Post on 05-Jan-2017
THESE
Presentee a
L’UNIVERSITE DE POITIERS
Pour l’obtention du grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS
ECOLE SUPERIEURE D’INGENIEURS DE POITIERS
ECOLE DOCTORALE DES SCIENCES POUR L’INGENIEUR
Diplome National - Arrete du 7 aout 2006
SPECIALITE : AUTOMATIQUE
Pour l’obtention du grade de
DOCTEUR DE L’ECOLE NATIONALE D’INGENIEURS DE TUNIS
SPECIALITE : GENIE ELECTRIQUE
Presentee par
Imene BEN AMEUR BAZINE
IDENTIFICATION EN BOUCLE FERMEE DE LA
MACHINE ASYNCHRONE :
APPLICATION A LA DETECTION DE DEFAUT
Directeurs de These : J.-C. TRIGEASSOU et K. JELASSI
Co-encadrement : T. POINOT
Presentee et soutenue publiquement le 16 juin 2008
COMPOSITION DU JURY
Rapporteurs : Nabil DERBEL Professeur a l’ENIS SfaxMaurice FADEL Professeur a l’INP Toulouse
Examinateurs : Ilhem BELKHODJA Professeur a l’ENIT TunisMohamed BENREJEB Professeur a l’ENIT TunisKhaled JELASSI Maıtre de conferences a l’ENIT TunisThierry POINOT Professeur a l’Universite de PoitiersJean-Luc THOMAS Professeur titulaire de chaire au CNAM ParisJean-Claude TRIGEASSOU Professeur emerite a l’Universite de Poitiers
These preparee au sein du Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle de Poitiers
et du Laboratoire des Systemes Electriques de Tunis
Mis en page avec la classe thloria.
Remerciements
Je tiens a exprimer toute ma gratitude et mes sinceres remerciements a Mon-
sieur Jean-Claude TRIGEASSOU, Professeur a l’Universite de Poitiers, pour
avoir dirige ce travail, pour ses grandes competences scientifiques ainsi que pour
ses conseils, ses remarques toujours constructives, ses remarquables qualites hu-
maines, son soutien, la confiance et l’amitie qu’il m’a toujours temoignees.
Je remercie Monsieur Khaled JELASSI, Maıtre de Conferences a l’Ecole Na-
tionale d’Ingenieurs de Tunis, pour m’avoir encadree depuis le PFE. Je le remercie
egalement pour son aide, sa confiance ainsi que son amitie.
J’adresse egalement mes remerciements a Monsieur Thierry POINOT, pour
avoir co-dirige ce travail ainsi que pour son soutien tout au long de cette these.
Que Monsieur Maurice FADEL, Professeur a l’I.N.P. de Toulouse et Mon-
sieur Nabil DERBEL Professeur a l’E.N.I.S de Sfax trouvent ici l’expression de
ma profonde gratitude pour m’avoir fait l’honneur de rapporter ce travail. Ces
remerciements s’adressent egalement a Monsieur Mohamed BENREJEB, Profes-
seur a l’E.N.I.T de Tunis, Monsieur Jean-Luc THOMAS, Professeur au C.N.A.M
de Paris et Madame Ilhem BELKHODJA, Professeur a l’E.N.I.T de Tunis pour
avoir accepte de participer au jury de cette these.
Je remercie chaleureusement Monsieur Gerard Champenois, Professeur a l’Uni-
versite de Poitiers et Directeur du Laboratoire d’Automatique et d’Informatique
Industrielle pour m’avoir accueillie au sein de son equipe et pour m’avoir en-
couragee tout au long de ces travaux, ainsi que pour ses remarquables qualites
humaines.
Je remercie aussi Nezha MAAMRI, Maıtre de Conferences a l’Universite de
Poitiers pour son amitie ainsi que pour tous les tres bons moments passes en sa
compagnie.
Je voudrais egalement remercier toutes les personnes des laboratoires L.A.I.I
et L.S.E, qui m’ont toujours offert leur aide et qui ont su creer une ambiance
agreable. Je ne peux les citer tous de risque d’en oublier.
Pour finir, je tiens a remercier du fond du coeur ma famille et ma belle-famille
qui m’ont encouragee tout au long de ces annees d’etudes. Qu’ils recoivent ici
i
ma profonde gratitude pour leurs innombrables sacrifices. Merci aussi a nos chers
cousins Rym et Rochdi.
Enfin mes plus tendres remerciements vont a mon mari Sadok pour tout son
soutien, sa patience, sa complicite indispensables durant ces annees d’etudes ainsi
que ma tres chere fille Aya pour sa patience durant toutes les periodes d’absence
de maman et papa.
ii
A ma famille
A ma belle-famille
A Sadok
A ma tres chere fille Aya
iii
iv
Table des matieres
Introduction generale 1
Chapitre 1 La machine asynchrone : modelisation, commande et
simulation 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Modelisation de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Modele triphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Modele diphase de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2.1 Transformation triphasee/diphase . . . . . . . . . 10
1.2.2.2 Equations generales . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Commande vectorielle a flux rotorique oriente . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Expression generale de la commande . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Decouplage par compensation . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 Schema de principe de la commande vectorielle . . . . . . 17
1.4 Protocole de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Exemple de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Simulations dediees a l’identification . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2 Modele dedie a l’identification directe . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Modele dedie a l’identification indirecte . . . . . . . . . . . 27
1.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chapitre 2 Identification en boucle fermee 29
v
Table des matieres
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Identification en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Algorithme d’identification du type erreur de sortie . . . . 31
2.2.3 Estimation parametrique avec information a priori . . . . 33
2.2.3.1 Introduction de l’information a priori . . . . . . 34
2.2.3.2 Algorithme d’optimisation non lineaire . . . . . . 35
2.2.3.3 Calcul des fonctions de sensibilite . . . . . . . . . 36
2.2.3.4 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3.4.1 Choix de l’information a priori . . . . . 37
2.2.3.4.2 Choix de la variance de la perturbation
de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Un panorama des methodes d’identification en boucle fermee . . . 39
2.3.1 Problematique de l’identification en boucle fermee . . . . . 40
2.3.2 L’approche directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2.2 Biais de l’approche directe en boucle fermee . . . 41
2.3.3 L’approche simultanee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.4 L’approche indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.4.2 Methodes associees a une parametrisation appro-
priee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.4.2.1 Methode C.L.O.E. . . . . . . . . . . . . 46
2.3.4.2.2 Methode Tailor-Made Parametrisation . 47
2.3.4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Methode d’identification O.E. basee sur une decomposition de la
boucle fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2 Identification de correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.2.1 Methodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
vi
2.4.2.2 Etude de la surparametrisation . . . . . . . . . . 52
2.4.2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.2.2.2 Les moments discrets . . . . . . . . . . . 53
2.4.2.3 Simulations numeriques . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2.3.1 Choix de la structure du correcteur . . . 54
2.4.2.3.2 Les moments discrets . . . . . . . . . . . 57
2.4.3 Methodologie d’identification indirecte par erreur de sortie 58
2.4.3.1 Calcul des fonctions de sensibilite . . . . . . . . . 58
2.4.3.2 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Chapitre 3 Identification en boucle fermee de la machine a courant
continu 65
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 La machine a courant continu : modelisation et commande . . . . 66
3.3 Description du simulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.1 Protocole de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.2 Types d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Methodologie d’identification en boucle fermee . . . . . . . . . . . 72
3.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.2 Identification du correcteur equivalent . . . . . . . . . . . 73
3.4.2.1 Methodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.2.2 Les moments discrets . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.2.3 Simulations numeriques . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.3 Identification indirecte par erreur de sortie . . . . . . . . . 80
3.4.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.3.2 Calcul des fonctions de sensibilite . . . . . . . . . 80
3.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.1 Identification indirecte avec correcteur reel pour differentes
excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5.2 Identification directe pour differentes excitations . . . . . . 86
vii
Table des matieres
3.5.3 Identification Indirecte avec correcteur surparametrise . . . 89
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapitre 4 Identification en boucle fermee de la machine asyn-
chrone 97
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2 Identification par approche directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.2 Calcul des fonctions de sensibilite . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.3 Resultat d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Methodologie generale d’identification en boucle fermee . . . . . . 104
4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.2 Identification de la commande vectorielle . . . . . . . . . . 105
4.3.2.1 Methodologie d’identification de correcteur . . . . 105
4.3.2.2 Test de surparametrisation . . . . . . . . . . . . 110
4.3.2.3 Resultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.3 Identification de la machine par decomposition de la boucle
fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.3.2 Calcul des fonctions de sensibilite . . . . . . . . . 118
4.3.4 Resultat d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4 Comparaison de resultats d’identification : approche directe/approche
indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Chapitre 5 Diagnostic de la machine asynchrone par approche in-
directe 129
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2 Modeles de defaut de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . 131
5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.2 Modele de defauts statoriques de type court-circuit . . . . 132
viii
5.2.3 Modele de defaut rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.4 Modele general de defauts de la machine asynchrone . . . 136
5.2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3 Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee 138
5.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.2 Estimation parametrique avec information a priori . . . . 139
5.3.3 Diagnostic d’un defaut stator . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.3.1 Modele dedie au diagnostic des courts-circuits au
stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.3.2 Resultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3.3.2.1 Detection et localisation . . . . . . . . . 142
5.3.3.2.2 Comparaison de resultats d’identification
par approche directe et approche indirecte144
5.3.4 Diagnostic d’un defaut rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.4.1 Modele de detection . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3.4.2 Resultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . 148
5.3.4.2.1 Detection et localisation . . . . . . . . . 148
5.3.4.2.2 Comparaison de resultats d’identification
par approche directe et approche indirecte151
5.3.5 Diagnostic de defauts simultanes stator/rotor . . . . . . . 152
5.3.5.1 Modele de detection . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.3.5.2 Resultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . 152
5.3.5.2.1 Detection et localisation . . . . . . . . . 152
5.3.5.2.2 Comparaison de resultats d’identification
par approche directe et approche indirecte155
5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Conclusion generale 159
Annexes 163
Annexe A Biais de l’estimateur 163
ix
Table des matieres
A.1 Algorithme a erreur de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.2 Hypothese deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.3 Hypothese stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.3.1 Identification en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.3.2 Identification en boucle boucle fermee par approche directe 166
A.3.3 Identification en boucle boucle fermee par approche indirecte167
Annexe B Relations lineaires entre moments discrets et parametres
du correcteur 169
B.1 Cas d’un correcteur sans integrateur . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.2 Cas d’un correcteur avec un integrateur . . . . . . . . . . . . . . . 171
Annexe C Identification de la machine a courant continu 173
Bibliographie 179
x
Table des figures
1.1 Principe de la transformation de Park . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Schema electrique equivalent de la machine asynchrone dans le
repere de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Modele de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Decouplage par addition des termes de compensation . . . . . . . 18
1.5 Simulateur pour l’obtention des signaux synthetiques . . . . . . . 20
1.6 Controle de la vitesse (flux rotorique oriente) . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Courants et tensions statoriques dans le repere du stator . . . . . 24
1.8 Courants et tensions statoriques dans le repere du rotor . . . . . . 24
2.1 Principe des methodes a erreur de sortie . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Systeme boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Principe de l’identification directe en boucle fermee . . . . . . . . 42
2.4 Systeme boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Principe de l’identification indirecte en boucle fermee . . . . . . . 49
2.6 Processus boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Moments discrets des correcteurs surparametrises en fonction de
l’ordre S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8 Identification en presence d’un bruit blanc . . . . . . . . . . . . . 61
2.9 Identification en presence d’un bruit moyennement correle c1 = −0.5 62
2.10 Identification en presence d’un bruit fortement correle c1 = −0.95 63
3.1 Principe de la regulation de la machine MCC . . . . . . . . . . . 68
3.2 Principe de la simulation de la MCC . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Controle de la machine a courant continu . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Principe du correcteur equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Comparaison des commandes reelle et estimees pour chaque struc-
ture surparametrisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
xi
Table des figures
3.6 Principe de l’identification indirecte pour la MCC . . . . . . . . . 81
3.7 Identification indirecte en presence d’un bruit blanc sur le courant
et la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.8 Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur
le courant et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . 85
3.9 Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur
le courant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . 87
3.10 Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur
le courant et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . 88
3.11 Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur
le courant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . 88
3.12 Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surpara-
metrise en presence d’un bruit moyennement correle sur le courant 90
3.13 Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surpara-
metrise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant . . 91
3.14 Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur
le courant et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . 92
3.15 Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur
le courant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . 92
3.16 Evolution des parametres electriques estimes durant la procedure
d’identification I.I.C.S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.17 Comparaison des courants et des tensions simules et estimes pour
l’I.I.C.S.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.18 Identification en presence d’un bruit fortement correle sur le cou-
rant et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1 Principe de l’identification directe de la machine asynchrone . . . 100
4.2 Evolution des parametres electriques durant la procedure d’esti-
mation par identification directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Comparaison des courants simules et estimes d’axes (d, q) pour
l’identification directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4 Erreur d’estimation de l’identification directe . . . . . . . . . . . . 103
4.5 Decomposition de la commande de la machine en sous-systemes
multi-entrees mono-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6 Comparaison des commandes reelle et estimees pour chaque struc-
ture surparametrisee de CEq−uds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
xii
4.7 Comparaison des commandes reelle et estimees pour chaque struc-
ture surparametrisee de CEq−uqs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.8 Principe de l’identification indirecte de la machine asynchrone . . 117
4.9 Evolution des parametres electriques durant la procedure d’esti-
mation par identification indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.10 Comparaison des courants (et tensions) simules et estimes d’axes
(d, q) pour l’identification indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.11 Erreur d’estimation de l’identification indirecte . . . . . . . . . . . 123
4.12 Identification en presence d’un bruit blanc sur les courants . . . . 124
4.13 Identification en presence d’un bruit fortement correle sur les cou-
rants et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.14 Identification en presence d’un bruit fortement correle sur le cou-
rant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . . . . 127
5.1 Modele de defauts statoriques de la machine asynchrone . . . . . 132
5.2 Modele de defauts rotoriques de la machine asynchrone . . . . . . 135
5.3 Modele de defauts stator/rotor de la machine asynchrone . . . . . 136
5.4 Evolution des parametres pour un court-circuit de 58 spires sur la
phase a et 29 spires sur la phase b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5 Comparaison des courants et des tensions simules et estimes pour
un court-circuit de 58 spires sur la phase a et 29 spires sur la phase
b d’axe q de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.6 Resultats d’identification parametrique pour un court-circuit de 18
spires sur la phase c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.7 Resultats d’identification parametrique pour un court-circuit de 58
spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b . . . . . . . . . . . 146
5.8 Evolution des parametres de defaut pour une barre cassee . . . . 149
5.9 Comparaison des courants et des tensions simules et estimes pour
une rupture d’une barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.10 Evolution des parametres pour un defaut de deux barres cassees . 150
5.11 Evolution des parametres de defaut dans le cas d’une machine saine
par identification indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.12 Evolution des parametres pour un court-circuit de 29 spires sur
la phase a, 18 spires sur la phase c et deux barres cassees par
identification indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
xiii
Table des figures
5.13 Evolution des parametres pour un court-circuit de 29 spires sur
la phase a, 18 spires sur la phase c et deux barres cassees par
identification directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.14 Comparaison des courants (et tensions) simules et estimes pour un
court-circuit de 29 spires sur la phase a, 18 spires sur la phase c et
deux barres cassees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.15 Resultats d’estimation parametrique (defauts simultanes) . . . . . 157
A.1 Identification en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.2 Identification en boucle fermee par approche directe . . . . . . . . 166
A.3 Identification en boucle fermee par approche indirecte . . . . . . . 167
C.1 Machine a courant continu (MCC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
C.2 Les entrees / sorties de la MCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C.3 Simulation en boucle ouverte a u = 20 V . . . . . . . . . . . . . . 176
C.4 Simulation en boucle fermee a ωref = 90 rad/s . . . . . . . . . . . 177
xiv
Liste des tableaux
1.1 Caracteristiques de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Structures des correcteurs surparametrises . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 les moments discrets du vrai correcteur . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Identification en presence d’un bruit blanc . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Identification en presence d’un bruit moyennement correle c1 = −0.5 62
2.5 Identification en presence d’un bruit fortement correle c1 = −0.95 62
3.1 Caracteristiques de la MCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Structures des correcteurs surparametrises de la MCC . . . . . . . 78
3.3 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cw . . . . . 79
3.4 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Ci . . . . . 79
3.5 Identification indirecte en presence d’un bruit blanc sur le courant
et la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6 Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur
le courant et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . 85
3.7 Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur
le courant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . 86
3.8 Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur
le courant et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . 87
3.9 Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur
le courant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . 88
3.10 Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surpara-
metrise en presence d’un bruit moyennement correle sur le courant 90
3.11 Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surpara-
metrise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant . . 91
xv
Liste des tableaux
3.12 Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surpara-
metrise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant et
d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.13 Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surpara-
metrise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant et
d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . . . . . . . . 92
3.14 Identification en presence d’un bruit fortement correle sur le cou-
rant et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1 Structures des correcteurs equivalents surparametrises CEq−uds . . 112
4.2 Structures des correcteurs equivalents surparametrises CEq−uqs . . 113
4.3 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cid . . . . . 113
4.4 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωiq . . . . 113
4.5 Erreur quadratique entre la commande reelle uds et la commande
estimee uds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cω . . . . . 115
4.7 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Ciq . . . . . 115
4.8 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωid . . . . 115
4.9 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωφ . . . . 116
4.10 Erreur quadratique entre la commande reelle uqs et la commande
estimee uqs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.11 Caracteristiques de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . 122
4.12 Identification en presence d’un bruit blanc sur les courants . . . . 124
4.13 Identification en presence d’un bruit fortement correle sur les cou-
rants et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.14 Identification en presence d’un bruit fortement correle sur les cou-
rants et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . . . . 126
5.1 Resultats d’estimation parametrique pour un court-circuit de 18
spires sur la phase c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Resultats d’identification parametrique pour un court-circuit de 58
spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b . . . . . . . . . . . 145
5.3 Resultats d’estimation parametrique (defaut rotorique) . . . . . . 151
5.4 Resultats d’estimation parametrique (defauts simultanes) . . . . . 156
xvi
Introduction generale
La detection des defauts, si possible precoces, dans les entraınements elec-
triques represente un enjeu scientifique du fait de la complexite et de la variete
des problemes poses ainsi qu’un enjeu industriel en raison de l’interet economique
d’une strategie efficace de maintenance predictive. Le Laboratoire d’Automatique
et d’Informatique Industrielle (LAII) s’est investi depuis une vingtaine d’annees
dans le diagnostic des machines electriques et plus particulierement ces dernieres
annees dans celui des machines asynchrones. Plusieurs approches peuvent etre
mises en œuvre pour detecter les defauts des machines electriques : analyse vi-
bratoire, observateurs, estimation parametrique . . .
Compte-tenu de son experience dans le domaine de l’identification des sys-
temes a temps continu, le LAII s’est investi dans la detection des defauts a partir
de l’estimation des parametres physiques du modele electrique. Deux theses re-
centes ont reussi a demontrer la pertinence de cette approche. Dans la these de
Sandrine MOREAU [Moreau, 1999], l’apport de l’information a priori s’est avere
un element decisif pour robustifier la convergence des algorithmes a erreur de
sortie et pour integrer l’expertise de l’utilisateur. Dans la these de Smaıl BA-
CHIR [Bachir, 2002], une veritable methodologie de diagnostic par estimation
parametrique a ete mise au point, en integrant la signature des defauts a l’aide
de modeles dedies et l’expertise de l’utilisateur vis-a-vis du fonctionnement sain.
Il a ete ainsi demontre qu’il est possible de detecter des courts-circuits de spires
stator et des ruptures de barres rotor sur une machine asynchrone integree dans
un dispositif de regulation de vitesse par commande vectorielle.
Bien que les resultats obtenus sur un pilote de laboratoire aient ete tres encou-
rageants, de nombreuses questions fondamentales sont apparues. Une estimation
parametrique necessite une excitation riche afin d’exciter les modes pertinents
de la machine. Malheureusement, cette richesse d’excitation est le plus souvent
contradictoire avec les contraintes d’exploitation, surtout lorsque l’utilisateur a
1
Introduction generale
besoin d’une regulation de vitesse performante. En outre, bien que les defauts
electriques soient bien detectes, il subsiste une incertitude relativement impor-
tante qui ne peut etre reduite par l’amelioration de l’excitation. Ce dernier point
souleve deux interrogations fondamentales :
– une part importante de l’incertitude n’est-elle pas due a une erreur de mo-
delisation ?
– par ailleurs, bien que la machine asynchrone fonctionne en boucle fer-
mee, l’utilisation d’un algorithme d’identification prevu pour fonctionner
en boucle ouverte n’est-elle pas la cause, au moins pour partie, de cette
incertitude qui pourrait aussi etre un biais ?
Le travail de recherche relate dans ce memoire se propose d’apporter quelques
reponses a l’ensemble de ces interrogations, le probleme de l’erreur de modeli-
sation etant trop vaste pour etre traite simultanement. Aussi, l’accent a ete mis
essentiellement sur les problemes d’identification, en essayant de les poser de ma-
niere fondamentale, independemment du diagnostic par estimation parametrique.
Il nous a donc semble fondamental d’etudier l’identification en boucle fermee
de la machine asynchrone. En effet, celle-ci, comme la machine a courant continu,
ne peut repondre aux imperatifs industriels de variation de vitesse que si elle
est incluse dans un dispositif boucle, constitue d’un asservissement de couple et
d’un asservissement de vitesse. Il est bien connu que l’identification d’un systeme
fonctionnant en boucle fermee, sans prise en compte explicite de cette boucle
fermee, se traduit par un biais asymptotique resultant de la correlation des bruits
de sortie avec la commande bouclee appliquee au systeme. Une precedente these
du LAII [Grospeaud, 2000] a fourni une solution a ce probleme fondamental dans
le cadre de l’identification par erreur de sortie, ou le correcteur est explicitement
pris en compte. Cette prise en compte peut etre effectuee soit par la connaissance
a priori du correcteur, soit (ce qui est plus realiste) par son estimation a l’aide
d’une technique d’identification par moindres carres surparametrises.
Il pouvait donc sembler immediat de transposer cette methodologie au cas de
la machine asynchrone. Le probleme est cependant trop complexe pour que la
transposition soit directe : en effet, il n’y a pas un seul correcteur, mais au moins
deux correcteurs imbriques en cascade dans le cas des machines electriques.
Le cas le plus simple est celui de la machine a courant continu et c’est pour
cette raison qu’il nous a d’abord servi a l’application de la methodologie initiale.
Le cas de la machine asynchrone est nettement plus complexe car le correcteur est
non seulement cascade mais multivariable et non lineaire du fait des decouplages.
2
D’autre part, plusieurs referentiels de Park sont potentiellement utilisables : il
a donc ete necessaire d’analyser le probleme pour definir celui qui est le mieux
approprie au probleme de l’identification en boucle fermee.
La deuxieme reponse que nous avons essaye d’apporter au probleme du diag-
nostic a concerne le mode d’excitation. Dans une variation de vitesse, il est natu-
rel de perturber la reference de vitesse par une sequence binaire pseudo aleatoire
(SBPA) afin de repondre a l’exigence de richesse de l’excitation necessaire a l’algo-
rithme d’identification. Malheureusement, ce mode d’excitation va totalement a
l’encontre des objectifs de production quand l’asservissement a precisement pour
mission de maintenir la vitesse constante. Or cette vitesse est perturbee par les
variations du couple de charge (provoquees par les imperatifs de production) que
l’asservissement a justement pour objectif de minimiser. Ces modifications du
couple de charge font varier le point de fonctionnement de la machine : sont-elles
suffisantes pour satisfaire les objectifs de richesse d’excitation et n’induisent-elles
pas un biais asymptotique du fait de la nature bouclee du fonctionnement ?
C’est a ces questions que les travaux relates dans ce memoire de these tentent
d’apporter une reponse sous la forme d’une methodologie generale d’identifica-
tion en boucle fermee de la machine asynchrone, applicable a son diagnostic par
estimation parametrique.
Organisation du memoire
Le premier chapitre permet de rappeler la constitution de la machine asyn-
chrone, sa modelisation et sa commande. Nous nous attardons en particulier sur
la commande a flux rotorique oriente. Nous rappelons aussi certaines notions im-
portantes (champ tournant et repere de Park) ; ces notions sont utilisees dans la
presentation du modele de simulation et des modeles de comportement dedies au
diagnostic.
Le deuxieme chapitre est consacre a une etude detaillee des problemes lies
a l’identification en boucle fermee et des solutions apportees pour y remedier.
Nous nous attachons en particulier a analyser les trois approches dites directe,
indirecte et simultanee developpees pour identifier des processus boucles. Une at-
tention particuliere est portee aux techniques basees sur l’approche par erreur de
sortie. Par ailleurs, nous presentons une methodologie d’identification en boucle
fermee transposable au cas des machines electriques. Cette methodologie s’ap-
puie sur l’approche indirecte et les algorithmes du type erreur de sortie. Nous
3
Introduction generale
montrons, dans ce chapitre, l’avantage d’une telle approche a travers un exemple
academique.
Nous proposons, dans le troisieme chapitre, une methodologie d’identification
de la machine a courant continu en boucle fermee par approche indirecte. Cette
methodologie est basee sur la decomposition de la boucle fermee et exige de ce fait,
une connaissance du correcteur. Ainsi, dans une premiere etape, on identifie un
correcteur equivalent par une technique de moindres carres surparametrises. Par
ailleurs un test de caracterisation de l’ordre de surparametrisation est propose.
Dans une seconde etape, on realise l’identification des parametres du systeme
par une technique a erreur de sortie. Une analyse du biais en boucle fermee de
la machine a courant continu, par approche directe et approche indirecte, est
proposee dans ce chapitre.
Dans le quatrieme chapitre, nous precisons l’application de cette methodo-
logie au cas de la machine asynchrone. On explique donc le choix du repere de
fonctionnement de la machine pour l’identification indirecte. D’autre part, on
s’interesse aussi a l’identification de l’algorithme de commande de la machine,
qui est generalement une structure multi-variable et non lineaire, afin d’eviter
sa connaissance a priori. Une analyse du biais en boucle fermee de la machine
asynchrone, par approche directe et approche indirecte, est aussi proposee dans
ce chapitre.
Dans le cinquieme chapitre, nous utilisons la methodologie d’identification en
boucle fermee de la machine developpee precedemment pour la detection et la
localisation des defauts du type courts-circuits au stator et rupture de barres au
rotor. Ainsi, nous proposons une methodologie globale de diagnostic de la machine
asynchrone en boucle fermee par estimation parametrique, testee en simulation.
4
Chapitre 1
La machine asynchrone :
modelisation, commande et
simulation
Ce premier chapitre permet de rappeler la constitution de la machine asyn-
chrone, sa modelisation et sa commande. Nous nous attardons en particulier sur
la commande a flux rotorique oriente. Nous rappelons aussi certaines notions im-
portantes (champ tournant et repere de Park) ; ces notions sont utilisees dans la
presentation du modele de simulation et des modeles de comportement dedies au
diagnostic.
5
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
1.1 Introduction
Les machines electriques tournantes occupent une place preponderante dans
tous les secteurs industriels. Les machines asynchrones triphasees a cage d’ecu-
reuil sont les plus frequemment utilisees en raison de leur robustesse, de leur
simplicite de construction et de leur bas cout. Neanmoins, celles-ci subissent au
cours de leur duree de vie un certain nombre de sollicitations externes ou internes
qui peuvent les rendre defaillantes. Les contraintes industrielles en fiabilite, main-
tenabilite, disponibilite et securite des equipements sont par ailleurs tres fortes.
C’est pourquoi il est interessant d’estimer l’etat de sante de ces machines.
L’un des objectifs les plus importants, dans le cadre du diagnostic, concerne
la mise au point de modeles mathematiques reellement representatifs d’un fonc-
tionnement en defaut. L’etape de modelisation s’avere donc indispensable aussi
bien en commande, pour la synthese des boucles de regulation, qu’en surveillance,
pour la detection et la localisation des pannes. Il paraıt evident que la surveillance
d’un dispositif s’appuie sur la connaissance de son comportement sain, quel que
soit son point de fonctionnement. La maıtrise des differents modes de fonctionne-
ment dits normaux˝est alors indispensable lorsqu’on envisage une surveillance
avancee du processus.
L’objectif de ce premier chapitre est d’effectuer quelques rappels sur la consti-
tution de la machine asynchrone a cage d’ecureuil, sa modelisation et sa com-
mande. Nous decrivons aussi le simulateur utilise pour la validation des algo-
rithmes d’identification.
1.2 Modelisation de la machine asynchrone
L’etude du fonctionnement de la machine consiste classiquement a rechercher
l’ensemble des equations reliant les variables internes aux grandeurs externes :
tensions aux bornes de la machine, courants consommes et couple disponible.
Les differentes approches pour l’etude reposent sur la resolution des equations
de l’electromagnetisme et de la mecanique. Les differences proviennent des hy-
potheses simplificatrices qu’il est possible de faire, en fonction du domaine de
frequence concerne, et de la topologie (structure physique) du systeme etudie,
c’est-a-dire en fonction des objectifs de la modelisation.
6
1.2. Modelisation de la machine asynchrone
La machine asynchrone, souvent appelee moteur a induction, est constituee :
– d’une armature statorique fixe comportant trois enroulements identiques a
p paires de poles et decales d’un angle electrique de 2π3p
. Ces derniers sont
loges dans des encoches et relies a la source d’alimentation. Ce dispositif
cree un champ tournant de vitesse de synchronisme Ωs =ωs
p.
– d’une armature rotorique mobile dont la structure peut etre constituee de
trois enroulements triphases (rotor bobine) raccordes en etoile a trois bagues
sur lesquelles frottent trois balais fixes accessibles par la plaque a bornes et
mis en court-circuit pendant les regimes permanents. L’armature rotorique
peut etre aussi (le plus souvent) un ensemble de conducteurs massifs integres
aux toles ferromagnetiques (rotor a cage d’ecureuil). Le rotor possede dans
ce cas un certain nombre d’encoches contenant chacune une barre conduc-
trice, en cuivre ou en aluminium. Les barres sont ensuite reunies entre elles
aux deux extremites par deux anneaux conducteurs.
Dans ce chapitre, nous allons considerer le cas d’une machine asynchrone a
cage d’ecureuil. Nous admettons par contre que sa structure rotorique est elec-
triquement equivalente a celle d’un rotor bobine. Le champ tournant induit des
courants rotoriques dans les barres de la cage d’ecureuil (ou bobinage) : ces cou-
rants induits provoquent un couple permettant au rotor de tourner a une vitesse
Ω, voisine de celle du champ tournant, mais necessairement inferieure.
La mise en equation de la machine asynchrone avec les hypotheses retenues
etant classique, nous ne mentionnerons que les points qui nous semblent essentiels
et les choix qui nous sont propres par rapport a ce qui se fait habituellement. Pour
plus de details, le lecteur pourra se referer a [Dalmasso, 1985] [Chatelain, 1989]
[Caron and Hautier, 1995] [?].
1.2.1 Modele triphase
Avant d’etablir le modele de la machine asynchrone en vue de sa commande,
nous rappelons brievement les hypotheses, desormais classiques, retenues :
– les circuits magnetiques sont non-satures,
– les pertes fer sont negligees,
– il n’y a pas d’effet de peau,
– l’effet des encoches est neglige,
– la repartition de la force magnetomotrice est sinusoıdale.
7
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
En posant :Rs : Resistance statorique
Rr : Resistance rotorique
Lsp : Inductance propre statorique
Lrp : Inductance propre rotorique
Ms : Mutuelle inductance inter-phases statoriques
Mr : Mutuelle inductance inter-phases rotoriques
Msr : Mutuelle inductance stator-rotor
p : Le nombre de paire de poles
θ : Angle mecanique de la position du rotor
us = [ua ub uc ]T : Tensions statoriques
ur = [u1 u2 u3 ]T : Tensions rotoriques
is = [ia ib ic ]T : Courants statoriques
ir = [i1 i2 i3 ]T : Courants rotoriques
Les equations electriques de la machine asynchrone sont a l’origine :
[ϕ] =
[ϕs
ϕr
]=
[[Ls] [Msr]
[Mrs] [Lr]
]·
[isir
](1.1)
et
[us
ur
]=
[[Rs] 0
0 [Rr]
]·
[isir
]+
d
dt
[ϕ]
= [L] · [I] (1.2)
avec :
[Rs] = Rs.I3 et [Rr] = Rr.I3 (1.3)
ou
I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
8
1.2. Modelisation de la machine asynchrone
[Mrs] = [Msr]t = Mrs
cos(pθ) cos(pθ − 2π/3) cos(pθ − 4π/3)
cos(pθ − 4π/3) cos(pθ) cos(pθ − 2π/3)
cos(pθ − 2π/3) cos(pθ − 4π/3) cos(pθ)
(1.4)
[Ls
]=
Lsp Ms Ms
Ms Lsp Ms
Ms Ms Lsp
(1.5)
[Lr
]=
Lrp Mr Mr
Mr Lrp Mr
Mr Mr Lrp
(1.6)
Le comportement mecanique de la machine asynchrone depend de l’inertie J ,
du couple electromagnetique Ce, du couple mecanique resistant Cr et de couple
de frottement fluide Cf = fvΩ ou fv est la constante de frottement fluide.
L’equation mecanique est definie par :
JdΩ(t)
dt+ fvΩ(t) = Ce(t) − Cr(t) (1.7)
Le couple electromagnetique en fonction des trois courants statoriques et des
trois courants rotoriques s’exprime sous la forme :
Ce =1
2· [I]T ·
d[L]
dθ· [i] (1.8)
Le modele de representation de la machine asynchrone que nous venons de
presenter presente l’inconvenient d’etre relativement complexe dans la mesure ou
les matrices contiennent des elements variables en fonction de l’angle de rotation
θ. Une solution pour obtenir des coefficients constants consiste a appliquer une
transformation mathematique au systeme. Cette transformation est plus connue
sous le nom de transformation de Park.
9
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
1.2.2 Modele diphase de Park
1.2.2.1 Transformation triphasee/diphase
La representation de Park ou representation vectorielle, represente la projec-
tion des trois phases de la machine sur un repere biphase orthogonal. En plus des
simplifications dans la modelisation triphasee, dans le repere de Park, la machine
est supposee electriquement equilibree et on choisit de totaliser les fuites ma-
gnetiques au stator [Caron and Hautier, 1995]. Le passage d’une representation
triphasee a une representation biphasee decrite sur la figure 1.1, repose sur la
conservation des forces magnetomotrices. Cette transformation est orthonormee.
Elle conserve la puissance instantanee. La composante homopolaire s’annule car
la machine est supposee equilibree.
Par definition, le systeme d’axes (d, q) tourne a la vitesse ωa. Nous allons
considerer, comme decrit sur la figure 1.1, l’enroulement equivalent du stator
forme des deux bobinages d’axes en quadrature sd et sq tournant a la vitesse
ωa. De meme, au rotor, on substitue deux bobinages rd et rq aux enroulements
triphases equivalents.
θ
θr
θs
usaisa
ira
ω
Sa
Sc
q
Sb d
ωa
Ra
Fig. 1.1 – Principe de la transformation de Park
10
1.2. Modelisation de la machine asynchrone
Pour la transformation d’une grandeur statorique, les matrices de passage sont
les suivantes :
Xsd
Xsq
Xso
= [Ps] ·
Xsa
Xsb
Xsc
(1.9)
Xsa
Xsb
Xsc
= [Ps]−1 ·
Xsd
Xsq
Xso
(1.10)
[Ps] =
√2
3
cos(θs) cos(θs −2π3
) cos(θs + 2π3
)
− sin(θs) − sin(θs −2π3
) − sin(θs + 2π3
)1√2
1√2
1√2
(1.11)
Pour obtenir les matrices de passage des grandeurs rotoriques, il suffit de
remplacer dans l’expression (1.11) θs par θr.
1.2.2.2 Equations generales
Dans un souci de simplification du modele de la machine asynchrone, on
choisit de totaliser les fuites magnetiques au stator [Caron and Hautier, 1995]
[Bachir, 2002].
