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Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
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Exercice 1 : (8 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 15x² + x – 6 = 0
b) -x² + 2x – 15 = 0
c) 49x² - 28x + 4 = 0
d) 2x² - 5x + 9 = 12x - 1
Exercice 2 : (4 points)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) -4x² - 4x + 3 > 0
b) x² - 2x + 2 ≤ 0
Exercice 3 : ma petite entreprise (8 points)
Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.
On note x le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d’une journée avec x variant dans
[4 ;10].
Le coût de production C, en euros, de x dizaines de pièces est défini par :
C(x) = x² - 8x + 18.
1) Chaque pièce est vendue 0,30 €. On note R(x) la recette de l’entreprise lorsqu’elle produit
x dizaines de pièces.
a) Déterminer le coût de production de 50 pièces.
b) Expliquer pourquoi R(x) = 3x.
2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, en fonction du nombre x de dizaines de pièces
vendues, est la différence entre la recette et le coût de production.
On note B(x) ce bénéfice.
a) Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors B(x) = -x² + 11x – 18 sur
l’intervalle [4 ;10].
b) Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x de dizaines de
pièces vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a) Déterminer le nombre x de dizaines de pièces à vendre pour que le bénéfice
soit maximal.
b) Calculer ce bénéfice maximal.
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S2
2
Exercice 1 : (6 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 25x² - 20x + 4 = 0
b) 4x² -4x - 3 = 0
c) 2x² + 3x + 12 = 0
d) 3x² + 2x - 1 = 5x + 1
Exercice 2 : (4 points)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) -2x² + x - 1 ≤ 0 b) 6x² - 11x - 10 < 0
Exercice 3 : ma petite entreprise (8 points)
Une entreprise de menuiserie fabrique des tables.
On note x le nombre de tables fabriquées chaque mois, x étant un entier compris entre 6 et
25.
Le coût de production C, exprimé en dizaines d’euros, de ces x tables est défini par :
C(x) = x² + 7x + 21.
1) Chaque table est vendue 290 €.
On note R(x) la recette de l’entreprise, exprimée en dizaines d’euros, lorsqu’elle produit
x tables.
a) Déterminer le coût de production de 10 tables.
b) Expliquer pourquoi R(x) = 29x.
2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, exprimé en dizaines d’euros, en fonction du nombre
x de tables vendues par semaine, est la différence entre la recette et le coût de
production.
On note B(x) ce bénéfice.
a) Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors :
B(x) = -x² + 22x – 21.
b) Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x tables vendues
pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a) Déterminer le nombre x de tables à vendre pour que le bénéfice soit maximal.
b) Calculer ce bénéfice maximal.
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
CORRECTION
3
Exercice 1 : (8 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 15x² + x – 6 = 0
b) -x² + 2x – 15 = 0
c) 49x² - 28x + 4 = 0
d) 2x² - 5x + 9 = 12x - 1
Le discriminant d’une équation du seconde degré du type ax² + bx + c = 0 est = b² - 4ac.
a) = 1² - 415(-6) = 1 + 360 = 361 = 19²
Comme > 0, cette équation admet deux solutions réelles distinctes :
x1 = - b -
2a =
-1 – 19
215 = -
20
215 = -
252
253 = -
2
3
et x2 = - b +
2a =
-1 + 19
215 =
18
215 =
233
235 =
3
5
L’ensemble des solutions de cette équation est S =
- 2
3;
3
5 .
Vérification graphique :
Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection A et B de la
parabole d’équation y = 15x² + x – 6 avec l’axe des abscisses.
On lit xA -0,67 et xB = 0,6.
A comparer avec les solutions exactes calculées – 2
3 et
3
5.
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
CORRECTION
4
b) = 2² - 4(-1)(-15) = 4 – 60 = - 56
Comme < 0, cette équation n’a pas de solution réelle.
L’ensemble des solutions est S =
Vérification graphique :
La parabole d’équation y = -x² + 2x – 15 étant située entièrement sous l’axe des
abscisses, l’équation –x² + 2x – 15 = 0 n’a pas de solution.
c) = (-28)² - 4494 = 784 – 784 = 0
Comme = 0, alors cette équation admet une seule solution :
x0 = - b
2a =
28
249 =
227
277 =
2
7.
