Post on 07-Jul-2020
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -17-
CMBUkTI 2
rgVas´sSitiénTinñn&y
(Statistical Measures of Data)
rgVas´sSitiepßg@RtÚveKeRbIRás´edIm,Isegçb nigBiBN’nasMnMuTinñn&y . tamn&yNamYyrgVas´mYycMnYnén
rgVas´sSitiTaMgen¼kMnt´p©iténsMnMuTinñn&ymYy ehIyeKehAfa rgVas´TItaMgp©it ¦rgVas´TMenarp©it (Measure of
Central tendency) . rgVas´epßgeTotpþl´eGayrgVas´énbMErbMrYlTinñn&ykñúgcMenamtMélseg;t nigRtÚvEbgEckCa
rgVas´bMErbMrYl (Measure of Variation) . CarYmrgVas´sSitiTaMgBIrRbePTen¼ manRbeyaCn_kñúgkarBiBN’ráy
BiténtMélseg;tEdlCasMnMuTinñn&yrbseyIg .
2¿1- tMélára¨Em¨t nigtMélsSiti (Parameters and Statistics)
Bakübec©keTs nigsBaØaNEdlnGnum&tedayGñksiStikñúgkarbkRsayTinñn&ysSitiGaRs&yTaMgRsúgfaetI
sMnMuTinñn&yCab¨UBuyLasüúgmYy ¦CaKMrUtagEdlRtÚveRCIserIsBIbUBuyLasüúg . Ca«TahrN_ cUrBinitüemIlsMnMu
Tinñn&ydUcteTAEdltageGaycMnYnénkMhusénkarvayGtSbTEdleFIVeLIgedayelxaFikarkñúg 10 TMB&repßg@Kñaén
ÉksamYy£ 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 4, 0 nig 2 . CadMbUgcUreyIgsnµtfa ÉksarmanEt 10 TMB&redIm,IeGay
Tinñn&ybeg;ItánCa b¨UBuyLasüúgkMnt´tUcmYy . karsikßay¨agqabmYyénbUBuLasüúgen¼GacnaMeyIgeTAdl´kar
snñidæanmYycMnYn .Ca«TahrN_ eyIgGaceFIVesckþIfa cMnYnFMbMputénkMhusvayGtSbTelITMB&rmYyesµI 4 ¦eyIgGac
niyayfa mFümnBVnþ (mFümPaK) én 10tMélesµI 1,5 . tMél 4 nig 1,5 CalkçN£BiBN’naénbUBuLasüúg
rbseyIg . eyIgehAtMélEbben¼fa tMélá¨ra¨Em¨ténbUBuLasüúg .
tMélá¨ra¨Em¨t (Parameter)
niymn&y£ tMélelxNamYyEdlBiBN’nalkçN£mYyrbsb¨UBuyLasüúgmYyehAfa tMélá¨ra¨Em¨t .
CaTMlab´eKtagtMélá¨ra¨Em¨tedayGkßrRkic . dUecñ¼ehIy mFümnBVnþénbUBuLasüúgmYykMnt´eday . dUecñ¼
ehIysMrabb¨UBuyLasüúgrbs´eyIgénkMhusvayGtSbT 51, . kMnt´sMKal´fa tMélá¨ra¨Em¨tCatMélefr
EdlBiBN’nabUBuLasüúg .
}LÚven¼ cUreyIg«bmafa Tinñn&yEdltageGaycMnYnénkMhusvayGtSbTbeg;ItánCaKMrUtagmYyEdlTTYl
ánedayrab´cMnYnkMhuselI 10 TMB&rEdlRtÚveRCIserIsedayécdnüBIÉksaminTan´eá¼Bum<d¾eRcInmYy . c,as´
ehIy}LÚven¼b¨UBuyLasüúgmansMnMuTinñn&yFMCagEdlRKan´EtCaBt’manmYyEpñkRtÚveKpþl´eGayedayKMrUtag. tMél
4 nig 1,5 }LÚven¼ CargVas´BiBN’naénKMrUtag ehIyminRtÚvcat´T ukCatMélá¨ra¨Emténb¨UBuyLasüúgeT .
tMélmYyEdlRtÚvKNnaBIKMrUtagehAfa tMélsSiti .
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -18-
tMélsSiti (Statistics)
niymn&y£ tMélelxNamYyEdlBiBN’nalkçN£mYyénKMrUtagmYyehAfa tMélsSit .
tMélsSitimYyCaFmµtatagedayGkßrFmµtaéntYGkßrPasaGg´eKøs . RbsinebItMélsSitiekIteLIgCamFüm
KMrUtageyIgnwgkMnt´vaeday x . sMrabKMrUtagécdnüénkMhusvayGtSbT eyIgman x = 1,5 . edayehtufa
KMrUtagécdnüCaeRcInGacekItmanBIb¨UBuyLasüúgEtmYy eyIgnwgrMBwgfa tMélsSitiERbRbÜlBIKMrUtagmYyeTAKMrUtag
mYyeTot . müageTot RbsinebIKMrUtagécdnüTI 2 mYyEdlman 10 TMB&rRtÚveKeRCIserIsBIÉksarminTan´eá¼Bum<
ehIycMnYnénkMhusvayGtSbTkñúgmYyTMB&rEdláncu¼kñúgtarag tMélFMbMputGacekIteLIgesµI 5 CMnYs 4
nigmFümnBVnþRbEhlCa nwgesµI 1,5 b¨uEnþBitCaGacxusKña .
kñúgkarsikßasSitisnñidæanrbseyIg eyIgnwgeRbIRástMélsSitimYyCatMélá¨n´RbmaNéntMélá¨ra¨Em¨t
b¨UBuyLasüúgRtÚvKña . PaKeRcIn TMhMénb¨UBuyLasüúgnwgmantMélFM ¦Gnnþ . edIm,IeGaydwgfa etItMélsSiti
á¨n´RbmaNtMélá¨ra¨Em¨tedayPaBsuRkitb¨uNÑa CatMbUgeyIgRtÚvEtBinitüseg;tráyéntMélsiStiEdlánKNnakñúg
kareFIVKMrUtagdEdl@ EdlRbFanbTen¼RtÚveKBicarNaeBleRkay .
2¿2- rgVas´énTItaMgkNþal (Measures of Central Tendency)
edIm,IBinitüemIlsMnMuénTinñn&ybrimaN CakarmanRbeyaCn_edIm,IkMntrgVas´elxEdlBiBN’naeGaylkçN£
énTinñn&y . viFImYyénviFIsMxan´@énkarBiBN’naRkúmmYyénrgVas´ eTa¼vaCaKMrUtagmYy ¦b¨UBuyLasüúgmYyk¾eday
eKeRbIRásmFümPaKmYy (Average) .
mFümPaKmYyCargVas´mYyénp©itrbs´sMnMuTinñn¥AeBleKtMerobTinñn&ytamlMdab´TMhMekIn ¦cu¼ . Ca
«TahrN_ ebIrfynþmYyrt´ánCamFüm 14,5 km kñúgsaMg 1 lIt tMélen¼GacRtÚveKcat´Tukfa CatMélEdl
bgHajp©iténtMélCaeRcIn . kñúgCnbT 1 lIténsaMgGacpþl´eGaycMgayeRcInCagkñúgmYylItsaMgenAtMbn´cracr
mmajwkénTIRkúgFMmYy . tMél 4,5 kñúgn¥¼kMnttMélp©it .
rgVas´NamYyEdlcgðúlbgHajp©iténsMnuMTinñn&ymYyEdltMerobtamlMdabekIn ¦cu¼énTMhMeKehAfa
rgVas´TItaMgp©it (Measure of Central Location) rWrgVas´TMenarp©it(Measure of Central Tendency) .
rgVas´EdleRbIsamBaØbMputKWmFüm (Mean) emdüan (Median) nigmUt (Mode) . rgVas´TItaMgp©itmYyénrgVas´
TItaMgp©itTaMgen¼ ehIyEdlRtÚvBinitüemIlmuneKKWmFüm .
mFümb¨UBuyLasüúg (Population Mean)
niymn&y£ RbsinebIsMnMuTinñn&y nx...,,x,x 21 (mincaMác´xusKñaTaMgGs) tageGaybUBuyLasüúgkMntmYy
TMhM N ena¼mFümb¨UBuyLasüúgesµInwg
N
x
N
i
i
1
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -19-
«TahrN_1 £ cMnYnénnieyaCikenA{sfsSan 5 xusKñamansmaCik 3, 5, 6, 4 nig 6 . edaycat´TukTinñn&y
b¨UBuyLasüúgmYy cUrrkcMnYnmFüménbuK:liksMrab{sfsSanTaMg 5 .