Par definition, le systeme d’axes (d, q) tourne a la vitesse ωa. Il est interes-
sant de pouvoir changer de repere selon les besoins de l’utilisateur. Ainsi, pour
un referentiel note (x) tournant a une vitesse ωa par rapport au stator de la
machine asynchrone, l’ensemble des equations electriques de la machine s’ecrit
[Caron and Hautier, 1995] [Schaeffer, 1999] :
11
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
u(x)dqs
= Rsi(x)dqs
+d
dtφ(x)
dqs+ ωaP (
π
2)φ(x)
dqs(1.12)
u(x)dqr
= 0 = Rri(x)dqr
+d
dtφ(x)
dqr+ (ωa − ω)P (
π
2)φ(x)
dqr(1.13)
φ(x)
dqs= Lsi
(x)dqs
+ Lmi(x)dqr
(1.14)
φ(x)
dqr= Lmi
(x)dqs
+ Lri(x)dqr
(1.15)
avec :
Ls = Lsp − Ms : inductance cyclique statorique
Lr = Lrp − Mr : inductance cyclique rotorique
Lm =3
2Msr : inductance mutuelle cyclique stator-rotor
ω = pΩ : pulsation electrique de rotor
et
P (π
2) =
[cos(π
2) cos(π
2+ π
2)
sin(π2) sin(π
2+ π
2)
]
Si on fait l’hypothese que les fuites magnetiques sont totalisees au stator et
en definissant :
Ls = Lf + Lm
Lr = Lm
(1.16)
les equations (1.12) a (1.15) se reecrivent alors
u(x)dqs
= Rsi(x)dqs
+d
dtφ(x)
dqs+ ωaP (
π
2)φ(x)
dqs(1.17)
u(x)dqr
= 0 = Rri(x)dqr
+d
dtφ(x)
dqr+ (ωa − ω)P (
π
2)φ(x)
dqr(1.18)
φ(x)
dqs= (Lf + Lm)i
(x)dqs
+ Lmi(x)dqr
(1.19)
φ(x)
dqr= Lm
(i(x)dqs
+ i(x)dqr
)(1.20)
12
1.2. Modelisation de la machine asynchrone
Il existe trois systemes d’axes de reference ayant des specificites distinctes :
– Si le referentiel est fixe par rapport au stator ωa = 0, on obtient un sys-
teme electrique ou les grandeurs statoriques sont purement alternatives et
a la frequence de l’alimentation. La simulation de la machine asynchrone
dans ce repere n’exige donc aucune connaissance de la position du rotor,
ce qui constitue un avantage pour la commande sans capteur de position.
L’inconvenient majeur est la manipulation de signaux a frequence elevee.
– Si le referentiel tourne a la vitesse de synchronisme ωa = ωs = 2πfs, on
obtient un systeme electrique purement continu qui est tres bien adapte
aux techniques d’identification. Cependant la position du champ tournant
doit etre reconstituee a chaque instant d’echantillonage.
– Si le referentiel est fixe par rapport au rotor ωa = ω, les signaux electriques
sont alors quasi-continus. La pulsation des grandeurs electriques est alors
egale a gω (ou g = ωs−ωωs
est le glissement de la machine) qui est faible dans
les conditions reelles de fonctionnement. Lorsqu’on a acces a la position me-
canique, ce repere est privilegie du fait de la quasi-continuite des grandeurs
electriques.
La figure 1.2 represente le schema electrique equivalent de la machine asynchrone
en regime dynamique, avec les fuites totalisees au stator.
RsLf
ωP (π2)φdqs
Rr
udqs
idqs
idqr
idqm
Lm
Fig. 1.2 – Schema electrique equivalent de la machine asynchrone dans le reperede Park
Le modele de la machine se caracterise alors par quatre parametres physiques
Rs, Rr, Lm et Lf . Ce sont donc ces quatre parametres que nous allons chercher
13
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
a estimer par la suite dans le cas d’une machine saine.
L’expression du couple Ce dans le repere de Park avec fuites ramenees au
stator s’ecrit [Caron and Hautier, 1995] [?] :
Ce = pLm
Lr
(iqsφdr − idsφqr) (1.21)
1.3 Commande vectorielle a flux rotorique oriente
1.3.1 Introduction
La machine asynchrone ou par nature le rotor ne tourne pas a la vitesse du
champ tournant et dont la seule entree electrique est au stator, pose des problemes
difficiles pour sa commande. La communaute scientifique et industrielle a imagine
de nombreuses methodes de commande afin de pouvoir la controler en couple, en
vitesse ou en position.La veritable maıtrise de la variation de vitesse des machines
asynchrones a necessite leur commande en couple dans un referentiel (d, q) lie au
champ tournant.
L’objectif de ce type de controle est d’aboutir a un modele simple de la ma-
chine asynchrone qui rende compte de la commande separee de la grandeur flux
Φ et de la grandeur courant I, generatrice de couple. Il s’agit a priori d’imposer
la quadrature entre I et Φ, naturellement decouples et orthogonaux dans une
machine a courant continu. La difficulte va resider justement dans le fait que,
pour une machine a induction, il est difficile de distinguer le courant produc-
teur de couple du courant producteur de flux, fortement couples. La methode du
flux oriente consiste a choisir un systeme d’axes (d, q), repere tournant biphase
oriente sur φr (flux rotorique) ou φs (flux statorique) et un type de commande
qui permettent de decoupler le couple et le flux.
En parlant d’orientation du flux, c’est plutot le systeme d’axe (d, q) que l’on
oriente de maniere a ce que l’axe d soit en phase avec le flux, c’est-a-dire :
ϕd = ϕ
ϕq = 0
14
1.3. Commande vectorielle a flux rotorique oriente
La commande vectorielle a orientation du flux rotorique est la plus utilisee car
elle elimine l’influence des reactances de fuite rotorique et statorique et donne des
meilleurs resultats que les methodes basees sur l’orientation du flux statorique ou
d’entrefer [Faidallah, 1995][Jelassi, 1991].
Nous nous interessons a la commande a flux rotorique oriente. Le systeme
d’axes (d, q) est elabore a partir des transformations de Park.
1.3.2 Expression generale de la commande
La commande vectorielle a flux rotorique oriente que nous avons retenue est
basee sur une orientation du repere tournant (T ) d’axes(d, q) telle que l’axe d soit
confondu avec la direction de φr.
Placons nous dans le referentiel lie au champ tournant, soit ωa = ωs. Alors :
udqs= Rsidqs
+d
dtφ
dqs+ ωsP (
π
2)φ
dqs(1.22)
udqr= 0 = Rridqr
+d
dtφ
dqr+ (ωs − ω)P (
π
2)φ
dqr(1.23)
φdqs
= Lsidqs+ Lmidqr
(1.24)
φdqr
= Lmidqs+ Lridqr
(1.25)
Le flux φr etant oriente sur l’axe d, les equations (1.22) a (1.25) nous per-
mettent d’exprimer uds et uqs, φr et ωs avec φqr ≡ 0 et φdr ≡ φr ≡ cte :
uds = σLs
dids
dt+ Rsids − ωsσLsiqs (1.26)
uqs = σLs
diqs
dt+ Rsiqs + ωsσLsids + ωs
lmLr
φr (1.27)
φr = −Tr
dφr
dt+ Lmids (1.28)
ωr =Lm
Tr
iqs
φr
(1.29)
ωs = ω + ωr (1.30)
15
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
avec σ = 1 − L2m
LsLrappele coefficient de dispersion.
Dans ces equations, ωr represente la pulsation de glissement donnee par l’ex-
pression (1.29). La relation (1.28) montre comment estimer le flux φr a partir de
la mesure de ids, lorsqu’on connaıt Tr. Connaissant φr, la relation (1.30) montre
comment estimer ωs a partir des mesures de ω, ids et iqs (systeme boucle).
Etant capable de projeter les equations de la machine dans le repere de com-
mande, les equations (1.28) et (1.21) montrent comment piloter le flux rotorique
de la machine et obtenir le couple electromagnetique desire (Ce = piqsφdr). Pour
cela, il est d’abord necessaire d’asservir les courants statoriques ids et iqs. Or les
equations differentielles liant ids et iqs a uds et uqs contiennent des termes de cou-
plage. En les considerant comme des perturbations, on se ramene au probleme
classique de l’asservissement de systemes du premier ordre a l’aide de correcteurs
a actions proportionnelle-integrale.
1.3.3 Decouplage par compensation
Nous pouvons representer la machine selon les equations (1.26) a (1.30) par
le schema bloc de la figure 1.3.
++uds
σLsωsiqs
-
-
Lm
Lrωsφr
+
σLsωsids
uqs
ids
iqs
1Rs
11+στsP
1Rs
11+στsP
Fig. 1.3 – Modele de la machine
Definissons deux nouvelles variables de commande uds1 et uqs1 telles que :
16
1.3. Commande vectorielle a flux rotorique oriente
uds = uds1 − ed et uqs = uqs1 − eq
avec
ed = ωsσLsiqs (1.31)
eq = −ωsσLsids − ωs
Lm
Lr
φr (1.32)
Les termes σLsωsiqs ,σLsωsids et Lm
Lrωsφr correspondent aux termes de cou-
plage entre les axes (d, q).
Nous considerons dans la suite de ce manuscrit, l’expression de decouplage
suivante :
ed = Cd · ωsiqs (1.33)
eq = −C1qωsids − C2qωsφr (1.34)
Les tensions uds et uqs sont alors reconstituees a partir des tensions uds1 et
uqs1 et des termes de couplage.
Dans le cas du decouplage par compensation, si celui-ci est correct, toute action
sur l’une des entrees ne provoque aucune variation de l’autre sortie.
1.3.4 Schema de principe de la commande vectorielle
La figure 1.4 donne l’organisation fonctionnelle de la commande issue des prin-
cipes precedemment evoques. Sur ce schema, le convertisseur et sa commande n’y
apparaissent pas explicitement puisqu’il s’agit d’etudier le controle du processus.
Ainsi, on s’interesse directement aux grandeurs de reglage uds et uqs et aux cou-
rants ids et iqs. Ces choix volontaires evitent d’alourdir inutilement la presentation
dont l’objectif essentiel est d’exposer les mecanismes particuliers a ce controle.
Nous pouvons constater sur la figure 1.4 l’apparition de deux boucles internes
pour asservir les courants ids et iqs et d’une boucle externe pour asservir la vitesse,
d’un ensemble estimant θs et φr ainsi que les termes de couplage. La sortie du
regulateur de vitesse fournit la consigne de courant iqsrefqui est l’image du couple
electromagnetique a flux donne.
17
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
Reg+
-
idsref
ids
+-uds1 uds
σLsωsiqs
+uqs
+
Lm
Lrωsφr
+
σLsωsids
uqs1Reg+
-
Ωref
Ω
Reg+
-
iqsref
iqs
Ω
ids
iqs
Machine+ charge
Regulation
idsθsωs
φr
estimateursiqs
Ω
Fig. 1.4 – Decouplage par addition des termes de compensation
On a donc trois regulateurs :
– Le regulateur de vitesse : il recoit en entree la vitesse de reference et la
vitesse mesuree. Il agit sur le couple pour regler la vitesse.
– Le regulateur de courant iqs : il recoit en entree le courant iqs de reference
et de mesure. Il agit sur la tension de reference uqs1 pour ajuster le courant
iqs.
– Le regulateur de courant ids : il recoit en entree le courant ids de reference
et de mesure. Il agit sur la tension de reference uds1. Regler ce courant a une
valeur constante, c’est garantir un flux rotorique constant d’apres l’equation
(1.28).
Il reste a examiner deux parties importantes :
– Les transformations directes et inverses : l’une permet, a partir des tensions
biphases (uds,uqs) dans le repere du champ tournant, de calculer les ten-
sions triphasees (ua,ub,uc) a imposer a la machine via l’onduleur a MLI. La
deuxieme transformation calcule, a partir des trois courants de ligne de la
machine, les courants biphases (ids,iqs) dans le repere de la regulation. Ces
18
1.4. Protocole de simulation
deux transformations necessitent le calcul de l’angle θs.
– Le calcul de l’angle du champ tournant θs : ce bloc utilise la vitesse mesuree
et la pulsation de glissement ωr. Ainsi θs se calcule comme suit :
θs =
t2∫
t1
ωsdt =
t2∫
t1
(pΩ +Lm
Tr
iqs
φr
)dt (1.35)
1.4 Protocole de simulation
L’objectif de notre travail de recherche a concerne la mise au point d’une
methodologie d’identification en boucle fermee de la machine asynchrone. Cette
methodologie aurait pu etre mise au point sur un systeme reel de commande. En
fait, de nombreuses difficultes ont du etre surmontees. La toute premiere concerne
la necessite de travailler entre differents reperes :
– le repere du champ tournant est preferable pour tout ce qui concerne la
commande,
– le repere du rotor est celui qui est habituellement utilise pour simuler la
machine ; c’est aussi le repere en identification directe,
– enfin le repere du stator est celui des signaux reellement observes : ua , ub , uc
et ia , ib , ic.
Une autre difficulte, et non des moindres, a ete la prise en compte d’un al-
gorithme de commande multivariable et non lineaire (a cause des decouplages)
dans le repere du champ tournant.
Aussi, avant d’appliquer cette methodologie d’identification sur un systeme
reel, il est indispensable de la tester sur un simulateur. Neanmoins, ce simulateur
doit etre le plus realiste possible, afin que le passage de la simulation au systeme
reel puisse s’effectuer sans entreprende de nouvelles etudes.
Dans une telle situation, le simulateur devient un outil essentiel : pour cela, il
est indispensable d’en faire un dispositif rigoureux (toutes les hypotheses doivent
etre clairement exprimees et discutees) et realiste (il doit proposer des signaux
voisins de la realite, que l’on doit pouvoir bruiter a volonte). Aussi, dans une
telle perspective, l’utilisateur doit avoir acces a tous les signaux de tension et de
courant (ainsi qu’aux informations sur la vitesse, le couple,. . .) dans les differents
reperes (stator, rotor, champ tournant).
19
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
Aussi, dans le but d’obtenir les signaux synthetiques de la machine asynchrone
en boucle fermee, nous avons mis au point le simulateur suivant comprenant trois
parties essentielles :
– Un modele de la machine asynchrone dans le repere de Park lie au rotor :
c’est celui qui est habituellement utilise pour simuler la machine.
– Un bloc de transformations : sachant que la commande est exprimee dans le
repere du champ tournant et que le modele de la machine est exprime dans
le repere du rotor, alors une transformation entre les reperes est necessaire.
Ainsi des transformations directes et inverses sont realisees : l’une permet,
a partir des courants diphases (ids,iqs) dans le repere du rotor (la sortie
du modele de la machine), de calculer les courants statoriques triphases
(ia,ib,ic) puis les courants dans le repere du champ tournant afin de calculer
la commande.
La deuxieme transformation calcule, a partir des deux tensions (uds,uqs)
dans le repere de la regulation (sortie de la commande), les tensions sta-
toriques triphasees (ua,ub,uc) puis les tensions diphasees (uds,uqs) dans le
repere du rotor qui constituent l’entree du modele de la machine.
– Un bloc de regulation : la figure 1.4 decrit la structure generale de la com-
mande utilisee. Les principaux constituants dans ce type de commande sont
la boucle de regulation de vitesse, celle des courants ids et iqs , les termes
de couplage et le bloc de calcul de ωs, θs et φr .
Consignes
flux + vitesseCommande vectorielle
Transformation (d, q)Machine asynchrone
Modele de Park
(repere du rotor)
+ charge
Rotor-Chp tournant
Chp tournant-Rotor
udst
uqst
udsr
uqsr
idsr
iqsr
idst
iqst Ω
Ω
θs
Transformation (d, q)
Fig. 1.5 – Simulateur pour l’obtention des signaux synthetiques
20
1.5. Exemple de simulation
La figure 1.5 donne une representation graphique du simulateur de la machine
asynchrone. Le bloc Commande vectorielle˝est identique au schema decrit par
la figure 1.4.
1.5 Exemple de simulation
Les algorithmes d’identification parametrique necessitent, pour converger, une
excitation persistante qui sensibilise suffisamment les modes du systeme. Dans le
cas de la machine asynchrone, il s’agit principalement d’exciter les modes les
plus rapides a savoir ceux correspondant aux grandeurs electriques. En effet, le
critere etant base sur les deux courants statoriques, il est donc necessaire d’impo-
ser une entree suffisamment riche en frequence afin d’obtenir une sensibilisation
satisfaisante des modes electriques.
Pour ne pas se restreindre a une application particuliere, nous avons defini les
deux types d’excitation suivants :
– une excitation obtenue par l’addition d’une Sequence Binaire Pseudo Alea-
toire (SBPA) a la consigne de la boucle vitesse,
– une excitation par couple de charge a vitesse constante obtenue par l’utili-
sation d’une SBPA.
Nous analyserons plus en detail ces deux types d’excitation, dans le chapitre
3, en mettant l’accent sur leurs avantages et leurs inconvenients.
Il est interessant de montrer dans un premier temps les differents types de
signaux selon le repere de Park choisi, ceci afin de donner une idee sur les signaux
que nous sommes en train de manipuler.
Pour nos simulations, nous avons utilise une machine a deux paires de poles. Ses
caracteristiques sont donnees par la table 1.1.
Rs = 9.8ΩRr = 5.3ΩLm = 0.5HLf = 0.04Hf = 1.910−03N.m.s/radJ = 29.310−03N.m.S2/rad
Tab. 1.1 – Caracteristiques de la machine
21
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
Les signaux sont evalues a partir d’une simulation globale a l’aide du logiciel
Matlab. La representation graphique de ces signaux presente un moyen de verifier
la coherence de notre outil de simulation.
L’essai est realise pendant une duree de 4s de la maniere suivante :
– idsrefest impose a 1.6 A.
– pour 0 < t < 0.25s la consigne de vitesse Ωref est nulle,
– pour 0.25 < t < 1s la consigne de vitesse Ωref evolue lineairement de 0 rad/s
a 100 rad/s , le couple de charge Cr restant nul,
– pour 1 < t < 2.5s on applique a la machine une excitation en vitesse de
100 ± 5 rad/s et un couple de charge constant de 6 Nm,
– pour t > 2.5s la consigne de vitesse Ωref reste fixee a 100 rad/s, a t = 2.5s
on applique a la machine un couple de charge variable allant de 1 a 7 Nm.
La figure 1.6 decrit les resultats obtenus, dans les conditions de l’essai, par le
simulateur. Ainsi, nous presentons les signaux electriques et mecaniques simules
en boucle fermee. Les signaux des courants et des tensions statoriques de la ma-
chine asynchrone sont exprimes dans le repere de la regulation (repere (d, q) lie
au champ tournant).
De meme, les figures 1.7 et 1.8 representent les courants et les tensions stato-
riques, de la machine en boucle fermee, dans le repere (d, q) du stator ainsi que
celui du rotor.
1.6 Simulations dediees a l’identification
1.6.1 Introduction
Apres avoir presente la modelisation et la commande de la machine asyn-
chrone pour l’obtention des signaux synthetiques, nous nous interessons dans
cette deuxieme partie au choix du modele dedie a l’identification.
La modelisation (et la simulation) de la machine asynchrone dans l’objectif de
son identification a ete (et reste), l’objet de nombreux travaux [Faidallah, 1995]
[?] [Moreau, 1999] [?] [Bachir, 2002]. Dans le cadre de diagnostic de la machine
asynchrone, notre choix s’est porte sur le modele de Park qui est plus simple, ce
qui facilite la procedure d’identification.
22
1.6. Simulations dediees a l’identification
0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1 flux estimé
0 1 2 3 4
0
100
200
300
400
500Tensions statoriques d,q
0 1 2 3 4
0
2
4
6
8
10
Courants statoriques d,q
0 1 2 3 4−10
−5
0
5
10
Courant statorique Isa
0 1 2 3 40
20
40
60
80
100
120caractéristique de vitesse
0 1 2 3 4−400
−200
0
200
400
Tension statorique Usa
Ωref
Ω
ids
iqs
uds
uqs
Fig. 1.6 – Controle de la vitesse (flux rotorique oriente)
23
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
0 1 2 3 4−10
−5
0
5
10
ids
0 1 2 3 4−10
−5
0
5
10
iqs
0 1 2 3 4−300
−200
−100
0
100
200
300
uds
0 1 2 3 4−300
−200
−100
0
100
200
300
uqs
Fig. 1.7 – Courants et tensions statoriques dans le repere du stator
0 1 2 3 4−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
ids
0 1 2 3 4−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
iqs
0 1 2 3 4−300
−200
−100
0
100
200
300
uds
0 1 2 3 4−300
−200
−100
0
100
200
300
uqs
Fig. 1.8 – Courants et tensions statoriques dans le repere du rotor
24
1.6. Simulations dediees a l’identification
Dans une optique d’identification parametrique, deux approches seront envi-
sageables : l’identification directe et l’identification indirecte qui seront detaillees
au chapitre suivant. C’est a ces deux categories d’identification que nous allons
nous interesser dans ce memoire, dont l’objectif principal est de proposer une
methodologie generale pour l’identification en boucle fermee de la machine asyn-
chrone. Ces methodes reposent generalement sur la determination du modele du
systeme etudie et sur l’estimation des parametres caracteristiques de ce modele.
La rigueur voudrait que le modele continu de la machine asynchrone consi-
dere la vitesse mecanique comme une variable d’etat, ce qui a bien sur pour
consequence directe d’augmenter l’ordre de la representation d’etat. Or, cette re-
presentation d’etat suppose connu le couple de charge, qui malheureusement n’est
pas mesurable (voir l’annexe C pour une discussion sur ce probleme dans le cas
de la machine a courant continu).
Pour contourner cette difficulte, on considere la vitesse mecanique comme une
pseudo-entree. Par ailleurs, on suppose que l’on peut decoupler le mode mecanique
lent du mode electrique rapide [Moreau, 1999] [Bachir, 2002], et par consequent
considerer que la vitesse est constante entre deux instants d’echantillonage. Ainsi,
au lieu d’avoir un modele d’ordre 5 non lineaire, celui-ci est d’ordre 4 et non
stationnaire car la vitesse est prise en compte en tant que mesure.
Quant aux composantes du vecteur d’etat, nous avons opte pour les courants
statoriques et les flux rotoriques dans la mesure ou ils conduisent a un modele
d’ordre 4 relativement simple dans lequel les tensions et les courants statoriques
sont les grandeurs d’entree et de sortie du systeme.
Le modele de Park (figure 1.2) permet de definir plusieurs modeles continus
de la machine asynchrone en fonction des variables d’etat retenues et du repere
choisi (fixe par rapport au stator ωa = 0, au rotor ωa = ω ou au champ tournant
ωa = ωs). Notre choix s’est porte sur un repere ou les grandeurs sont les plus
proches du continu. L’ideal serait d’utiliser le repere lie au champ tournant, mais
ce repere necessite la reconstruction de la pulsation ωs. Aussi il est preferable
d’utiliser le repere lie au rotor : dans ce cas, les grandeurs variables sont de
pulsation g · ωs, c’est a dire proche du continu. Nous expliquons dans les parties
suivantes le repere judicieux pour chaque type d’identification.
Le modele discret de la machine asynchrone se deduit facilement du modele
continu [Bachir, 2002]. Le choix de la methode et du pas de discretisation sont
le resultat d’un compromis entre la precision, la stabilite du modele discret ainsi
que le temps de calcul. L’objectif etant la simulation realiste de la machine asyn-
25
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
chrone, il semble que le developpement de la methode de l’exponentielle de matrice
a l’ordre 5 offre un bon compromis [Moreau, 1999].
1.6.2 Modele dedie a l’identification directe
Notre choix s’est porte sur le repere de Park lie au rotor pour l’identifica-
tion directe de la machine asynchrone car c’est celui qui necessite le moins de
transformations/estimations : neanmoins, on mesure ua, ub, uc, ia, ib, ic que
l’on doit convertir en (uds, uqs)rot (ids, iqs)rot grace a une transformation de Park
connaissant la position du rotor (et sa vitesse).
Le modele continu de la machine asynchrone obtenu apres application de la
transformation de Park liee au rotor se presente alors sous la forme :
X(t) = A(ω).X(t) + B.u(t)
Y = C.X(t)(1.36)
avec
X =[ids iqs ϕdr ϕqr
]T: vecteur d’etat (1.37)
u =
[uds
uqs
], Y =
[ids
iqs
]: entrees et sorties du modele electrique (1.38)
A =
−Rs+Rr
Lfω Rr
Lf .Lm
ωLf
−ω −Rs+Rr
Lf− ω
Lf
Rr
Lf .Lm
Rr 0 − Rr
Lm0
0 Rr 0 − Rr
Lm
B =
[1
Lf0 0 0
0 1Lf
0 0
]T
, C =
[1 0 0 0
0 1 0 0
]
(1.39)
26
1.6. Simulations dediees a l’identification
1.6.3 Modele dedie a l’identification indirecte
Si on veut proceder a une identification indirecte prenant en compte les cor-
recteurs, on est oblige de se placer dans le repere du champ tournant. En effet,
la commande (et les correcteurs) a ete concue dans le repere du champ tournant
afin d’asservir le flux et le couple.
Aussi, l’identification indirecte doit etre conduite dans le repere du champ
tournant en utilisant la connaissance de sa position calculee dans le cadre de la
commande.
Ensuite, grace aux mesures des grandeurs du stator ua, ub, uc, ia, ib, ic il
faut reconstruire (uds, uqs)chptournant, (ids, iqs)chptournant grace a une transformation
de Park utilisant la position du champ tournant.
Le modele continu de la machine asynchrone obtenu apres application de la
transformation de Park liee au champ tournant se presente par l’expression :
X(t) = A(ω).X(t) + B.u(t)
Y = C.X(t)(1.40)
Les vecteurs donnes par les expressions (1.37) et (1.38) sont exprimes dans
le repere du champ tournant. Nous expliquerons au chapitre suivant le terme u
utilise dans l’equation d’etat.
Les matrices utilisees dans ce cas sont les suivantes :
A =
−Rs+Rr
Lfωs
Rr
Lf .Lm
ωLf
−ωs −Rs+Rr
Lf− ω
Lf
Rr
Lf .Lm
Rr 0 − Rr
Lm(ωs − ω)
0 Rr −(ωs − ω) − Rr
Lm
B =
[1
Lf0 0 0
0 1Lf
0 0
]T
, C =
[1 0 0 0
0 1 0 0
]
(1.41)
27
Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation
1.7 Conclusion
Nous avons, dans ce chapitre, presente quelques rappels sur la constitution de
la machine asynchrone a cage d’ecureuil ainsi que sur sa commande de type
controle vectoriel a flux rotorique oriente. Nous nous sommes volontairement
attardes sur le modele triphase et le modele de Park de la machine.
Les choix des hypotheses d’etude et des objectifs du modele sont importants
pour le developpement du modele de simulation (dedie a l’identification), car ils
conditionnent la complexite du travail a realiser et l’utilisation d’outils appro-
pries. Notre choix s’est porte sur le modele de Park en vue de l’identification de
la machine asynchrone. Ce modele est plus simple, ce qui facilite la procedure
d’identification.
Les modeles (dedies a l’identification) exposes dans cette partie seront repris
ulterieurement afin de valider l’ensemble des modeles de defauts statoriques et
rotoriques. Ces modeles sont a la base de la procedure de diagnostic par estimation
parametrique.
28
Chapitre 2
Identification en boucle fermee
Ce chapitre a pour objectif de presenter un panorama des methodes d’iden-
tification en boucle fermee. Une attention particuliere est portee aux techniques
basees sur l’approche par erreur de sortie. Par ailleurs, nous allons presenter les
bases d’une methodologie d’identification dediee au diagnostic des machines elec-
triques et plus particulierement de la machine asynchrone, ou la structure bouclee
est indispensable au fonctionnement du systeme. Cette methodologie s’appuie sur
l’approche indirecte et les algorithmes du type erreur de sortie. Nous montrons,
dans ce chapitre, l’avantage d’une telle approche a travers un exemple acade-
mique.
29
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
2.1 Introduction
La modelisation et l’identification sont en automatique des disciplines fon-
damentales et indispensables, qui precedent toutes les operations de simulation,
d’observation, d’etablissement d’une loi de commande ou de surveillance d’un sys-
teme. Cette double etape de modelisation et d’identification depend par ailleurs
fortement du systeme et de l’application consideree.
Si l’utilisateur veut simuler le comportement dynamique du systeme et en
meme temps tester l’influence de certains parametres caracteristiques, l’approche
par modele discret est insuffisante et il est necessaire d’utiliser une representation
a temps continu par equation differentielle plus proche de la nature physique du
systeme. En outre, dans un objectif de surveillance, il est certain que la modelisa-
tion a temps continu est preferable, surtout lorsque l’utilisateur souhaite effectuer
un diagnostic de l’etat du systeme a partir de l’estimation de parametres repre-
sentatifs de son fonctionnement sain ou en defaut.
L’identification des systemes a longtemps ete envisagee dans le cadre de la
bouce ouverte. Pourtant, de nombreux systemes sont contraints de fonctionner
en boucle fermee. Souvent, il n’est pas possible de conduire des experimentations
en boucle ouverte sur des procedes industriels, soit pour des raisons de production,
soit pour des problemes d’instabilite. Dans ce cas, il est possible, sous certaines
conditions, d’identifier ces systemes a partir des signaux acquis en boucle fermee.
Cette technique presente plusieurs avantages, comme par exemple la maıtrise
du signal (d’entree et / ou de sortie) lors des campagnes de mesures, ou encore le
maintien du processus autour d’un point de fonctionnement. Son principal incon-
venient reside dans la correlation induite par le bouclage entre les perturbations
de sortie et les signaux de commande.
Le travail presente dans ce chapitre concerne l’analyse de techniques d’identifi-
cation des systemes en boucle fermee. Nous nous interessons plus particulierement
a l’identification indirecte des systemes continus par erreur de sortie.
30
2.2. Identification en boucle ouverte
2.2 Identification en boucle ouverte
2.2.1 Introduction
Dans le contexte de notre travail, on va essentiellement s’interesser a l’identifi-
cation des systemes a l’aide de modeles a representation continue. Deux categories
d’algorithmes sont utilisables, que l’on classe suivant la nature des residus en er-
reur d’equation ou en erreur de sortie.
Les algorithmes a erreur d’equation ne sont utilisables en pratique qu’avec des
modeles du type equation differentielle a coefficients constants. Pour de tels mo-
deles, de nombreuses techniques [Mensler, 1999] ont ete imaginees afin d’exprimer
la sortie du systeme lineairement par rapport a ses parametres (L.P.). Cette pro-
priete de linearite permet alors d’utiliser la methode des moindres carres dont l’in-
teret essentiel est de fournir une expression analytique de l’estimee des parametres
[Ljung, 1987]. Malheureusement, on demontre que pour tout modele L.P. dont le
regresseur depend directement (ou indirectement par filtrage) des valeurs de la
sortie, les residus sont du type erreur d’equation et en consequence l’estimateur est
biaise. Une solution a l’elimination de ce biais est d’utiliser une technique de va-
riable instrumentale a modele parallele simule [?][Soderstrom and Stoica, 1983],
mais cela complique bien sur l’algorithme, et la convergence peut dans certains
cas poser probleme.
Enfin, comme en general les machines electriques ne se ramenent pas a des
equations differentielles a coefficients constants mais plutot a des systemes diffe-
rentiels non lineaires, on comprendra que cette methodologie d’identification ne
soit pas vraiment adaptee au probleme envisage. Cette partie va donc etre dediee
a la presentation de la deuxieme categorie d’algorithmes, du type erreur de sortie ;
en France ils sont aussi appeles methode du modele, selon un vocable introduit
par J. Richalet [Richalet, 1991].
2.2.2 Algorithme d’identification du type erreur de sortie
Comme on vient de le dire, ces algorithmes sont connus sous l’appellation
generique de methode du modele [Richalet et al., 1971]. Ils se caracterisent fon-
damentalement par la simulation de la sortie a partir de la seule connaissance
de l’excitation et du modele (et de ses parametres). Grace a cette procedure,
31
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
la sortie simulee est independante de la perturbation affectant le systeme, s’il
n’y a pas de bouclage [Landau and Karimi, 1997] [Trigeassou and Poinot, 2001]
[Trigeassou et al., 2003a] [Grospeaud, 2000] [Bachir et al., 2008] ; en consequence,
les residus sont l’image de cette perturbation, d’ou l’appellation d’erreur de sortie
et d’interessantes proprietes de convergence. Par contre, cette simulation com-
plique le probleme de minimisation du critere qui necessite l’utilisation de tech-
niques d’optimisation non lineaire. La methodologie generale mise en œuvre, peut
etre symbolisee par la figure 2.1.
Systèm eθθ
br u i t
A lgor i th m ede P. N . L .
M odèle
θθ
Jexci tationCr i tèr e
kεε
kb*ky
ky
ku
Fig. 2.1 – Principe des methodes a erreur de sortie
Considerons un systeme decrit par le modele d’etat general d’ordre n decrivant
la reponse y(t) a l’excitation u(t), dependant du vecteur parametres θ :
x = g (x, θ, u)
y = f (x, θ, u)avec
dim(x) = n
dim(θ) = N(2.1)
ou y(t) et u(t) sont consideres mono-dimensionnels uniquement pour simpli-
fier la presentation. On remarquera qu’aucune hypothese de linearite n’est neces-
saire : g et f sont des lois issues d’un raisonnement physique, qui en general ne
sont pas lineaires. On fera cependant l’hypothese que le systeme est identifiable
[Walter and Pronzato, 1997].
Considerons par ailleurs un ensemble de K donnees experimentales uk, y∗k,
acquises avec la periode d’echantillonnage Te, telle que t = k Te ; le probleme de
l’identification est alors d’estimer le modele qui explique au mieux ces donnees,
32
2.2. Identification en boucle ouverte
donc de determiner la valeur des parametres du vecteur θ.
Soit θ une estimation de θ. Alors grace a u(t), connue aux instants d’echan-
tillonnage uk, on obtient une simulation yk de la sortie, soit
x = g(x, θ, u
)
y = f(x, θ, u
) (2.2)
On definit alors l’erreur de prediction (residu) notee εk entre la sortie reelle
y∗k et la sortie simulee yk
εk = y∗k − y(uk, θ) (2.3)
avec
– y∗k = yk + bk : mesure de la sortie yk, perturbee par un bruit bk,
– yk : valeur exacte de la sortie,
– bk : perturbation aleatoire,
– εk : residu.
La valeur optimale de θ est obtenue par minimisation du critere quadratique
J :
J =K∑
k=1
ε2k =
K∑
k=1
(y∗
k − yk
(uk, θ
))2
(2.4)
2.2.3 Estimation parametrique avec information a priori
Les methodes a erreur de sortie reposent sur la definition d’un modele parame-
trique, fonction d’un certain nombre de parametres auxquels on peut attribuer
une signification plus ou moins physique, que l’on compare au systeme. Pour
converger, ces algorithmes necessitent :
– une entree persistante afin d’exciter toutes les dynamiques du systeme,
33
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
– une bonne initialisation pour accelerer la convergence.
Cependant, on pourrait croire que l’on utilise une bonne initialisation comme
information a priori pour accelerer la convergence aupres de l’optimum principal :
en fait, l’algorithme d’optimisation ne conserve aucune trace de cette information
initiale ! Au mieux, on evite de converger vers des optimums secondaires. De plus,
et malgre toutes les precautions numeriques, ces algorithmes peuvent dans cer-
taines situations fournir des estimations aberrantes [Almiah, 1995] [Jemni, 1997].
Il faut chercher la cause de ces anomalies dans le mecanisme d’optimisation : en
effet, celui-ci cherche le jeu de parametres qui permet au modele retenu d’appro-
cher au mieux les donnees, sans contrainte physique. Il s’agit fondamentalement
d’un probleme de sensibilisation parametrique : bien que theoriquement iden-
tifiables, les parametres concernes sont quasiment non identifiables et on peut
constater des phenomenes de compensation. Le reflexe traditionnel devant un
tel probleme est de proposer d’enrichir l’excitation [Ljung, 1987] [Kabbaj, 1997] :
toutefois, dans de nombreuses situations, cette excitation optimale peut s’ave-
rer irrealiste en pratique (voire dangereuse pour le procede) ou tout simplement
violer les conditions de validite du modele !
Une solution proposee consiste a introduire explicitement la connaissance phy-
sique afin qu’elle se substitue pour partie a l’excitation insuffisante ou qu’elle
contribue a enrichir l’excitation.
2.2.3.1 Introduction de l’information a priori
La modelisation des systemes sous forme continue permet de se referer a des
parametres possedant une interpretation physique. De ce fait, l’utilisateur possede
en general un ordre de grandeur du vecteur des parametres accessible par une
experimentation elementaire. Il est donc judicieux d’introduire cette connaissance
a priori pour mieux sensibiliser l’identification et obtenir ainsi une estimation
realiste des parametres.
Pour cela, il est necessaire d’adjoindre cette information a priori de maniere
explicite dans le critere quadratique [Moreau, 1999] [Trigeassou and Poinot, 2001]
[Trigeassou et al., 2003b], en adaptant les ponderations entre information expe-
rimentale et connaissance a priori. On definit donc un critere composite prenant
en compte une connaissance initiale θ0 (ponderee par sa matrice de covariance)
et le critere J (pondere par la variance de la perturbation de sortie) :
34
2.2. Identification en boucle ouverte
JC =(θ − θ0
)T
M−10
(θ − θ0
)
︸ ︷︷ ︸+
1
σ2b
K∑
k=1
(y∗
k − yk
(θ, u
))2
︸ ︷︷ ︸J0 J∗
(2.5)
ou :
θ0 : connaissance a priori de θ,
M0 : matrice de covariance de θ0,
σ2b : variance de la perturbation de sortie.
Le terme quadratique J∗ represente le critere conventionnel, porteur de l’in-
formation experimentale. Par contre, J0 est un deuxieme critere quadratique qui
introduit une contrainte ” elastique ” dans la minimisation du critere global JC :
en effet, il interdit a θ de trop s’eloigner de θ0, avec une ” force de rappel ”
dependant de θ − θ0.
2.2.3.2 Algorithme d’optimisation non lineaire
Comme la sortie n’est pas lineaire en θ, la minimisation de ce critere s’effectue
par une methode de Programmation Non Lineaire (P.N.L.) [Richalet et al., 1971].
Ainsi, la valeur optimale du vecteur parametre notee θopt est obtenue par un
algorithme d’optimisation iteratif [Himmelblau, 1972].
