Post on 17-Feb-2021
MODEL GENERALIZED POISSON REGRESSION
UNTUK DATA OVERDISPERSI PADA JUMLAH
PENDERITA DEMAM BERDARAH DENGUE
SKRIPSI
ARWINI ARISANDI
H 121 14 016
PROGRAM STUDI STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2018
Universitas Hasanuddin
i
MODEL GENERALIZED POISSON REGRESSION
UNTUK DATA OVERDISPERSI PADA JUMLAH
PENDERITA DEMAM BERDARAH DENGUE HALAMAN JUDUL
SKRIPSI
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
Program Studi Statistika Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar
ARWINI ARISANDI
H 121 14 016
PROGRAM STUDI STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2018
Universitas Hasanuddin
ii
LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN
Universitas Hasanuddin
iii
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING
Universitas Hasanuddin
iv
HALAMAN PENGESAHAN
Universitas Hasanuddin
v
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Segala puji hanya milik Allah Subhanahu wa Ta‟ala yang kita memuji-Nya,
kita memohon pertolongan dan pengampunan dari-Nya. Saya bersaksi bahwa
tiada Ilah yang Haq untuk disembah melainkan Ia Subhanahu wa Ta‟ala dan tiada
sekutu bagi-Nya serta Muhammad Shallallahu „alaihi wa sallam adalah utusan-
Nya. Shalawat dan salam juga tercurahkan kepada Baginda Rasulullah, para
sahabat, tabi‟in dan tabi‟ut tabi‟in serta orang-orang yang senantiasa istiqamah di
jalan dinul Islam ini.
“Dan segala nikmat yang ada padamu (datangnya) dari Allah, kemudian apabila
kamu ditimpa kesengsaraan maka kepada-Nyalah kamu meminta pertolongan.”
(QS An-Nahl: 53)
Alhamdulillah, atas pertolongan Allah akhirnya skripsi dengan judul
“Model Generalized Poisson Regression untuk Data Overdispersi pada Jumlah
Penderita Demam Berdarah Dengue” yang disusun sebagai salah satu syarat
akademik untuk meraih gelar sarjana pada Program Studi Statistika Departemen
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Hasanuddin ini dapat diselesaikan. Penulis berharap skripsi ini dapat memberikan
pengetahuan dalam pembelajaran statistika.
Penulisan Skripsi ini dapat terwujud atas bantuan dan dorongan dari
berbagai pihak yang telah tulus ikhlas memberikan sumbangan berupa pikiran,
motivasi, dan nasihat. Untuk semua itu, dengan segala kerendahan hati pada
kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang
setinggi-tingginya kepada kedua orang tua penulis, Ibunda tercinta Arianti dan
Ayahanda terhebat Abdul Rajab yang telah membesarkan dan mendidik penulis
secara ikhlas dengan penuh kasih sayang serta memberikan motivasi dan do‟a
yang tiada henti-hentinya.
Penulis juga mengucapkan jazaakumullahu khairan kepada seluruh pihak
yang senantiasa membantu baik berupa materi, tenaga dan dukungan moral
selama proses penyelesaian tulisan ini:
Universitas Hasanuddin
vi
1. Ibu Prof. Dr. Dwia Aries Tina Palubuhu, M.A selaku Rektor Universitas
Hasanuddin dan para Wakil Rektor Universitas Hasanuddin.
2. Bapak Dr. Eng. Amiruddin selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin dan para Wakil Dekan serta staf
pegawai Fakultas MIPA.
3. Bapak Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc selaku Ketua Departemen
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Hasanuddin, dosen-dosen pengajar yang telah membekali ilmu selama proses
perkuliahan, serta seluruh staf pegawai Departemen Matematika yang telah
membantu proses administrasi selama penulis menyelesaikan tugas akhir ini.
4. Ibu Dr. Erna Tri Herdiani, M.Si selaku ketua Prodi Statistika dan sekaligus
dosen pembimbing utama dengan tulus memberikan bimbingan kepada
penulis kapanpun dan dimanapun serta memotivasi penulis dalam
penyelesaian tugas akhir ini.
5. Ibu Sitti Sahriman, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing pertama yang
dengan tulus meluangkan waktunya dalam membimbing penulis dan
memberikan saran dalam penulisan skripsi ini.
6. Bapak Dr. La Podje Talangko, M.Si, Ibu Dr. Nurtiti Sunusi, M.Si dan
Bapak Drs. Raupong, M.Si selaku Tim Penguji yang telah memberikan
kritik dan saran yang sangat berharga dalam perbaikan skripsi ini.
7. Sahabat-sahabatku Syandriana Syarifuddin, Retno Mayapada, Hanifah
Lainun dan Seltuti dalam bingkai PEJUANG SS yang senantiasa saling
menasehati, saling berat untuk ditinggalkan/meninggalkan dan saling
memotivasi.
8. Teman-teman KKN 96 Posko Tombolo, Kakak sulung Gita, ukhti Dewi, Kak
Iffah dan Shabina yang telah memberi dukungan dan semangat kepada
penulis.
9. Teman-teman masa kecilku Anita Sari dan Riska Wulandari yang selalu
ada dalam suka dan duka penulis.
10. Teman-teman seperjuangan Departemen Matematika tahun 2014,
terkhusus kepada sahabat Kesayangan Sri Mulyani dan Meylina Siruddin
yang telah bersedia untuk menjawab dan menyelesaikan kekeliruan penulis
Universitas Hasanuddin
vii
dalam penulisan tugas akhir ini, sahabatku yang lincah dan energik Dian
Raisa A Putri yang memberikan spirit kepada penulis dan Seluruh Teman-
teman Statistika yang telah bersedia meluangkan waktu memberikan
dukungan, saran, serta semangat.
Makassar, 27 Februari 2018
Penulis
Universitas Hasanuddin
viii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
Universitas Hasanuddin
ix
ABSTRAK
Asumsi dasar dalam regresi Poisson yaitu nilai variansi data sama dengan nilai
mean data. Namun, asumsi tersebut umumnya tidak terpenuhi, misalnya terdapat
kasus overdispersi. Overdispersi dalam regresi Poisson terjadi apabila nilai
variansinya lebih besar daripada nilai meannya. Jika terjadi overdispersi pada
data, maka model regresi Poisson kurang akurat digunakan karena dapat
mengakibatkan taksiran parameter menjadi bias. Dalam penelitian ini, kasus
overdispersi pada data Jumlah Penderita DBD di kota Makassar tahun 2016
diatasi dengan model generalized Poisson regression. Hasil penelitian
menunjukkan bahwa pemodelan regresi generalized Poisson mampu mengatasi
terjadinya overdispersi yang terjadi pada pemodelan regresi Poisson dengan nilai
AIC minimum yaitu 254,976. Model regresi generalized Poisson memiliki nilai
sebesar 67% yang artinya jumlah penderita DBD ditentukan oleh persentase tempat-tempat umum memenuhi syarat kesehatan, persentase penduduk yang
memiliki akses air minum layak, persentase rumah tangga berprilaku hidup bersih
dan sehat dan persentase rumah yang memenuhi syarat kesehatan. Selebihnya
33% ditentukan oleh faktor lain.
Kata kunci: Overdispersi, generalized Poisson regression, AIC.
Universitas Hasanuddin
x
ABSTRACT
The basic assumption in the Poisson regression is the value of the variance data is
equal to the value of the mean data. However, that assumption is generally not
met, for example, there is the case of overdispersion. Overdispersion in Poisson
regression occurs when the value of variance is greater than the value of mean. If
overdispersion occurs on the data, then the Poisson regression model less
accurate because it affects of estimate parameters become refraction. In this
study, the case of overdispersion on The Number of Suffers DBD in Makassar City
on 2016 can be resolved by the model of the generalized Poisson regression. The
results showed that the generalized Poisson regression modelling was able to
overcome the occurrence of overdispersion which occur in Poisson regression
modeling with the minimum AIC values is 254,976. The model of generalized
Poisson regression has a value of of 67% which means that the number of sufferers DBD is determined by the percentage of public places qualified health,
the percentage of the population that has access to drinking water, the percentage
of households behave living clean and healthy and the percentage of qualified
home health. The remaining 33% is determined by other factors.
Keywords: Overdispersion, generalized Poisson regression, AIC.
