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Exercıcios de Algebra Linear
Exercıcios coligidos por Jorge Almeida e Lina OliveiraDepartamento de Matematica, Instituto Superior Tecnico
2o semestre 2011/12
Indice
Indice 1
1 Matrizes e sistemas de equacoes lineares 3Sistemas de equacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Calculo matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Determinantes 16
3 Espacos lineares 23Os espacos lineares Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Independencia linear, bases e dimensao . . . . . . . . . . . . . . . 27Subespacos fundamentais associados a uma matriz . . . . . . . . . 30Espacos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Matrizes de mudanca de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Valores proprios e vectores proprios 41Valores e vectores proprios de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 41Diagonalizacao de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Transformacoes lineares 47Transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Matriz associada a uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . 49Nucleo e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Representacao matricial de uma transformacao linear em diferen-
tes bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Valores proprios, vectores proprios e subespacos invariantes . . . . 54
6 Espacos lineares com produto interno 56Produtos internos em espacos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 57Diagonalizacao ortogonal e diagonalizacao unitaria . . . . . . . . 63
1
1
Matrizes e sistemas de equacoeslineares
Notacao
Sendo A uma matriz:
Caracterıstica de A: car(A) ou carATraco de A: tr(A) ou trAMatriz inversa de A: A−1
Matriz transposta de A: AT
Operacoes elementares sobre as linhas de A (sendo α um escalar):a) Li + αLj: indica que se soma a linha i de A a linha j de A multi-
plicada por αb) αLi: indica que se multiplica a linha i de A por αc) Li ↔ Lj: indica que se troca a linha i de A com a linha j de A
Matrizes elementares de ordem n:a) Pij: matriz que resulta de I trocando a linha i com a linha j (sendo
I a matriz identidade de ordem n)b) Eij(α) (com i 6= j): matriz que resulta de I somando a linha i a
linha j multiplicada por αc) Di(α) (com α 6= 0): matriz que resulta de I multiplicando a linha
i por α
Observacoes
a) Apresenta-se abaixo um exemplo de varias possibilidades de escrever asolucao geral de um sistema de equacoes lineares (supoe-se que nesteexemplo as variaveis sao x, y, z e w e que o sistema e indeterminado comgrau de indeterminacao 2):
3
• {(−z,−z − w, z, w) : z, w ∈ R}• {(x, y, z, w) ∈ R4 : x = −z ∧ y = −z − w}• {(x, y, z, w) : x = −t ∧ y = −t− s ∧ z = t ∧ w = s (t, s ∈ R)}• {(−t,−t− s, t, s) : t, s ∈ R}
b) Observe que um sistema de equacoes lineares nao homogeneo e possıvelse, e so se, a caracterıstica da matriz do sistema e igual a caracterısticada matriz aumentada.
c) O calculo do grau de indeterminacao de cada sistema deve ser semprefeito (quando aplicavel). Identifique tambem as variaveis independentes(ou livres) e as dependentes.
d) Utilize como variaveis dependentes as que correspondem as colunas compivots.
e) Note que os pivots de uma matriz em escada de linhas sao numerosdiferentes de zero, nao necessariamente iguais a 1.
f) Sendo A uma matriz quadrada, relembre que A0 = I e que
An = AA . . . A︸ ︷︷ ︸n
,
com n ∈ N.
Sistemas de equacoes lineares
1-1) Identifique as equacoes que sao lineares nas respectivas variaveis.
(a) x1 + 7−13x2 −
√5x3 = 1 (b) 5x+ xy − z = 0
(c) u = −πv +2
3w −√
3z (d) x25 + 8y − 5z = 7
13
1-2) Utilizando o metodo de eliminacao de Gauss, resolva cada um dos seguintes
4
Matrizes e sistemas de equacoes lineares
sistemas de equacoes lineares homogeneas.
(a)
x +y+3z= 0
2x+3y = 0
y +z= 0
(b)
{x1+x2+x3+x4= 0
5x1−x2+x3−x4= 0
(c)
2x+ 2y + 4z = 0
w − y − 3z = 0
2w + 3x+ y + z = 0
− 2w + x+ 3y − 2z = 0
1-3) Escreva as matrizes aumentadas dos sistemas de equacoes lineares nao-homogeneose resolva-os utilizando o metodo de eliminacao de Gauss.
(a)
x+ y + 2z = 8
− x− 2y + 3z = 1
3x− 7y + 4z = 10
(b)
2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
− 2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
(c)
− 2v + 3w = 1
3u+ 6v − 3w = −2
6u+ 6v + 3w = 5
(d)
w + 2x− y = 4
x− y = 3
w + 3x− 2y = 7
2u+ 4v + w + 7x = 7
1-4) Resolva cada um dos sistemas de equacoes lineares correspondente a matrizaumentada indicada.
(a)
1 −2 3 10 1 2 −20 0 1 6
(b)
1 0 0 4 50 1 0 8 20 0 1 1 2
1-5) Sem efectuar calculos, determine quais dos seguintes sistemas de equacoes
5
Matrizes e sistemas de equacoes lineares
lineares homogeneos tem solucao nao-trivial. Justifique.
(a)
2x− 3y + 4z − w = 0
7x+ y − 8z + 9w = 0
2x+ 8y + z − w = 0
(b)
{a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
(c)
x+ 3y − z = 0
y − 8z = 0
4z = 0
(d)
{3x1 − 2x2 = 0
6x1 − 4x2 = 0
1-6) Determine um sistema de equacoes lineares que tenha como solucao geral oconjunto indicado.
a) {(1, 4, 6)}b) {(t, 4, 6) : t ∈ R}c) {(−z, 4z, z) : z ∈ R}d) {(x, y, x+ y) : x, y ∈ R}
1-7) Quais das seguintes matrizes 3 × 3 sao matrizes em escada de linhas? E emforma canonica de escada de linhas? Indique a caracterıstica de cada matriz.
(a)
1 0 00 1 00 0 1
(b)
1 0 00 1 00 0 0
(c)
0 1 00 0 10 0 0
(d)
1 0 00 0 10 0 0
(e)
0 1 01 0 00 0 0
(f)
1 1 00 1 00 0 0
(g)
1 0 00 0 00 0 1
(h)
0 0 00 0 00 0 0
(i)
0 2 00 1 00 0 0
(j)
2 1 00 −2 + i 00 1 1 + i
(k)
2 −1 00 0 −10 0 2
(l)
2 1 00 −1 20 0 0
1-8) Considere as matrizes reais A e b:
A =
[1 −1 19 −9 α2
]b =
[0
α− 3
]
6
Matrizes e sistemas de equacoes lineares
a) Determine a caracterıstica da matriz A e da matriz aumentada [A |b] emfuncao do parametro α.
b) Use os resultados da alınea anterior para determinar a natureza (em funcaode α) dos sistemas cuja matriz aumentada e [A |b], indicando em cadacaso a solucao geral.
1-9) Determine a natureza de cada um dos seguintes sistemas de equacoes linearesnas incognitas x, y e z em funcao dos respectivos parametros.
(a)
αx+ βz = 2
αx+ αy + 4z = 4
αy + 2z = β
(b)
− 2z = 0
cy + 4z = d
4x+ 5y − 2z = −2
(c)
x+ y + z = 4
z = 2
(a2 − 4)z = a− 2
1-10) Considere a matriz
A =
−1 0 01 1 βα 1 1
,
onde os parametros α, β designam numeros reais.
Selecione a afirmacao verdadeira:
A) Existe um unico valor de β para o qual o sistema que corresponde a matrizaumentada −1 0 0 0
1 1 β 0α 1 1 1
e impossıvel.
B) A caracterıstica da matriz A e 3 qualquer que seja α.
C) A caracterıstica da matriz A depende de α.
D) A caracterıstica da matriz A e inferior a 3 para um numero infinito devalores de β.
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Matrizes e sistemas de equacoes lineares
1-11) Resolva o sistema de equacoes lineares homogeneo associado a matriz:
A =
1 0 00 1− i −2i0 1 1− i
1-12) Considere o sistema de equacoes lineares cuja matriz aumentada e[3− i 1 5i 4− i 0
0 3 −2i 2 α
],
onde α e um parametro complexo.
Qual das seguintes afirmacoes e verdadeira?
A) Qualquer que seja o valor de α ∈ C, o sistema de equacoes e impossıvel.
B) Qualquer que seja o valor de α ∈ C, o sistema de equacoes e possıvel etem grau de indeterminacao 2.
C) Qualquer que seja o valor de α ∈ C, o sistema de equacoes e possıvel etem grau de indeterminacao 3.
D) Existem valores de α para os quais o sistema de equacoes e impossıvel.
1-13) Considere a matriz real:
A =
1 2 3−1 −2 1α 2α 3α
Selecione a afirmacao verdadeira:
A) A caracterıstica da matriz A e 1 para α = 1.
B) A caracterıstica da matriz A varia com o parametro α.
C) O sistema de equacoes lineares homogeneo associado a matriz dos coefi-cientes A e possıvel e indeterminado com grau de indeterminacao igual a1.
D) A caracterıstica da matriz AT e 3 para α = 2.
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Matrizes e sistemas de equacoes lineares
Calculo matricial
1-14) Determine a matriz A = [aij]i,j=1,··· ,n que satisfaz as seguintes condicoes:
a) aij = i+ (−1)i+j para todos i e j (com n = 4)
b) Para n = 4:
• a1j = j para todo j
• aij = aji para todos i e j
• aij = ai+1,j+1 para i, j = 1, 2, 3
c) aij = aj−i, onde a−n, a−n+1, . . . , a−1, a0, a1,. . . , an−1, an sao numeroscomplexos
1-15) Sejam A uma matriz 4 × 2, B uma matriz 4 × 2, C uma matriz 2 × 2, Duma matriz 4 × 2 e E uma matriz 2 × 4 . Determine quais das seguintesexpressoes matriciais estao bem definidas, e nesses casos indique o tipo damatriz resultante.
(a) BA (b) AC +D (c) AE +B (d) AB +B
(e) E(A+B) (f) E(AC) (g) ETA (h) (AT + E)D
1-16) Calcule os seguintes produtos de matrizes.
(a)[1 2 3
] 1−12
(b)
[1 2 3−2 5 1
] 1−12
(c)
[1 2 3−2 5 1
] 1 0−1 12 −1
(d)
[1 2 3
] 1 −3−1 12 0
(e)[1 1 −1
] 1 −3−1 12 0
(f)
[1 1 −11 0 1
] 1 −3−1 12 0
(g)
1 2 34 5 67 8 9
1 1 0−1 0 11 1 1
(h)
1 1 0−1 0 11 1 1
1 2 34 5 67 8 9
1-17) Considere as matrizes:
A =
1 0 17 −10 11 1 −1
B =
−1 0 −11 −1 11 1 −1
Calcule:
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Matrizes e sistemas de equacoes lineares
a) A coluna 2 da matriz AB.
b) A linha 1 da matriz BA.
c) A entrada (23) da matriz AB.
d) A caracterıstica da matriz A+B.
1-18) Considere as matrizes
A =
2 1 23 0 11 1 2
u =
573
.
Mostre que u e combinacao linear das colunas de A.
1-19) Calcule os seguintes produtos de matrizes.
(a)
1 0 00 −2 00 0 1
1 2 34 5 67 8 9
(b)
1 0 00 0 10 1 0
1 2 34 5 67 8 9
(c)
1 0 00 1 00 4 1
1 2 34 5 67 8 9
(d)
1 0 00 1 00 4 1
1 0 00 1 00 −4 1
1 2 34 5 67 8 9
1-20) Calcule se possıvel A+B, B + C, 2A, AB, BA e CB:
A =
[1 4
√2
−2 1 3
]B =
1 2 π√3 −1 2
0 1 −1
C =
3 0 00 −2 00 0 5
1-21) Considere as matrizes:
A =
[−1 0 02 1 1
]B =
−2 3 02 1 1i 2 −6
C =
9 0 00 4 00 0 5
Se for possıvel, calcule:
(a) A− A (b) trC (c) 2 tr(−B) (d) AT +BT
(e) BT − CT (f) (B − C)T (g) CCT (h) tr(CTC)
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Matrizes e sistemas de equacoes lineares
1-22) Obtenha uma expressao para An:
a) A =
[2 00 2
]b) A =
[0 −11 0
]
1-23) Sendo A e B matrizes quadradas da mesma ordem, prove que:
a) tr(A+B) = trA+ trB
b) tr(αA) = α trA (para qualquer escalar α)
c) trA = trAT
1-24) Uma matriz quadrada A diz-se simetrica se A = AT e anti-simetrica se A =−AT. Complete os dados das seguintes matrizes de modo a obter proposicoesverdadeiras.
a) A matriz
� � 3−1 � 2� � �
e anti-simetrica.
b) A matriz A =
[1/2 �� �
]e simetrica e verifica a igualdade AAT = I.
1-25) Sendo A e B matrizes reais simetricas, prove que:
a) A+B e uma matriz simetrica.
b) AB e uma matriz simetrica se e so se A e B comutam.
1-26) Utilizando o metodo de eliminacao de Gauss–Jordan, calcule, sempre que existir,a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes.
(a)
[1 42 7
](b)
[−3 64 5
](c)
[6 −4−3 2
]
(d)
3 4 −11 0 32 5 −4
(e)
−1 3 −42 4 1−4 2 −9
(f)
1 0 10 1 11 1 0
(g)
2 6 62 7 62 7 7
(h)
1 0 0 01 3 0 01 3 5 01 3 5 7
(i)
−8 17 2 1
3
4 0 25−9
0 0 0 0−1 13 4 2
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Matrizes e sistemas de equacoes lineares
(Sugestao para verificar a solucao: Se uma matriz B e a matriz inversa de umamatriz A, que matriz e BA?)
1-27) Em cada alınea, use a informacao dada para calcular a matriz A.
a) A−1 =
[2 −13 5
]b) (7A)−1 =
[−3 71 −2
]c) (5AT)−1 =
[−3 −15 2
]d) (I + 2A)−1 =
[−1 24 5
]
1-28) Considere a seguinte matriz Aα, dependente do parametro real α:
Aα =
−1 1 α1 −1 −1α 0 −1
Qual das seguintes afirmacoes e verdadeira?
A) Aα e invertıvel para qualquer valor de α.
B) Existem infinitos valores de α para os quais Aα nao e invertıvel.
C) Existem exactamente dois valores de α para os quais Aα nao e invertıvel.
D) Existe exactamente um valor de α para o qual Aα nao e invertıvel.
1-29) Mostre que a matriz 0 a 0 0 0b 0 c 0 00 d 0 e 00 0 f 0 g0 0 0 h 0
nao e invertıvel, quaisquer que sejam os valores de a, b, c, d, e, f , g e h.
12
Matrizes e sistemas de equacoes lineares
1-30) Calcule, se existir, a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes (comα, α1, α2, α3, α4 ∈ R).
(a)
α1 0 0 00 α2 0 00 0 α3 00 0 0 α4
(b)
0 0 0 α1
0 0 α2 00 α3 0 0α4 0 0 0
(c)
α 0 0 01 α 0 00 1 α 00 0 1 α
1-31) Considere a matriz:
A =
[1 02 1
]Calcule A3, A−3, A2 − 2A+ I e (A− I)2.
1-32) Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem. Prove que
(A+B)2 = A2 + 2AB +B2
se e so se A e B comutam.
1-33) Determine as matrizes A, x e b, que permitem escrever os sistemas de equacoeslineares do Problema 1-3 na forma de equacao matricial Ax = b.
1-34) Seja A uma matriz de ordem 3 tal que A3 = −I e seja b uma matriz colunade tipo 3× 1.
Complete de modo a obter proposicoes verdadeiras:
a) A−1 = ..........
b) x = ............. e solucao da equacao matricial A2x = b
c) car(A) ........ car(A2)
1-35) Considere o sistema homogeneo Ax = 0, onde A e k × p. Diga quais dasafirmacoes seguintes sao verdadeiras.
a) A caracterıstica de A e a caracterıstica da matriz aumentada do sistemapodem ser diferentes.
b) Se k = p, entao o sistema e necessariamente determinado.
13
Matrizes e sistemas de equacoes lineares
c) Se k = p, a solucao nula e a unica solucao do sistema.
d) Se k > p, entao a caracterıstica de A e menor ou igual a p.
e) Se k > p e car(A) = p, entao o sistema e indeterminado.
f) O nucleo de A e a solucao geral do sistema.
1-36) Quais das seguintes matrizes sao matrizes elementares?
(a)
[1 0
0√
3
](b)
[0 11 0
](c)
0 0 10 1 01 0 0
(d)
1 1 00 0 10 0 0
(e)
1 0 00 1 0−5 0 1
(f)
−5 0 10 1 01 0 0
(g)
1 9 00 1 00 0 1
(h)
2 0 0 20 1 0 00 0 1 00 0 1 0
1-37) Indique qual a operacao que se deve realizar com as linhas das seguintes ma-
trizes (e determine a matriz elementar que lhe corresponde) para que estas setransformem na matriz identidade (de ordem apropriada).
(a)
[1 0−3 1
](b)
1 0 00 1 00 0 5
(c)
0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
(d)
1 0 0 00 1 −1
50
0 0 1 00 0 0 1
1-38) Considere a matriz:
A =
1 0 0−5 0 10 −2 0
a) Determine matrizes elementares E1, E2 e E3 tais que E3E2E1A = I.
b) Escreva A−1 como um produto de tres matrizes elementares.
c) Escreva A como um produto de tres matrizes elementares.
1-39) Considere a matriz:
A =
0 1 7 81 3 3 8−2 −5 1 −8
Determine uma expressao para A da forma A = E1E2E3R, onde as matrizesE1, E2 e E3 sao matrizes elementares e R e uma matriz em escada de linhas.