L’algorithme de Marquardt [Marquardt, 1963] offre un bon compromis entre
robustesse et rapidite de convergence. Les parametres a estimer sont reactualises
selon la loi :
θi+1 = θi − [J ′′θθ + λ I]−1 · J ′
θ θ=θi(2.6)
Les algorithmes d’erreur de sortie different surtout par la facon de gerer l’op-
timisation. Pour notre part, nous avons opte pour le calcul du gradient par les
fonctions de sensibilite parametrique. On prend donc :
– J′
Cθ= 2
[M−1
0
(θ − θ0
)− 1
σ2
b
K∑k=1
εkσk
]: gradient du critere,
35
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
– J′′
Cθθ≈ 2
[M−1
0 + 1σ2
b
K∑k=1
σkσTk
]: pseudo-hessien du critere,
– λ : parametre de reglage,
– σk,θi= ∂yk
∂θi: fonction de sensibilite parametrique.
2.2.3.3 Calcul des fonctions de sensibilite
Les fonctions de sensibilite σk,θ constituent le point nevralgique de toute la
procedure d’identification [Richalet et al., 1971] [Trigeassou, 1988]. Ce sont les
indicateurs essentiels du conditionnement de l’identification car elles traduisent
l’effet d’une variation d’un parametre sur la sortie du systeme. Leur role est
localement analogue au vecteur regresseur dans le cas lineaire par rapport aux
parametres [Ljung, 1987]. Par consequent, l’identification devient tres sensible au
calcul de ces coefficients.
Pour un systeme regi par la relation (2.1), il convient de definir deux sortes
de fonctions de sensibilite [Trigeassou and Poinot, 2001] :
– σy,θ = ∂y
∂θ: vecteur des fonctions de sensibilite de dimension (N × 1) cal-
culees par rapport a la sortie et directement utilise par l’algorithme de
Programmation Non Lineaire,
– σx,θ = ∂x
∂θ: matrice des fonctions de sensibilite de dimension (n×N) calcu-
lees par rapport a l’etat telle que
σx,θ =[
σx,θ1· · · σx,θi
· · · σx,θN
](2.7)
Pour chaque parametre θi, on determine σxn,θia partir de l’equation x =
g (x, θ, u) par integration du systeme differentiel :
∂x
∂θi
= σx,θi=
∂g (x, θ, u)
∂x
∂x
∂θi
+∂g (x, θ, u)
∂θi
(2.8)
Alors, σxn,θiest solution du systeme differentiel non lineaire :
σx,θi=
∂g (x, θ, u)
∂xσx,θi
+∂g (x, θ, u)
∂θi
(2.9)
36
2.2. Identification en boucle ouverte
Finalement, on obtient ∂y/∂θi par derivation partielle de l’equation (2.1), soit
∂y
∂θi
=
(∂f (x, θ, u)
∂x
)T
σx,θi+
∂f (x, θ, u)
∂θi
(2.10)
Le raisonnement precedent se particularise a une sous classe importante de
systemes constituee par les systemes lineaires dont l’etat
x = A(θ) x + B(θ) u
y = CT (θ) x + D(θ) u(2.11)
On obtient alors
σx,θi
= A(θ) σx,θi+
[∂A(θ)∂θi
]x +
[∂B(θ)∂θi
]u
σy,θi= CT (θ) σx,θi
+[
∂C(θ)∂θi
]T
x +[
∂D(θ)∂θi
]u
(2.12)
2.2.3.4 Mise en œuvre
La mise en œuvre de cette methodologie suppose la maıtrise de deux types
d’informations :
– l’information a priori θ0, M0 : celle-ci peut resulter soit d’une estimation
globale precedente, soit d’estimations specifiques et incompletes. Dans ce
dernier cas, le plus realiste, la matrice M0 est au mieux diagonale,
– la variance σ2b de la perturbation : elle joue un role essentiel dans la pon-
deration entre J0 et J : une faible valeur donne trop de poids aux donnees
experimentales, alors qu’une forte valeur les discredite au profit de θ0.
2.2.3.4.1 Choix de l’information a priori
Un choix judicieux des parametres (θ0 et M0) permet de regulariser le pro-
bleme du manque d’excitation lorsque la matrice d’information est proche de la
singularite, synonyme d’une excitation pauvre.
37
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
Lorsqu’on dispose d’une connaissance au prealable, disponible soit par une
experimentation elementaire ou par des donnees constructeur, il serait judicieux
de construire notre information a priori a partir de cette base. Cependant, il est
indispensable de prendre quelques precautions quant a l’utilisation de ces don-
nees issues generalement d’une experimentation en regime stationnaire, eventuel-
lement non compatible avec le domaine de validite du modele choisi. En pratique,
il est preferable de construire l’information a priori en partie par la connaissance
physique et par des estimations prealables. Plusieurs acquisitions de donnees cor-
respondant a differents modes de fonctionnement sont donc necessaires. En effet,
afin de construire les intervalles d’incertitude, il faut envisager l’ensemble des
situations susceptibles de faire varier les parametres (changement normal dans
l’etat du procede). Voir pour plus d’informations [Bachir et al., 2008].
2.2.3.4.2 Choix de la variance de la perturbation de sortie
Dans le cas d’une perturbation independante et stationnaire, les algorithmes
a erreur de sortie fournissent une estimation de la variance σ2b selon la relation
[Ljung, 1987] :
σb2 =
Jopt
K − N(2.13)
ou
– Jopt est la valeur du critere experimental J pour θ = θopt,
– K est le nombre de points de mesure,
– N est le nombre de parametres.
Il est important de noter que cette valeur ne constitue en aucun cas une in-
formation fiable sur la variance du bruit de sortie. En effet, il est rare que la
perturbation verifie les hypotheses simplificatrices precedentes. En general, elle
peut etre correlee, mais surtout non stationnaire. Par ailleurs, s’ajoute au terme
aleatoire une composante deterministe representant les erreurs de modelisation.
Cependant, cette valeur peut etre utilisee comme indicateur de coherence entre
information initiale et connaissance a priori. Ainsi, lorsque σ2b , θ0 et M0 sont des
informations sures, σ2b permet de tester si l’information experimentale est com-
patible avec la connaissance du systeme : une valeur de σ2b nettement superieure
a σ2b peut correspondre a une non stationnarite du systeme se manifestant par
une modification de son modele, et se traduisant dans JC par une augmentation
38
2.3. Un panorama des methodes d’identification en boucle fermee
de l’erreur de modelisation, donc de σ2b . Pour sa part, σ2
b peut necessiter d’etre
ajuste grace a une nouvelle passe de l’algorithme d’identification. Concretement,
on part d’une valeur a priori representant approximativement la variance de la
perturbation stochastique ; lorsque θC est obtenu, on recalcule σ2b grace a J(θC).
Si σ2b est tres different de sa valeur initiale, on reitere une nouvelle estimation de
θC jusqu’a convergence du processus.
2.2.4 Conclusion
Les techniques a erreur de sortie possedent l’avantage fondamental d’une ap-
plicabilite quasi-universelle, que ce soit vis-a-vis des types de systemes ou des do-
maines d’application. En particulier, en association avec la connaissance a priori,
ces methodes constituent un outil puissant d’identification depassant largement le
cadre de l’automatique, pour l’acces a la connaissance physique, comme cela a ete
illustre par les exemples d’applications au genie electrique. Rappelons toutefois
que la connaissance a priori ne saurait se substituer a l’indigence de l’excita-
tion. L’utilisateur doit toujours au prealable planifier son experimentation, c’est
a dire optimiser l’excitation compte-tenu de contraintes technologiques afin d’en-
richir le contenu informationnel de ses donnees experimentales ou de simulation
[Walter and Pronzato, 1994]. C’est lorsque cette optimisation a ete realisee que
peut alors valablement intervenir le complement du a l’information a priori. En-
fin, une attention particuliere doit etre portee a cette connaissance initiale, autant
a sa veracite qu’a sa precision, afin de ne pas induire en erreur l’algorithme d’op-
timisation.
2.3 Un panorama des methodes d’identification
en boucle fermee
Dans le contexte de l’identification en boucle fermee, un grand nombre de
methodes ont ete proposees dans les deux dernieres decennies. On peut citer les
travaux de Landau [Landau, 1987], Van Den Hof [Hof and Schrama, 1995], De
Bruyne et Ljung [Gustavsson et al., 1977] [Ljung, 1987] ou differentes techniques
d’identification utilisables en boucle ouverte et en boucle fermee sont proposees.
Afin de simplifier la presentation des resultats, on se place dans un cas mo-
novariable ; les methodes s’appliquent generalement au cas des systemes multiva-
39
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
riables.
2.3.1 Problematique de l’identification en boucle fermee
Le probleme typique de l’identification en boucle fermee reside dans la cor-
relation entre les bruits de sortie et le signal de commande, du fait de la boucle
fermee. Un autre probleme cause par des donnees recueillies en boucle fermee
est qu’elles comportent generalement moins d’information que celles recueillies
en boucle ouverte. En effet, un objectif important de la commande est de mini-
miser la sensibilite du systeme boucle aux perturbations, ce qui rend le probleme
d’identification plus delicat a traiter [Forssel and Ljung, 1999].
b
+
-
rC(z)
y∗
++u
CAN
CNA G0(s)y
e
H0(s)
Fig. 2.2 – Systeme boucle
On se place dans le cadre d’un processus boucle de commande numerique
represente par la figure 2.2. Les donnees d’entree/sortie du processus sont decrites
par les relations suivantes :
y(s)∗ = G0(s)u(s) + H0(s)e(s) (2.14)
u(q−1) = C(q−1)[r(q−1) − y(q−1)
](2.15)
Ou G0 represente le processus reel a identifier, et C(z) le correcteur. Le vecteur
de sortie est note y∗, et le vecteur d’entree u.
L’expression b(s) = H0(s)e(s) modelise les perturbations : e est une suite
de variables aleatoires independantes, identiquement distribuees a moyenne nulle
40
2.3. Un panorama des methodes d’identification en boucle fermee
(bruit blanc), H0(s) est un filtre lineaire invariant stable et normalise (processus
generateur).
Le terme b(s) regroupe les bruits de mesure, les perturbations agissant sur
le systeme ainsi que les erreurs de modelisation. De plus, contrairement au cas
boucle ouverte, l’entree u(s) et les perturbations e(s) sont correlees, du fait de la
presence de la boucle fermee. Le signal rk peut representer un signal d’excitation
ou une consigne.
L’etude realisee dans ce manuscrit a ete developpee sous l’hypothese fon-
damentale : r est un signal quasi-stationnaire independant des perturbations e
[Ljung, 1987]. L’excitation appliquee au systeme est persistante, d’ordre suffi-
sant. La procedure d’identification vise a determiner une estimation du processus
G0(s). Dans certains cas, on va voir qu’il peut etre interessant de determiner
egalement une estimation du correcteur C(z).
2.3.2 L’approche directe
2.3.2.1 Principe
Dans le cas de l’identification directe, les donnees uk, yk recueillies en boucle
fermee sont traitees de la meme maniere qu’en boucle ouverte (figure 2.3).
Ainsi, la presence de la boucle fermee n’est pas prise en compte. A priori,
cette methode ne pose pas de veritable probleme pratique d’utilisation et elle est
donc couramment utilisee.
Cependant, comme on ignore la presence du correcteur, on se retrouve avec
une entree u(s) correlee avec la perturbation de sortie b(s) : l’estimation est donc
asymptotiquement biaisee (voir annexe A). Il s’agit donc la de l’inconvenient
essentiel de l’approche directe et qui a motive la mise au point d’algorithmes
prenant en compte explicitement la presence de la boucle fermee.
2.3.2.2 Biais de l’approche directe en boucle fermee
Lorsque le systeme fonctionne en boucle fermee (ce qui est le cas des ma-
chines a courant alternatif a commande vectorielle), la perturbation bk est ne-
cessairement correlee avec la commande uk par l’intermediaire du correcteur (ou
41
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
+
-
rC(z)
e
y∗
u
CAN
CNA
H0(s)
G0(s)
+
−
G0(s)y
Algorithme
++
d′optimisation
by
Fig. 2.3 – Principe de l’identification directe en boucle fermee
de l’algorithme de commande). Alors, les fonctions de sensibilite σk calculees a
partir de l’excitation uk se trouve correlees avec la perturbation bk, c’est-a-dire
que l’estimation θopt est asymptotiquement biaisee (voir annexe A). Ce biais n’est
vraiment tres important que lorsque le rapport signal sur bruit est tres faible. On
pourra donc le negliger en premiere approximation.
Cependant, des algorithmes d’identification par erreur de sortie en boucle fer-
mee ont ete proposes ; ils permettent une parfaite rejection de ce biais asympto-
tique, mais au prix d’une plus grande complexite de la procedure d’identification
[Grospeaud, 2000] [Landau and Karimi, 1997].
Une analyse [Grospeaud, 2000] [Grospeaud et al., 2000] montre que si bk est
un bruit blanc, a cause du retard inherent a la boucle fermee numerique, les fonc-
tions de sensibilite ne sont pas correlees avec le bruit blanc, soit : E σk,θi, bk = 0
Par contre, si bk est un bruit correle, un biais apparaıt dont la valeur depend du
processus generateur de ce bruit.
Une etude du biais asymptotique de l’algorithme a erreur de sortie en boucle
ouverte et en boucle fermee, est decrite dans l’annexe A et on s’y reportera pour
plus de details.
42
2.3. Un panorama des methodes d’identification en boucle fermee
2.3.3 L’approche simultanee
A l’origine de cette methode d’identification en boucle fermee, ni la me-
sure du signal d’excitation rk, ni le correcteur C(z) ne sont supposes connus
[Gustavsson et al., 1977]. En revanche, on suppose que rk est un processus sto-
chastique stationnaire qui peut etre represente par :
rk = K0(q−1)wk (2.16)
avec K0(z) une fonction de transfert normalisee, rationnelle et stable, et wk une
suite de variables aleatoires independantes, identiquement distribuees, a moyenne
nulle.
On se place dans le cas ou le correcteur et le systeme sont discrets. Ainsi, le
systeme boucle peut etre decrit par la relation suivante :
[uk
yk
]=
[S0(q
−1)K0(q−1) −S0(q
−1)C(q−1)H0(q−1)
S0(q−1)G0(q
−1)K0(q−1) S0(q
−1)H0(q−1)
]·
[wk
ek
](2.17)
avec
S0(q−1) =
[I + C(q−1)G0(q
−1)]−1
la fonction de sensibilite (2.18)
ou [wk ek]T sont des bruits blancs. Cette methode consiste a estimer un modele
sans mesure du vecteur d’entree, c’est a dire a estimer un modele de bruit multiva-
riable. Cette approche est dite simultanee car elle consiste a utiliser conjointement
les signaux uk et yk comme sortie d’un modele multivariable.
Une estimation de ce modele peut etre obtenue en utilisant une methode
d’identification fondee sur la minimisation d’une fonction de l’erreur de prediction.
La seconde etape consiste a revenir aux estimations de G0(q−1), H0(q
−1), C(q−1)
et K0(q−1), ou C(q−1) represente le correcteur present dans la boucle lors des
experimentations (le correcteur etant inconnu, il doit etre estime).
Depuis son developpement [Gustavsson et al., 1977], cette approche a evo-
lue et a ete modifiee : le signal d’excitation est desormais suppose mesure et
il est utilise comme entree connue du systeme. Plusieurs methodes d’identifica-
43
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
tion en boucle fermee ont ete developpees dans le cadre de l’approche simulta-
nee. Pour plus de details, le lecteur pourra se referer a [Soderstrom et al., 1987]
[Hof and Schrama, 1995].
2.3.4 L’approche indirecte
2.3.4.1 Principe
Considerons le systeme en boucle fermee de la figure 2.4
e
H
+
-
rC(z)
uG(z)
y
y∗
++
b
Fig. 2.4 – Systeme boucle
Cette methode ne necessite pas la mesure de signaux a l’interieur de la boucle
de regulation. Ainsi, l’estimation est fondee sur les mesures de y∗k et rk. L’ap-
proche indirecte se decompose en deux parties :
– Identifier la fonction de transfert en boucle fermee entre rk et y∗k par une
methode d’identification a erreur de sortie. On obtient une estimation non
biaisee GBF (z), independante du modele de bruit b.
– Determiner les parametres du processus G(z) (boucle ouverte), a partir du
modele obtenu dans l’etape precedente et en utilisant la connaissance du
correcteur C(z). Ainsi, on peut trouver un estimateur non biaise de G(z)
en utilisant la relation suivante :
G(z) =GBF (z)
C(z)[1 − GBF (z)
] (2.19)
L’entree rk utilisee lors de la premiere etape de l’identification est decorrelee
des perturbations bk, ce qui constitue un probleme d’identification en boucle ou-
44
2.3. Un panorama des methodes d’identification en boucle fermee
verte. Le systeme a identifier lors de cette premiere etape est decrit par l’equation
(2.20).
y∗k =
C(q−1)G(q−1)
1 + C(q−1)G(q−1)︸ ︷︷ ︸rk +
1
1 + C(q−1)G(q−1)bk
︸ ︷︷ ︸GBF (q−1) wk
(2.20)
ou wk est le bruit equivalent de sortie en boucle fermee.
Dans la deuxieme etape, le retour aux estimes de G(z) est realise par resolution
d’un systeme d’equations. Cette idee de base correspond au principe fondamental
des approches indirectes. Les techniques correspondantes different dans la facon
dont l’estimation G(z) est effectivement obtenue.
Le principal probleme engendre par cette methode reside dans la construction
du modele de la boucle ouverte basee sur l’estimation de la boucle fermee. Lors
du calcul de la relation (2.19), on se trouve dans la situation ou le nombre de
parametres identifies de la boucle fermee est superieur a celui du systeme en
boucle ouverte.
La suite de cette section est consacree a la presentation de certaines methodes
developpees dans le cas d’une identification de systemes boucles par approche in-
directe. Ces methodes ont ete proposees afin de remedier a certains des problemes
enonces precedemment. On s’interesse tout particulierement aux methodes asso-
ciees a une parametrisation appropriee. Ces methodes consistent a parametrer
la fonction de transfert en boucle fermee afin d’estimer en une seule etape les
parametres du processus a partir des signaux rk et yk.
2.3.4.2 Methodes associees a une parametrisation appropriee
Les methodes C.L.O.E. proposees par Landau, les methodes Tailor Made
Parametrization proposees par Van Den Hof, Von Denkelaar, De Bruyne et An-
derson et les methodes a erreur de sortie basees sur une decomposition de la
boucle fermee proposees par Trigeassou, Poinot et Grospeaud sont toutes issues
du meme principe, c’est-a-dire de l’identification de type O.E. (Output Error).
Ces techniques sont globalement equivalentes en depit de leurs particularites de
representation [Grospeaud, 2000].
45
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
2.3.4.2.1 Methode C.L.O.E.
I. Landau et A. Karimi [Landau and Karimi, 1997] ont propose une methode
d’identification en ligne des systemes boucles. Cette version recursive a ete de-
veloppee sous l’acronyme C.L.O.E. (Closed-Loop Output Error) et utilise des
algorithmes d’adaptation parametrique.
Considerons le systeme boucle decrit par la figure 2.4. Alors on peut definir
S(q−1) = 11+C(q−1)G(q−1)
la fonction de sensibilite et T (q−1) = 1−S(q−1) la fonction
de sensibilite complementaire. En boucle fermee, cette methode consiste a utiliser
l’equation de sortie du systeme de commande
y∗k = T (q−1) · rk + S(q−1) · H(q−1) · ek (2.21)
Le predicteur associe est fourni par :
yk = T (q−1) · rk (2.22)
On pose alors le modele G(q−1) = B(q−1)A(q−1)
, d’ou
yk = [T (q−1) · (1 − A(q−1)) + C(q−1) · S(q−1) · B(q−1)] · rk
= (1 − A(q−1)) · yk + B(q−1) · urk
= φk · θT
(2.23)
avec
φk =[−yk−1 · · · − yk−na
urk· · · urk−nb
](2.24)
ou le signal urkest construit a partir du signal de reference rk selon
urk= C(q−1) · Sθk−1
(q−1) · rk (2.25)
Ainsi, a partir de yk = φkθT , un algorithme recursif peut etre utilise. L’iden-
tification est realisee a partir de l’erreur de prediction
46
2.3. Un panorama des methodes d’identification en boucle fermee
εk = yk − yk
Plusieurs variantes de cet algorithme sont proposees ; parmi elles on peut
citer la methode F-C.L.O.E. (Filtred C.L.O.E.), la methode AF-C.L.O.E. (Adap-
tative Filtred C.L.O.E.) et la methode X-C.L.O.E. (eXtended C.L.O.E.). Une
analyse des proprietes de ces methodes peut etre trouvee dans [Grospeaud, 2000]
[Landau and Karimi, 1997].
2.3.4.2.2 Methode Tailor-Made Parametrisation
Cette methode permet d’identifier les parametres du processus, a partir des
signaux mesures rk et y∗k et de la connaissance du correcteur. La configuration
particuliere de la structure bouclee est utilisee pour parametrer de facon appro-
priee la fonction de transfert du systeme boucle. Cette caracteristique permet
d’identifier en une seule etape un modele du processus. Cependant, comme elle
necessite la mesure de rk et la connaissance de C(z), elle est classee dans les
approches indirectes. Cette methode a ete developee par E. Van Donkelaar et P.
Van den Hof [Donkelaar and den Hof, 2000].
Dans cette methode, on utilise l’approche O.E. pour identifier globalement la
boucle fermee. En considerant les structures C(z) = R(z)S(z)
et G(z) = B(z)
A(z), alors on
peut ecrire
y(z) =C(z)G(z)
1 + C(z)G(z)r(z)
=R(z)B(z)
S(z)A(z) + R(z)B(z)r(z)
(2.26)
Le point fort de cette approche est dans le calcul des derivees notees y′(θ)
qui sont les fonctions de sensibilite parametrique. Un autre avantage de cette
methode de calcul est qu’elle permet une generalisation au cas non lineaire.
Le calcul du gradient et du hessien, necessaires a la minimisation du critere
quadratique par Programmation Non Lineaire, est obtenu a partir des fonctions
de sensibilite parametriques premieres et secondaires (y′(θ) et y′′(θ)).
47
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
2.3.4.3 Conclusion
Les approches C.L.O.E. et Tailor Made Parametrization sont basees sur un al-
gorithme du type erreur de sortie. Elles ne different en pratique que dans le mode
de traitement (recursif ou hors-ligne) [Grospeaud, 2000]. Ces algorithmes O.E.
conduisent tous aux memes fonctions de sensibilite σ ou φ. Ces deux methodes
sont aussi equivalentes a la methode d’identification 0.E. basee sur une decompo-
sition de la boucle fermee [Grospeaud and Trigeassou, 1999], elles ne different en
pratique que dans la formulation des modeles (transfert ou modele d’etat).
Par la suite, nous ne nous interessons qu’a la methode d’identification 0.E.
basee sur une decomposition de la boucle fermee que nous allons presenter dans
la section suivante. Cette approche offre l’interet fondamental de sa generalite.
2.4 Methode d’identification O.E. basee sur une
decomposition de la boucle fermee
2.4.1 Principe
O. Grospeaud, T.Poinot et J-C. Trigeassou [Grospeaud et al., 1999] ont pro-
pose une methodologie generale pour l’identification hors ligne en boucle fermee a
partir d’une technique a erreur de sortie. Elle s’applique aussi bien aux systemes
a temps discret que continu. De plus, grace a une decomposition des equations
de la boucle fermee, elle s’applique aussi bien aux systemes lineaires que non
lineaires [Grospeaud et al., 2000].
La methode proposee est equivalente a Tailor Made Parametrization. La dif-
ference reside dans le traitement de la boucle fermee : par fonction de transfert
avec Tailor Made Parametrization, par representation d’etat dans notre cas.
Cette technique peut s’appliquer a un systeme a temps continu G(s), pilote
par un correcteur continu C(s). En fait, il s’agit d’un probleme academique,
car les systemes continus tels que G(s), sont a present pilotes par un correcteur
numerique C(z) : il devient alors difficile d’envisager une representation d’etat
globale, conciliant temps continu pour G(s) et temps discret pour C(z). C’est
pour cette raison, que la methode proposee permet d’envisager cette situation
comme le montre la figure 2.5, et qui par ailleurs s’applique a des boucles fermees
48
2.4. Methode d’identification O.E. basee sur une decomposition de la boucle fermee
non lineaires.
C’est cette approche que nous avons particulierement developpee. Ainsi, nous
proposons, dans un premier temps, de rappeler l’interet d’une telle approche a
travers une etude appliquee a un systeme lineaire continu boucle par l’interme-
diaire d’un correcteur discret.
r
e
by
y∗
H0(s)
G(s, θ)
+
−˙x = A(θ)x + B(θ)u
y = C(θ)x + D(θ)u
y
Algorithme
++
d′optimisation
u+
+
-C(z)
u
CAN
CNA
-C(z)
CAN
CNA
Fig. 2.5 – Principe de l’identification indirecte en boucle fermee
Cette technique d’identification indirecte repose sur la connaissance du correc-
teur (figure 2.5) (ainsi que la majorite des autres approches). Cette hypothese cree
une veritable contrainte inadaptee a la realite industrielle. Nous allons montrer
que l’on peut s’affranchir de cette contrainte en identifiant le correcteur par une
technique de surparametrisation [Poinot, 1996] [Grospeaud and Trigeassou, 1999]
[Bazine et al., 2006b].
Cette approche ne necessite pas la mesure des signaux a l’interieur de la
boucle de regulation. Elle consiste a considerer un signal d’entree uk, reconstruit
(voir figure 2.5) a partir de la connaissance ou de l’estimation du correcteur
[Grospeaud, 2000] [Bazine et al., 2006b]. Le modele du processus est alors obtenu
par l’estimation du transfert entre la sortie y∗k et l’entree reconstruite uk .
49
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
2.4.2 Identification de correcteur
La principale contrainte imposee par l’identification indirecte est l’indispen-
sable connaissance du correcteur. Le probleme en commande industrielle est qu’il
n’y a pas de regulateur reellement implante qui corresponde parfaitement a l’ex-
pression theorique de celui-ci.
La solution que nous proposons consiste a identifier le correcteur a l’aide d’un
modele surparametrise [Poinot, 1996] [Trigeassou, 1987].
2.4.2.1 Methodologie
Soit la boucle fermee definie par la figure 2.6. On se propose d’estimer les
parametres du correcteur R(z)S(z)
.
+
-
r R(z)S(z)
e
y∗
++u
CAN
CNA
H0(s)
G0(s)y
b
Fig. 2.6 – Processus boucle
Connaissant la commande, la consigne et la sortie bruitee notees respective-
ment u, r et y∗, on se retrouve devant une identification sans perturbation (car
tous les signaux sont connus et parfaitement mesures), donc parfaitement deter-
ministe, pour laquelle on peut appliquer la methode des moindres carres ordinaires
qui dans ce cas particulier n’induit pas un biais asymptotique [Ljung, 1987]. En
effet, y∗k est bien la mesure de yk entachee d’erreurs dues au bruit de mesure bk
(y∗k = yk + bk avec yk inconnu) ; mais une fois la mesure obtenue, y∗
k est parfaite-
ment connu. Ainsi y∗k est une valeur certaine que l’on utilise dans l’algorithme de
calcul du correcteur.
50
2.4. Methode d’identification O.E. basee sur une decomposition de la boucle fermee
Si la structure du correcteur est parfaitement connue, soit par exemple :
C(z) =R(z)
S(z)=
r0 + r1z−1 + · · ·+ rnz−n
1 + s1z−1 + · · · + smz−m(2.27)
Alors l’estimation par Moindres Carres est :
θMC =
[K∑
1
ϕkϕTk
]−1 K∑
1
ϕkuk (2.28)
Et θMC = θexact.
Avec :
θMC =
r0
r1
...
rn
s1
...
sm
et ϕk =
rk − y∗k
...
rk−n − y∗k−n
−uk−1
...
−uk−m
(2.29)
Par contre, si la structure exacte est inconnue (ce qui est souvent le cas) on
s’affranchit de cette connaissance structurelle, en utilisant le principe de surpa-
rametrisation [Poinot, 1996] [Grospeaud, 2000].
On choisira alors Cs(z) = Rs(z)Ss(z)
de telle sorte que :
degre [Rs(z)] > degre [R(z)]
degre [Ss(z)] > degre [S(z)]
On va donc utiliser un modele surparametrise de complexite superieure a
celle du vrai correcteur, afin de minimiser l’erreur de modelisation. Il faut par
contre disposer d’un test significatif permettant de caracteriser cette erreur de
modelisation.
51
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
On obtient donc :
θs =
[K∑
1
ϕskϕTsk
]−1 K∑
1
ϕskuk (2.30)
A partir de θs, on a plusieurs possibilites : soit on determine une structure
minimale, soit on utilise directement le modele surparametrise, ce qui en pratique
correspond a une solution simple et robuste vis-a-vis d’eventuelles erreurs de
modelisation (c’est la solution que nous avons retenue).
2.4.2.2 Etude de la surparametrisation
2.4.2.2.1 Introduction
Considerons le correcteur estime surparametrise
Cs(z) =r0 + r1z
−1 + · · · + rsz−s
1 + s1z−1 + · · ·+ ssz−s(2.31)
Ou s est le degre de la surparamerisation.
On ecrira uk = ϕTskθs ou
θs =
r0
r1
...
rs
s1
...
ss
et ϕsk =
rk − y∗k
...
rk−s − y∗k−s
−uk−1
...
−uk−s
(2.32)
La relation (2.30) fournit la valeur optimale de θs lorsque le degre de la surpa-
rametrisdation est suffisamment eleve. Pour decider si ce degre est correct, nous
52
2.4. Methode d’identification O.E. basee sur une decomposition de la boucle fermee
allons utiliser un test de caracterisation, base sur des invariants de modelisa-
tion. Ces invariants sont, dans notre cas, les moments discrets [Trigeassou, 1987]
[Trigeassou, 2000].
2.4.2.2.2 Les moments discrets
Definition 2.1.
Soit une sequence hk de somme finie sur [0, +∞[. Alors en developpant H(z)
en serie de Taylor au voisinage de z−1 = 1, on obtient :
Z hk = H(z) =∞∑
n=0
(z−1 − 1)n
n!Cn(hk) (2.33)
ou
Cn(hk) =∞∑
k=n
Ankhk avec An
k =k!
(k − n)!(2.34)
Cn(hk) est le moment discret d’ordre n de hk.
Les moments possedent la propriete de caracteriser la reponse impulsionnelle
du systeme. De plus, en vertu du theoreme d’unicite [Trigeassou, 2000], cette
caracterisation est complete et les moments constituent donc des invariants du
systeme, pouvant caracteriser l’erreur de modelisation.
Notons aussi, qu’il existe une autre classe d’invariants [Trigeassou et al., 1994]
basee sur les parametres de Markov qui sont les premieres valeurs de la reponse
impulsionnelle, correspondant au developpement en serie de Taylor de H(z) au
voisinage de z−1 = 0.
Un theoreme fondamental de la theorie des fonctions de la variable complexe
peut s’enoncer :
Theoreme 2.1.
Si deux fonctions f(z) et g(z) sont holomorphes dans un domaine D et egales
dans un domaine D′ contenu dans D, alors elles sont egales en tout point de D.
53
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
Cette propriete nous amene a enoncer le theoreme d’unicite suivant [Poinot, 1996]
[Trigeassou, 2000] :
Theoreme 2.2.
Si deux fonctions de transfert possedent la meme serie de Taylor, donc les memes
moments (ou les memes parametres de Markov), alors elles sont identiques en tout
point de leur domaine de definition.
Application du theoreme d’unicite et invariants :
Considerons deux fonctions de transfert H1(z) et H2(z), de reponses impul-
sionnelles respectives h1 et h2. Supposons que les moments de ces deux fonc-
tions de transfert sont tous egaux, malgre des representations parametriques dif-
ferentes. Alors, d’apres le theoreme des fonctions de la variable complexe et le
theoreme d’unicite [Trigeassou, 2000] nous pouvons affirmer que ces deux fonc-
tions de transfert sont egales. Les moments discrets sont donc independants de
la parametrisation du systeme.
Consequence du theoreme d’Unicite :
Si une structure surparametrisee englobe la structure exacte, alors tous ses
moments sont egaux a ceux du vrai systeme. Ne connaissant pas les moments
exacts, il suffit en pratique de tester des structures surparametrisees de com-
plexite croissante. Lorsque les invariants deviennent stationnaires, c’est que la
structure consideree englobe de maniere certaine celle du vrai systeme.
Les relations lineaires entre moments discrets et parametres du correcteur sont
detaillees dans l’annexe B.
2.4.2.3 Simulations numeriques
2.4.2.3.1 Choix de la structure du correcteur
Soit le correcteur PID reel a identifier :
54
2.4. Methode d’identification O.E. basee sur une decomposition de la boucle fermee
C(z) =r0 + r1z
−1 + r2z−2
1 + s1z−1 + s2z−2
avecr0 = 2.6064 r1 = −5.1980 r2 = 2.5916
s1 = −1.9802 s2 = 9.8020 10−01
Afin de valider le test precedent, nous avons teste differentes structures de
correcteurs (S = 1, 2, 3, 4). Apres identification, on obtient les parametres decrits
par le tableau 2.1.
Nous verifions sur cet exemple que le modele identifie du second ordre est
exactement identique au correcteur reel. Il est necessaire de tester le choix du
degre de surparametrisation. Nous allons pour cela calculer les moments discrets
des correcteurs identifies.
55
Chapitre
2.
Iden
tifica
tion
enbo
ucl
efe
rmee
Modelesr0 + r1z
−1
1 + s1z−1
r0 + r1z−1 + r2z
−2
1 + s1z−1 + s2z−2
r0 + r1z−1 + r2z
−2 + r3z−3
1 + s1z−1 + s2z−2 + s3z−3
r0 + r1z−1 + r2z
−2 + r3z−3 + r4z
−4
1 + s1z−1 + s2z−2 + s3z−3 + s4z−4
r0 2.6057 10+00 2.6064 10+00 2.6064 10+00 2.6064 10+00
r1 −2.5872 10+00 −5.1980 10+00 −3.4604 10+00 −2.5916 10+00
r2 ∗ 2.5916 10+00 −8.7372 10−01 −1.3032 10+00
r3 ∗ ∗ 1.7277 10+00 −7.3950 10−03
r4 ∗ ∗ ∗ 1.2958 10+00
s1 −9.7849 10−01 −1.9802 10+00 −1.3135 10+00 −9.8020 10−01
s2 ∗ 9.8020 10−01 −3.3993 10−01 −4.9999 10−01
s3 ∗ ∗ 6.5346 10−01 −9.8986 10−03
s4 ∗ ∗ ∗ 4.9009 10−01
Tab. 2.1 – Structures des correcteurs surparametrises
56
2.4. Methode d’identification O.E. basee sur une decomposition de la boucle fermee
2.4.2.3.2 Les moments discrets
Differents correcteurs surparametrises ont ete identifies (Tableau 2.1). Pour
chacun d’eux, nous avons calcule les moments discrets correspondants (figure 2.7).
Les moments discrets du vrai correcteur sont presentes dans le tableau 2.2
1 2 3 40
0.005
0.01
0.015
0.02Moment ordre 0
1 2 3 4−3
−2
−1
0Moment ordre 1
1 2 3 40
100
200
300Moment ordre 2
1 2 3 40
1
2
3
4x 10
4 Moment ordre 3
Fig. 2.7 – Moments discrets des correcteurs surparametrises en fonction de l’ordreS
Moments Moment ordre 0 Moment ordre 1 Moment ordre 2 Moment ordre 3
Valeurs 2.5000 10−03 −6.2375 10−01 2.0000 10+02 2.9700 10+04
Tab. 2.2 – les moments discrets du vrai correcteur
On verifie que les moments du modele identifie d’ordre 1 sont differents de ceux
de C(z). On constate d’autre part les moments ne varient plus pour les modeles
identifies d’ordre superieur a 1 et que ces moments sont egaux aux moments
theoriques du vrai correcteur. En appliquant le test precedent, on peut donc dire
que les structures de complexite superieure ou egale a deux donnent satisfaction,
et peuvent se substituer au correcteur reel.
57
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
2.4.3 Methodologie d’identification indirecte par erreur
de sortie
Lorsque le correcteur C(z) est connu (dans notre cas par identification surpa-
rametrisee), on peut envisager l’identification du systeme continu. Referons nous
au schema de la figure 2.5 : dans ce cas, l’excitation u du modele continu est ob-
tenue par simulation du correcteur C(z), a partir de la reponse rk et de la sortie
predite yk.
On peut alors estimer les parametres θ du modele continu par erreur de sortie
et P.N.L : il faut pour cela calculer les fonctions de sensibilite σyk. On presente
dans ce qui suit l’etude des fonctions de sensibilite d’un systeme continu et lineaire
G(s) pilote par un correcteur a temps discret C(z).
2.4.3.1 Calcul des fonctions de sensibilite
Soit la representation d’etat continue du modele lineaire equivalent
˙x = A(θ)x + B(θ)u
y = C(θ)x + D(θ)u(2.35)
ou u est la commande predite du systeme (figure 2.5). On notera que A, B,
C et D sont relatifs a G(s).
