Advanced Numerical Methods 79

روش هاي عددي حل معادلات دیفرانسیل پاره ايPartial differential equations (PDE)

Advanced Numerical Methods 80

مقدمهدهنده یک تابع با تعدادي متغیر استمعادلات دیفرانسیل جزئی، نشان.

معادله لاپلاس دو بعدي

معادله موج یک بعدي

يیک بعد) دیفیوژن(معادله نفوذ

اشد،ببیشترهامتغیرتعدادحالتی کهدر.دهدمینشانرامتغیردوبامعادلاتفوق،معادلات.کرداستفادهدیفرانسیلمعادلاتبیاندرجبرياپراتورهايازتوانمی

اپایغیربعديسهدیفیوژنمعادله

Advanced Numerical Methods 81

دسته بندي معادلات دیفرانسیل پاره اي: مقدمهگویندمعادله دیفرانسیل به بالاترین مرتبه مشتق موجود در معادله میمرتبه.

اولمرتبهدیفرانسیلمعادله

چهارممرتبهدیفرانسیلمعادله

خطیرادیفرانسیلمعادله)Linear(رمقادیازتابعیمشتقات،ضرایبتمامصورتی کهدرگویند.نباشدوابسته

Linear

Non Linear

هستندهمگنمعادلاتقبل،صفحهمعادلات.

.باشدمی) Poisson(این معادله همان معادله پوآسون . اي غیرهمگن استمعادله فوق، معادله

Advanced Numerical Methods 82

مشخصه معادلات دیفرانسیل پاره اي: مقدمهدادنشانزیربه صورتتوانمیرامتغیردوبادیفرانسیلمعادلهیککلی،حالتدر:

ضرایببهتوجهبادیفرانسیلمعادله)مشخصه(نوعA،BوCشودمیتعیین.

.استمخروطیمقاطعبنديطبقهبهشبهبسیاربنديطبقهاین

ACB 42 −=∆

GFfEfDfCfBfAf yxyyxyxx =+++++

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

Advanced Numerical Methods 83

مقدمهبیضويمعادلات

oگذاردمیتأثیردیگرنقاطبروبودهنقاطسایرازمتاثرمیدانازنقطههر.oدارداثرحلمیداندربالادست،همودستپایینهماطرافمرزهاي.oهستندبیضويمعادلاتلزج،سیالبرحاکماستوکس-ناویرمعادلهولاپلاسمعادلات.oبعديسهودوبعديدائمحرارتانتقالمعادلهمانند.oندارندحقیقیمشخصهمنحنیبیضويمعادلات.

يمیدان بیضو

مرز میدان محیط اطراف

y

x

Advanced Numerical Methods 84

مقدمه

)زمانی(شرط اولیه

شرط مرزي)مکانی(

شرط مرزي)مکانی(

زمانزمان

محیط اطراف

سهمويمعادلاتoهستنددائمغیربه صورتعمدتاًمسائل.oاستمتأثراطرافمرزهاياززمانیگامهردروشودمیبرداشتهگامزمانجهتدر.oاستسهموينوعازحرارتانتقالدائمغیرمعادلهمثالعنوانبه.oداردمضاعفحقیقیمشخصهمنحنییکمعادلهاین.

Advanced Numerical Methods 85

مقدمههذلولیمعادلات

oمثال متداول این نوع معادلات، حرکت امواج و سیستم هاي ارتعاشی است .oودها به توسعه ناپیوستگی منجر شتواند در یک سو بی تأثیر باشد و انتقال ویژگیمرزها می.oمعادله موج، دو منحنی مشخصه حقیقی دارد.

