Post on 16-Aug-2020
�� ����������� � �� ����� �� ������
����������
�������� ������∗
�� � �� ���� ������� ����
��� �� ���� ����� ����
�������� ����� ���
��������
��� ������� ������ �� �� ���� ������� ������� ��� ������� ���������� ���
��� �� ����� � ����� ������ � � ���� ��� ������������ �� ���� ��� �������
�� ��� � ������ ��������� ����� � ������ ������� �� ���� ���� � �����
�� ����� �� �������� ���� ������� �� ���� ����� �� ���� ���� �� ������
���������������� ������� ��� �� � ����� �� ��� ����������� ������ �� ��
���� ������� ������� ��� ��������� �������� �������� �������� �� �����
���� ��� ������ ����� �� �� �� ��� ������ ������ �� ���� �����
�� ��� ����� �� �������������� ! ���� �� ��� ������ �� ��� ���������� ��������� ���� ������� ���������� ���� ���� �� ��� �������� ������ ��� ���� �����
������� ��� �� ��� ������� ������ �� �� ��� ����� "����� �� ������ �� ��� �����
������� �� �������� �� ���� �� ��� ������ �������� ��� �� ��� ������ �� �����
#�� ���$� ��� ������������ ��������������� %������ �� �&��� � ���� ���
�� ��� �� ������� ��� ������ ���� ���� ���� '� ������� ��� ����������
���� ������� ������� �� ��� ������ ����� �����������
∗� ����� ���� ��� ����� ��� ����� ����� ���� ��� ���� ����� ��� ����� ��������
��� ������������ ��� ��� ��� ��� ��������� �������� ��� ����� ���� ����� �� �������� ���
�!�"��� ���� ��� �#����� �������� ����������$ % �������� ������ ��� �� ��� ��������"����$
&�� ����� �#������� �� ���� ����� �� ��� ���������� ��'��� ����� �� ��� (������� ������ )���$
(*��� �������+ �������$��"����,��"$���
�
��� ������������ �� � ��
��������� ������� ���� ��� ����� ������� ����������� ������ �������
������ ������� ������ ����������� ���������� ������ � ����������
� ����������
��������� � ���� � ���� �� ��� �� ���� ������ �� ���� ������ ����� �����
�� � ��� � ���������� �� � ���� ��� �� ��� ���� ������� ����� � ���!
������ ���� ��" ����#�� �� ���" �� ����� � � � ��� ���� ���� ��� � #��!
������� �$%&'� �����( )��� �� ��� ���� ��� ���"� ������� �� � � ��� � � �!
��� � � � ���!��� � �� � �� � " �� ��� �(�( %�����!&��* �� +���� ���,�
-�� � �(� ����� .������ � �(� ���/� 0��� �� �� ����� ��� ���� �� ��� ��1!
2��� "�� �� 3����!3 ���1� ���/�(� .� ����#���� ��� ��4����� � �� �����
� ������� �� �������� � � ���� ������" � � ����� "� �� � ������ � � ���
�� ����� �� ���!� �� �� �� ��� ����� �� � � � � ������(� 5 ���������� � �
�������� ���� �� � � ���� ��� ���� �� ��������� �� ���!����� � ��� ����!
����� ���� ����� � ��� ��1!2��� "�� �� 3����!3 ���1 ����/�� .����
� �( ����/� �� -�� � �( ������( 5 ���� ��� �� ��� �� ������ ���� � �
�� �� � ��� ������( ��� � ���� .���� � �( ����/� ������ �� ����� �� �!
������ ��� ��� �� � � ������ �� ��������� ������ ������ ��� ��� �������� ������� ��� ������ ����� ����������� �� ��� ���� �������� �� ���� ����� ��� ������� ��� ��� ���� �������������� �� ��� ����������� ���� ������� �� � ����������! ��� "�#� �� $�� %���������� � �& � � ������ �����& ������� ����������� ����'��� ���� ������ ����������! ��� "�#��� $� �� ���� ������ %����� ��� (����� �� ��� ���' ��' �� ��)� ������ ����� ������������* � ����������! ��� "�#� �� $� '��� ��������� ��� �������)������� ����& +������� �� �� � � ���' ��' �� ������� ������ ����� ������������ ��� ����� '�� ��� ������ ��)�
��� ��� ����� '� ����� �� ���#�� �� ��� ��������� ���#�� �%,�����& �--.& �� ���& ���&� ������ �� / �0 �����& �� ��� ���������� ���#��� �� ������& '� ������ ������ ���� ������� ������� ������ ��� ����� ����������� �1�#�� ���� ���� ��� ���� �� ����������� ���� �������� ���������� ���#� ����� (�& �--$�� �� ��� ���� ��� ����� �� ����������� �� ��� ������������ ������ ��� ���� �� ����������� '��� #� ������ #� ��� ��������� ����� ���)�� ���#������� #��'��� ������ � ��� ����� ���� '�� �2����� ���#�� ���������� (��������& ���� ����� ��� ������#���� ������� �������� ���� '��� ��' �� �� ��)� ���������� ��������� �����#� ��������� �� ��� ���� ������� �������
6
���������� ��� ������� ��� ���� ��� ������� ��� �� ��� ������� �� �� ��� ������
������ ��� � ����� �� ��� ��� �� ������ ����� ������������ ��� ���� � ������!
�� �� " ������� ����� #�� �����!���� ��� �$ �� %��� ����� ��� ���� ���� �����
� �������� � ��� ���� ��� �� ��� ������ �������� & ��'����� ������� �� $����#��
� (������� ��� ) ������� ����*�� #� ������� � ������!����� ��� ���� �����" �
����� �� �� ��� ����� �������� �$ �� �����!����� ��������������� +� ��� ����� ��
� ���� ������ �� �� ������� �� ���� �� �������� ��� �����!���� ��� �$ ��������� ��
��� ����� ����������� �� �� �� ���� ��� ��� ��#�� ����� ������ ,��� �����
���� ��� ��-� �� �������� ���- �� �� ����������� $� �������� �� ���� ��������
& �� ��� #� %�� �� �� ������� ������
+� ��� ����� #� �����# $��� �� �������!���������� ������� �� �� ��# ���
������������ .)/0 ������ ��� �� ����� �$ ������ ���������� ��� ���� ��!