Les fonctions de sensibilite par rapport a σy, devront etre calculees en prenant
en compte la sensibilite de u a θ, soit σu. Comme u(t) et u(t) sont generes par
un bloqueur d’ordre zero, alors pour tout temps t compris entre deux instants
d’echantillonnage, c’est a dire t ∈ [kTe, (k + 1)Te[, on a
u(t) = uk
De plus le correcteur discret C(z) genere uk selon l’algorithme
uk + s1uk−1 + s2uk−2 = r0(rk − yk) + r1(rk−1 − yk−1) + r2(rk−2 − yk−2) (2.36)
58
2.4. Methode d’identification O.E. basee sur une decomposition de la boucle fermee
Definissons σy,θi= ∂y
∂θiet σx,θi
= ∂x∂θi
; alors on obtient les fonctions de sensibi-
lite a partir du systeme differentiel
σx,θi= A(θ)σx,θi
+∂A(θ)
∂θi
x +∂B(θ)
∂θi
u(t) + B(θ)∂uk
∂θi
σy,θi= C(θ)σx,θi
+∂C(θ)
∂θi
x +∂D(θ)
∂θi
u(t) + D(θ)∂uk
∂θi
(2.37)
avec∂uk
∂θi
= σuk,θilui meme obtenu a partir de l’equation aux differences :
∂uk
∂θi
+ s1∂uk−1
∂θi
+ s2∂uk−2
∂θi
= −r0∂yk
∂θi
− r1∂yk−1
∂θi
− r2∂yk−2
∂θi
(2.38)
Soit
σuk,θi+ s1σuk−1,θi
+ s2σuk−2,θi= −r0σyk ,θi
− r1σyk−1,θi− r2σyk−2,θi
(2.39)
En utilisant cette formulation des fonctions de sensibilite, il est possible d’es-
timer les parametres d’un systeme continu commande par un algorithme nume-
rique. Cette formulation est evidement utilisable pour les systemes discrets.
Il est important de remarquer que la sortie y et la commande u sont effective-
ment simulees a partir de l’excitation rk, de C(z) et du modele continu G(s) : u
et y etant totalement decorreles de b (le bruit), l’estimation obtenue est donc non
biaisee (voir annexe A). Ceci est illustre par les simulations numeriques realisees
dans la section suivante. Il est aussi important de noter que cette ecriture (sys-
teme d’etat) ne requiert pas d’hypothese particuliere sur la linearite du systeme
(ni meme du correcteur).
2.4.3.2 Exemple d’application
Afin d’illustrer les possibilites des techniques d’identification proposees, nous
allons les tester sur un systeme continu et lineaire du second ordre.
59
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
G(s) =b0
s2 + a1s + a0
avec
b0 = 0.8 a0 = 0.4 a1 = 1.4
Le correcteur associe est de type P.I.D et se presente sous la forme
C(z) =r0 + r1z
−1 + r2z−2
1 + s1z−1 + s2z−2
avecr0 = 2.6064 r1 = −5.1980 r2 = 2.5916,
s1 = −1.9802 s2 = 9.8020 10−01
Soit le correcteur identifie surparametrise
Cs(z) =r0 + r1z
−1 + r2z−2 + r3z
−3
1 + s1z−1 + s2z−2 + s3z−3
avec
r0 = 2.6064 r1 = −3.4604 r2 = −8.7372 10−01 r3 = 1.7277
s1 = −1.3135 s2 = −3.3993 10−01 s3 = 6.5346 10−01
Nous nous sommes places dans des conditions de bruit telles que le rapport
S/B = 20. Le bruit de sortie est genere par le modele A.R :
bk + c1bk−1 = ek ou ek est un bruit blanc et −1 < c1 < 0.
Trois situations ont ete etudiees :
– c1 = 0, alors bk correspond a un bruit blanc
– c1 = −0.5, alors bk correspond a un bruit moyennement correle
– c1 = −0.95, alors bk correspond a un bruit fortement correle
Les simulations de Monte Carlo ont ete realisees sur 30 realisations, chaque
realisation comportant 4000 couples de donnees.
Les algorithmes directs et les algorithmes indirects avec correcteur reel et sur-
60
2.4. Methode d’identification O.E. basee sur une decomposition de la boucle fermee
parametrise sont compares grace a cette simulation stochastique. Les resultats
sont presentes dans les tableaux 2.3, 2.4 et 2.5.
Remarque
I.D : Identification Directe
I.I.C.E : Identification Indirecte, Correcteur Exact
I.I.C.S : Identification Indirecte, Correcteur Surparametrise d’ordre 3
Valeurs I.D I.I.C.E I.I.C.Sexactes
b0 = 0.8 8.1028 10−01 7.9879 10−01 7.9743 10−01
±2.6444 10−02 ±1.1869 10−02 ±1.3237 10−02
a0 = 0.4 3.7380 10−01 4.0610 10−01 4.0542 10−01
±7.1145 10−02 ±3.2745 10−02 ±3.5704 10−02
a1 = 1.4 1.4084 10+00 1.3991 10+00 1.3950 10+00
±2.4483 10−02 ±1.2689 10−02 ±1.4775 10−02
Tab. 2.3 – Identification en presence d’un bruit blanc
0.3 0.35 0.4 0.45
a0
1.38 1.4 1.42
a1
0.78 0.8 0.82
b0
IICE
IICS
ID
Valeur exacte
Fig. 2.8 – Identification en presence d’un bruit blanc
Nous presentons dans les tableaux 2.3, 2.4 et 2.5 la moyenne de chaque pa-
rametre identifie avec une marge d’erreur egale a ± 3 fois l’ecart type (de la
distribution de Monte Carlo).
61
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
Valeurs I.D I.I.C.E I.I.C.Sexactes
b0 = 0.8 8.0804 10−01 8.0364 10−01 7.9832 10−01
±3.6904 10−02 ±1.5484 10−02 ±1.6268 10−02
a0 = 0.4 3.7071 10−01 3.9212 10−01 4.0558 10−01
±1.0150 10−01 ±3.4814 10−02 ±4.1090 10−02
a1 = 1.4 1.4040 10+00 1.3997 10+00 1.3956 10+00
±4.0469 10−02 ±2.3433 10−02 ±2.3387 10−02
Tab. 2.4 – Identification en presence d’un bruit moyennement correle c1 = −0.5
Les figures 2.8, 2.9 et 2.10 sont des representations graphiques de la plage des
variations de chaque parametre selon la methode d’identification des tableaux
2.3, 2.4 et 2.5.
0.3 0.35 0.4 0.45
a0
1.36 1.38 1.4 1.42 1.44
a1
0.76 0.78 0.8 0.82 0.84
b0
Fig. 2.9 – Identification en presence d’un bruit moyennement correle c1 = −0.5
Valeurs I.D I.I.C.E I.I.C.Sexactes
b0 = 0.8 6.0283 10−01 8.0243 10−01 7.9800 10−01
±1.1933 10−01 ±2.2136 10−02 ±1.4515 10−02
a0 = 0.4 5.2435 10−01 4.0294 10−01 4.0987 10−01
±4.6527 10−01 ±4.1773 10−02 ±3.5272 10−02
a1 = 1.4 1.0202 10+00 1.3998 10+00 1.3944 10+00
±2.7406 10−01 ±4.1789 10−02 ±3.2106 10−02
Tab. 2.5 – Identification en presence d’un bruit fortement correle c1 = −0.95
62
2.5. Conclusion
On verifie tout d’abord que la technique directe I.D est non biaisee en bruit
blanc de sortie ; il en est bien sur de meme pour I.I.C.E et I.I.C.S. Par contre,
un biais apparaıt pour I.D des que le bruit est correle (c1 = −0, 5) ; il augmente
considerablement avec la correlation de ce bruit (c1 = −0, 95). On verifie alors
que les deux methodes indirectes fournissent une estimation non biaisee quelle
que soit la correlation du bruit de sortie.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
a0
0.8 1 1.2 1.4
a1
0.5 0.6 0.7 0.8
b0
Fig. 2.10 – Identification en presence d’un bruit fortement correle c1 = −0.95
On remarque aussi, dans ce cas, que l’identification directe presente une va-
riance plus importante sur les parametres, notamment lorsque le bruit est correle ;
alors que l’identification indirecte donne une estimation des parametres nettement
plus precise. Remarquons enfin que meme si le correcteur ne possede pas la bonne
structure (methode I.I.C.S), les resultats sont tout a fait comparables avec ce
que l’on obtient avec le correcteur exact (methode I.I.C.E).
2.5 Conclusion
Au cours de ce chapitre, nous avons presente diferentes methodes d’identi-
fication en boucle fermee pour les systemes discrets et continus. Les methodes
presentees ont ete classees selon trois approches suivant leurs hypotheses d’utili-
sation :
– L’approche directe : le correcteur est ignore, la nature bouclee du systeme
63
Chapitre 2. Identification en boucle fermee
n’est pas explicitement prise en compte et les signaux d’entree/sortie u et
y sont utilises pour identifier directement le processus.
– L’approche simultanee : le correcteur est suppose inconnu, mais la structure
bouclee du systeme est connue. L’entree u et la sortie y sont considerees
comme les sorties d’un systeme multivariable ayant pour entrees la consigne
r et le bruit b. La methode consiste a estimer directement les parametres
de processus a l’aide de l’utilisation simultanee de ces signaux.
– L’approche indirecte est fondee sur la connaissance du correcteur present
dans la boucle ainsi que sur les mesures du signal d’excitation r et de la
sortie y.
En resume, l’approche directe est celle a choisir pour une premiere identi-
fication d’un processus en boucle fermee. Elle permet d’obtenir une premiere
information sur le comportement global du processus. En revanche, il semble per-
tinent de completer cette premiere identification par l’utilisation d’une des deux
autres approches. Elles ont l’avantage de prendre en compte toutes les informa-
tions disponibles sur le systeme boucle, soit par l’utilisation de tous les signaux
intervenant dans la boucle (r, u et y) pour l’approche simultanee, soit par l’inter-
mediaire du correcteur pour l’approche indirecte.
Aussi, une attention particuliere a ete portee a l’identification indirecte par
erreur de sortie qui fait l’objet de ce memoire. Cette methode a ete evaluee en
simulation, ce qui permet d’effectuer une premiere quantification de ses perfor-
mances. Le principal interet de cette methode reside dans la non connaissance a
priori du correcteur. La procedure d’identification du correcteur par surparame-
trisation semble etre bien adaptee a une situation industrielle, car elle ne neces-
site ni la connaissance des parametres, ni de la structure exacte du correcteur.
L’approche indirecte va etre reprise, dans le cadre du diagnostic des processus
industriels, dans le cas de la machine a courant continu dans le chapitre 3 et dans
le cas de la machine asynchrone dans les chapitres 4 et 5.
64
Chapitre 3
Methodologie d’identification en
boucle fermee : Application a la
machine a courant continu
Dans ce chapitre, nous allons presenter une methodologie d’identification de
la machine a courant continu en boucle fermee par approche indirecte. Cette
approche est basee, dans une premiere etape, sur l’identification d’un correcteur
equivalent par une technique de moindres carres surparametrises. Par ailleurs un
test de caracterisation de l’ordre de surparametrisation est propose. Dans une
seconde etape, on realise l’identification des parametres du systeme sans biais
asymptotique par une technique a erreur de sortie.
65
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
3.1 Introduction
Toute machine electrique moderne prevue pour la variation de vitesse, et uti-
lisant une indispensable limitation de courant, ne peut fonctionner qu’en boucle
fermee, qu’il s’agit d’une machine a courant continu ou d’une machine a courant
alternatif. Dans ces conditions, il est justifie de se poser la question de l’inci-
dence du correcteur sur le biais en identification directe [Grospeaud et al., 1999]
[Grospeaud, 2000]. Nous nous proposons d’apporter une solution a ce probleme
grace a une identification indirecte sur la base de la connaissance du correcteur
(connaissance a priori ou estimation).
Dans le second chapitre, nous avons presente une methodologie generale d’iden-
tification en boucle fermee, qui a ete appliquee a un exemple academique. Cette
technique s’avere bien adaptee a une situation industrielle, en particulier par la
non connaissance des parametres et de la structure vraie du correcteur. Pour une
application realiste de cette procedure sur une machine asynchrone, objectif final
de notre travail, un travail fondamental doit etre effectue au prealable sur la ma-
chine a courant continu. En effet, le choix de la machine a courant continu nous a
paru judicieux comme plateforme de test de notre approche avec une complexite
limitee.
Une attention particuliere est donc portee a l’identification de la machine a
courant continu par une methode a erreur de sortie basee sur une decomposi-
tion de la boucle fermee. Aussi, afin d’identifier sans biais la machine a courant
continu fonctionnant en boucle fermee, nous proposons une methodologie generale
d’identification basee sur la prise en compte du correcteur. Fondamentalement,
on utilise un algorithme d’identification a erreur de sortie, dont la procedure de
minimisation quadratique est realisee par programmation non lineaire. Pour sa
part, le correcteur, de type cascade, est estime sous la forme d’un correcteur
equivalent par une technique de surparametrisation.
3.2 La machine a courant continu : modelisation
et commande
On a donc choisi comme premiere application la machine a courant continu.
Cette derniere est consideree, meme aujourd’hui, comme l’actionneur de reference
(notamment pour la simplicite de son modele). De plus, grace a la transformation
66
3.2. La machine a courant continu : modelisation et commande
de Park, on peut definir un repere d’etude pour les machines a courant alternatif
dont le modele s’apparente aux equations de la machine a courant continu. La
principale raison de ce choix est en fait que le modele de la machine a courant
continu est universellement connu et simple. Il nous permet ainsi de valider notre
methodologie d’identification en boucle fermee, dans un contexte plus simple que
celui de la machine asynchrone.
Le modele de la machine a courant continu est deduit de lois physiques elemen-
taires (loi de Lenz, loi d’Ampere, loi d’Ohm,. . .). Ces lois physiques conduisent
d’abord a l’equation electrique des enroulements d’induit, liant le courant d’in-
duit i a la tension d’induit u et a la f.e.m. e, au travers de la resistance R et de
l’inductance L de l’enroulement :
u(t) = e(t) + L ·di(t)
dt+ R · i(t) (3.1)
Vient ensuite la relation de conversion electromecanique de l’interaction stator-
rotor, liant la f.e.m. a la vitesse ω d’une part, et le couple electromagnetique Cem
au courant d’autre part, grace au meme coefficient k et au flux inducteur φ :
Cem(t) = k · φ · i(t)
e(t) = k · φ · ω(t)(3.2)
La machine que nous considerons est une machine a courant continu a aimants
permanents, donc k.φ est une constante, appelee dans la suite K.
La loi fondamentale de la mecanique debouche sur la relation liant la vitesse
ω aux couples electromagnetique Cem et resistant Cr, a travers l’inertie J et le
coefficient de frottements visqueux f de l’arbre du rotor :
J ·dω(t)
dt= Cem(t) − Cr(t) − f · ω(t) (3.3)
Les equations d’etat de la MCC montrent que les modes electriques et me-
caniques sont couples ; il est possible d’effectuer un decouplage des modes en
67
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
realisant une compensation statique de la f.e.m. On rend ainsi la commande du
courant et de la vitesse independantes l’une de l’autre.
La commande en courant distingue les deux sous systemes electrique et me-
canique. La constante de temps mecanique est tres largement superieure a la
constante de temps electrique. On distingue ainsi deux modes, le mode electrique
(mode rapide) et le mode mecanique (mode lent). Le controle de vitesse conduit
automatiquement a un controle de courant induit. Un algorithme de regulation
est elabore pour chaque mode [Chiappa, 1989]. Compte tenu des remarques enon-
cees, nous avons choisi un type de commande par boucles imbriquees, ou le mode
mecanique et le mode electrique sont traites separement.
La figure 3.1 montre le principe de la regulation :
u
CAN
CAN
Commande
CPM+−
ω
+−
iref
i
ωref
CPE
Processus
−+
+
Cr
+ω
K
K
i CemPE(s) PM(s)CNA hacheur
Fig. 3.1 – Principe de la regulation de la machine MCC
Sur la figure 3.1, on suppose que la vitesse ω est mesuree par une dynamo
tachymetrique.
PE, PM representent les fonctions de transfert des parties electrique et meca-
nique de la machine, et CPE, CPM , les correcteurs discrets associes.
On a vu que l’asservissement de la vitesse passe par celui du couple (courant).
Les correcteurs de la boucle de courant et de la boucle de vitesse utilises sont
de type PI.
Remarque
On se repportera a l’annexe C pour une discussion sur la modelisation de la MCC
en vue de son identification.
68
3.3. Description du simulateur
3.3 Description du simulateur
3.3.1 Protocole de simulation
Dans le but d’obtenir des signaux synthetiques de la MCC en boucle fermee,
nous avons mis au point un simulateur comprenant deux parties essentielles :
– Un modele de la MCC : le modele continu de simulation de la MCC se
presente alors sous la forme
X(t) = A.X(t) + B.V (t)
Y = C.X(t)(3.4)
avec
X =[i ω
]T: vecteur d’etat (3.5)
V =
[u
Cr
], Y =
[i
ω
]: entrees et sorties de la machine (3.6)
A =
[−R
L−K
LKJ
− f
J
], B =
[1L
0
0 − 1J
]et C =
[1 0
0 1
](3.7)
– un bloc de regulation : La figure 3.1 decrit la structure generale de la com-
mande utilisee. Les principaux constituants dans ce type de commande sont
la boucle de regulation de vitesse et la boucle de regulation de courant.
i i∗ωref
Commande
bω
++
bi
+
+
ω∗ω
MCCu
ω∗
i∗
Cr
Fig. 3.2 – Principe de la simulation de la MCC
69
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
La figure 3.2 donne une representation graphique du simulateur de la machine
a courant continu. Le bloc Commande est identique au schema decrit par la figure
3.1.
Les algorithmes d’identification parametrique necessitent, pour converger, une
excitation persistante qui sensibilise suffisamment tous les modes du systeme.
Dans le cas de la machine a courant continu, nous avons defini les deux types
d’excitation suivants :
– une excitation obtenue par l’addition d’une Sequence Binaire Pseudo Alea-
toire (SBPA) a la consigne de la boucle vitesse ωref ,
– une excitation par couple de charge Cr a vitesse constante obtenue par
l’utilisation d’une SBPA.
Nous allons decrire ces deux types d’excitation, dans la section suivante, en
mettant l’accent sur l’effet de chacune d’elles sur le resultat de l’identification.
Pour nos simulations, nous avons utilise une machine a courant continu dont
les caracteristiques sont donnees par la table 3.1 :
L = 1.2857 10−03HR = 7.1428 10−01ΩK = 1.8400 10−01N.m/Af = 0.8000 10−02N.m.s/radJ = 0.1070 10−01N.m.S2/rad
Tab. 3.1 – Caracteristiques de la MCC
Il est donc necessaire de presenter dans un premier temps les differents types
de signaux que nous sommes en train de manipuler. Les signaux sont evalues a
partir d’une simulation globale a l’aide du logiciel Matlab.
L’essai est realise pendant une duree de 5s de la maniere suivante :
– pour 0 < t < 1.5s la consigne de vitesse ωref est fixee a 100 rad/s, le couple
de charge Cr reste nul,
– pour 1.5 < t < 3s on applique a la machine une excitation en vitesse de
100 ± 10 rad/s et un couple de charge constant de 0.8 Nm,
– pour t > 3s la consigne de vitesse ωref reste fixee a 100 rad/s, a t = 3s on
applique a la machine un couple de charge variable allant de 0.5 a 1.3 Nm.
70
3.3. Description du simulateur
La figure (3.3) decrit les resultats obtenus, dans les conditions de l’essai, grace
au simulateur.
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
30Tension
0 1 2 3 4 50
5
10
15Courant
0 1 2 3 4 50
20
40
60
80
100
120vitesse
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5Couple de charge
wref
w
Fig. 3.3 – Controle de la machine a courant continu
3.3.2 Types d’excitation
Dans le contexte du diagnostic par estimation parametrique, il a ete demontre
que l’on peut detecter, localiser et quantifier les defauts stator et rotor d’une ma-
chine asynchrone par estimation parametrique [Bachir, 2002] [Bazine et al., 2005].
Cependant, cette procedure d’identification necessite une excitation riche (per-
sistante), apte a sensibiliser les modes electriques concernes. Or lorsque ces ma-
chines fonctionnent en regulation, c’est-a-dire en rejection des perturbations dues
au couple de charge, l’entree de consigne de vitesse est constante, donc non exci-
tatrice. Aussi, nous avons defini les deux excitations suivantes (on se reportera a
l’annexe C pour une discussion de ces deux types d’excitation) :
Une excitation en vitesse
En fonctionnement, cette excitation consiste a perturber le point de fonc-
tionnement electrique par une SBPA. A une vitesse donnee, il s’agit donc
d’introduire pendant la duree de l’acquisition ou de la simulation une SBPA
afin d’exciter la machine. Meme si ce mode d’excitation ne recoit pas tou-
jours l’approbation de l’utilisateur, il est neanmoins l’un des plus pratiques
et des plus simples dans le cas des machines electriques. En effet, en iden-
tification, les utilisateurs ont pour habitude d’exciter un systeme par une
71
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
SBPA en faisant varier sa sortie autour du point de fonctionnement. La
machine etant asservie en vitesse par un variateur, il suffit donc d’addition-
ner une SBPA a la consigne, ce qui est parfaitement realisable en pratique.
Ce mode d’excitation peut paraıtre naturel a un automaticien, il est par
contre anormal pour un utilisateur dont l’objectif est avant tout de main-
tenir la vitesse constante (dans un objectif de qualite de production). La
figure 3.3 represente les signaux simules pour une excitation en vitesse a
couple de charge constant pour 1.5 s < t < 3 s.
Une excitation par couple de charge
Le probleme d’identification est plus delicat si on n’a pas le droit de faire
varier la consigne de la boucle fermee, c’est-a-dire si seulement les pertur-
bations de charge, excitation implicite, sont autorisees.
En effet, une excitation qui perturbe le point de fonctionnement en regu-
lation de la machine, ne peut satisfaire les objectifs industriels : c’est pour
cette raison que l’excitation indirecte par variation du couple de charge a
ete retenue dans un objectif de diagnostic (voir annexe C). La figure 3.3
represente les signaux simules pour une excitation par couple de charge a
vitesse constante pour t > 3 s.
3.4 Methodologie d’identification en boucle fer-
mee
3.4.1 Introduction
Afin d’identifier sans biais asymptotique la machine a courant continu (MCC)
fonctionnant en boucle fermee, nous proposons une methodologie d’identification
indirecte a partir d’une technique a erreur de sortie hors ligne. La technique
d’identification indirecte repose sur la connaissance du correcteur. Cette hypo-
these cree une veritable contrainte inadaptee a la realite industrielle. Nous allons
montrer que l’on peut s’affranchir de cette contrainte en identifiant le correcteur
par une technique de surparametrisation.
Ainsi, notre solution consiste a identifier le modele electrique en tenant compte
explicitement de la correlation apportee par le correcteur. Malheureusement, le
correcteur n’est pas unique, mais constitue de deux correcteurs imbriques (cas-
cade), pour les boucles de courant et de vitesse. Alors, une solution est de deter-
72
3.4. Methodologie d’identification en boucle fermee
miner un seul correcteur equivalent, dont les entrees sont la consigne de vitesse
et les mesures du courant et de la vitesse. Comme la structure equivalente est
le plus souvent complexe et mal connue, ce correcteur equivalent est estime par
une technique de moindres carres surparametrises, et une structure minimale est
obtenue grace a un test portant sur les moments.
3.4.2 Identification du correcteur equivalent
3.4.2.1 Methodologie
Dans le cas particulier de la MCC, le correcteur n’est pas unique, mais consti-
tue de deux correcteurs, pour les boucles de courant et de vitesse. Alors, la so-
lution que nous proposons est de determiner un seul correcteur equivalent, dont
les entrees sont la consigne de la vitesse ωref et les mesures du courant i∗ et de
la vitesse ω∗, et ou la sortie est la commande u (figure 3.2).
uk
Correcteur equivalent
ukCEq
ω∗k
i∗k
ωrefk
Commande MCC
CPM+−
ω∗k
+−
i∗k
ωrefk
CPE
Fig. 3.4 – Principe du correcteur equivalent
L’expression theorique du correcteur equivalent est alors de la forme :
u(z) = Cω(z) · [ωref(z) − ω∗(z)] + Ci(z) · i∗(z) (3.8)
avec
Cω(z) =r0ω + r1ωz−1 + · · · + rnωz−n
1 + s1z−1 + · · · + smz−met Ci(z) =
r0i + r1iz−1 + · · ·+ rniz
−n
1 + s1z−1 + · · ·+ smz−m
73
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
Comme la structure equivalente est le plus souvent complexe et mal connue,
ce correcteur equivalent est estime par une technique de moindres carres surpa-
rametrises et une structure minimale est obtenue grace a un test portant sur les
moments.
Connaissant la commande, la consigne, le courant bruite et la vitesse bruitee
notees respectivement u, ωref , i∗ et ω∗ (figure 3.4), on se retrouve devant une
identification sans perturbation, donc parfaitement deterministe (voir chapitre
2), pour laquelle on peut appliquer la methode des moindres carres ordinaires qui
dans ce cas particulier n’induit pas un biais asymptotique.
Alors l’estimation par moindres carres des parametres du correcteur equivalent
(CE) forme par les deux blocs Cω(z) = Rω(z)S(z)
et Ci(z) = Ri(z)S(z)
a pour expression :
θCE =
[K∑
1
ϕkϕTk
]−1 K∑
1
ϕkuk (3.9)
avec θCE = θexact (car il n’y a pas de bruit ou de perturbation)
et
θCE =
r0ω
r1ω
...
rnω
r0i
r1i
...
rni
s1
...
sm
et ϕk =
ωrefk− ω∗
k...
ωrefk−n− ω∗
k−n
i∗k...
i∗k−n
−uk−1
...
−uk−m
(3.10)
Si la structure exacte du correcteur equivalent est inconnue on s’affranchit de
cette connaissance structurelle, en utilisant le principe de surparametrisation. On
74
3.4. Methodologie d’identification en boucle fermee
choisira alors Cs(z) de telle sorte que :
degre [Rsω(z)] > degre [Rω(z)]
degre [Rsi(z)] > degre [Ri(z)]
degre [Ss(z)] > degre [S(z)]
On va donc utiliser un modele surparametrise de complexite superieure a celle du
vrai correcteur, afin de minimiser l’erreur de modelisation.
On obtient alors :
θS =
[K∑
1
ϕSkϕTSk
]−1 K∑
1
ϕSkuk (3.11)
A partir de θS, on a plusieurs possibilites : soit on determine une structure mi-
nimale grace a un test portant sur les moments, soit on utilise directement le
modele surparametrise, ce qui en pratique correspond a une solution simple et
robuste vis-a-vis d’eventuelles erreurs de modelisation.
3.4.2.2 Les moments discrets
Considerons le correcteur estime surparametrise
CS(z) =r0 + r1z
−1 + · · ·+ rsz−s
1 + s1z−1 + · · ·+ ssz−s(3.12)
Ou s est le degre de la surparamerisation.
D’apres la figure 2.5, on ecrira uk = ϕTSkθS ou
θS =
r0
r1
...
rs
s1
...
ss
et ϕSk =
rk − y∗k
...
rk−s − y∗k−s
−uk−1
...
−uk−s
(3.13)
Pour decider si le degre de surparametrisation est correct, nous allons utiliser
un test de caracterisation, base sur des invariants de modelisation. Ces invariants
75
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
sont, dans notre cas, les moments discrets (voir chapitre 2).
La serie∞∑
n=0
un
n!Cn(ck) est entierement definie dans son domaine de convergence.
Par ailleurs, les moments discrets Cn sont parfaitement definis dans le cas d’un
systeme stable. Soient les polynomes β(u) et α(u) correspondant respectivement
au numerateur et au denominateur du correcteur C(z) obtenus en remplacant la
variable (z−1 − 1) par la variable u et en developpant les expressions en serie de
Taylor selon l’equation (2.33).
Soit
β(u) =S∑
n=0
unβn
α(u) =S∑
n=0
unαn
(3.14)
ou
βn =S∑
k=n
Ankrk et An
k = k!n!(k−n)!
αn =S∑
k=n
Anksk
Le correcteur equivalent de la MCC possede une double integration, a cause
des correcteurs PI en cascade. Dans ce cas, les moments discrets Cn sont obtenus
a partir de l’egalite suivante :
C(u) =β(u)
α(u)=
1
u2
∞∑
n=0
un
n!Cn (3.15)
avec C(z) =r0 + r1z
−1 + · · · + rsz−s
1 + s1z−1 + · · ·+ ssz−s
Les moments discrets Cn recherches peuvent donc etre calcules par division
polynomiale ou par convolution discrete. Ils sont obtenus a partir des relations
76
3.4. Methodologie d’identification en boucle fermee
recurrentes suivantes :
C0 = 0!β0/α2
C1 = 1! [β1 − α3C0] /α2
C2 = 2! [β2 − α4C0 − α3C1] /α2
C3 = 3!
[β3 − α5C0 − α4C1 −
1
2!α3C2
]/α2
...
Cn = n!
[βn −
n−1∑i=0
1
i!Ciαn+2−i
]/α2
...
CS = S!
[βS −
1
2!αSC2 −
1
3!αS−1C3 − · · · −
1
(S − 1)!α3CS−1
]/α2
(3.16)
Sachant que l’expression theorique du correcteur equivalent de la MCC est
de la forme :
u(z) = Cω(z) · [ωref(z) − ω∗(z)] + Ci(z) · i∗(z) (3.17)
avec
Cω(z) =r0ω + r1ωz−1 + · · ·+ rsωz−s
1 + s1z−1 + · · · + ssz−set Ci(z) =
r0i + r1iz−1 + · · ·+ rsiz
−s
1 + s1z−1 + · · · + ssz−s
Il suffit en pratique de tester des structures surparametrisees de complexite
croissante pour chacun des correcteurs Cω et Ci du correcteur equivalent. Lorsque
les moments deviennent stationnaires pour chaque correcteur , on peut en conclure
que la structure consideree englobe de maniere certaine celle du vrai correcteur.
3.4.2.3 Simulations numeriques
Afin de valider la methodologie precedente, on a realise des simulations nu-
meriques avec un regulateur de courant de type PI et un regulateur de vitesse
de type PI.
CPM(z) =r0pm + r1pmz−1
1 + s1pmz−1
CPE(z) =r0pe + r1pez
−1
1 + s1pez−1
77
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
avec
r0pm = 5.8185 10−01 r1pm = −5.8120 10−01 s1pm = −1
r0pe = 2.7857 10−02 r1pe = −2.3571 10−02 s1pe = −1
L’expression theorique du correcteur equivalent correspondant a cette double
action integrale est de la forme :
u(z) =r0ω + r1ωz−1 + r2ωz−2
1 + s1z−1 + s2z−2· [ωref(z) − ω∗(z)] +
r0i + r1iz−1 + r2iz
−2
1 + s1z−1 + s2z−2· i∗(z)
avec les valeurs theoriques suivantes :
r0ω = 1.6209e−02 r1ω = −2.9905e−02 r2ω = 1.3700e−02
r0i = −2.7857e−02 r1i = 5.1429e−02 r2i = −2.3571e−02
s1 = −2 s2 = 1
Differents correcteurs surparametrises (S = 1, 2, 3) ont ete identifies (Tableau
3.2). Pour chacun d’eux on a calcule les moments discrets correspondants (Ta-
bleaux 3.3 et 3.4).
Modeles Structure d’ordre 1 Structure d’ordre 2 Structure d’ordre 3
r0w 1.6198e−02 1.6209e−02 1.6209e−02
r1w −1.5635e−02 −2.9905e−02 −2.9902e−02
r2w ∗ 1.3700e−02 1.3693e−02
r3w ∗ ∗ 3.2090e−06
r0i 5.1855e−01 −2.7857e−02 −2.7857e−02
r1i −5.1854e−01 5.1429e−02 5.1422e−02
r2i ∗ −2.3571e−02 −2.3559e−02
r3i ∗ ∗ −5.5214e−06
s1 −1.0000e+00 −2.0000e+00 −1.9998e+00
s2 ∗ 1.0000e+00 9.9953e−01
s3 ∗ ∗ 2.3424e−04
Tab. 3.2 – Structures des correcteurs surparametrises de la MCC
Nous verifions sur cet exemple que le modele identifie du second ordre est
exactement identique au correcteur theorique equivalent. En pratique, bien sur,
78
3.4. Methodologie d’identification en boucle fermee
on ne connaıt pas le correcteur exact et il est donc necessaire de tester le choix du
degre de surparametrisation. Nous allons pour cela calculer les moments discrets
des correcteurs identifies.
Modeles estimes C0 C1 C2 C3
Valeurs theoriques 2.7950e−06 −2.5062e−03 2.7399e−02 0Structure ordre 1 5.6264e−04 −1.5635e−02 0 0Structure ordre 2 2.7950e−06 −2.5062e−03 2.7399e−02 0Structure ordre 3 2.7950e−06 −2.5062e−03 2.7399e−02 −2.5405e−21
Tab. 3.3 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cw
Modeles estimes C0 C1 C2 C3
Valeurs theoriques 3.4694e−18 4.2857e−03 −4.7143e−02 0Structure ordre 1 3.2585e−06 −5.1854e−01 0 0Structure ordre 2 3.4694e−18 4.2857e−03 −4.7143e−02 0Structure ordre 3 5.3520e−18 4.2857e−03 −4.7143e−02 0
Tab. 3.4 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Ci
Nous presentons, dans les tableaux 3.3 et 3.4, les differents moments discrets
pour chaque modele estime de Cω et Ci. Ces moments sont compares aux moments
theoriques du correcteur equivant (Cω ,Ci).
On verifie que les moments du modele estime d’ordre 1 pour Ci et Cω sont dif-
ferents de ceux du vrai correcteur. On constate de plus que les moments ne varient
plus pour les modeles d’ordre superieur a 1. On peut donc dire que les structures
de complexite superieure ou egale a deux donnent satisfaction et peuvent se sub-
stituer au correcteur exact.
Nous presentons sur la figure 3.5, une comparaison de la tension reelle u
et celles estimees pour les structures d’ordre 1, 2 et 3. On voit bien, a travers
les courbes, que la sortie estimee u pour la structure de correcteur d’ordre 1
est differente de la commande reelle u, alors qu’on trouve des comportements
totalement identiques pour les autres structures.
79
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.426
27
28
29
30
31
32
Commande u
u pour S1
u pour S2
u pour S3
Fig. 3.5 – Comparaison des commandes reelle et estimees pour chaque structuresurparametrisee
3.4.3 Identification indirecte par erreur de sortie
3.4.3.1 Principe
Lorsque la commande de la MCC est connue (par connaissance a priori
par identification surparametrisee), on peut envisager l’identification du systeme
continu. Referons nous au schema de la figure 3.6 : dans ce cas, l’excitation u du
modele continu est obtenue par simulation du correcteur CEq(z), a partir de la
reponse ωrefk, de la mesure ω∗
k et de la sortie predite ik.
On peut ainsi estimer les parametres θ du modele continu par erreur de sortie
et P.N.L : il faut pour cela calculer les fonctions de sensibilite σik .
3.4.3.2 Calcul des fonctions de sensibilite
Il est important de remarquer que la sortie i et la commande u sont effective-
ment simulees a partir de l’excitation ωref , de ω∗,de CEq et du modele continu :
u et i etant totalement decorreles de bi (le bruit), l’estimation obtenue est en
principe non biaisee. Ceci va etre illustre par les simulations numeriques realisees
80
3.4. Methodologie d’identification en boucle fermee
i
i∗+
−i
Algorithme
d′optimisation
ωref
u
Commande
CEq(z)
bω
++
bi
+
+
ω∗ω
Modele MCC
MCCu
ω∗
ω∗
i∗
i
ω∗
Cr
Fig. 3.6 – Principe de l’identification indirecte pour la MCC
dans la section suivante.
Soit la representation d’etat continue du modele electrique de la MCC
˙x(t) = A(θ)x(t) + B(θ)V (t)
y(t) = C(θ)x(t)(3.18)
avec :
θ = [R L K]T : vecteur des parametres a estimer,
A =−R
L, B =
[1
L
−K
L
], C = 1 (3.19)
ety(t) = x(t) = i(t)
V = [u(t) ω∗(t)]t
ou u(t) est la commande predite de la MCC (figure 3.6).
Les fonctions de sensibilite par rapport a σi, doivent etre calculees en prenant
en compte la sensibilite de u a θ, soit σu. Comme u(t) et u(t) sont generes par
un bloqueur d’ordre zero, alors pour tout temps t compris entre deux instants
81
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
d’echantillonnage, c’est-a-dire t ∈ [kTe, (k + 1)Te[, on a u(t) = uk.
