Post on 19-Jan-2017
Variables con subíndice
G. Edgar Mata Ortiz
Programación Lineal: Planteamiento de problemas
Programación Lineal.
¿Qué es programación lineal?
Es un método para obtener un resultado óptimo con base en un modelo matemático en el que todas las relaciones entre variables y constantes pueden expresarse linealmente.
Variables de decisión
Reciben el nombre de variables de decisión, las incógnitas cuyos valores deben ser determinados para alcanzar el objetivo señalado por la función objetivo.
𝒙 = 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒕í𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝟏 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒗𝒂𝒏 𝒂 𝒇𝒂𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒓
𝒚 = 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒈𝒓𝒆𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝟏 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓á
𝒙𝟏 = 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒂𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒊𝒓𝒔𝒆
Variables de decisión
La elección de las variables de decisión viene determinada por las características del problema, generalmente no es sencillo cambiarlas, pero su representación puede variar considerablemente según la estrategia de solución. Pueden ser variables simples, con subíndice sencillo, doble o triple (o incluso mayor).
𝒙𝟏
Variables de decisión
La representación de las variables de decisión y su significado pueden aumentar o disminuir el nivel de dificultad en la resolución de un problema.
Es muy importante definir, por escrito, el significado de las variables de decisión.
Uso de variables de decisión con subíndices
dobles.
Ejemplo
𝒙𝒊,𝒋 = ⋯
Ejemplo
La fábrica “The Barn” produce tres tipos de combinaciones energéticas de semillas cuyos precios por libra se muestran en los paquetes.
Ejemplo
Las tres mezclas contienen los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo, aunque en diferentes proporciones. Los costos de los ingredientes, por libra, se muestran en las imágenes
$𝟎. 𝟗𝟎
$𝟏. 𝟔𝟎
$𝟏. 𝟓𝟎
Ejemplo
El precio de venta se ve afectado por las proporciones de los ingredientes presentes en cada mezcla.
La mezcla normal debe contener, al menos, 5% de cada ingrediente.
Ejemplo
El precio de venta se ve afectado por las proporciones de los ingredientes presentes en cada mezcla.
La mezcla especial debe contener, al menos, 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera de ellos.
Ejemplo
El precio de venta se ve afectado por las proporciones de los ingredientes presentes en cada mezcla.
La mezcla extra debe contener, al menos, 25% de pasas, y no más del 25% de maní.
Ejemplo
Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles, por semana, un máximo de 1000 libras de maní, 2000 de pasas, y 3000 de algarrobo.
Ejemplo
Existe un costo fijo de $2000 para la fabricación de las mezclas.
Por razones de mercado, la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total.
Plantea un modelo de programación lineal para maximizar las utilidades.
Ejemplo: Análisis de la Información
Las variables de decisión serán las cantidades de ingredientes empleados en la elaboración de las mezclas.
Ejemplo: Análisis de la Información
Lo que debemos decidir ahora es: ¿Cómo identificar las variables de modo que faciliten el proceso de solución del problema?
Ejemplo: Análisis de la Información
Lo que debemos decidir ahora es: ¿Cómo identificar las variables de modo que faciliten el proceso de solución del problema?
La estrategia consistirá en identificar las variables mediante dos subíndices, el primero de ellos hará referencia al ingrediente, y el segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho ingrediente.
Ejemplo: Análisis de la Información
La estrategia consistirá en identificar las variables mediante dos subíndices, el primero de ellos hará referencia al ingrediente, y el segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho ingrediente.
𝒙𝟏,𝒏 = Maní empleado en la mezcla…
Ejemplo: Análisis de la Información
Ejemplo: Análisis de la Información
𝒙𝟏,𝟏
𝒙𝟏,𝟐
𝒙𝟏,𝟑
Maní empleado en la mezcla Normal
Maní empleado en la mezcla Especial
Maní empleado en la mezcla Extra
Ejemplo: Análisis de la Información
La estrategia consistirá en identificar las variables mediante dos subíndices, el primero de ellos hará referencia al ingrediente, y el segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho ingrediente.
𝒙𝟐,𝒏 = Pasas empleadas en la mezcla…
Ejemplo: Análisis de la Información
Ejemplo: Análisis de la Información
𝒙𝟐,𝟏
𝒙𝟐,𝟐
𝒙𝟐,𝟑
Pasas empleadas en la mezcla Normal
Pasas empleadas en la mezcla Especial
Pasas empleadas en la mezcla Extra
Ejemplo: Análisis de la Información
La estrategia consistirá en identificar las variables mediante dos subíndices, el primero de ellos hará referencia al ingrediente, y el segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho ingrediente.