14
Matrizes e sistemas de equacoes lineares
1-40) Mostre que se A e uma matriz 2 × 2 que comuta com qualquer outra matriz2 × 2, entao A e igual ao produto da matriz identidade por um escalar (Adiz-se uma matriz escalar). Sugestao: Experimente multiplicar A por algumasmatrizes com entradas iguais a 0 e 1.
1-41) Seja A uma matriz real 3× 3 que satisfaz
A = E1E2R ,
onde R e uma matriz em escada de linhas com caracterıstica 2, e
E1 = D3(−1) E2 = E21(3) .
Considere as afirmacoes seguintes:
I) A matriz A nao e invertıvel.
II) Existe uma matriz escalar B tal que AB 6= BA.
III) A matriz AT tem uma unica coluna de zeros.
IV) O sistema de equacoes lineares
ATx =
110
pode ser possıvel e determinado.
A lista completa das afirmacoes correctas e:
A) II e III B) I e III C) I e IV D) I e II e III
1-42) Seja D uma matriz escalar m×m com entradas diagonais iguais a 5. Mostreque
a) para toda a matriz Am×n, DA = 5A;
b) para toda a matriz Bn×m, BD = 5B.
15
2
Determinantes
Notacao
Sendo A uma matriz:
Determinante de A: detA ou |A|Submatriz-(ik) de A: AikMenor-(ik) de A: Mik
Cofactor-(ik) de A: CikMatriz dos cofactores de A: cof AMatriz adjunta de A: adjAMatrizes elementares de ordem n:
a) Pij: matriz que resulta de I trocando a linha i com a linha j (sendoI a matriz identidade de ordem n)
b) Eij(α) (com i 6= j): matriz que resulta de I somando a linha i alinha j multiplicada por α
c) Di(α) (com α 6= 0): matriz que resulta de I multiplicando a linhai por α
Observacoes
• Na resolucao dos exercıcios, tenha presente o modo como as operacoeselementares sobre as linhas de uma matriz alteram o determinante.
1. Se trocar duas linhas, o determinante muda de sinal.
2. Se somar a linha i a linha j multiplicada por um escalar, o determi-nante nao se altera.
3. Se multiplicar uma linha por um escalar α, o determinante tambeme multiplicado por α.
16
• Relembre que as regras apresentadas no ponto anterior resultam dos axi-omas utilizados na definicao axiomatica da funcao determinante. Nome-adamente:
a) det I = 1 (I e a matriz identidade de ordem n)
b) det(PijA) = − detA
c) A funcao determinante e linear nas linhas da matriz :
det
L1
...Li+L
′i
...Ln
= det
L1...Li
...Ln
+ det
L1
...L′i...Ln
det
...αLi
...
= α det
...Li
...
(Supoe-se que as matrizes sao de tipo n × n e que estao descritaspor linhas.)
2-1) Considere a matriz:
A =
5 −10 156 7 −1−3 1 4
Reduza a matriz A a uma matriz R em escada de linhas, e use o determinantede R para calcular o determinante de A.
2-2) Considere as matrizes
A =
α 3 0α2 α2 10 0 α
b =
0αβ
,
onde α e β designam numeros reais.
a) Determine os valores de α para os quais a matriz A e invertıvel.
17
Determinantes
b) Faca a discussao do sistema Ax = b em termos dos parametros α e β,indicando em cada caso a solucao geral desse sistema.
2-3) Seja
A =
a b cd e fg h i
uma matriz real tal que detA = −7. Calcule:
a) det(3A) b) det(A−1) c) det(2A−1)
d) det((2A)−1) e) det
a g db h ec i f
2-4) Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que x = 0 e x = 2 satis-fazem a condicao: ∣∣∣∣∣∣
x x2 21 2 10 0 −3
∣∣∣∣∣∣ = 0
2-5) Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que:∣∣∣∣∣∣b+ c c+ a b+ aa b c1 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 0 (a, b, c ∈ C)
2-6) De exemplos de matrizes A e B nao nulas tais que:
a) det(A+B) = detA+ detB
b) det(A+B) 6= detA+ detB
2-7) Seja A uma matriz 4× 4 tal que |A| = −2. Considere as afirmacoes seguintes:
I) | − AT| = −2;
II) |2A| = 32;
III) |A−3| = 1/8;
18
Determinantes
IV) |A3| = −8.
A lista completa das afirmacoes correctas e:
A) I e IV B) I, III e IV C) II, III e IV D) I, II e III
2-8) De exemplos, se possıvel, de matrizes A e B tais que:
a) det(AB) 6= (detA)(detB)
b) detA = 0 e detB = 0 e det(A+B) 6= 0
c) detA 6= 0, sendo a diagonal de A nula
2-9) Considere as matrizes reais
A =
a b cb d ec e f
B =
a b cb d e0 0 0
.
Suponha ainda que |A| = −3.
Considere as afirmacoes seguintes:
I) |A+B| = −12;
II) |A− 2B| = 3;
III) |3A−1| = −9;
IV) |A+BT | = −12.
A lista completa das afirmacoes correctas e:
A) I e III B) III e IV C) I, III e IV D) I, II e IV
2-10) Exprima o determinante ∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1
a2 + b2 c2 + d2
∣∣∣∣numa soma de quatro determinantes, em cujas entradas nao figurem adicoes.
19
Determinantes
2-11) Exprima o determinante ∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1
a2 + b2 c2 + d2 e2 + f2
a3 + b3 c3 + d3 e3 + f3
∣∣∣∣∣∣numa soma de oito determinantes, em cujas entradas nao figurem adicoes.
2-12) Para que valores de α a matriz nao e invertıvel?
a)
1 2 43 1 6α 3 2
b)
[α− 3 −2−2 α− 2
]
2-13) Considere as matrizes
A =
a a2 03 a2 00 5 a
B =
2 0 0−3 −1 00 0 2
,
onde a e um numero real. Resolva as seguintes questoes sem calcular a matrizinversa de A.
a) Determine os valores de a para os quais a matriz A e invertıvel.
b) Nos casos em que A e invertıvel, calcule a entrada (23) da matriz A−1.
c) Calcule det(A+B).
2-14) Considere a matriz:
A =
1 0 12 3 20 1 −2
.a) Calcule cof A.
b) Calcule A−1 recorrendo ao resultado de a).
c) Calcule det((trAT)(A−1A2)).
20
Determinantes
2-15) Use o desenvolvimento de Laplace para calcular o determinante da seguintematriz.
1 −2 3 01 0 0 −10 −3 1 40 2 −1 0
2-16) Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equacoes lineares:
a)
{x1 − 2x2 = 4
2x1 − x2 = −2b)
x1 − 3x2 + x3 = 4
2x1 − x2 = −2
4x1 − 3x3 = −2
2-17) Seja A uma matriz quadrada real, de ordem 3, cujas entradas satisfazem ascondicoes seguintes:
• aii = 0 para i = 1, 2, 3
• aijakr > 0 para i 6= j e k 6= r
Considere as afirmacoes seguintes:
I) O determinante de A e sempre igual a zero.
II) O cofactor (13) de A e nulo.
III) Nenhuma entrada na diagonal da matriz AAT e nula.
IV) Se existe uma matriz B nao nula tal que AB = 0, entao A nao e invertıvel.
A lista completa de afirmacoes correctas e:
A) I e II B) III e IV C) I e III e IV D) II
2-18) Sendo A uma matriz anti-simetrica de ordem ımpar, qual o valor de detA? Deum exemplo de uma matriz anti-simetrica de ordem 3.
2-19) Considere as matrizes
Aα =
α −2 0α2 α2 01 0 α + 1
,onde α designa um numero real.
21
Determinantes
a) Use a nocao de determinante para encontrar os valores de α para osquais o sistema de equacoes lineares homogeneo Aαx = 0 e possıvel edeterminado.
b) Calcule a entrada (12) da matriz adjunta adjAα da matriz Aα (em funcaodo parametro α).
c) Para α = −1, determine a natureza e calcule explicitamente a solucaogeral (se aplicavel) do sistema
Aαx =
01β
,em funcao do parametro real β.
22
3
Espacos lineares
Notacao
Sendo A uma matriz, U um espaco vectorial e X um conjunto de vectores:
Nucleo de A: N (A)Espaco das colunas de A: C (A)Espaco das linhas de A: L (A)Espaco gerado por X: (ou expansao linear de X) L(X)Caracterıstica de A: car(A) ou carADimensao de U : dim(U) ou dimUMatriz de mudanca de base (da base B1 para a base B2): MB2←B1
Espaco dos polinomios de grau menor ou igual a n: PnEspaco dos polinomios (de qualquer grau): PBase canonica de Pn: Pn = (1, t, . . . , tn)Base canonica de Rn: EnEspaco das matrizes reais n× k: Mn×k(R)Espaco das matrizes complexas n× k: Mn×k(C)
Observacoes
• Repare-se nas seguintes convencoes tipograficas, a adoptar nestes apon-tamentos:
– x: vector de Rn. Ex.: x = (1,−3)
– u: vector coluna. Ex.: u =[
24−5
]– [x]B: vector coluna das coordenadas de x na base B.
Exemplo: (Seja B a base((0, 1), (1, 1)
)de R2)
23
Espacos lineares
x = (1,−3)
[x]E2 = [ 1−3]
[x] = [ 1−3] (o mesmo que o anterior; subentende-se que se trata
da base canonica)
x = [ 1−3] (o mesmo que o anterior)
[x]B = [−41 ]
xB = [−41 ] (o mesmo que o anterior)
(x)B = (−4, 1) (vector formado pelas coordenadas de x na baseB)
[x]E2 = ME2←B[x]B, ou seja, [ 1−3] = [ 0 1
1 1 ] [−41 ]
• Estabelecemos que a base ordenada canonica no espaco das matrizes reaisM2×2(R) (respectivamente, matrizes complexas M2×2(C)) e o conjuntoordenado ([ 1 0
0 0 ] , [ 0 10 0 ] , [ 0 0
1 0 ] , [ 0 00 1 ]). No caso geral das matrizes Mn×k,
a base canonica e semelhante: e constituıda por matrizes com todas asentradas nulas excepto uma com o valor 1; a ordenacao e feita de modoque a entrada nao nula e a entrada-(11) no caso da 1a matriz, e vai“percorrendo as linhas” da esquerda para a direita.
Os espacos lineares Rn
3-1) Quais dos vectores seguintes sao combinacao linear dos vectores u = (0,−2, 2)e v = (1, 3,−1)?
a) (2, 2, 2)
b) (3, 1, 5)
c) (0, 4, 5)
d) (0, 0, 0)
3-2) Exprima os vectores seguintes como combinacao linear dos vectores u = (2, 1, 4),v = (1,−1, 3) e w = (3, 2, 5).
a) (−9,−7,−15)
b) (6, 11, 6)
c) (0, 0, 0)
24
Espacos lineares
d) (7, 8, 9)
3-3) Considere os vectores:
v1 = (2, 1, 0, 3) v2 = (3,−1, 5, 2) v3 = (−1, 0, 2, 1)
Quais dos vectores seguintes pertencem a L{v1,v2,v3}?
a) (2, 3,−7, 3)
b) (0, 0, 0, 0)
c) (1, 1, 1, 1)
d) (−4, 6,−13, 4)
3-4) Diga, justificando a resposta, se o seguinte conjunto e ou nao um subespacolinear de R2.
a) A reuniao dos 2o e 4o quadrantes.
b) O semiplano “superior”delimitado pela recta y = −x.
c) A regiao que e delimitada pelas rectas y = x e y = −x e contem o eixodos yy.
3-5) Diga, justificando a resposta, se o conjunto indicado e gerador de R2.
a) {u,v}, sendo u colinear com v.
b) {u,v}, com u situado na recta y = x e v situado na recta y = 2x, sendoambos nao nulos.
c) {u,v,w}, com u e v como na alınea anterior e w situado no 3o qua-drante.
3-6) Quais dos seguintes conjuntos com as operacoes usuais de adicao vectorial emultiplicacao por escalares reais sao subespacos lineares de R3?
a) O conjunto de vectores da forma (a, 0, 0) com a real.
b) O conjunto de vectores da forma (a, 1, 1) com a real.
c) O conjunto de vectores da forma (a, b, c) com b = a+ c e a, b, c reais.
d) O conjunto de vectores da forma (a, b, c) com a, b, c inteiros.
e) O conjunto de vectores da forma (a, b, c) com b = a+ c+ 1 e a, b, c reais.
25
Espacos lineares
3-7) Quais dos seguintes conjuntos com as operacoes usuais de adicao vectorial emultiplicacao por escalares reais sao subespacos lineares de R4?
a) O conjunto de vectores da forma (a, 0, 0, 1) com a real.
b) O conjunto de vectores da forma (a, b, 0, 0) com a, b reais.
c) O conjunto de vectores da forma (a, b, c, d) com b = a+ c− d e c = 2d,sendo a, b, c, d reais.
d) O conjunto de vectores da forma (a, b, c, d) com a, b, c, d positivos.
e) O conjunto de vectores da forma (a, b, c, d) com c = a+b+1 e d = 2a−b,sendo a, b, c reais.
3-8) Para cada um dos seguintes conjuntos, diga, justificando, se e subespaco lineardo espaco Rn apropriado.
a) L({(1, 0,−1)}) ∪ {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = z}b) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = −2}c) {(x, y) ∈ R2 : xy = 0}d) L({(1, 0,−1)}) ∪ {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + z = 0}e) {(x, y, z) ∈ R3 : x = y + 1 ∧ z + x = 0}f) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y − z = 0 ∧ x− 2y − z = 0}g) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0 ∧ x+ y + z = −1}h) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 1 ∧ x+ z = 0}i) L{(1, 0,−1)} ∩ L{(1, 2, 0), (−1, 1, 1)}j) {(x, y, z) ∈ R3 : xy + x = 0 ∧ z + x = 0}
3-9) Verifique se R2 e um espaco linear, relativamente as operacoes de adicao emultiplicacao por escalares definidas por:
• (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′) para (x, y), (x′, y′) ∈ R2
• α(x, y) = (−αy, αx) para (x, y) ∈ R2 e α ∈ R
26
Espacos lineares
Independencia linear, bases e dimensao
3-10) Determine quais dos conjuntos seguintes sao linearmente independentes, e ob-tenha uma base para a sua expansao linear.
a) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}b) {(1, 2, 6), (1, 1, 1), (2, 3, 7), (0, 1, 5)}c) {(2, 2, 2), (0, 0, 0), (0, 1, 1)}d) {(1, 2, 4), (−2,−4,−8)}e) {(2,−1, 3), (4, 1, 2), (8,−1, 8)}f) {(3, 1, 4), (2,−3, 5), (5,−2, 9), (1, 4,−1)}g) {(1, 2, 6), (3, 4, 1), (4, 3, 1), (3, 3, 1)}
3-11) Seja W o subespaco linear de R3 definido por:
W = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x− 2y + 5z = 0}
a) Determine uma base B do subespaco W , e indique a dimensao de W .
b) Verifique que o vector v = (1, 4, 1) pertence a W , e determine o vector(v)B das coordenadas de v na base B.
3-12) Determine uma base e a dimensao de cada um dos seguintes subespacos linearesde R3.
a) {(x, y, z) : x− y = 0}b) {(x, y, z) : x = −2y ∧ z = −4y}c) O conjunto dos vectores (a, b, c) com b = a+ c.
d) O conjunto dos vectores (a, b, c) com b = a+ c e c = 2a.
3-13) Seja W o subespaco linear de R4 definido por:
W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x− y + z − w = 0 ∧ −4y + z = 0 ∧ x− w = 0}
a) Determine uma base ordenada B do subespaco W , e indique a dimensaode W .
b) Verifique que o vector v = (1, 0, 0, 1) pertence a W , e determine o vectorcoluna vB das coordenadas de v na base da alınea anterior.
27
Espacos lineares
3-14) Seja W o subespaco de R4 gerado pelos vectores u = (1, 0, 0, 0), v = (2, 2, 0, 0)e w = (0,−2, 0, 0).
a) Mostre que S = {u,v,w} nao e uma base de W .
b) Determine uma base de W e a sua dimensao.
3-15) Determine uma base e a dimensao de cada um dos seguintes subespacos linearesde R4.
a) {(x, y, z, w) : 3x− 2y + 5z − w = 0}b) {(x, y, z, w) : −4y + w = 0 ∧ 2y − 1
2w = 0}
c) O conjunto dos vectores da forma (a, b, c, 0).
d) O conjunto dos vectores (a, b, c, d) com d = a+ b e c = a− b.e) O conjunto dos vectores (a, b, c, d) com a = b = c = d.
3-16) Acrescente um vector da base canonica de R3 ao conjunto S = {v1,v2} demodo a obter uma base de R3.
a) v1 = (−1, 2, 3) v2 = (1,−2,−2)
b) v1 = (1,−1, 2) v2 = (3, 1,−2)
3-17) Acrescente vectores da base canonica de R4 ao conjunto S = {v1,v2} de modoa obter uma base de R4.
v1 = (1,−4, 2,−3) v2 = (−3, 8,−4, 6)
3-18) Seja S = {v1, v2, v3} uma base de um espaco linear W , e considere os vectores:
u1 = v1 u2 = v1 + v2 u3 = v1 + v2 + v3
Mostre que {u1, u2, u3} e tambem uma base de W .
