Post on 27-Sep-2015
description
Mathematical ofPhysics II
Dra. Sri Astutik, M.Si
STUDY PROGRAM of PHYSICS EDUCATION
TEACHERSHIP AND EDUCATION SCIENCE FACULTY
JEMBER UNIVERSITY
2009/2010
REVIEW
BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan Kompleks
Z = a + i b Re z = a/x
x + i y Im z = b/y
Aturan dalam Bilangan Kompleks
a. Penjumlahan ( addition / subtraction )+ = ( + ) + ( + )= ( + ) + ( + )b. Perkalian ( Multipplication ) = ( + ) ( + )= + + = + ( + )c. Pembagian ( Divison 0 )= ( + )( + ) ( )( )= ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) += + + +
Hukum-hukum dalam Bilangan Kompleks
a. Assosiative law of Addtion+ ( + ) = ( + ) + )b. Commutative law of Multipplication = c. Assosiative law of Multipplication ( ) = ( ) )d. Distributive law ( + ) = ( ) + ( )
= = =
Argand Diagram = + Kartesian 2D= + polar= = += ( , ) = =
= ( , ) ==
| | = | | + | | Modulus Argumen Konjugate Kompleks
Jika = + , maka : Konjugate kompleks : =
Berkaitan dengan conjugate kompleks, dapat dituliskan :
1. ( + ) = + 2. = ( + )( ) = | |3. ( ) = 4.
=
FUNGSI KOMPLEKS
Definisi :
Misalkan D adalah suatu himpunan bilangan kompleks z. suatu fungsi f
didefinisikan pada D adalah suatu aturan yang mengaitkan setipa bilangan kompleks z
dari D dengan suatu bilanagn kompleks . Bilangan disebut nilai f di z, dan
dituliskan dengan f(z) , yakni w=f (z).
Himpunan D disebut daerah definisi ( domain ) f ( ). Fungsi kompleks dapatdinyatakan, missal :
Pangkat , sehingga ditulis w= atau w= ( ) dengan ( ) = . Karena w= ( ),maka suatu bilangan kompleks dengan nilai fungsi f di z= + dapat dinyatakandengan w= + , sehingga : = ( )+ = +Artinya :
Setiap bilngan real u dan vbergantung pada kedua variable x dan y.
Sebagai contoh : ( ) =Dapat dinyatakan : ( ) = ( + )= + 2Sehingga : ( , ) = ( , ) = 2Contoh diatas mengilustrasikan bagaiamana suatu fungsi kompleks ( ) dinyatakandalam sepasang fungsi real dua variable x dan y.( ) = ( , ) + ( , )
LIMIT dan KONTINU
Jika = + mengahampiri titik tetap = + , maka :Bila dan , dikatakan bahwa fungsi ( ) mempunyai limit yangdinyatakan sebagai berikut : lim ( ) =Khususnya jika ( ) = maka dikatakan bahawa ( ) kontinu di . Dapat ditunjukkan bahwa : Jika ( ) = ( , ) + ( , ) kontinu di = + , makapasangan fungsi realnya ( , ) dan ( , ) kontinu di ( , ).FUNGSI ANALITIK
Differensiasi sebuah fungsi kompleks dinytakan dengan :
( ) = lim ( + ) ( ) , = Pada daerah yang mengandung titik . Berkaitan dengan fungsi w yang terdiri dari
fungsi real dan imajiner, sperti : = ( ) = ( , ) + ( , )Jika ( ) memiliki turunan / limit tunggal di titik = + , karena = + dan = + maka turunan terhadap fungsi f di peroleh :
( ) = lim + = lim + Jika kita ambil 0 , dengan memilih = 0 sehingga 0 , maka
panjang sumbu x sejajar akan diperoleh :
( ) = lim + = +
Jika kita mengambil = 0 sehingga 0 , maka sepanjang sumbu y yangsejajar akan diperoleh :
( ) = lim + = + Maka untuk kedua keadaan * dan ** , akan di dapatkan :+ = + atau = , = Bentuk :
= , =Persamaan Chaucy-Riemann
Definisi :
Sebuah fungsi kompleks ( ) yang memiliki turunan ( ) di titik =dan disemua titik dalam lingkungan disebut analitik ( holoformik ) di titik = Syarat Analitik
a. Jika ( , ) dan ( , ) serta turunan pertamanya kontinu di ( , ).b. Jika ( , ) dan ( , ) memenuhi persamaan Chaucy-Rienmann.
