Approche analytique pour l’optimisation de réseaux de ...

HAL Id: tel-00605216https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00605216

Submitted on 6 Jul 2011

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Approche analytique pour l’optimisation de réseaux deneurones artificiels

yohann Bénédic

To cite this version:yohann Bénédic. Approche analytique pour l’optimisation de réseaux de neurones artificiels. Sciencesde l’ingénieur [physics]. Université de Haute Alsace - Mulhouse, 2007. Français. tel-00605216

♥♥é ♠ér♦ ♦rr ❯

❯♥rsté ts❯ s ♥s t ♥qs

APPROCHE ANALYTIQUE

POUR L’OPTIMISATION DE RÉSEAUXDE NEURONES ARTIFICIELS

THÈSE

♣rés♥té ♣♦r ♦t♥t♦♥

♦t♦rt ❯♥rsté ts

s♣♥ é♥ ♥♦r♠tq

Yohann BÉNÉDIC

♦t♥ ♣q♠♥t é♠r ♥t r②

r♥s r♥ ♣r♦ssr ♥rsté ♦sPstr trs♦r ♦♥♥♥ rr ♥sttt r♥♦♠♥ rrs ♥t♦s♥ ré ♣r♦ssr ♥rsté ts ♦s P♥♦♥ ♣r♦ssr ♥rsté ♦r♦♥ ♦♥♥ Pt ♣r♦ssr ♥rsté r♥♦♠té s♥ç♦♥Ptr ❲r ♠îtr ♦♥ér♥s ♥rsté ts ♦s

ès ♣ré♣ré s♥ ♦rt♦r ♠♣s s♦s rt♦♥ ♥ ré♦ ♦t♦r ♥♥r ♠rt

Sommaire

♥tr♦t♦♥ é♥ér

s rés① ♥r♦♥s rts

r♦♥s rts t rés①

trs rés① ♥r♦♥s rts

s rés① ♥r♦♥s rs

♥ sr s rés① ♥r♦♥s rts

♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

s ♥r♦♥s rts ♥rs

r♦♥s ♥rs t ♦♥t♦♥s ♦qs

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠

♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r

②♥tès rés① ♥r♦♥s rts

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s

♦♠♠r

②♥tès é♦♠étrq ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s

❱rs ♥ ♥r♦♥♥♠♥t s②♥tès sssté ♣r ♦r♥tr

♦♥s♦♥ é♥ér

1Introduction générale

é♥r ♥ ♥s♠ ♦ér♥t ♦♥♥ss♥s rts à ♥ rt♥té♦r ts ♦ts ♦ ♣é♥♦♠è♥s ♦éss♥t à s ♦s t érés ♣r s ♠ét♦s ①♣ér♠♥ts t st ♠♦tr s♥

s sès è à t ♦t ♦♥t♥é r♣♦ssr ss ♣r♦♣rs ♠tsq ré♣♦♥s ét♥t s♦r t♦♦rs ♣s ♥♦s qst♦♥s ♦r sst sé ♥ ♥ ♠②r s♣♥s ♠té♠tqs ♠ ♦♦♣②sq ♠é♥q ♦♣tq str♦♥♦♠ é♦♥♦♠ s♦♦♦ s ♥ q ♥② ♣s ♥ s st q ♥ s♦t ♣s ♦t rrs

♦t♦s s t ② ♦r ♥ s♣♥ ♥tr srt ♣r♦♠♥t s ♠té♠tqs ♥♦♥ ♣r q st qé r♥ ♣r ♦♣ ♠s t♦ts♠♣♠♥t ♣r q srt ♦♥♠♥t à t♦ts s trs rs ♥♦♠r ♥♦s ♦♥♥ss♥s r♣♦s♥t ♦♥♠♥t♠♥t sr s ♠té♠tqs ♥s s♥s♦ù s♦♥t s q t♥t ♦q ♥ rs♦♥♥♠♥t stss ♥ ♠sr ♦ér♥ ♥ té♦r ♥s s ♥♦s ♥ sr♦♥s ♣s ♠ttr ♥ éqt♦♥ ♥é ♥ ♣r♥♣ ♥ ♠ê♠ ♦♥r♦♥tr s r♥rs ç♦♥ r♦rs à rétét

♦r ♥ ♥♦ è♥♠♥t s ♠té♠tqs s ♣rét♦♥s rtté é♥ér t ♠é♥q q♥tq ♣r♠ s ♣r♠èrs té♦rs ♣②sq ♠♦r♥ à ♦r été é♦rés à ♣rtr ①♣ér♥s ♣♥sé t q

é♥t♦♥ ♠♦t s♥ tré Ptt r♦ss

♥ tr♦♥t ♦♥ stt♦♥ q ♣r r ♦ér♥ ♠té♠tq ♦♥♦r♥t① ♦srt♦♥s ♥ ♣rés♦♥ ét♦♥♥♥t ♦♥s♥t à s ♣rés t♥♦♦qs ♠rs ❬❲♥r ❪ ré t♦t s rt♥s té♦rs s réè♥t trèsrtss trs t♥t ♥♦r sr ♥ ♦st q s♠ ♥r♥ss ♥srs tr① sr s éqt♦♥s ér♥ts t ❨♦r ♦♥t ♣♣é ♦s ❬ t ❨♦r ❪

tr♠ rtérs s ♣é♥♦♠è♥s étr♠♥sts ♦♥t s♥sté ① ♦♥t♦♥s♥ts s r♥ ♣rt♠♥t ♠♣réss à ♣s ♦ ♠♦♥s ♦♥ tr♠ ❬♦♦t ❪ ♥s ♥ ♥ ♥ ♣ ♣s ♠té♠tq ♦♥ ♣r ♣é♥♦♠è♥♦tq ♦rsq s éqt♦♥s q réss♥t ♦♥t t♥r ♦♠♣t ♥ ♥♦♠r ①♣♦♥♥t♠♥t r♦ss♥t ♥♦r♠t♦♥s ♣♦r ♦♥srr ♠ê♠ ♥ ♣rés♦♥♦rs ♣rét♦♥s à ♣s ♦♥ éé♥ r rtèr ét♦r ♣r♦r ♦♥trt♦r s ♦s étr♠♥sts ♦♥t s s♦♥t sss ♣r♦♥t s ♥♠s rt♦♥sq ♦♥t été ♥éés à t♦rt ♦rs étss♠♥t s éqt♦♥s s ér♥t

♥s ♥ ♦ ♥ ❬❲♦r♠ ❪ ❲♦r♠ ♦♥strt à ♣rtrs ♦♥♣ts s♦s♥ts à ♦s ♣r♥♣ éq♥ t♦r

réé ♥ ♣ é♥♦♥ q ♦♠♣①té ♥ér♥t à étss♠♥t ♥ résttst ♥r♥t q q s♦t ♠♦ ♠♣♦②é ♥ trs tr♠s ♣rét♦♥ rt♥s ♣é♥♦♠è♥s ♣②sqs ♥ésst ♥ ♦rt t♦r ♠♥♠ t à♠♦♥s ♥ ♥ér rt♥s s♣ts ♥ st ♠té♠tq ♥ ♦rt♠q♥ ♣r♠ttr êtr ♣s r♣ st éré ♣r♥♣ ♠♣qrt q s ♠té♠tqs ♠♦r♥s ss♥t ôté t♦t ♥ ♣♥ té♦rq s♥s q é♠r♥ ♦s st ♥ét ♥ s♦♠♠ éqt♦♥ ♦ttâ t♦♦rs été qq♦s s♦♠♥t étr♠♥♥t ♣♦r rés♦r ♥ ♣r♦è♠ t ♣ sèr q♥♦s ♥♠♣♦②♦♥s ♣têtr ♣s s ♦♥s ♦ts ♥ q ♦♥r♥ t♦t ♥ ♠♠ qst♦♥s ♦rts ♣②sq t ♥♦r♠tq

té sr♣r♥♥t q r ♠♥ ♠♥ s ① ♥♦r♠t♦♥s ♣r ♦♣♣♦st♦♥ ① ♣r♦r♠♥s ♠tés s trt♠♥ts ♥♦r♠tqs ♦rrs♣♦♥♥ts ♥ st ♥ strt♦♥ ♣rt ♥ t ♦♥ st ♣s ♦♥t♠♣s q r ♠♥ ♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦♥♠♥t♠♥t ér♥t ♥♦r♥tr ♥ rés♥t ♥ ♣rè ♥ ♥♦♠r str♦♥♦♠q ♣tts s ♣♥♥t q tr ①ét sss♠♥t s ♥strt♦♥s ♦r♠♥t ♥ ♦rt♠ ❯♥ér♥ q s trt é♠♥t ♥ r tâ ♣rét♦♥ r ♠♥ ① ♣♦r s trt♠♥ts ♠térs ②♥t ♥ ♥sté♥♦r♠t♦♥♥ éé ♦♠♠ s♦♥ ♦ ♥

s tâs ♣s ♣r♦érs ♦♠♠ rtq ♦ ♦♥♥♥♥t ♣♦rr ♣rt ♥ ♠① ① ♦r♥trs

st ♥ trt♦♥ r ♥s ♣r♥♣ ♦ ♦♠♣tt♦♥ q♥ ♥s ♠sr ♦ù♥ trt♦♥ ♦ ♥ s♠t été ♦r♠é

❲♦r♠ ①♣q ♦♠♠♥t ♥s r s ♠té♠tqs t♦♥♥sts q ♣é♥♦♠è♥♥tr st réstt tért♦♥ ♥ éé♠♥tr s♠♣ ♦♥t ♦♥♥t étr s ♣r♦♣rétés ♥ t♥t q♥tté s ♣♣r♦s trt♦♥♥s r♥t q♥t à s à rér s tért♦♥s♥ ♥ ①♣rss♦♥ ♦r♠ ♥q s♥t ♥s é♠rr ♦s ♦rsq tt t♥tt ♦ ♣

♥tr♦t♦♥ é♥ér ⑤ ♣tr

❲♥ st ♣r♥ à ♥ ♦srt♦♥ s♠r ♥s ss tr① sr é♦♣♣♠♥t ♠♥t t♦♥♦♠ ♥ r♦♦tq ❬♥ t ❲♥ ❪ é♥♦♠♠♥t ♠②

s tâs s ♠♥t tés ♣r r ♠♥ t ♥ s ♣♦r sqs ♥ ♦r♥tr sèr ♣s ♣♣r♦♣ré r♠rqé q s s♦t♦♥s s ♣ss ♣♦r trtr s ♣r♠èrs ♥t ♥ ♦♠♠♥ ♥ ♣s êtr âts t♦r ♠♦ès ♠té♠tqs ♣rtrs s ♣r♦è♠s à rés♦r t q r ♠♦ ♦♥t♦♥♥♠♥t ♠ttt ♥ ç♦♥ ♣s ♦ ♠♦♥s ♣r♦♥♦♥é ♥ rt♥ ♣rès♠ ❬♦♥ t ♦rtPt Pr é♣q èq❪ Pr♠ ss♦t♦♥s ♥ ♥♦ ♥r ♦♥ tr♦ s rés① ♥r♦♥s rts ♥♥tés ② ♣s ♥q♥t ♥s à ♣rtr s ♦♥♥ss♥s q ♦♥ t ♦rs r♠♥

♥ ❲ ♦ t ❲ Ptts ♦♥t ♣é ♥ ♣r♠r ♣♣r ♠♦♥tr♥t ♦♠♠♥t résr ♥ rttr ♥s♣ré r ♠♥ ♦♠♠♥té s♥tq ♦rs très ♥t♦sst ♣r♦♠s rré s ♣r♠rs ♦r♥trs ♥t♥ts ♣♦r s ♣r♦♥s tr♥t ♥♥és ❬ ♦ t Ptts ❪♦r ♥♦s s♦♠♠s ♦rés ♦♥sttr q tt ♣r♦♠ss st très ♦♥ ♦rété t♥ t q t s♣♦sr rttrs ♦♥t♦♥♥♥t à ♣♣rès ♦♠♠ r ♠♥ ♥st ♣s ss♥t ♣♦r ② ♣r♥r rst à s♦r♦♠♠♥t s ♣r♦r♠♠r ♦rrt♠♥t s ♦♠♠♥t r s s ♠té♠tqs♠♦r♥s ♥♦♥t t♠♥t ♣s ♥♦r été ♦t éqt

t ♥t t♦t ♦rrt♠♥t ♣♦st♦♥♥r ♣r♦è♠ ♥ ♦rr♥ ♥st♥♠♥t qst♦♥ é♥rr s qtés s ♥♦♠r① réstts ♦t♥s t♦rs rés① ♥r♦♥s rts st ♣tôt tr♦r ♦♠♠♥t ♠① ①♣♦tr é ♦rts t tât♦♥♥♠♥ts q été ♥éssr à r ♠s ♣♦♥t♥s q ♠é♦rr r ♠♥q ♠♥st s♦♣ss sàs r ♦♥t①t ♦♥t♦♥♥♠♥t ① s♣ts q à ♥♦tr s♥s rèt♥t ♥éqt♦♥ s ♦ts♠té♠tqs ♦♠♠♥é♠♥t tsés ♥s ♦♠♥ t q ♣♣♥t ♦♥ é♦♣♣♠♥t ♥♦①

♥s ♣rés♥t ♠é♠♦r ♥♦s ♦♥s é♦♣♣r ♥ ♦t ♠té♠tq ♦r♥q ♥♦s tsr♦♥s ♣r st ♣♦r r♣r♦r♠♠r s rés① ♥r♦♥s rts st rrs ♥tés ♣r ♥sttt r♥♦♠♥ rrs ♥t♦s t q ♥♦s ♦♥s ♣♦rss ♦rt♦r ♠♦ést♦♥ ♥t♥♣r♦sss t s②stè♠ ♥rsté ts ♦s ♥s r ♥♦t♦rt

♣♦♥t é♣rt ♥♦tr tr été é♥t♦♥ ♣r ♦♥♥♥ ♥ ♥♦♦♣ért♦♥ ♠té♠tq ♣tsé ♥s♦♠♠ ❬♦♥♥♥ t ❪ st ♥ ♣♦rt♦q à s ♥ ♥♦ ♥r q rtérstq ♠ttr ♥ ♥t s♣r♦♣rétés s②♠étr ♥tr♥sèqs ① trt♠♥ts q s♦♥t ①♣r♠és ♣r s♦♥ st q t ♥s ♠s ♥ ÷r ♥ rés ♥r♦♥s rts s rés♥t♦tr tr ♦rs ♦♥ssté à sqssr ♥ r té♦rq t♦r ♥s♦♠♠♣s ♥ étr t♦s s é♥és ♣♦sss ♥s r ♣r♦r♠♠t♦♥

rés① ♥r♦♥s rts rtèr ♣rtr tt ♦♣ért♦♥ ♥s q ♦♥t①t ①♣♦sé ♣r tt ♥tr♦t♦♥ ♥♦s ♥t à r♦r q tt ♣♣r♦ ♣♣♦rtr ♥♦s ré♣♦♥ss ♦♠♥ ♥♦r très ♦rt s rés① ♥r♦♥srts

♥s ♥ s♦ rté ♥ ♣tr ♦♠♣t été ♦♥sré à ♥ s ♥♦t♦♥s♦rés ♣r ♠é♠♦r s r♥rs ♦♥t été rr♦♣és ♥ tr♦s r♥s ♣rts

♥ ♣rés♥tt♦♥ s rés① ♥r♦♥s rts

♥②s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♥r♦♥ rt ♥r

♣r♦r♠♠t♦♥ ♣r s②♥tès ♥ ♥r♦♥ rt ♥r t ♥ rés♦♠♣t

♥s ♣r♠èr ♣rt ♥♦s ♣ssr♦♥s ♥ r s ♠♦ès rés① ♥r♦♥srts s ♣s ♣♦♣rs ttértr sr ♦s♦♥ ♠ttr ♥ ♥ts ♥♦♠r① ♣♦♥ts ♦♠♠♥s s ♠♦ès ♥ ♣rtr ♥s ç♦♥ ♦♥t sé♥ss♥t s ♥r♦♥s rts ♦s ♥♦s ♦rr♦♥s é♠♥t ② ér s① ♦r♥ts ♣♥sé q ♦♥t♥♥t ♠♦tr s ♣r♥♣s ♥♥♦t♦♥s ♥s ♦♠♥ t ♦♥t ♥ s ♦tss♠♥ts st ♥ss♥ s rés① ♥r♦♥srs st ♠♦è q st à ♦r♥ ♥♦tr té♠tq rrs ♥ét♥t ♣r♠r ♣r s s♥sté rt ♣r♦♦qé ♣r s♦♥ ♣r♦♣r ♦♥t♦♥♥♠♥tà ♥ésstr ♦♣t♠sr ç♦♥ ♦♥t ♥ trt♠♥t st ♠♣é♠♥té ❯♥ qst♦♥sr q s ♦ts ♠té♠tqs trt♦♥♥s ♦♥♥♥t très ♣ ré♣♦♥ss

♥s ①è♠ ♣rt ♥♦s ♦♠♠♥r♦♥s ♣r ♠♦♥trr ♦♠♠♥t ♣♣rt s♠♦ès s ♣trs ♣réé♥ts ♣♥t êtr ①♣r♠és à ♣rtr ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs stàr ♥r♦♥s rts ♦♣ér♥t ①s♠♥t sr s ♦♥♥és ♥rs ♣rtr ♥ ♥②s ♣♣r♦♦♥ rs ♣r♦♣rétés ♥♦s trr♦♥s♥ ♦t ♠té♠tq ♦r♥ ♣♣é ♠ é♥értr ss♦é à ♦♣ért♦♥♥s♦♠♠ q ♥♦s ♥tr♦r♦♥s é♠♥t ♥♦s ♠♦♥trr♦♥s q ♣srs sqtés ♦t ♠té♠tq t♦♥♥st q t t♥t ét ① rés① ♥r♦♥s rts ♦s tr♠♥r♦♥s tt ♣rt sr ♥ ♦rt♠ ♥②s ♥r♦♥s ♥rs ♦♥t réstt ①♣r♠ rt♠♥t r ♦♥t♦♥ à ♠s é♥értrs

①♣r♠és tt ç♦♥ s ♥r♦♥s ♥rs ♣♥t ♦rs êtr r♣r♦r♠♠és ♥②tq♠♥t ♣r s②♥tès r ♠ é♥értr ♥ ♠ét♦ ♦r♥ q r♦t tr♦sè♠ t r♥èr ♣rt ♠é♠♦r ♦s ② ♣rés♥tr♦♥s t♦t♦r s ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tqs ♦♥rr♥ts ♥ ♠①♠ttr ♥ r rs ér♥s ♥♦tr ♣♣r♦ ♣r ♠ é♥értr ♦srtr♦♥s ♥st s ét♣s q ♦♥t ♦ts à tt ♠ét♦ s②♥tès t s♥ssqs ♥①strt ♣s ♦s tr♠♥r♦♥s ♥♥ ♠ét♦ s②♥tès♥ ♠ê♠ t ♠♦♥trr♦♥s ♦♠♠♥t tsr ♣♦r ♣r♦r♠♠r ç♦♥ ♥tt♥ rés① ♥r♦♥s rts ♦♠♣t ♦♥t ♠♣é♠♥tt♦♥ ré♣♦♥ à rt♥srtèrs ①térrs ♦♠♠ ②♥♠q ♥♦♠r ♥r♦♥s ♦ ♥♦r ç♦♥ s ♠ttr ♥ rés

Première partie

Les réseauxde neurones artificiels

Sommaire de la partie

♥r♦♥ ♦ t Ptts

❯♥ ♣ ♦♦

s ♥r♦♥s ♦r♠s

é♥t♦♥

rè ♣♣r♥tss t

s ♠♥s

♣r♣tr♦♥

é♥t♦♥

♣r♣tr♦♥ ♠t♦

s ♠é♠♦rs ss♦ts

♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♠é♠♦r ss♦t ♥ ♣r♣tr♦♥♠♦♥♦♦

♠tt♦♥s ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦

s ssrs

♥ sr s ♠♦ès rés① ♥r♦♥s rts

rttr ♥ rés ♥r♦♥s rs

é♥t♦♥ ♥ ♥r♦♥ r

s ♥ rés ♥r♦♥s rs

tté ♥ rés ♥r♦♥s rs

♦ts ②♥♠qs ♥ ♥r♦♥ r

P♦♥ts éqr ♥ ♥r♦♥ r t ♥ ♥♥

Pr♠èr ♣rt ⑤ s rés① ♥r♦♥s rts

Pr♦r♠♠t♦♥ s ♥♥s

♠♦ ♥♦q

♠♦ st

♥t s ♠ét♦s ♥②tqs

2Neurones artificiels

et réseaux

é ♦♥♦r s rés① ♥r♦♥s rts t très r♠♥t ♥s♣ré s ♦♥♥ss♥s ♥r♦♦qs s ♥♥és ♥q♥t ♦t étt ♦rs r♣r♦r rt♠♥t s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♥t♥ts

♦srés ③ ♥♠♣♦rt q s♣è ♥♠ st ❲ ♦ t ❲ Pttsq ♦♥♥èr♥t ♥ss♥ ♣r♠r ♠♦è ♥r♦♥ rt ❬ ♦ tPtts ❪ ssst ♦rs ♥ ♣tt ré♦t♦♥ q t à ♦r♥ ♥♦♠r① tr① ♥ ♣rtr ① ❲r♦ ❬❲r♦ t ❲ ❪ t ♦s♥tt ❬♦s♥tt ❪

é♣♦q ② t ♥ rt♥ rté ♥tr s ① ♦♠♠s q♥t à q ♠ttrt ♣♦♥t ♠♦è ♣s ♣r♦r♠♥t ❲r♦ t ♦s sttqr ♣r♦è♠ ♣r ♦ ♠té♠tq t♥s q ♦s♥tt rt ♥t t♦t àr♣r♦r s ♦srt♦♥s ♦♦qs ♠① ♣♦ss st tt ç♦♥ q ♣r♠r ♦tt ♠♦è ♥ q r♥♦♥tr ♥ rt♥ sès râ rr♦r① ♥t♦r♥t s ♠s ♣♦♥t t q t s♦♥ ♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t s♦♥ ♦♥çt ♣r♣tr♦♥ ♠s s♦♥ ♠♥♠♥t sé sr s ♣♦stts ♦♦qsétt ♥ ♣ é♦♥rt♥t ♣♦r é♣♦q ♥ t ♣r♣tr♦♥ s ♦♥r♥t

râ à ♥ ♠é♥s♠ ♣♣r♥tss q ♦♥sttt ♥ ♥♥♦t♦♥ ♥♦t ♥ ♦♣ért♦♥ ♥étt ♣s ♣r♦r♠♠é ♦♠♠ ♥ st ♥strt♦♥s éé♠♥trs♠s à ①♠♣s tst♦♥ ér♥t ♠♥èr ss ♦♠♣èt q ♣♦ss ❬❲r♦ t r ❪ tt t♥q s♣♣ ♥ ♣♣r♥tss s♣rsé

ç♦♥ rt♠♥t sr♣r♥♥t s ♥r♦♥s rts r♥t étés ♥♠♥t ♣♥♥t qqs ♥♥és t r tst♦♥ s♥ ♥ rés ♥ été ♥séq ♣s tr st ♦rs q ♣r♣tr♦♥ ♣rt ♥t sr s♦♥ ♦♥rr♥t ré♦♠♣♥s♥t ♥s ♦♥t ♦♥t û r ♣r ss ♣rts♥s ♣♦r ♠♣♦sr ♥rttr ♦♥t ♦♥ ♥ st ♥♠♥t ♣s r♥ ♦s ♦♥t♦♥♥♠♥t

st♦r s ① ♠♦ès str ♣rt♠♥t ♦♣♣♦st♦♥ ♥tr ♦r♥t ♣♣t t ♦r♥t ♥r♦♠♠étq t q été sqssé ♥s ♥tr♦t♦♥é♥ér ♣r♠r ♦♥t à ♥ ♥ ♠♦è ♦♥t ♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥tst r♦rs♠♥t r♥t t♥s q ①è♠ ♠♥é ♣r♣tr♦♥ ♦♥t ♣r♦r♠♠t♦♥ st rts ♣s ét♦r ♠s ♦♥t s ♣rs♣ts é♦t♦♥ ss♦♥t rééés ♥ ♠rs ♦t ♣tr st ♣rés♥tr ç♦♥ ♥ ♣♣s ♣rés s ① ♠♦ès q ♦r ♥♦r s♦♥t à s ♣rtq♠♥tt♦ts s rrs ♦♠♥ s rés① ♥r♦♥s rts

❯♥ ♣ ♦♦

tt♥r ét ♥tè♠ sè ♣♦r q s ♠ss s rss s♦♥t r♦♥♥s ♦♠♠ ét♥t à ♦r♥ s ♣r♦sss trt♠♥t és♦♥ t ♦♥trô rtérstqs rè♥ ♥♠ st ♥ t st à ♣srs ♦srt♦♥s q ♥t♦♠st ② ♣ ♦♥r q s s ♣rtèrsét♥t ♣s é♥r s ♥♦r♠t♦♥s ♣r s ér♥ts strtrs♦♦qs ❬ó♣③ñ♦③ t ❪ ♦♥ tr t rs à ♦r♥ ♦tr♥ ♥r♦♥ ♦r à s s ♥r♦s♥s t q ① s ♣r♥♣ss♥ts s ♥r♦♥s s♦♥t s s ér♥és st♥ts q ♥r♦♥ ♥ ♦r♣s r ♦♠♣t ♥ ①♦♥ t é♥t♠♥t ♥ ♦

♣srs ♥rts ①♦♥ ♥ ♥r♦♥ st é à ♥ ♥rt ♥ tr ♥r♦♥ ♣r s ♥

s②♥♣s ♥tr ① ♥r♦♥s ♥♦r♠t♦♥ s é♣ ♣r ♥rs♦♥ ♣♦rst♦♥

♣r♦ ♥ ♣r♦ s ♥rts rs s ①♦♥s

♦rs ♥ ♦♥ér♥ ♦s♥tt ♣rés♥t s♦♥ ♣r♣tr♦♥ s♦s ♦r♠ ♥ r♥ ♦t ♥♦s s ér♥ts ♦♠♣♦s♥ts ét♥t réés ♣r s ♣♦t♥t♦♠ètrs ①♠ê♠s t♦♥♥és ♣r s♠♦trs ♦♠♠♥és ♣r ♠é♥s♠ ♣♣r♥tss ♥ ♣♦t ♦♥ ♥t♥r ♣r♣tr♦♥♣♣r♥r ♥ ♦♣ért♦♥

r♦♥s rts t rés① ⑤ ♣tr

dendrite

corps cellulaire

synapse

arborisation terminale

é♠ s♠♣é ♥♥r♦♥ ♦♦q

r sé♠ts r♦ssèr♠♥t ♥t♦♠ ♥ ♥r♦♥ ♦♦q

s éts ♣♣r♦♦♥s ♦♥t ♣r♠s ♥tr tr♦s ç♦♥s sqs ♥ ♥r♦♥a ♣t ♥♥r ♥ ♥r♦♥ b ♥ ♦♥t♦♥ t②♣ s②♥♣ss q s r♥t

①ttrs ①tt♦♥ a t ①tt♦♥ b

♥trs ①tt♦♥ a r♥ ♣s ①tt♦♥ b

♠♦trs ①tt♦♥ a ♣rtr ♠♥èr ♦ ♣té ①tt♦♥s ♥r♦♥s ♦s♥♥♥ts

♥ ♣♦♥t ♦♥t♦♥♥ q ♥r♦♥ rét ♥ ♦♥t♦♥ étt ①tt♦♥s ♥r♦♥s q s♦♥t ♦♥♥tés à ss ♥rts t s t②♣s s②♥♣ss ♠♣qés♥ ♦♥t♦♥ ♥t♥sté tt tté ♥r♦♥ ♣ss ♦ ♥♦♥ ♥s ♥ étt①tt♦♥ t tr♥s♠t à s♦♥ t♦r tt ♥♦r♠t♦♥ ① ♥r♦♥s s♥ts ♣r♥tr♠ér s♦♥ ①♦♥

♥ q ♦♠♣♦rt♠♥t ①t ♥ s♦t ♣s ♥♦r ♦♠♣èt♠♥t ♦♠♣rs s ♥r♦s♥s s♦r♥t à r q ①tt♦♥ ♥ ♥r♦♥ st r♦ssèr♠♥t é♥éès q q♥tté ♥♦r♠t♦♥s ♣♣♦rté ♣r ss ♥rts é♣ss ♥ s rtq st tt ssrt♦♥ qst ♥é ♦♥♣t ♥r♦♥ ♦r♠

① ♣r♥♣s ét♣s s é♥t ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♥r♦♥ ♦♦q ♦rr ♥ ♦♥t♦♥ rét♦♥ A rtérs ♥r♦♥♥♠♥t ♠♦♥t ♥r♦♥ ♣♣é

étt ♥ ts♥t s ♥♦r♠t♦♥s rçs ♣r ss ♥rts ♥ ♣r♦sss és♦♥ Φ é♠♥t ♣♣é ♦♥t♦♥ tt♦♥ ♣r♦♦q

♣ss à étt ①té ♥r♦♥ t ♦♥ s tr♥s♠ss♦♥ à s♦♥ ♥r♦♥♥♠♥t

trrs ♦♠♣♦rt♠♥t q ♥r♦♥ ♦♦q ♣t ♦♥ êtr ♠♦ésé♠té♠tq♠♥t ♦♠♠ ♦♠♣♦st♦♥ s ♦♥t♦♥s A t Φ Φ A ♣r♠èr

é♠ ♥ ♥r♦♥ ♦r♠

entrees

sortie

poids synaptique

fonction d’agregation

fonction d’activation

♥ t♦♥ ♣r♠étrq sr n rs ♥tré e1 e2 en ♦♥t s rss②♠♦s♥t tté rs♣t t♥t ♥rts réstt x tt ♦♥t♦♥st ♣ssé à s♦♥ q é t① tté q ♦t êtr ♥♦②é sr ①♦♥ ♥r♦♥

♥s ♦♥t①t ♦♥t♦♥ ♦♠♣♦sé Φ A st ♣♣é ♥r♦♥ ♦r♠ ♦ ♥♦r♥r♦♥ rt tr♠ q ♥♦s ♦♥s éà ♠♣♦②é

é♥t♦♥ ♥r♦♥ ♦r♠ st ♦♠♣♦st♦♥ ① ♦♥t♦♥s A t Φ é♥s sr ① èrs q♦♥qs 1 t 2

A:n1 −→ 2,

Φ:2 −→ 1.

♦♥t♦♥ A étt ♥r♦♥ ♦r♠ à ♣rtr ss n ♥trés ♦♥t s♥♥s rs♣ts s♦♥t ♠♦és ♣r n ♣r♠ètrs ♣♣és ♣♦s s②♥♣tqs ♥ réér♥ ① s②♥♣ss ♦♥t s s②♠♦s♥t rô

♥r♦♥ ♦r♠ ♦ t Ptts t♦t ♣r♠r ♥r♦♥ ♦r♠ été ♠♥é à ♣rtr ♦♥sért♦♥s ♥r♦♣②s♦♦qs t ♥t♦♠qs ♣r❲ ♦ t ❲ Ptts ♥ ❬ ♦ t Ptts ❪ ♥ q trèss♠♣st r ♥r♦♥ ♦r♠ rst ♥♦r ♦r à s ♥♦♠r① tr①♦♥t ① ①♣♦sés ♥s ♠♥srt ♥s r ♠♦è q ♥♦s ♥♦♠♠r♦♥s ♣r st ♥r♦♥ ♠♣ A st ♥ s♦♠♠ ♣♦♥éré ♣r♥♥t ♥ ss r♠♥ts♥s 1 = 0 ; 1 t r ♥s 2 = s n ♣♦s s②♥♣tqs tr w =(w1 w2 . . . wn

)⊤ s♦♥t t♦t s♠♣♠♥t s ♦♥ts ♣♦♥ért♦♥ ♣♣qés

① ♥trés ♥♦s rr♦♥s q st rs s ♥s ♠♦rté s trs♠♦ès Pr é♥t♦♥ Φ st ♦q♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♥s 0 ; 1 q t 1s t s♠♥t s r ♦♥t♦♥ rét♦♥ é♣ss ♥ r s ①é♣r ♥ r♥r ♣r♠ètr w0

♥s s♥ té à ♥ ♣♦s s②♥♣tq ♣r♠t ♠♦ésr s s②♥♣ss ①ttrs s ♣♦st t s s②♥♣ss ♥trs s ♥ét Pr ②♣♦tès s♣♦s s②♥♣tqs ①ttrs s♦♥t t♦s é① à we t♥s q s ♥trs s♦♥té① à wi s s②♥♣ss ♠♦trs ♥ s♦♥t ♣s ♠♦ésés

♦♥t♦♥ Φ A ♥r♦♥ ♦r♠ ♠♣ st ♦♥

Φ A: 0 ; 1n −→ 0 ; 1

e =(e1 e2 · · · en

)⊤ 7−→ H (w0 + (w1e1 + w2e2 + · · · + wnen))

= H (w0 + w⊤e) .

♦♥t♦♥ H tsé ♥s tt é♥t♦♥ st ♦♥t♦♥ é♦♥ ♦r r

s ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ss♦és à t②♣ ♥r♦♥s s♦♥t ♠♣rqs t♦♥sst♥t ♣♦r ♣♣rt à ♦sr s ♦♥ts ♣♦♥ért♦♥ st à ♥ ♥②s♥ ♣r♦è♠ à rés♦r st ①t♠♥t sr ♣r♥♣ qst sé ♣♣r♦q sr é♦♣♣é ♥s s ♣rts t

s trs ♥r♦♥s ♦r♠s ♣s ♦♣ trs ♠♦ès ♥r♦♥s♦r♠s ♦♥t t r ♣♣rt♦♥ ♠♦tt♦♥ rrèr r ♥♥t♦♥ ♥étt rs♣s t♦♦rs ♠① ♦r à rété ♦♦q ♠s ♣tôt s r♥r ♠♦♥sst① à ♣r♦r♠♠r s trs ♠♦ès ♦♥t ♥tr♠♥t ♣♣ à s ♦♥t♦♥stt♦♥ t♦ rét♦♥ ér♥ts s tsés ♣♦r ♥r♦♥ ♠♣

♥ tr♦ ♥♦t♠♠♥t s ♦♥t♦♥s tt♦♥ s♥ts ♦♥t s ♣r♦s s♦♥t ♦♥♥és♥s r ♦♥t♦♥ s♠♦ï S(x) = (1 + e−x)−1 ♦♥t♦♥ t♥♥t ②♣r♦q tanh(x) = (ex − e−x)/(ex + e−x) ♦♥t♦♥ ss♥♥ G(x) = e−x2

♦♥trr♠♥t à ♦♥t♦♥ é♦♥ s ♦♥t ♥t êtr ♥♥♠♥t érs q st ♥ ♣r♦♣rété ♠té♠tq ♥♦♥ ♥é ♥ ♥②s t q ①♣q♦♥ q s ♦♥t♦♥s s♦♥t s♦♥t ♣réérés à ♦♥t♦♥ é♦♥ ôté s ♦♥t♦♥s rét♦♥ s ♣s ♦♥♥s s♦♥t s ♥r♦♥ ♦r♠ à s r ♦♥tétt x st ♥ ♠sr st♥ ♥tr tr ♥tré e =

(e1 e2 . . . en

t ♥ tr réér♥ é♥ ♣r s ♣♦s s②♥♣tqs w =(w1 w2 . . . wn

♥s q ♥r♦♥ s♠♣ q ♦♠♠ s♦♥ ♥♦♠ ♥q ts ♥ s♦♠♠♣♦♥éré Σ ♣r♦ts Π ss ♥trés

♦r♠♠♥t ♥r♦♥ à s r st é♥ ç♦♥ s♥t

Φ A:n −→

e 7−→ G(‖e − w‖

st ♥ ②♣♦tès ♣r♠♥t s♠♣tr q ♣r♠t r♠♥r ♥♦♠r ♣r♠ètrs àtr♦s w0 we t wi

s ♣r♥♣s ♦♥t♦♥stt♦♥ tsés ♣r

♦♥t♦♥ s

♦♥t♦♥ s♠♦ï

tanh(x)

♦♥t♦♥ t♥♥t ②♣r♦q

♦♥t♦♥ ss♥♥

tst♦♥ ♦♥t♦♥ tt♦♥ ss♥♥ st ♣rt♥♥t ♥ q ♣r♠tà s♦rt êtr t♥t ♣s ♣r♦ ♥té q e st ♣r♦ w

♥r♦♥ ♦r♠ s♠♣ ♥♠♣♦s ♣s ♦♥t♦♥ tt♦♥ ♣rtèr Pr♦♥tr ♥ésst é♥r s n ♣r♦ts ♥trés q s♦♥t ss♦és ① n ♣♦ss②♥♣tqs q ♠♥t t♥t s rés rtés q♥t à ♣r♦r♠♠t♦♥ t②♣ ♥r♦♥s ♦♥t♦♥ rét♦♥ st ♦♥ é♥ à ♣rtr n♥s♠s ♥s Ji ré♥ss♥t s ♥trés ♦♥t ♣r♦t st ♣♦♥éré ♣r wi

Φ A:n −→

e1, e2, . . . , en 7−→ Φ (Σni=1(wiΠj∈Ji

ej)) .

♣t ♥r ♥r♦♥ ♥ st ♥é ♥s ♥ ♦rt♦r t♥♦r ♥

à ♣rtr ♥r♦♥ ♠♣ ❬❲r♦ t ♦ r ❪ été ♦♥ç ♣r ❲r♦t ♦ ♦t êtr s♠♣ à ♣r♦r♠♠r t ♦♥ à ①♣♦tr ♥s ♥♦♥t①t ♥str tt ♥ s ♦♥t ss♦♣ ♠♦è ♥r♦♥ ♠♣ t ♦♥tsrt♦t ♦♥t ♥ ♠ét♦ ♣r♦r♠♠t♦♥ ① ♣r♦r♠♥s ♣r♦és

♥ s♦rtr ♥ s ①♠♣s ♣♣t♦♥ s ♣s ♠♣rss♦♥♥♥ts à ♦r ♣♦t ♥ ♠rrrèr ♥ ♠♦♥r♠♦rq téé♦♠♠♥é ❬②♥ t ❲r♦ ❪ ♣s ♥♠♣♦rt q ♣♦st♦♥ sqà ♥ ♦ ér♠♥t

é♥t♦♥

❯♥ ♥ s rtérs ♣r ♥ ♦♥t♦♥ rét♦♥ q ♦♥trr♠♥t ♥r♦♥ ♠♣ st ♣r♠étré ♣r s ♣♦s s②♥♣tqs ♥é♣♥♥ts t q r♦r à♥ ♥tré ①r e0 ♦qé à 1 ♣♦r ♥r ♣r♦è♠ ré s à étr♠♥t♦♥ s ♣♦s s②♥♣tqs ♦♥t♦♥ tt♦♥ st st♦rq♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♦♥ ♥r♦♥ ♦r♠ sért

Φ A: 0 ; 1n+1 −→ 0 ; 1

e0 = 1, e =(e1 e2 . . . en

)⊤ 7−→ H (w0e0 + w1e1 + · · · + wnen)

= H (w0 + w⊤e) .

tr s ♠é♥♠♥ts ss ♦♥♣trs ♦♥t ss ♠s ♣♦♥t ♥ t♥q♣♣é rè t q ♣r♠t ♦t♥r s n + 1 ♣♦s s②♥♣tqs à ♣rtr①♠♣s tâ q ♥ ♦t résr ♣r♥♣ st str ♣tt à♣tt s ♣♦s s②♥♣tqs s♦rt q rrr qrtq ♦sré ♥tr s s♦rtstt♥s s s ①♠♣s t s ré♠♥t ♦t♥s s♦t ♠♥é ❬❲r♦t ♦ r ❪ s ♣r♥♣s rtérstqs ♥ ♥ s♦♥t strés ♣r r

rè ♣♣r♥tss t

♥ q ♥ s♦t ♣s ♦t ♠♥srt ♥♦s ♦♥s étr tt rè ♥ r rss♦rtr ♦q ♥②tq q ♥ st à ♦r♥ s ①♠♣s ♦♣ért♦♥ à ♣r♦r♠♠r s♦♥t ♦r♥s s♦s ♦r♠ m ♦♣s

(j) s(j))|mj=1 ♦ù s(j)

♦rrs♣♦♥ à s♦rt tt♥ ♥ ♦rsq♦♥ ♦♥♥ s ♦♠♣♦s♥ts e

(j) ♥ ♥trés ♠é♥s♠ ♣♣r♥tss ♦t étr♠♥r ♣♦s s②♥♣tq①r w0 t s ♣♦s s②♥♣tqs ♦♠♣♦s♥t w s♦rt q rrr E s♥ts♦t ss ♣tt q ♣♦ss

E(j) =

(s(j) − w0 − w

r♥t à ♠♥♠sr rrr qrtq E(j) ♥ sr q ①♠♣tt ♦♣ért♦♥ st résé ♥ st♥t q ♣♦s s②♥♣tq ♥s s♥s ♥qé♣r s♥ éré ♣rt E(j) tt éré sért ç♦♥ tr ♣rr♣♣♦rt ♣♦s s②♥♣tq wi

∂E(j)

∂wi= −2e(j)

(s(j) − w0 − w

♠s à ♦r ♣♦s wi st à tst♦♥ j ①♠♣ ♦t ♦♥ êtr ♣r♦♣♦rt♦♥ à −∂E(j)

∂wi q sért ♣s ssq♠♥t

∆wi = ηe(j)

(s(j) − w0 − w

♦♠♣rs♦♥ ♦♥t♦♥♥♥tr ♥t ♣r♣tr♦♥

entrees de

connexion directe

connexion auxiliaire

l’exemple

sortieattendue

erreur

rè ♣♣r♥tss ♥st sé sr ♥ rrr

connexion directe

entrees del’exemple

sortieattendue

♠é♥s♠ ♣♣r♥tss ♣r♣tr♦♥ st ♥é♣♥♥t rrr

♦ù η st ♥ ♦♥st♥t ♣♣é t① ♣♣r♥tss

❯♥ ♦♣ ①♠♣ ♣rès tr t♦s s ♣♦s s♦♥t ♠♦és s♦♥ rè tsqà q t♦ts s é♥rs E(j) s♦♥t ♥és ♥ t ♦rs q ♥ ♣♣rs à r tt ♦♣ért♦♥

s ♠♥s

râ à rè ♣♣r♥tss t éqt♦♥ ♥ ♥ s♠ ♣♦♦r♣♣r♥r ♥♠♣♦rt q ♦♣ért♦♥ st ♠rs♠♥t ♦♥ êtr s t t ♦r r♦rs à ♣srs ♥tr① ♣♦r ② ♣r♥r s ♦r♠♥t ♦rs ♥rés ♥r♦♥s rts ♦r r ♣♣é ♥s s ♦ù st ♦r♠é♥s ♠♥ ♣♦r ♠♥② ♥s

ès ♦rs s ♣♦s ♣r♦è♠ tst♦♥ rè t ♣♦r résr ♣♣r♥tss s ♥s ♦♥stt♥t rés ♥ t s ①♠♣s ♦♣ért♦♥ à♣♣r♥r ♥ s♦♥t s♣♦♥s qà é rés t ♥♦♥ à s ♥r♦♥sPr ♦♥séq♥t s r♥rs ♥t ♦ ♥ s♦rt rés à ♣rtr réstts♥tr♠érs ♦ ♥ ♥ étt ♥tr♠ér à ♣rtr s ♥trés rés ♦ ♣r♥♦r ♥ réstt ♥tr♠ér à ♣rtr trs réstts ♥tr♠érs r t♦s♦♥t s♦♥ ♥ ①♠♣s ♦♥t ♦♥ ♥♦r ♠♦♥s ♥ ♣rt ♣♣r♥tss♥ t rés ♥r♦♥s rts ♠ê♠ rr q rè t st♥s ♠té♠tq♠♥t très ♦♠♣qé

♥ ♣rtq ♥ ♠♥ st ♦♥ ♦♥strt sr ① ♦s à ♥str rés r é♠♥♥t tt ç♦♥ s ♥r♦♥s rts ♦♥t ①♠♣s st t♦t♠♥t ♥♦♥♥ ① rès é♥s ç♦♥ ♠♣rq s♦♥t♦rs ♣r♥♣♠♥t tsés ♣♦r ♣♣r♥tss

rè ♠r ♦♥sèr q s ♥s s♦rt ♥♦♥t ♣s s♦♥ êtr ♠♦és t ts♥t ♦♥ ♦rt♠ ♣♣r♥tss t ♣♦r q ♥r♦♥rt ♦ ♥tré ❬❲r♦ t ♦ r ❪

rè ♠r t ♥ ♣♣r♥tss sr t♦s s ♥s rés ♣♦rqs ♦♥tr♥t à rrr ♦sré ♥ s♦rt q st étr♠♥é ♥ ér♥t

connexion directe

entrees

sortie

2nde couche

1ere couche

s ♥ rés ♥r♦♥ss♦♥ ♣srs ♦s①

s ♥ ♥♠♥t s♥ r s♦rt ♠é♦r s♦rt rés ❬❲r♦t ❪

st ♥térss♥t ♦♥sttr q r s ♦♥♠♥t st s♠r ♠ttr ♥÷r ♥ ♣r♦sss ♣♣r♥tss ré ♦♥t t① sès st à q♥tr r♦rs♠♥t ♠èr s ♦ts ♠té♠tqs ts t②♣rttr st ♦♥ ♥ s♦rt ♦ît ♥♦r ♦♥t ♦♥ ♥ st ♥♠♥t ♣s r♥♦s ♦♥t♦♥♥♠♥t st rs♦♥ ♣♦r q ♠♦è ♠♥ st rt♠♥t éssé ♣r♦t ♣r♣tr♦♥ ♠t♦ s♦♥ éq♥t à s ♣r♣tr♦♥s

♣r♣tr♦♥

♥r♦♥ ♦r♠ été é♦♣♣é ♥ ♣rè ♥ ♣r ♦s♥ttq ♥ ♣s t♦rsr ♣s rté ♥s ♦① ss ♣♦s s②♥♣tqs ♥r ♥r♦♥ ♠♣ rè ♣♣r♥tss ♣♦sté ♣r à♣rtr ♦srt♦♥s ♥r♦♣s②♦♦qs ❬ ❪ tt rè ♣r♦♣♦s t♦r♥♦r♠♥t s ♦♥♥①♦♥s s ♣s tsés ♦♠♠ ♠é♥s♠ ♣♣r♥tsst ♠é♠♦rst♦♥ s♥ q s sr ♥ ①♠♣s ♦♥♥é ♥ ♥tré♣rtèr ♥ ♥r♦♥ rt st s♦♥t t ♥ ♠ê♠ t♠♣s q s♦rt r♥r ♦rs ♣♦s s②♥♣tq ♦rrs♣♦♥♥t ♦t ♦r ♥ r ♣s ééq s trs

❯♥ ♦♣ért♦♥ q ♦♥ st ♣♦♦r êtr ♠♣é♠♥té ♣r ♥ ♠♥ ♣♦rrt t♠♥têtr ♥ ♣♣q♥t ♥ s ① rès

é♥t♦♥

♣r♣tr♦♥ st ♥ ♥r♦♥ ♦r♠ ♣rt♠♥t ♥tq à ♥ ♥ ♣rtr ♥ q ♦♥r♥ ♣♦s s②♥♣tq w0 q st é♠♥t ♥téré à ♦♥t♦♥rét♦♥ ❬♦s♥tt ❪

Φ A: 0 ; 1n+1 −→ 0 ; 1

e0 = 1, e =(e1 e2 . . . en

)⊤ 7−→ H (w0 + w

⊤e) .

♥ é♥t s ér♥ ♥tr s ① ♠♦ès st r rè ♣♣r♥tss♦♥t s ♦r♥s s♦♥t ♦♥♠♥t♠♥t ér♥ts s ♣r♣tr♦♥ s♦♥t ♣r♠♥t ♠♣rqs t ♥♠♣q♥t ♦♥ ♣s ♣r♦sss ♠♥♠st♦♥ ééréé♥♠♦♥s été ét s♦s rt♥s ②♣♦tèss q tt rè ♣♣r♥tss♦♥st ♠ré t♦t à s ♣♦s s②♥♣tqs rés♥t ♦♣ért♦♥ ért ♣r ①♠♣s tsé ❬rt③ t ❪

rè sért ♣♦r ♣r♣tr♦♥ t ♥ ts♥t ♠ê♠ ♦r♠s♠ q rè t ♥ ❬♦s♥tt ❪

∆wi = ηs(j)e(j)

❯♥ ①♠♥ s♣r tt rè ♠♦♥tr q r ♣♦s s②♥♣tq wi stt♠♥t ♠♥té s t s♠♥t s ♥tré e(j)

i t s♦rt s(j) s♦♥t tés♥ ♠ê♠ t♠♣s ♥s ①♠♣ j r ♣ rés♠ s ♣r♥♣srtérstqs ♣r♣tr♦♥

♣r♣tr♦♥ ♠t♦

♥t♦ss♠é ♣r résst ♥ rè ♣♣r♥tss rt♠♥t ♥s♣ré s♠é♥s♠s ♦srés sr ♣♥♥t ♦♦q ♥r♦♥ ♦r♠ ♦s♥tt♣r♦♣♦s q♥ ♣r♣tr♦♥ ♣♦t rés♦r ♥♠♣♦rt q ♣r♦è♠ sst♦♥ ♥ ♥ t♠♣s ♣♣r♥tss ♥ ❬♦s♥tt ❪ rs♠♥t ♣rèsqqs rrs ♥s② t P♣rt ♣r♦èr♥t q tt ssrt♦♥ étttr♠♥t ss q ♣♦r t tr ♥ srét sr ♣r♣tr♦♥ q r♠s ♣rsq ① ♥s à s ss♣r ❬♥s② t P♣rt ❪ ♥ t ♣r♣tr♦♥ srtt t♦t s♠♣♠♥t ① ♠ê♠s ♠tt♦♥s q s♦♥ ♦♥rr♥t ♥ ♠tt♦♥q ♥t ♥♠♥t r♥ à ♦r s ♣r♦r♠♥s r rè ♣♣r♥tssrs♣t ♠s q étt ♦r♥ ♣r♠♥t rttr

♦♠♠ ♣♦r ♥ ♣r été ♠ttr ♣srs ♣r♣tr♦♥s ♥ rés♦r♠♥t ♥s ♣r♣tr♦♥ ♠t♦ ♦t♦s tt ♦♣ért♦♥ t ♥ ♣s ♣sq rè ♣♣r♥tss s é♥érs à ♥ rés ♥tr s♥s♣♦sr té ♣rtèr q sss réstts ♥tr♠érs ♦ ♥♦♥ r q ♣♦s s②♥♣tq rés st ♠♥té à q ♦s q ♥tré

entrees de l’exemple

sortie

attendue

erreur1

♣♣r♥tss ♥♣r♣tr♦♥ ♠t♦♣r rétr♦♣r♦♣t♦♥ r♥t

t s♦rt ♦rrs♣♦♥♥t s♦♥t tés ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♥ ♥t♥ té tt rè q s♦t ♣♣qé à ♥ ♣r♣tr♦♥ s♦é ♦ à ♥ rés ♦♠♣t♥♥ st ♣s é♠♦♥tré ♣♦r t♥t

ç♦♥ rts ♥ ♣ rtr ♣r♣tr♦♥ t ♥ str♥t ♥s ♥♣té s ♦ts ♠té♠tqs ts à trtr ♦♥♥♠♥t s s②stè♠st♦♥♥sts ♥ t s é♦♣♣♠♥ts ♥ ♥ q sés sr s♦ts ♠té♠tqs ♦♥t très r♣♠♥t été ♠tés ♣r ♦♠♣①té ♥t ♣rr ♠s ♥ rés ♦♥trr ♣r♣tr♦♥ été ♦♥é sr s rès ♦sréssr s ♥r♦♥s ♦♦qs ♦♥t s ♣r♦r♠♥s ♥ s♦♥t ♣s à ♣r♦r t ♥ ♠① s♣♣♦rté ♠s ♥ rés ♦♥ ♠♥q ♦r♠s♠ ♠té♠tqéqt trt ♦rs ôté ♣♣r♠♠♥t ét♦r q ♥ ♣♣r♥tss sr♣r♣tr♦♥ ♠t♦ résst

♥térêt s ♥r♦♥s rts s♥s ♣♦ssté êtr ♠s ♥ rés st st ❬♥s② t P♣rt ❪ st rs♦♥ ♣♦r q r ért ss♦rt ♥♥t qà ♥ s ♥♥és qtr♥t ♦rs ♠s ♣♦♥t ♥ ♦rt♠ ♣♣r♥tss s♣é♠♥t ♣♥sé à é ♥ rés rétr♦♣r♦♣t♦♥ r♥t ❬❲r♦s ♥ t ♠rt Prr ♥ ❪ tt t♥q étr♠♥ ♥ ♣rtr ç♦♥ ♦♥t rrr ♦sré ♥ s♦rt ♦t êtr ♣r♦♣é ♥s s ♦s ♥tr♥s ♥ q rè t♣ss ② êtr ♣♣qé ♦r r

♦r rétr♦♣r♦♣t♦♥ r♥t st ♥ ♥ ♦rt♠ ♣♣r♥tss ♥♦♥t♦r♥ t♥t s ♣♣t♦♥s ①qs ♦♥♥é s♦♥t ♥♦♠rss ❬②♥ r②s t ❪ ♥ q t été ♠é♦ré ♣stt t♥q rst ♥é♥♠♦♥s sé sr s ♦ts ♠té♠tqs ssqs ♣r♦♥séq♥t ♦♥r♥ rs s♦t♦♥ ♦♣t♠ q ♥r♦♥ st r♥t q ♥st ♥ r♥ ♣s s rés ♥s s♦♥ ♥s♠ r♥r ♣t ♥♠s tt♥r ♦♥rt♦♥ q rés♦ ♣r♦è♠ ♣♣rs ♦ ♦rs ♥ tt♥r♥ ♠s ♥ ♣♦♥t s rss♦rs tsés ♣r ①♠♣

①♠♣ s♥t ♠♦♥tr réstt ♥ ♣♣r♥tss ♣r rétr♦♣♦♣t♦♥ r

♥t ♦s rr♦♥s q s ♣♦s s②♥♣tqs ♦t♥s ss ♣r♦r♠♠♥t ♦♥♥tâ s♦♥t ♦♥ êtr s ♠rs

①♠♣ ♣♣r♥tss ♥ ♦♥t♦♥ ♦q s♠♣♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q L ♥q rs ♦♦é♥♥s é♥ ♣r s 25 ♣rs♥tréss♦rt s♦♥ t érté ①♣rss♦♥ érq L st

L ≡ e3(e5 + e1 + e4) + e5(e2 + e4).

♥② ♥tr♠♥t ♣s s♦♥ ♦♥♥îtr tt ①♣rss♦♥ ♣♦r résr ♣♣r♥tss ç♦♥ rrtrr ♥♦s ♦sss♦♥s ♠♣é♠♥tr ①♠♣s à ♥♣r♣tr♦♥ ♠t♦ t r stàr ♦♠♣♦sé ① ♣r♣tr♦♥s ♥ ♠♥t♥t ♥ tr♦sè♠ ②♥♠q ♦ s ♣♦s s②♥♣tqsst ①é ç♦♥ é♠♥t rtrr à ts t rs r ♥t st ♦sét♦r♠♥t ♥s −5,000 t 5,000 ♣♦r s tr♦s ♥r♦♥s rts

♥r♦♥

w1,0 = 2,919w1,1 = −0,435w1,2 = −4,815w1,3 = 3,214

w1,4 = −0,553w1,5 = 1,154

♥r♦♥

w2,0 = 4,169w2,1 = 4,218w2,2 = 2,382

w2,3 = −3,237w2,4 = −0,943w2,5 = 4,355

♥r♦♥

w3,0 = 2,621w3,1 = −0,140w3,2 = 3,913

s tr♦s ♣r♣tr♦♥s s♦♥t ♠♥s ♥ ♦♥t♦♥ s♠♦ï ♣♦r ♦♥t♦♥ tt♦♥♥ s r♥r ♦♠♣ts ♦rt♠ rétr♦♣r♦♣t♦♥ r♥t r♥r ♦♥r ♣rès ♥r♦♥ ♣rés♥tt♦♥s ①♠♣s t s ♣♦ss②♥♣tqs ♦t♥s s♦♥t

♥r♦♥

w1,0 = −10,37w1,1 = −2,661w1,2 = −1,328w1,3 = 7,861w1,4 = 3,393

w1,5 = −0,533

♥r♦♥

w2,0 = −7,549w2,1 = 1,812w2,2 = 3,622

w2,3 = −8,281w2,4 = −6,294w2,5 = 5,816

♥r♦♥

w3,0 = −3,522w3,1 = 6,734w3,2 = 4,374

é♦t♦♥ t érté résé ♣♣r♥tss rés st ♦♥♥é♥s r ② r♣rés♥t♥t rs♣t♠♥t ♥ ♥ t ♥ ♥♦r s rs vrai tfaux Ls t♥qs ♥②s t ♣r♦r♠♠t♦♥ ♣rés♥tés ♥s ♠♥srt ♣r♠ttr♦♥t ♦t♥r s ♣♦s s②♥♣tqs s♥ts s s♦♥t ♦és sr s♠♥t ts t♦♥t ♥♦s ♠♦♥trr♦♥s q s rs s s♦♥t ♠① stés

♥r♦♥

w1,0 = −3,5w1,1 = −1,0w1,2 = 2.0w1,3 = 2,0

w1,4 = −2,0w1,5 = 5,0

♥r♦♥

w2,0 = −3,5w2,1 = −2,0w2,2 = −1,0w2,3 = 5,0w2,4 = 2,0w2,5 = 1,0

♥r♦♥

w3,0 = −0,5w3,1 = 1,0w3,2 = 1,0

apprentissage

fonction de depart fonction apprise

vecteurs

d’entreer

♣♣r♥tss ♣rrétr♦♣r♦♣t♦♥ r♥t♥ t érté ♥♣♦r r vrai t ♥♦r♣♦r r faux

3Autres réseaux

de neurones artificiels

♥ s♣♣②♥t sr ♦♠♣é♠♥trté s ① ♦r♥ts ♣♥sé q ♥s♦♥t à ♦r♥ s ♣r♥♣s s s rés① ♥r♦♥s rts ♦♥trè♠♥t été ①♣♦sés ♥s ♣tr ♣réé♥t ♥ ôté s rés① ♥

r♦♠♠étqs ♥s♣rés ♦♦ t ♦♥t s é♦♣♣♠♥ts s réè♥t êtr à♦r♥ ♥♦♠rss ♥♥♦t♦♥s tr s rés① ♥r♦♥s rts à♦t♦♥ ♣♣t ♦♥t s ♣rts♥s r♥t à r s ♠♦ès ♣r s ♠té♠tqs t q ♦♥tr♥t à ♠é♦rr ♠îtrs s ♠♦ès ♠♥és ♣r s♣r♠rs

♥ s♥t ♥ sé♠ s♠r ♣tr ♣rés♥t ① ♦ts ♥♦r♠tqs ♦♥tss♦r st s♥s ♥ ♦t à ♠ttr rét s rés① ♥r♦♥s rts s♠é♠♦rs ss♦ts t s ssrs Pr s ♥♦s s♦♥r♦♥s ♥s r♠rq ♣♦②♥ ♦♥t ♦♥t ♣r s rttrs ♥r♦♥s ♥ t ♠♣ts r♠♥♠♥ts rttr① ♥éssrs à ♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♦ tr s ♦ts s ♠t ♣s s♦♥t à r ♦♥♥tté ♥ ♠♦t♦♥ ♦♥t♦♥♥ ♠r ♥ q ♥ ♦rs ♣♦rt♥t ♣rtq♠♥t ♣s s ♠♦ès tt ♠♥èr ♣♣rt s é♦♣♣♠♥ts ♥♦r♠tqs étés ♣♦r ♥ ♠♦è ♣rtr rés ♥r♦♥s rts ♣♥t s♣♣qr é♠♥t ①trs ♠♦ès st t♦t ♣rtèr♠♥t s ♠ét♦ ♣r♦r♠♠t♦♥♥②tq ♣r♦♣♦sé ♥s ♠♥srt

rst♦t ♣r♦♣♦s q ♠é♥s♠ ♠é♠♦rst♦♥ ♠♥ t ♦♥sstr ♥étss♠♥t ♥s ♥tr ♣srs s♥st♦♥s ♦s♥s ❬stt ❪ ♦r r rî♠♥t ♦♣é rt t♦♥s à ③♦♥ t ♠ ♥ ♣♦srs ♣r ①♠♣ tt ♦♥s♦♥ s s sr t q ♣r♣t♦♥ ♥ s s s♥st♦♥s r♣♣ ♠♠ét♠♥t t♦ts s trs ♥ ♠é♠♦r ♥ ♣r♦sssq ♥ésstrt ♦♣ s s s ét♥t st♦és ♥é♣♥♠♠♥t s♥s s trs é ♠é♠♦r ss♦t étt ♥é

t♠♥t ♠tér ♥♦r♠tq ♠é♠♦rs ♥ ♥♦r♠t♦♥ ♥ ér♥t ♥s♥ ss ♦s ♠é♠♦r ♥tés ♣r s rsss ♥qs râ ①qs ♥♦r♠t♦♥ ♣♦rr êtr r♣♣é ♥s s ♥ ♠é♠♦r ss♦t ♣r♦éé stt♦t♠♥t ér♥t ♥ t s ♥♦r♠t♦♥s ♥② s♦♥t ♣s st♦és ♥♠♥t♠s ♣r ♣rs s ♥s sr♥t rsss ♣♦r r♣♣r s trs ♥ ♣rtq ♦♥♣t ♦♥ ♠♥r r ♥ ♥♦r♠t♦♥ ♦♠♣èt à ♣rtr ♥ rs♦♥ ♣rt tt r♥èr ♦♥ ♣r ♦rs ♠é♠♦r t♦ss♦t ♦ rss ♣r s♦♥♦♥t♥ ♦ à ♣rtr ♥ ♥♦r♠t♦♥ ♥tr ♦♠♣èt♠♥t ér♥t ♥s s st ♥ ♠é♠♦r étér♦ss♦t ♥♦tr q ♥ ①st ♥ tr♦sè♠t②♣ ♣♦r q s ① ♥♦r♠t♦♥s ♦♥t ♥ rô éq♥t s ♠é♠♦rsss♦ts rt♦♥♥s

♥ ♣rtq s ♠é♠♦rs ss♦ts s♦♥t tsés ♣♦r r♦♥♥ss♥ ♦r♠srtèrs ss r♦t s rés① ♥♦r♠tqs ①♣♦rt♦♥ ss ♦♥♥és trt♦♥

♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♠é♠♦r ss♦t ♥ ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦

♥str ♥ ♠é♠♦r ss♦t ♥ ♣r♣tr♦♥ rés ♥ ss♦t♦♥ ♥trs ♥trés t s s♦rts rs♣ts ①♠♣s tsé ♣♦r s♦♥ ♣♣r♥tss ❬♥rs♦♥ t ♦s♥ ❪ é♥♠♦♥s ♦♠♠ ♥ s♣♦s q ♥s s♦rt ♥r s t②♣s ♥♦r♠t♦♥s ♠é♠♦rss ♣r s s♦♥t ♥ ♦♥séq♥s très ♠tés st ♣♦rq♦ ♦♥ ts é♥ér♠♥t ♣srs ♣r♣tr♦♥s♥é♣♥♥ts ♦♥t ♥ s♦♣ ♥ t ♥♦r♠t♦♥ à rtr♦r ♦♥ ♣r♦rs ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦ é♠♦rsr ♥ ♦♥♥é s ért sr ns ts rqrt♥s ns ♣r♣tr♦♥s ♥ ① ts s ne ♥trés trrs sqs ♦♥♥é e sr♥t rss st ♦é ♦r r

P♦r st♦ ♣r(e s

e1 . . . ene

)⊤(s1 . . . sns

)⊤) rè

♣r♠t tr♦r s ♣♦s s②♥♣tqs éqts P♦r ns ♣r♣tr♦♥s

st rè q ♥s♣ré rè ♣♣r♥tss s ♣r♣tr♦♥s ♦r éqt♦♥ ♣ ♦♥t st s ♣rtr η = 1

trs rés① ♥r♦♥s rts ⑤ ♣tr

connexion directe

connexion auxiliaire entrees

entrees

sorties

①♠♣ ♠é♠♦rss♦t résé à ♣rtr♥ ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦

sért s♦s ♦r♠ ♠tr ç♦♥ s♥t

W = se⊤

s1e1 · · · s1ene

snse1 · · · snsene

éé♠♥t wij = siej st ♣♦s s②♥♣tq i ♣r♣tr♦♥ rt à s j ♥tré tt ç♦♥ s ♥tré e st ♣rés♥té ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦ é♥ ♣r W t♦♥t s ♦♥t♦♥s tt♦♥ s♦♥t s ♦♥t♦♥s é♦♥ ♦rs s♦rt st ♥ s

Φ (We) = Φ(

s ‖e‖2)

tr♠♥t st ♣♦ss ♠é♠♦rsr ♣srs ♣rs(e

(k)s(k))|mk=1 s♥

♥ ♠ê♠ rés st ♣♦r r ♠♦②♥♥ s ♣♦s s②♥♣tqs♦t♥s ♥♠♥t ♣r ♣♣t♦♥ rt♦♥ à ♥ s m♣rs ❬♥rs♦♥ t ♦s♥ ❪

W(k) =

e(k)⊤.

