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Mathematik Vorkurs (WS 2019/20)Organisatorisches

Dr. Michael Paetz

Fachbereich VolkswirtschaftslehreUniversität Hamburg

September 2019

Email: Michael.Paetz@uni-hamburg.de

Zur PersonBriefbomben, Schmähgedichte und Shitstorms bitte an...

Dr. Michael Paetz

Raum: 2083 (VMP 5)

Email: Michael.Paetz@wiso.uni-hamburg.de

Fon: 040-42838-5561

Homepage: wiso.uni-hamburg.de/fachbereich-vwl/ueber-den-fachbereich/mitglieder/paetz-michael

Online: Was-ist-Geld.de

Blog: makroskop.eu & pufendorf-gesellschaft.org

Sprechstunde nach Absprache per Email

Dr. Michael Paetz Mathematik Vorkurs (WS 2019/20) 09/2019 2 / 13

Mathematik VorkursEinführung

„Ein allzu großer Teil jüngster „mathematischer“ Wirtschaftslehren

besteht aus bloßen Tüfteleien, so ungenau wie die anfänglichen

Voraussetzungen, auf denen sie beruhen, welche dem Autor

erlauben, die Verwicklungen und gegenseitigen Abhängigkeiten der

wirklichen Welt in einem Wust anmaßender und nutzloser Symbole

aus dem Blick zu verlieren.“

(John Maynard Keynes (1936), Die Allgemeine Theorie derBeschäftigung, des Zinses und des Geldes , S. 298.)

Der Homo Oeconomicus maximiert seinen Nutzen...

maxCt ,Nt ,Bt

—tU (Ct , 1 − Nt )

PtCt + QtBt¸ ˚˙ ˝

Ausgaben

= Bt−1 + WtNt − Tt¸ ˚˙ ˝

Einnahmen

, ∀t ≥ 0,

Uc,t ≡ˆU (Ct , Nt )

ˆCt> 0, Ucc,t ≡

ˆ2U (Ct , Nt )

ˆCt≤ 0

Un,t ≡ˆU (Ct , Nt )

ˆNt≤ 0, Unn,t ≡

ˆ2U (Ct , Nt )

ˆNt≤ 0

Noch Fragen??? ¨

Wozu Mathematik?

Modelle und Abstraktion sind unumgänglich.

Auch Gedankenmodelle abstrahieren von Unwichtigem.

Formale Darstellung deckt Inkonsistenzen auf.

⇒ Die Mathematik ist ein Hilfsmittel zur Analyse ökonomischerProbleme. Sie kann die ökonomische Ausbildung aber nichtersetzen!

Sie werden gewisse mathematische Fähigkeiten für Ihr Studiumbenötigen.

⇒ Wenn Sie von Beginn an mitarbeiten, müssen Sie aber keineAngst vor der Mathematik haben!

Mathematik VorkursOrganisatorisches

Inhalt

Die Grundlage für den Vorkurs bilden die ersten drei Kapitel desLehrbuches von Knut Sydsæter und Peter Hammond:

Knut Sydsæter, Peter Hammond und Arne Strøm, Mathematikfür Wirtschaftswissenschaftler: Basiswissen mit Praxisbezug, 4.

Auflage, Pearson, 2012.oderKnut Sydsæter Knut, Peter Hammond, Arne Strøm, Andrés

Carvajal, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Basiswissenmit Praxisbezug, 5. Auflage, Pearson, 2018.bzw.Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne Strøm und Andrés

Carvajal, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice

Hall, 5th edition, 2016.

Die späteren Kapitel dieses Lehrbuches bilden die Grundlage fürdie Vorlesungen Mathematik I (Kap. 4-12) und II (Kap. 13-16).

Inhalt

Folgende Themen werden im Vorkurs abgedeckt:

1. Einführung I: Die reellen Zahlen · Potenzen mit ganzzahligenExponenten · Regeln der der Algebra · Brüche · Potenzen mitgebrochenen Exponenten · Ungleichungen

2. Einführung II: Lösen einfacher Gleichungen · Gleichungen mitParametern · Quadratische Gleichungen · Lineare Gleichungen ·

Nichtlineare Gleichungen3. Einführung III: Summennotation · Regeln für Summen · Newtons

Binomische Formeln · Doppelsummen · Aspekte der Logik ·

Mathematische Beweise · Wesentliches aus der Mengenlehre

Aufbau

8 Vorlesungen à 3 SWS (3 × 45 Min. = 135 Min.).

⇒ Inkl. 15 Minuten Pause starten die Vorlesungen um Viertel nachund enden um Viertel vor.

5 Tutorien à 134 Stunden in Kleingruppen.

⇒ Die Tutorien sind in 2 „Züge“ aufgeteilt.⇒ Pro Zug gibt es 3 parallele Tutorien.⇒ Teilen Sie sich in Ihrem eigenen Interesse möglichst gleichmäßig

Zusätzlich können 4 weitere Intensivtutorien zu je à 134 Stunden

besucht werden.

Ergo: Jede Menge Übungen zum Festigen des Stoffes.

Mathematik VorkursOrganisatorisches: Tutorien

Wählen Sie ein Tutorium aus einem der beiden Optionen:

Option A (Nachmittagszug, 14:00-15:45)23./25./27.09. & 01./04.10.

Tutorium 1 Tutorium 2 Tutorium 3

Pamela Fritzsch Dustin Rypa Yigit YaziciWiWi 2091/2201 WiWi 2095/2197 WiWi 2101/2105

Achtung: Tut 1, 2 & 3 starten am 4.10. um 11:00

Option B (Vormittagszug, 11:00-12:45)24./26./30.09. & 2./4.10.

Tutorium 4 Tutorium 5 Tutorium 6

Sarah Hasselberg Romeo Sfendules Yigit YaziciWiWi 2091/2201 WiWi 2095/2197 WiWi 2101/2105

Achtung: Tut 4, 5 & 6 starten am 4.10. um 14:00

Mathematik VorkursOrganisatorisches: Zusätzliche Intensivtutorien

Besuchen Sie bei Bedarf ein zusätzliches Intensivtutorium:

Ergänzend zu Option A (11:00-12:45)24./26./30.09. & 02.10.

Intensivtutorium 1 Intensivtutorium 2

Pamela Fritzsch Dustin RypaAP 1, Raum 104 AP 1, Raum 109

Ergänzend zu Option B (14:00-15:45)25./27.09. & 01./04.10.

Intensivtutorium 3 Intensivtutorium 4

Sarah Hasselberg Romeo SfendulesAP 1, Raum 104 AP 1, Raum 109

Achtung: Beide Tutorien am 4.10. um 11:00Achtung: Tut 4 am 4.10. in WiWi 2175/2181

Alle wichtigen Infos zum Zeitablauf sowie Aufgabenblätter finden sieunter diesem Link:

Studienbüro VWL - Vorkurs Mathematik

PINGO steht für „Peer Instruction for very large groups“ und istdas an der Universität Paderborn entwickelte Web-basierteLive-Feedback-System.

⇒ Keine Speicherung oder Weitergabe von Daten, o.ä.

Keine Installation.

Kostenlos mit Smartphone/ Tablet auf dieser Seite:

https://pingo.upb.de/665483

MyMathLab

Online-Lernplattform von Pearson.

⇒ Randomisierte Aufgaben.

⇒ Begleitend zum verwendeten Lehrbuch, also perfekt auf die

Vorlesung abgestimmt.

⇒ Das Lehrbuch kann online gelesen werden (Apps ermöglichen

tw. auch Download).

⇒ Nutzen Sie die Plattform von Beginn an, um ihre Fähigkeiten zu

stärken oder zu überprüfen.

Mathematik fur VolkswirtschaftslehreVorkurs

Prof. Dr. Olaf Posch & Dr. Michael Paetz

Universitat HamburgProfessur fur Volkswirtschaftslehre

insb. Methoden der Volkswirtschaftslehre

UniversitatskollegKurse VWL

Wintersemester 2019/2020

Ausblick

Angestrebte Lernergebnisse

Die Studierenden ...

• sind vertraut mit den mathematischen Methoden, die sie zum Verstandnisvon okonomischen Zusammenhangen im weiteren Studienablauf benotigen

• haben einen Uberblick uber die vermittelten mathematischen Methoden undkonnen diese anwenden

• kennen wirtschaftswissenschaftliche Anwendungsbeispiele

• konnen Losungsskizzen zu den vorgestellten Schlusselkonzepten reflektierenund entwickeln

Studierenden erlernen die mathematischen Methoden, also die”Sprache“ fur ein

Verstandnis okonomischer Zusammenhange im Studiengang Volkswirtschaftslehre.

Ausblick

Umsetzung

• ein Bruckenkurs Mathematik soll den Ubergang von der Schulmathematik zurUniversitat erleichtern

• Ubungen

• Aktivierung innerhalb der Vorlesung

• klare Struktur der Vorlesung, enge Anlehnung an Lehrbuch, schrittweisesLernen der mathematischen Themen

• Selbststudium durch umfangreiche Ressourcen im Internet

Wichtig

Selbststandiges Wiederholen und Vertiefen der relevanten Konzepte.

Ausblick

Inhalt

Mathematik fur Volkswirtschaftslehre I:Vorlesung (3 SWS) + Ubung (2 SWS), Wintersemester

1 Mathematische Grundlagen, Funktionen einer Variablen und Eigenschaftenvon Funktionen

2 Differentialrechnung, Univariate Optimierung, Integralrechnung,Finanzmathematik

3 Funktionen mehrerer Variablen, Komparativ statische Analysen

Ausblick

Inhalt

Mathematik fur Volkswirtschaftslehre II:Vorlesung (2 SWS) + Ubung (2 SWS), Sommersemester

4 Multivariate Optimierung, Optimierung unter Nebenbedingungen

5 Matrizen und Vektoralgebra, Determinanten und inverse Matrizen

Literatur

• Sydsæter, Knut, Peter Hammond, Arne Strøm und Andres Carvajal, EssentialMathematics for Economic Analysis (EMEA), Pearson, 5th edition, 2016.

alternativ die deutsche Ubersetzung:

• Sydsæter, Knut, Peter Hammond, Arne Strøm, Andres Carvajal, Mathematikfur Wirtschaftswissenschaftler: Basiswissen mit Praxisbezug, 5. Auflage,Pearson, 2018.

weiterfuhrende Literatur:

• Sydsæter, Knut, Peter Hammond, Atle Seierstad and Arne Strøm, FurtherMathematics for Economic Analysis (FMEA), Pearson, 2nd edition, 2008.

Kapitel 1. Mathematische Grundlagen

1 Algebra

2 Gleichungen

3 Verschiedenes

1.1. Algebra

1 Algebra

2 Gleichungen

3 Verschiedenes

1.1. Algebra

Gliederung

1 AlgebraDie reellen ZahlenGanzzahlige PotenzenRegeln der AlgebraBruchePotenzen mit gebrochenen ExponentenUngleichungenIntervalle und Absolutbetrage

1.1. Algebra 1.1.1. Die reellen Zahlen

1. Die reellen Zahlen

Begriffe aus der elementaren Algebra

1 Naturliche Zahlen1, 2, 3, 4, . . .

oder auch positive ganze Zahlen genannt (gerade und ungerade Zahlen).

2 Ganze Zahlen0,±1,±2,±3,±4, . . .

werden durch die positiven ganzen Zahlen, zusammen mit 0 und dennegativen ganzen Zahlen gebildet

3 Rationale Zahlen

konnen in der Form a/b geschrieben werden, wobei a und b beides ganzeZahlen sind (b 6= 0), zum Beispiel 3/8, 1/2, 132, . . .