De plus le correcteur equivalent discret CEq(z) genere uk selon l’algorithme :
uk + s1uk−1 + s2uk−2 + · · ·+ ssuk−s = r0ω(ωrefk− ω∗
k) + r1ω(ωrefk−1− ω∗
k−1)
+ · · ·+ rsω(ωrefk−s− ω∗
k−s) + r0iik + r1iik−1 + · · ·+ rsiik−s (3.20)
Definissons σ i,θi= ∂i
∂θi, alors on obtient les fonctions de sensibilite a partir du
systeme differentiel :
σi,θi= A(θ)σi,θi
+∂A(θ)
∂θi
i +∂B(θ)
∂θi
V (t) + B(θ)∂V k
∂θi
(3.21)
avec∂V k
∂θi
=
[∂ω∗
k
∂θi
∂uk
∂θi
]t
=[0 σuk,θi
]t
ou σuk,θiest lui-meme obtenu a partir de l’equation aux differences :
∂uk
∂θi
+ s1∂uk−1
∂θi
+ · · · + ss
∂uk−s
∂θi
= r0i
∂ik∂θi
+ r1i
∂ik−1
∂θi
+ · · · + rsi
∂ik−s
∂θi
(3.22)
Soit
σuk,θi+ s1σuk−1,θi
+ · · · + ssσuk−s,θi= r0iσik ,θi
+ r1iσik−1,θi+ · · ·+ rsiσik−s,θi
(3.23)
3.5 Applications
Nous avons teste les techniques d’identification presentees dans ce chapitre
sur une machine a courant continu dont les parametres sont donnes par la table
3.1. Nous avons employe deux processus generateurs de bruit pour la vitesse et le
courant, afin de tester notre methodologie dans des situations stochastiques va-
riees. Nous nous sommes places dans des conditions de bruit telles que le rapport
S/B = 50 pour le courant et S/B = 80 pour la vitesse.
82
3.5. Applications
Le bruit de sortie est genere par le modele A.R : bk + c1bk−1 = ek ou ek est
un bruit blanc et −1 < c1 < 0
Trois situations ont ete etudiees :
– c1 = 0, alors bk correspond a un bruit blanc,
– c1 = −0.5, alors bk correspond a un bruit moyennement correle,
– c1 = −0.95, alors bk correspond a un bruit fortement correle.
Les simulations de Monte Carlo ont ete effectuees sur 20 realisations, chaque
realisation comportant 5000 couples de donnees.
3.5.1 Identification indirecte avec correcteur reel pour dif-
ferentes excitations
L’objectif de ces simulations est de mettre en evidence l’influence de l’exci-
tation sur le resultat de l’identification par approche indirecte. Les algorithmes
d’identification parametrique necessitent, pour converger, une excitation persis-
tante qui sensibilise suffisamment les modes du systeme. Dans le cas de la machine
a courant continu, nous avons defini les trois types d’excitation suivants :
– une excitation obtenue par l’addition d’une SBPA a la consigne de la boucle
vitesse,
– une excitation par couple de charge sous vitesse constante obtenue par
l’utilisation d’une SBPA,
– une excitation par couple de charge obtenue par l’utilisation d’une SBPA et
d’une excitation en vitesse obtenue par l’addition d’une SBPA a la consigne
de la boucle vitesse.
Les resultats d’identification qui vont etre presentes ci-apres traitent plusieurs
situations de bruit et ils ont ete obtenus avec ces excitations. Sur une moyenne
de vingt simulations, on obtient les valeurs des estimations des parametres elec-
triques de la MCC recapitulees aux tableaux ci-apres (l’incertitude est fournie
sous la forme ± 3 fois l’ecart-type de la distribution).
Remarque
Ex Cr : Excitation par couple de charge
Ex ω : Excitation en vitesse
Ex ω + Cr : Excitation par couple de charge et vitesse
1. Cas d’un bruit blanc sur le courant et la vitesse
83
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
Valeurs Excitation Excitation Excitationexactes Cr Cr + ω ω
L = 0.0013 1.3441 10−03 1.3553 10−03 1.3554 10−03
±1.5587 10−04 ±1.4729 10−04 ±1.3089 10−04
R = 0.7143 7.1455 10−01 7.1414 10−01 7.1385 10−01
±2.3216 10−03 ±3.5234 10−03 ±5.8967 10−03
K = 0.1840 1.8400 10−01 1.8401 10−01 1.8402 10−01
±1.0641 10−04 ±3.2547 10−04 ±4.0386 10−04
Tab. 3.5 – Identification indirecte en presence d’un bruit blanc sur le courant etla vitesse
On verifie a l’aide de cette simulation qu’il n’y a pas de biais significa-
tif quand les bruits de mesure de courant et de vitesse sont tous les deux
des bruits blancs. On remarque que les resultats d’estimation parametrique
obtenus pour les trois types d’excitation sont voisins, mais on peut aussi
verifier que la variance sur l’estimation des parametres est legerement infe-
rieure avec une excitation par couple de charge.
La figure 3.7 presente la plage des variations de chaque parametre de la
MCC selon le type de l’identification du tableau 3.5.
1.2 1.3 1.4 1.5
x 10−3
L
0.71 0.715 0.72
R
0.1835 0.184 0.1845
K
Ex Cr
Ex Cr + w
Ex w
valeur exacte
Fig. 3.7 – Identification indirecte en presence d’un bruit blanc sur le courant etla vitesse
84
3.5. Applications
2. Cas d’un bruit correle sur le courant et d’un bruit blanc sur la
vitesse
Valeurs Excitation Excitation Excitationexactes Cr Cr + ω ω
L = 0.0013 1.3718 10−03 1.3940 10−03 1.3556 10−03
±2.6251 10−04 ±4.4232 10−04 ±3.9504 10−04
R = 0.7143 7.1446 10−01 7.1340 10−01 7.1459 10−01
±2.6747 10−03 ±6.9202 10−03 ±7.2732 10−03
K = 0.1840 1.8399 10−01 1.8406 10−01 1.8406 10−01
±1.3986 10−04 ±7.7138 10−04 ±7.1779 10−04
Tab. 3.6 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit blanc sur la vitesse
On verifie a l’aide de cette simulation (tableau 3.6) qu’il n’y a pas de biais
significatif quand le bruit de mesure de courant est fortement correle et le
bruit de vitesse est de type bruit blanc.
La figure 3.8 presente la plage des variations de chaque parametre de la
MCC selon le type de l’identification du tableau 3.6.
1 1.2 1.4 1.6 1.8
x 10−3
L
0.705 0.71 0.715 0.72
R
0.1835 0.184 0.1845
K
Fig. 3.8 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit blanc sur la vitesse
3. Cas d’un bruit correle sur le courant et la vitesse
85
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
Valeurs Excitation Excitation Excitationexactes Cr Cr + ω ω
L = 0.0013 1.4364 10−03 1.4109 10−03 1.4556 10−03
±2.9161 10−04 ±2.9537 10−04 ±3.2457 10−04
R = 0.7143 7.1418 10−01 7.1348 10−01 7.1463 10−01
±2.5292 10−03 ±8.2461 10−03 ±7.5881 10−03
K = 0.1840 1.8400 10−01 1.8410 10−01 1.8401 10−01
±1.1742 10−04 ±5.6928 10−04 ±5.3723 10−04
Tab. 3.7 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse
On verifie a l’aide de cette simulation (tableau 3.7) qu’un biais faible sur
l’inductance L commence a apparaıtre pour un bruit de vitesse moyenne-
ment correle.
On a discute dans l’annexe C du modele electrique de la MCC : ce modele
possede une sortie explicite, le courant i, une entree explicite, la tension u,
et une pseudo-entree, la vitese ω. On ne peut pas utiliser le modele complet
(electrique et mecanique) car l’entree couple de charge˝est inconnue.
Aussi, ce modele presente un defaut incontournable en identification par
approche indirecte : alors que l’entree u et le courant i peuvent etre recons-
truits par simulation (voir figure 3.6), la vitesse ω doit obligatoirement etre
consideree comme une mesure (en effet, elle ne peut pas etre reconstruite
par simulation car on ne connaıt pas l’entree couple de charge).
En consequence, l’approche indirecte arrive a rejeter le biais asymptotique
du au bruit sur le courant tandis qu’elle ne peut rien faire sur un biais
du au bruit sur la vitesse. C’est effectivement ce qui est observe sur ces
resultats de simulation numerique : un bruit blanc sur la vitesse est sans
effet sur le biais asymptotique alors qu’il commence a apparaıtre pour un
bruit moyennement correle.
On remarquera cependant que les resultats restent globalement satisfai-
sants en approche indirecte, alors qu’un biais nettement plus important se
manifeste en approche directe (voir paragraphe suivant).
3.5.2 Identification directe pour differentes excitations
Nous allons presenter, a present, les resultats d’identification par approche
directe en utilisant les excitations definies precedemment. Notre objectif est de
86
3.5. Applications
1.2 1.4 1.6 1.8
x 10−3
L
0.705 0.71 0.715 0.72
R
0.1835 0.184 0.1845
K
Fig. 3.9 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse
comparer les approches directe et indirecte pour les excitations precedentes. Un
des objectifs est aussi de mettre clairement en evidence le principal defaut de
l’approche directe, a savoir la presence d’un biais asymptotique.
Rappel :
Ex Cr : Excitation par couple de charge
Ex ω : Excitation en vitesse
Ex ω + Cr : Excitation par couple de charge et vitesse
Valeurs Excitation Excitation Excitationexactes Cr Cr + ω ω
L = 0.0013 1.5801 10− 03 1.6335 10−03 1.7618 10−03
±5.2873 10 − 04 ±3.3235 10−04 ±2.8191 10−04
R = 0.7143 7.1414 10− 01 7.1448 10−01 7.1388 10−01
±4.5148 10 − 03 ±7.2753 10−03 ±8.7532 10−03
K = 0.1840 1.8401 10− 01 1.8399 10−01 1.8402 10−01
±2.5050 10 − 04 ±3.9535 10−04 ±4.9330 10−04
Tab. 3.8 – Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit blanc sur la vitesse
87
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
1 1.5 2
x 10−3
L
0.7 0.71 0.72 0.73
R
0.18340.18360.18380.1840.18420.1844
K
Fig. 3.10 – Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit blanc sur la vitesse
Valeurs Excitation Excitation Excitationexactes Cr Cr + ω ω
L = 0.0013 2.0139 10−03 2.2121 10−03 2.5381 10−03
±2.8599 10−04 ±3.9752 10−04 ±6.0114 10−04
R = 0.7143 7.1542 10−01 7.1635 10−01 7.1635 10−01
±5.1958 10−03 ±1.2410 10−02 ±9.8874 10−03
K = 0.1840 1.8394 10−01 1.8385 10−01 1.8387 10−01
±2.7953 10−04 ±6.5257 10−04 ±5.1733 10−04
Tab. 3.9 – Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse
1.5 2 2.5 3
x 10−3
L
0.71 0.72 0.73
R
0.183 0.1835 0.184 0.1845
K
Fig. 3.11 – Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse
88
3.5. Applications
On verifie d’apres les tableaux 3.8 et 3.9 qu’un biais apparaıt en I.D des
que le bruit devient correle pour le courant et la vitesse. Remarquons qu’il se
manifeste principalement d’apres les simulations realisees sur l’inductance L et
partiellement sur la resistance R (ce biais sur L est manifeste sur le tableau 3.9).
Les figures 3.10 et 3.11 presentent la plage des variations de chaque parametre
de la MCC selon le type de l’identification des tableaux 3.8 et 3.9.
On remarque que le parametre L est moins bien sensibilise par les differents
essais. Ce meme constat a ete etabli pour l’identification indirecte dans le pa-
ragraphe precedent. En fait, ce sont les parametres R et K qui sont les mieux
sensibilises par les protocoles d’excitation utilises.
3.5.3 Identification Indirecte avec correcteur surparame-
trise
Le correcteur equivalent surparametrise a ete decrit dans la section 3.4.2.3.
Les simulations ont ete realisees dans le cadre de la regulation avec une consigne
ωref constante et un couple resistant variable, seule excitation implicite. C’est
par ce type d’excitation que nous sommes particulierement interesses (dans un
objectif de diagnostic).
Nous nous sommes places dans des conditions de bruit telles que le rapport
S/B = 50 pour le courant et S/B = 80 pour la vitesse. Les resultats d’iden-
tification qui vont etre presentes ci-apres traitent plusieurs situations de bruit.
Sur une moyenne de vingt simulations, on obtient les valeurs des estimations des
parametres electriques de la MCC. Les algorithmes indirects avec correcteur reel
et correcteur equivalent surparametrise sont compares grace a cette simulation
stochastique. Les resultats sont presentes dans les tableaux 3.10, 3.11, 3.12 et
3.13.
Remarque
I.I.C.R : Identification Indirecte, Correcteur Reel
I.I.C.S.2 : Identification Indirecte, Correcteur Surparametrise d’ordre 2
I.I.C.S.3 : Identification Indirecte, Correcteur Surparametrise d’ordre 3
89
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
Valeurs I.I.C.R I.I.C.S.2 I.I.C.S.3exactes
L = 0.0013 1.3092 10−03 1.2983 10−03 1.2396 10−03
±3.3706 10−04 ±3.5777 10−04 ±2.3359 10−04
R = 0.7143 7.1425 10−01 7.1437 10−01 7.1425 10−01
±2.8400 10−03 ±1.4090 10−03 ±3.6544 10−03
K = 0.1840 1.8400 10−01 1.8399 10−01 1.8400 10−01
±1.5667 10−04 ±7.8746 10−05 ±2.1239 10−04
Tab. 3.10 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surparame-trise en presence d’un bruit moyennement correle sur le courant
1 1.2 1.4 1.6
x 10−3
L
0.71 0.712 0.714 0.716 0.718
R
0.1838 0.1839 0.184 0.1841 0.1842
K
IICR
IICS2
IICS3
valeur exacte
Fig. 3.12 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surparame-trise en presence d’un bruit moyennement correle sur le courant
Les figures 3.12, 3.13, 3.14 et 3.15 presentent la plage des variations de chaque
parametre de la MCC selon le type de l’identification des tableaux 3.10, 3.11,
3.12 et 3.13.
On verifie que les deux methodes indirectes (I.I.C.R et I.I.C.S) fournissent
une estimation non biaisee quelle que soit la correlation du bruit de sortie de
courant et en absence de bruit de vitesse (tableau 3.10 et 3.11). Remarquons
enfin que meme si le correcteur ne possede pas la bonne structure (methode
I.I.C.S.2 et I.I.C.S.3), les resultats restent cependant tout a fait comparables
avec ce que l’on obtient avec le correcteur reel (methode I.I.C.R).
90
3.5. Applications
Valeurs I.I.C.R I.I.C.S.2 I.I.C.S.3exactes
L = 0.0013 1.2866 10−03 1.2729 10−03 1.3072 10−03
±3.5732 10−04 ±2.6020 10−04 ±2.4842 10−04
R = 0.7143 7.1408 10−01 7.1423 10−01 7.1423 10−01
±2.3415 10−03 ±7.9470 10−04 ±7.0702 10−04
K = 0.1840 1.8401 10−01 1.8400 10−01 1.8401 10−01
±1.0123 10−04 ±7.3100 10−05 ±9.3322 10−05
Tab. 3.11 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surparame-trise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant
1 1.2 1.4 1.6
x 10−3
L
0.712 0.714 0.716
R
0.18390.1839 0.184 0.184 0.18410.1841
K
Fig. 3.13 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surparame-trise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant
Valeurs I.I.C.R I.I.C.S.2 I.I.C.S.3exactes
L = 0.0013 1.3718 10−03 1.3508 10−03 1.3811 10−03
±2.6251 10−04 ±2.8828 10−04 ±3.3800 10−04
R = 0.7143 7.1446 10−01 7.1444 10−01 7.1435 10−01
±2.6747 10−03 ±9.3331 10−04 ±2.1102 10−03
K = 0.1840 1.8399 10−01 1.8400 10−01 1.8401 10−01
±1.3986 10−04 ±1.2321 10−04 ±2.1113 10−04
Tab. 3.12 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surparame-trise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant et d’un bruit blancsur la vitesse
91
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
1 1.2 1.4 1.6 1.8
x 10−3
L
0.712 0.714 0.716 0.718
R
0.18370.18380.18390.1840.18410.18420
1
2
K
Fig. 3.14 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle surle courant et d’un bruit blanc sur la vitesse
Valeurs I.I.C.R I.I.C.S.2 I.I.C.S.3exactes
L = 0.0013 1.4364 10−03 1.4005 10−03 1.4202 10−03
±2.9161 10−04 ±2.2198 10−04 ±2.5313 10−04
R = 0.7143 7.1418 10−01 7.1437 10−01 7.1421 10−01
±2.5292 10−03 ±8.1873 10−04 ±1.1602 10−03
K = 0.1840 1.8400 10−01 1.8400 10−01 1.8401 10−01
±1.1742 10−04 ±1.0032 10−04 ±8.0487 10−05
Tab. 3.13 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surpara-metrise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant et d’un bruitmoyennement correle sur la vitesse
1.2 1.4 1.6
x 10−3
L
0.712 0.714 0.716
R
0.1839 0.184 0.1841
K
Fig. 3.15 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle surle courant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse
92
3.5. Applications
1 2 3 4 5 6
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
x 10−3
L
1 2 3 4 5 60.71426
0.71429
0.71432
R
1 2 3 4 5 60.1838
0.18385
0.1839
0.18395
0.184
0.1838
K
Fig. 3.16 – Evolution des parametres electriques estimes durant la procedured’identification I.I.C.S
1.5 2 2.5 3
18
18.05
18.1
18.15Tension
1.5 2 2.5 34.4
4.6
4.8
5
5.2Courant
1.5 2 2.5 3−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
εu
1.5 2 2.5 3−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
εi
u simuléeu estimée
i simuléi estimé
Fig. 3.17 – Comparaison des courants et des tensions simules et estimes pourl’I.I.C.S.2
On represente a la figure 3.16 l’evolution de θ en fonction des iterations pour
un essai avec l’excitation par couple de charge et en presence d’un bruit fortement
correle sur le courant. En 4 iterations, l’algorithme converge vers l’optimum.
La figure 3.17 represente la comparaison entre le courant mesure i∗ et son
estime i ainsi que la tension mesuree u et celle predite u.
93
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
Enfin, un recapitulatif des resultats d’identification par approche directe et
approche indirecte (avec correcteur reel et correcteur surparametrise) est donne
par le tableau 3.14 ainsi que la figure 3.18. Ces resultats d’identification sont en
presence d’un bruit fortement correle sur le courant et d’un bruit blanc sur la
vitesse et en utilisant les variations du couple de charge comme excitation.
Valeurs I.D I.I.C.R I.I.C.S.3exactes
L = 0.0013 1.5801 10−03 1.3718 10−03 1.3811 10−03
±5.2873 10−04 ±2.6251 10−04 ±3.3800 10−04
R = 0.7143 7.1414 10−01 7.1446 10−01 7.1435 10−01
±4.5148 10−03 ±2.6747 10−03 ±2.1102 10−03
K = 0.1840 1.8401 10−01 1.8399 10−01 1.8401 10−01
±2.5050 10−04 ±1.3986 10−04 ±2.1113 10−04
Tab. 3.14 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur le courantet d’un bruit blanc sur la vitesse
1 1.5 2
x 10−3
L
0.71 0.712 0.714 0.716 0.718 0.72
R
0.18370.18380.18390.1840.18410.1842
K
ID
IICR
IICS3
Valeur exacte
Fig. 3.18 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur le courantet d’un bruit blanc sur la vitesse
On remarque bien a travers la figure 3.18 que les resultats d’identification sont
globalement satisfaisants en approche indirecte (pour I.I.C.R et I.I.C.S), alors
qu’un biais plus important se manifeste en approche directe.
On remarque aussi, dans ce cas, que l’identification directe presente une va-
94
3.6. Conclusion
riance plus importante sur les parametres, alors que l’identification indirecte
donne une estimation des parametres plus precise. Constatons enfin que meme si
le correcteur ne possede pas la bonne structure (methode I.I.C.S.3), les resultats
sont tout a fait comparables avec ce que l’on obtient avec le correcteur exact
(methode I.I.C.R).
3.6 Conclusion
Nous avons propose une methode d’identification non biaisee en boucle fer-
mee par approche indirecte adaptee a la machine a courant continu. Son princi-
pal interet reside dans la non connaissance a priori du correcteur. La procedure
d’identification par surparametrisation nous semble bien adaptee a une situation
industrielle : non connaissance des parametres et de la structure vraie du correc-
teur. Par ailleurs cette technique d’identification peut fonctionner en n’utilisant
que l’excitation implicite causee par les variations du couple de charge. La com-
mande realisee est du type cascade avec plusieurs correcteurs imbriques : dans
ce cas, la technique de surparametrisation nous semble un moyen permettant de
contourner cette difficulte.
Notre prochain objectif va donc consister a adapter la methodologie proposee
dans ce chapitre au probleme concret de l’identification en boucle fermee de la
machine asynchrone.
95
Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu
96
Chapitre 4
Identification en boucle fermee
de la machine asynchrone
Au chapitre precedent, nous avons propose une methodologie d’identification
en boucle fermee, developpee et validee en simulation sur la machine a courant
continu. Cette methodologie est basee sur la decomposition de la boucle fermee
et exige de ce fait, une connaissance du correcteur. Dans ce chapitre, nous nous
interessons a l’application de cette methodologie au cas de la machine asynchrone.
Nous allons donc expliquer le choix du repere de fonctionnement de la machine
pour l’identification indirecte. D’autre part, on s’interesse aussi a l’identification
de l’algorithme de commande de la machine (regulateurs de flux et de vitesse),
qui est generalement une structure multi-variable et non lineaire, grace a une
technique de surparametrisation.
97
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
4.1 Introduction
Depuis deux decennies, de nombreux travaux de recherche en genie electrique
et en identification ont permis l’elaboration de nouvelles strategies de diagnos-
tic hors-ligne et en-ligne des entraınements electriques et particulierement de la
machine asynchrone.
Les techniques d’estimation parametrique ont ete intensivement etudiees et
testees, en particulier sur des pilotes de laboratoire. Les algorithmes de type er-
reur d’equation sont en general ecartes car ils sont asymptotiquement biaises
et sensibles aux perturbations stochastiques et aux erreurs de modelisation. Au
contraire, le filtre de Kalman et les techniques a erreur de sortie permettent
d’obtenir des estimations realistes et fiables en situation reelle [Moreau, 1999]
[Bachir, 2002]. Ainsi, la mise au point d’algorithmes dedies a l’estimation des
parametres physiques, en tenant compte d’une connaissance a priori de la ma-
chine asynchrone, a permis une avancee prometteuse du diagnostic par estimation
parametrique.
Lorsque la machine asynchrone est alimentee directement sur le secteur, elle
fonctionne alors en boucle ouverte, mais a vitesse quasi-constante. La variation de
vitesse est le plus souvent obtenue grace a une commande vectorielle, auquel cas
la machine fonctionne en boucle fermee, avec une structure de regulation cascade
comme dans le cas de la machine a courant continu : le probleme de l’identification
de la machine asynchrone est donc le meme que celle de son homologue a courant
continu. Dans ces conditions, il est justifie de se poser la question de l’incidence du
correcteur sur le biais en identification directe (sans tenir compte de la structure
bouclee).
Le diagnostic de la machine asynchrone est un sujet d’etude tres vaste qui
necessite une investigation poussee et une bonne comprehension physique des
phenomenes mis en jeu et surtout l’utilisation d’outils appropries. Une premiere
etape concerne l’identification parametrique de la machine asynchrone en tenant
compte de la correlation apportee par la commande via la boucle de retour. Ce
travail de recherche s’inscrit donc dans la continuite des precedentes activites de
recherche du LAII : son objectif principal est la definition et la mise en œuvre
d’une methodologie de surveillance de la machine asynchrone a cage en boucle
fermee.
Nous avons montre precedemment l’interet de l’identification en boucle fer-
98
4.2. Identification par approche directe
mee pour la machine a courant continu. Alors que cette methode est relativement
simple d’application dans le cas de la machine a courant continu, elle est net-
tement plus complexe dans le cas de la machine asynchrone, pour deux raisons
fondamentales : le correcteur est dans ce cas multi-variable et non lineaire ; par
ailleurs, les signaux doivent etre reconstruits dans le repere du champ tournant,
a partir d’une information vitesse elle-meme estimee.
De plus, nous proposons d’identifier le modele electrique de la machine asyn-
chrone sans excitation explicite. En effet, une excitation sur la reference de vitesse
qui perturbe le point de fonctionnement de la machine ne peut satisfaire les ob-
jectifs industriels : c’est pour cette raison que l’excitation indirecte par variation
du couple de charge a ete retenue. Cette solution est a priori innovante en electro-
technique : elle a deja ete testee sur la machine a courant continu dans le chapitre
precedent. L’objectif du present chapitre est donc de proposer une methodologie
d’identification prenant en compte l’ensemble de ces contraintes.
4.2 Identification par approche directe
Dans cette section, on se propose de rappeler l’identification par approche di-
recte dans le cas du modele electrique de la machine asynchrone. Dans un premier
temps, il est necessaire de preciser le modele de la machine utilise pour l’estima-
tion parametrique. Nous presentons ensuite les fonctions de sensibilite dans le cas
de cette approche.
Remarque
On se reportera a l’annexe C pour une discussion sur l’identifiabilite du modele
electromecanique de la MCC mais aussi de la machine asynchrone : comme le
couple resistant est par nature inconnu, on ne peut identifier que le modele elec-
trique. Par contre, il est possible d’utiliser l’excitation par variation du couple
resistant, en considerant la vitesse du rotor comme une pseudo-entree.
4.2.1 Principe
L’identification directe de la machine asynchrone sans prise en compte expli-
cite de la loi de commande utilise les donnees uds,uqs eti∗ds,i
∗qs
comme avec
une veritable boucle ouverte (voir figure 4.1). On constate donc que le correcteur
est ignore et que la nature bouclee du systeme n’est pas explicitement prise en
99
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
compte.
Modele electrique
(repere du rotor)
+ charge
udsr
uqsr
i∗dsr
i∗qsridsref
Ωref
Ω∗
Algorithme
CommandeMachine asynchrone
+
−
+ +
d’optimisation
idsr
iqsr
+
−
Fig. 4.1 – Principe de l’identification directe de la machine asynchrone
Nous avons discute dans la section 1.6.2 le choix du repere pour l’identification
directe. Ainsi, on utilise le repere de Park lie au rotor de la machine car c’est celui
qui necessite le moins de transformations/estimations : neanmoins, on mesure
ua, ub, uc, ia, ib, ic que l’on doit convertir en (uds, uqs)rot (ids, iqs)rot grace a
une transformation de Park connaissant la position du rotor (et donc sa vitesse).
Le modele electrique de la machine asynchrone est represente comme un sys-
teme multivariable, a deux entrees (uds et uqs ) et a deux sorties (ids et iqs).
On definit l’erreur d’estimation (residu d’identification note εds sur l’axe d et εqs
sur l’axe q) entre la sortie reelle (courants mesuresi∗ds,i
∗qs
) et la sortie estimee
ids ,iqs
par :
εdsk
= i∗dsk− idsk
εqsk= i∗qsk
− iqsk
(4.1)
100
4.2. Identification par approche directe
On minimise le critere quadratique J compose de deux termes :
J =N∑
k=1
ε2dsk
+N∑
k=1
ε2qsk
(4.2)
Les courants estimesids ,iqs
representent la simulation du modele sur la
base d’une estimation du vecteur parametre θ ou :
θ = [Rs Rr Lm Lf ]T (4.3)
Le calcul des fonctions de sensibilite se deduit directement de la representation
d’etat de la machine asynchrone decrite par l’equation (1.36) et la resolution du
systeme differentiel ainsi obtenu s’effectue par la methode de l’exponentielle de
matrice, comme pour le modele de la machine.
Nous allons identifier les parametres electriques du modele classique de Park
[Rs Rr Lm Lf ] avec le critere simple J (sans information a priori). L’initialisation
de cette technique est elementaire car elle repose uniquement sur celle du vecteur
initial θinit.
4.2.2 Calcul des fonctions de sensibilite
Referons nous au schema de la figure 4.1 ; il est important de remarquer que
les sorties (ids ,iqs) sont effectivement simulees a partir des entrees (uds,uqs), de
la mesure Ω∗ et du modele de la machine asynchrone exprime dans le repere du
rotor.
La representation d’etat du modele electrique de la machine asynchrone est :
˙x(t) = A(θ)x(t) + B(θ)u(t)
y(t) = C(θ)x(t)(4.4)
Les matrices A, B et C sont donnees par l’expression (1.39). Les vecteurs x,
y et u sont presentes par les expressions (1.37) et (1.38) exprimes dans le repere
du rotor.
101
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
Definissons σids,θi= ∂ids
∂θiet σiqs,θi
= ∂iqs
∂θi. Nous noterons aussi que :
σy,θi=
[σids,θi
σiqs,θi
]T
(4.5)
alors on obtient les fonctions de sensibilite a partir du systeme differentiel :
σx,θi
= A(θ)σx,θi+
∂A(θ)
∂θi
x +∂B(θ)
∂θi
u(t)
σy,θi= Cσx,θi
(4.6)
Nous remarquons ainsi que les fonctions de sensibilite calculees dans le cadre
de l’approche directe, ne prennent pas en compte la sensibilite de u = [uds uqs]T
a θ et donc l’incidence du bruit sur l’excitation, ce qui doit se traduire par un
biais asymptotique (voir annexe A).
4.2.3 Resultat d’identification
Nous estimons dans le repere de Park lie au rotor les differents parametres
de la machine sans defaut (qui vont nous servir d’initialisation pour l’approche
indirecte).Nous avons utilise une excitation implicite par variation du couple de
charge sous forme d’une SBPA de ±1.5 N.m autour de la charge Cr = 4N.m.
1 2 3 4 5 69.8
9.85
9.9
9.95
10
Rs
1 2 3 4 5 6
5.3
5.35
5.4
5.45
Rr
1 2 3 4 5 60.48
0.485
0.49
0.495
0.5
Lm
1 2 3 4 5 60.037
0.0375
0.038
0.0385
0.039
Lf
Fig. 4.2 – Evolution des parametres electriques durant la procedure d’estimationpar identification directe
102
4.2. Identification par approche directe
1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
−5
0
5
10
ids
1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
−5
0
5
10
iqs
simulation
estimation
simulation
estimation
Fig. 4.3 – Comparaison des courants simules et estimes d’axes (d, q) pour l’iden-tification directe
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
−0.5
0
0.5
εids
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
−0.5
0
0.5
εiqs
Fig. 4.4 – Erreur d’estimation de l’identification directe
103
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
Les courbes de la figure 4.2 fournissent les resultats d’estimation hors-ligne
des quatre parametres du modele de Park (Rs , Rr , Lr , Lm) pour une seule rea-
lisation, a partir des mesures des tensions uds , uqs et des courantsi∗ds , i∗qs
exprimes dans le repere lie au rotor. On represente ainsi l’evolution de θ en fonc-
tion des iterations de l’algorithme d’optimisation. En 4 iterations l’algorithme
converge vers l’optimum.
Pour le meme essai, on represente a la figure 4.3 la comparaison entre les
courants simules et les courant estimes. Sur la figure 4.4, on represente les residus
sur les courants.
4.3 Methodologie generale d’identification en boucle
fermee
4.3.1 Introduction
Le chapitre 3 a ete consacre a l’etude de l’identification en boucle fermee de la
machine a courant continu. La question qui vient immediatement a l’esprit est la
suivante : peut-on transposer directement les resultats de la MCC a la machine
asynchrone ? Ce n’est pas aussi simple que l’on pourrait le penser !
La commande bouclee d’une machine asynchrone necessite une commande
en couple (asservissement de courant) et generalement une commande en vitesse
(d’ou des correcteurs en cascade) ainsi qu’une commande en flux.
Sur la MCC, la commande en flux n’a pas besoin d’etre mise en œuvre car
on maıtrise naturellement le flux (par l’intermediaire des aimants permanents).
D’autre part, les correcteurs de la machine asynchrone sont necessairement plus
complexes. En outre, comme les asservissements de couple et de flux ne sont
pas naturellement decouples, il est indispensable de prevoir un decouplage (ge-
neralement non lineaire) ce qui complique la structure du correcteur (correcteurs
imbriques multi-variables et non lineaires). Mais on n’est pas au bout de notre
peine !
Dans la MCC, on ne se pose pas la question du champ tournant car grace a
une astuce mecanique (balais/collecteur), on travaille en courant continu et donc
directement dans le champ tournant (sans avoir a se poser cette question !).
104
4.3. Methodologie generale d’identification en boucle fermee
Il n’y a donc qu’un repere possible avec la MCC, celui du champ tournant
(en fait celui induit par les bornes d’alimentation de la machine).
Le fonctionnement de la machine asynchrone est habituellement analyse dans
trois reperes : repere lie au stator, repere lie au rotor et repere lie au champ
tournant. L’identification directe de la machine asynchrone se fait dans le repere
du rotor car c’est celui qui necessite le moins de transformations/estimations.
Si on veut proceder a une identification indirecte prenant en compte les cor-
recteurs, on est oblige de se placer dans le repere du champ tournant. En effet,
la commande et les correcteurs ont ete concus dans le repere du champ tournant
(comme pour une MCC) afin d’asservir le flux et le couple. Cela signifie en parti-
culier que ces correcteurs sont a parametres constants dans ce repere, mais qu’ils
dependent de la vitesse dans tout autre repere : il est donc imperatif de se referer
au champ tournant. Malheureusement, la position du champ tournant n’est pas
connue et elle doit necessairement etre estimee : l’identification en boucle fermee
de la machine asynchrone est donc nettement plus complexe et delicate que celle
de la MCC.
Dans le contexte de l’approche indirecte, nous proposons, dans un premier
lieu, d’etendre le champ d’application de cette approche en identifiant prealable-
ment un correcteur equivalent a l’aide d’une technique de surparametrisation, afin
d’eviter la connaissance a priori de la structure et des parametres du correcteur.
La structure equivalente est le plus souvent complexe et mal connue dans le cas
de la machine asynchrone et de surcroıt non lineaire. Ce correcteur equivalent
est estime par une technique de moindres carres surparametrises. Une structure
minimale est obtenue la encore grace a un test sur les moments. Une fois que
le correcteur equivalent est estime (dans une premiere etape) on peut envisager
l’identification de la machine asynchrone (dans une deuxieme etape).
4.3.2 Identification de la commande vectorielle
4.3.2.1 Methodologie d’identification de correcteur
La commande de la machine asynchrone est consideree comme un systeme
multidimensionnel (multi-entrees double-sorties). On peut decomposer cette re-
lation en deux relations particulieres, correspondant a deux sous-systemes multi-
entrees mono-sortie, c’est a dire l’un correspond a la sortie uds et l’autre sous-
105
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
systeme correspond a la sortie uqs (voir figure 4.5).
On se propose donc de decrire le comportement de ce systeme en determinant
les relations liant les sorties de la commande (uds, uqs) exprimees dans le repere
du champ tournant aux entrees (Ωref , Ω∗, idsref) et (i∗ds et i∗qs) exprimees elles
aussi dans le repere du champ tournant.
Pour identifier le systeme de commande de la machine asynchrone et en raison
de la complexite de la commande vectorielle, nous avons travaille sous certaines
hypoyheses :
– on suppose que l’on peut construire la pulsation ωs et le flux φr en dis-
posant prealablement d’une estimation des parametres de la machine par
identification directe ;
– on suppose connaıtre les consignes Ωref et idsref;
– on suppose connaıtre le type de decouplage, c’est-a-dire la loi :
ed = αd · ωs · iqs
eq = αq · ωsids + βq · ωs · φr
Les termes αd, αq et βq, dans ce cas, sont supposes inconnus ;
– sachant que l’expression des sorties de la commande uds , uqs en fonc-
tion des entreesΩref , Ω∗ , ωs , φr , idsref
, i∗ds , i∗qs
est non lineaire, nous
proposons d’introduire les nouvelles variables ωiq, ωid et ωφ, deduites se-
lon l’equation (4.7), afin de ramener l’expression de la commande a une
relation pseudo-lineaire.
ωiq(k) = ωs(k) · i∗qs(k)
ωid(k) = ωs(k) · i∗ds(k)
ωφ(k) = ωs(k) · φr(k)
(4.7)
ωiq, ωid et ωφ sont donc des nouvelles variables.
Les variables utilisees dans la figure 4.5 correspondent a :
ed = Cd · ωs · i∗qs (4.8)
eq = −C1q · ωs · i∗ds − C2q · ωs · φr (4.9)
106
4.3. Methodologie generale d’identification en boucle fermee
PIφ+−
idsref
i∗ds
+−
uds1
uds
ed
−uqs
eq
+uqs1
PIΩ+−
Ωref
Ω∗
PICe+−
iqsref
i∗qs
Commande
Correcteurs equivalents
udskCEq−uds
idsrefk
CEq−uqs
Ω∗k
Ωrefk
ωiqk
i∗dsk
uqsk
ωidk
ωφk
i∗qsk
Fig. 4.5 – Decomposition de la commande de la machine en sous-systemes multi-entrees mono-sortie
et
Cφ(q−1) =
r0φ + r1φq−1
1 − q−1
CΩ(q−1) =r0Ω + r1Ωq−1
1 − q−1
CCe(q−1) =
r0Ce + r1Ceq−1
1 − q−1
(4.10)
L’expression theorique de deux correcteurs equivalents pour la sortie uds et
uqs est alors de la forme :
uds(q−1) = Cid(q
−1) ·[idsref
(q−1) − i∗ds(q−1)
]+ Cωiq(q
−1) · ωiq(q−1)
uqs(q−1) = Cw(q−1) · [Ωref(q
−1) − Ω∗(q−1)] + Ciq(q−1) · i∗qs(q
−1)
+Cwid(q−1) · wid(q−1) + Cωφ(q
−1) · ωφ(q−1)
(4.11)
Le correcteur equivalent CEq−uds de la sortie uds est compose par l’ensemble
Cid , Cwiq. Pour la sortie uqs le correcteur equivalent CEq−uqs est compose par
l’ensemble Cω , Ciq, Cωid , Cωφ.
