Os Resíduos de SolowNotas de Aula

Prof. Giácomo Balbinotto NetoUFRGS/FCE

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Robert Solow (1924 - )

Prêmio Nobel , 1987

http://cepa.newschool.edu/het/profiles/solow.htm

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Um esquema contábil do crescimento econômico

Solow (1957) [Technical Change and the Aggregate Production Function, RES] desenvolveu um esquema contábil para medir os principais fatores do crescimento econômico.

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A Contribuição Empírica de Solow

The empirical estimation of the contributions of various production factors to GNP is linked with the work of several other economists. Solow's contributions in two articles, Technical Change and the Aggregate Production Function, published in 1957, and in Investment and Technical Progress, from 1960, laid the foundations for what was later to develop into "growth accounting".

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A Contribuição Empírica de Solow

In his first article, Solow based his model on time series figures for total production, the total input of labor and the cost shares of these factors in total production. Solow thus achieved a measure for continuous change in production technology over time by calculating the difference between the relative development of production and the development of the supply of labor and capital, weighted by factor shares. On the basis of this estimated series, Solow could assess the production function, (ie the mathematical relationship between production, on the one hand, and the input of production factors, on the other).

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A Contribuição Empírica de Solow

The change in production technology (the change in production which could not be interpreted as changed inputs of labor and capital) was interpreted as the result of changes in production techniques, that is to say, technical progress.

Solow's analysis showed that technical improvements were neutral over time (the distribution of GNP between earnings and capital yield was not affected by technical change). He also demonstrated that only a small proportion of annual growth could be explained by increased inputs of labor and capital.

Solow's study had a dramatic impact - similar analyses were undertaken in a great many other countries. Access to better statistical data in the form of time series for capital and labor has permitted more reliable results to be achieved.

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A Contribuição Empírica de Solow

In an article published in 1960, Investment and Technical Progress, Solow presents a new method of studying the role played by capital formation in economic growth. His basic assumption was that technical progress is "built into" machines and other capital goods and that this must be taken into account when making empirical measurements of the role played by capital. This idea then gave birth to the "vintage approach" (a similar idea was discussed by Leif Johansen in Norway at about the same time).

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A Contribuição Empírica de Solow

The vintage approach assumes that new investments are characterized by the most modern technology and that the capital that is formed as a result does not change in qualitative terms over its remaining life. Thus, the investment decision ties up future technology to some extent, since technological knowledge is rooted in the physical capital object. Solow's formulation of a mathematical model based on these ideas enabled him to develop a theory which permitted empirical calculations to be made. In principle, the model established a new way of aggregating capital from different periods. Solow's empirical results naturally gave the formation of capital a markedly higher status in explaining the increase in production per employee.

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A Contribuição Empírica de Solow

The most important aspect of Solow's article was not so much the empirical outcome, but the method of analysing "vintage capital". Nowadays, the vintage capital concept has many other applications and is no longer solely employed in analyses of the factors underlying economic growth. For example, many numerical general equilibrium models utilize Solow's approach in the study of the sensitivity of economies to certain types of disruptive effects. The vintage approach has proved invaluable, both from the theoretical point of view and in applications such as the analysis of the development of industrial structures.

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Um esquema contábil do crescimento econômico

A pergunta que os exercícios de growth accounting buscam responder é a seguinte:

Qual a contribuição de cada fator de produção (capital e trabalho), bem como do progresso tecnológico, ao crescimento econômico?

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Growth Accounting

Growth accounting é também conhecida como sendo a análise das “ fontes do crescimento econômico”.

Este é o processo pelo qual são contabilizadas (medidas) as contribuições de cada fator de produção ao crescimento econômico.

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Agregação e Parábola [cf. Jones (1975,p.29-30)]

Aqui é assumido que a economia produz apenas um único bem – milho - que é produzido na economia. Neste caso, as dificuldades de número-índice são totalmente removidas do problema.

Isto nos permite definir o produto da economia de modo não ambíguo em termos de toneladas de milho. O milho é consumido ou investido, e nesse caso ele se torna parte do estoque de capital de milho.

