Post on 27-Sep-2020
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LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA
Seja a sequência 1
2,
2
3,
3
4, …
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LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA
Seja a sequência 1
2,
2
3,
3
4, …
Pode-se visualizar que os termos da sequência
𝑎𝑛 =𝑛
𝑛+1 se aproximam de
1 quando 𝑛 se torna grande.
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Definição 2: Uma sequência 𝑎𝑛 converge para L
𝑎𝑛 → L ou lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿
se dado 𝜀 > 0 existe um N tal que 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 para todo n ≥ 𝑁.
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4
Definição 2: Uma sequência 𝑎𝑛 converge para L
𝑎𝑛 → L ou lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿
se dado 𝜀 > 0 existe um N tal que 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 para todo n ≥ 𝑁.
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Observação: A comparação da Definição anterior com a
Definição do limite de uma função mostra que a única
diferença entre lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 e lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 é que 𝑛 precisa
ser inteiro.
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𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟑: Se 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 e 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 quando 𝑛 é
inteiro, então lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿.
Observação: A comparação da Definição anterior com a
Definição do limite de uma função mostra que a única
diferença entre lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 e lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 é que 𝑛 precisa
ser inteiro.
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lim𝑛→∞
1
𝑛𝑟 = 0 se 𝑟 > 0
Em particular, como sabemos que lim𝑥→∞
1
𝑥𝑟 = 0 quando 𝑟 > 0
temos como consequência do Teorema anterior:
Resultado 4:
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E se 𝑎𝑛 se tornar grande quando 𝑛 tende ao infinito???
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E se 𝑎𝑛 se tornar grande quando 𝑛 tende ao infinito???
Definição 5: 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛 = ∞ significa que para cada M > 0
existe um inteiro N tal que, se n > N então 𝑎𝑛 > M. (sequência divergente)
A sequência é dita convergente se o lim𝑛→∞
𝑎𝑛 existe,
caso contrário é dita divergente.
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𝐏𝐫𝐨𝐩𝐫𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞𝐬: Se *𝑎𝑛+ e *𝑏𝑛+ forem sequências convergentes ec uma constante.
1) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(𝑎𝑛+𝑏𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛+ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑏𝑛
2) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛 − 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑏𝑛
3) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
c 𝑎𝑛 = c 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛
4) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛 ∙ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑏𝑛
5) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛 =
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑏𝑛 , com 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑏𝑛 ≠ 0
6) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛𝑝 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑎𝑛
𝑝 com p e 𝑎𝑛> 0
Exemplo: Calcule lim𝑛→∞
𝑛
𝑛+1
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𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐨 𝐂𝐨𝐧𝐟𝐫𝐨𝐧𝐭𝐨: Se 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛, para 𝑛 ≥ 𝑛𝑜 e 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑎𝑛 = L e 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑐𝑛 = L
então 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑏𝑛 = L.
Teorema 6: Se 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 então 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛= 0
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Exemplo: Determine o limite da sequência cos2 𝑛
3𝑛
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Exemplo: Determine o limite da sequência cos2 𝑛
3𝑛
Exercício: Determine o limite das sequências, caso
existam.
1.4𝑛2
2𝑛2+1
2.sen 𝑛
𝑛
3.−1 𝑛
𝑛
4. −1 𝑛
5.ln 𝑛
𝑛
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Para que valores de r a sequência 𝑟𝑛 é convergente?
A sequência 𝑟𝑛 é convergente para −1 < 𝑟 ≤ 1 e diverge
para todos os outros valores de 𝑟.
Demonstração:
Resultado 7:
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𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢çã𝐨 𝟖: Uma sequência 𝑎𝑛 é denominada 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 se𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 para todo 𝑛 ≥ 1 e é denominada decrescente se 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 para todo 𝑛 ≥ 1 .
• A sequência é dita monótona se for crescente ou
decrescente.
Exemplos:
1. A sequência 𝑛
2𝑛+1 é crescente ou decrescente?
2. Mostre que a sequência 3
𝑛+5 é decrescente.