Post on 05-Sep-2019
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (1/42)
DigitaltechnikModul 10
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (2/42)
Literatur
[Wakerly, 2000] J.F. Wakerly.Digital Design, Principles and Practices,ISBN 0-13-089896-1, 2000. pp 452-503
[Fricke, 2014] K. Fricke.Digitaltechnik, 7. AuflageISBN-13 978-3834817839, 2014. pp 93-107
[LaMeres, 2017] Brock LaMeresIntroduction to Logic Circuits, 1. AuflageISBN-978-3-319-34194-1, Springer Verlag, 2017. pp 219-229,250-253
[Blieberger, 1996] J. Blieberger et. al.Informatik, 3. AuflageISBN-3-211-8286-5, Springer Verlag, 1996. pp 169-177
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (3/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Endlicher Deterministischer Automat (EDA)
Die Automatentheorie liefert die Grundlage fur sequentielleSchaltwerke. Ein endlicher deterministischer Automat Z ist ein7-Tupel
Z=(Σ, S , S0,∆, Γ,F ,Ω)
mit dem Eingabealphabeth Σ , der Zustandsmenge S , dem
Startzustand S0 , der Zustandsubergangsfunktion ∆ mit den ihr
zugeordneten Transitionen, dem Ausgabealphabeth Γ , Endzu-
standsmenge F und der Ausgabefunktion Ω .
Sequentielle Schaltwerke sind die Implementierung EndlicherDeterministischer Automaten als digitales System.
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (4/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Eingabealphabeth
Das Eingabealphabeth Σ definiert die Menge an Eingabezeichen,welche ein EDA verarbeitet. Das Eingabealphabeth definiert dieZeichen aus denen ein- oder mehrstellige Eingaben gebildet werden.
In digitalen Systemen mit zweiwertiger Logik Null und Eins ist
das Eingabealphabeth Σ = 0, 1 .
Einstellige und Mehrstellige Eingaben
Einstellige Eingaben auf dem Eingabealphabeth Σ=0, 1 sind
0 , 1 . N-Stellige Eingaben auf dem Eingabealphabeth Σ=0, 1sind bN−1 ... b0 , wobei bi ∈ Σ.
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (5/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Ausgabelphabeth
Das Ausgabealphabeth Γ definiert die Menge an Ausgabezeichen,welche ein EDA ausgibt. Das Ausgabephabeth definiert die Zeichenaus denen ein- oder mehrstellige Ausgaben gebildet werden.
In digitalen Systemen mit zweiwertiger Logik Null und Eins ist
das Ausgabealphabeth Γ = 0, 1 .
Einstellige und Mehrstellige Ausgaben
Einstellige Ausgaben auf dem Ausgabealphabeth Γ=0, 1 sind
0 , 1 . M-stellige Ausgaben auf dem Eingabealphabeth Γ=0,1sind bM−1 ... b0 , bi ∈ Γ.
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (6/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Eingabe
σ(N − 1 : 0) = bN−1 bN−2 ... b0
σ(i) = bi , 0 ≤ i ≤ N − 1
bi ∈ Σ
Ausgabe
γ(M − 1 : 0) = bM−1 bM−2 ... b0
γ(i) = bi , 0 ≤ i ≤ M − 1
bi ∈ Γ
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (7/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Zustandsmenge
Die Zustandsmenge S definiert die Menge an Zustanden si ∈ Sdes sequentiellen Schaltwerks. Der Zustand wird im sequentiellenSchaltwerk in Form von Speicherelementen realisiert, dem so-genannten Zustandsspeicher .
Ein N-Bit Zustandsspeicher auf zweiwertiger Logik reprasentierteinen Zustandsraum mit 2N Zustanden (Permutationen).
Breite des Zustandsspeichers NS
Ein Zustandsautomat mit K Zustanden benotigt einen Zustands-speicher der Breite
NS ≥ dlog2Ke
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (8/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
End-Zustandsmenge
Die End-Zustandsmenge si ∈ F ⊆ S definiert die Menge an End-Zustanden des sequentiellen Schaltwerks. Ein End-Zustand ist einvom Entwickler definierter Zustand, der eine gultige Ausgabe lie-fert.