♠tt♦♥s ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦

♠é♠♦r ss♦t ♣rés♥té ♥s s♦sst♦♥ ♣réé♥t st ①trê♠♠♥ts♠♣st t ♦♥t♦♥♥ rt♠♥t rr♠♥t ♥ ♣rtq ♥ t s st ♥é♥♠♥t ♣♦r st♦r ♥ ss♦t♦♥ ♦♥♥és s é♥érst♦♥ à m ♣rs♠♣q ♥♦♠rss ♦♥tr♥ts t♦t♠♥t s♥ts ♦r♠t♦♥ s ♦♥♥és ♣rsts s♦♥t ♦ré♠♥t ss♦és ① ♥trés ♥ r♥t ♣s ♥s

①♠♣s ♣♣rs

st rs♦♥♥ ♣♥sr q rt♥s ♣rs ♣ss♥t êtr ♥♦♠♣ts ♥trs ♠é♠♦rst♦♥ ♥ ♣r♦♦q♥t ♦ ♥ tr t ré♣r♦q♠♥t

② rs♠♠♥t ♥ ♠t ♥♦♠r ss♦t♦♥s q rés ♣t♠é♠♦rsr

t♥t ♠tt♦♥s ♣♦t♥ts é♥ts ♠s ♣♦r sqs ♠♦è ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦ ât sr s♠♣s ♦srt♦♥s ♦♦qs ♥♣♣♦rt q très♣ ♣rés♦♥s

♥ ①♣r♠r s ♦♥tr♥ts ♠① ♣♦ss ♥ ♥②s ♠té♠tq ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦ st ♦♥ ♥éssr Pr ①♠♣ rè ♣♣r♥tss sèr q ss s ♦♥♥és rss ♠t♠♥t ♦rt♦♦♥s ♦♥t ♥ ♥ ♦♥t♦♥♥r ❬♥rs♦♥ t ♦s♥ ❪ ♥ t s t st s ♦rs s♦rt ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦ ♣♦r ♥tré e

(k0) s①♣r♠

e(k)⊤

(k0)⊤e

(k0) +

k=1k 6=k0

e(k)⊤

︸︷︷︸

s(k0)∥∥e

(k0)∥∥2)

♦ù st ♦♥sttr q s♦rt ss♦é st ♦rs ♥ rtr♦é

trrs tt rè ♥②s ♥ ♦♥t♦♥ sr ♥tr s ss♦t♦♥s ♣♦♥t êtr ♣♣rss sès ♣ êtr ét ♥ q s♦t ♣r♦r très rstrt ♥st ♣♦r♥t ♣s ss♥t ♣♦r r♥tr q ♣♣r♥tss ♦♥t♦♥♥rq s♦rt st ♥ t ♦t♥ à ♣rtr ♥ ♥q ♣r♣tr♦♥ ♦r ♣tr ♣réé♥t à ♥qé q étt ♣♦t♥t♠♥t ♥ss♥t ♣♦r rt♥s ① ①♠♣s

❯♥ ♦s ♥♦r ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦ ① rès ♥s♣rés ♦♦ s♦r ♥♣té s ♦ts ♠té♠tqs ts à érr ♦rrt♠♥t s♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦♣ tr① s ♦♥♥tr♥t ♦♥ ♣tôt sr s rttrstr♥ts ♦♥t s ♠♦ès s♦♥t ♣s s à r♥r s ♣rr♣s s♥ts ♥♣rés♥t♥t s♦♠♠r♠♥t ① ♥tr①

rés ♥r♦♥s rts ♦♣ ♥s ♦♠♥ s ♠é♠♦rs t♦ss♦ts ♥ s ♠♦ès s ♣s étés st ♠s ♣♦♥t ♣r ♦♣ ♥ ❬r②s t ❪ st ♥ rés ♥r♦♥s tért sé sr ♥r ss♦t♦r ❬ ♥ t ♠rt ❪ ♥s ♥r♦♥s rts rés rç♦t ♥s ♥ ♣s s ♣r♦♣r s♦rt s♦rt t♦s s trs ♦r r q r♥ ♠♦è ②♥♠q s ♣♦s s②♥♣tqs ré♥t ♥♥ s♦rt ♥ ♥r♦♥ i sr ♥ ♥r♦♥ j ♣♥t ♣r♥r

sorties

connexion rebouclee

w12 = w21

w13 = w31

w23 = w32

és ♦♣♦♠♣♦sé tr♦s ♥r♦♥srts

♥♠♣♦rt q r ♣♦r q stsss ① ① ♦♥t♦♥s s♥ts

wi,j = wj,i t wi,i = 0.

s ♥r♦♥s tsés s♦♥t s ♣r♣tr♦♥s −1 ;+1n ♥s −1 ;+1 ♠♥s ♥♦♥t♦♥ tt♦♥ é♦♥ t r s♦rt st ♠s à ♦r ç♦♥ s②♥r♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦♥t ♣♦r ♣r♥♣ ♦t r♥tr ♦♥r♥ rés ♥r♦♥s ♥ ♥ t♠♣s ♥ ❬♥♥♥ ❪ rs♠♥t s s♦rt s stst♠♥t q q s♦t ç♦♥ ♦♥t rés t été ♥tsé ♥st ♣s♦ré♠♥t tt♥

♥ ♣♦♥t ♦♥t♦♥♥ ♣♣r♥tss étt ssré à ♦r♥ ♣r ♥ rès♠r à ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦ ♦r éqt♦♥ à ér♥ ♣rèsq e

(k) = s(k)|mk=1 ♣sq st ♥ ♠♦è ♠é♠♦r t♦ss♦t

e(k)⊤ −

e21(k) 0 · · · 0

00 · · · 0 en2

rés① ♦♣ ét♥t ♥ rttr ②♥♠q t ♣♣r♥tss ♣♦r♦♥séq♥ ♣♦st♦♥♥r s ♦♥♥és à ♠é♠♦rsr ♥s s ♠♥♠ ♦① ♦♠♠ rés st st st ♦♥ ♦ré♠♥t ♥tsé ♥s ss♥ ttrt♦♥ ♥s tt ç♦♥ s ♦♥♥és ♠é♠♦rsés ♣♥t êtr rtr♦és à ♣rtr rs♦♥s ♣rts ♦ érés

rs♠♥t ♣r① à ♣②r st ♠é♠♦rst♦♥ ♦♥♥és ♣rsts ♥♦t♠♠♥t rs♦♥ ♦♠♣é♠♥té q ♥♦r♠t♦♥ ♠é♠♦rsé ♣s ♦♥t♦♥ ♦rt♦♦♥té ét ♣s tôt ♦♥t♥ s♣♣qr q st s♥s ♦♥tst ♣r♥♣ ♣r♦è♠ tt rè ♣♣r♥tss

♦r ♥ rs♦♥ s②♥r♦♥ été é♦♣♣é ♠s ♥ ♠♦♥tr ♣s r♥ ér♥ rs♦♥ s②♥r♦♥ ♦r♥ s♥♦♥ q s stté st ♣s ét à étr

①♠♣ é♠♦rst♦♥ ♠tts ♣r ♥ rés ♦♣s qtr ♠tts r ♦♥t ♥♦s ♦♥s ♣ré♠♥t éré ♦rt♦♦♥té s♦♥t ♠é♠♦rsés ♣r ♥ rés ♥r♦♥s rts ♦♣

♥r♦♥s q ♥r♦♥ r ♥ ♣① s ♠tts ♥♦r ♣♦r r −1 t ♥ ♣♦r +1 Pr ♣♣t♦♥ éqt♦♥ s ♣♦s s②♥♣tqss♥ts s♦♥t ♦t♥s

0 0 2 0 0 0 2 4 −2 0 0 −20 0 2 −4 0 0 −2 0 −2 0 0 22 2 0 −2 −2 2 0 2 0 −2 −2 00 −4 −2 0 0 0 2 0 2 0 0 −20 0 −2 0 0 −4 −2 0 −2 0 0 −20 0 2 0 −4 0 2 0 2 0 0 22 −2 0 2 −2 2 0 2 0 2 2 04 0 2 0 0 0 2 0 −2 0 0 −2−2 −2 0 2 −2 2 0 −2 0 −2 −2 00 0 −2 0 0 0 2 0 −2 0 4 20 0 −2 0 0 0 2 0 −2 4 0 2−2 2 0 −2 −2 2 0 −2 0 2 2 0

ttr ①♠♣ tst♦♥ r ♠♦♥tr ♦♠♠♥t rés ♥tsé ♠tt r ♦r r ♥s q s rs ♦♥t été♥rsés rtr♦ ♠tt ♦rrt st ♥térss♥t ♦♥sttr q ♥ rt st éà ss♥t ♣♦r r♥r ♥tt♦♥ s ♠tt ♦r♥ ♠ét♦ ♣r♦r♠♠t♦♥ é♦♣♣é ♥s s ♣rts s♥ts ♠♥srt♦t♥t ♣♦r t ①♠♣ s ♣♦s s②♥♣tqs ♥tqs à W tr 1

2 ♣rès rr ♣♥♥t q s ♦♥♥és à ♠é♠♦rsr s♦♠♦♥t ♠♦♥s ♥ rè♣♣r♥tss tsé t ♦♥♥♥t ♥ ♣♦s s②♥♣tqs très ♠s ♥q ♠ré t♦t ♦♥t♦♥♥Pr ①♠♣ s tr♦s ♠tts r s ♣♦s s②♥♣tqs ♦t♥s♣r ♣♣t♦♥ rè s♦♥t

0 −1 −1 −1 −1−1 0 3 3 −1−1 3 0 3 −1−1 3 3 0 −1−1 −1 −1 −1 0

Pr q s rs s♦♥t ♠ stés ♦♥t♦♥ rét♦♥ st ♠♥é à ♣r♥r♥ r ♥ ♣♦r ♦♣ trs ♥tré stàr q st ♣♦st♦♥♥é①t♠♥t sr r s sr♠♥♥t s ♦ù s♦rt ♦t ♦r +1 ♦ù ♦t ♦r −1 ♠ét♦ ♣rés♥té ♣r ♠♥srt ♣r♠t q♥t à étr ♣r♦è♠ t♦t♥ rés♥t ②♥♠q ♦

W′ =

0 −1 −1 −1 −1−1 0 2 2 −1−1 2 0 2 −1−1 2 2 0 −1−1 −1 −1 −1 0

r r ttr t ttr

s qtr ♠tts ① à① ♦rt♦♦♥s tsés♣♦r ♣♣r♥tss

♠tt rté à t = 0

tt à t = 3τ tt à t = 15τ ♠tt ♦t♥ à t = 30τ

♦♥♥ss♥ ♥♠tt ♠é♠♦rsé à ♣rtr♥ rs♦♥ rtéτ és♥ ré ♥ ♣s

s rés① ♥r♦♥s rts ♦tqs ❯♥ s ♦♥tr♥ts ♠rs♣rté ♣r t♦ts s ♠é♠♦rs ss♦ts ♦♥t ♠♣é♠♥tt♦♥ st sé sr♥ ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦ ♦ ♠t♦ st r ♣té st♦ tt ♠tt♦♥ st à tst♦♥ rès ♣♣r♥tss érés rè t q ♠♣♦s♥t ① ♦♥♥és êtr ♠♦♥s ♥ér♠♥t ♥é♣♥♥ts ♣♦r♣♦♦r êtr ♠é♠♦rsés ❬ ♥ t ♠rt ❪ ♣♥♥t ♥t ♥♠♥t r q♥ tr t②♣ ♥r♦♥ ♦r♠ ♥ ♣t r ♠①

♥ ♦♥♥♥t ♥ss♥ ♥r♦♥ ♦tq s♦♥t ♥♦r s ♦srt♦♥s ♦♦qs q ♦♥t ♣r♠s ♠t♣r ♣r ♥q ♣té st♦ s rés① ♥r♦♥s rts ❬♦tr t ♦②♥t③ t ♦r♥♦ rt ts♠♦t♦ ❪ ♣r♥♣ rtérstq ♠♦è st q q♥r♦♥ rt ♦♥sr ♠é♠♦r ♥ rt♥ ♥♦♠r ss étts ♣ssés ♦rs ss étts trs ❬r t ❪ ♥ ♦♠♣rs♦♥ s rés① ♥r♦♥s rts ♦♣ ♠é♠♦rs♥t ♥q♠♥t étt ♠♠ét♠♥t ♣réé♥t q ♥st ♣s ss♥t ♣♦r r ♣♣rîtr ♦s r ♣rés♥tr♦ssèr♠♥t ♠♦è ♥r♦♥ ♦tq ♦♥t ♦♥t♦♥ rét♦♥ st

A(e, kT ) = w0 +

wiei +

wcdΦ A(e, (k − d)T ).

♥♦♠r ss♦t♦♥s q st ♣♦ss ♥rstrr ♥s ♥ rés ♦♣ ♦♥stté n

♥r♦♥s st ♥r♦♥ é à 0,15n ❬♦st t t qs ❪

r♦s ♠tts ♦♥t ♠é♠♦rst♦♥ ♣r rè éqt♦♥ ♦♥♥ s♣♦s s②♥♣tqs très ♣r♦sts

é♠ ♦♥t♦♥♥♥ ♥r♦♥ ♦r♠

♦tq q ♣♦ss②♥♣tq ♦

♥tr♦t ♥ rtr

sortie

wcconnexion rebouclee

connexion directe

entrees

tr s ♥♦tt♦♥s éà tsés ♥s ♣tr ♣réé♥t tt ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥tr♦t s ♣♦s s②♥♣tqs wc

d q ♣♦♥èr♥t rs♣t♠♥t s♦rtqt ♥r♦♥ ♦tq d ♥tés t♠♣s ♣s tôt

tr s ♠rs ♣tés st♦ és s rés① ♥r♦♥s rts ♣r♠tt♥t é♠♥t r♦♥♥îtr s ♦♠♥s♦♥s ♥érs ♦♥♥és♥rstrés ♥s s r ré♣♦♥s s ♣ér♦q♠♥t ♥ ♦♥♥é rtr♦é à tr ♣tôt q s stsr sr ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér s① ♦♠♠ ♦♥t s ♣r♣tr♦♥s ♠♦♥♦♦s ♥ s s♥t sr ♣r♥♣ rt♥s rrs s♥térss♥t à ♥ ♥♦ t②♣ ♠é♠♦r ss♦t ♣ss♦r ♣srs ♦♥♥és à ♥ s ♦♥♥é rss ♦ ♣♣r♥r ♥ ♥♦♣r ①♠♣s s tt r♥èr st tr♦♣ é♦♥é s ♦♥♥és ♠é♠♦rsés ❬r ts♥ ❪

s ssrs

é♦t♦♥ ♣r♦rss s ♦♥♥ss♥s rts r ♦♦q ♣r♦éq r♥r étt sé ♥ ré♦♥s s♣ésés t ♥étt ♣r ♦♥séq♥t ♣s♠♠♥s rés ♥r♦♥s ♠♦♥♦♦ ♣♦②♥t q ♦♥ s r♣rés♥tt ♦♦♥trs ❬♥rs♦♥ t ♦s♥ ❪ r s ♠é♥s♠s ♣♣r♥tss tséssq♦rs ♠♣q♥t s ♠ss à ♦r ♦s s ♦♥♥①♦♥s ♥ ♣r♦sss t♦t♠♥t ♥♦♠♣t ♠♥t♥ ♦st♦♥ s trt♠♥ts P♦r ①♣qr t ♦♥ ♠♥r s ♣r♦éés ♣♣r♥tss ♥ ♥♦♥r stàr ♣r♠tt♥t à ♥ ♣rt ♥ rés ♣♣r♥r ♥q♠♥t s①♠♣s q ♦♥r♥♥t

tt t♥q été ♥♦♠♠é ♣♣r♥tss ♦♠♣étt ♥s ♠sr ♦ù sss ♥r♦♥s rts s♦rts ♥qrs ♥ ♦♠♣étt♦♥ r♦♥t rs ♣♦ss②♥♣tqs ♠s à ♦r ♣r ♣rés♥tt♦♥ ♥ ①♠♣ râ à tt ♥é srés① ♥r♦♥s rts ♣♥t ♠♥t♥♥t ♣rés♥tr s ♠ê♠s ♣r♦♣rétés ♦st♦♥ q rs ♣♥♥ts ♦♦qs Pr ①♠♣ sss♥t ♥ ♣r♦è♠ sst♦♥ ♥ ♥s♠ ♥r♦♥s rts ♣t sêtr s♣ésé ♥s

attenduesortie

poids synaptiques vainqueurs

autres poids synaptiques

erreur

entrees de l’exemple

1 2 3 4 5 6

r♥♥ ❱t♦r ♥t③t♦♥

attenduesortie

poids synaptiques vainqueurs

autres poids synaptiques

erreur

voisinageentrees de l’exemple

1 2 3 4 5 6

rt t♦♦r♥str

♦♠♣rs♦♥ ♠é♥s♠♣♣r♥tss r♥♥

❱t♦r ♥t③t♦♥ t srts t♦♦r♥strs

r♦♥♥ss♥ ♥ ss ♣rtèr ss♥t à trs ♥r♦♥s r ♥r♦♥♥îtr ♥ tr t

r♥♥ ❱t♦r ♥t③t♦♥ ♦♦♥♥ ♣r♦♣♦sé rè ♣♣r♥tsssé sr ♦♠♣étt♦♥ s♥t s ♥r♦♥ rt ♦♥t s ♣♦s s②♥♣tqsrss♠♥t ♣s à ♥tré ①♠♣ à ♣♣r♥r st ♠s à ♦r ❬♦♦♥♥❪ tt rss♠♥ st ♠sré ♠♦②♥ st♥ ♥♥ ♥tr s♣♦s s②♥♣tqs q ♥r♦♥ j t tr ♥tré e ①♠♣ ♣rés♥té

(wij − ei)2.

♥r♦♥ q ♠♥♠s tt st♥ ♦t ss ♣♦s s②♥♣tqs ♠s à ♦r s♦♥ qs s♦rt ♦rrs♣♦♥ à tt♥ ♣♦r ①♠♣ ∆wij > 0 ♦ ♥♦♥ ∆wij < 0

∆wij = ±η(ei − wij).

r str rttr s rés① ♥r♦♥s à ♣♣r♥tss ♦♠♣étt

s rts t♦♦r♥strs ♦♦♥♥ rè r♥♥ t♦r q♥

t③t♦♥ st ♥ rè ♣♣r♥tss s♣rsé stàr q ♥ésst s①♠♣s sst♦♥ à ♣♣r♥r é♥♠♦♥s st ♣rt♠♥t ♥s ssr ♥ rés ♥r♦♥s rt t②♣ résr s ♣r♦♣r sst♦♥P♥t ♦rs ♣♣rîtr s ér♥s ♣rt♥♥ts q ♥r♥t ♣s ♦ré♠♥t été♥ss à sst♦♥ q ♥♦s r♦♥s ♣ ♠♣♦sr

P♦r réssr tt ♦♣ért♦♥ st ♥s♣♥s q réstt ♥ s♦t ♣s tr♦♣é♣♥♥t ♥tst♦♥ s ♣♦s s②♥♣tqs t q rés s♦t ♦♥ ♣ s r♠♦r ♥ ♦rs ♣♣r♥tss st ♣♦rq♦ ♦♦♥♥ ♦té ♥♥♦t♦♥ t♦♣♦♦ ① rés① ♥r♦♥s rts s é♥♦♠♠♥t ♠♥t♥♥t rts tt ♥♦t♦♥ ♣r♠t é♥r ♥ ♦s♥ à q ♥r♦♥ résstàr q ♣♦st♦♥ rt s ♥r♦♥s st ♥ ♥ rtérstq♠♣♦rt♥t rés ♦r r

rè ♣♣r♥tss ♣t ♠♥t♥♥t êtr ♠♦é ♥ ♠♥r s é♣♥♥ à ♥tst♦♥ ♥r♦♥ ♦♥t s ♣♦s s♦♥t s ♣s ♣r♦s tr♥tré st t♦♦rs q st ♠s à ♦r s♦♥ rè éqt♦♥ ♠s s♦♥t ss ç♦♥ ♠♦♥r s ♥r♦♥s s♦♥ ♣r♦ ♦s♥

♥ sr s ♠♦ès rés① ♥r♦♥s rt

trrs ♣tr ♣♣rît q s ♥r♦♥s ♦r♠s ♥tr♦ts ♥s ♣tr s♦♥t très r♠♥t à s s rttrs q s ♠♦♥tr♥t ♦rs ♣s ♣r♦r♠♥ts tr♠♥t t s ♣r♥♣s ♥és ♥s ♦♠♥ srés① ♥r♦♥s rts ♦♥t srt♦t ♦♥r♥é r ♦♥♥tté t s t♥qs ♣r♦r♠♠t♦♥ ♣s q s ♥r♦♥s ①♠ê♠s

st ♥térss♥t ♦♥sttr q ♣♣rt s rés① ♥r♦♥s ♦rés ♥s s① r♥rs ♣trs ♠s à ♣rt ♣r♣tr♦♥ ♠t♦ ♥ts♥t q♥ s♦ ♥r♦♥s rts ♣♦r r r s♦rt t ② ♦r ♦♥séq♥ ♥éqt♦♥ s ♦ts ♠té♠tqs ts ♦♥t ♥♦s ♦♥s éà ♣ré P♦r♦r s ♣r♦r ♥ ré s♦♥ ♥♦① ♦ts r tt♥r rré♥ ♥♦ ♥r♦♥ ♦r♠ ① ♣r♦♣rétés très ér♥ts ♥s ♠ét♦ ♣r♦r♠♠t♦♥ q ♦♥t ♦ts ♥♦s tr① t q ♥♦s ♦♥s éà tsé♣r ① ♦s sq ♥rt ♣s ♣ ♦r ♦r st s rés① ♥r♦♥srs ❬ t ❨♥ ❪ q ♦♥t ♦t ♣tr s♥t

4Les réseaux

de neurones cellulaires

ès r ♦r♥ s rés① ♥r♦♥s rts ♥t ♦t♦♥ à êtr ♠s♥ ÷r ♠tér♠♥t ♥ té♠♦♥ r♥ ♦t ♥ ♦s q ♣rés♥t ♦s♥tt ♦r ♣ rs♠♥t ♦♠♣①té s ①

♦♥♥①♦♥s ♠♣qés ♣r s ♠♦ès r♥ tt ♥tért♦♥ ét ♥♦s ♣tés r♦t s♦♥t ♥♦r tr♦♣ ♠tés ♣♦r résr s érts ♥êtr♠♥ts♥éssrs à rést♦♥ ♥ rés ♦♥stté ♥ r♥ ♥♦♠r ♥r♦♥srts s à ♣rt qqs t♥tts ♠♣é♠♥tt♦♥ ♦r♦♥♥és sès srés① ♥r♦♥s s♦♥t ♦♥ ♥t t♦t ♦r ♥ rttr é♠é

ré t♦t râ à ♠♥tt♦♥ ♦♥st♥t ♣ss♥ s ♦r♥trs s rés① ♥r♦♥s rts s♦♥t ♥ tr♥ r♥r ♥ ♥♦ ét♣ r é♦♣♣♠♥t r♠♥t s♥ s②stè♠s ♠rqés ❬s♥t ♦♦s r♥❪ ♥ t s t♥♦♦s t②♣ s t ♣s ♣rtèr♠♥t s ♣s s♦♥t ♥s t♠♥t ♣r♦r♠♥ts qs s♦♥t ♠♥t♥♥t♣s é♠r ♥ ♦♥ ♠r ♥r♦♥s ♦r♠s ♦♠♣èt♠♥t ♥tr♦♥♥tés st ♥ ♥♦♠r ss♥t ♣♦r ② ♠rqr ♣♣rt s rés① ♥r♦♥srts é♦♣♣és ♠s r ♣♥♥t ♣ssr à ♦rr r♥r s♣érr♥ q ♦♥r♥ s rést♦♥s s ♣s ♦r♠♥s

♥ q tt ♦ s♦t ♣s ♣r♦♠tts à ♦rt tr♠ st ♥ ♥t♥ ♣réér ♣♦r ♦♥ tr♠ sstrr ♦♠♣èt♠♥t é♠t♦♥ P♦r ♦r rés♦r ♦ ♠♦♥s ♦♥t♦r♥r ♣r♦è♠ r♦t s ♦♥♥①♦♥s

ès t ❨♥ ♥ s♥s♣r♥t tr① sr s t♦♠tsrs ❬Pr t ❲♦r♠ ❪ sérèr♥t q ♥étt ♣têtr ♣s♥s♣♥s ♦r ♥ rés ♥r♦♥s rts ♦♠♣èt♠♥t ♥tr♦♥♥té♣♦r résr ♥ tâs rtrr♠♥t ♦♠♣qé s ♠r♥t ♥s ♣♦♥t srés① ♥r♦♥s rs ♥♥s ♣♦r ♥s r ♥r ♥t♦rs à ♣rtr♥ ♥♦ ♠♦è ♥r♦♥ ♦r♠ ♣tsé ♥r♦♥ r t ♦♥t ♥ s♣rtrtés st ♦r ♥ ♥♦♠r ♠té ♦♥♥①♦♥s ❬ t ❨♥ ❪râ à tt ♣r♦♣rété ♥tr trs s ♥♥s s♦♥t à ♦r ♥ s ss ♠♦èsq t ♣ t♠♥t êtr ♥téré s♥s ♦r à sr ♦♣t♠st♦♥ ♣rtèrsàs ♥ trt♠♥t q srt ♣rést♥é ♣ ♣s ré♥t ♦♠♣trs ♥r♦♥s ♥ ♣ss♥ éq♥t à ♠♦♥s♦♣ért♦♥s ♥♦qs ♣r s♦♥ ❬❩rá♥② t ③② ❪ t s♣♣♦rttst♦♥ ♦♠♥é ♣srs ① ♣♦s s②♥♣tqs

♥s ♣tr ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥ éts s rés① ♥r♦♥s rs♥s q rs ér♥ts ♠♦s ♦♥t♦♥♥♠♥t

é♥t♦♥ ♥ ♥r♦♥ r

♦♥trr♠♥t ① trs ♥r♦♥s ♦r♠s ♦♥t♦♥ rét♦♥ t ♦♥t♦♥tt♦♥ ♥ ♥r♦♥ r s♦♥t rt♠♥t é♥s à ♣rtr ♥ rtétr♦♥q q r♥tt ♥s ♦ût ♠tér r ♥tért♦♥ sé♠ rt st ♦♥♥é ♥s r ❬ t ❨♥ ❪

s r♥rs ♠ss ♥ ② s♦♥t ♦♥ ♥♦qs t é♣♥♥t t♠♣s r♣rés♥té♣r r t éqt♦♥ q rét ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥tr♥ ♥r♦♥ ♦r♠s♦t♥t ♣r ♣♣t♦♥ ♦ r♦ ♥÷ A

dt(t) +

RxUx(t) = I +

Iei(t).

♥s tt éqt♦♥ s n ♥trés ♥r♦♥ s♦♥t s t♥s♦♥s ♥tr♥♥♥t trrss s♦rs ♦r♥t Iei

|ni=1 t s ♣♦s s②♥♣tqs wi|ni=1 ç♦♥ s♥t

∀i ∈ J1 ;nK , Iei(t) = wiUei

②♥♠q ♥tr♥ ♥ ♥r♦♥ r st ♦♥ ré ♣r éqt♦♥ ér♥t s♥t

dt(t) = −

RxUx(t) + I +

wiUei(t),

s rés① ♥r♦♥s rs ⑤ ♣tr

C Rx Ry

Ie1 (t) Ien(t) Iy(t)

Ux(t) Uy(t)

é♠ étr♦♥q ♥♥r♦♥ r

♦ù r♥r Ux(t) rtérs étt ♥tr♥ ♥r♦♥

♥ ♠tt♥t q s t♥s♦♥s ♥trés s♦♥t ♦♥st♥ts t♥t q t♥s♦♥ ♥tr♥♥ sst ♣s stsé st très tr♦r ♣♦♥t éqr ♥r♦♥♦r♠ st s♠♣♠♥t r ♠t Ux(t → +∞) ♦ ♣s s♠♣♠♥t r Ux(t) q ♥♥ éré ♥s

limt→+∞

Ux(t) = Rx

tt r ♠t st trt♦♥♠♥t ♦♥séré ♦♠♠ réstt ♣♣t♦♥ ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥r♦♥ r ① ♥trés Uei

|ni=1 ♦r♠♠♥ttt ♦♥t♦♥ sért s ♥♦tt♦♥s s ♣trs ♣réé♥ts t ♥ ♦♥sér♥tq R t 1 Ω

A:n −→

e(t) =(e1(t) e2(t) · · · en(t)

)⊤ 7−→ w0 + w

⊤e(t).

♥ trs tr♠s ♥♦s rtr♦♦♥s ssq s♦♠♠ ♣♦♥éré ♥r♦♥ ♠♣ à ér♥ q ♠♣é♠♥tt♦♥ ♣r♦♣♦sé st très é♦♥♦♠ t♥t ♥ rss♦rsq♥ sr ♥tért♦♥

P♦r s ♣rt ♦♥t♦♥ tt♦♥ st ♠s ♥ ÷r ♠♦②♥ s♦r ♦r♥t é ét s♦rt ♠♦♥t r tt r♥èr st♦♠♠♥é ♥ t♥s♦♥ ♣r rt♦♥ ♥♦♥♥ér s♥t ♦♥t ♥ tré st ♦♥♥é♥s r

Uy(t) = RyIy(t) =1

2(|Ux(t) + 1| − |Ux(t) − 1|) .

♠èr tt ①♣rss♦♥ ♣♣rît q t♥s♦♥ s♦rt Uy(t) st ♦r♥é♣r s rs −1 V t +1V t♥s♦♥ ♥tr♥ Ux(t) ♣t q♥t à ♣r♥r

♦♥t♦♥ tt♦♥

−1 +1

♥♠♣♦rt q r tr ♣rt s♥♦♥s q ♦♥♥t♦♥ t q s nt♥s♦♥s ♥tré s♦♥t é♠♥t ♦r♥és ♣r −1 V t +1V

♥ rstr ♦ér♥t s ♥♦tt♦♥s tsés sq t sstrr séts étr♦♥qs ♠♦è s éqt♦♥s t s♦♥t réérts ç♦♥ s♥t

dt(t) = −x(t) + w0 + w

⊤e(t) t y(t) =

2(|x(t) + 1| − |x(t) − 1|) .

s rés① ♥r♦♥s rs s♦♥t trt♦♥♥♠♥t ♠♦♥♦♦s ♦♠♠ s♦♥t s rés① ♦♣ t s rts t♦♦r♥strs rs s sts♣r♠tt♥t ♠tr ♥♦♠r ♦♥♥①♦♥s ♥ ♥♥ s♥s tr♦♣ ♥ tr s♦♥t♦♥♥tés s♥s♣r♥t s ① ♠♦ès s ♥trés t s♦rts ♥ ♥♥ s♦♥t s s ♥r♦♥s q ♦♥stt♥t s ♥r♦♥s rs ♥ ♥♥ s♦♥t ♦r♥sés s♦♥ ♥ strtr t♦♣♦♦q

q ♣r♠t r é♥r ♥ ♦s♥ ♦♥t s ♦♥t ♣rt t q s ♥trss♥t q ♥r♦♥ r ♣rt s♦♥ ♥tré t s s♦rt ss ♦s♥s rç♦t ♥tré t s♦rt s ♥r♦♥s rs s♦♥ ♦s♥

r rés♠ s rtérstqs à ♥ ♥♥ r♠♥tr ♦♠♣♦sé qtr ♥r♦♥s rs strtr t♦♣♦♦q ♦s st ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥t ♦s♥ ♥ ♥r♦♥ r rr♦♣ ss ①st♥t s ♥r♦♥s stés♠♠ét♠♥t à s r♦t t ♠♠ét♠♥t à s ♥ rè é♥ér s♥♥s s♦♥t tsés ♦♠♠ rttrs trt♠♥t ♠s t s♦♥t ♦♥ ♣tôt♦♥strts s♦♥ ♥ ♠ rt♥r ♠♥s♦♥♥ ♥ t ♣srs s♣♦st♦♥s s♦♥t ♥sûr ♣♦sss ♣r♠s sqs s r s♦♥t s ♣sssqs

♥ rété st ♥ é♠♠♥t ♦r♥é ♣r s ♠ts ♦♥t♦♥♥♠♥t s ♦♠♣♦s♥ts rt ♥s ♥tért♦♥ ♠tér ♣r♦♣♦sé s t♥s♦♥s s♦♥t ♣r♦ts ♣r s s ♠♦s ♥st ♣♥♥t ♣s ① ♠♥r trr sr s rs♦♥s ♠t♦s ♥ qà ♥♦tr ♦♥♥ss♥ ♥ rr ♥ s♦t ♠♥é ♥s s♥s ♣♦r ♠♦♠♥t

entree

sortie

voisinage

connexions reboucleesconnexions directes

é♠ ♥ rés ♥r♦♥s rs ♦♠♣♦sé qtr ♥r♦♥s

♥ ♥ ♠♥s♦♥ ♥ ♦s♥rét ① ① ♥r♦♥s s ♣s ♣r♦s

♥ ① ♠♥s♦♥s ♥ ♠①♦♥ t ♥ ♦s♥ ♦♥♥té ♦♥é t ♦♥♥té r

♥ ① ♠♥s♦♥s ♥ ♠rré t ♥ ♦s♥ ♦♥♥té ♦♥é t♦♥♥té r

s t♦♣♦♦s t ♦s♥ss ♣s ssqs ♥s ♦♠♥ s ♥♥s

♥ t♥♥t ♦♠♣t s rès ♠s ♥ rés q ♥♥♥t êtr é♥♦♥és éqt♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥tr♥ ♥ ♥r♦♥ r ♥t ♦♥ ♥ ♣♣♥t N♥s♠ s ♥s és♥♥t ss ♥r♦♥s ♦s♥s t ♥ ♦♥sré♥t s ♥trés♦♠♠ ♦♥st♥ts

dt(t) = −x(t) + w0 +

weiei +

wyiyi(t).

♥s tt éqt♦♥ ei t yi(t) s♦♥t rs♣t♠♥t ♥tré t s♦rt i ♥r♦♥ N s ♦♥ts wei

s♦♥t s ♣♦s s②♥♣tqs s ♥trés ♦rrs♣♦♥♥ts ts ♦♥ts wyi

① s s♦rts s r♥rs s♣♣♥t é♠♥t ♣♦s s②♥♣tqs ♦♣ ♥s ♠sr ♦ù r ♣rés♥ r♥ rés ②♥♠q t♣r♠t à ♥ ♥♦r♠t♦♥ s ♣r♦♣r sr t♦t rés ♠ré ♦st♦♥ s♦♥♥①♦♥s ♦♠♠ ♥ ♥r♦♥ r st t♦♠tq♠♥t ♦♥t♥ ♥s s♦♥♣r♦♣r ♦s♥ ♥t q♥ s s♦rts r♦és yi(t) N ♦rrs♣♦♥ ♥ tà ♣r♦♣r s♦rt y(t) ♥r♦♥ ♥s st ♥♦s sr♦♥s ♠♥és à trtr ç♦♥ ér♥t s s♦rts ♣r♦♥♥t s ♥r♦♥s ♦s♥s s♦rt y ♥r♦♥♦s tsr♦♥s ♦rs ♥s♠ N ∗ ♣♦r és♥r ♦s♥ strt ♥ ♥r♦♥t ♥♦s ♥♦tr♦♥s wy ♣♦s s②♥♣tq s ♣r♦♣r s♦rt

♥ q s ②♣♦tèss ♥t rét ç♦♥ s♥t ♥♦♠r ♦♥♥①♦♥s ♥ ♥♥ × ♥r♦♥s rs ♦♥strt sr ♠ r ♦♠♣t ♦♥♥①♦♥s s t été ♦♠♣èt♠♥t ♥tr♦♥♥té ♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♥♥ ♥ étt rst ♥♦r ♣r♦é♠tq ♥ t àq ♦♥♥①♦♥ ♦rrs♣♦♥ ♥ ♣♦s s②♥♣tq ré q ♥ésst ♦♥ ♥ rt étr♦♥q ♦♥trô s♣♣é♠♥tr st ♣ ♦♣é ♣r s r♥rsq r♥ ♥tért♦♥ s ♦♥♥①♦♥s

♥ ♦♥séq♥ s ♥sttrs s ♥♥s ♦♥t ♣r♦♣♦sé ♥tsr q s ♦♣s♥ ♥q ♥r♦♥ r ré stàr q ♠♦t♦♥ ♥ s♣♦s s②♥♣tqs r♥r ♠♦ é♠♥t t ç♦♥ ♥tq ♣♦ss②♥♣tq ♦rrs♣♦♥♥t t♦s s trs ♥r♦♥s tt ç♦♥ ♥♦♠r rts ♦♥trô ♥s ①♠♣ ♣réé♥t st r♠♥é à s♠♥t ♥ ♣♦r s ♥ ♣♦s s②♥♣tqs s ♥trés ♦s♥ ♥ ♣♦r s ♥ ♣♦s s②♥♣tqs s s♦rts ♦s♥ ♥ ♣♦r s s ♥r♦♥s r ♠♦♥tr ♥ ♣ ♥tér♥t ♥ rés ♥r♦♥s rs ×

♥r♦♥s résé ♣r éq♣ s♣♥♦ ♦rí③❱á③q③ ❬ñá♥ t ❪

♥ ♣♦♥t ♣rtq ♣r♦r♠♠r ♥ rés ♥r♦♥s rs ♦♥sstà étr♠♥r ss ♣♦s s②♥♣tqs t s♦rt q t♦t tr ♥tré ♣♦st♦♥♥ s étts ♥tr♥s rés à ♦ù s ♦♥rr♦♥t sr s rs s♦rts

tr × ♥r♦♥s rs ét ♥ ♥r♦♥ r r♦ssss♠♥t ×

point d’equilibre

sens du parcours

pente wy − 1

zones de saturation de la sortie

weiei +

i∈N∗

wyiyix(t)

r é♥ér ♥ r♦t②♥♠q s ♣r ♥♥r♦♥ r

ésrés tr♠♥t résr ♥ t ♣♦st♦♥♥♠♥t s♣♣♦s ♦r ♥té ♣ré s étts ♥tr♥s s sts♥t t♠♥t sr ♥ r s♦rt ♦♥♥é ♥s s♦sst♦♥ s♥t ♥♦s ♦♥s ♠♦♥trr qà q r s♦rtst ♦rrs♣♦♥ ♥ ♥♥té étts ♥t① s② sts♥t s s♦♥t strés ♦♥ ♥ trt♦r ♣♣é r♦t ②♥♠q ❬ t ❨♥ ♦♥♥♥ é♥é t é♥é t ré ❪

♦ts ②♥♠qs ♥ ♥r♦♥ r

r ♠♦♥tr r t②♣q ♥ r♦t ②♥♠q ♦♥s♥t ♥ ♥r♦♥r q♦♥q à s♦♥ étt st st r♠♠ ♣s ♥ ♥r♦♥r stàr r♣rés♥tt♦♥ ♥s ♣♥ (x(t), dx

dt(t)) s♦♥ éqt♦♥

♦♥t♦♥♥♠♥t ♥tr♥ r♣♣é ss♦s

dt(t) = −x(t) + w0 +

weiei +

wyiyi(t). r♣♣

♥ s♣♣♦s♥t q s ♣♦s s②♥♣tqs ♦♣ s♦♥t ♥s wyi= 0|i∈N ♦rs

st ♥ s♠♣ éqt♦♥ r♦t ♣♥t −1 t ♦r♦♥♥é à ♦r♥ w0 +∑

i∈N weiei

s très ♣rtr ♠s à ♣rt s r♦ts ②♥♠qs s♥t ♥ é♥ér s r♦tsrsés ♦♥t ♦r♥ st ♥érté ♣r ♠♦r① ♦♥t♦♥ tt♦♥ ♦r r ♥ ♣ ♥ t s ♣♦s s②♥♣tqs ♦♣ ♥ s♦♥t♣s ♦ré♠♥t ♥s ♥ ♣rtr wy q ♣♦♥èr ♣r♦♣r s♦rt ♥r♦♥ ♥s♦♥t r♥r éqt♦♥ sért ♦♥ é♠♥t

dt(t) = −x(t) + wyy(t) + w0 +

weiei +

i∈N ∗

wyiyi(t).

♥ é♦♠♣♦s♥t tt éqt♦♥ sr s tr♦s ♦♠♥s ♥érté ♦♥t♦♥tt♦♥ ♦♥ ♦t♥t s tr♦s éqt♦♥s r♦t s♥ts ❬♦♥♥♥ ❪ ♣♦r x(t) ∈ ]−∞ ;−1]

dt(t) = −x(t) − wy + w0 +

weiei +

i∈N ∗

wyiyi(t);

♣♦r x(t) ∈ [−1 ;+1]

dt(t) = (wy − 1)x(t) + w0 +

weiei +

i∈N ∗

wyiyi(t);

t ♣♦r x(t) ∈ [+1 ; +∞[

dt(t) = −x(t) + wy + w0 +

weiei +

i∈N ∗

wyiyi(t).

s ♥trés ♦♥st♥ts t s ♣♦s s②♥♣tqs ♦♣ ♥s à ①♣t♦♥ wy ♦♥ ♣r ♥r♦♥ r ♥♦♥♦♣é s tr♦s éqt♦♥s ♦rrs♣♦♥♥t♥ ① tr♦s s♠♥ts r♦ts ♦srés ♥s r

P♦♥ts éqr ♥ ♥r♦♥ r t ♥ ♥♥

s rs t ♠♦♥tr♥t s ① rs t②♣qs q ♣♥t ♣r♥rs r♦ts ②♥♠qs é♥s ♣r éqt♦♥s q ♥t êtr étss♥t r♠♠s ♣s s♥ r r♣rés♥té ♥ ♦r♦♥♥és♥q ♦♥ s♥s ♥s q s r♦ts s♦♥t ♣r♦rs ♣r étt ♥tr♥ s dx

dt(t) > 0 ♦rs r♦t st ♣r♦r ♥s s♥s s étts ♥tr♥s r♦ss♥ts

s dxdt

(t) < 0 ♦rs st ♥s s♥s s étts ♥tr♥s ér♦ss♥tss ♣♦♥ts éqrs s♦♥t ♦♥ t♦t ♥tr♠♥t s ♣♦♥ts ♥trst♦♥ ♥tr sr♦ts ②♥♠qs t ① s ssss stàr à ♦ù éré dx

dt(t) s♥♥

s r♥rs s♦♥t sts ♥s ♠sr ♦ù ♣♥t r♦t ②♥♠q ② ♠è♥

P♦♥t éqr st

1 x(t)

P♦♥t éqr ♥st

tté s ♣♦♥tséqr ♥ ♥r♦♥r

amplitude

continue

composante

♦ts ②♥♠qs ♥ ♥r♦♥ r ♦♥t♦♥♥♥t ♥ ♠♦ ♥♦q

i∈N weiei

♦ts ②♥♠qs ♥ ♥r♦♥ r ♦♥t♦♥♥♥t ♥ ♠♦ st

s ① ♠♦s ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♥♥

s étts ♥tr♥s stàr s éré ② st ♥ét ♥s ♥ étt éqrt r st st ♦♥trr♠♥t à r q st♥st

❯♥ ①♠♥ tt♥t éqt♦♥s ♠♦♥tr q s ♣♦♥ts éqrssts s♦♥t ♥s ♥tr s♦rt J−1 ;+1K q♥ wy < 1 r ♣♥t s♠♥t ♥tr st ♦rs ♥ét t ♥s ♥s♠ −1 ;+1 ♦rsq wy ≥ 1❯♥ ♥r♦♥ r ♥♦♥♦♣é ♣t ♦♥ ♦♥t♦♥♥r s♦♥ ① ♠♦s ❬♦♥♥♥t t ❨♥ ❪

♠♦ ♥♦q ♦rsq wy < 1 ♦r r

♠♦ st ♦rsq wy ≥ 1 ♦r r

♦ ♠♦ ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♣t ♣s sét♥r rt♠♥t s ♥r♦♥ r ♦♣é ♥ t s r♦ts ②♥♠qs q ♥♦s ♥♦♥s étr s♣♣♦s♥t q s ♥♦r♠t♦♥s rçs ♣r ♥r♦♥ s♦♥t ♦♥st♥ts r stt ②♣♦tès st rs♦♥♥ ♥ q ♦♥r♥ s ♥trés ei(t)|i∈N st ♥r♥ ♦♣ ♣s st ♣♦r s sss s s♦rts yi(t)|i∈N ∗ ♦s

♥♥ts é♥♠♦♥s s r♦ts ②♥♠qs ♦♥t♥♥t ♠ré t♦t r♥r ♦♠♣t ç♦♥ é♦t♦♥ étt ♥tr♥

♥ t x(t) st ♥ s r♦ts ②♥♠qs s ♥♦♥♦♣é t st ♥ à tr ré s rt♦♥s ♥ s s♦rts ♦s♥ s ♣♦♥tséqr s rés① ♥ s♦♥t ♥s ♣s très s à tr♦r t ♦♣éq♣s ♦♥t ♣♣♦rté r ♦t rtèrs ss♥ts à r♥tr r ①st♥ ♣♦r ♥ ♣♦s ♦♥♥é ❬ t s t ③♥② t ❲ r t s♥♦ é♥é t ré❪ é♥♠♦♥s s réstts ♥ r♥tss♥t ♣s ♣♦r t♥t ♦♥r♥ ♥♥♥ s ♥ q ç♦♥ é♥ér stté ♥ rés ♥r♦♥s rs♦♣és ♥ ♣s ♥♦r été é♠♦♥tré ♥ qà ♦r ♥ ♥♥ ♥♦♥ st ♥t♥♦r été tr♦é

s t♦ts ♣r♠èrs ♣♣t♦♥s ♣r♦r♠♠és sr ♥ rés ♥r♦♥s rs♥t srt♦t ♣♦r ♦t strr ♣♦t♥t tt rttr t ♥tr ♦♠♠♥té s♥tq à ♥ ♣s srrêtr à ♦♥♥tté ♣♣r♠♠♥trétr ♠♦è P♦r tt rs♦♥ s ♣♣t♦♥s ét♥t ♣r♥♣♠♥t rt ♠ét♦s ♠♣rqs t♥t sés sr s ♥tt♦♥s ❬ts♠♦t♦ t ❪ q sr s ♥②ss r♦rss ❬ t ❨♥ ♦③ t ä♥ t ♦s②t③ ❪ Pr♠ s ♣♣t♦♥s ♣♦♥♥èrs ♦♥ tr♦ s ♦♣értrs ♠♦r♣♦♦ ♠té♠tq ❬❩rá♥② t ❪ sst♦♥ t①trs ❬♥r t ❪ ♦ ♥♦r rést♦♥ ♠é♠♦rs ss♦ts ❬♥t ❪

tt é♣♦q q ♥♦ ♣♣t♦♥ ♥ésstt ♥♦① trés♦rs ♥♥tté q s♥s ♥ ♦t été à ♦r♥ ré♣tt♦♥ s ♥♥s ♥rttr ♣r♦♠tts ♠s ♠♣♦ss à ♣r♦r♠♠r ré t♦t râ à♠t♦♥ q♥③ ♥♥és ①♣ér♥ q étt ♣rç ♦♠♠ s ♥tt♦♥s ♥ ♣r tr♦r s stt♦♥s ♥②tqs t ♥♠♥t ♦♥t ① ♣r♠èrs♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tq ♣♦r ♥♥s ❬rt ❩rá♥② ♦♥♥♥ ä♥ t♦s②t③ ❪ s s♦sst♦♥s s♥ts ♣rés♥t♥ts ♣r♥♣s és q ♦♥t ♣r♠s à s ♠ét♦s s é♦♣♣r

♠♦ ♥♦q

♠♦ ♥♦q ♦rrs♣♦♥ s wy < 1 rs♠♥t ♠♦ ♥ ététrté q très tr ♥s st♦r s ♥♥s à ♥ s ♥♥és qtr♥t① ♣r ♦♥♥♥ ❬♦♥♥♥ t ❪ st ♥ ét s ♥♦♥♦♣é stàr wyi

= 0|i∈N ∗ q ♠♦♥tr q s trt♠♥ts tés ♣♥t êtr ♦♠♥tss♠és à s trs ♥érs ♣r ♦♥♦t♦♥ ♥♦r♠t♦♥ ♣é ♥ ♥tré

♥s ♠♦ t♦s s ♣♦♥ts éqr s♦♥t sts ♦r r r①♣rss♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ s ♥trés t s ♣♦s s②♥♣tqs s♦t♥t ♥ ♥♥♥t éré s éqt♦♥s q ♦♥t à ♦♥t♦♥ rét♦♥ s♥t

A: [−1 ;+1]n −→

e1, e2, . . . , en 7−→1

1 − wy

w0 +∑

♥ ♥t♥t s♦♠♠ ♣♦♥éré à ♥ ♣r♦t ♦♥♦t♦♥ ♥tr ♥ ♠sq ♥♦é ♣r s ♣♦s s②♥♣tqs wei

|i∈N t s ♥trés ei|i∈N ♦♥ rtr♦ ♥②s♣r♦♣♦sé ♥s ❬♦♥♥♥ t ❪ s ♣r♠ètrs w0 t wy ss♥t rs♣t♠♥t sr ♦♠♣♦s♥t ♦♥t♥ t ♠♣t s rs ♦t♥s ♥ s♦rt

①♠♣ étt♦♥ ♦♥t♦rs ♥ ♥♥

r ♠♦♥tr réstt ♥ étt♦♥ ♦♥t♦rs ts♥t ♠sq ♦♥♦t♦♥ s♥t

−1 −1 −1−1 8 −1−1 −1 −1

s ♣♦s s②♥♣tqs ♥♥ s♦t♥♥♥t ♦rs à ♣rtr éqt♦♥ ♦① w0 t wy ♣♦st♦♥♥ st♦r♠♠ ♠ ♦t♥ s♦rt q ts♣♥♠♥t ♣ [−1 ;+1] stàr q♥ ♥r♦♥ r ♥ ♦t ♦♥rr♥s ]−∞ ;−1[ ∪ ]+1 ; +∞[ q ♦rrs♣♦♥ à ③♦♥ strt♦♥ ♦♥t♦♥tt♦♥ ❬♦♥♥♥ t ❪

|i∈N

0 0 00 −15 00 0 0

|i∈N

−1 −1 −1−1 8 −1−1 −1 −1

t w0 = 0.

s ♦♣é ♦♥t stté st ♥♦r ♥ ♣r♦è♠ ♦rt à ♦r st très♠ ♠trsé ♣r ♦♠♠♥té s♥tq rt♥s rrs ♣r♠ s ♣s♣♦♥ts ♥s ♦♠♥ ♦♥t ♥é♥♠♦♥s réss à ♣r♦r♠♠r qqs trt♠♥ts②♥t r♦rs à ♠♦ ♥tr♣♦t♦♥ ♥ sr ❬ót ❪ ♦r r étt♦♥ t①trs ❬③r♥② t s♣♦ ❪ ♦r r rs♣t♠♥t ♠♣é♠♥tés s ① ♣♦s t

|i∈N)

( 0 0 −2 0 00 −4 16 −4 0−2 16 −39 16 −20 −4 16 −4 00 0 −2 0 0

|i∈N)

(0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

t w0 = 0.

♥s s trt♠♥t ♠s w0 rè ♠♥♦sté t wy ♦♥trst

étt♦♥ ♦♥t♦rs♣r tr ♣ ♠ ♦r♥ ♠ trté

♥tr♣♦t♦♥ ♥ sr♣r ♥ ♥♥ ×

s tr♦s é♥t♦♥s sqs s♦rt st ♥tsé s♣♣♦rt♥t sr à ♥tr♣♦r

❱r s♦rt ♥♦rs

éstt ♥tr♣♦t♦♥

|i∈N)

(2,27 1,80 3,36−0,70 −4,45 1,413,2 0,98 −0,31

|i∈N)

(−3,91 1,25 3,050,86 −3,05 3,361,72 −0,63 −4,61

t w0 = −1,64.

♠♦ st

♦♥trr♠♥t ♠♦ ♥♦q ♠♦ st é♥éré é♥♦r♠é♠♥t ♣t♦♥s ès s éts s rés① ♥r♦♥s rs ❬♥♦ r ♦♠♣t♥ ♦rt♦r② é♥é t ♦♥♥♥ ❪ ♥s ♠♦ s ♣♦♥tséqrs sts s♦♥t stés ♥s ]−∞ ;−1[∪ ]+1 ; +∞[ stàr à ♦ù ♦♥t♦♥ tt♦♥ str ♥ ♦♥séq♥ s♦rt y(t → +∞) ♦ ♥ s stsr♥ +1 ♦ ♥ ♥ −1 ①st ♦♥ ♥ ♦ ♣srs r♦ts ②♥♠qs r♦♥tèrs

①tr à éttr ♠ tst ♦♥t♥♥t qtr t①trs ér♥ts

♣♦rt♦♥ ♠ ♠♦②♥♥ ♥♦♥ ♥ ♦rrs♣♦♥ ♥ à t①tr rré

étt♦♥ ♥ t①tr ♥s♥ ♠

1 x(t)

♦t ②♥♠q r♦♥tèr♥ ♥r♦♥ r ♥♠♦ st

q sé♣r♥t s r♦ts ♦♥s♥t à ♥ stst♦♥ ♥ −1 s ♦♥s♥t ♥+1 tt r♦♥tèr st très s♠♣ à étr♠♥r r♣q♠♥t ♦r r t s♦♥ ①♣rss♦♥ st ♦♥♥é ♣r s tr♦s éqt♦♥s r♦t s♥ts

♣♦r x(t) ∈ ]−∞ ;−1[ :dx

dt(t) = −x(t) − 1;

♣♦r x(t) ∈ [−1 ;+1] :dx

dt(t) = 0;

♣♦r x(t) ∈ ]+1 ; +∞[ :dx

dt(t) = −x(t) + 1.

♣rès s éqt♦♥s s♦rt ♥ ♥r♦♥ r ♥♦♥ ♦♣é ♦♥rr♦♥ ♥ +1 s t s♠♥t s

♣♦r x(t) ∈ ]−∞ ;−1] : −wy + 1 + w0 +∑

weiei > 0;

♣♦r x(t) ∈ [−1 ;+1] : (wy − 1)x(t) + w0 +∑

weiei > 0;

♣♦r x(t) ∈ [+1 ; +∞[ : wy − 1 + w0 +∑

weiei > 0.

♥ é♥t ♥ rés ♥r♦♥s rs ♥♦♥ ♦♣é ♦♥t♦♥♥♥t ♥ ♠♦st rés é♠♥t ♥ ♣r♦t ♦♥♦t♦♥ ♥tr ♥ ♠sq ♦é ♣r s♣♦s s②♥♣tqs rés t ♥ ♥♦r♠t♦♥ ♣é ♥ ♥tré ♣♥♥t à ér♥ ♠♦ ♥♦q réstt ♣r♦t st ♠♥t♥♥t sé ♦♠♠ ♠♦♥tr éqt♦♥s ♥s t②♣ ♥♥s ♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t♣rtq♠♥t ♥tq à s ♠♦ès ♣rés♥tés ♥s s ♣trs ♣réé♥ts♦♠♠ s r♥rs ♥ ♥♥ ♥♦♥ ♦♣é ♦♥t s ♥trés s♦♥t ♥rs é ♦♥♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♦r ♣tr à ♣

Pr ♦♥séq♥t ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥ t ♥♥ ♦♥sst ss♥t♠♥t à tr♦rs ♣♦s s②♥♣tqs q ♦r♦♥t ♦rrt♠♥t ♦♥t♦♥ ♦q à s ésré ❬♦♥♥♥ t ä♥ t ♦s②t③ ❪ st ♥ qst♦♥ q st à ♦r♥ s tr① ①♣♦sés ♥s ♠♥srt t sr q ♥♦sr♥r♦♥s ♥s st♦♥ s♥t

①♠♣ ♣ért♦♥s ♠♦r♣♦♦ ♠té♠tq ♥ ♥♥

s trt♠♥ts ♠s ♣r ♠♦r♣♦♦ ♠té♠tq ♥♥t tr s♠♥tt♦♥ q♥tt♦♥ t ♠♦ést♦♥ ♠s ❬rr ❪ s s♦♥t séssr ① ♦♣ért♦♥s s ér♦s♦♥ t tt♦♥ q ♣♥t s é♥r♥s r ♠s ♥rs ♦♠♠ ♣♣t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦qs s♥tsà q ♦s♥ pi|i∈N ♣①s ♠ ❬❩rá♥② t ❪

ér♦s♦♥ st résé ♣r ♣r♦t ♦q s♥t ∏

i∈N pi

tt♦♥ st rést s♦♠♠ ♦q s♥t ∑

i∈N pi

♥s ♦♥t①t ♦s♥ st ♥♦♠♠é éé♠♥t strtr♥t s ♣♦s s②♥♣tqs ♣r♠tt♥t ♣r♦r♠♠r ♥ ♥♥ ♣♦r ér♦s♦♥ s♦t♥♥♥ttrès ♠♥t ♣r ♦srt♦♥ s éqt♦♥s ♥ r♠rq♥t q♥ ♣r♦t♦q st r q♥ t♦ts ss rs s♦♥t rs ♦rs s t♦ts s ♥trés ♦s♥ s♦♥t ♣♦♥érés ♣r r 1 st ♣♦st♦♥♥r s ss♠♠♥tt ♥ s♣♣♦s♥t q étt ♥tr♥ q ♥r♦♥ r st ♥tsé à ③ér♦x(t = 0) = 0 ♦rs s st s♠♣♠♥t réé ♣r −w0 P♦r ♥ ♦s♥ × s♦♠♠ ♣♦♥éré r ♥tr −9 t +9 ♣r ♥ré♠♥ts ① ♥tés q ♣r♠t ér q s ♦t êtr ♦♠♣rs ♥s ♥tr ]7 ; 9[ s ♣♦s s②♥♣tqs ér♦s♦♥ s♦♥t ♦♥

|i∈N

0 0 00 3 00 0 0

|i∈N

1 1 11 1 11 1 1

t w0 = −8.

♠ê♠ ç♦♥ tt♦♥ sért à ♥ s ss♠♠♥t s ♥s♥tr ]−9 ;−7[ ♣♦r q s♦♠♠ ♣♦♥éré é♣ss ès q♥ ♥tré str

|i∈N

0 0 00 3 00 0 0

|i∈N

1 1 11 1 11 1 1

t w0 = 8.

r ♣rés♥t s ①♠♣s trt♠♥ts ♠s ♣r ér♦s♦♥ t ♣r tt♦♥

♠ ♦r♥ éstt ér♦s♦♥ éstt tt♦♥

♦r♣♦♦ ♠té♠tqrésé ♣r ♥ ♥♥ ♥ ♠♦st

P♦r s ♣rt s ♦♣é ♥st ♣s très ér♥t s ♥♦♥ ♦♣é ♥ q ♥t ♥♦r t ♦t ♥ ♣r r♦rs ♣♣rt s trt♠♥ts♦♣és ♥ ♠♦ st ♠♣é♠♥t♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s q st téré sqà stst♦♥ s s♦rts ❬♦♥♥♥ t é♥é t é♥ét ré ❪ ♥ s♥t ♣r♥♣ ♥ ♣♦s ♣r♠tt♥t à ♥ ♥♥ rés♦r ♥ ②r♥t été ♦t♥ ❬ t ❯s ❪ ❯♥ ①♠♣ tst♦♥ st ♦♥♥é ♥s r t s ♣♦s s②♥♣tqs ♦rrs♣♦♥♥ts s♦♥t

|i∈N)

0 1 01 4 10 1 0

|i∈N)

0 0 00 0 00 0 0

t w0 = 2.

é♥♠♦♥s ♥ ♥♥ ♦♣é ♥ ♠♦ st ♣t résr s trt♠♥ts très ♦♠♣qés ♦♠♠ ♣r ①♠♣ ♦♥rs♦♥ ♥ ♠ ♥ ♥① rs ♥ ♥♠ ♠t♥ts ❬r♦♥s t ❪ Psrs ♠♣é♠♥tt♦♥s ♦♥t été ♠ss ♣♦♥t ♦♥t ♥♦s ♦♥s rt♥ ♣s ♦♥s

|i∈N)

(−0,07 −0,1 −0,07−0,1 1,05 −0,1−0,07 −0,1 −0,07

|i∈N)

(0,07 0,1 0,070,1 0,32 0,10,07 0,1 0,07

t w0 = 0.

❯♥ ①♠♣ ♣♣t♦♥ tt ♦♣ért♦♥ st ♦♥♥é ♥s r

♠♦è s rés① ♥r♦♥s rs été é♦♣♣é s♦♥ ♥térté♣♦r ♣r♥♣ ♣ré♦♣t♦♥ st rs q ♦♥t ss ♥sttrs à é♥r à ♣rtr ♥ rt étr♦♥q ♥ ♦♥tr♣rt s s♥① ♥tr♥s ①♥r♦♥s rs s♦♥t ♥tr ♥♦q stàr qs s♦♥t st rt♠ê♠ ♦rsq rés ♦♥t♦♥♥ ♥ ♠♦ st ♥ ♣rtq s♥ q♥s♥ té♦rq♠♥t ♥r r♣rés♥té ♣r ♥ t♥s♦♥ ±1 V r ♥ rété±1 V ± 10 % s ♥ rt st ① ♣♦r♥t q st ♥r♦♥ r♠①♠ q ♥♦s ♦♥s ♦♥stté ❬é♥é t ♦♥♥♥ ❪ rs♠♥ts ♣♣t♦♥s é♦♣♣és ♣♦r ♥♥ ♥ t♥♥♥t très ♣ ♦♠♣t s ♥ q♥

tért♦♥ ♥ ♦♥t♦♥♦q à s ♣♦r rés♦r♥ ②r♥t τ és♥ ré ♥ ♣s

♦rt à t = 0 ♦rt à t = 10τ ♦rt à t = 60τ

♦rt à t = 500τ ♦rt à t = 900τ ♦rt ♥

♦♥rs♦♥ ♥ ♠t♥ts♥ ♠ ♥ ♥①

rs à ♥ ♥♥

♦♣é ♥ ♠♦ st ♠ ♦r♥ ♥ ♥① rs ♠ ♦t♥

♣♦s s②♥♣tqs ♣rt♠♥t ♦♥t♦♥♥ ♥s ♥r♦♥♥♠♥t s♠t♦♥♦ù été é♦♣♣é ♥ s ♦♠♣♦rt ♣s t♦t ♦♠♠ ♣ré ♥ ♦s ♠rqésr ♥ s ♣s ♠ré

st ♥ ♣r♦é♠tq ♦♠♣èt♠♥t ♥♦ ♣♦r ♦♠♥ s rés① ♥r♦♥s rts q sst sq à t♦♦rs ♣♣②é sr s ♥r♦♥♥♠♥ts ♥♠érqs é♠t♦♥s ♥♦r♠tqs ♦ rést♦♥s ♠rqés sr ♣❯♥ ♥♦t♦♥ qté ♦rs été ♥tr♦t ♣♦r rtérsr ♣tt ♥ ♣♦s s②♥♣tqs à résr ♣♦rq♦ été ♦♥ç ♠ré ♣rés♥ rté♦r♠♥t s s♥① sr sqs tr ♥s ① ① ♣♦s rés♥t ♠ê♠ ♦♣ért♦♥ ♣♥t rér ♦♠♣èt♠♥t ér♠♠♥t s rs ♥trés ♥♥♥t rtés ♥ ♣r ①♠♣ ♦♥t♥r ♦♥t♦♥♥r ♦rrt♠♥t t♥sq tr ♥r ♥♦♣ér♥t ♦r ①♠♣ à ♥ ♣tr

s♦♥ ♣rtr t ♥îtr ♥ ♣r♦s♦♥ ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tqs ♣r♦♣rs ① ♥♥s ❬rt ä♥ t♦s②t③ ❩rá♥② ♦♥♥♥ é♥é ❪ st ♥ t ♠♦②♥ ♣s rt ♣♦rq♥tr tt ♥♦t♦♥ qté t srt♦t ♣♦r ♦♣t♠sr ♥ ♣♦s s②♥♣tqs s♦♥ rtèr st ♥s r q s tr① ♣rés♥tés ♥s ♠é♠♦r♦♥t été

①♠♣ ♦♠♣rs♦♥ ① ♠♣é♠♥tt♦♥s ér♥ts ♥♠ê♠ ♦♣ért♦♥

♥ été ♣é ♥ ♥q ① ♣♦s s②♥♣tqs ♣r♠tt♥tà ♥ ♥♥ ♥♦♥ ♦♣é résr t♦ts s ♦♥t♦♥s ♦qs qtr rs♣♦ss ❬♥ t ♥ ♥ t ❪ ♣♦s ♥♣r♠tt♥t résr ♦♥t♦♥ ♦q e7(e9 + e2e5) st ♦♥♥é ♦♠♠ ét♥t

|i∈N

0 0 00 2 00 0 0

|i∈N

0 1 00 −2 0−4 0 −3

t w0 = −3.

♠ét♦ ♣r♦r♠♠t♦♥ ♣rés♥té à ♥ ♠♥srt ♦♥♥ q♥t à

′|i∈N

0 0 00 2 00 0 0

′|i∈N

0 1 00 −1 0−3 0 −2

t w0′ = −2.

♣♣q♦♥s tr ♥tré s♥t à ① ♥r♦♥s rs rs♣t♠♥t♣r♦r♠♠és s ① ① ♣♦s s②♥♣tqs

e(10) =

0 1 00 −1 01 0 −1

st ♥♦♠r ♦♥t♦♥s ♦qs qtr rs ♥ér♠♥t sé♣rs

tr♠♥t s♦rt s ① ♥r♦♥s s sts sr r −1 ♣sq

w0 +∑

weiei = −3 + 1 + 2 − 4 + 3 = −1 < 0,

w0′ +∑

′ei = −2 + 1 + 1 − 3 + 2 = −1 < 0.

♣♣q♦♥s r ♠♥t♥♥t ♠ê♠ tr ♥tré q rt été ♦té

e(10) ′ =

0 1,05 00 −1,1 0

0,9 0 −1,15

s♦rt ♥r♦♥ r ♣r♦r♠♠é ♣r♠r ♣♦s s②♥♣tqsst ♠♥t♥♥t rr♦♥é t♥s q s♦rt s♦♥ rst ♦rrt

w0 +∑

′ = −3 + 1,05 + 2,2 − 3,6 + 3,45 = 0,1 > 0,

w0′ +∑

′ei′ = −2 + 1,05 + 1,1 − 2,7 + 2,30 = −0,25 < 0.

