r a p e q u e ñ o s d e t a l l e s d e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r .
x [0]
x [1]
= α0
b0 [0]
b0 [1]
+ α1
b1 [0]
b1 [1]
=
α0b0 [0] + α1b1 [0]
α0b0 [1] + α1b1 [1]
( 7 . 3 1 )
x [0]
x [1]
=
b0 [0] b1 [0]
b0 [1] b1 [1]
α0
α1
( 7 . 3 2 )
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1 4 6
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
7 . 8 . 3 . 1 S i m p l i c a n d o n u e s t r a E c u a c i ó n
P a r a h a c e r u n a n o t a c i ó n s i m p l e , d e n i m o s l o s s i g u i e n t e s d o s c o n c e p t o s d e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r :
•M a t r i z d e l a B a s e :
B =
.
.
.
.
.
.
b0 b1.
.
.
.
.
.
• V e c t o r d e C o e c i e n t e s :
α =
α0
α1
L o q u e n o s d a l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :
x = Bα ( 7 . 3 3 )
q u e e s m a s e q u i v a l e n t e a
x =1
i=0 (αibi).
E x a m p l e 7 . 1 7
D a d a l a b a s e c a n ó n i c a ,
1
0
,
0
1
, e n t o n c e s t e n e m o s l a s i g u i e n t e m a t r i z d e l a b a s e :
B =
0 1
1 0
P a r a o b t e n e r l a s αi ' s , r e s o l v e m o s p a r a e l v e c t o r d e c o e c i e n t e s e n l a ( 7 . 3 3 )
α = B−1x ( 7 . 3 4 )
D o n d e B−1e s l a m a t r i z i n v e r s a m a t r i x
1 7
d e B .
7 . 8 . 3 . 2 E j e m p l o s
E x a m p l e 7 . 1 8
V e a m o s p r i m e r o l a b a s e c a n ó n i c a y t r a t e m o s d e c a l c u l a r c a l c u l a t e α d e a h i .
B =
1 0
0 1
= I
D o n d e
I e s l a m a t r i z i d e n t i d a d . P a r a p o d e r r e s o l v e r p a r a
αe n o c o n t r e m o s p r i m e r o l a i n v e r s a d e
B( l a c u a l e s r e a l m e n t e t r i v i a l e n e s t e c a s o ) :
B−1 =
1 0
0 1
P o r l o t a n t o o b t e n e m o s ,
α = B−1x = x
1 7
" M a t r i x I n v e r s i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 2 1 1 3 / l a t e s t / >
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1 4 7
E x a m p l e 7 . 1 9
A h o r a v e a m o s u n a b a s e u n p o c o m a s c o m p l i c a d a d e
1
1
,
1
−1
= h0, h1 E n o t n c e s
n u e s t r a b a s e y n u e s t r a i n v e r s a d e l a m a t r i z d e l a b a s e s e c o n v i e r t e e n :
B =
1 1
1 −1
B−1 =
1
212
12
−12
y p a r a e s t e e j e m p l o e s t o n o s d a q u e
x =
3
2
A h o r a r e s o l v e m o s p a r a α
α = B−1x =
1
212
12
−12
3
2
=
2.5
0.5
y o b t e n e m o s
x = 2.5h0 + 0.5h1
E x e r c i s e 7 . 1
( S o l u t i o n o n p . 1 6 2 . )
A h o r a d a d a l a s i g u i e n t e m a t r i z d e l a b a s e y x:
b0, b1 = 1
2
, 3
0
x =
3
2
P a r a e s t e p r o b e l m a h a g a u n b o s q u e j o d e l a s b a s e s y d e s p u é s r e p r e s e n t e x e n t é r m i n o s d e b0 y b1 .
n o t a : U n c a m b i o d e b a s e s i m p l e m e n t e s e v e c o m o
xd e s d e u n a " p e r s p e c t i v a d i f e r e n t e . " B−1
t r a n s f o r m s
xd e l a b a s e c a n ó n i c a a n u e s t r a n u e v a b a s e , b0, b1 . N ó t e s e q u e e s u n p r o c e s o t o t a l -
m e n t e m e c á n i c o .
7 . 8 . 4 E x t e n d i e n d o l a D i m e n s i ó n y e l E s p a c i o
P o d e m o s e x t e n d e r e s t a s i d e a s m á s a l l a d e R2
y v e r l a s e n Rn
y Cn
. E s t e p r o c e d i m i e n t o s e e x t e n d i e n d e
n a t u r a l m e n t e a d i m e n s i o n e s m a s g r a n d e s ( > 2 ) . D a d a l a b a s e b0, b1, . . . , bn−1 p a r a Rn
, q u e r e m o s e n c o n t r a r
α0, α1, . . . , αn−1 t a l q u e
x = α0b0 + α1b1 + · · · + αn−1bn−1 ( 7 . 3 5 )
O t r a v e z , c o l o q u e l a m a t r i z d e l a b a s e
B =
b0 b1 b2 . . . bn−1
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1 4 8
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
d o n d e l a s c o l u m n a s i g u a l e s a l o s v e c t o r e s d e l a b a s e y q u e s i e m p r e s e r á u n a m a t r i z d e n ×n ( m i e n t r a s q u e l a
m a t r i z a n t e r i o r n o a p a r e z c a a l c u a d r a d o y a q u e d e j a m o s t é r m i n o s e n n o t a c i ó n v e c t o r i a l ) . P o d e m o s p r o c e d e r
a r e e s c r i b i r l a ( 7 . 3 3 )
x =
b0 b1 . . . bn−1
α0.
.
.
αn−1
= Bα
y
α = B−1x
7 . 9 E s p a c i o d e F u n c i o n e s
1 8
T a m b i é n p o d e m o s e n c o n t r a r b a s i s v e c t o r e s b a s e
1 9
p a r a e s p a c i o s v e c t o r i a l e s ( S e c t i o n 7 . 1 ) c o n e x e p c i ó n d e
Rn
.
S e a P n u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e o r d e n p o l i n o m i a l n - e s i m o e n ( - 1 , 1 ) c o n c o e c i e n t e s r e a l e s ( v e r i c a r q u e
P 2 e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l e n c a s a ) .
E x a m p l e 7 . 2 0
P 2 = t o d o s l o s p o l i n o m i o s c u a d r á t i c o s . S e a b0 (t) = 1 , b1 (t) = t , b2 (t) = t2 .
b0 (t) , b1 (t) , b2 (t) g e n e r a P 2 , e s d e c i r p u e d e e s c r i b i r c u a l q u i e r f (t) ∈ P 2 c o m o
f (t) = α0b0 (t) + α1b1 (t) + α2b2 (t)
p a r a a l g ú n
αi ∈ R.
N o t a : P 2 e s d e d i m e n s i ó n 3 .
f (t) = t2 − 3t − 4
B a s e A l t e r n a t i v a
b0 (t) , b1 (t) , b2 (t) =
1, t, 12
3t2 − 1
e s c r i b i r f (t) e n t é r m i n o s d e l a n u e v a b a s e d0 (t) = b0 (t), d1 (t) = b1 (t), d2 (t) = 3
2b2 (t) − 1
2b0 (t) .
f (t) = t2 − 3t − 4 = 4b0 (t) − 3b1 (t) + b2 (t)
f (t) = β 0d0 (t) + β 1d1 (t) + β 2d2 (t) = β 0b0 (t) + β 1b1 (t) + β 2
3
2b2 (t) − 1
2b0 (t)
f (t) =
β 0 − 1
2
b0 (t) + β 1b1 (t) +
3
2β 2b2 (t)
p o r l o t a n t o
β 0 − 1
2= 4
β 1 = −3
3
2β 2 = 1
1 8
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 1 3 / 1 . 1 / > .
1 9
" O r t h o n o r m a l B a s i s E x p a n s i o n s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 6 0 / l a t e s t / >
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1 4 9
e n o t n c e s o b t e n e m o s
f (t) = 4.5d0 (t) − 3d1 (t) +2
3d2 (t)
E x a m p l e 7 . 2 1
ejω0nt|∞n=−∞ e s u n a b a s e p a r a L2 ([0, T ]) , T = 2πω0
, f (t) =
n
C nejω0nt
.
C a l c u l a m o s l a e x p a n s i ó n d e c o e c i e n t e s c o n
l a f o r m u l a d e " c a m b i o d e b a s e "
C n =1
T
T 0
f (t) e−(jω0nt)dt ( 7 . 3 6 )
n o t a : H a y u n n ú m e r o i n n i t o d e e l e m e n t o s e n u n c o n j u t o d e b a s e , q u e s i g n i c a n q u e L2 ([0, T ])e s d e d i m e n s i ó n i n n i t a .
E s p a c i o s d e d i m e n s i ó n - i n n i t a I n n i t e - d i m e n s i o n a l s o n d i f í c i l e s d e v i s u a l i z a r . P o d e m o s t o m a r m a n o
d e l a i n t u i c i ó n p a r a r e c o n o c e r q u e c o m p a r t e n v a r i a s d e l a s p r o p i e d a d e s c o n l o s e s p a c i o s d e d i m e n s i ó n
n i t a . M u c h o s c o n c e p t o s a p l i c a d o s a a m b o s ( c o m o " e x p a n s i ó n d e b a s e " ) . O t r o s n o ( c a m b i o d e b a s e
n o e s u n a b o n i t a f o r m u l a d e m a t r i z ) .
7 . 1 0 B a s e d e l a O n d o l e t a d e H a a r
2 0
7 . 1 0 . 1 I n t r o d u c c i ó n
L a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) e s u n a ú t i l r e p r e s e n t a c i ó n o r t o n o r m a l
2 1
e n L2 ([0, T ]) e s p e c i a l m e n t e p a r a
e n t r a d a s e n s i s t e m a s L T I . S i n e m b a r g o e s ú t i l p a r a a l g u n a s a p l i c a c i o n e s , e s d e c i r , p r o c e s a m i e n t o d e i m a g e n e s
( r e c o r d a n d o e l f e n o m e n o d e G i b b
2 2
) .
L a s o n d o l e t a s , d e s c u b i e r t a s e n l o s p a s a d o s 1 5 a ñ o s , s o n o t r o t i p o s d e b a s e p a r a
L2 ([0, T ]) y t i e n e v a r i a s
p r o p i e d a d e s .
7 . 1 0 . 2 C o m p a r a c i ó n d e B a s e
L a s s e r i e s d e F o u r i e r - cn d a n i n f o r m a c i ó n f r e c u e n t e . L a s f u n c i o n e s d e l a b a s e d u r a n t o d o e l i n t e r v a l o e n t e r o .
2 0
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 1 9 / 1 . 2 / > .
2 1
" O r t h o n o r m a l B a s i s E x p a n s i o n s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 6 0 / l a t e s t / >
2 2
" G i b b s ' s P h e n o m e n a " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 9 2 / l a t e s t / >
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1 5 0
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
F i g u r e 7 . 1 8 : F u n c i o n e s d e l a b a s e d e F o u r i e r
O n d o l e t a s - l a s f u n c i o n e s d e l a b a s e c o n f r e c u e n c i a n o s d a n i n f o r m a c i ó n p e r o e s l o c a l e n e l t i e m p o .
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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1 5 1
F i g u r e 7 . 1 9 : F u n c i o n e s d e l a B a s e d e l a O n d o l e t a
E n l a b a s e d e F o u r i e r , l a s f u n c i o n e s d e l a b a s e s o n a r m ó n i c a s m u l t i p l e s d e
ejω0t
F i g u r e 7 . 2 0 : base =n
1√ T e
jω0nto
E n l a b a s e d e l a o n d o l e t a d e H a a r
2 3
, l a s f u n c i o n e s d e l a b a s e s o n e s c a l a d a s y t r a s l a d a d a s d e l a v e r s i o n
d e l a " o n d o l e t a m a d r e "
ψ (t).
2 3
" T h e H a a r S y s t e m a s a n E x a m p l e o f D W T " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 3 7 / l a t e s t / >
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1 5 2
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
F i g u r e 7 . 2 1
F u n c i o n e s b a s e ψj,k (t) s e l e s p o n e u n í n d i c e p o r u n e s c a l a r j y u n d e s p l a z a m i e n t o k .
S e a φ (t) = 1 , 0 ≤ t < T E n t o n c e s
φ (t) , 2
j2 ψ
2jt − k | j ∈ Z and k = 0, 1, 2, . . . , 2j − 1
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1 5 3
F i g u r e 7 . 2 2
ψ (t) =
1 i f 0 ≤ t < T
2
−1 i f 0 ≤ T 2
< T ( 7 . 3 7 )
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1 5 4
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
F i g u r e 7 . 2 3
S e a ψj,k (t) = 2j2 ψ
2jt − k
F i g u r e 7 . 2 4
M á s g r a n d e
j
→" d e l g a d o " l a f u n c i ó n d e l a b a s e ,
j =
0, 1, 2, . . .
, 2j
c a m b i a a c a d a e s c a l a :
k =0, 1, . . . , 2j − 1
C h e c a r : c a d a ψj,k (t) t i e n e e n e r g i a u n i t a r i a
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1 5 5
F i g u r e 7 . 2 5
ψj,k
2 (t) dt = 1 ⇒ ψj,k (t) 2 = 1 ( 7 . 3 8 )
C u a l e s q u i e r a d o s f u n c i o n e s d e l a b a s e s o n o r t o g o n a l e s .
( a ) ( b )
F i g u r e 7 . 2 6 : I n t e g r a l d e l p r o d u c t o = 0 ( a ) M i s m a e s c a l a ( b ) D i f e r e n t e e s c a l a
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1 5 6
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
T a m b i é n , ψj,k, φ g e n e r a n L2 ([0, T ])
7 . 1 0 . 3 T r a n s f o r m a d a d e l a O n d o l e t a d e H a a r
U s a n d o l o q u e c o n o c e m o s s o b r e e s p a c i o s d e H i l b e r t
2 4
: P a r a c u a l q u i e r f (t) ∈ L2 ([0, T ]) , p o d e m o s e s c r i b i r
S i n t e s i s
f (t) =j
k
(wj,kψj,k (t))
+ c0φ (t) ( 7 . 3 9 )
A n á l i s i s
wj,k =
T 0
f (t) ψj,k (t) dt ( 7 . 4 0 )
c0 =
T 0
f (t) φ (t) dt ( 7 . 4 1 )
n o t a : l o s
wj,ks o n r e a l e s
L a t r a n s f o r m a c i ó n d e H a a r e s m u y ú t i l e s p e c i a l e m t e e n c o m p r e s i ó n d e i m a g e n e s .
E x a m p l e 7 . 2 2
E s t a d e m o s t r a c i ó n n o s p e r m i t e c r e a r u n a s e ñ a l p o r c o m b i n a c i ó n d e s u s f u n c i o n e s d e l a b a s e d e
H a a r , i l u s t r a n d o l a e c u a c i ó n d e s i s t e s i s d e l a e c u a c i ó n d e l a T r a n s f o r m a d a d e l a O n d o l e t a d e H a a r .
V e á m o s a q u í
2 5
p a r a l a s i n s t r u c c i o n e s d e c o m o u s a r e l d e m o .
T h i s i s a n u n s u p p o r t e d m e d i a t y p e . T o v i e w , p l e a s e s e e
h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 1 9 / l a t e s t / H a a r S y n t h . l l b
7 . 1 1 B a s e s O r t o n o r m a l e s e n E s p a c i o s R e a l e s y C o m p l e j o s
2 6
7 . 1 1 . 1 N o t a c i ó n
E l o p e r a d o r d e l a T r a n s p u e s t a AT v o l t e a l a m a t r i z a t r a v é s d e s u d i a g o n a l .
A =
a11 a12
a21 a22
AT = a
11a21
a12 a22
L a c o l u m n a i d e A e s u n a l a i d e AT
2 4
" I n n e r P r o d u c t s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 5 5 / l a t e s t / >
2 5
" H o w t o u s e t h e L a b V I E W d e m o s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 1 5 5 0 / l a t e s t / >
2 6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 2 0 / 1 . 2 / > .
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1 5 7
R e c o r d a n d o q u e e l , p r o d u c t o i n t e r n o ( S e c t i o n 7 . 3 )
x =
x0
x1.
.
.
xn−1
y =
y0
y1.
.
.
yn−1
xT y =
x0 x1 . . . xn−1
y0
y1.
.
.
yn−1
=
(xiyi) =< y,x >
e n Rn
T r a n s p u e s t a H e r m i t i a n a
AH , t r a n s p u e s t a y c o n j u g a d a
AH = AT ∗
< y,x >= xH y =
(xiyi∗)
e n Cn
S e a b0, b1, . . . , bn−1 u n a b a s e o r t o n o r m a l ( S e c t i o n 7 . 7 . 3 : B a s e O r t o n o r m a l ) p a r a
Cn
i = 0, 1, . . . , n − 1 < bi, bi >= 1 ,
i = j < bi, bj >= bjH bi = 0
M a t r i z d e l a b a s e :
B =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b0 b1 . . . bn−1.
.
.
.
.
.
.
.
.
A h o r a ,
BH B =
. . . b0H . . .
. . . b1H . . .
.
.
.
. . . bn−1H . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b0 b1 . . . bn−1.
.
.
.
.
.
.
.
.
=
b0H b0 b0
H b1 . . . b0H bn−1
b1H b0 b1
H b1 . . . b1H bn−1
.
.
.
bn−1H b0 bn−1H b1 . . . bn−1H bn−1
P a r a u n a b a s e o r t o n o r m a l c o n u n a m a t r i z d e l a b a s e
B
BH = B−1
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1 5 8
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
( BT = B−1i n R
n) BH
e s f á c i l c a l c u l a r m i e n t r a s q u e B−1e s d i f í c i l d e c a l c u l a r .
A s í q u e , p a r a e n c o n t r a r α0, α1, . . . , αn−1 t a l q u e
x = (αibi)
C a l c u l a r
α = B−1x ⇒ α = BH x
u s a n d o u n a b a s e o r t o n o r m a l n o s l i b r a m o s d e l a o p e r a c i ó n i n v e r s a .
7 . 1 2 T e o r e m a s d e P l a n c h a r e l y P a r s e v a l
2 7
7 . 1 2 . 1 T e o r e m a d e P l a n c h a r e l
T h e o r e m 7 . 1 : T e o r e m a d e P l a n c h a r e l
E l p r o d u c t o i n t e r n o d e d o s v e c t o r e s / s e ñ a l e s e s e l m i s m o q u e e n 2 e l p r o d u c t o i n t e r n o d e s u
e x p a n s i ó n d e c o e c i e n t e s .
S e a bi u n a b a s e o r t o n o r m a l p a r a u n E s p a c i o d e H i l b e r t H . x ∈ H , y ∈ H
x =
(αibi)
y =
(β ibi)
e n t o n c e s
< x, y >H =
(αiβ i∗)
E x a m p l e
A p l i c a n d o l a s S e r i e s d e F o u r i e r , p o d e m o s i r d e f (t) a cn y d e g (t) a dn
T 0 f (t) g (t)∗dt =
∞n=−∞ (cndn∗)
e l p r o d u c t o i n t e r n o e n e l d o m i n i o - t i e m p o = p r o d u c t o i n t e r n o d e l o s c o e e n t e s d e F o u r i e r .
P r o o f :
x =
(αibi)
y =
(β jbj)
< x,y >H =<
(αibi) ,
(β jbj) >=
αi
< bi,
(β jbj) >=
αi
(β j
∗)
< bi, bj >=
(αiβ i∗)
u s a n d o l a s r e g l a s d e l p r o d u c t o i n t e r n o ( p . 1 2 9 ) .
n o t a : < bi, bj >= 0 c u a n d o i = j y < bi, bj >= 1 c u a n d o i = j
S i e l e s p a c i o d e H i l l b e r t H t i e n e u n O N B , l o s p r o d u c t o s i n t e r n o s s o n e q u i v a l e n t e s a l o s p r o d u c t o s
i n t e r n o s e n 2 .
T o d o H c o n O N B s o n d e a l g u n a m a n e r a e q u i v a l e n t e a 2 .
p u n t o d e i n t e r e s : l a s s e c u e n c i a s d e c u a d r a d o s s u m a b l e s s o n i m p o r t a n t e s .
2 7
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 1 / 1 . 1 / > .
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1 5 9
7 . 1 2 . 2 T e o r e m a d e P a r s e v a l
T h e o r e m 7 . 2 : T e o r e m a d e P a r s e v a l
L a e n e r g í a d e u n a s e ñ a l = s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e s u e x p a n s i ó n d e c o e c i e n t e s .
S e a
x ∈ H , bi O N B
x =
(αibi)
E n t o n c e s
( x H )2
=
(|αi|)2
P r o o f : D i r e c t a m e n t e d e P l a n c h a r e l
( x H )2
= < x, x >H =
(αiαi∗) =
(|αi|)2
E x a m p l e
S e r i e s d e F o u r i e r
1√T
ejw0nt
f (t) =1
√T
cn1
√T ejw0nt
T 0
(|f (t) |)2dt =
∞n=−∞
(|cn|)2
7 . 1 3 A p p r o x i m a c i ó n y P r o y e c c i ó n e n e l E s p a c i o d e H i l b e r t
2 8
7 . 1 3 . 1 I n t r o d u c c i ó n
D a d a u n a l i n e a ' l ' y u n p u n t o ' p ' e n e l p l a n o , ¾ C u á l e s e l p u n t o m á s c e r c a n o ' m ' a ' p ' e n ' l ' ?
pl
p
F i g u r e 7 . 2 7 : F i g u r a d e l p u n t o ' p ' y l a l i n e a ' l ' m e n c i o n a d a s .
M i s m o p r o b l e m a : S e a x y v v e c t o r e s e n R2
. D i g a m o s v = 1. ¾ P a r a q u é v a l o r d e α e s x − αv 2
m i n i m i z a d o ? ( ¾ q u é p u n t o e n e l e s p a c i o g e n e r a d o v m e j o r s e a p r o x i m a a x? )
2 8
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 5 / 1 . 2 / > .
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1 6 0
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
x
x-av
av
F i g u r e 7 . 2 8
L a c o n d i c i ó n e s q u e x − αv y αv s e a n o r t o g o n a l e s .
7 . 1 3 . 2 C a l c u l a n d o
α¾ C ó m o c a l c u l a r α?
S a b e m o s q u e (
x − αv) e s p e r p e n d i c u l a r p a r a t o d o v e c t o r e n e l e s p a c i o g e n e r a d o v , a s í q u e
< x − αv,βv >= 0 , ∀β
β ∗ < x,v > −αβ ∗ < v, v >= 0
p o r q u e < v, v >= 1 , p o r l o t a n t o
< x, v > −α = 0 ⇒ α =< x, v >
E l v e c t o r m á s c e r c a n o e n e l e s p a c i o g e n e r a d o v = < x,v > v , d o n d e < x, v > v e s l a p r o y e c c i ó n d e
xs o b r e
v .
¾ P u n t o a u n p l a n o ?
F i g u r e 7 . 2 9
P o d e m o s h a c e r l o m i s m o p e r o e n d i m e n s i o n e s m á s g r a n d e s .
E x e r c i s e 7 . 2
( S o l u t i o n o n p . 1 6 2 . )
S e a V ⊂ H u n s u b e s p a c i o d e u n e s p a c i o d e H i l b e r t ( S e c t i o n 7 . 4 ) H . S e a x ∈ H d a d o . E n c o n t r a r
y ∈ V q u e m e j o r s e a p r o x i m e
x. e s d e c i r , x − y e s t a m i n i m i z a d a .
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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1 6 1
E x a m p l e 7 . 2 5
x ∈ R3, V = espaciogenerado
1
0
0
,
0
1
0
, x =
a
b
c
. P o r l o t a n t o ,
y =
2i=1
(< x, bi > bi) = a
1
0
0
+ b
0
1
0
=
a
b
0
E x a m p l e 7 . 2 6
V = e s p a c i o d e l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s c o n f r e c u a n c i a n o m a y o r q u e 3w0 . D a d a f ( t ) p e r i ó d i c a ,
¾ C ú a l e s l a s e ñ a l e n V q u e m e j o r s e a p r o x i m a a f ?
1 .
1√T
ejw0kt, k = - 3 , - 2 , . . . , 2 , 3 e s u n a O N B p a r a V
2 . g (t) = 1T 3
k=−3 < f (t) , ejw0kt > ejw0kt
e s l a s e ñ a l m á s c e r c a n a e n V p a r a f ( t ) ⇒ r e c o n -
s t r u y a f ( t ) u s a n d o s o l a m e n t e 7 t é r m i n o s d e s u s e r i e d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) .
E x a m p l e 7 . 2 7
S e a V = f u n c i o n e s c o n s t a n t e s p o r t r o z o s e n t r e l o s n ú m e r o s e n t e r o s
1 . O N B p a r a V .
bi =
1 i f
i − 1 ≤ t < i
0 o t h e r w i s e
d o n d e bi e s u n a O N B .
¾ L a m e j o r a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e p o r t r o z o s ?
g (t) =∞
i=−∞(< f, bi > bi)
< f, bi >=
∞−∞
f (t) bi (t) dt =
ii−1
f (t) dt
E x a m p l e 7 . 2 8
E s t a d e m o s t r a c i ó n e x p l o r a l a a p r o x i m a c i ó n u s a n d o u n a b a s e d e F o u r i e r y u n a b a s e d e l a s o n d o l e t a s
d e H a a r . V é a s e a q u i
2 9
p a r a l a s i n s t r u c c i o n e s d e c o m o u s a r e l d e m o .
T h i s i s a n u n s u p p o r t e d m e d i a t y p e . T o v i e w , p l e a s e s e e
h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 5 / l a t e s t / A p p r o x i m a t i o n . l l b
2 9
" H o w t o u s e t h e L a b V I E W d e m o s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 1 5 5 0 / l a t e s t / >
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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1 6 2
C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S
S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 7
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 7 . 1 ( p . 1 4 7 )
P a r a p o d e r r e p r e s e n t a r x e n t é r m i n o s d e b0 y b1 s e g u i m o s l o s m i s m o s p a s o s u s a d o s e n l o s e j e m p l o s a n t e r i -
o r e s .
B =
1 2
3 0
B−1 =
0 1
2
13
−16
α = B−1x =
1
23
Y a h o r a p o d e m o s e s c r i b i r
xe n t é r m i n o s d e
b0 y
b1 .
x = b0 +2
3b1
Y f a c i l m e n t e p o d e m o s s u s t i t u i r n u e s t r o s v a l o r e s c o n o c i d o s d e
b0 y
b1 p a r a v e r i c a r n u e s t r o s r e s u l t a d o s .
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 7 . 2 ( p . 1 6 0 )
1 . E n c o n t r a r u n a b a s e o r t o n o r m a l ( S e c t i o n 7 . 7 . 3 : B a s e O r t o n o r m a l ) b1, . . . , bk p a r a V 2 . P r o y e c t a r x s o b r e V u s a n d o
y =
ki=1
(< x, bi > bi)
d e s p u é s y e s e l p u n t o m á s c e r c a n o e n V a x y ( x - y ) ⊥ V ( < x − y,v >= 0 , ∀v ∈ V
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C h a p t e r 8
T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r
8 . 1 A n á l i s i s d e F o u r i e r
1
E l a n á l i s i s d e F o u r i e r e s e l e m e n t a l p a r a e n t e n d e r e l c o m p o r t a m i e n t o d e l a s s e ñ a l e s d e s i s t e m a s . E s t e e s e l
r e s u l t a d o d e q u e l o s s e n o s o i d a l e s s o n e i g e n f u n c i o n e s ( S e c t i o n 5 . 6 ) d e s i s t e m a s l i n e a l e s v a r i a n t e s e n e l t i e m p o
( L T I ) ( S e c t i o n 2 . 1 ) . S i p a s a m o s c u a l q u i e r s e n o s o i d a l a t r a v é s d e u n s i s t e m a L T I , o b t e n e m o s l a v e r s i ó n
e s c a l a d a d e c u a l q u i e r s i s t e m a s e n o s o i d a l c o m o s a l i d a . E n t o n c e s , y a q u e e l a n á l i s i s d e F o u r i e r n o s p e r m i t e
r e d e n i r l a s s e ñ a l e s e n t e r m i n o s d e s e n o s o i d a l e s , t o d o l o q u e t e n e m o s q u e h a c e r e s d e t e r m i n a r e l e f e c t o q u e
c u a l q u i e r s i s t e m a t i e n e e n t o d o s l o s s e n o s o i d a l e s p o s i b l e s ( s u f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a
2
) a s í t e n d r e m o s u n
e n t e n d i m i e n t o c o m p l e t o d e l s i s t e m a . A s í m i s m o , y a q u e p o d e m o s d e n i r e l p a s o d e l o s s e n o s o i d a l e s e n e l
s i s t e m a c o m o l a m u l t i p l i c a c i ó n d e e s e s e n o s o i d a l p o r l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e n l a m i s m a f r e c u e n c i a ,
p u e d e s c o n v e r t i r e l p a s o d e l a s e ñ a l a t r a v é s d e c u a l q u i e r s i s t e m a d e s e r u n a c o n v o l u c i ó n ( S e c t i o n 3 . 3 ) ( e n
t i e m p o ) a u n a m u l t i p l i c a c i ó n ( e n f r e c u e n c i a ) e s t a s i d e a s s o n l o q u e d a n e l p o d e r a l a n á l i s i s d e F o u r i e r .
A h o r a , d e s p u é s d e h a b e r l e v e n d i d o e l v a l o r q u e t i e n e e s t e m é t o d o d e a n á l i s i s , n o s o t r o s d e b e m o s a n a l i z a r
e x a c t a m e n t e l o q u e s i g n i c a e l a n á l i s i s F o u r i e r . L a s c u a t r o t r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r q u e f o r m a n p a r t e
d e e s t e a n á l i s i s s o n : S e r i e s F o u r i e r
3
, T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r c o n t i n u a e n e l t i e m p o
4
, T r a n s f o r m a d a d e
F o u r i e r e n T i e m p o D i s c r e t o ( S e c t i o n 1 1 . 4 ) , y L a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a ( S e c t i o n 1 1 . 2 ) . P a r a
e s t e m o d u l o , n o s o t r o s v e r e m o s l a t r a s f o r m a d a d e L a p l a c e ( S e c t i o n 1 4 . 1 ) y l a t r a n s f o r m a d a Z ( S e c t i o n 1 4 . 3 ) .
C o m o e x t e n s i o n e s d e C T F T y D T F T r e s p e c t i v a m e n t e . T o d a s e s t a s t r a n s f o r m a d a s a c t ú a n e s e n c i a l m e n t e d e
l a m i s m a m a n e r a , a l c o n v e r t i r u n a s e ñ a l e n t i e m p o e n s u s e ñ a l e q u i v a l e n t e e n f r e c u e n c i a ( s e n o s o i d a l e s ) . S i n
e m b a r g o , d e p e n d i e n d o e n l a n a t u r a l e z a d e u n a s e ñ a l e s p e c i c a ( p o r e j e m p l o , s i e s d e t a m a ñ o n i t o o i n n i t o ,
o s i s o n d i s c r e t a s o c o n t i n u a s e n e l t i e m p o ) h a y u n a t r a n s f o r m a d a a p r o p i a d a p a r a c o n v e r t i r l a s s e ñ a l e s e n s u
d o m i n i o d e f r e c u e n c i a . L a s i g u i e n t e t a b l a m u e s t r a l a s c u a t r o t r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r y e l u s o d e c a d a u n a .
T a m b i é n i n c l u y e l a c o n v o l u c i o n r e l e v a n t e p a r a e l e s p a c i o e s p e c i c a d o .
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 5 / 1 . 4 / > .
2
" T r a n s f e r F u n c t i o n s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 2 8 / l a t e s t / >
3
" C o n t i n u o u s - T i m e F o u r i e r S e r i e s ( C T F S ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 9 7 / l a t e s t / >
4
" C o n t i n u o u s - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( C T F T ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 9 8 / l a t e s t / >
1 6 3
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1 6 4
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
T a b l a d e R e p r e s e n t a c i o n e s p a r a F o u r i e r
T r a n s f o r m a d a D o m i n i o d e l T i e m p o D o m i n i o d e l a F r e -
c u e n c i a
C o n v o l u c i ó n
S e r i e d e F o u r i e r C o n -
t i n u a e n e l T i e m p o
L2 ([0, T )) l2 (Z) T i e m p o C o n t i n u o C i r -
c u l a r
T r a n s f o r m a d a d e
F o u r i e r e n T i e m p o
C o n t i n u o
L2 (R) L2 (R) T i e m p o C o n t i n u o L i n e a l
T r a n s f o r m a d a d e
F o u r i e r D i s c r e t a e n e l
T i e m p o
l2 (Z) L2 ([0, 2π)) T i e m p o D i s c r e t o L i n e a l
T r a n s f o r m a d a d e
F o u r i e r D i s c r e t a
l2 ([0, N − 1]) l2 ([0, N − 1]) T i e m p o D i s c r e t o C i r c u -
l a r
8 . 2 A n á l i s i s d e F o u r i e r e n E s p a c i o s C o m p l e j o s
5
8 . 2 . 1 I n t r o d u c c i ó n
P a r a e s t e m o m e n t o u s t e d d e b e r í a e s t a r f a m i l i a r i z a d o c o n l a d e r i v a c i ó n d e l a s e r i e s d e F o u r i e r
6
d e t i e m p o
c o n t i n u o , f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s
7
. E s t a d e r i v a c i ó n n o s l l e v a a l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s l a s c u a l e s u s t e d d e b e r í a
c o n o c e r :
f (t) =n
cnejω0nt
( 8 . 1 )
cn = 1T n
f (t) e−(jω0nt)dt
= 1T < f, ejω0nt >
( 8 . 2 )
d o n d e cn n o s d i c e l a c a n t i d a d d e f r e c u e n c i a e n ω0n i n f (t) .
E n e s t e m ó d u l o d e r i v a r e m o s u n a e x p a n s i ó n s i m i l a r p a r a f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s y d i s c r e t a s e n e l t i e m p o . A l
h a c e r l o , n o s o t r o s d e r i v a r e m o s l a s s e r i e s d e F o u r i e r d i s c r e t a s e n e l t i e m p o ( D T F S ) , t a m b i é n c o n o c i d a s
c o m o t r a s f o r m a d a s d i s c r e t a s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 1 1 . 3 ) ( D F T ) .
8 . 2 . 2 D e r i v a c i ó n d e l D T F S
A s í c o m o e n l a f u n c i ó n p e r i ó d i c a c o n t i n u a e n e l t i e m p o p u e d e s e r v i s t a c o m o u n a f u n c i ó n e n e l i n t e r v a l o
[0, T ]
5
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 8 / 1 . 5 / > .
6
" F o u r i e r S e r i e s : E i g e n f u n c t i o n A p p r o a c h " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 9 6 / l a t e s t / >
7
" P e r i o d i c S i g n a l s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 4 4 / l a t e s t / >
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1 6 5
T
f(t)
( a )
T
( b )
F i g u r e 8 . 1 : S o l o c o n s i d e r a r e m o s u n i n t e r v a l o p a r a l a f u n c i ó n p e r i ó d i c a e n e s t a s e c c i ó n . ( a ) F u n c i ó n
p e r i ó d i c a ( b ) F u n c i ó n e n e l i n t e r v a l o
[0, T ]
U n a s e ñ a l p e r i ó d i c a d i s c r e t a e n e l t i e m p o ( c o n p e r i o d o N ) s e p u e d e v e r c o m o u n c o n j u n t o d e n ú m e r o s
n i t o s . P o r e j e m p l o , d i g a m o s q u e t e n e m o s e l s i g u i e n t e c o n j u n t o d e n ú m e r o s q u e d e s c r i b e u n a s e ñ a l d i s c r e t a ,
d o n d e N = 4 :
. . . , 3, 2, −2, 1, 3, . . . ; P o d e m o s r e p r e s e n t a r e s t a s e ñ a l c o m o u n a s e ñ a l p e r i ó d i c a o c o m o u n i n t e r v a l o s i m p l e d e l a s i g u i e n t e f o r m a :
f[n]
n
( a )
n
( b )
F i g u r e 8 . 2 : A q u í n a d a m a s o b s e r v a m o s u n p e r i o d o d e l a s e ñ a l q u e t i e n e u n v e c t o r d e t a m a ñ o c u a t r o
y e s t a c o n t e n i d a e n
C4
. ( a ) F u n c i ó n p e r i ó d i c a ( b ) F u n c i o n e n e l i n t e r v a l o
[0, T ]
n o t e : E l c o n j u n t o d e s e ñ a l e s d e t i e m p o d i s c r e t o c o n p e r i o d o N e s i g u a l a CN
.
T a l c o m o e n e l c a s o c o n t i n u o , f o r m a r e m o s u n a b a s e u s a n d o s e n o s o i d a l e s a r m ó n i c o s . A n t e s d e e s t o , e s
n e c e s a r i o v e r l a s s e n o s o i d a l e s c o m p l e j a s d i s c r e t a s c o n m a s d e t a l l e .
8 . 2 . 2 . 1 S e n o s o i d a l e s C o m p l e j o s
S i u s t e d e s t a f a m i l i a r i z a d o c o n l a s e ñ a l s e n o s o i d a l
8
b á s i c a y c o n l o s e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 5 )
e n t o n c e s u s t e d n o t e n d r á n i n g ú n p r o b l e m a p a r a e n t e n d e r e s t a s e c c i ó n . E n t o d o s l o s l i b r o s , u s t e d v e r á q u e
l a s e n o s o i d a l c o m p l e j a d i s c r e t a s e e s c r i b e a s í :
ejωn
8
" E l e m e n t a l S i g n a l s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 4 / l a t e s t / >
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1 6 6
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
E x a m p l e 8 . 1
F i g u r e 8 . 3 : S e n o s o i d a l c o m p l e j a c o n f r e c u e n c i a
ω = 0
E x a m p l e 8 . 2
F i g u r e 8 . 4 : S e n o s o i d a l c o m p l e j a c o n f r e c u e n c i a
ω = π4
8 . 2 . 2 . 1 . 1 E n e l P l a n o C o m p l e j o
N u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a s e p u e d e g r a c a r e n n u e s t r o p l a n o c o m p l e j o
9
, e l c u a l n o s p e r m i t e v i s u a l i z a r
f á c i l m e n t e l o s c a m b i o s d e l a s e n o s o i d a l c o m p l e j a y e x t r a e r a l g u n a s p r o p i e d a d e s . E l v a l o r a b s o l u t o d e n u e s t r a
s e n o s o i d a l c o m p l e j a t i e n e l a s s i g u i e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s :
|ejωn | = 1 , n ∈ R ( 8 . 3 )
E l c u a l n o s d i c e q u e n u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a ú n i c a m e n t e t o m a v a l o r e s q u e s e e n c u e n t r a n e n e l c í r c u l o
u n i t a r i o . C o n r e s p e c t o a l á n g u l o , l a s i g u i e n t e a r m a c i ó n e s v e r d a d e r a :
∠ejωn = wn( 8 . 4 )
9
" T h e C o m p l e x P l a n e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 9 6 / l a t e s t / >
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1 6 7
C u a n d o n i n c r e m e n t a , p o d e m o s v e r ejωn i g u a l a n d o l o s v a l o r e s q u e o b t e n e m o s a l m o v e r n o s e n c o n t r a d e
l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j a l r e d e d o r d e l c í r c u l o u n i t a r i o . O b s e r v e l a s s i g u i e n t e g u r a s F i g u r e 8 . 5 p a r a u n a m e j o r
i l u s t r a c i ó n :
( a ) ( b ) ( c )
F i g u r e 8 . 5 : E s t a s i m á g e n e s m u e s t r a n q u e c u a n d o
ni n c r e m e n t a , e l v a l o r d e
ejωns e m u e v e e n c o n t r a
d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j a l r e d e d o r d e l c í r c u l o u n i t a r i o . ( a )
n = 0( b )
n = 1( c )
n = 2
n o t e : P a r a q u e ejωn s e a p e r i ó d i c a ( S e c t i o n 6 . 1 ) , n e c e s i t a m o s q u e ejωN = 1 p a r a a l g ú n N .
E x a m p l e 8 . 3
N u e s t r o p r i m e r e j e m p l o n o s p e r m i t e v e r u n a s e ñ a l p e r i ó d i c a d o n d e
ω = 2π7 y
N = 7 .
( a ) ( b )
F i g u r e 8 . 6 : ( a )
N = 7( b ) A q u í t e n e m o s u n a g r a f í c a d e
Re“
ej2π7n”
.
E x a m p l e 8 . 4
A h o r a o b s e r v e m o s l o s r e s u l t a d o s d e g r a c a r u n a s e ñ a l n o p e r i ó d i c a d o n d e ω = 1 y N = 7 .
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1 6 8
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
( a ) ( b )
F i g u r e 8 . 7 : ( a )
N = 7( b ) A q u í t e n e m o s u n a g r á c a d e
Re`
ejn.
8 . 2 . 2 . 1 . 2 A l i a s i n g
N u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a t i e n e l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d :
ejωn = ej(ω+2π)n ( 8 . 5 )
D a d a a e s t a p r o p i e d a d , s i t e n e m o s u n a s e n o s o i d a l c o n f r e c u e n c i a
ω + 2π, o b s e r v a r e m o s q u e e s t a s e ñ a l t e n d r á
u n a l i a s i n g c o n u n a s e n o s o i d a l d e f r e c u e n c i a ω .
n o t e : C a d a
ejωne s ú n i c a p a r a
ω ∈ [0, 2π)
8 . 2 . 2 . 1 . 3 F r e c u e n c i a s N e g a t i v a s
S i n o s d a n u n a f r e c u e n c i a
π < ω < 2π, e n t o n c e s e s t a s e ñ a l s e r á r e p r e s e n t a d a e n n u e s t r o p l a n o c o m p l e j o
c o m o :
( a ) ( b )
F i g u r e 8 . 8 : G r á c a d e n u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a c o n u n a f r e c u e n c i a m a y o r q u e π .
D e n u e s t r a s i m á g e n e s m o s t r a d a s a r r i b a , e l v a l o r d e n u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a e n e l p l a n o c o m p l e j o s e
p u e d e i n t e r p r e t a r c o m o g i r a r h a c i a a t r á s ( e n d i r e c c i ó n d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j ) a l r e d e d o r d e l c í r c u l o
u n i t a r i o c o n f r e c u e n c i a 2π − ω . G i r a r e n s e n t i d o c o n t r a r i o d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j w e s l o m i s m o q u e g i r a r
e n s e n t i d o d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j 2π − ω.
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1 6 9
E x a m p l e 8 . 5
G r a c a r e m o s n u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a ,
ejωn, d o n d e t e n e m o s
ω = 5π4 y
n = 1 .
F i g u r e 8 . 9 : L a g r á c a a n t e r i o r d e l a f r e c u e n c i a d a d a e s i d é n t i c a a u n a d o n d e
ω = −`3π4 .
E s t a g r á c a e s l a m i s m a q u e u n a s e n o s o i d a l d e f r e c u e n c i a n e g a t i v a − 3π4 .
p o i n t : T i e n e m á s s e n t i d o e l e g i r u n i n t e r v a l o e n t r e [−
π, π) p a r a ω .
R e c u e r d e q u e ejωn y e−(jωn) s o n c o n j u g a d o s . E s t o n o s d a l a s i g u i e n t e n o t a c i ó n y p r o p i e d a d :
ejωn∗
= e−(jωn)( 8 . 6 )
L a s p a r t e s r e a l e s d e a m b a s e x p o n e n c i a l e s d e l a e c u a c i ó n d e a r r i b a s o n l a s m i s m a s ; l a p a r t e i m a g i n a r i a s o n
l o s n e g a t i v o s d e u n a a l a o t r a . E s t a i d e a e s l a d e n i c i ó n b á s i c a d e u n c o n j u g a d o .
Y a q u e h e m o s v i s t o l o s c o n c e p t o s d e s e n o s o i d a l e s c o m p l e j a s , r e t o m a r e m o s l a i d e a d e e n c o n t r a r u n a b a s e
p a r a l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s e n t i e m p o d i s c r e t o . D e s p u é s d e o b s e r v a r l a s s e n o s o i d a l e s c o m p l e j a s , t e n e m o s q u e
r e s p o n d e r l a p r e g u n t a s o b r e c u a l e s s e n o s o i d a l e s e n t i e m p o d i s c r e t o n e c e s i t a m o s p a r a r e p r e s e n t a r s e c u e n c i a s
p e r i ó d i c a s c o n u n p e r i o d o N .
P r e g u n t a E q u i v a l e n t e : E n c u e n t r e u n c o n j u n t o d e v e c t o r e s bk = ejωkn , n = 0, . . . , N − 1t a l q u e
bk
s e a u n a b a s e p a r a Cn
P a r a r e s o l v e r l a p r e g u n t a d e a r r i b a , u s a r e m o s l a s s e n o s o i d a l e s A r m ó n i c o s c o n u n a f r e c u e n c i a f u n d a m e n t a l
d e ω0 = 2πN
:
S e n o s o i d a l e s A r m ó n i c a s
ej2πN
kn( 8 . 7 )
( a ) ( b ) ( c )
F i g u r e 8 . 1 0 : E j e m p l o s d e n u e s t r a s a r m ó n i c o s s e n o s o i d a l e s . ( a ) S e n o s o i d a l a r m ó n i c o c o n
k = 0( b ) P a r t e
i m a g i n a r i a d e l s e n o s o i d a l ,
Im“
ej2πN1n”
, c o n
k = 1( c ) P a r t e i m a g i n a r i a d e l s e n o s o i d a l ,
Im“
ej2πN2n”
, c o n
k = 2
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1 7 0
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
ej2πN
kne s p e r i ó d i c a c o n p e r i o d o N y t i e n e k c i c l o s e n t r e n = 0 y n = N − 1 .
T h e o r e m 8 . 1 :
S i d e j a m o s
bk [n] =1
√N ej 2π
Nkn
, n = 0, . . . , N − 1d o n d e e l t é r m i n o e x p o n e n c i a l e s u n v e c t o r e n C
N , e n t o n c e s bk |k=0,...,N −1 e s u n a b a s e o r t o n o r -
m a l ( S e c t i o n 7 . 7 . 3 : B a s e O r t o n o r m a l ) p a r a CN
.
P r o o f : P r i m e r o q u e t o d o , d e b e m o s d e m o s t r a r q u e bk e s o r t o n o r m a l , p o r e j e m p l o < bk, bl >=δkl
< bk, bl >=N −1n=0
bk [n] bl [n]
∗=
1
N
N −1n=0
ej
2πN
kne−(j 2πN ln)
< bk, bl >=1
N
N −1n=0
ej
2πN(l−k)n
( 8 . 8 )
S i l = k , e n t o n c e s
< bk, bl > = 1N
N −1n=0 (1)
= 1( 8 . 9 )
S i l = k , e n t o n c e s t e n e m o s q u e u s a r l a f ó r m u l a d e s u m a t o r i a p a r c i a l m o s t r a d a a b a j o :
N −1n=0
(αn) =
∞n=0
(αn) −∞
n=N
(αn) =1
1 − α− αN
1 − α=
1 − αN
1 − α
< bk, bl >=1
N
N −1n=0
ej
2πN(l−k)n
e n e s t a e c u a c i ó n p o d e m o s d e c i r q u e α = ej2πN(l−k)
, a s í p o d e m o s v e r c o m o e s t a e x p r e s i ó n s e e n c u e n t r a
e n l a f o r m a q u e n e c e s i t a m o s u t i l i z a r p a r a n u e s t r a f ó r m u l a d e s u m a t o r i a p a r c i a l .
< bk, bl >=1
N
1 − ej
2πN(l−k)N
1 − ej2πN(l−k)
=
1
N
1 − 1
1 − ej2πN(l−k)
= 0
A s í ,
< bk, bl >=
1 i f k = l
0 i f
k = l( 8 . 1 0 )
P o r l o t a n t o : bk e s u n c o n j u n t o o r t o n o r m a l . bk e s t a m b i é n u n b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 . 3 : B a s e s ) , y a
q u e e x i s t e n N v e c t o r e s q u e s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ( S e c t i o n 5 . 1 . 1 : I n d e p e n d e n c i a L i n e a l )
( o r t o g o n a l i d a d i m p l i c a i n d e p e n d e n c i a l i n e a r ) .
F i n a l m e n t e , h e m o s d e m o s t r a d o q u e l o s s e n o s o i d a l e s a r m ó n i c o s
1√N
ej 2πN kn
f o r m a n u n a b a s e
o r t o n o r m a l p a r a Cn
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1 7 1
8 . 2 . 2 . 2 S e r i e s d e D i s c r e t a s d e F o u r i e r ( D T F S )
U t i l i z a n d o l o s p a s o s a n t e r i o r e s e n l a d e r i v a c i ó n , u s a n d o n u e s t r o e n t e n d i m i e n t o d e e s p a c i o H i l b e r t ( S e c t i o n 7 . 3 )
, y n a l m e n t e u s a n d o l a e x p a n s i ó n o r t o g o n a l ( S e c t i o n 7 . 8 ) ; e l r e s t o d e l a d e r i v a c i ó n e s a u t o m á t i c a . D a d a
u n a s e ñ a l p e r i ó d i c a d i s c r e t a ( v e c t o r
C
n)
f [n], p o d e m o s e s c r i b i r :
f [n] =1√N
N −1k=0
ckej
2πN
kn
( 8 . 1 1 )
ck =1√N
N −1n=0
f [n] e−(j 2πN kn)
( 8 . 1 2 )
N o t a : C a s i t o d a l a g e n t e j u n t a n l o s t é r m i n o s
1√N
e n l a e x p r e s i ó n p a r a ck .
S e r i e s d e F o u r i e r d e T i e m p o D i s c r e t o : A q u í s e m u e s t r a l a f o r m a c o m ú n d e l a s D T F S
t o m a n d o e n c u e n t a l a n o t a p r e v i a :
f [n] =N −1k=0
ckej
2πN
kn
ck =1
N
N −1n=0
f [n] e−(j 2πN kn)
E s t o e s l o q u e e l c o m a n d o d e M A T L A B h a c e .
8 . 3 E c u a c i ó n d e M a t r i z p a r a l a D T F S
1 0
L a D T F S
1 1
e s n a d a m a s u n c a m b i o d e b a s e s
1 2
e n CN
. P a r a c o m e n z a r , t e n e m o s f [n] e n t é r m i n o s d e l a b a s e
e s t á n d a r .
f [n] = f [0] e0 + f [1] e1 + · · · + f [N − 1] eN −1
=n−1
k=0 (f [k] δ [k − n])( 8 . 1 3 )
f [0]
f [1]
f [2].
.
.
f [N − 1]
=
f [0]
0
0.
.
.