4 Irrationale Zahlen

beschreiben alle Zahlen im Dezimalsystem, die nicht als Dezimalbruchgeschrieben werden konnen, zum Beispiel

p2, π,

HI, No

Dezimalsystem

Definition

Das Dezimalsystem (Zehnersystem oder dekadisches System) definiert jedeKombination von Ziffern aus dem Bereich 0 bis 9 (im Englischen

”digits“) als eine

Linearkombination von Exponenten von 10, also zur Basis 10.

Naturliche Zahlen konnen mit den Ziffern 0 bis 9 geschrieben werden, bspw.

1984 = 1 · 103 + 9 · 102 + 8 · 101 + 4 · 100

Rationale Zahlen konnen mit Dezimalpunkt geschrieben werden, bspw.

3.1415 = 3 + 1/101 + 4/102 + 1/103 + 5/104

Rationale Zahlen, die mit einer endlichen Anzahl von Dezimalstellen dargestelltwerden konnen, heißen endliche Dezimalbruche.

Reelle ZahlenJeder endliche Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, aber nicht jede rationale Zahlkann als endlicher Dezimalbruch geschrieben werden, bspw. 1/3, 11/70, . . .

Ein rationaler Dezimalbruch ist jedoch immer periodisch, d. h. entweder endlichoder eine endliche Folge von Ziffern wiederholt sich unendlich oft.

1/8 = 0.125 (endlich)

11/70 = 0.15714285714285 . . . (unendlich oft sechs Ziffern”571428“)

Definition

Wir definieren eine reelle Zahl als einen beliebigen unendlichen Dezimalbruch

x = ±m.α1α2α3 . . .

wobei m eine ganze Zahl und αn fur n = 1, 2, . . . eine unendliche Folge vonZiffern, jede aus dem Bereich 0 bis 9.

Rationale und irrationale Zahlen konnen auf der Zahlengerade dargestellt werden.

GrundrechenartenWendet man die vier Grundrechenarten auf die reellen Zahlen an, so ist dasErgebnis wieder eine reelle Zahl.

Fur jede reelle Zahl a gilt

1 Addition

2 Subtraktion

3 Multiplikation

4 Division

(alternativ)

a+ 0 = a

a 0 = a

a · 0 = 0

0/a = 0

0÷ a = 0

Wichtig

Division durch die Null a/0 ist nicht definiert.

Beispiel: Ein Auto verbraucht 60 Liter um 600 km zu fahren, der Benzinverbrauchist 60/600 = 10/100 oder 10 Liter auf 100 km. Falls ein Auto 0 km fahrt, sowissen wir nichts uber den Benzinverbrauch dieses Autos; a/0 ist undefiniert.

1.1. Algebra 1.1.2. Ganzzahlige Potenzen

2. Ganzzahlige Potenzen

Oft schreiben wir 34 anstelle des Produkts 3 · 3 · 3 · 3. Wir nennen 34 die 4-tePotenz von 3 (die Zahl 3 wird 4-mal mit sich selbst multipliziert).

Definition

Wenn a eine beliebige Zahl und n eine naturliche Zahl ist, dann ist an definiertdurch

an = a · a · a · . . . · a| z

n Faktoren

Dabei heißt a die Basis (Grundzahl) und n ist der Exponent (Hochzahl).

Beispiel: Das Dezimalsystem wird zur Basis 10 geschrieben.

Wichtig

Die 0-te Potenz ist definiert als a0 = 1 fur a 6= 0, aber 00 ist nicht definiert.

Gewohnlich lassen wir das Multiplikationszeichen weg, wenn keineMissverstandnisse zu befurchten sind. Wir schreiben z. B. xy anstelle von x · y .

Eigenschaften von Exponenten

Potenzen mit negativen Exponenten definieren wir durch a−n = 1/an oderalternativ als Bruch

a−n =1

fur jede naturliche Zahl n und a 6= 0.

Rechenregeln fur Potenzen

1 Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man dieExponenten addiert, ar · as = ar+s .

2 Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponentensubtrahiert, ar ÷ as = ar/as = ar−s .

3 Um die n-te Potenz einer k-ten Potenz zu bilden, werden die Exponentenmultipliziert, (ak)n = ak·n.

Diese Rechenregeln fur Potenzen mussen Sie beherrschen und Sie sollten auchverstehen, warum sie gelten.

Potenz von Produkten und Summen

Beachten Sie noch, dass

(ab)r = ab · ab · ab · . . . · ab| z

r Faktoren

= a · a · a · . . . · a| z

r Faktoren

· b · b · b · . . . · b| z

r Faktoren

= arbr

b· . . . ·

r Faktoren

r Faktorenz | a · a · a · . . . · a

b · b · b · . . . · b| z

r Faktoren

br= arb−r .

Wichtig

Im Allgemeinen gilt(a+ b)r 6= ar + br .

Beispiel: Eine der Binomischen Formeln lautet (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2.

Zinsrechnung

Potenzen werden in praktisch allen Bereichen der Wirtschaftswissenschaftengebraucht, bspw. um Zinseszinsen zu berechnen.

Guthaben mit Zinseszins

Nehmen Sie an, dass Sie 1000 Euro auf einem Bankkonto zu 8% pro Jahr anlegen.Nach einem Jahr erhalten Sie 1000 · 0.08 = 80 Euro an Zinsen, sodass dasGuthaben auf Ihrem Bankkonto 1080 Euro betragt, also

1000 + 1000 · 0.08 = 1000 · (1 + 0.08) = 1000 · 1.08

Falls der neue Betrag ein weiteres Jahr auf dem Konto verbleibt zu einem Zinssatzvon 8%, erhalten Sie nach dem zweiten Jahr 1000 · 1.08 · 0.08 Euro an Zinsen,sodass das Guthaben anwachsen wird auf

1000 · 1.08 + (1000 · 1.08) · 0.08 = 1000 · 1.08 · (1 + 0.08) = 1000 · (1.08)2

Jedes Jahr wachst das Guthaben um den Faktor 1.08, sodass es nach t Jahren auf1000 · (1.08)t Euro anwachsen wird.

Wachstumsfaktor

Dieses Beispiel verdeutlicht ein allgemeines Prinzip.

Konstante jahrliche Wachstumsrate

Eine Große K , die jedes Jahr um p% (oder p Prozent) anwachst, wird nach t

Jahren auf

anwachsen. Dabei wird 1 + p/100 der Wachstumsfaktor fur ein Wachstum von p

Prozent genannt.

Wichtig

Wenn Sie einen Ausdruck wie (1.08)t sehen, sollten Sie sofort erkennen, dass diesder Betrag ist, auf den 1 Euro nach t Jahren angewachsen ist, falls der Zinssatz8% pro Jahr ist. Interpretieren Sie vor diesem Hintergrund (1.08)0.

Wachstumsfaktor

Beispiel: Wenn der ursprunglich angelegte Betrag K Euro und der Zinssatz p%pro Jahr ist (und die Zinsen jedes Jahr dem Konto gutgeschrieben werden), wirddas Guthaben nach t Jahren auf K · (1 + p/100)t Euro anwachsen.

Ahnlich konnen wir naturlich den Endbestand einer Große bei konstanter jahrlichernegativen Wachstumsrate berechnen.

Konstante jahrliche negative Wachstumsrate

Eine Große K , die jedes Jahr um p% (oder p Prozent) abnimmt, wird nach t

Jahren abnehmen auf

Dabei wird 1p/100 Wachstumsfaktor bei einer Abnahme um p Prozent genannt.

Wichtig

Interpretieren Sie den Ausdruck (0.95)t und geben Sie ein okonomisches Beispiel.

Negative Exponenten

Negative Exponenten treten bspw. auf, wenn wir uns fur den Anfangsbestandeiner Große bei konstanter jahrlicher Zuwachsrate interessieren.

Startvermogen bei Zinseszins

Welches Vermogen hatten Sie vor 5 Jahren bei einem Zinssatz von 8% anlegenmussen, um heute 1000 Euro zu erhalten? Nennen wir den Betrag K , so mussK · (1.08)5 gleich dem heutigen Wert von 1000 Euro sein, also K · (1.08)5 = 1000.Indem wir auf beiden Seiten durch 1.085 dividieren, erhalten wir

K = 1000 · (1.08)−5

also ungefahr 681 Euro. Daher hatten Sie (1.08)−5 Euro vor 5 Jahren anlegenmussen, um heute 1 Euro zu haben, falls der Zinssatz konstant gleich 8% war.

Man hatte vor t Jahren K · (1 + p/100)−t Euro zu einem festen Zinssatz von p%pro Jahr anlegen mussen, um heute K Euro zu erhalten.

1.1. Algebra 1.1.3. Regeln der Algebra

3. Regeln der Algebra

Elementare Regeln

1 a+ b = b + a

2 (a+ b) + c = a+ (b + c)

3 a+ 0 = a

4 a+ (a) = 0

5 ab = ba

6 (ab)c = a(bc)

7 1 · a = a

8 aa−1 = 1 fur a 6= 0

9 (a)b = a(b) = ab

10 (a)(b) = ab

11 a(b + c) = ab + ac

12 (a+ b)c = ac + bc

Die algebraischen Regeln konnen auf verschiedene Weisen kombiniert werden, z. B.

a(b c) = ab + a(c) = ab ac

(a+ b)(c + d)| z

Flache Rechteck

= a(c + d)| z

Flache Rechteck

+ b(c + d)| z

Flache Rechteck

= ac + ad + bc + bd| z

Flache 4 kleinerer Rechtecke

Geometrische Interpretation fur a, b, c und d positive Zahlen (Lange).

Binomische Formeln

Folgende drei Identitaten sind besonders wichtig

(a+ b)2 = a2 + 2ab + b2

(a b)2 = a2 2ab + b2

(a+ b)(a b) = a2 b2 (Differenz von Quadraten)

Wichtig

Machen Sie sich klar, dass diese”quadratischen Identitaten“ einfache Folgerungen

aus den elementaren Regeln sind. Geben Sie eine geometrische Interpretation.

Ca +b)Eat Zabtb

i:""""

(atbKa -b)=D-b2

Algebraische Ausdrucke

Ausdrucke, die Buchstaben wie 3xy 5x2y3 + 2xy + 6y3x2 3x + 5yx + 8enthalten, werden algebraische Ausdrucke genannt.

Wir nennen 3xy , 5x2y3, 2xy , 6y3x2, 3x , 5yx , 8 die Terme in dem Ausdruck,der entsteht, wenn wir alle Terme zusammenfugen

Die Zahlen 3, 5, 2, 6, 3, 5 sind die numerischen Koeffizienten. Zwei Terme, indenen nur die numerischen Koeffizienten verschieden sind, wie z. B. 5x2y3 und6y3x2, heißen Terme vom selben Typ.

Vereinfachung algebraischer Ausdrucke

Um Ausdrucke zu vereinfachen, sammeln Sie Terme vom selben Typ. Dann stellenSie innerhalb jedes Terms die numerischen Koeffizienten an den Anfang undbringen dann die Buchstaben in eine (alphabetische) Reihenfolge.

Am besten hohere Potenzen nach vorn, danach mehr Faktoren nach vorn.

Vereinfachung algebraischer Ausdrucke

Beispiel

Vereinfachen des algebraischen Ausdrucks3xy 5x2y3 + 2xy + 6y3x2 3x + 5yx + 8

(Sammeln) = 3xy + 2xy + 5yx 5x2y3 + 6y3x2 3x + 8

(Zusammenfassen) = (3 + 2 + 5)xy + (6 5)x2y3 3x + 8

(Sortieren) = x2y3 + 10xy 3x + 8

Faktorenzerlegung

Einen Ausdruck in Faktoren zerlegen bedeutet, ihn als Produkt von einfacherenFaktoren zu schreiben, z. B. 49 = 7 · 7 und 672 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7.