107
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
Avec :
Cid(q−1) = r0id+···+rnidq−n
1+s1udq−1+···+snudq−n Cωiq(q−1) =
r0ωiq+···+rnωiqq−n
1+s1udq−1+···+snudq−n
Cω(q−1) = r0ω+···+rmwq−m
1+s1uqq−1+···+smuqq−m Ciq(q−1) =
r0iq+···+rmiqq−m
1+s1uqq−1+···+smuqq−m
Cωid(q−1) = r0ωid+···+rmωidq−m
1+s1uqq−1+···+smuqq−m Cωφ(q−1) =
r0ωφ+···+rmωφq−m
1+s1uqq−1+···+smuqq−m
Comme la structure equivalente est le plus souvent complexe est mal connue,
les deux correcteurs equivalents sont estimes par une technique de moindres carres
surparametrises, et une structure minimale est obtenue la encore grace a un test
portant sur les moments.
Connaissant les commandes (uds, uqs), les consignes (Ωref , idsref), la pulsation
ws, le flux φr, les courants bruites (i∗ds et i∗qs) et la vitesse bruitee Ω∗ (figure 4.5),
on se retrouve devant une identification sans perturbation, donc parfaitement
deterministe, pour laquelle on peut appliquer la methode des moindres carres
ordinaires qui dans ce cas particulier n’induit pas de biais asymptotique.
Alors l’estimation par moindres carres des parametres des correcteurs equiva-
lents (CEq−uds, CEq−uqs) est donnee par l’expression :
θCE−uds =
[K∑
k=1
ϕdskϕT
dsk
]−1 K∑
k=1
ϕdskudsk
(4.12)
θCE−uqs =
[K∑
k=1
ϕqskϕT
qsk
]−1 K∑
k=1
ϕqskuqsk
(4.13)
108
4.3. Methodologie generale d’identification en boucle fermee
Avec :
θCE−uds =
r0id
r1id
...
rnid
r0wiq
r1wiq
...
rnwiq
s1ud
...
snud
, ϕdsk=
idsrefk− i∗dsk
...
idsrefk−S− i∗dsk−S
wiqk
...
wiqk−S
−udsk−1
...
−udsk−n
(4.14)
et
θCE−uqs =
r0w
...
rmw
r0iq
...
rmiq
r0wid
...
rmwid
r0wφ
...
rmwφ
s1uq
...
smuq
, ϕqsk=
Ωrefk− Ω∗
k...
Ωrefk−m− Ω∗
k−m
i∗qsk
...
i∗qsk−m
widk
...
widk−m
wφk
...
wφk−m
−uqsk−1
...
−uqsk−m
(4.15)
Si la structure exacte du correcteur equivalent est inconnue on s’affranchit de
cette connaissance structurelle, en utilisant le principe de surparametrisation. On
utilise donc un modele surparametrise de complexite superieure a celle du vrai
correcteur, afin de minimiser l’erreur de modelisation.
109
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
On obtient ainsi :
θS−uds =
[K∑
k=1
ϕds−SkϕT
ds−Sk
]−1 K∑k=1
ϕds−Skudsk
θS−uqs =
[K∑
k=1
ϕqs−SkϕT
qs−Sk
]−1 K∑k=1
ϕqs−Skuqsk
(4.16)
A partir de θS−uds et θS−uqs, on a plusieurs possibilites : soit on determine une
structure minimale grace a un test portant sur les moments, soit on utilise direc-
tement le modele surparametrise, ce qui en pratique correspond a une solution
simple et robuste vis-a-vis d’eventuelles erreurs de modelisation.
4.3.2.2 Test de surparametrisation
Nous allons tester plusieurs structures de correcteurs equivalents (S = 1, 2, 3).
Pour chacune d’elles nous allons calculer par la suite les moments discrets corres-
pondants.
Considerons le correcteur equivalent CEq−uds estime surparametrise d’ordre S.
D’apres la figure 4.5, nous ecrivons udsk= ϕT
ds−SkθS−uds ou
θS−uds =
r0id
r1id
...
rSid
r0wiq
r1wiq
...
rSwiq
s1ud
...
sSud
et ϕds−Sk=
idsrefk− i∗dsk
...
idsrefk−S− i∗dsk−S
wiqk
...
wiqk−S
−udsk−1
...
−udsk−S
(4.17)
De la meme maniere nous ecrivons uqsk= ϕT
qs−SkθS−uqs ou ϕqs−Sk
est le regres-
seur et θS−uqs est le vecteur parametres du correcteur equivalent surparametrise
CEq−uqs d’ordre S.
110
4.3. Methodologie generale d’identification en boucle fermee
Pour decider que le degre de surparametrisation est correct, nous allons utiliser
un test de caracterisation, base sur des invariants de modelisation. Ces invariants
sont, dans notre cas, les moments discrets.
Le correcteur equivalent CEq−uds possede une integration, a cause de correcteur
PI applique dans le cadre de la regulation de flux. Dans ce cas, les moments
discrets Cn de l’ensemble Cid, Cwiq sont obtenus en appliquant la methode de
calcul pour un correcteur avec une integration (voir annexe B).
Le correcteur equivalent CEq−uqs possede une double integration, a cause des
deux correcteurs PI en cascade appliques dans le cadre de la regulation de la
vitesse et de couple electromagnetique. Dans ce cas, les moments discrets Cn de
l’ensemble Cw, Ciq, Cwid, Cwφ sont obtenus en appliquant la technique de calcul
pour un correcteur avec double integration.
Il suffit pratiquement de tester des structures surparametrisees de complexite
croissante pour chacun des correcteurs CEq−uds et CEq−uds. Lorsque les moments
deviennent stationnaires pour chaque correcteur equivalent, nous pouvons conclure
que la structure consideree englobe de maniere certaine celle du vrai correcteur.
4.3.2.3 Resultats de simulation
Afin de valider la technique de surparametrisation appliquee a l’algorithme
de commande de la machine asynchrone, on a realise des simulations numeriques
avec des regulateurs (de flux, de vitesse et de couple) de type PI.
Cφ(q−1) =
r0φ + r1φq−1
1 + s1φq−1
CΩ(q−1) =r0Ω + r1Ωq−1
1 + s1Ωq−1
CCe(q−1) =
r0Ce + r1Ceq−1
1 + s1Ceq−1
avec
r0φ = 2.0973 10+00 r1φ = −1.9027 10+00 s1φ = −1
r0Ω = 5.7788 10−01 r1Ω = −5.7716 10−01 s1Ω = −1
r0Ce = 2.0973 10+00 r1Ce = −1.9027 10+00 s1Ce = −1
111
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
Les termes de decouplage ont les valeurs suivantes :
Cd = 4.0000 10−02
C1q = −4.0000 10−02 C2q = −1
L’expression theorique de deux correcteurs equivalents pour la sortie uds et
uqs est de la forme :
uds(q−1) = r0id+r1idq−1
1+s1udq−1 ·[idsref
(q−1) − i∗ds(q−1)
]+
r0ωiq+r1ωiqq−1
1+s1udq−1 · ωiq(q−1)
(4.18)
uqs(q−1) = r0ω+r1ωq−1+r2ωq−2
1+s1uqq−1+s2uqq−2 · [Ωref(q−1) − Ω∗(q−1)] +
r0iq+r1iqq−1+r2iqq−2
1+s1uqq−1+s2uqq−2 · i∗qs(q−1)
+ r0ωid+r1ωidq−1+r2ωidq−2
1+s1uqq−1+s2uqq−2 · ωid(q−1) +r0ωφ+r1ωφq−1+r2ωφq−2
1+s1uqq−1+s2uqq−2 · ωφ(q−1)
(4.19)
Differents correcteurs equivalents surparametrises (S = 1, 2, 3) ont ete iden-
tifies (tableaux 4.1 et 4.2). Pour chacun d’eux, nous avons calcule les moments
discrets correspondants.
Modeles Structure d’ordre 1 Structure d’ordre 2 Structure d’ordre 3
r0id 2.0973 10+00 2.0973 10+00 2.0973 10+00
r1id −1.9027 10+00 −8.5806 10−01 −5.1333 10−01
r2id ∗ −9.4777 10−01 −5.6845 10−01
r3id ∗ ∗ −6.2789 10−01
r0ωiq −4.0000 10−02 −4.0000 10−02 −4.0000 10−02
r1ωiq 4.0000 10−02 2.0076 10−02 1.3501 10−02
r2ωiq ∗ 1.9924 10−02 1.3300 10−02
r3ωiq ∗ ∗ 1.3200 10−02
s1ud −1.0000 10+00 −5.0189 10−01 −3.3752 10−01
s2ud ∗ −4.9811 10−01 −3.3249 10−01
s3ud ∗ ∗ −3.2999 10−01
Tab. 4.1 – Structures des correcteurs equivalents surparametrises CEq−uds
Il est necessaire de tester le choix du degre de surparametrisation. Nous allons
pour cela calculer les moments discrets des correcteurs identifies. Les tableaux 4.3
et 4.4 correspondent au moments discrets des correcteurs equivalents CEq−uds.
112
4.3. Methodologie generale d’identification en boucle fermee
Modeles Structure d’ordre 1 Structure d’ordre 2 Structure d’ordre 3
r0ω 1.2110 10+00 1.2120 10+00 1.2120 10+00
r1ω −1.1219 10+00 −2.3100 10+00 −1.5233 10+00
r2ω ∗ 1.0982 10+00 −4.0138 10−01
r3ω ∗ ∗ 7.1290 10−01
r0iq −2.0407 10+00 −2.0973 10+00 −2.0973 10+00
r1iq 1.9149 10+00 4.0000 10+00 2.6385 10+00
r2iq ∗ −1.9027 10+00 6.9390 10−01
r3iq ∗ ∗ −1.2352 10+00
r0ωid 3.9897 10−02 4.0000 10−02 4.0000 10−02
r1ωid −3.9690 10−02 −8.0000 10−02 −5.4034 10−02
r2ωid ∗ 4.0000 10−02 −1.1933 10−02
r3ωid ∗ ∗ 2.5966 10−02
r0ωφ 1.0193 10+00 1.0000 10+00 1.0000 10+00
r1ωφ −1.0088 10+00 −2.0000 10+00 −1.3508 10+00
r2ωφ ∗ 1.0000 10+00 −2.9832 10−01
r3ωφ ∗ ∗ 6.4916 10−01
s1uq −1.0000 10+00 −2.0000 10+00 −1.3508 10+00
s2uq ∗ 1.0000 10+00 −2.9832 10−01
s3uq ∗ ∗ 6.4916 10−01
Tab. 4.2 – Structures des correcteurs equivalents surparametrises CEq−uqs
Modeles estimes C0 C1 C2 C3
Structure ordre 1 1.9453 10−01 −1.9027 10+00 0 0Structure ordre 2 1.9453 10−01 −1.9027 10+00 4.3852 10−11 0Structure ordre 3 1.9453 10−01 −1.9027 10+00 2.7110 10−10 −1.2516 10−10
Tab. 4.3 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cid
Modeles estimes C0 C1 C2 C3
Structure ordre 1 3.5527 10−15 4.0000 10−02 0 0Structure ordre 2 1.4229 10−14 4.0000 10−02 1.1312 10−13 0Structure ordre 3 7.9792 10−14 4.0000 10−02 1.9860 10−13 −1.1052e−13
Tab. 4.4 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωiq
113
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
On verifie que les moments du modele estime pour Cid et Cωiq sont station-
naires quel que soit l’ordre de la surparametrisation. Aussi on peut dire que les
structures de complexite superieure ou egale a 1 donnent satisfaction, et peuvent
se substituer au correcteur equivalent exact CEq−uds.
1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
uds
uds
pour S1
uds
pour S2
uds
pour S32.2 2.22 2.24
−4
−2
0
Fig. 4.6 – Comparaison des commandes reelle et estimees pour chaque structuresurparametrisee de CEq−uds
Nous presentons sur la figure 4.6, une comparaison de la tension reelle uds et
celles estimees pour les structures d’ordre 1, 2 et 3. On voit bien, a travers les
courbes, que les sorties estimees uds pour les structures de correcteur d’ordre 1
ou plus ont le meme comportement.
Le tableau 4.5 definit alors l’erreur quadratique entre la commande reelle uds
et celle estimee uds.
S = 1 S = 2 S = 3
Erreur quadratique 2.0206 10−016 4.5333 10−013 1.5037 10−013
Tab. 4.5 – Erreur quadratique entre la commande reelle uds et la commandeestimee uds
Cette comparaison est realisee en appliquant les memes entrees (idsref, i∗ds, i∗qs
et ωs) a la vraie commande de la machine asynchrone et aux structures surpara-
metrisees indentifiees.
114
4.3. Methodologie generale d’identification en boucle fermee
Les tableaux 4.6 a 4.9 correspondent au moments discrets de correcteur equi-
valent CEq−uqs.
Modeles estimes C0 C1 C2 C3
Structure ordre 1 8.9055 10−02 −1.1219 10+00 0 0Structure ordre 2 1.3954 10−04 −1.1364 10−01 2.1964 10+00 0Structure ordre 3 1.3954 10−04 −1.1364 10−01 2.1964 10+00 1.3638 10−10
Tab. 4.6 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cω
Modeles estimes C0 C1 C2 C3
Structure ordre 1 −1.2585 10−01 1.9149 10+00 0 0Structure ordre 2 1.6698 10−13 1.9453 10−01 −3.8055 10+00 0Structure ordre 3 2.9338 10−13 1.9453 10−01 −3.8055 10+00 1.1842 10−10
Tab. 4.7 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Ciq
Modeles estimes C0 C1 C2 C3
Structure ordre 1 2.0673 10−04 −3.9690 10−02 0 0Structure ordre 2 1.8429 10−13 −2.9794 10−13 8.0000 10−02 0Structure ordre 3 1.2024 10−13 −1.7232 10−13 8.0000 10−02 −2.4960 10−13
Tab. 4.8 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωid
On verifie que les moments du modele estime pour Cω , Ciq , Cωid et Cωφ
ne varient plus pour les modeles d’ordre superieur a 1. On peut donc dire que
les structures de complexite superieure ou egale a deux donnent satisfaction, et
peuvent se substituer au correcteur equivalent exact CEq−uqs.
Nous presentons dans la figure 4.7, une comparaison de la tension reelle uqs
et celles estimees pour les structures d’ordre 1, 2 et 3. On voit bien, a travers les
courbes, que la sortie estimee uqs pour la structure de correcteur d’ordre 1 est
differente de la commande reelle uqs, alors qu’on trouve le meme comportement
pour les structures d’ordre superieur.
Le tableau 4.10 definit alors l’erreur quadratique entre la commande reelle uqs
et la commande estimee uqs.
115
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
Modeles estimes C0 C1 C2 C3
Structure ordre 1 1.0486 10−02 −1.0088 10+00 0 0Structure ordre 2 3.5283 10−13 −9.0748 10−11 2.0000 10+00 0Structure ordre 3 2.1118 10−13 −6.3177 10−11 2.0000 10+00 1.7343 10−10
Tab. 4.9 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωφ
uqs
uqs
pour S1
uqs
pour S2
uqs
pour S3
1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
2.274 2.275 2.276 2.277110
115
120
125
u
qs
uqs
pour S1
uqs
pour S2
uqs
pour S3
Fig. 4.7 – Comparaison des commandes reelle et estimees pour chaque structuresurparametrisee de CEq−uqs
S = 1 S = 2 S = 3
Erreur quadratique 5.3490 10+006 9.5693 10−010 2.3909 10−010
Tab. 4.10 – Erreur quadratique entre la commande reelle uqs et la commandeestimee uqs
116
4.3. Methodologie generale d’identification en boucle fermee
Cette comparaison est realisee en appliquant les memes entrees (Ωref , Ω∗,
i∗qs, ωs et φr) a la vraie commande de la machine asynchrone et aux structures
surparametrisees indentifiees.
4.3.3 Identification de la machine par decomposition de
la boucle fermee
4.3.3.1 Principe
Lorsque l’algorithme de commande de la machine asynchrone est connue (par
connaissance a priori ou par identification surparametrisee), on peut envisager
l’identification du modele continu de la machine. Referons nous au schema de
la figure 4.8 : dans ce cas, l’excitation u = uds , uqs du modele continu est
obtenue par simulation du correcteur CEq, a partir des consignes (Ωref , idsref), de
la mesure Ω∗, de la pulsation ωs , de flux φr et des sorties predites ids et iqs.
Modele electrique
(repere du chp-tournant)
+ charge
udst
uqst
i∗dst
i∗qst
idsref Ωref
Ω∗
Algorithme
CommandeMachine asynchrone
+
−
+ +
d’optimisation
idst
iqst
+
−
CEq−uds
CEq−uqs
udst
uqst
Fig. 4.8 – Principe de l’identification indirecte de la machine asynchrone
Nous avons analyse dans la section 1.6.3 le choix du repere pour l’identifica-
tion indirecte. Ainsi, notre choix s’est porte sur le repere de Park lie au champ
117
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
tournant pour pouvoir prendre en compte les correcteurs sous une forme station-
naire, tout autre repere se traduisant par des correcteurs non stationnaires.
Par consequent, l’identification indirecte doit etre conduite dans le repere du
champ tournant en utilisant la connaissance de sa position estimee dans le cadre
de la commande. Ensuite, grace aux mesures des grandeurs du stator ua, ub, uc,
ia, ib, ic il faut reconstruire (uds, uqs)chptournant, (ids, iqs)chptournant grace a une
transformation de Park utilisant la position du champ tournant.
4.3.3.2 Calcul des fonctions de sensibilite
Referons nous au schema de la figure 4.8, il est important de remarquer que
les sorties (ids, iqs) et les entrees (uds, uqs) sont effectivement simulees a partir
des excitations (idsref, Ωref ), de la mesure Ω∗, des deux correcteurs equivalents
CEq−uds , CEq−uqs (ou exacts) et du modele continu de la machine asynchrone.
Ainsi uds , uqs etids , iqs
sont totalement decorreles du bruit des courants.
Ceci est illustre par les simulations numeriques realisees dans la section suivante.
La representation d’etat du modele electrique de la machine asynchrone dans
ce cas est :
˙x(t) = A(θ)x(t) + B(θ)u(t)
y(t) = C(θ)x(t)(4.20)
Les matrices A, B et C sont donnees par l’expression (1.41). Les vecteurs x
et y sont presentes par les expressions (1.37) et (1.38) exprimes dans le repere
du champ tournant. Nous avons explique le principe de la construction de la
commande predite u = [udsuqs]T dans la section 4.3.2.
Les fonctions de sensibilite par rapport a σy =[σids
σiqs
]T
, devront etre
calculees en prenant en compte la sensibilite de u = [uds uqs]T a θ, soit σu =[
σudsσuqs
]T
Definissons σids,θi= ∂ids
∂θiet σiqs,θi
= ∂iqs
∂θi.
Alors on obtient les fonctions de sensibilite a partir du systeme differentiel :
118
4.3. Methodologie generale d’identification en boucle fermee
σx,θi
= A(θ)σx,θi+
∂A(θ)
∂θi
x +∂B(θ)
∂θi
u(t) + B(θ)σu,θi
σy,θi= Cσx,θi
(4.21)
Rappelons que la reconstruction des commandes uds et uqs peut etre realisee
soit en utilisant la vraie commande, dans le cas ou on suppose que la commande
est parfaitement connue ; soit en utilisant la structure equivalente, dans le cas ou
la structure et les parametres de la regulation sont inconnus, donc grace a une
identification prealable de la commande.
Deux situations sont envisageables pour calculer la sensibilite de u par rap-
port aux parametres de la machine :
– En utilisant la structure exacte de la commande
σudsk,θi
= ∂uds(k)∂θi
et σuqsk,θi
= ∂uqs(k)∂θi
sont obtenues a partir de l’equation
aux differences :
∂uds(k)
∂θi
=∂uds1(k)
∂θi
−∂ed(k)
∂θi
(4.22)
∂uqs(k)
∂θi
=∂uqs1(k)
∂θi
−∂eq(k)
∂θi
(4.23)
La sensibilite des parties lineaires uds1 et uqs1 par rapport aux parametres
est egale a :
∂uds1(k)
∂θi
= −∂uds1(k − 1)
∂θi
− r0φ ·∂ids(k)
∂θi
− r1φ ·∂ids(k − 1)
∂θi
(4.24)
∂uqs1(k)
∂θi
= −∂uqs1(k − 1)
∂θi
− r0Ce ·∂iqs(k)
∂θi
− r1Ce ·∂iqs(k − 1)
∂θi
(4.25)
Nous allons supposer que les termes ωsiqs, ωsids, et ωsφr qui entrent dans
le decouplage sont des mesures. Dans ce cas :
∂ed(k)
∂θi
= 0 et∂eq(k)
∂θi
= 0 (4.26)
Si nous supposons que les termes de decouplage sont en fonction des sor-
ties estimees ids et iqs, alors la sensibilite de decouplage par rapport aux
119
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
parametres devient :
∂ed(k)
∂θi
= Cd · ωs ·∂iqs(k)
∂θi
(4.27)
∂eq(k)
∂θi
= −C1q · ωs ·∂ids(k)
∂θi
(4.28)
– En utilisant la structure equivalente
Le correcteur equivalent discret CEq genere uk selon les algorithmes :
uds(k) + s1ududs(k − 1) + · · ·+ sSududs(k − S) =
r0id(idsref(k) − ids(k)) + · · ·+ rSid(idsref
(k − S) − ids(k − S))
+ r0ωiqωs(k)iqs(k) + · · ·+ rSωiqωs(k − S )iqs(k − S)) (4.29)
et
uqs(k) + s1uquqs(k − 1) + · · ·+ sSuquqs(k − S) =
r0ω(Ωref(k) − Ω∗(k)) + · · ·+ rSω(Ωref (k − S) − Ω∗(k − S))
+ r0iq iqs(k) + r1iq iqs(k − 1) + · · ·+ rSiq iqs(k − S))
+ r0ωidωs(k)ids(k) + · · ·+ rSωidωs(k − S )ids(k − S))
+ r0ωφωs(k)φr(k) + · · ·+ rSωφωs(k − S)φr(k − S)) (4.30)
Ainsi σuk,θiest obtenue a partir de l’equation aux differences :
∂uds(k)
∂θi
+ s1ud
∂uds(k − 1)
∂θi
+ · · · + sSud
∂uds(k − S)
∂θi
= −r0id
∂ids(k)
∂θi
− r1id
∂ids(k − 1)
∂θi
− · · · − rSid
∂ids(k − S)
∂θi
+ r0ωiqωs(k)∂iqs(k)
∂θi
+
r1ωiqωs(k − 1)∂iqs(k − 1)
∂θi
+ · · ·+ rSωiqωs(k − S)∂iqs(k − S)
∂θi
(4.31)
120
4.3. Methodologie generale d’identification en boucle fermee
∂uqs(k)
∂θi
+ s1uq
∂uqs(k − 1)
∂θi
+ · · ·+ sSuq
∂uqs(k − S)
∂θi
= r0iq
∂iqs(k)
∂θi
+
r1iq
∂iqs(k − 1)
∂θi
+ · · · + rSiq
∂iqs(k − S)
∂θi
+ r0ωidωs(k)∂ids(k)
∂θi
+
r1ωidωs(k − 1)∂ids(k − 1)
∂θi
+ · · ·+ rSωidωs(k − S)∂ids(k − S)
∂θi
(4.32)
4.3.4 Resultat d’identification
Les figures 4.9, 4.10 et 4.11 presentent les resultats de l’identification par
approche indirecte pour une realisation particuliere, en utilisant comme excitation
implicite une variation du couple de charge.
La figure 4.9 fait apparaıtre l’evolution des parametres lors de la procedure
d’identification par approche indirecte. En trois iterations la methode converge
vers l’optimum.
Nous avons utilise une excitation implicite par variation du couple de charge
sous forme d’une SBPA de ±1.5 N.m au tour de la charge Cr = 4N.m.
1 2 3 4 5 6
9.8
9.85
9.9
9.95
10
Rs
1 2 3 4 5 65.2
5.3
5.4
5.5
Rr
1 2 3 4 5 60.48
0.49
0.5
0.51
0.52
Lm
1 2 3 4 5 60.036
0.037
0.038
0.039
0.04
Lf
Fig. 4.9 – Evolution des parametres electriques durant la procedure d’estimationpar identification indirecte
Pour le meme essai, nous representons a la figure 4.10 la comparaison entre
les courants simules et les courant estimes ainsi que les tensions simulees et celles
predites exprimes dans le repere du champ tournant. Sur la figure 4.10, nous
121
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
representons les residus sur les courants et les tensions.
2 2.5 3−30
−20
−10
0
uds
2 2.5 30.5
1
1.5
2
2.5
ids
2 2.5 3
140
160
180
200
uqs
2 2.5 32
4
6
8
iqs
simulation
estimation
Fig. 4.10 – Comparaison des courants (et tensions) simules et estimes d’axes(d, q) pour l’identification indirecte
4.4 Comparaison de resultats d’identification :
approche directe/approche indirecte
Nous avons teste les techniques d’identification presentees dans ce chapitre
sur une machine asynchrone dont les parametres sont donnes par la table 4.11.
Rs = 9.8ΩRr = 5.3ΩLm = 0.5HLf = 0.04Hf = 1.9 10−03N.m.s/radJ = 29.3 10−03N.m.S2/rad
Tab. 4.11 – Caracteristiques de la machine asynchrone
Nous avons employe deux processus generateurs de bruit pour la vitesse et
les courants, afin de tester notre methodologie dans des situations stochastiques
122
4.4. Comparaison de resultats d’identification : approche directe/approche indirecte
2 2.5 3−1
−0.5
0
0.5
1
εids
2 2.5 3−1
−0.5
0
0.5
1
εiqs
2 2.5 3−4
−2
0
2
4
εu
ds
2 2.5 3−4
−2
0
2
4
εu
qs
Fig. 4.11 – Erreur d’estimation de l’identification indirecte
variees. Nous nous sommes places dans des conditions de bruit telles que le rap-
port S/B = 15 pour les courants ids, iqs exprimes dans le champ tournant et
S/B = 20 pour la vitesse.
Le bruit de sortie est genere par le modele A.R : bk + c1bk−1 = ek ou ek est
un bruit blanc et −1 < c1 < 0
Trois situations ont ete etudiees :
– c1 = 0, alors bk correspond a un bruit blanc,
– c1 = −0.5, alors bk correspond a un bruit moyennement correle,
– c1 = −0.95, alors bk correspond a un bruit fortement correle.
Les simulations de Monte Carlo ont ete effectuees sur dix realisations, chaque
realisation comportant 6000 couples de donnees. Les valeurs des estimations des
parametres electriques de la machine asynchrone sont recapitulees dans les ta-
bleaux ci-apres.
Remarque
I.D : Identification Directe
I.I.C.R : Identification Indirecte, Commande Reelle
I.I.C.S.3 : Identification Indirecte, Correcteur Surparametrise d’ordre 3
123
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
1. Cas d’un bruit blanc sur les courants ids, ids
Valeurs I.D I.I.C.R I.I.C.S.3exactes
Rs = 9.8 9.8391 10+00 9.8053 10+00 9.7947 10+00
±2.0128 10−01 ±2.9645 10−02 ±4.4240 10−02
Rr = 5.3 5.3100 10+00 5.3029 10+00 5.2987 10+00
±4.9579 10−02 ±2.6663 10−02 ±3.9992 10−02
Lm = 0.5 4.9977 10−01 5.0456 10−01 4.9581 10−01
±1.8040 10−02 ±3.1467 10−02 ±4.6082 10−02
Lf = 0.04 3.9188 10−02 4.0177 10−02 4.0093 10−02
±4.0606 10−03 ±2.6444 10−03 ±3.2582 10−03
Tab. 4.12 – Identification en presence d’un bruit blanc sur les courants
9.6 9.7 9.8 9.9 10
Rs
5.25 5.3 5.35
Rr
0.45 0.5 0.55
Lm
0.035 0.04 0.045
Lf
ID
IICR
IICS3
Valeur exacte
Fig. 4.12 – Identification en presence d’un bruit blanc sur les courants
La figure 4.12 presente la plage des variations de chaque parametre de la
machine asynchrone selon le type de l’identification du tableau 4.12.
On verifie a l’aide de cette simulation qu’il n’y a pas de biais significatif
quand les bruits de mesure des courants sont des bruits blancs (et que la
vitesse est mesuree sans erreur).
On remarque que les resultats d’estimation parametrique obtenus pour les
trois types d’identification (I.D, I.I.C.R et I.I.C.S.3) sont voisins.
2. Cas d’un bruit fortement correle sur les courants et d’un bruit
blanc sur la vitesse
124
4.4. Comparaison de resultats d’identification : approche directe/approche indirecte
Valeurs I.D I.I.C.R I.I.C.S.3exactes
Rs = 9.8 1.0827 10+01 9.7788 10+00 9.7590 10+00
±2.6251 10+00 ±1.6866 10−01 ±2.1913 10−01
Rr = 5.3 4.9051 10+00 5.3218 10+00 5.3294 10+00
±4.5455 10−01 ±2.8570 10−01 ±1.8924 10−01
Lm = 0.5 5.2233 10−01 4.9217 10−01 4.9191 10−01
±3.4571 10−02 ±8.7178 10−02 ±7.8276 10−02
Lf = 0.04 4.3365 10−02 4.0161 10−02 4.0667 10−02
±5.1324 10−03 ±5.7434 10−03 ±3.6792 10−03
Tab. 4.13 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur les courantset d’un bruit blanc sur la vitesse
8 9 10 11 12 13
Rs
4 4.5 5 5.5
Rr
0.4 0.45 0.5 0.55 0.6
Lm
0.035 0.04 0.045 0.05
Lf
ID
IICR
IICS3
Valeur exacte
Fig. 4.13 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur les courantset d’un bruit blanc sur la vitesse
Nous remarquons dans ce cas de simulation (en presence d’un bruit forte-
ment correle sur les courants et d’un bruit blanc sur la vitesse) que l’iden-
tification indirecte en utilisant la structure exacte de correcteur I.I.C.R ou
la structure surparametrisee I.I.C.S.3 fournit des estimations parfaitement
centrees sur la valeur exacte des parametres, alors que les estimations de
Rr, Lm et Lf font apparaıtre un biais dans le cas de l’identification directe.
3. Cas d’un bruit correle sur les courants et la vitesse
On verifie d’apres le tableau 4.14 (ou sur la figure 4.14) qu’un biais appa-
raıt pour I.D des que le bruit devient correle pour le courant et la vitesse.
125
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
Valeurs I.D I.I.C.R I.I.C.S.3exactes
Rs = 9.8 1.0454 10+01 1.0013 10+01 1.0014 10+00
±2.1706 10+00 ±8.5146 10−01 ±1.0478 10+00
Rr = 5.3 4.9723 10+00 5.1551 10+00 5.2227 10+00
±4.8713 10−01 ±5.2179 10−01 ±5.1779 10−01
Lm = 0.5 5.3203 10−01 4.9344 10−01 4.9339 10−01
±3.2620 10−02 ±1.1009 10−01 ±9.1381 10−02
Lf = 0.04 4.2630 10−02 4.0397 10−02 4.0251 10−02
±5.7890 10−03 ±3.6061 10−03 ±4.0547 10−03
Tab. 4.14 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur les courantset d’un bruit moyennement correle sur la vitesse
Remarquons qu’il se manifeste principalement, d’apres les simulations rea-
lisees, sur la resistance rotorique Rr et l’inductance magnetisante Lm, et
partiellement sur l’inductance de fuite Lf . On constate aussi la presence
d’une variance tres importante sur la resistance statorique Rs.
On verifie a l’aide de la figure 4.14 qu’un biais faible apparaıt pour un bruit
de vitesse moyennement correle pour l’identification indirecte (I.I.C.R et
I.I.C.S.3). Il se manifeste principalement sur la resistance rotorique Rr et
partiellement sur la resistance statorique Rs. Ceci peut etre explique par le
fait qu’on ne se trouve pas dans le cas ou notre commande est parfaitement
decorrelee du bruit comme cela s’est produit pour la machine a courant
continu. En effet, on utilise la sortie de vitesse (correlee avec le bruit bw),
pour calculer les nouvelles commandes uds et uqs dans le cadre de notre
methode d’identification indirecte. Alors, les fonctions de sensibilite calcu-
lees a partir de l’excitation u se trouvent correlees avec la perturbation
bw, c’est-a-dire que l’estimation θopt est asymptotiquement biaisee. Ce biais
n’est vraiment tres important que lorsque le rapport signal sur bruit de la
vitesse est faible.
En conclusion, l’etude du biais asymptotique en boucle fermee de la machine
asynchrone nous a permis de montrer que celui-ci depend de la correlation
du bruit de courant et de vitesse pour l’approche directe, et uniquement de
la correlation du bruit de vitesse pour l’approche indirecte.
De maniere generale, on remarque que les resultats d’estimation parametrique
obtenus pour les deux cas d’identification (I.I.C.R et I.I.C.S.3), dans le cadre de
l’identification par approche indirecte, sont voisins quelles que soient les condi-
126
4.5. Conclusion
tions de bruit, c’est-a-dire que la parametrisation du correcteur equivalent a peu
d’influence.
8 9 10 11 12 13
Rs
4 4.5 5 5.5
Rr
0.4 0.45 0.5 0.55 0.6
Lm
0.04 0.045 0.05
Lf
ID
IICR
IICS3
Valeur exacte
Fig. 4.14 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur le courantet d’un bruit moyennement correle sur la vitesse
4.5 Conclusion
Une methode d’identification en boucle fermee par approche indirecte adaptee
a la machine asynchrone a ete proposee. Cette methode se base sur une decom-
position de la boucle fermee. Par ailleurs cette technique d’identification n’utilise
qu’une excitation implicite due aux variations du couple.
Cette solution est a priori innovante en electrotechnique : elle a deja ete testee
dans une premiere etude sur la machine a courant continu [Bazine et al., 2006a,
Bazine et al., 2007] et nous avons pu l’adapter au cas de la machine asynchrone,
malgre de fortes contraintes (correcteur multi-variable et non lineaire, change-
ments de reperes).
Cette methodologie semble bien adaptee a l’estimation parametrique des ma-
chines electriques. Dans le cas des machines a courant alternatif, souvent utilisees
en entraınement electrique a vitesse variable donc en boucle fermee, nous avons
volontairement utilise comme excitation les variations du couple de charge. Dans
un contexte industriel cette grandeur reste toujours accessible et s’adapte bien
pour la detection de defaut.
127
Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone
Les resultats de simulation montrent que l’identification indirecte fournit de
meilleures estimations que l’identification directe, et en particulier qu’elle permet
de rejeter le biais asymptotique du aux bouclages [Bazine et al., 2008b].
Cependant, la principale contrainte imposee par l’identification indirecte est
l’indispensable connaissance du correcteur. Actuellement, la machine asynchrone
est a la base de plusieurs applications industrielles qui couvrent un domaine tres
vaste. Selon l’application mise en jeu, l’industriel peut avoir un acces a tous les
details de la commande, c’est-a-dire une connnaissance complete de systeme de
regulation implante, tout comme il peut ignorer certaines parties a l’interieur de
la structure de la regulation. Dans ce cas, nous avons propose une identification
prealable de correcteur equivalent a l’aide d’une technique de surparametrisa-
tion afin d’eviter la connaissance a priori de la structure et des parametres du
correcteur.
Nous avons aussi remarque que le fait d’avoir une vitesse bruitee (notamment
si ce bruit est correle) a pour consequence une estimation asymptotiquement
biaisee car on ne peut pas respecter les conditions theoriques de rejet du biais, a
savoir la simulation de la vitesse. Cette methodologie d’identification en boucle
fermee de la machine asynchrone va donc pouvoir etre appliquee au diagnostic de
la machine dans le prochain chapitre.
128
Chapitre 5
Diagnostic de la machine
asynchrone par approche
indirecte
Au chapitre 4, nous avons propose une methodologie generale d’identifica-
tion en boucle fermee de la machine asynchrone par approche indirecte, ainsi
que l’identification d’un correcteur equivalent a l’algorithme de commande de la
machine, grace a une technique de moindres carres surparametrises. Dans ce cha-
pitre, nous utilisons cette approche pour la detection et la localisation des defauts
des courts-circuits au stator et de rupture de barres au rotor d’une machine asyn-
chrone. Nous proposons ainsi de definir une methodologie globale de diagnostic
de la machine asynchrone en boucle fermee par estimation parametrique qui ne
sera testee qu’en simulation.
129
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
5.1 Introduction
Un systeme de surveillance doit fournir des informations fiables sur le fonc-
tionnement de l’unite aux operateurs qui l’exploitent. Il doit etre capable de
provoquer dans les cas graves un arret de l’unite ou de permettre au systeme de
production de continuer de fonctionner en mode degrade en cas de probleme ne
necessitant pas un arret immediat. Tout cela en evitant bien sur des erreurs de
type fausses alarmes qui provoquent l’arret inutile de l’installation. Les taches de
detection et de localisation des defaillances trouvent ainsi tout naturellement leur
place dans un tel systeme de surveillance.