Rumus Turunan
1. = 0 , = 12. Jika n bulat positif, = berlaku pula untuk n bulat negative, jika 03. [ ( )] = ( )4. [ ( ) + ( )] = ( ) + ( )5. [ ( ) ( )] = ( ) ( ) + ( ) ( )6.
( )( ) = ( ) ( ) ( ) ( )( ) , ( ) 0
Contoh soal :
1. Untuk ( ) = periksa apakah persamaan tersebut analitik atau tidak!Jawab :( ) = = ( + ) = + 2( , ) = ( , ) = 2
= 2 , = 2 , = 2 , = 2= , =
2 = 2 , 2 = 2 AnalitikFUNGSI HARMONIC
Misalkan ( ) = ( , ) + ( , ) adalah nalitik dan semua turunan u dan vdifferensiabel, maka jika differensiasikan sekali lagi persamaan Chaucy-Rienmann
terhadapa x akan diperoleh :
= , = Sedangkan jika kita differensiasikan terhadap y , diperoleh :
= , = Untuk menjamin kekontinuan = dan = , maka dengan menjumlahkankedua persamaan diperoleh := = 0 dan = = 0
= =
Dengan demikian fungsi u dan v memenuhi persamaan Laplace. Jadi : jika ( ) =( , ) + ( , ) analitik dan memenuhi persamaan Laplace maka persamaantersebut adalah Harmonic.
Integral Fungsi Kompleks
Misalkan C adalah sebuah kurva dalam bidang kompleks yang menghubungkan titik= dan = , maka seperti kurva dalam bidang real ( x, y ), persamaannyaadalah : ( ) = ( ) + ( )Dengan t adalah parameter real kurva. Sehingga untuk ( ) = ( , ) + ( , )sebuah fungsi kompleks yang sekurang-kurangnya kontinu bagian demi bagian pada
kontur / kurva C maka integral lintasan fungsi kompleks f sepanjang kontur C
didefinsikan :
( ) = ( ) ( )dengan
( ) = + = ( ) + ( )Dengan mengalikan integral di ruas kanan dan mengumpulkan faktor real dan
imajinernya, maka diperoleh :
( ) = ( + ) + ( + )Jadi integral fungsi kompleks ( ) dapat didefinisikan sebagai integral lintasan duafungsi real sebagai berikut :
( ) = ( ) + ( + )
Pernyataan di atas bisa juga di tulis sebagai berikut := + dan = +Integral fungsi kompleks dapat dinyatakan sebagai integral kontur sepanjang lingkaran
yang mudah dihitung.
Misalkan C adalah lingkaran dengan pusat di = dan berjari-jari r , maka menurutrumusan eksponensial diperoleh : = dan = , r tetapdengan sebagai parameter. Maka, jika lingkaran C ditempuh dalam arah positif akan
diperoleh :
( ) = +Jika ( ) = ( ) dengan n bulat ( positif, negatif ). Maka :
( ) = = ( )= 2 , 10 , 1
TEOREMA CHAUCY
Jika ( ) analitik pada daerah D dan pada daerah kontur terhadap yang membentangmaka :
( ) = 0Mengingat pentingnya teorema ini, maka berikut akan diberikan pembuktiannya dari
rumus sebelumnya :
( ) = ( ) + ( + )Karena integral diatas merupakan integral garis, maka bisa ditetapkan Teorema Green
sebagai berikut :
( ) = ( ) + = 0Karena ( ) analitik, maka fungsi u dan v memenuhi Persamaan ChaucyRienmann.Untuk daerah yang terhubung jamak, akan berlaku :
( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 0
TEOREMA LAURENT
Sebuah fungsi ( ) yang analitik di dalam suatu daerah cincin D, pada keduabatasnya = ( ) = dan = ( ) = dengan < dapat dinyatakandalam deret
( ) = ( ) +~ ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 )~Dengan : = ( )( ) , = 0,1,2,3, (2)
= 12 ( )( ) , = 1,2, (3)Untuk semua daerah dalam cincin D akan berlaku Deret Laurent persamaan (1 )
TITIK SINGULER dan RESIDU
Jika = adalah sebuah titik singular terpisah dari ( ) , maka dalam lingkungan =, fungsi ( ) dapat di uraikan dalm Deret Laurent
( ) = ( ) + ( )~~Untuk yang mengandung m suku dengan pangkat negatif ( ) , terjadi :
( ) = ( ) +~ ( ) + ( ) + ( )Dari rumus diatas untuk = disebut dengan kutub berorde m. Khusus untuk kutubberorde 1 disebut kutub sederhana. Koefesien pada persamaan di atas disebut
Residu ( ) di = , yang selanjutnya akan kita pakai untuk mencari nilai integraltentu.