L’ensemble des solutions de cette équation est S =
2
7 .
Autre méthode sans calculer :
49x² - 28x + 4 = 0 (7x)² - 27x2 + 2² = 0
(7x – 2)² = 0
7x – 2 = 0
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CORRECTION
5
x = 2
7
Vérification graphique :
La parabole d’équation y = 49x² - 28x + 4 est tangente au point A à l’axe des
abscisses.
Donc l’équation 49x² - 28x + 4 = 0 admet une solution unique qui est l’abscisse de
A.
Or, on lit xA 0,29 à comparer à la valeur exacte calculée : 2
7.
d) 2x² - 5x + 9 = 12x – 1 2x² - 5x + 9 – 12x + 1 = 0
2x² - 17x + 10 = 0
= (-17)² - 2410 = 289 – 80 = 209
Comme > 0, cette équation du second degré admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 = 17 - 209
22 =
17 - 209
4 et x2 =
17 + 209
4.
L’ensemble des solutions de cette équation est S =
17 - 209
4;
17 + 209
4.
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CORRECTION
6
Vérification graphique :
Les solutions de l’équation 2x² - 5x + 9 = 12x – 1 sont les abscisses des points
d’intersection A et B de la parabole d’équation y = 2x² - 5x + 9 et de la droite d’équation
y = 12x – 1.
On lit xA 0,64 et xB 7,86.
A comparer avec les valeurs exactes calculées : 17 - 209
4 0,6358 et
17 + 209
4
7,8642.
Exercice 2 : (6 points)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) -4x² - 4x + 3 > 0
b) x² - 2x + 2 ≤ 0
a) Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :
= (-4)² - 4(-4)3 = 16 + 48 = 64 = 8².
Les solutions de l’équation -4x² - 4x + 3 = 0 sont :
x1 = 4 + 8
-8 =
12
-8 = -
3
2 et x2 =
4 – 8
2(-4) =
-4
-8 =
1
2
Comme -4 < 0, on a -4x² - 4x + 3 > 0 si x -
3
2 ;
1
2 .
Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = -
3
2 ;
1
2.
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
CORRECTION
7
Vérification graphique :
Les solutions de l’inéquation -4x² - 4x + 3 > 0 correspondent aux abscisses des points
de la parabole d’équation y = 6x² - 11x – 10 ≥ 0 situés au dessus de l’axe des abscisses.
Les points A et B intersection de la parabole avec l’axe des abscisses ont pour
abscisse -1,5 et 0,5.
On retrouve bien l’ensemble des solutions de l’inéquation : -
3
2 ;
1
2 .
b) Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :
= (-2)² - 412 = 4 - 8 = -8.
Comme < 0, alors x² - 2x + 2 est du signe de a = 1.
Donc pour tout x réel, x² - 2x + 2 > 0.
Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = .
Vérification graphique :
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
CORRECTION
8
La parabole d’équation y = -4x² - 4x + 3 étant située entièrement au dessus de l’axe
des abscisses, pour tout x réel -4x² - 4x + 3 ≤ 0 ; donc l’ensemble des solutions de
l’inéquation -4x² - 4x + 3 > 0 est bien l’ensemble vide.
Exercice 3 : ma petite entreprise (8 points)
Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.
On note x le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d’une journée avec x
variant dans [4 ;10].
Le coût de production C, en euros, de x dizaines de pièces est défini par :
C(x) = x² - 8x + 18.
1) Chaque pièce est vendue 0,30 €. On note R(x) la recette de l’entreprise
lorsqu’elle produit x dizaines de pièces.
a) Déterminer le coût de production de 50 pièces.
b) Expliquer pourquoi R(x) = 3x.
2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, en fonction du nombre x de dizaines de
pièces vendues, est la différence entre la recette et le coût de production.
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
CORRECTION
9
On note B(x) ce bénéfice.
a) Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors B(x) = -x² + 11x – 18 sur
l’intervalle [4 ;10].
b) Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x de
dizaines de pièces vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a) Déterminer le nombre x de dizaines de pièces à vendre pour que le
bénéfice soit maximal.
b) Calculer ce bénéfice maximal.
