Post on 30-Dec-2015
description
Napredne metode digitalne obrade signala
Doc. dr. Damir Seršićhttp://nmdos.zesoi.fer.hr
Teme predavanja
Wavelet paketi Haarov wavelet Stablo wavelet paketa
Optimalno stablo Entropija
Rekonstrukcija Kompresija podataka u wavemenu
Wavelet paketi Poopćenje wavelet transformacije Grananje i VP grane Baza wavelet paketa:
Kodiranje signala Očuvanje energije Rekonstrukcija signala
Wavelet paketi Kod waveleta smo prostor funkcija L2
rastavili na direktnu sumu potprostora i uzeli kombinaciju ortonormalnih baza od kao bazu za L2
Kod podataka s konačnom količinom informacije rastavili smo prostor Vj:
Funkcije i razapinju prostore V0 i W0
01022111 ... VWVWWVWV j
Jjjjjjjj
jW jW
kt kt
Wavelet paketi Prostor V podijelili smo na dva
potprostora s bazama:
Podijelimo analogno i prostor W:
)2(2)(0
00 ktkht
N
k
)2(2)(1
01 ktkht
N
k
)2(2)(0
00 ktkht
N
k
)2(2)(1
01 ktkht
N
k
Računanje wavelet paketa
i – filtri dužine N Funkcija skale – Wavelet funkcija –
)2(2)(0
002 kxakhxa n
N
kn
)2(2)(1
012 kxdkhxd n
N
kn
kh0 kh1 xxa 0
xxd 0
Wavelet paketi
2
H1(z)
H0(z)
2
2
2
2
2H0(z)
H0(z)
H1(z)
H1(z)
x[n]
a(1)[n]
da(2)[n]d(1)[n]
dd(2)[n]
ada(3)[n]
add(3)[n]
2H0(z)
2H1(z)
2H0(z)
2H1(z)
ad(2)[n]
aa(2)[n] aad(3)[n]
aaa(3)[n]
daa(3)[n]
dad(3)[n]
2H0(z)
2H1(z)
dda(3)[n]
ddd(3)[n]
2H0(z)
2H1(z)
Haarov wavelet
)12()2()(2 xaxaxa nnn
)12()2()(2 xdxdxd nnn
Računanje wavelet paketa
j2
k – parametar lokalizacije u vremenu j – parametar skale Za fiksnu vrijednost j i k, W analizira fluktuacije signala
otprilike oko pozicije , skale i različitih frekvencija za različite dozvoljene vrijednosti parametra n
Frekvencijski red Rast glavne frekvencije monotono s redom Dobiven rekurzivno iz prirodnog reda
(j,n) wavelet paket: za svaku skalu j, n može imati vrijednosti od 0 do
22,, ),(,),2(2)( ZkjNnkxaxa j
nj
knj
kj2
)(,,, xaa knjnj 12 j
Stablo wavelet paketa
Listovi svakog povezanog binarnog podstabla potpunog stabla odgovaraju ortogonalnoj bazi početnog prostora
Za signal konačne energije bilo koja baza wavelet paketa će omogućiti potpunu rekonstrukciju i specifičan način kodiranja signala
Zkkxa ,0,0
Zkkx
a
,21,1
nja ,
nja 2,1 12,1 nja
Optimalno stablo wavelet paketa
Signal duljine N=2L može se razložiti na različitih načina, gdje je broj binarnih podstabala potpunog binarnog stabla dubine L
č Kriterij minimuma temeljen na entropiji:
E(0)=0 h
22N
i
isEsE )()(
Entropija
i
ii sssE )log()( 221
Entropija s pragom:
Nenormalizirana Shannonova entropija:
Druge: koncentracija u p normi, …
221 log)( iii sssE
inace
ssE ii
,0
,1
Primjer – ‘Haar’
15,56 -12,73
6,36 2,83 -4,24 6,36 -0,71 -4,24