Definisi :
Jika = adalah titik kutub berorde m dari ( ) , maka residunya di =diberikan :
= 1( 1) lim ( ) ( ( )Cara Menentukan Residu
Fungsi ( ) di =1. Dengan bentuk umum dari= 1( 1)! [ ]
dimana = ( ) ( )dan = | 0
2. Untuk kutub sederhana ( m = 1 )= lim ( ) ( )3. Jika ( ) = ( ) ( )
dimana : ( ) 0 , ( ) = 0 , tetapi ( ) 0maka, = ( )( )
4. Jika residu fungsi ( ) di = , tidak dapat di lakukan ke-3 cara di atas, makakita harus menulis fungsi ( ) dalam bentuka. Perluasan fungsi yang mendekati ( ) sesuai dengan fungsi ( )b. Pengembangan fungsi ( ) dalam bentuk Deret Geometri.c. Pengembangan fungsi ( ) dalam bentuk Deret Laurent.
Contoh :
1. Carilah residu untuk ( ) =Solusi : ( ) = ( )( )Jadi = 1 , = 1
= 1= lim ( ) 1 1= lim ( 1) 1( + 1) ( 1)= lim 1( + 1)= lim 1(1) + 1= 12 = 1= lim ( ) 1 1= lim ( 1) 1( + 1) ( 1)= lim 1( 1)= lim 1(1) 1= 122. Dapatkan dan (5) untuk ( ) = ( ) ( )
Jawab :( ) = (2 + 1) (5 )= 1 2 , = 5
= 1 2= lim ( ) (2 + 1)(5 )= lim + 1 2 (2 + 1)(5 )= lim + 1 2 2 + 1 2 (5 )= lim 2(5 )= lim 10 2= 1 210 + 1= 1 211= 122
= 5= lim ( ) (2 + 1)(5 )= lim ( 5) (2 + 1)(5 )= lim ( 5) (2 + 1) ( 5)= lim (2 + 1)= 510 + 1= 511
Teorema Residu
( ) = 2 ( )~= 2 ( jumlah residu ( ) di )
Penerapan teorema residu ini terutama penting untuk perhitungan beberapa integral
tentu.
Integral Fungsi Trigonometri
Tinjau jenis integral tentu dari fungsi trigonometri cos dan sin berikut :
F (cos , sin )Karena berubah dari 0 ke 2 maka kita pakai argument sebuah lingkaran yaitudengan menerapkan :
cos = +2 , sin = 2 , =Di dalam integral kontur di tuliskan :
F +2 , 2
TRANSFORMASI INTEGRAL
Pemecahan persamaan diferensial linier biasa orde dua dalam bentuk deret diberikan :
0 0
)(n n
nnsn
n xEaxay ................................. ( 1 )
dimana na ditentukan melalui persamaan rekursif.
Untuk fungsi periodik )(xfy , fungsinya di uraikan kedalam deret Fourier :
n
nnxin
nn xEcecxfx )()( = ........... ( 2 )
dimana nc adalah tetapan integrasi yang ditentukan oleh syarat awal.
Dalam rangka pengalihan variabel dalam suatu bentuk integral, maka variabel tak bebas y
dinyatakan :
........................................ ( 3 )
dimana indeks jumlah n digantikan oleh faktor kontinyu k dan fungsi pangkat
snn xxE
)( atau inxe digantikan oleh fungsi ),( xkE .
Persamaan ( 3 ) diatas yang disebut dengan Transformasi Integral ( invers ).
1. TRANSFORMASI FOURIER
Setiap fungsi periodik dapat di uraikan atas harmonik atau fungsi periodik dasar Sin dan Cos.