0
+
0
f [1]
0.
.
.
0
+
0
0
f [2].
.
.
0
+ · · · +
0
0
0.
.
.
f [N − 1]
( 8 . 1 4 )
T o m a n d o l a D T F S , p o d e m o s e s c r i b i r
f [n]e n t é r m i n o s d e l a b a s e d e F o u r i e r s e n o s o i d a l
f [n] =N −1k=0
ckej
2πN
kn
( 8 . 1 5 )
1 0
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 5 9 / 1 . 1 / > .
1 1
" F o u r i e r A n a l y s i s i n C o m p l e x S p a c e s " : S e c t i o n D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r S e r i e s ( D T F S )
< h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 8 4 / l a t e s t / # d t f s >
1 2
" L i n e a r A l g e b r a : T h e B a s i c s " : S e c t i o n B a s i s < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 3 4 / l a t e s t / # s e c _ b a s >
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1 7 2
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
f [0]
f [1]
f [2].
.
.
f [N − 1]
= c0
1
1
1.
.
.
1
+ c1
1
ej2πN
ej 4πN
.
.
.
ej2πN(N −1)
+ c2
1
ej4πN
ej 8πN
.
.
.
ej4πN(N −1)
+ . . . ( 8 . 1 6 )
P o d e m o s f o r m a r l a m a t r i z b a s e ( l l a m a r e m o s e s t o W e n v é s d e B ) a l a c o m o d a r l o s v e c t o r e s b a s e s e n l a s
c o l u m n a s o b t e n e m o s
W =
b0 [n] b1 [n] . . . bN −1 [n]
=
1 1 1 . . . 1
1 ej2πN ej
4πN . . . ej
2πN(N −1)
1 ej4πN ej
8πN . . . ej
2πN2(N −1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 ej2πN(N −1) ej
2πN2(N −1) . . . ej
2πN(N −1)(N −1)
( 8 . 1 7 )
c o n
bk [n] = ej2πN
kn
n o t e : l a e n t r a d a k - t h l a y n - t h c o l u m n a e s W j,k = ej2πN
kn = W n,k
A s í , a q u í t e n e m o s u n a s i m e t r í a a d i c i o n a l
W = W T ⇒ W T ∗
= W ∗ =1
N W −1
( y a q u e
bk [n]
s o n o r t o n o r m a l e s )
A h o r a p o d e m o s r e s c r i b i r l a e c u a c i ó n D T F S e n f o r m a d e m a t r i z , d o n d e t e n e m o s :
• f = s e ñ a l ( v e c t o r e n CN )
• c = c o e c i e n t e s D T F S ( v e c t o r e n CN
)
" s y n t h e s i s " f = W c f [n] =< c, bn∗ >
" a n a l y s i s "
c = W T ∗f = W ∗f c [k] =< f , bk >
E n c o n t r a r ( e i n v e r t i r ) l a D F T S e s n a d a m a s u n a m u l t i p l i c a c i ó n d e m a t r i c e s .
T o d o l o q u e s e e n c u e n t r a e n CN
e s t a l i m p i o : n o s e u t i l i z a n l í m i t e s , n o s e u s a n p r e g u n t a s d e c o n v e r g e n c i a ,
n a d a m a s s e u t i l i c e a r i t m é t i c a d e m a t r i c e s .
8 . 4 E x t e n s i ó n P e r i ó d i c a d e l a s D T F S
1 3
8 . 4 . 1 I n t r o d u c c i ó n
Y a q u e c o n t a m o s c o n e n t e n d i m i e n t o d e l o q u e s o n l a s s e r i e s d i s c r e t a s d e F o u r i e r ( D T F S ) ( S e c t i o n 8 . 2 . 2 . 2 :
S e r i e s d e D i s c r e t a s d e F o u r i e r ( D T F S ) ) , p o d e m o s c o n s i d e r a r l a e x t e n s i ó n p e r i ó d i c a d e c [k] ( c o e c i e n t e s
1 3
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 0 / 1 . 2 / > .
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1 7 3
d i s c r e t o s d e F o u r i e r ) . L a s g u r e s b á s i c a s m o s t r a d a s a c o n t i n u a c i ó n m u e s t r a n u n a s i m p l e i l u s t r a c i ó n d e c o m o
n o s o t r o s p o d r í a m o s r e p r e s e n t a r u n a s e c u e n c i a e n f o r m a d e s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s g r a c a d a s s o b r e u n n u m e r o
i n n i t o d e i n t e r v a l o s .
( a )
( b )
F i g u r e 8 . 1 1 : ( a ) v e c t o r e s ( b ) s e c u e n c i a s p e r i o d i c a s
E x e r c i s e 8 . 1
( S o l u t i o n o n p . 1 8 6 . )
¾ P o r q u é u n a e x t e n s i ó n p e r i ó d i c a ( S e c t i o n 6 . 1 ) d e l o s c o e c i e n t e s d e l a D F T S c [k] t i e n e s e n t i d o ?
8 . 4 . 2 E j e m p l o s
E x a m p l e 8 . 6 : F u n c i ó n C u a d r a d a D i s c r e t a
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C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
F i g u r e 8 . 1 2
C a l c u l e l a D T F S c [k] u s a n d o :
c [k] =1
N
N −1n=0
f [n] e−(j 2πN kn)
( 8 . 1 8 )
C o m o e n l a s s e r i e s d e F o u r i e r c o n t i n u a s , p o d e m o s t o m a r l a s u m a t o r i a e n c u a l q u i e r i n t e r v a l o , p a r a
t e n e r
ck =1
N
N 1n=−N 1
e−(j 2πN kn)
( 8 . 1 9 )
D e j e q u e
m = n + N 1, ( a s í t e n e m o s u n a s e r i e g e o m é t r i c a q u e e m p i e z a e n 0 )
ck = 1N
2N 1m=0
e−(j 2πN (m−N 1)k)
= 1
N ej
2πN
k2N 1
m=0
e−(j 2πN mk)
( 8 . 2 0 )
A h o r a , u s a n d o l a f o r m u l a p a r c i a l d e s u m a t o r i a
M n=0
(an) =1 − aM +1
1 − a( 8 . 2 1 )
ck = 1N
ej2πN
N 1k2N 1
m=0
e−(j 2πN k)
m= 1
N ej
2πN
N 1k 1−e−(j 2πN (2N1+1))
1−e
−(jk 2πN )
( 8 . 2 2 )
M a n i p u l á n d o l a p a r a q u e s e v e a c o m o e l s i n c ( d i s t r i b u y a )
ck = 1N
e−(jk 2π
2N )„ejk 2π
N (N1+12 )−e
−(jk 2πN (N1+12 ))
«
e−(jk 2π
2N )„ejk 2π
N12−e
−(jk 2πN 12)«
= 1N
sin
2πk(N1+ 1
2 )N
!
sin( πkN )
= d i g i t a l s i n c
( 8 . 2 3 )
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1 7 5
n o t e : ½ e s p e r i ó d i c a ! F i g u r e 8 . 1 3 , F i g u r e 8 . 1 4 , y F i g u r e 8 . 1 5 m u e s t r a n c o m o n u e s t r a f u n c i ó n y
c o e c i e n t e s p a r a d i s t i n t o s v a l o r e s d e
N 1 .
( a ) ( b )
F i g u r e 8 . 1 3 :
N 1 = 1( a ) G r a f í c a d e
f [n]. ( b ) G r a f í c a d e
c [k].
( a ) ( b )
F i g u r e 8 . 1 4 : N 1 = 3 ( a ) G r a f í c a d e f [n]. ( b ) G r a f í c a d e c [k].
( a ) ( b )
F i g u r e 8 . 1 5 :
N 1 = 7( a ) G r a f í c a d e
f [n]. ( b ) G r a f í c a d e
c [k].
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1 7 6
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
E x a m p l e 8 . 7 : S o n i d o d e u n P á j a r o
F i g u r e 8 . 1 6
E x a m p l e 8 . 8 : A n á l i s i s E s p e c t r a l d e l a D F T S
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1 7 7
F i g u r e 8 . 1 7
E x a m p l e 8 . 9 : R e c u p e r a n d o l a S e ñ a l
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1 7 8
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
F i g u r e 8 . 1 8
E x a m p l e 8 . 1 0 : C o m p r e s i ó n ( 1 - D )
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1 7 9
F i g u r e 8 . 1 9
E x a m p l e 8 . 1 1 : C o m p r e s i ó n d e I m á g e n e s
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1 8 0
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
( a )
( b )
F i g u r e 8 . 2 0 : W e ' v e c u t d o w n o n s t o r a g e s p a c e b y
>9 0 % ( w h i l e i n c u r r i n g s o m e l o s s ) ( a ) I m a g e n d e 2 5 6
p o r 2 5 6 ( 6 5 , 6 3 6 p i x e l e s ) ( b ) I m a g e n r e c o n s t r u i d a u s a n d o 6 0 0 0 c o e f í c i e n t e s
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1 8 1
8 . 5 D e s p l a z a m i e n t o s C i r c u l a r e s
1 4
L a s m u c h a s p r o p i e d a d e s d e l a D F T S ( S e c t i o n 8 . 2 . 2 . 2 : S e r i e s d e D i s c r e t a s d e F o u r i e r ( D T F S ) ) s e c o n v i e r t e n
s e n c i l l a s ( m u y s i m i l a r e s a l a s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r
1 5
) c u a n d o e n t e n d e m o s e l c o n c e p t o d e : d e s p l a z a m i e n -
t o s c i r c u l a r e s .
8 . 5 . 1 D e s p l a z a m i e n t o s C i r c u l a r e s
P o d e m o s d e s c r i b i r l a s s e c u e n c i a s p e r i ó d i c a s
1 6
t e n i e n d o p u n t o s d i s c r e t o s e n u n c í r c u l o c o m o s u d o m i n i o .
F i g u r e 8 . 2 1
D e s p l a z a r m , f (n + m), c o r r e s p o n d e a r o t a r e l c i l i n d r o m p u n t o s A C W ( e n c o n t r a d e l r e l o j ) . P a r a
m = −2, o b t e n e m o s u n d e s p l a z a m i e n t o i g u a l a l q u e s e v e e n l a s i g u i e n t e i l u s t r a c i ó n :
F i g u r e 8 . 2 2 : p a r a
m = −2
1 4
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 4 / 1 . 1 / > .
1 5
" F o u r i e r S e r i e s : E i g e n f u n c t i o n A p p r o a c h " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 9 6 / l a t e s t / >
1 6
" P e r i o d i c S i g n a l s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 4 4 / l a t e s t / >
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1 8 2
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
F i g u r e 8 . 2 3
P a r a c i c l a r l o s d e s p l a z a m i e n t o s s e g u i r e m o s l o s s i g u i e n t e s p a s o s :
1 ) E s c r i b a
f (n) e n e l c i l i n d r o , A C W
F i g u r e 8 . 2 4 :
N = 8
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1 8 3
2 ) P a r a c i c l a r p o r m , g i r e e l c i l i n d r o m l u g a r e s A C W
(f [n] → f [((n + m))N ])
F i g u r e 8 . 2 5 :
m = −3
E x a m p l e 8 . 1 2
S i
f (n) = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], e n t o n c e s
f (((n − 3))N ) = [3, 4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]E s l l a m a d o d e s p l a z a m i e n t o c i r c u l a r , y a q u e n o s e s t a m o s m o v i e n d o a l r e d e d o r d e l c í r c u l o . E l
d e s p l a z a m i e n t o c o m ú n e s c o n o c i d o c o m o d e s p l a z a m i e n t o l i n e a r ( u n m o v i m i e n t o e n u n a l í n e a ) .
8 . 5 . 1 . 1 N o t a s p a r a e l d e s p l a z a m i e n t o c i r c u l a r
f [((n + N ))N ] = f [n]
G i r a r p o r N l u g a r e s e s l o m i s m o q u e g i r a r p o r u n a v u e l t a c o m p l e t a , o n o m o v e r s e d e l m i s m o l u g a r .
f [((n + N ))N ] = f [((n − (N − m)))N ]
D e s p l a z a r A C W m e s e q u i v a l e n t e a d e s p l a z a r C W N − m
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1 8 4
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
F i g u r e 8 . 2 6
f [((−n))N ]
L a e x p r e s i ó n a n t e r i o r , e s c r i b e l o s v a l o r e s d e f [n] p a r a e l l a d o d e l r e l o j .
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1 8 5
( a ) ( b )
F i g u r e 8 . 2 7 : ( a )
f [n]( b )
f ˆ
((−n))N ˜
8 . 5 . 2 D e s p l a z a m i e n t o s C i r c u l a r e s y e l D F T
T h e o r e m 8 . 2 : D e s p l a z a m i e n t o C i r c u l a r y e l D F T
S i
f [n]D F T ↔ F [k]
e n t o n c e s
f [((n − m))N ]D F T ↔ e−(j 2πN km)F [k]
( P o r e j e m p l o . D e s p l a z a m i e n t o c i r c u l a r e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o = d e s p l a z a m i e n t o d e l á n g u l o e n e l
D F T )
P r o o f :
f [n] = 1N
N −1k=0
F [k] ej
2πN
kn
( 8 . 2 4 )
a s í q u e e l d e s p l a z a r e l á n g u l o e n e l D F T
f [n] = 1N
N −1k=0
F [k] e−(j 2πN kn)ej
2πN
kn
= 1N
N −1k=0
F [k] ej
2πN
k(n−m)
= f [((n − m))N ]
( 8 . 2 5 )
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1 8 6
C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R
S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 8
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 8 . 1 ( p . 1 7 3 )
A l i a s i n g : bk = ej2πN
kn
bk+N = ej 2πN (k+N )n
= ej2πN
knej2πn
= ej2πN
n
= bk
( 8 . 2 6 )
→ C o e c i e n t e s D T F S t a m b i é n s o n p e r i ó d i c o s c o n p e r i o d o N .
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C h a p t e r 9
T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F F T )
9 . 1 D F T : T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r
1
A h o r a p o d e m o s c a l c u l a r e l e s p e c t r o d e u n a s e ñ a l a r b i t r a r i a : L a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a ( D F T )
2
c a l c u l a e l e s p e c t r o e n N f r e c u e n c i a s i g u a l m e n t e e s p a c i a d a s d e u n a l o n g i t u d - N s e c u e n c i a s . U n a e d i c i ó n q u e
n u n c a s e p r e s e n t a e n e l " c á l c u l o " a n á l o g o , c o m o l a r e a l i z a d a p o r u n c i r d u i t o , e s c u a n t o t r a b a j o t o m a r e a l i z a r
l a o p e r a c i ó n d e p r o c e s a m i e n t o d e s e ñ a l c o m o l a l t r a c i ó n . E n c o m p u t a c i ó n , e s t a c o n s i d e r a c i ó n t r a s l a d a d e l
n ú m e r o d e p a s o s b á s i c o s d e c o m p u t a c i ó n r e q u e r i d o s p a r a r e a l i z a r e l p r o c e s o . E l n ú m e r o d e p a s o s , c o n o c i d o s
c o m o , l a c o m p l e j i d a d , s e v u e l v e e q u i v a l e n t e a c u a n t o t i e m p o t o m a e l c á l c u l o ( q u e t a n t o t i e m p o t e n e m o s
q u e e s p e r a r p a r a u n a r e s p u e s t a ) . L a c o m p l e j i d a d n o e s t a a t a d a a c o m p u t a d o r a s e s p e c i c a s o l e n g u a j e s
d e p r o g r a m a c i ó n , p e r o a c u a n t o s p a s o s s o n r e q u e r i d o s e n c u a l q u i e r c á l c u l o . A s í , u n p r o c e d i m i e n t o c o n
c o m p l e j i d a d i n d i c a d a d i c e q u e e l t i e m p o t o m a d o s e r á p r o p o r c i o n a l a a l g u n a c a n t i d a d d e d a t o s u t i l i z a d o s
e n e l c á l c u l o y e n l a c a n t i d a d d e m a n d a d a .
P o r e j e m p l o , c o n s i d e r a r l a f o r m u l a p a r a l a t r a n s f o r m a d a d i s c r e t a d e F o u r i e r . P a r a c a d a f r e c u e n c i a q u e
e l i j a m o s , d e b e m o s m u l t i p l i c a r c a d a v a l o r d e l a s e ñ a l p o r u n n ú m e r o c o m p l e j o y s u m a r l o s r e s u l t a d o s . P a r a
u n a s e ñ a l v a l o r a d a - r e a l , c a d a m u l t i p l i c a c i ó n r e a l - p o r - c o m p l e j o r e q u i e r e d o s m u l t i p l i c a c i o n e s r e a l e s , s i g n i c a
q u e t e n e m o s 2N m u l t i p l i c a c i o n e s p a r a r e a l i z a r s e . P a r a s u m a r l o s r e s u l t a d o s j u n t o s , d e b e m o s m a n t e n e r l a
p a r t e r e a l y l a i m a g i n a r i a s e p a r a d a s . S u m a n d o N n ú m e r o s r e q u i e r e N − 1 s u m a s . C o n s t a n t e m e n t e , c a d a
f r e c u e n c i a r e q u i e r e 2N + 2 (N − 1) = 4N − 2 p a s o s b á s i c o s d e r e a l i z a r . C o m o t e n e m o s N f r e c u e n c i a s , e l
n ú m e r o t o t a l d e o p e r a c i o n e s e s N (4N − 2).
E n c á l c u l o s d e l a c o m p l e j i d a d , s o l o t e n e m o s q u e p r e o c u p a r n o s d e q u e s u c e d e c u a n d o l a l o n g i t u d i n c r e -
m e n t a , y t o m a r e l t é r m i n o d o m i n a n t e a q u í e l t é r m i n o 4N 2 c o m o r e e j o d e c u a n t o t r a b a j o e s t a i n v o l u -
c r a d o h a c i e n d o l a c o m p u t a c i ó n . C o m o u n a c o n s t a n t e m u l t i p l i c a t i v a n o i m p o r t a y a q u e e s t a m o s h a c i e n d o
u n a " p r o p o r c i o n a l " a l a e v a l u a c i ó n , e n c o n t r a m o s q u e l a D F T e s u n O
N 2
p r o c e d i m i e n t o c o m p u t a c i o n a l .
E s t a n o t a c i ó n e s l e í d a " o r d e n N - c u a d r a d o " . D o n d e , s i t e n e m o s d o b l e l o n g i t u d , e s p e r a m o s q u e e l t i e m p o d e
l a r e a l i z a c i ó n s e a a p r o x i m a d a m e n t e e l c u a d r u p l e .
E x e r c i s e 9 . 1
( S o l u t i o n o n p . 1 9 3 . )
H a c i e n d o l a e v a l u a c i ó n d e l a c o m p l e j i d a d p a r a l a D F T , a s u m i m o s q u e l o s d a t o s s o n r e a l e s . S u r g e n
t r e s p r e g u n t a s . P r i m e r o q u e n a d a , e l e s p e c t r o d e l a s s e ñ a l e s t i e n e s i m e t r í a c o n j u g a d a , l o q u e s i g n i c a
q u e l o s c o m p o n e n t e s d e l a s f r e c u e n c i a s n e g a t i v a s ( k =N 2 + 1,...,N + 1
e n l a D F T
3
) p u e d e n s e r
c a l c u l a d a s d e l o s c o m p o n e n t e s d e l a f r e c u e n c i a p o s i t i v a c o r r e s p o n d i e n t e . ¾ E s t a s i m e t r í a c a m b i a l a
c o m p l e j i d a d d e l a T r a s f o r m a d a D i r e c t a d e F o u r i e r D F T ?
E n s e g u n d o l u g a r , s u p o n g a m o s q u e l o s d a t o s s o n d e v a l o r e s c o m p l e j o s ; ¾ C ú a l e s l a c o m p l e j i d a d
d e l a D F T a h o r a ?
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 7 / 1 . 1 / > .
2
" D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T ) " , ( 1 ) : D i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 5 0 2 / l a t e s t / # e q n 1 >
3
" D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T ) " , ( 1 ) : D i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 5 0 2 / l a t e s t / # e q n 1 >
1 8 7
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1 8 8
C H A P T E R 9 . T R A N S F O R M A D A R Á P I D A D E F O U R I E R ( F F T )
F i n a l m e t e , p r e g u n t a m e n o s i m p o r t a n t e p e r o i n t e r e s a n t e , s u p o n g a m o s q u e q u e r e m o s K v a l o r e s
d e f e c u e n c i a s e n l u g a r d e
N ; ¾ A h o r a c ú a l e s l a c o m p l e j i d a d ?
9 . 2 L a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F F T )
4
9 . 2 . 1 I n t r o d u c c i ó n
L a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m ) ( F F T ) e s u n a l g o r i t m o e c i e n t e O ( N l o g N )
p a r a c a l c u l a r l a D F T
• o r i g n a l m e n t e d e s c u b i e r t a p o r G a u s s a p r i m c i p i o s d e 1 8 0 0
• r e d e s c u b i e r t a p o r C o o l e y y T u k e y e n I B M d u r a n t e 1 9 6 0
• C . S . B u r r u s , d e l a U n i v e r s i d a d d e R i c e U n i v e r s i t y s i e n d o j e f e d e l d e p a r t a m e n t o d e I n g e n i e r i a , l i t e r a l -
m e n t e " e s c r i b i o e l l i b r o " d e l o s a l g o r i t m o s d e l a r á p i d a T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r D F T .
L a F F T
5
e x p l o t a l a s s i m e t r i a s e n l a m a t r i z W p a r a a p r o x i m a r s e " d i v i d e y c o n q u i s t a r a s " . N o h a b l a r e m o s
d e l a c t u a l a l g o r i t m o d e l a F F T a q u i , v e a m o s e s t a s n o t a s
6
s i u s t e d e s t a i n t e r e s a d o e n l e e r m a s a c e r c a d e l a
i d e a d e t r a s d e l a F F T .
9 . 2 . 2 C o m p a r a c i ó n D e l a V e l o c i d a d
¾ E n c u á n t o e s m e j o r O ( N l o g N ) q u e O (
N 2) ?
F i g u r e 9 . 1 : E s t a g u r a m u e s t r a q u e t a n l e n t o c r e c e e l t i e m p o d e s o l u c i ó n d e u n p r o c e s o d e O ( N l o g N ) .
4
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 4 2 / 1 . 1 / > .
5
" F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m ( F F T ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 5 0 / l a t e s t / >
6
" F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m ( F F T ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 5 0 / l a t e s t / >
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1 8 9
N 10 100 1000 106 109
N 2 1 0 0 104 106 1012 1018
NlogN 1 200 3000 6 × 106 9 × 109
D i g a m o s q u e t i e n e u n a m a q u i n a d e 1 M F L O P ( u n m i l l i ó n d e " p u n t o s o t a n t e s " d e o p e r a c i o n e s p o r
s e g u n d o ) . S e a
N = 1millin = 106 .
U n a l g o r i t m o d e O (
N 2) t o m a 1012 p r o c e s o s → 106 s e g u n d o s 1 1 . 5 d í a s .
U n a l g o r i t m o d e O ( NlogN ) t o m a 6 × 106 p r o c e s o s → 6 s e g u n d o s .
n o t a :
N = 1milline s r a z o n a b l e .
E x a m p l e 9 . 1
U n a c a m a r a d i g i t a l d e 3 m e g a p i x e l e s a r r o j a 3 × 106 n ú m e r o s p o r c a d a f o t o . A s í q u e p a r a d o s
N s e c u e n c i a s d e p u n t o f [n] y h [n]. S i r e s o l v e m o s d i r e c t a m e n t e (f [n] h [n]) : O ( N 2 ) o p e r a c i o n e s .
T o m a n d o l a F F T s O ( N l o g N )
m u l t i p l i c a n d o l a F F T s O ( N )
l a i n v e r s a d e F F T s O ( N l o g N ) .
e l t o t a l d e c o m p l e j i d a d e s O ( N l o g N ) .
n o t a : F F T + c o m p u t a c i ó n d i d i g i t a l f u e c o m p l e t a m e n t e r e s p o n s a b l e d e l a " e x p l o s i ó n " d e l P r o c e -
s a m i e n t o D i g i t a l d e S e ñ a l e s D S P e n l o s a ñ o s 6 0 ' s .
n o t a : L a U n i v e r s i d a d d e R i c e f u e ( y s i g u e s i e n d o ) u n o d e l o s l u g a r e s d e h a c e r i n v e s t i g a c i ó n e n
D S P .
9 . 3 D e r i v a n d o l a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r
7
P a r a d e r i v a r l a F F T , a s u m i m o s q u e l a d u r a c i ó n d e l a s e ñ a l e s u n a p o t e n c i a d e d o s : N = 2l. C o n s i d e r e q u e
p a s a a l o s e l e m e n t o s p a r e s n u m e r a d o s y a l o s e l e m e n o t s i m p a r e s n u m e r a d o s d e l a s o l u c i ó n d e l a s e c u e n c i a e n
l a D F T .
S (k) = s (0) + s (2) e(− j)2π2kN + · · · + s (N − 2) e(− j)
2π(N −2)kN +
s (1) e(− j)2πkN + s (3) e(− j)
2π(2+1)kN + · · · + s (N − 1) e(− j)
2π(N −2+1)kN =
s (0) + s (2) e(− j) 2πkN
2 + · · · + s (N − 2) e(− j)
2π(N 2 −1)kN 2 +
s (1) + s (3) e
(
− j) 2πkN
2 + · · · + s (N − 1) e
(
− j)
2π(N 2 −1)kN
2
e
−(j2πk)
N
( 9 . 1 )
C a d a t é r m i n o e n p a r é n t e s i s a l c u a d r a d o t i e n e l a f o r m a d e u n a l o n g i t u d
N 2 d e D F T . L a p r i m e r a e s u n a
D F T d e l o s e l e m e n t o s p a r e s n u e m r a d o s , y l a s e g u n d a e s d e l o s e l e m e n t o s i m p a r e s n u m e r a d o s . L a p r i m e r
D F T e s c o m b i n a d a c o n l a s e g u n d a m u l t i p l i c a d n o p o r e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o
e−(j2πk)
N. L a m e d i a - l o n g i t u d
d e l a t r a n s f o r m a d a e s c a d a e v a l u a c i ó n d e l o s í n d i c e s d e f r e c u e n c i a
k ∈ 0, . . . , N − 1 . N o r m a l m e n t e e l
n ú m e r o d e i n d i c e s d e f r e c u e n c i a d e l r a n g o d e u n a c a l c u l a c i ó n d e l a D F T e s t a e n t r e c e r o y l a l o n g i t u d d e
7
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 4 1 / 1 . 1 / > .
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1 9 0
C H A P T E R 9 . T R A N S F O R M A D A R Á P I D A D E F O U R I E R ( F F T )
l a t r a n s f o r m a c i ó n m e n o s u n o . L a v e n t a j a c o m p u t a c i o n a l d e l a F F T v i e n e d e r e c o n o c e r l a n a t u l a r e z a
d e l p e r i ó d o d e l a t r a n s f o r m a d a d i s c r e t a d e F o u r i e r . L a F F T s i m p l e m e n t e r e u s a l a s s o l u c i o n e s h e c h a s e n l a
m e d i a - l o n g i t u d d e l a t r a n s f o r m a d a y l a s c o m b i n a a t r a v é s d e s u m a s y m u l t i p l i c a c i o n e s p o r e−(j2πk)
N, q u e
n o e s p e r i ó d i c a s o b r e
N
2, p a r a r e s c r i b i r l a l o n g i t u d - N D F T . L a F i g u r e 9 . 2 ( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e
l o n g i t u d - 8 ) i l u s t r a l a d e s c o m p o s i c i ó n . C o m o s e m a n t i e n e , a h o r a r e s o l v e m o s d o s t r a n s f o r m a d a s d e l o n g i t u d e s -
N 2
( c o m p l e j i d a d 2O
N 2
4
) , m u l t i p l i c a r u n a d e e l l a s p o r e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o ( c o m p l e j i d a d O (N ) ) , y
s u m a r l o s r e s u l t a d o s ( c o m p l e j i d a d
O (N ) ) . E n e s t e p u n t o , e l t o t a l d e c o m p l e j i d a d s i g u e d o m i n a d o p o r l a
m i t a d - l o n g i t u d d e l a c a l c u l a c i ó n d e D F T , p e r o e l c o e c e n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d h a s i d o r e d u c i d o .
A h o r a p a r a l a d i v e r s i ó n . P o r q u e N = 2l, c a d a u n a d e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s d e m e d i a - l o n g i t u d p u e d e s e r
r e d u c i d a a u n a d e d o s c u a r t o s - l o n g i t u d , c a d a u n a d e e s t a s e n d o s o c t a v o s - l o n g i t u d , e t c . E s t a d e s c o m p o s i c i ó n
c o n t i n u a h a s t a q u e n o s q u e d a m o s c o n u n a t r a n s f o r m a d a d e l o n g i t u d - 2 . E s t a t r a n s f o r m a d a e s a b s o l u t a m e n t e
s i m p l e , i n v o l u c r a n d o s o l o s u m a s . D o n d e l a p r i m e r e t a p a d e l a F F T t i e n e
N 2 t r a n s f o r m a d a s d e l o n g i t u d - 2
( v e a s e l a p a r t e d e a b a j o d e l a F i g u r e 9 . 2 ( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e l o n g i t u d - 8 ) ) . P a r e s d e e s t a s
t r a n s f o r m a d a s s o n c o m b i n a d o s s u a m a n d o u n o a o t r o m u l t i p l i c a d o p o r e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o . C a d a p a r
r e q u i e r e 4 s u m a s y 4 m u l t i p l i c a c i o n e s , d a n d o u n n ú m e r o t o t a l d e c o m p u t a c i o n e s i g u a l a 8N 4 = N
2. E s t e
n ú m e r o d e c o m p u t a c i o n e s n o c a m b i a d e e t a p a a e t a p a . Y a q u e e l n ú m e r o d e e t a p a s , e l n ú m e r o d e v e c e s q u e
l a l o n g i t u d p u e d e s e r d i v i d i d a p o r d o s , i g u a l a log2N , l a c o m p l e j i d a d d e l a F F T e s O (NlogN ) .
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1 9 1
D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e l o n g i t u d - 8
( a )
( b )
F i g u r e 9 . 2 : L a d e s c o m p o s i c i ó n i n i c i a l d e u n a l o n g i t u d - 8 D F T e n t é r m i n o s u s a n d o í n d i c e s p a r e s e i m -
p a r e s e n t r a d a s m a r c a l a p r i m e r a f a s e d e c o n v e r t i r s e e n e l a l g o r i t m o d e l a F F T . C u a n d o e s t a t r a n s f o r m a d a
d e m e d i a - l o n g i t u d e s t a c o m p l e t a m e n t e d e s c o m p u e s t a , n o s q u e d a m o s c o n e l d i a g r a m a d e l p a n e l i n f e r i o r
q u e r e p r e s e n t a l a s o l u c i ó n d e l a F F T d e l o n g i t u d - 8 .
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1 9 2
C H A P T E R 9 . T R A N S F O R M A D A R Á P I D A D E F O U R I E R ( F F T )
H a c i e n d o u n e j e m p l o h a r e m o s a h o r r o s d e p r o c e s o s m á s o b v i o s . V e a m o s l o s d e t a l l e s d e l a D F T d e l o n g i t u d -
8 . C o m o s e m u e s t r a e n l a F i g u r e 9 . 2 ( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e l o n g i t u d - 8 ) , p r i m e r o d e s c o m p o n e m o s
l a D F T e n d o s D F T d e l o n g i t u d - 4 , c o n l a s s a l i d a s s u m a d a s y r e s t a d a s e n p a r e s . C o n s i d e r a n d o l a F i g u r e 9 . 2
( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e l o n g i t u d - 8 ) c o m o e l í n d i c e d e f r e c u e n c i a q u e v a d e 0 h a s t a 7 , r e c i c l a m o s v a l o r e s
d e l a D F T d e l o n g i t u d - 4 p a r a l o s c a l c u l o s n a l e s p o r l a p e r i ó d i c i d a d d e l a s a l i d a d e l a D F T . E x a m i n a n d o
c o m o l o s p a r e s d e s a l i d a s s e r e c o j e n j u n t a s , c r e a m o s l o s a l e m e n t o s c o m p u t a c i o n a l e s b á s i c o s c o n o c i d o s c o m o
u n a m a r i p o s a ( F i g u r e 9 . 3 ( M a r i p o s a ) ) .
M a r i p o s a
F i g u r e 9 . 3 : L o s e l e m e n t o s c o m p u t a c i o n a l e s b á s i c o s d e l a t r a n s f o r m a d a r á p i d a d e F o u r i e r e s l a m a r i p o s a .
T o m a d o s n ú m e r o s c o m p l e j o s , r e p r e s e n t a d o s p o r
a
y
b
, y f o r m a l a s c a n t i d a d e s m o s t r a d a s . C a d a m a r i p o s a
r e q u i e r e u n a m u l t i p l i c a c i ó n c o m p l e j a y d o s s u m a s c o m p l e j a s .
C o n s i d e r a n d o l o s p r o c e s o s i n v o l u c r a n d o l a s a l i d a d e f r e c u e n c i a s c o m u n e s d e l a D F T d e d o s m e d i a - l o n g i t u d ,
v e m o s q u e l a s d o s m u l t i p l i c a c i o n e s c o m p l e j a s s o n r e l a c i o n a d a s u n a s c o n o t r a s , y p o d e m o s r e d u c i r n u e s t r o
p r o c e s o e n u n f u t u r o . P a r a d e s c o m p o s i c i o n e s p o s t e r i o r e s l a s D F T d e l o n g i t u d - 4 e n l a s D F T d e l o n g i t u d -
2 y c o m b i n a n d o s u s s a l i d a s , l l e g a m o s a l r e s u m e n d e l d i a g r a m a d e l a t r a n s f o r m a d a r á p i d a d e F o u r i e r d e
l o n g i t u d - 8 ( F i g u r e 9 . 2 ( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e l o n g i t u d - 8 ) ) . A u n q u e l a m u l t i p l i c a c i ó n d e l o s c o m p l e j o s
e s a b s o l u t a m e n t e s i m p l e ( m u l t i p l i c a n d o p o r e−(jπ) s i g n i c a p a r t e s n e g a t i v a s r e a l e s y p a r t e s i m a g i n a r i a s ) ,
c o n t e m o s é s o s p a r a l o s p r o p ó s i t o s d e e v a l u a r l a c o m p l e j i d a d c o m o e l c o m p l e j o s e m u l t i p l i c a p o r c o m p l e t o .
T e n e m o s
N 2 = 4 m u l t i p l i c a c i o n e s c o m p l e j a s y 2N = 16 s u m a s p a r a c a d a e t a p a y log2N = 3 e t a p a s , h a c i e n d o
e l n ú m e r o d e p r o c e s o s b á s i c o s
3N 2 log2N c o m o s e p r e d i j o .
E x e r c i s e 9 . 2
( S o l u t i o n o n p . 1 9 3 . )
N o t e s e q u e e l o r d e n d e l a s e c u e n c i a d e e n t r a d a e n d o s p a r t e s d e F i g u r e 9 . 2 ( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a
D F T d e l o n g i t u d - 8 ) n o e s t a n a b s o l u t a m e n t e i g u a l e s . ¾ p o r q u e n o ? , ¾ c ó m o e s t a d e t e r m i n a d o e s t e
o r d e n ?
O t r o s l a g o r i t m o s " r á p i d o s " h a n s i d o d e s c u b i e r t o s , t o d o s d e l o s c u a l e s h a c e n u s o d e c u a n t o s f a c t o r e s t i e n e
l a t r a n s f o r m a d a d e l o n g i t u d N . E n t e o r i a d e n ú m e r o s , e l n ú m e r o d e f a c t o r e s p r i m o s d e u n e n t e r o d a d o
t i e n e m e d i d a s c o m o c o m p u e s t o e s e l . E l n ú m e r o 1 6 y 8 1 s o n a l t a m e n t e c o m p u e s t o s ( i g u a l e s a 24 y 34
r e s p e c t i v a m e n t e ) , e l n ú m e r o 1 8 e s m e n o r a s i q u e ( 2132 ) , y e l 1 7 n o d e l t o d o ( e s p r i m o ) . a t r a v é s d e
t r e i n t a a ñ o s d e d e s a r r o l l o d e l a l g o r i t m o d e l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r , e l a l g o r i t m o o r i g i n a l d e C o o l e y -
T u k e y e s t a a l e j a d o d e l o s u s a d o s c o n m a s f r e c u a n c i a . E s t a n e c i e n t e c o m p u t a c i o n a l m e n t e h a b l a n d o c o m o
l a t r a n s f o r m a d a d e l o n g i t u d d e p o t e n c i a d e d o s e s f r e c u e n t e m e n t e u s a d a s i n i m p o r t a r l a l o n g i t u d a c t u a l d e
l o s d a t o s .
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1 9 3
S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 9
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 9 . 1 ( p . 1 8 7 )
C u a n d o l a s e ñ a l e s d e v a l o r r e a l , s o l o n e c e s i t a m o s l a m i t a d d e l v a l o r d e l e s p e c t r o , p e r o l a c o m p l e j i d a d
p e r m a n e c e s i n c a m b i o s . S i l o s d a t o s s o n d e v a l o r e s c o m p l e j o s , l o c u a l r e q u i e r e d e l a r e t e n c i ó n d e t o d o s l o s
d a t o s , l a c o m p l e j i d a d e s n u e v a m e n t e l a m i s m a . C u a n d o s e r e q u i e r e n s o l a m e n t e
K f r e c u e n c i a s , l a c o m p l e j i d a d
e s
O (KN ).
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 9 . 2 ( p . 1 9 2 )
E l p a n e l d e a r r i b a n o u s a e l a l g o r i t m o d e F F T p a r a p r o c e s a r l a D F T d e l o n g i t u d - 4 m i e n t r a s q u e e l a b a j o
s i . E l o r d e n e s d e t e r m i n a d o p o r e l a l g o r i t m o .
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C H A P T E R 9 . T R A N S F O R M A D A R Á P I D A D E F O U R I E R ( F F T )
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C h a p t e r 1 0
C o n v e r g e n c i a
1 0 . 1 C o n v e r g e n c i a d e S e c u e n c i a s
1
1 0 . 1 . 1 ¾ Q u é e s u n a S e c u e n c i a ?
D e n i t i o n 1 2 : s e c u e n c i a
U n a s e c u e n c i a e s u n a f u n c i ó n gn d e n i d a e n l o s e n t e r o s p o s i t i v o s ' n' . T a m b i é n d e n o t a m o s u n a
s e c u e n c i a p o r : gn |∞n=1E x a m p l e
U n a s e c u e n c i a d e n ú m e r o s r e a l e s :
gn =1
n
E x a m p l e
U n a s e c u e n c i a v e c t o r :
gn = sin nπ2
cosnπ2
E x a m p l e
U n a s e c u e n c i a d e u n a f u n c i ó n :
gn (t) =
1 i f 0 ≤ t < 1
n
0 o t h e r w i s e
n o t a : U n a f u n c i ó n p u e d e s e r p e n s a d a c o m o u n v e c t o r d e d i m e n s i ó n i n n i t o d o n d e p o r c a d a v a l o r
d e ' t ' t e n e m o s u n a d i m e n s i ó n .
1 0 . 1 . 2 C o n v e r g e n c i a d e S e c u e n c i a s R e a l e s
D e n i t i o n 1 3 : l í m i t e
U n a s e c u e n c i a gn |∞n=1 c o n v e r g e a u n l í m i t e g ∈ R s i p a r a t o d o > 0 e x i s t e u n e n t e r o N t a l q u e
|gi − g| < , i ≥ N
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 4 3 / 1 . 2 / > .
1 9 5
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1 9 6
C H A P T E R 1 0 . C O N V E R G E N C I A
U s u a l m e n t e d e n o t a m o s u n l í m i t e e s c r i b i e n d o
limi→∞
gi = g
ó
gi → g
L a d e n i c i ó n a n t e r i o r s i g n i c a q u e n o i m p o r t a q u e t a n p e q u e ñ o h a g a m o s , e x c e p t o p a r a u n n ú m e r o n i t o
d e gi ' s , t o d o s l o s p u n t o s d e l a s e c u e n c i a e s t a n d e n t r o d e u n a d i s t a n c i a d e g .
E x a m p l e 1 0 . 1
D a d a l a s s i g u i e n t e s e c u e n c i a d e c o n v e r g e n c i a :
gn =1
n( 1 0 . 1 )
I n t u i t i v a m e n t e p o d e m o s a s u m i r e l s i g u i e n t e l í m i t e :
limn→∞gn = 0
. A h o r a p r o v e m o s e s t o r i g u r o s a m e n t e , d i g a m o s q u e d a d o e l n ú m e r o r e a l > 0. E s c o j a m o s N = 1 ,
d o n d e x d e n o t a e l m e n o r e n t e r o m a y o r q u e x. E n t o n c e s p a r a n ≥ N t e n e m o s
|gn − 0| =1
n≤ 1
N <
D o n d e ,
limn→∞gn = 0
E x a m p l e 1 0 . 2
A h o r a v e a m o s l a s i g u i e n t e s e c u e n c i a n o - c o n v e r g e n t e
gn = 1 i f n = par
−1 i f n = impar
E s t a s e c u e n c i a o s c i l a e n t r e 1 y - 1 , a s i q u e n u n c a c o n v e r g e .
1 0 . 1 . 2 . 1 P r o b l e m a s
P a r a p r a c t i c a r , d i g a c u a l e s d e l a s s i g u i e n t e s s e c u e n c i a s c o n v e r g e n y d e e l l i m i t e s i e s t e e x i s t e .
1 . gn = n
2 . gn =
1n
i f n = par
−1
ni f
n = impar
3 . gn =
1n
i f
n = potenciade10
1 o t h e r w i s e
4 .
gn =
n i f n < 105
1n
i f
n ≥ 105
5 . gn = sinπn
6 . gn = jn
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1 9 7
1 0 . 2 C o n v e r g e n c i a d e V e c t o r e s
2
1 0 . 2 . 1 C o n v e r g e n c i a d e V e c t o r e s
D i s c u t i r e m o s l a c o n v e r g e n c i a p u n t u a l y d e l a n o r m a d e v e c t o r e s . T a m b i é n e x i s t e n o t r o s t i p o s d e c o n v e r g e n c i a
y u n o e n p a r t i c u l a r , l a c o n v e r g e n c i a u n i f o r m e
3
, t a m b i é n p u e d e s e r e s t u d i a d a . P a r a e s t a d i s c u s i ó n , a s u m i r e m o s
q u e l o s v e c t o r e s p e r t e n e c e n a u n e s p a c i o d e v e c t o r n o r m a d o ( S e c t i o n 7 . 2 ) .
1 0 . 2 . 1 . 1 C O n v e r g e n c i a P u n t u a l
U n a s e c u e n c i a ( S e c t i o n 1 0 . 1 ) gn |∞n=1 c o n v e r g e p u n t u a l m e n t e a l l í m i t e g s i c a d a e l e m e n t o d e gn c o n v e r g e
a l e l e m e n t o c o r r e s p o n d i e n t e e n g . A c o n t i n u a c i ó n h a y u n o s e j e m p l o s p a r a t r a t a r d e i l u s t r a r e s t a i d e a .
E x a m p l e 1 0 . 3
gn =
gn [1]
gn [2]
=
1 + 1
n
2 − 1n
P r i m e r o e n c o n t r a m o s l o s s i g u i e n t e l i m i t e s p a r a n u e s t r a s d o s gn ' s :
limn→∞ (gn [1]) = 1
limn→∞ (gn [2]) = 2
D e s p u é s t e n e m o s e l s i g u i e n t e ,
limn→∞gn = g
p u n t u a l , d o n d e g =
1
2
.
E x a m p l e 1 0 . 4
gn (t) =t
n, t ∈ R
C o m o s e h i z o a n t e r i o r m e n t e , p r i m e r o e x a m i n a m o s e l l í m i t e
limn→∞
gn (t0) = limn→∞
t0n
= 0
d o n d e t0 ∈ R. P o r l o t a n t o limn→∞gn = g p u n t u a l m e n t e d o n d e g (t) = 0 p a r a t o d a t ∈ R.
1 0 . 2 . 1 . 2 N o r m a d e C o n v e r g e n c i a
L a s e c u e n c i a ( S e c t i o n 1 0 . 1 )
gn
|∞n=1 c o n v e r g e a
ge n l a n o r m a s i
limn→∞
gn
−g
= 0 . A q u i
· e s l a n o r m a
( S e c t i o n 7 . 2 ) d e l e s p a c i o v e c t o r i a l c o r r e s p o n d i e n t e d e gn ' s . I n t u i t i v a m e n t e e s t o s i g n i c a q u e l a d i s t a n c i a
e n t r e l o s v e c t o r e s gn y g d e c r e s e a 0 .
E x a m p l e 1 0 . 5
gn =
1 + 1
n
2 − 1n
2
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 4 4 / 1 . 2 / > .
3
" U n i f o r m C o n v e r g e n c e o f F u n c t i o n S e q u e n c e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 8 9 5 / l a t e s t / >
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1 9 8
C H A P T E R 1 0 . C O N V E R G E N C I A
S e a
g =
1
2
gn − g =
1 +1
n − 12
+ (−1)
2
=
1n2
+ 1n2
=√2
n
( 1 0 . 2 )
A s i
limn→∞ gn − g = 0 , P o r l o t a n t o ,
gn → ge n l a n o r m a .
E x a m p l e 1 0 . 6
gn (t) =
tn
i f 0 ≤ t ≤ 1
0 o t h e r w i s e
S e a g (t) = 0 p a r a t o d o t.
gn (t) − g (t) = 10
t2
n2 dt= t3
3n2|1n=0
= 13n2
( 1 0 . 3 )
A s i limn→∞ gn (t) − g (t) = 0 P o r l o t a n t o , gn (t) → g (t) e n l a n o r m a .
1 0 . 2 . 2 P u n t u a l v s . N o r m a d e C o n v e r g e n c i a
T h e o r e m 1 0 . 1 :
P a r a Rm
, l a c o n v e r g e n c i a p u n t u a l y l a n o r m a d e c o n v e r g e n c i a e s e q u i v a l e n t e .
P r o o f : P u n t u a l ⇒ N o r m a
gn [i]→
g [i]
A s u m i e n d o l o a n t e r i o r , e n t o n c e s
( gn − g )2
=
mi=1
(gn [i] − g [i])
2
A s í ,
limn→∞( gn − g )
2= lim
n→∞m
i=1 2
=m
i=1
limn→∞2
= 0
( 1 0 . 4 )
P r o o f : N o r m a
⇒P u n t u a l
gn − g → 0
limn→∞
mi=1 2 =
mi=1
limn→∞2
= 0
( 1 0 . 5 )
Y a q u e c a d a t é r m i n o e s m a y o r o i g u a l a c e r o , t o d o s l o s t é r m i n o s ' m' d e b e n s e r c e r o . A s í ,
limn→∞2 = 0
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1 9 9
p a r a t o d o i. P o r l o t a n t o ,
gn → gp u n t u a l
n o t a : E n u n e s p a c i o d e d i m e n s i ó n n i t a e l t e o r e m a a n t e r i o r y a n o e s c i e r t o . P r o b a r e m o s e s t o c o n
c o n t r a e j e m p l o s m o s t r a d o s a c o n t i n u a c i ó n .
1 0 . 2 . 2 . 1 C o n t r a E j e m p l o s
E x a m p l e 1 0 . 7 : P u n t u a l ⇒ N o r m a
D a d a l a s i g u i e n t e f u n c i ó n :
gn (t) =
n i f 0 < t < 1
n
0 o t h e r w i s e
E n t o n c e s
limn→∞
gn (t) = 0 E s t o s i g n i c a q u e ,
gn (t) → g (t)
d o n d e p a r a t o d o t g (t) = 0 .
A h o r a ,
( gn )2
= ∞−∞ (|gn (t) |)2dt
= 1n
0n2dt
= n → ∞( 1 0 . 6 )
Y a q u e l a n o r m a d e l a f u n c i ó n s e e l e v a , n o p u e d e c o n v e r g e r a c u a l q u i e r f u n c i ó n c o n n o r m a n i t a .
E x a m p l e 1 0 . 8 : N o r m a ⇒ P u n t u a l
D a d a l a s i g u i e n t e f u n c i ó n :
gn (t) =
1 i f 0 < t < 1
n
0 o t h e r w i s e
s i n e s p a r
gn (t) =
−1 i f 0 < t < 1
n
0 o t h e r w i s e
s i n e s i m p a r
E n t o n c e s ,
gn − g =
1n
0
1dt =1
n→ 0
d o n d e
g (t) = 0 p a r a t o d o
t. E n t o n c e s ,
gn → g e n l a n o r m a
S i n e m b a r g o , e n
t = 0 ,
gn (t) o s c i l a e n t r e - 1 y 1 , Y p o r l o t a n t o e s n o c o n v e r g e n t e . A s í ,
gn (t) n o
t i e n e c o n v e r g e n c i a p u n t u a l .
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2 0 0
C H A P T E R 1 0 . C O N V E R G E N C I A
1 0 . 2 . 2 . 2 P r o b l e m a s
P r u e b e s i l a s s i g u i e n t e s s e c u e n c i a s t i e n e n c o n v e r g e n c i a p u n t u a l , n o r m a d e c o n v e r g e n c i a , o a m b a s s e m a n t i e n e n
e n s u s l i m i t e s .
1 . gn (t) =
1nt
i f 0 < t
0 i f t ≤ 0
2 . gn (t) =
e−(nt)
i f
t ≥ 0
0 i f t < 0
1 0 . 3 C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e d e S e c u e n c i a s d e F u n c i o n e s .
4
1 0 . 3 . 1 C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e d e S e c u e n c i a s d e F u n c i o n e s
p a r a e s t a d i s c u s i ó n , s o l o c o n s i d e r a r e m o s l a s f u n c i o n e s c o n gn d o n d e
R → R
D e n i t i o n 1 4 : C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e
L a s e c u e n c i a ( S e c t i o n 1 0 . 1 ) gn |∞n=1 c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a l a f u n c i ó
gs i p a r a c a d a
> 0e x i s t e u n e n t e r o
N t a l q u e
n ≥ N i m p l i c a q u e
|gn (t) − g (t) | ≤ ( 1 0 . 7 )
p a r a t o d o t ∈ R.