Universitas Hasanuddin
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN ................................................... ii LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
KATA PENGANTAR ............................................................................................ v PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............ viii ABSTRAK ............................................................................................................ ix ABSTRACT ............................................................................................................. x DAFTAR ISI ......................................................................................................... xi
DAFTAR TABEL ............................................................................................... xii
DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ...................................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ................................................................................. 3 1.3 Batasan Masalah .................................................................................... 3 1.4 Tujuan Penelitian................................................................................... 3
1.5 Manfaat Penelitian................................................................................. 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................ 4 2.1 Generalized Linear Model .................................................................... 4 2.2 Regresi Poisson ..................................................................................... 5 2.3 Multikolinieritas .................................................................................... 7
2.4 Overdispersi .......................................................................................... 7 2.5 Regresi Generalized Poisson ................................................................. 8
2.6 Pengujian Hipotesis Model Regresi ...................................................... 9 2.7 Pemilihan Model Terbaik .................................................................... 10
BAB III METODOLOGI PENELITIAN .......................................................... 11 3.1 Sumber Data ........................................................................................ 11
3.2 Deskripsi Variabel ............................................................................... 11
3.3 Metode Analisis................................................................................... 12
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................. 15 4.1 Distribusi Poisson ................................................................................ 15 4.2 Estimasi Parameter Model Generalized Poisson Regression ............. 16 4.3 Studi Kasus .......................................................................................... 17
4.3.1 Uji Distribusi Poisson ................................................................ 17 4.3.2 Uji Multikolinieritas .................................................................. 18 4.3.3 Uji Overdispersi ......................................................................... 18
4.3.4 Model Generalized Poisson Regression .................................... 19
4.3.5 Pemilihan Model Terbaik .......................................................... 21
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................... 23 5.1 Kesimpulan.......................................................................................... 23
5.2 Saran .................................................................................................... 23
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 24 LAMPIRAN .......................................................................................................... 26
Universitas Hasanuddin
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Distribusi Keluarga Eksponensial ............................................................ 4
Tabel 4.1 Nilai VIF Antar Variabel Prediktor ...................................................... 18 Tabel 4.2 Nilai Deviansi Model Poisson............................................................... 19 Tabel 4.3 Estimasi Parameter Model Generalized Poisson Regression ............... 20 Tabel 4.4 Model Regresi Terbaik.......................................................................... 21
Universitas Hasanuddin
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1: Data Jumlah Penderita DBD di Kota Makassar Tahun 2016 ........... 26 Lampiran 2: Pembuktian Persamaan (4.1) ............................................................ 28 Lampiran 3: Pembuktian Persamaan (4.5) dan (4.6)............................................. 31 Lampiran 4: Uji Distribusi Poisson ....................................................................... 34 Lampiran 5: Output Software R (Uji Multikolinieritas) ........................................ 35
Lampiran 6: Perhitungan Nilai Mean dan Variansi Variabel Respon Y ............... 36 Lampiran 7: Output Software R (Regresi Poisson) ............................................... 37 Lampiran 8: Output Software R (Regresi Generalized Poisson) .......................... 38 Lampiran 9: Output Software R (Generalized Poisson Regression Tanpa
1 2 4) .............................................................................................................. 39 Lampiran 10: Perhitungan Nilai 2 dan Model Regresi Poisson .............. 40 Lampiran 11: Perhitungan Nilai 2 dan Model Generalized Poisson Regression ............................................................................................................. 42 Lampiran 12: Nilai-nilai Chi-Square .................................................................... 44
Universitas Hasanuddin
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Analisis regresi linier merupakan metode analisis yang digunakan untuk
mengukur pengaruh variabel prediktor terhadap variabel respon. Variabel respon
dalam regresi linier merupakan data kontinu, seperti jarak rumah ke kampus, berat
badan seorang anak, dan lain-lain. Namun, variabel respon umumnya dibatasi
hanya pada data hitung, seperti data jumlah anak dalam suatu keluarga, jumlah
korban kecelakaan, dan lain-lain. Karena keterbatasan nilai dari variabel respon,
maka analisis regresi linier kurang tepat lagi digunakan untuk menaksir parameter
untuk kasus data hitung. Sehingga untuk mendapatkan suatu model dari data
hitung digunakan regresi Poisson.
Model regresi Poisson merupakan salah satu dari model Generalized Linear
Model (GLM). Terdapat asumsi equidispersi dalam regresi Poisson yaitu nilai
variansi data sama dengan nilai mean data. Namun, asumsi tersebut umumnya
tidak terpenuhi, misalnya terdapat kasus overdispersi. Overdispersi dalam regresi
Poisson terjadi apabila nilai variansinya lebih besar daripada nilai meannya. Jika
terjadi overdispersi pada data, maka model regresi Poisson kurang akurat dalam
pemodelan data karena berdampak pada nilai standard error dari taksiran
parameter yang dihasilkan cenderung menjadi underestimate sehingga kesimpulan
yang diperoleh menjadi kurang valid (McCullagh dan Nelder, 1989). Dalam
perkembangannya, kasus overdispersi dapat diatasi dengan beberapa model
regresi seperti model binomial negatif (Wedderburn, 1974) dan model generalized
Poisson (Consul, 1989).
Beberapa peneliti telah menerapkan model regresi untuk data hitung yang
mengalami overdispersi, diantaranya Gardner et al. (1995) dalam penelitiannya
menjelaskan permasalahan yang terjadi ketika variabel respon merupakan data
hitung dengan menggunakan regresi Poisson pada data jumlah kekerasan oleh
orang yang berpenyakit mental. Hasilnya menunjukkan bahwa overdispersi dapat
diatasi dengan model regresi binomial negatif. Selain itu, Famoye et al. (2004)
dalam penelitiannya membandingkan model regresi generalized Poisson dan
Universitas Hasanuddin
2
binomial negatif pada data yang mengalami overdispersi yaitu data jumlah kasus
kecelakaan. Hasilnya menunjukkan bahwa model regresi generalized Poisson
lebih baik digunakan dibandingan dengan model regresi binomial negatif.
Selanjutnya Grover et al. (2015) membandingkan model regresi generalized
Poisson dan regresi binomial negatif pada data yang mengalami overdispersi yaitu
jumlah peningkatan sel CD4 pada penderita AIDS. Hasilnya menunjukkan bahwa
model regresi generalized Poisson lebih baik digunakan dibandingan dengan
model regresi binomial negatif.
Dalam kehidupan nyata, seringkali terjadi pelanggaran asumsi equidispersi
pada data yang disebut overdispersi atau underdispersi. Grover et al. (2015)
menyatakan bahwa terdapat dua alternatif untuk mengatasi adanya overdispersi
pada data yaitu dengan menggunakan regresi binomial negatif dan regresi
generalized Poisson. Model regresi binomial negatif adalah model alternatif yang
paling umum untuk data overdispersi. Alternatif lainnya yaitu model regresi
generalized Poisson yang dapat digunakan pada data overdispersi ataupun
underdispersi. Pada tugas akhir ini, model regresi untuk mengatasi overdispersi
adalah model regresi generalized Poisson.
Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit yang disebabkan
oleh virus dengue yang tergolong Arthropod-Borne Virus, genus Flavivirus, dan
famili Flaviviridae. Penyakit DBD ditularkan melalui gigitan nyamuk dari genus
Aedes, terutama Aedes aegypti atau Aedes albopictus. Penyakit DBD dapat
muncul sepanjang tahun dan dapat menyerang seluruh kelompok umur. Penyakit
ini berkaitan dengan kondisi lingkungan dan perilaku masyarakat (Kementrian
Kesehatan RI, 2015). Data ini, berdasarkan studi pendahuluan memenuhi asumsi
overdispersi sehingga akan diambil sebagai studi kasus dalam tugas akhir ini.
Berdasarkan uraian dari latar belakang, penulis tertarik untuk mengkaji
ulang para peneliti tersebut dengan mengambil judul “Model Generalized
Poisson Regression untuk Data Overdispersi pada Jumlah Penderita Demam
Berdarah Dengue”.
Universitas Hasanuddin
3
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah berdasarkan latar belakang adalah bagaimana menentukan
model generalized Poisson regression untuk data yang mengalami overdispersi
pada jumlah penderita DBD di kota Makassar tahun 2016?
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah data jumlah penderita DBD di kota
Makassar tahun 2016 yang mengalami overdispersi diatasi dengan memodelkan
regresi generalized Poisson dengan Maximum Likelihood Estimation (MLE)
sebagai penduga parameternya.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian berdasarkan rumusan masalah adalah memperoleh model
generalized Poisson regression untuk data yang mengalami overdispersi pada
jumlah penderita DBD di kota Makassar tahun 2016.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Menambah pengetahuan menentukan model regresi terbaik untuk mengatasi
overdispersi pada data sehingga estimasi parameter menjadi tak bias.
2. Dapat dijadikan bahan pertimbangan bagi pemerintah dalam mengurangi
penularan virus dengue yang menyebabkan penyakit DBD di kota Makassar.
Universitas Hasanuddin
4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Generalized Linear Model
Generalized Linear Model merupakan perluasan dari model regresi ketika
variabel respon memiliki model distribusi eror selain distribusi normal. Seluruh
model dalam GLM memiliki tiga komponen yaitu (Abdulkabir, et al., 2015):
1. Komponen acak, diidentifikasi oleh variabel respon ( ) dengan
( ) saling bebas dan diasumsikan memiliki distribusi peluang yang
bergantung pada . Fungsi kepadatan peluangnya merupakan keluarga
eksponensial. Bentuk keluarga eksponensial yang diberikan oleh Dobson
(2002) pada Persamaan (2.1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] (2.1)
dengan ( ), ( ), ( ), ( ) adalah fungsi yang diketahui, ( ) ( ),
( ) ( ) dan adalah parameter dispersi. Jika ( ) maka
distribusi tersebut dinyatakan sebagai bentuk kanonik dan ( ) disebut
natural parameter.
Tabel 2.1 Distribusi Keluarga Eksponensial
Distribusi Natural Parameter
Poisson ( )
Normal
( )
Binomial (
) ( ) (
)
Sumber: Dobson, 2002
2. Komponen sistematik, meliputi variabel-variabel prediktor dari model.
Didefinisikan sebagai kombinasi linier dari variabel , .
Variabel prediktor dinyatakan sebagai kombinasi linier dari parameter
yang tidak diketahui. Untuk pengamatan ke-i, ∑ ( )
dengan adalah nilai dari variabel prediktor ke-j pada pengamatan ke-i.