Sedangkan untuk uraian deret Fourier suatu fungsi periodik )(xf dengan periode linier L,
dalam selang dasar simetris : 22LxL adalah :
Lpeaxfn
pxinn
2,)(
, ....................... ( 4 )
dkxkEkayk
k
2
1
),()(
dengan, dxexfL
a pxinL
Ln
2
2
)(1
Karena fungsi periodik adalah suatu kelas fungsi istimewah, maka untuk uraian deret Fourier
dapat di anggap sebagai suatu fungsi periodik dengan periodik L . Rumus matematisnya
dapat di tuliskan : npL
nkn
2
maka selang :
dnLL
n
L
ndk n
22)1(2
Untuk limit 0, dkL , dan )( Ln berhingga, maka persamaan ( 4 ) dapat diganti dengan
integral sebagi berikut :
n
dkL
dnL
2
2
dimana indeks n akan beralih ke indeks kontinue k, dan koefesien na beralih ke )(ka .
Sehingga fungsinya kita dapatkan :
)()(2
1)( 1 kFdkexFxf xki
....................... ( 5 )
)()()( xfdxexfkF ikx ............................... ( 6 )
Ini adalah rumus Integral Fourier bagi penguraian sebuah fungsi tak periodik )(xf atas
eksponensial dasarikxe dalam selang x .
Tidak semua fungsi memiliki transformasi Fourier. Syarat agar )(xF ada, diberikan oleh syarat
Dirichlet berikut :
1. Fungsi )(xf memiliki jumlah maksimum dan minimum serta ketak kontinuan yang
berhingga dalam selang berhingga ( kontinu bagian demi bagian ).
2. Fungsi )(xf terintegralkan secara mutlak, yaitu :
dxxf )(
Teorema Fourier menegaskan bahwa jika )(xf memenuhi syarat Dirichlet, maka :
1. Rumus integral Fourier ( persamaan 5 ) di jamin berlaku.
2. Pada setiap titik ketak kontinuan Xa , nilai integarl Fourier invers, masing- masing
adalah nilai limit )(xf pada Xa di dekati dari kiri dan kanan.
2. FUNGSI DELTA DIRAC
Fungsi delta Dirac )(x secara umum didefinisikan sebagai berikut :
axax
ax
,
,0)( .......................................... ( 7 )
Fungsi delta Dirac ini memiliki sifat-sifat berikut :
1. )()( xaax .................................................................. ( 7a )
2.
1)( dxax ....................................................................... ( 7b )
3. )()()( afdxaxxf
.................................................... ( 7c )
4. )()()()( axafaxxf ........................................... ( 7d )Beberapa definisi fungsi delta Dirac yang alain yang sering digunakan dalam berbagai
perhitungan adalah :
a. Pada persamaan 7b jikaxikexf )( , maka :
0)( xikxik edxaxe
Hubungan ini dapat dipandang sebagai transformasi Fourier dari fungsi )(),( 00 xxxxg .
Dengan demikian penerapan transformasi Fourier invers pada fungsi 0),( 0xkiexxg ,
memberikan pernyataan fungsi Delta Dirac dalam Integral :
dkedkexx xxikxxik )()(0 00 21
2
1)(
............ ( 8 )
dimana ini juga memenuhi sifat simetri ( 7a ).
b. Dari fungsi ( 8 ), integral di ruas kanan dapat dianggap sebagai limit berikut :
dkexx xxik )(0 0lim2
1)(
)(
)(sin
0
0lim xxxx
c. Definisi Delta Dirac yangb memenuhi semua sifat ( 7 ) adalah :
2
20 )(
02
1)( lim
xx
exx
d. Fungsi Delta Dirac sebagi fungsi tangga satuan,
0)(0)(
,1
,00
0
0
)(
xx
xxxx
Perhitungan transformasi Fourier seringkali dipermudah oleh sifat-sifat transformasi Fourier.