Grundsatzlich kann jeder Zustand auch End-Zustand sein.
Startzustand
Ein ausgezeichneter Zustand S0 ist Startzustand . Ein Resetsignal
RES schaltet das sequentielle Schaltwerk uber die Resetbeding-
ung in den Startzustand. Das Resetsignal RES kann auch durch
eine eindeutige Resetbedingung definiert werden.
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (9/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Zustandsubergangsfunktion
Die Zustandsubergangsfunktion δ definiert den Zustandsubergangdes EDA und bildet den Folgezustand uber die Verknupfung vonaktuellem Zustand und Eingabe.
∆ : S × Σ→ S
St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0), σ(N − 1 : 0))
Fur jedes Signal im Zustandsvektor St+1(NS − 1 : 0) gibt es im
sequentiellen Schaltwerk eine boole’sche Funktion, welche den ak-
tuellen Zustandsvektor St(NS − 1 : 0) und den Eingabevektor
σ(N − 1 : 0) uber boole’sche Funktionen vernkupft. Das Reset-
signal RES kann Bestandteil von σ sein.
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (10/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Ausgabefunktion
Die Ausgabefunktion Ω definiert die Ausgabe γ des EDA und bil-det die Ausgabe uber die Verknupfung von aktuellem Zustand (und
Eingabe) entsprechend der Architektur
Ω : S × Σ→ Γ MEALY Architektur
Ω : S → Γ MOORE Architektur
Ω : ID(S) → Γ SIMPLE MOORE Architektur
wobei ID(S) die Identitatsfunktion des aktuellen Zustands S ist.
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (11/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
MEALY Architektur
Die MEALY Architektur bildet die Ausgabe γ uber die Verknupf-
ung von aktuellem Zustand St(NS − 1 : 0) und Eingabe
σ(N − 1 : 0)
∆ : S × Σ→ S
St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0), σ(N − 1 : 0))
Ω : S × Σ→ Γ
γ(M − 1 : 0) = Ω(St(NS − 1 : 0), σ(N − 1 : 0))
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (12/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
MOORE Architektur
Die MOORE Architektur bildet die Ausgabe γ uber die Verknupf-
ung des aktuellen Zustands St(NS − 1 : 0) (Zustandsdekoder)
∆ : S × Σ→ S
St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0), σ(N − 1 : 0))
Ω : S → Γ
γ(M − 1 : 0) = Ω(St(NS − 1 : 0))
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (13/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
SIMPLE MOORE Architektur
Die SIMPLE MOORE Architektur bildet die Ausgabe γ uber die
Identitatsabbildung des aktuellen Zustands St(NS − 1 : 0) auf die
Ausgabe
∆ : S × Σ→ S
St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0), σ(N − 1 : 0))
Ω : ID(S)→ Γ
γ(M − 1 : 0) = ID(St(NS − 1 : 0))
Aufgrund der Identitatsfunktion ID(S) ist keine zusatzliche Logik
notig, um die Ausgabe zu berechnen. Die SIMPLE MOOREArchitektur ist minimal im Aufwand fur die Ausgabefunktion.
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (14/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Synchroner Reset
Ein synchroner Reset wirkt nur in die Zustandsubergangsfunk-
tion ∆ aber nicht in die Ausgabefunktion Ω .
St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0),RES , σ(N − 1 : 0))
γ(M − 1 : 0) = Ω(St(NS − 1 : 0), , σ(N − 1 : 0)︸ ︷︷ ︸falls MEALY
)
Ω IST NICHT Funktion von RES .
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (15/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Asynchroner Reset
Ein asynchroner Reset wirkt auch in die Ausgabefunktion Ω .
St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0),RES , σ(N − 1 : 0))
γ(M − 1 : 0) = Ω(St(NS − 1 : 0),RES , σ(N − 1 : 0)︸ ︷︷ ︸falls MEALY
)
Ω IST Funktion von RES .