Dalam notasi matriks, ditulis dengan merupakan vektor dari n
Universitas Hasanuddin
5
prediktor linier ( ) dan adalah vektor dari p parameter
( ) dan adalah matriks berukuran ( ) yang ditulis
sebagai berikut.
*
+ dan
[ ]
3. Fungsi Penghubung (link function), yaitu fungsi yang menghubungkan
ekspektasi dari variabel respon ( ) dengan variabel-variabel prediktor melalui
Persamaan linier. Jika ( ) maka ( ) . Fungsi penghubung ( )
digunakan dalam GLM untuk menentukan model regresi sesuai distribusi dari
variabel respon. Jika variabel respon berdistribusi Poisson, maka fungsi
penghubung seperti pada Persamaan (2.2)
( ) (2.2)
Menurut McCullagh dan Nelder (1989), distribusi sederhana yang
digunakan untuk memodelkan data hitung adalah distribusi Poisson sehingga
model regresi Poisson merupakan salah satu kasus khusus dari GLM. Nilai
variansi dari model Poisson identik dengan nilai meannya sehingga nilai
untuk parameter dispersinya dan fungsi variansinya adalah ( ) .
2.2 Regresi Poisson
Model regresi Poisson dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara
variabel prediktor terhadap variabel respon yang diasumsikan berdistribusi
Poisson (Casella dan Berger, 1990). Variabel respon Y yang menyatakan
banyaknya hasil dalam suatu percobaan Poisson disebut variabel acak Poisson dan
distribusi peluangnya disebut distribusi Poisson. Uji kecocokan Chi-Square untuk
distribusi Poisson dilakukan untuk mengetahui suatu data berdistribusi Poisson
atau tidak.
Pengujian hipotesis untuk uji kecocokan distribusi Poisson dilakukan
sebagai berikut (Mutiu, et al., 2016).
: data berdistribusi Poisson
: data tidak berdistribusi Poisson
Universitas Hasanuddin
6
Statistik uji yang digunakan adalah:
∑( )
(2.3)
dengan:
peluang pengamatan untuk kategori
banyaknya frekuensi data pada kategori
banyaknya kategori
Kriteria pengujiannya yaitu tolak apabila nilai ( )
.
Fungsi peluang dari distribusi Poisson terdapat pada Persamaan (2.4)
(Myers, 1990)
( )
; (2.4)
dengan dan ( ) ( ) .
Penaksiran parameter model regresi Poisson dilakukan dengan
menggunakan metode MLE yaitu dengan memaksimumkan model fungsi log
likelihood. Fungsi likelihood dari regresi Poisson terdapat pada Persamaan (2.5).
( ) ( ) ( )
Karena salin bebas maka
( ) ( ) ( ) ( )
Diketahui bahwa memiliki distribusi identik sehingga dapat
dituliskan
( ) ∏ * ( )
+ (2.5)
Bentuk logaritma natural dari fungsi likelihood pada Persamaan (2.5) terdapat
pada Persamaan (2.6).
( ) (∏ * ( )
+ )
( ) (∏ ( )
∏
)
(∏ )
( ) ∑ ∑
∑ ( )
dengan ( )
( ) ∑ ( ) ∑ ( (
)) ∑ ( ) (2.6)
Dengan memaksimumkan model pada Persamaan (2.6), akan diperoleh penaksir
maximum likelihood, yaitu melalui turunan pertama terhadap yang disamakan
Universitas Hasanuddin
7
dengan nol pada Persamaan (2.7) dan diselesaikan dengan metode numerik yaitu
menggunakan iterasi Newton-Raphson.
( )
∑
( ) ∑
(2.7)
2.3 Multikolinieritas
Pendeteksian adanya kasus multikolinieritas dapat diketahui melalui nilai
Variance Inflation Factor (VIF) seperti pada Persamaan (2.8)
(2.8)
{∑( ̅)( ̅)}
∑( ̅) ∑( ̅)
;
dengan merupakan koefisien determinasi. Menurut Akinwande et al. (2015),
jika nilai maka diasumsikan koefisien regresi yang dihasilkan memiliki
eror yang sangat besar sehingga terindikasi terjadi multikolinieritas yang
signifikan antar variabel prediktor.
2.4 Overdispersi
Menurut Cameron dan Trivedi (1998) dalam model regresi Poisson terdapat
asumsi yang harus dipenuhi, yaitu variabel respon harus berdistribusi Poisson.
Karakteristik distribusi Poisson adalah equidispersi yaitu nilai variansi sama
dengan nilai mean. Namun, asumsi tersebut seringkali tidak dipenuhi karena nilai
variansi lebih besar dari nilai mean atau disebut overdispersi. Jika terjadi
overdispersi pada data, maka model regresi Poisson kurang akurat dalam
pemodelan data karena berdampak pada nilai standard error dari taksiran
parameter yang dihasilkan cenderung menjadi underestimate sehingga kesimpulan
yang diperoleh menjadi kurang valid (McCullagh dan Nelder, 1989). Oleh karena
itu, kasus overdispersi dapat diatasi dengan model regresi misalnya model
generalized Poisson (Consul, 1989).
Pengujian hipotesis tentang kasus overdispersi dilakukan sebagai berikut.
: (tidak terjadi overdispersi)
: (terjadi overdispersi)
Universitas Hasanuddin
8
Statistik uji yang digunakan terdapat pada Persamaan (2.9) (Bisri, 2015):
; ∑
( ̂ )
̂
( )
(2.9)
dengan kriteria pengujiannya yaitu tolak apabila nilai ( )
atau
. Taksiran dispersi diukur dengan nilai deviansi atau Pearson‟s
Chi-Square yang dibagi derajat bebas, jika hasil pembagian menghasilkan nilai
yang lebih besar 1 maka dapat disimpulkan data mengalami overdispersi.
2.5 Regresi Generalized Poisson
Famoye et al. (2004) menuliskan model regresi generalized Poisson
merupakan model alternatif untuk mengatasi data yang mengalami overdispersi.
Jika variabel acak Y berdistribusi generalized Poisson maka fungsi distribusi
peluang dari Y terdapat pada Persamaan (2.10).
( ) (
) ( )
*
( )
+, (2.10)
Penaksiran parameter model regresi generalized Poisson dilakukan dengan
menggunakan metode MLE yaitu dengan memaksimumkan model fungsi log
likelihood. Fungsi log likelihood dari regresi generalized Poisson terdapat pada
Persamaan (2.11).
( ) ( ) ( )
Karena saling bebas maka
( ) ( ) ( ) ( )
Diketahui bahwa memiliki distribusi identik sehingga dapat
dituliskan
( ) ∏ *(
) ( )
*
( )
++
( ) ∑ * (
) ( ) ( ) ( ) *
( )
++ (2.11)
dengan ( )
Dengan memaksimumkan model log likelihood pada Persamaan (2.11) diperoleh
penaksir maximum likelihood untuk dan , yaitu pada Persamaan (2.12) dan
(2.13).
Universitas Hasanuddin
9
( )
∑
∑
( )
( )
∑ ( )
( )( (
)) ( ( ))
( ( ))
(2.12)
dan
( )
∑
∑
( )
∑
( )
( )
(2.13)
Persamaan tersebut memperlihatkan bahwa turunan pertama dari model fungsi log
likelihood pada estimasi parameter menggunakan metode MLE tidak dalam
bentuk linier. Oleh karena itu, prosedur estimasi yang dapat dilakukan dengan
menggunakan iterasi numerik. Iterasi numerik yang digunakan dalam penelitian
ini adalah Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS).
2.6 Pengujian Hipotesis Model Regresi
Pengujian signifikansi parameter model regresi dilakukan untuk mengetahui
pengaruh variabel prediktor terhadap variabel respon. Dalam pengujian parameter
model regresi Poisson dan generalized Poisson, metode yang digunakan adalah
dengan metode Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT). Likelihood ratio regresi
Poisson dan generalized Poisson dinotasikan dengan Persamaan (2.14) (Agresti,
2002)
( ̂)
( ̂) (2.14)
dengan ( ̂) adalah nilai likelihood untuk model sederhana tanpa melibatkan
variabel prediktor dan ( ̂) adalah nilai likelihood untuk model lengkap dengan
melibatkan variabel prediktor.
Misalkan vektor acak dari peubah acak ( ) atau
dituliskan sebagai ( ) . Jika adalah variabel
yang dikeluarkan dari model, maka model sederhana yang diperoleh adalah
dan model lengkap adalah model yang melibatkan seluruh variabel
prediktor.
Adapun hipotesis sebagai berikut.
:
: paling sedikit ada satu ,
Universitas Hasanuddin
10
Statistik uji yang digunakan pada metode terdapat pada Persamaan (2.15).
( ̂) ( ( ̂)
( ̂)* (2.15)
dengan ( ̂) adalah nilai deviansi model regresi yang merupakan pendekatan
dari distribusi dengan derajat bebas p sehingga kriteria pengujiannya yaitu
tolak apabila ( ̂) ( ) . Jika ditolak berarti paling tidak ada satu
̂ yang menunjukkan bahwa berpengaruh secara signifikan terhadap
model. Pengujian dilanjutkan dengan uji secara parsial dengan hipotesis:
:
: ;
Statistik uji yang digunakan terdapat pada Persamaan (2.16)
( ̂
( ̂)*
(2.16)
dengan ( ̂) adalah standard error atau tingkat kesalahan dari penduga ̂ .
Pengujian signifikansi parameter menggunakan uji statistik wald yang nilainya
merupakan pendekatan dari distribusi dengan derajat bebas 1. Daerah
penolakannya yaitu tolak jika ( ) atau .