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A função de produção agregada

Seja a função de produção agregada:

Y = A(t) F (K, N)

onde:

A(t) – representa as mudanças tecnológicas e que são uma função do tempo. Conforme o tempo passa, o termo A(t) aumenta, o que significa que mais produto será gerado para uma dada quantidade de insumos usados na produção.

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A função de produção agregada

O termo A (t) entra de forma multiplicativa na função de produção.

Esta especificação implica que as mudanças tecnológicas não afetam a produtividade marginal relativa dos dois fatores de produção [capital (K) e trabalho (N)], dada pela parte F(K,N).

A mudança tecnológica resulta em aumentos iguais na produtividade de ambos os fatores. Esta mudança tecnológica é denominada de mudança tecnológica neutra [cf. Hicks].

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A função de produção agregada

A quantidade de produto produzida por qualquer economia é limitada pela oferta disponível de capital e trabalho.

Isto pode ser resumido por uma função de produção agregada: Y = F(K,N), que afirma que o produto agregado (Y) é uma função do montante de capital (K) e trabalho (N), na economia.

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A função de produção agregada e suas propriedades

(i) Y é um conjunto não vazio, Y ; este pressuposto implica que as firmas nesta economia tem algo que planejam fazer, pois caso contrário, não haveria necessidade de estudarmos o comportamento da firma e nem do crescimento da economia;

(ii) Ela deve ser definida e não negativa para qualquer vetor Y de uma dimensão apropriada, tendo todos os componentes não negativos, isto é F(Y) 0 para todo o Y 0;

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A função de produção agregada e suas propriedades

(iii) As derivadas segundas com respeito a todos os argumentos deve ser contínua;

(iv) No free lunch, isto é: F (0) = 0, ou seja, sem insumos não há produto; ou em outras palavras, não é possível produzirmos algo de nada;

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A função de produção agregada e suas propriedades

(v) os produtos marginais do capital e trabalho são todos não negativos; isto é: Y/ K > 0 e Y/ N > 0.

Isto significa que um aumento tanto em capital quanto em mão-de-obra vai sempre aumentar o fluxo de produto na economia.

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A função de produção agregada e suas propriedades

Contudo, ainda que cada incremento de insumo gere um incremento no fluxo de produto, sucessivos incrementos produzem incrementos decrescentes no fluxo de produto, ou seja:

2 2 2 2

Y/ K < 0 e Y/ N < 0.

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A função de produção agregada e suas propriedades

(vi) a função de produção neoclássica é homogênea de grau um; isto é há retornos constantes de escala; esta hipótese irá permitir uma simplificação substancial da função de produção agregada, já que pode ser escrita na forma por trabalhador, ou seja, na forma intensiva.

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A função de produção agregada e suas propriedades

Diz-se que uma função de produção é linearmente homogênea, isto é, opera sujeita a retornos constantes de escala, se a multiplicação de ambos os insumos, K e N, por um número positivo implica que o produto gerado seja multiplicado pelo mesmo número, isto é:

F(K, N) = F(K,N) - Y para todo o > 0.

Assim, se a função de produção agregada for homogênea de grau um, a multiplicação de ambos os insumos por 2, temos que o produto dobra.

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A função de produção agregada e suas propriedades

(vii) Quase concavidade estrita: para qualquer Y 0, Y’ 0, 0 < < 1 e para qualquer c > 0, se F(Y) c e F(Y’) = c, então:

F[Y + (1- ) Y’] c, com igualdade se e somente se Y’ = Y.

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A função de produção agregada

Utilizando a regra da cadeia e da derivada total da função de produção temos que:

dY/dt = d[[A(t) F(K,N)]/dt

= A(t) [F (K,N)/ K] (dk/dt) + A(t) [F (K,N)/ N] (dN/dt) +

[F (K,N)/ K] (dA(t)/dt)

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A função de produção agregada

Dividindo ambos os lados da expressão acima por Y= A(t) f(K,N), obtemos:

(dY/dt)/Y = [A(t)/A(t) F(•)] [[F (K,N)/ K] (dk/dt)] + [A(t)/A(t) F(•) [F (K,N)/ N] (dN/dt)