dMeNa¼Rsay
edayehtufa eKcatTukTinñn&yCabUBuLasüúgkMnt´mYy
845
64653,
mFümKMrUtag (Sample Mean)
niymn&y£ RbsinebI sMnMuTinñn&y nx...,,x,x 21 (mincaMác´xusKñaTaMgGs´) tageGayKMrUtagkMnt´TMhM n ena¼
mFümKMrUtagesµInwg £
n
x
x
n
i
i
1
«TahrN_2£ GñkRtÚvBinitümHÚbGarharmñak´ánBinitüemIlKMrUtagécdnümYyénmHÚb 2 RtIsmuRTpøaksBaØaCaklak´mYy
7 kMbugedIm,IkMnt´PaKryénPaBminsuT§ . Tinñn&ydUcteTARtÚveKktRta 1,8 , 2,1 , 1,7 , 1,6 , 0,9 , 2,7 nig
1,8 . cUrKNnamFümKMrUtag .
dMeNa¼Rsay
BIKMrUtagen¼eyIgán£
%,,,,,,,,
x 817
81729061711281
Cajwkjab´ edIm,IsMrYlkñúgkarKNnamFüm eKKNnaedayeRbIviFIkUtTinñn&y (Coding Data) . Ca«TahrN_CYn
kalCakargayRsÜl eyIgbUk rWdk cMnYnefreGaytMélseg;tTaMgGs´rbs´eyIg ehIybnÞab´mkKNna mFüm .
etImFümfµITakTgya¨gdUcemþcCamYynwgmFüménsMnMuedIméntMélseg;t ? RbsinebIeyIgtag yi = xi + a ena¼
axn
)ax(
n
y
y
n
i
i
n
i
i
11
dUecñ¼ karbUkrWdkéncMnYnefreGaytMélseg;tTaMgGs´áneFVIeGaymFümERbRbÜledaytMélcMnYnefrena¼ .
edIm,IrkmFüméncMnYn –5, –3, 1, 4 nig 6 CatMbUgeyIgGacbUk 5 edIm,IeGaytMélseg;tTaMgGsviC¢manEdlesµInwg
0, 2, 6, 9 nig 11 manmFümesµI 5,6 . dUecñ¼tMéledImmanmFüm 5,6 – 5 = 0,6 .
}LÚven¼«bmafa eyIgtag yi = axi eKán£
xan
ax
n
y
y
n
i
i
n
i
i
11
dUecñ¼ RbsinebItMélseg;tTaMgGsRtÚvKuN rWEckedaycMnYnefrNamYytMélseg;tfµI nwgmanmFümesµInwgBhuKuN
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -20-
énmFümedIm . mFüméntMél 4, 6, 14 esµI 8 dUecñ¼ehIy bnÞab´BIEcknwg 2 mFüménsMnMu 2, 3 nig 7
RtÚvEtesµInwg 4 .
rgVas´TItaMgp©itEdlmanplRbeyaCn_bnÞab´KWemdüan . sMrabb¨UBuyLasüúgmYy eyIgkMnt´eGaytMél
emdüaneday ~ sMrabKMrUtageyIgsresr x~ .
emdüan (Median)
niymn&y£ emdüanénsMnMutMélseg;tmYytMerobtamlMdab´ekIn rWcu¼énTMhMtMél CatMélkNþalenAeBlcMnYnén
tMélseg;tCacMnYness rWCamFüméntMélBIrkNþalenAeBlcMnYnéntMélseg;tCacMnYnKU .
«TahrN_3£ enAelIkarRblgRbcaMRtImas 5 dgelImuxviCa¢sg:mviTüanisßitmñak´TTYlánBinÞú 93, 86, 92 nig
79 . cUrrkemdüansMrabb¨UBuyLasüúgénBinÞúen¼ .
dMeNa¼Rsay
edaykartMerobBinÞútamlMdab´ekIn eyIgán£
79 82 86 92 93
dUecñ¼ ~ = 86
«TahrN_4£ cMNu¼nIkUTInsMrab´KMrUtagécdnümYyénárI 6 edImrbs´pøaksBaØaCak´lak´mYyRtÚváneKKNna
eXIjfa esµInwg 2,3 , 2,7 , 2,5 , 2,9 , 3,1 nig 1,9 g . cUrrkemdüan
dMeNa¼Rsay
RbsinebIeyIgtMerobcMnu¼nIkUTInTaMgena¼tamlMdabekIn eyIgán £
1,9 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1
ehIyemdüanesµInwgmFümén 2,5 nig 2,7
dUecñ¼
mg,,,
x 622
72522
rgVas´TItaMgp©itTI 3 EdleyIgnwgbgHajKWm¨Ut (Mode)
mUt (Mode)
niymn&y£ m¨UténsMnMutMélseg;tmYyKWCatMélseg;tEdlekIteLIgjwkjab´bMput rWedayeRbkg´FMbMput .
m¨UtminmanCanic©kalena¼eT . krNIen¼CakarBitenAeBltMélseg;tTaMgGsekIteLIgedayeRbkg´esµIKña .
sMrab sMnMuTinñn&yxø¼ GacmantMélCaeRcInekIteLIgedayeRbkg´FMbMput kñúgkrNIen¼eyIgmanm¨UtCaeRcInCagmYy.
«TahrN_5£ RbsinebIGMeNayBIGñktaMglMenA Fairyway Forest eGaysmaKm Virginia Lung
RtÚveKkt´Rta esµInwg 9, 10, 5, 9, 9, 7, 8, 6, 10 nig 11 ena¼ 9 duløaEdlCatMélekIteLIgedayeRbkg´x<s´
CageKCamUt .
«TahrN_6£ cMnYnExßPaBynþEdlánTsßnaExmunedayKMrUtagécdnümYyénsisßviTüal&y 12 nakRtÚvánkt´Rta
dUcteTA 2, 0, 3, 1, 2, 4, 2, 5, 4, 0, 1 nig 4 . kñúgkrNIen¼ manmUt 2 KW 2 nig 4 edayehtufa 2 nig 4
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -21-
ekIteLIgedayeRbkg´FMCageK . eKniyayfaráyen¼Ca ráyeTVm¨Ut (Bimodal) .
«TahrN_7£ Kµanm¨UtekIteLIgsMrabBinÞúmuxviCa¢sg:mviTüakñúg«TahrN_ 3 edayehtufa BinÞúnImYy@ekIteLIgEtmþg.
Casegçb cUreyIgBinitüemIllkçN£TMnak´TMngKñaénmFüm emdüan nigmUt . mFümCargVas´TItaMgEdleRbI
y¨agsamBaØbMputkñúgsSiti . eKgayRsÜlkñúgkarKNna ehIymFümbMerIeGayBt’manEdlGacrkánTaMgGs´ .
ráyénmFümEdlTTYlánkñúgkareFIVKMrUtagdEdl@ BIb¨UBuyLasüúgmYyRtÚveKeRbIRás´Cajwkjab´ dUecñ¼ehIyviFI
EdleRbIkñúgsSitisnñidæansMrabá¨n´RbmaNtMél RtÚvBwgEpðkelImFümKMrUtag . eKminKYreRbIva enAeBlmantMél
seg;tFM rWtUc hYsehtumYycMnYntUc . kñúg«TahrN_ 5 karcUlviPaKTanCamFümeGayeTAsmaKm Virginia
Lurg esµInwg $ 8,40 EdlCatMélRbEhleTAnwgtMélm¨Ut rWemdüanEdlesµInwg $9 . ya¨gNak¾eday Rbsin
ebIviPaKTanmYyEdl FMxøaMg «TahrN_ $ 90 CMnYstMél $11 ena¼viPaKTanmFümesIµnwg $ 16,30 EdlCatMél
FMxøaMgCagtMélPaKeRcInén GMeNay .
emdüanmanRbeyaCn_edaykarKNnagayRsÜl RbsinebIcMnYntMélseg;ttUclµm . vaminTTYl}T§iBlBI
tMélbrma . ehtudUecñ¼ vacUlrYmkñúgkarvas´tMélmFümPaKedaytMélBitCagKWfa $ 9 RbsinebIviPaKTanx<s´
bMputkñúg«TahrN_ 5 esµInwg $90 CMnYstMél $11 . kñúgkareda¼RsayCamYynwgKMrUtagEdlRtÚveRCIserIs
BIbUBuyLasüúgmFümKMrUtagCaFmµtanwgminERbRbÜleRcInBIKMrUtagmYyeTAKMrUtagmYyeTot dUcCatMélemdüaneT .
dUecñ¼ RbsinebIeyIgcg´á¨n´RbmaNtMélp©itrbsb¨UBuyLasüúgEpñkelItMélKMrUtagmYy mFümmantMélefrCag
emdüan . edayehtuen¼ ehIymFümKMrUtagmYyRbEhlCamantMélRtwmRtÚvCagemdüanKMrUtagebIeKeFobvaeTAnwg
mFümb¨UBuyLasüúg .
m¨Ut CargVas´EdleRbIRás´ticCageKénrgVasTaMgbI . sMrab´sMnMuTinñn&ytUc tMélrbsvaesÞIEtKµanRbeyaCn_
eTa¼CaeKmantMélen¼k¾eday . manEtkñúgkrNIénsMnMuTinñn&yFMeTIbvamann&y . RbeyaCn_CacMbgBIrbs´vaKWfa £
(1)¿ vaminRtÚvkarKNna
(2)¿ vaGaceRbIsMrabTinñn&yKuNPaB nigbrimaNpgEdr . dUecñ¼ RbsinebIkarhat´RáNCakILaedayrt´
EdlcUlcitþedaymnusßPaKeRcIn eyIgniyayfa karrMlwkCaCMerIsmUt .