Algebraische Ausdrucke konnen oft in Faktoren zerlegt werden, z. B.6x2y = 2 · 3 · x · x · y und 5x2y3 15xy2 = 5 · x · x · y · y2 3 · 5 · x · y2. Diesesollten zusammengefasst werden, 5 · x · x · y · y2 3 · 5 · x · y2 = 5xy2(xy 3).

Binomische Formeln (in umgekehrter Reihenfolge) sind oft hilfreich zur Bildungder Faktoren, z. B. 9x2 25y2 = (3x + 5y)(3x 5y).

Beispiel

Zerlegen Sie den algebraischen Ausdruck x2y2 25z2 in Faktoren, also

(Rechenregeln fur Potenzen) = (xy)2 (5z)2

(Differenz von Quadraten) = (xy + 5z)(xy 5z),

anstelle von x · x · y · y 5 · 5 · z · z .

1.1. Algebra 1.1.4. Bruche

4. Bruche

Definition

Wir definieren einen Bruch als Division zweier algebraischer Ausdrucke a und b furb 6= 0 als

a÷ b = a/b =a

Dabei heißt a der Zahler und b der Nenner.

Der Bruch 5/8 ist ein echter Bruch, da 5 kleiner ist als 8.Der Bruch 19/8 ist ein unechter Bruch, da 19 großer ist als 8.

Unechte Bruche konnen als gemischte Zahl geschrieben werden,

8= 2 +

86= 2 ·

Wichtig

Die Notation 198 oder 19/8 anstelle 2 3

8 hilft Missverstandnisse zu vermeiden.

Regeln fur die BruchrechnungWir benutzen die Regel des Kurzens (Vereinfachens), indem wir Zahler undNenner in Faktoren zerlegen und gemeinsame Faktoren herausstreichen.

Vereinfachen von Bruchen

1a · c

b · c=

b, b, c 6= 0

(1) · a

(1) · b=

b, b 6= 0

(1) · a

b, b 6= 0

Beispiel

7 · 3

5 · 3=

Wir konnen die Regeln in umgekehrter Richtung benutzen, d. h. wir konnen einenBruch erweitern, z. B. 5/8 = 5 · 125/(8 · 125) = 625/1000 = 0.625.

JPY7325Xyzz

xztxy⇒

€421262<< +4 cabo + KdF

Regeln fur die BruchrechnungWeiterhin werden Regeln fur die Addition (Subtraktion) von Bruchen benotigt.

Addition von Bruchen

c, c 6= 0

a · d + b · c

b · d, b, d 6= 0

a · c + b

c, c 6= 0

Beispiel

3 · 6 + 5 · 1

5 · 6=

5 · 5 + 3

Beachten Sie, dass Regel 5 aus den Regeln 4 und 1 folgt.27

Regeln fur die BruchrechnungEs ist einfach zu sehen, dass aus Regel 5 folgt

bdf bcf

adf bcf + bde

Wenn b, d , und f gemeinsame Faktoren haben, vereinfacht sich die Berechnungwenn wir zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner der Bruche bestimmen.

Kleinster gemeinsamer Nenner

Um den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgN) zu finden zerlegen wir jeden Nennervollstandig in Faktoren. Der kgN ist das Produkt aller verschiedenen Faktoren, diein den Nennern erscheinen (jeder Faktor erscheint in seiner hochsten Potenz).Vereinfachen Sie den algebraischen Ausdruck 1/2 1/3 + 1/6

(Zerlegen in Faktoren) =1

2 · 3

(Zusammenfassen) =3 2 + 1

2 · 3=

Regeln fur die BruchrechnungEbenso gibt es Regeln fur die Multiplikation (Division) von Bruchen.

Multiplikation von Bruchen

a · b

c, c 6= 0

a · c

b · d, b, d 6= 0

a · d

b · c, b, c , d 6= 0

Beispiel

7 · 3

4 · 5

7 · 8=

7 · 2=

3 · 2 · 7

8 · 3 · 2=

Zeigen Sie Regel 9, indem Sie (a/b)÷ (c/d) als Quotient von Bruchen betrachten.

1.1. Algebra 1.1.5. Potenzen mit gebrochenen Exponenten

5. Potenzen mit gebrochenen Exponenten

In okonomischen Anwendungen werden wir immer wieder auf Potenzen mitgebrochenen Exponenten stoßen, wie z. B. K 1/4L3/4, und Ar2.08p−1.5.

Frage: Wie definieren wir ax fur eine rationale Zahl x? Betrachten wir zunachstdie Bedeutung fur den Spezialfall x = 1/2.

Definition

Wir definieren die Quadratwurzel aus a fur a 0, d. h.pa = a1/2, als diejenige

nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt,

papa = a1/2a1/2 = a1 = a.

Beachten Sie, dass wenn man eine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert dasErgebnis immer nichtnegativ ( 0) sein muss.

Es gilt:pab =

papb fur a, b 0, und

a/b =pa/(

pb) fur a 0, b > 0.

Eigenschaften der Quadratwurzel

Wichtig

Die Quadratwurzel ist nichtnegativ,pa 0.

(2)2 = 4 und 22 = 4. Daher sind x = 2 und x = 2 beide Losungen derGleichung x2 = 4. Deshalb gilt

x2 = 4 , x = ±p4 = ±2

Beachten Sie jedoch, dassp4 = 2 und nicht 2 bedeutet.

Warnung

Im Allgemeinen gilt pa+ b 6=

Dies folgt aus (a+ b)r 6= ar + br (i. Allg.) fur r = 1/2.

Beispiel:p

1/4 + 1/16 =p

4/16 + 1/16 =p5/4 und nicht 3/4.

N-te Wurzeln

Frage: Was verstehen wir unter ax fur eine Zahl x = 1/n, wenn n eine naturlicheZahl und a eine positive Zahl ist?

Definition

Wir definieren die n-te Wurzel von a fur a > 0, d. h. npa = a1/n wobei n = 1, 2, . . .,

als diejenige positive Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert a ergibt,

npa · n

pa · . . . · n

n Faktoren

= ( npa)n = (a1/n)n = a1 = a.

Wenn a eine positive und n eine naturliche Zahl ist, dann hat xn = a eineeindeutige positive Losung, die mit n

pa, oder n-te Wurzel aus a bezeichnet wird.

N-te Wurzeln

N-te Wurzeln werden in den Wirtschaftswissenschaften bspw. benutzt, um(konstante) prozentuale Wachstumsraten zu ermitteln.

Prozentuale Wachstumsrate

Eine Population ist in 12 Jahren von 40 Millionen auf 60 Millionen angewachsen.Wir wollen die (konstante) prozentuale jahrliche Wachstumsrate p ermitteln.Da die Population von einem Wert 40 mit einem (unbekannten) Wachstumsfaktorx = 1 + p/100 uber 12 Jahre auf eine Wert 60 gestiegen ist, gilt

40 · x12 = 60

Indem wir durch 40 dividieren, danach mit 1/12 potenzieren erhalten wir denWachstumsfaktor

x = 1 + p/100 = (3/2)1/12

Daraus konnen wir die Wachstumsrate p = (x 1) · 100% 3.4% berechnen.

Wenn sich eine Große K in n Jahren auf bK andert (K , b > 0), dann entsprichtnpb oder die n-te Wurzel aus dem Faktor b dem Wachstumsfaktor.

Verallgemeinerung

Wir mochten nun ap/q betrachten, wenn p eine ganze Zahl, q eine naturliche Zahlund a > 0 ist. Machen Sie sich klar, dass p/q die rationalen Zahlen abbilden.

Definition

Wir definieren ( qpa)p = ( q

pap) = ap/q wobei q = 1, 2, . . . und p = 0,±1,±2, . . .,

als diejenige positive Zahl, die q-mal mit sich selbst multipliziert ap ergibt,

qpap · q

pap · . . . · q

q Faktoren

= ( qpap)q = (ap/q)q = ap.

Daher konnen wir ap/q berechnen, indem wir entweder zuerst die q-te Wurzel vona berechnen und das Resultat mit p potenzieren oder zuerst a in die p-te Potenzerheben und daraus die q-te Wurzel ziehen.

(E)-2= (34-2=9-2 = # = ¥

Alternativ:

= µ-42=3-4 = ¥ = ¥1

a) = als-48 )

= a"! ähm

Ff +312

+% +43

= +1%+42-43-43 )

(2- 1)= X = X

=Vik=WEIT= ¢

-%)"= i

% "B= ×

= ¥18 = IFE

r: - E-EEFür := 'Er = E

F- Eil

Färöisch

FETTKEIN as

=Was 522.323.7

= a WEIT = 6 a

Kühne =Hat"

. ÄI"

Negative Basis

Wichtig

Wenn q eine ungerade Zahl und p eine ganze Zahl ist, so kann ap/q sogar definiertwerden, wenn die Basis a negativ ist, also auch fur a < 0, z. B.

(8)1/3 = 3p8 = 2 da (2)3 = 8 ist.

Beachten Sie jedoch, wenn man ap/q fur a < 0 definiert, den Bruch p/q so weitwie moglich kurzen muss. Wenn nicht, kann es Widerspruche geben wie

2 = (8)1/3 = (8)2/6 = 6p

(8)2 6= 6p64 = 2.

Warnung

Im Allgemeinen gilt(a+

qpb)p 6= ap + bp/q.

Beispiel: (ex e−x)p 6= epx e−px (es sei denn p = 1)

1.1. Algebra 1.1.6. Ungleichungen

6. Ungleichungen

In okonomischen Analysen betrachten wir oft die Beziehung (Relation) zwischenzwei Großen. Dabei spielen Ungleichungen eine große Rolle, wir unterscheiden

1 strikte Ungleichungen, mit den Relationszeichen > oder <

2 schwache Ungleichungen, mit den Relationszeichen oder

Definition

Die Zahl a ist großer als die Zahl b, wenn a b positiv ist,

a > b , a b > 0.

Bemerkung: Wenn a > b, sagen wir oft, dass a strikt großer als b ist, um zubetonen, dass a = b ausgeschlossen ist. Wenn a > b oder a = b, so schreiben wira b (alternativ b a) und sagen, das a großer oder gleich b ist.

Eigenschaften von Ungleichungen

Um komplizierte Ungleichungen handhaben zu konnen, braucht man die folgendenEigenschaften. Machen Sie sich diese anhand der Zahlengerade deutlich.

Rechenregeln fur Ungleichungen

1 Wenn a > 0 und b > 0, dann gilt a+ b > 0 und a · b > 0.

2 Wenn a > b, dann gilt a+ c > b + c fur alle c .

3 Wenn a > b und b > c , dann gilt a > c .

4 Wenn a > b und c > 0, dann gilt ac > bc .

5 Wenn a > b und c < 0, dann gilt ac < bc .

6 Wenn a > b und c > d , dann gilt a+ c > b + d .

Die entsprechenden Eigenschaften sind gultig, wenn man jedes > durch ersetzt.Dabei folgen die Regeln 3 bis 6 alle sehr einfach aus Regel 1.

Eigenschaften von Ungleichungen

Wichtig

• Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziertwerden, bleibt die Richtung der Ungleichung erhalten.

• Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziertwerden, kehrt sich die Richtung der Ungleichung um.

