Post on 09-Jul-2015
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Métodos de
Monte Carlo y Quasi-Monte Carlo
aplicados a los mercados financieros
Trabajo Fin de Máster
en Matemáticas Avanzadas
UNED
Realizado por:
Rubén Colomina Citoler
Supervisado por el Doctor:
Carlos Moreno González
Artículos de referencia
[1] P.P.Boyle,Y.Lai,K.S.Tan: Pricing options
using lattice methods (2010)
[2] Mark Broadie, Paul Glasserman:
Estimating Security Price Derivatives Using
Simulation (1996)
Contexto y problemática
Necesidad de resolver problemas de los mercados financieros:
◦ Sin expresiones analíticas conocidas.◦ Expresiones analíticas con alto
coste computacional.
◦ Alta dimensión.
Métodos numéricos basados en cuadraturas sufren del efecto “Curse of dimensionality” para los problemas de alta dimensión:
◦Coste computacional es exponencial con la dimensión.
Los métodos clásicos están
“malditos”
Comparativa del orden de convergencia del error
en los métodos numéricos de cuadratura según la
dimensión
El error puede
“vivir” debajo de
unas cotas muy
amplias incluso con
un número elevado
de muestras.
Objetivo del Trabajo
Estudiar aplicaciones prácticas e
implementar programas informáticos para
los métodos de Monte Carlo y Quasi-
Montecarlo aplicados en problemas de
opciones financieras.
Problemas tratados en el trabajo
1. Cálculo de volúmenes en varias dimensiones.
2. Simulación de variables aleatorias y procesos
estocásticos.
3. Valoración de opciones financieras.
4. Cálculo de griegas de opciones financieras.
Herramientas informáticas utilizadas
en el trabajo
Entorno integrado bajo SO Linux/Debian
◦ Entorno de programación: Octave GNU
(doble precisión de cálculo)
◦ Generador de gráficas: Octave GNU
◦ Procesador de texto: LaTeX
◦ Editor de textos: Emacs
Opciones financieras
Diferentes funciones de pago
para las opciones de tipo Call (Put con signo menos)
•Looback Option con tiempo de monitorización discretos
•Spread Option con dos activos correlacionados
•Opción Asiática con tiempos de monitorización discretos
•Opción Europea
Problemas relacionados con las
opciones financieras
¿Qué valor actual posee una opción antes de su momento de expiración?
Mercado viable y completo
Mercado libre de fricciones.
Posibilidad de ventas en corto y compra de fracciones de
activos.
Modelo matemático de los precios económicos se ajusta
a un movimiento geométrico Browniano
Hipótesis en la valoración de opciones
financieras
Modelo de Black-Scholes
Fórmula de valoración
Economía con múltiples activos
Múltiples activos posiblemente
correlacionados.
Los activos producen dividendos.
Volatilidades de cada activo constante.
Tipo de interés constante
Los retornos siguen una distribución
multivariante Logaritmo-Normal.
Caso multidimensional para la
valoración de opciones estilo Europeo
Estilo Europeo: Únicamente ejecutables en su fecha de vencimiento:.
Vector de Precios correlacionados
Función de pago
Calcular el valor esperado de la opción
Métodos de Monte Carlo
¿Qué es el método de Monte Carlo?
Es una aplicación de la ley fuerte de los grandes números
sobre funciones de una variable aleatoria.
MC aproxima mediante muestreo el valor esperado de
los promedios de funciones de variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas.
Formalmente, si una función de prueba f
evaluada sobre una variable aleatoria X cumple,
Se puede asegurar,
Dada una muestra de X,
Orden de convergencia de MC
Por el teorema Central de Límite,
a la normal estándar.
Orden de convergencia de MC
MC permite acotar el error absoluto por la cantidad:
Siendo N el número de muestras, f la función de prueba, y:
Ejemplo de aplicación de MC :
Cálculo del área de una circunferencia.
Particularizando la fórmula
de MC con la variable
aleatoria y la función de
prueba :
Ejemplo MC para integral multidimensional
Fórmula exacta
Función de prueba para MC
Generando 50000 muestras distribución uniforme en [0,R]^N
¿Suerte? El tiempo y el error crecen con la dimensión
a pesar de la promesa de independencia de la
dimensión vista para MC.
