1

Material, form och kraft, F7

RepetitionStång, balk, fackverk, och ramverk

Styvhet Material, form och kraft

Form och kraftfl ödeStatiskt best ämda/obest ämda konstruktioner

Strukturelement

Verkligheten är 3D komplext!Förenklande antaganden om

Last, geometri och deformationerMaterial, t öjnings - och spänningstillst ånd

kan f örenkla analysenI olika strukturelement (modeller) renodlas lastb ärande principer

Exempel: strukturelementen st ång och balk

F

2

Stång - Antaganden

Endast axiell lastRak, prismatisk (konstant tv ärsnitt)Linj ärelastiskt materialEnaxligt sp änningstillst ånd, j ämn f ördelning (endast normalsp änning)Små deformationer vid belastning F

P

P

Linjärt elastisk stång

AE

NL

E

LL

A

N

E

LNN

Deformationssamband

Materialsamband

Jämvikt

3

Balk

En balk kan överf öra både krafter och momentSnittkrafter i balk (3d): (st ångverkan+balkverkan)

Normalkraft (som st ången)2 Tvärkrafter2 BöjmomentVridmoment

Snittkrafter i balk (2d): (stångverkan+balkverkan)NormalkraftTvärkraftBöjmoment

Böjning av balk

4

)( 2

2

A

z

z

dAyI

AyI

Böjning av balk

Normalspänningz

xz I

My

I

1

NedböjningzI

1

Yttröghetsmoment Iz

y

z

Optimal balk = stort yttröghetsmoment=materialet långt från tyngdpunktsnivån

Böjning av balk

A = 16Ay 2 = 20

A = 16Ay 2 = 140

5

Vridning

Vridning orsakar skjuvsp änning

Vridning

Tröghetsmoment tvärsnittets bidrag till bö jstyvhetVridstyvhetens tv ärsnittsfaktor Kv tvärsnittets bidrag till vridstyvhet

Materialet l ångt frå n centrumRör bättre än cirkel med samma A

Slutet tunnv äggigt tv ärsnittbättre än öppet

6

Exempel: stol

Styvhet - Definition

Styvhet motst ånd mot deformationStyvhet kvantifieras som last per deformationsenhet

För given total last F, som ger f örskjutning definieras styvheten som F/ .Enhet N/m, (Nm/rad vid moment -rotation)

F

k=F/

7

Styvhet är en viktig designparameter

Exempel

Styvhet Material, form & kraft

En konstruktions styvhet beror p å:Material

E-modul(er), skjuvmodul(er)Materialets riktning i strukturen (f ör icke isotropa material)

FormForm hos strukturelement (balk, st ång)

Tvärsnitt och l ängdForm p å struktur, orientering och upplag

Hur strukturelementen är sammansatta och belastade, kopplingspunkter, upplag

KraftDragkraft ger ökad styvhetTryckkraft ger minskad styvhet

8

Styvhet Stång

StångMaterial

E-modul (N/ m 2)

FormTvärsnittsarea (m 2)Längd (m)

F F

L

A

Styvhet Stång

L

F FA F

k

Jämvikt F N F

NFN

k

9

Styvhet Stång

L

EA

L

AE

L

A

L

NNk

L

F FA

L AN E

Styvhet - Stång

L

EAk

MATERIAL:Materialets inverkanpå styvheten

FORM:Tvärsnittets inverkanpå styvheten

Längdens inverkanpå styvheten

10

Styvhet Balk

BalkDrag/tryck (St ångverkan)

E-modul (N/m 2)Tvärsnittsarea (m 2)Längd (m)

VridningSkjuvmodul (N/m 2)Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor (m 4)Längd (m)

BöjningE-modul (N/m 2)Tröghetsmoment (m 4)Längd (m)Insp änningsf örhållanden, lastf ördelning (C)

3L

IECk

L

AEk

L

KGk v

Styvhet Balk - Stångverkan

L

EAk

MATERIAL:Materialets inverkanpå styvheten

FORM:Tvärsnittets inverkanpå styvheten

Längdens inverkanpå styvheten

11

Styvhet Balk - Vridning

L

KGk v

MATERIAL:Materialets inverkanpå styvheten

FORM:Tvärsnittets inverkanpå styvheten

Längdens inverkanpå styvheten

Styvhet Balk- Böjning

MATERIAL:Materialets inverkanpå styvheten

FORM:Tvärsnittets inverkanpå styvheten

Längdens inverkanpå styvheten

3L

IECk

FORM OCH KRAFTKonstant som beaktar inverkan av insp ännings -förhå llanden och lastf ördelning