Beispiel

Bestimmen Sie, welche Werte von x die folgende Ungleichung erfullen:

3x 5 > x 3

Wir addieren zu beiden Seiten 5 und x . Daraus folgt 2x > 2. Nach Divisiondurch die positive Zahl 2 folgt die Losung x > 1.

Vorzeichendiagramme

Frage: Welche Werte von x erfullen die Ungleichung (x 1)(3 x) > 0?

Um die komplette Losungsmenge zu bestimmen, wird die Variation desVorzeichens fur jeden Faktor des Produkts bestimmt.

1 der erste Faktor x 1 ist

• negativ, wenn x < 1• 0, wenn x = 1• positiv, wenn x > 1

2 der zweite Faktor 3 x ist

• negativ, wenn x > 3• 0, wenn x = 3• positiv, wenn x < 3

Offensichtlich ist das Produkt beider Faktoren negativ fur x < 1 und x > 3. DieLosungsmenge besteht demnach aus allen x , die großer als 1 und kleiner als 3 sind:

(x 1)(3 x) > 0 dann und nur dann, wenn 1 < x < 3

( X - i ) ( 3-x ) > 0

( X -1)

⇐ × ,

- - -- - -

- -- -- - --

Keks -x ) - - - --- -to - -

- - - --

1 < × <3

Vorzeichendiagramme

Frage: Welche Werte von x erfullen die Ungleichung (x 1)(3 x) > 0?

Alternativ konnen wir ein Vorzeichendiagramm benutzen, also eine Abbildung derVariation des Vorzeichens auf Zahlengeraden:

Abbildung: Variation des Vorzeichens auf Zahlengeraden

Quelle: Pearson Studium (EMEA, deutsche Ubersetzung)

2 f- 3

F> 3- p / - 3 xp

F- 3 xp > 0

21-3 34-11

F+% > o

(21-3) - (37-3)+14-1 )- > 0

12 -22

+> o III > o

- - --0

% :"It - -

- - - - -ti -f-

Doppel-Ungleichungen

Zwei Ungleichungen, die gleichzeitig gelten, werden oft als Doppel-Ungleichunggeschrieben. Wenn beispielsweise a z und gleichzeitig z < b ist es ublich

a z < b

zu schreiben.

Wichtig

Wenn a z und z > b und wir nicht wissen ob a oder b großer ist, konnen wirkeine Doppel-Ungleichung schreiben:

a z und z > b ) a b < z

Ungleichheitszeichen nur in eine Richtung erlaubt, nicht erlaubt ist a z > b.

1.1. Algebra 1.1.7. Intervalle und Absolutbetrage

7. Intervalle und Absolutbetrage

a und b seien zwei beliebige Zahlen auf der Zahlengeraden. Die Menge allerZahlen, die zwischen a und b liegen bezeichnen wir als Intervall.

Definition

Notation Bezeichnung Menge aller x mit

(a, b) Das offene Intervall von a bis b. a < x < b

[a, b] Das abgeschlossene Intervall von a bis b. a x b

(a, b] Das halboffene Intervall von a bis b. a < x b

[a, b) Das halboffene Intervall von a bis b. a x < b

Bemerkung: Ein offenes Intervall enthalt keinen seiner Endpunkte.

Wichtig

Alle vier Intervalle haben dieselbe Lange b a.

Intervalle

Abbildung: Intervalle A = [−4,−2], B = [0, 1), C = (2, 5) auf der Zahlengeraden

Unbeschrankte Intervalle

Intervalle sind nicht notwendigerweise beschrankt, sie konnen auch fur gewisseunbeschrankte Menge von Zahlen benutzt werden.

Definition

Unbeschrankte Intervalle sind halboffene oder offene Intervalle ohne Endpunkt.

[a,1) bezeichnet die Menge von Zahlen x mit x a

(1, b) bezeichnet die Menge von Zahlen x mit x < b

Bemerkung: Das Intervall [a,1) hat keine obere Schranke, hingegen hat dasIntervall (1, b) keine untere Schranke.

Wichtig

Das Symbol 1 steht fur Unendlich. Insbesondere ist 1 keine Zahl, daher geltendie ublichen Rechenregeln nicht fur 1.

Die Menge aller reellen Zahlen ist (1,1).

Absolutbetrag

a sei eine reelle Zahl und stellen Sie sich die Lage dieser Zahl auf derZahlengeraden vor. Der Abstand zwischen a und 0 heißt Absolutbetrag von a.

Definition

Der Absolutbetrag von a wird mit |a| bezeichnet und ist eine positive Zahl,

a falls a 0

a falls a < 0

Bemerkung: Es ist ein Trugschluss, anzunehmen, dass a stets eine positive Zahlbezeichnet, selbst dann, wenn es nicht explizit angegeben wird.

| -51,-5<0 → 1-51 = - C-51=5

Abstand zwischen zwei Punkten auf der Zahlengeraden

x1 und x2 seien zwei beliebige Zahlen. Der Abstand zwischen x1 und x2

x1 x2 wenn x1 x2

(x1 x2) wenn x1 < x2.

Offensichtlich ist der Abstand zwischen x1 und x2 gerade

|x1 x2| = |x2 x1|

Abbildung: Abstand zwischen −3 und −5 und zwischen 7 und 2

Ungleichungen mit Absolutbetragen

Wir konnen Ungleichungen mit Absolutbetragen als Intervalle schreiben

|x | < a bedeutet das offene Intervall a < x < a fur positive Zahlen a

|x | a bedeutet das abgeschlossene Intervall a x a furnichtnegative Zahlen a

IXI < 2

IXI > 2 → C- a. 21 und ( 2,0 )

13×-21<-5

- 5E 3×-2=5 142

-3 E 3<=7 E3

- 1 EX ± × aus [-1,7/3]

13×-2175

Fallunterscheidung1.Fall 3×-270 : 13×-21=3×-2

-3×73 / ÷ 3

-× > 1 1. C-1)

Lsg : XE -1 oder X> %,C- es -1] oderEko)

1.2. Gleichungen

1 Algebra

2 Gleichungen

3 Verschiedenes

1.2. Gleichungen

Gliederung

2 GleichungenLosung einfacher GleichungenGleichungen mit ParameternQuadratische GleichungenLineare Gleichungen in zwei UnbekanntenNichtlineare Gleichungen

1.2. Gleichungen 1.2.1. Losung einfacher Gleichungen

1. Losung einfacher Gleichungen

Viele okonomische Anwendungen verlangen das Losen von Gleichungen. EineGleichung zu losen bedeutet, alle Werte zu finden, fur die die Gleichung erfullt ist.

Beispiele

Betrachten Sie die folgenden einfachen Beispiele:

3x + 10 = x + 4

enthalt eine Variable. Die Losung ist eindeutig, es existiert genau eine Losung.

enthalt eine Variable. Wir zeigen im Folgenden, dass keine Losung existiert.

Y = C + I

enthalt drei Variablen. Die Gleichung hat unendlich viele Losungen.

Aquivalente Gleichungen

Beachten Sie, dass zwei Gleichungen, die genau dieselben Losungen haben, alsaquivalente Gleichungen bezeichnet werden.

Definition

Um aquivalente Gleichungen zu erhalten, sind die folgenden Operationen aufbeiden Seiten des Gleichheitszeichens erlaubt:

• Addition (oder Subtraktion) derselben Zahl

• Multiplikation mit derselben Zahl (oder Division durch dieselbe) Zahl 6= 0

Wichtig

Wenn fur irgendeinen Wert der Variablen ein Ausdruck in einer Gleichung nichtdefiniert ist, so wird dieser Wert als nicht zulassig erklart.

Losungsverfahren

Um Losungen einer Gleichung zu finden, konnen wir in beliebiger Reihenfolgeerlaubte Operationen auf beiden Seiten der Gleichung anwenden. Die aquivalentenDarstellungen vereinfachen die Suche oder geben uns die (eindeutige) Losung.

Bei komplizierteren Gleichungen multiplizieren wir gewohnlich zunachst dieKlammern aus, anschließend multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mitdem kleinsten gemeinsamen Nenner aller Bruche.

Beispiel

1 Gesucht sind alle Werte, die die Gleichung 3x + 10 = x + 4 erfullen.

3x + 10 = x + 4 | x

2x + 10 = 4 | 102x = 6 | ÷ 2x = 3

Diese Gleichung hat eine eindeutige Losung x = 3.

Losungsverfahren

Beispiel

2 Gesucht sind alle Werte, die die Gleichung

erfullen. Offensichtlich ist der Wert z = 5 nicht zulassig, da die Ausdruckez/0 oder 5/0 nicht definiert sind. Unter der Restriktion z 6= 5 multiplizierenwir beide Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner 3 · (z 5)

3z + z 5 = 5 · 3 |+ 54z = 20 | ÷ 4z = 5

Diese Gleichung hat die einzige Losung z = 5. Da wir jedoch z 6= 5 annehmenmussten, mussen wir schließen, dass diese Gleichung keine Losung hat.

Losungsverfahren

Beispiel

3 Gesucht sind alle Werte, die die Gleichung Y = C + I erfullen. Fur beliebigeWerte fur C und I konnen wir Y bestimmen, welches die Gleichung erfullt.Diese Gleichung hat demnach unendlich viele Losungen, eine davon istY = 1000, C = 700 und I = 300, eine andere ist Y = 5, C = 0 und I = 5.

Eine Gleichung mit zwei (oder mehreren) Unbekannten hat im Allgemeinenunendlich viele Losungen.

1.2. Gleichungen 1.2.2. Gleichungen mit Parametern

2. Gleichungen mit Parametern

Okonomen benutzen oft mathematische Modelle, um den Zusammenhangverschiedener okonomischer Variablen zu beschreiben. Einfache Beziehungenzwischen zwei Variablen konnen durch eine lineare Gleichung beschrieben werden.

(a) y = 10x , (b) y = 3x + 4, (c) y = 1

Diese Gleichungen haben eine gemeinsame Struktur,

y = ax + b, wobei a und b reelle Zahlen sind (1)

Definition

Die allgemeine Gleichung (1) beschreibt die Klasse linearer Gleichungen, in denenx und y Variablen sind. Die Buchstaben a und b werden Parameter genannt.

Haufig werden Parameter mit markanten Symbolen, kleinen Buchstaben, oderBuchstaben aus dem griechischen Alphabet bezeichnet.

Makrookonomisches Modell

Betrachten Sie das makrookonomische Modell

Y = C + I0

C = a+ bY()

Dabei ist Y das Bruttoinlandsprodukt (BIP), C der Konsum und I0 ist dieGesamtinvestition, die als gegeben betrachtet wird. Dabei sind a und b positiveParameter des Modells mit b < 1 (zwei Gleichungen, zwei Unbekannte).

Die erste Gleichung von () beschreibt, dass das BIP die Summe aus Konsum undGesamtinvestition ist. Die zweite Gleichung beschreibt, dass der Konsum einelineare Funktion des BIP ist (keynesianische Konsumfunktion).

Spezialfalle des Modells:

• I0 = 100, a = 500, b = 0.8

• I0 = 150, a = 600, b = 0.9

Y> CTIO"

ttlulticlikatormodell "-

atbYY-atbY-Iot-bYY-bY-a-Iolt-bk-a.IO/:-C1-b)4=E+E#-

Strukturelle und reduzierte Form

Wie hoch ist das BIP bei gegebener Gesamtinvestition? Lose das Modell () nachdem BIP Y in Abhangigkeit von I0 und den Parametern a und b auf.