2.7 Pemilihan Model Terbaik
Pemilihan model regresi terbaik dapat dilihat dari nilai perhitungan Akaike
Information Criterion (AIC) pada Persamaan (2.17)
L (2.17)
dengan L adalah fungsi likelihood dari model hasil estimasi maximum likelihood
dan k jumlah parameter dalam model. Jika model memiliki nilai log-likelihood
tertinggi atau nilai AIC minimum maka model tersebut adalah model terbaik
(Grover et al., 2015).
Universitas Hasanuddin
11
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Sumber Data
Penelitian ini menggunakan data sekunder dengan variabel respon dan
variabel prediktor yang diperoleh dari Profil Kesehatan Kota Makassar tahun
2016 yang terdiri dari 46 observasi berdasarkan banyaknya puskesmas di setiap
kecamatan di kota Makassar. Variabel respon yang diamati adalah Jumlah
Penderita DBD di Kota Makassar tahun 2016. Data selengkapnya dapat dilihat
pada Lampiran 1. Software statistik yang digunakan dalam analisis tersebut adalah
R versi 2.14.0.
3.2 Deskripsi Variabel
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
a. Variabel respon ( )
Penelitian ini menggunakan data jumlah penderita DBD di kota Makassar
tahun 2016.
b. Variabel prediktor
1. Persentase tempat-tempat umum memenuhi syarat kesehatan ( )
Tempat umum merupakan tempat yang sangat berpotensi untuk terjadinya
penyebaran segala penyakit terutama penyakit-penyakit yang medianya
adalah makanan, minuman, udara dan air. Tempat-tempat umum yang
dilakukan pemantauan di kota Makassar diantaranya di sarana pendidikan,
sarana kesehatan dan hotel.
2. Persentease penduduk yang memiliki akses air minum layak ( )
Akses penduduk terhadap sumber air berkualitas dimaksudkan bahwa
sumber air berkualitas menyediakan air yang aman untuk diminum bagi
masyarakat karena air yang tidak berkualitas merupakan sumber berbagai
macam penyakit. Sumber air minum layak adalah air yang digunakan
untuk minum/mandi/cuci yang meliputi air ledeng, air hujan, sumur
bor/pompa, sumur terlindung, mata air terlindung yang jarak ke tempat
penampungan limbah/kotoran/tinja terdekat ≥10 meter.
Universitas Hasanuddin
12
3. Persentase rumah tangga berprilaku hidup bersih dan sehat ( )
Pemantauan indikator rumah tangga berprilaku hidup bersih dan kesehatan
di 46 puskesmas antara lain perilaku keluarga sadar gizi seperti makan
beraneka ragam makanan, minum tablet tambah darah, mengkonsumsi
garam beryodium, member bayi dan balita kapsul vitamin A, perilaku
menyehatkan lingkungan seperti membuang sampah pada tempatnya,
membersihkan lingkungan, perilaku kebersihan perorangan seperti mandi
dengan air bersih dan menggunakan sabun, menyikat gigi, menggunting
kuku dan perilaku lainnya yang mendukung kesehatan.
4. Persentase rumah yang memenuhi syarat kesehatan ( )
Aspek persyaratan kesehatan rumah tinggal yang harus diperhatikan secara
umum menurut Keputusan Menteri Kesehatan RI Nomor
829/Menkes/SK/VII/1999 antara lain: bahan bangunan, komponen dan
penataan ruang rumah, pencahayaan, kualitas udara, ventilasi, binatang
penular penyakit, air, tersedianya sarana penyimpanan makanan yang
aman dan higienis, limbah dan kepadatan hunian ruang tidur.
3.3 Metode Analisis
Tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Melakukan pengujian kecocokan distribusi Poisson dengan hipotesis
sebagai berikut.
: data jumlah penderita DBD berdistribusi Poisson
: data jumlah penderita DBD tidak berdistribusi Poisson
Statistik uji yang digunakan adalah:
∑( )
Kesimpulan: tolak apabila nilai ( )
.
2. Mengidentifikasi dan menyelesaikan adanya kasus multikolinieritas dengan
melihat nilai VIF. Multikolinieritas yang signifikan terjadi jika nilai VIF
lebih dari 10 dengan
Universitas Hasanuddin
13
3. Melakukan pengujian overdispersi dengan hipotesis sebagai berikut.
: (tidak terjadi overdispersi)
: (terjadi overdispersi)
Statistik uji:
; ∑
( ̂ )
̂
( )
Kesimpulan: tolak jika apabila nilai ( )
atau
.
4. Memodelkan regresi generalized Poisson jika terjadi overdispersi pada data
dengan menggunakan MLE sebagai metode penduga parameternya dan
prosedur estimasi dengan menggunakan iterasi numerik IRLS. Berikut
adalah langkah-langkah dalam melakukan iterasi IRLS.
1. Menentukan nilai awal dari parameter yang diperoleh dari Ordinary
Least Square.
2. Melakukan proses iterasi dengan prosedur
( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ( ))
( ( ))
dengan
[ ]
, [ ],
[ ]
,
[ ]
, dan
Mengulangi langkah 2 sampai diperoleh ( ) yang konvergen yang
menuju pada suatu nilai.
5. Melakukan pengujian signifikansi model dan signifikansi parameter model
regresi generalized Poisson.
a. Pengujian signifikansi model regresi generalized Poisson dengan
hipotesis sebagai berikut.
:
: paling sedikit ada satu ,
Universitas Hasanuddin
14
Statistik uji:
( ̂) ( ( ̂)
( ̂)*
Kesimpulan: tolak apabila ( ̂) ( ) .
b. Pengujian signifikansi parameter regresi generalized Poisson dengan
hipotesis sebagai berikut.
:
: ;
Statistik uji:
( ̂
( ̂)*
Kesimpulan: tolak jika ( ) atau .
6. Memilih model terbaik dengan melihat nilai AIC minimum, nilai
terbesar dan nilai terkecil antara model regresi Poisson dan
generalized Poisson dengan
L
∑( ̅)
∑( ̅)
√
( )∑( )
Universitas Hasanuddin
15
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Distribusi Poisson
Distribusi sederhana untuk memodelkan data hitung adalah distribusi
Poisson. Model regresi dari data hitung yang berdistribusi Poisson disebut regresi
Poisson. Regresi Poisson merupakan salah satu dari GLM karena memenuhi
syarat sebagai keluarga eksponensial.
Bukti:
Misalkan ( ) memiliki fungsi peluang
( )
Misalkan ( ), berdasarkan sifat [ ], diperoleh
( ) [ ( )]
( ) * (
)+
( ) * (
) ( )+
( ) [ ( ) ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( )]
Maka distribusi Poisson merupakan keluarga eksponensial seperti syarat pada
Persamaan (2.1), dengan:
( )
( )
( )
( ) ( )
Jika variabel acak diskrit berdistribusi Poisson dengan parameter ,
maka fungsi peluang dari adalah
( ) ( )
(4.1)
dengan ( ) ( ) . Pembuktian sifat tersebut dapat dilihat pada
Lampiran 2.
Universitas Hasanuddin
16
Distribusi Poisson terdapat sifat equidispersi yakni nilai mean data sama
dengan nilai variansi data yang sebagian besar sifat tersebut dilanggar dalam
kehidupan nyata. Namun sering dijumpai data yang memiliki nilai variansi yang
lebih dari nilai meannya yang disebut overdispersi. Kasus overdispersi perlu
diatasi agar estimasi parameter menjadi tak bias sehingga dapat mengurangi efek
variansi yang besar. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi
adanya kasus overdispersi yaitu dengan pemodelan generalized Poisson
regression dengan menggunakan MLE sebagai metode penduga parameternya.
4.2 Estimasi Parameter Model Generalized Poisson Regression
Jika variabel acak Y berdistribusi generalized Poisson maka fungsi distribusi
peluang dari Y adalah:
( ) (
) ( )
*
( )
+ (4.2)
dengan ; ( ) dan merupakan parameter dispersi.
Mean dan variansi dari adalah
( ) ( ) (4.3)
dan
( ) ( )
Model regresi generalized Poisson pada (4.2) merupakan perluasan dari
model regresi Poisson. Jika pada fungsi peluang (4.2) maka ( )
( ) sehingga pada kondisi tersebut dapat dimodelkan sebagai regresi Poisson
yang memenuhi asumsi equidispersi. Jika maka ( ) ( ) atau
disebut overdispersi. Jika maka ( ) ( ) atau disebut
underdispersi.
Jika pada Persamaan (4.3) dengan adalah variabel prediktor dan adalah
parameter regresi yang masing-masing berukuran maka model log
likelihood untuk regresi generalized Poisson terdapat pada Persamaan (4.4).
( ) ( ) ( )
Karena saling bebas maka
( ) ( ) ( ) ( )
Universitas Hasanuddin
17
Diketahui bahwa memiliki distribusi identik sehingga dapat
dituliskan
( ) ∏ *(
) ( )
*
( )
++
( ) ∑ * (
) ( ) ( ) ( ) *
( )
++ (4.4)
dengan ( )
Dengan memaksimumkan model log likelihood pada Persamaan (4.4) diperoleh
penaksir maximum likelihood untuk dan , yaitu pada Persamaan (4.5) dan
(4.6).