La detection de defauts dans les machines electriques a fait l’objet de re-
cherches et de realisations industrielles depuis de nombreuses annees. L’analyse
vibratoire, en particulier, est utilisee pour la detection de problemes mecaniques,
des ruptures de barres au rotor et des courts-circuits au stator des machines asyn-
chrone [Baghli et al., 1997]. Les exigences industrielles en terme de maintenance
orientent la recherche vers un diagnostic fin des defauts et surtout leur diagnostic
precoce.
Depuis environ deux decennies, de nombreuses recherches en genie electrique
et en identification parametrique ont permis l’elaboration de strategies de diag-
nostic hors-ligne et en-ligne des entraınements electriques. Ainsi, la mise au point
d’algorithmes dedies a l’estimation des parametres physiques, en prenant en
compte une connaissance a priori de la machine, a permis une avancee promet-
teuse du diagnostic par estimation parametrique. Il est necessaire au prealable de
preciser un point essentiel : pour obtenir une bonne estimation des parametres,
il est indispensable de bien exciter la machine. Pour cela, en fonctionnement
avec variateur de vitesse, l’excitation qui semble le mieux satisfaire a cette exi-
gence consiste a perturber le point de fonctionnement electrique par une SBPA
[Moreau, 1999] [Schaeffer, 1999] [Bachir, 2002]. Ce mode d’excitation est effec-
tivement bien adapte aux applications a vitesse variable ; cependant, il s’avere
contradictoire avec les objectifs de production lorsque le but est precisement de
maintenir une vitesse constante.
Aussi, nous avons etudie un autre protocole d’excitation qui nous semble
mieux adapte aux applications industrielles a vitesse constante. Ce protocole
exclut les variations de vitesse par action sur la reference de regulation. Comme
des variations autour du point de fonctionnement sont cependant necessaires, on
considere comme seules acceptables par l’utilisateur celles induites par la variation
130
5.2. Modeles de defaut de la machine asynchrone
du couple de charge pendant le fonctionnement normal de la machine.
Dans ce chapitre, nous presentons dans une premiere partie deux modeles de
defauts de la machine asynchrone : un modele de defaut statorique traduisant le
dysfonctionnement de la machine en presence de court-circuit de spires au stator
et un modele de defaut rotorique du type rupture de barres. Une panne de type
court-circuit au stator et rupture de barres au rotor apparaissant simultanement
n’est pas a exclure lors de grandes sollicitations de la machine ; un modele global
de la machine asynchrone avec defauts stator/rotor est donc lui aussi presente. La
deuxieme partie de ce chapitre est consacree a l’application de cette methodologie
d’identification en boucle fermee a la detection de defauts simules de la machine
asynchrone.
5.2 Modeles de defaut de la machine asynchrone
5.2.1 Introduction
L’hypothese fondamentale pour la surveillance d’un systeme par un suivi pa-
rametrique est qu’un defaut se traduit par la variation d’un (ou de plusieurs)
parametre(s) caracteristique(s) du systeme, constituant ainsi la signature de ce
defaut.
D’apres [Bachir, 2002] dont les travaux de recherche s’appuient sur ceux de
[Moreau, 1999] [Schaeffer, 1999], la machine asynchrone presente en plus d’un
comportement dynamique conventionnel, un comportement du au defaut. Ainsi,
ces etudes ont permis l’elaboration de modeles permettant le decouplage de deux
modes : le mode commun qui n’est autre que le modele dynamique de la machine
asynchrone et le mode differentiel, caracteristique du defaut. Le mode commun,
exprime dans le repere triphase ou dans le repere de Park et parametrise par les
composants electriques de la machine, est l’image du comportement sain de la
machine. Pour tenir compte du defaut, on doit introduire le mode differentiel qui
traduit le dysfonctionnement. Les parametres de ce mode doivent permettre la
detection et la localisation du defaut. Rappelons que le principe de cette metho-
dologie est decrit dans [Bachir et al., 2008].
Notre objectif est l’application de notre methodologie d’identification en boucle
fermee, developpee auparavant, a la detection des defauts de la machine asyn-
131
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
chrone. Ceci necessite une modelisation adaptee au defaut envisage. Il est donc
necessaire d’ecrire des modeles de la machine asynchrone en situation de defaut :
– un modele de court-circuit de spires au stator,
– un modele de rupture de barres au rotor,
– un modele global avec defauts stator/rotor.
Ces modeles sont directement deduits de [Bachir, 2002].
5.2.2 Modele de defauts statoriques de type court-circuit
Il s’agit de modeliser une machine fictive equivalente dont le stator et le rotor
sont toujours constitues de trois phases identiques parcourues par des courants
triphases. Pour prendre en compte l’existence de spires en court-circuit au stator
de la machine asynchrone, on introduit une bobine supplementaire court-circuitee
dont le nombre de spires ncc est egal au nombre de spires en defaut dans la ma-
chine [Schaeffer, 1999]. Ainsi, en presence d’un desequilibre statorique, la machine
comporte, en plus des bobinages triphases statoriques et rotoriques, un bobinage
court-circuite a l’origine du champ stationnaire de direction fixe θcc par rapport
au stator.
Le modele de defauts statoriques que nous presentons ici prend intrinseque-
ment en compte l’existence de courts-circuits de spires dans plusieurs phases au
stator [Bachir et al., 2001c]. Ce modele comporte en plus du modele classique
(modele biphase), des quadripoles de courts circuits pour expliquer un eventuel
defaut sur plusieurs phases. La figure 5.1 donne le schema electrique equivalent
de la machine asynchrone dans le repere de Park en regime transitoire, en tenant
compte d’un eventuel defaut de court-circuit et avec les fuites totalisees au stator.
Rs LfωP (π
2)φdqs
Lm Rrudqs
idqs
idqr
idqm
i′
dqs
idqcc1
idqcc2idqcc3
Qcc3Qcc2Qcc1
Fig. 5.1 – Modele de defauts statoriques de la machine asynchrone
132
5.2. Modeles de defaut de la machine asynchrone
Pour un referentiel note (x) tournant a une vitesse ωa par rapport au sta-
tor de la machine asynchrone, l’ensemble des equations electriques de la ma-
chine asynchrone en defaut de court-circuit statorique s’ecrit [Schaeffer, 1999]
[Bachir, 2002] :
u(x)dqs
= Rsi′(x)dqs
+d
dtφ(x)
dqs+ ωaP (
π
2)φ(x)
dqs(5.1)
0 = Rri(x)dqr
+d
dtφ(x)
dqr+ (ωa − ω)P (
π
2)φ(x)
dqr(5.2)
φ(x)
dqs= (Lf + Lm)i
′(x)dqs
+ Lmi(x)dqr
(5.3)
φ(x)
dqr= Lm(i
′(x)dqs
+ i(x)dqr
) (5.4)
i(x)dqs
= i′(x)dqs
+ i(x)
dqcc(5.5)
i(x)
dqcc=
3∑
k=1
i(x)
dqcck(5.6)
i(x)
dqcck=
2
3
ηcc
Rs
P (−θa)Q(θcck)P (θa)u
(x)dqs
(5.7)
avec :
–dθa
dt= ωa ;
– le rapport de court-circuit note ηcck=
ncck
nsest egal au rapport du nombre
de spires en court-circuit de la keme phase sur le nombre total de spires
dans une phase statorique sans defaut. Ce parametre permet de quantifier
le desequilibre et d’obtenir le nombre de spires en court-circuit ;
– le courant i(x)
dqcckcorrespond au courant de court-circuit de la keme phase ;
– l’angle electrique, note θcck, repere le bobinage en court-circuit par rapport
a l’axe de reference de la phase as. Ce parametre permet la localisation du
bobinage en defaut et ne peut prendre que les trois valeurs 0, 2π3
ou −2π3
,
correspondant respectivement a un court-circuit sur les phases as, bs ou cs ;
– la matrice Q(θcck) permet de situer l’angle du bobinage en court-circuit.
Q(θcck) =
[cos(θcck
)2 cos(θcck) sin(θcck
)
cos(θcck) sin(θcck
) sin(θcck)2
](5.8)
Si on veut proceder a un diagnostic par identification indirecte, on est oblige
de se placer dans le repere du champ tournant. Ainsi les equations de tensions
et de flux de la machine asynchrone en presence d’un defaut statorique de type
133
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
court-circuit, dans un referentiel lie au champ tournant, deviennent :
udqs= Rsi
′
dqs+
d
dtφ
dqs+ ωsP (
π
2)φ
dqs(5.9)
0 = Rridqr+
d
dtφ
dqr+ (ωs − ω)P (
π
2)φ
dqr(5.10)
φdqs
= (Lf + Lm)i′
dqs+ Lmidqr
(5.11)
φdqr
= Lm(i′
dqs+ idqr
) (5.12)
idqs= i
′
dqs+ idqcc
(5.13)
idqcc=
3∑
k=1
idqcck(5.14)
idqcck=
2
3
ηcc
Rs
P (−θs)Q(θcck)P (θs)udqs
(5.15)
5.2.3 Modele de defaut rotorique
Comme pour un defaut statorique, une rupture de barre rotorique est a l’ori-
gine d’un champ stationnaire H0 par rapport au rotor et dirige selon l’angle θ0
de la barre en defaut. Un parametre supplementaire η0 est naturellement intro-
duit pour quantifier le defaut rotorique [Bachir et al., 2001b]. Le rotor dans le
repere biphase comporte donc un troisieme bobinage court-circuite du fait de la
cage d’ecureuil et parcouru par un courant fictif i0 de defaut et dont le nombre
de spires fictives est proportionnel au taux de defaut. Pour tenir compte de cette
anomalie de champ, ce bobinage doit obligatoirement avoir la meme direction que
la barre en defaut. Par consequent, le mode differentiel introduit comporte deux
parametres de defaut permettant la detection et la localisation des barres cassees :
– l’angle electrique note θ0 reperant le bobinage˝en defaut. Ce parametre
permet la localisation de la barre en defaut ;
– le rapport de defaut note η0 egal au rapport du nombre de spires en defaut
sur le nombre total de spires dans une phase triphasee rotorique fictive sans
defaut. Ce parametre permet de quantifier le desequilibre et d’obtenir le
nombre de barres cassees. Le nombre de spires au rotor etant fictif, pour
un rotor de nb barres, si on considere une spire rotorique comme etant
une maille constituee de deux barres court-circuitees par deux portions
d’anneaux [Bachir et al., 2001a], alors le nombre total de spires rotoriques
est egal au nombre de barres au rotor. Une phase fictive est donc constituee
134
5.2. Modeles de defaut de la machine asynchrone
de nb
3barres. Pour nbc barres cassees sur une phase, l’expression du rapport
de defaut η0 est donnee par :
η0 =3nbc
nb
(5.16)
Rdefaut
RsLf
ωP (π2)φdqs
Rrudqs
idqs
idqr
idqm
Lm
Fig. 5.2 – Modele de defauts rotoriques de la machine asynchrone
Dans [Bachir, 2002], un modele de la machine asynchrone en situation de
defauts rotoriques a ete propose. La figure 5.2 illustre le schema equivalent dans
le repere de Park de la machine asynchrone en regime dynamique avec fuite
ramenee au stator.
L’ensemble des equations electriques de la machine asynchrone en defaut ro-
torique, dans un referentiel lie au champ tournant, s’ecrit :
udqs= Rsidqs
+d
dtφ
dqs+ ωsP (
π
2)φ
dqs(5.17)
0 = Reqidqr+
d
dtφ
dqr+ (ωs − ω)P (
π
2)φ
dqr(5.18)
φdqs
= (Lf + Lm)idqs+ Lmidqr
(5.19)
φdqr
= Lm
(idqs
+ idqr
)(5.20)
Req = Rr.I2 + Rdefaut (5.21)
Rdefaut =α
1 − αQ(θ0)Rr (5.22)
ou I2 =
[1 0
0 1
]
Avec
– la resistance equivalente Req au rotor est la mise en serie de la resistance
saine Rr et de la matrice resistance de defaut Rdefaut,
135
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
– θ0 est l’angle de reperage de defaut rotor dans le repere du champ tournant
(θ0 = θ0r−θr , θ0r
etant l’angle de reperage du defaut par rapport au rotor),
α =2
3η0 Q(θcck
) =
[cos(θ0)
2 cos(θ0) sin(θ0)
cos(θ0) sin(θ0) sin(θ0)2
]
Remarque
En situation de defaut sur deux barres au rotor, l’estimation de deux angles de
defaut θ01 et θ02 permet d’avoir le decalage angulaire ∆θ entre les barres cassees :
∆θ = θ02 − θ01 (5.23)
5.2.4 Modele general de defauts de la machine asynchrone
Nous avons presente deux modeles de la machine asynchrone a cage. Chaque
modele est dedie a un defaut particulier (court-circuit des spires au stator et rup-
ture de barres au rotor). En milieu industriel, les defauts intervenant en cours
de fonctionnement sont rarement localises dans une seule partie de la machine.
En effet, la reaction en chaıne des incidents est fortement envisageable car le
rotor, comme le stator, sont soumis au meme environnement. Ainsi, il est inte-
ressant, dans une optique de surveillance generalisee de la machine, d’envisager
un diagnostic de defauts simultanes stator/rotor.
Nous presentons ainsi a la figure 5.3, un modele de defauts stator/rotor (repere
de Park) [Bachir et al., 2001e] qui fait intervenir le fonctionnement sain de la
machine, les courts-circuits de spires au stator et les ruptures de barres au rotor
a travers la matrice resistance de defaut.
Rs LfωP (π
2)φdqs
Lmudqs
idqs
idqr
idqm
i′
dqs
idqcc1
idqcc2idqcc3
Qcc3Qcc2Qcc1
Rdefaut
Rr
Fig. 5.3 – Modele de defauts stator/rotor de la machine asynchrone
136
5.2. Modeles de defaut de la machine asynchrone
L’ensemble des equations electriques de la machine asynchrone en defaut si-
multane stator/rotor, dans un referentiel lie au champ tournant, s’ecrit alors :
udqs= Rsi
′
dqs+
d
dtφ
dqs+ ωsP (
π
2)φ
dqs(5.24)
0 = Reqidqr+
d
dtφ
dqr+ (ωs − ω)P (
π
2)φ
dqr(5.25)
φdqs
= (Lf + Lm)i′
dqs+ Lmidqr
(5.26)
φdqr
= Lm(i′
dqs+ idqr
) (5.27)
idqs= i
′
dqs+
3∑
k=1
idqcck(5.28)
idqcck=
2
3
ηcc
Rs
P (−θs)Q(θcck)P (θs)udqs
(5.29)
Req = Rr.I2 + Rdefaut (5.30)
Rdefaut =α
1 − αQ(θ0)Rr (5.31)
Le modele de defaut stator/rotor permet la detection et la localisation de spires en
court-circuit a partir des rapports ηccket des angles θcck
ainsi que la quantification
du nombre de barres cassees a travers le rapport η0. Ainsi, la connaissance de ces
parametres par estimation parametrique permet une surveillance generalisee de
la machine asynchrone.
5.2.5 Conclusion
En situation de defaut, la machine asynchrone presente en plus d’un compor-
tement dynamique classique, un comportement du au defaut. En modelisation
orientee vers le diagnostic, deux modes sont envisages ; un mode commun˝et
un mode differentiel˝. Le mode commun traduit le fonctionnement sain de la
machine. Le mode differentiel a pour objectif de traduire le dysfonctionnement
et ses parametres doivent etre essentiellement sensibles au defaut. Cette situa-
tion s’avere propice a la detection de veritables defauts. En effet, une variation
de temperature ou d’etat magnetique se traduisent par une modification de l’etat
parametrique du modele de mode commun, et ne doivent pas pour autant affecter
le mode differentiel [Bachir et al., 2008].
La methode de diagnostic par estimation parametrique conduit a proceder
a l’identification des parametres du modele complet. Ainsi, les parametres elec-
137
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
triques du mode commun indiqueront l’etat dynamique de la machine tandis que
les parametres du mode differentiel permettront d’acceder a l’information sur les
defauts presents dans la machine. L’identification de ces parametres va permettre
la detection et la localisation du desequilibre.
5.3 Resultats du diagnostic de la machine asyn-
chrone en boucle fermee
5.3.1 Introduction
L’identification parametrique, presentee au second chapitre, est la procedure
permettant la determination des parametres d’un modele mathematique a partir
de resultats experimentaux. Ainsi, l’identification repose sur la definition d’un
modele du systeme reel.
Dans le cas du diagnostic de la machine asynchrone a cage, on s’interesse
a l’identification des parametres des modeles de defaut statorique et rotorique
presentes precedemment. La strategie de diagnostic consiste a realiser le suivi
des parametres du mode differentiel (parametres de defaut). L’estimation des
parametres ηcckindique alors le nombre de spires en court-circuit sur chacune
des trois phases au stator et le parametre η0 permet d’avoir le nombre de barres
cassees au rotor.
Les methodes de suivi de la variation de parametres physiques, basees sur
l’estimation parametrique, ont ete peu appliquees jusqu’a present en diagnostic.
L’experience du Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle dans
ce domaine, nous montre qu’il s’agit d’une methode de surveillance bien adaptee
a la detection et a la localisation, a condition neanmoins d’utiliser une strategie
efficace. Pour cela, il est raisonnable de considerer que le mode commun represente
le fonctionnement sain de la machine et qu’a ce titre, l’utilisateur en possede une
certaine expertise.
Cette expertise va representer une connaissance a priori de la machine, c’est-
a-dire d’une estimation θ0 des parametres et de leur variance. Par contre, l’uti-
lisateur ne sait pas a priori quel defaut va se produire et il doit porter toute
son attention sur l’estimation des parametres caracteristiques du defaut. Aussi
l’association d’une technique d’estimation parametrique avec information a priori
138
5.3. Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee
associee a un modele de defaut de la machine, avec modes commun (sain) et dif-
ferentiel (de defaut) nous semble donc parfaitement adaptee au cas de la machine
asynchrone.
5.3.2 Estimation parametrique avec information a priori
Les travaux de recherche realises au sein de Laboratoire d’Automatique et
d’Informatique Industrielle ont montre que l’adjonction d’une information a priori
en erreur de sortie, grace a un critere composite, permet d’introduire une connais-
sance initiale, relative a la machine saine, et ainsi d’accelerer et de robustifier la
convergence de l’algorithme de programmation non lineaire.
La connaissance du fonctionnement sain resulte d’une (ou plusieurs) estima-
tion(s) prealable(s) permettant d’obtenir les valeurs nominales du vecteur θ, de
la variance du bruit de sortie σb ainsi que de la matrice de covariance de l’es-
timation V ar θopt. Ces valeurs sont en effet indispensables pour construire les
differentes ponderations du critere composite (θ0, σb, M0). Pour cela, une estima-
tion des parametres electriques de la machine asynchrone saine, sans introduction
d’information a priori, permet d’obtenir ces informations indispensables.
Pour cela, nous proposons de construire l’information a priori, a partir d’une
moyenne de dix estimations par identification indirecte (correspondant au fonc-
tionnement sain de la machine), afin de determiner les differentes ponderations
du critere composite :
JC = (θ − θ0)T M−1
0 (θ − θ0) +1
σ2b
K∑
k=1
(ε2dsk
+ ε2qsk
) (5.32)
avec
θ0 =
Rs0
Rr0
Lm0
Lf0
=
9.7921
5.3079
5.0456 10−01
4.0625 10−02
139
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
M0 =
σ2Rs
0 0 0
0 σ2Rr
0 0
0 0 σ2Lm
0
0 0 0 σ2Lf
=
4.587 10−03 0 0 0
0 5.241 10−04 0 0
0 0 1.451 10−04 0
0 0 0 4.588 10−07
σb2 =
Jopt
K − N(5.33)
K, N , Jopt representent respectivement le nombre de points, le nombre de
parametres et la valeur du critere a l’optimum.
Pour la construction de la matrice de covariance des parametres M0, on ne
conserve en pratique que les termes diagonaux.
La relation (5.33) est obtenue en faisant l’hypothese que le bruit de mesure
est identique sur les deux axes de Park. Dans le cas ou le bruit de mesure est
different sur les deux axes, il faut calculer les variances respectives sur les deux
axes d et q de Park et ponderer de fait differemment les deux termes quadratiques
du critere composite.
Les resultats d’estimation parametrique sont obtenus en utilisant une excita-
tion par couple de charge. Dans ce cas la variance estimee de la perturbation de
sortie est egale a :
σb2 = 0.0413
5.3.3 Diagnostic d’un defaut stator
5.3.3.1 Modele dedie au diagnostic des courts-circuits au stator
A partir du modele de defaut stator decrit a la section 5.2.2, on obtient
une representation d’etat d’ordre 4 de la machine asynchrone (ou la vitesse est
une pseudo-entree mesuree) correspondant a l’identification indirecte. Le vecteur
d’etat ainsi que l’entree et la sortie du systeme sont exprimes dans le champ
tournant :
140
5.3. Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee
˙
X(t) = A(ω).X(t) + B.u(t)
Y = C.X(t) + D.u(t)(5.34)
avec
X =[i′
ds i′
qs ϕdr ϕqr
]T: vecteur d’etat (5.35)
u =
[uds
uqs
], Y =
[ids
iqs
]: entrees et sorties du modele electrique (5.36)
A =
−Rs+Rr
Lfωs
Rr
Lf .Lm
ωLf
−ωs −Rs+Rr
Lf− ω
Lf
Rr
Lf .Lm
Rr 0 − Rr
Lm(ωs − ω)
0 Rr −(ωs − ω) − Rr
Lm
, B =
[1
Lf0 0 0
0 1Lf
0 0
]T
(5.37)
C =
[1 0 0 0
0 1 0 0
], D =
3∑k=1
2ηcck
3Rs
P (−θs)Q(θcck)P (θs) (5.38)
Le modele de defaut permet la detection et la quantification de spires en
court-circuit a partir des rapports ηcck, et aussi de localiser ce defaut a travers
les angles θcckpredefinis. Ainsi, on ecrit l’expression du vecteur des parametres a
estimer :
θ = [Rs Rr Lm Lf ηcc1 ηcc2 ηcc3]T (5.39)
A partir des estimations de la machine asynchrone saine effectuees precedem-
ment, on obtient les parametres electriques de reference ainsi que les ponderations
du critere composite JC . Les parametres de defaut ηccketant completement in-
connus, on leur affecte la valeur nulle dans le vecteur θ0 . Ainsi pour toutes les
simulations d’identification, on prend :
141
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
θ0 =[9.7921 5.3079 5.0456 10−01 4.0625 10−02 0 0 0
]T
M−10 = diag(1/4.587 10−03 , 1/5.241 10−04 , 1/1.451 10−04 , 1/4.588 10−07 , 0 , 0 , 0)
σb2 = 0.0413
Dans l’expression de la matrice inverse M−10 , seuls les parametres electriques
possedent une information a priori. Les parametres de defaut etant totalement
inconnus, cela signifie que leur variance ne peut etre qu’infinie, et leur inverse ne
peut donc qu’etre nulle.
5.3.3.2 Resultats de simulation
5.3.3.2.1 Detection et localisation
Pour tester notre methodologie d’identification en boucle fermee dans le cas
de defaut statorique, nous avons envisage deux situations de defauts statoriques :
court-circuit sur une seule phase et court-circuit sur plusieurs phases au stator.
Les simulations ont ete realisees dans le cadre d’un fonctionnement en re-
gulation avec une consigne Ωref qui est donc constante et un couple de charge
variable, seule excitation implicite. Nous nous sommes places dans des conditions
de bruit telles que les bruits des courants ids, iqs sont fortement correles et avec
le rapport S/B = 20 dans le champ tournant. Le bruit de vitesse est un bruit
blanc de rapport S/B = 30.
Les procedures de diagnostic par approche directe et approche indirecte ont
ete appliquees sur les cas suivants :
– cas 1 : Court-circuit de 18 spires sur la phase c du stator,
– cas 2 : Court-circuit de 58 spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b.
Remarque
Pour plus de clarte, nous remplacerons directement les rapports de court-circuit
ηcckpar le nombre de spires en court-circuit ncck
correspondant. Chaque phase
ayant 464 spires, le nombre de spires en court-circuit sur la keme phase est obtenu
142
5.3. Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee
conformement a la relation :
ncck= ηcck
· ns = ηcck· 464
10 209.79
9.792
9.794
9.796
9.798
9.8
Rs
10 205.3
5.305
5.31
Rr
10 200.492
0.494
0.496
0.498
0.5
Lm
10 200.04
0.0402
0.0404
0.0406
0.0408
Lf
10 200
20
40
60
ncc
1
10 200
10
20
30
ncc
2
10 200
1
2
3
4
ncc
3
Fig. 5.4 – Evolution des parametres pour un court-circuit de 58 spires sur laphase a et 29 spires sur la phase b
2 2.5 3 3.5100
150
200
uqs
2 2.5 3 3.50
5
10
iqs
2 2.5 3 3.5
−5
0
5
εuqs
2 2.5 3 3.5
−1
0
1
εiqs
simulation
estimation
Fig. 5.5 – Comparaison des courants et des tensions simules et estimes pour uncourt-circuit de 58 spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b d’axe q de Park
143
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
A titre d’illustration, il est interessant de presenter l’evolution des parametres
estimes lors de la procedure d’identification indirecte. Comme le montre la figure
5.4, seul le nombre de spires en court-circuit estime explique le defaut.
En effet, au cours de la procedure d’identification, les parametres electriques
de la machine asynchrone restent quasiment figes sur l’optimum (en raison de
l’information a priori θ0 ponderee par M0) alors que les rapports de court-circuit
evoluent librement pour approcher le defaut reel.
La figure 5.5 represente la comparaison entre les courants et les tensions simu-
les et estimes dans le repere du champ tournant (correspondant a l’identification
par approche indirecte).
5.3.3.2.2 Comparaison de resultats d’identification par approche di-
recte et approche indirecte
Sur une moyenne de dix simulations, on obtient les valeurs des estimations des
parametres avec information a priori de la machine asynchrone . Les algorithmes
directs et indirects avec correcteur reel et correcteur equivalent surparametrise
sont compares grace a cette simulation stochastique.
Les tableaux 5.1et 5.2 montrent les resultats d’estimation parametrique, por-
tant sur une moyenne de dix simulations pour les deux cas de defauts statoriques.
Ainsi, nous presentons la moyenne de chaque parametre identifie avec une marge
d’erreur egale a ± 3 fois l’ecart type (de la distribution de Monte Carlo).
D’apres les resultats obtenus, l’approche parametrique conduit, en moyenne,
a une estimation satisfaisante du nombre de spires en court-circuit ncckprovoque
sur les phases en defaut. L’erreur d’estimation, pour les deux cas de l’identification
indirecte (I.I.C.R et I.I.C.S), est negligeable et ne depasse pas 3 spires sur les
phases en defaut.
Cependant, on note pour l’identification directe que l’estimation du taux de
defaut sur ces phases pour l’ensemble des simulations, presente une erreur deux
fois plus importante que celle par l’identification indirecte.
On remarque aussi, que l’estimation de nccksur les phases sans defaut est tres
proche de zero pour l’identification indirecte, alors que ce parametre presente un
defaut de quelques spires par l’identification directe.
144
5.3. Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee
θ I.D I.I.C.R I.I.C.S.3
Rs9.8805 10+00 9.7922 10+00 9.7916 10+00
±6.5227 10−02 ±6.3468 10−04 ±3.8940 10−03
Rr5.3095 10+00 5.3079 10+00 5.3079 10+00
±2.1505 10−03 ±1.7846 10−04 ±1.7272 10−04
Lm4.9335 10−01 4.9377 10−01 4.8378 10−01
±1.3655 10−03 ±1.5807 10−05 ±4.8890 10−05
Lf3.8835 10−02 4.0627 10−02 4.0617 10−02
±4.1246 10−04 ±4.7647 10−05 ±5.5365 10−05
ncc1
4.0613 10−01 3.3300 10−02 6.2600 10−02
±9.0310 10−01 ±1.3589 10−01 ±1.2687 10−01
ncc2
5.6011 10−01 5.6080 10−02 4.8280 10−02
±1.4981 10+00 ±8.9889 10−02 ±1.1701 10−01
ncc3
1.8542 10+01 1.7787 10+01 1.8362 10+01
±2.0072 10+00 ±1.5294 10+00 ±1.3850 10+00
Tab. 5.1 – Resultats d’estimation parametrique pour un court-circuit de 18 spiressur la phase c
θ I.D I.I.C.R I.I.C.S.3
Rs9.9161 10+00 9.7956 10+00 9.7928 10+00
±1.7852 10−01 ±1.4397 10−03 ±5.0967 10−03
Rr5.3104 10+00 5.3080 10+00 5.3080 10+00
±3.3186 10−03 ±3.9225 10−04 ±3.0718 10−04
Lm4.9265 10−01 4.9208 10−01 4.8375 10−01
±9.3483 10−03 ±1.2194 10−05 ±8.1338 10−05
Lf3.8448 10−02 4.0609 10−02 4.0625 10−02
±1.1955 10−03 ±1.6937 10−05 ±2.0087 10−05
ncc1
5.9396 10+01 5.8041 10+01 5.8329 10+01
±2.8348 10+00 ±1.9108 10+00 ±2.7581 10+00
ncc2
2.9443 10+01 2.8868 10+01 2.8907 10+01
±2.7111 10+00 ±1.7340 10+00 ±1.8353 10+00
ncc3
5.5603 10−01 5.9956 10−02 6.3388 10−02
±2.1885 10+00 ±1.3732 10−01 ±1.9994 10−01
Tab. 5.2 – Resultats d’identification parametrique pour un court-circuit de 58spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b
145
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ncc
1
−1 0 1 2
ncc
2
16 17 18 19 20 21
ncc
3
ID
IICR
IICS3
valeur exacte
Fig. 5.6 – Resultats d’identification parametrique pour un court-circuit de 18spires sur la phase c
Une projection des estimations du nombre de spires en court-circuit, pour
les deux cas de defauts statoriques, presentee sur les figures 5.6 et 5.7, permet
de visualiser la bonne correspondance entre les estimations et les valeurs reelles.
En plus, on constate une meilleure estimation et une dispersion plus faible des
resultats pour l’identification indirecte (pour un correcteur parfaitement connu
ou estime par surparametrisation).
54 56 58 60 62 64
ncc
1
26 28 30 32
ncc
2
−2 −1 0 1 2 3
ncc
3
ID
IICR
IICS3
valeur exacte
Fig. 5.7 – Resultats d’identification parametrique pour un court-circuit de 58spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b
146
5.3. Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee
5.3.4 Diagnostic d’un defaut rotor
5.3.4.1 Modele de detection
Nous avons presente a la section 5.2.3 un modele de defaut rotorique parame-
tre par les 6 coefficients (Rs , Rr , Lm , Lf , η0 , θ0). La representation d’etat du
modele electrique de la machine, dans le champ tournant, tenant compte de ce
type de defaut est :
˙
X(t) = A(ω).X(t) + B.u(t)
Y = C.X(t)(5.40)
avec
X =[ids iqs ϕdr ϕqr
]T: vecteur d’etat (5.41)
u =
[uds
uqs
], Y =
[ids
iqs
]: entrees et sorties du modele electrique (5.42)
A =
[−
(L−1
f (Rs.I2 + Req) + ωsP (π2))
L−1f
(ReqL
−1m − ωP (π
2))
Req −(ReqL
−1m + (ωs − ω)P (π
2))]
B =
[1
Lf0 0 0
0 1Lf
0 0
]T
, C =
[1 0 0 0
0 1 0 0
]
[Req] = Rr ·
(I2 +
α
1 − αQ(θ0))
)
(5.43)
θ0 est l’angle de reperage de defaut rotor par rapport au champ tournant. Ainsi,
on ecrit l’expression du vecteur des parametres a estimer :
θ = [Rs Rr Lm Lf η0 θ0]T (5.44)
En calculant le nombre de barres cassees nbc correspondant au taux de defaut
sur l’axe de recherche repere par l’angle θ0, on peut en deduire plusieurs situa-
tions :
– si le nombre de barres cassees nbc est negligeable, alors le rotor est sain ;
147
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
– si le nombre de barres cassees nbc est proche de l’unite, alors le rotor com-
porte au moins un defaut dans une barre ;
– si nbc > 1, alors le rotor comporte plus d’une barre cassee. On introduit
dans le modele deux parametres η01 et η02 correspondant respectivement au
taux de defauts sur deux axes de recherche reperes par les angles θ01 et θ02.
On definit alors le nouveau vecteur des parametres a estimer :
θ = [Rs Rr Lm Lf η01 η02 θ01 θ02]T (5.45)
On calcule les parametres nbckcorrespondant aux taux de defaut sur les
deux barres.
Ce processus est reitere si nbck> 1.
Remarque
En application industrielle, il est evident que la simple detection d’une barre
cassee est suffisante pour envisager soit le changement du rotor dans le cas des
petites et moyennes puissances, soit sa reparation pour les grandes puissances.
Dans ce cas, le diagnostic sur un seul axe est suffisant pour une maintenance
predictive de la machine.
5.3.4.2 Resultats de simulation
5.3.4.2.1 Detection et localisation
Nous avons teste la procedure de diagnostic de rupture de barres en boucle
fermee dans les situations suivantes :
– un rotor possedant une seule barre cassee, l’angle de defaut par rapport au
rotor est 4π28
;
– un rotor avec deux barres cassees successives ∆θ = 2π28
.
Les simulations ont ete realisees dans le cadre d’une excitation par couple de
charge, seule excitation implicite. Nous nous sommes places dans des conditions
de bruit telles que les bruits des courants ids, iqs sont fortement correles et avec
le rapport S/B = 20 dans le champ tournant. Le bruit de vitesse est un bruit
blanc de rapport S/B = 30.
Comme pour les courts-circuits au stator, nous remplacons directement le pa-
rametre η0 par le nombre de barres cassees correspondant nbc. Le nombre total
148
5.3. Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee
de barres au rotor est egal a 28 , le nombre de barres cassees est obtenu confor-
mement a la relation :
nbc = η0 ·nb
3= η0 ·
28
3
2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n0
2 4 6 8 10 12 140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
θ0
Fig. 5.8 – Evolution des parametres de defaut pour une barre cassee
La figure 5.8 represente l’evolution des parametres lors de la procedure d’iden-
tification indirecte relative a l’essai avec une barre cassee. Pour le meme essai, on
represente a la figure 5.9 la comparaison entre le courant reel et le courant estime
ainsi que la comparaison entre la commande reelle et la commande estimee sur
l’axe q de repere du champ tournant.
Les residus sur les courants (εids, εiqs
) traduisent les types de bruits introduits
lors de la simulation de la machine asynchrone.
Malgre l’initialisation a zero du parametre n0, le nombre de barres cassees
estime est proche de l’unite. On peut par ailleurs constater que l’angle de defaut
estime est tres proche de la realite.
La figure 5.10 represente l’evolution des parametres lors de la procedure
d’identification indirecte pour deux barres cassees successives.
Les resultats de l’identification font apparaıtre l’existence d’une defaillance au
rotor. Il paraıt clair d’apres la figure 5.10 que le taux de defaut sur un seul axe est
superieur a l’unite. Par consequent, le nombre de barres en defaut est superieur
a une barre.
Dans ce cas particulier ou les defauts sont successifs, le nombre de barres
cassees estime sur un seul axe est approximativement proche de la realite.
149
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
2 2.5 3 3.5
120
140
160
180
200
uqs
2 2.5 3 3.52
4
6
8
iqs
2 2.5 3 3.5
−1
0
1
εiqs
2 2.5 3 3.5
−5
0
5
εuqs
Fig. 5.9 – Comparaison des courants et des tensions simules et estimes pour unerupture d’une barre
5 10 159.79
9.7929.7949.7969.798
9.89.802
Rs
5 10 15
5.3
5.305
5.31
5.315
Rr
5 10 15
0.5
0.5005
0.501
0.5015
Lm
5 10 150.0385
0.039
0.0395
0.04
Lf
5 10 150
0.5
1
1.5
2
n0
Fig. 5.10 – Evolution des parametres pour un defaut de deux barres cassees
150
5.3. Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee
5.3.4.2.2 Comparaison de resultats d’identification par approche di-
recte et approche indirecte
Sur une moyenne de dix simulations, on obtient les valeurs des estimations des
parametres avec information a priori de la machine asynchrone. Les algorithmes
directs et indirects avec correcteur reel et correcteur equivalent surparametrise
sont compares grace a cette simulation stochastique.
Le tableau 5.3 presente les resultats d’identification, dans le cas d’une barre
cassee, pour une moyenne de dix simulations differentes. Ainsi, nous presentons,
la moyenne de chaque parametre identifie avec une marge d’erreur egale a ± 3
fois l’ecart type.
θ I.D I.I.C.R I.I.C.S.3
Rs9.8585 10+00 9.7916 10+00 9.7917 10+00
6.8541 10−02 2.3263 10−03 2.4996 10−03
Rr5.3047 10+00 5.3079 10+00 5.3078 10+00
1.3682 10−02 1.2902 10−04 3.4278 10−04
Lm4.9548 10−01 4.8382 10−01 4.8381 10−01
3.5792 10−03 1.2777 10−04 1.4614 10−04
Lf3.8837 10−02 4.0625 10−02 4.0618 10−02
5.2716 10−04 7.3050 10−05 4.1435 10−05
n01.0171 10+00 1.0313 10+00 1.0215 10+00
1.6797 10−01 8.4558 10−02 8.1024 10−02
θ04.3736 10−01 4.4219 10−01 4.4622 10−01
9.0931 10−02 8.6426 10−02 9.1245 10−02
Tab. 5.3 – Resultats d’estimation parametrique (defaut rotorique)
En premier lieu, on peut remarquer que les parametres electriques du mode
commun sont peu affectes par le defaut. Leurs variations dans l’ensemble des
situations sont negligeables. En revanche, l’estimation du parametre nbc indique
la presence d’un desequilibre au rotor. L’angle θ0 indique la position du defaut
par rapport au rotor. Ainsi, on peut constater la bonne correspondance entre les
estimations et les valeurs reelles. En plus, on remarque une meilleure estimation
et surtout une dispersion plus faible des resultats pour l’identification indirecte
(I.I.C.R et I.I.C.S.3).
