Post on 07-Aug-2020
Llicons 15:Suma de moltes variables independents: Llei dels
Grans Nombres, Teorema del Limit Central;Aproximem distribucions
Albert Satorra
Probabilitat, UPF
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 1 / 18
Continguts
1 Suma de variables independentsLlei dels Grans NombresTeorema del Lımit Central
2 Aproximacio de distribucions
3 Exemples
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 2 / 18
Suma de variables independents
Suma de variables independents
Ens preguntem per la distribucio aproximada (no exacte) de
Y = X1 + X2 + . . .Xn
quan n es gran, i les Xjs son (mutuament) independents. Per exemple: ladistribucio aproximada de la binomial B(n, p) (que es suma de n deBernouilli independents) quan n es gran; de la χ2
n (que es la suma deN(0,1) al quadrat independents), quan n es gran; de la nota Y deProbabilitat que es el resultat de la suma de molts factors independents;etc.
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 3 / 18
Suma de variables independents
Esperances, variancies
Suposem Xj ’s independents amb la mateixa mitjana µ i variancia σ2. Enaquest cas, si Y = X1 + X2 + . . .Xn, clarament
E (Y ) = nµ; V (Y ) = nσ2
De fet, el valor esperat i variancia del promitg X n = (X1 + X2 + . . .Xn)/nson
E (X n) = µ; V (X n) = σ2/n
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 4 / 18
Suma de variables independents
Llei dels Grans Nombres
Lımit en probabilitat: Llei dels Grans NombresEns preguntem perl valor del promitg X n quan n es gran.
Suposem: Xj independents amb E (Xj) = µ i V (Xj) = σ2. Per exemple,X1, . . . ,Xj , . . .Xn observacions independents de una X (n tirades d’un daui observar el no. X , de 1 a 6, de la cara).
Llei dels Grans Nombres: Per tot ε > 0,
limn→+∞
P(| X n − µ |> ε) = 0
Direm que X n tendeix a µ en probabilitat. Escriurem
X nP→ µ
Que vol dir??: Que el promitg d’observacions independents de X tendeix aµ = E (X )Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 5 / 18
Suma de variables independents
Llei dels Grans Nombres
ExempleTirem un dau 1000 vegades: X1, . . .X1000, Xi es el numero (1 a 6) de lacara del dau en la tirada i−essima. Preguntem X 1000 =?
La llei dels grans nombres:
X 1000 ≈ µ = E (X ) = (1 + 2 + . . . 6)/6 = 3.5
X n tan proper de 3.5 com vulguem, nomes cal augmentar el nombre n detirades? R:
> mean(sample(1:6, 10, replace = T))
[1] 4
> mean(sample(1:6, 100, replace = T))
[1] 3.61
> mean(sample(1:6, 1000, replace = T))
[1] 3.509
> mean(sample(1:6, 10000, replace = T))
[1] 3.4766
> mean(sample(1:6, 100000, replace = T))
[1] 3.49472
> mean(sample(1:6, 1000000, replace = T))
[1] 3.499939
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 6 / 18
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Teorema del Lımit Central
Si les Xj tenen valor esperat µ i variancia σ2, son independents, i n esgran, la distribucio de X n = (X1 + X2 + . . .Xn)/n es aproximadamentNormal, amb valor esperat µ i variancia σ2/n. Escriurem
X nD→ N(µ,
σ2
n),
Direm que X n convergeix en distribucio a N(µ, σ2
n ).
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 7 / 18
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Tenim l’aproximacio:
X n ≈ N(µ,σ2
n)
Exemple: Tirem un dau 1000 vegades: X1, . . .X1000, Xi es el numero (1 a6) de la cara del dau en la tirada i−essima. Preguntem X 1000 =?
el TCL ens diu que
X 1000 ≈ N(3.5,σ2
1000) = N(3.5, 0.045643552)
ja que σ2 = (5×7/121000 = (35/12)/1000 = 0.002916667 = 0.054006182
Probabilitat P(3.4 ≤ X 1000 ≤ 3.6) = P(−1.85164 < X 1000−3.50.054 < 1.85164)
= 1− 2 ∗ pnorm(−1.85164) = 0.9359225
Em emprat 3.5−3.40.054 = 0.1
0.054 = 1.85164
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 8 / 18
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Figure: TCL
!"#$%&'()*(+(,+%-#"$*./((+(0(((1
!"#$%&'
!"#$%&'
!"! !"# !"# !"# !"# !"#
!"!