+[ F(•)/ A(t) F(•)] [(dA(t)/dt)]

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A função de produção agregada

(dY/dt)/Y = K/ F(•) [F (K,N)/ K] (1/K) (dK/dt)] + N/ F(•) [F (K,N)/ N](1/N) (dN/dt) + [1/ A(t)][(dA(t)/dt)]

Definindo:

wk = K/ F(•) [F (K,N)/ K] (1/K) e

wn = N/ F(•) [F (K,N)/ N](1/N)

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A função de produção agregada

Temos que: • • • •

Y/Y = A/A + wk (K/K) + wn (N/N)

A taxa de crescimento do produto é função da taxa de mudança do estoque de capital e do número de trabalhadores empregados, ponderados pelas respectivas contribuições do capital e trabalho na produção.

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A função de produção agregada

Assim, vemos que a taxa de crescimento do produto pode ser considerado dependente da taxa de crescimento do progresso tecnológico ao longo do tempo e das taxas em que a oferta de insumos está crescendo.

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Growth Accounting

Iniciando com uma função de produção do tipo Cobb-Douglas:

Y =A (t) Kα . N1-α

Onde Y é o produto agregado, K é capital, N é o fator trabalho e A (t) é uma medida do progresso tecnológico e α é um parâmetro.

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Growth AccountingA função de produção Cobb-Douglas é uma função de produção padrão que exibe as seguintes propriedades:

(i) Há uma considerável posibilidade de substituição entre os dois insumos, K e N.

(ii) A elasticidade de substituição entre os insumos é constante.

(iii) aqui assumimos que há retornos constantes de escala, o que implica que: + (1 - ) = 1.

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Growth Accounting

A primeira derivada parcial de Y com respeito a K, mede um incremento no produto devido ao emprego de uma unidade extra do capital. Isto nada mais é do que a produtividade marginal do capital [PMgK]:

ΔY/Δ K = ( Kα-1 ) . A N 1- α = . A Kα . N1- α / K = = . (Y/K)

Por outro lado, PMgK=custo real do capital (taxa real de juros) em equilíbrio temos que: (Y/K)= r/ p.

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Growth Accounting

A derivada parcial de Y com respeito a mão-de-obra nos dá a produtividade marginal da mão-de-obra:

ΔY/ΔN = (1- ) N1- α -1 . A Kα =

(1- ) . A Kα . N1- α / N = (1 - ) . (Y/N).

Em equilíbrio temos que: (1- ) Y/N = w/p.

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Growth Accounting

O equilíbrio competitivo assegura que os fatores de produção recebam sua remuneração justa (fair), isto é, as recompensas do capital e trabalho são iguais as suas contribuições na produção; ou seja, os fatores de produção são pagos de acordo com seus produtos marginais.

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Growth Accounting

A participação da mão-de-obra na renda total é dada por: [(PMgN).N/Y] ou [(W/P). (N /Y)].

Substituindo o valor de (W/P) na equação acima, a participação do trabalho no produto é igual a: (1- α).

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Growth Accounting

Este é um resultado interessante. Ele afirma que os parametros de uma função de produção Cobb-Douglas, (1- ) e (), nada mais são do que as participações do trabalho e capital no produto [PIB].

Empiricamente, a participação da mão-de-obra na renda, nos EUA, situa-se em torno de 2/3. Isto significa que: (1- ) = 2/3, e portanto, a participação do capital (K) no PIB é igual a α = 1/3.

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Growth Accounting

Seja então a função de produção do tipo Cobb-Douglas:

(1- )

Y = AK . N

Em termos logaritmicos, ela pode ser escrita como:

lnY = ln A + ln K + (1- ) ln N.