3-19) Determine uma base do subespaco linear de R3 gerado por cada um dos con-juntos seguintes, e obtenha equacoes cartesianas desses subespacos.
a) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}b) {(1, 2, 6), (1, 1, 1), (2, 3, 7), (0, 1, 5)}
28
Espacos lineares
3-20) Determine o vector (2, 1)Bidas coordenadas de (2, 1) na base Bi.
a) B1 =((1, 0), (0, 1)
)b) B2 =
((1, 0), (2, 2)
)c) B3 =
((1, 0), (1,−1)
)3-21) Determine o vector (2,−1, 3)Bi
das coordenadas de (2,−1, 3) na base Bi.
a) B1 =((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
)b) B2 =
((1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)
)3-22) Determine o vector (1, 0, 2,−1)Bi
das coordenadas de (1, 0, 2,−1) na base Bi.
a) B1 =((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)
)b) B2 =
((1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)
)3-23) Dada a base ordenada B e a coluna xB, determine o vector x.
a) B =((2, 1), (−1, 1)
)xB =
[3−1
]
b) B =((1,−1, 1), (0, 1, 2), (−1, 2, 0)
)xB =
3−11
3-24) Dado o subespaco
V ={
(x, y, z) ∈ R3 : 2x+ y − z = 0}
,
de R3, diga, justificando a resposta, se cada uma das afirmacoes seguintes everdadeira ou falsa.
a) O conjunto {(−1, 1,−1), (0, 2, 1)} e uma base de V .
b) A dimensao de V e 2.
c) O conjunto {(1, 0, 2), (0, 0,−1), (0, 1, 1)} e linearmente independente.
d) O conjunto {(1, 0, 2), (0, 0,−1), (0, 1, 1)} e uma base de V .
29
Espacos lineares
Subespacos fundamentais associados a uma
matriz
3-25) Determine a dimensao e uma base do nucleo, do espaco gerado pelas linhas edo espaco gerado pelas colunas da matriz:
(a) A =
1 −3 0 11 1 0 −10 0 0 0
(b) B =
4 20 12 1
3-26) Seja A uma matriz e seja B uma matriz que se obteve efectuando uma operacaoelementar sobre A. Mostre que o espaco L (A) das linhas da matriz A e igualao espaco L (B) das linhas da matriz B.
3-27) Seja R uma matriz k × n em escada de linhas. Mostre que o conjunto daslinhas nao nulas de R e linearmente independente.
3-28) Recorrendo as propriedades expressas nos exercıcios 3-26 e 3-27, determineuma base e a dimensao de cada um dos subespacos lineares (do espaco Rn
apropriado) gerados pelos conjuntos seguintes.
a) {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 3, 3)}b) {(−1, 1, 1, 2), (1, 1, 0, 1), (−2, 0, 1, 1), (3, 1,−1, 0)}
3-29) Diga se cada uma das seguintes proposicoes e verdadeira ou falsa:
a) A caracterıstica de uma matriz e igual ao numero das suas colunas naonulas.
b) A unica matriz de tipo m× n com caracterıstica 0 e a matriz nula.
c) As operacoes elementares preservam a caracterıstica.
d) A caracterıstica de uma matriz e igual ao numero maximo de colunas damatriz linearmente independentes.
e) A caracterıstica de uma matriz e igual ao numero maximo de linhas damatriz linearmente independentes.
f) A caracterıstica de uma matriz n× n e menor ou igual a n.
30
Espacos lineares
3-30) Seja A uma matriz real cuja forma reduzida de escada de linhas e:1 3 0 0 00 0 1 0 −20 0 0 1 40 0 0 0 0
Complete de modo a obter afirmacoes verdadeiras:
a) A caracterıstica da matriz A e ...........
b) A dimensao do espaco das colunas de A e ...........
c) O vector nao nulo v = ........... pertence ao espaco das linhas de A.
d) Uma base do nucleo de A e ...........
3-31) Utilize a informacao da seguinte tabela para determinar a dimensao do espacogerado pelas linhas da matriz A, do espaco gerado pelas colunas de A, donucleo de A (nulidade de A) e do nucleo de AT.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)A 3× 3 3× 3 3× 3 5× 9 9× 5 4× 4 6× 2
carA 3 2 1 2 2 0 2
3-32) Utilize a informacao da seguinte tabela para determinar se o correspondentesistema nao homogeneo Ax = b e possıvel. Em caso afirmativo, indique onumero de variaveis livres da solucao geral.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)A 3× 3 3× 3 3× 3 5× 9 9× 5 4× 4 6× 2
carA 3 2 1 2 2 0 2car(A|b) 3 3 1 2 3 0 2
3-33) Determine bases para o nucleo N (A), para o espaco das linhas L (A) e parao espaco das colunas C (A) da matriz
A =
[1 i 0−i 1 2i
],
e indique a dimensao de cada um destes espacos lineares complexos.
31
Espacos lineares
3-34) Sempre que b pertencer ao espaco gerado pelas colunas da matriz real A,escreva b como combinacao linear das colunas de A.
a) A =
[1 34 −6
]b =
[−210
]
b) A =
1 1 21 0 12 1 3
b =
−102
3-35) Dados os vectores u = (1,−1, 1) e v = (1, 0, 1) de R3, considere as afirmacoesseguintes:
I) O espaco L{u,v, (0, 1, 0)} e um plano.
II) Existe um vector e de R3 tal que a matriz
A =[
u v e]
e invertıvel.
III) O vector x = (5, 0, 3) e uma combinacao linear de u e v;
IV) O subespaco linear de R3 gerado por u e v e
{(x, y, z) ∈ R3 : x = y ∧ z = 0} .
A lista completa das afirmacoes correctas e:
A) I e II e III B) I e III C) I e II D) II e III e IV
3-36) Determine a dimensao e uma base do subespaco das solucoes de cada um dossistemas seguintes:
(a)
x+ y − z = 0
− 2x− y + 2z = 0
− x+ z = 0
(b)
{3x+ y + z + t = 0
5x− y + z − t = 0
32
Espacos lineares
3-37) Suponha que o vector x = (x1, x2, x3, x4) = (−1, 2, 4, 3) e uma solucao par-ticular de um sistema de equacoes lineares nao homogeneo Ax = b, e que asolucao geral do sistema homogeneo associado, Ax = 0, satisfaz
x1 = −3r + 4s
x2 = r − sx3 = r
x4 = s ,
onde r e s sao parametros reais.
a) Escreva uma representacao parametrica da solucao geral de Ax = 0 sobforma vectorial, exprimindo-a como uma combinacao linear de vectores.
b) Obtenha a solucao geral de Ax = b sob forma vectorial, e exprima-acomo uma combinacao linear de vectores.
3-38) Seja A uma matriz real, e suponha que
x1 = (−3,−2, 2,−1)
e uma solucao particular do sistema Ax = b, onde
b = (2,−4, 3,−4) .
Suponha ainda que x0 = (1, 1, 1, 1) e uma solucao particular do sistema Ax =0.
Complete de modo a obter afirmacoes verdadeiras:
a) Um vector nao nulo que pertence ao espaco das colunas de A e ........
b) Uma solucao particular nao nula do sistema ATAx = 0 e ........
c) Se somarmos todas as colunas de A, obtemos o vector ........
d) Uma solucao do sistema Ax = b diferente de x1 e ........
e) Se a dimensao do nucleo de A for igual a 1, a natureza do sistema (refirao grau de indeterminacao, se aplicavel) e ........
3-39) Seja A uma matriz tal que o conjunto
{(1, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 1)}
e uma base do nucleo N (A) da matriz A. Considere as afirmacoes seguintes:
33
Espacos lineares
I) O vector x = (−5,−2, 3,−2) e solucao do sistema Ax = 0;
II) A dimensao do espaco C (A) das colunas da matriz A e 2;
III) A matriz A tem 4 colunas;
IV) N (A) = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ 2z = y ∧ z = w}.
A lista completa das afirmacoes correctas e
A) I, II e III B) II, III e IV C) II e IV D) II e III
3-40) Sempre que possıvel, de exemplo de uma matriz A de tipo 5× 3 tal que:
a) (1, 1, 1, 1, 1) /∈ C (A)
b) (1, 1, 1) /∈ L (A)
c) As colunas de A sao um conjunto gerador de M5×1
d) carA = 4
e) O conjunto das linhas de A constitui uma base de M1×3.
f) O conjunto das linhas de A contem (estritamente) uma base de M1×3.
g) A equacao matricial ATx = 0 corresponde a um sistema possıvel e deter-minado.
Espacos lineares
3-41) Exprima a matriz [5 90 5
]como combinacao linear das matrizes seguintes:[
2 10 4
] [1 −10 3
] [3 20 5
]
3-42) Exprima o polinomio p(x) = −9 − 7x − 15x2 como combinacao linear dospolinomios
p1(x) = 2 + x+ 4x2 p2(x) = 1− x+ 3x2 p3(x) = 3 + 2x+ 5x2 .
34
Espacos lineares
3-43) Considere as matrizes:[4 0−2 −2
] [1 −12 3
] [0 21 4
]Determine se o seguinte vector de M2×2 e combinacao linear das matrizesanteriores:
a)
[6 −8−1 −8
]b)
[0 00 0
]c)
[6 03 8
]d)
[−1 57 1
]
3-44) Determine se os vectores seguintes sao ou nao linearmente independentes. Casoo nao sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maiornumero possıvel de elementos.
a) No espaco P3 dos polinomios de grau menor ou igual a 3:
p1(t) = 1
p2(t) = 1 + t
p3(t) = 1 + t+ t2
p4(t) = 1 + t+ t2 + t3
b) No espaco M2×2(R) das matrizes quadradas de ordem 2 com entradasreais: [
1 11 1
] [1 11 0
] [0 00 −5
]
3-45) a) Calcule as coordenadas do polinomio p(t) = (1−t)(1+t) na base canonicade P3.
b) Considere o subespaco linear S de P3 gerado pelo conjunto:
{1− 2t, 1 + t2, 1 + 2t− 3t2, t2}
Verifique que este conjunto nao e uma base de S, e indique uma base deS.
35
Espacos lineares
c) Determine o vector das coordenadas do polinomio p(t) = 3− t2 nas basesdas alıneas a) e b).
d) Considere o conjunto:
W = {p ∈ P3 : p(0) = 0}
Mostre que W e um subespaco linear de P3, e indique a dimensao destesubespaco.
3-46) Exprima o vector v como combinacao linear dos vectores da base {v1, v2, v3}de P2.
a) v = 4− 3x+ x2 v1 = 1, v2 = x, v3 = x2
b) v = 2− x+ x2 v1 = 1 + x, v2 = 1 + x2, v3 = x+ x2
3-47) Determine as coordenadas do vector A na base (A1, A2, A3, A4) de M2×2.
a) A =
[2 0−1 3
]A1 =
[−1 10 0
]A2 =
[1 10 0
]A3 =
[0 01 0
]A4 =
[0 00 1
]b) A =
[1 00 1
]A1 =
[3 63 −6
]A2 =
[0 −1−1 0
]A3 =
[0 −8−12 −4
]A4 =
[1 0−1 2
]
3-48) Mostre que se U e V sao subespacos lineares de um espaco W , entao U ∩ Ve U + V tambem sao subespacos lineares de W .
3-49) Dados os subespacos U e W de R4, determine uma base de U ∩W e uma basede U +W , e indique as dimensoes destes subespacos.
a) U = L{(1, 0, 2, 0)}W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : y + 2z − w = 0 ∧ −y + 3w = 0 ∧ z = 0}
b) U = L{(1, 0,−1, 0), (0, 1, 1, 0)}W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : −x+ y − 2w = 0 ∧ 2y − z = 0}
36
Espacos lineares
c) U = L({(0, 0, 1, 0), (−2, 0, 0,−2)})W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ 2y − z − w = 0 ∧ x− w = 0}
3-50) Verifique que dimU + dimW = dim(U ∩W ) + dim(U + W ) nos tres casosconsiderados no problema anterior.
Diga em que casos os pares de subespacos decompoem R4 numa soma directa.
3-51) Verifique quais dos conjuntos seguintes sao espacos lineares reais (relativamenteas operacoes usuais), e para os que o forem indique a sua dimensao e determineuma base.
a) O subconjunto do espaco linear P5 formado pelos polinomios:
p(t) = a0 + a1t+ a2t2 (com a0 + a1 = 0)
b) O subconjunto do espaco M2×2(R) formado pelas matrizes invertıveis.
c) O conjunto {[ a bc d ] ∈M2×2(R) : a ∈ Z}.d) O seguinte subconjunto do espaco das funcoes contınuas de R em R:
L{cos2 t− sen2 t, cos 2t+ sen t, sen t}
3-52) Determine se o seguinte conjunto e espaco linear (real ou complexo), relativa-mente as respectivas operacoes de adicao e multiplicacao por escalar usuais.
a) O conjunto das matrizes da forma [ a b0 c ].
b) O conjunto das matrizes diagonais 2× 2.
c) O conjunto das matrizes quadradas que comutam com uma dada matrizB.
d) O conjunto das funcoes f : R→ R ımpares.
e) O conjunto das funcoes f : R→ R que se anulam em 1.
f) O conjunto dos polinomios reais que se anulam em 0.
g) O conjunto das funcoes f : R → R com segunda derivada contınua taisque f ′′(x) + af ′(x) + bf(x) = cos x, com a e b dados.
3-53) Para cada um dos seguintes conjuntos de matrizes, determine se constitui umespaco linear complexo, relativamente as operacoes usuais. Em caso afirmativo,determine uma base do subespaco.
37
Espacos lineares
a) O conjunto das matrizes complexas n× n invertıveis.
b) O conjunto das matrizes complexas 2× 2 que comutam com a matriz[1 i0 −1
].
3-54) Diga, justificando a resposta, se o seguinte subconjunto do espaco linear dadoe subespaco linear. Em caso afirmativo, indique a sua dimensao.
I) Em M2×2(R):
a) O conjunto das matrizes cujas entradas sao numeros inteiros.
b) O conjunto das matrizes com traco nulo.
c) O conjunto das matrizes anti-simetricas.
d) O conjunto das matrizes com determinante nulo.
II) Em P3(R):
a) O conjunto dos polinomios com termo independente nulo.
b) O conjunto dos polinomios a0 +a1x+a2x2 +a3x
3 tais que a0 +a1 +a2 + a3 = 0.
c) O conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros.
d) O conjunto dos polinomios de grau menor ou igual a 1.
3-55) Determine uma base para cada um dos espacos lineares seguintes.
a) L{1, 1 + t, 1 + t+ t2, 1 + t+ t2 + t3} (subespaco de P3)
b) O subespaco de M2×2(R) gerado pelas matrizes:[1 11 1
] [1 11 0
] [0 00 −5
]
3-56) a) Determine as coordenadas do polinomio (1 − t)(1 + t) na base canonicade P2.
b) Considere o subconjunto S ⊂ P2 dado por:
S = {1− 2t, 1 + t2, t, 1 + 2t− 3t2, t2}
Diga, justificando, se S e uma base de P2.
c) Diga qual a dimensao de L(S), e determine uma base deste espaco.
38
Espacos lineares
d) Diga se o subconjunto de todos os polinomios de P2 que se anulam em 0e um subespaco linear de P2. Em caso afirmativo, indique a sua dimensaoe uma base.
3-57) Considere a base ordenada B = (1, 1 + t, 2t + t2) do espaco linear P2. Ascoordenadas de p(t) = 3 + t+ t2 na base B sao:
� (8,−3, 1) � (5,−1, 1) � (6,−1, 1) � (4,−1, 1)
Matrizes de mudanca de base
3-58) a) Determine a matriz MB←E2 de mudanca de base da base canonica deR2 para a base ordenada B =
((−1, 0), (−1, 1)
), e calcule o vector das
coordenadas de (2, 2) na base B.
b) Determine a matriz ME2←B′ de mudanca de base da base B′ de R2 paraa base canonica, sendo B′ =
((1, 2), (−2, 1)
).
c) Determine a matriz MB←B′ .
3-59) Considere a base ordenada B =((0, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 0)
)de R3.
a) Determine a matriz de mudanca de base da base canonica de R3 para abase B.
b) Determine o vector v tal que vB =[
1−12
].
c) Determine a matriz de mudanca de base da base B para a base
B′ =((−1, 0,−1), (2, 1, 0), (0, 1, 0)
).
d) Determine a matriz de mudanca de base da base canonica de R3 para abase B′ usando as matrizes de mudanca de base das alıneas anteriores.
3-60) Seja B a base de R3 tal que ME3←B =
2 1 01 −1 10 0 −3
e seja B′ = (v1, v2, v3)
a base ordenada de R3 tal que
(v1)B = (1, 0,−1), (v2)B = (0, 1, 0) (v3)B = (1,−1, 1).
a) Determine a base B.
39
Espacos lineares
b) Calcule (1, 2,−1)B.
c) Determine as matrizes MB←B′ e ME3←B′ .
d) Determine a base B′.
3-61) Dada uma base B = (u, v, w) de R3, considere os vectores:
u′ = u+ v
v′ = u− vw′ = u+ v + w
a) Mostre que (u′, v′, w′) e uma base B′ de R3.
b) Determine a matriz de mudanca de base de B para a base B′.c) Calcule (2u+ 3v − w)B′ .
3-62) Determine a matriz de mudanca de base da base canonica de P2 para a baseordenada B =
(1 + t, 1 + t2, 1 + t+ t2
), e calcule o vector das coordenadas de
2− 3t+ t2 na base B.
3-63) Obtenha uma base do subespaco de M2×2 constituıdo pelas matrizes de traconulo, e determine uma base B de M2×2 que a contenha. Calcule a matriz demudanca de base MBc←B, sendo Bc a base canonica de M2×2.
40
4
Valores proprios e vectores proprios
Notacao
Sendo A uma matriz quadrada:
Polinomio caracterıstico de A: p(λ) = |A− λI|Espaco proprio correspondente ao valor proprio λ: E(λ)Matriz diagonalizante de A: Matriz S invertıvel tal que A = SDS−1,
com D diagonalEspectro de A: σ(A)
Valores e vectores proprios de matrizes
4-1) Considere a matriz:
A =
−1 −2 30 1 −11 1 −2
Para cada um dos vectores seguintes, verifique se e vector proprio de A e, emcaso afirmativo, indique o valor proprio correspondente.
a) (−5, 1, 4) b) (−1, 1, 1) c) (0, 0, 0) d) (−1, 1, 0) e) (1, 1, 1)
4-2) Verifique se λ = 3 e um valor proprio da matriz: 5 2 8−3 0 70 0 3
Em caso afirmativo, determine um vector proprio associado.