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (16/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Zustandsgraph
EDAs werden als Zustandsgraphen dargestellt. Entsprechend derDefinition des 7-Tupels werden fur die Bestandteile grafische Re-prasentationen gewahlt, um die Funktion des Automaten einfachbeschreiben und erfassen zu konnen.
Zustand (MEALY) Zustand (MOORE)
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (17/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Startzustand (MEALY) Startzustand (MOORE)
Endzustand (MEALY) Endzustand (MOORE)
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (18/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Transition (MEALY) Transition (MOORE)
Bei der MEALY Architektur wird die Ausgabe der Breite M, γm ,der Transition zugeordnet. Damit ist es moglich, da ein Folgezu-stand unterschiedliche Ausgaben liefert.
Im Gegensatz zur MOORE Architektur ist die Ausgabe bei derMEALY Architektur nicht direkt an den Zustand geknupft.
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (19/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Beispiel 1 (MOORE) Beispiel 2 (MOORE)
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (20/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Zustandsubergangstabelle
In der Zustandsubergangstabelle wird fur jede Transition eine Zeileeingetragen. Auf der linken Seite der Tabelle stehen die Zustands-namen und Eingabesignale, auf der rechten Seite die Namen derFolgezustande.
Zustandsubergangstabelle fur ”gerade Anzahl Einsen”
RES σ(N − 1 : 0) St(NS − 1 : 0) St+1(NS − 1 : 0)
1 X X S100 0 S10 S010 1 S10 S000 0 S00 S000 1 S00 S010 0 S01 S010 1 S01 S00
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (21/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Zustands-Kodierungstabelle
In der Zustandskodierungstabelle werden die Zustandskodierungeneingetragen. Wird der Zustandsspeicher mit diesen Werten be-schrieben, dann befindet sich das sequentielle Schaltwerk in demZustand mit der entsprechenden Kodierung. Die Zustandskodier-ung ist nicht eindeutig und hat Einfluß auf die boole’sche Schalt-funktion.
Zustands-Kodierungstabelle fur ”gerade Anzahl Einsen”
Zustandsname S(1 : 0)
S10 10
S00 00
S01 01
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (22/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Wahrheitstabelle fur ∆
In der Wahrheitstabelle werden die Zustandsnamen durch dieZustandskodierungen in der Zustandsubergangstabelle ersetzt.
Wahrheitstabelle fur ∆ ”gerade Anzahl Einsen”
RES σ St(1 : 0) St+1(1 : 0)
1 X X 100 0 10 010 1 10 000 0 00 000 1 00 010 0 01 010 1 01 00
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (23/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Wahrheitstabelle fur Ω
In der Wahrheitstabelle fur die Ausgabe werden dieZustandskodierungen links und die Ausgaben rechts notiert. Beider MEALY Architektur wird auf der linken Seite der Tabellezusatzlich die Eingabe notiert.
Wahrheitstabelle fur Ω ”gerade Anzahl Einsen”
St(1 : 0) EVEN
10 0
00 0
01 1
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (24/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Zustandsubergangsfunktion ∆ fur ”gerade Anzahl Einsen”
St+1(1) = RES
St+1(0) = (St(1) ∧ St(0) ∧ σ ∧ RES) ∨
(St(1) ∧ St(0) ∧ σ ∧ RES) ∨
(St(1) ∧ St(0) ∧ σ ∧ RES)
Ausgabefunktion Ω fur ”gerade Anzahl Einsen”
EVEN = St(0)
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (25/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Blockdiagramm der MEALY Architektur
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (26/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Blockdiagramm der MOORE Architektur
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (27/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Blockdiagramm der SIMPLE MOORE Architektur
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (28/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Aquivalenz
Jeder Automat in MEALY Architektur hat eine aquivalenteReprasentation als MOORE Architektur und umgekehrt.
Beweis
Algorithmus zur Transformation von MEALY nach MOORE undMOORE nach MEALY.
Transformation MOORE nach MEALY
Fur jeden Zustand im MOORE Automat, schreibe die Ausgabe anjede Transition die IN den Zustand fuhrt (trivial).