( )
∑
∑
( )
( )
∑ ( )
( )( (
)) ( ( ))
( ( ))
(4.5)
dan
( )
∑
∑
( )
∑
( )
( )
(4.6)
Persamaan tersebut memperlihatkan bahwa turunan pertama dari model
fungsi log likelihood pada estimasi parameter menggunakan metode MLE tidak
dalam bentuk linier. Selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 3. Oleh karena itu,
prosedur estimasi yang dapat dilakukan dengan menggunakan iterasi numerik.
Iterasi numerik yang digunakan dalam penelitian ini adalah IRLS.
4.3 Studi Kasus
4.3.1 Uji Distribusi Poisson
Pengujian distribusi Poisson dilakukan untuk menguji suatu data
berdistribusi Poisson atau tidak dengan melakukan uji kecocokan Chi-Square
untuk distribusi Poisson. Pengujian hipotesis untuk uji kecocokan distribusi
Poisson dilakukan sebagai berikut.
: data jumlah penderita DBD berdistribusi Poisson
: data jumlah penderita DBD tidak berdistribusi Poisson
Statistik uji yang digunakan adalah:
∑( )
Universitas Hasanuddin
18
Hasil uji distribusi Poisson dapat dilihat pada Lampiran 4 yang
memperlihatkan bahwa nilai statistik uji ( )
sehingga ditolak. Artinya, data jumlah penderita DBD tidak berdistribusi
Poisson. Hal ini menunjukkan bahwa terjadi pelanggaran asumsi equidispersi
dalam regresi Poisson pada data jumlah penderita DBD.
Dalam analisis regresi, asumsi yang wajib terpenuhi yaitu tidak terjadi
multikolinieritas. Multikolinieritas adalah terjadinya hubungan linier antara
variabel bebas dalam suatu model regresi. Adanya kasus multikolinieritas
menyebabkan estimasi parameter menjadi bias sehingga memberikan nilai eror
yang tinggi. Sehingga terlebih dahulu, perlu dilakukan pengujian untuk
mengetahui adanya kasus multikolinieritas antar variabel prediktor.
4.3.2 Uji Multikolinieritas
Kasus multikolinieritas dapat diketahui dengan menggunakan nilai VIF.
Multikolinieritas yang signifikan terjadi jika nilai VIF lebih dari 10.
Tabel 4.1 Nilai VIF Antar Variabel Prediktor
Variabel
VIF 1,089 1,042 1,046 1,001
Sumber: Data Diolah, 2018
Hasil dari uji VIF pada Tabel 4.1 menunjukkan bahwa semua variabel
prediktor memiliki nilai kurang dari 10 sehingga dapat disimpulkan tidak terjadi
multikolinieritas yang signifikan antar variabel prediktor. Selengkapnya dapat
dilihat pada Lampiran 5. Karena tidak terjadi multikolinieritas yang signifikan
antar variabel prediktor, selanjutnya dilakukan pengujian overdispersi pada data
jumlah penderita DBD.
4.3.3 Uji Overdispersi
Overdispersi dalam regresi Poisson terjadi apabila nilai variansinya lebih
besar daripada nilai meannya. Variabel respon yang digunakan adalah data diskrit
yaitu jumlah penderita DBD di kota Makassar tahun 2016 sebanyak 46 data
dengan nilai mean sebesar 5,391 dan nilai variansi 19,621 atau dapat dilihat pada
Lampiran 6. Hal ini menunjukkan bahwa pada data terjadi overdispersi. Selain itu,
Universitas Hasanuddin
19
overdispersi dapat dideteksi dengan nilai yaitu nilai deviansi yang dibagi
dengan derajat bebasnya. Jika nilai hasil pembagian tersebut lebih besar dari 1,
maka terjadi overdispersi pada data.
Pengujian hipotesis tentang kasus overdispersi dilakukan sebagai berikut.
: (tidak terjadi overdispersi)
: (terjadi overdispersi)
Statistik uji yang digunakan adalah
Tabel 4.2 Nilai Deviansi Model Poisson
Deviansi Df
146,450 41 3,572
Sumber: Data Diolah, 2018
Tabel 4.2 menjelaskan bahwa dari estimasi parameter model
regresi poisson (Lampiran 7) lebih dari 1 sehingga dapat disimpulkan bahwa
model regresi Poisson pada jumlah penderita DBD mengalami overdispersi.
Kasus overdispersi perlu diatasi agar taksiran parameter regresi menjadi tak bias
dengan model generalized Poisson regression.
4.3.4 Model Generalized Poisson Regression
Estimasi parameter model regresi generalized Poisson dilakukan dengan
menggunakan metode MLE. Estimasi parameter yang diperoleh dilakukan
pengujian signifikansi model dan parameter dari model regresi. Pengujian
signifikansi model regresi generalized Poisson dengan hipotesis sebagai berikut.
:
: paling sedikit ada satu ,
Statistik uji:
( ̂) ( ( ̂)
( ̂)*
Pengujian signifikansi parameter regresi generalized Poisson dengan hipotesis
sebagai berikut.
:
: ;
Universitas Hasanuddin
20
Statistik uji:
( ̂
( ̂)*
Tabel 4.3 Estimasi Parameter Model Generalized Poisson Regression
Estimasi Standard Error
̂ 1,032 0,183 31,726
̂ 0,216 1,753 0,015
̂ -0,012 0,331 0,001
̂ 2,062 1,040 3,929
̂ -0,506 0,556 0,827
( ̂) 242,976
Sumber: Data Diolah, 2018
Tabel 4.3 menunjukkan bahwa nilai deviansi sebesar 242,976 lebih besar
dari nilai Chi-Square yaitu 9,488 yang menyatakan terdapat paling sedikit satu
variabel prediktor yang berpengaruh terhadap variabel respon. Variabel prediktor
yang berpengaruh secara signifikan terhadap variabel respon yaitu , karena nilai
. Selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 8. Model
generalized Poisson regression yang terbentuk adalah sebagai berikut.
̂ ( )
Interpretasi model regresi generalized Poisson yang dihasilkan yaitu nilai
( ) merupakan nilai konstanta yang menunjukkan bahwa jika tidak ada
persentase tempat-tempat umum yang memenuhi syarat kesehatan, persentase
penduduk yang memiliki akses air minum layak, persentase rumah tangga yang
berprilaku hidup bersih dan sehat dan persentase rumah yang memenuhi syarat
kesehatan maka jumlah penderita DBD yang akan dicapai adalah ( )
orang. Nilai ( ) merupakan koefisien regresi yang
menunjukkan bahwa setiap bertambahnya persentase tempat-tempat umum yang
memenuhi syarat kesehatan maka akan meningkatkan jumlah penderita DBD
sebesar ( ) orang. Nilai ( ) merupakan koefisien
regresi yang menunjukkan bahwa setiap bertambahnya persentase penduduk yang
memiliki akses air minum layak maka akan mengurangi jumlah penderita DBD
sebanyak ( ) orang. Nilai ( ) merupakan
koefisien regresi yang menunjukkan bahwa setiap bertambahnya persentase
Universitas Hasanuddin
21
rumah tangga yang berprilaku hidup bersih dan sehat maka akan ada peningkatan
jumlah penderita DBD sebesar sebanyak ( ) orang. Nilai
( ) merupakan koefisien regresi yang menunjukkan bahwa setiap
bertambahnya persentase rumah yang memenuhi syarat kesehatan maka akan
mengurangi jumlah penderita DBD sebanyak ( ) orang.
Variabel prediktor yang berpengaruh secara signifikan terhadap variabel
respon yaitu . Dalam hal ini, variabel dapat diabaikan. Estimasi
parameter model regresi generalized poisson tanpa variabel prediktor
dapat dilihat pada Lampiran 9. Model generalized Poisson regression yang
terbentuk adalah sebagai berikut.
̂ ( )
Interpretasi model regresi generalized Poisson yang dihasilkan yaitu nilai
( ) merupakan nilai konstanta yang menunjukkan bahwa jika tidak ada
persentase rumah tangga yang berprilaku hidup bersih dan sehat maka jumlah
penderita DBD yang akan dicapai adalah ( ) orang. Nilai
( ) merupakan koefisien regresi yang menunjukkan bahwa setiap
bertambahnya persentase rumah tangga yang berprilaku hidup bersih dan sehat
maka akan meningkatkan jumlah penderita DBD sebesar ( )
orang.
4.3.5 Pemilihan Model Terbaik
Model regresi terbaik adalah model yang memiliki nilai AIC minimum, nilai
lebih besar dan nilai lebih kecil antara model regresi generalized
Poisson yang diperoleh.
Tabel 4.4 Model Regresi Terbaik
Model AIC
Regresi Poisson
̂ ( ) 296,860 12% 4,410
Regresi Generalized Poisson
̂ ( )
̂ ( )
254,976
255,792
67%
31%
5,416
5,503
Sumber: Data Diolah, 2018
Universitas Hasanuddin
22
Perhitungan nilai dan dapat dilihat pada Lampiran 10 dan
Lampiran 11. Berdasarkan Tabel 4.4 menjelaskan bahwa nilai AIC minimum
antara model regresi Poisson dan generalized Poisson adalah 254,976 ditunjukkan
oleh regresi generalized Poisson: ̂ (
) sehingga hal ini menunjukkan bahwa overdispersi dapat teratasi dengan
menggunakan model regresi generalized Poisson.