32 10 20 38 37 28 38 34 18 24 18 9 23 24 28 34
-8 -3,5 7,5 -7,5
26,69 41,01
45,96 50,91 29,69 19,09 33,23 43,84
20 2,5 -7,5 2,550 68,5 34,5 54,5 2 6,5 1,5 -3,5
83,79 62,93 12,37 -7,07
6,01
-1,41-8,13 0 15,91 -3,54
-13,08
-14,14
-3,18
3,54-3,18
10,61
-5,75
3,25103,75
0,25 13,75
-9,75
-4,75
0,75 13,75
-5,75
5,2514,75
3,755,25-19,25
8,75
Primjer – entropija s pragom 1E=wentropy(x,’threshold’,1)
7
16
4
8
44 4
2 22 1 2 2 2 2
111 1 111110111110
Najbolja baza Algoritam:
List na dnu stabla bez djece vraća svoju vrijednost cijene v1 – cijena čvora koji se ne lista v2 – zbroj cijena djece tog čvora
Ako je v1 <= v2, označavamo taj čvor kao dio najbolje baze, te mičemo oznake u čvorovima podstabla trenutnog čvora
Ako je v1 > v2, tada se cijena čvora zamjenjuje s v2
Primjer – entropija s pragom 1E=wentropy(x,’threshold’,1)
7
16
4
8
44 4
2 2 1 2
111 1 1110
Primjer – primjena entropijeE=wentropy(x,’threshold’,1)
15,56 -12,73
6,36 2,83 -4,24 6,36 -0,71 -4,24
32 10 20 38 37 28 38 34 18 24 18 9 23 24 28 34
-8 -3,5 7,5 -7,5
26,69 41,01
45,96 50,91 29,69 19,09 33,23 43,84
20 2,5 -7,5 2,550 68,5 34,5 54,5 2 6,5 1,5 -3,5
83,79 62,93 12,37 -7,07
6,01
-1,41-8,13 0 15,91 -3,54
-13,08
-14,14
-3,18
3,54-3,18
10,61
-5,75
3,25103,75
0,25 13,75
-9,75
-4,75
0,75 13,75
-5,75
5,2514,75
3,755,25-19,25
8,75
Primjer – entropija s pragom 3E=wentropy(x,’threshold’,3)
6
16
2
8
24 4
2 22 1 2 1 2 2
111 1 111110111110
Primjer – primjena entropijeE=wentropy(x,’threshold’,3)
15,56 -12,73
6,36 2,83 -4,24 6,36 -0,71 -4,24
32 10 20 38 37 28 38 34 18 24 18 9 23 24 28 34
-8 -3,5 7,5 -7,5
26,69 41,01
45,96 50,91 29,69 19,09 33,23 43,84
20 2,5 -7,5 2,550 68,5 34,5 54,5 2 6,5 1,5 -3,5
83,79 62,93 12,37 -7,07
6,01
-1,41-8,13 0 15,91 -3,54
-13,08
-14,14
-3,18
3,54-3,18
10,61
-5,75
3,25103,75
0,25 13,75
-9,75
-4,75
0,75 13,75
-5,75
5,2514,75
3,755,25-19,25
8,75
Primjer – Shannonova entropijaE=wentropy(x,’Shannon’)
-2572,7
-82349
-750,2144
-85425
-2646,2-91407 -196,2297
-94993 -966,0189-130,9656-277,1637
-1432-1940 -55,0106-554,77
-115 -24-9900 0,17
-991-432 -70,3
0,32
-991-115 -91,4
-11700 -37,2
-91,4
-2200 -332
Primjer
11 -9 4,5 2 -3 4,5 -0,5
-3
32 10 20 38 37 28 38 34 18 24 18 9 23 24 28 34
1 3,25 0,75 -1,75
21 29 32.5
36 21 13.5 23,5
31
10 1,25 -3,75
1,2525 34.25 17,25 27.25 -4 -1,75
3,75 -3,75
29,63 22,25 4,375 -2,5-4,63
-5 -2,875
0 -1,125
3,75 2,125 -0,5 -1,12
1,25 5,62 -1,25
-4,825
3,687
25,937
-1,437
3,437
0,937
3,437
2,187
-1,187
0,062
1,312
0,812
-2,437
1,312
-1,437
0,187
Primjer – Shannonova entropijaE=wentropy(x,’Shannon’)
-1102,8
-82349
-28,0031
-38713
-499,0860-18917 -122,1378