Pasangan transformasi Fourier : )()( xFxf
1. Kelinieran )()()()( 22112211 kFakFaxfaxfa
2. Simetri )(2)( fixF
3. Pensklaan )(1
)( akF
aaxf
4. Tundaan )()( kFeaxf aki
5. Modulasi )()( qkFxfe xqi
6. Diferensiasi )()()( kFikxfdx
d nn
n
7. Integrasi
)()0()(
)( kFk
kFdssf
3. TRANSFORMASI FOURIER Sinus dan Cosinus
Dari teorema integral Fourier disebutkan bahwa, jika )(xf ganji atau genap, maka )(kF juga
ganjil atau genap. Dengan menyisipkan :
kxikxe xki sincos
diperoleh hasil sebagai berikut :
a. Transformasi Fourier Sinus
Jika )(xf adalah sebuah fungsi ganjil, maka berlaku :
0
)(sin)(2
)( dkkxxFxf
dan
0
)(sin)(2)( dkkxxfxF
b. Transformasi Fourier Cosinus
Jika )(xf adalah sebuah fungsi genap, maka berlaku :
0
)(cos)(2
)( dkkxxFxf
dan
0
)(cos)(2)( dkkxxfxF
4. KONVOLUSI
Konvolusi dari sebuah fungsi )(1 xf dan )(2 xf di definisikan oleh integral :
duufuxfxff )()())(( 2121
Karena konvolusi bersifat simetri terhadap pertukaran indeks 1 dan 2, jadi :
duufuxfffff )()( 121221
Maka transformasi Fourier dari 21 ff dapat di tuliskan :
0)()( 21 dxxfxf
Dan menurut definisi transformasi Fourier, diperoleh :
dvduvfufe
dvvfeduufekgkg
vuki
vkiuki
)()(
)()()()(
21)(
2121
Dengan menggunakan hubungan : vuvuX ; dan menganggap Jacobianya J =1, maka :
dxdvvfvxfe
dvdxvfvxfekgkg
xki
xki
)()(
)()()()(
21
2121
Jadi, berdasarkan definisi konvolusi, diperoleh :
21
2121 )()(
ffdariFouriersiTransforma
dxffekgkg xki
5. TRANSFORMASI LAPLACETransformasi integral Laplace merupakan hal khusus dari integral Fourier yang di definisikan
sebagai berikut :
00
,)(
,0),(
x
x
exf x
xg
, real > 0
Sedangkan integral Fourier-nya dituliskan :
dxxfekG xik )(),(0
)(
*
Selanjutnya definisikan :
)(),( sFkG
sik
**
dengan s suatu variabel kompleks. Substitusikan ** ke *, maka akan di dapat :
0
f(x)L)()( dxxfesF sx Integral Laplace
Fungsu F(s) disebut transform Laplace dari )()( xfLxf
PEMETAAN KONFORMAL
Fungsi Kompleks :
bidang
Differensiasi W terhadap Z dituliskan :
i
Z
aeZfdZ
dW
dZ
W
)('lim0
dimana : 0
)(' Zfa
Dapat dituliskan :
ZArgWArgZ
WArg
ZfArgZ
WArg
ZZ
Z
Z
limlim
lim
lim
00
0
0
)('
Di definisikan :
z
Sehingga : ZArgWArgZfArgzz
limlim00
'
Orientasi sudut z pada bidang Z dan rotasi sudut pada bidang W.
)(WFZ
WZ
Besar sudut antara 2 garis21
wLdanwL memberikan
1212
Besar dzadzaedWi
Contoh 1 :
Translasi.
Diberikan transformasi W= Z+Z0. Nyatakan dalam bentuk x dan y.
Solusi :
W= Z+Z0
)()(
)()(
00
00
yyixx
iyxiyxW
Atau :
)( 00 yyvdanxxu
Contoh 2 :
Rotasi
Diberikan transformasi ZZW 0 ,
dimana : iii eWdanerZerZ 00,
Solusi :
)(0
0 ii erreW
dimana : 0
dengan : rrrdenganberkaiyangjariJarirrotasiSudut
00
0
tan
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
Proses fisika yang bergantung pada dua atau lebih variabel bebas dinyatakan dalam Persamaan
Diferensial Parsial, di singkat PDP. Jika ),,,( tzyx adalah variabel tak bebas, dengan
),,( zyx variabel bebas ruang dan t waktu, maka bentuk umumnya adalah :
fdt
ct
ba
2
22
dengan operator del :
zk
yj
xi
ddancba ,,, tetapan, sedangkan tzyxff ,,, suatu fungsi yang diketahui. Dalambahasan ini hanya akan ditinjau kasus homogen untuk 0,,, tzyxff . Sedangkanpersamaan diferensial parsial fisika yang akan di bahas adalah :
1. Persamaan LAPLACE
0,02
2
2
2
2
22
zyx
atau
2. Persamaan Difusi atau Rambatan Panas
012
tK
dengan,
massarapatdanpanaskapasitasC
termaltasKonduktiviKCpKK
,
,,
3. Persamaan Gelombang
2
2
22 1
xv
, dengan v kecepatan rambat gelombang.