12

Styvhet Exempel

b

h

L

P

EI

PL

3

3

12

3bhI

C=3

3

3

L

IEk

P

Styvhet Form

Exempel: Lastens f ördelning

3

48

L

IEk

P

L/2 L/2 L

C=48 C=76.8

3

8.76

L

IEk

q (P=qL)

13

Styvhet Form

Exempel: Insp änningsf örhå llanden - upplag

3

48

L

IEk

P P

L/2 L/2 L/2 L/2

C=48 C=192

3

192

L

IEk

Styvhet Räkneexempel

För tr äpinnen med El = 10 GPa och må tten 700×25×25 mm 3, beräkna k för:

Axiellt drag

Böjning, 3 -punkt b öj

Böjning, konsolbalk

P

L/2 L/2

L

P

dL

F FA

14

Styvhet Form

Strukturelementens orientering i förhå llande tilllasten:

Tumregel:Böjning vektDrag (tryck) styvtTryck - risk f ör kn äckning

k=EA/L k=EA/L+EI/L 3

Styvhet Form

Seriekoppling/parallellkoppling

Samma f örskjutning parallellkoppling

Samma kraft seriekoppling

ktot=k1+k2

1/k tot=1/k1+1/k2

k1

k1

k2

k2

15

Styvhet Inverkan av krafter

Nedböjningen beror p å normalkraften, NTryck ger stor nedb öjning (vekt)Drag ger liten nedb öjning (styvt)

P P

N N N N

Form och Kraftflöde

I 2D finns 3 j ämviktsekvationer Vi kan med fril äggning och j ämvikt best ämma maximalt 3 obekanta upplagskrafter

R1

R2R3

P=10kN

A B

Fixlager

Rullager

16

Hur kan styvheten ökas?

Form och Kraftflöde

Momentekvation kring A (moturs):R3·L-P·L/2=0 dvs R3=P/2

R1

R2P/2

P=10kN

A B

17

Form och Kraftflöde

Vertikal j ämvikt:R2+R3-P=0R2=P/2Horisontell j ämviktR1=0

P/2 P/2P=10kN

A B

Krafterna best äms enbart med hj älp avjämviktsekvationer

Form och Kraftflöde

Inre krafter p å samma s ätt!Vertikal j ämvikt N2·sin(v)+P/2=0N2=-p/2/sin(v)

Horisontell j ämvikt N2·cos(v)+N 1=0N1=-N2·cos(v)N1=P/2/tan(v) (drag)

P/2

AN1

N2

N2·cos(v)

N2·sin(v)

v

18

Form och Kraftflöde

En konstruktion i vilken kraftfl ödet kan ber äknas endast med hj älp av j ämvikt kallas statiskt best ämdStyvheten i de olika delarna p åverkar ej kraftf ördelningen.

Form och Kraftfl öde

Mekanism Kan ej b ära last, kollapsar.

Statiskt best ämd Alla obekanta krafter kan best ämmas ur j ämviktsekvationerna.

Statiskt obest ämd Jämviktsekvationer r äcker ej.

PP P

Obest ämdMekanism(instabil)

Best ämd

19

Mekanism

P P

Mekanism -kan ej b ära lastFör lite upplag eller För få stänger (ej triangelm önster)

Statiskt bestämd

Tar man bort en st ång eller ett upplag blir det en mekanismPrecis tillr äckligt f ör stabilitet men inte mer Kraften kan inte välja vägKraftfl ödet kan ber äknas med hj älp av endast j ämviktStyvheten i de olika delarna p åverkar ej kraftf ördelningen.

20

Statiskt obestämd

Fler upplag eller st änger än vad som kr ävs f ör stabil konstruktionStång/upplag kan tas bort/brista utan att det blir kollapsKraften kan välja vägDeformationssamband + j ämvikt kr ävs f ör att ber äkna kraftfl ödet Styvheten i de olika delarna p åverkar kraftf ördelningen.

Form och Kraftflöde

Statiskt best ämd map upplagskrafterStatiskt obest ämd map inre krafter

P=10kN

21

Form och Kraftflöde

Statiskt obest ämd map upplagskrafter (1- falt)

L

P