Método dos Elementos Finitos

Sistemas Discretos

Ramiro Brito Willmersdorframiro@willmersdorf.net

  

Bibliografia

Um Primeiro Curso em Elementos Finitos, Jacob Fish, Ted Belytschko

http://www.scorec.rpi.edu/~jfish/fem 

The Finite Element Method – Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, T J R Hughes

Elementos Finitos, Humberto Lima Soriano

  

Programa

Apresentação Aproximação Direta (Sistema Discretos) Problemas 1D – Formulações Fortes e Fracas Aproximação de Funções Elementos Finitos para 1D Formulações Forte e Fraca para Problemas de 

Campo Multidimensionais

  

Programa

Aproximação de Funções para Problemas Multidimensionais

Elementos Finitos para Problemas de Campo Escalares Multidimensionais

Elementos Finitos Para Problemas de Campo Vetoriais

Elementos Finitos para Vigas

  

Avaliação

2 Exercícios Escolares 1 Trabalho Prático Todos com mesmo peso

  

Método dos Elementos Finitos

É um conjunto de técnicas computacionais empregadas para resolução aproximada de equações diferenciais parciais.

Baseado em uma discretização do domínio de interesse, e na imposição da forma da solução desconhecida.

  

Sistemas Discretos

5 Passos do MEF

1.Pré­processamento

2.Formulação dos elementos

3.Montagem do sistema global de equações

4.Resolução do sistema de equações

5.Pós processamento

  

Barras e Treliças

  

Forças Internas e Deslocamentos de Um Elemento

  

Propriedades do Elemento

Módulo de Young: Ee

Seção Transversal: A e

Comprimento do Elemento: le

Força interna no elemento: pe

Seção transversal: Ae

Tensão no elemento: e

e=

pe

Ae

  

Equações Governantes e Restrições

Equilíbrio do elemento: F1eF2

e=0

Lei de Hooke: e=Ee

e

A deformação da estrutura deve ser compatível!

e=

e

le e=u2e−u1

e

  

Deslocamentos Nodais e Deformação

lnovoe

=leu2−u1

e=lnovoe −le

e=u2−u1

  

Deslocamentos e forças na forma matricial

Fe=[F1e

F2e ] , de=[u1

e

u2e ]

  

Matriz de rigidez do elemento

F2e

= pe=Ae

e definição de tensão;

= Ae Ee e lei de Hooke;

= Ae Eee

le definição de deformação.

  

Matriz de rigidez do elemento

F2e = Ae Ee

e

le

F2e

= Ae Ee u2e−u1

e

le

F2e

= k eu2

e−u1

e

k e=Ae Ee

le

e, é claro: F1e=−F2

e=k e

u1e−u2

e

  

Matriz de rigidez do elemento

[F1e

F2e ]

Fe

=[ k e −k e

−ke k e ]k e

[u1e

u2e]

ue

Fe=ke de

{F1e=ke

u1e−u2

e

F2e=ke

u2e−u1

e

  

Matriz de rigidez do elemento

ke=[ k e −k e

−k e k e ]= Ae Ee

le [ 1 −1−1 1 ]

Fe=ke de

  

Equações para um sistema

  

Equações de equilíbrio nodal

  

Equações de equilíbrio nodal

  

Equações para cada elemento

[F11

F21]=[ k 1

−k1

−k 1 k 1 ][u3

u2] para o elemento (1),

[F12

F22]=[ k 2

−k2

−k2 k 2 ][u2

u1] para o elemento (2).

  

Matrizes ampliadas para os elementos

[0

F1(1)

F2(1)]

⏟F̃(1)

=[0 0 00 k(1)

−k (1)

0 −k(1) k(1) ]⏟

K̃ (1)

[u1

u2

u3]

⏟d̃

ou F̃(1)=K̃ (1) d̃

[F1

(2)

F2(2)

0 ]⏟

F̃(2)

=[ k(2)−k(2) 0

−k(2) k(2) 00 0 0]⏟

K̃ (2)

[u1

u2

u3]

⏟d̃

ou F̃(2)=K̃ (2) d̃

  

Sistema global

Na forma matricial: (̃

K (1)+̃

K (2))d=f +r

  

Matriz de rigidez global

K=∑e=1

2

K̃ e=[

k(2) −k(2) 0−k (2) k(1)+k(2) −k(1)

0 −k(1) k(1) ]

  

Revisão do Procedimento

Cálculo das matrizes de elemento Expansão das matrizes de elemento Somatório das matrizes expandidas

Na prática, não se expande as matrizes de elemento, mas se monta diretamente sobre uma matriz global nas posições corretas – Scatter­Add.