41
Valores proprios e vectores proprios
4-3) Para cada uma das matrizes seguintes, determine o polinomio caracterıstico,os valores proprios (indicando as suas multiplicidades algebrica e geometrica),e uma base para cada um dos espacos proprios correspondentes.
a)
[3 08 −1
]b)
[10 −94 −2
]c)
4 0 1−2 1 0−2 0 1
d)
5 0 11 1 0−7 1 0
e)
0 0 2 01 0 1 00 1 −2 00 0 0 1
4-4) Considere a matriz complexa: [4 1− i
1 + i 5
]Determine o polinomio caracterıstico desta matriz, os valores proprios, indi-cando as suas multiplicidades algebrica e geometrica, e bases para os espacosproprios correspondentes.
4-5) Determine os valores proprios e bases para os espacos proprios de A15, em queA e a seguinte matriz real:
A =
−1 −2 −21 2 1−1 −1 0
4-6) Sem efectuar qualquer calculo, determine os valores proprios das matrizes se-guintes:
a)
2 3 00 8 −10 0 −5
b)
9 0 07 −8 0−3 4 1
c)
4 0 00 1 00 0 1
42
Valores proprios e vectores proprios
4-7) Seja A uma matriz quadrada de ordem n com entradas reais. Suponha quev = (v1, v2, . . . , vn) e um vector proprio de A, que λ e o valor proprio quecorresponde a v e que λ e um numero complexo. Mostre que λ tambem evalor proprio de A e que v = (v1, v2, . . . , vn) e um vector proprio de A cujovalor proprio associado e λ.
4-8) Suponha que A e uma matriz com um valor proprio λ associado a um vectorproprio v. Mostre que λk tambem e um valor proprio de Ak e que esta associadoao vector proprio v, qualquer que seja k ∈ N.
4-9) Calcule detA, sabendo que o polinomio caracterıstico de A e dado por:
a) p(λ) = −λ3 + 2λ2 − λ− 5 b) p(λ) = λ4 − λ3 + 7
4-10) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2.
a) Mostre que a equacao caracterıstica de A e
λ2 − (trA)λ+ detA = 0 .
b) Determine trA e detA no caso de 5 e 8 serem valores proprios da matrizA.
4-11) Seja A uma matriz 3×3 cujo polinomio caracterıstico e p(λ) = −(λ+1)(λ−2)2.
a) Indique os valores proprios de A, e de exemplo de uma matriz A nestascondicoes tal que:
i) Existe um valor proprio de A com multiplicidade algebrica maior quea sua multiplicidade geometrica.
ii) Todos os valores proprios de A tem multiplicidade algebrica igual arespectiva multiplicidade geometrica.
b) Determine os valores proprios de A+ αI, sendo α um escalar.
c) Para qualquer α, mostre que A e A+αI tem os mesmos vectores proprios.
4-12) Seja A uma matriz 3× 3 com valores proprios 0, 1 e 2.
a) Determine carA, detA e trA.
b) Determine os valores proprios de A+ I e dim C (A+ I).
43
Valores proprios e vectores proprios
c) A matriz A e invertıvel? E a matriz A+ I?
4-13) Sem calcular o polinomio caracterıstico, determine dois valores proprios distintos
de[
1 2 31 2 31 2 3
]e tres vectores proprios linearmente independentes.
4-14) Seja A uma matriz quadrada real de ordem n. Determine se e verdadeira oufalsa cada uma das afirmacoes seguintes. Justifique.
a) σ(A) = σ(AT).
b) Se λ ∈ σ(A) e v e um vector proprio de A associado a λ, entao necessa-riamente v tambem e vector proprio de AT.
c) Se A e semelhante a uma matriz simetrica B, entao AT tambem e seme-lhante a B.
4-15) Seja A a matriz 2 0 0 02 −1 0 00 0 2 00 0 0 −1
.
Considere as afirmacoes seguintes:
I) Os valores proprios de A sao 2, −4 e 1.
II) O vector (3, 2, 0, 0) e um vector proprio de A e 2 e o valor proprio asso-ciado.
III) O vector (3, 2, 0, 0) e um vector proprio de A e 4 e o valor proprio asso-ciado.
IV) A matriz tem valores proprios de multiplicidade algebrica superior a 1.
A lista completa das afirmacoes correctas e:
A) I e IV B) II C) II e IV D) III e IV
44
Valores proprios e vectores proprios
Diagonalizacao de matrizes
4-16) Diagonalize a matriz A do problema 4-5) e calcule A15.
4-17) Determine quais das matrizes seguintes sao diagonalizaveis. Caso a matriz dadaA seja diagonalizavel, obtenha uma matriz S que diagonalize A e determineS−1AS.
a)
[1 06 −1
]b)
[3 −ii 3
]c)
[1 00 1
]
d)
3 0 00 2 00 1 2
e)
5 0 00 −1 −1 + i0 −1− i 0
4-18) Considere a matriz
A =
[1 b−b −1
],
onde b e um numero real. Suponha ainda que 0 e valor proprio de A e que Be uma matriz 2× 2. Considere as afirmacoes seguintes:
I) O subespaco N (A) tem dimensao 1;
II) A matriz BA tem 0 como valor proprio;
III) A matriz A e diagonalizavel;
IV) A matriz A nao e invertıvel.
A lista completa das afirmacoes correctas e:
A) II e III B) I e IV C) I, III e IV D) I, II e IV
4-19) Seja A uma matriz quadrada real de ordem n. Determine se e verdadeira oufalsa cada uma das afirmacoes seguintes. Justifique.
a) Se A e diagonalizavel, entao A tem n vectores proprios linearmente inde-pendentes.
b) Se A e diagonalizavel, entao A e invertıvel.
c) Se A e invertıvel, entao A e diagonalizavel.
45
Valores proprios e vectores proprios
d) Se A tem exactamente k valores proprios distintos, sendo k < n, entaoA nao e diagonalizavel.
e) Se A tem n valores proprios distintos, entao A e diagonalizavel.
f) Se A tem um valor proprio com multiplicidade algebrica n, entao A naoe diagonalizavel.
g) Se a soma das dimensoes dos espacos proprios de A e n, entao A ediagonalizavel.
h) Se A e uma matriz nao nula tal que A2 = 0, entao A nao e diagonalizavel.
4-20) Seja A uma matriz singular 3× 3 tal que
A
11−1
=
33−3
e A
011
=
033
.
Diga quais das afirmacoes seguintes sao verdadeiras:
a) 2 nao e valor proprio de A.
b) Zero nao e um valor proprio de A.
c) 3 e um valor proprio de A cuja multiplicidade algebrica e igual a multipli-cidade geometrica.
d) Se u ∈ N (A), entao {(1, 1,−1), (0, 1, 1),u} e uma base de R3.
e) A matriz A e semelhante a matriz diagonal diag(3, 0, 3).
f) A matriz A− 2I e invertıvel.
De um exemplo de uma matriz A nas condicoes do problema.
4-21) Considere a matriz:
A =
0 −1 01 0 00 1 1
a) Calcule os valores proprios de A, e verifique se existe alguma matriz real
que diagonalize A.
b) Determine a forma reduzida de escada de linhas R da matriz A, e indiqueos seus valores proprios. Existe alguma matriz real que diagonalize R?
46
5
Transformacoes lineares
Notacao
Dados E1 e E2 espacos lineares (com bases B1 e B2, respectivamente) e umatransformacao linear T : E1 → E2:
Nucleo de T : N (T )Imagem de T : I (T )Espectro de T : σ(T )Espaco proprio T associado ao valor proprio λ: Eλ(T )Matriz de T para as bases B1 e B2: [T ]B2,B1
Observacao
A matriz [T ]B2,B1 e a unica matriz que satisfaz a condicao
[u]B2 = [T ]B2,B1 [u]B1
para todo o vector u ∈ E1.
Transformacoes lineares
5-1) Diga, justificando, quais das seguintes funcoes sao transformacoes lineares.
a) T : R2 → R2 tal que T (x1, x2) = (x1 + x2, 3x1 − x2)
b) T : R2 → R2 tal que T (x1, x2) = (1 + x2, 3x1 − 1)
c) T : R3 → R2 tal que T (x1, x2, x3) = (2x1 − x2 + x3, x2 − 4x3)
d) T : R3 → R3 tal que T (x1, x2, x3) = (x1 − x2x3, 3x22, x1 − 4x3)
47
Transformacoes lineares
e) T : R3 → R2 tal que T (x1, x2, x3) = (x1 + x2x3, 5x22)
f) T : R3 → R2 tal que T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x3, x2 − x3)
g) T : R2 → R3 tal que T (x1, x2) = (x1 − x2, 3x2, x1 + 5x2)
5-2) Sejam v1, v2 e v3 vectores de um espaco linear U , e seja T : U → R3 umatransformacao linear tal que:
T (v1) = (−1, 2, 1) T (v2) = (2, 3, 0) T (v3) = (1, 2, 3)
Determine T (2v1 − v2 + 3v3).
5-3) Sejam U e V espacos lineares, e seja T : U → V uma transformacao linear.Mostre que T (0) = 0. Como poderia ter usado esta propriedade para resolvera alınea b) do Problema 5-1?
5-4) Seja T : R3 → R3 a transformacao linear definida por
(x, y, z) 7→ (2x− y, x, x+ z) ,
e considere o triangulo de vertices (1, 1, 1), (−1, 1, 1) e (0, 0, 0). Determine aimagem deste triangulo pela transformacao T .
5-5) Para as seguintes transformacoes lineares de R3 em R3, determine se T1 ◦T2 =T2 ◦ T1.
a) T1 e a multiplicacao pelo escalar c e T2 e a rotacao de um angulo θ nosentido positivo relativamente ao semi-eixo positivo dos zz.
b) T1 e a rotacao de 45◦ no sentido positivo em relacao ao semi-eixo positivodos xx e T2 e a rotacao de 30◦ no sentido negativo relativamente aosemi-eixo positivo dos zz.
5-6) Diga, justificando, quais das seguintes funcoes constituem transformacoes line-ares.
a) T : M2×2 →M2×3 tal que T (A) = AB, sendo B uma matriz fixa 2× 3.
b) T : Mn×n(R)→ R tal que T (A) = trA.
c) T : Mm×n →Mn×m tal que T (A) = AT.
48
Transformacoes lineares
d) T : M2×2(R)→ R tal que T([ a bc d ]
)= a+ 3b+ 2c+ 4d.
e) T : M2×2(R)→ R tal que T (A) = tr(AB), com B = [ 1 23 4 ].
f) T : M2×2(C)→ C tal que T (A) = detA.
g) T : P2 → P2 tal que T (a+ bx+ cx2) = (a+ 1) + (b+ 1)x+ (c+ 1)x2.
h) T : P2 → P2 tal que T (a+ bx+ cx2) = a+ b(x+ 1) + c(x+ 1)2.
Matriz associada a uma transformacao linear
5-7) Determine a matriz que representa cada uma das transformacoes lineares se-guintes relativamente as bases canonicas dos espacos de partida e de chegada.
a) T (x1, x2) = (2x1 − x2, x1 + x2)
b) T (x1, x2) = (x1, x2)
c) T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 + x3, x1 + 5x2, x3)
d) T (x1, x2, x3) = (4x1, 7x2,−8x3)
e) T (x1, x2) = (x2,−x1, x1 + 3x2, x1 − x2)
f) T (x1, x2, x3, x4) = (7x1 + 2x2 − x3 + x4, x2 + x3,−x1)
g) T (x1, x2, x3) = (0, 0, 0, 0)
h) T (x1, x2, x3, x4) = (x4, x1, x3, x2, x1 − x3)
5-8) Admitindo que a transformacao envolvida e linear e recorrendo a matriz que arepresenta relativamente as bases canonicas, determine:
a) A reflexao de (−1, 2) relativamente ao eixo dos xx e a reflexao do mesmovector relativamente a recta x = y.
b) A reflexao de (2,−5, 3) relativamente ao plano xy e a reflexao do mesmovector relativamente ao plano yz;
c) A projeccao ortogonal de (2,−5) no eixo dos xx e a projeccao ortogonaldo mesmo vector no eixo dos yy.
d) A projeccao ortogonal de (−2, 1, 3) sobre o plano xy e a projeccao orto-gonal do mesmo vector no plano xz;
e) A rotacao de (3,−4) em torno da origem no sentido contrario aos pon-teiros do relogio (sentido positivo) por um angulo de π/2 e a rotacao domesmo vector no mesmo sentido por um angulo de π/6.
49
Transformacoes lineares
f) A rotacao de (−2, 1, 2) por um angulo de π/2 no sentido positivo relati-vamente ao semi-eixo positivo dos zz.
g) A rotacao de (−2, 1, 2) por um angulo de π/4 no sentido positivo relati-vamente ao semi-eixo positivo dos yy.
5-9) Seja T : M2×2(R)→M2×2(R) a transformacao linear definida por T (A) = AT.Determine [T ]B,B, sendo B a base
([ 1 00 0 ] , [ 1 1
0 0 ] , [ 0 11 0 ] , [ 0 0
0 1 ]).
5-10) Considere a transformacao linear T : P2 → P2 definida por
f(t) 7→ 2f ′(t)− f(t) .
onde f ′ designa a derivada de f .
a) Determine a matriz que representa a transformacao linear T em relacao abase canonica P2 de P2. A transformacao linear T e invertıvel?
b) Determine o polinomio p ∈ P2 tal que (Tp)(t) = (t+1)2 para todo t ∈ R.
Nucleo e imagem
5-11) Seja T : R3 → R3 a transformacao linear definida por:
T (x1, x2, x3) = (x1 − 2x2 + x3, 5x1 − x2 + 3x3, 4x1 + x2 + 2x3)
a) Determine o nucleo e a imagem da transformacao linear.
b) Indique um vector de R3 que nao esteja na imagem da transformacao.
c) Verifique o teorema da dimensao.
5-12) Determine o nucleo e a imagem da transformacao linear T2 ◦ T1, e determineuma expressao para T2 ◦ T1.
a) T1(x, y) = (2x, 3y) T2(x, y) = (x− y, x+ y).
b) T1(x, y) = (2x,−3y, x+ y) T2(x, y, z) = (x− y, y + z).
c) T1(x, y, z) = (x− y, y + z, x− z) T2(x, y, z) = (0, x+ y + z).
5-13) Quais das seguintes transformacoes lineares T sao isomorfismos?
50
Transformacoes lineares
a) A projeccao ortogonal de (x, y) ∈ R2 sobre o eixo dos xx.
b) A reflexao de (x, y) ∈ R2 relativamente a recta x = y.
c) A projeccao ortogonal de (x, y, z) ∈ R3 sobre o plano xy.
d) A reflexao de (x, y, z) ∈ R3 relativamente ao plano yz.
e) A rotacao de (x, y, z) ∈ R3 no sentido positivo de π/2 radianos relativa-mente ao semi-eixo positivo dos zz.
5-14) Em relacao ao problema 5-13), considere as questoes seguintes.
a) Qual e a transformacao linear inversa de cada um dos isomorfismos?
b) Determine o nucleo e a imagem de cada uma das transformacoes.
c) Nos casos das alıneas a) e c), mostre que se tem T 2 = T .
5-15) Sejam T1 : R2 → R2 e T2 : R2 → R2 transformacoes lineares tais que
T1(x, y) = (x+ y, x− y) T2(x, y) = (2x+ y, x− 2y) .
Mostre que a transformacao linear T2 ◦ T1 e invertıvel, e determine a matrizque representa a sua inversa.
5-16) Sejam U e V espacos lineares, com dimU = n, dimV = p, n < p. Indique ovalor logico das seguintes proposicoes.
a) Existem transformacoes lineares injectivas de V em U .
b) Existem transformacoes lineares sobrejectivas de V em U .
c) Existem transformacoes lineares injectivas de U em V .
d) Existem transformacoes lineares sobrejectivas de U em V .
e) Qualquer transformacao linear injectiva de U em U e sobrejectiva.
f) Qualquer transformacao linear injectiva de U em V e sobrejectiva.
g) Qualquer transformacao linear injectiva de P4 em M2×2 e bijectiva.
h) Qualquer transformacao linear injectiva de M2×2 em P e bijectiva.
51
Transformacoes lineares
Representacao matricial de uma
transformacao linear em diferentes bases
5-17) Seja T : R2 → R2 a transformacao linear definida por
T (x1, x2) = (x1 − 2x2, x1 + x2)
e considere-se a base ordenada B = (v1,v2) de R2, com v1 = (1, 1) e v2 =(−1, 0).
a) Determine a matriz A = [T ]E2,E2 que representa T relativamente a basecanonica de R2.
b) Sem recorrer a matriz A, calcule a matriz B = [T ]B,B que representa Trelativamente a base B no espaco de partida e no espaco de chegada.
c) Relacione as matrizes A e B atraves da matriz mudanca de base apropri-ada.
d) Calcule a imagem do vector v = (1,−1) pela transformacao T , usando amatriz A.
e) Calcule a imagem do vector v = (1,−1) pela transformacao T , usando amatriz B.
5-18) Considere, no espaco linear R3, a base canonica E3 =(e1, e2, e3
), e a base
ordenada B =((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)
).
a) Determine a matriz M de mudanca de base de E3 para B, isto e tal quexB = MxE3 para todo x ∈ R3.
b) Dado um vector u = x1e1 + x2e2 + x3e3, determine o vector uB =(y1, y2, y3) das coordenadas de u na base B.
c) Considere a transformacao linear T : R3 → R3, cuja representacao matri-cial na base canonica e
A =
2 −1 −10 1 10 0 1
.
Determine a matriz que representa T na base B.
d) Determine uma expressao analıtica de T .
52
Transformacoes lineares
5-19) Seja T : P2 →M2×2(R) uma transformacao linear tal que a matriz [T ]B2,B1 quea representa em relacao a base B1 = (1 + t2, t, t− 1) de P2 e a base canonicaB2 de M2×2(R) e
A =
1 0 −10 1 −11 0 −10 −1 1
.a) Determine o nucleo de T .
b) Determine o contradomınio de T .