Universitas Hasanuddin
23
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil yang diperoleh dan diuraikan pada pembahasan
sebelumnya, dapat ditarik kesimpulan bahwa pada penelitian terhadap data yang
mengalami overdispersi pada Jumlah Penderita DBD di Kota Makassar tahun
2016, pemodelan regresi generalized Poisson mampu mengatasi terjadinya
overdispersi yang terjadi pada pemodelan regresi Poisson. Hal ini dibuktikan
dengan nilai AIC minimum yaitu 254,976 sehingga diperoleh model regresi
generalized Poisson sebagai berikut:
̂ ( )
Nilai dari model tersebut sebesar 67% menunjukkan bahwa sebanyak 67%
persentase tempat-tempat umum memenuhi syarat kesehatan, persentase penduduk
yang memiliki akses air minum layak, persentase rumah tangga berprilaku hidup
bersih dan sehat dan persentase rumah yang memenuhi syarat kesehatan
berpengaruh terhadap peningkatan jumlah penderita DBD di kota Makassar.
Selebihnya 33% ditentukan oleh faktor lain.
5.2 Saran
Terdapat beberapa model regresi yang dapat digunakan untuk mengatasi
overdispersi misalnya model regresi binomial negatif sehingga peneliti
selanjutnya dapat menggunakan tersebut untuk dijadikan perbandingan dalam
memilih model terbaik untuk data yang mengalami overdispersi.
Universitas Hasanuddin
24
DAFTAR PUSTAKA
Abdulkabir M, Edem UA, Tunde RS, Kemi BL. 2015. An Empirical Study of
Generalized Linear Model for Count Data. Applied & Computational
Mathematics Journal. 4:1-3.
Agresti A. 2002. Categorical Data Analysis Second Edition. Canada: John Wiley
& Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.
Akinwande MO, Dikko HG, Samson A. 2015. Variance Inflation Factor: As a
Condition for Inclusion of Suppressor Variable(s) in Regression Analysis.
Scientific Research Publishing. 5:754-767.
Bisri H. 2015. Analisis Regresi Poisson Lagrange dan Regresi Binom Negatif
pada Data Overdispersi (Studi Kasus Penderita Penyakit Demam Berdarah
Dengue di Kabupaten Mojokerto) [skripsi]. Malang: Universitas Brawijaya.
Cameron, Trivedi. 1998. Regression Analysis of Count Data. United Kingdom:
Cambridge University Press.
Casella G, Berger RL. 1990. Statistical Inference. California: Wadsworth Inc.
Consul PC. 1989. Generalized Poisson Distribution: Properties and Applications.
New York: Marcel Dekker.
Dobson AJ. 2002. An Introduction to Generalized Linear Models. London:
Chapman & Hall.
Famoye F, Wulu JT, Singh KP. 2004. On the Generalized Poisson Regression
Model with an Application to Accident Data. Journal of Data Science.
2:287-295.
Gardner W, Mulvey EP, dan Shaw EC. 1995. Regression Analyses of Counts and
Rates: Poisson, Overdispersed Poisson, and Negative Binomial Models.
Psychological Bulletin. 118(3):392-404.
Grover G, Vajala R, dan Swai PK. 2015. On the assessment of various factors
effecting the improvement in CD4 count of aids patients undergoing
antiretroviral therapy using Generalized Poisson regression. Journal of
Applied Statistics. 42:1291-1305.
Kementrian Kesehatan RI. 2015. Profil Kesehatan Indonesia Tahun 2014. Jakarta:
Kementrian Kesehatan RI. 2015.
Universitas Hasanuddin
25
Lawless JF. 1987. Negative Binomial and Mixed Poisson Regression. The
Canadian Journal of Statistics. 15:2019-225.
Linden A, Mantyniemi S. 2011. Using the Negatif Binomial distribution to model
overdispersion in ecological count data. Ecological Society of America.
92:1414-1421.
McCullagh P, Nelder JA. 1989. Generalized Linier Models Second Edition.
London: Chapman and Hall.
Mutiu S, Olutayo O, Timothy A. 2016. The Chi-Square Goodness-Of-Fit Test for
a Poisson distribution: Application to the Banking System. International
Journal of Research. 03:448-455.
Myers R. 1990. Classical and Modern Regression with Applications, second
edition. Boston: PWS-KENT Publishing Company.
Pemerintah Kota Makassar Dinas Kesehatan. 2016. Profil Kesehatan Kota
Makassar Tahun 2016. Makassar: Dinas Kesehatan Kota Makassar.
Wedderburn RWM. 1974. Quasi-likelihood functions, Generalized linear models,
and the Gauss-Newton method. Biometrika. 61:439-447.
Universitas Hasanuddin
26
LAMPIRAN
Lampiran 1: Data Jumlah Penderita DBD di Kota Makassar Tahun 2016
No Kecamatan Puskesmas
1 Ujung Tanah Pattingalloang 2 0,79 0,85 0,50 0,88
Tabaringan 3 0,62 0,62 0,70 0,88
P. Barrang Lompo 0 0,50 0,49 0,73 0,88
P. Kodingareng 0 0,50 0,39 0,73 0,89
2 Tallo Rappokalling Jumpandang Baru 10 0,62 0,88 0,42 0,88
Rappokalling 3 0,65 0,83 0,66 0,88
Kaluku Bodoa 8 0,63 0,83 0,66 0,90
3 Bontoala Layang 4 0,83 0,84 0,68 0,89
Malimongan Baru 3 0,65 0,90 0,66 0,90
4 Wajo Tarakan 3 0,69 0,79 0,80 0,89
Andalas 2 0,60 0,93 0,66 0,97
5 Ujung Pandang Makkasau 4 0,64 0,91 0,77 0,96
6 Makassar Bara-baraya 0 0,60 0,88 0,58 0,91
Maccini Sawah 3 0,71 0,73 0,71 0,89
Maradekaya 4 0,69 0,84 0,44 0,96
7 Mamajang Mamajang 3 0,64 0,86 0,61 0,93
Cendrawasih 7 0,64 0,87 0,79 0,88
8 Mariso Dahlia 6 0,62 0,89 0,70 0,90
Pertiwi 4 0,71 0,87 0,60 0,90
Panambungan 7 0,61 0,84 0,80 0,90
9 Tamalate Tamalate 11 0,66 0,94 0,62 0,93
Jongaya 0 0,56 0,93 0,83 9,93
Barombong 1 0,78 0,72 0,69 0,88
Maccini Sombala 5 0,77 0,85 0,77 0,89
10 Rappocini Kassi-kassi 19 0,62 0,97 0,73 0,96
Mangasa 10 0,71 0,92 0,74 0,89
Minasa Upa 6 0,61 0,85 0,78 0,97
Ballaparang 1 0,70 0,84 0,62 0,89
Universitas Hasanuddin
27
Lampiran 1: Data Jumlah Penderita DBD di Kota Makassar Tahun 2016
(Lanjutan)
No Kecamatan Puskesmas
11 Panakkukang Batua 6 0,63 0,76 0,87 0,89
Toddopuli 2 0,70 1,16 0,42 0,99
Pampang 7 0,63 1,16 0,83 0,88
Tamamaung 11 0,65 0,24 0,55 0,94
Karuwisi 5 0,65 2,15 0,80 0,90
12 Manggala antang perumnas 12 0,67 0,58 0,75 0,88
Antang Perumnas 13 0,60 0,49 0,69 0,96
Tamangapa 4 0,65 1,91 0,70 0,90
Bangkala 6 0,58 0,90 0,62 0,89
13 Biringkanaya Sudiang 15 0,59 0,95 0,80 0,90
Bulurokeng 3 0,68 0,92 0,62 0,88
Sudiang Raya 8 0,58 0,97 0,58 0,94
Paccerakkang 11 0,58 0,90 0,83 0,88
14 Tamalanrea Tamalanrea 11 0,66 0,48 0,82 0,96
Tamalanrea Jaya 3 0,67 0,90 0,60 0,95
Bira 0 0,67 0,87 0,46 0,91
Antara 1 0,64 0,84 0,83 0,97
Kapasa 1 0,71 1,63 0,57 0,89
Sumber: Pemerintah Kota Makassar Dinas Kesehatan, 2016
Keterangan
: Jumlah penderita DBD
: Persentase tempat-tempat umum memenuhi syarat kesehatan
: Persentase penduduk yang memiliki akses air minum layak
: Persentase rumah tangga berprilaku hidup bersih dan sehat
: Persentase rumah yang memenuhi syarat kesehatan
Universitas Hasanuddin
28
Lampiran 2: Pembuktian Persamaan (4.1)
Jika variabel acak diskrit berdistribusi Poisson dengan parameter ,
maka fungsi peluang dari adalah
( )
dengan ( ) ( ) .
Bukti:
( ) ∑ ( )
( ) ∑
( ) ∑
( ) ( ∑
)
( ) ∑
( ) ∑
( )
( ) ∑
( )
( ) ∑
( )
Misalkan , diperoleh
( ) ∑
Nilai ∑
merupakan deret tak hingga dan akan konvergen ke
.
Bukti:
Misalkan ( ) .
