[ บทท 3 การเคลอนทในระนาบ ][ บทท 3 การเคลอนทในระนาบ ]

ในการอธบายการเคลอนทในวถโคง เชน การโคจรของดาวเทยม การเคลอนทเปนเสน

โคงของลกบอลโคงของลกบอล

เราตองบรรยายการเคลอนทในสองหรอสามมต

โ ใ ป ปโดยใชเวกเตอรการกระจด ความเรว และความเรง แตปรมาณเหลานมองคประกอบ

สองหรอสามองคประกอบ และไมไดมทศอยในแนวเสนตรงเดยว

2

ใชเวกเตอรในการบอกตาแหนงของอนภาค การเขยนเวกเตอรบอกตาแหนง ตองเขยน

บอกองคประกอบของเวกเตอรในแตละแกนบอกองคประกอบของเวกเตอรในแตละแกน

ˆˆ ˆi j k+ +k

r xi yj zk= + +rz

θj

xy

i

3

yจากนยามความเรวเฉลย “อตราสวน

ระหวางการกระจดทเปลยนไปกบP1 P2rΔ

y

ชวงเวลาการเปลยนการกระจด”

จากรปเสนทางการเคลอนทของอนภาค 1rจากรปเสนทางการเคลอนทของอนภาค

ในระนาบ xy เมอเวลา t1 อนภาคอยท

ตาแหนง P1 ซงมการกระจดเปน r1

2r เสนทางการเคลอนท

1 1

และเมอเวลา t2 อนภาคนอยทตาแหนง

P2 ซงมการกระจดเปน r2

xO

2

ความเรวเฉลยของอนภาคในชวงเวลา

t1 และ t2

12

ttrr

trvav −

−=

ΔΔ

=1 2 12 tttΔ

4

ถาใหเวกเตอรทงสองมองคประกอบเวกเตอรดงตอไปน

jyixr ˆˆ +

jyixr

jyixrˆˆ

222

111

+=

+=

จะไดความเรวเฉลย

( ) ( )1212ˆˆ jyyixxrvav

−+−=

Δ=

12 tttav −Δ

5

จากนยามความเรวขณะหนง คอ “ความเรวของวตถขณะเวลาใดๆ ซงหาไดจากการ

เปลยนตาแหนงของวตถในชวงเวลาทส นมากๆ จนเขาสศนย”เปลยนตาแหนงของวตถในชวงเวลาทสนมากๆ จนเขาสศนย

ความเรวขณะหนงคอ

kdtdzj

dtdyi

dtdx

dtrd

trv

tˆˆˆlim

0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

ΔΔ

=→Δ

เขยนเปนเวกเตอรความเรวไดดงน

dtdtdtdtt ⎠⎝⎠⎝⎠⎝Δ

kvjvivv zyxˆˆˆ ++= j zyx

6

องคประกอบของเวกเตอรความเรวหาไดจาก

d ddtdxvx =

dtdyvy =

dtdzvz =

ขนาดของเวกเตอรความเรว หรออตราเรวหาไดจาก

222zyx vvvv ++= zyx

7

จากนยามความเรงเฉลย คอ “อตราสวนระหวางการเปลยนแปลงความเรว กบ ใ ใ ป ”

P1

y

1v1v

vΔชวงเวลาทใชในการเปลยนความเรว”