5-20) Seja T : P2 → P3 uma transformacao linear tal que a matriz [T ]B2,B1 que arepresenta em relacao a base B1 = (1 + t2, t, t − 1) de P2 e a base B2 =(1− t3, t2, t+ 1, 1) de P3 e
A =
−1 0 00 1 11 0 −10 0 1
.a) Determine o nucleo de T .
b) Determine o contradomınio de T .
c) Determine C = [T ]P3,P2 .
d) Relacione a matriz A com a matriz C obtida nas alınea anterior atravesde matrizes de mudanca de base apropriadas.
e) Determine uma expressao analıtica para a transformacao T .
5-21) Seja U o subespaco de M2×2(R) constituıdo pelas matrizes triangulares supe-riores com traco nulo. Seja T : U → M2×2(R) a transformacao linear tal queT (A) = [A,B], com B = [0 −1
1 0 ] e [A,B] = AB −BA.
a) Obtenha uma base BU de U , e indique a dimensao de U .
b) Determine [T ]Bc,BU, sendo Bc a base canonica de M2×2. A transformacao
T e injectiva?
c) Mostre que o contradomınio V de T e constituıdo pelas matrizes simetricasde traco nulo, e obtenha uma base BV de V .
d) Considere a transformacao linear S : U → V tal que S(A) = [A,B].Determine a matriz [S]BV ,BU
. A transformacao S e injectiva? E sobrejec-tiva?
53
Transformacoes lineares
Valores proprios, vectores proprios e
subespacos invariantes
5-22) Considere a transformacao linear T : R2 → R2 definida por:
[T ]E2,E2
[xy
]=
[0 11 0
] [xy
].
a) Determine os espacos proprios da transformacao T .
b) Determine os subespacos de R2 que sao invariantes para T .
5-23) Determine equacoes cartesianas das rectas de R2 (se existirem) que passampela origem e sao invariantes pela transformacao linear que na base canonica erepresentada pela seguinte matriz:
(a)
[2 30 2
](b)
[0 1−1 0
](c)
[4 −12 1
]
5-24) Determine os subespacos invariantes de T , sendo T a seguinte transformacaolinear:
a) Em R2, a reflexao em relacao ao eixo dos xx.
b) Em R2, a reflexao em relacao a recta y = x.
c) Em R3, a reflexao em relacao ao plano z = 0.
d) Em R3, a reflexao em relacao ao plano x = 0.
e) Em R2, a projeccao ortogonal sobre o eixo dos xx.
f) Em R2, a projeccao ortogonal sobre o eixo dos yy.
g) Em R3, a projeccao ortogonal sobre o plano z = 0.
h) Em R3, a projeccao ortogonal sobre o plano y = 0.
i) Em R2, a rotacao de π/2 em torno da origem, no sentido directo (sentidocontrario ao dos ponteiros do relogio).
j) Em R3, a rotacao de π/2 em torno do eixo dos zz, no sentido directorelativamente ao semi-eixo positivo dos zz.
5-25) Considere a transformacao linear T : R2 → R2 que consiste na rotacao de π/2em torno da origem, no sentido directo (sentido contrario ao dos ponteiros dorelogio).
54
Transformacoes lineares
a) Determine a matriz A = [T ]E2,E2 .
b) Determine, se possıvel, os espacos proprios da transformacao T .
c) Determine os valores proprios λ ∈ C da matriz A e bases para os corres-pondentes espacos proprios.
5-26) Para cada uma das seguintes transformacoes lineares T = T2◦T1 de R2 em R2,determine, sempre que seja possıvel, os valores proprios e os espacos proprios.
a) T1 e a projeccao ortogonal no eixo dos xx e T2 e a reflexao relativa aoeixo dos yy.
b) T1 e a rotacao em torno da origem de um angulo de π/2 radianos nosentido contrario ao dos ponteiros do relogio e T2 e a rotacao em tornoda origem de π/4 radianos no sentido dos ponteiros do relogio.
c) T1 e a reflexao relativamente ao eixo dos xx e T2 e a reflexao relativamenteao eixo dos yy.
5-27) Considere as transformacoes lineares
T1 : M2×2(R)→M2×2(R) T2 : M2×2(R)→M2×2(R)
definidas por
T1(A) =A+ AT
2T2(A) =
A− AT
2.
a) Determine as matrizes que representam T1 e T2, respectivamente, relati-vamente a base canonica de M2×2(R) no espaco de partida e de chegada.
b) Calcule T1 ([ 1 23 4 ]) e T2 ([ 1 2
3 4 ]).
c) Determine os valores proprios e os espacos proprios das transformacoeslineares T1 e T2.
55
6
Espacos lineares com produto interno
Notacao
Produto interno usual em Rn: 〈x,y〉 = xTy
Num espaco linear munido de um produto interno 〈·, ·〉:
Norma de um vector u: ‖u‖ =√〈u, u〉
Distancia entre os vectores u e v: d(u, v) = ‖u− v‖Projeccao ortogonal do vector w sobre o vector v:
projv w =〈w, v〉‖v‖2
v
Matriz ortogonal: ATA = AAT = I
Matriz hermitiana: AT
= AMatriz unitaria: A
TA = AA
T= I
Observacoes
Nos exercıcios seguintes, sempre que se pressuponha um produto interno naoindicado explicitamente, subentende-se que se trata do produto interno usual.
No espaco Pn(R), o produto interno usual e o definido por analogia com oproduto interno em Rn+1:
〈a0 + a1t+ · · ·+ antn, b0 + b1t+ · · ·+ bnt
n〉 = a0b0 + · · ·+ anbn
56
Espacos lineares com produto interno
Produtos internos em espacos lineares
6-1) Considere os vectores u = (4, 1,−2) e v = (2,−1, 3) de R3. Calcule:
a) ‖u + v‖b) ‖u‖+ ‖v‖c) ‖ − 3u‖d) 1
‖v‖v
e)∥∥∥ 1‖v‖v
∥∥∥f) ](u,v)
g) d(u,v)
6-2) Sendo v = (−2, 3, 0, 6), para que valores de α se verifica a igualdade ‖αv‖ = 5?
6-3) Para que valores de α podemos afirmar que u e v sao ortogonais?
a) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, α)
b) u = (α, α, 1), v = (α, 5, 6)
6-4) Determine dois vectores com norma igual a um que sejam ortogonais aos tresvectores seguintes:
u = (2, 1,−4, 0) v = (−1,−1, 2, 2) w = (3, 2, 5, 4)
6-5) Verifique a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os vectores u e v:
u = (0,−2, 2, 1) v = (−1,−1, 1, 1)
6-6) Determine todos os vectores de R2 de norma unitaria que fazem um angulo deπ/3 radianos com o vector (2,
√5).
6-7) Sejam u e v vectores de Rn. Prove que:
‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2
Interprete geometricamente esta igualdade para n = 2.
57
Espacos lineares com produto interno
6-8) Identifique os casos em que as seguintes identidades (com u = (u1, u2, u3)e v = (v1, v2, v3)) definem um produto interno em R3. Nos restantes casos,indique as propriedades que nao sao satisfeitas.
a) 〈u,v〉 = u1v1 + u3v3
b) 〈u,v〉 = u21v
21 + u2
2v22 + u2
3v23
c) 〈u,v〉 = 2u1v1 + u2v2 + 4u3v3
d) 〈u,v〉 = u1v1 − u2v2 + u3v3
6-9) Identifique os casos em que as seguintes identidades (com u = (u1, u2, u3, u4)e v = (v1, v2, v3, v4)) definem um produto interno em R4. Nos restantes casos,indique as propriedades que nao sao satisfeitas.
a) 〈u,v〉 = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4
b) 〈u,v〉 = u21v
21 + u2
2v22 + u2
3v23 + u2
4v24
c) 〈u,v〉 = 2u1v1 + u2v2 + 4u3v3 + u4v4
d) 〈u,v〉 = u1v1 + u3v3
6-10) Seja {u,v} um conjunto ortogonal de vectores de Rn tais que ‖u‖ = 1 e‖v‖ = 2. Calcule d(u,v), e interprete geometricamente este resultado paran = 2.
6-11) Sejam u = ( 1√2,− 1√
2) e v = ( 2√
α, 2√
α). Quais sao os valores de α para os
quais o conjunto {u,v} e ortonormal?
6-12) Calcule:
a) proj(1,2)(−1,−1).
b) proj(1,2,3)(−π,−2π,−3π).
6-13) Utilize o metodo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal a partirda base dada:
a) {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}b) {(1, 0,−1, 0), (−1, 2, 0, 1), (2, 0, 2, 1), (2, 2, 1, 1)}
58
Espacos lineares com produto interno
6-14) Considere C2 munido do produto interno usual. Utilize o metodo de ortogona-lizacao de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal de L{u1,u2}.
a) u1 = (1,−3i) u2 = (2i, 2i)
b) u1 = (i, 0) u2 = (1 + 3i,−5i)
6-15) Considere a funcao 〈·, ·〉 : R2 × R2 → R definida por
〈u,v〉 = 3u1v1 + 5u2v2 ,
com u = (u1, u2) e v = (v1, v2).
a) Mostre que 〈·, ·〉 e um produto interno em R2.
b) Calcule ‖u‖ e d(u,v), para u = (−1, 3) e v = (2, 5).
c) Determine o conjunto dos vectores u tais que ‖u‖ ≤ 1.
6-16) Seja φ : R3 × R3 → R definida por
φ(x,y) = 3x1y1 − 2x1y2 + x1y3 − 2x2y1 + 2x2y2 + x3y1 + 2x3y3 ,
com x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3).
a) Escreva φ na forma φ(x,y) = xTAy.
b) Verifique que A e uma matriz simetrica e definida positiva (isto e, xTAx >0 para x 6= 0, ou equivalentemente, os valores proprios de A sao todospositivos).
c) Justifique que φ e um produto interno em R3.
As alıneas que se seguem dizem respeito ao produto interno φ.
d) Verifique que os vectores e1 = (1, 0, 0) e e2 = (0, 1, 0) nao sao ortogonais.
e) Determine proje1e2.
f) Determine um vector ortogonal a e1.
g) Determine o angulo entre e1 e e2.
h) Utilize o metodo de ortogonalizacao de Gram–Schmidt para obter umabase ortonormada de R3 a partir da base canonica de R3.
59
Espacos lineares com produto interno
6-17) Seja W o subespaco linear de R3 definido por:
W = {(x, y, z) : y = 2x ∧ x = y + z}
Determine uma base e equacoes cartesianas de W⊥.
6-18) Seja W o subespaco de R3 definido pela equacao x− 2y − 3z = 0.
a) Determine equacoes cartesianas de W⊥.
b) Calcule as distancias do vector (1, 0,−1) a W e a W⊥.
6-19) Considere o hiperplano de R4:
W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x− y + 2z − 2w = 0}
a) Determine uma base para o subespaco linear W⊥, e obtenha equacoescartesianas de W⊥.
b) Exprima o vector w = (1, 2, 1,−1) na forma
w = w1 + w2 ,
com w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.
c) Calcule as distancias d((1, 2, 1,−1),W
)e d((1, 2, 1,−1),W⊥).
d) Prove a igualdade:
R4 = W ⊕W⊥
6-20) Considere a matriz A =
1 2 −1 23 5 0 41 1 2 0
.
a) Sem efectuar quaisquer calculos, justifique se sao verdadeiras ou falsas asafirmacoes:
i) dim L (A) + dim N (AT) = 4.
ii) dim C (A) + dim N (AT) = 4.
b) Determine uma base para o complemento ortogonal do nucleo de A.
c) Determine uma base para o complemento ortogonal do nucleo de AT.
60
Espacos lineares com produto interno
6-21) Seja W o subespaco de R3 definido pelas equacoes parametricas:x = 2t
y = −5t
z = 4t
(t ∈ R)
Determine a projeccao ortogonal projW⊥(1, 0,−1) do vector (1, 0,−1) sobre osubespaco W⊥.
6-22) Determine equacoes cartesianas da recta que passa pelo ponto (3,−1, 2) e eparalela ao vector (2, 1, 3).
6-23) Determine uma equacao cartesiana do plano que contem o ponto (1,−2, 2) ea recta definida por:
x = t
y = t+ 1
z = −3 + 2t
(t ∈ R)
6-24) Determine a distancia do ponto (3,−1, 2, 1) ao hiperplano {(x, y, z, w) : x +2y − 2z − w = 4}.
6-25) Em R3, considere os pontos:
P0 = (1, 0,−1) P1 = (0, 1, 0) P2 = (1, 1, 1)
a) Determine equacoes cartesianas e parametricas da recta que passa por P0
e tem a direccao do vector u = (0,−1,−3).
b) Determine uma equacao cartesiana do plano que passa por P0 e e perpen-dicular a recta que passa por P0 e tem a direccao do vector n = (1, 0, 1).
c) Determine uma equacao cartesiana e equacoes parametricas do plano de-finido por P0, P1 e P2. Determine ainda um vector normal a este plano.
d) Determine a distancia de (1, 1, 0) ao plano da alınea anterior.
6-26) Determine o complemento ortogonal do subespaco linear de P2 gerado pelopolinomio p(t) = (t + 1)2, quando se considera definido em P2 o produtointerno usual.
61
Espacos lineares com produto interno
6-27) Considere a operacao 〈·, ·〉 : P2 × P2 → R definida por
〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1/2)q(1/2) + p(1)q(1) ,
para p, q ∈ P2.
a) Mostre que a funcao 〈p, q〉 e um produto interno em P2.
As alıneas que se seguem dizem respeito ao produto interno 〈p, q〉.
b) Calcule ‖p‖, com p(t) = a0 + a1t+ a2t2.
c) Calcule o angulo entre os polinomios p(t) = 1− t2 e q(t) = 1 + t+ t2.
d) Sendo W = L{1− t2},i) determine uma base de W⊥.
ii) determine a distancia de q(t) = 1 + t+ t2 a W e a W⊥.
e) Determine uma matriz simetrica A tal que
〈p, q〉 =[b0 b1 b2
]A
a0
a1
a2
,
para p(t) = a0 + a1t+ a2t2 e q(t) = b0 + b1t+ b2t
2.
6-28) Seja U o subespaco de M2×2 constituıdo pelas matrizes A tais que AT = −A(matrizes anti-simetricas). Considere a operacao de M2×2×M2×2 em R definidapor
〈A,B〉 = tr(ATB) , (1)
onde tr designa o traco de uma matriz.
a) Mostre que 〈·, ·〉 definido por (1) e um produto interno.
b) Determine a dimensao de U e de U⊥.
c) Determine bases ortonormadas de U e de U⊥.
d) Determine as projeccoes ortogonais de [ 1 1−1 2 ] sobre U e sobre U⊥.
e) Qual a matriz anti-simetrica mais proxima de [ 1 1−1 2 ]?
f) Determine a distancia de [ 1 1−1 2 ] a U .
62
Espacos lineares com produto interno
6-29) Considere as transformacoes lineares
T1 : M2×2(R)→M2×2(R) T2 : M2×2(R)→M2×2(R)
definidas por
T1(A) =A+ AT
2T2(A) =
A− AT
2.
Mostre que a imagem Im(T1) da transformacao linear T1 e o complementoortogonal da imagem Im(T2) da transformacao linear T2, quando M2×2(R)esta munido com o produto interno
〈A,B〉 = tr(ATB) .
Diagonalizacao ortogonal e diagonalizacao
unitaria
6-30) Seja A uma matriz real m×n. Prove que as colunas de A formam um conjuntoortogonal se e so se ATA e uma matriz diagonal. Prove ainda que esse conjuntoe ortonormal se e so se ATA e a matriz identidade.
6-31) a) Uma matriz real A de ordem n diz-se ortogonal se ATA = I. Prove queA e ortogonal se e so se as colunas de A formam uma base ortonormadade Rn.
b) Identifique todas as matrizes ortogonais de ordem 2. (Sugestao: Cadacoluna de A e um vector de R2 situado na circunferencia de raio unitarioe centro na origem, que e determinado por um angulo.)
6-32) Mostre que se A e uma matriz real diagonalizavel e admite uma matriz diago-nalizante ortogonal, entao A e simetrica.
6-33) Mostre que se A e uma matriz simetrica real, entao os valores proprios de Asao reais.
6-34) Diagonalize ortogonalmente a matriz
A =
3 1 11 3 11 1 3
.
Note que a soma das entradas de cada linha de A e constante.
63
Espacos lineares com produto interno
6-35) Seja A uma matriz unitaria de ordem n, e seja T : Cn → Cn a transformacaolinear que e representada pela matriz A na base canonica. Mostre que:
a) 〈Tx, Ty〉 = 〈x,y〉 (x,y ∈ Cn)
b) ‖Tx‖ = ‖x‖ (x ∈ Cn)
c) Se λ e valor proprio de A, entao |λ| = 1.
6-36) Diga se as matrizes seguintes sao simetricas, anti-simetricas, hermitianas, anti-hermitianas ou unitarias.
A =
1 2 5−2 0 −3−5 3 1
B =
1 i 5−1 0 35 3 1
C =
0 −1 01 0 00 0 1
D =
[i i−i i
]
6-37) Mostre que se A e uma matriz hermitiana, entao os seus valores proprios saoreais.
6-38) Determine α, β e γ de modo que a matriz A seja hermitiana.
A =
−1 α −i3− 5i 0 γβ 2 + 4i 2
6-39) Determine quais das seguintes matrizes sao unitarias:
a)
[i 00 i
]b)
[i√2
1√2
− i√2
1√2
]
c)
[1 + i 1 + i1− i −1 + i
]
d)
−i√2
i√6
i√3
0 − i√6
i√3
i√2
i√6
i√3
64
Espacos lineares com produto interno
6-40) Diagonalize unitariamente as seguintes matrizes, se possıvel.
a) A =
[4 1− i
1 + i 5
]
b) A =
5 0 00 −1 −1 + i0 −1− i 0
65
Solucoes
1-1) a) E linear nas variaveis x1, x2 e x3.
b) Nao e linear nas variaveis x, y e z.
c) E linear nas variaveis u, v, w e z.
d) Nao e linear nas variaveis x, y e z.