Setze die Konsumfunktion C = a+ bY in die erste Gleichung von () ein:

Y = a+ bY + I0 | bY

Y bY = a+ I0 | Zusammenfassen(1 b)Y = a+ I0 | ÷ (1 b)

und damit

1 bI0 ()

Diese Losung ist eine Formel, die Y in Abhangigkeit von I0 und den Parametern a,b ausdruckt. Die Formel kann fur verschiedene Werte der Konstanten angewendetwerden, z. B. I0 = 100, a = 100, b = 0.8 ergibt Y = 1000 (sowie C = 900).

Wichtig

Okonomen nennen () strukturelle Form und () reduzierte Form des Modells.

# + # = 2 I. abx

III-IIEI-izabxb-a-2abx2abx-btali-2.ate- East ¥5

+ = ¥+1Zb

Epi" -w ⇒ Kw

Epi" =w HE ,×-K= ¥ III

x"= Er Ili

× = #EI

FI - 34=5 HsgFf = 543g Ill

Xq -_ (5)g) tief

5%+2=25+309-+9427

VELNT - al =B Hat

SEIT =Btallli

XLM = (Btal )? KLM

+=(Bt d)

1.2. Gleichungen 1.2.3. Quadratische Gleichungen

3. Quadratische Gleichungen

Im folgenden entwickeln wir Methoden zur Losung Gleichungen zweiten Grades(quadratische Gleichungen). Eine quadratische Gleichung hat die Form

ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 (2)

Dabei sind a, b und c gegebene Konstanten und x ist die Unbekannte.

Division durch a gibt eine aquivalente Gleichung

x2 + px + q = 0, p = b/a, q = c/a (2’)

Zwei Spezialfalle sind einfach zu behandeln

1 q = 0 (die Gleichung hat keinen konstanten Term)

2 p = 0 (die Gleichung hat keinen linearen Term in x)

Losung der quadratischen Gleichung in Spezialfallen

Quadratische Gleichungx2 + px + q = 0 (2’)

1 Spezialfall q = 0 (kein konstanter Term), also x2 + px = 0.

Diese Gleichung ist aquivalent zu x(x + p) = 0, demnach ist x = 0 oder

x + p = 0 | p

Damit haben wir alle Losungen ermittelt und konnen zusammenfassen

x2 + px = 0 , x = 0 oder x = p

Losung der quadratischen Gleichung in Spezialfallen

Quadratische Gleichungx2 + px + q = 0 (2’)

2 Spezialfall p = 0 (kein linearer Term), also x2 + q = 0, oder x2 = q

Wir mussen nun zwei Falle betrachten (Fallunterscheidung):

• Fall 1: q > 0, die Gleichung x2 = −q hat keine Losung• Fall 2: q ≤ 0, die Gleichung x2 = −q hat zwei Losungen

x = ±√−q

Damit haben wir alle Losungen ermittelt und konnen zusammenfassen

x2 + q = 0 , x =pq oder x =

pq fur q 0

Methode der quadratischen Erganzung

Eine allgemeiner Ansatz zur Losung von quadratischen Gleichungen ist dieMethode der quadratischen Erganzung.

Beispiel

Betrachten Sie die Gleichung x2 + 8x 9 = 0. Dazu bringen wir ublicherweise dieKonstante auf die rechte Seite indem wir zu beiden Seiten 9 addieren,

x2 + 8x = 9

Fur die quadratische Erganzung addiert man in diesem Fall 16 zu jeder Seite,damit die linke Seite ein vollstandiges Quadrat wird, x2 + 8x + 16 = (x + 4)2.

x2 + 8x + 16 = 9 + 16 | Zusammenfassen

(x + 4)2 = 25

Damit haben wir die allgemeine quadratische Gleichung auf einen Spezialfallvereinfacht (betrachten Sie dafur einfach die Variable z = x + 4).

(Xt412=25 IM

xt4-EE-E.IS

1. Lsg : X-14=5

× = 1

2. Lsg : Xt4=-5

+ = - 9

Losungsverfahren

Warum kann die quadratische Erganzung zur Losung benutzt werden?

Beispiel

Losen Sie die Gleichung (x + 4)2 = 25.

1 Definieren Sie die Variable z = x + 4 und losen Sie die Gleichung z2 = 25.Die Gleichung hat zwei Losungen, z = ±

p25 = ±5 (kein linearer Term).

Daher ist entweder x + 4 = 5 oder x + 4 = 5, bzw. x = 1 und x = 9.

2 Schreiben Sie die Gleichung als (x + 4)2 52 = 0. Benutzen Sie die Formelfur die Differenz von Quadraten

(x + 4 5)(x + 4 + 5) = 0 oder (x 1)(x + 9) = 0

Die Gleichung ist genau dann 0, wenn x = 1 oder x = 9 ist.

Notiz: Wir haben daher die Faktorenzerlegung x2 + 8x 9 = (x 1)(x + 9).

Allgemeiner Losungsansatz

Idee: Methode der quadratischen Erganzung fur die allgemeine Gleichung

x2 + px + q = 0 (2’)

Wie im obigen Beispiel, vervollstandigen wir das Quadrat auf der linken Seite

x2 + px + q = 0 | q

x2 + px = q |+ (p/2)2

x2 + px + (p/2)2 = (p/2)2 q | Zusammenfassen(x + p/2)2 = (p2 4q)/4

Beachten Sie, dass fur p2 4q < 0 die rechte Seite negativ ist. Weil dasvollstandige Quadrat auf der linken Seite nichtnegativ ist fur alle x , erhalten wirdann keine Losung. Fur den Fall p2 4q > 0 folgen zwei Losungen

x + p/2 =p

(p2 4q)/4 und x + p/2 = p

(p2 4q)/4

Diese Formeln sind auch korrekt fur p2 4q = 0 (zweimal dieselbe Losung).

Losung der quadratischen Gleichung

Zusammenfassend gilt:

Theorem (Losungen der quadratischen Gleichung)

Fur p2 4q 0 gilt

x2 + px + q = 0 genau dann, wenn x = p

Wir bezeichnen x als die Losungen der quadratischen Gleichung.

Fur p2 4q < 0 gibt es keine reellen Losungen, da die Quadratwurzel nur furnichtnegative Zahlen definiert ist.

Wichtig

Die Losungen heißen auch Wurzeln der quadratischen Gleichung.

Losung der quadratischen Gleichung

Alternativ konnen wir schreiben:

Theorem (Losungen der quadratischen Gleichung)

Fur b2 4ac 0 und a 6= 0 gilt

ax2 + bx + c = 0 genau dann, wenn x =b ±

pb2 4ac

Wir bezeichnen x als die Losungen der quadratischen Gleichung.

Fur b2 4ac < 0 gibt es keine reellen Losungen, da die Quadratwurzel nur furnichtnegative Zahlen definiert ist.

Wichtig

Die Losungen heißen auch Wurzeln der quadratischen Gleichung.

Faktorenzerlegung einer quadratischen Gleichung

Nehmen Sie an p2 4q 0. Benutzen Sie die Formel fur die Differenz vonQuadraten um zu zeigen, dass unser Ergebnis der quadratischen Erganzung(x + p/2)2 = (p2 4q)/4 aquivalent ist zu

x + p/2 +p

(p2 4q)/4

x + p/2p

(p2 4q)/4

= 0 ()

Wenn wir die zwei Losungen der quadratischen Gleichung mit x1 und x2bezeichnen, kann Gleichung () als (xx1)(xx2) = 0 geschrieben werden.

Theorem (Faktorenzerlegung)

Wenn x1 und x2 Losungen von x2 + px + q = 0, so gilt

x2 + px + q = (x x1)(x x2), p2 4q 0.

Wenn p2 4q = 0, dann ist x1 = x2 und x2 + px + q = (x x1)2 = (x x2)

2.Fur p2 4q < 0 gibt es keine Faktorenzerlegung.

Summe und Produkt der Losungen

Wir konnen die rechte Seite der Identitat x2 + px + q = (x x1)(x x2)(Faktorenzerlegung) ausmultiplizieren,

x2 + px + q = x(x x1) x2(x x1)

= x2 xx1 x2x + x1x2

= x2 (x1 + x2)x + x1x2

Indem wir die Koeffizienten gleicher Potenzen von x gleichsetzen, erhalten wirfolgendes Resultat (damit konnen Sie einfach eine Losung uberprufen).

Wichtige Eigenschaften

Wenn x1 und x2 die Losungen von x2 + px + q = 0 sind, dann gilt

x1x2 = q, x1 + x2 = p.

Analog gilt x1x2 = c/a und x1 + x2 = b/a fur ax2 + bx + c = 0 wobei a 6= 0.

1.2. Gleichungen 1.2.4. Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten

4. Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten

Im Folgenden sollen systematische Methoden zum Losen linearer Gleichungen inzwei Unbekannten entwickelt werden.

Beispiel

Bestimmen Sie die Losungen von

2x + 3y = 183x 4y = 7

Das lineare Gleichungssystem () hat zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.Gesucht sind die Werte von x und y , die beide Gleichungen erfullen.

Alternative (systematische) Methoden, um die Losungen zu ermitteln:

1 Auflosen und Einsetzen einer der beiden Variablen (Einsetzungsmethode)

2 Elimination einer der beiden Variablen (Eliminationsmethode)

Losungsverfahren

Einsetzungsmethode

Losen Sie eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen auf.

2x + 3y = 18 | 2x (Auflosen nach y)3y = 18 2x | ÷3y = 6 2

Setzen Sie das Resultat in die andere Gleichung ein, also 3x 4y = 7.

3x 4(6 23x) = 7 | · 3 (Ausmultiplizieren)

9x 72 + 8x = 21 | +72 (Auflosen nach x)17x = 51 | ÷17x = 3

Wir finden dann y indem wir die Gleichung y = 6 23x noch einmal benutzen und

erhalten y = 6 23 · 3 = 4. Die Losung von () ist deshalb x = 3 und y = 4.

Losungsverfahren

Eliminationsmethode

Diese Methode eliminiert eine der beiden Variablen durch Addition (Subtraktion)eines Vielfachen der einen Gleichung zu (von) der anderen.

2x + 3y = 183x 4y = 7

· 4· 3

(Elimination von y)

8x + 12y = 729x 12y = 2117x = 51 , x = 3

Setzen Sie das Resultat x = 3 in eine der beiden Gleichungen ein und losen Sienach y , z. B. uber die erste Gleichung 2 · 3 + 3y = 18 bzw. y = 4.

Sie konnen die Losung uberprufen, indem sie die ermittelten Werte in beideGleichungen einsetzen und auf Gleichheit prufen.

Losungsverfahren

Eliminationsmethode

Diese Methode eliminiert eine der beiden Variablen durch Addition (Subtraktion)eines Vielfachen der einen Gleichung zu (von) der anderen.

2x + 3y = 183x 4y = 7

· 3· 2

(Elimination von x)

6x + 9y = 546x + 8y = 14

17y = 68 , y = 4

Setzen Sie das Resultat y = 4 in eine der beiden Gleichungen ein und losen Sienach x , z. B. uber die erste Gleichung 2x + 3 · 4 = 18 bzw. x = 3.

Sie konnen die Losung uberprufen, indem sie die ermittelten Werte in beideGleichungen einsetzen und auf Gleichheit prufen.

I X - y = 4

F- 2x ty = 8) +3¥

× = 4

→Einsetzen inI

[Einsetzen inI

4-4=4 2.44=8

Y = 8+4=84=0

Allgemeiner Losungsansatz

Idee: Eliminationsmethode fur ein allgemeines Gleichungssystem

ax + by = c

dx + ey = f

· e· (b)

· d· (a)

Dabei sind a, b, c , d , e und f beliebige gegebene Zahlen, wahrend x und y dieUnbekannten sind (zwei Gleichungen, zwei Unbekannte).