O b v i a m e n t e t o d a s e c u e n c i a u n i f o r m e m e n t e c o n t i n u a e s d e c o n v e r g e n c i a p u n t u a l ( S e c t i o n 1 0 . 2 ) . L a
d i f e r e n c i a e n t r e c o n v e r g e n c i a p u n t u a l y u n i f o r m e m e n t e c o n t i n u a e s e s t a : S i gn c o n v e r g e p u n t u a l m e n t e a g ,
e n t o n c e s p a r a t o d o > 0 y p a r a t o d a t ∈ R h a y u n e n t e r o N q u e d e p e n d e d e y t t a l q u e ( 1 0 . 7 ) s e m a n t i e n e
s i n ≥ N . S i gn c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a g , e s p o s i b l e q u e p a r a c a d a > 0 e n o c n t r a r u n e n t e r o N q u e
s e r á p a r t o d o
t ∈R.
E x a m p l e 1 0 . 9
gn (t) =1
n, t ∈ R
S e a > 0 d a d o . E n t o n c e s e s c o j a N = 1. O b v i a m e n t e ,
|gn (t) − 0| ≤ , n ≥ N
p a r a t o d a t. A s í , gn (t) c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a 0 .
E x a m p l e 1 0 . 1 0
gn (t) =t
n, t ∈ R
O b v i a m e n t e p a r a c u a l q u i e r > 0 n o p o d e m o s e n c o n t r a r u n a f u n c i ó n s e n c i l l a gn (t) p a r a l a c u a l l a
( 1 0 . 7 ) s e m a n t i e n e c o n g (t) = 0 p a r a t o d o t . A s í gn n o e s c o n v e r g e n t e u n i f o r m e m e n t e . S i n e m b a r g o
t e n e m o s :
gn (t) → g (t) p u n t u a l
c o n c l u s i ó n : L a c o n v e r g e n c i a u n i f o r m e s i e m p r e i m p l i c a c o n v e r g e n c i a p u n t u a l , p e r o l a c p n v e r g e n -
c i a p u n t u a l n o n e c e s a r i a m e n t e g a r a n t i z a l a c o n v e r g e n c i a u n i f o r m e .
4
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 4 5 / 1 . 1 / > .
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2 0 1
1 0 . 3 . 1 . 1 P r o b l e m s
P r u e b e r i g u r o s a m e n t e s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s c o n v e r g e n p u n t u a l m e n t e o u n i f o r m e m e n t e , o a m b a s .
1 .
gn (t) =
sin(t)
n2 . gn (t) = e
tn
3 . gn (t) =
1nt
i f t > 0
0 i f t ≤ 0
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C H A P T E R 1 0 . C O N V E R G E N C I A
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2 0 4
C H A P T E R 1 1 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D I S C R E T A E N E L
T I E M P O ( D T F T )
C h a p t e r 1 1
T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l
T i e m p o ( D T F T )
1 1 . 1 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r C o m u n e s
1
T i m e D o m a i n S i g n a l F r e q u e n c y D o m a i n S i g n a l C o n d i t i o n
e−(at)u (t) 1a+jω
a > 0
eatu (−t) 1a−jω
a > 0
e−(a|t|) 2aa2+ω2
a > 0
te−(at)u (t) 1(a+jω)2
a > 0
tne−(at)u (t) n!(a+jω)n+1
a > 0
δ (t) 11 2πδ (ω)
ejω0t 2πδ (ω − ω0)
cos (ω0t) π (δ (ω − ω0) + δ (ω + ω0))
sin (ω0t) jπ (δ (ω + ω0) − δ (ω − ω0))
u (t) πδ (ω) + 1jω
sgn (t) 2jω
cos (ω0t) u (t) π2 (δ (ω − ω0) + δ (ω + ω0)) +
jωω02−ω2
sin (ω0t) u (t) π
2j
(δ (ω−
ω0)−
δ (ω + ω0)) +ω0
ω02−ω2
e−(at)sin (ω0t) u (t) ω0(a+jω)2+ω02
a > 0
e−(at)cos (ω0t) u (t) a+jω
(a+jω)2+ω02a > 0
u (t + τ ) − u (t − τ ) 2τ sin(ωτ )ωτ
= 2τsinc (ωt)
ω0π
sin(ω0t)ω0t
= ω0π
sinc (ω0) u (ω + ω0) − u (ω − ω0)tτ
+ 1
utτ
+ 1− u
tτ
+− t
τ
+ 1
utτ
− utτ
− 1
=
triag
t2τ
τsinc2
ωτ 2
ω02π
sinc2
ω0t2
ωω0
+ 1
u
ωω0
+ 1
− u
ωω0
+
− ωω0
+ 1
u ω
ω0− u
ωω0 − 1
=
triag
ω2ω0
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2 0 5
1 1 . 2 T r a n s f o r m a c i ó n D i s c r e t a d e F o u r i e r
2
1 1 . 2 . 1 N - p u i n t o P u n t o T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r ( D F T )
X [k] =N −1n=0
x [n] e(−j) 2π
nkn
, k = 0, . . . , N − 1 ( 1 1 . 1 )
x [n] =1
N
N −1k=0
X [k] ej
2πn
kn
, n = 0, . . . , N − 1 ( 1 1 . 2 )
N o t e q u e :
• X [k] e s l a D T F T e v a l u a d o e n
ω = 2πN
k , k = 0, . . . , N − 1• C o m p l e t a r c o n c e r o s x [n] a M m u e s t r a s a n t e s d e s a c a r e l D F T , d a c o m o r e s u l t a d o u n a v e r s i ó n
m u e s t r e a d a d e M - p u n t o s u n i f o r m e s d e l D T F T :
X
ej2πM
k
=N −1n=0
x [n] e(−j) 2π
Mk
( 1 1 . 3 )
X
ej2πM
k
=N −1n=0
xzp [n] e(−j) 2π
Mk
X
ej2πM
k
= X zp [k] , k = 0, . . . , M − 1• L a N - p t D F T e s s u c i e n t e p a r a r e c o n s t r u i r t o d a l a D T F T d e u n a s e c u e n c i a d e N - p t :
X ejω =
N −1
n=0 x [n] e(−j)ωn
( 1 1 . 4 )
X
ejω
=
N −1n=0
1
N
N −1k=0
X [k] ej
2πN
kne(−j)ωn
X
ejω
=
N −1k=0
(X [k])
1
N
N −1k=0
e(−j)(ω− 2π
Nk)n
X
ejω
=
N −1k=0
(X [k])
1
N
sinωN −2πk
2
sinωN −2πk
2N
e(−j)(ω− 2πN
k)N−12
2
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 3 / 1 . 1 / > .
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2 0 6
C H A P T E R 1 1 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D I S C R E T A E N E L
T I E M P O ( D T F T )
1
0 2pi/N 4pi/N 2pi
D.
F i g u r e 1 1 . 1 : S i n c d i r i c h l e t ,
1N
sin(ωN2 )sin(ω2 )
• D F T t i e n e u n a r e p r e s e n t a c i ó n e n f o r m a d e m a t r i z m u y c o n v e n i e n t e . D e n i e n d o W N = e(−j) 2πN
,
X [0]
X [1].
.
.
X [N − 1]
=
W 0N W 0N W 0N W 0N . . .
W 0N W 1N W 2N W 3N . . .
W 0N W 2N W 4N W 6N . . ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x [0]
x [1].
.
.
x [N − 1]
( 1 1 . 5 )
d o n d e
X = W (x) r e s p e c t i v a m e n t e .
W t i e n e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :
·W e s V a n d e r m o n d e : L a nt h c o l u m n a d e W e s u n p o l i n o m i o e n W n
N · W e s s i m e t r i c o : W = W T
· 1√N
W e s u n i t a r i a :
1√N
W
1√N
W H
=
1√N
W H
1√N
W
= I
· 1N
W ∗ = W −1 , e s l a m a t r i z y D F T .
• • P a r a N u n p o d e r d e 2 , l a F F T s e p u e d e u s a r p a r a c a l c u l a r l a D F T u s a n d o
N 2 log2N e n v e z d e N 2
o p e r a c i o n e s .
N N 2 log2N N 2
1 6 3 2 2 5 6
6 4 1 9 2 4 0 9 6
2 5 6 1 0 2 4 6 5 5 3 6
1 0 2 4 5 1 2 0 1 0 4 8 5 7 6
1 1 . 3 T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r ( D F T )
3
L a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l t i e m p o ( y t a m b i é n l a t r a n s f o r m a d a c o n t i n u a ) p u e d e n s e r e v a l u a d a s
c u a n d o t e n e m o s u n a e x p r e s i ó n a n a l í t i c a p a r a l a s e ñ a l . S u p o n g a q u e t e n g a m o s u n a s e ñ a l , c o m o e s l a s e ñ a l
3
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 4 / 1 . 1 / > .
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2 0 7
d e l h a b l a u s a d a e n e l c a p i t u l o a n t e r i o r , p a r a e l l a n o e x i s t e u n a f o r m u l a . E n t o n c e s ¾ c ó m o p o d r í a u s t e d
c a l c u l a r s u e s p e c t r o ? P o r e j e m p l o , ¾ c ó m o c a l c u l a m o s e l e s p e c t r o g r a m a p a r a e l e j e m p l o d e l a s e ñ a l d e h a b l a
4
? L a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d i s c r e t a ( D F T ) n o s p e r m i t e c a l c u l a e l e s p e c t r o d e i n f o r m a c i ó n d i s c r e t a e n
e l t i e m p o . E s t a n d o e n t i e m p o d i s c r e t o p o d e m o s c a l c u l a r e x a c t a m e n t e e l e s p e c t r o , p a r a s e ñ a l e s a n á l o g a s
n o e x i s t e m a n e r a s i m i l a r p a r a c a l c u l a r s u e s p e c t r o s i m i l a r . P a r a e l e s p e c t r o d e s e ñ a l e s a n á l o g a s s e t i e n e n
q u e c o n s t r u i r e q u i p o e s p e c i a l , q u e c o n s i s t e e n c a s i t o d o s l o s c a s o s d e c o n v e r t i d o r e s A / D y c o m p u t a c i o n e s
d i s c r e t a s . A n á l i s i s d e e l e s p e c t r o d i s c r e t a e n e l t i e m p o s o n m a s e x i b l e s q u e l o s a n á l i s i s d e l a s s e ñ a l e s
c o n t i n u a s .
L a f o r m u l a d e l D T F T
5
e s u n a s u m a q u e c o n c e p t u a l m e n t e e s f á c i l d e c a l c u l a r e x c e p t o p o r u n o s p r o b l e m a s .
• D u r a c i ó n d e l a s e ñ a l . L a s u m a s e e x t i e n d e s o b r e l a d u r a c i ó n d e l a s e ñ a l , l a c u a l t i e n e q u e s e r n i t a
p a r a c a l c u l a r e l e s p e c t r o d e l a s e ñ a l . E s e x t r e m a d a m e n t e d i f í c i l g u a r d a r u n a s e ñ a l i n n i t a , a s í q u e
a s u m i m o s q u e l a s e ñ a l s e e x t i e n d e s o b r e [0, N − 1].
• F r e c u e n c i a c o n t i n ú a . I g u a l d e i m p o r t a n t e q u e e l p r o b l e m a d e l a d u r a c i ó n d e l a s e ñ a l e s e l h e c h o q u e
l a f r e c u e n c i a v a r i a b l e e s c o n t i n u a : t a l v e z s o l o s e t e n g a q u e e x t e n d e r u n p e r i o d o , c o m o
− 12
, 12
o
[0, 1], p e r o l a f o r m u l a D T F T r e q u i e r e e v a l u a r e l e s p e c t r o d e t o d a s l a s f r e c u e n c i a s d e n t r o d e l p e r i o d o .
C a l c u l e m o s e l e s p e c t r o d e u n a s c u a n t a s f r e c u e n c i a s ; l a s m a s o b v i a s s o n l a s q u e t i e n e n u n a e s p a c i o
s i m i l a r f = kK
, k ∈ k , . . . , K − 1.
A s í q u e d e n i m o s l a t r a n s f o r m a d a d i s c r e t a d e F o u r i e r ( D F T ) c o m o
S (k) =
N −1n=0
s (n) e−( j2πnkK )
, k ∈ 0, . . . , K − 1 ( 1 1 . 6 )
A q u í , S (k) r e p r e s e n t a S
ej2πkK
.
P o d e m o s c a l c u l a r e l e s p e c t r o e n t o d a s l a s f r e c u e n c i a s c o n e s p a c i o s i m i l a r q u e q u e r e m o s . N o t e q u e u s t e d
p u e d e p e n s a r d e e s t a m o t i v a c i ó n c o m p u t a c i o n a l c o m o m u e s t r e a r e l e s p e c t r o ; s e v e r a m a s s o b r e e s t a i n t e r -
p r e t a c i ó n d e s p u é s . E l p r o b l e m a a h o r a e s e l s a b e r c u a n t a s f r e c u e n c i a s s o n s u c i e n t e s p a r a c a p t u r a r e l c o m o
e l e s p e c t r o c a m b i a c o n l a f r e c u e n c i a . U n a m a n e r a d e r e s p o n d e r e s t a p r e g u n t a e s d e t e r m i n a n d o l a f o r m u l a
d e l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d i s c r e t a d e F o u r i e r : d a d o
S (k),
k = 0, . . . , K − 1 ¾ c ó m o e n c o n t r a m o s
s (n),
n = 0, . . . , N − 1 ? L a f o r m u l a e s t a r á e n l a s i g u i e n t e m a n e r a s (n) =K−1
k=0
S (k) e
j2πnkK
. S u b s t i t u y e n d o
l a f o r m u l a D F T e n e s t e p r o t o t i p o p a r a l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d a
s (n) =
K−1k=0
N −1m=0
s (m) e−(j 2πmkK )ej
2πnkK
( 1 1 . 7 )
N o t e q u e l a r e l a c i ó n d e o r t o g o n a l i d a d q u e u s a m o s t i e n e u n c a r á c t e r d i f e r e n t e a h o r a .
K−1k=0
e−(j 2πkmK )ej
2πknK
=
K i f
m = n, (n ± K ) , (n ± 2K ) , . . . 0 o t h e r w i s e
( 1 1 . 8 )
N o s o t r o s o b t e n e m o s v a l o r e s d e n o c e r o c a d a v e z q u e l o s d o s í n d i c e s d i e r e n p o r m ú l t i p l e d e K . P o d e m o s
e x p r e s a r e s t o s r e s u l t a d o s c o m o K
l (δ (m − n − lK )). A s í , n u e s t r a f o r m u l a s e c o n v i e r t e
s (n) =N −1m=0
s (m) K
∞l=−∞
(δ (m − n − lK ))
( 1 1 . 9 )
L o s n ú m e r o s n y m e x i s t e n e n e l r a n g o 0, . . . , N − 1 . P a r a o b t e n e r u n a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a , n e c e s i t a m o s
s u m a r u n s o l o m u e s t r e o u n i t a r i o p a r a m, n e n e s t e r a n g o . S i n o l o h i c i é r a m o s , s (n) i g u a l a r í a a l a s u m a
4
" M o d e l i n g t h e S p e e c h S i g n a l " , F i g u r e 5 : s p e c t r o g r a m < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 4 9 / l a t e s t / # s p e c t r o g r a m >
5
" D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T ) " , ( 1 ) < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 4 7 / l a t e s t / # e q n 1 >
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2 0 8
C H A P T E R 1 1 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D I S C R E T A E N E L
T I E M P O ( D T F T )
d e v a l o r e s , y n o t e n d r í a m o s u n a t r a n s f o r m a d a v a l i d a : u n a v e z q u e r e g r e s e m o s a l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a , n o
p o d r í a m o s o b t e n e r u n a ½ a m b i g u o s i d a d ! c l a r a m e n t e , e l t e r m i n o
l = 0 s i e m p r e p r o v e e u n m u e s t r e o u n i t a r i o
( n o s h a r e m o s c a r g o d e l f a c t o r d e
K p r o n t o ) . S i e v a l u a m o s e l e s p e c t r o e n m e n o s f r e c u e n c i a s q u e l o q u e d u r a
l a s e ñ a l , e l t e r m i n o c o r r e s p o n d i e n t e a
m = n + K a p a r e c e r á p a r a a l g u n o s v a l o r e s d e
m,
n =
0, . . . , N
−1
.
E s t a s i t u a c i ó n s i g n i c a q u e n u e s t r a t r a n s f o r m a d a p r o t o t i p o i g u a l a s (n) + s (n + K ) p a r a c u a l q u i e r v a l o r d e
n. L a ú n i c a m a n e r a d e e l i m i n a r e s t e p r o b l e m a e s e l r e q u e r i r K ≥ N : t e n e m o s q u e t e n e r m a s m u e s t r e o s d e
f r e c u e n c i a q u e l o q u e d u r a l a s e ñ a l . D e e s t a m a n e r a , p o d e m o s r e g r e s a r d e l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a a l c u a l
e n t r a m o s p o r l a D F T .
E x e r c i s e 1 1 . 1
( S o l u t i o n o n p . 2 1 5 . )
C u a n d o t e n e m o s m e n o s m u e s t r e o s d e f r e c u e n c i a q u e l o q u e d u r a l a s e ñ a l , a l g u n o s v a l o r e s d e l a
s e ñ a l d i s c r e t a i g u a l a n l a s u m a d e l o s v a l o r e d e l a s e ñ a l o r i g i n a l . D a d a l a i n t e r p r e t a c i ó n d e l m u e s t r e o
p a r a e l e s p e c t r o , c a r a c t e r i c e e s t e e f e c t o d e u n a m a n e r a d i f e r e n t e .
O t r a m a n e r a p a r a e n t e n d e r e s t e r e q u e r i m i e n t o e s e l u s a r d e t e o r í a d e e c u a c i o n e s l i n e a r e s . S i e s c r i b i m o s l a
e x p r e s i ó n p a r a e l D F T c o m o u n c o n j u n t o d e e c u a c i o n e s l i n e a r e s ,
s (0) + s (1) + · · · + s (N − 1) = S (0) ( 1 1 . 1 0 )
s (0) + s (1) e(−j) 2πK + · · · + s (N − 1) e(−j)
2π(N−1)K = S (1)
.
.
.
s (0) + s (1) e(−j)2π(K−1)
K + · · · + s (N − 1) e(−j)2π(N−1)(K−1)
K = S (K − 1)
t e n e m o s K . O b t e n e m o s e c u a c i o n e s e n N d e s c o n o c i d o s s i q u e r e m o s e n c o n t r a r l a s e ñ a l d e s u e s p e c t r o
m u e s t r e a d o . E s t e r e q u e r i m i e n t o e s i m p o s i b l e d e e n c o n t r a r s i K < N ; t e n e m o s q u e t e n e r K ≥ N . N u e s t r a d e
r e l a c i ó n d e o r t o g o n a l i d a d e s e n c i a l m e n t e d i c e q u e s i t e n e m o s e l s u c i e n t e n u m e r o d e e c u a c i o n e s ( m u e s t r e o s
d e f r e c u e n c i a ) , e l c o n j u n t o d e e c u a c i o n e s q u e r e s u l t a n d e e s t o s e p u e d e n r e s o l v e r .
P o r c o n v e n c i ó n , e l n u m e r o d e v a l o r e s p a r a l a s f r e c u e n c i a s d e l D F T
K e s e l e g i d o p a r a i g u a l a r l a d u r a c i ó n
d e l a s e ñ a l N . E l p a r p a r a l a t r a n s f o r m a d a d i s c r e t a d e F o u r i e r c o n s i s t e d e
P a r d e l a T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r
S (k) =
N −1n=0
s (n) e−(j 2πnkN )
( 1 1 . 1 1 )
s (n) =1
N
N −1k=0
S (k) ej
2πnkN
( 1 1 . 1 2 )
E x a m p l e 1 1 . 1
U s e e s t a d e m o s t r a c i ó n p a r a h a c e r u n a n á l i s i s d e l D F T p a r a l a s e ñ a l .
T h i s i s a n u n s u p p o r t e d m e d i a t y p e . T o v i e w , p l e a s e s e e
h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 4 / l a t e s t / D F T _ A n a l y s i s . l l b
E x a m p l e 1 1 . 2
U s e e s t a d e m o s t r a c i ó n p a r a s i n t e t i z a r u n a s e ñ a l d e u n a s e c u e n c i a D F T
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2 0 9
T h i s i s a n u n s u p p o r t e d m e d i a t y p e . T o v i e w , p l e a s e s e e
h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 4 / l a t e s t / D F T _ C o m p o n e n t _ M a n i p u l a t i o n . l l b
1 1 . 4 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o ( D T F T )
6
T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o
X (ω) =
∞n=−∞
x (n) e−(jωn)
( 1 1 . 1 3 )
T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o
x (n) =1
2π
2π0
X (ω) ejωndω ( 1 1 . 1 4 )
1 1 . 4 . 1 E s p a c i o s R e l e v a n t e s
L a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e n t i e m p o d i s c r e t o
7
g r a c a s e ñ a l e s d i s c r e t a s e n e l t i e m p o i n n i t a e n l2 , a s e ñ a l e s
d e f r e c u e n c i a c o n t i n u a c o n t a m a ñ o n i t o ( o p e r i ó d i c a s ) e n L2.
F i g u r e 1 1 . 2 : G r a c a
l2 (Z) e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o p a r a
L2 ([0, 2π)) e n e l d o m i n i o d e l a f r e c u e n c i a .
6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 1 / 1 . 1 / > .
7
" D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 4 7 / l a t e s t / >
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2 1 0
C H A P T E R 1 1 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D I S C R E T A E N E L
T I E M P O ( D T F T )
1 1 . 5 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l
T i e m p o
8
P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o
D o m i n i o d e l a S e c u e n c i a D o m i n i o d e l a F r e c u e n c i a
L i n e a r i d a d
a1s1 (n) + a2s2 (n) a1S 1
ej2πf
+ a2S 2
ej2πf
S i m e t r í a d e l C o n j u g a d o s (n) r e a l S
ej2πf
= S
e−(j2πf )∗
S i m e t r í a P a r s (n) = s (−n) S
ej2πf
= S
e−(j2πf )
S i m e t r í a I m p a r
s (n) = − (s (−n)) S
ej2πf
= − S
e−(j2πf )
R e t r a z o d e l T i e m p o s (n
−n0) e−(j2πfn0)S ej2πf
M o d u l a c i o n C o m p l e j a ej2πf 0ns (n) S
ej2π(f −f 0)
M o d u l a c i ó n d e A m p l i t u d
s (n) cos (2πf 0n)S(ej2π(f−f0))+S(ej2π(f+f0))
2
s (n) sin (2πf 0n)S(ej2π(f−f0))−S(ej2π(f+f0))
2j
M u l t i p l i c a c i ó n p o r n ns (n) 1−(2jπ)
ddf
S
ej2πf
S u m a
∞n=−∞ (s (n)) S
ej2π0
V a l o r e n e l O r i g e n s (0)
12
−( 12 )
S
ej2πf
df
T e o r e m a d e P a r s e v a l
∞n=−∞
(|s (n) |)2
12
−( 12 )
|S
ej2πf |2df
F i g u r e 1 1 . 3 : P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o y s u s r e l a c i o n e s .
1 1 . 6 P a r d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o
9
C u a n d o o b t e n e m o s u n a s e ñ a l d i s c r e t a a m u e s t r e a r u n a s e ñ a l a n á l o g a , l a f r e c u e n c i a N y q u i s t c o r r e s p o n d e a l a
f r e c u e n c i a d i s c r e t a
12 . P a r a d e m o s t r a r e s t o , n o t e q u e u n s e n o s o i d a l e n l a f r e c u e n c i a N y q u i s t
12T s
t i e n e u n a
f o r m a m u e s t r e a d a q u e i g u a l a
S e n o s o i d a l e n l a F r e c u e n c i a N y q u i s t d e 1 / 2 T
cos2π 12T s
nT s = cos (πn)
= (−1)n( 1 1 . 1 5 )
E l e x p o n e n c i a l e n l a D T F T e n l a f r e c u e n c i a
12
i g u a l e−(j2πn)
2 = e−(jπn) = (−1)n
, l o q u e s i g n i c a q u e l a
c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e u n a f r e c u e n c i a a n á l o g a y u n a f r e c u e n c i a d i s c r e t a e s e s t a b l e c i d a :
R e l a c i ó n p a r a l a F r e c u e n c i a D i s c r e t a e n e l T i e m p o A n á l o g o
f D = f AT s ( 1 1 . 1 6 )
8
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 6 / 1 . 1 / > .
9
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 5 / 1 . 1 / > .
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2 1 1
o n d e
f D y
f A r e p r e s e n t a n l a s v a r i a b l e s d e f r e c u e n c i a a n á l o g a y f r e c u e n c i a d i s c r e t a , r e s p e c t i v a m e n t e . L a
g u r a d e a l i a s i n g
1 0
p r o v e e o t r a m a n e r a p a r a d e r i v a r e s t e r e s u l t a d o . C o n f o r m e l a d u r a c i ó n d e c a d a p u n t o e n
l a s e ñ a l d e m u e s t r e o p e r i ó d i c a
pT s (t) s e h a c e m a s p e q u e ñ a , l a s a m p l i t u d e s d e l a s r e p e t i c i o n e s d e l e s p e c t r o
d e l a s e ñ a l , q u e s o n g o b e r n a d a s p o r l o s c o e c i e n t e s d e l a s e r i e s d e F o u r i e r d e pT s (t) , s e v u e l v e i g u a l e s .
1 1
A s í , e l e s p e c t r o m u e s t r a r i o d e l a s e ñ a l s e c o n v i e r t e p e r i ó d i c o c o n p e r i o d o
1T s
. A s í l a f r e c u e n c i a N y q u i s t
12T s
c o r r e s p o n d e a l a f r e c u e n c i a
12 .
L a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d e F o u r i e r d i s c r e t a e n e l t i e m p o s e d e r i v a f á c i l m e n t e e n l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n :
12
−( 12 )
e−(j2πfm)e+jπfndf =
1 i f m = n
0 i f
m = n( 1 1 . 1 7 )
A s í c o m o e n c o n t r a m o s q u e
12
−( 12 )
S ej2πf
e+j2πfndf = 12
−( 12 )m s (m) e−(j2πfm)e+j2πfn
df
=
m
s (m)
12
−( 12 )
e(−(j2πf ))(m−n)df
= s (n)
( 1 1 . 1 8 )
L o s p a r e s p a r a l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d i s c r e t o s e n e l t i e m p o s o n
P a r e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e n T i e m p o D i s c r e t o
S
ej2πf
=n
s (n) e−(j2πfn)
( 1 1 . 1 9 )
P a r e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e n T i e m p o D i s c r e t o
s (n) =
12
−( 12 )
S
ej2πf
e+j2πfndf ( 1 1 . 2 0 )
1 1 . 7 E j e m p l o s d e D T F T
1 2
E x a m p l e 1 1 . 3
C a l c u l e m o s l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e n t i e m p o d i s c r e t o p a r a l a s e c u e n c i a d e l e x p o n e n c i a l d e c a -
d e n t e
s (n) = anu (n) , d o n d e
u (n) l a s e c u e n c i a d e l E s c a l ó n u n i t a r i o . A l r e m p l a z a r l a e x p r e s i ó n d e
l a s e ñ a l l a f o r m u l a d e l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r .
F o r m u l a d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
S
ej2πf
=∞
n=−∞
anu (n) e−(j2πfn)
=∞
n=0
ae−(j2πf )
n ( 1 1 . 2 1 )
1 0
" T h e S a m p l i n g T h e o r e m " , F i g u r e 2 : a l i a s i n g < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 5 0 / l a t e s t / # a l i a s >
1 1
E x a m i n a r l a s e ñ a l d e p u l s o p e r i o d i c a r e v e l a q u e c u a n d o
∆s e h a c e p e q u e ñ a , e l v a l o r d e c0 , e l c o e c i e n t e m a s g r a n d e d e
F o u r i e r , d e c a e a l v a l o r c e r o :
|c0| = A∆T
. A s í , p a r a m a n t e n e r u n t e o r e m a d e m u e s t r e o v i a b l e e n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s , l a
a m p l i t u d A d e b e i n c r e m e n t a r a
1∆
, c o n v i r t i é n d o s e i n n i t a m e n t e g r a n d e c o n f o r m e l a d u r a c i ó n d e l p u l s o d i s m i n u y e . S i s t e m a s
p r á c t i c o s u s a n u n v a l o r p e q u e ñ o d e
∆, d i g a m o s
0.1T s y u s a n a m p l i c a d o r e s p a r a r e e s c a l a r l a s e ñ a l .
1 2
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 7 / 1 . 1 / > .
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2 1 2
C H A P T E R 1 1 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D I S C R E T A E N E L
T I E M P O ( D T F T )
L a s u m a e s u n c a s o e s p e c i a l d e s e r i e s g e o m é t r i c a s .
S e r i e s G e o m é t r i c a s ∞
n=0
(αn) =1
1 − α
,
|α
|< 1 ( 1 1 . 2 2 )
A s í , p o r m i e n t r a s q u e |a| < 1 , t e n e m o s n u e s t r a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r .
S
ej2πf
=1
1 − ae−(j2πf )( 1 1 . 2 3 )
U s a n d o l a r e l a c i ó n d e E u l e r , p o d e m o s e x p r e s a r l a m a g n i t u d y e l á n g u l o d e e s t e e s p e c t r o .
|S
ej2πf | =
1 (1 − acos (2πf ))
2+ a2sin2 (2πf )
( 1 1 . 2 4 )
∠ S ej2πf =−arctan asin (2πf )
1 − acos (2πf ) ( 1 1 . 2 5 )
N o i m p o r t a q u e v a l o r d e a e s c o j a m o s , l a s f o r m u l a s a n t e r i o r e s d e m u e s t r a n c l a r a m e n t e l a n a t u -
r a l e z a p e r i ó d i c a d e l e s p e c t r o d e s e ñ a l e s d i s c r e t a s e n e l t i e m p o . F i g u r e 1 1 . 4 m u e s t r a c o m o e l e s p e c t r o
e s u n f u n c i ó n p e r i ó d i c a . T a n s o l o t e n e m o s q u e c o n s i d e r a r e l e s p e c t r o e n t r e − 12
y
12
p a r a d e n i r l a
u n a m b i g u o s a m e n t e . C u a n d o
a > 0 , t e n e m o s u n e s p e c t r o d e p a s a b a j a s e l e s p e c t r o d e s a p a r e c e
c u a n d o l a f r e c u e n c i a i n c r e m e n t a d e 0 a
12 c o n u n a
ai n c r e m e n t a n o s l l e v a a u n c o n t e n i d o m a y o r
d e f r e c u e n c i a s b a j a s ; p a r a
a < 0 , t e n e m o s u n e s p e c t r o d e p a s a a l t a s . ( F i g u r e 1 1 . 5 ) .
-2 -1 0 1 2
1
2
f
|S(e j2πf)|
-2 -1 1 2
-45
45
f
∠S(e j2πf)
F i g u r e 1 1 . 4 : E l e s p e c t r o d e l a s e ñ a l e x p o n e n c i a l (
a = 0.5) e s m o s t r a d o s o b r e e l r a n g o d e f r e c u e n c i a s
[−2, 2], c l a r a m e n t e d e m o s t r a n d o l a p e r i o d i c i d a d d e t o d a l a e s p e c t r a d i s c r e t a e n e l t i e m p o . E L á n g u l o
t i e n e l a s u n i d a d e s e n g r a d o s .
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2 1 3
f
a = 0.9
a = 0.5
a = –0.5
S p e c t r a l M a g n i t u d e ( d B )
-10
0
10
20
0.5
a = 0.9
a = 0.5
a = –0.5
A n g l e ( d e g r e e s )
f
-90
-45
0
45
90
0.5
F i g u r e 1 1 . 5 : E l e s p e c t r o d e v a r i a s s e ñ a l e s e x p o n e n c i a l e s e s m o s t r a d o a q u í . ¾ C u a l e s l a r e l a c i ó n
a p a r e n t e e n t r e e l e s p e c t r o d e a = 0.5 y a = −0.5 ?
E x a m p l e 1 1 . 4
A n á l o g o a u n a s e ñ a l d e p u l s o a n á l o g o e n c o n t r a m o s e l e s p e c t r o d e l a s e c u e n c i a d e p u l s o d e t a m a ñ o -
N p u l s e s e q u e n c e .
s (n) = 1
i f
0 ≤ n ≤ N − 10 o t h e r w i s e
( 1 1 . 2 6 )
L a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e e s t a s e c u e n c i a t i e n e l a f o r m a d e u n a s e r i e g e o m é t r i c a t r u n c a d a .
S
ej2πf
=N −1n=0
e−(j2πfn)
( 1 1 . 2 7 )
P a r a l a s l l a m a d a s s e r i e s g e o m é t r i c a s n i t a s , s a b e m o s q u e
S e r i e s G e o m é t r i c a s F i n i t a s
N +n0−1
n=n0
(αn) = αn01 − αN
1
−α
( 1 1 . 2 8 )
p a r a t o d o s l o s v a l o r e s d e
α.
E x e r c i s e 1 1 . 2
( S o l u t i o n o n p . 2 1 5 . )
D e r i v e e s t a f o r m u l a p a r a l a f o r m u l a d e s e r i e s g e o m é t r i c a n i t a s . E l t r u c o e s e l c o n s i d e r a r l a
d i f e r e n c i a e n t r e l a s u m a d e l a s s e r i e s y l a s u m a d e l a s s e r i e s m u l t i p l i c a d a p o r α .
A p l i c a n d o e s t e r e s u l t a d o d a ( F i g u r e 1 1 . 6 . )
S
ej2πf
= 1−e−(j2πfN )
1−e−(j2πf)
= e(−(jπf ))(N −1) sin(πfN )sin(πf )
( 1 1 . 2 9 )
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2 1 4
C H A P T E R 1 1 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D I S C R E T A E N E L
T I E M P O ( D T F T )
E l r a d i o d e l a s f u n c i o n e s d e s e n o t i e n e l a f o r m a g e n é r i c a d e
sin(Nx)sin(x)
, q u e e s m e j o r c o n o c i d a c o m o l a
f u n c i ó n d e s i n c d i s c r e t a ,
dsinc (x) . P o r l o t a n t o , n u e s t r a t r a n s f o r m a d a p u e d e s e r e x p r e s a d a c o m o
S
ej2πf
= e(−(jπf ))(N −1)dsinc (πf ) . E l e s p e c t r o d e l p u l s o d i s c r e t o c o n t i e n e m u c h a s o n d u l a c i o n e s , l a s
c u a l e s e l n u m e r o i n c r e m e n t a c o n N , l a d u r a c i ó n d e l p u l s o .
f0
5
10
S p e c t r a l M a g n i t u d e
0.5
-180
-90
0
90
180
f0.5
A n g l e ( d e g r e e s )
F i g u r e 1 1 . 6 : E l e s p e c t r o p a r a u n p u l s e d e t a m a ñ o - d i e z e s m o s t r a d o a q u í . ¾ P u e d é u s t e d e x p l i c a r l a
a p a r i e n c i a c o m p l i c a d a q u e e l á n g u l o t i e n e ?
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2 1 5
S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 1 1
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 1 . 1 ( p . 2 0 8 )
E s t a s i t u a c i ó n n o s l l e v a a a l i a s i n g e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o .
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 1 . 2 ( p . 2 1 3 )
αN +n0−1n=n0
(αn) −N +n0−1n=n0
(αn) = αN +n0 − αn0( 1 1 . 3 0 )
l a c u a l , d e s p u é s d e a l g u n a s m a n i p u l a c i o n e s , d a l a f o r m u l a d e l a s u m a g e o m é t r i c a .
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2 1 6
C H A P T E R 1 1 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D I S C R E T A E N E L
T I E M P O ( D T F T )
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C h a p t e r 1 2
T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o
C o n t i n u o ( C T F T )
1 2 . 1 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o C o n t i n u o ( C T F T )
1
1 2 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n
D e b i d o a l g r a n n ú m e r o d e s e ñ a l e s d e t i e m p o - c o n t i n u o q u e e s t a n p r e s e n t e s e n l a s s e r i e s d e F o u r i e r
2
n o s d a u n a
p r i m e r a o j e a d a d e c u a n t a s m a n e r a s p o d e m o s r e p r e s e n t a r a l g u n a s d e e s t a s s e ñ a l e s d e m a n e r a g e n e r a l : c o m o
u n a s u p e r p o s i c i ó n d e u n n ó m e r o d e s e ñ a l e s s e n o s o i d a l e s . A h o r a p o d e m o s v e r l a m a n e r a d e r e p r e s e n t a r s e ñ a l e s
n o p e r i o d i c a s d e t i e m p o c o n t i n u o u s a n d o l a m i s m a i d e a d e s u p e r p o s i c i ó n . A c o n t i n u a c i ó n p r e s e n t a r e m o s l a
T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o ( C T F T ) , t a m b i é n c o n o c i d a s o l o c o m o T r a n s f o r m a d a
d e F o u r i e r ( F T ) . P o r q u e l a C T F T a h o r a t r a t a r e m o s c o n s e ñ a l e s n o p e r i o d i c a s , e n c o n t r a r e m o s u n a m a n e r a
d e i n c l u i r t o d a s l a s f r e c u e n c i a s e n e c u a c i o n e s e n g e n e r a l .
1 2 . 1 . 1 . 1 E c u a c i o n e s
T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o
F (Ω) =
∞−∞
f (t) e−(jΩt)dt ( 1 2 . 1 )
I n v e r s a d e l a C T F T
f (t) =1
2π
∞−∞
F (Ω) ejΩtdΩ ( 1 2 . 2 )
p r e c a u c i ó n : N o s e c o n f u n d a c o n l a n o t a c i ó n - e s c o m ú n v e r l a f o r m u l a a n t e r i o r e s c r i t a u n
p o c o d i f e r e n t e . U n a d e l a s d i f e r e n c i a s m á s c o m u n e s e c h a p o r l o s p r o f e s o r e s e s l a f o r m a d e e s c r i b i r
e l e x p o n e n t e . A r r i b a e s c r i b i m o s l a v a r i a b l e d e l a f r e c u a n c i a r e a d i a l Ω e n e l e x p o n e n c i a l , d o n d e
Ω = 2πf , p e r o t a m b i é n v e m o s q u e l o s p r o f e s o r e s i n c l u y e n l a e x p r e s i ó n m á s e x p l i c i c t a , j2πf t ,
e n e l e x p o n e n c i a l . V é a s e a q u i
3
p a r a u n a d e s c r i p c i ó n d e l a n o t a c i ó n u t i l i z a d a e n l o s m o d u l o s d e
P r o c e s a m i e n t o D i g i t a l d e S e ñ a l e s D S P .
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 5 / 1 . 1 / > .
2
" F o u r i e r S e r i e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 3 9 / l a t e s t / >
3
" D S P N o t a t i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 6 1 / l a t e s t / >
2 1 7
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2 1 8
C H A P T E R 1 2 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D E T I E M P O C O N T I N U O
( C T F T )
L a e c u a c u i ó n a n t e r i o r p a r a l a s C F T y s u i n v e r s a v i e n e n d i r e c t a m e n t e d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r y d e n u e s r o
e n t e n d i m i e n t o d e s u s c o e c i e n t e s . P a r a l a C T F T s i m p l e m e n t e u t i l i z a m o s l a i n t e r g r a c i ó n e n l u g a r d e l a
s i m u l a c i ó n p a r a s e r c a p a c e s d e e x p r e s a r l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s . E s t o d e b e r í a t e n e r s e n t i d o y a q u e s i m l e m e n t e
e s t a m o s e x t e n d i e n d o l a s i d e a s d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r p a r a l a s C T F T p a r a i n c l u i r l a s s e ñ a l e s n o - p e r i ó d i c a s , y
a s í t o d o e l e s p e c t r o d e l a f r e c u e n c i a . V é a s e l a D e r i v a c i ó n d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
4
p a r a u n a m i r a d a
m á s p r o f u n d a d e l t e m a .
1 2 . 1 . 2 E s p a c i o s R e l e v a n t e s
E l m a p e o d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o d e l o n g i t u d - i n n i t a , e n s e ñ a l e s d e t i e m p o -
c o n t i n u o L2a l o n g i t u d - i n n i t a , s e ñ a l e s d e f r e c u a n c i a - c o n t i n u a e n L2
. R e v i s a n d o e l A n á l i s i s d e F o u r i e r ( S e c -
t i o n 8 . 1 ) p a r a u n a d e s c r i p c i ó n d e t o d o s l o s e s p a c i o s u s a d o s e n e l a n á l i s i s d e F o u r i e r .
F i g u r e 1 2 . 1 : M a p e a n d o
L2 (R)e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o a
L2 (R)e n e l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a .
P a r a m á s i n f o r m a c i ó n d e l a s c a r a c t e r i s t i c a s d e l a C T F T , p o r f a v o r v é a s e e l m o d u l o d e l a s P r o p i e d a d e s
d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
5
.
1 2 . 1 . 3 P r o b l e m a s d e E j e m p l o
E x e r c i s e 1 2 . 1
( S o l u t i o n o n p . 2 2 2 . )
E n c o n t r a r l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r ( C T F T ) d e l a f u n c i ó n
f (t) =
e−(αt)
i f
t ≥ 0
0 o t h e r w i s e
( 1 2 . 3 )
E x e r c i s e 1 2 . 2
( S o l u t i o n o n p . 2 2 2 . )
E n c o n t r a r l a i n v e r s a d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e l a o n d a c u a d r a d a d e n d a c o m o :
X (Ω) = 1 i f
|Ω
| ≤M
0 o t h e r w i s e
( 1 2 . 4 )
4
" D e r i v a t i o n o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 4 6 / l a t e s t / >
5
" P r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 0 0 / l a t e s t / >
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2 1 9
1 2 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o -
C o n t i n u o
6
E n e s t e m o d u l o v e r e m o s a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o -
C o n t i n u o
7
( C T F T ) . L a p r i m e r a s e c c i ó n c o n t i e n e u n a t a b l a q u e i l u s t r a l a s p r o p i e d a d e s , y l a s i g u i e n t e s e c c i ó n
d i s c u t e u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s m a s i n t e r e s a n t e s m á s a f o n d o . E n l a t a b l , o p r i m a e n e l n o m b r e d e l a
o p e r a c i ó n p a r a v e r l a e x p l i c a c i ó n s e s e e n c u e n t r a m á s a d e l a n t e . V é a s e e s t e m o d u l o ( S e c t i o n 5 . 7 ) p a r a u n a
t a b l a e x p a n d i d a d e l a s p r o p i e d a d e s d e F o u r i e r .
n o t a : D i s c u t i r e m o s e s t a s p r o p i e d a d e s p a r a s e ñ a l e s a p e r i o d i c a s d e t i e m p o - c o n t i n u o p e r o e n t e n d e r -
e m o s q u e p r o p i e d a d e s s i m i l a r e s s e m a t i e n e n p a r a s e ñ a l e s d e t i e m p o - c o n t i n u o y s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s .
1 2 . 2 . 1 T a b l a d e P r o p i e d a d e s d e C T F T
N o m b r e d e l a O p e r a c i ó n S e ñ a l ( f (t) ) T r a n s f o r m a d a ( F (ω) )
A d i c i ó n ( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 1 : L i n e a l -
i d a d )
f 1 (t) + f 2 (t) F 1 (ω) + F 2 (ω)
M u l t i p l i c a c i ó n E s c a l a r ( S e c -
t i o n 1 2 . 2 . 2 . 1 : L i n e a l i d a d )
αf (t) αF (t)
S i m e t r í a ( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 2 :
S i m e t r í a )
F (t) 2πf (−ω)
E s c a l a m i e n t o e n e l T i e m p o ( S e c -
t i o n 1 2 . 2 . 2 . 3 : E s c a l a m i e n t o e n e l
T i e m p o )
f (αt) 1|α|F
ωα
D e s p l a z a m i e n t o e n e l T i e m p o
( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 4 : D e s p l a z a -
m i e n t o e n e l t i e m p o )
f (t − τ ) F (ω) e−(jωτ )
M o d u l a c i ó n ( D e s p l a z a m i e n t o d e
F r e c u e n c i a s ) ( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 5 :
M o d u l a c i ó ( D e s p l a z o d e l a F r e -
c u e n c i a ) )
f (t) ejφt F (ω − φ)
C o n v o l u c i ó n e n e l T i e m p o ( S e c -
t i o n 1 2 . 2 . 2 . 6 : C o n v o l u c i ó n )
(f 1 (t) , f 2 (t)) F 1 (t) F 2 (t)
C o n v o l u c i ó n e n l a F r e c u e n c i a
( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 6 : C o n v o l u c i ó n )
f 1 (t) f 2 (t) 12π (F 1 (t) , F 2 (t))
D i f e r e n c i a c i ó n ( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 7 :
T i m e D i f e r e n c i a c i ó n )
dn
dtnf (t) ( jω)
nF (ω)
1 2 . 2 . 2 D i s c u s i ó n d e l a s P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
D e s p u é s d e h a b e r v i s t o l a t a b l a a n t e r i o r y t e n e r u n s e n t i m i e n t o d e l a s p r o i e d a d e s d e l a C T F T , a h o r a n o s
t o m a r e m o s u n p o c m á s d e t i e m p o p a r a d i s c u t i r d e l a s p r o p i e d a d e s m á s i m p o r t a n t e s y ú t i l e s .
6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 7 / 1 . 2 / > .
7
" C o n t i n u o u s - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( C T F T ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 9 8 / l a t e s t / >
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2 2 0
C H A P T E R 1 2 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D E T I E M P O C O N T I N U O
( C T F T )
1 2 . 2 . 2 . 1 L i n e a l i d a d
L a c o m b i n a c i ó n d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a a d i c i ó n y d e l a m u l t i p l i c a c i ó n e s c a l a r d e l a t a b l a a n t e r i o r d e m u e s t r a n
l a p r o p i e d a d b á s i c a d e l i n e a l i d a d a . L o q u e d e b e d e v e r e s q u e s i u n o t o m a l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e u n a
c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e s e ñ a l e s e n t o n c e s e s t a s e r á l a m i s m a q u e l a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l a t r a n s f o r m a d a d e
F o u r i e r d e c a d a s e ñ a l i n d i v i d u a l . E s t o e s c r u c i a l c u a n d o u s a m o s l a t a b l a ( S e c t i o n 1 1 . 1 ) d e l a s t r a n s f o r m a d a s
p a r a e n c o n t r a r l a t r a n s f o r m a d a d e u n a s e ñ a l m á s c o m p l i c a d a .
E x a m p l e 1 2 . 1
E m p e z a r e m o s c o n l a s i g u i e n t e s e ñ a l :
z (t) = αf 1 (t) + αf 2 (t) ( 1 2 . 5 )
A h o r a , d e s p u é s d e t o m a r l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r , m o s t r a d a e n l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n , n o t e m o s
q u e l a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s t é r m i n o s n o e s a f e c t a d a p o r l a t r a n s f o r m a d a .
Z (ω) = αF 1 (ω) + αF 2 (ω) ( 1 2 . 6 )
1 2 . 2 . 2 . 2 S i m e t r í a
L a s i m e t r í a e s u n a p r o p i e d a d q u e n o s p u e d e h a c e r l a v i d a m á s f á c i l r e s o l v i e n d o p r o b l e m a s q u e i n v o l u c r a n
l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r . B a s i c a m e n t e ; p q u e d i c e e s t a p r o p i e d a d e s q u e y a q u e l a f u n c i ó n r e c t a n g u l a r
e n e l t i e m p o e s u n a f u n c i ó n s i n c e n l a f r e c u a n c i a , e n t o n c e s u n a f u n c i ó n s i n c e n e l t i e m p o s e r á u n a f u n c i ó n
r e c t a n g u l a r e n l a f r e c u e n c i a . E s t e e s u n r e s u l t a d o d i r e c t o d e l a s s i m i l a r i d a d e s e n t r e l a C T F T y l a i n v e r s a d e
l a C T F T . L a ú n i c a d i f e r e n c i a e s q u e e s e s c a l d a p o r 2π y u n a r e v o c a c i ó n d e l a f r e c u a n c i a .
1 2 . 2 . 2 . 3 E s c a l a m i e n t o e n e l T i e m p o
E s t a p r o p i e d a d t r a t a c o n e l e f e c t o d e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l d o m i n i o d e f r e c u a n c i a d e u n a s e ñ a l s i l a v a r i a b l e
t i e m p o e s a l t e r a d a . E l c o n c e p t o m á s i m p o r t a n t e p a r e n t e n d e r p a r a l a p r o p i e d a d d e e s c a l a m m i e n t o e s q u e
l a s s e ñ a l e s q u e s o n e s t r e c h a s e n e l t i e m p o s o n a m p l i a s e n l a f r e c u a n c i a y v i c e v e r s a . E l e j e m p l o m á s s e n c i l l o
d e e s t o e s l a f u n c i ó n d e l t a , u n p u l s o u n i t a r i o
8
c o n u n a m u y p e q u e ñ a d u r a c i ó n , e n e l t i e m p o q u e s e c o n v i e r t e
e n f u n c i ó n c o n s t a n t e d e l o n g i t u d - i n n i t a e n f r e c u e n c i a .
L a t a b l a a n t e r i o r m u e s t r a e s t a i d e a p a r a u n a t r a n s f o r m a c i ó n g e n e r a l d e l d o m i n i o - t i e m p o d e l a s e ñ a l .
U s t e d d e b e r í a d e s e r c a p a z d e n o t a r q u e e s t a e c u a c i ó n m u e s t r a l a r e l a c i ó n m e n c i o n a d a a n t e r i o r m e n t e : s i l a
v a r i a b l e t i e m p o i n c r e m e n t a e n t o n c e s e l r a n g o d e l a f r e c u e n c i a s e r a d e c r e c i e n t e .
1 2 . 2 . 2 . 4 D e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o
E l d e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o m u e s t r a q u e u n d e s p l a z o e n e l t i e m p o e s e q u i v a l e n t e a u n d e s p l a z o d e f a s e
l i n e a l e n l a f r e c u e n c i a . Y a q u e e l c o n t e n i d o d e l a f r e c u e n c i a d e p e n d e s o l a m e n t e d e l a f o r m a d e l a s e ñ a l , e l
c u a l e s i n v a r i a b e e n e l d e s p l a z o e n e l t i e m p o , e n t o n c e s s o l a m e n t e l a f a s e d e l e s p e c t r o s e r á a l t e r a d a . E s t a
p r o p i e d a d s e r á p r o v a d a f a c i l m e n t e u s a n d o l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r , a s i q u e m o s t r a r e m o s l o s p a s o s b á s i c o s
a c o n t i n u a c i ó n :
E x a m p l e 1 2 . 2
P r i m e r o e m p e z a r e m o s d e j a n d o q u e z (t) = f (t − τ ). A h o r a t o m e m o s l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
c o n l a e x p r e s i ó n a n t e r i o r s u s t i t u i d a p a r a z (t).