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (29/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
MOORE nach MEALY Algorithmus
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (30/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Transformation MEALY nach MOORE
Falls es Transitionen in einen Zustand gibt, die unterschiedlicheAusgaben fordern, dann fuhre fur diesen Zustand soviele neue Unt-er-Zustande ein, wie unterschiedliche Ausgaben gefordert werden.Sonst notiere die Ausgabe in den Zustand.
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (31/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Transformation MEALY nach MOORE (Unterzustande)
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (32/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Transformation MEALY nach MOORE (Unterzustande)
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (33/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Flankendetektor als MEALY Architektur
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (34/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
MEALY ”Flankendetektor”
Zustandsubergangstabelle
St σ RES St+1
INIT 0 0 ZEROINIT 1 0 ONEZERO 1 0 ONEZERO 0 0 ZEROONE 1 0 ONEONE 0 0 ZEROX X 1 INIT
Zustandskodierungstabelle
Name St(1 : 0)
INIT 10
ONE 01
ZERO 00
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (35/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
MEALY ”Flankendetektor”
Wahrheitstabelle fur ∆
St(1 : 0) σ RES St+1(1 : 0)
10 0 0 0010 1 0 0100 1 0 0100 0 0 0001 1 0 0101 0 0 00X X 1 10
Wahrheitstabelle fur Ω
St σ RES EDGE
10 0 0 010 1 0 000 1 0 100 0 0 001 1 0 001 0 0 1X X 1 0
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (36/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Zustandsubergangsfunktion ∆ MEALY ”Flankendetektor”
St+1(1) = RES
St+1(0) = (RES ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(RES ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(RES ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ)
Ausgabefunktion Ω MEALY ”Flankendetektor”
mit synchronem RES .
EDGE = (St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (37/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Ausgabefunktion Ω MEALY ”Flankendetektor”
mit asynchronem RES .
EDGE = (RES ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(RES ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
Eindeutigkeit und Effizienz der Darstellung
Die Frage nach der Eindeutigkeit der Darstellung ist leicht zu be-antworten. Da die Zustandskodierung underschiedlich sein kann,kann auch die Darstellung von 4 und Ω unterschiedlich sein.
Uber die Zustandskodierung kann die Effizienz der Darstellung si-gnifikant beeinflusst werden.
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (38/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Flankendetektor als transformierte MOORE Architektur
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (39/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
MOORE ”Flankendetektor”
Zustandsubergangstabelle
St σ RES St+1
INIT 0 0 ZEROINIT 1 0 ONEZERO 1 0 ZERO ′
ZERO 0 0 ZEROZERO ′ 0 0 ONE ′
ZERO ′ 1 0 ONEONE 1 0 ONEONE 0 0 ONE ′
ONE ′ 0 0 ZEROONE ′ 1 0 ZERO ′
X X 1 INIT
Zustandskodierungstabelle
Name St(2 : 0)
INIT 100
ONE 010
ZERO 000
ONE’ 011
ZERO’ 001
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (40/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
MOORE ”Flankendetektor”
Wahrheitstabelle fur ∆
St(2 :0) σ RES St+1(2 :0)
100 0 0 000100 1 0 010000 1 0 001000 0 0 000001 0 0 011001 1 0 010010 1 0 010010 0 0 011011 0 0 000011 1 0 001X X 1 100
Wahrheitstabelle fur Ω
St(2 :0) RES EDGE
100 0 0100 0 0000 0 0000 0 0001 0 1001 0 1010 0 0010 0 0011 0 1011 0 1X 1 0
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (41/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Zustandsubergangsfunktion ∆ MOORE ”Flankendetektor”
St+1(2) = RES
St+1(1) = (RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ)
c© Prof. Dr. Matthias W. Fertig (42/42)
Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen
Zustandsubergangsfunktion ∆ MOORE ”Flankendetektor”
St+1(0) = (RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨
(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ)
Ausgabefunktion Ω MOORE ”Flankendetektor”
EDGE = St(0) ∧ RES Asynchroner Reset
EDGE = St(0) Synchroner Reset