Mathematical Olympiads – Euclidean Geometry Problems

[Υπόδειξη: τα τρίγωνα AA΄C , AA΄΄B είναι ίσα (γιατί;) , άρα ΑKA΄B εγγράψιμο, άρα Α΄C κάθετη στην

A’’B (γιατί;). Τέλος (γιατί;)]

Israel – Hungary, 1998

Let Q be the mid – point of the side AB of an inscribed quadrilateral ABCD and S the intersection of its

diagonals. Denote by P and R the orthogonal projections of S on AD and BC respectively. Prove that PQ = QR

[Slovenia 1994]

(Υπόδειξη: Ας είναι Μ , Ν τα μέσα των AS , BS αντίστοιχα. Τότε τα τρίγωνα PQM , RQN είναι ίσα. Γιατί;)

In ABC triangle with AC > AB , the bisectors of meet the opposites sides respectively

at P , Q. Let I be the intersection of these bisectors. If IP = IQ , determine .

[Iran, 2001]

[Υπόδειξη:

Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα AQI , API

έχουμε IQ=2R1 ∙ημ , PI=2R2 ∙ημ

…. άρα ημ = ημ (γιατί;)

…άρα APIQ εγγράψιμο (γιατί;)]

1 2

I

Q

P

Α

Β

c

[Slovenia 1994]

[Υπόδειξη: Θ. Θαλή, Θ. Διχοτόμων, Θ. Ceva]

Από τα όμοια τρίγωνα ΑΜΡ , ΑΟΒ έχουμε

Από τα όμοια τρίγωνα CPN , DΟC έχουμε

Από τα όμοια τρίγωνα CRΡ , CΟΒ έχουμε

Από τα όμοια τρίγωνα ΑSΡ , ΑΟD έχουμε

Από 1η και 4

η ισότητα προκύπτει

ενώ από 2

η

και 3η ισότητα προκύπτει

Ώστε

(China, 1998)