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Growth Accounting

Derivando totalmente a equação, temos que:

Y/Y = (A / A) + (K/K) + (1- ) (N/N)

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Growth Accounting

Subtraindo N/N de ambos os lados obtemos:

(Y/Y ) - (N/N) = (A / A) + (K/K) + (1- ) (N/N) - (N/N)

[(Y/Y ) - (N/N) ]= (A / A) + (K/K) - (N/N)] + (N/N) - (N/N)

Taxa de crescimento per

capita

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Growth Accounting

[(Y/Y ) - (N/N) ]= (A / A) + [ (K/K) - (N/N)]

Taxa de crescimento per capita

Taxa de crescimento tecnológico

Taxa de variação da

relação capital/trabalho

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Growth Accounting e o Resíduo de Solow

Taxa de CrescimentoTecnológico

Taxa observada de crescimento na produção

+

Taxa de variação no capital por trabalhador vezes []

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As Fontes do Crescimento Econômico

Por esta formulação, encontramos a contribuição de cada fator ao crescimento corrente do produto, bem como a contribuição que não é devida a nenhum destes fatores.

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O Resíduo de Solow

A parte da taxa de crescimento econômico que não pode ser explicada por nenhum dos fatores de produção é chamado de resíduo de Solow ou de crecimento da produtividade total do fatores (growth of total factor productivity (TFP)).

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O Resíduo de Solow

O resíduo de Solow é a parte do crescimento econômico decorrente de um progresso tecnológico neutro.

Ele equivale a uma medida de nossa ignorância, visto que é calculado como a parte do crescimento que não é explicável pelos fatores de produção observáveis, capital e trabalho.

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Passos da Growth Accounting: Um Exemplo Numérico

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A diferencial total do produto é dada por:

Então, a taxa de crescimento do produto pode ser decomposta como:

1 1 1( ) ( ) (1 )dY dA K N A K dK N AK N dN

1 1 1

1 1 1

( ) ( ) (1 )

(1 )

dY dA K N A K dK N AK N dN

Y AK N AK N AK N

dY dA dK dN

Y A K N

Equação de Growth Accounting para uma função de Produção do Tipo Cobb-

Douglas

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Modelo Neoclássico de Crescimento

e os Resíduo de Solow RSLKYALKY ttt

increaseforcelabor

t

increasecapital

t

changetechnical

tt 'explained'

explainedbeto

~)1(

~~~~)1(

~~~

b. USA, actual growth and Solow residual (%)

-4

-2

0

2

4

6

1970 1975 1980 1985 1990 1995

Solow residual actual growth

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Fontes do Crescimento Econômico nos EUA (Edward Denison) (por cento por ano)

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Decomposição de Solow, 1913-1987 (taxas de crescimento anual médias)Fonte: Burda & Wyplosz (2005, p. 49)

País PIB Contribuição dos Insumos

Resíduo

Alemanha 2,8 1,4 1,4

França 2,6 1,1 1,5

Holanda 3,0 2,0 1,0

RU 1,9 1,2 0,7

Japão 4,7 3,0 1,7

EUA 3,0 2,0 1,0

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Growth accounting: América Latina (1940-1980), Fonte: Barro e Sala-i-Martin (1995, p.381)

País Taxa de cresc.PIB

Contribuição do capital

Contribuição do trabalho

Resíduo de Solow

Argentina (=0,54)

0,0360 0,0155(43,1%)

0,0095(26,4%)

0,0110(30,5%)

Brasil (=0,45)

0,0640 0,0325(50,%)

0,0130(20,3%)

0,0185(28,9%)

Chile (=0,52)

0,0380 0,0130(34,25)

0,0100(26,3%)

0,0150(39,5%)

Colômbia (=0,63)

0,0480 0,0205(42,7%)

0,0155(32,3)

0,0120(25,0%)

México (=0,69)

0,0630 0,0255(40,5%)

0,0145(23,0%)

0,0230(36,5%)

Venezuela(=0,55)

0,0520 0,0295(56,7%)

0,0175(33,7%)

0,0050(9,6%)

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Growth accounting: países asiáticos (1966-1990),

Fonte: Barro e Sala-i-Martin (1995, p.381)

País Taxa de cresc.