1) a) C(5) = 5² - 85 + 18 = 25 – 40 + 18 = 3 €
Le coût de production de 50 pièces est de 3 €.
b) Chaque pièce est vendue 0,30 € ; donc une dizaine de pièces est
vendue 3 €, donc x dizaines de pièces sont vendues 3x €.
Donc R(x) = 3x.
2) a) B(x) = R(x) – C(x) = 3x – (x² - 8x + 18) = 3x – x² + 8x – 18
B(x) = -x² + 11x – 18
b) L’entreprise réalise un bénéfice si B(x) > 0.
Soit si –x² + 11x – 18 > 0
Le discriminant de cette inéquation du second degré est :
= 11² - 4(-1)(-18) = 121 – 72 = 49 = 7²
Comme > 0, l’équation –x² + 11x – 18 = 0 admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 = -11 + 7
2(-1) =
-4
-2 = 2 et x2 =
-11 - 7
-2 =
18
2 = 9
Comme a = -1 < 0, alors sur l’inéquation –x² + 11x – 18 > 0 a pour
ensemble des solutions l’intervalle ]2 ;9[.
Or comme les fonctions C, R et B sont définies sur l’intervalle [4 ;10],
B(x) > 0 si x [4 ;9].
L’entreprise réalise un bénéfice pour un nombre de pièces vendues
compris entre 40 et 90.
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S1
CORRECTION
10
3) a) Comme a = -1 < 0, la parabole d’équation y = -x² + 11x – 18 admet un
maximum.
Ce maximum est atteint en x = - b
2a =
-11
2(-1) = 5,5 ; soit pour 55 pièces
vendues.
b) Le bénéfice maximal est alors B(5,5) = -5,5² + 115,5 – 18 = 12,25 €.
Vérification graphique : tracé des courbes associées aux fonctions C, R et B
dans un repère.
Première ES-L IE1 pourcentages 2015-2016 S2
CORRECTION
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Exercice 1 : (4,5 points)
Résoudre les équations suivantes :
a) 25x² - 20x + 4 = 0
b) 4x² - 4x - 3 = 0
c) 2x² + 3x + 12 = 0
d) 3x² + 2x - 1 = 5x + 1
Le discriminant d’une équation du seconde degré du type ax² + bx + c = 0 est = b² -
4ac.
a) = (-20)² - 4254 = 400 – 400 = 0
Comme = 0, alors cette équation admet une seule solution :
x0 = - b
2a =
20
225 =
522
255 =
2
5.
L’ensemble des solutions de cette équation est S =
2
5 .
Autre méthode sans calculer :
25x² - 20x + 4 = 0 (5x)² - 25x2 + 2² = 0
(5x - 2)² = 0
5x - 2 = 0
x = 2
5
Vérification graphique :
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CORRECTION
12
La parabole représentant le polynôme du second degré 25x² - 20x + 4 est
tangente au point A à l’axe des abscisses.
Donc l’équation 25x² - 20x + 4 = 0 admet une solution unique qui est l’abscisse de
A.
Or, on lit xA = -0,4 égale à la valeur exacte calculée : -2
5.
b) = (-4)² - 44(-3) = 16 + 48 = 64 = 8²
Comme > 0 cette équation du second degré admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 = -b -
2a =
4 – 8
24 = -
4
8 = -
1
2 et x2 =
-b +
2a =
4 + 8
24 =
12
8 =
3
2
L’ensemble des solutions de cette équation est S =
- 1
2 ;
3
2 .
Vérification graphique :
Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection A et B de la
parabole d’équation y = 15x² + x – 6 avec l’axe des abscisses.
On lit xA = - 0,5 et xB = 1,5 valeurs égales aux solutions exactes calculées –1
2 et
3
4.
c) = 3² - 4212 = 9 – 96 = - 87.
Comme < 0, cette équation n’a pas de solution réelle.
L’ensemble des solutions est S =
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CORRECTION
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Vérification graphique :
La parabole d’équation y = 2x² + 3x + 12 étant située entièrement au dessus l’axe
des abscisses, l’équation 2x² + 3x + 12 = 0 n’a pas de solution.
d) 3x² + 2x - 1 = 5x + 1 3x² + 2x – 1 – 5x – 1 = 0
3x² - 3x – 2 = 0
= (-3)² - 43(-2) = 9 + 24 = 33
Comme > 0 cette équation du second degré admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 = -b -
2a =
3 - 33
23 =
3 - 33
6 et x2 =
-b +
2a =
3 + 33
6
L’ensemble des solutions de cette équation est S =.