Z (ω) =
∞−∞
f (t − τ ) e−(jωt)dt ( 1 2 . 7 )
8
" E l e m e n t a l S i g n a l s " : S e c t i o n P u l s e < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 4 / l a t e s t / # p u l s e d e f >
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2 2 1
A h o r a h a g a m o s u n p e q u e ñ o c a m b i o d e v a r i a b l e s , d o n d e σ = t − τ . A t r a v é s d e l a c a l c u l a c i ó n
a n t a r i o r , p o d e m o s v e r q u e s o l a m e n t e l a v a r i a b l e e n e l e x p o n e n c i a l e s a l t e r a d a s o l o c a m b i a n d o l a
f a s e e n e l d o m i n i o d e l a f r e c u e n c i a .
Z (ω) = ∞−∞ f (σ) e−(jω(σ+τ )t)dτ
= e−(jωτ ) ∞−∞ f (σ) e−(jωσ)dσ
= e−(jωτ )F (ω)
( 1 2 . 8 )
1 2 . 2 . 2 . 5 M o d u l a c i ó ( D e s p l a z o d e l a F r e c u e n c i a )
L a m o d u l a c i ó n e s a b s o l u t a m e n t e i m p r e s c i n d i b l e p a r a l a s a p l i c a c i o n e s d e c o m u n i c a i o n e s . S i e n d o c a p a c e s d e
d e s p l a z a r u n a s e ñ a l a d i f e r e n t e s f r e c u e n c i a s , n o s q u e m a s q u e t o m a r v e n t a j a d e d i f e r e n t e s p a r t e s d e l o s
e s p e c t r o s d e l e l e c t r o m a g n e t i s m o e s l o q u e n o s p e r m i t e t r a n s m i t i r l a t e l e v i s i ó n , r a d i o y o t r o a s a p l i c a c i o n e s a
t r a v é s d e l m i s m o e s p a c i o s i n i n t e r f e r e n c i a s i g n i c a t i v a .
L a d e m o s t r a c i ó n d e l a p r o p i e d a d d e l d e s p l z a m i e n t o d e l a f r e c u e n c i a e s m u y s i m i l a r a l a d e d e s p l a z a m i e n t o
e n e l t i e m p o ( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 4 : D e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o ) ; S i n e m b a r g o , a q u i u s a r e m o s l a t r a n s f o r m a d a
i n v e r s a d e F o u r i e r . Y a q u e v a m o s a t r a v é s d e l o s p a s o s a n t e r i o r e s , l a d e m o s t r a c i ó n d e d e s p l a z a m i e n t o e n e l
t i e m p o , a c o n t i n u a c i ó n s o l o m o s t r a r a l o s p a s o s i n i c i a l e s y n a l e s d e e s t a d e m o s t r a c i ó n :
z (t) =1
2π
∞−∞
F (ω − φ) ejωtdω ( 1 2 . 9 )
A h o r a s i m p l e m e n t e r e d u c i m o s e s t a e c u a c i ó n p o r m e d i o d e u n c a m b i o d e v a r i a b l e y s i m p l i c a n d o l o s t é r m i n o s .
D e s p u é s p r o b a r e m o s l a p r o p i e d a d e x p r e s a d a e n l a t a b l a a n t e r i o r :
z (t) = f (t) ejφt ( 1 2 . 1 0 )
1 2 . 2 . 2 . 6 C o n v o l u c i ó n
C o n v o l u c i ó n e s u n a d e l a s g r a n d e s r a z o n e s p a r a c o n v e r t i r s e ñ a l e s e n d o m i n i o s d e f r e c u a n c i a y a q u e l a
c o n v o l u c i ó n e n e l t i e m p o s e c o n v i e r t e e n m u l t i p l i c a c i ó n e n f r e c u e n c i a . E s t a p r o p i e d a d e s t a m b i é n o t r o
b u e n e j e m p l o d e l a s i m e t r i a e n t r e e l t i e m p o y l a f r e c u e n c i a . T a m b i é n m u e s t r a q u e h a y m u y p o c a g a n a n c i a
c a m b i a n d o e l d o m i n i o d e f r e c u a n c i a c u a n d o l a m u l t i p l i c a c i ó n e n e l t i e m p o e s t a i n v o l u c r a d a .
I n t r o d u c i r e m o s l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n , p e r o s i n o l a h a v i s t o a n t e r i o r m e n t e o n e c e s i t a r e f r e s c a r l a
m e m o r i a v é a s e e l m o d u l o d e c o n v o l u c i ó n d e t i e m p o - c o n t i n u o ( S e c t i o n 3 . 2 ) p a r a u n a e x p l i c a c i ó n m a s p r o f u n d a
y s u d e r i v a c i ó n .
y (t) = (f 1 (t) , f 2 (t))
= ∞−∞ f 1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ
( 1 2 . 1 1 )
1 2 . 2 . 2 . 7 T i m e D i f e r e n c i a c i ó n
Y a q u e l o s s i s t e m a s L T I ( S e c t i o n 2 . 1 ) p u e d e n s e r r e p r e s e n t a d o s e n t é r m i n o s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , e s
e v i d e n t e q u e c o n e s t a p r o p i e d a d q u e c o n v i e r t i e n d o a l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a n o s p e r m i t i r á c o n v e r t i r e s t a
c o m p l i c a d a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l a u n a e c u a c i ó n m á s s e n c i l l a q u e i n v o l u c r e m u l t i p l i c a c i ó n y a d i c i ó n . E s t o
t a m b i é n e s v i s t o c o n m a s d e t a l l e d u r a n t e e l e s t u d i d e l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e
9
.
9
" T h e L a p l a c e T r a n s f o r m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 1 0 / l a t e s t / >
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2 2 2
C H A P T E R 1 2 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D E T I E M P O C O N T I N U O
( C T F T )
S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 1 2
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 2 . 1 ( p . 2 1 8 )
P a r a p o d e r c a l c u l a r l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r , t o d o l o q u e n e c e s i t a m o s e s u s a r l o s ( 1 2 . 1 ) ( T r a n s f o r m a d a
d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o ) , e x p n e n c i a l e s c o m p l e j o s
1 0
, y c á l c u l o s b á s i c o s .
F (Ω) = ∞−∞ f (t) e−(jΩt)dt
= ∞0
e−(αt)e−(jΩt)dt
= ∞0
e(−t)(α+jΩ)dt
= 0 − −1α+jΩ
( 1 2 . 1 2 )
F (Ω) =1
α + jΩ( 1 2 . 1 3 )
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 2 . 2 ( p . 2 1 8 )
A q u i u s a r e m o s l a ( 1 2 . 2 ) ( I n v e r s a d e l a C T F T ) p a r a e n c o n t r a r l a i n v e r s a d e l a F T , d a d o e s o t = 0.
x (t) = 12π
M
−M ejΩtdΩ
= 12π ejΩt|Ω,Ω=ejw
= 1πt
sin (Mt)
( 1 2 . 1 4 )
x (t) =M
π
sinc
Mt
π
( 1 2 . 1 5 )
1 0
" T h e C o m p l e x E x p o n e n t i a l " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 6 0 / l a t e s t / >
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C h a p t e r 1 3
T e o r e m a d e M u e s t r e o
1 3 . 1 M u e s t r e o
1
1 3 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n
U n a c o m p u t a d o r a p u e d e p r o c e s a r s e ñ a l e s d e t i e m p o d i s c r e t o u s a n d o u n l a g o r i t m o e x t r e m a n d a m e n t e
e x i b l e y p o d e r o s o . M a s s i n e m b a r g o l a m a y o r i a d e l a s s e ñ a l e s d e i n t e r e s s o n d e t i e m p o c o n t i n u o , q u e e s
c o m o c a s i s i e m p r e a p a r e c e n a l n a t u r a l .
E s t e m o d u l o i n t r o d u c e l a i d e a d e t r a s l a d a r l o s p r o b l e m a s d e t i e m p o c o n t i n u o e n u n o s d e t i e m p o d i s c r e t o ,
y p o d r a l e e r m á s d e l o s d e t a l l e s d e l a i m p o r t a n c i a d e e l m u e s t r e o .
P r e g u n t a s c l a v e
• ¾ C ó m o p a s a m o s d e u n a s e ñ a l d e t i e m p o c o n t i n u o a u n a s e ñ a l d e t i e m p o d i s c r e t o ( m u e s t r e o , A / D ) ?
• ¾ C u á n d o p o d e m o s r e c o n s t r u i r ( S e c t i o n 1 3 . 2 ) u n a s e ñ a l C T e x a c t a d e s u s m u e s t r a s ( r e c o n s t r u c c i ó n ,
D / A ) ?
•¾ M a n i p u l a r l a s e ñ a l D T e s l o q u e r e c o n s t r u i r l a s e ñ a l ?
1 3 . 1 . 2 M u e s t r e o
M u e s t r e o ( y r e c o n s t r u c c i ó n ) s o n l o s m e j o r e s e n t e n d i m i e n t o e n d o m i n i o d e f r e c u e n c i a . E m p e z a r e m o s v i e n d o
a l g u n o s e j e m p l o s :
E x e r c i s e 1 3 . 1 ( S o l u t i o n o n p . 2 4 4 . )
¾ Q u é s e ñ a l C T
f (t) t i e n e l a C T F T ( S e c t i o n 1 2 . 1 ) m o s t r a d a a n t e r i r o r m e n t e ?
f (t) =1
2π
∞−∞
F ( jw) ejwtdw
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 4 / 1 . 3 / > .
2 2 3
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2 2 4
C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
F i g u r e 1 3 . 1 : L a ( T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o C o n t i n u o ) C T F T d e
f (t).
P i s t a :
F ( jw) = F 1 ( jw) ∗ F 2 ( jw) d o n d e l a s d o s p a r t e s d e
F ( jw) s o n :
( a ) ( b )
F i g u r e 1 3 . 2
E x e r c i s e 1 3 . 2
( S o l u t i o n o n p . 2 4 4 . )
¾ Q u é s e ñ a l D T f s [n] t i e n e l a D T F T ( S e c t i o n 1 1 . 4 ) m o s t r a d a a n t e r i o r m e n t e ?
f s [n] = 12π π−π
f s
ejw
ejwndw
F i g u r e 1 3 . 3 : D T F T q u e e s p é r i o d i c a ( c o n
period = 2π) v e r s i ó n d e
F ( jw)e n l a F i g u r e 1 3 . 1 .
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2 2 5
F i g u r e 1 3 . 4 :
f (t)e s l a s e ñ a l d e t i e m p o - c o n t i n u o a n t e r i o r y
f s [n]e s l a v e r s i ó n m u e s t r e a d a d e t i e m p o -
d i s c r e t o d e
f (t)
1 3 . 1 . 2 . 1 G e n e r a l i z a c i ó n
P o r s u p u e s t o , q u e l o s r e s u l t a d o s d e l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s p u e d e n s e r g e n e r a l i z a d o s a c u a l q u i e r f (t) c o n
F ( jw) = 0, |w| > π , d o n d e f (t) e s l i m i t a d o e n b a n d a a [−π, π].
( a ) ( b )
F i g u r e 1 3 . 5 :
F ( jw)e s l a C T F T d e
f (t).
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2 2 6
C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
( a ) ( b )
F i g u r e 1 3 . 6 :
F s`
ejw´
e s l a D T F T d e
f s [n].
F s
ejw
e s p e r í o d i c o ( S e c t i o n 6 . 2 ) ( c o n p e r í o d o 2π) v e r s i ó n d e
F ( jw) .
F s
ejw
e s l a D T F T d e m u e s t r e o
d e s e ñ a l e n l o s e n t e r o s . F ( jw) e s l a C T F T d e s e ñ a l .
c o n c l u s i o n : S i f (t) e s l i m i t a d o e n b a n d a p a r a [−π, π] e n t o n c e s l a D T F T d e l a v e r s i ó n
m u e s t r e a d a
f s [n] = f (n)
e s s o l o p e r i ó d i c a ( c o n p e r í o d o 2π) v e r s i ó n d e
F ( jw) .
1 3 . 1 . 3 C a m b i a n d o u n a S e ñ a l D i s c r e t a e n u n a S e ñ a l C o n t i n u a
A h o r a v e a m o s c o m o c a m b i a r u n a s e ñ a l D T e n u n a s e ñ a l c o n t i n u a e n e l t i e m p o . S e a f s [n] u n a s e ñ a l D T c o n
D T F T F s
ejw
( a ) ( b )
F i g u r e 1 3 . 7 : F s`
ejw´
e s l a D T F T d e f s [n].
A h o r a , s e a
f imp (t) =
∞n=−∞
(f s [n] δ (t − n))
L a s e ñ a l C T , f imp (t) , e s n o - c e r o s o l o e n l o s e n t e r o s d o n d e h a y i m p l u l s o s d e a l t u r a f s [n] .
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2 2 7
F i g u r e 1 3 . 8
E x e r c i s e 1 3 . 3
( S o l u t i o n o n p . 2 4 4 . )
¾ C ú a l e s l a C T F T d e f imp (t) ?
A h o r a , d a d a s l a s m u e s t r a s f s [n] d e u n l i m i t a d o e n b a n d a p a r a l a s e ñ a l [−π, π] , n u e s t r o s i g u i e n t e p a s o e s
v e r c o m o p o d e m o s r e c o n s t r u i r ( S e c t i o n 1 3 . 2 )
f (t).
F i g u r e 1 3 . 9 : D i a g r a m a d e b l o q u e m o s t r a n d o c a d a p a s o b á s i c o u s a d o p a r a r e c o n s t r u i r
f (t). ¾ P o d e m o s
h a c e r n u e s t r o r e s u l t a d o i g u a l a
f (t)e x a c t a m e n t e ?
1 3 . 2 R e c o n s t r u c c i ó n
2
1 3 . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n
E l p r o c e s o d e r e c o n s t r u c c i ó n e m p i e z a t o m a n d o u n a s e ñ a l m u e s t r e a d a , q u e e s t a r á e n t i e m p o d i s c r e t o , y
h a c i e n d o u n a s o p e r a c i o n e s p a r a p o d e r c o n v e r t i r l a e n t i e m p o - c o n t i n u o y c o n a l g o d e s u e r t e e n u n a c o p i a d e
l a s e ñ a l o r i g i n a l . U n m é t o d o b á s i c o u s a d o p a r a r e c o n s t r u i r u n a s e ñ a l l i m i t a d a e n b a n d a d e [−π, π] d e s u s
m u e s t r a s e n l o s e n t e r o s e s h a c e r l o s s i g u i e n t e s p a s o s :
• c a m b i a r m u e s t r a d e l a s e c u e n c i a f s [n] e n u n t r e n d e i m p u l s o f imp (t)
• l t r o p a s a b a j a s f imp (t) p a r a o b t e n e r l a r e c o n s t r u c c i ó n
∼f (t) ( f r e q . = π )
2
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 9 / 1 . 2 / > .
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C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
F i g u r e 1 3 . 1 0 : D i a g r a m a d e b l o q u e d e r e c o n s t r u c c i ó n c o n e l l t r o p a s a b a j a s ( l o w p a s s l t e r ( L P F ) ) .
L a r e s p u e s t a a l i m p u l s o d e l l t r o p a s a b a j a s e s
g (t). L a s i g u i e n t e e c u a c i ó n n o s p e r m i t e r e c o n s t r u i r n u e s t r a
s e ñ a l ( F i g u r e 1 3 . 1 1 ) ,
∼f (t) .
∼f (t) = g (t) f imp (t)
= g (t)∞
n=−∞ (f s [n] δ (t − n))
=∼f (t)
=∞
n=−∞ (f s [n] (g (t) δ (t − n)))
=∞
n=−∞ (f s [n] g (t − n))
( 1 3 . 1 )
F i g u r e 1 3 . 1 1
1 3 . 2 . 1 . 1 E j e m p l o s d e F i l t r o s g
E x a m p l e 1 3 . 1 : F i l t r o s d e O r d e n C e r o
E s t e t i p o d e " l t r o " e s u n o d e l o s m á s b á s i c o s e n l o s l t r o s d e r e c o n s t r u c c i ó n . E s t e s i m p l e m e n t e
m a n t i e n e e l v a l o r q u e e s t a e n e l f s [n] p a r a τ s e g u n d o s . E s t o c r e a u n b l o q u e o p a s o s c o m o f u n c i ó n
d o n d e c a d a v a l o r d e l p u l s o e n f s [n] e s s i m p l e m e n t e a r r a s t r a d o a l s i g u i e n t e p u l s o . L a s i g u i e n t e
e c u a c i ó n y l a i l u s t r a c i ó n ( F i g u r e 1 3 . 1 2 ) r e p r e s e n t a n c o m o e l l t r o d e r e c o n s t r u c c i ó n f u n c i o n a c o n
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2 2 9
l a s i g u i e n t e g :
g (t) =
1 i f 0 < t < τ
0 o t h e r w i s e
f s [n] =
∞n=−∞
(f s [n] g (t − n)) ( 1 3 . 2 )
( a ) ( b )
F i g u r e 1 3 . 1 2 : M a n t i e n e e l O r d e n C e r o
p r e g u n t a : ¾ C ó m o e s q u e
∼f (t) r e c o n s t r u i d a c o n o r d e n c e r o s e c o m p a r a c o n l a o r i g i n a l f (t) e n e l
d o m i o n i o d e f r e c u e n c i a ?
E x a m p l e 1 3 . 2 : O r d e n N - e s i m o
A q u í v e r e m o s a l g u n o s e j e m p l o s r á p i d o s d e l a v a r i a n z a d e l l t r o d e o r d e n c e r o v i s t o e n e l e j e m p l o
a n t e r i o r .
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2 3 0
C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
( a )
( b )
( c )
F i g u r e 1 3 . 1 3 : E j e m p l o d e N - e s i m o O r d e n ( n - e s i m o o r d e n e s i g u a l a u n B - s p l i n e d e n - e s i m o o r d e n ) ( a )
P r i m e r O r d e n ( b ) S e g u n d o O r d e n ( c ) O r d e n
∞
1 3 . 2 . 2 Ú l t i m o F i l t r o d e R e c o n s t r u c c i ó n
p r e g u n t a : ¾ C ú a l e s e l ú l t i m o l t r o d e r e c o n s t r u c c i ó n ?
R e c o r d a n d o q u e ( F i g u r e 1 3 . 1 4 )
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2 3 1
F i g u r e 1 3 . 1 4 : D i a g r a m a d e b l o q u e d e n u e s t r a r e c o n s t r u c c i ó n . N o t e s e q u e c a d a u n a d e e s t a s s e ñ a l e s
t i e n e s u p r o p i a C T F T o D T F T c o r r e s p o n d i e n t e .
S i G ( jω) t i e n e l a s i g u i e n t e f o r m a ( F i g u r e 1 3 . 1 5 ) :
F i g u r e 1 3 . 1 5 : F i l t r o p a s a b a j a i d e a l
e n t o n c e s
∼f (t) = f (t)
P o r l o t a n t o , ½ u n l t r o p a s a b a j a i d e a l n o s d a r a u n a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a !
E n e l d o m i n i o e n e l t i e m p o , l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o
g (t) =sin (πt)
πt( 1 3 . 3 )
∼f (t) =
∞n=−∞ (f s [n] g (t − n))
=∞
n=−∞
f s [n] sin(π(t−n))π(t−n)
= f (t)
( 1 3 . 4 )
1 3 . 2 . 3 C o n c l u s i o n e s s o r p r e n d e n t e s
S i f (t) e s l i m i t a d o e n b a n d a a [−π, π], p u e d e s e r r e c o n s t r u i d o p e r f e c t a m e n t e d e s u m u e s t r a e n l o e n t e r o s
f s [n] = f (t) |t=n
f (t) =
∞n=−∞
f s [n]
sin (π (t − n))
π (t − n)
( 1 3 . 5 )
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2 3 2
C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
L a e c u a c i ó n a n t e r i o r p a r a u n a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a m e r e c e u n a m i r a d a m á s c e r c a n a ( S e c t i o n 1 3 . 3 ) ,
q u e s e v e r á e n l a s i g u i e n t e s e c c i ó n p a r a u n m e j o r e n t e n d i m i e n t o d e l a r e c o s t r u c c i ó n . A q u í e s t a n a l g u n a s
c o s a s p a r a e m p e z a r a p e n s a r e n e l l a s p o r a h o r i t a :
• ¾ Q u e sin(π(t−n))π(t−n)i g u a l a a l o s e n t e r o s d i f e r e n t e s a n ?
• ¾ C ú a l e s e l s o p o r t e d e
sin(π(t−n))π(t−n) ?
1 3 . 3 M á s s o b r e R e c o n s t r u c c i ó n P e r f e c t a
3
1 3 . 3 . 1 I n t r o d u c c i ó n
E n e l m o d u l o p r e v i o e n r e c o n s t r u c c i ó n ( S e c t i o n 1 3 . 2 ) , d i m o s u n a i n t r o d u c c i ó n d e c o m o t r a b a j a l a r e c o n -
s t r u c c i ó n y t e m p o r a l e m t e d e r i v a m o s u n a e c u a c i ó n u s a d a p a r a r e a l i z a r u n a p e r f e c t a r e c o n s t r u c c i ó n . A h o r a
t o m e m o s u n v i s t a z o m á s c e r c a n o a l a f o r m u l a d e l a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a :
f (t) =
∞n=−∞
f s
sin (π (t−
n))
π (t − n)
( 1 3 . 6 )
E s c r i b i r e m o s f (t) e n t é r m i n o s d e l a s f u n c i o n e s s i n c d e s p l a z a d a s y e s c a l a d a s sin (π (t − n))
π (t − n)
n∈Z
e s u n a b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 . 3 : B a s e s ) p a r a e l e s p a c i o d e s e ñ a l e s l i m i t a d a s e n b a d a [−π, π] . P e r o e s p e r e . . . .
1 3 . 3 . 1 . 1 F o r m u l a s d e l a D e r i v a d a d e R e c o n s t r u c c i ó n
¾ Q u e e s
<
sin (π (t
−n))
π (t − n) ,
sin (π (t
−k))
π (t − k) >=?( 1 3 . 7 )
E s t e p r o d u c t o i n t e r n o ( S e c t i o n 7 . 3 ) p u e d e s e r d i f í c i l d e c a l c u l a r e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o , a s i q u e u s a r e m o s
e l T e o r e m a d e P l a n c h a r e l ( S e c t i o n 7 . 1 2 )
< ·, · >=1
2π
π−π
e−(jωn)ejωkdω ( 1 3 . 8 )
3
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 0 / 1 . 2 / > .
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2 3 3
( a )
( b )
F i g u r e 1 3 . 1 6
s i n = k
< sincn,sinck > = 12π
π−π
e−(jωn)ejωkdω
= 1( 1 3 . 9 )
s i n = k
< sincn,sinck > = 12π
π−π
e−(jωn)ejωndω
= 12π
π−π
ejω(k−n)dω
= 12π
sin(π(k−n))j(k−n)
= 0
( 1 3 . 1 0 )
n o t a : E n l a ( 1 3 . 1 0 ) u s a m o s e l e c h o d e q u e l a i n t e g r a l d e l a s e n o s o i d a l e n u n i n t e r v a l o c o m p l e t o
e s 0 p a r a s i m p l i c a r n u e s t r a e c u a c i ó n .
A s í ,
<sin (π (t − n))
π (t − n),
sin (π (t − k))
π (t − k)>=
1 i f n = k
0 i f
n = k( 1 3 . 1 1 )
P o r l o t a n t o sin (π (t − n))
π (t − n)
n∈Z
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2 3 4
C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
e s u n a b a s e o r t o n o r m a l ( S e c t i o n 7 . 7 . 3 : B a s e O r t o n o r m a l ) ( O N B ) p a r a e l e s p a c i o d e f u n c i o n e s l i m i t a d a s d e
b a n d a d e [−π, π] .
m u e s t r e o : M u e s t r e o e s l o m i s m o q u e c a l c u l a r l o s c o e c i e n t e s d e O N B , q u e e s e l p r o d u c t o i n t e r n o
c o n s i n c s
1 3 . 3 . 1 . 2 R e s u m e n
U n a ú l t i m a v e z p a r a
f (t) [−π, π] l i m i t a d o e n b a n d a
S í n t e s i s
f (t) =
∞n=−∞
f s [n]
sin (π (t − n))
π (t − n)
( 1 3 . 1 2 )
A n á l i s i s
f s [n] = f (t) |t=n ( 1 3 . 1 3 )
P a r a p o d e r e n t e n d e r u n p o c o m á s s o b r e c o m o p o d e m o s r e c o n s t r u i r u n a s e ñ a l e x a c a t a m e n t e , s e r á ú t i l
e x a m i n a r l a r e l a c i ó n
4
e n t r e l a s t r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r ( C T F T y D T F T ) a m á s p r o f u n d i d a d .
1 3 . 4 T e o r e m a d e N y q u i s t
5
1 3 . 4 . 1 I n t r o d u c c i ó n
A n t e r i o r m e n t e h a b i a e s t a d o e x p u e s t o a l o s c o n c e p t o s d e t r a s d e l m u e s t r e o ( S e c t i o n 1 3 . 1 ) y e l t e o r e m a d e
m u e s t r e o . M i e n t r a s a p r e n d í a e s t a s i d e a s , d e b i o h a b e r e m p e z a d o a n o t a r q u e s i m u e s t r e a m o s a m u y b a j o v a l o r ,
h a y u n a o p o r t u n i d a d q u e n u e s t r a s e ñ a l o r i g i n a l n o s e a ú n i c a m e n t e d e n i d a p o r n u e s t r a s e ñ a l m u e s t r e a d a .
S i e s t o s u c e d e , e n t o n c e s n o e s g a r a n t i a d e q u e r e c o n t r u y a m o s ( S e c t i o n 1 3 . 2 ) c o r r e c t a m e n t e l a s e ñ a l . C o m o
r e s u l t a d o d e e s t o , e l T e o r e m a d e N y q u i s t h a s i d o c r e a d o . A c o n t i n u a c i ó n v e r e m o s e x a c t a m e n t e l o q u e
e s t e t o r e m a n o s d i c e .
1 3 . 4 . 2 T e o r e m a d e N y q u i s t
S e a T i g u a l a n u e s t r o p e r í o d o d e m u e s t r e o ( d i s t a n c i a e n t r e l a s m u e s t r a s ) . D e s p u é s s e a Ωs = 2πT
( f r e c u e n c i a
d e m u e s t r e o r a d i a n e s / s e g ) . H e m o s v i s t o q u e s i f (t) e s l i m i t a d o e n b a n d a e n [−ΩB, ΩB ] y m u e s t r e a m o s c o n
p e r í o d o T < πΩb
⇒ 2πΩs
< πΩB
⇒ Ωs > 2ΩB e n t o n c e s p o d e m o s r e c o n s t r u i r f (t) d e s u s m u e s t r a s .
T h e o r e m 1 3 . 1 : T e o r e m a d e N y q u i s t ( " T e o r e m a F u n d a m e n t a l d e P r o c e s a m i e n t o D i g i t a l d e S e ñ a l e s
D S P " )
S i f (t) e s l i m i t a d o e n b a n d a a [−ΩB, ΩB] , p o d e m o s r e c o n s t r u i r l o p e r f e c t a m e n t e d e s u s m u e s t r a s
f s [n] = f (nT )
p a r a Ωs = 2πT
> 2ΩB
ΩN = 2ΩB e s l l a m a d a l a " f r e c u e n c i a N y q u i s t " p a r a f (t) . P a r a l a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a d e s e r
p o s i b l e
Ωs ≥ 2ΩB
d o n d e Ωs e s l a f r e c u a n c i a d e m u e s t r e o y ΩB e s l a f r e c u e n c i a m á s a l t a e n l a s e ñ a l .
4
" E x a m i n g R e c o n s t r u c t i o n R e l a t i o n s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 9 9 / l a t e s t / >
5
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 1 / 1 . 2 / > .
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2 3 5
F i g u r e 1 3 . 1 7 : I l l u s t r a c i ó n d e l a F r e c u e n c i a N y q u i s t
E x a m p l e 1 3 . 3 : E j e m p l o s :
• E l o í d o h u m a n o o y e f r e c u e n c i a s h a s t a 2 0 k H z → C D e l v a l o r d e l a m u e s t r a e s 4 4 . 1 k H z .
• L a l i n e a t e l e f ó n i c a p a s a f r e c u e n c i a s d e h a s t a 4 k H z → l a m u e s t r a d e l a c o m p a ñ i a d e t e l e f o n o s
e s d e 8 k H z .
1 3 . 4 . 2 . 1 R e c o n s t r u c c i ó n
L a f o r m u l a d e l a r e c o n s t r u c c i ó n e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o s e v e c o m o
f (t) =∞
n=−∞
f s [n]
sinπT
(t − nT )
πT
(t − nT )
P o d e m o s c o n c l u i r , d e s d e a n t e s q u e
sinπT
(t − nT )
πT
(t − nT ), n ∈ Z
e s u n a b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 ) p a r a e l e s p a c i o d e [−ΩB , ΩB ] f u n c i o n e s l i m i t a d a s e n b a n d a , ΩB = πT
. L o s c o e c i e n t e s
d e e x p a n s i ó n p a r a e s t a b a s e s o n c a l c u l a d o s m u e s t r e a n d o f (t) e n e l v a l o r
2πT
= 2ΩB .
n o t a : L a b a s e t a m b i é n e s o r t o g o n a l . P a r a h a c e r l a o r t o n o r m a l ( S e c t i o n 7 . 8 ) , n e c e s i t a m o s u n f a c t o r
d e n o r m a l i z a c i ó n d e
√T .
1 3 . 4 . 2 . 2 L a g r a n P r e g u n t a
E x e r c i s e 1 3 . 4
( S o l u t i o n o n p . 2 4 4 . )
¾ Q u e p a s a s i Ωs < 2ΩB ? ¾ Q u é s u c e d e c u a n d o m u e s t r e a m o s a b a j o d e l v a l o r d e N y q u i s t ?
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C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
1 3 . 5 A l i a s i n g
6
1 3 . 5 . 1 I n t r o d u c c i ó n
C u a n d o c o n s i d e r a m o s l a r e c o n s t r u c c i ó n ( S e c t i o n 1 3 . 2 ) d e u n a s e ñ a l , u s t e d y a d e b e d e e s t a r f a m i l i a r i z a d o c o n
l a i d e a d e e l v a l o r d e N y q u i s t . ( S e c t i o n 1 3 . 4 ) E s t e c o n c e p t o n o s p e r m i t e e n c o n t r a r e l v a l o r d e m u e s t r e o q u e
n o s d a r a u n a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a d e n u e s t r a s e ñ a l . S i n o s o t r o s m u e s t r e a m o s e n u n v a l o r m u y b a j o ( a b a j o
d e l v a l o r d e N y q u i s t ) , e n t o n c e s s u r g i r á n p r o b l e m a s p a r a h a c e r u n a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a i m p o s i b l e - e s t e
p r o b l e m a e s c o o c i d o c o m o a l i a s i n g ( a l g u n o s a u t o r e s t r a d u c e n e s t e t é r m i n o c o m o s o l a p a m i e n t o ) . A l i a s i n g
o c u r r e c u a n d o h a y u n t r a s l a p o e n e l d e s p l a z a m i e n t o , c o p i a s p é r i o d i c a s e n n u e s t r a s e ñ a l F T , e s d e c i r e s p e c t r o .
E n e l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a , n o t a r e m o s q u e p a r t e d e l a s e ñ a l s e t r a s l a d a r a c o n l a s e ñ a l s i g u i e n t e a é l . E n
e s t e s o l a p a m i e n t o l o s v a l o r e s d e l a f r e c u e n c i a s e r á n s u m a d o s j u n t o s y l a f o r m a d e l e s p e c t r o d e l a s e ñ a l s e r á
i n d e s e a b l e m e n t e a l t e r a d o . E s t e s o l a p a m i e n t o o a l i a s i n g h a c e p o s i b l e d e t e r m i n a r c o r r e c t a m e n t e l a f u e r z a d e
l a f r e c u e n c i a . L a F i g u r e 1 3 . 1 8 n o s d a u n e j e m p l o v i s u a l d e e s t e f e n ó m e n o :
F i g u r e 1 3 . 1 8 : E l e s p e c t r o d e u n a s e ñ a l l i m i t a d a e n b a n d a ( a W H z ) e s m o s t r a d a a r r i b a e n l a g r á c a .
S i e l i n t e r v a l o m u e s t r e a d o
T s e s e l e g i d a d e m a s i a d o g a n d e r e l a t i v o c o n e l a n c h o d e b a n d a
W , e l a l i a s i n g
o c u r r i r a . E n l a g r á c a d e l a p a r t e d e a b a j o , e l i n t e r v a l o m u e s t r e a d o e s e l e g i d o s u c i e n t e m e n t e p e q u e ñ o
p a r a e v i t a r e l a l i a s i n g . N o t e q u e s i l a s e ñ a l n o f u e r a l i m i t a d a e n b a n d a , e l c o m p o n e n t e d e l e s p e c t r o
s i e m p r e s e r í a t r a s l a p a d o .
1 3 . 5 . 2 A l i a s i n g y M u e s t r e o
S i m u e s t r e a m o s d e m a s i a d o l e n t o , e s d e c i r ,
Ωs < 2ΩB , T >π
ΩB
N o p o d e m o s r e c u p e r a r l a s e ñ a l d e s u m u e s t r a d e b i d o a l a l i a s i n g .
6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 3 / 1 . 3 / > .
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2 3 7
E x a m p l e 1 3 . 4
S e a
f 1 (t) t i e n e C T F T .
F i g u r e 1 3 . 1 9 : E n e s t a g u r a , n o t e l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :
ΩB −Ωs2
= a
S e a
f 2 (t) t i e n e C T F T .
F i g u r e 1 3 . 2 0 : L a s p o r c i o n e s o r i g i n a l e s d e l a s e ñ a l r e s u l t a n d e l s o l a p a m i e n t o c o n r e p l i c a s d e s p l a z a d a s -
m o s t r a n d o l a d e m o s t r a c i ó n v i s u a l d e l a l i a s i n g .
T r a t e d e b o s q u e j a r y r e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s p o r s u c u e n t a :
• ¾ Q u é e s l o q u e h a c e l a D T F T d e f 1,s [n] = f 1 (nT ) ?
• ¾ Q u é e s l o q u e h a c e l a D T F T d e f 2,s [n] = f 2 (nT ) ?
• ¾ A l g u n a o t r a s e ñ a l t i e n e l a m i s m a D T F T c o m o f 1,s [n] y f 2,s [n]?
C O N C L U S I Ó N : S i m u e s t r e a m o s d e b a j o d e l a f r e c u e n c i a d e N y q u i s t , h a y m u c h a s s e ñ a l e s q u e p u e d e n p r o d u c i r
l a s e c u e n c i a d a d a d e l a m u e s t r a .
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2 3 8
C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
F i g u r e 1 3 . 2 1 : T o d a s s o n i g u a l e s
¾ P o r q u é e l t é r m i n o " a l i a s i n g " ? P o r q u e l a m i s m a m u e s t r a d e s e c u e n c i a p u e d e s e r r e p r e s e n t a d a p o r
d i f e r e n t e s s e ñ a l e s C T ( e n c o m p a r a c i ó n a c u a n d o m u e s t r e a m o s l a f r e c u e n c i a d e N y q u i s t a n t e r i o r , e n t o n c e s l a
s e c u e n c i a m u e s t r a r e p r e s e n t a u n a s e ñ a l C T ú n i c a ) .
F i g u r e 1 3 . 2 2 : E s t a s d o s s e ñ a l e s c o n t i e n e n l a s m i s m a s c u a t r o m u e s t r a s , c o n t o d o s o n s e ñ a l e s m u y
d i f e r e n t e s .
E x a m p l e 1 3 . 5
f (t) = cos (2πt)
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2 3 9
F i g u r e 1 3 . 2 3 : L a g u r a m u e s t r a l a f u n c i ó n c o s e n o ,
f (t) = cos (2πt), y s u C T F T .
C a s o 1 : M u e s t r a Ωs = (8π) radseg
⇒ T = 14seg .
n o t e : Ωs > 2ΩB
C a s o 2 : M u e s t r a
wΩs
= 83π radseg
⇒T = 3
4seg .
n o t a : Ωs < 2ΩB
C u a n d o c o r r e m o s l a D T F T d e l C a s o # 2 a t r a v é s d e l o s p a s o s d e r e c o n s t r u c c i ó n , n o s d a m o s
c u e n t a q u e t e r m i n a m o s c o n e l s i g u i e n t e c o s e n o :
∼f (t) = cos
π
2t
E s t a e s u n a v e r s i ó n " e s t r e c h a " d e l a v e r s i ó n o r i g i n a l . C l a r a m e n t e n u e s t r o v a l o r d e m u e s t r a n o f u e
l o s u e n c i t e m e n t e a l t o p a r a a s e g u r a r l a r e c o n s t r u c c i ó n c o r r e c t a d e l a s m u e s t r a s .
P r o b a b l e m e n t a y a h a b r a v i s t o a l g u n o s e f e c t o s d e l a l i a s i n g t a l c o m o : u n a r u e d a d e l c a r r o q u e d a v u e l t a a l
r e v é s e n u n a p e l í c u l a o c c i d e n t a l . A q u í h a y a l g u n a s l i g a s
7
q u e i l u s t r a n d i c h o e f e c t o , d e b a j o m u e s t r e o y
a l i a s i n g . E s t e e s u n e j e m p l o d e u n a i m a g e n q u e t i e n e a r t e f a c t o s d e M o i r e
8
c o m o r e s u l t a d o d e u n a e s c a n e a d a
a u n a f r e c u e n c i a m u y b a j a .
1 3 . 6 F i l t r o s A n t i - A l i a s i n g
9
1 3 . 6 . 1 I n t r o d u c t i o n
L a i d e a d e a l i a s i n g ( S e c t i o n 1 3 . 5 ) f u e d e s c r i t a c o m o e l p r o b l e m a q u e o c u r r e s i u n a s e ñ a l e s n o m u e s t r e a d a
( S e c t i o n 1 3 . 1 ) e n u n v a l o r s u c i e n t e m e n t e g r a n d e ( p o r e j e m p l o , d e b a j o d e l a F r e c u e n c i a d e N y q u i s t ( S e c -
t i o n 1 3 . 4 ) ) . P e r o e x a c t a m e n t e ¾ q u é t i p o d e d i s t o r c i ó n p r o d u c e e l a l i a s i n g ?
7
h t t p : / / o w e r s . o f t h e n i g h t . o r g / w a g o n W h e e l
8
h t t p : / / w w w . d v p . c o . i l / l t e r / m o i r e . h t m l
9
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 4 / 1 . 2 / > .
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2 4 0
C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
( a )
( b )
F i g u r e 1 3 . 2 4
F r e c u e n c i a s a l t a s e n l a s e ñ a l o r i g i n a l " s e d o b l a " e n f r e c u e n c i a s b a j a s .
F r e c u e n c i a s a l t a s d i s f r a z a d a s c o m o f r e c u e n c i a s b a j a s p r o d u c e n a r t e f a c t o s a l t a m e n t e i n d e s e a b l e s e n l a
s e ñ a l r e c o n s t r u i d a .
C u i d a d o : D e b e m o s d e e v i t a r e l a l i a s i n g d e l a f o r m a q u e p o d a m o s .
1 3 . 6 . 2 E v i t a n d o e l A l i a s i n g
¾ C ó m o s i e s t o e s i m p r a c t i c a m e n t e / i m p o s i b l e p a r a m u e s t r a s c o m o Ωs > 2ΩB ?
F i l t r e h a c i a a f u e r a l a s f r e c u e n c i a s a n t e r i o r e s
Ωs2 a n t e s d e q u e m u e s t r e e , l a m e j o r f o r m a d e v i s u a l i z a r l o e s
i m a g i n a r l o s s i g u i e n t e s p a s o s :
1 . T o m a r l a C T F T ( T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o ) d e l a s e ñ a l , f (t) .
2 . P a s a r l a s e ñ a l a t r a v é s d e u n l t r o p a s a b a j a s c o n l a s s i g u i e n t e e s p e c i c a c i ó n ,
ωc = Ωs2 .
3 . A h o r a t e n e m o s u n a g r á c a d e n u e s t r a s e ñ a l e n e l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a c o n t o d o s l o s v a l o r e s d e |ω| > Ωs2
i g u a l a c e r o . A h o r a t o m a m o s l a i n v e r s a d e l a C T F T p a r a r e g r e s a r a n u e s t r a s e ñ a l d e t i e m p o c o n t i n u o ,
f a (t) .
4 . Y n a l m e n t e e s t a m o s l i s t o s p a r a m u e s t r e a r n u e s t r a s e ñ a l .
E x a m p l e 1 3 . 6
V a l o r d e m u e s t r a p a r a
CD = 44.1KH z.
M u c h o s i n s t r u m e n t o s m u s i c a l e s , c o n t i e n e n l a s f r e c u e n c i a s a r r i b a d e 22KH z ( a u n c u c a n d o n o
l o s p o d e m o s e s c u c h a r ) .
D e b i d o a e s t o , p o d e m o s l t r a r l a s e ñ a l d e s a l i d a d e l i n s t r u m e n t o a n t e s d e q u e l a m u e s t r e m o s
u s a n d o e l s i g u i e n t e l t r o :
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2 4 1
F i g u r e 1 3 . 2 5 : E s t e l t r o c o r t a r a l a f r e c u e n c i a a l t a i n e c e s a r i a , d o n d e |ωc| > 2π22kH z
A h o r a l a s e ñ a l e s t a l i s t a p a r a s e r m u e s t r e a d a .
E x a m p l e 1 3 . 7 : O t r o E j e m p l o
E l d i s c u r s o d e l a n c h o d e b a n d a e s > ± (20kH z), p e r o e s p e r f e c t a m e n t e i n t e l i g i b l e c u a n d o e l l t r a d o
p a s a b a j a a u n r a n g o ± (4kH z) . D e b i d o a e s t o p o d e m o s t o m a r u n a s e ñ a l d e d i s c u r s o n o r m a l y
p a s a r l a a t r a v é s d e l l t r o c o m o l a m o s t r a d a e n l a F i g u r e 1 3 . 2 5 , d o n d e a h o r a p o n e m o s
|ωc| > 2π4kH z.
L a s e ñ a l q u e r e c i b i m o s d e e s t e l t r o s o l a m e n t e c o n t i e n e v a l o r e s d o n d e |ω| > 8πk .
A h o r a p o d e m o s m u e s t r e a r e n 16πk = 8kH z r a n g o d e l a t e l e f o n í a e s t a n d a r d .
1 3 . 7 P r o c e s a m i e n t o d e T i e m p o D i s c r e t o d e S e ñ a l e s d e T i e m p o
C o n t i n u o
1 0
F i g u r e 1 3 . 2 6
¾ C ó m o e s t a r e l a c i o n a d a l a C T F T d e y ( t ) c o n l a C T F T d e F ( t ) ?
S e a G ( jω) = r e s p u e s t a d e l a f r e c u e n c i a d e l l t r o d e r e c o n s t r u c c i ó n
Y ( jω) = G ( jω) Y imp ( jω)
d o n d e
Y imp ( jω) e s s e c u e n c i a d e i m p u l s o c r e a d a d e
ys [n]. A s í q u e ,
Y ( jω) = G ( jω) Y s
ejωT
= G ( jω) H
ejωT
F s
ejωT
Y ( jω) = G ( jω) H
ejωT 1
T
∞r=−∞
F
j
ωF 2πr
T
Y ( jω) =1
T G ( jω) H
ejωT
∞r=−∞
F
j
ωF 2πr
T
1 0
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 6 / 1 . 2 / > .
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2 4 2
C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
A h o r a a s u m i r e m o s q u e f ( t ) e s l i m i t a d o e n b a n d a a
− πT
, πT
=− Ωs
2
, Ωs
2
y G ( jω) e s u n l t r o p e r f e c t o
d e r e c o n t r u c c i ó n . E n t o n c e s
Y ( jω) = F ( jω) H
ejωT
i f |ω| ≤ π
T
0o t h e r w i s e
n o t a : Y ( jω) t i e n e l e m i s m o " l i m i t e e n b a n d a " c o m o F ( jω) .
E n t o n c e s , p a r a s e ñ a l e s l i m i t a d a s e n b a n d a , y c o n u n v a l o r d e m u e s t r a s u c i e n t e m e n t e a l t o y u n l t r o d e
r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t o
F i g u r e 1 3 . 2 7
e s e q u i v a l e n t e a u s a r u n l t r o a n á l o g o L T I
F i g u r e 1 3 . 2 8
d o n d e
H a ( jω) =
H
ejωT
i f |ω| ≤ π
T
0 o t h e r w i s e
S i e n d o c u i d a d o s o s p o d e m o s i m p l e m e n t a r e l s i s t e m a L T I p a r a s e ñ a l e s l i m i t a d a s e n b a n d a e n n u e s t r a p r o p i a
c o m p u t a d o r a .
F i g u r e 1 3 . 2 9
N o t a i m p o r t a n t e :
H a ( jω) = l t r o i n d u c i d o p o r n u e s t r o s i s t e m a .
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2 4 3
F i g u r e 1 3 . 3 0
H a ( jω) e s L T I s i y s o l o s i
• h, e s s i s t e m a D T e s L T I
• F ( jω), l a e n t r a d a , e s l i m i t a d a e n b a d a y e l v a l o r d e l a m u e s t r a e s s u c i e n t e m e n t e g r a n d e .
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2 4 4
C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 1 3
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 3 . 1 ( p . 2 2 3 )
f (t) = 12π
∞−∞
F ( jw) ejwtdw
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 3 . 2 ( p . 2 2 4 )
Y a q u e F ( jw) = 0 a f u e r a d e [−2, 2]
f (t) =1
2π
2−2
F ( jw) ejwtdw
T a m b i é n , y a q u e s o l o u t i l i z a m o s u n i n t e r v a l o p a r a r e c o n s t r u i r
f s [n] d e s u D T F T , t e n e m o s
f s [n] =1
2π
2−2
f s
ejw
ejwndw
Y a q u e F ( jw) = F s
ejw
e n [−2, 2]f s [n] = f (t) |t=n
e s d e c i r f s [n] e s u n a v e r s i ó n m u e s t r e a d a d e f (t).
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 3 . 3 ( p . 2 2 7 )
f imp (t) =∞
n=−∞(f s [n] δ (t − n))
∼F imp ( jw) =
∞−∞ f imp (t) e−(jwt)dt
=
∞−∞
∞n=−∞ (f s [n] δ (t − n))
e−(jwt)dt
=∞n=−∞ (f s [n])
∞−∞ δ (t − n) e−(jwt
)dt=
∞n=−∞ (f s [n])
e−(jwn)
= F s
ejw
( 1 3 . 1 4 )
A s í q u e l a C T F T d e f imp (t) e s i g u a l a l a D T F T d e f s [n]
n o t a : U s a m o s l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o p a r a m o s t r a r
∞−∞ δ (t − n) e−(jwt)dt = e−(jwn)
S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 3 . 4 ( p . 2 3 5 )
V a y a s e a t r a v é s d e l o s p a s o s : ( v é a s e l a F i g u r e 1 3 . 3 1 )
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2 4 5
F i g u r e 1 3 . 3 1
F i n a l m e n t e , ¾ Q u é l e p a s a r a a h o r a a F s
ejω
? P a r a c o n t e s t a r e s t a ú l t i m a p r e g u n t a , n e c e s i t a m o s v e r e l
c o n c e p t o d e a l i a s i n g ( S e c t i o n 1 3 . 5 ) .
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2 4 6
C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O
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C h a p t e r 1 4
T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y D i s e ñ o d e
S i s t e m a s
1 4 . 1 L a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e
1
L a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e e s u n a g e n e r a l i z a c i ó n d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o
( S e c t i o n 1 2 . 1 ) . S i n e m b a r g o , e n l u g a r d e u s a r f u n c i o n e s s e n o s o i d a l e s c o m p l e j a s ( S e c t i o n 8 . 2 ) d e l a f o r m a
ejωt , c o m o l o h a c e l a C T F T , l a t r a n s f o r m a d a d e l a p l a c e u t i l i z a u n a f o r m a m á s g e n e r a l i z a d a , est , d o n d e
s = σ + jω .
A u n q u e l a s t r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e r a r a v e z s e r e s u e l v e n m e d i a n t e i n t e g r a c i ó n ( s i n o p o r m e d i o d e
t a b l a ( S e c t i o n 1 4 . 3 ) y u s o d e c o m p u t a d o r a s ( p o r e j e m p l o M a t l a b ) e s m á s c o m u n ) , a q u í v e r e m o s l o s p a r e s
b i l a t e r a l e s d e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e . E s t o d e n e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y s u i n v e r s a . N o t e s e
l a s s i m i l i t u d e s e n t r e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y s u i n v e r s a . E s t o n o s d a r a c o m o r e s u l t a d o m u c h a s d e l a s
s i m e t r i a s e n c o n t r a d a s e n e l a n á l i s i s d e F o u r i e r . ( S e c t i o n 8 . 1 )
T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e
F (s) =
∞−∞
f (t) e−(st)dt ( 1 4 . 1 )
T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e
f (t) =1
2πj
c+j∞
c−j∞F (s) estds
( 1 4 . 2 )
1 4 . 1 . 1 E n c o n t r a n d o l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y s u I n v e r s a
1 4 . 1 . 1 . 1 R e s o l v i e n d o l a I n t e g r a l
P r o b a b l e m e n t e e l m é t o d o m á s d i f í c i l y m e n o s u s a d o p a r a e n c o n t r a r l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e e s r e s o l v i e n d o
l a i n t e g r a l . A u n q u e e s t é c n i c a m e n t e p o s i b l e e s e x t r e m a d a m e n t e c o n s u m i d o r d e t i e m p o . D a d a l a f a c i l i d a d d e
l o s s i g u i e n t e s d o s m é t o d o s p a r a e n c o n t r a r l a , n o s e v e r a d e o t r a m a n e r a . L a s i n t e g r a l e s e s t a n p r i m o r d i a l m e n t e
p a r a e n t e n d e r d e d o n d e s e o r i g i n a n l o s s i g u i e n t e s m é t o d o s .
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 8 / 1 . 2 / > .
2 4 7
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C H A P T E R 1 4 . T R A N S F O R M A D A D E L A P L A C E Y D I S E Ñ O D E S I S T E M A S
1 4 . 1 . 1 . 2 U s a n d o u n a C o m p u t a d o r a
E l u s o d e u n a c o m p u t a d o r a p a r a e n c o n t r a r l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e e s r e l a t i v a m e n t e s e n c i l l o . M a t l a b
t i e n e d o s f u n c i o n e s , l l e l l , l a s d o s f o r m a n p a r t e d e l a s l i b r e r i a s s i m b o l i c a s , y e n c o n t r a r e m o s l a
t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y s u i n v e r s a r e s p e c t i v a m e n t e . E s t e m é t o d o e s p r e f e r i d o g e n e r a l m e n t e p a r a f u n c i o n e s
m á s c o m p l i c a d a s . F u n c i o n e s m á s s e n c i l l a s e i d e a l e s u s u a l m e n t e s e e n c u e t r a n m á s f a c i l m e d i a n t e e l u s o d e
t a b l a s ( S e c t i o n 1 4 . 1 . 1 . 3 : U s a n d o T a b l a s ) .
