Post on 14-Jan-2016
description
7/18/2019 Matrix Jacobi
1/21
Dipakai dilingkungan
TMS 516
DINAMIKA ROBOT
S Y A F R I
STRUCTURAL DYNAMICS LABORATO
ANDALAS UNIVERSITY
MATRIX JACOBI
7/18/2019 Matrix Jacobi
2/21
Dipakai dilingkungan
1. Pendah!an
Matrix Jacobi (Jacobian) adalah Matrixyang dapat merubah masing-masinginput pada joint space menjadi posisi,
orientasi dan kecepatan pada end-efector space (task space)
Kegunaan matrix jacobi
!"ntuk menentukan(trajectories) suatu robot m#!Menentukan posisi,
kecepatan dan percepatan$!Menentukan singularityrobot manipulator! %ingtercapai apabila determ
jacobi mendekati atau &pabila terjadi kondisi sinserial manipulator akan
satu atau beberapa D'!
"a#$a%&1%&*& Manipulator *obot
+nd-efector space(x, y, , , ., /)
Joint space(, #, $,)
7/18/2019 Matrix Jacobi
3/21
Dipakai dilingkungan
'. F(%)a%d dan In*e%+ K,ne#a-,
or0ard Kinematik adalah input padajoint space manipulator robot diketahui
maka ditentukan koordinat dan
orientasi pada end-efectornya!
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
z
y
xForward
Inverse
Kinematics
Ja
M
1n2ers Kinematik adalakoordinat dan orientasi efector manipulator robot
maka input pada joint sdicari!
End&e/e0-(% +a0e234 4 4 74 84 9:
J(,n- +a0e2714 d'4 7;4:
7/18/2019 Matrix Jacobi
4/21
Dipakai dilingkungan
;. D< Pa%a#e-e%
D3 4arameter adalah suatu metodeuntuk menentukan posisi perpindahansuatu mekanisme terhadap posisi
a0alnya dengan cara mende5nisikanparameter-parameter yang telahditentukan seperti a, d, dan 6
%umbu Koordinat pada D3
!%umbu 7 8 9 adala
umum yang mengikuti kakanan#!%umbu 9 adalah re:etegak lurus terhadap s
joint re2olute atau sejaarah luncur joint translasi$!%umbu 7 adalah garis
tegak lurus terhadap (common normal);!%umbu 8 adalah gpelengkap sistem koordina
"a#$a%&'%umbu koordinat D3 parameter
7/18/2019 Matrix Jacobi
5/21Dipakai dilingkungan
!,n:yaitu parameter yang me0akili jaraktegak lurus antara dua sumbu , yaitusumbu i dengan sumbu asalnya (i-)#! d 2=a%a J(,n-: yaituparameter yang me0akili jarak tegaklurus antara dua sumbu x, yaitusumbu xi dengan sumbu x asalnya(xi-)$! 7 2Sd- =(,n-: yaituparameter yang me0akili sudutantara dua sumbu x, yaitu sumbu xidengan sumbu x berikutnya (xi=);! ? 2Sd- -a%: yaituparameter yang me0akili sudut putar
antara dua sumbu , yaitu sumbu i
"a#$a%&;
7/18/2019 Matrix Jacobi
6/21Dipakai dilingkungan
Matrix trans:ormasi D3 batang yang berdekatan
1 1 1( , ) ( , )
0
0 0 0
ii i i i i
i i i i
i i i i
i
T T z d R z T
C C S S S
S C C S
S C
=
=
%ource coordinate
*e:erenceoordinate
Komponen D3 parameterdikelompokkan dalan satu tabel (tabelD3 parameter)
7/18/2019 Matrix Jacobi
7/21Dipakai dilingkungan
ontoh
>abel D3 parameter
No a d
0-1 l1 0 1 0
1-2 l2 0 2 0
2-3 l3 0 3 0
Matrix >rans:ormasi
7/18/2019 Matrix Jacobi
8/21Dipakai dilingkungan
=
=
=
100010
000
1
2
1
1
00
nnn
n
n
n
PasnPRTTTT
'rientationmatrix ($x$)
4osition2ector
z
y
x
p
p
p
6
5
4
3
2
1
=
000
zz
yy
xx
asn
asn
asn
T
or0ard Kinematik
Matrix trans:ormasi Kine
7/18/2019 Matrix Jacobi
9/21Dipakai dilingkungan
@. Me-(de Ya)&P,-0h&R(!