PIB

Contribuição do capital

Contribuição do trabalho

Resíduo de Solow

Hong Kong (=0,37)

0,0730 0,0309(42,3%)

0,0200(27,6%)

0,0220(30,1%)

Cingapura (=0,53)

0,0850 0,0620(73,1%)

0,0268(31,6%)

-0,0040(-4,7%)

Coréia do Sul (=0,32)

0,1032 0,0477(46,2%)

0,0435(42,2%)

0,0120(11,6%)

Taiwan (=0,29)

0,0910 0,0368(40,5%)

0,0362(39,8%)

0,0180(19,8%)

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Growth accounting: Paises do G7 (1960-1990),

Fonte: Barro e Sala-i-Martin (1995, p.381)

País Taxa de cresc.PIB

Contribuição do capital

Contribuição do trabalho

Resíduo de Solow

EUA(=0, 41)

0,310 0,0140(41,5%)

0,0129(41,5%)

0,0041(13,2%)

UK(=0,39)

0,0249 0,0131(52,3%)

-0,0010(-4,2%)

0,0130(51,9%)

Japão(=0,42)

0,0681 0,387(56,9%)

0,0097(14,3%)

0,0196(28,8%)

Itália(=0,38)

0,0410 0,0202(49,3%)

0,0011(2,8%)

0,0197(47,9%)

Alemanha (=0, 40)

0,0320 0,0188(58,7%)

0,0025(-8,1%)

0,0158(49,4%)

Canadá(=0, 45)

0,0410 0,0229(55,0%)

0,0135(32,8%)

0,0046(11,3%)

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Growth accounting: EUA, 1913-1992Fonte: Maddison (1995, p. 41-42)

Item 1913-1950 1950-1973 1973-1992

Cresc. PIB 2,85 3,92 2,39

Total de horas trabalhadas

0,35 1,15 1,27

Produtividade do trabalho

2,48 2,74 1,11

Total do estoque de capital não residencial

2,01 3,27 3,13

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Growth accounting: EUA, 1913-1992Fonte: Maddison (1995, p. 41-42)

Item 1913-1950 1950-1973 1973-1992

Produtividade do capital

0,81 0,63 -0,72

Produtividade total dos fatores

1,50 1,72 0,18

Efeito do comércio externo

0,03 0,11 0,05

Efeitos estruturais 0,29 0,10 -0,17

Efeito escala 0,09 0,12 0,07

Resíduo não explicado

1,09 1,39 0,23

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Crescimento total dos fatores – uma comparação (% a.a) [Young (1995)]

País Período Taxa de Crescimento

Canadá 1960-89 0,5

França 1960-89 1,5

Alemanha 1960-89 1,6

Itália 1960-89 2,0

Japão 1960-89 2,0

Reino Unido 1960-89 1,3

EUA 1960-89 0,4

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Crescimento total dos fatores – uma comparação (% a.a) [Young (1995)]

País Período Taxa de Crescimento

Brasil 1950-1985 1,6

Chile 1940-1985 0,8

México 1940-1985 1,2

Brasil(M) 1960-1980 1,0

Chile (M) 1960-1980 0,7

México (M) 1940-1970 1,3

Venezuela (M) 1950-1970 2,6

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As limitações da abordagem da growth accounting

Os exercícios de growth accounting podem ser capazes de proporcionar um tipo de decomposição mecânica do crescimento do produto em taxas de crescimento dos vários insumos e no fator de produtividade total (tecnologia).

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As limitações da abordagem da growth accounting

Este tipo de exercício é útil e pode estimular o desenvolvimento de teorias de crescimento econômico.

Contudo, a growth accounting não constitui uma teoria de crescimento porque ela não busca explicar como as mudanças nos insumos e as melhorias na tecnologia se relacionam a elementos tais como as preferências, tecnologia e políticas governamentais que podem ser revistas como os fundamentos das teorias do crescimento econômico.

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Bibliografia Recomendada

Sachs & Larrain (1995, cap. 18.2)Barro & Sala-i-Martin (1995, cap. 10.4)Charles Jones (2000, cap. 2.3)Hywel G. Jones (1975)Robert Solow (1957)Young (1995) – The Tyrany of NumbersBacha & Bonelli (2004) - http://www.ipea.gov.br/pub/td/2004/td_1018.pdf

FIM

Teoria Macroeconômica II (A)Prof. Giácomo Balbinotto Neto

UFRGS