1 4 . 1 . 1 . 3 U s a n d o T a b l a s
C u a n d o s e a p r e n d e p o r p r i m e r a v e z l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e , l a s t a b l a s e s l a f o r m a m á s c o m u n p a r a
e n c o n t r a r l a . C o n s u c i e n t e p r á c t i c a l a s t a b l a s s e h a c e n i n e c e s a r i a s . P a r a e l p r o p o s i t o d e s t a s e c c i ó n , n o s
e n f o c a r e m o s e n l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d e L a p l a c e , d a d o q u e l a g r a n p a r t e d e l d i s e ñ o d e a p l i c a c i o n e s e m p i e z a
e n e l d o m i n i o d e L a p l a c e y d a n c o m o r e s u l t a d o u n a s o l u c i ó n e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o . E l m é t o d o e s e l
s i g u i e n t e :
1 . S e e s c r i b e l a f u n c i ó n q u e s e d e s e a t r a n s f o r m a r H (s), c o m o l a s u m a d e o t r a s f u n c i o n e s H (s) =
m
i=1(H i (s)) d o n d e c a d a u n a d e l a s H i s e e n c u e n t r a e n l a t a b l a ( S e c t i o n 1 4 . 3 ) .
2 . I n v e r t i r c a d a H i (s) p a r a o b t e n e r s u hi (t).
3 . S e s u m a c a d a hi (t) p a r a o b t e n e r h (t) =m
i=1 (hi (t))
E x a m p l e 1 4 . 1
C a l c u l e h (t) p a r a H (s) = 1s+5
, Re (s) > −5
E s t o p u e d e s e r r e s u e l t o d i r e c t a m e n t e u s a n d o l a t a b l a ( S e c t i o n 1 4 . 3 ) p a r a s e r h (t) = e−(5t)
E x a m p l e 1 4 . 2
E n c o n t r a r l a r e p r e s e n t a c i ó n e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o h (t) , d e H (s) = 25s+10 , Re (s) > −10
P a r a r e s o l v e r e s t o , p r i m e r o n o t e m o s q u e H (s) t a m b i é n p u e d e s e r e s c r i t o c o m o 25 1s+10 . E n t o n c e s
p o d e m o s i r a l a t a b l a ( S e c t i o n 1 4 . 3 ) p a r a e n c o n t r a r h (t) = 25e−(10t)
E x a m p l e 1 4 . 3
P o d e m o s e x t e n d e r l o s d o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s e n c o n t r a n d o
h (t)p a r a
H (s) =1
s+5+25
s+10 , Re (s) >−5P a r a r e a l i z a r e s t o , t o m a m o s v e n t a j a d e l a p r o p i e d a d d e a d i t i v i d a d y l i n e a l i d a d y e l m é t o d o d e
l o s t r e s p a s o s d e s c r i t o a n t e r i o r m e n t e p a r a o b t n e r c o m o r e s u l t a d o h (t) = e−(5t) + 25e−(10t)
P a r a e j e m p l o s m á s c o m p l i c a d o s , s e r i á m á s d i f í c i l d e s c o m p o n e r l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e n p a r t e s q u e s e
e n c u e n t r e n e n l a t a b l a . E n e s t e c a s o , e s n e c e s a r i o e l u s o d e e x p a n s i ó n e n f r a c c i o n e s p a r c i a l e s
2
p a r a o b t e n e r
l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e n u n a f o r m a m á s ú t i l .
1 4 . 1 . 2 V i s u a l i z a n d o l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e
C o n l a t r a n s f r o m a d a d e F o u r i e r , t e n e m o s u n a f u n c i ó n d e v a l o r e s c o m p l e j o s d e v a r i a b l e s p u r a m e n t e
i m a g i n a r i a s F ( jω) . E s t o e s a l g o q u e s e p o d r í a v i s u a l i z a r m e d i a n t e g r á c a s e n 2 - d i m e n s i o n e s ( p a r t e r e a l e
i m a g i n a r i a o m a g n i t u d y f a s e ) . S i n e m a b r g o , c o n L a p l a c e t e n e m o s u n a f u n c i ó n d e v a l o r e s c o m p l e j o s d e
u n a v a r i a b l e c o m p l e j a . P a r a e x a m i n a r l a m a g n i t u d y l a f a s e o l a p a r t e r e a l e i m a g i n a r i a d e e s t a f u n c i ó n ,
d e b e m o s e x a m i n a r l a g r á c a d e s u p e r c i e e n 3 - d i m e n s i o n e s d e c a d a c o m p o n e n t e .
2
" P a r t i a l F r a c t i o n E x p a n s i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 2 1 1 1 / l a t e s t / >
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2 4 9
E j e m p l o d e g r á c a s r e a l e i m a g i n a r i a
( a ) ( b )
F i g u r e 1 4 . 1 : P a r t e r e a l e i m a g i n a r i a d e H (s) s o n c a d a u n a s u p e r c i e s e n 3 - d i m e n s i o n e s . ( a ) L a p a r t e
r e a l d e
H (s)( b ) L a p a r t e I m a g i n a r i a d e
H (s)
E j e m p l o s d e g r á c a s d e m a g n i t u d y f a s e
( a ) ( b )
F i g u r e 1 4 . 2 : M a g n i t u d y F a s e d e
H (s)s o n t a m b i é n s u p e r c i e s e n 3 - d i m e n s i o n e s . E s t a r e p r e s e n t a c i ó n
e s m á s c o m u n q u e l a s p a r t e s r e a l e i m a g i n a r i a . ( a ) L a m a g n i t u d d e
H (s)( b ) L a f a s e d e
H (s)
M i e n t r a s q u e e s t a s s o n m a n e r a s l e g i t i m a s d e v e r u n a s e ñ a l e n e l d o m i n i o d e L a p l a c e , e s a l g o d i f í c i l
d i b u j a r l a s y a n a l i z a r l a s . P o r e s t a r a z o n , u n m é t o d o m á s s e n c i l l o h a s i d o d e s a r r o l l a d o ; q u e a q u í n o s e r á
d i s c u t i d o a d e t a l l e , e l m é t o d e d e P o l o s y C e r o s ( S e c t i o n 1 4 . 6 ) d o n d e e s m u c h o m á s s e n c i l l o d e e n t e n d e r l a
T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y s u c o n t r a p a r t e d i s c r e t a e n e l t i e m p o l a T r a n s f o r m a d a Z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) y s o n
r e p r e s e n t a d a s g r á c a m e n t e .
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2 5 0
C H A P T E R 1 4 . T R A N S F O R M A D A D E L A P L A C E Y D I S E Ñ O D E S I S T E M A S
1 4 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e
3
P r o p i e d a d S e ñ a l T r a n s f o r m a d a d e
L a p l a c e
R e g i ó n d e
C o n v e r g e n c i a ( R O C )
L i n e a l i d a d
αx1 (t) + βx2 (t) αX 1 (s) + βX 2 (s) A l m e n o s u n a
ROC 1
ROC 2
D e s p l a z a m i e n t o e n e l
T i e m p o
x (t − τ ) e−(sτ )X (s) ROC
D e s p l a z a m i e n t o d e
F r e c u e n c i a
( m o d u l a c i ó n )
eηtx (t) X (s − η) D e s p l a z a d o u n a
ROC (
s − ηd e b e d e e s t a r e n l a
r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a )
E s c a l a m i e n t o e n e l
T i e m p o
x (αt) (1 − |α|) X (s − α) E s c a l a d o u n a ROC (
s − α d e b e d e e s t a r e n
l a r e g i ó n d e
c o n v e r g e n c i a )
C o n j u g a c i ó n x (t)∗ X (s∗)
∗ ROC
C o n v o l u c i ó n x1 (t) ∗ x2 (t) X 1 (t) X 2 (t) A l m e n o s u n a
ROC 1
ROC 2
D i f e r e n c i a c i ó n e n e l
T i e m p o
ddt
x (t) sX (s) A l m e n o s u n a
ROC
D i f e r e n c i a c i ó n d e l a
F r e c u e n c i a
(−t) x (t) dds
X (s) ROC
I n t e g r a c i ó n e n e l
T i e m p o
t−∞ x (τ ) dτ (1 − s) X (s) A l m e n o s u n a
ROC
Re (s) > 0
3
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 9 / 1 . 2 / > .
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2 5 1
1 4 . 3 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e C o m u n e s
4
S e ñ a l T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a
δ (t) 1 A l l
s
δ (t − T ) e−(sT ) A l l s
u (t) 1s
Re (s) > 0
− (u (−t)) 1s
Re (s) < 0
tu (t) 1s2
Re (s) > 0
tnu (t) n!sn+1
Re (s) > 0
− (tnu (−t)) n!sn+1
Re (s) < 0
e−(λt)u (t) 1s+λ
Re (s) > −λ
− e−(λt)u (
−t) 1
s+λRe (s) <
−λ
te−(λt)u (t) 1(s−λ)2
Re (s) > −λ
tne−(λt)u (t) n!(s+λ)n+1
Re (s) > −λ
− tne−(λt)u (−t)
n!(s+λ)n+1
Re (s) < −λ
cos (bt) u (t) ss2+b2
Re (s) > 0
sin (bt) u (t) bs2+b2
Re (s) > 0
e−(at)cos (bt) u (t) s+a(s+a)2+b2
Re (s) > −a
e−(at)sin (bt) u (t) b(s+a)2+b2
Re (s) > −a
dn
dtnδ (t) sn A l l s
1 4 . 4 R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e
5
C o n l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e
6
, e l p l a n o s r e p r e s e n t a u n c o n j u n t o d e s e ñ a l e s ( e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s
( S e c t i o n 1 . 5 ) ) . P a r a c u a l q u i e r s i s t e m a L T I , a l g u n a d e e s t a s s e ñ a l e s p u e d e c a u s a r q u e l a s a l i d a d e l s i s t e m a
i n v e r s a , m i e n t r a s o t r a s h a c e n q u e l a s a l i d a d e l s i s t e m a d i v e r j a ( e x p l o t e ) . E l c o n j u n t o d e l a s s e ñ a l e s q u e
c a u s a q u e l a s a l i d a d e l o s s i s t e m a s c o n v e r j a s e e n c u e n t r a n e n l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a ( R O C ) . e s t e
m o d u l o d i s c u t i r á c o m o e n c o n t r a r l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a p a r a c u a l q u i e r s i s t e m a L T I c o n t i n u o .
R e c u e r d e l a d e n i c i ó n d e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e ,
T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e
H (s) =
∞−∞
h (t) e−(st)dt( 1 4 . 3 )
S i c o n s i d e r a m o s u n e x p o n e n c i a l c o m p l e j o c a u s a l ( S e c t i o n 2 . 1 ) ,
h (t) = e−(at)
u (t), o b t e n e m o s l a s i g u i e n t e
e c u a c i ó n , ∞0
e−(at)e−(st)dt =
∞0
e−((a+s)t)dt( 1 4 . 4 )
e v a l u a n d o e s t o o b t e n e m o s ,
−1
s + a
limt→∞
e−((s+a)t) − 1
( 1 4 . 5 )
4
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 9 / 1 . 1 / > .
5
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 1 / 1 . 1 / > .
6
" T h e L a p l a c e T r a n s f o r m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 1 0 / l a t e s t / >
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2 5 2
C H A P T E R 1 4 . T R A N S F O R M A D A D E L A P L A C E Y D I S E Ñ O D E S I S T E M A S
N o t a q u e e s t a e c u a c i ó n i r a i n n i t o c u a n d o limt→∞e−((s+a)t)
v a y a a l i n n i t o . P a r a e n t e n d e r p o r q u e p a s a e s t o ,
t o m a r e m o s u n p a s o m a s a l u s a r
s = σ + jωp a r a r e a l i z a r e c u a c i o n e s c o m o
limt→∞
e−(jωt)e−((σ+a)t)( 1 4 . 6 )
A l r e c o n o c e r q u e
e−(jωt)e s s e n o s o i d a l , s e v u e l v e a p a r e n t e
e−(σ(a)t)v a d e t e r m i n a r s i l a e c u a c i ó n e x p l o t a o
n o . l o q u e e n c o n t r a m o s e s q u e s i
σ + ae s p o s i t i v o , e l e x p o n e n c i a l v a a t e n e r u n a p o t e n c i a n e g a t i v a , l o q u e
v a a c a u s a r q u e e s t o s e v a y a a c e r o c u a n d o t v a y a a i n n i t o . P e r o s i σ + a e s n e g a t i v a o c e r o , e l e x p o n e n c i a l
n o t e n d r á u n a p o t e n c i a n e g a t i v a , l o q u e p r e v e n d r á q u e v a y a a c e r o y e l s i s t e m a n o v a a c o n v e r g e r . L o q u e
t o d o e s t o n o s d i c e e s q u e p a r a u n a s e ñ a l c a u s a r , t e n e m o s c o n v e r g e n c i a c u a n d o
C o n d i c i ó n p a r a C o n v e r g e n c i a
Re (s) > −a ( 1 4 . 7 )
A u n q u e n o p a s a r e m o s p o r e s t e p r o c e s o o t r a v e z p a r a s s e ñ a l e s a n t i c a u s a l e s , p o d r í a m o s h a c e r l o . A l h a c e r l o ,
n o s d a r í a m o s c u e n t a q u e l a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a p a r a c o n v e r g e n c i a e s c u a n d o
C o n d i c i ó n N e c e s a r i a p a r a C o n v e r g e n c i a A n t i - c a u s a l
Re (s) < −a ( 1 4 . 8 )
1 4 . 4 . 1 E n t e n d i e n d o e l R O C G r á c a m e n t e
T a l v e z l a m e j o r m a n e r a d e l v e r l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a e s e l v e r e l p l a n o S l o q u e o b s e r v a m o s e s q u e p a r a
u n s o l o p o l o , l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a s e e n c u e n t r a a l a d e r e c h a d e l a s s e ñ a l e s c a u s a l e s y a l a i z q u i e r d a d e
l a s s e ñ a l e s a n t i c a u s a l e s .
( a ) ( b )
F i g u r e 1 4 . 3 : ( a ) L a R O C p a r a u n a s e ñ a l c a u s a l . ( b ) L a R O C p a r a u n a s e ñ a l a n t i - c a u s a l .
D e s p u é s d e r e c o n o c e r e s t o , l a p r e g u n t a n e c e s a r i a e s e s t a : ¾ Q u e h a c e m o s c u a n d o t e n e m o s p o l o s m ú l t i p l e s ?
L a r e s p u e s t a m á s s i m p l e e s q u e t e n e m o s q u e t o m a r l a i n t e r s e c c i ó n d e t o d a s l a s r e g i o n e s d e c o n v e r g e n c i a s
p a r a c a d a r e s p e c t i v o p o l o .
E x a m p l e 1 4 . 4
E n c u e n t r e H (s) y d i g a l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a p a r a h (t) = e−(at)u (t) + e−(bt)u (−t)
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2 5 3
A l s e p a r a e s t o e n d o s t é r m i n o s o b t e n e m o s q u e l a s f u n c i o n e s d e t r a n s f e r e n c i a y l a r e s p e c t i v a s
r e g i o n e s d e c o n v e r g e n c i a d e
H 1 (s) =1
s + a, Re (s) > −a ( 1 4 . 9 )
y
H 2 (s) =−1
s + b, Re (s) < −b ( 1 4 . 1 0 )
C o m b i n a n d o e s t o o b t e n e m o s l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a d e −b > Re (s) > −a. S i a > b , p o d e m o s
r e p r e s e n t a r e s t o g r á c a m e n t e . S i n o , n o a b r a u n a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a .
F i g u r e 1 4 . 4 : R e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a d e
h (t)s i
a > b.
1 4 . 5 L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e
7
1 4 . 5 . 1 T o C o m e
E n l a F u n c i ó n d e T r a n s f e r e n c i a
8
e s t a b l e c e r e m o s q u e l a f u n c i ó n p a r a l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e e s
he s
L−1 (h)
(t) =1
2π
∞−∞
e(c+yj)th ((c + yj) t) dy ( 1 4 . 1 1 )
d o n d e j ≡ √−1 y e l n u m e r o r e a l c s o n e s c o g i d o s p a r a q u e t o d a s l a s s i n g u l a r i d a d e s d e h s e e n c u e n t r e n e n
e l l a d o i z q u i e r d o d e l i n t e g r a l .
7
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 2 / 1 . 1 / > .
8
" E i g e n v a l u e P r o b l e m : T h e T r a n s f e r F u n c t i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 9 0 / l a t e s t / >
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2 5 4
C H A P T E R 1 4 . T R A N S F O R M A D A D E L A P L A C E Y D I S E Ñ O D E S I S T E M A S
1 4 . 5 . 2 C o n t i n u a n d o c o n l a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e
C o n l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d e L a p l a c e p o d e m o s e x p r e s a r l a s o l u c i ó n d e x = Bx + g , c o m o
x (t) = L−1
(sI − B)−1
(Lg + x (0))( 1 4 . 1 2 )
P o r e j e m p l o , t o m a r e m o s e l p r i m e r c o m p o n e n t e d e Lx , n o m b r a d o
Lx1 (s) =0.19
s2 + 1.5s + 0.27
s + 16
4(s3 + 1.655s2 + 0.4078s + 0.0039)
.
D e n i m o s :
D e n i t i o n 1 5 : p o l o s
T a m b i é n l l a m a d a s c o m o s i n g u l a r i d a d e s e s t o s s o n l o s p u n t o s e n l o s c u a l e s Lx1 (s) e x p l o t a .
S o n l a s r a í c e s d e l d e n o m i n a d o r ,
−1/100,
−329/400 ± √7316
, a n d − 1/6 . ( 1 4 . 1 3 )
L a s c u a t r o s o n n e g a t i v a s , e s s u c i e n t e t o m a r
c = 0 a s í l a i n t e g r a c i ó n d e ( 1 4 . 1 1 ) c o n t i n u a e n e l e j e i m a g i n a r i o .
N o s u p o n e m o s q u e e l l e c t o r a y a e n c o n t r a d o i n t e g r a c i o n e s e n e l p l a n o c o m p l e j o p e r o e s p e r a m o s q u e e s t e
e j e m p l o p r o v e a l a m o t i v a c i ó n n e c e s a r i a p a r a e x a m i n a r l a . S i n e m b a r g o a n t e s d e e s t o h a y q u e n o t a r q u e
M A T L A B t i e n e e l c á l c u l o n e c e s a r i o p a r a d e s a r r o l l a r e s t e p u n t o . V o l v i e n d o a b 3 . m
9
o b s e r v a m o s q u e e l
c o m a n d o l l p r o d u c e
x1 (t) = 211.35e−t100 − (0.0554t3 + 4.5464t2 + 1.085t + 474.19) e
−t6 +
e−(329t)400
262.842cosh
√73t16
+ 262.836sinh
√73t16
9
h t t p : / / w w w . c a a m . r i c e . e d u / ∼c a a m 3 3 5 / c o x / l e c t u r e s / b 3 . m
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2 5 5
F i g u r e 1 4 . 5 : L o s 3 p o t e n c i a l e s a s o c i a d o s c o n e l m o d e l o d e l c i r c u i t o R C
1 0
.
L o s o t r o s p o t e n c i a l e s , v i s t o s e n e s t a g u r a p o s e n u n a e x p r e s i ó n s i m i l a r . P o r f a v o r n o t e q u e c a d a u n o d e
l o s p o l o s d e Lx1 s e m u e s t r a c o m o e x p o n e n c i a l x1 y q u e l o s c o e c i e n t e s d e l e x p o n e n c i a l s o n p o l i n o m i o s
c o n g r a d o s q u e s o n d e t e r m i n a d o s p o r e l o r d e n d e s u r e s p e c t i v a p o l o s .
1 4 . 6 P o l o s y C e r o s
1 1
1 4 . 6 . 1 I n t r o d u c c i ó n
E s m u y d i f í c i l a n a l i z a r c u a l i t a t i v a m e n t e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e
1 2
y l a t r a n s f o r m a d a Z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) ,
y a q u e a l g r a c a r s u m a g n i t u d y á n g u l o a s u p a r t e r e a l e i m a g i n a r i a d a c o m o r e s u l t a d o v a r i a s g r a c a s d e
s u p e r c i e s d e d o s d i m e n s i o n e s e n e s p a c i o s d e t r e s d i m e n s i o n e s . P o r e s t a r a z ó n , e s c o m ú n e l e x a m i n a r l a
g r a c a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a
1 3
c o n s u s p o l o s y c e r o s y t r a t a r u n a v e z m a s u n a i d e a c u a l i t a t i v a d e l o
q u e h a c e e l s i s t e m a .
D a d a a u n a f u n c i ó n d e t r a n s f o r m a c i ó n c o n t i n u a , e n e l d o m i n i o d e L a p l a c e , H (s), o e n e l d o m i n i o d i s c r e t o
d e Z ,
H (z) , u n c e r o e s c u a l q u i e r v a l o r d e
so
zp a r a l o s c u a l e s l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e s c e r o , u n p o l o e s
c u a l q u i e r v a l o r d e
so
zp a r a l a c u a l l a f u n c i ó n d e t r a s f e r e n c i a e s i n n i t a . L o s i g u i e n t e d a a u n a d e n i c i ó n
p r e c i s a :
D e n i t i o n 1 6 : C e r o s
1 . E l v a l o r ( e s ) p a r a z d o n d e e l n u m e r a d o r d e l a f u n c i ó n d e t r a s f e r e n c i a e s i g u a l a c e r o
2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n q u e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e a
c e r o .
1 0
" N e r v e F i b e r s a n d t h e D y n a m i c S t r a n g Q u a r t e t " , F i g u r e 1 : A n R C m o d e l o f a n e r v e b e r
< h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 6 8 / l a t e s t / # R C _ m o d e l _ g >
1 1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 3 / 1 . 2 / > .
1 2
" T h e L a p l a c e T r a n s f o r m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 1 0 / l a t e s t / >
1 3
" T r a n s f e r F u n c t i o n s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 2 8 / l a t e s t / >
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2 5 6
C H A P T E R 1 4 . T R A N S F O R M A D A D E L A P L A C E Y D I S E Ñ O D E S I S T E M A S
D e n i t i o n 1 7 : p o l o s
1 . E l v a l o r ( e s ) p a r a
zd o n d e e l d e n o m i n a d o r d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e s i g u a l a c e r o
2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n d e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e
i n n i t a .
1 4 . 6 . 2 G r a c a s d e l o s P o l o s y C e r o s
C u a n d o g r a c a m o s e s t o s e n s u p l a n o s o z , r e p r e s e n t a m o s l o s c e r o s c o n o y l o s p o l o s c o n x . V e a e s t e
m o d u l o
1 4
p a r a o b s e r v a d e t a l l a d a m e n t e c o m o g r a c a r l o s c e r o s y p o l o s e n l a t r a n s f o r m a d a - z e n e l p l a n o - z .
E x a m p l e 1 4 . 5
E n c u e n t r e l o s p o l o s y c e r o s d e l a f u n c i ó n d e t r a s f e r e n c i a H (s) = s2+6s+8s2+2 y g r a q u e l o s r e s u l t a d o s
e n e l p l a n o - s .
L o p r i m e r o q u e t e n e m o s q u e r e c o n o c e r q u e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a s e r á i g u a l a c e r o c u a n d o
l o d e a r r i b a , s2 + 6s + 8 , s e a i g u a l a c e r o . P a r a e n c a n t a r q u e e s t o i g u a l a a c e r o f a c t o r i z a m o s e s t o
p a r a o b t e n e r , (s + 2) (s + 4) . E s t o d a a c e r o s e n s = −2 y s = −4 . S i e s t a f u n c i ó n h u b i e r a s i d o
m a s c o m p l i c a d a , t a l v e z t e n d r í a m o s q u e u s a r l a f o r m u l a c u a d r á t i c a .
P a r a l o s p o l o s , t e n e m o s q u e r e c o n o c e r q u e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a s e r á i n n i t a c u a n d o l a p a r t e
d e a b a j o e s c e r o . E s t o s u c e d e c u a n d o
s2 + 2 e s c e r r o p a r a e n c o n t r a r e s t o , t e n e m o s q u e f a c t o r i z a r l a
f u n c i ó n e s t o n o s d a
s + j
√2
s − j√
2
. L o q u e s i g n i c a q u e t e n e m o s r a í c e s i m a g i n a r i a s d e + j√
2
y − j√2
A l g r a c a r e s t o n o s d a F i g u r e 1 4 . 6 ( G r a c a d e P o l o s y Z e r o s )
G r a c a d e P o l o s y Z e r o s
F i g u r e 1 4 . 6 : M e s t r a d e l a G r a c a
Y a q u e h e m o s e n c o n t r a d o y g r a c a d o l o s p o l o s y c e r o , t e n e m o s q u e p r e g u n t a r n o s q u e e s l o q u e n o s d i c e e s t a
g r a c a . L o q u e p o d e m o s d e d u c i r e s q u e m a g n i t u d d e l a f u n c i ó n d e t r a s f e r e n c i a s e r á m a y o r c u a n d o s e e n c u e n t r e
1 4
" U n d e r s t a n d i n g P o l e / Z e r o P l o t s o n t h e Z - P l a n e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 5 6 / l a t e s t / >
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2 5 7
c e r c a d e l o s p o l o s y m e n o s c u a n d o s e e n c u e n t r e c e r c a d e l o s c e r o s . E s t o n o s d a u n e n t e n d i m i e n t o c u a l i t a t i v o
d e l o q u e e l s i s t e m a h a c e e n v a r i a s f r e c u e n c i a s y e s c r u c i a l p a r a l a f u n c i ó n d e e s t a b i l i d a d ( S e c t i o n 3 . 4 ) .
1 4 . 6 . 3 R e p e t i c i o n e s d e P o l o s y C e r o s
E s p o s i b l e o b t e n e r m a s d e u n p o l o l o c e r o e n e l m i s m o p u n t o . P o r e j e m p l o , l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a
d i s c r e t a
H (z) = z2t e n d r á d o s c e r o s e n e l o r i g e n y l a f u n c i ó n
H (s) = 1s25
t e n d e r 2 5 p o l o s e n e l o r i g e n .
1 4 . 6 . 4 L a C a n c e l a c i ó n d e P o l o s y C e r o s
U n e r r o r c o m ú n e s e l p e n s a r q u e l a f u n c i ó n
(s+3)(s−1)s−1 e s l a m i s m a q u e s + 3 . E n t e o r í a s o n e q u i v a l e n t e s ,
y a q u e e l p o l o y e l c e r o q u e s e e n c u e n t r a e n s = 1 s e c a n c e l a n m u t u a m e n t e l o q u e e s c o n o c i d o c o m o l a
c a n c e l a c i ó n d e p o l o s y c e r o s . S i n e m b a r g o , p i e n s e l o q u e p a s a r í a s i e s t o f u e r a u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a
d e u n s i s t e m a q u e f u e c r e a d o f í s i c a m e n t e c o n u n c i r c u i t o . E n e s t e c a s o , n o e s c o m ú n q u e e l p o l o y e l c e r o
p e r m a n e z c a e n u n m i s m o l u g a r . U n c a m b i o d e t e m p e r a t u r a , p o d r í a c a u s a r q u e e l l o s s e m o v i e r a n . S i e s t o
p a s a r a s e c r e a r í a v o l a t i l i d a d e n e s a á r e a , y a q u e o c u r r i ó u n c a m b i o d e i n n i t o e n u n p o l o a c e r o e n e l c e r o e n
u n a r e g i ó n d e s e ñ a l e s . G e n e r a l m e n t e e s u n a m a l a m a n e r a d e e l i m i n a r u n p o l o . U n a m e j o r m a n e r a d e m o v e r
e l p o l o a o t r o l u g a r e s u s a n d o l a t e o r í a d e c o n t r o l .
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2 5 8
C H A P T E R 1 4 . T R A N S F O R M A D A D E L A P L A C E Y D I S E Ñ O D E S I S T E M A S
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C h a p t e r 1 5
L a T r a n s f o r m a d a Z y F i l t r o s D i g i t a l e s
1 5 . 1 L a T r a n s f o r m a d a Z : D e n i c i ó n
1
1 5 . 1 . 1 D e n i c i ó n B á s i c a d e l a T r a n s f o r m a d a - Z
L a t r a n s f o r m a d a - z d e u n a s e c u e n c i a e s d e n i d a p o r
X (z) =
∞n=−∞
x [n] z−n
( 1 5 . 1 )
A l g u n a s v e c e s e s t a e c u a c i ó n e s c o n o c i d a c o m o l a t r a n s f o r m a d a - z b i l a t e r a l . E n v e c e s l a t r a n s f o r m a d a - z
e s d e n i d a p o r
X (z) =∞
n=0
x [n] z−n
( 1 5 . 2 )
l a c u a l e s c o n o c i d a c o m o l a t r a n s f o r m a d a - z u n i l a t e r a l .
H a y u n a r e l a c i ó n c e r c a n a e n t r e l a t r a n s f o r m a d a - z y l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e u n a s e ñ a l d i s c r e t a ,
l a c u a l e s d e n i d a c o m o
X
ejω
=∞
n=−∞
x [n] e−(jωn)
( 1 5 . 3 )
N o t e q u e c u a n d o z−ne s r e m p l a z a d a c o n e−(jωn) l a t r a n s f o r m a d a - z s e c o n v i e r t e e n l a t r a n s f o r m a d a d e
F o u r i e r . C u a n d o l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e x i s t e , z = ejω , l a c u a l d e b e d e t e n e r l a m a g n i t u d u n i t a r i a
p a r a z .
1 5 . 1 . 2 E l P l a n o C o m p l e j o
P a r a e n t e n d e r l a r e l a c i ó n e n t r e l a t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r y l a t r a n s f o r m a d a - z u n o t i e n e q u e v e r e l p l a n o
c o m p l e j o o e l p l a n o - z . e c h e m o s u n v i s t a z o a l p l a n o c o m p l e j o :
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 1 / 1 . 1 / > .
2 5 9
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2 6 0
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
P l a n o - Z
F i g u r e 1 5 . 1
E l p l a n o - Z e s u n p l a n o c o m p l e j o c o n u n e j e i m a g i n a r i o y r e a l q u e s e r e e j e n e s o s e r e e r e a l a v a r i a b l e
c o m p l e j a z . . L a p o s i c i ó n e n e l p l a n o c o m p l e j o e s d a d a p o r rejω, y e l á n g u l o s e t o m a d e l e j e r e a l p o s i t i v e
a l r e d e d o r d e l p l a n o y e s d a d o p o r ω . X (z) e s d e n i d a e n t o d o s l o s l a d o s d e l p l a n o . X
ejω
e s d e n i d a s o l o
d o n d e |z| = 1 , l a c u a l s e r e e r e a l c i r c u l o u n i t a r i o . P o r e j e m p l o , ω = 1 e n z = 1 y ω = π e n z = −1 . E s t o
a y u d a p o r q u e , a l r e p r e s e n t a r l a t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r c o m o u n a t r a n s f o r m a d a - z e n e l c í r c u l o u n i t a r i o , s e
p u e d e v e r m u y f á c i l m e n t e l a p e r i o d i c i d a d d e l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r .
1 5 . 1 . 3 R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a
L a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a , t a m b i é n c o n o c i d a c o m o R O C , e s i m p o r t a n t e e n t e n d e r p o r q u e d e n e l a r e g i ó n
d o n d e l a t r a n s f o r m a d a - z e x i s t e . L a R O C p a r a u n a x [n] , i s d e n e d a s t h e r a n g e o f z e s d e n i d a c o m o e l
r a n g o d e z p a r a l a c u a l l a t r a n s f o r m a d a - z c o n v e r g e . Y a q u e l a t r a n s f o r m a d a z e s u n a s e r i e d e p o t e n c i a ,
c o n v e r g e c u a n d o
x [n] z−ne s a b s o l u t a m e n t e s u m a b l e . E n o t r a s p a l a b r a s ,
∞n=−∞
|x [n] z−n| < ∞ ( 1 5 . 4 )
S e t i e n e q u e s a t i s f a c e p a r a l a c o n v e r g e n c i a . E s t o s e e x p l i c a m e j o r a l v e r l a s d i f e r e n t e s R O C d e l a s
t r a n s f o r m a d a s - z d e
αnu [n] y
αnu [n − 1].
E x a m p l e 1 5 . 1
P a r a
x [n] = αnu [n] ( 1 5 . 5 )
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2 6 1
F i g u r e 1 5 . 2 :
x [n] = αnu [n]d o n d e
α = 0.5.
X (z) =∞
n=−∞ (x [n] z−n)
= ∞n=−∞ (αnu [n] z−n)
=∞n=0 (αnz−n)
=∞
n=0
αz−1
n( 1 5 . 6 )
E s t a s e c u e n c i a e s u n e j e m p l o d e u n a e x p o n e n c i a l d e l l a d o d e r e c h o p o r q u e t i e n e u n v a l o r d e n o
c e r o p a r a n ≥ 0 . S o l o c o n v e r g e c u a n d o |αz−1| < 1 . C u a n d o c o n v e r g e ,
X (z) = 11−αz−1
= zz−α
( 1 5 . 7 )
S i |αz−1| ≥ 1 , e n t o n c e s l a s s e r i e s ,
∞n=0
αz−1
nn o c o n v e r g e n . A s í q u e e l R O C e s e l r a n g o d e
v a l o r e s c u a n d o
|αz−1| < 1 ( 1 5 . 8 )
o , e q u i v a l e n t e m e n t e ,
|z| > |α| ( 1 5 . 9 )
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2 6 2
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
F i g u r e 1 5 . 3 : R O C p a r a
x [n] = αnu [n]d o n d e
α = 0.5
E x a m p l e 1 5 . 2
P a r a
x [n] = (− (αn)) u [−n − 1] ( 1 5 . 1 0 )
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2 6 3
F i g u r e 1 5 . 4 :
x [n] = (− (αn)) u [−n− 1]d o n d e
α = 0.5.
X (z) =∞
n=−∞ (x [n] z−n)
=
∞n=−∞ ((− (αn)) u [−n − 1] z−n)
=−
−1n=−∞
(αnz−n)= −
−1n=−∞
α−1z
−n
= − ∞n=1
α−1z
n= 1 −∞
n=0
α−1z
n( 1 5 . 1 1 )
E n e s t e c a s o l a R O C e s e n e l r a n g o d e v a l o r e s d o n d e
|α−1z| < 1 ( 1 5 . 1 2 )
o , e q u i v a l e n t e m e n t e
|z| < |α| ( 1 5 . 1 3 )
S i l a R O C s e s a t i s f a c e , e n t o n c e s
X (z) = 1 − 11−α−1z
= zz−α
( 1 5 . 1 4 )
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2 6 4
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
F i g u r e 1 5 . 5 : R O C p a r a
x [n] = (− (αn)) u [−n− 1]
1 5 . 2 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s - Z C o m u n e s
2
L a s i g u i e n t e t a b l a p r o v e e t r a n s f o r m a d a s d e z u n i l a t e r a l y b i l a t e r a l ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) . E s t a t a b l a t a m b i é n
m u e s t r a l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a ( S e c t i o n 1 5 . 3 ) .
n o t e : l a n o t a c i ó n u s a d a p a r a z e n e s t a t a b l a p u e d e s e r d i f e r e n t e a l a n o t a c i ó n e n c o n t r a d a e n o t r a s
t a b l a s . P o r e j e m p l o l a t r a n s f o r m a d a b á s i c a d e u [n] s e p u e d e d e s c r i b e n d e d o s m a n e r a s d i f e r e n t e s ,
q u e s o n e q u i v a l e n t e s :
z
z − 1=
1
1 − z−1( 1 5 . 1 5 )
2
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 0 / 1 . 2 / > .
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2 6 5
S e ñ a l T r a n s f o r m a d a - Z R O C
δ [n − k] z−kA l l z
u [n] zz−1 |z| > 1
− (u [−n − 1]) zz−1 |z| < 1
nu [n] z(z−1)2 |z| > 1
n2u [n] z(z+1)
(z−1)3 |z| > 1
n3u [n]z(z2+4z+1)
(z−1)4 |z| > 1
(− (αn)) u [−n − 1] zz−α
|z| < |α|αnu [n] z
z−α|z| > |α|
nαnu [n] αz(z−α)2
|z| > |α|n2αnu [n]
αz(z+α)
(z
−α)3
|z| > |α|Qmk=1(n−k+1)
αmm! αnu [n] z(z−α)m+1
γ ncos (αn) u [n] z(z−γcos(α))z2−(2γcos(α))z+γ2
|z| > |γ |γ nsin (αn) u [n] zγsin(α)
z2−(2γcos(α))z+γ2|z| > |γ |
1 5 . 3 R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a - Z
3
1 5 . 3 . 1 L a R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a
L a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a , t a m b i é n c o n o c i d a c o m o R O C , e s i m p o r t a n t e e n t e n d e r p o r q u e d e n e l a r e g i ó n
d o n d e l a t r a n s f o r m a d a - z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) e x i s t e . L a t r a n s f o r m a d a z s e d e n e p o r
X (z) =∞
n=−∞
x [n] z−n
( 1 5 . 1 6 )
L a R O C p a r a u n a x [n] , e s d e n i d a c o m o e l r a n g o d e z p a r a l a c u a l l a t r a n s f o r m a d a - z c o n v e r g e . Y a q u e l a
t r a n s f o r m a d a z e s u n a s e r i e d e p o t e n c i a , c o n v e r g e c u a n d o x [n] z−ne s a b s o l u t a m e n t e s u m a b l e . E n o t r a s
p a l a b r a s ,
∞n=−∞
|x [n] z−n| < ∞ ( 1 5 . 1 7 )
t i e n e q u e s e r s a t i s f e c h a p a r a l a c o n v e r g e n c i a .
1 5 . 3 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a
L a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a t i e n e p r o p i e d a d e s q u e d e p e n d e n d e l a c a r a c t e r í s t i c a s d e l a s e ñ a l ,
x [n].
• L a R O C n o t i e n e q u e c o n t e n e r a l g ú n p o l o . P o r d e n i c i ó n u n p o l o e s d o n d e X (z) e s i n n i t o . Y a q u e
X (z) t i e n e q u e s e r n i t a p a r a t o d a s l a s z p a r a t e n e r c o n v e r g e n c i a , n o p u e d e e x i s t i r n i n g ú n p o l o p a r a
R O C .
• S i x [n] e s u n a s e c u e n c i a d e d u r a c i ó n n i t a , e n t o n c e s l a R O C e s t o d o e l p l a n o - z , e x c e p t o e n
z = 0 o
|z| = ∞ . U n a s e c u e n c i a d e d u r a c i ó n n i t a e s a q u e l l a q u e t i e n e n v a l o r d e n o c e r o e n u n i n t e r v a l o
n i t o n1 ≤ n ≤ n2 . M i e n t r a s q u e c a d a v a l o r d e x [n] e s n i t o e n t o n c e s l a s e c u e n c i a s e r á a b s o l u t a m e n t e
3
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 6 / 1 . 2 / > .
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2 6 6
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
s u m a b l e . C u a n d o n2 > 0 e n t o n c e s e x i s t i r á z−1 t é r m i n o s p o r l o t a n t o l a R O C n o i n c l u y e z = 0 . C u a n d o
n1 < 0 l a s u m a s e r á i n n i t a p o r l o t a n t o l a R O C n o i n c l u y e |z| = ∞. P e r o s i ,
n2 ≤ 0 e n t o n c e s l a R O C
i n c l u i r á
z = 0 , y c u a n d o
n1 ≥ 0 l a R O C i n c l u i r á |z| = ∞. C o n e s t a c o n d i c i o n e s , l a ú n i c a s e ñ a l q u e
t i e n e u n a R O C q u e c u b r e t o d o e l p l a n o - z e s
x [n] = cδ [n] .
F i g u r e 1 5 . 6 : E j e m p l o d e u n a s e c u e n c i a d e d u r a c i o n n i t a .
L a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s s e a p l i c a n a s e c u e n c i a s c o n d u r a c i ó n i n n i t a . C o m o s e m e n c i o n o a n t e r i o r
m e n t e l a t r a n s f o r m a d a - z c o n v e r g e c u a n d o
|X (z)
|<
∞. A s í q u e p o d e m o s e s c r i b i r
|X (z) | = |∞
n=−∞
x [n] z−n
| ≤∞
n=−∞
|x [n] z−n| =
∞n=−∞
|x [n] |(|z|)−n
( 1 5 . 1 8 )
P o d e m o s s e p a r a r l a s u m a i n n i t a e n s u t i e m p o p o s i t i v e y n e g a t i v a . P o r l o t a n t o
|X (z) | ≤ N (z) + P (z) ( 1 5 . 1 9 )
d o n d e
N (z) =
−1n=−∞
|x [n] |(|z|)−n
( 1 5 . 2 0 )
y
P (z) =
∞n=0
|x [n] |(|z|)−n
( 1 5 . 2 1 )
P a r a q u e |X (z) | s e i n n i t a , |x [n] | t i e n e q u e e s t a r r e s t r i n g i d a e n t o n c e s d e n a m o s
|x (n) | ≤ C 1r1n
( 1 5 . 2 2 )
p a r a
n < 0
y
|x (n) | ≤ C 2r2n
( 1 5 . 2 3 )
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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2 6 7
p a r a
n ≥ 0
D e e s t o s t a m b i é n s e p u e d e n d e r i v a r m á s p r o p i e d a d e s :
• S i x [n] e s u n a s e c u e n c i a d e l l a d o d e r e c h o e n t o n c e s l a R O C s e e x t i e n d e h a c i a f u e r a e n e l u l t i m o p o l o
d e s d e X (z). U n a s e c u e n c i a d e l l a d o d e r e c h o e s a q u e l l a d o n d e
x [n] = 0 p a r a
n < n1 < ∞. S i
v e m o s l a p o r c i ó n d e l t i e m p o p o s i t i v e d e l a u l t i m a d e r i v a c i ó n , s e p u e d e d e d u c i r q u e
P (z) ≤ C 2
∞n=0
r2
n(|z|)−n
= C 2
∞n=0
r2|z|n
( 1 5 . 2 4 )
P o r l o t a n t o p a r a q u e l a s u m a c o n v e r j a , |z| > r2 , a s í q u e l a R O C d e u n a s e c u e n c i a d e l l a d o d e r e c h o
t i e n e l a f o r m a d e |z| > r2 .
F i g u r e 1 5 . 7 : S e c u e n c i a d e l a d o d e r e c h o
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2 6 8
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
F i g u r e 1 5 . 8 : L A R O C d e u n a s e c u e n c i a d e l a d o d e r e c h o .
• S i x [n] e s u n a s e c u e n c i a d e l l a d o i z q u i e r d o , e n t o n c e s l a R O C s e e x t i e n d e h a c i a d e n t r o d e s d e e l p o l o m a s
c e r c a n o e n X (z). U n a s e c u e n c i a d e l l a d o i z q u i e r d o e s a q u e l l a d o n d e x [n] = 0 p a r a n > n2 > −∞ .
S i v e m o s l a p o r c i ó n d e l l a d o n e g a t i v a d e l a u l t i m a d e r i v a c i ó n s e p u e d e d e d u c i r q u e
N (z) ≤ C 1
−1n=−∞
r1
n(|z|)−n
= C 1
−1n=−∞
r1|z|n
= C 1
∞k=1
|z|r1
k
( 1 5 . 2 5 )
P o r l o t a n t o p a r a q u e l a s u m a c o n v e r j a , |z| < r1 , a s í q u e l a R O C d e l a s e c u e n c i a d e l l a d o i z q u i e r d o
t i e n e l a f o r m a d e |z| < r1 .
F i g u r e 1 5 . 9 : S e c u e n c i a d e l a d o i z q u i e r d o .
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2 6 9
F i g u r e 1 5 . 1 0 : L a R O C d e u n a s e c u e n c i a d e l a d o i z q u i e r d o .
• S i x [n] e s u n a s e c u e n c i a c o n d o s l a d o s , l a R O C v a s e r u n a n i l l o e n e l p l a n o - z q u e e s t a r e s t r i n g i d a
e n s u i n t e r i o r y e x t e r i o r p o r u n p o l o . U n a s e c u e n c i a d e d o s l a d o s e s a q u e l l a c o n d u r a c i ó n i n n i t a
e n d i r e c c i o n e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s . D e l a d e r i v a c i ó n d e l a s d o s p r o p i e d a d e s , p o d e m o s d e d u c i r q u e s i
r2 < |z| < r2 c o n v e r g e , e n t o n c e s e l t i e m p o p o s i t i v o y e l t i e m p o n e g a t i v o c o n v e r g e , y X (z) c o n v e r g e
t a m b i é n . P o r e s o l a R O C d e u n a s e c u e n c i a d e d o s l a d o s t i e n e l a f o r m a d e r2 < |z| < r2 .
F i g u r e 1 5 . 1 1 : U n a s e c u e n c i a d e d o s l a d o s .
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2 7 0
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
F i g u r e 1 5 . 1 2 : L a R O C d e u n a s e c u a n c i a d e d o s l a d o s .
1 5 . 3 . 3 E j e m p l o s
P a r a e n t e n d e r e s t o m e j o r v e r e m o s l o s s i g u i e n t e s e j e m p l o s .
E x a m p l e 1 5 . 3
T o m e m o s
x1 [n] =
1
2
n
u [n] +
1
4
n
u [n] ( 1 5 . 2 6 )
L a t r a n s f o r m a d a d e
12
nu [n] e s
zz− 1
2
c o n R O C e n |z| > 12 .
F i g u r e 1 5 . 1 3 : L a R O C d e
12
´nu [n]
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2 7 1
L a t r a n s f o r m a d a d e
−14
nu [n] e s
zz+ 1
4
c o n R O C e n |z| > −14
.
F i g u r e 1 5 . 1 4 : L a R O C d e
−14
´nu [n]
U s a n d o l i n e a l i d a d ,
X 1 [z] = zz− 1
2+ z
z+ 14
=2z(z− 1
8 )
(z− 12)(z+ 14)
( 1 5 . 2 7 )
A l o b s e r v a r e s t o s e v u e l v e c l a r o q u e h a y d o s c e r o , u n o e n 0 y e l o t r o e n
18 , y d o s p o l o s , u n o e n
12 ,
y e n
−14 . U s a n d o l a s p r o p i e d a d e s , l a R O C e s |z| > 1
2 .
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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2 7 2
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
F i g u r e 1 5 . 1 5 : L a R O C d e x1 [n] =`12
´nu [n] +
`−14
´nu [n]
E x a m p l e 1 5 . 4
A h o r a t o m e m o s
x2 [n] =
−1
4
n
u [n] −
1
2
n
u [−n − 1] ( 1 5 . 2 8 )
L a t r a n s f o r m a d a y R O C d e −14 nu [n] f u e r o n m o s t r a d a s e n e l e j e m p l o a n t e r i o r ( E x a m p l e 1 5 . 3 ) .
L a t r a n s f o r m a d a d e
− 12nu [−n − 1] e s
zz− 1
2
c o n u n a R O C e n |z| > 12 .
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F i g u r e 1 5 . 1 6 : L a R O C d e −``
12
´n´´u [−n− 1]
U s a n d o l i n e a l i d a d ,
X 2 [z] = zz+ 1
4+ z
z− 12
=z(2z− 1
8 )(z+ 1
4 )(z− 12)
( 1 5 . 2 9 )
P o d e m o s o b s e r v a r q u e h a y d o s c e r o s , e n 0 y
116 , y d o s p o l o s e n
12 , y
−14 . E n e s t e c a s o l a R O C e s
|z| < 12 .
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2 7 4
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
F i g u r e 1 5 . 1 7 : L a R O C d e x2 [n] =`−1
4
´nu [n]−
`12
´nu [−n− 1].
1 5 . 4 L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e Z
4
C u a n d o u s a m o s l a t r a n s f o r m a d a - z ( S e c t i o n 1 5 . 1 )
X (z) =
∞n=−∞
x [n] z−n
( 1 5 . 3 0 )
E s d e g r a n a y u d a e l p o d e r e n c o n t r a r
x [n] d a d o
X (z). E x i s t e n a l m e n o s 4 m é t o d o s d i f e r e n t e s p a r a h a c e r
e s t o :
1 . I n s p e c c i ó n ( S e c t i o n 1 5 . 4 . 1 : E l M é t o d o d e I n s p e c c i ó n )
2 . E x p a n s i o n d e f r a c c i o n e s p a r c i a l e s ( S e c t i o n 1 5 . 4 . 2 : M é t o d o d e E x p a n s i ó n d e F r a c c i o n e s P a r c i a l e s )
3 . E x p a n s i ó n d e s e r i e s d e p o t e n c i a ( S e c t i o n 1 5 . 4 . 3 : M é t o d o d e E x p a n s i ó n d e S e r i e s d e P o t e n c i a )
4 . I n t e g r a c i ó n d e l c o n t o r n o ( S e c t i o n 1 5 . 4 . 4 : M é t o d o d e I n t e g r a c i ó n d e l C o n t o r n o )
1 5 . 4 . 1 E l M é t o d o d e I n s p e c c i ó n
E s t e " m é t o d o " e s e l f a m i l i a r i z a r s e c o n l a t a b l a p a r a l o s p a r e s d e l a t r a n s f o r m a d a - z ( S e c t i o n 1 5 . 2 ) y e l u s a r
i n g e n i e r í a i n v e r s a .
E x a m p l e 1 5 . 5
D a d o
X (z) =z
z − α
4
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 8 / 1 . 2 / > .