������ ��� ����� ��� ��� �� ��� ������ ������ ��� ��� ������� � ������ �� ��� �� ��
%��� ����� � ������ �� ������� &� ��������� � 1��� �� ����2� �� 3� ���� �� ���
����� #� ��� ���� �� ����� 4�5 ������ �" ������ #��� �� 4���!������5 ���� �������
��� �� ������ �� ���� ��� " ����������� 6� ��# ���� ������� �� � � ��������
����� ��� ���� ���� ��� ��� �� �������� ���� �� ���� ������ �$ �� ���� �����
#��� �� ������� ����� �� �������
)����� ���!������ .)/0 ������ � ���� ������� ������� ���� ��� �� ������
������ ������ ��� ��� � ��� ���� ��� ����� ���� �� ������� �� ��� �� � ��� ������ ����� ������� �� ������ ��� �� �� � � ���� �������
��������� ��! � � "��� ����#� ���$ ��� ����������� ������ � � �� �� ��� ��� �� %�������� ��� ���� ��� ������ ����� �� ��� � �� �� �������� &���������� ��� ������� �� �������� ���� ������ �� ��� ������ � ��� $��� ���������� ������ ��� '�� � �( ������� ����� ���� ����� ����)������ � * ��� � +��� "��� �� ���� � ��� ��� ��� ���� ���� �� ���
�*� �� ������ � �� ����� ���� ���� �� � ���� �� �� � $���� ��� ������ � ������� � ���������� �� �������� � ��� ,��� ��� $� ��� �� ������� � ����� � ��� ����� ��������� ��� ����������� ����� ����� �� ��� ������ � ��� ������� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ����� �� ��� ����� �� ������ � � ��� ���-��� � ������� �� ��� ����������� ����� ����� �. ��� ���� ����� �� ���� ��� ���� � �� ����
7
��������� ���� �� ����� ����� ����� � ������ � ��������� �����������
� �� ������� ������ �������� ��� ��������� �� ���� ��������� ��� ��������
������ � �� ���� �� �� ������ ���� �� �� �� �� �������� ������� � ������ � ��
���� �� ������������ �� �� ����� �� ��� ������ ���� �� �� ���������� ������
�� ������ ��������� ���� ��� �� ������� � ���� � �� ���� !���" ���
#���� $%&&'( �� �������� �� ���� �� ���� ������ ���� �� ��� )�� ������������
���� ����� �� �� ����� ������� �� �� ����������� ���������� *������ �
+� � ��� $%&&,( �� �� �� ����� ��� �� �������� � �� �� ������ ������������
�� �� �� ����������� ����� �� ����� � ����� � ��� ������� ���������� )�
���� ������ ��� � ����� � ��������� ����������� �� �� �������� ��� ��
������ ��������� ���� ��� �� ��� �� ������� ������� �� ������� ��������
��� �� ���� �� �� ��� ����������� -� ��� ������ �� ������� �� ��� ����� �� ��������
� �� �� ��� $%&&&(� .�� ��� .��� $%&&%(� ���� !���" ��� #���� $%&&'( ��
�������� � ��� $%&&/(� ���� ������ ������� ���� �� ���� ������ ������� �� �
��0���� ����� �� �� �������
)� ���1 ������� �� ������ �� ������� �� �� ���������� ���� ������� ��
��� ������� ��� �������� �������� ���� �� ��������� ��������� �� 2���� $3445(�
6��� $344%( ��� 2���� $3443(� ���� ������ 7� ��������� �� ���� �� �� ���
�������� ���� �� ��������� ���������� �� �� ������� ��������� �� ������ ��
�������� �� ���� �� �� �� -����� 8������ ������ ��� �� ������1� ����� ��
��������� $2����� 3445 ��� *������� %&&/(� �� ���� �� ���������� ���� ���
�� 9�������: �������� �� �� �������� ���� ��� �� ����� ���������� ��� ��������
�� ����� � ���������� ���� ������� � ����������� �����;���� -� ��� �����
��� ����� �0��� � ��� � ��������<� �� 9�������: �����;�� ��������� �� +� � ���
$%&&,( ��� ������ ����� ������������� =��� ��������� ��� ����� ������� � ���
���� �� ��������� ���� �� ���������� �������
5
������� ��� � ������� ����� ����� �� ��� ���� � ����������� ���� �� ����
�� ������ � ������� �������� ��
�� ��� ����� �� ����� ��� �� �������� �� �� ��� ���������� ���� ���� ����
��������� ��� ������ ���� ��� ��� � �� ����� ���� � ����������� ��� ���
�� �������� � ��� ����������� ������� � �� ������������ ��� ���� !"##$%��
&�� �� � � ��� ����� � ����'�� � ���� � ������ " ������ �� ������� �
��� ���� ������ �� ������ ������ ( �� �� � ��� ��)������ ������� ��� ����
����� �� ����� ��� *������+ ��� ������ � ��� ���� ��� ����� � ����
����� �� ������� ������ ����� ������� � �� � ��� �� � ���� ������� �
������ ������ $ ������ ��� ������,�� � � ����� ��������� -��. ����� ������ /
�� �� � �� ��� ��� ������� ��� ��� �� � �� ������ ���� ��� ���� ����� ��
����� � ��� ���� � ������������ ������ 0 ������� �
� ��� ������ � ���� � ������
�� ��� ����� �� ��� ������ ��� �� ���� ������ � ��� ������ ���
EtF (zt+1, zt, σεt) = 0 !1%
����� F � � � ��� � ��������� ���� ��� ��)������ �,����� ������� ��� �� �
���� ������� � ���� 2 ������ � �� ���� �� ������ ��� ���3�� ������� ���
����� � Et � ��� ������������ ���������� ������� εt � � ����� � �����
���� ��� ����� ���� � ���� ���� �� � ����� zt � � ����� � ������
�������� ��� σ � � ��������� !��� ����������� ���������% ��� ���� �� σ = 0 ��
��� �� ������� �� �������� � � � ��� �� ��� ����� �� �������� ��������� ���������� �� �������������� ������ ���� ������� � ������ �� ��� � � ��� ����� �������� �� ��� � � � ������� ���������� ������� � � ����� �� ���������� ���� �������� ������� � � ���� ������������� ��� ���� ����� �� ����������� � � ���������� ����� �� ������� � � � ���� �� � ������������ � � ������� �������� ��� � ��� ��������� �����������
���� ��� ������ �� � �� !�� "#$%$& � '���()���� "#$%$&�
0
���� ��� �� ��� �� ���� ��� � ��� � �� ��� ��� �� F (·)�� ��� ������� ��
�������� �� ���� ������� � ������ �� ������� ���� ����� ����� �� �������
� ���� �� ����� �� �� ��� � � �� �� ������� ���� ���������� �� ������
!��� ����� ����� ���� ��� �� ������� ����� � �� �� �� �� �� �� �
�� ����� �� ��� � � � ���� �� �� �� ����� ���� ��� ����� � ����������� "� ��
��� ������ � ���� ����� �� �� ��� ��� � � �� ������� � ����� ���� �� ��
���� ���� � ������ �����
"� ���� �� ������� � �� ��� � �� ����
yt = f (σ, yt−1) �#�
� � � ����� � ������� �$����� �%%& �� '������� #((�����
������ � ������) �� � yt� �� � ���� �� ���� �#�� �� �������� �� ��� �� ��
�� ������ ���� � � ��� σ� * � ������� �� � ������� ���� �� ���� ��������
����� σ = 0� +������� �� ! ����,� ����� � ����� �� ������� � yt ����� ��
���� �� �������
yt = y(0)t + σy
(1)t + σ2y
(2)t , �-�
��� (x) ����� �� ���� x �� ������� ���� �� �� �� ��� ��� y(0)t = O (σ0)
��� .���� �� � y(x)t �� ����� ��� �� ���� �� �� ������ ���� � � ������ "�
����� ����������� �� � ����� �� � �� �������� ���� �� ���� ������� ����� �������� ��� ���� ����� ���� ���� εt+1 �� ��� ��� �� � � �������� �������� �� �� ������ zt�
��� �������� �� ����� � ���� ��� ����� � �� �������� � �� ������� ��� ������ ���������� �� ����� ��� ������ �� � �� ������� f � ������ �� ������� �� ����������� �� �� �� ����� �� � ����� ��� � ���!�������� "��� ��� �������� �� �� �������������!����� ��� ������ �� � ������� #������ ����� ��� ������ ��� ��� ������� �������� ��� ���� � ���� �� $�� %&''()�
���� � �������� ��� �� ����������� ��������� �� ��� �� �� ������� %���� *������ (++,)� ��� ��� �� �� �� ������ ��� ��� i �� �� �������� � �� ������ �� i %i!)� � ������������� ����� �� ����� ��� ������� ���� �������� � ��� ������� ������ ��� ��� �������������������� �� ����� �������� ���� �������� �� ����� ��� �� ��������� ����� � ������ ���� �� �� ��� �����
�� *����� %(++,) �� ���� %(++-� �� ,(.) ������� �� ��� �� ���� ������ ������������� ���� ��
/
�� �������� �� ���� ���� ���� ������������ �� � ����� �� ���� ������ �� ��
������ �� ��������� ��� �� �� ���� ���� ��� ����� � y(x)t ��� ! ���"���"�� �# $yt (σ)%
���� ������ �� σ ��� σ = 0�&
'�(�� �� �� � � �(����� �# f (·) ���� σ = 0 ������� ���� y(0)t = y0�
f (σ, yt) ≈ f (0, y0) + fσσ + fy (yt − y0) +1
2
(fσσσ
2 + fyy (yt − y0)2)+O
(σ3
), ���
����� #�� ��������� �� ��"� ������ ���� fσy = 0�
)����� �*������ �+� � ��� � ��� ���,��� ������� �-��
y(0)t + σy
(1)t + σ2y
(2)t =
f (0, y0) + fσσ + fy
(σy
(1)t−1 + σ2y
(2)t−1
)+1
2
(fσσσ
2 + fyy
(σy
(1)t−1 + σ2y
(2)t−1
)2)+O
(σ3
). ���
!.� �*����, �� � ������& �/������ ����� �� -�� �� ����� ���� ��� 0��� �� �� ��
y(0)t = f (0, y0) ,
���� ��� 1��� �� �� ��
y(1)t = fyy
(1)t−1 + fσ +O
(σ2
),
� ���� ��� ��� �� �� ��
y(2)t = fyy
(2)t−1 +
1
2
(fσσ + fyy
(y(1)t−1
)2)+O
(σ3
).
