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Mthode desELEMENTS FINIS
Mustapha GHILANI
Interpolation en 1D.Rappels
Elments Finis en 1D
A.U. 2015-2016
Mthode des ELEMENTS FINIS
Mustapha GHILANI
UMI, ENSAM, Mekns
7 novembre 2015
Mustapha GHILANI (UMI, ENSAM, Mekns)
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Mustapha GHILANI
Interpolation en 1D.Rappels
Elments Finis en 1D
Partie I
Interpolation, Elments finis et
Quadrature
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Elments Finis en 1D
Interpolation en 1D. Rappels
Soit f C(0)([a, b],R).Maillage :(a= x0
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Elments Finis en 1D
Proposition : (Espace dinterpolation)
Pourk=1.V
(1)h =vect{0, , n}.
o :0= x x1
x0 x1 pourx[x0, x1]0 si non
i=
x xi1xi xi1
pourx[xi1, xi]
x xi+1xi xi+1
pourx[xi, xi+1]
0 si non
n =
x xn1
xn xn1pourx[xn1, xn]
0 si non
i(xj) =ij; 1 i,jn( Base Lagrangienne).
i, 0 in sont support compacts.Mustapha GHILANI (UMI, ENSAM, Mekns) Mthode des ELEMENTS FINIS 7 novembre 2015 4 / 15
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Elments Finis en 1D
Definition
Les fonctions sont appeles des fonctions de forme.
Si f C(0)([a, b],R)
fh(x) =f(x0)0(x) + +f(xi)i(x) + +f(xn)n(x)
Notons par :
i : C(0)([a, b],R) R
f f(xi)
i est une forme linaire pour tout i {0, , n}.
fh(x) =0(f)0(x) + +
i(f)i(x) + +
n(f)n(x)
i(j) =ij, 0 i,jnDefinition
1
={
0, ,
n} est lensemble des degrs de libertsglobaux.
Proposition :
V(1)
h
=vect[1]
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Elments Finis en 1DDefinition (Oprateur dinterpolation)Loprateur1h dfinit par :
1h : C(0)([a, b],R) V1h
f fh
est appel loprateur dinterpolation.
Proposition :
h est un oprateur linaire.
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Elments finis en 1D
Definition
Soit le triplet (I, , V) o :
1 I un intervalle compacte de R et de longueur non nulle ;
2 Vun espace vectoriel de fonctions dfinies sur I de
dimension finie, appel espace dinterpolation locale.3 ={l1 , , l
m} un ensemble de degrs de liberts locaux
qui vrifie que lapplication L ci dessous est unisomorphisme :
L: V Rm
p (l1(p), , lm(p))
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Elments Finis en 1D
Exemples dEF 1d :
Exemple 1 : Soit a=b.
([a, b],P1[x]([a, b]), (l(1)0 , l
(1)1 ) o l
(1)0 (f) =f(a) et
l(1)1 (f) =f(b).
La matrice associe Ldans la base (1, x) est
1 a1 b
La matrice associe lLdans la base (l
(1)0 , l
(1)1 ) est
I2
Exemple 2 : Soit a=b.
([a, b],P2[x]([a, b]), (l(2)0 , l
(2)1 , l
(2)2 )
o l(2)0 (f) =f(a), l
(2)1 (f) =f(
a+b
2 ) et l
(2)2 (f) =f(b).
La matrice associe Ldans la base (1, x, x2) est
1 a a2
1
a+b
2
(a+b)2
41 b b2
La matrice associe Ldans la base (l
(2)0 , l
(2)1 , l
(2)2 ) est
I3
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Code I VIntervalle Ensemble de degrs Espace dinterpolation
de liberts locaux local
[a, b] {l(1)a
, l(1)b
} P1[x]([a, b]) =vect{l(1)a , l
(1)b }
[a, b] {l(2)a
, l(2)a+b
2
, l(2)b
} P2[x]([a, b]) =
vect{l(2)a , l
(2)a+b
2, l
(2)b }
[a, b] {l(3)a
, l(3)a+b
3
, l(3)a+2b
3, l
(3)b
} P3[x]([a, b]) =
vect{l(3)a , l
(3)a+b
3, l
(3)a+2b
3, l
(3)b }
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Elments Finis en 1D
Elments finis P1, 1D de rfrence
Notons par K= [0, 1] intervalle de rfrence. La variable derfrence ser anote x.