♥ q s ① ① ♣♦s s②♥♣tqs rés♥t ♠ê♠ ♦♥t♦♥ ♦q ♥♦tr ♦♥ ♥ ♠r qté q ♣r♠r t s♣♣♦rtr rs♠♠♥t♥ ♠① êtr tsé sr ♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ ♠tér ♥ ♥♥

5Bilan sur les réseaux de

neurones artificiels

♥s tt ♣r♠èr ♣rt s ♣r♥♣① ♠♦ès ♥r♦♥s ♦r♠s ♦♥tété ♣rés♥tés ♥r♦♥ ♠♣ ♥ ♣r♣tr♦♥ ♥r♦♥ ♦tq ♥r♦♥r ♥ ①st ♥tr♠♥t ♦♣ trs t s ♣rés♥tr

ç♦♥ ①st ♠♥rt ② ♦♥srr ♣srs ♦rs ❬r②s t stt ②♥ ❪ ♣rès rs é♥t♦♥s rs♣ts ♣♣rît q ♠♦rté ♥tr① st é♥ t♦r s ♠ê♠s ♦♥t♦♥s rét♦♥ t tt♦♥ ♥ s♦♠♠ ♣♦♥éré sé ♥s ér♥ ♠r ♥tr s ♠♦ès♥ rés ♣s ♥s s ♥r♦♥s ①♠ê♠s q s♦♥t ♦♥ ♦♠♥t ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥tqs ♠s ♥s ç♦♥ ♦♥t s s♦♥t ♠s ♥ rés ♥s q ♠ét♦♣♣r♥tss q ♥ é♦

s♦♥t rs s ① rtérstqs q s rés① ♥r♦♥s rtstr♥t r ♣r♥♣ t♦t êtr ♣ ♣♣r♥r ♥ ♦♣ért♦♥ à ♣rtr♥ strt♦♥ ss ts sr ♥ ①♠♣s ♦t♦s ss s♦♣s t s q s t♥qs ♣r♦r♠♠t♦♥ ♣ss♥t êtr s ♦♥t ♥♦♥é♥♥t tr♥s♦r♠r ♥ rés ♥r♦♥s rts ♥ ♦t ♥♦r ♦♥t ♦♥ ♥♦r rô

①t ss ♦♥stt♥ts rs♠♥t tt ♠é♦♥♥ss♥ r♥ ♦♥sér♠♥t r é♦♣♣♠♥t ♣♣t ♥ t ♠♣♦s é♥♦r♠é♠♥t ♦①rtrrs

♦♠♥ ♥r♦♥s rts tsr ♦♥ts êtr ér♥ts rés ♦t êtr ♦♠♣èt♠♥t ♥tr♦♥♥té t s ♦♥♥①♦♥s ♦♣ ♦♠♥ ♦s ♥r♦♥s s♦♥ts ♥éssrs q ②♥♠q st ♥éssr

r t ss ①♣ér♥ t ♥tt♦♥ ♣♣♦rt♥t ♥ s♠♥t ré♣♦♥ss à s qst♦♥s étt ♣♦ss ♣♣♦rtr s ré♣♦♥ss r♦rss à rt♥s ♥trs ♥ ♦t q ♠é♦rrt s♥t♠♥t s t♠♣s ♦♥r♥ s t♥qs ♣♣r♥tss t qté s rés① ♦t♥s

♥s é♦r s rés① ♥r♦♥s rs s♦♥t rrés ♦♠♠ ♥ ♥♥♦t♦♥ ♥ t r strtr r é♠♥é ♣♣rt s qst♦♥s ♠s ss r♥ ♥ s ♥♦♠r① ♦rt♠s ♣♣r♥tss é♦♣♣és ♣♦rs trs ♠♦ès ♦♠♠ ♥ té♠♦♥ ét ♦♥♥♥ ❬♦♥♥♥ ❪ ♥♦♥tr♣rt rr ♦♥ û s ♦sr sr s t♥qs ♣r♦r♠♠t♦♥♥②tqs é♦♣♣és à ♣rtr s ♥♦s ♦♥♥ss♥s ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥tr♥s ♥r♦♥s rs

♥tr♦t♦♥ s ♥♥s é♠♥t ♥ tr ♠♣t ♠♣♦rt♥t sr té♠tqs rrs ♠♥és à s♦♥ st t q ♥♦s ♦♥s t♦ts t♥t ♣ts st ♥tr♦t♦♥ ♥ rtèr r♦stss s ① ♣♦s s②♥♣tqstsés sàs rt ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ér♥t ① rést♦♥s ♠térs♦♥t s ♥♥s ♦♥t ♦t st ♥ ♦♥tr♥t t②♣q s rés① q st♥qs ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tq ss♥t ♥térr ❬♦♥♥♥ ä♥t ♦s②t③ é♥é ❪

s ♥♥s s é♠rq♥t ♦♥ s trs ♠♦ès rés① ♥r♦♥s rts♣r t qs s ♣r♦r♠♠♥t ç♦♥ ♥②tq stàr à ♣rtr ♥ ♦rt♠ ♣rés ♦♣ért♦♥ à ♠♣é♠♥tr t ♥♦♥ à ♣rtr ♥ ①♠♣s r♥r ♣s s ① ♣♦s ♦t♥s ♥ s♦♥t ♣s é① ♥ r♦stss q♠è♥ à réér à s ♠ét♦s ♣s s ♦♣t♠sr ♥ ♦♥séq♥

♥s ♣r♦♥ ♣rt ♠♥srt ♥♦s rr♦♥s q ♣♣t♦♥ à trsrés① t②♣ ♣♣r♦ ♥②tq ♣♣♦rt ♥ ♥♦ ér sr s qst♦♥s q ♥♦s ♥♦♥s s♦r sr ♣r♠étr s ♣♣r♥tsss sr♣r ①♠♣ s ②♥♠q ♠♥♠ ♥ rés ♣♦r q ♣ssrésr ♥ ♦♣ért♦♥ ♦♥♥é ♦ ♥♦r s♦♥ ♥♦♠r ♥r♦♥s ♦t♦s ♥térêts ♠ét♦s ♣♣r♥tss ét♥t ♥ ♣s ♥ésstr ♦♥♥ss♥ ♦r♠ ♦♣ért♦♥ à trtr q st ♥ ♦♥t♦♥ ♥éssr à tst♦♥ s ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tqs

♥ sr s rés① ♥r♦♥s rts ⑤ ♣tr

ss ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♥ ♠ét♦ ♥②s ♦♥t ♦t st ①♣r♠r ♦r♠♠♥t ♦♣ért♦♥ ♣♣rs ♣r t♦t rés ♥r♦♥s rt ♦♥t ♦♥t♦♥♥♠♥tsrt sé sr s s♦♠♠s ♣♦♥érés sés t♥t ♦♥♥é ♦♠♣①té s ♦♣ért♦♥s ♥♦s ♠è♥r à é♦♣♣r ♥ ♦r♠s♠ éé ♦♥t ♥♦s ♠♦♥trr♦♥sq ♣t srr s ① ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tqs ①st♥ts♥s r♥èr ♣rt ♥♦s rr♦♥s ♥♥ ♦♠♠♥t ♥♦s ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♣♥t êtr ♠♥és r ♣r♥♣ sr s②♥tétsr ♥ ♥r♦♥srts s ①♣rss♦♥s ♦r♠s ér♥t s ♦♣ért♦♥s à ♠♣é♠♥tr ♥str s ①♠♣s tt ♣rt s ♦rt♠s q ♥ é♦♥t sr♦♥t ♣s s②♥tétsr ♥ rés ♥r♦♥s ① rtérstqs ♦♣t♠sés à ♣rtr ♥♠♣♦rt q rés ♦t♥ ♣r ♣♣r♥tss

Deuxième partie

Analysed’un neurone artificiel

é♥t♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r

♥r♦♥ rt ♥r♦♥ ♥r

ts ♥ ♠ét♦ ♥②s ♥r♦♥s ♥rs

s ♦♥t♦♥s ♦qs éq♥ts ① ♥r♦♥s ♥rs

é♥t♦♥s ♣ré♠♥rs

♥tr♣rétt♦♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t

Pr♦♣rétés s ♦♥t♦♥s ♦qs à s

②♣♦tès s♠♣tr

t s s②♠étrs

t s rt♦♥s

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠

s ♠s é♥értrs

é♥t♦♥ ♥♦ ♦r♠s♠

❯♥té ♠ é♥értr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s

♠s é♥értrs ♦♥♦♥ts t ♦♠♣é♠♥tt♦♥

♣♦rt ♦q ♥s♦♠♠

Pr♦♣rétés

rtr ♥ ♥s♦♠♠ ♦♥t♦♥s ♦qs à s

P♦rts ♥s♦♠♠ t ♠s é♥értrs

♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r

Pr♥♣s ♦rt♠

s ♥ ♦r♠ ♥r♦♥ ♥r

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

s trs é♥értrs

♣t♠st♦♥ ♦rt♠

6Les neurones

artificiels binaires

♥tr♦t♦♥ s rés① ♥r♦♥s rs ♥té ♥ ♥♦ ♠♣♥ rrs é t♦r s ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥♥②tqs s ♥r♦♥s rs ♥ ♠♦ st ♥ ♣rtr ① ♦♥t

s ♥trés s♦♥t ♥tr ♥r ♥ qs ♣ss♥t ♣rîtr très s♣ésés à ♣r♠èr s réstts ♦t♥s ♥s ♦♠♥ ♣♥t ♥é♥♠♦♥s êtr tr♥s♣♦sésà trs ♠♦ès ♥r♦♥s rts ♣♦r qs s♦♥t ♦tés ♥ ♦♥t♦♥rét♦♥ ♥ér ♥ ♦♥t♦♥ tt♦♥ à s♦rt ♥r t q rs ♥tréss♦♥t q♥tés tt r♠t♦♥ sr é♠♦♥tré ♥s ①è♠ st♦♥ ♣tr

s ♣rs♣ts ♦rts ♣r s ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tqs ♥ ♦♠♣rs♦♥ s t♥qs sés sr s ♣♣r♥tsss ♦♥t été stés ♥s ♣tr ♣réé♥t ♦r s ss ♠ét♦s t②♣ ①st♥ts s♦♥t ss♥t♠♥t ♦♥és sr ♥②s s ♠é♥s♠s ♥tr♥s s ♥♥s q ♦♥t à ♥s♦♥ ♣r♦è♠ ♣têtr ♥ ♣ ♥♦♠♣èt ♣♦r ♠♥r s ♣r♦rès s♥tsst rs♦♥ ♣♦r q ♥♦s r♣♦sr♦♥s ♥♦tr ♣r♦♣r ♠ét♦ ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tq sr s ♣r♥♣s ♦♣ ♣s é♥ér① ②♥t trt ① ♥r♦♥s

sr ♣s s♦♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♦♥ ♦ ss♠é ♠s s ♥r♦♥s rs s♦♥t ♥ ♦♥①♠♣ ♠♦è ts♥t ♥ tr ♦♥t♦♥ tt♦♥ t♦t ♥ ②♥t ♥ s♦rt ♥r

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

r♦♥ ♥r tr♦s ♥trés

entrees binaires

sortie binaire

entree auxiliaire

♥rs ç♦♥ é♥ér ♣tôt qà s ♠♣é♠♥tt♦♥s ♣rtèrs st tt♥②s q ♥♦s ♦♥s ♣rés♥tr ♥s tt ①è♠ ♣rt à ♦♠♠♥r ♣r ♠♦è ♥r♦♥ ♥r

é♥t♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r

tt st♦♥ ♣♦r t érr ♣résé♠♥t t②♣ ♥r♦♥ ♦♥r♥é ♣r♥♦tr ♥②s t ♦♥ ♣r ♠ét♦ ♣r♦r♠♠t♦♥ q ♥ é♦r sts ♥r♦♥s ♥rs ♦♥t é♥t♦♥ st s♥t

é♥t♦♥ r♦♥ ♥r♦t ♥ ♥s♠ ① rs rés st♥ts ❯♥ ♥r♦♥ ♥r sr st♥ ♠♦è ♥r♦♥ ♦r♠ ②♥t s tr♦s ♣r♦♣rétés s♥ts

ss ♥trés s♦♥t ♥s s ♦♥t♦♥ rét♦♥ st ♥ s♦♠♠ ♣♦♥éré s s♦rt st ♦t♥ ♣r ♥ s réstt ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♦♥t

♥ ② st réé ♣r ♥ ♣♦s s②♥♣tq ①r

r r♣rés♥t ♥ ♥r♦♥ ♥r tr♦s ♥trés ♥ ♣s ♥tré ①r

♥ rè é♥ér és♥ ♥s♠ ♣♦r −1 ;+1 ♠s ♥s st ♠♥srt ♥♦s ♣réérr♦♥s ♥s♠ 0 ; 1 q ♥♦s ♦♥s ♦♣♣s ♥tt é♥♠♦♥s ♦① ♥♠♣q ♥ ♣rt é♥érté ♣sq s① ♥s♠s ♠♥s s ♦s ♦♠♣♦st♦♥ ♥tr♥ ♦q ♦♦é♥♥ s♦♥ts♦♠♦r♣s ♥ tr st ♥ t s ♥♠♣♦rt q èr ♦♦♦♥strt sr ♥ ♥s♠ ♥r a ; b ♦ù (a, b) ∈

2 t a < b s♥q s réstts ♦t♥s ♥s ♠♥srt ♣♦r s ♥r♦♥s ♥rs sr 0 ; 1s♣♣qr♦♥t é♠♥t à s ♥r♦♥s ♥rs sr a ; b ♠♦②♥♥♥t qqs♠♦t♦♥s

s ♥r♦♥s rts ♥rs ⑤ ♣tr

♥ t ♣ssr ♥ r♣rés♥tt♦♥ sé sr ♥s♠ ♥r a ; b à ♥ trsé sr 0 ; 1 ♠♥ é♥t♦♥ ① s♦♠♦r♣s♠s ♦r♣s M t M−1ré♣r♦qs ♥ tr

M: a ; b −→ 0 ; 1

e 7−→e − a

b − a,

M−1: 0 ; 1 −→ a ; b

e 7−→ e(b − a) + a.

s ① ♣♣t♦♥s ♦♥t tr♠♥t s ♣r♦♣rétés é♥ss♥t s s♦♠♦r♣s♠s

t ♦♠♣♦st♦♥ M−1 ♣r M ♦♥♥ ♥ ♣♣t♦♥ ♥tté

❯♥ ♥r♦♥ ♥r sr a ; b ♣t ♦rs êtr ①♣r♠é à ♣rtr ♥ ♥r♦♥ ♥rsr 0 ; 1 ♥ ♣♣q♥t M−1 M stàr ♦♥t♦♥ ♥tté à ♥ ss ♥trés ♥s s s ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥t ♥ é♦♣♣♥t M−1

A(e) = w0 +

w1M−1 M(ei) = w0 +

((b − a)wiM(ei) + awi).

♥ t♥t s ♥♠♥ts rs s♥ts

w ′0 = w0 + a

∀i ∈ J1 ;nK , w ′i = (b − a)wi,

t e ′i = M(ei),

♦♥t♦♥ rét♦♥ sért ♠♥t♥♥t ♦♠♠ ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥♥r♦♥ ♥r sr 0 ; 1 ♣sq q ♥tré e ′

i|ni=1 t 0 ♦ 1

A(e ′) = w ′0 +

w ′ie

♥ ♦♥s♦♥ t♦t ♥r♦♥ ♥r é♥ sr a ; b ♣r s ♣♦s s②♥♣tqs(w1 · · · wn

)⊤ t w0 st éq♥t à ♥ ♥r♦♥ ♥r é♥ sr 0 ; 1 ♣r s

♣♦s s②♥♣tqs ♦t♥s ♣r s ♥♠♥ts rs éqt♦♥s (w ′

1 · · · w ′n

)⊤ t w ′

①♠♣ t ♥ ♥r♦♥ ♥r sr 0 V ; 5V

♦t ♥r♦♥ ♥r é♥ ♣r s ♣♦s s②♥♣tqs(2 1 −2,4

)⊤ t ♣r w0 =

0,5 s rts étr♦♥qs tsés ♣♦r s ♠s ♥ ÷r r♣rés♥t♥t s rs♦qs vrai t faux ♣r s t♥s♦♥s 0 V t 5 V

♥ ♥ ♣rtr ♣♦r ♣♦rt ♦q non-et été M(e1 non-et e2) = M(e1) non-etM(e2)

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

♦♥ t érté st ♣r ♦♥séq♥t s♥t

e1 e2 e3 A(e1, e2, e3)0 V 0V 0 V 0,5 V0 V 0V 5 V −11,5 V0 V 5V 0 V 5,5 V0 V 5V 5 V −6,5 V5 V 0V 0 V 10,5 V5 V 0V 5 V −1,5 V5 V 5V 0 V 15,5 V5 V 5V 5 V 3,5 V

tr♥sr♣t♦♥ ♥r♦♥ ♥s 0 V ; 1V ♣r ♣♣t♦♥ s ♥♠♥ts rs ♣r♦♣♦sés ♣s t éqt♦♥s ♦♥♥

w ′0 = w0 + a

wi = 0,5, w ′1 = (b − a)w1 = 10, w ′

2 = (b − a)w2 = 5,

t w ′3 = (b − a)w3 = −12.

st ♠♠ét ♦♥sttr q t érté ♥r♦♥ ♥r sr 0 V ; 1Vé♥ ♣r s ♥♦① ♣♦s s②♥♣tqs st ♠ê♠ q ♦t♥ ♣réé♠♠♥t q str éq♥ s ① ♥r♦♥s ♥rs

e ′1 e ′

2 e ′3 A(e ′

1, e′2, e

0 V 0V 0 V 0,5 V0 V 0V 1 V −11,5 V0 V 1V 0 V 5,5 V0 V 1V 1 V −6,5 V1 V 0V 0 V 10,5 V1 V 0V 1 V −1,5 V1 V 1V 0 V 15,5 V1 V 1V 1 V 3,5 V

♥r♦♥ rt ♥r♦♥ ♥r

♥s ♥tr♦t♦♥ ♣tr ♥♦s ♦♥s t ♣r♦♣♦st♦♥ s♥t

Pr♦♣♦st♦♥ ♦t ♥r♦♥ rt ♦♥t s ♥trés s♦♥t réstt ♥ q♥tt♦♥ sr ♥♥♦♠r ♥ ts ♦♥t ♦♥t♦♥ rét♦♥ A st ♥ér t ♦♥t s♦rtst ♦t♥ ♣r s ♣t êtr r♠♣é à ♦♥t♦♥♥té éq♥t ♣r ♥♥r♦♥ ♥r sr 0 ; 1

é♠♦♥strt♦♥ ♦♥sér♦♥s ♥ ♥r♦♥ ♦r♠ ♦♥t ♦♥t♦♥ rét♦♥ A st♥ér t ♦♥t ♦♥t♦♥ tt♦♥ Φ st ♦♥t♦♥ s ♥s 0 ; 1 ♣♣♦♥sn ♥♦♠r ♥trés ♥r♦♥ t d ♥♦♠r ts sr sqs s r♥èrss♦♥t q♥tés

s♦rt ♥ t ♥r♦♥ sért ♦♥ Φ A(e1, e2, . . . , en) ♥ rt é♥t♦♥ ♣ ♦♠♠ ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥r♦♥ st ♥ér♦rs ①st ♥éssr♠♥t n ♣♦s s②♥♣tqs wi|

ni=1 ts q

A(e1, e2, . . . , en) = w1e1 + w2e2 + · · · + wnen.

r s ♥trés s♦♥t q♥tés sr d ts t s é♦♣♣♥t ♦♥ ♥ s s♦♠♠s♣♦♥érés ♣r s ♣ss♥s ssss ① Pr ♦♥séq♥t été ♣réé♥ts ♦♥t♥ ç♦♥ s♥t

A(e1, e2, . . . , en) = w1

d−1∑

2je1j + w2

d−1∑

2je2j + . . . + wn

d−1∑

2jwieij

é= An,d(e10, e11, . . . , en(d−1)).

♣♣rît ♥ é♥t q s♦rt ♥r♦♥ ♦r♠ Φ A sért é♠♥tΦ An,d ♦ù An,d st ♥ ♦♥t♦♥ ♥ér n× d rs ♥rs tt r♥èrst ss♠ à ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r ②♥t n×d ♥trés trés♥t ♠ê♠ ♦♥t♦♥ q ♥r♦♥ ♦r♠ ♦r♥

s ① ①♠♣s s♥ts ♣rés♥t tt é♠♦♥strt♦♥

①♠♣ r♦♥ ♦r♠ s♥s s

♦♥sér♦♥s ♥r♦♥ ♦r♠ s♥t q ♠t tr♦s ♥trés é♥t♦♥♥és sr① ts

Φ A: 0 ; 1 ; 2 ; 33 −→ 0 ; 1

e1, e2, e3 7−→ H (e1 + 2e2 + 3e3) .

♦s ér♦♥s q s ♦♥t♦♥ rét♦♥ st ♥ér t q s ♦♥t♦♥ tt♦♥♦rrs♣♦♥ à ♥ s réstt ♣r♦♣♦st♦♥ s♣♣q ♦♥ t ♥r♦♥ ♥r éq♥t s♦t♥t ♥ s♥t ♠♥♠♥t é♠♦♥strt♦♥♦rrs♣♦♥♥t

A(e1, e2, e3) = 1 × e10 + 2 × e11 + 1 × 2e20 + 2 × 2e21 + 1 × 3e30 + 2 × 3e31

= e10 + 2e11 + 2e20 + 4e21 + 3e30 + 6e31

é= A3,2(e10, e11, e20, e21, e30, e31).

♥ ♦♥s♦♥ ♥r♦♥ ♥r éq♥t sért

Φ A3,2: 0 ; 16 −→ 0 ; 1

e10, e11, e20, e21, e30, xe31 7−→ H (e10 + 2e11 + 2e20 + 4e21 + 3e30 + 6e31) .

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

①♠♣ r♦♥ ♦r♠ s

♦♥sér♦♥s ♥r♦♥ ♦r♠ s♥t q ♠t ♥ ♥tré sr qtr ts

Φ A: 0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 15 −→ 0 ; 1

e1 7−→ H (3 + 6e1) .

s s ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥st ♣s ♥ér P♦r ①♣r♠r ♥r♦♥♦r♠ à ♥ ♥r♦♥ ♥r t ♦♥ ♥tr♦r ♥ ♦♥t♦♥ rét♦♥ér♥t ts♥t ♥ ♥tré ①r e0 A ′(e0, e1) = 3e0 + 6e1 ♦t♦♥s ♦rs q♣♦r t♦t r e1 ♥♦s ♦♥s A ′(1, e1) = A(e1)

♦♠♠ A ′ st ♥ér ♥♦s ♣♦♦♥s ♣♣qr ♠♥♠♥t ①♠♣ ♣réé♥t

A ′(e0, e1) = 1 × 3e00 + 2 × 3e01 + 4 × 3e02 + 8 × 3e03 +

1 × 6e10 + 2 × 6e11 + 4 × 6e12 + 8 × 6e13

= 3e00 + 6e01 + 12e02 + 24e03 + 6e10 + 12e11 + 24e12 + 48e13

é= A ′

2,4(e00, e01, e02, e03, e10, e11, e12, e13).

P♦r rtr♦r ♥r♦♥ ♦r♥ t ♦sr e0 = 1 stàr e00 = 1 e01 = 0e02 = 0 t e03 = 0 ♦♥t♦♥ rét♦♥ A ′

2,4 ♥t ♦rs ♦♥t♦♥ rét♦♥A1,4 ss♥t sr s qtr ♥trés rst♥ts

Φ A1,4: 0 ; 14 −→ 0 ; 1

e10, e11, e12, e13 7−→ H (3 + 6e10 + 12e11 + 24e12 + 48e13) .

tt é♠r été ♦r♠sé ♥s ❬♥ t rst ❪ ② t été♥tr♦t ♥ ♠é♦rr ♠♣é♠♥tt♦♥ s rés① ♥r♦♥s sr s ♣s

é♥érst♦♥ ♣r♥♣ à r♣rés♥tt♦♥ ♣r s ♥r♦♥s ♥rs ♥r♦♥s ♦r♠s ②♥t s s♦rts q♥tés st ♥ ♣r♦è♠ tr♠♥t ♣s ♦♠♣①q ♥♦s ♥♦♥s ♣s ♦ré ♥s ♠♥srt ♣♦r s rs♦♥s t♥t st♦rqsq ♣rtqs ♥ ♣rt s ♠♦rté s ♠♦ès s♦♥t é♥s s s♦rts qs♠♥t ♥rs t ♥♦♥ ré♠♥t ♥rs st ♣r♥♣♠♥t ♣r q s♦♥t♦♥s tt♦♥ ♦rrs♣♦♥♥ts s♣t♥t ♠① ① ♦rt♠s ♣♣r♥tss q trt♦♥ ♦♥t♦♥ é♦♥ s s♦♥t ♥ ♣rtr érs t♥♦♥ ♣♦r ♦r ♥ s♦rt ① rs ♣s ♥♥és tr ♣rt ♦rsq♥ s♦rtq♥té st ésré ♦rs ♦♥t♦♥ tt♦♥ st é♥ér♠♥t ♦rtrté q ♦tt à s ♠♦ès ♥r♦♥s ♦r♠s ♥ ♥tr tr♦♣ ér♥t ♣♦rs♣érr ♣♦♦r s ♥♦r ♥s ♥②s ♥r♦♥s ♥rs q tt ♣rt é♦♣♣r

♥ t A(2e1) 6= 2A(e1) ♦r été s ① ①♣rss♦♥s st ♥ ♣r♦♣rété s ♣♣t♦♥s♥érs

❱♦r s ♣r♦s s ♦♥t♦♥s tt♦♥ ss ♣rés♥tés ♥s ♣tr ♥ ♣

ts ♥ ♠ét♦ ♥②s

♥r♦♥s ♥rs

♠ét♦ ♥②s ♥r♦♥s ♥rs à q tt ①è♠ ♣rt st ♦♥sré ♣♦r ♦t ♦rr ♥ ♥♦ ♦ ♥s ♦♠♥ ♣r♦r♠♠t♦♥♥②tq ♥r♦♥s ♥rs ♦♥trr♠♥t ① tr① résés sqà ♦r ♥♦tr ét s t ♥ t ss ♥é♣♥♥t q ♣♦ss s rttrs♠♣é♠♥t♥t s r♥rs ♥ ♣rtr s rés① ♥r♦♥s rs ♥qs s♦♥t ♠♦tt♦♥ ♦r♥ ♥♦s rrs ♦s ♠♦♥trr♦♥s ♥s qst ♣♦ss ♦tr à ♥ ♦r♠s♠ ♦r♥ ♣ érr ç♦♥ ♠ ♦♥t♦♥s q♥ ♥r♦♥ ♥r t q ♥♦s ♦♥s é♥ ♣s tôt st ♣ résr

♥ strr q ♥♦s s♦s♥t♥♦♥s ♣r ♦♥sér♦♥s ♥r♦♥♥r r r♥r rés ♥ t ♦♥t♦♥ ♦q et ♥tr ss♥trés réstt ♥②s ♦♥t♦♥ ♥r♦♥ ♥r ♣t ♦♥♥ï♠♥t êtr ♠s s♦s ① ♦r♠s

♥r♦♥ ♥r r ♦♠♣r réstt ♦♣ért♦♥ 1,5 +e1 + e2 à r −1,5

♥r♦♥ ♥r r rés ♣♦rt ♦q et

♣r♠èr ♣r♦♣♦st♦♥ st très ♣r♦ ♠♦è ♥ t tr♦r s ♣♦s s②♥♣tqs rés♥t ♦♥t♦♥ q ért st ♠♠ét st ② ♦srr sér♥ts ♦♥ts ♠t♣trs Pr ♦♥tr ♦♠♣rr tt ç♦♥ ♦♥t♦♥ ♦r♠♠♥t résé ♣r s ① ♥r♦♥s r st ♦♣ ♠♦♥s♥tt

♥rs♠♥t s♦♥ ♣r♦♣♦st♦♥ ♠♦♥tr t♦t st q s ① ♥r♦♥s ♥rs r s♦♥t ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥tqs ♥ r♥ st ♠♥t♥♥t étr♠♥t♦♥ s ♣♦s s②♥♣tqs rés♥t ♣♦rt et ♥té q ♣♦s♣r♦è♠

♦r♠s♠ é s♠ ♦♥ s str à ♠♠♥ ♥tr s ① ♣r♦♣♦st♦♥s s♦rt q ♦♥t♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r s♦t ♥t ç♦♥ ♥q ♣♦s s②♥♣tqs ♦♣t♠sé s♦♥ ♥ rtèr ♦♥♥é s♥ és

♠♥t♥ ♣r♦é♥t à ♥ ét ♣♣r♦♦♥ s ♣r♦♣rétés s ♥r♦♥s ♥rs tt♣rt ♣♦r ♦t ♥tr♦r ♥ ♥♦ ♦r♠s♠ q ré♥t s ① rtèrs ♦s tr♠♥r♦♥s ♣r ♥ ♦rt♠ ♣r♠tt♥t ①♣r♠r t♦♠tq♠♥t♥♠♣♦rt q ♥r♦♥ ♥r s♦s tt ♦r♠ ♦♣ért♦♥ ré♣r♦q r ♦t r♥èr ♣rt ♠♥srt

s rés① ♥r♦♥s rs s♦♥t ♣r ①♠♣ ♣s ♠♦r tr s ♥♦♥t♦♥ r étt ♥tr♥ ♥t ♥st ♣♥♥t ♣s ♥ rtérstq é♥ér s ♥r♦♥s♥rs t ♥♦s ♥♥ t♥r♦♥s ♦♥ ♣s ♦♠♣t

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

ést♦♥ ♥ et ♦q s ♥r♦♥s ♥rs

❯♥ ♣r♠r ♣♦s s②♥♣tqs♦♥♥♥t ♥ et ♦q

❯♥ s♦♥ ♣♦s s②♥♣tqs♦♥♥♥t ♥ et ♦q

7Neurones binaires

et fonctions logiques

❯♥ ét s♦♠♠r s ♥r♦♥s ♥rs ♦♥t à ♦♥s♦♥ qs♣♥t êtr ♠♦ésés ♣r s ss♠s ♣s ♦ ♠♦♥s ♦♠♣qés ♣♦rts♦qs ♥ t r ♦♥t♦♥♥♠♥t s s sr s rès ♣rt♠♥t

étr♠♥sts q ss♦♥t ♥ s♦rt ♥r à q ♦♠♥s♦♥ n ♥trés♥rs st ♦♥ rssr ♥ t érté ♣♦r étr♠♥r s ♦♥t♦♥s♦qs ♥s résés ♥sûr ♥tr s r♥èrs é♣♥ s rs s♣♦s s②♥♣tqs

st très ♠♦♥trr q♥ ♥r♦♥ ♥r ♥ ♣t résr q♥ rt♥ t②♣ ♦♥t♦♥ ♦q ♥ ♦♥séq♥ ♣r♠èr ét♣ ♥s ♥②s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♥r♦♥ ♥r ♣ss ♣r ♥tt♦♥ t ♥s♠ ♦♥t♦♥sét♣ s♥t st ♥ ét rs ♣r♦♣rétés ♥②tqs ♦♥t t st tr♦r ♥ r♣rés♥tt♦♥ q s♦t ♣s ♣♦ss ♦s ♠♦♥trr♦♥s ♥ ♣rtr q s ♦♣ért♦♥s ♦qs ssqs ♦♠♠ ♣♦rt et ♦ ♣♦rt ou ♥s♦♥t ♣s s ♠① ♣tés ♣♦r tt tâ ♥ ♦rr♥ t ♠① r♣réérr ♥ ♣♦rt ♦q ♥ ♥r très ér♥t ♥s♦♠♠ q ♥♦s é♥r♦♥s♥s ♣tr s♥t

♦s r♦♥s ♥s st ♣tr

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

♥t r ♣s ♦♥ st t♦t ♦r ♠♣ért ♣résr r ♠té♠tq♣r♠tt♥t ♥tr ♥ ♥r♦♥ ♥r ♦♥t s ♥trés t s♦rts s♦♥t ♥s ♥s♦s♥s♠ ♥r à ♥ ♦♥t♦♥ ♦q n ♥s ♥ t ss ♦♣érés s♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r ♠♣q♥t ♣srs s♦♠♠s t ♣r♦tstr♥t ♥s t q ♥♦♥t ♣s s♥s ès ♦rs q♥ rs r♠♥ts st♦♦é♥ s s②♠♦s ♦q s ♣r♦♣♦st♦♥s s ♥♦ér♥s ♥♥♥té♥ts ①♣rss♦♥ s♥t ♥ ♣r ①♠♣ ♥ s♥s

A(vrai, vrai, faux, . . . , vrai) = w0 + vraiw1 + vraiw2 + fauxw3 + . . . + vraiwn.

s♦r ♣r♦è♠ st q ♦♥t♦♥ rét♦♥ tt♥ s ♥trés ♥rsrts ♠s à rs rés t rç♦t s ♥trés ♦♦é♥♥s ♦♥♥t ♦♥ ♦♥rtr q ♥tré ♥s ♥t s ♣♣qr à ♦♥t♦♥ rét♦♥ tt ♥ ♥♦s é♥ss♦♥s ♦♥t♦♥ T ♦♥t rô st ss♦r ♥ r réà ♥ s ① rs ♦♦é♥♥s

T : −→

faux 7−→ 0

vrai 7−→ 1.

T ♥t vrai t faux à ♥s♠ ♥r 0 ; 1 ♥ rs♦♥ ♦r♠s♠ rt♥♣♦r ♠♥srt ♠s rt ♣rt♠♥t ♣ rr ♥s −2 ; 5 s t ♥ ♥térêt q♦♥q

P♦r s ♠ê♠s rs♦♥s st s♦t é♥r ♥ ♦♥t♦♥ s♠r rés♥tss♦t♦♥ ré♣r♦q T −1 ès ♦rs ♦♥t♦♥ ♦q L n ♥s résé♣r ♥ ♥r♦♥ ♥r sért

L:n −→

e1, e2, . . . , en 7−→ T −1 Φ A(T (e1), T (e2), . . . , T (en)).

♥ ♥ ♣s ♦♠♣qr ♥t♠♥t s éqt♦♥s tst♦♥ ♦♥t♦♥ T sr♠♣t ♥s t♦t st ♠♥srt t ♥♦s ss♠r♦♥s rs♣t♠♥t srs rés 0 t 1 ① ♦♦é♥s faux t vrai

s ♦♥t♦♥s ♦qs éq♥ts

① ♥r♦♥s ♥rs

s ♦♣ért♦♥s ♦qs s s♦♥t très s à résr à ♥ ♥r♦♥♥r Pr ①♠♣ ♥ s ♠♣é♠♥tt♦♥s ♦♣ért♦♥ ♦q ♦♥♦♥t♦♥stàr t ♦q st

(w1 w2

)⊤ =

)⊤ t w0 = −1,5 ♦ù w0

♣♦♥èr ♥ ♥tré ①r é sr étt vrai ♥ t ♥r♦♥ ♥r ♥s

r♦♥s ♥rs t ♦♥t♦♥s ♦qs ⑤ ♣tr

♦t♥ rét ① qtr ♦♠♥s♦♥s ♥trés ♣♦sss ♦♥♦r♠é♠♥t t érté é♥ss♥t ♦♣ért♦♥ ♦q et

faux et faux ≡ Φ(−1,5 + 0 + 0) ≡ Φ(−1,5) ≡ faux,

faux et vrai ≡ Φ(−1,5 + 0 + 1) ≡ Φ(−0,5) ≡ faux,

vrai et faux ≡ Φ(−1,5 + 1 + 0) ≡ Φ(−0,5) ≡ faux,

t vrai et vrai ≡ Φ(−1,5 + 1 + 1) ≡ Φ(0,5) ≡ vrai.

♠ê♠ ç♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r ♣t ss résr ♦♣ért♦♥ ♦q non-et s ♣♦s s②♥♣tqs

(w1 w2

)⊤ =

(−1 −1

)⊤ t w0 = 1,5

faux non-et faux ≡ Φ(1,5 + 0 + 0) ≡ Φ(1,5) ≡ vrai,

faux non-et vrai ≡ Φ(1,5 + 0 − 1) ≡ Φ(0,5) ≡ vrai,

vrai non-et faux ≡ Φ(1,5 − 1 + 0) ≡ Φ(0,5) ≡ vrai,

t vrai non-et vrai ≡ Φ(1,5 − 1 − 1) ≡ Φ(−0,5) ≡ faux.

♦♠♠ ♦♣ért♦♥ non-et st ♥rs t q♥ ♥r♦♥ ♥r ♣ss résr ♣r♠t r♠r q♥ rés ♥r♦♥s ♥rs ♣t résr ♥♠♣♦rtq ♦♥t♦♥ ♦q

♦t♦s tt ♣r♦♣rété ♥ s é♥érs ♣s à s ♥r♦♥s ♥rs ♥stt r♠t♦♥ s é♠♦♥tr t♦t ss ♠♥t à ♥ tr♦sè♠ ①♠♣ ♦♣ért♦♥ ♦ ①s ♥ q ♣r♦è♠ s ♣♦s s②♥♣tqs ♥s♦t ♣s ♦t tt ♣rt st très s♠♣ ♦♥sttr q st ♥s s♥ ♣r♦è♠ s♥s s♦t♦♥ ♥ t s②stè♠ ♥étés s♥t ♠♣♦s ♦rs rés♦r s ♦♥trt♦♥s w1 < 0 < w1 t w2 < 0 < w2 ❬♥s② t P♣rt❪

faux oux faux ≡ faux ⇒ A(0, 0) = w0 + 0 + 0 < 0,

faux oux vrai ≡ vrai ⇒ A(0, 1) = w0 + 0 + w2 > 0,

vrai oux faux ≡ vrai ⇒ A(1, 0) = w0 + w1 + 0 > 0,

t vrai oux vrai ≡ faux ⇒ A(1, 1) = w0 + w1 + w2 < 0.

s ♦♥t♦♥s ♦qs réss ♥ ♥q ♥r♦♥ ♥r s♦♥t ♣♣és ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♥ réér♥ s tsé ♣♦r étr♠♥r r r s♦rt ♥ q tt é♥♦♠♥t♦♥ ♥♥ ss ♣s ♠♥t♦♥ r♦rs à ♥ ♦♥t♦♥rét♦♥ ♥ér ♥♥ st ♣s ♠♦♥s ♦t♦r ♦r♠♠♥t t ♥s♠ ♦♥t♦♥s ♦qs st é♥ ♠♥èr s♥t

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥s ♦qs à s❯♥ ♦♥t♦♥ ♦q L n ♥s st ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s s t s♠♥t

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

s ①st n + 1 ♦♥ts rés ts q

∀e ∈ n

w0 +∑n

i=1 wiei > 0 ⇔ L(e) ≡ vrai,

w0 +∑n

i=1 wiei < 0 ⇔ L(e) ≡ faux.

♥ ♥♦tr s ♥s♠ s ♦♥t♦♥s ♦qs à s n ♥s

♥s ♦♥t①t ♦♥t♦♥s ♦qs résés ♣r ♥ ♥r♦♥ ♥r s n + 1♦♥ts tt é♥t♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t é♠♠♥t ① n+1 ♣♦s s②♥♣tqss t♥t st q ♥r♦♥ ♥r s♦t ♥ é♥ ♥s 0 ; 1 ♥ ♦tr tt é♥t♦♥♥♦s ♣r♠t étr ①st♥ ♥ ♥♥té ① ♣♦s s②♥♣tqs rés♥t♥ ♠ê♠ ♦♥t♦♥ ♦q st ♣♦r érr q s w t w0 sts♦♥t ♦♥t♦♥ ♥éssr t ss♥t é♥t♦♥ ♦rs st ♥éssr♠♥té♠♥t s w

′ = kw t w0′ = kw0 ♦ù k ∈ ∗+

♣s s ① ♣♦s érés tt ♠♥èr ♥ s♦♥t ♣s s ss à ♠♣é♠♥tr ♠ê♠ ♦♥t♦♥ ♦q à s q w t w0 ♥ t ♣♦r n + 1 rés ♥♦♥ ♥s∆wi|

ni=0 ss♠♠♥t ♣tts ♥ r s♦ ♥♦s ♣♦♦♥s ♠♦♥trr q s w w0

ér ♦♥t♦♥ éq♥ é♥t♦♥ ♦rs st ss s w+∆ww0 +∆w0 ♥ rtérsr ♥♦t♦♥ ss♠♠♥t ♣tt ♥♦s ♥tr♦s♦♥s ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♥r♦♥ ♥r

é♥t♦♥ r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♥r♦♥ ♥r♥ ♣♣ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ǫ ♥ ♥r♦♥ ♥r ♣s ♣tt r♣rs ♣r s ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥ r s♦

♠rq ♥ ♣♦♦r ♦♠♣rr ♥tr s s ♠rs ♦♥t♦♥♥♠♥t ♣srs ♥r♦♥s ♥rs st s♦♥t ① s r♥r ♥é♣♥♥tsé♥ts trs ♣r♦♣♦rt♦♥té k ǫ = ǫ/ |w| st ♦rs ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥♦r♠sé

♥tr♣rétt♦♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t♥ ♥r♦♥ ♥r

st♦rq♠♥t ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♥r♦♥ ♥r été ♥tr♦t♦♠♠ ♥ ♠sr s♥sté rt ♥ ♥r♦♥ r ♥ ♠♦ st ❬♦r t ❪ P♦r ♥ ♥♥ s rs ♥rs 0 t 1 ♥s qs ♣♦s s②♥♣tqs s♦♥t ♥ t r♣rés♥tés ♣r s r♥rs ♥♦qs stts rt P♦r ♥ rt 10 % ♦♥t♦♥ rét♦♥ ré♠♥t résést ♦rs

Art: 0 ; 1n −→ 0 ; 1

e 7−→ w0 ± 10 % +

(wi ± 10 %)(ei ± 10 %).

t♦t é♥ tt ♦♥t♦♥ rét♦♥ rté ♣t ♣r♥r s rs trèsér♥ts s ♦♥t♦♥ rét♦♥ té♦rq ♠♣q ♥ ♣rtr ♣♦ssté q s ① ♥r♦♥s ♥rs ♥s é♥s rt♦r♥♥t ♥ ré♣♦♥sér♥t à ♣rtr ♥ ♠ê♠ tr ♥tré ♦r ♥ é ♠r s♣♦♥♣♦r s rt♦♥s ♣t ♦♥ sérr r

ét♥t t ♠♥srt ét s ♥r♦♥s ♥rs ♥s ♥ r ♦♣ ♣sé♥ér t s r♠rqs ♥ s♦♥t ♦rs ♣s ♦ré♠♥t ♣rt♥♥ts t♦ér♥ sr srs ♥tré q ♥♦s ♥♦♥s ①♣r♠r ♣t ♦rs êtr trt ♥ t♦ér♥ srs rs ♥ ♣♦s s②♥♣tqs s♦rt q r♥r ♣ss êtr ♠♦és♥s q ♥ ♠♦ ♦♥t♦♥ ♦q résé ♥ ♥

Pr♦♣♦st♦♥ ♦t ♥ ♥r♦♥ ♥r é♥ ♣r ♣♦s s②♥♣tqs w0 w ♦t ♥st♥ ♣rtrt♦♥ t ∆w0 ∆w tt ♣rtrt♦♥ ér

|∆w0| + |∆w| =

|∆wi| < ǫ,

♦rs ♣♦s s②♥♣tqs w0 +∆w0 w+∆w rés ♠ê♠ ♦♥t♦♥ ♦qq w0 w

é♠♦♥strt♦♥ ♦♥sér♦♥s ♥ ♦♥t♦♥ ♦q L n ♥s t w0 w ♥ ♣♦s s②♥♣tqs rés♥t L Pr é♥t♦♥ ♥♦s ♦♥s ♦♥ ♣♦r ♥ s2n trs e

(j) n ♥ s ① rt♦♥s s♥ts

w0 +∑n

i=1 wie(j)

i = ǫ(j) > 0 s L(e(j)) ≡ vrai

w0 +∑n

i=1 wie(j)

i = −ǫ(j) < 0 s♥♦♥

♦sss♦♥s ♠♥t♥♥t n+1 st♠♥ts s②♥♣tqs ∆wi|ni=0 ts q

∑ni=0 |∆wi| <

ǫ t ♣♣♦♥s e(1) ∈ n ♥ tr ♥tré ♣♦r q L(e(1)) ≡ vrai stàr

wie(1)

i = ǫ(1) ≥ ǫ > 0.

♣rès st♠♥t s ♣♦s s②♥♣tqs été ♥t

∆w0 + w0 +

wie(1)

∆wie(1)

i = ǫ(1) + ∆w0 +

∆wie(1)

st ♠♥t♥♥t érr q ♣rs ♥ ♦♠♣t tt ♣rtrt♦♥ ♥ ♠♦♣s s♥ tt ①♣rss♦♥ tr♠♥t t q ♠♠r r♦t été♣réé♥t st ♥ ♣♦st r ♥♦s ♦♥s ♣r ♥été tr♥r t ♣sqe(1)

i |ni=1 ∈ ∣∣∣∣∣∆w0 +

∆wie(1)

∣∣∣∣∣≤ |∆w0| +

|∆wi| < ǫ ≤ ǫ(1).

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

tt rt♦♥ ♣r♦ q tr♠ ♦rrs♣♦♥♥t à tért♦♥ s ♣♦s s②♥♣tqs♥st ♥s ♣r s s ♣s ss③ ♥ét ♣♦r ♣r♦♦qr ♥ ♥♠♥t s♥

♥ t♥t ♥ rs♦♥♥♠♥t t♦t à t s♠r ♥ tr e(2) ∈ n ♣♦r

q L sé à faux ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥r q ♣♦s s②♥♣tqsw0 + ∆w0 w + ∆w rés é♠♥t ♦♥t♦♥ ♦q L

étss♠♥t tt ♣r♦♣♦st♦♥ st ♥ réstt ♣t ♣♦r ♣r♦é♠tq ♥♦s tr① ♥ t é♠♦♥tr q st ♣♦ss r sé♣ré♠♥t sr ♥s ♣♦s s②♥♣tqs ♥ ♥r♦♥ ♥r s♥s térr s ♦♥t♦♥ ♦q s rés rté ♥s éés ss♥t ♥tr♦r ♣♦ssté ♦r♥tr ♦① s ♣♦ss②♥♣tqs ♣r s rtèrs s♣♣é♠♥trs à rést♦♥ L ♦r ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♣s r♥ ♣♦ss st rt♥♠♥t ①♠♣ rtèr s♣♣é♠♥tr ♣s é♥t à q ♥t êtr ①♣♦sé ♠s♥♦s ♥ ♦rr♦♥s trs ♥s st ♠♥srt

①♠♣ s♥t str s ♠♣t♦♥s tt ♣r♦♣♦st♦♥ sr ♥ ♥r♦♥ ♥r②♥t ① ♥trés

①♠♣ tért♦♥ ♥ ♣♦s s②♥♣tqs

♦t ♣♦s s②♥♣tqs w0 = 2,6 t w =(−1,4 −2,2

)⊤ q rés ♦♣ért♦♥

♦q non-et éqt♦♥s s♥t ♦♥♥ réstt ♦♥t♦♥ tt♦♥♣♦r s qtr trs ♥tré ♣♦sss

faux non-et faux ≡ Φ(2,6) ≡ vrai,

faux non-et vrai ≡ Φ(0,4) ≡ vrai,

vrai non-et faux ≡ Φ(1,2) ≡ vrai,

t vrai non-et vrai ≡ Φ(−1) ≡ faux.

♣rès é♥t♦♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥r♦♥ ♥r st ǫ = 0,4♥ tér♥t s ♣♦s s②♥♣tqs ♣r ∆w0 = +0,1 t ∆w =

(−0,2 −0,05

)⊤ ♦♥t

s♦♠♠ s rs s♦s st ♥ ♥érr à ǫ ♦♥ ér r♣♠♥t q ♦♥t♦♥ ♦q résé st t♦♦rs non-et

t vrai non-et vrai ≡ Φ(−1,15) ≡ faux.

♥ ♦tr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t été ♠é♦ré ♣sq ♥♦s ♦♥s ǫ =0,4/6,2 = 0,065 ♥t tért♦♥ t ǫ = 0,45/6,55 = 0,069 ♣rès ♠s ♥st é♠♠♥t ♣s ♥ réstt é♥érs à t♦t tért♦♥ s ♣♦s s②♥♣tqs stss♥t ♣r♦♣♦st♦♥

tért♦♥ s♥t ♥ stst ♣s s ♦♥t♦♥s é♥♦♥és ♥s ♣r♦♣♦st♦♥ ∆w0 = −0,15 t ∆w =

(+0,15 −0,3

)⊤ st ♣r ♦♥séq♥t ♣♦ss q

♠♦ ♦♥t♦♥ ♦q résé ♣r ♥r♦♥ ♥r ♦r♥ q st s

faux non-et vrai 6≡ Φ(−0,05) ≡ faux,

st ♠♥t♥♥t ♦♥t♦♥ ♦q e2 t ♥♦♥ ♣s e1 non-et e2♥ r♥ r♥èr tért♦♥ ♣r♦♣♦sé ♣r t ①♠♣ ♥ q ♥ stsss♣s ♥♦♥ ♣s s ②♣♦tèss ♣r♦♣♦st♦♥ ♦♥sr ♠ré t♦t ♦♥t♦♥♦q résé ♣r ♥r♦♥ ♥r ♦r♥ ∆w0 = 0,1 t ∆w =

(−0,2 −0,15

♥s t ①♠♣ ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré q étt ♣♦ss r sr s ♣♦s s②♥♣tqs ♥ ♥r♦♥ ♥r ♥ ♥ ♠é♦rr qté ♠sré ♣r s ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t t♦t ♥ ♦♥sr♥t ♦♥t♦♥ ♦q q rés st st ♥é♥♠♦♥s ♣ré♠tré rr à étr s rès ♠♦t♦♥♣réss

♦♠♠ ♠♦♥tré st♦♥ ♣réé♥t ♠♦ést♦♥ s ♥r♦♥s ♥rs ♣rs ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♣r♠t ♦t♥r qqs réstts ♥térss♥ts q♥tà r ♦♣t♠st♦♥ é♥♠♦♥s ♥ r ♦♣ ♣s ♦♥ ♥s ♣rt ééà s②♥tès rés① ♥r♦♥s ♥rs st ♥s♣♥s ♥r ét♥②s t ♥ ♣rtr ♥♦tr ♦♠♣ré♥s♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♥stt ♦♣tq ♥♦s ♦♥s étr ♣srs rs ♣r♦♣rétés ♥ ♠ttr ♥é♥ s rs♦♥s ♣♦r sqs s ♣♦rts ♦qs ssqs et ou non-et t♥ s♦♥t ♣s s ♠① ♣tés à értr ts ♦♥t♦♥s

♥ s♠♣r s ①♣t♦♥s s s♦sst♦♥s s♥ts ♥♦s ♦♥s ♠♦♥trrq st ♣♦ss s♥s ♣rt é♥érté ♦♥sérr q t♦s s ♣♦s s②♥♣tqs ♥ ♥r♦♥ ♥r à ①♣t♦♥ w0 s♦♥t ♣♦sts ♦s ♣♣qr♦♥stt ②♣♦tès ♥s st ♠♥srt

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

Pr♦♣♦st♦♥ s♦r♣t♦♥ s♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ w0 w ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s t ♥tr♥r ♥ ♣♦ss②♥♣tq ♥ét wi ♦rs st t♦♦rs ♣♦ss r♥r ♣♦st ♥ ♦♠♣é♠♥t♥t ♥tré ♦rrs♣♦♥♥t t ♥ ♠♦♥t w0 ç♦♥ s♥t

w0′ = w0 + wi.

é♠♦♥strt♦♥ tt ♣r♦♣♦st♦♥ st tr ♥♦s ♦♥s s♠♣♠♥t strr♣r ♥ ①♠♣

①♠♣ s♦r♣t♦♥ s♥ ♥ét ♥ ♣♦s s②♥♣tq♦♥sér♦♥s ♥r♦♥ ♥r é♥ ♣r s tr♦s ♣♦s s②♥♣tqs w0 = 0,5 w1 = 1t w2 = −1 t q rés ♦♥ ♦♥t♦♥ ♦q e1 non-et e2 ♣♦s s②♥♣tqw2 ét♥t ♥ét ♥♦s és♦♥s ♣r♦♣♦st♦♥ ♣réé♥t q s ♦♥t♦♥ ♦q♣têtr ♥②sé ♥ ♦♠♣é♠♥t♥t ♥tré e2 ♥ ♥♥t s♥ w2 t ♥♠♦♥t r w0 ♥ ♦♥séq♥ ♥♦ ♥r♦♥ ♥r sért ♦♥ w ′

0 = −0,5 w1 = 1 t w ′′2 = 1 t rés

♦♥t♦♥ ♦q e1 ou e ′2 r ♦♠♠ s♦♥ ♥tré st ♥ t ♥ét♦♥

♥tré e2 ♦♥ e1 ou e ′2 ≡ e1 ou e2 q st ♥ sé♠♥tq♠♥t éq♥t à értr

é♣rt

♥ és♥r ♥s♠ s ♦♥t♦♥s ♦qs s réss s ♣♦s s②♥♣tqs ♣♦sts s é♥t♠♥t w0 ♣r +

t s s②♠étrs

♥ ♦q ♦♦é♥♥ s②♠étr ♥ ♦♥t♦♥ st é♥ ç♦♥ s♥t

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ♦q s②♠étrq❯♥ ♦♥t♦♥ ♦q st ît s②♠étrq ♦♠♣èt♠♥t s t s♠♥t s s♦♥ ét♦♥ st st ♣♦r t♦t ♣r♠tt♦♥ ss ♥trés

st ♣rt♠♥t s②♠étrq ♣♦r ♥ r♦♣ ♥trés s tt ♣r♦♣rété stéré sr r♦♣ ♥trés ♥q♠♥t

♣rès tt é♥t♦♥ r ♣rs ♣r ♥ ♦♥t♦♥ ♦q s②♠étrq ♥ é♣♥ ♣s ♦rr ss rs ♥tré ♥ trs tr♠s s ♣r♠ètrss♣t ♥♥r r s♦rt ♥ t ♦♥t♦♥ st ♥♦♠r rs ♥s ♥ étt ♦♥♥é Pr ①♠♣ ♦♥t♦♥ ♦q e1 et e2 st éq♥tà ♦♥t♦♥ Set(e) é♥ ♣r

Set: 0 ; 1 ; 2 −→

e = 0 7−→ faux

e = 1 7−→ faux

e = 2 7−→ vrai,

♦ù r e ♣♣é ♥tré rét e1 t e2 t q ♦♥ ♥♦tr e → e1 ; e2 ♣♦r r ♥♦♠r ♥trés à vrai ♣r♠ e1 t e2 ♦♥t♦♥ Set s ♥♦♠♠ s♣tr ♦♥t♦♥ ♦q et

♥ t st ♣♦ss é♥r ♥ ♦♥t♦♥ s♣tr ♣♦r ♥♠♣♦rt q ♦♥t♦♥♦q q s♦t ♦♠♣èt♠♥t s②♠étrq ♦ ♥♦♥

é♥t♦♥ ♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q L(e1, e2, . . . , en) ♥ ♦sr♥t s s②♠étrs ♣rts L st ♣♦ss ♦r♠r d ≤ n r♦♣s ni rs s②♠étrqs ♥s ❯♥tr rét e ♠♥s♦♥ d ♣t ♦rs êtr tsé ♣♦r érr ♥♠♣♦rt qtr ♥tré L s ♥trés réts ei|

di=1 ♦rrs♣♦♥♥ts s♦♥t ♦rs ♦t♥s

♥ ré♣rt♦r♥t ♥♦♠r rs ♥s étt vrai ♥s ♥ s r♦♣s

♥ ♣♣ s♣tr L ♦♥t♦♥ SL(e1, e2, . . . , ed) ≡ L(e1, e2, . . . , en) s♣s ♥trés rét sr ♣♣é s♣ rét t ♥♦s és♥r♦♥s ♣r tr rétt♦t tr t s♣

♥ é♥ér s♣tr st r♣rés♥té s♦s ♦r♠ ♥ t érté ♦r s①♠♣s s♥ts

♠rq Pr ♦♥♥t♦♥ s rs réts s♦♥t ♦r♦♥♥és s♦♥ rs ♥♥sér♦ss♥ts sr r ♦♥t♦♥ ♦q à s ♥ ♥ ♥q♥t♥ ♦rt ♥♥

①♠♣ ♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q s②♠étrq

♦t ♦♥t♦♥ ♦q s♥t

L1(e1, e2, e3) ≡ e1e2e3 + e1e2e3 + e1e2e3.

s tr♦s rs s♦♥t tr♠♥t s②♠érqs t s rés♥t ♦♥ ♥ ♥ sr rét e à r ♥s J0 ; 3K q s♥ ♦ ♥ ♥ s rse1 e2 t e3 ♥st à vrai ♦ ♥ ♥ s ♦ ♥ ① ♦ ♥ s tr♦s s♣tr tt ♦♥t♦♥ s ét t érté ♥ sstt♥t ♥tré rét e ①tr♦s ♥trés ♥rs e1 e2 t e3

0 faux

1 faux

2 vrai

3 faux

r♥r trt t q s ç♦♥ q L1 ♦r vrai st ♦r ①t♠♥t① ss tr♦s ♥trés ♥s étt vrai

①♠♣ ♦♥t♦♥ ♦q ♣rt♠♥t s②♠étrq

♦♥t♦♥ ♦q L2(e1, e2, e3) ≡ e1(e2 + e3) st ♣rt♠♥t s②♠étrq ♣♦r e2

t e3 st ♦♥ ♣♦ss r♣rés♥tr s ① rs ♣r r réte2 ∈ J0 ; 2K ♥ q r e1 ♥ s♦t s②♠étrq ♥ tr r

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

st t♦t ♠ê♠ ♣♦ss r♣rés♥tr ♣r r rét e1 ∈ J0 ; 1K q ts♠♣♠♥t 0 q♥ e1 ≡ faux t 1 s♥♦♥ s♣tr L2 st ♦♥

e1 e2 SL2

0 0 faux

0 1 faux

0 2 faux

1 0 faux

1 1 vrai

1 2 vrai

♥ s ♦♥t♦♥s ♦qs à s st s ♥ r ♠♣é♠♥tt♦♥s♦s ♦r♠ ♥r♦♥s ♥rs ♦♠♠ s r♥rs ts♥t ♥ ♦♥♦♥ rét♦♥ ♥ér ① ♥trés ♣♦♥érés ♣r ♠ê♠ r ♣♦s s②♥♣tq s♦♥t ♣r♦♥séq♥t s②♠étrqs s♥s s ♦♥t♦♥s ♦♦é♥♥s ♦r é♥t♦♥ s♥ q s s♦♥t ♥tr♥s s♥s ♥♥ sr s♦rt ♥r♦♥ t♦♥ sr ♥tr ♦♥t♦♥ ♦q résé ♦♠♠ ♠♦♥tr♥t s ①♠♣s♣réé♥ts érr s ♥r♦♥s ♥rs ♥s s♣ s ♥trés réts ♣r s s♣tr ♦♥t♦♥ ♦q résé st rt♥♠♥t ♥ ♦① ♣s♣rt♥♥t ♥ ②♥t s rs②♥tès ♣♦r ♣rs♣t ♥ t t s♣ ♥t ♦♥srr s ♥♦r♠t♦♥s s②♠étr ♥t s rs ♥trés stàr srt♦♥s été sr s ♣♦s s②♥♣tqs ♦rrs♣♦♥♥ts

t s rt♦♥s

♥②s s rt♦♥s ♥ ♦♥t♦♥ ♦q ♦♥sst ♥ ét r♦ss♥♦ ér♦ss♥ tt r♥èr ♥ ♦♥t♦♥ ss rs ♥tré s♣♣♦s t♦t ♦r ♣♦♦r ♦r♦♥♥r s ♦♥t♦♥s ♦qs ♥tr s qst t②♣q♠♥t t ♥ ♣♦s♥t

L1 < L2 s t s♠♥t s L1 ⇒ L2.

tt rt♦♥ ♦rr ♠♣q ♥ ♣rtr faux < vrai

❯♥ ♦♥t♦♥ ♦q ♣t ♥s ♦r s ♣r♦♣rétés s♥ts

é♥t♦♥ ♦♥st♥ s♦♥ ♥ r ♦♥t♦♥ ♦q L(e1, e2, . . . , en) st ♦♥st♥t s♦♥ r ei s t s♠♥ts L ♥ é♣♥ ♣s ei

é♥t♦♥ r♦ss♥ér♦ss♥ s♦♥ ♥ r ♦♥t♦♥ ♦q L(e1, e2, . . . , en) st r♦ss♥tér♦ss♥t s♦♥ r ei

s t s♠♥t s r L r♦tér♦t s♥s r q♥ ei r♦t

st à ♥♦tr q s ① ♣♦s s②♥♣tqs ♥♦♥t ♣s s♦♥ êtr strt♠♥t ♥tqs ♣♦r r♥rs ① rs ♦rrs♣♦♥♥ts s②♠étrqs ♠s st ♥ st q ♥♦s ♦rr♦♥s ♥s ♣rts♥t

①♠♣ ♦♥t♦♥ ♦q ♦♥st♥t t r♦ss♥t ♦♥t♦♥ ♦q L3(e1, e2, e3) ≡ e1e2(e3 + e1) st ♦♥st♥t s♦♥ s tr♦sè♠r ♥ t t érté L3 ♠♦♥tr q tt r♥èr ♥ é♣♥ ♣s e3

e1 e2 e3 L3

faux faux faux faux

faux faux vrai faux

faux vrai faux faux

faux vrai vrai faux

vrai faux faux faux

vrai faux vrai faux

vrai vrai faux vrai

vrai vrai vrai vrai

tt ♦♥t♦♥ st é♠♥t r♦ss♥t s♦♥ e1 t e2 ♥ t ♣ss faux àvrai s rs ♥ ♣r♦♦q ♠s ♣ss vrai à faux L3

①♠♣ ♦♥t♦♥ ♦q q♦♥q ♦♥t♦♥ ♦q L4 é♥ ♣r t érté s♥t ♥st ♥ ♦♥st♥t ♥r♦ss♥t ♥ ér♦ss♥t s♦♥ ♥ ss rs

e1 e2 e3 L4

faux faux faux vrai

faux faux vrai faux

faux vrai faux faux

faux vrai vrai vrai

vrai faux faux faux

vrai faux vrai vrai

vrai vrai faux faux

vrai vrai vrai vrai

♥ t s ① ♣r♠èrs ♥s sèr♥t q L4 st ér♦ss♥t s♦♥ e3 qst ♦♥trt ♣r s ♥s t s qtr ♥s ♠♦♥tr♥t ♠ê♠ ç♦♥ qL4 ♥st ♥ r♦ss♥tér♦ss♥t ♥ ♦♥st♥t s♦♥ e2 ♥♥ s ♥s t ♦♥s♥t à ♠ê♠ ♦♥s♦♥ ♣♦r e1

s ♦♥t♦♥s ♦qs à s +s ♣r r é♥t♦♥ s♦♥t s ♦♥t♦♥s r♦s

s♥ts s♦♥ t♦ts rs rs ♥ ♣r ♠♦♥♦t♦♥ ♦♠♣èt ♥ t s♦s②♣♦tès s ♣♦s s②♥♣tqs ♣♦sts ♣ss ♥ ♥tré faux à vraistàr 0 à 1 ♠♥t ♦♥t♦♥ rét♦♥ r s♦♥ ♣♦ss②♥♣tq ♥ ♦♥séq♥ tt r♥èr ♥ ♣t q rstr ♠ê♠ ôté s é♥ ♣r ♦♥t♦♥ tt♦♥ ♦ ♥ r♥r 0 rs 1 ♦♥♦r♠é♠♥t à é♥t♦♥ tt ♣r♦♣rété ♠♣q ♣r♦♣♦st♦♥ s♥t ❬é♥ét ré ❪

Pr♦♣♦st♦♥ é♥ért♦♥ ♥ tr♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s L +

s é♥ ♣r s ♣♦s s②♥♣tqs w0 t(w1 . . . wn

)⊤ e st ♥ tr ♥tré t q L(e) ≡ vrai ♦rs t♦t tr

e′ ♦t♥ à ♣rtr e ♥ ♣ss♥t à vrai ♥ ♠♦♥s ss ♦♠♣♦s♥ts à faux

é ss L à vrai ♥ t q e é♥èr e′ q st ♥♦té ♦r♠♠♥t e ⇒ e

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

é♠♦♥strt♦♥ ♦♥sér♦♥s ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s L ∈ +s n rs t

s♦t e ♥ tr ♥tré t q L(e) ≡ vrai t t q s j ♦♠♣♦s♥t ej s♦t♥s étt faux Pr é♥t♦♥ rt♦♥ s♥t ért ♥ s♦♥t ♦♥trt♦♥ ej ♥s ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥r♦♥ ♥r ♦rrs♣♦♥♥t st éré

A(e) = w0 + 0 × wj +

i=1i6=j

wiei > 0.

♦t tr e′ ♦t♥ à ♣rtr e ♥ ♣ss♥t r s j ♦♠♣♦s♥t à

vrai ♥ ♦rs

A(e ′) = w0 + wj +

i=1i6=j

wiei > A(e) > 0.

♦r♦r ♣r♦sss é♥ért♦♥ trs ♦♥t♦♥♥ é♠♥t ♥s s♣s ♥trés réts ♥ t s e st ♥ tr rét t q S(e) ≡ vrai ♦rst♦t tr e

′ ♦t♥ à ♣rtr e ♥ ♠♥t♥t r ♥ ♦ ♣srs ss ♦♠♣♦s♥ts ér é♠♥t S(e ′) ≡ vrai

♣r♦♣♦st♦♥ ♠♣q q t érté ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s♣têtr s♠♣é ♥ ② ♥♥t t♦ts s ♥s é♥érés ♣r ♠♦♥s ♥ ♥♣♦r q ♦♥t♦♥ ♦q sé à vrai ♣r♥♣ st stré ♣r ①♠♣s♥t

①♠♣ érté s♠♣é ♥ ♣♦rt ou t érté ♣♦rt ou q st é♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à ssért

e1 e2 ou

faux faux faux

faux vrai vrai

vrai faux vrai

vrai vrai vrai

st tr ♦♥sttr q qtrè♠ ♥ st é♥éré à ♦s ♣r ①è♠t ♣r tr♦sè♠ ♥ ♥ ♦♥séq♥ s♦♥ t érté ♣t êtr s♠♣é ♥

e1 e2 ou

faux faux faux

faux vrai vrai

vrai faux vrai

Pr ♦♥tr tr♦sè♠ ♥ t s♠♣é ♥st ♣s é♥éré ♣r s♦♥t ré♣r♦q♠♥t ♥ t ♣♦r ♣ssr s♦♥ à tr♦sè♠ ♥ rt♠♥r r e2 vrai à faux q st ♦♥trr ♣r♦sss é♥ért♦♥ ♣r♦♣♦st♦♥

s ♦♥♣ts ♦♥t♦♥ s♣tr t é♥ért♦♥ trs ♥tré ♦♥t ♥♦s♣r♠ttr ♥tr♦r ♥♦t♦♥ ♠ é♥értr q ♦♥stt ♥ qqs♦rt t érté ♦♣t♠sé ♥ ♥r♦♥ ♥r st tt r♣rés♥tt♦♥s ♦♥t♦♥s ♦qs à s q st à s ♠ét♦ s②♥tès q ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥s ♣rt ♣tr s♥t ♥ é♦♣♣ r ♠té♠tq♥ q ♥♦s ♣ss♦♥s tsr ♦r♠s♠ ♥♦ ♣♦r ①♣r♠r réstt ♥②s ♥r♦♥s ♥rs t srt♦t ♦♠♠ ♣♦♥t é♣rt r rs②♥tès

8Un nouveau formalisme

ét ♥②tq ♠♥é ♥s ♣tr ♣réé♥t ♦rt ♦ àé ♥ ♦r♠t♦♥ rt♠étq s ♦♥t♦♥s ♦qs à s tr♥t t érté ♥ t s ♣r♦♣rétés s②♠étr s ♦♥t♦♥s

♦qs à s sèr♥t tsr s ♦♥t♦♥s s♣trs ♣♦r érr ♦♥t♦♥♦q ♥ ♥r♦♥ ♥r ♣tôt q s ♦♥t♦♥ ♦q rt Pr rs ♠♦♥♦t♦♥ ♠♣q ♥ rt♥ r♦♥♥ ♥tr s ér♥ts ♥s ♥ t érté q été trt ♣r ♣r♦sss é♥ért♦♥ ♣r♦♣♦st♦♥

Pr ♦♥séq♥t ♦r♠t♦♥ rré ♣♦r ①♣r♠r réstt ♥②s ♥♥r♦♥ ♥r st rt♥♠♥t sé sr ♥ ss♦t♦♥ ♦♥t♦♥ s♣tr t ♣r♦sss é♥ért♦♥ ♥s ♣tr ♥♦s ♣rés♥t♦♥s à q ♥♦s ♦♥s♦t ♣tsé ♠ é♥értr t q r ♦t ♣r♠èr st♦♥ ♣tr ♥s ①è♠ st♦♥ ♥♦s ♦rr♦♥s ♥ tr ♣r♦♣♦st♦♥ sésr ♥ ♥♦ ♥r ♣♦rt ♦q ♥s♦♠♠ st ♥ ♦♥t♦♥ ♦q às très s♠♣ ♣r♦♣♦sé ♣r ♦♥♥♥ ♦♠♠ ♦♣ért♦♥ s s ①♣rss♦♥sérqs ♦♥t♦♥s ♦qs à s r♥èr st♦♥ étr ♥♥ ♥♥tr ♠s é♥értrs t ♣♦rts ♥s♦♠♠ t ♠♦♥trr ♥ ♣rtr ♦♠♠♥ttrr s ♣r♠èrs ♥ ①♣rss♦♥s à s ♣♦rts ♥s♦♠♠

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

s ♠s é♥értrs

♦♠♠ ♠♦♥tr ①♠♣ s♥t ♠ é♥értr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q às st ♥ t érté ♠é♦ré q tr ♣rt s ♣r♦♣rétés s②♠étr t ♠♦♥♦t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦qs à s st ♥ t t érté ♦♥t♦♥ s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♦♥t s ♥s ♥tés ♦♠♠r♦♥♥ts ♣r ♣r♦sss é♥ért♦♥ r♦♥t été ♥és

①♠♣ ♠ é♥értr ♣♦rt ou

♦♣ért♦♥ ♦q ou st ♦♠♠tt stàr q ss ① ♥trés e1 t e2 s♦♥ts②♠étrqs ♣rès é♥t♦♥ ♣tr ♣réé♥t s s rés♥t ♦♥♥ ♥ ♥q r rét e t s♣tr Sou st ♦rs ♦♥t♦♥ s♥t

Sou: J0 ; 2K −→

e(0) = 0 7−→ faux

e(1) = 1 7−→ vrai

e(2) = 2 7−→ vrai.

