CálculoCálculoCálculoCálculo

Funciones de varias Funciones de varias variablesvariables

RUBÉN ZÁRATE ROJASRUBÉN ZÁRATE ROJASIngeniero Civil Ingeniero Civil -- Ingeniero IndustrialIngeniero IndustrialMagíster en Ingeniería CivilMagíster en Ingeniería Civil ©©Magíster en Ingeniería Civil Magíster en Ingeniería Civil ©©Magíster en Magíster en IngenieríaIngeniería IndustrialIndustrial

EE mail: rzarate@petropar gov pymail: rzarate@petropar gov pyEE--mail: rzarate@petropar.gov.pymail: rzarate@petropar.gov.py

Definición 1Si a cada par (x,y) de valores de dosvariables, x e y , independientes una de, y , potra, tomadas de un cierto campo D de suvariación le corresponde un valorvariación, le corresponde un valordeterminado de la magnitud z, se dice que

f ió d d i blz es función de dos variablesindependientes x e y , definida en el campoD.

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 2

Definición 2Si a todo conjunto estudiado de valores delas variables x1 x2 x3 x corresponde unlas variables x1, x2, x3,..., xn corresponde unvalor determinado de la variable z,entonces esta última es función de lasentonces esta última es función de lasvariables independientes x1, x2, x3, ..., xn,

d ies decir:z = F(x1, x2, x3,..., xn)z F(x1, x2, x3,..., xn)

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 3

DominioEl conjunto de pares (x,y) de los valores x e y para los cuales está definida la función zy, para los cuales está definida la función z = f(x,y), se llama dominio de definición o dominio de existencia de la funcióndominio de existencia de la función.

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 4

Límite de la función z=f(x,y)Sea z=f(x,y) una función definida en un ciertoentorno del punto P0(a,b), excepto acaso en elpunto P Se dice que:punto P0. Se dice que:

lim f(x,y) L=(x,y) (a,b)

lim f(x,y) L→

si elegido un número ε∈ es posible hallar otro+si elegido un número ε∈ , es posible hallar otronúmero δ(ε), es decir, en un entorno o bolaB(P0,δ) tal que para todo P(x,y)≠P0 perteneciente

f |f( ) |0 0

a dicho bola, se verifique que |f(x,y) – L| < ε.

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 5

Límite direccional de z=f(x,y)Es el límite de la función z=f(x,y) cuando elpunto P(x y) tiende al punto P0(a b)punto P(x,y) tiende al punto P0(a,b)siguiendo un camino concreto y=ϕ(x), esdecir:decir:

[ ]lim f(x y) limf x (x) limF(x)ϕ[ ](x) x a x a(x,y) (a,b)

lim f(x,y) limf x, (x) limF(x)ϕ → →⎯⎯⎯→

= ϕ =

La existencia del límite es independiente del camino seguido por el punto P aldel camino seguido por el punto P al acercarse al punto P0.

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 6

Límites sucesivos de z=f(x,y)

lim lim f(x y) lim lim f(x y)⎡ ⎤ ⎡ ⎤x a y b y b x alim lim f(x,y) lim lim f(x,y)→ → → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 7

Continuidad de z=f(x,y)Se dice que la función z=f(x,y) es continuaen el punto (a b) sien el punto (a,b) si

li f( ) f( b)(x,y) (a,b)

lim f(x,y) f(a,b)→

=

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 8

Incrementos parciales de z=f(x,y)Incremento parcial de z con respecto a xΔ z= f(x +Δx y ) f(x y )Δxz= f(x0+Δx,y0) – f(x0,y0)

Incremento parcial de z con respecto a yΔ z= f(x y+Δy) f(x y )Δyz= f(x0,y+Δy) – f(x0,y0)

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 9

Incremento total de z=f(x,y)

Δz= f(x +Δx y +Δy) f(x y )Δz= f(x0+Δx,y0+Δy) – f(x0,y0)

En general, Δz ≠ Δxz+Δyz

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 10

Derivadas parciales de z=f(x,y)Derivada parcial de z con respecto a x

Es el límite de la razón del incrementoparcial Δxz respecto a x, en relación alincremento Δx, cuando Δx tiende a cero.c e e o , cua do e de a ce o

zz Δ∂ xx x 0

zz z limx xΔ →

Δ∂= =

∂ Δx 0x xΔ →∂ Δ

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 11

Derivadas parciales de z=f(x,y)Derivada parcial de z con respecto a y

Es el límite de la razón del incrementoparcial Δyz respecto a y, en relación alincremento Δy, cuando Δy tiende a cero.c e e o y, cua do y e de a ce o

zz Δ∂ yy y 0

zz z limy yΔ →

Δ∂= =

∂ Δy 0y yΔ →∂ Δ

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 12

Función derivableLa función z=f(x,y) se llama derivable en elpunto dado (x y) si su incremento total enpunto dado (x,y) si su incremento total eneste punto puede ser expresado de laforma:forma:

Δz = zx Δx + zy Δy + γ1 Δx + γ2 Δy

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 13

Diferencial total

Se denomina diferencial total de la funciónSe denomina diferencial total de la función z=f(x,y) a la expresión:

dz = z dx + z dydz = zx dx + zy dy

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 14

Derivadas de funciones compuestasSea la función z=f(u,v) donde u=ϕ(x,y) y v=ψ(x y) entonces:v ψ(x,y), entonces:

z z u z v∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +y

x u x v x= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂y

z z u z v∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂y u y v y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 15

Derivadas totales

Sea la función u=f(x y z) donde x=ϕ(t) ;Sea la función u=f(x,y,z) donde x=ϕ(t) ; y=ψ(t) ; z=ξ(t), entonces:

du u dx u dy u dz∂ ∂ ∂ydt x dt y dt z dt

= + +∂ ∂ ∂

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 16

Derivadas de funciones implícitasSea la función F(x,y)=0, entonces:

F∂Fdy x

F

∂∂= −∂Fdxy∂∂y∂

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 17

Derivadas de funciones implícitasSea la función F(x,y,z)=0, entonces:

F∂Fz x

∂∂ ∂

Fz y

∂∂ ∂x

Fx∂= −∂∂∂

yFy

= −∂∂∂z∂ z∂

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 18

Derivadas direccionalesSea la función z=f(x,y), entonces:

z z zcos sen∂ ∂ ∂= θ + θcos sen

s x yθ + θ

∂ ∂ ∂

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 19

Derivadas direccionalesSea la función u=f(x,y,z), entonces:

u u u u∂ ∂ ∂ ∂βcos cos cos

s x y z= α + β+ γ

∂ ∂ ∂ ∂

Donde 2 2 2cos cos cos 1α + β+ γ =β γ

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 20

GradienteSea la función u=f(x,y,z), entonces:

u u u∂ ∂ ∂u u ugrad u u i j kx y z∂ ∂ ∂

= ∇ = + +∂ ∂ ∂y

u u s u cos∂= ∇ ⋅ = ∇ ϕ

i j kβ

ou s u coss= ∇ ⋅ = ∇ ϕ

∂Donde: os cos i cos j cos k= α + β + γ

u∂⎛ ⎞

max

u us∂⎛ ⎞ = ∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 21

max⎝ ⎠

Plano tangenteEl plano tangente a la superficie F(x,y,z)=0, en el punto Po(xo,yo,zo), es:en el punto Po(xo,yo,zo), es:

F (x – x ) + F (y – y ) + F (z – z ) = 0Fx (x – xo) + Fy (y – yo) + Fz (z – zo) = 0

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 22

Recta normalLa recta normal a la superficie F(x,y,z)=0, en el punto Po(xo,yo,zo), es:en el punto Po(xo,yo,zo), es:

o o ox x y y z zF F F− − −

= =x y zF F F

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 23

Plano normalEl plano normal a la curva x=f(t) ; y=g(t) ; z=h(t), en el punto Po(xo,yo,zo), es:z h(t), en el punto Po(xo,yo,zo), es:

f (x – x ) + g (y – y ) + h (z – z ) = 0ft (x – xo) + gt (y – yo) + ht (z – zo) = 0

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 24

Recta tangenteLa recta tangente a la curva x=f(t) ; y=g(t) ; z=h(t), en el punto Po(xo,yo,zo), es:z h(t), en el punto Po(xo,yo,zo), es:entonces:

o o ox x y y z z− − −o o o

t t t

y yf g h

= =

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 25

Derivadas de orden superior

xxx xxxxx xx

z f (x,y)z f (x,y)

f ( )⎧ =⎧

=⎪ ⎨⎧⎪ xx xx

xxy xxy

x xxyx xyx

( ,y)z f (x,y)

z f (x,y)z f (x,y)

⎪ ⎨ =⎩⎪= ⎨ =⎧⎪⎪

⎪⎪⎪⎪ xyx xyx

xy xyxyy xyy

z f (x,y)z f (x,y)

z f (x,y)z f(x y)

⎧⎪⎪ = ⎨⎪ =⎪⎩⎩=

⎪⎪⎪⎨

yxx yxxyx yx

z f(x,y)z f (x,y)

z f (x,y)z f (x y)

==⎧⎪= ⎨

⎪⎩

⎨⎧⎪⎪⎪⎪

y yyxy yxy

y yyyx yyx

z f (x,y)z f (x,y)

z f (x,y)f ( )

=⎪⎩==

⎪⎪⎪ ⎨⎪ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎨

yyx yyxyy yy

yyy

( y)z f (x,y)

z f=

= yyy(x,y)⎪ ⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩⎩⎩

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 26

Teorema de SchwarzSea z=f(x,y), continua y derivable en una región del plano, con zx y zy, tambiénregión del plano, con zx y zy, también continuas y derivables en la misma región, entonces se verifica:entonces se verifica:

zxy = zyx

En general:n n

k n k n k k

z zx y y x− −

∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂x y y x∂ ∂ ∂ ∂

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 27

Extremos de la función z = f(x,y)

Se dice que la función z = f(x,y) tiene un Se d ce que a u c ó ( ,y) t e e umáximo en el punto M(xo,yo) si f(xo,yo) > f(x,y).