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -22-
lMhat A
1¿ cMnYnéncMelIyminRtwmRtÚvelIkarRblgsmtSPaBEdlmancMelIyRtÚv nig xusrbs´KMrUtagénsisß 15 RtÚváneK
ktRtadUcteTA 2, 1, 3, 0, 1, 3, 6, 0, 3, 3, 5, 2, 1, 4 nig 2 . cUrrk£
(a) mFüm (b) emdüan (c) m¨Ut
2¿ cMnYnlixitGnuBaØatsagsg´EdlánecjkalBIExmuneTAeGayRkúmh‘unsMng´ 12 enAkñúgTIRkúgtUcmYyKW 4, 7,
0, 7, 11, 4, 1, 15, 3, 5, 8 nig 7 . edaycatTukTinñn¥¼CabUBuyLasüúgmYy cUrrk£
(a) mFüm (b) emdüan (c) m¨Ut
3¿ ry£eBlRbtikmµsMrab´KMrUtagécdnüén 9 kmµvtSúeRkamkMlaMgkatalIkrRtÚváneKkt´RtaKW 2,5 ; 3,6 ; 3,1 ; 4,3
2,9 ; 2,3 ; 2,6 ; 4,1 nig 3,4 vinaTI . cUrKNna£
(a) mFüm (b) m¨Ut
4¿ nieyaCikéneragcRkplitkmµmYysnüapþl´GMeNayCaduløaeTAeGaymUlniFishCIB£ 10, 40, 25, 5, 20, 10,
25, 50, 30, 10, 5, 15, 25, 50, 10, 30, 5, 25, 45 nig 15 . edaycat´TukTinñn&yfa b¨UBuyLasüúgmYy
cUrKNna£
(a) mFüm (b) m¨Ut
5¿ GaRs&yeday GñkniBn§GtSbTbrisaSnviTüa Jacqueline Killeen pUsVatEdlmanenAkñúgemßAsabUeRbIRás´tam
pÞ¼qøgkatRbB&n§lUTwksðúybNþaleGaybwgERbeTACavalPkl,ab´EdlCacugbBa©b´rIghYteTACavalxßac´ .
Tinñn&ydUcteTAbgHajBIbrimaNpUsaVtkñúgmYybnÞúkénexaGaveákKk´KitCaRkamsMrabKMrUtagécdnümYyénRbePT
emßAsab‘Uepßg@ EdlRtÜveRbIGaRs&yedaykarENnaMeRbIRás´£
emßAsab‘UeákKk pUsaVtkñúgmYybnÞúk (g)
A & P Blui Sail
Dash
Concentred All
Cold Water All
Breeze Oxydol
Ajax
Sears
Fab
Cold Power
Bold Rinso
48
47
42
42
41
34
31
30
29
29
29
26
sMrabTinñn&ypUsVatEdleGay cUrrk£
(a) mFüm (b) emdüan (c) m¨Ut
6¿ kñúgkarsikßary£eBls¶ÜténfñaMBN’eFIVBIGasIutfµImYy Tinñn&yKitCaem¨agRtÚváneKcu¼kUdedaykardk 5 BItMél
nImYy@ .
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -23-
cUrrkmFümKMrUtagsMrab´ry£eBls¶ÜténbnÞ¼kþar 10 edayeRbIfañMBN’en¼RbsinebIrgVas´Edlándak´kUtKW£ 1,4 ;
0,8 ; 2,4 ; 0,5 ; 1,3 ; 2,8 ; 3,6 ; 3,2 ; 2,0 nig 1,9 em¨ag .
7¿ kñúgkará¨n´RbmaNkMlaMgdac´KitCaKILÚRkaménExßsnÞÜcRtIfµImYyeFVIBI Synthetic Tinñn&yRtÚváneKcu¼kUdeday
kardk 10 BItMélseg;tnImYy@ . cUrrkmFümKMrUtagsMrab´ 5 ExßTaMgen¼ . RbsinebIrgVas´Edláncu¼kUdKW £
0,4 ; –0,2 ; 1,5 ; 1,8 nig –0,7 .
8¿ cUrrkrgVas´énTItaMgp©it (mFümPaK) EdlcUlcitþCageKsMrab´KMrUtagEdltMélseg;trs´vaKW£
18, 10, 11, 98, 22, 15, 11, 25 nig 17 tageGaycMnYnrfynþEdlánlk´kñúgkMlugeBlExmkraknøgmken¼
edayTIPñak´garlk´rfynþ 9 epßg@ Kña . cUrbBa¢akCMerIsrbsGñk .
9¿ IQ (pleFobbBaØa) CamFüménsisß 10 nakkñúgfñakKNitviTüaKW 114 . RbsinebIsisß 9 nakman
IQ : 101, 125, 118, 128, 106, 115, 99, 118 nig 109 etI IQ mYyepßgeTotesµIb¨unµan ?
10¿ rfynþCak´lak´mYyCamFümebIkán 18 KILÚEm¨tkñúgmYylItelIpøÚvFM . etIeKRtÚvkareRbgsaMgb¨unaµnlItedIm,I
eFIVdMeNIrEdlmancMgay 450 KILÚEm¨t ?
11¿ enAkñúgsniñátfµI@en¼enA Daytona Beach RbtiPUGaceRCIserIskareFIVdMeNIrkMsanþmYykñúgdMeNIrkMsanþ 3
kEnøg£ Disneyworld, Marineland nig St-Augustine . cUrkMnt´CMerIsCam¨UtUrbs´RbtiPU 15 nak Edl
sMerccitþdUcteTA £ Disneyworld, St-Augustine, Disneyworld, Disneyworld, Marineland,
St-Augustine, Marineland, Disneyworld, Marineland, Marineland, Disneyworld, St-
Augustine, Disneyworld, Marineland nig Disneyworld .
12¿ r¨g´kNþal (Midrange) rgVas´énTItaMgEdlgayKNnamYyeTotKWr¨g´kNþal . r¨g´kNþalCamFüméntMél
tUcbMput nig FMbMputkñúgsMnMuénTinñn&y . cUrrkr¨g´kNþalkñúg £
(a) KMrUtagécdnüénlMhat´ 3
(b) b¨UBuyLasüúgénlMhat´ 4
13¿mFümsrub (Weighted mean)£ Cajwkjab´eyIgcg´KNnamFümPaKnUvbrimaN k: x1, x2, ..., xk edaykar
eGayPaBsMxan´eTAbrimaNmYycMnYneRcInCagbrimaNepßgeTot . eyIgteFIVdUecñ¼edaykarkMnt´PaBsMxan
w1, w2,...,wk eTAeGaybrimaN k ena¼EdlPaBsMxan´TaMgen¼tageGayrgVasPaBsMxan´rbs´vaRtÚvKña .
mFümsrub w ¦ xw kMnt´eday £
k
i
i
k
i
ii
w
w
xw
x
1
1
RbsinebIPaBsMxan´TaMgGs´esµIKña eyIgTTYlánmFümnBVnþFmµtaéntMélseg;t k .
(a) etImFümPaKsMrab´sisßTTYlánBinÞú 85, 76 nig 82 elIkarRblg 3 nig 79 elIkarRblgbB©ab´kñúg
vK:sikßaCaklak´mYyesIµbunµan RbsinebIkarRblgbBa©brab´bBa¢Úl 3 dgeRcInCagkarRblg 3 eTot .
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -24-
(b) tamdMeNIrvisßmkalmYy RKÜsarmYyánTijeRbgsaMg 21,3 lItedaytMél 39,9 esn kñúgmYylIt
18,7lIt edaytMél 42,9 esnkñúgmYylIt nig 23,5 lItedaytMél 40,9 esnkñúgmYylIt .
cUrrktMélmFümEdláncMNaykñúgmYylIt .
(c) smaKmRák´snßM nig Rák´kMcImYyeGayRák´x©ITijrfynþmYytMél $ 5000 edayGRtakarRák´
10,5% rfynþTI 2 tMél $ 6300 edayGRtakarRák´ 10,8% nigrfynþTI 3 tMél $ 4500 edayGRta
karRák 11% .
etIPaKryCamFümPaKsgeTAeGaysmaKmRák´snßMnigRák´kMcIsMrabkareGayx©IRák´TaMgbIelIken¼ esµIb¨unµan?
14¿ mFümbnßM (Combined Mean) : «bmafa k b¨UBuyLasüúgkMnt´EdlmanrgVas´ N1, N2, ..., Nk erogKña
manmFüm 1, 2, ... , k . mFümbnßM c énb¨UBuyLasüúgTaMgGsKW£
k
i
i
k
i
ii
c
N
N
1
1
RbsinebIKMrUtagécdnü TMhM n1, n2, ..., n2 EdleRCIserIsBI k b¨UBuyLasüúgTaMgen¼manmFüm kx,...,x,x 21
erogKña mFümKMrUtagbnßM cx énRKbTinñn&yKMrUtagTaMgGs´KW£
k
i
i
k
i
ii
c
n
xn
x
1
1
(a) fñaksSitibIEpñkmansisß 28, 32 nig 35 TTYlánBinÞúCamFüm 83, 80 nig 76 erogKñaelIkarRblg
bBa©b´EtmYy . etImFümb¨UBuLasüúgbnßMsMrabEpñkTaMgbIesµIb¨unaµn ?