♣♦rt ♦q ou st é♠♥t r♦ss♥t q s♥ q rt♥s trs♥tré s♦♥t é♥érés ♣r trs ♥ ♦rr♥ st tr ♥tré e

(11) =(1 1

)⊤ q st é♥éré ss ♥ ♣r e

(10) =(0 1

)⊤ q ♣r e

(01) =(1 0

)⊤ ♥s

s♣ rét tt rt♦♥ s trt ♣r

e(1)⇒ e(2).

♥s ♠ é♥értr s♦t♥t ♥ ♥ ♦♥sr♥t q s rs ♥trés réts Sou ♣♦r sqs r♥r t vrai t q ♥ s♦♥t é♥érés ♣r ♥ tr ♠ é♥értr ♣♦rt ou srt ♦♥ s♠♣♠♥t e(1) = 1 é♠♥tq♠♥ttt r♣rés♥tt♦♥ trt rè ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦♣ért♦♥ ou ♥st rq s ♠♦♥s ♥ ss ♥trés st r

♠ê♠ ç♦♥ ♠ é♥értr ♣♦rt ♦q et ♥st ♦♥stté q r e(2) = 2 ♣sq e1 et e2 ♥st r q s ♠♦♥s ① s ♥trés s♦♥trs stàr ①t♠♥t ①

♥s t ①♠♣ ♥♦s ♦♥s ♠♣t♠♥t s♣♣♦sé q ♣r♦sss é♥ért♦♥étt st ♣r rét♦♥ s②♠étr tt ②♣♦tès t ♣rt ♣r♦♣♦st♦♥s♥t sr éq♥ ♣r♦sss é♥ért♦♥ ♥s s ① s♣s

Pr♦♣♦st♦♥ e t e

′ s♦♥t ① trs n t s e t e′ s♦♥t rs ①♣rss♦♥s rs♣ts

♥s s♣ rét ♦rs

(e ⇒ e′) ⇒ (e ⇒ e

é♣r♦q♠♥t s e ⇒ e′ ♦rs q tr e ♦♥t rét♦♥ ♦♥♥ e é♥èr

♠♦♥s ♥ s trs e′ n ♦♥♥♥t e

′ ♣r rét♦♥

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

é♠♦♥strt♦♥ ♥s s♥s rt s e′ st é♥éré ♣r e ♦rs s♥ ♣r

é♥t♦♥ q♥ ♠♦♥s s ♦♠♣♦s♥ts à faux r♥r st à vrai ♥s e′

s trs rst♥t ♥♥és tt ♠♦t♦♥ ♣♦r ♦♥séq♥ ♠♥tt♦♥ r s rs réts ♦rrs♣♦♥♥ts tr rét e

′ ♦t♥ st♦♥ ♦♠♣♦sé rs réts ♦♥t r st ♥ s♣érr ♦ é à s e q s♥ e ⇒ e

é♣r♦q♠♥t s e ⇒ e′ t s e st ♥ tr n ♦♥t rét♦♥ ♦♥♥

e ♦rs st ♣♦ss ♦♥strr ♥ tr e′ n à ♣rtr e s♦rt q

e ⇒ e′ P♦r st ♥ t étr♠♥r s ♦♠♣♦s♥ts e ♦♥t r

♠♥té ♦rs ♣r♦sss é♥ért♦♥ ♦♥♥♥t e′ t ♣ssr à vrai ♥ ♥♦♠r

s♠r rs ♥s s r♦♣s s②♠étr ♦rrs♣♦♥♥ts e

é♥t♦♥ ♥♦ ♦r♠s♠

①♠♣ ♣ ♣réé♥t ♦♥♥ ♥ é♥t♦♥ ♥tt ♥♦t♦♥ ♠é♥értr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s st ♥ ♥s♠ trs rétsq é♥t à vrai ♦♥t♦♥ ♦q r♣rés♥té t q ♥ ♣♥t ♣s êtr ♦t♥s à ♣rtr trs trs ♣r é♥ért♦♥ s trs ♣rtrs s♦♥t ♣♣és trs é♥értrs

é♥t♦♥ ❱tr é♥értr♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s L +

s ♦♥t s♣tr st SL ♥ ♣♣ tré♥értr L ♦ SL t♦t tr rét e t q

SL(e) ≡ vrai ♣♦r t♦t e

′ 6= e t q SL(e ′) ≡ vrai ♦♥ e′ 6⇒ e

❯♥ é♥t♦♥ éq♥t st ♦♥♥é ♣r ♣r♦♣♦st♦♥ s♥t

Pr♦♣♦st♦♥ é♥t♦♥ éq♥t ♥ tr é♥értr L st ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s +

s t s♣tr SL ♦rs e st ♥ tré♥értr L s t s♠♥t s

SL(e) ≡ vrai ♣♦r t♦t e

′ ♦t♥ à ♣rtr e ♥ ♠♥♥t r ♥ ♠♦♥s ssrs réts ♦♥ SL(e ′) ≡ faux

é♠♦♥strt♦♥ ♣r♠r ♣♦♥t ♣r♦♣♦st♦♥ st ♣rés♥t ♥s é♥t♦♥ st ♦♥ étr éq♥ ♥tr s♦♥ ♣♦♥t ♣r♦♣♦st♦♥ t s♦♥ ♣♦♥t tt r♥èr

♥s s♥s rt s ♥ s trs e′ ♦t♥s ♥s s♦♥ ♣♦♥t ♣r♦

♣♦st♦♥ ét SL à vrai ♦rs é♥érrt e ♣r é♥t♦♥ q st ♠♣♦ss♣r ②♣♦tès é♣r♦q♠♥t s e st ♥ tr ér♥t s♦♥ ♣♦♥t ♣r♦♣♦st♦♥ ♦rs ♥ s trs réts ♣♦♥t é♥érr ♥é SL à vrai q st é♥t♦♥ tr é♥értr

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

ç♦♥ ♣s ♦r♠ ♠ é♥értr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s s é♥à ♣rtr s trs é♥értrs ç♦♥ s♥t

é♥t♦♥ ♠ é♥értr ♠ é♥értr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s L +

s t s♣tr SL st♥s♠ t♦s ss trs é♥értrs s trs ② s♦♥t ♦r♦♥♥és s♦♥ ♦rr①♦r♣q ér♦ss♥t

♠ é♥értr L st ♥♦té SL ♦ L

♠rq Pr é♥t♦♥ s♣ rét s rs réts ♦♠♣♦s♥t strs é♥értrs ♥ ♠ é♥értr s♦♥t ♥és ♣s ♥♥t sr r ♦♥t♦♥ ♦q ért à ♠♦♥s ♥♥t

♠rq ♠ é♥értr ♦♥t♦♥ ♦q vrai st0

t♥s q ♠ é♥értr ♦♥t♦♥ ♦q faux st ∅

♥ ♣♦♦r tsr s ♠s é♥értrs ♦♠♠ r♣rés♥tt♦♥s s ♦♥t♦♥s♦qs ♦♥t s s♦♥t sss st ♠♣ért sssrr qs rs s♦♥t ♥ éq♥ts ♠♥èr é♥ér ♥s s ♦♥trr ♦rs ① ♠s é♥értrsér♥ts ♣♦rr♥t r♣rés♥tr ♠ê♠ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♦ ré♣r♦q♠♥t ① ♦♥t♦♥s ♦qs à s ér♥ts ♣♦rr♥t ♦r ♠ê♠ ♠é♥értr ♣r♦♣♦st♦♥ s♥t ét éq♥ ♥tr ♠s é♥értrst ♦♥t♦♥s s♣trs ♦s rr♦♥s ♣s ♦♥s q ①t♥s♦♥ tt ♣r♦♣♦st♦♥à éq♥ ♥tr ♠s é♥értrs t ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♠♥ ♥②♣♦tès s♣♣é♠♥tr q♥t à ç♦♥ ♦♥t rét♦♥ s♣ ♥tré été ♠♥é

Pr♦♣♦st♦♥ q♥ s♣tr♠ é♥értr r♣rés♥tt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♣r s ♦♥t♦♥ s♣tr st éq♥tà s r♣rés♥tt♦♥ s♦s ♦r♠ ♥ ♠ é♥értr

é♠♦♥strt♦♥ s♥s rt st ♥ t ♦♥séq♥ ♣♣t♦♥ ♣r♦sss é♥ért♦♥ ① trs réts s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s

ré♣r♦q t♥t q♥tà t q♥ tr rét ♥ ♣t ♣s ér s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à vrai s♥s êtr ♦ ♥ ♥ tr é♥értr ♦ ♥ ♥ tr rét é♥éré ♣r ♥ ① ♦r é♥t♦♥ ès ♦rst♦s s trs réts s♣tr é♥t ♦♥t♦♥ ♦q à s à vrai s♦♥t♦♥t♥ rt♠♥t ♥s ♠ é♥értr ♦ s♦♥t rt ♥ é♥ért♦♥s trs réts é♥t ♦♥t♦♥ s♣tr à faux s♦♥t t♦s s trs rétsrst♥ts

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

qqs ♠s é♥értrs ♥tt♠♥t ♥♦♠r trsrr♦♣és s♥ ♥ ♠ é♥értr ♣t êtr ♦♥séré ♦♠♠ ♥ ♠sr ♦♠♣①té ♦♥t♦♥ ♦q ♦rrs♣♦♥♥t st rs à ♣r♥♣ ♠♦tt♦♥ rrèr s♦♥ tst♦♥ ① é♣♥s s ♦r♠t♦♥s ♣s ssqs q s♦♥t s t① érté ♦ s ①♣rss♦♥s érqs à s s ♣♦rtset t ou s qqs ①♠♣s s♥ts str♥t tt ér♥ à ♥t s♠s é♥értrs

①♠♣ ♠ é♥értr qqs ♦♥t♦♥s ♦qs às

♦♥t♦♥ ♦q à s L1 ♥q rs st é♥ ♣r ①♣rss♦♥ érqs♥t

L1(e1, e2, e3, e4, e5) ≡ e1(e2 + e3 + e4 + e5).

♦♥ t érté st ♦♥ ss s ♥s é♥t L1 à vrai s♦♥t ♦♥♥és

e1 e2 e3 e4 e5 L1

vrai faux faux faux vrai vrai

vrai faux faux vrai faux vrai

vrai faux faux vrai vrai vrai

vrai faux vrai faux faux vrai

vrai faux vrai faux vrai vrai

vrai faux vrai vrai faux vrai

vrai faux vrai vrai vrai vrai

vrai vrai faux faux faux vrai

vrai vrai faux faux vrai vrai

vrai vrai faux vrai faux vrai

vrai vrai faux vrai vrai vrai

vrai vrai vrai faux faux vrai

vrai vrai vrai faux vrai vrai

vrai vrai vrai vrai faux vrai

vrai vrai vrai vrai vrai vrai

♣r♦r s q♥③ ♥s s♦♥t t♥t ♥♦r♠t♦♥s é♥ss♥t ♦♥t♦♥ ♦q às t ♦♥t ♥ ♠ét♦ ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tq ♥r♦♥s ♥rs rtt♥r ♦♠♣t P♦rt♥t ♠ é♥értr q ♥ st éré ♥ ♦♠♣t q♥ str ♥s s♣ s ♥trés réts s♥♥t ♥s q ♦♠♣①té ré ♦♥t♦♥ ♦q st ♥ ♠♦♥r

L1(e1, e2) =1 1

♦ù e1 → e1 t e2 → e2 ; e3 ; e4 ; e5

Pr♦①♠♥t t érté ♦♥t♦♥ ♦q à s L2 é♥ ♣r①♣rss♦♥ s♥t

L2(e1, e2, e3, e4, e5) ≡ e1(e2(e3 + e4e5) + e3e4e5),

s♠ à ♣r♠èr ♠♦♥s ♦♥tr♥♥t ♣sq ♥ ♦♥t♥t ♣s q s① ♥sé♥t ♦♥t♦♥ à vrai

e1 e2 e3 e4 e5 L2

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

P♦rt♥t ♠ é♥értr ♦rrs♣♦♥♥t s♠♥t ♥é ♥ ♦♠♣①té♥ ♣rt ♥ésst tr♦s rs ♥tré réts e1 → e1 e2 → e2 ; e3t e3 → e4 ; e5 tr ♣rt ♦♠♣t ♥ tr é♥értr s♣♣é♠♥tr

L2(e1, e2, e3) =

1 2 01 1 2

tt r♥èr ♦♥t♦♥ ♦q é♠♦♥tr ♥ ♣ ♣s té q s♠s é♥értrs ér♥t s ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♦t♦s s ① ♦♥t♦♥s L1 t L2 ♦♥t ♥ ♦♠♠♥ ♥ ♥♦♠r ♠♣♦rt♥t s②♠étrs q ♣t♦♥r à r ttrr rs♣♦♥sté s ♣tt ♥♦♠r trs é♥értrs♦t♥ ♥s ①♠♣ s♥t ♠♣t rét♦♥ rs été ♥trsé♣r ♦① ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♥②♥t ♥ s②♠étr ♥tr ss rs

①♠♣ ♠ é♥értr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q s♥s s②♠étr

♦♥t♦♥ ♦q à s L3 s♥t ♥ ♥ s②♠étr

L3(e1, e2, e3, e4, e5) ≡ e1(e2 + e3e5) + e3e4(e1 + e2).

♥s s ♥q rs réts ei|5i=1 ♦♥t♦♥ s♣tr ♦rrs♣♦♥♥t s♦♥t

rt♠♥t s ♥q rs ♥trés ei s tr③ ♥s t érté ♣♦rsqs L3 t vrai s♦♥t

e1 e2 e3 e4 e5 L3

faux vrai vrai vrai faux vrai

faux vrai vrai vrai vrai vrai

vrai faux vrai faux vrai vrai

vrai faux vrai vrai faux vrai

vrai vrai faux faux faux vrai

vrai vrai faux faux vrai vrai

vrai vrai faux vrai faux vrai

ré ♠ é♥értr L3 ♦♥t♥ à r ♥ ♥♦♠r rét trs é♥értrs

L3(e1, e2, e3, e4, e5) =

1 1 0 0 01 0 1 1 01 0 1 0 10 1 1 1 0

trrs s ①♠♣s ♥ ♥ sté ♣♣♦rté ♣r ♠ é♥értr sté♥t q tr é♥értr ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♦♥t♦♥ ♠♥♠ tt♦♥ ♦♥t♦♥ ♦q s ♥ q r ♥♦♠r é t♠♥t ♦♠♣①té tt r♥èr Pr éq♥ ♥ t érté ♦♥t♥t é♠♥t s ♥♦r♠t♦♥s ♠s r♦♥♥ ♠♣♦rt♥t ♠♦ r♣rés♥tt♦♥ s ♥♦s ② rtr♦r ♠♥ ♦♥ ♥ rt♥ ①♣rts stàr s trt♠♥tss♣♣é♠♥trs tr♥sr♣t♦♥ ♥ ♠ é♥értr ♣r ①♠♣

♥ étr s s t ♦♥ ré♠♥t ♦r s♠♣té s ♠s é♥értrs st ♥éssr é♦♣♣r s ♦ts ♠té♠tqs q r s♦♥t éés

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

0 2 4 6 8 10 12 14 160

nombre de variables reduites

genera

♦♠r ♠♦②♥ trsé♥értrs ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♠r rs réts ♦r ♠♦②♥♥ k = d4 ②st s♣r♣♦sé ♥s q ♦r k = 2

♥ trs tr♠s ♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r ♦t rt♠♥t ♦r♥r ♥ ♠ é♥értr t ♥♦♥ ♥ t érté tr♥srt ♣r st ♠ê♠ ç♦♥ ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tq ♥ ♥r♦♥ ♥r r ss sstrr r♣rés♥tt♦♥ s♦s ♦r♠ t① érté t ♥s st ♣♦r t♦t t♥t ♥ ♠ é♥értr

♥s r ♥♦♠r trs é♥értrs ♠♦②♥ ♣♦r d rs réts été ①♣ér♠♥t♠♥t éé à d4 ♠♦②♥ ♥r♦♥s ♥rs à ♥trés réts ♥ ♦♠♣rs♦♥ é♦t♦♥ ♥ 2n ♥♦♠r ♥s ♥t érté réstt ♥q q ♥♦♥ s♠♥t ♥ ♠s é♥értr st♦♥stté ♠♦♥s ♥s q♥ t érté ♠s q♥ ♣s r ♥♦♠r♠♥t ♣s ♥t♠♥t ♥♦♠r rs q ♣♦r r♥r

♦r ♥♦s ♥ s♦♥s ♣s ①♣qr qtt♠♥t réstt ♦♥t s ♠♣t♦♥s sr♦♥t ♣ts ♣♦r ♦♠♣①té s ♦rt♠s ♣r♦r♠♠t♦♥♥②tq ♣rt ♥ttt♠♥t tt ér♥ s st ♣r tq ♥♦♠r trs réts é♥érés ♠♥t ♣s r♣♠♥t ♥♦♠r rs réts q ♥♦♠r trs é♥értrs

♥t♦♠ ♥ ♠ é♥értr ♥ tr sr♣t♦♥ s ♣r♦érs q ♦♥t sr st ♠♣♦rt♥t ♥tr♦r ♣srs é♥t♦♥s rts à ç♦♥ ♦♥t ♥ ♠ é♥értr st strtré

é♥t♦♥ ♥ ♥ tr é♥értr♥ és♥ ♣r r♥ ♦rr i ∈ Ji ; dK ♥ tr é♥értr ss i ♣r♠èrs♦♠♣♦s♥ts

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

é♥t♦♥ ♠ é♥értr ①trt ♠ é♥értr ①trt L ♣♦r ♥ r♥ ♣rtèr st ♦♠♣♦sé strs é♥értrs L q ♦♥t tt r♥

é♥t♦♥ ♦s♠ é♥értr s♦s♠ é♥értr L rt à ♥ r♥ ♦rr i ♦♥♥é st ♦♠♣♦sés trs é♥értrs ♠ é♥értr ①trt ♦rrs♣♦♥♥t s ♥trés♦rrs♣♦♥♥t ① r♥s ♥ ♠♦♥s ♥ ér rt♥ ♣rss ♥♦s ♣rr♦♥sé♠♥t s♦s♠ é♥értr ♦rr i ♣♦r ♣résr q st ss ♥r♥ ♦rr i Pr rs ♥ t s♦s♠ é♥értr ♥ ♣s q d − i♥trés réts

Pr ♦♥♥t♦♥ s♦s♠ é♥értr ♦rr 0 ♥ ♠ é♥értr st ♠ é♥értr ♠ê♠

①♠♣ ♥s t ♠s é♥értrs ①trts

♦t ♦♥t♦♥ ♦q +s s♥t

L4 ≡ e1e2 + (e1 + e2)(e3(e4 + e5) + e4e5).

♥s s♣ rét ♦♥stté e1 → e1 e2 → e2 e3 → e3 e4 → e4 te5 → e5 s ♠ é♥értr st

1 1 0 0 01 0 1 1 01 0 1 0 11 0 0 1 10 1 1 1 00 1 1 0 10 1 0 1 1

♦♥♦r♠é♠♥t à é♥t♦♥ ss ♥q r♥s ♦rr s♦♥t

(1 1 0

(1 0 1

(1 0 0

(0 1 1

(0 1 0

♣rès s é♥t♦♥s t s ♥q ♠s é♥értrs ①trts t s♦s♠sé♥értrs ♦rrs♣♦♥♥ts s♦♥t

♠s ①trts s♦s♠s

L4( 1 1 0 ) =1 1 0 0 0

L4( 1 0 1 ) =

1 0 1 1 01 0 1 0 1

1 00 1

L4( 1 0 0 ) =1 0 0 1 1

L4( 0 1 1 ) =

0 1 1 1 00 1 1 0 1

1 00 1

t L4( 0 1 0 ) =0 1 0 1 1

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

❯♥té ♠ é♥értr ♥ ♦♥t♦♥♦q à s

♥s ♣tr ♥♦s s♦♠♠s rrés à ♦♥s♦♥ q♥ s ♣r♦♣rétés qt ♦r ♥ ♦t ♥②tq ♣té à sr♣t♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r étt♥té ss♥t ♠s é♥értrs s♥ qà ♥ ♦♥t♦♥ ♦q às ♥ ♦t ♦rrs♣♦♥r q♥ s ♠ é♥értr q q s♦t ç♦♥♦♥t ♥ ♥r♦♥ ♥r ♦ ♥ rés rés

♣r♦r ♠ é♥értr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s t q été é♥à ♣ ért ♥té r♣rés♥tt♦♥ ♥ t érté ♦♥t stss ♥ rété ♣r♦sss rét♦♥ ♥t ♦tr ♥ é♠♦ à tt ♥tt♦♥♥ t ② ♥té ♥ ♠ é♥értr ♣♦r ♥ ♦♥t♦♥ s♣tr ♦♥♥é♦r ♣r♦♣♦st♦♥ ♣ ♠s étss♠♥t ♥té ♥ ♠é♥értr ♣♦r ♥ t érté s♣♣♦s q rét♦♥ s♣ ♥trés♦t ♦♠♣èt stàr q t♦s s r♦♣s rs s②♠étrqs ♥t été♣r♦♣r♠♥t ♥tés t réts

♥ ♣rtq ♣t rrr q ♥ s♦t ♣s s ♥♦t♠♠♥t ♦rs ♥②s♥ ♥r♦♥ ♥r ♦♥t s ♣♦s s②♥♣tqs ♥ r♥r♥t ♣s ♦♠♣t rt♥ss②♠étrs ♦s ♥ rr♦♥s ♦♥ à ♦r♠r ♣r♦♣♦st♦♥ s♥t

Pr♦♣♦st♦♥ ❯♥té ♥ ♠ é♥értr♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s L ∈ +

s n rs e1 e2 en P♦r ♥ rét♦♥ ♦♥♥é s♣ ♥tré rtérsé ♣r s rs réts e1 e2 ed ♠ é♥értr L sért ç♦♥ ♥q

é♠♦♥strt♦♥ ♦♥tr♦♥s q ① ♠s é♥értrs st♥ts L1 t L2

érts sr ♥ ♠ê♠ s♣ ♥tré rét ér♥t s ♦♥t♦♥s ♦qs à s♥éssr♠♥t ér♥ts

P♦r ♣♣♦♥s e ♥ tr é♥értr L1 ♥ s tr♦♥t ♣s ♥s L2

♦ ♥rs♠♥t s ① ♠s é♥értrs r♣rés♥t♥t ♠ê♠ ♦♥t♦♥♦q à s ♦rs e st ♥éssr♠♥t é♥éré ♣r ♠♦♥s ♥ tr é♥értr L2 ♦t e

′ ♥ t tr

P♦r s ♠ê♠ rs♦♥s e′ st ss ♥éssr♠♥t é♥éré ♣r ♥ tr é♥é

rtr L1 e′′ ♥ ♦rs e

′′⇒ e

′⇒ e q ♦♥trt ②♣♦tès s♦♥

q e st ♥ tr é♥értr L1 t ♦♥ été s ♦♥t♦♥s ♦qsà s ré♣rés♥tés ♣r L1 t L2

①♠♣ s♥t str t q♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s tr♦ ♥ értr♥ ♠ é♥értr ér♥t ♥ ♦♥t♦♥ ç♦♥ ♦♥t s♣ ♥tré strét

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

①♠♣ ♠ é♥értr ért ♥s ér♥ts s♣s♣r♥♦♥s ♠ é♥értr ①♠♣ ♣

1 1 0 0 01 0 1 1 01 0 1 0 11 0 0 1 10 1 1 1 00 1 1 0 10 1 0 1 1

♥ r♠rq♥t q e1 t e2 s♦♥t s②♠étrqs st ♣♦ss rér ♥ ♣ ♣ss♣ rét ♥t ♦♥ e1 → e1 ; e2 e2 → e3 e3 → e4 t e4 →e5 t ♠ é♥értr sért ♠♥t♥♥t

L4′ =

2 0 0 01 1 1 01 1 0 11 0 1 1

♥♥ ♥ ♥♦r♣♦r♥t s②♠étr e3 e4 t e5 à ♦♥sttt♦♥ s♣ rét ♥t e2

′ → e3 ; e4 ; e5 t

L4′′ =

2 01 2

♦♠♠ ♠♦♥tr t ①♠♣ ♣s s♣ ♥s q s ♠s é♥értrs s♦♥térts st rét t ♣s s r♥èrs s♦♥t ♦♥ss ♥s st ♥♦s ♦♥sérr♦♥s q s ♠s é♥értrs s♦♥t t♦♦rs érts ♥s ♥ s♣ ♦♠♣èt♠♥trét stàr q t♦ts s s②♠étrs r ♦♥t♦♥ ♦q à s ♦♥t étéréts tt ♥ st tt s♦sst♦♥ ♣rés♥t ♥ ♣r♦ér ♦rt♠q r♣ ♣r♠tt♥t étr♠♥r s értr ♥ ♠ é♥értr ♣têtr rét t rér ♠①♠♠ s éé♥t

tt ♦♣ért♦♥ ♦♥sst à étr s s②♠étrs ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♥ étr♠♥r s♣ rét ♣s ♣tt ♣♦ss tt ♥ ♦♣ ♠ét♦ss ①st♥t ❬♦ ♦ ❪ ♠s s s♦♥t sés sr ♦srt♦♥ ♥ t érté ♥ r♣rés♥tt♦♥ ♦♥t ♥♦s s♦t♦♥s st♠♥t ♥♦sr♥r st ♦♥ ♥éssr é♦♣♣r ♥ ♥♦ ♠ét♦ ♣r♦♣r ①♠s é♥értrs

♣rès é♥t♦♥ ♣ ♣srs rs ♥tré s♦♥t s②♠étrqs♣♦r ♥ ♦♥t♦♥ ♦q L s t s♠♥t s r L ♥ é♣♥ q ♥♦♠r♥trss ♥s ♥ étt ♦♥♥é r♠♥t tt é♥t♦♥ st é♠♥t ♥s s♣ s ♥trés réts st ♥s érr tt ♣r♦♣rété sr ①♥trés réts ♣♦r ♥ ér ♦ ♥♦♥ r s②♠étr ♣♦r ♦♥t♦♥ ♦qété

Pr♦♣♦st♦♥ ②♠étr ① rs réts① rs réts ei t ei+1 ♣♦r i ∈ J1 ; d − 1K s♦♥t s②♠étrqs ♣♦r ♥

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

♦♥t♦♥ ♦q L +s s t s♠♥t s ♥ s ♠s é♥értrs ①trts

♦rr i − 1 ér

s s♦♠♠s ei,i+1 = ei+ei+1 ♦t♥s ♣♦r q tr é♥értr ♣r♥♥♥tt♦ts s rs ♥tèrs ♣♦sss ♥tr s♦♠♠ ♠①♠ t ♠♥♠

q r ei,i+1 st ♦t♥ ♣r t♦ts s ♦♠♥s♦♥s ♣♦sss ei tei+1

s s♦s♠s é♥értrs rts à s r♥s(ei ei+1

)♦♥t s♦♠♠

ei,i+1 st ♥tq s♦♥t ♥tqs

é♠♦♥strt♦♥ s tr♦s ♣♦♥ts s♦♥t s ♠♣t♦♥s ♥trs ért♦♥ q ♣rt ♥♦r♠t♦♥ ♥ér♥t à rét♦♥ ei,i+1 → ei ; ei+1 ♥ ♠♦ ♣s ♦♥t♦♥ ♦q à s r♣rés♥té

s ♦rt♠s t ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♣s♦♦ tst s②♠étr ♦♠♠ tst ♠♥ ♦srt♦♥ s k trs é♥értrs ♠ é♥értr t q k = O(d4) ♥♦s ♣♦♦♥s ♥ ♦♥r q ♦♠♣①té t ♦rt♠ st é♠♥t ♦rr O(d4)

P♦r rér ♦♠♣èt♠♥t ♥ ♠ é♥értr t tstr s②♠étr t♦tsss rs réts ① à ① r s rs ét♥t ♦r♦♥♥és s♦♥ r ♥♥ sr r ♦♥t♦♥ ♦q qs r♣rés♥t♥t ♥② s♦♥ tstr q s s②♠étrs ♥tr ① rs réts ssss s♦rt q ssd − 1 tsts ss♥t e1 e2 e2 e3 ed−1 ed ♦♠♣①té t♦t rét♦♥ ♥ ♠ é♥értr st ♦♥ ♥ O(d5) ttr ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦ ♣s r♣ ♣♦r s ♦♥t♦♥s ♦qs à s ❬♦ ❪ rqrt♥ ♥q ♦srt♦♥ t érté t é♦ ♦♥ ♥ O(2n) ♦ù n ≥ d

♣r♦♣♦st♦♥ s♥t ét ♣r♦ér rét♦♥ ♥ ♦s q ① rsréts s②♠étrqs ♦♥t été ♥tés ❬é♥é t s♦♠s❪

Pr♦♣♦st♦♥ ét♦♥ ♥ ♠ é♥értr s ① ♥trés réts ei t ei+1 ♥ ♠ é♥értr s♦♥t s②♠étrqs♦rs tt r♥èr ♣t êtr rét ç♦♥ s♥t

♥s q tr é♥értr r♠♣r s ① ♥trés réts s②♠étrqs♣r r s♦♠♠

♥r s trs é♥értrs ♦♦♥s

♥s ♠♥♣t♦♥ ♦♥t♦♥s ♦qs ♦♠♣é♠♥tt♦♥ st ♥ ♦♣ért♦♥♥♦♥t♦r♥ q ♦♥♥t s♦r ré♣rtr sr s ♠s é♥értrs ♥t s tt ♦♣ért♦♥ s ♠♣t♦♥s trs sr ♥ t érté st ♥♣ ♠♦♥s s ♣♦r s ♠s é♥értrs

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

♦rt♠

ét♦♥ ♥♠ é♥értr

∗ ♦♥t♦♥ rérét s s②♠étrs ♥ ♠ é♥értr

Pr♠ètrs − ♠ é♥értr t ♥s t ♦♦♥♥s∗

♦♥t♦♥ rr♥♥t ④ tst s②♠étr s ① ♣r♠èrs rs t rét t♥t q st st♥tq s②♠trq ④

rr❴rs⑥

− ♥♦♠r rs réts♥tr ♥rrs ♦rr − ♦rr s s♦s−♠s é♥értrs♥tr ♦rr

tst s②♠étrs s rs ♥és ♦rr t ♦rr t♦ts s s♦s−♠s ♦rr ♦rr ♦♥t êtr s②♠étrqs s♦♥ r ① ♣r♠èrs rst♥tq ♦rr− ④

r♥s − t ♦♥t♥♥t t♦ts s r♥s ♦rr ésré♦rr♥sr♥s ①trr❴r♥s♦rr ♥rr♥s − ♥r ♥s t r♥s♥tr ♥rr♥s ♥r❴♥sr♥s

s♦s − ♥ s♦s−♠ é♥értr ♠♥rtr s♦s s♦s♠r♥s❬❪

t♥tq ♥rr♥s s②♠trqs♦s ④s♦s s♦s♠r♥❬❪

s r♥èr s♦s−♠ ♦t♥ st s②♠étrq ♦rs s s♦♥t t♦tss s②♠trqs♦s ④

rr❴rs♦rr♦rr−− ♠♥ ♠♥s♦♥ rét

⑥s♥♦♥ ④ ♦♥ tst s ① rs s♥ts

♦rr⑥

⑥⑥

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

∗ ♦♥t♦♥ s②♠trq♥q s ① ♣r♠èrs rs réts s♦♥t s②♠étrqs

♦♥t♦♥ s②♠trq♦♦♥ ④ − ♥♦♠r trs é♥értrs ♥tr ♥rtrs r♥s − t ♦♥t♥♥t t♦ts s r♥s ♦r ♦rr♥sr♥s r♥s s♦♠♠s − t s s♦♠♠s s ① rs♦rs♦♠♠s♣♦r ④

s♦♠♠s❬❪ r♥s❬❪❬❪r♥s❬❪❬❪⑥

érr q t s♦♠♠ ♦♥t♥t t♦ts s rs ♥tèrs ♥tr ❬♠♥s♦♠♠s♠①s♦♠♠s❪ ♠♦♥s ♥ ♦ss tst ④

rt♦r♥r ①⑥

♣♦r q r s♠ ❬♠♥s♦♠♠s♠①s♦♠♠s❪ t♦ts s ♦♠♥s♦♥s rr rs♣ ♥s ♥tr ♥trs ❬ r♥❪ t ❬r♥❪ ts q rrs♠ s♦♥t ♥s t s♦♠♠s♥tr s♠ ♠①s♦♠♠st♥tq s♠ ♠♥s♦♠♠s ④

s tsts♠ ④rt♦r♥r ①

⑥s♠−−

s s♦s−♠s é♥értrs ♦rr ♦t♥s ♣♦r ♥ r♥ ♦rr ❭

♦♥t s♦♠♠ s éé♠♥ts st ♥tq s♦♥t ♥tqss♠ ♠①s♦♠♠st♥tq s♠ ♠♥s♦♠♠s ④

s tsts♠ ④rt♦r♥r ①

⑥s♠−−

♦♥ rr sq ♦rs ♦♥ ♣ssé s tstsrt♦r♥r r

♦rt♠

st s②♠étr s ①♣r♠èrs rs réts♥ ♠ é♥értr

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

①♠♣ s♥t ♦♥♥ ♥ ♣r♠r ♣rç s tés és à ♥ét♦♥ ♥♠ é♥értr s♠♣

①♠♣ ét♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s s♠♣

♦t L5 ∈ +s ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♥q rs s②♠étrqs ei|

s♣tr L5 st ♦♥ ♦♥t♦♥ SL5(e) t ♥q tr é♥értr L5 st♣r ①♠♣

L5 = 2.

❱r♠♥t s♥ q L5(e) ≡ vrai ès q ♠♦♥s ① s ♥q ♥trés e s♦♥t rs tr♠♥t t L5(e) ≡ vrai s ♣s 5 − 2 = 3 ♥trés s♦♥t sss♦ ♥♦r L5(e) ≡ faux ès q ♠♦♥s qtr ♥trés s♦♥t sss♦♠♠ L5(e) ≡ faux st sé♠♥tq♠♥t éq♥t ¬L5(e) ≡ vrai s♥ q tr

(4)♣t êtr ♥tr♣rété ♦♠♠ ♥q tr é♥értr ♦♥t♦♥

♦q ¬L5 st ♦rs é♥♦♥é ♥s s♣ rét ♦r♠é ♣r r réte → ei|

st tt s♦sst♦♥ ♣♦r ♦t é♥érsr rs♦♥♥♠♥t à ♦♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♠ é♥értr q♦♥q ♥t ♥tr♦r ♦♥♣t ♠ é♥értr ♦♥♦♥t

♦♠♣é♠♥t ♥ ♠ é♥értr ♥ q ①♠♣ ♣ss ♣rîtrs♠♣t ♦rt♠ é♥ér ♣r♠tt♥t ♦♠♣é♠♥tr ♥ ♠ é♥értr♦♥♥é s♥ ét rt♠♥t sé♠♥t st ♥ ♣r♦ér rérs sr ss♦s♠s é♥értrs ♦rr ♣s ♥ ♣s éé

Pr♦♣♦st♦♥ ♦♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♠ é♥értr♦t L ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s +

s ♦♥t ♠ é♥értr L st ♦♠♣♦sés trs é♥értrs érts sr d rs réts ♥s st ♥♦ss♣♣♦sr♦♥s q ♣r♠èr r rét e1 s♣ rét ♣r♥ ss rs♥s ♥tr ♥trs J0 ;n1K

♥ st♥ ♦rs ① s r

s d = 1 ♦rs L ♥ ♦♠♣t q♥ tr é♥értr(η1

) t ♠ é♥ér

tr ♦♠♣é♠♥té st ♦♠♣♦sé ♥q tr(n1 − η1 + 1

) s ①st

s d > 1 ♦rs ♠ é♥értr ♦♠♣é♠♥té st ♦t♥ à ♣rtr s r♥s♦rr η1,1 > η1,2 > · · · > η1,k ♥ ♦r♠♥t s ①st tr é♥értr(n1 − η1,k + 1 0 . . . 0

) ♣s ♥ ♥rs♥t t♦ts s s♦s♠s é♥értrs

♦rr t ♥ r t♥t rs♣t♠♥t s ♥♦s r♥s ♦rr s♥ts n1 − η1,i|

r ♣rés tt ♣r♦ér ♦♠♣é♠♥tt♦♥

é♠♦♥strt♦♥ trrs ①♠♣ s ♦ù d = 1 st é♥t

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

e1e1 e2 . . . ede2 . . . ed

∅∅

Lk ¬L1

0 . . . 00 . . . 0η1

η1 − 1

η1 − 2

η1 − k

η1 − k − 1 n1 − η1

n1 − η1 + 1

n1 − η1 + 2

n1 − η1 + k

n1 − η1 − k + 1

♦♠♣é♠♥tt♦♥ ♥♠ é♥értr

P♦r s d > 1 s♣♣♦s♦♥s t♦t ♦r s♦r ♦♠♣é♠♥tr ♥ ♠ é♥értr d − 1 rs réts s k r♥s ♦rr r♣rés♥t♥t ♥ ♣ rs ♣♦r ♥tré rét e1 ts q ♦♥t♦♥ ♦q r♣rés♥té ♣t êtrr ♥ trs tr♠s s η1,k st ♣s ♣tt s r♥s ♦rr ♦rs ♦♥t♦♥ ♦q ♥ ♣t ♣s êtr r s e1 ≤ η1,k − 1 Pr ♦♥séq♥t tr(n1 − η1,k + 1 0 . . . 0

)st ♥ ♥ tr é♥értr ♠ é♥értr

♦♠♣é♠♥té

P♦r q r♥ ♦rr s♦s♠ ♦rrs♣♦♥♥t é♥♦♥ s ♦♥t♦♥s♣r♠tt♥t à ♦♥t♦♥ ♦q êtr r Pr ♦♥séq♥t ♥ ♦♠♣é♠♥t♥t♥ s s♦s♠s ♥♦s ♦t♥♦♥s s ♦♥t♦♥s ♣r♠tt♥t à ♦♥t♦♥♦q êtr ss ♥ ①♣r♠♥t s r♥s ♦rrs♣♦♥♥ts ♥s s♣ rét♦♠♣é♠♥té ♦♥ ♦t♥t ♠ é♥értr ♦♠♣é♠♥té

♦rt♠ st ♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♣s♦♦ ♣r♦ér ♦♠♣é♠♥tt♦♥ séré ♣r tt ♣r♦♣♦st♦♥ t♥t ♦♥♥é q q tr é♥értr♥st trté q♥ s ♦s ♦rs ♦♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♠ é♥értr ♦♠♣①té t ♦rt♠ st ♥ O(k) = O(d4)

♠ é♥értr ♦♥♦♥t ♥s ♣r♦sss ♦♠♣é♠♥tt♦♥ ♠é♥értr ♦t♥ st ①♣r♠é ♥s ♥ s♣ rét ♦ù t♦ts s rs ♥tré ♦♥t été ♥és ♥ q sr♣r♥♥t t ♦r ♥s réstt ①♣rss♦♥ ♥♣r♦sss ♦♠♣é♠♥tt♦♥ s♠r à ♦ ♦r♥ q ♦♠♣é♠♥tt♦ts s rs t tr♥s♦r♠ s s♦♠♠s ♦qs ♥ ♣r♦ts t ré♣r♦q♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t tr♦r s stt♦♥ ♥s st♦♥ s♥t

♦s rr♦♥s ♥s ♣rt ♠♥srt q ♦♠♣é♠♥t ♥ ♠é♥értr ♦ ♥ rô étr♠♥♥t ♥s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥②tq ♥r♦♥s♥rs ② sr tsé s♦s ♥ ♦r♠ tr♥t ♥s q ss rs ré

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

♦rt♠

♦♠♣é♠♥tt♦♥ ♥♠ é♥értr

∗ ♦♥t♦♥ ♦♠♣♠♥trt♦r♥ ♦♠♣é♠♥t ♥ ♠ é♥értr

♦♥t♦♥ ♦♠♣♠♥tr♠♥rtr ④ ♦♠♣♠♥t❴ − t st♦♥t ♠ ♦♠♣é♠♥té ♠♥rtr ♦♠♣♠♥t❴ − ♥♦♠r trs ♥tr ♥rtrs − ♥♦♠r rs réts ♥tr ♥rrs ♥ − r ♠①♠ ♣r♠èr r rét♥tr ♥ ♠① r♥ − r♥ ♦rr ♥ ♦rs trt♠♥t♥tr r♥ ❬❪❬❪

♣r♠r tr s ①sts r♥ ④

♦♠♣♠♥t❴❬❪❬❪ ♥ − ❬❪❬❪ ♣♦r ④

♠❬❪❬❪ ⑥

r♥ s♥tr♥

s trs s♥ts ♣♦r q r r♥♣♦r r♥❬❪❬❪ ④

s♦s − s♦s−♠ é♥értr ①trt ♣♦r r♥♠♥rtr s♦s s♦s♠r♥

♦♠♣♠♥t❴s♦s − s♦s ♦♠♣é♠♥té♠♥rtr ♦♠♣♠♥t❴s♦s ♦♠♣♠♥trs♦s

♦t ♥ ♦♦♥♥ à à ♦♠♣♠♥t❴s♦sr♠♣ ♣r r r♥ ♥ ♦rs♦♠♣♠♥t❴s♦s♦t❴r♥

♦♥t♥ ♦♠♣♠♥t❴s♦s ♦♠♣♠♥t❴♦♠♣♠♥t❴♦♥t♥♦♠♣♠♥t❴s♦s

⑥rt♦r♥r♦♠♣♠♥t❴

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

ts s♦♥t ①♣r♠és ♥s ♠ê♠ s♣ rét q ♠ é♥értr é♣rt♥ ♣♣ ♦rs ♠ é♥értr ♦♥♦♥t

é♥t♦♥ ♠ é♥értr ♦♥♦♥t ♠ é♥értr ♦♥♦♥t ♥ ♠ é♥értr L st s♦♥ ♦♠♣é♠♥t①♣r♠é ♥s s♣ rét L ♥ ♦t♥t ♥ t♥t tr♥s♦r♠t♦♥ s♥t à q ♦♠♣♦s♥t t♦ts s trs é♥értrs ¬L ηi,j ♥t

ni − ηi,j |d,ki=1,j=1 ♦ù ni|

di=1 st r ♠①♠ ♠ss r rét

ei|di=1

♣♦rt ♦q ♥s♦♠♠

♣♦rt ♦q ♥s♦♠♠ été é♥ à ♦r♥ ♥s t ♥r sr♣t♦♥ ♦q s ♥r♦♥s ♥rs s②♠étrqs ❬♦♥♥♥ t ❪ ♥str s r♥rs ♦♥ ♥ ♥♦♠r ♥trés rtrr♠♥t r♥ t s♣♦s ♥♣r♠ètr q ré éq♥t s tt♦♥ ♥s tt st♦♥ ♥♦s ♦♥s♠♦♥trr q s ①♣rss♦♥s érqs à s ♣♦rts ♥s♦♠♠ s♦♥t é♠♥t♥ ♦r♠s♠ ♣♦ss ♣♦r érr s ♦♥t♦♥s ♦qs à s résés ♣r s♥r♦♥s ♥rs

é♥t♦♥ ♥s♦♠♠❯♥ ♥s♦♠♠ ♣r♠ètr η ∈ st ♥ ♦♣ért♦♥ ♦q ♥tr ♥ rt♥ ♥♦♠r rs ♥tré st éé à vrai ès ♦rs q ♠♦♥s η s rss♦♥t ♥s étt vrai t faux s♥♦♥

tt ♦♣ért♦♥ st r♣rés♥té ♣r s②♠♦η

⊤ ♦ù ttr η st s♦♥ ♣r♠ètr n rs ♥trés s ① értrs s♥ts s♦♥t éq♥ts

⊤(e1, e2, . . . , en) ≡ (e1η

⊤ e2η

⊤ . . .η

⊤ en).

s s♦♥t t♦ts s ① s ηs♦♠♠ e1 e2 sqà en

trrs tt é♥t♦♥ s♠t ♥tr ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♥r♦♥♥r t ♥ ♥s♦♠♠ st é♥t ♥ ♣rtr t q s ① ♥t♥ s♦rt q s ès q tté ♣rç trrs s ♥trés é♣ss♥ rt♥ s rés♠ à s rtèr ♠♦♥♦t♦♥ t s②♠étrq s ①♥ttés

st ♣rés♥t qqs ①♠♣s ♦♥t♦♥s ♦qs à s érts s♣♦rts ♥s♦♠♠

①♠♣ qs értrs ts♥t ♣♦rt ♥s♦♠♠ ♦♥t♦♥ ♦q L1 é♥ ♣r

L1(e1, e2, e3) ≡ e1e2 + e1e3 + e2e3,

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

sé à vrai ès q ♠♦♥s ① rs ♣r♠ s tr♦s s♦♥t ♥s étt vrai♣rès é♥t♦♥ ♥s♦♠♠ sért ♦♥ é♠♥t

L1(e1, e2, e3) ≡2

⊤(e1, e2, e3) ≡ (e12

⊤ e22

⊤ e3).

♦♥t♦♥ ♦q L2 é♥ ♣r

L2(e1, e2, e3, e4) ≡ e1 + e2e3 + e4(e2 + e3),

st r ès ♦rs q e1 = vrai ♦ q ♠♦♥s ① s ♥trés e2 e3 t e4 s♦♥t àvrai sért ♦♥ ss

L2(e1, e2, e3, e4) ≡1

⊤(e1,2

⊤(e2, e3, e4)) ≡ (e11

⊤ (e22

⊤ e32

⊤ e4)).

Pr♦♣rétés

♣r♠r ♦r s rtèrs ♥r t ♣r♠étr ♥s♦♠♠ ♥ ♦♥t♥ ♦♣ért♦♥ ér♦t♥t ♥s s ♠♥♣t♦♥ ♥é♥♠♦♥s qqs ♣r♦♣rétésr♠rqs q ♦♥♥t étr ♥ ♠① s ♠rsr

♦♠♠ttté ❯♥ ♥s♦♠♠ st ♦♠♠tt ♣r é♥t♦♥ stàr q ♦rr ss ♥trés ♥♥♥ ♣s r s s♦rt ♥ ♣r ①♠♣

⊤ e22

⊤ e3) ≡ (e22

⊤ e32

⊤ e1).

ss♦tté ❯♥ ♥s♦♠♠ ♥st é♥ér♠♥t ♣s ss♦t ♠ê♠ ♦rsq ♠ê♠ ♣r♠ètr st tsé

⊤ e22

⊤ e3)2

⊤ e42

⊤ e5) 6≡ (e12

⊤ e22

⊤ (e32

⊤ e42

⊤ e5)).

♥ t ♥s ♠♠r t ①♠♣ ♦r e4 ≡ vrai t e5 ≡ vrai

st à r♥r ♦♥t♦♥ ♦q r ♦r ♥st ♣s s ①♣rss♦♥ ♠♠r r♦t q ♥ésst ♠♦♥s ♥ r r s♣♣é♠♥tr♣r♠ e1 t e2

é♠♥t ♥tr éé♠♥t ♥tr ♥s♦♠♠ st ♣r é♥t♦♥ r ♦♦é♥♥ faux

⊤ . . .η

⊤ en

⊤ faux ≡ e1η

⊤ . . .η

⊤ en.

é♠♥t s♦r♥t ♥s♦♠♠ ♥ ♣s éé♠♥t s♦r♥t s♥s strt tr♠ é♥♠♦♥s t♦♥ ♥ r à vrai ♥s ♥ ♥s♦♠♠ s rés♠ ç♦♥ s♥t

⊤ . . .η

⊤ en

⊤ vrai ≡ e1η−1

⊤ . . .η−1

⊤ en.

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

trrs s ① r♥èrs ♣r♦♣rétés ♥♦s s♦♠♠s ♦♥ ♥ ♠sr étr♥ rt♦♥ é♦♠♣♦st♦♥ ♥ ♥s♦♠♠ s♦♥ ♥ ss rs

Pr♦♣♦st♦♥ é♦♠♣♦st♦♥ s♦♥ ♥ r♦t ♥ ♥s♦♠♠ ♣r♠ètr η ♣♣qés à n rs ei|

ni=1 ♥ ♣t é♦♠

♣♦sr s♦♥ s ♣r♠èr r ç♦♥ s♥t

⊤ . . .η

⊤ en) ≡ ((e2η

⊤ . . .η

⊤ en) + (e1(e2η−1

⊤ . . .η−1

⊤ en)))

Pr ♦♠♠ttté ♦♥ ♣t tsr tt rt♦♥ ♣♦r tr ♥ é♦♠♣♦st♦♥s♦♥ i r

tt ♦r♠ é♦♠♣♦st♦♥ éré té♦rè♠ ♥♥♦♥ t ♣♣rîtrs ① ♦♣ért♦♥s ♦qs st♥rs et t ou ♣r♦♣♦st♦♥ s♥t ♣♦r t ♠♦♥trr q ♦♥ ♣t s♥ ♣ssr t ♥tsr q s ♥ét♦♥s t s ♦♣ért♦♥s♥s♦♠♠ ♣♦r ①♣r♠r ♥♠♣♦rt q ♦r♠ ♦q

Pr♦♣♦st♦♥ ❯♥rsté ♥s♦♠♠ ♣♦rt ♥s♦♠♠ t ♦♣ért♦♥ ♥ét♦♥ ♦r♠♥t ♥ s②stè♠ ♦♣ért♦♥s ♥rs stàr q ♥♠♣♦rt q ♦r♠ ♦q ♣t s①♣r♠r ♥ ts♥t①s♠♥t s ♦♣ért♦♥s ♥ét♦♥ t s ♣♦rts ♥s♦♠♠

é♠♦♥strt♦♥ tr♣t ♦♣ért♦♥s non ; et ; ou st ♦♥♥ ♣♦r êtr ♥rs ♥ét♦♥ s♥t ♣rt s②stè♠ ♦♣értr ♦♥t ♥rsté ♦t êtr é♠♦♥tré st ♦♥ ♠♦♥trr ♦♠♠♥t rqr ♥ et t ♥ ou à ♣rtr ♥♥s♦♠♠ ♣♦r ♣r♦r ♣r♦♣♦st♦♥

Pr é♥t♦♥ ♦♣ért♦♥ et st r ♦rsq ss ① ♥trés s♦♥t rs t ♦♣ért♦♥ ou ♦rsq ♠♦♥s ♥ st r ♦s ♥ és♦♥s ♦♥ s ① éq♥ssé♠♥tqs s♥ts

e1 et e2 ≡ (e12

⊤ e2) e1 ou e2 ≡ (e11

⊤ e2),

q ôt é♠♦♥strt♦♥

rt♦♥ é♦♠♣♦st♦♥ s♦♥ ♥ r ♣r♦♣♦st♦♥ ♣t ♦♥sérr é♠♥t

⊤ . . .η

⊤ en) ≡ ((e2η

⊤ . . .η

⊤ en)1

⊤ (e12

⊤ (e2η−1

⊤ . . .η−1

⊤ en))).

Pr♦♣♦st♦♥ t♦rst♦♥ ♥ r♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q L ♦♥t ①♣rss♦♥ érq st s♦s ♦r♠

L ≡ (η

⊤(e))1

⊤ (L12

⊤ (η−1

⊤ (e)))1

⊤ (L22

⊤ (η−2

⊤ (e)))1

⊤ . . .1

⊤ (Lk

⊤ (η−k

⊤ (e))),

♦ù k ≤ η

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

s ♦♥t♦♥s ♦qs L1 L2 Lk ér♥t L1 > L2 > · · · > Lk ♦rs L ♣ts t♦rsr ♥

L ≡ (eη

⊤ L1η

⊤ L2η

⊤ . . .η

⊤ Lk).

é♠♦♥strt♦♥ té♦rè♠ s é♠♦♥tr ♥ é♦♠♣♦s♥t sss♠♥t ①♣rss♦♥ t♦rsé s♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦qs Lk Lk−1 t

é♦♠♣♦st♦♥ s♦♥ Lk ♦♥♥

L ≡ (eη

⊤ L1η

⊤ L2η

⊤ . . .η

⊤ Lk−1)1

⊤ (Lk

⊤ (eη−1

⊤ L1η−1

⊤ L2η−1

⊤ . . .η−1

⊤ Lk−1)).

2s♦♠♠ ♥ ♣t ♣s êtr r s♥s q Lk s♦t r r Lk ≡ vrai ♠♣q ♣r②♣♦tès q s trs ♦♥t♦♥s ♦qs Li|

k−1i=1 s♦♥t rs é♠♥t (η− 1)

s♦♠♠ ♦♥t♥t ♦♥ k − 1 tr♠s rs t s s♠♣ ♥ rt ♣r♦♣rétés♦r♣t♦♥ ♥ é♥t ♦♥ ♦♥

L ≡ (eη

⊤ L1η

⊤ L2η

⊤ . . .η

⊤ Lk−1)1

⊤ (Lk

⊤ (η−k

⊤ (e))).

Pr rérr♥ é♦♠♣♦st♦♥ ηs♦♠♠ s♦♥ s ♦♥t♦♥s Li|i = 1k−1 rst♥ts ♦♥♥ ①♣rss♦♥ rré

L ≡ (η

⊤(e))1

⊤ ((η−1

⊤ (e))2

⊤ L1)1

⊤ ((η−2

⊤ (e))2

⊤ L2)1

⊤ . . .1

⊤ ((η−k

⊤ (e))2

⊤ Lk).

trs ♣r♦♣rétés ♣♦rr♦♥t êtr tr♦és ♥ ♥♥① ♠♥srt tès ♦♥♥♥ ❬♦♥♥♥ ❪

rtr ♥ ♥s♦♠♠ ♦♥t♦♥s ♦qs à s

♥ ♣r♠èr ♣♣r♦①♠t♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r rés ♥ ♦♥t♦♥ ♦q s②♠étrq t ♠♦♥♦t♦♥ ♦♥ ♣r ♥r♦♥ ♥r s②♠étrq ♣t ♦rs êtr♠♦ésé ♣r ♥ s♠♣ ♥s♦♠♠ ♦♥t ♣r♠ètr η s♦t♥t à ♣rtr ♣♦ss②♥♣tq w0 ♥tré ①r ♥r♦♥ ç♦♥ s♥t ❬é♥é tré ❪

η = 1 +

1 −w0

∑ni=1 wi

st s♠♣♠♥t ♦♠♣tr ♥♦♠r ♠♥♠ ♥trés ♥s étt vrai ♣r♠tt♥t à s♦rt ♥trr ♥s étt vrai ♥ ts♥t té♦rè♠ é♦♠♣♦st♦♥ét ♥s s♦sst♦♥ ♣réé♥t st ♣♦ss é♦♠♣♦sr tt ♥s♦♠♠

♦rsq t♦s s ♣♦s s②♥♣tqs ♦♥t s rs s♠s t q w0 ♥st ♣s ♠ ♣♦st♦♥♥é

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

⊤η−1

é♦♠♣♦st♦♥ ♥ ♥r♦♥♥r ♥ ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs

s♦s ♦r♠ ♣rés♥té ♥s éqt♦♥ stàr ♥ ts♥t qtr ♦♣ért♦♥s ♥s♦♠♠ r s q ♥r♦♥ ♥r s②♠étrq ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♣♦rt♥s♦♠♠ ♦rs ♦t êtr ♣♦ss tr ♦♣ért♦♥ ♥rs stàr trr q ♥s♦♠♠ ♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r s②♠étrq tr♠♥t t tt♥♦ értr sèr ♥ ç♦♥ ♠ttr ♥ rés qtr ♥r♦♥s ♥rss②♠étrqs s♦rt q ♦♥t♦♥ ♦q résé ♣r r♥r s♦t ♠ê♠q résé ♣r ♥q ♥r♦♥ ♥r é♣rt t ré♣r♦q♠♥t ♦rr

P♦r ♣♦s s②♥♣tq ①r q ♥r♦♥ ♥r rés sté ♥ ♦♥t♦♥ ♣r♠ètr η ♥s♦♠♠ ♦rrs♣♦♥♥t trrs rt♦♥ s♥t

w0 =(n − 2η + 1)

q tr♦r s stt♦♥ ♥s ♣rt

trrs t ①♠♣ ♥ï ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré ♥ q♦ ♦♣ért♦♥ ♦q♥s♦♠♠ st ♣r♦ ♠♦è ♥r♦♥ ♥r é♥♠♦♥s s r♥rs ♥ rés♥t ♥ ♦♣ért♦♥ ♦q ss s♠♣ q rt♠♥t rr♠♥t t s①♣r♠♥t♦♥ ♥ é♥ér s♦s ♦r♠ ♥ ♠rt♦♥ ♣srs ♣♦rts ♥s♦♠♠ s①♣rss♦♥s ♣♥t t♦t ♠ê♠ êtr ♣r♦r♠♠és s♥ ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs q r ♣r♦♣rété s♥èr ttrr ♠ê♠ r à t♦s ss♣♦s s②♥♣tqs s ♣têtr s ♣♦s s②♥♣tqs s ♥trés ①rs ♦s♦rr♦♥s tt qst♦♥ ♥s ♣rt

♥s st♦♥ ♣réé♥t ♥♦s ♦♥s ♥tr♦t ♠ é♥értr ♦♠♠ ♠♦②♥ r♣rés♥tr ♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s tt r♥èr ♣t êtr♥tr♣rété ♦♠♠ ♥ ♥s♠ ♦♥t♦♥s tt♦♥ érts ♣r s trsé♥értrs ç♦♥ s♠r ♥ ♥s♦♠♠ ♣r♠t ♠♣é♠♥tr r♣♠♥t ♥♦♥t♦♥ tt♦♥ s♠♣ ♦r ♥s ♥ r♦♣ s②♠étr ♥ ♥♦♠r ♠♥♠

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

rs à vrai ♣♦r r ♣ssr ♣♦rt ♥s étt vrai ♦s ♦♥s ♦r ♥s st♦♥ s♥t ♦♠♠♥t ♥ ♣t êtr ♠s à ♣r♦t ♣♦r tr♦r très r♣♠♥tértr ♥ ♥s♦♠♠ t ♦♥ ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs s②♠étrqs ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♠ é♥értr

❯♥ t érté ♣têtr s②♥tétsé ç♦♥ ♥q ♥ ♥ ①♣rss♦♥ érq ♣♣é ♦r♠ ♥♦r♠ s♦♥t ç♦♥ s♠r ♥ ♠ é♥értr♣têtr s②♥tétsé s♦s ♦r♠ ♥ ①♣rss♦♥ érq sés sr s ♣♦rts♥s♦♠♠ ♥s ♥ t érté q ♥ s trt ♣r ♥ ♠♥tr♠ qst ss♠é ① ♠♥tr♠s s trs ♥s ♣r ♥ ♣♦rt ou ♥s ♥ ♠é♥értr s②♥tès st s♥s♠♥t ér♥t ♣sq ♦♥é sr ♥ ♣r♦sssrérs

❯♥ tr é♥értr ♦r♠s ♥ ♦♥t♦♥s sr s ♥trés ♣r♠tt♥t tt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s s ♦♥t♦♥s s♦♥t ①♣r♠és ♣r s ♦♠♣♦s♥ts s trs é♥értrs q ♥q♥t r ♠♥♠ q s rs♥tré réts rs♣ts ♦♥t tt♥r ♥ ♣♣♥t ei,j s ♥trés r♣rés♥tés ♣r r rét ei|

di=1 tr é♥értr e =

(η1 η2 . . . ηd

)⊤ s

trt ♦♥ ♥ ♣r♦t ♣♦rts ♥s♦♠♠ s♥t (η1 η2 . . . ηd

)≡ (e1,1

η1⊤ e1,2

η1⊤ . . .)(e21

η2⊤ e2,2

η2⊤ . . .) · · · (ed1

ηd⊤ ed,2

ηd⊤ . . .)).

①♠♣ rtr ♥ ♥s♦♠♠ ♥ ♠ é♥értr ♦♥stté ♥ s tr é♥értr

♠ é♥értr ♦♥t♦♥ ♦q à s L1 é♥ ♥s ①♠♣ ♣ ♦♥t♥t ♣♦r s tr é♥értr e =

) ♣rès éqt♦♥

tt ♠ é♥értr s trt ♦♥ ♥

L1 ≡ (1

⊤e1)(1

⊤e2),

s♦t s ♥trés ♥rs ♦r♥

L1 ≡ e1(e21

⊤ e31

⊤ e41

⊤ e5)

≡ e12

⊤ (e21

⊤ e31

⊤ e41

⊤ e5).

♥s t ①♠♣ ①♣rss♦♥ ♥ ♥s♦♠♠ été ♦t♥ ♥ ♣♣q♥t s rèss♠rs à s réss♥t s②♥tès ♥ t érté ①♠♣ s♥t♠♦♥tr q st ♣♦ss r ♠①

①♠♣ rtr ♥ ♥s♦♠♠ ♥ ♠ é♥értr ♣s ♦♠♣qé

s♦♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ①♠♣ ♥ ♠ é♥értr ♦♥sttés ① trs s♥ts

e(1) =

(1 2 0

(2) =(1 1 2

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

ηi − 1

ηi − 2

ηi − k

ηi−1η1

· · ·

e1 ei−1 ei

0 0 ... 0

ei+1 . . . ed

≡ (η1⊤ e1)(

η2⊤ e2) · · · (

ηi−1⊤ ei−1)

ηi⊤ L1

ηi⊤ L2

ηi⊤ · · ·

ηi⊤ Lk)

②♥tès t♦rsé s♦♥ ♥r

♥ s②♥téts♥t sé♣ré♠♥t s ① trs râ à éqt♦♥ ♣s ♥ sré♥ss♥t ♣r ♥ ♣♦rt ou ♦♥ tr♦ ①♣rss♦♥ érq s♥t

L2 ≡ (e1(e22

⊤ e3)) + (e1(e21

⊤ e3)(e42

⊤ e5))

≡ e12

⊤ ((e22

⊤ e3)1

⊤ ((e21

⊤ e3)2

⊤ (e42

⊤ e5))).

♥ t♦rs♥t s rs e2 t e3 ♦r ♣r♦♣♦st♦♥ ♣ tt①♣rss♦♥ ♥t

L2 ≡ (e12

⊤ (e22

⊤ e32

⊤ (e42

⊤ e5))).

♦♥trr♠♥t ① ♣♣r♥s réstt ♥ ♣t ♣s êtr s♠♣é ♣sq ♦♣ért♦♥ ♥s♦♠♠ ♥st ♣s ss♦t ♦r♠ ♥ ♥s♦♠♠ ♠ é♥értr L2 st ♦♥ ♦♥stté tr♦s ♣♦rts 2s♦♠♠

s ① ①♠♣s t♥♥t à ♠♦♥trr q ♥ ♠♥èr é♥ér st ♥ r♦♣ trs é♥értrs q t rr à trr ♥ ①♣rss♦♥ érq t ♥♦♥♥ s trs sé♣ré♠♥t ♥ ♦♣ér♥t ♥s réstt ♦t♥ st ♦rs éàt♦rsé s♦rt q st ♦♥séré ♦♠♠ ♥q ♣♦r ♦♥t♦♥ ♦q ért

r ♠♦♥tr q r♦♣ trs é♥értrs ♦sr ♣♦r t♦rsr s♦♥ r rét ei|

di=1 st q s♦s♠ é♥értr ♦rr i − 1

tt t♦rst♦♥ t ♥tr♥r s s♦s♠s é♥értrs ♦rr i ♥♦♠♠ésL1 L2 Lk q ♣♥t ♦♥ êtr ♣ré♠♥t s②♥tétsés ♠ê♠ ♠♥èr t ♥s st

♣r♦éé s②♥tès rérs srrêt ♦rsq s s♦s♠s é♥értrs ♥tr♥♥t ♦rs t♦rst♦♥ ♣♥t êtr trtés rt♠♥t stàr ♦rsqs♥ é♣♥♥t ♣s q ♥ s r rét ①♣rss♦♥ érq st ♦rss♠♣♠♥t ♥ ♦♣ért♦♥ ♥s♦♠♠ sr tt r

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

t♣s ♠s s♦s ♦r♠♥ ♥s♦♠♠ ♠

é♥értr ①♠♣

2 0 0 0 0

1 1 0 0 0

1 0 1 1 0

1 0 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 1

2 0 0 0

1 1 1 0

e12⊤ (e2

1⊤ (e3

2⊤ (e4

1⊤ (

1⊤(e5)))))

2⊤ (e2

2⊤ (e3

2⊤ (

1⊤(e4))))

♦r♠ ♥ ♥s♦♠♠ st ♦♥ réstt ♥ ♦rt♠ rérs ♦♥t ♣r♥♣st résr s②♥tès t♦rsé ♥térté s trs é♥értrs ♥t étr ♣r♦ér ♦rt♠q ♥s ♦t♥ tt r♥èr st stré ♣r♥ ①♠♣ q r♣r♥ ♠ é♥értr ①♠♣ ♣

①♠♣ ♦r♠ ♥ ♥s♦♠♠ ♥ ♠ é♥értr ♠ é♥értr à s②♥tétsr st s♥t

L3(e1, e2, e3, e4, e5) ≡

1 1 0 0 01 0 1 1 01 0 1 0 10 1 1 1 0

r ♠♦♥tr ♦♠♠♥t s str♥t s ♥♠♥ts rérss ♣r♦ér s②♥tès réstt ♦t♥ st

L3 ≡ (e12

⊤ (e21

⊤ (e32

⊤ (e41

⊤ (1

⊤(e5)))))2

⊤ (e22

⊤ (e32

⊤ (1

⊤(e4))))).