2����#���
yt − y0 ≈ σ(fyy
(1)t−1 + fσ
)+ σ2
(fyy
(2)t−1 +
1
2
(fσσ + fyy
(y(1)t−1
)2))
. ���
��� ���� yt = y(0)t + σαy
(1)t + σ2αy
(2)t + . . . . ������� ���� ����� �� ���� ������ ���������� ��
������� ��� ���� �� �������� ������ ��� ��������� �� �!��� ���� ��������� ���� �� ����"��������� ���� �� �#������� �������� ��� ����$ ���� �� ����� ��$��%� ������ ��� ���� �������� ���$ � ��&������ � ���� �$�� � �#��������� ��� �#������ α �� �� ��' �� � ���� &�#�"���$�()� ���� ����� '� ���� ��$ �� ��� ���� � α = 1� ������� ���� ���� ��� "� ��� "��� ������ ���������
�
������ ���� ���� �� ��� �� � � ����� ���� � �� �������� ���� ����� ������
�� ��� ����� � � ��� �� ��� ��� ���� ���� ���� ������ �� O (σ3)���
�� �� ������� �� ������ ���� �� ����������� �� ��� ����� �� ��� ����������� ��
��� ����� ���� �� ����� �� ����� ������������ ��� ��� ������ �� σ� �� ������ ��
�� ��� ���� ���� �� yt �� ��� ���������� ������� � ��� ��!� �������
��� ��� ��������
��� ������������ �� ��� �������� ������ �� ��� �� ��� ����� ������� ���"
����� �� ���� ����� ������� �� #��� � �� $������� � �%%&� ��� ����� ��
����� ��� ����� "� � ��������� �� �������� �� ��������� ���� y0 = 0�
yt = fyyt−1 + σfσ +1
2
(σ2fσσ + fyy (yt−1)
2)+O(σ3
), �&�
���� ��� ���������� ��� � � �� ��� ����������� �� ��� !��������
'� �� ��� ��%%(�� ���� ������ ������)� ���� ���� �������� ���� �������
������� ������� �� ������ � �� � ���������� �� ����� ��� *�"� � �������� ��
������ ��� ����"�� ��� ���� +� �� ����� � � ���� ���� �� ��� �������
!������� ��� ��� �������� �� ��� ��� ���� � ������ �� ���� ����� �� ��������
����� ������ ������� �� � ��� �������� �&� ����
y(2)p,t = fyy
(2)p,t−1 + σfσ +
1
2
(σ2fσσ + fyy
(y(1)p,t−1
)2)+O
(σ3
). �(�
��� �������� ,�- ������ ��� ���� ��������� $��!��� ���. � ��� *�� � �
���� ���� ����� � ������ ��� � ��� ��� � ��� ��� � ������� � ����� �� σ ���� ������� ������ � � �������� ��� ��������� ������ � ��� ���� �� ��� �� ��� �� ��������� ���� � ����� �� � ���� ������� ������ �� ��� �� �� � � ����� ���� ��� ������� ���� � ����� �������� �� ���������� �
��!��� ����� �� ���� ��� ���� �� �������� ������ ��� � �� ������ �"� � ��� ��� ������� ������� �� σ ��� ��� ������ �� ���������� �� �� ��� ������� � �� # ���� ���� ������ ��� ����� � ���� ��� ������ ����� ��� �� ��� ��������
��$����� ��� ��� ����%��� ���� ������� �� σ �� ����� ��&��� �� � ��� ��� ������� ���� ������ �� � �� ����� �� ��� ��� ����� � �� �� ���� � ���� ��� ����� � �� ��
/
�������� � �������
y(1)p,t = fT
y y(1)p,t−T + σ
T−1∑i=0
f iyfσ, ��
����� ��� ���� ��� �������� �� ������
y(2)p,t = fT
y y(2)p,t−T + σ
T−1∑i=0
f iy (fσ) + σ21
2
T−1∑i=0
f iy
⎛⎝fσσ + fyy
(y(1)p,t−1
σ2
)2⎞⎠ . ���
��������� ��� ������ �������� �� �������� �� ������
yt = σfTy y
(1)t−T + σ2fT
y y(2)t−T + σ
T−1∑i=0
f iy (fσ) + σ21
2
T−1∑i=0
f iy
(fσσ + fyy
(y(1)t−1
)2). ���
������! �� ���� �� |fy| < 1! limT→∞ y(2)p,t = yt" #� ������� ��� ����������� �����
��� �� ��������� ������� �� ��� ������� ����������" #� ������� �$������� ��"�" �������
��������� �� ������������� ������� ������ ����� ������� ��� ������ �$��������
�������� ��� ���� ������� �����"��
%��� ������ ���� ������� ���� �������� �& ���� ��� �������� ��� ���� �������� ��
��� ����� �� ���������������" %��� �� ���� ��� ��� ����'(��� ��(� �� ��� �����������
��� �)�� ��� �������� ���� ������ ���� ��� �������� ������� ����� ��� ������ ��
���)�������! �"�" *���� �� ��"! +��� " ,)������ ����� ����� ��� ��� ����������
�����$��������! ��� ����������� ����� ���� )������� �� � ������ ��� ��(� �� ���
�����������"
#� ����� �� ���� ������ ��� ����������� �-��� ����������� ����)������ ��� ���
.������/ �������������� �� ��� �������� �� �� ������ ����� �� �����$�������" 0�)'
���������! ������� ��� � ��� ����! �� �������! ��� ������ ����� �� �����$�������
��� ����)������ ���� ��� ����"
����� �������� �� � ����� ������ �� ��������� ������ � ���� ��� ��� ������ �� ��� ����� �� ����� ���� �� ��� � � �� � ��� ��! ���
�� ��"� �� ��� ��� � ���� � � � ��� ��� �fy� � ��� � �� � #��� ������ �� ����"� ����
��
��� ������� � �� ��� � �� �� ��� �������� ���� �� �� � ��� ��
� ����� �� ���� �� �� ��� �������� � �� �� ��������� �� ���� ����� � ��
� ��� � � ���� ���� ������� � ������ ����� ���� �� �� ���� ���� � ���
!��� ��� �� "���# $%&%� ��� ���� �� �� ����� ��� ��� ����� � �����
� ��� ����� �� � ��� ��� �����# ���� �� �� ' �� ������( �) ��� * � �
�$%%+� ���� � ����� �,-� ��� �� �� �������� � � � � � ��� �$%%.�� ���
��� ��� ��� ������ � � ����� �� /��������0 � ��� � � �� �������� �11��
"� ��� �� � �� ��� 11 ��� ����� ���� ���� �� �������� 2������
�� �� �����# ����� ,- ����� ����� �� ��� � � /��������0 ���� �� ��
�� � ��� ������ ��� ������ "� � ��� �� �� �� ��� ��� � ����� � � �
�������� ��� ���� �� �� �� ���� ��� �� ����� ��� �������� �� 3�����
11 ��� ����
� ������ ������ � ������ � ������ ������
�� ����������
4 ������ �� ���������# 5�� � ��� �$%%6� ���� � ���� � /� �����0 ����
��2�� �� ���� �� �� ���� � �� ��� ������ ��������� �����7 ���� ��� ������
� �� � ���� � �� �� ��� ��� � ���� � �� �� ��� ����� � 8 � �� � ���
� ������� *� ����� �� # /� �����0 ��� �� �� ������������ ���� � �
�2�������� � ����� �� � ��� ������# /� �����0 �� ����� � ��������
� ���� ���� � �� �� ��� ��� � ���� � ��� � �� ��� ������� ���� ����
���� �� � ��� ������������ ����� � ��9� ���� �2������ ,��� ������# �� ����
� �� ����� ��� � ���� � ���� ��# ���� �� �� 8 � �� �������� �� �� ��� :�
�� �� � �# �� �� ������������ ���� � ��� ��� �� ���� � ��� �� � ��� ���
����� 4� �� � �# �� ���� ��# �� /� ����0 ����� ���� ��9� � � �� �����
&&
�� �������� � �� ��� ��������� ���� �� �� ��� �� �� �������
����� � ���� �� ����� ���� ����� ������ �� ������ yt ��� � ���� �� � ����
� ����� ����� �� ������ xt� � ������� � � ����� �� ������� ��� �� ���� ����
�������� �� ����� ����� �! ��� " ���� #$$%�&
yt = g (xt; σ) , ��#�
���
xt+1 = h (xt; σ) + σηεt+1, ��'�
�� � z′t = [x′
t y′
t]�
(� � ��)� �� ��������� ������ �� � ����� � yt ��� xt � � ����� �� *���
� �� � �� ��� �������� �� h (·) ���� ���� � � +, ���� ������
h (·) ≈ h0 + hxxt + hσσ + σηεt+1
1
2hxxx
2t +
1
2hσσσ
2 +2
6hxσxtσ +
1
6hxxxx
3t +
3
6hσσxxtσ
2 +3
6hσxxσx
2t +
1
6hσσσσ
3 + · · ·+O(σn+1
)-�� ��������� � �� �� �����
h (·) ≈ h0 +
[hσσ +
1
2hσσσ
2 +1
6hσσσσ
3
]+
[hx +
2
6hxσσ +
3
6hσσxσ
2
]xt + σηεt+1 +[
3
6hσxxσ
]x2t +
1
6hxxxx
3t + · · ·+O
(σn+1
)� � �� � �������� ���� ��������� � ��� �������� ��������
h (·)− h0 ≈ D + Axt +Bx2t + Cx3
t + σηεt+1 + . . . . ��%�
*�� �� � ������ �� �������� �� � ��� ������� ������� ��������� �� �
��� �� � �� �� � ����� ����� ����� -��� ��� � ��� �#$$.� �� � �� � ���
�#
���� ����� ��� ���� �� ����� ��� �� � � �� ��� ������ ����� ������ �� ������ ��
��� ������ �� xt � �� ����� �������� �� ����� ��� �� xt �� ����� ������ �����
x(3)t+1 = h (·)− h0 ≈ D + Ax
(3)t +Bx
(1)t x