(b) karsÞg´mtiénKMrUtagécdnü mhaCnEdlcakecjBIsYnc,arkMsanþánbgHajfa karcMNayCamFüm
10,30 duløasMrab´eBll¶ac . cMNayCamFümsMrabekµgRsI 20 nakkñúgKMrUtagKW $ 9,70 ehIysMrabekµg
RbúsKW $11,10 . etImanekµgRbúsb¨unaµnnak´enAkñúgKMrUtagécdnü .
15¿mFümFrNImaRt (Geometric Mean): mFümFrNImaRt G én k cMnYnviC¢man x1, x2, ..., xk KWCarWsTI k
énplKuNcMnYnTaMgen¼£
kkx...,,x,xG 21
kMntcMnaMfa LÚkarIténmFümFrNImaRtén k cMnYnviC¢manesµInwgmFümnBVnþénLÜkarItrbs´va .
mFümFrNImaRtRtÚveKeRbIPaKeRcInedIm,IrkmFümPaKTinñn&yEdlpleFobéntYbnþbnÞabRbhak´RbEhlnwgcMnYn
efrmYy . Ca«TahrN_ krNIen¼ekIteLIgCamYyTinñn&y dUcCakMritbMErbMrYlpleFob tYelxsnÞsßn_esdækic©
TMhMb¨UBuyLasüúgelIry£ eBl bnþbnÞab´Kña nig bBaHaRbhak´RbEhlKñaen¼Edr .
(a) rkmFümFrNImaRtén 1, 4 nig 128 .
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -25-
(b) enAéf¶TI 1 ExmkraKNnIRák´snßMmYyman $ 1000 . RbsinebIminmanRák´dMkl nigkardkyk
bEnSmeToteTenAkñúgqñaM nigkarRák´TTYlán 5% CakarRák´smasRbcaMEx cUrrkbrimaNCamFüménsac´
Rák´kñúgKNnIRák´snßMenAGMlugeBl 6 ExdMbUg . (eRbILÚkarIt)
(c) enAkñúgry£eBl 4 qñaMbnþbnÞabKña nieyaCikmañk´TTYlánkartMeLIgRák´ebovtßr_RbcaMqñaMKitCaPaKryKW
7,2 , 8,6 , 6,9 nig 9,8% . dUecñ¼pleFobRák´ebovtßr_fµInImYy@eTAnwgRák´ebovtßr_munKW 1,072 , 1,086 ,
1,069 nig 1,098 . edayeRbILÚkarItcUrrkmFümFrNImaRtsMrab´pleFobTaMgbYnen¼ ehIybnÞab´mkkMnt´
kMenInPaKryCamFümsMrabnieyaCikrUben¼kñúgry£eBl 4 qñaM .
16¿ mFümGamU¨nic (Harmonic Mean) : mFümGam¨Unic H én k cMnYn x1, x2, ..., xk KWCacMnYn k EcknwgplbUk
cMras´én k cMnYn£
k
i ix
kH
1
1
kñúgkarGnuvtþCak´Esþg mFümGam¨UnicRtÚveKeRbIRás´Cajwkjab´bMput kñúgkarKNnamFümPaKel,ÓnsMrab´
cMgaycrepßg@EdlcMgayrkßaefr ehIyk¾eKeRbIkñúgkarrkcMNayCamFüménrbs´eRbIRás´xø¼@ dUcCasg:hFn
enAeBlEdleKTijedaykarvinieyaKbrimaNTwkRák´esµIKñakñúgmþg@ .
(a) enAtamdMeNIrvisßmkalmYyeTAkaNadaRKÜsarmYyeFIVdMeNIr 500 KILÚEm¨tkñúgmYyéf¶@ .
RbsindMeNIrmanry£eBl 3 éf¶ ehIyRKÜsarena¼eFIVdMeNIrkñúgel,ÓnmFüm 87km/h enAéf¶TI 1,93km/h enA
éf¶TI 2 nig 87km/h enAéf¶TI 3 cUrrkel,ÓnKitCamFümPaKsMrab´dMeNIrTaMgmUl .
(b) elaksaRsþcarüsaklviTüal&ymañk´vinieyaK $100 kñúgmYyExeTAkñúgsg:mhFnGPiDÆn_mYy .
sMrab´ry£eBl 4 ExcugeRkay tMélkñúgb&NÑPaKh‘unnImYy@enAkñúgmUlniFiKW $ 5,45 ; $ 5,76 ; $ 6,10 nig
$5,90 . KNnatMélCamFümkñúgb&NÑPaKh‘unnImYy@ EdláncMNayedayelaksaRsþacarükñúgkMlugeBl
en¼ .
(c) RbsinebICageQImñakcMNay $20 kñúgmYyExsMrab´EdkeKaléfø $ 4 kñúgmYyRbGb´nig $ 20 kñúgEx
eRkaysMrab´RbePTEdkeKalEtmYyEdl}LÚvéfø $ 6 kñúgmYyRbGb etIKat´áncMNayb¨unaµn kñúgmYyRbGb´Ca
mFümb¨unµansMrabEdkeKalEdlKat´ánTij .
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -26-
2¿3- rgVas´bMErbMrYl (Measures of Variation)
rgVas´ 3 énTItaMgp©itEdlánniyaykñúgEpñk2.2 minánpþl´karBiBN’naTinñn&yRKb´RKanedayxøÜn vaeT .
eyIgcg´fa etItMélseg;trayáyya¨gNaBImFümrbsva . eKGacmansMnMutMélseg;tBIrEdlmanmFüm rW emdüan
esµIKña manbMErbMrYlTinñn&yénrgVas´rbs´va BImFümxusKñaya¨gxøaMg .
cUrBinitüemIlrgVas´xageRkamCalItsMrab´KMrUtagBIrénTwkRkÚcEdlánRckdb edayRkúmh‘un A nig B
KMrUtag A 0,97 1,00 0,94 1,03 1,11
KMrUtag B 1,06 1,01 0,88 0,93 1,14
KMrUtagTaMgBIrmanmFümesµIKñaKW 1,00 lIt . CakEsþgRkúmh‘un A RckTwkRkÚcmancMnu¼esµICagRkúmh‘un B.
eyIgniyayfa bMErbMrYlTinñn&y rWráyéntMélseg;tBImFümtisMrabKMrUtag A ticCagKMrUtag B . dUecñ¼kñúgkarTij
TwkRkÚc eyIgmanGarmµN_TukcitþeRcInCagEdlfa dbEdleyIgeRCIserIs nwgEk,rnwgmFümEdlánpßBVpßay
RbsinebI eyIgTijBIRkúmh‘un A .
sSitisMxan´bMputsMrab´vas´bMErbMrYlsMnMuTinñn&yKWr¨g´ (Range) nigva¨rüg´ (Variance) . rgVas ´gayKNna
bMputKWr¨g´ .
r¨g´ (Range)
niymn&y£ rg´énsMnMuTinñn&ymYyCaplsgrvagtMélFMbMput nwgtUcbMputkñúgsMnMuena¼ .
«TahrN_8£ IQ (Intellectual Quotient) énsmaCikRKÜsar 5 nakKW 108, 112, 127, 118 nig 113 .
cUrrkr¨g´ .
dMeNa¼Rsay
r¨g´én IQ TaMg 5 KW£ 127 – 108 = 19
kñúgkrNIénRkúmh‘unEdlRckTwkRkúc r¨g´sMrab´Rkúmh‘un A KW 0,17 lIt ebIeRbóbeFobnwgr¨g´ 0,26 lIt
sMrab´Rkúmh‘un B EdlcgðúlbgHajkarrayá¨yTinñn&yeRcInCagsMrabRkúmh‘un B .
r¨g´CargVas´exßaymYyénbMErbMrYl CaBiessRbsinebITMhMénKMrUtag rWb¨UBuyLasüúgFM . tMélr¨g´KitEtBItMél
brma ehIyminánRáb´eyIgGVImYyBIráyéntMél . Ca«TahrN_cUrBinitüemIlsMnMuTinñn&yBIrsMnMuTaMgBIrmanr¨g´ 12 :
sMnMu A 3 4 5 6 8 9 10 12 15
sMnMu B 3 7 7 7 8 8 8 9 15
kñúgsMnMu A mFümnigemdüanesµI 8 b¨uEnþtMélERbRbÜlelIcenøa¼BI 3 eTA 15 TaMgRsúg . kñúgsMnMu B mFüm
nigemdüanTaMgBIresµI 8 b¨uEnþtMélPaKeRcInEk,rnwgp©iténTinñn&y . eTa¼Caya¨gNak¾eedayr¨g´minánvas´bMEr
bMrYlenAcenøa¼tMélseg;tx<s´Cag nigTabCagk¾eday vak¾mankareRbIRás´manRbeyaCn_manRbeyaCn_mYycMnYn .