Akan ditunjukkan bahwa ( ) ∑
Deret Taylor di sekitar
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
Deret MacLaurin di sekitar
( ) ( ) ( )
( )
Universitas Hasanuddin
29
Lampiran 2: Pembuktian Persamaan (4.1) (Lanjutan)
Untuk ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
diperoleh
( )
∑
Sehingga terbukti bahwa ∑
Karena ∑
sehingga diperoleh mean dari distribusi Poisson adalah
( ) ∑
( )
( )
Adapun variansi dari distribusi Poisson adalah
( ) ( ) [ ( )]
karena
( ) [∑ ( )]
( ) *∑
+
( ) *∑
+
( ) * ∑
+
( ) *∑
( ) +
( ) *∑
( ) +
( ) *∑(( ) )
( ) +
( ) *∑( )
( ) ∑
( ) +
( ) *( ∑( )
( ) ) ∑
( ) +
( ) *∑( )
( )( ) ∑
( ) +
( ) * ∑
( ) ∑
( ) +
Universitas Hasanuddin
30
Lampiran 2: Pembuktian Persamaan (4.1) (Lanjutan)
Misalkan dan maka diperoleh
( ) * ∑
( ) ∑
( ) +
( ) * ∑
∑
+
( ) [ ]
( )
Sehingga diperoleh variansi dari distribusi Poisson adalah
( ) ( ) [ ( )]
( )
( )
Jadi, terbukti bahwa ( ) ( ) .
Universitas Hasanuddin
31
Lampiran 3: Pembuktian Persamaan (4.5) dan (4.6)
Jika variabel acak Y berdistribusi generalized Poisson maka fungsi distribusi
peluang dari Y adalah:
( ) (
* ( )
[
( )
]
dengan ; ( ) dan merupakan parameter dispersi.
Model log likelihood untuk regresi generalized Poisson adalah
( ) ( ) ( )
Karena salin bebas maka
( ) ( ) ( ) ( )
Diketahui bahwa memiliki distribusi identik sehingga dapat
dituliskan
( ) ((
* ( )
*
( )
+*
( ) ((
* ( )
*
( )
+*
( ) ((
* ( )
*
( )
+*
( ) ∏ *(
* ( )
[
( )
]+
( ( )) (∏ *(
* ( )
[
( )
]+ )
( ( )) ((
* ( )
*
( )
+*
( ( )) ((
* ( )
*
( )
+*
( ( )) ((
* ( )
*
( )
+*
( ( )) ( (
) ( ) ( ) ( ) *
( )
+)
( ( )) ( (
) ( ) ( ) ( ) *
( )
+)
( ( )) ( (
) ( ) ( ) ( ) *
( )
+)
( ( )) ∑ * (
) ( ) ( ) ( ) *
( )
++ (4.4)
dengan ( )
Universitas Hasanuddin
32
Lampiran 3: Pembuktian Persamaan (4.5) dan (4.6) (Lanjutan)
( ( )) ∑ [ ( (
)
( )
* ( ) ( ) ( ) [ (
)( )
( )
]]
( ( )) ([ (
( )
( )
*] [( ) ( )]
[ ( )] [ (
)( )
( )
])
( ( )) ([ (
( )
( )
*] [( ) ( )]
[ ( )] [ (
)( )
( )
])
( ( )) ([ (
( )
( )
*] [( ) ( )]
[ ( )] [ (
)( )
( )
])
( ( )) ([ ( (
))] [ ( ( ))]
[( ) ( )] [ ( )] [ (
)( )
( )
])
( ( )) ([ ( (
))] [ ( ( ))]
[( ) ( )] [ ( )] [ (
)( )
( )
])
( ( )) ([ ( (
))] [ ( ( ))]
[( ) ( )] [ ( )] [ (
)( )
( )
])
( ( )) ([ ( ( ))] [ ( (
))] [ ( ( ))])
([ ( ( ))] [ ( (
))] [ (
( ))]) ([( ) ( )] [( ) ( )]
[( ) ( )]) ([ ( )] [ ( )] [ ( )])
([ (
)( )
( )
] [ (
)( )
( )
] [ (
)( )
( )
]*
( ( )) ∑ [ ( ( ))] ∑ [ ( (
))] ∑ [(
) ( )] ∑ [ ( )] ∑ *[
( )( )
( )
]+ (4.4)
Dengan memaksimumkan model log likelihood pada Persamaan (4.4) diperoleh
penaksir maximum likelihood untuk dan , yaitu pada Persamaan (4.5) dan
(4.6).
( ( ))
*
∑ [ ( ( ))] ∑ [ ( (
))]
∑ [( ) ( )] ∑ [ ( )]
∑ [
( )( )
( )
] +
Universitas Hasanuddin
33
Lampiran 3: Pembuktian Persamaan (4.5) dan (4.6) (Lanjutan)
[∑ [ ( (
))] ]
[∑ [ ( (
))] ]
[∑ [( ) ( )]
]
[∑ [ ( )]
]
[∑ [
( )( )
( )
] ]
[∑ [ ( (
))] ]
[∑ [ ( (
))] ]
[∑ [
( )( )
( )
] ]
∑
∑ (
)
( )
∑ ( )
(
)( ( )) ( (
))
( ( ))
(4.5)
dan
( ( ))
*∑ * (
) ( ) ( ) ( ) *
( )
++ +
*∑ (
) +
[∑ ( ) ( )
]
*∑
( )
+
[∑
]
[∑ [ ( )]
]
[∑ ( ) ( )
]
*∑
( )
+
∑
∑
( )
∑
( )
( )
(4.6)
Turunan kedua dari parameter adalah
( ( ))
* ∑
∑
( )
∑
( )
( )
+
∑
( )
∑
( )
( )
∑
( )
( )
Universitas Hasanuddin
34
Lampiran 4: Uji Distribusi Poisson
( )
0 5 0,210 109,497
1 4 1,130 7,291
2 3 3,046 0,001
3 8 5,474 1,166
4 5 7,377 0,766
5 2 7,955 4,458
6 4 7,148 1,386
7 3 5,505 1,140
8 2 3,710 0,788
10 2 1,198 0,537
11 4 0,587 19,833
12 1 0,264 2,054
13 1 0,109 7,249
15 1 2,287 0,724
Jumlah 156,890
Dengan
∑( )
Universitas Hasanuddin
35
Lampiran 5: Output Software R (Uji Multikolinieritas)
x1 x2 x3 x4
1.089936 1.042080 1.045676 1.001598
Universitas Hasanuddin
36
Lampiran 6: Perhitungan Nilai Mean dan Variansi Variabel Respon Y
( ̅) ( ̅)
1 2 11,501 24 5 0,153
2 3 5,718 25 19 185,197
3 0 29,066 26 10 21,240
4 0 29,066 27 6 0,371
5 10 21,240 28 1 19,284
6 3 5,718 29 6 0,371
7 8 6,805 30 2 11,501
8 4 1,936 31 7 2,588
9 3 5,718 32 11 31,457
10 3 5,718 33 5 0,153
11 2 11,501 34 12 43,675
12 4 1,936 35 13 57,892
13 0 29,066 36 4 1,936
14 3 5,718 37 6 0,371
15 4 1,936 38 15 92,327
16 3 5,718 39 3 5,718
17 7 2,588 40 8 6,805
18 6 0,371 41 11 31,457
19 4 1,936 42 11 31,457
20 7 2,588 43 3 5,718
21 11 31,457 44 0 29,066
22 0 29,066 45 1 19,284
23 1 19,284 46 1 19,284
Perhitungan nilai mean
̅
∑
Perhitungan nilai variansi
∑ ( ̅)
Universitas Hasanuddin
37
Lampiran 7: Output Software R (Regresi Poisson)
Call:
glm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, family = poisson, data = windata)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-4.0240 -1.1414 -0.2224 0.8446 4.2977
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 2.0550 0.8985 2.287 0.02218 *
x1 -1.3534 1.0260 -1.319 0.18713
x2 -0.2259 0.2070 -1.091 0.27512
x3 1.6510 0.6060 2.725 0.00644 **
x4 -0.4540 0.3056 -1.485 0.13741
---
Signif. codes: 0 „***‟ 0.001 „**‟ 0.01 „*‟ 0.05 „.‟ 0.1 „ ‟ 1
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 169.89 on 45 degrees of freedom
Residual deviance: 146.45 on 41 degrees of freedom
AIC: 296.86
Number of Fisher Scoring iterations: 5
Universitas Hasanuddin
38
Lampiran 8: Output Software R (Regresi Generalized Poisson)
Call:
vglm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, family = genpoisson, data = windata)
Pearson Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
elogit(lambda, min = -1, max = 1) -0.6644 -0.61154 -0.418431 0.45638
3.3757
log(theta) -2.6075 -0.29270 0.089879 0.86560
1.2380
Coefficients:
Estimate Std. Error z value
(Intercept):1 1.032338 0.18328 5.632615
(Intercept):2 -0.031476 1.57886 -0.019936
x1 0.215983 1.75295 0.123211
x2 -0.011701 0.33113 -0.035338
x3 2.062331 1.04043 1.982194
x4 -0.505580 0.55609 -0.909173
Number of linear predictors: 2
Names of linear predictors:
elogit(lambda, min = -1, max = 1), log(theta)
Dispersion Parameter for genpoisson family: 1
Log-likelihood: -121.4882 on 86 degrees of freedom
Number of iterations: 7
AIC: 254.9764
Universitas Hasanuddin
39
Lampiran 9: Output Software R (Generalized Poisson Regression Tanpa
)
Call:
vglm(formula = y ~ x3, family = genpoisson, data = windata)
Pearson Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
elogit(lambda, min = -1, max = 1) -0.66336 -0.60786 -0.46738 0.51345 3.1495
log(theta) -2.77284 -0.22431 0.22169 0.88854 1.2150