Convergencia MC de integral
multidimensional según dimensión
Aplicando MC a opciones Call
EuropeasLa variable aleatoria a
muestrear es
una distribución
Logaritmo-Normal
La función de prueba es
Algoritmo MC para una opción Call Europea
Se generan muestras aleatorias normales y se calculan promedios
Ejemplo numérico de MC para una
opción Call Europea
Error creciente con la Volatilidad
Condiciones
de la opción
Método de aproximación de Euler para simular
Movimientos Geométricos Brownianos (GBM)
Se fija una retícula con un intervalo de tiempo
Dada la ecuación diferencial
Que aproxima la solución a la SDE en el momento
La ecuación en diferencias define el proceso
Simulación de 100 GBM
En cada instante
forman una
distribución
Log-Normal
MC aplicado a la valoración de
opciones Asiáticas
Función de prueba para MC
Distribución Log-Normal
Multivariante de la
variable aleatoria.
Se muestrea mediante el
método de Euler.
Número de monitorizaciones
Uniformemente distribuidas
antes del vencimiento
Algoritmo MC para una opción Call Asiática
Incluyen la simulación de múltiples GBM
Griegas de una opción
Estimadores para las griegas de una
opción financiera
Desde el articulo [2] de Mark Broadie, Paul Glasserman se han extraído dos metodologías para deducir estimadores insesgados:
◦ PATHWISE: Se deducen de la relación entre la función de pago y el tipo de interés.
◦ LIKELIHOOD: Se deducen de la reación entre la funcion de distribución del subyacente y el tipo de interés.
Las expresiones analíticas serán diferentes, por lo que los resultados numéricos de ambas metodologías también serán diferentes.
Condiciones generales para conseguir
estimadores insesgados
Además, la condición A4, permite aplicar el teorema de la convergencia
dominada, para intercambiar la derivada con la integral, en el caso de un
estimador de tipo LIKELIHOOD.
Estimador de Vega de tipo PATHWISE
para una opción Call Europea
Estimador de tipo PATHWISE para Vega
Función de pagoDistribución Vencimiento
Estimador de Vega de tipo LIKELIHOOD
para una opción Call Europea
Si es
Estimador de tipo
LIKELIHOOD para Vega
Se asume que se
puede intercambiar
la derivada con la
integral, con las
condiciones de
“suavidad” para el
integrando, o bien,
por la condición (A4)
de la proposición
anterior.
Otros estimadores insesgados de tipo
Pathwise para una opción Call Europea
EXACTA
Otros estimadores insesgados de tipo
LIKELIHOOD para una opción Call Europea
Las expresiones
son diferentes
de las de tipo
PATHWISE
MC aplicado al cálculo de griegas de
una opción Call Europea
PATHWISE posee menor error estándar
que LIKELIHOOD
Condiciones de la opción
10000 muestras
Técnicas de reducción de varianza
Dado X un estimador de tipo MC, se desea
encontrar otro estimador Y tal que,
Técnicas de reducción de varianza
para griegas de una opción
Si D es un estimador insesgado para una griega de un opción,
Desde que,
El estimador ,es también insesgado.
Se puede deducir tomando
Varianza y derivando
respecto de beta que la
beta óptima se encuentra
para:
Aplicación MC con control de varianza a los
estimadores de tipo PATHWISE y LIKELIHOOD de
las griegas de una opción Europea
Control de varianza mejora
los resultados
Condiciones de la opción
10000 muestras
Métodos de Quasi-Monte Carlo
Secuencias de baja discrepancia
Desde que se cumple la siguiente relación,
se usará tan sólo discrepancia estrella
Comparativa entre secuencias aleatorias y
quasi-aleatorias
10000 puntos de una
secuencia de baja discrepancia
10000 puntos de una
distribución uniforme aleatoria
Forman acumulaciones de solapamientos y huecos vacíos
Desigualdad de Koksma-Hlawka
En la práctica es posible encontrar conjuntos de puntos de baja
discrepancia:
•Van der Corput
•Halton
•Sobol
•Lattice Rules
acotada por la siguiente desigualdad:
Problemas abiertos
¿Existen cotas
inferiores para
discrepancia estrella?
¿Qué es Quasi-Monte Carlo?
Análogamente a MC, es un estimador de la esperanza de
una variable aleatoria, evaluada sobre una secuencia de baja
discrepancia.
Secuencias de Van der CorputSecuencia de baja discrepancia sobre el intervalo [0,1]. Se define como la
inversión de los números naturales representados en una base b.
Secuencias de Halton
Correlación entre variables de dimensiones
con ciclo largo en una secuencia de Halton
Los pares de
variables de
ciclo de primo
largo, están
correlacionadas
¡¡ES UN PROBLEMA!!