Die erste Spalte bedeutet, dass wir die erste Gleichung mit e und die zweiteGleichung mit b multiplizieren. Die zweite Spalte bedeutet, dass wir die ersteGleichung mit d und die zweite Gleichung mit a multiplizieren:

aex + bey = ce

bdx bey = bf +

adx + bdy = cd

adx aey = af

(ae bd)x = ce bf (bd ae)y = cd af

Losung linearer Gleichungen in zwei Unbekannten

Zusammenfassend gilt:

Theorem (Losung linearer Gleichungen in zwei Unbekannten)

Fur ae bd 6= 0 gilt

ax + by = c

dx + ey = f, x =

ae bdund y =

Wir bezeichnen x und y als die Losung des linearen Gleichungssystems.

Diese Formeln sind nicht anwendbar, wenn ae bd gleich Null ist. Dieser Fallverlangt besondere Aufmerksamkeit.

1.2. Gleichungen 1.2.5. Nichtlineare Gleichungen

5. Nichtlineare Gleichungen

Betrachten wir kurz die Losungen einfacher nichtlinearer Gleichungstypen, diehaufig in okonomischen Modellen benutzt werden.

Beispiel

Losen Sie folgende Gleichung:

x3px + 2 = 0

Entweder ist x3 = 0 oderpx + 2 = 0. x3 = 0 hat nur die eine Losung x = 0,

wahrend auspx + 2 = 0 folgt, dass x = 2 ist.

Daher sind die Losungen der Gleichung x = 0 und x = 2.

Wichtig (Satz vom Nullprodukt)

Ein Produkt von zwei und mehr Faktoren kann nur dann 0 sein, wenn wenigstenseiner der Faktoren 0 ist. Eine Division durch 0 ist nicht erlaubt.

Gleichheit von Produkten mit gemeinsamen Faktor

Warnung

Entfernen Sie keinen Faktor aus einer Gleichung, der eventuell 0 sein konnte:

x2 = 3x3 ist nicht aquivalent zu 1 = 3x , x = 1/3.

Die Losung x = 0 ginge verloren.

Theorem (Gleichheit von zwei Produkten mit gemeinsamen Faktor)

Im Allgemeinen gilt:

ab = ac ist aquivalent zu a = 0 oder b = c

Wenn ab = ac und a 6= 0, dann gilt b = c .

Denn die Gleichung ab = ac ist aquivalent zu ab ac = 0 bzw. a(b c) = 0.Dieses Produkt ist 0, wenn entweder a = 0 oder wenn b = c ist.

+2=3×3

×? -3×3=0

+41-3×1=0

Enten.

+2=0 →

Oder 11-3×1=0

1--3×3/1=1x

ab = ac

ab - ac = 0

alb -4=0Entw

Oder b-⇐

Nichtlineare Gleichungen mit gemeinsamen Faktor

Beispiel

x(x + a) = x(2x + b)

Entweder ist x = 0 oder x + a = 2x + b.

Daher sind die Losungen der Gleichung x = 0 und x = a b.

Uberprufen Sie, ob eine nichtlineare Gleichung einen gemeinsamen Faktor hat.Fassen Sie diesen zusammen, z. B. x2 = 3x3 ist aquivalent zu x2(1 3x) = 0.Dieses Produkt ist 0, wenn entweder x = 0 oder wenn x = 1/3.

× (Xt al = X ( 2Hb )

× (Ha ) - X Club ) = O

X (Uta ) -Dttb ) ) = 0

Entw. X =0

oder :# a) -②Hb) =o

Xta =Zxtb

Nichtlineare Gleichungen mit Bruchen

Erinnern Sie sich daran, dass der Bruch a/b nicht definiert ist, wenn b = 0 ist.Wenn b 6= 0, dann ist a/b = 0 aquivalent zu a = 0.

Beispiel

p1 + K 2

Beachten Sie, dass der Nenner immer positiv muss,p1 + K 2 1, sodass der

Bruch 0 ist, wenn 1 K 2 = 0 bzw. K 2 = 1 ist.

Daher sind die Losungen der Gleichung K = 1 und K = 1.

A K" "

L" 5= Yo , Umformen nach E

¥ t ¥ = ¥ ,Uniformen nach ×=

A K"5L"

5=40 \ . A-^Kit

["= Yo A-^

K-"5 \ ( )

"=#* ¢%-)

( = Yo%A-%µ

L = ( 45A-5k-

HIEß =JE'

A51€

It E = #t.xyzE-F-EEE-EE.IE*HIT'*)+ (y-z) EYZ

+ =# =-¥

y-E y-z

1.3. Verschiedenes

1 Algebra

2 Gleichungen

3 Verschiedenes

1.3. Verschiedenes

Gliederung

3 VerschiedenesSummennotationRegeln fur SummenNewtons Binomische FormelnDoppelsummenEinige Aspekte der LogikMathematische BeweiseGrundlagen der Mengenlehre

1.3. Verschiedenes 1.3.1. Summennotation

1. Summennotation

Insbesondere in der Okonometrie und Statistik benotigen wir die Summennotation.

Beispiel

Nehmen Sie an, dass ein Land in 6 Regionen aufgeteilt ist. Ni sei die Anzahl derBewohner in Region i . Dann ist die Gesamtzahl der Bewohner gegeben durch

N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 =

Dies wird gelesen als”Summe von i = 1 bis i = 6 uber Ni“, wobei i der

Summationsindex sowie 1 und 6 die Summationsgrenzen sind.

Definition

Fur p und q mit q p bezeichnetPq

i=p ai = ap + . . .+ aq die Summe uber alle aiwobei i = p, . . . , q der Summationsindex sowie p und q Summationsgrenzen sind.

Im Allgemeinen sind p und q ganze Zahlen.

Interpretation der Summennotation

Wenn die obere mit der unteren Summationsgrenze ubereinstimmt, reduziert sichdie

”Summe“ auf einen Term,

P1i=1 ai = a1.

Wenn die obere Grenze kleiner ist als die untere Grenze, gibt es keine Terme unddie

”Summe“ ist als Null zu betrachten,

P1i=2 ai = 0.

Neben der Indizierung von Variablen, konnen wir den Summationsindex auch furRechenoperationen benutzten, beispielsweise

• Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 5 ist

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

• Summe der Quadrate von ganzen Zahlen von 1 bis 3 usw.

' £1 i2= 142732=1+4+9 = 14

ÄFFT HÄTTE TÄTE= Es + I +¥= : +: +÷ =¥

Interpretation der Summennotation

Beachten Sie dabei, welcher Buchstabe als Summationsindex benutzt wird.Berechnen Sie bzw. schreiben Sie als ausfuhrliche Summe:

(5k 3) = (5 · 3 3) + (5 · 4 3) + (5 · 5 3) + (5 · 6 3) = 78

(xi j xj)2 = (x1j xj)

2 + (x2j xj)2 + . . .+ (xNj xj)

p(i)t q(i) = p

(1)t q(1) + p

(2)t q(2) + . . .+ p

(n)t q(n)

Preise p zum Zeitpunkt t und q Mengen von n Gutern (Preisniveau). Indem wirdurch einen geeigneten Nenner teilen berechnen wir damit einen Preisindex.

1.3. Verschiedenes 1.3.2. Regeln fur Summen

2. Regeln fur Summen

Regeln fur Summen

1 Summen sind additiv:

(ai + bi ) =

bi (Additivitat)

2 konstante Faktoren konnen vor die Summe gezogen werden:

cai = c

ai (Homogenitat)

Die Homogenitatseigenschaft impliziert beispielsweise, dass die Summe uber eineKonstante gleich der Anzahl der Summanden mal Konstante ist,

i=1 c = nc .

?_? laitbil = (as tbnltlaztbzltlastbst . . . + laut= an taztagt . . . tantbibztbst . . . tbn-

= IIa ; +

¥1 Cai = Cart CaztCast . . . + Can= ( ( an taz tagt . . .

+au )=c-

2 a :Er

Anwendungen der Summenregeln

Beispiel Mittelwert

Das arithmetische Mittel (oder der Mittelwert) µx von T Zahlen x1, x2, . . . , xT istihr Durchschnitt, definiert als die Summe uber all diese Zahlen, dividiert durch dieAnzahl der Summanden, T , d. h. µx = 1

i=1 xi .

Beweisen Sie, dassPT

i=1(xi µx) = 0 gilt.

Beweis.

Fur den Beweis benotigen wir die Regeln fur Summen und verwenden im letztenSchritt die obige Definition des arithmetischen Mittels

(xi µx) =

xi Tµx = Tµx Tµx = 0

Die Summe der Abweichungen vom Mittelwert ist Null.

Anwendungen der Summenregeln

Beweisen Sie, dassPT

i=1(xi µx)2 =

i=1 x2i Tµ2

x gilt.

Beweis.

Wir wollen die Regeln fur Summen anwenden,

(xi µx)2 =

(x2i 2µxxi + µ2x) =

x2i 2µx

x2i 2µxTµx + Tµ2x =

x2i Tµ2x

Indem wir durch T dividieren, erhalten wir, dass die mittlere quadratischeAbweichung vom Mittelwert, (1/T )

i=1(xi µx)2, gleich dem Mittel der

Quadrate, (1/T )PT

i=1 x2i , minus dem Quadrat des Mittelwert, µ2

x , ist.

Mx = #[ xiF-1

.FI?ii2TuF

Nutzliche Formeln

Summe der Zahlen von 1 bis n

i = 1 + 2 + . . .+ n =1

2n(n + 1)

Summe der Quadratzahlen

i2 = 12 + 22 + . . .+ n2 =1

6n(n + 1)(2n + 1)

Summe der Kubikzahlen

i3 = 13 + 23 + . . .+ n3 =

2n(n + 1)

II i = 1 t 2+3 t . . .

t In -21 t In - 1 I t h

4¥::IS- h t et

= Iz (un )$

Hälfte der Anzahl der Summanden.

300+3001,54300 . 1,3-2+300-1,53

£300 . 1,50

= .IE?oor15i--3oo?o15i= 300 -

BTBCAIBI-

FBI1*35413453bB. ( 1*350

= oBH-BI-i-B.IE KiB )-i

⇒ ÷.

Ui, bij t aizbzjt . . .

+ 9in bnj

a; k bcej = 9in bij + aizbzj + - - - +9in bnj

Nutzliche FormelnSumme der Zahlen von 1 bis n

i = 1 + 2 + . . .+ n =1

2n(n + 1)

Abbildung: Carl Friedrich Gauß

Quelle: Deutsche Bundesbank87

Nutzliche Formeln

Summe der Zahlen von 1 bis n

i = 1 + 2 + . . .+ n =1

2n(n + 1)

Beweisidee:

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

= 1 + 10| z

+2 + 9| z

+3 + 8| z

+4 + 7| z

+5 + 6| z

= 5 · 11 = 55

1.3. Verschiedenes 1.3.3. Newtons Binomische Formeln

3. Newtons Binomische Formeln

Betrachten Sie folgende Regel bei Binomen,

(a+ b)1 = a+ b

(a+ b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a+ b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Daraus lasst sich folgender Binomischer Lehrsatz ableiten.

Theorem (Newtons Binomische Formeln)

Fur m = 1, 2, . . . und k = 0, 1, 2, . . . ,m gilt

(a+ b)m =

am−kbk , m = 1, 2, . . .

Dabei sindm

die Binomialkoeffizienten (gelesen als

”m uber k“).