kñúg«sßahkmµr¨g´sMrab´rgVaselIvtSúEdlecjBIExücgVak´plitkmµGacRtÚvkMntTukCamun . enAeBlNargVas´TaMgGs´
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -27-
enAkñúgcenøa¼ r¨g´Cak´lak´ eKniyayfa dMeNIrkarplitsSitenAeRkamkarRKbRKgrbseyIg .
edIm,ICMn¼KuNvibtþirbsr¨g´eyIgnwgBinitüemIlrgaVs´mYyénbMErbMrYlEdleGayeQµa¼fa va¨rüg´EdlBinitüemIlTItaMgén
tMélseg;tnImYy@ eFobnwgsMnMuTinñn&y . eKGaceFVIteTAánedayBinitüemIlKMlatBImFüm . KMlaténtMél
seg;tRtÚvKNnaedayyktMélseg;tdknwgmFüménsMnMuTinñn&y . sMrabb¨UBuyLakMnt´ N21 x,...,x,x bMErbMrYl
KW£
nx,...,x,x 221
dUcKñaen¼EdrRbsinebIsMnMuTinñ&yrbseyIg CaKMrUtag nx,...,x,x 21 KMlatKW £
xx,...,xx,xx n 21
tMélseg;tmYyFMCagmFüm nwgpþl´KMlatviC©man cMEnkÉtMélseg;tmYyEdltUcCamFümnwgpþl´KMlatGviC¢man .
edaykareRbobeFobKMlatsMrab´sMnMuTinñn&yBIrxagelI eyIgmantaragxageRkam £
sMMnMu A –5 – 4 –3 –2 0 1 2 4 7
sMnMu B –5 –1 –1 –1 0 0 0 1 7
eyIgeXIjfa KMlatPaKeRcInkñúgsMnMu B mantMéltUcCagkñúgsMnMu A EdlcgðúlbgHajfa manbMErbMrYl
ticCagkñúgcMenamtMélseg;tkñúgsMnMu B . eKalbMngrbs´eyIg}LÚven¼RtÚvrkrgVas´tMélelxmYyénbMErbMrYlEdl
bB©ÚalbMErbMrYlTaMgGs´BImFüm . dMeNIrkarCak´EsþgbMput RtÚvrkmFümPaKénKMlatBImFümdUcCaGñkGannwgRtÚveK
sYredIm,IeGayeda¼RsaykñúglMhat´ 1 TMB&r 42 EdlCaplbUkénbMErbMrYlBImFümesµI 0 sMrab´sMnMuNamYyénTinñn&y
ehtuen¼ ehIymFümrbsvak¾esµI 0 Edr . edIm,IeCosvagbBaHaen¼ eyIgGacrkrgVasmYyénbMErbMrYlEdlehAfa
KMlatmFüm (Mean Reviation) (emIllMhat´ 11 TMB&r 43) EdleFIVeGayeyIgKNnamFüméntMéldac´xatén
bMErbMrYl . tMéldac´xatmYyéntMélmYyminKitBIsBaØatamlkçN£BiCKNit . dUecñ¼tMéldac´xatén – 4 esµI 4 .
kñúgkarGnuvtþmFüméntMéldac´xaténKMlatBImFümkMreRbINas´ . kareRbIRás´éntMéldacxat eFVIeGaykar
KNnatamlkçN£KNitviTüamankarq:aMq:g . edIm,Ieda¼RsaybBaHaen¼eyIgKNnaedayelIkCakaerRKb´KMlat
TaMgGsrbsvakñúgkarKNnava¨rüg´ . kñúgkrNIénbUBuyLasüúgkMnt´TMhM N va¨rüg´kMnt´edaynimitþsBaØa 2 (
Ganfa siucma¨kaer ) EdlGacRtÚvánKNnaedaypÞal´BIrUbmnþplbUkdUcteTA£
va¨rügbUBuyLasüúg (Population Variance)
niymn&y£ ebIeKeGaybUBuyLasüúgkMnt Nx,...,x,x 21 ena¼va¨rüg´bUBuyLasüúgesµInwg
N
)x(
N
i
i
1
2
2
snµtfa sMnMuBIr A nig B CabUBuyLasüúg }LÚven¼ eyIgeRbIRás´KMlatkñúgtaragmunedIm,IKNnava¨rüg´ .
sMrabsMnMu A
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -28-
9
124
9
7445
9
82222
9
1
2
2
)()()()(
)x(
i
i
ehIysMrabsMnMu B
9
78
9
7115
9
82222
9
1
2
2
)()()()(
)x(
i
i
edaykareRbóbeFobva¨rüg´TaMgBIrbgHajfa Tinñn&yénsMnMu A manbMErbMrYlCagTinñn&ykñúgTinñn&ysMnMu B .
edayeRbIRás´kaerénKMlatedIm,IKNnava¨rüg´ eyIgKNnatMélmYyCakaerénxñat . KWfa RbsinebIrgVas´
edImCah‘VÚt va¨rü¨g´nwgKitCah‘VÚtkaer . edIm,ITTYlánrgVas´bMErbMrYlKitCaxñatedImdUcTinñn&yedImdUckrNIsMrab´r¨g´
eyIgKNnabJskaerénva¨rüg´ . rgVas´Ebben¼ehAfa KMlatKMrU (Standard Deviation) .
«TahrN_9£ BinÞúxageRkampþl´eGayedayGñkvinicä&y 6 naksMrabsmµtSPaBGñkkILakñúgkarRbkYtkILaelatCa
lkçN£ GnþrCati£ 7, 5, 9, 7, 8 nig 6 . cUrrkKMlatKMrUsMrabb¨UBuyLasüúgen¼ .
dMeNa¼Rsay
CadMbUgeyIgKNna
76
687975
ehIybnÞab´mk
3
5
6
110220
6
7222222
6
1
2
2
)()()(
)x(
i
i
KMlatKMrUpþl´eGayeday 2913
5,
va¨rüg´énKMrUtagmYykMnt´eday s2 CatMélsSitimYy . dUecñ¼KMrUtagécdnüTMhMxusKñaTMhM n EdlRtÚveRCIserIsBI
b¨UBuyLasüúgEtmYyCaTUeTAnwgpþl´tMélxusKñasMrab´ s2 . kñúgkarGnuvtþn_ sSitiPaKeRcInbMputeKmins:al´tMél
á¨ra¨Em¨t 2 ehIyRtÚveKá¨n´RbmaNBItMél s
2 . sMrabtMélá¨n´RbmaNlð eKRtÚvEtKNnatMélá¨ra¨Em¨tBI
rUbmnþmYyEdlCamFümpþl´nUvcMelIyBit 2 . KWfa ebIeyIgRtÚvykKMrUtagécdnüTaMgGs´TMhM n BIbUBuyLasüúg
mYyehIyKNna s2 sMrabKMrUtagnImYy@ mFümPaKéntMél s
2 TaMgGsKYrEtesµInwg 2
. tMélsSitimYyEdlá¨n´
RbmaNtMélá¨ra¨Em¨tBittammFümPaKehAfa tMélminlMeGog (unbiased) .
CaGBÖnþrBaØaj eyIgnwgKitfa rUbmnþsMrab´ s2 CarUbmnþplbUkEtmYydUcEdláneRbIsMrab´ 2
Edr eday
manplbUkelItMélseg;tKMrUtag nigedayman CMnYseday x . kñúgesovePACaeRcIneKsresrEbben¼ b¨uEnþ
tMélEdlánKNnaEbben¼sMrab´va¨rüg´KMrUtagmanlMnaMCakará¨n´RbmaNeRkamtMél 2 KitCamFümPaK .
edIm,ITUrTat´lMeGogen¼ eyIgCMnYs n eday n – 1 kñúgPaKEbg .
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -29-
va¨rüg´KMrUtag (Sample Variance)
niymn&y£ ebIeKmanKMrUtagécdnümYy nx,...,x,x 21 va¨rüg´KMrUtagesµInwg
1
1
2
2
n
)xx(
s
n
i
i
«TahrN_10£ kareRbóbeFobtMélkaehVenAÉhaglk´eRKÓgeTs 4 eRCIsedayécdnü 4 kñúgTIRkúg San
Diego ánbgHajBIkMenInBIExmun 12, 15, 17 nig 20 esn sMrab´kaehVmYydbTMgn´ 200 g . cUrrkv¨arüg´én
KMrUtagécdnüénkMenIntMélen¼ .
dMeNa¼Rsay
edaykarKNnamFümKMrUtag eyIgán£
164
20171512
x esn
dUecñ¼ 3
162016121615612
3
162222
4
1
2
2 )()()()(
)x(
si
i
3
34
3
4114 2222
)()()()(
RbsinebI x CacMnYnTsPaKEdlánkat´xÞg´edayyklMeGógtUcbMput eyIgeFVIplbUklMeGogedayeRbI
rUbmnþva¨rüg´KMrUtagtamTMrg´xagelI . edIm,IeCosvagkrNIen¼ eyIgTayykrUbmnþKNnaEdlmanRbeyaCn+_Cag dUc
bgHajkñúgRTwsþIbTxageRkam .