จากรปแสดงเสนทางการเคลอนทในระนาบ xy ของอนภาคหนง ซงเมอเวลา

P2

1r2v

2v vΔ

ระนาบ xy ของอนภาคหนง ซงเมอเวลา t1 อนภาคอยทตาแหนง P1 และมความเรวเปน v1

2r1

เสนทางการเคลอนท1

และเมอเวลา t2 อนภาคอยทตาแหนง P2 และมความเรวเปน v2

xO

ความเรงเฉลยของอนภาคในชวงเวลา t1และ t2 คอ

12 vvva −=

Δ=

8

12 tttaav −

=Δ

=

จากนยามความเรงขณะหนง คอ “การเปลยนแปลงความเรวทขณะเวลาใด ๆ หรอ

ในชวงเวลาสนๆ จนเขาสศนย”ในชวงเวลาสนๆ จนเขาสศนย

vdvΔlidtt

at

=Δ

=→Δ 0

lim

จากเวกเตอรความเรวจะไดความเรงขณะหนงคอ

dvdvdvvd ˆˆˆ kdtdvj

dtdv

idtdv

dtvda zyx ˆˆˆ ++==

9

เวกเตอรความเรง

ˆˆˆ

ป

kajaiaa zyxˆˆˆ ++=

องคประกอบของเวกเตอรความเรง

222 zddvyddvxddv y222 ,,

dtzd

dtdva

dtyd

dta

dtxd

dtdva z

zy

yx

x ======

ขนาดของเวกเตอรความเรง

222zyx aaaa ++=

10

ตวอยางท ตวอยางท 33--1 1 วตถเคลอนทตามเสนทางโดยมคาตามแนวแกนทงสองคอ

x = 5t2 และ y = 2 sin 2t เมอ t แทนเวลา ณ ขณะใด ๆ จงคานวณหาx = 5t และ y = 2 sin 2t เมอ t แทนเวลา ณ ขณะใด ๆ จงคานวณหา

ความเรว และความเรงชวขณะของอนภาค

จากโจทยใหองคประกอบเวกเตอรบอกตาแหนงของวตถทเวลา t ใดๆ ดงนน

องคประกอบเวกเตอรขณะหนงหาไดโดยองคประกอบเวกเตอรขณะหนงหาไดโดย

( ) ttddxvx 105 2 === ( )dtdtx

( ) ttddyv 2cos42sin2( ) ttdtdt

yvy 2cos42sin2 ===และ

ไ ˆˆ

11

เขยนเปนเวกเตอรความเรวไดดงน jtitv ˆ2cos4ˆ10 +=

จากองคกอบเวกเตอรความเรว นามาหาองคประกอบเวกเตอรขณะหนงไดโดย

dd ( ) 1010 === tdtd

dtdva x

x

( ) ttdtd

dtdv

a yy 2sin82cos4 −===และ ( )

dtdty

เขยนเปนเวกเตอรความเรงไดดงนเขยนเปนเวกเตอรความเรงไดดงน

jtia ˆ2sin8ˆ10= jtia 2sin810 −=

12

โพรเจคไทล (Projectile Motion) เปนการเคลอนทในสองมต ภายใตความเรงโนมถวง (Gravitational Force) ของโลก

โดยมเงอนไข คอ ความเรวในแนวระดบมคาคงท หรอความเรงในแนวระดบมคาป ไ เปนศนย ไมคานงถงแรงเสยดทาน ความโคง และการหมนของโลก

ดงนนจงเหลอแคความเรงในแนวดงซงดงนนจงเหลอแคความเรงในแนวดงซงกคอคา g ซงเปนแบบจาลองโพรเจคไทลในอดมคต

13

yจากรปแสดงการเคลอนทของอนภาค

หนงในระนาบ xy โดยใหอนภาคนม

vyv xx uvv ==

v xx uv =θ

ความเรวตนเทากบ u มทศทามม θ0

กบแนวระดบ uv =

yuxx uv = vyv

เขยนองคประกอบความเรวตนไดเปน

0cosθuux =

xu

xx uv =0θ

0θθ −=

x0

0

sinθuuy

x

=x

vyy uv −=

14

y

vyv xx uvv ==

uv =

จากเงอนไขการเคลอนทแบบโพรเจคไทลจะได

วา ax = 0 และ ay = -g

uv =yu

xx uv = vyv xx uv =θ

หาตาแหนงและความเรวทเวลาใดๆ ของ

อนภาคไดจากสมการการเคลอนทดวย

xx uv =0θ

x

ความเรงคงท โดยสามารถแยกคดในแตละ

องคประกอบxu

vyy uv −= 0θθ −=

พจารณาความเรวและตาแหนงในแนวระดบ (แกน x)