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2 7 5
C o n u n R O C ( S e c t i o n 1 5 . 3 ) d e
|z| > α
A l i n s p e c c i o n a r p o d e m o s d e t e r m i n a r q u e
x [n] = αnu [n]
1 5 . 4 . 2 M é t o d o d e E x p a n s i ó n d e F r a c c i o n e s P a r c i a l e s
C u a n d o t r a t a m o s c o n s i s t e m a s l i n e a r e s d e t i e m p o i n v a r i a n t e l a t r a n s f o r m a d a - z t i e n e l a f o r m a
X (z) = B(z)A(z)
=P
Mk=0(bkz−k)PNk=0(akz
−k)
( 1 5 . 3 1 )
Q u e t a m b i é n s e p u e d e e x p r e s a r c o m o
X (z) =a0b0
M k=1
1 − ckz−1
N
k=1 (1 − dkz−1)( 1 5 . 3 2 )
d o n d e ck r e p r e s e n t a l o s c e r o s c o n v a l o r n o c e r o s d e X (z) y dk r e p r e s e n t a l o s p o l o s c o n v a l o r e s n o c e r o
S i M < N e n t o n c e s X (z) s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r
X (z) =N
k=1
Ak
1 − dkz−1
( 1 5 . 3 3 )
E s t a f o r m a a y u d a e l i n v e r t i r c a d a t e r m i n o d e l a s u m a u s a n d o e l m é t o d o d e i n s p e c c i ó n ( S e c t i o n 1 5 . 4 . 1 : E l
M é t o d o d e I n s p e c c i ó n ) y l a t a b l a d e t r a n s f o r m a d a s ( S e c t i o n 1 5 . 2 ) . P o r l o t a n t o e l n u m e r a d o r e s u n p o l i n o m i o
s e v u e l v e n e c e s a r i o u s a r l a e x p a n s i ó n d e f r a c c i o n e s p a r c i a l e s
5
p a r a p o d e r p o n e r X (z) e n l a f o r m a d e s c r i t a
a r r i b a . S i M ≥ N e n t o n c e s X (z) s e p u e d e e x p r e s a r c o m o
X (z) =M −N r=0
Brz−r
+
N −1k=0
b '
kz−k
N k=0 (akz−k)
( 1 5 . 3 4 )
E x a m p l e 1 5 . 6
E n c u e n t r e l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a - z d e
X (z) =1 + 2z−1 + z−2
1 + (−3z−1) + 2z−2
D o n d e e l R O C e s
|z
|> 2 . E n e s t e c a s o M = N = 2 , a s í q u e t e n e m o s q u e l a d i v i s i ó n l a r g a p a r a
o b t e n e r
X (z) =1
2+
12 + 7
2z−1
1 + (−3z−1) + 2z−2
T e n e m o s q u e f a c t o r i z a r e l d e n o m i n a d o r .
X (z) = 2 +(−1) + 5z−1
(1 − 2z−1) (1 − z−1)
5
" P a r t i a l F r a c t i o n E x p a n s i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 2 1 1 1 / l a t e s t / >
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2 7 6
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
A h o r a u t i l i z a m o s l a e x p a n s i ó n d e f r a c c i o n e s p a r c i a l e s .
X (z) =1
2+
A1
1
−2z−1
+A2
1
−z−1
=1
2+
92
1
−2z−1
+−4
1
−z−1
A h o r a c a d a t é r m i n o s e p u e d e i n v e r t i r u s a n d o e l m é t o d o d e i n s p e c c i ó n y l a t a b l a d e t r a n s f o r m a d a - z .
y a q u e l a R O C e s |z| > 2,
x [n] =1
2δ [n] +
9
22nu [n] + (−4u [n])
1 5 . 4 . 3 M é t o d o d e E x p a n s i ó n d e S e r i e s d e P o t e n c i a
C u a n d o l a t r a n s f o r m a d a - z e s d e n i d a c o n u n a s e r i e d e p o t e n c i a e n l a f o r m a d e
X (z) =∞
n=−∞ x [n] z−n
( 1 5 . 3 5 )
e n t o n c e s c a d a t e r m i n o d e l a s e c u e n c i a x [n] s e p u e d e t e r m i n a r a l v e r l o s c o e c i e n t e s d e l r e s p e c t i v o p o d e r
z−n.
E x a m p l e 1 5 . 7
V e l a s i g u i e n t e t r a n s f o r m a d a - z d e l a s e c u e n c i a d e t a m a ñ o n i t o .
X (z) = z2
1 + 2z−1
1 − 12
z−1
1 + z−1
= z2 + 52z + 1
2 +− z−1 ( 1 5 . 3 6 )
E n e s t e c a s o , y a q u e n o h a y p o l o s , m u l t i p l i c a m o s l o s f a c t o r e s d e
X (z) . A l i n s p e c c i ó n a l a , s e v u e l e
c l a r o q u e
x [n] = δ [n + 2] +
5
2 δ [n + 1] +
1
2 δ [n] + (− (δ [n − 1])).
U n a d e l a s v e n t a j a s d e l a s s e r i e s d e p o t e n c i a e s q u e m u c h a s f u n c i o n e s u s a d a s e n f u n c i o n e s d e i n g e n i e r í a
t i e n e n t a b u l a d a s s u s s e r i e s d e p o t e n c i a . P o r l o t a n t o f u n c i o n e s c o m o e l L o g , s e n o , e x p o n e n c i a l , s e n o h , e t c . ,
s e p u e d e n i n v e r t i r f á c i l m e n t e .
E x a m p l e 1 5 . 8
S u p o n g a
X (z) = logn
1 + αz−1
A l n o t a r q u e
logn (1 + x) =
∞
n=1−1n+1xn
n
E n t o n c e s
X (z) =∞
n=1
−1n+1αnz−n
n
P o r l o t a n t o
X (z) =
−1n+1αnn
i f n ≥ 1
0 i f n ≤ 0
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2 7 7
1 5 . 4 . 4 M é t o d o d e I n t e g r a c i ó n d e l C o n t o r n o
S i n e n t r a r e n d e t a l l e s
x [n] =1
2πj r
X (z) zn−1dz ( 1 5 . 3 7 )
d o n d e r e s e l c o n t o r n o d e l l a d o c o n t r a r i o d e l r e l o j e n l a R O C d e X (z) c i r c u l a n d o e l o r i g e n d e l p l a n o - z . P a r a
e x p a n d i r e s t e m é t o d o p a r a e n c o n t r a r l a i n v e r s a s e n e c e s i t a c o n o c i m i e n t o d e t e o r í a d e v a r i a b l e s c o m p l e j a s y
e s t o n o s e v e r a e n e s t e m o d u l o .
1 5 . 5 F u n c i o n e s R a c i o n a l e s
6
1 5 . 5 . 1 I n t r o d u c c i ó n
C u a n d o u s a m o s o p e r a c i o n e s c o n p o l i n o m i o s , e l t é r m i n o d e f u n c i o n e s r a c i o n a l e s e s u n a m a n e r a s i m p l e d e
d e s c r i b i r u n a r e l a c i ó n p a r t i c u l a r e n t r e d o s p o l i n o m i o s .
D e n i t i o n 1 8 : F u n c i ó n R a c i o n a l
P a r a d o s p o l i n o m i o s c u a l q u i e r a , A y B , s u f r a c c i ó n e s c o n o c i d a c o n o u n a f u n c i ó n r a c i o n a l .
E x a m p l e
A q u í s e m u e s t r a u n e j e m p l o d e u n a f u n c i ó n r a c i o n a l , f (x) . N o t e q u e e l n u m e r a d o r y d e n o m i -
n a d o r p u e d e n s e r p o l i n o m i o s d e c u a l q u i e r o r d e n , p e r o l a f u n c i ó n r a c i o n a l e s i n d e n i d a c u a n d o e l
d e n o m i n a d o r e s c e r o .
f (x) =x2 − 4
2x2 + x − 3( 1 5 . 3 8 )
S i u s t e d h a e m p e z a d o a u s a r l a t r a n s f o r m a d a - z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) , u s t e d d e b i ó n o t a r q u e t o d a s l a s t r a n s f o r -
m a d a s s o n f u n c i o n e s r a c i o n a l e s . E n s e g u i d a v e r e m o s a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s y
c o m o s e p u d e u s a r p a r a r e v e l e r c a r a c t e r í s t i c a s i m p o r t a n t e s d e l a t r a n s f o r m a d a - z , y p o r l o t a n t o r e v e l a r u n a
s e ñ a l o u n s i s t e m a L T I .
1 5 . 5 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a s F u n c i o n e s R a c i o n a l e s
P a r a p o d e r e n t e n d e r l o q u e h a c e q u e l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s s e a n t a n e s p e c i a l e s , t e n e m o s q u e o b s e r v a r
a l g u n a s d e s u s p r o p i e d a d e s y c a r a c t e r í s t i c a s . S i u s t e d e s t a f a m i l i a r i z a d o c o n l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s y q u e
l a s f u n c i o n e s b á s i c a s d e a l g e b r a , p o d r á i r d i r e c t a m e n t e a l a s i g u i e n t e s e c c i o n ( S e c t i o n 1 5 . 5 . 3 : L a s F u n c i o n e s
R a c i o n a l e s y l a T r a n s f o r m a d a - z ) y v e r c o m o l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s n o s a y u d a n a e n t e n d e r l a t r a n s f o r m a d a - z .
1 5 . 5 . 2 . 1 R a í c e s
P a r a e n t e n d e r m u c h a s d e l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s , t e n e m o s q u e e m p e z a r p o r e n c o n t r a r
l a s r a í c e s d e l a f u n c i ó n r a c i o n a l . P a r a s e r e s t o , f a c t o r i c e m o s l o s d o s p o l i n o m i o s p a r a p o d e r o b s e r v a r l a s r a í c e s
f á c i l m e n t e . C o m o t o d o s l o s p o l i n o m i o s , l a s r a í c e s n o s d a r á n i n f o r m a c i ó n s o b r e m u c h a s d e s u s p r o p i e d a d e s .
E s t a f u n c i ó n n o s m u e s t r a e l r e s u l t a d o q u e d a e l f a c t o r i z a r l a f u n c i ó n r a c i o n a l a n t e r i o r , ( 1 5 . 3 8 ) .
f (x) =(x + 2) (x − 2)
(2x + 3) (x − 1)( 1 5 . 3 9 )
A s í , l a s r a í c e s p a r a e s t a f u n c i ó n s o n l a s s i g u i e n t e s :
L a s r a í c e s d e l n u m e r a d o r s o n : −2, 2L a s r a í c e s d e l d e n o m i n a d o r s o n : −3, 1
6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 0 / 1 . 1 / > .
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C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
n o t e : P a r a e n t e n d e r l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s , e s e s e n c i a l e l s a b e r y e n t e n d e r l a s r a í c e s q u e f o r m a n
p a r t e d e e s t a f u n c i ó n .
1 5 . 5 . 2 . 2 D i s c o n t i n u i d a d e s
Y a q u e e s t a m o s v i e n d o l a d i v i s i ó n d e d o s p o l i n o m i o s , t e n e m o s q u e v e r l o s v a l o r e s d e l a v a r i a b l e q u e d a r á n q u e
e l d e n o m i n a d o r d e n u e s t r a f r a c c i ó n s e a c e r o . C u a n d o e s t o p a s a , l a f u n c i ó n r a c i o n a l s e v u e l v e i n d e n i d a , p o r l o
t a n t o , t e n e m o s u n a d i s c o n t i n u i d a d e n l a f u n c i ó n . Y a q u e s a b e m o s n u e s t r a s r a í c e s , e s m u y f á c i l s a b e r c u a n d o
o c u r r e e s t o . C u a n d o t e n e m o s u n a v a r i a b l e e n e l d e n o m i n a d o r i g u a l a c u a l q u i e r r a í z e n e l d e n o m i n a d o r , l a
f u n c i ó n s e v u e l v e i n d e n i d a .
E x a m p l e 1 5 . 9
U s a n d o l a f u n c i ó n r a c i o n a l a n t e r i o r , ( 1 5 . 3 8 ) , p o d e m o s o b s e r v a r q u e f u n c i ó n t e n d r á d i s c o n t i n u i d a d e s
e n l o s s i g u i e n t e s p u n t o s :
x = −3, 1C o n r e s p e c t o a l p l a n o c a r t e s i a n o p o d e m o s d e c i r q u e l a s d i s c o n t i n u i d a d e s o c u r r e n c o n r e s p e c t o a l e j e d e l a s
x . E s t a d i s c o n t i n u i d a d e s s e r á n a s i n t o t i c a m e n t e v e r t i c a l e n l a g r a c a y r e p r e s e n t a r a l o s v a l o r e s d o n d e l a
f u n c i ó n e s t a i n d e n i d a .
1 5 . 5 . 2 . 3 D o m i n i o
U s a n d o l a s r a í c e s a n t e r i o r e s , e l d o m i n i o d e l a f u n c i ó n r a c i o n a l s e p u e d e d e n i r .
D e n i t i o n 1 9 : d o m i n i o
E l g r u p o , o c o n j u n t o , d e v a l o r e s q u e s o n d e n i d o s p o r u n a f u n c i ó n .
E x a m p l e
U s a n d o l a f u n c i ó n r a c i o n a l a n t e r i o r , ( 1 5 . 3 8 ) , e l d o m i n i o s e p u e d e d e n i r c o m o c u a l q u i e r n u m e r o r e a l
x d o n d e x n o i g u a l a a 1 o n e g a t i v a 3 . E x p r e s a n d o e s t o m a t e m á t i c a m e n t e , o b t e n e m o s l o s i g u i e n t e :
x ∈ R |x = −3 and x = 1 ( 1 5 . 4 0 )
1 5 . 5 . 2 . 4 I n t e r c e p c i o n e s
L a i n t e r c e s i ó n e n l a x e s d e n i d a c o m o e l p u n t o ( s ) d o n d e
f (x), e n o t r a s p a l a b r a s l a s a l i d a d e l a f u n c i ó n
r a c i o n a l i g u a l a a c e r o . Y a q u e h e m o s e n c o n t r a d o l a s r a í c e s d e l a f u n c i ó n e s t e p r o c e s o e s m u y s i m p l e . U s a n d o
a l g e b r a , s a b e m o s q u e l a s a l i d a s e r á c e r o c u a n d o e l n u m e r a d o r d e l a f u n c i ó n i g u a l a c e r o . P o r l o t a n t o , l a
f u n c i ó n t e n d r á u n a i n t e r c e p c i o n e s e n x c u a n d o s e a i g u a l a u n a d e l a s r a í c e s d e l n u m e r a d o r .
L a i n t e r c e p c i ó n y o c u r r e c u a n d o x e s i g u a l a c e r o . S e p u e d e e n c o n t r a r a l t e n e r t o d o s l o s v a l o r e s d e xi g u a l a c e r o y r e s o l v e r l a f u n c i ó n r a c i o n a l .
1 5 . 5 . 3 L a s F u n c i o n e s R a c i o n a l e s y l a T r a n s f o r m a d a - z
C o m o y a l o h e m o s m e n c i o n a d o t o d a s l a s t r a n s f o r m a d a s - z s e p u e d e n e s c r i b i r c o m o f u n c i ó n r a c i o n a l , l o c u a l e s
l a m a n e r a m a s c o m ú n d e r e p r e s e n t a r l a t r a n s f o r m a d a - z . P o r e s t o , p o d e m o s u s a r l a s t r a n s f o r m a d a s a n t e r i o r e s
e s p e c i a l m e n t e l a s d e l a r a í c e s , p a r a r e v e l e r a l g u n a s d e l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l a s e ñ a l o s i s t e m a L T I d e s c r i t o s
p o r l a t r a n s f o r m a d a - z .
L a s i g u i e n t e e c u a c i ó n m u e s t r a l a f o r m a g e n e r a l d e e s c r i b i r l a t r a n s f o r m a d a - z c o m o u n a f u n c i ó n r a c i o n a l :
X (z) =b0 + b1z−1 + · · · + bM z
−M
a0 + a1z−1 + · · · + aN z−N ( 1 5 . 4 1 )
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S i u s t e d y a v i o e l m o d u l o t i t u l a d o e l e n t e n d e r g r a c a s d e p o l o s y c e r o s y l a t r a n s f o r m a d a - z
7
, u s t e d s a b r á
c o m o l a s r a í c e s d e l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s f o r m a n u n p a p e l i m p o r t a n t e p a r a e n t e n d e r l a t r a n s f o r m a d a - z .
L a e c u a c i ó n a n t e r i o r , ( 1 5 . 4 1 ) , s e p u e d e e x p r e s a r e n u n a f o r m a f a c t o r i z a d a s i m i l a r l a f u n c i ó n r a c i o n a l v i s t a
a n t e r i o r m e n t a , v e a ( 1 5 . 3 9 ) . P o r l o t a n t o p o d e m o s e n c o n t r a r l a s r a í c e s d e l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r d e l a
t r a n s f o r m a d a - z . L a s s i g u i e n t e s d o s r e l a c i o n e s s e v u e l v e n o b v i a s :
R e l a c i ó n d e R a í c e s e n P o l o s y C e r o s
• L a s r a í c e s d e l n u m e r a d o e n l a f u n c i ó n r a c i o n a l s o n l o c e r o s e n l a t r a n s f o r m a d a - z
• L a s r a í c e s e n e l n o m i n a d o r d e l a f u n c i ó n r a c i o n a l s o n l o s p o l o s d e l a t r a n s f o r m a d a - z
1 5 . 5 . 4 C o n c l u s i ó n
U n a v e z q u e u s e m o s n u e s t r o c o n o c i m i e n t o d e f u n c i o n e s r a z ó n a l e s p a r a e n c o n t r a r s u s r a í c e s , p o d e m o s m a -
n i p u l a r u n a t r a n s f o r m a d a - z e n v a r i a s m a n e r a s ú t i l e s . P o d e m o s u s a r e s t e c o n o c i m i e n t o p a r a r e p r e s e n t a r u n
s i s t e m a L T I g r á c a m e n t e u s a n d o u n a g r a c a d e p o l o s y c e r o s
8
, o p a r a a n a l i z a r o d i s e ñ a r u n l t r o d i g i t a l a
t r a v é s d e l a t r a n s f o r m a d a - z
9
.
1 5 . 6 L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a
1 0
1 5 . 6 . 1 I n t r o d u c c i ó n
U n o d e l o s c o n c e p t o s m á s i m p o r t a n t e s p a r a e l D S P e s p o d e r r e p r e s e n t a r l a r e l a c i ó n d e e n t r a d a y s a l i d a
d e c u a l q u i e r s i s t e m a L T I . U n a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a d e c o e c i e n t e l i n e a r c o n s t a n t e ( L C C D E ) n o s
s i r v e p a r a e x p r e s a r e s t a r e l a c i ó n e n u n s i s t e m a d i s c r e t o . E l e s c r i b i r l a s e c u e n c i a d e e n t r a d a s y s a l i d a s , l a s
c u a l e s r e p r e s e n t a n l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l s i s t e m a L T I , c o m o u n a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a n o s a y u d a e n t e n d e r
y m a n i p u l a r e l s i s t e m a .
D e n i t i o n 2 0 : L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a
E s u n a e c u a c i ó n q u e m u e s t r a l a r e l a c i ó n e n t r a v a l o r e s c o n s e c u t i v o s d e u n a s e c u e n c i a y l a d i f e r e n c i a
e n t r e e l l o s . U s u a l m e n t e s e e s c r i b e e n u n a e c u a c i ó n r e c u r r e n t e p a r a q u e l a s a l i d a d e l s i s t e m a s e
p u e d a c a l c u l a r d e l a s e n t r a d a s d e l a s e ñ a l y s u s v a l o r e s a n t e r i o r e s .
E x a m p l e
y [n] + 7y [n − 1] + 2y [n − 2] = x [n] − 4x [n − 1] ( 1 5 . 4 2 )
1 5 . 6 . 2 F o r m u l a s G e n e r a l e s p a r a l a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a
L a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a n o s a y u d a a d e s c r i b i r l a s a l i d a d e l s i s t e m a d e s c r i t o p o r l a f o r m u l a p a r a c u a l q u i e r n .
L a p r o p i e d a d m a s i m p o r t a n t e p a r a e s t a e c u a c i ó n e s l a h a b i l i d a d d e p o d e r e n c o n t r a r l a t r a n s f o r m a d a , H (z) ,
d e l s i s t e m a . L a s s i g u i e n t e s s u b s e c c i o n e s v e r e m o s l a f o r m a g e n e r a d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l e n l a c o n v e r s i ó n
a l a t r a n s f o r m a d a - z d i r e c t a m e n t e d e s u e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a .
7
" U n d e r s t a n d i n g P o l e / Z e r o P l o t s o n t h e Z - P l a n e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 5 6 / l a t e s t / >
8
" U n d e r s t a n d i n g P o l e / Z e r o P l o t s o n t h e Z - P l a n e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 5 6 / l a t e s t / >
9
" F i l t e r D e s i g n u s i n g t h e P o l e / Z e r o P l o t o f a Z - T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 4 8 / l a t e s t / >
1 0
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 5 / 1 . 1 / > .
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2 8 0
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
1 5 . 6 . 2 . 1 E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a
L a f o r m a g e n e r a l d e e s t e t i p o d e e c u a c i ó n e s l a s i g u i e n t e :
N k=0
(aky [n − k]) =
M k=0
(bkx [n − k]) ( 1 5 . 4 3 )
T a m b i é n s e p u e d e e x p r e s a r c o m o u n a s a l i d a r e c u r r e n t e , l a c u a l s e v e a s í :
y [n] = −
N k=1
(aky [n − k])
+
M k=0
(bkx [n − k]) ( 1 5 . 4 4 )
D e e s t a e c u a c i ó n , n o t e q u e
y [n − k] r e p r e s e n t a l a s s a l i d a s y
x [n − k] e p r e s e n t a l a s e n t r a d a s . E l v a l o r d e
N r e p r e s e n t a e l o r d e n d e l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a q u e c o r r e s p o n d e a l a m e m o r i a d e l s i s t e m a r e p r e s e n t a d o .
Y a q u e l a e c u a c i ó n d e p e n d e d e l o s v a l o r e s p a s a d o s d e l a s a l i d a , p a r a c a l c u l a r u n a s o l u c i ó n n u m é r i c a , a l g u n o s
v a l o r e s p a s a d o s , c o n o c i d o s c o m o c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s , s e d e b e n s a b e r .
1 5 . 6 . 2 . 2 C o n v e r s i ó n a l a T r a n s f o r m a d a - z
U s a n d o l a f o r m u l a , ( 1 5 . 4 3 ) , p o d e m o s g e n e r a l i z a r l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a , H (z) , p a r a c u a l q u i e r f u n c i ó n
d e d i f e r e n c i a . L o s s i g u i e n t e s p a s o s s e d e b e n d e t o m a r p a r a c o n v e r t i r c u a l q u i e r f u n c i ó n d e d i f e r e n c i a e n s u
f u n c i ó n d e d i f e r e n c i a . P r i m e r o s e t i e n e q u e t o m a r l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
1 1
d e t o d o s l o s t é r m i n o s e n
l a ( 1 5 . 4 3 ) . D e s p u é s u s a n d o l a p r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d p a r a s a c a r l a t r a n s f o r m a d a f u e r a d e l a s u m a t o r i a
y u s a m o s l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o d e l a t r a n s f o r m a d a z p a r a c a m b i a r l o s t é r m i n o s
d e s p l a z a d o s e n e l t i e m p o a e x p o n e n c i a l e s . D e s p u é s d e h a c e r e s t o , l l e g a m o s a l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :
a0 = 1 .
Y (z) = −
N k=1
akY (z) z−k
+
M k=0
bkX (z) z−k
( 1 5 . 4 5 )
H (z) = Y (z)X(z)
=PMk=0(bkz−k)
1+P
Nk=1(akz
−k)
( 1 5 . 4 6 )
1 5 . 6 . 2 . 3 C o n v e r s i ó n a l a R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a
Y a q u e t e n e m o s l a t r a n s f o r m a d a - z , p o d e m o s t o m a r e l s i g u i e n t e p a s o y d e n i r l a r e s p u e s t a a l a f r e c u e n c i a
d e l s i s t e m a , o l t r o , q u e e s t a s i e n d o r e p r e s e n t a d o p o r l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a .
n o t e : R e c u e r d e q u e l a r a z ó n p o r l a q u e u s a m o s e s t a s f o r m u l a s e s e l p o d e r d i s e ñ a r u n l t r o . U n
L C C D E e s u n a d e l a s m a n e r a s m á s f á c i l e s d e r e p r e s e n t a r l o s l t r o s F I L . A l e n c o n t r a r l a r e s p u e s t a
d e f r e c u e n c i a , p o d e m o s v e r l a s f u n c i o n e s b á s i c a s d e c u a l q u i e r l t r o r e p r e s e n t a d o p o r u n a s i m p l e
L C C D E . L a f o r m u l a g e n e r a l p a r a l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a e n l a t r a n s f o r m a d a - z e s l a s i g u i e n t e .
L a c o n v e r s i ó n e s s i m p l e m e n t e t o m a r l a f o r m u l a d e l a t r a n s f o r m a d a - z , H (z), y r e m p l a z a r l a e n c u a l q u i e r
i n s t a n t e d e
zc o n
ejw
.
H (w) = H (z) |z,z=ejw
=PMk=0(bke−(jwk))PNk=0(ake−(jwk))
( 1 5 . 4 7 )
D e s p u é s d e q u e u s t e d e n t i e n d a l a d e r i v a c i ó n d e e s t a f o r m u l a v e a e l m o d u l o t i t u l a d o e l l t r o y l a t r a n s f o r m a d a -
z
1 2
p a r a q u e v e a l a s i d e a s d e l a t r a n s f o r m a d a - z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) y l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a , y l a s g r a c a s d e
p o l o s y c e r o s
1 3
s e u s a n a l d i s e ñ a r u n l t r o .
1 1
" D e r i v a t i o n o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 4 6 / l a t e s t / >
1 2
" F i l t e r D e s i g n u s i n g t h e P o l e / Z e r o P l o t o f a Z - T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 4 8 / l a t e s t / >
1 3
" U n d e r s t a n d i n g P o l e / Z e r o P l o t s o n t h e Z - P l a n e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 5 6 / l a t e s t / >
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2 8 1
1 5 . 6 . 3 E j e m p l o
E x a m p l e 1 5 . 1 0 : E n c o n t r a n d o l a F u n c i ó n d e D i f e r e n c i a
A q u í s e m u e s t r a u n e j e m p l o d e t o m a r l o s p a s o s o p u e s t o s a l o s d e s c r i t o s a n t e r i o r m e n t e : d a d a u n a
f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a u n o p u e d e c a l c u l a r f á c i l m e n t e l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a d e l s i s t e m a .
H (z) =(z + 1)
2z − 1
2
z + 3
4
( 1 5 . 4 8 )
D a d a u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e u n l t r o , q u e r e m o s e n c o n t r a r l a f u n c i ó n d e d i f e r e n c i a . P a r a
h a c e r e s t o , e x p a n d a l o s o s p o l i n o m i o s y d i v í d a l o s p o r e l o r d e n m a s a l t o d e z .
H (z) = (z+1)(z+1)
(z− 12 )(z+ 3
4 )
= z2+2z+1z2+2z+1− 3
8
= 1+2z−1+z−2
1+ 14 z−1− 3
8 z−2
( 1 5 . 4 9 )
D e e s t a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a , l o s c o e c i e n t e s d e l o s d o s p o l i n o m i o s s e r á n n u e s t r o s v a l o r e s d e
ak y
bk q u e s e e n c u e n t r a n e l l a f o r m a g e n e r a l d e l a f u n c i ó n d e d i f e r e n c i a s , ( 1 5 . 4 3 ) . U s a n d o e s t o s
c o e c i e n t e s y l a f o r m a a n t e r i o r d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a , p o d e m o s e s c r i b i r l a e c u a c i ó n d e
d i f e r e n c i a a s í :
x [n] + 2x [n − 1] + x [n − 2] = y [n] +1
4y [n − 1] − 3
8y [n − 2] ( 1 5 . 5 0 )
E n e l ú l t i m o p a s o r e - e s c r i b i m o s l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a e n u n a f o r m a m á s c o m ú n , m o s t r a n d o s u
n a t u r a l e z a r e c u r r e n t e d e l s i s t e m a .
y [n] = x [n] + 2x [n − 1] + x [n − 2] +−1
4y [n − 1] +
3
8y [n − 2] ( 1 5 . 5 1 )
1 5 . 6 . 4 R e s o l v i e n d o u n L C C D E
P a r a r e s o l v e r e s t e t i p o d e e c u a c i o n e s y p o d e r l a s u s a r e n e l a n á l i s i s d e s i s t e m a s L T I , t e n e m o s q u e e n c o n t r a r
l a s s a l i d a s d e l s i s t e m a q u e e s t á n b a s a d a s e n u n a e n t r a d a d e l s i s t e m a , x (n) y b a s a d a s e n u n c o n j u n t o d e
c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s . E x i s t e n d o s m é t o d o s p a r a r e s o l v e r u n L C C D E : e l m é t o d o d i r e c t o , y e l m é t o d o
i n d i r e c t o , e s t e ú l t i m o b a s a d o e n l a t r a n s f o r m a d a - z . E n l a s s i g u i e n t e s s u b s e c c i o n e s s e e x p l i c a b r e v e m e n t e
l a s f o r m u l a s p a r a r e s o l v e r l o s L C C D E a s í c o m o e l u s o d e e s t o s d o s m é t o d o s .
1 5 . 6 . 4 . 1 M é t o d o D i r e c t o
L a s o l u c i ó n n a l d e l a s a l i d a , u t i l i z a n d o e s t e m é t o d o , e s u n a s u m a d i v i d i d a e n d o s p a r t e s e x p r e s a d a s d e l a
s i g u i e n t e m a n e r a :
y (n) = yh (n) + y p (n) ( 1 5 . 5 2 )
L a p r i m e r a p a r t e , yh (n) , s e c o n o c e c o m o l a s o l u c i ó n h o m o g é n e a y l a s e g u n d a p a r t e , yh (n), s e l e l l a m a
l a s s o l u c i ó n p a r t i c u l a r . E l s i g u i e n t e m é t o d o e s s i m i l a r a l u s a d o p a r a r e s o l v e r l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ,
a s í q u e s i y a t o m o u n c u r s o d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , e s t e m é t o d o l e s e r á f a m i l i a r .
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C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
1 5 . 6 . 4 . 1 . 1 S o l u c i ó n H o m o g é n e a
S e e m p i e z a a l a s u m i r q u e l a e n t r a d a e s i g u a l a c e r o , x (n) = 0. D e s p u é s , t e n e m o s q u e s o l u c i o n a r l a e c u a c i ó n
d e d i f e r e n c i a h o m o g é n e a :
N k=0
(aky [n − k]) = 0 ( 1 5 . 5 3 )
P a r a r e s o l v e r e s t o , a s u m i m o s q u e l a s o l u c i ó n t i e n e l a f o r m a d e u n e x p o n e n c i a l . U s a r e m o s l a m b d a , λ, p a r a
r e p r e s e n t a r l o s t é r m i n o s e x p o n e n c i a l e s . A h o r a t e n e m o s q u e r e s o l v e r l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :
N k=0
akλn−k
= 0 ( 1 5 . 5 4 )
E x p a n d i r e m o s l a e c u a c i ó n y f a c t o r i z a r e m o s t o d o s l o s t é r m i n o s d e l a m b d a . E s t o n o s d a r á u n p o l i n o m i o
d e n t r o d e l p a r é n t e s i s , l o c u a l s e c o n o c e c o m o p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o . L a s r a í c e s d e e s t e p o l i n o m i o s o n
l a c l a v e p a r a r e s o l v e r e s t o e c u a c i ó n . S i s e t i e n e n r a í c e s d i f e r e n t e s , l a s o l u c i ó n g e n e r a l e s l a s i g u i e n t e :
yh (n) = C 1(λ1)n
+ C 2(λ2)n
+
· · ·+ C N (λN )
n( 1 5 . 5 5 )
S i n e m b a r g o , s i l a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a c o n t i e n e m ú l t i p l e s r a í c e s l a s o l u c i ó n m o s t r a d a a n t e r i o r m e n t e s u f r e
a l g u n o s c a m b i o s . L a v e r s i ó n m o d i c a d a d e l a e c u a c i ó n s e m u e s t r a a b a j o , d o n d e λ1 t i e n e K r a í c e s :
yh (n) = C 1(λ1)n
+ C 1n(λ1)n
+ C 1n2(λ1)n
+ · · · + C 1nK−1(λ1)n
+ C 2(λ2)n
+ · · · + C N (λN )n
( 1 5 . 5 6 )
1 5 . 6 . 4 . 1 . 2 S o l u c i ó n P a r t i c u l a r
E s t a s o l u c i ó n , y p (n), s e r á a q u e l l a q u e r e s u e l v a l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a g e n e r a l :
N
k=0(aky p (n − k)) =
M
k=0(bkx (n − k)) ( 1 5 . 5 7 )
P a r a r e s o l v e r l a , n u e s t r a e s t i m a c i ó n d e l a s o l u c i ó n p a r a y p (n) t o m a r a l a f o r m a d e n u e s t r a e n t r a d a , x (n) .
D e s p u é s d e e s t o , u n o n a d a m a s t i e n e q u e s u s t i t u i r l a r e s p u e s t a y r e s o l v e r l a e c u a c i ó n .
1 5 . 6 . 4 . 2 M é t o d o I n d i r e c t o
E s t e m é t o d o u t i l i z a l a r e l a c i ó n e n t r e l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a y l a t r a n s f o r m a d a - z , p a r a e n c o n t r a r l a s o l u -
c i ó n . L a i d e a e s c o n v e r t i r l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a a s u t r a n s f o r m a d a - z , p a r a o b t e n e r u n a s a l i d a , f u e v i s t a
a n t e r i o r m e n t e ( S e c t i o n 1 5 . 6 . 2 : F o r m u l a s G e n e r a l e s p a r a l a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a ) , . Y (z) . A l u s a r l a
t r a n s f o r m a d a i n v e r s a ( S e c t i o n 1 5 . 6 . 2 . 2 : C o n v e r s i ó n a l a T r a n s f o r m a d a - z ) y u s a n d o l a e x p a n s i ó n p a r c i a l d e
f r a c c i o n e s , p o d e m o s e n c o n t r a r l a s o l u c i ó n .
1 5 . 7 E n t e n d i e n d o l a s G r a c a s d e P o l o s y C e r o s e n e l P l a n o - Z
1 4
1 5 . 7 . 1 I n t r o d u c c i ó n a l o s P o l o s y C e r o s d e l a T r a s f o r m a d a - z
D e s p u é s d e e n c o n t r a r l a t r a n s f o r m a d a - z d e l s i s t e m a , u n o p u e d e u s a r l a i n f o r m a c i ó n d e l p o l i n o m i o p a r a
r e p r e s e n t a r l a f u n c i ó n g r á c a m e n t e y a s í o b s e r v a r s u s c a r a c t e r í s t i c a s . L a t r a n s f o r m a d a - z t e n d r á l a s i g u i e n t e
e s t r u c t u r a , b a s a d a e n l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s ( S e c t i o n 1 5 . 5 ) :
X (z) =P (z)
Q (z)( 1 5 . 5 8 )
1 4
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 6 / 1 . 1 / > .
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L o s d o s p o l i n o m i o s ,
P (z) y
Q (z) , n o s d e j a n e n c o n t r a r l o s p o l o s y c e r o s ( S e c t i o n 1 4 . 6 ) d e l a t r a n s f o r m a d a -
z .
D e n i t i o n 2 1 : c e r o s
1 . v a l o r ( e s ) d e z d o n d e P (z) = 0 .
2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n q u e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e a
c e r o .
D e n i t i o n 2 2 : p o l o s
1 . v a l o r ( e s ) d e z d o n d e Q (z) = 0 .
2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n q u e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e a
i n n i t a .
E x a m p l e 1 5 . 1 1
E s t a e s l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a c o n p o l o s y c e r o s .
H (z) =z + 1
z−
1
2 z + 3
4
L o s c e r o s s o n : −1L o s p o l o s s o n :
12
, − 34
1 5 . 7 . 2 E l P l a n o - z
D e s p u é s d e e n c o n t r a r l o s p o l o s y c e r o s d e u n a t r a s f o r m a d a - z , s e p u e d e n g r a c a r e n e l p l a n o - z . E l p l a n o - z
e s u n p l a n o c o m p l e j o c o n e j e s r e a l e s e i m a g i n a r i o s p a r a l a v a r i a b l e c o m p l e j a d e z . L a p o s i c i ó n d e l p l a n o
c o m p l e j o e s d a d a p o r rejθ y e l á n g u l o s e d a d e l l a d o p o s i t i v e d e l e j e r e a l d e l p l a n o y s e e s c r i b e θ . A l g r a c a r
l o s p o l o s y c e r o s , l o s p o l o s s o n m o s t r a d o s c o n " x " y l o s c e r o s c o n " o " . L a s i g u i e n t e g u r a m u e s t r a e l p l a n o - z ,
a s í c o m o a l g u n o s e j e m p l o s d e c o m o g r a c a r p o l o s y c e r o s e n a l g ú n l u g a r p a r t i c u l a r e n e l p l a n o .
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C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
P l a n o - Z
F i g u r e 1 5 . 1 8
1 5 . 7 . 3 E j e m p l o s d e G r a c a s d e P o l o s y C e r o s
E s t a s e c c i ó n c o n t i e n e e j e m p l o s d e c o m o e n c o n t r a r p o l o s y c e r o s d e u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a y e l c o m o
g r a c a r l o s e n e l p l a n o - z .
E x a m p l e 1 5 . 1 2 : G r a c a S i m p l e d e P o l o s y C e r o s
H (z) =z
z − 12
z + 3
4
L o s c e r o s s o n : 0L o s p o l o s s o n :
12
, − 34
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G r a c a s d e P o l o s y C e r o s
F i g u r e 1 5 . 1 9 : U s a n d o l o s c e r o s y p o l o s d e l a f u n c i o n d e t r a n s f e r e n c i a , u n c e r o e s g r a c a d o a e l v a l o r
c e r o y l o s d o s p o l o s s e c o l o c a n e n
12 y
−`34
´
E x a m p l e 1 5 . 1 3 : G r a c a C o m p l e j a d e P o l o s y C e r o s
H (z) =(z − j) (z + j)
z − 12
− 12 j
z − 12 + 1
2 j
L o s c e r o s s o n : j, − jL o s p o l o s s o n : −1, 1
2 + 12 j, 1
2− 1
2 j
G r a c a s d e P o l o s y C e r o s
F i g u r e 1 5 . 2 0 : U s a n d o l o s c e r o s y p o l o s d e l a f u n c i o n d e t r a n s f e r e n c i a , l o s c e r o s s o n g r a c a d o s e n
± j,
l o s p o l o s s o n c o l o c a d o s e n
−1,
12
+ 12 j
y
12− 1
2 j
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2 8 6
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
M A T L A B - s i s e u s a e s t e p r o g r a m a , e n t o n c e s u s t e d p o d r á u s a r f u n c i o n e s q u e c r e a n e s t e t i p o d e g r a c a s
r á p i d a m e n t e . A b a j o s e m u e s t r a u n p r o g r a m a q u e g r a c a p o l o s y c e r o s d e l e j e m p l o a n t e r i o r .
7 u o r o r z r o
z a j Y E j Y
7 u o r o r o l
a E I Y F S C F S j Y F S E F S j Y
u r @ I A Y
z l n @ z D A Y
l @ 9 o l G r o l o o r g o m l o l G r o l o i m l 9 A Y
1 5 . 7 . 4 G r a c a s d e P o l o s y C e r o s y l a R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a
L a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a ( R O C ) p a r a
X (z) e n e l p l a n o - z d e p u e d e d e t e r m i n a r d e l a g r a c a d e p o l o s y
c e r o s . A u n q u e v a r i a s R O C p u e d e n e x i s t i r , d o n d e c a d a u n a c o r r e s p o n d e a u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s e d i f e r e n t e ,
e x i s t e n o p c i o n e s q u e s o n m a s p r a c t i c a s . U n R O C s e p u e d e e s c o g e r p a r a h a c e r l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a
c a u s a l y / o e s t a b l e d e p e n d i e n d o d e l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s .
P r o p i e d a d e s d e F i l t r o S a c a d a s d e l a R O C
• S i l a R O C s e e x t i e n d e h a c i a a f u e r a d e s d e s u u l t i m o p o l o , e n t o n c e s e l s i s t e m a e s c a u s a l .
• S i l a R O C i n c l u y e e l c í r c u l o u n i t a r i o , e n t o n c e s e l s i s t e m a e s e s t a b l e .
L a s i g u i e n t e g r a c a e s u n p o s i b l e R O C p a r a l a t r a n s f o r m a d a - z d e l e j e m p l o g r a c a s i m p l e d e p o l o s y c e r o s
( E x a m p l e 1 5 . 1 2 : G r a c a S i m p l e d e P o l o s y C e r o s ) l a r e g i ó n m o s t r a d a i n d i c a l a R O C e l e g i d a p a r a e l l t r o .
P o d e m o s i n f e r i o r q u e e l l t r o s e r á c a u s a l y e s t a b l e y a q u e t i e n e l a s p r o p i e d a d e s m e n c i o n a d a s a n t e r i o r m e n t e .
E x a m p l e 1 5 . 1 4
H (z) =z
z − 12
z + 3
4
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L a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a p a r a l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s
F i g u r e 1 5 . 2 1 : L a a r e a r e p r e s e n t a l a R O C p a r a l a f u n c i o n d e t r a n s f e r e n c i a .
1 5 . 7 . 5 R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a y e l P l a n o - Z
L a r a z ó n p o r l o c u a l e s i m p o r t a n t e e l e n t e n d e r y c r e a r l a s g r a c a s d e p o l o s y c e r o s e s s u h a b i l i d a d d e a y u d a r
e n e l d i s e ñ o d e l t r o s . B a s a d o e n l a l o c a c i ó n d e l o s p o l o s y c e r o s , l a r e s p u e s t a d e l a m a g n i t u d d e l l t r o s e
p u e d e c o m p r e n d e r . A l e m p e z a r c o n e s t e t i p o d e g r a c a , u n o p u e d e d i s e ñ a r u n l t r o y o b t e n e r s u f u n c i ó n d e
t r a n s f e r e n c i a f á c i l m e n t e . V e a e s t a s e c c i ó n
1 5
p a r a o b t e n e r i n f o r m a c i ó n s o b r e l a r e l a c i ó n d e l a g r a c a d e p o l o s
y c e r o s c o n l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a .
1 5 . 8 D i s e ñ o d e F i l t r o s u s a n d o l a G r a c a d e P o l o s y C e r o s d e l a
T r a n s f o r m a d a - Z
1 6
1 5 . 8 . 1 E s t i m a n d o l a R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a d e u n P l a n o - Z
U n f a c t o r d e m o t i v a c i ó n p a r a e l a n á l i s i s d e l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s e s l a r e l a c i ó n d e l a r e s p u e s t a d e
f r e c u e n c i a d e l s i s t e m a . B a s a d o e n l a p o s i c i ó n d e l o s p o l o s y c e r o s , u n o p u e d e d e t e r m i n a r l a r e s p u e s t a d e l a
f r e c u e n c i a . E s t e e s u n r e s u l t a d o d e l a c o r r e l a c i ó n e n t r e l a r e p u e s t a d e f r e c u e n c i a y l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a
e v a l u a d a e n e l c í r c u l o u n i t a r i o d e l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s . L a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a , o D T F T , d e l s i s t e m a
e s d e n i d a p o r :
H (w) = H (z) |z,z=ejw
=PMk=0(bke−(jwk))PNk=0(ake−(jwk))
( 1 5 . 5 9 )
1 5
" F i l t e r D e s i g n u s i n g t h e P o l e / Z e r o P l o t o f a Z - T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 4 8 / l a t e s t / >
1 6
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 7 / 1 . 3 / > .
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C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
A l f a c t o r i z a r l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a a s u s p o l o s y c e r o s y e l m u l t i p l i c a r e l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r
p o r
ejws e o b t i e n e l o s i g u i e n t e :
H (w) =
|
b0
a0 |M k=1
|ejw − ck|N
k=1 (|ejw
− dk|)( 1 5 . 6 0 )
D e l a ( 1 5 . 6 0 ) o b t e n e m o s l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a e n u n a f o r m a q u e s e p u e d e u s a r p a r a i n t e r p r e t a r l a s
c a r a c t e r í s t i c a s f í s i c a s d e l a s r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a d e l l t r o . E l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r c o n t i e n e n u n
p r o d u c t o e n t é r m i n o s d e l a f o r m a |ejw − h| , d o n d e h e s c e r o , m a r c a d o p o r ck o u n p o l o , d e s c r i t o p o r dk .
L o s v e c t o r e s s o n u s a d o s p a r a r e p r e s e n t a r e l t é r m i n o y s u s p a r t e s e n e l p l a n o c o m p l e j o . E l p o l o o c e r o , h, e s
u n v e c t o r q u e v i e n e d e l o r i g e n a l a s u l u g a r e n c u a l q u i e r p a r t e d e l p l a n o c o m p l e j o y ejw e s u n v e c t o r q u e
v i e n e d e l o r i g e n h a s t a u n a p o s i c i ó n e n e l c i r c u l o u n i t a r i o . E l v e c t o r q u e c o n e c t a e s t o s d o s p u n t o s , |ejw − h| ,
c o n e c t a e l p o l o o c e r o a u n l u g a r e n e l c i r c u l o u n i t a r i o q u e d e p e n d e d e l v a l o r d e
w. D e e s t o , p o d e m o s e m p e z a r
e n t e n d e r c o m o l a m a g n i t u d d e l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a e s u n r a d i o d e d i s t a n c i a s d e p o l o s y c e r o s p r e s e n t e
e n e l p l a n o - z y
wv a d e c e r o a p i . E s t a s c a r a c t e r í s t i c a s n o a y u d a n a e n t e n d e r . |H (w) | d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :
|H (w) | = | b0a0
|”distanciasdelosceros”
”distanciasdelospolos”( 1 5 . 6 1 )
E n c o n c l u s i ó n , u s a n d o l a s d i s t a n c i a s d e l c í r c u l o u n i t a r i o a l o s p o l o s y c e r o s , p o d e m o s g r a c a r l a r e s p u e s t a d e
l a f r e c u e n c i a d e l s i s t e m a . C u a n d o
wv a d e 0 a 2π
, l a s s i g u i e n t e s d o s p r o p i e d a d e s , t o m a d a s d e l a s e c u a c i o n e s
a n t e r i o r e s , e s p e c i c a n c o m o s e d e b e g r a c a r |H (w) |.
M i e n t r a s s e m u e v a a l r e d e d o r d e l c í r c u l o u n i t a r i o . . .
1 . s i e s t a c e r c a s d e u n c e r o , l a m a g n i t u d e s c h i c a . S i e l c e r o e s t a s o b r e e l c i r c u l o u n i t a r i o , e n t o n c e s l a
r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a e s c e r o e n e s o p u n t o .
2 . s i e s t a c e r c a s d e u n p o l o , l a m a g n i t u d e s g r a n d e . S i e l p o l o e s t a s o b r e e l c i r c u l o u n i t a r i o , e n t o n c e s l a
r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a e s i n n i t a e n e s e p u n t o .
1 5 . 8 . 2 G r a c a n d o l a R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a d e u n a G r a c a d e P o l o s y C e r o s
V e r e m o s v a r i o s e j e m p l o s d o n d e s e d e t e r m i n a l a m a g n i t u d d e l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a d e a u n g r a c a d e
p o l o s y c e r o s d e u n a t r a n s f o r m a d a - z . S i s e l e o l v i d o o n o s a b e q u e e s u n a g r a c a d e p o l o s y c e r o s , v e a e l
m o d u l o d e g r a c a s d e p o l o s y c e r o s
1 7
.
E x a m p l e 1 5 . 1 5
E n e s t e e j e m p l o , t o m a r e m o s u n a t r a n s f o r m a d a - z s e n c i l l a m o s t r a d a a q u í :
H (z) = z + 1 = 1 + z−1
H (w) = 1 + e−(jw)
P a r a e s t e e j e m p l o , a l g u n o s d e l o s v e c t o r e s r e p r e s e n t a d o s p o r |ejw − h|, p a r a v a l o r e s a l e a t o r i o s d e
w , s o n g r a c a d o s e s p e c í c a m e n t e e n e l p l a n o c o m p l e j o , v i s t o e n l a s i g u e n t a g u r a . E s t o s v e c t o r e s
m u e s t r a n c o m o l a a m p l i t u d d e l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a c a m b i a c u a n d o w v a d e 0 a 2π , t a m b i é n
m u e s t r a e l s i g n i c a d o f í s i c o e n t é r m i n o s d e ( 1 5 . 6 0 ) . S e p u e d e o b s e r v a r q u e c u a n d o w = 0 , e l v e c t o r
e s m a y o r a s í q u e l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a t e n d r á l a m a y o r a m p l i t u d . C u a n d o
ws e a c e r c a a
π, e l
t a m a ñ o d e l v e c t o r d i s m i n u y e j u n t o c o n l a a m p l i t u d d e |H (w) | . Y a q u e l a t r a n s f o r m a d a n o c o n t i e n e
p o l o s , n a d a m a s t e n e m o s u n v e c t o r e n v e z d e u n r a d i o c o m o e n l a ( 1 5 . 6 0 ) .
1 7
" U n d e r s t a n d i n g P o l e / Z e r o P l o t s o n t h e Z - P l a n e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 5 6 / l a t e s t / >
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( a ) G r a c a d e p o l o s y c e r o s ( b ) R e s p u e s t a d e F r e c u a n c i a : | H ( w ) |
F i g u r e 1 5 . 2 2 : L a p r i m e r a g u r a r e p r e c e n t a l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s c o n u n o s c u a n t o s v e c t o r e s , l a
s e g u n d a m u e s t r a l a r e s p u e s t a d e f r e c u a n c i a q u e e s m a x i m a e n + 2 y e s g r a c a d a e n t r e p o s i t i v o y n e g a t i v o
π.
E x a m p l e 1 5 . 1 6
E n e s t e e j e m p l o , u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a m á s c o m p l e j a e s a n a l i z a d a p a r a p o d e r r e p r e s e n t a r
l a r e s p u e s t a d e l a f r e c u e n c i a d e l s i s t e m a
H (z) =z
z − 12
=1
1 − 12z−1
H (w) =1
1
−12e−(jw)
P e d e m o s o b s e r v a r d o s g u r e s q u e d e s c r i b e s l a s e c u a c i o n e s a n t e r i o r e s . L a c n x n
t a r g e t = " e g 2 _ g 1 " / > r e p r e s e n t a l a g r a c a s e n c i l l a d e p o l o s y c e r o s d e l a t r a n s f o r m a d a - z , H (w) .