Coefficients:
Estimate Std. Error z value
(Intercept):1 1.087964 0.18369 5.92268
(Intercept):2 -0.047903 0.71700 -0.06681
x3 1.516635 1.01484 1.49446
Number of linear predictors: 2
Names of linear predictors:
elogit(lambda, min = -1, max = 1), log(theta)
Dispersion Parameter for genpoisson family: 1
Log-likelihood: -124.8962 on 89 degrees of freedom
Number of iterations: 4
AIC: 255.7924
Universitas Hasanuddin
40
Lampiran 10: Perhitungan Nilai dan Model Regresi Poisson
( ̅)
( ̅)
( )
1 2 3,387 4,018 11,501 1,923
2 3 6,313 0,849 5,718 10,973
3 0 7,925 6,419 29,066 62,804
4 0 8,112 7,402 29,066 65,805
5 10 3,717 2,805 21,240 39,481
6 3 5,399 0,000 5,718 5,754
7 8 5,428 0,001 6,805 6,614
8 4 4,320 1,148 1,936 0,102
9 3 5,230 0,026 5,718 4,974
10 3 6,418 1,054 5,718 11,682
11 2 5,334 0,003 11,501 11,115
12 4 6,134 0,551 1,936 4,552
13 0 4,883 0,258 29,066 23,846
14 3 5,511 0,014 5,718 6,306
15 4 3,376 4,061 1,936 0,389
16 3 4,871 0,271 5,718 3,499
17 7 6,690 1,687 2,588 0,096
18 6 5,894 0,253 0,371 0,011
19 4 4,402 0,978 1,936 0,162
20 7 7,085 2,869 2,588 0,007
21 11 4,719 0,452 31,457 39,451
22 0 0,131 27,672 29,066 0,017
23 1 4,815 0,332 19,284 14,553
24 5 5,427 0,001 0,153 0,182
25 19 5,849 0,210 185,197 172,947
26 10 5,474 0,007 21,240 20,481
27 6 6,627 1,526 0,371 0,393
Universitas Hasanuddin
41
Lampiran 10: Perhitungan Nilai dan Model Regresi Poisson
(Lanjutan)
( ̅)
( ̅)
( )
28 1 4,673 0,516 19,284 13,493
29 6 7,891 6,248 0,371 3,576
30 2 2,957 5,924 11,501 0,917
31 7 6,831 2,073 2,588 0,029
32 11 4,983 0,167 31,457 36,204
33 5 4,964 0,182 0,153 0,001
34 12 6,412 1,042 43,675 31,225
35 13 6,314 0,852 57,892 44,700
36 4 4,465 0,858 1,936 0,216
37 6 5,387 0,000 0,371 0,375
38 15 7,068 2,812 92,327 62,915
39 3 4,729 0,439 5,718 2,988
40 8 4,835 0,310 6,805 10,018
41 11 7,681 5,245 31,457 11,013
42 11 7,248 3,446 31,457 14,079
43 3 4,528 0,745 5,718 2,335
44 0 3,691 2,889 29,066 13,627
45 1 6,926 2,356 19,284 35,119
46 1 3,504 3,563 19,284 6,268
Jumlah 104,535 882,957 797,219
Perhitungan nilai dan untuk model
adalah
∑(
̅)
∑( ̅)
√
( )∑(
) √
Universitas Hasanuddin
42
Lampiran 11: Perhitungan Nilai dan Model Generalized Poisson Regression
(
̅) (
̅)
( ̅)
(
) (
)
1 2 5,880 6,306 0,238 0,836 11,501 15,051 18,538
2 3 8,693 8,630 10,899 10,488 5,718 32,406 31,695
3 0 8,945 8,956 12,630 12,710 29,066 80,017 80,219
4 0 8,975 9,016 12,842 13,142 29,066 80,547 81,296
5 10 4,804 5,588 0,344 0,039 21,240 26,994 19,462
6 3 8,038 8,122 7,003 7,456 5,718 25,377 26,233
7 8 7,814 8,035 5,872 6,988 6,805 0,034 0,001
8 4 8,630 8,340 10,490 8,696 1,936 21,438 18,838
9 3 7,888 8,076 6,231 7,210 5,718 23,889 25,770
10 3 10,754 9,990 28,758 21,147 5,718 60,124 48,859
11 2 7,485 8,026 4,385 6,943 11,501 30,090 36,316
12 4 9,579 9,521 17,539 17,054 1,936 31,128 30,481
13 0 6,575 7,142 1,400 3,064 29,066 43,226 51,003
14 3 8,978 8,725 12,866 11,110 5,718 35,738 32,770
15 4 4,911 5,782 0,231 0,152 1,936 0,830 3,174
16 3 7,040 7,499 2,720 4,443 5,718 16,325 20,242
17 7 10,394 9,828 25,028 19,681 2,588 11,520 7,995
18 6 8,581 8,610 10,177 10,361 0,371 6,663 6,813
19 4 7,053 7,355 2,762 3,856 1,936 9,322 11,255
20 7 10,588 10,054 27,002 21,738 2,588 12,871 9,325
21 11 7,149 7,578 3,090 4,781 31,457 14,830 11,710
22 0 0,116 10,530 27,829 26,403 29,066 0,013 110,875
23 1 8,684 8,411 10,843 9,121 19,284 59,046 54,929
24 5 10,216 9,543 23,274 17,234 0,153 27,203 20,636
25 19 8,822 9,001 11,770 13,033 185,197 103,591 99,972
26 10 9,535 9,136 17,166 14,024 21,240 0,217 0,746
27 6 9,738 9,730 18,893 18,822 0,371 13,972 13,911
Universitas Hasanuddin
43
Lampiran 11: Perhitungan Nilai dan Model Generalized Poisson
Regression (Lanjutan)
(
̅) (
̅)
( ̅)
(
) (
)
28 1 7,413 7,594 4,085 4,852 19,284 41,121 43,482
29 6 12,161 11,057 45,823 32,097 0,371 37,953 25,570
30 2 4,616 5,583 0,601 0,037 11,501 6,842 12,835
31 7 11,314 10,499 35,082 26,093 2,588 18,613 12,246
32 11 6,220 6,842 0,687 2,103 31,457 22,849 17,292
33 5 10,359 9,942 24,682 20,705 0,153 28,723 24,419
34 12 9,680 9,258 18,392 14,948 43,675 5,383 7,521
35 13 8,185 8,512 7,807 9,736 57,892 23.181 20.147
36 4 8,499 8,585 9,655 10,202 1,936 20,237 21,026
37 6 7,216 7,608 3,329 4,913 0,371 1,478 2,585
38 15 10,398 9,975 25,068 21,008 92,327 21,178 25,253
39 3 7,360 7,576 3,876 4,771 5,718 19,010 20,937
40 8 6,469 7,149 1,161 3,090 6,805 2,345 0,724
41 11 11,262 10,506 34,460 26,158 31,457 0,068 0,244
42 11 10,788 10,313 29,119 24,225 31,457 0,045 0,472
43 3 6,901 7,419 2,279 4,111 5,718 15,217 19,525
44 0 5,283 5,994 0,012 0,363 29,066 27,915 35,929
45 1 10,830 10,449 29,584 25,576 19,284 96,637 89,276
46 1 6,615 7,014 1,498 2,633 19,284 31,530 36,167
Jumlah 589,479 528,155 882,957 1202,787 1288,714
Perhitungan nilai dan untuk model
adalah
∑(
̅)
∑( ̅)
√
( )∑(
)
√
Perhitungan nilai dan untuk model
adalah
∑(
̅)
∑( ̅)
√
( )∑(
)
√
Universitas Hasanuddin
44
Lampiran 12: Nilai-nilai Chi-Square
df Taraf Signifikansi
50% 30% 20% 10% 5% 1%
1 0,455 1,074 1,642 2,706 3,841 6,635
2 0,139 2,408 3,219 3,605 5,991 9,210
3 2,366 3,665 4,642 6,251 7,815 11,341
4 3,357 4,878 5,989 7,779 9,488 13,277
5 4,351 6,064 7,289 9,236 11,070 15,086
6 5,348 7,231 8,558 10,645 12,592 16,812
7 6,346 8,383 9,803 12,017 14,017 18,475
8 7,344 9,524 11,030 13,362 15,507 20,090
9 8,343 10,656 12,242 14,684 16,919 21,666
10 9,342 11,781 13,442 15,987 18,307 23,209
11 10,341 12,899 14,631 17,275 19,675 24,725
12 11,340 14,011 15,812 18,549 21,026 26,217
13 12,340 15,19 16,985 19,812 22,368 27,688
14 13,332 16,222 18,151 21,064 23,685 29,141
15 14,339 17,322 19,311 22,307 24,996 30,578
16 15,338 18,418 20,465 23,542 26,296 32,000
17 16,337 19,511 21,615 24,785 27,587 33,409
18 17,338 20,601 22,760 26,028 28,869 34,805
19 18,338 21,689 23,900 27,271 30,144 36,191
20 19,337 22,775 25,038 28,514 31,410 37,566
21 20,337 23,858 26,171 29,615 32,671 38,932
22 21,337 24,939 27,301 30,813 33,924 40,289
23 22,337 26,018 28,429 32,007 35,172 41,638
24 23,337 27,096 29,553 33,194 35,415 42,980
25 24,337 28,172 30,675 34,382 37,652 44,314
26 25,336 29,246 31,795 35,563 38,885 45,642
27 26,336 30,319 32,912 36,741 40,113 46,963
28 27,336 31,391 34,027 37,916 41,337 48,278
29 28,336 32,461 35,139 39,087 42,557 49,588
30 29,336 33,530 36,250 40,256 43,775 50,892