1-2) O conjunto das solucoes do sistema e:
a) {(0, 0, 0)}b) {(−1
3x3,−2
3x3 − x4, x3, x4) : x3, x4 ∈ R}
A solucao poderia igualmente ser escrita como, por exemplo,{(−1
3r,−2
3r − s, r, s) : r, s ∈ R}. (Relembre as Observacoes no inıcio
desta ficha.)
c) {(y,−y, y, 0) : y ∈ R)}
66
1-3)
(a)
1 1 2 81 −2 3 13 −7 4 10
Conjunto das solucoes: {(3, 1, 2)}
(b)
2 2 2 0−2 5 2 18 1 4 −1
Conjunto das solucoes: {(−1
7− 3
7x3,
17− 4
7x3, x3) : x3 ∈ R}
(c)
0 −2 3 13 6 −3 −26 6 3 5
Conjunto das solucoes: ∅ (nao tem solucoes)
(d)
0 0 1 2 −1 40 0 0 1 −1 30 0 1 3 −2 72 4 1 7 0 7
Conjunto das solucoes: {(−6− 2v − 3y, v,−2− y, 3 + y, y) : v, y ∈ R}
1-4) a) Conjunto das solucoes: {(−45,−14, 6)}b) Conjunto das solucoes: {(5− 4w, 2− 8w, 2− w,w) : w ∈ R}
1-5) Os sistemas das alıneas a), b) e d).
1-6) a)
x = 1
y = 4
z = 6
b)
{y = 4
z = 6
c)
{4x+ y = 0
x+ z = 0
67
d) −x− y + z = 0
1-7) a) Sim (e matriz em escada); caracterıstica 3.
b) Sim; 2.
c) Sim; 2.
d) Sim; 2.
e) Nao; 2.
f) Sim; 2.
g) Nao; 2.
h) Sim; 0.
i) Nao; 1.
j) Nao; 3.
k) Nao; 2.
l) Sim; 2.
1-8) a) • α = 3→ carA = car[A|b] = 1
• α = −3→ carA = 1 car[A|b] = 2
• α 6= 3 ∧ α 6= −3→ carA = car[A|b] = 2
b) • α = 3→ possıvel e indeterminado (G.I. = 2)Conjunto das solucoes: {(y − z, y, z) : y, z ∈ R}
• α = −3→ impossıvel
• α 6= 3 ∧ α 6= −3→ possıvel e indeterminado (G.I. = 1)Conjunto das solucoes: {(y − 1
α+3, y, 1
α+3) : y ∈ R}
1-9) a)
α 6= 0β 6= 2 possıvel e determinado
β = 2 possıvel e indeterminado (G.I. = 1)
α = 0
β = 0 impossıvel
β 6= 0β 6= 2 impossıvel
β = 2 possıvel e indeterminado (G.I. = 2)
b)
c 6= 0 possıvel e determinado
c = 0d = 0 possıvel e indeterminado (G.I. = 1)
d 6= 0 impossıvel
68
c)a = 2 ∨ a = −3
2possıvel e indeterminado (G.I. = 1)
a 6= 2 ∧ a 6= −32
impossıvel
1-10) A)
1-11) Conjunto das solucoes: {(0, (i− 1)z, z) : z ∈ R}
1-12) B)
1-13) C)
1-14)
a)
2 0 2 01 3 1 34 2 4 23 5 3 5
b)
1 2 3 42 1 2 33 2 1 24 3 2 1
c)
a0 a1 a2 · · · ana−1 a0 a1 · · · an−1
a−2 a−1 a0 · · · an−2...
...a−n+1 a−n+2 a−n+3 · · · a1
a−n a−n+1 a−n+2 · · · a0
1-15) a) Nao definida.
b) 4× 2
c) Nao definida.
d)
1 2 34 5 621 28 33
e) Nao definida.
f) 2× 2
g) 2× 2
h) Nao definida.
i) 2× 2
69
1-16) a)[5]
b)
[5−5
]c)
[5 −1−5 4
]d)
[5 −1
]e)[−2 −2
]f)
[−2 −23 −3
]
g)
2 4 55 10 118 16 17
h)
5 7 96 6 612 15 18
1-17) a)[
111−2
]b) [−2 −1 0]
c) −18
d) 2
1-18)[
573
]= 2
[231
]−[
101
]+[
212
]
1-19) a)
1 2 3−8 −10 −127 8 9
b)
1 2 37 8 94 5 6
c)
1 2 34 5 621 28 33
70
d)
1 2 34 5 67 8 9
1-20)
B + C =
4 2 π√3 −3 2
0 1 4
2A =
[2 8 2
√2
−4 2 6
]
AB =
[1 + 4
√3 −2 +
√2 π + 8−
√2
−2 +√
3 −2 −2π − 1
]CB =
3 6 3π
−2√
3 2 −40 5 −5
As restantes operacoes nao sao possıveis.
1-21) a) A− A = [0 0 00 0 0]
b) trC = 18
c) 2 tr(−B) = 14
d) Impossıvel.
e) BT − CT =[−11 2 i
3 −3 20 1 −11
]f) (B − C)T =
[−11 2 i3 −3 20 1 −11
]g) CCT =
[81 0 00 16 00 0 25
]h) tr(CTC) = 122
1-22) a) An = [2n 00 2n]
b) Temos duas expressoes, consoante n e par ou ımpar:
• n par (n = 2k, com k ∈ N0): An = A2k = (−1)kI
• n ımpar (n = 2k + 1, com k ∈ N0): An = A2k+1 = (−1)kA
1-24) a)[
0 1 3−1 0 2−3 −2 0
]b)
[12
√3
2√
32− 1
2
]
71
1-26) a)
[−7 42 −1
]b) − 1
39
[5 −6−4 −3
]c) A matriz nao e invertıvel.
d)
32−11
10−6
5
−1 1 1−1
2710
25
e) A matriz nao e invertıvel.
f)
12−1
212
−12
12
12
12
12−1
2
g)
72
0 −3
−1 1 0
0 −1 1
h)
1 0 0 0
−13
13
0 0
0 −15
15
0
0 0 −17
17
i) A matriz nao e invertıvel.
1-27) a) 113
[5 1−3 2
]b) −1
7
[−2 −7−1 −3
]c) −1
5
[2 −51 −3
]d) 1
13
[−9 12 −6
]
1-28) C)
72
1-30) a)
α−1
1 0 0 00 α−1
2 0 00 0 α−1
3 00 0 0 α−1
4
(existe se e so se nenhum dos valores de α1, α2, α3 e α4 for nulo)
b)
0 0 0 α−1
4
0 0 α−13 0
0 α−12 0 0
α−11 0 0 0
(existe se e so se nenhum dos valores de α1, α2, α3 e α4 for nulo)
c)
α−1 0 0 0−α−2 α−1 0 0α−3 −α−2 α−1 0−α−4 α−3 −α−2 α−1
(existe se e so se α 6= 0)
1-31) A3 = [1 06 1] A−3 = [ 1 0
−6 1] A2 − 2A+ I = (A− I)2 = [0 00 0]
1-33)
(a) A =
1 1 21 −2 33 −7 4
x =
xyz
b =
8110
(b) A =
2 2 2−2 5 28 1 4
x =
x1
x2
x3
b =
01−1
(c) A =
0 −2 33 6 −36 6 3
x =
uvw
b =
1−25
(d) A =
0 0 1 2 −10 0 0 1 −10 0 1 3 −22 4 1 7 0
x =
uvwxy
b =
4377
73
1-34) a) −A2
b) −Ab
c) = 3 =
1-35) a) Falsa.
b) Falsa.
c) Falsa.
d) Verdadeira.
e) Falsa.
f) Verdadeira.
1-36) a) Sim (e matriz elementar).
b) Sim.
c) Sim.
d) Nao.
e) Sim.
f) Nao.
g) Sim.
h) Nao.
1-37) a) Operacao: L2 + 3L1 Matriz elementar: E21(3) = [1 03 1]
b) Operacao: 15L3 Matriz elementar: D3(
15) =
[1 0 00 1 00 0 1
5
]c) Operacao: L1 ↔ L4 Matriz elementar: P14 =
[0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0
]d) Operacao: L2 + 1
5L3 Matriz elementar: E23(
15) =
[1 0 0 00 1 1
50
0 0 1 00 0 0 1
]
1-38) a) E1 = E21(5) E2 = P23 E3 = D2(−12)
b) A−1 = D2(−12)P23E21(5)
c) A =[
1 0 0−5 1 00 0 1
] [1 0 00 0 10 1 0
] [1 0 00 −2 00 0 1
]74
1-39) E1 = P12 E2 = E31(−2) E3 = E32(1) R =[
1 3 3 80 1 7 80 0 0 0
]
1-41) B)
2-1) |A| = 760
|A| =
∣∣∣∣∣∣5 −10 156 7 −1−3 1 4
∣∣∣∣∣∣ = 5
∣∣∣∣∣∣1 −2 36 7 −1−3 1 4
∣∣∣∣∣∣ (∗)
= 5
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 19 −190 −5 13
∣∣∣∣∣∣ = 5× 19
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 −10 −5 13
∣∣∣∣∣∣ = 5× 19
∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 −10 0 8
∣∣∣∣∣∣= 5× 19× 8 = 760
Para obter (∗), usamos a igualdade∣∣∣∣∣∣5 −10 156 7 −1−3 1 4
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣5(1) 5(−2) 5(3)
6 7 −1−3 1 4
∣∣∣∣∣∣e a propriedade 3 do primeiro ponto das Observacoes (veja o inıcio destaficha).
2-2) a) E invertıvel para α 6= 0 ∧ α 6= 3.
b) • α 6= 0 ∧ α 6= 3
Como A e invertıvel, o sistema e possıvel e determinado, e
x = A−1b. A solucao geral e, neste caso, {(−3(α2−β)α3(α−3)
, α2−βα2(α−3)
, βα
)}.• α = 0
– β 6= 0
O sistema e impossıvel
– β = 0
O sistema e possıvel e indeterminado com a solucao geral{(x, 0, 0) : x ∈ R} (G.I. = 1).
• α = 3
75
– β 6= 9
O sistema e impossıvel.
– β = 9
O sistema e possıvel e indeterminado com a solucao geral{(−y, y, 3) : x ∈ R} (G.I. = 1)
2-3) a) |3A| = −189
b) |A−1| = −17
c) |2A−1| = −87
d) |(2A)−1| = − 156
e) 7
2-6) a) A = [ 0 10 0 ] B = [ 1 0
0 0 ]
b) A = [ 2 00 2 ] B = [ 1 0
0 1 ]
2-7) A)
2-8) a) Impossıvel.
b) A = [ 1 00 0 ] B = [ 0 0
0 1 ]
c) A = [ 0 11 0 ]
ATENCAO
E um erro muito frequente concluir que
“uma matriz com diagonal nula tem determinante nulo” ← FALSO
Na alınea c) da-se um exemplo de uma matriz A com determinante igual a−1 e cuja diagonal e nula.
2-9) C)
76
2-10) ∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1
a2 + b2 c2 + d2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1
a2 c2
∣∣∣∣+
∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1
b2 d2
∣∣∣∣=
∣∣∣∣a1 c1a2 c2
∣∣∣∣+
∣∣∣∣b1 d1
a2 c2
∣∣∣∣+
∣∣∣∣a1 c1b2 d2
∣∣∣∣+
∣∣∣∣b1 d1
b2 d2
∣∣∣∣2-11)∣∣∣∣∣∣
a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1
a2 + b2 c2 + d2 e2 + f2
a3 + b3 c3 + d3 e3 + f3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1
a2 + b2 c2 + d2 e2 + f2
a3 c3 e3
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1
a2 + b2 c2 + d2 e2 + f2
b3 d3 f3
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1
a2 c2 e2a3 c3 e3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1
b2 d2 f2
a3 c3 e3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1
a2 c2 e2b3 d3 f3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1
b2 d2 f2
b3 d3 f3
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣a1 c1 e1a2 c2 e2a3 c3 e3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣b1 d1 f1
a2 c2 e2a3 c3 e3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣a1 c1 e1b2 d2 f2
a3 c3 e3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣b1 d1 f1
b2 d2 f2
a3 c3 e3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣a1 c1 e1a2 c2 e2b3 d3 f3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣b1 d1 f1
a2 c2 e2b3 d3 f3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣a1 c1 e1b2 d2 f2
b3 d3 f3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣b1 d1 f1
b2 d2 f2
b3 d3 f3
∣∣∣∣∣∣2-12) a) α = −1
b) α = 5±√
172
2-13) a) A matriz e invertıvel para a 6= 0 ∧ a 6= 3.
b) [A−1]23 = 0
c) |A+B| = (a+ 2)2(a2 − 1)
2-14) a) cof A =
−8 4 21 −2 −1−3 0 3
77
b) A−1 =
43
−16
12
−23
13
0
−13
16
−12
c) −48
2-15) detA = −17
2-16) a) x1 =
˛˛ 4 −2−2 −1
˛˛˛
˛1 −22 −1
˛˛
= −8
3x2 =
˛˛1 42 −2
˛˛˛
˛1 −22 −1
˛˛
= −10
3
2-17) B)
2-18) Sendo A uma matriz quadrada de ordem n (ımpar):
|A| = | − AT| = (−1)n|A| = −|A|.
Consequentemente, |A| = 0. Exemplo:[
0 1 2−1 0 −3−2 3 0
].
2-19) a) detAα = 0 para α ∈ {0,−1,−2}O sistema e possıvel e determinado para α ∈ R \ {0,−1,−2}.
b) A entrada (12) da matriz adjAα = [bij] e
b12 = C21 = (−1)2+1 det
[−2 00 α + 1
]= 2α + 2 .
c) • β 6= 2
O sistema e impossıvel
• β = 2
O sistema e possıvel e indeterminado com a solucao geral{(x, y, z) ∈ R3 : x = 2, y = −1} (G.I. = 1)
3-1) a), b) e d).
78
3-2) a) (−9,−7,−15) = −2(2, 1, 4) + (1,−1, 3)− 2(3, 2, 5)
b) (6, 11, 6) = 4(2, 1, 4)− 5(1,−1, 3) + 1(3, 2, 5)
c) (0, 0, 0) = 0(2, 1, 4) + 0(1,−1, 3) + 0(3, 2, 5)
d) (7, 8, 9) = 0(2, 1, 4)− 2(1,−1, 3) + 3(3, 2, 5)
3-3) a), b) e d).
3-4) a) Nao.
b) Nao.
c) Nao.
3-5) a) Nao.
b) Sim.
c) Sim.
3-6) a) Sim (e subespaco de R3).
b) Nao.
c) Sim.
d) Nao.
e) Nao.
3-7) a) Nao (nao e subespaco de R4).
b) Sim.
c) Sim.
d) Nao.
e) Nao.
3-8) a) Nao.
b) Nao.
c) Nao.
d) Sim.
79
e) Nao.
f) Sim.
g) Nao.
h) Nao.
i) Sim.
j) Nao.
3-9) Nao e espaco vectorial.
3-10) a) E linearmente independente. Base: {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}b) E linearmente dependente. Base: {(1, 2, 6), (1, 1, 1)}c) E linearmente dependente. Base: {(2, 2, 2), (0, 1, 1)}d) E linearmente dependente. Base: {(1, 2, 4)}e) E linearmente dependente. Base: {(2,−1, 3), (4, 1, 2)}f) E linearmente dependente. Base: {(3, 1, 4), (2,−3, 5)}g) E linearmente dependente. Base: {(1, 2, 6), (3, 4, 1), (4, 3, 1)}
3-11) a) B: {(23, 1, 0), (−5
3, 0, 1)}
b) (v)B = (4, 1)
3-12) a) Base:{
(1, 1, 0), (0, 0, 1)}
Dimensao: 2
b) Base:{
(−2, 1,−4)}
Dimensao: 1
c) Base:{
(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}
Dimensao: 2
d) Base:{
(1, 3, 2)}
Dimensao: 1
3-13) a) Base: B =((1, 0, 0, 1)
)Dimensao: 1
b) [v]B = [1]
3-14) b) Base: {u,w} Dimensao: 2
3-15) a) Base:((2, 3, 0, 0), (−5, 0, 3, 0), (1, 0, 0, 3)
)Dimensao: 3
80
b) Base:((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 4), (0, 0, 1, 0)
)Dimensao: 3
c) Base:((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)
)Dimensao: 3
d) Base:((1,−1, 2, 0), (1, 1, 0, 2)
)Dimensao: 2
e) Base:((1, 1, 1, 1)
)Dimensao: 1
3-16) a) (1, 0, 0)
b) (0, 1, 0)
3-17) (1, 0, 0, 0) e (0, 1, 0, 0).
3-19) a) Base: {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}Equacao: −x+ y = 0
As equacoes cartesianas podem ser obtidas da forma seguinte. O con-junto {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} e linearmente independente e, portanto, e umabase da sua expansao linear S. Se designarmos por (x, y, z) um ele-mento arbitrario de S, a matriz
A =
1 0 x1 0 y0 1 z
tem caracterıstica menor que 3 se e so se o conjunto
{(1, 1, 0), (0, 0, 1), (x, y, z)}
for linearmente dependente. Conclui-se assim que carA = 2. Aten-dendo a este facto, reduzamos a matriz A a uma matriz em escada delinhas usando o metodo de eliminacao de Gauss:1 0 x
1 0 y0 1 z
L2−L1
//
1 0 x0 0 −x+ y0 1 z
L2↔L3
//
1 0 x0 1 z0 0 −x+ y
Obtemos deste modo a equacao −x + y = 0 para o plano S. Nesteexemplo muito simples, esta equacao poderia ser obtida simplesmente“olhando” para o conjunto {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}. No entanto, pretende-secom esta resolucao ilustrar um metodo geral.