Advanced Numerical Methods 86

)Elliptic(معادلات بیضوي ودائمهدایتحرارتانتقالدرمعادلهاین.استلاپلاسمعادلهبیضوي،معادلاتشکلترینرایج

.داردکاربرددائمجرمینفوذ

زیرشکلبه)انرژيتولیدبدونو(دائمحرارتانتقالمعادله،فوریهحرارتیهدایتقانونبهتوجهبا:است

02 =∇ f

0=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

zTk

zyTk

yxTk

x

:داریم،kحرارتی،هدایتضریببودنثابتفرضبا

02 =∇=++ TTTT zzyyxx

:می شودنوشتهزیربه صورتبعديدوفضايدرمعادلهاینهمچنین

0=+ yyxx TT ( )( ) 0 411404 22 ⟨−=−=− ACB

Advanced Numerical Methods 87

)Elliptic(معادلات بیضوي تولیدابدائمهدایتحرارتانتقال.استپوآسونمعادلهبیضوي،پرکاربردمعادلاتازدیگریکی

.استمعادلهنوعاینازاينمونهداخلی،حرارت

حرارتیهدایتضریببودنثابتفرضبا:

kQTTTT zzyyxx

−=∇=++ 2

0=+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ Q

zTk

zyTk

yxTk

x

Advanced Numerical Methods 88

)Parabolic(معادلات سهموي ائمدغیردیفیوژنمعادله.استسهمويمعادلاتازنوعیکدائم،غیرهدایتحرارتانتقالمعادله:شودمینوشتهزیربه صورتکلیحالتدر

شودمینوشتهزیربه صورتدائمغیرحالتدرحرارتیهدایتحرارتانتقالمعادله:

:نوشتزیرصورتبهتوانمیرامعادلهاینحرارتی،خواصبودنثابتفرضبا

:داریممعادلهاینبراي

fft2∇= α

( )

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∂

∂zTk

zyTk

yxTk

xtCTρ

( ) TTTTT zzyyxxt2 ∇=++= αα

( )( ) 00404 22 =−=− αACB

Advanced Numerical Methods 89

)Hyperbolic(معادلات هذلولوي داردکاربرد...وارتعاشاتگازها،دینامیکدرکهاستمسائلاینترینرایجموج،معادله.

:شودمینوشتهزیربه صورتاول،مرتبهخطیموجمعادله

.آوریدبه دسترا2مرتبهموجمعادلهاول،مرتبهخطیموجمعادلهازاستفادهبا:تمرین

fcftt22 ∇=

0=∂∂

+∂∂

xuc

tu

Advanced Numerical Methods 90

)Elliptic(هاي حل معادلات بیضوي روش

Advanced Numerical Methods 91

مقدمه

Domain f(x,y)

BoundaryConditions

x

y

:هدف.استمشخصمرزيشرایطبا)پوآسونیا(لاپلاسمعادلهحل

( )yxFff

ff

yyxx

yyxx

,

0

=+

=+

Advanced Numerical Methods 92

)Finite Difference(روش اختلاف محدود کنیمبنديشبکهرامحاسباتیمیدانکهاستلازمابتداروش،ایندر.

x

y

i i+1 imaxi-1

j-1j

j+1

jmax

11

2

2

ارايدمحاسباتیمیدانکنیممیفرضاینجادراندازه.استyوxراستايدراندازههمشبکه.می باشدΔyوΔxراستا،هردرشبکه

:بگیریدنظردرقرارداديصورتبهرازیرموارد

( )jixji

ji fxf

xyxf

,,,

=∂∂

=∂

∂

( ) jiji fyxf ,, =

( )jixxji

ji fx

fx

yxf,,2

2

2

2 ,=

∂

∂=

∂

∂

Advanced Numerical Methods 93

)Finite Difference(روش اختلاف محدود

نقطهدرتابعدوممشتقبرايمرکزيدوممرتبهتقریبکلی،حالتدرi,jاستزیربه صورت:

:نوشتتوانمیهمyجهتدردوممشتقبراي

2,1,,1

,2

x

ffff jijiji

jixx∆

+−= −+

21,,1,

,2

y

ffff jijiji

jiyy∆

+−= −+

Advanced Numerical Methods 94

)Finite Difference(روش اختلاف محدود :بگیریدنظردررابعديدولاپلاسمعادله

:یمکنمیجایگزینمعادلهدرراهاجملهازیکهربرايمحدوداختلافتقریبازشدهمحاسبهمقادیر

:داریمکنیم،مرتبi,jنقطهدرتابعمقدارحسببررامعادلاتصورتی کهدر

0=+ yyxx ff

022

21,,1,

2,1,,1 =

∆

+−+

∆

+− −+−+

y

fff

x

fff jijijijijiji

( ) 012 ,2

1,2

,11,2

,1 =+−+++ −−++ jijijijiji fffff βββ

( )21,

2,11,

2,1

,12 β

ββ

+

+++= −−++ jijijiji

jiffff

f

yx

∆∆

=β

Advanced Numerical Methods 95

)Finite Difference(روش اختلاف محدود استبرابرهمباجهتدودرمحاسباتیشبکهاندازهکهخاصیحالتدر)Δx=Δy(:

هتجدودرمحاسباتیشبکهحالتی کهدردهدمینشانوداردسادهتفسیریکفوقرابطهنقاطدرآنریاضیمتوسطباi,jنقطهدرتابعمقداریعنی.داردايسادهجوابمساله،است،برابر

.استبرابراطراف،میدانمجهولنقاطدرراتابعمقدارتوانمیمحدوداختلافروشرابطهحلبانهایتدر

ادلاتمعدستگاهحلبراي.استمعادلاتدستگاهحلمستلزمکاراین.آوردبه دستمحاسباتی.کرداستفادهشد،تشریحپیشفصولدرکهحلهايروشازتوانمی

چیست؟روشخطايدرمحاسباتیشبکهنقش

( )1,,11,,1,

,1,,11,,1

41

04

−−++

−−++

+++=

=−+++

jijijijiji

jijijijiji

fffff

fffff

Advanced Numerical Methods 96

)Finite Difference(روش اختلاف محدود .بگیریدنظردرراجامدجسمدرهدایتیحرارتانتقالمساله:مثال.استشدهذکرمرزيشرایطبهتوجهباصفحهدردمامحاسبههدف

مراحل حل چیست؟

0=+ yyxx TT

Advanced Numerical Methods 97

)Finite Difference(روش اختلاف محدود

Advanced Numerical Methods 98

)Finite Difference(روش اختلاف محدود

آیا شرط همگرایی براي این ماتریس برقرار است؟

Advanced Numerical Methods 99

اعمال شرط مرزي

Dirichlet Boundary Condition:

Neumann Boundary Condition:

Mixed Boundary Condition:

تفسیر فیزیکی هر یک از این شرایط مرزي در معادله هدایت حرارتی چیست؟در مرز مجهول است؟) مثلا دما در معادله انرژي(در کدام حالت مقدار تابع

جهتدرمشتقصورتایندر.باشدعایقراست،سمتصفحهقبل،مثالدرکنیدفرضxدر:استزیربه صورتFDEکلیمعادله.استصفرراست،سمتصفحهروينقاط

نیم؟توانیم براي نقاط مرزي هم اعمال کآیا این معادله که براي تمام نقاط داخل مرز است را می