RTwsþIbT 2.1: rUbmnþKNna rk s2
RbsinebI S2 Cavarüg´énKMrUtagécdnümYy TMshM n eyIgGacsresr£
)n(n
xxn
s
n
i
n
i
ii
1
1
2
1
2
2
sMraybBa¢ak
1
2
1
1
22
12
n
)xxxx(
n
)xx(
s
n
i
ii
n
i
i
edayeRbIRTwsþIbT 1.1 rhUtdl´ 1.3 eyIgán£
1
2
1
22
2
n
xnxxx
s
n
i
ii
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -30-
edaykarCMnYs x eday
n
i
i n/x
1
nigedayKuNPakyknigPaKEbgedaytMél n eyIgTTYlán £
)n(n
xxn
s
n
i
n
i
ii
1
1
2
1
2
2
KMlatKMrU KMrUtagEdlkMnt´eday s kMnt´ánCarwskaerviC¢manénva¨rüg´KMrUtag .
«TahrN_11 £ cUrrkva¨rüg´énTinñn&y 3, 4, 5, 6, 6 nig 7 EdltageGaycMnYnénRtIEdlcab´án eday
KMrUtagGñkensaT 6 nakenAéf¶TI 19 Ex mifuna qñaM 1981 enAbwg Muskoka .
dMeNa¼Rsay
tamTMrg´tarag eyIgsresr
2ii xx
3 9
4 16
5 25
6 36
6 36
17149
317
n = 6
dUecñ¼
6
13
56
311716 22
.
.s
Cajwkjab´eKGacsMrYldMeNIrkarKNnarkva¨rüg´énsMnMuTinñn&yedaykareRbIkarkUtTinñn&y (Coding Data) .
KYrrlwkfa karkUtTinñn&yRtÚváneRbIRáskñúgEpñk 2.2 edIm,IKNnamFüm . }T§iBlénkarkUtTinñn&y edaydktMél
seg;tnImYy@ rWedaykarEcktMélseg;tnImYy@edaycMnYnefrmYy nwgCakarcabGarmµN_rbs´eyIg . eyIgnwg
Binitüseg;t}T§iBlTaMgGs´en¼ sMrab´EtKMrUtagécdnü b¨uEnþlT§plmansuBlPaBdUcKñasMrab´bUBuyLasüúg .
RbsinebIeyIgtag yi= x i + c eKán cxy dUecñ¼eKánva¨rüg´én yi KW £
111
1
2
1
2
1
2
2
n
)xx(
n
)cx()cx(
n
)yy(
s
n
i
i
n
i
i
n
i
i
dUecñ¼ehIy ebItMélseg;tnImYy@énsMnMuTinñn&ymYyRtÚveKbMElgCasMnMufµImYyedaykarbUk rWdkéncMnYnefr c va¨rüg´
énsMnMuTinñn&yedImesµInwgva¨rüg´énsMnMufµI .
}LÚven¼ eyIgtag yi = cx i eKán xcy . tamry£en¼eKGacsresr£
111
1
22
1
2
1
2
2
n
)xx(c
n
)xcxc(
n
)yy(
s
n
i
i
n
i
i
n
i
i
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -31-
dUecñ¼ RbsinebIsMnMuTinñn&ymYyRtÚveKbMElgCasMnMufµIedaykarKuN rWEcktMélseg;tnImYy@edaycMnYnefr c va¨rüg´én
sMnMuedImKWesµInwgva¨rüg´énsMnMufµIEck rWKuNnwg c2 .
«TahrN_12£ KMrUtagécdnümYyénRbFanFnaKar 5 nakánbgHajfa Rák´ebovtßr_esµInwg $ 63 000
$ 48 000, $ 52 000, $ 35 000 nwg $ 41 000 . cUrrkva¨rüg´énsMnMuTinñn¥¼ edaykareRbIviFIkUtsmrmü .
dMeNa¼Rsay
RbsinebIeyIgEckRák´ebovtßr_TaMgGs´nwg 1000 bnÞab´mkdknwg 50 eyIgTTYlán 13, –2, 21, –15 nig
–9 Edl
1
5
1
i
ix nig
5
1
2 623
i
ix
}LÚven¼sMrabTinñn&ykUt
715545
16235 22 ,
.
)(.s
bnÞab´mkKuNnwg 10002 va¨rüg´énsMnMuRák´ebovtßr_edImKW £
s2 = 1,557 10
8
KMlatKMrUTMngCargVas´d¾lðbMputénbMErbMrYlEdleyIgman . y¨agNak¾edaymkdl´cMnucen¼ vamann&yEt
eBlEdlsMnMuTinñn&yBIr rWeRcInEdlmanÉktargVas´dUcKña ehIymFümRbhak´RbEhlKña . dUecñ¼ eyIgGaceRbób
eFobva¨rüg´éntMélseg;ténRkúmh‘un 2 EdlRckTwkRkÚc nigtMélva¨rüg´FMCagcgðúlbgHajfa plitplrbs´Rkúmh‘un
mankarERbRbÜlxøaMgCag rWticCag eGayEtcMnYndbesµIKñaRtÚváneKeRbI . vaminmann&y nwgeRbóbeFobva¨rüg´énsMnMu
kMBs´eTA nwgva¨rüg´énsMnMuBinÞúsm,Ta .
kñúglMhat´ 19 TMB&r (45) nigkñúgEpñk 2.4 eyIgbgHajfa KMlatKMrUGacRtÚveKeRbIya¨gNaedIm,IBiBN’na
sMnMuéntMélseg;tEtmYy .
2¿4- RTwsþIbT Chebyshev (Chebyshev’s Theorem)
kñúgEpñk 2.2 nig 2.3 eyIgánBiBN’nasMnMuéntMélseg;trbs´bUBuyLasüúg rWKMrUtagedayeRbIp©it rWmFüm
PaK nigbMErbMrYlTinñn&yBImFümPaKen¼ . tMélBIrEdlGñksSitieRbICajwkjab´KW mFüm nigKMlatKMrU . RbsinebI
ráyénrgVas´mYymanKMlatKMrUtUc eyIgnwgrMBwgfa tMélPaKeRcInrbs´vasSitenAEk,r@mFümrbsva . eTa¼Caya¨g
Nak¾eday tMélFMénKMlatKMrUcgðúlbgHajbMErbMrYlFMCagEdleyIgnwg rMBwgfa tMélseg;tr¨ayá¨yq¶ayBImFüm .
KNitviTUCnCatiru¨sßI P.L. Chebyshev (1821-1894) ánrkeXIjRbPaKénrgVasenAcenøa¼tMélBIr
NamYyqøú¼KñaeFobnwgmFümEdlTak´TgnwgKMlatKMrU . RTwsþIbT Chebyshev pþl´eGaytMélá¨n´RbmaNefr
mYyénRbPaKénrgVas´EdlenAcenøa¼ k KMlatKMrUénmFümsMrabcMnYnefr k .
RTwsþIbT 2.2: RTwsþIbT Chebyshev
ya¨gehacNasRbPaK 2
11
k énrgVas´rbs´sMnMuTinñn&yNamYyRtÚvEtenAcenøa¼ k KMlatKMrUénmFüm .
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -32-
sMrab k = 2 eKGacniyayfa ya¨gehacNas 4
3
2
11
2 rW 75% énrgVasRtÚvEtenAcenøa¼ 2 KMlatKMrUenA
mçag@ énmFüm . KWfa 4
3 rWeRcInCagéntMélseg;trbs´b¨UBuyLasüúgRtÚvEtenAcenøa¼ 2 .
edaykarcatTuksMnMuTinñn&yrbs´eyIgCaKMrUtagmYy ena¼sMrab´ k = 2 tamRTwsþIbTeyIgGacniyayfa ya¨g
ehacNas 4
3 énrgVas´RtÚvEtenAcenøa¼ sx 2 . dUcKñaen¼Edr eKGacniyayfa ya¨gehacNas
9
8 rW
RbEhlCa 88,9 % énrgVas´RtÚvEtenAcenøa¼ 3 sMrabb¨UBuyLasüúgmYyrW sx 3 sMrabKMrUtagmYy .
enAeBl k = 1 RTwsþIbTminmanplRbeyaCn_eT . eKGacniyayfa ya¨gehacNas 01
11
2
énrgVas´enAcenøa¼ 1 KMlatKMrUenA mçag@énmFüm . kñúgsSitisnñidæan eyIgGaceRbIRás´cenøa¼mYyEdlánKNnaBI
KMrUtagmYyedIm,Iá¨n´RbmaNcenøa¼ b¨UBuyLasüúgRtÚvKña . edayehtuen¼ehIy cenøa¼KMrUtag sx 2 GacRtÚveRbI
edIm,Iá¨n´RbmaNcenøa¼ 2 Edlmanya¨gehacNas´ 4
3 énrgVas´rbsb¨UBuyLasüúg .
«TahrN_13£ RbsinebI IQ rbsKMrUtagécdnünisßit 1080 nakenAsaklviTüal&yFMmYymanBinþúmFüm 120
nigKMlatKMrU 8 cUreRbIRTwsþIbT Chebyshev edIm,IkMnt´cenøa¼Edlmanya¨gehacNas´ 810 én IQ kñúgKMrUtag .