-9019,7 -67,9532-145,990
4
-17,457
9
-37,4725 -6,4609 -0,9955 -109,9980
-72,7-35-4380,6
-1,5 -290,11
-29,18
-7,49
-0,48
0,02
-0,94
0,27
-10,59
-0,94
-1,50,12
Primjer – primjena entropije
11 -9 4,5 2 -3 4,5 -0,5
-3
32 10 20 38 37 28 38 34 18 24 18 9 23 24 28 34
1 3,25 0,75 -1,75
21 29 32.5
36 21 13.5 23,5
31
10 1,25 -3,75
1,2525 34.25 17,25 27.25 -4 -1,75
3,75 -3,75
29,63 22,25 4,375 -2,5-4,63
-5 -2,875
0 -1,125
3,75 2,125 -0,5 -1,12
1,25 5,62 -1,25
-4,825
3,687
25,937
-1,437
3,437
0,937
3,437
2,187
-1,187
0,062
1,312
0,812
-2,437
1,312
-1,437
0,187
RekonstrukcijaE=wentropy(x,’threshold’,1)
15,56 -12,73
6,36 2,83 -4,24 6,36 -0,71 -4,24
32 10 20 38 37 28 38 34 18 24 18 9 23 24 28 34
-8 -3,5 7,5 -7,5
26,69 41,01
45,96 50,91 29,69 19,09 33,23 43,84
20 2,5 -7,5 2,550 68,5 34,5 54,5 2 6,5 1,5 -3,5
83,79 62,93 12,37 -7,07
6,01
-1,41-8,13 0 15,91 -3,54
-13,08
-14,14
-3,18
3,54-3,18
10,61
-5,75
3,25103,75
0,25 13,75
-9,75
-4,75
0,75 13,75
-5,75
5,2514,75
3,755,25-19,25
8,75
RekonstrukcijaE=wentropy(x,’threshold’,1)
15,56 -12,73
6,36 2,83 -4,24 6,36 0 -4,24
31,81
9,81 19,81
37,81
37,19
28,19
38,19
34,19
18,19
24,19
18,19
9,19 23,31
23,31
27,81
33,81
-8 -3,5 7,5 -7,5
29,43 40,75
46,23 51,18 29,96 19,36 32,97 43,58
20 2,5 -7,5 2,549,6 68,8 34,8 54,1 2 6,5 1,5 -3,5
83,79 62,93 12,37 -7,07
6,01
-1,41-8,13 0 15,91 -3,54
-13,61
-13,61
-3,18
3,54-3,18
10,61
-5,75
3,25103,75
0,25 13,75
-9,75
-4,75
0 13,75
-5,75
5,2514,75
3,755,25-19,25
8,75
RekonstrukcijaE=wentropy(x,’threshold’,1)
0 2 4 6 8 10 12 14 165
10
15
20
25
30
35
40
0 2 4 6 8 10 12 14 165
10
15
20
25
30
35
40
RekonstrukcijaE=wentropy(x,’threshold’,3)
15,56 -12,73
6,36 2,83 -4,24 6,36 -0,71 -4,24
32 10 20 38 37 28 38 34 18 24 18 9 23 24 28 34
-8 -3,5 7,5 -7,5
26,69 41,01
45,96 50,91 29,69 19,09 33,23 43,84
20 2,5 -7,5 2,550 68,5 34,5 54,5 2 6,5 1,5 -3,5
83,79 62,93 12,37 -7,07
6,01
-1,41-8,13 0 15,91 -3,54
-13,08
-14,14
-3,18
3,54-3,18
10,61
-5,75
3,25103,75
0,25 13,75
-9,75
-4,75
0,75 13,75
-5,75
5,2514,75
3,755,25-19,25
8,75
RekonstrukcijaE=wentropy(x,’threshold’,3)
14,14 -14,14
4,6 4,6 -5,3 5,3 -2,48 -2,48
30,81
10,81
18,81
38,81
35,94
29,44
39,44
32,94
17,44
24,94
17,44
9,94 21,56
25,06
29,06
32,56
-8 -3,5 7,5 -7,5 20 0 -7,5 049,6 68,8 34,8 54,1 0 6,5 0 -3,5
83,79 62,93 12,37 -7,07
6,01
-1,41-8,13 0 15,91 -3,54
-13,61
-13,61
-3,18
3,54-3,18
10,61
-5,75
3,25103,75
0,25 13,75
-9,75
-4,75
0 13,75
-5,75
5,2514,75
3,755,25-19,25
8,75
29,43 40,75
46,23 51,18 29,96 19,36 32,97 43,58
RekonstrukcijaE=wentropy(x,’threshold’,3)
0 2 4 6 8 10 12 14 165
10
15
20
25
30
35
40
RekonstrukcijaE=wentropy(x,’shannon’)