4. Persamaan HELMHOLTZ
022 k , dengan k sebuah tetapan.
PERSAMAAN LAPLACE 2-DIMENSI
Pemecahan persamaan Laplace dua dimensi, yang berkaitan dengan persamaan hantaran panas
pada keadaan mantap, dapat di lihat pada contoh berikut :
a. Tinjaulah sebuah pelat logam datar empat persegi panjang dengan lebar d dan panjang tak
hingga. Dealam keadaan mantap, suhu pada salah satu sisi selebar 1d di pertahankan 1000
sedangkan ketiga sisi lainnya dipertahankan 00. Tentukan distribusi suhu pada pelat tersebut.
Solusi :
Persamaan diferensial parsial yang di gunkan di sini adalah persamaan Laplace dua
dimensi : 02 T , dimana kita telah memilih T sebagai variabel tak bebas suhu.
Dalam koordinat kartesian, Persmaaan Laplace Dua Dimensi di berikan oleh :
02
2
2
2
y
T
x
T
Dengan memilih sisi bersuhu 1000 berimpit dengan xsumbu positip, dan kedua sisi
tegaknya pada dxdanx 0 , maka syarat batasnya diberikan oleh :
( 1 ) 0),0( yT
( 2 ) 0),( ydT
( 3 ) 100),( yxT dx 0
( 4 ) 0),0( T
Pemecahan PDP di atas akan kita cari dengan metode pemisahan variabel, dengan
menyatakan fungsi suuhu ),( yxT sebagai perkalian fungsi ydanx sebagi berikut :
yYxXyxT ),(
Dibentuk dalam persamaan Laplace, di peroleh :
02
2
2
2
yd
YdX
xd
XdY
Kemudian bagikan dengan XY, diperoleh persamaan dalam variabel terpisah :
011
2
2
2
2
yd
Yd
Yxd
Xd
X
Karena suku pertama hanyalah bargantung pada x dan suku kedua pada y, maka masing-
masing suku tersebut haruslah sana dengan sebuah tetapan yang jumlah kedua tetapan
tersebut haruslah nol.
Yyd
Ydatau
yd
Yd
Y
Xxd
Xdatau
xd
Xd
X
22
22
2
2
22
22
2
2
1
1
dimana
022
Persamaan diatas mempunyai solusi :
xxxx eDeCyYeBeAxX )(&)(
Sehingga pemecahan umum persamaan Laplace adalah :
yyxx eSeReQePyYxXyxT )()(),(
dengan P, Q, R dan S adalah tetapan.
Pada syarat batas ( 4 ), 0),( xT , ditetapkan persamaan :
ykekxBkxAyxT sincos),(
Dimana P, Q dan R di serap ke dalam tetapan baru A dan B dan eksponensial imajiner dalam
fungsi Cosinus dan Sinus.
Penerapan syarat batas untuk 0),0( yT , memberikan :
00cos),0( AatauekxAyT yk
sehingga untuk,
Syarat batas 0),( yxT
ykekxByxT sin),(
Untuk syarat batas 0),( ydT
0sin),( ykn edkByLT
Untuk dnpnk maka persamaan diatas menjadi :
ypnnn expnByxT sin),(
KOORDINAT KURVILINEAR
Koordinat Kurvilinear adalah perubahan relatif koordinat permukaan dari titik ke titik. Sebuah
titik P di dalam ruang di definisikan oleh 321 ,, uuuP dimana 321 , udanuu adalah fungsiharga tunggal dari posisi, mak transformasi terhadap titik P di tuliskan :
32133
3212
2
3211
1
,,
,,
,,
uuufxz
uuufxy
uuufxx
dan
32133
3212
2
3211
1
,,
,,
,,
xxxFu
xxxFu
xxxFu
Vektor posisi titik P sebagai fungsi 3,2,1iu i , adalah : 321 ,, uuurr Elemen perpindahannya adalah :
ds
duu
r
duu
rdu
u
rdu
u
rdr
i
ii
3
1
33
22
11
Bentuk kuadrat dari panjang perpindahan diberikan :
jiji
ji
duduu
r
u
r
drdrds
3
1
3
1
2
atau
jiji
i j
jij
i ji
dudug
duduaads
3
1
3
1
3
1
3
1
2
dimana :
jjii u
ra
u
ra
,
dan jiji aag
sehingga : ijjiijji ggaaaa ,
jig ini yang disebut dengan Koefisien Matrik sebuah ruang.