Se dice que la función z = f(x,y) tiene un í i l t M( ) i f( ) f( )mínimo en el punto M(xo,yo) si f(xo,yo) < f(x,y).

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 28

Condición necesaria

fx(xo,yo) = 0

fy(xo,yo) = 0y( o,yo)

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 29

Condición suficiente1.- La función z=f(x,y) tiene un máximo siH2 =fxx(xo,yo) fyy(xo,yo) – (fxy(xo,yo))2 > 0 y 2 xx( o,yo) yy( o,yo) ( xy( o,yo)) 0 yH1=fxx(xo,yo) < 0

2.- La función z=f(x,y) tiene un mínimo siH f ( ) f ( ) (f ( ))2 0H2=fxx(xo,yo) fyy(xo,yo) – (fxy(xo,yo))2 > 0 y H1=fxx(xo,yo) > 0

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 30

Condición suficiente3.- La función z=f(x,y) no tiene extremos siH2=fxx(xo,yo) fyy(xo,yo) – (fxy(xo,yo))2 < 0 2 xx( o,yo) yy( o,yo) ( xy( o,yo)) 0

4 El criterio no define si4.- El criterio no define siH2=fxx(xo,yo) fyy(xo,yo) – (fxy(xo,yo))2 = 0

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 31

Condición necesariaEn general, la función z=f(x1,x2,x3,…,xn) tiene extremo si:

f = 0f1 = 0

f2 = 0f2 0

f3 = 0

f = 0Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 32

fn = 0

Condición suficienteEn generalLa función z=f(x1,x2,x3,…,xn) tiene un mínimo a u c ó ( 1, 2, 3,…, n) t e e u osiH >0 H >0 H >0 H >0H1>0,H2>0,H3>0,…,Hn>0

L f ió f( ) ti á iLa función z=f(x1,x2,x3,…,xn) tiene un máximo siH1<0,H2>0,H3<0,…

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 33

Condición suficiente, hessiano de primer grado

1 11H f=

11 12f fH 11 12

221 22

Hf f

= , hessiano de segundo grado

11 12 13f f f11 12 13

3 21 22 23H f f ff f f

= , hessiano de tercer grado31 32 33f f f

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 34

Condición suficiente

11 12 1nf f ... f

21 22 2nn

f f ... fH =

, hessiano de enésimo grado

n1 n2 nnf f ... f

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 35

Extremos condicionados

u = f(x1,x2,x3,…,xn), función objetivou ( 1, 2, 3,…, n), u c ó objet vo

g(x x x x )=0 función restriccióng(x1,x2,x3,…,xn)=0, función restricción

F( ) f( ) + λ ( )F(x1,x2,…,xn) = f(x1,x2,…,xn) + λ g(x1,x2,…,xn), función de Lagrange.

λ: multiplicador de Lagrangep g g

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 36

Extremos condicionadosCondición necesariaF =0F1=0 F2=0 F 0F3=0 ....Fn=0 F =0Fλ=0

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 37

Extremos condicionadosCondición suficienteLa función u=f(x1,x2,x3,…,xn) tiene un mínimo a u c ó u ( 1, 2, 3,…, n) t e e u osiH <0 H <0 H <0H2<0, H3<0, … , Hn<0

L f ió f( ) ti á iLa función z=f(x1,x2,x3,…,xn) tiene un máximo siH2>0, H3<0, …

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 38

Extremos condicionados

hessiano delimitado de11 12 1F F g

H F F g= hessiano delimitado de segundo grado

2 21 22 2

1 2

H F F gg g 0

=

1 2g g

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 39

Extremos condicionados

11 12 13 1F F F ghessiano delimitado de tercer grado

11 12 13 1

21 22 23 2

F F F gF F F g

H = tercer grado331 32 33 3

HF F F gg g g 0

=

1 2 3g g g 0

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 40

Extremos condicionados

F F ghessiano delimitado

11 12 1

21 22 2

F F ... gF F ... g

H de enésimo gradonH

g g 0

=

1 2g g ... 0

Cálculo - Ing. Rubén Zárate Rojas, MSc. 41