Automi Cellulari

Automi Cellulari multistatoGliders, domini e filtriI cataloghi di Crutchfield

Parte IV

Def. Di AC unidimensionale

La configurazione st di un AC unidimensionale, al tempo t, è un array unidimesionale di N celle (o siti)

Al tempo t, ogni cella si trova nello stato

stiA={0,1,…,k-1} per i=0,1,…,N-1

cosicché st AN

t i= st

i-r,…, sti,… st

i+r è il vicinato dell’ i-esima cella

è la funzione di transizione (aggiornamento) locale:

St+1i = (t

i)

L’operatore di aggiornamento globale

: AN ->AN

applica in parallelo a tutti i vicinati dell’AC determinandone l’evoluzione temporale

AC multistato

Un AC unidimensionale multistato è un AC in cui

k>2

Ad esempio, per k=3 stiA={0,1,2}, cioè:

2 0 1 112 02 11 0 2 02 1 21 02 1

Nel grafico precedente abbiamo segnato in bianco le celle nello stato 0, in blu le celle nello stato 1 e in rosso le celle nello stato 2

Lo spazio delle regole per un AC multistato

In un AC unidimensionale con k stati e raggio r (d=2r+1) esistono:

kd intorni distinti)(kd

k regole di transizione

Se k=3 ed r=1 (d=3), esistono:

kd=33=27 intorni distinti2733 )(3)(k 3d

k regole di transizione

Poiché gli intorni distinti sono 27, le regole di transizione saranno stringhe di 27 caratteri (0,1 o 2); ad esempio

102111112101110002200011000

Esempio k=3 r=1 (parte 1)Regola 102111112101110002200011000, Passo 0 -> 299

Esempio k=3 r=1 (parte 2)Regola 102111112101110002200011000, Passo 300 -> 599

Esempio k=3 r=1 (parte 3)Regola 102111112101110002200011000, Passo 600 -> 899

Esempio k=3 r=1 (parte 4)Regola 102111112101110002200011000, Passo 900 -> 1199

Un altro esempio k=3 r=1 Regola 102121212200202100220210100, Passo 0 -> 299

Un esempio k=4, r=1Regola 1013231201202212131323130011202022131233113330112211032020300030

Un altro esempio k=4, r=1Regola 3322130201332211220233100001222133002230111121113310032120131113

I Glider (Alianti)

Un glider è una “struttura periodica” che è in grado di “muoversi”, con una certa “velocità”, nello spazio cellulare

Il nome glider (aliante) deriva, probabilmente, dal Gioco della Vita

Il moto dei glider all’interno dello spazio cellulare può dar luogo a collisioni tra i glider stessi o tra glider ed altre strutture stabili o periodiche

Un esempio di glider nel Gioco della Vita (parte 1)

Passo 0 Passo 1

Un esempio di glider nel Gioco della Vita (parte 2)

Passo 2 Passo 3

Un esempio di glider nel Gioco della Vita (parte 3)

Passo 4

Al passo 4 ritroviamo, “shiftata” verso Nord-Ovest, la stessa struttura del passo 0

Siamo, dunque, in presenza di un glider di periodo 4 (poiché si ripete dopo 4 passi)

La sua velocità verticale è:

vy=-1/4 (celle/passi di calcolo)

La sua velocità orizzontale è:

vx=-1/4 (celle/passi di calcolo)

y

xo

La velocità della luce negli AC

Come abbiamo visto, ogni glider è caratterizzato da un periodo e da una velocità

Mentre in AC arbitrariamente complessi si possono teoricamente costruire strutture di periodo arbitrariamente grandi, la velocità non può superare un valore massimo (la velocità della luce) dipendente dalla forma del vicinato

Nel Gioco della Vita, poiché il vicinato di una cella è costituito dalle 8 celle adiacenti la cella centrale (più la cella centrale stessa),

vx1 e vy1

Altri Glider di Life

Una collisione (parte 1)

Passo 0 Passo 8 Passo 9 Passo 10

Una collisione (parte 2)

Passo 11 Passo 12 Passo 13 Passo 23

Una collisione (parte 3)

Passo 26

Passo 27

Passo 28

Passo 29

Domini regolari

Nel Gioco della Vita i glider si muovono nello spazio cellulare su uno sfondo uniforme costituito da celle nello stato quiescente 0

In generale, comunque, esistono glider che si muovono su sfondi non uniformi ma “regolari” chiamati domini o domini regolari

I domini regolari possono essere individuati osservando la dinamica spazio temporale dell’AC

Il dominio regolare di ECA 54

ECA 54 è un AC complesso (classe IV di Wolfram)

Le strutture più complesse si muovono sull’unico sfondo (dominio) regolare, 54, di ECA 54

Dominio regolare di ECA 54

54 si ripete con periodicità e shift 2

54 = {0001* sulla riga i, 1110* sulla riga

i+1}

ii+1

Filtri

Una volta individuati, i domini regolari possono essere “cancellati” per osservare meglio la dinamica di “particelle” più complesse come i glider

Crutchfield & Hanson hanno costruito un particolare filtro per ECA 54 (Crutchfield & Hanson, “Computational Mechanics of CA. An Example”, 1995)

Questo avviene tramite apposite procedure, i filtri

ECA 54 “filtrato”

ECA 54 prima e dopo il filtraggio di Crutchfield & Hanson

ParticelleIl filtraggio del dominio regolare ha permesso di individuare quattro tipi di particelle (…glider), le particelle , , +e -

Le particelle possono essere anche interpretate come “muri”, cioè elementi di separazione, tra domini distinti o tra pezzi di uno stesso dominio

Interazioni tra le particelle (parte 1)

Il filtraggio del dominio consente lo studio delle interazioni tra le particelle , , +e -

-

-

+

+

-+

-

+

Interazioni tra le particelle (parte 2)

-

+

+ -

+ -

- +

+ -

La tabella delle interazioni

Gli effetti delle collisioni tra le particelle possono essere sintetizzate tramite una tabella

I cataloghi (Crutchfield 1995)

Un catalogo è una sorta di riassunto delle caratteristiche salienti di un Automa Cellulare

Esso contiene di solito:

•Informazioni sui domini regolari

•Informazioni sulle particelle

•Informazioni sulle interazioni tra le particelle

Il catalogo di ECA 54