3 - 33
6 ;
3 + 33
6.
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S2
CORRECTION
14
Vérification graphique :
Les solutions de l’équation 3x² + 2x - 1 = 5x + 1 sont les abscisses des points
d’intersection A et B de la parabole d’équation y = 3x² + 2x - 1 et de la droite d’équation
y = 5x + 1.
On lit xA -0,46 et xB 1,46.
A comparer avec les valeurs exactes calculées : 3 - 33
6 -0,4574 et
3 + 33
6 1,4574.
Exercice 2 : (4 points)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) -2x² + x - 1 ≤ 0
b) 6x² - 11x - 10 ≥ 0
a) Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :
= 1² - 4(-2)(-1) = 1 - 8 = -7.
Comme < 0, alors -2x² + x - 1 est du signe de a = -2.
Donc pour tout x réel, -2x² + x - 1 < 0.
Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = .
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CORRECTION
15
Vérification graphique :
La parabole d’équation y = -2x² + x - 1 étant située entièrement sous l’axe des
abscisses, pour tout x réel 2x² + x – 1 ≤ 0.
Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation 2x² + x – 1 ≤ 0 est bien l’ensemble .
b) Le discriminant associé à cette inéquation du second degré est :
= (-11)² - 46(-10) = 121 + 240 = 361 = 19².
Les solutions de l’équation 6x² - 11x - 10 = 0 sont :
x1 = 11 - 19
26 = -
8
12 = -
2
3 et x2 =
11 + 19
12 =
30
12 =
5
2
Comme 6 > 0, on a 6x² - 11x - 10 < 0 si x > - 2
3. et x <.
5
2.
Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est S = -
2
3 ;
5
2 .
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S2
CORRECTION
16
Vérification graphique :
Les solutions de l’inéquation 6x² - 11x - 10 ≥ 0 correspondent aux abscisses des points
de la parabole d’équation y = 6x² - 11x – 10 ≥ 0 situés au dessus de l’axe des abscisses.
Les points A et B intersection de la parabole avec l’axe des abscisses ont pour
abscisse -0,67 et 2,5.
On retrouve bien l’ensemble des solutions de l’inéquation : - ; -
2
3
5
2 ; +
.
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CORRECTION
17
Exercice 3 : ma petite entreprise (8 points)
Une entreprise de menuiserie fabrique des tables.
On note x le nombre de tables fabriquées chaque semaine, x étant un entier compris entre 3
et 12.
Le coût de production C, exprimé en centaines d’euros, de ces x tables est défini par :
C(x) = 0,25x² + x + 20,25.
1) Chaque table est vendue 600 €.
On note R(x) la recette de l’entreprise, exprimée en centaines d’euros, lorsqu’elle
produit x tables.
a) Déterminer le coût de production de 10 tables.
b) Expliquer pourquoi R(x) = 6x.
2) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, exprimé en centaines d’euros, en fonction du
nombre x de tables vendues par semaine, est la différence entre la recette et le coût
de production.
On note B(x) ce bénéfice.
a) Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors :
B(x) = -0,25x² + 5x – 20,25.
b) Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x tables vendues
pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a) Déterminer le nombre x de tables à vendre pour que le bénéfice soit
maximal.
b) Calculer ce bénéfice maximal.
1) a) C(10) = 0,2510² + 10 + 20,25 = 55,25.
Le coût de production de 10 tables est donc 55,25100 = 5 525 €.
b) 1 table est vendue 600 €, soit 6 centaines d’euros.
donc x tables sont vendue 6x centaines d’euros.
Donc R(x) = 6x.
2) a) B(x) = R(x) – C(x) = 6x – (0,25x² + x + 20,25) = 6x – 0,25x² - x – 20,25
B(x) = -0,25x² + 5x – 20,25.
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CORRECTION
18
b) L’entreprise réalise un bénéfice si B(x) > 0.