(2)t + Cx
(1)t
3+ σηεt+1 + . . . . �!"�
#�� ����� �� ���� ��� ����� �� ��� ��� �� �$���� �� ������ �%
h (·)− h0 ≈ σx(1)t+1 + σ2x
(2)t+1 + σ3x
(3)t+1 + . . . , �!&�
�����
x(1)t+1 = hxx
(1)t + hσ + σηεt+1, �!'�
x(2)t+1 = hxx
(2)t + hxσx
(1)t +
1
2hxx
(x(1)t
)2
+1
2hσσ, �!��
x(3)t+1 = hxx
(3)t +
3
6hσσxx
(1)t + hxσx
(2)t +
3
6hσxxx
(1)t x
(1)t +
1
6hxxx
(x(1)t
)3
+1
6hσσσ , �!(�
�����
#�� )�� � *������ ������� ��� ��� ����� ��� �������� ��� � �������� � ���� � ��
������� ��� #�� ��� �� �$���� �� ������ ��� +��� �������� ����� ������ ����� ���
�� ���� �� ��� ,��� ����� ����� �� � �������� ����� ������� #� � ������ ���� ���
�������� �� ���� ���� ��� ��� ���� ��� ��������� �� �� ��� �����
- ���� ��������� ��� �����$ ����� ����� ��� � +�� �� �.��� ��� �!"� ��� �!'� ��
�!(� ��
x(j)t = Φjx
(j)t−1 +Bj,t, ����
����� ���� � ���� ���� � ���������� ��� ������� �� ����� ���� � �������� ���� ����� ������
!/
����� x(j) �� � ���� �� � ���� ��� ���������� Φj �� � ����� �� � �� ����
�� �� Bj,t �� � ����������� ������ � ���� �� �� x(j) � � j �� ��� �� ����� ��
����������� � ��� � �� �� ��� �� ������� � � �� �� � ���� �� � ������
����� � �������� �� �� ������ ��� �� Φj �� ����� �� ���� ���� �� ������ ��� ����� �xp,j
t � �� ��� ������ �� �� ����� �� �� ���� �� ��������� ���� xp,jt =∑n−1
i=0 ΦijBj,t−i� �� ����� �� ����� �� ������ ��� �� �� �� ��� �� �� �� �����
�� �� ���������� ��� �� �� ������ � �� ������ ���� x(j)t = Φn
j x(j)t−n + x
p,jt �
���� ��� ����� ������� ���� �� ����������� ��� ���� � � ������� ������
���� !"�������� #$$%� �� #�& �
'�� � ���� ������ � � ������� � !"������� �#$$%� �� �� �� � ��( � ��)����
������) �� ��������
��� � �� *)��� ��� �� ��)�������) ����� �� limt→∞ x(j)t = limt→∞ x
p,jt < ∞�
����� ��� � ������ ����� limt→∞ xp,jt �� � ���������) ��������� ���
+���� ����������� �� �� ���� ���� � ��� ����� �� �� ����� v � �
w� ��� nv � � nw ����� � ���������)� ����� �� nvnw ���� ������ �� ��� ��
����� � � v ��� ��� �� ����� � � w� ���� v⊗w = [v1w1, v1w2, . . . , vnvwnw
]′� ����
� �� ������� � ) ����� �� ���� ��� � ) ����� �� ������ ,� �� �) n ��
����� �� ����� ��������) ��� ��� � ������ � �� � ��� ������ -� ��� ��
� ��� ����� � ����� � ������� ����� �� �� �� ����� � ��� ������ -� �
�� ��� �� ������� � ������
����� � �� ��� ����� ������ ������� �� ��������� � ��� � ������� �� ����� ��� ������� �� �� ��� ������ �n!�� �� ���� � ��������� � ��� � ∀n�
�������� ���� �� �� ��� � ������ ������ ��� �������� ��� ������� ���������� �� ��� � ����
��� ��������� � ������� ���� �� �� ������� �� �� ��� �� ������������ ������ ��� ���
#.
����� ��� ����� ����� ���� ��� ���� ��� ��� �� � ���� ��� ����� �� ��� ����� � ��
�� �� ���������� ��� ���� � ����� �� ��� ����� � �� ��� ����� �� ���� ��� ����
�������� ����� ���� ��� �� !"#� ��� ������� $� n! ����� ���� ��� ����� �����%�
���� ��� n → ∞� �� � ��� ��� &���� ���$�� a� limn→∞
an
n!= 0�
'������ � ��� ����� �� ���� ��� �������% ����������(
���������� ������ ���� ��� �� �� �� ������������ �� ������ ��# ���� �� ���
����� �� ������ ������� � �� ��� ����� �� �������� �������� ������� ��
������� �������� � �� ��� �� �� �� ������������ �� �� � ���� �� �� ������ �
��� ���� �� ������� � )#� ���� ��� ������ �� ��� � ������ ������ �� �������
���� �� �� �� �� �� � ��� � ����������� � ���� � �� ��� ������ ��� �� ��� ������
Φj �� ����� ��� ��� ���� �� ∀j�
����� *� ��� $�� �� +���� � ��� �� +���� � �������� ���� ��� &�� �����
���� � �������� ���� ��$��� � ,�� ���� ��� ���� ����� ����� ����� � �� ���
&�������� ������� �� ��� ������� $� ��� ���� ����� �� ������ �n!# �� � ��� ��&���
����� � t → ∞� ��� ��� ������� ����%�� n� -�� � ��� ��� ��% ��� � �� ��� � ���
����� ������� � � ������ ������������� �� � ��������� ����� ����� � �� &��������
�������� � ���� ������ ���� ��� � ��� ����� ������� � �������� ���� ��$�� �
���% � ��� ��%������� �� ��� Φ2 �����. ��� ����� ��� ���� �� ��� �� ��� � ��� ���
��� ���� ����� ����� ����� � �� ��� � ��������� ������� �� ��� ������� $� ��� ����
����� �� ������ �n!# �� � ��� ��&��� ����� � t → ∞� ��� ��� ������� ����%�� n�
-�� � ��� ��� ��% ��� � �� ��� ����� ����� ������� � � ������ ������������� ��
����������� ����� ����� � �� &��� ��� � ��������� �������� � ���� ������ ����
��� � ��� ����� ������� � �������� ���� ��$�� � ���% � ��� ��%������� �� ���
Φ3 �����. ��� ����� ��� ���� �� ��� ��� � �� . . . �
/� ���� ���% �������� ���# �� ���# � �� ���� Φj = hk ∀j� -� ��� ����
�����.������ ���� � �������� ���� ��$�� � ���% � ��� &�� ����� ���� �
�0
����������� ����� ���� �� ��� �� |hk| < 1� �� ��� ������� ��� �������� ��������
�� �������� ���� �� �������� �� ��� ��������� A ���� �� ������ �� ��������
���� hk� �� �������� ����� �� �� ��������� ���� |A| < 1 �� ���� ��� ������
��� �� ������� ���� ��� ������� ��� ������� ������ ����� ��� ����� ����
�������� !���������� ��� "������# ������� ������ ���� ��� �������� ���������� ��
��� ������� ������ ��� ������ �� ��� ������� �� ��� �$������� ���%�& ���� ��
��� ��� ��� ��� ��� '( ��������
)������$ * ����� ���� ��� ��������� ������� ����� "�������# ��� ��� ������
�$������� ������ �� ����� ��� ������ ��� ����� �� �����$�������& ���� �� �����
����� �� �� ��� �����$ ��������� ��� ����� ����� ���� ��������� ��� ��������� ��
������ ����� �� ��������� ����� �� ��������� �� ��������� �� ��� �����$ ����
����� ������ ����� ��� �� ���
� �� ������ ��� �� ������� �� ��� � ��
�� ���� ������ �� ���� ��� ������ �� ������ �$������� �� ��� +�� *����� ,�����
-���� .��� ���� ��� ��� ���� ���� �� /��� ��001� 2������� ��� '��������
�3445� ��� '����� ,���6 ��� 7���� �3448� �� ���� ��� �� ���� ����� �����$�
������ ���������� 9��� ���� �� ������� ��� � ����� ����� �����$������� ��
)������$ * �� �$���� ��� �����$������� �� ������ ������� !���������� ����� ��
���� ��� �� ��� �$������ �������� ����� )����� �� �� 344:� �� ���� ���� ���� ��
��� ����� �� �����$�������� .��� ������ ��� ��������� ���� ��� ������� �� ��
����� ������� ����� ������;����� �� ������� �� ���������� ��%���� �������� ��
�� ��������� ��3� ��� ��<�� ) ����� ������ �� ���� ���� �� =��� �3444� �� ���
���� �� ��� ������� �� ������;�� ������� �$�������� ����� ��� �� 2������� ���
�� ��������� �� � � �� ���������� ��� ����� �������� ����� �� �������� �� ������������ �� ���� ������
�:
�������� �� �� � ������� �� ���� ���� ��������������
������ ��� �������� ������� ���������� ����� �������� �� � ����� ���
������� �c� �������� � ������� �k� ����������� ������� � � ����� ������� ���
��� ����� �� ��� ������� ��! ����" �ε� ���� #��� ��� � ������ ������#� ��
����� $��� ��
c−γt = αβEt
[eσεt+1kα−1
t+1 c−γt+1
]����
kt+1 = eσεtkαt − ct, ����
����� σ > 0 α ∈ (0, 1) γ > 0 β ∈ (0, 1) �� Et (εt+1) = 0
������ ��� �� σ = 0 ��� ����� �� ������������� �� �� ������ ���� ��������
k0 = (αβ)1
1−α �� c0 = (αβ)α
1−α − (αβ)1
1−α .