BIcenøa¼en¼ eyIgeFVIkarsnñidæansSitimYyTak´Tgnwg IQ rbsnisßitenAsaklviTüal&y . etIeyIgGacc,asfa
mineRcInCag 120 BinÞúenAkñúgcenøa¼Na ?
dMeNa¼Rsay
dMeNa¼RsaysmIkar
4
3
1080
81011
2
k
eyIgeXIjfa k = 2 dUec¼
16120821202 .Sx
KWfa cenøa¼BI 104 eTA 36 manyagehacNas´ 4
3 rWya¨gehacNas 810 én IQ rbs´KMrUtagrbseyIg .
BIlT§plen¼ eKGaceFIVkarsnñidæanfa y¨agehacNas 4
3 én IQ sMrabsaklviTüal&yTaMgmUlenAkñúgcenøa¼BI
104 eTA 136 . RbsinebI
9
8
1080
96011
2
k
ena¼ k = 3 ehIyyagehacNas´ 9
8 rWy¨agehacNas 960 én IQ énKMrUtagrbs´eyIgRtÚvEtenAcenøa¼
120 3.8 rWBI 96 eTA 144 . dUecñ¼mineRcInCag 120 én IQ enAeRkam 96 nigxagelI 144 .
RTwsþIbT Chebyshev enAEtGnuvtþn_ánsMrab´ráyéntMélseg;tNamYy edayehtuen¼ehIyCaFmµta
lT§plrbs´vaexßay . tMélpþl´edayRTwsþIbTKWCatMéleKaleRkamEtbueNaѼ . KWeKdwgfa minticCag 4
3 én
sMnMurgVas´mYyRtÚvEtenAcenøa¼ 2 KMlatKMrUenAmçag@énmFüm b¨uEnþeyIgminEdldwgfa etImaneRcInCag 4
3 éntMél
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -33-
kñúgcenøa¼ en¼RbsinebIeyIgBitCaminánrkcenøa¼ nigrabcMnYnrgVasenAkñúgcenøa¼ena¼eT . kñúgCMBUk3 eyIgeXIjfa
CamYysMnMuTinñn&yFMlT§plxøaMgCagCaFmµtaGacekIteLIg .
2¿5- BinÞú Z (Z Scores)
kñúgkarvaytMéllT§plrbs´nisßitEpñkKImInigesdækic© kñúgGMlugeBlrdUvekþAenAsaklviTüal&yNamYy
eyIgGaceRbóbeFobBinÞúCaelxsMrabmuxviC¢aTaMgBIr . RbsinebIeyIgsnµtfa nisßitTTYlánBinÞú 82 EpñkKImI nig
BinÞú 89 Epñkesdækic© etIeyIgGacsnñidæanfa Kat´TTYlánBinÞúlðRbesIrelImuxviC¢aesdækic©CagmuxviC¢aKImIrWeT ?
RbEhlCaeyIgKYrEtBinitüemIlfaetI nisßiten¼eFVIánlðya¨gNaeFobeTAnwgnisßitepßgeTotkñúgfñak´nImYy@rbs´
Kat . etIvaminGacekIteLIgeTeRBa¼fa karRblgmYyBiákCagkarRblgmYyeTot ehIyKat´BitCaeFIVánRbesIrelI
muxviC¢aKImIeFobnwgnisßitepßgeTotEdláncu¼eQµa¼eronmuxviC¢aKImICagmuxviC¢aEpñkesdækic© ? dUecñ¼BinÞúmFümEpñk
KImIesµI 68 nigKMlatKMrU 8 cMEnkÉráyénBinÞúmuxviC¢aesdækic©manmFüm 80nigKMlatKMrU 6 .
dUecñ¼bBaHacMeBa¼muxKWCabBaHaénkareRbóbeFobtMélseg;tBIrBIb¨UBuyLasüúgxusKñaBIredIm,IkMnt´kMriteFobrbs´va.
kñúgkarcgðúlbgHajrbs´eyIg sMnMuénBinÞúKImITaMgmUlCasMnMumYyénb¨UBuyLasüúgTaMgLay sMnMuTaMgmUlénBinÞúmuxviC¢a
esdækic©tageGayb¨UBuyLasüúgmYyeTot ehIyBinÞúrbs´nisßitCatMélseg;tBIr . viFImYysMrab´dak´kMrittMélseg;t
TaMgBIrKWRtÚvbMElgtMélseg;tnImYy@eTACaÉktaKMrU (Standard Unit) EdleKehAfa BinÞú z (z score) rWtMél z
(z value) .
BinÞú z (z score)
niymn&y£ tMélseg;tmYy x BIbUBuyLasüúgmYyEdlmanmFüm nigKMlatKMrU manBinÞú z rWtMél z
kMnt´eday £
xz
BinÞú z mYyvas´cMnYnKMlatKMrUEdltMélseg;tena¼enAxagelI rWxageRkammFüm . edayehtufa
CacMnYnviC¢manCanic© BinÞú z viC¢manvas´cMnYnKMlatKMrUEdltMélseg;tmYyenAxagelImFüm ehIytMél z GviC¢man
pþl´eGaycMnYnKMlatKMrUEdltMélseg;tmYyenAxageRkammFüm . cUrkMntsMKal´fa ÉktaénPaKEbg nigÉktaén
PaKykrbsBinÞú z RtÚveKlubecal . edayehtuen¼ehIyBinÞú z KµanÉkta edayehtuen¼ GnuBaØateGayeKGac
eRbóbeFobtMélseg;tBIreFobnwgRkúmrbsva EdlmanÉktaxusKñaTaMgRsúg .
}LÚven¼cUreyIgKNnaBinÞú z RtÚvKñanwgBinÞúnisßitrbs´eyIgEpñkKImInigesdækic© . sMrabmuxviC¢aKImIeyIg
TTYlán £
7518
6882,z
nigsMrab´muxviC¢aesdækic©
5016
8089,z
eyIgeXIjfa nisßitEdlTTYlánBinÞúEpñkKImIman 1,75 KMlatKMrUxagelImFüménBinÞúKImI cMEnkÉEpñkesdækic©Kat´
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -34-
manEt 1,50 KMlatKMrUxagelImFüménBinÞúmuxviC¢aesdækic© . kareRbóbeFobBinÞú z TaMgBIr }LÚven¼eyIgGac
niyayfa kic©kareFobrbs´nisßitcMeBa¼EpñkKImIx<s´Cagkic©karrbsKatEpñkesdækic© .
«TahrN_14£ CMnajvayGtSbTxusKñaRtÚvkarsMrabelxaFikarGaRs&yfa etIKateFVIkarEpñkkariyal&yc,abRkúm
h‘unKNnI rWsMrabkarRsavRCavEpñkKNitviTüaenAsaklviTüal&yFMmYy . edIm,IvaytMélebkçCnsMrab´tMENgTaMg
en¼ TIPañk´garpþl´kargarerobcMKMrUtagvayGtSbTKMrU 3 epßgKña . ry£eBlRtÚveKKitbBa©Úlkñúgkardak´BinÞúénKMrUtag
nImYy@EpðkelI cMnYnkMhuskñúgkarvayGtSbT . mFümnigKMlatKMrUsMrab´karRblgnImYy@ rYmCamYyBinÞúEdlTTYl
ánedayebkçCnfµI@mñak´RtÚvpþl´eGaykñúgtarag 2.1
tarag 2¿1 Tinñn&ysMrabKMrUtagkarvayGtSbTKMrU
KMrUtag BinÞúebkçCn mFüm KMlatKMrU
c,ab´
KNnI
viTüasaRsþ
141 sec
7 min
33 min
180 sec
10 min
26 min
30 sec
2 min
5 min
etIebkçCnen¼TMrgCasmnwgtMENgRbePTNapgeK ?
dMeNa¼Rsay
CadMbUg eyIgKNnaBinÞú z sMrab´KMrUtagnImYy@
c,ab´£ 3130
180141,z
KNnI£ 512
107,z
viTüasaRsþ£ 415
2633,z
edayehtufa el,ÓnsMxanCageK eyIgnwgBinitüemIltMél z EdltageGaytMélFMbMputenAxageqVgmFüm nigkñúg
krNIrbs´eyIgen¼KW –1,5 . dUecñ¼ ebkçCnBiessen¼mankMritx<s´CageKkñúgcMeNamvayGtSbTmankñúgEpñkKNnI
edayeFobeTAnwgGñkvayGtSbTkñúgBIrEpñkepßgeTot dUecñ¼ehIyeKKYrEtdak´kñúgtMEngEpñkKNnI .