151
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
5.3.5 Diagnostic de defauts simultanes stator/rotor
5.3.5.1 Modele de detection
Nous avons presente a la section 5.2.4 un modele global de defauts simultanes
stator/rotor. On definit donc le vecteur des parametres a estimer :
θ = [Rs Rr Lm Lf ηcc1 ηcc2 ηcc3 η0 θ0]T (5.46)
La representation d’etat du modele electrique de la machine, dans le champ
tournant, tenant compte de ce type de defauts est :
˙
X(t) = A(ω).X(t) + B.u(t)
Y = C.X(t) + D.u(t)(5.47)
avec
X =[i′
ds i′
qs ϕdr ϕqr
]T: vecteur d’etat (5.48)
u =
[uds
uqs
], Y =
[ids
iqs
]: entrees et sorties du modele electrique (5.49)
A =
[−
(L−1
f (Rs.I2 + Req) + ωsP (π2))
L−1f
(ReqL
−1m − ωP (π
2))
Req −(ReqL
−1m + (ωs − ω)P (π
2))]
B =
[1
Lf0 0 0
0 1Lf
0 0
]T
, C =
[1 0 0 0
0 1 0 0
]
D =3∑
k=1
2ηcck
3Rs
P (−θs)Q(θcck)P (θs)
[Req] = Rr ·
(I2 +
α
1 − αQ(θ0))
)
(5.50)
5.3.5.2 Resultats de simulation
5.3.5.2.1 Detection et localisation
152
5.3. Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee
Comme precedemment, les simulations ont ete realisees dans le cadre d’une
excitation par couple de charge, seule excitation implicite. Nous nous sommes
places dans des conditions de bruit telles que les bruits des courants ids, iqs
sont fortement correles avec le rapport S/B = 20 dans le champ tournant. Le
bruit de vitesse est un bruit blanc de rapport S/B = 30.
Concretement, on procede d’abord a un essai avec une machine saine. La figure
5.11 presente l’evolution des parametres de defaut estimes lors de la procedure
d’identification indirecte dans le cas d’une machine saine.
5 10 150
0.05
0.1
ncc
1
5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
ncc
2
5 10 150
0.02
0.04
0.06
ncc3
5 10 150
0.005
0.01
nbc
Fig. 5.11 – Evolution des parametres de defaut dans le cas d’une machine sainepar identification indirecte
On verifie bien d’apres la figure 5.11, qu’en absence de defaut dans la machine
asynchrone et en utilisant le modele global de defauts comme modele d’identi-
fication, les parametres de defaut presentent des taux de defauts negligeables,
signalant donc une absence de defauts.
Pour analyser le comportement du modele lors de defauts simultanes stator
et rotor, nous effectuons l’essai d’un court-circuit de 29 spires sur la phase as, de
18 spires sur la phase cs et deux barres cassees successives avec ∆θ =2π
28.
A titre d’illustration, il est interessant de presenter l’evolution des parametres
estimes lors de la procedure d’identification indirecte et la procedure d’identifica-
tion directe. L’objectif est en fait de comparer la rapidite de convergence ainsi que
la precision de l’estimation des parametres pour les deux types d’identification.
153
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
5 10 15 20 250
10
20
30
ncc
1
5 10 15 20 250
2
4
6
ncc2
5 10 15 20 250
5
10
15
20
ncc
3
5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
2.5
nbc
Fig. 5.12 – Evolution des parametres pour un court-circuit de 29 spires sur laphase a, 18 spires sur la phase c et deux barres cassees par identification indirecte
2 4 6 80
10
20
30
ncc
1
2 4 6 80
1
2
3
4
ncc
2
2 4 6 80
5
10
15
20
25
ncc
3
2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
nbc
Fig. 5.13 – Evolution des parametres pour un court-circuit de 29 spires sur laphase a, 18 spires sur la phase c et deux barres cassees par identification directe
154
5.3. Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee
Comme le montrent les figures 5.12 et 5.13, le nombre de spires en court-
circuit estime et le nombre de barres cassees expliquent le defaut. En effet, au
cours de la procedure d’identification, les parametres electriques de la machine
asynchrone restent quasiment figes sur l’optimum (en raison de l’information a
priori θ0 ponderee par M0) alors que les rapports de court-circuit et des barres
cassees evoluent librement pour approcher le defaut reel.
On remarque aussi que l’identification directe necessite moins d’iterations pour
converger que l’approche indirecte. Mais, en contre partie, l’estimation des pa-
rametres de defaut par approche indirecte apparaıt plus precise que celle par
approche directe.
La figure 5.14 represente la comparaison entre les courants (et les tensions)
simules et estimes dans le repere du champ tournant dans le cas d’un court-
circuit de 29 spires sur la phase a, 18 spires sur la phase c et deux barres cassees
(correspondant a l’identification par approche indirecte).
1.5 2 2.5 3 3.5−30
−20
−10
0
10
uds
1.5 2 2.5 3 3.51
1.5
2
2.5
ids
1.5 2 2.5 3
120
140
160
180
200
uqs
1.5 2 2.5 3 3.52
4
6
8
10
iqs
simulation
estimation
Fig. 5.14 – Comparaison des courants (et tensions) simules et estimes pour uncourt-circuit de 29 spires sur la phase a, 18 spires sur la phase c et deux barrescassees
5.3.5.2.2 Comparaison de resultats d’identification par approche di-
recte et approche indirecte
155
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
Comme precedemment, la strategie de diagnostic de la machine asynchrone
consiste a effectuer plusieurs estimations des parametres du modele de defaut glo-
bal. La moyenne des estimations des parametres ηcckindique le nombre de spires
en court-circuit sur chacune des trois phases et le parametre η0 permet d’obtenir
le nombre de barres cassees au rotor conformement a :
– nombre de spire en defaut sur la keme phase : ncck= ηcck
· ns ;
– nombre de barres cassees au rotor : nbc =η0nb
3.
θ I.D I.I.C.R I.I.C.S.3
Rs9.8895 10+00 9.7927 10+00 9.7930 10+00
±6.4223 10−02 ±1.8141 10−03 ±2.5298 10−03
Rr5.3102 10+00 5.3079 10+00 5.3080 10+00
±1.9567 10−03 ±9.9975 10−05 ±1.6172 10−04
Lm4.9116 10−01 4.8377 10−01 4.8377 10−01
±1.2460 10−03 ±6.0462 10−05 ±9.3287 10−05
Lf3.8601 10−02 4.0629 10−02 4.0634 10−02
±1.7313 10−04 ±2.3874 10−05 ±1.5670 10−05
ncc1
2.9854 10+01 2.8626 10+01 2.8248 10+01
±2.9300 10+00 ±2.1003 10+00 ±2.2901 10+00
ncc2
4.9395 10−01 1.2838 10−01 1.2619 10−01
±8.5083 10−01 ±2.3694 10−01 ±1.6647 10−01
ncc3
1.9054 10+01 1.8267 10+01 1.8001 10+01
±1.9662 10+00 ±5.7173 10−01 ±9.5223 10−01
n02.1043 10+00 2.0459 10+00 2.0504 10+00
±1.9851 10−01 ±3.3049 10−01 ±2.3863 10−01
Tab. 5.4 – Resultats d’estimation parametrique (defauts simultanes)
Le tableau 5.4 resume les resultats de l’estimation parametrique pour l’en-
semble des simulations. Les resultats obtenus montrent la concordance entre les
parametres estimes et les parametres reels du defaut (une erreur maximale de
3 spires pour l’identification indirecte sur les phases en defaut et de plus que 5
spires pour l’identification directe). On peut aussi remarquer que les parametres
electriques de la machine ne sont pas affectes par l’introduction des differents
defauts sur la machine. Seuls les parametres de defaut varient en fonction de
l’origine du desequilibre.
En conclusion, l’algorithme d’identification parametrique avec information a
priori est robuste face a des defauts simultanes stator/rotor. On peut aussi consta-
ter que l’estimation des parametres par approche indirecte presente de bons re-
156
5.4. Conclusion
sultats en simulation qui donnent une image tres realiste du desequilibre present
dans la machine.
Une projection des estimations du nombre de spires en court-circuit et du
nombre des barres cassees, presentee sur la figure 5.15, permet de visualiser la
bonne correspondance entre les estimations et les valeurs reelles. En plus, on
constate une meilleure estimation et une dispersion plus faible des resultats pour
l’identification indirecte. On peut remarquer qu’avec cette approche, l’estimation
des defauts est mieux centree que l’approche directe. De plus, la variance des
estimations est plus faible. L’interet de cette variance plus faible est manifeste en
absence de defaut : alors que l’approche directe laisse subsister un doute sur ncc2
(figure 5.15).
Comme les estimations par approche indirecte fournissent une dispersion ne-
gligeable au tour de la valeur zero, on peut en deduire que cette approche permet
de reduire le taux de fausses-alarmes.
26 28 30 32 34
ncc
1
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ncc
2
16 18 20 22
ncc
3
1.8 2 2.2 2.4
nbc
ID
IICR
IICS3
valeur exacte
Fig. 5.15 – Resultats d’estimation parametrique (defauts simultanes)
5.4 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons propose une procedure de detection et de loca-
lisation des defauts sur la machine asynchrone basee sur l’identification parame-
trique par approche indirecte et sur l’utilisation de modeles dedies aux defauts
statoriques et rotoriques.
157
Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte
Cette procedure de diagnostic en boucle fermee a ete validee en simulation, en
utilisant une excitation implicite due aux variations du couple de charge. Elle a
permis d’une part, la localisation au stator de spires en court-circuit sur plusieurs
phases et la determination de leur nombre, et d’autre part, de quantifier le nombre
de barres cassees au rotor.
Ce dernier chapitre apporte une reponse a nos interrogations initiales exposees
dans l’introduction generale :
– l’excitation du modele electrique par couple de charge est-elle suffisamment
riche pour satisfaire aux objectifs d’identification ?
– est-il possible d’ameliorer la detection de defauts en prenant en compte ex-
plicitement la nature bouclee du fonctionnement de la machine asynchrone ?
Concernant l’excitation par le couple de charge, toutes les etudes en simula-
tion, que ce soit sur la machine a courant continu ou la machine asynchrone ont
montre sa pertinence. Par ailleurs, son utilisation n’induit pas de biais specifique a
condition bien evidemment d’utiliser un algorithme d’identification par approche
indirecte.
Concernant l’amelioration de la detection de defauts stator et rotor, l’approche
indirecte semble apporter une meilleure precision d’estimation de nature a lever
des doutes (principalement en absence de defauts) et surtout une absence de
biais asymptotique, caracteristique essentielle de l’approche directe. Toutefois,
il faut reconnaıtre que l’approche indirecte converge nettement plus lentement
que son homologue directe : une solution a ce probleme pratique serait d’utiliser
l’approche directe pour initialiser l’approche indirecte.
158
Conclusion generale
Dans l’introduction generale, nous nous sommes donne fondamentalement
pour objectif l’amelioration du diagnostic par estimation parametrique de la ma-
chine asynchrone. Pour cela, nous avons defini deux voies de recherche, l’une
concernant un mode d’excitation acceptable par l’utilisateur grace aux pertur-
bations induites par les variations du couple de charge, l’autre dediee a l’iden-
tification de la machine asynchrone par une methodologie prenant en compte
explicitement l’algorithme de commande de la boucle fermee. Cependant, avant
d’aboutir a cet objectif final, il nous a semble judicieux de definir des etapes inter-
mediaires pour la mise au point d’une methodologie generale d’identification en
boucle fermee de la machine asynchrone, utilisable pour le diagnostic, mais aussi
dans toute autre application necessitant une estimation parametrique, telle que la
modelisation physique de la machine, la synthese d’un algorithme de commande,
etc. D’autre part, toute cette etude a ete validee en simulation numerique, grace
a la mise au point d’une plate-forme de simulation.
Dans le premier chapitre, nous avons presente quelques rappels sur la consti-
tution de la machine asynchrone ainsi que sur sa commande par controle vectoriel
a flux rotorique oriente. Nous nous sommes volontairement attardes sur le mo-
dele triphase et le modele de Park de la machine pour determiner les modeles
(dedies a l’identification directe et l’identification indirecte) qui sont a la base
de la procedure de diagnostic par estimation parametrique. Nous avons aussi de-
crit un simulateur numerique de la machine asynchrone, incluant son algorithme
de commande, charge de generer des donnees de validation pour les algorithmes
d’identification.
Nous avons consacre le deuxieme chapitre a la presentation de differentes me-
thodes d’identification en boucle fermee, classees en trois approches suivant leurs
hypotheses d’utilisation : l’approche directe, l’approche simultanee et l’approche
indirecte. Une attention particuliere a ete portee a l’identification indirecte par
159
Conclusion generale
erreur de sortie qui fait l’objet de ce memoire. Cette methode a ete evaluee en
simulation, ce qui a permis d’effectuer une premiere quantification de ses perfor-
mances. Le principal interet de cette methode reside dans la non connaissance a
priori du correcteur. La procedure d’identification du correcteur par surparame-
trisation semble bien adaptee a une situation industrielle, car elle ne necessite ni
la connaissance des parametres, ni la structure exacte du correcteur.
Dans le troisieme chapitre, nous avons propose une methode d’identification
en boucle fermee de la machine a courant continu basee sur l’approche indirecte.
En effet, le choix de la machine a courant continu nous a paru judicieux comme
plateforme de test de notre approche avec une complexite limitee. Le principal
interet de cette methodologie d’identification reside dans la non connaissance a
priori du correcteur. La commande realisee est du type cascade avec correcteurs
imbriques : dans ce cas, la technique de surparametrisation nous semble un moyen
permettant de contourner cette difficulte. Par ailleurs cette technique d’identifi-
cation peut fonctionner en n’utilisant que l’excitation implicite causee par les
variations du couple de charge. Une comparaison des resultats d’identification
par approche directe et par approche indirecte montre que les resultats d’iden-
tification sont globalement satisfaisants en approche indirecte (en utilisant la
structure exacte du correcteur ou la structure surparametrisee), alors qu’un biais
asymptotique dependant de la nature et de la variance du bruit se manifeste en
approche directe. Nous avons constate aussi que l’identification directe presente
une variance plus importante sur les parametres que l’approche indirecte.
On s’est interesse dans le quatrieme chapitre a l’application de cette methode
au cas de la machine asynchrone. Plusieurs problemes ont ete souleves : dans le
cas de la MCC, on ne se pose pas la question du repere car il n’y en a qu’un
de possible, celui du champ tournant, alors que le fonctionnement de la machine
asynchrone peut etre analyse dans trois reperes principaux : repere lie au stator,
repere lie au rotor et repere lie au champ tournant. Un autre probleme concerne
le correcteur equivalent a la commande vectorielle : alors qu’il est uniquement
cascade dans le cas de la MCC, il est cascade, multivariable et non lineaire pour
la machine asynchrone. On choisit habituellement le repere lie au rotor de la ma-
chine asynchrone pour l’identification directe car c’est celui qui necessite le moins
de transformations/estimations. Comme on veut proceder a une identification in-
directe prenant en compte les correcteurs, on est oblige de se placer dans le repere
du champ tournant. En effet, la commande et les correcteurs ont ete concus dans
le repere du champ tournant (comme pour une MCC) afin d’asservir le flux et le
couple : il est donc imperatif de se referer au champ tournant. Malheureusement,
160
la position du champ tournant n’est pas connue et elle doit necessairement etre
estimee : l’identification en boucle fermee de la machine asynchrone est donc net-
tement plus complexe et plus delicate que celle de la MCC. L’etude comparative
en simulation numerique a montre que le biais asymptotique sur l’estimation des
parametres electriques est quasi inexistant pour l’approche indirecte alors qu’il
depend nettement de la nature et de la variance des bruits sur les courants pour
l’approche directe. Par ailleurs, nous avons verifie que l’excitation par couple
de charge s’avere satisfaisante et suffisante, tout en garantissant une meilleure
precision pour l’approche indirecte.
Le cinquieme chapitre est dedie au diagnostic de la machine asynchrone par
estimation parametrique grace a l’approche indirecte. Il constitue la reponse es-
sentielle a notre interrogation initiale exposee dans l’introduction generale. Cette
methodologie de detection de defauts repose fondamentalement sur la definition
de modeles dedies aux defauts [Bachir, 2002]. Le premier modele permet d’ex-
pliquer un court-circuit sur plusieurs phases statoriques, le second tient compte
du desequilibre au rotor du type rupture de barres. Enfin, l’association de ces
deux modeles avec le modele nominal˝a permis de definir un modele global en
situation de defauts simultanes stator/rotor, pour une surveillance generalisee de
la machine asynchrone a cage. La encore, les etudes comparatives effectuees en
simulation numerique ont montre que l’approche indirecte permet une ameliora-
tion de la detection de defauts, qu’ils soient au stator, au rotor, ou simultanes, en
permettant de rejeter la presomption de defauts en fonctionnement sain, et cela
grace a la seule excitation creee par les variations du couple de charge. Il faut ce-
pendant constater un accroissement net du temps de convergence de l’algorithme
en approche indirecte.
Bien que des reponses aient ete apportees a nos interrogations initiales, notre
travail est cependant loin d’etre acheve, et cela pour plusieurs raisons. La premiere
concerne la validation experimentale de notre methodologie : il devient essentiel
de verifier les resultats d’identification par approche indirecte sur une application
reelle. En effet, bien que la simulation numerique ait ete concue dans un souci
de realisme, il devient indispensable de verifier certaines hypotheses relatives aux
bruits, sur les courants et sur la vitesse. D’autre part, un point nevralgique pour
l’utilisation du repere du champ tournant concerne l’estimation de sa position :
il sera donc tres instructif d’analyser son influence sur l’identification indirecte
en situation reelle. Enfin, bien que les correcteurs aient ete envisages avec des
compensations non lineaires, il va etre fondamental de tester la methodologie
avec des correcteurs reellement implantes sur calculateur.
161
Conclusion generale
Nous avons signale qu’un bruit sur la vitesse induisait un biais asymptotique
qu’il n’est pas possible de rejeter par approche indirecte, cela car la vitesse est
consideree comme une pseudo-entree. Ce point la va meriter une attention particu-
liere en situation experimentale, afin de quantifier l’influence de cette contrainte.
Une piste de recherche peut aussi concerner la prise en compte d’un modele elec-
tromecanique complet (annexe C), pour eviter la contrainte de la pseudo-entree
vitesse. Mais bien sur, cela repousse le probleme sur la connaissance du couple
de charge ou de son estimation.
Enfin, on peut donner comme objectif plus general l’analyse des erreurs de
modelisation de la machine asynchrone comme voie d’amelioration du diagnos-
tic. A cet effet, la modelisation des barres rotoriques par de simples resistances
n’est pas de nature a prendre en compte les effets de frequence dus aux cou-
rants de Foucault : leur modelisation par approche fractionnaire semble donc une
piste pertinente d’amelioration du diagnostic, au prix cependant d’un surcroıt de
complexite.
162
Annexe A
Biais de l’estimateur
A.1 Algorithme a erreur de sortie
Le vecteur parametre θ est reactualise par l’algorithme de Gauss-Newton de
la maniere suivante :
θi+1 = θi − [J ′′θθ]
−1 · J ′θ θ=θi
(A.1)
avec :
– J′
θ = −2K∑
k=1
εkσk : Le gradient,
– J′′
θθ = 2K∑
k=1
σkσTk : Le pseudo-hessien,
– εk = yk + bk − yk(θ) : le residu,
– yk(θ) : le modele simule grace a la connaissance de l’excitation uk et de
l’estimation θ des parametres du systeme.
A.2 Hypothese deterministe
On suppose dans un premier temps que la sortie n’est pas bruitee, c’est-a-dire
que le bruit de sortie bk = 0 quel que soit k.
On fait par ailleurs l’hypothese que θex est la valeur exacte des parametres et
que l’on connaıt parfaitement l’ordre du systeme.
163
Annexe A. Biais de l’estimateur
Alors yk(θex) = yk pour bk = 0 ∀k et pour des conditions initiales nulles.
Initialisons l’algorithme de Gauss-Newton a θi = θex.
Alors
εk = yk − yk(θex) = 0 ∀k
donc
J′
θ = −2
K∑
k=1
εkσk = −2
K∑
k=1
0 · σk = 0
alors
θi+1 = θex − 0 = θex
En absence de bruit de sortie, l’algorithme converge vers θex (minimum ab-
solu).
A.3 Hypothese stochastique
Soit bk un bruit de sortie quelconque (blanc ou correle) mais de moyenne nulle.
Alors lorsque θ = θex, εk = bk. Dans ce cas, le gradient ne peut plus s’annuler
pour θex et il apparaıt une erreur d’estimation (pour un nombre fini K de points
de mesure).
Remarquons que :
[J ′′θθ]
−1 · J ′θ = −
[2
K∑k=1
σkσtk
]−1
·
[2
K∑k=1
εkσk
]
= −
[2
K
K∑k=1
σkσtk
]−1
·
[2
K
K∑k=1
εkσk
] (A.2)
164
A.3. Hypothese stochastique
Alors
limK→∞
1
K
K∑k=1
σkσtk = E σkσ
tk
et
limK→∞
1
K
K∑k=1
εkσk = E εkσk
(A.3)
Soit
E εkσk = E
(yk + bk − yk(θ))σk
= E
(yk − yk(θ))σk
+ E bkσk
Lorsque θ = θex , E(
yk − yk
(θ))
σk
= 0.
Alors
θi+1 = θi +[E
σkσ
tk
]−1· E εkσk
Soit θi = θex
alors ǫk = bk et
θi+1 = θex + [E σkσtk]
−1· E bkσk
= θex + ∆θ∞ (lorsque K → ∞)(A.4)
Plusieurs situations sont envisageables :
– Identification en boucle ouverte
– Identification directe en boucle fermee
– Identification indirecte en boucle fermee
165
Annexe A. Biais de l’estimateur
A.3.1 Identification en boucle ouverte
y∗k
uk
yk(θ)
+
+
bk
Systeme
Modele
σk
yk
Fig. A.1 – Identification en boucle ouverte
Les fonctions de sensibilite σk sont calculees a partir de uk (independant du
bruit bk) et ne sont donc pas correlees avec bk.
Soit
E σkbk = σkE bk = 0
alors θ∞
= 0
donc θi+1 = θex lorsque K → ∞, en identification boucle ouverte, l’algorithme
converge vers θex, quelle que soit la nature du bruit (de moyenne nulle).
A.3.2 Identification en boucle boucle fermee par approche
directe
+-rk
y∗k
uk
yk(θ)
+
+
bk
Systeme
Modele
σk
Correcteur
Fig. A.2 – Identification en boucle fermee par approche directe
166
A.3. Hypothese stochastique
Dans ce cas σk est calcule a partir de uk, qui lui meme est calcule (via le
correcteur) a partir de bk. Donc σk est correle avec bk et E σkbk 6= 0 donc
θ∞
6= 0 ce qui induit un biais asymptotique. C’est-a-dire que l’algorithme de
Gauss-Newton ne peut plus converger vers θex (lorsque K → ∞).
Remarque
En situation boucle fermee et en identification indirecte, lorsque bk est un bruit
blanc, uk n’est pas correle avec bk, mais avec bk−1,bk−2, . . .a cause du retard
inherent au correcteur numerique. Alors E σkbk = 0 malgre le bouclage.
A.3.3 Identification en boucle boucle fermee par approche
indirecte
rk
+- uk
ModeleCorrecteur
yk(θ)
+- y∗
kuk ++bk
SystemeCorrecteur
σ∗k
Fig. A.3 – Identification en boucle fermee par approche indirecte
uk est une entree reconstruite, obtenue par simulation. Dans ce cas σ∗k est
calcule a partir de uk, lui meme est calcule a partir de rk et yk(θ), sans que le
bruit bk intervienne dans la boucle.
Alors σ∗k est independant de bk donc E σ∗
kbk = 0 et θ∞
= 0
L’algorithme de Gauss-Newton peut alors reconverger vers θex, lorsque σ∗k est
calcule a partir d’une deuxieme boucle fermee, independante de bk.
167
Annexe A. Biais de l’estimateur
168
Annexe B
Relations lineaires entre
moments discrets et parametres
du correcteur
Les relations etablies dans cette annexe sont tirees de [Trigeassou, 1987] et
[Grospeaud, 2000].
B.1 Cas d’un correcteur sans integrateur
Soit
C(z) =r0 + r1z
−1 + · · ·+ rmz−m
1 + s1z−1 + · · ·+ snz−n(B.1)
Nous avons defini dans le chapitre 2 le principe des moments discrets comme
etant le developpement de C(z) en serie de Taylor au voisinage de z−1 = 1. On
obtient :
Z ck = C(z) =
∞∑
n=0
(z−1 − 1)n
n!Cn (B.2)
169
Annexe B. Relations lineaires entre moments discrets et parametres du correcteur
ou
Cn =∞∑
k=n
Ankck avec An
k =k!
(k − n)!(B.3)
Cn(ck) est le moment discret d’ordre n de ck.
La serie∞∑
n=0
un
n!Cn(ck) est entierement definie dans son domaine de convergence.
Par ailleurs, les moments discrets Cn sont parfaitement definis dans le cas d’un
systeme stable.
Soient les polynomes β(u) et α(u) correspondant respectivement au numera-
teur et au denominateur du correcteur C(z) obtenus en remplacant la variable
(z−1 − 1) par la variable u et en developpant les expressions en serie de Taylor
selon la forme precedente.
Soit
β(u) =M∑
n=0
unβn
α(u) =N∑
n=0
unαn
(B.4)
ou
βn =M∑
k=n
Ankrk et An
k = k!n!(k−n)!
αn =N∑
k=n
Anksk
(B.5)
D’apres les relations (B.4) et (B.5), et comme C(u) = β(u)α(u)
, on obtient alors
l’egalite suivante :
C(u) =
M∑n=0
unβn
N∑n=0
unαn
=
N∑
n=0
un
n!Cn(ck) (B.6)
Les moments discrets Cn(ck) recherches peuvent donc etre calcules par division
170
B.2. Cas d’un correcteur avec un integrateur
polynomiale ou par convolution discrete. Ils sont solution du systeme lineaire
triangulaire.
β0 = α0C0
β1 = α1C0 + α0C1
β2 = α2C0 + α1C1 +1
2!α0C2
...
βi =n=i∑n=0
1
n!αi−nCn
...
βN = αNC0 + αN−1C1 +1
2!αN−2C2 + · · · +
1
n!α0CN
(B.7)
Les moments Cn sont obtenus successivement a partir des relations recurrentes
suivantes
C0 = 0!β0/α0
C1 = 1! [β1 − α1C0] /α0
C2 = 2! [β2 − α2C0 − α1C1] /α0
...
Cn = n!
[βn −
n−1∑i=0
1
i!Ciαn−i
]/α0
...
CN = N !
[βN − αNC0 − αN−1C1 −
1
2!αN−2C2 − · · · −
1
(n − 1)!α1CN−1
]/α0
(B.8)
B.2 Cas d’un correcteur avec un integrateur
Lorsque le correcteur possede une integration, le calcul des moments differe
du cas precedent.
Soit
C(u) = −1
u
∞∑
n=0
un
n!Cn (B.9)
171
Annexe B. Relations lineaires entre moments discrets et parametres du correcteur
On obtient alors l’egalite suivante :
C(u) =
M∑n=0
unβn
N∑n=0
unαn
= −1
u
N∑
n=0
un
n!Cn(ck) (B.10)
Les moments discrets Cn recherches peuvent donc etre calcules par division
polynomiale ou par convolution discrete. Ils sont obtenus a partir des relations
recurrentes suivantes :
C0 = 0!−β0/α1
C1 = 1! [−β1 − α2C0] /α1
C2 = 2! [−β2 − α3C0 − α2C1] /α1
C3 = 3!
[−β3 − α4C0 − α3C1 −
1
2!α2C2
]/α1
...
Cn = n!
[−βn −
n−1∑i=0
1
i!Ciαn+1−i
]/α1
...
CN = N !
[−βN − αNC1 −
1
2!αN−1C2 − · · · −
1
(n − 1)!α2CN−1
]/α1
(B.11)
172
Annexe C
Identification de la machine a
courant continu
R
e
L
i
u ω
Cr
Fig. C.1 – Machine a courant continu (MCC)
Le modele electromecanique de la MCC se subdivise en deux modeles :
Un modele electrique
u = R · i + L ·di
dt+ k · φ · ω (C.1)
173
Annexe C. Identification de la machine a courant continu
Un modele mecanique
J ·dω
dt= k · φ · i − Cr − f · ω (C.2)
Pour une MCC a aimants parmanents, le flux φ est constant et on introduit
le parametre K telque K = k · φ. Dans ces equations, u et i sont les grandeurs
electriques relatives au rotor, tandis que ω et Cr sont les grandeurs mecaniques
relatives a la dynamique de rotation.
Les variables u, i et ω sont des grandeurs facilement mesurables ; par contre, le
couple resistant Cr n’est que tres rarement mesure, voire jamais dans la pratique
industrielle.
Du point de vue de la causalite, les variables u et Cr sont des variables qui
agissent sur le rotor et sa dynamique de rotation : ce sont donc des entrees ou
des excitations dans une formulation automaticienne.
Les variables i et ω resultent de l’action de ces variables d’excitation : ce sont
donc des sorties ou des reponses a ces excitations.
On peut donc schematiser la MCC par le systeme a 2 entrees / 2 sorties
caracterise par les parametres R , L , K , J , f
ω
i
Cr
u
θT = [R L K J f ]
Fig. C.2 – Les entrees / sorties de la MCC
On peut donc formuler le probleme de l’identification du modele de la MCC
selon : estimer les parametres θ grace aux mesures u , Cr , ω , i .
Comme on l’a dit precedemment, la variable Cr n’est pas mesuree et le modele
electromecanique ne peut donc pas etre identifie directement dans sa globabilite.
Un solution triviale consiste a supposer que la MCC fonctionne a vide : alors
Cr = 0 et le modele global est theoriquement identifiable.
174
On notera neanmoins que Cr n’est jamais identiquement nul et qu’il subiste
un couple de frottement sec inconnu : l’identification n’est donc pas possible en
pratique, sauf si on fait l’hypothese que ce couple est constant et qu’on l’assimile
a une composante continue que l’on va aussi identifier.
Lorsque le couple de charge est proportionnel a la vitesse ou a son carre
(Cr = αω ou Cr = βω2) le modele redevient identifiable : les coefficients α et
β ne sont alors rien d’autres qu’une generalisation du coefficient de frottement
visqueux f .
Cependant, en pratique industrielle, le couple de charge doit etre considere
comme une grandeur non mesuree inherente au fonctionnement de la machine,
que l’on considere comme une grandeur de perturbation dans une approche au-
tomaticienne, et dont on rejette l’influence grace a un asservissement ou une
regulation.
Aussi, il est plus simple de realiser l’identification de la MCC en s’appuyant
sur les particularites de ses modeles electrique et mecanique.
Le modele mecanique fait explicitement appel a l’excitation Cr : on identi-
fie alors les parametres mecaniques J et f grace a des essais de ralentissement
conventionnels, lesquels essais sont necessairement hors ligne.
Le modele electrique ne fait pas explicitement appel a l’excitation Cr : il
peut donc etre identifie grace aux mesures u, i et ω , en considerant u comme
une entree, i comme une sortie et ω comme une entree (ou plutot comme une
pseudo-entree).
Soit
u − k · φ · ω = R · i + L ·di
dt(C.3)
u est une veritable entree, verifiant le principe de causalite ; par contre ω est
une sortie d’un point de vue causal. En considerant que ω est une variable d’ex-
citation, on viole donc le principe de causalite, mais on rend le modele electrique
identifiable.
Comme ce modele ne fait pas intervenir explicitement Cr, il peut etre utilise
en charge, et a couple de charge variable.
175
Annexe C. Identification de la machine a courant continu
Dans un fonctionnement en boucle ouverte, u est constant : en regime perma-
nent, Cr = cte donc i et ω sont constants. Lorsque Cr varie, le courant absorbe
par le rotor i et sa vitesse ω varient (figure C.3), conformement a l’equation
mecanique (C.2), tout en verifiant l’equation electrique (C.1) (ou (C.3)).
2 2.5 3 3.5 45
5.5
6
6.5Courant i
2 2.5 3 3.5 484
86
88
90Vitesse ω
2 2.5 3 3.5 4−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Couple de charge Cr
Fig. C.3 – Simulation en boucle ouverte a u = 20 V
Dans l’equation (C.2), ω est la consequence de l’action de Cr (et du courant
i) tandis que dans l’equation (C.1) i est la consequence de l’action de la variable
ω (a u = cte), donc en fait de l’action de Cr.
En conclusion, le couple de charge Cr est bien une variable d’entree pour la
variable de sortie courant, mais implicite et remplacee dans l’equation (C.1) par
la pseudo-entree ω.
Dans un fonctionnement en boucle fermee du type regulation de vitesse, c’est
la reference de vitesse ωref qui est a present constante : lorsque le couple de charge
Cr varie, la boucle fermee ramene la vitesse ω a sa consigne ωref en modifiant la
variable de commande u (figure C.4). Mais la encore, la variable de sortie i verifie
toujours la relation (C.1), dans laquelle u et ω ont subi des variations imposees
par l’asservissement suite a l’action du couple de charge Cr.
En conclusion, le couple de charge Cr est une variable d’excitation de type
implicite et l’equation (C.1) peut etre utilisee pour estimer les parametres elec-
triques de la MCC en considerant la variable ω comme une pseudo-entree.
176
1.5 2 2.5 3 3.5 419
20
21
22Commande u
1.5 2 2.5 3 3.5 42
4
6
8Courant i
1.5 2 2.5 3 3.5 4
80
85
90
95
vitesse
1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.2
0.4
0.6
Couple de charge Cr
ωref
ω
Fig. C.4 – Simulation en boucle fermee a ωref = 90 rad/s
Remarque
On retrouve la meme problematique dans le cas de la machine asynchrone, avec
des equations plus complexes. Comme la encore le couple de charge ne peut pas
etre mesure, on se limite a l’identification du modele electrique, dans lequel la
vitesse du rotor est consideree comme une pseudo-entree.
177
Annexe C. Identification de la machine a courant continu
178
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Resume
Ce memoire de these relate la mise au point d’une methodologie d’identification en boucle
fermee de la machine asynchrone, grace a une prise en compte explicite de l’algorithme de
commande vectorielle. Fondamentalement, l’identification directe pose des problemes en raison
des perturbations stochastiques que l’on retrouve sur la variable de commande via la boucle de
regulation, ce qui rend l’estimation asymptotiquement biaisee. Nous proposons de remedier a
ce probleme grace a une identification indirecte sur la base de la connaissance du correcteur. De
plus, nous etendons le champ d’application de cette approche en identifiant prealablement un
correcteur equivalent a l’aide d’une technique de moindres carres surparametrises, afin d’eviter
la connaissance a priori de la structure et des parametres du correcteur. Une structure minimale
du correcteur equivalent surparametrise est obtenue grace a un test original portant sur les mo-
ments. L’identification de la machine asynchrone est effectuee grace au correcteur equivalent, a
l’aide d’un algorithme du type erreur de sortie. Outre l’elimination du biais asymptotique, les
etudes comparatives realisees en simulation stochastique ont montre que l’approche indirecte
fournit des estimees plus precises, et cela pour une excitation de la machine uniquement consti-
tuee par les variations du couple de charge. Enfin, cette nouvelle methodologie d’identification
en boucle fermee a permis d’ameliorer la detection des defauts statoriques et rotoriques de la
machine asynchrone, grace a une meilleure rejection des fausses alarmes.
Mots-cles: Machine asynchrone, machine a courant continu, identification en boucle fermee,
identification par erreur de sortie, information a priori, diagnostic par estimation parametrique.
Abstract
This thesis presents the application of a closed loop identification technique to induction ma-
chines, including explicitly the control algorithm. Basically, direct identification is asymptot-
ically biased by output disturbances and noises which are feedback to the control input via
the control algorithm. In order to get rid of this bias problem, an indirect identification tech-
nique with explicit use of the controller is proposed. Moreover, a prior knowledge of the control
algorithm is replaced by its identification with the help of an overparametrized least squares
techniques, which avoids knowledge of the structure and the parameters of the controller. An
equivalent minimal structure controller is estimated thanks to an original criterion based on
discrete moments. The identification of induction machines is performed with this equivalent
controller using an output error technique. Comparative studies performed by Monte Carlo
simulations have exhibited bias rejection and better precision of indirect identification, while
necessary excitation is only provided by torque variations of the machine load. Finally, this new
closed loop identification technique has been applied to the diagnosis of induction machines,
with the benefit of better detection of stator and rotor faults, thanks to better rejection of false
alarms.
Keywords: Induction machine, DC machine, closed-loop identification, output error identifi-
cation, a prior information, diagnosis by parameter estimation.