��� ���� ���� �� ��� ������ �������� ������ �������� �� ������� ��� ��� �����
���� �� �� ��������� �� ����� �� ������ ��������
ct ≈ c0 + σc(1)t + σ2c
(2)t ����
��
kt ≈ k0 + σk(1)t + σ2k
(2)t . �� �
�!� ������ ����� �������� �� �"������ ���� �� ���� ����� σ = 0 ��������
��� ���������� ������� ��� �������� ���#������� ����������$ �������� �� t + 1
#������� � �
����� ��� ���������� �� ����� � � ������� �������� � ��� � ������� �� ��� ���� �� ��� ��� ���� ��� � ��� ����� ���� � ���� �� ������������ ���� �� ����� �� �� � ������������� �������� ��� ������ �� �� ��� ���� ����� ��� !� �� ��� ����" ��� � � �� �� ���� ���
�%
O(ε3)= γc
−γ−10 ct + αβkα−1
0 c−γ0
[σεt+1 + k−1
0 (α− 1) kt+1 − γc−10 ct+1
]+
−1
2γ (γ + 1) c−γ−2
0 c2t +1
2αβkα−1
0 c−γ0
[σ2ε2t+1 + γ (γ + 1) c−2
0 c2t+1 + (α− 1) (α− 2) k−20 k2
t+1
]+
+αβkα−10 c
−γ0
[k−10 (α− 1)σεt+1kt+1 − γc−1
0 σεt+1ct+1 − γ (α− 1) k−10 c−1
0 ct+1kt+1
]
���
O(ε3)= −kt+1 + kα
0 σεt + αkα−10 kt − ct +
σαkα−10 εtkt +
1
2kα0 σ
2ε2t +1
2α (α− 1) kα−2
0 k2t .
����� zt =[ct kt
]′
� ��� �� ���� �� � ���� � ����� ��
O(ε3)= A2zt+1 + A1zt + σC0εt +
+B2wt+1 +B1wt + σD2zt+1εt+1 + σD1ztεt + σ2C1ε2t +σ2C2ε
2t+1, ����
������
wt = vech (ztz′
t) =[c2t
(ctkt
)k2t
]′��� ���� �� ���� �� �� ��� ���� ��� ���� ��� � ������ � ��
�� �� ���� ���� �� ��� ������� �� ����� � �� ����� �� � ���� � ����� ����
zt = σz(1)t + σ2z
(2)t . ��!�
"�� � ���
ztz′
t = σ2z(1)t z
(1)′t + σ4z
(2)t z
(2)′t + σ3z
(1)t z
(2)′t + σ3z
(2)t z
(1)′t . ��#�
���� ��� ���� �� vech � ����� � �������� �� ���� ���� �� ��������� ������ �� ��������
������� ��� � ���������� �� ����� ����� ��� �� � �� ���� ���������� ������� ��� �� � ����
� �������� �� ���� ���� �� ��� ����� ������������� �� �� ���� ����������� �� ����� ��� ��������� �� �������� ��� �� ��� �� �����
�� ��������� ���� �� ����������
$%
����� �� ��� ������� �� � ���� �� � ����� �� �� �� ���� �� ������ ��� ��
� ���������
σ2wt = σ2vech(z(1)t z
(1)′t
).
��� ����� ������� ���� ��� ���� ��� ���� �� �����
A2
(σz
(1)t+1 + σ2z
(2)t+1
)+ A1
(σz
(1)t + σ2z
(2)t
)+ σC0εt +
+B2σ2wt+1 +B1σ
2wt +
σD2
(σz
(1)t + σ2z
(2)t
)εt + σD1
(σz
(1)t+1 + σ2z
(2)t+1
)εt+1
+σ2C1ε2t + σ2C2ε
2t+1 = 0.
! ������� �"� ����� �� ��#�
σ : A2z(1)t+1 + A1z
(1)t + C0εt = 0 ��$�
���
σ2 : A2z(2)t+1 + A1z
(2)t +B2wt+1 +B1wt +
+D2z(1)t+1εt+1 +D1z
(1)t εt + C2ε
2t+1 + C1ε
2t = 0. ��%�
�� ��� ������� ��� �� � #�� �������#� !� ���� ��! � ���� �������� ��� ��&
��� ������ �'������� ���� ��� ( �����#� ! �� ��� �� �� �������� ������
�! )�� ��� )��� ��**�� ��� �� ���� �! �� �� �� �� ��� �������� +� �� ��'
����� ��� �� (������' , �� �� �� �� ��� ���������
��� -�� � ���� � ������� �! � #��� ��� z(1)t ���� ��$� ��� ��� z
(2)t ���� ��%�
��� ��� ����� �� � ���� ��� �����
���� ������� � ��� � ������ ������� ����� ����� � � �� �� ���� ����� �� �� � ��� ��� ��������� �������
���� ������� �� ������ ������� ��� � ����� ������� ���� ������� ���� �!"""� �����
.%
� ������� ����
�� ������ ���� � � ��� �� � ����� ��� ��� �� ������ � ����� � �� �� �
����� � �� �� �� �������� �� ������� ����� �������� � ���� ���� ����� �
�������� � ������� ��� ���� �� ���� � ���� ����� ���� �� ���� � �������
��� � ���� �� ��� ��� ��� ��� � ��� g (·) ��� h (·) ����� ��� �� ���� ������ �
������ � �� ��� � !������� �� ������� ���� �� ���� � ���� �� ��� "#$$%&�
���� ��������� ��� ��� ��� ��� � ����� ����� �� �� ��� ������� ��� ����� �����
'� ���� ��� !���� � �������� ��� ������ ��� () ��� ��� �� ���� �����
���������
'� ���� ���� ���� ��� ��� �� ������ � ����� � ���� ��*� ���� �+��� �� � �*
������ � ��� �������� � � �������� ��� � ���� �� � ���� ����� � �� �
� ����*���� ���� �� ���� ��� ������ ���� � ����� � � ���� ���� �� ���� '� ����
����� ���� �� � ���� ������ �� � ���� �� ��� ��� ��������� � �� � �� ���� �� � *
���� �� ����� ��� '� ���� ��� ����� ���� ��� ������ �� � ���� �� ��������� �
�� �� ,���� ��-� ��� �� ������ ���� ������� � ��� � ��� ���� � ��� ���� ���� �
������ ������� ����� ������ �� �������� ,���� ��- ��� ��� ��� �� ������ � �����
� �� ��� ��� ��� ���� ����� ��� � � ��� �� �� ����� ��
.�� ����� ���� ���� �������� � ������ ���� �� � ,������� �- �� ���
������ � �������� ��� ��� ���� .� ����� ����� ��� � � ��� �� � ��� �������� � ���
����� ��� � ���� ��*���� �������� �� ��� ��� ��� �� ���� ����� ������ ����
� ��� ������ ��� ��� �� � ���������� � ��� ��� �� ������ � ���� � � �����
�������������� ������ �� ����� �� ��� ������ ���� ��� �� ���� � ������� ��� ������������ � ��� g (·) �� h (·) ������� ����� ������ ��� �� �����!!" �� #�����" #����� ������ � � ��$ ��$���� � �%���� �& �" � ���� �� �� � �������� #������ � ��� �� ���� ���$���� � ������ �'#����
#$
�� ���� �� �� ��� �� ������� ���� ������� �� �� ������ ������ ����� � �� �
������ ��� �� ��������� � ���� ���� �� ������ ������ ����� �������� �� ����
�� ���!� ��� �� ���� ������ ���� ���� ����������� ����� "��� ��# ��� $��� �����
���%!� &� �� �� �� �� � ����� �� �� ������ ������ ����� �� ���� ������ ��������
��� � �� �� ����� �� ����� �� ������ �� ���������
'� ��� �� �#������ �� ��� ���� ���� �� �� ������� �������� �� �� ���(
�#������� ����� ���� ��� �� �� � �� ������ ���� )� ��� ���� ��� ��
���� ������ �� �� ������ ����� ��� ������ � ���(����� ������ �*������ �� ��
��� � ��� �� ��� �� �� ������������ �� ����������� � ������ �#������� ����� +�
� ������� �#������� ���� �� �� ���������� �� ���������� ��� �������� �� �� ���� (
��� �! ������ ��� ������� ��� ���� ���� ��� �#��������� )��� ��� ��� ��
� �� ��� ��� �� ������� �� �� �� � ��� �� ���� ������ ������ �� �� �� �����
� ������
)� ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� �#������� ����� �� �� ����������
� ��� ������ ������� �� �� ,�� � �� �� ��� �#������� ����� � ����� �#�������� ��
�#������ ������ �����
��������
� ������� � � ��� ������ ��������
+� � �� �� ������ ��� �� ���� ���� � ��� ���� �� �� �� �� �� ��� �#������� ������
�� ��� -������# �� ��� � �� � ������ ���(����� ������ ������ ������ �� �� ���
���� �� ��� .��� ��� �� )��� ��� �!� )� ���/� ���� � �� ������ ��� 0� �����1
���� �� �� ���� �� ��� �� ����� 0� �����1 �� ��� � �� � �� ��� �#������� �� ��
����� �� �� ��� �#������� ����� � ������ � ��
�
�������� � ���� � ����
yt = γyt−1 + Etexp (αyt−1 (βσεt+1 + 1)) + σεt; ����
���� γ < 1, α < 0� β ≥ 0� ��� ���� εt �� ��� ������ ��� ������� ���� ��
��� � ����� �� ������������� ������ ��� � �� � ��������� ������� �� �
�� ��� ���� � ���� �� � ��� ����� � � �� �� �! � ������ � yt !�� "���� �����
�! � ���������� ��������� �� ��� ��� � ���������� ����� ��� ������� �
���� ���� ���� � �� � � �� �� �����
#���� εt �� $�������� �� %��� �
Etexp (αyt−1 (βσεt+1 + 1)) = exp
(αyt−1 +
1
2
(β2σ2y2t−1
)).
����!���� !�� β = 0 � �������&����� ��� ��'��� !��� � ���&������� ����
(� � �� !�� � ������� �� �! � ������� ����� ��� �� �� �� ����� � � ����
�� )#$* ���� � ��� � �� � ������ �! �������� �! ����� ������� ������� ������
� ���&������� ����� ��� ���� ��� +��� ��� �� (���� ,�-���
(� �������� ��� � ������� ���������� ���������� !�� ��'���� ������ �! ��&
��� ������ ��� �� � ����� ��. �� � ������ � ������� �������� ��� �#*�/ ���
� ��� ���� !�� � ��� � �� 0�������1&2� ������ ��� 3����&3�����1 �,��4� ����"
���� ��5� ��� ���� � ��� ���� ��6���� �� �������" ����� � "������
�����"���� ���� � �� �� ������� �))���� (� �%� 7�� ����� ��� ����� �� � �
�� ,7-�
���� ������� �� ���� ���� � ��� ���������� �� ����� � ��� ����� ������� ���� ������� � ����� ����� ������� ������ ���� �� ���� ���� ��� ����� ���� � ���� �� ��� ����� �� ����� �������� ���������� ���� ���� �� ���� ��� �������� ��������� �� ��� ��� �������� ����� � ���������� ���� �� ������ ��� ��� ����� �� ����� �� ����� ���� ������� ����� �� ������ ������� ��������� �� ���� ��� ����������� � ��� ������ �� ������ �� ���� ���� ��� � ������ � �� ����� �� ���� ����� ��� ��� ���������� ����� ����� �� ������� �� � ������� ��� � ����������� �� ��� ���������� ��� ���� ��� �� ������� ��������� �� ��������� ����� �� ������� �� ����������� ���� �� ���� �� �� ����� ��� ��� �������! � ���� ���������� ������
,,
����� � ����� ��� ��� � ����� ��� �������� �� ���������� �����
���� � � �������� �β = 0�� � ���� � ��� ��� � ����� ��� ��� ����� ���� ����
�β = 0.1���� �� �� α = −1 �� γ = 0.8� ����� �� �� � ��� �������� �� ���
�� �� ����� �� ����� �σ = 1.2, 1, 0.9, 0.6�� ��� ��� � ��� �� ��� ��� ����� ��
���� � �� �� ��� ���������
���� ��� ��� �� β = 0 � ����� �� ! ��� " � �� �� ��� ��������� ���� ����
� �� �� �� �� ������ ��� #$ ������ ��� ���� ���� ���� �� ��� �� ������
��� � � � ��������� ���� �� ��� � �� �� ��� ��������� ��� ���� % �� ���
�� ��� ������� % � ���� ���� � � ����� �� ������� ������� ��� &' ������
���� ����� �������� �� ��� ����� � �� �� �������� �� ��� ��� �������� ���
����� ��� (( ������ ��� �� �� � ����� ����� �� ��� � ������ � �������
�� ) ���� �� ��� �*++,�� )������� �� ��� �� ������� ��� ����� �� ��� ��� �� �
��� ��� �������� �� ��� � �� �� ��� ��������� ' �� ������ ������ ��� �-�
�� ��� �� �� ����� ��� ���� ��� ���� ����� ��� �������� ��� ��� �� � �������
�� ���� � �� ��������� �������� ��� &' ������ ��� �� ������� �� ����
� �� �� ��� ��������� �������� � � �� ��������� ���� ��� � �� �� ��������
��� ��� ��� �������� � � � ��� ���� � ��� � �� �� ��� ��������� #��� ���
� �� ������ ��� �� �������� ��� ��� ��� ��������� ���������� ���� �� ��������
.��� ��� &' �� (( ������ ��� �� �� �� � ��� ��� #$ ������ �� ��������� ���
� �� �� ��� �������� ����� ���� ��� ��� ����� ��� �������� �� ���� � �� �
)������ �� � �������� ����� ���� ��/� ��� ��� �������� � ��� ��� ��
�������� ����� ���� �� � ���� ���� � �� �� �� � �� ��� ������ �� 0��
�� �� ��� �*+�+� ����� �� ��/� � ��� �������� ���� ��� �������� �����
����� ������� ���� ����� �� ��� �� ������� ���� ������ ��������� �� ��� ������
������� � ���� ��� �� �� ������� ������� �� �� �������� �� �� � ��� ����� ��
����� ����
*1
������ ����������� �� ��� �� �� ������ �� �� ����������� �� ���������� ��
������������� �� ��� ���� �� ������ ������� �� �� � ! "�� β = 0.1 ��� �������
������������� ����� �� �#����� ��������� ���� � ������ $� ������ ��� ����� ��
��#���� �� ��� ��������� ����� ���� ��� �� � ��� ��� %������������ ����� ��
���&��������� ���� � ������ �� ��� ���� ��� ���� ��� ��� �������� ���������������
$� ��� ����� ��#��� &��#��� ������ �� ��� � �������"����� �� �����
�� ������� ����� ��� � ������� ������ ��� �������� $� ��� ������ �� ������
��� �� �����&��� ��� ����� � ���������� ����� ����&�� �� ��������������� �� ��&
����� ������� �� '��� �� � (�� ���!�� �� �!�� �� ����� ��� ��� ����� ����
��#� �� ���)����� �� �� ����� ���� �" �� ������������� ���� �� �� �� �� �"
�������������� %���� ��� �� �� ������ ��������� ���� � ��� ���)����� �� �����
�� ���� �� � �� ��� �" �������������� ��� ���������� ���� ��� ��� � �����&
���������� �" *�������+ �� ���� �� �� �" ������������� ������ � ��� �� ����
������� ����
� ������� � ������ � � �� � ���������������
���� ��� �� �������� �" ���)������ �" �� ����� �� �� ������������� �" �� ���&
������� ����� �� � �� �����
A2 =
⎡⎣ −γαβkα−1
0 c−γ−10 αβ (α− 1) kα−2
0 c−γ0
0 −1
⎤⎦ , A1 =
⎡⎣ γc
−γ−10 0
−1 αkα−10
⎤⎦ ,
C0 =
⎡⎣ 0
kα0
⎤⎦ , C1 =
1
2
⎡⎣ 0
kα0
⎤⎦ , C2 =
1
2
⎡⎣ αβkα−1
0 c−γ0
0
⎤⎦ ,
����� ����� ��� � � �������� � � ���� �� �����
�,
B2 =1
2
⎡⎣ γ (γ + 1)αβkα−1
0 c−γ−20 −2αβkα−2
0 c−γ−10 γ (α− 1) (α− 1) (α− 2)αβkα−3
0 c−γ0
0 0 0
⎤⎦ ,
B1 =1
2
⎡⎣ −γ (γ + 1) c−γ−2
0 0 0
0 0 α (α− 1) kα−20
⎤⎦ ,
D2 =
⎡⎣ −γαβkα−1
0 c−γ−10 αβkα−2
0 c−γ0 (α− 1)
0 0
⎤⎦ , D1 =
⎡⎣ 0 0
0 αkα−10
⎤⎦ .