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -35-
lMhat´. B
1¿ eKeGayKMrUtagécdnü x1, x2, ..., xn bgHajfa £
n
i
i )xx(
1
0
2¿ edayeyageTAb¨UBuyLasüúgénlixitGnuBaØatsagsg´EdlánecjeTAeGay 12 Rkúmh‘unsMNg´kñúglMhat´TI2
TMB&r 27 . cUrKNna£
(a) r¨g´
(b) va¨rüg´
3¿ edayeyageTAKMrUtagénry£eBlRbtikmµsMrab 9 vtSúrgnUvkatalIkrkñúglMhat´TI 3 TMB&r 27 . cUrKNna£
(a) rg´
(b) va¨rüg´edayeRbIniymn&y
4¿ cMnYnBinÞúEdlTTYlánedayRkúmkILaál´Tat Lacrosse sMrabrdUvCak´lak´mYyKW 4, 9, 0, 1, 3, 24, 12, 3,
30, 12, 7, 13, 18, 4,5 nig 15 . edaycatTukTinñn&yCab¨UBuyLasüúg cUrKNnaKMlatKMrU .
5¿ edayeyageTAKMrUtagécdnüéncMelIyminRtwmRtÚvelIkarRblgsmtSPaBrbssisß 15 nak kñúglMhat´TI1TMB&r
27 .
cUrKNnava¨rüg´edayeRbI£
(a) rUbmnþkMnt´eday s2 enATMB&r 35 .
(b) rUbmnþKNnasMrab s2 kñúgRTwsIþbT 2.1 .
6¿ BinÞúmFüménnisßitmhaviTüall&yqñaMTI 4 20nak EdlRtÚváneKeRCIserIsedayécdnüBIfñak´RblgbBa©b´kar
sikßamandUcxageRkam£
cUrKNnaKMlatKMrU .
7¿ epÞógpÞatfa va¨rüg´énKMrUtag 4, 9, 3, 6, 4 nig 7 esµInig 5,1 ehIyedayeRbITinñn¥¼ cUrrk£
(a) va¨rüg´énKMrUtag 12, 27, 9, 18, 12 nig 21
(b) va¨rüg´énKMrUtag 9, 14, 8, 11, 9 nig 12
8¿ rkva¨rüg´sMrab´bUBuyLasüúgEdlmanrgVas´ 2
1,
3
1,
4
1,
2
1 nig
6
1 edayeRbITinñn&yEdlándakkUd 6, 3, 4,
6 nig 2 .
3,2 1,9 2,7 2,4
2,8 2,9 3,8 3,0
2,5 3,3 1,8 2,5
3,7 2,8 2,0 3,2
2,3 2,1 2,5 1,9
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -36-
9¿Rák´ebovtßmhaviTüal&ysMrab´KMrUtagécdnümYyénRKÚbeRgónkñúgRbB&n§salardæénTIRkúgmYyRtÚváneKdak´kUdeday
karEckRák´ebovtßnImYy@nwg 1000 . cUrrkva¨rüg´énRák´ebovtßTaMgen¼ RbsinebItMélseg;tEdlándak´kUdKW£
18, 15, 21, 19, 13, 15, 14, 23, 18 nig 16 duløa .
10¿Rkúmh‘unrfynþtak´sIumYyánsakl,gKMrUtagécdnümYyénkg´rfynþEdlB&n§CMuvijedayExßlYsEdkEfbsMrab´
sBaØaCak´lakmYy ehIyánktTuksMNikRkLadUcteTA 48000, 53000, 45000, 61000, 59000,
65000, 63000, 49000, 53000 nig 54000 KILÚEm¨t . rkKMlatKMrUénsMnMuTinñn¥¼ edayCadMbUgEck
tMélseg;tnImYy@ nwg1000 ehIybnÞab´mkdknwg 55 .
11¿KMlatmFüm(Mean Deviation): KMlatmFüménKMrUtagmYyman n tMélseg;tRtÚvkMnt´eday
n
i
i
n
|xx|
1
.
cUrrkKMlatmFüménKMrUtag 2, 3, 5, 7 nig 8 .
12¿RbsinebIráyén IQ rbs´nisßitmhaviTüal&ykñúg Arizona manmFüm = 123 nig KMlatKMrU = 9
cUreRbIRTwsþIbT Chebyshev edIm,IkMnt´cenøa¼Edlman£
(a) ya¨gehacNas 4
3 én IQ
(b) mineRcInCag 9
1 én IQ
13¿ «bkrN_qugkarehVmYyeRKÓg RtÚveKtMrUvya¨gNaedIm,IeGayvaeRbIry£eBlCamFüm 5,8 naTI edIm,IqugkaehV
mYyEBgedayKMlatKMrU 0,6 naTI . GaRs&yedayRTwsþIbT Chebyshev etIPaKryénry£eBlEdl«bkrN_
qugkaehVen¼ RtÚváneRbIRás´ ehIyeRbIry£eBlNamYykñúgcenøa¼dUcxageRkam nwgesµIbunµan ?
(a) 4,6 naTIeTA 7,0 naTI
(b) 3,4 naTIeTA 8,2 naTI
(c) 4,3 naTIeTA 7,3 naTI
14¿karsikßacMNu¼nIkUTInénpøaksBaØaárICak´lakmYyárIbgHajfa CamFüm árImYyedImmannIkUTIn 1,52mg eday
KMlatKMrU 0,07 mg . GaRs&yedayRTwsþIbT Chebyshev etIcMNu¼nIkUTInBitCaenAcenøa¼tMélNasMrab´£
(a) ya¨gehacNas 25
24 énRKb´árITaMgGs´énpøaksBaØaen¼
(b) ya¨gehacNas 49
48 énRKb´árITaMgGs´énpøaksBaØaen¼
15¿ kñúglMhat´ 6 cUrKNnatMélPaKryénBinÞúCamFümEdlenAkñúgcenøa¼ 25x nig 35x . etIlT§pl
TaMgen¼RtÚvKñaCamYynwgRTwsþIbT Chebyshev ¦eT ?
16¿ Gñklkrfynþmañk´ánTTYlRák´kMér $ 245 elIKMrUrfynþtUc EdlRák´kMérCamFümesµInwg $ 200 edayKMlat
KMrU $ 50 . eRkaymkenAéf¶dEdlKatTTYlánRák´kMér $ 620 elIKMrUrfynþRbNitFMEdlRák´kMérCamFüm
esµI nwg $ 500 edayKMlatKMrU $150 . etIRákkMérrbsGñklkx<seFobsMrab´KMrUrfynþmYyNaCageKkñúg
cMeNamKMrUTaMgBIren¼ ?
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -37-
17¿sItuNHPaBGb,brmasMrabTItaMgenAXøatBIKñaya¨gq¶ay 3 kEnøgenAshrdæenAéf¶TI 1 ExmkraqñaM 1980 RtÚván
eKktTuk£TItaMg A man 15o F TItaMg B 62
o F nig TItaMg C 3
o C . karBiinitüemIlmYyCamYynwgsSanIyn_
GakarFatuenAÉTItaMgTaMgbIen¼ánbeg;ItnUvTinñn&ydUcteTAsMrabTItaMgTaMgen¼enAkñúgry£eBl 20 qñaMmun £
sItuNHPaBmFüm
KMlatKMrU
TItaMg
A B C
20oF 71
oF 5
oF
4,5oF 6,9
oF 2,3
oF
edaykarniyayeRbóbeFobKña etITItaMgNaenAéf¶TI 1 ExmkraqñaM 1980 ánTTYlnUvéf¶RtCak´bMput .
18¿ Jane eFIVkareGayTIPañk´garelçanRkúgjÚy¨kmYyEdlnieyaCikmancMNUlCamFümqñaMmunen¼ $ 28 000 eday
KMlatKMrU $ 3000 . etI Jane ánTTYlRák´b¨unaµnqñaMmunen¼ebIBinÞú z rbsnagesµInwg –0,8 ?
19¿ emKuNbMErbMrYl (Coefficient of variation): KMlatKMrUminbgHajeGayeXIjedayÉkÉgeGayáneRcIneT
GMBIbMErbMrYlénsMnMuTinñn&yeTalmYy . RbEhlCa rgVas´smrmüCag KWemKuNbMErbMrYlEdlRtÚvkMnt´eday£
%100x
sV ¦ %100V
EdlsMEdgKMlatKMrUCatMélPaKryénmFü . edayehtufa Y CargVas´énbMErbMrYleFobKitCaPaKryemKuN
bMErbMrYlGacRtÚveRbIedIm,IeRbóbeFobbMErbMrYlénBIr ¦eRcInsMnMu eTa¼bIenAeBlkarseg;tRtÚveKsMEdgCaÉkta
rgVas´epßgKñak¾eday .
(a) KNnaemKuNbMErbMrYl sMrab´ráyBinÞúEdlTTYlánedayRkúm Lacrosse kñúglMhat´ 4 .
(b) TMgnén 10 RbGbénpøaksBaØaCak´lakmYyrbsmHÚbeFVIBIRKab´FBaØCati mancMNu¼CamFüm 278g
edayKMlatKMrU 9,64g . RbsinebIRbGb´TaMgen¼RtÚváneKTijenA 10 hagepßgKña ehIytMélCamFüm
kñúgmYyRbGb´KW $ 1,29 edayKMlatKMrU $ 0,09 etIGñkGacsnñidæanfa TMgn´manlkçN£GUm¨UEsnCagtMél
¦eT ?
saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh
mhaviTüal&yKNitviTüa -38-