P♦r ② ♣r♥r t r à ttrr ♦♥ ♣r♠ètr ① ér♥ts ♦♣ért♦♥s♥s♦♠♠ ♥s r s r♥rs s♦♥t rés rt t ♦rrs♣♦♥♥t ①rs s r♥s ♦rr ♦♥t s s♦s♠s é♥értrs s♦♥t ♦♥t♦♥ ♦qvrai q s r♥rs ss♥t t♠♥t ♣rt ♠ é♥értr ♦ ♥♦♥ st♣r ①♠♣ s t♦rst♦♥ e1 q ♠♥ s②♥tès ♣ré ♦♥t♦♥ ♦q ♦t♥ ♣♦r e1 = 1 t ♦t♥ ♣♦r e1 = 0 t q ré♥ t♦t ♥ ♣♦rt 2s♦♠♠ ♥ q tr

(2 0 0 0 0

)⊤ ♥ ss ♣s

♣rt ♠ é♥értr

♦r♠ ♥ ♥s♦♠♠ ♥ ♠ é♥értr ♦♠♣èt st ♦♥ réstt ♥s②♥tès t♦rs♥t rérs♠♥t t♦ts s rs réts s♣ ♥tré♦rt♠ st ♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♣s♦♦ tt s②♥tès ♦♠♣①té st éé ♥s r ♣r ♥♦♠r ♥♠♥ts rérss ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♠r trs é♥értrs k ♠ é♥értr tst résé sr ♥r♦♥s ♥rs ②♥t à ♥trés réts t ♦t♥s ét♦r♠♥t♠♦♥tr q ♦♠♣①té st ♥ O(k) stàr ♥ O(d4)

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠ ⑤ ♣tr

0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

2.5x 10

nombre de vecteurs generateurs

lancem

recurs

♦♠r ♥♠♥tsrérss ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♠r trsé♥értrs ttr ♦♠♣rs♦♥ r♦ty = 2k st é♠♥t tré

♦rt♠ ♣rés♥té à ♥ tt st♦♥ ♣r♠t s②♥tétsr ♣r t♦rst♦♥s rérss ♥ ♠ é♥értr s♦s ♦r♠ ♥ ①♣rss♦♥ érq♦♠♣♦sé ♣♦rts ♥s♦♠♠ ♥ s♣♣♦s♥t s♣♦sr ♠ é♥értr ♥♥r♦♥ ♥r ♣r♠r réstt ♣r♠t ♦♥ ①♣r♠r s♦s ♦r♠ ♣srs ♣♦rts ♥s♦♠♠ stàr ♣srs ♥r♦♥s ♥rs s②♠étrqs ♦♥♥tés s ♥s ① trs ♦r s♦sst♦♥ ♣ ♦s♠♦♥trr♦♥s ♥s ♣rt s♥t q rés ♥r♦♥s ♥rs q ♥ é♦st q rés ♠ é♥értr ②♥♠q ♣s

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

♦rt♠

s s♦s ♦r♠ ♥ ♥s♦♠♠

♥ ♠ é♥értr

∗ ♦♥t♦♥ t♦rsr ①♣rss♦♥ érq t♦rsé ♥ ♠ é♥értr

Pr♠ètrs − t ♦♥t q ♥ st ♥ tr é♥értr − ♥♦♠r rs réts − ♥♦♠r trs é♥értrsr − ♥ r rét t♦rsé∗

♦♥t♦♥ t♦rsrr♥♥t ④ ♣rt − r tr é♥értr r♦♣ trt♥t ♥tr ♣rt ♣r♠tr − r ♣r♠ètr ♥−s♦♠♠ é♥tr ♣r♠tr trtrt − ♥ ♣r♦r♥t s trs é♥értrs♥tr trtrt ♥rtr − ♥♦♠r trs é♥értrs s♥tr ♥rtr

s s ♣r♦sss rérs ♥ s r réts ④

♣r♠tr ❬❪❬❪r♣r♠tr①r

⑥s♥♦♥ ④

s ♥♦r♠ ♣r♦sss rérss s♦♠♠❬❪❬❪ ④

tr t②♣ ♥ ♣r♠tr ❬❪❬❪♣rt

⑥s♥♦♥ ④ trs s

♣r♠tr ❬❪❬❪♣rt

r①r♣r♠tr

trtrt ♣rt

♥♠♥t rérs sr s ♦♥t♦♥s ♦qs t♥tq trtrt ④

s♦s − st♦ ♠ é♥értr ♦rs♦s♥rtr

t♥tq ❬trtrt❪❬❪ ❬♣rt❪❬❪ ④ ♦♣ tr é♥értr♣♦r ④

s♦s❬trtrt❪❬❪ ❬trtrt❪❬❪⑥trtrt♥rtr

t♦rsrr−♥rtrs♦strrs♦s♣rttrtrt

⑥⑥

9Analyse

d’un neurone binaire

♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r ♦♥sst ♥ étr♠♥t♦♥ ♦♥t♦♥♦q q rés trrs ss n ♣♦s s②♥♣tqs t s♦♥ ♣♦s s②♥♣tq ①r ♠ét♦ ♣s ♠♠ét st s♥s ♥ ♦t r♠

♣ss ♥ ♣rès ♥ ♥ t érté rs♠♥t ♥s ♦♣tq♥ r♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥ ♥r ♥s ♥②sé s ♣trs ♣réé♥ts ♦♥t♠♦♥tré q tt r♣rés♥tt♦♥ s♦rt ♣srs ♥♦♥é♥♥ts ♥ t s t érté ért t♠♥t ç♦♥ ♦♥♥ ♦♥t♦♥ ♦q résé♣r ♥ ♥r♦♥ ♥r s strtr ♥ st ♥é♥♠♦♥s ♦♣ tr♦♣ é♦♥é ♣♦r♣r♠ttr ♥ rrt♦r ♥tr ♥ ①♣rss♦♥ ♣r♠♥t ♦q t s ♣♦ss②♥♣tqs

♦♥trr ♣tr ♣réé♥t ♠♦♥tré q tst♦♥ s ♠s é♥értrs♣r♠ttt rstr très ♣r♦ ♥ ♦r♠ ♠♣é♠♥té ♥ ♥r♦♥ ♥r Pr s t♦rst♦♥ st ♣r ①♠♣ très r♣ ♣r♦r♠♠r ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs rés♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ért s♦s tt ♦r♠Pr rs ♥♦♠r trs é♥értrs ♦♠♣ré ♥♦♠r ♥s♥ t érté ss ♣résr ♥ t♠♣s ♠♦♥r ♣♦r ♥r♦♣ért♦♥s

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

s ♠♥èr ♦t♥r ♠ é♥értr ♦♥t♦♥ ♦q ♥ ♥r♦♥♥r étt ♣ssr ♣r s♦♥ t érté ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s t ♥s ♣tr ♣réé♥t ♦rs é♥é srt ♦♠♣èt♠♥t ♥♦②é ♦r ♥é ♥s ♠ss ♦♣ért♦♥s q tt tr♥sr♣t♦♥ ♥♥rt st ♣r ♦♥séq♥t♥éssr réér à ♥ ♦rt♠ ♥②s ♥r♦♥s ♥rs ♦♥t résttsrt rt♠♥t ♥ ♠ é♥értr

♥s ♣tr s ♣r♥♣s ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ t ♦rt♠ ♥②s s♦♥t♣rés♥tés ♦♠♠ ♦♥s♦♥ tt ♣rt râ à t ♦rt♠ ♥♠♣♦rt q♥r♦♥ ♥r ♣t êtr ♥②sé ♥ ♥ ♠ é♥értr ♦♥t ♥♦s ♠♦♥trr♦♥s♥s ♣rt q ♠♥♣t♦♥ ♣r♠ttr ♦sr s ♣r♦♣rétés ♥r♦♥♦ rés ♥r♦♥s q ♥ sr éré

Pr♥♣s ♦rt♠

tt à ♥r s ♥trés éqts ♦♥♦r♠é♠♥t ♣r♥♣ s♦r♣t♦♥ s♥ ♣tr à ♣ ♥♦s s♣♣♦s♦♥s s♣♦sr ♥ ♥r♦♥ ♥r ♦♥t t♦s s♣♦s s②♥♣tqs s ♣têtr w0 s♦♥t ♣♦sts Pr rs ♥♦s r♣♣♦♥s q♥♦s ts♦♥s ♥s♠ ♥r 0 ; 1 ♦♠♠ r♣rés♥tt♦♥ s rs ♦♦é♥♥sfaux t vrai ♦s s ②♣♦tèss ♦♥t♦♥ ♦q résé ♣r ♥ ♥r♦♥ ♥rs é♥t ♣r

L:n −→

e1, e2, . . . , en 7−→ H

s ♥ ♦r♠ ♥r♦♥ ♥r

r♣rés♥tt♦♥ ♥ ♠s é♥értrs st ♦♥strt à ♣rtr ♦♥t♦♥ s♣tr♥ ♦♥t♦♥ ♦q ♦♥♥t ♦♥ ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s tr♥s♣♦sr s♥trés ♥r♦♥ ♥r à ♥②sr ♥ ♥trés réts tt ♦♣ért♦♥ s♦s♥t♥① ét♣s rér q r♦♣ ♥trés s②♠étrqs ♥ ♥ r rét ♦r♦♥♥r s ♥trés réts ♥ ♦♥t♦♥ r ♥♥ sr s♦rt ♥r♦♥ s ① ét♣s s♦♥ st ♥é♥♠♥t ♣s s♠♣ st ♥ t ♦♠♣rr r s ♣♦s s②♥♣tqs ss♦és à ♥ s ♥trés ♣♦r♥tr sqs s♦♥t s ♣s ♥♥ts ♣s ♣♦s s②♥♣tq ♥ réé t ♣s s♠♥t ♥tré ♦rrs♣♦♥♥t ♥s ♠♦r s♦rt

♥ r♥ ♣r♠èr ét♣ ♥ésst qqs érss♠♥ts st é♥tq ① ♥trés sr♦♥t s②♠étrqs s rs ♣♦s s②♥♣tqs s♦♥t é① tt♦♥t♦♥ ♥st ♣♦rt♥t ♣s ♥éssr t ① ♥trés ♦♥t s ♣♦s s②♥♣tqs ♥

♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r ⑤ ♣tr

s♦♥t ♣s ss♠♠♥t ér♥ts ♣♥t ♣rt♠♥t êtr s②♠étrqs tés st ♥s ♠♥t tt ér♥ q é♣♥ é♥♦r♠é♠♥t r w0 ①♠♣ s♥t ♠♦♥tr qss ♣tt q ♣ss êtr st t♦♦rs♣♦t♥t♠♥t ss♥t ♣♦r rsr s②♠étr ♥tr s ♥trés ♦rrs♣♦♥♥ts

①♠♣ ②♠étr ① ♥trés

♦t ♥ ♥r♦♥ ♥r ♦♥t s♦rt st é à ♣rtr s tr♦s ♥trés e1 e2 te3 t s ♦♥ts ♣♦♥ért♦♥ ♣♦sts w1 w2 ≪ w1 t w3 = w2 + ǫ ♦ù ǫ st ♥ré ♣♦st rtrr♠♥t ♣tt ♣♦s s②♥♣tq sr♥t s ♣r ①♠♣ r s♥t w0 = −w1 − w2 −

t érté ♦rrs♣♦♥♥t à ♥r♦♥ ♥r st

e1 e2 e3 A(e1, e2, e3) s♦rt0 0 0 −w1 − w2 −

ǫ2 faux

0 0 1 −w1 + ǫ2 faux

0 1 0 −w1 −ǫ2 faux

0 1 1 −w1 + w2 + ǫ2 faux

1 0 0 −w2 −ǫ2 faux

1 0 1 ǫ2 vrai

1 1 0 − ǫ2 faux

1 1 1 w2 + ǫ2 vrai

♥s t st ♦♥sttr q s ♥trés e2 t e3 ♥ s♦♥t ♣s s②♠étrqs ♣sq s ♥s t ♥ ♦♥♥♥t ♣s ♠ê♠ réstt ♥ r♥ s ♣♦s s②♥♣tq w0 t r −w1 − 2w2 ♦rs t érté s srtért

e1 e2 e3 A(e1, e2, e3) s♦rt−1 −1 −1 −w1 − 2w2 faux

−1 −1 +1 −w1 − w2 + ǫ faux

−1 +1 −1 −w1 − w2 faux

−1 +1 +1 −w1 + ǫ faux

+1 −1 −1 −2w2 faux

+1 −1 +1 −w2 + ǫ faux

+1 +1 −1 −w2 faux

+1 +1 +1 ǫ vrai

ért ♥tr s ♣♦s s②♥♣tqs w2 t w3 ♥ q♥tq s ♣réé♥t ♥st♣s ss♥t ♣♦r rsr s②♠étr ♥tr e2 t e3

♥s♥♠♥t à trr t ①♠♣ st ♠♣♦ssté r s②♠étr ① ♥trés ♣r s r r ♣♦s s②♥♣tq ♥ trs tr♠s rét♦♥ s ♥trés ♠♥ ♣r♦r tstr s②♠étr t♦ts s ♥trés① à ① ♥ ♦♣ért♦♥ q ♠♥ ♣ré ♥ t érté q st st♠♥t q ♥♦s ♦♦♥s étr

étr♠♥r s s②♠étrs tr♠♥t q ♣r s♠♣ été s ♣♦s s②♥♣tqsst ♦♥ ♥ ♦♣ért♦♥ q r êtr té ♣♦stérr♠♥t ♠é♥értr à ♦rt♠ rét♦♥ ♣tr

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

♥ é♥t ♠s ♥ ♦r♠ s ♥♦r♠t♦♥s s ♠t ♦♥ à rér s ♥trései|

ni=1 ②♥t ♠ê♠ r ♣♦s s②♥♣tq ♣s à ♥r s d ♥trés réts

♦t♥s t s♦rt q s ♦♥t ♥ st ♣s éé s♦♥t ♣♦♥érés ♣r ♣♦s s②♥♣tq ♣s ♥s st♦♥ s♥t ♥♦s ♣♣r♦♥s ♦♥wi|

di=1 ♣♦s s②♥♣tq ♥tré rét ei|

di=1 ♣s s i < j ♦rs wi > wj

s trs é♥értrs

♥s ♣tr ♥ é♥t♦♥ éq♥t ♥ tr é♥értr été ♦r♠é ♥ tr é♥értr ♦♥t♦♥ ♦q L st ♥ tr rét e s♣rét t q L(e) ≡ vrai t t q t♦t tr e

′ ♦t♥ ♥ ♠♥♥t ♠♦♥s♥ s ♦♠♣♦s♥ts e é L à faux

Pr♠r tr é♥értr ès ♦rs ♥ ♣r♠r tr é♥értr ♥r♦♥♥r é♥ ♣r w0 t s wi|

di=1 s♦t♥t très ♠♥t ♥ r♥t r e(+)

à ♣rtr q tr e(1) =

1 0 . . . 0)

⊤ é s②sté♠tq♠♥t ♥r♦♥ ♥r à vrai éqt♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥r♦♥ ♥r ♠♣qq tt r ér à ♦s s ① éqt♦♥s s♥ts

w1e(+)

1 > −w0, w1(e(+)

1 − 1) ≤ −w0.

♣♦s s②♥♣tq w1 ét♥t strt♠♥t ♣♦st r♥t à ♣♦st♦♥♥r e(+)

♦♠♠ s ♥tr ♥tr s♥t

w1< e(+)

1 ≤ 1 −w0

t ♥r♠♥t ♣r♠t ①♣r♠r r e1(+) à ♦♥t♦♥ rr♦♥

♥érr

e+1 = 1 −

♥ s♣♣♦s♥t q tt r ♠♥♠ ♣ss êtr t♠♥t tt♥t ♣r ♣r♠èr ♥tré rét ♦rs tr e

(1) st ♣r ♦♥strt♦♥ ♥ tr é♥értr ♥r♦♥ ♥r ♣s ét♥t ♦♥♥é q s trs é♥értrs ♥♠ é♥értr s♦♥t ♦r♦♥♥és ♥s ♦rr ①♦r♣q ér♦ss♥t ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥r q e

(1) ♥ st ♣r♠r tr é♥értr ♥ t é♥èr t♦ss trs q ♣♦rr♥t êtr ssés ♥t

①è♠ tr é♥értr tr é♥értr s♥t s♦t♥t ç♦♥très s♠r ♣r♦sss é♥ért♦♥ ♠♣q q ♦♠♣♦s♥t e1 t♦s strs trs é♥értrs r ♥ r strt♠♥t ♣s ♣tt q e(+)

1 ♥ t ♣r♠èr ♦♠♣♦s♥t ①è♠ tr é♥értr ♠ é♥értr

♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r ⑤ ♣tr

♦t ♦r ①t♠♥t e(+)

1 − 1 ♥s s ♦♥trr s♥rt ♥ t q ♦♥trt♦♥ ♠①♠ ♦♠♥é t♦ts s trs ♥trés réts ♥st ♣sss♥t ♣♦r ♦♠♣♥sr ♣ss e1 = e(+)

1 à e1 = e(+)

1 − 1 t étt s ♠ é♥értr ♥ ♦♠♣trt ♣s trs trs é♥értrs

tr é♥értr e(2) sért ♦♥

((e(+)

1 − 1) e(+)

2 0 . . . 0)

⊤ t stst s① éqt♦♥s s♥ts ♦ù w(1)

0 = w0 + w1(e(+)

1 − 1)

w2e(+)

2 > −w(1)

0 , w2(e(+)

2 − 1) ≤ −w(1)

♥ ♥♦s ♥s♣r♥t rés♦t♦♥ q ♦♥t à r e(+)

1 ♥♦s ♣♦♦♥s ♥ér r e(+)

2 = 1 −

⌊w(1)

= 1 −

1 − 1)⌋

♥s ♠sr ♦ù ①è♠ ♥tré rét ♣t tt♥r tt r ♠♥♠e

(2) st ♣r ♦♥strt♦♥ ①è♠ tr ♠ é♥értr

é♥érst♦♥ s♠t ♥tr s ① ♦♥strt♦♥s st s♥ ♥ ♣r♦sss rérs s♥t à rtr♦r ♠ é♥értr ♥ ♥r♦♥ ♥r d♥trés réts à ♣rtr s ♣srs ♥r♦♥s ♥rs ①trts ②♥t♥ d − 1 ♥trés réts ①è♠ tr é♥értr é sèr ♥sêtr ♣r♠r tr ♠ é♥értr ♦t♥ rérs♠♥t ♣♦r ♥r♦♥ ♥r ①trt ②♥t ♣♦r ♥trés réts ei|

di=2 t ♦♥t ♣♦s s②♥♣tq

①r st w(1)

trt♠♥t r rét e1 ♣r♦♦q ♥s ♣srs ♥♠♥ts rérsst♥t ① ♥r♦♥s ♥rs ①trts s ♣♦s s②♥♣tqs ①rs s♥ts w0

(1) = w0 + w1(e(+)

1 − 1) ♣♦r e1 = e(+)

1 − 1 w0

(2) = w0 + w1(e(+)

1 − 2) ♣♦r e1 = e(+)

1 − 2 w0

(e(+)1 ) = w0 ♣♦r e1 = 0

s ♠s é♥értrs ♦t♥s ♣♦r s ♥r♦♥s ♥rs ①trts s♦♥t ♦rs♦♥sttés trs é♥értrs d−1 ♦♠♣♦s♥ts ♦♠♣♦s♥t ♠♥q♥tst s♠♣♠♥t r ♥tré e1 ♣♦r q ♣♦s s②♥♣tq ①r♦rrs♣♦♥♥t été é

♣r♦sss rérs ♣r♥ ♥tr♠♥t ♥ ♦rsq st rtr♦r ♠é♥értr ♥ ♥r♦♥ ♥r ①trt ♦♥stté ♥ s ♥tré rét ♥qtr é♥értr q ♦♥t♥t st ♦rs éq♥t ♣r♠r tr é♥értr ♦t♥ ♣♦r s é♥ér

①♠♣ ♥ ♠ é♥értr s♠♣♦t ♥r♦♥ ♥r ♦♥stté s qtr ♥trés e1 e2 e3 t e4 rs♣t♠♥t♣♦♥érés ♣r w1 = 2 w2 = 3 w3 = 2 t w4 = 3 t ♦♥t ♣♦s s②♥♣tq ①rst w0 = −3,75

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

♠s ♥ ♦r♠ ♥r♦♥ ♦♥t à tsr s ① rs réts s♥ts♦♥t ♦rr s ♥s st ①é ♣r s ♣♦s s②♥♣tqs ♦rrs♣♦♥♥ts (e1, w1 = 3) ♣♦r e2 t e4 (e2, w2 = 2) ♣♦r e1 t e3 ♣r♠r tr é♥értr st é à ①♣rss♦♥

e(1) =

♦♥ ♦r ♥r ♥②s rérs♠♥t sr s ① ♥r♦♥s ♥rs ①trts♦♥sttés ♥tré rét rst♥t e2 rs♣t♠♥t ♣♦r w(1)

0 = −0,75 se1 = 1 t w(2)

0 = −3,75 s e1 = 0

♣r♠r tr é♥értr ♣r♠r ♥r♦♥ ♥r ①trt s♦t♥t é♠♥t ①♣rss♦♥ é♥♠♦♥s ♥st ♣s sr ♥tré rét e1 q st ♣sq ♥r♦♥ ♥r ①trt ♥ s♣♦s ♣s tt ♥tré ♠s♣tôt sr e2 q ♦♥♥ tr é♥értr

e(2) ′ =

♦♠♠ ♥② q♥ s ♥tré rét ♥② ♣s ♥②s rérs s♣♣é♠♥tr t ♠ é♥értr ♥r♦♥ ♥r ①trt st s♠♣♠♥t ♦♥stté tr e

(2) ′ st tr♥s♦r♠é ♥ tr é♥értr ♥r♦♥ ♥r ♦r♥♥ ♦t♥t ♥ ♣r♠èr ♦♠♣♦s♥t ♦♥t r st q t ♣r♠s♦t♥r w(1)

0 ♥②s rérs ♣r♠r ♥r♦♥ ♥r ①trt ♥r ♦♥ ♠ é♥értr tr é♥értr s♥t

e(2) =

s♦♥ ♥r♦♥ ♥r ①trt s trt ç♦♥ s♠r ♦♥ ♥q tré♥értr st

e(3) ′ =

♦♠♠ ♥r♦♥ ♥r ①trt st ♦t♥ ♣♦r e1 = 0 tr♦sè♠ t r♥rtr é♥értr ♥r♦♥ ♥r ♦r♥ st ♦♥

e(3) =

♥r♦♥ ♥r ①trt ♥ q♥ s ♥tré t ♥ ♣r♦♦q ♣s ♥♦♥ ♣s ♥②s rérs

♠ é♥értr ♦♥t♦♥ ♦q L1 résé ♣r ♥r♦♥ ♥r é♥♣r w t w0 st ♦♥ ♦♥stté s tr♦s trs é♥értrs s♥ts

2 01 10 2

♣r♥♣ ♦rt♠q ért ♥s st♦♥ ♣réé♥t ♣rés♥t ♥t êtr♦♠♣èt♠♥t étr♠♥st ♥s s♥s ♦ù ♥ rqrt ♥ ♦♣ért♦♥ ♦♠♣rs♦♥ Pr ♦♥tr ♥♦♥é♥♥t r ♦♣ trs é♥értrs

♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r ⑤ ♣tr

s♣rs stàr s♥t ♥tr♥r s rs tr♦♣ éés ♣♦r ♥ ♦ ♣srs rs ♦♠♣♦s♥ts ♥ t r♥ ♥ r♥t q réstt ①♣rss♦♥ tsé ♣♦r ♦♥strr ♣r♠r tr é♥értr q ♥②s s♦t ♥s♥tr s rs ♠sss ♣♦r ♥tré rét ♦♥r♥é t ♥st ♣s s ♦rs tr é♥értr ♦t♥ ♥①st ♣s ♥ rété st s♣r

Pr ①♠♣ s ♣♦s s②♥♣tq ①r ①♠♣ t été ①é à −14♦rs ♣r♠r tr é♥értr rt été

e(1) =

♥ q ♥tré rét ♦rrs♣♦♥♥t e1 ♥ ♣ss ♦r q 2 ♠①♠♠ tr é♥értr ♥s q t♦s ① ②♥t ♥ r strt♠♥t s♣érr à 2♦♠♠ ♣r♠èr ♦♠♣♦s♥t ♦♥t ♦♥ êtr rtrés ♠ é♥értr ♥t ♥r♦♥ ♥r

rs♠♥t s trs é♥értrs s♣rs ♥ r♠tt♥t ♣s ♣♦r t♥t ♥s té s trs é♥értrs s♥ts tr ♥t s♥♦♠r① trs st ♦♥ ♣r♠♥t ♥ qst♦♥ ♦♣t♠st♦♥ ♦rt♠q

♥ és♥♥t ♣r n1 r ♠①♠ q ♣t ♣r♥r ♥tré rét e1 st ♦rs ♦♠♣rr réstt ①♣rss♦♥ e(+)

1 > n1

♦rs tr e(1) =

1 0 . . . 0)

⊤ ♥ t ♣s ♣rt ♠ é♥értrt s ♥♠♥ts rérss ♦♥t ♦♠♠♥r sr ♥r♦♥ ♥r ①trt ♣♦re1 = n1 ♥s s ♦♥trr tr e

(1) t ♣rt ♠ é♥értr t ♣r♠èr ♥②s rérs sr ♥r♦♥ ♥r ①trt ♣♦r e1 = e(+)

1 − 1♦♥♦r♠é♠♥t à st♦♥ ♣réé♥t

ç♦♥ s♠r st ♦rt ♣r♦ q rt♥s ♥r♦♥s ♥rs ①trts ♣♦r srs tr♦♣ s e1 ♥ ♣ss♥t ♣s êtr rs t ♥t ♥ ♠ é♥értr st ♣r ①♠♣ s ♥r♦♥ ♥r ①♠♣ w0 = −4,75 ♣r♠r tr é♥értr st t♦♦rs e

(1) =(2 0

)⊤ t♥s q ♣r♠r

♥r♦♥ ♥r ①trt ♦t e(2) =

)⊤ ♣rès st♦♥ ♣réé♥t ♥

r♥èr ♥②s rérs ♦t êtr ♥é sr ♥r♦♥ ♥r ①trt ♣♦r e1 = 0 st ♣♦rt♥t é♥t q r♥r ♥ ♣♦rr ♠s êtr r P♦r q s♦t rt ♥ t ♣♦♦r ♠♥tr ♥♦r ♣s r e2 ♥ ♦♠♣♥sr ♣ss e1 = 1 à e1 = 0 q st ♠♣♦ss ♣sq st éà à s♦♥ ♠①♠♠♥s e2

①st ♦♥ ♥ r ♠t e(−)

1 ♥ç q ♥st ♣s ♥éssr ♥②sr s ♥r♦♥s ♥rs ①trts tt r♥èr st ♦♥♥é ♣r ♠s ♥ éqt♦♥ t q ♥r♦♥ ♥r ①trt ♣♦r tt r ♣t ♥♦r êtr r t♥sq ♥ ♣t ♣s êtr ♣♦r e(−)

1 − 1

w1e(−)

wini > −w0 t w1(e(−)

1 − 1) +

wini ≤ −w0,

①è♠ ♣rt ⑤ ♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

♦ù s rs ni|di=2 s♦♥t s rs ♠①♠s ♠sss ♣♦r s ♥trés réts

ei|di=2

r e(−)

1 ♦rrs♣♦♥ ♦♥ s ♥tr ♦♠♣rs ♥s ♥tr

< e(−)

1 ≤ 1 −1

s①♣r♠ ♦♥ ♦♠♠ e(+)

1 ♠♦②♥ ♦♥t♦♥ rr♦♥ ♥érr

e(−)

1 = 1 −

♥ ♦♥s♦♥ ♠ét♦ ♥②s ért ♥ ♣s♦♦ ♣r ♦rt♠ ♦t t♦t ♦r r s ① rs e(+)

1 t e(−)

1 ♥ ts♥t rs♣t♠♥ts ①♣rss♦♥s t r ♦rs ♥r rérs♠♥t ♥②s s♥r♦♥s ♥rs ①trts ♣♦r e1 ∈

qmin(e(+)

1 − 1, n1) ;max(0, e(−)

1 )y P♦r tt

r rét ② ♦♥ ♣r n1 + 1 ♥♠♥ts rérss q ♠♣q ♥♦♠♣①té ♦ ♥ O(

∏di=1(ni + 1)) ≤ O(2n)

râ à t ♦rt♠ t♦t ♥r♦♥ ♥r ♣t êtr trt ♥ ♠ é♥értrt r ♦t ♥ ♦♣t♠st♦♥ ♣r ♥ s ♠ét♦s ①♣♦sés ♥s ♣rts♥t

♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r ⑤ ♣tr

∗ ♦♥t♦♥ ♥②srt♦r♥ ♠ é♥értr ♥ ♥r♦♥ ♥r

Pr♠ètrs❲ − t tré s ♣♦s s②♥♣tqs s ♥trés réts① − t s rs ♠①♠s s ♥trés réts − ♣♦s s②♥♣tq ①r − ♥♦♠r ♥trés réts ∗

♦♥t♦♥ ♥②sr❲①♠♥rtr ④ ①♠♥ − r ♠♥♠ ①♥tr ①♠♥ − ♦♦r❲❬❪ ①♠① − r ♠①♠ ①♥tr ①♠① − ♦♦r❲❬❪ s♦♠♠❲❬❪❲❬❪ ①trt♦♥ − r ① ♣♦r q ♥ ♥r♦♥ ♥r st ①trt♥tr ①trt♦♥ ♠ − ♠ é♥értr ♦♥strt s♦s−♠ − ♠ é♥értr ♥ ♥r♦♥ ♥r ①trt♠♥rtr ♠ ♠♥rtr s♦s−♠

tst ①st♥ ♣r♠r tr é♥értrs ①♠♥ ①❬❪ ④

①trt♦♥ ①❬❪⑥s♥♦♥ ④

①trt♦♥ ①♠♥ − ♠ ④①♠♥⑥

♥♦❴ − ♣♦s s②♥♣tq ①r ♥r♦♥ ♥r ①trt♦tt♥t ♥♦❴ − ①trt♦♥ ∗ ❲❬❪

♣♦r ①♠♥①♠① ④ ♥♠♥t rérss♦s−♠ ♥②sr❲①♥♦❴−

♦t ♣r♠èr ♦♠♣♦s♥t à q trss♦s−♠♦tr❴tt①trt♦♥

♦♥té♥t♦♥ s♦s−♠ ♠ é♥értr♠ s♦s−♠

♥♦ ♣♦s s②♥♣tq ①r♥♦❴ ♥♦❴ ❲❬❪

rt♦r♥r♠⑥

♦rt♠

♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r♥ ♠ é♥értr

Troisième partie

Synthèse de réseauxde neurones artificiels

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs

s②♥tès ♣r ♥étés

②♥tès ♥ï

②♥tès ♣r sr♣trs ♦

②♥tès ♣r rt♦♥ ss

s②♥tès rt

②♥tès ♣r ♣s♦♥rs♦♥

②♥tès ♣r t① ♥s

♦r♣♦♦ s ♠s é♥értrs

s ♠s ♥ ♦r♠ ♥ ♠ é♥értr

♣♠♥t s♣tr ♥ ♠ é♥értr

❱sst♦♥ s♣tr ♥ ♠ é♥értr

②♥tès ♠s é♥értrs s♣tr ♥♦♥ r♣é

②♥tès ♠s é♥értrs s♣tr q♦♥q

②♥tès s♣tr ♣♣r♦é

②♥tès s♣tr ①t

♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq s ♦♥t♦♥s ♦qs à s

♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq s ♠s é♥értrs

s trs é♥értrs s♣♣♦rts

②♥tès trs s♣♣♦rts

étt♦♥ s trs s♣♣♦rts

♥ t ♦♣t♠st♦♥ s②♥tès é♦♠étrq

r♦sè♠ ♣rt ⑤ ②♥tès rés① ♥r♦♥s rts

t érté ① ♠s é♥értrs

s s ♦♥t♦♥s ♦qs à s

s s ♦♥t♦♥s ♦qs q♦♥qs

②♥tès ♠s é♥értrs ♣r ♦rtrs

Pr♥♣s s②♥tès ♣r ♦rtrs

♦ sé sr s②♥tès ♣r ♦rtrs

10Un regard sur

la programmationde neurones binaires

rré ♣r♠r ♥r♦♥ rt ♦♥st ♥♦♠rss rrs à s♥térssr à ♦q à s ♦q t ♣♦r trs♦ ♦ ♣r♥♣♠♥t ♦♠♠ tr♥t à ♦q tt ♦rs ♥ss♥t ❬rt♦③♦s

r♦ ♦ ❪ ♦♥trr♠♥t ① ♣♦rts ♦qs st♥rst ♣♦rt non-et s ♣♦rts ♦qs à s rés♥t ♥ t s ♦♥t♦♥s ♦qs♥ ♣s ♦♠♣①s ♣r♦♠tt♥t ♥s s rts ♦qs ♦♠♥t ♦♣♣s ♦♥s é♥♠♦♥s s ♣r♠èr ♣♦rts ♦qs à s sés sr s rtsréssts ét♥t ♥♣és ♣r r ♦♣ rt♦♥ éé t r t♠♣s ♦♠♠tt♦♥ s♣érr à tr♥sst♦r

♥♥t♦♥ ♥rst♦r ♥ ♣r r♥ ❬r♥ ❪ ♥s♣ré s rs♥rss ♦♦qs ♥t ss♦r s♣ér♦rté ♦q t ♥ tr♠s ♥sté ♥tért♦♥ ♣sq ♣r♠ttt é♠♥t à ① ♥s ♥ rt ♥téré s r♦sr s♥s ♥trérr é♥♠♦♥s très r♣ ♠♥trst♦♥ s tr♥sst♦rs r♥ tt ♥♥♦t♦♠ ♣rtq♠♥t ès s s♦rt ré t♦t ♣srséq♣s tr♥t t♦♦rs ♥s ♦♠♥ t s♣èr♥t ♥ ♣♦♦r ♣r♦♣♦sr ♥

♥♦♦ sé sr tr♥sst♦r ♣♦r

és♦t♦♥ ♥ ♣r♦è♠ ♦♠♣①té ♥♣ ♣r ♥♦rt♠ ♣♦②♥♦♠

♥♦♥ étr♠♥st?????????? reponse 1 reponse 0 reponse 2

question

♣♦rt ♦q à s ♦♠♣étt ès q ♦rs à ♠♥trst♦♥ ♦♥t t♦t tr♥sst♦r r tt♥t ss ♠ts ❬③♠r t t ❪

♠♥q ♥térêt ♣♦r ♦q t é♠♥t ♣♦r ♦r♥ s♥ ♦t érq ♣r♠tt♥t t♦♠tsr ♦♥♣t♦♥ ♥ rt ♦q ♦♠♠♥♦s ♦♥s éà ①♣qé ♥s ♠♥srt ♠♥q st û à ♦♠♣①té♥ér♥t ① ♦♥t♦♥s ♦qs à s Pr ①♠♣ s♠♣ qst♦♥ ♣♣rt♥♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♦q q♦♥q à tt ♠ st ♦♥♥ ♣♦r êtr ♥s ♥♦♠r① ♣r♦è♠s ss ♥♣♦♠♣t ❬üs t ♦ ❪ stàr s♦ ♣r ♥ ♦rt♠ ♥♦♥ étr♠♥st ♦♠♣①té ♣♦②♥♦♠ Pr♦ ♦♥séq♥ t♦ts s trs qst♦♥s rts à ♠s ♣♦♥t ♦tsérqs éés à ♦q à s ♦♥t ♦rs é♠♥t ♣rt ss ♥♣

♠♥♠sr ♥♦♠r ♣♦rts ♦q à s rqs ♦♠♦é♥ésr strt♦♥ s ♣♦rts sr rt

r str ♥tr ♦♠♣①té ♥♣ ♣r ♥ ♣r♦rs rr ♦♥tq st tt♥t ♣s r♥ ♣r ♥ ♦rt♠ ♣♦②♥♦♠ ér♥ ss ♣ ss rt♥s s ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ré♣♦♥s ♣r♦è♠t ♥② ♣r♦r ♣s ♠♦②♥ s♦r à ♥ q ♠♥ sr s♥♦♥ q♥ ♦sr ♥ rtrr♠♥t ♥ s♣ér♥t q ♦♥s à ♥ s

t♥t ♦♥♥é très ♦rt s♠t ①st♥t ♥tr té♠tq s rrs ①♣♦sés ♣r ♠♥srt t ♦♠♥ s②♥tès rts t st ♥tr② rrr s s♦t♦♥s à ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs é♥♠♦♥s

♥ té♦r ♦♠♣①té ♥ ♦rt♠ étr♠♥st ♦♠♣①té ♣♦②♥♦♠ ss ♣ st é ♣t ♦rsq st rés♦r ♥ tâ ♦♠♣qé éà été ét ♥s♦♥♣ ⊆ ♥♣ t qst♦♥ ré♣r♦q ♣ = ♥♣ t ♦t rrs ♣♦ssés ♦♥t ♦tss♠♥t srré♦♠♣♥sé ♣r ♣r① ② ❯♥ ♣r♦è♠ ss ♥♣♦♠♣t st ♥ ♣r♦è♠ qs ♣t êtr rés♦ ♣r ♥ ♦rt♠ ss ♣ st à ♣r♦r été sss ♣ = ♥♣

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ⑤ ♣tr

♥s ♥trs ♥ rés♦t ç♦♥ stss♥t ♣r♦é♠tq é♥ér s②♥tès ♥ ♦♥t♦♥ ♦q ♥ ♦q t ♦ ♥ ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs♣♦r ♥ ♦ tr s rs♦♥s s②sté♠tst♦♥ ♠♥t ♥s tst♦♥ érs♦♥♥ rss♦rs ♥♦r♠tqs ♦♠♥ ♣♣t♦♥ tr♦♣ rstrt té réstt ♥♦♥ r♥t ♣tr ♥ ♣rés♥t qqs♥s ♣r♠s s ♣s ♥♦♥t♦r♥s t s ♣sré♥ts

tt st♦♥ rr♦♣ s ♠ét♦s ♦♥t t st étr ç♦♥ ♣s ♦ ♠♦♥sr♣ ♥ s②stè♠ ♥étés ♦r♦♥♥♥t s ♣♦s s②♥♣tqs ♥tr ① tt♠♥èr ♥r♦♥ ♥r st ♦t♥ ♥ ①♥t rtrr♠♥t rs s ♣♦ss②♥♣tqs t s♦rt à qs stsss♥t s②stè♠ ♥♦♥é♥♥t s♠ét♦s st qs ♥ ♣r♠tt♥t ♣s ♦♥trôr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t s♥r♦♥s ♥rs ♦t♥s

②♥tès ♥ï

♥ ♣rés♥tr ♦♥rèt♠♥t ♣r♦è♠ t s tés q ♦♠♣♥♥t tts♦sst♦♥ ét ♣♣r♦ t ♥ï s②♥tès ♥r♦♥s ♥rs trrs ♥ ①♠♣ ❬♦ ❪ ♦s rr♦♥s ♥s q ♣r ♥tr ♥ tç♦♥ ♣r♦ér st très à s②sté♠tsr t q ♥ ♦♥♥ ♥ ♠♦②♥ ♣ré♦r r ǫ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥r♦♥ ♦t♥ ♦r ♣tr ♥ ♣ s♥♦♥ ♣r ssrrr

♦♥t♦♥ ♦q q ♥♦s ts♦♥s ♣♦r é♠♦♥strt♦♥ st ♦♥t♦♥ L1

+s s♥t

L1(e1, e2, e3, e4) ≡ e1e2e3e4 + e2e3e4.

♦♠♠ L1 é♣♥ qtr rs ♥r♦♥ ♥r q rés r rs♠♠♥t qtr ♥trés ss s s♦♥t rs♣t♠♥t ♣♦♥érés ♣rw =

(w1 w2 w3 w4

) ♦♥♦r♠é♠♥t ① ♥♦tt♦♥s s ♣rts ♣réé♥ts

♣♦s s②♥♣tq ①r st ♥♦té w0 s②♥tès w0 t w st s tr♦s ét♣ss♥ts

étr s②stè♠ ♥étés sr w é♥ss♥t L1

tr♦r ♥ tr w ér♥t s②stè♠

tss♠♥t s ♥étés e(+) és♥ ♥ tr ♥tré ♣♦r q

L1(e(+)) ≡ vrai t e

(−) ♥ tr ♥tré t q L1(e(−)) ≡ faux ♦rs ♦♠♣♦

st♦♥ ♦♥t♦♥ rét♦♥ t ♦♥t♦♥ tt♦♥ ♥r♦♥ ♥r♦♥♥ s ① ♥étés s♥ts

w(e(+))⊤ > −w0,

w(e(−))⊤ < −w0.

s ① ♥été ♣t s ér ♥été ♥é♣♥♥t w0

w(e(+))⊤ > w(e(−))⊤.

♥ rr♦♣♥t tt ç♦♥ t♦s s trs ♣♦r sqs L1 st vrai t♦s① ♣♦r sqs L1 t faux ♦♥ ♦t♥t s②stè♠ ♥éqt♦♥s s♥t

w1 + w2 + w3 > w1 + w2 + w4, w2 + w3 + w4 > w1 + w2 + w4,

w1 + w2 + w3 > w1 + w3 + w4, w2 + w3 + w4 > w1 + w3 + w4,

w1 + w2 + w3 > w2 + w3 t w2 + w3 + w4 > w2 + w3.

és♦t♦♥ s②stè♠ ♥ ♦sr♥t s②stè♠ ♣♣rît q ♥s♠s ♥étés s s♠♣ ♥

w3 > w4, w3 > w1,

w2 > w4, w2 > w1,

w1 > 0, t w4 > 0.

Pr♠ s ♥♦♠rss tt♦♥s ♣r♠ss ♣r s ♥étés ♥♦s ♦♥s rtrr♠♥t rt♥ w1 = w4 = 1 t w2 = w3 = 2

♣♦s s②♥♣tq ①r P♦r s ♣♦s s②♥♣tqs rt♥s ♥sét♣ ♣réé♥t r ♣♦s s②♥♣tq ①r ♦t êtr ♦♥♥♥t ♠r ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥r♦♥ ♥r à s②♥tétsr ♥trs rs ♠sss ♣♦r w0 s ét s ♥étés s♥ts q s♦♥t ♦t♥s à ♣rtr s ♥étés ♦ù e

(+) t e(−) ②♥t s 2n trs ♥tré

♣♦sss

w1 + w2 + w4 + w0 < 0, w1 + w2 + w3 + w0 > 0,

w1 + w3 + w4 + w0 < 0, w2 + w3 + w4 + w0 > 0,

t w2 + w3 + w0 < 0.

♥t ♦♥ w0 ∈ ]−5 ;−4[ q sèr ♦sr w0 = −4,5 ♥ ♠①♠sr ǫ

P♦r ♣s rté ♥♦s ♦♥s ♦♠s s ♥étés q ♣♥t s ér s trs ♦s ♦♥s ♥ ♦s ♥♦r ♦♠s s ♥étés q ♣♥t s ér s trs

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ⑤ ♣tr

♥ ♥ q très s♠♣ ♥ ♣♣r♥ tt ♣r♦ér ♠♥ st très à s②sté♠tsr ç♦♥ ♥ ♥ ♣r♦ér ♦rt♠q ♥ t rtèr♥♣ ♦♠♣① ♣r♦è♠ é♦qé ♥s s ♣s ♣réé♥ts s ♠♥st ♣srs♦s s♦s s ♦r♠s s♥ts

♦rs étss♠♥t s②stè♠ ♥éqt♦♥s s♦r s ♥ ♥été ♣rtèrs ét s trs ♥ ♣t s r q♥ ♦s t♦t s②stè♠ ♦t♥

étr♠♥t♦♥ ♥ ♣♦s s②♥♣tq ér♥t ♥ ♥été ♣rtèr ♣têtr r♠s ♥ s ♣r ♥ tr ♥été

s ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦t♥ ♥ ♦♥♥t ♣s t r♦♠♠♥r tt♦♥

♣♣♦rt s ♠s é♥értrs ♥ r♠rq♥t q L s t♦rs ♥ e2e3(e1+e4) ♦♥ ét ♠♥t ♠ é♥értr L ♥s q s ♠ é♥értr♦♥♦♥t

L =2 1

, cL =

2 01 2

♦ù s ① rs réts tsés s♦♥t rs♣t♠♥t e1 → e2 ; e3 t e2 →e1 ; e4 ♥ r♣r♥♥t ♠ét♦ ♥ tr♦s ét♣s ért ♣r tt s♦sst♦♥ t♥ ♣♣♥t w =

(w1 w2

)⊤ s ♣♦s s②♥♣tqs s ♥trés réts ♦rrs♣♦♥

♥ts ♥t tr♠♥t

2w1 + w2 > −w0

2w1 < −w0

t w1 + 2w2 < −w0.

♦srt♦♥ s②stè♠ ♦♥t ♦rs très s♠♣♠♥t à ♥été s♥t

w2 > w1 > 0,

à ♣rtr q s rs rtrrs w1 t w2 ♣♥t êtr ♦t♥s ♥q tst♦♥ s ♠s é♥értrs ♥ ♣r♠tt t♦♦rs ♣s à tt ♠ét♦ étr♠♥r à ♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥r♦♥ ♥r s②♥tétsés♦♥ ♥ ♥ ♦♠♣①té st ♣rtèr♠♥t é♥t

♥s s♦♥ rt ❬♦ Pt♦♥ ❪ ♦ ♠♦♥tr q♥♥s♠ sr♣trs ♣r♠ttt ♥tr ç♦♥ ♥q q ♦♥t♦♥ ♦q à s q ♥r♦♥ ♥r ♣r♦♣♦s ♥s tsr s r♥rs ♦♠♠s ♥ t ♦rrs♣♦♥♥ q st♦rt s rs s ♣♦s s②♥♣tqs ♥térté s ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♥ rt♥ ♥♦♠r rs

tt ♠ét♦ sèr ♥tr♠♥t très ♥ t♠♣s ♣♦r s ♥r♦♥s ♥rs ②♥t ♥ très ♣tt ♥♦♠r ♥trés ♥t t ♣r♦é♠tqès q r♥r ♠♥t ♥ ♣rt s sr♣trs ♦♥t st qst♦♥ ♥♥t♥t ♣s ç♦♥ ♥q ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ès ♦rs q ♣s t rs ❬Pt♦♥ ❪ tr ♣rt t s t① ♦rrs♣♦♥♥♥t t rét♦r ♥s♠ s ♦♥t♦♥s ♦qs à s t rsr♣rés♥t♥t éà qqs ♥trés ❬ss♦♥ ❪ q ♥ésst ♥ rss sr ♥ ♠♥♠♠ ts t ♥ ♠é♠♦r 2 500 000 Go

sr♣trs ♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s L +s t s♦t n

+ (L) ♥s♠s trs ♥tré n é♥t L à vrai t n

− (L) s trs é♥tà faux n ≤ 8 ♦rs s sr♣trs s♥t ér♥t L ç♦♥ ♥q

a (L) =(a1 (L) a2 (L) . . . an (L)

e∈n+(L)

t m (L) = card(

n+ (L)

♦ù ♦♥t♦♥ card rt♦r♥ ♥♦♠r éé♠♥ts ♥s♠ q st ♦♥♥é ♥r♠♥t

s sr♣trs trrs tr a (L) /m (L) ♣♥t s♥tr♣rétr ♦♠♠ ♥tr rté ♥s♠ n

+ (L) ♠t té à t rs s①♣q ♦rs ♣r ♥ ♥ ♦♠♣①té ♣r♠tt♥t à ① ♦♥t♦♥s ♦qs à sst♥ts ♣rtr ♠ê♠ ♥tr rté

❯tst♦♥ s sr♣trs ♣♦r s②♥tès ♥s ♠sr ♦ù L st ♥♦♥t♦♥ ♦q à s ♦ é♠♦♥tré s rt♦♥s s♥ts ♥tr sssr♣trs t s ♣♦s s②♥♣tqs w s ♥r♦♥s ♥rs rés♥t L

s ai (L) <1

2m (L) ♦rs wi < 0,

s ai (L) >1

2m (L) ♦rs wi > 0,

s ai (L) =1

2m (L) ♦rs wi = 0,

s ai (L) < aj (L) ♦rs wi < wj ,

s ai (L) = aj (L) ♦rs wi = wj .

♠♥èr ♠ét♦ ♥ï s♦sst♦♥ ♣réé♥t tst♦♥ ssr♣trs ♣r♠t ss rér ♥ ♣s s♠♣♠♥t ♥ s②stè♠ ♥étés ♦♥t rés♦t♦♥ ♣r♠t tr♦r w ♣♦s s②♥♣tq ①r s

à t rs éq♥ ♥tr ♦♥t♦♥ ♦q à s t ♦♥t♦♥ ♦q t♦t♠♥t♠♦♥♦t♦♥ ♥st ♣s r q ♥ t♦ts s ♠ét♦s q s♣♣♥t sss ❬r♦ ❪

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ⑤ ♣tr

ét ♦rs ç♦♥ s♠r ♥ étr♠♥♥t s♦♥ ♥tr rs ♠ssst ♥ s ♣♦st♦♥♥♥t ♠

♦t♦s s②stè♠ ♦t♥ ♥ ♦♥t♥t ♣s ♦ré♠♥t t♦ts s ♦♥tr♥tsrt♦♥♥s ♥éssr à s②♥tès ♦rrt ♥ ♥r♦♥ ♥r ♠♣q♥ ss③ r♥ ♣r♦té q ♥tr s rs ♣♦sss w0 s♦t ♥s♠ s♥♥t ♦rs q t r♦♠♠♥r tt♦♥ s ♣♦s s②♥♣tqs ♥s♣ér♥t ♦r ♣s ♥

①♠♣ ♦♥♣t♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r ♣r s sr♣trs ♦

♦t ♦♥t♦♥ ♦q +s s♥t

L2(e1, e2, e3, e4, e5) ≡ e1e2 + (e1 + e2)(e3e4 + e3e5 + e4e5) + e3e4e5

≡ (e12

⊤ e22

⊤ (e32

⊤ e42

⊤ e5)2

⊤ (e33

⊤ e43

⊤ e5)).

s trs ♥tré n+ (L) s♦♥t

e(7) =

(0 0 1 1 1

)⊤, e

(11) =(0 1 0 1 1

)⊤, e

(13) =(0 1 1 0 1

e(14) =

(0 1 1 1 0

)⊤, e

(15) =(0 1 1 1 1

)⊤, e

(19) =(1 0 0 1 1

e(21) =

(1 0 1 0 1

)⊤, e

(22) =(1 0 1 1 0

)⊤, e

(23) =(1 0 1 1 1

e(24) =

(1 1 0 0 0

)⊤, e

(25) =(1 1 0 0 1

)⊤, e

(26) =(1 1 0 1 0

e(27) =

(1 1 0 1 1

)⊤, e

(28) =(1 1 1 0 0

)⊤, e

(29) =(1 1 1 0 1

e(30) =

(1 1 1 1 0

)⊤, e

(31) =(1 1 1 1 1

st ♥s très s♠♣ ♥ ér r s qtr sr♣trs ♦ ♥♣♣q♥t rt♠♥t éqt♦♥s s é♥ss♥t

m (L) = 17 t a (L) =(12 12 11 11 11

râ ① rt♦♥s ♥tr sr♣trs t ♣♦s s②♥♣tqs ♦♥ ♥ ét s ♥étéss♥ts

w1 > 0, w2 > 0, w3 > 0, w4 > 0, w5 > 0 t w1 = w2 > w3 = w4 = w5.

s ♣♦s s②♥♣tqs s♦♥t ♦rs ①és rtrr♠♥t ç♦♥ s♥t w1 = 1,5w2 = 1,5 w3 = 1 w4 = 1 t w5 = 1 ♥ ♦r s②stè♠ ♠ê♠ ç♦♥ q♥s s♦sst♦♥ ♣réé♥t w0 st ♦s ♥tr ♥tr ss rs♠sss ]−2,5 ;−3[ ç♦♥ t♦t t♥t ét♠ ♥♦s ♦♥s ♦s s ♣♦s s②♥♣tqs w1 = 2w2 = 2 w3 = 1 w4 = 1 t w5 = 1 ♦rs tt ♦s ♥tr ♠ss ♣♦r w0

rt été t L1 rt été é ♥♦♥ rés s rs s sr♣trs ♦ ♥ ♦♥s♥t ♦♥ ♣s à ♥ s②stè♠ ♥étés ♦♠♣t

♥ ♥ ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦ ♥ï s sr♣trs ♦ ♦♥t ♥t ♦♥r rt♠♥t à ♥ s②stè♠ ♥éqt♦♥s très s♠♣ rs♠♥t tst♦♥ r♦r s ♣② ♣r s♥ ♣♦t♥t rt♥s

♦♥tr♥ts q ♣♥t ♦♥r à ss ♦♥s♦♥ q ♦♥t♦♥ ♦q às②♥tétsr ♥st ♣s ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s Pr rs ♦① s ♣♦ss②♥♣tqs ét♥t à ♥♦r rtrr ♥ ♣r♠t ♣s ♥♦♥ ♣s ♦♥trôr r ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥r♦♥ ♥r ♦t♥

♥ é♥t ♥térêt ♠r tt ♠ét♦ rés ♥s ♥té s sr♣trsq r ♣r♠t ss♦r très s♠♣♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♣st rs ① ♣♦s s②♥♣tqs q é♥ss♥t r♦rs ① ts ♦rrs♣♦♥♥s ♥ t rs ♠ét♦ s②♥tès ♥r♦♥s ♥rs ♣sr♣ t♦ts s q ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥s tt ♣rt ♥ôtr ♦♠♣rs

♣♣♦rt s ♠s é♥értrs ♥s s s sr♣trs ♦ tst♦♥ s ♠s é♥értrs ♥♣♣♦rt ♣s r♥ ♦s Pr ♥♦r rstrt♦♥♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ① ss ♦♥♥és ss trs é♥értrs ♥ ♣r♠t ♣s r ♥tr rté s♦♥ ♥s♠ n

+ t ♦♥ ss sr♣trsP♦r rt ♥ t réé♥érr t♦s s trs t ♥s♠ à ♣rtr ♠ é♥értr ♥ ♣s t♠♣s s♣♣é♠♥tr rt é♠♥té♠♥r s trs réts é♥érés ♣srs ♦s

♥ ♥♥é ♥ t ♣èr♥t ♥ ♥♦ ♠♦②♥ ♦t♥r s②stè♠ ♥étés é♥ss♥t s ♣♦s s②♥♣tqs ♥ ♥r♦♥ ♥r ❬♥t ❪ r ♠ét♦ ts s ♥tr b(1)

b(2) · · · b

(2n−1) s♣ ♥tré n ♣♦r ①♣r♠r r ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♣♦r ♥tr ♥tré ♦♥♥é

b(1) =

(0 0 · · · 0 1

b(2) =

(0 0 · · · 1 0

t b(2n−1) =

(1 0 · · · 0 0

r ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r é♥ ♣r w t w0 sé♦♠♣♦s ♥s ç♦♥ s♥t

A(e(0)) = w0, A(e(6)) = A(e(2)) + A(b(4)) − w0,

A(e(1)) = A(b(1)), A(e(7)) = A(e(3)) + A(b(4)) − w0,

A(e(2)) = A(b(2)), A(e(8)) = A(b(8)),

A(e(3)) = A(e(1)) + A(b(2)) − w0, A(e(9)) = A(e(1)) + A(b(8)) − w0,

A(e(4)) = A(b(4)),

A(e(5)) = A(e(1)) + A(b(4)) − w0, A(e(2n+1−1)) = A(e(2n−1)) + A(b(2n)) − w0.

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ⑤ ♣tr

Pr ①♠♣ s ♥r♦♥ ♥r qtr ♥trés ♦rs s ♦♥t♦♥ rét♦♥sért ♣♦r tr ♥tré e

(5) =(0 1 0 1

A(e(5)) = w(b

(4) + b(1))

⊤ + w0,

= A(b(4)) + A(b(1)) − w0.

②♥tès s ♣♦s s②♥♣tqs ♥ ts♥t ① ♣r♦♣rétés ♣rtèrs sé♦♠♣♦st♦♥s ♣♣és s②♠étr t t♦r♣r♦t♦♥ s trs ♠♦♥tr♥tq st ♣♦ss étr s ♥étés s q s ér♥ts ♦♥t♦♥s rét♦♥ ♦♥t érr ♥ ♣rtr s rs A(b(2i))|ni=0 ♣sqs é♣♥♥trt♠♥t s ♣♦s s②♥♣tqs à étr♠♥r

s ① ♣r♦♣rétés é♦♥t rt♠♥t rt♠étq értr ♥ s

s ♥trs ssss ♥ ♦♥♥r ♥ é♥t♦♥ ♦r♠ sr n rs ét♥t ♥t♠♥t ♦♠♣qé ♥♦s s ①♣r♠r♦♥s ♣♦r ① t tr♦s rs t ssr♦♥s tr é♥érsr

P♦r n = 2 s②♠étr ♠♣q s étés s♥ts

∀i ∈ J0 ; 1K , A(e(i)) + A(e(3−i)) = st.

P♦r n = 3 s étés ♥♥♥t

∀i ∈ J0 ; 3K , A(e(i)) + A(e(7−i)) = st,

∀i ∈ J0 ; 1K , A(e(i)) + A(e(3−i)) = st,

∀i ∈ J0 ; 1K , A(e(4+i)) + A(e(7−i)) = st.

P♦r s ♣rt t♦r♣r♦t♦♥ ♠♣q s étés s♥ts s n = 2

∀i ∈ J0 ; 1K , A(e(2+i)) −A(e(i)) = st,

s ♥♥♥t ♣♦r n = 3

∀i ∈ J0 ; 3K , A(e(4+i)) −A(e(i)) = st,

∀i ∈ J0 ; 1K , A(e(2+i)) + A(e(i)) = st,

∀i ∈ J0 ; 1K , A(e(6+i)) + A(e(4+i)) = st.

♣r♦ér s②♥tès st té ♣r s r♠rqs s♥t ♣♦r ♥ ♦♥t♦♥♦q à s L ♦♥♥ L ♣r♠t ♣♦st♦♥♥r q r ♦r♠ éqt♦♥ ♣r r♣♣♦rt

à ③ér♦ L ♣r♠t é♠♥t étr ♣srs ♥étés ♥tr s rs ♦r♠s

éqt♦♥ ♥ ①♣r♠♥t q s L(e(i)) ≡ faux t L(e(j)) ≡ vrai ♦rsA(e(i)) < A(e(j))

s②♠étr t t♦r♣r♦t♦♥ ♣r♠tt♥t é♠♥r t♦♠tq♠♥t s r♦♥♥s s②stè♠ ♥étés ♦t♥ ♣rès s ① ♣♦♥ts ♣réé♥ts

rt♦♥ r sr♣r♦t♦♥

s②stè♠ ♥étés ♥s ♦t♥ st ♥st ①♣r♠é ♥ ♦♥t♦♥ s n ♦♥t♦♥srét♦♥ s A(b(2i))|n−1

i=0 ♦♥t s rs ♣♥t ♠♥t♥♥t êtr ①és

♥♥ s n ♣♦s s②♥♣tqs s♥ és♥t ç♦♥ s♥t

w0 = A(b(0)),

w1 = A(b(1)) −A(b(0)),

w2 = A(b(2)) −A(b(0)),

wn = A(b(2n−1)) −A(b(0)).

①♠♣ ②♥tès ♣r rt♦♥ ss②♥téts♦♥s ♦♥t♦♥ ♦q à s L3 ♥q rs s♥t

L3(e) ≡ (e13

⊤ e23

⊤ e33

⊤ (e42

⊤ e5)),

♦♥t s s♣t trs ♥tré q é à vrai s♦♥t

e(15) =

(0 1 1 1 1

)⊤, e

(23) =(1 0 1 1 1

e(27) =

(1 1 0 1 1

)⊤, e

(28) =(1 1 1 0 0

e(29) =

(1 1 1 0 1

)⊤, e

(30) =(1 1 1 1 0

t e(31) =

(1 1 1 1 1

ès ♦rs ♥ s trs ♥tré s ♥tr n ♥ét♥t ♥s ttst ♥t s ♥q ♥étés s♥ts

A(b(0)) < 0, A(b(1)) < 0, A(b(2)) < 0,

A(b(4)) < 0, A(b(8)) < 0, t A(b(16)) < 0.

♥ ér♥t ♣r ①♠♣ q A(e(28)) > A(e(25)) ♦rs ♥t A(b(4)) > A(b(1)) ç♦♥ s♠r trs ♥étés ♣r♠tt♥t étr

A(b(4)) > A(b(2)), A(b(8)) > A(b(2)), A(b(8)) > A(b(1)),

A(b(16)) > A(b(2)) t A(b(16)) > A(b(1)).

Pr rs ♣sq A(e(15)) > 0 > A(e(14)) ♦rs

A(e(8)) + A(e(4)) + A(e(2)) + A(e(1)) − 3A(e(0)) > 0

> A(e(8)) + A(e(4)) + A(e(2)) − 2A(e(0)).

❯♥ tt♦♥ ♠ss st ♦♥

A(b(0)) = −3,25, A(b(1)) = −3, A(b(2)) = −3,

A(b(4)) = −2, A(b(8)) = −2, t A(b(16)) = −2.

s ♣♦s s②♥♣tqs ♥t q♥t à ①

w0 = A(b(0)) = −3,25, w1 = A(b(1)) −A(b(0)) = 0,25,

w2 = A(b(2)) −A(b(0)) = 0,25, w3 = A(b(4)) −A(b(0)) = 1,25,

w4 = A(b(8)) −A(b(0)) = 1,25, t w5 = A(b(16)) −A(b(0)) = 1,25.

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ⑤ ♣tr

♥ trrs t ①♠♣ ♣♣rît ç♦♥ très r q s②♥tès♣r rt♦♥ s st ♥ ♠ét♦ très à s②sté♠tsr t♥t ♥tt♦♥q rqrt ♣♦r ♦① s ♥étés à étr st r♥ ré t♦t t trr s rs ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♣tôt q s ♣♦s s②♥♣tqs♣r♠t ♥tr♦r ♣♦ssté ♦r♥tr s②♥tès ♣♦r q ♦♥♥ ♥r♦♥♥r ♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♣réétr♠♥é rs s trs ♥t♥t♣r ♥t♣t♦♥ s qtés s ♥r♦♥s ♥rs qs ♦t♥♥♥t P♦rt♥t ♥♦ststs ♣r♦♥t qs s♦♥t ♦♠♥t ♦♥ ♦r ♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦♣t♠ t ♠ét♦ s②♥tès q ♥♦s é♦♣♣r♦♥s ♥s s ♣trs s♥ts♥ tr♦ ♥ ♠rs

♥ rété tt ♠ét♦ t été ♦♥ç à ♦r♥ ♣♦r rést♦♥ ♥ ♥q ♥r♦♥s ♥rs rés♥t t♦ts s ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♥ ♥♦♠r rs ♦♥♥é ❬♥ t ♥ ♥ t ❪ stàr q♥ét♥t s ré♣rss♦♥s sr ♦♥t♦♥ ♦q à s ♠♦t♦♥ r ♥ s ♦♥t♦♥s rét♦♥ s st ♣♦ss ♣r♦rr tért♠♥t ♥s♠ s ♣r♦s A(e(i))|2

n−1i=0 rés♥t s ♦♥t♦♥s ♦qs à s

ér♥ts ♥s t ♥ q s trs ♥♥ ss♥t ♣s ♠♥t♦♥ ♣rs♣t ♣♦♦r é♥érr s ♥qs t♦♠tq♠♥t st rt♠♥t ♥térss♥t ♥s ♠sr ♦ù ♣r♠ttrt tsr ♣♥♠♥t s sr♣trs ♦ sts ♦rrs♣♦♥♥s ♥ét♥t ♣s ♥♦r s♣♦♥s sqà t rs rst ♥é♥♠♦♥s à rés♦r s ♦♥tr♥ts st♦ ♠tér q s♦è

♣♣♦rt s ♠s é♥értrs ♦♠♠ ♣♦r ♣r♦ér ♥ï ♦♥t tt♠ét♦ ♥st ♥♠♥t ♣s s é♦♥é ♣r♥♣ ♣♣♦rt s ♠s é♥értrs st qs st♥t rt♠♥t s trs ♥tré s♥ts ♣♦r étss♠♥t s②stè♠ ♥étés ♣♥♥t s ♣r♦♣rétés s②♠étr t t♦r♣r♦t♦♥ q ♣r♠tt♥t étr ♥étés r♦♥♥ts ♥①st♥t♣s s ♠s é♥értrs ♠s ♣♥t ♣rt♠♥t sét♥r ① ♦♥t♦♥s s♣tr ét♥t ♥♦s ♣♥s♦♥s q ♥ ♥♥ré ♣r tst♦♥ r♣rés♥tt♦♥ ♥ ♠ é♥értr st ♣s ♠♣♦rt♥t q ♣♣♦rté ♣r ①st♥ s ♣r♦♣rétés

s②♥tès rt

s ♠ét♦s s②♥tès ♣r ♥étés ♦♥t ♥ ♦♠♠♥ ♥♣ êtr très s à s②sté♠tsr ♣r ♥ ♣r♦ér ♦rt♠q ré t♦ts s sts♠♥és ♣r ♦♠♠♥té s rst♥t ♥ t ♥ tr♦♣ ♣r♦s s ♠é♥s♠s q ♦♥♥♥t à s②♥tès ♥r♦♥s ♥rs s ♦♠♣①té ss ♥♣♥ r♥ s ♠ét♦s rts s♦♥t ♥ é♥ér très ♣r♦érs t s ♣rêt♥t♥ ♠① à ♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ ♦rt♠q s ♣r♥♥♥t à ♦♥t♦r♥r s

rt ❬♥ t ❪ ♥♦s ♥t à srr ♣rt♦♥ ♥ sss♦♥ sr st

ét♣s tât♦♥♥♠♥ts rtérstqs s ♣r♦è♠s ss ♥♣ ♥ ♣t♥t♥ rt♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ sr réstt ♦t♥ ♥s tt st♦♥ st ♥♦rr♥ s ① és s♥ts ♥r♦♥ ♥r s②♥tétsé ♥ rés ♣t êtr ♣s ①t♠♥t ♦♥t♦♥ ♦q

à s ésré ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs sr ♣têtr ♦t♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r

♥ ♦♥s♦♥ ss tr① sr s rés① ♥r♦♥s rs ä♥ ♣ ♥ ♣r♠èr ♠ét♦ ♥②tq s②♥tès ♥r♦♥s ♥rs ♣ ♣r♥r ♥ r ♥ ♦♥tr♥t ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♠♥♠♠ ❬ä♥t♦s②t③ ❪ ♠ê♠ ç♦♥ q s ♠ét♦s st♦♥ ♣réé♥t ♦♥t♦♥ ♦q à s L ♦t t♦t ♦r êtr trt ♥ ♥étés ♥ ② ♥♥ttt ♦s ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ǫ ésré P♦r j ∈ J0 ; 2n − 1K s s♦♥t

(j) + w0 ≥ ǫ > 0 s L(e(j)) ≡ vrai,

−w⊤e

(j) − w0 ≥ ǫ > 0 s L(e(j)) ≡ faux.