� ����� ��� �� ����� �� �� ���� ���� � ������
��� ����� ����� � �� ������
������ �� � �� �� ������� ���� ������� � ����������� ���� �� ��� ��� ����
������ ����������� � ��� g (·) ��� h (·) �������� ���� ��� �� ���� �� ��! � ��� ����
��������� ������� ��������� �� ���� ����� "� ��� ����� �� ������������ ���#
��� ���� ! �� �� ���� ��� ���������� $����� ���� ��������� �� ��� �������
%�� �� ������������ ��� ������ ����������� g (·) ��� h (·) �������� ��
���� � ��� ����$����� &��� ��� ����� ��������# ������� ��� �'�$����� ����( ��
������� �� ��� �� ���)� ������� �� �$� ����� �����! ����������� �����������
*� ��������� �����
ct = g (kt, zt, σ) �+)�
kt+1 = g (kt, zt, σ) �+��
������� ������ �� �� �� ��� � ���� �������� ���� � ���� �� � ���������� ���� ������
����� ��� ������� �� ������ � �� ����� ����� � ���� ������ � ������ ���� ���� �� ����� �
���� �� ���� �����
�,
���
zt+1 = ρzt + σηεt+1 ����
�� zt = log (At)�
� ����� ����� � ��� ������� ������������ ��� ��� ���� � ��� !������
��� �������� ����"�� ����# ���$� ��� $��% ��������& �� ���� �� ��#$ �
���$��'���� ��� ��'����� (������ � �� $�) � ���'��$��� � �$ ��
$�� '�����*����� �$� �& ������������ ��� ��� ���� � ��� !������ ���
�������� ����"�+ ��� ρ = 1� δ = 1� β = 0.95� α = 0.3 ��� γ = 2�
,��� � $���$ ��� �� ��-�� '����� ��%���%$ � �$$������ �� �� $���
%�����$ %������ �� ��-�� ��$ � �''�.������� �������# �� �� $�$ .�
'��$��� ������ ,��$ ,��� ���'����$ �� $��� $���� �� �� �.� �������#
�� ��$�'���& ���� �� $�$�.'��$��� ����� ��� /'����#0� 1� ��� $
���� �������# �� �� 23 �''���� �� �� ��%��%��# k2t ����� � Bk2
t � ��
B ≡ [gkk + gkkσ + gkkσσ]� �������# �� �� /'����#0 �''����� �� �� �� #���
� ��$�%�& ���� $&$�� �� ����� $�4� �� '��� k2t ���� �� '����� � ��$
� ��� ��� ,� $�$ .'��$��� ����� ���� � ��%����� �� �� �����&�
$�##$�$ ��� �� ���'���� � �� ��4���� 5 $����� '��$�& � �$$�#�� �� ��
��-�� ��$�
� � #�����# �� '����� ��%���%$ � �� g (·) ��� h (·) �������$ ���� ����
�������� ����� � $�% ��� �$��# ������������������������� (�����&
� �� ��� ���������������� ��� ��� ���������������������� �� 6���
���� ,�$ ���$ ��% �� $�%� '����� ��%���%$� ���$����$ �� �''�'���
%���$ � ���$$�'�����$ � � %�����$ ���� � #�%� ������� ���������$ ��� .�#�
���$ '��$$� #���$ ��� $�$ �� �� #�%� �� � �''�.�������� �$��# ��
��
������������� ��� � �� � � �� ��� � ���������������
����� � � �� � � ������ � ������� �� � ������� �� ������� ��� � �
��� ����� ������ ������ � � ��������� ������� � ��� ��� �� � !��� � ��
������� �"��� � � ������ ��������� � #������ #$ �� �� �� � � �� �����
�� ���� �� ���� ����� ��� � �������� �� ���������� ������ �� ������� ����
������� �������� ����� � �� � � � "��� ����� �� ������ �� ������� � � ����
������� � �� �� � � ���� �� �� �� ����� ��� � � ���� ����� ������ �����% ��
�� � � � �� ��������
����� ���������� �� ������������ ��� �� � ������� �� ���������������������������������� ������������ ��� ���� ��� �������� ���� �� �� �������� ��� ���������������������������� �����������������
������ �� �� ������ �� ������� ������� ������ �� �� � �� ������� ��� ������� ���� ���� ��������
&'
����������
�������� ��� � ������� � ������ ����� ���������� ����������� �� ��������
���� ������ ��� ���� ���������� ����!������ "� �������� �� ������� �� �����
������ ��� �������
���� ���� � #�!��� �� ��� $ ������ � ����%� &���� '� �� �� �� (����� ��'
������� �� �)������ ���� ���'���� ������� ������������ ������ *� ���� +���
$� ��� ���%'��� "��� �� ,��� !� -��� �� $�� " �������
��� ������ . ������ &� /��'������� $����� �0��� ,��� + ���� �� /��'#����
1$� .����� ����� ������� ������
�������� � . ��2%3� �������� !����� 4�44 *���)
� ��(�� $ -� "� �����5'6����!� ��� 7� ��� ,�(��',��� �5� 7 " ����%� 8���� '
��� �������� ������� �� �)����� �9����( ��� ��������� ������� �� �����
������ ��� �������� :�����;�<33=�>�?
�5� ������ 8 ��22:� ������������� ����������� -���� ���
-������� � -������� +� ��� /�����@� $ ������ $�����'� �� ��� ��������� ��
�)����� ������ ��� ����'!� )��� ��� *� ���� +��� �%%::� /������� -� ���
�� �������� ,���� ��
-� ������ / ������ +� �� (����� ���� ) �� �)������� �)����� ����� ��������
����� !"#$$$$%&
-���� � ��22�� ������'����� ������� ��� ��(������ ��� ��������� 8,8
�?