F i g u r e 1 5 . 2 3 ( b ) ( R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a : | H ( w ) | ) L a s e c u n d a g u r a m u e s t r a l a m a g n i t u d d e l a
r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a . U s a n d o l a s f o r m u l a s y l o d i c h o e n l a s e c c i ó n a n t e r i o r , p o d e m o s v e r q u e
c u a n d o w = 0 l a f r e c u e n c i a s e r á m á x i m a y a q u e e n e s t e v a l o r d e , w e l p o l o e s t a m a s c e r c a d e l
c i r c u l o u n i t a r i o . E l r a d i o d e l a ( 1 5 . 6 0 ) n o s a y u d a a v e r l a c o n d u c c i ó n m a t e m á t i c a m e n t e y v e r l a
r e l a c i ó n e n t r e l a s d i s t a n c i a s d e l c i r c u l o u n i t a r i o y l o s p o l o s y l o s c e r o s . C u a n d o
ws e m u e v e d e 0
a π , o b s e r v a m o s c o m o e l c e r o e m p i e z a a c u b r i r l o s e f e c t o s d e l p o l o y a s í h a c e r q u e l a r e s p u e s t a d e
f r e c u e n c i a s e v u e l v e c a s i i g u a l a 0.
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2 9 0
C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S
( a ) G r a c a d e P o l o s y C e r o s ( b ) R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a : | H ( w ) |
F i g u r e 1 5 . 2 3 : L a p r i m e r a r = g u r a r e p r e s e n t a l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s , l a s e g u n d a m u e s t r a l a
r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a q u e e s m a x i m a e n + 2 y e s g r a c a d a e n t r e p o s i t i v o y n e g a t i v o
π.
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C h a p t e r 1 6
T a r e a s
1 6 . 1 H o m e w o r k # 1
1
d u e d a t e : N o o n , T h u r s d a y , S e p t e m b e r 5 , 2 0 0 2
1 6 . 1 . 1 A s s i g n m e n t 1
H o m e w o r k , t e s t s , a n d s o l u t i o n s f r o m p r e v i o u s o e r i n g s o f t h i s c o u r s e a r e o l i m i t s , u n d e r t h e h o n o r c o d e .
1 6 . 1 . 1 . 1 P r o b l e m 1
F o r m a s t u d y g r o u p o f 3 - 4 m e m b e r s . W i t h y o u r g r o u p , d i s c u s s a n d s y n t h e s i z e t h e m a j o r t h e m e s o f t h i s w e e k
o f l e c t u r e s . T u r n i n a o n e p a g e s u m m a r y o f y o u r d i s c u s s i o n . Y o u n e e d t u r n i n o n l y o n e s u m m a r y p e r g r o u p ,
b u t i n c l u d e t h e n a m e s o f a l l g r o u p m e m b e r s . P l e a s e d o n o t w r i t e u p j u s t a " t a b l e o f c o n t e n t s . "
1 6 . 1 . 1 . 2 P r o b l e m 2
C o n s t r u c t a W W W p a g e ( w i t h y o u r p i c t u r e ) a n d e m a i l M i k e W a k i n ( w a k i n @ r i c e . e d u ) y o u r n a m e ( a s y o u
w a n t i t t o a p p e a r o n t h e c l a s s w e b p a g e ) a n d t h e U R L . I f y o u n e e d a s s i s t a n c e s e t t i n g u p y o u r p a g e o r
t a k i n g / s c a n n i n g a p i c t u r e ( b o t h a r e e a s y ! ) , a s k y o u r c l a s s m a t e s .
1 6 . 1 . 1 . 3 P r o b l e m 3 : L e a r n i n g S t y l e s
F o l l o w t h i s l e a r n i n g s t y l e s l i n k
2
( a l s o f o u n d o n t h e E l e c 3 0 1 w e b p a g e
3
) a n d l e a r n a b o u t t h e b a s i c s o f
l e a r n i n g s t y l e s . W r i t e a s h o r t s u m m a r y o f w h a t y o u l e a r n e d . A l s o , c o m p l e t e t h e " I n d e x o f l e a r n i n g s t y l e s "
s e l f - s c o r i n g t e s t o n t h e w e b a n d b r i n g y o u r r e s u l t s t o c l a s s .
1 6 . 1 . 1 . 4 P r o b l e m 4
M a k e s u r e y o u k n o w t h e m a t e r i a l i n L a t h i , C h a p t e r B , S e c t i o n s 1 - 4 , 6 . 1 , 6 . 2 , 7 . S p e c i c a l l y , b e s u r e t o r e v i e w
t o p i c s s u c h a s :
• c o m p l e x a r i t h m e t i c ( a d d i n g , m u l t i p l y i n g , p o w e r s )
• n d i n g ( c o m p l e x ) r o o t s o f p o l y n o m i a l s
• c o m p l e x p l a n e
4
a n d p l o t t i n g r o o t s
1
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 8 2 6 / 2 . 9 / > .
2
h t t p : / / w w w 2 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / L e a r n i n g _ S t y l e s . h t m l
3
h t t p : / / w w w - d s p . r i c e . e d u / c o u r s e s / e l e c 3 0 1 /
4
" T h e C o m p l e x P l a n e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 9 6 / l a t e s t / >
2 9 1
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2 9 2
C H A P T E R 1 6 . T A R E A S
• v e c t o r s ( a d d i n g , i n n e r p r o d u c t s )
1 6 . 1 . 1 . 5 P r o b l e m 5 : C o m p l e x N u m b e r A p p l e t
R e a c q u a i n t y o u r s e l f w i t h c o m p l e x n u m b e r s
5
b y g o i n g t o t h e c o u r s e a p p l e t s w e b p a g e
6
a n d c l i c k i n g o n t h e
C o m p l e x N u m b e r s a p p l e t ( m a y t a k e a f e w s e c o n d s t o l o a d ) .
( a ) C h a n g e t h e d e f a u l t a d d f u n c t i o n t o e x p o n e n t i a l ( e x p ) . C l i c k o n t h e c o m p l e x p l a n e t o g e t a b l u e a r r o w ,
w h i c h i s y o u r c o m p l e x n u m b e r z . C l i c k a g a i n a n y w h e r e o n t h e c o m p l e x p l a n e t o g e t a y e l l o w a r r o w , w h i c h
i s e q u a l t o ez . N o w d r a g t h e t i p o f t h e b l u e a r r o w a l o n g t h e u n i t c i r c l e o n w i t h |z| = 1 ( s m a l l e r c i r c l e ) . F o r
w h i c h v a l u e s o f z o n t h e u n i t c i r c l e d o e s ez a l s o l i e o n t h e u n i t c i r c l e ? W h y ?
( b ) E x p e r i m e n t w i t h t h e f u n c t i o n s a b s o l u t e ( a b s ) , r e a l p a r t ( r e ) , a n d i m a g i n a r y p a r t ( i m ) a n d r e p o r t
y o u r n d i n g s .
1 6 . 1 . 1 . 6 P r o b l e m 6 : C o m p l e x A r i t h m e t i c
R e d u c e t h e f o l l o w i n g t o t h e C a r t e s i a n f o r m , a + jb . D o n o t u s e y o u r c a l c u l a t o r !
( a )
−1−j√220
( b )
1+2j3+4j
( c )
1+√3j√
3−j
( d )
√ j
( e ) jj
1 6 . 1 . 1 . 7 P r o b l e m 7 : R o o t s o f P o l y n o m i a l s
F i n d t h e r o o t s o f e a c h o f t h e f o l l o w i n g p o l y n o m i a l s ( s h o w y o u r w o r k ) . U s e M A T L A B t o c h e c k y o u r a n s w e r
w i t h t h e r o o c o m m a n d a n d t o p l o t t h e r o o t s i n t h e c o m p l e x p l a n e . M a r k t h e r o o t l o c a t i o n s w i t h a n ' o ' .
P u t a l l o f t h e r o o t s o n t h e s a m e p l o t a n d i d e n t i f y t h e c o r r e s p o n d i n g p o l y n o m i a l ( a, b, e t c . . . ) .
( a ) z2 − 4z( b )
z2 − 4z + 4( c )
z2 − 4z + 8( d ) z2 + 8( e ) z2 + 4z + 8( f ) 2z2 + 4z + 8
1 6 . 1 . 1 . 8 P r o b l e m 8 : N t h R o o t s o f U n i t y
ej2πN
i s c a l l e d a n N t h R o o t o f U n i t y .
( a ) W h y ?
( b ) L e t z = ej2π7
. D r a w
z, z2, . . . , z7
i n t h e c o m p l e x p l a n e .
( c ) L e t
z = ej4π7
. D r a w
z, z2, . . . , z7
i n t h e c o m p l e x p l a n e .
1 6 . 1 . 1 . 9 P r o b l e m 9 : W r i t i n g V e c t o r s i n T e r m s o f O t h e r V e c t o r s
A p a i r o f v e c t o r s
u ∈ C2a n d
v ∈ C2a r e c a l l e d l i n e a r l y i n d e p e n d e n t i f
αu + βv = 0 i f a n d o n l y i f α = β = 0
I t i s a f a c t t h a t w e c a n w r i t e a n y v e c t o r i n C2
a s a w e i g h t e d s u m ( o r l i n e a r c o m b i n a t i o n ) o f a n y t w o
l i n e a r l y i n d e p e n d e n t v e c t o r s , w h e r e t h e w e i g h t s α a n d β a r e c o m p l e x - v a l u e d .
5
" C o m p l e x N u m b e r s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 8 1 / l a t e s t / >
6
h t t p : / / w w w . d s p . r i c e . e d u / c o u r s e s / e l e c 3 0 1 / a p p l e t s . s h t m l
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2 9 3
( a ) W r i t e
3 + 4 j
6 + 2 j
a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f
1
2
a n d
−5
3
. T h a t i s , n d
αa n d
β s u c h t h a t
3 + 4 j
6 + 2 j
= α
1
2
+ β
−5
3
( b ) M o r e g e n e r a l l y , w r i t e
x =
x1
x2
a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f
1
2
a n d
−5
3
. W e w i l l d e n o t e
t h e a n s w e r f o r a g i v e n
xa s α (x) a n d β (x).
( c ) W r i t e t h e a n s w e r t o ( a ) i n m a t r i x f o r m , i . e . n d a 2 × 2 m a t r i x A s u c h t h a t
A
x1
x2
=
α (x)
β (x)
( d ) R e p e a t ( b ) a n d ( c ) f o r a g e n e r a l s e t o f l i n e a r l y i n d e p e n d e n t v e c t o r s u a n d v .
1 6 . 1 . 1 . 1 0 P r o b l e m 1 0 : F u n w i t h F r a c t a l s
A J u l i a s e t
J i s o b t a i n e d b y c h a r a c t e r i z i n g p o i n t s i n t h e c o m p l e x p l a n e . S p e c i c a l l y , l e t
f (x) = x2 + µw i t h
µc o m p l e x , a n d d e n e
g0 (x) = x
g1 (x) = f (g0 (x)) = f (x)
g2 (x) = f (g1 (x)) = f (f (x))
.
.
.
gn (x) = f (gn−1 (x))
T h e n f o r e a c h
xi n t h e c o m p l e x p l a n e , w e s a y
x ∈ J i f t h e s e q u e n c e
|g0 (x) |, |g1 (x) |, |g2 (x) |, . . .
d o e s n o t t e n d t o i n n i t y . N o t i c e t h a t i f
x ∈ J , t h e n e a c h e l e m e n t o f t h e s e q u e n c e g0 (x) , g1 (x) , g2 (x) , . . .
a l s o b e l o n g s t o J .
F o r m o s t v a l u e s o f µ, t h e b o u n d a r y o f a J u l i a s e t i s a f r a c t a l c u r v e - i t c o n t a i n s " j a g g e d " d e t a i l n o
m a t t e r h o w f a r y o u z o o m i n o n i t . T h e w e l l - k n o w n M a n d e l b r o t s e t c o n t a i n s a l l v a l u e s o f
µf o r w h i c h t h e
c o r r e s p o n d i n g J u l i a s e t i s c o n n e c t e d .
( a ) L e t µ = −1 . I s x = 1 i n J ?
( b ) L e t µ = 0 . W h a t c o n d i t i o n s o n x e n s u r e t h a t x b e l o n g s t o J ?
( c ) C r e a t e a n a p p r o x i m a t e p i c t u r e o f a J u l i a s e t i n M A T L A B . T h e e a s i e s t w a y i s t o c r e a t e a m a t r i x o f
c o m p l e x n u m b e r s , d e c i d e f o r e a c h n u m b e r w h e t h e r i t b e l o n g s t o J , a n d p l o t t h e r e s u l t s u s i n g t h e m
c o m m a n d . T o d e t e r m i n e w h e t h e r a n u m b e r b e l o n g s t o
J , i t i s h e l p f u l t o d e n e a l i m i t
N o n t h e n u m b e r o f
i t e r a t i o n s o f
g. F o r a g i v e n
x, i f t h e m a g n i t u d e |gn (x) | r e m a i n s b e l o w s o m e t h r e s h o l d
M f o r a l l 0 ≤ n ≤ N
,
w e s a y t h a t x b e l o n g s t o J . T h e c o d e b e l o w w i l l h e l p y o u g e t s t a r t e d :
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2 9 4
C H A P T E R 1 6 . T A R E A S
x a I H H Y 7 w 5 o r o n
w a P Y 7 w n u d r o l d
m u a E H F U S Y 7 t u l r m r
r l l a E I F T X H F H I X I F T Y
m l a E I F P X H F H I X I F P Y
l a o n @ l n @ m l A D I A B r l l C F F F
j B m l 9 B o n @ I D l n @ r l l A A Y
t m a o n @ z @ l A A Y
a l Y 7 r H
7 s n r o d r o l l n l m n o t m F v 9 I 9
7 n l o o n r l o n o t D n r 9 H 9 n
7 l o o n o r F s n o n r o o r l l I H H
7 r o n o 3
m @ r l l D m l D t m A Y
o l o r m r Y
l l @ 9 @ A 9 A Y
l l @ 9 s m @ A 9 A Y
T h i s c r e a t e s t h e f o l l o w i n g p i c t u r e f o r µ = −0.75, N = 100, a n d M = 2 .
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2 9 5
F i g u r e 1 6 . 1 : E x a m p l e i m a g e w h e r e t h e x - a x i s i s Re (x) a n d t h e y - a x i s i s Im (x) .
U s i n g t h e s a m e v a l u e s f o r
N ,
M , a n d
x, c r e a t e a p i c t u r e o f t h e J u l i a s e t f o r
µ = −0.391 − 0.587 j . P r i n t
o u t t h i s p i c t u r e a n d h a n d i t i n w i t h y o u r M A T L A B c o d e .
J u s t f o r F u n : T r y a s s i g n i n g d i e r e n t c o l o r v a l u e s t o J m a p . F o r e x a m p l e , l e t J m a p i n d i c a t e t h e
r s t i t e r a t i o n w h e n t h e m a g n i t u d e e x c e e d s M . T i p : t r y m @ l o @ t m A A a n d o l o r m j
f o r a n e a t p i c t u r e .
1 6 . 2 H o m e w o r k # 1 S o l u t i o n s
7
1 6 . 2 . 1 P r o b l e m # 1
N o s o l u t i o n s p r o v i d e d .
1 6 . 2 . 2 P r o b l e m # 2
N o s o l u t i o n s p r o v i d e d .
1 6 . 2 . 3 P r o b l e m # 3
N o s o l u t i o n s p r o v i d e d .
1 6 . 2 . 4 P r o b l e m # 4
N o s o l u t i o n s p r o v i d e d .
7
T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 8 3 0 / 2 . 4 / > .
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2 9 6
C H A P T E R 1 6 . T A R E A S
1 6 . 2 . 5 P r o b l e m # 5
1 6 . 2 . 5 . 1 P a r t ( a )
ez l i e s o n t h e u n i t c i r c l e f o r z =±
j . W h e n z =±
j ,
ez = e±j = cos (±1) + jsin (±1)
e±j =
cos2 (±1) + sin2 (±1) 12
= 1( 1 6 . 1 )
w h i c h g i v e s u s t h e u n i t c i r c l e !
T h i n k o f i t t h i s w a y : f o r z = σ + jθ , y o u w a n t a σ = 0 s o t h a t eσ+jθr e d u c e s a s
eσ+jθ = eσejθ = e0ejθ = ejθ
W e k n o w b y E u l e r ' s f o r m u l a
8
t h a t
ejθ
= cos (θ) + jsin (θ)T h e m a g n i t u d e o f t h i s i s g i v e n b y sin2 (θ) + cos2 (θ), w h i c h i s 1 ( w h i c h i m p l i e s t h a t ejθ i s o n t h e u n i t c i r c l e ) .
S o , w e k n o w w e w a n t t o p i c k a z = Ajθ t h a t i s o n t h e u n i t c i r c l e ( f r o m t h e p r o b l e m s t a t e m e n t ) , s o w e
h a v e t o c h o o s e A = ±1 t o g e t u n i t m a g n i t u d e .
1 6 . 2 . 5 . 2 P a r t ( b )
• | · | g i v e s m a g n i t u d e o f c o m p l e x n u m b e r
• Re (·) g i v e s r e a l p a r t o f c o m p l e x n u m b e r
• Im (·) g i v e s i m a g i n a r y p a r t o f c o m p l e x n u m b e r
1 6 . 2 . 6 P r o b l e m # 6
1 6 . 2 . 6 . 1 P a r t ( a )
−1 − j√2
20
=
√2e
5π4√
2
20
=
e5π4
20= ej25π = ejπ = −1
1 6 . 2 . 6 . 2 P a r t ( b )
1 + 2 j
3 + 4 j=
1 + 2 j
3 + 4 j
3 − 4 j
3 − 4 j
=
3 + 6 j − (4 j + 8)
9 + 16=
11 + 2 j
25=
11
25+
2
25 j
1 6 . 2 . 6 . 3 P a r t ( c )
1 + √3 j√3 − j
=2ej
π3
2ej−π6
= ejπ2 = j
1 6 . 2 . 6 . 4 P a r t ( d )
j =
ej
π2
12 = ej
π4 = cos
π
4
+ jsin
π
4
=
√2
2+
√2
2j
8
" T h e C o m p l e x E x p o n e n t i a l " : S e c t i o n E u l e r ' s R e l a t i o n < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 6 0 / l a t e s t / # e u l _ r e l >
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2 9 7
1 6 . 2 . 6 . 5 P a r t ( e )
jj =
ej
π2
j
= ej2 π2 = e
−π2
1 6 . 2 . 7 P r o b l e m # 7
1 6 . 2 . 7 . 1 P a r t ( a )
z2 − 4z = z (z − 4)Roots of z = 0, 4
1 6 . 2 . 7 . 2 P a r t ( b )
z2 − 4z + 4 = (z − 2)2
Roots of z = 2, 2
1 6 . 2 . 7 . 3 P a r t ( c )
z2 − 4z + 8
Roots of z =4 ± √
16 − 32
2= 2 ± 2 j
1 6 . 2 . 7 . 4 P a r t ( d )
z2 + 8
Roots of z =±√−32
2= ±2
√2 j
1 6 . 2 . 7 . 5 P a r t ( e )
z2 + 4z + 8
Roots of z =−4 ± √
16 − 32
2= −2 ± 2 j
1 6 . 2 . 7 . 6 P a r t ( f )
2z2 + 4z + 8
Roots of z =−4 ± √
16 − 64
4= −1 ±
√3 j
1 6 . 2 . 7 . 7 M a t l a b C o d e a n d P l o t
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 y f v i w U
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
r o o e a r o o @ I E R H A
r o o f a r o o @ I E R R A
r o o g a r o o @ I E R V A
r o o h a r o o @ I H V A
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2 9 8
C H A P T E R 1 6 . T A R E A S
r o o i a r o o @ I R V A
r o o p a r o o @ P R V A
z l n @ r o o e Y r o o f Y r o o g Y r o o h Y r o o i Y r o o p A Y
@ 9 9 A
@ 9 9 A
@ 9 9 A
@ 9 9 A
@ 9 9 A
@ 9 9 A
@ 9 d 9 A
@ 9 d 9 A
@ 9 9 A
@ 9 9 A
@ 9 9 A
@ 9 9 A
F i g u r e 1 6 . 2 : P l o t o f a l l t h e r o o t s .
1 6 . 2 . 8 P r o b l e m # 8
1 6 . 2 . 8 . 1 P a r t ( a )
R a i s e ej2πN
t o t h e N t h p o w e r . ej2πN
N
= ej2π = 1
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2 9 9
n o t e : S i m i l a r l y ,
(1)1N =
ej2π
1N = e
j2πN
1 6 . 2 . 8 . 2 P a r t ( b )
F o r z = ej2π7
,
zk =
ej2π7
k= ej2π
k7
W e w i l l h a v e p o i n t s o n t h e u n i t c i r c l e w i t h a n g l e o f
2π7 , 2π27 , . . . , 2π77
. T h e c o d e u s e d t o p l o t t h e s e i n
M A T L A B c a n b e f o u n d b e l o w , f o l l o w e d b y t h e p l o t .
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 y f v i w V
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
7 7 7 r @ A
u r @ I A Y
l Y
o l d o n Y
a H X H F H I X P B Y
u n g r a @ j B A Y
l o @ u n g r D 9 E E 9 A Y
o r k a I X U
z a @ j B P B B k G U A Y
l o @ z D 9 o 9 A Y
@ I F P B r l @ z A D I F P B m @ z A D r @ 9 z ¢ 9 D n u m P r @ k A A A Y
n d
l l @ 9 r l r 9 A Y
l l @ 9 m r 9 A Y
l @ 9 o r o @ j P \ G U A o n u n r l 9 A Y
@ E I F S I F S E I F S I F S A Y
q u r Y
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3 0 0
C H A P T E R 1 6 . T A R E A S
F i g u r e 1 6 . 3 : M A T L A B p l o t o f p a r t ( b ) .
1 6 . 2 . 8 . 3 P a r t ( c )
F o r z = ej4π7
,
zk =
ej4π7
k= ej2π
2k7
W h e r e w e h a v e z, z2, . . . , z7
=
ej2π27 , ej2π
47 , ej2π
67 , ej2π
17 , ej2π
37 , ej2π
57 , 1
T h e c o d e u s e d t o p l o t t h e s e i n M A T L A B c a n b e f o u n d b e l o w , f o l l o w e d b y t h e p l o t .
7 7 7 r @ A
u r @ I A Y
l Y
o l d o n Y
a H X H F H I X P B Y
u n g r a @ j B A Y
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3 0 1
l o @ u n g r D 9 E E 9 A Y
o r k a I X U
z a @ j B R B B k G U A Y
l o @ z D 9 o 9 A Y
@ I F P B r l @ z A D I F P B m @ z A D r @ 9 z ¢ 9 D n u m P r @ k A A A Y
n d
l l @ 9 r l r 9 A Y
l l @ 9 m r 9 A Y
l @ 9 o r o @ j R \ G U A o n u n r l 9 A Y
@ E I F S I F S E I F S I F S A Y
q u r Y
F i g u r e 1 6 . 4 : M A T L A B p l o t o f p a r t ( c ) .
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3 0 2
C H A P T E R 1 6 . T A R E A S
1 6 . 2 . 9 P r o b l e m # 9
1 6 . 2 . 9 . 1 P a r t ( a )
3 + 4 j6 + 2 j
= α 1
2
+ β −5
3
T o s o l v e f o r β w e m u s t s o l v e t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f e q u a t i o n s :
α − 5β = 3 + 4 j
2α + 3β = 6 + 2 j
I f w e m u l t i p l y t h e t o p e q u a t i o n b y −2 w e w i l l g e t t h e f o l l o w i n g , w h i c h a l l o w s u s t o c a n c e l o u t t h e a l p h a
t e r m s :
−2α + 10β = −6 − 8 j
2α + 3β = 6 + 2 jA n d n o w w e h a v e ,
13β = −6 j
β =−6
13j
A n d t o s o l v e f o r α w e h a v e t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :
α = 3 + 4 j + 5β
= 3 + 4 j + 5−613 j
= 3 + 2213
j
( 1 6 . 2 )
1 6 . 2 . 9 . 2 P a r t ( b ) x1
x2
= α
1
2
+ β
−5
3
x1 = α − 5β
x2 = 2α + 3β
S o l v i n g f o r
αa n d
β w e g e t :
α (x) =3x1 + 5x2
13
β (x) =−2x1 + x2
13
1 6 . 2 . 9 . 3 P a r t ( c ) α (x)
β (x)
=
3
13513
−213
113
x1
x2
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3 0 3
1 6 . 2 . 9 . 4 P a r t ( d )
W r i t e u =
u1
u2
a n d v =
v1
v2
. T h e n s o l v e
x1
x2
= α
u1
u2
+ β
v1
v2
w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s
x1 = αu1 + βv1
x2 = αu2 + βv2
S o l v i n g f o r
αa n d
β w e g e t
α (x) = v2x1 − v1x2u1v2 − u2v1
β (x) =u2x1 − u1x2
v1u2 − u1v2
F o r t h e m a t r i x A w e g e t
A =1
u1v2 − u2v1
v2 −v1
−u2 u1
1 6 . 2 . 1 0 P r o b l e m # 1 0
1 6 . 2 . 1 0 . 1 P a r t ( a )
I f u = −1, t h e n f (x) = x2 − 1 . E x a m i n e t h e s e q u e n c e g0 (x) , g1 (x) , . . . :
g0 (x) = 1
g1 (x) = 12 − 1 = 0
g2 (x) = 02 − 1 = −1
g3 (x) = (−1)2 − 1 = 0
g4 (x) = 02 − 1 = −1
.
.
.
T h e m a g n i t u d e s e q u e n c e r e m a i n s b o u n d e d s o x = 1 b e l o n g s t o J .
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3 0 4
C H A P T E R 1 6 . T A R E A S
1 6 . 2 . 1 0 . 2 P a r t ( b )
I f u = 0 , t h e n f (x) = x2. S o w e h a v e
g0 (x) = x
g1 (x) = x2
g2 (x) =
x22
= x4
.
.
.
gn (x) =
x2n
= x2n
W r i t i n g x = rejθ, w e h a v e gn (x) = x2n = r2nejθ2n , a n d s o w e h a v e
|gn (x) | = r2n
T h e m a g n i t u d e s e q u e n c e b l o w s u p i f a n d o n l y i f r > 1 . T h u s x b e l o n g s t o J i f a n d o n l y i f |x| ≤ 1 . S o , J c o r r e s p o n d s t o t h e u n i t d i s k .
1 6 . 2 . 1 0 . 3 P a r t ( c )
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 y f v i w I H
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
7 7 7 r @ A E o l u o n o d
x a I H H Y 7 w 5 o r o n
w a P Y 7 w n u d r o l d
m u a E H F Q W I E H F S V U B j Y 7 t u l r m r
r l l a E I F T X H F H I X I F T Y
m l a E I F P X H F H I X I F P Y
l a o n @ l n @ m l A D I A B r l l C F F F
j B m l 9 B o n @ I D l n @ r l l A A Y
t m a o n @ z @ l A A Y
a l Y 7 r H
o r n a I X x
a F ¢ P C m u Y
a @ @ A
>w A Y
t m a t m F B @ I E A Y
n d
m @ r l l D m l D t m A Y o l o r m r Y
l l @ 9 @ A 9 A Y l l @ 9 s m @ A 9 A Y
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3 0 5
F i g u r e 1 6 . 5 : M A T L A B p l o t o f p a r t ( c ) .
1 6 . 2 . 1 0 . 4 J u s t f o r F u n S o l u t i o n
7 7 7 t u o r u n o d
x a I H H Y 7 w 5 o r o n
w a P Y 7 w n u d r o l d
m u a E H F Q W I E H F S V U B j Y 7 t u l r m r
r l l a E I F T X H F H H S X I F T Y
m l a E I F P X H F H H S X I F P Y
l a o n @ l n @ m l A D I A B r l l C F F F
j B m l 9 B o n @ I D l n @ r l l A A Y
t m a z r o @ z @ l A A Y
7 x o D u z r o n 9 m d d l 9 D o r
7 o o l F
a l Y 7 r H
o r n a I X x
a F ¢ P C m u Y
a @ @ A > w A Y
n o e l r d f a @ t m a a H A Y
t m a t m C n B @ F B n o e l r d f A Y
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3 0 6
C H A P T E R 1 6 . T A R E A S
n d
m @ r l l D m l D l o @ t m A A Y o l o r m j Y
l l @ 9 @ A 9 A Y l l @ 9 s m @ A 9 A Y
F i g u r e 1 6 . 6 : M A T L A B p l o t .
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G L O S S A R Y 3 0 7
G l o s s a r y
1 1 L i n e a l m e n t e I n d e p e n d i e n t e
U n c o n j u n t o d a d o d e v e c t o r e s x1, x2, . . . , xn , e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s i
c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn = 0
s o l o c u a n d o
c1 = c2 = · · · = cn = 0
E x a m p l e : D a d o s l o s s i g u i e n t e s d o s v e c t o r e s :
x1 = 3
2
x2 =
−6
−4
E s t o s s o n n o l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s p o r e l s i g u i e n t e a r g u m e n t o , e l c u a l p o r i n s p e c c i ó n , s e
p u e d e v e r q u e n o s e a p e g a a l a d e n i c i ó n a n t e r i o r d e i n d e p e n d e n c i a l i n e a l :
x2 = −2x1 ⇒ 2x1 + x2 = 0
. O t r o m é t o d o p a r a v e r l a i n d e p e n d e n c i a d e l o s v e c t o r e s e s g r a c a n d o l o s v e c t o r e s . O b s e r v a n d o
e s t o s d o s v e c t o r e s g e o m é t r i c a m e n t e ( c o m o e n l a s i g u i e n t e F i g u r e 5 . 1 ) , u n o p u e d e o t r a v e z p r o b a r
q u e e s t o s v e c t o r e s s o n n o l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
B B a s e N o r m a d a
u n a b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 . 3 : B a s e s ) bi d o n d e c a d a bi t i e n e u n a n o r m a u n i t a r i a
bi = 1 , i ∈ Z ( 7 . 1 9 )
B a s e O r t o g o n a l
u n a b a s e bi e n d o n d e l o s e l e m e n t o s s o n m u t u a m e n t e o r t o g o n a l e s
< bi, bj >= 0 , i = j
B a s e O r t o n o r m a l
U n a b a s e q u e e s n o r m a l i z a d a y o r t o g o n a l
bi = 1 , i ∈ Z
< bi, bj > , i = j
B a s e
U n a b a s e p a r a Cn
e s u n c o n j u n t o d e v e c t o r e s q u e : ( 1 ) g e n e r a n Cn
y ( 2 ) e s l i n e a l m e n t e
i n d e p e n d i e n t e .
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3 0 8
G L O S S A R Y
C C e r o s
1 . E l v a l o r ( e s ) p a r a z d o n d e e l n u m e r a d o r d e l a f u n c i ó n d e t r a s f e r e n c i a e s i g u a l a c e r o
2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n q u e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e a
c e r o .
c e r o s
1 . v a l o r ( e s ) d e z d o n d e P (z) = 0.
2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n q u e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e a
c e r o .
C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e
L a s e c u e n c i a ( S e c t i o n 1 0 . 1 ) gn |∞n=1 c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a l a f u n c i ó g s i p a r a c a d a > 0e x i s t e u n e n t e r o N t a l q u e n ≥ N i m p l i c a q u e
|gn (t) − g (t) | ≤ ( 1 0 . 7 )
p a r a t o d o t ∈ R.
D D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z
P a r a x , y e n u n e s p a c i o d e p r o d u c t o i n t e r n o
| < x,y > | ≤ x y q u e m a n t i e n e l a i g u a l d a d s i y s o l o s i
xy
ys o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s ( S e c t i o n 5 . 1 . 1 :
I n d e p e n d e n c i a L i n e a l ) , e s d e c i r x = αy p a r a u n e s c a l a r α.
d o m i n i o
E l g r u p o , o c o n j u n t o , d e v a l o r e s q u e s o n d e n i d o s p o r u n a f u n c i ó n .
E x a m p l e : U s a n d o l a f u n c i ó n r a c i o n a l a n t e r i o r , ( 1 5 . 3 8 ) , e l d o m i n i o s e p u e d e d e n i r c o m o
c u a l q u i e r n u m e r o r e a l x d o n d e x n o i g u a l a a 1 o n e g a t i v a 3 . E x p r e s a n d o e s t o m a t e m á t i c a m e n t e ,
o b t e n e m o s l o s i g u i e n t e :
x ∈ R |x = −3 and x = 1 ( )
E E i g e n v e c t o r
U n e i g e n v e c t o r d e
Ae s u n v e c t o r
v ∈ Cnt a l q u e
Av = λv ( 5 . 2 )
d o n d e λ e s l l a m a d o e l e i g e n v a l o r c o r r e s p o n d i e n t e . A s o l o c a m b i a l a l o n g i t u d d e v , n o s u
d i r e c c i ó n .
E s p a c i o V e c t o r i a l
U n e s p a c i o v e c t o r i a l S e s u n a c o l e c c i ó n d e v e c t o r e s t a l q u e ( 1 ) s i f 1 ∈ S ⇒ αf 1 ∈ S p a r a t o d o
e s c a l a r
α( d o n d e
α ∈R ó
α ∈C) y ( 2 ) s i
f 1 ∈ S ,
f 2 ∈ S , e n t o n c e s
f 1 + f 2 ∈ S
F F u n c i ó n R a c i o n a l
P a r a d o s p o l i n o m i o s c u a l q u i e r a , A y B , s u f r a c c i ó n e s c o n o c i d a c o n o u n a f u n c i ó n r a c i o n a l .
E x a m p l e : A q u í s e m u e s t r a u n e j e m p l o d e u n a f u n c i ó n r a c i o n a l , f (x) . N o t e q u e e l n u m e r a d o r y
d e n o m i n a d o r p u e d e n s e r p o l i n o m i o s d e c u a l q u i e r o r d e n , p e r o l a f u n c i ó n r a c i o n a l e s i n d e n i d a
c u a n d o e l d e n o m i n a d o r e s c e r o .
f (x) =x2 − 4
2x2 + x − 3( )
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G L O S S A R Y 3 0 9
L L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a
E s u n a e c u a c i ó n q u e m u e s t r a l a r e l a c i ó n e n t r a v a l o r e s c o n s e c u t i v o s d e u n a s e c u e n c i a y l a
d i f e r e n c i a e n t r e e l l o s . U s u a l m e n t e s e e s c r i b e e n u n a e c u a c i ó n r e c u r r e n t e p a r a q u e l a s a l i d a d e l
s i s t e m a s e p u e d a c a l c u l a r d e l a s e n t r a d a s d e l a s e ñ a l y s u s v a l o r e s a n t e r i o r e s .
E x a m p l e :
y [n] + 7y [n − 1] + 2y [n − 2] = x [n] − 4x [n − 1] ( )
l í m i t e
U n a s e c u e n c i a gn |∞n=1 c o n v e r g e a u n l í m i t e g ∈ R s i p a r a t o d o > 0 e x i s t e u n e n t e r o N t a l q u e
|gi − g| < , i ≥ N
U s u a l m e n t e d e n o t a m o s u n l í m i t e e s c r i b i e n d o
limi
→∞
gi = g
ó
gi → g
O O r t o g o n a l
D e c i m o s q u e x y y s o n o r t o g o n a l e s s i :
< x,y >= 0
P p o l o s
1 . E l v a l o r ( e s ) p a r a z d o n d e e l d e n o m i n a d o r d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e s i g u a l a c e r o
2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n d e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e
i n n i t a .
p o l o s
T a m b i é n l l a m a d a s c o m o s i n g u l a r i d a d e s e s t o s s o n l o s p u n t o
se n l o s c u a l e s Lx1 (s) e x p l o t a .
p o l o s
1 . v a l o r ( e s ) d e z d o n d e Q (z) = 0 .
2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n q u e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e a
i n n i t a .
P r o d u c t o I n t e r n o
E l p r o d u c t o i n t e r n o e s t a d e n i d o m a t e m á t i c a m e n t e d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :
< x,y > = yT x
=
y0 y1 . . . yn−1
x0
x1
.
.
.
xn−1
=
n−1i=0 (xiyi)
( 7 . 1 )
S s e c u e n c i a
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3 1 0
G L O S S A R Y
U n a s e c u e n c i a e s u n a f u n c i ó n gn d e n i d a e n l o s e n t e r o s p o s i t i v o s ' n' . T a m b i é n d e n o t a m o s u n a
s e c u e n c i a p o r : gn |∞n=1E x a m p l e : U n a s e c u e n c i a d e n ú m e r o s r e a l e s :
gn =1n
E x a m p l e : U n a s e c u e n c i a v e c t o r :
gn =
sin
nπ2
cosnπ2
E x a m p l e : U n a s e c u e n c i a d e u n a f u n c i ó n :
gn (t) =
1 i f 0 ≤ t < 1
n
0 o t h e r w i s e
n o t a : U n a f u n c i ó n p u e d e s e r p e n s a d a c o m o u n v e c t o r d e d i m e n s i ó n i n n i t o d o n d e
p o r c a d a v a l o r d e ' t' t e n e m o s u n a d i m e n s i ó n .
S u b e s p a c i o G e n e r a d o
E l s u b e s p a c i o g e n e r a d o o s p a n
9
d e l c o n j u t o d e v e c t o r e s x1, x2, . . . , xk e s e l c o n j u n t o d e
v e c t o r e s q u e p u e d e n s e r e s c r i t o s c o m o u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e x1, x2, . . . , xk
subespaciogenerado (x1, . . . , xk) = α1x1 + α2x2 + · · · + αkxk , αi ∈ Cn
E x a m p l e : D a d o e l v e c t o r
x1 =
3
2
e l s u b e s p a c i o g e n e r a d o d e x1 e s u n a l i n e a .
E x a m p l e : D a d o l o s v e c t o r e s
x1 =
3
2
x2 =
1
2
E l s u b e s p a c i o g e n e r a d o p o r e s t o s v e c t o r e s e s C2
.
9
" S u b s p a c e s " , D e n i t i o n 2 : " S p a n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 9 7 / l a t e s t / # d e f n 2 >
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I N D E X 3 1 1
I n d e x o f K e y w o r d s a n d T e r m s
K e y w o r d s a r e l i s t e d b y t h e s e c t i o n w i t h t h a t k e y w o r d ( p a g e n u m b e r s a r e i n p a r e n t h e s e s ) . K e y w o r d s
d o n o t n e c e s s a r i l y a p p e a r i n t h e t e x t o f t h e p a g e . T h e y a r e m e r e l y a s s o c i a t e d w i t h t h a t s e c t i o n . E x .