  

Montagem direta

  

Equilíbrio do Elemento

d(1)=[u1(1)

u2(1)]=[0 0 1

0 1 0][u1

u2

u3]=L(1) d

d(2)=[u1(2)

u2(2)]=[0 1 0

1 0 0][u1

u2

u3]=L(2) d

d(e)=L(e) d

K (e) L(e) d=F(e)

  

Equações globais de equilíbrio nodal

[0

F2(1)

F1(1)]=[

0 00 11 0][F1

(1)

F2(1)]=L(1) t F(1)

[F2

(2)

F1(2)

0 ]=[0 11 00 0][F1

(2)

F2(2)]=L(2) t F(2)

∑e=1

2

Let Fe=f +r

  

Equações globais de equilíbrio nodal

[0

F2(1)

F1(1)]=[

0 00 11 0][F1

(1)

F2(1)]=L(1) t F(1)

[F2

(2)

F1(2)

0 ]=[0 11 00 0][F1

(2)

F2(2)]=L(2) t F(2)

∑e=1

2

Let Fe=f +r

  

Eliminando as forças internas do elemento

∑e=1

2

Let Fe=f +r

K d=f +r

∑e=1

2

Let K e Le d=f +r

K=∑e=1

2

Let K e Le

  

Neste caso

[k2

−k2 0−k2 k1k 2 −k 1

0 −k1 k1 ][u1

u2

u3]=[

r1

f 2

f 3]

  

Condições de contorno e solução

u1=4 /k(2)

f 2=−4f 3=10

[k2

−k2 0−k2 k1k 2 −k 1

0 −k1 k1 ][u1

u2

u3]=[

r1

−410 ]

  

Particionamento

[k2

−k2 0−k2 k1k 2 −k 1

0 −k1 k1 ][u1

u2

u3]=[

r1

−410 ]

[ K E K EF

K EFt K F

][dE

dF]=[ rE

f F]

  

Solução

K EFt dE+K F dF=f F

dF=K F−1(f F−K EF

t dE)

rE=K EdE+K EF dF

No caso: [u2

u3]=[k

(1)+k(2)

−k(1)

−k(1) k(1) ]{[−410 ]−[−k(2)

0 ] [ 4 /k(2) ]}u2=

10

k(2), u3=10( 1

k(1)+

1

k(2) )r1=−6

  

Equações Triviais

[1 0 00 k(1)+k (2) −k (1)

0 −k(1) k(1) ][u1

u2

u3]=[

u1

−4−(−k(2)u1)

10−(0 u1)]

r1=[k(2) −k(2) 0 ] [u1

u2

u3]=−6

  

Método da Penalidade

[ −k2 0−k2 k 1

k2−k 1

0 −k 1 k1 ] [u1

u2

u3]=[

u1

f 2

f 3]

≫ke

  

Exemplo

1 23

k(1)

k(2)

k(3)

f3 = 5

  

Exemplo: matrizes de rigidez de elemento

1

2

3

K 1=[ k 1 −k1

−k1 k 1 ]

K 2=[ k 2 −k2

−k 2 k 2 ]

K 3=[ k 3 −k 3

−k3 k3 ]

  

Exemplo: mapeamento local global

1 23

K 2=[ k 2 −k2

−k 2 k 2 ]1 3

1

3

K 3=[ k 3 −k 3

−k3 k3 ]3 2

3

2

K 1=[ k 1 −k1

−k1 k 1 ]1 3

1

3

(1)

(2)

(3)

  