8a0-4itch-*oll adalah suatu salah untukmerubah matrix orientasi ($x$)menjadi euler angle dalam bentuk
(, ., /)!
Misal sebuah matrix trans:ormasi
Dimana
++
=
1000
0
z
y
x
n
pCCSCS
pSCCSSCCSSSCS
pSSCSCCSSSCCC
T
=
1000
0
zzzz
yyyy
xxxx
n
pasn
pasn
pasn
T
)(sin 1 zn=
)cos(cos 1
z
a=
)cos
(cos 1
x
n=
%ehingga didapatkan
7/18/2019 Matrix Jacobi
10/21Dipakai dilingkungan
@. Ma-%,3 Ja0($,
or0ard Kinematik
x
yz
Y
=
16
6
5
4
3
2
1
)(
=
q
q
q
q
h
z
y
x
166216
6215
6214
6213
6212
6211
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
=
qqqh
qqqh
qqqh
qqqh
qqqh
qqqh
)( 116 = nqhY
dqh
dt
dY n )( 116 ==
1616 = nnqJY
z
y
x
z
y
x
1
2
1
6
)(
=
nn
n
q
dq
qdh
dq
qdhJ
)(=
7/18/2019 Matrix Jacobi
11/21Dipakai dilingkungan
z
y
x
z
y
x
1
2
1
6
)(
=
nn
n
q
q
q
dq
qdh
nn
n
n
n
q
h
q
h
q
h
q
h
q
h
q
h
q
h
q
h
q
h
dq
qdhJ
=
=
6
6
2
6
1
6
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
6
)(
=
= Vz
y
x
Y
z
y
x
=
z
y
x
V
7/18/2019 Matrix Jacobi
12/21Dipakai dilingkungan
44
6
01000
=
pasnT
=
=
)(
)(
)(
3
2
1
qh
qh
qh
z
y
x
p
=
)(
)(
)(
)(
)(
)(
},,{
6
5
4
qh
qh
qh
q
q
q
asn
1
1
2
1
3
1
6
1
1
1
( )
n
h h
q q
h h
q q
h h
q qdh qJ
dq
q q
q q
q q
= =
7/18/2019 Matrix Jacobi
13/21
Dipakai dilingkungan
ontoh >rans:ormasi matrik
8a0 4itch *oll
=
1000zzzz
yyyy
xxxx
pasn
pasn
pasn
T
sin(tan 2 tan 2
cos(
tan 2 cos sin
tan 2 0
x
y
z
x
z
z
na a
n
na
n n
sa
a
= =
= +
= =
7/18/2019 Matrix Jacobi
14/21
Dipakai dilingkungan
14 14 14 14 14 14
1 2 3 1 2 3
24 24 24 24 24 24
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 1 1
1 2 3
1 1 1
1 1 1
0 0 0 0 0 0
r r r r r r
q q q q q q
r r r r r r
q q q q q q
q q q q q qJ
q q q
q q q
q q q
= =
1 1 2 12 3 123 2 12
1 1 2 12 3 123 2 12
1 2 3
1 1 1
1 1 1
0 0
1 1
0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
l s l s l s l s
l c l c l c l c l
q q q
q q q
q q q
+ + + =
7/18/2019 Matrix Jacobi
15/21
Dipakai dilingkungan
Karena dia merupakan plannarkinematik, maka bisa disederhanakanmenjadi
1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123
1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123
1 1 1
l s l s l s l s l s l s
J l c l c l c l c l c l c
= + + +
++++++++++++ +++
+++
=
66262161
56252151
46242141
36232131
26222121
16212111
JqJqJ
JqJqJ
JqJqJ
JqJqJJqJqJ
JqJqJ
zy
x
==
6261
2221
1211
JJ
JJ
JJ
qJY
&rti isik Matrix Jacobi
%etiap inputpada joint space
akanmempengaruhinilai output padaend efector
7/18/2019 Matrix Jacobi
16/21
Dipakai dilingkungan
1n2ers Jacobian
==
666261
262221
161211
JJJ
JJJ
JJJ
qJY
6
5
4
3
2
1
q
q
q
q
YJq 1=
1
2
3
4
5
6
1Adjoint J
det
q x
q yq z
q J
q
q
=
? ?