à ♥♦r s②stè♠ ♥étés ♦t♥ st rs♠♠♥t très r♦♥♥t t ♦♥♥t ♦♥ s♠♣r ♥ ♦♥séq♥ ♦s ♦r♠ ♠tr s②stè♠s①♣r♠ ♦rs ç♦♥ s♥t ♦ù s e

(ji)|ki=1 s♦♥t s trs ♥tré rt♥s♣♦r ♦r♠r s ♥étés ♥♦♥ r♦♥♥ts t ♦ù ♣♦s s②♥♣tq ①r t s♣♦s s②♥♣tqs s♦♥t rr♦♣és ♥s ♥ ♠ê♠ ♠tr w0

±1 ±e(j1)

1 ±e(j1)

2 · · · ±e(j1)n

±1 ±e(j2)

1 ±e(j2)

2 · · · ±e(j2)n

±1 ±e

1 ±e(jk)

2 · · · ±e(jk)n

ǫǫǫ

⇔ EL⊤w0 ≥ ǫ.

s s♥s + t − ② s♦♥t tés s♦♥ q L(e(ji)) st r ♦ ss ♦♥♦r♠é♠♥t① éqt♦♥s

♥tt♦♥ é♥ ä♥ st tr♥s♦r♠r ♥été ♠tr ♥ été t rés♦r s ♦ts ssqs èr ♥ér ♥ ♥rs♥t ♠tr EL r ♦♠♠ tt r♥èr ♥st ♥ é♥ér ♣s rré ♣s ♥s q ♦♦♥♥s t s♦♥t ♦r r♦rs à s ♠tr ♣s♦♥rsE

L s ♣♦s s②♥♣tqs rés♥t L s♦♥t ♦rs ♦♥♥és ♣r rt♦♥

w0 = E+

L⊤ǫ.

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ⑤ ♣tr

♥ rété s ♣♦s s②♥♣tqs ♦t♥s s♦rt ♥ ♦♥stt♥t ♣s ♥ s♦t♦♥①t s②stè♠ ♠s ♥ s♦t♦♥ ♠♥♠ s♥s s ♠♦♥rs rrésPr ♦♥séq♥t s ♣t q ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ré ♥r♦♥ ♥rs②♥tétsé s♦t ♥érr à ǫ ♦r ♥ét q s♥rt q ♥r♦♥ ♥r♥ rés ♣s ♦♥t♦♥ ♦q ♣♦r q été ♦♥ç

Pr rs st♠♥t ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t s t ♠♥èr r♦ssèr ♥ ♦♥t sr ②♥♠q s ♣♦s s②♥♣tq ♥ t s ♣♦s s②♥♣tqsw0

′ rés♥t L ♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦ tsé ♥séqt♦♥s s♦♥t ♦♥♥és ♣r

w0′ = 2E+

L⊤ǫ = 2w0,

q ♦rrs♣♦♥ ♥ à ♥ ②♥♠q ♦ w0

①♠♣ ②♥tès ♥ ♥r♦♥ ♥r ♣r ♣s♦♥rs♦♥ ♦♥t♦♥ ♦q L4 +

s e1(e2 + e3 + e4) + e2e3e4 ♦♥♥ s②stè♠ ♥étéss♥t

w1 + w4 + w0 > 0, w1 + w3 + w0 > 0, w1 + w2 + w0 > 0,

w2 + w3 + w4 + w0 > 0, w2 + w3 + w0 < 0, w2 + w4 + w0 < 0,

w3 + w4 + w0 < 0, t w1 + w0 < 0.

①♣rss♦♥ ♠tr s②stè♠ t q st é♥ ♥s éqt♦♥ sért ♦rs

1 1 0 0 11 1 0 1 01 1 1 0 01 0 1 1 1−1 0 −1 −1 0−1 0 −1 0 −1−1 0 0 −1 −1−1 −1 0 0 0

♣s♦♥rs EL ♦♥♥ ♠tr

−3 −3 −3 −7 −5 −5 −5 −94 4 4 4 4 4 4 40 0 4 4 0 0 4 40 4 0 4 0 4 0 44 0 0 4 4 0 0 4

P♦r ♥ r ♠r q♦♥q éqt♦♥ ♦♥♥ s ♣♦s s②♥♣tqss♥ts

w0 = −5ǫ, w1 = 4ǫ, w2 = 2ǫ, w3 = 2ǫ t w4 = 2ǫ.

♥ ♣t érr q ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ré♠♥t ♦t♥ st ♥ ǫ

s♣érr ♠s ♥st é♥ér♠♥t ♣s ♥ ♣r♦è♠

♥ Ptôt q ①r rtrr♠♥t s ♣♦s s②♥♣tqs ♥ ♦♥t♦♥ s♦♥tr♥ts ①♣r♠és ♣r s②stè♠ ♥étés tt ♠ét♦ s②♥tès ♣r♣s♦♥rs♦♥ t ♥ ♠♥♠st♦♥ ♦ ♣r rtèr s ♠♦♥rsrrés P♦rt♥t ♥st s♦♠♥t ♣s é♥t q ♦♥s s②sté♠tq♠♥tà ♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ ♣♦ss ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♥ ♣rtq st ♥é♥♠♦♥s s♦♥t s ♦rsq ♥♦♠r rs st q ①♣q s♥s♦t sès r♥♦♥tré ♣r tt ♠ét♦ ♥s ♦♠♠♥té s rés① ♥r♦♥s rs

♣♦ssté é rér ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t s ♠♣é♠♥tt♦♥s♦t♥s st à ♥♦tr s ♦♣ ♣s st tt ♠ét♦ t♠♥t ♠ért ♣♦st♦♥♥r ç♦♥ ♦♣t♠ ♣♦s s②♥♣tq ①r s réè♥♣ ♦♣t♠sr s rs s ♣♦s s②♥♣tqs w r ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré♥s ♣rt ♣réé♥t q ♣♦t ♣♣♦rtr ♥ ♥ s♥t sr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ②♥♠q ♦ ① ♣♦r s ♣♦s s②♥♣tqs tt♠ét♦ ♥ ♣r♠t ♦♥ ♣s str ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t s ♥r♦♥s♥rs q é♥èr

♣♣♦rt s ♠s é♥értrs ♣r♥♣ té s②♥tès ♣r♣s♦♥rs♦♥ rés ♥ ♦s ♣s ♥s étss♠♥t s②stè♠ ♥étés é♣rt ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♥s st♦♥ ♣réé♥t tst♦♥ s ♠sé♥értrs t r♥♠♥t tt ♦♣ért♦♥ st t♥t ♣s r q qté s②stè♠ ♥étés tsé ♣♦r ♣s♦♥rs♦♥ ♥♥ ♦♣ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t t s ♥r♦♥s ♥rs ♦t♥s

Pr ①♠♣ s s s③ ♥étés trés s s③ trs ♥tré ♦♥t♦♥♦q L4 ①♠♣ ♥t été tsés ts qs ♣♦r ♦♠♣♦st♦♥ EL4 ♦rs s ♣♦s s②♥♣tqs ♦t♥s r♥t été

w0 = −1,5ǫ, w1 = 1,5ǫ, w2 = 0,5ǫ, w3 = 0,5ǫ t w4 = 0,5ǫ,

t ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ré♠♥t ♦t♥ rt 0 q q s♦t r ①é ♣♦r ǫ

♦r♠♠♥t tst♦♥ s ♠s é♥értrs s trt sr rt♦♥ ç♦♥ s♥t

w0 = E+

L⊤ǫ,

♦ù E+

L r♣rés♥t s②stè♠ ♥étés ♦t♥ à ♣rtr s trs é♥értrs L t ① s ♠ ♦♥♦♥t

①♠♣ ❯tst♦♥ ♠ é♥értr ♣♦r s②♥tès♥ ♥r♦♥ ♥r ♣r ♣s♦♥rs♦♥

♠ é♥értr ♦♥t♦♥ ♦q tsé ♥s ①♠♣ ♥s qs ♦♥♦♥t sér♥t ♥ ♦♥t♦♥ s ① rs réts ea → e1 t eb →

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ⑤ ♣tr

e2 ; e3 ; e4

1 10 3

1 00 2

s qtr trs ♦♥♥♥t s②stè♠ ♥étés s♥t

wa + wb + w0 > 0, 3wb + w0 > 0,

−wa − w0 < 0, t −wb − w0 < 0.

♦r♠ ♠tr ♥s q s ♣s♦♥rs s♦♥t ♦♥

1 1 11 0 3−1 −1 0−1 0 −2

−5 −3 −5 −76 2 2 62 2 2 2

♣♣t♦♥ ①♣rss♦♥ ♦♥♥ s ♣♦s s②♥♣tqs s♥ts q s♦♥t♥ s ♠ê♠s q ① ♦t♥s ♥s ①♠♣

w0 = −5ǫ, wa = 4ǫ = w1, t wb = 2ǫ = w2 = w3 = w4.

♠ét♦ s②♥tès ♣r♦♣♦sé ♣r P ♥s② s♥s♣r s t♥qs ♠♥♠st♦♥ tsés ♥ s②♥tès rts ♦qs ❬♥s t ❪ ♥str ♠♥♠st♦♥ ♣r ts r♥ tt ♠ét♦ ♦♥sst à rr♦♣r strs ♥tré ♦r♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♥té ♣s ♦♠♥rs r♦♣s ♦t♥s ♣♦r résr ♦♥t♦♥ ♦q à s②♥tétsr st ♥ étrès ♥térss♥t ♥s ♠sr ♦ù t♦rs s②♥tès ♦♥t♦♥s ♦qs♥♣♣rt♥♥t ♣s à s s♦s ♦r♠ rés① ♥r♦♥s ♥rs ♣s ♥é♦♠♣♦s♥t ♦♦♥tr♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♥♦r♠♠♥t rés ♥ s ♥r♦♥ ♥r ♥ ♣srs s♦s♦♥t♦♥s ♦qs à s ♣r♠t ♠♥tr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t s ♥r♦♥s ♦t♥s

s②♥tès ♥ ♦♥t♦♥ ♦q n rs ♠♥ ♥s ♦♥sttt♦♥ ♥t sr ♠♦è s ts r♥ stàr ♥ ts♥t ♦r②♣♦r rss♠r ♠①♠♠ s trs ♥tré ♥ts s trs ♥tréé♥t ♦♥t♦♥ ♦q à vrai ♦♥t ♥st êtr rr♦♣és ♥ s♥t ssé♠s rr♦♣♠♥ts ♣rééts t q ♦rrs♣♦♥♥t à s ♦♥t♦♥s ♦qs♦♥t ♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ r♦st st éà ♦♥♥ ♥s s t♦s s trs ♣♥têtr ♦rts ♣r ♥ s r♦♣♠♥t ♦rs ♥ s ♥r♦♥ ♥r st s②♥tétsé♥s s ♦♥trr q r♦♣♠♥t st s②♥tétsé sé♣ré♠♥t ♥ t♥t ♥r♦♥s ♥rs q sr♦♥t ♣r st ♦♠♥és trrs ♥ ♣♦rt ou

s sé♠s r♦♣♠♥t ♣♦r n = 2 à 4 s♦♥t rs♣t♠♥t ♦♥♥és ♥s srs t à s ssttt♦♥s ♦ ♥rs♦♥s rs ♣rès ♥♠♥èr é♥ér st ss③ ♣ré♦r r s sé♠s ♣♦r ♥

♥♦♠r rtrr rs ❬♠♠② ❪ q ♥♣ ♥ ♣ ttt♥q s s♠♥ts ss sr rt♥s s sé♠s r♣rés♥tés ♥q♥t strs ♥tré ♦♥t ♠ét♦ s②♥tès r t♥r ♦♠♣t ♣♦r étr s②stè♠ ♥étés à rés♦r ♥s ss tr① tr r♦rs à ♥ ♠ét♦ s②♥tès éré ♣s♦♥rs♦♥ ♣rés♥té ♥s s♦sst♦♥ ♣réé♥t ét♥t st ♥ ♣rtq très ♠♥r ♥ sé♠ r♦♣♠♥t s♥s ♦r r s ♣♦s s②♥♣tqs q rés♥t st ♦♥ à ♥♦tr s♣réér ♠é♠♦rsr s r♥rs ♦♥♦♥t♠♥t ① sé♠s t ♥s étr ♦r s rr à q ♦s q♥ sé♠ sr tsé

①♠♣ ②♥tès ♣r ts ♥s

♦t ♦♥t♦♥ ♦q L5 6∈ s qtr rs s♥t

L5(e1, e2, e3, e4) ≡ e1e3 + e1e3) + e2e4 + e2e4.

♦rtr t ♥s L5 ♠♥ ① r♦♣♠♥ts ♦r r q s♥ q sr s②♥tétsé s♦s ♦r♠ L5 ≡ L(1)

5 +L(2)

5 ♦♠♠s ① r♦♣♠♥ts ♦♥t été résés à ♠ê♠ sé♠ ♦r r ♦♥t s ♣♦s s②♥♣tqs s♦♥t s s♥ts

w0 = −1,5, w1 = −1, w2 = 2, w3 = −1, t w4 = 2,

st ♥tr s ♥rs♦♥s t ssttt♦♥s ♣r♠tt♥t ♣♦st♦♥♥r ♦rrt♠♥t r♦♣ r t s ré♣rtr sr s ♣♦s s②♥♣tqs ♣♦rs②♥tétsr L(1)

5 t L(2)

5 ♦r ♣r♦♣♦st♦♥ ♣ ♦♥♥ ♥ é♥t♣♦r L(1)

w0 = −0,5 w1 = −2 w2 = −1 w3 = 2 t w4 = 1,

t ♣♦r L(2)

w0 = −0,5 w1 = 2 w2 = 1 w3 = −2 t w4 = −1.

♥②s s ① ♦♥t♦♥s ♦q ♦♥♥

5 = e1e3 + e1e2e4 + e3e2e4

t L(2)

5 = e1e3 + e1e2e4 + e3e2e4,

♦♥t s♦♥t♦♥ r♦♥♥ ♥ L5

♥ t ♣♣♦rt s ♠s é♥értrs tt ♠ét♦ s②♥tès sèrsrt♦t ♥térss♥t ♣r s ♣té à é♥érr s rés① ♥r♦♥s ♥rs ♣tôtq s ♥r♦♥s ♥s ♥s r♥r s t rs r♦♥♥tr q♥♣♣♦rt ♥ ♥♥♦t♦♥ é♥♠♦♥s s st♦♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥tst ss s♠♣ q ♥ ♠t♥t s sé♠s rr♦♣♠♥ts à ① ♦♥t♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ ♦♣t♠ st ♦♥♥ ♥② ♥ t ♥ rsq ♦t♥r ♥rés ♦♥t ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥♥rt ♣s

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ⑤ ♣tr

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

②♥tès ♦♥t♦♥♦q ①♠♣ à sé♠ rr♦♣♠♥t r

r♦♣♠♥ts ♥s♣♦r s②♥tès ♥r♦♥s♥rs ① ♥trés

é♥♠♦♥s tt ♠ét♦ ♥st ♣s stss♥t ♥s ♠sr ♦ù ♥ s st♣s à ♠ê♠ t s♣♣♦s s♣♦♥té sé♠s rr♦♣♠♥ts ♦♥t ♦t♥t♦♥ ♥st ♣s é♥t ♦s ♠♦♥trr♦♥s ♥s ♣tr q r♣rés♥tt♦♥s♦s ♦r♠ ♠ é♥értr ♣r♠t ♥s ♥ rt♥ ♠sr s♦t♦♥♥r ♣r♦è♠ ♦s ② r♣r♥r♦♥s ♦rs tt é♠r ♣♦r s②♥tétsr s rés① ♥r♦♥s ♥rs ♦rsq sr ♥éssr

s ♥q ♠ét♦s ♦♥♥♥t ♥ r ♣♣rç s tés r♥♦♥trés ♦rs s②♥tès ① ♣♦s s②♥♣tqs rés♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♦♥♥éq ♦s q étt ♣♦ss ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré ♦♠♠♥t tst♦♥ s♠s é♥értrs ♣r♠ttt s ♠é♦rr ç♦♥ s♥t é♥♠♦♥ss ♠ét♦s ♦♥t ♥t ♥tr♦r ♣srs ♣♦♥ts s q ♥♦s tsr♦♥s♥s s ♣trs s♥ts ♣♦r é♦rt♦♥ ♥♦s ♣r♦♣rs ♠ét♦s s②♥tès s sr♣trs ♦ sérr♦♥t très ♣r♦r♠♥ts ♣♦r tr♥s♦r♠r ♥ t

érté ♥ ♠ é♥értr ♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq s②♥tès ♣r ♣s♦♥rs ♦♥r à ♥♦tr

♠ét♦ s②♥tès s②♥tès ♣r t① ♥s ♥s♣rr ♥♦tr ♣r♦♣r ♠ét♦ é♦♠

♣♦st♦♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s

r♦♣♠♥ts ♥s♣♦r s②♥tès ♥r♦♥s

♥rs tr♦s ♥trés

(e1e2)

r♦♣♠♥ts ♥s♣♦r s②♥tès s

♥r♦♥s ♥rs qtr ♥trés

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

00 1001 11

(e1e2)

(e3e4)

11Synthèse spectrale

d’une fonction logique à seuil

♣tr ♣réé♥t ♣rés♥té qqs♥s s ♠ét♦s s②♥tès ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♣rss ♥s ttértr t q ♦♥stt♥t réstr♥ts ① ♠ét♦s ♣r ♣♣r♥tss é♥♠♦♥s ♥ ♥ qté ♥

♥♦♥é ♣♦r s ♥r♦♥s ♥rs ♦t♥s ♣r r s ♥st ♣s ♥éssr♠♥t r♥③♦s ♥ q s ♠ét♦s ♥♥t ♣s été s♣éq♠♥t ♠ss ♣♦♥t♣♦r tsr s ♠s é♥értrs s ♠é♦rt♦♥s ♣♣♦rtés ♣r s r♥èrss♦♥t ♥é♥s ♥ ♣rtr ♣♦r ♦r♠t♦♥ s s②stè♠s ♥étés rtérs♥t s ♦♥t♦♥s ♦qs à s s②♥tétsés ♦♥r♠ ♥térêt tsr ♥♦r♠s♠ ♣r♦ s ♣r♦♣rétés s ♥r♦♥s ♥rs t ① s ♦♥t♦♥s♦qs à s

♣tr ♦r s②♥tès ♥②tq ♥r♦♥s ♥rs à ♣rtr r♣rés♥tt♦♥s ♥ ♠s é♥értrs ♦♥t♦♥ ♦q qs ♦♥t ♠♣é♠♥tr t s♣ésr ♥s ♥ ♠ét♦ s②♥tès ♣r♠t trr ♣♥♠♥t ♣rt srtérstqs s ♠s é♥értrs ♣sqs s♦♥t très ♣ r♦♥♥ts ♦rt t♦r t♠♥t ♦♥s♥t ♣♦r é♠♥r s ♥étés s♣rs ♣t♠♥t♥♥t êtr r♥tré sr ♦♣t♠st♦♥ s ♠rs ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥s ♥①♣♦t♥t rérsté ♥ér♥t ① ♠s é♥értrs ① ♠ét♦s s②♥tès ♣♥t êtr é♦rés ♥ ♦♥t♦♥ ♠♦r♣♦♦ s ♠s é♥értrs

Pr ♠♦r♣♦♦ ♥♦s és♥♦♥s strtr s♦♥ q ♥ ♠ é♥értr sé♦♠♣♦s ♥ s♦s♠s é♥értrs r s♥t♦♥ ♦q tt strtrérrq st réstt ① ♦r♦♥♥♥♠♥ts ♦♥♠♥t① sr sqs r♣♦s é♥t♦♥ ♠ê♠ ♠ é♥értr s rs réts s♦♥t ♥és ♣r♦rr ♥♥ ér♦ss♥t t s trs é♥értrs ♥s ♦rr ①♦r♣qér♦ss♥t ♠♣q ♦♥ q♥ ♠ é♥értr ♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts ♦♥tété ♦ss ç♦♥ rtrr ♥ ♦rrs♣♦♥ ♣s ♥éssr♠♥t à ♥ ♠ é♥értr ♥s ♥ ♦♣tq s②♥tès st ♦♥ ♠♣ért r rs♣t s ① rt♦♥s ♦rr s♦s ♣♥ ♦t♥r s ♥r♦♥s ♥rs ♦♠♣♦rt♠♥t t♦t♠♥t ét♦r

étt♦♥ ♠s ♠s ♥ ♦r♠♥ ♠ é♥értr

❯♥ ♠ é♥értr ♦♥t s trs é♥értrs s♦♥t ♥s és♦rr st rt♠♥t à ♥tr t à ♦rrr ♦♠♠ str ①♠♣ s♥t

1 0 1 01 0 0 10 1 1 01 1 0 0

t rt ♥ rété û sérr

L1′ =

1 1 0 01 0 1 01 0 0 10 1 1 0

Pr ♦♥tr éttr q♥ ♠ é♥értr été ért s ♥trés réts♥s és♦rr st ♥ ♣s t ♠♥ ♥ rt♥ ①♣rts ♣♦r érs ♥♦ér♥s q ♥tr♦t Pr ①♠♣ s ① r♥rs trs é♥értrs ♠ é♥értr L2 ♦♥♥é ♣rès ♥s s♣ rét ♦r♠é srs e1 e2 t e3 s♦♥t ♥♦ér♥ts

2 1 11 2 10 3 0

♥ t r♥r tr é♥értr sèr q r rét e2 st àr♥r L2 r s st é à tr♦s r ♥ tt r ét♥t 2 st♥♦r♠♠♥t ♠♦♥s ♥♥t q e1 q st ♦♥trt ♣r ♥t r♥r tré♥értr r♥r ♠♦♥tr ♥ t q ♣rt ♥ ♥té ♥ e2 ♥st

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

♣s ♦♠♣èt♠♥t ♦♠♣♥sé ♣r ♥ ♥ ♥té ♥ e1 ♥s s♦♥trr ♥rt ♣s été ♥éssr ♠♥tr é♠♥t r e3 ♣♦r♥r ♦♠♣♥sr ♣rt sr e2

♥q ♦♥ q e2 st ♣s ♥♥t q e1 q ♥st ♣s ♥♦r♠ ét♥t ♦♥♥ésrs ♥s rs♣ts tt ♠ é♥értr ♦t ♦♥ sérr ♦rr e2e3 e1 t ♥ ré♦r♦♥♥♥t s trs é♥értrs ♥ ♦♥séq♥

L2′ =

3 0 02 1 11 1 2

s ♠s é♥értrs s♦♥t ♦t♥s à s t♥qs érts ♥s ♠♥srt ♦r s ♣trs t ♦rs s sr♦♥t ♥éssr♠♥t ♦rrt♠♥t♠ss ♥ ♦r♠ s♦rt q qst♦♥ s♦r ♦♠♠♥t ♦rrr értr ♥♠ é♥értr ♠ ♦r♠é ♥ ♣s ♥térêt ♠♠ét ♦t♦s rést♦♥♥ ♦ ♦♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♠ é♥értr st ♥ ♠♦②♥ très r♣

étr♠♥r s ♥ ♠ é♥értr st ♦rrt♠♥t ♠s ♥ ♦r♠

Pr ①♠♣ rést♦♥ tst sr ♠ é♥értr ♣réé♥t L2♦♥♥

2 1 01 2 01 1 10 3 00 2 1

→ L2 =

2 2 02 1 11 2 01 1 10 3 0

6= L2,

t♥s q ♠ê♠ ♦♣ért♦♥ sr L2′ ♦♥♥

L2 ′ =

3 0 02 1 02 0 11 1 01 0 2

→ L2 ′ =

3 0 02 1 11 1 2

♦♥r♠♥t ♥s q ♠s ♥ ♦r♠ L2 ♥st ♣s ♦♥♥ ♠s q L2

′ st

♠rq ♠ é♥értr ♦t♥ ♣rès ♦ ♦♠♣é♠♥tt♦♥ st t♦♦rs♥ ♠ é♥értr ♦rrt♠♥t ♠s ♥ ♦r♠ st ♥ réstt é♥ér q♥ sr ♣s é♠♦♥tré ♥s ♠♥srt é♥♠♦♥s ♦♠♠ ♠♦♥tr tst srL2 ♠ é♥értr ♦t♥ ♥ ♦♥stt ♣s ♥ rs♦♥ ♦rré ♠é♥értr ♦r♥

♦♠♣①té tt ♠ét♦ ért ♥érté ♦rt♠ ♦♠♣é♠♥tt♦♥

♥ r♥ tt ♦♣ért♦♥ ♦ ♦♠♣é♠♥tt♦♥ ♣t êtr tsé ♣♦r ré♣rr ♥ ♠ é♥értr ♥ ♦r♠é ♠s ♦♥t é♥t♦♥ srt ♣♦r♥ rs♦♥ ♦ ♣♦r ♥ tr ♥♦♠♣èt ♣r♦sss ♦♠♣ét♦♥ résé ♣r s st à r♣♣r♦r ♣r♦♣rété é♥érst♦♥ ♦sré ♥s s ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♣r ♣♣r♥tss ♦t♦s ét ♣rt♥♥ ♦q ♥t é♥érst♦♥ st ♥ st éts q ♥♦s ♥♦rr♦♥s ♣s ♥♦♥ ♣s ♥s ♠♥srt

r♣♠♥t s♣tr st ♥ rtérstq ♠♦r♣♦♦q s ♠s é♥értrsér♥t ç♦♥ ♦♥t s s♦s♠s q ♦♥stt♥t s♠rq♥t s ♥s ♥ss trs st ♥ ♣r♦♣rété ♠♣♦rt♥t ♥s ♠sr ♦ù ♥♦s ♠♦♥trr♦♥sq rtérs ré ♥tré♣♥♥ s ♣♦s s②♥♣tqs tr w

sàs étr♠♥t♦♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ǫ ♦t♥ ♣r♠t♥s r t♦♠tq♠♥t rs ♠ét♦ s②♥tès ♠① ♣♣r♦♣réà ♥ ♠ é♥értr ♦♥♥é

Pr rs s ♠s é♥értrs s♣tr r♣é s s②♥téts♥t ♥ ♥r♦♥s♥rs ♦♥t ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t st ♥ ♠♦②♥♥ ♣s q s♠s é♥értrs s♣tr ♥♦♥ r♣é st t♥t ♣s ét tt rtérstq ♠♦r♣♦♦q ♥s ♣rs♣t ♣♦♦r é♦♠♣♦sr s♠s é♥értrs ♥ ♣srs ♠s s♣tr ♥♦♥ r♣é ♦rsq♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t tr♦♣ éé sr rqs ♦r ♣t

é♥t♦♥ ♥tt r♣♠♥t s♣tr ♥t ♦rr ♥ é♥t♦♥♦r♠ tt ♣r♦♣rété ♠♦r♣♦♦q ♦♥sér♦♥s s ① ♠s é♥értrss♥ts

1 1 0 0 0 01 0 2 1 0 01 0 2 0 2 01 0 2 0 1 3

t L4 =

1 1 0 0 0 01 0 2 1 0 01 0 2 0 2 01 0 1 1 2 3

s ① ♠s ♦♠♣t♥t s s① ♠ê♠s rs réts t ♦♥t ♠ê♠ ♥♦♠r trs é♥értrs P♦rt♥t ♥♦s ♦♥s ♦r q s♣tr L3 ♥st ♣sr♣é ♦rs q L4 st ♥ t ♠ss s♦s r ♦r♠ ♥ ♥s♦♠♠

éqt♦♥s s ① ♠s sèr♥t ♦r ♥ strtr ♦q ér♥t L4 ♥ ♣rtr ♥ strtr rr ♥ ♣s r ♥ r♠t♦♥s q L3♦♠♠ ♦♥r♠ r

L3(ei|6i=1) ≡ (e1

⊤ (e21

⊤ (e33

⊤ (e41

⊤ (e52

⊤ (3

⊤e6)))))),

t L4(ei|6i=1) ≡ (e1

⊤ (e21

⊤ (e33

⊤ (e41

⊤ (2

⊤e5))3

⊤ (e42

⊤ (e53

⊤ (3

⊤e6)))))).

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

♦r♠ ♥ ♥s♦♠♠ ♦♥t♦♥ ♦q L3 é♥ ♥s éqt♦♥

racine

d’ordre 2

spectral

repliement

♦r♠ ♥ ♥s♦♠♠ ♦♥t♦♥ ♦q L4 é♥ ♥s éqt♦♥

❱sst♦♥ r♣♠♥ts♣tr trrs sstrtrs rs s♦♥t♦♥s ♦qs à s

q r♠t♦♥ t ♥tr♥r ♥ ♣♦s s②♥♣tq s♣♣é♠♥tr ♥s ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦♠♣q♥t t♥t s♦♥ ①♣rss♦♥ ♥②tq ❬é♥é ❪

❯♥ é♥t♦♥ ♥tt r♣♠♥t s♣tr s ♠s é♥értrs ♣♦rrt ♦♥êtr ♦r♠é ♦♠♠ ♥♦♠r r♠t♦♥s q s♦♥ ①♣rss♦♥ ♥ ♥s♦♠♠

t ♥tr♥r ♦t♦s ♥♦s ♣réèrr♦♥s à tt é♥t♦♥ ♥ rtèr rt♠♥t①♣r♠é sr s ♠s é♥értrs ♥ t s r♥èrs ét♥t ♥qs sr ♥♣s érr s s sts♦♥t à rtèr ♣tôt q rr à s♦r sr ①♣rss♦♥ ♥ ♥s♦♠♠ q ♥st ♣s ♥q ♣t s ♠ttr s♦s ♥ ♦r♠q ♥ t ♣s ♥tr♥r r♠t♦♥s

é♥t♦♥ ♦r♠ r♣♠♥t s♣tr é♥t♦♥ s♥t éq♥tà é♥t♦♥ ♥tt ♣rr♣ ♣réé♥t st ♠♥t♥♥t ♣r♦♣♦sé

é♥t♦♥ ♣♠♥t s♣tr ♥ ♠ é♥értr ♠ é♥értr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s +

s ♥②♥t q♥ sr rét ♥ ♣rés♥t ♣s r♣♠♥t s♣tr

Pr rérr♥ ♥ ♠ é♥értr d rs réts ♥ ♣rés♥t ♣s r♣♠♥t s♣tr s t s♠♥t s ♥② ♣s q ① r♥s ♦rr r ér♥t t s s♦s♠s é♥értrs ♦rrs♣♦♥♥ts ér♥t

s ♥② ♥ q♥ ♦rs ♥ ♣rés♥t ♣s r♣♠♥t s♣tr s ② ♥ ① ♦rs s♦s♠ é♥értr ♦rr tté à ♣s r♥

r♥ st ♦♥t♦♥ ♦q vrai t♥s q s♦s♠ é♥értr ttéà tr r♥ ♥ ♣rés♥t ♣s r♣♠♥t s♣tr

♥s s ♦♥trr ♠ é♥értr ♥ s♣tr r♣é

♥ strr s rtèrs ♥tr♦ts ♣r tt é♥t♦♥ t ①♣tés ♥s ♦rt♠ ① s♦♥t ♣♣qés ① ♠s é♥értrs L3 t L4 ♣ ♥s ①♠♣ s♥t

①♠♣ st r♣♠♥t s♣tr ① ♠s é♥értrs

é♦♠♣♦st♦♥ L3 ♥ s♦s♠s é♥értrs ♦♥♥

L3 →

1 0 0 0 00 2 1 0 00 2 0 2 00 2 0 1 3

0 0 0 0

2 1 0 02 0 2 02 0 1 3

→222

1 0 00 2 00 1 3

2 01 3

q ét♣ ♦rrs♣♦♥ ♥ à é♥t♦♥ q ♦♥t à ♦♥s♦♥ q s♣tr L3 ♥st ♣s r♣é

Pr ♦♥tr ♠ é♥értr L4 ♣rés♥t ♥ r♣♠♥t s♣tr

L4 →

1 0 0 0 00 2 1 0 00 2 0 2 00 1 1 2 3

0 0 0 0

2 1 0 02 0 2 01 1 2 3

→221

1 0 00 2 0

⇐1 2 3

♣sq ♠ é♥értr r♣éré ♣r ♥ ♦è rt û êtr ♠é♥értr ♦♥t♦♥ ♦q vrai t ♦ ♣r ♦♥séq♥t é♥t♦♥

♦rt♠

st r♣♠♥t ♥♠ é♥értr

∗ ♦♥t♦♥ tst❴r♣♠♥tt♦r♥ s ♣♦s s②♥♣tqs ♣♣r♦♥t ♥ ♠ é♥értr ♦♥♥é

Pr♠ètrs − ♠ é♥értr à tstr∗

♦♥t♦♥ tst❴r♣♠♥t ♦♦♥ ④ t − ♣r♠èr r♥ ♦rr

♥tr t ❬❪❬❪

s♦s − s♦s−♠ ♦rr rt à t♠♥rtr s♦s s♦s♠t

tst s s♦s st ♦♥t♦♥ r ♦♥ sét♦♥♥ r♥ s♥ts s♦s♦♥t♦♥ r ④

t ❬❪❬❪s♦s s♦s♠t

s tst❴r♣♠♥ts♦s ④rt♦r♥r①

⑥s♥♦♥ ④ tst s ② s r♥s ♦rr s♣♣é♠♥trs

s str♥t− ④rt♦r♥r①

⑥⑥

rt♦r♥rr⑥

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

vecteur generateur

spectre

conjoint

♣rés♥tt♦♥ r♣q ♦♥t♦♥ s♣tr ♥♦♥t♦♥ ♦q à s ♥sq s♣tr ♠é♥értr ♦rrs♣♦♥♥t

♥ ♣♣♦rtr ♥ s ① st♦♥s ♦♥srés à s②♥tès s♣tr ♥♠ é♥értr ♥ r♣rés♥tt♦♥ r♣q s♣tr s r♥èrs été♠♥é st ♣rés♥té ♥s s♦sst♦♥ s♥t

♦rsq r s ♣♦s s②♥♣tqs ♠♣é♠♥t♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s st♦♥♥ ♦♥t♦♥ s♣tr tt r♥èr t q ♥♦s ♦♥s é♥ à ♣ ♣t êtr ssé trrs tré s ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ strs réts ♦♥♥és ♥ ♥tré ♦r r s ér♥ts trs s♦♥ts♣♦sés sr ① s ssss s♦♥ ♦rr ①♦r♣q r♦ss♥t ♥ rrss♦rtr ♠① ♣♦ss s ♣r♦♣rétés ♠♦♥♦t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦qs à sr tt r s♦♥t r♣rés♥tés s trs é♥értrs t s trs é♥értrs♦♥♦♥ts ♦r s♣♣♦rté ♣r s rs ♣rss ♣r ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♣♦rs trs ♣rtrs ♦rrs♣♦♥ à q ♥♦s ♣♣♦♥s s♣tr ♠é♥értr

rs♠♥t ♥ t r♣rés♥tt♦♥ r♣q ♥st ♥ ♥t♥ ♣♦ssq s s ♣♦s s②♥♣tqs ♦♥t s rs ①és q ♥st ♣s s s♠s é♥értrs ♣sq s r♥èrs ♦♥t été ♦♥strts ♣♦r ♥ êtr ♥é♣♥♥ts ♦t♦s ét s sr♣trs ♦ résé ♥s ♣tr ♣réé♥t ♣r♠t trr ♣rt ♦r♦♥♥♥♠♥t s ♥trés réts ♥s s ♠sé♥értrs ♥ t s ♥ ♥tré ei ♣s ♥♥ sr r s♦rt♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s q ej ♦rs ♥éssr♠♥t wi > wj ❬♦ ❪❯♥ rt♦♥ ♦rr sr s ♣♦s s②♥♣tqs s d ♥trés réts s♥ ét ♦rs

♠♠ét♠♥t

w1 > w2 > · · · > wd.

♦té à ♦♥♥ss♥ ♥tté s trs é♥értrs ♥ ♠ é♥értr ♥s q ss trs é♥értrs ♦♥♦♥ts tt rt♦♥ ♦rr ♣r♠t♠ré ♥étr♠♥t♦♥ s ♣♦s s②♥♣tqs ♣♦st♦♥♥r ss♠♠♥t rs ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♣♦r ♦r ♥ é ♣rés r s♣tr s ♠ é♥értr réstt ♥ rs r♥ sr♣r♥♥t ♣sq trt t q♥ ♠ é♥értr ♦♥t♥t ss♠♠♥t ♥♦r♠t♦♥s ♣♦r érr♦♠♣èt♠♥t ♦♥t♦♥ ♦q q r♣rés♥t

srt♦♥ r♣♠♥t s♣tr râ à ♠♦②♥ ♥stt♦♥ rété r♣♠♥t s♣tr ♦♥t ♦♥t ♦t ♦ ♥♦♥ s ♠s é♥értrs s ♠♥st ç♦♥ très ①♣t ♥s r ♦rrét♦♥ ♥tr r♣♠♥t t ♥♦♠r r♥ss♠♥ts r s ♣r s♣tr ♠ é♥értr sté♥t s ♥ trrs q♥ ♦s ♦rs ♠ é♥értr ♥ s♣tr ♥♦♥ r♣é s♥♦♥ ♥ s♣tr r♣é tt ♠♥èr s ♥♦s rr♦♥s ♥ ç♦♥ ♦ ♥ tr à tr♦r s ♣♦ss②♥♣tqs ♣r♠tt♥t ♣♦st♦♥♥r ♦rrt♠♥t s♣tr ♥ ♠ é♥értr t♦r r s ♦rs ♥♦s r♦♥s s②♥tétsé ♥ ♥r♦♥ ♥rrés♥t tt ♦♣ért♦♥ st ♣résé♠♥t ♣r♥♣ s ♠ét♦s s②♥tèss♣tr ♦♥t ♣tr t ♦t

②♥tès ♠s é♥értrs

s♣tr ♥♦♥ r♣é

tt ♠ét♦ ♣♦r ♦r♥ ♥ tr rrs té ♥♦♥♥r

tr♦♥s ♦rt♦r② ♥rsté r② ♥ ♣rt♥rt r♦♣ ♣

tr♦♥ ♥ ♥rrt♥ ♥sttt r♥♦♠♥ rrs ♥t♦s ❬é♥é ♦♥♥♥ ❪ ♥ q ♥ s♦t ♣ s②♥tétsr qs ♠s é♥értrs s♥s r♣♠♥t s♣tr ♥♦s rr♦♥s ét st♦♥s♥t q s ♥r♦♥s ♥rs ♦t♥s ♣♦r s ♠s é♥értrs q♦♥qs♥ s♦♥t ♣s t♦t♠♥t ♥tssts

rs♦♥ ♣♦r q s ♠s é♥értrs à s♣tr ♥♦♥ r♣é ♣♥t r♦t ♥ ♠ét♦ s②♥tès sé♣ré st ♥é♣♥♥ rs ♣♦s s②♥♣tqs ♥s ré ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ t ♦♠♠ ♠♦♥tr r st ♥éssr♠♥t ①é ♣r s ① trs ♥r♥t ♣♦♥t r♥ss♠♥t s♣tr r t ért t ①t♠♥t wd q ♠♣qq s trs ♣♦s s②♥♣tqs ♥♦♥t ♥ t sr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t♥ rété s s trs ♣♦s s②♥♣tqs ♦♥t s rs tr♦♣ s s ♣♥t

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

qs rs ♦♥t♦♥s s♣trs ♠♦♥tr♥t r♣♠♥t ♦ ♥♦♥

♥♥ s ♣♦ss②♥♣tqs sr ♠r

♦♥t♦♥♥♠♥t ♦rs s②♥tès ♥

♠ é♥értr s♣tr ♥♦♥ r♣é

spectre a priori

spectre optimal

synthese

ecarts inutilement faibles

meilleurs ajustements

érr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♠♣♦sé ♣r wd ♠s s ♥ ♣♦rr♦♥t ♠s♠♥tr

Pr♦♣♦st♦♥ ♥é♣♥♥ s ♣♦s s②♥♣tqs ♣♦r s②♥tès ♥ ♠ é♥értr s♣tr ♥♦♥ r♣é♦rsq s♣tr ♥ ♠ é♥értr d rs réts ♥st ♣s r♣é♦rs ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♠①♠ q st ♣♦ss ♦♥♥r à t♦t ♥r♦♥ ♥r rés♥t tt ♠ st réé ♣r wd t s

♦r♦r tt ♣r♦♣♦st♦♥ ♠♣q q s d−1 trs ♣♦s s②♥♣tqs réts♥s q ♣♦s s②♥♣tq ①r ♥ ♣♥t q érr tt ♠r sss♦♥t ♠ réés

é♠♦♥strt♦♥ ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ét♦♥s s d = 1 stàr s s♠s é♥értrs ♦r♠ ηd q ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♠ ♦♥♦♥t ηd−1 P♦r s ① trs réts ♦♥t♦♥ rét♦♥ t rs♣t♠♥t

ηdwd + w0 = ǫ t (ηd − 1)wd + w0 = −ǫ ′,

♦ù ǫ t ǫ ′ s♦♥t s rés ♣♦sts ♥♦♥ ♥s Pr é♥t♦♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥tst ♣s ♣tt s ① rs t s♦♥ ♦♣t♠st♦♥ ♦♥sst ♦♥ ♥ ♦♥tsr s rs wd t w0 à ♠①♠sr min(ǫ, ǫ ′) r s ① r♥rs r♥t ♠♥èr ♦♣♣♦sé q ♠♣q q ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦♣t♠ sttt♥t ♣♦r ǫ = ǫ ′ ♥ r♣♦rt♥t tt été ♥s s②stè♠ ♥t♦rs

w0 = ǫ(1 − 2ηd) t wd = 2ǫ,

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

q ♦s é♠♦♥strt♦♥ ♣r♠r s r

♥s s ♣s é♥ér ♦ù d > 1 ♥♦s s♣♣♦sr♦♥s q ♣r♦♣♦st♦♥ st r♣♦r d− 1 rs réts s♦rt q ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t s♦t ①é ♣r2ǫ = wd ♣♦r ♥♠♣♦rt qs rs s ♣♦s s②♥♣tqs wi|

di=2 t w0 ♦s

♥♦tr♦♥s r♥r w0,d−1 ♣♦r ér♥r ♣♦s s②♥♣tq ①r sé♥ér

P♦r d > 1 rs réts ♥ ♠ é♥értr s♥s r♣♠♥t s♣tr sé♦♠♣♦s ♣r é♥t♦♥ ♥ s ① ç♦♥s s♥ts

0 · · · 0

η1 − 1 Ld−1

♦ Ld2 =η1 − 1 Ld−1

♦ù Ld−1 st ♥ s♦s♠ é♥értr d − 1 rs réts ♣♦r q ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t t ♦♥ ǫ t ♥st réé q ♣r wd ♦♥tr♦♥s q r w1 ♥ ♣t ♥ ♥ s ♠é♦rr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♠♣♦sé♣r Ld−1

P♦r s trs é♥értrs Ld1 ♦♥t♦♥ rét♦♥ t rs♣t♠♥t

η1w1 + w0 = ǫ(0)

t (η1 − 1)w1 + ǫ − w0,d−1 + w0 = ǫ(1),

♦ù ǫ−w0,d−1 st ♣r é♥t♦♥ r ♠♥♠ ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♣♦r s♦s♠ é♥értr Ld−1 ♥s s ♦ù Ld2 st ♠ é♥értr Ld ♦rs s s♦♥ éqt♦♥ st ♦t♥

♠ê♠ ♠♥èr ♠ é♥értr ♦♥♦♥t Ld s é♦♠♣♦s ♥s ① ç♦♥s s♥ts

cLd1 =

η1 − 1 cLd−1η1 − 2

n2 . . . nd

♦ cLd2 =η1 − 1 cLd−1

s ♦ù sért cLd1 ♦♥t ① ① éqt♦♥s s♥ts

(η1 − 1)w1 − ǫ − w0,d−1 + w0 = −ǫ(1) ′

t (η1 − 2)w1 +

wini + w0 = −ǫ(2) ′,

♦ù −ǫ − w0,d−1 st ♣r é♥t♦♥ r ♠①♠ ♦♥t♦♥ rét♦♥♣♦r s♦s♠ é♥értr ♦♥♦♥t Ld−1 à ♥♦r s ♠ é♥értr♦♥♦♥t t été Ld2 ♦rs s ♣r♠èr éqt♦♥ rt été ♦t♥

♦r♠♠♥t ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦♣t♠ st ♦♥♥é ♣r s rs w1

t w0 q ♠①♠s♥t min(ǫ(0), ǫ(1), ǫ(1) ′, ǫ(2) ′) r r ♠♦♥tr q ♣♦r w1

ss♠♠♥t r♥ ♦♥ min(ǫ(0), ǫ(1)) = ǫ(1) t min(ǫ(1) ′, ǫ(2) ′) = ǫ(1) ′ ❯♥ ♦s

♥♥ w1 sr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥

♥r♦♥ ♥r rés♥t♥ ♠ é♥értr

à s♣tr ♥♦♥ r♣é

w0,d−1

ǫ(0) ǫ(1) ǫ(1) ′

ǫ(2) ′

♣s s rt♦♥s s ① r♥rs s♦♥t ♦♣♣♦sés q ♠♣q q r♦♣t♠ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t st ♦t♥ ♦rsq ǫ(1) = ǫ(1) ′ stàr♣♦r

w0 = (1 − η1)w1 + w0,d−1

t w1 ≥ w(3)

1 = max

wini + w0,d−1, ǫ − w0,d−1

♥ sstt♥t ♣r ①♠♣ r w0 ♥s éqt♦♥ ♥t étéǫ = ǫ(1) = ǫ(1) ′ q é♠♦♥tr q ♥ w1 ♥ w0 ♣♦rt♥t ♦ss ç♦♥ ♦♣t♠ ♥♣♥t ♠é♦rr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ①é ♣r wd

Pr rérr♥ sr ♥♦♠r rs réts ♥ ♠ é♥értr ♣r♦♣♦st♦♥ st ♦♥ éré

♥ ♣s ♣r♦r q s ♣♦s s②♥♣tqs ♣♥t êtr ♦ss r♠♥t s♥s♥♥r ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦♣t♠ ♥r♦♥ ♥r ♦t♥ tté♠♦♥strt♦♥ ♦r♥t ♥ ♠♦②♥ très s♠♣ s②♥tétsr ♥ ♠ é♥értr s♣tr ♥♦♥ r♣é ♠ ♦rt♠ q ♥ é♦ st ♥tr♠♥t rérs ①♥t t♦t ♦r ♣♦s s②♥♣tq wd ♦♥♦r♠é♠♥t à ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ésré ♥t r s ♣♦s s②♥♣tqs s♥ts s ♥s♣rès s trs Psq ♥② q♥ ♥♠♥t rérs ♣r ♣♦s s②♥♣tq tt♠ét♦ s②♥tès ♣r ♦♥séq♥t ♥ ♦♠♣①té ♥ér ♥ O(d) qst ♦♥ ♠r à r t

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

♦t♦s rst ♥ qst♦♥ ♦♥t rés♦t♦♥ ♥étt ♣s ♥éssr ♣♦r é♠♦♥trr ♣r♦♣♦st♦♥ ♦① ①t r w1 st r q r ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥st ♣s té ♣r ♦① t♥t q ér ♦♥t♦♥ ①♣r♠é ♣r ♥été ♥ st t♦t tr♠♥t r ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥♦r♠sé ♥tr♦t à ♣ ♣tr Pré♥t♦♥ tt r♥èr ♠♥t ♣r♦♣♦rt♦♥♥♠♥t à ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t t à ♥rs ♥♦r♠ tr w ♥ ♦♥séq♥ ♦① w1 ♦ts ♣♦rtr sr r ♣s ♣tt ♣r♠s ♣r ♥été à s♦r

2w1 = 2w(2)

1 +∣∣w(3)

1 − w(1)

∣∣

= 2ǫ +

niwi +

∣∣∣∣∣2w0,d−1 +

∣∣∣∣∣.

ès ♦rs ♦rt♠ s②♥tès ♦♣t♠ ♥r♦♥s ♥rs à ♣rtr ♠sé♥értrs s♣tr ♥♦♥ r♣é st ♦♠♣èt♠♥t ért ♦rt♠ ♥♣r♦♣♦s ♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♣s♦♦ ❯♥ ①♠♣ ♣♣t♦♥ st ♣r♦♣♦sé♣rès

①♠♣ ②♥tès ♥ ♠ é♥értr à s♣tr ♥♦♥ r♣é♦t ♦♥t♦♥ ♦q L5 qtr rs réts ♦♥t ♠ é♥értr st s♥t

2 0 0 01 1 1 01 1 0 2

♦ù s ♥trés réts s♦♥t é♥ ts q e4 ∈ J0 ; 2K e3 ∈ J0 ; 1K e2 ∈ J0 ; 1K e1 ∈J0 ; 2K ♦s s♣♣♦s♦♥s ♦r s♦♥ ♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ① ♥tés ǫ = 2 ♦♠♠ tt ♠ é♥értr ♥ s♣tr ♥♦♥ r♣é ♦rt♠ ♣têtr tsé ♣♦r s②♥tétsr ♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r ♦♣t♠ é♦♠♣♦st♦♥ L5 ♥ s♦s♠s ♦♥♥

L5 →211

1 1 01 0 2

1 00 2

2→ 02.

Pr ♣♣t♦♥ éqt♦♥s ♥t ♠♠ét♠♥t w4 = 2ǫ = 4 tw0,4 = ǫ(1 − 2η4) = −6 ♣sq η4 = 2P♦r étr♠♥t♦♥ w3 s éqt♦♥s t ♦♥t êtr tsés η3 = 1

w3 = ǫ +1

2(n4w4) + |w0,4 +

2(n4w4)| = 8

t w0,3 = (1 − η3)w3 + w0,4 = −6.

♠ê♠ ç♦♥ r w2 s♦t♥t η2 = 2

w2 = ǫ +1

2(n4w4 + n3w3) + |w0,3 +

2(n4w4 + n3w3)| = 12

t w0,2 = (1 − η2)w2 + w0,3 = −18.

♦rt♠

②♥tès s♣tr ♥♠ é♥értr

s♣tr ♥♦♥ r♣é

∗ ♦♥t♦♥ s②♥ts❴s♣tr❴♥♦♥r♣t♦r♥ s ♣♦s s②♥♣tqs rés♥t ♥ ♠ é♥értr ♦♥♥é

Pr♠ètrs − ♠ é♥értr s♣tr ♥♦♥ r♣é à s②♥tétsr♠r − ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ésré∗

♦♥t♦♥ s②♥ts❴s♣tr❴♥♦♥r♣♠r ♦tt♥t❬❪ ④ − ♥♦♠r rs réts ♥tr ♥rrs t − ♣r♠èr r♥ ♦rr

♥tr t ❬❪❬❪

s s ♣r♦ér rérss ④

♦♥ rt♦r♥ t ❬ ❪rt♦r♥r ❬♠r∗−∗tt ∗♠r❪

s♥♦♥ t r à ♣rtr s trs ♦t♥s ♣r rérsté s♦s − s s♦s−♠ é♥értr ♦rr ♠♥rtr s♦ss♦s♠

❲ − t ♣♦s ❬ ❪ ♦t♥ rérs♠♥t❲ s②♥ts❴s♣tr❴♥♦♥r♣s♦s♠r

t♣ − r ①è♠ r♥ ♦rr

♥tr t♣ ❬❪❬❪

s st ♠ê♠ ♦rs t t ♥ t t

s t♣ t ④t

s♦♠♠ − s♦♠♠ s ∗♥ ♣♦r à ♦tt♥t s♦♠♠ ♣♦r ④

s♦♠♠ ❲❬❪ ∗ r♥⑥

− ♣♦s s②♥♣tq q ♥♦s ♦♥s r♦tt♥t ♠r s♦♠♠ s❲❬❪s♦♠♠

− ♣♦s s②♥♣tq ①r♦tt♥t − t∗ ❲❬❪

rt♦r♥r❬ ❲❬❪❪⑥

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

♥♥ η1 = 2 ♦♥

w1 = ǫ +1

2(n4w4 + n3w3 + n2w2) + |w0,2 +

2(n4w4 + n3w3 + n2w2)| = 20

t w0 = w0,1 = (1 − η1)w1 + w0,2 = −38.

♥ é♥t ♥r♦♥ ♥r ♦t♥ st rtérsé ♣r

w =(20 12 8 4

)⊤ t w0 = −38.

tr ♣♦rr érr q ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥r♦♥ ♥r st♥ 2 ♦♥♦r♠é♠♥t à ♦♥tr♥t é♣rt Pr rs ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥♦r♠sé t ǫ = 0,029 q ♣t ♣rîtr ♠s q st ♣♦rt♥t♣r ♦♥strt♦♥ ♠r r ♣♦ss ♣♦r tt ♠ é♥értr

râ à ♠ét♦ s②♥tès s♣tr ♣r♦♣♦sé ♥s tt st♦♥ t♦t ♠é♥értr ♣t êtr s②♥tétsé ç♦♥ ♦♣t♠ ♥ ♥r♦♥ ♥r ♣♦r q s♣tr tt r♥èr ♥ s♦t ♣s r♣é tt ♦♥tr♥t ♣t êtr éré à♥ ♥ ts♥t é♥t♦♥ s♦rt q♥ ♠ é♥értr s♣trr♣é ♥ sr ♠s s②♥tétsé ♣r s ♥s s ♦♥trr ♥r♦♥ ♥r♦t♥ ♥ résrt ♣s ①t♠♥t ♦♥t♦♥ ♦q à s ért ♣r ♠é♥értr s②♥tétsé

②♥tès ♠s é♥értrs

s♣tr q♦♥q

r♣♠♥t s♣tr s ♠s é♥értrs trt ♦♥tr♥t s♦♥ q ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t s ♥r♦♥s ♥rs ♦rrs♣♦♥♥ts st ①é ♣r ♠♦♥s① ♣♦s s②♥♣tqs t ♥♦♥ ♣s ♥ s ♥ ♦♥séq♥ ♥ ♠ét♦ s②♥tès♥st ♣s r ♦sr r r ç♦♥ ♥é♣♥♥t s ♦♥t ♠♥t♥♥têtr és s♠t♥é♠♥t ♥ t s s♣trs r♣és ♣rés♥t♥t ♣srs ♣♦♥ts r♥ss♠♥t s réés ♥ ♣r ♥ ♣♦s s②♥♣tq s♣éq s♦t♥t s ♦♥tr♥ts s♣♣é♠♥trs s♦s ♦r♠ ♦♠♥s♦♥s ♥érs ♣♦s s②♥♣tqs ♦♥t rô st r♥tr ①st♥ s♠t♥é s ér♥tsr♥ss♠♥ts ❱♦r r

rs♠♥t ♣♦s ♥ té ♠r ♥s ♦♥t①t s②♥tèss♣tr ♥ t ①♣rss♦♥ ♦r♠ s ♦♠♥s♦♥s ♥érs r é♥♦r♠é♠♥t ♥ ♠ é♥értr à tr s ♥ s♦♥t ♣r ♦♥séq♥t ♣s ♦♥♥sà ♠♦♥s ♦♥s♥tr à ♥ ♦r ♦rt t♦r ♦♥t ♦♠♣①té ♠♥rtr♣♠♥t ♥ t♠♣s rét♦r ♥s tt ♥♦r♠t♦♥ r s②♥tès ♦♣t♠ ♥ ♠ é♥értr ♣r ♥ ♠ét♦ s♣tr ♥st ♥s ♣s♣♦ss

s ① ♣♣r♦s ♣rés♥tés ♣r tt st♦♥ ♥ s♦♥t ♥s ♣s t♦t♠♥t stss♥ts ♣♦♥t s ♦ts ①és ♥s ♠♥srt ♠s rs ♣r♦r♠♥s♠ért♥t ♥é♥♠♦♥s êtr s♦♥és

♦♥tr♥ts ①♥t s♣♦♥ts r♥ss♠♥t

♥ s♣tr r♣é

2ǫ(1)

2 = w2 − 2w3

2ǫ(2)

2 = w3

A(e) famille generatrice:

famille generatrice

conjointe:

poids synaptique

responsable du repliement

tt s♦sst♦♥ ♥♦r ♣s r♠♥t qst♦♥ s②♥tès ♦♥t♦♥s♦qs à s ét♥t ♦♥♥é q ♥r♦♥ é ♥ résr ♣s ①t♠♥t ♦♥t♦♥ ♦q rré ♦s ♦♥s ♥é♥♠♦♥s ♦s ♣rés♥tr tt ♦♣t♦♥ s②♥tès ♣r q str s♦♣ss q s ♠s é♥értrs♣r♠tt♥t ♠♥♣r s ♦♥t♦♥s ♦qs à s

♣r♥♣ tt ♠ét♦ s②♥tès ♣r ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦♥sst à ♠♦r ♥♠ é♥értr s♣tr r♣é ç♦♥ à ♦t♥r ♥ ♠ s♣tr ♥♦♥r♣é ② rs♠♠♥t ♥♦♠rss ç♦♥s r ♥ ♦♥t♦♥ q♥r ♠♦♥s ♦♥t①t tst♦♥ ♥r♦♥ ♥r ♦t♥ s ♣rr♣ss♥ts ♣rés♥t♥t s tr♦s q ♥♦s ♦♥s s ♣s ♣rt♥♥ts

♣♣r♦①♠t♦♥ ♣r tr♦♥tr ♥s tt ♣♣r♦ é st é♠♥r srs réts s ♠♦♥s ♥♥ts ♥ ♠ é♥értr sqà q sr♣♠♥ts s♣tr① tt r♥èr ♥t s♣r ♥ ♣rtq s t trèsr♣♠♥t trrs é♥t♦♥ ♣r♠èr s♦s♠ é♥értr ♥ér♥t ♣s ♥ s rtèrs st é♠♥é ♠ é♥értr ♦r♥

①♠♣ ②♥tès s♣tr ♣♣r♦é ♣r tr♦♥tr

♥ r♣r♥♥t ♦♥t♦♥ ♦q L4 ♣ t ♥ ♣♣q♥t ♦rt♠ ♠ é♥értr s♥t st ♦t♥

L4(tr♦♥qé) =

1 00 2

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

∗ ♦♥t♦♥ tr♦♥trt♦r♥ ♠ é♥értr ♣♣r♦é ♣r tr♦♥tr♥ ♠ é♥értr ♦♥♥éPr♠ètrs

− ♠ é♥értr s♣tr r♣é à ♣♣r♦r∗

♦♥t♦♥ tr♦♥tr ♠♥rtr ④ r♦♥q − ♠ é♥értr ♣♣r♦é ♦rr♦♥q r♥s − ♥♦♠r r♥s ♦rr ♥tr r♥s ♥r♥s

s ♦ù r rét ♣s ♥♥t st tr♠♥t rs♣♦♥s ♥ r♣♠♥ts r♥s ④

rt♦r♥rr♦♥q⑥s♥♦♥ ④

t − ♣r♠èr r♥ ♦rr

♥tr t ❬❪❬❪ s♦s − s♦s−♠ ♦rr rt à t♠♥rtr s♦s s♦s♠t

s s♦s−♠ tt r♥ st ♦♥t♦♥ r ♦rs t ♦tr à ♠ tr♦♥qés s♦s♦♥t♦♥ r ④

tr♦♥q♦trtr⑥ ♥ t à s♦s s♦s−♠ r♥ t−

♥①st ♣s s♦s st s♦s s♦s♠t− ♥st ♦tr ♠ tr♦♥qé s♦sr♦♥q♦trt−tr♦♥trs♦s

⑥rt♦r♥rr♦♥q

♦rt♠

♣♣r♦①♠t♦♥ ♣rtr♦♥tr ♥ ♠é♥értr

s②♥tès tt ♠ é♥értr ♣r ♠ét♦ s♣tr st♦♥ ♣réé♥t ♦♥♥ s ♣♦s s②♥♣tqs s♥ts ♣♦r ǫ = 1

w =(4 2 0 0 0

)⊤ t w0 = −3.

♣♣r♦①♠t♦♥ ♣r ①trt♦♥ ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ①trr ♥ ♠ é♥értr s♣tr r♣é ♣s r♥ ♥♦♠r trs é♥értrs ♣♦sss♦r♠♥t ♥ ♠ é♥értr s♣tr ♥♦♥ r♣é tt ♦♣ért♦♥ ♥ q ♣s♦♠♣① q ♣réé♥t ♣t é♠♥t êtr résé ♥ ♣rè ért♦♥ r♣♠♥t s♣tr ♠ é♥értr à s②♥tétsr q ♦sq♥ rtèr é♥t♦♥ ♥st ♣s éré ♥ s s♦s♠ é♥értrst ♦♥sré q ♦♠♣t ♣s trs é♥értrs

①♠♣ ②♥tès s♣tr ♣♣r♦é ♣r ①trt♦♥♥ r♣r♥♥t ♦♥t♦♥ ♦q L4 ♣ t ♥ ♣♣q♥t ♦rt♠ ♠ é♥értr s♥t st ♦t♥

L4(①trt) =

1 0 0 0 00 1 1 2 3

s②♥tès tt ♠ é♥értr ♣r ♠ét♦ s♣tr st♦♥ ♣réé♥t ♦♥♥ s ♣♦s s②♥♣tqs s♥ts ♣♦r ǫ = 1

w =(72 36 18 6 2

)⊤ t w0 = −71.

♣r♠èr réstt st r♠♥t ér♥t ♦t♥ ♣r s②♥tès L4

(tr♦♥qé) é♥♠♦♥s ♥ s♥t s ♣♦s sss ♣r ①t ♦♥ ♦t♥ts ♦rrs r♥rs s♠rs t ♥t é♥t q ♣♣r♦ ♣r tr♦♥tr s♠♣♠♥t ♥éé r s ♣♦s s②♥♣tqs w3 w4 t w5 ♥t w1 t w2

♣♣r♦①♠t♦♥ ♣r ♠♦②♥♥ tt r♥èr ♣♣r♦ st très rt♥♠♥t q str ♠① ré ♠trs q♦r♥t s ♠s é♥értrs♥ ♠tèr s②♥tès ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♥s s ① ♠ét♦s ♣♣r♦①♠t♦♥ ♣réé♥ts ♦t étt ♥ ♦♥srr q♥ s r♥ss♠♥t s ♣s r♣rés♥tt s♦♥ s rtèrs sts ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s rqr ♥ ♠ é♥értr s♣tr ♥♦♥ r♣é ♦♥t ♣♦♥t r♥ss♠♥t s st ♣♦st♦♥♥é ♣s ♣rès ♣♦ss ♣♦♥t r♥ss♠♥t ♠♦②♥ ♦sré♥s s♣tr ♠ é♥értr ♦r♥

st ♥ ♦♣ért♦♥ q s é♦♠♣♦s ♥ qtr ét♣s

r ♠ é♥értr ♦♥♦♥t

ré♥r s ① ♠s t ♦r♦♥♥r s trs s♦♥ ♦rr ①♦r♣qr♦ss♥t

♦sr s r♥ss♠♥ts s t r ♣♦♥t r♥ss♠♥t♠♦②♥

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

∗ ♦♥t♦♥ ①trt♦♥t♦r♥ ♠ é♥értr ♣♣r♦é ♣r ①trt♦♥♥ ♠ é♥értr ♦♥♥éPr♠ètrs

♦♥t♦♥ ①trt♦♥ ♠♥rtr ④ ①trt − ♠ é♥értr ♣♣r♦é ♦r①trt ♥r♥s − ♥♦♠r r♥s ♦rr ♥tr ♥r♥s ♥rr♥s

s ♦ù r rét ♣s ♥♥t ♣r♦♦q tr♠♥t r♣♠♥t ♦♥ ♦t s♦s−♠ q ♣s trss ♥r♥s ④

s♦s − s♦s−♠ q ♣s trs é♥értrs♠♥rtr s♦s s♦s♠♠① t − r♥ ♦rrs♣♦♥♥t à s♦s♥tr t r♥s♦s rt♦♥ ①trt①trt♦trt①trt♦♥s♦s

⑥s♥♦♥ ④

t − ♣r♠èr r♥ ♦rr t ❬❪❬❪

s s♦s−♠ tt r♥ ♥st ♣s ♦♥t♦♥ r t ♦tr ♣s r♥ s ♠s rst♥tss s♦s♦♥t♦♥ r ④

s♦s − s♦s−♠ q ♣s trs ❭é♥értrs

♠♥rtr s♦s s♦s♠♠① t − r♥ ♦rrs♣♦♥♥t à s♦s♥tr t r♥s♦s rt♦♥ ①trt①trt♦trt①trt♦♥s♦s

⑥s♥♦♥ ④

s♦s s♦s♠t−①trt♦trtr①trt♦trt−①trt♦♥s♦s

⑥⑥rt♦r♥r①trt

♦rt♠

♣♣r♦①♠t♦♥ ♣r①trt♦♥ ♥ ♠é♥értr

tr♥sérr t♦s s trs é♥értrs ♦♥♦♥ts s♣érrs à ♣♦♥t ♥s ♠ é♥értr t t♦s s trs é♥értrs ♥érrs ♥s ♠é♥értr ♦♥♦♥t

①♠♣ s♥t ♠♦♥tr ♦♠♠♥t ♣♣qr tt ♠ét♦ ♦♥t ♥ ♠♣é♠♥tt♦♣♥ st ♣r♦♣♦sé ♣r ♦rt♠ sr L4

①♠♣ ②♥tès s♣tr ♣♣r♦é ♣r ♠♦②♥♥ ♠ é♥értr t ♠ é♥értr ♦♥♦♥t L4 s♦♥t

e(9)⊤ =

(1 0 0 0 0

e(8)⊤ =

(0 2 1 0 0

e(7)⊤ =

(0 2 0 2 0

e(3)⊤ =

(0 1 1 2 3

. t cL4 =

e(6)⊤ =

(0 2 0 1 3

e(5)⊤ =

(0 1 1 2 2

e(4)⊤ =

(0 1 1 1 3

e(2)⊤ =

(0 1 0 2 3

e(1)⊤ =

(0 0 1 2 3

é♠tq♠♥t s♣tr L4 s ♣rés♥t ç♦♥ s♥t

e(7) → e

(8) → e(9)

ր րe(1) → e

(2)e(4) → e

(5) → e(6)

♦rt♠

♣♣r♦①♠t♦♥ ♣r♠♦②♥♥ ♥

♠ é♥értr

∗ ♦♥t♦♥ ♠♦②♥♥t♦r♥ ♠ é♥értr ♣♣r♦é ♣r ♠♦②♥♥♥ ♠ é♥értr ♦♥♥éPr♠ètrs

♦♥t♦♥ ♠♦②♥♥ ♠♥rtr ④ ♦②♥♥ − ♠ é♥értr ♣♣r♦é ♦r♦②♥♥ ♦♥♦♥t − ♠ é♥értr ♦♥♦♥t ♠♥rtr ♦♥♦♥t ♦♥♦♥t tr − tr é♥értr ♣rès ♥ r♥ss♠♥ttrrt tr ♥ tr − tr é♥értr ♦♥♦♥t ♥t ♥ r♥ss♠♥ttrrt tr ♥ ♥rtr − ♥♦♠r trs rt♥s ♣♦r ♠♦②♥♥♥tr ♥rtr

sét♦♥ s trs é♥értrs st ♣rès ♥ r♥ss♠♥t♣♦r tr ♥s ④

s tr♣rs❴r♥ss♠♥t ④tr tr♥rtr

♣♦♥t r♥ss♠♥t ♠♦②♥tr ♥rtr

♥♦ ♠ é♥értr s trs t ♦♥♦♥t s♣érrs à tr♦②♥♥ s♣rrstr s♣rrstr♦♥♦♥t⑥rt♦r♥r♦♥♦♥t

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

s ① ♣♦♥ts r♥ss♠♥t s s♦♥t ♦♥ rs♣t♠♥t é♠tés ♣re

(2) t e(3) t ♣r e

(6) t e(7) ♣♦♥t r♥ss♠♥t ♠♦②♥ ♦rrs♣♦♥ ♦♥

tr rét s♥t

(2) + e(3) + e

(6) + e(7))

=(0 1,5 0,25 1,75 2,25

♦♠♠ ♦rr ①♦r♣q st ♣♦♥t ♥tr e(5) t e

(6) ♠ é♥értr♣♣r♦é ♣r ♦♥séq♥t ♥ s♣tr ♦r♠

e(6) → e

(7) → · · ·ր

· · · → e(3) → e

(4) → e(5)

q ♦rrs♣♦♥ à ♠ é♥értr s♥t

L4(♠♦②♥♥é) =

e(9)⊤ =

(1 0 0 0 0

e(8)⊤ =

(0 2 1 0 0

e(7)⊤ =

(0 2 0 2 0

e(6)⊤ =

(0 2 0 1 3

s②♥tès tt ♠ é♥értr ♣r ♠ét♦ s♣tr st♦♥ ♣réé♥t ♦♥♥ ♣♦r ǫ = 1

w =(52 20 12 6 2

)⊤ t w0 = −51.