81
b) Base: {(1, 2, 6), (1, 1, 1)}Equacao: z + 4x− 5y = 0
3-20) a) (2, 1)B1 = (2, 1)
b) (2, 1)B2 = (1, 1/2)
c) (2, 1)B3 = (3,−1)
3-21) a) (2,−1, 3)B1 = (2,−1, 3)
b) (2,−1, 3)B2 = (3,−2, 1)
3-22) a) (1, 0, 2,−1)B1 = (1, 0, 2,−1)
b) (1, 0, 2,−1)B2 = (1,−2, 3,−1)
3-23) a) x = (7, 2)
b) x = (2,−2, 1)
3-24) a) Falsa.
b) Verdadeira.
c) Verdadeira.
d) Falsa.
3-25) a) Base de N (A): {(1, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 0)} dim N (A) = 2
Base de L (A): {(1,−3, 0, 1), (1, 1, 0,−1)} dim L (A) = 2
Base de C (A): {(1, 1, 0), (−3, 1, 0)} dim C (A) = 2
b) Base de N (B): ∅ dim N (B) = 0
Base de L (B): {(4, 2), (0, 1)} dim L (B) = 2
Base de C (B): {(4, 0, 2), (2, 1, 1)} dim C (B) = 2
3-28) a) Base:{
(1, 1, 2), (0, 1,−1)}
Dimensao: 2
b) Base:{
(−1, 1, 1, 2), (0, 2, 1, 3)}
Dimensao: 2
82
a) Consideremos a matriz
A =
1 1 21 2 12 3 3
,cujas linhas sao constituidas pelos vectores dados. Recorrendo ao re-sultado expresso no exercıcio 3-26), sabemos que o espaco das linhasde A e o espaco das linhas de qualquer matriz obtida a partir de A acusta de operacoes elementares coincidem.
Reduzindo A a uma matriz em escada de linhas usando o metodo deeliminacao de Gauss obtemos:1 1 2
1 2 12 3 3
L2−L1
//
1 1 20 1 −12 3 3
L3−2L1
//
1 1 20 1 −10 1 −1
L3+L2
//
1 1 20 1 −10 0 0
As consideracoes anteriores permitem concluir que o espaco das linhas
da matriz[
1 1 20 1 −10 0 0
]e o espaco L (A). Atendendo a que, por outro lado,
as linhas nao nulas de uma matriz em escada de linhas sao linear-mente independentes (cf. o exercıcio 3-27)), deduz-se que o conjunto{(1, 1, 2), (0, 1,−1)} e uma base de L (A).
b) A resolucao desta alınea e semelhante.
3-29) a) Falsa.
b) Verdadeira.
c) Verdadeira.
d) Verdadeira.
e) Verdadeira.
f) Verdadeira.
3-30) a) 3
b) 3
c) (1, 3, 0, 0, 0)
83
d) {(−3, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 2,−4, 1])}
3-31) a) dim L (A) = 3
dim C (A) = 3
dim N (A) = 0
dim N (AT) = 0
b) dim L (A) = 2
dim C (A) = 2
dim N (A) = 1
dim N (AT) = 1
c) dim L (A) = 1
dim C (A) = 1
dim N (A) = 2
dim N (AT) = 2
d) dim L (A) = 2
dim C (A) = 2
dim N (A) = 7
dim N (AT) = 3
e) dim L (A) = 2
dim C (A) = 2
dim N (A) = 3
dim N (AT) = 7
f) dim L (A) = 0
dim C (A) = 0
dim N (A) = 4
dim N (AT) = 4
g) dim L (A) = 2
dim C (A) = 2
dim N (A) = 0
dim N (AT) = 4
3-32) a) Sim; 0
b) Nao.
c) Sim; 2
84
d) Sim; 7
e) Nao.
f) Sim; 4
g) Sim; 0
3-33) Base de N (A) : {(−i, 1, 0)} dim N (A) = 1
Base de L (A) : {(1,−i, 0), (−i, 1, 2i)} dim L (A) = 2
Base de C (A) : {(1, i), (0, 2i)} dim L (A) = 2
3-34) a) [−210 ] = [14]− [ 3
−6]
b) b /∈ C (A)
3-35) C)
3-36) a) Dimensao: 1 Base: {(1, 0, 1)}b) Dimensao: 2 Base: {(0,−1, 0, 1), (1, 1,−4, 0)}
3-37) a) x = r
−3110
+ s
4−101
com r, s ∈ R
b) x = r
−3110
+ s
4−101
+
−1243
com r, s ∈ R
3-38) a) (2,−4, 3,−4)
b)
[1111
]c)
[0000
]d)
[−2−130
]85
e) Possıvel e indeterminado, com grau de indeterminacao 1.
3-39) D)
3-40) a) A matriz nula.
b) A matriz nula.
c) Impossıvel.
d) Impossıvel.
e) Impossıvel.
f)
[1 0 00 1 00 0 10 0 00 0 0
]g) Impossıvel.
3-41)
[5 90 5
]= 3
[2 10 4
]− 4
[1 −10 3
]+
[3 20 5
]
3-42) p = −2p1 + p2 − 2p3
3-43) a) Sim.
b) Sim.
c) Sim.
d) Nao.
3-44) a) Sao linearmente independentes.
b) Sao linearmente dependentes. Qualquer dos possıveis subconjuntoscom dois elementos e linearmente independente.
3-45) a) (p)P3 = (1, 0,−1, 0)
b) Base: {1− 2t, 1 + t2, 1 + 2t− 3t2}c) (p)P3 = (3, 0,−1, 0)
(p)B = (45, 7
5, 4
5) (sendo B a base de b))
86
d) dimW = 3
3-46) a) v = 4v1 − 3v2 + v3
b) v = 2v2 − v3
3-47) a) (−1, 1,−1, 3)
b) (1/6, 3,−1/4, 1/2)
3-49) a) Base de U + V : {(1, 0, 2, 0), (1, 0, 0, 0)} (dimensao 2)
Base de U ∩ V : ∅ (dimensao 0)
b) Base de U + V : {(1, 0,−1, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 0), (−2, 0, 0, 1)} (di-mensao 4)
Base de U ∩ V : ∅ (dimensao 0)
c) Base de U + V : {(0, 0, 1, 0), (−2, 0, 0,−2), (0, 1, 2, 0)} (dimensao 3)
Base de U ∩ V : (−2, 0, 0,−2) (dimensao 1)
3-50) R4 = U ⊕W nos casos a) e b).
3-51) a) E subespaco linear. Base: {−1 + t, t2}. Dimensao: 2
b) Nao e subespaco linear.
c) Nao e subespaco linear.
d) E subespaco linear. Base: {cos 2t+ sen t, sen t}. Dimensao: 2
Sejam a, b e c escalares tais que
a(cos2 t− sen2 t) + b(cos 2t+ sen t) + c(sen t) = 0. (2)
O 1o membro representa uma funcao de t (e nao o valor da funcaonum ponto t particular). Para que a funcao seja nula, e necessario (esuficiente) que a igualdade se verifique para todos os valores de t. Aigualdade (2) e obviamente valida quando a = b = c = 0. Se estefor o unico caso em que e valida, as funcoes dadas sao linearmenteindependentes, de contrario serao linearmente dependentes.
87
Recorrendo a identidade trigonometrica
cos 2x = cos2 x− sen2 x,
obtemos as equivalencias
a(cos2 t− sen2 t) + b(cos 2t+ sen t) + c(sen t) = 0
a(cos 2t) + b(cos 2t+ sen t) + c(sen t) = 0
(a+ b) cos 2t+ (b+ c) sen t = 0.
A ultima igualdade e satisfeita (para todo t) se a+ b = 0 e b+ c = 0,o que acontece quando a = c = −1 e b = 1 (por exemplo). Logo, asfuncoes sao linearmente dependentes.
Para obter uma base do subespaco, comecamos por retirar ao conjuntodado uma funcao que seja combinacao linear das restantes. Estasgeram o mesmo subespaco, e portanto serao uma base desde que sejamlinearmente independentes. Uma vez que
cos 2t = (cos 2t+ sen t)− (sen t),
retiramos a primeira funcao e ficamos com o conjunto
{cos 2t+ sen t, sen t}.
Suponhamos que
a(cos 2t+ sen t) + b(sen t) = 0 (3)
para todo t ∈ R. Considerando o caso particular t = 0, obtemos
a(cos 0 + sen 0) + b sen 0 = 0
a = 0.
Considerando o caso particular t = π2, obtemos
a(cos 2π2
+ sen π2) + b sen π
2= 0
0(. . . ) + b · 1 = 0
b = 0
Logo, este conjunto de funcoes e linearmente independente, e por con-seguinte constitui uma base do subespaco que gera.
88
3-52) So o conjunto da alınea g) nao e espaco linear.
3-53) a) Nao.
b) Sim. Base:{
[ 1 00 1 ]}
3-54) I) a) Nao.
b) Sim. Dimensao: 3
c) Sim. Dimensao: 1
d) Nao.
II) Em P3(R):
a) Sim. Dimensao: 3
b) Sim. Dimensao: 3
c) Nao.
d) Sim. Dimensao: 2
3-55)
{1, 1 + t, 1 + t+ t2, 1 + t+ t2 + t3}{{[ 1 11 1 ] , [ 1 1
1 0 ]}
3-56) a) (1− t2)P2 = (1, 0,−1)
b) Nao.
c) dimL(S) = 3. Base: {1− 2t, 1 + t2, t}d) E subespaco linear, com dimensao 2. Base: {t, t2}
3-57) A resposta correcta e a ultima.
3-58) a) MB←E2 = [−1 −10 1 ] (2, 2)B = (−4, 2)
b) ME2←B′ = [1 −22 1 ]
c) MB←B′ = [−3 12 1]
89
3-59) a) ME3←B =
−12
1 12
0 0 112
0 −12
b) v = (v)E3 = (3, 3,−1)
c) MB′←B =[
0 −1 00 0 11 0 0
]d) MB′←E3 = MB′←BMB←E3 =
[0 0 −112
0 − 12
− 12
1 12
]
3-60) a) B =((2, 1, 0), (1,−1, 0), (0, 1,−3)
)b) (1, 2,−1)B = (8/9,−7/9, 1/3)
c) MB←B′ =[
1 0 10 1 −1−1 0 1
]ME3←B′ =
[2 1 10 −1 33 0 −3
]d) B′ =
((2, 0, 3), (1,−1, 0), (1, 3,−3)
)
3-61) b) MB′←B =
12
12−1
12−1
20
0 0 1
c) (7/2,−1/2,−1)
3-62) MB←P2 =
1 0 −11 −1 0−1 1 1
(2− 3t+ t2)B = (1, 5,−4)
3-63) Base do subespaco:{
[−1 00 1] , [
0 10 0] , [
0 01 0]}
B ={
[−1 00 1] , [
0 10 0] , [
0 01 0] , [
1 00 0]}
MBc←B =
−1
20 0 1
2
0 1 0 0
0 0 1 012
0 0 12
4-1) a) Sim (v.p. −3)
b) Nao.
90
c) Nao.
d) Sim (v.p. 1)
e) Sim (v.p. 0)
a) Basta verificar que−1 −2 30 1 −11 1 −2
−514
=
15−3−12
= −3
−514
para concluir que (−5, 1, 4) e um vector proprio de A ao qual corres-ponde o valor proprio −3.
4-2) E valor proprio, um vector proprio associado e (−1, 1, 0).
4-3) a) • p(λ) = (3− λ)(−1− λ)
• Valores proprios:
λ = 3 Base: {(1, 2)} m.a. = m.g. = 1
λ = −1 Base: {(0, 1)} m.a. = m.g. = 1
b) • p(λ) = λ2 − 8λ+ 16
• Valor proprio:
λ = 4 Base: {(3, 2)} m.a. = 2 m.g. = 1
c) • p(λ) = (1− λ)(2− λ)(3− λ)
• Valores proprios:
λ = 1 Base: {(0, 1, 0)} m.a. = m.g. = 1
λ = 2 Base: {(−1, 2, 2)} m.a. = m.g. = 1
λ = 3 Base: {(−1, 1, 1)} m.a. = m.g. = 1
d) • p(λ) = −λ3 + 6λ2 − 12λ+ 8
• Valor proprio:
λ = 2 Base: {(−1,−1, 3)} m.a. = 3 m.g. = 1
91
Para factorizar o polinomio caracterıstico p(λ) = −λ3 + 6λ2− 12λ+ 8usando a regra de Ruffini, e necessario encontrar uma raiz deste po-linomio. Designando por λ1, λ2 e λ3 os valores proprios de A (possi-velmente repetidos), tem-se
detA = 8 = λ1λ2λ3.
Se as raizes de p(λ) forem inteiras, qualquer delas e um divisor de 8.
Calculando sucessivamente p(λ) para λ ∈ {±1,±2,±4, . . . }, verifica-se que o primeiro destes valores a anular o polinomio p(λ) e λ = 2.Aplicando em seguida a regra de Ruffini e a formula resolvente, obtem-se
p(λ) = (2− λ)3.
e) • p(λ) = (−1− λ)(−2− λ)(1− λ)2
• Valores proprios:
λ = 1 Base: {(2, 3, 1, 0), (2, 3, 1, 1)} m.a. = m.g. = 2
λ = −1 Base: {(−2, 1, 1, 0)} m.a. = m.g. = 1
λ = −2 Base: {(−1, 0, 1, 0)} m.a. = m.g. = 1
4-4) • λ2 − 9λ+ 18
• Valores proprios:
λ = 6 Base: {(1− i, 2)} m.a. = m.g. = 1
λ = 3 Base: {(i− 1, 1)} m.a. = m.g. = 1
4-5) σ(A15) = {−1, 1}Base de E(−1): {(2,−1, 1)
Base de E(1): {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}
Em vez de calcular A15 e em seguida obter os valores proprios e vectoresproprios da maneira usual, determinamos os valores proprios e vectoresproprios da matriz A (que serao os apresentados na solucao). A questao ecomo transpor para A15 os conhecimentos disponıveis acerca de A.
92
Se x e vector proprio de A, com o valor proprio λ, obtemos:
Ax = λx
A(Ax) = A(λx)
A2x = λ(Ax)
= λ(λx)
= λ2x
Multiplicando sucessivamente por A ambos os membros da igualdade Ax =λx, obtemos A15x = λ15x. Assim, cada vector proprio de A e necessa-riamente vector proprio de A15, mas o correspondente valor proprio vemelevado a 15. Logo, (−1)15, 115 ∈ σ(A15), isto e, {−1, 1} ⊂ σ(A15). Masuma matriz 2×2 nao pode ter mais de 2 valores proprios, e por conseguinteσ(A15) = {−1, 1}.Observacoes
• Como se teria de adaptar o argumento anterior para resolver o casoA16?
• Veja-se tambem o Problema 4-16).
4-6) a) 2, 8,−5
b) 9,−8, 1
c) 4, 1
4-9) a) |A| = −5
b) |A| = 7
4-10) b) trA = 13 detA = 40
4-11) a) σ(A) = {−1, 2}
i) A =[−1 0 00 2 10 0 2
]ii) A =
[−1 0 00 2 00 0 2
]
93
b) σ(A+ αI) = {−1 + α, 2 + α}
4-12) a) carA = 2 detA = 0 trA = 3
b) σ(A+ I) = {1, 2, 3} dim C (A+ I) = 3
c) A nao e invertıvel, A+ I e invertıvel.
4-13) (−2, 1, 0) e (−3, 0, 1) sao vectores proprios associados ao valor proprio 0 e(1, 1, 1) e um vector proprio associado ao valor proprio 6.
4-14) a) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Verdadeira.
4-15) C)
4-16) A = SDS−1
D =
−1 0 00 1 00 0 1
S =
2 −1 −1−1 1 01 0 1
A15 =
−1 −2 −21 2 1−1 −1 0
4-17) a) S =
[1 03 1
]S−1AS =
[1 00 −1
]b) S =
[i −i1 1
]S−1AS =
[2 00 4
]c) S =
[1 00 1
]S−1AS =
[1 00 1
]d) Nao e diagonalizavel.
e) S =
1 0 00 i− 1 1− i0 2 1
S−1AS =
5 0 00 1 00 0 −2
94
4-18) D)
4-19) a) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Falsa.
d) Falsa.
e) Verdadeira.
f) Falsa.
g) Verdadeira.
h) Verdadeira.
4-20) a) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Verdadeira.
d) Verdadeira.
e) Verdadeira.
f) Verdadeira.
Exemplo: A =[
0 3/2 −3/20 3 00 0 3
]Como se obteve um exemplo de matriz A nas condicoes do Problema? Amatriz A e necessariamente diagonalizavel, e tem os valores proprios 3 (commultiplicidade algebrica 2) e 0. Por conseguinte, existe uma matriz in-
vertıvel S tal que A = SDS−1, com D =[
0 0 00 3 00 0 3
]. Por sua vez, qualquer
matriz invertıvel S =[S1 S2 S3
]da origem a uma matriz A = SDS−1
tal que AS1 = 0S2, AS2 = 3S2 e AS3 = 3S3. Logo, para obter A nascondicoes do Problema basta escolher S de modo que as suas duas ultimas
colunas sejam[
11−1
]e[
011
], sendo a 1a coluna arbitraria desde que torne a
matriz invertıvel. Por exemplo, escolhendo S =[
1 1 00 1 10 −1 1
]obteremos a matriz
A indicada acima.
4-21) a) σ(A) = {1, i,−i} (Nao existe nenhuma matriz real que diagonalize A.)
95
b) R = I, σ(R) = {1}. A matriz R e diagonal (por conseguinte, ediagonalizavel pela matriz I).