? ?? ?
? ?
??
? ?
ontoh
Matrix Jacobi
1 1 2 12 3 123 2 12
1 1 2 12 3 123 2 12
1 1
l s l s l s l s
J l c l c l c l c
= + + +
7/18/2019 Matrix Jacobi
17/21
Dipakai dilingkungan
1
2
3
4
5
6
1Adjoint J
det
q x
q y
q z
q Jq
q
=
? ?
? ?
? ?
? ???
? ?
1n2ers Jacobian
Determinan matrix J
1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123 1 1 2 12 3 123 2 12 3 123
1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123 1 1 2 12 3 123 2 12 3 123
1 1 1 1 1
l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l c l c l c l c l c l c l c l c l c l c l c + + + + + +
7/18/2019 Matrix Jacobi
18/21
Dipakai dilingkungan
2 12 3 123 3 123 3 123 1 1 2 12 3 123 1 1 2 12 3 123 2 12
1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123 3 123 1 1 2 12
1
( )( ) ( )( ) ( )(
1
( )( ) ( )( ) ( )(
l c l c l s l c l s l s l s l c l c l c l s
l s l s l s l c l c l s l s l c l s l c l c l
= + + + + +
+ + + + +
Determinan Matrix J
&djoint matrix J
Misalkan
Matrix J &djoint Matrix J
7/18/2019 Matrix Jacobi
19/21
Dipakai dilingkungan
&djoint matrix J
Matrix J
&djoint Matrix J
1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123
1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123
1 1 1
l s l s l s l s l s l s
J l c l c l c l c l c l c
= + + +
1 1 2 12 3 123 1 1 2 12 3 123
2 12 3 123 2 12 3 123
3 123 3 123
1
1
1
l s l s l s l c l c l c
Adj J l s l s l c l c
l s l c
+ + = +
1
2
3
4
5
6
1
Adjoint Jdet
q
q
q
q J
q
q
=
?
?
?
?
?
?
Maka didapatkanla
7/18/2019 Matrix Jacobi
20/21
Dipakai dilingkungan
5. S,n>!a%,-
%ingularity adalah kondisi dimana hilangnyasatu atau lebih derjat kebebasan dari suaturobot manipulator! %ingularity terjadi akibatdeterminan matrix jacobi robot manipulator
tsb mendekati atau sama dengan nol
Determinan Matrix Jacobi @ A
"ntuk kasus berikut $ plannar manipulator
1 1 2 12 3 123 2
1 1 2 12 3 123 2
1
l s l s l s l
J l c l c l c l c
= + +
2 12 3 123 3 123 3 123 1 1 2 12 3 123 1 1 2 12 3 123 2 12
1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 2 12 3 123 3 123 3 123 1 1 2 12
Det J
( )( ) ( )( ) ( )(
( )( ) ( )( ) ( )(
l c l c l s l c l s l s l s l c l c l c l s
l s l s l s l c l c l s l s l c l s l c l c l
+ + + + + + + + + +
7/18/2019 Matrix Jacobi
21/21
Dipakai dilingkungan
Beberapa bentuk singularity $ plannarmanipulator
$#
Dimana #, $C A
Dimana #, $C A