Koordinat Kurvilinear Orthogonal
System koordinat kurvilinear orthogonal dinyatakan :
jiuntukaa ji 0
Bentuk kuadrat elemen panjang menjadi :
2333222221112 dugdugdugds
dengan catatan bahwa : 032 dudu , untuk ds pada 1u dan di tuliskan :
11
1111
duh
dugds
3
3
3333
duh
dugds
22
2222
duh
dugds
dimana 333222111 ,, ghghgh dan h disebut faktor skala.
Kita bisa mengembangkan untuk iii hataug yang lain ketikaix diketahui. Dalam
koordinat kartesian,
danggg 1332211
ji
i j kj
k
i
k
k j
jj
k
i
ii
k
k
kk
duduu
x
u
x
duu
xdu
u
x
dxdxds
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
2
Hasil ini sesuai dengan koefisien matriks tensor.
3
1kj
k
i
k
ji u
x
u
xg
atau
23
1
i
k
kii u
xg
Elemen Luas di berikan oleh :
jijiji duduhhd
Sedangkan elemen Volume di berikan oleh :
321321 dududuhhhd
Dengan demikian maka gradient, divergensi, curl dan Laplacian dalm koordinat kurvilinear
dapat di kembangkan.
Gradient Koordinat Kurvilinear Orthogonal
Jikas
adalah komponen dari dalam arah ds , maka diberikan oleh :
33
22
11
3
3
22
1
1
uh
e
uh
e
uh
e
se
se
se
dimana 321 ,
edanee adalah vektor satuan pada 321 , dsdandsds .
Divergensi & Curl Koordinat Kurvilinear
Sebuah vektor sembarang V, komponennya dapat di tuliskan :
32121
3231
31
2132
32
1
332211
Vhhhh
eVhh
hh
eVhh
hh
e
VeVeVeV
Maka divergensi dari V adalah :
= ( ) + ( ) + ( )= ( ) + ( ) + ( )
Sedangkan diketahui :
(A) = A + A
Maka didapat :
eh h = eh h = eh h = 0Untuk V diatas, di dapatkan :
V = 1h h hh e h e h eu u uh V h V h V
Sehingga :
V = eh (h V ) + eh (h V ) + eh (h V )Dan
x eh = x eh = x eh = 0LAPLACIAN Dalam Koordinat Kurvilinear
Laplacian di dalam koordinat kurvilinier yang orthogonal di berikan oleh : = = + + = 1 + +
Koordinat Bidang Polar ( r, )
Pada koordinat bidang polar, diberikan ==
Koordinat Silinder ( , , z )
Untuk koordinat silinder diberikan := = =
Koordinat Bola (, , )
Untuk koordinat bola diberiakan :
== = =Contoh Soal :
1. Dapatkan bentuk dari , , dalam bentuk koordinat silinder.Jawab :
Transformasi , , , ,Kita juga punya : = = = = =Dalam koordinat kartesian := = = 1
= ( = 1, 2,3)
Maka skala faktor dapat ditentukan
= ( )= + += ( ) + ( ) + ( )= + = 1 = = + += ( ) + ( ) + ( )= + = = = + += ( ) + ( ) += 1 =
Dalam koordinat Silinder, maka di peroleh :
= + + = 1 + ( ) + ( )
= 1
= 1 + 1 +
2.6 Laplacian Koordinat Kurvilinier orthogonal
Laplacian di dalam koordinat kurvilinier yang orthogonal diberikan oleh :
= = + +
= 1 + + 2.7 Koordinat Bidang Polar = =
= ( , )= + = + Dinyatakan dalam koordinat kartesian
Unit vector dan ditunjukan oleh gambar di bawah ini :
2.8 Koordinat silinder (, , z )
Hubungan koordinat silinder dengan koordinat kartesian
= = + = = + =
2.9 Koordinat Bola
OC = PM = OP cos atau z = r cos
OM = PC = OP sin atau OM = r sin
OA = OM cos atau x = r sin cos
OB = OM sin atau y = r sin sin
Jadi pada sistem koordinat Bola bila dihubungkan dengan sistem koordinat Kartesian,
x = r sin cos
y = r sin sin
z = r cos
r = ( x 2 + y 2 + z 2 )1/2