5-1) a) Sim (e linear).
b) Nao.
c) Sim.
d) Nao.
e) Nao.
f) Sim.
g) Sim.
5-2) (−1, 7, 11)
5-4) Trata-se do triangulo de vertices (1, 1, 2), (−3,−1, 0) e (0, 0, 0).
5-5) a) T2 ◦ T1 = T1 ◦ T2
b) T2 ◦ T1 6= T1 ◦ T2
5-6) a) Sim (e linear).
b) Sim.
c) Sim.
d) Sim.
e) Sim.
f) Nao.
g) Nao.
h) Sim.
5-7) a) [2 −11 1 ]
b) [1 00 1]
c)[
1 2 11 5 00 0 1
]d)
[4 0 00 7 00 0 −8
]96
e)
[0 1−1 01 31 −1
]f)[
7 2 −1 10 1 1 0−1 0 0 0
]g)
[0 0 00 0 00 0 00 0 0
]h)
[0 0 0 11 0 0 00 0 1 00 1 0 01 0 −1 0
]
5-8) a) (−1,−2); (2,−1)
b) (2,−5,−3); (−2,−5, 3)
c) (2, 0); (0,−5)
d) (−2, 1, 0); (−2, 0, 3)
e) (4, 3); (3√
32
+ 2, 32− 2√
3)
f) (−1,−2, 2)
g) (0, 1, 2√
2)
5-9) [T ]B,B =
[1 2 0 00 −1 0 00 1 1 00 0 0 1
]
5-10) a) [T ]P2,P2 =[−1 2 0
0 −1 40 0 −1
]. A transformacao e invertıvel.
b) p(t) = −13− 6t− t2
5-11) a) N (T ) = {z(−59, 2
9, 1) : z ∈ R}
I (T ) = {(y2 − y3, y2, y3) : y2, y3 ∈ R}b) (1, 1, 1)
c) dim I (T ) = 2, dim N (T ) = 1, dim R3 = 2 + 1.
5-12) a) N (T2 ◦ T1) = {(0, 0)}I (T2 ◦ T1) = R2
(T2 ◦ T1)(x, y) = (2x− 3y, 2x+ 3y)
b) N (T2 ◦ T1) = {(0, 0)}
97
I (T2 ◦ T1) = R2
(T2 ◦ T1)(x, y) = (2x+ 3y, x− 2y)
c) N (T2 ◦ T1) = {(0, y, z) : y, z ∈ R}I (T2 ◦ T1) = {(0, b) : b ∈ R}(T2 ◦ T1)(x, y, z) = (0, 2x)
5-13) a) Nao e isomorfismo.
b) E isomorfismo.
c) Nao e isomorfismo.
d) E isomorfismo.
e) E isomorfismo.
5-14) a) b) A reflexao relativamente a recta x = y.
d) A reflexao relativamente ao plano yz.
e) A rotacao no sentido positivo de um angulo de −π/2 radianosrelativamente ao semi-eixo positivo dos zz.
b) a) O nucleo e o eixo do yy, a imagem e o eixo dos xx.
b) O nucleo e o espaco nulo, a imagem e R2.
c) O nucleo e o eixo do zz, a imagem e o plano xy.
d) O nucleo e o espaco nulo, a imagem e R3.
e) O nucleo e o espaco nulo, a imagem e R3.
5-15) [(T2 ◦ T1)−1]E2,E2 =
[310− 1
10110
310
]
5-16) a) Falsa.
b) Verdadeira.
c) Verdadeira.
d) Falsa.
e) Verdadeira.
f) Falsa.
g) Falsa.
h) Falsa.
98
5-17) a) A = [1 −21 1 ]
b) B = [2 −13 0 ]
c) A = M−1B←E2BMB←E2 = [1 −1
1 0 ]B [ 0 1−1 1]
Dado um vector arbitrario x de R2, o vector [T (x)]E2 das coordena-das da imagem de x pode ser calculado usando a matriz A, tendo-se[T (x)]E2 = A[x]E2 . Por outro lado, podemos ver na figura seguinte que[T (x)]E2 tambem pode ser calculado a custa da matriz B:
[T ]E2,E2 = ME2←B[T ]B,BMB←E2ME2←B = M−1
B←E2
[x]E2� A //
_
MB←E2��
[T (x)]E2OOME2←B
_[x]B
�B
// [T (x)]B
De facto,
[T (x)]E2 = M−1B←E2 [T (x)]B
= M−1B←E2B[x]B
= M−1B←E2BMB←E2 [x]E2 .
Obtemos assim A = M−1B←E2BMB←E2 .
d) T (v) = (3, 0)
5-18) a) MB←E3 =[
1 −1 00 1 −10 0 1
]b) (y1, y2, y3) = (x1 − x2, x2 − x3, x3)
c) [T ]B,B =[
2 0 −20 1 10 0 1
]d) T (x, y, z) = (2x− y − z, y + z, z)
5-19) a) N (T ) = {2at+ at2 : a ∈ R}b) I (T ) =
{[a ba −b]
: a, b ∈ R}
5-20) a) N (T ) = {0 + 0t+ 0t2}b) I (T ) = {a1t+ a2t
2 + a3t3 : a1, a2, a3 ∈ R}
99
c) C =
0 0 01 0 00 1 00 0 1
d) A = M−1
P3←B2CMP2←B1 =
[0 0 0 −10 0 1 00 1 0 01 −1 0 1
]C[
1 0 −10 1 11 0 0
]O vector das coordenadas [T (p)]B2 da imagem do polinomio p pode sercalculado usando a matriz A, tendo-se
[T (p)]B2 = A[p]B1 .
No entanto,
[T (p)]B2 = M−1P3←B2
[T (p)]P3
= M−1P3←B2
C[p]P2
= M−1P3←B2
CMP2←B1 [p]B1 .
Assim, a igualdade anterior mostra que o vector [T (p)]B2 tambem podeser calculado a custa da matriz C. Ilustramos na figura seguinte asrelacoes obtidas acima:
[p]B1
� A //_
MP2←B1��
[Tp]B2OOMB2←P3
_[p]P2
�C
// [Tp]P3
Finalmente, podemos entao concluir que A = M−1P3←B2
CMP2←B1 .
e) T (p) = tp
5-21) a) BU =([1 00 −1] , [
0 10 0])
, dimU = 2.
b) [T ]Bc,BU=
[0 0−2 2−2 00 0
]. A transformacao T e injectiva.
c) BV =([1 00 −1] , [
0 11 0])
d) [S]Bc,BU= [ 0 2−2 0]. A transformacao S e injectiva e sobrejectiva.
5-22) a) {(y, y) : y ∈ R} e {(−y, y) : y ∈ R}.
100
b) Os mesmos de a) e ainda R2 e {(0, 0)}.
5-23) a) y = 0.
b) Nao existem.
c) x = y e 2x = y.
5-24) a) R2, {(0, 0)} e {(x, 0) : x ∈ R}.b) R2, {(0, 0)} e {(x, x) : x ∈ R}.c) R3, {(0, 0, 0)} e {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.d) R3, {(0, 0, 0)} e {(0, y, z) : y, z ∈ R}.e) R2, {(0, 0)} e {(x, 0) : x ∈ R}.f) R2, {(0, 0)} e {(0, y) : y ∈ R}.g) R3, {(0, 0, 0)} e {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.h) R3, {(0, 0, 0)} e {(x, 0, z) : x, z ∈ R}.i) R2 e {(0, 0)}.j) R3, {(0, 0, 0)}, {(0, 0, z) : z ∈ R} e {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.
5-25) a) A =
[0 −11 0
]b) Nao e possıvel.
c) σ(A) = {i,−i}BEi(T ) = {(i, 1)}BE−i(T ) = {(−i, 1)}
5-26) a) σ(T2 ◦ T1) = {0,−1}E−1(T2 ◦ T1) = L{(1, 0)}E0(T2 ◦ T1) = L{(0, 1)}
b) σ(T2 ◦ T1) = ∅c) σ(T2 ◦ T1) = {−1}
E−1(T2 ◦ T1) = R2
101
5-27) a) [T1] =
[1 0 0 00 1
212
0
0 12
12
00 0 0 1
][T2] =
[0 0 0 00 1
2− 1
20
0 − 12
12
00 0 0 0
]b) T1 ([1 2
3 4]) =[
1 52
52
4
]T2 ([1 2
3 4]) =[
0 − 12
12
0
]c) σ(T1) = {0, 1}
E1(T1) = L{[1 00 0] , [
0 11 0] , [
0 00 1]}
E0(T1) = L{[0 −11 0 ]}
σ(T2) = {0, 1}E1(T2) = L{[0 −1
1 0 ]}E0(T2) = L{[1 0
0 0] , [0 11 0] , [
0 00 1]}
6-1) a)√
37
b)√
21 +√
14
c) 3√
21
d)(
2√14,− 1√
14, 3√
14
)e) 1
f) arccos 1√14√
21
g)√
33
6-2) A igualdade verifica-se para α = 57
e para α = −57.
6-3) a) α = −3
b) α = −2 e α = −3
6-4) (−3457, 44
57,− 6
57, 11
57) e (34
57,−44
57, 6
57,−11
57)
6-5) |5| ≤ 3 · 2, ou seja 5 ≤ 6.
6-6) (13−√
156,√
56
+√
33
) e (13
+√
156,√
56−√
33
)
6-8) a) Nao e produto interno. Falha a propriedade (v) na lista abaixo.
b) Nao e produto interno. Falham as propriedades (ii) e (iii).
c) E produto interno.
d) Nao e produto interno. Falham as propriedades (iv) e (v).
102
i) 〈u, v〉 = 〈v, u〉ii) 〈u+ v, w〉 = 〈u,w〉+ 〈v, w〉
iii) 〈αu, v〉 = α〈u, v〉iv) 〈u, u〉 ≥ 0
v) 〈u, u〉 = 0⇒ u = 0
6-9) a) E produto interno.
b) Nao e produto interno. Falham as propriedades (ii) e (iii) (ver lista doexercıcio anterior).
c) E produto interno.
d) Nao e produto interno. Falha a propriedade (v).
6-10) d(u,v) =√
5
6-11) α = 8
6-12) a) (−35,−6
5)
b) (−π,−2π,−3π)
6-13) a){(
1√3, 1√
3, 1√
3
),(
1√6, 1√
6,− 2√
6
),(
1√2,− 1√
2, 0)}
6-14) a) {( 1√10,− 3√
10i), ( 3
10+ 9
10i,− 3
10+ 1
10i)}
b) {(1, 0), (0, 1)}
6-15) b) ‖(−1, 3)‖ =√
48 d((−1, 3), (2, 5)) =√
47
c) {u ∈ R2 : ‖u‖ ≤ 1} = {(u1, u2) ∈ R2 : 3u21 + 5u2
2 ≤ 1}
6-16) e) proje1e2 = (−2
3, 0, 0)
f) (1, 3, 3)
103
g) arccos −2√6
h)(
1√3(1, 0, 0), 1√
2/3(2
3, 1, 0), 1√
2(−1,−1, 1)
)
6-17) Base: {(2,−1, 0), (1,−1,−1))
Equacao: −x− 2y + z = 0
6-18) a)
{2x+ y = 0
3x+ z = 0
b) d((1, 0,−1),W ) = 2√
147
d((1, 0,−1),W⊥) =√
427
6-19) a) Base: {(1,−1, 2,−2)
Equacoes cartesianas:
x+ y = 0
− 2x+ z = 0
2x+ w = 0
b) (1, 2, 1,−1) = ( 710, 23
10, 2
5,−2
5) + ( 3
10,− 3
10, 3
5,−3
5)
c) d((1, 2, 1,−1),W ) = 3√10
d((1, 2, 1,−1),W⊥) =√
61010
6-20) a) i) Falsa.
ii) Falsa.
b) {(1, 2,−1, 2), (3, 5, 0, 4)}c) {(1, 3, 1), (2, 5, 1)}
6-21) (4945,−10
45,−37
45)
6-22)
{x− 2y = 5
− 3y + z = 5
6-23) 11x− 3y − 4z = 9
104
6-24) 25
√10
6-25) a) Equacoes parametricas:
x = 1
y = −tz = −1− 3t
(t ∈ R)
Equacoes cartesianas:
{x = 1
3y − z = 1
b) x+ z = 0
c) Equacoes parametricas:
x = 1− αy = α + β
z = −1 + α + 2β
(α, β ∈ R)
Equacao cartesiana: x+ 2y − z = 2
Vector normal: (1, 2,−1)
d) 1√6
6-26) Trata-se do subespaco {(−2b− c) + bt+ ct2 : b, c ∈ R}.
6-27) b) ‖a0 + a1t+ a2t2‖ = (3a2
0 + 3a0a1 + 52a0a2 + 9
4a1a2 + 5
4a2
1 + 1716a2
2)12
c) arccos 375√
209
d) i) {− 314
+ t,− 328
+ t2}ii) d(1 + t+ t2,W ) =
√2415
d(1 + t+ t2,W⊥) = 3720
e)
3 32
54
32
54
98
54
98
1716
6-28) b) dimU = 1 dimU⊥ = 3
c) Base o.n. de U :
{[0 1√
2
− 1√2
0
]}
Base o.n. de U⊥:
{[1 00 0
],
[0 1√
21√2
0
],
[0 00 1
]}
105
d) projU [ 1 1−1 2 ] = [ 0 1
−1 0 ]
projU⊥ [ 1 1−1 2 ] = [ 1 0
0 2 ]
e) [ 0 1−1 0 ]
f)√
5
6-30)
Consideremos a matriz m× n que abaixo se encontra descrita por colunas
A =[
c1 c2 . . . cn
],
onde c1, c2, . . . , cn ∈ Rn, e calculemos ATA.
ATA =[
c1 c2 . . . cn
]T [c1 c2 . . . cn
]=
c1
T
c2T
...cn
T
[ c1 c2 . . . cn
]
=
c1
Tc1 c1Tc2 . . . c1
Tcn
c2Tc1 c2
Tc2 . . . c2Tcn
......
cnTc1 cn
Tc2 . . . cnTcn
.
Temos assim que
ATA =
〈c1, c1〉 〈c1, c2〉 . . . 〈c1, cn〉〈c2, c1〉 〈c2, c2〉 . . . 〈c2, cn〉
......
〈cn, c1〉 〈cn, c2〉 . . . 〈cn, cn〉
, (4)
donde se conclui imediatamente que ATA e uma matriz diagonal se e so separa todo (i, j), com i, j = 1, . . . , n e i 6= j, se tem 〈ci, cj〉 = 0. Por outraspalavras, ATA e uma matriz diagonal se e so se o conjunto {c1, c2, . . . , cn}e um conjunto ortogonal.
De modo semelhante, a equacao (4) permite concluir que ATA e a matrizidentidade I se e so se para todos os i, j = 1, . . . , n se tem
〈ci, cj〉 =
{0 se i 6= j
1 se i = j .
106
Ou seja, ATA e a matriz identidade se e so se o conjunto {c1, c2, . . . , cn} eum conjunto ortonormal.
6-31) b) As matrizes ortogonais de 2a ordem sao as matrizes da forma[cos θ − sen θsen θ cos θ
]ou da forma
[cos θ sen θsen θ − cos θ
]com θ ∈ R.
A matriz A = [a bc d] e ortogonal se e so se a2 + c2 = b2 + d2 = 1 eab + cd = 0. Como (a, c) esta na circunferencia de centro na origeme raio 1, existe θ ∈ R tal que a = cos θ e c = sen θ. Analogamente,existe ϕ ∈ R tal que b = cosϕ e d = senϕ. Por conseguinte,
A =
[cos θ cosϕsen θ senϕ
].
De ab + cd = 0, e recordando a formula para o co-seno de uma soma,obtemos:
cos θ cosϕ+ sen θ senϕ = 0
cos θ cos(−ϕ)− sen θ sen(−ϕ) = 0
cos(θ − ϕ) = 0
cos(ϕ− θ) = 0
ϕ = θ +π
2+ kπ (k ∈ Z)
cosϕ = cos(θ +π
2) cos kπ
= − sen θ cos kπ
senϕ = sen(θ +π
2) cos kπ
= cos θ cos kπ
Para k par, vem cosϕ = − sen θ e senϕ = cos θ. Para k ımpar, vemcosϕ = sen θ e senϕ = − cos θ.
Observacoes
• As matrizes A em questao satisfazem a condicao | detA| = 1. Oscasos detA = 1 e detA = −1 correspondem, respectivamente, aoscasos de k par e k ımpar.
107
• Estas matrizes representam, na base canonica, transformacoes li-neares de interpretacao geometrica simples: Para k par, trata-seda rotacao de θ radianos em torno da origem, e para k ımpartrata-se da reflexao em relacao a recta que passa pela origem etem declive tg θ
2.
6-34) D = SAS−1
D =
5 0 00 2 00 0 2
S =
1√3− 1√
21√6
1√3
1√2
1√6
1√3
0 − 2√6
Comecamos por tentar calcular os valores proprios da matriz (pela regra deSarrus, por exemplo):∣∣∣∣∣∣
3− λ 1 11 3− λ 11 1 3− λ
∣∣∣∣∣∣ = (3− λ)3 + 2− 3(3− λ)
A simples observacao do polinomio caracterıstico nao permite descobrir umaraiz. No entanto, a sugestao do enunciado traduz-se por:3
11
+
131
+
113
=
555
= 5
111
,
ou seja: 1 ·
311
+ 1 ·
131
+ 1 ·
113
=
3 1 11 3 11 1 3
111
= 5
111
Verifica-se assim que 5 e valor proprio, correspondente ao vector proprio(1, 1, 1). A regra de Ruffini permite factorizar o polinomio caracterıstico,de modo que se obtem um polinomio de grau 2.
Repare-se que os vectores proprios que surgem naturalmente no resto daresolucao nao sao ortogonais entre si, pelo que sera ainda necessario recorrerao metodo de Gram–Schmidt.
6-36) A matriz C e unitaria.
108