♠rq ♥s s♦sst♦♥ s♥t ♥♦s ♠♦♥trr♦♥s q s ♣♦s s②♥♣tqsrés♥t ①t♠♥t t ♦♣t♠♠♥t L4 s♦♥t ♥ t

w =(60 24 18 6 2

)⊤ t w0 = −59.

♥ ♣rtq ♥térêt s♦r s②♥tétsr s ♥r♦♥s ♥rs rés♥t ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ésré ♣t s♠r st ♥ t♥s ♦♥t①t ♦♥♣t♦♥ rts ♦qs s ♦♥t♦♥s ♦qs à ss♦♥t t♦♦rs ♣rt♠♥t étr♠♥és t s②♥tétsr ♥ rt q ♥♠♣é♠♥trt♣s s r♥èrs ♥s s ♠♦♥rs éts é♥trrt ♦♠♣èt♠♥t ♦♥t♦♥té ésré P♦rt♥t st rt♠♥t ♠♥r s s rs ♣♦rsqs s♣♦sr t②♣ s♦t♦♥s ♣♦rrt sérr ♣r♦t

ét ♣tr ♥♦s ♦♥s ♥ t ♠♦♥tré ♦♠♠♥t trr ♥ ♥r♦♥rts ♦♥t s ♥trés s♦♥t q♥tés ♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r ❯♥ t tr♥s♦r♠t♦♥ ♠♥t é♠♠♥t ♥♦♠r ♥trés ç♦♥ ①♣♦♥♥t q♥st ♣s s♥s ♦♥séq♥s sr s t♠♣s ♣♣rt s ♠ét♦s s②♥tès ♥s ♦♥t①t st ♥s é♥t q rt♥s s ♥trés stés ♣♦s s②♥♣tqs s ♥ ♦rr♥ ♣ss♥t ♦r ♥ ♥♥♥é sr ♦♥t♦♥té ♦ ♥r♦♥ ♥r ❯♥ s②♥tès s♣tr♣♣r♦é ♣r tr♦♥tr ♣t ♦rs ♦♥♥r

s②♥tès s♣tr ♠s é♥értrs s♣tr ♥♦♥ r♣é ♥ ♦♠♣①té ♥ér t ♣t♦♥ êtr é①été sr ♥ ♥♦♠r ♥trés ♥ ♣s r♥ q s ♠ét♦s ♦♥rr♥ts ♦♥t ♦♠♣①té st ♠♦♥s ♣♦②♥♦♠

Pr rs ♥s s ♥r♦♥s rts ♦t♥s ♣r ♣♣r♥tss ♦♥ ♣trs♦♥♥♠♥t ♣♥sr q s ♥trés ♣♦s s②♥♣tqs s ①♣r♠♥t é♥érst♦♥ ♥ér♥t à ♣♣r♥tss s②♥tès ♣♣r♦é ♣r ①trt♦♥ t ♣r♠♦②♥♥ ♣♥t ♦rs êtr ♥tr♣rétés ♦♠♠ sst♦♥ ♥ é♥érst♦♥ér♥t ♦♥t ♥térêt srt ♣r♠ttr ♥r♦♥ ♥r ♣♦♦r êtr rs②♥tétsé ♠♥èr r♦st ♥ ♣réèrr ♦rs ♠ét♦ ♣r ♠♦②♥♥ ♥s s ♦ù ♥ rs♦♥ st ♥ ♦♥t à ♣réérr s②♥tès ♥ r♥ss♠♥t♣rtr

♣rès s ♦♥sért♦♥s ♣réé♥ts ♣♣rît q♥ ♦♥t♦♥ ♦q à sq♦♥q ♣t t♦♦rs êtr r♠♥é à ♦♠♥s♦♥ ♣srs s♦s♠sé♥értrs ♦♥t s♣tr ♥st ♣s r♣é t q ♣♥t ♦♥ ♥♠♥tr ♦t s②♥tès s♣tr st♦♥ s②♥tès s♣tr ①t♣r♦♣♦sé ♥s tt st♦♥ ♥ ♦♥sstrt ♦rs q♥ ré♥♦♥ s ♠t♣s ① ♣♦s s②♥♣tqs ♦t♥s P♦r ② ♣r♥r t t♦t♦s ♣♣♦rtr ♥ ré♣♦♥s① qst♦♥s s♥ts

q r s s s②♥tèss ♦♥s♥t à s rs ér♥ts ♣♦r ♥ ♣♦s s②♥♣tq ♦♥♥é

♦♠♠♥t r ♥ ♣♦s s②♥♣tq rs♣♦♥s ♥ r♣♠♥t stàrré r♦♠♣♦sr ♣srs s♦s♠s é♥értrs

s ① qst♦♥s s♦♥t strés ♣r r q ♠♦♥tr s ér♥ts ♣ss s②♥tès ♥ ♠ é♥értr s♣tr r♣é ♥ ♣s ♠ét♦ s②♥tès ♣♦s s②♥♣tqs ♣♦r s s♣trs ♥♦♥ r♣és ès rts t♣♣rîtr ① trs t♥qs s②♥tès ♥ ♣♦s s②♥♣tq rs♣♦♥s♥ r♣♠♥t è r♦ t s②♥tès ♣rè ♣♦♥té rt s ① ♣♣♦rts s♦♥t érts ♥s s ♣rr♣s s♥ts

②♥tès ♥ ♣♦s s②♥♣tq rs♣♦♥s ♥ r♣♠♥t ♦♠♠ sèr r st s s ♦ù ♣♦s é rss♠ ♠♦♥s ①s♦s♠s é♥értrs s♦rt q ♠ é♥értr ♦t♥ sér ♥s ① ç♦♥s s♥ts

0 · · · 0

η1 − 1 L(1)

η1 − 2 L(2)

η1 − k L(k)

♦ Ld2 =

η1 − 1 L(1)

η1 − 2 L(2)

η1 − k L(k)

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

synthese parallele

synthese repliee

synthese non repliee

Pr♥♣ s②♥tèss♣tr ①t

q s trt ♣r s rs ♦r♠s s♥ts ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥r♦♥ ♥r s②♥tétsé

η1w1 + w0 = ǫ(0),

(η1 − 1)w1 + ǫ(1)

d−1 − w(1)

0,d−1 + w0 = ǫ(1),

t (η1 − k)w1 + ǫ(k)d−1 − w(k)

0,d−1 + w0 = ǫ(k),

♦ù ♦♠♠ ♣♦r s s②♥tès s♣trs ♥♦♥ r♣é s ♠rs ♦♥t♦♥♥♠♥t s s♦s♠s ♥s q rs ♣♦s s②♥♣tqs ♥tr♠érs rs♣ts♥tr♥♥♥t trrs s rs ǫ(i)

d−1|ki=1 t w(i)

0,d−1|ki=1 ♣rés♥ éq

t♦♥ st ♦♥t♦♥♥é ♣r ♦r♠ ré ♠ é♥értr Ld2 ♦Ld2

♠ê♠ ♠ é♥értr ♦♥♦♥t st ♦rs ♥ s ① ♠s s♥ts

cLd1 =

η1 − 1 cL(1)

η1 − 2 cL(2)

η1 − k cL(k)

d−1η1 − k − 1

n2 · · · nd

♦ cLd2 =

η1 − 1 cL(1)

η1 − 2 cL(2)

η1 − k cL(k)

♦♥t♦♥ rét♦♥ ♣r♥ s rs ♦r♠s s♥ts ♣rés♥ r♥èr é♣♥♥t à ss értr é♥ér ♠ é♥értr ♦♥♦♥t

♥♥ w1 sr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t

♥ ♥r♦♥ ♥rrés♥t ♥ ♠

é♥értr s♣tr r♣é

0,d−1

w(max)

w(min)

ǫ(0) ǫ(1) ǫ(2)ǫ(1) ′ ǫ(2) ′

ǫ(3) ′

I1(4) I2(3) I3(2)

cI1(1) cI2(2) cI3(3)

2ǫ(1)

0,d−1 2ǫ(2)

0,d−1

−ǫ(2)

0,d−1

(η1 − 1)w1 − ǫ(1)

d−1 − w(1)

0,d−1 + w0 = −ǫ(1) ′,

(η1 − k)w1 − ǫ(k)d−1 − w(k)

0,d−1 + w0 = −ǫ(k) ′,

t (η1 − k − 1)w1 +

niwi + w0 = −ǫ(k+1) ′.

♥ rés♥t ♥ tré s♠r à r ♣ st ♣♦ss étr♠♥r ♠r r w1 r ♠♦♥tr q ♥tr rs ♠sss st tt ♦s ♦r♥é trt ss♥ ♣r♦è♠ é♣♥♥ s ♣♦s s②♥♣tqs ♦♥t ♥♦s ♦♥s ♣ré ét tt st♦♥♥ t s rs s ♦r♥s s♦♥t ①és ♣r s ♣♦s s②♥♣tqs wi|

di=2 r r

♥♥ s♦♠♥t ♣s t♥ ♦♠♣t ♥s ♥ r wi|di=2 q ♣♦t

s♠r ♦♣t♠ ♠♦♠♥t s♦♥ ♣t ♥tr♥r ♥ ♥tr rs♠sss ♣♦r wj<i tr♦♣ étr♦t ♦r ♠ê♠ s r t êtrr♥♦♥tré ♦rs s②♥tès s♣tr ①t ♦rs ♠ét♦ ♦♥rt q♥st ♣s ♣♦ss résr ♠ é♥értr ♥ s ♥r♦♥ ♥r tq t s♦t ♣♣r♦r s♦t s②♥tétsr ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs ♥ rététt ♦♥s♦♥ ♥ srt ♦♥ ♣s ♥éssr♠♥t ①t

r s ♦r♥s s♦♥t ♦♥♥és ♣r s ① ♣♦♥ts ♥trst♦♥ s r♦ts

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

rsés é♥s ♣r min(ǫ(0), ǫ(1), . . . , ǫ(k)) t max(ǫ(1) ′, . . . , ǫ(k), ǫ(k+1)) r ♦♣t♠ w1 st ♦rs ♣s ♣tt r tt ♥tr ♣♦r q ♠rst ♣s r♥

♥ ♣rtq st ♦t♥ ♥ ♦♥strs♥t ① sérs ♥trs rs ♣♦rw1 ♥ ♣r♠èr ♣♦r trr s ♦♥tr♥ts ♥ts ♣r ♠ é♥értr t♥ s♦♥ ♣♦r s ♥ts ♣r ♠ é♥értr ♦♥♦♥t

I =[w(min)

1 ; w(max)

]∩ I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ Ik+1

t cI =[w(min)

1 ; w(max)

]∩ cI1 ∪

cI2 ∪ · · · ∪ cIk+1.

♥ s ♥trs Ii|k+1i=1 t cIi|

k+1i=1 s sérs st ss♦é r ρi|

k+1i=1 t

cρi|k+1i=1 ♦♥t ♠t♣tr w1 r ♦rrs♣♦♥♥t ♥s s ① éq

t♦♥s t Pr ♦♥séq♥t ♣♦r ♥ r w1 ∈ Ii ∩cIj ♦♥♥é

♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♠♥t w1 ♥s tt ♥trst♦♥ ♥trss t s♠♥t s ρi > cρj ♦♠♠ ρi|

k+1i=1 ér♦t i t cρi|

k+1i=1 r♦t i

r ♦♣t♠ w1 st ♥ ♣r♦r♥t I t cI s ♣s ♣tts rs rs s ♣sr♥s ♣r♠èr r w1 t q w1 ∈ Ii ∩

cIj t ρi ≤cρj

♣♦s s②♥♣tq ①r st ♦rs très s♠♣♠♥t ♦t♥ ♣r rt♦♥ s♥t

w0 = w(η1−ρi)

0,d−1 − ρiw1.

♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t st q♥t à é à ♣rtr s♦s♠ é♥értr L

(ηρi−1)

d−1 trrs rt♦♥ s♥t

ǫ = w0 + ρiw1 + ǫ(η1−ρi)

d−1 − w(η1−ρi)

0,d−1 .

②♥tès ♣rè ♥ ♣♦s s②♥♣tq st ♥ ♣r♥♣ st♥é àssrr q s②♥tès sé♣ré ♣srs s♦s♠s é♥értrs ♦♥s ♠ê♠ ♣♦s s②♥♣tqs ♥ tr r ré♥♦♥ ♥ ♥ s ♠ st résé très s♠♣♠♥t ♥ ♥t s ① sérs ♥trs s ♣rr♣s ♣réé♥ts à ♣rtr ré♥♦♥ t♦ts s s♦s♠s é♥értrs té♥értrs ♦♥♦♥ts ♦♥r♥és ♥② ♦rs ♣s qà r r ♦♣t♠ ♣♦s s②♥♣tq rré

s ér♥ s s②♥tès ♥ ♣♦s s②♥♣tq rs♣♦♥s♥ r♣♠♥t st t q s ♣♦s s②♥♣tqs ①rs ♥s q s ♠rs ♦♥t♦♥♥♠♥t s♦♥t és sé♣ré♠♥t sr q s♦s♠s é♥értrstt s②♥tès ♦♥ ♣♦r réstt ♥ s r ♣♦s s②♥♣tq t t♥t ♣♦s s②♥♣tqs ①rs t ♠rs ♦♥t♦♥♥♠♥t q s♦s♠ss②♥tétsés ♥ ♣rè

ttr ①♣t♦♥s ♦♠♣é♠♥trs ♥♦s ♦♥s tsr s②♥tès s♣tr①t ért ♣r ♦rt♠ ♣♦r r ♥r♦♥ ♥r rés♥t ①t♠♥t L4 ♣♦r ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t r ǫ = 1

♦rt♠

②♥tès ①t ♥♠ é♥értr

∗ ♦♥t♦♥ s②♥ts❴①tt♦r♥ s ♣♦s s②♥♣tqs rés♥t ①t♠♥t ♥ ♠ é♥értr

Pr♠ètrst❴ − t ♠s é♥értrs à s②♥tétsr ♥ ♣rè∗

♦♥t♦♥ s②♥ts❴①tt❴ ♦tt♥t❬❪ ④ ♥r♠s − ♥♦♠r ♠s ♥s t❴♥tr ♥r♠s t❴♥r♠s ♣♦s − r ♣♦s s②♥♣tq à s②♥tétsr♦tt♥t ♣♦s

s s ♠s ♥s t❴ ♥♦♥t q♥ ♠♥s♦♥ rét s②♥tétsr ♣r ♠ét♦ s♣tr ♥♦♥ r♣és t❴♥rrs ④

♣♦r ♥r♠s ④♣♦s ♠①♣♦ss②♥ts❴s♣tr❴♥♦♥r♣t❬❭

❪⑥rt♦r♥r ♣♦s

s♦s❴t❴ − t s s♦s−♠s ♦rr

s♦s❴t❴ t❴s♦s♠s ♣♦s ♣♦s s②♥♣tqs ♦t♥s ♣r rérr♥♦tt♥t❬❪ ♣♦s s②♥ts❴①ts♦s❴t❴

♦♥strt♦♥ s t ♥trs t❴♥trst♦♥s♣♦s♥trs t❴♥trst♦♥s❴♦♥♦♥ts♣♦s

rr ♠rs ♦tt♥t ♠rs

rt♦r♥r❬ ♣♦s❪⑥

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

①♠♣ ②♥tès s♣tr ♣rè ♠ é♥értr L4 t s ♠ ♦♥♦♥t sér♥t

1 0 0 0 00 2 1 0 00 2 0 2 00 1 1 2 3

t cL4 =

0 2 0 1 30 1 1 2 20 1 1 1 30 1 0 2 30 0 1 2 3

é♦♠♣♦st♦♥ L4 ♥ s♦s♠s é♥értrs ♦♥♥

L4 →

0 0 0 0

2 1 0 02 0 2 01 1 2 3

1 0 00 2 0

→ 02 0

→ 20

→ 11 2 3

→ 23.

s②♥tès ♣♦s s②♥♣tq w5 st rss♦rt s②♥tès s♣tr ♥♦♥ r♣é ♣♦r ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ǫ = 1 ♦t êtr té ♥ ♣rè ♣♦rs ① s♦s♠s ♦rr ♠s ♦♠♠ s ♦♥t r♥ ♦rr t(0 1 1 2

)é♣♥ tt r rét s②♥tès w5 s t ♥ s♥t

éqt♦♥

w5 = 2ǫ = 2 t w(2)

0,5 = (1 − 2.3) = −5.

♣♦s s②♥♣tq w4 t ♥tr♥r ① s♦s♠s ♦rr é♥♠♦♥s ♣♦s s②♥♣tq ♥st rs♣♦♥s ♥ r♣♠♥t t t ♦♥ ♠♥r① s②♥tèss s♣trs ♥♦♥ r♣és ♥ ♣rè

w4 = max(w(1)

4 , w(2)

4 ) = max(2, 6) = 6,

♦ù w(1)

4 t w(2)

4 ♦♥t été ♦t♥s ♣r ♣♣t♦♥ éqt♦♥ ♦♠♠ st♥ s②♥tès ♣rè s ♣♦s s②♥♣tqs ①rs ♥tr♠érs ♦♥t ♥r♥ êtr és sé♣ré♠♥t râ ① éqt♦♥s t

0,4 = −11 t w(2)

0,4 = −17.

s ① ♠rs ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥tr♠érs s♦♥t ♥tqs t ♥t 1 ♣♦s s②♥♣tq w3 ♦rrs♣♦♥ à ♥ s r ①t♠♥t s♠rq ♦♥♥ ♦♥

w3 = 18 w(1)

0,3 = −11 t w(2)

0,3 = −35.

s ♠rs ♦♥t♦♥♥♠♥t s♦♥t t♦♦rs ♥tqs à 1 ♣♦s s②♥♣tq w2 st ♥ r♥ rs♣♦♥s ♥ r♣♠♥t ♦t ♦♥ r♦t ♠ét♦ s②♥tès ♣rés♥té ♥s tt st♦♥ ♥ ssr s♥t♦♥ ♣rtq s ♥trs q ♦♥t êtr és r ♠♦♥trs ér♥ts r♦ts ♦♥t s②♥tès ♦t t♥r ♦♠♣t ♥s t ①♠♣ s ①sérs ♥trs s♦♥t

I = [22 ; 24] (2) ∪ [24 ; 26] (1) t cI = [22 ; 24] (1) ∪ [24 ; 26] (2).

♦♥t rtr s s♠♥ts r♦t s♦♥t ♥srts ♥tr ♣r♥tèss ♣♦rq ♥tr ♠r r w2 st ♦♥ 24 ♣sq st r à

♣♦s w2

①♠♣

ǫ(1) ′

ǫ(2) ′

(1)(2)

(1) (2)

♣rtr q ♦♥t rtr I t 1 t cI t 2 ♣♦ss②♥♣tq ①r ♥tr♠ér s♦s♠ é♥értr ♦rr st ♦♥♥é♣r éqt♦♥

w0,2 = −w(1)

0,3 − 2w2 = −59,

t ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥tr♠ér t t♦♦rs 1 r♥r ♣♦s s②♥♣tq ♥ét♥t ♣s rs♣♦♥s ♥ r♣♠♥t rè s②♥tès s♣tr ♥♦♥ r♣é ♣t êtr ♣♣qé

w1 = 60 t w0 = −59.

s ♣♦s ♦t♥s s♦♥t ♥♠♥t

w =(60 24 18 6 2

)⊤ t w0 = −59.

♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥ ♥ à ♦♥s♥ q ♣r♠t ♥ ♦trr♠r q st s♦t♦♥ ♣s r♦st ♣♦ss ♥t ♣s été s ♦rs rt été ♣♦ss q♥ s♦t♦♥ ♣r♠tt♥t ♦r ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ésré ①st ♥r♦♥ ♥r ♦t♥ ♥♥ résrt ♣s ♠♦♥s L4

♥ s②♥tès s♣tr ①t t♥t ♦♥♥é q ♣rès s ♦♥sért♦♥s ét tt st♦♥ t ♦rt♠ s②♥tès ♥st té♦rq♠♥t ♣s♣ s②♥tétsr ♥ ♠ é♥értr q♦♥q ç♦♥ ♦♣t♠ tt♠ét♦ été ①♣ér♠♥té sr ♣srs ♥r♦♥s ♥rs ♦t♥s ét♦r♠♥t

②♥tès s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

rs♠♥t s ♥♦♠r① s ♥r♦♥s ♥rs s♦♥t t♠♥t ♥s ♦♥r♠r tt ♠tt♦♥ ♥♦s ♥♦♥s ♣s ♣ ♥ ér rtérstq♠♦r♣♦♦q q r s♦t ♦♠♠♥ t q ♣r♠tt ♦♠♠ ♥s s s②♥tès s♣tr ♥♦♥ r♣é rtérsr s ♠s é♥értrs ♣♦r sqs s②♥tès s♣tr ①t ♦♥t♦♥♥

tt ♥ st ♠ré t♦t rtsé ♣r t q ♣r♦ér s ♣r tt♠ét♦ s②♥tès ♥♦tr ♣s s ♠s ♠ é♥értr ♥ ♦♥♥t♣s ♦♥♥ ♥s ssr♥ q s ♥r♦♥s ♥rs ♦t♥s à ét êtr♥ésr♠♥t ♦♣t♠① rés♥t t♦t ♠ê♠ ♦♥t♦♥ ♦q à s tt♥st rs♦♥ ♣♦r q ♥♦s ♦♥s q s②♥tès s♣tr ①t ♣♦r♠♣rt q ♣ss êtr s ♣ ♣r♠ s ♠ét♦s s②♥tès ♥②tqs ♦♥t♦♥s ♦qs à s

♥ ♠♥èr é♥ér ♣♣r♦ s♣tr s②♥tès ♥r♦♥s ♥rss♦r ♦♠♠s s ♠ét♦s s②♥tès ♣r ♥étés s♥ ♦♥t♦♥♥éssr t ss♥t sr q s♣♣②r ♥ ♣rtr s②♥tès s♣trs♣♣ sr strtr rérs s ♠s é♥értr q st ♥ rtèr ♥éssr ♠s ♣s ss♥t ♥s s ♦♥t♦♥s ♣té s ♠s é♥értrs àr♣rés♥tr ç♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s st ♦♥ s ss ♠tés à ♥str s t① érté ♣r ♥♦♠r rs s Ps ♥♦♠r ♠♥t ♣s ♣r♦♣♦rt♦♥ ♠s é♥értrs ♦rrt♠♥t ♠ss ♥♦r♠ t ♦rrs♣♦♥♥t ré♠♥t à s ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♠♥ P♦r st① érté tt ♣r♦♣♦rt♦♥ ér♦t r♣♠♥t ♣♦r ♥ ♥tré à ♣♦r qtr ♥trés ♣s à ♣♦r ♥q ♥trés t ❬♥ t ❪❯♥ ét s♠r ♣♦r s ♠s é♥értrs ♠♦♥trrt rs♠♠♥t qtt ♣r♦♣♦rt♦♥ ♠♥ ♦♣ ♠♦♥s t ♥♦♠r rs

♥s♥♠♥t ♠r ♣♣♦rté ♣r ♣tr st ♦♥ q♥ ♠ét♦ s②♥tès♥②tq s ♦♥t é♥ér ♦t ♥éssr♠♥t r♣♦sr sr ♥ rtèr ♥éssrt ss♥t ér♥t s ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♦r s rtèr t②♣ ♥ st é♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♣tr st♣ q♥ ♦♥t♦♥♦q st ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s s t s♠♥t s ①st s ♣♦s s②♥♣tqs♣r♠tt♥t à ♥ ♥r♦♥ ♥r résr ♦s ♦♥s ♠♦♥trr ♥s ♣trs♥t q♥ ♥tr♣rétt♦♥ érq tt é♥t♦♥ ♦♥♥ ♥ s♦♥ ♥ ♣r♦è♠ s②♥tès t réè ♥ ♥♦ ♥tr à ♠ é♥értr ②é♦♥t ♥♦t♠♥t s r♦♥♥s s♣♣é♠♥trs q ♣♣r♦ q ♥♦s ♦♥ss sq à été ♥♣ ér

12Synthèse géométrique

d’une fonction logique à seuil

♥s s ♣trs ♣réé♥ts ♥♦s s♦♠♠s rrés à ♦♥s♦♥ q s♠ét♦s s②♥tès s♣trs t ç♦♥ ♣s é♥ér s ♠ét♦s s②♥tès ♣r ♥étés ♥ ♣♦♥t ♣s ♦♥sttr s♦t♦♥ stss♥t

♣r♦è♠ s②♥tès ♥②tq ♥r♦♥s ♥rs ♣t♠sr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t trrs s ♠ét♦s ♣r ♥étés st ♥ t t♦♣q sr r♥s ♥♦♠rs rs s ♠ét♦s s②♥tès s♣tr s♦♥t q♥t à s♦♣ ♠♦♥s tés ♣r ♥♦♠r rs ♠s s s♦♥t t♦t ♠ê♠♠tés ♣r ♠♥tt♦♥ ♣♦②♥♦♠ ♥♦♠r trs é♥értrs ♦♥ts ♦♥t t♥r ♦♠♣t

t é été ttré à s♥ rtèr ♥éssr t ss♥t sr ♠♦r♣♦♦ ♥ ♠ é♥értr ♣♦r ♥ r ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s P♦rs♣érr r ♣s ♦♥ t ♦♥ s♦t é♥♦♥r ♥ t ♦♥t♦♥ s♦t é♣r ♣r♦è♠ ♥s ♥ ♦♥t①t ♦ù ♥ t ♦♥t♦♥ ①st éà st tt ①è♠♦♣t♦♥ q st ♣rés♥té ♥s ♣tr

s②♥tès s♣tr ♥ ♣s ♦♥t à ♥ s♦t♦♥ ♦ ♣r♦è♠ s②♥tès ①t t♦♣t♠ ♦♥t♦♥s ♦qs à s

♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq

s ♦♥t♦♥s ♦qs à s

♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♥s ♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q n ♥s st ♥♦♥t♦♥ ♦q à s s t s♠♥t s ①st n + 1 ♦♥ts wi|

ni=0 ts q

∀e ∈ n, (L(e) ≡ vrai) ⇔ (w0 + w⊤e > 0) .

♥s ♣rt s ♦♥ts ♦♥t été ♥tr♣rétés ♦♠♠ s ♣♦s s②♥♣tqs ♥♥r♦♥ ♥r q rés L ♣rès tt é♥t♦♥ s♠♥t s♦rt L s ♣r♦t ♦rsq ♦♥t♦♥ rét♦♥ ♥r♦♥ s♥♥

w0 + w⊤e = 0,

s♦rt ♥r♦♥ t ♦♥t♦♥ ♦q à s st ♦rs ♥étr♠♥é ♦t♦s ♥ st ♣s ♥♦♥♥r ét s r ♦♥t ①st♥ st♥ t ÷r é♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦qs à s

é♦♠étr ♣♦r s ♠♥s♦♥s P♦r d = 1 éqt♦♥ sértw0 +w1e1 = 0 s r ♥tré ér♥t s♥ ét ♠♠ét♠♥t e1 = −w0

w1 é♦♠étrq♠♥t st ♥ ♣♦♥t s♣ ♥tré ♠♥s♦♥

♦♥t ♣♦st♦♥ ♣r r♣♣♦rt à e1 = 0 t e1 = 1 étr♠♥ ♥tr ♦♥t♦♥♦q résé ♦♠♠ ♠♦♥tr r

♥s s d = 2 s♣ ♥tré ① ♠♥s♦♥s t éqt♦♥ sért♠♥t♥♥t w0 + w1e1 + w2e2 = 0 P♦r ♥ ♥tré e1 ①é ② ♠♥t♥♥t ♥♥♥té rs e2 ér♥t tt éqt♦♥ e2 = −w0

w2−w1

w2e1 é♦♠étrq♠♥t

st ♥ éqt♦♥ r♦t ♦♠♠ ♦♥r♠ r ♥ ♦♥t♦♥ s♣♦st♦♥ rt♠♥t ① trs ♥tré

)⊤(0 1

)⊤(1 0

)⊤ t

① à ♥♦r ♦♥t♦♥ ♦q résé

♥♥ ♣♦r d = 3 éqt♦♥ ♥t w0 + w1e1 + w2e2 + w3e3 = 0 q♦rrs♣♦♥ à éqt♦♥ ♥ ♣♥ ♥ ♠♥s♦♥ ♦♥t sé♣rt♦♥ s t trs♥tré étr♠♥ ♦♥t♦♥ ♦q résé ♦r r

♥s tt st♦♥ rs♦♥♥♠♥t éé sr s s♣s ♦♥t ♠♥s♦♥ stss♠♥t ♣♦r êtr ♥tt♠♥t ①♣t êtr é♥érsé à s s♣s ♠♥s♦♥ q♦♥q sr ♥st ♣♣qé à s♣ rét ♥s q s♠ét♦s s②♥tès s♣tr ♣tr ♣réé♥t ♦♥t été é♦rés

é♦♠étr ♥ ♠♥s♦♥ q♦♥q P♦r s rs n s♣érrs ♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq ♣réé♥t ♥t à r♣rés♥tr r♣q♠♥t érq♠♥t rs♦♥♥♠♥t s é♥érs t♦t♦s s♥s ♥ té éqt♦♥ r♣rés♥t ♦rs ♥ ②♣r♣♥ ♠♥s♦♥ n − 1 sé♣r♥t s 2n

②♥tès é♦♠étrq ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ⑤ ♣tr

e1 = 0

e1 = 1

e1 = −w0w1

P♦r n = 1

( e1 e2 ) = ( 0 0 )

( 1 0 ) ( 1 1 )

( 0 1 )

e2 = −w1w2

e1 − w0w2

P♦r n = 2

( e1 e2 e3 ) = ( 0 0 0 )

( 0 1 0 )

( 1 1 0 )

( 1 0 1 )

( 1 1 1 )

( 0 0 1 )

e3 = w2w3

e2 − w1w3

e1 − w0w3

P♦r n = 3

♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥♥r♦♥ ♥r

trs ♥tré ♥ s♣ ♠♥s♦♥ n s r♥rs s♦♥t s♣♦sés ① s♦♠♠ts ♥ ②♣r q st é♥ ♦♠♠ é♥érst♦♥ à n ♠♥s♦♥s ♥s♠♥t r♦t ♥ ♠♥s♦♥ ♥ rré ♥ ♠♥s♦♥ t ♥ ♥ ♠♥s♦♥ ❬♦ ❪

♥s ♦♥t①t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s st é♠♥t ♣♣é ♦♥t♦♥ ♦q ♥ér♠♥t sé♣r ♥ trr ①st♥ ♥ ②♣r♣♥ sé♣r♥ts s♦♠♠ts ②♣r ♣♦r sqs ♦♥t♦♥ ♦q st r ① ♣♦rsqs st ss s②♥tès ♥ ♥r♦♥ ♥r ♣t ♣r ♦♥séq♥t s♥tr♣rétr ♦♠♠ s ♦♦r♦♥♥és ♥ ②♣r♣♥ sé♣r♥t ①t♠♥t s① t②♣s s♦♠♠ts ré ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥ ♦rs ♣♦st♦♥♥♠♥t s♦rt q ♣ss ♣s ♦♥ ♣♦ss s♦♠♠t ②♣r ♦♥t st ♣s ♣r♦

é♦♠étr ♥s ♥ s♣ rét ♥②s s ♦♥t♦♥s ♦qs résés♣r s ♥r♦♥s ♥rs ♠♥é ♥s ♣rt ♦♥t à é♥t♦♥ ♥s♣ rét s♥ q ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s L s①♣r♠ ♣r s s ♦♥t♦♥ s♣tr SL ♦♥strt♦♥ t s♣ st ré ♣r ♣r♦sss rét♦♥ q r♣rés♥t ♣r ♥ ♥tré rét s ♥trés s②♠étrqs ♦♥t♦♥♦q à s ♥ ♦♥séq♥ s ♥trés réts ♥ s♦♥t ♣s s rs ♥rs♠s nrs stàr qs r♥t ♥s J0 ;niK ♦ù ni|

di=1 st ♥♦♠r

rs ♥trés s②♠étrqs réts ♥s i r rét ei

♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq s♣ rét

e1 = 0

e1 = −w0w1

P♦r d = 1 t n1 = 4

( e1 e2 ) = ( 0 0 )

( 1 0 )

( 2 0 )

( 3 0 )

( 0 2 )

( 1 2 )

( 2 2 )

( 3 2 )

e2 = −w1w2

e1 − w0w2

P♦r d = 2 n1 = 3 t n2 = 2

( e1 e2 e3 ) = ( 0 0 0 )

( 2 2 2 )( 2 2 1 )( 2 2 0 )

( 0 2 0 )

( 2 1 2 )

( 2 0 2 )( 0 1 0 )

( 0 0 1 ) ( 0 0 2 )

e3 = w2w3

e2 − w1w3

e1 − w0w3

P♦r d = 3 n1 = 2 n2 = 2 t n3 = 2

Pr rs ♥♦s ♦♥s ♥s ♣tr q s sr♣trs ♦ ♠♣q♥t q s rs s②♠étrqs ♥t ♥éssr♠♥t êtr tés ♣♦ss②♥♣tqs ♥tqs éqt♦♥ ♣t ♦♥ êtr tr♥s♣♦sé ♥s s♣rét ♥ ♣♣♥t w s ♣♦s s②♥♣tqs ♦rrs♣♦♥♥t ① rs réts e

w0 + w⊤e = 0,

st ♦rs éqt♦♥ ♥ ②♣r♣♥ ♠♥s♦♥ d − 1 ♥s s♣ rét ♠♥s♦♥ d ♥s t s♣ s trs réts ♥ s♦♥t ♣s ♥éssr♠♥ts♣♦sés sr s s♦♠♠ts ♥ ②♣r ♠s sr s ♥trst♦♥s ♥ ♣ ②♣rs ♦♥t ét♥ st ♦r♥é ♣r s rs ni|

di=1 r str

♣ ♣♦r s ♠♥s♦♥s t é♥érst♦♥ à ♥ ♠♥s♦♥ q♦♥qst tr ♥ q s♦t ♠♣♦ss r♣rés♥tr Pr s ♥ ♥♦s♦♥t♥r♦♥s à é♥♦♠♠r tt strtr ②♣r

râ à ♠♦♥♦t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♣tr ♣ ♦r♠r♥ ♣r♦sss é♥ért♦♥ ♣r q q tr rét é♥t ♥ ♦♥t♦♥♦q à vrai ♠♣q ét♦♥ à vrai trs trs réts ♥s♠ ♦r♠és trs réts é♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s à vrai s♥s êtr ①♠ê♠s

é♥érés ♦♥stt ♠ é♥értr tt ♦♥t♦♥ ♦q s trs réts♥ t ♠ s♦♥t ♣♣és trs é♥értrs t tt st♦♥ trt r♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq ♥s s♣ rét ♦r♠é ②♣r é♥ ♥s st♦♥ ♣réé♥t

Pr♦♣♦st♦♥ ♥t♦♥♥ ♥ ②♣r♣♥♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s L +

s é♥ ♣r s ♣♦s s②♥♣tqs w

t w0 t ♦♥t ♥②s ♦♥♥ ♠ é♥értr L t ♠ é♥értr♦♥♦♥t cL

s trs é♥értrs L s♦♥t ♣r♠ s trs é♥t L à vrai s♣s ♣r♦s ②♣r♣♥ é♥ ♣r w t w0 ♠ê♠ s trs é♥értrs♦♥♦♥ts cL s♦♥t ♣r♠ s trs é♥t L à faux s ♣s ♣r♦s ②♣r♣♥

ré♥♦♥ L t cL rés ♥ qq s♦rt ♥ é♥t♦♥♥ ②♣r♣♥

é♠♦♥strt♦♥ ♥s s♣ rét ♦r♥é ♣r strtr ②♣r ♠♦♥tr♦♥sq s trs é♥értrs ♥s q s trs é♥értrs ♦♥♦♥ts s♦♥t ①t♠♥t s ♣♦♥ts s ♣s ♣r♦s ②♣r♣♥ é♥ ♣r w t w0

♦t e ♥ tr é♥értr L st♥ à ②♣r♣♥ st éé ♥ t♥t ♣r♦t♦♥ ♦rt♦♦♥ e sr ♥♦r♠ ②♣r♣♥ ré ♣r w t♥ ♦♠♣r♥t ♦♦r♦♥♥é ♦t♥ ♥♠♣♦rt q tr ②♣r♣♥ −w0

D(e) = |w⊤e − (−w0)|.

♦s s tr♠s tt s♦♠♠ ét♥t ♣♦sts s ♣têtr w0 s ç♦♥ ♣♦r♥ ♥tré e

′ êtr ♣s ♣r♦ ②♣r♣♥ q e st q t ss ♦♠♣♦s♥ts♥érrs ♦ és à s e r s ♥ t tr ét L à vrai é♥érrte q st ♠♣♦ss ♣r ②♣♦tès

é♣r♦q♠♥t s e st ♥ tr rét t q L(e) ≡ vrai t t q ♣♦r t♦te′ ér♥t L(e ′) ≡ vrai ♦♥ t

D(e ′) > D(e),

♦rs e st ♥éssr♠♥t ♥ tr é♥értr L ♣sq♥ s trs e′

♥ ♣t é♥érr

ç♦♥ s♠r s trs é♥értrs ♦♥♦♥ts cL ér♥t ♣r♦♣♦st♦♥

♠rq Pr ♥té ♠ é♥értr ♣♣rît q tt r♥èr st ♥é♥t♦♥♥ ♥♠♣♦rt q ②♣r♣♥ sé♣r♥t ②♣r ♦♥♦r♠é♠♥t à♥ ♠ê♠ ♦♥t♦♥ ♦q à s

strt♦♥ é♥t♦♥♥ résé ♣r ♥♠ é♥értr t s

♠ é♥értr ♦♥♦♥t

vecteur generateur

generation

hyperplan

conjoint

conjointe`

10 5´

r ♣rés rô é♥t♦♥s q ♥♦s ♥♦♥s ttrr ① trsé♥értrs s ① ♠s rtérs♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s r♣rés♥t ♥ s♣ rét ① ♠♥s♦♥s t ♠♦♥tr q s trs é♠t♥t ♥♥ q ♥r ①t♠♥t t ♣s ♣rès ②♣r♣♥

♥ ts♥t ♥ ♦r ♠♣r♥té ♦♠♥ ♠r ♥♠érq s ♠s é♥értrs t é♥értrs ♦♥♦♥t♥t é♥ss♥t s ♣①s q rt ♥♦rr ♣♦r trr ②♣r♣♥ s♥t ♥s ♣♣rîtr s♥ rtérstq ♥rés♦t♦♥ tr♦♣ ♥ s tr♠s s②♥tétsr ♥ ♥r♦♥ ♥r ♦♣t♠ à ♣rtr ♥ ♠ é♥értr r♥t à rtr♦r ②♣r♣♥ ♠① ért ♣r té♥t♦♥♥

érq♠♥t ♣♦r ♥ s♣ t♦r ♠♥s♦♥ d ♥ ②♣r♣♥ st ♥ s♦ss♣ t♦r ♠♥s♦♥ d − 1 st ♦♥ ♦♠♣èt♠♥t ♥♥ré ♣r d − 1trs rs vi|

d−1i=1 stàr d ♣♦♥ts ♥ ♣♦♥t ♦r♥ t d−1 ♣♦♥ts r♥t

s d − 1 trs

♠rq ♦s ♣♣♦♥s ♣♦♥t ♥ tr ♦♥t ♦r♥ st ♥tr♥sèq♠♥t①é ♥

(0 0 · · · 0

)⊤ st ♥tr trs s s trs é♥értrs q s♦♥t

♦♥ ♥s ♦♥t①t ♣tr ♦♥sérés ♦♠♠ s ♣♦♥ts ♥ r♥ ♥st ♣s s s trs rs vi|

d−1i=1 ♦r♠♥t s ②♣r♣♥ rré

♥s s♥s ♦ù ♥♦r♠t♦♥ qs é♥t ♥st ♣s ♣♦st♦♥ ♣♦♥t ♦♥t s♣♦rt♥t s ♦♦r♦♥♥és ♠s rt♦♥ qs ♥q♥t

♣r♦♣♦st♦♥ s♥t ét q♥ s trs rs ②♣r♣♥ rés♥t ç♦♥ ♦♣t♠ ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s st ♥éssr♠♥t é♥ ♣r s♣♦♥ts ♣♣rt♥♥t ① ♠s é♥értr t é♥értr ♦♥♦♥t réstt ♣r♠ttr r♠♥r ♣r♦è♠ s②♥tès à ♥tt♦♥

s ♣♦♥ts ♣r♠ s ① ♠s

Pr♦♣♦st♦♥ r♥tt♦♥ ♦♣t♠ ♥ ②♣r♣♥❯♥ ②♣r♣♥ sé♣r♥t ç♦♥ ♦♣t♠ s s♦♠♠ts ②♣r é♥ ♣r ♥♦♥t♦♥ ♦q à s L ∈ +

s st ré ♣r d − 1 trs vi|d−1i=1 é♥s ♣r

♦ ♥ ①t♠♥t d trs é♥értrs é♥értrs ♦♥♦♥ts

♦ ♥ d − p trs é♥értrs t p + 1 trs é♥értrs ♦♥♦♥ts pét♥t ♥ ♥tr ♣♦st rtérstq ♦♥t♦♥ ♦q à s

é♠♦♥strt♦♥ é♠♦♥strt♦♥ tt ♣r♦♣♦st♦♥ s s sr t q♥ ②♣r♣♥ ♦♣t♠ st é♥ ♦♠♠ ♦♥♥♥t ♣s r♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥r♦♥ ♥r ♦rrs♣♦♥♥t ♥ trs tr♠s s st♥ tr é♥értr ♦ é♥értr ♦♥♦♥t L ♣s ♣r♦ st ♠①♠ r♥♦s ♦♥s q t é♥r d− 1 trs rs ♣♦r ♥♥rr ♥ ②♣r♣♥stàr d ♣♦♥ts ♥ ♦ss q r♥t à ①r ss d rés rté

♥ ♦sss♥t s d ♣♦♥ts s ♣s ♣r♦s ♦♠♠ ♦♥tr♥ts st ♥s ♣♦ss♦r♥tr ②♣r♣♥ s♦rt q r s♦t st♥t ç♦♥ é réstt ♦t♥st ♥ ②♣r♣♥ ♣rè à s♣♣♦rté ♣r s ♣♦♥ts s d−1 trs ♦t♥s♥ s s♦str②♥t ① à ① ♦r♠♥t ♦♥ ♥ s s ① ②♣r♣♥s ♣rès♦♥ ②♣r♣♥ ♦♣t♠ rré

s ① ♣♦sstés ♣r♦♣♦st♦♥ s és♥t ♦rs ♦st♦♥ s d♣♦♥ts ss s♦♥t t♦s ♥s ♠ê♠ ♠ é♥értr ♦ é♥értr ♦♥♦♥t ♦rs s d − 1 trs rs s♥ és♥t ♠♠ét♠♥t s s♦♥t ré♣rts♥s s ① ♠s ♦rs s trs ♦t♥s ♥ s♦str②♥t ① ♣♦♥ts ♣rs ♥ss ♠s ér♥ts r♣rés♥t♥t ♥ rt♦♥ trrs à ②♣r♣♥ rrét ♥ ♦♥t ♦♥ ♣s ♣rt s♦♥ s♣ t♦r Pr ♦♥séq♥t ss s trsvi ♦t♥s ♣r s♦strt♦♥ ① à ① ♣♦♥ts ♥ ♠ê♠ ♠ ♦♥têtr ♦♥sérés q ♠♣q ♣rés♥ ♥ ♣♦♥t s♣♣é♠♥tr ♥s ♥ ♦tr ♠ ♥s s d − p ♣♦♥ts s♦♥t ♥s ♠ é♥értr s s♣♣♦rt♥td − p − 1 trs t t ♦rs p + 1 ♣♦♥ts ♥s ♠ é♥értr ♦♥♦♥t♣♦r s♣♣♦rtr p trs t ♥s tt♥r t♦t d − 1

s trs é♥értrs t é♥értrs ♦♥♦♥ts s♣♣♦rt♥t s trs vi|d−1i=1 s♦♥t

♣♣és trs s♣♣♦rts t r ♥tt♦♥ r ♦t ♥ ♦rt♠ ért♥s r♥èr st♦♥ ♣tr

é♥t♦♥ ❱trs s♣♣♦rtss trs s♣♣♦rts ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s L +

s s♦♥t s k ∈ Jd ; d + 1Ktrs é♥értrs ♦ é♥értrs ♦♥♦♥ts e L ∪ cL é♥ss♥t ♥ s d − 1 trs rs vi|

d−1i=1 ②♣r♣♥ sé♣r♥t L ç♦♥ ♦♣t♠

s ♦♥t s♣♣♦rtr s trs rs ♥♦r ♠tt♥t ♠ê♠ s♦ss♣ t♦r s♣♣é♠♥tr ♦rt♦♦♥ ♥ rété q sr♠♥ s ① ②♣r♣♥s st r r w0 t ♥♦♥ w

♦t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s d rs réts ♦♥t ♦♥ ♥té s trss♣♣♦rts ès ♦rs r s♦strt♦♥ ① à ① ♦♥♥ ♥ s d − 1 trs♥♥r♥t ②♣r♣♥ ♦♣t♠ ♦rrs♣♦♥♥t à tt ♦♥t♦♥ ♦♥t v

(i)|d−1i=1 s

trs ♥s s♣ t♦r ♠♥s♦♥ d s♦ss♣ t♦r r♣rés♥té♣r t ②♣r♣♥ ♠t ♥ s♣ t♦r s♣♣é♠♥tr ♠♥s♦♥ tr♠♥t t ♥ r♦t t♦r

r tr w q é♥t ♦r♥tt♦♥ ②♣r♣♥ sé♣rt♦♥ st st♠♥t♥ tr ♥♥r♥t ♥ s s♣s s♣♣é♠♥trs r♥r ♥ ♦rr♥ st ♥q s♣ s♣♣é♠♥tr q s♦t ♦rt♦♦♥ tr♦r w ét♥t♦♥♥és s trs v

(i)|d−1i=1 ♥t ♦♥ ♥ ♣r♦è♠ èr ♥ér ♦♥sst♥t à

tr♦r ♥ tr ♥♥r♥t s♣ s♣♣é♠♥tr ♦rt♦♦♥ à ②♣r♣♥ sé♣rt♦♥

s ♣♦s s②♥♣tqs s♦t♦♥ ♣s ♠♠ét ♣♦r ♦t♥r w st ①♣r♠r ♦♠♠ réstt ♣r♦t t♦r s trs v

(i)|d−1i=1

w = v(1) ∧ v

(2) ∧ · · · ∧ v(d−1).

tr réstt ♣r♦t st ♥ t é♥ s♦rt q ♣♦r t♦t trrét e ♦♥ t

w⊤e = det(v(1), . . . , v(d−1), e),

wiei =

∣∣∣∣∣∣∣

1 · · · v(d−1)

1 e1 ·

d · · · v(d−1)

∣∣∣∣∣∣∣

tr♠♥t t s ♣r♦ts w⊤v

(i)|d−1i=1 s♦♥t ♥s ♣sq s étr♠♥♥ts és

♦♠♣t♥t ♦rs s②sté♠tq♠♥t ① trs ♥tqs Pr ♦♥séq♥t w st♥ ♦rt♦♦♥ à ♥ s trs t s ♦♠♣♦s ♦♥ ♥ s ♣♦s s②♥♣tqs é♥ss♥t ②♣r♣♥ rré ① s①♣r♠♥t rs♣t♠♥t ♣r étr♠♥♥t s♥t

wi = (−1)d+i

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

v1,1 · · · vd−1,1 ·

v1,i−1 · · · vd−1,i−1

v1,i+1 · · · vd−1,i+1 ·

v1,d · · · vd−1,d

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

♥ èr ♥ér ①st♥ r♥r st r♥t ♣r t q s♣ rét ♥ ♠♥s♦♥♥

tt ①♣rss♦♥ st ♦t♥ ♥ é♦♠♣♦s♥t étr♠♥♥t éqt♦♥ s♦♥ s r♥èr ♦♦♥♥ ♥ ♣t ♦rs ♥tr q r wi s♦sétr♠♥♥t♦t♥ ♣sq été ♦t êtr ♣♦r t♦t e

♣♦s s②♥♣tq ①r ②♣r♣♥ é ♥s ♣rr♣♣réé♥t ♥ ♦r♥tt♦♥ q t r♣♦sr sr s trs s♣♣♦rts ♠é♥értr t é♥értr ♦♥♦♥t Pr ♦♥séq♥t ♣♦st♦♥ ♦♣t♠ t ②♣r♣♥ s♥s r w0 t ♥♦♥ ♣s w st q ♣ strs s♣♣♦rts s ① ♠s à ♠ê♠ st♥ ♥s ♣♦r ① trss♣♣♦rts e t e

′ rs♣t♠♥t ♥s ♠ é♥értr t é♥értr ♦♥♦♥t ♦♥t♦♥ ♦q ♦♥

w0 + w⊤e = ǫ t w0 + w

⊤e′ = −ǫ,

q s trt ♠♠ét♠♥t ♣r

w0 = −w⊤

(e + e

♥ ♣♦♥t ♦♠♣①té ♥ étr♠♥♥t ♣r s ♠ét♦s ♥s♣rés ♣♦t ss r t②♣q♠♥t ♥ O(d3) ♦♠♣①té ♦♠♣t sd ♣♦s s②♥♣tqs r ♦♥ ♥ O(d4)

s st♦♥s ♣réé♥ts ♦♥t ét ①st♥ trs é♥értrs ♣rtrs♣r♠ s trs s ♠s é♥értr t é♥értr ♦♥♦♥t ♥ ♦♥t♦♥♦q à s s trs s♣♣♦rts ① s♦♥t r♠rqs ♣r t qss♣♣♦rt♥t ②♣r♣♥ rés♥t tt ♦♥t♦♥ ç♦♥ ♦♣t♠ é♦♠étrq♠♥tr ①st♥ réè ♦♥ ♥ r♦♥♥ ♥s s trs é♥értrs ♣sq ♥♠♥t s trs s♣♣♦rts ss♥t à érr ♦♠♣èt♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦qà s st ♦♥ ♠♥t♥♥t ♥tr ♥ ♠é♥s♠ ♣ trr ttr♦♥♥ t é♠♥r s trs é♥értrs t é♥értrs ♦♥♦♥ts q ♥ s♦♥t♣s s trs s♣♣♦rts

♣♣♦s♦♥s s♦r q e ∈ L ♥st ♣s ♥ tr s♣♣♦rt L ♥s s st ♣♦ss r♠r q t♦t tr v = e − e ♦ù e st ♥ tr s♣♣♦rt ♠ é♥értr ♥♥r ♥ s♣ t♦r s♣♣é♠♥tr ②♣r♣♥♦♣t♠ ♥s s ♦♥trr e srt ♣r é♥t♦♥ ♥ tr s♣♣♦rt ♣sq v

srt ♦rs ♥ s trs ♥♥r♥t ②♣r♣♥

ès ♦rs rt♦♥ ♦♥♥é ♣r v st tr♥srs à ②♣r♣♥ s♦rt q ①st♥ tr rét e

′ t q e′ ± v ♥ s♦t ♣s ♥ tr é♥értr L

♠♥t♦♥ ♥ tré♥értr à ♦r♥ ♥

tr ♥♥r♥t ♥ s♣t♦r s♣♣é♠♥tr

②♣r♣♥

v + e(1)

v + e(2)

tr♠♥t tt r♠rq t ♣♦r ♥ tr v ♦♥strt à ♣rtr ♥ tr é♥értr ♦♥♦♥t t ♥ tr s♣♣♦rt cL r str ♣é♥♦♠è♥ ♥ ♠♥s♦♥

♦s ♣r♦♣♦s♦♥s tsr tt ♣r♦♣rété ♣♦r é♠♥r s trs é♥értrs q♥ sr♥t ♣s s trs s♣♣♦rts ♦rt♠ ♦t♥ ♦t êtr ①été sé♣ré♠♥t ♥s ♠ é♥értr ♦♥t♦♥ ♦q t ♥s s ♠ é♥értr♦♥♦♥t ♥ ♥tr t♦tté s trs s♣♣♦rts

Pr♦♣♦st♦♥ étt♦♥ s trs s♣♣♦rts ♥ ♠ é♥értr♦♥t e t e

′ ① trs é♥értrs ♥ ♦♥t♦♥ ♦q L t s♦t v = e− e′

ès ♦rs ♣♦r t♦t tr é♥értr e′′ ∈ L

s L(e ′′ + v) ≡ faux ♦rs e′ ♥st ♣s ♥ tr s♣♣♦rt

s L(e ′′ + v) ≡ vrai ♦rs e ♥st ♣s ♥ tr s♣♣♦rt s L(e ′′ ± v) ∈ L ♦rs e

′′ ♥st ♣s ♥ tr s♣♣♦rt

é♠♦♥strt♦♥ ♣r tt ♣r♦♣♦st♦♥ st ÷r s rrs ♣♦stérrs ① tr① ♣rés♥tés ♥s ♠♥srt r t s réstts♥♦s s♠♥t tr♦r ♥ stt♦♥ à ét ♥ é♠♦♥strt♦♥ ♥s t q t♦t tr ♦t♥ ♣r s♦strt♦♥ ♥ tr é♥értr ♣r ♥tr s♣♣♦rt st tr♥srs à ②♣r♣♥ ♦♥t ♦♥ ♥éssr♠♥t à ♥tr ♦rs ♠ é♥értr P♦r q s s tr♦s tsts ♥t♥t ♦rs tr rs♣♦♥s tr♥srsté v

r♥r tst st ♥ ♣ ♣rtr ♣sq ♦♥t à é♠♥r s trs é♥értrs q ♣♦rr♥t êtr s trs s♣♣♦rts ♠s q s tr♦♥t êtr r♦♥♥ts♦♠♠ ♠♦♥tr r

♠rq rrr s♦♥t q s trs réts ♦t♥s à ♣rtr v s♦♥t♣♦st♦♥♥és ♥ ♦rs ②♣r stàr q♥ ♠♦♥s rs ♦♦r♦♥

∗ ♦♥t♦♥ s②♥ts❴♦♠trqt♦r♥ ♦♠♣é♠♥t ♥ ♠ é♥értr

♦♥t♦♥ s②♥ts❴♦♠trq ♦tt♥t❬❪ ④ ♦♥♦♥t❴ − t st♦♥t ♠ ♦♥♦♥t ♠♥rtr ♦♥♦♥t❴ − ♥♦♠r trs é♥értrs♥tr ♥rtrs − ♥♦♠r trs é♥értrs ♦♥♦♥ts♥tr ♦♥♦♥t❴♥rtrs

s♣♣♦rt − t trs s♣♣♦rts ♠ é♥értrtrrt❬❪ s♣♣♦rt

s trs s♣♣♦rts ♠ é♥értr♣♦r ④

♣♦r ④ − rt♦♥ ♣♦t♥t♠♥t tr♥srstrrt ❬❪−❬❪ s tr♦s tsts tr♥srsté é♠♥♥t ♥ tr s♣♣♦rt ♣♦t♥ttsts♣♣♦rt

⑥⑥

s♣♣♦rt − t trs s♣♣♦rts ♠ é♥értr ❭♦♥♦♥t

trrt❬❪ s♣♣♦rt ♦♥♦♥t❴ s trs s♣♣♦rts ♠ é♥értr♣♦r ④

♣♦r ④ − rt♦♥ ♣♦t♥t♠♥t tr♥srstrrt ♦♥♦♥t❴❬❪−♦♥♦♥t❴❬❪ s tr♦s tsts tr♥srsté é♠♥♥t ♥ tr s♣♣♦rt ♣♦t♥ttsts♣♣♦rt

⑥⑥

trs − t trs ♥♥r♥t ②♣r♣♥ ♦t♥s ♥ s♥t ér♥ ① à ① s trs s♣♣♦rtstr♥rtr❬❪ trs ❬s♣♣♦rtr♥ s♣♣♦rtr♥❪

♣♦s − t ♣♦s s②♥♣tqs♦tt♥t❬❪ ♣♦s ♣r♦t❴t♦rtrs

rt♦r♥r♣♦s⑥

♦rt♠

②♥tès é♦♠étrq ♥♠ é♥értr

♠♥t♦♥ ♥ tré♥értr r♦♥♥t

s trs s♣♣♦rts

v + e(2)

♥és ♥ s♦t ♣s ♥ r ♠ss r rét ♦rrs♣♦♥♥t st♥ s ♥tr q ♥ ♦♥t à ♥ é♠♥t♦♥

♥ ♣♦♥t ♦♠♣①té tt ♣r♦ér ért ♥ ♣s♦♦ ♥s ♦rt♠ ♠♥ ♥ ♥♦♠r ♦♣ért♦♥s ♦♥séq♥t ♠ê♠ s ♥♦s ♦♥s♠♦♥trr q st ♥ é♦t♦♥ ♣♦②♥♦♠ t ♥♦♥ ①♣♦♥♥t ♦r♠r t♦ss trs v à ♣rtr s trs é♥értrs ① à ① r♣rés♥t s ② ktrs é♥értrs (k)(k−1)

2 ♣♦sstés ♥ s ♣♦sstés ♦t ♥stêtr trté ♣r ♣r♦♣♦st♦♥ q ♥♥r 3k tsts ♦♥t à ♥♦♠♣①té ♦rr O(k3) s♦t O(d7) ♣♦r d rs réts

tr♠♥t t ♣♦r s③ rs réts t résr ♥r♦♥ ♠♦♥ tsts sr s ♠ é♥értr t rs♠♠♥t t♥t sr s ♠ é♥értr ♦♥♦♥t ré tt ♦♠♣①té ♣♦②♥♦♠ st ♦♥ t q♥ ♦rt♠ ♦♥t ♥♦♠r ♦♣ért♦♥s é♦rt ①♣♦♥♥t♠♥t ♥ ♠♥rtq ♦♣ért♦♥s é♥♠♦♥s ♥ t ♦rt♠ ♥①st ♣s ♥♦r à rt

①♠♣ ②♥tès é♦♠étrq ♥ ♠ é♥értr♦t ♦♥t♦♥ ♦q à s L1 ∈ +

s é♥ ♣r ♠ é♥értr s♥t

e(1) =

(2 0 1 0

e(2) =

(2 0 0 1

e(3) =

(1 2 0 0

e(4) =

(1 1 1 1

e(5) =

(0 2 1 1

r ♠①♠ s qtr ♥trés réts s♦♥t rs♣t♠♥t n1 = 2 n2 = 2n3 = 1 t n4 = 1 ♦♠♠ L1 qtr ♥trés réts t tr♦r qtr trsé♥értrs s♣♣♦rts ♥s s ♠ é♥értr ♥ rété ♣t ② ♥ ♦r ♠♦♥ss ♦♠♣é♠♥t s tr♦ ♥s ♠ é♥értr ♦♥♦♥t ♠s ♥♦s ♦♥s

♥ s♣♣♦s♥t q♥ tst r ♥ ♠s♦♥ ♦♥t à ♥ t♠♣s ♥r♦♥ t♥q ♦rs

♦♦♥tr♠♥t ♦s ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♣♦r q ♥st ♣s s ♠ é♥értr ♦♥♦♥t st ♥é♥♠♦♥s é ♦♠♠ ét♥t

(1) =(2 1 0 0

(2) =(2 0 1 1

(3) =(1 2 0 1

♦t st ♦♥ éttr s trs é♥értrs L1 q ♥ s♦♥t ♣s strs é♥értrs s♣♣♦rts ♥ ♣♣q♥t ♣r♦♣♦st♦♥ à t♦s s trsv

(i,j) = e(j) − e

(i) ♣♣rt q s tr é♥értr e(5) st é♠♥é

♦♠♠ ♥ rst q qtr trs é♥értrs ① s♦♥t ♥éssr♠♥t sqtr trs é♥értrs s♣♣♦rts rrés ♥ ♣t ♦rs ♥ érr tr♦s trs rs ♣r ①♠♣

v(1) =(0 0 1 −1

v(2) =(1 −2 1 0

t v(3) =(1 −1 0 −1

tst♦♥ éqt♦♥ ♣r♠t r s qtr ♣♦s s②♥♣tqs w

w1 = −

∣∣∣∣∣∣

0 −2 −11 1 0−1 0 −1

∣∣∣∣∣∣

0 1 11 1 0−1 0 −1

∣∣∣∣∣∣

w3 = −

∣∣∣∣∣∣

0 1 10 −2 −1−1 0 −1

∣∣∣∣∣∣

t w4 =

∣∣∣∣∣∣

0 1 10 −2 −11 1 0

∣∣∣∣∣∣

♣♦s s②♥♣tq ①r st ♥st é râ à éqt♦♥ ♥s qtr trs é♥értrs s♣♣♦rts éttés ♥s L1 t ♥ tr é♥értrs♣♣♦rt cL1 ♣r ①♠♣ c

w0 = −w⊤e

(1) + ce

2= −7,5.

♥r♦♥ ♥r ♦t♥ st ♦♥ rtérsé ♣r s ♣♦s s②♥♣tqs s♥ts

w =(3 2 1 1

)⊤ t w0 = −7,5.