11 -9 4,5 2 -3 4,5 -0,5
-3
32 10 20 38 37 28 38 34 18 24 18 9 23 24 28 34
1 3,25 0,75 -1,75
21 29 32.5
36 21 13.5 23,5
31
10 1,25 -3,75
1,2525 34.25 17,25 27.25 -4 -1,75
3,75 -3,75
29,63 22,25 4,375 -2,5-4,63
-5 -2,875
0 -1,125
3,75 2,125 -0,5 -1,12
1,25 5,62 -1,25
-4,825
3,687
25,937
-1,437
3,437
0,937
3,437
2,187
-1,187
0,062
1,312
0,812
-2,437
1,312
-1,437
0,187
RekonstrukcijaE=wentropy(x,’shannon’)
9,19 -8,94
4,69 0,31 -4,81
4,56 -0,31
-4,69
30 11,625 19,875
37,75 37,375
28 36,5 35,875
16,375
26 18,25 9,125 23 23,625
26,125
35,5
0,125 2,5 -0,125
-2,5
20,18
28,81
32,69
36,19
21,19
13,69 23,31
30,81
9,06 2,19 -4,69
2,1924,81 34,44 17,44 27,06 -4 -1,75
3,75 -3,75
29,63 22,25 3,437 -3,437
-4,81
-4,81
-2,875
0 -1,125
3,75 1,3125
-1,3125
-1.187
1.187 5,62 -1,25
-4,825
3,687
25,937
-1,437
3,437
03,437
2,187
-1,187
01,312
0-2,437
1,312
-1,437
0
RekonstrukcijaE=wentropy(x,’shannon’)
0 2 4 6 8 10 12 14 165
10
15
20
25
30
35
40
Kompresija podataka Identična kao kod waveleta +: povećanje fleksibilnosti
Jedno razlaganje generira mnogo baza Odabiremo onu koja nam najviše odgovara
korištenjem funkcije besttree: Računa optimalno podstablo inicijalnog
podstabala wavelet paketa Uzima u obzir kriterij entropije Dobiveno stablo može biti manje dubine od
inicijalnog
Kompresija podataka Funkcija besttree:
T = BESTTREE (T) računa modificirano stablo koje odgovara najboljojvrijednosti entropije
[T,E] = BESTTREE (T) vraća najbolje stablo, s tim da računa još i najboljuvrijednost entropije E. Optimalna entropija čvora čiji je indeks j-1 je E(j).
[T,E,N] = BESTTREE (T) vraća najbolje stablo, vrijednost entropije E s timda računa još i vektor N koji sadrži indekse čvorova kojih više
Primjer u Matlabu: wpt = wpdec(x,3,‘db1') wpt = wpsplt(wpt,[3 0]); plot(wpt) bt = besttree(wpt); plot(wpt)
Kompresija podataka
Tree Decomposition
(0,0)
(1,0) (1,1)
(2,0) (2,1) (2,2) (2,3)
(3,0) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)
(4,0)(4,1)
2 4 6 8-15
-10
-5
0
5
10
15
20data for node: (2) or (1,1).
Tree Decomposition
(0,0)
(1,0) (1,1)
(2,0) (2,1) (2,2) (2,3)
(3,0) (3,1) (3,2) (3,3)
(4,0) (4,1)
1 2 3 4-4
-2
0
2
4
6
8data for node: (5) or (2,2).
Wavelet
Besttree
Wavelet
Kompresija podataka - Matlab
Kompresija podataka - Matlab
Kompresija podataka - Matlab Energija komprimiranog signala sadrži
90.81% originalnog signala Broj nula (ekvivalentno količini kompresije)
se smanjio sa 80.93% na 74.07 %. Pokušamo li komprimirati signal pomoću
wavelet-a, koristeći iste parametre, dobiveni signal će sadržavati samo 89% originalnog signala, i samo će 59% wavelet koeficijenata biti zamijenjeno nulom