เนองจากความเรงมคาเปนศนยดงนนความเรวของวตถในแนวนไมเปลยนแปลง

0cosθuuv xx ==

15

และ ( )tutvx x 0cosθ==

พจารณาความเรวและตาแหนงในแนวดง เนองจากความเรงในแนวนมขนาด

เทากบความเรงโนมถวง แตมเครองหมายเปนลบ จะได

gtugtuv yy −=−= 0sinθ

ตาแหนงในแนวดงทเวลา t ใดๆ

( ) 22 1sin1 gttugttuy == θ( )0 2sin

2gttugttuy y −=−= θ

สมการแสดงเสนทางการเคลอนทของโพรเจกไทล ไดจากการแทนคา t ซงสมการแสดงเสนทางการเคลอนทของโพรเจกไทล ไดจากการแทนคา t ซง

cosθuxt =

0cosθu

( )2

1sin ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

θ xgxuy16

( )00

0 cos2cossin ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

−=θθ

θu

gu

uy

จะได ( ) 2220 cos2

tan xu

gxyθ

θ −=0cos2u θ

เทยบกบสมการทวไปของเสนโคงพาราโบลาร 2cxbxy = เมอ b และ c เปนคาคงท เทยบกบสมการทวไปของเสนโคงพาราโบลาร cxbxy −= เมอ b และ c เปนคาคงท

ดงนนเสนทางการเคลอนทของโพรเจคไทลเปนโคงแบบพาราโบลาร

17

ความสงทสดทวตถสามารถเคลอนทไดหาไดจากสมการ

gtuvy −= 0sinθ

เมอวตถเคลอนทไปถงจดสงสดจะหยดนงขณะหนงกอนจะเคลอนทกลบลงมา

ดงนนความเรวในแนวดง ณ ตาแหนงนจะมคาเปนศนย

gtu =0sinθ

0cosθuxt =แต

0

จะไดuux 2sincossin 0

200

2 θθθ==

18

จะได ggx

2==

( ) 2

0220 cos2

tan xu

gxyθ

θ −=จากสมการ0cos2u θ

เมอแทนดวยคา x จะได

uy2sin 0

22

maxθ

=g2max

ระยะทางทไกลทสดทวตถสามารถเคลอนทไดคอ

guR 0

2 2sin θ=

19

g

ตวอยางท ตวอยางท 33--2 2 นกกรฑาขวางคอนมความสามารถเหวยงคอนไดใน

อตราเรวสงสด 5 เมตร / วนาท เขาจะสามารถขวางคอนไปไดไกลทสดอตราเรวสงสด 5 เมตร / วนาท เขาจะสามารถขวางคอนไปไดไกลทสด

หางจากจดทเขายนอยกเมตร ถาไมคดแรงเสยดทานอากาศและความสง

ของนกกรฑา

uR 02 2sin θ

จากสมการ gR 0=

จะไดระยะไกลทสดเมอขวางทามม 45๐ กบแนวระดบซงจะไดจะไดระยะไกลทสดเมอขวางทามม 45๐ กบแนวระดบซงจะได