a p p l e s , 1 . 1 ( 1 ) T e r m s a r e r e f e r e n c e d b y t h e p a g e t h e y a p p e a r o n . E x . a p p l e s , 1
1 1 L i n e a l m e n t e I n d e p e n d i e n t e , 7 3
A a l f a b e t o , 1 . 6 ( 2 2 ) , 2 4
a l i a s , 1 3 . 5 ( 2 3 6 ) , 1 3 . 6 ( 2 3 9 )
A l i a s i n g , 1 . 7 ( 2 5 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 3 . 5 ( 2 3 6 ) ,
2 3 6 , 1 3 . 6 ( 2 3 9 )
a m p l i t u d c o m p l e j a , 2 0
A n t i - A l i a s i n g , 1 3 . 6 ( 2 3 9 )
a n t i c a u s a l , 1 . 1 ( 1 )
a n t i c a u s a l e s , 3
a n á l i s i s d e f o u r i e r , 8 . 2 ( 1 6 4 )
a n á l o g o , 1 . 1 ( 1 ) , 2
a n á l o g o s , 2 2
a p e r i o d i c a , 9 4
a p e r i ó d i c o , 1 . 1 ( 1 )
a p p r o x i m a c i ó n , 7 . 1 3 ( 1 5 9 )
a r m ó n i c o , 8 . 2 ( 1 6 4 )
a s i n t o t i c a m e n t e v e r t i c a l , 2 7 8
B b a r a n i u k , 1 6 . 2 ( 2 9 5 )
b a s e , 5 . 1 ( 7 3 ) , 7 6 , 7 6 , 7 6 , 7 . 7 ( 1 4 0 ) ,
7 . 8 ( 1 4 4 ) , 1 4 4 , 7 . 9 ( 1 4 8 ) , 7 . 1 0 ( 1 4 9 ) ,
7 . 1 1 ( 1 5 6 ) , 1 6 9 , 2 3 2
b a s e c a n ó n i c a , 7 6 , 7 . 8 ( 1 4 4 )
b a s e n o r m a d a , 7 . 7 ( 1 4 0 ) , 1 4 0 , 1 4 1
b a s e o r t o g o n a l , 7 . 7 ( 1 4 0 ) , 1 4 1
b a s e o r t o n o r m a l , 7 . 7 ( 1 4 0 ) , 1 4 2 , 7 . 8 ( 1 4 4 ) ,
8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 7 0
b a s e s , 5 . 1 ( 7 3 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 8 . 3 ( 1 7 1 )
b a s e s e s t a n d a r d , 8 . 3 ( 1 7 1 )
B I B O , 3 . 4 ( 5 3 )
b o u n d e d i n p u t b o u n d e d o u t p u t , 3 . 4 ( 5 3 )
b u t t e r y , 9 . 3 ( 1 8 9 )
C c a d a , 9 5
C a r t e s i a n , 2 9 2
c a s c a d e , 2 . 2 ( 3 1 )
c a s i e n t o d a s p a r t e s , 6 . 1 1 ( 1 1 6 )
c a u c h - s c h w a r z , 7 . 5 ( 1 3 0 )
c a u c h y , 7 . 5 ( 1 3 0 )
c a u s a l , 1 . 1 ( 1 ) , 2 . 1 ( 2 7 ) , 2 9 , 2 . 2 ( 3 1 ) , 2 8 6
c a u s a l e s , 3
c e r o , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 6 ( 2 5 5 ) , 1 5 . 7 ( 2 8 2 ) ,
1 5 . 8 ( 2 8 7 )
C e r o s , 2 5 5 , 2 7 9 , 2 8 3
c i r c u l a r , 4 . 3 ( 6 6 ) , 6 . 7 ( 1 0 8 )
c o e c i e n t e s , 6 . 2 ( 9 4 )
c o e c i e n t e s d e f o u r i e r , 6 . 2 ( 9 4 ) , 9 5 , 6 . 3 ( 9 7 ) ,
6 . 9 ( 1 1 2 )
c o m p l e j i d a d , 1 8 7 , 9 . 3 ( 1 8 9 )
c o m p l e j o , 1 . 6 ( 2 2 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 5 . 7 ( 2 8 2 )
c o m p l e x v e c t o r s p a c e s , 7 . 1 ( 1 2 3 )
c o m p u e s t o , 1 9 2
C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t , 6 . 1 0 ( 1 1 4 )
C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t d e b í l e s , 6 . 1 0 ( 1 1 4 )
C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t f u e r t e s , 6 . 1 0 ( 1 1 4 )
c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s , 5 8 , 2 8 0
c o n j u g a d o s , 1 6 9
c o n m u t a t i v a , 4 0 , 4 7 , 6 1
c o n t i n u a , 1 1 4
c o n t i n u o , 1
c o n t i n u o u s t i m e , 3 . 2 ( 4 0 ) , 3 . 4 ( 5 3 ) ,
1 1 . 1 ( 2 0 4 )
c o n v e r g e , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )
c o n v e r g e n c i a , 6 . 9 ( 1 1 2 ) , 1 1 4 , 1 0 . 1 ( 1 9 5 ) ,
1 0 . 2 ( 1 9 7 ) , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )
c o n v e r g e n c i a d e p u n t o p o r p u n t o , 6 . 9 ( 1 1 2 )
c o n v e r g e n c i a n o - u n i f o r m e , 6 . 1 1 ( 1 1 6 ) , 1 1 7
c o n v e r g e n c i a u n i f o r m e , 1 0 . 3 ( 2 0 0 ) , 2 0 0
c o n v e r g e n t e , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )
c o n v o l u c i o n e s , 4 . 3 ( 6 6 )
C o n v o l u c i ó n , 4 . 2 ( 6 1 ) , 6 1 , 4 . 3 ( 6 6 ) ,
6 . 7 ( 1 0 8 ) , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )
c o n v o l u c i ó n c i r c u l a r , 4 . 3 ( 6 6 ) , 6 6 , 6 . 7 ( 1 0 8 )
c o n v o l u c i ó n l i n e a r , 6 6
c o n v o l u t i o n , 3 . 2 ( 4 0 ) , 3 . 3 ( 4 6 )
c o n v o l v e r , 4 . 3 ( 6 6 )
C o o l e y - T u k e y , 9 . 1 ( 1 8 7 ) , 9 . 3 ( 1 8 9 )
C o o r d e n a d a s P o l a r e s , 1 . 7 ( 2 5 )
c p n v e r g e n c i a p u n t u a l , 1 0 . 2 ( 1 9 7 )
c s i , 7 . 5 ( 1 3 0 )
C T F T , 1 2 . 1 ( 2 1 7 ) , 1 3 . 1 ( 2 2 3 )
c u a c h y , 7 . 5 ( 1 3 0 )
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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3 1 2
I N D E X
D d e c o m p o s e , 7 . 8 ( 1 4 4 )
d e l t a d e D i r a c , 1 4
d e s c o m p o n e r , 1 . 6 ( 2 2 ) , 1 4 5
d e s i g u a l d a d d e c a u c h y - s c h w a r z , 7 . 5 ( 1 3 0 ) , 1 3 0
d e s p l a z a m i e n t o c i r c u l a r , 8 . 5 ( 1 8 1 ) , 1 8 3
D e s p l a z a m i e n t o e n e l e j e d e l T i e m p o , 1 . 2 ( 9 )
d e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )
d e s p l a z a m i e n t o s c i r c u l a r e s , 8 . 5 ( 1 8 1 ) , 1 8 1
D e t e c t o r d e F i l t r o A c o p l a d o , 1 3 1
d e t e r m i n a n t , 5 . 3 ( 7 7 )
d e t e r m i n í s t i c a , 7
d f t , 4 . 3 ( 6 6 ) , 8 . 5 ( 1 8 1 ) , 9 . 2 ( 1 8 8 ) ,
1 1 . 2 ( 2 0 5 ) , 1 1 . 3 ( 2 0 6 )
d i f e r e n c i a c i ó n e n e l t i e m p o , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )
d i f e r e n c i a l e s , 3 . 1 ( 3 7 )
d i g i t a l , 1 . 1 ( 1 ) , 2 , 1 1 . 6 ( 2 1 0 ) , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )
D i r i c h l e t , 1 1 4
d i s c o n t i n u i d a d , 6 . 9 ( 1 1 2 ) , 1 1 4
d i s c r e t e t i m e , 3 . 4 ( 5 3 )
d i s c r e t o , 1 , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 3 . 7 ( 2 4 1 )
d o m i n i o , 2 7 8 , 2 7 8
D o m i n i o d e l a F r e c u e n c i a , 1 1 . 5 ( 2 1 0 )
D o m i n i o d e l a s e c u e n c i a , 1 1 . 5 ( 2 1 0 )
d o m i n i o d e l t i e m p o , 4 . 1 ( 5 7 )
d o t p r o d u c t , 7 . 3 ( 1 2 7 )
D S P , 4 . 1 ( 5 7 ) , 1 1 . 7 ( 2 1 1 ) , 1 3 . 4 ( 2 3 4 ) ,
1 5 . 2 ( 2 6 4 )
D T , 4 . 2 ( 6 1 )
d t f s , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 8 . 3 ( 1 7 1 ) , 8 . 4 ( 1 7 2 )
D T F T , 1 1 . 2 ( 2 0 5 ) , 1 1 . 4 ( 2 0 9 ) , 1 3 . 1 ( 2 2 3 )
d u r a c i ó n n i t a , 2 6 5
E e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , 3 . 1 ( 3 7 )
e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a , 3 9
e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a d e c o e c i e n t e l i n e a r
c o n s t a n t e , 2 7 9
E c u a c i ó n d e m a t r i z , 8 . 3 ( 1 7 1 )
e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l , 4 . 1 ( 5 7 ) , 5 7
e i g e n , 5 . 5 ( 8 6 )
e i g e n f u n c i o n , 6 . 4 ( 9 8 )
e i g e n f u n c i o n e s , 6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 4 ( 9 8 )
e i g e n f u n c i ó n , 5 . 6 ( 8 7 ) , 8 8
e i g e n f u n c t i o n , 5 . 3 ( 7 7 ) , 5 . 5 ( 8 6 )
e i g e n f u n c t i o n s , 5 . 5 ( 8 6 )
e i g e n s e ñ a l , 8 8
e i g e n v a l o r , 3 0 8 , 7 9 , 5 . 6 ( 8 7 )
e i g e n v a l u e , 5 . 3 ( 7 7 ) , 5 . 5 ( 8 6 )
e i g e n v a l u e s , 5 . 3 ( 7 7 ) , 5 . 5 ( 8 6 )
e i g e n v e c t o r , 5 . 3 ( 7 7 ) , 7 8 , 5 . 5 ( 8 6 ) , 5 . 6 ( 8 7 )
e i g e n v e c t o r s , 5 . 5 ( 8 6 )
e j e m p l o , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )
e j e m p l o s , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )
e l e c 3 0 1 , 1 6 . 1 ( 2 9 1 ) , 1 6 . 2 ( 2 9 5 )
e l e c 3 0 1 , 1 6 . 1 ( 2 9 1 ) , 1 6 . 2 ( 2 9 5 )
e n e r g í a , 1 1 3
e n t r a d a a c o t a d a - s a l i d a a c o t a d a ( B I B O ) , 3 0
E s c a l a e n e l e j e d e l T i e m p o , 1 . 2 ( 9 )
e s c a l a m i e n t o e n e l t i e m p o , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )
e s c a l ó n u n i t a r i o , 1 . 3 ( 1 2 ) , 1 4
e s p a c i o d e f u n c i o n e s , 7 7
e s p a c i o d e H i l b e r t , 1 2 9 , 7 . 6 ( 1 3 7 ) , 7 . 8 ( 1 4 4 ) ,
7 . 1 0 ( 1 4 9 ) , 7 . 1 3 ( 1 5 9 )
e s p a c i o d e l a s f u n c i o n e s , 7 . 9 ( 1 4 8 )
e s p a c i o d e p r o d u c t o i n t e r n o , 1 2 9
e s p a c i o l i n e a l d e f u n c i o n e s . , 1 2 3
e s p a c i o l i n e a l n o r m a d o , 1 2 5 , 1 2 9
e s p a c i o n o r m a d o , 7 . 6 ( 1 3 7 )
E s p a c i o V e c t o r i a l , 1 2 3 , 7 . 6 ( 1 3 7 ) , 7 . 7 ( 1 4 0 ) ,
7 . 9 ( 1 4 8 )
e s p a c i o v e c t o r i a l c o m p l e j o , 1 2 3
e s p a c i o v e c t o r i a l n o r m a d o , 1 2 5
e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l , 1 2 3 , 1 3 6
e s p a c i o s d e h i l b e r t , 7 . 4 ( 1 2 9 ) , 7 . 6 ( 1 3 7 ) ,
7 . 7 ( 1 4 0 )
e s p a c i o s d e l a s f u n c i o n e s , 7 . 9 ( 1 4 8 )
e s p a c i o s v e c t o r i a l e s , 7 . 6 ( 1 3 7 ) , 7 . 7 ( 1 4 0 )
e s t a b l e , 3 0 , 2 8 6
E u c l i d e a n n o r m , 7 . 2 ( 1 2 5 )
e x i s t e n c i a , 1 1 4
e x p a n s i ó n , 7 . 9 ( 1 4 8 ) , 7 . 1 0 ( 1 4 9 )
e x p o n e n c i a l , 1 . 3 ( 1 2 ) , 1 . 6 ( 2 2 ) , 6 . 3 ( 9 7 )
e x p o n e n c i a l c o m p l e j o , 1 3 , 1 . 5 ( 1 9 ) , 1 9
E x p o n e n c i a l q u e C r e c e , 1 3
E x p o n e n c i a l q u e d e c a e , 1 3
F F , 6 0
f a s o r , 2 0
f e n ó m e n o d e G i b b , 1 1 9
f e n ó m e n o d e G i b b s , 6 . 1 1 ( 1 1 6 ) , 1 1 7
F F T , 9 . 1 ( 1 8 7 ) , 9 . 2 ( 1 8 8 ) , 9 . 3 ( 1 8 9 ) ,
1 1 . 2 ( 2 0 5 )
l t r o , 1 3 . 6 ( 2 3 9 ) , 1 5 . 8 ( 2 8 7 )
l t r o d e b o x c a r , 6 0
F I R , 6 0
f o l t r o a c o p l a d o , 7 . 5 ( 1 3 0 )
f o r m a , 1 8 9
f o u r i e r , 5 . 3 ( 7 7 ) , 6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 3 ( 9 7 ) ,
6 . 4 ( 9 8 ) , 6 . 5 ( 1 0 1 ) , 6 . 6 ( 1 0 4 ) , 6 . 7 ( 1 0 8 ) ,
6 . 8 ( 1 0 9 ) , 6 . 9 ( 1 1 2 ) , 6 . 1 0 ( 1 1 4 ) , 6 . 1 2 ( 1 1 9 ) ,
7 . 1 0 ( 1 4 9 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 8 . 3 ( 1 7 1 ) , 8 . 4 ( 1 7 2 ) ,
8 . 5 ( 1 8 1 ) , 9 . 2 ( 1 8 8 )
f o u r i e r s e r i e s , 5 . 3 ( 7 7 )
f o u r i e r t r a n s f o r m , 1 1 . 1 ( 2 0 4 )
f o u r i e r t r a n s f o r m p a i r s , 5 . 7 ( 9 0 )
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 321/343
I N D E X 3 1 3
f r e c u e n c i a c o n t i n u a , 1 1 . 4 ( 2 0 9 ) , 1 2 . 1 ( 2 1 7 )
f r e c u e n c i a N y q u i s t , 1 1 . 7 ( 2 1 1 ) , 1 3 . 4 ( 2 3 4 ) ,
2 3 4
f r e q u e n c i a , 1 1 . 6 ( 2 1 0 )
f r e q u e n c y s h i f t k e y i n g , 7 . 5 ( 1 3 0 )
f s k , 7 . 5 ( 1 3 0 )
f u e r t e s d e D i r i c h l e t , 1 1 6
f u n c i o n , 1 5 . 5 ( 2 7 7 )
f u n c i o n r a c i o n a l , 1 5 . 5 ( 2 7 7 )
f u n c i o n e s d e s c o n t i n ú a s , 1 1 7
f u n c i o n e s p e r i o d i c a s , 6 . 1 ( 9 3 )
f u n c i o n e s r a c i o n a l e s , 1 5 . 5 ( 2 7 7 ) , 2 7 7
f u n c i ó n d e D e l t a d e D i r a c , 1 . 4 ( 1 6 )
f u n c i ó n d e s i n c d i s c r e t a , 2 1 4
f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a , 2 8 0
f u n c i ó n d e v a l o r e s c o m p l e j o s , 2 4 8 , 2 4 8
f u n c i ó n d e l t a , 7 . 7 ( 1 4 0 )
f u n c i ó n D e l t a d e D i r a c , 1 . 3 ( 1 2 )
f u n c i ó n p e r i ó d i c a , 9 3
F u n c i ó n R a c i o n a l , 2 7 7
G g e n e r a , 1 4 8
H h a a r , 7 . 1 0 ( 1 4 9 )
h e r m i t i a n a , 7 . 1 1 ( 1 5 6 )
h i l b e r t , 7 . 4 ( 1 2 9 ) , 7 . 5 ( 1 3 0 ) , 7 . 6 ( 1 3 7 ) ,
7 . 8 ( 1 4 4 ) , 7 . 1 0 ( 1 4 9 )
h o m e w o r k 1 , 1 6 . 1 ( 2 9 1 )
h o m e w o r k o n e , 1 6 . 1 ( 2 9 1 )
I I , 6 0
i d e n t i d a d d e E u l e r , 1 9
i m a g i n a r y p a r t , 2 9 6
i m p u l s o , 1 . 3 ( 1 2 ) , 1 . 4 ( 1 6 )
i m p u l s o u n i t a r i o , 1 4
i n d e p e n d e n c i a , 5 . 1 ( 7 3 )
i n d e p e n d e n c i a l i n e a l , 5 . 1 ( 7 3 )
i n e s t a b l e , 3 1
i n n e r p r o d u c t , 7 . 3 ( 1 2 7 )
i n n e r p r o d u c t s , 7 . 3 ( 1 2 7 )
i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n , 4 0
i n t e r c e p c i ó n y , 2 7 8
i n t e r c e s i ó n e n l a x , 2 7 8
i n t e r n o , 7 . 4 ( 1 2 9 )
i n t e r p o l a c i ó n , 1 3 . 2 ( 2 2 7 )
i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o , 2 . 1 ( 2 7 ) , 2 8
i n v a r i a n t e s l i n e a r d e l t i e m p o , 6 1
I R R , 5 9
K k r o n e c k e r , 7 . 7 ( 1 4 0 )
L L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a , 2 7 9
L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e ,
1 4 . 5 ( 2 5 3 )
l a d o i z q u i e r d o , 2 6 8
l a p l a c e t r a n s f o r m , 3 . 4 ( 5 3 )
l i m i t a d o e n b a n d a , 2 2 5
l i n e a l , 2 . 1 ( 2 7 ) , 2 7
L i n e a l d e t i e m p o i n v a r i a n t e , 5 . 6 ( 8 7 )
l i n e a l i d a d , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e , 7 3
l i n e a r , 2 . 2 ( 3 1 )
l i n e a r c o m b i n a t i o n , 2 9 2
l i n e a r f u n c t i o n s p a c e s , 7 . 1 ( 1 2 3 )
l i n e a r s y s t e m , 5 . 3 ( 7 7 )
l i n e a r t i m e i n v a r i a n t , 3 . 2 ( 4 0 )
l i n e a r e s d e t i e m p o i n v a r i a n t e , 2 7 5
l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , 2 9 2
L T I , 3 . 2 ( 4 0 ) , 6 1 , 5 . 5 ( 8 6 ) , 5 . 6 ( 8 7 ) ,
6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 8 ( 1 0 9 )
l í m i t e , 1 9 5
M m a g n i t u d e , 2 9 6
m a r i p o s a , 1 9 2
m a t c h e d l t e r d e t e c t o r , 7 . 5 ( 1 3 0 )
m a t c h e d l t e r s , 7 . 5 ( 1 3 0 )
m a t r i z d e l a b a s e , 7 . 8 ( 1 4 4 ) , 1 4 6
m a t r i z i d e n t i d a d , 1 4 6
m e j o r s e a p r o x i m e , 1 6 0
m e t o d o g r á c o , 4 3
m o d u l a c i ó n , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )
m u e s t r a , 1 3 . 5 ( 2 3 6 )
m u e s t r e a n d o , 1 3 . 4 ( 2 3 4 )
m u e s t r e a r , 2 0 7
m u e s t r e o , 2 2 3 , 1 3 . 3 ( 2 3 2 ) , 1 3 . 4 ( 2 3 4 ) ,
1 3 . 5 ( 2 3 6 ) , 1 3 . 6 ( 2 3 9 )
m u e s t r o u n i t a r i o , 1 . 6 ( 2 2 )
m u t u a m e n t e o r t o g o n a l e s , 3 0 7
m á x i m o , 1 2 9
m á x i m o s , 1 1 6
m é t o d o d i r e c t o , 2 8 1
m é t o d o i n d i r e c t o , 2 8 1
m í n i m o s , 1 1 6
N n i v e l d e r e f e r e n c i a , 1 3 3
n o c a u s a l , 1 . 1 ( 1 )
n o - a n t i c i p a t i v o , 2 9
n o - c a u s a l , 2 9
n o - l i n e a l , 2 7
n o c a u s a l , 2 . 1 ( 2 7 )
n o c a u s a l e s , 3
n o l i n e a l , 2 . 1 ( 2 7 )
n o r m , 7 . 2 ( 1 2 5 ) , 7 . 3 ( 1 2 7 )
n o r m a , 1 2 5 , 1 0 . 1 ( 1 9 5 ) , 1 0 . 2 ( 1 9 7 )
n o r m a d e c o n v e r g e n c i a , 1 0 . 1 ( 1 9 5 ) ,
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 322/343
3 1 4
I N D E X
1 0 . 2 ( 1 9 7 )
n o r m a d a , 7 . 7 ( 1 4 0 )
n o r m a l i z a d a , 3 0 7
n o r m a l i z a t i o n , 7 . 2 ( 1 2 5 )
n o r m e d l i n e a r s p a c e , 7 . 2 ( 1 2 5 )
n o r m e d v e c t o r s p a c e , 7 . 2 ( 1 2 5 )
n o r m s , 7 . 2 ( 1 2 5 )
N o t a i m p o r t a n t e : , 2 4 2
N t h R o o t o f U n i t y , 2 9 2
N y q u i s t , 1 1 . 6 ( 2 1 0 ) , 1 3 . 4 ( 2 3 4 )
O o n d o l e t a , 7 . 1 0 ( 1 4 9 )
o n d o l e t a d e h a a r , 7 . 1 0 ( 1 4 9 )
o n d o l e t a s , 7 . 1 0 ( 1 4 9 ) , 1 4 9
o r d e n , 9 . 3 ( 1 8 9 ) , 1 4 . 5 ( 2 5 3 ) , 2 5 5 , 2 8 0
o r t h o g o n a l , 7 . 3 ( 1 2 7 )
O r t o g o n a l , 1 2 9 , 7 . 7 ( 1 4 0 ) , 3 0 7
o r t o g o n a l e s , 1 2 9 , 1 6 0
o r t o n o r m a l , 7 . 7 ( 1 4 0 ) , 7 . 8 ( 1 4 4 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 )
P p a r a l l e l , 2 . 2 ( 3 1 )
p a r e s b i l a t e r a l e s d e l a t r a n s f o r m a d a d e
L a p l a c e , 2 4 7
p a r e s d e t r a n s f o r m a c i o n , 1 5 . 2 ( 2 6 4 )
P a r s e v a l , 7 . 1 2 ( 1 5 8 )
p e r f e c t a , 1 3 . 3 ( 2 3 2 )
p e r i o d i c i d a d , 6 . 1 ( 9 3 )
p e r i o d i c o , 6 . 1 ( 9 3 ) , 8 . 4 ( 1 7 2 )
p e r i o d o , 2 , 6 . 1 ( 9 3 ) , 9 3 , 8 . 4 ( 1 7 2 )
p e r i o d o f u n d a m e n t a l , 2
p e r i ó d i c o , 1 . 1 ( 1 )
P l a n c h a r e l , 7 . 1 2 ( 1 5 8 )
p l a n o c o m p l e j o , 1 . 5 ( 1 9 )
p l a n o - s , 2 2
P l a n o - Z , 1 . 7 ( 2 5 ) , 2 5 9 , 1 5 . 7 ( 2 8 2 )
p o l e , 3 . 4 ( 5 3 )
p o l i n o m i o , 1 5 . 5 ( 2 7 7 )
p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o , 2 8 2
p o l o , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 6 ( 2 5 5 ) , 1 5 . 7 ( 2 8 2 ) ,
1 5 . 8 ( 2 8 7 )
p o l o s , 1 4 . 5 ( 2 5 3 ) , 2 5 4 , 2 5 6 , 2 7 9 , 2 8 3
p r o c e s a m i e n t o d e s e ñ a l e s d i g i t a l e s , 4 . 1 ( 5 7 ) ,
1 1 . 7 ( 2 1 1 )
p r o c e s a m i e n t o d e t i e m p o d i s c r e t o , 1 3 . 7 ( 2 4 1 )
p r o c e s s i n g , 1 3 . 7 ( 2 4 1 )
p r o d u c t o i n t e r n o , 1 2 7 , 1 2 8 , 7 . 4 ( 1 2 9 ) ,
7 . 5 ( 1 3 0 ) , 7 . 1 1 ( 1 5 6 )
p r o d u c t o p u n t o , 1 2 7
p r o d u c t o s i n t e r n o s , 7 . 5 ( 1 3 0 )
p r o j e c t i o n , 7 . 3 ( 1 2 7 )
p r o m e d i o c u a d r a d o , 1 1 9
p r o p e r t y , 3 . 3 ( 4 6 )
p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o , 1 . 3 ( 1 2 ) ,
1 . 4 ( 1 6 ) , 1 7
p r o p i e d a d d e s i m e t r i a , 6 . 6 ( 1 0 4 )
p r o p i e d a d e s , 6 . 6 ( 1 0 4 )
P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r
D i s c r e t a e n e l T i e m p o , 1 1 . 5 ( 2 1 0 )
p r o p i e d a d e s s i m e t r i c a s , 6 . 6 ( 1 0 4 )
p r o p o r c i o n a l , 1 8 7
p r o y e c c i ó n , 1 2 9 , 7 . 1 3 ( 1 5 9 )
p u l s o c u a d r a d o , 1 1 7
p u n t o a p u n t o , 1 1 9
p u n t o p o r p u n t o , 6 . 9 ( 1 1 2 )
p u n t u a l , 1 0 . 2 ( 1 9 7 )
p u n t u a l m e n t e , 1 9 7
R R , 6 0
r a c i o n a l , 1 5 . 5 ( 2 7 7 )
r e a l p a r t , 2 9 6
r e a l v e c t o r s p a c e s , 7 . 1 ( 1 2 3 )
r e c o n s t r u c c i ó n , 1 3 . 2 ( 2 2 7 ) , 1 3 . 3 ( 2 3 2 ) ,
1 3 . 4 ( 2 3 4 ) , 1 3 . 5 ( 2 3 6 )
r e c o n s t r u i r , 1 3 . 3 ( 2 3 2 )
R e e x i ó n e n e l e j e d e l T i e m p o , 1 . 2 ( 9 )
r e g i o n d e c o n v e r g e r n c i a , 1 4 . 4 ( 2 5 1 )
r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a ( R O C ) , 2 5 1
r e s p u e s t a a l i m p u l s o , 4 . 2 ( 6 1 )
r e s p u e s t a d e e s t a d o - c e r o , 3 7
r e s p u e s t a d e i m p u l s o , 1 8
r e s p u e s t a d e s a l i d a - c e r o , 3 7
R O C , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 5 . 1 ( 2 5 9 ) , 2 6 0 , 2 6 5
S s c h w a r z , 7 . 5 ( 1 3 0 )
s e c u e n c i a , 1 9 5
s e c u e n c i a d e d o s l a d o s , 2 6 9
s e c u e n c i a d e f u n c i o n e s , 1 1 3 , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )
s e c u e n c i a d e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o , 2 3
s e c u e n c i a d e l l a d o d e r e c h o , 2 6 7
s e c u e n c i a s , 1 . 6 ( 2 2 ) , 1 0 . 1 ( 1 9 5 ) , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )
s e n o , 1 . 6 ( 2 2 )
S e n o s o i d a l , 1 . 6 ( 2 2 ) , 6 . 3 ( 9 7 )
s e n o s o i d a l c o m p l e j a , 8 . 2 ( 1 6 4 )
s e n o s o i d a l e s a r m ó n i c o s , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 6 5
s e r i e d e p o t e n c i a , 2 6 0 , 2 6 5
s e r i e s d e f o u r i e r , 6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 3 ( 9 7 ) , 6 . 4 ( 9 8 ) ,
6 . 6 ( 1 0 4 ) , 6 . 7 ( 1 0 8 ) , 6 . 9 ( 1 1 2 ) , 6 . 1 0 ( 1 1 4 ) ,
6 . 1 1 ( 1 1 6 ) , 6 . 1 2 ( 1 1 9 ) , 7 . 7 ( 1 4 0 ) ,
7 . 1 0 ( 1 4 9 ) , 8 . 1 ( 1 6 3 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 8 . 3 ( 1 7 1 ) ,
8 . 4 ( 1 7 2 )
s e r i e s d e f o u r i e r d i s c r e t a s e n e l t i e m p o ,
8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 6 4 , 8 . 4 ( 1 7 2 )
s e r i e s g e o m é t r i c a s , 2 1 2
s e ñ a e s y s i s t e m a s , 4 . 2 ( 6 1 )
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 323/343
I N D E X 3 1 5
s e ñ a l , 4 . 2 ( 6 1 ) , 6 . 1 ( 9 3 ) , 6 . 1 2 ( 1 1 9 )
s e ñ a l a l e a t o r i a , 7
s e ñ a l d e t a m a ñ o n i t o , 8
s e ñ a l e x p o n e n c i a l c o m p l e j a d e
t i e m p o - c o n t i n u o , 1 9
s e ñ a l e x p o n e n c i a l c o m p l e j a e n t i e m p o - d i s c r e t o ,
2 0
s e ñ a l i m p a r , 4 , 6 . 6 ( 1 0 4 )
s e ñ a l p a r , 1 . 1 ( 1 ) , 4 , 6 . 6 ( 1 0 4 )
s e ñ a l e s , 1 . 2 ( 9 ) , 1 . 3 ( 1 2 ) , 1 . 4 ( 1 6 ) , 1 . 5 ( 1 9 ) ,
1 . 6 ( 2 2 ) , 2 . 1 ( 2 7 ) , 6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 3 ( 9 7 ) ,
8 . 1 ( 1 6 3 ) , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 6 ( 2 5 5 )
s e ñ a l e s d e t i e m p o d i s c r e t o , 2 2 3
S e ñ a l e s d e V a l o r e s S i m b ó l i c o s , 1 . 6 ( 2 2 )
s e ñ a l e s r u i d o s a s , 1 0 0
s e ñ a l e s y s i s t e m a s , 1 . 1 ( 1 )
s i g n a l s , 3 . 2 ( 4 0 ) , 3 . 3 ( 4 6 ) , 3 . 4 ( 5 3 ) ,
1 1 . 1 ( 2 0 4 )
s i m e t r i a , 6 . 5 ( 1 0 1 ) , 6 . 6 ( 1 0 4 ) , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )
s i n c , 1 3 . 3 ( 2 3 2 )
S i n c D i r i c h l e t , 1 1 . 2 ( 2 0 5 )
s i n g u l a r i d a d e s , 1 4 . 5 ( 2 5 3 ) , 2 5 3
s i s t e m a , 4 . 3 ( 6 6 ) , 6 . 4 ( 9 8 ) , 6 . 1 2 ( 1 1 9 )
s i s t e m a c o n t i n u o , 2 7
s i s t e m a d i s c r e t o , 2 7
s i s t e m a l i n e a l , 3 . 1 ( 3 7 )
s i s t e m a L T I , 6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 4 ( 9 8 )
s i s t e m a s , 1 . 6 ( 2 2 ) , 8 . 1 ( 1 6 3 ) , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) ,
1 4 . 6 ( 2 5 5 )
s i s t e m a s d e d e s p l a z a m i e n t o i n v a r i a n t e ,
4 . 1 ( 5 7 )
s i s t e m a s d i s c r e t o s , 4 . 1 ( 5 7 )
s o l u c i ó n h o m o g é n e a , 2 8 1
s o l u c i ó n p a r t i c u l a r , 2 8 1
s p a n , 5 . 5 ( 8 6 )
s t a b i l i t y , 3 . 4 ( 5 3 )
s u a v e s , 1 0 0
s u b e s p a c i o g e n e r a d o , 5 . 1 ( 7 3 ) , 7 5
s u m a d e c o n v o l u c i ó n , 6 1
s u p e r p o s i c i ó n , 4 . 1 ( 5 7 )
s u p e r p o s i t i o n , 2 . 2 ( 3 1 )
s y s t e m , 5 . 5 ( 8 6 )
s y s t e m s , 3 . 2 ( 4 0 ) , 3 . 3 ( 4 6 ) , 3 . 4 ( 5 3 ) ,
1 1 . 1 ( 2 0 4 )
s í n t e s i s , 9 6
T t - p e r i o d i c o , 6 . 1 ( 9 3 )
t a m a ñ o n i t o , 2 7 6
T e o r e m a d e N y q u i s t , 1 3 . 4 ( 2 3 4 ) , 2 3 4
T e o r e m a d e P a r s e v a l , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )
t e o r í a d e c o n t r o l , 2 5 7
t i e m p o c o n t i n u o , 1 . 1 ( 1 ) , 1 . 3 ( 1 2 ) , 3 . 1 ( 3 7 ) ,
8 . 1 ( 1 6 3 ) , 1 2 . 1 ( 2 1 7 ) , 1 3 . 1 ( 2 2 3 ) , 2 2 3 ,
1 3 . 7 ( 2 4 1 ) , 1 4 . 1 ( 2 4 7 ) , 1 4 . 2 ( 2 5 0 ) ,
1 4 . 3 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 6 ( 2 5 5 )
t i e m p o d i s c r e t o , 1 . 1 ( 1 ) , 4 . 2 ( 6 1 ) , 8 . 1 ( 1 6 3 ) ,
8 . 3 ( 1 7 1 ) , 8 . 5 ( 1 8 1 ) , 1 1 . 4 ( 2 0 9 ) , 1 1 . 5 ( 2 1 0 ) ,
1 1 . 6 ( 2 1 0 ) , 1 1 . 7 ( 2 1 1 ) , 1 3 . 1 ( 2 2 3 ) ,
1 4 . 6 ( 2 5 5 ) , 1 5 . 2 ( 2 6 4 )
T i e m p o - c o n t i n u o , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )
t i e m p o - d i s c r e t o , 1 . 6 ( 2 2 )
t i m e - i n v a r i a n t , 2 . 2 ( 3 1 )
t r a n s f o r m a , 8 4
t r a n s f o r m a c i o n l i n e a l , 6 . 5 ( 1 0 1 )
t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a r , 1 0 2
t r a n s f o r m a d a , 6 . 2 ( 9 4 )
t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r , 4 . 3 ( 6 6 ) , 6 . 1 0 ( 1 1 4 ) ,
8 . 1 ( 1 6 3 ) , 8 . 5 ( 1 8 1 ) , 9 . 2 ( 1 8 8 ) , 1 1 . 3 ( 2 0 6 ) ,
1 1 . 4 ( 2 0 9 ) , 1 1 . 5 ( 2 1 0 ) , 1 1 . 6 ( 2 1 0 ) ,
1 1 . 7 ( 2 1 1 ) , 1 2 . 1 ( 2 1 7 ) , 1 2 . 2 ( 2 1 9 ) ,
1 5 . 1 ( 2 5 9 ) , 2 5 9
T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o ,
2 1 7
t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r d i s c r e t a , 4 . 3 ( 6 6 )
T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l
T i e m p o , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )
t r a n s f o r m a d a d e l a p l a c e , 8 . 1 ( 1 6 3 ) ,
1 4 . 1 ( 2 4 7 ) , 1 4 . 2 ( 2 5 0 ) , 1 4 . 3 ( 2 5 1 ) ,
1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 6 ( 2 5 5 )
t r a n s f o r m a d a d e z , 8 . 1 ( 1 6 3 )
T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r , 1 1 . 3 ( 2 0 6 ) ,
2 0 7
t r a n s f o r m a d a i n v e r s a , 6 . 2 ( 9 4 ) , 9 6
T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r , 9 . 1 ( 1 8 7 ) ,
9 . 2 ( 1 8 8 ) , 9 . 3 ( 1 8 9 )
t r a n s f o r m a d a z , 1 4 . 6 ( 2 5 5 ) , 1 5 . 2 ( 2 6 4 )
t r a n s f o r m a d a - z , 1 5 . 1 ( 2 5 9 ) , 2 5 9 , 1 5 . 2 ( 2 6 4 )
t r a n s f o r m a d a - z b i l a t e r a l , 2 5 9
t r a n s f o r m a d a - z u n i l a t e r a l , 2 5 9
t r a n s f o r m a d a s d e z u n i l a t e r a l y b i l a t e r a l , 2 6 4
t r a n s f o r m a d a z , 2 6 5
t r a n s f o r m s , 1 4 7
t r a n s p u e s t a , 7 . 1 1 ( 1 5 6 )
t r a s f o r m a r , 9 6
U u n a s e ñ a l d e t a m a ñ o i n n i t o , 8
u n i f o r m e , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )
u n i l a t e r a l , 1 5 . 2 ( 2 6 4 )
u n i t a r i o , 1 6
V v a l o r c o m p l e j o , 1 . 6 ( 2 2 )
v a l o r r e a l , 1 . 6 ( 2 2 )
v a r i a n t e e n e l t i e m p o , 2 . 1 ( 2 7 ) , 2 9
v e c t o r , 7 . 1 ( 1 2 3 ) , 1 0 . 2 ( 1 9 7 )
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 324/343
3 1 6
I N D E X
v e c t o r d e c o e c i e n t e s , 7 . 8 ( 1 4 4 ) , 1 4 6
v e c t o r s p a c e , 7 . 1 ( 1 2 3 )
v e c t o r s p a c e s , 7 . 1 ( 1 2 3 )
v e c t o r e s , 1 0 . 2 ( 1 9 7 )
v e n t a j a c o m p u t a c i o n a l , 1 9 0
W w e i g h t e d s u m , 2 9 2
Z z t r a n s f o r m , 3 . 4 ( 5 3 )
z - t r a n s f o r m , 1 5 . 5 ( 2 7 7 )
z e r o , 3 . 4 ( 5 3 )
á á l g e b r a l i n e a l , 5 . 1 ( 7 3 )
á n a l o g o , 1 1 . 6 ( 2 1 0 ) , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )
ú ú n i c a , 1 4 5
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 325/343
A T T R I B U T I O N S 3 1 7
A t t r i b u t i o n s
C o l l e c t i o n : S e ñ a l e s y S i s t e m a s
E d i t e d b y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / c o l 1 0 3 7 3 / 1 . 2 /
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
M o d u l e : " C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l a s S e ñ a l e s "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k , M i c h a e l H a a g , R i c a r d o v o n B o r r i e s
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 1 8 / 1 . 8 /
P a g e s : 1 - 9
C o p y r i g h t : R i c a r d o v o n B o r r i e s , E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : S i g n a l C l a s s i c a t i o n s a n d P r o p e r t i e s
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k , M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 5 7 / 2 . 1 6 /
M o d u l e : " O p e r a c i o n e s p a r a S e ñ a l e s "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 3 / 1 . 7 /
P a g e s : 9 - 1 2
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : S i g n a l O p e r a t i o n s
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 2 5 / 2 . 5 /
M o d u l e : " S e ñ a l e s Ú t i l e s "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 1 9 / 1 . 1 0 /
P a g e s : 1 2 - 1 5
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : U s e f u l S i g n a l s
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 5 8 / 2 . 1 0 /
M o d u l e : " F u n c i ó n d e I m p u l s o "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 4 / 1 . 9 /
P a g e s : 1 6 - 1 9
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : T h e I m p u l s e F u n c t i o n
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 5 9 / 2 . 1 6 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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3 1 8
A T T R I B U T I O N S
M o d u l e : " E l E x p o n e n c i a l C o m p l e j o "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 5 / 1 . 6 /
P a g e s : 1 9 - 2 2
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : T h e C o m p l e x E x p o n e n t i a l
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 6 0 / 2 . 1 8 /
M o d u l e : " S e ñ a l e s e n T i e m p o - D i s c r e t o "
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 0 / 1 . 8 /
P a g e s : 2 2 - 2 4
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e S i g n a l s
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 0 0 0 9 / 2 . 2 0 /
M o d u l e : " E x p o n e n c i a l C o m p l e j o D i s c r e t o "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 3 0 0 1 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 5 - 2 5
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e C o m p l e x E x p o n e n t i a l
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 1 4 0 7 / 1 . 3 /
M o d u l e : " C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 2 / 1 . 4 /
P a g e s : 2 7 - 3 1
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : S y s t e m C l a s s i c a t i o n s a n d P r o p e r t i e s
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 8 4 / 2 . 1 8 /
M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s "
B y : T h a n o s A n t o u l a s , J P S l a v i n s k y
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 6 / 1 . 2 /
P a g e s : 3 1 - 3 6
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : P r o p e r t i e s o f S y s t e m s
B y : T h a n o s A n t o u l a s , J P S l a v i n s k y
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 2 1 0 2 / 2 . 1 6 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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A T T R I B U T I O N S 3 1 9
M o d u l e : " S i s t e m a s L i n e a l e s C T y E c u a c i o n e s D i f e r e n c i a l e s "
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 8 5 / 1 . 2 /
P a g e s : 3 7 - 3 9
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C T L i n e a r S y s t e m s a n d D i e r e n t i a l E q u a t i o n s
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 8 5 5 / 2 . 4 /
M o d u l e : " C o n v o l u c i ó n d e T i e m p o - C o n t i n u o "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 8 / 1 . 3 /
P a g e s : 4 0 - 4 6
C o p y r i g h t : F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C o n t i n u o u s - T i m e C o n v o l u t i o n
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 8 5 / 2 . 2 5 /
M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a C o n v o l u c i ó n "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 9 / 1 . 2 /
P a g e s : 4 6 - 5 3
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : P r o p e r t i e s o f C o n v o l u t i o n
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 8 8 / 2 . 1 2 /
M o d u l e : " E s t a b i l i d a d B I B O "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 3 4 / 1 . 3 /
P a g e s : 5 3 - 5 5
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : B I B O S t a b i l i t y
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 1 3 / 2 . 8 /
M o d u l e : " A n á l i s i s e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o p a r a S i s t e m a s D i s c r e t o s "
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 3 0 / 1 . 5 /
P a g e s : 5 7 - 6 0
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e S y s t e m s i n t h e T i m e - D o m a i n
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 2 5 1 / 2 . 2 0 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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3 2 0
A T T R I B U T I O N S
M o d u l e : " C o n v o l u c i ó n D i s c r e t a "
B y : R i c a r d o R a d a e l l i - S a n c h e z , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 3 3 / 1 . 4 /
P a g e s : 6 1 - 6 6
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e C o n v o l u t i o n
B y : R i c a r d o R a d a e l l i - S a n c h e z , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 8 7 / 2 . 1 7 /
M o d u l e : " C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r y e l D F T "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 3 1 / 1 . 3 /
P a g e s : 6 6 - 7 0
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C i r c u l a r C o n v o l u t i o n a n d t h e D F T
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 8 6 / 2 . 6 /
M o d u l e : " E c u a c i o n e s d e D i f e r e n c i a "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 3 0 1 0 / 1 . 1 /
P a g e s : 7 0 - 7 0
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i e r e n c e E q u a t i o n s
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 5 5 0 / 2 . 2 /
M o d u l e : " A l g e b r a L i n e a l : C o n c e p t o s B á s i c o s "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 2 / 1 . 3 /
P a g e s : 7 3 - 7 7
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : L i n e a r A l g e b r a : T h e B a s i c s
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 3 4 / 2 . 3 /
M o d u l e : " C o n c e p t o s B á s i c o s d e V e c t o r e s "
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 3 / 1 . 2 /
P a g e s : 7 7 - 7 7
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : V e c t o r B a s i c s
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 8 4 4 / 2 . 0 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 329/343
A T T R I B U T I O N S 3 2 1
M o d u l e : " E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 0 / 1 . 2 /
P a g e s : 7 7 - 8 3
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : E i g e n v e c t o r s a n d E i g e n v a l u e s
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 3 6 / 2 . 6 /
M o d u l e : " D i a g o n a l i z a c i ó n d e M a t r i c e s "
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 1 / 1 . 2 /
P a g e s : 8 3 - 8 6
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : M a t r i x D i a g o n a l i z a t i o n
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 3 8 / 2 . 4 /
M o d u l e : " G e n e r a l i d a d e s d e E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 2 / 1 . 3 /
P a g e s : 8 6 - 8 7
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : E i g e n - s t u i n a N u t s h e l l
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 4 2 / 2 . 4 /
M o d u l e : " E i g e n f u n c i o n e s d e l o s S i s t e m a s L T I "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 4 / 1 . 3 /
P a g e s : 8 7 - 9 0
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : E i g e n f u n c t i o n s o f L T I S y s t e m s
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 5 0 0 / 2 . 7 /
M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r "
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 5 / 1 . 2 /
P a g e s : 9 0 - 9 0
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : F o u r i e r T r a n s f o r m P r o p e r t i e s
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 0 0 4 5 / 2 . 8 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 330/343
3 2 2
A T T R I B U T I O N S
M o d u l e : " S e ñ a l e s P e r i ó d i c a s "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 3 / 1 . 3 /
P a g e s : 9 3 - 9 4
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : P e r i o d i c S i g n a l s
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 4 4 / 2 . 5 /
M o d u l e : " S e r i e s d e F o u r i e r : E l M é t o d o d e E i g e n f u n c i o n e s "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 3 / 1 . 3 /
P a g e s : 9 4 - 9 7
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : F o u r i e r S e r i e s : E i g e n f u n c t i o n A p p r o a c h
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 4 9 6 / 2 . 2 0 /
M o d u l e : " D e r i v a c i ó n d e l a E c u a c i ó n d e C o e c i e n t e s d e F o u r i e r "
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 4 / 1 . 1 /
P a g e s : 9 7 - 9 8
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D e r i v a t i o n o f F o u r i e r C o e c i e n t s E q u a t i o n
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 3 3 / 2 . 6 /
M o d u l e : " G e n e r a l i d a d e s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 6 / 1 . 2 /
P a g e s : 9 8 - 1 0 1
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : F o u r i e r S e r i e s i n a N u t s h e l l
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 5 1 / 2 . 3 /
M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a S e r i e d e F o u r i e r "
B y : J u s t i n R o m b e r g , B e n j a m i n F i t e
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 7 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 0 1 - 1 0 4
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : F o u r i e r S e r i e s P r o p e r t i e s
B y : J u s t i n R o m b e r g , B e n j a m i n F i t e
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 4 0 / 2 . 7 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 331/343
A T T R I B U T I O N S 3 2 3
M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e S i m e t r í a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 8 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 0 4 - 1 0 8
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : S y m m e t r y P r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r S e r i e s
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 8 3 8 / 2 . 4 /
M o d u l e : " P r o p i e d a d d e C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 9 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 0 8 - 1 0 9
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C i r c u l a r C o n v o l u t i o n P r o p e r t y o f F o u r i e r S e r i e s
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 8 3 9 / 2 . 4 /
M o d u l e : " S e r i e s d e F o u r i e r y l o s S i s t e m a s L T I "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 0 0 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 0 9 - 1 1 2
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : F o u r i e r S e r i e s a n d L T I S y s t e m s
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 5 2 / 2 . 7 /
M o d u l e : " C o n v e r g e n c i a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 4 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 1 2 - 1 1 4
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C o n v e r g e n c e o f F o u r i e r S e r i e s
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 4 5 / 2 . 3 /
M o d u l e : " C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t "
B y : R i c a r d o R a d a e l l i - S a n c h e z
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 2 7 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 1 4 - 1 1 6
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i r i c h l e t C o n d i t i o n s
B y : R i c a r d o R a d a e l l i - S a n c h e z
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 8 9 / 2 . 9 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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3 2 4
A T T R I B U T I O N S
M o d u l e : " E l F e n ó m e n o d e G i b b s "
B y : R i c a r d o R a d a e l l i - S a n c h e z , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 2 9 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 1 6 - 1 1 9
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : G i b b s ' s P h e n o m e n a
B y : R i c a r d o R a d a e l l i - S a n c h e z , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 9 2 / 2 . 8 /
M o d u l e : " R e s u m e n d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 2 / 1 . 3 /
P a g e s : 1 1 9 - 1 2 0
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : F o u r i e r S e r i e s W r a p - U p
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 4 9 / 2 . 3 /
M o d u l e : " E s p a c i o s V e c t o r i a l e s "
B y : M i c h a e l H a a g , S t e v e n C o x , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 8 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 2 3 - 1 2 4
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : V e c t o r S p a c e s
B y : M i c h a e l H a a g , S t e v e n C o x , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 6 7 / 2 . 4 /
M o d u l e : " N o r m a s "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 7 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 2 5 - 1 2 7
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : N o r m s
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 6 8 / 2 . 3 /
M o d u l e : " P r o d u c t o I n t e r n o "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 6 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 2 7 - 1 2 9
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : I n n e r P r o d u c t s
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 5 5 / 2 . 5 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 333/343
A T T R I B U T I O N S 3 2 5
M o d u l e : " E s p a c i o s d e H i l b e r t "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 7 9 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 2 9 - 1 3 0
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : H i l b e r t S p a c e s
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 8 4 0 / 2 . 4 /
M o d u l e : " D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 8 0 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 3 0 - 1 3 7
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 5 7 / 2 . 5 /
M o d u l e : " E s p a c i o s d e H i l b e r t c o m u n e s "
B y : R o y H a , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 8 1 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 3 7 - 1 4 0
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C o m m o n H i l b e r t S p a c e s
B y : R o y H a , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 5 9 / 2 . 5 /
M o d u l e : " T i p o s d e B a s e s "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 0 2 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 4 0 - 1 4 4
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : T y p e s o f B a s i s
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 7 2 / 2 . 4 /
M o d u l e : " E x p a n s i ó n d e B a s e s O r t o n o r m a l e s "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 2 8 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 4 4 - 1 4 8
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : O r t h o n o r m a l B a s i s E x p a n s i o n s
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 6 0 / 2 . 4 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 334/343
3 2 6
A T T R I B U T I O N S
M o d u l e : " E s p a c i o d e F u n c i o n e s "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 1 3 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 4 8 - 1 4 9
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : F u n c t i o n S p a c e
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 7 0 / 2 . 4 /
M o d u l e : " B a s e d e l a O n d o l e t a d e H a a r "
B y : R o y H a , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 1 9 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 4 9 - 1 5 6
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : H a a r W a v e l e t B a s i s
B y : R o y H a , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 6 4 / 2 . 6 /
M o d u l e : " B a s e s O r t o n o r m a l e s e n E s p a c i o s R e a l e s y C o m p l e j o s "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 2 0 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 5 6 - 1 5 8
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : O r t h o n o r m a l B a s e s i n R e a l a n d C o m p l e x S p a c e s
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 6 5 / 2 . 7 /
M o d u l e : " T e o r e m a s d e P l a n c h a r e l y P a r s e v a l "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 1 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 5 8 - 1 5 9
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : P l a n c h a r e l a n d P a r s e v a l ' s T h e o r e m s
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 6 9 / 2 . 4 /
M o d u l e : " A p p r o x i m a c i ó n y P r o y e c c i ó n e n e l E s p a c i o d e H i l b e r t "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 5 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 5 9 - 1 6 1
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : A p p r o x i m a t i o n a n d P r o j e c t i o n s i n H i l b e r t S p a c e
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 6 6 / 2 . 6 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 335/343
A T T R I B U T I O N S 3 2 7
M o d u l e : " A n á l i s i s d e F o u r i e r "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 5 / 1 . 4 /
P a g e s : 1 6 3 - 1 6 4
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : F o u r i e r A n a l y s i s
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 9 6 / 2 . 1 0 /
M o d u l e : " A n á l i s i s d e F o u r i e r e n E s p a c i o s C o m p l e j o s "
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 8 / 1 . 5 /
P a g e s : 1 6 4 - 1 7 1
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : F o u r i e r A n a l y s i s i n C o m p l e x S p a c e s
B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 8 4 / 2 . 5 /
M o d u l e : " E c u a c i ó n d e M a t r i z p a r a l a D T F S "
B y : R o y H a
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 5 9 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 7 1 - 1 7 2
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : M a t r i x E q u a t i o n f o r t h e D T F S
B y : R o y H a
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 7 1 / 2 . 6 /
M o d u l e : " E x t e n s i ó n P e r i ó d i c a d e l a s D T F S "
B y : R o y H a
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 0 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 7 2 - 1 8 1
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : P e r i o d i c E x t e n s i o n t o D T F S
B y : R o y H a
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 7 8 / 2 . 5 /
M o d u l e : " D e s p l a z a m i e n t o s C i r c u l a r e s "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 4 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 8 1 - 1 8 5
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C i r c u l a r S h i f t s
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 8 0 / 2 . 6 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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3 2 8
A T T R I B U T I O N S
M o d u l e : " D F T : T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r "
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 7 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 8 7 - 1 8 8
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D F T : F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 0 5 0 4 / 2 . 8 /
M o d u l e : " L a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F F T ) "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 4 2 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 8 8 - 1 8 9
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : T h e F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m ( F F T )
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 8 3 / 2 . 5 /
M o d u l e : " D e r i v a n d o l a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r "
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 4 1 / 1 . 1 /
P a g e s : 1 8 9 - 1 9 2
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D e r i v i n g t h e F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 0 5 2 8 / 2 . 7 /
M o d u l e : " C o n v e r g e n c i a d e S e c u e n c i a s "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 4 3 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 9 5 - 1 9 6
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C o n v e r g e n c e o f S e q u e n c e s
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 8 8 3 / 2 . 4 /
M o d u l e : " C o n v e r g e n c i a d e V e c t o r e s "
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 4 4 / 1 . 2 /
P a g e s : 1 9 7 - 2 0 0
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C o n v e r g e n c e o f V e c t o r s
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 8 9 4 / 2 . 2 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 337/343
A T T R I B U T I O N S 3 2 9
M o d u l e : " C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e d e S e c u e n c i a s d e F u n c i o n e s . "
B y : M i c h a e l H a a g , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 4 5 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 0 0 - 2 0 1
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : U n i f o r m C o n v e r g e n c e o f F u n c t i o n S e q u e n c e s
B y : M i c h a e l H a a g , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 8 9 5 / 2 . 5 /
M o d u l e : " T a b l e o f C o m m o n F o u r i e r T r a n s f o r m s "
U s e d h e r e a s : " T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r C o m u n e s "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 9 9 / 2 . 9 /
P a g e s : 2 0 4 - 2 0 5
C o p y r i g h t : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 1 . 0
M o d u l e : " T r a n s f o r m a c i ó n D i s c r e t a d e F o u r i e r "
B y : P h i l S c h n i t e r
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 3 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 0 5 - 2 0 6
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m a t i o n
B y : P h i l S c h n i t e r
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 4 2 1 / 2 . 1 0 /
M o d u l e : " T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r ( D F T ) "
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 4 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 0 6 - 2 0 9
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D F T )
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 2 4 9 / 2 . 2 3 /
M o d u l e : " T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o ( D T F T ) "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 6 1 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 0 9 - 2 0 9
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T )
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 0 8 / 2 . 1 1 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 338/343
3 3 0
A T T R I B U T I O N S
M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o "
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 6 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 1 0 - 2 1 0
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m P r o p e r t i e s
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 0 5 0 6 / 2 . 6 /
M o d u l e : " P a r d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o "
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 5 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 1 0 - 2 1 1
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m P a i r
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 0 5 2 5 / 2 . 6 /
M o d u l e : " E j e m p l o s d e D T F T "
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 7 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 1 1 - 2 1 4
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D T F T E x a m p l e s
B y : D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 0 5 2 4 / 2 . 1 0 /
M o d u l e : " T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o C o n t i n u o ( C T F T ) "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k , M e l i s s a S e l i k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 5 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 1 7 - 2 1 8
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : C o n t i n u o u s - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( C T F T )
B y : R i c h a r d B a r a n i u k , M e l i s s a S e l i k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 9 8 / 2 . 9 /
M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 7 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 1 9 - 2 2 1
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : P r o p e r t i e s o f t h e C o n t i n u o u s - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 0 0 / 2 . 1 3 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 339/343
A T T R I B U T I O N S 3 3 1
M o d u l e : " M u e s t r e o "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 4 / 1 . 3 /
P a g e s : 2 2 3 - 2 2 7
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : S a m p l i n g
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 9 8 / 2 . 6 /
M o d u l e : " R e c o n s t r u c c i ó n "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 9 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 2 7 - 2 3 2
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : R e c o n s t r u c t i o n
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 8 8 / 2 . 5 /
M o d u l e : " M á s s o b r e R e c o n s t r u c c i ó n P e r f e c t a "
B y : R o y H a , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 0 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 3 2 - 2 3 4
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : M o r e o n P e r f e c t R e c o n s t r u c t i o n
B y : R o y H a , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 9 0 / 2 . 4 /
M o d u l e : " T e o r e m a d e N y q u i s t "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 1 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 3 4 - 2 3 5
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : N y q u i s t T h e o r e m
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 9 1 / 2 . 4 /
M o d u l e : " A l i a s i n g "
B y : J u s t i n R o m b e r g , D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 3 / 1 . 3 /
P a g e s : 2 3 6 - 2 3 9
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : A l i a s i n g
B y : J u s t i n R o m b e r g , D o n J o h n s o n
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 9 3 / 2 . 5 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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3 3 2
A T T R I B U T I O N S
M o d u l e : " F i l t r o s A n t i - A l i a s i n g "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 4 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 3 9 - 2 4 1
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : A n t i - A l i a s i n g F i l t e r s
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 9 4 / 2 . 4 /
M o d u l e : " P r o c e s a m i e n t o d e T i e m p o D i s c r e t o d e S e ñ a l e s d e T i e m p o C o n t i n u o "
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 6 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 4 1 - 2 4 3
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i s c r e t e T i m e P r o c e s s i n g o f C o n t i n u o u s T i m e S i g n a l s
B y : J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 7 9 7 / 2 . 4 /
M o d u l e : " L a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 8 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 4 7 - 2 4 9
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : T h e L a p l a c e T r a n s f o r m s
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 1 0 / 2 . 1 2 /
M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 7 9 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 5 0 - 2 5 0
C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : P r o p e r t i e s o f t h e L a p l a c e T r a n s f o r m
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 1 7 / 2 . 9 /
M o d u l e : " T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e C o m u n e s "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 9 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 5 1 - 2 5 1
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : T a b l e o f C o m m o n L a p l a c e T r a n s f o r m s
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 1 1 / 2 . 1 0 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
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A T T R I B U T I O N S 3 3 3
M o d u l e : " R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 1 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 5 1 - 2 5 3
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : R e g i o n o f C o n v e r g e n c e f o r t h e L a p l a c e T r a n s f o r m
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 1 4 / 2 . 8 /
M o d u l e : " L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e "
B y : S t e v e n C o x
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 2 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 5 3 - 2 5 5
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : T h e I n v e r s e L a p l a c e T r a n s f o r m
B y : S t e v e n C o x
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 7 0 / 2 . 8 /
M o d u l e : " P o l o s y C e r o s "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 3 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 5 5 - 2 5 7
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : P o l e s a n d Z e r o s
B y : R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 1 2 / 2 . 1 1 /
M o d u l e : " L a T r a n s f o r m a d a Z : D e n i c i ó n "
B y : B e n j a m i n F i t e
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 1 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 5 9 - 2 6 4
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : T h e Z T r a n s f o r m : D e n i t i o n
B y : B e n j a m i n F i t e
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 5 4 9 / 2 . 9 /
M o d u l e : " T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s - Z C o m u n e s "
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 0 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 6 4 - 2 6 5
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : T a b l e o f C o m m o n z - T r a n s f o r m s
B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 1 9 / 2 . 1 2 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 342/343
3 3 4
A T T R I B U T I O N S
M o d u l e : " R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a - Z "
B y : B e n j a m i n F i t e
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 6 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 6 5 - 2 7 4
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : R e g i o n o f C o n v e r g e n c e f o r t h e Z - t r a n s f o r m
B y : B e n j a m i n F i t e
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 6 2 2 / 2 . 5 /
M o d u l e : " L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e Z "
B y : B e n j a m i n F i t e
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 5 8 / 1 . 2 /
P a g e s : 2 7 4 - 2 7 7
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : I n v e r s e Z - T r a n s f o r m
B y : B e n j a m i n F i t e
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 6 5 1 / 2 . 4 /
M o d u l e : " F u n c i o n e s R a c i o n a l e s "
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 0 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 7 7 - 2 7 9
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : R a t i o n a l F u n c t i o n s
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 5 9 3 / 2 . 7 /
M o d u l e : " L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a "
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 5 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 7 9 - 2 8 2
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : D i e r e n c e E q u a t i o n
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 5 9 5 / 2 . 5 /
M o d u l e : " E n t e n d i e n d o l a s G r a c a s d e P o l o s y C e r o s e n e l P l a n o - Z "
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 6 / 1 . 1 /
P a g e s : 2 8 2 - 2 8 7
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : U n d e r s t a n d i n g P o l e / Z e r o P l o t s o n t h e Z - P l a n e
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 5 5 6 / 2 . 8 /
7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 343/343
A T T R I B U T I O N S 3 3 5
M o d u l e : " D i s e ñ o d e F i l t r o s u s a n d o l a G r a c a d e P o l o s y C e r o s d e l a T r a n s f o r m a d a - Z "
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 6 7 / 1 . 3 /
P a g e s : 2 8 7 - 2 9 0
C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /
B a s e d o n : F i l t e r D e s i g n u s i n g t h e P o l e / Z e r o P l o t o f a Z - T r a n s f o r m
B y : M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 5 4 8 / 2 . 9 /
M o d u l e : " H o m e w o r k 1 "
B y : R i c h a r d B a r a n i u k , J u s t i n R o m b e r g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 8 2 6 / 2 . 9 /
P a g e s : 2 9 1 - 2 9 5
C o p y r i g h t : R i c h a r d B a r a n i u k , J u s t i n R o m b e r g
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 1 . 0
M o d u l e : " H o m e w o r k 1 S o l u t i o n s "
B y : J u s t i n R o m b e r g , R i c h a r d B a r a n i u k , M i c h a e l H a a g
U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 8 3 0 / 2 . 4 /
P a g e s : 2 9 5 - 3 0 6
C o p y r i g h t : J u s t i n R o m b e r g , R i c h a r d B a r a n i u k , M i c h a e l H a a g
L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 1 . 0