Binomialkoeffizienten

Definition

Fur m = 1, 2, . . . und k = 0, 1, 2, . . . ,m bezeichnet

=m · (m 1) · . . . · (m k + 1)

den Binomialkoeffizient.

Dabei ist k! = 1 · 2 · 3 · . . . · (k 1) · k (gelesen als”k Fakultat“) mit 0! = 1.

Wichtig

k!(m k)!

Beispielsweise ist1816

⑦ =viii.

=ZE = 10

1 24,125, 13 4,1 35,234, 245,

235, 345, 1 45

Pascal’sches Dreieck

Die Koeffizienten, die sich in der Entwicklung aufeinander folgender Potenzen von(a+ b) ergeben, bilden das folgende Muster, oder auch Pascal’sches Dreieck

00 1 11 1 1 22 1 2 1 33 1 3 3 1 44 1 4 6 4 1 55 1 5 10 10 5 1 66 1 6 15 20 15 6 1

Summe m + 1

Pascal’sches Dreieck

Die Koeffizienten, die sich in der Entwicklung aufeinander folgender Potenzen von(a+ b) ergeben, bilden das folgende Muster, oder auch Pascal’sches Dreieck

00 1 11 1 1 22 1 2 1 33 1 3 3 1 44 1 4 6 4 1 55 1 5 10 10 5 1 66 1 6 15 20 15 6 1

Summe m + 1

(atb) at b(a-Ibk alt ab t b

(atbrß of t alb t ab?+ 53

(aebte akt übt äbznt ab? + b"

( Gtb)5 954 a4b + 9354 äbt ab4+5

1.3. Verschiedenes 1.3.4. Doppelsummen

4. Doppelsummen

Betrachten Sie folgendes Beispiel einer Doppelsumme.

Beispiel Doppelsumme

Die Umsatze einer Firma aus ihren Verkaufen in Region i im Monat j konnen alsTabelle (spreadsheet) angesehen werden, ai j oder

Regioni

Spaltensumme

Monat j Zeilensumme

a11 a12 . . . a1nPn

j=1 a1ja21 a22 . . . a2n

j=1 a2j...

......

...am1 am2 . . . amn

j=1 amj

i=1 ai1Pm

i=1 ai2 . . .Pm

i=1 ainPm

j=1 ai j

Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an, Summe der SpaltensummePn

i=1 aijist gleich Summe der Zeilensumme,

j=1 aij

1.3. Verschiedenes 1.3.4. Doppelsummen

Regeln fur Doppelsummen

Additivitat und Homogenitat sind auch Eigenschaften von Doppelsummen.

Wichtig

In einer (endlichen) Doppelsumme kommt es nicht auf die Reihenfolge derSummation an

Notiz: Die Summe aller Zahlen in einem Dreieck

a11a21 a22a31 a32 a33...

.... . .

am1 am2 am3 . . . amm

ai j =

t.EE?ai, gehtnicht!

z Zaijin E- 1

|F- 1 j = 1 911I

i -15-1,21+921+922i =3 j > 12,31+031+932+933i > 48

!" - "

4149,41+942+943+944:

i-mj-1.in/-9m1-9mz-- - -. +9mm

EIE.IE)=

it2.it/itZ2ItlitZ3ItCt24l)=EllitzltitHtit6/tlit81)

Alternative:::*."".fi?:::::

= 24-128-132 = 4.(1-143)+60=84e-4.6+60=84

1.3. Verschiedenes 1.3.5. Einige Aspekte der Logik

5. Einige Aspekte der Logik

Je komplexer ein Sachverhalt ist, desto wichtiger ist es, exakt zu sein. Obwohl dieMathematik eine sehr klare Sprache bietet, passieren leicht Fehler.

Beispiel (fehlerhafte Logik)

Finden Sie eine mogliche Losung fur die Gleichung x + 2 =p4 x . Wir konnten

leicht zu folgender Schlussfolgerung gelangen

x + 2 =p4 x | (·)2 (Quadrieren)

x2 + 4x + 4 = 4 x | 4 4x (Zusammenfassen)x2 = 5x | ÷x (Kurzen)x = 5

Wir konnten behaupten, dass x = 5 eine Losung ist. Das Problem wird deutlich,wenn Sie die

”Losung“ einsetzen: 3 6= 3 ) x = 5 ist keine Losung.

Wir werden dieses Beispiel spater nochmals betrachten.

Aussagen

Definition

Behauptungen, die entweder wahr oder falsch sind, heißen Aussagen.

Die meisten Aussagen sind mathematische Aussagen, andere Arten von Aussagentreten im taglichen Leben auf:

•”Alle Menschen, die atmen, sind lebendig.“ (wahr)

•”Alle Menschen, die atmen, sind gesund.“ (falsch)

Problematischer sind Behauptungen, die weder wahr noch falsch sind:

•”67 ist eine große Zahl.“

•”Mathe ist schwer.“

Oft fehlt bei solchen Behauptungen eine prazise Definition.

Offene Aussagen

Die mathematische Aussage”x2 1 = 0“ enthalt eine Variable.

Diese Aussage ist wahr fur x = 1 oder x = 1.Diese Aussage ist falsch fur alle anderen Werte von x .

Wir benotigen also einen ubergeordneten Begriff.

Definition

Aussagen, die von einer oder mehreren Variablen abhangen, heißen offeneAussagen.

Solange wir keine bestimmten Werte fur die Variablen einsetzen, ist eine offeneAussage weder wahr noch falsch.

Implikationen

Eine Kette von logischen Schlussen besteht aus Implikationen.

Definition

Seien P und Q zwei Aussagen, sodass aus der Wahrheit von P notwendigerweiseauch die Wahrheit von Q folgt. Dann schreiben wir

und bezeichnen Q als eine Implikation (Folgerung) aus P . Der Implikationspfeil(Folge-Pfeil)

”)“ zeigt dabei in die Richtung der logischen Implikation.

Andere Moglichkeiten, dieselbe Implikation auszudrucken sind u. a.

•”P impliziert Q“

•”wenn P , dann auch Q“

•”Q folgt aus P“

•”Q, wenn P“

•”P nur dann wenn Q“

( Q⇐ P )

Implikationen

Beispiele (korrekte Implikationen)

1 x > 2 ) x2 > 4

2 xy = 0 ) x = 0 oder y = 0

3 x ist ein Quadrat ) x ist ein Rechteck

4 x ist ein gesunder Mensch ) x atmet

Alle Aussagen in obigem Beispiel sind offene Aussagen. Eine Implikation bedeutet,dass fur jeden Wert einer Variablen, fur den P wahr ist, auch Q wahr ist.

Wichtig

Das Wort”oder“ in der Mathematik bedeutet das

”einschließende oder“.

Mit anderen Worten,”P oder Q“ schließt den Fall ein, in dem P und Q wahr sind.

Logische Aquivalenz

In manchen Fallen, in denen die Implikation P ) Q gilt, ist auch der umgekehrteSchluss Q ) P moglich. In solchen Fallen konnen wir beide Implikationenzusammen in einer einzigen logischen Aquivalenz schreiben.

Definition

Seien P und Q zwei Aussagen, sodass sowohl P ) Q als auch Q ) P gelten.Dann schreiben wir

und bezeichnen P und Q als eine logische Aquivalenz. Das in beide Richtungenzeigende Symbol

”,“ ist ein Aquivalenzpfeil.

Andere Moglichkeiten, dieselbe logische Aquivalenz auszudrucken sind u. a.

•”P ist aquivalent zu Q“

•”P dann und nur dann, wenn Q“ (

”if and only if“ bzw.

”iff“)

•”P genau dann, wenn Q“

Logische Aquivalenz

Oft ist es entscheidender Bedeutung, ob wir einen Implikationspfeil durch einenAquivalenzpfeil ersetzen konnen.

Beispiele (Aquivalenzrelationen?)

1 x > 2 ( x2 > 4, also keine logische Aquivalenz

2 xy = 0 , x = 0 oder y = 0, da auch x = 0 oder y = 0 ) xy = 0 gilt

3 x ist ein Quadrat ( x ist ein Rechteck, also keine logische Aquivalenz

4 x ist ein gesunder Mensch ( x atmet, also keine logische Aquivalenz

Nur in Beispiel 2 konnen wir den Implikationspfeil durch einen Aquivalenzpfeilersetzen, da nur hier auch die umgekehrte Implikation gilt.

Notwendige und hinreichende Bedingungen

Wichtig

P ist eine hinreichende Bedingung fur Q bedeutet P ) Q.Q ist eine notwendige Bedingung fur P bedeutet P ) Q.P ist eine notwendige und hinreichende Bedingung fur Q bedeutet P , Q.

Bei”P hinreichend fur Q“ reicht es, dass P wahr ist, damit Q wahr ist.

Bei”Q notwendig fur P“ wissen wir, dass falls P wahr ist, auch Q wahr ist.

Beispiel

1”x ist ein Quadrat“ ist hinreichend fur die Aussage

”x ist ein Rechteck“

2”x ist ein Rechteck“ ist notwendig fur die Aussage

”x ist ein Quadrat“

3”x ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten“ ist notwendig undhinreichend fur die Aussage

”x ist ein Quadrat“

Notwendige und hinreichende Bedingungen

Es ist wichtig zwischen”P ist eine notwendige Bedingung fur Q“ (Q ) P) und

”P ist eine hinreichende Bedingung fur Q“ (P ) Q) zu unterscheiden:

Betrachten Sie die zwei Aussagen:

1 Atmung ist eine notwendige Bedingung fur eine Person, um gesund zu sein.

2 Atmung ist eine hinreichende Bedingung fur eine Person, um gesund zu sein.

Die erste Aussage ist sicher wahr. Die zweite Aussage ist falsch, weil auch einkranker Mensch noch atmet.

Wichtig

Die richtige Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichendenBedingungen ist notwendig fur das Verstandnis okonomischer Analysen. Es istjedoch bei weitem keine hinreichende Bedingung.

Losen von Gleichungen

Die Unterscheidung zwischen Implikationen und logischen Aquivalenzen ist sehrnutzlich, um Fehler beim Losen von Gleichungen zu vermeiden.

Beispiel (Kette von logischen Aquivalenzen)

Finden Sie alle x , sodass (2x 1)2 3x2 = 2( 12 4x) ist. Wir schreiben

(2x 1)2 3x2 = 2( 12 4x)

, 4x2 4x + 1 3x2 = 1 8x

, x2 + 4x = 0

, x(x + 4) = 0 , x = 0 oder x = 4

Wir haben eine Kette von Aquivalenzpfeilen erhalten, woraus folgt, dass dieGleichung nur durch x = 0 und x = 4 und keine anderen Werte von x erfullt ist.x = 0 oder x = 4 sind hinreichende Bedingungen fur die gegebene Gleichung.

Losen von Gleichungen

Sobald jedoch eine Kette von Aquivalenzpfeilen unterbricht, ist eine Probe dergefundenen Losung erforderlich. Betrachten wir das Ausgangsbeispiel.

Beispiel (Kette von logischen Schlussen)

Finden Sie eine mogliche Losung fur die Gleichung x + 2 =p4 x . Das Setzen

von Implikations- und Aquivalenzzeichen hilft uns Fehler zu vermeiden

x + 2 =p4 x | (·)2 (Quadrieren)

) x2 + 4x + 4 = 4 x | 4 + x (Zusammenfassen), x2 + 5x = 0 | (Ausklammern), x(x + 5) = 0 , x = 0 oder x = 5

Wir haben eine Kette von Implikationspfeilen erhalten, woraus folgt, dass x = 0oder x = 5 eine notwendige Bedingung fur eine Losung ist.Wenn beide Werte fur x in x + 2 =

p4 x einsetzen, sehen wir, dass nur x = 0

die Gleichung erfullt. Die einzig mogliche Losung der Gleichung ist daher x = 0.