𝒙𝟑,𝒏 =Algarrobo empleado en la mezcla…
Ejemplo: Análisis de la Información
Ejemplo: Análisis de la Información
𝒙𝟑,𝟏
𝒙𝟑,𝟐
𝒙𝟑,𝟑
Algarrobo empleado en la mezcla Normal
Algarrobo empleado en la mezcla Especial
Algarrobo empleado en la mezcla Extra
Ejemplo: Variables de decisión
𝒙𝟏,𝟏 𝒙𝟏,𝟐 𝒙𝟏,𝟑
𝒙𝟐,𝟏 𝒙𝟐,𝟐 𝒙𝟐,𝟑
𝒙𝟑,𝟏 𝒙𝟑,𝟐 𝒙𝟑,𝟑
Ejemplo: Variables de decisión
Ejemplo: Variables de decisión
Ejemplo: Variables de decisión
Ejemplo: Variables de decisión
Ejemplo: Variables de decisión
Ejemplo: Variables de decisión
𝒙𝟏,𝟏 𝒙𝟏,𝟐 𝒙𝟏,𝟑
𝒙𝟐,𝟏 𝒙𝟐,𝟐 𝒙𝟐,𝟑
𝒙𝟑,𝟏 𝒙𝟑,𝟐 𝒙𝟑,𝟑
Una vez identificadas claramente las variables de decisión, se plantean las restricciones indicadas por el problema.
Ejemplo: Restricciones.
En este problema existen diferentes restricciones.
Vamos a identificar las restricciones siguiendo el orden establecido en el problema.
Ejemplo: Restricciones.
En este problema existen diferentes restricciones.
Vamos a identificar las restricciones siguiendo el orden establecido en el problema:
Ejemplo: Restricciones.
En primer lugar veamos cómo se representa, algebraicamente, el contenido de la mezcla normal.
Debe ser el maní empleado en la mezcla normal, más las pasas empleadas en la mezcla normal, más el algarrobo empleado en la mezcla normal.
Al menos 5% de cada ingrediente
Ejemplo: Restricciones.
Debe ser:
El maní empleado en la mezcla normal,
Más las pasas empleadas en la mezcla normal,
Más el algarrobo empleado en la mezcla normal.
Al menos 5% de cada ingrediente
Ejemplo: Restricciones.
Mezcla normal:
Al menos 5% de cada ingrediente
Ejemplo: Restricciones.
Al menos 5% de cada ingrediente
Ejemplo: Restricciones.
Cada ingrediente debe representar, al menos, el 5% de esta mezcla.
Al menos 5% de cada ingrediente
Ejemplo: Restricciones.
Cada ingrediente debe representar, al menos, el 5% de esta mezcla.
Al menos 5% de cada ingrediente
Ejemplo: Restricciones.
Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera
Ejemplo: Restricciones.
Mezcla especial:
Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera
Ejemplo: Restricciones.
Mezcla especial:
Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera
Ejemplo: Restricciones.
Mezcla especial:
Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera
Ejemplo: Restricciones.
Mezcla especial:
Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera
Ejemplo: Restricciones.
Mezcla especial:
Al menos 20% de cada ingrediente, pero no más del 50% de cualquiera
Ejemplo: Restricciones.
Mezcla extra:
Al menos 25% de pasas, y no más del 25% de maní
Ejemplo: Restricciones.
Mezcla extra:
Al menos 25% de pasas, y no más del 25% de maní
Ejemplo: Restricciones.
Mezcla extra:
Al menos 25% de pasas, y no más del 25% de maní
Ejemplo: Restricciones.
Ingredientes:
Maní
Pasas
Algarrobo
Disponible máximo: 1000 de maní, 2000 de pasas, y 3000 de algarrobo
Ejemplo: Restricciones.La cantidad de mezcla normal no debe exceder del 20% de la producción total.
Ejemplo: Función Objetivo.
Costo total
Ejemplo: Función Objetivo.
Ingresos
Ejemplo: Función Objetivo.
Ganancia = Ingresos – Costos
–
Ejemplo: Restricciones.
Ganancia = Ingresos – Costos
Al igual que con las restricciones, es necesario simplificar algebraicamente la función objetivo para poder utilizar algún software que resuelva el modelo.
Por su atenciónGracias
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