Notonsl(1)0 : [0, 1] [0, 1]
x 1 xl(1)1 : [0, 1] [0, 1]
x x
P1[x]([0, 1]) =vect[l(1)0 , l
(1)1 ]
{l(1)0 , l(1)1 } est la base de Lagrange de P1[x]([0, 1]) .
Lespace duale
P1[x]([0, 1]) =vect[l
(1)0 , l
(1)1 ]
l0(1)(p) = p(0) et l(1)1 (p) = p(1). pour tout p P1[x]([0, 1]).
Definition
On appelle Elment fini P1 de rfrence en 1D llment fini
([0, 1],P1[x]([0, 1]),(1) ={ l
(1)0 , l
(1)1 }).
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Elments Finis en 1D
Ti : [0, 1] [xi, xi+1]x x=xi(1 x) +xi+1x
x= (xi+1 xi)x+xi
Tiest une application affine.
T1i : [xi, xi+1] [0, 1]
x x= x xixi+1 xi
Proposition :
Pour lintervalle[xi, xi+1] on a :
li,j(1) =lj
(1) Ti
(1); pour0 j1 (1)
Exemples :
l(1)i,0(x) =
x xk+1xk+1 xk
= (1x)( x xixi+1 xi
) =1 x xixi+1 xi
= x xk+1xk+1 xk
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Elments finis en 2D
DefinitionSoit le triplet (R, V, ) o :
1 Run compact connexe de R2 de surface non nulle ;
2 Vun espace vectoriel de fonctions dfinies sur Rde
dimension finie, appel espace dinterpolation locale.3 ={l1 , , l
m} un ensemble de degrs de liberts locaux
qui vrifie que lapplication L ci dessous est unisomorphisme :
L:
V
Rm
p (l1(p), , lm(p))
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Triangle ou simplexe en 2D
Dfinition :On appelle simplexe en 2D la donne de
trois sommets (Si = (xi, yi))1i3 noncollinaires.
Le produit vectoriel S1S2 S1S3 =
00
x2 x1 x3 x1y2 y1 y3 y1
x2 x1 x3 x1y2 y1 y3 y1
= 1 1 1
x1 x2 x3y1 y2 y3
=2aire(S1S2S3)
P1[x, y] = {a0+a1x+a2y :ai R}= vect[1, x, y] =vect[1, 2, 3
[1, 2, 3] base de Lagrange deP1[x, y] i(Sj) =ij
p(x, y) =p(S1)1+p(S2)2+p(S3)3
1 1 1
x1 x2 x3y1 y2 y3
1
23
=
1
xy
La base duale est [1, 2,
3]
p(x, y) = 1(p)1(x, y) +2(p)2(x, y) +
3(p)3(x, y)
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Triangle de Rfrence
P1[x,y] =vect[1, 2, 3]
1(x,y) =1 xy;2(x= y) = x;
3(x,y) = y.
: T T
x x=Ax+B
A=
S1S2 S1S3
; B=S1;
1x=A1(x B) =A1x (1, 0)t
i= i 1, 1 i3
P2[x, y] =
0i+j2
aijxiyj, aij R
dim(P2) =C24
Pk[x, y] =
0i+jk
aijxiyj, aij R
dim(Pk) =C
22+k
Pk[x, y] lespace des polynmes deux variables de degr total infrieur 2.
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Elments finis quadrilatre 2D
Quadrangle de rfrence :
R = [1, 1][1, 1] On considre
lespace dinterpolation locale :Q1[x,y] = vect[1,x,y,xy]. Len-semble des polynmes de degrs par-tiels infrieurs ou gaux 1.Q1[x,y]. La base de Lagrange asso-
cie est :
{1(x,y) = l1(x)L1(y)
{2(x,y) = l1(x)L1(y)
{3(x,y) = l1(x)L1(y)
{4(x,y) = l1(x)L1(y)
o :
l1(x) = 1
2(x 1); l1(x) =
1
2(x+1)
L
1(y) =
1
2(y
1); L1(y) =
1
2(y+1)
Quadrangle quelconque :
Soit R un quadrilatre de sommets
S1, , S2, S3, et S4. Alors: RRdfinie par :(x,y) = 1(x,y)S1 + 2(x,y)S2 +3(x,y)S3+ 4(x,y)S4 est une bijection entre R et R. Ellevrifie :
(Si) =Si; 1 i4
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