uR2

gR =

จากโจทย 5 เมตร/วนาท( ) 525 2

R เมตร

20

จากโจทย u = 5 เมตร/วนาท( ) 5.2

8.9==R เมตร

ตวอยางท ตวอยางท 33--33 ชายคนหนงขวางกอน

หนออกไปจากดาดฟาตกสง กอนหน

พงออกจากมอดวยทศทามม กบแนว

ระดบ และมอตราเรวเรมตน ดงแสดง

ในรป ถาตกนสง จงหา 1) ตองใชเวลานานเทาใดหลงจากท

ขวางออกไป ทกอนหนนจะตกถง

พนดน2) อตราเรวสดทายของกอนหนท

กระทบพน

21

1) พจารณาการเคลอนทในแนวระดบ x และ แนวดง y

( )( ) 3.170.30cos0.20cos 0 === θuux m/s

( )( )( ) 0.100.30sin0.20sin 0 === θuuy m/s

หาคา t ไดจากสมการหาคา t ไดจากสมการ

20 2

1 gttuyy y −+=2

เมอ y = -45 m

( ) ( ) 2891010045 ( ) ( ) 28.9210.10045 tt −+=−

224=t วนาท

22

22.4=t วนาท

2) จากสมการ gtuv yy −=

แทนคา t จากขอ 1) จะได

( ) ( )( ) 4.3122.48.90.10 −=−=yv เมตร/วนาท

ใ แตความเรวในแนวระดบ (ตามแกน x) มคาคงทหรอ

3.17== uv เมตร/วนาท3.17xx uv

อตราเรวของกอนหนคอขนาดของเวกเตอรความเรวหาไดจาก

( ) 9.354.313.17 2222 =−+=+= yx vvv เมตร/วนาท

23

24

1v vsΔ ΔΔ Δ1

1

or v sv R R

= Δ = Δ

ดงนนขนาดความเรงเฉลยในชวงเวลาใดๆ มคาดงนนขนาดความเรงเฉลยในชวงเวลาใดๆ มคา

1av

v v sat R t

Δ Δ= =

Δ Δt R tΔ Δ

25

ขนาดความเรง a ทจด P ใดๆ จะไดขนาดความเรง a ทจด P ใดๆ จะได

1 1v vs sΔ Δ1 1

0 0lim limt t

v vs saR t R tΔ → Δ →

Δ Δ= =

Δ Δ

และจาก lim sv Δ=และจาก 0

limt

vtΔ →

=Δ

แตจาก v คออตราเรวท P ซงเปนจดใดๆ กไดเพราะอตราเรวมคาเทากน จงได แตจาก v1 คออตราเรวท P1 ซงเปนจดใดๆ กไดเพราะอตราเรวมคาเทากน จงได

และความเรงทไดนมทศเขาสศนยกลาง

2va26

aR⊥ =

ในเวลา T วตถเคลอนทไดระยะทางเทากบเสนรอบวงของวงกลม

2 RvTπ

=T

ดงนนเราสามารถหาความเรงไดอกรปแบบหนงคอ

24 Ra π⊥ = 2a

T⊥

27

ตวอยางท ตวอยางท 33--44 ดวงจนทรหมนรอบโลกครบรอบใชเวลา 27.3 วน สมมต

ใหวงโคจรเปนวงกลมมรศมความโคง 3 82 x 108 เมตร จงคานวณหาใหวงโคจรเปนวงกลมมรศมความโคง 3.82 x 10 เมตร จงคานวณหา

ขนาดของความเรงของดวงจนทรเขาสโลก

คาบการโคจรของดวงจนทรรอบโลก T = 27.3 วน เปลยนใหเปนหนวยวนาทไดเปน

( ) hour min s27.3 day 24 60 60day hour min

T ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

62.36 10= × วนาท

ความเรงเขาสศนยกลางความเรงเขาสศนยกลาง

( )( )

2 223 2

22 6

4 3.82 10 m4 2.71 10 m/sRaT

ππ −⊥

×= = = ×

28

( )22 62.36 10 sT ×

จากนยามของความเรวสมพทธของการเคลอนทในแนวเสนตรง

เราหาความเรวสมพทธของการเคลอนทในระนาบไดจากนยามเดยวกน ดวยการบวก

เวกเตอร

ความเรวกระแสนาความเรวเรอ

สมพทธกบพน v ความเรวกระแสนา

สมพทธกบพน Vสมพทธกบพน v

ความเรวเรอสมพทธ

กบกระแสนา v’

v v V′= +29

ตวอยางท ตวอยางท 33--55 เครองบนลาหนงบนไปทางทศเหนอ เขมชความเรวอยท

240 km/hr ลมพดดวยความเรว 100 km/hr ไปทางทศตะวนออก 240 km/hr ลมพดดวยความเรว 100 km/hr ไปทางทศตะวนออก

ความเรวของเครองบนสมพทธกบโลกจะมคาเปนเทาไร

V = 100 km/hr

v v V′= +จาก

v’ = 240 km/hr v = ?2 2v v V′= +ซงจากรปv = 240 km/hr

2 2240 100= +θ

260= km/hr

30

โดยมทศทามม θ กบทศเหนอ หาคามม 1 100tan 22.6240

θ −= =

31