Exemplo: matriz de rigidez global

K=[ k1k2 0 −k1

−k2

0 k3−k 3

−k 1−k2 −k 3 k1k2k 3]1 2 3

123

K 1=[ k 1 −k1

−k1 k 1 ]1 3

13

K 2=[ k 2 −k2

−k 2 k 2 ]1 3

13

K 3=[ k 3 −k 3

−k3 k3 ]3 2

32

  

Exemplo: vetores de força e deslocamento

1 23

k(1)

k(2)

k(3)

f3 = 5

d=[00u3

] f=[005 ] r=[

r1

r2

0 ]

  

Exemplo: sistema global

[ k 1k 2 0 −k 1

−k 2

0 k 3−k3

−k1−k 2 −k3 k 1k 2k 3][ 00u3

]=[r1

r2

5 ][ K E K EF

K EFt K F

][dE

dF]=[rE

f F]

  

Exemplo: sistema reduzido e solução

k1k2

k3u3=5

u3=5

k 1k2k3

  

Outros sitemas lineares

Lei de balanço ou conservação para fluxo; Lei linear relacionando fluxo e potencial; Potencial contínuo;

Podemos aplicar exatamente o mesmo procedimento!

  

Sistema elétrico CC

Potencial: voltagem; Fluxo: corrente;

Lei de Ohm: i2e=

e2e−e1

e

Re

  

Sistema elétrico CC

Potencial: voltagem; Fluxo: corrente;

Lei de Ohm: i2e=

e2e−e1

e

Re

Conservação de carga: i1e+i2

e=0

Para um resistor: [i1e

i2e ]f e

=1

Re [ 1 −1−1 1 ]

K e

[e1e

e2e ]

d e

  

Sistema elétrico CC

Continuidade de voltagem nodal: d e=Le d

Balanço global de corrente: ∑e=1

nel

Let Fe=f +r

daí: ∑e=1

nel

Let K e de=f +r

∑e=1

nel

Let K e Le

K

d=fr

  

Escoamento em rede de dutos

Vazão no duto diretamente proporcional à diferença de pressão nas extremidades do duto, para um grande número de regimes de escoamento;

A constante de proporcionalidade depende de vários fatores, porém, se considerada constante, o problema é linear;

Q2e=

eP2

e−P1

e

Q1eQ2

e=0

Q1e=e P1

e−P2e

[Q1e

Q2e]=e[ 1 −1

−1 1 ][P1e

P2e ]

  

Exemplo

  

Treliças bidimensionais

  

Treliças bidimensionais: graus de liberdade

2 graus de liberdade por nó;  4 graus de liberdade por elemento;

Fe=[F1x

e

F1ye

F2xe

F2ye ] d e=[

d1xe

d1ye

d2xe

d2ye ]

  

Treliças 2d: sistemas de coordenadas

Sistema de coordenadas local ao elemento, eixo x alinhado com a barra: tantos quantos forem os elementos;

Sistema de coordenadas global, único; Obviamente, a compatibilidade de deslocamentos 

deve ser imposta no sistema de coordenadas global (bem como equilíbrio de forças);

É conveniente, no entanto, desenvolver as eq. de equilíbrio (matriz de rigidez) no sistema local, inicialmente.

  

Treliças 2d: sistemas de coordenadas e transformação de vetores

x

y

xle

yle

v

vx

vy

e

vx cos

e

vx sin

e

vy cos

e

vy sin

e

v xl e=v x cosev y sin e

v yl e=v y cos e−v x sin e

  

Treliças 2d: sistemas de coordenadas e transformação de vetores

v xle=v x cos ev y sin e

v yle=v y cose−v x sin e

Ou, na forma matricial:

[v yle

v yle ]=[ cos e sin e

−sin e cos e][v x

v y]

  

Treliça 2d: equilíbrio no sistema de coordenadas local

[F1xle

F2xle ]=[ k e −k e

−k e ke ][u1xle

u2xle ]

  

Treliça 2d: equilíbrio no sistema de coordenadas local

É importante observar que, para pequenos deslocamentos, os deslocamentos normais não afetam as forças nodais!

ux

uy

lnovo=leux

e=ux

lnovo=le2u y

2

e=le

−le2u y

2

e0 quando u y≪le

  