( ) 012 ,2

1,2

,11,2

,1 =+−+++ −−++ jijijijiji fffff βββ

Advanced Numerical Methods 100

اعمال شرط مرزي

بهتوانمیرامرزيگرهدرxراستايدرجزئیمشتق:آوردبه دستFDEروشاززیرصورت

:آیدمیبه دستفوقمعادلاتترکیببامرزدرشدهاصلاحمعادله

( )2,1,1, 2

xOxff

f jijijix ∆+

∆

−= −+

( ) 012 ,2

1,2

,11,2

,1 =+−+++ −−++ jijijijiji fffff βββ

xfff jixjiji ∆+= −+ ,,1,1 2

( ) xfffff jixjijijiji ∆−=+−++ −−+ ,,2

1,2

,11,2 2122 βββ

Advanced Numerical Methods 101

معادلات سهمويParabolic Equations

Advanced Numerical Methods 102

مقدمه

هدایتحرارتانتقالمسالهنوعیکروبروشکل.دهدمینشانرادائمغیر

شرط اولیه

شروط مرزي

xxt TT α=

Advanced Numerical Methods 103

مقدمهoمجزاسازيروشبامسالهتحلیلیحل

.آیدمیبه دستمتغیرهاoردرادماتوزیعتوانمیآنازاستفادهبا.آوردبه دستلحظههر

Advanced Numerical Methods 104

مقدمه

شکل کلی معادله سهموي

Advanced Numerical Methods 105

مقدمهآن هارایجنوعدو.داردوجودسهمويمعادلاتبامهندسیدرزیاديمسائلDiffusion

EquationsوAdvection-Diffusion Equationsهستند.

استاولیهشرطیکبهنیازمسائلایندر.

بهمسائلاینinitial-boundary value problemهستندمعروف.

xxxt

xxtfuff

ffα

α=+

=

Advanced Numerical Methods 106

اصول مقدماتیازهمسالشودمیمشاهدهشکلدرکههمان طورسهمويجزئیمشتقاتدیفرانسیلمعادلاتحلدر.ودشمیانجامزمانیجهتدربرداشتنگامبامعادلاتحلواقعدر.استباز)زماناینجادر(سمتیکنقطهحلPگامدرn+1گامدراطرافنقاطسایربهوابستهتواندمیn+1یاnاینبر.باشد

:داردوجودرویکرددواساس1-Implicit)ضمنی(2-Explicit)صریح(

Advanced Numerical Methods 107

اصول مقدماتی

Explicit

Implicit

وشرازسریع ترکلیبه طورصریحروشاهدستگحلبهنیاززیرا.استضمنی

مشکلهاروشایناما.نداردمعادلات.دارنددنبالبهراعدديخطايانتشار

Advanced Numerical Methods 108

روش اختلاف محدود

به صورترازیرموارد.دهدمینشانسهمويمسالهیکبرايرامحاسباتیناحیهزیرشکل:کنیدفرضقراردادي

Advanced Numerical Methods 109

روش اختلاف محدود

ی شودماستفادهجلوبهروزمانیاولمرتبهتقریباززمانیمشتقگسسته سازيبراي:

.زدتقریبزیربه صورتراiنقطهدرمکانیدوممرتبهمشتقمحدود،اختلافتقریبباتوانمی.شودمحاسبهnزمانیگامازتقریب هاکهاستاینبرفرض

:کنیممیجایگزیناصلیمعادلهدرراآمدهبه دستتقریبمقادیر

tfff

ni

nin

it ∆−

=+1

211 2

xffff

ni

ni

nin

ixx∆

+−= −+

Advanced Numerical Methods 110

روش اختلاف محدود

Diffusion(نفوذعدد Number(

.شودمیشناختهزیرعنوانباتقریباینForward Time Central Space (FTCS)

دهد؟بندي را نشان میاین رابطه چه نوع فرمول

Explicit

Advanced Numerical Methods 111

روش اختلاف محدودفرضبارامسالهاین.بگیریدنظردرراقبلمسالهdکنیممیحل)مختلفزمانیگام(متفاوت..آیدمیبه دستزیرجواب هايحالت،دوایندر

:پایداريشرط

Advanced Numerical Methods 112

روش اختلاف محدودNumerical(عددياطلاعاتتوزیع Information Propagation(روشدرFTCSزیربه صورت:است

.استنفوذعددبهوابستهعدديروشاطلاعاتتوزیعکهدهدمینشانفوقرابطه

.استO(Δx2)وO(Δt)ازروشایندرخطامقدارConditionally(استپایدارشرایطیتحتروشاین Stable(.

کند؟ر میبا کوچک شدن اندازه شبکه براي برقراري شرط پایداري، گام زمانی چگونه تغییاین روش پایدار است؟d<=0.5با توجه به فرمولاسیون روش، به نظر شما چرا براي