Notwendigkeit einer Probe

Warum ist eine Probe der Losung erforderlich, sobald die Kette vonAquivalenzrelationen unterbrochen ist?

Die Implikation x + 2 =p4 x ) (x + 2)2 = 4 x kann nicht durch eine

Aquivalenz ersetzt werden, da im Allgemeinen gilt

a = b ) a2 = b2, aber die Umkehrung a = b ( a2 = b2,

sondern a2 = b2 ) a = b oder a = b.

Kann die Kette der Schlusse nicht umgekehrt werden, ist die Probe eine logischeNotwendigkeit (nicht nur eine Moglichkeit, um die Berechnung zu prufen).

Wichtig

Die Kette von logischen Schlussen hat lediglich gezeigt: Wenn es eine Losungdieser Gleichung gibt, dann kann es nur x = 0 oder x = 5 sein.

Durch die Probe ist zu zeigen, dass x = 0 oder x = 5 Losungen sind.

+ =-4 ⇐ e-

2×2<9⇒ × <3

( -3 < xa)

×?> o ⇐ × > 0

XVHSILO =D × > -3

(-32×20)×4411=0 ⇐ E-0×4-44=0⇒ ⇐ 0 oder y

0×4+44=0⇐ Xzo und -1=0

× -12=54×-137 Il R

⇒ +44*4=4*43 I- 4×-4

⇐> ×?= 9 IM

⇐ × = ±- ± 3

Probe :

3+2=5,54.3-137=5257--5

+=-3 : -3+2=-1,54--313 =M = 1 fLI +=3

1.3. Verschiedenes 1.3.6. Mathematische Beweise

6. Mathematische Beweise

Mathematische Satze (Theoreme) werden als Implikation formuliert

P : eine oder eine Reihe von Aussagen, also Voraussetzungen (Pramissen)(Pramissen beinhalten haufig

”das, was wir wissen“)

Q: eine oder eine Reihe von Aussagen, also (Schluss-)Folgerungen(Folgerungen beinhalten haufig

”das, was wir wissen wollen“)

Wichtig

Folgende Aquivalenz wird haufig bei mathematischen Beweisen benutzt

P ) Q| z

direkter Beweis

ist aquivalent zu Nicht Q ) Nicht P| z

indirekter Beweis

Direkter und indirekter Beweis

Folgendes Beispiel soll die Vorgehensweise illustrieren.

Beispiel

Folgende Aussagen sind aquivalent:

”Wenn es regnet, wird das Gras nass.“

druckt genau dasselbe aus wie

”Wenn das Gras nicht nass wird, regnet es nicht.“

Beispiel (Direkter und indirekter Beweis)

Wir wollen nun beide Beweismethoden benutzen, um zu zeigen, dass gilt:

x2 + 5x 4 > 0 ) x > 0.

Direkter Beweis

Beweisen Sie x2 + 5x 4 > 0 ) x > 0.

Beispiel (Direkter Beweis)

Sei x2 + 5x 4 > 0 ) x > 0.

x2 + 5x 4 > 0 | +x2 + 4 (Addition), 5x > x2 + 4 | x2 + 4 4 fur alle x (Implikation)

) 5x > 4 | ÷5 (Division), x > 4/5

Insbesondere ist dann x > 0. Daraus folgt, dass die gegebene Aussage wahr ist.

Indirekter Beweis

Beweisen Sie x2 + 5x 4 > 0 ) x > 0.

Beispiel (Indirekter Beweis)

Sei x 0. Daraus folgt

) 5x 0 | x2 0 fur alle x (Implikation)) x2 + 5x 0

Insbesondere ist dann x2 + 5x 4 0. Aus der Aquivalenz von direkter undindirekter Beweismethode folgt, dass die gegebene Aussage wahr ist.

Hinweis: Beide Beweismethoden sind Beispiele deduktiver Schlussweise, d. h.Schlussweisen, die auf konsistente Regeln der Logik beruhen.

Im Gegensatz dazu steht die induktive Schlussweise, wobei allgemeine Schlussegezogen werden, die auf (wenigen oder vielen) Beobachtungen beruhen.

1.3. Verschiedenes 1.3.7. Grundlagen der Mengenlehre

7. Grundlagen der Mengenlehre

Eine Menge ist ublicherweise die Vereinigung von Objekten zu einem Ganzen. DieObjekte heißen Elemente (oder auch Mitglieder der Menge).

Die einfachste Methode eine Menge zu spezifizieren ist es, alle Elemente zwischenzwei Klammern

”“ und

”“ aufzulisten:

S = a, b, c Menge S mit den Elementen a, b, c

Beispielsweise, wenn a = 0, b = 1, c = 2, dann ist die Menge S = 0, 1, 2.

Wichtig

Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn jedes Element von A auch ein Elementvon B und jedes Element von B auch ein Element von A ist.

Dementsprechend gilt 0, 1, 2 = 1, 0, 2 = 2, 1, 0 = . . ., also die Reihenfolgeder Auflistung spielt keine Rolle. Ferner ist 0, 1, 1, 2 = 0, 1, 2.

Definition einer Menge uber Eigenschaften

Nicht jede Menge kann definiert werden, indem man alle ihre Mitglieder auflistet.Oft betrachten wir unendliche Mengen in der Volkswirtschaftslehre.

Beispiel (Budgetmenge)

Nehmen Sie an, es gibt zwei Guter, deren Mengen mit x und y bezeichnet seien.Das Paar (x , y) heißt Konsumbundel der beiden Guter. Eine Einheit dieser Guterkann zu Preisen p bzw. q gekauft werden, also ist

Wert des Konsumbundels = px + qy

Der Verbraucher hat den Betrag m zum Kauf dieser Guter zur Verfugung(Budget), daher unterliegt er der Budgetbeschrankung Wert Budget,px + qy m und

B = (x , y) : px + qy m

definiert die Budgetmenge.

Allgemein definieren wir S = Typisches Element: definierende Eigenschaften.

B = ④y) :O Ep XTGY Em

B. = Hey) : Ht#Em , +70,470

Budget restriktion : µ +qy EmWenn wir unvollständig ausgeben gilt :

m⇐ 4=7 -¥ XY ^

(Batter)

:*:° X

Menge der reellen Zahlen , die

kleiner als 5 sind

E- x :X < 5

präziser : S = + ER :X < 53

Teilmengen

Es gibt eine Standardnotation fur die Beziehung von Mengen und Elementen.

Sei S eine Menge, dann bedeutet

x 2 S x ist ein Element von S

x 62 S x ist nicht Element von S

Bsp: S = 0, 1, 2 1 2 S und 4 62 S

Seien A und B zwei beliebige Mengen. A ist Teilmenge von B , wenn jedesElement von A auch ein Element von B ist. Wir schreiben dann

Bsp: S = 0, 1, 2,A = 0, 1,B = 0, 3 A S ,B 6 S

Insbesondere gilt A A (jede Menge ist Teilmenge von sich selbst). Zwei MengenA und B sind genau dann gleich, wenn A B und B A.

Mengenoperationen

Mengen konnen in vielen verschiedenen Weisen kombiniert werden.Vereinigung, Durchschnitt und Differenz von Mengen.

Notation Name Beschreibung

A [ B Vereinigung

Die Menge besteht aus den Elementen, die zu

wenigstens einer der Mengen A und B gehoren,

A [ B = x : x 2 A oder x 2 B

A \ B Durchschnitt

Die Menge besteht aus den Elementen, die zu

beiden Mengen A und B gehoren,

A \ B = x : x 2 A und x 2 B

A \ B Differenz

Die Menge besteht aus den Elementen, die zur

Menge A, aber nicht zur Menge B gehoren,

A \ B = x : x 2 A und x 62 B

Bsp: A = 0, 1,B = 0, 3A [ B = 0, 1, 3 A \ B = 0 A \ B = 1

Disjunkte Mengen, Leere Menge, Grundmenge

Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elementehaben. Das Symbol

”;“ bezeichnet die Menge, die keine Elemente enthalt. Wir

bezeichnen diese Menge als leere Menge. Daher sind die Mengen A und B genaudann disjunkt, wenn A \ B = ;.

Eine Ansammlung (also eine Menge) von Mengen wird als Familie von Mengenbezeichnet. Jede Menge dieser Familien sei Teilmenge einer Grundmenge Ω

(gesprochen Omega).

Wenn A eine Teilmenge der Grundmenge Ω ist, dann ist Ω \ A die Mengederjeniger Elemente von Ω, die nicht zu A gehoren. Diese Menge heißt dasKomplement oder die Negation von A in Ω, alternative Schreibweisen sind CA,Ac , A und A.

Bsp: Ω = 0, 1, 2, 3,A = 0, 1,B = 0, 3A in Ω = 2, 3 B in Ω = 1, 2

µ = 1, 2,3 ,

4, 5,6

A- = 1,2 , 3,4 ,5 .

B = 3,6

A- Eh , B ER

A- UB = 1,2 ,3, 4,5, 63=1

An B =EsAIB = 12 , 4,5BIA = 6 Ä und B- sind disjunkt

Ä = 6,5=1%4,5

Äh 5=0

Venn-Diagramme

Wenn man die Beziehungen zwischen Mengen betrachtet, ist es hilfreich, sog.Venn-Diagramme zu betrachten.

A A A A

B A A [ B A \ B A \ BB Teilmenge von A A vereinigt B A geschnitten B A ohne B

interaktiv

Gegeben sind folgende Mengen:Grundmenge Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8A = 2, 4, 6, 8 B = 1, 2, 4, 5, C = 1, 3, 7

1 ist jede der Mengen A,B ,C eine Teilmenge von Ω?

2 Bestimmen Sie

1 A [ B

2 B [ A

3 A \ C

4 B \ A

5 A in Ω

= 12,456,8 = AUB= % 2,4= 1

, 3,57

Venn-Diagramme

Mit Hilfe eines Venn-Diagrammes konnen wir beispielsweise Formeln herleiten, dieuniversell gultig sind. Wir wollen zeigen, dass fur alle Mengen A, B und C , gilt

A \ (B [ C ) = (A \ B) [ (A \ C )

A- 1,2, 3,4

E- 2,3 , 5,6 ⇐ Es, 4,57 ANBud=An

2,445.673=2,3/4A- 113141-14

= 2,330 3,43=2,3/4

Venn-Diagramme

Es ist wichtig, dass dabei die drei Mengen A, B und C in einem Venn-Diagrammso gezeichnet werden, dass alle moglichen Relationen zwischen einem Element undjeder der drei Mengen dargestellt werden.

(1) (A \ B) \ C

(2) (B \ C ) \ A

(3) (A \ C ) \ B

(4) A \ (B [ C )

(5) B \ (A [ C )

(6) C \ (A [ B)

(7) A \ B \ C

(8) C(A [ B [ C )

Assoziativgesetze fur Mengenoperationen

Wichtig

Die Unabhangigkeit des Ergebnisses von der Klammersetzung gilt fur

A [ (B [ C ) = (A [ B) [ C = A [ B [ C

A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C = A \ B \ C

aber im AllgemeinenA \ (B [ C ) 6= (A \ B) [ C

Betrachten Sie beispielsweise A = 1, 2, 3, B = 2, 3, C = 4, 5.

A \ (B [ C ) = 1, 2, 3 \ 2, 3, 4, 5 = 2, 3

(A \ B) [ C = 2, 3 [ 4, 5 = 2, 3, 4, 5

A1 (Bue ) - (An B) UC

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