!"#
!"#
!"#
!"#
!"#
!"#
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 9 / 18
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Figure: TCL
promitg de n uniformes, n = 3
promitg
Density
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 10 / 18
Suma de variables independents
Teorema del Lımit Central
Figure: TCL
!"#$%&'()*(+(,+%-#"$*./((+(0(((12
!"#$%&'
!"#$%&'
!"# !"# !"# !"# !"# !"#
!!
!!
!!
!
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 11 / 18
Aproximacio de distribucions
Aproximacio Normal a la BinomialPel TCL, si n es gran (depen de p, per en general per n = 25 l’aproximacioes bona)
B(n, p) ≈ N(np, npq)
de manera que
P[a ≤ B(n, p) ≤ b] ' P[a− 0.5 ≤ N(np, npq) ≤ b + 0.5]
(on utilitzem el que s’anomena correccio per continuitat. Si norestem/sumem 0.5 l’aproximacio tambes es bona si n es gran)Per exemple: Llancem 100 monedes. Sigui Y igual el # de caresobtingudes. Interesa calcular P[47 ≤ Y ≤ 52]
(aproximacio normal sense correccio per continuitat)P[47 ≤ N(50, 25) ≤ 52] = .3811(aproximacio normal amb correccio per continuitat)P[46.5 ≤ N(50, 25) ≤ 52.5] = .4495valor exacte P[46.5 ≤ B(100, 0.05) ≤ 52.5] = .44929
L’aproximacio normal a la binomial es bona si npq > 5.Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 12 / 18
Aproximacio de distribucions
Exemple: error d’arrodoniment
Exemple: Tenim 100 numeros de quatre decimals. Per sumar-losarrodonim al enter mes proxim. Prob. que l’error d’arrodoniment sigui mesgran que 5. Solucio: E =
∑ei ∼ N(0, 100σ2) on ei ∼ U(−0.5, 0.5) i
σ2 = 1/12. Tenim que
P(−5 < E < 5) = P(−5 < N(0, 100/12) < 5)
= P(− 5
10/√
12< Z <
5
10/√
12) = (−1.732051 < Z < 1.732051) = 1−2P(Z < −1.73205)
De manera que P(l’error d’arrodoniment sigui mes gran que 5.) = 2 P(Z ¡-1.73205) = 2*pnorm(-1.732051)=0.083, un 8%.
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 13 / 18
Aproximacio de distribucions
Exemplw: Tirades repetides d’una moneda
Tirem una moneda (no trucada) repetidament n = 200 vegades,probabilitat que el promitg de cares p sigui a l’interval (.48, .52).p ≈ N(0.5, 0.25
n ), de manera que:
P(0.48 ≤ p ≤ 0.52) ≈ P(0.48− 0.5√
0.25n
≤ Z ≤ 0.52− 0.5√0.25n
)
= Φ(0.56)− Φ(−0.56) = Φ(0.56)− (1− Φ(0.56)) = 2× Φ(0.56)− 1
= 2 ∗ pnorm(0.5656854)− 1 = 0.4283923
es a dir, el 43%. Noteu que (0.52− 0.5)/sqrt(0.25/200) = 0.5656854
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 14 / 18
Aproximacio de distribucions
Tirades repetides d’una moneda, quantes tiradescalen?Quantes tirades cal per assegurar una probabilitat del 99% que el promitgp estigui a l’interval (.48, .52)?; es a dir: P(48 < p < 52) = 0.99.Seguint el raonament anterior, com que P(−3 < Z < 3) = .99, cal que0.52− 0.5√
0.25n
=
0.02√0.25n
= 3
0.02 = 3
√0.25
n
0.022 = 32 0.25
n
n =32 × 0.52
0.022=
(3× 0.5
0.02
)2
= 5625
tirades!Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 15 / 18
Aproximacio de distribucions
Deures
Feu Exercici 2 de la Llista 5!
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 16 / 18