Treliça 2d: equilíbrio no sistema de coordenadas local

[F1x

le

F1yle

F2xle

F2yle ]

F le

=k e [1 0 −1 00 0 0 0

−1 0 1 00 0 0 0

]

K le

[u1x

le

u1yle

u2xle

u2yle ]

d le

F le=K le d le

  

Trelica 2d: rotação de forças e deslocamentos nodais

Normalmente, as equações de equilíbrio para cada nó são escritas no sistema de coordenadas global, bem como a compatiblidade de deslocamentos;

É necessário então expressar os vetores de forças e deslocamentos do elemento no sistema global de coordenadas;

Rotacionamos os vetores de cada nó do elemento, como mostrado anteriormente;

  

Trelica 2d: rotação de forças e deslocamentos nodais

d le=Re de

[u1x

le

u1yle

u2xle

u2yle ]=[

cose sin

e 0 0

−sin e cose

0 00 0 cose sin e

0 0 −sin e cos e][

u1xe

u1ye

u2xe

u2ye ]

  

Treliça 2d: transformação de deslocamentos

A matriz de rotação é uma matriz ortogonal, isto é, sua inversa é igual à sua transposta!

Re−1=Ret

Assim:d le

=Re de

Ret d le=Ret Re d e

d e=Ret d le

  

Treliça 2d: transformação de forças

Obviamente, como as forças nodais são vetores também, transforman­se da mesma maneira;

Assim:

F le=Re Fe

Ret F le=Ret Re Fe

Fe=Ret F le

  

Treliça 2d: matriz de rigidez no sistema global

Fe=Ret F le

Fe=Ret K led le

Fe=Ret K le ReK e

d e K e=Ret K le Re

  

Treliça 2d: matriz de rigidez no sistema global

Fazendo as contas:

K e=k e [

cos2e cosesin e −cos2 e −cosesin e

cosesin e sin2 e −cosesin e −sin2e

−cos2

e −cos e

sin e cos2

e cose

sin e

−cosesin e −sin2e cos esin e sin2e]

Aplica-se em seguida o mesmo processo de montagem do sistema de eq. global (matriz de rigidez global).

  

Lei de Transformação

Vimos a utilidade de transformar deslocamentos e forças entre distemas de coordenadas distintos: dispersão e rotação (até aqui);

Pode­se determinar uma regra geral de transformação para a matriz de rigidez do elemento, da qual as duas transformações vistas são casos particulares;

Supondo a existência de uma matriz de transformação de deslocamentos Te

  

Lei de Transformação: matriz de transformação

Sistemas de coordenadas: ⋅ : matriz de rigidez conhecida;⋅ : matriz de rigidez desconhecida:

Supondo:de

=T e de

Fe=K ede

Rotação:d le=Re de

T e=Re

d le=d e

de= d e

Dispersão:de=Le dT e

=Le

de=d e

d= de

  

Lei de transformação: matriz de transformação para forças

Vamos mostrar como relacionar as forças nos dois sistemas, isto é:

Fe e Fe

e como calcular a relação de rigidez:

Fe= K e de

  

Lei de Transformação: trabalho das forças internas

Vamos considerar que o elemento sofra um deslocamento arbitrário e infinitesimal; temos:

Fe : matriz de forças internas de : matriz de deslocamentos

A matriz de forças internas deve ser tal que o trabalho realizado pelas forças internas seja dado por:

W int= d etFe

  

Lei de Transformação: forças internas admissíveis

No caso de um elemento de treliça:

W int= u1eF1

e u2eF2

e

As forças internas que usamos claramente atendem ao requisito anterior.

  

Lei de Transformação: invariância

Princípio fundamental: o trabalho interno realizado sobre o elemento independe do

sistema de coordenadas.

W int= d etFe= d et Fe

  

Lei de Transformação: matriz de transformção de forças internas

Fe=T etFe

d e=T e de

det=T e d et= d et T et

detFe= det Fe

det T etFe= det Fe

det T etFe− Fe=0

  

Lei de transformação: matriz de rigidez

Fe=T etFe

Fe=T etK ede

Fe=T etK eT eK e

de

K e=T etK eT e

  

Exercícios