�������� ��� ����� ���������� ��� ����������� � �� �� ��� ���� �� �������
��� �!��" �#" ����# $�!% �&��#�� �'��&#� ()*� ���+��" ,� �# -.��/�
(�!����� )���� �' *&�����& �#��&%� 0�&�
�%�&��� �� ����/�� �������� �������� � ����� ��� ������������ ����� 12�
3 ���"� ����"�
�%��#!����� 4� ������� 3�����" �5����& 6��������� ����# �5 � �!%�� �' ���!��
���� &�7&��!#� ���� ������ ���������� ���-�8�-9..�
�������� � ��� ��������� :� ����-�� ;&&���&5 �' #!�&%�#!�& �!����!��� �!%��#8
<% &�# �' �##! ��&��" ����#� �� ���� �� �������� �������� ��� �������
�.�/�=�8�=�9����
�� >���� �� ��� � ����� �� ���-��� >�$ $����%��� �� %�"%������ �!���
��!��� #���!���#? ��� ������� ������
����@� :� ��� 3�!%������ ;� ����A�� ����&��� "������ �!��� ��� ���!��5
���&5� �� ���� �� ����� ���������� ..�A�8-1/19-1=.�
*��#� :� ���-��� ; #�'�&��#�#!�! �!����!��� ��&��� '�� #�����" �5����&
#!�&%�#!�& "���� 6��������� ����#� :����
����� ���������� �� ��� ����������� � �� � ����/�� 3�����" �#" ����# $�!%
�!����!��� �!%��# ��� � &%��" �' �������#� �� ���� �� �������� ��������
��� ������� 1��-��8�.��9�.1-�
B���� ,� ��� C���� ,� ���-��� 3&�������� � ��@���!��� �' �5����& ����#
$�!%��! !% �# �' !�#��#� �� ���� �� �������� �������� ��� ������� ��!%�
&����"�
��
��������� �� ������ �������������� ��� ������ ��������� ����� � �������
�� ���� ������ !" #��$���
%��&� �� ������ ����������� ������� '� ���(� )��* +�
%�� �� �� ���$�� ����������� �� ������������ ������� ����(��
,�� %��%� ��� ,��� -� ,� #""#�� +��������� ������ .� (����� ���� �& ���&����
��& ������ �����&��� ����.�� )��*������
,��� -� /� ������ ��������� ����� �� ���������� �0� +��� '� ���(� �1�
,��� -� /� #""#�� +��������� ������� ���� 2������� '���(�� �. 3��������
� �� %��*� 0�����������
,��� -� /� ��� ��� ����� #""��� 1�� �����& ������� .� 1���� ��4�� �5������
�� 1�������� �������� ������ ����#!6�$!�
,������ �� ��� -� ���4 7� #""$�� ���*��( ��(� ������ 1���8� ����� ����� ���
���&�����& ������ ������ '� �����( �� �&��� �&� ��� 9����&� #""$ �": ��&����
.� '� ���������� �&��� �&��
-� ,� -� �� �&��� ��( �� ��� �� � '� 1� #""��� '��&������( ��� )���(
��&��� 7�� 1&&���� ��������� �. ;��&��� �� � ;��� �& �5������� �������
������� �� �������� �������� �� ������� <# ����<<�!6<=�=�
-��( >� �� ��� ?����� �� ?� #""#�� ����� >���&���� ��� �������� 1�(���� �
.� ���(��� /���� ;�@���&� ����� � ���� >������� �8��&�������� ��������
������ ��������� #"�$!6�:�
<"
������ �� ����� ���� ��� ����������� ����� ���� �� ����� � ������������ ���
��� !������� "#$��������� ������ ������� �� ����� ������ ��� ��������
�����������
�� ����� �� ���� �� ��� ���� � � ������� �� ���� ��� �� ��� ����!" !��
#�$���$$ " � ���� �$��� � %�!��!#����� ������ ������� �� ����� ������
��� �������� ����������&
�� ����� �� '� ��!� �� '� ��� ( )� ��� *� � �!� * �����#� +��%�!�$�� �,
$� �����$ �� ��� �� ��� ����!" !�� #�$���$$ " � ���� ������� �� �����
������ ��� �������� ������-&����
./���0��$�� . ��� ��!����� 1 � ������ �������� ���������� ������ '21
*!�$$� +��#!����� ')
.��#�!��� 3 ��� �����! ���� ) � ����4� +��%����� �� ����5!��!�) �!���
�� �����$ ,�! ������� 67%� ������ '��� $ �$��� .����! �� ����� '�����$ �������
�� ����� ������ ��� �������� �����������
�����'�! ��� 8 � ������ 6$�������� ��� ����! �$�� ���� $ #" ��� $��� ����
������ �, ������$ 9�!:��� *�%�! ��!��$ �;<��� ������ +���!� ,�! 6 �����
)�� "$�$
� ������3!��=� � ��� >!�#�� ' ������ �� ���� ?"���� 3���!� 60�� �#!���
'��� $ >$��� � �� ����5!��! )%%!�7������� �� ��� *� � " 8�� ���� ������� ��
����� ������ ��� �������� �-�4���44�
���$� + ) ������ �� ����5!��! ) �!��� �� �����$ �, ?�$ !��� 1��� ?"����
60�� �#!��� '��� $ '���$ !�%�� *!�� ���� >����!$��"
�
��� �� �� ���� ��������� ����� � �������������� �����������
������ �� ���� � ������� �� ����!"��� ��������� #!��$�% ���%��&��% '����&
(�&��!� )� '���$��� *� ��� �%���� ��� ������&� ������������ ������ ��� ���
���� �� ������� ��������� %�� ��� +� ,- ��� ���.��&��! ���&&� ,- ����
+/
����� �� ������ ������ ���� �����
β = 0 β = 0.1
����� �� �� ��
σ = 1.2
� ������� �� ����� � � �!
" #�$!$�% ���#!# ���#!#
�%#� �� ����� �!��!"�
� "� % � �� ����� �� ���
$ ��!"#%$ "�!�#" "�!�#"
�� ��$�%! ��%$"�� ��%$"��
σ = 1
� ����% " �� ����� ����� !
" "�#$�"$ $�"�! $�"�!
��$ %$� �� ����� ��!"��%
� ��!� !" ��!�%�� ��!�%��
$ ��%% !! ����" � ����" �
�� ��"!%! ����!$ ����!$
σ = 0.9
� �� !#$ �� ����� � �%�!�
" �� %$#! %�%�%!# %�%�%!#
���$ !! #����" "���! $
� �� " #" ��� ��� ��� ���
$ ����%"! ���#"" ���#""
�� ������� ����� � ����� �
σ = 0.6
� ��� "%# "�# #�# "�# #�#
" �� �!� ���%�%% ���%�%%
��� "%! ��"�!$$ ��"�!$$
� ���� �" ����!#! ����!#!
$ ����%# �����$$ �����$$
�� ����� # "�&�% "�&�%
�� �� ��
σ = 1.2
����#�% �� ����� �$��$��
#�!#� ���#�#" ���#�#"
���"% �� ����� �$���"!
"� � $� �� ����� ���"""
��!��� "�!"�# "�!"�#
��#$%!$ ��#��$! ��#��$!
σ = 1
�����$� �� ����� �%� !"�
"�#!%! $�"�$� $�"�$�
��$��%$ �� ����� ��$#%�
��!��#$ ��!!$�� ��!!$��
��%���� ��"" "" ��"" ""
�� �$" ����# � ����# �
σ = 0.9
�� %�# �� ����� � �"$�%
�� ��#" %� �!!� %� �!!�
���!�# ��!��#$ "���#"!
�� "$" ���$�!� ���$�!�
���"%�� ������� �������
���%�$# ���%!�" ���%!�"
σ = 0.6
��� �� "�#��#" "�#��#"
�� �!#! ��� � � ��� � �
��� "## ��"��!% ��"��!%
���" �� ����!� ����!�
�����%! ����# " ����# "
����##$ ����#" ����#"
""
����� �� ��� �� �� �� ����� �������������
��������������� (1) (2) (3) (4) . . .
gk k(1) k(2) k(3) k(3) . . .
gz z(1) 0 0 0 . . .
gσ 1 0 0 0 . . .
gkk 0 k(1)2
2k(1) k(2) k(2)
2
2+ k(1) k(3) . . .
gkz 0 k(1) z(1) k(2) z(1) k(3) z(1) . . .
gkσ 0 k(1) k(2) k(3) . . .
gzz 0 z(1)2
20 0 . . .
gzσ 0 z(1) 0 0 . . .
gσσ 0 12
0 0 . . .
gkkk 0 0 k(1)3
6k(1)
2k(2)
2. . .
gllz 0 0 k(1)2z(1)
2k(1) k(2) z(1) . . .
gkkσ 0 0 k(1)2
2k(1) k(2) . . .
gkzz 0 0 k(1) z(1)2
2k(2) z(1)
2
2. . .
gkzσ 0 0 k(1) z(1) k(2) z(1) . . .
gkσσ 0 0 k(1)
2k(2)
2. . .
gzzz 0 0 z(1)3
60 . . .
gzzσ 0 0 z(1)2
20 . . .
gzσσ 0 0 z(1)
20 . . .
gσσσ 0 0 16
0 . . .
������ ����� �
��
����� �� ��� �� �� �� ����� ������������� ��������
����
��������������� (1) (2) (3) (4) . . .
gkkkk 0 0 0 k(1)4
24. . .
gkkkz 0 0 0 k(1)3z(1)
6. . .
gkkkσ 0 0 0 k(1)3
6. . .
gkkzz 0 0 0 k(1)2z(1)
2
4. . .
gkkzσ 0 0 0 k(1)2z(1)
2. . .
gkkσσ 0 0 0 k(1)2
4. . .
gkzzz 0 0 0 k(1) z(1)3
6. . .
gkzzσ 0 0 0 k(1) z(1)2
2. . .
gkzσσ 0 0 0 k(1) z(1)
2. . .
gkσσσ 0 0 0 k(1)
6. . .
gzzzz 0 0 0 z(1)4
24. . .
gzzzσ 0 0 0 z(1)3
6. . .
gzzσσ 0 0 0 z(1)2
4. . .
gzσσσ 0 0 0 z(1)
6. . .
gσσσσ 0 0 0 124
. . .���
������
������
� � �
��
����� �� ����� � ���� ��������� ����� �� �� �� ������ � ��� ������ � ����!"�����
#�$�������$ � � � %
&�� ����� � � � ���� � ��''(�� ��'')' ��'')�%��� � ��''(() ��''�� ��'*��)�%� � ������ �����% ����%��)� � �����% �����' �����)
&���+ ������ � � � ���� � ��''%** ��'*�() ��'()(��� � ��'')'� ��'(��( ��'�����%� � ������ �����( ���%�(�)� � �����( ������ ����%�
��