♥s ①♠♣ ♣réé♥t ♠ é♥értr ♥étt ♣s ①♣r♠é ♥s ♥ s♣♦♠♣èt♠♥t rét ♦rt♠ rét♦♥ à ♣ ♣tr ♠♦♥tr♥ t q s ① rs s ♠♦♥s ♥♥ts s♦♥t s②♠étrqs ♥ tr q st ♦♥r♠é ♣r s②♥tès é♦♠étrq q r té ♠ê♠ ♣♦ss②♥♣tq ♥♦s ♣r♠t s♦♥r q trr ♥s ♥ s♣ ♦♠♣èt♠♥t rét ♥st ♣s ♥ ♦♥t♦♥ ♥éssr ♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t s②♥tès

é♦♠étrq ♠s q st t♦t♦s ♣réér rér ♠①♠♠ s ♠sé♥értrs ♥ ♠♥r r ♥♦♠r trs é♥értrs t ♦♥ s t♠♣s s

t♥t ♦♥♥é ♦♠♣①té ♦rt♠q éé ♠ét♦ s②♥tès é♦♠étrq ♣rés♥té ♥s ♣tr ♥s q s ♦r♠t♦♥ é♥t ♣ ①♣ér♠♥tt♦♥s ♦♥t ♣ êtr ♠♥és ♣♦r s ♥♦♠rs rs éés ♦s ♦♥s♥é♥♠♦♥s ♣ ♦♥sttr q tt ♠ét♦ ♣r♥t à s②♥tétsr t♦ts s ♠sé♥értrs ♣♦r sqs s②♥tès s♣tr ①t ♥ ♦♥♥t r♥

♥ ♣♦♦r ♠♥r s tsts ♥ ♣ ♣s ♣♦ssés t ♦♥ ♣♣②r érté ♣r♦♣♦st♦♥ ♣srs ♣sts ♦♥s♥t à ♠♥r ♦♠♣①té tt ♠ét♦ ♣♥t êtr ①♣♦rés ♦t ♦r ♦♣t♠st♦♥ ♣s é♥t ♦♥sstà é♠♥r s trs é♥értrs r t à ♠sr q s tsts s sq♥ts♦♥t ♥s st ♦rt♠ st ♣s ♣♦ss ♥t♣r réstt rt♥s tsts ♣♦r sqs s trs ♦t♥s s♦rtr♥t ç♦♥ tr ②♣r

♥♥ ♥ é ♥ ♣s ♣r♦♠tts st q s trs ♥♦♥ s♣♣♦rts ♣ss♥t ♥♦♣r q s ♣♦st♦♥s ♣rtèrs ♥s s ♠s é♥értrs sért①t ♦♠♠ ♥♦s qqs sss s♠♥t sérr ♥♦♠r① trs é♥értrs t é♥értrs ♦♥♦♥ts ♣♦rr♥t êtr ♥tés ♦ ♦♠♠ trss♣♣♦rts

♥ t♦t étt s ♣sq ♥♦♠r trs é♥értrs ♠♥t ♦♠♠d4 ♦rs q ♥♦♠r trs s♣♣♦rts ♠♥t s♠♥t ♦♠♠ d s ♣ré♣ts é♠♥♥t s trs ♥♦♥ s♣♣♦rts ♦♥t é♠♥r ♥ ♥♦♠r trsr♦ss♥t ♦♠♠ d3 ♥s s ♦♥trr tr♦♣ trs s♣♣♦rts sr♥t éttés s♥t é♦r s②♥tès é♦♠étrq st à ♣r♥♣ ♣st ♣♦rr♥r s é♥ts ♠tt♦♥s s②♥tès é♦♠étrq

13Vers un environnement

de synthèseassistée par ordinateur

s ♣trs ♠♥srt ♥ ♦r♠s♠ ♦♠♣t été é♦♣♣é t♦r s ♦♥t♦♥s ♦qs à s t s ♥r♦♥s ♥rs st♥ r♣rés♥tt♦♥ strt ♣♣é ♠ é♥értr trrs

q ♦♥t♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r ♣t êtr ①♣r♠é ♠♥♣é ♣s rs②♥tétsé ♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♣s r♦st ♥s é♣r♣és ♥s ♦♠♥ts ♥té ♦r♠é ♣r s ♣r♦érs ♥ tr♥s♣rît ♣s ç♦♥ é♥ts ♦r♠♥t ♣♦rt♥t ♥ ♣r♠èr s ♦ts ♦rt♠qs q ♥♦s ♦♥s ♣ré♥r s♥ ♥ ♣tt ♣♣t♦♥ ♥♦♠♠é ♥♥st♦ é♦♣♣é ♥ s♦s♥ ♣ ♣♦r ♥r♦♥♥♠♥t ♥♥① ♣rés♥ r♦♥②♠ s rés① ♥r♦♥s rs ♥s ♥♦♠ ♦ st ért s ♠♦tt♦♥s♦r♥s s tr① rrs ①♣♦sés ♥s ♠♥srt

♥ rété ♥♦s réstts sét♥♥t sr ♥♦♠r① ♠♦ès rés① ♥r♦♥srts ♣♦r qs ♣ss♥t s é♦♠♣♦sr ♥ rés① ♥r♦♥s ♥rs st♥s q ♥♦s ♦♥s ♣ tsr ♥♥st♦ ♣♦r ♦♣t♠sr s ①♠♣s rés①

♥r♦♥s ♣rt ♦s ♦♥ ♣♦r r♦rs ① ér♥ts t♥qsérts ♥s ♠♥srt t q ♥♦s ♦♥s rr♦♣é s♦s tr♦s té♦rs

♥②s ♦rt♠ ♣tr ♣r♠t ①♣r♠r ♥♠♣♦rt q ♥r♦♥ ♥r s♦s ♦r♠ ♥ ♠ é♥értr

♦♥t♦♥♥♠♥t s ♣trs t ♣♣♦rt♥t s ♦ts ♣r♠tt♥t ♠ttr♥ ♦r♠ s ♠s é♥értrs t ♥ ①trr s ♥♦r♠t♦♥s ♥térêt rét♦♥ ♦♠♣é♠♥tt♦♥ étt♦♥ r♣♠♥t s♣tr ♣♣r♦①♠t♦♥

s②♥tès tr♦sè♠ ♣rt ♣rés♥t ♣srs ♠ét♦s ♦r♥s ♣r♠tt♥t s②♥tétsr ♥ ♠ é♥értr s ♠ét♦s s②♥tès ttértr ♣tés ① ♠s é♥értrs s②♥tès ♥ ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs s②♠étrqs s②♥tès s♣tr ①t t s②♥tès s♣trs ♥♦♥ r♣és s②♥tès é♦♠étrq

♣rt ♥②s tt st s rè ét♦♥♥♠♠♥t ♣r s ç♦♥ ♦t♥r ♥ ♠ é♥értr à q ♣♣qr s t♥qs st ♥ t ♥②sr ♦♥t♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r éà ♣r♦r♠♠é q s♦t ♣r ♣♣r♥tss ♦♣r ♥ t♥q s②♥tès ♥♦♥ r♦st ♦s st♦♥s tt ♥ ♣r rtèr ♣r♦rtr ét s ♣r♦♣rétés s ♠s é♥értrs t srt♦t r♣tt à êtr s②♥tétsés ♥ ♥r♦♥s ♥rs

P♦♦r rqr s ♠s é♥értrs ♥é♣♥♠♥t s ♥r♦♥s ♥rsstàr à ♣rtr ♥ sr♣t♦♥ érq ♦ rt♠étq ♦♥t♦♥ ♦q à résr st ♥é♥♠♦♥s ♥ qst♦♥ ♥tr t ♥♦♥t♦r♥ ♣♦s♣srs ♣r♦è♠s q ♣tr t♥t rés♦r ♦♠♠♥t trr ♥ t érté ♥ ♥ ♠ é♥értr ♦♠♠♥t trtr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q q ♥rèrt ♣s ♦q à s tt r♥èr qst♦♥ ♥♦s ♦♥r à ♣r♦♣♦sr♥ ♠ét♦ s②♥tès ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs t ♥♦♥ ♣s ♥r♦♥s♥rs s♦és

♥r ①st♥ s ♠s é♥értrs ♥é♣♥♥t s trs ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ♣t s réér t♠♥t strtéq ♥ ts ♠ét♦s s②♥tès q ♥♦s ♦♥s é♦♣♣és ♣r♥r♥t ♦rs sttt ♠ét♦s ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs à ♣rt ♥tèr t ♥ sr♥t ♥s♣s trtrs s t♥qs ♦♥rr♥ts tt é♦t♦♥ s é♦♣ ♥ ①ét♣s trt♦♥ t érté ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♥ ♠é♥értr ♣s ♥ ♦♥t♦♥ ♦q q♦♥q

❱rs ♥ ♥r♦♥♥♠♥t s②♥tès sssté ♣r ♦r♥tr ⑤ ♣tr

♦r q♥ t érté r♣rés♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s st ♥ ②♣♦tès très ♦♥♦rt ♥s ♠sr ♦ù è ♣r♦ér tr♥sr♣t♦♥ ♥♠s é♥értrs ♥ ♥ ♣rtr ♣s à érr q ♦♥t♦♥ ♦q♥s ért ♣t t♠♥t êtr r♣rés♥té ♣r ♥ ♠ é♥értr t♦ts s ♦♥tr♥ts ♦♥t♦♥♥s q ♠♣♦s ♦♠♠ té ♣r♥♣ é♥ért♦♥

♥ ♦tr s sr♣trs ♦ é♥s ♥s ♣tr à ♣ s♦♥t♦rs s ♦ts ♦r♠s ♣♦r résr tt ♦♣ért♦♥ ❬♦ ❪ t♥s ♣r s♠♣ ♦srt♦♥ s ♠♥tr♠s ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s s r♥rs ♣r♠tt♥t ♥tr s ♥trés ♦♥t ♣♦s s②♥♣tq st ♥ét s ♥trés s②♠étrqs ♥s q s ♥♥s rts s r♥èrs s♣ ♦♠♣èt♠♥trét ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♣t ♥s êtr étr♠♥é ès é♣rt t srs ♥t êtr ♦♠♣é♠♥tés ♣♦r ♦r ♥ ♣♦s s②♥♣tq ♣♦st s♦♥té♠♥t

❯♥ ♦s tr té st ♣r♦ér s é♦♣♣ ç♦♥ ♥trà ♣rtr s ♦r♦♥♥♥♠♥ts sr sqs r♣♦s♥t s ♠s é♥értrs ♥ ♦r♥ t t♦t ♦r rérr♥r ♦rr s rs réts ♦t♥s s♦♥rs ♥♥s r♦ss♥ts sr r ♦♥t♦♥ ♦q t ♥st é♠♥rs ♦♠♥s♦♥s ♥trés ♥ ♦rrs♣♦♥♥t ♣s à s ♠♥tr♠s ♥♥ s ♥srst♥ts ♦♥t êtr ♦r♦♥♥és ♥s ♦rr ①♦r♣q ér♦ss♥t

r♣rés♥tt♦♥ ♦t♥ st ♦rs très ♣r♦ ♥ ♠ é♥értr ♥ rst qà é♠♥r s ♥s tr♠♥t t s trs réts q sèr♥tr♦♥♥ts sàs ♣r♦sss é♥ért♦♥ ♥ ♦♣ért♦♥ té ♣r ♦rr①♦r♣q ♦♠♠ ♠♦♥tr ①♠♣ s♥t

①♠♣ ♠ é♥értr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s

♦t ♦♥t♦♥ ♦q à s L1 ∈ s é♥ ♣r

L1(e1, e2, e3, e4) ≡ e1 + (e22

⊤ e32

⊤ e4).

t érté L1 st s♥t

e1 e2 e3 e4 L1

faux faux faux faux faux

faux faux faux vrai faux

faux faux vrai faux vrai

faux faux vrai vrai faux

faux vrai faux faux vrai

faux vrai faux vrai faux

faux vrai vrai faux vrai

faux vrai vrai vrai vrai

vrai faux faux faux vrai

vrai faux faux vrai vrai

vrai faux vrai faux vrai

vrai faux vrai vrai vrai

vrai vrai faux faux vrai

vrai vrai faux vrai vrai

vrai vrai vrai faux vrai

vrai vrai vrai vrai vrai

♥ ♥ ♦♥sr♥t q s ♥s ♣♦r sqs L1 t vrai s ♥q sr♣trs

♦ ♥t rs♣t♠♥t ♣rès r é♥t♦♥ à ♣

a (L1) =(8 7 7 5

t m (L1) = 12.

♦♠♠ a4 < m2 s♦♥ ♣♦s s②♥♣tq r êtr ♥ét tt r st ♦♥

♦♠♣é♠♥té ♥s ①♣rss♦♥ L1 t s♦♥ ♥♦ sr♣tr ♦ tm−a4 = 7 s rs e2 e3 t e4 s♦♥t ♦♥ s②♠étrqs ♦♥s♥t à é♥t♦♥♥ s♣ rét ① ♠♥s♦♥s ♥és ç♦♥ s♥t e1 → e1 te2 → e2 ; e3 ; e4 ♦♥t♦♥ s♣tr ♣t ♥s êtr éré t érté ♥ ② s♣♣r♠♥ts trs réts ♣♦r sqs L1 t faux sért

e1 e2 SL1

1 3 vrai

1 2 vrai

1 1 vrai

1 0 vrai

0 3 vrai

0 2 vrai

s trs é♥értrs s♥ és♥t ♣r s♠♣ ♦srt♦♥

1 00 2

♦t♥t♦♥ ♠ é♥értr rt à ♥ ♦♥t♦♥ ♦q q♦♥q ♣♦ss ♣r♦è♠s ♦♣ ♣s ♦♥♠♥t① ♥ t ♦r♠s♠ ♦♥t s ♠sé♥értrs s♦♥t réstt été ♠s ♣♦♥t s♣éq♠♥t ♣♦r s ♦♥t♦♥s♦qs à s ♥ t♥♥t ♦♠♣t rs ♣r♦♣rétés ♥②tqs s♣érr ♣♦♦r①♣r♠r ♥ ♦♥t♦♥ ♦q q ♥t ♣s s ♣r♦♣rétés st ♦♥ ♥ ♥♦♥ s♥sté♦rq

♦t♦s ♣♦♦r êtr ①♣r♠é s♦s ♦r♠ ♥ ♠ é♥értr ♥st ♣s♥ ♦♥t♦♥ ss♥t ♣♦r êtr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s s♥ q♥♠ é♥értr r♣rés♥t ♥ rété ♥ ss ♦♥t♦♥s ♦qs ♥ ♣sr s ♦♥t♦♥s ♦qs ♦♠♣èt♠♥t ♠♦♥♦t♦♥s q st ♦♥♥ ♣♦r êtréq♥t ① ♦♥t♦♥s ♦qs à s ♦rsq s r♥èrs é♣♥♥t ♠♦♥s t rs ❬P t s② ❪ P♦r t♦ts s ♦♥t♦♥s ♦qs r♣rés♥tt♦♥ ♥ ♠s é♥értrs st ♦♥ ♣rt♠♥t ♣té t s♦t♥t ♠ê♠ ç♦♥ q ♣♦r s ♦♥t♦♥s ♦qs à s trrs s sr♣trs ♦

♥ q ♦♥r♥ s trs ♦♥t♦♥s ♦qs ♥ ♦r♠t♦♥ ♣rés ♦♠♣t ♥♦s t♥qs s②♥tès rst ♥♦r à étr♠♥r r rs♠♠♥t êtr sé sr ét é♦♠♣♦st♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♦q ♥

♦♥t♦♥s ♦qs ♦♠♣èt♠♥t ♠♦♥♦t♦♥s stàr ♥ ♣srs ♠s é♥értrs ♦r♠♠♥t sr ♦♥ ♥ sr♣t♦♥ s ér♥ts ç♦♥s sé♣rr s r♦♣s ♠♥tr♠s s ♦♥t♦♥s ♦qs tt é♦♠♣♦st♦♥ ♥♦t ♣♥♥t ♣s rêtr rtèr é♥t ♦t ♣♦r rstr ♣r♠♥t♦♥t♦♥ à ♥str q ♥♦s ♦♥s ♣ r ♥ ♥tr♦s♥t s ♠s é♥értrs q s ♦♥t♥t♥t str s ♦♥tr♥ts à ♠♣é♠♥tr s♥s ♣♦r t♥trstr♥r s♣ s ♣♦s s②♥♣tqs s♦t♦♥s

st♦♥ s♥t str s ♥ts qr♥t ♥ t ♦r♠t♦♥ ♣r s♥ ♠ét♦ s②♥tès rés① ♥r♦♥s ♥rs rés♥t s ♦♥t♦♥s♦qs ♦♠♣èt♠♥t ♠♦♥♦t♦♥s

♣té ♥♦r s②♥tès ♦♥t♦♥s ♦qs q♦♥qs r♣rés♥t ♥♥ ♠♣♦rt♥t ♣♦r ss♦r s ♠s é♥értrs ♥s ♦♥t①t s♦r s②♥tétsr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r ♦ ♥ ♥ ♣♦rt ♦qt st ♥ ét♣ ♠♥q ♥é♥♠♦♥s ♥ ♣r♦ér s②♥tès ♣s ♦♣ ér qs ♥r♦♥s ♥rs ♦♥t êtr s②♥tétsés sàs ♥♦♥t♦♥ ♦q ♦♥♥é t ♦♥tr♥ts rss sr réstt ♠♣é♠♥tt♦♥♥ t ♣r♦éé t♦r s ♠ét♦s é♦♣♣és ♥s ♠♥srt srt ♦♥♠♥t s♦ ♥r♦♥♥♠♥t ♦♥♣t♦♥ rés① ♥r♦♥s ♥rs sssté♣r ♦r♥tr

♣♦♥t s ♦♥tr♥ts ①térrs ♦♥t ♥ t ♥r♦♥♥♠♥t ♦t ♣♦♦r t♥r ♦♠♣t ♥s♠ s t♥qs ①qs ♦♥t ♦ts ♥♦s rrs♣♣♦rt♥t éà ♥♦♠rss ré♣♦♥ss ♥ t ♣tr ♣r ①♠♣ ♠♦♥tré ♦♠♠♥t strtr rérs s ♠s é♥értrs ♣♦t ♦♥♥r à♥ rés ♥r♦♥s ♥rs ♣r s s♦♥ ①♣rss♦♥ érq ♥ ♣♦rts♥s♦♠♠ ♦r♠♠♥t tt ♠ét♦ r♥t à ♠♣é♠♥tr sé♣ré♠♥t ♥s s♦s♠s ♥ ♠ é♥értr s♦rt q s ♥r♦♥s ♥rs ♦t♥s♥ rés♥t q s ♦♥t♦♥s ♥s♦♠♠ ♦♥t s ♣♦s s②♥♣tqs s♦♥t és ♣r s②♥tès s♣tr ♣♦r s♣trs ♥♦♥ r♣és

tt ré①♦♥ ♦♥t à ♠ét♦ s②♥tès ♣r ♦rtrs ♣rés♥té ♥stt st♦♥ ♣♦r ♦t s♥térssr ① ér♥ts ♦① s②♥tèsq st ♣♦ss r ♣♦r ♥ ♠ é♥értr ♥s q ♠sr st♥térss♥t s②♥tétsr sé♣ré♠♠♥t t♦ts ss s♦s♠s é♥értrs t♣tôt ♥ s②♥tétsr rt♥s s♣éq♠♥t t

s②♥tès ♣r ♦rtr st ♥s♣ré s②♥tès ♣r t① ♥s♣rés♥té à ♣ ♣tr ♠ê♠ éré s②♥tès ♦♥t♦♥s

Pr♥♣ s②♥tès♣r ♦rtrs

♦qs ♣r ts r♥ ♥ s②♥téts♥t t♦ts s s♦s♠s ♥ ♠ é♥értr ♥s♠ ♦ sé♣ré♠♥t t♥t ♥r♦♥s ♥rs s♦♥t ♦t♥st ♠s ♥ rés s♦♥ ç♦♥ ♦♥t s s♦s♠s ♦rrs♣♦♥♥ts s♠rq♥ts ♥s ♥s s trs r str ♣r♥♣ ♥ s②♥téts♥t à ♣rtt♦ts s s♦s♠s ♦r s♦rt q s ♥r♦♥s ♥rs ♦t♥s sr♥t♥trés ♥r♦♥ ♥r ♦t♥ ♣r s②♥tès ♠ é♥értr ♥tèr

♥s ①♠♣ trté ♣r r t ♥ ♣♣♥t L1 ♦♥t♦♥ ♦q à s♦rrs♣♦♥♥t à ♣r♠èr s♦s♠ é♥értr ♦rr L2 s♥t t ♥s st ♠ é♥értr ♦ sért

1 1 2 01 1 1 L1

1 1 0 L2

1 0 2 01 0 2 L3

0 1 2 L4

0 1 1 L5

♥ r♠rq♥t q s ♣r♦♣rétés s ♠s é♥értrs ♠♣q♥t L5 < L4 <· · · < L1 ♦r ♣tr ♦rs s ♦♥t♦♥s ♣♥têtr r♠♣és ♣r ♥r rét éq♥t e ∈ J0 ; 5K r t

e = 0 ♦rsq♥ s ♦♥t♦♥s L1 L5 ♥st r e = 1 ♦rsq L1 st r e = 2 ♦rsq L2 st r q ♠♣q q L1 st r ♣sq L2 < L1 e = 5 ♦rsq L5 st r ♠♣q♥t q s qtr trs ♦♥t♦♥s ♦qs s♦♥t

♠ é♥értr s ♠t ♦rs s♦s ♦r♠ s♥t

1 1 2 01 1 1 11 1 0 21 0 2 01 0 2 30 1 2 40 1 1 5

t ♣t ♥s r ♦t ♥ s②♥tès ♣r ♥ s ♠ét♦s ♠♥srt

♥ ♠♥èr é♥ér ♠ét♦ s②♥tès ♣ré♦♥sé ♣♦r ♥ s♦s♠é♥értr é♣♥ s ♠♦r♣♦♦ s♦♥ s♣tr ♥st ♣s r♣é ♦rs ♥r♦♥ ♥r ♦rrs♣♦♥♥t st rss♦rt s②♥tès s♣tr ♣♦r s♣trs♥♦♥ r♣és s♥♦♥ r r♦rr à s②♥tès s♣tr ①t ♦r à s②♥tèsé♦♠étrq ♣♦r s ♠♦r♣♦♦s s ♣s ♦♠♣qés ♣rès s②♥tès ç♦♥ ♦♥ts ♥r♦♥s s♦♥t ♦♥♥tés s ♥s ① trs é♣♥s ç♦♥ ♦♥t s♠rq♥ts ♠s é♥értrs ♦rrs♣♦♥♥ts ♦♠♠ ♣♦r s②♥tès ♣r t① ♥s s②♥tès ♣r ♦rtrs srrêt ès q t♦ts s ♦♠♣♦s♥ts ♠ é♥értr s♦♥t ♦rts ♣r s②♥tès ♠♦♥s ♥ s♦s♠é♥értr à q ♣♣rt♥t

s ér♥ts ♠♥èrs ♦sr qs s♦s♠s é♥értrs s②♥tétsr é♣♥ s ♣r♦♣rétés ésrés ♣♦r rés ♥r♦♥s ♥rs ♦t♥ s s♦♥trés♠és ♣r ♣srs ♣r♥♣s érts ♣rès

♠♥s♦♥ ♠①♠ ♥ rr♦♣♠♥t ♥ ♣♦♦r tsr s t♥qs s②♥tès é♦♣♣és ♥s ♠♥srt st ♠♣ért sssrr qs s♦s♠s é♥értrs ♦ss ♦rrs♣♦♥♥t ♥ à s ♦♥t♦♥s ♦qs às st rs♦♥ ♣♦r q ♥♦s ①♣♦tr♦♥s éq♥ ♣♦r ♠♦♥s t rs ♥tr ♦♥t♦♥s ♦qs à s t ♠s é♥értrs ♥ ♠t♥t àt rs ♠♥s♦♥ s s♦s♠s ♦ss

♦rtr ♠①♠ ♦t st ♦rr ♥s♠ ♥ ♠ é♥értr ♣r s②♥tès t♦ts ss s♦s♠s é♥értrs rés ♦t♥ ♦rs ♥♦♠r① ♥r♦♥s ♥rs rés s ♥s ① trs ♣r ♥ ♦♥♥①♦♥ss♦♥t ♦♠♣qé ♥ r♥ ②♥♠q rés ♦t♥ st rét ♠①♠♠ ♥ t q s♦s♠ é♥értr ♦rs ♥ ♠♦r♣♦♦ trèss♠♣ s♣tr s♦♥t ♥♦♥ r♣é t ♣♦r q s②♥tès ♦♥♥r ♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t éé ès ♦rs t♦ér♥ rt s ♣♦s s②♥♣tqs sré♠♥t éé t r r ♣♦rr ♥s s♣♣♦rtr ♥ ♣s r♥ ♠♣rés♦♥t ♣r ♦♥séq♥t ♥ ②♥♠q ♣s

②♥tès ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs ♣r♦rtr ♠①♠

t②♣ s②♥tès ♣t ♣r ①♠♣ êtr s♦t ♣♦r s rés① ♥r♦♥s♥rs ♠rqés sr s rttrs t②♣ ♣ s♥t ♥s é♦♥♦♠ ♥♦♠rss strtrs ♣r♦t ♥tés ♦qs très s♠♣s

r t s②♥tès ♣r ♦rtr ♠①♠ ♥ ♠ é♥értr é♦♣ q ② st résé st ♥ t ①t♠♥t ♦t♥ ♥ ①♣r♠♥t ♠ é♥értr s ♣♦rts ♥s♦♠♠

♦rtr ♠♥♠ ♦♥trr ♦rtr ♠①♠ strté ♣r♦♣♦sé ♦♥sst à s②♥tétsr ♠♦♥s s♦s♠s ♣♦sss ♣♦r ♦rr ♥tèr♠♥t ♥ ♠ é♥értr ♥ ♠♥èr é♥ér ♦♥t ♥tr♠♥tà s rés① très érs ♥ ♥♦♠r ♥r♦♥s ♥rs t ♦♥ ♥ ♥♦♠r ♦♥♥①♦♥s ♦t♦s s ♥r♦♥s ♥rs ♦♥t ♦♠♥t résr s ♦♥t♦♥s♦qs ♦♥t ♠♦r♣♦♦ st ♣s ♦♠♣qé ♥ésst♥t tst♦♥ s②♥tès s♣tr ①t ♦r s②♥tès é♦♠étrq

s ♠rs ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥s ♦t♥s sr♦♥t ♦♠♥t ♣s s ♠♣q♥t ♠ê♠ ♦ût ♥ ②♥♠q éé st ♣♦rq♦ t②♣ rést♦♥ st très rt♥♠♥t ♣réér ♣♦r s rés① ♥r♦♥s ♥rs st♥és à êtr ①étés sr s ♣t♦r♠s ♥♦r♠tqs ♦♥t s rss♦rs ♣♥têtr ♦♥sérés ♦♠♠ ♠tés Pr rs t②♣ ♣t♦r♠ sr é♠♥t♣s r♣ à ①étr s rés① ♦t♥s tt ç♦♥ ♣sq s♦rt q♥r♦♥ st é sér♠♥t t ♥♦♥ ♣rè♠♥t

r ♠♦♥tr ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs ♦t♥ ♣r tt ♠ét♦

♦rtrs r♦♥♥ts tt r♥èr ♣♦ssté ♣r♠t ♥tr♦r r♦♥♥ ♥s ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs ♥ s②♥téts♥t ♣srs ♦s s

②♥tès ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs ♣r♦rtr ♠♥♠

♠ê♠s ♦♠♣♦s♥ts ♥ ♠ é♥értr trrs ♣srs ss s♦s♠s é♥értrs ♣t ♦r ♥t r♥r rés r♦st à é♥ ♥ ss ♦♥stt♥ts

s②♥tès sssté ♣r ♦r♥trsé sr s②♥tès ♣r ♦rtrs

♥ ♠♥èr é♥ér ♠ét♦ s②♥tès ♣r ♦rtrs ♦♥t à s rés① ♥r♦♥s ♥rs ♦♥t strtr st ♥ ♠① éqré q qs s♦t♦♥s ♦♥rr♥ts ♦♥t à ♦rr ♥ ♠tèr s②♥tès rés① ♥r♦♥s ❬♥ t ♥s t ♠s t r♦♥s t ♦s t ❪ ♥ t ♥♦tr ♠ét♦ st sé sr s é♦♣s♦ér♥ts ♦q à s s②♠♦sés ♣r é♦♠♣♦st♦♥ ♥ s♦s♠sé♥értrs t♥s q s tr♥ts ttértr ♥ rés♥t q s é♦♠♣♦st♦♥s ssqs té♦rè♠ ♥♥♦♥ ♥ ♦♥séq♥ rs é♦♠♣♦st♦♥♦♥t s②sté♠tq♠♥t à ① ♦s ♥r♦♥s ♥rs ♥ ♣r♠èr ♦rés♥t s ♠♥tr♠s ♦♥t♦♥ ♦q à s②♥tétsr t ♥ ♥r♦♥ ♥r s♦rt ré♥ss♥t s s♦rts ♦ ♥érr ♣r ♥ ♣♦rt ou ♥ ♦♠♣rs♦♥♥♦tr ♠ét♦ ♦r ♣♦ssté sés♥t ♣♦♦r s♦rtr strtr ♠t♦ ssq s rés① ♥r♦♥s rts ♥ t♦rs♥t rt♥s ♥trés àttqr rt♠♥t s ♦s s♣érrs

♥ q♥ ♦r♠t♦♥ é♥ér s ♦♥t♦♥s ♦qs s♦s ♦r♠ ♠sé♥értrs s♦t ♥♦r à étr ♣tr ♠♦♥tré ♦♠♠♥t ♥ t r♣rés♥tt♦♥ ♣♦rr♥t êtr tsé ♣♦r s②♥tétsr s ♦♥t♦♥s ♦qs q♦♥qs ♥ ♥rés ♥r♦♥s ♥rs ♦ ♥ ♥ rt ♥ ♦q t ♥ ♦♥t♦♥ s ♣r♦♣rétésrrés ♣srs ç♦♥s ♦sr s s♦s♠s é♥értrs à s②♥tétsr ♦♥t

été ♣r♦♣♦sés s♦rt q ♥s♠ ♣t ♦r♠r ♦sstr ♥ ért ♥r♦♥♥♠♥t ♦♥♣t♦♥ rts ♦qs sssté ♣r ♦r♥tr

♥ st t♦t♦s q ♥ ét ♣ré♠♥r st ♥s ♣r♦ q ♣♦tq ♣s ♣rt♥♥t ♣♦r ♦sr s s♦s♠s à s②♥tétsr s♦t sté à ♠♠♥♥tr ♦rtr ♠①♠ t ♠♥♠ s②♥tès ♣r♦♣♦sé ♥s r ♥ st ♥ ①♠♣

14Conclusion générale

s t♥♦♦s à s tr♥sst♦rs tr♦♥t sr s ♠tt♦♥s ♣②sqs♥♦♥t♦r♥s ♠tt♥t ♥ tr♠ à ♣rès s♦①♥t ♥s ♣r♦rès ❬rs❪ t s t♠♣s étt ♥ ♣♦r s s②stè♠s ♥r♦♠♠étqs trrs ♦q à s ♣r♥r r

P♦r qs ♣ss♥t ♦♥sttr ♥ tr♥t ré ♣ss♥ts t♥qs ♦♣t♠st♦♥ ♠♥q♥t ♥♦r ① rés① ♥r♦♥s rts q ♥ é♥é♥t♥s q très ♣ ♥r♦♥♥♠♥ts ♦♥♣t♦♥ sssté ♣r ♦r♥tr ♥ss ♦♥t♦♥s r ♥tért♦♥ ♠tér à r♥ é st ♦r très rrést t s ♥ ♣♣r♦ ♥②tq ♣♣r♦♦♥ ♣r♦è♠ ♣♦rr ② r♠ér sès ♥ t ét ét♥t ♦♥♥é ♦♠♣①té ♦♥sér s ♣r♦è♠s♠s ♥ é♣♥r ♣té ♦♠♠♥té s♥tq à ♠♥r ♥♦① ♦ts ♠té♠tqs

♠♥srt ♣r♦♣♦s ♥ ♦r♠s♠ ♥②tq ♦r♥ éé ① ♥r♦♥s ♥rs s ♠s é♥értrs és rr ♠r éqt♦♥ ♥tr ♦t ♠té♠tq t ♣r♦é♠tq ♥♦s ♠♦♥tr♦♥s q r s②♥tès ♥ ♥r♦♥s

♥rs st ♠♥èr ♥tr ♥ ♦♥t♦r♥♥t ♦♣ s tés t♠♥t r♥♦♥trés s tr① ♦♥t ♥s ♠♥é à ♣srs ♦rt♠s s②♥tès t♦♠tq ♥r♦♥s ♥rs ♦♥t s ♣r♦r♠♥s sr♣ss♥t s s♦t♦♥s♦♥rr♥ts s réstts s♦♥t rt ♥ ré①♦♥ q sst é♦♥♥é sr tr♦s♣ss

♦♠♠ ♣♦♥t é♣rt ♥♦tr ét ♥ ♥ ♣r♠tq s ♣r♥♣① ♠♦ès rés① ♥r♦♥s rts ♣r♠s ♥tr ♥r♦♥ ♥r ♦♠♠ réé♠♥t ♥tr ♦♥ ♠♣é♠♥tt♦♥ ♠tér s♦s ♦r♠ ♥ ♥r♦♥ r ♦rs rééé rt ss ♥ tr♠ té s ♠ét♦s ♦♥♣t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ♣r ♣♣r♥tss ♦♥stt ♠♦té ①♣♦rt♦♥ ♥♦s♣sts ♥ ♣rtr ♦ ♥②tq

s t♥qs ①qs ♥♦s ♦♥s ♦ts s♦♥t ♥s rt ♥ ♥②s ♦♥t♦♥♥ ♣♣r♦♦♥ s ♥r♦♥s ♥rs Pr ét s ♣r♦♣rétés ♥②tqss ♦♥t♦♥s ♦qs qs ♠tt♥t ♥ ÷r ♥♦s s♦♠♠s rrés à ♦♥s♦♥q trt♦♥♥ r♣rés♥tt♦♥ ♣r t érté r étt ♦♥♠♥t♠♥t ♥♣té t ①ss♠♥t r♦♥♥t s ♦♥sért♦♥s ♦♥t ♦♥t à ♦r♠t♦♥ ♥ s♣ rét ♥s q ss qqs trs s♦♥t rt♥s ♣♦r♦r♠r ♠ é♥értr éq♥t ♥ ♥r♦♥ ♥r ♦r♠ ♥t t ♦t r♥♥t s ♠♥♣t♦♥ ér♦t♥t étss♠♥t ♣srs rèstst♦♥ sst rééé ♥éssr ♣r♠s ♠♦♥trr q ♦♥trr♠♥t ①t① érté ♦r♠s♠ s ♠s é♥értrs ♦♥srt ♣srs ♥♦r♠t♦♥s q r s②♥tès ♥ ♥r♦♥s ♥rs rt tr♠♥t û rr ❯♥♦rt♠ ♥②s ♥♥ été ♣r♦♣♦sé ♣♦r rtr♦r t♦♠tq♠♥t ♠é♥értr ♥ ♥r♦♥ ♥r q♦♥q

râ é♦♣♣♠♥t ♦r♠s♠ ♥♦♠rss t♥qs ①st♥ts ♣♦r ♦♥♣t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs ♦♥t ♣ êtr éérés ét s ♣r♦rès ♥s♣♣♦rtés ♣r st ♣r♠s é♥♦♥r ♥ ♣r♠r ♠é♥s♠ ♣r q s②♥tès rt♥s sss ♠♦r♣♦♦qs ♠s é♥értrs ♥ ♥r♦♥s ♥rs st♣♦ss s②♥tès s♣tr sé sr ♥ ♣r♦ér rérs s♥t à ♣♦st♦♥♥r ♥ s trs ♥ ♠ é♥értr ♣r r♣♣♦rt à ♥ s t♥s♠ ♠ét♦s s é♠rq s trs ♣r s ♣r♦r♠♥s ♥tt♠♥t s♣érrs ❯♥ ♥tt♦♥ ♣s ♣réss s sss ♣r♠ttr s♣ér s♦♥t♦♥s ♣♣t♦♥ s ♠ét♦s ❯♥ ♠ét♦ s②♥tès ♣s é♥érsé sr ♥tt♦♥ trs s♣♣♦rts ♥st été ♣r♦♣♦sé s②♥tèsé♦♠étrq ♦rt♠q♠♥t ♣s ♦♠♣qé q s②♥tès s♣tr tr♣rt s ♣r♦♣rétés é♦♠étrqs s ♠s é♥értrs ♣♦r ét♥r s♦♥ ♦♠♥ té à rt♠♥t t♦ts s ♦♥t♦♥s ♦qs à s s♦♥ ♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t t q ♥♦s ♦♥s ♣ ♦srr sr ♥♦♠r① ①♠♣s ♣t êtré♠♦♥tré sr ♣r♠èr ♠ét♦ ♣ s②♥tétsr ♥②tq♠♥t♥térté ss s ♦♥t♦♥s ♦qs à s

♦ts s t♥qs ♥②s ♠♥♣t♦♥ t s②♥tès ♦♥t été ♠♣é♠♥tés s♥ ♥ ♣♣t♦♥ ♦♥t ♠t♦♥ st ♥r ♣r♠r ♦t ♥♦r♠tq

♦♥s♦♥ é♥ér ⑤ ♣tr

s②♥tès ♥②tq ♥r♦♥s ♥rs tt ♥ s ♣r♦♣rétés ♥ ♦r♠t♦♥ é♥ér s ♦♥t♦♥s ♦qs t♦r q ♥♦s t♥qs s②♥tès♣♦rr♥t srtr ♦♥t été éts ttr ①♠♣ s②♥tès ♣r ♦rtrsst♥é ① ♦♥t♦♥s ♦qs ♦♠♣èt♠♥t ♠♦♥♦t♦♥s été ♣rés♥té ♥ ♦♥t♦♥ ç♦♥ ♦♥t s♦♥t s②♥tétsés s ♥♦♠r① éé♠♥ts ♥♦r♠t♦♥ rss♠és ♣r s ♠s é♥értrs ♦rrs♣♦♥♥ts s rés① ♥r♦♥s és♣♥t êtr ♦♣t♠sés s♦♥ ♥ ♦ tr ① rtèrs ♥t♦♥sts ♥♦♠r ♥r♦♥s t ②♥♠q ♥ ♦tr s rts ♥r♦♥① ♦♥çs tt ♠♥èr ♣rés♥t♥t ♥ r ré♣rt ç♦♥ ♥ ♣s éqréq ① rést♥t s t♥qs s②♥tès ♦♥rr♥ts

♣♣♦rt ♦r♠ s ♠s é♥értrs été ♥ éé♠♥t és ♥s é♦rt♦♥s ♠ét♦s s②♥tès ♠♥srt râ à s ♣r♥♣s tés r♥♦♥trés ♣r s ♣♣r♦s trt♦♥♥s ♦♥t ♥ t ♣ êtr ♦♥t♦r♥és ttç♦♥ s ♦rt♠s ①qs ♥♦s ♦♥s ♦t s♦♥t ♣s ♣♦r s ♦♠♣①tés ♦♠♣rs ♦r ♠♦♥r s②♥tétsr s ♥r♦♥s ♥rs ♦♣t♠sés t ♦♥t ♥♦♠r ♥trés st té♦rq♠♥t ♠té s ♦rt♠s ♥②♥t ♣s t ♦t ♠♣é♠♥tt♦♥s ♣♦ssés ♦♥ ♣t ♠♥t ♠♥r q r ♦♣t♠st♦♥♣r♥r à s s♦t♦♥s ♥♦r ♣s r♣s q trr♦♥t ♦rs ♣♥♠♥t ♣rt ♥♦ ♦r♠s♠

♥ ♣♦♥t té♦rq ét s ♠é♥s♠s ♦♥t♦♥♥♠♥t s ♥r♦♥s♥rs ♣r s rs ♠s é♥értrs ♥♥ st qà ss éts ♥t♥♥t q r ♥térêt ♣♦r s②♥tès ♥r♦♥s ♥r été ét st ♥ tt♠♣s ♥tr s rrs ♥♦r ♣s ♣♦♥ts ♥ ♥ ♥tr s ♠tsPr ①♠♣ étr ♦♠♠♥t s ♠s é♥értrs ♣♥t r♥r ♦♠♣t s♠é♥s♠s ♣♣r♥tss ♣r♦♣rs ① rés① ♥r♦♥s rts ♣♦rrt ♦rr ♦ à s rts ♥r♦♥① ♣s s♣tr à r ♥r♦♥♥♠♥t ♦♥t♦♥♥♠♥t

♥t ♥♦s s♠ strtéq ♥♦s ♥térssr à é♥t♦♥ ♥ ♦r♠s♠ sé sr s ♠s é♥értrs ♣ érr ♠♥t ♥ ♦♥t♦♥♦q q♦♥q ♥ ♣♣q♥t s②♥tès ♣r ♦rtrs ♥♦s s♣♦sr♦♥s♥s ♥ s t♦s ♣r♠rs ♥r♦♥♥♠♥ts ♦♥♣t♦♥ sssté ♣r ♦r♥tr ♥ ♦t ♥s♣♥s ♣♦r tstr s réstts ♥♦s tr① à é rts ♦♠♣ts ♥sté ♥tért♦♥ é s ♠r♦♣r♦ssrs ts ts rts r♦♥t ♥♦r♠♠♥t s ♣r♦r♠♥s très s♣érrs értés rss ♦♥t♦♥♥ s ♥r♦♥s ♥rs

Table des matières

♥tr♦t♦♥ é♥ér

s rés① ♥r♦♥s rts

❯♥ ♣ ♦♦

é♥t♦♥

rè ♣♣r♥tss t

s ♠♥s

♣r♣tr♦♥

é♥t♦♥

♣r♣tr♦♥ ♠t♦

♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♠é♠♦r ss♦t ♥ ♣r♣tr♦♥♠♦♥♦♦

♠tt♦♥s ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦

s ssrs

♥ sr s ♠♦ès rés① ♥r♦♥s rts

s ♠tèrs

é♥t♦♥ ♥ ♥r♦♥ r

♦ts ②♥♠qs ♥ ♥r♦♥ r

P♦♥ts éqr ♥ ♥r♦♥ r t ♥ ♥♥

♠♦ ♥♦q

♠♦ st

♥②s ♥ ♥r♦♥ rt

é♥t♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r

♥r♦♥ rt ♥r♦♥ ♥r

ts ♥ ♠ét♦ ♥②s ♥r♦♥s ♥rs

s ♦♥t♦♥s ♦qs éq♥ts ① ♥r♦♥s ♥rs

♥tr♣rétt♦♥ ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t

t s s②♠étrs

t s rt♦♥s

s ♠tèrs

❯♥ ♥♦ ♦r♠s♠

s ♠s é♥értrs

é♥t♦♥ ♥♦ ♦r♠s♠

❯♥té ♠ é♥értr ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s

♣♦rt ♦q ♥s♦♠♠

Pr♦♣rétés

rtr ♥ ♥s♦♠♠ ♦♥t♦♥s ♦qs à s

♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r

Pr♥♣s ♦rt♠

s ♥ ♦r♠ ♥r♦♥ ♥r

s trs é♥értrs

②♥tès rés① ♥r♦♥s rts

❯♥ rr sr ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥r♦♥s ♥rs

②♥tès ♥ï

s②♥tès rt

s ♠s ♥ ♦r♠ ♥ ♠ é♥értr

s ♠tèrs

②♥tès ♠s é♥értrs s♣tr ♥♦♥ r♣é

②♥tès ♠s é♥értrs s♣tr q♦♥q

♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq s ♦♥t♦♥s ♦qs à s

♦ sé sr s②♥tès ♣r ♦rtrs

Table des figures

é♠ s♠♣é ♥ ♥r♦♥ ♦♦q

é♠ ♥ ♥r♦♥ ♦r♠

s ♣r♥♣s ♦♥t♦♥s tt♦♥ tsés ♣r s ♥r♦♥s ♦r♠s

♦♠♣rs♦♥ ♦♥t♦♥♥ ♥tr ♥ t ♣r♣tr♦♥

s ♥ rés ♥r♦♥s s♦♥ ♣srs ♦s

♣♣r♥tss ♥ ♣r♣tr♦♥ ♠t♦ ♣r rétr♦♣r♦♣t♦♥ r♥t

♣♣r♥tss ♣r rétr♦♣r♦♣t♦♥ r♥t ♥ t érté

①♠♣ ♠é♠♦r ss♦t résé à ♣rtr ♥ ♣r♣tr♦♥ ♠♦♥♦♦

és ♦♣ ♦♠♣♦sé tr♦s ♥r♦♥s rts

s qtr ♠tts ① à ① ♦rt♦♦♥s tsés ♣♦r ♣♣r♥tss

♦♥♥ss♥ ♥ ♠tt ♠é♠♦rsé à ♣rtr ♥ rs♦♥ rté

r♦s ♠tts ♦♥t ♠é♠♦rst♦♥ ♣r rè éqt♦♥ ♦♥♥ s ♣♦s s②♥♣tqs très ♣ r♦sts

é♠ ♦♥t♦♥♥ ♥ ♥r♦♥ ♦r♠ ♦tq q ♣♦s s②♥♣tq ♦ ♥tr♦t ♥ rtr

♣♣r♥tss s q t s rts t♦♦r♥strs

é♠ étr♦♥q ♥ ♥r♦♥ r

♦♥t♦♥ tt♦♥

é♠ ♥ rés ♥r♦♥s rs ♦♠♣♦sé qtr ♥r♦♥s

s t♦♣♦♦s t ♦s♥s s ♣s ssqs ♥s ♦♠♥ s♥♥s

r é♥ér ♥ r♦t ②♥♠q s ♣r ♥ ♥r♦♥ r

tté s ♣♦♥ts éqr ♥ ♥r♦♥ r

s ① ♠♦s ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♥♥

étt♦♥ ♦♥t♦rs ♣r tr ♣

♥tr♣♦t♦♥ ♥ sr ♣r ♥ ♥♥

étt♦♥ ♥ t①tr ♥s ♥ ♠

♦t ②♥♠q r♦♥tèr ♥ ♥r♦♥ r ♥ ♠♦ st

♦r♣♦♦ ♠té♠tq résé ♣r ♥ ♥♥ ♥ ♠♦ st

tért♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♦q à s ♣♦r rés♦r ♥ ②r♥t

♦♥rs♦♥ ♥ ♠t♥ts ♥ ♠ ♥ ♥① rs

r♦♥ ♥r tr♦s ♥trés

ést♦♥ ♥ et ♦q s ♥r♦♥s ♥rs

♦♠r ♠♦②♥ trs é♥értrs ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♠r rs réts ♦r ♠♦②♥♥ k = d4 ② st s♣r♣♦sé ♥s q ♦r k = 2d ♥

♦♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♠ é♥értr

é♦♠♣♦st♦♥ ♥ ♥r♦♥ ♥r ♥ ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs

②♥tès t♦rsé s♦♥ ♥ r

t♣s ♠s s♦s ♦r♠ ♥ ♥s♦♠♠ ♠ é♥értr ①♠♣

♦♠r ♥♠♥ts rérss ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♠r trsé♥értrs ttr ♦♠♣rs♦♥ r♦t y = 2k st é♠♥ttré

és♦t♦♥ ♥ ♣r♦è♠ ♦♠♣①té ♥♣ ♣r ♥ ♦rt♠ ♣♦②♥♦♠ ♥♦♥ étr♠♥st

②♥tès ♦♥t♦♥ ♦q ①♠♣ à sé♠ rr♦♣♠♥t r

r♦♣♠♥ts ♥s ♣♦r s②♥tès ♥r♦♥s ♥rs ① ♥trés

r♦♣♠♥ts ♥s ♣♦r s②♥tès ♥r♦♥s ♥rs tr♦s ♥trés

r♦♣♠♥ts ♥s ♣♦r s②♥tès s ♥r♦♥s ♥rs qtr ♥trés

❱sst♦♥ r♣♠♥t s♣tr trrs s strtrs rss ♦♥t♦♥s ♦qs à s

♣rés♥tt♦♥ r♣q ♦♥t♦♥ s♣tr ♥ ♦♥t♦♥ ♦qà s ♥s q s♣tr ♠ é♥értr ♦rrs♣♦♥♥t

qs rs ♦♥t♦♥s s♣trs ♠♦♥tr♥t r♣♠♥t ♦ ♥♦♥

♥♥ s ♣♦s s②♥♣tqs sr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦rs s②♥tès ♥ ♠ é♥értr s♣tr ♥♦♥ r♣é

♥♥ w1 sr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♥r♦♥ ♥rrés♥t ♥ ♠ é♥értr à s♣tr ♥♦♥ r♣é

♦♥tr♥ts ①♥t s ♣♦♥ts r♥ss♠♥t ♥ s♣tr r♣é

Pr♥♣ s②♥tès s♣tr ①t

♥♥ w1 sr ♠r ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♥r♦♥ ♥rrés♥t ♥ ♠ é♥értr s♣tr r♣é

♣♦s w2 ①♠♣

♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♥r♦♥ ♥r

♥tr♣rétt♦♥ é♦♠étrq s♣ rét

strt♦♥ é♥t♦♥♥ résé ♣r ♥ ♠ é♥értr ts ♠ é♥értr ♦♥♦♥t

♠♥t♦♥ ♥ tr é♥értr à ♦r♥ ♥ tr ♥♥r♥t ♥ s♣ t♦r s♣♣é♠♥tr ②♣r♣♥

♠♥t♦♥ ♥ tr é♥értr r♦♥♥t s trs s♣♣♦rts

Pr♥♣ s②♥tès ♣r ♦rtrs

②♥tès ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs ♣r ♦rtr ♠①♠

②♥tès ♥ rés ♥r♦♥s ♥rs ♣r ♦rtr ♠♥♠

Liste des algorithmes

ét♦♥ ♥ ♠ é♥értr

st s②♠étr s ① ♣r♠èrs rs réts ♥ ♠é♥értr

♦♠♣é♠♥tt♦♥ ♥ ♠ é♥értr

s s♦s ♦r♠ ♥ ♥s♦♠♠ ♥ ♠ é♥értr

♥②s ♥ ♥r♦♥ ♥r ♥ ♠ é♥értr

st r♣♠♥t ♥ ♠ é♥értr

②♥tès s♣tr ♥ ♠ é♥értr s♣tr ♥♦♥ r♣é

♣♣r♦①♠t♦♥ ♣r tr♦♥tr ♥ ♠ é♥értr

♣♣r♦①♠t♦♥ ♣r ①trt♦♥ ♥ ♠ é♥értr

♣♣r♦①♠t♦♥ ♣r ♠♦②♥♥ ♥ ♠ é♥értr

②♥tès ①t ♥ ♠ é♥értr

②♥tès é♦♠étrq ♥ ♠ é♥értr

Bibliographie

♥♦ r ♦♠♣t♥ ♦rt♦r②♥♥ ♦tr rr②t ③t

❨ ♦st t t qs ♥♦r♠t♦♥ ♣t② ♦ t ♦♣ ♦ r♥st♦♥s ♦♥ ♥♦r♠t♦♥ ♦r② ♦ ♣

♦♥ t ♦rtPtt♦♦♦② ♦r ♣r♠trs ♦♣t♠③t♦♥ ♦ ♥ ②r rttr ♦ ♦♥tr♦

♥s Pr♦♥s ♦ t ❲♦r ♦♥rss ♦ t ♥tr♥t♦♥ rt♦♥ ♦ t♦

♠t ♦♥tr♦ Pr é♣q èq

r t ts♠♦t♦♦s ♥ ♦♦ ②st♠s ❨♦r P♥♠

r t ♦②♦♦t r t♦rs P②ss ttrs ♦ ♣

♦♦ r t ❨♦r♦s ♥ ♥tr♦t♦♥ t♦ ②♥♠ ②st♠s♣r♥r❱r

♥rs♦♥ t ♦s♥ ♦♦r♥trsr♦♦♠♣t♥ ♦♥t♦♥s ♦ sr♠r ♠ ♠t Prss

r t ❨ s♥tr♦ ♦t ss♦t ♠♦r② ♦r ss r♥♥ t ❯♣ ♥t♦♥ ♥t♦♠♥② ss♦t♦♥s ♥s Pr♦♥s ♦ st rt ♥t♥ ♥ ♣♣t♦♥s ♥♥srü

♦r♣

r t ❱ s♥♦ qr♠ ♥②ss ♦ ♦♥s②♠♠tr ♥♥s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ rt ♦r② ♥ ♣♣t♦♥s ♦ ♣

♦②♥t③ t ♦r♥♦♦♠♣tt♦♥ t ♦s ♣r♠ ♦r ♦rt tt② Pr♦♥s ♦ t♦♥ ♠② ♦ ♥s ♦ ♣

❱ ♥t♥ t ♦❱s ♠♣♠♥tt♦♥s ♦ rs♦ ♦ ♦♠♣r♥s r② r♥st♦♥s ♦♥ r t♦rs ♦ ♣

❨ é♥é③t♦♥ ♦ t rst ♥♥ ♠ Pr♦ss♥ ♠♣t s♥ ♥ ♥②ss ♦t

rès ♠îtrs ♦ t♦♥ ♣érr P②sq tr♦r

❨ é♥é t rér r t♦rs ❯♥ ♥②ss ♦ t tt② ss ♥s Pr♦♥s ♦ st rt ♥t♥ ♥ ♣♣t♦♥s ♥♥srü

❨ é♥é t ré♣t♠③t♦♥ ♦ ♥r②t♣t ♥♥s rst t♣ ♦ ♥ ♥②t s♥ Pr♦ss ♥s Pr♦♥s ♦ ❲♦r ♦♥rss ♦♥ ♦♠♣tt♦♥ ♥t♥ ❱♥

♦r ♥

❨ é♥é t ♦♥♥♥qst♦♥ t trt♠♥t ♠s ♠♦②♥ ♥ rét♥ rt ♦♥é srs rés① ♥r♦♥s rs ♣♣♦rt t♥q ♥sttt r♥♦♠♥ rrs ♥t♦s

❨ é♥é ♦♥♥♥ t ré st ♥②ss t♦ ♦r ♦t ♦♣ ♥ ❯♥♦♣ ♥r②t♣t ♦♥♥♠♣ts ♥s Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ❲♦rs♦♣ ♦♥ r r t♦rs

♥ tr ♣♣t♦♥s ♣st ♦♥r

❨ é♥é P ❲r t ré t♦ ♦r r♠♣♠♥tt♦♥ ♦ rs♦ ♦ ♥t♦♥s t rr t♦rs ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ r ②st♠s s♦♠s

♦r♣

❨ ♥♥♥rté ♥♦r♠t♦♥ ♦♠♠♥ ♦♠♠♥t♦♥ ♣ ♣♣r♥tss♦♥♥①♦♥♥st ♣ ♣ ss♦♥

P ♥s r♠♥ t ♦tt ♥q ♦r ♠♣♠♥t♥ rtrr② ♦♦♥ ♥t♦♥s♥ rs♦ ♦

♥s Pr♦♥s ♦ s♣ ♥ ♦ ♦

♥ t ♥ ♦♠♣t st ♦ ♥s ♥ ♠ ♦s ♦ s tt ♥ ③ ♥♥ ♦ ♥♣t ❱rstt♣t②⑦♥♣st♣

♥ t ♥③t♦♥ ♦ ♦♦♥ ♥t♦♥s ♥♥ t♠t ♦r② s ♥ ♠♣t s♥ r♥st♦♥s ♦♥ rt ♥ ②st♠s ♦ ♥♦ ♣

❨ ♥ t ♥③t♦♥ ♥ rt♦♥ ♦ ♦♦♥ ♥t♦♥s r r t♦rs

♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ rt♦♥ ♥ ♦s ♦ ♥♦ ♣ t

❨ ♥ t ♥ ♦♠♣t st ♦ ♥s ♥r② ♦♥ ♣s ♥ ♠ ♦s ♦ t s tt ♥ ③ ♥♥ ♦ ♦r ♥♣t ❱rstt♣t②⑦♥♣st♣

♦♥ t rtr③t♦♥ ♦ rs♦ ♥t♦♥s ♥s Pr♦♥s ♦ t ②♠♣♦s♠ ♦♥ t♥ rt ♦r② ♥ ♦

s♥ ❨♦r s ♣

t ❲ ❲♥ t ❯♥rs ♦ t r r t♦rs ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ rt ♦r② ♥ ♣♣t♦♥s ♦ ♣

t ❨♥r r t♦rs ♦r② r♥st♦♥s ♦♥ rts ♥ ②st♠s ♦ ♣

t ❨♥r r t♦rs ♣♣t♦♥s r♥st♦♥s ♦♥ rts ♥ ②st♠s ♦ ♣

♦r♣

r♥rst♦r ♦ ♥ ②st♠ ♦♥♣t Pr♦♥s ♦ t ♥sttt ♦ ♦ ♥♥rs ♦ ♣

r♦♥s ♦s t ♠ t♦♥♥ t r r t♦rs r♥st♦♥s ♦♥ rts ♥ ②st♠s ♥♦ ♥ t ♥ Pr♦

ss♥ ♦ ♥♦ ♣

r♦♥s ♥ t ♥t ♠♣♠♥tt♦♥ ♦ ♦r♦♦ ♦ ♦r r t♦♠t tr r t♦r ❯♥rs ♥ r♥st♦♥s ♦♥ rts ♥ ②st♠s ♦ ♣

rt♦③♦s♥ ♣♣r♦ t♦ ♥rs♦♠♥t ②♥tss r r♥st♦♥s ♦♥ tr♦♥ ♦♠♣trs ♦ ♣

♥ t rst ♦ t r t♦r rr ♠♣♠♥tt♦♥ ♥q rt♥♣s ♦r♥ ♦ tr ♥♥r♥ ♦ ♥♦

♥ t rst t r t♦r ♣ rt rr ♠♣♠♥tt♦♥ ♦rt♠♥s ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♥str tr♦♥s ❱♦ ♣♥

♦r t ❯♥rs ♥♥ s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ rt♦♥ ♥ ♦s ♦ ♣

r②s rt♥③ ♠s ♦r♦♥ r♥ r t értés① ♥r♦♥s ♠ét♦♦♦ t ♣♣t♦♥s②r♦s

❲ ♠♠②♦♠tr② ♦ t♦♠♣①s ♥ rs♦ ♦ ♦r♥ ♦ ♦♠tr② ♦ ♣

stt♥♠♥ts ♦ r t♦rsPr♥t

② t P ♦ qr♠ ♥②ss ♦ r r t♦rs r♥st♦♥s ♦♥ rts ♥ ②st♠s ♦ ♣

♦r♣

ä♥ t ♦s②t③♥t ♣t♠③t♦♥ ♦ r r t♦rs ♥s Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♦t♦♥♥r② ♦♠♣

tt♦♥ ♣

ä♥ t ♦s②t③♥ ①t ♥ rt ♥②t t♦ ♦r t s♥ ♦ ♣t♠② ♦st ♠♣ts r♥st♦♥s ♦♥ rts ♥ ②st♠s ♦ ♣

ss♦♥♥♠♥ts ♦ rt t♦rs♠r ♠s ♠t Prss

②♥r t♦rs ♦♠♣r♥s ♦♥t♦♥ ♥

r♥③t♦♥ ♦ ♦r ❨♦r ❲②

üs t ♦♥ t ♦♠tr ♣rt② ♦ ♦♦♥ ♥t♦♥s srt ♣♣ t♠ts ♦ ♥♦ ♣

rt③ r♦ t P♠r♥tr♦t♦♥ t♦ t ♦r② ♦ r ♦♠♣tt♦♥s♦♥❲s②

❳ ♥ t ❲♥❱ ②st♠ ♦♣♠♥t ♦r ♦♦t ♥s Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ♦♥t ♦♥r♥ ♦♥ r t♦rs

♣st ♦♥r

P ③♥②♠r ♦ t qr♠ tts ♦ r r t♦rs r♥st♦♥s ♦♥ rts ♥ ②st♠s ♦ ♣

♥r ♥ss♥ t ♦ss①tr ♠♥tt♦♥ ♥ ①t ♠♥tt♦♥ t srt♠ r r t♦rs ♥s Pr♦♥s ♦ t ❲♦rs♦♣ ♦♥ r r t♦rs ♥ tr

♣♣t♦♥s ♣

♦t♥ ♥ ♥t t♦♠t ♦r②r

♦r♣

♦♦♥♥♦r♥③t♦♥ ♥ ss♦t ♠♦r②r♥ ♣r♥r❱r

♦③ ♦s t ♥t ♦rt♠ ♦r ♥♥ ♠♣t r♥♥ r♥st♦♥s ♦♥ rts ♥ ②st♠s ♦ ♥♦ ♣

❨ ♥♦ès ♦♥♥①♦♥♥sts ♣♣r♥tssès ♦t♦rt ❯♥rsté P t r Prs ♥

❨ t ❨♦r Pr♦ tr ♠♣s ♦s ♠r♥ t♠t ♦♥t② ♦ ♣

ñá♥ s♣♦ ♦♠í♥③str♦ t ♦rí③❱á③q③ ♥♥ ♥ ♥♦ ♦ 64×64 ♥♥ ❯♥rs ♥ ♣ Pr♦t♦t②♣t t ♥♦ r② ♥s Pr♦♥s ♦ r r t♦rs ♥ tr ♣♣t♦♥s ♣

ó♣③ñ♦③ ♦② t ♠♦r♦♥ t♦r② t ♦r♥rst♦♥ ♦ ♥r♦s♥ ♦♥ t ♥t♥r② ♦ t ♦Pr③ r t♦ ♥t♦ ♠ó♥ ② r♥ sr t♥ ♦ ♣

s♥ ❨♥ P♥♦♥ t ♥ ♠♣♥tt♦♥ t♠♣s ré ♥ ♦rt♠ ♦st♦♥ t r♦♥♥ss♥ s sr ♥ ♣♥s ♦♦q rts ♦♦s r♥

ts♠♦t♦ ❨♦♦♠ ③ r s♠♦t♦ ♠♠ ❨ tsst ♦ t r ♠ Pr♦ss♥ ①♠♣s ② ♥♥ ♥s Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ❲♦rs♦♣ ♦♥ r r t♦rs ♥

tr ♣♣t♦♥s

♥ t ♠rt①♣♦rt♦♥s ♥ Pr strt Pr♦ss♥♠r ♠ ♠t Prss

❲ ♦ t ❲ Ptts ♦ s ♦ t s ♠♠♥♥t ♥ r♦s tt② t♥ ♦ t♠t ♦♣②ss ♦ ♣

♦r♣

rt②stè♠s ②♥♠qs t ♦♥♥①♦♥♥s♠ ♥ ♣♣r♦ ér♥t ♥

r♦♥ès ♦t♦rt ❯♥rsté ts

♥s② t P♣rtPr♣tr♦♥s ♥ ♥tr♦t♦♥ t♦ ♦♠♣tt♦♥ ♦♠tr②♠r ♠ ♠t Prss

♦tr ❯ ♦ t rs♥♦ ♦s ♦♦sts t ♥♦♥ ♣t② ♦ s♠ rr♥t r t♦rsr♥♥ ♦♥srt♦♥ ♥s Pr♦♥s ♦ ♥tr♥t♦♥ ♦♥t ♦♥r♥ ♦♥ r t♦rs

♣st ♦♥r

♦♥♥♥és① ♥r♦♥s rs t trt♠♥t ♠s ♥ ♣♣r♦ ♥②tq

♦♥♣t♦♥ ♦♣értrsès ♦t♦rt ❯♥rsté ♦s♣ ♦rr r♥♦

♦♥♥♥ rt ö♥ t érts♥ ♦ r r t♦rs ♦r ♥r② ♥ r② ♠ Pr♦ss♥ ♥s Pr♦♥s ♦ ♥♥

♦♥♥♥ rt ö♥ t ért trt♦rr s♥ ♦ ♦st r r t♦rs ♦r ♠ Pr♦ss♥ ♥s Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ❲♦rs♦♣ ♦♥ r r t♦rs ♥

tr ♣♣t♦♥s

♦♥♥♥ ö♥ t ért♦♦♥ s♥ ♦ ♥r② ♥t③ ♥ ♦♣ ♥♥ ♠ Pr♦ss♥ ♣rt♦rs ♥s Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ❲♦rs♦♣ ♦♥ r r t♦rs ♥

tr ♣♣t♦♥s r♥♦rt ♠♥

r♦rs♦ ♦ ♥ ts ♣♣t♦♥s❲② ❨♦r

t ❯ss♥ ♥q ♦ r r t♦r tr♦♥s ♥ ♦♠♠♥t♦♥s ♥ ♣♥ ♣rt ♦ ♥♦ ♣

♠s t ♦s ♠♣♠♥tt♦♥ ♦ rtrr② ♦♦♥ ♥t♦♥s ♦♥ ♥♥ ❯♥rs ♥ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ rt ♦r② ♥ ♣♣t♦♥s ♦ ♣

♦r♣

rr ♠♣♠♥tt♦♥ ♦ t rs♦ ♦ ♦r rt rt ♥s Pr♦♥s ♦ t ❲♦r ♦♥r♥ ♦♥ ♦♠♣tt♦♥ ♥t♥♣

②♥ t ❲r♦r t♦rs ♦r r♥♥ ♦♥tr♦ ②st♠s ♦♥tr♦ ②st♠s ③♥ ♦ ♣

③♠r ♣♣ P♠r ❨ t ❯ ♥r♦ ♣t rs♦♦ t ♦r♥ ♦ ♦ tt rts ♦ ♣

Pr t ❲♦r♠♦♠♥s♦♥ r t♦♠t ♦r♥ ♦ ttst P②ss ♦ ♥♦ ♣

Prr r♥♥♦ st♥ t ♦rt① ♦ t ♠♥ r♥ ♥ s♦♥ ♣♣♦rt t♥q tr ♥tr ♦r ♦♠♣tt♦♥ sr ♥ ♦♥♦♠s ♥♥♠♥t ♥ ♠t ♠r ♠

P t s②♦♦♥ ♥t♦♥s ③ t ♥ rs♦ s Pr♦♥s ♦ t ♥sttt ♦ ♦ ♥♥rs ♦ ♣

P Pt♦♥r♥ ❲ts ♦r ♥ rs♦ ♦ ts ❯s♥ ♦♠♣♦st♦♥ ♥s Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥ ♦♥ r ♥♦r♠t♦♥ Pr♦s

s♥ t♦♦♠

rs❲ ♦♠♣trs r t♦♣ s♣ ② ♠s ♥♥ s♣t♠r rss tt♣t♠s♦♥♥♦t♦♥s

♦s♥ttPr♥♣s ♦ ♥r♦②♥♠s ❨♦r ♣rt♥

♦s♥tt Pr♣tr♦♥ ♣r♦st ♠♦ ♦r ♥♦r♠t♦♥ st♦r ♥ ♦r♥③t♦♥♥ t r♥ P②s ♦ ♣

♦r♣

♦s t ♥♥ ❯♥rs ♥ ♥ ♥♦ rr② ♦♠♣tr r♥st♦♥s ♦♥ rt ♥ ②st♠s ♦ ♣

rr♠ ♥②ss ♥ t♠t ♦r♣♦♦② ♦ ♠ Prss

③r♥② t s♣♦①tr sst♦♥ ♥ ♠♥tt♦♥ ② r r t♦r s♥ ♥t r♥♥ ♦♠♣tr ❱s♦♥ ♥ ♠ ❯♥rst♥♥ ♦ ♣

s t ♥t ♦♥t♦♥ ♦r ♦♥s②♠♠tr ♥♥s t♦ t qr♠ P♦♥t r♥st♦♥s ♦♥ rts ♥ ②st♠s ♦ ♣

s t ♥ t ♦♠♣t tt② ♦ ♦♥s②♠♠tr r r t♦rs r♥st♦♥s ♦♥ rts ♥ ②st♠s ♦ ♣

♥ ♦ t ❱♥r r t♦rs s ♦ ♦ ss♦t ♠♦r② ♥s Pr♦♥s ♦ t ❲♦rs♦♣ ♦♥ r r t♦rs ♥ tr

♣♣t♦♥s ♣

ót♥♦ ♥♥ ♦rt♠ ♦r ♥tr♣♦t♦♥♣♣r♦①♠t♦♥ ♣♣♦rt t♥q ♥♦ ♥ r ♦♠♣t♥ ♦rt♦r②♦♠♣tr ♥ t♦♠t♦♥ sr ♥sttt é♠ s ♥s ♦♥r♦st ③t ♣st

P ❲r♦s♣r♦♣t♦♥ tr♦ t♠ t t ♦s ♥ ♦ t♦ ♦ t Pr♦♥s ♦ t ♦ ♣

P ❲r♦s ♦♦ts ♦ ♣r♦♣t♦♥ ❨♦r ❲②

❲r♦ t ♦ r♣t t♥ rts ♥s r ❲s♦♥ ♦♥♥t♦♥ ♦r ♣

♦r♣

❲r♦ t rrt② ❨rs ♦ ♣t r t♦rs Pr♣tr♦♥ ♥ ♥ ♣r♦♣t♦♥ Pr♦♥s ♦ t ♦ ♥♦ ♣ s♣t♠r

❲r♦ t ❲♣t ♥rs ♦♥tr♦Pr♥t

❲r♦ ❲♥tr t ①tr r♥♥ P♥♦♠♥ ♥ ②r r t♦rs ♥s Pr♦♥s ♦ rst ♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥ ♦♥ r t♦rs♦ ♣

❲♥r ❯♥rs♦♥♥ t♥ss ♦ t♠ts ♥ t tr ♥s ♦♠♠♥t♦♥s ♦♥ Pr ♥ ♣♣ t♠ts ♦ ♥♦ ❲② érr

❲♦r♠ ♥ ♦ ♥❲♦r♠ rsr

❩rá♥② rt ♦ ♥♥ ♠♣t s♥ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ rts ♦r② ♥ ♣♣t♦♥s ♦ ♣

❩rá♥② t ③② t♥♦♥ r ❱s♦♥ ②st♠ Prt rttr ♥ ❯tr r♠ t Pr♦ss♥ ①♠♣s ♥s ♥ ♣r♦♥s ♦ r r t♦rs ♥ tr ♣♣t♦♥s

♣st ♦♥r ♣

❩rá♥② t ③② t♥♦♥ r ❱s♦♥ ②st♠ Prt ♦♣♦r♣ ♥ ♦♥t♦♣♦r♣ ♦rt♠ ♥ t ♣♣t♦♥s ♥s ♥ ♣r♦♥s ♦ r r t♦rs ♥ tr ♣♣t♦♥s

♣st ♦♥r ♣

❩rá♥② ♦s t ♦r♣♦♦ ♣rt♦rs ♦♥ t ♥♥❯♥rs ♥ ♥s Pr♦♥s ♦ t ❲♦rs♦♣ ♦♥ r r t♦rs ♥ tr

♣♣t♦♥s ♣

Approche analytique pour l’optimisation de réseaux de ...

Documents

Transcript of Approche analytique pour l’optimisation de réseaux de ...

Prétraitement des déchets agricoles pour l’optimisation de ...

Manuel Popsy Analytique 3.1

Guide pédagogique - CLE International...En niveau A, où contrairement aux niveaux B2 à C2 à l occasion desquels une approche analytique devient possible, une activité de compréhension

L’OPTIMISATION FINANCIERE ET FISCALE

Science (1) Validation Analytique

Évaluation de l’optimisation des ressources

L’OPTIMISATION APPLIQUEE AU VOL DE LA

COMPTABILITE ANALYTIQUE 1

Philosophie Analytique Engel

Introduction Philosophie Analytique

VALIDATION ANALYTIQUE

Ashby Corridor Urban Analytique

Chimie Analytique TD N3

Contribution à l’optimisation des télécommunications dans ...

COMPTABILITE ANALYTIQUE - Progesys · Analytique Section Analytique Intitulé Section Analytique Classement Niveau Analyse Compte Général Compte Tiers Code Journal N° Pièce Référence

Approche Thematique

Psychologie analytique definition wikipedia - Psychaanalyse · 2012-10-02 · ©wikipedia) 1) Psychologie analytique Carl Gustav Jung La psychologie analytique est une théorie élaborée

La Comptabilité Analytique: Définition et Caractéristiques...La Comptabilité Analytique: Définition et Caractéristiques. CHAPITRE 1: Comptabilité analytique Flux externes Matiéres

Approche Processus

NUMÉRIQUE COMMUNICATION ÉTÉ 2017 MARKETING … · DIRECTEUR MARKETING ANALYTIQUE D’ADVISO De la mesure de la performance marketing à l’optimisation des stratégies web, Farès