Lattice Rules (LR) de orden NDefinición general es poco útil
En la práctica se pueden caracterizar
Los puntos
definidos por
la ecuación
modular son
todos
distintos
Estimador LR con N puntos
Demasiadas posibilidades para Z1,…,Zr
Good Lattice Points (GLP)
Caso particular de LR con un único z en cada
componente
Eligiendo z de la forma
posibles GLP
Cota del error alcanzada por QMC para
funciones periódicas utilizando GLP
Si QMC se usa con funciones de prueba periódicas de comportamiento
suave junto a GLP, es posible aplicar la teoría de series de Fourier
alcanzando la siguiente cota del error:
Caso particular de GLP de dimensión 2
generadas con Fibonacci
Las secuencia GLP de dimensión 2 poseen coeficientes
óptimos para el siguiente z
Aspecto de GLP de dimensión 2 generadas
con Fibonacci para distintos tamaños de N
Funciones de periodización
POLINOMICAS TRIGONOMETRICAS
En general no se dispondrá de funciones de prueba periódicas para QMC
Integral transformada por una función
de periodización es invariante
Permitirá alcanzar la cota del error de QMC sobre funciones periódicas
usando GLP.
Calcular error de un QMC utilizando un
desplazamiento aleatorio de GLP
El error de un método determinista, se calcula con un desplazamiento
aleatorio de GLP.
Cada desplazamiento se puede considerar como una muestra.
Se utilizará el error estándar para LookBack Options.
Se utiliza RMSE (Root Mean Square Error) para Spread Options.
(contrasta un valor teórico contra otro estimado).
Valoración de LookBack Options
mediante QMC+LDS+Periodización
El algoritmo es análogo al
de valoración de opciones
Asiáticas
Aplicación QMC a LB options
Con N=1024 puntos ¡QMC+GLP+Periodizacion
obtiene peores resultados que MC! .Mayor error
estándar.
¿Por qué?
La función inversa de la normal estándar
distorsiona las propiedades de baja discrepancia de
una GLP
Algunas
proyecciones de
pares de variables
pierden sus
propiedades de baja
discrepancia.
Con un número mayor de puntos para
GLP se atenúa el problema
Con N=4096 puntos
QMC+GLP+Periodización, sí
mejoran los resultados respecto
a MC crudo o QMC+LDS
Valoración de Spread Options
mediante QMC+GLP
P.P.Boyle [1] propone cambios de variable
convenientes para integrar en [0,1)x[0,1)
Reformulación del problema
analítico
Realizando cambios de variable bivariantes y la descomposición matricial
de Cholesky se llega a la expresión:
Algoritmo para h*
Estimador QMC para una Spread Option
sobre [0,1)x[0,1)
Añadiendo una transformación de periodización
Aplicación del estimador QMC a
una Spread Option K=0
El valor teórico de
referencia usado es
La Fórmula de Margrabe
Escasos puntos para unos
resultados tan
sorprendentes respecto a
otros métodos
Aplicación del estimador QMC a
una Spread Option K=1
¿Problemas con la doble
precisión del Lenguaje de
programación Octave?
Una estimacion con GLP usando
N=121,393 es considerada el
verdadero valor “teórico”
Conclusiones Respecto a los métodos MC:
Los algoritmos son sencillos de implementar ofreciendo mucha potencia en alta dimensión con respecto a los métodos de cuadratura.
El error estándar crece con la volatilidad en la valoración de una opción Europea.
Se ha aplicado con éxito en problemas de integrales en alta dimensión, .
Los estimadores de tipo PATHWISE son mejores que los de LIKELIHOOD en la estimación de griegas de opciones Europeas.
El control de varianza mejoran los resultados en general.
Respecto a los métodos QMC:
Las secuencias LDS pueden tener problemas de correlación y dependencias en altas dimensiones.
GLP con periodización aplicado a LookBack Options, problema de baja dimensión, ha resultado muy potente respecto otras LDS y MC crudo.
GLP+Periodización junto a un pre-tratamiento analítico para las Spread Optionsofrecen resultados mucho mejores que con respecto a GLP sin periodización.
Es necesario implementar convenientemente la inversa de la función normal estándar para atenuar la degeneración de las propiedades de baja discrepancia en su aplicación.
Muchas gracias su atención.
Rubén Colomina Citoleremail: rcolomina@gmail.comwww.rubencolomina.es/tfm/