Soit si –0,25x² + 5x – 20,25 > 0
Le discriminant de cette inéquation du second degré est :
= 5² - 4(-0,25)(-20,25) = 121 – 72 = 49 = 7²
Comme > 0, l’équation –x² + 11x – 18 = 0 admet deux solutions réelles
distinctes :
x1 = -11 + 7
2(-1) =
-4
-2 = 2 et x2 =
-11 - 7
-2 =
18
2 = 9
Comme a = -1 < 0, alors sur l’inéquation –x² + 11x – 18 > 0 a pour
ensemble des solutions l’intervalle ]2 ;9[.
Or comme les fonctions C, R et B sont définies sur l’intervalle [4 ;10],
B(x) > 0 si x [4 ;9].
L’entreprise réalise un bénéfice pour un nombre de pièces vendues
compris entre 40 et 90.
4) a) Comme a = -1 < 0, la parabole d’équation y = -x² + 11x – 18 admet un
maximum.
Ce maximum est atteint en x = - b
2a =
-11
2(-1) = 5,5 ; soit pour 55 pièces
vendues.
b) Le bénéfice maximal est alors B(5,5) = -5,5² + 115,5 – 18 = 48,25 €.
Vérification graphique : tracé des courbes associées aux fonctions C, R et B
dans un repère.
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S2
CORRECTION
19
Exercice 3 : ma petite entreprise (8 points)
Une entreprise de menuiserie fabrique des tables.
On note x le nombre de tables fabriquées chaque mois, x étant un entier compris entre 6 et
25.
Le coût de production C, exprimé en dizaines d’euros, de ces x tables est défini par :
C(x) = x² + 7x + 21.
3) Chaque table est vendue 290 €.
On note R(x) la recette de l’entreprise, exprimée en dizaines d’euros, lorsqu’elle
produit x tables.
c) Déterminer le coût de production de 10 tables.
d) Expliquer pourquoi R(x) = 29x.
4) Le bénéfice réalisé par l’entreprise, exprimé en dizaines d’euros, en fonction du
nombre x de tables vendues par semaine, est la différence entre la recette et le coût
de production.
On note B(x) ce bénéfice.
a) Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors :
B(x) = -x² + 22x – 21.
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S2
CORRECTION
20
b) Déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre x tables vendues
pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
3) a) Déterminer le nombre x de tables à vendre pour que le bénéfice soit maximal.
b) Calculer ce bénéfice maximal.
1) a) C(10) = 10² + 710 + 21 = 100 + 70 + 21 = 191.
Le coût de production de 10 tables est donc 19110 = 1 910 €.
b) 1 table est vendue 290 €, soit 29 dizaines d’euros.
donc x tables sont vendue 29x dizaines d’euros.
Donc R(x) = 29x.
2) a) B(x) = R(x) – C(x) = 29x – (x² + 7x + 21) = 29x – x² - 7x – 21
B(x) = -x² + 22x – 21.
b) L’entreprise réalise un bénéfice si B(x) > 0.
Soit si –x² + 22x – 21 > 0
Le discriminant de cette inéquation du second degré est :
= 22² - 4(-1)(-21) = 484 – 84 = 400 = 20²
Comme > 0, l’équation –x² + 22x – 21 = 0 admet deux solutions réelles distinctes :
x1 = -22 + 20
2(-1) =
-2
-2 = 1 et x2 =
-22 - 20
2(-1) =
-42
-2 = 21
Comme a = -1 < 0, alors sur l’inéquation –x² + 22x – 21 > 0 a pour ensemble des
solutions l’intervalle ]1 ;29[.
Or comme les fonctions C, R et B sont définies sur l’intervalle [6 ;25],
B(x) > 0 si x [6 ;21].
L’entreprise réalise un bénéfice pour un nombre de tables vendues compris entre 6 et
21.
3) a) Comme a = -1 < 0, la parabole d’équation y = –x² + 22x – 21 admet un maximum.
Ce maximum est atteint en x = - b
2a =
-22
2(-1) = 11 ; soit pour 11 pièces vendues.
b) B(11) = -11² + 2211 - 21 = 100.
Le bénéfice maximal est donc de 10010 = 1 000 €
Première ES-L DS1 second degré 2015-2016 S2
CORRECTION
21
Vérification graphique : tracé des courbes associées aux fonctions C, R et B dans un
repère.